журнал "Прикладная физика и математика" by Verst Ka

МАТЕМАТИКА

∙ 2014

№ 4

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

ISSN 2307-1621

APPLIED PHYSICS AND MATHEMATICS

Прикладная физика и математика ISSN 2307-1621

НАУЧНЫЙ ЖуРНАЛ

Учредители: ООО «Научтехлитиздат» ООО «Мир журналов» Журнал зарегистрирован в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) Свидетельство о регистрации: СМИ ПИ № ФС77-50415 от 25.06.2012 г. Подписные индексы: ОАО «Роспечать» 83190 «Пресса России» 10363 Главный редактор: Академик РАН А.Н. Лагарьков Зам. главного редактора д-р физ.-мат. наук А.Л. Рахманов Редакция: В.Б. Гончарова, Н.Н. Годованец, Е.А. Боброва, И.Ю. Шабловская, В.С. Сердюк Редакционная коллегия: Гуляев Ю.В., акад. РАН, (Россия) Загородный А.Г., акад. РАН и НАН Украины, (Украина) Лагарьков А.Н., акад. РАН, (Россия) Сигов А.С., акад. РАН, (Россия) Трубецкой К.Н., акад. РАН, (Россия) Хомич В.Ю., акад. РАН, (Россия) Щербаков И.А., акад. РАН, (Россия) Колачевский Н.Н., чл.-корр. РАН, (Россия) Силин В.П., чл.-корр. РАН, (Россия) Трубецков Д.И., чл.-корр. РАН, (Россия) Белоконов И.В. д-р техн. наук, проф., (Россия) Волошин И.Ф., д-р техн. наук, проф., (Россия) Галченко Ю.П., д-р техн. наук, (Россия) Громов Ю.Ю., д-р техн. наук, проф., (Россия) Джанджгава Г.И., д-р техн. наук, проф., (Россия) Джашитов В.Э., д-р техн. наук, проф., (Россия) Зоухди С., д-р наук, проф., (Франция) Калинов А.В., д-р техн. наук, проф., (Россия) Карась В.И., д-р физ-мат наук, проф., (Украина) Кейлин В.Е., д-р техн. наук, проф., (Россия) Ковалев К.Л., д-р техн. наук, проф., (Россия) Красильщик И.С., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия) Кусмарцев Ф.В., д-р философии, проф., (Англия) Кушнер А.Г., д-р физ-мат. наук, (Россия) Литвинов Г.Л., канд. физ.-мат. наук, (Россия) Лошак Ж., д-р философии, проф., (Франция) Лычагин В.В., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия) Первадчук В.П., д-р техн. наук, проф., (Россия) Рахманов А.Л., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия) Реутов В.Г., д-р техн. наук, (Россия) Романовский В.Р., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия) Рухадзе А.А., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия) Рыбин В.М., д-р техн. наук, проф., (Россия) Самхарадзе Т.Г., д-р техн. наук, проф., (Россия) Сихвола А., д-р наук, проф., (Финляндия) Уруцкоев Л.И., д-р физ-мат наук, проф., (Россия) Цаплин А.И., д-р техн. наук, проф., (Россия) Шалае В., д-р наук, проф., (США) Щелев М.Я., д-р физ.-мат. наук, (Россия) Фишер Л.М., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия) Дизайн и верстка: Б.Е. Голишников Статьи, поступающие в редакцию, рецензируются Адрес редакции: 107258, Москва, Алымов пер., д. 17, корп. 2, редакция журнала «Прикладная физика и математика» Тел.: 8 (985) 233-07-98, E-mail: pfim@mail.ru Подписано в печать 17.07.2014 г. Формат 60х88 1/8. Бумага мелованная матовая Печать офсетная. Усл.-печ. л. 16,4. Уч.-изд. л. 16,9. Заказ № ПФ-110. Тираж 420 экз. Издатель: ООО «Научтехлитиздат», 107258, Москва, Алымов пер., д. 17, корп. 2 Оригинал-макет и электронная версия подготовлены ООО «Научтехлитиздат» Отпечатано в типографии ООО «Научтехлитиздат» 107258, Москва, Алымов пер., д. 17, корп. 2 Тел.: 8 (499) 168-21-28

№ 4 ∙ 2014

Содержание ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

Л.И. Уруцкоев А.В. Чесноков

Возникновение и развитие дистанционных методов дозиметрии

А.Л. Галиев Р.Г. Галиева А.Ф. Шишкина

Анализ детектора огибающей устройства ослабления акустической обратной связи

▪ ВЫСТАВКИ

▪ КОНФЕРЕНЦИИ

ПРИКЛАДНАЯ математика

С.Н. Чуканов

Определение потенциальной компоненты векторного поля системы управления на основе построения оператора гомотопии

В.Л. Вольфсон

Вероятностные свойства некоторых последовательностей на конечном интервале натурального ряда

ИСТОРИЯ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ

Б.А. Кушнер

О А.Н. Колмогорове, В.А. Успенском и других крупнейших математиках мехмата МГУ времен «оттепели»

Applied Physics and Mathematics ISSN 2307-1621

SCIENTIFIC JOURNAL

Content APPLIED PHYSICS

L.I. Urutskoev A.V. Chesnokov

Occurrence and development of remote sensing methods of dosimetry

А.L. Galiev R.G. Galieva А.F. Shishkina

Analysis of the envelope detector device attenuation of acoustic feedback

▪ EXHIBITION

▪ CONFERENCE

Applied Mathematics

S.N. Chukanov

Determination of potential component of the vector field of control system by constructing a homotopy operator

V.L. Vol'fson

Probabilistic properties of some sequences on a finite interval of the natural numbers

HISTORY OF PHYSICS AND MATHEMATICS

B.A. Kushner

About A.N. Kolmogorov, V.A. Uspenskiy and the other prominent mathematicians from «Mechmath» of MGU of the so-called «thaw» epoque

№ 4 ∙ 2014

Founder and Publisher: Ltd. The Publishing House «Nauchtehlitizdat» LLC «World magazines» The journal is registered the Federal Service for Supervision of Communications, Information Technology and Communications (Roskomnadzor) Certificate of Registration of Media: PI № ФС77-50415 from 25.06.2012 Subscription numbers: The Public Corporation «Rospechat» 83190 «Pressa Rossii» 10363 Editor in Chief: А.N. Lagarkov, acad. RAS Deputy Editor in chief: А.L. Rahmanov, Doctor of Phys.-Math. Sciences Editorial Staff: V.B. Goncharova, N.N. Godovanec, E.A. Bobrova, I.Ju. Shablovskaja, V.S. Serdjuk Editorial Board: Belokonov I.V. (Russia) Caplin A.I. (Russia) Dzhandzhgava G.I. (Russia) Dzhashitova V.Je. (Russia) Fisher L. (Russia) Galchenko Ju.P. (Russia) Gromov Ju.Ju. (Russia) Guljaev Ju.V. (Russia) Homich V.Ju. (Russia) Kalinov A.V. (Russia) Karas' V.I. (Ukraine) Kejlin V.E. (Russia) Kolachevskij N.N. (Russia) Kovalev K.L. (Russia) Krasil'shhik I.S. (Russia) Kushner A.G. (Russia) Kusmartsev F.V (England) Lagarkov A.N. (Russia) Litvinov G.L. (Russia) Loshak Zh. (France) Lychagin V.V. (Russia) Rahmanov A.L. (Russia) Pervadchuk V.P. (Russia) Reutov V.G. (Russia) Romanovskij V.R. (Russia) Rukhadze A.A. (Russia) Rybin V.M. (Russia) Samkharadze T.G. (Russia) Shalae V. (USA) Shelev M.J. (Russia) Sherbakov I.A. (Russia) Sigov A.S. (Russia) Sihvola А. (Finland) Silin V.P. (Russia) Trubeckoj K.N. (Russia) Trubeckov D.I. (Russia) Uruckoev L.I. (Russia) Voloshin I.F. (Russia) Zagorodnyj A.G. (Ukraine) Zouhdi S. (France) Design, Make-Up: B.E. Golishnikov Articles submitted articles are reviewed Editorial office address: 107258, Moscow, Alymov per., 17, bldg. 2 editors «Applied Physics and Mathematics» Phone: 8 (985) 233-07-98 E-mail: pfim@mail.ru Sent to the press: 17.07.2014 г. Format 60х88 1/8. Matt coated paper Offset printing. Conv. printer’s sheets 16,4. Uch.-ed. l. 16,9. The order № ПФ-110. Circ. 420 экз. The layout and the electronic version of the journal are made by ltd. The Publishing House «Nauchtehlitizdat» Printed in ltd. The publishing house «Nauchtehlitizdat» 107258, Moscow, Alymov per., 17, bldg. 2 Phone: 8 (499) 168-21-28

Прикладная

физика

Л.И. Уруцкоев – доктор физ.-мат. наук Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации (РАНХ и ГС), МФТИ E-mail: urleon@ya.ru А.В. Чесноков – доктор техн. наук ФГБУ Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»

Возникновение и развитие дистанционных методов дозиметрии Настоящая работа посвящена истории развития дистанционных методов дозиметрии и соответствующих средств измерения. В работе кратко изложены теоретические основы методов и приведено значительное количество примеров практического использования методов дистан-

ционной дозиметрии для решения конкретных задач. Дан краткий обзор современного состояния данной области дозиметрии. Ключевые слова: поток γ-квантов, распределение γ-ак тивности, коллиматор, гамма-визор, чернобыльская авария.

L.I. Urutskoev – Professor of MPhTI, Doctor of Phys.-Math. Sciences The Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (RANEPA) E-mail: urleon@ya.ru A.V. Chesnokov – Doctor of Tech. Sciences, National Research Center «Kurchatov Institute»

Occurrence and development of remote sensing methods of dosimetry This paper is devoted to history of development of remote methods of dosimetry and appropriate means of measurement. In the article, a theoretical basis of methods is briefly stated and examples of practical application of these methods for the

1. Введение Методы и средства дистанционного определения уровней радиоактивного загрязнения, основанные на измерении потоков фотонного ионизирующего излучения, в настоящее время получили широкое распространение во всем мире [1–4]. Толчком к развитию этих методов послужила авария, произошедшая в 1986 году на Чернобыльской АЭС (ЧАЭС). Авария носила катастрофический характер и сопровождалась выбросом за пределы активной зоны реактора всего ядерного топлива, вместе с накопленными продуктами деления. Выброс гигантского количества радионуклидов привел к появлению радиационных полей с уровнями мощностей доз, которые представляли опасность для жизни и здоровья людей, привлеченных к работам по ликвидации аварии. Это касалось персонала, работающего как в помещениях самой атомной станции, так и на территории непосредственно к ней прилегающей.

solution of specific tasks are given. The short review of a current state of this area of dosimetry is given. Keywords: γ-ray flux, distribution of γ-activity, gamma-vizor, collimate, the Chernobyl disaster.

Высокий уровень радиационных полей и беспрецедентный масштаб радиоактивного загрязнения потребовали поиска новых физических принципов, позволяющих обнаруживать радиоактивные источники со значительного расстояния, а также разработки дистанционных методов дозиметрии. Первоначально для решения возникшей задачи рассматривалось несколько физических принципов, основанных на регистрации: инфракрасного излучения, ультрафиолетового излучения и гамма-излучения. Наиболее плодотворным оказался метод, основанный на дистанционной регистрации потоков γ-излучения в ограниченном телесном угле. Для детектирования потока γ-излучения, ограниченного углом коллимации прибора используется либо позиционно-чувствительный детектор – прибор для визуализации γ-источников излучения (гамма-визор) [1, 3, 5–8], либо спектрально-чувствительный детектор – радиометрические приборы (гамма-локатор) [2, 9, 10]. Областью применения разработанных методов является контроль и прогнозирование

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

изменения радиационной обстановки в процессе проведения различных работ на радиационно-опасных объектах атомной энергии, как в процессе их эксплуатации, так и в процессе их ликвидации или вывода из эксплуатации.

2. Методы визуализации источников фотонного ионизирующего излучения На первой стадии работ по ликвидации последствий аварии (ЛПА) на ЧАЭС, одним из наиболее важных вопросов являлось обнаружение мест расположения ядерного топлива, с целью определения его подкритичности. В предположении, что в местах скопления топлива должна наблюдаться наиболее значимая γ-активность, задача сводилась к поиску и визуализации областей наиболее интенсивного γ-излучения. Не менее важной являлась и задача поиска и идентификации ярких точечных источников γ-излучения, удаление которых могло привести к существенному улучшению радиационной обстановки и снижению воздействия γ-излучения на персонал, выполняющий радиационно-опасные работы. Для решения этих задач был разработан прибор, который был назван гамма-визором. В основу работы гаммавизора был положен принцип формирования γ-изображения с помощью камеры-обскуры (см. рис. 1). γ-изображение, сформированное входным коллиматором камеры-обскуры 1, конвертируется в видимый свет с помощью сцинтиллятора 2. Далее, световое изображение, усиливается с помощью электронно-оптического преобразователя (ЭОПа) 4. Толстое свинцовое стекло 5, которое играет роль защиты от рассеянных γ-квантов, позволяло наблюдать γ-изображение на экране ЭОПа, либо визуально, непосредственно глазом, либо регистрировать его помощью телекамеры на видеомагнитофон.

Фоновое γ-излучение, попадающее на детектирующую часть прибора через боковые поверхности, минуя коллиматор камеры-обскуры, существенно ослаблялось толстой свинцовой или урановой защитой, закрывавшей сцинтиллятор и ЭОП со всех сторон. Для сохранения пространственного разрешения γ-изображения при его конверсии в свет, в качестве позиционно-чувствительного детектора в гаммавизоре используется, либо тонкий (~0,5 мм) сцинтиллятор, либо матричный сцинтиллятор (см. рис. 2а) толщиной ~5 мм. Матричный сцинтиллятор представлял собой прямоугольный массив светоизолированных ячеек, изготовленных из CsI(Tl). Светоизолирующие перегородки между ячейками изготавливались из сплава Вуда. Таким образом, матричный сцинтиллятор был эквивалентен набору большого количества независимых детекторов (см. рис. 2а). Пространственное разрешение матричного сцинтиллятора определялось размером отдельной ячейки и не зависело от толщины кристалла. Оптимизация контрастности и световыхода в матричном детекторе проводилась прямым численным моделированием рассеяния и поглощения γ-квантов в трехмерной среде, с помощью метода Монте-Карло. Из рисунка 2б видно, что рассеянные в центральной ячейке γ-кванты создают «серый» равномерный фон в остальных ячейках конвертора, интенсивность коРис.торого 1. Схема 1 -от урановый коллиматор; не гаммавизора. превышает 2% интенсивности в цен-2 - матричны тральной ячейке. свинцовая защита; 4 - электронно оптические преобразователи; 5 Для проведения работ по ЛПА на ЧАЭС было разработано и изготовлено несколько вариантов гаммавизора: ручной (вес ~35 кг); для установки на вертолет (вес ~ 2 тонн); для установки на бронетранспортер (вес ~300 кг). Различные варианты гаммавизора отличались друг от друга толщиной защиты и способом записи информации. Требования к коэф-

а)

б)

Рис. 2. а)а – внешний вид матричного сцинтиллятора; б) – контра б РИС. 1 • Схема гамма-визора. 1 – урановый коллиматор;

2 – матричный сцинтиллятор; 3 – свинцовая защита; 4 – электронно оптические преобразователи; 5 – свинцовое стекло.

изображения при условии поглощения гамма-излучения в о РИС. 2 • а) – внешний вид матричного сцинтиллятора;

б) – контрастность светового изображения при условии поглощения γ-излучения в одной ячейке.

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

фициенту ослабления γ-излучения боковой защитой определяются из условия того, чтобы количество γ-квантов прошедших сквозь коллиматор камеры обскуры и зарегистрированное ячейкой сцинтиллятора, превышало количество γ-квантов прошедших через все боковые поверхности защиты и поглотившиеся в этом же элементе изображения. Таким образом, при изотропном распределении γ-источников, коэффициент ослабления должен составлять К >> 4π/Ω ≈ 104. Чтобы выполнить это условие для энергии γ-квантов Е = 700 кэв, средняя толщина свинцовой защиты должна составлять Δ ~ 8 см, что конечно же было невозможно обеспечить в ручном варианте прибора. При поиске γ-активных источников, проблема визуализации обнаруженного γ-источника является не менее важным вопросом, чем задача получения γ-изображения самого источника. Поскольку гаммавизор позволяет обнаруживать γ-источники с расстояния в десятки и сотни метров, то, учитывая масштаб разрушений строительных конструкций, произошедший в момент аварии на ЧАЭС, сопоставление γ-изображения с реальным объектом представлялась особенно актуальным. Для решения этой проблемы, половина матричного сцинтиллятора была удалена, а перед камерой обскуры была установлена тонкая длиннофокусная линза. Линза не являлась скольнибудь значительной преградой для γ-квантов, но формировала в плоскости фотокатода ЭОПа оптическое изображение предметов, попадающих в телесный угол камеры обскуры. Таким образом, поле зрения прибора было разделено на две половины. На одной из них регистрировалось γ-изображение объекта, а другая половина использовалась как оптический канал. Для визуализации γ-источника достаточно было, путем поворота прибора, переместить наиболее яркий фрагмент гамма-изображения на границу оптического поля. В августе – сентябре 1986 г. активно использовалась вертолетная версия гаммавизора, с помощью которой было получено изображение засыпки реакторного зала разрушенного блока [7]. Гамма-визор был ориентирован относительно оси вертолета таким образом, чтобы при движении вертолета оптическое изображение переходило в γ-изображение (на фотокадре рисунка 3 вертолет двигался справа-налево). На рисунке 3 представлено изображение крышки реактора (схема «Е»), полученное с помощью гаммавизора при сканировании развала центрального зала разрушенного реактора. В результате проведенного сканирования было установлено, что в развалинах центрального зала наблюдается только два интенсивных источника γ-излучения: бассейн выдержки отработанного топлива и схема «Е».

РИС. 3 • Видимое (левая половина) и γ-изображение

(правая половина) зоны разрушенного реактора (вертолетный вариант)

В ходе широкомасштабных работ по улучшению радиационной обстановки на территориях, прилегающих к аварийному реактору, которые проводились в сентябре – ноябре 1986 года, использовался вариант гаммавизора, установленного на БТР. Эта версия гаммавизора имела двух координатное сканирующее устройство, управлялась из кабины БТР и записывала изображение на ПЗС камеру. Данная версия прибора использовалась при работах по удалению источников γ-излучения и радиоактивных загрязнений: на территориях между 3-им и 4-ым блоками станции; вблизи хранилища отработавшего ядерного топлива; на территории примыкающей к IV машинному залу. В качестве примера на рисунке 4 представлено γ-изображение западной стены объекта «Укрытие», полученное осенью 1986 г. В то время работы по строительству объекта «Укрытие» близились к завершению и территория вокруг 4-го блока была отсыпана слоем гравия, толщина которого местами доходила до 3–6 м. Но несмотря на это, мощность дозы вблизи объекта продолжала оставаться порядка нескольких десятков мЗв/ч. Из рисунка 4 видно, что над западной стеной разрушенного реакторного зала, гаммавизором регистрируется диффузное γ-изображение. Создается впечатление, что излучает воздух над реактором. Данный эффект объясняется комптоновским рассеянием γ-квантов на электронах воздуха. Рассеиваясь в воздухе над развалом реактора, γ-кванты теряют первоначальное направление и

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

РИС. 4 • Изображение с экрана гамма-визора, полученное осенью 1986 г. с западной стороны от разрушенного реактора (гамма-визор был установлен на бронетранспортере

отражаясь возвращаются на уровень земли, создавая γ-изображение на детекторе гаммавизора и, соответственно, мощность экспозиционной дозы (МЭД) на земле, а также иллюзию существования мощного источника γ-излучения, как бы парящего в воздухе. Для обследования внутренних помещений IV блока использовалась переносная версия прибора. Из-за ограничения по весу, в ручном варианте гамма-визора толщина защиты составляла всего ~ 2 ÷ 3 см, что приводило к уменьшению контраст-

ности γ-изображения. Однако, в тех случаях, когда вклад от визуализируемого γ-источника в общую мощность дозы был существенным, то ручной вариант прибора позволял уверенно идентифицировать радиоактивные источники. Переносная версия гаммавизора не имела поворотного устройства, экран ЭОПа был защищен от внешнего γ-излучения свинцовым стеклом толщиной 50 мм. Ручная версия гаммавизора использовалась при обследовании подреакторных и вентиляционных помещений 4-го блока. В частности, с помощью гаммавизора было установлено наличие интенсивного распределенного источника γ-излучения, находившегося у западного основания вентиляционной трубы 3-го и 4-го блоков. Следует отметить, что изображение распределенного γ-источника было зарегистрировано из вентпомещения, которое расположено непосредственно под вентиляционной трубой, сквозь потолочное перекрытие, которое сыграло роль дополнительной защиты прибора. Этот γ-источник образовался из тех радиоактивных фрагментов реакторного графита, которые были выброшены из реактора в момент взрыва и, попав в вентиляционную трубу, осыпались к ее основанию. С помощью ручного гаммавизора были также обнаружены фрагменты твэла в южном помещении на 43 отметке (рис. 5), фрагменты графитового блока на крыше лифтовой шахты в реакторном зале 3-го блока и другие точечные γ-источники. Следует отметить, что найденные источники имели достаточно высокую активность, так как их удаление приводило к заметному улучшению радиационной обстановке во всем помещении, т.е. они вносили существенный вклад в МЭД γ-излучения во всех точках обследуемо-

РИС. 5 • Ручной вариант гамма-визора. а) γ-изображение точечного источника на экране ЭОПа. б) Фотография источника после его извлечения из-под обломков.

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

го пространства. Таким образом, использование гаммавизора в экстремальных условиях при проведении работ на ЧАЭС показало принципиальную работоспособность прибора. После окончания работ по ЛПА на ЧАЭС, в течение ряда лет существенные усилия были направлены на модернизацию гаммавизора за счет оптимизации отдельных составных его частей, в частности: улучшения контрастности и увеличения световыхода сцинтилляционного детектора, увеличению динамического диапазона ПЗС камер и т.д. В настоящее время гаммавизор достаточно широко используется в работах по реабилитации хранилищ РАО и работах по выводу из эксплуатации исследовательских реакторов РНЦ «Курчатовский институт» [11–12]. Современный детекторный блок гаммавизора, собранный в единое целое, состоит из сцинтилляционного детектора, ЭОПа и ПЗС матрицы, пристыкованной к экрану ЭОПа через фокон, что обеспечивает сведение изображения с размеров экрана ЭОПа до размеров ПЗС матрицы [11]. Применение компьютерной обработки данных позволяет выравнивать поле зрения детектора, контрастировать изображение, оценивать относительную интенсивность источников в поле зрения прибора, накапливать и обрабатывать информацию с помощью компьютера [12]. Идентификация радиоактивных объектов производится путем наложения оптического и γ-изображения на мониторе компьютера (см. рис. 6 на последней странице обложки). Такой путь позволяет сохранить вторую половину γ-изображения и не требует углового сканирования при проведении визуализации. В современном приборе детектирующий блок удален на значительное расстояние (до 200 м) от управляющего компьютера, что значительно снижает мощность дозы на оператора. На пульте управления системы установлен персональный компьютер, производящий ряд предварительных операций по получению и обработке изображения. Измерительная система снабжена мощным программным пакетом, с помощью которого производится управление всеми системами гаммавизора. Разработанное программное обеспечение используется для получения, хранения, представления и обработки оптического и гамма-изображений.

дозовая обстановка определяется не «яркими» точечными γ-источниками, а распределенным радиоактивным загрязнением почвы, стен и других поверхностей помещений и технологического оборудования. Таким образом, для контроля радиационной обстановки было необходимо разработать дистанционный метод измерения распределения плотности радиоактивности. Основной принцип разработанной методики заключался в измерении величины потока квантов в ограниченном телесном угле. Предположим, что на «чистой» плоскости существует круг радиуса r, равномерно загрязненный радионуклидами с плотностью активности q известного радиоизотопного состава (рис. 7а). Мощность дозы Р, на высоте Н над центром круга, можно вычислить по известной формуле:

3. Радиометрический метод измерения распределения поверхностной активности радионуклидов

где β – угол между направлением наблюдения и нормалью к поверхности (см. рис.7в), А – калибровочный коэффициент, который зависит от устройства датчика и спектрального состава загрязненной поверхности. Таким образом, измеряя поток γ-квантов в заданном направлении θ, φ (где θ, ϕ – полярный и азиму-

В ходе обследования с помощью гаммавизора помещений IV блока ЧАЭС и прилегающих территорий, достаточно быстро стало ясно, что

P = π Кγ q·ln(1 + (r /H)2), (3.1) где Кγ – гамма постоянная, зависящая от спектрального состава излучения. Поместив детектор γ-из лучения на высоте Н по оси круга, мы получим сигнал пропорциональный плотности активности q (см. 3.1). Если окружить детектор свинцовой защитой как показано на рисунке 7б, то величина сигнала не изменится, поскольку не изменится количество γ-квантов, попадающих в детектор. А значит, мы опять будем измерять сигнал ~ q. Теперь, если помимо загрязненного круга существуют другие радиоактивные источники (рис. 7в), то величина сигнала, при надлежащей толщине защиты, изменится незначительно, поскольку вклад радиоактивных загрязнений расположенных вне основания конуса в сигнал детектора будет существенно ослаблен. Для случая изотропного потока квантов со всех направлений толщина защиты определяется из следующего условия: KΩ0/4π >> 1,

(3.2)

где К – коэффициент ослабления защиты. Показание детектора ΔN связано простым соотношением с поверхностной плотностью активности и не зависит явным образом от расстояния до поверхности: Ω0 / cosβ , (3.3) ΔN = Aq

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

РИС. 7 • а – для случая радиоактивно-загрязненного круга, мощность дозы на высоте h определяется γ-квантами попадающими в телесный угол Ω0 ; б – сигнал дозиметра не меняется если его поместить в коллиматор с углом Ω0 ; в – измерение значения с помощью коллимированного детектора, при сканировании «загрязненной» плоскости.

тальный углы), можно измерить среднюю (по телесному углу коллиматора ΔΩ) поверхностную плотность активности:

A ∆N ⋅ cosβ . AΩ0

(3.4)

Имея информацию о поверхностной плотности активности элемента поверхности ΔS «загрязненного» помещения можно определить суммарную активность, если известна геометрия поверхностей в исследуемом помещении:

ложении прибора (с заглушкой и без), можно учесть фон, создаваемый γ-квантами, частично прошедшими сквозь защиту и попавшими в детектор. В точке расположения коллимированного детектора мощность экспозиционной дозы Р определяется общим количеством квантов, попавших в данную точку из всех телесных углов. Таким образом, ее можно определить, проводя измерения по всем углам: P = k ∑ ∆N i sin Θ ⋅ ∆Θ ⋅ ∆ϕ ,

(3.6)

Q = ∑ qi (θ, ϕ) = i

I ∆N i ⋅ Ri2 , ∑ A i ∆Si

(3.5)

где Ri – расстояние от точки измерения до поверхности, Проводя два измерения при каждом угловом по-

где Δθ и Δφ – шаг, с которым производятся измерения. Зная распределение плотности активности по всей внутренней поверхности помещения значение МЭД в произвольной точке пространства можно рассчитать по следующей формуле:

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

P = k∑ i

qi ⋅ ∆Si (3.7) Ri2

Здесь Ri – расстояния от элемента поверхности ΔSi с плотностью активности qi до рассматриваемой точки. Из сопоставления экспериментального значения МЭД в рассматриваемой точке определяется коэффициент пропорциональности k. Расчет МЭД в «загрязненном» помещении по формуле (3.7) не учитывает влияния поглощения и рассеяния γ-квантов в воздухе. Однако, как показали результаты численных расчетов, учитывающих взаимодействие γ-квантов с атомами воздуха, которые проводились с помощью метода Монте-Карло, оценка МЭД по формуле (3.7), для помещений с характерным размером до 100 м, дает погрешность, не превышающую 30 %. Для реализации предложенной выше методики был разработан прибор, который получил название – гамма-локатор.

3.1. Ручная версия гамма-локатора Первые версии гамма-локатора, использовавшиеся в аварийных условиях 4-го блока ЧАЭС представляли собой коллимированный детектор (КД) γ-излучения, установленный на поворотном устройстве, которое позволяло перемещать детектор относительно вертикальной и горизонтальной осей и измерять углы поворота (θ, φ). Прибор состоял из свинцовой или урановой защиты, закрепленной на поворотном устройстве, в которой размещались сцинтиллятор и ФЭУ с предварительным усилителем. Регистрирующий блок располагался рядом с поворотным устройством и соединялся с детектором с помощью провода [13]. Первоначально, в качестве регистрирующего блока при работе в токовом режиме использовались измерительные головки от ДРГЗ-01 или ДРГЗ-02, а при работе в счетном режиме – СРП-68. Толщина защиты определялась углом коллимации и требуемым соотношением полезный сигнал/фон. Основным отличием КД от серийно выпускаемых промышленных дозиметров и радиометров было наличие защиты с коллиматором. После завершения строительства объекта «Укрытие» мощность дозы вокруг объекта и в помещении машинного зала заметно подросла. Рост мощности дозы был связан с тем, что крыша «Укрытия» была достаточно тонкой и, в основном, рассеивала, а не поглощала высокоэнергетичные γ-кванты, которые, за счет комптоновского эффекта, перерассеивались на атомах воздуха, и частично возвращались на поверхность земли. Для корректного учета этого эффекта было необходимо измерить полный поток γ-квантов выходящих сквозь крышу объекта «Укры-

тия» и оценить их энергетический спектр. Для решения этой задачи был использован КД. Измерения проводились из освинцованного батискафа, который служил дополнительной боковой защитой. Батискаф перемещался над крышей «Укрытия» с помощью мощного строительного крана, что позволяло детально сканировать поверхность разрушенного IV центрального зала с помощью КД сквозь фальш-настил и трубный накат, которые служили крышей объекта «Укрытие». Детектирующая часть КД состояла из сцинтилляционного детектора (CsI(Tl), 15 мм в диаметре и 20 мм длиной) и кремниевого фотодиода, помещенных в свинцовую защиту толщиной 60 мм. КД был снабжен несколькими коллимирующими вставками и заглушкой. Входные углы коллимации вставок менялись от 5° до 25°, а заглушка была необходима для определения вклада фонового излучения, прошедшего на детектор сквозь свинцовую защиту детектора. Поток γ-излучения был очень велик, и детектор работал в токовом режиме, без спектрального разрешения. Для корректного учета спектра γ-излучения, детектор был предварительно откалиброван на точечном источнике – образце ядерного топлива, изъятого из развала реакторного зала. Чувствительность коллимированного детектора (отношение тока фотодиода к величине поверхностной активности) была определена для всех используемых вставок. Для оценки энергетического спектра γ-квантов применялись свинцовые фильтры (толщиной 3 и 5 мм). На основе проведенных измерений было рассчитано распределение поверхностной плотности активности по засыпке разрушенного реактора (см. рис. 8). Полученное распределение активности полностью совпало с качественной картинкой (см. рис. 3), полученной с помощью гаммавизора [7]. Поверхностная активность, показанная на рисунке 8, была рассчитана на основании измерений со свинцовыми фильтрами 5 мм толщины, т.е. по высокоэнергетичной части спектра (Е ≥ 200 кэВ). Для верификации измеренного распределения активности, с помощью численных методов, были рассчитаны значения МЭД в точках измерений и сопоставлены с данными стандартных дозиметрических измерений (ДРГ-01-Т). Расхождение измеренных и рассчитанных значений не превышало 30 %, что указывало на удовлетворительную точность измерения распределения активности. После того, как сквозь биологическую защиту реактора была пробурена скважина, появилась возможность измерения суммарного количества радиоактивности оставшегося в шахте реактора.

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

Для проведения измерений в шахте реактора был специально изготовлен коллимированный детектор, в качестве коллиматора которого был использован шар из обеденного урана диаметром 95 мм и телесным углом коллимации Ω0 = 0,115 стеррад [15]. В качестве детектора использовался газовый счетчик серии СИ-3БГ. Для выполнения фоновых измерений – определение потока γ-квантов, проходящих через боковую защиту, была предусмотрена заглушка, полностью перекрывающая угол коллимации. По соотношению величин сигналов измеренных за 1 и 5-ти миллиметровыми свинцовыми фильтрами, была оценена энергия γ-квантов. Она оказалась равной ~ 600 кэВ, что соответствовало энергии излучения основных радионуклидов, присутствующих в продуктах деления на то время. На основе этих измерений было рассчитано распределение поверхностной γ-активности на боковой цилиндрической поверхности шахты реактора, а также эффективная поверхностная γ-активность верхней и нижней торцевых поверхностей [15]. В июне 1988 внутри машинного зала 4-го блока ЧАЭС планировалось проведение масштабных строительно-монтажных работ, связанных с укреплением части строительных конструкций, которые сильно пострадали в момент аварии. В связи с этим возникла острая необходимость в создании карт МЭД

для различных высот от уровня пола. Помещение машинного зала имеет размеры 20 м в высоту, 60 м в ширину и 200 в длину, поэтому составление подробной карты распределения МЭД на высоте выше 5 м для столь масштабного помещения являлось для стандартных методов дозиметрии практически невыполнимой задачей. Для решения этой задачи был использован гамма-локатор. Из-за значительной протяженности помещения, измерения проводились из шести точек, что позволило добиться приемлемого пространственного разрешения в измерении распределения плотности γ-активности. Угловой шаг сканирования менялся от 5° до 25° и зависел от угла коллимации и места положения прибора. В каждой точке проводилось два измерения: со свинцовой заглушкой и без нее. С помощью гамма-локатора было измерено распределение эффективной поверхностной активности по полу, стенам и потолку помещения и на основании всех полученных данных была построена карта распределения активности [13]. Интегральный поток фотонов соотносился с МЭД в каждой точке измерения, полученные коэффициенты использовались при расчетах распределения МЭД во всем объеме помещения. МЭД рассчитывалась по сетке 6 × 6 м. Как пример на рисунке 9 представлено распределение МЭД на уровне 1 м над полом ма-

РИС. 8 • Распределение поверхностной активности по засыпке разрушенного реактора осенью 1986 г.

Кривая 1 соответствует поверхностной активности выше 0.925 ТБк/м2 (25 Ки/м2), 2 – 1.85 ТБк/м2 (50 Ки/м2), 3 – 2.775 ТБк/м2 (75 Ки/м2).

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

шинного зала МЭД достигала 1,8 Зв/ч. Результаты расчета как качественно, так и количественно совпадали с результатами измерений стандартными дозиметрами ДРГ-01Т (отклонение в точках измерения дозиметрами не превышало 20%). Основной вклад в МЭД на этой высоте вносило загрязнение пола помещения. Полученные карты МЭД позволили проектировщикам разработать оптимальную стратегию при проведении работ и тем самым снизить дозовые нагрузки, полученные персоналом в ходе работ по дезактивации этого помещения. Другим важным преимуществом описываемого метода является возможность моделирования ситуации. Разработанное программное обеспечение позволяло моделировать проведение дезактивационных или строительно-монтажных работ (например, «обшить» свинцовыми листами часть той или иной стены) и предсказывать к какому уменьшению МЭД может привести та или иная операция. Информация, полученная в результате численного моделирования, была использована в ходе проектно-конструкторских, строительно-монтажных и дезактивационных работ. Аналогичные измерения проводились и в ряде других помещений 4-го блока [13], что позволило оптимизировать проведение строительно-монтажных работ и снизить дозовые нагрузки на персонал.

Разработанные в 1986–1988 годах методы и приборы, позволили решить ряд задач, возникших в ходе ликвидации аварии на Чернобыльской АЭС. С появлением новой микроэлектронной базы стали доступны новые подходы к решению задач и разработка приборов следующего поколения. А с развитием компьютерной техники появилась возможность дальнейшего развития ранее разработанных методов. Поскольку проведение измерений с помощью гамма-локатора требовало заметного времени, то дозовая нагрузка на оператора была значительной. По этой причине было необходимо автоматизировать процесс измерений.

