The Direction of Frictional Force in Smooth Rolling Motion of Annular Geometry

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純滾動中環型幾何的靜摩擦力方向之探討

相對靜止的兩個物體間有相對滑 動的趨勢時,則在兩個物體的接觸面上會 存在著阻礙相對滑動趨勢的靜摩擦力,其 方向與滑動的方向相反。

在剛體滾動中,物體間相對滑動的趨勢不 如平移般來的直觀,因此不容易得到靜摩 擦力的方向。在下圖中,質量為 半徑 為 的圓形環體,受一水平外力 作用, 在 軸方向作純滾動。作用在環體 點處 的靜摩擦力的方向因為與滑動的方向不明 顯,所以難以直接去做判定。為了能較直 觀地確定滾動中靜摩擦力的方向,可應用 下述方法:先隔離被研究的滾動體,再以 假設 點不受靜摩擦力作用的前提下去找 出,在外力 作用下,環體 點位置的切 線加速度方向,如此就能知道 點所受之 靜摩擦力的方向與該切線加速度方向成反 方向。

判斷����的方向,吾人可由圖獲得下述聯 立方程 {�� =(��+1)������ (1)

���� =��⋅�� =������ (2)

其中 �� = ���� �� 及 �� = ���������� ������ (此為質心與

原點間之距離),應用 力矩 的 方程 式

�� =��[(����)(����)2]�� 可將式(2)寫成 ���� =(��+1)������ (���������� ������ )

=[(��+1)����2 +��(2��)2] (���� ��)

式中 為圓環體上質點之個數(該情況為 )且 (��+1)������ 為圓環上的小質量 與圓環本身質量 之和,故有

(��+1)��������=��[(��+1)��2 +(2��)2](���� ��)

⟹���� = ��(��+1)�������� (��+1)����2 +��(2��)2

=(��+1��+5)(����)���� (3)

從(3)式中可獲得以下四種情況下的 點之切線加速度����,進而獲得靜摩擦力

的方向:

在圖中,先設 點不受靜摩擦力,考慮有 圓環質量 與其上方所施加的一小質量 的物體,且圓環質量為小質量的 倍。

整體圓環在 的作用下可看成質心的平動 與圍繞質心的轉動,則 點的切線加速度

是平移加速度���� 與轉動的切線加速度���� 的向量和,也就是 ���� =���� +���� 。為了

�� ∈((��+5)�� (��+1) ,+∞)∶

當 �� > (��+5)�� (��+1) ,���� >����,則����沿

����方向,因此靜摩擦力方向沿 軸正方向。

���� ���� ���� ��

�� = �� (��+1 ��+5) ∶ 當 �� = (��+5)�� (��+1) ,���� =����,則表示 點處無相對滑動趨勢, 點所受 之靜摩擦力為零。

�� ∈(0,(��+5)�� (��+1) )∶ 當 0<�� < (��+5)�� (��+1) ,���� <����,則 靜摩擦力沿 軸的負方向。

�� ∈[0,0)∶ 當 �� =0, �� <0,以及只受力矩 作用的純滾動情況,應用上述方 法能判斷出靜摩擦力的方向。

上述分析同可用純數學方式來描述。首先 假設 點的靜摩擦力

最終得

此時可觀察到當 ��(��+1) ��(��+5)=0

時,即 �� = (��+5)�� ��+1 時,靜摩擦力為零。

當 �� > (��+5)�� ��+1 時,靜摩擦力 方向沿 軸

正方向。然而當 0<�� < (��+5)�� ��+1 時,則靜

摩擦力 沿 軸負方向。

的方向沿 軸正方 向,則有 { ��+�� =(��+1)��(��2�� ����2) (4) ���� ���� =���� (��2�� ����2) (5) 且 ��2�� ����2 =�� ��2�� ����2。解該系統得 [1 1 �� ��][����]=[(��+1)���� ������ ] ⟹[�� ��]=[1 1 �� ��] 1[(��+1)���� ������ ] =[ �� ��+��(��+1)����+ 1 ��+�� ������ �� ��+��(��+1)���� 1 ��+�� ������] 故得 �� = �� ��+��(��+1)���� 1 ��+�� ������ = ��[(��+1)����] ������ ��+�� = ��(��+1)������ [(��+1)����2 +��(2��)2]�� ��+�� = ������[��(��+1) ��(��+5)] ��+�� = ������(��+1)[�� ��(��+5) ��+1 ] ��+�� = (��+��)[�� ��(��+5) ��+1 ] ��+�� = ��[�� ��(��+5) ��+1 ] ��+�� +��[�� ��(��+5) ��+1 ] ��+�� ⟹�� ��[�� ��(��+5) ��+1 ] ��+�� = ��[�� ��(��+5) ��+1 ] ��+�� ⟹��{1 [�� ��(��+5) ��+1 ] ��+�� }=��[�� ��(��+5) ��+1 ] ��+�� ⟹�� = ��[�� ��(��+5) ��+1 ] ��+�� 1 [�� ��(��+5) ��+1 ] ��+��
�� = [��(��+1) ��(��+5)]�� (��+1)(1 ��)+��(��+5)

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