الوافي في الرياضيات

‫ﻛﺘﺎب‬ ‫اﻟﻮاﻓﻲ ﻟﻠﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬ ‫ﺘﺄﻟﻴـﻑ‬

‫ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‬

‫ﻣﺪﺭﺱ ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬ Hamad70t@gmail.com

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫ﺒﺴﻡ ﺍﷲ ﺍﻟﺭﺤﻤﻥ ﺍﻟﺭﺤﻴﻡ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺼﻼﺓ ﻭﺍﻟﺴﻼﻡ ﻋﻠﻰ ﺨﺎﺘﻡ ﺍﻷﻨﺒﻴﺎﺀ ﻭﺍﻟﻤﺭﺴﻠﻴﻥ؛ ﻨﺒﻴﻨﺎ ﻤﺤﻤﺩ ﻋﻠﻴﻪ ﻭﻋﻠﻰ ﺁﻟـﻪ ﻭﺼـﺤﺒﻪ‬ ‫ﺃﻓﻀل ﺍﻟﺼﻼﺓ ﻭﺃﺘﻡ ﺍﻟﺘﺴﻠﻴﻡ ﺃﻤﺎ ﺒﻌﺩ‪:‬‬ ‫ﻻﺸﻙ ﻓﻲ ﺃﻥ ﻻ ﺸﻲ ﻴﻌﺎﺩل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻓﻬﻲ ﺒﺘﺭﻜﻴﺒﻬﺎ ﺍﻟﺩﻗﻴﻕ ﻏﻨﻴﺔ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻻ ﺘﻀﺎﻫﻴﻬﺎ ﺃﻱ ﻤﺎﺩﺓ ﻓـﻲ ﺩﻗﺘﻬـﺎ ﻭﻗـﻭﺓ‬ ‫ﻤﻨﻁﻘﻬﺎ ﻭﺸﺩﺓ ﺘﻨﺎﺴﻘﻬﺎ‪ ،‬ﻭﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺒﻤﺜﺎﺒﺔ ﻴﻘﻴﻥ ﻋﻘﻠﻲ ﻤﻁﻠﻕ ﺒﺼﺭﻑ ﺍﻟﻨﻅﺭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻨﻁﺒﻘـﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﺃﻡ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﻁﺒﻕ ‪ ..‬ﺍﻷﻫﻡ ﺃﻥ ﻴﺘﺴﻕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﻁﻘﻲ ﻤﻊ ﻨﻔـﺴﻪ ‪ ..‬ﻤﻌﻁﻴـﺎﺕ ﺍﻟﻘـﻀﻴﺔ ﻤـﻊ ﺘﻭﺍﻟﻴﻬـﺎ ‪..‬‬ ‫ﻓﺭﻀﻴﺎﺘﻬﺎ ﻤﻊ ﻨﺘﺎﺌﺠﻬﺎ ‪ ..‬ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺘﻴﺔ ﻤﻜﺘﻤﻠﺔ ﻤﻁﻠﻘﺎﹰ ﻓﻲ ﺼﺤﺘﻬﺎ ﻭﺘﺭﺍﺒﻁﻬﺎ ﻭﻻ ﻴﻌﻨﻴﻬﺎ ﺒﻌﺩ ﺫﻟـﻙ ﺍﻨﻁﺒﺎﻗﻬـﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﺃﻭ ﺘﺼﺩﻴﻘﻬﺎ ﻟﻪ ‪ ..‬ﺃﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﺍﻹﺨﺒﺎﺭﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ ﻓﻭﺴﺎﺌﻠﻬﺎ ﺍﻟﺤﻭﺍﺱ ﻭﺍﻟﺘﺼﻭﺭﺍﺕ ﻭﻤﺩﻯ ﺍﻟﺘﻨـﺎﻏﻡ‬ ‫ﻭﺍﻟﺼﺩﻕ ﻤﻊ ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ‪ ..‬ﻟﺫﺍ ﺭﺃﻴﻨﺎ ﻋﻠﻭﻡ ﺍﻟﻔﻠﻙ ﻭﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺘﺘﻌﺭﺽ ﻟﻠﺘﺼﺩﻴﻕ ﻭﺍﻟﺘﻜـﺫﻴﺏ‪ ،‬ﻓﺘﺒﻁـل ﺍﻟﻨﻅﺭﻴـﺎﺕ ﺍﻟﺠﺩﻴـﺩﺓ‬ ‫ﺍﻟﻘﺩﻴﻤﺔ ﻭﺍﻟﺸﻭﺍﻫﺩ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﻓﻲ ﺘﺎﺭﻴﺦ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﺘﻜﺎﺩ ﻻ ﺘﺤﺼﻰ‪ ..‬ﻤﺜل ﻜﻴﻔﻴﺔ ﺍﻹﺒﺼﺎﺭ ﻭﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﻜﻬﺭﺒﺎﺀ ﻭﻋﻠﻭﻡ ﺍﻟﻔﻠـﻙ‬

‫ﻭﺍﻟﺘﺼﻭﺭﺍﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻜﻭﻥ ﻭ ﺍﻟﺦ‪ .‬ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻷﺴﺒﺎﺏ ﺴﻤﻴﺕ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﻟﻠﺩﻻﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻴﻘﻴﻨﻬﺎ ‪ ..‬ﺃﻤـﺎ ﻓـﻲ ﺍﻟﻌﻠـﻭﻡ‬ ‫ﺍﻟﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ ﻭﺍﻹﺨﺒﺎﺭﻴﺔ ﻓﺎﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ‪ ..‬ﻤﺠﺭﺩ ﺘﺼﻭﺭ‪ ..‬ﻻ ﻴﺭﻗﻰ ﻟﻠﻴﻘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺤﻅﻰ ﺒﻪ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﺎﺘﻴﺔ‪ ،‬ﻟﻬﺫﺍ‬

‫ﺍﻟﺴﺒﺏ ﺴﻤﻴﺕ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺒﻠﻘﺏ " ﻤﻠﻜﺔ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ " ‪ ..‬ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺃﻥ ﻤﻬﻤﺔ ﺘﻜﻭﻴﻥ ﺍﻟﻌﻘل ﺍﻟﻨﺎﻗـﺩ ﻭﺘﻤﻠﻴﻜـﻪ ﺃﺩﻭﺍﺕ‬ ‫ﻭﻤﻘﺎﻴﻴﺱ‬ ‫ﺍﻟﺤﻜﻡ ﻭﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻟﺼﺢ ﻭﺍﻟﺨﻁﺄ ﺍﻟﻤﺠﺭﺩﺓ – ﻫﻲ ﻤﻬﻤﺔ ﺘﺘﻌﻠﻕ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻭﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ﺒـﺎﻟﻤﻨﻁﻕ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀـﻲ ﺍﻟﻤﺠـﺭﺩ ﻭﻻ‬ ‫ﺘﺘﻌﻠﻕ ﺒﺎﻟﺤﺴﺎﺏ ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻘﻴﺔ ﻭﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﻓﻜﻠﻬﺎ ﻻ ﺘﻌﺩﻭ ﺃﻤﺜﻠﺔ‪ ،‬ﻭﺫﻟﻙ ﻻ ﻴﻨﻔﻲ ﺒﺄﻱ ﺤﺎل ﺃﻥ ﺍﻟﺘﻁﻭﺭ ﺍﻟـﺫﻱ‬ ‫ﺤﻘﻘﻪ ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ ﻫﻭ " ﺜﻤﺭﺓ ﺍﺘﺤﺎﺩ ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ) ﺒﺸﻘﻴﻪ ﺍﻻﺴﺘﻘﺭﺍﺌﻲ ﻭﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺠﻲ ( ﻤﻊ ﺍﻟﺘﺠﺭﻴـﺏ ) ﺍﻟﻔﻴﺯﻴـﺎﺀ‬ ‫ﻭﻋﻠﻭﻡ ﺍﻟﻔﻠﻙ ﺒﺸﻜل ﺨﺎﺹ (‪٠‬‬

‫ﺇﺿﺎﺀﺓ‬ ‫ﻴﺘﻤﺘﻊ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺒﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺨﺎﺼﺔ ﻭﺴﺤﺭ ﺃﺨﹼﺎﺫ ﻭﺒﺭﻴﻕ ﻤﺒﻬﺭ ﻓﻬﻭ ﻤﺎﺩﺓ ﺇﻴﻘﺎﻅ ﺍﻟﻔﻜﺭ ﻭﺸﺤﺫ ﺍﻟﻤﻭﺍﻫﺏ ﻭﺒﻨﺎﺀ ﺍﻟﻌﻘﻭل‬ ‫‪ ،‬ﺃﻥ ﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻫﻲ ﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺒﻨﺎﺀ ﻓﻲ ﺃﺒﺤﺎﺙ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻭﺍﻟﻔﻠﻙ ﻭﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﺍﻹﻟﻜﺘﺭﻭﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺩﺨﻠﺕ ﺠﻤﻴـﻊ ﻤﺠـﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤﻴﺎﺓ ﻭﺘﻐﻠﻐﻠﺕ ﺒﻬﺎ ﻭﺍﻨﺘﻘﻠﺕ ﺒﺎﻟﻨﺎﺱ ﻤﻥ ﻋﺎﻟﻡ ﺇﻟﻰ ﻋﺎﻟﻡ ﺁﺨﺭ …‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺭﻏﻡ ﻤﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻤﺎﺩﺓ ﻤﺸﻭﻗﺔ ‪ ،‬ﺘﻤﻴل ﺍﻟﻨﻔﺱ ﺇﻟﻰ ﺩﺭﺍﺴﺘﻬﺎ ﻭﺍﻟﺒﺤﺙ ﻓﻴﻬﺎ ﺇﻻ ﺃﻨﻬﺎ ﻓﻲ ﻜﺜﻴﺭ ﻤـﻥ ﺍﻷﺤﻴـﺎﻥ‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﺤﺠﺭ ﻋﺜﺭﺓ ﺃﻤﺎﻡ ﺍﻟﻜﺜﻴﺭﻴﻥ ﻤﻨﺎ ‪ .‬ﻭﺫﻟﻙ ﺒﺴﺒﺏ ﻋﺩﻡ ﺍﺴﺘﻴﻌﺎﺒﻨﺎ ﻷﺼﻭﻟﻬﺎ ﻭﻨﻅﺭﻴﺘﻬﺎ ﻭﻗﻭﺍﻨﻴﻨﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ﻭﻤﻤﺎ ﻻﺸﻙ ﻓﻴﻪ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﺠﺯ ﻋﻥ ﺍﻟﻔﻬﻡ ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﻋﻴﺒﺎﹰ ﻓﻲ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ﻭﻟﻜﻨﻪ ﻨﺎﺒﻊ ﻤﻥ ﺫﺍﺘﻨﺎ ﻨﺤﻥ !!‬

‫‪١‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺍﻟﻤﺒﺤﺚ ﺍﻷﻭﻝ ‪ /‬ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻋﻠﻢ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬ ‫ﻋﺭ‪‬ﻑ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﻠﻡ ﺒﻌﺩﺓ ﺘﻌﺭﻴﻔﺎﺕ ﻫﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫• ﻋﺭ‪‬ﻓﻪ ﺒﻌﻀﻬﻡ ﻓﻘﺎل ‪ :‬ﻫﻭ ﻋﻠﻡ ﺘﺭﺍﻜﻤﻲ ﺍﻟﺒﻨﻴﺎﻥ ) ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺴﺎﺒﻘﺔ ( ﻴﺘﻌﺎﻤـل ﻤـﻊ ﺍﻟﻌﻘـل‬ ‫ﺍﻟﺒﺸﺭﻱ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻭﻏﻴﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻭﻴﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺴﺱ ﻭﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ‪ -‬ﻗﻭﺍﻋﺩ ﻭﻨﻅﺭﻴﺎﺕ – ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ – ﺤل ﻤـﺴﺎﺌل )‬ ‫ﺤل ﻤﺸﻜﻼﺕ ( ﻭﺒﺭﻫﺎﻥ ﻴﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻭﺍﻟﺭﻤﻭﺯ ﻭﻴﻌﺘﺒﺭ ﺭﻴﺎﻀﺔ ﻟﻠﻌﻘل ﺍﻟﺒﺸﺭﻱ ‪ .‬ﺤﻴﺙ ﺘﺘﻡ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓـﺔ ﻓﻴـﻪ ﻭﻓﻘـﺎ‬ ‫ﻻﻗﺘﻨﺎﻉ ﻤﻨﻁﻘﻲ ﻟﻠﻌﻘل ﻴﺘﻡ ﻗﺒل ﺃﻭ ﺒﻌﺩ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ‪ ،‬ﻭﻴﻘﺎﺱ ﺘﻤﻜﻥ ﻟﺩﺍﺭﺱ ﻤﻥ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺒﻘﺩﺭﺘﻪ ﻭﻨﺠﺎﺤﻪ ﻓـﻲ‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﺴﺎﻟﺔ ) ﺍﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ( ﻭﺘﻘﺩﻴﻡ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺏ‬ ‫• ﻭﻋﺭ‪‬ﻓﻬﺎ ﺒﻌﻀﻬﻡ ﻓﻘﺎل‪:‬ﺘﻌﺭﻑ ''']]ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ[[''' ﻋﻠﻰ ﺃﻨﻬﺎ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺒﻨﻴﺔ‪ ،‬ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪ ،‬ﻭ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ‪ ،‬ﻭ ﺒﺸﻜل ﻋـﺎﻡ ﻋﻠـﻰ‬ ‫ﺃﻨﻬﺎ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺒﻨﻴﺔ ﺍﻟﻤﺠﺭﺩﺓ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﻤﻨﻁﻕ ﻭ ﺍﻟﺘﺩﻭﻴﻥ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ‪ .‬ﻭ ﺒﺸﻜل ﺃﻜﺜﺭ ﻋﻤﻭﻤﻴﺔ‪ ،‬ﺘﻌﺭﻑ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻋﻠـﻰ‬

‫ﺃﻨﻬﺎ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻭ ﺃﻨﻤﺎﻁﻬﺎ‪.‬‬

‫• ﻭﻋﺭﻓﻪ ﺒﻌﻀﻬﻡ ﻓﻘﺎل‪:‬ﺇﻨﻪ ﻋﻠﻡ ﺘﺭﺍﻜﻤﻲ ﺍﻟﺒﻨﻴﺎﻥ )ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺴﺎﺒﻘﻪ ( ‪. ...‬ﻴﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺍﻟﻌﻘـل‬ ‫ﺍﻟﺒﺸﺭﻱ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻭﻏﻴﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ‪ ..‬ﻭﻴﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ ‪:‬ﺃﺴﺱ ﻭﻤﻔﺎﻫﻴﻡ – ﻗﻭﺍﻋﺩ ﻭﻨﻅﺭﻴﺎﺕ – ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ –ﺤل ﻤـﺴﺎﺌل‬ ‫)ﺤل ﻤﺸﻜﻼﺕ ( ﻭﺒﺭﻫﺎﻥ ‪ ..‬ﻭﻴﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻭﺍﻟﺭﻤﻭﺯ ‪ .‬ﻭﻴﻌﺘﺒﺭ ﺭﻴﺎﻀﺔ ﻟﻠﻌﻘل ﺍﻟﺒﺸﺭﻱ‬ ‫ﺤﻴﺙ ﺘﺘﻡ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻓﻴﻪ ﻭﻓﻘﺎ ﻻﻗﺘﻨﺎﻉ ﻤﻨﻁﻘﻲ ﻟﻠﻌﻘل ‪ .. .‬ﻴﺘﻡ ﻗﺒل ﺃﻭ ﺒﻌﺩ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ﻭﻴﻘﺎﺱ ﺘﻤﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﺭﺱ ﻤﻥ ﻋﻠـﻡ‬ ‫ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺒﻘﺩﺭﺘﻪ ﻭﻨﺠﺎﺤﻪ ﻓﻲ ﺤل ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ )ﺍﻟﻤﺸﻜﻠﺔ( ﻭﺘﻘﺩﻴﻡ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺏ "‪.‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‪ /‬ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ‬

‫ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل‬

‫ﻋﻠﻤﺎﺀ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻋﺒﺭ ﺍﻟﻌﺼﻭﺭ‬ ‫أﺑﻮ ﺟﻌﻔﺮ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ اﻟﺤﺴﻦ ﻧﺼﺮ اﻟﺪﯾﻦ اﻟﻄﻮﺳﻲ‬ ‫ھﻮ اﻟﻌﻼﻣﺔ أﺑﻮ ﺟﻌﻔﺮ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ اﻟﺤﺴﻦ ﻧﺼﺮ اﻟﺪﯾﻦ اﻟﻄﻮﺳﻲ ﻋﺎش وﺗُﻮﻓﻲّ ﻓﻲ ﺑﻐﺪاد أﯾﺎم آﺧﺮ‬ ‫ﺧﻠﻔﺎء ﺑﻨﻲ اﻟﻌﺒﺎس اﻟﻤﻌﺘﺼﻢ وذﻟﻚ ﻓﯿﻤﺎ ﺑﯿﻦ ) ‪ ٥٩٧‬ـ‪٦٧٢‬ھﺠﺮﯾﺔ (‬ ‫اﻟﻤﻮاﻓﻖ ) ‪١٢٠١‬ـ‪ ١٢٧٤‬ﻣﯿﻼدﯾﺔ ( ‪.‬‬ ‫ﻛﺎن ﻋﺎﻟﻤﺎً ﻓﺬاً ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت واﻟﻔﻠﻚ ‪ ،‬ﻓﻘﺪ ﻋُﺮف ﺑﯿﻦ أﺻﺪﻗﺎﺋﮫ وذوﯾﮫ‬ ‫وﻋﻠﻤﺎء اﻟﻤﺸﺮق واﻟﻤﻐﺮب ﺑﻠﻘﺐ )ﻋﻼّﻣﺔ ( واﻟﺠﺪﯾﺮ ﺑﺎﻟﺬﻛﺮ أﻧﮫ ﻛﺎن ﯾﺠﯿﺪ‬ ‫اﻟﻠﻐﺎت اﻟﻼﺗﯿﻨﯿﺔ واﻟﻔﺎرﺳﯿﺔ واﻟﺘﺮﻛﯿﺔ ﻣﻤﺎ أﻋﻄﺘﮫ اﻟﻘﺪرة ﻋﻠﻰ اﻟﺴﯿﻄﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺷﺘّﻰ اﻟﻤﻌﺎرف ‪.‬‬ ‫أﻋﻤﺎﻟﮫ ‪-:‬‬ ‫ﺗﻠﻘﻰ ﻧﺼﺮ اﻟﺪﯾﻦ ﻋﻠﻤﮫ ﻋﻦ اﻟﻌﺎﻟﻢ اﻟﻜﺒﯿﺮ) ﻛﻤﺎل اﻟﺪﯾﻦ ﺑﻦ ﯾﻮﻧﺲ اﻟﻤﻮﺻﻠﻲ‬ ‫( ﻓﻐﺮس ﻓﯿﮫ ﺣﺐ اﻟﻜﺘﺐ وﻗﺪ أﺑﺪع ﻓﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﺑﺠﻤﯿﻊ ﻓﺮوﻋﮫ ‪.‬‬ ‫ـ ﻓﻜﺎن ﻟﮫ ﻓﻀﻞ ﻛﺒﯿﺮ ﻓﻲ ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻷﻋﺪاد اﻟﺼﻢ ‪.‬‬ ‫ـ أﺷﺘﮭﺮ ﺑﻌﻠﻤﻲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻓﻜﺘﺐ أول ﻛﺘﺎب ﻓﯿﮭﻤﺎﻛﺎن‬ ‫ﻣﺘﺪاوﻻً ﻓﻲ ﺟﻤﯿﻊ أﻧﺤﺎء اﻟﻤﻌﻤﻮرة وأﺳﻢ ھﺬا اﻟﻜﺘﺎب ) ﺷﻜﻞ اﻟﻘﻄﺎﻋﺎت (‬ ‫وھﻮ ﯾﺤﻮي ﻋﻠﻰ ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻓﻘﻂ ‪.‬‬ ‫ـ ﻧﻘﻞ ﻛﺘﺎب إﻗﻠﯿﺪس إﻟﻰ اﻟﻐﺔ اﻟﻌﺮﺑﯿﺔ وﻧﺸﺮ ﺑﺤﺜﺎً ﯾﺘﺮﻛﺰ ﺣﻮل ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت‬ ‫إﻗﻠﯿﺪس ‪.‬‬ ‫ـ أوﻟﻰ أھﺘﻤﺎﻣﺎً ﻣﻠﻤﻮﺳﺎً ﺑﺎﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﻮﻗﯿﺔ أو اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻻّإﻗﻠﯿﺪﯾﺴﯿﺔ اﻟﺘﻲ ﺑُﻨﯿﺖ ﻋﻠﻰ أﺳﺲ‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺾ ھﻨﺪﺳﺔ إﻗﻠﯿﺪس اﻟﺘﻲ ﻛﺎن ﯾﻘﺘﻘﺪ ﺑﺄﻧﮭﺎ ﻟﯿﺴﺖ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺘﻐﯿﯿﺮ واﻹﻧﺘﻘﺎد ﻋﺒﺮ اﻟﻌﺼﻮر ‪.‬‬ ‫ﻣﺆﻟﻔﺎﺗﮫ ‪-:‬‬ ‫أﻟﻒ ﻧﺼﺮ اﻟﺪﯾﻦ ﻃﻮﺳﻲ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ‪١٤٥‬ﻣﺆﻟﻔﺎً ﻓﻲ ﺣﻘﻮل ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻣﻨﮭﺎ ﻋﻠﻢ ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت‬ ‫واﻟﺠﺒﺮ واﻟﺠﻐﺮاﻓﯿﺎ واﻟﻄﺒﯿﻌﯿﺎت واﻟﻤﻨﻄﻖ‬

‫ﻋﻤﺮاﻟﺨﯿّﺎم‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ اﻟﻔﺘﺢ ﻋﻤﺮ ﺑﻦ إﺑﺮاھﯿﻢ اﻟﺨﯿّﺎم اﻟﻨﯿﺴﺘﺎﺑﻮري ﻋﺎش ﻓﯿﻤﺎ‬ ‫ﺑﯿﻦ)‪ ٤٤٠‬ـ‪٥٢٥‬ھﺠﺮﯾﺔ)‬ ‫اﻟﻤﻮاﻓﻖ ) ‪١٠٤٨‬ـ‪١١٣١‬ﻣﯿﻼدﯾﺔ ( ‪ .‬ﻛﺎن ﯾﺸﺘﻐﻞ ﻓﻲ ﺻﻐﺮه ﺑﺼﻨﻊ‬ ‫وﺑﯿﻊ اﻟﺨﯿﺎم وﻟﺬا ﻛﻨﻲّ)ﺑﺎﻟﺨﯿّﺎم)‬ ‫وﻗﺪ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ اﻟﺘﻨﻘﻞ ﻓﻲ ﻃﻠﺐ اﻟﻌﻠﻢ ﻣﻨﺬ ﻧﻌﻮﻣﺔ أﻇﻔﺎره ﺣﺘﻰ أﺳﺘﻘﺮ‬ ‫ﻓﻲ ﺑﻐﺪاد ﻋﺎد ‪٤٦٦‬ھﺠﺮﯾﺔ‪.‬‬ ‫أﺑﺪع ﻓﻲ ﻛﺜﯿﺮ ﻣﻦ ﻓﻨﻮن اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻣﺜﻞ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت واﻟﻔﻠﻚ واﻟﻠﻐﺔ‬ ‫واﻟﻔﻘﮫ واﻟﺘﺎرﯾﺦ واﻷدب‬ ‫أﻋﻤﺎﻟﮫ ‪:-‬‬ ‫ـ أھﺘﻢ اﻟﺨﯿّﺎم اھﺘﻤﺎﻣﺎً ﺧﺎﺻﺎً ﺑﺎﻟﻘﺪار اﻟﺠﺒﺮي وھﻮ ﯾﺒﺤﺚ ﻓﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﺠﺒﺮ ‪ ،‬وﻛﺎن إﻗﻠﯿﺪس ﻗﺪ ﺣﻞ‬ ‫ﻓﻘﻂ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺠﺒﺮي ذا ﺣﺪﯾﻦ ﻣﺮﻓﻮﻋﺎً إﻟﻰ ﻗﻮة أﺳﮫ أﺛﻨﺎن ﻓﺄﺑﺘﻜﺮ اﻟﺨﯿّﺎم ﻧﻈﺮﯾﺔ ذات اﻟﺤﺪﯾﻦ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‪ /‬ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ‬

‫ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬

‫اﻟﻤﺮﻓﻮﻋﺔ إﻟﻰ أس أي ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ ﻣﻮﺟﺐ ‪.‬‬ ‫ـ ﺣﻞ ﻛﺜﯿﺮ ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ واﻟﺘﻲ ﻋﻠﻰ ﺻﯿﻐﺔ ا س ‪ +‬ب س = ج‪.‬‬ ‫ـ ﻛﻤﺎ ﻋﻜﻒ ﻋﻠﻰ اﻟﺒﺤﺚ ﻓﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﺠﺒﺮ ﻓﺪرس اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﻟﻰ واﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‬ ‫واﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪.‬‬ ‫وﻋﺎﻟﺞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻜﻌﯿﺒﯿﺔ ﻣﻌﺎﻟﺠﺔ ﻣﻨﮭﺠﯿﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻧﺎدرة ﻓﻲ ﻧﻮﻋﮭﺎ ﻋﺒﺮ اﻟﻌﺼﻮر وأﺳﺘﺨﺮ‬ ‫اﻟﺠﺬور ﻷﯾﺔ درﺟﺔ‪.‬‬ ‫ـ أھﺘﻢ ﺑﺘﺼﻨﯿﻒ اﻟﻤﻌﺎدﻻت ذات اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺣﺴﺐ درﺟﺎﺗﮭﺎ وﺣﺴﺐ ﻋﺪد ﺣﺪودھﺎ ﻓﺄﺑﺪع ﻓﻲ‬ ‫ذﻟﻚ إﺑﺪاﻋﺎً ﻛﺒﯿﺮاً‪.‬‬ ‫ـ ﻛﺬﻟﻚ ﻗﺎم ﺑﺈدﺧﺎل ﻋﻠﻢ اﻟﺠﺒﺮ ﻋﻠﻰ ﻋﻠﻢ ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻟﺬا ﻧﺠﺪ اﻟﺨﯿّﺎم ﺣﻞ اﻟﻜﺜﯿﺮ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻌﺼﯿﺔ ﻓﻲ ﻋﻠﻢ ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻣﺴﺘﻌﻤﻼً ﻣﻌﺎدﻻت ﺟﺒﺮﯾﺔ ذات اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ واﻟﺮاﺑﻌﺔ‪.‬‬ ‫ـ ﺗﺸﻌﺐ اھﺘﻤﺎﻣﮫ ﺣﺘﻰ ﺣﻮى ﻋﻠﻢ اﻟﻔﻠﻚ ‪.‬‬ ‫ـ رﻛﺰ ﻋﻠﻰ دراﺳﺔ ھﻨﺪﺳﺔ إﻗﻠﯿﺪس اﻟﻤﺸﺮوﺣﺔ واﻟﻤﻌﻠﻖ ﻋﻠﯿﮭﺎ ﻣﻦ ﻃﺮف ﻋﻠﻤﺎء اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬ ‫اﻟﻤﺴﻠﻤﯿﻦ‬

‫اﻟﺨﻮارزﻣﻲ‬ ‫اﻟﺨﻮارزﻣﻲ أﺑﻮ ﻋﺒﺪ اﷲ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻣﻮﺳﻰ )أﺑﻮ ﺟﻌﻔﺮ( )ﺣﻮاﻟﻲ‬ ‫‪ -٧٨١‬ﺣﻮاﻟﻲ ‪ ،( ٨٤٥‬ﻛﺎن ﻣﻦ اواﺋﻞ ﻋﻠﻤﺎء اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﻤﺴﻠﻤﯿﻦ‬ ‫ﺣﯿﺚ ﺳﺎھﻤﺖ اﻋﻤﺎﻟﮫ ﺑﺪور ﻛﺒﯿﺮ ﻓﻲ ﺗﻘﺪم اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻓﻲ ﻋﺼﺮه‪.‬‬ ‫اﻧﺘﻘﻠﺖ ﻋﺎﺋﻠﺘﮫ ﻣﻦ ﻣﺪﯾﻨﺔ ﺧﻮارزم ﻓﻲ ﺧﺮاﺳﺎن إﻟﻰ ﺑﻐﺪاد ﻓﻲ اﻟﻌﺮاق‪،‬‬ ‫اﻧﺠﺰ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ ﻣﻌﻈﻢ اﺑﺤﺎﺛﮫ ﺑﯿﻦ ﻋﺎﻣﻲ ‪ ٨١٣‬و ‪ ٨٣٣‬ﻓﻲ دار‬ ‫اﻟﺤﻜﻤﺔ‪ ،‬اﻟﺘﻲ أﺳﺴﮭﺎ اﻟﺨﻠﯿﻔﺔ اﻟﻤﺄﻣﻮن‪ .‬و ﻧﺸﺮ اﻋﻤﺎﻟﮫ ﺑﺎﻟﻠﻐﺔ‬ ‫اﻟﻌﺮﺑﯿﺔ‪ ،‬اﻟﺘﻲ ﻛﺎﻧﺖ ﻟﻐﺔ اﻟﻌﻠﻢ ﻓﻲ ذﻟﻚ اﻟﻌﺼﺮ‪ .‬وﯾﺴﻤﯿﮫ اﻟﻄﺒﺮي ﻓﻲ‬ ‫ﺗﺎرﯾﺨﮫ‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻣﻮﺳﻰ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ اﻟﻤﺠﻮﺳﻲ اﻟﻘﻄﺮﺑﻠّﻲ ‪ ،‬ﻧﺴﺒﺔ‬ ‫إﻟﻰ ﻗﺮﯾﺔ ﻗُﻄْﺮﺑُﻞّ ﻣﻦ ﺿﻮاﺣﻲ ﺑﻐﺪاد‪ .‬اﻟﻠﻘﺐ ﻣﺠﻮﺳﻲ ﯾﺘﻨﺎﻗﺾ ﻣﻊ ﺑﺪء‬ ‫اﻟﺨﻮارزﻣﻲ ﻟﻜﺘﺎﺑﮫ )اﻟﺠﺒﺮ واﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ( ﺑﺎﻟﺒﺴﻤﻠﺔ‪ .‬اﺑﺘﻜﺮ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ‬ ‫ﻣﻔﮭﻮم اﻟﺨﻮارزﻣﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت و ﻋﻠﻢ اﻟﺤﺎﺳﻮب‪) ،‬ﻣﻤﺎ اﻋﻄﺎه‬ ‫ﻟﻘﺐ اﺑﻮ ﻋﻠﻢ اﻟﺤﺎﺳﻮب(ﻋﻨﺪ اﻟﺒﻌﺾ‪ ،‬ﺣﺘﻰ ان ﻛﻠﻤﺔ ﺧﻮارزﻣﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﺪﯾﺪ ﻣﻦ اﻟﻠﻐﺎت )و ﻣﻨﮭﺎ‬ ‫‪ algorithm‬ﺑﺎﻻﻧﻜﻠﯿﺰﯾﺔ( اﺷﺘﻘﺖ ﻣﻦ اﺳﻤﮫ‪ ،‬ﺑﺎﻻﺿﺎﻓﺔ ﻟﺬﻟﻚ‪ ،‬ﻗﺎم اﻟﺨﻮارزﻣﻲ ﺑﺎﻋﻤﺎل ھﺎﻣﺔ ﻓﻲ‬ ‫ﺣﻘﻮل اﻟﺠﺒﺮ و اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت واﻟﻔﻠﻚ و اﻟﺠﻐﺮاﻓﯿﺔ و رﺳﻢ اﻟﺨﺮاﺋﻂ‪ .‬ادت اﻋﻤﺎﻟﮫ اﻟﻤﻨﮭﺠﯿﺔ و اﻟﻤﻨﻄﻘﯿﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ إﻟﻰ ﻧﺸﻮء ﻋﻠﻢ اﻟﺠﺒﺮ‪ ،‬ﺣﺘﻰ ان اﻟﻌﻠﻢ اﺧﺬ اﺳﻤﮫ ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺑﮫ‬ ‫ﺣﺴﺎب اﻟﺠﺒﺮ و اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ‪ ،‬اﻟﺬي ﻧﺸﺮه ﻋﺎم ‪ ،٨٣٠‬و اﻧﺘﻘﻠﺖ ھﺬه اﻟﻜﻠﻤﺔ إﻟﻰ اﻟﻌﺪﯾﺪ ﻣﻦ اﻟﻠﻐﺎت‬ ‫)‪ Algebra‬ﻓﻲ اﻻﻧﻜﻠﯿﺰﯾﺔ(‪.‬‬

‫ﻟﯿﻮﻧﺎرد أوﯾﻠﺮ‬ ‫ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﯿﺎت و ﻓﯿﺰﯾﺎء ﺳﻮﯾﺴﺮي اﻟﻤﻮﻟﺪ ﻋﺎش ﻣﻦ‬ ‫‪ ١٧٠٧‬ﺣﺘﻰ ‪ ، ١٧٨٣‬و ﻗﺪ ﻋﻤﻞ ﻣﻌﻈﻢ اﻟﻮﻗﺖ ﻓﻲ ﺳﺎن‬ ‫ﺑﻄﺮﺳﺒﺮغ ﺣﯿﺚ ﺗﺒﻊ آل ﺑﺮﻧﻮﻟﻠﻲ ‪ ،‬ﺛﻢ ﻓﻲ ﺑﺮﻟﯿﻦ ﺑﺪﻋﻮة ﻣﻦ‬ ‫ﻓﺮﯾﺪرﯾﻚ اﻷﻛﺒﺮ ‪ ،‬و ﻟﻘﺪ اﺷﺘﮭﺮ ﺑﻘﺪرﺗﮫ ﻋﻠﻰ إﻧﺠﺎز‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‪ /‬ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ‬

‫ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬

‫اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت اﻟﻤﻌﻘﺪة ذھﻨﯿﺎ ‪ ،‬و واﺻﻞ ﻋﻤﻠﮫ ﺣﺘﻰ ﺑﻌﺪ ﻓﻘﺪ ﺑﺼﺮه ‪ ،‬و ﯾﻌﺘﺒﺮ واﺣﺪا ﻣﻦ أﻋﻈﻢ‬ ‫اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﯿﻦ ﻋﺒﺮ اﻟﺘﺎرﯾﺦ ‪ ،‬ﻓﻘﺪ ﻧﺸﺮ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ‪ ٤٠٠‬ورﻗﺔ ﺑﺤﺜﯿﺔ و ﻛﺘﺎﺑﺎ ﻣﻨﮭﺠﯿﺎ اھﺘﻤﺖ ﺑﻜﻞ‬ ‫ﻓﺮوع اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﺗﻘﺮﯾﺒﺎ ھﺬا ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ‪ ٣٥٠‬ورﻗﺔ ﻇﮭﺮت ﺑﻌﺪ وﻓﺎﺗﮫ ‪ ،‬و ﻛﺎﻧﺖ أھﻢ‬ ‫إﺳﮭﺎﻣﺎﺗﮫ ﻓﻲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ و اﻟﺤﺴﺎب و ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ إﺳﮭﺎﻣﮫ ﻓﻲ ﺗﻮﺣﯿﺪ ﻛﻞ‬ ‫اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫إﻗﻠﯿﺪس‬ ‫ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﯿﺎت إﻏﺮﯾﻘﻲ ﻣﻦ اﺳﻜﻨﺪرﯾﺔ اﻟﻘﺮن اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻗﺒﻞ‬ ‫اﻟﻤﯿﻼد ‪ ،‬ﺗﻨﺴﺐ إﻟﯿﮫ أول ﻣﻌﺎﻟﺠﺔ ﻣﻮﺿﻮﻋﯿﺔ ﻟﻠﮭﻨﺪﺳﺔ ﻓﻲ‬ ‫ﻛﺘﺎﺑﮫ اﻷﺻﻮل أو اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ ‪ ،‬و ﯾﻌﺎﻟﺞ ھﺬا اﻟﻜﺘﺎب ﻛﺬﻟﻚ‬ ‫اﻟﺘﻨﺎﺳﺐ و اﻟﻌﺪد ﺑﻤﺎ ﻓﻲ ذﻟﻚ اﻷﻋﺪاد اﻟﻼﻣﻨﻄﻘﯿﺔ ‪ ،‬و ﻟﻘﺪ‬ ‫ﻛﺘﺐ إﻗﻠﯿﺪس أﻋﻤﺎﻻ ﻓﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﻔﻠﻚ و اﻟﻘﻄﻮع اﻟﻤﺨﺮوﻃﯿﺔ ‪،‬‬ ‫و ﻗﺪ وﺻﻞ ﻛﺘﺎب اﻷﺻﻮل إﻟﻰ اﻟﻐﺮب ﻣﺘﺮﺟﻤﺎ ﻋﻦ اﻟﻌﺮﺑﯿﺔ ‪،‬‬ ‫و أﺣﺪث ﺗﻐﯿﯿﺮا ﻋﻤﯿﻘﺎ ‪ ،‬و ﻟﻢ ﺗﻜﻦ ﻛﺘﺐ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻤﺪرﺳﯿﺔ ‪،‬‬ ‫و ﺣﺘﻰ وﻗﺖ ﻗﺮﯾﺐ إﻻ ﺗﺮﺟﻤﺎت ﻹﻗﻠﯿﺪس‬

‫ﻓﯿﺘﺎﻏﻮرس‬ ‫ﻓﯿﻠﺴﻮف و ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﯿﺎت و ﻧﺎﺳﻚ إﻏﺮﯾﻘﻲ ﻋﺎش ﻧﺤﻮ‬ ‫‪ ٣٨٠ - ٣٠٠‬ﻗﺒﻞ اﻟﻤﯿﻼد‪ ،‬و أﺳﺲ ﻣﺪرﺳﺔ ﻓﻜﺮﯾﺔ أﺛﺮت‬ ‫ﻋﻠﻰ أﻓﻼﻃﻮن ‪ ،‬و ﻛﺎن ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس و أﺗﺒﺎﻋﮫ ﯾﻌﺘﻘﺪون ﺑﺄن‬ ‫ﻛﻞ ﺷﻲء ﻋﺪد ﻣﻌﺘﺮﻓﯿﻦ ﺑﺎﻟﻄﺒﯿﻌﺔ‬

‫ھﻨﺮي ﻟﻮﻛﺎس‬ ‫ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﯿﺎت إﻧﻜﻠﯿﺰي ﻋﺎش ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ﺑﯿﻦ ‪١٨٤٢‬‬ ‫و ‪١٨٩١‬‬

‫‪٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‪ /‬ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ‬

‫ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬

‫أﻧﺪرﯾﺎن ﻣﺎري ﻟﯿﺠﺎﻧﺪر‬ ‫ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﯿﺎت ﻓﺮﻧﺴﻲ ﻋﺎش ﺑﯿﻦ ‪ ١٧٥٢‬و ‪، ١٨٣٣‬‬ ‫أوﺟﺪ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻣﮭﻤﺔ ﻋﺪﯾﺪة و ﺑﺨﺎﺻﺔ ﻓﻲ ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻷﻋﺪاد‬ ‫اﻷوﻟﯿﺔ ‪ ،‬و ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﺎﻛﺲ اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﻲ ‪ ،‬و ﻧﺸﺮ ﻛﺘﺎﺑﺎ‬ ‫ﻣﻨﮭﺠﯿﺎ ﻓﻲ ﻣﺒﺎدئ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﻧﺸﺮ أﻋﻤﺎﻻ ﺣﻮل‬ ‫اﻟﻤﺬﻧﺒﺎت و اﻟﻤﺴﺢ اﻷرﺿﻲ ‪ ،‬و ﻋﯿﻦ ﻓﻲ ﻋﺪد ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﻨﺎﺻﺐ اﻟﺮﺳﻤﯿﺔ‬

‫ﺑﯿﯿﺮ دي ﻓﯿﺮﻣﺎت‬ ‫ﻣﺤﺎم و ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﯿﺎت ھﺎو ﻓﺮﻧﺴﻲ ﻋﺎش ﺑﯿﻦ‬ ‫‪ ١٦٠١‬و ‪ ١٦٦٥‬و ﯾﻨﺴﺐ إﻟﯿﮫ ﺗﺄﺳﯿﺲ ﻧﻈﺮﯾﺔ‬ ‫اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﺪﯾﺜﺔ ‪ ،‬و ﺣﺴﺎب اﻹﺣﺘﻤﺎﻻت ﺑﺎﺳﺘﻘﻼﻟﯿﺔ‬ ‫ﻋﻦ ﺑﺎﺳﻜﺎل ‪ ،‬و ﻛﺬﻟﻚ اﻛﺘﺸﺎف اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻘﻼﻟﯿﺔ ﻋﻦ دﯾﻜﺎرت ‪ ،‬و ﻗﺪ ﺗﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ‬ ‫ﻣﺘﻄﻮرة ﻓﻲ ﻣﺠﺎﻟﻲ أﺳﺲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ و‬ ‫ﺣﺴﺎب اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ ‪ ،‬و ﻟﻜﻨﮫ ﻟﻢ ﯾﺘﻤﻜﻦ ﻣﻦ ﻧﺸﺮھﺎ ‪ ،‬و‬ ‫أﻋﻠﻦ أﻧﮫ ﺑﺮھﻦ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻏﯿﺮ اﻟﻤﺤﻠﻮﻟﺔ اﻟﺸﮭﯿﺮة‬ ‫اﻟﻤﻌﺮوﻓﺔ ﺑﺎﺳﻢ ﻣﺒﺮھﻨﺔ ﻓﯿﺮﻣﺎ اﻷﺧﯿﺮة‬

‫أوﻏﺴﺘﯿﻦ ﻟﻮﯾﺲ ﻛﻮﺷﻲ‬ ‫ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﯿﺎت و ﻓﯿﺰﯾﺎء ﻓﺮﻧﺴﻲ ﻋﺎش ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ﻣﻦ‬ ‫‪ ١٧٨٩‬إﻟﻰ ‪ ، ١٨٥٧‬ﻛﺎن ﻷﻋﻤﺎﻟﮫ اﻟﺘﻲ ﺗﻤﯿﺰت ﺑﺎﻟﺪﻗﺔ‬ ‫ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻋﻈﯿﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻈﻢ ﻓﺮوع اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ‪ ،‬و ﺑﺨﺎﺻﺔ‬ ‫وﺿﻊ أﺳﺲ اﻟﺘﺤﻠﯿﻞ اﻟﺤﺪﯾﺚ ﺑﺪﻻﻟﺔ اﻟﻨﮭﺎﯾﺎت و اﻹﺳﺘﻤﺮار ‪،‬‬ ‫و ﻃﻮر ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﺪوال ﻓﻲ ﻣﺘﻐﯿﺮات ﻋﻘﺪﯾﺔ ‪ ،‬و ﺑﻌﺪ اﻧﺘﮭﺎء‬ ‫ﺧﺪﻣﺎﺗﮫ ﻛﻤﮭﻨﺪس ﻓﻲ اﻟﻘﻮة اﻟﺘﻲ ﻛﺎﻧﺖ ﺗﻌﺪ ﻟﻐﺰو ﻧﺎﺑﻠﯿﻮن‬ ‫ﻟﺒﺮﯾﻄﺎﻧﯿﺎ و اﻟﺘﻲ ﻟﻢ ﺗﺘﻢ ‪ ،‬و ﺷﺠﻌﮫ ﻋﻠﻰ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﻧﺸﺎﻃﮫ ﻓﻲ‬

‫‪٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‪ /‬ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ‬

‫ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬

‫اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﻌﺎﻟﻢ ﻻﺑﻼس و اﻟﻌﺎﻟﻢ ﻻﻏﺮاﻧﺞ و أﺻﺒﺢ أﺳﺘﺎذا ﻟﻠﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻓﻲ ﻣﺪرﺳﺔ اﻟﺒﻮﻟﯿﺘﻜﻨﯿﻚ‬ ‫‪ ،‬و اﻟﺴﻮرﺑﻮن ‪ ،‬و ﻛﻠﯿﺔ ﻓﺮﻧﺴﺎ ‪ ،‬و ﺑﺴﺒﺐ آراﺋﮫ اﻟﺴﯿﺎﺳﯿﺔ و اﻟﺪﯾﻨﯿﺔ رﻓﺾ أن ﯾﻘﺴﻢ ﯾﻤﯿﻦ‬ ‫اﻟﻮﻻء ﻟﻠﻮﯾﺲ ﻓﻠﯿﺐ ﺳﻨﺔ ‪ ١٨٣٠‬ﻓﻨﻔﻲ ﻣﻊ ﺣﻔﯿﺪ ﺗﺸﺎرﻟﺰ اﻟﻌﺎﺷﺮ ‪ ،‬و ﻋﯿﻨﺘﮫ ﺟﺎﻣﻌﺔ ﺗﻮرﯾﻨﻮ ﻓﻲ‬ ‫ﻣﻨﺼﺐ ﻛﺮﺳﻲ اﺳﺘﺎذﯾﮫ أﻧﺸﺊ ﻣﻦ أﺟﻠﮫ ‪ ،‬و ﻟﻜﻨﮫ ﺗﺮﻛﮫ ﻟﺘﻌﻠﯿﻢ ﺣﻔﯿﺪ ﺗﺸﺎرﻟﺰ اﻟﻌﺎﺷﺮ ‪ ،‬و ﻟﻘﺪ ﻧﺸﺮ‬ ‫ﻣﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﮫ ‪ ٧٨٩‬ﻋﻤﻼ ‪ ،‬ﺗﺘﻀﻤﻦ ﻣﻘﺎﻻت ﺣﻮل اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت اﻟﻤﺤﺪودة و اﻧﺘﺸﺎر اﻟﻤﻮﺟﺎت ‪ ،‬ﻛﻤﺎ‬ ‫ﻧﺸﺮ أوراق ﺑﺤﺜﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ و ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻷﻋﺪاد و اﻟﻤﺮوﻧﺔ و ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﺨﻄﺄ و اﻟﻔﻠﻚ و اﻟﻀﻮء‬

‫ﻛﺮﯾﺴﺘﯿﺎن ھﯿﺠﻨﺰ‬ ‫ﻋﺎﻟﻢ ﻓﻠﻚ و ﺟﺒﺮ و رﯾﺎﺿﯿﺎت ھﻮﻟﻨﺪي ﻋﺎش ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻔﺘﺮة ﻣﻦ ‪ ١٦٢٩‬إﻟﻰ ‪ ١٦٩٥‬و ﻗﺪ ﺳﺎھﻤﺖ أﻋﻤﺎﻟﮫ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺘﺤﻠﯿﻞ إﻟﻰ اﻛﺘﺸﺎف اﻟﺤﺴﺒﺎن‬

‫ﻣﺎران ﻣﯿﺮﺳﯿﻦ‬ ‫ﻋﺎﻟﻢ ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻷﻋﺪاد و ﻓﯿﻠﺴﻮف و ﻻھﻮﺗﻲ و راھﺐ‬ ‫ﻓﺮﻧﺴﻲ ﻋﺎش ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ﺑﯿﻦ ‪ ١٥٨٨‬و ‪ ١٦٤٨‬ﻣﻜﻨﮫ‬ ‫ﺗﺮﺣﺎﻟﮫ اﻟﻜﺜﯿﺮ أن ﯾﻜﻮن ﻗﻨﺎة اﺗﺼﺎل ﺑﯿﻦ أﻛﺎدﯾﻤﯿﯿﻦ‬ ‫أوروﺑﯿﯿﻦ أﻣﺜﺎل دﯾﻜﺎرت و ﻏﺎﻟﯿﻠﯿﻮ و ﻓﯿﺮﻣﺎ و ﺑﺎﺳﻜﺎل‬ ‫و ھﯿﻐﻨﺰ ‪ ،‬ﻛﻤﺎ أوﺣﻰ ﺑﺎﺧﺘﺮاع ﺳﺎﻋﺔ اﻟﺒﻨﺪول‬

‫اﺑﻦ ﺑﺎﺟّﮫ‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ ﺑﻜﺮ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﯾﺤﯿﻰ ﺑﻦ اﻟﺼﺎﺋﻎ اﻟﺘُﺠﯿﺒﻲ‪ ،‬اﻟﺴﺮﻗﺴﻄﻲ‪ ،‬اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺎﺑﻦ ﺑﺎﺟّﮫ‪ ،‬أول‬ ‫ﻣﺸﺎھﯿﺮ اﻟﻔﻼﺳﻔﺔ اﻟﻌﺮب ﻓﻲ اﻷﻧﺪﻟﺲ‪ ،‬ﻛﻤﺎ اﻧﺼﺮف ﻓﻲ ﺣﯿﺎﺗﮫ‪ ،‬ﻓﻀﻼً ﻋﻦ اﻟﻔﻠﺴﻔﺔ‪ ،‬إﻟﻰ‬ ‫اﻟﺴﯿﺎﺳﺔ‪ ،‬واﻟﻌﻠﻮم اﻟﻄﺒﯿﻌﯿﺔ‪ ،‬واﻟﻔﻠﻚ‪ ،‬واﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‪ ،‬واﻟﻤﻮﺳﯿﻘﻰ واﻟﻄﺐ‪ .‬وﺑﺮز ﻓﻲ اﻟﻄﺐ ﺧﺎﺻﺔ‬ ‫ﺣﺘﻰ أﺛﺎر ﺣﻔﯿﻈﺔ زﻣﻼﺋﮫ ﻓﻲ ﺗﻠﻚ اﻟﺼﻨﻌﺔ‪ ،‬ﻓﺪﺳﻮا ﻟﮫ اﻟﺴﻢ‪ ،‬ﻓﺘﻮﻓﻲ ﻓﻲ ﻓﺎس )اﻟﻤﻐﺮب( ﺳﻨﺔ‬ ‫‪ ٥٢٩‬ھـ‪ .‬وﯾﺴﺮد اﺑﻦ أﺑﻲ أﺻﯿﺒﻌﺔ ﻻﺋﺤﺔ ﺑﺜﻤﺎﻧﯿﺔ وﻋﺸﺮﯾﻦ ﻣﺆﻟﻔﺎً ﯾﻨﺴﺒﮭﺎ إﻟﻰ اﺑﻦ ﺑﺎﺟّﮫ‪ ،‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ‬ ‫ﺛﻼث ﻓﺌﺎت ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‪ :‬ﺷﺮوح أرﺳﻄﻮﻃﺎﻟﯿﺲ‪ ،‬ﺗﺄﻟﯿﻒ اﺷﺮاﻗﯿﺔ‪ ،‬وﻣﺼﻨﻔﺎت ﻃﺒﯿﺔ‪ .‬ﻓﻤﻦ ﺗﺄﻟﯿﻔﮫ ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻄﺐ‪) :‬ﻛﻼم ﻋﻠﻰ ﺷﻲء ﻣﻦ ﻛﺘﺎب اﻷدوﯾﺔ اﻟﻤﻔﺮدة ﻟﺠﺎﻟﯿﻨﻮس(‪) ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﺘﺠﺮﺑﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ أدوﯾﺔ ﺑﻦ‬ ‫واﻓﺪ(‪) ،‬ﻛﺘﺎب اﺧﺘﺼﺎر اﻟﺤﺎوي ﻟﻠﺮازي(‪ ،‬و )ﻛﻼم ﻓﻲ اﻟﻤﺰاج ﺑﻤﺎ ھﻮ ﻃﺒﻲ(‬

‫‪٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‪ /‬ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ‬

‫ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬

‫اﺑﻦ ﺑﺮﻏﻮث‬ ‫ھﻮ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻋﻤﺮ ﺑﻦ ﻣﺤﻤﺪ‪ ،‬اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺎﺑﻦ ﺑﺮﻏﻮث‪ ،‬ﻣﻦ ﻋﻠﻤﺎء اﻷﻧﺪﻟﺲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬ ‫واﻟﮭﯿﺌﺔ‪ ،‬ﻓﻲ اﻟﻘﺮن اﻟﺨﺎﻣﺲ اﻟﮭﺠﺮي‪ ،‬ﺗﻮﻓﻲ ﺳﻨﺔ ‪ ٤٤٤‬ھـ‪ .‬ذﻛﺮه اﺑﻦ ﺻﺎﻋﺪ اﻷﻧﺪﻟﺴﻲ وﻗﺎل أﻧﮫ‬ ‫ﻛﺎن )ﻣﺘﺤﻘﻘﺎً ﺑﺎﻟﻌﻠﻮم اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ‪ ،‬ﻣﺨﺘﺼﺎً ﻣﻨﮭﺎ ﺑﺈﯾﺜﺎر ﻋﻠﻢ اﻷﻓﻼك‪ ،‬وﺣﺮﻛﺎت اﻟﻜﻮاﻛﺐ‬ ‫وأرﺻﺎدھﺎ(‪ .‬وﻛﺎن ﯾﺸﺘﻐﻞ ﺑﺎﻷرﺻﺎد ﻣﻊ ﻋﺪد ﻣﻦ أﺻﺪﻗﺎﺋﮫ وزﻣﻼﺋﮫ‪ ،‬ﻣﻨﮭﻢ اﺑﻦ اﻟﻠﯿﺚ‪ ،‬واﺑﻦ‬ ‫اﻟﺠﻼب‪ ،‬واﺑﻦ ﺣﻲّ‬

‫اﺑﻦ ﻋﺮاق‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ ﻧﺼﺮ ﻣﻨﺼﻮر ﺑﻦ ﻋﻠﻲ ﺑﻦ ﻋﺮاق‪ ،‬رﯾﺎﺿﻲ وﻓﻠﻜﻲ ﻣﻦ أھﻞ ﺧﻮارزم‪ ،‬وﻛﺎن ﻣﻦ أﺳﺎﺗﺬة‬ ‫أﺑﻲ اﻟﺮﯾﺤﺎن اﻟﺒﯿﺮوﻧﻲ‪ .‬ﻻ ﻧﻜﺎد ﻧﻌﺮف ﻣﻦ ﺣﯿﺎﺗﮫ ﺳﻮى أﻧﮫ راﻓﻖ اﻟﺒﯿﺮوﻧﻲ إﻟﻰ ﻏﺰﻧﺔ ﺳﻨﺔ ‪٤٠٨‬‬ ‫ھـ وأرﺳﻞ إﻟﯿﮫ ﺑﻀﻊ ﻋﺸﺮة رﺳﺎﻟﺔ‪ ،‬وﻗﺪ ﺗﻮﻓﻲ ﻓﻲ ﺣﺪود اﻟﺴﻨﺔ ‪ ٤٢٥‬ھـ‪ .‬ﻣﻦ آﺛﺎره )رﺳﺎﻟﺔ ﻓﻲ‬ ‫إﺻﻼح ﺷﻜﺮ ﻣﻦ ﻛﺘﺎب ﻣﻨﻼوس ﻓﻲ اﻟﻜﺮﯾﺎت(‪ ،‬ﻃﺒﻌﮭﺎ )ﻛﺮاوس( ﻓﻲ ﺑﺮﻟﯿﻦ ﺳﻨﺔ ‪ ١٩٣٦‬م‪ .‬وذﻛﺮ‬ ‫ﻣﻦ ﻣﺆﻟﻔﺎﺗﮫ‪) :‬اﻟﻤﺠﺴﻄﻲ اﻟﺸﺎھﻲ( و )اﻟﺪواﺋﺮ اﻟﺘﻲ ﺗﺤﺪ اﻟﺴﺎﻋﺎت اﻟﺰﻣﺎﻧﯿﺔ(‬

‫اﺑﻦ اﻟﺒﻨﱠﺎء‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ اﻟﻌﺒﺎس أﺣﻤﺪ ﺑﻦ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻋﺜﻤﺎن اﻷزدي اﻟﻤﺮاﻛﺸﻲ‪ .‬ﻋﺮف ﺑﺎﺑﻦ اﻟﺒﻨﺎء ﻷن أﺑﺎه ﻛﺎن‬ ‫ﺑﻨّﺎءً‪ ،‬ﻛﻤﺎ اﺷﺘﮭﺮ ﺑﻠﻘﺐ اﻟﻤﺮاﻛﺸﻲ ﻷﻧﮫ أﻗﺎم ﻓﻲ ﻣﺮاﻛﺶ ودرّس ﻓﯿﮭﺎ‪ ،‬وﻓﯿﮭﺎ ﻣﺎت ﺳﻨﺔ ‪ ٧٢١‬أو‬ ‫‪ ٧٢٣‬ھـ‪ .‬وﻟﺪ ﻓﻲ ﻏﺮﻧﺎﻃﺔ‪ ،‬وﻗﯿﻞ ﻓﻲ ﻣﺮاﻛﺶ‪ ،‬وﯾﺨﺘﻠﻒ ﻣﺘﺮﺟﻤﻮه ﻓﻲ ﺳﻨﺔ وﻻدﺗﮫ‪ ،‬ﻓﯿﺠﻌﻠﻮﻧﮭﺎ‬ ‫ﺑﯿﻦ ‪ ٦٣٩‬ھـ و ‪ ٦٥٦‬ھـ‪.‬‬ ‫ﺗﺒﺤّﺮ اﺑﻦ اﻟﺒﻨﱠﺎء ﻓﻲ ﻋﻠﻮم ﻣﺘﻨﻮّﻋﺔ‪ ،‬إﻻ أﻧﮫ اﺷﺘﮭﺮ ﺧﺎﺻﺔ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت وﻣﺎ إﻟﯿﮭﺎ‪ .‬وﻛﺎن ﻋﺎﻟﻤﺎً‬ ‫ﻣﺜﻤﺮاً‪ ،‬وﺿﻊ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺳﺒﻌﯿﻦ ﻛﺘﺎﺑﺎً ورﺳﺎﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﺪد‪ ،‬واﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ‪ ،‬واﻟﺠﺒﺮ‪ ،‬واﻟﻔﻠﻚ‪،‬‬ ‫ﺿﺎع ﻣﻌﻈﻤﮭﺎ‪ ،‬وﻟﻢ ﯾﻌﺜﺮ اﻟﻌﻠﻤﺎء اﻹﻓﺮﻧﺞ إﻻ ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ﻗﻠﯿﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﻧﻘﻠﻮا ﺑﻌﻀﮫ إﻟﻰ ﻟﻐﺎﺗﮭﻢ‪ .‬وﻗﺪ‬ ‫ﺗﺠﻠّﻰ ﻟﮭﻢ ﻓﻀﻞ اﺑﻦ اﻟﺒﻨﺎء ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺾ اﻟﺒﺤﻮث واﻟﻨﻈﺮﯾﺎت ﻓﻲ اﻟﺤﺴﺎب واﻟﺠﺒﺮ واﻟﻔﻠﻚ‪.‬‬ ‫ﻗﺎﻣﺖ ﺷﮭﺮة اﺑﻦ اﻟﺒﻨﱠﺎء ﻋﻠﻰ ﻛﺘﺎﺑﮫ اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺎﺳﻢ )ﻛﺘﺎب ﺗﻠﺨﯿﺺ أﻋﻤﺎل اﻟﺤﺴﺎب( اﻟﺬي ﯾُﻌﺪ ﻣﻦ‬ ‫أﺷﮭﺮ ﻣﺆﻟﻔﺎﺗﮫ وأﻧﻔﺴﮭﺎ‪ .‬وﻗﺪ ﺑﻘﻲ ﻣﻌﻤﻮﻻً ﺑﮫ ﻓﻲ اﻟﻤﻐﺮب ﺣﺘﻰ ﻧﮭﺎﯾﺔ اﻟﻘﺮن اﻟﺴﺎدس ﻋﺸﺮ‬ ‫ﻟﻠﻤﯿﻼد‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﻓﺎز ﺑﺎھﺘﻤﺎم ﻋﻠﻤﺎء اﻟﻘﺮن اﻟﺘﺎﺳﻊ ﻋﺸﺮ واﻟﻘﺮن اﻟﻌﺸﺮﯾﻦ‪ .‬ﻓﻀﻼً ﻋﻦ ھﺬا اﻟﻜﺘﺎب‬ ‫وﺿﻊ اﺑﻦ اﻟﺒﻨﱠﺎء ﻛﺘﺎﺑﯿﻦ‪ ،‬أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﺴﻤﻰ ﻛﺘﺎب اﻷﺻﻮل واﻟﻤﻘﺪﻣﺎت ﻓﻲ اﻟﺠﺒﺮ واﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ‪ ،‬واﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺠﺒﺮ واﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ‪ .‬وﻻﺑﻦ اﻟﺒﻨﱠﺎء ﻛﺬﻟﻚ رﺳﺎﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ‪ ،‬وأزﯾﺎج ﻓﻲ اﻟﻔﻠﻚ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﻟﮫ ﻛﺘﺎب‬ ‫ﺑﺎﺳﻢ )ﻛﺘﺎب اﻟﻤﻨﺎخ( وﯾﺘﻨﺎول اﻟﺠﺪاول اﻟﻔﻠﻜﯿﺔ وﻛﯿﻔﯿﺔ ﻋﻤﻠﮭﺎ‬

‫اﺑﻦ اﻟﻠﺠﺎﺋﻲ‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ زﯾﺪ ﻋﺒﺪ اﻟﺮﺣﻤﻦ ﺑﻦ أﺑﻲ اﻟﺮﺑﯿﻊ اﻟﻠﺠﺎﺋﻲ‪ ،‬اﻟﻔﺎﺳﻲ‪ ،‬اﺷﺘﻐﻞ ﺑﺎﻟﻔﻠﻚ واﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‪ .‬وﺟﺎء‬ ‫ﻋﻦ أﺑﻦ ﻗﻨﻔﺬ‪) :‬ﻛﺎن ﻟﻠﺠﺎﺋﻲ آﯾﺔ ﻓﻲ ﻓﻨﻮﻧﮫ‪ ،‬وﻣﻦ ﺑﻌﺾ أﻋﻤﺎﻟﮫ أﻧﮫ اﺧﺘﺮع إﺳﻄﺮﻻﺑﺎً ﻣﻠﺼﻮﻗﺎً‬ ‫ﺑﺎﻟﺠﺪار‪ ،‬واﻟﻤﺎء ﯾﺪﯾﺮ ﺷﺒﻜﺘﮫ‪ ،‬ﻓﯿﺄﺗﻲ اﻟﻨﺎﻇﺮ ﻓﯿﻨﻈﺮ إﻟﻰ ارﺗﻔﺎع اﻟﺸﻤﺲ‪ ،‬وﻛﻢ ﻣﻀﻰ ﻣﻦ اﻟﻨﮭﺎر‪،‬‬ ‫وﻛﺬﻟﻚ ﯾﻨﻈﺮ ارﺗﻔﺎع اﻟﻜﻮاﻛﺐ ﺑﺎﻟﻠﯿﻞ‪ .(...‬وﻗﺪ ﺗﻮﻓﻲ ﺳﻨﺔ ‪ ٧٧٣‬ھـ‬