3.2. Автоматизированная спектрально-чувствительная версия гамма-локатора На основе опыта, полученного при измерениях в «загрязненных» помещениях, был разработан гамма-локатор, управляемый с помощью компьютера [9]. Эта версия гамма-локатора представляла собой автоматическую измерительную систему, которая предназначена для радиационного обследования загрязненных помещений и позволяет восстанавливать распределение МЭД в помещении с известной геометрией [13]. Измерительная часть гамма-локатора

РИС. 9 • Распределение МЭД в машинном зале 4-го блока Чернобыльской АЭС

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

была установлена на автоматизированное сканирующее устройство и могла быть удалена от управляющего компьютера на расстояние до 150 м. В качестве детектора фотонного ионизирующего излучения использовался сцинтилляционный кристалл CsI(Tl) размером 1×1×1 см3 и фотодиод со светочувствительной площадью 1 см2. Использование фотодиода в качестве фоторегистратора заметно снижало размеры детектора (по сравнению с ФЭУ) и, соответственно, вес защиты, что заметно упрощало требования к поворотному устройству. Геометрия обследуемого помещения предварительно вводилась в управляющий компьютер. Гамма локатор сканировал помещение с определенным угловым шагом и измерял поток фотонов ионизирующего излучения с выбранного направления. На основе измеренной поверхностной γ-активности и хорошо известных расстояний от места расположения прибора до поверхности, компьютер рассчитывал распределение МЭД во всем объеме помещения. Также было разработано программное обеспечение для управления сканирующим устройством, расчета эффективной поверхностной активности и на ее основе МЭД. В 1992 с помощью этой версии гамма локатора были выполнены измерения в дезактивированном помещении машинного зала 4-го блока ЧАЭС. Было показано, что в процессе дезактивации зала, проведенной в 1990–1991 годах, удалось существенно снизить МЭД на полу зала за счет удаления загрязнения с пола и стен помещения. Однако удалить загрязнение крыши в пределах 48–52 строительных осей не удалось ввиду присутствия фальш-крыши, закрывавшей этот участок. Измерения показали, что именно загрязнение крыши является основным, дозообразующим фактором для внутреннего объема машинного зала. Естественным продолжением развития системы гамма-локатор стало создание спектрометрического варианта прибора и его модификация для измерения в условиях с неизвестной геометрией объекта. Для создания спектрально-чувствительного детектора на основе сцинтиллятор + фотодиод, было необходимо решить ряд технических задач: −− оптимизировать форму сцинтиллятора и систему светосбора; −− разработать фотодиод с минимально возможными обратными токами; −− разработать компактный малошумящий предусилитель. Для оптимизации формы сцинтиллятора была разработана математическая модель светосбора, основанная на монте-карловских вычислениях, которая учитывала следующие факторы:

−− собственное поглощение света в кристалле; −− различные модели отражения света от граней кристалла (диффузное, зеркальное и комбинированное отражения). −− френелевское отражение света при переходе границы раздела сред с различными показателями преломления (сцинтиллятор – оптический контакт, оптический контакт – фотодиод и т.п.). Проведенные расчеты позволили решить задачу, связанную с оптимизацией формы и размеров кристалла при заданном его объеме. Это, в свою очередь, дало возможность создать детекторы с высокой счетной эффективностью (кристаллы большого объема) и хорошим энергетическим разрешением (Vkp ~ 20 см3, Δ E/E < 8% по линии 662 кэВ, 137Cs). Темновые токи определяются, в основном, качеством границы раздела кремний – окись кремния в месте выхода слоя объемного заряда на поверхность кремния. Применение пластин фирмы Wacker (Германия) позволили получить величину IT < 3 нА (при 20° С). Разработка технологии сборки детектора в части оптимизации оптического контакта и светоотражающего покрытия, позволили получить, в случае пары CsI(Tl) + Si фотодиод техническую конверсионную эффективность (при объеме сцинтиллятора 1 см3) равную 12 %. Был разработан также малогабаритный предусилитель с наклоном шумовой характеристики менее 18 эв/пФ и величиной собственного шума (по Si) – менее 1,2 кэВ[24]. Таким образом, модернизированный гамма-локатор включал следующие узлы и системы (см. рис. 10) [9]: −− измерительный блок, включающий в себя сканирующее устройство с датчиками поворота и коллимированный детектор; −− лазерный дальномер; −− ТV-камеру; −− спектранализатор; −− интерфейсные платы телекамеры и измерительного блока. Измерительный блок гамма-локатора (см. рис. 11) успешно использовался в условиях, где значения мощности экспозиционной дозы могли достигать 0,1 Зв/ч. Столь высокие радиационные поля накладывают дополнительные ограничения на используемые устройства и их конструкцию. Уровни измеряемой с помощью гамма локатора поверхностной активности могли достигать 3,7×1012 Бк/м2 (по 137Cs, угол коллимации детектора 10о), и предполагалось, что потоки фотонов в точке расположения детектора составляют величины до 5×106 квант/(с×см2). Для уменьшения счетной эффективности при высоких уровнях за-

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

грязнения использовался детектор из СsI(Тl) малого размера (∅ 8 мм×2,5 мм) и коллиматор с входным отверстием 8 мм. В этом случае счетная эффективность детектора для указанных выше уровней оценивалась 5 × 103 имп./с. Для нижнего диапазона измерений (3,7 × 106 – 3,7 × 109 Бк/м2) использовался детектор из СsI(Тl) размера (∅ 8мм × 20мм) и коллиматор с входным отверстием 9 мм. Данная версия гамма-локатора позволяла измерять эффективную поверхностную γ-активность загрязнения обследуемого объекта и, благодаря спектральному разрешению детектора, определять нуклидный состав загрязнения. При загрязнении нуклидом 137Cs, гамма-локатор позволял определять структуру радиоактивного загрязнения (поверхностное или объемное). Наличие лазерного дальномера позволяло с высокой точностью измерять

расстояние до измеряемой поверхности и даже восстанавливать саму форму поверхности, используя обработку данных [16]. С помощью разработанного гамма-локатора, в 1996 г. проводилось радиационное обследование реакторного зала разрушенного блока. Повторное проведение этих измерений было связано с «надеждами» ряда специалистов (в том числе и Западных) попытаться обнаружить значительное количество ядерного топлива под засыпкой центрального зала 4-го блока. Гамма-локатором было измерено распределение активности 137Cs по всем поверхностям помещения, с учетом его проникновения вглубь вещества поверхности. На основе полученных данных было рассчитано распределение МЭД во всем объеме помещения, восстановлена трехмерная геометрия поверхности и на нее наложено распределение МЭД.

3 4

200 m

РИС. 10 • Блок-схема гамма локатора. 1 – коллимированный детектор; 2 – поворотное устройство; 3 – лазерный дальномер; 4 –Блок-схема ПЗС камера; 5гамма – контроллер; 6 – переключатель-передатчик; – блок связи2и–управления; 8 – компьютер Рис.10. локатора. 1 – коллимированный7 детектор; поворотное

устройство; 3 – лазерный дальномер; 4 – ПЗС камера; 5 – контроллер; 6 – переключательпередатчик; 7 – блок связи и управления; 8 – компьютер.

РИС. 11 • Внешний вид измерительного блока гамма-локатора

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

Особенно тщательно была просканирована области расположения аварийного реактора. Эта поверхность сканировалась с угловым шагом 1° как по вертикали, так и по горизонтали. Это позволило достаточно точно восстановить 3-х мерную поверхность в области расположения схемы «Е» после разрушения реактора 4-го блока. В качестве примера на рисунке 12 (см. последняя страница обложки) представлена геометрия этой поверхности с наложенным на нее распределением МЭД на расстоянии 2 м от нее. Максимальные значения МЭД соответствуют ярко красным областям и достигают значений 0,12 Зв/ч [16]. Результаты новых измерений полностью совпали с предыдущими, что свидетельствовало об отсутствии ядерного топлива.

4. Методы измерения поверхностной и удельной активности 137cs в почве К началу 90-ых годов основные строительно-монтажные работы на IV блоке ЧАЭС завершились, и на первый план вышла задача дезактивации населенных пунктов. Чернобыльская авария привела к загрязнению радионуклидом 137Cs значительной площади Европейской части бывшего СССР. Во многих городах и поселках уровень загрязнения оказался выше 1,5×106 Бк/м2 по 137Cs. Для определения уровня загрязненности почвы радиоизотопами существует ряд традиционных методов. Один из них – аэрогамма-спектрометрическая съемка, которая дает возможность установить уровень крупномасштабных загрязнений с пространственным разрешением не более 100 метров. Второй подход – метод пробоотбора, признанный в настоящее время наиболее достоверным, имеет пространственное разрешение ~ 10 см. Однако он мало производителен и трудоемок, поэтому в населенном пункте обычно проводят не более 5–10 измерений, что не позволяет построить подробные карты распределения запаса 137Cs. Поэтому неудивительно, что попытки проведения масштабных дезактивационных работ в населенных пунктах, предпринятые в 1986–1989 гг., большого успеха не имели. В первую очередь это было связано с отсутствием подробных карт распределения запаса 137 Cs по подворьям населенных пунктов и отсутствием приборов, позволяющих оперативно контролировать эффективность проведения дезактивационных работ. Поэтому для принятия правильных решений по реабилитации населенных пунктов, подвергшихся радиоактивному загрязнению, потребовалась разработка новой методики и соответствующего приборного обеспечения, позволяющих оперативно получать достоверное распределение плотности загрязнения 137Cs в населенных пунктах.

Для составления карт загрязненности в населенных пунктах потребовалась разработка методики, которая позволяла бы оперативно определять плотность загрязнения 137Cs с пространственным разрешением ~ 1–2 м и давала бы возможность производить десятки тысяч измерений за один полевой сезон. При этом каждое измерение должно быть дешевым и простым, чтобы проводимое обследование территории было экономически целесообразным.

4.1. Описание методики определения плотности загрязнения и оценки величины заглубления в почве 137Cs Все рассуждения и выкладки, сделанные выше для КД, являются справедливыми для рассматриваемой методики. Действительно, пусть детектор, помещенный в свинцовый коллиматор достаточной толщины (рис. 13), расположен над плоскостью на некоторой высоте h. Если коллимированный детектор является спектрально-чувствительным и позволяет измерять скорость счета N в пике полного поглощения, которая формируется только нерассеянным излучением, то показания такого детектора будут связаны с поверхностной плотностью активности q и телесным углом коллиматора Ω0 простым соотношением: N = A ⋅ q ⋅ Ω0 ,

(4.1)

где А – калибровочный коэффициент, который зависит от устройства датчика и спектрального состава излучения загрязненной поверхности. Из выражения

РИС. 13 • Схема геометрии измерений:

1 – свинцовая защита и коллиматор; 2 – сцинтилляционный кристалл; 3 – слой почвы толщины Z, загрязненный 137Cs

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

(4.1) следует, что, с точностью до константы, поверхностная плотность активности q будет определяться скоростью счета в пике полного поглощения. Для учета фоновой составляющей, обусловленной прохождением гамма-квантов через боковые стенки свинцовой защиты, можно использовать процедуру поворота детектора вокруг горизонтальной оси на 180°. Действительно, поскольку в небе плотность активности q = 0, то в положении: «коллиматор смотрит в небо», скорость счета в определяется только γ-квантами, прошедшими сквозь защиту и является фоновой составляющей, которая затем вычитается из N. Таким образом, производя в каждой точке два измерения, можно по скорости счета в пике полного поглощения определять, среднее по углу зрения коллиматора детектора, значение поверхностной плотности активности q. Однако, такой способ определения поверхностной плотности активности (запаса) возможен при условии, что радионуклиды находятся только в верхнем тонком слое почвы. В реальной же ситуации с течением времени происходит проникновение радионуклидов в почву, что ослабляет нерассеянное излучение γ-квантов и делает некорректным определение запаса цезия, основанного на использовании выражения (4.1). Для создания методики измерений запаса 137Cs с учетом его заглубления был проведен анализ, основанный на результатах численных расчетов методом Монте-Карло и экспериментальном моделировании с применением эталонного объемного источника. Для различных условий заглубления цезия в почве рассчитывалось амплитудное распределение сигнала коллимированного детектора (отклик детектора) с учетом многократного взаимодействия γ-квантов с почвой и сцинтилляционным кристаллом детектора (NaI размером Ø 50×50 мм). В расчетах учитывалось также ослабление нерассеянного излучения в свинцовой защите и коллиматоре детектора. Амплитудное распределение сигнала детектора рассчитывалось с учетом функции распределения поглощенной энергии γ-квантов в сцинтилляционном кристалле. Предполагалось, что амплитуды импульсов, выраженные в соответствующей шкале энергетической переменной Е, статистически распределены около среднего значения Q по нормальному закону.

Функция распределения поглощенной энергии гаммаквантов в кристалле – Р(Е0,Q) рассчитывалась методом Монте-Карло с учетом возможного процесса многократного рассеяния квантов в сцинтилляторе. В окончательном виде амплитудное распределение сигнала детектора N(Е0,Е) определялось по формуле: N ( E0 , E ) =

∫ P ( E , Q ) G ( Q, E ) dQ 0

(4.2)

где G(Q, E) – функция нормального распределения величины Е со средним значением Q и дисперсией σ 2. На рисунке 14 представлены функции отклика детектора, рассчитанные при условии равномерного заглубления радионуклидов в почве для различных длин свободного пробега (25–30 см в почве) при постоянной величине запаса цезия. Из рисунка видно, что по мере увеличения заглубления скорость счета в области пика полного поглощения резко падает, а в диапазоне энергий 400–560 кэВ меняется достаточно слабо. Это означает, что скорость счета N1 в этом диапазоне энергий пропорциональна величине запаса цезия q и почти не зависит от величины заглубления, т.е. для этого энергетического диапазона для величин N1 и q имеет место соотношение, аналогичное выражению (4.1). Физически это объясняется тем, что в энергетическом

РИС. 14 • Функции отклика детектора при регистрации

излучения 137Cs равномерно заглубленного в почве на величину: 1 - Z=0; 2 - Z=1; 3 - Z=2; 4 - Z=4 (в длинах свободного пробега).

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

диапазоне 400–560 кэВ скорость счета формируется за счет регистрации детектором нерассеянного (первый компонент, комптоновская часть аппаратурного спектра) и рассеянного излучений (второй компонент). Второй компонент, в указанном энергетическом диапазоне спектра, обусловлен регистрацией детектором γ-квантов однократно рассеянных в почве на малые углы. По мере заглубления источника, первый компонент уменьшается, второй – возрастает, причем так, что их изменения практически компенсируют друг друга. Следует отметить, что для небольших заглублений скорость счета в указанном диапазоне спектра слабо зависит не только от глубины залегания цезия в почве, но и от характера его распределения по глубине. Данное утверждение основано на результатах численного моделирования, проведенного для различных видов заглублений цезия в почве. На рисунке 15 приведены зависимости относительной скорости счета в энергетическом интервале 400–560 кэВ (т.е. отношение скорости счета заглубленного источника N1 к скорости счета незаглубленного – N01) от величины заглубления: для равномерного (кривая 1), треугольного (кривая 2) и экспоненциального (кривая 3) профилей, а также плоского тонкого заглубленного источника (кривая 4). Исследования, проведенные другими авторами, показали, что характер распределения цезия в почве, в основном, соответствует первым трем типам распределений или их комбинациям. Таким образом, из рисунке 15 видно, что при заглублении радиоизотопа 137Cs до 3-х длин свободного пробега можно определять его запас в почве по скорости счета в комптоновской части спектра 400–560 кэВ, при этом методическая погрешность этого способа не будет превышать 30 %. Для реализации методики был разработан и аттестован, как средство измерений, радиометр РКГ-09Н («Корад» – коллимированный радиометр) [17]. В состав РКГ-09Н входят: коллимированный сцинтилляционный детектор NaI(Tl) размером 50×50 мм, пульт управления, включающий в себя предусилитель, узел высоковольтного и низковольтного питания, батарея типа 10НКГЦ-3.5-1, спектрометрический усилитель с программируемым усилением, 256-канальный АЦП, микропроцессор типа 80С31, ОЗУ, а также ППЗУ для программ обработки. РКГ-09Н позволял изме-

РИС. 15 • Зависимость относительной скорости счета

γ-квантов в энергетическом интервале (400-560) кэВ от величины

рять и хранить в памяти значения поверхностной активности, содержание (концентрацию) нуклида, измеренные в 1000 точках, а также записывать 44 спектра излучения. Прибор обладает пространственным разрешением около 2,0 м2, а энергетическое разрешение детектора по линии 662 кэВ составляет 7,6 %. Программное обеспечение радиометра позволяет осуществлять выбор условий и режима измерения, измерять спектры γ-излучения на местности, осуществлять обработку, запоминание, протоколирование, визуальную индикацию результатов измерений на экране встроенного дисплея. Программное обеспечение радиометра исключает возможность искажения результатов и обеспечивает контроль соблюдения регламента измерений. Калибровка приборов проводилась на поверхностных плоских источниках, аттестованных во ВНИИФТРИ Госстандарта РФ. С помощью РКГ-09Н было выполнено большое количество измерений на загрязненных территориях Черниговской области Украины, Гомельской, Могилевской областей Белоруси, Брянской, Тульской, Челябинской областей РФ [18]. Для каждого обследованного участка строились карты распределения содержания 137Cs, глубины его проникновения внутрь почвы и МЭД на 1 м от поверхности почвы [19–21]. В качестве примера на рисунке 16 (см. последняя страница обложки) представлена карта распределения содержания 137Cs в почве одного из обследованных участков Брянской области.

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

С помощью прибора «РКГ-09Н» были выполнены измерения удельной активности естественных радионуклидов на отвалах урановых рудников ПО «Висмут» (Восточная Германия). В ходе совместных российско-немецких измерений «РКГ-09Н» был откалиброван на калибровочных площадках для измерения удельной активности 226Ra и 40K. Спектры γ-излучения почвы отвалов показали, что удельную активность 226Ra можно определить по линии 609 кэВ, а удельную активность 40K – по линии 1460 кэВ. Сравнение результатов лабораторного анализа проб грунта, полученных немецкими специалистами, и измерений «РКГ-09Н» показало, что в местах, где один радионуклид превалирует над остальными, возможно корректное определение удельной активности этого радионуклида. Результаты, полученные этими двумя методами, отличались друг от друга на величину, не превышающую 30%. Предел чувствительности прибора для определения удельной активности 40K оказался 200 Бк/кг, а 226 Ra – около 100 Бк/кг. Эти величины достаточны для картирования отвалов рудников и измерения удельной активности естественных радионуклидов в стройматериалах [22].

5. Заключение Разработанные методы и средства измерений показали свою эффективность при проведении полного цикла измерений в условиях радиоактивно загрязненных территорий и помещений [23]. Компьютерные базы данных, полученные в результате измерений, оказались полезными для классификации помещений с точки зрения радиационной опасности. Представленные версии приборов могут применяться в качестве дистанционных систем контроля за изменением радиационной обстановки в случае внештатной ситуации на ядерно-опасных объектах или предприятиях ядерного цикла. Показана возможность применения таких систем для измерения удельной активности отвалов урановых рудников и строительных материалов. Динамический диапазон измерений средств измерения менялся в широких пределах от 20 кБк/м2 до 2.5 ТБк/м2 и определялся только размерами применяемых сцинтилляционных детекторов, что позволяло решать большой набор конкретных задач: от измерения уровней р/а загрязнения почв до контроля за радиационной обстановкой внутри конструкции разрушенных реакторов или хранилищ высокоактивных отходов. Авторы благодарят Рудакова Л.И., руководившего этими исследованиями на начальных стадиях работ и внесшего большой вклад в трактовку результатов измерений. Авторы бесконечно признательны всем своим коллегам, принимавшим участие в этих работах, и тем соратникам по работам на ЧАЭС, с которыми свела судьба.

Литература 1. Ramsden D., Bird A.J., Palmer M.J., Durrand P.T., Gamma-ray imaging system for the nuclear environment, Remote techniques for hazardous environments, BNES, 1995. PP. 283–289. 2. Mottershead G., Orr C.H. A gamma scanner for predecommissioning monitoring and waste segregation, The Nuclear Engineer, 1996. Vol. 37. № 1. PP. 3–6. 3. Gal O., Izac C., Jean F., Laine F., Leveque C., Nguyen A., «CARTOGAM – a portable gamma camera for remote localization of radioactive sources in nuclear facilities,» Nucl. Instrum. Meth., 1999. vol. A 460. РP. 138–145. 4. Santo J.T., Maul M., Lucero R., Clapham M., Battle B. et al, Application of Remote Gamma Imaging Surveys at the Turkey Point PWR Reactor Facility. [on line] http://www.pajaritoscientific.net/pdf/TECH_APP_ REMOTE_GAMMA_IMAGING_TURKEY_POINT_ FACILITY.pdf 5. A.N. Sudarkin, O.P. Ivanov, V.E. Stepanov, L.I. Urutskoev, Portable gamma-ray imager and its application for the inspection of the near-reactor premises contaminated by radioactive substances, Nucl. Instr. and Meth. A 414, 1998. PP. 418–426. 6. O.P. Ivanov, A.V. Chesnokov, A.N. Sudarkin, V.E. Stepanov, L.I. Urutskoev, History of development of gamma-ray imagers in Russia since 1986, –Nucl. Instr. and Meth. A 422. 1999. № 1–3. PP. 677–682. 7. В.Г. Волков, А.Г. Волкович, В.И. Ликсонов и др., Прибор для поиска и идентификации источников гамма-излучения и получения гамма-изображений (гамма-визор). Атомная энергия, 1991. т. 71. вып. 6. 578 с. 8. А.Г. Волкович, А.Н. Сударкин, В.Е. Степанов, Л.И. Уруцкоев. Разработка и создание приборов визуализации и дистанционного измерения плотности активности источников излучения для ликвидации последствий аварий на ядерных объектах. Тезисы докладов Всероссийской конференции Радиологические, медицинские и социально-экономические последствия аварии на ЧАЭС реабилитация территорий и населения» М. 21–25 мая, 1995. С.11–12. 9. С.М. Игнатов, В.Н. Потапов, Л.И. Уруцкоев, А.В. Чесноков, С.Б. Щербак, Автоматизированная система дистанционного определения характеристик полей фотонного ионизирующего излучения аварийных объектов, ПТЭ, 1998. №4. С. 134–139. 10. A.V. Chesnokov, S.M. Ignatov, V.N. Potapov, et al. Determination of surface activity and radiation spectrum characteristics inside buildings by a gamma locator, Nuclear Instruments and Methods in Physics Research – Section A. 1997. Vol. 401. PP. 414–421. 11. Волкович А.Г., Потапов В.Н., Смирнов С.В. и др., «Измерения полей фотонов ионизирующего излучения в реакторном зале 4-го блока ЧАЭС», Атомная энергия, 2000. т. 88. № 3. С. 203–207. 12. О.П. Иванов, Новый подход к созданию портативной гамма-камеры с максимальным углом обзора, Атомная энергия, 2010. т. 108. вып. 1. С. 46–50. 13. А.Г. Волкович, Ю.В. Коба, В.И. Ликсонов и др., Применение коллимированного детектора при лик-

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

видации последствий аварии в машинном зале 4-го энергоблока ЧАЭС, Атомная энергия, 1990. т. 69. вып.6. С. 389–391. 14. В.Г. Волков, Ю.А. Зверков, О.П. Иванов, и др., Ликвидация труднодоступного хранилища высокоактивных отходов РНЦ «Курчатовский институт», Атомная энергия, 2008. T. 105. вып. 3. С. 164–169. 15. А.Г. Волкович, В.И. Ликсонов, Д.А. Лобановский, и др., Измерение распределения поверхностной плотности активности в шахте реактора 4-го энергоблока Чернобыльской АЭС, Атомная энергия, 1990. т. 69. в. 3. С. 164–167. 16. V.I. Fedin, A.A. Gulyaev, V.N. Potapov, et al, Application of Gamma Locator for Contamination Measurements inside 4-th Reactor Hall of Chernobyl NPP, IEEE Trans. On Nucl. Sci. 1998. Vol. 45. № 3. part. PP. 986–991. 17. А.П. Говорун, В.И. Ликсонов, В.П. Ромашко и др. Спектрально-чувствительный переносной коллимированный гамма-радиометр «КОРАД», ПТЭ № 5. 1994. C. 207–208. 18. A.V. Chesnokov, A.P. Govorun, M.V. Ivanitskaya, V.I. Liksonov S.B. Shcherbak, Cs-137 Contamination of Techa Flood Plain in Brodokalmak Settlement, Applied Radiation & Isotopes, 1999. Vol. 50. Р. 1121–1129. 19. В.Н. Потапов. Разработка радиометрических систем и методов полевых и дистанционных измерений радиоактивного загрязнения на основе моделирования переноса излучений», Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, 2009 г. 324 с. 20. О.П. Иванов, В.Н. Потапов, С.Б. Щербак, Расчет мощности экспозиционной дозы гамма-излучения над плоской поверхностью с неравномерно распределенной активностью радионуклидов, –Атомная энергия, 1995. № 79. Вып. 2. С. 130–134. 21. Arapis G., Chesnokov A., Ivanova T., Potapov V., Sokolik G. Evaluation of dose equivalent rate reduction as a function of vertical migration of Cs-137 in contaminated soils, Journal of Environmental Radioactivity, November 1999. Vol. 46. Issue. 2. Р. 251–263. 22. В.Г. Волков, В.Е. Степанов, Л.И. Уруцкоев, А.В. Чесноков, Радиометрические методы измерения удельной активности радионуклидов уранового ряда, Атомная энергия, декабрь 2009. т. 107. вып. 6. С. 329–334. 23. В.Е. Степанов, В.Н. Потапов, С.В. Смирнов, А.С. Данилович, «Радиационное обследование помещений реактора МР с использованием дистанционноуправляемой сканирующей системой». Атомная энергия, 2012, т. 113. вып. 2. С.101–105. 24. Игнатов С.М., Уруцкоев Л.И. и др. Энергетические разрешения детекторов гамма-излучения, изготовленных на основе системы сцинтиллятор-СsI(Тl) Si фотодиод. ПТЭ, 1994. вып. 2. 38 с.

References 1. Ramsden D., Bird A.J., Palmer M.J., Durrand P.T., Gamma-ray imaging system for the nuclear environment, Remote techniques for hazardous environments, BNES, 1995. PP. 283–289. 2. Mottershead G., Orr C.H. A gamma scanner for predecommissioning monitoring and waste segregation, The Nuclear Engineer, 1996. Vol. 37. № 1. PP. 3–6. 3. Gal O., Izac C., Jean F., Laine F., Leveque C., Nguyen A., «CARTOGAM – a portable gamma camera for remote localization of radioactive sources in nuclear facilities,» Nucl. Instrum. Meth., 1999. Vol. A 460. РP. 138–145. 4. Santo J.T., Maul M., Lucero R., Clapham M., Battle B. et al, Application of Remote Gamma Imaging Surveys at the Turkey Point PWR Reactor Facility. [on line] http://www.pajaritoscientific.net/pdf/tech_app_ remote_gamma_imaging_turkey_point_facility.pdf. 5. A.N. Sudarkin, O.P. Ivanov, V.E. Stepanov, L.I. Urutskoev, Portable gamma-ray imager and its application for the inspection of the near-reactor premises contaminated by radioactive substances, Nucl. Instr. and Meth. A 414, 1998. PP. 418–426. 6. O.P. Ivanov, A.V. Chesnokov, A.N. Sudarkin, V.E. Stepanov, L.I. Urutskoev, History of development of gamma-ray imagers in Russia since 1986, Nucl. Instr. and Meth. A 422. 1999. № 1–3. PP. 677–682. 7. V.G. Volkov, A.G. Volkovich, V.I. Liksonov i dr., Pribor dlya poiska i identifikacii istochnikov gamma-izlucheniya i polucheniya gamma-izobrazhenij (gamma-vizor). Atomnaya energiya [Device for the search and identification of gamma-ray sources and the gamma images (gamma-visor). Nuclear energy], 1991. T. 71. Vyp. 6. 578 p. 8. A.G. Volkovich, A.N. Sudarkin, V.E. Stepanov, L.I. Urutskoev. Razrabotka i sozdanie priborov vizualizacii i distancionnogo izmereniya plotnosti aktivnosti istochnikov izlucheniya dlya likvidacii posledstvij avarij na yadernyh obektah. Tezisy dokladov Vserossijskoj konferencii Radiologicheskie, medicinskie i social'no-ekonomicheskie posledstviya avarii na ChA`ES reabilitaciya territorij i naseleniya» [Design and creation of instruments of visualization and remote measurement of the density of activity radiation sources for mitigation of accidents at nuclear facilities. Abstracts of All-Russian Conference of Radiology, health and socio-economic consequences of the Chernobyl accident rehabilitation of territories and population] M. 21–25 may, 1995. PP. 11–12. 9. S.M. Ignatov, V.N. Potapov, L.I. Urutskoev, A.V. Chesnokov, S.B. Scherbak, Avtomatizirovannaya sistema distancionnogo opredeleniya harakteristik polej fotonnogo ioniziruyuschego izlucheniya avarijnyh obektov, PTE [Automated system for remote characterization fields photon-ionizing radiation emergency facilities, PTE], 1998. № 4. PP. 134–139. 10. A.V. Chesnokov, S.M. Ignatov, V.N. Potapov, et al. Determination of surface activity and radiation spectrum characteristics inside buildings by a gamma lo-

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

cator, Nuclear Instruments and Methods in Physics Research – Section A. 1997. Vol. 401. PP. 414–421. 11. Volkovich A.G., Potapov V.N., Smirnov S.V. i dr., Izmereniya polej fotonov ioniziruyuschego izlucheniya v reaktornom zale 4-go bloka ChAÈS. Atomnaya energiya [Measuring the photon fields of ionizing radiation in the reactor hall of the 4th block Chernobyl. Nuclear Energy,], 2000. T. 88. № 3. PP. 203–207. 12. O.P. Ivanov. Novyj podhod k sozdaniyu portativnoj gamma-kamery s maksimal'nym uglom obzora, Atomnaya energiya [A new approach to the creation of a portable gamma camera with a maximum viewing angle, Atomic Energy], 2010. T. 108. Vyp. 1. PP. 46–50. 13. A.G. Volkovich, Yu.V. Koba, V.I. Liksonov i dr., Primenenie kollimirovannogo detektora pri likvidacii posledstvij avarii v mashinnom zale 4-go energobloka ChAÈS, Atomnaya energiya [The use of a collimated detector in the aftermath of the machine room of the 4th power Chernobyl Nuclear Power], 1990. T. 69. Vyp.6. PP. 389–391. 14. V.G. Volkov, Yu.A. Zverkov, O.P. Ivanov, i dr., Likvidaciya trudnodostupnogo hranilischa vysokoaktivnyh othodov RNC «Kurchatovskij institut», Atomnaya energiya [Elimination of hard-to-high-level waste repository, RRC «Kurchatov Institute», is the atomic energy], 2008. T. 105. Vyp. 3. PP. 164–169. 15. A.G. Volkovich, V.I. Liksonov, D.A. Lobanovskij, i dr., Izmerenie raspredeleniya poverhnostnoj plotnosti aktivnosti v shahte reaktora 4-go energobloka Chernobyl'skoj AÈS, Atomnaya ènergiya [Measurements of the surface density of activity in the reactor cavity of the 4th unit of the Chernobyl Nuclear Power Plant, Nuclear Power], 1990. T. 69. V. 3. PP. 164–167. 16. V.I. Fedin, A.A. Gulyaev, V.N. Potapov, et al, Application of Gamma Locator for Contamination Measurements inside 4-th Reactor Hall of Chernobyl NPP, –IEEE Trans. On Nucl. Sci. 1998. Vol. 45. № 3. part. PP. 986–991. 17. A.P. Govorun, V.I. Liksonov, V.P. Romashko i dr., Spektral'no-chuvstvitel'nyj perenosnoj kollimirovannyj gamma-radiometr «KORAD», PTÈ [Spectralsensitive portable collimated gamma-radiometer «Ladder», PTE] № 5. 1994. PP. 207–208. 18. A.V. Chesnokov, A.P. Govorun, M.V. Ivanitskaya, V.I. Liksonov S.B. Shcherbak, Cs-137 Contamination of Techa Flood Plain in Brodokalmak Settle-

ment, Applied Radiation & Isotopes, 1999. Vol. 50. Р. 1121–1129. 19. V.N. Potapov. Razrabotka radiometricheskih sistem i metodov polevyh i distancionnyh izmerenij radioaktivnogo zagryazneniya na osnove modelirovaniya perenosa izluchenij, Dissertaciya na soiskanie uchenoj stepeni doktora fiziko-matematicheskih nauk [Development of radiometric systems and methods of the field and remote sensing measurements of radioactive contamination on the basis of modeling the radiation transport, Thesis for the degree of Doctor of Physical and Mathematical Sciences], 2009 g. 324 p. 20. O.P. Ivanov, V.N. Potapov, S.B. Scherbak, Raschet moschnosti ekspozicionnoj dozy gamma-izlucheniya nad ploskoj poverhnost'yu s neravnomerno raspredelennoj aktivnost'yu radionuklidov, -Atomnaya ènergiya [The calculation of the exposure dose of gamma radiation over a flat surface with the uneven distribution of activity of radionuclides is the atomic energy], 1995. №79. Vyp. 2. PP. 130–134. 21. Arapis G., Chesnokov A., Ivanova T., Potapov V., Sokolik G. Evaluation of dose equivalent rate reduction as a function of vertical migration of Cs-137 in contaminated soils, Journal of Environmental Radioactivity, November 1999. Vol. 46. Issue. 2. РP. 251–263. 22. V.G. Volkov, V.E. Stepanov, L.I. Urutskoev, A.V. Chesnokov, Radiometricheskie metody izmereniya udel'noj aktivnosti radionuklidov uranovogo ryada, Atomnaya ènergiya [Radiometric methods for measuring specific activity of radionuclides of the uranium series, Atomic Energy, December], 2009. T. 107. Vyp. 6. PP. 329–334. 23. V.E. Stepanov, V.N. Potapov, S.V. Smirnov, A.S. Danilovich, Radiacionnoe obsledovanie pomeschenij reaktora MR s ispol'zovaniem distancionno-upravlyaemoj skaniruyuschej sistemoj. Atomnaya ènergiya [Radiation survey of the premises MR reactor using a remote-controlled scanning system. nuclear energy], 2012. T. 113. Vyp. 2. PP. 101–105. 24. Ignatov S.M., Urutskoev L.I. i dr. Energeticheskie razresheniya detektorov gamma-izlucheniya, izgotovlennyh na osnove sistemy scintillyator-SsI(Tl) Si fotodiod. PTÈ [Energy resolution gamma-ray detectors made on the basis of the scintillator-CsI (Tl) Si photodiode. PTE], 1994. Vyp. 2. 38 p.

Сведения об авторах Information about the authors Уруцкоев Леонид Ирбекович доктор физ.-мат. наук Российская академия народного хоз. и гос. службы при Президенте Российской Федерации (РАНХ и ГС), МФТИ E-mail: urleon@ya.ru Чесноков Александр Владимирович доктор техн. наук ФГБУ Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»

Urutskoev Leonid Irbekovich Professor of MPhTI Doctor of Phys.-Math. Sciences The Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (RANEPA) E-mail: urleon@ya.ru Chesnokov Alexander Vladimirovich Doctor of Tech. Sciences National Research Center «Kurchatov Institute»

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

А.Л. Галиев – доктор техн. наук, профессор, Р.Г. Галиева – канд. пед. наук, доцент А.Ф. Шишкина – канд. техн. наук, зам. директора, доцент

E-mail: galievanvar@mail.ru Филиал Уфимского государственного авиационного технического университета Республика Башкортостан, г. Стерлитамак

Анализ детектора огибающей устройства ослабления акустической обратной связи В статье приведен анализ качественных характеристик детектора огибающей, использующегося в устройствах ослабления акустической обратной связи с компандированием огибающей речевого сигнала. Детектор выполнен на операционном усилителе по схеме однополупериодного выпрямителя, что позволяет реализовать линейную детекторную характеристику в широком диапазоне амплитуд сигнала. Для получения аналитических выражений, достаточно точно описывающих работу детектора, используется аппроксимация детекторной характеристики, которая удовлетворяет большинству типов полупроводниковых диодов. При этом речевой сигнал в устройстве рассма-

тривается как амплитудно-модулированный. Анализ математической модели и экспериментальные исследования работы детектора показали, что его включение в схему вызывает сдвиг фазы огибающей, диапазон которого не превышает одно-двух периодов частоты речевого сигнала. Малое смещение не снижает качество и разборчивость речи, но проявляется в виде нелинейных искажений синтезированного сигнала.

