Visión Empresarial #34

visi n e m p r e s a r i a l

revista de la Escuela de Ciencias Económicas y Empresariales Año 7 • No. 34 • 2011

Cálculo con calculadora

¿La solución?

José Cruz Ramos Báez

• Una estrategia didáctica para el aprendizaje de la estadística Adriana Nieto

• Excel como herramienta para desarrollar competencias empresariales, matemáticas y tecnológicas Daniela Noguez Enríquez

• ¡Y todo esto por el polen!

Vinicio Pérez Fonseca

visi n e m p r e s a r i a l

Escuela de Ciencias Económicas y Empresariales Directorio

Estimados lectores: En la actualidad vivimos una etapa de grandes avances tecnológicos que no sólo modificaron radicalmente el actuar diario de las personas, sino que permearon hasta la base misma del conocimiento, tanto en la forma de aprender como de enseñar.

Esto desencadena en los docentes la necesidad de realizar actividades que los lleven a renovarse y encontrar nuevas formas de trabajar.

En la Escuela de Empresariales avanzamos en este sentido gracias a nuestra Academia de Matemáticas, que organizó en noviembre pasado el “Encuentro de Matemáticas Empresariales 2010” en conjunto con otras universidades. Los artículos presentados en este número son resultado de ese esfuerzo; espero que sean de gran interés y por qué no, también de utilidad.

Eduardo López Chávez Coordinador de la revista Visión Empresarial

Responsable de esta publicación: Eduardo López Chávez elopez@up.edu.mx Tel: 5482 1600 ext. 5454 Diseño y cuidado de la edición: revista .

Dirección General

Antonio Castro D’Franchis

Secretaría Académica Francisco A. Loría García de Acevedo

Jefe del Área de Administración y Dirección Jorge Huerta Bleck

Dirección de Administración y Finanzas Eulalio González Anta

Jefe del Área de Control e Información Directiva Miriam Paniagua Pinto

Dirección de Administración y Recursos Humanos Ma. Luisa Pimentel Zamudio

Jefe del Área de Economía Gabriel Pérez del Peral

Dirección de Administración y Mercadotecnia Mario Luis Cortés Mencia Dirección de Administración y Negocios Internacionales César H. Herrera Castillo Dirección de Contaduría Dirección de Administración y Dirección Jorge Huerta Bleck

Jefe del Área de Finanzas Eulalio González Anta Jefe del Área de Mercadotecnia Mario Luis Cortés Mencia Jefe del Área de Negocios César H. Herrera Castillo Jefe del Área de Matemáticas José Cruz Ramos Báez

Dirección de Economía Gabriel Pérez del Peral

Jefe del Área de Computación Edmundo Marroquín Tovar

Dirección de Posgrados y Extensión Universitaria Pedro Salicrup Río de la Loza

Jefe del Área de Derecho Juan G. Araque Contreras

Secretaría de Asuntos Estudiantiles Ma. de los Milagros Avelar Soltero

Jefe del Área de Humanidades Ma. de los Milagros Avelar Soltero

Secretaría Administrativa Alma Rosa Lima Álvarez

Jefe del Área de Recursos Humanos Ma. Luisa Pimentel Zamudio

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Cálculo con calculadora ¿La solución?

José Cruz Ramos Báez

Jefe de la Academia de Matemáticas de la ECEE El siglo XXI trajo consigo el cambio en la tecnología y sobre todo en la rapidez de sus cálculos y desarrollos. Ello implica más preparación de los profesores universitarios para aprovechar estos medios en el aula, mejorando la preparación de la clase y buscando técnicas para el mejor aprovechamiento de los alumnos de acuerdo a la materia que se imparte. Este artículo muestra que al utilizar calculadoras en las materias de Cálculo se incrementa el aprovechamiento de los jóvenes.

Antecedentes

La Academia de Matemáticas ha desarrollado trabajos con el fin de mejorar el binomio enseñanza-aprendizaje; el proyecto MaTic, puesto en marcha en 2007, ha rendido sus frutos.

Desde un inicio se consideró el uso de calculadora para encontrar los resultados a ecuaciones obtenidas por problemas. En el área empresarial para el alumno promedio es complicado resolver dichas ecuaciones, la solución a este problema es usar una calculadora ya que el objetivo principal de un alumno del área empresarial es interpretar correctamente dichos resultados, así lo importante para un alumno de dicha área es saber cómo llegar a la solución pero no ser el experto en encontrar el resultado, nos enfocamos al desarrollo de sus habilidades lógico matemáticas y con ello hacer a un lado la habilidad o destreza para el álgebra.

Consideraciones

La calculadora es una herramienta que, además de ahorrar a todos tiempo, esfuerzo y riesgos de

error, ayuda, a no pocos estudiantes, a superar dificultades básicas en Matemáticas: ciertas manipulaciones simbólicas, experiencias de fracasos por los cálculos, ocasiones de retraso, error y aun ridículo. La calculadora es –debe ser– una buena compañera que ayude a los más débiles en su debilidad, y a los más hábiles en sus afanes de adentrarse por campos de abstracción, libres de los lastres de la rutina.

