CQFD 3e - Manuel - Chapitre 3

Avant-propos

Chaque fois que l’on arrive au bout d’une démonstration, on écrit : CQFD (« Ce Qu’il Fallait Démontrer ») !

Faire des mathématiques, c’est s’appuyer sur des arguments pour Démontrer, mais c’est aussi Découvrir, Démonter, Démystifier. Au fil des pages de la collection « CQFD », selon les contenus et les contextes, ces compétences alternent, se complètent…

Cette nouvelleédition de CQFD3e intègre les compétences et les ressources telles qu’elles sont décrites dans le document « Compétences terminales et savoirs requis en mathématiques : humanités générales et technologiques », diffusé par la Fédération Wallonie-Bruxelles, référentiel d’application dès septembre 2015. Les ressources et compétences énumérées dans les cinq unités d’acquis d’apprentissage (UAA) de la classe de troisième sont réparties dans les quatorze chapitres de ce manuel. Le tableau ci-après (pages IV-V) montre les correspondances.

Les chapitres du manuel sont regroupés en deux parties : nombres, algèbre et fonctions d’une part, géométrie d’autre part. Il revient à l’enseignant de construire un plan de matières qui équilibre ces différents aspects tout au long de l’année.

Dans chaque partie, les matières s’enchaînent dans une construction progressive. Prudence donc si l’on modifie l’ordre des chapitres à l’intérieur d’une même partie.

Dans chaque chapitre, un même parcours – introduction, exploration, synthèse, exercices et problèmes – structure les apprentissages.

Un cahier de fiches d’exercices accompagne ce manuel. Des fiches support évitent de reproduire des tableaux ou des graphiques. Des fiches de travail personnel encouragent la régularité et l’autonomie des élèves. Elles peuvent être utilisées comme travaux à domicile, exercices individuels, évaluations formatives, préparations. Chaque fiche mentionne l’UAA concernée et les processus exercés ou évalués. Le va-et-vient qu’il faut ménager entre les différentes parties du manuel et les fiches est indiqué dans l’exploration.

En fin de manuel, l’élève trouvera une liste d’énoncés étudiés les années précédentes.

Nous tenons à remercier Sabine Hausmann et Marie-Noëlle Peltgen pour leur participation à quelques discussions et relectures. Leur expérience nous a été fort précieuse.

Les auteurs

Correspondance entre les chapitres et les UAA

UAA 1 Figures isométriques et figures semblables

Ressources Chapitres

Angle inscrit, angle au centre dans un cercle 9

Figures isométriques. Cas d’isométrie des triangles 10

Théorème de Thalès (sans démonstration) et sa réciproque. Configuration de Thalès 12

Figures semblables

Cas de similitude des triangles (y compris le cas des triangles à côtés parallèles) 13

UAA 2 Triangle rectangle

Ressources Chapitres

Théorème de Pythagore et sa réciproque 11 Médiane relative à l’hypoténuse Inscriptibilité du triangle dans un cercle 9

Propriétés métriques du triangle rectangle 13 Nombres irrationnels 11

Trigonométrie

• Définition du sinus, cosinus et tangente d’un angle

• Nombres trigonométriques de 30°, 45° et 60°

• Angle correspondant à une pente, à une inclinaison exprimée en % 14

UAA 3 Approche graphique d’une fonction

Ressources

Chapitres

Graphique d’une fonction

Variable dépendante, variable indépendante

Relation, fonction 6

Parties de Éléments caractéristiques d’une fonction exclusivement à partir de son graphique

• Domaine et ensemble image

• Image d’un réel

• Zéro(s)

• Signe

UAA 4 Premier degré

Ressources Chapitres

Représentation graphique d’une fonction du premier degré et de la fonction constante

Variable dépendante, variable indépendante

Rôle des paramètres m et p

Fonction du premier degré. Fonction constante 7

Caractéristiques de la fonction du premier degré et de la fonction constante

• Zéro

• Signe

• Croissance décroissance

Inéquation du premier degré 5

Intersection de deux fonctions du premier degré et/ou constantes 8

UAA 5 Outils algébriques

Ressources Chapitres

Principes d’équivalence des inégalités 5 Équations impossibles et indéterminées 4

Règle du produit nul. Équation produit

Système d’équations du premier degré 8

Racines (carrée-cubique) 1 et 11

Polynômes à une variable Degré

Coefficients Opérations

Loi du reste 2

Factorisation 3

Fractions rationnelles 4

Comment s’y prendre ?