Ключевые слова: детектор огибающей, акустическая обратная связь, сдвиг фазы, коэффициент нелинейных искажений, операционный усилитель.

А.L. Galiev – Doctor of Tech. Sciences, Professor R.G. Galieva – Cand. of Pedag. Sciences, Associate Professor А.F. Shishkina – Cand. of Techn. Sciences, Deputy Director, Associate Professor

E-mail: galievanvar@mail.ru Branch of Ufa State Aviation Technical University Republic of Bashkortostan, Sterlitamak

ANALYSIS OF THE ENVELOPE DETECTOR DEVICE ATTENUATION OF ACOUSTIC FEEDBACK The article is an analysis of the qualitative characteristics of the envelope detector is used in devices attenuation of acoustic feedback companding envelope of the speech signal. The detector is formed by an operational amplifier circuit for half-wave rectifier, which allows to realize a linear detector response over a wide range of signal amplitudes. To obtain analytical expressions, quite accurately describe the operation of the detector, the detector characteristics used approximation, which satisfies most types of semiconductor diodes. Thus the speech signal is considered as a unit of the amplitude-modu-

В системах ослабления паразитной акустической обратной связи с компандированием огибающей речевого сигнала [1] основным «источником» нелинейных и фазовых (временных) искажений является детектор огибающей (ДО). В данной работе авторы анализируют качественные характеристики детектора огибающей, выполненного на операционном усилителе по схеме однополупериодного выпрямителя. Применение операционного усилителя в ДО позволяет реализовать линейную детекторную характеристику (АХ) в широком диапазоне амплитуд речевого сигнала. Для анализа речевой сигнал представим в виде амплитудно-модулированного сигнала с глубиной модуляции m, а для более полного исследования

lated signal. Analysis of the mathematical model and experimental studies of the detector shown that its inclusion in the circuit shifts the phase of the envelope , the range which does not exceed one or two periods of the frequency of the speech signal . Small displacement does not reduce the quality and intelligibility, but manifested in the form of non-linear distortion of the synthesized signal.

Keywords: envelope detector, acoustic feedback, phase shift, total harmonic distortion (THD), operational amplifier.

свойств ДО и с целью получения более точных аналитических выражений его характеристик, воспользуемся аппроксимацией АХ функцией, удовлетворяющей большинству полупроводниковых диодов: UОГ = a(U C1 α − c1 α )α , UC > 0, a > 1

(1)

где a = K × m; K = R2 R1 - модуль коэффициента передачи ОУ с обратной связью; UС и UОГ - амплитуды напряжений речевого сигнала и его огибающей соответственно; с ≈ 0,1 мВ - параметр, определяемый по данным эксперимента; a - параметр, зависящий от типа полупроводникового диода.

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

При определении модуля коэффициента передачи ОУ сопротивлением диода VD2 в прямом направлении можно пренебречь, т. к. RVD пр << R2. Зависимость (1) с высокой точностью совпадает с экспериментальными кривыми в широком диапазоне входных сигналов. Ошибка аппроксимации при входном напряжении более 1 мВ не превышает одного процента. Для большинства полупроводниковых диодов справедливо соотношение a = 2, тогда, используя (1) можно получить аналитическое выражение для коэффициента передачи ДО при отсутствии паразитной генерации в системе KДО =

R3 m R2

(

UC − c UC

)

(2)

Сравнение характеристик обычного диодного детектора и детектора на ОУ показывает, что динамический диапазон анализируемого ДО на два порядка выше, чем у обычного диодного детектора. Для вычисления коэффициента нелинейных искажений воспользуемся формулой [2]: 1 S12 + S22 m 2U C2 1 36 kГ = mU C ⋅ , 4 S + 1 S m 2U 2 0 2 C 8

(3)

1 α α −1

(4)

α − 1 α1 c × 4α 2

1 1 α C

1 α

1 α 2

(U − c )

 2 1 (α − 1)(α − 2) α m 2 U C (U − c ) 1 + c 1 1 2  8 α U Cα − c α  1 α C

Представляя переходную характеристику ФНЧ ДО как h(t) =1 - e-t/t, где t = R3 × C1 - постоянная времени ФНЧ ДО, получаем выражение для динамического коэффициента передачи в комплексной форме:

K (Ωt ) =

K ( a, b) =

m2 2 (α − 2)c α α2

   

(6)

(7)

1+ e

−2

t τ

−

− 2e τ cos Ωt . 1 + Ω 2 τ2

(8)

Для удобства анализа перейдем к безразмерным переменным: a = t/t, b = W × t и перепишем выражение (8) в виде нормированного коэффициента передачи:

Подставляя (4) в (3), получим:

K ( jΩ, t ) = h(0) + ∫ h(τ)e− jΩτ d τ ,

Модуль коэффициента передачи:

  S0 = K ⋅ mU (U − c )  1 1 1 1 α − 1 α α −2 α  S1 = K ⋅ m c U C (U C − c α )α − 2  . α  1  (α − 1)(α − 2) α2 α1 −3 α1 c U C (U C − c α )α −3  S2 = K ⋅ m 2 α 

kГ =

На рисунке 1 приведены зависимости коэффициента нелинейных искажений от амплитуды входного сигнала для четырех значений глубины модуляции m. Расчетные зависимости свидетельствуют, что ДО на ОУ способен работать при больших глубинах модуляции (при большом динамическом диапазоне речевого сигнала) с малыми нелинейными искажениями. Динамический диапазон линейного детектирования ДО достигает 40-60 дБ. Экспериментально установлено, что детектор огибающей вызывает смещение огибающей речевого сигнала. Для анализа времени смещения огибающей после детектирования воспользуемся переходной характеристикой ФНЧ ДО. Динамический коэффициент ФНЧ выразим через нормированную переходную характеристику h(t):

1 − e τ e − jΩ t . K ( jΩ, t ) = 1 + jΩτ

В результате вычислений имеем: 1 α C

1 m c . 8 UC − c

−

' '' ''' где S0 U= = U ОГ (U C ), S2 = U ОГ (U C ) . ОГ (U ! ), S1

1 −1 α C

kГ =

(5)

При a = 2 выражение (5) упрощается и принимает вид:

1 + e−2 a − 2e− a cos ab . 1 + b2

(9)

Зависимости (9) позволяют определить максимальное значение постоянной времени цепи для заданного значения смещения фазы огибающей. Сдвиг фазы огибающей можно представить как: Djог = Wог × t = Wог × a × t = Wог × tm , где Wог - частота огибающей речевого сигнала; tm - максимальное смещение огибающей во времени.

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

Частота огибающей определяется временной функцией речевого сигнала, основанной на общепринятой теории образования гласных звуков речи [3, 4] с использованием таких свойств процессов образования голосовых звуков речи как медленность изменения резонансных параметров артикуляционного аппарата и наличие временных интервалов полного смыкания голосовых связок [5]. Временная функция речевого сигнала f(t) является решением дифференциального уравнения [6]: 2q

∑ aα ⋅ f (α ) (t ) = M (t ) ,

(10)

α =0 2q

∑a

* ⋅ f α (t ) = M * (t ) ,

(11)

α =0

где M (t ) = ∑ bα ⋅ h( α ) (t ) , M * (t ) = ∑ bα * ⋅hα (t ) , α =0

α =0

f (t) = d f / d t - производные речевого сигнала f(t), fa(t) = f (t + a × Dt) - временные сдвиги речевого сигнала (a = 0, 1, 2, 2q), h(t) - импульсная функция основного тона, Dt - положительная константа. a

Коэффициенты аa уравнения (10) связаны с полюсами рa коэффициента передачи К(р) рассматриваемой линейной акустической системы: a0 + a1 × pa + a2q × pa2q = 0 (a = 1, 2, … q), где q - число формант речевого тракта. В результате экспериментов и вычислений по (10, 11) можно определить длительность интервалов

3.24 kg1 ( U)

размыкания голосовых связок, позволяющих установить среднее значение частоты огибающей сигнала [6]. Установлено, что средняя частота огибающей соответствует частоте размыкания голосовых связок (частоте смены основного тона) и находится в пределах Wог ≈ 5 ÷ 20 Гц. Тогда диапазон сдвига фазы огибающей: Djог max = Wог × t = Wог × tm = (5 ÷ 20) × tm. Эксперименты показали, что динамический коэффициент передачи ФНЧ достигает значения 0,7 при t = t для всех исследуемых частот сигнала [7]. Это позволяет исключить в канале передачи основной частоты, использующей ДО, устройство задержки, т.к. смещение во времени огибающей не превышает одного-двух периодов частоты речевого сигнала. Малое смещение во времени огибающей вызывает незначительный сдвиг фазы речевого сигнала, не снижающий качество и разборчивость речи, т.к., согласно закону Гельмгольца [8], слух реагирует только на частоты и амплитуды составляющих сложного колебания и не воспринимает фазу колебания. Роль фазовых соотношений в восприятии речи рассматривается также в [9, 10, 11], где показано, что общий закон о невосприимчивости слуха к фазе остается верным и применительно к речевому сигналу. Однако, как и для других сигналов, фазовые соотношения между составляющими речевого колебания сказываются на звучании синтезированной речи только в виде нелинейных искажений в тракте слухового восприятия, определяемых пикфактором сигнала.

4 3

kg2 ( U) kg3 ( U)

kg4 ( U )

0.23

0 2

30 30

РИС. 1 • Зависимости коэффициента нелинейных искажений от напряжения сигнала (в процентах):

kg1(U) – m1= 0.3, kg2(U) – m2 = 0.5, kg3(U) – m3 =0.7, kg4(U) – m4 = 0.9

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

Список литературы

References

1. Галиев А.Л., Шишкина А.Ф. Устройство ослабления акустической обратной связи с компандированием огибающей речевого сигнала // Промышленные АСУ и контроллеры. 2011. № 6. С. 48–50. 2. Крылов Н.Н. Нелинейные искажения при детектировании модулированных колебаний // Научные труды ЛВМУ. 1946. вып. 1. С. 154–161. 3. Фант Г. Акустическая теория речеобразования. М., Наука, 1969. 228 с. 4. Flanagan J. L. Autamatic extraction of formant frequences from continnous speech. J. Acoust. Soc. America, 1956. 28. 1. С. 110–118. 5. Flanagan J. L. Evaluation of two automatic formant extractors. J. Acoust. Soc. America, 1956. 28. 1. PP. 118–125. 6. Собакин А. Н. Об определении формантных параметров голосового тракта по речевому сигналу с помощью ЦВМ // Акуст. ж., 1972. Т. 18. В.1. 7. Шишкина А.Ф. Элементы и устройства повышения устойчивости электроакустических систем (развитие теории, исследования и разработка): автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Уфимский государственный авиационный технический университет. Уфа, 2011. 159 с. 8. Helmholtz H.V. Die Lehre von Tonempfindungen, Berlin, 1862. 9. Пирогов А. А. Синтезируемая телефония. М.: Связьиздат. 1963. 189 с. 10. Пирогов А.А. Роль фазовых соотношений в восприятии речи // Акуст. ж., 1974, Т.10, вып. 3. С. 144–146. 11. Сапожков М.А. О некоторых путях улучшения качества синтезируемой речи // Акуст. ж., 1971. 17. 4. С. 605–609.

1. Galiev A.L., Shishkina A.F. Ustroystvo oslableniya akusticheskoy obratnoy svyazi s kompandirovaniem ogibayushchey rechevogo signala [Device attenuation of acoustic feedback companded speech envelope]. Promyshlennye ASU i kontrollery [Industrial ACS and controllers]. 2011. № 6. PP. 48–50. 2. Krylov N.N. Nelineynye iskazheniya pri detektirovanii modulirovannykh kolebaniy [Harmonic distortion in detecting the modulated oscillations]. Nauchnye trudy LVMU [Scientific papers LVMU]. 1946. Vyp. 1. PP. 154–161. 3. Fant G. Akusticheskaya teoriya recheobrazovaniya [Acoustic theory of speech production]. M.: Nauka [Moscow: Publishing house «Science»], 1969. 228 p. 4. Flanagan J.L. Autamatic extraction of formant frequences from continnous speech. J. Acoust. Soc. America, 1956, 28, 1. PP. 110–118. 5. Flanagan J.L. Evaluation of two automatic formant extractors. J. Acoust. Soc. America, 1956. 28. 1. PP. 118–125. 6. Sobakin A. N. Ob opredelenii formantnykh parametrov golosovogo trakta po rechevomu signalu s pomoshchyu TsVM [On the determination of the parameters of the vocal tract formant speech signal by using a digital computer]. Akust. zh. [Acoustical journal], 1972. T. 18. V. 1. 7. Shishkina A.F. Elementy i ustroystva povysheniya ustoychivosti elektroaku-sticheskikh sistem (razvitie teorii, issledovaniya i razrabotka): avtoreferat dissertatsii na soiskanie uchenoy stepeni kandidata tekhnicheskikh nauk [Elements and devices resilience elektroaku-audio systems (development of theory, research and development): Autoabstract of the dissertation for the degree of candidate of technical sciences]. Ufimskiy gosudarstvennyy aviatsionnyy tekhnicheskiy universitet [Ufa State Aviation Technical University]. Ufa, 2011. 159 p. 8. Helmholtz H.V. Die Lehre von Tonempfindungen, Berlin, 1862. 9. Pirogov A.A. Sinteziruemaya telefoniya [Synthesized telephony]. M.: Svyazizdat [Moscow: State publishing literature on communication and radio]. 1963. 189 p. 10. Pirogov A. A. Rol fazovykh sootnosheniy v vospriyatii rechi [The role of phase relations in the perception of speech]. Akust. zh. [Acoustical journal], 1974. T. 10. vyp. 3. PP. 144–146. 11. Sapozhkov M.A. O nekotorykh putyakh uluchsheniya kachestva sinteziruemoy rechi [Some ways to improve the quality of synthesized speech]. Akust. zh. [Acoustical journal], 1971. 17. 4. PP. 605–609.

Сведения об авторах Information about the authors Галиев Анвар Лутфрахманович доктор техн. наук, профессор, директор филиала E-mail: galievanvar@mail.ru Галиева Раиля Гаммовна кандидат пед. наук, доцент E-mail: galiewa.railya@yandex.ru Шишкина Анна Федоровна канд. техн. наук зам. директора, доцент кафедры Филиал Уфимского государственного авиационного технического университета 453104, Республика Башкортостан г. Стерлитамак, ул. Химиков, 21

Galiev Anvar Lutfrahmanovich Doctor of Tech. Sciences, Professor E-mail: galievanvar@mail.ru Galieva Railya Gammovna Cand. of Pedag. Sciences, Associate Professor E-mail: galiewa.railya@yandex.ru Shishkina Anna Fedorovna Cand. of Techn. Sciences Deputy Director, Associate Professor Branch of Ufa State Aviation Technical University 453104, Republic of Bashkortostan Sterlitamak, Himikov str., 21

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ВЫСТАВКИ Международная выставка инноваций «IEIK 2014» •• 19 ноября 2014 г. – 22 ноября 2014 г., срок подачи заявок до 1 октября 2014 г.

С 19 по 22 ноября 2014 г. в международном выставочно-конгрессном центре промышленной зоны внедрения высоких технологий г. Куньшань (Китай) пройдет 8-я Международная выставка инноваций IEIK 2014, призванная открыть доступ к международным, в том числе китайскому рынкам интеллектуальной собственности, технических новаций, а также содействовать технологическому обмену в сфере научнотехнических достижений, являющихся объектами промышленной собственности. Выставка проводится при поддержке Министерства науки и технологий, Государственного агентства по интеллектуальной собственности Китая и Международной федерации ассоциаций изобретателей. Тематика демонстрируемых разработок разнообразна – от самоделок для домашнего пользования до высокотехнологичного оборудования и машин. Учитывая планы организаторов, ожидается участие экспонентов из более 40 стран, число демонстрируемых разработок – более 3000, а также насыщенная деловая программа: презентация «Kunshan Maker Fair» – познакомит с последними программными и IT разработками предприятий зоны внедрения высоких технологий, форум «Международный рынок интеллектуальной собственности», встречи разработчиков с инвесторами и производителями. Лучшие разработки и технологии по результатам конкурсной программы будут отмечены призами, медалями и дипломами. При обращении к организаторам мероприятия следует ссылаться на сайт «Конференции.ru» как на источник информации. Последний день подачи заявки: 1 октября 2014 г. Организаторы: Ассоциация «Российский Дом международного научно-технического сотрудничества» Контактная информация: Макарычев Борис Александрович, тел.: (495) 629-03-35/73-29 Эл. почта: rd-expo@mail.ru

Выставка «Robotics Expo 2014» •• 27 ноября 2014 г. — 29 ноября 2014 г., срок подачи заявок: 21 ноября 2014 г.

С 27 по 29 ноября 2014 г. в Москве, в КВЦ «Сокольники», состоится II Ежегодная Выставка Робототехники и передовых технологий Robotics Expo 2014. Впервые выставка Robotics Expo была проведена осенью 2013 года, моментально завоевав позиции на рынке, и став основополагающим звеном в развитии глобальной роботомании в России. По данным регистрационной коллегии, Robotics Expo в 2013 г. собрала более 3500 человек, 150 из которых приняли участие в научно-образовательной конференции. Среди спикеров конференции были ведущие специалисты отрасли: Марина Фридин – израильская исследовательница ортопедической и реабилитационной робототехники, Людгер Ховештадт – профессор ETH Zürich (Швейцария), Амин Риги – директор RTS Lab (Иран), Вячеслав Кравцов – Rbot, Юлия Антощенкова – бренд-менеджер Bosch и другие.

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ВЫСТАВКИ

Мероприятие также вызвало небывалый интерес у представителей СМИ. Выставку освещали: Россия1, Russia Today, Москва24, Forbs, LifeNews, The Village и другие. В 2014 г. организаторы обещают максимально раскрыть робототехнический потенциал России и привлечь как можно больше представителей зарубежных компаний для обмена опытом и инновациями. Мероприятие станет главной бизнес-площадкой для всех представителей индустрии – производителей робототехники, разработчиков ПО и приложений для роботов, представителей научно-образовательных институтов и государственных учреждений, стартаперов, инвесторов, а также всех, кто заинтересован в инновационных технологиях. Первый день выставки будет отведен под B2B-формат. Последующие два дня двери выставки будут открыты для всех желающих. В 2014 г. экспозиция Robotics Expo станет еще шире и увлекательней. Выставку дополнит одно из самых перспективных направлений в России – «Промышленная робототехника». Среди предлагаемых тематических направлений 2014 года: – Сервисная робототехника (роботы-бармены, роботы для мытья окон, роботы-официанты, роботы-пылесосы); – Роботы-промоутеры, развлекательные роботы, игрушки; – Роботы телеприсутствия; – Роботизированный транспорт; – Дроны; – Роботы для обеспечения безопасности (охранные дроны, роботы, патрулирующие территорию); – Образовательные роботы для детей; – Бытовая персональная робототехника; – Персональные, развлекательные, социальные и реабилитационные роботы; – Экзоскелеты, роботизированные конечности и органы; – 3-D принтеры, AR-технологии для использования в бизнесе; – «Умные вещи», гаджеты, девайсы. Помимо стандартной экспозиции, участников ждет научная конференция, площадки для тестирования робототехники, зона виртуальной реальности, комфортная лаунж-зона для общения, площадка для стартапов Speed Dealing, зона квадрокоптеров и дронов, а также специальная интерактивная сцена для футуристических выступлений роботов-артистов. Контакты: www.robot-ex.ru Для экспонентов – a.lastovka@smileexpo.ru Для спикеров – m.shamjy@smileexpo.ru Для СМИ – e.eremina@smile-expo.com Для посетителей – n.grinchenko@smileexpo.ru Тел.: +7 (495) 212 11 28. Последний день подачи заявки: 21 ноября 2014 г. Организаторы: Smile Expo Контактная информация: тел.: +7 495 212-11-28. Эл. почта: client@smile-expo.com. Веб: www.robot-ex.ru Эл. почта: client@smile-expo.com

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

КОНФЕРЕНЦИИ Международный форум «Горное дело: Технологии. Оборудование. Спецтехника 2014» •• 24 сентября 2014 г. – 26 сентября 2014 г., срок подачи заявок: 10 сентября 2014 г.

С 24 по 26 сентября 2014 года в г. Екатеринбурге (МВЦ «Екатеринбург-Экспо») состоится международный форум промышленных технологий «Мир промышленности/WIN RUSSIA URAL». Официальное организационное участие в Форуме примут Правительство Свердловской области, Союз машиностроителей России, Международный союз металлургов, Государственная корпорация «Ростехнологии», Уральская торгово-промышленная палата. Форум «Мир Промышленности/WIN Russia Ural» направлен на реализацию задач по развитию базовых отраслей промышленности, обеспечивающих развитие региональной экономики. В первую очередь – это вопросы внедрения инновационных технологий, модернизации производственных мощностей предприятий горно-металлургического и машиностроительного комплексов, расширение делового партнерства и научно-технического сотрудничества. В работе над проектом задействованы профильные ассоциации и союзы, руководители и ведущие специалисты отраслевых научных и образовательных учреждений. Оргкомитетом Форума определены основные направления деловой программы, которая объединит научно-практические конференции и семинары, обзорные технологические презентации и мастер-классы, демонстрационные сессии научнотехнических и технологических проектов. В рамках Форума пройдет специализированная выставка «UralMining/Горное дело: Технологии. Оборудование. Спецтехника», на которой будут представлены передовые решения для оснащения предприятий горно-металлургического комплекса. Последний день подачи заявки: 10 сентября 2014 г. Организаторы: ЭкспоГрад Контактная информация: г. Екатеринбург, тел.: +7 (343) 202-04-84 Эл. почта: expo@expograd.ru

Международный салон изобретений и новых технологий «Новое время» •• 25 сентября 2014 г. – 27 сентября 2014 г., срок подачи заявок: 1 сентября 2014 г.

С 25 по 27 сентября 2014 г. (сроки уточняются) в городе Севастополе Министерство образования и науки Украины, Украинская академия наук и Севастопольская городская администрация проводят 10-й Международный салон изобретений и новых технологий «Новое время». Салон проходит под лозунгом «Устойчивое развитие во время перемен», в его рамках проходят презентации, ярмарка разработок и новых технологий, работает международное жюри во главе с Пьером Фюмьером (Бельгия). Победители Салона награждаются специальными призами и медалями. Организаторы определили 20 направлений науки и техники, по которым регистрируются разработки. Среди них – фундаментальная и прикладная наука, энергетика и электротехника, общая и инженерная механика, новые материалы и инструменты, электроника и робототехника, оптика и лазерная техника, транспорт, пищевая промышленность и сельское хозяйство, экология и защита окружающей среды, биофизика, биотехнологии и биоинженерия, медицина и технологии для здоровья, инновационное предпринимательство. Участие отечественных изобретателей в салоне «Новое время» будет способствовать долгосрочному развитию двустороннего торгово-экономического и научно-технологического сотрудничества между российскими и украинскими организациями. Организаторы: Ассоциация «Российский дом международного научно-технического сотрудничества» Последний день подачи заявки: 1 сентября 2014 г. Контактная информация: Тел.: (495) 629-03-35/73-29 Эл. почта: rd-expo@mail.ru

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

КОНФЕРЕНЦИИ

XХXVIII Международная научно-практическая конференция «Технические науки – от теории к практике» •• 24 сентября 2014 г. – 24 сентября 2014 г., срок подачи заявок: 24 сентября 2014 г.

Издание и рассылка сборника статей Конференции планируется 9 октября 2014 года (через 15 дней после окончания конференции). Сборнику статей будут присвоены коды ISSN, УДК и ББК, он будет разослан по библиотекам, и зарегистрирован в Российской книжной палате. Все статьи принявшие участие в конференции проходят обязательное рецензирование квалифицированными специалистами, а также проходят проверку на плагиат (используется сервис www.antiplagiat.ru). Оригинальность текста должна составлять не менее 75% от объема статьи. Обсуждение присланных статей будет проходить в дистанционном формате с 04.10 по 09.10 на сайте www.sibac.info. Все статьи принявшие участие в конференции 24.09.2014 будут проиндексированы в системе Российского индекса научного цитирования (РИНЦ). Для отслеживания цитируемости работы в научных изданиях необходимо зарегистрироваться на сайте eLIBRARY.RU. По итогам конференции будет определен Лауреат конференции. Подробнее с правилами определения Лауреата конференции вы можете ознакомиться на сайте: www.sibac.info в разделе Правила участия. Лауреат конференции получает возможность бесплатно опубликовать одну статью в научном журнале «Universum: технические науки». СЕКЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ: Секция 1. Инженерная графика, САПР, CAD, CAE Секция 2. Информатика, вычислительная техника и управление Секция 3. Электроника Секция 4. Машиностроение и машиноведение Секция 5. Энергетика и энергетические техника и технологии Секция 6. Горная и строительная техника и технологии Секция 7. Материаловедение и металлургическое оборудование и технологии Секция 8. Транспорт и связь, кораблестроение Секция 9. Аэро-космическая техника и технологии Секция 10. Строительство и архитектура Секция 11. Сельское и лесное хозяйство, агроинженерные системы Секция 12. Химическая техника и технология Секция 13. Технология продовольственных продуктов Секция 14. Технология материалов и изделий легкой промышленности Секция 15. Приборостроение, метрология, радиотехника Секция 16. Электротехника Секция 17. Безопасность жизнедеятельности человека, промышленная безопасность, охрана труда и экология Секция 18. Инжиниринговые и научно-технические системы и платформы Секция 19. Организация производства и менеджмент, системы управления качеством Секция 20. Нанотехнологии и наноматериалы Секция 21. Методология и философия науки и техники Стоимость публикации 1 страницы – 220 руб. Стоимость перевода аннотации и ключевых слов 300р. Стоимость дополнительного сборника 350 руб./шт. Стоимость сертификата участника 100 руб./шт. На одну опубликованную статью бесплатно высылается один экземпляр сборника, в котором опубликована данная статья, независимо от числа соавторов. Стоимость доставки по Российской Федерации включена в стоимость публикации. Стоимость доставки сборников в страны СНГ – 250 руб., дальнее зарубежье 400 руб. Контакты: 630075, г. Новосибирск, Залесского 5/1, оф. 605. Тел.: 8 (383) 2-913-800; 8-913-915-38-00 Последний день подачи заявки: 24 сентября 2014 г. Организаторы: НП «СибАК» Контактная информация: 630075, г. Новосибирск, Залесского 5/1, оф. 605. Тел.: 8 (383) 2-913-800; 8-913-915-38-00. Эл. почта: scienkonf@sibac.info

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

КОНФЕРЕНЦИИ

Транспорт России: проблемы и перспективы – 2014 •• 2 октября 2014 г. – 2 октября 2014 г.

Россия, Санкт-Петербург Форма участия: очно-заочная Организаторы: Российская Академия наук; Отделение нанотехнологий и информационных технологий РАН; Министерство транспорта РФ; ОАО «Российские железные дороги»; Институт проблем транспорта РАН им. Н.С. Соломенко Контактная информация: Федеральное государственно бюджетное учреждение науки Институт проблем транспорта им. Н.С.Соломенко Российской академии наук. Тел./факс: (812) 323-29-54, (812) 321-95-68, 8 (921)307-51-58 Эл. почта: shatillen@mail.ru

V Международная научно-практическая конференция «Адаптация биологических систем к естественным и экстремальным факторам среды» •• 2 октября 2014 г. – 3 октября 2014 г., срок подачи заявок: 15 сентября 2014 г.

СЕКЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ:

1. Радиобиология и радиоэкология. 2. Адаптация биосистем к естественным и экстремальным факторам среды. 3. Психофизиологические закономерности адаптации человека на разных этапах онтогенеза. 4. Экспериментальная и экологическая физиология. 5. Физиология спорта и адаптивная физическая культура. 6. Медико-биологические основы формирования экологической культуры, здоровья и безопасного образа жизни. Последний день подачи заявки: 15 сентября 2014 г. Организаторы: Министерство образования и науки Челябинской области; Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный педагогический университет», кафедра анатомии, физиологии человека и животных Контактная информация: 454074, г. Челябинск, ул. Бажова, 46-а, естественно-технологический факультет ФГБОУ ВПО «ЧГПУ», кафедра анатомии, физиологии человека и животных. тел.: 8 (351) 772-17-03, эл. почта: adapt2010@mail.ru Эл. почта: adapt2010@mail.ru

Всероссийская научно-техническая конференция «Системы связи и радионавигации» •• 2 октября 2014 г. – 3 октября 2014 г.

В рамках конференции будут рассматриваться наиболее актуальные вопросы развития, проектирования и производства современных систем связи и радионавигации, внедрения новых технологий для радиоэлектронной аппаратуры. Работа конференции будет организована по следующим направлениям: – системы спутниковой и тропосферной связи; – радионавигационные системы; – современные технологии для радиоэлектронной аппаратуры. По итогам конференции будет издан сборник материалов конференции, лучшие доклады будут опубликованы в 12 номере международного научно-технического журнала «Успехи современной радиоэлектроники». Организаторы: ОАО «Научно-производственное предприятие «Радиосвязь» под эгидой Научно-технического совета Госкорпорации «Ростехнологии» Контактная информация: ОАО «НПП «Радиосвязь», ул. Декабристов, д. 19, Красноярск, 660021. Тел.: +7 (923) 270-52-52; тел./факс: (391) 221-79-30 Эл. почта: ntconference@mail.ru

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

КОНФЕРЕНЦИИ

I Международная научно-практическая конференция «Инновационные технологии в строительстве и геоэкологии» •• 6 октября 2014 г. – 6 октября 2014 г., срок подачи заявок: 6 октября 2014 г.

I Международная научно-практическая конференция «Инновационные технологии в строительстве и геоэкологии» для аспирантов, студентов, соискателей, научных работников, докторантов. В оргкомитет конференции входят ведущие ученые России. Конференция проводится по секциям: 1. Фундаметальные основы инновационных технологий; 2. Инновационные технологии и решения в строительстве и геоэкологии. Последний день подачи заявки: 6 октября 2014 г. Организаторы: Кафедра «Инженерная химия и естествознание» ФГБОУ ВПО «Петербургский государственный университет путей сообщения императора Александра I» и крупнейшее научное издательство «Спутник +» Контактная информация: 109428, г. Москва, Рязанский проспект, д. 8а. Издательство «Спутник +». Тел.: 8-495-730-47-74, 778-45-60 E-mail: sputnikplus2000@mail.ru Эл. почта: sputnikplus2000@mail.ru

6-й Международный симпозиум по неравновесным процессам, плазме, горению и атмосферным явлениям (NEPCAP-2014) •• 6 октября 2014 г. – 10 октября 2014 г.

В тематике симпозиума – фундаментальные проблемы воспламенения и горения, включая горение в двигателях летательных аппаратов и в стационарных энергетических установках; новые методы инициирования горения и детонации, в том числе лазерным излучением и электрическим разрядом; кинетика элементарных процессов, включая ядерные реакции; неравновесные процессы в ударных волнах; физические и химические процессы в высокоскоростных потоках; физика газового разряда и процессы в низкотемпературной и кластерной плазме; управление цепными реакциями, горением; лазерная абляция; физико-химические механизмы образования вредных веществ, включая образование сажи, ионов, серных и азотистых соединений, полициклических углеводородов; физика и химия кластеров и аэрозолей, образующихся в выхлопных газах двигателей и энергоустановок, включая жидкие аэрозоли, частицы льда и заряженные частицы; химические процессы в атмосфере и атмосферные аэрозоли; влияние выбросов из энергоустановок на атмосферные процессы и климат; вопросы получения новых материалов на основе нанотехнологий. Сайт Симпозиума NEPCAP2014: http://nepcap2014.ciam.ru Регистрация участников Симпозиума NEPCAP2014 на сайте: http://www.nepcap2014.ciam.ru/reg?lang=eng Организаторы: Центральный институт авиационного моторостроения им. П. И. Баранова (ЦИАМ); Институт химической физики им. Н. Н. Семенова РАН (ИХФ РАН); Отделение химии и наук о материалах РАН; Отделение энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН; Научный совет по химической физике РАН; Научный совет по горению и взрыву РАН Контактная информация: (495) 361-64-68; факс: (495) 362-03-73 Эл. почта: star@ciam.ru

XV Международная заочная научно-практическая конференция «Теория и практика современной науки» •• 8 октября 2014 г. – 9 октября 2014 г., срок заявок: 6 октября 2014 г.

Материалы конференции будут опубликованы в форме сборника научных статей и разосланы авторам, а также доступны в электронном виде на сайте. Сборнику будут присвоены ISBN, УДК, ББК.

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

КОНФЕРЕНЦИИ

Материалы конференции будут включены в Российский индекс научного цитирования (РИНЦ). 16 обязательных экземпляров будут отправлены в Книжную Палату РФ. Направления работы конференции:

01.00.00 Физико-математические науки 02.00.00 Химические науки 03.00.00 Биологические науки 04.00.00 Геолого-минералогические науки 05.00.00 Технические науки 06.00.00 Сельскохозяйственные науки 07.00.00 Исторические науки 08.00.00 Экономические науки 09.00.00 Философские науки 10.00.00 Филологические науки 11.00.00 Географические науки 12.00.00 Юридические науки 13.00.00 Педагогические науки 14.00.00 Медицинские науки 15.00.00 Фармацевтические науки 16.00.00 Ветеринарные науки 17.00.00 Искусствоведение 18.00.00 Архитектура 19.00.00 Психологические науки 22.00.00 Социологические науки 23.00.00 Политические науки 24.00.00 Культурология 25.00.00 Науки о земле Заявки подаются в электронном виде по форме, размещенной на нашем сайте, и состоят из двух файлов в формате WinWord: 1) анкета заявителя; название файла дается по фамилии автора заявки 2) текст статьи; тезисы для публикации высылаются на эл. почта оргкомитета rf-conf@bk.ru. Организаторы: НИИЦ «Институт Стратегических Исследований» Контактная информация: Эл. почта: rf-conf@bk.ru Эл. почта: rf-conf@bk.ru

14-й Петербургский международный энергетический форум •• 8 октября 2014 г. – 10 октября 2014 г., срок заявок: 29 октября 2013 г.

Мероприятие проводится с 1999 года по инициативе Правительства РФ и ОАО «Газпром», и за более чем десятилетнюю историю стало одной из лучших коммуникационных площадок для представителей энергетической отрасли. Традиционно в работе Форума принимают участие представители органов государственной власти, профильных министерств и ведомств, руководители и специалисты ведущих российских и международных нефтегазовых компаний и предприятий смежных отраслей. С 2012 года Петербургский международный энергетический форум проводится один раз в два года. Перечень мероприятий Энергетического Форума 2014 года включает: деловую (пленарное заседание, 7 конференций, семинар Минэнерго РФ), выставочную и конкурсную программы, а также Биржу деловых контактов. В качестве самостоятельного направления выделена конференция «Приоритетные нефтегазовые проекты на шельфе России». На предстоящем Форуме основными темами для обсуждения станут вопросы добычи трудноизвлекаемых запасов углеводородного сырья, обеспечения аварийно-спасательных работ на предприятиях ТЭК, современной нефтепереработки и нефтехимии, хранения и транспортировки нефти и нефтепро-

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

КОНФЕРЕНЦИИ

дуктов по трубопроводам, технической и экологической безопасности на объектах отрасли, инвестиций в энергетике. Параллельно с деловой программой развернёт свою экспозицию выставочная экспозиция. Основные тематические направления выставки – геология, техника и технологии для эксплуатации нефтегазовых месторождений, трубопроводы, промышленно-экологическая безопасность, охрана окружающей среды и охрана труда, информационное обеспечение работ. Организаторы: Министерство энергетики Российской Федерации; Министерство природных ресурсов и экологии Российской Федерации; Федеральное агентство по недропользованию; Аппарат полномочного представителя Президента Российской Федерации в Северо-Западном федеральном округе; Научный совет РАН по геологии и разработке нефтяных и газовых месторождений; ОАО «Газпром»; Российский научный центр «Курчатовский институт»; ООО «Газпром экспо»; Правительство СанктПетербурга; Правительство Ленинградской области; ВО «РЕСТЭК®» Контактная информация: Веб: www.forumtek.ru. Эл. почта: NE@RESTEC.RU. Тел.: +7 812 3038863 Эл. почта: forumtek@restec.ru

Международная молодежная школа-конференция «Актуальные вопросы математики» •• 8 октября 2014 г. – 9 октября 2014 г., срок заявок: 15 сентября 2014 г.

