Livro de Matemática - 9º ano - SAEB - Luiza Hippolyto e Michael Gandh

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PROJETO GRÁFICO

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DIAGRAMAÇÃO

Fabricio Guerreiro REVISÃO

Pâmela Martins Oliveira Todas as citações de textos contidas neste livro didático estão de acordo com a legislação, tendo por fim único e exclusivo, o ensino. Caso exista algum texto a respeito do qual seja necessário a inclusão de informações adicionais ficamos à disposição para contato pertinente. Do mesmo modo, fizemos todos os esforços para identificar e localizar os titulares sobre imagens e vetores publicados e estamos à disposição para suprir eventuais omissões de crédito em futuras edições.

O material de publicidade e propaganda reproduzido nesta obra está sendo utilizado apenas para fins didáticos, não representando qualquer tipo de recomendação de produtos ou empresas por parte do(s) autor(es) e da editora.

H667 Hippolyto, Luzia 9º ano : matemática / Luiza Hippolyto e Michael Gandh. —— Fortaleza : Vem Passar, 2019.

96p. : il. ; 23 cm. ——(Coleção Aprova SAEB).

ISBN 978-65-80664-07-8 1. Matemática - Compêndios - Ensino de segundo grau.

2. Matemática - Estudo e ensino. 3. Livro de atividades.

I. Gandh, Michael. II. Título.

CDD 510

Apresentação A questão primordial não é o que sabemos, mas como sabemos.

Aristóteles

A elaboração desta coleção tem por objetivo criar mecanismos por meio dos quais você, aluno, possa compreender as principais ideias matemáticas, para construir e consolidar o seu conhecimento.

Todos os capítulos exploram, de maneira compreensível e intuitiva, as habilidades da matriz de referência do SAEB. Minimizamos o formalismo, contudo, foi mantido o rigor matemático referente à etapa para a qual a obra foi proposta.

As atividades, tanto em exercícios quanto em problemas, estão organizadas em ordem crescente de dificuldade. Cada tema é finalizado com itens baseados em avaliações de reconhecido destaque no País.

Esperamos proporcionar a você experiências, transformações e aprendizagem. Portanto, seu estudo, sua participação, seus questionamentos e suas contribuições em sala serão extremamente necessários.

Os Editores

SUMÁRIO Capítulo 1 — Calcular valor numérico de uma expressão algébrica.................................7 Capítulo 2 — Resolver problema que envolva equação de segundo grau................... 17 Capítulo 3 — Identificar um sistema de equações do primeiro grau que expressa um problema................................................................................................................... 25 Capítulo 4 — Reconhecer que as imagens de uma figura construída por uma transformação homotética são semelhantes, identificando propriedades e/ou medidas que se modificam ou não se alteram.......... 33 Capítulo 5 — Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas significativos............................................................................................ 43 Capítulo 6 — Resolver problema utilizando a propriedade dos polígonos (soma de seus ângulos internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares).................... 53 Capítulo 7 — Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.................................................................................................................. 61 Capítulo 8 — Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas........................................................................................................... 69 Capítulo 9 — Resolver problema envolvendo noções de volume.................................... 77 Capítulo 10 — Resolver problema usando a média aritmética........................................ 87

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O L U

ÍT P A

C

Calcular valor numérico de uma expressão algébrica

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 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Ao analisarmos a expressão (2 + 5 – 1) – 6 + 3, observamos que ela possui uma sequência de números separados por operações. Sendo assim, podemos chamá-la de expressão numérica.

A partir da definição de expressão numérica, podemos chegar à definição de expressões algébricas: chamamos de expressões algébricas aquelas que envolvem números, letras e operações indicadas entre eles.

As letras, em uma expressão algébrica, representam qualquer número real. E são chamadas de incógnitas.

Por exemplo: x + 10

x é a incógnita, que representa um número qualquer (de valor desconhecido).

A soma de um número qualquer mais 10.

10 unidades a mais do que um número representado por x.