‫‪٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‪ /‬ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ‬

‫ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬

‫اﺑﻦ اﻟﺨﻮام‬ ‫ھﻮ ﻋﻤﺎد اﻟﺪﯾﻦ أﺑﻮ ﻋﻠﻲ ﻋﺒﺪ اﷲ ﺑﻦ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻋﺒﺪ اﻟﺮزّاق اﻟﺤﺮﺑﻮي‪ ،‬اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺎﺑﻦ اﻟﺨﻮام‪،‬‬ ‫ﻃﺒﯿﺐ ورﯾﺎﺿﻲ‪ ،‬وﻟﺪ ﺳﻨﺔ ‪ ٦٤٣‬ھـ وﻋﺎش ﻓﻲ ﺑﻐﺪاد ﻓﻜﺎن رﺋﯿﺲ أﻃﺒﺎﺋﮭﺎ‪ ،‬وﻓﯿﮭﺎ ﺗﻮﻓﻲ ﺳﻨﺔ‬ ‫‪ ٧٣٦‬ھـ‪ .‬وذﻛﺮ ﻣﻦ ﺗﺼﺎﻧﯿﻔﮫ )رﺳﺎﻟﺔ اﻟﻔﺮاﺳﺔ(‪) ،‬ﻣﻘﺪّﻣﺔ ﻓﻲ اﻟﻄﺐ(‪ ،‬و )اﻟﻘﻮاﻋﺪ اﻟﺒﮭﺎﺋﯿﺔ( ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺤﺴﺎب‬

‫اﺑﻦ اﻟﻤﺠﺪي‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ اﻟﻌﺒﺎس ﺷﮭﺎب اﻟﺪﯾﻦ أﺣﻤﺪ ﺑﻦ رﺟﺐ ﺑﻦ ﻃﻨﺒﻐﺎ‪ ،‬اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺎﺑﻦ اﻟﻤﺠﺪي‪ ،‬ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﻲ‬ ‫وﻓﻠﻜﻲ‪ ،‬وﻟﺪ ﺑﺎﻟﻘﺎھﺮة ﺳﻨﺔ ‪ ٧٦٠‬ھـ‪ ،‬وﻓﯿﮭﺎ ﺗﻮﻓﻲ ﻓﻲ ‪ ١٠‬ذي اﻟﻘﻌﺪة ﺳﻨﺔ ‪ ٨٥٠‬ھـ‪ .‬ﻗﺎل‬ ‫اﻟﺴﺨﺎوي ﻓﻲ ﺗﺮﺟﻤﺘﮫ أﻧﮫ )ﺻﺎر رأس اﻟﻨﺎس ﻓﻲ أﻧﻮاع اﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ‪ ،‬واﻟﮭﯿﺌﺔ‪،‬‬ ‫واﻟﻔﺮاﺋﺾ‪ ،‬وﻋﻠﻢ اﻟﻮﻗﺖ ﺑﻼ ﻣﻨﺎزع(‪ .‬وﻗﺎل اﻟﺴﯿﻮﻃﻲ‪) :‬اﺷﺘﻐﻞ‪ ،‬وﺑﺮع ﻓﻲ اﻟﻔﻘﮫ‪ ،‬واﻟﻨﺤﻮ‪،‬‬ ‫واﻟﻔﺮاﺋﺾ‪ ،‬واﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬واﻟﮭﯿﺌﺔ‪ ،‬واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ‪ .(...‬ﺗﺮك آﺛﺎراً ﻋﺪﯾﺪة وﺻﻠﻨﺎ ﺑﻌﻀﮭﺎ ﻓﻲ ﻣﻜﺘﺒﺎت‬ ‫اﻟﻘﺎھﺮة وﻟﯿﺪن وأﻛﺴﻔﻮرد‪ ،‬وأﺷﮭﺮھﺎ‪) :‬اﻟﺪر اﻟﯿﺘﯿﻢ ﻓﻲ ﺻﻨﺎﻋﺔ اﻟﺘﻘﻮﯾﻢ(‪) ،‬إرﺷﺎد اﻟﺤﺎﺋﺮ إﻟﻰ‬ ‫ﺗﺨﻄﯿﻂ ﻓﻀﻞ اﻟﺪواﺋﺮ( ﻓﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﮭﯿﺌﺔ‪) ،‬ﺗﻌﺪﯾﻞ اﻟﻘﻤﺮ(‪) ،‬ﺗﻌﺪﯾﻞ زﺣﻞ(‬

‫اﺑﻦ اﻟﺨﯿﺎط‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ ﺑﻜﺮ ﯾﺤﯿﻰ ﺑﻦ أﺣﻤﺪ اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺎﺑﻦ اﻟﺨﯿﺎط‪ ،‬ﻃﺒﯿﺐ‪ ،‬رﯾﺎﺿﻲ‪ ،‬ﻣﮭﻨﺪس وﻓﻠﻜﻲ‪ ،‬ﻣﻦ ﻋﻠﻤﺎء‬ ‫اﻷﻧﺪﻟﺲ ﻓﻲ اﻟﻘﺮن اﻟﺨﺎﻣﺲ اﻟﮭﺠﺮي‪ .‬ذﻛﺮه ﺻﺎﻋﺪ ﻓﻲ )ﻃﺒﻘﺎت اﻷﻣﻢ(‪ ،‬وﻟﺨﺺ ﻋﻨﮫ ﺗﺮﺟﻤﺘﮫ اﺑﻦ‬ ‫أﺑﻲ أﺻﯿﺒﻌﺔ‪ .‬ﻗﺎل ﺻﺎﻋﺪ أﻧﮫ ﻛﺎن أﺣﺪ ﺗﻼﻣﯿﺬ أﺑﻲ اﻟﻘﺎﺳﻢ اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ ﻓﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﻌﺪد واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ‪ .‬ﺛﻢ‬ ‫ﻣﺎل إﻟﻰ أﺣﻜﺎم اﻟﻨﺠﻮم ﻓﺒﺮع ﻓﯿﮭﺎ‪ .‬وﻛﺎﻧﺖ وﻓﺎﺗﮫ ﺑﻄﻠﯿﻄﻠﺔ ﺳﻨﺔ ‪ ٤٤٧‬ھـ‬

‫اﺑﻦ اﻟﺴﻤﺢ‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ اﻟﻘﺎﺳﻢ اﺻﺒﻎ ﺑﻦ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ اﻟﺴَﻤْﺢ اﻟﻤﮭﺪي اﻟﻐﺮﻧﺎﻃﻲ‪ ،‬ﻣﻦ ﻋﻠﻤﺎء اﻷﻧﺪﻟﺲ‪ .‬أﺧﺬ ﻓﯿﮭﺎ ﻋﻦ‬ ‫أﺑﻲ اﻟﻘﺎﺳﻢ اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ‪ ،‬وﺑﺮع ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‪ ،‬واﻟﮭﯿﺌﺔ‪ ،‬وﻋﻨﻲ ﺑﺎﻟﻄﺐ‪ .‬وردت ﺗﺮﺟﻤﺘﮫ ﻓﻲ ﻛﺘﺎب‬ ‫)ﻃﺒﻘﺎت اﻷﻣﻢ( ﻟﺼﺎﻋﺪ اﻷﻧﺪﻟﺴﻲ‪ ،‬وﻋﻦ ﺻﺎﻋﺪ ﻧﻘﻞ اﺑﻦ أﺑﻲ أﺻﯿﺒﻌﺔ ﻓﻲ ﻛﺘﺎب )ﻋﯿﻮن اﻷﻧﺒﺎء(‪.‬‬ ‫وﺗﻮﻓﻲ اﺑﻦ اﻟﺴﻤﺢ ﻓﻲ ﻏﺮﻧﺎﻃﺔ ﻋﺎم ‪ ٤٢٦‬ھـ وﻣﻦ ﻣﺆﻟﻔﺎت اﺑﻦ اﻟﺴﻤﺢ )اﻟﻤﺪﺧﻞ إﻟﻰ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ(‬ ‫ﻓﻲ ﺗﻔﺴﯿﺮ ﻛﺘﺎب إﻗﻠﯿﺪس‪ ،‬ﻛﺘﺎب )ﺛﻤﺎر اﻟﻌﺪد( ﻓﻲ اﻷﻋﻤﺎل اﻟﺘﺠﺎرﯾﺔ‪) ،‬ﻛﺘﺎب ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﻌﺪد(‪ ،‬ﻛﺘﺎب‬ ‫)ﻓﻲ ﺻﻨﻌﺔ اﻹﺳﻄﺮﻻب(‪) ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﻌﻤﻞ ﺑﺎﻹﺳﻄﺮﻻب(‪) ،‬زﯾﺞ ﻋﻠﻰ ﻣﺬھﺐ اﻟﺴﻨﺪھﻨﺪ(‬

‫اﺑﻦ ﻣﺴﻌﻮد‬ ‫ھﻮ ﺟﻤﺸﯿﺪ ﺑﻦ ﻣﺤﻤﻮد ﺑﻦ ﻣﺴﻌﻮد اﻟﻤﻠﻘﺐ ﺑﻐﯿﺎث اﻟﺪﯾﻦ‪ ،‬وﻟﺪ ﻓﻲ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻣﻦ اﻟﻘﺮن اﻟﺜﺎﻣﻦ‬ ‫ﻟﻠﮭﺠﺮة ﻓﻲ ﻣﺪﯾﻨﺔ ﻛﺎﺷﺎن‪ ،‬وﻟﺬﻟﻚ ﯾﻌﺮف ﺑﺎﻟﻜﺎﺷﺎﻧﻲ وﺑﺎﻟﻜﺎﺷﻲ‪ .‬اﻧﺘﻘﻞ إﻟﻰ ﺳﻤﺮﻗﻨﺪ ﺑﺪﻋﻮة ﻣﻦ‬ ‫)أوﻟﻎ ﺑﻚ( وﻓﯿﮭﺎ ﻇﮭﺮ ﻧﺒﻮﻏﮫ ﻓﻲ ﻋﻠﻮم اﻟﺤﺴﺎب واﻟﻔﻠﻚ واﻟﻄﺒﯿﻌﺔ‪ .‬وﻓﻲ ﺳﻤﺮﻗﻨﺪ أﻟﻒ ﻣﻌﻈﻢ‬ ‫ﻛﺘﺒﮫ‪ .‬وﻗﺪ ﺗﻮﻓﻲ اﺑﻦ ﻣﺴﻌﻮد ﻓﻲ أواﺋﻞ اﻟﻘﺮن اﻟﺘﺎﺳﻊ ﻟﻠﮭﺠﺮة‪ ،‬ﺗﺎرﻛﺎً ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺆﻟﻔﺎت‪،‬‬ ‫أھﻤﮭﺎ‪) :‬ﻛﺘﺎب زﯾﺞ اﻟﺨﺎﻗﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﺗﻜﻤﯿﻞ اﻻﯾﻠﺨﺎﻧﻲ(‪) ،‬ﻧﺰھﺔ اﻟﺤﺪاﺋﻖ( ﻓﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﻔﻠﻚ‪) ،‬اﻟﺮﺳﺎﻟﺔ‬ ‫اﻟﻤﺤﯿﻄﯿﺔ( ﻓﻲ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻧﺴﺒﺔ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﺋﺮة إﻟﻰ ﻗﻄﺮھﺎ‪) ،‬رﺳﺎﻟﺔ اﻟﺠﯿﺐ واﻟﻮﺗﺮ( ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت‪،‬‬ ‫)ﻣﻔﺘﺎح اﻟﺤﺴﺎب( اﻟﺬي اﺳﺘﺨﺪم ﻓﯿﮫ اﻟﻜﺴﻮر اﻟﻌﺸﺮﯾﺔ وﻓﺎﺋﺪة اﻟﺼﻔﺮ‬

‫‪٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‪ /‬ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ‬

‫ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬

‫أﺑﻮ ﺑﻜﺮ ﺑﻦ أﺑﻲ ﻋﯿﺴﻰ‬ ‫ھﻮ أﺣﻤﺪ ﺑﻦ ﻋﻤﺮ ﺑﻦ أﺑﻲ ﻋﯿﺴﻰ اﻷﻧﺼﺎري‪ ،‬رﯾﺎﺿﻲ وﺣﺎﺳﺐ‪ ،‬ﻣﻦ ﻋﻠﻤﺎء اﻷﻧﺪﻟﺲ ﻓﻲ اﻟﻘﺮن‬ ‫اﻟﺮاﺑﻊ اﻟﮭﺠﺮي‪ ،‬ذﻛﺮه اﺑﻦ ﺻﺎﻋﺪة ﻓﻲ )ﻃﺒﻘﺎت اﻷﻣﻢ( وﻗﺎل‪ :‬ﻛﺎن ﻣﺘﻘﺪﻣﺎً ﻓﻲ اﻟﻌﺪد واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ‬ ‫واﻟﻨﺠﻮم‪ ،‬ﻓﻜﺎن ﯾﺠﻠﺲ ﻟﺘﻌﻠﯿﻢ ذﻟﻚ أﯾﺎم اﻟﺤﻜﻢ‬

‫اﺑﻦ ﺳﯿﻨﺎ‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺴﯿﻦ ﺑﻦ ﻋﺒﺪ اﷲ ﺑﻦ اﻟﺤﺴﻦ ﺑﻦ ﻋﻠﻰ ﺑﻦ ﺳﯿﻨﺎ‪ ،‬اﻟﻤﻠﻘﺐ ﺑﺎﻟﺸﯿﺦ اﻟﺮﺋﯿﺲ‪،‬‬ ‫ﻓﯿﻠﺴﻮف‪ ،‬ﻃﺒﯿﺐ وﻋﺎﻟﻢ‪ ،‬وﻣﻦ ﻋﻈﺎم رﺟﺎل اﻟﻔﻜﺮ ﻓﻲ اﻹﺳﻼم وﻣﻦ أﺷﮭﺮ ﻓﻼﺳﻔﺔ اﻟﺸﺮق‬ ‫وأﻃﺒﺎﺋﮫ‪ .‬وﻟﺪ ﻓﻲ ﻗﺮﯾﺔ )أﻓﺸﻨﺔ( اﻟﻔﺎرﺳﯿﺔ ﻓﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻦ ﺳﻨﺔ ‪ ٣٧٠‬ھـ‪ .‬ﺛﻢ اﻧﺘﻘﻞ ﺑﮫ أھﻠﮫ إﻟﻰ‬ ‫ﺑﺨﺎرى ﺣﯿﺚ ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻔﺎرﺳﯿﺔ ﻟﻐﺔ اﻟﺒﻼط‪ ،‬واﻟﻌﺮﺑﯿﺔ ﻟﻐﺔ اﻟﺪﯾﻮان واﻟﻤﺮاﺳﻼت‪ .‬وﻓﻲ ﺑﺨﺎرى ﺗﻌﻤﻖ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﻤﺘﻨﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﻓﻘﮫ وﻓﻠﺴﻔﺔ وﻃﺐ‪ ،‬وﺑﻘﻲ ﻓﻲ ﺗﻠﻚ اﻟﻤﺪﯾﻨﺔ ﺣﺘﻰ ﺑﻠﻮﻏﮫ اﻟﻌﺸﺮﯾﻦ‪ .‬ﺛﻢ‬ ‫اﻧﺘﻘﻞ إﻟﻰ ﺧﻮارزم ﺣﯿﺚ ﻣﻜﺚ ﻧﺤﻮاً ﻣﻦ ﻋﺸﺮ ﺳﻨﻮات )‪ ٤٠٢ - ٣٩٢‬ھـ(‪ ،‬وﻣﻨﮭﺎ إﻟﻰ ﺟﺮﺟﺎن‬ ‫ﻓﺈﻟﻰ اﻟﺮي‪ .‬وﺑﻌﺪ ذﻟﻚ رﺣﻞ إﻟﻰ ھﻤﺬان وﺑﻘﻲ ﻓﯿﮭﺎ ﺗﺴﻊ ﺳﻨﻮات‪ ،‬وﻣﻦ ﺛﻢ دﺧﻞ ﻓﻲ ﺧﺪﻣﺔ ﻋﻼء‬ ‫اﻟﺪوﻟﺔ ﺑﺄﺻﻔﮭﺎن‪ .‬وھﻜﺬا أﻣﻀﻰ ﺣﯿﺎﺗﮫ ﻣﺘﻨﻘﻼً ﺣﺘﻰ وﻓﺎﺗﮫ ﻓﻲ ھﻤﺬان‪ ،‬ﻓﻲ ﺷﮭﺮ ﺷﻌﺒﺎن ﺳﻨﺔ‬ ‫‪ ٤٢٧‬ھـ‬

‫أﺑﻮ ﺟﻌﻔﺮ اﻟﺨﺎزن‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ ﺟﻌﻔﺮ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ اﻟﺤﺴﯿﻦ اﻟﺨﺎزن اﻟﺨﺮاﺳﺎﻧﻲ‪ ،‬ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﻲ ﻓﻠﻜﻲ ﻣﻦ أﺑﻨﺎء اﻟﻘﺮن اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫اﻟﮭﺠﺮي‪ .‬ﻻ ﻧﻜﺎد ﻧﻌﺮف ﺷﯿﺌﺎً ﯾﺬﻛﺮ ﻣﻦ ﺣﯿﺎﺗﮫ ﺳﻮى أﻧﮫ ﺧﺪم اﺑﻦ اﻟﻌﻤﯿﺪ‪ ،‬وزﯾﺮ رﻛﻦ اﻟﺪوﻟﺔ‬ ‫اﻟﺒﻮﯾﮭﻲ‪ .‬وﻟﺪ ﻣﻦ اﻟﻜﺘﺐ‪) :‬ﻛﺘﺎب زﯾﺞ اﻟﺼﻔﺎﺋﺢ( و )ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﻌﺪدﯾﺔ(‪ .‬ﻗﯿﻞ أﻧﮫ أول ﻋﺎﻟﻢ‬ ‫ﺣﻞّ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻜﻌﯿﺒﯿﺔ ھﻨﺪﺳﯿﺎً ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻗﻄﻮع اﻟﻤﺨﺮوط‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﺑﺤﺚ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻋﻠﻰ أﻧﻮاﻋﮭﺎ‬

‫اﺑﻦ اﻟﺼﻔّﺎر‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ اﻟﻘﺎﺳﻢ أﺣﻤﺪ ﺑﻦ ﻋﺒﺪ اﷲ ﺑﻦ ﻋﻤﺮ اﻟﻘﺮﻃﺒﻲ‪ ،‬ﻣﻦ رﯾﺎﺿﯿﻲ اﻷﻧﺪﻟﺲ ﻓﻲ اﻟﻘﺮن اﻟﺨﺎﻣﺲ‬ ‫اﻟﮭﺠﺮي‪ ،‬وﻣﻦ ﺗﻼﻣﺬة أﺑﻲ اﻟﻘﺎﺳﻢ اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ‪ .‬ﺗﺮﺟﻢ ﻟﮫ اﺑﻦ ﺻﺎﻋﺪ اﻷﻧﺪﻟﺴﻲ ﻓﻲ )ﻃﺒﻘﺎت اﻷﻣﻢ(‪،‬‬ ‫وﻗﺎل‪) :‬ﻛﺎن ﻣﺘﺤﻘﻘﺎً ﺑﻌﻠﻢ اﻟﻌﺪد واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ واﻟﻨﺠﻮم‪ ،‬وﻗﻌﺪ ﻓﻲ ﻗﺮﻃﺒﺔ ﻟﺘﻌﻠﯿﻢ ذﻟﻚ‪ ،‬ﻓﺘﺨﺮج ﻋﻠﯿﮫ‬ ‫ﻋﺪد ﻣﻦ ﻣﺸﺎھﯿﺮ اﻟﻌﻠﻤﺎء(‪ .‬وﻣﻦ آﺛﺎر اﺑﻦ اﻟﺼﻔّﺎر زﯾﺞ ﻣﺨﺘﺼﺮ ﻋﻠﻰ ﻣﺬھﺐ اﻟﺴﻨﺪھﻨﺪ‪ ،‬وﻛﺘﺎب‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻌﻤﻞ ﺑﺎﻹﺳﻄﺮﻻب‪ .‬وﻗﺪ ﺧﺮج ﻣﻦ ﻗﺮﻃﺒﺔ ﻋﻠﻰ أﺛﺮ اﻟﻔﺘﻨﺔ‪ ،‬ﻓﺎﻧﺘﻘﻞ إﻟﻰ داﻧﯿﺔ‪ ،‬وﻓﯿﮭﺎ ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫وﻓﺎﺗﮫ ﺣﻮاﻟﻲ اﻟﺴﻨﺔ ‪ ٤٢٦‬ھـ‬

‫اﺑﻦ اﻟﺸﺎﻃﺮ‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ اﻟﺤﺴﻦ ﺑﻦ ﻋﻠﻲ ﺑﻦ إﺑﺮاھﯿﻢ ﺑﻦ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ اﻟﻤﻄﻌﻢ‪ ،‬اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺎﺑﻦ اﻟﺸﺎﻃﺮ‪ ،‬أﺣﺪ رﯾﺎﺿﯿﻲ‬ ‫اﻟﻘﺮن اﻟﺜﺎﻣﻦ ﻟﻠﮭﺠﺮة‪ .‬وﻟﺪ ﺑﺪﻣﺸﻖ ﺳﻨﺔ ‪ ٧٠٤‬ھـ وﺗﻮﻓﻲ ﻓﯿﮭﺎ ﺳﻨﺔ ‪ ٧٧٧‬ھـ‪ .‬ﻛﺎن ﻣﻮﻗﱢﺘﺎً ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺠﺎﻣﻊ اﻷﻣﻮي‪ ،‬ﻋﺎﻟﻤﺎً ﺑﺂﻻت اﻟﺮﺻﺪ وﺑﻌﻠﻢ اﻟﻔﻠﻚ‪ ،‬وأﻟﻒ ﺑﮭﺬﯾﻦ اﻟﻌﻠﻤﯿﻦ‬

‫أﺑﻮ اﻟﺤﺴﻦ ﺑﻦ اﻟﻌﻄﺎر‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ اﻟﺤﺴﻦ ﻋﻼء اﻟﺪﯾﻦ ﻋﻠﻲ اﺑﻦ إﺑﺮاھﯿﻢ‪ ،‬اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺎﺑﻦ اﻟﻌﻄﺎر‪ ،‬ﻧﺴﺒﺔ ﻷﺑﯿﮫ اﻟﺬي ﻛﺎن‬ ‫ﻋﻄﺎراً ﺑﺪﻣﺸﻖ‪ .‬وﻟﺪ ﺳﻨﺔ ‪ ٦٥٤‬ھـ‪ ،‬وﻛﺎن ﻧﺸﯿﻄﺎً ﻓﻲ اﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬وﺗﻮﻓﻲ ﺳﻨﺔ ‪ ٧٢٤‬ھـ‬

‫اﻟﺒﺘﱠﺎﻧﻲ‬ ‫ھﻮ اﺑﻦ ﻋﺒﺪ اﷲ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﺳﻨﺎن ﺑﻦ ﺟﺎﺑﺮ اﻟﺤﺮاﻧﻲ اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺎﺳﻢ اﻟﺒﺘﺎﻧﻲ‪ ،‬وﻟﺪ ﻓﻲ ﺣﺮان‪،‬‬ ‫وﺗﻮﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﻌﺮاق‪ ،‬وھﻮ ﯾﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ أواﺧﺮ اﻟﻘﺮن اﻟﺜﺎﻧﻲ وأواﺋﻞ اﻟﻘﺮن اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻟﻠﮭﺠﺮة‪ .‬وھﻮ ﻣﻦ‬ ‫أﻋﻈﻢ ﻓﻠﻜﯿﻲ اﻟﻌﺎﻟﻢ‪ ،‬إذ وﺿﻊ ﻓﻲ ھﺬا اﻟﻤﯿﺪان ﻧﻈﺮﯾﺎت ﻣﮭﻤﺔ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﻟﮫ ﻧﻈﺮﯾﺎت ﻓﻲ ﻋﻠﻤﻲ اﻟﺠﺒﺮ‬ ‫وﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‪ /‬ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ‬

‫ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬

‫اﻟﺒﻐﺪادي‬ ‫ھﻮ ﻣﻮﻓﻖ اﻟﺪﯾﻦ أﺑﻮ ﻣﺤﻤﺪ ﻋﺒﺪ اﻟﻠﻄﯿﻒ اﻟﺒﻐﺪادي‪ ،‬وﻟﺪ ﻓﻲ ﺑﻐﺪاد ﺳﻨﺔ ‪ ٥٥٧‬ھـ ودرس ﻓﯿﮭﺎ‬ ‫اﻷدب واﻟﻔﻘﮫ‪ ،‬واﻟﻘﺮآن‪ ،‬واﻟﺤﺪﯾﺚ‪ ،‬واﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬واﻟﻔﻠﻚ‪ .‬ﺛﻢ رﺣﻞ إﻟﻰ ﻣﺼﺮ ﺣﯿﺚ ﺗﻌﻤﻖ ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻔﻠﺴﻔﺔ واﻟﻜﯿﻤﯿﺎء‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﯾﺪ ﯾﺲ اﻟﺴﯿﻤﯿﺎﺋﻲ )اﻟﻜﯿﻤﯿﺎﺋﻲ(‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﺗﺨﺼﺺ ﻓﻲ اﻟﻄﺐ ﻋﻠﻰ ﯾﺪ ﻣﻮﺳﻰ‬ ‫ﺑﻦ ﻣﯿﻤﻮن اﻟﻄﺒﯿﺐ‪ .‬اﻧﺘﻘﻞ إﻟﻰ دﻣﺸﻖ ﻟﯿﺸﺘﻐﻞ ﺑﺪراﺳﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﻄﺒﯿﺔ ﻣﺪة ﻣﻦ اﻟﺰﻣﻦ‪ ،‬ﺛﻢ ﻋﺎد إﻟﻰ‬ ‫ﻣﺼﺮ ﻟﯿﺘﺴﻠﻢ إﺣﺪى وﻇﺎﺋﻒ اﻟﺘﺪرﯾﺲ ﻓﻲ اﻷزھﺮ اﻟﺸﺮﯾﻒ أﯾﺎم اﻟﻌﺰﯾﺰ اﺑﻦ ﺻﻼح اﻟﺪﯾﻦ‪ .‬وﻛﺎن‬ ‫اﻟﺘﺪرﯾﺲ ﺑﺎﻷزھﺮ ﺷﺮﻓﺎً ﻻ ﯾﻨﺎﻟﮫ إﻻ ﻣﻦ ﯾﻨﺎﻟﮫ اﻟﺤﻆ ﻣﻦ اﻟﻌﻠﻤﺎء‪ .‬وﻓﻲ أواﺧﺮ ﺣﯿﺎﺗﮫ ﻋﺎد اﻟﺒﻐﺪادي‬ ‫إﻟﻰ دﻣﺸﻖ وﺣﻠﺐ ﺣﯿﺚ ﺗﻮﻓﻲ ﺳﻨﺔ ‪ ٦٢٩‬ھـ‬ ‫ﻣﻦ أھﻢ ﻣﺎ وﺻﻠﻨﺎ ﻣﻦ ﻣﺆﻟﻔﺎت اﻟﺒﻐﺪادي ﻛﺘﺎب )اﻹﻓﺎدة واﻻﻋﺘﺒﺎر( وﻓﯿﮫ ﺗﺤﺪث ﻋﻦ أﺣﻮال ﻣﺼﺮ‬ ‫وﻣﺎ ﺷﺎھﺪه ﻓﯿﮭﺎ‪ .‬ﻛﻤﺎ ﯾﺘﻀﻤﻦ اﻟﻜﺘﺎب وﺻﻔﺎً ﻟﻠﻨﺒﺎﺗﺎت واﻟﺤﯿﻮاﻧﺎت اﻟﺘﻲ رآھﺎ ﻓﻲ ﻣﺼﺮ‪ ،‬ﻣﻊ ذﻛﺮ‬ ‫اﻟﺘﻔﺎﺻﯿﻞ اﻟﺪﻗﯿﻘﺔ‪ ،‬واﻹﺷﺎرة إﻟﻰ اﻟﺨﺼﺎﺋﺺ اﻟﻄﺒﯿﺔ ﻟﻸﻋﺸﺎب‬

‫أﺑﻮ اﻟﺮﺷﯿﺪ اﻟﺮازي‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ اﻟﺮﺷﯿﺪ ﻣُﺒَﺸﱢﺮ ﺑﻦ أﺣﻤﺪ ﺑﻦ ﻋﻠﻲ‪ ،‬رازي اﻷﺻﻞ‪ ،‬ﺑﻐﺪادي اﻟﻤﻮﻟﺪ واﻟﺪار‪ ،‬وﻟﺪ ﺳﻨﺔ ‪٥٣٠‬‬ ‫ھـ‪ .‬اﺷﺘﻐﻞ ﺑﺎﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت وﺑﺮع ﻓﯿﮭﺎ‪ ،‬وﻻﺳﯿﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺤﺴﺎب وﺧﻮاص اﻷﻋﺪاد‪ ،‬واﻟﺠﺒﺮ‪ ،‬واﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ‪،‬‬ ‫واﻟﮭﯿﺌﺔ‪ ،‬وﻗﺴﻤﺔ اﻟﺘﺮﻛﺎت‪ .‬اﻋﺘﻤﺪه اﻟﺨﻠﯿﻔﺔ اﻟﻨﺎﺻﺮ ﻟﺪﯾﻦ اﷲ ﻓﻲ اﺧﺘﯿﺎر اﻟﻜﺘﺐ ﻟﺨﺰاﺋﻦ اﻟﻜﺘﺐ‬ ‫ﺑﺎﻟﺪار اﻟﺨﻠﯿﻔﯿﺔ‪ ،‬وأرﺳﻠﮫ ﻣﻮﻓﺪاً إﻟﻰ اﻟﻤﻠﻚ اﻟﻌﺎدل ﺑﻦ أﺑﻲ ﺑﻜﺮ اﻷﯾﻮﺑﻲ إﻟﻰ ﺑﻼد اﻟﻤﻮﺻﻞ‪ .‬ﻓﻠﻘﯿﮫ‬ ‫ﻓﻲ ﻧﺼﯿﺒﯿﻦ وﺗﻮﻓﻲ ھﻨﺎك ﺳﻨﺔ ‪ ٥٨٩‬ھـ‬

‫أﺑﻮ ﺳﮭﻞ اﻟﻜﻮھﻲ‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ ﺳﮭﻞ وَﯾْﺠَﻦ ﺑﻦ وﺷﻢ اﻟﻜﻮھﻲ‪ ،‬ﻣﻦ اﻟﻌﻠﻤﺎء اﻟﺬﯾﻦ اﺷﺘﻐﻠﻮا ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت واﻟﻔﻠﻚ وﻣﺮاﻛﺰ‬ ‫اﻷﺛﻘﺎل‪ ،‬ﻓﻲ ﻋﮭﺪ اﻟﺪوﻟﺔ اﻟﺒﻮﯾﮭﯿﺔ‪ .‬أﺻﻠﮫ ﻣﻦ ﻃﺒﺮﺳﺘﺎن‪ ،‬ﻗﺪم ﺑﻐﺪاد وﺑﺮز ﻓﻲ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻘﺮن اﻟﺮاﺑﻊ اﻟﮭﺠﺮي‪) ،‬وﻛﺎن ﺣﺴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﺎﻟﮭﻨﺪﺳﺔ وﻋﻠﻢ اﻟﮭﯿﺌﺔ‪ ،‬ﻣﺘﻘﺪﻣﺎً ﻓﯿﮭﻤﺎ إﻟﻰ اﻟﻐﺎﯾﺔ‬ ‫اﻟﻤﺘﻨﺎھﯿﺔ( ﻋﻠﻰ ﻗﻮل اﺑﻦ اﻟﻌﺒﺮي‪ .‬واﺷﺘﮭﺮ ﺑﺼﻨﻊ اﻵﻻت اﻟﺮﺻﺪﯾﺔ‪ ،‬وإﺟﺮاء اﻷرﺻﺎد اﻟﺪﻗﯿﻘﺔ‪.‬‬ ‫وﻗﺪ ﻋﮭﺪ إﻟﯿﮫ ﺷﺮف اﻟﺪوﻟﺔ اﻟﺮﺻﺪ ﻓﻲ اﻟﻤﺮﺻﺪ اﻟﺬي ﺑﻨﺎه ﻓﻲ ﺑﺴﺘﺎن داره ﺑﺒﻐﺪاد‪ .‬ﻓﺮﺻﺪ ﻓﯿﮫ‬ ‫اﻟﻜﻮھﻲ اﻟﻜﻮاﻛﺐ اﻟﺴﺒﻌﺔ ﺗﻨﻘﻠﮭﺎ وأﺑﺮاﺟﮭﺎ‪ .‬ﻛﻤﺎ ﺑﺤﺚ ﻓﻲ ﻣﺮاﻛﺰ اﻷﺛﻘﺎل‪ ،‬ﻓﺘﻮﺳﻊ ﻓﯿﮭﺎ واﺳﺘﻌﻤﻞ‬ ‫اﻟﺒﺮاھﯿﻦ اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ ﻟﺤﻞ ﺑﻌﺾ ﻣﺴﺎﺋﻠﮭﺎ‪ .‬وﻟﻠﻜﻮھﻲ رﺳﺎﺋﻞ وﻣﺆﻟﻔﺎت ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت واﻟﻔﻠﻚ ﻧﺬﻛﺮ‬ ‫ﺑﻌﻀﮭﺎ‪) :‬ﻛﺘﺎب ﻣﺮاﻛﺰ اﻷﻛﺮ(‪) ،‬ﻛﺘﺎب ﺻﻔﺔ اﻹﺳﻄﺮﻻب(‪) ،‬ﻛﺘﺎب اﻷﺻﻮل ﻓﻲ ﺗﺤﺮﯾﻜﺎت ﻛﺘﺎب‬ ‫إﻗﻠﯿﺪس(‪) ،‬اﻟﺒﺮﻛﺎر اﻟﺘﺎم واﻟﻌﻤﻞ ﺑﮫ(‪ .‬وﻛﺎﻧﺖ وﻓﺎة اﻟﻜﻮھﻲ ﺣﻮاﻟﻲ اﻟﺴﻨﺔ ‪ ٣٩٠‬ھـ‬

‫اﻟﺒﻮزﺟَﺎﻧﻲ‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ اﻟﻮﻓﺎء ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﯾﺤﯿﻰ ﺑﻦ إﺳﻤﺎﻋﯿﻞ ﺑﻦ اﻟﻌﺒﺎس اﻟﺒﻮزﺟﺎﻧﻲ‪ ،‬ﻣﻦ أﻋﻈﻢ رﯾﺎﺿﯿﻲ اﻟﻌﺮب‪،‬‬ ‫وﻣﻦ اﻟﺬﯾﻦ ﻟﮭﻢ ﻓﻀﻞ ﻛﺒﯿﺮ ﻓﻲ ﺗﻘﺪم اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ‪ .‬وﻟﺪ ﻓﻲ ﺑﻮزﺟﺎن‪ ،‬وھﻲ ﺑﻠﺪة ﺻﻐﯿﺮة ﺑﯿﻦ‬ ‫ھﺮاة وﻧﯿﺴﺎﺑﻮر‪ ،‬ﻓﻲ ﻣﺴﺘﮭﻞ رﻣﻀﺎن ﺳﻨﺔ ‪ ٣٢٨‬ھـ‪ .‬ﻗﺮأ ﻋﻠﻰ ﻋﻤﮫ اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺄﺑﻲ ﻋﻤﺮو‬ ‫اﻟﻤﻐﺎزﻟﻲ‪ ،‬وﻋﻠﻰ ﺧﺎﻟﮫ اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺄﺑﻲ ﻋﺒﺪ اﷲ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻋﻨﺒﺴﺔ‪ ،‬ﻣﺎ ﻛﺎن ﻣﻦ اﻟﻌﺪدﯾّﺎت‬ ‫واﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺎت‪ .‬وﻟﻤﺎ ﺑﻠﻎ اﻟﻌﺸﺮﯾﻦ ﻣﻦ اﻟﻌﻤﺮ اﻧﺘﻘﻞ إﻟﻰ ﺑﻐﺪاد ﺣﯿﺚ ﻓﺎﺿﺖ ﻗﺮﯾﺤﺘﮫ وﻟﻤﻊ اﺳﻤﮫ‬ ‫وﻇﮭﺮ ﻟﻠﻨﺎس إﻧﺘﺎﺟﮫ ﻓﻲ ﻛﺘﺒﮫ ورﺳﺎﺋﻠﮫ وﺷﺮوﺣﮫ ﻟﻤﺆﻟﻔﺎت إﻗﻠﯿﺪس ودﯾﻮﻓﻨﻄﺲ واﻟﺨﻮارزﻣﻲ‬ ‫وﻓﻲ ﺑﻐﺪاد ﻗﺪم أﺑﻮ اﻟﻮﻓﺎء ﺳﻨﺔ ‪ ٣٧٠‬ھـ أﺑﺎ ﺣﯿﺎن اﻟﺘﻮﺣﯿﺪي إﻟﻰ اﻟﻮزﯾﺮ اﺑﻦ ﺳﻌﺪان‪ .‬ﻓﺒﺎﺷﺮ ﻓﻲ‬ ‫داره ﻣﺠﺎﻟﺴﮫ اﻟﺸﮭﯿﺮة اﻟﺘﻲ دوّن أﺣﺪاﺛﮭﺎ ﻓﻲ ﻛﺘﺎب )اﻻﻣﺘﺎع واﻟﺆاﻧﺴﺔ( وﻗﺪﻣﮫ إﻟﻰ أﺑﻲ اﻟﻮﻓﺎء‬ ‫وﻓﻲ ﺑﻐﺪاد ﻗﻀﻰ اﻟﺒﻮزﺟﺎﻧﻲ ﺣﯿﺎﺗﮫ ﻓﻲ اﻟﺘﺄﻟﯿﻒ واﻟﺮﺻﺪ واﻟﺘﺪرﯾﺲ‪ .‬وﻗﺪ اﻧﺘﺨﺐ ﻟﯿﻜﻮن أﺣﺪ‬ ‫أﻋﻀﺎء اﻟﻤﺮﺻﺪ اﻟﺬي أ‪،‬ﺷﺄه ﺷﺮف اﻟﺪوﻟﺔ‪ ،‬ﻓﻲ ﺳﺮاﯾﺔ‪ ،‬ﺳﻨﺔ ‪ ٣٧٧‬ھـ‪ .‬وﻛﺎﻧﺖ وﻓﺎﺗﮫ ﻓﻲ ‪٣‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‪ /‬ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ‬

‫ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬

‫رﺟﺐ ‪ ٣٨٨‬ھـ ﻋﻠﻰ اﻷرﺟﺢ‪.‬‬ ‫ﯾﻌﺘﺒﺮ أﺑﻮ اﻟﻮﻓﺎء أﺣﺪ اﻷﺋﻤﺔ اﻟﻤﻌﺪودﯾﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻠﻚ واﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‪ ،‬وﻟﮫ ﻓﯿﮭﺎ ﻣﺆﻟﻔﺎت ﻗﯿﻤﺔ‪ ،‬وﻛﺎن‬ ‫ﻣﻦ أﺷﮭﺮ اﻟﺬﯾﻦ ﺑﺮﻋﻮا ﻓﻲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ‪ ،‬أﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺠﺒﺮ ﻓﻘﺪ زاد ﻋﻠﻰ ﺑﺤﻮث اﻟﺨﻮارزﻣﻲ زﯾﺎدات‬ ‫ﺗﻌﺘﺒﺮ أﺳﺎﺳﺎً ﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺠﺒﺮ ﺑﺎﻟﮭﻨﺪﺳﺔ‪ ،‬وھﻮ أول ﻣﻦ وﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ )ﻇﻞّ( وھﻮ أول ﻣﻦ‬ ‫اﺳﺘﻌﻤﻠﮭﺎ ﻓﻲ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ‪ ،‬وأدﺧﻞ اﻟﺒﻮزﺟﺎﻧﻲ اﻟﻘﺎﻃﻊ واﻟﻘﺎﻃﻊ ﺗﻤﺎم‪ ،‬ووﺿﻊ‬ ‫اﻟﺠﺪاول اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ ﻟﻠﻤﺎس‪ ،‬وأوﺟﺪ ﻃﺮﯾﻘﺔ ﺟﺪﯾﺪة ﻟﺤﺴﺎب ﺟﺪول اﻟﺠﯿﺐ‪ ،‬وﻛﺎﻧﺖ ﺟﺪاوﻟﮫ دﻗﯿﻘﺔ‪،‬‬ ‫ﺣﺘﻰ أن ﺟﯿﺐ زاوﯾﺔ ‪ ٣٠‬درﺟﺔ ﻛﺎن ﺻﺤﯿﺤﺎً إﻟﻰ ﺛﻤﺎﻧﯿﺔ أرﻗﺎم ﻋﺸﺮﯾﺔ‪ ،‬ووﺿﻊ اﻟﺒﻮزﺟﺎﻧﻲ ﺑﻌﺾ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻌﻠﻖ ﺑﺠﯿﺐ زاوﯾﺘﯿﻦ‪ ،‬وﻛﺸﻒ ﺑﻌﺾ اﻟﻌﻼﻗﺎت ﺑﯿﻦ اﻟﺠﯿﺐ واﻟﻤﻤﺎس واﻟﻘﺎﻃﻊ‬ ‫وﻧﻈﺎﺋﺮھﺎ‬ ‫وﻇﮭﺮت ﻋﺒﻘﺮﯾﺔ اﻟﺒﻮزﺟﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﻧﻮاح أﺧﺮى ﻛﺎن ﻟﮭﺎ اﻷﺛﺮ اﻟﻜﺒﯿﺮ ﻓﻲ ﻓﻦ اﻟﺮﺳﻢ‪ .‬ﻓﻮﺿﻊ ﻛﺘﺎﺑﺎً‬ ‫ﻋﻨﻮاﻧﮫ )ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﻋﻤﻞ اﻟﻤﺴﻄﺮة واﻟﺒﺮﻛﺎر واﻟﻜﻮﻧﯿﺎ( وﯾﻘﺼﺪ ﺑﺎﻟﻜﻮﻧﯿﺎ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ‪.‬‬ ‫وﻓﻲ ھﺬا اﻟﻜﺘﺎب ﻃﺮق ﺧﺎﺻﺔ ﻣﺒﺘﻜﺮة ﻟﻜﯿﻔﯿﺔ اﻟﺮﺳﻢ واﺳﺘﻌﻤﺎل اﻵﻻت ذﻟﻚ‬ ‫وﻷﺑﻲ اﻟﻮﻓﺎء‪ ،‬ﻏﯿﺮ ﻣﺎ ذﻛﺮ‪ ،‬ﻣﺆﻟﻔﺎت ﻗﯿﻤﺔ‪ ،‬ورﺳﺎﺋﻞ ﻧﻔﯿﺴﺔ‪ ،‬ﻣﻨﮭﺎ‪ :‬ﻛﺘﺎب ﻣﺎ ﯾﺤﺘﺎج إﻟﯿﮫ اﻟﻌﻤﺎل‬ ‫واﻟﻜﺘﺎب ﻣﻦ ﺻﻨﺎﻋﺔ اﻟﺤﺴﺎب وﻗﺪ اﺷﺘﮭﺮ ﺑﺎﺳﻢ ﻛﺘﺎب ﻣﻨﺎزل اﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﯿﻤﺎ ﯾﺤﺘﺎج إﯾﮫ‬ ‫اﻟﺼﻨﺎع ﻣﻦ أﻋﻤﺎل اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ‪ ،‬ﻛﺘﺎب إﻗﺎﻣﺔ اﻟﺒﺮاھﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻚ ﻣﻦ ﻗﻮس اﻟﻨﮭﺎر‪ ،‬ﻛﺘﺎب‬ ‫ﺗﻔﺴﯿﺮ ﻛﺘﺎب اﻟﺨﻮارزﻣﻲ ﻓﻲ اﻟﺠﺒﺮ واﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺪﺧﻞ إﻟﻰ اﻷرﺗﻤﺎﻃﯿﻘﻲ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻣﻌﺮﻓﺔ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻚ‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﻜﺎﻣﻞ‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﺳﺘﺨﺮاج اﻷوﺗﺎر‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺠﺴﻄﻲ‬ ‫وﺧﻼﺻﺔ اﻟﻘﻮل أن اﻟﺒﻮزﺟﺎﻧﻲ أﺑﺮع ﻋﻠﻤﺎء اﻟﻌﺮب اﻟﺬﯾﻦ ﻛﺎن ﻟﺒﺤﻮﺛﮭﻢ وﻣﺆﻟﻔﺎﺗﮭﻢ اﻷﺛﺮ اﻟﻜﺒﯿﺮ‬ ‫ﻓﻲ ﺗﻘﺪم اﻟﻌﻠﻮم‪ ،‬وﻻ ﺳﯿﻤﺎ اﻟﻔﻠﻚ‪ ،‬واﻟﻤﺜﻠﺜﺎت‪ ،‬وأﺻﻮل اﻟﺮﺳﻢ‪ .‬ﻛﻤﺎ ﻛﺎن ﻣﻦ اﻟﺬﯾﻦ ﻣﮭّﺪوا اﻟﺴﺒﯿﻞ‬ ‫ﻹﯾﺠﺎد اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ‪ ،‬ﺑﻮﺿﻌﮫ ﺣﻠﻮﻻً ھﻨﺪﺳﯿﺔ ﻟﺒﻌﺾ اﻟﻤﻌﺎدﻻت‪ ،‬واﻷﻋﻤﺎل اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ اﻟﻌﺎﻟﯿﺔ‬

‫اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ‬ ‫وﻟﺪ أﺑﻮ اﻟﻘﺎﺳﻢ ﺳﻠﻤﺔ ﺑﻦ أﺣﻤﺪ ﺑﻤﺪﯾﻨﺔ ﻣﺠﺮﯾﻂ )ﻣﺪرﯾﺪ( ﻓﻲ اﻷﻧﺪﻟﺲ‪ ،‬ﻓﻲ ﺳﻨﺔ ‪ ٣٤٠‬ھـ‪ ،‬وﺗﻮﻓﻲ‬ ‫ﻓﻲ ﺳﻨﺔ ‪ ٣٩٧‬ھـ ﻋﻦ ﺳﺒﻌﺔ وﺧﻤﺴﯿﻦ ﻋﺎﻣﺎً‪ .‬اھﺘﻢ ﺑﺪراﺳﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ‪ ،‬ﻓﺘﻌﻤﻖ ﺑﮭﺎ ﺣﺘﻰ‬ ‫ﺻﺎر إﻣﺎم اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﯿﻦ ﻓﻲ اﻷﻧﺪﻟﺲ‪ .‬ﻛﻤﺎ أﻧﮫ اﺷﺘﻐﻞ ﺑﺎﻟﻌﻠﻮم اﻟﻔﻠﻜﯿﺔ وﻛﺎﻧﺖ ﻟﮫ ﻓﯿﮭﺎ ﻣﻮاﻗﻒ وآراء‪،‬‬ ‫ﻓﻀﻼً ﻋﻦ اﻟﻜﯿﻤﯿﺎء وﺳﺎﺋﺮ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﻤﻌﺮوﻓﺔ‬ ‫ﺗﺮك اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ ﻣﺆﻟﻔﺎت ﻋﻠﻤﯿﺔ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ أھﻤﮭﺎ‪ :‬رﺗﺒﺔ اﻟﺤﻜﻢ )ﻓﻲ اﻟﻜﯿﻤﯿﺎء(‪ ،‬ﻏﺎﯾﺔ اﻟﺤﻜﯿﻢ )ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻜﯿﻤﯿﺎء( وﻗﺪ ﻧُﻘﻞ إﻟﻰ اﻟﻼﺗﯿﻨﯿﺔ‬ ‫ﻋﻨﻲ اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ ﺑﺰﯾﺞ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ وزاد ﻋﻠﯿﮫ‪ ،‬وﻟﮫ رﺳﺎﻟﺔ ﻓﻲ آﻟﺔ اﻟﺮﺻﺪ‪ ،‬وﺑﺎﻹﺳﻄﺮﻻب‪ .‬وﻗﺪ‬ ‫ﺗﺮك أﺑﺤﺎﺛﺎً ﻗﯿﻤﺔ ﻓﻲ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻓﺮوع اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻛﺎﻟﺤﺴﺎب واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ‪ ،‬ﻓﻀﻼً ﻋﻦ ﻣﺆﻟﻔﺎﺗﮫ ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻜﯿﻤﯿﺎء‪ .‬واھﺘﻢ اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ ﻛﺬﻟﻚ ﺑﺘﺘﺒﻊ ﺗﺎرﯾﺦ اﻟﺤﻀﺎرات اﻟﻘﺪﯾﻤﺔ‪ .‬وﻣﻦ اﻟﺪراﺳﺎت اﻟﻤﮭﻤﺔ اﻟﺘﻲ‬ ‫رﻛﺰ ﻋﻠﯿﮭﺎ اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﺒﯿﺌﺔ‬ ‫وﻓﻲ اﻟﺨﺎﺗﻤﺔ ﻧﻘﻮل أن اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ ﯾﻊ ﺻﺎﺣﺐ ﻣﺪرﺳﺔ ﻣﮭﻤﺔ ﻓﻲ ﺣﻘﻞ اﻟﻌﻠﻮم‪ ،‬ﺗﺄﺛﺮ ﺑﺂراﺋﮭﺎ اﻟﻌﺪﯾﺪ‬ ‫ﻣﻦ اﻟﻌﻠﻤﺎء اﻟﻼﺣﻘﯿﻦ‪ ،‬أﻣﺜﺎل اﻟﺰھﺮاوي اﻟﻄﺒﯿﺐ اﻷﻧﺪﻟﺴﻲ اﻟﻤﺸﮭﻮر‪ ،‬واﻟﻐﺮﻧﺎﻃﻲ‪ ،‬واﻟﻜﺮﻣﺎﻧﻲ‪،‬‬ ‫واﺑﻦ ﺧﻠﺪون اﻟﺬي ﻧﻘﻞ ﻋﻦ اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ ﺑﻌﺾ اﻵراء اﻟﺘﻲ أدرﺟﮭﺎ ﻓﻲ ﻣﻘﺪﻣﺘﮫ‬

‫أﺣﻤﺪ ﺑﻦ اﻟﺴﺮاج‬ ‫ھﻮ أﺣﻤﺪ ﺑﻦ أﺑﻲ ﺑﻜﺮ ﺑﻦ ﻋﻠﻲ ﺑﻦ اﻟﺴﺮاج‪ ،‬ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﻲ ﻣﻦ أﺑﻨﺎء اﻟﻘﺮن اﻟﺜﺎﻣﻦ اﻟﮭﺠﺮي‪.‬‬ ‫ﯾﻌﺮف ﻣﻦ ﻣﺼﻨﻔﺎﺗﮫ‪) :‬ﻣﺴﺎﺋﻞ ھﻨﺪﺳﯿﺔ(‪) ،‬رﺳﺎﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﺮﺑﻊ اﻟﻤﺠﻨّﺢ ﻓﻲ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺟﯿﺐ اﻟﻘﻮس‬ ‫وﻗﻮس اﻟﺠﯿﺐ(‪ ،‬و )رﺳﺎﻟﺔ ﻓﻲ ﺗﺴﻄﯿﺢ اﻟﻜﺮة(‬

‫‪١٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‪ /‬ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ‬

‫ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬

‫أﺑﻮ ﻣﻌﺸﺮ اﻟﺒﻠﺨﻲ‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ ﻣﻌﺸﺮ ﺟﻌﻔﺮ ﺑﻦ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻋﻤﺮ اﻟﺒﻠﺨﻲ‪ ،‬ﻣﻦ ﻛﺒﺎر ﻋﻠﻤﺎء اﻟﻨﺠﻮم ﻓﻲ اﻹﺳﻼم‪ ،‬وﻣﻦ‬ ‫أوﺳﻌﮭﻢ ﺷﮭﺮة ﻓﻲ أوروﺑﺎ ﻣﻨﺬ اﻟﻘﺮون اﻟﻮﺳﻄﻰ‪ ،‬وھﻮ ﯾﻌﺮف ﺑﺎﺳﻢ )أﻟﺒﻮﻣﺎﺳﺮ(‪ .‬وﻟﺪ ﻓﻲ ﺑَﻠْﺦ‪،‬‬ ‫ﺷﺮﻗﻲ ﺧﺮاﺳﺎن‪ ،‬وﻗﺪم ﺑﻐﺪاد ﻃﻠﺒﺎً ﻟﻠﻌﻠﻢ‪ ،‬ﻓﻜﺎن ﻣﻨﺰﻟﮫ ﻓﻲ اﻟﺠﺎﻧﺐ اﻟﻐﺮﺑﻲ ﻣﻨﮭﺎ ﺑﺒﺎب ﺧﺮاﺳﺎن‪،‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻣﺎ ﺟﺎء ﻓﻲ )اﻟﻔﮭﺮﺳﺖ(‪ .‬وﻛﺎن أوﻻً ﻣﻦ أﺻﺤﺎب اﻟﺤﺪﯾﺚ‪ ،‬ﺛﻢ دﺧﻞ ﻓﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﺤﺴﺎب‬ ‫واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ‪ ،‬وﻋﺪل إﻟﻰ ﻋﻠﻢ أﺣﻜﺎم اﻟﻨﺠﻮم‪ .‬ﺳﻜﻦ واﺳﻂ وﻓﯿﮭﺎ ﻣﺎت ﻓﻲ ‪ ٢٨‬رﻣﻀﺎن ﺳﻨﺔ ‪٢٧٢‬‬ ‫ھـ‪.‬‬ ‫ﺗﺮك أﺑﻮ ﻣﻌﺸﺮ ﻣﺼﻨّﻔﺎت ﺟﻤّﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﺠﻮم‪ ،‬وذﻛﺮ ﻣﻨﮭﺎ اﺑﻦ اﻟﻨﺪﯾﻢ ﺑﻀﻌﺔ وﺛﻼﺛﯿﻦ ﻛﺘﺎﺑﺎً‪ ،‬وﻣﻦ‬ ‫اﻵﺛﺎر اﻟﺘﻲ وﺻﻠﺘﻨﺎ ﻣﻨﮫ‪ :‬ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺪﺧﻞ اﻟﻜﺒﯿﺮ اﻟﺬي ﺗﺮﺟﻢ وﻃﺒﻊ ﻋﺪة ﻣﺮات‪ ،‬ﻛﺘﺎب أﺣﻜﺎم ﺗﺤﺎوﯾﻞ‬ ‫ﺳﻨﻲ اﻟﻤﻮاﻟﯿﺪ اﻟﺬي ﺗﺮﺟﻢ أﯾﻀﺎً وﻃﺒﻊ ﻋﺪة ﻣﺮات‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻣﻮاﻟﯿﺪ اﻟﺮﺟﺎل واﻟﻨﺴﺎء‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻷﻟﻮف‬ ‫ﻓﻲ ﺑﯿﻮت اﻟﻌﺒﺎدات‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﺰﯾﺞ اﻟﻜﺒﯿﺮ‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﺰﯾﺞ اﻟﺼﻐﯿﺮ‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﻤﻮاﻟﯿﺪ اﻟﻜﺒﯿﺮ‪ ،‬ﻛﺘﺎب‬ ‫اﻟﻤﻮاﻟﯿﺪ اﻟﺼﻐﯿﺮ‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﺠﻤﮭﺮة‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻻﺧﺘﯿﺎرات‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻷﻧﻮار‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻷﻣﻄﺎر واﻟﺮﯾﺎح وﺗﻐﯿﺮ‬ ‫اﻷھﻮﯾﺔ‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﺴﮭﻤﯿﻦ وأﻋﻤﺎر اﻟﻤﻠﻮك واﻟﺪول‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻗﺘﺮان اﻟﻨﺤﺴﯿﻦ ﻓﻲ ﺑﺮج اﻟﺴﺮﻃﺎن‪،‬‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺰاﺟﺎت‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﺗﻔﺴﯿﺮ اﻟﻤﻨﺎﻣﺎت ﻣﻦ اﻟﻨﺠﻮم‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻷﻗﺎﻟﯿﻢ‬

‫أﺑﻮ ﻛﺎﻣﻞ اﻟﺤﺎﺳﺐ‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ ﻛﺎﻣﻞ ﺷﺠﺎع ﺑﻦ أﺳﻠﻢ ﺑﻦ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﺷﺠﺎع‪ ،‬اﻟﺤﺎﺳﺐ‪ ،‬اﻟﻤﺼﺮي‪ ،‬ﻣﮭﻨﺪس وﻋﺎﻟﻢ‬ ‫ﺑﺎﻟﺤﺴﺎب‪ .‬ﻋﺎش ﻓﻲ اﻟﻘﺮن اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻟﻠﮭﺠﺮة‪ ،‬وﻟﻢ ﺗﺬﻛﺮ ﻋﻨﮫ اﻟﻤﺼﺎدر اﻟﻌﺮﺑﯿﺔ اﻟﻘﺪﯾﻤﺔ ﻣﺎ ﯾﺰﯾﻞ‬ ‫اﻟﻐﻤﻮض اﻟﻤﺤﯿﻂ ﺑﺘﺎرﯾﺦ ﺣﯿﺎﺗﮫ‪ .‬ﺟﺎء ﻓﻲ ﻛﺘﺎب )أﺧﺒﺎر اﻟﻌﻠﻤﺎء ﺑﺄﺧﺒﺎر اﻟﺤﻜﻤﺎء(‪) :‬وﻛﺎن ﻓﺎﺿﻞ‬ ‫وﻗﺘﮫ‪ ،‬وﻋﺎﻟﻢ زﻣﺎﻧﮫ‪ ،‬وﺣﺎﺳﺐ أواﻧﮫ‪ .‬وﻟﮫ ﺗﻼﻣﯿﺬ ﺗﺨﺮﺟﻮا ﺑﻌﻠﻤﮫ(‪ .‬وذﻛﺮه اﺑﻦ اﻟﻨﺪﯾﻢ ﻓﻲ‬ ‫)اﻟﻔﮭﺮﺳﺖ( اﺑﻦ ﺣﺠﺮ ﻓﻲ )ﻟﺴﺎن اﻟﻤﯿﺰان(‪ .‬وﯾﻌﺘﺒﺮ ﻣﻦ أﻋﻈﻢ ﻋﻠﻤﺎء اﻟﺤﺴﺎب ﻓﻲ اﻟﻌﺼﺮ اﻟﺬي‬ ‫ﺗﺒﻊ ﻋﺼﺮ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ‬ ‫ذﻛﺮ ﻟﻠﺤﺎﺳﺐ ﻋﺪة ﻣﺆﻟﻔﺎت ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت واﻟﻔﻠﻚ وﻏﯿﺮ ذﻟﻚ‪ ،‬ﻣﻨﮭﺎ‪ :‬ﻛﺘﺎب اﻟﺠﻤﻊ واﻟﺘﻔﺮﯾﻖ‪،‬‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﺨﻄﺄﯾﻦ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻛﻤﺎل اﻟﺠﺒﺮ وﺗﻤﺎﻣﮫ واﻟﺰﯾﺎدة ﻓﻲ أﺻﻮﻟﮫ وﯾﻌﺮف ﺑﻜﺘﺎب اﻟﻜﺎﻣﻞ‪ ،‬ﻛﺘﺎب‬ ‫اﻟﻮﺻﺎﯾﺎ ﺑﺎﻟﺠﺒﺮ واﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﺠﺒﺮ واﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﻮﺻﺎﯾﺎ ﺑﺎﻟﺠﺬور‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﺸﺎﻣﻞ‪ .‬وﯾﻤﻜﻦ‬ ‫اﻟﻘﻮل أن أﺑﺎ ﻛﺎﻣﻞ ﻗﺪ اﻋﺘﻤﺪ ﻛﺜﯿﺮاً ﻋﻠﻰ ﻛﺘﺐ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ‪ ،‬وأوﺿﺢ ﺑﻌﺾ اﻟﻘﻀﺎﯾﺎ ﻓﯿﮭﺎ‪ .‬وﻛﺬﻟﻚ‬ ‫أوﺿﺢ ﻓﻲ ﻣﺆﻟﻔﺎﺗﮫ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻛﺜﯿﺮة ﺣﻠّﮭﺎ ﺑﻄﺮﯾﻘﺔ ﻣﺒﺘﻜﺮة ﻟﻢ ﯾﺴﺒﻖ إﻟﯿﮭﺎ‪ .‬وﻟﮫ ﻛﺘﺐ أﺧﺮى ﻣﺜﻞ‪:‬‬ ‫ﻛﺘﺎب اﻟﻜﻔﺎﯾﺔ‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﻄﯿﺮ )درس ﻓﯿﮫ أﺳﺎﻟﯿﺐ اﻟﻄﯿﺮان(‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻣﻔﺘﺎح‬ ‫اﻟﻔﻼﺣﺔ‪ .‬واﺷﺘﮭﺮ ﺑﺮﺳﺎﻟﺔ اﻟﻤﺨﻤﺲ واﻟﻤﻌﺸﺮ‪ ،‬وﻛﺬﻟﻚ ﺑﻜﺘﺒﮫ ﻓﻲ اﻟﺠﺒﺮ واﻟﺤﺴﺎب‪ .‬وﻛﺎن وﺣﯿﺪ‬ ‫ﻋﺼﺮه ﻓﻲ ﺣﻞّ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ‪ ،‬وﻓﻲ اﺳﺘﻌﻤﺎﻟﮭﺎ ﻟﺤﻞّ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ‪ ،‬وﻗﺪ ﺑﻘﻲ أﺑﻮ ﻛﺎﻣﻞ‬ ‫اﻟﺤﺎﺳﺐ ﻣﺮﺟﻌﺎً ﻟﺒﻌﺾ ﻋﻠﻤﺎء أوروﺑﺎ ﺣﺘﻰ اﻟﻘﺮن اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻋﺸﺮ ﻟﻠﻤﯿﻼد‬

