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DIAGRAMAÇÃO
Fabricio Guerreiro REVISÃO
Pâmela Martins Oliveira Todas as citações de textos contidas neste livro didático estão de acordo com a legislação, tendo por fim único e exclusivo, o ensino. Caso exista algum texto a respeito do qual seja necessário a inclusão de informações adicionais ficamos à disposição para contato pertinente. Do mesmo modo, fizemos todos os esforços para identificar e localizar os titulares sobre imagens e vetores publicados e estamos à disposição para suprir eventuais omissões de crédito em futuras edições. O material de publicidade e propaganda reproduzido nesta obra está sendo utilizado apenas para fins didáticos, não representando qualquer tipo de recomendação de produtos ou empresas por parte do(s) autor(es) e da editora.
H667 Hippolyto, Luzia 9º ano : matemática / Luiza Hippolyto e Michael Gandh. —— Fortaleza : Vem Passar, 2019. 96p. : il. ; 23 cm. ——(Coleção Aprova SAEB). ISBN 978-65-80664-07-8 1. Matemática - Compêndios - Ensino de segundo grau. 2. Matemática - Estudo e ensino. 3. Livro de atividades. I. Gandh, Michael. II. Título.
CDD 510
Apresentação A questão primordial não é o que sabemos, mas como sabemos.
Aristóteles
A elaboração desta coleção tem por objetivo criar mecanismos por meio dos quais você, aluno, possa compreender as principais ideias matemáticas, para construir e consolidar o seu conhecimento. Todos os capítulos exploram, de maneira compreensível e intuitiva, as habilidades da matriz de referência do SAEB. Minimizamos o formalismo, contudo, foi mantido o rigor matemático referente à etapa para a qual a obra foi proposta. As atividades, tanto em exercícios quanto em problemas, estão organizadas em ordem crescente de dificuldade. Cada tema é finalizado com itens baseados em avaliações de reconhecido destaque no País. Esperamos proporcionar a você experiências, transformações e aprendizagem. Portanto, seu estudo, sua participação, seus questionamentos e suas contribuições em sala serão extremamente necessários. Os Editores
SUMÁRIO Capítulo 1 — Calcular valor numérico de uma expressão algébrica.................................7 Capítulo 2 — Resolver problema que envolva equação de segundo grau................... 17 Capítulo 3 — Identificar um sistema de equações do primeiro grau que expressa um problema................................................................................................................... 25 Capítulo 4 — Reconhecer que as imagens de uma figura construída por uma transformação homotética são semelhantes, identificando propriedades e/ou medidas que se modificam ou não se alteram.......... 33 Capítulo 5 — Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas significativos............................................................................................ 43 Capítulo 6 — Resolver problema utilizando a propriedade dos polígonos (soma de seus ângulos internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares).................... 53 Capítulo 7 — Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.................................................................................................................. 61 Capítulo 8 — Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas........................................................................................................... 69 Capítulo 9 — Resolver problema envolvendo noções de volume.................................... 77 Capítulo 10 — Resolver problema usando a média aritmética........................................ 87
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Calcular valor numérico de uma expressão algébrica
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EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Ao analisarmos a expressão (2 + 5 – 1) – 6 + 3, observamos que ela possui uma sequência de números separados por operações. Sendo assim, podemos chamá-la de expressão numérica. A partir da definição de expressão numérica, podemos chegar à definição de expressões algébricas: chamamos de expressões algébricas aquelas que envolvem números, letras e operações indicadas entre eles. As letras, em uma expressão algébrica, representam qualquer número real. E são chamadas de incógnitas. Por exemplo: x + 10
x é a incógnita, que representa um número qualquer (de valor desconhecido).
A soma de um número qualquer mais 10.
10 unidades a mais do que um número representado por x.
5×k
k é a incógnita, um número qualquer (de valor desconhecido). O produto de 5 por um número qualquer, ou o quíntuplo de um número qualquer.