5×k

k é a incógnita, um número qualquer (de valor desconhecido).

O produto de 5 por um número qualquer, ou o quíntuplo de um número qualquer.

PENSE E COMPARTILHE COM OS COLEGAS Imagine uma situação do seu cotidiano, por exemplo, quando você vai às compras.

Você consegue associar a compra de algum ou alguns objetos de seu uso em que você possa usar as expressões algébricas? Justifique.  SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Aprender a simplificar expressões algébricas é requisito essencial para dominar a álgebra básica, além de ser uma ferramenta extremamente valiosa para os usuários da ciência da Matemática. A simplificação permite a quem use a matemática tomar expressões complexas, longas ou inadequadas e torná-las mais simples ou convenientes e ainda mantê-las equivalentes. A habilidade da simplificação básica é consideravelmente fácil de aprender — até mesmo para aqueles avessos à matemática. Seguindo alguns passos simples, é possível simplificar muito dos mais comuns tipos de expressão algébrica, ainda que não se possua qualquer tipo de conhecimento matemático.  DEFININDO “TERMOS AFINS” POR VARIÁVEIS E POTÊNCIAS Na álgebra, números afins têm as mesmas variáveis e são elevados às mesmas potências. Em outras palavras, para que dois termos sejam afins, devem ter as mesmas variáveis, ou nenhuma, e cada uma delas deve ser elevada à mesma potência, ou a nenhuma. A ordem de variáveis dentro do termo não importa.

Por exemplo, 3x² e 4x² são termos afins porque cada um deles contém a variável x elevada à segunda potência. No entanto, x e x² não são termos afins, pois cada um possui x elevado a uma potência distinta. De modo similar, –3yx e 5xz não são termos afins porque cada um deles tem um conjunto distinto de variáveis.

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 FATORANDO AO ESCREVER NÚMEROS COMO PRODUTO DE DOIS FATORES A fatoração é o conceito de representar dado número como produto de dois fatores multiplicados juntamente. Os números podem ter mais de um conjunto de fatores – por exemplo, o número 12 pode ser formado por 1 × 12, 2 × 6 e 3 × 4 e, por isso, é possível declarar que 1, 2, 3, 4, 6 e 12 são todos fatores de 12. Outro modo de pensar é considerar que os fatores de um número são aqueles números pelos quais o primeiro é igualmente divisível.

Por exemplo, se desejamos fatorar 20, podemos escrevê-lo como 4 × 5.

Note que termos variáveis podem também ser fatorados. –20x, por exemplo, pode ser escrito como 4(–5x).

Obs.: números primos não podem ser fatorados porque são divisíveis apenas por eles mesmos e por 1.  USANDO O ACRÔNIMO PEMDAS PARA LEMBRAR-SE DA ORDEM DE OPERAÇÕES Ocasionalmente, simplificar uma expressão significa nada mais do que realizar operações nessa expressão até que isso não mais seja possível. Nesses casos, é importante lembrar-se da ordem de operações de modo a não cometer quaisquer erros aritméticos. O acrônimo PEMDAS pode ser de grande ajuda quando for preciso lembrar-se da ordem de operações — suas letras correspondem à ordem em que as operações devem ser efetuadas, por seus nomes:

P E MD AS Parênteses

Expoentes

Multiplicação Divisão

Adição

Subtração

 COMBINANDO TERMOS AFINS: ESCREVENDO A EQUAÇÃO As mais simples equações algébricas, aquelas que envolvem somente alguns termos variáveis com coeficientes inteiros e sem frações, radicais etc. podem frequentemente ser solucionadas em poucos passos. Como ocorre na maioria dos problemas matemáticos, o primeiro passo para simplificar a equação é escrevê-la!

Como problema-exemplo, para os próximos passos, consideraremos a expressão 1 + 2x – 3 + 4x.  IDENTIFICANDO OS TERMOS AFINS A seguir, identificam-se, na equação, os termos afins. Lembre-se de que termos afins têm tanto as mesmas variáveis como os mesmos expoentes.