L’ouvrage est structuré en 14 chapitres qui proposent, chacun, un déroulement identique.

Nous avons vu que la relation de Pythagore dans le triangle rectangle permet de calculer la lon gueur d’un côté en fonction des autres. Avec la trigonométrie, on articule mesures d’angles et mesures de longueurs.

Le mot trigonométrie vient du grec trigonemetria

À l’issue de ce chapitre, chacun sera à même de résoudre quelques problèmes proches de ceux qui se posent dans la réalité.

Exploration

Le sinus

Dans un triangle rectangle, on appelle sinus d’un angle

( ).

Ce rapport entre côté opposé et hypoténuse est le même pour tous les triangles rectangles ayant un angle aigu de même amplitude car ces triangles sont semblables.

A B C ca b

α Hypoténuse Côté opposé

a. Se servir d’un triangle équilatéral construit précé

b. Se servir d’un triangle rectangle isocèle construit

Synthèse

8 Comment construire un segment de longueur a (a naturel) ?

On construit un triangle rectangle dont les mesures des côtés vérifient la relation de Pythagore et dont un côté est a a soit en une somme de carrés, soit en une différence de deux carrés.

Exemple 1

1) Construire un segment dont la mesure est 13 unités Méthode

nombres dont la somme des carrés est 13.

Construire un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 2 unités et 3 unités.

Lis attentivement l’introduction pour situer ce que l’on va apprendre.

En classe, avec le professeur et les autres élèves, tu découvres les nouvelles notions.

Étudie les questions de la synthèse pour pouvoir te débrouiller seul dans d’autres situations.

Connaître

Rythme cardiaque

pouls (battements/minute)

01

45 67 89 10 11

Temps écoulé (minutes)

Ce graphique montre le pouls de Bogdan pendant un exercice de

a. Durant quels intervalles de temps le pouls de Bogdan a-t-il été croissant ?

b. Durant quel intervalle de temps le pouls de Bogdan n’a-t-il été ni croissant, ni décroissant ?

c. Durant quel intervalle de temps la croissance a-t-elle été la plus rapide ?

Exercices

Appliquer

D’une similitude à l’autre

Les triangles T1, T2, T3, T4 sont semblables.

Les exercices Connaître permettent de fixer l’essentiel et d’appliquer directement ce que tu as étudié.

Voici les mesures de certains côtés des triangles de la a1 = 10 b1 = c1 = a2 = 12,5 b2 = 26,25 c2 = … a3 = b3 = 32,8125 c3 = 25,78125

a4 = … b4 = c4 = 32,2265625

a. Calculer

cela

mesures

avec

autres côtés

données

Les problèmes proposés mobilisent les concepts dans des situations variées.