Hay que aprender a obtener de la calculadora el máximo rendimiento o lo que es lo mismo: saber aplicar la forma de cálculo más útil, en función de la situación a resolver. Es decir: advertir (¡huir!) de la concepción y empleo de la calculadora como instrumento único o primordial, con riesgo de convertirse en señora y dueña de nuestras destrezas de cálculo –hasta el extremo de anularlas– para considerarla como instrumento estrictamente auxiliar, sometido a nuestra capacidad de control de los procesos y situaciones. Tenemos que llegar a conseguir que el escolar decida cuándo conviene usarla y cuándo no hace falta, por lo tanto, no se debe tener escondida, sino accesible y provocar su uso.

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Las matemáticas constituyen una ciencia estrechamente vinculada con los avances tecnológicos –que son parte esencial de este progreso– por lo que resulta especialmente importante analizar el papel que desempeña este tipo de instrumentos en la formación matemática de los estudiantes.

Proyectos de estudio

Proyecto del Instituto Tecnológico de Los Mochis, Sinaloa Estos son los resultados reportados en las Memorias del Seminario Nacional de Calculadoras y Computadoras en Educación Matemática, 1997 págs 137-143.

Objetivo: Impartir el curso de Cálculo a los estudiantes de nivel licenciatura, utilizando como recurso didáctico fundamental, la calculadora Voyage 200 de Texas Instruments. Será necesario elaborar un cuaderno de trabajo donde la exploración, simulación y programación serán elementos indispensables para trabajar. De esta manera se ofrecerá al estudiante una forma más actualizada y amena de desarrollar su aprendizaje, que se reflejará en la calidad de su trabajo, en la interrelación maestro-alumno y en el apro-

vechamiento final del curso. Todo esto emanará un estilo de trabajo más sistemático y acorde a las exigencias actuales del ambiente laboral y de la sociedad.

Se aplicaron un par de exámenes con la finalidad de contrastar resultados. En uno de ellos se utilizó la calculadora TI 92 y en el otro no se utilizó. Con el fin de observar la viabilidad de la propuesta del uso de las nuevas tecnologías digitales para que, de acuerdo con la mentalidad de las nuevas generaciones y con la versatilidad de los equipos disponibles en el mercado, se puedan lograr los aprendizajes requeridos en el curso correspondiente y se tenga la facilidad de sacar más provecho en los aspectos: lógico, conceptual y procedimental. El alumno tiene la oportunidad de experimentar y comprobar con la tecnología, los múltiples casos que se puedan considerar para cada tema.

En el examen con calculadora se contemplaron los aspectos de tipo conceptual (color azul); los de tipo lógico (color verde) y los de tipo procedimental (color rojo). Ver figura 1.

El examen sin calculadora, cuyos resultados se muestran en la gráfica de barras de la figura 2, se diseñó con las mismas características que el examen con calculadora.

Resultado del examen con calculadora

Frecuencia de aciertos

45 25 5 -15 1

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16

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Cuestionamientos

Figura 1

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Resultado del examen sin calculadora

Número de aciertos

45 25 5 -15

1

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Cuestionamientos Figura 2 Se obtuvieron respuestas favorables por parte de los estudiantes, para trabajar utilizando la calculadora TI 92, tanto en la aceptación de la propuesta didáctica como en su aprovechamiento. 88.63 % de alumnos aprobaron.

Proyecto MaTic: una experiencia en el uso de las Tics Presentado en el Congreso de Investigación de Academia Journals.com, Boca del Río, Veracruz, México, 2009.

De acuerdo al National Institute of Statistical Sciences (1999), son ocho las competencias en matemáticas: 1. Pensar y razonar 2. Argumentar 3. Comunicar 4. Modelar 5. Plantear y resolver problemas 6. Representar 7. Utilizar lenguaje y operaciones simbólicas, formales y técnicas 8. Utilizar ayudas y herramientas (Tics) Estos ocho puntos deben incluirse en la currícula de los programas, dando como resultado mejoras en las matrices de habilidades y

actitudes –que cada materia debe incluir en sus programas, punto de partida para determinar el plan general; posteriormente, revisar los objetivos en los programas de estudio que estén acordes a las mismas.

Los resultados estadísticos de las evaluaciones al final de los ciclos 2007 y 2008 se encuentran en los cuadros 1 y 2.

Resultados finales al concluir el ciclo 2007 Número de alumnos Alumnos que presentaron Promedio general Alumnos aprobados Alumnos reprobados

333 325 78.8 299 (92%) 26 (8%)

Resultados finales al concluir el ciclo 2008 Número de alumnos Alumnos que presentaron Promedio general Alumnos aprobados Alumnos reprobados

363 354 73.4 315 (88.98%) 39 (11.02%)

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En ambos proyectos fue necesario hacer materiales acordes a los objetivos que se deseaban.

Conclusión

Diversos investigadores y organizaciones de educación matemática (Waits B. y Demana F., 2000, Kutzler B. 1999, Pomerantz 1997, Cedillo T. 2001, NCTM, 2000) reconocen que un uso apropiado de las calculadoras en la enseñanza de las matemáticas puede ser de gran ayuda en la comprensión de conceptos matemáticos. La NCTM (National Council Teachers of Mathematics), una asociación de profesores de matemáticas en los Estados Unidos que tiene un reconocido prestigio en la educación matemática, identifica –en el documento Principles and Standards for School Mathematics (2000)– al uso de la tecnología como un principio que le debe dar soporte a las propuestas curriculares.