Como exemplo, identifiquemos os termos afins na equação 1 + 2x – 3 + 4x. Ambos 2x e 4x têm a mesma variável elevada ao mesmo expoente (nesse caso, os x não estão elevados a nenhuma potência). Adicionalmente, 1 e –3 são termos afins, já que nenhum deles tem variáveis. Encontramos, pois, em nossa equação, que 2x e 4x, e 1 e –3 são termos afins.

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 COMBINANDO TERMOS AFINS Agora que você identificou termos afins, pode combiná-los para simplificar a equação. Some os termos (ou subtraia-os, no caso de termos negativos) para reduzir cada conjunto de termos com variáveis e expoentes iguais a um termo singular.

Somemos os termos afins de nosso exemplo: 2x + 4x = 6x 1 + (–3) = –2

 CRIANDO UMA EXPRESSÃO SIMPLIFICADA A PARTIR DOS TERMOS SIMPLIFICADOS Depois de combinar os termos afins, construa uma expressão a partir do conjunto de termos novos e simplificados. Você deve obter uma expressão mais simples, com um termo para cada conjunto diferente de variáveis e expoentes na expressão original. Essa nova expressão deverá ser igual à primeira.

Em nosso exemplo, os termos simplificados são 6x e –2, de modo que a nova expressão será 6x – 2. Essa expressão simplificada é igual à original (1 + 2x – 3 + 4x), porém, menor e mais fácil de resolver. Ela é também mais simples de fatorar, o que, como veremos a seguir, é outra importante habilidade na simplificação.  OBEDECENDO À ORDEM DE OPERAÇÕES AO COMBINAR TERMOS AFINS Em expressões extremamente simples, como aquela do exemplo anterior, identificam-se os termos com relativa facilidade. No entanto, em expressões mais complexas, como as que envolvem termos em parênteses, frações e radicais, termos afins, que poderão ser combinados, talvez não sejam, de imediato, tão aparentes.

Nesses casos, siga a ordem de operações, realizando-as nos termos existentes na expressão, conforme necessário, até que apenas soma e subtração permaneçam. x

Por exemplo, consideremos a equação 5(3x – 1) + 2x 2 Veja a seguir: + 8 – 3x. Seria incorreto identificar imediatamente 3x e 2x x como termos afins e combiná-los, apesar dos parênteses, 5(3x – 1) + 2x ___ + 8 – 3x 2 pois devemos realizar outras operações em primeiro lugar.

15x – 5 +___ 2x² + 8 – 3x Inicialmente, efetuaremos as operações aritméticas na ex2 15x – 5 + x² + 8 – 3x pressão de acordo com a ordem de operações (PEMDAS), a fim de que obtenhamos termos que possamos usar.

Agora, uma vez que restam apenas as operações de adição e subtração, podemos combinar os termos afins: x² + 12x + 3  FATORANDO: IDENTIFICANDO O MÁXIMO DIVISOR COMUM NA EXPRESSÃO A fatoração é uma forma de simplificar expressões ao remover fatores comuns aos termos da expressão. Para começar, encontre o máximo divisor comum que todos os termos na expressão compartilham — em outras palavras, o maior número pelo qual todos os termos na expressão são igualmente divisíveis.

Usemos a equação 9x² + 27x – 3. Note que todos os termos da equação são divisíveis por 3. Uma vez que os termos não são igualmente divisíveis por outro número maior, podemos determinar que 3 é o máximo divisor comum na expressão.

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 DIVIDINDO OS TERMOS DA EXPRESSÃO PELO MÁXIMO DIVISOR COMUM A seguir, divida cada termo na equação pelo máximo divisor comum encontrado. Os termos resultantes terão menores coeficientes do que na expressão original.

Fatoremos a nossa equação por seu máximo divisor comum, 3. Para tal, dividiremos cada termo por 3.