Table des matières

Avant-propos III

Comments’yprendre? VI

Sommaire VIII

1. Puissancesà exposants entiers 1

Introduction 1

Exploration 2

Synthèse 7

1. Comment écrire un nombre sous la forme d’une somme de multiples de puissances de 10 ? 7

2. Quand et comment utiliser la notation scientifique ? 7

1.1 Notation scientifique 7

3. Quelle est la signification d’une puissance dont l’exposant est un entier négatif ? 8

1.2 Définition 8

4. Peut-on appliquer les règles de calcul avec les exposants naturels au calcul avec des exposants entiers ? 9

1.3 Règles de calcul 9 Exercices 10

2. Polynômesàunevariable 17

Introduction 17

Exploration 18

Synthèse 20

1. Qu’est-ce qu’un monôme ? 20

2.1 Définition 20

2. Qu’est-ce qu’un polynôme ? Quelles sont ses propriétés ? 20

2.2 Définition 20

2.3 Propriétés d’un polynôme 20

3. Comment additionner deux polynômes ? 21 2.4 Règle 21

4. Comment soustraire un polynôme d’un autre polynôme ? 21

2.5 Règle 21

5. Comment multiplier un polynôme par un monôme ? 22

2.6 Règle 22

6. Comment multiplier un polynôme par un polynôme ? 22

2.7 Règle 22

7. Comment diviser un polynôme par un binôme du premier degré ? 23

2.8 Relation fondamentale 23

2.9 Degré du quotient 23

2.10 Degré du reste 23

8. Comment reconnaître si un polynôme est divisible par (x – a) ? 24

2.11 Reste de la division par (x – a) 24

2.12 Divisibilité par (x − a) 24 Exercices 25

3. Factorisation 29

Introduction 29

Exploration 30 Synthèse 34

1. Somme ou produit ? 34

2. Comment mettre en évidence ? 34

3. Comment factoriser un trinôme du deuxième degré dont le coefficient de x 2 est 1 ? 35

4. Comment factoriser en utilisant un produit remarquable ? 35 3.1 Trinôme carré parfait 35

5. Comment factoriser en utilisant la division par (x – a) ? 36 Exercices 37

4. Équationspolynomialeset fractionsalgébriques 45

Introduction 45

Exploration 46 Synthèse 51

1. Quelles sont les propriétés de l’égalité qui permettent de résoudre une équation  du premier degré à une inconnue ? 51 4.1 Règle 51 4.2 Règle 51

2. Comment résoudre une équation qui n’est pas du premier degré ? 52 4.3 Règle du produit nul 52

3. Comment s’assurer qu’une fraction algébrique est définie ? 53

4. Comment simplifier une fraction algébrique ? 53

5. Comment amplifier une fraction ? 54

6. Comment multiplier des fractions algébriques ? 54

7. Comment effectuer le quotient de deux fractions ? 55

8. Comment additionner des fractions algébriques ? 55

9. Comment soustraire des fractions algébriques ? 56

10. Comment résoudre une équation qui contient des fractions algébriques ? 56 Exercices 58

5. Inéquations 65

Introduction 65

Exploration 66

Synthèse 68

1. Comment lire les symboles d’inégalité ? 68

2. Quelles sont les propriétés des inégalités ? 69

5.1 Ajouter un même nombre aux deux membres 69

5.2 Multiplier les deux membres par un même nombre strictement positif 69

5.3 Multiplier les deux membres par un même nombre strictement négatif 69

3. Qu’est-ce qu’une inéquation ? 69

4. Comment résoudre une inéquation du premier degré ? 70

5. Comment résoudre des inéquations simultanées ? 71

Exercices 72

6. Graphiquesdefonctions 79

Introduction 79

Exploration 80 Synthèse 86

1. Comment savoir si un graphique représente une fonction ? 86

6.1 Graphique d’une fonction 86

2. Quel vocabulaire et quelles notations utiliser ? 87

3. Comment déterminer le domaine d’une fonction à partir de son graphique ? 88

6.2 Définition : domaine d’une fonction 88

4. Comment déterminer l’ensemble image d’une fonction ? 89 6.3 Définition : ensemble image d’une fonction 89

5. Comme lire des racines et l’ordonnée à l’origine d’une fonction sur un graphique ? 90

6.4 Définition : racines ou zéros d’une fonction 90

6. Comment repérer, à partir du graphique, si une fonction ou une partie d’une fonction est croissante ou décroissante ? 91

Exercices 92

Fonctionsdupremierdegré 103

Introduction 103

Exploration 104 Synthèse 108

1. Qu’entend-on par « fonction du premier degré en x » ? 108

2. Comment déterminer les paramètres m et p d’une fonction du premier degré à partir de son tableau de valeurs ? 109

3. Comment déterminer les paramètres m et p d’une fonction du premier degré à partir de son graphique ? 110

4. Comment déterminer la racine (ou zéro) d’une fonction du premier degré à partir de son expression analytique ? 111

5. Comment déterminer le signe d’une fonction du premier degré ? 112 Exercices 113

des matières

8. Systèmesd’équationsetproblèmesassociés 121

Introduction 121

Exploration 122

Synthèse 125

1. Que signifie « résoudre un système » ? 125

2. Comment résoudre un système par la méthode de combinaison ? 125

3. Comment interpréter graphiquement un système d’équations et sa solution ? 126

4. Comment résoudre un système par substitution ? 127

Exercices 128

9. Angleaucentreet angle inscritdans un cercle 135

Introduction 135

Exploration 136

Synthèse 138

1. Médiane relative à l’hypoténuse, diagonale d’un rectangle et triangle inscrit dans un demi-cercle, il y a des liens... lesquels ? 138