En países desarrollados se ha trabajado con esta herramienta desde hace años; en el nuestro, cada vez se toma más conciencia acerca de su utilidad, prueba de ello son los proyectos en nivel de enseñanza secundaria denominados EMAT (Educación Matemática con Tecnología) y EFIT (Enseñanza de la Física con Tecnología), que son auspiciados por la Secretaría de Educación Pública y en los que participan, en la etapa piloto, cientos de secundarias en diversos estados del país. El propósito de estos proyectos es mostrar la viabilidad de mejorar la calidad de la enseñanza de las matemáticas y las ciencias en la escuela secundaria introduciendo los medios informáticos a las prácticas escolares.

Pomerantz (1997) señala que existen muchos mitos acerca del uso de las calculadoras en la clase de matemáticas: que los estudiantes pierden habilidades al usar las calculadoras, que éstas hacen todo el trabajo y hacen a los usuarios dependientes de ellas. Considera que estos mitos retrasan la inevitable implementación de la tecnología en los salones de clase y ponen a los estudiantes en desventaja en un mundo presidido por la tecnología. Es necesario que estos mitos sean redimensionados ya que las calcula-

doras pueden ser apropiadamente incorporadas en el currículo de matemáticas desde preescolar hasta universidad.

Observando nuevamente los resultados de los proyectos, es relevante el apoyo a los alumnos quienes no consideran estar por debajo de aquellos que no utilizan calculadora; en cambio, demuestran una mejor actitud a aumentar el nivel en temas de matemáticas y esperan el momento en que se les enseñe el uso de la herramienta.

La educación en valores no es menos importante para el desarrollo del individuo que la adquisición de saberes y destrezas. Ciencia, tecnología y valores (saber, hacer y juzgar) son, por tanto, elementos básicos de la propia definición de educación en nuestros tiempos. Sin embargo, más allá de los acuerdos en los grandes principios, no está claro que esas esferas de lo fáctico y lo axiológico, del ser y del deber ser, hayan sido siempre consideradas como complementarias en educación. Es posible, incluso, que la conocida denuncia de SNOW sobre la escisión de las llamadas dos culturas tuviera especialmente sentido en las propias instituciones escolares. En este texto se pretende defender la conveniencia de superar las fronteras entre lo fáctico y lo valorativo tendiendo puentes entre dos tradiciones que tienen en los últimos años una notable presencia entre los discursos de renovación pedagógica: el movimiento CTS (Ciencia, Tecnología y Sociedad) y la llamada educación en valores.

Referencias bibliográficas pérez Jiménez, Antonio. Algoritmos en la enseñanza y el aprendizaje de la matemáticas, UNION rev. Iberoamericana de educación matemática, Marzo 2005 No 1, págs. 37-44.

“De números al álgebra mediante el uso de calculadora. Enseñanza de las matemáticas con tecnología”, SEP-ILCE, 2002. http://www.efit-emat.dgme.sep. gob.mx/emat/ematlibros.htm Cruz Ramos Báez, José. Pérez Fonseca, Vinicio. “Proyecto MaTic: una experiencia en el uso de las Tics”, Congreso de Investigación de Academia Journals.com.

Boca del Río, Veracruz, México, 2009.

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Rodríguez, Jesús Rodolfo. Flores López, Luis Felipe. “Una propuesta didáctica para el cálculo usando calculadoras Voyage 200”, Memorias del Seminario Nacional de Calculadoras y Computadoras en Educación Matemática, 1997, págs. 137-143. http://semana. mat.uson.mx/MemoriasXIV/RodriguezJR.pdf Fernández Del Campo, José Enrique. Cálculo por calculadora, primera edición, Organización Nacional de Ciegos Españoles (ONCE). Madrid, 2004.

Waits, B. y Demana, F. (2000). Calculators in Mathematics Teaching and Learning, Past, Present and Future.

De Guzmán, Miguel, “Enseñanza de las ciencias y la matemática”, Organización de Estados Iberoamericanos OEI para la Educación, la Ciencia y la Cultura, 2005.

Edel Navarro, Rubén. “Factores asociados al rendimiento académico”, Revista Iberoamericana de educación, 2004.

Inzunza Cázares, Santiago. “La calculadora algebraica: una herramienta didáctica para la enseñanza de las matemáticas en el bachillerato”, Centro de Ciencias de Sinaloa, 2007.

Goldenberg, Paul. “Pensando (y hablando) sobre tecnología en la clase de matemáticas”, Centro para el Desarrollo de la Educación, EDUTEKA: 6 septiembre de 2003.

Waits, B. y Demana, F. (2000). “El papel de la computadora portátil en el álgebra simbólica en la educación matemática del siglo XXI: un llamado para la acción”, documento presentado por invitación y presentación en la Conferencia de Tecnología de los Standards 2000, patrocinada por NCTM el 5-6 de junio de 1998 en Washington D. C. Kutzler, B. (1999). The Algebraic Calculator as a Pedagogical Tool for Teaching Mathematics. Investigating with information technologies. Australian Association of Mathematics Virtual Conference.