9 x2 = 3 x2 3 27 x = 9x 3 -3 = -1 3

Logo, a nossa nova expressão é 3x² + 9x – 1.  REPRESENTANDO A EXPRESSÃO COMO PRODUTO DO MÁXIMO DIVISOR COMUM E OS TERMOS RESTANTES A nova expressão não é igual à anterior, ou seja, não se pode dizer que está simplificada. Para torná-la igual à anterior, é preciso observar o fato de que ela foi dividida pelo máximo divisor comum. Feche a expressão entre parênteses e defina o máximo divisor comum da equação original como coeficiente para a expressão entre parênteses.

No caso de nossa expressão-exemplo, 3x² + 9x – 1, fecharemos a expressão entre parênteses e a multiplicaremos pelo máximo divisor comum da equação original para obter 3(3x² + 9x – 1). A equação obtida é igual à original, 9x² + 27x – 3.  USANDO A FATORAÇÃO PARA SIMPLIFICAR FRAÇÕES Você pode agora estar se perguntando por que razão a fatoração é útil se, depois de remover o máximo divisor comum, a nova expressão deve ser novamente multiplicada por ele. Na verdade, a fatoração permite a um matemático realizar diversos truques ao simplificar uma expressão. Uma das mais simples envolve tirar vantagem do fato de que multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número resultará em uma fração equivalente. Veja a seguir: Digamos que a nossa expressão-exemplo original, 9x² + 27x – 3, seja o numerador de uma fração maior com 3 em seu denominador. Essa fração teria a seguinte aparência: (9x² + 27x – 3) . Poderemos usar a fatoração para simplificar essa fração.

3

Substituamos a forma fatorada de nossa expressão original pela expressão no numerador: [3(3x² + 9x – 1)] .

3

Observe que, agora, tanto numerador como denominador compartilham o coeficiente 3. Ao dividir ambos por 3, teremos: 3x² + 9x – 1 .

1

Uma vez que toda fração que tem 1 em seu denominador é igual aos termos no numerador, podemos afirmar que a fração original pode ser simplificada para 3x² + 9x – 1.  APLICANDO HABILIDADES DE SIMPLIFICAÇÃO ADICIONAIS: SIMPLIFICANDO FRAÇÕES AO DIVIDIR OS FATORES COMUNS Como se pôde observar anteriormente, se o numerador e o denominador de uma expressão compartilharem fatores, eles poderão ser removidos inteiramente da fração. Às vezes, isso exigirá a fatoração do numerador, do denominador ou de Matemática — 9o Ano

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ambos (como foi o caso descrito na pĂĄg. 11). Em outros momentos, os fatores compartilhados estarĂŁo aparentes de imediato.

Note que tambÊm Ê possível dividir os termos do numerador pela expressão no denominador, de modo individual, a fim de obter uma expressão simplificada. Tomemos um exemplo que não requeira necessariamente a fatoração imediata. No caso da fração, podemos talvez dividir cada termo no numerador pelo número 10 no denominador a fim de simplificå-la, embora o coeficiente 5 em 5x² não seja maior do que 10 e não possa, por essa razão, ter 10 como divisor.

FazĂŞ-lo nos traz ao resultado 5 x x 2 . Se preferirmos, podemos reescrever o 10 primeiro termo por 1 x2 Â para obter o resultado 1 x2 x 2 .

2

2

2

ďƒš USANDO FATORES QUADRADOS PARA SIMPLIFICAR RADICAIS ExpressĂľes sob o sĂ­mbolo de raiz quadrada sĂŁo chamadas de expressĂľes radicais. Elas podem ser simplificadas identificando-se fatores quadrados (fatores que sĂŁo o quadrado de um dado nĂşmero) e realizando-se nelas a operação de raiz quadrada, separadamente, a fim de removĂŞ-las de debaixo do sinal de raiz quadrada.

Façamos o seguinte exemplo: 90 . Se pensarmos no número 90 como produto de dois de seus fatores, 9 e 10, podemos tomar a raiz quadrada de 9 para obter o número inteiro 3 e removê-lo do radical.