PENSE E COMPARTILHE COM OS COLEGAS Imagine uma situação do seu cotidiano, por exemplo, quando você vai às compras. Você consegue associar a compra de algum ou alguns objetos de seu uso em que você possa usar as expressões algébricas? Justifique. SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Aprender a simplificar expressões algébricas é requisito essencial para dominar a álgebra básica, além de ser uma ferramenta extremamente valiosa para os usuários da ciência da Matemática. A simplificação permite a quem use a matemática tomar expressões complexas, longas ou inadequadas e torná-las mais simples ou convenientes e ainda mantê-las equivalentes. A habilidade da simplificação básica é consideravelmente fácil de aprender — até mesmo para aqueles avessos à matemática. Seguindo alguns passos simples, é possível simplificar muito dos mais comuns tipos de expressão algébrica, ainda que não se possua qualquer tipo de conhecimento matemático. DEFININDO “TERMOS AFINS” POR VARIÁVEIS E POTÊNCIAS Na álgebra, números afins têm as mesmas variáveis e são elevados às mesmas potências. Em outras palavras, para que dois termos sejam afins, devem ter as mesmas variáveis, ou nenhuma, e cada uma delas deve ser elevada à mesma potência, ou a nenhuma. A ordem de variáveis dentro do termo não importa. Por exemplo, 3x² e 4x² são termos afins porque cada um deles contém a variável x elevada à segunda potência. No entanto, x e x² não são termos afins, pois cada um possui x elevado a uma potência distinta. De modo similar, –3yx e 5xz não são termos afins porque cada um deles tem um conjunto distinto de variáveis.
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FATORANDO AO ESCREVER NÚMEROS COMO PRODUTO DE DOIS FATORES A fatoração é o conceito de representar dado número como produto de dois fatores multiplicados juntamente. Os números podem ter mais de um conjunto de fatores – por exemplo, o número 12 pode ser formado por 1 × 12, 2 × 6 e 3 × 4 e, por isso, é possível declarar que 1, 2, 3, 4, 6 e 12 são todos fatores de 12. Outro modo de pensar é considerar que os fatores de um número são aqueles números pelos quais o primeiro é igualmente divisível. Por exemplo, se desejamos fatorar 20, podemos escrevê-lo como 4 × 5. Note que termos variáveis podem também ser fatorados. –20x, por exemplo, pode ser escrito como 4(–5x). Obs.: números primos não podem ser fatorados porque são divisíveis apenas por eles mesmos e por 1. USANDO O ACRÔNIMO PEMDAS PARA LEMBRAR-SE DA ORDEM DE OPERAÇÕES Ocasionalmente, simplificar uma expressão significa nada mais do que realizar operações nessa expressão até que isso não mais seja possível. Nesses casos, é importante lembrar-se da ordem de operações de modo a não cometer quaisquer erros aritméticos. O acrônimo PEMDAS pode ser de grande ajuda quando for preciso lembrar-se da ordem de operações — suas letras correspondem à ordem em que as operações devem ser efetuadas, por seus nomes:
P E MD AS Parênteses
Expoentes
Multiplicação Divisão
Adição
Subtração
COMBINANDO TERMOS AFINS: ESCREVENDO A EQUAÇÃO As mais simples equações algébricas, aquelas que envolvem somente alguns termos variáveis com coeficientes inteiros e sem frações, radicais etc. podem frequentemente ser solucionadas em poucos passos. Como ocorre na maioria dos problemas matemáticos, o primeiro passo para simplificar a equação é escrevê-la! Como problema-exemplo, para os próximos passos, consideraremos a expressão 1 + 2x – 3 + 4x. IDENTIFICANDO OS TERMOS AFINS A seguir, identificam-se, na equação, os termos afins. Lembre-se de que termos afins têm tanto as mesmas variáveis como os mesmos expoentes. Como exemplo, identifiquemos os termos afins na equação 1 + 2x – 3 + 4x. Ambos 2x e 4x têm a mesma variável elevada ao mesmo expoente (nesse caso, os x não estão elevados a nenhuma potência). Adicionalmente, 1 e –3 são termos afins, já que nenhum deles tem variáveis. Encontramos, pois, em nossa equação, que 2x e 4x, e 1 e –3 são termos afins. Matemática — 9o Ano
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COMBINANDO TERMOS AFINS Agora que você identificou termos afins, pode combiná-los para simplificar a equação. Some os termos (ou subtraia-os, no caso de termos negativos) para reduzir cada conjunto de termos com variáveis e expoentes iguais a um termo singular.