Pomerantz, H. (1997). The Role of Calculators in Mathematics Education. Document prepared for the Urban Systematic Initiative/Comprehensive Partnership for Mathematics and Science Achievement. Dallas, Texas.

Cedillo, T. (2001). “La calculadora en la clase de Matemáticas: implicaciones hacia la eseñanza”, Conferencia Internacional sobre uso de Tecnología en la Enseñanza de las Matemáticas. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Morelia, Michoacán, México.

Inzunza, S. (2001). “Enseñando Estadística mediante la calculadora TI-92”, Conferencia Internacional sobre uso de Tecnología en la Enseñanza de las Matemáticas. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Morelia, Michoacán, México.

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Una estrategia didáctica para el aprendizaje de la estadística Adriana Nieto

Profesora de asignatura Academia de Matemáticas de la ECEE

En nuestros días la Matemática y la Estadística –como ciencia con base matemática que busca explicar condiciones regulares en fenómenos de tipo aleatorio– constituyen una de las áreas más importantes del currículum escolar tanto en el nivel básico, como en el medio y superior, por su carácter formativo. Desarrollan la capacidad de pensamiento y reflexión lógica, por su carácter funcional, esto es de aplicación a problemas y situaciones de la vida diaria; y como comenta Ferrero de Pablo, por su papel instrumental como formalización del conocimiento de otras materias.

Por su parte, la Estadística cobra importancia por su amplia aplicación en las diversas disciplinas, desde las ciencias de la salud hasta las ciencias sociales, el control de calidad y la toma de decisiones en áreas de negocios o instituciones gubernamentales.

Ahora bien, si la Matemática y la Estadística son áreas tan importantes para la formación ¿por qué la generalidad de los estudiantes se muestra apática hacia su aprendizaje?

El informe Cockcroft (1985) apartado No. 342 presenta un estudio completo acerca de la enseñanza de la Matemática y expone varias razones por las cuales se define como una asignatura “difícil de enseñar y difícil de aprender”:

• La excesiva abstracción de los contenidos. Es una materia jerarquizada, esto es, la comprensión de cualquier cuestión depende en gran medida de la comprensión previa de otras cuestiones.

• La metodología de la enseñanza. Las Matemáticas se enseñan por apartados, sin interacción entre los distintos contenidos, ni conexión con otras ciencias y mucho menos con la vida.

• Se favorece una enseñanza mecanicista en donde el desarrollo del pensamiento no tiene cabida.

• La rigidez se induce al usar un libro de texto; los profesores siguen los libros al pie de la letra, pues son los únicos instrumentos que les dan seguridad.

• La gran diversidad de rendimiento y ritmo de aprendizaje entre los educandos es también un factor importante.

En las instituciones educativas, sobre todo de nivel superior, la preocupación fundamental es identificar las dificultades que tienen los estudiantes en el área y los errores que se cometen en la enseñanza de la Estadística al hacer uso de la teoría de probabilidad y otras ramas de la Matemática como Álgebra Lineal y Análisis Matemático, para ello se diseñan actividades didácticas adecuadas a fin de superar estas dificul-

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tades, tomando en cuenta las teorías existentes en el área. (Batanero, 2001).

A nivel mundial, la enseñanza de la Estadística ha cobrado gran desarrollo en los últimos años en la formación general del ciudadano. Algunos países como España, Inglaterra, Italia y Estados Unidos han dedicado grandes esfuerzos a diseñar currículos y materiales específicos, aparte de una intensa preparación de los profesores, como menciona Batanero (2001), para permitirles abordar con éxito los objetivos educativos correspondientes. Muchos profesores precisan incrementar su conocimiento, no sólo sobre la materia, sino también sobre los aspectos didácticos del tema. Esta preparación incluye también el conocimiento de las dificultades y errores que los alumnos encuentran en el aprendizaje de la Estadística.

La didáctica de la Estadística está centrada en la Escuela Española dirigida por Carmen Batanero (2001) en la Universidad de Granada, en algunos representantes de Estados Unidos como Shaughnessy (1992) y también en Mouse J., Bouhuijs P. y Schmidt H. (2001). Ellos sostienen que abordar el problema del aprendizaje en la situación escolar no es algo trivial sino complicado debido a la diversidad de factores psicológicos, cognitivos, sociales y más que se ven involucrados, requiriendo del método científico para ser abordado. Se ha dado una multitud de resultados, aún con todo, las aportaciones siguen siendo incipientes y requieren mucha más investigación.

Definir la mejor forma de enseñar es fundamental en el aprendizaje de la Estadística; los expertos consideran que los procesos de enseñanza y de aprendizaje deben desarrollarse mediante un trabajo en equipo entre el docente y el estudiante, en que el alumno, sujeto activo, debe estar comprometido con la construcción del conocimiento y el docente debe orientarlo hacia el logro de esa construcción.

Aunado a esto, los estudiantes deben hacer uso de los paquetes de computación, trabajar con datos de la vida cotidiana, analizar críticamente los

resultados obtenidos y comunicarlos eficazmente por escrito y oralmente. La Estadística debe ser, como comenta Bee (2002), aprendida vía el ‘hacer’, ‘escribir’ y ‘hablar’. El docente debe estimular a sus estudiantes enriqueciendo los conceptos básicos que ya poseen para aumentar su complejidad con analogías o anécdotas.