‫ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻦ ﻗﺮﱠه‬ ‫ھﻮ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻦ ﻗﺮّه وﻛﻨﯿﺘﮫ أﺑﻮ اﻟﺤﺴﻦ‪ ،‬وﻟﺪ ﻓﻲ ﺣﺮّان ﺳﻨﺔ ‪ ٢٢١‬ھـ‪ ،‬واﻣﺘﮭﻦ اﻟﺼﯿﺮﻓﺔ‪ ،‬ﻛﻤﺎ‬ ‫اﻋﺘﻨﻖ ﻣﺬھﺐ اﻟﺼﺎﺋﺒﺔ‪ .‬ﻧﺰح ﻣﻦ ﺣﺮّان إﻟﻰ ﻛﻔﺮﺗﻮﻣﺎ ﺣﯿﺚ اﻟﺘﻘﻰ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ اﻟﺬي أﻋﺠﺐ ﺑﻌﻠﻢ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ اﻟﻮاﺳﻊ وذﻛﺎﺋﮫ اﻟﻨﺎدر‪ .‬وﻗﺪ ﻗﺪﻣﮫ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ إﻟﻰ اﻟﺨﻠﯿﻔﺔ اﻟﻤﻌﺘﻀﺪ‪ ،‬وﻛﺎن اﻟﻤﻌﺘﻀﺪ ﯾﻤﯿﻞ‬ ‫إﻟﻰ أھﻞ اﻟﻤﻮاھﺐ وﯾﺨﺺ أﺻﺤﺎﺑﮭﺎ ﺑﻌﻄﻔﮫ وﻋﻄﺎﯾﺎه‪ ،‬وﯾﻌﺘﺒﺮھﻢ ﻣﻦ اﻟﻤﻘﺮﺑﯿﻦ إﻟﯿﮫ‪ .‬وﯾﺮوى أﻧﮫ‬ ‫أﻗﻄﻊ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻦ ﻗﺮه‪ ،‬ﻛﻤﺎ أﻗﻄﻊ ﺳﻮاه ﻣﻦ ذوي اﻟﻨﺒﻮغ‪ ،‬ﺿﺒﺎﻋﺎً ﻛﺜﯿﺮة‪ .‬وﻗﺪ ﺗﻮﻓﻲ ﻓﻲ ﺑﻐﺪاد ﺳﻨﺔ‬ ‫‪ ٢٨٨‬ھـ‬ ‫أﺣﺐ ﺛﺎﺑﺖ اﻟﻌﻠﻢ‪ ،‬ﻻ ﻃﻤﻌﺎً ﻓﻲ ﻛﺴﺐ ﯾﺠﻨﯿﮫ وﻻ ﺳﻌﯿﺎً وراء ﺷﮭﺮة ﺗﻌﻠﯿﮫ‪ ،‬إﻧﻤﺎ أﺣﺒّﮫ ﻷﻧﮫ رأى ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻣﺼﺪر ﺳﻌﺎدة ﻛﺎﻧﺖ ﺗﺘﻮق ﻧﻔﺴﮫ إﻟﯿﮭﺎ‪ .‬وﻟﻤﺎ ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻏﯿﺮ ﻣﺤﺼﻮرة ﻓﻲ ﺣﻘﻞ ﻣﻦ‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‪ /‬ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ‬

‫ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬

‫ﺣﻘﻮل اﻟﻨﺸﺎط اﻹﻧﺴﺎﻧﻲ‪ ،‬وﻟﻤﺎ ﻛﺎﻧﺖ ﺣﻘﻮل اﻟﻨﺸﺎط اﻹﻧﺴﺎﻧﻲ ﻣﻨﻔﺘﺤﺔ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﻀﮭﺎ ﺑﻌﻀﺎً‪ ،‬ﻓﺈن‬ ‫ﻓﻀﻮل ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻦ ﻗﺮه ﺣﻤﻠﮫ ﻋﻠﻰ ارﺗﯿﺎدھﺎ ﻛﻠﮭﺎ‪ ،‬وﻣﻀﯿﻔﺎً إﻟﻰ ﺗﺮاث اﻟﻘﺪاﻣﻰ ﺛﻤﺎر ﻋﺒﻘﺮﯾﺘﮫ اﻟﺨﻼﻗﺔ‬ ‫ﻣﮭّﺪ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻦ ﻗﺮه ﻟﺤﺴﺎب اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ وﻟﺤﺴﺎب اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ‪ .‬وﻓﻲ ﻣﻀﻤﺎر ﻋﻠﻢ اﻟﻔﻠﻚ ﯾﺆﺛﺮ أﻧﮫ ﻟﻢ‬ ‫ﯾﺨﻄﺊ ﻓﻲ ﺣﺴﺎب اﻟﺴﻨﺔ اﻟﻨﺠﻤﯿﺔ إﻻ ﺑﻨﺼﻒ ﺛﺎﻧﯿﺔ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﯾﺆﺛﺮ اﻛﺘﺸﺎﻓﮫ ﺣﺮﻛﺘﯿﻦ ﻟﻨﻘﻄﺘﻲ اﻻﻋﺘﺪال‬ ‫إﺣﺪاھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ واﻷﺧﺮى ﻣﺘﻘﮭﻘﺮة‬ ‫وﻟﺜﺎﺑﺖ أﻋﻤﺎل ﺟﻠﯿﺔ واﺑﺘﻜﺎرات ﻣﮭﻤﺔ ﻓﻲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻄﺒﻖ اﻟﺠﺒﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ‪،‬‬ ‫وﯾﻌﺰى إﻟﯿﮫ اﻟﻌﺜﻮر ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻋﺪة ﺗﺴﺘﺨﺪم ﻓﻲ إﯾﺠﺎد اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﯾﻌﺰى إﻟﯿﮫ ﺗﻘﺴﯿﻢ‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ ﺛﻼﺛﺔ أﻗﺴﺎم ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﺑﻄﺮﯾﻘﺔ ﺗﺨﺘﻠﻒ ﻋﻦ اﻟﻄﺮق اﻟﻤﻌﺮوﻓﺔ ﻋﻨﺪ رﯾﺎﺿﯿﻲ اﻟﯿﻮﻧﺎن‬ ‫وﻗﺪ ﻇﮭﺮت ﻋﺒﻘﺮﯾﺔ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻦ ﻗﺮه‪ ،‬ﻓﻀﻼً ﻋﻦ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ واﻟﻔﻠﻜﯿﺔ‪ ،‬ﻓﻲ ﻣﺠﺎل اﻟﻌﻠﻮم اﻟﻄﺒﯿﺔ‬ ‫أﯾﻀﺎً‬ ‫ﺗﺮك ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻦ ﻗﺮّه ﻋﺪة ﻣﺆﻟﻔﺎت ﺷﻤﻠﺖ ﻋﻠﻮم اﻟﻌﺼﺮ‪ ،‬وذﻛﺮھﺎ ﻛﺘﺎب ﻋﯿﻮن اﻷﻧﺒﺎء‪ ،‬أﺷﮭﺮھﺎ‪:‬‬ ‫ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻠﻘﺐ ﺑﺎﻟﻘﻄﺎع‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﻗﻄﻊ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ‪ ،‬ﻛﺘﺎب‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻌﻤﻞ ﺑﺎﻟﻜﺮة‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﻗﻄﻮع اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ وﺑﺴﯿﻄﮭﺎ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻷﺷﻜﺎل وﺳﺎﺋﺮ‬ ‫اﻟﺒﺴﻂ واﻷﺷﻜﺎل اﻟﻤﺠﺴﻤﺔ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻟﻤﺮﺑﻊ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﻲ أن اﻟﺨﻄﯿﻦ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ إذا ﺧﺮﺟﺎ ﻋﻠﻰ أﻗﻞّ ﻣﻦ زاوﯾﺘﯿﻦ ﻗﺎﺋﻤﺘﯿﻦ اﻟﺘﻘﯿﺎ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﺗﺼﺤﯿﺢ ﻣﺴﺎﺋﻞ اﻟﺠﺒﺮ‬ ‫ﺑﺎﻟﺒﺮاھﯿﻦ اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻟﮭﯿﺄة‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﺗﺮﻛﯿﺐ اﻷﻓﻼك‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺨﺘﺼﺮ ﻓﻲ ﻋﻠﻢ‬ ‫اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﺗﺴﮭﯿﻞ اﻟﻤﺠﺴﻄﻲ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻟﻤﻮﺳﯿﻘﻰ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ‪،‬‬ ‫ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﺣﺮﻛﺔ اﻟﻔﻠﻚ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﻣﺎ ﯾﻈﮭﺮ ﻣﻦ اﻟﻘﻤﺮ ﻣﻦ آﺛﺎر اﻟﻜﺴﻮف وﻋﻼﻣﺎﺗﮫ‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺪﺧﻞ‬ ‫إﻟﻰ إﻗﻠﯿﺪس‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺪﺧﻞ إﻟﻰ اﻟﻤﻨﻄﻖ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻷﻧﻮاء‪ ،‬ﻣﻘﺎﻟﺔ ﻓﻲ ﺣﺴﺎب ﺧﺴﻮف اﻟﺸﻤﺲ‬ ‫واﻟﻘﻤﺮ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﻣﺨﺘﺼﺮ ﻋﻠﻢ اﻟﻨﺠﻮم‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻟﻠﻤﻮﻟﻮدﯾﻦ ﻓﻲ ﺳﺒﻌﺔ أﺷﮭﺮ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﻲ أوﺟﺎع‬ ‫اﻟﻜﻠﻰ واﻟﻤﺜﺎﻧﻲ‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺪﺧﻞ إﻟﻰ ﻋﻠﻢ اﻟﻌﺪد اﻟﺬي أﻟﻔﮫ ﻧﯿﻘﻮﻣﺎﺧﻮس اﻟﺠﺎراﺳﯿﻨﻲ وﻧﻘﻠﮫ ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫إﻟﻰ اﻟﻌﺮﺑﯿﺔ‬

‫أﺑﻮ اﻟﻘﺎﺳﻢ اﻹﻧﻄﺎﻛﻲ‬ ‫ھﻮ أﺑﻮ اﻟﻘﺎﺳﻢ ﻋﻠﻲ ﺑﻦ أﺣﻤﺪ اﻹﻧﻄﺎﻛﻲ‪ ،‬اﻟﻤﻠﻘﺐ )ﺑﺎﻟﻤﺠﺘﺒﻲ(‪ ،‬رﯾﺎﺿﻲ وﻣﮭﻨﺪس‪ ،‬وﻣﻦ أﻋﻼم‬ ‫ﻣﮭﻨﺪﺳﻲ اﻟﻘﺮن اﻟﺮاﺑﻊ ﻟﻠﮭﺠﺮة‪ .‬وﻟﺪ ﻓﻲ إﻧﻄﺎﻛﯿﺔ‪ ،‬واﻧﺘﻘﻞ إﻟﻰ ﺑﻐﺪاد‪ ،‬ﻓﺎﺳﺘﻮﻃﻨﮭﺎ ﺣﺘﻰ وﻓﺎﺗﮫ‬ ‫ﺣﻮاﻟﻲ اﻟﺴﻨﺔ ‪ ٣٧٦‬ھـ‪ ،‬وﻛﺎن ﻣﻦ أﺻﺤﺎب ﻋﻀﺪ اﻟﺪوﻟﺔ اﻟﺒﻮﯾﮭﻲ واﻟﻤﻘﺪﻣﯿﻦ ﻋﻨﮫ‪ .‬وﻛﺎن ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﺒﻮﻏﮫ ﻓﻲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ واﻟﻌﺪد‪ ،‬ﻣﺸﺎرﻛﺎً ﻓﻲ ﻋﻠﻮم اﻷواﺋﻞ‪ .‬وأﺷﺎر اﻟﻘﻔﻄﻲ واﺑﻦ اﻟﻨﺪﯾﻢ إﻟﻰ ﻋﺪد ﻣﻦ‬ ‫آﺛﺎره‪ ،‬ﻣﻨﮭﺎ‪) :‬اﻟﺘﺨﺖ اﻟﻜﺒﯿﺮ ﻓﻲ اﻟﺤﺴﺎب اﻟﮭﻨﺪي(‪) ،‬ﺗﻔﺴﯿﺮ اﻷرﺛﻤﺎﻃﯿﻘﻲ(‪) ،‬ﺷﺮح إﻗﻠﯿﺪس(‪،‬‬ ‫)ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻟﻤﻜﻌﺒﺎت(‪) ،‬اﻟﻤﻮازﯾﻦ اﻟﻌﺪدﯾﺔ( ﯾﺒﺤﺚ ﻓﻲ اﻟﻤﻮازﯾﻦ اﻟﺘﻲ ﺗﻌﻤﻞ ﻟﺘﺤﻘﯿﻖ ﺻﺤﺔ أﻋﻤﺎل‬ ‫اﻟﺤﺴﺎب‬

‫أﺑﻮ اﻟﻔﻀﻞ اﻟﺤﺎرﺛﻲ‬ ‫ھﻮ ﻣﺆﯾﺪ اﻟﺪﯾﻦ أﺑﻮ اﻟﻔﻀﻞ ﺑﻦ ﻋﺒﺪ اﻟﻜﺮﯾﻢ ﺑﻦ ﻋﺒﺪ اﻟﺮﺣﻤﻦ اﻟﺤﺎرﺛﻲ‪ ،‬ﻃﺒﯿﺐ‪ ،‬رﯾﺎﺿﻲ‪ ،‬ﻣﮭﻨﺪس‪،‬‬ ‫أدﯾﺐ وﻧﺤﻮي وﺷﺎﻋﺮ‪ .‬وﻟﺪ ﻓﻲ دﻣﺸﻖ ﺳﻨﺔ ‪ ٥٢٩‬ھـ وﺗﻮﻓﻲ ﺳﻨﺔ ‪ ٥٩٩‬ھـ‪ .‬ﻛﺎن ﻓﻲ أول أﻣﺮه‬ ‫ﻧﺠﺎراً ﺛﻢ ﺗﻌﻠﻢ ھﻨﺪﺳﺔ إﻗﻠﯿﺪس ﻟﯿﺰداد ﺗﻌﻤﻘﺎً ﻓﻲ ﺻﻨﺎﻋﺔ اﻟﻨﺠﺎرة‪ .‬واﺷﺘﻐﻞ ﺑﻌﻠﻢ اﻟﮭﯿﺌﺔ وﻋﻤﻞ‬ ‫اﻷزﯾﺎج‪ ،‬ﺛﻢ درس اﻟﻄﺐ‪ ،‬ﻛﻤﺎ أﺗﻘﻦ ﻋﻤﻞ اﻟﺴﺎﻋﺎت‪ .‬وﻟﮫ ﻛﺘﺐ ورﺳﺎﺋﻞ ﻓﻲ اﻟﻄﺐ واﻟﻔﻠﻚ وﻏﯿﺮھﺎ‪،‬‬ ‫ﻣﻨﮭﺎ )ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﻣﻌﺮﻓﺔ رﻣﺰ اﻟﺘﻘﻮﯾﻢ(‪) ،‬ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻷدوﯾﺔ(‬

‫‪١٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‪ /‬ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ‬

‫ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬

‫اﻟﺒﯿﺮوﻧﻲ‬ ‫ھﻮ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ أﺣﻤﺪ اﻟﻤﻜﻨﻰ ﺑﺄﺑﻲ اﻟﺮﯾﺤﺎن اﻟﺒﯿﺮوﻧﻲ‪ ،‬وﻟﺪ ﻓﻲ ﺧﻮارزم ﻋﺎم ‪ ٣٦٢‬ھـ‪ .‬وﯾﺮوى أﻧﮫ‬ ‫ارﺗﺤﻞ ﻋﻦ ﺧﻮارزم إﻟﻰ ﻛﻮرﻛﻨﺞ‪ ،‬ﻋﻠﻰ أﺛﺮ ﺣﺎدث ﻣﮭﻢ ﻟﻢ ﺗﻌﺮف ﻣﺎھﯿﺘﮫ‪ ،‬ﺛﻢ اﻧﺘﻘﻞ إﻟﻰ ﺟﺮﺟﺎن‪.‬‬ ‫واﻟﺘﺤﻖ ھﻨﺎك ﺑﺸﻤﺲ اﻟﻤﻌﺎﻟﻲ ﻗﺎﺑﻮس‪ ،‬ﻣﻦ ﺳﻼﻟﺔ ﺑﻨﻲ زﯾﺎد‪ .‬وﻣﻦ ﺟﺮﺟﺎن ﻋﺎد إﻟﻰ ﻛﻮرﻛﻨﺞ‬ ‫ﺣﯿﺚ ﺗﻘﺮب ﻣﻦ ﺑﻨﻲ ﻣﺄﻣﻮن‪ ،‬ﻣﻠﻮك ﺧﻮارزم‪ ،‬وﻧﺎل ﻟﺪﯾﮭﻢ ﺣﻈﻮة ﻛﺒﯿﺮة‪ .‬وﻟﻜﻦ وﻗﻮع ﺧﻮازم ﺑﯿﺪ‬ ‫اﻟﻐﺎزي ﺳﺒﻜﺘﻜﯿﻦ اﺿﻄﺮ اﻟﺒﯿﺮوﻧﻲ إﻟﻰ اﻻرﺗﺤﺎل ﺑﺎﺗﺠﺎه ﺑﻼد اﻟﮭﻨﺪ‪ ،‬ﺣﯿﺚ ﻣﻜﺚ أرﺑﻌﯿﻦ ﺳﻨﺔ‪ ،‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺎ ﯾﺮوى‪ .‬وﻗﺪ ﺟﺎب اﻟﺒﯿﺮوﻧﻲ ﺑﻼد اﻟﮭﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺎﺣﺜﺎً ﻣﻨﻘﺒﺎً‪ ،‬ﻣﻤﺎ أﺗﺎح ﻟﮫ أن ﯾﺘﺮك ﻣﺆﻟﻔﺎت ﻗﯿﻤﺔ ﻟﮭﺎ‬ ‫ﺷﺄﻧﮭﺎ ﻓﻲ ﺣﻘﻮل اﻟﻌﻠﻢ‪ .‬وﻗﺪ ﻋﺎد ﻣﻦ اﻟﮭﻨﺪ إﻟﻰ ﻏﺰﻧﺔ وﻣﻨﮭﺎ إﻟﻰ ﺧﻮارزم ﺣﯿﺚ ﺗﻮﻓﻲ ﻓﻲ ﺣﺪود‬ ‫ﻋﺎم ‪ ٤٤٠‬ھـ‬ ‫ﺗﺮك اﻟﺒﯿﺮوﻧﻲ ﻣﺎ ﯾﻘﺎرب اﻟﻤﺎﺋﺔ ﻣﺆﻟﻒ ﺷﻤﻠﺖ ﺣﻘﻮل اﻟﺘﺎرﯾﺦ واﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت واﻟﻔﻠﻚ وﺳﻮى ذﻟﻚ‪،‬‬ ‫وأھﻢ آﺛﺎره‪ :‬ﻛﺘﺎب اﻵﺛﺎر اﻟﺒﺎﻗﯿﺔ ﻋﻦ اﻟﻘﺮون اﻟﺨﺎﻟﯿﺔ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﺗﺎرﯾﺦ اﻟﮭﻨﺪ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻣﻘﺎﻟﯿﺪ ﻋﻠﻢ اﻟﮭﯿﺌﺔ‬ ‫وﻣﺎ ﯾﺤﺪث ﻓﻲ ﺑﺴﯿﻄﺔ اﻟﻜﺮة‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﻤﺴﻌﻮدي ﻓﻲ اﻟﮭﯿﺌﺔ واﻟﻨﺠﻮم‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﺳﺘﺨﺮاج‬ ‫اﻷوﺗﺎر ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮة‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﺳﺘﯿﻌﺎب اﻟﻮﺟﻮه اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻓﻲ ﺻﻔﺔ اﻹﺳﻄﺮﻻب‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﻌﻤﻞ‬ ‫ﺑﺎﻹﺳﻄﺮﻻب‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﺘﻄﺒﯿﻖ إﻟﻰ ﺣﺮﻛﺔ اﻟﺸﻤﺲ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻛﯿﻔﯿﺔ رﺳﻮم اﻟﮭﻨﺪ ﻓﻲ ﺗﻌﻠﻢ اﻟﺤﺴﺎب‪،‬‬ ‫ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﺗﺤﻘﯿﻖ ﻣﻨﺎزل اﻟﻘﻤﺮ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﺟﻼء اﻷذھﺎن ﻓﻲ زﯾﺞ اﻟﺒﺘﺎﻧﻲ‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﺼﯿﺪﻟﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﻄﺐ‪،‬‬ ‫ﻛﺘﺎب رؤﯾﺔ اﻷھﻠﺔ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﺟﺪول اﻟﺘﻘﻮﯾﻢ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﻣﻔﺘﺎح ﻋﻠﻢ اﻟﮭﯿﺌﺔ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﺗﮭﺬﯾﺐ ﻓﺼﻮل‬ ‫اﻟﻔﺮﻏﺎﻧﻲ‪ ،‬ﻣﻘﺎﻟﺔ ﻓﻲ ﺗﺼﺤﯿﺢ اﻟﻄﻮل واﻟﻌﺮض ﻟﻤﺴﺎﻛﻦ اﻟﻤﻌﻤﻮرة ﻣﻦ اﻷرض‪ ،‬ﻛﺘﺎب إﯾﻀﺎح‬ ‫اﻷدﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻛﯿﻔﯿﺔ ﺳﻤﺖ اﻟﻘﺒﻠﺔ‪ ،‬ﻛﺘﺎب ﺗﺼﻮر أﻣﺮ اﻟﻔﺠﺮ واﻟﺸﻔﻖ ﻓﻲ ﺟﮭﺔ اﻟﺸﺮق واﻟﻐﺮب ﻣﻦ‬ ‫اﻷﻓﻖ‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﺘﻔﮭﯿﻢ ﻷواﺋﻞ ﺻﻨﺎﻋﺔ اﻟﺘﻨﺠﯿﻢ‪ ،‬ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ‪.‬‬ ‫ﺳﺎھﻢ اﻟﺒﯿﺮوﻧﻲ ﻓﻲ ﺗﻘﺴﯿﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺛﻼﺛﺔ أﻗﺴﺎم ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ‪ ،‬وﻛﺎن ﻣﺘﻌﻤﻘﺎً ﻓﻲ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻗﺎﻧﻮن ﺗﻨﺎﺳﺐ‬ ‫اﻟﺠﯿﻮب‪ .‬وﻗﺪ اﺷﺘﻐﻞ ﺑﺎﻟﺠﺪاول اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ ﻟﻠﺠﯿﺐ واﻟﻈﻞ ﺑﺎﻻﺳﺘﻨﺎد إﻟﻰ اﻟﺠﺪاول اﻟﺘﻲ ﻛﺎن ﻗﺪ‬ ‫وﺿﻌﮭﺎ أﺑﻮ اﻟﻮﻓﺎء اﻟﺒﻮزﺟﺎﻧﻲ‪ .‬واﻛﺘﺸﻒ ﻃﺮﯾﻘﺔ ﻟﺘﻌﯿﯿﻦ اﻟﻮزن اﻟﻨﻮﻋﻲ‪ .‬ﻓﻀﻼً ﻋﻦ ذﻟﻚ ﻗﺎم‬ ‫اﻟﺒﯿﺮوﻧﻲ ﺑﺪراﺳﺎت ﻧﻈﺮﯾﺔ وﺗﻄﺒﯿﻘﯿﺔ ﻋﻠﻰ ﺿﻐﻂ اﻟﺴﻮاﺋﻞ‪ ،‬وﻋﻠﻰ ﺗﻮازن ھﺬه اﻟﺴﻮاﺋﻞ‪ .‬ﻛﻤﺎ ﺷﺮح‬ ‫ﻛﯿﻔﯿﺔ ﺻﻌﻮد ﻣﯿﺎه اﻟﻔﻮارات واﻟﯿﻨﺎﺑﯿﻊ ﻣﻦ ﺗﺤﺖ إﻟﻰ ﻓﻮق‪ ،‬وﻛﯿﻔﯿﺔ ارﺗﻔﺎع اﻟﺴﻮاﺋﻞ ﻓﻲ اﻷوﻋﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﺘﺼﻠﺔ إﻟﻰ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ‪ ،‬ﻋﻠﻰ اﻟﺮﻏﻢ ﻣﻦ اﺧﺘﻼف أﺷﻜﺎل ھﺬه اﻷوﻋﯿﺔ وأﺣﺠﺎﻣﮭﺎ‪ .‬وﻗﺪ ﻧﺒّﮫ‬ ‫إﻟﻰ أن اﻷرض ﺗﺪور ﺣﻮل ﻣﺤﻮرھﺎ‪ ،‬ووﺿﻊ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻻﺳﺘﺨﺮاج ﻣﺤﯿﻂ اﻷرض‬

‫‪١٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻋﻠﻢ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ھﻮ دراﺳﺔ ﻣﺨﺘﻠﻒ أﻧﻮاع اﻷﺷﻜﺎل وﺻﻔﺎﺗﮭﺎ ‪ ،‬ﻛﻤﺎ أﻧﮭﺎ دراﺳﺔ ﻋﻼﻗﺔ اﻷﺷﻜﺎل واﻟﺰواﯾﺎ‬ ‫واﻟﻤﺴﺎﻓﺎت ﺑﺒﻌﻀﮭﺎ ‪ ،‬وﺗﻨﻘﺴﻢ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺒﺴﯿﻄﺔ إﻟﻰ ﺟﺰأﯾﻦ ‪ :‬اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ ‪،‬‬ ‫وﻓﻲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ ﺗﺪرس اﻷﺷﻜﺎل اﻟﺘﻲ ﻟﮭﺎ ﺑﻌﺪﯾﻦ ﻓﻘﻂ ‪ ،‬أي اﻟﺘﻲ ﻟﮭﺎ ﻃﻮل وﻋﺮض ‪ ،‬أﻣﺎ‬ ‫اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ ﻓﺘﺪرس اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ﻓﻲ ﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد ‪ ،‬وﺗﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﻣﻔﺮﻏﺎت ﻣﺜﻞ ﻣﺘﻮازﯾﺎت اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻼت‬ ‫‪ ،‬واﻟﻤﺠﺴﻤﺎت اﻷﺳﻄﻮاﻧﯿﺔ ‪ ،‬واﻷﺟﺴﺎم ﻣﺨﺮوﻃﯿﺔ اﻟﺸﻜﻞ ‪ ،‬واﻷﺟﺴﺎم اﻟﻜﺮوﯾﺔ ‪ ،‬اﻟﺦ ‪ ...‬أي ﻣﻊ اﻷﺷﻜﺎل‬ ‫اﻟﺘﻲ ﻟﮭﺎ ﻃﻮل وﻋﺮض وﺳﻤﻚ ‪ ،‬وﯾﻤﻜﻦ وﺿﻊ ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻷﻧﻮاع ھﺬا اﻟﻌﻠﻢ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﯿﺐ أدﻧﺎه‪:‬‬ ‫‪ (١‬اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ‪ : Geometry‬ﻓﺮع ﻣﻦ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﯾﺒﺤﺚ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻂ واﻟﺨﻄﻮط واﻟﺰواﯾﺎ‬ ‫واﻟﺴﻄﻮح واﻟﻤﺠﺴﻤﺎت ﻣﻦ ﺣﯿﺚ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ وﺧﺼﺎﺋﺼﮭﺎ وﻋﻼﻗﺔ ﺑﻌﻀﮭﺎ ﺑﺒﻌﻀﮭﺎ اﻵﺧﺮ ‪.‬‬ ‫أﻗﺴﺎﻣﮭﺎ ﻛﺜﯿﺮة ﻣﻨﮭﺎ ‪:‬اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ‪ ،‬اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ‪ ،‬اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻜﺮوﯾﺔ‪،‬‬ ‫اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ‪ .‬ﯾﻀﺎف إﻟﻰ ھﺬه اﻷﻗﺴﺎم اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻮﺻﻔﯿﺔ وھﻲ ﺗﻌﻨﻰ ﺑﺈﻋﺎدة‬ ‫ﺗﻤﺜﯿﻞ اﻷﺷﻜﺎل اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ ﺑﺄﺧﺮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ وﺗﻌﺘﺒﺮ ذات أھﻤﯿﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ﻓﻦ‬ ‫اﻟﻌﻤﺎرة‪.‬‬ ‫‪ (٢‬اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ ‪ : Analytic Geometry‬ﻓﺮع ﻣﻦ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ﺗﺠﺮي ﻓﯿﮫ دراﺳﺔ‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺎت اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﯿﺎت اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻋﻦ ﻃﺮﯾﻖ ﻋﻼﻗﺎت ﺟﺒﺮﯾﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ ﺗﻠﻚ اﻟﻤﻨﺤﻨﯿﺎت ﻣﻨﺴﻮﺑﺔ إﻟﻰ إﺣﺪاﺛﯿﺎت ﻣﻌﯿﻨﺔ ‪.‬اﻛﺘﺸﻔﮭﺎ ﻛﻞ ﻣﻦ رﯾﻨﯿﮫ دﯾﻜﺎرت وﺑﯿﯿﺮ‬ ‫دو ﻓﯿﺮﻣﺎ ﺑﻤﻌﺰل ﻋﻦ اﻵﺧﺮ‬ ‫‪ (٣‬اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ ‪ : Solid Geometry‬ﻓﺮع ﻣﻦ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ﯾﺒﺤﺚ ﻓﻲ اﻷﺷﻜﺎل‬ ‫اﻟﻤﺠﺴﻤﺔ ﻛﺎﻟﻤﺨﺎرﯾﻂ واﻟﻤﻜﻌﺒﺎت‪.‬‬ ‫‪ (٤‬اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻜﺮوﯾﺔ ‪ : Spherical Geometry‬ﻓﺮع ﻣﻦ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ﯾﻌﻨﻰ ﺑﺪراﺳﺔ‬ ‫اﻷﺷﻜﺎل اﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺔ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ ﻛﺮة‪.‬‬ ‫‪ (٥‬اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ ‪ : Plane Geometry‬ﻓﺮع ﻣﻦ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ﯾﺒﺤﺚ ﻓﻲ اﻷﺷﻜﺎل‬ ‫اﻟﻮاﻗﻌﺔ ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ‪ Plane‬واﺣﺪ ‪.‬وھﺬه اﻷﺷﻜﺎل ﻗﺪ ﺗﻜﻮن ﺧﻄﻮﻃﺎ أو زواﯾﺎ أو‬ ‫ﻣﺜﻠﺜﺎت ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ أو دواﺋﺮ أو ﻣﻀﻠﻌﺎت إﻟﺦ‪.‬‬ ‫‪ (٦‬إذن ﻓﺎﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ﻛﻌﻠﻢ ھﻲ ﻋﻤﻠﯿﺔ رﯾﺎﺿﯿﺔ ﺗﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﺰواﯾﺎ واﻟﺨﻄﻮط وﺣﺴﺎﺑﺎﺗﮭﺎ‪ .‬أﻣﺎ اﻟﻤﺼﻄﻠﺢ‬ ‫اﻟﺤﺪﯾﺚ ﻟﻠﮭﻨﺪﺳﺔ واﻟﺨﺎص ﺑﺘﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺘﻘﺎﻧﺎت واﻟﺼﻨﺎﻋﺎت ﻓﻘﺪ ﺗﻌﻤﻖ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻔﺼﻞ وأﺻﺒﺢ‬ ‫ﯾﺨﺺ ﺣﻘﻮل اﻟﻔﯿﺰﯾﺎء واﻟﻜﯿﻤﯿﺎء اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‪ ،‬ﻛﺎﻟﻜﮭﺮﺑﺎء واﻹﻟﻜﺘﺮون واﻟﺬرة واﻟﻤﯿﻜﺎﻧﯿﻚ واﻟﻄﺎﻗﺔ‬ ‫وﻏﯿﺮھﺎ‪.‬‬

‫‪١٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ :‬ﺗﺸﯿﺮ إﻟﻰ ﻣﻜﺎن ﻓﻲ اﻟﻔﺮاغ وﻻ ﯾﻮﺟﺪ ﻟﮭﺎ ﺳﻤﻚ وﻻ ﻋﺮض وﻻ ﻃﻮل ‪) .‬ﻻ ﯾﻮﺟﺪ ﻟﮭﺎ أﺑﻌﺎد(‪.‬‬ ‫ﺻﻔﺎت اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪ :‬ﻟﯿﺲ ﻟﮫ ﺑﺪاﯾﺔ وﻟﯿﺲ ﻟﮫ ﻧﮭﺎﯾﺔ‬ ‫ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة ﯾﻤﺮ ﻣﺎ ﻻ ﻧﮭﺎﯾﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت‬ ‫ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ ﯾﻤﺮ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ واﺣﺪ ﻓﻘﻂ‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺎ ﻻ ﻧﮭﺎﯾﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﺎط‬ ‫اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ‪ :‬ھﻲ ﺟﺰء ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺤﺪود ﺑﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ) أي ﯾﻮﺟﺪ ﻟﮭﺎ ﺑﺪاﯾﺔ وﻧﮭﺎﯾﺔ (‬ ‫اﻟﺸﻌﺎع ‪ :‬ھﻮ ﺟﺰء ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻟﮫ ﺑﺪاﯾﺔ وﻟﯿﺲ ﻟﮫ ﻧﮭﺎﯾﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ ‪ :‬ﺗﻨﺘﺞ ﻋﻦ ﺷﻌﺎﻋﯿﻦ ﯾﺨﺮﺟﺎن ﻣﻦ رأس ﻣﺸﺘﺮك‬

‫اﻟﺨﻂ اﻟﻤﻨﻜﺴﺮ ‪ :‬ﻣﺒﻨﻲ ﻣﻦ ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ﺗﺘﺼﻞ ﺑﺒﻌﻀﮭﺎ اﻟﺒﻌﺾ ﻓﻲ ﺳﻠﺴﻠﺔ ﻟﯿﺴﺖ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ‬ ‫واﺣﺪة‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﺘﻮازﯾﺎن ‪:‬ھﻤﺎ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻠﺬان ﻻ ﯾﻠﺘﻘﯿﺎن أﺑﺪا ً أي اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫اﺷﺎرة اﻟﺘﻮازي ھﻲ‪:‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪ a‬ﯾﻌﻨﻲ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ‪a‬‬

‫وَ ‪ b‬ﻣﺘﻮازﯾﺎن‬

‫اﻟﻘﻄﻌﺘﺎن اﻟﻤﺘﻮازﯾﺘﺎن ‪:‬ھﻤﺎ ﻗﻄﻌﺘﺎن واﻗﻌﺘﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ‬

‫‪١٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪان‪:‬‬ ‫ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﯾُﻜﻮﻧﺎن ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ زاوﯾﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ‬ ‫إﻧﺘﺒﮭﻮا‪:‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻗﺪ ﯾﻘﻌﺎن ﻓﻲ ﻛﻞ اﺗﺠﺎه‪ ،‬ﺷﺮط أن ﺗﻜﻮن اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﻗﺎﺋﻤﺔ‪.‬‬ ‫إﺷﺎرة اﻟﺘﻌﺎﻣﺪ ھﻲ‪:‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪b‬‬

‫ﯾﻌﻨﻲ أن "اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ‪ a‬وَ ‪ b‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان"‪.‬‬

‫اﻟﻤﻀﻠﻊ ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﻌﺮﯾﻒ ‪ :‬ھﻮ ﺧﻂ ﻣﻨﻜﺴﺮ ﻣﻐﻠﻖ‬ ‫ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻀﻠﻊ ﯾﻮﺟﺪ ‪:‬‬ ‫‪ .١‬أﺿﻼع ‪ :‬ھﻲ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺮﻛﺐ اﻟﻤﻀﻠﻊ‬ ‫‪ .٢‬رؤوس ‪ :‬ھﻲ ﻧﻘﺎط اﻹﻟﺘﻘﺎء ﺑﯿﻦ ﻛﻞ ﺿﻠﻌﯿﻦ ‪.‬‬ ‫‪ .٣‬زواﯾﺎ ‪ :‬ﺗﺘﻜﻮن ﻓﻲ ﻛﻞ رأس ﻣﻦ رؤوس اﻟﻤﻀﻠﻊ ‪.‬‬ ‫‪ .٤‬ﻗﻄﺮ ‪ :‬ھﻮ ﻗﻄﻌﺔ ﺗﺼﻞ ﺑﯿﻦ رأﺳﯿﻦ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺠﺎورﯾﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ‪.‬‬ ‫) إﻧﺘﺒﮫ ‪ :‬ﻃﺒﻌﺎ اﻟﻤﺜﻠﺚ ھﻮ ﻣﻀﻠﻊ ﻟﻜﻨﮫ ﻻ ﯾﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ اﻗﻄﺎر (‬ ‫‪ .٥‬ﻋﺪد اﻷﺿﻼع = ﻋﺪد اﻟﺮؤوس = ﻋﺪد اﻟﺰواﯾﺎ‬ ‫ﺗﺼﻨﻒ اﻟﻤﻀﻠﻌﺎت ﺣﺴﺐ ﻋﺪد اﻷﺿﻼع ‪:‬‬ ‫وﻟﮭﺎ ‪ ٣‬أﺿﻼع‬ ‫‪:‬‬ ‫‪ .١‬اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت‬ ‫وﻟﮭﺎ ‪ ٤‬أﺿﻼع‬ ‫‪ .٢‬اﻷﺷﻜﺎل اﻟﺮﺑﺎﻋﯿﺔ ‪:‬‬ ‫وﻟﮭﺎ ‪ ٥‬أﺿﻼع‬ ‫‪ .٣‬اﻷﺷﻜﺎل اﻟﺨﻤﺎﺳﯿﺔ ‪:‬‬ ‫وﻟﮭﺎ ‪ ٦‬أﺿﻼع‬ ‫‪ .٤‬اﻷﺷﻜﺎل اﻟﺴﺪاﺳﯿﺔ ‪:‬‬ ‫وﻟﮭﺎ ‪ ٧‬أﺿﻼع‬ ‫‪ .٥‬اﻷﺷﻜﺎل اﻟﺴﺒﺎﻋﯿﺔ ‪:‬‬ ‫وھﻜﺬا ‪..........................................‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٧‬‬

‫رؤوس ‪٣‬‬ ‫رؤوس ‪٤‬‬ ‫رؤوس ‪٥‬‬ ‫رؤوس ‪٦‬‬ ‫رؤوس ‪٧‬‬

‫زواﯾﺎ‬ ‫زواﯾﺎ‬ ‫زواﯾﺎ‬ ‫زواﯾﺎ‬ ‫زواﯾﺎ‬

‫اﻟﻘﺎﻧﻮن ﻟﻌﺪد أﻗﻄﺎر اﻟﻤﻀﻠﻊ ‪:‬‬ ‫) ﺑﺤﯿﺚ ان ‪ n‬ھﻮ ﻋﺪد أﺿﻼع اﻟﻤﻀﻠﻊ (‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :‬ﻣﻀﻠﻊ ذو ‪ ٦‬أﺿﻼع ﻟﮫ ‪ ٩‬أﻗﻄﺎر‬

‫)‪n × ( n - 3‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٩‬‬

‫= )‪6 ×(6–3‬‬ ‫‪2‬‬

‫اﻟﻘﺎﻧﻮن ﻟﻌﺪد اﻻﻗﻄﺎر ﻣﻦ اﻟﺮأس اﻟﻮاﺣﺪ ‪:‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫) ﺑﺤﯿﺚ ان ‪ n‬ھﻮ ﻋﺪد أﺿﻼع اﻟﻤﻀﻠﻊ (‬

‫‪n - 3‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ :‬ﻣﻀﻠﻊ ذو ‪ ٧‬أﺿﻼع ﻟﮫ ‪ ٤‬أﻗﻄﺎر ﻣﻦ ﻛﻞ رأس‬

‫‪7 - 3 = 4‬‬

‫اﻟﻀﻠﻌﺎن اﻟﻤﺘﺠﺎوران )ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ( ‪:‬‬ ‫ھﻤﺎ ﺿﻠﻌﺎن ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ ﻟﮭﻤﺎ رأس ﻣُﺸﺘﺮك‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ :‬اﻟﻀﻠﻌﺎن ‪ A B‬وَ ‪ B C‬ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺨﻤﺎﺳﻲ ھﺬا ھﻤﺎ ﻣﺘﺠﺎوران ﻷن ﻟﮭﻤﺎ رأﺳًﺎ ﻣﺸﺘﺮﻛًﺎ‬ ‫‪.B‬‬

‫اﻟﺮأﺳﺎن اﻟﻤﺘﺠﺎوران )ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ( ‪:‬‬ ‫ھﻤﺎ رأﺳﺎن ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ ﯾﻨﺘﻤﯿﺎن إﻟﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻀﻠﻊ ) أي ﯾﺮﺑﻂ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﺿﻠﻊ ﻣﺸﺘﺮك (‬ ‫ﻓﻲ ﻛﻞ رأس ﻣﻦ رؤوس اﻟﻤﻀﻠﻊ ﺗﺘﻜﻮّن زاوﯾﺔ ﻟﻠﻤﻀﻠﻊ‪.‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧﺘﺤﺪّث ﻋﻦ زواﯾﺎ اﻟﻤﻀﻠﻊ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﺼﺪ ﻓﻘﻂ ﻟﺰواﯾﺎه اﻟﺪاﺧﻠﯿﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬

‫اﻟﺮأس ‪ A‬واﻟﺮأس ‪ B‬ھﻤﺎ رأﺳﺎن ﻣﺘﺠﺎوران ﯾﻨﺘﻤﯿﺎن إﻟﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻀﻠﻊ ‪AB‬‬ ‫ﺑﻜﻠﻤﺎت أﺧﺮى اﻟﺮأس‬

‫‪B‬‬

‫ﯾﺠﺎور اﻟﺮأس ‪A‬‬

‫اﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻟﻤﺘﺠﺎورﺗﺎن )ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ( ‪:‬‬ ‫ھﻤﺎ زاوﯾﺘﺎن ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ رأﺳﺎھﻤﺎ ﻣﺘﺠﺎوران ) ﯾﺮﺑﻂ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﺿﻠﻊ ﻣﺸﺘﺮك ( ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ ﻓﻲ اﻟﺮﺳﻤﺔ‪ ،‬اﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻟﻤﻌﻠّﻤﺘﺎن ) ‪ ∢B‬وَ ‪ ( ∢C‬ھﻤﺎ زاوﯾﺘﺎن ﻣﺘﺠﺎورﺗﺎن‬ ‫ﺑﻜﻠﻤﺎت أﺧﺮى ‪ :‬اﻟﺰاوﯾﺔ ‪ B‬ﺗﺠﺎور اﻟﺰاوﯾﺔ ‪C‬‬

‫‪١٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻀﻠﻌﺎن اﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻼن ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪:‬‬ ‫ھﻤﺎ ﺿﻠﻌﺎن ﻻ ﯾﻮﺟﺪ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ رأس ﻣﺸﺘﺮك )ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺠﺎورﯾﻦ(‪.‬‬

‫اﻟﺮأﺳﺎن اﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻼن ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪:‬‬ ‫ھﻤﺎ رأﺳﺎن ﻻ ﯾﻨﺘﻤﯿﺎن إﻟﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻀﻠﻊ )ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺠﺎورﯾﻦ(‪.‬‬

‫اﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻠﺘﺎن ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪:‬‬ ‫ھﻤﺎ زاوﯾﺘﺎن رأﺳﺎھﻤﺎ ﻣﺘﻘﺎﺑﻼن ) ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺠﺎورﯾﻦ(‬

‫اﻟﻘﻄﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ ‪:‬‬ ‫ھﻮ ﻗﻄﻌﺔ ﺗﺼﻞ ﺑﯿﻦ رأﺳﯿﻦ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺠﺎورﯾﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ‪.‬‬

‫ھﻨﺎك أرﺑﻊ إﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ﻟﻤﻮﻗﻊ اﻟﻘﻄﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ‪:‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬

‫أن ﯾﻘﻊ ﺑﻜﺎﻣﻠﮫ ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ )اﻟﺮﺳﻤﺔ أ(‪.‬‬ ‫أن ﯾﻘﻊ ﺑﻜﺎﻣﻠﮫ ﺧﺎرج اﻟﻤﻀﻠﻊ )اﻟﺮﺳﻤﺔ ب(‪.‬‬ ‫أن ﯾﻘﻊ ﻗﺴﻢٌ ﻣﻨﮫ ﻓﻲ اﻟﺪاﺧﻞ وﻗﺴﻢٌ ﻣﻨﮫ ﻓﻲ اﻟﺨﺎرج )اﻟﺮﺳﻤﺔ ج(‪.‬‬ ‫أن ﯾﻘﻊ ﻗﺴﻢ ﻣﻨﮫ ﻋﻠﻰ ﺿﻠﻊ )اﻟﺮﺳﻤﺔ د(‪.‬‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‪:‬‬

‫)اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺘﻘﻄﻌﺔ ھﻲ أﻣﺜﻠﺔ ﻷﻗﻄﺎر(‪.‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻻ ﯾﻮﺟﺪ أﻗﻄﺎر ﻷن ﻛﻞ رأﺳﯿﻦ ﻓﯿﮫ ھﻤﺎ ﻣﺘﺠﺎوران‪.‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﻤُﺤﺪﱠب‪:‬‬ ‫ھﻮ ﻣﻀﻠﻊ ﯾﺤﻮي ﻓﻲ داﺧﻠﮫ ﻛﻞﱠ أﻗﻄﺎره وھﻮ ﻣﻀﻠﻊ ﻛﻞ زاوﯾﺔ داﺧﻠﯿﺔ ﻓﯿﮫ أﺻﻐﺮ ﻣﻦ ‪.١٨٠°‬‬

‫)اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﻐﯿﺮ ﻣﺤﺪب اﻟﻤﻘﻌّﺮ ( ‪:‬‬ ‫)ھﻮ ﻣﻀﻠﻊ ﯾﻘﻊ أﺣﺪ أﻗﻄﺎره ﺧﺎرﺟﮫ ) ﻓﯿﮫ زاوﯾﺔ ﻣﻨﻌﻜﺴﺔ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ ‪( ١٨٠°‬‬

‫اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈِﻢ ‪:‬‬ ‫ھﻮ ﻣﻀﻠﻊ ﻛﻞ أﺿﻼﻋﮫ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ وﻛﻞ زواﯾﺎه ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ‪.‬‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‪:‬‬

‫ﻗﺎﻧﻮن ﻟﺤﺴﺎب ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺪاﺧﻠﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ‪:‬‬ ‫)‪180 × (n – 2‬‬ ‫‪n‬‬

‫) ﺑﺤﯿﺚ أن ‪ n‬ﻋﺪد أﺿﻼع اﻟﻤﻀﻠﻊ(‬

‫ﻗﺎﻧﻮن ﻟﺤﺴﺎب ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺨﺎرﺟﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ) ﺗﺬﻛﺮ ‪ :‬ﺟﻤﯿﻊ أﺿﻼﻋﮫ وزواﯾﺎه‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ (‬ ‫) ﺑﺤﯿﺚ أن ‪ n‬ﻋﺪد أﺿﻼع اﻟﻤﻀﻠﻊ(‬

‫‪360‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪٢١‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﺜﺎل ‪: ١‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻷﺿﻼع ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺪاﺧﻠﯿﺔ =‬

‫‪180 × ( 3- 2) = 60°‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪360 = 120 °‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻷﺿﻼع ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺨﺎرﺟﯿﺔ =‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪: 2‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺮﺑﻊ‬

‫ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺪاﺧﻠﯿﺔ =‬

‫ﻓﻲ اﻟﻤﺮﺑﻊ‬

‫ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺨﺎرﺟﯿﺔ =‬

‫ﻓﻲ اﻟﻤﺨﻤﺲ‬

‫‪90 °‬‬

‫= )‪180 × ( 4 - 2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪90 °‬‬ ‫‪108 °‬‬

‫ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺪاﺧﻠﯿﺔ =‬

‫=‬

‫‪360‬‬ ‫‪٤‬‬

‫= )‪180 × ( 5 - 2‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﺰاوﯾﺔ ‪ :‬ﺗﺘﻜﻮّن ﻣﻦ ﺷﻌﺎﻋَﯿﻦ ﺧﺎرﺟﯿﻦ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺸﺘﺮﻛﺔ‪.‬‬ ‫ﻧُﺴﻤﻲ اﻟﺸﻌﺎﻋﯿﻦ ﺳﺎﻗﻲ اﻟﺰاوﯾﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ ﯾﺨﺮج ﻣﻨﮭﺎ اﻟﺸﻌﺎﻋﺎن ﺗُﺴﻤﻰ رأس اﻟﺰاوﯾﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺸﻌﺎﻋﺎن اﻟﺨﺎرﺟﺎن ﻣﻦ رأس ﻣُﺸﺘﺮك ﯾﻜﻮﻧﺎن زاوﯾﺘﯿﻦ‪.‬‬ ‫ﯾﺸﯿﺮ رﺳﻢ اﻟﻘﻮس ﻋﺎدة إﻟﻰ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻲ ﻧﻘﺼﺪھﺎ‪.‬‬

‫ﻛُﺒْﺮ اﻟﺰاوﯾﺔ ﯾُﺤﺪﱠد ﺑﺤﺴﺐ ﻣﻘﺪار دوران أﺣﺪ اﻟﺸﻌﺎﻋﯿﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻶﺧﺮ )»اﻟﻔﺘﺤﺔ« ﺑﯿﻦ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ(‪.‬‬

‫‪٢٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻧُﺼﻨّﻒ اﻟﺰواﯾﺎ إﻟﻰ أﻧﻮاع ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‪:‬‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺤﺎدّة‬

‫‪:‬‬

‫ھﻲ زاوﯾﺔ أﺻﻐﺮ ﻣﻦ زاوﯾﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﻘﺪار اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺤﺎدة أﺻﻐﺮ ﻣﻦ ‪.٩٠ o‬‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻨﻔﺮﺟﺔ ‪:‬‬ ‫ھﻲ زاوﯾﺔ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ وأﺻﻐﺮ ﻣﻦ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﻘﺪار اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻨﻔﺮﺟﺔ ھﻮ ﺑﯿﻦ ‪٩٠ o‬‬

‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ‬

‫و‬

‫‪) ١٨٠o‬ﻻ ﯾﺸﻤﻠﮭﻤﺎ(‪.‬‬

‫‪:‬‬

‫ھﻲ ﻛﻞ زاوﯾﺔ ﻣﻦ اﻟﺰاوﯾﺘﯿﻦ اﻟﻨﺎﺗﺠﺘﯿﻦ ﻣﻦ ﺗﻨﺼﯿﻒ زاوﯾﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﻘﺪار اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ‪.٩٠ o :‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺮﺳﻢ ﻧُﺸﯿﺮ ﻋﺎدة إﻟﻰ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ھﻜﺬا‪:‬‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ ﻓﺤﺺ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻗُﺮﻧﺔ ﻣﺴﺘﻄﯿﻠﺔ أﯾّﺎ ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫)ﻣﺜﻼ‪ ،‬ﺑﻄﺎﻗﺔ ﻣﺴﺘﻄﯿﻠﺔ( ھﻜﺬا‪:‬‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ‪:‬‬ ‫ھﻲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻲ ﯾُﺸﻜﱢﻞ ﺳﺎﻗﺎھﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤًﺎ‪.‬‬ ‫ﻣﻘﺪار اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ‪) ١٨٠ o :‬ﻷن اﻟﺪورة اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ ﻓﯿﮭﺎ ‪.(٣٦٠ o‬‬

‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻨﻌﻜﺴﺔ‬

‫‪:‬‬

‫‪0‬‬

‫زاوﯾﺔ اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﺘﻲ رأﺳﮭﺎ ‪ B‬ھﻲ زاوﯾﺔ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ ‪) ١٨٠‬ﻣﻨﻌﻜﺴﺔ(‪.‬‬

‫‪٢٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻟﻤﺘﺠﺎورﺗﺎن ‪:‬‬ ‫ﺗﻜﻮن اﻟﺰاوﯾﺘﺎن س ̂ص ع ‪ ،‬ع ̂ص ل ﻣﺘﺠﺎورﺗﺎن إذا ﻛﺎن ‪:‬‬ ‫ل‬

‫ع‬

‫ﻟﮭﻤﺎ رأس واﺣﺪة ) ص ( ‪ ،‬وﻟﮭﻤﺎ ﺿﻠﻊ ﻣﺸﺘﺮك ) ص ع (‪.‬‬ ‫س‬

‫اﻟﻀﻠﻌﺎن اﻟﻤﺘﻄﺮﻓﺎن ) ص س ‪ ،‬ص ل ( ﻓﻲ ﺟﮭﺘﯿﻦ‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻤﺸﺘﺮك ) ص ع ( ‪.‬‬

‫ص‬

‫اﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻟﻤﺘﺠﺎورﺗﺎن اﻟﺤﺎدﺛﺘﺎن ﻣﻦ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ وﺷﻌﺎع ﻧﻘﻄﮫ ﺑﺪاﯾﺘﮫ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎن‬ ‫اذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺰاوﯾﺘﺎن ﻣﺘﺠﺎورﺗﺎن ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎن ﻓﺎن ﺿﻠﻌﯿﮭﻤﺎ اﻟﻤﺘﻄﺮﻓﯿﻦ ﯾﻜﻮﻧﺎن ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﮫ واﺣﺪة‬ ‫اذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻟﻤﺘﺠﺎورﺗﺎن ﻣﺘﺘﺎﻣﺘﯿﻦ ﻓﺎن ﺿﻠﻌﯿﮭﻤﺎ اﻟﻤﺘﻄﺮﻓﯿﻦ ﯾﻜﻮﻧﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﯾﻦ‬

‫ﻣﺠﻤﻮع ﻗﯿﺎس اﻟﺰواﯾﺎ اﻟﻤﺘﺠﺎورة ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﺴﺎوي ‪. ْ ١٨٠‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﻗﯿﺎس اﻟﺰواﯾﺎ اﻟﻤﺠﺘﻤﻌﺔ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ ﯾﺴﺎوي ‪. ْ ٣٦٠‬‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻠﺘﺎن ﺑﺎﻟﺮأس ‪:‬‬ ‫إذا ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻓﺈن ﻛﻞ زاوﯾﺘﺎن ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﺎن ﺑﺎﻟﺮأس ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﺎن‬ ‫)ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن ﻓﻲ اﻟﻘﯿﺎس (‪.‬‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻟﻤﺘﺘﺎﻣﺘﺎن ‪:‬‬ ‫ﺗﻜﻮن اﻟﺰاوﯾﺘﺎن ﻣﺘﺘﺎﻣﺘﺎن إذا ﻛﺎن ﻣﺠﻤﻮع ﻗﯿﺎﺳﮭﻤﺎ ‪. ْ ٩٠‬‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻟﻤﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎن ‪:‬‬ ‫ﺗﻜﻮن اﻟﺰاوﯾﺘﺎن ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎن إذا ﻛﺎن ﻣﺠﻤﻮع ﻗﯿﺎﺳﮭﻤﺎ ‪. ْ ١٨٠‬‬

‫ﻻﺣﻆ أن‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺤﺎدة ﺗﻜﻤﻠﮭﺎ زاوﯾﺔ ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻨﻔﺮﺟﺔ ﺗﻜﻤﻠﮭﺎ زاوﯾﺔ ﺣﺎدة‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﺗﻜﻤﻠﮭﺎ زاوﯾﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ﺗﻜﻤﻠﮭﺎ زاوﯾﺔ ﺻﻔﺮﯾﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺤﺎدة ﺗﺘﻤﻤﮭﺎ زاوﯾﺔ ﺣﺎدة‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﺗﺘﻤﻤﮭﺎ زاوﯾﺔ ﺻﻔﺮﯾﺔ‬

‫ﻣﻨﺼﻒ اﻟﺰاوﯾﺔ ‪-:‬‬ ‫ھﻮ ﺷﻌﺎع ﯾﻘﺴﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ إﻟﻰ زاوﯾﺘﯿﻦ‬

‫ﺟـ‬

‫ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن ﻓﻰ اﻟﻘﯿﺎس‬

‫*‬ ‫ب‬

‫إذا ﻛﺎن ق ) ب أ ﺟـ ( = ق ) ﺟـ أ ء (‬

‫ء‬ ‫*‬ ‫أ‬

‫‪٢٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻓﺈن أ ﺟـ ﯾﺴﻤﻰ ﻣﻨﺼﻒ ﻟﻠﺰاوﯾﺔ ب أ ء‬

‫أﻧﻮاع اﻟﺰواﯾﺎ اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻋﻦ ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ‬ ‫إذا ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﯾﻨﺘﺞ‬ ‫ﺛﻼث أﻧﻮاع ﻣﻦ اﻟﺰواﯾﺎ‬ ‫)‪ (١‬زواﯾﺎ ﻣﺘﺒﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻣﺜﻞ ‪ ٥ ، ٤‬أو ‪٦ ، ٣‬‬ ‫)‪ (٢‬زواﯾﺎ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮة‬ ‫ﻣﺜﻞ ‪ ٥ ، ١‬أو ‪٦ ، ٢‬‬ ‫أو ‪٧ ، ٤‬‬ ‫أو ‪٨ ، ٣‬‬ ‫)‪ (٣‬زواﯾﺎ داﺧﻠﺔ‬ ‫‪٦،٤‬‬ ‫ﻣﺜﻞ ‪/ ٥ ، ٣‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٦‬‬ ‫‪٧ ٨‬‬

‫إذا ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺎن ﻓﺈن‬ ‫‪ -١‬ﻛﻞ زاوﯾﺘﯿﻦ ﻣﺘﺒﺎدﻟﺘﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻘﯿﺎس‬ ‫‪ -٢‬ﻛﻞ زاوﯾﺘﯿﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻘﯿﺎس‬ ‫‪ -٣‬ﻛﻞ زاوﯾﺘﯿﻦ داﺧﻠﯿﺘﯿﻦ وﻓﻰ ﺟﮭﺔ واﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻘﺎﻃﻊ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎن‬

‫ﺷﺮوط ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ‬ ‫ﯾﺘﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن إذا ﻗﻄﻌﮭﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺛﺎﻟﺚ وﺣﺪﺛﺖ إﺣﺪى اﻟﺤﺎﻻت اﻻﺗﯿﺔ‬ ‫‪ -١‬زاوﯾﺘﺎن ﻣﺘﺒﺎدﻟﺘﺎن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن ﻓﻰ اﻟﻘﯿﺎس‬ ‫‪ -٢‬زاوﯾﺘﺎن ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺗﺎن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن ﻓﻰ اﻟﻘﯿﺎس‬ ‫زاوﯾﺘﺎن داﺧﻠﯿﺘﺎن وﻓﻰ ﺟﮭﺔ واﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻘﺎﻃﻊ وﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎن‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬ ‫)‪ (١‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻌﻤﻮدى ﻋﻠﻰ أﺣﺪ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻷﺧﺮ‬ ‫ل‪٢‬‬ ‫ل‪ ١‬ﻓﺈن ل‪٣‬‬ ‫أى أن إذا ﻛﺎن ل‪ // ١‬ل‪ ، ٢‬ل‪٣‬‬ ‫)‪ (٢‬إذا ﻛﺎن ﻛﻼ ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺛﺎﻟﺚ ﻛﺎن ھﺬا اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺎن‬ ‫ل‪ ٣‬ﻓﺈن ل‪ // ١‬ل‪٢‬‬ ‫ل‪ ، ٣‬ل‪٢‬‬ ‫أى أن إذا ﻛﺎن ل‪١‬‬ ‫)‪ (٣‬إذا وازى ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎً ﺛﺎﻟﺜﺎً ﻛﺎن ھﺬا اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺎن‬ ‫ﺑﺼﻮرة أﺧﺮى‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﻮازﯾﺎن ﻟﺜﺎﻟﺚ ﻣﺘﻮزﯾﺎن‬ ‫أى ان إذا ﻛﺎن ل‪ // ١‬ل‪ ، ٣‬ل‪ // ٢‬ل‪ ٣‬ﻓﺈن ل‪ // ١‬ل‪٢‬‬ ‫)‪ (٤‬إذا ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻋﺪة ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎت ﻣﺘﻮازﯾﺔ وﻛﺎﻧﺖ أﺟﺰاء اﻟﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺤﺼﻮرة ﺑﯿﻦ ھﺬه اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻄﻮل ﻓﺈن اﻻﺟﺰاء اﻟﻤﺤﺼﻮرة ﺑﯿﻨﮭﺎ ﻻى ﻗﺎﻃﻊ أﺧﺮ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻄﻮل أﯾﻀﺎً‬

‫‪٢٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﻤﺜﻠﺚ‪ :‬ھﻮ ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ﻣﻀﻠﻊ ذو ‪ ٣‬أﺿﻼع ‪ ٣‬زواﯾﺎ ‪ ٣‬رؤوس وﻻ ﯾﻮﺟﺪ ﻓﯿﮫ‬ ‫أﻗﻄﺎر‪.‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮن أﺳﺎﺳﻲ ﻟﺒﻨﺎء ﻣﺜﻠﺚ ‪:‬ھﻮ أن ﯾﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮع ﻛﻞ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ اﻟﻀﻠﻊ‬ ‫اﻟﺜﺎﻟﺚ‪.‬‬ ‫ﺷﺮط ﻣﻜﺎﻓﺊ ‪ :‬أن ﯾﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮع أﺻﻐﺮ ﺿﻠﻌﯿﻦ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ : ١‬ﻣﻦ ھﺬه اﻻﺿﻼع‬

‫‪ ١ ٦ ٤‬ﻻ ﻧﺴﺘﻄﯿﻊ‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ : ٢‬ﻣﻦ ھﺬه اﻷﺿﻼع‬ ‫ﻧﻈﺮﯾﺎت اﻟﻤﺜﻠﺚ‬

‫‪٥ ٣‬‬

‫ﺑﻨﺎء ﻣﺜﻠﺚ ﻷن ‪١ + ٤ < ٦‬‬

‫‪ ٧‬ﻧﺴﺘﻄﯿﻊ ﺑﻨﺎء ﻣﺜﻠﺚ ﻷن ‪٥ +٣ > ٧‬‬

‫ﻧﻈﺮﯾﺔ )‪: (١‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﻗﯿﺎﺳﺎت زواﯾﺎ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﺪاﺧﻠﺔ ﺗﺴﺎوي ‪ْ ١٨٠‬‬ ‫أي أن ق ) أ ( ‪ +‬ق ) ب ( ‪ +‬ق ) ﺟـ ( = ‪ْ ١٨٠‬‬ ‫ﻧﻈﺮﯾﺔ )‪: (٢‬‬ ‫إذا ﻣﺪ أﺣﺪ أﺿﻼع ﻣﺜﻠﺚ ﻓﺈن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺨﺎرﺟﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﺗﺴﺎوي‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﻗﯿﺎﺳﻲ اﻟﺰاوﯾﺘﯿﻦ اﻟﺪاﺧﻠﺘﯿﻦ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﻣﺎ ﻋﺪا اﻟﻤﺠﺎورة ﻟﮭﺎ‬ ‫أي أن ق ) س ( = ق ) أ ( ‪ +‬ق ) ب (‬