9.1 Propriété de la médiane relative à l’hypoténuse d’un triangle rectangle 138

9.2 Propriété réciproque 139

9.3 Corollaire 140

2. Qu’appelle-t-on angle au centre, angle inscrit ? 141

9.4 Définition : angle au centre d’un cercle 141 9.5 Définition : angle inscrit 141

3. Quelles sont les propriétés de l’angle inscrit ? 142 9.6 Propriété de l’angle inscrit 142 9.7 Corollaires 143

4. Comment démontrer des égalités d’angles dans un cercle ? 144

Exercices 145

10. Casd’isométriedes triangles 153

Introduction 153

Exploration 154

Synthèse 157

1. Comment savoir si un ensemble de mesures détermine ou non un triangle ? Quels sont les cas d’isométrie des triangles ? 157

10.1 Cas d’isométrie CAC 157

10.2 Cas d’isométrie ACA 157

10.3 Cas d’isométrie CCC 157

2. Quelle est l’importance des cas d’isométrie des triangles ? 158

Exercices 161

11. Pythagoreetlesradicaux 167

Introduction 167 Exploration 168

Synthèse 174

1. Que représente le symbole  ? 174 11.1 Définition du radical 174

2. Comment nommer les côtés d’un triangle rectangle ? 174

3. Quelle est la relation entre les mesures des côtés d’un triangle rectangle ? 175 11.2 Théorème de Pythagore 175

4. Comment calculer la mesure d’un côté d’un triangle rectangle en fonction des mesures des deux autres côtés ? 176

5. Comment distinguer contraposée et réciproque d’un énoncé ? 177

6. Partant des trois mesures des côtés d’un triangle, comment établir que ce triangle n’est pas un triangle rectangle ? 177 11.3 Contraposée du théorème de Pythagore 177

7. Qu’est-ce que la réciproque d’un énoncé ? 178 11.4 Réciproque du théorème de Pythagore 178

8. Comment construire un segment de longueur a (a naturel) ? 179

9. Comment calculer avec des radicaux ? 180 11.5 Produit de radicaux et radical d’un produit 180 11.6 Quotient de radicaux et radical d’un quotient 180 11.7 Simplification d’un radical 180 11.8 Addition et soustraction de radicaux 181

10. Comment rendre rationnel le dénominateur d’une fraction ? 181 11.9 Règle 181 11.10 Règle 181

11. Comment représenter les différents ensembles de nombres ? 182 Exercices 183

12. ProjectionparallèleetconfigurationsdeThalès 197

Introduction 197 Exploration 198 Synthèse 201

1. Comment démontrer que, dans un triangle, une parallèle à un côté détermine sur les deux autres des rapports égaux ? 201

12.1 Droite parallèle à un côté d’un triangle 201

2. Et les troisièmes côtés ? 202 12.2 Énoncé 202

3. Comment repérer des rapports égaux dans une configuration de Thalès ? 203 12.3 Théorème de Thalès 203

4. Comment démontrer qu’une conservation de rapport entraîne le parallélisme ? 204

12.4 Réciproque du théorème de Thalès 204 Exercices 205

Table des matières

13. Figuressemblables 215

Introduction 215 Exploration 216

Synthèse 222

1. Comment reconnaître des polygones semblables ? 222

2. Comment vérifier si deux figures sont semblables ? 222

13.1 Polygones semblables 222

3. Quels sont les cas de similitude des triangles ? 223 13.2 Cas d’un angle compris entre côtés proportionnels 223

13.3 Cas des trois côtés proportionnels 223

13.4 Cas de deux angles de même amplitude 224

13.5 Cas des trois côtés parallèles 224

4. Quelle est la relation entre le rapport de similitude et le rapport entre les aires ? 224 13.6 Rapport des aires de figures semblables 224