Una metodología considerada actualmente la más conveniente para aprender Estadística es la resolución de problemas, ya que se considera que una situación problemática genera contenidos relevantes y duraderos. Permite a los estudiantes conceptualizar, generalizar y utilizar información basada en sus investigaciones para modelar situaciones de problemas complejos, en los cuales reflexionan sobre sus acciones y comunican sus interpretaciones.

El Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) es considerado una estrategia instruccional del modelo constructivista de aprendizaje que pretende cambiar la instrucción didáctica tradicional a un enfoque de aprendizaje centrado en el estudiante.

Además, reta a los estudiantes a desarrollar la habilidad de pensar en forma crítica, a analizar problemas y a encontrar y utilizar recursos adecuados para el aprendizaje. Es un camino para un mejor aprendizaje, llevando a los estudiantes a aprender a aprender. (Batanero, 2001).

La estrategia del ABP pretende fomentar el desarrollo de habilidades para la solución de problemas y adquirir información por medio del aprendizaje autodirigido. Los problemas forman un enfoque organizador y proporcionan estímulos para el aprendizaje centrado en el estudiante, trabajando de manera cooperativa en grupos pequeños (equipos) y teniendo como guía al docente.

El aprendizaje se lleva a cabo mediante el siguiente proceso tipo aplicado a grupos de 20 estudiantes máximo, organizados en equipos de trabajo de aproximadamente cinco estudiantes que se reúnen con el apoyo de un tutor a analizar y resolver un problema seleccionado o diseñado especialmente para el logro de ciertos objetivos de aprendizaje:

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Paso 1. Presentación del problema. Se presentará un problema al inicio de la clase o durante la clase anterior, con una pequeña exposición por parte del educador, aclarando los objetivos de aprendizaje y analizando el escenario en discusión grupal. En esa misma sesión los grupos de trabajo elaborarán una lista de preguntas acerca de lo que se requiere saber para enfrentar y resolver el problema, identificando los temas clave del mismo y designando funciones y tareas a los integrantes del equipo para la siguiente sesión.

Paso 2. Listado de necesidades. En la siguiente sesión, se identificará la información recopilada de distintas fuentes por parte de cada integrante del grupo al respecto, analizándola y replanteando la necesidad de tener más información para proceder a su búsqueda. Los temas toman profundidad y relevancia en la medida en que los miembros del grupo participan y comparten la información.

Paso 3. Elaboración de un esquema de trabajo. Hacer un esquema de trabajo contemplando posibles acciones para cubrir las necesidades de conocimiento previamente identificadas, señalando recomendaciones, soluciones o hipótesis. Se genera un proceso de discusión con todo el grupo y continúa el trabajo al interior de los equipos hasta llegar a una posible solución al problema planteado.

Paso 4. Presentación y soporte de solución. Plantear los resultados haciendo un reporte con recomendaciones, estimaciones sobre los resultados, inferencias sobre el problema, basándose en los datos obtenidos y en los antecedentes.

A lo largo de todo el proceso se deberá evaluar el progreso en intervalos regulares de tiempo, como una forma de retroalimentación, de tal manera que sirva como estímulo a la mejora y desarrollo del proceso. La retroalimentación se debe ejecutar en tres dimensiones:

• La relación del grupo con el contenido de aprendizaje

• La relación de los miembros dentro del grupo • La relación de los miembros con el tutor del grupo En lo que respecta a la evaluación del compañero, la autoevaluación y la evaluación al tutor, se pueden utilizar guías con categorías de evaluación (rúbricas). Estos son formatos que se utilizan para evaluar y retroalimentar el desempeño de los alumnos por sus propios compañeros, el autodesempeño, así como el desempeño del tutor como facilitador.

El procedimiento antes descrito, puede desarrollarse, por ejemplo, con un caso de estudio, como el que se presenta a continuación, con el cual se desea abordar la temática denominada “Distribución de probabilidad para variables aleatorias discretas”, dentro de la asignatura de Estadística Descriptiva.

El procedimiento del ABP inicia con la presentación ante el grupo del caso de estudio, aclarando que el objetivo de aprendizaje se logrará dando respuesta a la pregunta planteada en el artículo, basándose en la teoría de probabilidad para la distribución de variables aleatorias discretas. Los estudiantes identificarán los temas clave del mismo, se designarán funciones y tareas a cada uno de los integrantes del equipo, mediante un esquema de trabajo.

