純滾動中環型幾何的靜摩擦力方向之探討
相對靜止的兩個物體間有相對滑 動的趨勢時，則在兩個物體的接觸面上會 存在著阻礙相對滑動趨勢的靜摩擦力，其 方向與滑動的方向相反。
在剛體滾動中，物體間相對滑動的趨勢不 如平移般來的直觀，因此不容易得到靜摩 擦力的方向。在下圖中，質量為 半徑 為 的圓形環體，受一水平外力 作用， 在 軸方向作純滾動。作用在環體 點處 的靜摩擦力的方向因為與滑動的方向不明 顯，所以難以直接去做判定。為了能較直 觀地確定滾動中靜摩擦力的方向，可應用 下述方法：先隔離被研究的滾動體，再以 假設 點不受靜摩擦力作用的前提下去找 出，在外力 作用下，環體 點位置的切 線加速度方向，如此就能知道 點所受之 靜摩擦力的方向與該切線加速度方向成反 方向。
判斷����的方向，吾人可由圖獲得下述聯 立方程 {�� =(��+1)������ (1)
���� =��⋅�� =������ (2)
其中 �� = ���� �� 及 �� = ���������� ������ （此為質心與
原點間之距離），應用 力矩 的 方程 式
�� =��[(����)(����)2]�� 可將式（2）寫成 ���� =(��+1)������ (���������� ������ )
=[(��+1)����2 +��(2��)2] (���� ��)
式中 為圓環體上質點之個數（該情況為 ）且 (��+1)������ 為圓環上的小質量 與圓環本身質量 之和，故有
(��+1)��������=��[(��+1)��2 +(2��)2](���� ��)
⟹���� = ��(��+1)�������� (��+1)����2 +��(2��)2
=(��+1��+5)(����)���� (3)
從（3）式中可獲得以下四種情況下的 點之切線加速度����，進而獲得靜摩擦力
的方向:
在圖中，先設 點不受靜摩擦力，考慮有 圓環質量 與其上方所施加的一小質量 的物體，且圓環質量為小質量的 倍。
整體圓環在 的作用下可看成質心的平動 與圍繞質心的轉動，則 點的切線加速度
是平移加速度���� 與轉動的切線加速度���� 的向量和，也就是 ���� =���� +���� 。為了
�� ∈((��+5)�� (��+1) ,+∞)∶
當 �� > (��+5)�� (��+1) ，���� >����，則����沿
����方向，因此靜摩擦力方向沿 軸正方向。
�� = �� (��+1 ��+5) ∶ 當 �� = (��+5)�� (��+1) ，���� =����，則表示 點處無相對滑動趨勢， 點所受 之靜摩擦力為零。
�� ∈(0,(��+5)�� (��+1) )∶ 當 0<�� < (��+5)�� (��+1) ，���� <����，則 靜摩擦力沿 軸的負方向。
�� ∈[0,0)∶ 當 �� =0, �� <0，以及只受力矩 作用的純滾動情況，應用上述方 法能判斷出靜摩擦力的方向。
上述分析同可用純數學方式來描述。首先 假設 點的靜摩擦力
最終得
此時可觀察到當 ��(��+1) ��(��+5)=0
時，即 �� = (��+5)�� ��+1 時，靜摩擦力為零。
當 �� > (��+5)�� ��+1 時，靜摩擦力 方向沿 軸
正方向。然而當 0<�� < (��+5)�� ��+1 時，則靜
摩擦力 沿 軸負方向。