5. Qu’est-ce qu’une moyenne géométrique ? 225 13.7 Moyenne géométrique 225

6. Quelles sont les propriétés métriques de la hauteur d’un triangle rectangle ? 226 13.8 Propriété métrique de la hauteur relative à l’hypoténuse 226

7. Qu’est-ce qu’une projection orthogonale ? 226 13.9 Projection orthogonale 226

8. Quelles sont les propriétés métriques du côté de l’angle droit d’un triangle rectangle ? 227 13.10 Propriété métrique d’un côté de l’angle droit d’un triangle rectangle 227 Exercices 228

14. Trigonométriedutrianglerectangle 237

Introduction 237 Exploration 238

Synthèse 222

1. Quelles sont les propriétés de la projection orthogonale ? 242 14.1 Propriété de la projection orthogonale 242

2. Comment calculer la réduction de longueur opérée par une projection orthogonale ? 242

3. Dans un triangle rectangle, quels sont les nombres trigonométriques d’un angle aigu ? 243

14.2 Cosinus d’un angle 243

14.3 Sinus d’un angle 243

14.4 Tangente d’un angle 243

4. Nombres trigonométriques des angles de 30° et 60° 244

5. Nombres trigonométriques de l’angle de 45° 244

6. Pourquoi le sinus et le cosinus d’angles complémentaires sont-ils égaux ? 245 14.5 Énoncé 245

7. Sinus et cosinus d’un angle aigu peuvent-ils prendre n’importe quelle valeur ? 245

8. Comment déterminer le nombre trigonométrique qui correspond à un angle donné ? 245

9. Comment déterminer l’amplitude d’un angle aigu dont on connaît un nombre trigonométrique ? 246

Exercices 247

Annexe 255

Sommaire

1. Puissances à exposants entiers 1

2. Polynômes à une variable 17

3. Factorisation 29

4. Équations polynomiales et fractions algébriques 45

5. Inéquations 65

6. Graphiques de fonctions 79

7. Fonctions du premier degré 103

8. Systèmes d’équations et problèmes associés 121

9. Angle au centre et angle inscrit dans un cercle 135

10. Cas d’isométrie des triangles 153

11. Pythagore et les radicaux 167

12. Projection parallèle et configurations de Thalès 197

13. Figures semblables 215

14. Trigonométrie du triangle rectangle 237

Factorisation

S’exercer à traduire une situation dans le langage de l’algèbre et à transformer des expressions littérales, c’est se donner des outils pour élaborer une formule, généraliser une propriété, expliquer un phénomène numérique, résoudre une équation.

Dans ce chapitre, on apprend à transformer une expression algébrique en une autre plus commode ou mieux adaptée au problème.

On sait que la distributivité (simple ou double) transforme une écritureproduit en une écriture somme. La factorisation fait le contraire. On se servira donc de la mise en évidence et des produits remarquables, on apprendra une nouvelle procédure liée à la division d’un polynôme par un binôme.

Quel est le comble pour un polynôme ? Être distribué par un facteur !

Traduire

Traduire ces opérations par une expression algébrique (fiche support 7).

a. La somme entre le triple de a et le double du carré de b.

b. La somme entre le carré de a et l’opposé du carré de b.

c. La somme entre le produit du triple de a par b et le double du carré de b.

d. La différence entre le triple du produit de a par b et le double du carré de b

e. Le produit de a par la somme entre le cube de a et l’opposé de b.

f. Le double produit de a par b

g. Le carré de la somme du double a et du carré de b.

h. Le triple de la somme du carré de 3a et de l’opposé de b.

i. Le produit de la somme des nombres 2a et 5b par leur différence.

Somme ou produit ?