En la siguiente sesión, tras la recopilación de información de diferentes fuentes, se realizará un análisis de la misma y se plantearán los posibles resultados, o bien se hará evidente la necesidad de tener más información para proceder a su búsqueda hasta llegar a una conclusión que proporcione una respuesta al cuestionamiento planteado. Los estudiantes lograrán identificar una posible solución a este problema, que podríamos definir como una distribución en la que, se tienen n=14 casos, de los cuales x=13 nacimientos de niñas, para una probabilidad binomial de p=0.50; resultaría: P(x=13)=14 C13(0.5)13(0.5)14-13=0.00085=0.09%

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Nos indica que la probabilidad de que 13 de 14 parejas procreen niñas, simplemente por azar es de 0.9%, es decir, muy poco probable, lo que nos hace pensar en que la técnica de Microsort es EFECTIVA. Así los estudiantes podrían plantear sus resultados haciendo un reporte con recomendaciones, estimaciones sobre los resultados, inferencias sobre el problema, basándose en los datos obtenidos y en los antecedentes. De esta forma, mediante el trabajo activo, los estudiantes, independientes y con autodirección en su aprendizaje y orientados a la solución de un problema contextualizado en su área de estudio, adquirirán aprendizajes diversos, tanto de conocimientos propios del curso de Estadística, como de la integración de conocimientos, habilidades y actitudes, tales como experimentar, observar, comprender y aplicar conceptos, hallar relaciones, crear modelos, razonar, interpretar datos, explicar, hallar conclusiones argumentadas y tomar decisiones en nuevas situaciones.

Es importante mencionar que el ABP implica cambios en las circunstancias educativas como los roles del educador y los educandos y la actitud de los estudiantes; estos cambios suelen generar ciertas implicaciones: la modificación curricular, el requerimiento de mayor tiempo para el logro de los objetivos de aprendizaje,

cambio en los roles y funciones del profesor e incremento en los costos debido a la atención personalizada.

Con el ABP no se pretende resolver totalmente la problemática de los estudiantes en relación con su aprendizaje de las matemáticas; se trata de una alternativa didáctica, una forma de trabajo que puede ser usada por el docente en una parte de su curso, combinada con otras técnicas y estrategias, con el propósito de mejorar los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la Estadística. Así, se busca encausar al estudiante hacia la construcción de un pensamiento flexible respecto a la aplicación de técnicas, métodos y conceptos relacionados a escenarios con incertidumbre en problemas del mundo real de manera total y competente.

Referencias Batanero, Carmen. Didáctica de la estadística. España.

Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada, (2001).

Bee, Estela. Las Jornadas Interamericanas sobre la Enseñanza de la Estadística organizadas por IASI. Ottawa.

Canadá, (2002).

Cockcroft, W. Las Matemáticas sí cuentan. Madrid. Ministerio de Educación y Ciencia, (1985).

Ferrero de Pablo, Luis. Enciclopedia de Pedagogía. Universidad Camilo José Cela. Tomo 3. España. Espasa. (2002).

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Excel como herramienta para desarrollar competencias empresariales, matemáticas y tecnológicas Daniela Noguez Enríquez

Profesora de tiempo completo Academia de Informática de la ECEE

Introducción

Los estudiosos de la educación se han dedicado a analizar y buscar la transformación de la educación con miras a formar estudiantes capaces de ser magnos profesionistas y de brindar un mejor desarrollo social y laboral.

La educación basada en competencias permite modificar estructuralmente los cimientos de la educación en nuestro país, aún no sabemos con certeza si el cambio nos favorecerá del todo, puesto que cada país tiene una realidad educativa totalmente diferente.

Sin embargo la educación por competencias brinda un entorno innovador que permite aportar un cambio educativo; partiendo de la base de que cada individuo cuenta con talentos individuales capaces de potencializarse.

Con todo por delante, la educación superior, ha tenido que adaptarse o reinventarse ante los cambios tanto educativos como tecnológicos, ante la globalización y ante diferentes panoramas políticos y económicos.

Por eso debemos adaptar y no adoptar la educación por competencias y aplicar la tecnología a nuestro favor, tomando los elementos que nos brinden lo mejor de sí para desarrollar a estudiantes universitarios talentosos y profesionistas.

En el presente documento hablaremos sobre dos competencias profesionistas importantes, las competencias sobre matemáticas y tecnología vinculadas al uso de Excel.

El concepto de competencia

De manera integral considera las capacidades por medio de una combinación dinámica de atributos que juntos permiten un desempeño competente como parte del producto final de un proceso educativo que enlaza con el trabajo realizado en educación superior.

Las competencias se entienden como conocer y comprender (conocimiento teórico de un campo académico, la capacidad de conocer y comprender), saber cómo actuar (la aplicación práctica y operativa del conocimiento a ciertas situaciones) saber cómo ser (los valores como parte integrante de la forma de percibir a los demás y vivir en un contexto social). También representan una combinación de atributos (con respecto al conocimiento y sus aplicaciones, aptitudes, destrezas y responsabilidades) que describen el nivel o grado de suficiencia con que una persona es capaz de desempeñarlos.1 Entonces una persona pone en práctica determinadas competencias para desempeñar una labor y que pueda hacerlo de un modo que permita evaluar su desempeño.

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Las competencias se pueden valorar y desarrollar, es decir, las personas no poseen o carecen de una competencia en términos absolutos, sino que la dominan en diferentes grados, de ahí que se puedan colocar las competencias en un camino continuo y desarrollarse mediante el ejercicio y la educación.