Somemos os termos afins de nosso exemplo: 2x + 4x = 6x 1 + (–3) = –2
CRIANDO UMA EXPRESSÃO SIMPLIFICADA A PARTIR DOS TERMOS SIMPLIFICADOS Depois de combinar os termos afins, construa uma expressão a partir do conjunto de termos novos e simplificados. Você deve obter uma expressão mais simples, com um termo para cada conjunto diferente de variáveis e expoentes na expressão original. Essa nova expressão deverá ser igual à primeira. Em nosso exemplo, os termos simplificados são 6x e –2, de modo que a nova expressão será 6x – 2. Essa expressão simplificada é igual à original (1 + 2x – 3 + 4x), porém, menor e mais fácil de resolver. Ela é também mais simples de fatorar, o que, como veremos a seguir, é outra importante habilidade na simplificação. OBEDECENDO À ORDEM DE OPERAÇÕES AO COMBINAR TERMOS AFINS Em expressões extremamente simples, como aquela do exemplo anterior, identificam-se os termos com relativa facilidade. No entanto, em expressões mais complexas, como as que envolvem termos em parênteses, frações e radicais, termos afins, que poderão ser combinados, talvez não sejam, de imediato, tão aparentes. Nesses casos, siga a ordem de operações, realizando-as nos termos existentes na expressão, conforme necessário, até que apenas soma e subtração permaneçam. x
Por exemplo, consideremos a equação 5(3x – 1) + 2x 2 Veja a seguir: + 8 – 3x. Seria incorreto identificar imediatamente 3x e 2x x como termos afins e combiná-los, apesar dos parênteses, 5(3x – 1) + 2x ___ + 8 – 3x 2 pois devemos realizar outras operações em primeiro lugar. 15x – 5 +___ 2x² + 8 – 3x Inicialmente, efetuaremos as operações aritméticas na ex2 15x – 5 + x² + 8 – 3x pressão de acordo com a ordem de operações (PEMDAS), a fim de que obtenhamos termos que possamos usar. Agora, uma vez que restam apenas as operações de adição e subtração, podemos combinar os termos afins: x² + 12x + 3 FATORANDO: IDENTIFICANDO O MÁXIMO DIVISOR COMUM NA EXPRESSÃO A fatoração é uma forma de simplificar expressões ao remover fatores comuns aos termos da expressão. Para começar, encontre o máximo divisor comum que todos os termos na expressão compartilham — em outras palavras, o maior número pelo qual todos os termos na expressão são igualmente divisíveis. Usemos a equação 9x² + 27x – 3. Note que todos os termos da equação são divisíveis por 3. Uma vez que os termos não são igualmente divisíveis por outro número maior, podemos determinar que 3 é o máximo divisor comum na expressão.
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DIVIDINDO OS TERMOS DA EXPRESSÃO PELO MÁXIMO DIVISOR COMUM A seguir, divida cada termo na equação pelo máximo divisor comum encontrado. Os termos resultantes terão menores coeficientes do que na expressão original. Fatoremos a nossa equação por seu máximo divisor comum, 3. Para tal, dividiremos cada termo por 3.