Les expressions suivantes sont-elles des « sommes » ou des « produits » ? (fiche support 7)

a. 52 3153 224 2() ()()aaaa ++ +− d. −+ ++ ()() 63 23 122 abab

b. ()() 63 12 3122 abab++ + e. () ()63 12 3122 abab +− ++

c. ()() 63 12 3122 abab++ + f. () ()−+ ++63 12 3122 2 abab

Synthèse 1 Exercices 1 et 2 ; 12 3

L’algèbre pour démontrer

a. Démontrer que la somme de cinq nombres consécutifs est un multiple de 5.

b. Démontrer que la somme de deux nombres pairs consécutifs n’est pas divisible par 4.

c. Démontrer que la somme de deux nombres consécutifs dont aucun n’est divisible par 3 est divisible par 3.

d. La différence entre un nombre de deux chiffres et le nombre renversé est un multiple de 9.

e. La différence entre un nombre de trois chiffres et le nombre renversé est un multiple de 99.

Synthèse 2 Exercices 3, 8, 13 à 21

Fiche 8

Tableaux de multiplication

ci-dessous

les tableaux

Observer le développement pour ensuite

Le magicien et les dominos

Un ensemble de dominos est étalé sur la table. Chacun en choisit un. Un « magicien » va deviner lequel. Pour y arriver, il demande d’effectuer les calculs suivants (fiche support 7).

– Multiplier un des deux nombres du domino par 10.

– Ajouter le double de l’autre nombre au produit obtenu.

– Multiplier cette somme par le premier nombre.

– Multiplier ce produit par 10.

– Ajouter à ce produit le carré du second nombre du domino.

Il suffit au magicien de connaître ce dernier résultat pour découvrir (en faisant une seule opération à la calculatrice) le domino choisi.

a. Explorer avec un tableur.

b. Pour expliquer ce tour, appeler a, le nombre de points situés d’un côté, et b, le nombre de points situés de l’autre côté, traduire la suite des opérations sous forme d’une expression algébrique, réduire cette expression et l’interpréter.

Une preuve sans mots

En découpant puis en réassemblant différemment les deux trapèzes de la fig. 1, on montre que a2 – 1 peut s’écrire sous forme d’un produit.

Réaliser un dessin qui illustre cette identité au départ de ces deux trapèzes.

La division par (x – a) pour factoriser

a. Calculer les valeurs numériques de P( ) xxxx =+ ++3245 6 pour x valant 1 ; –1 ; 2 ; –2 ; 3 ; –3 ; 6 ; – 6.

b. P(x) possède-t-il un diviseur binôme ?

c. Déterminer le quotient de la division de P(x) par ce binôme en complétant ce tableau ou en utilisant la division euclidienne (fiche support 7).

xx 3 3

d. Factoriser P(x).

6

e. Factoriser R( ) xxxx =−22 10 632 sachant que le binôme x – 3 est l’un de ses facteurs.

f. Factoriser T(x) = x 3 – 9x 2 + 27x – 27.

Synthèse 5

Exercices 7, 11, 24 et 25 Fiches 10 et 11

Synthèse

1 Somme ou produit ?

Pour savoir si une expression est une somme ou un produit, on s’en réfère aux règles de priorité. C’est la dernière opération à effectuer qui donne son nom à l’opération :

• si c’est une addition ou une soustraction, l’expression est une somme ;

• si c’est une multiplication ou une division, l’expression est un produit. Exemples

La valeur numérique de pour et est abc abc

()

41

La valeur numérique de pour est 23 52

221352

L’expression abc +− + 41() est une somme algébrique.

L’expression 23 52:

() ()

est un produit.

Factoriser, c’est transformer une « écriture somme » en une « écriture produit » équivalente.

2 Comment mettre en évidence ?

La mise en évidence est l’opération réciproque de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition. Elle conduit à transformer une « écriture somme » en « écriture produit ». Autrement dit, à factoriser un polynôme. Distribuer

56

Factoriser

30

Pour mettre en évidence, on repère tous les facteurs communs à chacun des termes du polynôme et on « met en évidence » leur produit. On écrit ensuite le quotient du polynôme par ce qui a été mis en évidence. Exemples

3 Comment factoriser un trinôme du deuxième degré dont le coefficient de x2 est 1 ?

Dans certains cas, il est possible de factoriser un tel trinôme en utilisant un tableau de multiplication.

Exemple

Factoriser xx 2 710++

On complète un tableau en commençant par deux nombres dont le produit est 10.

x 2

2

2

10 5 10

Les nombres 2 et 5 conviennent car leur somme (7) est le coefficient de x et leur produit est le terme indépendant (10).