Competencias matemáticas y tecnológicas empresariales

Ahora bien, observemos la siguiente información sobre las competencias matemáticas y tecnológicas, extraídas de la matriz de competencias empresariales comunes para un profesionista:2 Pensamiento crítico • Identificar los problemas administrativos y aplicar soluciones creativas • Identificar, analizar y evaluar los componentes de problemas complejos Razonamiento cualitativo • Aplicar los métodos de resolución de problemas • Presentar la solución matemática a través de la computadora • Razonamiento matemático

Desarrollo en tecnología de infomación • Identificar el problema • Demostrar familiaridad con la tecnología • Demostrar la habilidad de uso y aplicación del software para resolver problemas • Consultar y evaluar las fuentes Desarrollo computacional • Demostrar familiaridad en la preparación y presentación de reportes • Demostrar la habilidad, uso y aplicación del software para la solución de problemas administrativos • Saber consultar internet Excel Es un software de aplicación matemática, entendido como el conjunto de hojas de cálculo que nos permite resolver problemas, análisis, ecuaciones, escenarios etcétera, por medio de diferentes herramientas, funciones o fórmulas programadas para la resolución de problemas, preferentemente administrativos y matemáticos.

Para víncular las competencias mencionadas con la hoja de cálculo Excel, debemos encontrar los indicadores que las relacionan, el siguiente cuadro menciona la correlación que permite hacer un uso integrador de las competencias matemáticas y las tecnológicas desde un enfoque empresarial:

Desarrollo computacional

Razonamiento cualitativo • Identificar los problemas administrativos y aplicar soluciones creativas Pensamiento crítico

• Aplicar los métodos de resolución de problemas • Presentar la solución matemática a través de la computadora • Razonamiento matemático

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• Identificar el problema • Demostrar familiaridad con la tecnología • Demostrar la habilidad de uso y aplicación del software para resolver problemas Desarrollo en tecnología de información

• Demostrar familiaridad en la preparación y presentación de reportes

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Es importate resaltar el vínculo de ciertos indicadores en relación con las competencias analizadas: cuando identificamos problemas, usamos nuestro pensamiento crítico; cuando usamos la resolución de métodos de problemas, estamos razonando; el vínculo con la competencia tecnológica llega cuando realizamos la identificación e inferencia matemática y aplicamos con la habilidad tecnológica el uso del software de la hoja de cálculo, donde podemos tener una basta gama de resoluciones automáticas para nuestros diversos casos matemáticos.

Definitivamente podemos decir que el desarrollo de las competencias mencionadas nos permite abrir el horizonte y mostrar diferentes soluciones para nuestros casos matemáticos.

Conclusión

Excel es una herramienta con un potente uso matemático, pero también debemos tener claro que sin la identificación racional matemática no podríamos resolver problemas complejos o sencillos. Es preciso mencionar que Excel vincula de manera armoniosa las dos competencias analizadas, es decir, que el software nos permi-

te potencializar las competencias matemáticas y tecnológicas.

Con lo anterior concluyo que como docentes debemos identificar aquellas competencias que nos ayudan a que nuestros estudiantes universitarios aprendan de manera significativa.

Es importante dejar claros los elementos competentes de cada competencia empresarial, no solo para un mejor desempeño académico, sino para un mejor desarrollo profesional y por consiguiente una mejor calidad de vida.

Tuning, Una introducción a Tuning Educational Structures in Europe. La contribución de las universidades al proceso de Bolonia, pág.28. Documento extraído de “El proyecto Tuning” coordinado por la Universidad Deusto, España y la Universidad de Groningen, Países Bajos.

2 Hampline, Business administration competencies/ expected outcomes for the common professional component, p.1. Documento extraído de la ponencia del doctor David René Thierry García durante su participáción en el taller de Inovación Educativa de la Maestría en Educación, en la Universidad Panmericana. Julio 2010.

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¡Y todo esto por el polen!

Vinicio Pérez Fonseca

Profesor de tiempo completo Academia de Matemáticas de la ECEE

Un poco de historia: el movimiento browniano

En 1827, el botánico escocés Robert Brown (1773-1858) examinaba las partículas de polen en el microscopio y observó que cuando éstas se encontraban suspendidas en el agua se movían sin cesar de forma errática. No fue sino hasta principios del siglo XX, cuando se demostró que este movimiento irregular se debía al golpeteo constante de las moléculas invisibles del agua sobre las partículas visibles del polen.

En 1905, Albert Einstein escribió un artículo sobre la mecánica estadística que proporcionaba la formulación matemática del movimiento browniano, de la cual se desprende que la dispersión promedio del desplazamiento de la partícula, en un tiempo dado, es proporcional a dicho tiempo.

No obstante, en 1900, Louis Bachelier, abordando un problema completamente diferente al del movimiento errático de partículas, en su tesis doctoral sobre el modelado del comportamiento aleatorio de los precios de las acciones de la bolsa de París se anticipó a Einstein proporcionando un planteamiento matemático del movimiento browniano, aunque esta contribución permaneció en el anonimato durante más de sesenta años.

A partir del encuentro fortuito de Samuelson con el trabajo de Bachelier, y más recientemente, con las investigaciones de Merton, Black y Scholes; el movimiento browniano, así como sus aspectos teóricos y prácticos, han sido objeto de numerosos estudios en muchas y muy diversas áreas de las finanzas y la economía. Sin lugar a dudas, el movimiento browniano se encuentra implícita o explícitamente en casi toda la teoría financiera y económica en tiempo continuo y en ambientes estocásticos.