Vejamos: 90

9 Ă— 10 9 Ă— 10

3 Ă— 10 3 10

ďƒš SOMANDO EXPOENTES AO MULTIPLICAR DOIS TERMOS EXPONENCIAIS; SUBTRAINDO-OS AO DIVIDIR ESSES TERMOS Algumas expressĂľes algĂŠbricas exigem a multiplicação ou divisĂŁo de termos exponenciais. No lugar de computar cada termo exponencial e multiplicar ou dividir manualmente, simplesmente some expoentes ao multiplicar e subtraia-os ao dividir, para poupar tempo. Esse conceito pode tambĂŠm ser usado para simplificar expressĂľes variĂĄveis.

Veja a seguir: 17 17

x Por exemplo, consideremos a expressĂŁo 6 x 3 8 x 4 x15 . Em 6 x 3 8 x 4 x 15

x cada ocasiĂŁo na qual ĂŠ necessĂĄrio multiplicar ou dividir por expoentes, subtrairemos ou somaremos, respectivamente, a fim de encontrar rapidamente um termo simplificado.

6 8 x 3 4 x17 15 48 x 7 x 2

ďƒš A RAZĂƒO PELA QUAL ISSO FUNCIONA É A SEGUINTE: Multiplicar termos exponenciais ĂŠ, em essĂŞncia, como multiplicar longas cadeias de termos nĂŁo exponenciais. Por exemplo, uma vez que x3 = x Ă— x Ă— x e x5 = x Ă— x Ă— x Ă— x Ă— x, x3 Ă— x5 = (x Ă— x Ă— x) Ă— (x Ă— x Ă— x Ă— x Ă— x), ou x8.

De modo similar, dividir termos exponenciais ĂŠ como dividir longas cadeias de 5 termos nĂŁo exponenciais: x3 x x x x x . Uma vez que cada termo no numerador x x x x

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pode ser cancelado por um termo combinante no denominador, restaremos com dois x no numerador e nenhum no denominador, obtendo a resposta x².

TREINANDO QUESTÕES Fatore cada um dos polinômios abaixo: a. 6x3 – 12x2 + 36 = b.

a 3 – a 2b =

c.

9x3 – 18x2 + 27 =

d.

x2 + 14x + 49 =

e.

4a2 + 12ax + 9x2=

f.

y6 – 38y4 + 361y2 =

g.

64a2 – 25b2 =

h.

196m4p6 – 121q2 =

i.

16x4 – y4 =

j.

16x4 – 1=

k.

x3 – 6x2 + 12x – 8 =

l.

m8 – y8 =

m.

x2 – 4a2 + 6x + 12a =

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AVALIANDO SEU CONHECIMENTO QUESTÃO 1 (SPAECE) A forma mais simples da expressão algébrica (3y)² – y² + 3y² é:  6y + 2y²  2y² + 9y  5y²  11y² QUESTÃO 2 (SPAECE) Observe a expressão algébrica abaixo: 2x + 8 x2 – 16 Qual é a forma simplificada dessa expressão?  

10 x − 16 2 x −8

 

2 x−4 2 x+4

QUESTÃO 3 Pense em um número x (diferente de zero), eleve-o ao quadrado e some com o dobro de x. Depois, divida essa soma pelo próprio x. Utilizando seus conhecimentos de fatoração, e após simplificarmos esta expressão, qual será o resultado?  x + 2.  x – 2.  x + 4.  x – 4.

QUESTÃO 4 Pense em um número diferente de zero e eleve-o ao quadrado. Agora, multiplique o resultado por 4, e subtraia 8 vezes o número pensado. Após isso, divida pelo quádruplo do mesmo número. O resultado dessa expressão é:  4x.  8x.  x – 2.  x² – 4.

QUESTÃO 5 Observe a expressão.

4y2 – 9x2 2y + 3x

Simplificando a expressão, obtém-se:  2y−3x.  2y² + 3x.  2y + 3x².  2y² + 3x².

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