‫أ‬

‫س‬

‫‪ #‬ﻧﺘﺎﺋﺞ ‪:‬‬ ‫ﻧﺘﯿﺠﺔ ) ‪: ( ١‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﻗﯿﺎﺳﺎت زواﯾﺎ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﺨﺎرﺟﺔ ﺗﺴﺎوي ‪ْ ٣٦٠‬‬ ‫أي أن ‪ :‬ق ) س ( ‪ +‬ق ) ص ( ‪ +‬ق ) ع ( = ‪ْ ٣٦٠‬‬

‫ب‬

‫ﺟـ‬ ‫س‬ ‫ع‬ ‫ص‬

‫ﻧﺘﯿﺠﺔ ) ‪: ( ٢‬‬ ‫إذا ﻃﺎﺑﻘﺖ زاوﯾﺘﺎن ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ زاوﯾﺘﺎن ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ آﺧﺮ ﺗﻄﺎﺑﻘﺖ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ‬ ‫س‬

‫أ‬

‫▪‬

‫▪‬

‫ب‬

‫•‬

‫‪X‬‬

‫ﺟـ‬ ‫ص‬

‫•‬

‫‪X‬‬

‫ع‬

‫‪٢٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺗﺼﻨﯿﻒ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﺣﺴﺐ اﻷﺿﻼع ‪:‬‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ‪ :‬ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﯿﮫ ﺿﻠﻌﺎن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن ﻓﻲ اﻟﻄﻮل‪.‬‬ ‫اﻟﻀﻠﻌﺎن اﻟﻤﺘﺴﺎوﯾﺎن ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ ﯾُﺴﻤﯿﺎن اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ واﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﯾُﺴﻤﻰ اﻟﻘﺎﻋﺪة‪.‬‬ ‫إﻧﺘﺒﮭﻮا‪ :‬اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻗﺪ ﺗﻜﻮن أﻃﻮل ﻣﻦ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ‪ ،‬أو أﻗﺼﺮ ﻣﻨﮭﻤﺎ أو ﺗُﺴﺎوﯾﮭﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﻄﻮل‪.‬‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ ﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ‪:‬‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻷﺿﻼع ‪:‬‬ ‫ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻛﻞ أﺿﻼﻋﮫ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﻄﻮل‪.‬‬ ‫إﻧﺘﺒﮭﻮا‪ :‬اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻷﺿﻼع ھﻮ‪ ،‬ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺨﺘﻠﻒ اﻷﺿﻼع ‪:‬‬ ‫ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ أﺿﻼﻋﮫ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻓﻲ أﻃﻮاﻟﮭﺎ‪.‬‬

‫‪٢٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺗﺼﻨﯿﻒ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﺣﺴﺐ اﻟﺰواﯾﺎ ‪:‬‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ ﺣﺎد اﻟﺰواﯾﺎ ‪:‬‬ ‫ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻛﻞ زواﯾﺎه ﺣﺎدّة‪.‬‬ ‫أﺣﯿﺎﻧًﺎ ﻧُﺴﻤﻲ ھﺬا اﻟﻤﺜﻠﺚ "ﻣﺜﻠﺚ ﺣﺎد اﻟﺰاوﯾﺔ"‪.‬‬ ‫ﻧﻘﺼﺪ ﻣﻦ اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﯿﻦ – "ﻣﺜﻠﺚ ﺣﺎد اﻟﺰواﯾﺎ" و"ﻣﺜﻠﺚ ﺣﺎد‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ" ‪ -‬ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﺬي ﻓﯿﮫ ﻛﻞ اﻟﺰواﯾﺎ ﺣﺎدة‪.‬‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﯿﮫ زاوﯾﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺗﻮﺟﺪ ﻓﻘﻂ زاوﯾﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ واﺣﺪة‪ ،‬واﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻷﺧﺮﯾﺎن داﺋﻤًﺎ ﺣﺎدّﺗﺎن‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﻧُﺴﻤﻲ ﻛﻞ ﺿﻠﻊ ﻣﻦ ﺿﻠﻌﻲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻘﺎﺋﻢ‪ ،‬واﻟﻀﻠﻊ اﻟﺬي ﯾُﻘﺎﺑﻞ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ اﻟﻮﺗﺮ‪.‬‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻣﻨﻔﺮج اﻟﺰاوﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﯿﮫ زاوﯾﺔ ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﻨﻔﺮج اﻟﺰاوﯾﺔ ﺗﻮﺟﺪ ﻓﻘﻂ زاوﯾﺔ ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ واﺣﺪة‪ ،‬واﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻷﺧﺮﯾﺎن داﺋﻤًﺎ ﺣﺎدّﺗﺎن‪.‬‬

‫اﻹرﺗﻔﺎع ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻔﮫ ‪ :‬ھﻮ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ أﺣﺪ ﻃﺮﻓﯿﮭﺎ ﻣﻮﺟﻮد ﻓﻲ أﺣﺪ اﻟﺮؤوس ‪ ،‬وﻃﺮﻓﮭﺎ اﻵﺧﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﻀﻠﻊ‬ ‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ أو ﻋﻠﻰ اﻣﺘﺪاده وھﻮ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﻀﻠﻊ ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ ﺑﻌﺾ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻗﺪ ﯾﻜﻮن اﻟﻀﻠﻊ ﻧﻔﺴﮫ ھﻮ أﯾﻀﺎ ً ارﺗﻔﺎع ‪.‬‬ ‫• ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺗﻮﺟﺪ ‪ ٣‬ارﺗﻔﺎﻋﺎت ﯾﺮﻣﺰ ﻟﻼرﺗﻔﺎع ﺑﺎﻟﺤﺮف ‪h‬‬ ‫• ﻟﻜﻞ ﻣﺜﻠﺚ ‪ ٣‬ارﺗﻔﺎﻋﺎت ‪ ،‬ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺸﺘﺮﻛﺔ ﻟﻼرﺗﻔﺎﻋﺎت اﻟﺜﻼﺛﺔ أو اﻣﺘﺪاداﺗﮭﺎ ‪.‬‬

‫‪٢٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻹرﺗﻔﺎع ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺣﺎد اﻟﺰاوﯾﺔ ‪:‬‬

‫اﻹرﺗﻔﺎع ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ‪:‬‬

‫اﻹرﺗﻔﺎع ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻣﻨﻔﺮج اﻟﺰاوﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪٢٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﺘﺒﺎﯾﻨﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪:‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﻃﻮﻟﻲ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻓﻲ أي ﻣﺜﻠﺚ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫وﯾﻤﻜﻦ اﺛﺒﺎت ذﻟﻚ ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ أ ب ﺟـ ﻧﺮﺳﻢ أ د ┴ ب ﺟـ ﻓﯿﻜﻮن‬ ‫أ ب < ب د ‪( ١ ) ....‬‬ ‫أ ﺟـ < ﺟـ د ‪( ٢ ) ....‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺠﻤﻊ أ ب ‪ +‬أ ﺟـ < ب ﺟـ‬ ‫ب‬

‫أ‬

‫ﺟـ‬

‫د‬

‫‪ #‬إذا اﺧﺘﻠﻒ ﻃﻮﻻ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﺄﻛﺒﺮھﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﻄﻮل ﺗﻘﺎﺑﻠﮫ زاوﯾﺔ أﻛﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻘﯿﺎس ﻣﻦ ﻗﯿﺎس‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻶﺧﺮ واﻟﻌﻜﺲ ﺻﺤﯿﺢ‬ ‫=================================================‬ ‫‪ #‬إذا ﻛﺎن ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻷﻃﻮل ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ أﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺮﺑﻌﻲ ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ اﻵﺧﺮﯾﻦ ﻓﺈن‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺣﺎد اﻟﺰواﯾﺎ‬ ‫=================================================‬ ‫‪ #‬إذا ﻛﺎن ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻷﻃﻮل ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺮﺑﻌﻲ ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ اﻵﺧﺮﯾﻦ ﻓﺈن‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻣﻨﻔﺮج اﻟﺰاوﯾﺔ وﺗﻜﻮن اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻨﻔﺮﺟﺔ ھﻲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﻀﻠﻊ اﻷﻛﺒﺮ‬ ‫=================================================‬ ‫‪ #‬إذا ﻛﺎن ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻷﻃﻮل ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺴﺎوﯾﺎ ﻟﻤﺠﻤﻮع ﻣﺮﺑﻌﻲ ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ اﻵﺧﺮﯾﻦ ﻓﺈن‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ وﺗﻜﻮن اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ھﻲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﻀﻠﻊ اﻷﻛﺒﺮ‬ ‫)) ﻋﻜﺲ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرث ((‬ ‫=================================================‬ ‫ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرث ‪:‬‬ ‫أ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮل اﻟﻮﺗﺮ ﯾﺴﺎوي‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺮﺑﻌﻲ ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ اﻵﺧﺮﯾﻦ‬ ‫ق) ب ( = ‪ْ ٩٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ب‬ ‫ﺟـ‬ ‫) أ ﺟـ (‪ ) = ٢‬أ ب ( ‪ ) +‬ب ﺟـ (‬ ‫================================================‬ ‫ﻧﺘﯿﺠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ْ ٦٠‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﺜﻼﺛﯿﻨﻲ اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ ﯾﻜﻮن ﻃﻮل‬ ‫•‬ ‫اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﻠﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻲ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ْ ٣٠‬‬ ‫‪ْ ٣٠‬‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﯾﺴﺎوي ﻧﺼﻒ ﻃﻮل اﻟﻮﺗﺮ‬

‫أ‬

‫ب‬

‫‪٣٠‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺣﺎﻻت ﺗﻄﺎﺑﻖ اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﻦ ‪:‬‬ ‫س‬

‫)‪ (١‬ﯾﺘﻄﺎﺑﻖ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت إذا ﺗﻄﺎﺑﻖ ﻛﻞ ﺿﻠﻊ‬ ‫ﻓﻲ أﺣﺪھﻤﺎ ﻣﻊ ﻧﻈﯿﺮه ﻓﻲ اﻵﺧﺮ‬ ‫)ض‪.‬ض‪.‬ض(‬

‫ل‬

‫ص‬

‫ع‬

‫د‬

‫أ‬

‫)‪ (٢‬ﯾﺘﻄﺎﺑﻖ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎن إذا ﺗﻄﺎﺑﻖ ﻓﻲ أﺣﺪھﻤﺎ ﺿﻠﻌﺎن‬ ‫واﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﻣﻌﮭﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺮأس ﻣﻊ‬ ‫ﻧﻈﺎﺋﺮھﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻵﺧﺮ‬ ‫)ض‪.‬ز‪.‬ض(‬

‫•‬

‫•‬

‫ب‬

‫)‪ (٣‬ﯾﺘﻄﺎﺑﻖ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎن إذا ﺗﻄﺎﺑﻖ ﻓﻲ أﺣﺪھﻤﺎ زاوﯾﺘﺎن‬ ‫واﻟﻀﻠﻊ اﻟﻮاﺻﻞ ﺑﯿﻦ رأﺳﯿﮭﻤﺎ ﻣﻊ ﻧﻈﺎﺋﺮھﺎ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻵﺧﺮ‬ ‫)ز‪.‬ض‪.‬ز(‬ ‫ب‬

‫م‬

‫ن‬

‫ﺟـ‬

‫أ‬

‫•‬

‫و‬

‫ھـ‬

‫ل‬

‫‪X‬‬

‫ﺟـ‬

‫•‬

‫م‬

‫‪X‬‬

‫ھـ‬

‫)‪ (٤‬ﯾﺘﻄﺎﺑﻖ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎن ﻗﺎﺋﻤﺎ اﻟﺰاوﯾﺔ إذا ﺗﻄﺎﺑﻖ‬ ‫ﻓﻲ أﺣﺪھﻤﺎ وﺗﺮ وﺿﻠﻊ ﻣﻊ ﻧﻈﺎﺋﺮھﻤﺎ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻵﺧﺮ‬ ‫س‬

‫ع‬

‫أ‬

‫ص‬

‫ب‬

‫ﺟـ‬

‫ﺑﻌﺾ ﻧﻈﺮﯾﺎت اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪:‬‬

‫أ‬

‫ﻧﻈﺮﯾﺔ )‪: (١‬‬ ‫اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﻮاﺻﻠﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﻨﺘﺼﻔﻲ ﺿﻠﻌﻲ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ‬ ‫ﺗﻮازي اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ وﻃﻮﻟﮭﺎ ﯾﺴﺎوي ﻧﺼﻒ ﻃﻮﻟﮫ‬

‫م‬ ‫ب‬

‫ن‬ ‫ﺟ‬ ‫ـ‬

‫‪٣١‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻧﻈﺮﯾﺔ )‪: (٢‬‬ ‫ﻃﻮل اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﻮاﺻﻠﺔ ﻣﻦ رأس اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ‬ ‫إﻟﻰ ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻮﺗﺮ ﯾﺴﺎوي ﻧﺼﻒ ﻃﻮل اﻟﻮﺗﺮ‬

‫أ‬

‫ﺟ‬

‫ﻣﺤﺎور أﺿﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪:‬‬ ‫‪ #‬ﻣﺤﻮر اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ھﻮ اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﻨﺼﻒ ﻟﮭﺎ‬ ‫‪ #‬ﻣﺤﺎور أﺿﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺗﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة‬

‫ب‬

‫ل‬

‫ب‬

‫أ‬

‫==================‬ ‫ﻧﻈﺮﯾﺔ )‪: (٣‬‬ ‫اﻷﻋﻤﺪة اﻟﻤﻘﺎﻣﺔ ﻋﻠﻰ أﺿﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ﻣﻦ ﻣﻨﺘﺼﻔﺎﺗﮭﺎ ﺗﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة‬

‫أ‬ ‫و‬

‫و‬

‫‪١‬‬

‫‪٣‬‬

‫م‬

‫ب‬

‫و‬

‫ﺟـ‬

‫‪٢‬‬

‫أ‬

‫‪------------------------------------------------‬‬‫ﻧﻈﺮﯾﺔ )‪: (٤‬‬ ‫ﻣﻨﺼﻔﺎت زواﯾﺎ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺗﺘﻼﻗﻰ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة‬

‫▪▪‬

‫م‬

‫••‬

‫‪ #‬ﻧﺘﯿﺠﺔ ‪:‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻼﻗﻲ ﻣﻨﺼﻔﺎت زواﯾﺎ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ أﺑﻌﺎد ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻣﻦ أﺿﻼﻋﮫ اﻟﺜﻼﺛﺔ‬ ‫ب‬

‫‪X‬‬

‫اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ‬

‫‪X‬‬

‫ﺟـ‬

‫أ‬

‫‪ #‬اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ‪ :‬ھﻲ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﺘﻲ‬ ‫ﺗﺼﻞ أي رأس ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﺑﻤﻨﺘﺼﻒ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫أ د ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ أ ب ﺟـ‬

‫ب‬

‫ﺟـ‬

‫د‬ ‫أ‬

‫ﻧﻈﺮﯾﺔ )‪: (٥‬‬ ‫اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﺗﺘﻼﻗﻰ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة‬ ‫ﺗﻘﺴﻢ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪ ١ : ٢‬ﻣﻦ ﺟﮭﺔ اﻟﺮأس‬

‫و‬ ‫ب‬

‫م‬

‫د‬

‫ھـ‬ ‫ﺟـ‬

‫اﻷﺷﻜﺎل اﻟﺮﺑﺎﻋﯿﺔ ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ‪ :‬ھﻲ ﻣﻀﻠﻌﺎت ﻟﮭﺎ ‪ ٤‬أﺿﻼع ‪ ٤‬رؤوس ‪ ٤‬زواﯾﺎ و َ ‪ ٢‬أﻗﻄﺎر‬ ‫‪٣٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺰواﯾﺎ اﻟﺪاﺧﻠﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ھﻮ ‪٣٦٠°‬‬ ‫ﻧُﻤﯿﱢﺰ ﺑﯿﻦ أﺷﻜﺎل رﺑﺎﻋﯿﺔ ﺧﺎﺻّﺔ ‪ -‬ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع‪ ،‬اﻟﺪﻟﺘﻮن‪ ،‬اﻟﻤُﻌﯿﻦ‪ ،‬اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻞ‪ ،‬اﻟﻤﺮﺑﻊ‪ ،‬ﺷﺒﮫ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﺮف‬ ‫وﺑﯿﻦ أﺷﻜﺎل رﺑﺎﻋﯿﺔ ﻏﯿﺮ ﺧﺎﺻّﺔ‪ ،‬أي أﻧﮭﺎ ﻻ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ أﺣﺪ اﻷﻧﻮاع اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬

‫اﻷﺷﻜﺎل اﻟﺮﺑﺎﻋﯿﺔ اﻟﺨﺎﺻﺔ ‪:‬‬ ‫ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻔﮫ ‪ :‬ھﻮ ﺷﻜﻞ رﺑﺎﻋﻲ ﻓﯿﮫ ﻛﻞ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن‪.‬‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﻜﺎﻓﺊ ‪" :‬ھﻮ ﺷﻜﻞ رﺑﺎﻋﻲ ﻓﯿﮫ زوﺟﺎن ﻣﻦ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ"‪.‬‬

‫ﺻﻔﺎت ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع‪:‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬

‫ﻛﻞ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﯿﻦ ﻓﻲ ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ﻣﺘﻮازﯾﺎن )ھﺬا ھﻮ أﯾﻀﺎ ﻣﺼﺪر اﻻﺳﻢ "ﻣﺘﻮازي‬ ‫أﺿﻼع"(‪.‬‬ ‫ﻛﻞ زاوﯾﺘﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﯿﻦ ﻓﯿﮫ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن‪.‬‬ ‫ﻗﻄﺮاه ﯾُﻨﺼﱢﻒ أﺣﺪھﻤﺎ اﻵﺧﺮ )أي أن ﻛﻞ ﻗُﻄﺮ ﯾﻘﺴﻢ اﻵﺧﺮ إﻟﻰ ﻗﺴﻤﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ(‪.‬‬ ‫ﻓﯿﮫ ﺗﻤﺎﺛﻞ دوراﻧﻲ ﻣﺮﻛﺰه ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻗُﻄﺮﯾﮫ‪.‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺘﻮن ‪:‬‬ ‫ھﻮ ﺷﻜﻞ رﺑﺎﻋﻲ ﻓﯿﮫ زوﺟﺎن ﻣﻨﻔﺮدان ﻣﻦ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﺠﺎورﯾﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ‪.‬‬

‫اﻟﺮأس اﻟﻤﻮﺟﻮد ﺑﯿﻦ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ ﻓﻲ اﻟﺪﻟﺘﻮن ﯾُﺴﻤﻰ رأﺳًﺎ رﺋﯿﺴﯿًﺎ‪ .‬ﻓﻲ اﻟﺪﻟﺘﻮن ﯾﻮﺟﺪ‬ ‫رأﺳﺎن رﺋﯿﺴﯿﺎن‪.‬‬ ‫زاوﯾﺔ اﻟﺪﻟﺘﻮن اﻟﺘﻲ رأﺳﮭﺎ " رأﺳًﺎ رﺋﯿﺴﯿًﺎ" ﺗﺴﻤﻰ "زاوﯾﺔ رﺋﯿﺴﯿﺔ"‬ ‫‪٣٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻘﻄﺮ اﻟﺬي ﯾﺼﻞ اﻟﺮأﺳﯿﻦ اﻟﺮﺋﯿﺴﯿﯿﻦ ﻓﻲ اﻟﺪﻟﺘﻮن ﯾُﺴﻤﻰ اﻟﻘﻄﺮ اﻟﺮﺋﯿﺴﻲ‪ ،‬ﺑﯿﻨﻤﺎ ﯾُﺴﻤﻰ‬ ‫اﻟﻘُﻄﺮ اﻵﺧﺮ اﻟﻘُﻄﺮ اﻟﺜﺎﻧﻮي‪.‬‬

‫ﺻﻔﺎت اﻟﺪﻟﺘﻮن‪:‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬

‫زاوﯾﺘﺎه اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺘﺎن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن‪.‬‬ ‫ﻗﻄﺮاه ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان‪.‬‬ ‫ﻗﻄﺮه اﻟﺮﺋﯿﺴﻲ ﯾُﻨﺼّﻒ ﻗﻄﺮه اﻟﺜﺎﻧﻮي‪.‬‬ ‫ﻗُﻄﺮه اﻟﺮﺋﯿﺴﻲ ﯾﻘﺴﻢ اﻟﺪﻟﺘﻮن إﻟﻰ ﻣﺜﻠﺜﯿﻦ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﯿﻦ‪.‬‬ ‫ﻓﯿﮫ ﺗﻤﺎﺛﻞ اﻧﻌﻜﺎﺳﻲ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻘﻄﺮه اﻟﺮﺋﯿﺴﻲ‪.‬‬ ‫ﻗُﻄﺮه اﻟﺜﺎﻧﻮي ﯾُﻜﻮﱢن ﻓﻲ اﻟﺪﻟﺘﻮن ﻣﺜﻠﺜﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﻲ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ‪ ،‬ﻗﺎﻋﺪﺗﮭﻤﺎ اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ھﻲ‬ ‫اﻟﻘﻄﺮ اﻟﺜﺎﻧﻮي‪.‬‬ ‫)إذا ﻛﺎن اﻟﺪﻟﺘﻮن ﻏﯿﺮ ﻣﺤﺪب‪ ،‬ﯾﻘﻊ أﺣﺪ اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﻦ داﺧﻞ اﻵﺧﺮ(‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﻟﺘﻮن‬ ‫ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﻟﺘﻮن = ﻣﺠﻤﻮع أﺿﻼﻋﮫ‬ ‫اﻟﻤُﻌﯿّﻦ ‪:‬‬

‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﻟﻘﻄﺮﯾﻦ‬

‫ﺗﻌﺮﯾﻔﮫ ‪ :‬ھﻮ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﺧﺎص وأﯾﻀًﺎ دﻟﺘﻮن ﺧﺎص‪.‬‬ ‫ﻟﺬﻟﻚ ﻓﯿﮫ ﻛﻞ ﺻﻔﺎت اﻟﺪﻟﺘﻮن وﺻﻔﺎت ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع‪ ،‬ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ﺻﻔﺎتٍ ﺧﺎﺻﺔ ﺑﮫ‪.‬‬ ‫ﺻﻔﺎت اﻟﻤُﻌﯿّﻦ‪:‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬

‫ﻛﻞ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﯿﻦ ﻓﯿﮫ ﻣﺘﻮازﯾﺎن‪.‬‬ ‫ﻛﻞ زاوﯾﺘﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﯿﻦ ﻓﯿﮫ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن‪.‬‬ ‫ﻗﻄﺮاه ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان‪.‬‬ ‫ﻗﻄﺮاه ﯾﻨﺼّﻒ أﺣﺪھﻤﺎ اﻵﺧﺮ‪.‬‬ ‫ﻛﻞ ﻗُﻄﺮ ﻓﯿﮫ ﯾﻨﺼﻒ زاوﯾﺘﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﯿﻦ‪.‬‬ ‫‪٣٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻓﯿﮫ ﺗﻤﺎﺛﻞ اﻧﻌﻜﺎﺳﻲ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﻗﻄﺮ ﻣﻦ ﻗﻄﺮﯾﮫ‪.‬‬ ‫ﻓﯿﮫ ﺗﻤﺎﺛﻞ دوراﻧﻲ؛ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ھﻮ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻘﺎء ﻗﻄﺮﯾﮫ‪.‬‬ ‫ﻛﻞ ﻗُﻄﺮ ﯾﻘﺴﻢ اﻟﻤﻌﯿﻦ إﻟﻰ ﻣﺜﻠﺜﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﻲ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﯿﻦ‪.‬‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻞ‬ ‫ھﻮ ﺷﻜﻞ رﺑﺎﻋﻲ ﻛﻞ زواﯾﺎه ﻗﺎﺋﻤﺔ‪.‬‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻞ ھﻮ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﺧﺎص‪ ،‬وﻟﺬﻟﻚ ﻓﯿﮫ ﻛﻞ ﺻﻔﺎت ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ‬ ‫إﻟﻰ ﺻﻔﺎتٍ ﺧﺎﺻﺔ ﺑﮫ‪.‬‬ ‫ﺻﻔﺎت اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻞ‪:‬‬ ‫• ﻛﻞ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﯿﻦ ﻓﯿﮫ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن‪.‬‬ ‫• ﻛﻞ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﯿﻦ ﻓﯿﮫ ﻣﺘﻮازﯾﺎن‪.‬‬ ‫• ‪ ٤‬زواﯾﺎ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ‪ ،‬ﻗﻮاﺋﻢ‪.‬‬ ‫• ﻗﻄﺮاه ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن‪.‬‬ ‫• ﻗﻄﺮاه ﯾﻨﺼﻒ أﺣﺪھﻤﺎ اﻵﺧﺮ‪.‬‬ ‫• ﻛﻞ ﻗﻄﺮ ﻓﯿﮫ ﯾﻘﺴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻞ إﻟﻰ ﻣﺜﻠﺜﯿﻦ ﻗﺎﺋﻤﻲ اﻟﺰاوﯾﺔ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘﯿﻦ‬ ‫• ﻓﯿﮫ ﺗﻤﺎﺛﻞ دوراﻧﻲ؛ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ھﻮ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻘﺎء اﻟﻘﻄﺮﯾﻦ‪.‬‬ ‫• ﻓﯿﮫ ﺗﻤﺎﺛﻞ اﻧﻌﻜﺎﺳﻲ؛ ﻓﯿﮫ ﺧﻄّﺎ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﯾﻤﺮان ﻓﻲ ﻣﻨﺘﺼﻔﺎت اﻷﺿﻼع اﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻠﺔ‬

‫اﻟﻤﺮﺑﻊ‪:‬‬ ‫ھﻮ ﺷﻜﻞ رﺑﺎﻋﻲ ﻛﻞ أﺿﻼﻋﮫ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ وﻛﻞ زواﯾﺎه ﻗﺎﺋﻤﺔ‪.‬‬

‫اﻟﻤﺮﺑﻊ ھﻮ ﺷﻜﻞ رﺑﺎﻋﻲ ﻣﻨﺘﻈﻢ؛ اﻟﻤﺮﺑﻊ أﯾﻀًﺎ ھﻮ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﺧﺎص‪ ،‬وﻛﺬﻟﻚ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ‬ ‫ﺧﺎص ودﻟﺘﻮن ﺧﺎص وﻣﻌﯿﻦ ﺧﺎص‪ .‬ﻟﻜﻞ ﻣﺮﺑﻊ ﺗﻮﺟﺪ ﺻﻔﺎت ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع‪ ،‬اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻞ‪،‬‬ ‫اﻟﺪﻟﺘﻮن واﻟﻤﻌﯿﻦ ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ﺻﻔﺎت ﺧﺎﺻﺔ ﺑﮫ‪.‬‬ ‫ﺻﻔﺎت اﻟﻤﺮﺑﻊ‪ :‬ﻓﯿﮫ زوﺟﺎن ﻣﻦ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ‪.‬‬ ‫‪٣٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬

‫•‬ ‫•‬ ‫•‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻓﯿﮫ ‪ ٤‬زواﯾﺎ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ‪ ،‬ﻗﻮاﺋﻢ ) ﻛﻞ زاوﯾﺔ ﻗﯿﻤﺘﮭﺎ ‪( ٩٠°‬‬ ‫ﻗﻄﺮاه ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن‪.‬‬ ‫ﻗﻄﺮاه ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان‪.‬‬ ‫ﻗﻄﺮاه ﯾﻨﺼّﻒ أﺣﺪھﻤﺎ اﻵﺧﺮ‪.‬‬ ‫ﻓﯿﮫ ﺗﻤﺎﺛﻞ اﻧﻌﻜﺎﺳﻲ؛ ﻓﯿﮫ ‪ ٤‬ﺧﻄﻮط ﺗﻤﺎﺛﻞ‪.‬‬ ‫ﻓﯿﮫ ﺗﻤﺎﺛﻞ دوراﻧﻲ؛ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ھﻮ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻘﺎء ﻗﻄﺮﯾﺔ‪.‬‬ ‫ﻛﻞ ﻗُﻄﺮ ﻣﻦ ﻗُﻄﺮﯾﮫ ﯾﻘﺴﻢ اﻟﻤﺮﺑﻊ إﻟﻰ ﻣﺜﻠﺜﯿﻦ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﯿﻦ‪ ،‬ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ‬ ‫وﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ‪.‬‬

‫ﺷﺒﮫ اﻟﻤﻨﺤﺮف ‪:‬‬ ‫ھﻮ ﺷﻜﻞ رﺑﺎﻋﻲ ﻓﯿﮫ ﻓﻘﻂ زوج واﺣﺪ ﻣﻦ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ‪.‬‬ ‫ﻧُﻤﯿّﺰ ﻓﻲ أﺿﻼع ﺷﺒﮫ اﻟﻤﻨﺤﺮف ﺑﯿﻦ ﻗﺎﻋﺪﺗﯿﻦ وﺳﺎﻗﯿﻦ‪:‬‬ ‫اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﺎن ‪ -‬ھﻤﺎ اﻟﻀﻠﻌﺎن اﻟﻤﺘﻮازﯾﺎن‪.‬‬ ‫اﻟﺴﺎﻗﺎن ‪ -‬ھﻤﺎ اﻟﻀﻠﻌﺎن اﻵﺧﺮان )أي‪ :‬اﻟﻀﻠﻌﺎن اﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻼن ﻏﯿﺮ اﻟﻤﺘﻮازﯾﯿﻦ(‪.‬‬

‫ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ھﻮ ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف أﺣﺪ ﺳﺎﻗﯿﮫ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ‪.‬‬ ‫ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ ‪:‬‬ ‫ھﻮ ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف ﺳﺎﻗﺎه ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن‪.‬‬

‫ﺻﻔﺎت ﺷﺒﮫ اﻟﻤﻨﺤﺮف اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ‪:‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬

‫ﻗُﻄﺮاهُ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن‪.‬‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺘﺎن ﺑﯿﻦ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ وﻛﻞ ﻗﺎﻋﺪة ﻣﻦ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن‪.‬‬ ‫ﻓﯿﮫ ﺗﻤﺎﺛﻞ اﻧﻌﻜﺎﺳﻲ ؛ ﺧﻂ ﺗﻤﺎﺛﻠﮫ ﯾﻤﺮ ﻓﻲ ﻣﻨﺘﺼﻔﻲ ﻗﺎﻋﺪﺗﯿﮫ‪.‬‬ ‫‪٣٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﺘﺒﺮﯾﺮ اﻻﺳﺘﻘﺮاﺋﻲ واﻟﺘﺨﻤﯿﻦ اﻟﺮﯾﺎﺿﻲ‬ ‫اﻟﺘﺨﻤﯿﻦ ‪ :‬اﺻﺪار ادﻋﺎء ﻋﺎم )ﺑﮭﺪف ﺗﻌﻠﯿﻤﻲ (ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻄﯿﺎت وﻣﻌﻠﻮﻣﺎت ﻣﻌﺮوﻓﺔ‬ ‫اﻟﺘﺒﺮﯾﺮ اﻻﺳﺘﻘﺮاﺋﻲ ‪ :‬اﻟﻨﻤﻂ اﻟﺬي ﯾﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ اﺻﺪار ادﻋﺎء‬ ‫ﻣﺜﺎل ﻣﻀﺎد ‪ :‬ھﻮ اﻟﻤﺜﺎل اﻟﺬي ﯾﻜﻮن ﻓﯿﮫ اﻻدﻋﺎء ﻏﯿﺮ ﺻﺤﯿﺢ‬

‫اﻟﻤﻨﻄﻖ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ‪ :‬ﺟﻤﻠﺔ ﺧﺒﺮﯾﺔ إﻣﺎ ان ﺗﻜﻮن ﺻﺤﯿﺤﺔ ﻓﻘﻂ او ﺧﺎﻃﺌﺔ ﻓﻘﻂ وﻻ ﺗﺤﺘﻤﻞ أي وﺿﻊ ﺛﺎﻟﺚ‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺼﻮاب ‪ :‬ﺗﺴﻤﻰ ﺻﺤﺔ او ﺧﻄﺎ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﻤﻨﻄﻘﯿﺔ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺼﻮاب ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻌﺒﺎرة‬ ‫ﻧﻔﻲ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﻤﻨﻄﻘﯿﺔ ‪ :‬ﯾﻔﯿﺪ ﻣﻌﻨﻰ ﻣﻀﺎد ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻌﺒﺎرة وﻗﯿﻤﺔ اﻟﺼﻮاب ﻟﮭﺎ ﻋﻜﺲ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺼﻮاب ﻟﻠﻌﺒﺎرة‬ ‫ﻋﺒﺎرة ﻣﺮﻛﺒﺔ ‪ :‬ﺟﻤﻠﺔ ﺧﺒﺮﯾﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﺧﺒﺮﯾﻦ او اﻛﺜﺮ‬ ‫ﻋﺒﺎرة ﺑﺴﯿﻄﺔ ‪ :‬ﺟﻤﻠﺔ ﺧﺒﺮﯾﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﺧﺒﺮ واﺣﺪ‬ ‫ﻋﺒﺎرة اﻟﻮﺻﻞ‪ :‬ﻋﺒﺎرة ﻣﺮﻛﺒﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ رﺑﻂ ﻋﺒﺎرﺗﯿﻦ او اﻛﺜﺮ ﺑﺄداة اﻟﺮﺑﻂ )و( )^(‬ ‫ﻋﺒﺎرة اﻟﻔﺼﻞ ‪ :‬ﻋﺒﺎرة ﻣﺮﻛﺒﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ رﺑﻂ ﻋﺒﺎرﺗﯿﻦ او اﻛﺜﺮ ﺑﺄداة اﻟﺮﺑﻂ )أو( )‪(v‬‬

‫ﺟﺪول اﻟﺼﻮاب ‪ :‬ﺟﺪول ﻟﺘﻨﻈﯿﻢ ﻗﯿﻢ اﻟﺼﻮاب ﻟﻠﻌﺒﺎرات اﻟﻤﻨﻄﻘﯿﺔ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﺸﺮﻃﯿﺔ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة اذا ﻛﺎن ﻓﺎن ‪ :‬اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﻲ ﺗﺘﺒﻊ اذا ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻔﺮض واﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﻲ ﺗﺘﺒﻊ ﻓﺎن ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻨﺘﯿﺠﺔ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺸﺮﻃﯿﺔ ‪ :‬ھﻲ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﻤﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﻓﺮض وﻣﻌﻄﻰ وﻧﺘﯿﺠﺔ‬ ‫اﻟﻌﻜﺲ ‪ :‬ﺗﺒﺪﯾﻞ اﻟﻔﺮض واﻟﻨﺘﯿﺠﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﻜﻮس ‪ :‬ﻧﻔﻲ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻔﺮض واﻟﻨﺘﯿﺠﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺸﺮﻃﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎﻛﺲ اﻹﯾﺠﺎﺑﻲ ‪ :‬ﻧﻔﻲ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻔﺮض واﻟﻨﺘﯿﺠﺔ ﻓﻲ ﻋﻜﺲ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺸﺮﻃﯿﺔ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺔ ﻣﻨﻄﻘﯿﺎ ‪ :‬ھﻲ اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﺘﻲ ﻟﮭﺎ ﻧﻔﺲ ﻗﯿﻢ اﻟﺼﻮاب‬

‫اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺸﺮﻃﯿﺔ اﻟﺜﻨﺎﺋﯿﺔ ‪ :‬رﺑﻂ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺸﺮﻃﯿﺔ وﻋﻜﺴﮭﺎ ﺑﺄداة اﻟﺮﺑﻂ و‬ ‫‪٣٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﺘﺒﺮﯾﺮ اﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺟﻲ ‪ :‬ﺳﺘﻌﻤﻞ ﻗﻮاﻋﺪ أ‪ ،‬ﺗﻌﺎرﯾﻒ أو ﺣﻘﺎﺋﻖ أ‪ ،‬ﺧﺼﺎﺋﺺ ﻟﻠﻮﺻﻮل إﻟﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻣﻨﻄﻘﯿﺔ‬ ‫ﻗﺎﻧﻮن اﻟﻔﺼﻞ اﻟﻤﻨﻄﻘﻲ ‪ :‬اﺣﺪ أﺷﻜﺎل اﻟﺘﺒﺮﯾﺮ اﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺟﻲ وﯾﺴﺘﻌﻤﻞ ﻟﻠﻮﺻﻮل إﻟﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻋﻦ ﻃﺮﯾﻖ‬ ‫ﻋﺒﺎرات ﺷﺮﻃﯿﺔ ﺻﺤﯿﺤﺔ‬ ‫ﻗﺎﻧﻮن اﻟﻘﯿﺎس اﻟﻤﻨﻄﻘﻲ ‪ :‬اﺣﺪ أﺷﻜﺎل اﻟﺘﺒﺮﯾﺮ اﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺟﻲ واﻟﺬي ﯾﺴﺘﻌﻤﻞ ﻟﻠﻮﺻﻮل إﻟﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻣﺸﺎﺑﮭﮫ‬ ‫ﻟﺨﺎﺻﯿﺔ اﻟﺘﻌﺪي ﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﻤﺴﺎوة‬ ‫اﻟﻤﺴﻠﻤﺎت واﻟﺒﺮاھﯿﻦ اﻟﺤﺮة ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﺴﻠﻤﺔ ‪ :‬ﺣﻘﯿﻘﺔ ﻻ ﺗﺤﺘﺎج إﻟﻰ ﺑﺮھﺎن‬ ‫اﻟﻨﻈﺮﯾﺔ ‪ :‬ﺣﻘﯿﻘﺔ ﺗﺤﺘﺎج إﻟﻰ ﺑﺮھﺎن‬ ‫اﻟﺒﺮھﺎن ‪ :‬دﻟﯿﻞ ﻣﻨﻄﻘﻲ‬ ‫اﻟﺒﺮھﺎن اﻟﺤﺮ ‪:‬ھﻮ اﺣﺪ أﻧﻮاع اﻟﺒﺮھﺎن وﻓﻲ ﺗﻜﺘﺐ ﻓﻘﺮة ﺗﻮﺿﺢ ﻟﻤﺎذا ﯾﻜﻮن اﻟﺘﺨﻤﯿﻦ ﻟﻮﺿﻊ ﻣﻌﻄﻰ‬ ‫ﺻﺤﯿﺢ!‬ ‫اﻟﺒﺮھﺎن اﻟﺠﺒﺮي‪:‬ھﻮ اﻟﺪﻟﯿﻞ اﻟﻤﻨﻄﻘﻲ اﻟﺬي ﯾﺴﺘﺨﺪم ﺧﺼﺎﺋﺺ ﻣﺠﻤﻮﻋﺎت اﻷﻋﺪاد واﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﯿﮫ‬ ‫اﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ اﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺟﯿﺔ ‪ :‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺴﺘﻌﻤﻞ ﻟﺤﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫اﻟﺒﺮھﺎن ذا اﻟﻌﻤﻮدﯾﻦ ‪ :‬ﯾﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺒﺎرات ﻓﻲ ﻋﻤﻮد واﻟﻤﺒﺮرات ﻓﻲ ﻋﻤﻮد ﻣﻮاز‬ ‫اﻟﺒﺮھﺎن اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ‪ :‬ھﻮ اﻟﺪﻟﯿﻞ اﻟﻤﻨﻄﻘﻲ ﻻ ﺛﺒﺎت اﻟﻌﻼﻗﺎت ﺑﯿﻦ اﻟﺰواﯾﺎ واﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ‬ ‫زواﯾﺎ اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫اﻟﺒﺮھﺎن اﻟﺘﺴﻠﺴﻠﻲ‪ :‬ﺗﻨﻈﻢ ﺳﻠﺴﻠﺔ ﻣﻦ اﻟﻌﺒﺎرات ﻓﻲ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻣﻨﻄﻘﻲ ﺑﺪءا ﺑﺎﻟﻌﺒﺎرات اﻟﻤﻌﻄﺎة وﺗﻜﺘﺐ ﻛﻞ‬ ‫ﻋﺒﺎرة داﺧﻞ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ واﻟﻤﺒﺮر ﺗﺤﺖ ﻛﻞ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ وﺗﺮﺑﻂ اﻟﻌﺒﺎرات ﺑﺎﺳﮭﻢ ﻟﺒﯿﺎن ﻛﯿﻔﯿﺔ ارﺗﺒﺎﻃﮭﻤﺎ‬ ‫اﻟﻨﺘﯿﺠﺔ‪ :‬ھﻲ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﻲ ﻏﺎﻟﺒﺎ ﻣﺎ ﯾﺘﻢ إﺛﺒﺎﺗﮭﺎ ﺑﺴﮭﻮﻟﺔ ﻋﻦ ﻃﺮﯾﻖ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻨﺘﯿﺠﺔ ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻨﻈﺮﯾﺔ‬ ‫اﻟﺒﺮھﺎن اﻻﺣﺪاﺛﻰ ‪ :‬ﯾﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﺒﺮھﺎن اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻷﺷﻜﺎل ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻻﺣﺪاﺛﻰ واﻟﺠﺒﺮ ﻻ ﺛﺒﺎت ﺻﺤﺔ‬ ‫اﻟﻤﻔﺎھﯿﻢ اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ‬ ‫اﻟﺒﺮھﺎن ﻏﯿﺮ اﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﺒﺮﯾﺮ ﻏﯿﺮ اﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪ :‬اﻓﺘﺮاض إن اﻟﻨﺘﯿﺠﺔ ﺧﻄﺎ ﺛﻢ ﺗﺒﯿﻦ إن ھﺬا اﻻﻓﺘﺮاض ﯾﺆدي إﻟﻰ ﺗﻨﺎﻗﺾ ﻣﻊ‬ ‫اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت‬ ‫اﻟﺒﺮھﺎن ﻏﯿﺮ اﻟﻤﺒﺎﺷﺮ ‪ :‬اﻻﻓﺘﺮاض ﺧﻄﺄ اﻟﻨﺘﯿﺠﺔ ﺑﺈﺛﺒﺎت ﺻﺤﺘﮭﺎ‬ ‫‪٣٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ ھﻨﺪﺳﺔ اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة ‪ :‬ھﻲ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻐﻠﻖ اﻟﺬي ﺟﻤﯿﻊ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ﻣﺘﺴﺎو ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﻓﻲ‬ ‫ﻣﺴﺘﻮاه ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ‪.‬‬ ‫ﻧﻖ‬ ‫ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ ‪ :‬ھﻮ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﺘﻲ أﺣﺪ ﻃﺮﻓﯿﮭﺎ‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة واﻟﻄﺮف اﻷﺧﺮ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﺪاﺋﺮة ‪ ).‬ﻧﻖ(‬ ‫اﻟﻮﺗﺮ ‪ :‬ھﻮ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ﻧﮭﺎﯾﺘﺎھﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮة ‪.‬‬ ‫اﻟﻘﻄﺮ ‪ :‬ھﻮ وﺗﺮ ﻣﺎر ﺑﻤﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة = ‪ ٢‬ﻧﻖ‬ ‫ﻗﻄﺮ ‪..‬‬ ‫‪٠‬‬

‫)‪(١‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫)‪(٣‬‬ ‫)‪(٤‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬

‫وﺗﺮ‬

‫أ‬ ‫أﻃﻮل وﺗﺮ ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮة ھﻮ اﻟﻘﻄﺮ‬ ‫أي ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻤﺮ ﺑﻤﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ھﻮ ﻣﺤﻮر ﺗﻨﺎﻇﺮ ﻟﮭﺎ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة ﻟﮭﺎ ﻋﺪد ﻻ ﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣﻦ ﻣﺤﺎور اﻟﺘﻨﺎﻇﺮ ‪.‬‬ ‫وﺿﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ اﻟﺪاﺋﺮة‬

‫‪.‬‬ ‫ل‬

‫)‪(١‬‬ ‫)‪(٢‬‬

‫إذا ﻛﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ∩ اﻟﺪاﺋﺮة و = ‪Ф‬‬ ‫ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻜﻮن ﺧﺎرج اﻟﺪاﺋﺮة وﯾﻜﻮن ﺑﻌﺪه ﻋﻦ اﻟﻤﺮﻛﺰ‬ ‫أﻛﺒﺮ ﻣﻦ ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ ﻓﻲ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫إذا ﻛﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ∩ اﻟﺪاﺋﺮة و = أ‬ ‫ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻜﻮن ﻣﻤﺎس ﻟﻠﺪاﺋﺮة وﯾﻜﻮن ﺑﻌﺪه ﻋﻦ اﻟﻤﺮﻛﺰ‬ ‫ﻣﺴﺎوﯾﺎ ﻟﻄﻮل ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ ﻓﻲ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫وﺗﺴﻤﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ أ ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻤﺎس‪.‬‬

‫و‬

‫)‪ (٣‬إذا ﻛﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ∩ اﻟﺪاﺋﺮة و= أ ‪ ،‬ب‬ ‫ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻜﻮن ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻠﺪاﺋﺮة وﯾﻜﻮن ﺑﻌﺪه ﻋﻦ اﻟﻤﺮﻛﺰ‬ ‫أﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ ﻓﻲ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪.‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬

‫ل‬ ‫أ و‬

‫ل‬ ‫و‬

‫اﻟﻤﻤﺎس ‪ :‬ھﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬي ﯾﺸﺘﺮك ﻣﻊ اﻟﺪاﺋﺮة ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة ‪.‬‬ ‫ﻧﻈﺮﯾﺔ )‪(١‬‬ ‫ﻛﻞ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻟﯿﺴﺖ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة ﺗﻤﺮ ﺑﮭﺎ داﺋﺮة واﺣﺪه‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻷﻋﻤﺪة اﻟﻤﻨﺼﻔﺔ ﻷﺿﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ ھﻲ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺎرة ﺑﺮؤوﺳﮫ ‪.‬‬

‫ﻧﺘﯿﺠﺔ‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬ ‫)‪(١‬‬

‫ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺎرة ﺑﺮؤوس اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﺤﺎد اﻟﺰواﯾﺎ ﯾﻘﻊ داﺧﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ‬

‫‪٣٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫)‪(٢‬‬ ‫)‪(٣‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺎرة ﺑﺮؤوس اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﯾﻘﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺜﻠﺚ ) ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ‬ ‫ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ (‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺎرة ﺑﺮؤوس اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﻨﻔﺮج اﻟﺰاوﯾﺔ ﯾﻘﻊ ﺧﺎرج اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪.‬‬

‫‪ (١‬ﺍﻟﻘﻭﺱ‪:‬‬ ‫ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻓﻤﺜﻼ" ﺃ ﺱ ﺏ ﻴﻤﺜل ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺍﻷﺼﻐﺭ‬ ‫ﺃ ﺹ ﺏ ﻴﻤﺜل ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺍﻷﺼﻐﺭ‬ ‫ﻤﻠﺤﻭﻅﺔ‪ :‬ﺍﻟﺭﻤﺯ ﺃ ﺏ ﻴﻌﻨﻰ ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻤﺎ ﻟﻡ ﻴﺫﻜﺭ ﺨﻼﻑ ﺫﻟﻙ‬

‫‪ (٢‬ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ‪:‬‬

‫ﻫﻰ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺭﺃﺴﻬﺎ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻭﻴﺤﺘﻭﻯ‬ ‫ﻜل ﻀﻠﻊ ﻤﻥ ﻀﻠﻌﻴﻬﺎ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﻓﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ‪.‬‬ ‫> ﺃ ﻡ ﺏ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﻤﺭﻜﺯﻴﺔ ﻴﻘﺎﺒﻠﻬﺎ ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺃ ﺠـ ﺏ‬ ‫> ﺃ ﻡ ﺏ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﻤﺭﻜﺯﻴﻪ ﻤﻨﻌﻜﺴﺔ ﻴﻘﺎﺒﻠﻬﺎ ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺃ ﺩ ﺏ‬

‫‪ (٣‬ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﻴﻁﻴﺔ ‪:‬‬

‫ﻫﻰ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺭﺃﺴﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻭﻴﺤﻤل ﻜل ﻀﻠﻊ ﻤﻥ ﻀﻠﻌﻴﻬﺎ ﻭﺘﺭﺍ" ﻓﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ" ‪ > :‬ﺠـ ﺩ ﺏ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﻤﺤﻴﻁﻴﺔ ﻴﻘﺎﺒﻠﻬﺎ ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺠـ ﺏ‬

‫‪(٤‬ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﻘﻭﺱ‪ :‬ﻫﻭ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒﻠﺔ ﻟﻪ ‪.‬‬ ‫‪ (٥‬ﻁﻭل ﺍﻟﻘﻭﺱ ‪ :‬ﻫﻭ ﺠﺯﺀ ﻤﻥ ﻤﺤﻴﻁ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ‪.‬‬

‫ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻫﺎﻣﺔ‪:‬‬

‫‪ (١‬ﻓﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ ﺃﻭ ﺍﻟﺩﻭﺍﺌﺭ ﺍﻟﻤﺘﻁﺎﺒﻘﺔ ﺍﻷﻗﻭﺍﺱ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻁﻭل ﻭﺍﻟﻌﻜﺱ‬ ‫ﺼﺤﻴﺢ ‪.‬‬ ‫‪ (٢‬ﻓﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ ﺃﻭ ﺍﻟﺩﻭﺍﺌﺭ ﺍﻟﻤﺘﻁﺎﺒﻘﺔ ﺍﻷﻗﻭﺍﺱ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺃﻭﺘﺎﺭﻫﺎ‬

‫ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻓﻰ‬

‫ﺍﻟﻁﻭل ﻭﺍﻟﻌﻜﺱ ﺼﺤﻴﺢ‬ ‫‪ (٣‬ﺍﻟﻭﺘﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻴﺤﺼﺭﺍﻥ ﻗﻭﺴﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﻴﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ‪.‬‬ ‫‪ (٤‬ﺍﻟﻘﻭﺴﺎﻥ ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭﺍﻥ ﺒﻴﻥ ﻭﺘﺭ ﻭﻤﻤﺎﺱ ﻴﻭﺍﺯﻴﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺎﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ‪.‬‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ‪-:‬‬

‫ﺍﻷﻭﺘﺎﺭ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺘﺒﻌﺩ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ‪.‬‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ‪:‬‬

‫ﺍﻷﻭﺘﺎﺭ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﻌﺩ ﺃﺒﻌﺎﺩﺍ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪٤٠‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ‬

‫" ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺤﻴﻄﻴﺔ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻧﺼﻒ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰﻳﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﻣﻌﻬﺎ ﻓﻰ‬ ‫ﻕ)>ﺃﺠـ ﺏ( = ‪ ٢/١‬ﻕ)> ﺃﻡ ﺏ(‬

‫ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻘﻮﺱ "‬

‫ﻨﺘﻴﺠﺔ)‪ (١‬ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﻴﻁﻴﺔ ﻴﺴﺎﻭﻯ ﻨﺼﻑ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ﻨﺘﻴﺠﺔ)‪ (٢‬ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﻴﻁﻴﺔ ﺍﻟﻤﺭﺴﻭﻤﺔ ﻓﻰ ﻨﺼﻑ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻗﺎﺌﻤﺔ ‪.‬‬

‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﺸﻬﻭﺭ)‪:(١‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺃﺏ ‪ ،‬ﺠـ ﺩ ﻭﺘﺭﺍﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻡ‬ ‫ﺃ ﺏ ∩ ﺠـ ﺩ = } ﻫـ { ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﻕ)>ﺃﻫـ ﺠـ( =‪} ٢/١‬ﻕ)ﺃﺠـ(‪+‬ﻕ)ﺩ ﺏ( {‬ ‫= ‪ } ٢/١‬ﻕ)ﺃ ﺩ( ‪ +‬ﻕ) ﺏ ﺠـ( {‬

‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﺸﻬﻭﺭ)‪: (٢‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺃ ﺏ ‪ ،‬ﺠـ ﺩ ﻭﺘﺭﺍﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻡ‬ ‫ﺃ ﺏ ∩ ﺠـ ﺩ =} ﻫـ { ﺤﻴﺙ ﻫـ ﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻓﺈﻥ‬ ‫ﻕ)>ﻫـ( = ‪ } ٢/١‬ﻕ)ﺃ ﺠـ( – ﻕ) ﺏ ﺩ( {‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ‬ ‫" ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﺤﻴﻄﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺤﺼﺮ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻘﻮﺱ ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ "‬

‫ﻕ)>ﺠـ(=ﻕ)>ﺩ(=ﻕ)>ﻫـ(‬

‫ﻨﺘﻴﺠﺔ ‪ :‬ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ﺍﻟﻤﺤﻴﻁﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺘﺤﺼﺭ ﺃﻗﻭﺍﺴﺎ" ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻓﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ ﺃﻭ )ﻋﺩﺓ ﺩﻭﺍﺌﺭ(‬ ‫ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ‪.‬‬

‫ﻋﻜﺲ ﻧﻈﺮﻳﺔ‬ ‫" ﺇﺫﺍ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﻗﻴﺎﺳﺎ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻣﺮﺳﻮﻣﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻭﺍﺣﺪﻩ ﻭﻓﻰ ﺟﻬﺔ ﻭﺍﺣﺪﻩ ﻣﻨﻬﺎ ﻓﺈﻧﻪ‬ ‫ﺗﻤﺮ ﺑﺮﺃﺳﻴﻬﻤﺎ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﻩ ﻭﺗﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﻭﺗﺮﺍ" ﻓﻴﻬﺎ "‬

‫‪٤١‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ‬

‫" ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺩﺍﺋﺮﻳﺎ" ﻓﺈﻥ ﻛﻞ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎﻥ "‬ ‫)‪ (١‬ﻕ)>ﺃ( ‪ +‬ﻕ)>ﺠـ(=‪° ١٨٠‬‬ ‫)‪ (٢‬ﻕ)ﺏ( ‪ +‬ﻕ)>ﺩ( = ‪° ١٨٠‬‬

‫ﻋﻜﺲ ﻧﻈﺮﻳﺔ‬ ‫" ﺇﺫﺍ ﻭﺟﺪﺕ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﺎﻥ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﻴﻦ ﻓﻰ ﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻛﺎﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻲ‬ ‫ﺩﺍﺋﺮﻱ "‬

‫ﻨﺘﻴﺠﺔ ‪ :‬ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﺔ ﻋﻨﺩ ﺃﻯ ﺭﺃﺱ ﻤﻥ ﺭﺅﻭﺱ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻱ ﻴﺴﺎﻭﻯ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒﻠﺔ ﻟﻠﻤﺠﺎﻭﺭﺓ ﻟﻬﺎ ‪.‬‬

‫ﺣﺎﻻﺕ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ‬ ‫ﻳﻜﻮن اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ داﺋﺮﻳﺎ" ﻓﻰ إﺣﺪى اﻟﺤﺎﻻت اﻵﺗﯿﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (١‬ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩﺕ ﻨﻘﻁﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺩﺍﺨﻠﻪ ﺘﺒﻌﺩ ﻋﻥ ﻜل ﺭﺃﺱ ﻤﻥ ﺭﺅﻭﺴﻪ ﺒﻤﻘﺩﺍﺭ ﺜﺎﺒﺕ ﺃﻭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﺭﺅﻭﺴﻪ ﺍﻷﺭﺒﻌﺔ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ ﺜﺎﺒﺕ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ‬ ‫‪ (٢‬ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩﺕ ﺯﺍﻭﻴﺘﺎﻥ ﻤﺭﺴﻭﻤﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﻀﻠﻊ ﻤﻥ ﺃﻀﻼﻋﻪ ﻜﻘﺎﻋﺩﺓ ﻭﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﺎﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ‪.‬‬ ‫‪ (٣‬ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩﺕ ﺯﺍﻭﻴﺘﺎﻥ ﻤﺘﻘﺎﺒﻠﺘﺎﻥ ﻓﻴﻪ ﻤﺘﻜﺎﻤﻠﺘﺎﻥ‪.‬‬ ‫‪ (٤‬ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩﺕ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺨﺎﺭﺠﻪ ﻋﻨﺩ ﺃﻯ ﺭﺃﺱ ﻤﻥ ﺭﺅﻭﺴﻪ ﻗﻴﺎﺴﻬﺎ ﻴﺴﺎﻭﻯ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒﻠﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﺠﺎﻭﺭﺓ ﻟﻬﺎ ‪.‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ‬ ‫" ﺍﻟﻘﻄﻌﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﻤﺎﺳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺘﺎﻥ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﺎﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﻄﻮﻝ "‬

‫ﺃ ﺏ = ﺃ ﺠـ‬

‫ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺃ ﺏ ‪ ،‬ﺃ ﺠـ ﻗﻁﻌﺘﻴﻥ ﻤﻤﺎﺴﺘﻴﻥ ﻟﻠﺩﺍﺌﺭﺓ ﻡ ﻓﺈﻥ‬ ‫‪ (١‬ﻡ ﺃ ﻤﺤﻭﺭ ﺏ ﺠـ ) ﻡ ﺃ ⊥ ﺏ ﺠـ ﻭﻴﻨﺼﻔﻪ (‬ ‫‪ (٢‬ﺃ ﻡ ﻴﻨﺼﻑ > ﺏ ﺃ ﺠـ ‪ ،‬ﻡ ﺃ ﻴﻨﺼﻑ > ﺏ ﻡ ﺠـ‬ ‫‪٤٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺙ ﻫﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺘﻰ ﺘﻤﺱ ﺃﻀﻼﻋﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﺨل ﻭﻴﻜﻭﻥ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﻤﻨﺼﻔﺎﺕ‬

‫ﺯﻭﺍﻴﺎ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ‬ ‫" ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺳﻴﺔ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺤﻴﻄﻴﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﻣﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ‬ ‫ﺍﻟﻘﻮﺱ "‬

‫ﻨﺘﻴﺠﺔ‪:‬‬ ‫ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻤﺎﺳﯿﺔ ﯾﺴﺎوى ﻧﺼﻒ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﻣﻌﮭﺎ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻘﻮس‬

‫ﻋﻜﺲ ﻧﻈﺮﻳﺔ ) ‪( ٢ – ٢‬‬ ‫" ﺇﺫﺍ ﺭﺳﻢ ﺃ ﺩ ﻣﻦ ﺇﺣﺪﻯ ﻧﻬﺎﻳﺘﻲ ﺍﻟﻮﺗﺮ ﺃ ﺏ‬

‫ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻡ ﺑﺤﻴﺚ ﻛﺎﻥ‬

‫ﻕ)> ﺩ ﺃ ﺏ(=ﻕ)> ﺟـ( ﻓﺈﻥ‬ ‫ﺃ ﺩ ﻣﻤﺎﺱ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ﻋﻨﺪ ﺃ‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫)‪ (١‬ﻃﻮل ا ﻟﻘﻮس ھﻮ ﻃﻮل ﺟﺰء ﻣﻦ ﻣﺤﯿﻂ ا ﻟﺪاﺋﺮة ‪.‬‬ ‫ﻃﻮل ا ﻟﺪاﺋﺮة = ﻣﺤﯿﻄﮭﺎ = ‪ ٢‬ط ﻧﻖ ‪ ،‬ﻗﯿﺎس ا ﻟﺪاﺋﺮة = ‪٣٦٠‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﻃﻮل ﻧﺼﻒ داﺋﺮة = ط ﻧﻖ ‪ ،‬ﻗﯿﺎس ﻧﺼﻒ داﺋﺮة = ‪١٨٠‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪ ٣‬ط ﻧﻖ‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻃﻮل ‪ ٣‬داﺋﺮة = ‪ ٢ × ٣‬ط ﻧﻖ =‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﻗﯿﺎس ‪ ٣‬داﺋﺮة = ‪٢٧٠ = ٣٦٠ × ٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ × ‪ ٢‬ط ﻧﻖ‬ ‫)‪ (٢‬ﻃﻮل ا ﻟﻘﻮس =‬ ‫‪٣٦٠‬‬ ‫‪٢٢‬‬ ‫) ﻣﺎ ﻟﻢ ﯾﺬﻛﺮ ﺧﻼف ذﻟﻚ (‬ ‫ﻧﻖ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ا ﻟﺪاﺋﺮة ‪ ،‬ط =‬ ‫‪٧‬‬

‫‪٤٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ‬

‫اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) س‪ ، ١‬ص‪ ، ( ١‬ب = )س‪ ، ٢‬ص‪ ( ٢‬ﻓﺈن اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ أ ‪ ،‬ب ﯾﺘﻌﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫أب=‬

‫) س‪ – ٢‬س‪ ) + ٢( ١‬ص‪ – ٢‬ص‪ =٢( ١‬ﻣﺮﺑﻊ ﻓﺮق اﻟﺴﯿﻨﺎت ‪ +‬ﻣﺮﺑﻊ ﻓﺮق اﻟﺼﺎدات‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) ‪ ، ( ٢ ، ١‬ب = ) ‪ ( ٦ ، ٤‬أوﺟﺪ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ أ ‪ ،‬ب‬

‫أ ب = )‪= ٢( ٢ – ٦ ) + ٢( ١ – ٤‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫)‪ ٥ = ٢٥ = ١٦+ ٩ = ٢(٤) + ٢(٣‬وﺣﺪات‬

‫إذا ﻛﺎن أ = ) ‪ ، (٢ ، ١‬ب = ) س ‪ ( ٦ ،‬وﻛﺎن ﻃﻮل أ ب = ‪ ٥‬وﺣﺪات أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ س‬ ‫أب=‪٥‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫) س – ‪ ٥ = ٢( ٢ – ٦) + ٢( ١‬ﺑﺎﻟﺘﺮﺑﯿﻊ‬ ‫) س – ‪٢٥ = ٢(٤) + ٢( ١‬‬ ‫س‪٢ – ٢‬س ‪٠ = ٢٥ – ١٦+ ١+‬‬

