Integrales Definidas - Área bajo la curva

COAR LAMBAYEQUE MATEMÁTICAS NM Estudiante…………………………………………………………………………………………………………….…………………5to Secundaria

INTEGRALES DEFINIDAS Reimann fue uno de los matemáticos más importantes del siglo XIX, se podría decir que el segundo, tras su profesor C.F Gauss. Las aportaciones de Reimann en geometría, análisis y teoría de números supusieron una renovación en estos campos. Albert Einstein basó su Teoría de la relatividad general en la geometría reimanniana. La “hipótesis de Reimann”, que trata sobre números primos, es uno de los grandes problemas aun sin resolver de las matemáticas actuales.

La fundación Clay ha ofrecido 1 millón de dólares de premio por su solución. (http://www.claymath.org/millennium) Aplicaciones de la integral definida. Las aplicaciones de la integral definida son muy diversas: el cálculo de la distancia recorrida por un cuerpo que se mueve a lo largo de la línea recta, el cálculo de los ingresos totales logrados por una compañía durante cierto tiempo, el cálculo de la cantidad total de electricidad consumida en un hogar típico durante un periodo de 24 horas, la concentración promedio de un medicamento en el cuerpo durante cierto intervalo de tiempo, el volumen de un cubo, etc.

NOTACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA. Veamos el siguiente esquema que representan la integral definida.

Límite superior de la integración

Límite inferior de la integración

Función integrando Variable de integración

Diferencial de la variable independiente ÁREA E INTEGRALES DEFINIDAS

INVESTIGACIÓN. Considere el área delimitada por la función sombreada en el gráfico. a) i. Anote el ancho de cada uno de los cuatro rectángulos b) que se muestran en el gráfico. ii. Calcule la altura de cada uno de los cuatro rectángulos. iii. Halle la suma de las áreas de los cuatro rectángulos, para hallar un límite inferior del área de la región sombreada.

c)

Use la CPG para hallar la integral definida

, y el eje

que está

i. Anote el ancho de cada uno de los cuatro rectángulos que se muestran en el gráfico. ii. Calcule la altura de cada uno de los cuatro rectángulos. iii. Halle la suma de las áreas de los cuatro rectángulos, para hallar un límite superior del área de la región.

. Compare el resultado con sus respuestas en los apartados a y b.

¿Qué piensa que podría representar integral definida? …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

COAR LAMBAYEQUE La evaluación de una integral definida como límite se establece de la siguiente forma:

El área debajo de la gráfica de una función Riemann:

continua no negativa en un intervalo

se define como el límite de la suma de

Finalmente tenemos la siguiente igualdad:

Entonces, la integral definida es el límite de la suma de Riemann cuando ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS b

1)

b

a b

2)

a

b

∫ (f (x)±g( x))dx=∫ f (x)dx±∫ g(x)dx a

a

∫ f (x)dx=−∫ f (x)dx

4)

b

a b

3)

b

∫ kf (x)dx=k ∫ f (x)dx

a b

c

a

a

b

b

∫ f (x)dx=∫ f (x)dx +∫ f (x )dx

5)

a

c

∫ f (x)dx=0 a

DIVERTICOAR 1 El gráfico f consiste en líneas de segmentos como se muestra. Evalúe las integrales definidas en las preguntas 1 y 2 usando fórmulas geométricas.

8

1.

6

∫ f (x)dx

∫ g(x)dx

4.

4

10

8

2.

10

∫ f (x)dx

∫ g(x)dx

5.

0

1

10

∫ f (x)dx

6.

10 10

∫ f (x)dx

7.

6

10

6

Sabiendo que

∫ f (x)dx=−3 1

6

∫ f (x)dx=4

y

1

,

10

∫ f (x)dx=8

∫ f (x)dx=8

5

,

1

, evalúe las integrales

10

∫ (g(x)+3)dx

9.

6

6

4

definidas en las preguntas 3 al 10.

6

3.

∫ f (x−4)dx

8.

10

10.

∫ 3 g(x+2)dx −1

1

∫ (2 f (x)+ 2 g( x))dx 1

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 2

11. Sabiendo que

∫ h( x) dx=−2

∫ h( x) dx=6 (a)

12. Sea

f

una función tal que

0

5

2

4

y

4

, deduzca el valor de:

5

∫ h( x) dx 0

(a) Deduzca el valor de (b)

∫ (5h( x)+2) dx 2

0

∫ 14 f ( x) dx 0

b

(i)

Si

5

(b)

∫ f ( x)dx =16

∫ f ( x−3) dx=16 a

de (ii) Si

a y el de 4

de

b

∫ ( f ( x)+k)dx=28 0

k

, escriba el valor

, escriba el valor

COAR LAMBAYEQUE TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Se han visto ya dos de las principales ramas del cálculo: el cálculo diferencial (presentado con el problema de la recta tangente) y el cálculo integral (presentado con el problema del área). En este punto podría parecer que esto dos problemas no se relacionan, aunque tienen una conexión muy estrecha. La conexión fue descubierta independientemente por Isaac Newton y por Gottfried Leibniz y está enunciada en un teorema que recibe el nombre de teorema fundamental del cálculo. De manera informal, el torema establece que la derivación y la integración (definida) son operaciones inversas, en el mismo sentido que lo son la división y la multiplicación.

