COAR LAMBAYEQUE MATEMÁTICAS NM Estudiante…………………………………………………………………………………………………………….…………………5to Secundaria
VOLUMEN DE SÓLIDO EN REVOLUCIÓN
Figura 1
Figura 3
Figura 2
Un sólido de revolución se genera mediante la rotación de una figura plana alrededor de un eje de rotación. Consideremos un rectángulo perpendicular al eje (figura 1). Imaginemos que el rectángulo se rota 360° alrededor del eje (figura 2). El sólido que se forma se denomina disco (figura 3). El disco es un cuerpo cilíndrico. INVESTIGACIÓN Considere el triángulo formado por la recta y el eje , entre y . 1. Copie y complete la tabla con las dimensiones y los volúmenes de los discos generados cuando los rectángulos que se muestran en la última figura se rotan 360° alrededor del eje . La última fila en la tabla ya ha sido completada. Intervalo
Radio
Altura
Volumen
f (6)=3
6−5=1
π (3 )(1)≈28 , 27
0⩽ x<1 1⩽x<2 2⩽x<3 3⩽x <4 4⩽ x<5 5⩽x <6 2. 3. 4.
2
Halle la suma de los volúmenes de los 6 discos de la pregunta 1. ¿Es esta suma mayor o menor que el volumen exacto del sólido generado por la rotación del triángulo alrededor del eje ? Escriba una integral definida que crea pueda usarse para hallar el volumen exacto del sólido de revolución generado cuando el triángulo rota alrededor del eje ? Cuando el triángulo rota alrededor del eje , el sólido que se genera es un cono. Use una fórmula geométrica para hallar el volumen del cono y compárelo con el valor de la integral definida que obtuvo en la pregunta 3.
es continua en y la región delimitada por y el eje , → Si entre y , se rota 360° alrededor del eje , entonces el volumen del sólido generado está dado por: o
COAR LAMBAYEQUE Radio del disco (altura del rectángulo representativo) = Altura del disco (ancho del rectángulo representativo) = Volumen del disco = La suma de los volúmenes de un número infinito de discos desde
hasta
y el
volumen exacto del sólido
DIVERTICOAR 1 Use la integral definida para hallar el volumen del sólido generado cuando la región delimitada por las curvas dadas se rota 360° alrededor del eje . 1.
y el eje
2.
entre
y
y el eje
3.
y el eje
4.
y el eje
5.
y el eje
entre
entre
entre
y
y y
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 6. El diagrama muestra parte del gráfico de . La región sombreada, entre el gráfico de y el eje , desde hasta , se rota 360° alrededor del eje a. Escriba una integral definida que represente el volumen del sólido generado. b. Este volumen es igual a . Halle el valor de
7.
La región sombreada en el diagrama está delimitada por
y
el eje . la región sombreada se rota 360° alrededor del eje . a. Escriba una integral definida que represente el volumen del sólido generado. b. El volumen del sólido generado es . Halle el valor de
8.
9.
Halle el volumen del sólido generado cuando la región delimitada por y el eje se rota 360° alrededor del eje Sea
, para
a.
Halla
b.
Parte de la gráfica de diagrama
10. a.
Halla
b.
Parte de la gráfica de , para se muestra a continuación. La región sombreada R está encerrada por la gráfica de , la línea y el eje
se muestra en el siguiente
La región sombreada R está encerrada por la gráfica de , el eje y las líneas , . Halla el volumen del sólido generado cuando R gira 360° alrededor del eje
La región R, gira 360° alrededor del eje . Halla el volumen del sólido formado.