‫س‪ ٢ – ٢‬س – ‪٠ = ٨‬‬ ‫) س – ‪ )( ٤‬س ‪٠ = ( ٢+‬‬ ‫س=‪٤‬‬

‫س = ‪٢-‬‬

‫ﻣﺜﺎل اﺛﺒﺖ أن اﻟﻨﻘﻂ أ )‪ ، (١ ، ١-‬ب )‪ ، (٤ ، ٠‬ﺟـ)‪ (١ ، ٣‬ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﯿﻂ داﺋﺮة واﺣﺪة‬ ‫ﻣﺮﻛﺰھﺎ م )‪ (٢ ، ١‬وأوﺟﺪ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ وﻣﺤﯿﻄﮭﺎ وﻣﺴﺎﺣﺘﮭﺎ ‪٠‬‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــﻞ‬

‫م أ = ) ‪٥ = ١ + ٤ = ٢( ١ – ٢ ) + ٢( ١ + ١‬‬ ‫مب=‬

‫) ‪٥ = ٤+١ = ٢( ٢ – ٤ ) + ٢( ٠ – ١‬‬

‫م ﺟـ = )‪٥ = ١ + ٤ = ٢( ١ – ٢ ) + ٢( ١ – ٣‬‬ ‫م أ = م ب = م ﺟـ‬

‫أ ‪ ،‬ب ‪ ،‬ﺟـ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﯿﻂ داﺋﺮة واﺣﺪة وﯾﻜﻮن ﻧﻖ = ‪٥‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﺋﺮة = ‪ ٢‬ط ﻧﻖ = ‪ × ٢‬ط × ‪١٤ = ٥‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة = ط ﻧﻖ‪ = ٢‬ط ) ‪ = ٢( ٥‬ط × ‪١٥٫٧ = ٥‬ﺳﻢ‬ ‫‪٤٤‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫أﺣﺪاﺛﯿﺎت ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻨﺼﯿﻒ‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ إﺣﺪاﺛﯿﺎت أ = ) س‪ ، ١‬ص‪ ،، ( ١‬ب = ) س‪ ، ٢‬ص‪ ( ٢‬ﻓﺈن‬ ‫س‪+١‬س‪ ٢‬ص‪+١‬ص‪٢‬‬ ‫ـــــــــــــــــــ(‬ ‫إﺣﺪاﺛﯿﺎت ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ب = ) ـــــــــــــــ ‪،‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = )‪ ، ( ٢ ، ١‬ب = ) ‪ ( ٦ ، ٣‬أوﺟﺪ ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ب‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫‪٨ ٤‬‬ ‫‪٦+٢‬‬ ‫‪٣+١‬‬ ‫(=) ‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ب = )‬ ‫‪٢ ٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) ‪ ، ( ١ ، ٢‬ب = ) ‪ ، ( ١- ، ٥‬ﺟـ)‪ ، ( ٥ ، ٦‬ء = ) ‪ ( ٧ ، ٣‬اﺛﺒﺖ أن اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫أ ب ﺟـ ء ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع‬ ‫( = )‪( ٤ ، ٢‬‬

‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬

‫‪٥+١ ٦+٢‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ﺟـ = )‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٧+١- ٣+٥‬‬ ‫(=)‪( ٣ ، ٤‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ ب ء = )‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫(=) ‪(٣، ٤‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ﺟـ = ﻣﻨﺘﺼﻒ ب ء‬ ‫∴أ ﺟـ ‪ ،‬ب ء ﯾﻨﺼﻒ ﻛﻼ ﻣﻨﮭﻤﺎ اﻻﺧﺮ‬ ‫∴ اﻟﺸﻜﻞ أ ب ﺟـ ء ﻣﺘﻮازى أﺿﻼع‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ أ=)‪ ، (١ ، ٣-‬ب = ) ‪ ( ٥ ، ٥‬أوﺟﺪ أﺣﺪاﺛﯿﺎت اﻟﻨﻘﻂ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ أ ب إﻟﻰ أرﺑﻌﺔ‬ ‫أﺟﺰاء ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ‬

‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬ ‫أ‬

‫ﺟـ‬

‫ء‬

‫‪٦ ٢‬‬ ‫ء ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ب = ) ‪، ) = ( ٥+١ ، ٥+٣-‬‬ ‫‪٢ ٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤ ٢‬‬‫‪٣+١ ١+٣‬‬‫(=) ‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ﺟـ ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ء = )‬ ‫‪٢ ٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ھـ‬

‫ب‬

‫(=)‪(٣،١‬‬

‫( = ) ‪( ٢ ، ١-‬‬

‫‪٥+٣ ٥+١‬‬‫( = ) ‪(٤ ، ٢ ) = ( ٨ ، ٤‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ھـ ﻣﻨﺘﺼﻒ ء ب = )‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢ ٢‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫أوﺟﺪ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ أ ب ﻗﻄﺮ ﻓﯿﮭﺎ أ = ) ‪ ، (٢ ، ١‬ب = ) ‪(٤ ، ٥-‬‬

‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٤+٢ (٥-)+١‬‬ ‫( = ) ‪( ٣ ، ٢-) = ( ، ٤-‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة = )‬ ‫‪٢ ٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻤﯿـــــــــــــــــــــﻞ‬

‫ﻣﯿﻞ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ‬

‫ص‪ – ٢‬ص‪١‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ )س‪ ، ١‬ص‪) ، (١‬س‪ ، ٢‬ص‪ ( ٢‬ﯾﺘﻌﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ م =‬ ‫س‪ – ٢‬س‪١‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬

‫أوﺟﺪ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬

‫أ = )‪ ، (٢- ، ١-‬ب = ) ‪(١ ، ٥-‬‬

‫) ‪( ٧ ، ٤ ) ، (٢ ، ١‬‬

‫اﻟﺤــــــــــــﻞ‬

‫اﻟﺤــــــــــــﻞ‬

‫‪٣- ٣‬‬ ‫ص‪ – ٢‬ص‪١‬‬ ‫‪(٢-) – ١‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ = =‬ ‫م=‬ ‫‪٤ ٤- (٢-) – ٥‬‬‫س‪ – ٢‬س‪١‬‬

‫‪٥ ٢–٧‬‬ ‫ص‪ – ٢‬ص‪١‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ =‬ ‫م=‬ ‫‪٣ ١–٤‬‬ ‫س‪ – ٢‬س‪١‬‬

‫)‪ (١‬ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻜﻮن ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻰ ﻣﻮﺟﺐ أو ﺳﺎﻟﺐ أو ﺻﻔﺮ‬ ‫)‪ (٢‬ﻣﯿﻞ أى ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ أﻓﻘﻰ ) ﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ( = ﺻﻔﺮ وھﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ )ص=ﺛﺎﺑﺖ(‬ ‫)‪ (٣‬ﻣﯿﻞ أى ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ رأﺳﻰ)ﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﺻﺎدات( =‬ ‫)‪ (٤‬إذا ﻛﺎن ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﻮﺟﺐ ﯾﻜﻮن ﺷﻜﻠﮫ )‬ ‫أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﯿﻠﮫ = ‪ ٠‬ﯾﻜﻮن ﺷﻜﻠﮫ )‬

‫) ‪١‬‬ ‫ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺮف ( وھﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ )س=ﺛﺎﺑﺖ(‬ ‫‪٠‬‬

‫( أﻣﺎ إذا ﻛﺎن اﻟﻤﯿﻞ ﺳﺎﻟﺐ ﯾﻜﻮن ﺷﻜﻠﮫ)‬

‫( وإذا ﻛﺎن ﻣﯿﻠﮫ ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺮف ﯾﻜﻮن ﺷﻜﻠﮫ)‬

‫اﻟﺘﻐﯿﺮ اﻟﺮأﺳﻰ‬

‫(‬ ‫(‬

‫)‪ (٥‬ﯾﻤﻜﻦ إﯾﺠﺎد ﻣﯿﻞ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ ﻋﻦ ﻃﺮﯾﻖ اﻟﻘﺎﻧﻮن م =‬ ‫اﻟﺘﻐﯿﺮ اﻻﻓﻘــﻰ‬ ‫)‪ (٦‬ﯾﻤﻜﻦ أﺳﺘﺨﺪام ﻓﻜﺮة اﻟﻤﯿﻞ ﻻﺛﺒﺎت أن أ ‪ ،‬ب ‪ ،‬ﺟـ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ أﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة ﻧﺜﺒﺖ أن اﻟﻤﯿﻞ ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ أ ‪ ،‬ب ﯾﺴﺎوى اﻟﻤﯿﻞ ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ب ‪ ،‬ﺟـ‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ اوﺟﺪ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫اﻟﺘﻐﯿﺮ اﻟﺮاﺳﻰ ‪٣‬‬ ‫=‬ ‫اﻟﻤﯿﻞ =‬ ‫اﻟﺘﻐﯿﺮ اﻻﻓﻘﻰ‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٤٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫إذا ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﺗﺴﺎوى ﻣﯿﻼھﻤﺎ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫إﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ‪٦‬س – ‪٣‬ص ‪ ، ٠ = ٥+‬ص = ‪٢‬س ‪ ٧+‬ﻣﺘﻮازﯾﺎن‬

‫‪٦‬‬‫م =‬ ‫‪٣- ١‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬ ‫م‪= ١‬‬

‫= ‪٢‬‬

‫م‪٢‬‬

‫∴ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺎن‬

‫م‪٢ = ٢‬‬

‫إذا ﻛﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن أ س – ‪ ٦‬ص ‪ ٠ = ٥+‬واﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ) ‪(١، ٠‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫‪ (٣ ، ٣ ) ،‬ﻣﺘﻮازﯾﺎن أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ أ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺎن‬ ‫م‪= ١‬‬

‫‪٢‬‬ ‫أ‬ ‫ـــــــ =‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪ ٣‬أ = ‪١٢‬‬

‫م‪٢‬‬

‫أ‬‫ــــــ = ‪١ – ٣‬‬ ‫ــــــــــــ‬ ‫‪٦‬‬‫‪٠–٣‬‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ (٢ ، ١-‬وﯾﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ )‪(١ ، ٠‬‬ ‫أ=‪٤‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫)‪(٤،٥‬‬ ‫‪٣ ١–٤‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫م‬ ‫اﻟﻤﻮازى ‪٥ ٠ - ٥‬‬

‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬

‫‪٣‬‬ ‫=‬ ‫م‬ ‫اﻟﻤﻄﻠﻮب ‪٥‬‬

‫ص–‪٣ ٢‬‬ ‫س ‪٥= ١ +‬‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻄﻠﻮب ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ)‪ (٢ ، ١-‬وﻣﯿﻠﮫ= ‪ ٥، ٣‬ص – ‪٣ = ١٠‬س ‪٣ +‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬ص – ‪ ٣‬س – ‪٠ = ١٣‬‬

‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻣﯿﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪﯾﻦ=‪١-‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪٢‬‬‫م =‬ ‫‪٣- ١‬‬ ‫‪٦‬‬‫م‪٤ = ٢‬‬

‫إﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ‪٢‬س – ‪ ٣‬ص ‪ ٦ ، ٠ = ٥+‬س ‪ ٤ +‬ص ‪ ٠ = ١+‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﯾﻦ‬ ‫‪٢‬‬ ‫=‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬‫= ‪٢‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫‪٣- ٢‬‬ ‫م‪ × ١‬م‪١- = ٢ × ٣ = ٢‬‬

‫∴ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان‬

‫‪٤٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﺘﻘــــــــــــــــﺴﯿﻢ‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = )س‪ ،١‬ص‪،(١‬ب =)س‪ ،٢‬ص‪ (٢‬وﻛﺎﻧﺖ ﺟـ ﺗﻘﺴﻢ أ ب ﺑﻨﺴﺒﺔ م‪ : ١‬م‪ ٢‬ﻓﺎن‬ ‫أﺣﺪاﺛﯿﺖ ﺟـ ﺗﺘﻌﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺘﯿﻦ‬ ‫إذا ﻛﺎن اﻟﺘﻘﺴﯿﻢ ﻣﻦ اﻟﺨﺎرج‬ ‫إذا ﻛﺎن اﻟﺘﻘﺴﯿﻢ ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ‬ ‫م‪ × ١‬س‪ - ٢‬م‪ × ٢‬س‪١‬‬ ‫م‪ × ١‬س‪ + ٢‬م‪ × ٢‬س‪١‬‬ ‫س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫س=‬ ‫م‬ ‫‪+‬‬ ‫م‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫م‬ ‫‬‫م‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫م‪ × ١‬ص‪ + ٢‬م‪ × ٢‬ص‪١‬‬ ‫م‪ × ١‬ص‪ - ٢‬م‪ × ٢‬ص‪١‬‬ ‫ص = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫ص = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫م‪ - ١‬م‪٢‬‬ ‫م‪ + ١‬م‪٢‬‬ ‫ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) ‪ ، ( ٣ ، ١-‬ب = ) ‪ ( ٨ ، ٤‬أوﺟﺪ أﺣﺪاﺛﯿﺎت ﺟـ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ أ ب ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ ﺑﻨﺴﺒﺔ‬ ‫‪٣:٢‬‬ ‫ص‬ ‫اﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫س‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬‫اﻟﺤــــــــــﻞ‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺑﻔﺮض أن ﺟـ = ) س ‪ ،‬ص (‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٩ +١٦= ٣‬‬ ‫س = ‪- × ٣ + ٤ ×٢‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــ‪ = ٣ – ٨ = ١‬ـــ‪٥‬ـــ = ‪ ، ١‬ص = ‪× ٣ + ٨ × ٢‬‬ ‫‪٥ = ٢٥‬‬ ‫ـــــــــــــ = ــــــ‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣+٢‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣+٢‬‬ ‫أﺣﺪاﺛﯿﺎت ﺟـ = ) ‪( ٥ ، ١‬‬ ‫ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) ‪ ، ( ٣ ، ١-‬ب = ) ‪ ( ٨ ، ٤‬أوﺟﺪ ﺟـ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ أ ب ﻣﻦ اﻟﺨﺎرج ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪٢ : ٧‬‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫اﻟﻨﺴﺒﺔ ص‬ ‫س‬ ‫ﺑﻔﺮض أن ﺟـ = ) س ‪ ،‬ص (‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪١‬‬‫‬‫م‪ × ١‬س‪ - ٢‬م‪ × ٢‬س‬ ‫ـــــــــــــــ = ‪٣٠‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‪- × ٢ - ٤ ×٧ = ١‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــ‪٢+ ٢٨ = ١‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ـــــــــ = ‪٦‬‬ ‫س=‬ ‫م‬ ‫‬‫م‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٢-٧‬‬ ‫م‪ × ١‬ص‪ - ٢‬م‪ × ٢‬ص‬ ‫‪-٥٦ = ٣‬‬ ‫ـــــــــــــــ‪× ٢ -‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــ‪٨ × ٧ = ١‬‬ ‫ــــــــــــ‪١٠ = ٥٠ = ٦‬‬ ‫ـــــــــــ‬ ‫ـــــــــــــــ‬ ‫ص=‬ ‫م‬ ‫‬‫م‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٢ -٧‬‬ ‫أﺣﺪاﺛﯿﺎت ﺟـ = ) ‪( ١٠ ، ٦‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) ‪ ، ( ٢ ، ١-‬ب = ) ‪ ، ( ٧ ، ٤‬ﺟـ = ) س ‪ ( ٤ ،‬أوﺟﺪ اﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ ﺑﮭﺎ‬ ‫ﺟـ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ أ ب ﻣﺒﯿﻨﺎ ﻧﻮع اﻟﺘﻘﺴﯿﻢ ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ س‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ﺟـ = ) س ‪ ، ( ٤ ،‬أ = ) ‪ ، ( ٢ ، ١-‬ب = ) ‪( ٧ ، ٤‬‬ ‫ص = ‪ ، ٤‬ص‪ ، ٢ = ١‬ص‪٧ = ٢‬‬ ‫‪ ٧‬م‪ ٤ – ١‬م‪ ٤ = ١‬م‪ ٢ – ٢‬م‪٢‬‬ ‫م‪١‬‬ ‫ــــــــ = ‪٢‬‬ ‫ص = م‪ × ١‬ص‪ + ٢‬م‪ × ٢‬ص‪١‬‬ ‫ــــ ‪ ٣ : ٢‬ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪ ٣‬م‪ ٢ = ١‬م‪٢‬‬ ‫م‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫م‪ + ١‬م‪٢‬‬ ‫‪ = ٤‬م ‪ + ٧ × ١‬م‪٢ × ٢‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫م‪ + ١‬م‪٢‬‬

‫ـــــــ‪– ٨ = ١‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــ× ‪-‬‬ ‫ص= ‪٣+٤×٢‬‬ ‫‪١ = ٥= ٣‬‬ ‫ـــــــــــ‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣ + ٢‬‬ ‫‪٤٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬ ‫م‪٢‬‬

‫‪ ٧‬م‪ ٢ + ١‬م‪ ٤ = ٢‬م‪٤ + ١‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) ‪ ، ( ٤- ، ٢‬ب = ) ‪ ( ٥ ، ٣‬أوﺟﺪ اﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻨﻘﺴﻢ ﺑﮭﺎ أ ب ﺑﻮاﺳﻄﺔ‬ ‫ﻣﺤﻮرى اﻻﺣﺪاﺛﯿﺎت‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﺟـ = ) ‪ ، ٠‬ص (‬ ‫ﺟـ = ) س ‪( ٠ ،‬‬ ‫م‪ × ١‬ص‪ + ٢‬م‪ × ٢‬ص‪١‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫س = ــــــــــ‬ ‫م‪ + ١‬م‪٢‬‬ ‫م‪ + ٣ × ١‬م‪٢ × ٢‬‬ ‫ـــــــــــــــــــ‬ ‫‪ = ٠‬ــــــــــــــ‬ ‫م‪ + ١‬م‪٢‬‬

‫م‪ × ١‬ص‪ + ٢‬م‪ × ٢‬ص‪١‬‬ ‫ـــــــــــــــــ‬ ‫ص = ـــــــــــــــــــــــ‬ ‫م‪ + ١‬م‪٢‬‬ ‫م‪ + ٥ × ١‬م‪٤- × ٢‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪=٠‬‬ ‫م‪ + ١‬م‪٢‬‬

‫‪ ٣‬م‪ ٢ + ١‬م‪٠ = ٢‬‬ ‫‪ ٣‬م‪ ٢ - = ١‬م‪٢‬‬

‫‪٥‬م‪ ٤ – ١‬م‪٠ = ٢‬‬ ‫‪٥‬م‪ ٤ = ١‬م‪٢‬‬ ‫م‪١‬‬ ‫ــــــ = ‪٤‬‬ ‫ــــ‬ ‫م‪٥ ٢‬‬ ‫أ ب ﺗﻨﻘﺴﻢ ﺑﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪٥ : ٤‬‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ‬

‫م‪١‬‬ ‫ـــــــــ = ‪٢-‬‬ ‫ــــــ‬ ‫م‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬

‫أ ب ﺗﻨﻘﺴﻢ ﺑﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪٣ : ٢‬‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺨﺎرج‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬ ‫‪ (١‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ﺟـ ∋ أ ب ﻓﺎن ﺟـ ﺗﻘﺴﻢ أ ب ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ‬ ‫‪ (٢‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ﺟـ ∋ أ ب ‪ ،‬ﺟـ ∋ أ ب ﻓﺎن ﺟـ ﺗﻘﺴﻢ أ ب ﻣﻦ اﻟﺨﺎرج‬ ‫‪ (٤‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ﺟـ ﺗﻘﺴﻢ أ ب ﺑﺤﯿﺚ ‪ ٢‬أ ﺟـ = ‪ ٣‬ﺟـ ب أ ﺟـــ‬ ‫ــــــــ = ‪٣‬‬ ‫ــــــ ﻓﺎن م‪ ، ٣ = ١‬م‪= ٢‬‬ ‫ﺟـ ب ‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) ‪ ، ( ١ ، ١-‬ب = )‪ ( ٧ ، ٢‬أوﺟﺪ أﺣﺪاﺛﯿﺎت اﻟﻨﻘﻂ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ أ ب ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ إﻟﻰ ﺛﻼث‬ ‫أﺟﺰاء ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ﺟـ ﺗﻘﺴﻢ أ ب ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪٢ : ١‬‬ ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﺟـ = ) س ‪ ،‬ص (‬ ‫‪٩ ١×٢+٧×١‬‬ ‫=‪٣‬‬ ‫=‬ ‫س = ‪= ١- × ٢ + ٢ × ١‬ﺻﻔﺮ = ‪ ،،، ٠‬ص =‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢+١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢+١‬‬

‫ء‬

‫ب‬

‫ﺟـ = ) ‪( ٣ ، ٠‬‬ ‫ء ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺟـ ب‬ ‫ء = ) ‪( ٥ ، ١ ) = (٧+٣ ، ٢+٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺨﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫* ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﯾﻤﺮ ﺑﮭﺎ وﻣﯿﻠﮫ‬ ‫ص–‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) س‪ ، ١‬ص‪ ( ١‬وﻣﯿﻠﮫ = م ﺗﺘﻌﯿﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ ــــــــــــــــــ = م‬ ‫س ‪ -‬س‪١‬‬ ‫* ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ )س‪ ، ١‬ص‪ ) ، ( ١‬س‪ ، ٢‬ص‪ ( ٢‬ﺗﺘﻌﯿﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ـــــــــــــــــــــ = ص‪ – ٢‬ص‪١‬‬ ‫ص – ص‪١‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــ‬ ‫س‪ - ٢‬س‪١‬‬ ‫س ‪ -‬س‪١‬‬ ‫ص‪١‬‬

‫* ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ ﻣﯿﻠﮫ واﻟﺠﺰء اﻟﻤﻘﻄﻮع ﻣﻦ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﺣﯿﺚ ﻣﯿﻠﮫ = م ‪ ،‬ﺟـ ھﻰ اﻟﺠﺰء اﻟﻤﻘﻄﻮع ﻣﻦ ﻣﺤﻮرى اﻻﺣﺪاﺛﯿﺎت‬ ‫ص = م س ‪ +‬ﺟـ‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫* ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ اﻟﺠﺰﺋﯿﻦ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﯿﻦ ﻣﻦ ﻣﺤﻮرى اﻻﺣﺪاﺛﯿﺎت ـــــــــ ‪ +‬ـــــــــ = ‪١‬‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﺣﯿﺚ أ ھﻰ اﻟﺠﺰء اﻟﻤﻘﻄﻮع ﻣﻦ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫‪ ،‬ب ھﻰ اﻟﺠﺰء اﻟﻤﻘﻄﻮع ﻣﻦ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬ ‫* ﻻﯾﺠﺎد اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ أو ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻧﻀﻊ ص = ‪٠‬‬ ‫* ﻻﯾﺠﺎد اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ اﻟﺼﺎدﯾﺔ أو ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﻧﻀﻊ س = ‪٠‬‬ ‫اﻟﻤﯿﻞ‬ ‫* ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ‬

‫م = ص‪ – ٢‬ص‪١‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــ‬ ‫س‪ - ٢‬س‪١‬‬

‫* ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ زاوﯾﺔ اﻟﻤﯿﻞ م = ﻇﺎ ھـ ﺣﯿﺚ ھـ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﯾﺼﻨﻌﮭﺎ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه‬ ‫اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫* ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ أ س ‪ +‬ب ص ‪ +‬ﺟـ = ‪٠‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــ = ‪ -‬أ‬ ‫اﻟﻤﯿﻞ = ‪ -‬ﻣﻌﺎﻣﻞ س‬ ‫ــــــــ‬ ‫ب‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ ص‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬ ‫* ﻣﯿﻞ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت واى ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻮازﯾﮫ = ﺻﻔﺮ‬ ‫* ﻣﯿﻞ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات واى ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻮازﯾﮫ = ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺮف‬ ‫* ﺷﺮط ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ھﻮ م‪ = ١‬م‪٢‬‬ ‫* ﺷﺮط ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ م‪ × ١‬م‪١- = ٢‬‬ ‫* اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﯾﺼﻨﻊ زاوﯾﺔ ﺣﺎدة ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﯾﻜﻮن ﻣﯿﻠﮫ = ﻋﺪد ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫* اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﯾﺼﻨﻊ زاوﯾﺔﻣﻨﻔﺮﺟﺔ ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮراﻟﺴﯿﻨﺎت ﯾﻜﻮن ﻣﯿﻠﮫ = ﻋﺪد ﺳﺎﻟﺐ‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٣ ، ١-‬وﻣﯿﻠﮫ = ‪٣‬‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ‪٥‬‬ ‫ــــــــــــــــ = ‪٣‬‬ ‫ص ‪٣-‬‬ ‫ص – ص‪١‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــ = م‬ ‫س‪٥ ١+‬‬ ‫س ‪ -‬س‪١‬‬ ‫‪ ٣‬س – ‪ ٥‬ص ‪٠ = ١٨ +‬‬

‫‪ ٣‬س ‪ ٥ = ٣ +‬ص – ‪١٥‬‬ ‫‪٥٠‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ أ ) ‪ ، ( ٢ ، ١‬ب ) ‪( ٧ ، ٥‬‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ص–‬ ‫ـــــــــــــــــــــ = ص‪ – ٢‬ص‬ ‫ــــــــــــــــــ‪١‬‬ ‫ص – ص‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫–‬ ‫‪٧ =٢‬‬ ‫ـــــــــــــ‬ ‫ـــــــــــــــ‬ ‫س‪ - ٢‬س‪١‬‬ ‫س ‪ -‬س‪١‬‬ ‫س‪١–٥ ١ -‬‬ ‫ص–‪٥ ٢‬‬ ‫‪٥‬س–‪٤‬ص‪٠=٣+‬‬ ‫‪٥‬س–‪٤=٥‬ص–‪٨‬‬ ‫ــــــــــــــ =‬ ‫س‪٤ ١ -‬‬ ‫*************************************************************‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﻣﯿﻠﮫ = ‪ ٣‬وﯾﻘﻄﻊ ﺧﻤﺲ وﺣﺪات ﻣﻦ اﻟﺠﺰء اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ص = م س ‪ +‬ﺟـ = ‪ ٣‬س ‪٥ +‬‬ ‫*************************************************************‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٣ ، ٢-‬وﯾﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪ ٤‬س – ‪ ٧‬ص ‪٠ = ٣+‬‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫‪٤‬‬ ‫= ‪٤= ٤-‬‬ ‫م اﻟﻤﻄﻠﻮب =‬ ‫ماﻟﻤﻮازى‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٧‬‬‫ص–‪٤ ٣‬‬ ‫‪ ٤‬س – ‪٧‬ص ‪٠ = ٢٩+‬‬ ‫‪ ٤‬س ‪ ٧ = ٨ +‬ص – ‪٢١‬‬ ‫ـــــــــــــــــ =‬ ‫س‪٧ ٢+‬‬ ‫*************************************************************‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٤ ، ٣‬وﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪٥‬س‪٧+‬ص = ‪١‬‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫= ‪٧‬‬ ‫= ‪٥-‬‬ ‫ماﻟﻤﻄﻠﻮب‬ ‫ماﻟﻌﻤﻮدى‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ــــــــــــــــ = ‪٧‬‬ ‫ص–‪٤‬‬ ‫‪٧‬س – ‪٥‬ص – ‪٠ = ١‬‬ ‫‪٧‬س – ‪ ٥ = ٢١‬ص – ‪٢٠‬‬ ‫س–‪٥ ٣‬‬ ‫*************************************************************‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٤- ، ١‬وﯾﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫)‪(٥،٤)،(٣،١‬‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢ ٣–٥‬‬ ‫ماﻟﻤﻄﻠﻮب =‬ ‫ماﻟﻤﻮازى = ــــــــــــــ =‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣ ١–٤‬‬ ‫ــــــــــــــــ = ‪٢‬‬ ‫ص‪٤+‬‬ ‫‪ ٢‬س – ‪ ٣‬ص ‪٠ = ١٤-‬‬ ‫‪ ٢‬س – ‪ ٣ = ٢‬ص ‪١٢+‬‬ ‫س–‪٣ ١‬‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٤- ، ٢-‬وﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫) ‪( ٥ ، ٣ ) ، ( ٢ ، ١-‬‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫‪٣ ٢ - ٥‬‬ ‫= ‪٤-‬‬ ‫ماﻟﻌﻤﻮدى = ــــــــــــــــ =‬ ‫ماﻟﻤﻄﻠﻮب‬ ‫‪٤ ١ + ٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٥١‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪٤- = ٤‬‬ ‫ص‪+‬‬ ‫ــــــــــــــــ‬ ‫س‪٣ ٢+‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫‪ ٣‬ص ‪ ٤ - = ١٢ +‬س – ‪٨‬‬

‫‪٣‬ص‪٤+‬س ‪٠ = ٢٠+‬‬

‫أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﯾﻘﻄﻊ ‪ ٣‬وﺣﺪات ﻣﻦ اﻟﺠﺰء اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ‪ ٤ ،‬وﺣﺪات ﻣﻦ اﻟﺠﺰء‬ ‫اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫س‬ ‫‪ ٤‬س – ‪ ٣‬ص = ‪١٢‬‬ ‫ص = ‪١٢× ١‬‬ ‫ــــــ ‪ +‬ــــــ‬ ‫‪٤‬‬‫‪٣‬‬ ‫أوﺟﺪ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺘﯿﻦ اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ واﻟﺼﺎدﯾﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪ ٢‬س – ‪ ٥‬ص = ‪١٠‬‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫س=‪٥‬‬ ‫‪ ٢‬س = ‪١٠‬‬ ‫ﻻﯾﺠﺎد اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ ﻧﻀﻊ ص = ‪٠‬‬ ‫اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ = ‪٥‬‬ ‫ص = ‪٢-‬‬ ‫ ‪ ٥‬ص = ‪١٠‬‬‫ﻻﯾﺠﺎد اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ اﻟﺼﺎدﯾﺔ ﻧﻀﻊ س = ‪٠‬‬ ‫اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ اﻟﺼﺎدﯾﺔ = ‪٢ -‬‬ ‫أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ أ‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) أ ‪ ( ٣ ،‬ﺗﻨﺘﻤﻰ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪ ٢‬س ‪ ٥ +‬ص – ‪٠ = ١٧‬‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫‪ ٢‬أ ‪٠ = ١٧ – ١٥+‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ ٢‬أ ‪٠ = ١٧ – ( ٣) ٥ +‬‬ ‫‪٢‬أ–‪٠=٢‬‬

‫أ=‪١‬‬

‫‪٢‬أ=‪٢‬‬

‫أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٣ ، ٢‬وﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ = ﻣﯿﻞ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت = ‪٠‬‬ ‫ص–‪٣‬‬ ‫ــــــــــــــــ = ‪٠‬‬ ‫س–‪٢‬‬

‫ص=‪٣‬‬

‫ص–‪٠=٣‬‬

‫أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٣ ، ٢‬وﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ = ﻣﯿﻞ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات = ‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫ــــــــــــــــ = ‪١‬‬ ‫ص–‪٣‬‬ ‫س=‪٢‬‬ ‫س–‪٠=٢‬‬ ‫س–‪٠ ٢‬‬

‫‪٥٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﯾﻘﻄﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪٣‬س – ‪ ٢‬ص ‪ ٠ = ١١ +‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻌﺎﻣﺪ ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ‪١‬‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫= ‪٢-‬‬ ‫= ‪٣ = ٣-‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ‪١‬‬ ‫ماﻟﻌﻤﻮدى‬ ‫ماﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢ ٢‬‬‫‪ ٢ – (١)٣‬ص ‪٠ = ١١ +‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻄﻠﻮب ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ ( ٧ ، ١‬وﻣﯿﻠﮫ = ‪٢-‬‬ ‫‪ ٢ – ٣‬ص ‪٠ = ١١ +‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ص – ‪٢- = ٧‬‬ ‫ ‪ ٢‬ص ‪٠ = ١٤ +‬‬‫س–‪٣ ١‬‬ ‫ ‪ ٢‬ص = ‪١٤ -‬‬‫ص=‪٧‬‬

‫‪٣‬ص – ‪٢- = ٢١‬س‪٢+‬‬

‫‪٣‬ص‪٢+‬س – ‪٠ = ٢٣‬‬

‫إذا ﻛﺎن أ = ) ‪ ، ( ١ ، ٣-‬ب = ) ‪ ( ٧ ، ٥‬أوﺟﺪ ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ أ ب‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ص – ‪٤- = ٤‬‬ ‫ﻣﺤﻮر اﻟﻘﻄﻌﺔ ھﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻌﻤﻮدى ﻋﻠﯿﮭﺎ ﻣﻦ ﻣﻨﺘﺼﻔﮭﺎ‬ ‫س–‪٣ ١‬‬ ‫‪ ٣‬ص – ‪٤ - = ١٢‬س ‪٤+‬‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ب = ) ‪( ٤ ، ١ ) = ( ٧+١ ، ٥+٣-‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻣﯿﻞ أ ب = ‪٣ = ٦ = ١ – ٧‬‬ ‫‪٣‬ص – ‪٤+ ١٢‬س ‪٠ = ٤ +‬‬ ‫‪٤ ٨ ٣+٥‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‬‫‪٣‬ص ‪ ٤ +‬س – ‪٠ = ٨‬‬ ‫ﻣﺤﻮر اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ (٤ ، ١‬وﻣﯿﻠﮫ =‬ ‫‪٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن أ ب ﻗﻄﺮ ﻓﻰ اﻟﺪاﺋﺮة م ﺣﯿﺚ أ = ) ‪ ، ( ١ ، ٤-‬ب = )‪ ( ٤ ، ٢-‬أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﺪاﺋﺮة م‬ ‫ﻋﻨﺪ أ‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ص – ‪٢- = ١‬‬ ‫اﻟﻤﻤﺎس ﻟﺪاﺋﺮة ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدﯾﺎً ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻄﺮ اﻟﻤﺮﺳﻮم‬ ‫س‪٣ ٤+‬‬ ‫ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻤﺎس‬ ‫ﻣﯿﻞ أ ب = ‪٣ = ١ – ٤‬‬ ‫‪٣‬ص – ‪ ٢- = ٣‬س ‪٨ -‬‬ ‫‪٢ ٤+٢‬‬‫ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ‪٢-‬‬ ‫‪٣‬ص – ‪٢+ ٣‬س ‪٠ = ٨ +‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬‫‪٣‬ص ‪ ٢+‬س ‪٠ = ٥+‬‬ ‫اﻟﻤﻤﺎس ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ (١ ، ٤-‬وﻣﯿﻠﮫ =‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٥٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫إذا ﻛﺎن أﺟـ ﻗﻄﺮ ﻓﻰ اﻟﻤﺮﺑﻊ أ ب ﺟـ ء ﺣﯿﺚ أ = ) ‪ ، (٥ ، ٣‬ﺟـ = ) ‪ (١- ، ١-‬أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﺮ ب ء‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫اﻟﻘﻄﺮ ب ء ﯾﻤﺮ ﺑﻤﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ أ ﺟـ وﻋﻤﻮدى ﻋﻠﯿﮫ‬

‫ص – ‪٢- = ٢‬‬ ‫س–‪٣ ١‬‬

‫ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ﺟـ = )‪( ٢ ، ١) = ( (١-)+ ٥ ، (١-)+٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻣﯿﻞ أ ﺟـ = ‪٣ = ٦- = ٥ – ١-‬‬ ‫‪٢ ٤- ٣ – ١‬‬‫ﻣﯿﻞ ب ء = ‪٢-‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫اﻟﻘﻄﺮ ب ء ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ ( ٢ ، ١‬وﻣﯿﻠﮫ = ‪٢-‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٣‬ص – ‪ ٢- = ٦‬س ‪٢+‬‬ ‫‪٣‬ص – ‪٢+ ٦‬س – ‪٠ = ٢‬‬ ‫‪٣‬ص ‪٢+‬س – ‪٠ = ٨‬‬

‫اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ‬ ‫* أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ‪ ٢‬س – ‪ ٣‬ص ‪ ، ٠ = ١+‬س – ‪ ٥‬ص ‪٠ = ٧+‬‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ،‬م‪= ٢‬‬ ‫م‪= ١‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ ٢‬ـــ ‪١‬‬ ‫‪٣ – ١٠‬‬ ‫‪ ٢‬ـــ ‪١‬‬ ‫ـــــــــــــــــــ = ‪٧‬‬ ‫م‪ – ١‬م‪٢‬‬ ‫ـــــــــــــــ ‪٥‬‬ ‫ــــــــــــــــــــ = ‪٣‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫ــــــــــــــــ = ‪٣‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ـــــــ =‬ ‫ﻇﺎھــ =‪+‬‬ ‫م‬ ‫م‬ ‫‪+‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١٧ ٢ + ١٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١ ٢‬‬ ‫‪+١‬‬ ‫‪× +١‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪٥ ٣‬‬ ‫ق ) ھــ ( = ‪ْ ٢٢ / ٢٢‬‬

‫‪٥٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ‪ ٣‬س – ص = ‪ ٢ ، ٥‬س ‪ +‬ص – ‪٠ = ٧‬‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫‪ ،‬م‪٢ - = ٢‬‬ ‫م‪٣ = ١‬‬ ‫ـــــــــــــــــ = ‪( ٢- ) – ٣‬‬ ‫م‪ – ١‬م‪٢‬‬ ‫ــــــــــــــــــــ = ‪٥‬‬ ‫ـــــــــ = ‪١-‬‬ ‫ﻇﺎھـــ =‬ ‫م‬ ‫م‬ ‫‪+‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‬‫×‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٥-‬‬

‫ق ) ھـ ( = ‪ ْ ١٣٥‬أو ‪ْ ٤٥‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = )‪ ، ( ٤ ، ١‬ب=)‪ ، (١ ، ٢‬ﺟـ= )‪ (٢ ، ٤‬أوﺟﺪ ق ) ب أ ﺟـ ( اﻟﻤﻨﻔﺮﺟﺔ‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ــــــــــــ = ‪٢- = ٢‬‬ ‫‪ ،‬م‪ = ٢‬م أ ﺟـ = ‪٢ - ٤‬‬ ‫م‪ = ١‬م أ ب = ‪١ – ٤‬‬ ‫ــــــــــــــــ = ‪٣-‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣- ٤ – ١‬‬ ‫‪٢–١‬‬ ‫‪ ٣‬ـــ ‪٢ + ٣- ٢-‬‬‫‪٢ + ٩‬‬‫م‪ – ١‬م‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ـــــــــــــــــ = ‪= ١ × ٧-‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــ =‬ ‫ــــــــــــــــــــ =‬ ‫ـــــــــــــــــ =‬ ‫ﻇﺎھـــ =‬ ‫م‬ ‫م‬ ‫‪+‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣ ٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‬‫‪٣‬‬ ‫‪٢ +١‬‬ ‫‪×٣- + ١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ق ) ب أ ﺟـ ( = ‪ْ ١٤٢ / ٧‬‬

‫‪٧‬‬‫‪٩‬‬

‫أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪٣‬س – ‪ ٢‬ص ‪ ٠ = ١+‬واﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﻣﯿﻠﮫ =‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫‪٢-١٥‬‬ ‫‪١ - ٣ ١ - ٣‬‬ ‫ﻇﺎھـ = ‪ +‬م‪ – ١‬م‪٢‬‬ ‫ـــــــــــــــ = ‪١٠‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ــــــــــــــ = ‪٢‬‬ ‫ـــــــــــــــ = ‪١ + = ١٣‬‬ ‫ـــــــــــــــــــ = ‪٥ ٢‬‬ ‫‪ +١‬م‪ ١‬م‪١ × ٣ +١ ٢‬‬ ‫‪٣ +١‬‬ ‫‪٣+١٠‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪٥ ٢‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫ﻇﺎھـ = ‪١‬‬ ‫ق)ھـ( = ‪ْ ٤٥‬‬

‫ﻇﺎھـ = ‪١-‬‬ ‫ق)ھـ( = ‪ْ ١٣٥‬‬

‫إذا ﻛﺎن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ س – ك ص ‪ ، ٠ = ٢+‬س – ‪ ٣‬ص ‪ ٠ = ٤+‬ﺗﺴﺎوى‬ ‫أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ك‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫م = ‪١ = ١-‬‬ ‫م = ‪١ = ١-‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪–٣‬ك‬ ‫‪٣ ٣‬‬‫ك ك‬‫‪٣‬ك‬ ‫ـــــــــــــــــــ = ‪١ +‬‬ ‫ھـ = ‪٤٥‬‬ ‫‪٣‬ك ‪١+‬‬ ‫ﻇﺎھـ = ‪١ +‬‬ ‫‪٣‬ك‬ ‫‪–٣‬ك‬ ‫م‪ – ١‬م‪٢‬‬ ‫=‪١‬‬ ‫ــــــــــــــ = ‪١ +‬‬ ‫ـ‬ ‫‪٣‬ك ‪١+‬‬ ‫‪ +١‬م‪ ١‬م‪٢‬‬

‫‪ – ٣‬ك = ‪١-‬‬ ‫‪٣‬ك ‪١+‬‬

‫‪٥٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ ١‬ـــ ‪١‬‬ ‫ك ‪٣‬‬ ‫ــــــــــــــــــــ = ‪١ +‬‬ ‫‪١ × ١ +١‬‬ ‫ك ‪٣‬‬ ‫‪ ١‬ـــ ‪١‬‬ ‫ك‬ ‫‪٣‬‬ ‫ـــــــــــــــــــ = ‪١ +‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪ +١‬ـــــــ‬ ‫‪٣‬ك‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫‪٣‬ك ‪ – ٣ = ١+‬ك‬ ‫‪٣‬ك‪+‬ك = ‪١ – ٣‬‬ ‫‪٤‬ك=‪٢‬‬ ‫ك = ‪١= ٢‬‬ ‫‪٢ ٤‬‬

‫‪٣‬ك–‪–٣=١‬ك‬‫‪ ٣‬ك ‪ +‬ك = ‪١ + ٣‬‬‫‪ ٢‬ك = ‪٤‬‬‫ك = ‪٢-‬‬

‫إذا ﻛﺎن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﺗﺴﺎوى ‪ ْ ٤٥‬ﻓﺈذا ﻋﻠﻢ أن ﻣﯿﻞ اﻻول = ‪ ٢‬أوﺟﺪ ﻣﯿﻞ اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫ﻧﻔﺮض أن ﻣﯿﻞ اﻟﺜﺎﻧﻰ = م‬ ‫ھـ = ‪ْ ٤٥‬‬ ‫م‪ – ١‬م‪٢‬‬ ‫ــــــــــــــــ = ‪١ +‬‬ ‫‪ + ١‬م‪ ١‬م‪٢‬‬ ‫‪–٢‬م‬ ‫ــــــــــــــ = ‪١ +‬‬ ‫‪ × ٢ +١‬م‬ ‫‪–٢‬م‬ ‫=‪١+‬‬ ‫‪٢+١‬م‬

‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫‪ – ٢‬م =‪١‬‬ ‫‪٢+١‬م‬ ‫‪٢+١‬م=‪–٢‬م‬ ‫‪٢‬م ‪ +‬م = ‪١ – ٢‬‬

‫‪ – ٢‬م = ‪١-‬‬ ‫‪٢+١‬م‬ ‫‪ ٢ – ١‬م = ‪ – ٢‬م‬‫‪٢-‬م ‪ +‬م = ‪١ + ٢‬‬

‫‪٣‬م = ‪١‬‬

‫‪-‬م=‪٣‬‬

‫م =‪١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫م = ‪٣-‬‬

‫اﻟﺒﻌﺪ اﻟﻌﻤﻮدى‬ ‫ﻻﯾﺠﺎد ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ )س‪ ، ١‬ص‪ ( ١‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ أ س ‪ +‬ب ص ‪ +‬ﺟـ = ‪٠‬‬ ‫ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻟﻘﺎﻧﻮن‬ ‫ﺟـ‬ ‫‪+‬‬ ‫ص‬ ‫ب‬ ‫‪+‬‬ ‫س‬ ‫أ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ع = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪٢‬‬ ‫أ‪ + ٢‬ب‬ ‫‪.........................................................................................................................‬‬ ‫ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ (١ ، ٢‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪ ٤‬س – ‪ ٣‬ص ‪٠ = ١١ +‬‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــ =‪١٦‬‬ ‫ــــــــــــــــــ– ‪١١ + ( ١) ٣‬‬ ‫ع= ‪(٢)٤‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــ= ‪١١+ ٣ – ٨‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٩ + ١٦‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪.........................................................................................................................‬‬ ‫‪٥٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎن ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪ ٤‬س – ‪ ٣‬ص ‪ +‬ك = ‪٠‬‬ ‫ﯾﺴﺎوى ‪ ٣‬وﺣﺪات أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ك‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫‪ + ( ٠) ٣ – ( ٠) ٤‬ك‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ‪٣‬‬ ‫ع=‪٣‬‬ ‫‪٩ + ١٦‬‬ ‫ك‬ ‫ك = ‪١٥ = ٣ × ٥‬‬ ‫ـــــ = ‪٣‬‬ ‫‪٥‬‬

‫ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎن ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ ( ١، ٢‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪ ٣‬س – ك ص ‪٠ = ٨+‬‬ ‫ﯾﺴﺎوى ‪ ٢‬أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ك‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫‪ + ٩ ٢‬ك‪ – ١٤ = ٢‬ك‬

‫ع=‪٢‬‬ ‫‪ – (٢)٣‬ك )‪٨ + (١‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪+٩‬ك‬

‫ﺑﺎﻟﺘﺮﺑﯿﻊ‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ + ٩ ) ٤‬ك‪ ٢٨ – ١٩٦ = ( ٢‬ك ‪ +‬ك‬ ‫‪ ٤ + ٣٦‬ك‪٢٨+ ١٩٦ – ٢‬ك – ك‪٠ = ٢‬‬ ‫‪ ٣‬ك‪ ٢٨ + ٢‬ك ‪٠ = ١٦٠ -‬‬ ‫) ك – ‪ ٣ ) ( ٤‬ك ‪٠ = ( ٤٠ +‬‬ ‫ك = ‪٤٠-‬‬ ‫ك=‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪–٦‬ك‪٨+‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــ = ‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪+٩‬ك‬ ‫‪ – ١٤‬ك‬ ‫ـــــــــــــــــــــ = ‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪+٩‬ك‬

‫ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = )‪ ، (٢- ، ٢‬ب = )‪ ، (١ ، ١-‬ﺟـ = )‪ (٥ ، ٤-‬أوﺟﺪ‬ ‫)‪ (٢‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ب ﺟـ‬ ‫)‪ (١‬ﻃﻮل ب ﺟـ‬ ‫)‪ (٤‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ أ ب ﺟـ‬ ‫)‪ (٣‬ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ أ ﻋﻠﻰ ب ﺟـ‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ب ﺟـ = )‪ ٥ = ٢٥ =١٦ + ٩ = ٢(٥ -١٣ ) + ٢(٤+١-‬وﺣﺪات‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ ب ﺟـ‬ ‫ص–‪٤ ١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫–‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪١‬‬ ‫–‬ ‫ص‬ ‫ــــــــــــــ =‬ ‫ــــــــــــــــ = ـــــــــــــ‬ ‫س ‪٣- ١ +‬‬ ‫‪١ + ٤‬‬‫س‪١+‬‬ ‫‪ ٤‬س ‪ ٣- = ٤ +‬ص ‪٣+‬‬ ‫** ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ أ ﻋﻠﻰ ب ﺟـ‬

‫‪٤‬س‪٣+‬ص‪٠=١+‬‬

‫ــــــــــــــــــــــ = ‪٣‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ‪١ + ٦ – ٨‬‬ ‫ع = ‪١ + ( ٢- ) ٣ + ( ٢ ) ٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٩ + ١٦‬‬ ‫‪٥٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫** ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ أ ب ﺟـ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫= ‪ ١٫٥‬ﺳﻢ‬ ‫اﻟﻘﺎﻋﺪة × اﻻرﺗﻔﺎع = × ب ﺟـ × ع = × ‪× ٥‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ =‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) ‪ ( ٣- ، ١‬واﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪١٢‬س – ‪ ٥‬ص ‪٠ = ١-‬‬ ‫ﻣﻤﺎس ﻟﮭﺎ واوﺟﺪ ﻣﺤﯿﻄﮭﺎ وﻣﺴﺎﺣﺘﮭﺎ‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫‪١ – ( ٣-) ٥- (١)١٢‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ‪١ – ١٥ + ١٢‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــ = ‪٢٦‬‬ ‫ــــــــــ = ‪ ٢‬وﺣﺪة ﻃﻮﻟﯿﺔ‬ ‫ﻧﻖ = ع =‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪٢٥ + ١٤٤‬‬ ‫ﻣﺤﯿﻄﮭﺎ = ‪ ٢‬ط ﻧﻖ = ‪ ٢‬ط × ‪ ٤ = ٢‬ط‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺘﮭﺎ = ط ﻧﻖ‪ = ٢‬ط × )‪ ٤ = ٢(٢‬ط‬

‫ﻣﺜﺎل إﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ‪ ٣‬س – ‪ ٤‬ص – ‪ ٦ ، ٠ = ٦‬س – ‪ ٨‬ص ‪ ٠ = ١ +‬ﻣﺘﻮازﯾﺎن واوﺟﺪ‬ ‫اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫‪ ،‬م =‪٣ = ٦-‬‬ ‫م = ‪٣ = ٣-‬‬ ‫م‪ = ١‬م‪ ٢‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺎن‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٤ ٨‬‬‫‪٤ ٤‬‬‫ﻻﯾﺠﺎد اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﻧﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ أﺣﺪھﻤﺎ ﺛﻢ ﻧﻮﺟﺪ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻨﮭﺎ وﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻻﺧﺮ‬ ‫س=‪٢‬‬ ‫ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻻول ﻧﻀﻊ ص = ‪ ٠‬ﻧﺠﺪ ان ‪ ٣‬س – ‪٣ ٠ = ٦‬س = ‪٦‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٠ ، ٢‬ﺗﻨﺘﻤﻰ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻻول ﻧﻮﺟﺪ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻨﮭﺎ وﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫‪١+‬‬ ‫ع =‪( ٠ ) ٨ – ( ٢ ) ٦‬‬ ‫ــــــــــ = ‪١ + ٠ + ١٢‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــ = ‪ ١٫٣ = ١٣‬وﺣﺪة ﻃﻮﻟﯿﺔ‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١٠٠‬‬ ‫‪٦٤ + ٣٦‬‬

‫ﻣﺜﺎل إﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ ‪ ٤‬س ‪ ٣ +‬ص ‪ ٠ = ٢ +‬ﯾﻤﺲ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ‬ ‫) ‪ ( ٢ ، ٣‬وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ‪ ٤‬ﺳﻢ‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ اﻟﻤﺮﻛﺰ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪ ٤‬س ‪ ٣ +‬ص ‪٠ = ٢+‬‬ ‫ع =‪٢ + ( ٢ ) ٣ + ( ٣ ) ٤‬‬ ‫‪٢+٦+‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ‪١٢‬‬ ‫‪٤ = ٢٠‬‬ ‫ــــــــــــــــــ = ــــــ‬ ‫ـــــــــــــ‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٩ + ١٦‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫ع = ﻧﻖ‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻤﺲ اﻟﺪاﺋﺮة‬

‫ﻣﺜﺎل إﺛﺒﺖ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ ( ٤ ، ١‬ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ أﺣﺪ ﻣﻨﺼﻔﻰ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ‬ ‫س ‪ +‬ص ‪ ، ٠ = ٣+‬س – ‪ ٧‬ص ‪٠ = ١٣-‬‬ ‫‪٥٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ﻧﺜﺒﺖ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ‪٨‬‬ ‫ع‪٣ + ( ٤ ) ١ + ( ١ ) = ١‬‬ ‫ـــــــ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١+١‬‬

‫=‪٢ ٤‬‬

‫ـــــــــــ = ‪٨‬‬ ‫ع‪١٣- ( ٤ ) ٧ – ( ١ ) ١ = ٢‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ‪٤٠‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ‪١٣ – ٢٨ – ١‬‬ ‫ــــــــ = ‪٢ ٤‬‬ ‫‪٢ ٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٥٠‬‬ ‫‪٤٩ + ١‬‬ ‫∴ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ أﺣﺪ ﻣﻨﺼﻔﻰ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ‬ ‫‪ ٠ ٠‬ع‪ = ١‬ع‪٢‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫إﺛﺒﺖ أن اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ أ )‪ ، ( ١ ، ٣‬ب = ) ‪ ( ٢ ، ٣-‬ﺗﻘﻌﺎن ﻋﻠﻰ ﺟﺎﻧﺒﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫‪ ٣‬س – ‪ ٤‬ص ‪ ٠ = ٦+‬وﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪﯾﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ ﻣﻨﮫ‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﺴﺎﻗﻂ ﻣﻦ أ )‪ (١ ، ٣‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫‪١١ ١١‬‬ ‫ع‪٦ + (١) ٤ – (٣)٣ = ١‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ‪٦ + ٤ – ٩‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــ = ــــــــ =‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪١٦ + ٩‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫= ‪ ٢٫٢‬وﺣﺪة ﻃﻮل‬

‫ﻧﻮﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﺴﺎﻗﻂ ﻣﻦ ب )‪ (٢ ، ٣-‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫‪١١ ١١- ٦ +٨ – ٩‬‬‫ع‪٦ + (٢) ٤ – (٣-)٣ = ١‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ = ــــــــ =‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪١٦ + ٩‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫اﻟﻤﻘﺪار ‪٣‬س – ‪ ٤‬ص ‪ ٦+‬ﻟﮫ أﺷﺎرىﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ ‪ ١١- ، ١١‬ﻋﻨﺪ اﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫= ‪ ٢٫٢‬وﺣﺪة ﻃﻮل‬

‫∴ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ﻓﻰ ﺟﮭﺘﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪٣‬س – ‪ ٤‬ص ‪ ٠ = ٦ +‬وﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪﯾﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ ﻣﻨﮫ‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ‬

‫ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ‬ ‫‪ ،‬س ‪ +‬ص = ‪ ٨‬وﯾﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪ ٤‬س – ‪ ٧‬ص ‪٠ = ١ +‬‬ ‫‪ ٢‬س ‪ +‬ص = ‪١١‬‬ ‫‪٥٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫=‪٤‬‬ ‫=‪٤‬‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ‬ ‫ماﻟﻤﻄﻠﻮب‬ ‫ماﻟﻤﻮازى‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪ ٢‬س ‪ +‬ص = ‪١١‬‬ ‫ص–‪٥‬‬ ‫ـــــــــــــــ = ‪٤‬‬ ‫س‪ +‬ص =‪٨‬‬ ‫س–‪٣‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫س=‪٣‬‬ ‫‪ ٤‬س – ‪ ٧ = ١٢‬ص – ‪٣٥‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ ‪٢‬‬ ‫‪ ٤‬س – ‪ ٧‬ص ‪٠ = ٢٣+‬‬ ‫‪+٣‬ص=‪٨‬‬ ‫)‪( ٥ ، ٣‬‬ ‫ص=‪٥‬‬ ‫ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ‬ ‫‪ ،‬س – ص = ‪ ١‬وﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪ ٣‬س – ‪ ٥‬ص ‪٠ = ١+‬‬ ‫‪ ٢‬س ‪ +‬ص = ‪١١‬‬ ‫اﻟـــــﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫‪ ٢‬س ‪ +‬ص = ‪١١‬‬ ‫‪٥‬‬‫‪٣‬‬ ‫ماﻟﻤﻄﻠﻮب =‬ ‫ماﻟﻌﻤﻮدى =‬ ‫س‪ -‬ص=‪١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪........................‬‬ ‫ـــــــــــــــ‪٥- = ٣‬‬ ‫ص–‬ ‫‪٣‬س = ‪١٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫س–‪٤‬‬ ‫س=‪٤‬‬ ‫‪ ٣‬ص – ‪ ٥- = ٩‬س ‪٢٠+‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ ‪١‬‬ ‫‪ ٣‬س ‪ ٥ +‬ص ‪٠ = ٢٩-‬‬ ‫‪ + (٤)٢‬ص = ‪١١‬‬ ‫‪ + ٨‬ص = ‪١١‬‬ ‫ص=‪٣‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ) ‪( ٣ ، ٤‬‬ ‫ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ‬ ‫‪ ٢‬س ‪ +‬ص = ‪ ، ٧‬س ‪ ٢ +‬ص = ‪ ٨‬وﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪( ٤ ، ٥‬‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻄﻠﻮب ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫ﺑﻀﺮب اﻻوﻟﻰ × ‪٢‬‬ ‫)‪( ٤ ، ٥ ) ، ( ٣ ، ٢‬‬ ‫‪٤‬س ‪ ٢ +‬ص = ‪١٤‬‬ ‫س‪٢+‬ص=‪٨‬‬ ‫ص–‪١ ٣–٤ ٣‬‬ ‫ــــــــــــــ = ـــــــــــــ =‬ ‫‪..............................‬‬ ‫س–‪٣ ٢–٥ ٢‬‬ ‫س=‪٢‬‬ ‫‪٣‬س=‪٦‬‬ ‫س–‪٣=٢‬ص–‪٩‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ ‪٢‬‬ ‫س–‪٣‬ص‪٠=٧+‬‬ ‫‪٢+٢‬ص=‪٨‬‬ ‫‪٢‬ص = ‪ ٦‬ص = ‪٣‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ) ‪( ٣ ، ٢‬‬

‫‪٦٠‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫أوﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ س‪+‬ص=‪ ، ٥‬س – ص = ‪١‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪٨‬س ‪ ٦+‬ص ‪٠ = ٥ +‬‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪( ٢ ، ٣‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪٨‬س‪٦+‬ص ‪٠ = ٥+‬‬

‫ﻧﻮﺟﺪ أوﻻ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ‬ ‫س‪+‬ص=‪٥‬‬ ‫س–ص=‪١‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‬ ‫‪٨‬‬ ‫ع = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ‪٥+١٢+٢٤‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــ‬ ‫ــــــــــــــــــــــ ﺑﺎﻟﺠﻤﻊ‬ ‫‪٣٦+٦٤‬‬ ‫‪١٠٠‬‬ ‫‪٢‬س = ‪٦‬‬ ‫س=‪٣‬‬ ‫‪٤١‬‬ ‫= = ‪ ٤٫١‬وﺣﺪة ﻃﻮﻟﯿﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻻوﻟﻰ ﻧﺠﺪ أن ص = ‪٢‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = )‪ ، ( ٢ ، ١-‬ب = ) ‪ ( ٨ ، ٣‬أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻌﻤﻮدى ﻋﻠﻰ أ ب ﻣﻦ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ص – ‪٢- = ٥‬‬ ‫س–‪٣ ١‬‬

‫ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ب = ) ‪( ٥ ، ١)=( ٨+٢ ، ٣+١-‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻣﯿﻞ أ ب =‪٣ = ٦ = ٢ – ٨‬‬ ‫‪٢ ٤ ١+٣‬‬ ‫ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻄﻠﻮب = ‪٢-‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٣‬ص – ‪٢- = ١٥‬س ‪٢+‬‬ ‫‪٣‬ص – ‪٢+ ١٥‬س – ‪٠ = ٢‬‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻄﻠﻮب ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ)‪ (٥ ، ١‬وﻣﯿﻠﮫ = ‪٢-‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٣‬ص ‪٢+‬س – ‪٠ = ١٧‬‬

‫إذا ﻛﺎن أ ب ﻗﻄﺮ ﻓﻰ داﺋﺮة ﻣﺮﻛﺰھﺎم ﺣﯿﺚ أ = )‪ ، (٢ ، ١-‬ب = )‪ ( ٥ ، ٣‬أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة ﻋﻨﺪ أ‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــﻞ‬ ‫ص – ‪٤- = ٢‬‬ ‫س ‪٣ ١+‬‬

‫ﻣﯿﻞ أ ب =‪٣ = ٢ – ٥‬‬ ‫‪٤ ١+٣‬‬

‫‪٣‬ص – ‪ ٤ - = ٦‬س – ‪٤‬‬

‫اﻟﻤﻤﺎس ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻄﺮ‬ ‫ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ‪٤-‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٣‬ص – ‪ ٤+ ٦‬س ‪٠ = ٤+‬‬

‫اﻟﻤﻤﺎس ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ (٢ ، ١-‬وﻣﯿﻠﮫ = ‪٤-‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٣‬ص ‪ ٤+‬س – ‪٠ = ٢‬‬

‫‪٦١‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) د ‪ ،‬ھـ( وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﻧﻖ ھﻲ‪:‬‬ ‫) س – د(‪ ) + ٢‬ص – ھـ(‪ = ٢‬ﻧﻖ‪ ٢‬ﻧﻖ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ھﺬه اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ اﺳﺘﺨﺪام ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ) س‪ ، ١‬ص‪ ) ، (١‬س‪ ، ٢‬ص‪ (٢‬ھﻮ‪:‬‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ = ) س‪ – ٢‬س‪ ) + ٢(١‬ص‪ – ٢‬ص‪٢(١‬‬ ‫وﺑﺘﻄﺒﯿﻘﮫ ﻋﻠﻰ اﻟﺒﻌﺪ ﻧﻖ اﻟﻮاﺻﻞ ﺑﯿﻦ ) س ‪ ،‬ص( ‪ ) ،‬د ‪ ،‬ھـ(‬ ‫ﻣﻊ ﻣﻼﺣﻈﺔ ) د ‪ ،‬ھـ( أي ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى اﻹﺣﺪاﺛﯿﺎت اﻟﺪﯾﻜﺎرﺗﯿﮫ واﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺮﻓﻖ ﺗﻮﺿﯿﺢ ﻟﺬﻟﻚ‪.‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﻧﻖ‬ ‫وﻓﻲ ﺣﺎل ﻛﻮن د = ‪ ، ٠‬ھـ = ‪ ٠‬أي ) د ‪ ،‬ھـ( ﺗﻜﻮن ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫اﻷﺻﻞ‬ ‫ﻓﺈن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ﺗﺆول إﻟﻰ س‪ + ٢‬ص‪ =٢‬ﻧﻖ‪٢‬‬ ‫وھﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫ﻧﻖ‬ ‫وﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮭﺎ ﻣﺒﺎﺷﺮة ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﻔﺲ اﻟﻘﺎﻧﻮن‬ ‫اﻟﺴﺎﺑﻖ وھﻮ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ‪.‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻃﺮﻓﺎ ﻗﻄﺮ ﻓﯿﮭﺎ ) س‪ ، ١‬ص‪ ) ، (١‬س‪ ، ٢‬ص‪ (٢‬ھﻲ‪:‬‬ ‫) س – س‪ ) (١‬س – س‪ ) + (٢‬ص – ص‪ )(١‬ص – ص‪٠ = (٢‬‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮭﺎ ﻣﻦ‪:‬‬ ‫ق> د = ‪٩٠‬‬