Si la función es continua en el intervalo cerrado y es una antiderivada de en el intervalo , entonces

Estrategia para utilizar el teorema fundamental del cálculo 1. Suponiendo que se conozca una antiderivada o primitiva , se dispone de una forma de calcular una integral definida sin tener que utilizar el límite de la suma.

2. Cuando se aplica el teorema fundamental del cálculo, la siguiente notación resulta conveniente,

Por ejemplo, para calcular

3.

, es posible escribir

No es necesario incluir una constante de integración

en la antiderivada o primitiva ya que

DIVERTICOAR 2 1.

(b) Halle el valor de

2.

8.

3.

9.

4.

10.

5.

11.

6.

12.

PREGUNTAS TIPO EXAMEN (7 y 8) 7.

Sabiendo que

Sabiendo que

, halle el valor de

13.

(a) Escriba el valor de PREGUNTAS TIPO EXAMEN (14 y 15) 14. El diagrama muestra parte del gráfico de (a) Escriba una integral que represente el área de la región sombreada. (b) Halle el área de la región sombreada.

15.

El diagrama muestra parte del gráfico de unidades. Halle el valor exacto de

. El área de la región sombreada es de

COAR LAMBAYEQUE

ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS A partir de unas modificaciones se puede extender la aplicación de las integrales definidas para el área de una región bajo una curva al área de una región entre dos curvas. Considerar dos funciones y que son continuas en el intervalo . Si las gráficas y están sobre el eje y la gráfica de debajo de la gráfica de , se puede interpretar geométricamente en la área de la región entre las gráficas como el área de la región bajo la gráfica de sustraída del área de la región bajo la gráfica . Para un mejor entendimiento, tome en cuenta la siguiente situación.

Considere el área entre las dos curvas y desde hasta

INVESTIGACIÓN. ÁREA ENTRE DOS CURVAS

Intervalo

Ancho

Altura

Área

̶1,5 ≤ x ≤ ̶0,5

1

f (−1)−g(−1)=−2−(−3)=1

1(1)=1

̶0,5 ≤ x ≤ 0,5

1

2

2

0,5 ≤ x ≤ 1,5

1

5

5

1,5 ≤ x ≤ 2,5

1

10

10

2,5 ≤ x ≤ 3,5

1

17

17

TOTAL

35

1.

Complete la tabla con las dimensiones y el área de cada uno de los cinco rectángulos mostrados en el gráfico.

2.

Halle un valor aproximado del área entre las curvas, sumando las áreas de los rectángulos.

3.

Escriba la integral definida que considere que puede ser usada para halla el área exacta entre las dos curvas y , desde hasta Evalúe la integral en la CPG Compare la respuesta con el valor aproximado que obtuvo en la pregunta 2 y

son continuas en

e

para todo

en

, entonces el área entre

e

desde

hasta

está dada por DIVERTICOAR 3 En las preguntas del 1 al 4, represente gráficamente la región delimitada por las curvas dadas. Escriba una expresión que dé el área de la región. Halle el área usando la CPG 1.

e

2.

e

3.

,

4.

y

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 5. Considere la función a. Halle los puntos de intersección con el eje b. i.

Halle ii.

A partir de lo anterior, halle las coordenadas de los puntos mínimo y máximo.

i.

Utilice sus respuestas de los apartados a y b para dibujar aproximadamente el gráfico de

c.

d.

ii. Dibuje aproximadamente el gráfico de Escriba una expresión que dé el área de la región entre

y

en los mismos ejes. y halle el área de la región.

COAR LAMBAYEQUE En las preguntas 6 al 9 dibuje aproximadamente un gráfco de la región delimitada por las curvas dadas. Escriba una expresión que dé el área de la región. Halle el área usando la CPG. 6. e 7.

y

8.

y

9.

e

PREGUNTA TIPO EXAMEN 10. Considere las funciones a.

y

Dibuje aproximadamente el gráfico de

y

en los mismos ejes.

b.

c.

i.

Escriba una expresión para el área de la región entre

ii.

Halle esta área

La recta

y .

divide el área de la región del apartado b a la mitad.

i.