Цели школы-конференции – активизация и стимулирование научной работы молодых ученых (до 35 лет) и привлечение их к исследованиям по актуальным направлениям фундаментальной науки; обеспечение научных контактов молодых с ведущими специалистами в области математики; развитие системы молодежных научных школ по математике; ознакомление с новейшими достижениями и актуальными задачами в области математики и ее приложениями. ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАБОТЫ КОНФЕРЕНЦИИ:

1. Алгебра и математическая логика. 2. Дискретная математика и ее приложения. 3. Топология и геометрия. 4. Прикладные и практические аспекты математики. Организаторы: Министерство образования и науки Российской Федерации; Министерство образования, науки и молодежной политики Республики Алтай; Горно-Алтайский государственный университет (Россия, г. Горно-Алтайск); Московский педагогический государственный университет (Россия, г. Москва); Новосибирский государственный педагогический университет (Россия, г. Новосибирск); Томский сельскохозяйственный институт – филиал ФГБОУ ВПО «Новосибирский государственный аграрный университет» (Россия, г. Томск); Томский областной институт повышения квалификации и переподготовки работников образования (Россия, г. Томск);Павлодарский государственный университет им. С.Торайгырова (Казахстан, г. Павлодар); Николаевский Национальный университет им. В.А. Сухомлинского (Украина, г. Николаев); Марийский государственный университет (Республика Марий Эл, г. Йошкар-Ола); Вильнюсский педагогический университет (Литва, г. Вильнюс) Контактная информация: тел.: +7 9136918816, эл. почта: galyaab@mail.ru; тел.: +7 9236624410; эл. почта: tealbina@yandex.ru Эл. почта: avmathem-13@yandex.ru

Научно-практическая конференция студентов и аспирантов

«Актуальные проблемы развития авиационной техники и методов ее эксплуатации – 2014» •• 9 октября 2014 г. – 10 октября 2014 г.

Иркутский филиал Московского государственного технического университета гражданской авиации (Иркутский филиал МГТУ ГА) приглашает принять участие в региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов «Актуальные проблемы развития авиационной техники и методов ее эксплуатации – 2014», которая состоится в Иркутском филиале МГТУ ГА 9–10 октября 2014 г.

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

КОНФЕРЕНЦИИ

Работа конференции планируется по следующим направлениям: 1. Летательные аппараты и авиадвигатели; 2. Информационные технологии в гражданской авиации; 3. Авиационные электросистемы и пилотажно-навигационные комплексы; 4. Авиационное радиоэлектронное оборудование; 5. Приложения естественно-научных дисциплин в гражданской авиации; 6. Приложения гуманитарных и социально-экономических дисциплин в гражданской авиации. К началу работы будет издан сборник научных статей по материалам докладов. Сборнику присваиваются соответствующие библиотечные индексы УДК, ББK и международный стандартный книжный номер (ISBN). Оплата организационных взносов не требуется. Публикация и рассылка сборника Организаторы: Иркутский филиал МГТУ ГА Контактная информация: г. Иркутск, ул. Байкальская 216А, отдел редакционно-издательской и научной работы Иркутского филиала МГТУ ГА. Тел.: 8 (3952) 794-542 (доб. 121). E-mail: nio.ifmstuca@mail.ru

XIII Международная конференция «Мёссбауэровская спектроскопия и ее применения» •• 11 октября 2014 г. – 15 октября 2014 г., срок заявок: 20 мая 2014 г.

Форма участия: очная Конференция является очередной в цикле традиционных всероссийских (Всесоюзных) и, в последующем, международных научных конференций, посвященных исследованиям сверхтонких взаимодействий в конденсированных средах методом мёссбауэровской спектроскопии. Цель проведения настоящей конференции – предоставить возможность российским ученым и их зарубежным коллегам обсудить последние достижения в области взаимодействия гамма-излучения с веществом. Предметом обсуждения будут фундаментальные и прикладные результаты, полученные в физике конденсированного состояния с использованием мёссбауэровского и синхротронного излучения. Кроме того, немаловажной задачей является обеспечение возможности для молодых ученых представить свои работы и перенять опыт выдающихся специалистов в данной области. На конференции планируются выступления с приглашенными докладами ведущих специалистов из крупнейших научных центров. Организаторы: Российская академия наук; Совет РАН «Общая химия и наука о материалах»; Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт металлургии и материаловедения им. А.А. Байкова Российской академии наук; Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики; Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д.В.Скобельцына; МГУ им. М.В. Ломоносова Контактная информация: E-mail: ICMSA@imetran.ru; тел.: +7(495) 939-20-48 Россия, Москва, 119991, Ленинский пр-т, 49, ИМЕТ РАН Эл. почта: icmsa@imetran.ru

13-я Международная научная конференция-школа «Материалы нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение» •• 14 октября 2014 г. – 17 октября 2014 г.

Форма участия: очная Научные направления конференции:

Секция 1. Наноматериалы и нанотехнологии Секция 2. Волоконная оптика Секция 3. Новые функциональные материалы Секция 4. Лазерные материалы и технологии Секция 5. Электронные явления в новых материалах и наноструктурах

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

КОНФЕРЕНЦИИ

Организаторы: Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им Н.П. Огарёва; Научный центр волоконной оптики РАН; Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН; Институт химии высокочистых веществ им. Г.Г. Девятых РАН; Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского; Правительство Республики Мордовия; Научный совет РАН по физике конденсированных сред Контактная информация: Веб: www.vnksh.mrsu.ru. 430005, г. Саранск, ул. Большевистская, д.68. МГУ им. Н.П. Огарева, Институт физики и химии. Тел./факс.: (8 834 2) 242444. Эл. почта: ryabochkina@freemail.mrsu.ru

Всероссийская конференция и школа для молодых ученых «Системы обеспечения техносферной безопасности» •• 14 октября 2014 г. – 16 октября 2014 г

Форма участия: очно-заочная Всероссийская конференция и школа для молодых ученых «Системы обеспечения техносферной безопасности» г. Таганрог. Инженерная технологическая академия Южного федерального университета, 14–16 октября 2014 г. Основные направления работы конференции:

– Методы прогнозирования и ликвидации чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера – Технологии и системы обеспечения экологической безопасности – Методы управления рисками и безопасностью в техносфере – Системы обеспечения безопасности на производстве. В рамках школы для молодых ученых будут лекции обзорного плана ведущих ученых из числа членов программного комитета и приглашенных специалистов в области техносферной безопасности К началу работы конференции будет издан сборник трудов конференции. Лучшие работы очных участников конференции будут опубликованы в журнале «Известия ЮФУ. Технические науки», рекомендованным ВАК и индексируемом в наукоемкой базе РИНЦ в виде полнотекстовых статей, а также отмечены дипломами. Требования к статьям будут указаны во втором информационном сообщении. Организаторы: Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»; Академия государственной противопожарной службы МЧС России; Группа компаний «Промышленная безопасность», г. Москва Контактная информация: Тел.: (8634) 37-16-24. Эл. почта: technosafety2014@gmail.com

«Современные методы функциональной диагностики» •• 15 октября 2014 г. – 15 октября 2014 г., срок подачи заявок: 15 октября 2014 г.

Форма участия: заочная Материалы, опубликованные в данной монографии, будут размещены на сайте http://elibrary.ru/, что подразумевает их индексацию в наукометрической базе РИНЦ (Российского индекса научного цитирования). Это позволит отследить цитируемость монографии в научных изданиях. Организаторы: НП «СибАК» Контактная информация: 630075, г. Новосибирск, Залесского 5/1, оф. 605. Тел.: 8 (383) 2-913-800; 8-913-915-38-00. Ответственная за издание коллективных монографий – Гуцалова Надежда Георгиевна. Эл. почта: monography@sibac.info

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

КОНФЕРЕНЦИИ

8-я Международная конференция по использованию информационно-коммуникационных технологий •• 15 октября 2014 г. – 17 октября 2014 г.

Форма участия: очная 8-я Международная конференция по использованию информационно-коммуникационных технологий (AICT2014) организованная Назарбаев Университетом, Евразийским национальным университетом им. Гумилева, Университетом Кавказ, Московским государственным университетом им. Ломоносова, Институтом информационной безопасности и криптологии, в партнерстве и при техническом спонсорстве Института инженеров электротехники и электроники – IEEE (США) будет проводиться в столице Казахстана г. Астане с 15 по 17 октября 2014 года. Основываясь на успехе предыдущих AICT-конференций прошедших в Баку, Ташкенте и Тбилиси, AICT2014 будет и дальше стремиться стать форумом для представления и обсуждения результатов научных исследований и экспериментов в области информационно-коммуникационных технологий. AICT2014 ставит своей основной целью предоставление платформы для обмена опытом и обсуждения инновационных идей в области информационных технологий и их применения между исследователями, учеными, студентами и специалистами из разных стран. Международная конференция AICT в разные годы привлекла внимание сотен исследователей из около 50 государств мира, включая Австралия, Азербайджан, Китай, Финляндия, Грузия, Германия, Индия, Иран, Италия, Япония, Казахстан, Корея, Латвия, Малайзия, Пакистан, Филиппины, Португалия, Румыния, Россия, Словакия, Испания, Швеция, Таиланд, Турция, Украина, Соединенное Королевство, Соединенные Штаты Америки, Узбекистан и др. Организаторы: Назарбаев Университет, Евразийский национальный университет им. Гумилева, Университет Кавказ, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Институт информационной безопасности и криптологии при техническом спонсорстве Института инженеров электротехники и электроники – IEEE (США) Контактная информация: Tel: +7(7172) 709500 (internal 34306)(Astana), +994(12) 4482862 (Baku). Mirzoyana Str., 2, Astana, Republic of Kazakhstan, 010008 E-mail: aict@qu.edu.az. Web: http://www.aict.info/2014 Эл. почта: aadamov@ieee.org

Международная научно-практическая конференция «Интеллектуальное месторождение: инновационные технологии от скважины до магистральной трубы» •• 20 октября 2014 г. – 25 октября 2014 г., срок подачи заявок: 6 октября 2014 г.

Россия, Сочи Основные темы конференции:

– передовые технологии сбора и обработки геологической и геофизической информации, создание геологической модели, цифровая модель керна; – моделирование разработки месторождений: инновационные подходы, интегрированное моделирование, программные комплексы; – проектирование высокотехнологичных скважин; – удаленный мониторинг буровых работ, инновации в бурении наклонно-направленных и горизонтальных скважин, боковых стволов; – технологии «интеллектуального» заканчивания скважин, многостадийные ГРП; – проектирование, мониторинг и управление «интеллектуальной» разработкой нефтяного месторождения, планирование МУН; – интеллектуальный контроль скважин в процессе добычи нефти и газа, системы погружной телеметрии; – материалы, реагенты и технологии для «интеллектуальных» скважин, пакерное и вспомогательное оборудование;

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

КОНФЕРЕНЦИИ

– оптимизация работы промысловых объектов нефтегазодобычи с помощью внедрения высокотехнологичных систем измерений и контроля, станции дистанционного управления; – автоматизированные системы управления технологическими процессами (АСУ ТП) нефтегазодобывающего производства; – энергоэффективные технологии в добыче нефти и газа; – технологии «интеллектуальных» скважин на ПХГ; – «интеллектуальные» тренажеры для обучения специалистов нефтегазового комплекса. Организаторы: ООО «Научно-производственная фирма «Нитпо» и научно-технический журнал «Нефть. Газ. Новации» Контактная информация: Тел.: (861) 248-94-54, 248-94-51, веб: www.oilgasconference.ru Эл. почта: oilgasconference@mail.ru

III Международная научная конференция «Современные тенденции технических наук» •• 20 октября 2014 г. – 23 октября 2014 г., срок подачи заявок: 30 сентября 2014 г.

Форма участия: заочная Место проведения конференции и издания сборника: г. Казань Основные направления работы (секции):

1. Информатика и кибернетика 2. Электроника, радиотехника и связь 3. Автоматика и вычислительная техника 4. Электротехника 5. Энергетика 6. Металлургия 7. Машиностроение 8. Строительство 9. Архитектура 10. Общие вопросы технических наук Конференция состоится в заочной (дистанционной) форме в октябре 2014 г. – прием материалов – до 30 сентября 2014 г. – размещение электронной версии сборника на сайте – 20 октября 2014 г. – рассылка печатных сборников авторам – ноябрь 2014 г. Организаторы: Издательство «Молодой ученый» Контактная информация: E-mail: info@moluch.ru. Тел.: +7 (499) 653-70-87, 8-800-555-1487. Веб: http://www.moluch.ru/conf/tech/ Эл. почта: info@moluch.ru

IV Международная конференция «Техническая химия. От теории к практике» •• 20 октября 2014 г. – 24 октября 2014 г.

Россия, Пермь Цель проведения конференции «Техническая химия. От теории к практике» – предоставить возможность российским и зарубежным ученым обсудить последние достижения по проблемам фундаментальных и прикладных исследований в области органической химии и наук о материалах. Работа конференции будет проходить в двух секциях: «Органическая химия и гетерогенные процессы», «Полимеры и композиты».

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

КОНФЕРЕНЦИИ

В рамках основного мероприятия пройдет молодежная конференция. Секция «Органическая химия и гетерогенные процессы»: подсекция «Органический синтез» включает разделы: – Исследование реакционной способности и механизмов реакций органического синтеза; – Структура и реакционная способность гетероциклических соединений; – Направленная функционализация природных соединений; подсекция «Гетерогенные процессы» включает раздел: – Теория и практика гетерогенных процессов, в том числе, экстракция и ионная флотация, адсорбция и катализ. Секция «Полимеры и композиты» включает разделы: – Синтез и исследование структуры и свойств полимеров, биополимеров; – Наносистемы и композиты. Научная программа конференции будет включать пленарные доклады (30 мин), устные доклады (15 мин) и стендовую сессию. Рабочие языки конференции русский и английский. Организаторы: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки, Институт технической химии Уральского отделения Российской академии наук Контактная информация: тел.: (342) 237-82-69, факс: (342) 237-82-62 Эл. почта: conf@itch.perm.ru

I Международная конференция «Параллельная компьютерная алгебра и её приложения в новых инфокоммуникационных системах» •• 20 октября 2014 г. – 24 октября 2014 г.

Россия, Ставрополь Форма участия: очно-заочная ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАБОТЫ КОНФЕРЕНЦИИ:

– компьютерная алгебра, новые технологии передачи, обработки и хранения данных; – методы и алгоритмы параллельной компьютерной алгебры; – модулярная арифметика и её приложения в инфокоммуникационных системах высокой производительности и надежности; – математическое и информационное моделирование сложных систем и прогнозирование экономических процессов; – применение цифровой обработки сигналов, видеоизображений, речи в фундаментальных задачах кодирования информации; – алгебраическая теория кодирования информации; – квантовые вычисления и их приложения в шифровании информации; – искусственные нейронные сети и их приложения в предметных областях. Работа конференции будет организована в форме пленарных и проблемно-тематических заседаний. Дни работы:

день заезда: 20 октября 2014 г., дни работы конференции: 21–23 октября 2014 г., день отъезда: 24 октября 2014 г. Участие в конференции может быть заочным, с публикацией докладов. Труды конференции будут изданы к началу работы конференции. Лучшие доклады в виде статей будут опубликованы в журналах из списка ВАК Министерства образования и науки РФ.

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

КОНФЕРЕНЦИИ

Организаторы: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Северо-Кавказский федеральный университет», г. Ставрополь, Россия; Комитет Думы Ставропольского края по образованию и науке, г. Ставрополь, Россия; Институт проблем проектирования в микроэлектронике РАН, г. Москва, Россия; Научно исследовательский институт прикладных физических проблем имени А.Н. Севченко БГУ, г. Минск, Белоруссия; Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет», г. Ростов-наДону, Россия; Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, г. Харьков, Украина; Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского, г. Харьков, Украина; Univerzita sv. Cyrika a Metoda v Trnave, Словаия; Институт проблем информатики и управления Министерства образования и науки республики Казахстан, г. Астана, Казахстан; Le Qui Don Technical University, Hanoi, Vietnam; Щецинский технический университет, г. Щецин, Польша; Федеральное государственное автономное научное учреждение «Центр информационных технологий и систем исполнительной власти», г. Москва, Россия; Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет», г.Белгород, Россия; Военная академия связи имени Маршала Советского Союза С.М. Буденного (филиал, г. Краснодар), Россия; Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждения высшего профессионального образования Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия; Серпуховской военный институт ракетных войск стратегического назначения, г. Серпухов, Россия Контактная информация: тел.: 8-905-469-34-12; 8-918-753-56-73; 8-905-497-53-38 Эл. почта: whbear@yandex.ru

Международная конференция «EMC Academic Forum Russia & CIS 2014» •• 20 октября 2014 г. – 25 октября 2014 г., срок подачи заявок: 15 октября 2014 г.

Форма участия: очная EMC Academic Forum – это ежегодная инновационная международная конференция, ориентированная на обсуждение актуальных вопросов образования в области информационных технологий. В 2014 г. Академический форум корпорации EMC пройдет на площадке факультета Вычислительной Математики и Кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Основная тема Форума – обсуждение инноваций в информационной инфраструктуре и развитии учебного процесса вузов различных стран. Будут рассмотрены следующие учебно-методические комплексы: – аналитика больших данных – облачные технологии – облачная безопасность – управление информацией Традиционно Форум собирает около ста сотрудников из десятков вузов (это как руководители, так и профессорско-преподавательский состав), а также представителей сферы бизнеса, заинтересованных в установлении деловых контактов в академической среде. Регистрация на мероприятие доступна по ссылке: http://russia.emc.com/academicforum Последний день подачи заявки: 15 октября 2014 г. Организаторы: Академическое партнерство EMC Россия и СНГ; Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова Контактная информация: Веб: http://russia.emc.com/academicforum Эл. почта: Mikhail.Salamatov@EMC.com

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

КОНФЕРЕНЦИИ

Всероссийская студенческая научно-практическая Школа-конференция по информационной безопасности 2014 •• 21 октября 2014 г. – 25 октября 2014 г., срок подачи заявок: 30 сентября 2014 г.

Россия, Тольятти Форма участия: очная Школа-конференция будет проходить в городе Тольятти с 21 по 25 октября 2014 на базе факультета информатики и телекоммуникаций Волжского университета имени В.Н. Татищева в санатории «Русский бор», расположенном на берегу Жигулевского моря в сосновом лесу, в привычном климате Средней полосы. Целью проведения Школы-конференции является обсуждение и оценка основных тенденций развития науки и практики в области обеспечения информационной безопасности. Основными задачами Школы-конференции являются: обучение участников Школы-конференции по вопросам обеспечения информационной безопасности, противодействию утечки информации, обсуждение проблем, методов и подходов в решении задач, связанных с исследованием и внедрением передового опыта в сфере информационной безопасности, знакомство участников с оборудованием, используемым для выполнения задач по обеспечению информационной безопасности. Организаторы: Волжский Университет имени В.Н. Татищева Контактная информация: Тел.: (8482) 63-82-04 Веб: http://cbb.vuit.ru/shc/ Эл. почта: cbb@vuit.ru.

XVII Международная научная конференция

«Актуальные вопросы современной техники и технологии» •• 24 октября 2014 г. – 24 октября 2014 г., срок подачи заявок: 24 октября 2014 г.

Россия, Липецк Форма участия: заочная Конференция проводится на постоянной основе с 2010 года ЦЕЛЬ КОНФЕРЕНЦИИ:

публикация результатов научно-технических исследований ведущих ученых, аспирантов, докторантов, студентов вузов и ссузов; поиск решений по актуальным проблемам развития современной техники и технологии; установление контактов между учеными разных стран, обмен научными результатами и исследовательским опытом. ТЕМАТИКА КОНФЕРЕНЦИИ:

Секция 1: Секция 2: Секция 3: Секция 4: Секция 5: Секция 6:

«Информатика, вычислительная техника и управление»; «Машиностроение и машиноведение, материаловедение»; «Электротехника, энергетика, электроника, радиотехника и связь, транспорт»; «Металлургия и химическая технология»; «Техника и технология в строительстве»; «Техника и технология легкой промышленности, лесного и сельского хозяйства, продуктов питания»; Секция 7: «Организация производства, метрология, стандартизация и управление качеством, безопасность и охрана труда, смежные вопросы». К участию в Конференции приглашаются ученые, преподаватели, аспиранты, докторанты, студенты и вузов, ведущие научные исследователи в области техники и технологии и проживающие на территории России, стран СНГ и дальнего зарубежья. По результатам каждой Конференции издается сборник докладов (присваиваются коды ISBN, УДК и ББК, производится регистрация в Российской книжной палате, рассылка по библиотекам). Рассылка авторских экземпляров производится в течение 1 месяца (ориентировочно) с момента окончания приема заявок.

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

КОНФЕРЕНЦИИ

Организаторы: Научное партнерство «Аргумент», Российская ассоциация содействия науке, Технологический Университет Таджикистана, Казахский Национальный Медицинский Университет им. С.Д. Асфендиярова, БГТУ «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова, Институт Международного бизнеса и коммуникации, МАТИ – Российский Государственный Технологический Университет им. К.Э. Циолковского, Липецкое региональное отделение общероссийской общественной организации «Российский союз молодых ученых», Научно-исследовательский центр «Аксиома», Молодежный парламент Липецкой области, Издательский центр «Гравис» Контактная информация: Веб: http://www.science-conf.ru/tehnika.htm. Тел.: +7 (4742) 39-79-73 Эл. почта: tehnika@science-conf.ru

III Международная научная школа-конференция «Катализ: от науки к промышленности» •• 26 октября 2014 г. – 30 октября 2014 г.

Россия, Томск Форма участия: очно-заочная Школа-конференция молодых ученых посвящена современным тенденциям в области фундаментального и прикладного катализа. В рамках школы-конференции будут рассмотрены научные основы приготовления катализаторов, механизмы, кинетика и моделирование каталитических реакций, аналитическое сопровождение каталитических технологий, перспективные направления развития катализа и реализация каталитических процессов в промышленности. В научную программу школы-конференции будут включены пленарные и ключевые лекции ведущих ученых, устные и стендовые доклады молодых ученых. Среди приглашенных лекторов ведущие российские и зарубежные ученые, а также представители зарубежных фирм. Организаторы: Томский государственный университет, г. Томск; ООО «Новохим», ООО «Глиоксаль-Т» Контактная информация: Лаборатория каталитических исследований ХФ ТГУ, 634050, г. Томск, ул. Аркадия Иванова 49 (6 корпус ТГУ); веб: http://lcr.tsu.ru. Тел./факс: +7 (3822) 200419 Эл. почта: catconf@mail.tsu.ru

«Фундаментальные и прикладные аспекты новых высокоэффективных материалов» •• 28 октября 2014 г. – 28 октября 2014 г., срок заявок: 1 октября 2014 г.

Россия, Казань Организационный комитет ожидает более 150 участников из России и стран СНГ. Конференция пройдет 28–28.10.2014 г. Количество докладов не лимитируется. Официальные языки конференции – русский, английский. Объем материалов для стендовых и секционных докладов не должен превышать 15 страниц. Более подробная информация по участию в работе конференции будет отправлена участникам после окончания регистрации. Основные темы конференции: – Оценка качества новых материалов(физико-химические свойства, эксплуатационные свойства, долговечность, надежность) – Пределы прочности материалов, диапазон применимости, пути распада – Теоретические и экспериментальные исследования структуры и свойств материалов – Технологии разработки новых материалов с заданными свойствами – Компьютерное проектирование материалов и компьютерный эксперимент. – Гетерогенные структуры и комплексы Конференция проходит дистанционно, с использованием технологии виртуальных миров Pax Grid. Организаторы: Сервис виртуальных конференций Pax Grid Контактная информация: Веб: http://paxgrid.ru/conference/index.php?c=material2014 Эл. почта: material2014@paxgrid.ru

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

Прикладная

МАТЕМАТИКА С.Н. ЧУКАНОВ – доктор техн. наук, профессор, ведущий научный сотрудник Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омский филиал Омск, Российская Федерация, E-mail: ch_sn@mail.ru

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРА ГОМОТОПИИ В работе предложен метод декомпозиции векторного поля динамической системы на основе построения оператора гомотопии. При этом векторное поле декомпозируется на точную компоненту, соответствующую градиентному векторному полю, и антиточную компоненту. В случае линейной динамической системы декомпозиция приводит компонентам, соответствующим представлениям с симметричной и кососимметричной матрицами. Метод может быть использован при конструировании систем управления динамическими системами для исследования устойчивости. Рассмотрена обратная задача динамики управляемой системы нахож-

дения вектора потенциальных сил для формирования движения системы по требуемой траектории. Использование вышеизложенного метода декомпозиции для динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка, позволяет сформировать такую функцию Лагранжа, что уравнения Эйлера-Лагранжа будут соответствовать исходным дифференциальным уравнениям.

Ключевые слова: декомпозиция векторного поля, устойчивость системы управления, функция Ляпунова, оператор гомотопии, обратная задача динамики.

S.N. CHUKANOV – Doctor of Techn. Sciences, Professor, Leading Researcher Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences Omsk, Russian Federation, E-mail: ch_sn@mail.ru

DETERMINATION OF POTENTIAL COMPONENT OF THE VECTOR FIELD OF CONTROL SYSTEM BY CONSTRUCTING A HOMOTOPY OPERATOR A method for decomposing a vector field of a dynamical system based on the construction of homotopy operator is proposed in this paper. The vector field is decomposed on the exact component corresponding to the gradient vector field, and anti-exact component. In the case of a linear dynamic system the decomposition leads to components, corresponding representations of the symmetric and skew-symmetric matrices. The method can be used to construct systems of dynamic systems. The method can be used to construct systems of dynamic systems for the study of system stability. The inverse problem of the dynamics of the

Введение В 3-мерной теории поля известно разложение Гельмгольца векторного поля f ( x ) ∈  3 ; x ∈  3 в области Ω ∈  3 на безвихревое (потенциальное) поле и бездивергентное (соленоидальное) поле [1, 2]: f (x) = ∇ ϕ(x) + ∇ × A (x) , где A ( x ) – векторный потенциал; ϕ ( x ) – скалярный потенциал. Граничные условия разложения Гельмгольца: векторное поле ∇ϕ – нормальное к границе ∂Ω области Ω , векторное поле ∇ × A касательное к границе ∂Ω . Градиент потенциальной функции ∇ ϕ ( x ) = grad ϕ ( x )

controlled system of finding the vector potential forces for the formation of system movement on the required trajectory is considered. The use of the foregoing decomposition method for dynamical systems described by first order differential equations, allows to form the Lagrangian that Euler-Lagrange equations will correspond the original differential equations.

Keywords: decomposition of the vector field, stability of control system, Lyapunov function, operator of homotopy, inverse problem of dynamics.

является наилучшей аппроксимацией векторного поля f ( x ) . Актуальность декомпозиции векторного поля для исследования динамических систем вида x = f ( x ) обусловлена тем фактом, что использование скалярной потенциальной компоненты функции ϕ ( x ) в качестве функции Ляпунова [3, 4]: V ( x ) = −ϕ ( x ) позволяет оценивать устойчивость динамической системы, так как производная функции Ляпунова по времени: T T V ( x ) = ( ∇V ( x ) ) f ( x ) = − ( ∇ϕ ( x ) ) f ( x ) ,

в случае потенциального векторного поля f ( x ) , рав2 на V ( x ) = − ∇ϕ ( x ) ≤ 0 . Декомпозиция Гельмгольца может быть записана с использованием оператора Ходжа " *" для дифференциальных форм [2, 5]: f ( x ) = d ϕ ( x ) + ∗dA ( x ) .

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

Однако при n > 4 оператор Ходжа 1-формам сопоставляет k-формы со значением k > 3 и декомпозиция Ходжа-Гельмгольца некорректна. Цель настоящей работы – построение алгоритмов декомпозиции векторного поля гладкой динамической системы f ( x ) ∈  n ; x ∈  n при n ≥ 2 . Для выполнения цели в работе решена задача построения потенциальной и соленоидальной компонент векторного поля формированием оператора гомотопии для дифференциальной формы, соответствующей векторному полю f ( x ) . Применение алгоритмов декомпозиции векторного поля системы управления позволяет конструировать скалярную функцию Ляпунова для исследования устойчивости.

1. Декомпозиция векторного поля динамической системы ͘x = f(x) Для динамической системы: x = f ( x ) ; x ∈  ; f ( x ) ∈  ; f ( 0 ) = 0 , n

и соответсформируем векторное поле X = f ( x ) ∂ ∂x ствующую дифференциальную форму ω = f ( x ) dx в дуальном базисе: dxi , ∂

∂x j

= δij .

Построим из векторного поля скалярный потенциал применением оператора гомотопии с центром в x0 ≡ 0 для формы ω = f ( x ) dx :  ∂   ( É ) = ∫  x  ( f ( λx ) dx ) d λ = ∫ xT f ( λx ) ⋅ d λ ; (1) 0  ∂x  0 оператор гомотопии  удовлетворяет тождеству ω = d ( ω ) + d ω (см. приложение 1). Первый член разложения – является точной формой 1

 1 ω e = d (  ω ) = d  ∫ xT f ( λ x ) ⋅ d λ  ,  0 следовательно является замкнутой формой:

d ω e = d ( d ( ω ) ) = 0 .

Если считать ϕ ( x ) = ω ω ( x ) скалярным потенциа∂ являетлом, то потенциальное векторное поле ϕ′x ∂x ся дуальным форме ωe = d ( ω ) = ϕ′x dx . Второй член разложения: ωa – является антиточной формой (по терминологии [6])

ω a = ω − ω e = ω − d ( ω ) = d ω ,

причем: ωa =  ( d ω ) = 0 . Пример 1. Рассмотрим пример динамических уравнений для компонент вектора угловой скорости

x = ( x1 x2 x3 ) при вращательном движении твердого тела с главными компонентами тензора инерции (100 80 60 ) и при действии на твердое тело управляющего вектора момента T

m = ( −0,1 ⋅ x1

−0,1 ⋅ x3 ) : T

−0,1 ⋅ x2

100 x1 =20 x2 x3 − 0,1 ⋅ x1 ; 80 x2 = − 40 x1 x3 − 0,1 ⋅ x2 ; . 60 x3 =20 x1 x2 − 0,1 ⋅ x3 . Построим дуальную дифференциальную форму: ω = ( 20 x2 x3 − 0,1 ⋅ x1 ) dx1 + + ( −40 x1 x3 − 0,1 ⋅ x2 ) dx2 + ( 20 x1 x2 − 0,1 ⋅ x3 ) dx3 ,

к которой применим оператор гомотопии с x0 ≡ 0 :

ϕ ( x ) =  ( ω ( x ) ) = −0, 05 ( x12 + x22 + x32 ) . Отсюда точная форма:

(

)

ωe = d ( ω ) = d −0, 05 ( x12 + x22 + x32 ) = = −0,1x1dx1 − 0,1x2 dx2 − 0,1x3 dx3 ; соответствующее дуальное потенциальное векторное поле: ∂ ∂ ∂ Xe = −0,1x1 − 0,1x2 − 0,1x3 . ∂x1 ∂x2 ∂x3 Векторное поле дуальное антиточной форме: X a = 20 x2 x3

∂ ∂ ∂ − 40 x1 x3 + 20 x1 x2 . ∂x1 ∂x2 ∂x3

Если выбрать в качестве скалярной функции Ляпунова V ( x ) = −ϕ ( x ) = 0, 05 ⋅ x ; 2

V ( x ) > 0, при x > 0; V ( x ) = 0, при x = 0,

то для производной функции Ляпунова по времени получим выражение: 2 V ( x ) = −0, 01 ⋅ x ; V ( x ) < 0, при x > 0; V ( x ) = 0, при x = 0.

2. Декомпозиция векторного поля динамической системы ͘x = A(x) ⋅ x Гладкая динамическая система x = f ( x ) ; f ( 0 ) = 0 может представлена в форме x = A ( x ) ⋅ x . В свою очередь, правая часть выражения A ( x ) ⋅ x может быть декомпозирована в форме: A ( x ) ⋅ x = ( J ( x ) + R ( x ) ) ⋅ x ,

(

)

(2)

– кососимметричегде J ( x ) = 0, 5 ⋅ A ( x ) − A ( x ) ская компонента матрицы A ( x ) ; T – симметрическая комR ( x ) = 0, 5 ⋅ A ( x ) + A ( x ) понента матрицы.

(

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

)

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

∂ ∂ и R (x) x по∂x ∂x строим соответствующие дифференциальные формы в дуальном базисе: Для векторных полей J ( x ) x

ω J = ( J ( x ) x ) dx и ω R = ( R ( x ) x ) dx .

Применим оператор гомотопии с центром x0 ≡ 0 для формы ωJ :  ( ωJ ( x ) ) =  ( J ( x ) xdx ) =  ∂  = ∫x  0  ∂x  1

( J ( λx ) λxdx ) d λ =

(3)

= ∫ x J ( λx ) λxd λ = 0. T

Применив оператор гомотопии с центром x0 ≡ 0 для формы ωR , получим скалярную потенциальную функцию ϕ ( x ) :

ϕ ( x ) =  ( ωR ( x ) ) =  ( R ( x ) xdx ) = 1

( R ( λx ) λxdx ) d λ =

(4)

 ( x ) x. = ∫ xT R ( λx ) λxd λ = xT R 0

 ( ω A ( x ) ) =  ( A ( x ) xdx ) =  ( ωR ( x ) ) = ϕ ( x ) .

(5)

Следовательно потенциальное (градиентное [7]) векторное поле системы: ∂ ( ωR ( x ) )

∂x

∂ϕ ( x )

∂x

;

(6)

со скалярным потенциалом ϕ ( x ) =  ( ωR ( x ) ) . Тангенциальное векторное поле системы ft ( x ) можно представить в форме: ∂ϕ ( x ) . (7) ft ( x ) = A ( x ) ⋅ x − f g ( x ) = A ( x ) ⋅ x − ∂x Если A ( x ) = A , то 1

ϕ ( x ) =  ( ωR ( x ) ) = ∫ xT R ( λx ) λx ⋅ d λ = 0, 5 ⋅ xT Rx , 0

и потенциальное векторное поле системы: f g = Rx ; тангенциальное векторное поле: ft = Jx . Из вышесказанного сформулируем следующее предложение: Предложение 1. Векторное поле динамической системы: x = f ( x ) = A ( x ) ⋅ x может быть декомпозировано на потенциальное векторное поле: fg =

∂ϕ ( x )

∂x

и тангенциальное векторное поле: ft ( x ) = A ( x ) ⋅ x −

∂ϕ ( x )

Для линейных стационарных динамических систем: x = A ( x ) ⋅ x + B ⋅ u , с управлением u = K ⋅ x , выберем в качестве функции Ляпунова функцию [8, 9]: V ( x ) = xT ⋅ P ⋅ x > 0; pii > 0; pij ,i ≠ j = 0;V ( 0 ) = 0 , для которой

∂x

(

)

= xT ( A + BK ) P + P ( A + BK ) x; (8) dt Если декомпозировать матрицу A на кососимметрическую и симметрическую части в форме (2): T

A = J + R; J = 0, 5 ⋅ ( A − AT ) ; R = 0, 5 ⋅ ( A + AT ) ,

то матрица ( AT P + PA ) будет симметрической, так как матрицы ( J T P + PJ ) и ( RT P + PR ) – симметрические и обеспечение устойчивости сводится к нахождению такой матрицы K , которая обеспечит выполнение условия: xT ( AT P + PA ) x < −xT

Так как  ( ωJ ( x ) ) = 0 ,то:

fg =

3. Устойчивость систем вида ͘x = A ⋅ x+B ⋅ u

 ∂  = ∫x  0  ∂x 

где скалярная потенциальная функция ϕ ( x ) определяется из выражения (4).

(( BK )

)

P + P ( BK ) x .