‫> د ﻣﺮﺳﻮﻣﺔ ﻓﻲ ﻧﺼﻒ داﺋﺮة ﻻﺣﻆ اﻟﺸﻜﻞ‬

‫ﻣﯿﻞ ب د × ﻣﯿﻞ د ھـ = – ‪١‬‬

‫ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ‬ ‫‪٦٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻤﯿﻞ ﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺎر ﺑﻨﻘﻄﺘﯿﻦ = ﻓﺮق اﻟﺼﺎدات ÷ ﻓﺮق اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ص – ص‪١‬‬

‫ص – ص‪٢‬‬

‫ـــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــ = – ‪١‬‬ ‫س – س‪١‬‬

‫س – س‪٢‬‬

‫) س – س‪ ) (١‬س – س‪ )– = (٢‬ص – ص‪ )(١‬ص – ص‪(٢‬‬ ‫) س – س‪ ) (١‬س – س‪ ) + (٢‬ص – ص‪ )(١‬ص – ص‪٠ = (٢‬‬

‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة‪:‬‬ ‫ﻣﻦ‪ ) :‬س – د(‪ ) + ٢‬ص – ھـ(‪ = ٢‬ﻧﻖ‪ ٢‬وﺑﻔﻚ اﻷﻗﻮاس ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬ ‫س‪ + ٢‬ص‪ ٢–٢‬د س –‪٢‬ھـ ص ‪ +‬د‪ +٢‬ھـ‪ –٢‬ﻧﻖ‪ ٠ = ٢‬وﺑﻮﺿﻊ د= – ل ‪ ،‬ھـ = – ك ‪ ،‬د‪ + ٢‬ھـ‪ –٢‬ﻧﻖ‪٢‬‬ ‫= ﺣـ ﯾﻜﻮن‪:‬‬ ‫س‪ + ٢‬ص‪ ٢ + ٢‬ل س ‪ ٢ +‬ك ص ‪ +‬ﺣـ = ‪ ٠‬ﻣﺮﻛﺰھﺎ )– ل ‪ – ،‬ك( وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﻧﻖ ﺣﯿﺚ ﻧﻖ‪ =٢‬ل‪+ ٢‬‬ ‫ك‪ – ٢‬ﺣـ‬ ‫ﻻﺣــــــــﻆ‪:‬‬ ‫‪ (١‬ﻹﯾﺠﺎد اﻟﻤﺮﻛﺰ ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻧﺠﻌﻞ ﻣﻌﺎﻣﻞ س‪ =٢‬ﻣﻌﺎﻣﻞ ص‪ ١ =٢‬ﺛﻢ اﻟﻤﺮﻛﺰ = )– ﻣﻌﺎﻣﻞ س÷‪ – ، ٢‬ﻣﻌﺎﻣﻞ‬ ‫ص÷‪(٢‬‬ ‫‪ (٢‬إذا ﻣﺮﱠ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﺋﺮة ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ﻓﺈن ﺣـ = ‪ ٠‬واﻟﻌﻜﺲ ﺻﺤﯿﺢ ﻷن س = ص = ‪ ٠‬وﺗﺆول اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ إﻟﻰ‪:‬‬ ‫س‪ + ٢‬ص‪ ٢ + ٢‬ل س ‪ ٢ +‬ك ص = ‪٠‬‬ ‫ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ‪:‬‬ ‫‪ (١‬إذا وﻗﻊ اﻟﻤﺮﻛﺰ م = )– ل ‪ – ،‬ك( ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻓﺈن ك = ‪) ٠‬إي ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات إﺣﺪاﺛﮭﺎ اﻟﺴﯿﻨﻲ =‪(٠‬‬ ‫أي م = )– ل‪ (٠ ،‬وﺗﺼﺒﺢ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة‪:‬‬ ‫س‪ + ٢‬ص‪ ٢ + ٢‬ل س ‪ +‬ﺣـ = ‪٠‬‬ ‫وﯾﻜﻮن ل‪ + ٢‬ك‪ – ٢‬ﺣـ = ﻧﻖ‪٢‬‬

‫)ك=‪(٠‬‬ ‫‪٦٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫أي أن‪ :‬ل‪ –٢‬ﺣـ = ﻧﻖ‪٢‬‬ ‫‪ (٢‬إذا وﻗﻊ اﻟﻤﺮﻛﺰ م = )– ل ‪ – ،‬ك( ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻓﺈن ل = ‪) ٠‬إي ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات إﺣﺪاﺛﮭﺎ اﻟﺴﯿﻨﻲ =‪(٠‬‬ ‫أي م = )‪ – ، ٠‬ك( وﺗﺆول ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة‪:‬‬ ‫س‪ + ٢‬ص‪ ٢ + ٢‬ك ص ‪ +‬ﺣـ = ‪٠‬‬ ‫وﯾﻜﻮن ل‪ + ٢‬ك‪ – ٢‬ﺣـ = ﻧﻖ‪٢‬‬

‫)ل=‪(٠‬‬

‫أي أن‪ :‬ك‪ –٢‬ﺣـ = ﻧﻖ‪٢‬‬

‫‪ (٣‬إذا ﻣﺲَ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﺋﺮة ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻓﺈن ك = ﻧﻖ‬ ‫أي ك‪ =٢‬ﻧﻖ‪٢‬‬ ‫وﻣﻦ‪ :‬ل‪ +٢‬ك‪ –٢‬ﺣـ = ﻧﻖ‪٢‬‬ ‫ل‪ –٢‬ﺣـ = ‪٠‬‬ ‫ل‪ = ٢‬ﺣـ‬ ‫‪ (٣‬إذا ﻣﺲَ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﺋﺮة ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻓﺈن ك = ل = ﻧﻖ‬ ‫واﻟﻤﺮﻛﺰ ھﻨﺎ ) ﻧﻖ ‪ ،‬ﻧﻖ ( وﺗﻮﺟﺪ ‪ ٤‬دواﺋﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﻮﻗـــﻊ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰ ﻓﻲ أي رﺑﻊ ﻣﻦ اﻷرﺑﺎع اﻷرﺑﻌﺔ‪.‬‬ ‫) س – ﻧﻖ(‪ ) + ٢‬ص – ﻧﻖ(‪ = ٢‬ﻧﻖ‪٢‬‬ ‫) س ‪ +‬ﻧﻖ(‪ ) + ٢‬ص – ﻧﻖ(‪ = ٢‬ﻧﻖ‪٢‬‬ ‫) س ‪ +‬ﻧﻖ(‪ ) + ٢‬ص ‪ +‬ﻧﻖ(‪ = ٢‬ﻧﻖ‪٢‬‬ ‫) س – ﻧﻖ(‪ ) + ٢‬ص ‪ +‬ﻧﻖ(‪ = ٢‬ﻧﻖ‪٢‬‬

‫‪٦٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫اﻟﺼﻮر اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﯾﻨﻄﺒﻖ ﻣﺤﻮره ﻋﻠﻰ أﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ ورأﺳﮫ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ) ‪( ٠ ، ٠‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫اﻟﺮأس‬

‫اﻟﺒﺆرة‬

‫اﻟﺪﻟﯿﻞ‬

‫اﻟﻤﺤﻮر‬

‫اﺗﺠﺎه ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫) ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫س = ‪ -‬ﺟـ‬

‫ص=‪٠‬‬

‫‪Σ‬‬

‫) ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬

‫ص=‪٠‬‬

‫‪Σ‬‬

‫) ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬

‫س=‪٠‬‬

‫‪Ξ‬‬

‫) ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬

‫س=‪٠‬‬

‫‪Ξ‬‬

‫) ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬

‫ص‪٤ = ٢‬ﺟـ س‬

‫ص‪٤- = ٢‬ﺟـ س‬ ‫س‪٤ = ٢‬ﺟـ ص‬ ‫س‪٤ - = ٢‬ﺟـ ص‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫) ‪ -‬ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫س = ﺟـ‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫) ‪ ، ٠‬ﺟـ (‬

‫ص = ‪ -‬ﺟـ‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫) ‪ - ، ٠‬ﺟـ (‬

‫ص = ﺟـ‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ ‪:‬‬ ‫• ﻟﺮﺳﻢ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻧﺘﺤﺮك ﻣﻦ اﻟﺒﺆرة ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ‪ ٢‬ﺟـ ﻓﻲ اﻻﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫• ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ ﺗﺘﺠﮫ داﺋﻤﺎُ ﻣﻦ اﻟﺮأس إﻟﻰ اﻟﺒﺆرة‬ ‫• اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري = ﺟـ‬ ‫• ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ ﯾﻠﺰﻣﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﻓﺘﺤﺔ ﻻﺧﺘﯿﺎر اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ ،‬ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د‪ ،‬ھـ‪ ،‬ﺟـ ﻣﻦ ﺧﻼل اﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت ‪.‬‬

‫‪٦٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫اﻟﺼﻮر اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﯾﻮازي ﻣﺤﻮره أﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ ورأﺳﮫ ) د ‪ ،‬ھـ (‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫اﻟﺮأس‬

‫اﻟﺒﺆرة‬

‫اﻟﺪﻟﯿﻞ‬

‫)ص‪ -‬ھـ(‪٤=٢‬ﺟـ )س– د(‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫س = ‪ -‬ﺟـ ‪ +‬د‬

‫)ص‪ -‬ھـ(‪٤-=٢‬ﺟـ )س– د(‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ -‬ﺟـ ‪ +‬د ‪،‬ھـ (‬

‫س = ﺟـ ‪ +‬د‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) د ‪ ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬

‫ص = ‪ -‬ﺟـ ‪ +‬ھـ‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) د ‪ - ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬

‫ص = ﺟـ ‪ +‬ھـ‬

‫اﻟﻤﺤﻮر‬

‫اﺗﺠﺎه ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ‬

‫ص = ھـ‬

‫‪Σ‬‬

‫) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر‬

‫ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (‬

‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬

‫ص = ھـ‬ ‫) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي‬ ‫ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (‬

‫)س – د (‪٤=٢‬ﺟـ )ص– ھـ(‬

‫)س – د(‪٤-=٢‬ﺟـ )ص– ھـ(‬

‫‪+‬‬

‫‪Σ‬‬

‫‪-‬‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر‬ ‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬

‫س=د‬

‫‪Ξ‬‬

‫) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر‬

‫ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (‬

‫اﻟﺼﺎدات‬

‫س=د‬

‫‪Ξ‬‬

‫) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر‬

‫ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (‬

‫اﻟﺼﺎدات‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪٦٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰ‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬ ‫ص‬ ‫س‪١ = ٢ + ٢‬‬ ‫ب‬ ‫‪Α‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬ ‫س‬ ‫ص‪١ = ٢ + ٢‬‬ ‫ب‬ ‫‪Α‬‬

‫)س‪ -‬د(‬

‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫)ص‪ -‬ھـ(‬

‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪+‬‬

‫)ص‪ -‬ھـ(‬

‫‪٢‬‬

‫‪+‬‬

‫‪٢‬‬

‫ب‬

‫ب‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫) ‪ -‬ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫)‪( ٠ ، Α -‬‬

‫) ‪ ،٠‬ﺟـ (‬

‫)‪(Α،٠‬‬

‫) ‪ - ،٠‬ﺟـ (‬

‫) ‪(Α - ، ٠‬‬

‫)ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) ‪ + Α‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ -‬ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ + Α -‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫=‪١‬‬

‫) د ‪ ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬ ‫) د ‪ - ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺒﺆرﺗﯿﻦ = ‪ ٢‬ﺟـ = اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ = ٢Α‬ب‪ + ٢‬ﺟـ‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫ص=‪٠‬‬

‫س=‪٠‬‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫س=‪٠‬‬

‫ص=‪٠‬‬

‫‪Σ //‬‬

‫‪Ξ //‬‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫) ‪(٠ ، Α‬‬

‫)ﺟـ ‪(٠،‬‬

‫) ‪ -‬ﺟـ ‪(٠،‬‬

‫) ‪(٠ ، Α -‬‬

‫)‪،٠‬ﺟـ(‬ ‫)‪ -،٠‬ﺟـ(‬

‫) ‪(Α - ، ٠‬‬

‫=‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫) ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫)‪(٠،Α‬‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫)‪(Α،٠‬‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫‪٢‬‬

‫)س‪ -‬د(‬ ‫‪٢‬‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫اﻟﺒﺆرﺗﺎن‬

‫اﻟﺮأﺳﺎن‬

‫اﻟﻤﺤﻮر اﻷﻛﺒﺮ‬

‫اﻟﻤﺤﻮر اﻷﺻﻐﺮ‬

‫اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ‬

‫ﺣﯿﺚ‬

‫ص = ھـ‬

‫س=د‬

‫) د ‪ + Α ،‬ھـ (‬

‫‪Ξ //‬‬

‫‪Σ //‬‬

‫) د ‪ + Α - ،‬ھـ (‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫س=د‬

‫ص = ھـ‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ اﻷﻛﺒﺮ = ‪Α ٢‬‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ اﻷﺻﻐﺮ = ‪ ٢‬ب‬

‫‪ ، Α‬ب ‪ ،‬ﺟـ ‪: Λ‬‬ ‫‪٦٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫‪ (١‬ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﮭﺬا اﻟﻘﻄﻊ ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ س‪ ) ٢‬ﻣﺜﻼُ ( ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ً )‬ ‫ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ‬ ‫أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ص‪ ٢‬ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ً ) ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي ‪.‬‬ ‫‪ (٢‬ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻷﻛﺒﺮ ) ﺗﻘﻊ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ( ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د‪ ،‬ھـ ‪ ،‬أ ‪ ،‬ب ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت ‪.‬‬

‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ‬ ‫اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰ‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ‬

‫)اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺒﺆري(‬

‫اﻟﺒﺆرﺗﺎن‬

‫اﻟﺮأﺳﺎن‬

‫) ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫)‪(٠،Α‬‬

‫) ‪ -‬ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫)‪( ٠ ، Α -‬‬

‫) ‪ ،٠‬ﺟـ (‬

‫)‪(Α،٠‬‬

‫) ‪ - ،٠‬ﺟـ (‬

‫) ‪(Α - ، ٠‬‬

‫)ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) ‪ + Α‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫‪٢‬‬

‫س‪- ٢‬‬ ‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫ص‪- ٢‬‬ ‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫ص‬ ‫‪=٢‬‬ ‫ب‬ ‫‪٢‬‬

‫س‪= ٢‬‬ ‫ب‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫‪١‬‬

‫‪١‬‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫)س‪ -‬د(‪) ٢‬ص‪ -‬ھـ(‬ ‫‪ - ٢Α‬ب‪= ٢‬‬

‫‪١‬‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ -‬ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ + Α -‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺮاﻓﻖ‬ ‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫ص=‪٠‬‬

‫س=‪٠‬‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫س=‪٠‬‬

‫ص=‪٠‬‬

‫‪Σ //‬‬

‫‪Ξ //‬‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫ص = ھـ‬

‫س=د‬

‫اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ‬

‫‪٦٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫‪٢‬‬

‫)ص‪٢ -‬ھـ( ‪-‬‬ ‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫)س‪ -‬د(‬ ‫‪= ٢‬‬ ‫ب‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫‪١‬‬

‫) د ‪ ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬ ‫) د ‪ - ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬

‫) د ‪ + Α ،‬ھـ (‬

‫‪Ξ //‬‬

‫‪Σ //‬‬

‫) د ‪ + Α - ،‬ھـ (‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫س=د‬

‫ص = ھـ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺟـ‪ = ٢‬ب‪Α + ٢‬‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺮأﺳﯿﻦ = ‪Α ٢‬‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺒﺆرﺗﯿﻦ = ‪ ٢‬ﺟـ = اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري‬

‫ﺣﯿﺚ‬

‫‪ ، Α‬ب ‪ ،‬ﺟـ ‪: Λ‬‬

‫* ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﮭﺬا اﻟﻘﻄﻊ ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ س‪ ) ٢‬ﻣﺜﻼً ( ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً )‬ ‫ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ ‪ .‬أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ص‪ ٢‬ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً )ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي ‪.‬‬ ‫* ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ ‪ :‬ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ) ﺗﻘﻊ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ( ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د‪ ،‬ه ‪ ،‬أ ‪ ،‬ب ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت ‪.‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﺼﻮرة ‪:‬‬

‫‪0‬س‪ +٢‬بَ س ص ‪ +‬ﺟـَ ص‪ + ٢‬دَ س ‪ +‬ھـَ ص ‪ +‬وَ= ‪٠‬‬ ‫ﺗُﻤﺜـﻞ‬

‫ﻗﻄﻌﺎً ﻣﻜﺎﻓﺌًﺎ‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ ×0‬ﺟـَ = ‪٠‬‬

‫ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ‪ ،0‬ﺟـَ أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﺴﺎوي اﻟﺼﻔﺮ‬

‫ﻗﻄﻌﺎً ﻧﺎﻗﺼﺎً‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ ×0‬ﺟـَ < ‪٠‬‬

‫ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ‪ ،0‬ﺟـَ ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻹﺷﺎرة‬

‫ﻗﻄﻌﺎً زاﺋﺪًا‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ ×0‬ﺟـَ > ‪٠‬‬

‫ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ‪ ،0‬ﺟـَ ﻟﮭﻤﺎ إﺷﺎرﺗﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ‬

‫‪٦٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

٧٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

‫اﻟﺼﻮر اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﯾﻨﻄﺒﻖ ﻣﺤﻮره ﻋﻠﻰ أﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ ورأﺳﮫ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ) ‪( ٠ ، ٠‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫اﻟﺮأس‬

‫اﻟﺒﺆرة‬

‫اﻟﺪﻟﯿﻞ‬

‫اﻟﻤﺤﻮر‬

‫اﺗﺠﺎه ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫) ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫س = ‪ -‬ﺟـ‬

‫ص=‪٠‬‬

‫‪Σ‬‬

‫) ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬

‫ص=‪٠‬‬

‫‪Σ‬‬

‫) ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬

‫س=‪٠‬‬

‫‪Ξ‬‬

‫) ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬

‫س=‪٠‬‬

‫‪Ξ‬‬

‫) ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬

‫ص‪٤ = ٢‬ﺟـ س‬

‫ص‪٤- = ٢‬ﺟـ س‬ ‫س‪٤ = ٢‬ﺟـ ص‬ ‫س‪٤ - = ٢‬ﺟـ ص‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫) ‪ -‬ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫س = ﺟـ‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫) ‪ ، ٠‬ﺟـ (‬

‫ص = ‪ -‬ﺟـ‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫) ‪ - ، ٠‬ﺟـ (‬

‫ص = ﺟـ‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ ‪:‬‬ ‫• ﻟﺮﺳﻢ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻧﺘﺤﺮك ﻣﻦ اﻟﺒﺆرة ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ‪ ٢‬ﺟـ ﻓﻲ اﻻﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫• ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ ﺗﺘﺠﮫ داﺋﻤﺎُ ﻣﻦ اﻟﺮأس إﻟﻰ اﻟﺒﺆرة‬ ‫• اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري = ﺟـ‬ ‫• ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ ﯾﻠﺰﻣﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﻓﺘﺤﺔ ﻻﺧﺘﯿﺎر اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ ،‬ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د‪ ،‬ھـ‪ ،‬ﺟـ ﻣﻦ ﺧﻼل اﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت ‪.‬‬

‫‪٦٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫اﻟﺼﻮر اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﯾﻮازي ﻣﺤﻮره أﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ ورأﺳﮫ ) د ‪ ،‬ھـ (‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫اﻟﺮأس‬

‫اﻟﺒﺆرة‬

‫اﻟﺪﻟﯿﻞ‬

‫)ص‪ -‬ھـ(‪٤=٢‬ﺟـ )س– د(‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫س = ‪ -‬ﺟـ ‪ +‬د‬

‫)ص‪ -‬ھـ(‪٤-=٢‬ﺟـ )س– د(‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ -‬ﺟـ ‪ +‬د ‪،‬ھـ (‬

‫س = ﺟـ ‪ +‬د‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) د ‪ ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬

‫ص = ‪ -‬ﺟـ ‪ +‬ھـ‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) د ‪ - ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬

‫ص = ﺟـ ‪ +‬ھـ‬

‫اﻟﻤﺤﻮر‬

‫اﺗﺠﺎه ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ‬

‫ص = ھـ‬

‫‪Σ‬‬

‫) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر‬

‫ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (‬

‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬

‫ص = ھـ‬ ‫) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي‬ ‫ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (‬

‫)س – د (‪٤=٢‬ﺟـ )ص– ھـ(‬

‫)س – د(‪٤-=٢‬ﺟـ )ص– ھـ(‬

‫‪+‬‬

‫‪Σ‬‬

‫‪-‬‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر‬ ‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬

‫س=د‬

‫‪Ξ‬‬

‫) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر‬

‫ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (‬

‫اﻟﺼﺎدات‬

‫س=د‬

‫‪Ξ‬‬

‫) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر‬

‫ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (‬

‫اﻟﺼﺎدات‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪٦٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰ‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬ ‫ص‬ ‫س‪١ = ٢ + ٢‬‬ ‫ب‬ ‫‪Α‬‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫اﻟﺒﺆرﺗﺎن‬

‫اﻟﺮأﺳﺎن‬

‫) ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫)‪(٠،Α‬‬

‫) ‪ -‬ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫)‪( ٠ ، Α -‬‬

‫) ‪ ،٠‬ﺟـ (‬

‫)‪(Α،٠‬‬

‫) ‪ - ،٠‬ﺟـ (‬

‫) ‪(Α - ، ٠‬‬

‫)ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) ‪ + Α‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ -‬ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ + Α -‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫اﻟﻤﺤﻮر اﻷﻛﺒﺮ‬

‫اﻟﻤﺤﻮر اﻷﺻﻐﺮ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫ص=‪٠‬‬

‫س=‪٠‬‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫س=‪٠‬‬

‫ص=‪٠‬‬

‫‪Σ //‬‬

‫‪Ξ //‬‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ‬

‫) ‪(٠ ، Α‬‬

‫)ﺟـ ‪(٠،‬‬

‫) ‪ -‬ﺟـ ‪(٠،‬‬

‫) ‪(٠ ، Α -‬‬

‫)‪(Α،٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬ ‫س‬ ‫ص‪١ = ٢ + ٢‬‬ ‫ب‬ ‫‪Α‬‬

‫)س‪ -‬د(‬

‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫)ص‪ -‬ھـ(‬

‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪+‬‬

‫)ص‪ -‬ھـ(‬

‫‪٢‬‬

‫‪+‬‬

‫‪٢‬‬

‫ب‬

‫=‪١‬‬

‫ب‬

‫‪٢‬‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫=‪١‬‬

‫) د ‪ ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬ ‫) د ‪ - ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺒﺆرﺗﯿﻦ = ‪ ٢‬ﺟـ = اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ = ٢Α‬ب‪ + ٢‬ﺟـ‬

‫)‪ -،٠‬ﺟـ(‬

‫) ‪(Α - ، ٠‬‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫‪٢‬‬

‫)س‪ -‬د(‬ ‫‪٢‬‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫)‪،٠‬ﺟـ(‬

‫ﺣﯿﺚ‬

‫‪ ، Α‬ب ‪ ،‬ﺟـ ‪: Λ‬‬

‫ص = ھـ‬

‫س=د‬

‫) د ‪ + Α ،‬ھـ (‬

‫‪Ξ //‬‬

‫‪Σ //‬‬

‫) د ‪ + Α - ،‬ھـ (‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫س=د‬

‫ص = ھـ‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ اﻷﻛﺒﺮ = ‪Α ٢‬‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ اﻷﺻﻐﺮ = ‪ ٢‬ب‬

‫‪٦٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫‪ (١‬ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﮭﺬا اﻟﻘﻄﻊ ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ س‪ ) ٢‬ﻣﺜﻼُ ( ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ً )‬ ‫ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ‬ ‫أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ص‪ ٢‬ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ً ) ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي ‪.‬‬ ‫‪ (٢‬ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻷﻛﺒﺮ ) ﺗﻘﻊ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ( ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د‪ ،‬ھـ ‪ ،‬أ ‪ ،‬ب ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت ‪.‬‬

‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ‬ ‫اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰ‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ‬

‫)اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺒﺆري(‬

‫اﻟﺒﺆرﺗﺎن‬

‫اﻟﺮأﺳﺎن‬

‫) ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫)‪(٠،Α‬‬

‫) ‪ -‬ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫)‪( ٠ ، Α -‬‬

‫) ‪ ،٠‬ﺟـ (‬

‫)‪(Α،٠‬‬

‫) ‪ - ،٠‬ﺟـ (‬

‫) ‪(Α - ، ٠‬‬

‫)ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) ‪ + Α‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫‪٢‬‬

‫س‪- ٢‬‬ ‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫ص‪- ٢‬‬ ‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫ص‬ ‫‪=٢‬‬ ‫ب‬ ‫‪٢‬‬

‫س‪= ٢‬‬ ‫ب‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫‪١‬‬

‫‪١‬‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫)س‪ -‬د(‪) ٢‬ص‪ -‬ھـ(‬ ‫‪ - ٢Α‬ب‪= ٢‬‬

‫‪١‬‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ -‬ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ + Α -‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺮاﻓﻖ‬ ‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫ص=‪٠‬‬

‫س=‪٠‬‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫س=‪٠‬‬

‫ص=‪٠‬‬

‫‪Σ //‬‬

‫‪Ξ //‬‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫ص = ھـ‬

‫س=د‬

‫اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ‬

‫‪٦٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫‪٢‬‬

‫)ص‪٢ -‬ھـ( ‪-‬‬ ‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫)س‪ -‬د(‬ ‫‪= ٢‬‬ ‫ب‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫‪١‬‬

‫) د ‪ ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬ ‫) د ‪ - ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬

‫) د ‪ + Α ،‬ھـ (‬

‫‪Ξ //‬‬

‫‪Σ //‬‬

‫) د ‪ + Α - ،‬ھـ (‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫س=د‬

‫ص = ھـ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺟـ‪ = ٢‬ب‪Α + ٢‬‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺮأﺳﯿﻦ = ‪Α ٢‬‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺒﺆرﺗﯿﻦ = ‪ ٢‬ﺟـ = اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري‬

‫ﺣﯿﺚ‬

‫‪ ، Α‬ب ‪ ،‬ﺟـ ‪: Λ‬‬

‫* ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﮭﺬا اﻟﻘﻄﻊ ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ س‪ ) ٢‬ﻣﺜﻼً ( ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً )‬ ‫ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ ‪ .‬أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ص‪ ٢‬ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً )ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي ‪.‬‬ ‫* ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ ‪ :‬ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ) ﺗﻘﻊ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ( ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د‪ ،‬ه ‪ ،‬أ ‪ ،‬ب ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت ‪.‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﺼﻮرة ‪:‬‬

‫‪0‬س‪ +٢‬بَ س ص ‪ +‬ﺟـَ ص‪ + ٢‬دَ س ‪ +‬ھـَ ص ‪ +‬وَ= ‪٠‬‬ ‫ﺗُﻤﺜـﻞ‬

‫ﻗﻄﻌﺎً ﻣﻜﺎﻓﺌًﺎ‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ ×0‬ﺟـَ = ‪٠‬‬

‫ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ‪ ،0‬ﺟـَ أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﺴﺎوي اﻟﺼﻔﺮ‬

‫ﻗﻄﻌﺎً ﻧﺎﻗﺼﺎً‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ ×0‬ﺟـَ < ‪٠‬‬

‫ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ‪ ،0‬ﺟـَ ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻹﺷﺎرة‬

‫ﻗﻄﻌﺎً زاﺋﺪًا‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ ×0‬ﺟـَ > ‪٠‬‬

‫ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ‪ ،0‬ﺟـَ ﻟﮭﻤﺎ إﺷﺎرﺗﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ‬

‫‪٦٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

٧٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

‫اﻟﺼﻮر اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﯾﻨﻄﺒﻖ ﻣﺤﻮره ﻋﻠﻰ أﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ ورأﺳﮫ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ) ‪( ٠ ، ٠‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫اﻟﺮأس‬

‫اﻟﺒﺆرة‬

‫اﻟﺪﻟﯿﻞ‬

‫اﻟﻤﺤﻮر‬

‫اﺗﺠﺎه ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫) ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫س = ‪ -‬ﺟـ‬

‫ص=‪٠‬‬

‫‪Σ‬‬

‫) ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬

‫ص=‪٠‬‬

‫‪Σ‬‬

‫) ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬

‫س=‪٠‬‬

‫‪Ξ‬‬

‫) ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬

‫س=‪٠‬‬

‫‪Ξ‬‬

‫) ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬

‫ص‪٤ = ٢‬ﺟـ س‬

‫ص‪٤- = ٢‬ﺟـ س‬ ‫س‪٤ = ٢‬ﺟـ ص‬ ‫س‪٤ - = ٢‬ﺟـ ص‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫) ‪ -‬ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫س = ﺟـ‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫) ‪ ، ٠‬ﺟـ (‬

‫ص = ‪ -‬ﺟـ‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫) ‪ - ، ٠‬ﺟـ (‬

‫ص = ﺟـ‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ ‪:‬‬ ‫• ﻟﺮﺳﻢ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻧﺘﺤﺮك ﻣﻦ اﻟﺒﺆرة ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ‪ ٢‬ﺟـ ﻓﻲ اﻻﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫• ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ ﺗﺘﺠﮫ داﺋﻤﺎُ ﻣﻦ اﻟﺮأس إﻟﻰ اﻟﺒﺆرة‬ ‫• اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري = ﺟـ‬ ‫• ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ ﯾﻠﺰﻣﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﻓﺘﺤﺔ ﻻﺧﺘﯿﺎر اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ ،‬ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د‪ ،‬ھـ‪ ،‬ﺟـ ﻣﻦ ﺧﻼل اﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت ‪.‬‬

‫‪٦٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫اﻟﺼﻮر اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﯾﻮازي ﻣﺤﻮره أﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ ورأﺳﮫ ) د ‪ ،‬ھـ (‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫اﻟﺮأس‬

‫اﻟﺒﺆرة‬

‫اﻟﺪﻟﯿﻞ‬

‫)ص‪ -‬ھـ(‪٤=٢‬ﺟـ )س– د(‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫س = ‪ -‬ﺟـ ‪ +‬د‬

‫)ص‪ -‬ھـ(‪٤-=٢‬ﺟـ )س– د(‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ -‬ﺟـ ‪ +‬د ‪،‬ھـ (‬

‫س = ﺟـ ‪ +‬د‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) د ‪ ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬

‫ص = ‪ -‬ﺟـ ‪ +‬ھـ‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) د ‪ - ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬

‫ص = ﺟـ ‪ +‬ھـ‬

‫اﻟﻤﺤﻮر‬

‫اﺗﺠﺎه ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ‬

‫ص = ھـ‬

‫‪Σ‬‬

‫) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر‬

‫ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (‬

‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬

‫ص = ھـ‬ ‫) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي‬ ‫ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (‬

‫)س – د (‪٤=٢‬ﺟـ )ص– ھـ(‬

‫)س – د(‪٤-=٢‬ﺟـ )ص– ھـ(‬

‫‪+‬‬

‫‪Σ‬‬

‫‪-‬‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر‬ ‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬

‫س=د‬

‫‪Ξ‬‬

‫) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر‬

‫ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (‬

‫اﻟﺼﺎدات‬

‫س=د‬

‫‪Ξ‬‬

‫) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر‬

‫ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (‬

‫اﻟﺼﺎدات‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪٦٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰ‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬ ‫ص‬ ‫س‪١ = ٢ + ٢‬‬ ‫ب‬ ‫‪Α‬‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫اﻟﺒﺆرﺗﺎن‬

‫اﻟﺮأﺳﺎن‬

‫) ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫)‪(٠،Α‬‬

‫) ‪ -‬ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫)‪( ٠ ، Α -‬‬

‫) ‪ ،٠‬ﺟـ (‬

‫)‪(Α،٠‬‬

‫) ‪ - ،٠‬ﺟـ (‬

‫) ‪(Α - ، ٠‬‬

‫)ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) ‪ + Α‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ -‬ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ + Α -‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫اﻟﻤﺤﻮر اﻷﻛﺒﺮ‬

‫اﻟﻤﺤﻮر اﻷﺻﻐﺮ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫ص=‪٠‬‬

‫س=‪٠‬‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫س=‪٠‬‬

‫ص=‪٠‬‬

‫‪Σ //‬‬

‫‪Ξ //‬‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ‬

‫) ‪(٠ ، Α‬‬

‫)ﺟـ ‪(٠،‬‬

‫) ‪ -‬ﺟـ ‪(٠،‬‬

‫) ‪(٠ ، Α -‬‬

‫)‪(Α،٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬ ‫س‬ ‫ص‪١ = ٢ + ٢‬‬ ‫ب‬ ‫‪Α‬‬

‫)س‪ -‬د(‬

‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫)ص‪ -‬ھـ(‬

‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪+‬‬

‫)ص‪ -‬ھـ(‬

‫‪٢‬‬

‫‪+‬‬

‫‪٢‬‬

‫ب‬

‫=‪١‬‬

‫ب‬

‫‪٢‬‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫=‪١‬‬

‫) د ‪ ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬ ‫) د ‪ - ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺒﺆرﺗﯿﻦ = ‪ ٢‬ﺟـ = اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ = ٢Α‬ب‪ + ٢‬ﺟـ‬

‫)‪ -،٠‬ﺟـ(‬

‫) ‪(Α - ، ٠‬‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫‪٢‬‬

‫)س‪ -‬د(‬ ‫‪٢‬‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫)‪،٠‬ﺟـ(‬

‫ﺣﯿﺚ‬

‫‪ ، Α‬ب ‪ ،‬ﺟـ ‪: Λ‬‬

‫ص = ھـ‬

‫س=د‬

‫) د ‪ + Α ،‬ھـ (‬

‫‪Ξ //‬‬

‫‪Σ //‬‬

‫) د ‪ + Α - ،‬ھـ (‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫س=د‬

‫ص = ھـ‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ اﻷﻛﺒﺮ = ‪Α ٢‬‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ اﻷﺻﻐﺮ = ‪ ٢‬ب‬

‫‪٦٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫‪ (١‬ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﮭﺬا اﻟﻘﻄﻊ ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ س‪ ) ٢‬ﻣﺜﻼُ ( ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ً )‬ ‫ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ‬ ‫أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ص‪ ٢‬ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ً ) ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي ‪.‬‬ ‫‪ (٢‬ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻷﻛﺒﺮ ) ﺗﻘﻊ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ( ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د‪ ،‬ھـ ‪ ،‬أ ‪ ،‬ب ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت ‪.‬‬

‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ‬ ‫اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰ‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ‬

‫)اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺒﺆري(‬

‫اﻟﺒﺆرﺗﺎن‬

‫اﻟﺮأﺳﺎن‬

‫) ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫)‪(٠،Α‬‬

‫) ‪ -‬ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫)‪( ٠ ، Α -‬‬

‫) ‪ ،٠‬ﺟـ (‬

‫)‪(Α،٠‬‬

‫) ‪ - ،٠‬ﺟـ (‬

‫) ‪(Α - ، ٠‬‬

‫)ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) ‪ + Α‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫‪٢‬‬

‫س‪- ٢‬‬ ‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫ص‪- ٢‬‬ ‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫ص‬ ‫‪=٢‬‬ ‫ب‬ ‫‪٢‬‬

‫س‪= ٢‬‬ ‫ب‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫‪١‬‬

‫‪١‬‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫)س‪ -‬د(‪) ٢‬ص‪ -‬ھـ(‬ ‫‪ - ٢Α‬ب‪= ٢‬‬

‫‪١‬‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ -‬ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ + Α -‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺮاﻓﻖ‬ ‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫ص=‪٠‬‬

‫س=‪٠‬‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫س=‪٠‬‬

‫ص=‪٠‬‬

‫‪Σ //‬‬

‫‪Ξ //‬‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫ص = ھـ‬

‫س=د‬

‫اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ‬

‫‪٦٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫‪٢‬‬

‫)ص‪٢ -‬ھـ( ‪-‬‬ ‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫)س‪ -‬د(‬ ‫‪= ٢‬‬ ‫ب‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫‪١‬‬

‫) د ‪ ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬ ‫) د ‪ - ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬

‫) د ‪ + Α ،‬ھـ (‬

‫‪Ξ //‬‬

‫‪Σ //‬‬

‫) د ‪ + Α - ،‬ھـ (‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫س=د‬

‫ص = ھـ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺟـ‪ = ٢‬ب‪Α + ٢‬‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺮأﺳﯿﻦ = ‪Α ٢‬‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺒﺆرﺗﯿﻦ = ‪ ٢‬ﺟـ = اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري‬

‫ﺣﯿﺚ‬

‫‪ ، Α‬ب ‪ ،‬ﺟـ ‪: Λ‬‬

‫* ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﮭﺬا اﻟﻘﻄﻊ ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ س‪ ) ٢‬ﻣﺜﻼً ( ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً )‬ ‫ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ ‪ .‬أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ص‪ ٢‬ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً )ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي ‪.‬‬ ‫* ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ ‪ :‬ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ) ﺗﻘﻊ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ( ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د‪ ،‬ه ‪ ،‬أ ‪ ،‬ب ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت ‪.‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﺼﻮرة ‪:‬‬

‫‪0‬س‪ +٢‬بَ س ص ‪ +‬ﺟـَ ص‪ + ٢‬دَ س ‪ +‬ھـَ ص ‪ +‬وَ= ‪٠‬‬ ‫ﺗُﻤﺜـﻞ‬

‫ﻗﻄﻌﺎً ﻣﻜﺎﻓﺌًﺎ‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ ×0‬ﺟـَ = ‪٠‬‬

‫ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ‪ ،0‬ﺟـَ أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﺴﺎوي اﻟﺼﻔﺮ‬

‫ﻗﻄﻌﺎً ﻧﺎﻗﺼﺎً‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ ×0‬ﺟـَ < ‪٠‬‬

‫ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ‪ ،0‬ﺟـَ ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻹﺷﺎرة‬

‫ﻗﻄﻌﺎً زاﺋﺪًا‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ ×0‬ﺟـَ > ‪٠‬‬

‫ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ‪ ،0‬ﺟـَ ﻟﮭﻤﺎ إﺷﺎرﺗﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ‬

‫‪٦٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫اﻟﺼﻮر اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﯾﻨﻄﺒﻖ ﻣﺤﻮره ﻋﻠﻰ أﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ ورأﺳﮫ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ) ‪( ٠ ، ٠‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫اﻟﺮأس‬

‫اﻟﺒﺆرة‬

‫اﻟﺪﻟﯿﻞ‬

‫اﻟﻤﺤﻮر‬

‫اﺗﺠﺎه ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫) ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫س = ‪ -‬ﺟـ‬

‫ص=‪٠‬‬

‫‪Σ‬‬

‫) ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬

‫ص=‪٠‬‬

‫‪Σ‬‬

‫) ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬

‫س=‪٠‬‬

‫‪Ξ‬‬

‫) ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬

‫س=‪٠‬‬

‫‪Ξ‬‬

‫) ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬

‫ص‪٤ = ٢‬ﺟـ س‬

‫ص‪٤- = ٢‬ﺟـ س‬ ‫س‪٤ = ٢‬ﺟـ ص‬ ‫س‪٤ - = ٢‬ﺟـ ص‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫) ‪ -‬ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫س = ﺟـ‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫) ‪ ، ٠‬ﺟـ (‬

‫ص = ‪ -‬ﺟـ‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫) ‪ - ، ٠‬ﺟـ (‬

‫ص = ﺟـ‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ ‪:‬‬ ‫• ﻟﺮﺳﻢ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻧﺘﺤﺮك ﻣﻦ اﻟﺒﺆرة ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ‪ ٢‬ﺟـ ﻓﻲ اﻻﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫• ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ ﺗﺘﺠﮫ داﺋﻤﺎُ ﻣﻦ اﻟﺮأس إﻟﻰ اﻟﺒﺆرة‬ ‫• اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري = ﺟـ‬ ‫• ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ ﯾﻠﺰﻣﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﻓﺘﺤﺔ ﻻﺧﺘﯿﺎر اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ ،‬ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د‪ ،‬ھـ‪ ،‬ﺟـ ﻣﻦ ﺧﻼل اﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت ‪.‬‬

‫‪٦٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫اﻟﺼﻮر اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﯾﻮازي ﻣﺤﻮره أﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ ورأﺳﮫ ) د ‪ ،‬ھـ (‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫اﻟﺮأس‬

‫اﻟﺒﺆرة‬

‫اﻟﺪﻟﯿﻞ‬

‫)ص‪ -‬ھـ(‪٤=٢‬ﺟـ )س– د(‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫س = ‪ -‬ﺟـ ‪ +‬د‬

‫)ص‪ -‬ھـ(‪٤-=٢‬ﺟـ )س– د(‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ -‬ﺟـ ‪ +‬د ‪،‬ھـ (‬

‫س = ﺟـ ‪ +‬د‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) د ‪ ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬

‫ص = ‪ -‬ﺟـ ‪ +‬ھـ‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) د ‪ - ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬

‫ص = ﺟـ ‪ +‬ھـ‬

‫اﻟﻤﺤﻮر‬

‫اﺗﺠﺎه ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ‬

‫ص = ھـ‬

‫‪Σ‬‬

‫) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر‬

‫ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (‬

‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬

‫ص = ھـ‬ ‫) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي‬ ‫ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (‬

‫)س – د (‪٤=٢‬ﺟـ )ص– ھـ(‬

‫)س – د(‪٤-=٢‬ﺟـ )ص– ھـ(‬

‫‪+‬‬

‫‪Σ‬‬

‫‪-‬‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر‬ ‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬

‫س=د‬

‫‪Ξ‬‬

‫) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر‬

‫ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (‬

‫اﻟﺼﺎدات‬

‫س=د‬

‫‪Ξ‬‬

‫) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي‬

‫اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر‬

‫ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (‬

‫اﻟﺼﺎدات‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪٦٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰ‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬ ‫ص‬ ‫س‪١ = ٢ + ٢‬‬ ‫ب‬ ‫‪Α‬‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫اﻟﺒﺆرﺗﺎن‬

‫اﻟﺮأﺳﺎن‬

‫) ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫)‪(٠،Α‬‬

‫) ‪ -‬ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫)‪( ٠ ، Α -‬‬

‫) ‪ ،٠‬ﺟـ (‬

‫)‪(Α،٠‬‬

‫) ‪ - ،٠‬ﺟـ (‬

‫) ‪(Α - ، ٠‬‬

‫)ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) ‪ + Α‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ -‬ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ + Α -‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫اﻟﻤﺤﻮر اﻷﻛﺒﺮ‬

‫اﻟﻤﺤﻮر اﻷﺻﻐﺮ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫ص=‪٠‬‬

‫س=‪٠‬‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫س=‪٠‬‬

‫ص=‪٠‬‬

‫‪Σ //‬‬

‫‪Ξ //‬‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ‬

‫) ‪(٠ ، Α‬‬

‫)ﺟـ ‪(٠،‬‬

‫) ‪ -‬ﺟـ ‪(٠،‬‬

‫) ‪(٠ ، Α -‬‬

‫)‪(Α،٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬ ‫س‬ ‫ص‪١ = ٢ + ٢‬‬ ‫ب‬ ‫‪Α‬‬

‫)س‪ -‬د(‬

‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫)ص‪ -‬ھـ(‬

‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪+‬‬

‫)ص‪ -‬ھـ(‬

‫‪٢‬‬

‫‪+‬‬

‫‪٢‬‬

‫ب‬

‫=‪١‬‬

‫ب‬

‫‪٢‬‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫=‪١‬‬

‫) د ‪ ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬ ‫) د ‪ - ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺒﺆرﺗﯿﻦ = ‪ ٢‬ﺟـ = اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ = ٢Α‬ب‪ + ٢‬ﺟـ‬

‫)‪ -،٠‬ﺟـ(‬

‫) ‪(Α - ، ٠‬‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫‪٢‬‬

‫)س‪ -‬د(‬ ‫‪٢‬‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫)‪،٠‬ﺟـ(‬

‫ﺣﯿﺚ‬

‫‪ ، Α‬ب ‪ ،‬ﺟـ ‪: Λ‬‬

‫ص = ھـ‬

‫س=د‬

‫) د ‪ + Α ،‬ھـ (‬

‫‪Ξ //‬‬

‫‪Σ //‬‬

‫) د ‪ + Α - ،‬ھـ (‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫س=د‬

‫ص = ھـ‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ اﻷﻛﺒﺮ = ‪Α ٢‬‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ اﻷﺻﻐﺮ = ‪ ٢‬ب‬

‫‪٦٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫‪ (١‬ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﮭﺬا اﻟﻘﻄﻊ ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ س‪ ) ٢‬ﻣﺜﻼُ ( ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ً )‬ ‫ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ‬ ‫أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ص‪ ٢‬ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ً ) ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي ‪.‬‬ ‫‪ (٢‬ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻷﻛﺒﺮ ) ﺗﻘﻊ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ( ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د‪ ،‬ھـ ‪ ،‬أ ‪ ،‬ب ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت ‪.‬‬

‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ‬ ‫اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰ‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ‬

‫)اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺒﺆري(‬

‫اﻟﺒﺆرﺗﺎن‬

‫اﻟﺮأﺳﺎن‬

‫) ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫)‪(٠،Α‬‬

‫) ‪ -‬ﺟـ ‪( ٠ ،‬‬

‫)‪( ٠ ، Α -‬‬

‫) ‪ ،٠‬ﺟـ (‬

‫)‪(Α،٠‬‬

‫) ‪ - ،٠‬ﺟـ (‬

‫) ‪(Α - ، ٠‬‬

‫)ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫) ‪ + Α‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫‪٢‬‬

‫س‪- ٢‬‬ ‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫ص‪- ٢‬‬ ‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫ص‬ ‫‪=٢‬‬ ‫ب‬ ‫‪٢‬‬

‫س‪= ٢‬‬ ‫ب‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫‪١‬‬

‫‪١‬‬

‫)‪(٠،٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫)س‪ -‬د(‪) ٢‬ص‪ -‬ھـ(‬ ‫‪ - ٢Α‬ب‪= ٢‬‬

‫‪١‬‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ -‬ﺟـ ‪ +‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫)‪ + Α -‬د ‪ ،‬ھـ (‬

‫اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺮاﻓﻖ‬ ‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫ص=‪٠‬‬

‫س=‪٠‬‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(‬

‫)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫س=‪٠‬‬

‫ص=‪٠‬‬

‫‪Σ //‬‬

‫‪Ξ //‬‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫ص = ھـ‬

‫س=د‬

‫اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ‬

‫‪٦٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫‪٢‬‬

‫)ص‪٢ -‬ھـ( ‪-‬‬ ‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫)س‪ -‬د(‬ ‫‪= ٢‬‬ ‫ب‬

‫) د ‪ ،‬ھـ (‬

‫‪١‬‬

‫) د ‪ ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬ ‫) د ‪ - ،‬ﺟـ ‪ +‬ھـ (‬

‫) د ‪ + Α ،‬ھـ (‬

‫‪Ξ //‬‬

‫‪Σ //‬‬

‫) د ‪ + Α - ،‬ھـ (‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬

‫س=د‬

‫ص = ھـ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺟـ‪ = ٢‬ب‪Α + ٢‬‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺮأﺳﯿﻦ = ‪Α ٢‬‬

‫* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺒﺆرﺗﯿﻦ = ‪ ٢‬ﺟـ = اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري‬

‫ﺣﯿﺚ‬

‫‪ ، Α‬ب ‪ ،‬ﺟـ ‪: Λ‬‬

‫* ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﮭﺬا اﻟﻘﻄﻊ ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ س‪ ) ٢‬ﻣﺜﻼً ( ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً )‬ ‫ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ ‪ .‬أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ص‪ ٢‬ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً )ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي ‪.‬‬ ‫* ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ ‪ :‬ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ) ﺗﻘﻊ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ( ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د‪ ،‬ه ‪ ،‬أ ‪ ،‬ب ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت ‪.‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﺼﻮرة ‪:‬‬

‫‪0‬س‪ +٢‬بَ س ص ‪ +‬ﺟـَ ص‪ + ٢‬دَ س ‪ +‬ھـَ ص ‪ +‬وَ= ‪٠‬‬ ‫ﺗُﻤﺜـﻞ‬

‫ﻗﻄﻌﺎً ﻣﻜﺎﻓﺌًﺎ‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ ×0‬ﺟـَ = ‪٠‬‬

‫ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ‪ ،0‬ﺟـَ أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﺴﺎوي اﻟﺼﻔﺮ‬

‫ﻗﻄﻌﺎً ﻧﺎﻗﺼﺎً‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ ×0‬ﺟـَ < ‪٠‬‬

‫ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ‪ ،0‬ﺟـَ ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻹﺷﺎرة‬

‫ﻗﻄﻌﺎً زاﺋﺪًا‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ ×0‬ﺟـَ > ‪٠‬‬

‫ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ‪ ،0‬ﺟـَ ﻟﮭﻤﺎ إﺷﺎرﺗﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ‬

‫‪٦٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

٧٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺮاﺑﻊ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ‬ ‫ﻋﻠ ﻢ اﻟﮭﻨﺪﺳ ﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿ ﺔ ﯾﺒﻨ ﻰ ﻋﻠ ﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﺔ ﻣ ﻦ اﻟﻤ ﺴﻠﻤﺎت واﻟﻨﻈﺮﯾ ﺎت واﻟﻨﺘ ﺎﺋﺞ واﻟﺘ ﻲ ﯾﺠ ﺐ اﻟﺘﻌ ﺮف ﻋﻠﯿﮭ ﺎ‬ ‫وﺳﻨﺴﺮد ھﻨﺎ اﻟﻌﺪﯾﺪ ﻣﻨﮭﺎ‪:‬‬ ‫‪ (١‬أي ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﺮاغ ﯾﻤﺮ ﺑﮭﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ واﺣﺪ ﻓﻘﻂ‪.‬‬ ‫‪ (٢‬ﯾﺘﻌﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺑﺜﻼث ﻧﻘﺎط ﻟﯿﺴﺖ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة أو ﻣ ﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻘﺎﻃﻌ ﺎن أو ﻣ ﺴﺘﻘﯿﻢ وﻧﻘﻄ ﺔ ﺧﺎرﺟ ﺔ‬ ‫ﻋﻨﮫ أو ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ‪.‬‬ ‫‪ (٣‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ﯾﺤﻮي ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻟﯿﺴﺖ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة‬ ‫‪ (٤‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ھﻮ ذﻟﻚ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺬي إذا اﺧﺘﯿ ﺮت ﻧﻘﻄﺘ ﺎن ﻋﻠﯿ ﮫ ﻓﺎﻟﻤ ﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤ ﺎر ﺑﮭﻤ ﺎ ﯾﻘ ﻊ ﺑﺄﻛﻤﻠ ﮫ ﻓ ﻲ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى‬ ‫)ﻣﻨﻄﺒﻖ ﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻟﺴﻄﺢ(‪.‬‬ ‫‪ (٥‬إذا اﺷﺘﺮك ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ وﻣﺴﺘﻮى ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻓﺎﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻘﻊ ﺑﻜﺎﻣﻠﮫ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى‪.‬‬ ‫‪ (٦‬ﯾﺘﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺎن ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻌﺮف ﺑﺨﻂ ﺗﻘﺎﻃﻌﮭﻤﺎ اﻟﻤﺸﺘﺮك‪.‬‬ ‫‪ (٧‬إذا اﺷﺘﺮك ﻣﺴﺘﻮﯾﺎن ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻼ ﺑﺪ أن ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺗﻘﺎﻃﻌﮭﻤﺎ وﻻ ﺑﺪ ﻣﻦ أﻧﮭﻤﺎ ﻣﺘﻘﻄﻌﺎن‪..‬‬ ‫‪ (٨‬ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎرج ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻻ ﯾﻤﻜﻦ رﺳﻢ إﻻ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ واﺣﺪ ﯾﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻔﺮوض‬ ‫‪ (٩‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻠﺬان ﻻ ﯾﻠﺘﻘﯿﺎن أﻣﺎ أن ﯾﻜﻮﻧﺎ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ إذا ﺟﻤﻌﮭﻤﺎ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ وإﻻ ﻓﺈﻧﮭﻤﺎ ﻣﺘﺨﺎﻟﻔﺎن‬ ‫‪ (١٠‬ﺗﻘﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ اﻟﻤﺘﺨﺎﻟﻔﯿﻦ ﺑﺮﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻮازي أﺣﺪھﻤﺎ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ )أﺗﻔ ﻖ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺤﺎدة( ‪.‬‬ ‫‪ (١١‬إذا اﺷﺘﺮك ﻣﺴﺘﻮﯾﺎن ﻓﻲ ﺛﻼث ﻧﻘﺎط ﻟﯿﺴﺖ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة ﻓﺈﻧﮭﻤﺎ ﻣﻨﻄﺒﻘﺎن‪.‬‬ ‫‪ (١٢‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ﯾﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻮى س إذا ﻛﺎن ل ∩ س = ‪ Ф‬أي ﻻ ﯾﻠﺘﻘﯿﺎ‬ ‫‪ (١٣‬إن ﻟﻢ ﯾﻜﻦ ل ‪ //‬س ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻘﻄﻌﮫ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ب ﻣﺜﻼً‪.‬‬ ‫‪ (١٤‬ﯾﺘﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺎن إذا اﺷﺘﺮﻛﺎ ﻓﻲ ﺛﻼث ﻧﻘﺎط )ﻣﻨﻄﺒﻘﺎن( أو ﻻ ﯾﻠﺘﻘﯿﺎ ﻣﮭﻤﺎ اﻣﺘﺪا ) س ∩ ص = ( ‪.‬‬ ‫‪ (١٥‬إذا وازى ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ل ﺧﺎرج اﻟﻤﺴﺘﻮى س ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎً ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى س ﻓﺈن ل ‪ //‬س‪.‬‬ ‫‪ (١٦‬إذا وازى ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ل ﻣﺴﺘﻮى س ﻓﻜﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ﯾﻘﻄﻊ اﻟﻤﺴﺘﻮى س ﻓﻲ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ك ﻓﺈن ل ‪ //‬ك‪.‬‬ ‫‪ (١٧‬إذا ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ ﻓﺈن ﺧﻄﺎ ﺗﻘﺎﻃﻌﮫ ﻣﻌﮭﻤﺎ ﻣﺘﻮازﯾﺎن‪.‬‬ ‫‪ (١٨‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮﯾﯿﮭﻤﺎ أو ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻌﮭﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪ (١٩‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻌﻤﻮدﯾﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ ﻣﺘﻮازﯾﺎن‪.‬‬ ‫‪ (٢٠‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﺘﻮازﯾﺎن إذا ﻛﺎن أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻓﺎﻵﺧﺮ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﯿﮫ‪.‬‬ ‫‪ (٢١‬إذا ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻓﺎﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﺑﺄﺣﺪھﻤﺎ ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً اﻵﺧﺮ‬ ‫‪ (٢٢‬إذا ﻗﻄﻌ ﺖ ﺛﻼﺛ ﺔ ﻣ ﺴﺘﻮﯾﺎت ﻣﺘﻮازﯾ ﺔ ﺑﻤ ﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻓ ﺈن أﻃ ﻮال اﻟﻘﻄ ﻊ اﻟﻤ ﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤ ﺼﻮرة ﺑﯿﻨﮭﻤ ﺎ ﺗﻜ ﻮن‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ (٢٣‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﻮازﯾﺎن ﻟﺜﺎﻟﺚ ﻓﻲ اﻟﻔﺮاغ ﻣﺘﻮازﯾﺎن‪.‬‬ ‫‪ (٢٤‬إذا ﻣﺮ ﻣﺴﺘﻮﯾﺎن ﺑﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ ﻓﺈن ﺧﻂ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﯿﻦ ﯾﻮازي ﻛﻼً ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ اﻟﻤﺘﻮازﯾﯿﻦ‪.‬‬ ‫‪ (٢٥‬إذا وازى ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ آﺧﺮﯾﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﯿﻦ ﻓﺎﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ اﻷوﻟﯿﯿﻦ ﻣﺴﺎوﯾﺔ‬ ‫ﻟﻠﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻵﺧﺮﯾﻦ أو ﻣﻜﻤﻠﺔ ﻟﮭﺎ‪.‬‬ ‫‪ (٢٦‬إذا ﻛﺎن ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻓﻜﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﯾﻤﺮ ﺑﮭﺬا اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدﯾﺎً ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى‪.‬‬ ‫‪ (٢٧‬إذا ﺗﻌﺎﻣ ﺪ ﻣ ﺴﺘﻮﯾﺎن ووﺟ ﺪ ﻣ ﺴﺘﻘﯿﻢ ﻓ ﻲ أﺣ ﺪھﻤﺎ ﻋﻤ ﻮدي ﻋﻠ ﻰ ﺧ ﻂ ﺗﻘﺎﻃﻌﮭﻤ ﺎ ﻓﺈﻧ ﮫ ﯾﻜ ﻮن ﻋﻤ ﻮدي ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ‪.‬‬ ‫‪ (٢٨‬اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺎن اﻟﻤﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻋﻤﻮدان ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﺛﺎﻟﺚ ﻓﺈن ﺧﻂ ﺗﻘﺎﻃﻌﮭﻤﺎ ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدﯾﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫اﻟﺜﺎﻟﺚ‪.‬‬ ‫‪ (٢٩‬ﺗﻌ ﺮف اﻟﺰاوﯾ ﺔ ﺑ ﯿﻦ ﻣ ﺴﺘﻮﯾﯿﻦ ﺑﺎﻟﺰاوﯾ ﺔ اﻟﺰوﺟﯿ ﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤ ﺎ وﺗﻘ ﺎس ﺑﺎﻟﺰاوﯾ ﺔ اﻟﻤﺤ ﺼﻮرة ﺑ ﯿﻦ اﻟﻌﻤ ﻮدﯾﻦ‬ ‫اﻟﻤﻘﺎﻣﯿﻦ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺗﻘﺎﻃﻌﮭﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪ (٣٠‬إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺰوﺟﯿﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺴﺘﻮﯾﯿﻦ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﻛﺎن اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﯾﻦ‪ ،‬واﻟﻌﻜﺲ ﺻﺤﯿﺢ‪.‬‬ ‫‪٧٠‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫) ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﺤﻴﻄﺎﺕ (‬

‫ﻭﻻ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺔ‬ ‫ً‬ ‫½ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ‬ ‫‪ – ١‬اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ= ½ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺃﻱ ﺿﻠﻌﲔ × ﺟﺎ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﶈﺼﻮﺭﺓ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‬ ‫ح ) ح – أ َ ) ح –بَ ( ) ح – ﺣـَ‬ ‫ﺣﻴﺚ ﺡ = ﻧﺼﻒ ﺍﶈﻴﻂ ﺃ َ ﻃﻮﻝ (ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺃ‬

‫أ‬

‫ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺍﳌﺘﻄﺎﺑﻖ ﺍﻷﺿﻼﻉ‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ =‬

‫‪ ٣‬ﻝ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺣﯿﺚ ل ﻃﻮل ﺿﻠﻌﮫ‬

‫بَ‬

‫ﺟـَ‬

‫‪٤‬‬

‫ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ = ﻣﺠﻤﻮع أﻃﻮال أﺿﻼﻋﮫ‬ ‫ب‬

‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ = ل‬ ‫‪ -٢‬اﻟﻤﺮﺑﻊ‬ ‫اﻟﻤﺤﯿﻂ = ‪ × ٤‬ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺟـ‬

‫أ‬

‫) ﺣﯿﺚ ل ﻃﻮل ﺿﻠﻌﮫ (‬ ‫س‬ ‫ص‬

‫‪ -٣‬اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻞ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ = اﻟﻄﻮل × اﻟﻌﺮض = س × ص‬ ‫اﻟﻤﺤﯿﻂ = ‪ ) ٢‬اﻟﻄﻮل ‪ +‬اﻟﻌﺮض ( = ‪ ) ٢‬س ‪ +‬ص (‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ = اﻟﻘﺎﻋﺪة × اﻻرﺗﻔﺎع‬ ‫‪ - ٤‬اﻟﻤﻌﯿﻦ‬ ‫= ½ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻃﻮﻟﻲ ﻗﻄﺮﯾﮫ‬ ‫اﻟﻤﺤﯿﻂ = ‪ × ٤‬ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ‬

‫اﻷﻛﺒﺮ‬ ‫اﻷﺻﻐﺮ‬

‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ = اﻟﻘﺎﻋﺪة × اﻻرﺗﻔﺎع‬ ‫‪ – ٥‬ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع‬ ‫اﻟﻤﺤﯿﻂ = ‪ ) ٢‬ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻷﻛﺒﺮ ‪ +‬ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻷﺻﻔﺮ (‬ ‫‪ – ٦‬ﺷﺒﮫ اﻟﻤﻨﺤﺮف‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ= ½ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ × اﻻرﺗﻔﺎع‬ ‫= اﻟﻘﺎﻋﺪة اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ × اﻻرﺗﻔﺎع‬ ‫ﻣﺤﯿﻂ ﺷﺒﮫ اﻟﻤﻨﺤﺮف = ﻣﺠﻤﻮع أﻃﻮال أﺿﻼﻋﮫ‬

‫‪ – ٧‬ﻣﺴﺎﺣﺔ أي ﺷﻜﻞ رﺑﺎﻋﻲ = ½ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻃﻮﻻ ﻗﻄﺮﯾﻦ × ﺣﺎ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺤﺼﻮرة ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ‬ ‫‪٧١‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ – ٨‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ = ﻥ ﻝ‪ ٢‬ﻇﺎ ﻫـ ) ‪٨‬ﻫـ = )ﻥ – ‪( ١٨٠ × (٢‬‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫‪٤‬‬ ‫) ﻥ ﻋﺪﺩ ﺃﺿﻼﻉ ﻝ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻀﻠﻊ (‬ ‫= ﻥ ﻝ‪ ٢‬ﻇﺘﺎ ‪١٨٠‬‬ ‫ن‬ ‫‪٤‬‬ ‫= ﻥ ﻧﻖ‪ ٢‬ﺟﺎ ) ‪( ٣٦٠‬‬ ‫ن‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ﻧﻖ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﳌﺎﺭﺓ ﺑﺮﺅﻭﺳﻪ‬ ‫‪ -٩‬اﻟﻤﻜﻌﺐ‬ ‫ﺣﺠﻤﻪ = ﻝ‬ ‫‪ -١٠‬اﻟﺪاﺋﺮة‬