Escriba una expresión para la mitad del área de la región del apartado b.

ii.

Halle el valor de

En las preguntas 11 a 14, escriba una expresión para hallar el área de la región delimitada por las dos curvas y posteriormente halle el área.

11.

e

12.

y

13.

y

14.

y

PREGUNTA TIPO EXAMEN 15. Las curvas que se muestran en la figura son gráficos de

,

y

a. i. ii.

Halle las coordenadas del punto Q Muestre que la recta que pasa por los puntos P y Q es tangente a en el punto Q

b. i. ii.

Halle las coordenadas del punto P con una aproximación de 4 cifras significativas.

A partir de lo anterior, escriba una expresión para el área de la región sombreada y posteriormente halle el área.

16. Halle el área de la región limitada por las gráficas de

;

17. Determina el área de la región limitada por las gráficas de las funciones

e y

18. En el año 2000, se realizó un investigación por el Ministerio de Energía y Minas. Los asesores del ministro de la cartera, expertos en temas de energía, concluyeron que si se implantara la Ley para la Conservación de la Energía en 2001, el consumo nacional de petróleo del país durante los siguientes 5 años aumentaría de acuerdo con el modelo:

donde se miden en años ( corresponde al año 2001) y se mide en millones de barriles por año, sin embargo, si el gobierno no imponía medidas de conservación de la energía, la tasa esperada de aumento de consumo de petróleo en millones de barriles por año estaría dada por:

Con estos modelos matemáticos, determine la cantidad de petróleo que se habría ahorrado de 2001 a 2006 de haberse implantado la ley.

COAR LAMBAYEQUE INTEGRALES DEFINIDAS CON MOVIMIENTO LINEAL Y OTROS PROBLEMAS Cada una de las preguntas 1 a 3 da una función desplazamiento y un intervalo de tiempo, donde t se mide en segundos y s en metros. a. Halle la velocidad de la partícula en el tiempo t b. Dibuje un diagrama de movimiento para la partícula. c. Escriba integrales denidas, para hallar el cambio de desplazamiento de la partícula y la distancia total recorrida en el intervalo de tiempo dado.

Use la CPG para evaluar las integrales y luego use un diagrama de movimiento para verificar los resultados.

1.

2.

3.

4.

−1

La función velocidad v , en ms , de una partícula que se mueve a lo largo de una línea se muestra en la figura.

Halle el cambio de desplazamiento de la partícula y la distancia total recorrida en cada uno de los siguientes intervalos. a. b. c.

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 5.

−1 La velocidad , en ms , de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta está dada por , donde es el tiempo en segundos. a. Halle la aceleración de la partícula en b. El desplazamiento inicial de la partícula es de 12 metros. Halle una expresión para el desplazamiento, en función de c. Halle la distancia recorrida entre los 2 y los 8 segundos.

6.

−1 La función velocidad, , en ms , de una partícula que se mueve a lo largo de una línea se muestra en el gráfico. a. Halle la aceleración cuando b. Escriba el intervalo de tiempo en el cual la partícula se mueve a la derecha. c. Halle la distancia total recorrida en

Escriba una expresión que contenga una integral definida que pueda ser usada para contestar estas preguntas. Use una CPG para evaluar la expresión.

7. La tasa de consumo de petróleo en un determinado país desde enero 1, 2000 a enero 1, 2010 (en billones de barriles por año) se modeliza mediante la función , donde es el número de años desde enero 1, 2000.

Halle el consumo total de petróleo en el período de 10 años.

8.

El número de espectadores que entran a un estadio por hora para un partido de fútbol se modeliza mediante la func para . La función se mide en personas por hora. No hay espectadores en el estadio cuando se abren las puertas a las horas. El juego comienza a la hora horas. ¿Cuántos espectadores hay en el estadio cuando el juego comienza?

9.

A la medianoche hay 36,5 centímetros cúbicos de nieve acumulados en la entrada para automóviles de una casa. Desde la medianoche hasta las 8 de la mañana la nieve se acumula a una razón que se puede modelizar mediante la función 3 , donde se mide en horas y en cm por hora. ¿Cuántos centímetros cúbicos de nieve se han acumulado a las 8 de la mañana?

10. El agua comienza a salir de un tanque que contiene 4000 galones. La velocidad a la que fluye, medida en galones por minuto, se puede modelizar mediante la función

¿Cuánta agua hay en el tanque después de 20

minutos?

BIBLIOGRAFÍA •

Haeussler, E; Paul, R; Wood, R. (2008).

Pearson; México

•

Loa, Gabriel (2013). Cálculo Integral; Grupo Editorial Megabyte; Lima

Matemática para administración y economía; decimosegunda edición; Ed.