Definiciones importantes

El matemático Norbert Wiener proporcionó, en 1918, la definición matemática del movimiento browniano: Un proceso de Wiener o movimiento browniano Wt es un proceso continuo con las siguientes propiedades: 1. W0 = 0 2. Para todo t≥ 0, Wt ≈ N(0,t), es decir, wt es una variable normalmente distribuida con media cero y varianza t .

3.Todos los incrementos ∆Wt = Wt+∆t-Wt, son independientes, es decir, para todo 0≤t1 <t2 ≤t3 <t4 los Wt2 - Wt1 y Wt4 -Wt3 desplazamientos y son independientes.

4. Wt depende continuamente de t .

Se pueden realizar simulaciones de movimientos brownianos ya sea por medio de paquetes especializados o utilizando la hoja electrónica de cálculo.

En 1900 el matemático francés Louis Bachelier en su tesis doctoral utilizó el movimiento browniano como modelo para estudiar las variaciones en los precios de los activos; aunque, el movimiento o proceso de Wiener tiene dos importantes inconvenientes para esta aplicación.

1. Si los precios siguieran este modelo podrían tomar valores negativos.

2. El movimiento browniano verifica que para 0≤ s <t el incremento de la variable Wt–Ws≈N(0,t–s) sin considerar si s y t son grandes o pequeños, sólo cuenta su diferencia. Una hipótesis que parece poco razonable para los precios de los stocks y materias primas.

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revista de la Escuela de Ciencias Económicas y Empresariales • universidad panamericana • número 34/2011

Para evitar estas dificultades se define el Movimiento Browniano Geométrico (GBM: Geometric Brownian Motion).

Definición: Un movimiento browniano geométrico St de parámetros µ y σ y es un proceso continuo en donde para toda t y ∆t no negativos la variable aleatoria ∆St = St+∆t - St, es independiente de los valores anteriores a t y además, existen dos parámetros µ y σ tales que log St+∆t St

≈ N (µ∆t, ∆tσ2)

Ahora el logaritmo de la razón de los precios puede ser negativo pero no los precios de los activos.

Los conceptos y definiciones anteriores nos hacen reflexionar sobre la importancia de una sólida formación matemática, en las áreas de cálculo, análisis matemático y probabilidad por mencionar algunas. Lo que demuestra la importancia de dichos conocimientos en el desarrollo de las matemáticas financieras modernas.

Una vez definido el movimiento browniano y el browniano geométrico, se tienen las primeras bases para el estudio del cálculo estocástico y obtener el Lema de Itô que en términos muy sencillos nos proporciona la regla de la cadena para el cálculo estocástico (con todas las implicaciones y diferencias entre el cálculo de variable real y el cálculo estocástico).

Futuros y opciones financieras

Dos de los productos derivados más utilizados son los contratos de futuros y el contrato de opciones financieras. A continuación se presentan sus respectivas definiciones.

Un contrato de futuros es un acuerdo para comprar o vender una cantidad de un activo subyacente en una fecha futura y a un precio acordado entre las partes; para validar este compromiso se depositan garantías.

Una opción financiera da el derecho, pero no la obligación, de comprar o vender algún activo a un determinado precio (denominado precio de ejercicio o strike) a una fecha determinada de vencimiento.

Centrándonos en el caso de las opciones, lo importante consiste en determinar el precio del contrato lo cual se obtiene por medio de la fórmula de Black-Scholes (un punto importante a destacar es que calcula dicho precio de la opción cuando el modelo del valor subyacente es un movimiento Browniano Geométrico); no es parte de este artículo ahondar en el desarrollo de la fórmula para la valuación de opciones y sus adaptaciones, en este caso, se trata de resaltar el aporte histórico.

En 1973, Fisher Black y Myron Scholes publicaron su artículo “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” en el Journal of Political Economy. Black y Scholes obtuvieron una fórmula para valuar una opción europea sobre una acción que no paga dividendos, y cuyo precio es condicionado por un movimiento Browniano Geométrico. En su artículo Black y Scholes obtienen una ecuación diferencial parcial de segundo orden, parabólica y lineal, cuya solución es el precio de una opción europea cuando la condición final es el valor intrínseco de la opción.

Comentarios finales

Sin lugar a dudas, a partir del movimiento browniano las matemáticas financieras han tomado un rumbo renovado y vigoroso. La teoría de productos derivados está en constante crecimiento; y los resultados que se aplican son realmente jóvenes por decirlo de alguna forma en términos matemáticos.

La fórmula para la valuación de opciones data de 1973, han pasado únicamente treinta y siete años y los avances continúan. Tal como un compañero de clase en el curso de cálculo estocástico expresó: “¡Y todo esto por el polen!”

Bibliografía John C. Hull. Options, futures and others derivatives, Sixth Edition, Prentice Hall, 2205.

S.R. Ross. An introduction to Mathematical Finance, Cambridge University Press, 1999.

R. Seydel; Tools for Computational Finance, Third edition, Springer, 2006.

Francisco Venegas Martínez. Riesgos financieros y económicos (productos derivados y decisiones económicas bajo incertidumbre), segunda edición, Cengage Learning, 2008