‫‪٣‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ = ‪ ٦‬ﻝ‪ ٢‬ﺣﻴﺚ ﻝ ﻃﻮﻝ ﺣﺮﻓﻪ ) ﺿﻠﻌﻪ (‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ﻁ ﻧﻖ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﶈﻴﻂ = ‪ ٢‬ﻁ ﻧﻖ‬ ‫ﺣﻴﺚ ﻧﻖ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮ ﻁ = ‪ ٢٢‬ﺃﻭ ‪٣,١٤‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪ - ١١‬ﻗﺎﻋﺪة ھﺎﻣﺔ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮل اﻟﻮﺗﺮ ﯾﺴﺎوي ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺮﺑﻌﻰ ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ اﻵﺧﺮﯾﻦ‬

‫| ﺃ ﺝ |‪ | = ٢‬ﺃ ﺏ |‪ | + ٢‬ﺏ ﺝ |‬

‫‪٢‬‬

‫‪ -١٢‬اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﺜﻼﺛﻲ اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ‬ ‫‪٣٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٦٠‬‬ ‫‪١‬‬

‫‪ -١٣‬اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻖ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ‬ ‫‪٤٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤٥‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬

‫‪٧٢‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻤﻨﺸﻮر‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻔ ﮫ ‪ -:‬ھ ﻮ ﻛﺜﯿﺮوﺟ ﻮه ﻟ ﮫ ﻗﺎﻋ ﺪﺗﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺘ ﺎن وﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘ ﺎن وﻛ ﻞ ﻣﻨﮭﻤ ﺎ ﻣ ﻀﻠﻊ واﻷوﺟ ﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿ ﺔ ﻣﺘﻮازﯾ ﺎت‬ ‫أﺿﻼع‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬ ‫‪ – ١‬اﻷﺣﺮف اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﻤﻨﺸﻮر ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ اﻟﻄﻮل وﻣﺘﻮازﯾﺔ ‪.‬‬ ‫‪ – ٢‬ﯾﺴﻤﻰ اﻟﻤﻨﺸﻮر ﺣﺴﺐ ﻋﺪد أﺿﻼع اﻟﻘﺎﻋﺪة ‪.‬‬ ‫‪ – ٣‬ارﺗﻔﺎع اﻟﻤﻨﺸﻮر ‪ :‬ھﻮ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ ﻗﺎﻋﺪﺗﯿﮫ أو اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻛﻼً ﻣﻦ ﻗﺎﻋﺪﺗﯿﮫ ‪.‬‬ ‫‪ - ٤‬اﻟﻤﻨﺸﻮر اﻟﻘﺎﺋﻢ ‪ :‬ﺗﻜﻮن اﻷﺣﺮف اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ اﻻرﺗﻔﺎع ﯾﺴﺎوي اﻟﺤﺮف اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ‬ ‫واﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺴﺘﻄﯿﻼت ‪.‬‬ ‫‪ – ٥‬اﻟﻤﻨﺸﻮر اﻟﻤﺎﺋﻞ ‪ :‬ھﻮ اﻟﺬي ﺗﻜﻮن اﻷﺣﺮف اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺎﺋﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻋﺪﺗﯿﮫ‬ ‫واﻻرﺗﻔﺎع = ﻃﻮل اﻟﺤﺮف × ﺣﺎھـ ) ھـ زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻷﺣﺮف ﻋﻠﻰ اﻟﻘﺎﻋﺪة (‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻘﺎﺋﻢ ‪ :‬ھﻮ ﺳﻄﺢ ﻧﺎﺗﺞ ﻋﻦ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻮ ﯾﻌﺎﻣﺪ أﺣﺮف اﻟﻤﻨﺸﻮر‬ ‫ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ ‪ :‬إذا ﻗﻄﻊ ﻣﻨﺸﻮر ﺑﻤﺴﺘﻮى ﯾﻮازي أﺣﺪ أﺣﺮﻓﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ‬ ‫) أو أﺣﺪ أوﺟﮭﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻓﺈن اﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﺗﺞ ﯾﻜﻮن ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع (‬ ‫ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﻨﺸﻮر‬ ‫‪– ١‬إذا ﻛﺎن اﻟﻤﻨﺸﻮر رﺑﺎﻋﻲ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﺳﻤﻰ ﻣﺘﻮازي ﻣﺴﺘﻄﯿﻼت‬ ‫‪ -٢‬إذا ﻛﺎن اﻟﻤﻨﺸﻮر رﺑﺎﻋﻲ ﻣﺎﺋﻞ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﺳﻤﻰ ﻣﺘﻮازي ﺳﻄﻮح‬ ‫‪ -٣‬إذا ﻛﺎن اﻟﻤﻨﺸﻮر رﺑﺎﻋﻲ ﻗﺎﺋﻢ ﺟﻤﯿﻊ أوﺟﮭﮫ ﻣﺮﺑﻌﺎت ) أو أﺣﺮﻓﮫ ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ( ﺳﻤﻰ ﻣﻜﻌﺐ‬

‫ﻣﻠﺨﺺ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻤﻨﺸﻮﺭ‬ ‫اﻟﻤﺠﺴﻢ‬ ‫اﻟﻤﻨﺸﻮر‬ ‫اﻟﻤﻨﺸﻮر اﻟﻘﺎﺋﻢ‬

‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﯿﺔ‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺘﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺘﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ‬

‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت أوﺟﮫ‬ ‫أو ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻘﺎﺋﻢ × ﻃﻮل‬ ‫اﻟﺤﺮف اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ‬ ‫ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة × اﻻرﺗﻔﺎع‬

‫اﻟﺤﺠﻢ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻘﺎﺋﻢ ×‬ ‫ﻃﻮل اﻟﺤﺮف اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة ×‬ ‫اﻻرﺗﻔﺎع‬

‫ﲤــﺎﺭﻳﻦ‬ ‫‪ – ١‬أو ﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺨﻤﺎﺳﻲ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ اﻟﺬي ﻃﻮل ﺿﻠﻌﮫ ل ﺳﻢ ؟‬ ‫ﺍﳊﻞ‪-:‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻀﻠﻊ ﺍﳌﻨﺘﻈﻢ = ﻥ × ﻝ‪ × ٢‬ﻇﺘﺎ ‪١٨٠‬‬ ‫ن‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳋﻤﺎﺳﻲ ﺍﳌﻨﺘﻈﻢ = ‪ ٥‬ﻝ‪ ٢‬ﻇﺘﺎ ‪١٨٠‬‬ ‫‪٤‬‬

‫ن‬ ‫‪٧٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬ ‫ﻩ‬

‫= ‪ ٥‬ﻝ‪ ٢‬ﻇﺘﺎ ‪٣٦‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫= ‪ ٥‬ﻝ‪ ٢‬ﻇﺎ ‪٥٤‬‬ ‫‪٤‬‬

‫ﻣﺘﻤﻤﺔ‬

‫ﻩ‬

‫‪٢‬‬

‫= ‪ ١,٧٢‬ﻝ‪ ٢‬ﺳﻢ‬

‫‪ – ٢‬أﺣﺴﺐ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ واﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻤﻨﺸﻮر ﺧﻤﺎﺳﻲ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻃﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ‬ ‫‪١٠‬ﺳﻢ وارﺗﻔﺎﻋﮫ ‪٢٥‬ﺳﻢ ؟‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪-:‬‬ ‫‪٢٥‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ) ﲬﺎﺳﻲ ﻣﻨﺘﻈﻢ ( = ﻥ ﻝ‪ ٢‬ﻇﺘﺎ ‪ × ١٠٠ × ٥ = ١٨٠‬ﻇﺘﺎ ‪١٨٠‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫= ‪ ١٢٥‬ﻇﺘﺎ ‪٣٦‬ﻩ = ‪ ١٢٥‬ﻇﺎ ‪٥٤‬ﻩ ‪٤‬‬ ‫= ‪ ١٧٢‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ = ﳏﻴﻂ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﻃﻮﻝ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ‬ ‫= ) ‪١٢٥٠ = ٢٥ × ( ١٠ × ٥‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ = ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ ‪ × ٢ +‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ‬ ‫= ‪١٧٢ × ٢ + ١٢٥٠‬‬

‫= ‪٣٤٤ + ١٢٥٠‬‬

‫= ‪ ١٥٩٤‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫‪ -٣‬ﻣﻨﺸﻮر ﺛﻼﺛﻲ ﻣﺎﺋﻞ ﻃﻮل ﺣﺮﻓﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ‪٦‬ﺳﻢ وﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﺜﻠﺚ اﺿﻼﻋﮫ ‪١٣‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫‪١٢‬ﺳﻢ ‪٥ ،‬ﺳﻢ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﻜﻠﯿﺔ ‪ ٢٤٠‬ﺳﻢ‪ ٢‬ﻓﻜﻢ ﻣﺤﯿﻂ ﻣﻘﻄﻌﮫ اﻟﻘﺎﺋﻢ ؟‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪-:‬‬ ‫) ‪( ١٣ ) = ١٦٩ = ٢٥ + ١٤٤ = ٢( ٥ ) + ٢( ١٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﳌﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ) ﺍﳌﺜﻠﺚ ( = ½ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ‬ ‫=½ × ‪ ٣٠ = ١٢ × ٥‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ = ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ ‪ × ٢ +‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ‬ ‫‪ = ٢٤٠‬ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ ‪٦٠ +‬‬

‫‪١٣‬‬

‫‪١٢‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪٧٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ = ‪١٨٠ = ٦٠ – ٢٤٠‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ ﳌﻨﺸﻮﺭ ﻣﺎﺋﻞ = ﳏﻴﻂ ﺍﳌﻘﻄﻊ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ × ﻃﻮﻝ ﺍﳊﺮﻑ‬ ‫‪ =١٨٠‬ﳏﻴﻂ ﺍﳌﻘﻄﻊ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ × ‪٦‬‬

‫ﳏﻴﻂ ﺍﳌﻘﻄﻊ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ = ‪٣٠ = ١٨٠‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪ – ٤‬ﻣﻨﺸﻮر ﻗﺎﺋﻢ ارﺗﻔﺎﻋﮫ ‪٤‬ﺳﻢ وﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﻌﯿﻦ ﻗﻄﺮاه ‪١٢‬ﺳﻢ ‪ ١٦ ،‬ﺳﻢ‬ ‫‪ .‬ﻛﻢ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﻜﻠﯿﺔ ؟‬ ‫ﺍﳊﻞ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ) ﺍﳌﻌﲔ ( = ½ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻃﻮﱄ ﻗﻄﺮﻳﺔ‬ ‫=½ × ‪ ٩٦ + ١٦ × ١٢‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﻣﻦ ﻓﺜﻴﺎﻏﻮﺭﺕ ‪ :‬ﻝ‪١٠٠ = ٦٤ + ٣٦ = ٢٨ + ٢٦ = ٢‬‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ = ﳏﻴﻂ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ‬ ‫= ) ‪ ١٦٠ = ٤ × ( ١٠ × ٤‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ = ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ ‪ × ٢ +‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ‬ ‫= ‪٦٩ × ٢ + ١٦٠‬‬ ‫= ‪ ٣٥٢‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫= ‪١٩٢ + ١٦٠‬‬

‫ﻝ )ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ( = ‪١٠‬ﺳﻢ‬ ‫ل‬

‫‪٨‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪٧٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﮭﺮم‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻔﮫ ‪ :‬ھﻮ ﻛﺜﯿﺮ وﺟﻮه أﺣﺪ وﺟﻮھﮫ ﻣﻀﻠﻊ وﯾﻘﯿﮫ اﻟﻮﺟﻮه ﻣﺜﻠﺜﺎت ﺗﻠﺘﻘﻲ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﮫ واﺣﺪة ھﻲ رأس اﻟﮭﺮم‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت ‪:‬‬ ‫اﻟﮭﺮم اﻟﻘﺎﺋﻢ ھﻮ ھﺮم ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺧﻮاﺻﮫ‬ ‫‪ -٢‬ارﺗﻔﺎﻋﮫ ھﻮ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ رأﺳﮫ وﻣﺮﻛﺰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ‪.‬‬ ‫‪ – ١‬ﺟﻤﯿﻊ اﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ‪.‬‬ ‫‪ – ٣‬ارﺗﻔﺎﻋﺎت أوﺟﮭﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﻄﻮل ‪.‬‬ ‫اﻟﮭﺮم اﻟﺜﻼﺛﻲ ﯾﺴﻤﻰ رﺑﺎﻋﻲ وﺟﻮه وإذا ﻛﺎﻧﺖ ﺣﺮوﻓﮫ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﻄ ﻮل ﺳ ﻤﻰ رﺑ ﺎﻋﻲ وﺟ ﻮه‬ ‫ﻣﻨﺘﻈﻢ ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ رﺑﺎﻋﻲ اﻟﻮﺟﻮه اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ‪ :‬أوﺟﮭﮫ اﻻرﺑﻌﮫ ) ﺑﻤﺎ ﻓﻲ ذﻟ ﻚ اﻟﻘﺎﻋ ﺪة ( ﻣﺜﻠﺜ ﺎت ﻣﺘﻄﺎﺑﻘ ﺔ اﻷﺿ ﻼع‬ ‫وﺟﻤﯿﻌﮭﺎ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ‪.‬‬

‫ﻗﻮاﻧﯿﻦ اﻟﮭﺮم‬ ‫اﻟﻤﺠﺴﻢ‬ ‫اﻟﮭﺮم اﻟﻘﺎﺋﻢ‬ ‫اﻟﮭﺮم‬ ‫اﻟﻨﺎﻗﺺ‬

‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﯿﺔ‬ ‫½ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة ×‬ ‫اﻻرﺗﻔﺎع اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ‬ ‫½ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺤﯿﻂ‬ ‫اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ × ارﺗﻔﺎع‬ ‫اﻟﻮﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ‬

‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺔ‬ ‫اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ‬

‫اﻟﺤﺠﻢ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة‬ ‫×‬ ‫‪٣‬‬ ‫اﻻرﺗﻔﺎع‬ ‫ح ‪ ١‬عَ) ق‪+١‬ق‪+ ٢‬‬ ‫‪ (٣‬ﺣﯿﺚ عَ اﻻرﺗﻔﺎع‬ ‫ق‪ ١‬ق‪ ٢‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ‬

‫ق‪ ١‬ق‪٢‬‬

‫‪٧٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬ ‫إذا ﻗﻄﻌ ﺖ اﻻﺣ ﺮف اﻟﺠﺎﻧﺒﯿ ﺔ ﻟﻠﮭ ﺮم ﺑﻤ ﺴﺘﻮ ‪ //‬ﻗﺎﻋﺪﺗ ﮫ ﻓ ﺈن اﻟﺠ ﺰء اﻟﻤﺤ ﺼﻮر ﯾﺒ ﯿﻦ ﻗﺎﻋ ﺪة اﻟﮭ ﺮم‬ ‫واﻟﻤﺴﺘﻮي اﻟﻘﺎﻃﻊ ﯾﺴﻤﻰ ھﺮم ﻧﺎﻗﺺ ﻣﺘﻮازي اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ‬

‫ﲝﻴﺚ‬ ‫ﺑﺤﯿﺚ‬

‫ﻕ‪) = ١‬ﻉ – ﻉ‪( ‬‬ ‫ع‪٢‬‬ ‫ق‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ق‪ ١‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺼﻐﺮﻯ‬ ‫ق‪ ٢‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻜﱪﻯ‬ ‫ع ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﳍﺮﻡ ﺍﻟﻜﺎﻣﻞ‬ ‫عَ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻨﺎﻗﺺ‬ ‫‪ -١‬ﻣﺎ ھﻲ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ وﺟﻮه ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻃﻮل ﺣﺮف ل ؟‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪ -:‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻮﺟﻪ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ = ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻄﺎﺑﻖ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻌﻪ ﻝ‬ ‫=‬

‫ﻝ‬

‫‪٢‬‬

‫‪٤‬‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ = ‪ × ٤‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻮﺟﻪ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ‬ ‫= ‪×٤‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﻝ‬

‫‪٢‬‬

‫ﻝ‪ ٢‬ﺳﻢ‬

‫=‬

‫‪٢‬‬

‫‪ – ٢‬ھﺮم ﺛﻼﺛﻲ ارﺗﻔﺎﻋﮫ ‪١٥‬ﺳﻢ وﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﺜﻠﺚ أﺿﻼﻋﮫ ‪٧‬ﺳﻢ ‪١٧ ،‬ﺳﻢ ‪٤ ،‬‬ ‫ﻓﻤﺎ ھﻮ ﺣﺠﻤﮫ ؟‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪١٧ = ٢٨٩ = ١٤٠ + ٤٩ = ٢( ١٥ ٤ ) + ٢٧ -:‬‬ ‫‪١٧‬‬

‫ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ = ½ × ‪ ١٥ ١٤ = ١٥ ٤× ٧‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫‪١٥‬‬

‫‪١٥ ٤‬‬

‫‪٧‬‬

‫ﺣﺠﻢ ﺍﳍﺮﻡ = ‪ ١‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ‬ ‫‪٣‬‬ ‫= ‪ ١٥ ٧٠ = ١٥ × ١٥ ١٤ × ١‬ﺳﻢ‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٧٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺍﳊﻞ ‪ -:‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ) ﺍﳌﻌﲔ ( = ½ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻃﻮﱄ ﻗﻄﺮﻳﻪ‬ ‫= ½ × ‪٢٤ = ٨ × ٦‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺣﺠﻢ ﺍﳍﺮﻡ = ‪ ١‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ‬ ‫‪٣‬‬ ‫= ‪ ١٢٨ = ١٦ × ٢٤ × ١‬ﺳﻢ‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪ - ٣‬ﻗﻄ ﻊ ھ ﺮم ﻣ ﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪﺗ ﮫ ‪١٩٦‬ﺳ ﻢ‪ ٢‬ﺑﻤ ﺴﺘﻮي ﯾ ﻮازي اﻟﻘﺎﻋ ﺪة وﯾﺒﻌ ﺪ ﻋﻨﮭ ﺎ‬ ‫ﻣ ﺴﺎﻓﺔ‪ ١٠‬ﺳ ﻢ إذا ﻛﺎﻧ ﺖ ﻣ ﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﻤﻘﻄ ﻊ اﻟﻨ ﺎﺗﺞ ‪١٤٤‬ﺳ ﻢ ‪ ٢‬ﻓﺄﺣ ﺴﺐ ارﺗﻔ ﺎع اﻟﮭ ﺮم‬ ‫وﺣﺠﻤﮫ ‪.‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪ -:‬ﻕ‪ ) : ١‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻘﻄﻊ ( = ‪ ، ١٤٤‬ﻕ‪ ) : ٢‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ( = ‪١٩٦‬‬ ‫ﻉ‪ : ‬ﺍﻟﺒﻌﺪ ﺑﲔ ﺍﳌﻘﻄﻊ ﻭﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ = ‪، ١٠‬‬ ‫ﻕ‪ ) = ١‬ﻉ – ﻉ‪( ‬‬ ‫ع‪٢‬‬ ‫ق‪٢‬‬

‫ﻉ ‪ :‬ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﳍﺮﻡ = ؟‬

‫‪ ) = ١٤٤‬ﻉ ‪( ١٠ -‬‬ ‫ع‪٢‬‬ ‫‪١٩٦‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺑﺄﺧﺬ ﺍﳉﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﻠﻄﺮﻓﲔ‬ ‫‪ = ١٢‬ﻉ – ‪١٠‬‬ ‫‪١٤‬‬ ‫ع‬ ‫‪٢‬ﻉ = ‪١٤٠‬‬

‫‪١٤‬ﻉ ‪١٢ = ١٤٠ -‬ﻉ‬

‫ﻉ = ‪٧٠‬ﺳﻢ‬

‫ﺣﺠﻢ ﺍﳍﺮﻡ = ‪ ١‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫= ‪٤٥٧٣,٣ = ٧٠ × ١٩٦ × ١‬ﺳﻢ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ – ٤‬ﻓﻲ ھﺮم ﻧﺎﻗﺺ اﻻرﺗﻔﺎع ‪١٢‬ﺳﻢ واﻟﻘﺎﻋﺪﺗﺎن ﻣﺮﺑﻌﺎن ﺿﻠﮭﺎھﻤﺎ ‪٦‬ﺳﻢ ‪١٦ ،‬ﺳﻢ‬ ‫أﺣﺴﺐ ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم اﻟﻨﺎﻗﺺ وﻣﺎ ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم اﻟﻜﺎﻣﻞ ؟‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪ -:‬ﻕ‪ ٣٦ = ١‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺼﻐﲑﺓ‬ ‫ﻕ‪ ٢٥٦ = ٢‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻜﱪﻯ‬

‫)ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ =‪ ٢‬ﻝ ﺣﻴﺚ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻌﻪ(‬ ‫ﻉ‪ ١٢ = ‬ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﳍﺮﻡ ﺍﻟﻨﺎﻗﺺ‬

‫‪٧٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺣﺠﻢ ﺍﳍﺮﻡ ﺍﻟﻨﺎﻗﺺ = ‪ ١‬ﻉ‪ ) ‬ﻕ‪ + ١‬ﻕ‪ +٢‬ﻕ‪ ١‬ﻕ‪( ٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ ١٥٥٢ = ٣٨٨ × ٤ = ( ٩٦ + ٢٥٦ + ٣٦ ) ١٢ × ١‬ﺳﻢ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﲜﺬﺭ ﺍﻟﻄﺮﻓﲔ‬ ‫ﻕ‪ ) = ١‬ﻉ – ﻉ‪ ) = ٣٦ ( ‬ﻉ – ‪( ١٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ع‬ ‫ع‪٢‬‬ ‫‪٢٥٦‬‬ ‫ق‪٢‬‬ ‫‪ = ٣‬ﻉ – ‪١٢‬‬ ‫‪ = ٦‬ﻉ – ‪١٢‬‬ ‫ع‬ ‫ع‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪١٦‬‬ ‫‪٨‬ﻉ – ‪٣ = ٩٦‬ﻉ ⇐ ‪٥‬ﻉ = ‪ ⇐ ٩٦‬ﻉ = ‪١٩,٢ ٩٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺣﺠﻢ ﺍﳍﺮﻡ = ‪ ١‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺎﻣﻞ = ‪ ١٦٣,٤ = ١٩,٢ × ٢٥٦ × ١‬ﺳﻢ‬ ‫‪ – ٥‬ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ‬ ‫‪ ٣‬ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﳍﺮﻡ ﺳﺪﺍﺳﻲ ﻧﺎﻗﺺ ﻭﻗﺎﺋﻢ ‪ ٢٧٦‬ﺳﻢ ‪ ٢‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻃﻮﻻ ﺿﻠﻌﻲ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ‪٦‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫‪٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺃﺣﺴﺐ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻮﺟﻪ ﺍﳉﺎﻧﱯ‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪ -:‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺴﺪﺍﺳﻲ ﺍﳌﻨﺘﻈﻢ = ﻥ ﻝ‪ ٢‬ﻇﺘﺎ ‪١٨٠‬‬ ‫ن‬ ‫) ﻝ = ‪٦‬ﺳﻢ (‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪ ﺍﻟﺼﻐﺮﻯ ﻕ‪ × ٣٦٤× ٦ = ١‬ﻇﺘﺎ ‪١٨٠‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻩ‬ ‫= ‪ ٥٤‬ﻇﺘﺎ ‪٣٠‬ﻩ = ‪٥٤‬ﻇﺎ ‪٦٠‬‬ ‫ﻥ=‪٦‬‬

‫=‪٥٤‬‬

‫ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫) ﻝ = ‪٨‬ﺳﻢ (‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻜﱪﻯ ﻕ‪ × ٦٤ × ٦ = ٢‬ﻇﺘﺎ ‪١٨٠‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫= ‪ ٩٦‬ﻇﺘﺎ ‪ ٩٦ = ٣٠‬ﻇﺎ ‪ ٩٦ = ٦٠‬ﺳﻢ‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻟﻠﻬﺮﻡ ﺍﻟﺴﺪﺍﺳﻲ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﻨﺎﻗﺺ = ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ ‪ +‬ﳎﻤﻮﻉ ﻣﺴﺎﺣﱵ ﻗﺎﻋﺪﺗﻴﻪ‬ ‫‪ = ٣ ٢٧٦‬ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ ‪٣ ٩٦ + ٣ ٥٤ +‬‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ = ‪٣ ١٥٠ - ٣ ٢٦٧‬‬ ‫= ‪ ٣ ١٢٦‬ﺳﻢ‪٢‬‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ = ½ ﳎﻤﻮﻉ ﳏﻴﻄﻲ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺗﲔ × ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻮﺟﻪ ﺍﳉﺎﻧﱯ‬ ‫‪١٢٦‬‬

‫‪ × ( ٨ × ٦ = ٦ × ٦ ) ½ = ٣‬ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻮﺟﻪ ﺍﳉﺎﻧﱯ‬

‫‪ × ٤٢ = ٣ ١٢٦‬ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻮﺟﻪ ﺍﳉﺎﻧﱯ‬ ‫ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻮﺟﻪ ﺍﳉﺎﻧﱯ = ‪٣ ١٢٦‬‬

‫= ‪ ٣ ٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪٧٩‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪٤٢‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ واﻟﻤﺨﺮوط‬

‫أوﻻً اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ‪ -:‬ھﻲ اﻟﺠﺴﻢ اﻟﺬي ﯾﺘﻮﻟﺪ ﻣﻦ دوران ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ دوره ﻛﺎﻣﻠﺔ ﺣﻮل أﺣﺪ أﺿﻼﻋﮫ ‪.‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ‬ ‫‪ -١‬إذا ﻗﻄﻌﺖ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﺑﻤﺴﺘﻮ ﯾﻮازي اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻓﺎﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﺗﺞ ھﻮ‬ ‫ﻗﺮص داﺋﺮي ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ ﺗﺴﺎوي ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة‬ ‫‪ -٢‬إذا ﻗﻄﻌﺖ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﺑﻤﺴﺘﻮ ﯾﺤﺘﻮي ﻣﺤﻮرھﺎ ﻓﺎﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﺗﺞ ھﻮ‬ ‫ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ )‪٢‬رع ( ﺣﯿﺚ ر ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ ‪ ،‬ع ارﺗﻔﺎﻋﮭﺎ ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎً ‪ :‬اﻟﻤﺨﺮوط ‪-:‬‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻔﮫ ‪ :‬ھﻮ ﺟﺴﻢ ﻟﮫ ﻗﺎﻋﺪة ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ﺳﻄﺢ ﻣﺴﺘﻮ داﺋﺮي وﺳﻄﺤﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ أﻣﻠﺲ ﻏﯿﺮ ﻣﺴﺘﻮ‬ ‫واﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ ‪ -:‬ﯾﺘﻮﻟﺪ ﻣﻦ دوران ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ دورة ﻛﺎﻣﻠﺔ ﺣﻮل أﺣﺪ ﺿﻠﻌﻲ‬ ‫اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ‪ .‬أو ﻣﻦ دوران ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوى اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ دورة ﻛﺎﻣﻠﺔ ﺣﻮل ارﺗﻔﺎﻋﮫ‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ ‪-:‬‬ ‫‪-١‬إذا ﻗﻄﻊ اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ ﺑﻤﻘﻄﻊ ﯾﻮازي اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻓﺎﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﺗﺞ ھﻮ ﻗﺮص داﺋﺮي‬ ‫ﺗﺘﺤﺪد ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪ :‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻘﻄﻊ = ) ع – عَ (‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ع‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة‬

‫ﺣﯿﺚ عَ ھﻲ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﻘﻄﻊ واﻟﻘﺎﻋﺪة ) ارﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﻨﺎﻗﺺ (‬ ‫‪ – ١‬إذا ﻗﻄﻊ اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ ﺑﻤﺴﺘﻮ ﯾﺤﺘﻮي اﻟﻤﺤﻮر ﻓﺎﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﺗﺞ ھ ﻮ ﻣﺜﻠ ﺚ ﻣﺘﻄ ﺎﺑﻖ‬ ‫اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ ﺗﺴﺎوي ½ ر ع‬

‫‪٨٠‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﻠﺨﺺ ﻗﻮاﻧﯿﻦ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ واﻟﻤﺨﺮوط‬ ‫اﻟﻤﺠﺴﻢ‬ ‫اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪاﺋﺮي‬ ‫اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ‬ ‫اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي‬ ‫اﻟﻘﺎﺋﻢ‬ ‫اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي‬ ‫اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬

‫اﻟﺤﺠﻢ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة ×‬ ‫اﻻرﺗﻔﺎع = ط ر‪× ٢‬‬ ‫ع‬

‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ‪+‬‬ ‫ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة ×‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺘﻲ‬ ‫اﻻرﺗﻔﺎع = ‪ ٢‬ط ر ع‬ ‫اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ ‪ ٢‬ط ر ع ‪ +‬ط‬ ‫‪٢‬‬ ‫ر‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ‪+‬‬ ‫½ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة ×‬ ‫‪ ١‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة ×‬ ‫ﻃﻮل اﻟﺮاﺳﻢ = ط ر ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة = ط رع‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ +‬ط ر‪٢‬‬ ‫ل‬ ‫اﻻرﺗﻔﺎع =‪ ١‬ط ر ع‬ ‫½ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺤﯿﻄﻲ‬ ‫اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ × ﻃﻮل‬ ‫اﻟﺮاﺳﻢ ط )ر‪+١‬ر‪( ٢‬ل‬ ‫ﺣﯿﺚ ر‪،١‬ر‪ ٢‬ﻧﺼﻒ‬ ‫ﻗﻄﺮي ﻗﺎﻋﺪﺗﯿﮫ ع‬ ‫ارﺗﻔﺎﻋﮫ ل ﻃﻮل‬ ‫راﺳﻤﮫ‬

‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ‪+‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ‬

‫‪٣‬‬

‫‪ ١‬ط ع ) ‪٢‬ر‪+ ١‬‬ ‫‪٢ ٣‬ر‪+ ٢‬ر‪١‬ر‪( ٢‬‬

‫‪ – ١‬ﻃﻮل أﻧﺒﻮﺑﺔ ﻣﻌﺪﻧﯿﺔ ﻋﻠﻰ ھﯿﺌﺔ اﺳﻄﻮاﻧﺔ داﺋﺮﯾﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ أ م ‪ .‬إذا ﻛﺎن ﻗﻄﺮھﺎ اﻟﺨﺎرﺟﻲ ‪٤٠‬‬ ‫ﺳﻢ و اﻟﺪاﺧﻠﻲ ‪ ٣٠‬ﺳﻢ‪ .‬ﻓﻤﺎ ﺣﺠﻢ اﻟﻤﻌﺪن ؟‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪ -:‬ﺣﺠﻢ اﻟﻤﻌﺪن = ﺣﺠﻢ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺨﺎرﺟﯿﺔ – ﺣﺠﻢ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪاﺧﻠﯿﺔ‬ ‫= ط ر‪ ٢‬ع – ط ر‪ ٢‬ع‬ ‫‪١‬‬ ‫‪ – ١٠٠‬ط ) ‪١٠٠ × ٢( ١٥‬‬ ‫= ط ) ‪× ( ٢٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫= ط × ‪ – ١٠٠ × ٤٠٠‬ط × ‪١٠٠ × ٢٢٥‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫= ‪ ٤٠٠٠٠‬ط – ‪ ٢٢٥٠٠‬ط = ‪ ١٧٥٠٠‬ط ﺳﻢ‬ ‫‪ – ٢‬ﻗﻄﻌﺖ اﺳﻄﻮاﻧﺔ داﺋﺮﯾﺔ ﻗﺎﺋﻤ ﺔ ارﺗﻔﺎﻋﮭ ﺎ ‪٣٨‬ﺳ ﻢ ﺑﻤ ﺴﺘﻮ ﯾﻤ ﺮ ﺑﻤﺤﻮرھ ﺎ م ن ﻓﻜﺎﻧ ﺖ ﻣ ﺴﺎﺣﺔ‬ ‫اﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﺗﺞ ‪٥٣٢‬ﺳﻢ‪ . ٢‬أﺣﺴﺐ ﺣﺠﻢ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ وﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺤﮭﺎ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ) ط = ‪ ( ٢٢‬؟‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪ -:‬اﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﺗﺞ ھﻮ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ ‪ ٢‬ر ع‬ ‫‪٧‬‬ ‫⇐‪٣٨ × ٢‬ر = ‪٧٦ ⇐ ٥٣٢‬ر = ‪ ⇐ ٥٣٢‬ر = ‪٧ = ٥٣٢‬ﺳﻢ‬

‫‪٧٦‬‬

‫ﺣﺠﻢ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ = ط ر‪ ٢‬ع = ‪٥٨٥٢ = ٣٨ × ٤٩ × ٢٢‬ﺳﻢ‬

‫‪٧‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ = ‪ ٢‬ط ر ع = ع × ‪ ١٦٧٢ = ٣٨ × ٧ × ٢٢‬ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫‪٧‬‬ ‫‪٨١‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ – ٣‬ﻓﻲ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮي ﻗﺎﺋﻢ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻘﺎﻋﺪة ‪٨‬ﺳﻢ وﻃﻮل اﻟﺮاﺳﻢ ‪١٧‬ﺳﻢ‬ ‫أﺣﺴﺐ اﻟﺤﺠﻢ واﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ ‪.‬‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪ - :‬ﻣﻦ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺙ‬ ‫ﻉ‪٦٤ – ٢٨٩ = ٢٨ – ٢١٧ = ٢‬‬ ‫= ‪٢٥٥‬‬

‫⇐‬

‫ﻉ = ‪ ١٥ = ٢٢٥‬ﺳﻢ‬ ‫ﺣﺠﻢ ﺍﳌﺨﺮﻭﻁ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ = ‪ ١‬ﻁ ﺭ‪ ٢‬ﻉ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫= ‪ ١‬ﻁ × ‪ ٣٢٠ = ١٥ × ٦٤‬ﻁ ﺳﻢ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ = ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ ‪ +‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ‬ ‫‪٢‬‬ ‫= ﻁﺭﻝ ‪+‬ﻁﺭ‬ ‫= ﻁ × ‪ + ١٧ × ٨‬ﻁ × ‪١٣٦ = ٦٤‬ﻁ ‪٦٤ +‬ﻁ = ‪ ٢٠٠‬ﻁ ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺍﻟﻜﺮﻩ‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﻜﺮه ‪ -:‬ھﻲ ﺟﺴﻢ ﻣﺤﺪود ﺑﺴﻄﺢ ﻣﻨﺤﻨﻲ ﻣﻘﻔﻞ ﺟﻤﯿﻊ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ أﺑﻌﺎد‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ ) م ( ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﺮﻛﺰ ‪.‬‬ ‫)) وﯾﺴﻤﻰ اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺜﺎﺑﺖ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻜﺮه ورﻣﺰه ر ((‬ ‫اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻜﺮوﯾﺔ ‪ -:‬ھﻮ اﻟﺠﺰء اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ ﻣﺴﺘﻮﯾﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ ﻗﻄﻌﺎ اﻟﻜﺮه‬ ‫وارﺗﻔﺎﻋﮭﺎ ) ع ( ھﻮ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ‬ ‫اﻟﻘﺒﺔ اﻟﻜﺮوﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻗﻄﻌﺖ اﻟﻜﺮة ﺑﻤﺴﺘﻮ ﻓﺈن ﻛﻼً ﻣﻦ اﻟﺠﺰأﯾﻦ اﻟﻨﺎﺗﺠﯿﻦ ﯾﺴﻤﻰ ﻗﺒﺔ‬ ‫ﻛﺮوﯾﺔ ‪.‬‬ ‫اﻟﻘﻄﺎع اﻟﻜﺮوي‬ ‫ھﻮ ﺟﺰء ﻣﻦ ﻛﺮه ﻣﻜﻮن ﻣﻦ ﻗﺒﺔ ﻛﺮوﯾﺔ وﻣﺨﺮوط داﺋﺮي ﻗﺎﺋﻢ رأﺳﮫ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻜﺮه‬ ‫وﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ھﻮ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻘﺒﺔ‬

‫‪٨٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻤﺠﺴﻢ‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ‬

‫اﻟﻜﺮه‬ ‫اﻟﻘﺒﺔ اﻟﻜﺮوﯾﺔ‬

‫‪٢‬طرع‬

‫اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻜﺮوﯾﺔ‬

‫‪٢‬طرع‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬طر‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ ١‬ط ع‪٣ )٢‬ر – ع (‬ ‫‪٣‬‬ ‫ھﻮ اﻟﻔﺮق ﺑﯿﻦ ﺣﺠﻢ ﻗﯿﻦ‬

‫‪٢‬‬

‫‪٤‬طر‬

‫اﻟﺤﺠﻢ‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬ ‫ﻓﻲ ﺟﻤﯿﻊ‬ ‫اﻟﻘﻮاﺳﯿﻦ ھـ‬ ‫ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ‬ ‫اﻟﻜﺮه‬

‫ﻗﺒﮫ ﻛﺮوﯾﮫ ارﺗﻔﺎﻋﮭﺎ ‪٢‬ﺳﻢ وﻃﻮل ﻗﻄﺮھﺎ ‪٨‬ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪-:‬‬ ‫‪ – ٢‬ﺣﺠﻢ اﻟﻘﺒﺔ اﻟﻜﺮوﯾﺔ‬ ‫‪ – ١‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺒﺔ اﻟﻜﺮوﯾﺔ‬ ‫ﺍﳊﻞ ‪-:‬‬ ‫ﺣﺴﺐ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺕ ‪:‬‬

‫‪٢‬ﺭ = ‪ ) + ٢٤‬ﺭ ‪( ٢ -‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬ﺭ = ‪٢ + ١٦‬ﺭ – ‪٤‬ﺭ ‪٤ +‬‬ ‫⇐‪٤‬ﺭ = ‪٢٠‬‬

‫⇐‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺒﺔ ﺍﻟﻜﺮﻭﻳﺔ = ‪ ٢‬ﻁ ﺭ ﻉ‬

‫) ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﻜﺮﻩ (‬

‫ﺭ=‪٥‬‬

‫= ‪ ٢‬ﻁ × ‪ ٢٠ = ٢ × ٥‬ﻁ ﺳﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫‪١#‬‬

‫ﺣﺠﻢ ﺍﻟﻘﺒﺔ ﺍﻟﻜﺮﻭﻳﺔ = ﻁ ﻉ‪٣ ) ٢‬ﺭ – ﻉ (‬ ‫‪٣‬‬ ‫= ﻁ × ‪( ٢ – ١٥ ) ٤‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫= ﻁ × ‪ ٥٢ = ١٣ × ٤‬ﻁ ﺳﻢ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٢#‬‬

‫‪٨٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﺒﺎب اﻟﺜﺎﻟﺚ )اﻟﺠَﺒْﺮ(‬ ‫ﺟَﺒْﺮ ﻛﻠﻤﺔ ﻋﺮﺑﯿﺔ وھﻮ ﻓﺮع ﻣﻦ ﻋﻠﻢ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت وﺟﺎء اﺳﻤﮫ ﻣﻦ ﻛﺘﺎب ﻋﺎﻟﻢ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت واﻟﻔﻠﻚ‬ ‫واﻟﺮﺣﺎﻟﺔ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻣﻮﺳﻰ اﻟﺨﻮرازﻣﻲ )اﻟﻜﺘﺎب اﻟﻤﺨﺘﺼﺮ ﻓﻲ ﺣﺴﺎب اﻟﺠﺒﺮ واﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ( اﻟﺬي ﻗﺪم‬ ‫اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻨﻈﻢ إﯾﺠﺎد ﺣﻠﻮل ﻟﻠﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺨﻄﯿﺔ واﻟﺘﺮﺑﯿﻌﯿﺔ‪.‬‬ ‫وﯾﺸﻜﻞ ﻋﻠﻢ اﻟﺠﺒﺮ أﺣﺪ اﻟﻔﺮوع اﻟﺜﻼﺛﺔ اﻷﺳﺎﺳﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت إﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ واﻟﺘﺤﻠﯿﻞ‬ ‫اﻟﺮﯾﺎﺿﻲ وﻧﻈﺮﯾﺔ اﻷﻋﺪاد واﻟﺘﺒﺎدﯾﻞ واﻟﺘﻮاﻓﯿﻖ‪ .‬وﯾﮭﺘﻢ ھﺬا اﻟﻌﻠﻢ ﺑﺪراﺳﺔ اﻟﺒﻨﻲ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ واﻟﺘﻤﺎﺛﻼت‬ ‫ﺑﯿﻨﮭﺎ‪ ،‬واﻟﻌﻼﻗﺎت واﻟﻜﻤﯿﺎت‪.‬‬ ‫واﻟﺠﺒﺮ ھﻮ ﻣﻔﮭﻮم أوﺳﻊ وأﺷﻤﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺴﺎب أو اﻟﺠﺒﺮ اﻻﺑﺘﺪاﺋﻲ‪ .‬ﻓﮭﻮ ﻻ ﯾﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ اﻷرﻗﺎم ﻓﺤﺴﺐ‪ ،‬ﺑﻞ‬ ‫ﯾﺼﯿﻎ اﻟﺘﻌﺎﻣﻼت ﻣﻊ اﻟﺮﻣﻮز واﻟﻤﺘﻐﯿﺮات واﻟﻔﺌﺎت ﻛﺬﻟﻚ‪ .‬وﯾﺼﯿﻎ اﻟﺠﺒﺮ اﻟﺒﺪھﯿﺎت واﻟﻌﻼﻗﺎت اﻟﺘﻲ‬ ‫ﺑﻮاﺳﻄﺘﮭﺎ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﯿﻞ أي ﻇﺎھﺮة ﻓﻲ اﻟﻜﻮن‪ .‬وﻟﺬا ﯾﻌﺘﺒﺮ ﻣﻦ اﻷﺳﺎﺳﯿﺎت اﻟﻤﻨﻈﻤﺔ ﻟﻄﺮق اﻟﺒﺮھﺎن‪.‬‬ ‫ﯾﻘﺴﻢ ﻋﻠﻢ اﻟﺠﺒﺮ ﻟﻌﺪة ﻓﺮوع‪.‬‬ ‫اﻟﺠﺒﺮ اﻻﺑﺘﺪاﺋﻲ‪ ،‬وﻓﯿﮫ ﯾﺘﻢ دراﺳﺔ ﺧﺼﺎﺋﺺ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ‪ ،‬وﺗﺴﺘﺨﺪم رﻣﻮز ﻟﻠﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻦ‬ ‫اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات واﻟﺜﻮاﺑﺖ‪ ،‬وﺗﺘﻢ دراﺳﺔ اﻟﻘﻮاﻋﺪ اﻟﺘﻲ ﺗﻀﺒﻂ اﻟﻤﻌﺎدﻻت واﻟﺘﻌﺎﺑﯿﺮ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ اﻟﻤﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ھﺬه‬ ‫اﻟﺮﻣﻮز‪ .‬وﯾﺘﻢ ﺗﺪرﯾﺴﮫ ﻏﺎﻟﺒﺎ ﻓﻲ اﻟﺘﻌﻠﯿﻢ اﻟﺜﺎﻧﻮي إﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ إﻋﻄﺎء أﻓﻜﺎر أﺳﺎﺳﯿﺔ ﺣﻮل ﺑﻘﯿﺔ ﻣﻮاﺿﯿﻊ‬ ‫اﻟﺠﺒﺮ اﻟﺘﺠﺮﯾﺪي ﻓﻲ اﻟﺠﺒﺮ اﻻﺑﺘﺪاﺋﻲ ﺗﺘﻢ دراﺳﺔ ﺟﻤﻊ وﺿﺮب اﻷﻋﺪاد‪ ،‬ودراﺳﺔ ﻛﺜﯿﺮات اﻟﺤﺪود وﻃﺮق‬ ‫إﯾﺠﺎد اﻟﺠﺬور ﻟﻜﺜﯿﺮات اﻟﺤﺪود ھﺬه‪.‬‬ ‫اﻟﺠﺒﺮ اﻟﺘﺠﺮﯾﺪي‪ ،‬وﻓﯿﮫ ﺗﺘﻢ دراﺳﺔ اﻟﺒﻨﻰ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻛﺎﻟﺰﻣﺮ )أو اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺎت( واﻟﺤﻠﻘﺎت واﻟﺤﻘﻮل )أو‬ ‫اﻟﻤﺠﺎﻻت(‪ ،‬واﻟﻔﻀﺎء اﻟﺸﻌﺎﻋﻲ )أو ﻓﻀﺎء اﻟﻤﺘﺠﮭﺎت أو اﻟﻔﺮاغ اﻻﺗﺠﺎھﻲ( اﻟﺬي ﯾﻤﺜﻞ ﻋﺼﺐ دراﺳﺔ‬ ‫اﻟﺠﺒﺮ اﻟﺨﻄﻲ‪ .‬وﯾﺘﻢ ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ﻓﻲ اﻟﺠﺒﺮ اﻟﺘﺠﺮﯾﺪي‪ ،‬ﻋﻤﻠﯿﺔ ﺗﺠﺮﯾﺪ ﻟﻠﻌﻤﻠﯿﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ ﻓﯿﺴﺘﻌﺎض ﻋﻦ‬ ‫اﻷﻋﺪاد ﺑﺮﻣﻮز ﺗﺪﻋﻰ ﻓﻲ اﻟﺠﺒﺮ ﻣﺘﻐﯿﺮات أو ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﺎ‪ .‬ﻋﻨﺪﺋﺬ ﺗﺼﺒﺢ ﻋﻤﻠﯿﺎت اﻟﺠﻤﻊ‬ ‫واﻟﻀﺮب ﻣﺠﺮد أﻣﺜﻠﺔ ﻋﻦ اﻟﻤﺆﺛﺮات اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ واﻟﻌﻤﻠﯿﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ اﻟﺜﻨﺎﺋﯿﺔ‪ ،‬وﺗﻌﺮﯾﻒ ھﺬه اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﯾﻘﻮدﻧﺎ‬ ‫إﻟﻰ ﺑﻨﻰ ﺟﺒﺮﯾﺔ ﻣﺜﻞ اﻟﺰﻣﺮ‪ ،‬واﻟﺤﻠﻘﺎت‪ ،‬واﻟﺤﻘﻮل‪.‬‬ ‫اﻟﺠﺒﺮ اﻟﺨﻄﻰ‪ ،‬وھﻮ ﻣﮭﺘﻢ ﺑﺪراﺳﺔ اﻟﻤﺘﺠﮭﺎت‪ ،‬اﻟﻔﺮاﻏﺎت اﻟﺨﻄﯿﺔ‪ ،‬اﻟﺘﺤﻮﯾﻼت اﻟﺨﻄﯿﺔ‪ ،‬وﻧﻈﻢ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺨﻄﯿﺔ‪ .‬ﺗﻌﺘﺒﺮ ﻓﺮاﻏﺎت اﻟﻤﺘﺠﮭﺎت ﻣﻮﺿﻮﻋﺎ ﻣﺮﻛﺰﯾﺎ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺤﺪﯾﺜﺔ؛ ﻟﺬا ﯾﻌﺘﺒﺮ اﻟﺠﺒﺮ‬ ‫اﻟﺨﻄﻲ ﻛﺜﯿﺮ اﻻﺳﺘﻌﻤﺎل ﻓﻲ ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﺠﺒﺮ اﻟﻤﺠﺮد واﻟﺘﺤﻠﯿﻞ اﻟﺪاﻟﻲ‪ .‬اﻟﺠﺒﺮ اﻟﺨﻄﻲ ﻟﮫ أﯾﻀﺎً أھﻤﯿﺔ ﻗﺼﻮى‬ ‫ﻓﻲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ ﻛﻤﺎ أن ﻟﮫ ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت ﺷﺎﻣﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﻄﺒﯿﻌﺔ واﻟﻌﻠﻮم اﻻﺟﺘﻤﺎﻋﯿﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺠﺒﺮ اﻟﺸﺎﻣﻞ‪ ،‬وﻓﯿﮫ ﺗﺘﻢ دراﺳﺔ اﻟﺨﻮاص اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻜﻞ اﻟﺒﻨﻰ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ‪.‬‬ ‫ﺟﺒﺮ اﻷﻋﺪاد‪ ،‬وھﻮ ﯾﮭﺘﻢ ﺑﺪراﺳﺔ ﺧﻮاص اﻷﻋﺪاد ﻣﻦ اﻟﻨﺎﺣﯿﺔ اﻟﻨﻈﺮﯾﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺠﺒﺮ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ‪ ،‬وﯾﮭﺘﻢ ﺑﺪراﺳﺔ ﺗﺠﺮﯾﺪ ﻗﻮاﻋﺪ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ‪.‬‬ ‫ﺟﺒﺮ اﻟﺘﻮاﻓﯿﻖ‪ ،‬وﯾﮭﺘﻢ ﺑﺪراﺳﺔ اﻟﺘﺒﺎدﯾﻞ واﻟﺘﻮاﻓﯿﻖ‪.‬‬ ‫‪٨٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺟﺒﺮ اﻟﺤﺎﺳﻮب‪ ،‬وﻓﯿﮫ ﺗﺘﻢ دراﺳﺔ اﻟﺨﻮارزﻣﯿﺎت اﻟﺨﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ اﻟﻜﺎﺋﻨﺎت اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ‬

‫ﻤﻘﺩﻤﺔ‬

‫‪١‬‬

‫ﺍﻷﻋ‪‬ﺩﺍﹶﺩ‪ ‬ﻟﻐﺔﹰ ﻫﻲ ﺠﻤﻊ‪ ‬ﺍﻟﻌ‪‬ﺩ‪‬ﺩِ‪ ،‬ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ‪ ‬ﻫﻭ "ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻤﺎ ﻴ‪‬ﻌ‪‬ﺩ‪ ،‬ﻭﻤ‪‬ﺒ‪‬ﻠﹶﻐﹸﻪ‪".‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻫﻭ ﺘﻌﺒﻴﺭ ﺭﻤﺯﻱ ﺃﻭ ﺍﺼﻁﻼﺤﻲ ﺃﻭ‬

‫ﻜﺘﺎﺒﻲ ﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻤﺎ ﻴﻌﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﺎﺌﻨﺎﺕ ﻭﺍﻷﺸﻴﺎﺀ‪.‬‬ ‫ﺃﻤﺎ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ‪ ‬ﻟﻐﺔﹰ ﻓﻬﻲ ﺠﻤﻊ ﺍﻟﺭ‪‬ﻗﹾﻡ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺭ‪‬ﻗﹾﻡ‪ ‬ﻓﻲ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ‪" :‬ﻫﻭ ﺍﻟﺭﻤﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤل ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﺃﺤﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺒﺴﻴﻁﺔ‪،‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺴﻌﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﺍﻟﺼﻔﺭ‪] ،‬ﺃﻭ ﻤﺎ ﺭ‪‬ﻜﱢﺏ‪ ‬ﻤﻨﻬﺎ[‪".‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺇﺫﺍﹰ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﻫﻭ ﺭﻤﺯ‪ ‬ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻋﺎﺩﺓﹰ ﻤﺎ ﻴﻌﺒﺭ‬

‫ﻋﻨﻪ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺘﺭﻜﻴﺏ ﻤﻌﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺃﻭ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻤﺎ ﻴﻜﺘﺏ ﻜﺘﺎﺒﺔﹰ‪ .‬ﻓﻔﻲ ﺍﻟﻘﺭﺁﻥ ﺍﻟﻜﺭﻴﻡ ﻤﺜﻼﹰ ﻻ ﻴﻭﺠﺩ ﺁﻴﺔﹲ ﻜﺘﺏ ﻓﻴﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺒﺸﻜل ﺭﻗﻤﻲ )ﺃﻱ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺭﻤﺯ( ﻭﻟﻜﻥ ﻋﺒﺭ ﻋﻨﻬﺎ ﺒﺸﻜل ﻜﺘﺎﺒﻲ‪ .‬ﻓﻔﻲ ﻗﻭﻟﻪ ﺘﻌﺎﻟﻰ ﻓﻲ ﺴﻭﺭﺓ ﺍﻟﺒﻘﺭﺓ ﺍﻵﻴﺔ‬ ‫‪ ) :١٩٦‬ﻓﻤﻥ‪ ‬ﻟﱠﻡ‪ ‬ﻴﺠِﺩ‪ ‬ﻓﹶﺼِﻴ‪‬ﺎﻡ‪ ‬ﺜﹶﻼﹶﺜﹶﺔِ ﺃَﻴ‪‬ﺎﻡٍ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺞِ ﻭﺴﺒﻌﺔٍ ﺇﺫﺍ ﺭ‪‬ﺠﻌﺘﹸﻡ‪ ،‬ﺘِﻠﻙ‪ ‬ﻋ‪‬ﺸﹶﺭ‪‬ﺓﹲ ﻜﹶﺎﻤِﻠﹶﺔﹲ(‪ ،‬ﻨﺠﺩ‪ ‬ﺃﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ – ﻜﻤﺎ ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎل ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺴﻭﺭ ﺍﻟﻘﺭﺁﻥ ﺍﻟﻜﺭﻴﻡ – ﻗﺩ ﻜﺘﺒﺕ ﻜﺘﺎﺒﺔﹰ‪.‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻭﺗﻄﻮﺭﻫﺎ‬ ‫ﺠﺭﺕ ﺍﻟﻌﺎﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺘﻘﺴﻡ ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﺸﻴﻭﻋﺎﹰ ﺇﻟﻰ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪ :١‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ )‪:(natural numbers‬‬

‫ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ أﻋﺪاد اﻟﻌﺪ )ع (= } ‪{ ........... ، ٥ ،٤ ، ٣ ، ٢ ،١‬‬‫ﻫﻲ ﺃﻗﺩﻡ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻤﻌﺭﻭﻓﺔ ﻋﺒﺭ ﺍﻟﺘﺎﺭﻴﺦ‪ ،‬ﻭﻫﻲ ﺃﻭل ﺸﻜل ﺃﻭﺠﺩﻩ ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﻘﺎﺩﻴﺭ ﻭﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ‪ .‬ﻭﻫﻲ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫) ‪…، ٦ ،٥ ،٤ ،٣ ،٢ ،١ ،٠‬ﺇﻟﺦ(‪.‬‬

‫‪ (٢‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ )‪ :(integers‬ص = } ‪{ ...... ، ٢ ، ١ ، ٠ ، ١- ، ٢- ، .......‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺼﻔﺭ )‪ ،(٠‬ﻭﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻭﻨﻅﺎﺌﺭﻫﺎ‪ .‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﺈﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺘﻀﻡ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪ :‬ﺍﻟﺼﻔﺭ )‪ ،(٠‬ﺃﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻭﺠﺒﺔ )‪ (positive integers‬ﻭﺘﺴﻤﻰ ﺃﺤﻴﺎﻨﺎﹰ ﺒﺎﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ )‪ ( natural numbers‬ﻭﻫﻲ ) ‪،١‬‬ ‫‪ ،( …، ٦ ،٥ ،٤ ،٣ ،٢‬ﻭﺇﻟﻰ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺴﺎﻟﺒﺔ )‪ (negative integers‬ﻭﻫﻲ )‪،-٥ ،-٤ ،-٣ ،-٢ ،-١‬‬ ‫‪.(…،-٦‬‬

‫ﻻﺣﻆ أن‬

‫) ‪ (١‬ص = ص‪∪ { ٠ } ∪ +‬‬ ‫)‪ (٢‬اﻟﺼﻔﺮ ﻟﯿﺲ ﻣﻮﺟﺐ وﻻ ﺳﺎﻟﺐ‬ ‫)‪ (٣‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ص‪{.................. ، ٣- ، ٢- ، ١- } = -‬‬ ‫)‪ (٤‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ص‪{.................. ، ٣ ، ٢ ، ١ } = +‬‬ ‫ص‪-‬‬

‫‪٨٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ :٣‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﺎدﯾﺔ أو اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ )‪ ) (rational numbers‬ن (‬ ‫ھﻮ اﻟﻌﺪد اﻟﺬي ﯾﻤﻜﻦ وﺿﻌﮫ ﻋﻠﻰ ﺻﻮرة ﻛﺴﺮ أﻋﺘﯿﺎدى ﺑﺴﻄﮫ وﻣﻘﺎﻣﮫ أﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺤﺔ وﻣﻘﺎﻣﮫ ﻻ ﯾﺴﺎوى‬ ‫اﻟﺼﻔﺮ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻤﺜل‪:‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻭﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﻜﺘﺏ ﻜﻨﺴﺒﺔ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺼﺤﻴﺤﻴﻥ ﺇﻟﻰ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺒﺎﺴﺘﺜﻨﺎﺀ ﺃﻨﻪ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ‬

‫ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﺼﻔﺭﺍﹰ )‪.(٠‬‬

‫ﻟﺫﻟﻙ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ)‪ (٢‬ﻫﻭ ﻋﺩﺩ‪ ‬ﻨﺴﺒﻲ ﻷﻥ ‪ . = 2‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ﺇﻥ ﻜل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻫﻲ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻨﺴﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫ﻜل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﻤﺜل ﺒﺄﻋﺩﺍﺩ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ )‪ (terminating decimals‬ﻤﺜل‪= 0.75 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺃﻭ ﺒﺄﻋﺩﺍﺩ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ﻭﺩﻭﺭﻴﺔ ) ‪ (nonterminating repeating decimals‬ﻤﺜل‪:‬‬ ‫‪= 1.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. = 0.13333... ،‬‬ ‫‪= − 0.3636....‬‬ ‫‪، = 0.6666....‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪،‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت ‪-:‬‬ ‫)‪ (١‬ﻛﻞ ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ ھﻮ ﻋﺪد ﻧﺴﺒﻰ ﻣﻘﺎﻣﮫ = ‪ ١‬أى أن ص ⊃ ن‬ ‫)‪ (٢‬ط ⊃ ص ⊃ ن‬

‫‪ :٤‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ )‪ (real numbers‬ﻭﻫﻲ ﺘﻀﻡ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ :‬ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ )‪ (rational numbers‬ﻭﻫﻲ ﻤﻌﺭ‪‬ﻓﺔ ﺃﻋﻼﻩ‪.‬‬

‫ﺏ‪ :‬ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻐﻴﺭ ﻨﺴﺒﻴﺔ )‪ :( irrational numbers‬ﻫﻲ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﻜﺘﺏ ﻜﻨﺴﺒﺔ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺼﺤﻴﺤﻴﻥ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ‪ .‬ﻭﻫﻲ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﹸﻤﺜل ﺒﺄﻋﺩﺍﺩ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ﻭﻏﻴﺭ ﺩﻭﺭﻴﺔ ) ‪nonterminating‬‬ ‫‪ (nonrepeating decimals‬ﻭﻨﻅﺎﺌﺭﻫﺎ‪ .‬ﻤﺜﺎل ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ πππππ =π٣,١٤١٥٩٢٧‬ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪ ، 2 =١,٤١٤٢١٣٦‬ﻭﻨﻅﺎﺌﺭﻫﻤﺎ‪، -٣,١٤١٥٩٢٧ :‬‬

‫‪. -١,٤١٤٢١٣٦‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬ ‫‪ -١‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ أﻋﺪاد اﻟﻌﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﯿﺔ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﻄﺒﯿﻌﯿﺔ‪.‬‬ ‫‪ -٢‬اﻷﻋﺪاد اﻟﺰوﺟﯿﺔ ھﻲ اﻟﺘﻲ ﺗﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ٢‬وأﺻﻐﺮ ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌﻲ زوﺟﻲ ھﻮ اﻟﺼﻔﺮ وﻣﻦ أﻣﺜﻠﺘﮭﺎ‬ ‫‪............. ، ٨ ، ٦ ، ٤ ، ٢ ، ٠‬‬ ‫‪ -٣‬اﻷﻋﺪاد اﻟﻔﺮدﯾﺔ ھﻲ اﻷﻋﺪاد اﻟﺘﻲ ﻻﺗﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ٢‬وأﺻﻐﺮھﺎ اﻟﻮاﺣﺪ وﻣﻦ أﻣﺜﻠﺘﮭﺎ‬ ‫‪................. ، ٩ ، ٧ ، ٥ ، ٣ ، ١‬‬ ‫‪ -٥‬ﻋﻨﺪ ﺿﺮب ﻋﺪدﯾﻦ أو أﻛﺜﺮ ﻓﺄن ﻛﻞ ﻋﺪد ﯾﺴﻤﻰ ﻋﺎﻣﻞ ﻣﻦ ﻋﻮاﻣﻞ ﺣﺎﺻﻞ اﻟﻀﺮب‬ ‫‪٨٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻓﻤﺜﻼ ‪ ١٤ = ٧ × ٢‬وﻋﻠﻰ ھﺬا ﻓﺄن ‪ ٧ ، ٢‬ﻋﺎﻣﻼن ﻣﻦ ﻋﻮاﻣﻞ ‪. ١٤‬‬ ‫‪ -٦‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻋﻮاﻣﻞ ﺣﺎﺻﻞ اﻟﻀﺮب ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﺄن ﺣﺎﺻﻞ اﻟﻀﺮب ﯾﺴﻤﻰ ﻗﻮى اﻟﻌﺎﻣﻞ‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ ‪ ٢ ( ٣) = ٩ = ٣ × ٣ -:‬ﯾﺴﻤﻰ اﻟﻌﺪد ‪ ٩‬اﻟﻘﻮى اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻟﻠﻌﺎﻣﻞ ‪، ٣‬‬ ‫‪ -٧‬ﻟﻜﻞ ﻋﺪد أ ﻻ ﯾﺴﺎوى اﻟﺼﻔﺮ ﯾﻜﻮن ا ﺻﻔﺮ = ‪ ١‬ﻓﻤﺜﻼ ‪ ٥‬ﺻﻔﺮ = ‪ ( ٤٥ ) ، ١‬ﺻﻔﺮ = ‪١‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺔ‬ ‫ھﻲ اﻷﻋﺪاد اﻟﺘﻲ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﯿﻠﮭﺎ ﺑﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﺎط ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺜﻞ ‪..... ، ٢٥ ، ١٦ ، ٩ ، ٤ ، ١‬‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ أﺧﺮ‪ -:‬ھﻲ ﺗﻠﻚ اﻷﻋﺪاد اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻋﺎﻣﻠﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ) اﻟﻘﻮى اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻟﻸﻋﺪاد (‬ ‫ﻓﻤﺜﻼً‬ ‫‪٢٥ = ٥ ×٥ ١٦ = ٤ × ٤ ٩ = ٣ × ٣ ٤ = ٢ × ٢ ١ = ١ ×١‬‬ ‫اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺮﺑﻌﺔ ھﻲ ) ‪....... ، ٨١ ، ٦٤ ، ٤٩ ، ٣٦ ، ٢٥ ، ١٦ ، ٩ ، ٤ ، ١‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﻜﻌﺒﺔ‬ ‫ھﻲ اﻷﻋﺪاد اﻟﺘﻲ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﯿﻠﮭﺎ ﺑﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻂ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﻜﻌﺐ‬ ‫ﻣﺜﻞ ) ‪( ............. ، ١٢٥ ، ٦٤ ، ٢٧ ، ٨ ، ١‬‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ أﺧﺮ ‪ -:‬ھﻲ ﺗﻠﻚ اﻷﻋﺪاد اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﺛﻼﺛﺔ أﻋﺪاد ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ) اﻟﻘﻮى اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬ ‫ﻟﻸﻋﺪاد ( ‪.‬‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ ‪-:‬‬ ‫‪١ = ١ × ١ ×١‬‬