Из вышесказанного можно сформулировать следующее предложение: Предложение 2. Для линейных динамических систем вида x = A ⋅ x + B ⋅ u ; B = diag ( b11 b22  bnn ) с управлением u = K ⋅ x и функцией Ляпунова: 2 V ( x ) = x ; P = I ∈  n×n , условие стабилизации может быть представлено в виде условия для потенциальной функции ϕ ( x ) (см. (4)): ϕ ( x ) = xT Rx < −xT ⋅ BK ⋅ x .

(9)

где R = 0, 5 ⋅ ( A + A ) – симметрическая компонента матрицы A . В неравенстве (9) используются компоненты вектора состояния x . В следующем примере показано, как можно получить оценку компонент матрицы K , которая не зависит от вектора состояния x, x > 0 . Пример 2. Для системы x = A ( x ) ⋅ x + B ⋅ u при T

 5 2 4   A =  4 7 6  и u ∈  3 ; B = I ∈  3×3 6 8 9   получим 5 3 5   R = ( rij ) =  3 7 7  ; i, j = 1, , 3 5 7 9   и условие (9) выполняется для матрицы

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

0 0   −11, 26   K = ( kij ) =  0 −16, 72 0 ;  0 0 −24, 65   ∀xi , x j ∈ ; i, j = 1, , 3, так как справедливо неравенство  rij rii xi2 + 2rij xi x j + rjj x 2j ≤ 1 +  rii rjj 

  ( rii xi2 + rjj x 2j ) ;  

∀xi , x j ∈ ; rii > 0, rjj > 0; i, j = 1 3 , которое следует из неравенства:

(

rii xi − rjj x j

)

≥ 0; ∀xi , x j ∈  .

Следовательно оценка максимальных значений компонент матрицы kij следующая:  r12 r13 r11 1 + +  r11r22 r11r33 

  < 11, 26 ≤ −k11 ; 

 r12 r23 r22 1 + +  r11r22 r22 r33 

  < 16, 72 ≤ −k22 ; 

 r13 r23 r33 1 + +  r11r33 r22 r33 

  < 24, 65 ≤ −k33 . 

4. Формирование уравнений Эйлера-Лагранжа для динамической системы, определяемой системой дифференциальных уравнений Рассмотрим обратную задачу динамики управляемой системы [14, 15], которая заключается в нахождении потенциальной силы: F ( x ) = − ∂U , необхо∂x димой для формирования движения системы по назначенной траектории: x* ( t ) ; x * ( t ) ; t ≥ 0 ; при известных уравнениях движения системы И. Ньютона:  x = F ( t ) . Напомним, что прямая задача динамики заключается в нахождении траектории движения по известной силе F ( t ) [14]. В соответствии с [12] для заданной динамической системы с функцией Лагранжа: L = T ( x, x ) − U ( x ) , где: T =

Поставим задачу нахождения такой функции Лагранжа для динамической системы, определяемой системой дифференциальных уравнений первого порядка: x = f ( x ) ; x ∈  n ; f ( ⋅) ∈  n , что уравнения Эйлера-Лагранжа приводят к этой системе дифференциальных уравнений. Сформируем систему дифференциальных уравнений второго порядка дифференцированием по времени:

(

)

 x = ∂f

⋅ f x , ∂x ( ) и определим вектор:

(10)

F ( x ) = ∂f

(11)

(

)

⋅ f x ; F ⋅ ∈  n . ∂x ( ) ( ) Декомпозируем вектор F ( x ) :

F (x) = K (x) + R (x) , таким образом, что K ( x ) : K (x) = −

∂U ( x ) ∂x

; K ( ⋅) ∈  n ,

(12)

– потенциальный вектор (вектор консервативной силы [13]); ∂U ( x ) R (x) = F (x) + ; R ( ⋅) ∈  n , (13) ∂x – неконсервативный вектор [13]. Тогда система дифференциальных уравнений второго порядка:  x = F (x) = −

∂U ( x ) ∂x

+ R ( x ) ;

(14)

соответствует второму закону И. Ньютона. Найдем скалярную потенциальную функцию формированием оператора гомотопии (1): 1

U ( x ) = − ∫ xT F ( λx ) ⋅ d λ . 0

Запишем уравнение Эйлера-Лагранжа в форме [8]: d

( ∂L ∂x ) − ∂L ∂x = R ( x ) .

Рассмотрим динамическую систему с функцией Лагранжа: 1 n n L = T ( x, x ) − U ( x ) = ∑ ∑ aik xi xk − U ( x ) , 2 k =1 i =1 где x ∈  n – вектор обобщенных координат. При aik = δik функция Лагранжа принимает вид:

1 n n ∑ ∑ aij x i x j , 2 j =1 i =1

x ∈  n – вектор обобщенных координат; можно найти такое преобразование метрики (метрики Якоби) gik ( x ) = 2T ⋅ aik , что геодезические на многообразии с этой метрикой будут являться траекториями заданной динамической системы.

L = 1 x T x − U ( x ) . 2 Из уравнений Эйлера-Лагранжа получим:  x = F ( x ) = − ∂U

+R, ∂x что соответствует (14), если F ( x ) определяется в соответствии с соотношением (11), U ( x ) определяется

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

в соответствии с (1), R ( x ) определяется в соответствии с (13). При известной функции Лагранжа найдем вектор обобщенного импульса, сопряженный вектору обобщенных координат x :

 f1 ( x )   −0,1 ⋅ x1 + x2  x = f ( x ) =  = .  f 2 ( x )   −0,1 ⋅ x2 − x1  Дифференцируя эту систему получим:

по

времени,

∂f ( x )

 −0,1 1   −0,1 ⋅ x1 + x2  f (x) =  ⋅ ; ∂x  −1 −0,1  −0,1 ⋅ x2 − x1  откуда: ∂f ( x ) F (x) = f (x) = ∂x  −0, 99 ⋅ x1 − 0, 2 x2  = K (x) + R (x) =  .  −0, 99 ⋅ x2 + 0, 2 x1  Применим оператор гомотопии (1) к F ( x ) для нахождения потенциальной функции U ( x ) : 1

U ( x ) = − ∫ xT F ( λx ) ⋅ d λ = 0, 495 ⋅ ( x12 + x22 ) ; 0

получим вектор потенциальных сил: ∂U ( x )  x1  = −0, 99 ⋅   ; K (x) = − ∂x  x2  вектор неконсервативных сил: R (x) = F (x) +

∂x функцию Лагранжа:

 − x2  = 0, 2  ;  x1 

1 L = T ( x, x ) − U ( x ) = ( x12 + x22 ) − 0, 495 ⋅ ( x12 + x22 ) ; 2 вектор обобщенного импульса:  x1  p = ∂L  =   ; ∂x  x2  и гамильтониан:

1 2 ( x1 + x22 ) + 0, 495 ⋅ ( x12 + x22 ) . 2 В 1929 году Л. Эйзенхарт (Luther Pfahler Eisenhart) предложил геометрическую формулировку ньютоновской динамики, которая использует многообразие M ×  2 с локальными координатами H ( x, p ) = x T p − L ( x, x ) =

дополнительными координатами псевдоримановой метрикой: ds 2 = gµν dxµ dx ν = aij dxi dx j − 2

H ( x, p ) = x T p − L ( x, x ) = 1 p 2 + U ( x ) . 2 Пример 3. Рассмотрим динамическую систему, определяемую системой дифференциальных уравнений первого порядка:

∂U ( x )

}

−2U ( x ) ( dx 0 ) + 2dx 0 dx N +1

p = ∂L  = x; p ∈  n , ∂x и гамильтониан:

 x=

{

M = x = ( x1 , , x N ) ∈  N ,

(x , x )∈ 0

N +1

(15)

где µ, ν ∈ 0, , N + 1; i, j ∈1, , N , g = ( gµν ) – метрический тензор Эйзенхарта; aij = δij – компоненты кинетической энергии. Соотношение между геодезическими кривыми этого многообразия и движением динамической системы содержится в теореме Эйзенхарта [16]: геодезические кривые с положительной длиной дуги, определяемой выражением: ds 2 = dt 2 , соответствуют движению динамической системы при выборе координаты x N +1 : t

x N +1 = 1 t − ∫ Ld τ , 2

(16)

1 T x x − U ( x ) . 2 Рассмотрим задачу формирования метрического тензора g , обеспечивающего требуемые траектории динамической системы, как обратную задачу динамики. В локальных координатах ( x 0 ( s ) , , x N +1 ( s ) ) уравнение для геодезических кривых имеют вид [12]: где L – функция Лагранжа: L ( x, x ) =

d 2 xi

+ Γijk dx

dx k

= 0; i, j , k = 0, , N + 1 ,

где s – параметр длины геодезической дуги кривой (предполагается суммирование по повторяющимся индексам); коэффициенты Кристоффеля Γijk связанные с ( gij ) задаются в форме: ∂g ∂g Γijk = 1 g im  ∂g mk j + mj k − jk m  ; 2 ∂x ∂x  ∂x 

( g )=( g ) ij

Ненулевые символы Кристоффеля метрический тензор Эйзенхарта равны: Γi00 = −Γ 0Ni +1 = ∂U

∂xi и уравнения для геодезических (с учетом ds = dt ): d 2 x0

=0, dt 2 указывает на линейную зависимость x 0 от t ; без потери общности можно принять x 0 = t ; d 2 xi 2 = − ∂U , уравнения И.Ньютона; ∂xi dt d 2 x N +1

= − dL – представление (16) в диффеdt dt 2 ренциальной форме. Запишем соотношение для возмущенной геодезической кривой: x i ( s ) = xi ( s ) + J i ( s ) , где вектор гео-

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

дезического отклонения (девиации) J = ( J 0 , J N +1 ) подчиняется уравнениям Jacobi-Levi-Civita (JLC): i r + Rijrk dx J j dx = 0; ds ds ds 2 l Rijk – компоненты тензора Римана: l ∂Γl Rijkl = jk i − ∂Γik j + Γ rjk Γlir − Γikr Γljr . ∂x ∂x Для метрического тензора Эйзенхарта ненулевы2 и уравми компонентами являются R0k j 0 = ∂ U ∂x j ∂xk нение JLC для вектора девиации:

d2J k

x = f ( x ) ; f ( 0 ) = 0 . Показано, что для динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка, на основе изложенного метода декомпозиции может быть сформирована такая функция Лагранжа, что уравнения Эйлера–Лагранжа будут соответствовать исходным дифференциальным уравнениям.

Приложение 1 [6, 10]. Метод оператора гомотопии

(17)

Обозначим элементы тангенциального векторного пространства в точке x ∈  n :

Для обеспечения устойчивости процесса изменения вектора девиации J необходимо обеспечить выполнение условия:

∂ ( x ); fi ∈  ; ∂xi i =1 элементы котангенциального пространства (дифференциальные формы):

d 2J

 ∂ 2U  =  − 2  J . ds  ∂x  2

Re ( λ i ) < 0; ∀i = 1, , N ,

X ( x ) = ∑ fi ( x )

где λ i – собственные числа матрицы

ω ( x ) = ∑ ωi ( x ) dxi , ωi ∈  .

 − ∂ 2U  ; j , k = 1, , N .   ∂ x ∂ x j k  

Для дифференциальных форм можно ввести дифференциальный оператор d со свойствами:

Пример 4. Для потенциальной функции U ( x ) , полученной с использование оператора гомотопии в примере 3 U ( x ) = 0, 495 ⋅ ( x12 + x22 ) получим метрический тензор:  −0, 99 ( x12 + x22 )   0 g= 0   1 

0 0 1  1 0 0 . 0 1 0 0 0 0 

Так как  ∂ 2U − 2  ∂x

i =1

(1) d ( ω1 + ω2 ) = d ω1 + d ω2 ; ∂ϕ dxi ; ∂xi ω ) = 0 ; и оператор внутреннего произве(3) d ( dω дения векторного и ковекторного поля X ω со свойствами: (1) X f = 0 ; (2) X ω = ω ( X ) ; (3) X ( ω1 + ω2 ) = X ω1 + X ω2 . Построим оператор гомотопии  – линейный оператор, действующий на форму ω ( x ) : (2) d ϕ = ω ( x ) =



ω )( x ) = ∫  ( xi − xi0 ) ( ω

0    −0, 99 =  −0, 99    0

k = deg ( ω ) .

 ∂ 2U  и собственные числа матрицы  − 2  отрицатель ∂x  ные ( λ1 = λ 2 = −0, 99 < 0 ), то процесс изменения вектора девиации J , определяемый соотношением JLC: 0  d 2 J 2 =  −0, 99   J , является устойчивым. ds  0 −0, 99 

Заключение Рассмотрен метод декомпозиции векторного поля динамической системы на основе построения оператора гомотопии. Предложен метод определения эквивалентности векторных полей на основе SVD-декомпозиции потенциальной компоненты векторного поля. Метод декомпозиции векторного поля динамической системы может быть использован для построения функций Ляпунова систем управления вида:



∂   ∂xi 

ω ( λx ) ⋅ λ k −1d λ ;

При k = 1; x0 ≡ 0 : 1

ω )( x ) = ∫ ( ω 0

( x ∂ ∂x ) i

ω ( λx ) d λ .

Свойства оператора гомотопии: (1) d H + Hd = I ;

(2) (  ( ω ) ) ( xi ) = 0; ( ω ) ( xi0 ) = 0  ∂  (3)  xi   ∂xi 

=0.

Первый член разложения формы ω = d ( ω ) + d ω – точная форма ωe = d ( ω ) является замкнутой; форма ωa = d ω является антиточной. Для случая ω = dϕ получим: ( dϕ )( x ) = ϕ ( x ) − ϕ ( x0 ) .

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

Список литературы

References

1. Saffman P.G. Vortex dynamics. Cambridge University Press. 1992. 312 p. 2. Chukanov S.N. Definitions of invariants for ndimensional traced vector fields of dynamic systems. Pattern Recognition and Image Analysis, 2009. Vol. 19. № 2. PP. 303–305. 3. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения, 1959. М.: ГИФМЛ, 211 с. 4. Зубов В.И. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). М.: Высшая школа, 1984. 232 с. 5. Multimedia tools for communicating mathematics. ed. K. Polthier, J. Rodrigues. Springer-Verlag. 2002. PP. 241–264. 6. Edelen D.G.B. Applied Exterior Calculus. John Wiley&Sons, Inc. 1985. 472 p. 7. Wang Y., Lia Ch., Cheng D. Generalized Hamiltonian realization of time-invariant nonlinear systems. Automatica, 2003. Vol. 39. PP. 1437–1443. 8. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С., III. Оптимальное управление системами, 1982. М.: Радио и связь. 392 p. 9. Wang Y., Cheng D., Ge S.S. Approximate Dissipative Hamiltonian Realization and Construction of Local Lyapunov Functions. Systems and Control Letters, 2007. Vol. 56. PP. 141–149. 10. Hudon, N., Hoffner K., Guay M. Equivalence to Dissipative Hamiltonian Realization. In: Proceedings of the 47-th Conference on Decision and Control, Cancun, Mexico. 2008. PP. 3163–3168. 11. Cheng D., Shen T., Tarn T.J. Pseudo-hamiltonian realization and its application. Communications in information and systems, Dec. 2002. Vol. 2. № 2. PP. 91–120. 12. Pettini M. Geometry and Topology in Hamiltonian Dynamics and Statistical Mechanics. Springer Science+Business Media, LLC. 2007. 452 p. 13. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука. 1987. 304 с. 14. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики в теории автоматического управления, 2004. М.: Машиностроение. 576 с. 15. Галиуллин А.С. Аналитическая динамика. М.: Высшая школа. 1989. 264 с. 16. Lichnerowicz A. Theories Relativistes de la Gravitation et de l’Electromagnetisme. Paris: Masson. 1955. 298 p.

1. Saffman P.G. Vortex dynamics. Cambridge University Press. 1992. 312 p. 2. Chukanov S.N. Definitions of invariants for n-dimensional traced vector fields of dynamic systems. Pattern Recognition and Image Analysis. Vol.19. № 2. 2009. PP. 303–305. 3. Krasovskii N.N. Nekotorye zadachi teorii ustojchivosti dvizheniya [Some problems in the theory of stability of motion]. M. GIFML, 1959. 211 p. 4. Zubov V.I. Ustojchivost' dvizheniya (metody Lyapunova i ih primenenie) [Stability of motion (Lyapunov methods and their application)]. M.: Vys’shаya shkola. [Moskow: Publishing house «Higher School»], 1984. 232 p. 5. Multimedia tools for communicating mathematics. ed. K. Polthier, J. Rodrigues. Springer-Verlag. 2002. PP. 241–264. 6. Edelen D.G.B. Applied Exterior Calculus. John Wiley&Sons, Inc. 1985. 472 p. 7. Wang Y., Lia Ch., Cheng D. Generalized Hamiltonian realization of time-invariant nonlinear systems. Automatica, 2003. Vol. 39. PP. 1437–1443. 8. Sage A.P., White C.C., III. Optimalnoe upravlenie sistemami [Optimal control systems]. M.: Radio and communication [Moskow: Publishing house «Radio i svyaz»], 1982. 392 p. 9. Wang Y., Cheng D., Ge S.S. Approximate Dissipative Hamiltonian Realization and Construction of Local Lyapunov Functions. Systems and Control Letters, 2007. Vol. 56. PP. 141–149. 10. Hudon, N., Hoffner K., Guay M. Equivalence to Dissipative Hamiltonian Realization. In: Proceedings of the 47-th Conference on Decision and Control, Cancun, Mexico. 2008. PP. 3163–3168. 11. Cheng D., Shen T., Tarn T.J. Pseudo-hamiltonian realization and its application. Communications in information and systems. Dec. 2002. Vol. 2. № 2. PP. 91–120. 12. Pettini M. Geometry and Topology in Hamiltonian Dynamics and Statistical Mechanics. Springer Science+Business Media, LLC, 2007. 452 p. 13. Merkin D.R. Vvedenie v teoriyu ustojchivosti dvizheniya [Introduction to Motion Stability Theory]. M.: Nauka [Moscow: Publishing house «Sciences»], 1987. 304 p. 14. Krut’ko P.D. Obratnye zadachi dinamiki v teorii avtomaticheskogo upravleniya [Inverse problems of the dynamics in automatic control theory]. M.: Mashinostroyeniye [Moskow: Publishing house «Mechanical Engineering»], 2004. 576 p. 15. Galiullin A.S. Analiticheskaya dinamika [Analytical dynamics]. M.: Vys’shаya shkola. [Moskow: Publishing house «Higher School»], 1989. 264 p. 16. Lichnerowicz A. Theories Relativistes de la Gravitation et de l’Electromagnetisme. Paris: Masson, 1955. 298 p.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 14-07-00272 и № 14-08-01132)

Сведения об авторе Information about the author Чуканов Сергей Николаевич доктор техн. наук, профессор ведущий научный сотрудник Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омский филиал 644043, Омск, Российская Федерация, Певцова, 13 E-mail: ch_sn@mail.ru

Chukanov Sergey Nikolaevich Doctor of Techn. Sciences, Professor, Leading Researcher Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Omsk branch 644099, Omsk, Russian Federation, Pevtsova, 13 E-mail: ch_sn@mail.ru

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

В.Л. Вольфсон – кандидат техн. наук, ведущий аналитик ЗАО «Ланит» Москва, Российская Федерация, E-mail: znakvicvolf@mail.ru

Вероятностные свойства некоторых последовательностей на конечном интервале натурального ряда В работе получена формула для определения отклонения значения плотности последовательности кратных чисел на конечном интервале натурального ряда от асимптотической плотности данной последовательности. Приведена оценка этого отклонения и показано, что она обратно пропорциональна длине конечного интервала. Показано, что на большом конечном натурального ряда с высокой точностью выполняется независимость событий, что натуральное число кратно различным простым числам. Найдено значение максимальной абсолютной ошибки в определении вероятности событий, что натуральные числа на конечном интервале натурального ряда не кратны различным простым числам, дана оценка относительной ошибки указанных событий. Автором показано, что для плотности последовательности простых чисел, независимость событий кратности различным простым числам не выполняется. Получены формулы для определения асимптотической плотности и количества простых чисел, а также последовательности, полученной после определенного числа шагов решета Эратосфена. В рабо-

те проведено обобщение вероятностного пространства на конечном интервале натурального ряда на множество кортежей k-кратного прямого произведения конечного интервала натурального ряда. Доказаны утверждения об алгебре событий и вероятностной мере (плотности k-кортежей) на конечном вероятностном пространстве. Рассмотрены свойства k-арных отношений на конечном пространстве. Определена асимптотическая плотность k-кортежей на бесконечном пространстве k-кратного прямого произведения натурального ряда. Выделены три случая асимптотической плотности k-кортежей, рассмотрены свойства асимптотической плотности и приведены примеры определения асимптотической плотности. Автором работы высказаны две гипотезы в отношении значений функции Римана.

Ключевые слова: плотность последовательности, асимптотическая плотность, вероятность, независимость событий, натуральный ряд, простые числа, решето Эратосфена, кортеж, гипотеза, функция Римана.

V.L. Vol'fson – Cand. of Tech. Sciences, JSC «Lanit» Moscow, Russian Federation, E-mail: znakvicvolf@mail.ru

Probabilistic properties of some sequences on a finite interval of the natural numbers The author obtained a formula for determining the deviation of the density of the sequence (a natural number is divisible by different primes on a finite interval) from the asymptotic density of the sequence. The work gives an estimate of the deviation and shows that it is inversely proportional to length of a finite interval. The article show that in the big finite interval of the natural numbers with high precision is executed the independence of the events that a natural number is divisible by different primes. The author has found the maximum absolute error in the determination of the probability of events (the natural numbers in a finite interval are not divisible by different primes) and the estimation of the relative error of these events. The article shows that the independence of the events (a natural number is divisible by different primes

on a finite interval) generally not satisfied. The author found the formula for determining the asymptotic density and the number of primes after a certain number of steps of the sieve of Eratosthenes. The paper contains a generalization of the probability space on a finite interval of the natural numbers to the density of k-tuples. The author defines the asymptotic density of k-tuples into the infinite space of the natural numbers. He investigates three cases of asymptotic density of k-tuples. The author demonstrates two conjectures about the values of the Riemann function.

Key words: density of the sequence, asymptotic density of the sequence, probability, independence of events, natural numbers, primes, the sieve of Eratosthenes, conjecture, Riemann function.

где p1 , p2 – простые числа, а n – натуральное число:

1. Введение Асимптотическая плотность целочисленной строго возрастающей последовательности f(n) определяется, как: π( f ,1, x) P( f ,1, ∞) = lim . x →∞ x Данная асимптотическая плотность обладает интересным свойством по отношению к последовательностям f1 (n) = p1 ⋅ n , f 2 (n) = p2 ⋅ n и f12 (n) = p1 ⋅ p2 ⋅ n ,

P( f1 ,1, ∞) = 1 / p1 , P( f 2 ,1, ∞) = 1 / p2 , P( f12 ,1, ∞) = 1 / p1 p2 = = 1 / p1 ⋅ 1 / p2 = P( f1 ,1, ∞) ⋅ P( f1 ,1, ∞). Таким образом, мы видим, что по отношению к асимптотической плотности “события” кратности натуральных чисел различным простым числам независимы. Однако, асимптотическая плотность целочисленной строго возрастающей последовательности не является вероятностной мерой, так как не

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

выполняется свойство – счетная аддитивность [1], поэтому нельзя говорить о вероятностном пространстве и его событиях. Дадим определение плотности последовательности f (n) на конечном интервале натурального ряда [A, B]: P( f , A, B) =

π( f , A, B) . B−A

В работе [1] были доказаны утверждения. Утверждение 1

Целочисленные строго-возрастающие последовательности на конечном интервале натурального ряда с добавлением последовательности не имеющих членов и последовательностей, имеющих один член на данном интервале образуют сигма-алгебру. УТВЕРЖДЕНИЕ 2

Плотности целочисленных строго возрастающих последовательностей на конечном интервале натурального ряда [A, B] с добавлением последовательности, не имеющей членов и последовательностей, имеющих один член на данном интервале являются значениями конечной вероятностной меры. На основании утверждений 1, 2 плотность любой целочисленной строго возрастающей последовательности является значением вероятностной меры на конечном интервале натурального ряда или просто вероятностью. Воспользуемся этим для получения оценок плотности указанных выше последовательностей на конечном интервале натурального ряда.

2. Вероятностные свойства некоторых последовательностей на конечном интервале натурального ряда

f (n) = kn . Плотность последовательности f (n) = kn на конечном интервале натурального ряда [1, x], где х – большое натуральное число ( x  k ) достигает максимума при x = kN (N – натуральное число): (1)

равному значению асимптотической плотности данной последовательности на бесконечном интервале. При значении x = kN + (k − 1) плотность последовательности f (n) = kn на конечном интервале натурального ряда [1, x], где x – большое натуральное число ( x  k ) , достигает минимума равного:

= π( f ,1, kN + (k − 1)) / kN + (k − 1) =

1 , k −1 x [ ] k

(2)

В следующей точке kN + k плотность последовательности снова достигает своего максимума – 1/k. Таким образом, на основании (1), (2) период функции плотности последовательности P( f ,1, x) равен k и колебания между максимумом и минимумом равно: ∆=

1 1 1 − < 1 / kN = . k k + k −1 k[ x / k ] [x / k]

(3)

При больших значениях ( x  k ) значение (3) примерно равно ∆ ≈1/ x

(4)

и достаточно мало. В случае k = p1 ⋅ p2 , где p1 , p2 – различные простые числа, плотность последовательности f (n) = p1 p2 n , на интервале натурального ряда [1, x], где x – большое натуральное число ( x  p1 p2 ) , на основании (1) равна: P( f ,1, x) = 1 / k = 1 / p1 p2 = = 1 / p11 / p2 = P( f1 ,1, x) ⋅ P( f 2 ,1, x),

(5)

где P( f1 ,1, x), P( f 2 ,1, x) – соответственно плотности последовательностей = f1 (n) p= p2 n с ошиб1n, f 2 ( n) кой на основании (4) равной ∆ ≈ 1 / x .

Натуральные числа, делящиеся без остатка на натуральное k, принадлежат последовательности

P( f ,1, kN ) = π( f ,1, kN ) / kN = N / kN = 1 / k ,

P( f ,1, kN + (k − 1)) =

(6)

Период функции плотности последовательности f (n) = p1 p2 n , определяемой по формуле (5), на интервале натурального ряда [1, x], где x – большое натуральное число ( x  p1 p2 ) , – равен k = p1 p2 . При больших значениях x, на основании (6), значение максимальной ошибки Δ мало и с высокой степенью точности выполняется равенство: P( f ,1, x) = P( f1 ,1, x) ⋅ P( f 2 ,1, x) .

(7)

Учитывая, что последовательности = f1 (n) p= p2 n 1n, f 2 ( n) являются целочисленными строго возрастающими на интервале натурального ряда [1, x], где x – большое натуральное число ( x  p1 p2 ) , плотности последовательностей P( f1 ,1, x), P( f 2 ,1, x) на данном интервале являются значениями вероятностной меры

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

(или просто вероятностью) соответственно событий, что натуральные числа на интервале [1, x] делятся на простые числа p1 , p2 без остатка. Следовательно, формула (7) означает независимость событий A1 , A2 , заключающихся в том, что натуральные числа на интервале натурального ряда [1, x], где х – большое натуральное число ( x  p1 p2 ) соответственно делятся на p1 , p2 без остатка. Это можно записать в виде: Pr ( A1 ⋅ A2 ) = Pr ( A1 ) ⋅ Pr ( A2 ) .

(8)

На основании независимости событий (8), независимыми являются соответственно противоположные события A1 , A2 , что натуральные числа на интервале [1, x] не делятся на простые числа p1 , p2 без остатка: Pr ( A1 ⋅ A2 ) = Pr ( A1 ) ⋅ Pr ( A2 ) .

(9)

Вероятности противоположных событий соответственно равны: Pr ( A1 ) = 1 − Pr ( A1 ), Pr ( A2 ) = 1 − Pr ( A2 ) ,

= Pr ( A1 ) ⋅ Pr ( A2 ) ⋅ ... ⋅ Pr ( Am ) = ∏ (1 − 1 / pi ),

(16)

i =1

где A – событие, что натуральное число из интервала [1, x] не кратно одновременно простым числам – p1 , p2 ,..., pm , а Ai – событие, что натуральные числа из интервала [1, x] не кратно простому числу pi . Формула (16) справедлива при больших значениях x ( x  p1 p2 ) . Максимальная ошибка в определении Pr ( A) по формуле (16) равна: ∆i , i =1 1 − 1 / pi m

∆ = ∏ (1 − 1 / pi )∑

Pr ( A) = (1 − Pr ( A1 ))(1 − Pr ( A2 )) = = (1 − 1 / p1 )(1 − 1 / p2 ).

i =1

(10)

Формула (10) справедлива при больших значениях х ( x  p1 p2 ) . Максимальная ошибка в определении вероятности Pr ( A) равна: ∆ = ∆1 (1 − 1 / p2 ) + ∆ 2 (1 − 1 / p1 ) + ∆1∆ 2 , 1 . pi [ x / pi ]

(11) (12)

При больших значениях x ( x  p1 p2 ) на основании (11) и (12) справедлива оценка: ∆ ≈ ∆1 (1 − 1 / p2 ) + ∆ 2 (1 − 1 / p1 ) ,

(13)

∆1 ∆2 ∆ = (1 − 1 / p1 )(1 − 1 / p2 )( + ) 1 − 1 / p1 1 − 1 / p2

1 . pi [ x / pi ] При больших значениях x ( x  p1 p2 ) справедлива следующая оценка максимальной ошибки: где ∆ i <

1 . i =1 1 − 1 / pi

∆ = 1 / x∏ (1 − 1 / pi )∑ i =1

(17)

Величина относительной ошибка при больших x ( x  p1 p2 ) : m

1 i =1 1 − 1 / pi

∆o = 1 / x∑

(18) мала.

Например, если 8 = x 10 = , p1 2= , p2 3= , p3 5= , p4 7= , p5 11 ,

1 где ∆ i ≈ . x Формулу (13) можно записать в виде: (14)

и при больших значениях x ( x  p1 p2 ) на основании (14) справедливо соотношение: ∆=

Pr ( A) = Pr ( A1 ⋅ A2 ⋅ ... ⋅ Am ) =

поэтому на основании (9):

где ∆ i <

Минимум функции плотности последовательности g(n) на интервале [1, x] при больших значениях x ( x  p1 p2 ) равен (1 − 1 / p1 )(1 − 1 / p2 ) , а максимум равен (1 − 1 / p1 )(1 − 1 / p2 ) + ∆ , где± ∆ определяется формулой (15). Период колебаний функции последовательности g(n) на интервале [1, x] при больших значениях x ( x  p1 p2 ) равен p1 ⋅ p2 . Формулу (9) можно обобщить на конечное число событий:

1 1 1 (1 − 1 / p1 )(1 − 1 / p2 )( + ) . (15) x 1 − 1 / p1 1 − 1 / p2

Из (15) видно, что значение ± ∆ мало. Вероятность Pr ( A) равна плотности последовательности g(n) натуральных чисел на интервале [1, x] не кратных простым числам p1 , p2 , т.е. P( g ,1, x) .

то величина максимальной абсолютной ошибки, определяемой по (17), равна ∆ = 2, 571 ⋅ 10−8 . Величина относительной ошибки, полученной по формуле −8 (18), равна ∆ o = 7, 0166 ⋅ 10 . Рассмотрим последовательность g r (n) , полученную после r-ого шага решета Эратосфена на интервале [1, x], при условии большого x ( x  2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ pr ) . Плотность g r (n) на основании (16) равна: P( g r ,1, x) =

∏ (1 − 1 / p) .

(19)

p ≤ pr

Максимальная ошибка в определении плотности последовательности g r (n) на основании формулы (17) равна:

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

1 . 1 − 1 /p p ≤ pr

∆ r = 1 / x ∏ (1 − 1 / p) ∑ p ≤ pr

(20)

p ≤5

Относительная ошибка в определении плотности последовательности g r (n) на основании формулы (18) равна: 1 . p ≤ pr 1 − 1 / p

∆ or = 1 / x ∑

(21)

Оценим величину относительной ошибки, определяемой по формуле (21): p 1 1 1 ∆ or = ∑ = (∑ )= x p ≤ pr 1 − 1 / p x p ≤ pr p − 1 1 1 1 = ( ∑ 1+ ∑ ) < (r + 2(ln(ln( pr ) + x p ≤ pr x p ≤ pr p − 1

P* ( g , 2, 25) = 1 / 4 . Обратите внимание, что P( g , 2, 25) > P* ( g , 2, 25) , т.е. С(х) < 1. При r = 5 плотность последовательности простых чисел g(n) на интервале от 2 до pr2 = 121 равна: P( g , 2,121) = ∏ (1 − 1 / p) = 48 / 231 . Фактическое значение плотности

(22)

где В = 0,26419. При получении формулы (22) использовано, что: p ≤ pr

Фактическое значение плотности

p ≤11

+ B + O(1 / ln( pr ))),

∑

P( g , 2, 25) = ∏ (1 − 1 / p) = 4 / 15 .

1 1 < 2 ∑ = 2(ln(ln( pr )) + B + O(1 / ln( pr ))) . p −1 p ≤ pr p

Например, при x = 10−8 , r = 100 на основании (22) получим: ∆ or < 1, 0653 ⋅ 10−6 . На основании теоремы о решете Эратосфена для того, чтобы все натуральные числа на интервале [2, x] r-ом шаге решета были простыми должно выполняться условие:

P* ( g , 2,121) = 1 / 4 . В данном случае относительная ошибка достигает уже 20%. Обратите внимание, что P( g , 2,121) < P* ( g , 2,121) , т.е. С(х)>1. Таким образом, при небольших значениях x коэффициент зависимости C(x) с ростом r колеблется около 1 и возрастает по модулю. Гренвилле в своей работе [2] утверждает, что ошибка в определении плотности простых чисел на интервале [2, x], определяемой по формуле:

∏ (1 − 1 / p) ,

p≤ x

Таким образом, на основании (23), (24) для независимости указанных событий должно выполняться условие

колеблется в интервале от −2r −1 / pr2 до +2r −1 / pr2 , где r-номер шага решета Эратосфена. Следуя Гренвилле, при росте x на конечном интервале [2, x] (на каждом шаге решета Эратосфена) значение С(х) в формуле (26) колеблется около 1, и при больших значениях x. Определим значение С(х) при больших значениях х. На основании асимптотического закона распределения простых чисел для плотности последовательности простых чисел g(n) на интервале [2, x] для больших значений x выполняется:

pr2+1  2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ pr .

P( g , 2, x) = 1 / ln( x) + o1 (1 / ln( x)) .

pr2 < x < pr2+1 .

(23)

С другой стороны для независимости событий, чтобы все числа натурального ряда на интервале [2, x] не были кратны простым числам: 2, 3,..pr должны выполняться условия: x  2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ pr .

(24)

(25)

Однако, условие (25) не выполняется уже при r >1. Поэтому указанные события зависимы и плотность последовательности простых чисел g(n) на интервале [2, x] определяется по формуле: P( g , 2, x) = C ( x) ∏ (1 − 1 / p ) ,

(26)

p≤ x

где С(х) – коэффициент зависимости. Например, при r = 3 плотность последовательности простых чисел g(n) на интервале от 2 до pr2 = 25 , определяемая как

(27)

Используя теорему Мертенса можно записать: 1 / ln( x) = 0, 5e γ ∏ (1 − 1 / p) + o2 (1 / ln( x)) ,

(28)

p≤ x

где γ = 0, 577215... – постоянная Эйлера. На основании формул (27) и (28) для больших значений x справедливо равенство: P( g , 2, x) = 0, 5e γ ∏ (1 − 1 / p) + o(1 / ln( x)) , p≤ x

где o( x) = o1 ( x) + o2 ( x) .

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

(29)

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

Теперь определим плотность данной последовательности по формуле (19):

Формулу (29) можно записать в виде: P( g , 2, x) ~ 0, 5e γ ∏ (1 − 1 / p) , p≤ x

из которой вытекает, что для больших значений x выполняется: C = lim C ( x) = 0, 5e γ .