2

2 2

5

10

2 7102 5

4 Comment factoriser en utilisant un produit remarquable ?

A. Factorisation d’un trinôme carré parfait

On sait que Développer () () abaabb abaabb += ++

−+ 22 2 22 2 2 2

Factoriser

Quand on lit ces égalités de droite à gauche, on passe d’une écriture somme à une écriture produit. Ceci conduit à une méthode pour factoriser un trinômecarréparfait

3.1 Trinôme carré parfait

Un trinôme est carré parfait, quand il est formé des carrés de deux expressions et du double produit de ces expressions.

Il faut parfois mettre un facteur commun en évidence pour faire apparaître un carré parfait.

Exemples

56 16 74 22 aaa

()

63 23 2aabbab

10

33 2322 22 2 aabbaabbab−+

() ()

aabbaabbab22 22 222() ()

B. Factorisation d’un binôme

que

Factoriser

Quand on lit cette égalité de droite à gauche, on passe d’une écriture somme à une écriture produit. Ceci conduit à une méthode pour factoriser un binômedifférencededeuxcarrés

Remarque

Une somme de deux carrés n’est pas décomposable en facteurs du premier degré. Il faut parfois mettre un facteur commun en évidence pour faire apparaître une différence de deux carrés.

5 Comment factoriser en utilisant la division par

) ?

Pour trouver les diviseurs binômes de P(x), on commence par chercher les diviseurs (positifs et négatifs) du terme indépendant du polynôme. On retient ceux qui annulent P(x).

montrent que

ne

que

effectue la division et on trouve comme

Connaître

Traduire

Traduire ces opérations par une expression algébrique.

a. La somme entre le produit du carré de a par le cube de b et le triple de a.

b. Le produit de la somme de a et b par la somme du carré de a et de l’opposé de b.

c. Le carré de la somme de a et du triple de b.

d. Le triple de la somme du carré de a et du quadruple de b.

e. Écrire un naturel sous la forme d’une somme de deux termes dont le premier est un multiple de 10 et dont le dernier chiffre est 6.

Somme ou produit ?

Les expressions suivantes sont-elles des « sommes » ou des « produits » ?

a.

b.

22

63 12

c. ()() 63 12 3122

Diviseur commun

Exercices

d. −+ ++ ()() 63 23 122 abab

e. () ()63 12 3122 abab +− ++

f. () ()−+ ++63 12 3122 2 abab

de degré le

À vue d’œil

Pas besoin de réfléchir longtemps pour choisir parmi les calculs ciaprès ceux qui sont égaux au carré de 19 !

a. 400 1 d. 400 40 1 b. 100 180 81++ e. 225 120 16++

c. 400 40 1

f. 100 81+ Et ceux qui sont égaux au carré de 20,2 ?

a. 40 004

b. 40 08 04

c. 40080 04++

d. 400 40 04

Quels sont les calculs qui correspondent au produit 28 32

a. 400 1

30

D’une

c. 600 40 240 16

d. 600 40 240 16

232223

232223

52 12

2122

2122

Tableau ou division euclidienne

a. Soit

Sachant que P(1) = 0, déterminer

en complétant un tableau

Soit

division de

division euclidienne.

obtenu. Sachant que Q(–3) = 0,

le plus

Série1

Série2

Série3

Série4

Le calcul algébrique pour expliquer

Dessiner une « croix ». Choisir deux nombres et les placer au-dessus.

– Les additionner et placer la réponse au centre.

– Additionner le long de chaque ligne. Écrire la réponse en bas.

– Additionner entre eux les deux nombres d’en haut puis les deux nombres d’en bas.

– Recommencer avec deux autres nombres.

Que peut-on observer ? Utiliser des lettres pour expliquer.