9 x2 = 3 x2 3 27 x = 9x 3 -3 = -1 3
Logo, a nossa nova expressão é 3x² + 9x – 1. REPRESENTANDO A EXPRESSÃO COMO PRODUTO DO MÁXIMO DIVISOR COMUM E OS TERMOS RESTANTES A nova expressão não é igual à anterior, ou seja, não se pode dizer que está simplificada. Para torná-la igual à anterior, é preciso observar o fato de que ela foi dividida pelo máximo divisor comum. Feche a expressão entre parênteses e defina o máximo divisor comum da equação original como coeficiente para a expressão entre parênteses. No caso de nossa expressão-exemplo, 3x² + 9x – 1, fecharemos a expressão entre parênteses e a multiplicaremos pelo máximo divisor comum da equação original para obter 3(3x² + 9x – 1). A equação obtida é igual à original, 9x² + 27x – 3. USANDO A FATORAÇÃO PARA SIMPLIFICAR FRAÇÕES Você pode agora estar se perguntando por que razão a fatoração é útil se, depois de remover o máximo divisor comum, a nova expressão deve ser novamente multiplicada por ele. Na verdade, a fatoração permite a um matemático realizar diversos truques ao simplificar uma expressão. Uma das mais simples envolve tirar vantagem do fato de que multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número resultará em uma fração equivalente. Veja a seguir: Digamos que a nossa expressão-exemplo original, 9x² + 27x – 3, seja o numerador de uma fração maior com 3 em seu denominador. Essa fração teria a seguinte aparência: (9x² + 27x – 3) . Poderemos usar a fatoração para simplificar essa fração. 3
Substituamos a forma fatorada de nossa expressão original pela expressão no numerador: [3(3x² + 9x – 1)] . 3
Observe que, agora, tanto numerador como denominador compartilham o coeficiente 3. Ao dividir ambos por 3, teremos: 3x² + 9x – 1 . 1
Uma vez que toda fração que tem 1 em seu denominador é igual aos termos no numerador, podemos afirmar que a fração original pode ser simplificada para 3x² + 9x – 1. APLICANDO HABILIDADES DE SIMPLIFICAÇÃO ADICIONAIS: SIMPLIFICANDO FRAÇÕES AO DIVIDIR OS FATORES COMUNS Como se pôde observar anteriormente, se o numerador e o denominador de uma expressão compartilharem fatores, eles poderão ser removidos inteiramente da fração. Às vezes, isso exigirá a fatoração do numerador, do denominador ou de Matemática — 9o Ano
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ambos (como foi o caso descrito na pĂĄg. 11). Em outros momentos, os fatores compartilhados estarĂŁo aparentes de imediato. Note que tambĂŠm ĂŠ possĂvel dividir os termos do numerador pela expressĂŁo no denominador, de modo individual, a fim de obter uma expressĂŁo simplificada. Tomemos um exemplo que nĂŁo requeira necessariamente a fatoração imediata. No caso da fração, podemos talvez dividir cada termo no numerador pelo nĂşmero 10 no denominador a fim de simplificĂĄ-la, embora o coeficiente 5 em 5x² nĂŁo seja maior do que 10 e nĂŁo possa, por essa razĂŁo, ter 10 como divisor. FazĂŞ-lo nos traz ao resultado 5 x x 2 . Se preferirmos, podemos reescrever o 10 primeiro termo por 1 x2  para obter o resultado 1 x2 x 2 . 2
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ďƒš USANDO FATORES QUADRADOS PARA SIMPLIFICAR RADICAIS ExpressĂľes sob o sĂmbolo de raiz quadrada sĂŁo chamadas de expressĂľes radicais. Elas podem ser simplificadas identificando-se fatores quadrados (fatores que sĂŁo o quadrado de um dado nĂşmero) e realizando-se nelas a operação de raiz quadrada, separadamente, a fim de removĂŞ-las de debaixo do sinal de raiz quadrada. Façamos o seguinte exemplo: 90 . Se pensarmos no nĂşmero 90 como produto de dois de seus fatores, 9 e 10, podemos tomar a raiz quadrada de 9 para obter o nĂşmero inteiro 3 e removĂŞ-lo do radical.