(30)

x →∞

Равенство (29) также является вероятностью, что выбранное наугад натуральное число из интервала [2, x], где x – большое натуральное число, является простым. Обозначим, через F ( x, y ) число натуральных чисел, меньших или равных x, не делящихся на простые числа, меньшие или равные y. На основании формула Мейсселя [3]: F ( x, pr ) = x − +... + (−1)

∑ [x / p ] + ∑

pi | M

∑

p1 p2 ... pr | M

pi p j | M

[ x / ( pi p j )] +

[ x / ( p1 p2 ... pr )],

(31)

P( f r , 2, x) = . = 1 / 2 ⋅ 2 / 3 ⋅ 4 / 5 = 4 / 15 = 0, 266666666

(35)

Сравнивая (34) и (35), получаем, что абсолютная ошибка определения плотности для данного случая по формуле (20): ∆ = 2 ⋅ 10−8 + 3 ⋅ 10−9 = 2, 3 ⋅ 10−8 .

(36)

На основании (36) относительная ошибка определения плотности для данного случая равна: ∆o =

2, 3 ⋅ 10−8 = 8, 625 ⋅ 10−8 . 4 / 15

(37)

Теперь определим относительную ошибку в определении плотности для данного случая по формуле (22): ∆ o < 10−8 (3 + 2(0, 26419 +

. (38) + ln(ln(108 ))) = 9, 355 ⋅ 10−8 где pi – i-ое простое число, а M = p1 p2 ... pr . Сравнивая со значением (37) мы видим, что услоОбозначим количество натуральных чисел послевие (38) действительно выполняется. довательности fr , получаемой на r-ом шаге решета При x  2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ pr формулу (33) можно предстаЭратосфена на интервале [2, x]± – π( f r , 2, x) . Для того, чтобы получить значение вить в виде: ± π( f r , 2, x) r надо добавить к функции F ( x, pr ) значение r, так P ( f (39) r , 2, x ) ≈ ( r − 1) / x + ∏ (1 − 1 / pi ) . как она не включает первые r простых чисел, котоi =1 рые содержит последовательность f r , и вычесть 1, На основании решета Эратосфена, для того, чтобы так как она не содержится в интервале [2, x]. все числа на интервале [2, x] были простыми необходиПоэтому количество натуральных чисел последомо, чтобы на r-ом шаге решета выполнялось условие вательности f r , получаемой на r-ом шаге решета ± p ≤ x . Поэтому шаг решета Эратосфена r в формуr Эратосфена на интервале [2, x] равно: ле (32) выбирается из этого условия. Таким образом, количество натуральных чисел в последовательности π( f r , 2, x) = r − 1 + x − ∑ [ x / pi ] + простых чисел f определяется по формуле: pi | M +

∑

pi p j | M

+(−1) r

[ x / ( pi p j )] + ... +

∑

p1 p2 ... pr | M

(32)

[ x / ( p1 p2 ... pr )].

P( f r , 2, x) = (r − 1) / x + 1 − 1 / x( ∑ [ x / pi ] + pi | M

∑

pi p j | M

+(−1)

[ x / ( pi p j )] + ... +

∑

p1 p2 ... pr | M

∑

pi p j | M

На основании (32), при больших значениях x ( x  2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ pr ) плотность последовательности f r , получаемой на r-ом шаге решета Эратосфена на интервале [2, x] равна:

π( f , 2, x) = π( x ) − 1 + x −

(33)

(34)

∑

(40)

[ x / ( p1 p2 ... pr )],

± pr ≤ x . где На основании (40), плотность последовательности простых чисел f на интервале [2, x] равна: P( f , 2, x) = (π( x ) − 1) / x + 1 − 1 / x( ∑ [ x / pi ] +

∑

pi p j | M

8 Например, при = x 10 = , r 3 на основании (33) получим:

[ x / ( pi p j )] + ... +

p1 p2 ... pr | M

[ x / ( p1 p2 ... pr )])).

P( f r , 2, x) = 2 ⋅ 10−8 + 0, 266666663 .

+(−1) r

∑ [x / p ] +

pi | M

+(−1)r

pi | M

[ x / ( pi p j )] + ... +

∑

p1 p2 ... pr | M

(41)

[ x / ( p1 p2 ... pr )]),

где ± pr ≤ x .

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

На основании (41) для плотности последовательности простых чисел на интервале [2, x] для больших значений x выполняется формула: r

P( f , 2, x) ≈ (π( x ) − 1) / x + ∏ (1 − 1 / pi ) ,

(42)

i =1

где r выбирается из условия ± pr ≤ x . Полученные в работе формулы для определения плотности рассмотренных последовательностей на интервале [2, x] можно использовать для получения оценок количества членов этих последовательностей на данном интервале. На основании формулы (19) для больших x получаем приближенную формулу для оценки количества членов последовательности, полученной после r-ого шага решета Эратосфена fr(n) на интервале [2, x]: r

π( f r , 2, x) ≈ [ x ⋅ ∏ (1 − 1 / pi )] .

(43)

i =1

с относительной ошибкой± ∆ or , определяемой по формуле (22). 8 Например, для = x 10 = ,r 5 : 5

π( f5 , 2,108 ) ≈ [108 ⋅ ∏ (1 − 1 / pi )] = 2, 08 ⋅ 107 . i =1

Из формулы (22) следует, что ∆ or = O(1 / x) , поэтому lim ∆ or = 0 . Следовательно, для оценки количеx →∞ ства членов последовательности, полученной после r-ого шага решета Эратосфена f r (n) на интервале [2, x] справедлива асимптотическая формула: r

π( f r , 2, x) ~ [ x ⋅ ∏ (1 − 1 / pi )] .

(44)

i =1

Из формулы (29) следует асимптотическая формула для определения количества членов последовательности простых чисел f (n) на интервале [2, x]: π( f , 2, x) ~ [0, 5e γ x ⋅ ∏ (1 − 1 / p )] ,

(45)

p≤ x

3. Обобщение вероятностного пространства на конечном интервале натурального ряда Рассмотрим обобщение вероятностного пространства, данного в работе [1]. Пусть A конечное множество последовательных натуральных чисел, т.е. A = 1, 2,...N и k – целое положительное число. Обозначим Ak множество всех кортежей < x1 ,...xk > из Ak , т.е. Ak = {< x1 ,...xk >| x1 ∈ A,...xk ∈ A} .

(46)

Иначе говоря, множество Ak является k-кратным прямым произведением множества A.

Пусть предикат R( x1 ,...xk ) имеет смысл для всех элементов множества Ak , т.е. для любого кортежа ( x1 ,...xk ) из Ak значение предиката R( x1 ,...xk ) либо истинно, либо ложно. Выделим подмножество B ⊂ Ak , состоящее в точности из тех кортежей < x1 ,...xk > из Ak , для которых R( x1 ,...xk ) истинно, т.е. B = {( x1 ,...xk ) ∈ Ak | R( x1 ,...xk )}.

(47)

Пример. R ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 = 0) ∪ ( x1 − x2 + x3 < 0) . Утверждение 3

Алгебра < { Ak , ∅, P( Ak )}, ∪,  > является алгеброй событий, где P( Ak ) – множество всех подмножеств непустого множества Ak , а ∪ ,  – соответственно операции объединения и дополнения подмножеств. Перед доказательством утверждения напомню определение алгебры событий. Множество P(C ) , элементами которого являются подмножества множества C , удовлетворяющее условиям: 1. Множество P(C ) содержит достоверное событие (множество C ). 2. Вместе с любым событием (подмножеством), множество P(C ) содержит противоположное событие (дополняющее подмножество). 3. Вместе с любыми двумя событиями (подмножествами), множество P(C ) содержит их объединение. Доказательство

Известно, что алгебра < { Ak , ∅, P( Ak )}, ∪,  > является алгеброй типа (2,1), поэтому для любых подмножеств непустого множества Ak , выполняются условия 2 и 3. Множество { Ak , ∅, P( AK )} содержит достоверное событие – Ak , т.е. выполняется условие 1, а также содержит противоположное для него событие (дополняющее подмножество) – ∅ и наоборот. Таким образом, для достоверного события и пустого множества также выполняется условие 2. Объединение любого подмножества множества Ak и множества Ak является множеством Ak , а объединение любого подмножества множества Ak и пустого множества ∅ является тем же подмножеством множества Ak . Следовательно, все условия 1, 2, 3 для алгебры < { Ak , ∅, P( Ak )}, ∪,  > выполнены и поэтому она является алгеброй событий ч.т.д. Напомню определение вероятностной (нормированной) меры на конечном пространстве событий.

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

является алгеброй событий, где E ( Ak ) – множество всех подмножеств непустого множества Ak , а ∪ ,  – соответственно операции объединения и дополнения подмножеств. Таким образом, в данном случае –

Рассмотренная ранее вероятностная мера целочисленной строго возрастающей последовательности на ограниченном интервале натурального ряда [1] является частным случаем вероятностной меры последовательности k -кортежей на Ak , определенной в (48). Поясним это – k -местный предикат R( x1 ,...xk ) является условием, накладываемым одновременно на k свободных переменных: x1 ,...xk , каждая из которых принимает значение от 1 до N . В рассмотренной ранее вероятностной мере [1] условие накладывалось только на одну свободную переменную, чтобы она принимала значение из какой-либо целочисленной строго возрастающей последовательности на ограниченном интервале натурального ряда. Например, в гипотезе ХардиЛитлвуда для простых близнецов рассматривается случай, когда натуральное число x удовлетворяет условию истинности предиката от одной свободной переменной:

F =< { Ak , ∅, E ( Ak )}, ∪,  > .

R( x) = ( x ∈ P) ∩ ( x + 2 ∈ P) ,

Введем функцию плотности k -кортежей на множестве B ⊆ Ak , определяемую по формуле:

где P – множество простых чисел. Истинность k -местного предиката (от k сводных переменных) соответствует выполнению k независимых событий. Например, когда предикат

Пусть Ω конечное множество (множество элементарных событий), F – алгебра подмножеств Ω (алгебра событий). Тогда вероятностной мерой на± (Ω, F ) называется функция P , отображающая F на множество действительных чисел, обладающая следующими свойствами: 1. Для любого события D ∈ F выполняется P( D) ≥ 0 . 2. Для любых двух событий D1 ∈ F и D2 ∈ F выполняется P( D1 ∪ D2 ) = P( D1 ) + P( D2 ) . 3. P(Ω) = 1 . Пусть Ω = Ak . В утверждении 3 показано, что алгебра < { Ak , ∅, P( Ak )}, ∪,  >

P( B) = π( B) / N k ,

(48)

где π( B) – количество k-кортежей в множестве B . Покажем, что P( B) является вероятностной мерой на конечном пространстве событий. Утверждение 4

Плотность k-кортежей на множестве B ⊆ Ak , определяемая по формуле (48) – P( B) = π( B) / N k является вероятностной мерой на конечном пространстве событий. Доказательство

Свойство 1. Для любого события D ∈ F выполняется P( D) ≥ 0 , так как π( D) ≥ 0 и N k > 0 . Свойство 2. Для любых двух событий D1 ∈ F и D2 ∈ F выполняется P( D1 ∪ D2 ) = P( D1 ) + P( D2 ) , если D1 и D2 не совместны. На основании определения (48) P( D1 ∪ D2 ) = π( D1 ∪ D2 ) / N k .

(49)

Так как D1 и D2 не совместны, то соответствующие подмножества не пересекаются. Поэтому π( D1 ∪ D2 ) = π( D1 ) + π( D2 ) и на основании (49) P( D1 ∪ D2 ) = π( D1 ∪ D2 ) / N k = = π( D1 ) / N k + π( D2 ) / N k = P( D1 ) + P( D2 )

(50).

Свойство 3. P(Ω) = 1 . Если Ω = A , то на основании (48) k

P( Ak ) = π( Ak ) / N k = N k / N k = 1.

(51) ч.т.д.

R( x1 ,...xk ) = ( x1 ∈ P) ∩ ... ∩ ( xk ∈ P) является истинным. Условие истинности k -местного предиката соответствует следующей вероятностной модели. На шарах надписываются номера от 1 до N и они укладываются в урну. Далее из урны поочередно наугад выбираются шары. Сначала выбирается первый шар, записывается его номер x1 и шар обратно кладется в урну. Затем выбирается второй шар, записывается его номер x2 и шар обратно кладется в урну и.т.д. до k -ого шара включительно. После этого проверяется выполнение условия истинности k местного предиката R( x1 ,...xk ) для полученного k кортежа ( x1 ,...xk ) . Если бы шары не возвращались в урну, то не была бы реализована независимость событий, так как не был бы возможен случай повторения значений: x= x= ... = xk . 1 2 Определим плотность k -кортежей для случая повторения значений по формуле (48): P( x1 = x2 = ... = xk ) = N / N k = 1 / N k −1 .

(52)

Рассмотрим еще один пример нахождения плотности k -кортежей для случая истинности предиката R( x2 > x1 ) :

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

P( x2 > x1 ) = ( N 2 − N ) / 2 N 2 = 1 / 2(1 − 1 / N ) . (53) Известно, что k -арное отношение R – это множество k -кортежей < x1 ,...xk >∈ R , которое является подмножеством прямого произведения Ak . Напомню, что k -арное отношение является рефлексивным на множестве A , если для любого x ∈ A выполняется < x,...x >∈ R . Назовем главной диагональю прямого произведения Ak k -кортежи < x1 ,...xk > , удовлетворяющие условию < x1 ,...xk >∈ R . Отсюда следует, что рефлексивному k -арному отношению принадлежит главная диагональ множества Ak . Пример рефлексивного k -арного отношения: ( x1 ≤ x2 ≥ x3 ) ∈ R . Известно, что k -арное отношение является антирефлексивным на множестве A , если для любого x ∈ A выполняется < x,...x >∉ R . Отсюда следует, что антирефлексивному k -арному отношению не принадлежит главная диагональ множества Ak . Пример антирефлексивного k -арного отношения: ( x1 > x2 < x3 ) ∈ R . Напомню, что бинарное отношение R на множестве A называется симметричным на A , если для любых x1 ∈ A, x2 ∈ A из < x1 , x2 >∈ R следует, что < x2 , x1 >∈ R . Обобщим это свойство – k -арное отношения R на множестве A является симметричным, если для любых x1 ∈ A,...xk ∈ A из < x1 ,...xk >∈ R следует, что (< x2 , x1 ,...xk >∈ R) ∩ ... ∩ (< xk , x1 ,...xk >∈ R ) , т.е R принадлежат все перестановки xi . Таким образом, для симметричного k-арного отношения кортежи < x1 ,...xk >∈ R расположены симметрично относительно главной диагонали. Примером симметричного k -арного отношения является отношение между k взаимно простыми числами. На основании указанной выше вероятностной модели – проверяется условие, что номера k последовательно вынутых шаров (с возвратом) окажутся взаимно простыми числами. Назовем k -арное отношение R на множестве A антисимметричным, если для любых x1 ∈ A,...xk ∈ A из < x1 ,...xk >∈ R следует, что (< x2 , x1 ,...xk >∉ R) ∪ ... ∪ (< xk , x1 ,...xk >∉ R ) . Таким образом, в антисимметричном k -арном отношении для кортежа < x1 ,...xk >∈ R нет симметричного относительно главной диагонали и сама главная диагональ не принадлежит R . Пример несимметричного k -арного отношения: R( x1 ,...xk ) = ( x1 > x2 ) ∩ ... ∩ ( xk −1 > xk ) .

Указанные выше свойства k-арных отношений помогают в определении вероятности по формуле (48). Например, формула (53) получается, как количество точек, имеющих натуральные значения в A2 , т.е. N 2 , за вычетом точек, находящихся на главной диагонали – N и деленное пополам, так как нас интересуют только точки, находящиеся над главной диагональю. Рассмотрим также асимптотическую плотность k -кортежей на множестве B ⊆ Ak , определяемую по формуле: P′( B) = lim

N →∞

π( B) . Nk

(54)

Для асимптотической плотности (54) выполняются свойства 1-3 плотности, введенной по формуле (48), но не выполняется свойство счетная аддитивность, которое необходимо для того, чтобы асимптотическая плотность (54) являлась вероятностной мерой на бесконечном пространстве событий. Обозначим BN множество B при фиксированном значении N , ±а π( BN ) – количество k -кортежей < x1 ,...xk > на множестве BN . В силу определения последовательность ± π( BN ) является неубывающей (монотонно возрастающей). Рассмотрим 3 случая данной последовательности: 1. Последовательность ± π( BN ) , начиная с некоторого N 0 не возрастает, т.е. остается постоянной величиной. В этом случае P′( B) = lim

N →∞

π( BN ) =0. Nk

2. Последовательность ± π( BN ) возрастает неограниченно, как O( N s ) , где s < k . В этом случае π( BN ) P′( B) = lim =0. N →∞ N k Примером случая 2 является формула (52). 3. Последовательность ± π( BN ) возрастает неограниs ченно, как O( N ) , где s = k , но π( BN ) ≤ N k . π( BN ) = a , где постоянN →∞ N k

В этом случае P′( B) = lim

ная ± a ≤ 1. Примером случая 3 – (53). В этом случае асимптотическая плотность равна 1 / 2 . Приведу еще пример для случая 2. Пусть из последовательности натуральных чисел: 1, 2,...N наугад выбираются k -чисел k < N , притом числа могут повторяться. Определить асимптотическую плотность (54) простых k -кортежей, т.е что все выбранные числа окажутся простыми. На основании асимптотического закона простых чисел значение π( BN ) = N k / ln k ( N ) , поэтому из (54) получаем:

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

π( BN ) N k / ln k ( N ) lim = =0. N →∞ N k N →∞ Nk Интересно, что асимптотическая плотность (54) для k -кортежей взаимно простых чисел относится к случаю 3 и не равна 0 , как для простых чисел, т.е. их плотность значительно больше. Рассмотрим этот пример случая 3. Пусть из последовательности натуральных чисел: 1, 2,...N наугад выбираются k чисел k < N , притом числа могут повторяться. Требуется определить асимптотическую плотность (54) для k -кортежей взаимно простых чисел, т.е что выбранные наугад k чисел окажутся взаимно простыми. Ранее было рассмотрено свойство симметричности для k -арных отношений. Если k -арное отношение между k взаимно простыми числами является симметричным, то. кортежи < x1 ,...xk > данного отношения расположены симметрично относительно главной диагонали ( x1= ...= xk ) . Сначала рассмотрим случай k = 2. В этом случае кортежи < x1 , x2 > расположены симметрично относительно главной диагонали ( x1 = x2 ) , поэтому можно определить количество пар взаимно простых чисел при x1 > x2 , и умножив его на 2 , получим общее количество пар взаимно простых чисел, не превосходящих натуральное число N . В случае, если x1 > x2 , то количество взаимно простых чисел с x1 � равно ϕ( x1 ) , где ϕ( x1 ) – функция Эйлера для натурального числа x . Просуммировав количество взаимно простых чисел с x1 при значениях x1 от 1 до N получим P′( B) = lim

∑ ϕ(n) – количество пар взаимно простых чисел, не n =1

превосходящих N , при условии x1 > x2 . На основании [3]: N

∑ ϕ(n) = 3N

P′( B) = lim π( BN ) / N 2 = lim 6 / (π)2 + N →∞

N →∞

+O(ln( N ) / N ) = 6 / (π) = 1 / ζ (2)), 2

(58)

где ζ – функция Римана. На основании [4] для k > 2 на множестве делителей S , состоящего из одного числа1 , получаем оценку количества взаимно простых k-кортежей: Pr ( BN ) = π( BN ) / N k = 1 / ζ (k ) + O(1 / N )

(59)

На основании (48) и (59) получаем вероятность, что k -кортеж состоит только из взаимно простых натуральных чисел, не превосходящих N : Pr ( BN ) = π( BN ) / N k = 1 / ζ (k ) + O(1 / N ) .

(60)

Асимптотическая плотность k -кортежей, состоящих только из взаимно простых натуральных чисел, на основании формул (54) и (60) равна: P′( B) = lim π( BN ) / N k = N →∞

= lim 1 / ζ (k ) + O(1 / N ) = 1 / ζ (k ),

(61)

N →∞

где ζ – функция Римана. Асимптотическая плотность, определенная по формуле (54), имеет с вероятностью, определенной по формуле (48) общие свойства. Пусть Ω множество k -кортежей N k ( k -ое прямое произведение натурального ряда), а F – алгебра подмножеств Ω. Тогда для асимптотической плотности k -кортежей – P ' ( B ) , определенной по формуле (54) выполняются следующие свойства: Для любого подмножества D ∈ F выполняется P′( D) ≥ 0 . Для любых двух подмножеств D1 ∈ F и D2 ∈ F выполняется P′( D1 ∪ D2 ) = P′( D1 ) + P( D2 ) . P′(Ω) = 1 .

/ (π) + O( N ln( N )) . 2

(55)

n =1

Умножив выражение (55) на 2 , для учета симметричных кортежей < x1 , x2 > для случая x2 > x1 , получим общее количество пар взаимно простых чисел на интервале от 1 до N : π( BN ) = 6 N 2 / (π)2 + O( N ln( N )) .

(56)

На основании (56) определим вероятность, выбранной наугад пары натуральных чисел, не превосходящих N , быть взаимно простыми по формуле (48): Pr ( BN ) = π( BN ) / N 2 = 6 / (π) 2 + O(ln( N ) / N ) .

(57)

Используя (57) определим искомую асимптотическую плотность пар взаимно простых чисел по формуле (54):

Но этого конечно не достаточно для того, чтобы асимптотическая плотность, определенная на бесконечном пространстве N k , была вероятностью, так как выполняется только свойство 2 – конечная аддитивность и не выполняется свойство – счетная аддитивность. Приведу пример, подтверждающий это. Рассмотрим асимптотическую плотность натуральных чисел кратных натуральному числу d . Она равна – 1 / d . Если просуммировать данную асимптотическую плотность для всех значений d от 1 до бесконечности, то получим сумму гармонического ряда равную бесконечности. Если бы асимптотическая плотность, определенная в (54) была бы вероятностью, то выполнялась бы счетная аддитивность и на основании

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

свойства 3 асимптотической плотности этой сумма была бы равна 1. С другой стороны, если рассмотреть асимптотическую плотность натуральных чисел, имеющих остаток от деления на d от 0 до d −1, т.е. последовательности вида – dn + l , где l = 0,...d − 1 , то асимптотическая плотность каждой из них также равна 1 / d . Если просуммировать асимптотическую плотность этих последовательностей для всех остатков от l = 0 до l = d −1, то получим 1, так как для асимптотической плотности выполняются свойства 2 и 3. Есть еще одно свойство асимптотической плотности, вытекающее из определений (48) и (54): P′( B) = lim Pr ( BN ) .

(62)

N →∞

Данное свойство я использовал во всех примерах для нахождения асимптотической плотности. Рассмотрим подробнее последний пример определения асимптотической плотности для k -кортежей взаимно простых чисел, т.е что выбранные k чисел окажутся взаимно простыми. На основании (62) формулу (61) можно записать в виде: P′( B) = lim Pr ( BN ) = N →∞

= lim 1 / ζ (k ) + O(1 / N ) = 1 / ζ (k ),

(63)

N →∞

где ζ – функция Римана. На основании определения (48) последовательность вероятностей Pr ( BN ) является последовательностью рациональных чисел, а ее предел – асимптотическая плотность, к которой стремится данная последовательность, в общем случае, не является рациональным числом. В случае k = 2 асимптотическая плотность пар взаимно простых чисел, на основании (58), равна ± 6 / (π)2 , т.е. является иррациональным числом, поэтому она ни как не может быть вероятностью, определенной по формуле (48). Возможно, что асимптотическая плотность k-кортежей взаимно простых чисел, определенная по формуле (61) – 1 / ζ (k ) , является иррациональным числом при всех натуральных значениях k > 1. Отсюда напрашиваются гипотезы.

Гипотеза 1

Функция Римана ζ(k ) принимает иррациональные значения при всех натуральных значениях k > 1. В пользу этой гипотезы говорит следующее. Известно, что функция Римана при четных значениях является иррациональным числом. Также известно, что функция Римана иррациональна при k = 3 [4]. Также известна бесконечность иррациональных значений функции Римана в нечетных числах, а наличие иррациональных значений функции Римана в некоторых наборах нечетных чисел [5]. Гипотеза 2

Функция Римана ζ (k ) = (π)k / C (k ) , где C (k ) – постоянная зависящая от натурального k > 1, C (k ) – рациональное число и C (k ) < (π) k . Из гипотезы 2 следует гипотеза 1, поэтому гипотеза 2 носит более общий характер. В пользу гипотезы 2 говорит следующее. Известно, что гипотеза 2 выполняется при четных значениях k [6]: ζ (2m) = (−1) m +1 (2π) 2 m B2 m / 2(2m)! ,

(64)

где B2 m – число Бернулли. Например, на основании (64): ζ (4) = (π) 4 / 90, ζ (6) = (π)6 / 1890 . Литература

1. Вольфсон В. Л., Вероятностные модели и предпосылки гипотез о простых числах, Прикладная физика и математика, 2013. № 5. С. 87–98. 2. Granville A. «Harald Cramér and the distribution of prime numbers», Scandinavian Actuarial Journal, 1995 Т. 1. PP. 12–28. 3. Бухштаб А.А. Теория чисел. Издательство «Просвещение», Москва, 1966. 384 с. 4. Roger Apéry (1979), «Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)», Astérisque Т. 61. PP. 11–13. 5. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. М, 1953. 6. Зудилин В.В. Об иррациональности значений дзета-функции в нечетных точках, УМН. 56:2(338) (2001). C. 215–216.

References

1. Volfson V.L. [Veroyatnostnye modeli i predposylki gipotez o prostyh chislah, Prikladnaya fizika i matematika] Probalistic models and assumptions of conjectures about prime numbers, Applied fhysics and mathematics, 2013. № 5, PP. 87–98. 2. Granville A. «Harald Cramér and the distribution of prime numbers», Scandinavian Actuarial Journal, 1995 Т. 1. PP. 12–28. 3. Buchstab A.A. [Teoriya chisel] Number Theory. M.: Prosveshcheniye [Moscow: Publishing house «Education»], 1966. 384 p. 4. Roger Apéry (1979), «Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)», Astérisque. Т. 61. PP. 11–13. 5. E.K. Titchmarsh. [Ob irracional'nosti znachenij dzeta-funkcii v nechetnyh tochkah] The theory of the Riemann zeta function. M, 1953. 6. V.V. Zudilin. Irrationality of values of zeta function at odd points, UMN, 56:2(338), 2001. PP. 215–216.

Сведения об авторе

Information about the author

Вольфсон Виктор Леонидович канд. техн. наук, ведущий аналитик ЗАО «Ланит» 105425, Москва, Российская Федерация ул. Доброслободская 5, стр. 1 E-mail: znakvicvolf@mail.ru

Vol'fson Viktor Leonidovich Cand. of Tech. Sciences, JSC «Lanit» 105425, Moscow, Russian Federation Dobroslobodskaya st. 5, str. 1 E-mail: znakvicvolf@mail.ru

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

история

ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ Б.А. Кушнер – выпускник мехмата МГУ, член Союза писателей Москвы профессор математики Питтсбургского университета г. Джонстаун, США, E-mail: boris@pitt.edu

О А.Н. Колмогорове, В.А. Успенском и других крупнейших математиках мехмата МГУ времен «оттепели» Выпускник мехмата МГУ (поступил в 1959) Борис Кушнер, известный специалист в области математической логики, ученик и сотрудник одного из ее создателей А.А. Маркова (младшего), продолжает в этом своем втором очерке реминисценции о МГУ самых креативных годов, называемых оттепелью 1960-х (первый очерк о А.А. Маркове опубликован в ИНТ-2014-3). В предлагаемом читателю очерке рассказывается о великом русском математике ХХ века А.Н. Кол-

могорове, В несколько меньшей степени фигурируют знаменитые математики В.А. Успенский, П.С. Александров, Д.Е. Меньшов, И.Г. Петровский, А.В. Кузнецов, Н.А. Шанин. Упоминаются другие замечательные имена. Прекрасно передана атмосфера на их лекциях и семинарах. В конце 1960-х гг «оттепель» закончилась, ушел из жизни ректор МГУ Петровский (1973). Сменилась эпоха. Годы расцвета мехмата МГУ закончились.

B.A. Kushner – Professor of Mathematics University of Pittsburgh at Johnstown Johnstown, PA 15904, USA, E-mail: boris@pitt.edu

About A.N. Kolmogorov, V.A. Uspenskiy and the other prominent mathematicians from «Mechmath» of MGU of the so-called «thaw» epoque Mechmath graduate (entered it in 1959) Boris Kushner, a renowned expert in mathematical logic, a representative of the famous school of A.A. Markov (Jr), keeps on, in this second essay, reminiscences of the most creative mathematician period of MGU, called «thaw of 1960s». (His first essay narrating of A.A. Markov was published in INT-2014-3). Now the reader is told about the great Russian mathematician of the twentieth

century A.N. Kolmogorov. Several famous mathematicians: V.A. Uspenskiy, P.S. Alexandrov, D.E. Men’shov, I.G. Petrovsky, A.V. Kuznetsov, N.A. Shanin and others are mentioned. The author perfectly conveys the atmosphere of their lectures and seminars. In the late 1960s, the «thaw» expired, Rector Petrovsky died (1973). The famous epoch ended. Mechmath of MGU changed irreversibly

Нет памяти о прежнем: да и о том, что будет, не останется памяти у тех, которые будут после Екклесиаст, 1:11

В.А. Успенский о работах А.Н. Колмогорова и сопутствующие события Статья В.А. Успенского [1] о работах Колмогорова по математической логике представляется мне значительным событием. А.Н. Колмогоров, несомненно, один из самых выдающихся математиков нашего столетия, оставил огромное духовное наследие. Для того чтобы сколько-нибудь подробно представить его вклад в самые различные области чистой и прикладной математики понадобились бы усилия большого коллектива авторов. Такой коллектив можно было бы образовать из учеников Колмогорова, ибо в любой математической дисциплине, к которой он обращался хотя бы ненадолго, хотя бы эпизодически, он оставил свой след и свою школу. Не представляет собою

исключения и математическая логика. Хотя работы А.Н. в этой области относительно немногочисленны, они отмечены печатью его гения, и время все более и более подтверждает непреходящее их значение. Вместе с тем, как я убедился на собственном опыте, по крайней мере, ранние логические работы Колмогорова все еще мало известны на Западе. Вряд ли возможно найти лучшего автора для статьи под названием «Колмогоров и математическая логика», чем Владимир Андреевич Успенский. Один из ближайших учеников и сотрудников Колмогорова, великолепный математик, один из создателей современной теории нумераций, автор первой советской монографии о рекурсивных функциях, автор ряда других книг, человек, высоко одаренный гуманитарно, Успенский обладает самой высокой профессиональной и персональной квалификацией для написа-

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ИСТОРИЯ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ

ния подобной работы. И если мне чего-то недостает в созданном В.А. Успенским великолепном обзоре, то именно личных его воспоминаний, о богатстве которых я могу только догадываться. В течение многих лет В.А. был в центре математической жизни необычайной интенсивности, и я убежден, что ему под силу подарить историкам математики живые образы таких ученых, как А.Н. Колмогоров, П.С. Александров, П.С. Новиков... Если настоящие строки побудят В.А. взяться за эту нелегкую задачу, я буду чувствовать, что трудился не зря. Я впервые увидел Успенского в 1960 или 1961 году, когда я был студентом механико-математического факультета МГУ. Это, действительно, были «золотые годы» советской математики. Проходя по коридору факультета (мех-мат занимал с 12 по 16 этаж Главного Здания МГУ), молодой человек вроде меня мог в течение минуты встретить А.Н. Колмогорова, П.С. Александрова, А.А. Маркова, И.Г. Петровского, С.Л. Соболева, А.Н. Тихонова, Л.А. Люстерника, Д.Е. Меньшова, И.М. Гельфанда, А.Г. Куроша... В 1959 году, когда я поступил на мех-мат, еще не улеглось возбуждение, вызванное великолепным достижением В.И. Арнольда, студента Колмогорова, решившего одну из проблем Гильберта. Нам предстояло вскоре услышать и о таких именах, как А.А. Кириллов, Я.Г. Синай, Ю.И. Манин, С.П. Новиков... Сама атмосфера мех-мата была электризующе духовной, сочетание живых, доступных классиков и бурлящей (порой через край) энергии молодежи было уникальным, во всяком случае, я никогда ничего подобного более не встречал. Сейчас мне кажется, что это был отблеск давно распавшейся Лузитании, о которой так интересно пишет один из ее участников Л.А. Люстерник [2–4]. Так же, как и тогда, процветал студенческий фольклор, по рукам ходили длинные поэмы о мех-мате, написанные непременным размером Евгения Онегина, на вечеринках исполнялась трагическая песнь о студенте, умершем под невыносимым грузом экзаменов. Мелодия и сюжетные идеи были заимствованы из популярной фольклорной песни «Раскинулось море широко» (повидимому, восходящей к русско-японской войне; у многих людей старшего поколения песня эта ассоциировалась с Л. Утесовым). О времени создания студенческого шедевра судить трудно – мы пели примерно так: Анализ нельзя на арапа сдавать, Тумаркин тобой недоволен... Изволь теорему Коши доказать, Иль будешь с мех-мата уволен. Однако позже мне приходилось слышать эту фразу с Ефимовым вместо Тумаркина. Видимо, многие деканы мех-мата побывали в этой песне. За-

канчивалась она весьма выразительной строкой, использованной Г.Е. Шиловым в качестве эпиграфа к его популярной книжке о графиках: «А синуса график волна за волной по оси абсцисс убегает...». Это было волнующее время хрущевской оттепели, выхода человека в космос... В день, когда запустили в Космос Гагарина, меня пригласил к себе профессор Г.Е. Шилов. Он только что сочинил мелодию песни о Гагарине, недоставало стихов. В тот же вечер песня была исполнена в праздничном концерте. Конечно, это было довольно наивное мое сочинение, но вряд ли уступавшее многочисленной профессиональной продукции, произведенной в те дни. Во время любой оттепели остаются опасные, нерастаявшие места. Можно поскользнуться. Один наш однокурсник (было это на третьем курсе, в 1961 г.) разговорился в общежитии, другой однокурсник на него немедленно донес. Последовал громкий скандал с многочисленными комсомольскими собраниями. «Преступник» был, в конечном счете, изгнан из комсомола, а затем из Университета. Детали истории изложены в постперестроечной московской газете «Куранты», в статье: «Нас не травили разве что дустом» [Куранты, №166 (933), 2 сентября 1994 г.]. А вкратце дело было так. В начале 1995 г. я получил из Москвы газету, в которой цитировалась сов. секретная Справка от 20 ноября 1961 г., адресованная ЦК КПСС и подписанная Зав. отделом науки, вузов и школ ЦК КПСС В. Кириллиным и Зам. зав. Отделом науки, школ и культуры ЦК КПСС по РСФСР Ф. Герасиным. Документ излагал памятные события «дела Лейкина» в партийной интерпретации. Не без изумления обнаружил я и свою фамилию (написанную через «и») в списке зачинщиков: «Вместе с тем Лейкин и поддерживающие его Шапиро, Буевич, Кушнир, Томм, Фирсов, Мищенко и Боримечков до собрания провели определенную работу в группах. Ведение собрания оказалось по существу в их руках». Собрание, о котором идет речь, отказалось исключить Лейкина из комсомола и, тем самым, из Университета. Конечно, было организовано сверху другое собрание, выполнившее волю партии. В то время я и не подозревал о таком высоком внимании к нам. Но, очевидно, справке не был дан серьезный ход в партийных инстанциях в отношении других, помимо Лейкина, перечисленных в ней фамилий. Во всяком случае, я не почувствовал заметных последствий при приеме в аспирантуру, а потом на работу (кроме обычных для «лиц еврейской национальности» затруднений). Из этих собраний особенно запомнился следующий эпизод: молодой комсомольский вожак сообщил большой аудитории, что его отец был в свое время репрес-

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ИСТОРИЯ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ

сирован. «Ну и что?!» – горячо обратился он к своим сокурсникам. Мы молчали... Призрак Павлика Морозова продолжал бродить по стране, а хватка коммунистической машины не ослабевала. Много лет спустя, один мой старший коллега, вспоминая это время, сказал: «я вступил тогда в партию, чтобы сделать ее лучше». Человеческая наивность воистину беспредельна...