Les multiples et les autres

a. Écrire la forme générale des nombres qui sont des multiples de 3. De quelle forme sont les nombres qui ne sont pas multiples de 3 ?

b. Même question à propos des multiples de 4 et de 5.

c. Sachant que an=+83 (n étant un naturel), déterminer le reste que l’on obtient en divisant a 2 par 8.

d. Sachant que an=+ 12 5 et bn=+ 12 3 (n étant un naturel), déterminer le reste que l’on obtient en divisant a + b ; 4a – b ; a ⋅ b et a 2  + b2 par 12.

e. Le carré d’un nombre naturel est soit un multiple de 3, soit un multiple de 3, augmenté de 1. Explorer, démontrer.

Consécutifs

a. Chacun choisit trois nombres consécutifs. Il retranche au carré du deuxième le produit du premier par le troisième. Explorer, conjecturer une propriété puis démontrer en appelant «  a » le deuxième nombre.

b. Écrire quatre nombres consécutifs dont aucun n’est divisible par 5. Montrer que leur somme est divisible par 2, 5 et 10.

Chacun choisit

a. Choisir deux chiffres a et b différents et dont aucun ne vaut 0 : – écrire tous les nombres naturels que l’on peut former avec ces deux chiffres, – calculer la somme de ces nombres, – calculer le quotient de cette somme par (a + b), Exécuter ce programme plusieurs fois. Conjecturer la propriété du résultat. Démontrer.

b. Rédiger un programme analogue avec trois chiffres a, b et c tous différents Exécuter ce programme plusieurs fois et conjecturer la propriété du résultat. Démontrer.

Un cône et deux « diabolos »

Les cylindres ci-dessous ont tous une hauteur et un diamètre de même longueur. Les hauteurs des cônes de la fig. 2 ont même mesure.

Le cône inscrit dans la fig. 2a et les diabolos des fig. 2b et 2c ont-ils même volume ?

Différence entre les carrés de nombres consécutifs

a. Montrer que la différence entre le carré d’un nombre naturel et le carré du nombre qui le précède est toujours un nombre impair. Montrer aussi que la différence de ces carrés est égale à la somme de ces naturels.

Ecrire la liste des carrés des nombres compris entre 20 et 30.

b. Trouver deux nombres naturels consécutifs sachant que la différence de leurs carrés est 201.

c. On sait que 5002 = 250 000. Calculer 5012 ; 5022 ; 5032 et 5042.

d. La somme de deux nombres est 15 ; la différence de leurs carrés est 75. Quels sont ces nombres ?

Pourquoi ça marche ?

Demandez à quelqu’un de vous donner un nombre qui se termine par cinq et annoncez que vous allez calculer mentalement le carré de ce nombre.

Bien sûr, il y a un truc : vous multipliez le nombre de dizaines par le nombre de dizaines augmenté de 1. Le produit obtenu est le nombre de centaines du résultat. Il suffit alors de lui ajouter 25.

Ainsi pour calculer le carré de 35, faites 3 fois 4 égal 12. Ensuite ajoutez 25 à 1 200. Le carré de 35 est 1225. Exercez-vous avec 45 et puis avec 65, mais avant de vous lancer, expliquez pourquoi ça marche !

Regarder le dernier chiffre

a. Montrer que le carré d’un nombre naturel se termine par le même chiffre que le carré du chiffre des unités.

Exemple 324 32 1 4=× +() 0

b. Le carré d’un nombre naturel peut-il se terminer par 2 ? par 3 ? par 7 ?

Et après ?

Prolonger cette suite de calculs. Écrire l’identité correspondante et la démontrer.

8 – 2 = 1× 2 × 3

27 – 3 = 2× 3 × 4

64 – 4 = 3× 4 × 5

… Impairs et consécutifs

Si on augmente d’une unité le produit de deux nombres impairs consécutifs, on trouve le carré d’un naturel. Explorer, démontrer.

Produit de nombres consécutifs

a. Pourquoi le produit de trois nombres consécutifs est-il un multiple de 6 ?

b. Calculer le produit du carré d’un naturel par ce carré diminué d’une unité. Comment se fait-il que le résultat est un multiple de 6 ?

En cascade

a. Montrer que P( )

43 222 10 15 est divisible par ()()

b. Factoriser P(

Pas de reste !

Déterminer les coefficients littéraux pour que les divisions suivantes s’effectuent sans reste.

Factoriser ensuite le dividende.

a.

b.