Vejamos: 90
9 Ă— 10 9 Ă— 10 3 Ă— 10 3 10
ďƒš SOMANDO EXPOENTES AO MULTIPLICAR DOIS TERMOS EXPONENCIAIS; SUBTRAINDO-OS AO DIVIDIR ESSES TERMOS Algumas expressĂľes algĂŠbricas exigem a multiplicação ou divisĂŁo de termos exponenciais. No lugar de computar cada termo exponencial e multiplicar ou dividir manualmente, simplesmente some expoentes ao multiplicar e subtraia-os ao dividir, para poupar tempo. Esse conceito pode tambĂŠm ser usado para simplificar expressĂľes variĂĄveis. Veja a seguir: 17 17 x Por exemplo, consideremos a expressĂŁo 6 x 3 8 x 4 x15 . Em 6 x 3 8 x 4 x 15 x cada ocasiĂŁo na qual ĂŠ necessĂĄrio multiplicar ou dividir por expoentes, subtrairemos ou somaremos, respectivamente, a fim de encontrar rapidamente um termo simplificado.
6 8 x 3 4 x17 15 48 x 7 x 2
ďƒš A RAZĂƒO PELA QUAL ISSO FUNCIONA É A SEGUINTE: Multiplicar termos exponenciais ĂŠ, em essĂŞncia, como multiplicar longas cadeias de termos nĂŁo exponenciais. Por exemplo, uma vez que x3 = x Ă— x Ă— x e x5 = x Ă— x Ă— x Ă— x Ă— x, x3 Ă— x5 = (x Ă— x Ă— x) Ă— (x Ă— x Ă— x Ă— x Ă— x), ou x8. De modo similar, dividir termos exponenciais ĂŠ como dividir longas cadeias de 5 termos nĂŁo exponenciais: x3 x x x x x . Uma vez que cada termo no numerador x x x x
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pode ser cancelado por um termo combinante no denominador, restaremos com dois x no numerador e nenhum no denominador, obtendo a resposta x². TREINANDO QUESTÕES Fatore cada um dos polinômios abaixo: a. 6x3 – 12x2 + 36 = b.
a 3 – a 2b =
c.
9x3 – 18x2 + 27 =
d.
x2 + 14x + 49 =
e.
4a2 + 12ax + 9x2=
f.
y6 – 38y4 + 361y2 =
g.
64a2 – 25b2 =
h.
196m4p6 – 121q2 =
i.
16x4 – y4 =
j.
16x4 – 1=
k.
x3 – 6x2 + 12x – 8 =
l.
m8 – y8 =
m.
x2 – 4a2 + 6x + 12a =
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AVALIANDO SEU CONHECIMENTO QUESTÃO 1 (SPAECE) A forma mais simples da expressão algébrica (3y)² – y² + 3y² é: 6y + 2y² 2y² + 9y 5y² 11y² QUESTÃO 2 (SPAECE) Observe a expressão algébrica abaixo: 2x + 8 x2 – 16 Qual é a forma simplificada dessa expressão?
10 x − 16 2 x −8
2 x−4 2 x+4
QUESTÃO 3 Pense em um número x (diferente de zero), eleve-o ao quadrado e some com o dobro de x. Depois, divida essa soma pelo próprio x. Utilizando seus conhecimentos de fatoração, e após simplificarmos esta expressão, qual será o resultado? x + 2. x – 2. x + 4. x – 4. QUESTÃO 4 Pense em um número diferente de zero e eleve-o ao quadrado. Agora, multiplique o resultado por 4, e subtraia 8 vezes o número pensado. Após isso, divida pelo quádruplo do mesmo número. O resultado dessa expressão é: 4x. 8x. x – 2. x² – 4. QUESTÃO 5 Observe a expressão.
4y2 – 9x2 2y + 3x
Simplificando a expressão, obtém-se: 2y−3x. 2y² + 3x. 2y + 3x². 2y² + 3x².
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