О Д.Е. Меньшове Тем не менее, неясные, наивные надежды витали в воздухе, наверное, как и в дни Лузитании. Так же, как и тогда, математика была окружена романтическим ореолом, а об ее творцах существовал значительный фольклор. Место Жуковского в персонификации хрестоматийного образа рассеянного, не от мира сего математика занял Дмитрий Евгеньевич Меньшов, выдающийся представитель Лузитании. Перескажу только две из многих легенд. Однажды Д.Е. прогуливался за городом. Глубоко погрузившись в свои мысли, он каким-то образом миновал часовых, оказался в центре запретной зоны, был задержан и препровожден в Комендатуру. Чтобы понять происшедшую там сцену, необходимо знать, что Д.Е. был весьма высокого роста, очень худой, с короткой, но всклокоченной бородой. Одежде своей он, выражаясь мягко, не уделял большого внимания. Кроме того, Д.Е. обладал необычной хрипловатой и несколько отрывистой манерой речи. – Ты кто такой? – Я – математик. – Смех. – Может быть, ты еще и профессор? – Да, я профессор Московского Университета. – Громкий смех. – Может быть, ты еще и академик? – Нет, я член-корреспондент.– Служивая публика рыдает от смеха... К счастью, комендант, в конце концов, позвонил в Университет... Другая сцена. Как-то во время войны Д.Е. читал лекцию студентам, кажется, в Ташкенте. Помещений не хватало, погода была жаркая. Соответственно студенты сидели во дворе, на свежем воздухе, а Д.Е. обращался к ним с небольшого балкончика. Как обычно, Д.Е. воодушевился и начал жестикулировать. Как реагировали на его вдохновение закаленные студенты, неизвестно, но проходившие по улице мусульмане стали опускаться на колени, считая, что приехал почтенный высокоученый мулла и читает проповедь... На школьных математических кружках в те годы все еще рассказывали о драматическом прорыве в бесконечность, совершенном Кантором. Боюсь, что сейчас молодым людям преподносят что-нибудь более полезное и преходящее.

Даже неизменный и порою небезопасный старикферматист с потертым футляром от скрипки и стопкой витиевато исписанных листов – очередным доказательством Теоремы Ферма, предлагаемым для немедленного, на месте прочтения всем любопытствующим, – казался неотъемлемым элементом этого необычайного мира. В футляре от скрипки в зимнее время хранились доказательства Теоремы Ферма. По легендам, не отрицаемым самим их героем, летом Д. плавал на речных пароходах, играл на скрипке для отдыхающей публики, зарабатывая на жизнь и на возможность размышлять над великой загадкой Ферма. По моим наблюдениям производительность труда Д. составляла 1.5-2 доказательства Теоремы Ферма за сезон. В мое время он представлял математической публике доказательства, кажется, под номером 16 (варианты доказательств отмечались добавлением букв, скажем 16 Е). Д. прекрасно знал все ведущие советские Университеты и математические учреждения и всех ведущих математиков. Его отношения с последними были непростыми, с кемто он, по его утверждению, даже и судился. Легенда утверждала, что вскоре после учреждения фототелеграфа Д. послал в Математический Институт имени Стеклова новогоднюю фототелеграмму. На бланке можно было видеть симпатичную коллекцию ослиных голов, под каждой головой была каллиграфически выписана фамилия очередного знаменитого математика. Впрочем, сам я никогда не видел Д. в агрессивном состоянии, он обычно сидел в углу на скамье, окруженный студентами и рассказывал желающим свою работу. По окончании он просил отзыв вполне умеренного содержания: «Я, такой-то, студент такого-то курса мех-мата, ознакомился с доказательством 16 Е Великой Теоремы Ферма, принадлежащим Д.; при поверхностном просмотре явных ошибок не обнаружено». Трудно сказать верил ли Д. в свои доказательства сам. Однажды он сказал при мне не без гордости: «Это доказательство я показывал Михаилу Михайловичу Постникову; Постников сообщил мне, что мои ошибки становятся все более и более витиеватыми». Помимо теоремы Ферма, Д. в молодости работал и над perpetuum mobile. Здесь он любил рассказывать о доценте, который сначала прогонял его, потом начал называть его идеи гениальными, но в этот момент, когда сотрудничество пошло на лад, доцента забрали в сумасшедший дом. Желающим также позволялось заглянуть в киносценарий «Математический Сталинград», посвященный участи математиков (названных поименно), отрицавших идеи Д.

О П.С. Александрове Павел Сергеевич Александров, уже в мое время носивший очки с огромными выпуклыми линзами, всегда был окружен толпой последователей. Из-за

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ИСТОРИЯ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ

близорукости он порою путал своих учеников с «посторонними» студентами. Так, один мой сокурсник был приятно ошеломлен, когда П.С. протянул ему руку в лифте и без долгих предисловий спросил: «Здравствуйте, как поживаете?» В конце недолгого пути на 13 этаж мой друг признался все-таки, что он первокурсник. «А я, было, возвел Вас в аспирантское достоинство» – засмеялся П.С. Даже в то время память о П.С. Урысоне, трагически погибшем во Франции в 1924 г. (он утонул, купаясь в море), была свежа, как будто беда случилась совсем недавно. Плавание составляло неизменный элемент знаменитых «топологических прогулок» (выездов Александрова с учениками за город), а однажды Александров едва не погиб, купаясь в Днестре, из-за неосторожности водителя катера. Дружба двух «П.С.» была окутана романтическим ореолом, а ученики Александрова любили рассказывать трогательную историю о том, как однажды П.С. Александров подарил П.С. Урысону оттиск с дарственной надписью «ПСУ от ПСА». П.С. Александров, один из отцов современной топологии был человеком необычайным. Он, например, мог без малейших затруднений произнести длинную цитату из «Фауста» (в оригинале, конечно) во время заседания Ученого Совета (несомненно, заседания эти довольно часто давали повод вспомнить и о Фаусте и о Мефистофеле). Однажды, в середине 60-х годов я был на публичной лекции П.С. о геометрии, каковую он, разумеется, трактовал во французском духе, то есть очень широко. Большая аудитория на первом этаже Главного Здания МГУ была заполнена математиками и прочей университетской публикой. Лекция развивалась блестяще, но в середине ее послышался шум в дверях, и после секундного замешательства в зал ворвалась целая армия фото, теле и кинокорреспондентов. За ними в окружении группы людей в штатском появился Ректор Университета И.Г. Петровский с Президентом Франции Де Голлем, наносившим в те дни официальный визит в Москву (1961 г). И.Г. Петровский и Де Голль сделали в сторону П.С. жест, смысл которого на всех языках был: «Ради Бога, извините, и не обращайте на нас внимания...» П.С. мгновенно перешел на французский язык и продолжил вдохновенный рассказ о теории размерности. Гости внимательно слушали из своего первого ряда. Но минут через десять Петровский извинился, прервал лекцию, и П.С. уступил кафедру Де Голлю. Президент в свою очередь извинился и обратился к собравшимся с небольшой речью, в которой он выразил сожаление, что из-за недостатка времени лишен возможности дослушать великолепную лекцию академика Александрова, что

он крайне признателен и лектору и Ректору за эту возможность говорить в стенах столь прославленного заведения и т.д. Затем Де Голль и Ректор направились к выходу, а за ними и вся толпа исчезла также быстро, как и явилась. Я, признаться, в этот момент подумал, что, видимо, политика и политики все же меняются со временем: Наполеон, возможно, дослушал бы такую лекцию до конца1. Повидимому, П.С. мог быть и довольно колючим. На одном из этажей мех-мата висела большая картина, выполненная в лучших традициях социалистического реализма. Картина изображала встречу «Всероссийского старосты» М.И. Калинина с преподавателями мех-мата в тридцатых годах. Вся сцена дышала благолепием, вокруг головы Калинина почти различался нимб. В одном из первых рядов узнавался молодой Александров, видимо задававший лидеру партии и правительства какой-то вопрос. Старожилы любили вспоминать этот вопрос. Дело в том, что туалетов в старом здании мех-мата на Моховой не хватало, и были они в плачевном состоянии. (Об этом, кстати, пишет и Люстерник [3]). Вот Павел Сергеевич и спросил Калинина, не мог бы тот содействовать устройству дополнительного туалета для преподавателей. Калинин, с удовольствием отвечавший на общие вопросы о постановке высшего образования в СССР, о роли науки в коммунистическом воспитании и т.д., рассердился и посоветовал П.С. обратиться к завхозу. Большим успехом пользовались музыкальные вечера, которые П.С. регулярно устраивал в студенческих общежитиях. Из его огромной коллекции извлекались редкие пластинки; прослушивания обыкновенно предварялись небольшой его речью. Должен сказать, что я никогда не встречал человека с таким потрясающим красноречием2. Речь П.С. была великолепно организована, она текла плавно, красиво, без малейших затруднений. Сюжеты, образы, ассоциации рождались сами собой. Однажды на моих глазах П.С. абсолютно плавно, я бы сказал аналитически, перешел от Брамса к аморальности бактериологического оружия, а затем столь же плавно возвратился к Брамсу. Мне довелось также несколько раз присутствовать при публичных выступлениях П.С., основанных на его персональных воспоминаниях. Эти его рассказы производили впечатление чуда: на глазах оживали такие имена, как Гильберт, Хаусдорф, 1

Интерес Наполеона к математике вообще и к геометрии в частности общеизвестен. Ему даже приписывается изящная теорема о треугольниках (так называемая теорема Наполеона). Из ораторов, которых я слышал, пожалуй, только И.Г. Эренбург, В.А. Успенский и Б.В. Гнеденко приближались к П.С.

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ИСТОРИЯ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ

Брауэр, Нетер... Не могу удержаться, чтобы не попытаться воспроизвести здесь один из живых рассказов П.С. Речь шла о семестре, проведенном им в Гёттингене, если я не ошибаюсь, в середине 1920-х годов. П.С. читал лекции по юной тогда теретико-множественной топологии, параллельно другой математический курс читался Н.Винером, также гостившим в Гёттингене. П.С. был необычайным лектором, Винер же, будучи выдающимся математиком, видимо не был самым лучшим педагогом. Во всяком случае, студенты перемещались от него к П.С., пока у Винера почти никого не осталось. Отношения между молодыми математиками натянулись, так как Винер, видимо, приписывал происходившее проискам П.С. и даже жаловался в Министерство Просвещения. По традиции, все гостившие в Гёттингене ученые наносили визиты местным профессорам. Когда подошла очередь Эмми Нётер (одного из создателей современной абстрактной алгебры и автора знаменитой теоремы о связи законов сохранения с симметрией), Винер попросил ее назначить время визита. «Ну, приходите, скажем, завтра часов в семь» ответила Нётер, не особенно интересовавшаяся формальностями. На следующее утро, ровно в 7 утра П.С. (а он жил в доме Нётер) был разбужен настойчивым стуком в дверь. Полагая, что произошло какое-то недоразумение с молочницей, менявшей по утрам пустую бутылку за дверью на бутылку с молоком, П.С., как был, в трусах, прошел к двери, отпер ее, приоткрыл и выглянул наружу... В этот момент рассказа на лице П.С. появился ужас, совершенно не утративший своей свежести за прошедшие полвека. «Вообразите! За дверью стоял Винер во фраке!» Однажды я выступал на защите кандидатской диссертации в качестве оппонента. Речь шла о теореме Жордана для конструктивной плоскости. Я упомянул среди прочего и давнюю работу Брауэра, рассматривавшую аналогичную проблему с интуиционистской точки зрения. Работу эту было нелегко читать. При упоминании о Брауэре П.С. оживился, стал задавать мне вопросы. Видно было, что само имя Брауэра связано для него с самыми живыми воспоминаниями. «Да, Брауэр был великий геометр, его геометрическая интуиция была необычайной. Видимо, поэтому работы его трудно читать» – заключил П.С. этот врезавшийся мне в память разговор. Последний раз я слышал публичное выступление П.С. в середине 1970-х годов опять-таки на кандидатской защите. Представленная работа относилась к математической лингвистике и подводила итоги многолетних исследований автора, видного специалиста в этой дисциплине. К тому времени в советской математике отчетливо сформировалось то,

что А.А. Марков однажды в беседе со мной назвал «царством тьмы». В этом царстве были представлены самые разные личности, течения, человеческие слабости. Частично это был обычный конфликт поколений, частично беспринципные личности, использующие комсомольские и партийные каналы в карьерных целях, иногда талантливые и очень талантливые люди, частично националисты и т.д. В данном случае национальность диссертанта была безупречной (как и диссертация), зато работа была выполнена на кафедре математической логики, возглавлявшейся А.А. Марковым, и, сверх того, в деле имелся положительный отзыв А.Н. Колмогорова. Последнее обстоятельство, видимо, играло роль красной тряпки для упомянутой выше публики. Уже в те годы наметилась тенденция, усилившаяся позже, пренебрежительно относиться к отзывам, предложениям и т.д., подписанным Колмогоровым. Не рискуя прямо атаковать стареющего гиганта, многочисленные моськи вдоволь лаяли за спиной. Будет ли им когда-нибудь стыдно? Хочется надеяться... И в этот раз диссертация была атакована двумя представителями темного царства, хорошо известными в Московском Университете. За нападавшими стояла молчаливая и хорошо управляемая группа членов Ученого Совета. Совершенно неожиданно для меня в поддержку диссертации выступил известный геометр, один из представителей старшего поколения П.К. Рашевский. Тема диссертации была крайне далека от его интересов, но молчать перед лицом явного разбоя он не мог. Надо сказать, что один из нападавших, скажем X, демагогически требовал, чтобы диссертант объяснил ему сложные построения в формальных грамматиках за минуту, «на пальцах». П.С. Александров взял слово. У меня упало сердце, когда я увидел его сгорбленную небольшую фигуру, печальные глаза за огромными стеклами очков. Речь не была длинной. – Мне довелось знать Брауэра – сказал П.С. – и я могу утверждать, что если бы X. потребовал от него показать «на пальцах», почему, скажем, трехмерное образование не может быть топологически отображено на двухмерное, Брауэр, великий Брауэр отказался бы отвечать на такой вопрос. Сопоставление имен Брауэра и X. прозвучало убийственно! Не могу не вспомнить здесь слова, сказанные Александровым у гроба одного из его коллег: «Когда я умру, и вы будете меня хоронить, прошу, не говорите, что я был «принципиальным», «принципиальность» – суррогат живых человеческих чувств...» И когда день пришел, на панихиде Александрова этих слов не говорили. Было море цветов, музыки,

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ИСТОРИЯ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ

боли, несколько поколений учеников, коллег, друзей... Был Колмогоров, которого подвели, поддерживая, к гробу Синай и Арнольд, и который пытался, победив болезнь, поразившую речь его, сказать последнее «прости» другу своей жизни, великому человеку и великому ученому...

О В.А. Успенском, А.Н. Колмогорове и А.В. Кузнецове В.А. Успенский производил и производит сильное впечатление своей артистической манерой чтения лекций и всем своеобразием своей личности. В 1966 или 1967 году в Московском Университете были организованы курсы для учителей математики средних школ. Большое количество учителей со всей страны приехало в Москву. Успенский прочел несколько лекций по математической логике, а аспиранты кафедры вели вслед за ним семинарские занятия. На первой же лекции В.А. совершенно ошеломил свою своеобразную аудиторию. Я видел изумленное восхищение на многих лицах: «Неужели о математике можно говорить так интересно?!». Объясняя, почему импликацию с ложной посылкой целесообразно считать истинной (что, по меньшей мере, неочевидно), В.А. приводил примерно такое рассуждение. – Представьте себе, что я сказал: «провалиться мне на этом месте, если я вру!» Это значит «если я вру, то я провалюсь». Импликация. Убедительная сила подобных высказываний состоит в том, что они предполагаются истинными. Но ведь посылка-то ложная! Смотрите. В.А. осторожно (дело было на 16 этаже!) попробовал пол ногою – я же не проваливаюсь! На следующий день я не без содрогания, остро чувствуя свои 25 лет, вошел в класс, заполненный учителями, в том числе и хрестоматийными убеленными сединами учительницами. Тут уж мне действительно хотелось сквозь пол провалиться. Аудитория, однако, оказалась крайне доброжелательной. В один момент, когда в задних рядах было особенно шумно (слушатели были заметно возбуждены предстоящей экскурсией по Москве) я остановился и укоризненно посмотрел в аудиторию. Стало тихо, а потом мы все дружно засмеялись. Я пытался рассказать что-то из алгебры логики, но слушатели упорно возвращались к одной и той же теме: Успенский. Сколько ему лет, как долго он занимается математикой... Кто-то даже спросил, женат ли он. Пришлось прочесть маленькую лекцию о Владимире Андреевиче, что я сделал не без удовольствия. В начале 1960-х годов я начал посещать семинар В.А.Успенского по вычислимым функциям. Помню, как на одном из первых же заседаний, В.А., будучи

не в состоянии ответить на какой-то вопрос из аудитории, прямо заявил: «Я знаю, что этот семинар рискует потерять всех своих участников из-за тупости руководителя, но я все-таки не знаю, что Вам ответить!» После каждого заседания слушателям предлагались задачи, и каждый раз в начале семинара задавался все тот же ритуальный вопрос: «Кто решил задачи?» При этих словах мы дружно поворачивались в дальний правый угол комнаты, куда смотрел и В.А. А там высоко тянул руку, широко улыбаясь, человек богатырского сложения. – Ну, конечно ты, Саша! – заявлял Успенский, – Ну а кто еще? Неужели никто?! «Сашей» был выдающийся математик Александр Владимирович Кузнецов, одна из самых ярких и всеми любимых личностей среди советских математических логиков.3 Самородок, не имевший даже формального среднего образования, А.В. Кузнецов занимался широким кругом проблем математической логики, всегда был окружен молодежью и оставил после своей безвременной смерти своеобразную и значительную школу. Доброжелательный, спокойный, с удивительной плавной, распевной манерой речи, он иногда вдруг вспыхивал, подчас в очень неподходящих ситуациях. Я помню, что уже после переезда А.В. в Кишинев, в один из его наездов в Москву у него случился острый, чтобы не сказать больше, конфликт с офицером милиции, изводившим его придирками из-за прописки. В приступе гнева А.В. сорвал с милиционера погоны. Пострадавший позже особенно возмущался из-за того, что он буквально накануне получил из пошивки совершенно новое обмундирование. Последовало формальное разбирательство и все могло бы кончиться крайне плачевно, если бы не энергичное вмешательство Маркова и Колмогорова. А.В. имел свои милые слабости. Однажды он делал длинную серию докладов (об интуиционистских аналогах штриха Шеффера) на семинаре Маркова и Нагорного в Вычислительном Центре АН СССР. Заседания начинались формально ровно в 11 утра, но А.В. неизменно и с точностью часового механизма появлялся в 11.40. Когда это случилось первый раз, А.В. пространно извинялся и говорил, что ему помешало... Солнце! Действительно, великолепное, чистое, зимнее московское Солнце рвалось в окно, А.В. щурился с удовольствием... И вправду, до штриха ли Шеффера в такой день? Каждый следующий раз, когда А.В. открывал рот, чтобы приступить к извинениям за очередное сорокаминутное опоздание, Марков 3

А.В. Кузнецов родился 28 октября 1926 года и умер 24 июля 1984 года.

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ИСТОРИЯ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ

опережал его: «Это было Солнце!» торжественно заявлял он. Все смеялись. Удивительная, солнечная атмосфера была на этих докладах А.В. Кузнецова! Говорил и писал А.В. плавно, часто возвращался к уже сказанному, почти половина времени уходила на напоминание изложенного на предыдущем семинаре. Никто не возражал: все были покорены гармоничностью и глубиной его результатов, цельностью его стиля и личности. Это было, как с хорошей книгой, читаешь ее, читаешь, и не по себе становится, что меньше и меньше остается страниц и все ближе расставание с ее миром... Оставалась правда загадка «кванта опоздания», таинственных сорока минут, повторявшихся с настойчивостью Закона Природы. Проблему решил Н.М. Нагорный. «Все очень просто. От дома А.В. до Вычислительного Центра ровно 40 минут пешком. Семинар начинается в 11.00, следовательно, ровно в 11.00 А.В. выходит из дому!» При всей своей основательности, неторопливости А.В. имел отличную реакцию, ценил чувство юмора в других и обладал им сам. В одном из только что упомянутых докладов он по какому-то поводу сказал – А здесь я буду рассуждать конструктивно! – Как же так? Вы же классик! – не без ехидства заметил Марков. – Ну, знаете, с волками жить, по-волчьи выть! – мгновенно и к всеобщему удовольствию нашелся А.В. Добродушие А.В. иногда принималось за наивность. Напрасно. Он был человеком огромного, острого ума, артистической личностью. На Первой Всесоюзной Конференции (Симпозиуме) по Математической Логике в Алма-Ате в июне 1969 года часовой обзорный доклад был сделан одним из лидеров молодой тогда советской школы в математической кибернетике (позже вошел в употребление термин «дискретная математика»). Лидер этот, без сомнения человек незаурядный, со сложной судьбой, к сожалению, все больше и больше увлекался внематематическими маневрами, борьбою за власть... Впоследствии его школа почти в полном составе дружно влилась в «царство тьмы». Доклад показался мне несколько странным. Речь шла, если я не ошибаюсь, об оценке числа предполных классов в многозначных логиках. В центре изложения была давняя кандидатская диссертация докладчика, а также впечатляюшие результаты Розенберга (I. Rosenberg), анонсированные в Докладах Французской Академии Наук. После этой публикации ряд результатов Розенберга был, как выражался докладчик, «независимо» доказан в его школе. Следует сказать, что А.В. Кузнецов был одним из пионеров теории многозначных логик, открывшим фундаментальную теорему о конечности числа предполных классов в конечно-значных логи-

ках. Отдавая должное Кузнецову, докладчик, однако, справедливо заметил, что Кузнецов не указал явного перечня предполных классов для 3-х значной логики. Такое описание было найдено докладчиком. На следующий день конференция закрывалась. Было много формальных и неформальных выступлений. Пришел черед А.В. Он вышел к кафедре, поглядел в большой амфитеатр аудитории. Южное Алма-Атинское Солнце пробиралось через далекие, узкие окна у самого потолка и играло на его лице. А.В. с явным удовольствием щурился. У него и в самом деле были особые, персональные отношения с Солнцем! А.В. начал говорить в своей обычной, добродушной, несколько убаюкиваюшей манере, продолжая улыбаться Солнцу. – Конференция была интересной, очень интересной. Большой успех. Очень интересно. Я услышал много замечательных докладов. Но самый понятный доклад сделал вчера Х. Давно я не слышал такого понятного доклада. Да, конечно, я не посчитал предполных классов в трехзначной логике. Софья Александровна4 говорила мне тогда: «Саша, посчитай классы!» А я не посчитал! – здесь А.В. с полным удовольствием зажмурился и погрузил лицо свое в теплый солнечный свет... – Я ...поленился! Задевать А.В., как видно, было небезопасно. Когда в 1961 или в 1962 году, будучи студентом мех-мата, я выбрал специализацию по кафедре математической логике [5], интерес к философии и основаниям математики был одним из мотивов. Тогда же я сделал доклад об интуиционистской математике на семинаре по истории математики, а несколько позже на семинаре по математической логике и конструктивной математике (под руководством А.А. Маркова и Н.М. Нагорного). Основным источником моей эрудиции в то время были две небольшие книжки Вейля и Гейтинга [6–7], переведенные еще до войны известным историком математики А.П. Юшкевичем. Из интересных воспоминаний Юшкевича о Колмогорове [8] можно узнать, что Колмогоров был инициатором этих великолепно выполненных переводов. 4

С.А. Яновская (1896–1966), выдаюшийся специалист в математической логике и философии математики. Один из организаторов кафедры математической логики в МГУ. О ее роли в предвоенной математической жизни интересно вспоминает Люстерник [3]. В мои студенческие и особенно аспирантские годы Софья Александровна уже страдала тяжелой болезнью. Тем не менее, она продолжала читать свой традиционный курс математической логики и соруководить научно-исследовательским семинаром кафедры. С.А. до самого конца сохраняла острый интерес ко всему новому в математике. В один из весенних дней 1966 года я провожал ее домой. Прощаясь, она сказала, что эта весна для нее последняя, что она уже не слышит запахов этой весны... 25 октября того же года ее не стало.

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ИСТОРИЯ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ

В то время я еще пребывал в блаженном неведении трудностей, с которыми сталкивается переводчик подобных работ, особенно в случае автора со столь ярким литературным талантом, как Г. Вейль. Тогда же я прочел и две ранние работы (1925 и 1932 года [9–10]) Колмогорова, посвященные интуиционистской логике. Содержание этих работ детально охарактеризовано в обзорной статье Успенского [1]. Трудно удержаться от изумления, думая о работе 1925 года. Написанная 22-летним студентом, работа эта отличается огромной зрелостью и намного лет опережает современный юному автору уровень науки. В работе ясно чувствуется творческий почерк колмогоровского таланта: постановка проблем, глубоко мотивированных философски, огромная мощь в разработке необходимого концептуального и технического аппарата, в преодолении конкретных математических трудностей. Достаточно сказать, что в этой студенческой публикации впервые предпринято математическое изучение интуиционистской логики, сформулированы аксиоматические системы для этой логики, предвосхищающие гораздо более позднюю аксиоматизацию интуиционистской математики, выполненную А. Гейтингом. Здесь же по существу (с точностью до технических деталей) впервые построено так называемое минимальное исчисление, переоткрытое в 1937 году Иохансоном (которому принадлежит и сам термин). Еще более важной представляется мне изобретенная Колмогоровым идея погружения классической математики в интуиционистскую, в результате чего становится возможным доказательство непротиворечивости классической математики относительно интуиционистской. С этой целью предложена и первая из известных ныне погружаюших операций, основанная на глубоком проникновении в природу математического оперирования с отрицанием. Сама идея о том, что интуиционистская математика лишь по видимости уже классической могла быть высказана в то время только пророком. Только в 1933 году эти идеи были переоткрыты К. Гёделем. Вся описанная только что проблематика подсказана глубокими философскими проблемами, связанными с законом исключенного третьего. После критики Брауэра сомнительность этого логического принципа в применении к бесконечным совокупностям ощущалась рядом математических мыслителей, в частности Д. Гильбертом и Г. Вейлем. Не чужды были эти сомнения и Колмогорову. Во всяком случае, 22-летний студент (в отличие от многих своих старших коллег) ясно ощущал вызов, заключенный в вопросе: почему сомнительность или даже незаконность неограниченного употребления принципа исключенного третьего так долго оста-

валась незамеченной и почему такое неограниченное употребление не приводит к противоречиям5. Ответ Колмогорова на этот вызов вкратце состоит в следующем. Во-первых, употребление закона исключенного третьего вполне оправдано в случае конечных совокупностей, т.е. в области финитарных суждений. Во-вторых, имеет место гораздо более сильное обстоятельство: если бы противоречие было найдено в классической теории, свободно оперируюшей с принципом исключенного третьего, то противоречие существовало бы и в одноименной интуиционистской теории, в которой использование этого принципа ограничено только безопасными финитными случаями. Иными словами, принцип исключенного третьего не добавляет новых противоречий. И если в первом положении чувствуется заметное влияние Гильберта, то вторая идея (погружения классической математики в интуиционистскую) представляется ошеломляюще новой. Техническим аппаратом для реализации такого погружения оказывается концепция формализации математических теорий, разработанная Гильбертом, и идея погружающей операции, открытая Колмогоровым. Помимо оправдания употребления закона исключенного третьего (важнейшего математического орудия с самых древних времен) подход Колмогорова доставляет, очевидно, и определенное обоснование нашей замечательной, но, как и все замечательное, не вполне безопасной способности оперировать с актуальной бесконечностью. Классическая математика с ее актуально бесконечными множествами погружается в математический мир, где бесконечность допускается лишь в своей гораздо более мягкой, потенциальной форме. —▫—

В 1974 году А.Г. Драгалина6 и меня попросили написать статью об интуиционизме для третьего издания Большой Советской Энциклопедии. Статья [11] была направлена на отзыв Колмогорову. Когда я увидел рукопись с колмогоровскими замечаниями, я еще раз поразился свежести его восприятия математической и философской области, которую он оставил столько лет назад... 5

Как хорошо известно, принцип исключенного третьего не несет ответственности за парадоксы теории множеств. Замечательный математик Альберт Григорьевич Драгалин (10 апреля 1941 г. – 18 декабря 1998г.) один из самых ярких участников школы А.А. Маркова. Воспоминания о Драгалине выдающегося голландского математика A. Troelstra можно найти на http://staff.science.uva.nl/~anne/dragalin. html, некролог: S. Artemov, B. Kushner, G. Mints, E. Nogina, and A. Troelstra, In Memoriam: Albert G. Dragalin, The Bulletin of Symbolic Logic, vol. 5, № 3, 389–391,1999.

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ИСТОРИЯ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ

Небезинтересен вопрос, почему молодой студент вообще заинтересовался такими окраинными вопросами, по видимости, далекими от интересов окружавшей его математической среды. Конечно, нельзя исключать огромного влияния Д. Гильберта и острой дискуссии по основаниям математики, развернувшейся между ним и лидером интуиционистов Брауэром. Но и сделанное выше замечание о математической среде, окружавшей молодого Колмогорова тоже глубоко неверно! В силу совпадения ряда разнородных причин проблемы оснований математики и, в частности, интуиционистской математики часто и горячо дискутировались в Москве в 1920-е годы.

Н.Н. Лузин и В.И. Ленин Публичные сообщения об интуиционизме делал А.Я. Хинчин, им была опубликована в 1926 году статья об интуиционизме, отголоски этого интереса можно различить и в некоторых его книгах. Наконец, следует сказать, что основатель Лузитании, учитель Колмогорова, Александрова и многих других выдающихся математиков Н.Н. Лузин был не только выдающимся практическим математиком, но и глубоким математическим мыслителем. Достаточно упомянуть его участие в начале века в знаменитой перепискедискуссии по основаниям теории множеств и, в особенности, аксиомы выбора, между ведущими французскими математиками [12]. Достойно восхищения и пророческое предсказание Лузиным позднейших результатов о независимости в теории множеств. Неудивительно, что ученики Лузина ощущали математику не как технические манипуляции с формулами и головоломками, а как живой организм, само функционирование которого представляло волнующую загадку. На этот фон парадоксальным образом наложился и марксистский энтузиазм, характерный для ранних послереволюционных лет. Мне трудно судить до какой степени этот энтузиазм уже в те годы был отравлен низким карьеризмом, демагогией и полной догматизацией философии, которые мне довелось наблюдать в моей молодости. Трудно, однако, избавиться от впечатления, что многие горячие головы в то время вполне искренне полагали, что в философии Маркса найден своего рода «философский камень», окончательный научный ответ на все вопросы Бытия. Возможно, чтение работ В.И. Ленина проливает определенный свет на этот интересный психологический феномен. Неиссякаямая, просто религиозная убежденность в обладании окончательной, единственно верной методологией, позволяющей понять и объяснить все и вся, приводит к тому, что Ленин, наделенный, среди прочего, исключительно острым критическим умом, без тени сомнения и юмора вторгается

в области знания, в которых он абсолютно некомпетентен, поучает Пуанкаре, Маха, Эйнштейна и т.д. Из этого же настроения рождаются и знаменитые ленинские афоризмы, вроде: «электрон так же неисчерпаем, как и атом», «учение Маркса всесильно потому, что оно верно» и т.д. и т.п., буквально вколоченные (среди прочих куда менее безобидных догм) большевистской пропагандой в сознание (и в подсознание!) подданных бывшей советской Империи (я цитирую здесь В.И. Ленина по памяти). Пожалуй, одной из вершин этой смехотворной агрессивной некомпетентности является знаменитое ленинское заявление: «... ДАЖЕ в математике нужна фантазия, ДАЖЕ для того чтобы открыть дифференциальное исчисление нужна была фантазия». (Эти бессмертные «даже» выделены мною). Позднее, в случае, скажем, Сталина эта первоначальная убежденность в обладании абсолютной истиной, конечно, померкла перед обладанием абсолютной властью и ощущением полной безнаказанности. И все же кое-что от этой убежденности оставалось, например, в знаменитых изысканиях вождя всех народов по языкознанию. Той же породы, видимо, было и настроение, в котором незабвенный «партийный идеолог и эстет» А.И. Жданов учил (кажется, даже за роялем) Шостаковича, Прокофьева и Хачатуряна, как сочинять хорошую мелодичную музыку... Неудивительно, что в 1920-е годы велик был соблазн применить волшебное Марксово лекарство к лечению математики. Дискуссии по основаниям математики поощрялись и, наряду с тоннами словесного мусора, несомненно, много интересных соображений было высказано в те далекие, холодные и голодные годы. В своих воспоминаниях о Колмогорове А.П. Юшкевич [8] упоминает одну из таких дискуссий и впечатление, произведенное на него безыскусным по форме выступлением Колмогорова, в особенности замечанием о том, что интуиционистская математика только по форме уже чем классическая. Думаю, что это замечание лет на 50 опередило свое время. Во всяком случае, я слышал подобные высказывания только в начале восьмидесятых годов, и делались они на основании огромного технического опыта, накопленного несколькими поколениями исследователей.

