VÍCTOR CALDERÓN CALLAO 1
LA SUCESIÓN DE FIBONACCI Y EL NÚMERO ÁUREO
La sucesión de Fibonacci. Uno de los problemas más famoso de las matemáticas elementales proviene del libro “Liber abacci” (Libro del Ábaco), escrito en 1202 por Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, abreviatura de filius Bonacci, o sea, hijo de Bonacci. Este libro llegó a nosotros en su segunda variante que data del año de 1 228.
“Liber abacci”, voluminoso tratado que contiene casi todos los conocimientos algebraicos y aritméticos de aquel tiempo, desempeñó un papel notable en el desarrollo de las matemáticas en Europa Occidental durante varios siglos. En
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particular, precisamente a través de este libro conocieron los europeos las cifras hindúes (“arábigas”). El material de “Liber abacci” se explica por numerosos problemas que constituyen una parte considerable de la obra. Consideremos uno de ellos, el que aparece en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1 228. “¿Cuántas parejas de conejos nacen, en el transcurso de un año, de una pareja inicial?” “Alguien metió una pareja de conejos en un lugar totalmente cercado de muros para conocer cuántas parejas de conejos nacerían en el curso de una año si la naturaleza de los conejos es tal que cada pareja produce otra pareja al cabo de un mes y las conejas pueden parir a los dos meses de haber nacido.
Puesto que la primera pareja da descendencia el primer mes, multiplíquese por dos y resultan ya 2 parejas; de ellas, una pareja, la primera, produce también al mes siguiente de modo que en el segundo mes resultan 3 parejas; de ellas, al mes
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siguiente, dos parejas darán descendencia de modo que en el tercer mes nacerán dos parejas más y el número de parejas llegará a 5; de ellas, ese mismo mes darán descendencia tres parejas y al cuarto mes el número de parejas llegará a 8; de ellas, cinco parejas producirán otras cinco que sumadas a las ocho darán al quinto mes 13 parejas; de ellas, cinco parejas nacidas ese mes no darán descendencia, pero las ocho restantes sí, de modo que al sexto mes resultarán 21 parejas; sumadas a las trece nacidas en el séptimo mes, darán 34 parejas, sumadas a las veintiuno nacidas en el octavo mes, darán 55 parejas; sumadas a las treinta y cuatro nacidas en el noveno mes, darán 89 parejas; sumadas a las cincuenta y cinco que nacen en el décimo mes, darán 144 parejas; sumadas otra vez a las 89 que nacen en el undécimo mes, darán 233 parejas; sumadas otra vez a las ciento cuarenta y cuatro parejas nacidas en el último ,es, darán 377 parejas; esta cantidad de parejas produce la pareja inicial en el lugar dado al cabo de un año. ¿ Cómo lo hacemos? Sumamos el primer número y el segundo, o sea 1 y 2; el segundo y el tercero, el tercero y el cuarto; el cuarto y el quinto y así sucesivamente hasta sumar el décimo y el undécimo, o sea, 144 y 223. Obtenemos el número total de las parejas mencionadas, o sea, 377. Y así se puede hacer en el mismo orden hasta un número infinito de meses.” ZZZPasamos ahora de los conejos a los números y consideremos la sucesión numérica: (1) en la que todo término es igual a la suma de los dos anteriores, es decir, para todo se tiene: (2)
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Sucesiones de este tipo, donde todo término se determina en función de los anteriores, aparecen frecuentemente en las matemáticas y se denominan sucesiones recurrentes. El proceso que consiste en el cálculo sucesivo de sus elementos se denomina proceso recurrente y la igualdad (2) se llama ecuación recurrente. Observemos, ante todo, que la relación (2) no permite por sí sola calcular los términos de la sucesión (1). Se pueden encontrar infinitas sucesiones numéricas diferentes que satisfagan esta condición, por ejemplo:
Es decir, para determinar unívocamente la sucesión (1) no basta obviamente con la condición (2) y es preciso señalar algunas condiciones adicionales. Por ejemplo, podemos indicar los valores de algunos cuantos primeros términos de la sucesión (1). ¿Cuántos primeros términos de la sucesión (1) hay que definir para calcular, empleando solo la ecuación (2), todos los demás términos? Señalaremos primeramente que la relación (2) no permite obtener cualquier término de la sucesión (1) porque no todo término de (1) tiene dos precedentes; por ejemplo, delante del primer término no figura ninguno y al segundo le precede solo 5
uno. Por eso, para determinar la sucesión (1) debemos señalar, además de la condición (2), sus dos primeros términos. Obviamente, esto basta ya para poder encontrar cualquier término de la sucesión (1). En efecto, podemos calcular sumando los valores escogidos para y , podemos calcular sumando y el valor obtenido para , podemos calcular sumando los valores obtenidos par y , etc y “en el mismo orden hasta un número infinito” de términos. Pasando así de dos términos consecutivos de la sucesión al término que les sigue inmediatamente, podemos llegar al término de cualquier índice fijado de antemano y calcularlo”
Consideremos ahora un caso de especial importancia: la sucesión (1) cuando se toma y . La condición (2), como hemos señalado, nos brinda la posibilidad de calcular uno tras otro todos los términos de esta sucesión. Es fácil comprobar que los trece primeros términos serán los números:
Con estos números hemos tropezado en el problema de los conejos. En memoria del autor de este, la sucesión (1) con se llama sucesión de Fibonacci y sus términos se denominan números de Fibonacci. 6
La proporción áurea o número áureo es la unidad a razón de 1,618… veces. Para obtenerla, basta multiplicar por 1,618 si se quiere obtener un número mayor a la unidad, o dividir también entre 1,618, si se busca uno menor. La proporción divina, llamada así por el astrónomo alemán J. Kepler, es una de las más extraordinarias entidades en el campo de las matemáticas, de la Geometría, de la Biología y del Arte. ¿Dónde encontramos la presencia del número áureo? En casi todas las manifestaciones de la Naturaleza y en algunas representaciones culturales que se ajustan a los criterios de codificación del Cosmos: la Geometría Sustentable como metáfora última del alfabeto universal. Encontramos el número de oro en la arquitectura, en el arte, en los colores, en el mercado accionario, en la música, en la poseía, en el cuerpo humano, en el latido del corazón, en los animales, en las plantas, en los cristales, en la molécula del ADN, en el crecimiento poblacional, en la matemática, en los cuasi-cristales, en los mandalas, en las galaxias, en el sistema solar, en el rostro humano, en la salud humana, en los patrones de belleza, en los domos geodésicos, en algunas catedrales, en algunas pirámides, en algunos calendarios, por decir algunos ejemplos.
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El número áureo pude ser obtenido por la división de la secuencia numérica Fibonacci. Si tomamos cualquier número de la secuencia y lo dividimos entre el número inmediato anterior nos vamos aproximando al valor de phi. En la medida en la que tome un número más alejado de cero nos acercamos más a la asíntota, pero nunca tocaremos ese límite. Representa el camino del perfeccionamiento hacia la armonía. El número de oro representa el límite del camino que nos conduce al vacío. 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , . . . Término actual
Término previo
División
Proporción
1
0
1/0
0
1
1
1/1
1
2
1
2/1
2
3
2
3/2
1,5
5
3
5/3
1,666
8
5
8/5
1,600
13
8
13/8
1,625
21
13
21/13
1,615384
34
21
34/21
1,619048
55
34
55/34
1,617647
89
55
89/55
1,618182
144
89
144/89
1,617978
233
144
233/144
1,618056
377
233
377/233
1,618025
Si tomamos el décimo cuarto número y lo dividimos por el décimo tercero de la secuencia, obtenemos 233/144 = 1,618056… mientras que si dividimos el quinto número de la 8
secuencia por el cuarto, obtenemos 3/2 = 1,5. La enorme diferencia entre un resultado y el otro es porque la secuencia Fibonacci nos acerca a phi, pero jamás nos permite llegar al número real, pues eso real es un vacío, es una asíntota, un límite.
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