Об интуиционистской логике А.Н. Колмогорова и немного о других направлениях его работ Столь же оригинальна и вторая предвоенная логическая статья Колмогорова [10]. Опубликованная семью годами позже, чем [9], на немецком языке, работа посвящена истолкованию интуиционистской логики. Если с семантикой классической логики дело обстояло более или менее благополучно, то во-

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ИСТОРИЯ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ

круг содержания интуиционисткой логики велось немало дискуссий. Говоря очень упрощенно, классическая теретико-множественная концепция математики, восходящая к Кантору, предполагает некий платонистский, идеальный, завершенный мир, в котором математические объекты существуют независимо от нашего творческого сознания в таком же смысле, как существуют звезды на небе. Завершенная, актуальная бесконечность является вполне гармоничной идеей для такого мира (в самом деле, например, натуральный ряд в этом завершенном мире тоже должен быть завершенным, актуально бесконечным, иначе придется допустить существование наибольшего натурального числа, что, по меньшей мере, странно). Математические утверждения выражают обстояния вещей в этом мире и потому они также независимо от нашего сознания, состояния знаний и т.д. либо истинны, либо ложны. Не только абсолютизация экзистенциального статуса математических объектов, но и абсолютизация самого познания доведена в этой концепции до конца. Математические теоремы не столько изобретаются, сколько открываются математиками примерно так же, как открывались мореплавателями новые острова. Ясно, что закон исключенного третьего вполне естественен в этом «черно-белом» мире и что классическая логика является, таким образом, логикой теоретических истин, то есть логикой идеализированного математического бытия. В контрасте с этой концепцией, интуиционистский математический мир принципиально незавершен, он развивается в результате творческой активности субъекта. Образно говоря, акт Творения математического мира передан от Бога к человеку, точнее к идеализированному человеческому существу, живущему и творящему во времени. От активности и умений такого творческого субъекта и зависит характер соответствующего математического мира. Что же в таком случае выражает интуиционистская логика, эта своего рода конституция интуиционистской математики? Предложенная Колмогоровым концепция исходит из того, что объектами интуиционистской математики, а, следовательно, и логики являются не абсолютные истины (как в традиционном случае), а задачи (проблемы). Логические операторы формируют новые проблемы из уже поставленных, а сами формулы интуиционистской логики выражают умение решить те или иные составные задачи. Таким образом, интуиционистская логика оказывается логикой умений. Закон исключенного третьего теряет при таком подходе свой универсальный характер. Принятие его означало бы постулирование умения решить в каждый момент времени любую задачу, что вряд ли

убедительно. Интересной стороной интерпретации Колмогорова является ее нейтральность: интуиционистская логика может теперь быть объяснена исследователю, не понимающему сложной философии интуиционизма или просто не заинтересованному в ней. Интуиционистская логика в какой-то мере теряет свой «религиозный», эзотерический характер и становится заманчивым объектом исследования для «обыкновенного» математика. Мне кажется, что значительный прогресс в изучении интуиционистской логики, достигнутый в послевоенные годы (и открывший, помимо прочего, дорогу к практическим ее применениям в информатике), в большой степени обязан этому новому подходу, восходящему к Колмогорову. Исследования Колмогорова по интерпретации интуиционистской логики развивались параллельно с усилиями выдающего голландского логика, ученика и последователя Брауэра А. Гейтинга. Многие идеи этих ученых оказались очень близкими. Однако в логической литературе до недавнего времени имя Колмогорова в этой связи почти не упоминалось. Мне кажется очень важным, что, восстанавливая историческую справедливость, два выдающихся представителя голландской школы, ученики Гейтинга Д. ван Дален и А. Трулстра в своей недавней великолепной двухтомной монографии [13] ввели в употребление термин «интерпретация Брауэра-Гейтинга-Колмогорова». С именем Трулстры связана и недавняя публикация писем Колмогорова Гейтингу [14–15]. Письма эти были обнаружены Трулстрой в архивах А. Гейтинга. Профессор Трулстра, с которым я состоял в течение ряда лет в дружеской переписке, любезно прислал мне копии этих бесценных исторических документов, относящихся к началу 1930-х годов. Естественно, было бы крайне интересно найти письма Гейтинга к Колмогорову в бумагах последнего. К сожалению, если я не ошибаюсь, это оказалось невозможным. Тем временем В.А. Успенский предложил опубликовать русские переводы писем Колмогорова (оригиналы написаны на немецком и французском языках) в Успехах Математических Наук, что и было сделано с любезного согласия профессора Трулстры. Корреспонденция между Колмогоровым и Гейтингом, даже доступная только частично, проливает новый свет на раннюю историю интуиционизма и на личности обоих выдающихся ученых. Как это случилось и с работой 1925 года, новая работа Колмогорова по интуиционистской логике осталась малоизвестной. Повидимому, Клини не знал об этой работе, когда он писал свою знаменитую статью о реализуемости [16]. Семантика реализуемости,

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ИСТОРИЯ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ

оказавшаяся столь плодотворной, перекликается с ранними идеями Колмогорова из [10]. Вообще есть какая-то тайна в судьбе этих двух работ. Несмотря на всемирную репутацию их автора, они остались практически неизвестными за пределами России. Как уже говорилось, многие результаты были переоткрыты другими исследователями. Даже и сейчас, как я мог убедиться после своего переезда в США, значение и само существование этих работ неизвестно многим первоклассным экспертам на Западе. Можно надеяться, что статья Успенского, опубликованная по-английски и в одном из самых читаемых логических журналов, поможет исправить эту достойную сожаления ситуацию.7 Дальнейшая часть обзора Успенского посвящена трудам Колмогорова по общей теории алгоритмов и алгоритмическим основаниям теории вероятностей. Следует сказать, что В.А. Успенский принял самое живое участие в этой деятельности А.Н. Колмогорова. Широко известная ныне общая концепция алгоритма, задуманная Колмогоровым и реализованная им совместно с Успенским, повидимому дает наиболее общее точное описание интуитивных алгоритмов. Алгоритмы, подпадающие под эту концепцию, обычно называют алгоритмами Колмогорова-Успенского. Я специально подчеркиваю это обстоятельство, не отмеченное В.А. по понятным причинам. Определение КолмогороваУспенского оказалось очень плодотворным, как с точки зрения приложений (теория сложности), так и с точки зрения оснований математики. Если в других классических точных определениях (машина Тьюринга, рекурсивные функции, нормальные алгорифмы Маркова и т.д.) ставилась задача воспроизвести работу любого интуитивного математического алгоритма посредством некоторого алгоритма из данного точного класса (возможность всегда достичь этой цели и провозглашалась Тезисом Чёрча, тезисом Тьюринга, принципом нормализации и т.д.), то определение Колмогорова–Успенского пытается непосредственно представить наиболее общие мыслимые математические алгоритмы. Анализ природы финитарных процессов, приводящий к 7

В связи с подобными проблемами часто приходится слышать о языковом барьере. Боюсь, однако, что дело обстоит сложнее. Во-первых, скажем, Колмогорову не легче читать по-английски, чем любому его англоязычному коллеге по-русски. Во-вторых, статья 1932-го года написана по-немецки, а статья 1925-го года уже довольно давно (1967 г.) опубликована в английском переводе профессором Хейенортом [17]. В третьих, трудно не вспомнить об аналогичной судьбе выдаюшейся работы П.С. Новикова [18], опубликованной в 1943 году по-английски. И это не помогло – работа эта по сей день остается практически неизвестной за пределами (бывшего) Советского Союза.

упомянутому определению, представляет большой методологический интерес. Некоторые авторы полагают даже, что этот анализ доставляет легитимное доказательство Тезиса Чёрча (см. работу Мендельсона [20]). Несомненный исторический интерес представляют замечания Успенского о семинаре «Рекурсивная Арифметика», которым Колмогоров пригласил его соруководить в 1953/1954 учебном году. Историкам математики будет небесполезно проследить связь между трудами по дескриптивной теории множеств московской школы Лузина и изучением рекурсивно-перечислимых множеств в этом семинаре8. (Аналогичные события происходили примерно в то же время и на семинарах П.С. Новикова.) На этом же семинаре Колмогоровым были высказаны основные идеи будущей теории нумераций, впервые развитые в точной форме В.А. Успенским. Ярко представлен Успенским и один из последних творческих подвигов А.Н. Колмогорова – создание им и очередным поколением его учеников основ алгоритмической теории информации и теории вероятностей. Эти труды А.Н. Колмогорова ведут непосредственно в сегодняшний день. Соответствующие теории еще не обрели завершенные формы, продолжается поиск основных концепций, оттачивается интуиция. Драматические начальные шаги этого процесса, протекавшие в 60-е годы, во всей их живой полноте представлены Успенским. Я могу только дополнить его описание несколькими наблюдениями и воспоминаниями, поскольку я тоже был непосредственным свидетелем происходящего. Мне не довелось быть непосредственныи учеником Колмогорова, и мои личные встречи с ним были немногочисленны. Но каждая навсегда врезалась в память. Первая такая встреча произошла в середине 1960-х годов, когда я был аспирантом на кафедре математической логики. С.А. Яновская планировала организовать заседание Математического Общества по программным методам обучения с участием ведущих математиков, педагогов и психологов. Написав записку А.Н., она попросила меня отвезти это послание на дачу в Болшево-Комаровке, вблизи Москвы, которую Колмогоров в течение многих лет разделял с П.С. Александровым. Дача эта, конечно же, была знаменита в математических кругах. Дело было зимним холодным вечером, и я нашел не особенно приметный дом не без труда. Колмогоров вышел ко мне в лыжном костюме, как всегда, голова его была чутьчуть наклонена вперед. Обращение его с любым со8

Связь этих двух теорий особенно ясно ощущается в иерархиях множеств в теории рекурсивных функций (иерархия Клини-Мостовского и т.д.).

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ИСТОРИЯ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ

беседником, независимо от возраста и ранга, всегда было предельно корректным. Вот и сейчас, увидев меня первый раз, он протянул руку, пригласил сесть и погреться. Прочитав записку, А.Н. сказал, что, к сожалению, не сможет сделать доклад, о чем его просила Яновская, так как не чувствует себя экспертом в данной области. Он рекомендовал обратиться к Б.В. Гнеденко, который и сделал требуемый доклад. Из самого заседания Математического общества мне запомнился лишь не лишенный комизма эпизод. Один из выступавших, энтузиаст-психолог увлеченно излагал свое необычайное и окончательное решение проблемы обучения детей математике. – Как, например, учить сложению? – риторически спросил он, – мало кто знает, что такое сложение! – И, посмотрев в зал, заполненный математиками, добавил: – Вы не знаете, что такое сложение! И здесь не выдержал А.Г. Курош. – МЫ знаем, что такое сложение! – возмущенно возразил он. Вообще подготовка этого заседания оказалась крайне благотворной для меня. Я ближе познакомился с С.А. Яновской, с ее учеником философом Б.В. Бирюковым, от которого я впервые услышал о замечательном ученом и замечательной личности – академике, адмирале А.И. Берге (много лет спустя Аксель Иванович энергично вмешался, когда моя монография застряла в недрах Редакционно-издательского совета издательства «Наука»). В те дни мне довелось провести несколько часов в доме матери Б.В. Бирюкова в одном из исчезнувших теперь Таганских переулков. Как жаль, что я тогда же не записал ее рассказ: какой трагический, какой подлинный документ о жизни в коммунистическом государстве мог бы получиться! Мои дальнейшие персональные встречи с А.Н. Колмогоровым почти всегда были связаны с представлением моих работ в Доклады АН СССР. Запомнился следующий случай. Я получил представлявшиеся мне интересными результаты по некоторым довольно экзотическим системам вычислимых действительных чисел. Как обычно в таких случаях, Марков позвонил Колмогорову, и тот попросил принести ему работу для представления. А.Н. встретил меня у дверей своей квартиры в одном из крыльев главного здания МГУ, нашел уголок на заваленном бумагами огромном письменном столе, просмотрел рукопись, написал свое представление и попросил оставить ему копию статьи. Я поблагодарил А.Н., протянул ему копию манускрипта и собрался уходить. Но А.Н. остановил меня и сделал несколько (к большой моей радости вполне положительных) за-

мечаний о моей работе. Замечания эти не были простой любезностью, из них я с изумлением убедился, что А.Н. знал содержание моих предыдущих работ и вполне ясно представлял характер полученных мною результатов. Надо сказать, что большинство моих коллег, целиком посвятивших себя математической логике, не имели никакого представления о тематике, над которой я тогда работал. Универсальный характер колмогоровского таланта, его способность видеть буквально всю математику (и не только ее) сразу целиком поразительны. Еще в студенческие мои годы я слышал граничащие с легендами рассказы о легкости, с которой Колмогоров читает математические работы. Однажды один профессор-механик рассказал мне, как на защите его друга на доске появилась многоэтажная формула, представлявшая какую-то вероятность. Сложные вычисления по этой формуле диссертант не производил (компъютеров тогда не было), так что вероятность эта оставалась своего рода вещью в себе. Однако он услышал негромкую реплику Колмогорова, без особой настойчивости сказавшего, что обсуждаемая вероятность, скорее всего, равна 1/3 (или чтото около этого). Замечание поразило диссертанта, и он, вернувшись домой, приступил к вычислениям, занявшим значительное время и подтвердившим прогноз Колмогорова. Я помню также, как была изумлена моя жена, вернувшись с семинара по турбулентности. Доклад академика Миллионщикова привлек многих слушателей, пришел и Колмогоров. Хорошо известно, что А.Н. выполнил выдаюшиеся исследования по турбулентности и даже создал свою школу в этом направлении. Однако в 1970-е годы турбулентность вряд ли была в центре его интересов. Тем не менее, из нескольких сделанных им по ходу доклада замечаний было ясно, что он понимает происходящее быстрее, яснее и глубже присутствовавших, среди которых были первокласные эксперты по данной проблеме. Приведу одну забавную фольклорную историю. Однажды в какой-то математической компании зашел разговор о формализации «женской логики». Колмогоров немедленно предложил следующий принцип: «Если В следует из А, и В приятно, то А – истинно». Публичные лекции А.Н.Колмогорова всегда выливались в большие события. В 1960-е годы А.Н. прочел несколько лекций по теории автоматов. В большой аудитории первого этажа обычно нехватало мест, и многие слушатели располагались в фойе, куда лекция транслировалась по внутреннему радио. В те годы еще не были забыты дискуссии вокруг кибернетики, которую марксистские философы успели окрестить «буржуазной лженаукой». Возможно, это

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ИСТОРИЯ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ

было одним из последних рецидивов марксистского энтузиазма, о котором я уже говорил. Демагогия является обычной и широко распространенной болезнью общественного сознания, однако в тоталитарном обществе порок этот приобретает особо злокачественный характер. Думается, было бы крайне полезно перевести на многие языки стенографический отчет о дискуссии по биологии в 1948 году в ВАСХНИЛ (Всесоюзная Академия Сельскохозяйственных Наук имени Ленина – Ленин, конечно, был также и великим новатором сельского хозяйства!). Война, развязанная с благословения Сталина против буржуазной теории «вейсманизма-морганизма-менделизма» (то есть против научной генетики) шарлатаном Лысенко и его подручными, завершилась разгромом советской биологической науки. Как всякая война, эта война собрала свои жертвы, жертвы в буквальном смысле слова... Некоторых героев этой войны, вроде пресловутого академика Митина, можно было видеть и на других полях сражений, видимо дарования их были универсальны. С их помощью на химической дискуссии была разоблачена буржуазная квантовая теория молекулы, кажется, водорода, зловредно, в ущерб передовой отечественной концепции Бутлерова-Марковникова, развитая капиталистическим мракобесом Полингом (если я не ошибаюсь, почти в то же самое время или несколько позже тот же ученый при немного другом прочтении его фамилии – Паулинг – фигурировал в советской пропаганде, как прогрессивный деятель, друг СССР, борец за мир, лауреат Нобелевской премии и т.д.) На одной из своих лекций А.Н. рассказывал о кругосветном плавании, совершенном им на научно-исследовательском судне Академии Наук. Среди экипажа возник спор по поводу какой-то научнопопулярной передачи, принятой по радио. Мнения разделились. Спор улегся лишь, когда в следующей передаче выступил с разъяснениями академик Х. – Но ведь и я говорил им то же самое – изумлялся Колмогоров, – Да куда там... Свой академик, здесь, на борту вроде бы и не академик. Вот чужой, по радио – это другое дело... Нет пророков в своем отечестве... Многообразные интересы Колмогорова включали и проблемы преподавания. Здесь можно упомянуть созданную в Москве при активном его участии школу-интернат для математически одаренных детей, реформу преподавания математики в средней школе и многое другое. В 1972 году Колмогоров впервые прочел обязательный курс по математической логике для студентов-математиков МГУ. О необычной атмосфере и событиях, окружавших этот курс, я уже писал в [5]. Думаю, что математическая логика обя-

зана А.Н. и сохранением своего научного центра в Московском Университете. Когда в 1979 году скончался А.А. Марков, возникла реальная угроза поглощения кафедры математической логики уже упоминавшейся выше школой «дискретной математики», к тому времени достигшей значительного административного влияния. Повидимому так бы и случилось, если бы не вмешательство Колмогорова. Несмотря на уже расстроенное здоровье, он возглавил кафедру, и с тех пор в течение ряда лет его можно было видеть во главе исследовательского семинара, связанного с именами П.С. Новикова, А.А. Маркова, С.А. Яновской. В последние годы было видно, как тяжело ему дается само присутствие на семинаре, и все же он почти неизменно занимал свое место в первом ряду. Запомнился доклад Н.А. Шанина (25.05.1919– 17.09.2011) о кванторах предельной осуществимости. Доклады Николая Александровича всегда являлись событиями. Они покоряли как значительностью расматриваемых проблем, так и темпераментом и человеческим обаянием докладчика, его бескомпромиссным «правдоискательством» в математике. Я, как правило, не разделял философских установок Н.А. и часто вступал с ним в дискуссии, порой довольно горячие. Не отставали от меня и некоторые другие участники наших семинаров. Должен заметить, что Н.А. явно любил эти баталии, в тех редких случаях, когда все сходило тихо, он выглядел заметно разочарованным. Упомянутый доклад вызывал у меня особый интерес, поскольку я интересовался системами вычислимых действительных чисел, основанными как раз на такого рода квантификациях. Эти мои интересы неоднократно осуждались Н.А. Соответственно я предвкушал своего рода возмездие. Дискуссии, однако, не получилось. Колмогоров, сидевший в первом ряду, выглядел настолько нездоровым, что ни о чем другом и думать было нельзя. Николай Александрович быстро прочел свой доклад, его печаль и тревога были очевидны. И все же Колмогоров нашел силы приподняться и поблагодарить Н.А. в конце семинара. Думаю, что это был последний раз, когда я слышал Колмогорова. Спасибо ему. В начале 1960-х годов Колмогоров приступил к разработке новой концепции теории информации и теории вероятностей на основе введенного им понятия алгоритмической сложности конструктивного объекта. Неожиданность и смелость этого начинания мало с чем можно сравнить. Известно, что теория вероятностей еще в начале нынешнего столетия сохраняла мистический налет, и попытки поставить ее на прочный математический фундамент не были вполне успешными. Теория эта еще ждала своего Вейерштрасса. Именно Колмогорову в начале тридцатых

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ИСТОРИЯ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ

годов удалось создать общепринятую сегодня строгую аксиоматику теории вероятностей, сводящую последнюю к теории меры. Таким образом, Колмогорова с полным основанием можно считать одним из отцов математической науки о вероятностей. И вот на фоне огромных достижений, безопасности и комфорта, достигнутого в теории вероятностей, сам ее творец возвращается снова к самому началу, к загадке случайного и предлагает совершенно новый подход ко всей этой проблеме. Отсылая читателя за математическими подробностями к великолепному изложению В.А. Успенского, я хочу добавить, что примерно в те же годы вопросами сложности алгоритмов заинтересовался и А.А. Марков. Если к началу 1960-х годов уже были достигнуты определенные успехи в изучении сложности алгоритмических вычислений9, то проблемы изучения сложности описаний тех или иных алгоритмов еще предстояло решать. Пионерские работы А.А. Маркова 1962–1964 годов [22–23] заложили основы соответствующей теории. В частности, во многих случаях оказалось возможным найти новое количественное представление сложности неразрешимости алгоритмических проблем через так называемые оценки сложности разрешения. Поясню вкратце сказанное. Предположим, что мы хотим отыскать алгоритм, распознающий принадлежность произвольного натурального числа n данному множеству M. Как известно, во многих случаях искомый алгоритм невозможен. Вместе с тем данную проблему P можно аппроксимировать финитарными проблемами Pk – каждая такая проблема состоит в отыскании алгоритма, распознающего принадлежность к M натуральных чисел, не превосходящих k. При каждом k можно попытаться оценить сложность описания алгоритма, решающего соответствующую финитарную проблему. Ясно, что если указанная сложность неограниченно возрастает с ростом k, то начальная проблема P алгоритмически неразрешима. Результаты и идеи Маркова получили значительное развитие в работах его учеников. И так как изучение колмогоровской сложности конструктивных объектов и сложности алгоритмов по Маркову часто приводили к сходным проблемам, в 1960-е годы развилось значительное сотрудничество между школами Маркова и Колмогорова. Так же, как это когда-то случилось с Успенским, молодой математик Н.В. Петри был приглашен А.Н. Колмогоровым вести со9

Одни из первых результатов в оценке сложности алгоритмических вычислений были получены еще в 1950-х годах учеником А.А. Маркова Г.С. Цейтиным. Великолепное введение в указанную проблематику можно найти в книге Б.А. Трахтенброта [21].

вместный семинар по сложности алгоритмов. И здесь я хочу упомянуть о проявленной А.Н. деликатности. Поскольку Петри был учеником Маркова, Колмогоров позвонил Андрею Андреевичу и спросил, не имеет ли тот возражений против этой идеи. Об этом телефонном звонке мне рассказывал Марков. – Конечно, я ответил, что никаких возражений нет. Совсем наоборот... – добавил Марков. Я видел, что он был очень доволен. С другой стороны на семинарах Маркова стали появляться ученики Колмогорова нового поколения. Особенно запомнился блестящий, темпераментный и эксцентричный Л. Левин (ныне профессор Бостонского Университета). Непредсказуемость Левина порою выводила Маркова из себя10, но А.А. высоко ценил большой математический талант Левина и позже принимал живое участие в его судьбе. В особенности, когда в 1971 году «царство тьмы» расправилось с диссертацией Левина (защита происходила в Новосибирске). Конечно, к этому были все основания: диссертант имел возмутительную национальность, и вдобавок его руководителем был А.Н. Колмогоров! —▫—

Пасмурным октябрьским днем 1987 года московские математики прощались с Андреем Николаевичем Колмогоровым. Деревья под охраной чугунных ворот, старых, красных кирпичных стен и милиционеров еще желтели негромкими красками московской осени. Было тепло, тихо, только вороны кричали о чем-то своем, вечном... Далеко за рекой, на холме угадывался силуэт Университета. Когда я бросил по старому обычаю горсть земли в открытую могилу, я вдруг остро почувствовал душою то, что мой ум давно понимал: с Колмогоровым навсегда ушла целая эпоха. Я видел эту боль и на многих лицах вокруг. Потом все разбрелись по кладбищу. У каждого ктото был здесь. Если не родственник, друг, то хотя бы Чехов и Шостакович. Я поклонился могиле П.С. Новикова. Л.В. Келдыш, постоял у доски, за которой скрыта урна с прахом С.А. Яновской и пошел к воротам. Уже темнело, кончался 1987 год. Впереди было мое расставание с Россией. 10

Помню, как жаловался мне А.Г. Драгалин: «Попросил я Леню сделать доклад о теории информации на моем семинаре. А он мало того, что порядочно опоздал, да и еще и начал так: «Рассмотрим какой-нибудь бессмысленный набор слов, скажем, «Слава КПСС!»» Припоминаю и следующий комический эпизод на одном из наших семинаров. Обсуждался вопрос о количестве информации, содержащейся в одном конструктивном объекте о другом конструктивном объекте. Левин стоял у доски, а Марков задавал ему хитрый вопрос: «Ну, какая информация содержится в телефонной книге об Евгении Онегине?» – «Телефон Евгения Онегина» подсказал с места кто-то.

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ИСТОРИЯ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ

Литература 1. Uspensky V.A. Kolmogorov and Mathematical Logic. The Journal of Symbolic Logic, 1992. Vol. 57. № 2. PP. 385–412. 2. Люстерник Л.А. Ранние годы Московской математической школы. Успехи Математических Наук. T. 22, № 1. 1967. C. 137–161. 3. Люстерник Л.А. Ранние годы Московской математической школы. Там же, T. 22. № 2. 1967. C. 199–239. 4. Люстерник Л.А. Ранние годы Московской математической школы, 1967. Там же. T. 22. № 4. C. 199–239. 5. Кушнер Б.А. Марков и Бишоп. Вопросы Истории Естествознания и Техники, 1. 1992. C. 70–81. 6. Вейль Г. О философии математики. Сборник работ (пер. с немецкого) ГТТИ, 1934. 7. Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики, М.-Л., ОНТИ, 1936. 8. Юшкевич А.П. Встречи с А.Н. Колмогоровым. Препринт. 1990. 9. Колмогоров А.Н. О принципе «tertium non datur», Математический Сборник, 1924/1925. T. 32. C. 646–667. 10. Колмогоров А.Н. Zur Deutung der intuitionistischen Logic. Mathematische Zeitschrift, 1932. Vol. 35. C. 58–65. 11. А.Г. Драгалин, Б.А. Кушнер. Математический Интуиционизм. Большая Советская Энциклопедия, 1974. T. 15. 488 c. 12. Borel E. Lecons sur theorie des fonctions, 3rd ed., Gauthier-Villars, Paris, 1928. 13. Dalen D. van, Troelstra A.S. Constructivity in Mathematics. An Introduction. Vol.1–2, North-Holland, Amsterdam-New York-Oxford-Tokyo, 1988. 14. Troelstra A.S. On the Early History of Intuitionistic Logic.In P.Petkov, Ed. Mathematical Logic, 3–17, Plenum Press, New YorkLondon, 1990. 15. Колмогоров А.Н. Письма к Гейтингу. Успехи Математических Наук, 1988. T. 43. № 6. C. 75–77. 16. Kleene S.C. On the interpretation of intuitionistic number theory. Journal of Symbolic Logic, 1945. Vol. 10. C. 109–124. 17. Heijenort J. van (Ed.) from Frege to Goedel: a source-book in mathematical logic, 1879–1931, Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, 1967. 18. Новиков П.С. On the consistency of certain logical calculus. Математический сборник, 1943. T. 12 (54). C. 231–261. 19. Feferman A.B. Politics, Logic, and Love. The Life of Jean van Heijenoort. Jones and Bartlett Publ., Boston-London, 1993. 20. Mendelson E. Second Thoughts about Church’s Thesis and Mathematical Proofs. The Journal of Philosophy, 1990. Vol. 87. № 5. PP. 225–233. 21. Трахтенброт Б.А. Сложность алгоритмов и вычислений. Новосибирск, 1967. 22. Марков А.А. О нормальных алгорифмах, вычисляющих булевы функции. Доклады АН СССР, 1964. T. 157б. № 2. C. 262–264. 23. Марков А.А. О нормальных алгорифмах, связанных с вычислением булевых функций. Известия АН СССР, сер. мат., 1967. T. 31. № 1. C. 161–208.

References 1. Uspensky V.A. Kolmogorov and Mathematical Logic. The Journal of Symbolic Logic, 1992. Vol. 57. № 2. PP. 385–412. 2. Lyusternik L.A. Rannie gody Moskovskoy matematicheskoy shkoly[The early years of the Moscow mathematical school]. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 1967. Vol. 22. № 1. PP. 137–161 (in Russian).

3. Lyusternik L.A. Rannie gody Moskovskoy matematicheskoy shkoly [The early years of the Moscow mathematical school]. Tam zhe [Ibidem]. № 2. PP. 199–239. 4. Lyusternik L.A. Rannie gody Moskovskoy matematicheskoy shkoly [The early years of the Moscow mathematical school] Tam zhe [Ibid], 1967. Vol. 22. № 4. PP. 199–239. 5. Kushner B.A. Markov A.A. i E. Bishop. Voprosy Istorii Estestvoznaniya i Tekhniki [Kushner B.A., Markov A.A. and Bishop E. Some Questions of History of Science and Technology], 1992. № 1. PP. 70–81. 6. Weil A. O filosofii matematiki. Sbornik rabot (per. s nem.) [On the Philosophy of Mathematics. Collected works (translated from German)] GTTI, 1934. 7. Geyting A. Obzor issledovaniy po osnovaniyam matematiki[Review of researches on the foundations of mathematics] Moscow-Leningrad. Publishing house of «Obzory nauchno-technicheskoy informacyi (ONTI)», 1936. 8. Yushkevich A.P. Vstrechi s A.N. Kolmogorovym. [Meetings with Kholmogorov]. Preprint. 1990. 9. Kolmogorov A.N. O princype «tertium non datur», Matematicheskiy Sbornik [On the principle of «tertium non datur», Mathematical Collection], 1924/1925. Vol. 32. PP. 646–667. 10. Kolmogorov A.N. Zur Deutung der intuitionistischen Logic. Mathematische Zeitschrift, 1932. Vol. 35. PP. 58–65. 11. A.G. Dragalin, B.A. Kushner. Matematicheskiy Intuitsionizm. [Mathematical Intuitionism]. Bol’shaya Sovetskaya Enciklopediya [Great Soviet Encyclopedia], 1974. T. 15. 488 p. 12. Borel E. Leçons sur théorie des fonctions, 3d ed., Gauthier-Villars, Paris, 1928. 13. Dalen D. van, Troelstra A.S. Constructivity in Mathematics. An Introduction. Vol. 1–2, North-Holland, Amsterdam-New York-Oxford-Tokyo, 1988. 14. Troelstra A.S. On the Early History of Intuitionistic Logic.In P.Petkov, Ed. Mathematical Logic, PP. 3–17, Plenum Press, New York-London, 1990. 15. Kolmogorov A.N. Pis’ma k Geytingu [Letters to Geyting] Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 1988 Vol. 43, № 6. PP. 75–77. (in Russian). 16. Kleene S.C. On the interpretation of intuitionistic number theory. Journal of Symbolic Logic, 1945. Vol. 10. PP. 109–124. 17. Heijenort J. van. (Ed.). From Frege to Goedel: a source-book in mathematical logic, 1879–1931, Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, 1967. 18. Novikov P.S. On the consistency of certain logical calculus. Matematicheskiy sbornik Vol. 12 (54), 231–261, 1943..[ Mathematics collection] 1943. Т. 12 (54). PP. 231–26. 19. Feferman A.B. Politics, Logic, and Love. The Life of Jean van Heijenoort. Jones and Bartlett Publ., Boston-London, 1993. 20. Mendelson E. Second Thoughts about Church’s Thesis and Mathematical Proofs. The Journal of Philosophy. 1990. Vol. 87 № 5. PP. 225–233. 21. Trakhtenbrot B.A. Slozhnost’ algoritmov i vychisleniy [The complexity of algorithms and computation]. Novosibirsk 1967. 22. Markov A.A. O normal’nykh algorifmakh, vychislyayushchikh Bulevy funkcii [Normal algorithms to compute Boolean functions]. Doklady AN SSSR [Reports of the USSR], 1964. Vol. 157b. № 2. PP. 262–264. 23. Markov A.A. O normal’nykh algorifmakh, svyazannykh s vychisleniem Bulevykh funkciy [Normal algorithms related to the computation of Boolean functions] Izvestiya AN SSSR, ser. mat. [Proceedings of the USSR, mathemat. series], 1967. Vol. 31. № 1. PP. 161–208.

Сведения об авторе Information about the author Кушнер Борис Абрамович выпускник мехмата МГУ член Союза писателей Москвы профессор математики Питтсбургского университета г. Джонстаун, США, E-mail: boris@pitt.edu

Kushner Boris Abramovich Professor of Mathematics University of Pittsburgh at Johnstown Johnstown, PA 15904, USA E-mail: boris@pitt.edu

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 4 · 2014

ПРАВИЛА

ОФОРМЛЕНИЯ, РАССМОТРЕНИЯ, ПУБЛИКАЦИИ И РЕЦЕНЗИРОВАНИЯ СТАТЕЙ 1. При направлении материалов для публикации в журнале необходимо заполнить карточку «Сведения об авторе» (на русском и английском языках). Фамилия...... Имя...... Отчество...... Дата и место рождения...... Адрес регистрации (прописки) по паспорту с указанием почтового индекса....... Адрес фактического проживания с указанием почтового индекса....... Контактная информация (домашний, служебный и мобильный телефоны, электронный адрес)....... Название организации (место работы (учебы)) вместе с ведомством, к которому она принадлежит, занимаемая должность, адрес организации с указанием почтового индекса... Ученая степень и звание (№ диплома, аттестата, кем и когда выдан)....... 2. Объем статьи не должен превышать 40 страниц машинописного текста. Текст необходимо набирать в редакторе Word шрифтом № 12, Times New Roman; текст не форматируется, т.е. не имеет табуляций, колонок и т.д. Статьи должны быть свободны от сложных и громоздких предложений, математических формул и особенно формульных таблиц, а также промежуточных математических выкладок. Все сокращения и условные обозначения в схемах и формулах следует расшифровать, размерности физических величин давать в СИ, названия иностранных фирм и приборов – в транскрипции первоисточника с указанием страны. 3. Аннотация и ключевые слова должны быть на русском и английском языках. В аннотации полностью должна быть раскрыта содержательная сторона публикации и полученные результаты (выводы). Аннотация должна иметь объeм от 100 до 250 слов. После нее дается перечень ключевых слов – от 5 до 10. 4. Список использованной литературы (лишь необходимой и органически связанной со статьей) составляется в порядке упоминания и дается в конце статьи. Ссылки на литературу в тексте отмечаются порядковыми цифрами в квадратных скобках, а именно: [1, 2]. Желательно, чтобы список литературы содержал не менее 10–12 источников, в том числе как минимум – 3 зарубежные публикации (желательно из трех стран) в данной области за последние 5–10 лет. После списка литературы приводится список литературы в романском алфавите, который озаглавливается References и является комбинацией англоязычной [перевод источника информации на английский язык дается в квадратных скобках] и транслитерированной частей русскоязычных ссылок. В конце статьи приводится название статьи, фамилия, имя, отчество автора (ов), ученая степень, ученое звание, должность и место работы, электронный адрес хотя бы одного из авторов для связи и точный почтовый адрес организации (место работы автора) на русском и английском языках, при этом название улицы дается транслитерацией. Список литературы следует оформлять в соответствии с Международными стандартами. ПРИМЕР ОФОРМЛЕНИЯ ЛИТЕРАТУРЫ

Баранов М.И., Веселова Н.В. Основные достижения отечественных и зарубежных научных школ в области техники высоких напряжений. Часть 1: Московская, Ленинградская, Томская и Киевская школы ТВН // История науки и техники. 2012. Т. 2. № 3. C. 38–52. Baranov M.I., Veselova N.V. Osnovnye dostizheniya otechestvennykh i zarubezhnykh nauchnykh shkol v oblasti tekhniki vysokikh napryazheniy. Chast 1: Moskovskaya, Leningradskaya, Tomskaya i Kievskaya shkoly TVN [The main achievements of Russian and foreign scientific schools in the art of high voltages. Part 1: Moscow, Leningrad, Tomsk and Kiev school TVN]. Istoriya nauki i tekhniki [History of science and Engineering], 2012. Vol. 2. № 3. PP. 38–52. Ищенко А.М. Отечественное приборостроение: становление и развитие. М.: Научтехлитиздат, 2011. 240 с. Ishchenko A.M. Otechestvennoe priborostroenie: stanovlenie i razvitie [Domestic instrument: Development and Evolution] M.: Nauchtekhlitizdat [Moscow: Publishing house «Nauchtehlitizdat»], 2011. 240 p.

Название издательства «Научтехлитиздат» на английский язык не переводится, поэтому пишется латинскими буквами. Если книга и/или монография издана в издательстве название, которого переводится на английский, то сначала надо дать транслитерацию названия издательства, а потом в квадратных скобках указать перевод этого названия на английский язык. Иванов И.И. Проблемы разработки недр. М.: Наука, 2012. 320 с. Ivanov I.I. Problemy razrabotki nedr [Problems of deve lopment of mineral resources]. M.: Nauka [Moscow: Publishing house «Sciences»], 2012. 320 p. Особо обращаем внимание авторов, что если Вы ссылаетесь на статью, то обязательно надо указать страницы от и до, на которых она напечатана, при этом букву «с» надо ставить перед страницами. Если дается ссылка на монографию, то буква «с» ставится после указания количества страниц. ЭТАПЫ РАССМОТРЕНИЯ И ПУБЛИКАЦИИ СТАТЬИ

Регистрация статьи и присвоение ей индивидуального номера. Определение соответствия содержания статьи тематике журнала. Если содержание не совпадает с тематикой публикуемых статей в журнале, статья снимается с рассмотрения; об этом сообщается автору (или авторам). Неопубликованный материал авторам не возвращается. Направление статьи рецензенту, крупному специалисту в данной области. Рассмотрение замечаний и пожеланий рецензента; при необходимости обращение к автору с просьбой учесть замечания и пожелания рецензента. При получении от рецензента отрицательной рецензии статья передается другому рецензенту. При отрицательном результате повторного рецензирования статья снимается с рассмотрения. Научное редактирование. Литературное редактирование. Корректура статьи. Верстка статьи. После прохождения вышеперечисленных этапов статья включается в список подготовленных для публикации статей и публикуется в порядке общей очереди. ПРАВИЛА РЕЦЕНЗИРОВАНИЯ СТАТЕЙ

Любая статья, поступающая в редакцию журнала, независимо от личности автора(ов) направляется рецензенту, крупному специалисту в данной области. Статья рецензенту передается безличностно, т.е. без указания фамилии автора (ов), места работы, занимаемой должности и контактной информации (адреса, телефона и E-mail адреса). Рецензент на основе ознакомления с текстом статьи обязан в разумный срок подготовить и в письменной форме передать в редакцию рецензию, в обязательном порядке содержащую оценку актуальности рассмотренной темы, указать на степень обоснованности положений, выводов и заключения, изложенных в статье, их достоверность и новизну. В конце рецензии рецензент должен дать заключение о целесообразности или нецелесообразности публикации статьи. При получении от рецензента отрицательной рецензии статья передается другому рецензенту. Второму рецензенту не сообщается о том, что статья была направлена рецензенту, и что от него поступил отрицательный отзыв. При отрицательном результате повторного рецензирования статья снимается с рассмотрения и об этом сообщается автору(ам). Автору(ам) редакция направляет копии рецензии без указания личности рецензента. В исключительных случаях, по решению редакционной коллегии, при получении от двух рецензентов отрицательного отзыва, статья может быть опубликована. Такими исключительными случаями являются: предвзятое отношение рецензентов к рассмотренному в статье новому направлению научного нововведения; несогласие и непризнание рецензентами установленных автором фактов на основе изучения и анализа экспериментальных данных, результатов научно-исследовательских, опытно-конструкторских и других работ, выполненных на основании и в рамках Национальных и государственных программ и принятых заказчиком; архивных и археологических изысканий, при условии предоставления автором документальных доказательств и т.д.

МАТЕМАТИКА

∙ 2014

№ 4

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

ISSN 2307-1621

APPLIED PHYSICS AND MATHEMATICS