‫‪٨=٢×٢×٢‬‬

‫‪٢٧ = ٣ × ٣ × ٣‬‬

‫اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ھﻲ‪:‬‬ ‫اﻷﻋﺪاد اﻟﺘﻲ ﻣﺠﻤﻮع اﻷرﻗﺎم ذات اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺰوﺟﯿﺔ ﻓﯿﮭﺎ ﯾﺴﺎوي ﻣﺠﻤﻮع اﻷرﻗﺎم ذات اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﻔﺮدﯾﺔ ﻓﯿﮭﺎ‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ ‪:‬‬ ‫‪ ٢٤٢‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﻷن‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻗﻢ ) اﻷول و اﻟﺜﺎﻟﺚ ( = ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻗﻢ اﻟﺜﺎﻧﻲ ) ‪( ٤ = ٢ + ٢‬‬ ‫واﻟﻌﺪد ‪:‬‬ ‫‪ ٤ ٢ ٦ ٤ ٥ ٩‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﻷن ‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻗﻢ ) اﻷول واﻟﺜﺎﻟﺚ واﻟﺨﺎﻣﺲ ( = ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻗﻢ ) اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫واﻟﺮاﺑﻊ واﻟﺴﺎدس ( ) ‪( ٤ + ٦ + ٥ = ٢ + ٤ + ٩‬‬ ‫‪٨٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫واﻟﻌﺪد‪:‬‬ ‫‪ ٥٤٤٥‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﻷن‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع اﻷرﻗﺎم ) اﻷول واﻟﺜﺎﻟﺚ ( = ﻣﺠﻤﻮع اﻷرﻗﺎم ) اﻟﺜﺎﻧﻲ واﻟﺮاﺑﻊ (‬ ‫)‪(٥+٤=٤+٥‬‬ ‫أﻣﺎ اﻟﻌﺪد‪ ٦٥٦ :‬ﻓﻐﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﻷن‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻗﻢ ) اﻷول واﻟﺜﺎﻟﺚ ( =‪ =/‬اﻟﺮﻗﻢ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫) ‪( ٥ =/= ٦ + ٦‬‬ ‫وﻧﻼﺣﻆ أن ‪ :‬اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺗﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ اﻟـ ‪١١‬‬ ‫أي أن‪:‬‬ ‫اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ھﻲ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎت اﻟﻌﺪد ‪١١‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﻨﺘﺎج ﻗﺎﻋﺪة ﻟﻘﺎﺑﻠﯿﺔ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ١١‬ﻣﻔﺎدھﺎ أن‪:‬‬ ‫اﻟﻌﺪد اﻟﺬي ﻣﺠﻤﻮع أرﻗﺎﻣﮫ ﻓﺮدﯾﺔ اﻟﺮﺗﺒﺔ = ﻣﺠﻤﻮع أرﻗﺎﻣﮫ زوﺟﯿﺔ اﻟﺮﺗﺒﺔ ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪١١‬‬ ‫*ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ *‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ أرﻗﺎم اﻟﻌﺪد ﻣﺘﺸﺎﺑﮭﺔ وﻋﺪد اﻷرﻗﺎم زوﺟﯿﺎ ً ﻓﺈن اﻟﻌﺪد ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪١١‬‬

‫اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ‪Triangular Numbers‬‬ ‫ﯾﻌﺮف اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ )أو اﻟﺜﻼﺛﻲ ) ‪triangular number‬ﻋﻠﻰ أﻧﮫ ﻣﺠﻤﻮع أول ‪n‬‬ ‫ﻋﺪدا ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ‪ ،‬أي أن‬ ‫ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ھﺬه اﻷﻋﺪاد ھﻲ‬ ‫‪....................، ٥٥ ، ٤٥ ، ٣٦ ، ٢٨ ، ٢١، ١٥ ، ١٠ ، ٦ ، ٣ ، ١‬‬

‫ﺧﺼﺎﺋﺺ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ‬ ‫)‪(1‬ﻣﺠﻤﻮع ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺜﻠﺜﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﯿﻦ ﻋﺪد ﻣﺮﺑﻊ‪.‬‬ ‫)‪(2‬ﻛﻞ ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ ﻣﻮﺟﺐ ﯾﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﮫ ﻛﺤﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ ﺛﻼﺛﺔ أﻋﺪاد ﻣﺜﻠﺜﯿﺔ أو أﻗﻞ‪.‬‬ ‫اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ ﻓﻲ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺎت اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ‬

‫ﻛﺎن اﻟﺮﯾﺎﺿﻲ ﺳﯿﺮﺑﻨﺴﻜﻲ ‪ Sierpinski‬ﻗﺪ ﻃﺮح ﺳﺆاﻻ ﻓﯿﻤﺎ إذا ﻛﺎن ھﻨﺎك أرﺑﻌﺔ أﻋﺪاد‬ ‫ﻣﺜﻠﺜﯿﺔ ﻓﻲ ﺗﺘﺎﺑﻊ ھﻨﺪﺳﻲ أم ﻻ‪ .‬اﻟﺮﯾﺎﺿﻲ ﺑﯿﻨﯿﺖ ‪ Bennett‬ﻗﺪم ﺣﺪﺳﮫ ﺑﺎﻟﻨﻔﻲ ﻋﻠﻰ ھﺬا‬ ‫اﻟﺘﺴﺎؤل‪ .‬ﻓﻲ اﻟﻌﺎم ‪ ٢٠٠٧‬ﻣﯿﻼدي أﺛﺒﺘﺖ ﺻﺤﺔ ھﺬا اﻟﺤﺪس‪ .‬أي أﻧﮫ ﻻ ﯾﻮﺟﺪ أرﺑﻌﺔ أﻋﺪاد‬ ‫‪٨٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﺜﻠﺜﯿﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ھﻨﺪﺳﯿﺔ ‪.‬ﺑﺎﻟﻤﻨﺎﺳﺒﺔ ﯾﻮﺟﺪ ﺛﻼﺛﺔ أﻋﺪاد ﻣﺜﻠﺜﯿﺔ ﻓﻲ ﺗﺘﺎﺑﻊ ھﻨﺪﺳﻲ وھﻲ‬ ‫‪.‬‬

‫اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ‬ ‫اﺑﺘﻜﺮ ﻋﺎﻟﻢ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرث زوﺟﺎ ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ ھﻤﺎ )‪ ( ٢٨٤ ، ٢٢٠‬و ﻛﺘﻌﺮﯾﻒ ﻟﻌﺪدﯾﻦ‬ ‫ﻣﺘﺤﺎﺑﯿﻦ ھﻤﺎ ﻋﺪدان ﻣﺠﻤﻮع ﻗﻮاﺳﻢ أي ﻣﻨﮭﻤﺎ ﻣﺴﺎوﯾﺎ ﻟﻠﻌﺪد اﻷﺧﺮ ) ﻃﺒﻌﺎ ﻋﺪد ﻣﻮﺟﺐ ( ‪.‬‬ ‫ﻗﻮاﺳﻢ اﻟﻌﺪد ‪ ٢٢٠‬ھﻲ ‪ ١١٠ ،٥٥ ،٤٤ ،٢٢ ،١١ ،٢٠ ،١٠ ،٥ ،٤ ،٢ ،١ :‬وﻣﺠﻤﻮع ھﺬه اﻟﻘﻮاﺳﻢ‬ ‫‪. ٢٨٤‬‬ ‫ﻗﻮاﺳﻢ اﻟﻌﺪد ‪ ٢٨٤‬ھﻲ ‪ ١٤٢ ،٧١ ،٤ ،٢ ،١ :‬وﻣﺠﻤﻮع ﻗﻮاﺳﻢ اﻟﻌﺪد ‪ ٢٨٤‬ھﻲ ‪. ٢٢٠‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ اﻟﻌﺪدان ‪ ٢٢٠‬و ‪ ٢٨٤‬ﻋﺪدان ﻣﺘﺤﺎﺑﺎن ‪.‬‬ ‫وﻗﺪ ﺣﻈﯿﺖ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ ﺑﺎھﺘﻤﺎم اﻟﻜﺜﯿﺮ ﻣﻦ اﻟﻌﻠﻤﺎء ﺣﯿﺚ اﺑﺘﻜﺮ ﻋﺎﻟﻢ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﻌﺮﺑﻲ اﺑﻦ اﻟﺒﻨﺎ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻘﺮن اﻟﺮاﺑﻊ ﻋﺸﺮ زوﺟﺎ ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ ھﻤﺎ ‪ ١٧٢٩٦‬و ‪ ١٨٤١٦‬وأﻋﯿﺪ اﻛﺘﺸﺎﻓﮭﺎ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ‬ ‫اﻟﻌﺎﻟﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻲ ﺑﯿﯿﺮ ﻓﯿﺮﻣﺎت ﺳﻨﺔ ‪ ١٦٣٦‬م‪.‬‬ ‫و ﻓﻲ ﻋﺎم ‪١٦٣٨‬م اﺑﺘﻜﺮ اﻟﻌﺎﻟﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻲ دﯾﻜﺎرت ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺘﺤﺎﺑﯿﻦ ھﻤﺎ ‪ ٩٣٦٣٥٨٤‬و ‪.٩٤٣٧٠٥٦‬‬ ‫و ﻓﻲ ﻋﺎم ‪١٧٥٠‬م اﺑﺘﺪع اﻟﺮﯾﺎﺿﻲ اﻟﻨﻤﺴﺎوي اوﯾﻠﺮ واﺣﺪ و ﺳﺘﻮن زوﺟﺎ ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ و‬ ‫ﻟﻜﻨﮭﺎ اﺣﺘﻮت ﻋﻠﻰ ﺧﻄﺄﯾﻦ ﻓﺄﺻﺒﺢ اﻟﻌﺪد واﺣﺪ و ﺧﻤﺴﻮن زوﺟﺎ ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ ‪.‬‬ ‫و ﻛﺎن ﻟﻸﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ دورا ﻛﺒﯿﺮا ﻓﻲ اﻟﺤﻀﺎرة اﻹﺳﻼﻣﯿﺔ وﺗﻮﺟﺪ ﺑﻜﺜﺮة ﻓﻲ اﻟﻜﺘﺎﺑﺎت اﻹﺳﻼﻣﯿﺔ‬ ‫اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ وأﻛﺪوا أن اﻟﻌﺪدﯾﻦ اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﯿﻦ ‪ ٢٢٠‬و ‪ ٢٨٤‬ﻟﮭﻤﺎ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻓﻲ اﻟﺮواﺑﻂ أو إﯾﺠﺎد ﺻﺪاﻗﺔ ﺣﻤﯿﻤﺔ‬ ‫ﺑﯿﻦ ﺷﺨﺼﯿﻦ‪..‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ‪:‬‬ ‫اﺑﺘﻜﺮ اﻟﻌﺎﻟﻢ اﻟﻤﺴﻠﻢ ﺛﺎﺑﺖ اﺑﻦ ﻗﺮة ﻗﺎﻋﺪة ﻓﻲ إﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ اﻟﺘﻲ اھﺘﻢ ﺑﮭﺎ ﻋﻠﻤﺎء اﻟﻐﺮب‬ ‫ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻠﺤﻮظ ﻋﺒﺮ اﻟﺘﺎرﯾﺦ‪ ..‬واﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ھﻲ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻛﻞ ﻣﻦ س ‪ ،‬ص‪،‬ع أﻋﺪاد أوﻟﯿﮫ و ن ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ ﻃﺒﯿﻌﻲ اﻛﺒﺮ ﻣﻦ ‪١‬ﻓﺎن‪:‬‬ ‫س = ‪^٢) × ٣‬ن( ‪١ -‬‬ ‫‪٨٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ص = ‪)^٢) × ٣‬ن‪١ - ((١-‬‬ ‫ع = ‪٢)^٢) × ٩‬ن‪١ - ((١-‬‬ ‫ﻓﺄن س‪،‬ص‪،‬ع أﻋﺪاد ﻓﺮدﯾﮫ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ و ك = ‪^٢‬ن ×س×ص ‪ ،‬م= ‪^٢‬ن ×ع زوج ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد‬ ‫اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ ھﻤﺎ ك ‪ ،‬م‬ ‫و ھﺬا ﺻﺤﯿﺢ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﺎ أﺧﺬﻧﺎ ن = ‪ ٢‬ﻓﺎن اﻟﻌﺪدان اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺎن ھﻤﺎ ‪٢٨٤ ، ٢٢٠‬‬ ‫وﻟﻜﻦ ﻋﻨﺪﻣﺎ ن=‪ ٣‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻋﺪدان ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺤﺎﺑﺎن ‪ ..‬وھﺬا ﯾﺪل ﻋﻠﻰ أن اﻟﻘﺎﻋﺪة ﺗﻨﺺ ﻋﻠﻰ اﻧﮫ‬ ‫إذا وﺟﺪ ﻋﺪدان ﻣﺘﺤﺎﺑﺎن ﻓﮭﻤﺎ ك ‪ ،‬م‪...‬‬ ‫ﻓﻲ اﻋﺘﻘﺎدﻛﻢ ھﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﻤﻜﻦ أن ﯾﺄﺗﻲ ﯾﻮم ﺗﻘﺎم ﻓﯿﮫ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯿﻦ ﺷﺨﺼﯿﻦ ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺛﺎﺑﺖ اﺑﻦ‬ ‫ﻗﺮه ؟ أم أن اﻟﻤﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ﻟﻌﻼﻗﺔ رﯾﺎﺿﯿﺔ أﺧﺮى ﺗﺴﻤﺢ ﺑﺈﻗﺎﻣﺔ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ؟‬

‫ﻴﻌﺭ‪‬ﻑ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺘﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﺃﻨﻪ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻭﺍﺴﻤﻪ ﺒﺎﺴﺘﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺫﺍﺘﻪ‪ .‬ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﻘﻭل ‪ -‬ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻟﻡ ﻨﺘﻘﻴﺩ ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻻﺴﺘﺜﻨﺎﺀ ‪ -‬ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺘﺎﻡ ﻫﻭ ﻀﻌﻑ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺫﺍﺘﻪ‪.‬‬ ‫ﻭﻗﺩ ﺃﻤﻜﻥ ﺍﻵﻥ ﺍﻟﺘﻌﺭ‪‬ﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﺜﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻤﺔ ﻨﺫﻜﺭ ﻤﻨﻬﺎ ‪ ٢٨ ، ٦ ،١ :‬ﻭ ‪.٤٩٦‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﺘﻤﻌﻥ ﻓﻲ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻡ ﺍﻜﺘﺸﺎﻓﻬﺎ ﻴﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻜﻠﻬﺎ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺯﻭﺠﻴﺔ‪ .‬ﻭﻤﻥ ﻫﻨﺎ ﻴﻁﺭﺡ ﺍﻟﺴﺅﺍل ‪ :‬ﻫل ﻜل‬ ‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻤﺔ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺯﻭﺠﻴﺔ؟ ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ ﻋﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﻟﻡ ﻴﺘﻀﺢ ﺒﻌﺩ‪ .‬ﻭﻟﻡ ﻴﺘﻭﻗﻑ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﻭﻥ ﻋﻨﺩ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺤﺩ ﻓﻲ‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻤﺔ ﺒل ﻭﺴﻌﻭﻫﺎ ﻭﻋﺭﻓﻭﺍ ﻤﺜﻼ ﻤﺎ ﻴﺴﻤﻰ ﺒﺎﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﻬﻴﺒﺔ ‪ sublimes‬ﻭﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻘﺎﺼﺭﺓ‬ ‫‪) déficients‬ﻭﻫﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻭﺍﺴﻤﻬﺎ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻨﻬﺎ( ﻤﺜل ‪ ٢٧‬ﻭﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺯﺍﺌﺩﺓ ‪) abondants‬ﻭﻫﻲ ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻭﺍﺴﻤﻬﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻨﻬﺎ( ﻤﺜل ‪.٣٠‬‬

‫ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺣﺴﺐ ﺍﻷﺻﻞ ﺍﻟﺠﻐﺮﺍﻓﻲ‬ ‫ﻜﺎﻥ ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ ﺍﻟﻘﺩﻴﻡ ﻴﻘﻭﻡ ﺒﻌﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩ ﻋﻥ ﻁﺭﻴﻕ ﻭﻀﻊ ﺃﺜﻼﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺸﺠﺎﺭ ﺃﻭ ﺍﻷﺤﺠﺎﺭ ﻟﺘﺴﺠﻴل ﻤﺭﻭﺭ ﺍﻷﻴﺎﻡ‪ .‬ﻓﻘﺎﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﺼﺭﻴﻭﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻌﺩ ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻭﺭﻕ ﺍﻟﺒ‪‬ﺭ‪‬ﺩﻱ )‪ (papyrus‬ﻭﺍﻟﻤﺼﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﺼﺏ‪ ،‬ﻭﻜﺘﺒﺕ ﺸﻌﻭﺏ ﺒﻼﺩ ﻤﺎ ﺒﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﻨﻬﺭﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻔﺨﺎﺭ ﺍﻟﺭﻁﺏ‪ .‬ﻟﻘﺩ ﺍﺴﺘﻌﻤﻠﻭﺍ ﺨﻁﻭﻁﺎﹰ ﺼﻐﻴﺭﺓ )ﺨﹶﻁﹼﺔ( ﻜﺭﻤﺯ ﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻵﺤﺎﺩ‪ ،‬ﻭﻋﻼﻤﺎﺕ ﺃﺨﺭﻯ ﻟﻠﻌﺸﺭﺍﺕ‬ ‫ﻭﻤﺎ ﺒﻌﺩﻫﺎ‪.‬‬

‫‪٩٠‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻭﻜﺎﻥ ﺍﻟﺭﻭﻤﺎﻥ ﻻ ﻴﺯﺍﻟﻭﻥ ﻴﺴﺘﻌﻤﻠﻭﻥ ﺨﻁﻭﻁﺎﹰ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ ﻤﻥ ﻭﺍﺤﺩ ﺤﺘﻰ ﺃﺭﺒﻌﺔ ) ‪ ،(IIII, III, II,I‬ﻟﻜﻨﻬﻡ ‪-‬‬ ‫ﻭﻤﻨﺫ ﺤﻭﺍﻟﻲ ﺃﻟﻔﻲ ﻋﺎﻡ‪ -‬ﺍﺴﺘﺨﺩﻤﻭﺍ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺠﺩﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺤﺭﻭﻑ ﻟﻠﻌﺸﺭﺍﺕ ﻭﺍﻟﺨﻤﺴﻴﻨﺎﺕ ﻭﻫﻜﺫﺍ )ﻓﺎﻟﻌﺸﺭﺍﺕ ﺘﺒﺩﺃ‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ﻋﺸﺭﺓ )‪ ،(X‬ﻭﺍﻟﺨﻤﺴﻴﻨﺎﺕ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ﺨﻤﺴﻴﻥ )‪ ،(L‬ﻭﺍﻟﻤﺌﺎﺕ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ﻤﺌﺔ )‪ ،(C‬ﻭﺍﻟﺨﻤﺴﻤﺌﺎﺕ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﺨﻤﺴﻤﺎﺌﺔ )‪ ،(D‬ﻭﺍﻷﻟﻭﻑ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ﺃﻟﻑ )‪ .((M‬ﻭﺍﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﺼﻴﻨﻴﻭﻥ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ ﻤﻥ ﺃﺭﺒﻌﺔ ﻭﺤﺘﻰ‬ ‫ﻋ‪‬ﺸﹶﺭﺓ‪ ،‬ﻟﻜﻨﻬﻡ ﻜﺎﻨﻭﺍ ﻻ ﻴﺯﺍﻟﻭﻥ ﻴﺴﺘﻌﻤﻠﻭﻥ ﺨﻁﻭﻁﺎﹰ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪.‬‬ ‫ﺃﻤﺎ ﺸﻌﺏ ﺍﻟﻤﺎﻴﺎ ﻓﻲ ﺃﻤﺭﻴﻜﺎ ﺍﻟﻭﺴﻁﻰ ﻓﻠﻘﺩ ﺃﺨﺘﺭﻉ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﻟﻔﺘﺎﹰ ﻟﻠﻨﻅﺭ‪ .‬ﻟﻘﺩ ﺍﺴﺘﻌﻤﻠﻭﺍ ﻓﻘﻁ ﺜﻼﺙ ﻋﻼﻤﺎﺕ‪ :‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‪،‬‬ ‫ﺍﻟﺨﹶﻁﹼﺔ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺒﻴﻀﺎﻭﻱ‪ .‬ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ ﻜﺎﻥ ﺒﺎﺴﺘﻁﺎﻋﺘﻬﻡ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺃﻱ ﺭﻗﻡ ﻤﻬﻤﺎ ﻜﺎﻥ ﻜﺒﻴﺭﺍﹰ‪.‬‬

‫‪٥‬‬

‫ﻭﺤﺎﻟﻴﺎﹰ )ﻋﺎﻡ ‪ (٢٠٠٢‬ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺼﻨﻴﻑ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺩﻤﺔ ﻓﻌﻠﻴﺎﹰ ﺇﻟﻰ ﺍﻷﻨﻭﺍﻉ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ :١‬ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﺍﻟﻤﻐﺭﺒﻴﺔ ) ‪ (٩ , 8 , 7 , 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0‬ﻭﻫﻲ ﺤﺎﻟﻴﺎﹰ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻤﺎﹰ ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ‬ ‫ﺃﻨﺤﺎﺀ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ‪ ،‬ﺤﻴﺙ ﺘﻡ ﺍﻋﺘﻤﺎﺩﻫﺎ ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺩﻭل ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ )ﺒﺎﺴﺘﺜﻨﺎﺀ ﺃﻏﻠﺏ ﺍﻟﺩﻭل ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ!( ﻜﻤﺎ ﺃﻨﻬﺎ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﺍﻟﻭﺤﻴﺩ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤل ﻓﻲ ﺍﻵﻻﺕ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﺍﻟﻌﺎﺩﻴﺔ ﻭﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻭﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﺍﻟﺭﻗﻤﻴﺔ ﺍﻷﺨﺭﻯ‪.‬‬ ‫‪ :٢‬ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﺍﻟﻤﺸﺭﻗﻴﺔ ﻭﻫﻲ‪ ( ٩ ،٨ ،٧ ،٦ ،٥ ،٤ ،٣ ،٢ ، ١) :‬ﻭﺘﺴﺘﻌﻤل ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﻭل ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺭﻗﻴﺔ ﻓﻘﻁ‪.‬‬ ‫‪ :٣‬ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﺭﻭﻤﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﯾﺤﺘﻮي ﻧﻈﺎم اﻟﻌﺪ اﻟﺮوﻣﺎﻧﻲ ﻋﻠﻰ ﻟﻤﺤﺔ ﻣﻦ ﻓﻜﺮة اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﻜﺎﻧﯿﺔ – ﻛﻤﺎ ﺳﻨﺮى – وﯾﻌﺘﻘﺪ أن أﺳﺎس اﻟﻨﻈﺎم‬ ‫اﻟﻌﺪدي اﻟﺮوﻣﺎﻧﻲ ھﻮ اﻟﻌﺪ ﺑﺎﻷﺻﺎﺑﻊ ﯾﺪل ﻋﻠﻰ ذﻟﻚ أن اﻟﻜﻠﻤﺔ اﻟﻼﺗﯿﻨﯿﺔ ﻟﻸﺻﺒﻊ ھﻲ ‪ Jigitus‬وﺗﺴﺘﺨﺪم اﻵن‬ ‫ﻛﻠﻤﺔ ﻣﺸﺘﻘﺔ ﻣﻨﮭﺎ ھﻲ ‪ digit‬اﻟﺘﻲ ﺗﺴﺘﺨﺪم ﻓﻲ وﺻﻒ أي رﻣﺰ ﻣﻦ رﻣﻮزھﻢ اﻟﻌﺪدﯾﺔ‪ .‬وﻗﺪ ﻛﺘﺐ اﻟﺮوﻣﺎن اﻷﻋﺪاد‬ ‫ﻣﻦ واﺣﺪ إﻟﻰ أرﺑﻌﺔ ﻛﻤﺎ ﯾﻠﻲ‪:‬‬ ‫أﻣﺎ رﻣﺰ ﺧﻤﺴﺔ ﻓﻘﺪ ﻛﺎن ﻋﻼﻣﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ‪ V‬وﻟﻌﻠﮭﺎ ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻔﺠﻮة ﺑﯿﻦ اﻹﺑﮭﺎم وﺑﻘﯿﺔ اﻷﺻﺎﺑﻊ ﻛﻤﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ أدﻧﺎه‬ ‫وﻗﺪ ﻧﺸﺄت ﻋﻨﺪھﻢ ﻓﻜﺮة اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﻜﺎﻧﯿﺔ ﻣﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﮭﺬا اﻟﺮﻣﺰ؛ ﻓﻠﻜﻲ ﯾﺘﺠﻨﺒﻮا اﻟﺘﻀﺨﻢ ﻓﻲ ﻛﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﺪد ‪ I‬أرﺑﻌﺔ‬ ‫ﻣﺮات ھﻜﺬا ‪ IIII‬وﺿﻌﻮا ‪ I‬إﻟﻰ ﯾﺴﺎر ‪ V‬وﻃﺒﻘﺖ ﻧﻔﺲ اﻟﻔﻜﺮة ﻓﻲ رﻣﻮز أﺧﺮى‪ ،‬وأﺻﺒﺢ ﻣﻔﮭﻮﻣﺎ أﻧﮫ إذا ﻛﺘﺐ‬ ‫اﻟﺮﻣﺰ إﻟﻰ ﯾﺴﺎر رﻣﺰ آﺧﺮ ﻗﯿﻤﺘﮫ أﻛﺒﺮ ﻓﺈن اﻟﻌﺪد ﯾﺪل ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺮق ﺑﯿﻦ اﻟﺮﻣﺰﯾﻦ وإذا ﻛﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﯾﻤﯿﻨﮫ ﻓﺈن اﻟﻌﺪد‬ ‫ﯾﺪل ﻋﻠﻰ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻣﺰﯾﻦ ‪ ،‬وﻗﺪ ﻧﺸﺄ ھﺬا اﻟﺘﻌﺒﯿﺮ ﺑﺎﻷﺻﺎﺑﻊ ﻋﻦ اﻷﻋﺪاد ‪8 ، 7، ٦‬ﻛﻤﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ‪:‬‬ ‫وﻟﻠﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻦ اﻟﻌﺪد ‪ ٩‬ﻛﺘﺐ ‪ I‬ﻋﻠﻰ ﯾﺴﺎر اﻟﺮﻣﺰ اﻟﺪال ﻋﻠﻰ ﻋﺸﺮة وھﻮ ‪ X‬وﻟﻌﻠﮫ ﻣﺄﺧﻮذ ﻣﻦ وﺿﻊ اﻟﯿﺪﯾﻦ‬ ‫ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺘﯿﻦ‪ .‬وإذن ﻓﺎﻟﻌﺪد ‪ ٩‬ﯾﻜﺘﺐ ھﻜﺬا ‪ IX‬ﺛﻢ اﻟﻌﺪد ‪ ١٠‬ﯾﻜﺘﺐ ‪ X‬ﺛﻢ اﻟﻌﺪد ‪ ١١‬وﯾﺪل ﻋﻠﯿﮫ اﻟﺮﻣﺰ ‪ XI‬ﺣﯿﺚ‬ ‫ﯾﻮﺿﻊ اﻟﺮﻣﺰ اﻟﻤﻌﺒﺮ ﻋﻦ اﻟﻌﺪد واﺣﺪ ﻋﻠﻰ ﯾﻤﯿﻦ رﻣﺰ اﻟﻌﺸﺮة ﻟﯿﺪل ذﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻗﻤﯿﻦ وھﻜﺬا‪ ،‬وﺑﺬﻟﻚ‬ ‫ﻓﺈن اﻷرﻗﺎم اﻟﺮوﻣﺎﻧﯿﺔ اﻷوﻟﻰ ھﻲ‪:‬‬ ‫‪IX VIII‬‬ ‫‪VII‬‬ ‫‪VI‬‬ ‫‪V IV‬‬ ‫‪III‬‬ ‫‪II‬‬ ‫‪I‬‬ ‫اﻷرﻗ ﺎم اﻟﺮوﻣﺎﻧﯿ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ‬ ‫ﺮة ‪١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩‬‬ ‫ﺎم اﻟﻤﻌﺎﺻ‬ ‫ﻦ اﻷرﻗ‬ ‫ﺎﻣ‬ ‫ﺎ ﯾﻘﺎﺑﻠﮭ‬ ‫ﻣ‬ ‫‪XVI‬‬ ‫‪XIII‬‬ ‫‪XII‬‬ ‫‪XI‬‬ ‫‪X‬‬ ‫اﻷرﻗ ﺎم اﻟﺮوﻣﺎﻧﯿ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ‬ ‫ﺮة ‪١٠ ١١ ١٢ ١٣ ١٤‬‬ ‫ﺎم اﻟﻤﻌﺎﺻ‬ ‫ﻦ اﻷرﻗ‬ ‫ﺎﻣ‬ ‫ﺎ ﯾﻘﺎﺑﻠﮭ‬ ‫ﻣ‬ ‫وھﻜ‬

‫ﺬا إﻟ‬

‫ﻰﻋ‬

‫ﺸﺮﯾﻦ‬

‫ﺛ‬

‫‪XX‬‬

‫ﻢ ﺛﻼﺛ‬

‫ﯿﻦ‪XXX‬‬

‫وﻟﺘﺠﻨ ﺐ ﺗﻜ ﺮار رﻣ ﺰ أرﺑ ﻊ ﻣ ﺮات ﻟﻠﺪﻻﻟ ﺔ ﻋﻠ ﻰ ‪ ٤٠‬ھﻜ ﺬا ‪ XXXX‬وﺿ ﻊ رﻣ ﺰ ‪ L‬ﻟﻠﺪﻻﻟ ﺔ ﻋﻠ ﻰ اﻟﻌ ﺪد ﺧﻤ ﺴﯿﻦ‬ ‫وﯾﻌﺘﻘﺪ أﻧﮫ اﻟﻨﺼﻒ اﻷﺳﻔﻞ ﻣﻦ ﺣﺮف ‪ C‬اﻟﺪال ﻋﻠﻰ ﻣﺎﺋﺔ وھﻮ اﻟﺤﺮف اﻷول ﻣﻦ ﻛﻠﻤﺔ ( ‪ Centum‬أي ﻣﺎﺋ ﺔ (‪،‬‬ ‫‪٩١‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻓﺈن اﻟﻌﺪد ‪ ٤٠‬ﯾﻜﺘﺐ ھﻜﺬا ‪ XL‬ﺑﯿﻨﻤﺎ ﺗﺪل ‪ LX‬ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺪد ﺳﺘﯿﻦ‪ ،‬ﻛﺬﻟﻚ ﻓﺈن ‪ XC‬ﺗﺪل ﻋﻠﻰ ‪ ٩٠‬ﺑﯿﻨﻤﺎ‬ ‫‪CX‬ﺗﺪل ﻋﻠﻰ ﻣﺎﺋﺔ وﻋﺸﺮة ) ‪ ( ١١٠‬ﺛﻢ اﺳﺘﺨﺪم ﺣﺮف ‪ M‬ﻟﻠﺪﻻﻟﺔ ﻋﻠ ﻰ اﻟﻌ ﺪد أﻟ ﻒ ) ‪ ( ١٠٠٠‬رﺑﻤ ﺎ ﻷن ‪M‬‬ ‫ھ ﻮ اﻟﺤ ﺮف اﻷول ﻣ ﻦ ﻛﻠﻤ ﺔ ‪ Mille‬اﻟﻼﺗﯿﻨﯿ ﺔ ﺑﻤﻌﻨ ﻰ أﻟ ﻒ ) ‪ ( ١٠٠٠‬وﻗﺒ ﻞ ذﻟ ﻚ ﻛ ﺎن ﯾ ﺘﻢ اﻟﺘﻌﺒﯿ ﺮ ﻋ ﻦ اﻟﻌ ﺪد‬ ‫‪ ١٠٠٠‬ﺑﺎﻟﺤﺮف ) ﻓﺄي ( اﻟﯿﻮﻧﺎﻧﻲ ﺛﻢ ﻛﺘﺐ ﺑﺼﻮرة ﺑﺴﯿﻄﺔ ھﻜ ﺬا )‪ (I‬وھ ﺬا ﺗﺤ ﻮر إﻟ ﻰ ‪ M‬ﻟﻠﺪﻻﻟ ﺔ ﻋﻠ ﻰ ‪١٠٠٠‬‬ ‫أﻣﺎ اﻟﻌﺪد ‪ ٥٠٠‬ﻓﻘﺪ ﻛﺎن ﯾﺘﻢ اﻟﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻨﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ وھﻮ ﻛﻤﺎ ﺗﺮى اﻟﺠﺰء اﻷﯾﻤﻦ ﻣﻦ ﺣ ﺮف ) ‪ ( I‬ﻓ ﺄي ﻓ ﻲ ﺻ ﻮرﺗﮫ‬ ‫اﻟﺒﺴﯿﻄﺔ ﺛﻢ ﺗﺤﻮر اﻟﺮﻣﺰ اﻟﺪال ﻋﻠﻰ ﺧﻤﺴﻤﺎﺋﺔ إﻟﻰ ﺣﺮف ‪ D.‬واﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ ﯾﺒ ﯿﻦ ﺑﺎﺧﺘ ﺼﺎر اﻟﺮﻣ ﻮز اﻷﺳﺎﺳ ﯿﺔ‬ ‫ﺎﻧﻲ‪:‬‬ ‫ﺪ اﻟﺮوﻣ‬ ‫ﺎم اﻟﻌ‬ ‫ﻟﻨﻈ‬ ‫‪M‬‬ ‫‪1000‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪500‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪X‬‬

‫‪L‬‬ ‫‪50‬‬

‫‪10‬‬

‫‪V‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪I‬‬ ‫‪1‬‬

‫وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ﻚ ﻓ ﺈن اﻟﻌ ﺪد ‪ MXDVIII‬ﯾ ﺪل ﻋﻠ ﻰ ‪ ، ١٤٠٨‬واﻟﻌ ﺪد ‪ MMCCCXXLV‬ﯾ ﺪل ﻋﻠ ﻰ ‪، ٢٣٢٤‬‬ ‫وھﻜ ﺬا‪..‬‬ ‫‪MCMXCIX‬‬ ‫واﻟﻌ ﺎم ‪ ١٩٩٩‬ﯾ ﺪل ﻋﻠﯿ ﮫ اﻟﻌ ﺪد‬ ‫وﻗﺪ ﻇﻞ اﻟﻨﻈﺎم اﻟﺮوﻣﺎﻧﻲ ﺳﺎﺋﺪا ﻓﻲ أورﺑﺎ ﺣﺘﻰ دﺧﻮل اﻟﻨﻈﺎم اﻟﻌﺮﺑﻲ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ ] ‪ -‬ﻧﺴﺒﺔ إﻟﻰ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻣﻮﺳﻰ‬ ‫اﻟﺨﻮارزﻣﻲ ﻣﺆﺳﺲ ﻋﻠﻢ اﻟﺠﺒ ﺮ ) ﻣ ﻦ ‪ ١٦٤‬ه إﻟ ﻰ ‪ ٢٣٥‬ه( ‪) [ -‬ﻓ ﻲ اﻟﻘ ﺮن اﻟﻌﺎﺷ ﺮ اﻟﻤ ﯿﻼدي( وﻇ ﻞ اﻟﻨﻈﺎﻣ ﺎن‬ ‫ﯾﺘﻨﺎﻓﺴﺎن ﻓﻲ أوروﺑﺎ ﻗﺮاﺑﺔ أرﺑﻌﺔ ﻗﺮون إﻟﻰ أن ﺳﺎد اﻟﻨﻈﺎم اﻟﻌﺮﺑ ﻲ ﻟ ﺴﮭﻮﻟﺘﮫ ﻓ ﻲ ﺗ ﺴﺠﯿﻞ اﻷﻋ ﺪاد وﻓ ﻲ إﺟ ﺮاء‬ ‫اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ دون ﺣﺎﺟﺔ إﻟﻰ اﻟﻤﻌﺪاد اﻟﺬي ﻛﺎن ﯾ ﺴﺘﺨﺪم ﻓ ﻲ ﻇ ﻞ اﻟﻨﻈ ﺎم اﻟﺮوﻣ ﺎﻧﻲ‪ ) .‬واﻟﻤﻌ ﺪاد ھ ﻮ ﺟﮭ ﺎز‬ ‫ﻋﻨﺪ اﻟﺮوﻣﺎن‪(.‬‬

‫ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﻠﻔﻆ‬ ‫ﺘﻨﻘﺴﻡ ﺃﻟﻔﺎﻅ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺇﻟﻰ ﻗﺴﻤﻴﻥ‪:‬‬

‫‪ :١‬ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ )‪ :(cardinal‬ﻭﺍﺤﺩ )ﺃﺤﺩ(‪ ،‬ﺍﺜﻨﺎﻥ‪ ،‬ﺜﻼﺙ‪ ،‬ﺃﺭﺒﻊ‪ ،‬ﺨﻤﺱ‪ ،‬ﺴﺕ‪ ،‬ﺴﺒﻊ‪ ،‬ﺜﻤﺎﻥ‪ ،‬ﺘﺴﻊ‪ ،‬ﻋﺸﺭ‪،‬‬

‫ﻋﺸﺭﻭﻥ‪ ،‬ﺜﻼﺜﻭﻥ‪ ،‬ﺃﺭﺒﻌﻭﻥ‪ ، … ،‬ﺘﺴﻌﻭﻥ‪ ،‬ﻤﺌﺔ‪ ،‬ﺃﻟﻑ‪ .‬ﻭﻫﻲ ﺘﻠﻙ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﻴﻥ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻤﻌﺩﻭﺩﻫﺎ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﻗﻠﺕ‪:‬‬ ‫"ﺠﺎﺀﺕ ﺨﻤﺱ ﻓﺘﻴﺎﺕ" ﺃﻭ " ﺠﺎﺀ ﺨﻤﺴﺔ ﺭﺠﺎل"‪ ،‬ﻓﻬﻡ ﺍﻟﺴﺎﻤﻊ ﺃﻨﻙ ﺘﻌﻨﻲ ﻓﺘﻴﺎﺕﹲ ﺒﻠﻎ ﻤﻘﺩﺍﺭﻫﻥ "ﺨﻤﺱ" ﻭﺭﺠﺎﻻﹰ ﺒﻠﻎ‬

‫ﻤﻘﺩﺍﺭﻫﻡ "ﺨﻤﺴﺔ"‪ ٦.‬ﻭﻴﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﺘﻠﻙ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺒﺎﻟﺭﻤﻭﺯ )ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ( ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻓﺔ‪.( 9 , 8 , 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1):‬‬

‫‪ :٢‬ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺒﻴﺔ )‪ :(ordinal‬ﻭﻫﻲ ﺘﻠﻙ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺸﻴﺭ ﺇﻟﻰ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻌﺩﻭﺩﻫﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻏﻴﺭﻩ‪ .‬ﻭﻗﺩ ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﻤﺫﹼﻜﺭﺓ‪ :‬ﺍﻷﻭل‪ ،‬ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‪ ،‬ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪ ،‬ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ …ﺍﻟﺦ‪ ،‬ﺃﻭ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺅﻨﺜﺔ‪ :‬ﺍﻷﻭﻟﻰ‪ ،‬ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ ،‬ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪ ،‬ﺍﻟﺭﺍﺒﻌﺔ …ﺍﻟﺦ‪ .‬ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻠﻐﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﻻ ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﺘﻠﻙ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺒﺭﻤﻭﺯ )ﺃﺭﻗﺎﻡ( ﻤﻌﺭﻭﻓﺔ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺎل ﻓﻲ ﺍﻟﻠﻐﺔ ﺍﻹﻨﻜﻠﻴﺯﻴﺔ ﻤﺜﻼﹰ‪:‬‬ ‫) ‪.(1st , 2nd, 3rd, 4th‬‬

‫ﻣﺸﻜﻼﺕ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ‬ ‫ﺃ‪ :‬ﻤﺸﻜﻠﺔ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﺩ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻨﻭﻋﺎﻥ‪ :‬ﻤﺒﻬﻡ ﻭﺼﺭﻴﺢ‪ .‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺒﻬﻡ ﻭﻫﻭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩلّ ﻋﻠﻴﻪ ﺒﻜﻨﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩ‪ :‬ﻜﻡ ‪ ،‬ﻜﺄﻴ‪‬ﻥ‪ ،‬ﻜﺫﺍ‪ .‬ﻭﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺭﻴﺤﺔ‬ ‫ﻫﻲ )ﺍﻟﻤﺒﺎﺭﻙ‪ ،‬ﻭﺁﺨﺭﻭﻥ‪:( ١٩٨٣ ،‬‬ ‫– ﻤﻥ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﺸﺭﺓ‪.‬‬ ‫‪٩٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫– ﺃﻟﻔﺎﻅ ﺍﻟﻌﻘﻭﺩ‪ :‬ﻋﺸﺭﻭﻥ‪ ،‬ﺜﻼﺜﻭﻥ‪ ،‬ﺃﺭﺒﻌﻭﻥ … ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺘﺴﻌﻴﻥ‪.‬‬ ‫– ﺍﻟﻤﺎﺌﺔ ﻭﺍﻷﻟﻑ ﻭﻤﺜﻨﺎﻫﻤﺎ ﻭﺠﻤﻌﻬﻤﺎ ﻭﻤﺎ ﺠﺭﻯ ﻤﺠﺭﺍﻫﻤﺎ ﻜﺎﻟﻤﻠﻴﻭﻥ ﻭﺍﻟﺒﻠﻴﻭﻥ ﻭﺍﻟﺘﺭﻴﻠﻴﻭﻥ …‬ ‫ﻭﻟﻬﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻤﻁﺎﺒﻘﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺫﻜﻴﺭ ﻭﺍﻟﺘﺄﻨﻴﺙ ﺃﻭ ﻋﺩﻤﻬﺎ ﺍﻷﺤﻜﺎﻡ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ :١‬ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺒﻠﻔﻅ ﻭﺍﺤﺩ ﻟﻠﻤﺫﻜﺭ ﻭﺍﻟﻤﺅﻨﺙ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻴﻥ )ﺏ( ﻭ )ﺝ( ﺃﻋﻼﻩ‪ ،‬ﻨﺤﻭ‪:‬‬ ‫»ﻋﻨﺩﻱ ﻋﺸﺭﻭﻥ ) ﺜﻼﺜﻭﻥ‪ ،‬ﻤﺌﺔ‪ ،‬ﺃﻟﻑ‪ ،‬ﻤﻠﻴﻭﻥ‪ ،‬ﺒﻠﻴﻭﻥ( ﻟﻴﺭﺓ ‪ ،‬ﻋﻨﺩﻱ ﻋﺸﺭﻭﻥ‬ ‫) ﺜﻼﺜﻭﻥ‪ ،‬ﻤﺌﺔ‪ ،‬ﺃﻟﻑ‪ ،‬ﻤﻠﻴﻭﻥ‪ ،‬ﺒﻠﻴﻭﻥ( ﺩﻴﻨﺎﺭﺍﹰ «‪.‬‬ ‫‪) :٢‬ﻭﺍﺤﺩ ‪ ،‬ﺍﺜﻨﺎﻥ( ﻴﻭﺍﻓﻘﺎﻥ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﺩ ﺩﺍﺌﻤﺎﹰ ﻓﻴﺫﻜﺭﺍﻥ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺫﻜﺭ ﻭﻴﺅﻨﺜﺎﻥ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺅﻨﺙ ﺴﻭﺍﺀ ﺃﻜﺎﻨﺎ ﻤﻔﺭﺩﻴﻥ ﺃﻡ ﻤﺭﻜﺒﻴﻥ‬ ‫ﺃﻡ ﻤﺘﻌﺎﻁﻔﻴﻥ‪ ،‬ﻨﺤﻭ‪» :‬ﻫﺫﺍ ﺩﻴﻨﺎﺭ ﻭﺍﺤﺩ ‪ ،‬ﻫﺫﺍﻥ ﺩﻴﻨﺎﺭﺍﻥ ﺍﺜﻨﺎﻥ ‪ ،‬ﻫﺫﻩ ﻟﻴﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ‪ ،‬ﻫﺎﺘﺎﻥ ﻟﻴﺭﺘﺎﻥ ﺍﺜﻨﺘﺎﻥ ‪ ،‬ﻋﻨﺩﻱ ﺃﺤﺩ‬ ‫ﻋﺸﺭ ﺴﻬﻤﺎﹰ ‪ ،‬ﻋﻨﺩﻱ ﺍﺜﻨﺎ ﻋﺸﺭ ﺴﻬﻤﺎﹰ ‪ ،‬ﻋﻨﺩﻱ ﺇﺤﺩﻯ ﻋﺸﺭﺓ ﻟﻴﺭﺓ‪ ،‬ﻋﻨﺩﻱ ﺍﺜﻨﺘﺎ ﻋﺸﺭﺓ ﻟﻴﺭﺓ ‪ ،‬ﻋﻨﺩﻱ ﻭﺍﺤﺩ ﻭﻋﺸﺭﻭﻥ‬ ‫ﺩﻭﻻﺭﺍﹰ ‪ ،‬ﻋﻨﺩﻱ ﺍﺜﻨﺎﻥ ﻭﻋﺸﺭﻭﻥ ﺩﻭﻻﺭﺍﹰ ‪ ،‬ﻋﻨﺩﻱ ﺇﺤﺩﻯ ﻭﻋﺸﺭﻭﻥ ﺃﻭﻗﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺫﻫﺏ ‪ ،‬ﻋﻨﺩﻱ ﺍﺜﻨﺘﺎﻥ ﻭﻋﺸﺭﻭﻥ ﺃﻭﻗﻴﺔ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺫﻫﺏ«‪.‬‬ ‫‪) :٣‬ﺜﻼﺜﺔ ﺇﻟﻰ ﺘﺴﻌﺔ( ﺘﺨﺎﻟﻑ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﺩ ﻓﺘﺫﻜﺭ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺅﻨﺙ ﻭﺘﺅﻨﺙ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺫﻜﺭ‪ ،‬ﺴﻭﺍﺀ ﺃﻜﺎﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻤﻔﺭﺩﺍﹰ ﺃﻡ ﻤﺭﻜﺒﺎﹰ ﺃﻡ‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻁﻔﺎﹰ‪ ،‬ﻨﺤﻭ‪ » :‬ﺜﻼﺙ ﻟﻴﺭﺍﺕ ‪ ،‬ﺜﻼﺜﺔ ﺩﻨﺎﻨﻴﺭ ‪ ،‬ﺜﻼﺙ ﻋﺸﺭﺓ ﻟﻴﺭﺓ‪ ،‬ﺜﻼﺜﺔ ﻋﺸﺭ ﺩﻴﻨﺎﺭﺍﹰ‪ ،‬ﺜﻼﺙ ﻭﻋﺸﺭﻭﻥ ﻟﻴﺭﺓ ‪ ،‬ﺜﻼﺜﺔ‬ ‫ﻭﻋﺸﺭﻭﻥ ﺩﻴﻨﺎﺭﺍﹰ «‪.‬‬

‫‪ :٤‬ﺍﻟﻌﺩﺩ )ﻋﺸﺭﺓ( ﻴﺨﺎﻟﻑ ﻤﻌﺩﻭﺩﻩ ﺇﻥ ﻜﺎﻥ ﻤﻔﺭﺩﺍﹰ ﻭﻴﻭﺍﻓﻘﻪ ﺇﻥ ﻜﺎﻥ ﻤﺭﻜﺒﺎﹰ‪ ،‬ﻨﺤﻭ‪» :‬ﻋﺸﺭ ﻟﻴﺭﺍﺕ ‪ ،‬ﻋﺸﺭﺓ ﺩﻨﺎﻨﻴﺭ ‪،‬‬

‫ﺜﻼﺙ ﻋﺸﺭﺓ ﻟﻴﺭﺓ‪ ،‬ﺜﻼﺜﺔ ﻋﺸﺭ ﺩﻴﻨﺎﺭﺍﹰ «‪.‬‬ ‫ﺏ‪ :‬ﻤﺸﻜﻠﺔ ﺍﻟﺘﻤﻴﻴﺯ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻭﺍﻟﺭﻗﻡ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻫﻭ ﺘﻌﺒﻴﺭ ﺭﻗﻤﻲ ﻋﻥ ﻜﻤﻴﺔ ﻤﻌﺩﻭﺩﺓ ﻭﻴﻠﻔﻅ ﺒﻜل ﻤﺭﺍﺘﺒﻪ‪ .‬ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﻓﻬﻭ ﺭﻤﺯ ﻤﺠﺭﺩ ﺒﺩﻭﻥ ﻤﻌﺩﻭﺩ‪ ،‬ﻤﺜل‪ :‬ﺭﻗﻡ‬ ‫ﺍﻟﻬﺎﺘﻑ‪ ،‬ﺭﻗﻡ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ‪ ،‬ﻭﺭﻗﻡ ﺍﻟﺒﻨﺎﺀ …ﺇﻟﺦ‪ ،‬ﻭﻴﻔﻀل ﺃﻥ ﻴﻠﻔﻅ ﺒﺩﻭﻥ ﻤﺭﺍﺘﺏ ﻜﺄﻥ ﻨﻠﻔﻅ ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻬﺎﺘﻑ ‪ ٧٦٣٤٣٠‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺸﻜل ﺃﺯﻭﺍﺝ ‪ ٧٦‬ﻭ ‪ ٣٤‬ﻭ ‪ ٣٠‬ﻭﺫﻟﻙ ﻟﺴﻬﻭﻟﺔ ﺍﻟﻔﻬﻡ ﻭﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‪ .‬ﻭﻗﺩ ﺍﺴﺘﺨﺩﻤﺕ ﺭﻤﻭﺯ ﻤﺘﻌﺩﺩﺓ ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﺍﺨﺘﻠﻔﺕ ﺒﺎﺨﺘﻼﻑ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﻭﺍﻟﺯﻤﺎﻥ‪.‬‬ ‫ﺝ ‪ :‬ﻤﺸﻜﻠﺔ ﺍﻟﺒﻠﻴﻭﻥ ﺍﻹﻨﻜﻠﻴﺯﻱ ﻭﺍﻟﺒﻠﻴﻭﻥ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻲ )ﻤﺸﻜﻠﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ(‪:‬‬ ‫"ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺭﺏ ﻟﻔﻅ ﻟﻠﻌﺩﺩ ﺇﺫﺍ ﺘﺠﺎﻭﺯ ﺍﻷﻟﻑ‪ ،‬ﻓﻜﺎﻨﻭﺍ ﻴﻌﺒﺭﻭﻥ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﻠﻴﻭﻥ )‪ ( 1,000,000‬ﺒﻘﻭﻟﻬﻡ »ﺃﻟﻑﹸ ﺃﻟﻑٍ«‪،‬‬ ‫ﻭﻋﻥ ﺍﻟﻤﻠﻴﺎﺭ )‪ – ( 1,000,000,000‬ﻭﻴﺴﻤﻰ ﻋﻨﺩ ﺍﻹﻨﻜﻠﻴﺯ ]ﺒل ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻋﻨﺩ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﺎﻥ[ »ﺒﻠﻴﻭﻥ« ‪ -‬ﺒﻘﻭﻟﻬﻡ‬ ‫»ﺃﻟﻑﹸ ﺃﻟﻑِ ﺃﻟﻑٍ«‪".‬‬

‫‪٨‬‬

‫ﻭﻟﻘﺩ ﺃﻭﺭﺩ )‪ (Hornby, 1978, p. 1036‬ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺒﻴﻥ ﻟﻨﺎ ﺍﻷﺴﻤﺎﺀ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﺒﻌﺽ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻓﻲ ﻜل‬ ‫ﻤﻥ ﺒﺭﻴﻁﺎﻨﻴﺎ ﻭﺍﻟﺩﻭل ﺍﻷﻭﺭﺒﻴﺔ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻤﻥ ﺠﻬﺔ‪ ،‬ﻭﺍﻟﻭﻻﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺤﺩﺓ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻴﺔ ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل )‪(I‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ ﻭﺍﻻﺴﻡ ﺍﻟﻠﻔﻅﻲ ﻟﺒﻌﺽ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﻋﻤﻮد )‪(١‬‬

‫ﻋﻤﻮد )‪(٢‬‬

‫ﻋﻤﻮد )‪(٣‬‬

‫ﻋﻤﻭﺩ )‪(٤‬‬

‫اﻟﻌﺪد‬

‫اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻌﻠﻤﻲ ﻟﻠﻌﺪد‬

‫اﻻﺳﻢ اﻟﻠﻔﻈﻲ ﻓﻲ اﻟﻮﻻﯾﺎت‬ ‫اﻟﻤﺘﺤﺪة اﻷﻣﺮﯾﻜﯿﺔ‬

‫ﺍﻻﺴﻡ ﺍﻟﻠﻔﻅﻲ ﻓﻲ‬

‫‪٩٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺒﺭﻴﻁﺎﻨﻴﺎ ﻭﺍﻟﺩﻭل‬ ‫ﺍﻷﻭﺭﺒﻴﺔ ﺍﻷﺨﺭﻯ‬

‫‪1,000,000,000‬‬

‫‪١٠٩‬‬

‫ﺑﻠﯿﻮن )‪(billion‬‬

‫‪١,000,000,000,000‬‬

‫‪١٠١٢‬‬

‫ﺃﻟﻑ ﻤﻠﻴﻭﻥ‬

‫ﺗﺮﻟﯿﻮن )‪(trillion‬‬

‫‪١,000,000,000,000,000‬‬

‫‪١٠١٥‬‬

‫ﺒﻠﻴﻭﻥ )‪(billion‬‬

‫ﻛﻮادرﻟﯿﻮن‬ ‫)‪(quadrillion‬‬

‫ﺃﻟﻑ ﺒﻠﻴﻭﻥ‬

‫‪1,000,000,000,000,000,000‬‬

‫‪١٠١٨‬‬

‫ﻛﻮِﻧﺘﻠﯿﻮن )‪(quintillion‬‬

‫ﺘﺭﻟﻴﻭﻥ )‪(trillion‬‬

‫ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل )‪ ( I‬ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﺒﻠﻴﻭﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﻻﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺤﺩﺓ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻴﺔ ﻻ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺒﻠﻴﻭﻥ ﻓﻲ ﺒﺭﻴﻁﺎﻨﻴﺎ ﻭﺍﻟﺩﻭل ﺍﻷﻭﺭﺒﻴﺔ‬ ‫ﺍﻷﺨﺭﻯ‪ ،‬ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﻋﺩﺩ ﺃﺼﻔﺎﺭ ﺍﻷﻭل ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺘﺴﻌﺔ ﻭﻋﺩﺩ ﺃﺼﻔﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺃﺜﻨﻲ ﻋﺸﺭ ﺼﻔﺭﺍﹰ )ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺜﻼﺙ ﺃﺼﻔﺎﺭ(‪.‬‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ ﻫﻨﺎﻙ ﻓﺭﻕ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺴﺘﺔ ﺃﺼﻔﺎﺭ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﺭﻟﻴﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺩﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﻻﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺤﺩﺓ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻴﺔ ﻤﻥ ﺠﻬﺔ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺘﺭﻟﻴﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺩﻡ ﻓﻲ ﺒﺭﻴﻁﺎﻨﻴﺎ ﻭﺍﻟﺩﻭل ﺍﻷﻭﺭﺒﻴﺔ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ!‬ ‫ﻻ ﺸﻙ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻻﺨﺘﻼﻑ ﻴﺨﻠﻕ ﻤﺸﺎﻜل ﺠﻤﺔ ﻟﻺﺤﺼﺎﺌﻴﻴﻥ ﻭﻟﻠﺒﺎﺤﺜﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‪ ،‬ﻭﻴﺘﻁﻠﺏ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺩﻗﺔ ﻭﺍﻟﺤﺫﺭ ﻋﻨﺩ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻜﻠﻤﺎﺕ ﻭﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻌﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﺇﻥ ﻭﺠﻭﺩ ﺍﻟﻤﻘﺭ ﺍﻟﺭﺌﻴﺱ ﻟﻸﻤﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺩﺓ‪ ،‬ﻭﻤﻘﺎﺭ ﻤﻨﻅﻤﺎﺕ ﺩﻭﻟﻴﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻤﺜل‪ :‬ﺼﻨﺩﻭﻕ ﺍﻟﻨﻘﺩ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﻭﺍﻟﺒﻨﻙ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻭﻻﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺤﺩﺓ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺍﻋﺘﻤﺎﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻨﻅﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻨﻰ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻲ ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ )ﻋﻤﻭﺩ ‪ ٣‬ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪ ،( I‬ﺴﺎﻋﺩ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻨﺘﺸﺎﺭ ﺍﻻﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻲ ﻟﻬﺎ ﻭﺍﻨﺩﺜﺎﺭ ﺍﻻﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺒﺭﻴﻁﺎﻨﻲ ﺘﺩﺭﻴﺠﻴﺎﹰ‪ ،‬ﺤﺘﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﺒﺭﻴﻁﺎﻨﻴﻴﻥ ﺃﻨﻔﺴﻬﻡ ﺒﺩﺅﻭﺍ‬ ‫ﻴﺴﺘﺨﺩﻤﻭﻥ ﻭﺒﺸﻜل ﻤﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻻﺴﻡ ﻭﺍﻟﻤﻌﻨﻰ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻲ ﻟﻠﺒﻠﻴﻭﻥ‪ ،‬ﻭﺇﻁﻼﻕ ﻜﻠﻤﺔ "ﺍﻟﺒﻠﻴﻭﻥ ﺍﻟﺘﻘﻠﻴﺩﻱ" ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻠﻴﻭﻥ ﺫﻭ‬ ‫ﺍﻻﺜﻨﻲ ﻋﺸﺭ ﺼﻔﺭﺍﹰ‪ .‬ﺇﺫﺍﹰ‪ ،‬ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﻭﺼﻭل ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻫﻲ ﺃﻥ ﻤﻌﺎﻨﻲ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ‪ ٤‬ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل )‪ (I‬ﻫﻲ ﻋﻤﻠﻴﺎﹰ ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﻌﻤﻠﺔ ﺤﺎﻟﻴﺎﹰ ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺩﻭل ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ‪ ،‬ﻤﺎ ﻋﺩﺍ ﻤﻌﻨﻰ "ﺃﻟﻑ ﻤﻠﻴﻭﻥ"‪ ،‬ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﻜﺜﻴﺭ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻹﻨﻜﻠﻴﺯ ﻜﺎﻨﻭﺍ ﻭﻻﺯﺍﻟﻭﺍ ﻴﻔﻀﻠﻭﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺴﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻜﻠﻤﺔ "ﺒﻠﻴﻭﻥ" ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺩﻤﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻴﻴﻥ ﻭﺁﺨﺭﻴﻥ ﻏﻴﺭﻫﻡ‪ ،‬ﻤﻊ‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪.1,000,000,000‬‬

‫ﻜﺫﻟﻙ ﺘﺠﺩﺭ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ ﻜﻠﻤﺔ ﻤﻠﻴﺎﺭ )‪ (milliard‬ﻓﻲ ﺍﻟﻠﻐﺔ ﺍﻹﻨﻜﻠﻴﺯﻴﺔ ﻫﻲ ﺫﺍﺕ ﺃﺼل ﻓﺭﻨﺴﻲ‪ ٩،‬ﻟﻜﻨﻬﺎ ﻋﻤﻠﻴﺎﹰ ﻻ‬ ‫ﺘﺴﺘﺨﺩﻡ ﻓﻲ ﺒﺭﻴﻁﺎﻨﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺭﻏﻡ ﻤﻥ ﺘﻔﻀﻴل ﺍﻟﻔﺭﻨﺴﻴﻴﻥ ﻭﺒﻌﺽ ﺍﻟﻌﺭﺏ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺴﻤﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻊ ﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻨﻬﺎ ﻜﺫﻟﻙ‬ ‫ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ 1,000,000,000‬ﻭﺘﻌﺎﺩل ﺍﻟﺒﻠﻴﻭﻥ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻲ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍﹰ‪ ،‬ﻤﺎ ﻴﺠﺏ ﺘﺫﻜﺭﻩ ﺩﺍﺌﻤﺎﹰ ﻫﻭ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫ﻤﻠﻴﺎﺭ ﻓﻲ ﻓﺭﻨﺴﺎ = ﺃﻟﻑ ﻤﻠﻴﻭﻥ ﻓﻲ ﺒﺭﻴﻁﺎﻨﻴﺎ = ﺒﻠﻴﻭﻥ ﻓﻲ ﺃﻤﺭﻴﻜﺎ =‬ ‫‪1,000,000,000‬‬

‫ﻭﻟﻨﺘﺴﺎﺀل ﺍﻵﻥ ﻜﻡ ﻫﻭ ﻜﺒﻴﺭ ﺍﻟﺒﻠﻴﻭﻥ‪ ،‬ﺍﻟﺘﺭﻟﻴﻭﻥ‪ ،‬ﺍﻟﻜﻭﺍﺩﺭﻟﻴﻭﻥ‪ ،‬ﻭﺍﻟﻜﻭِﻨﺘﻠﻴﻭﻥ ؟‬ ‫‪٩٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺇﻥ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ )‪ (٤‬ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل )‪ ،(II‬ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺒﻠﻴﻭﻥ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺘﻘﺭﻴﺒﺎﹰ ‪ ٣٢‬ﺴﻨﺔ‪ ،‬ﻴﻌﻁﻲ ﻓﻜﺭﺓ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ‪.‬‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﺔ ﺃﻥ ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ ﺍﻟﻨﻴﺎﻨﺩﺭﺘﺎﻟﻲ )‪ – (Neanderthal man‬ﻭﻫﻭ ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻭﺍﺩﻱ ﺍﻟﻨﻴﺎﻨﺩﺭﺘﺎل ﻗﺭﺏ‬ ‫‪١٠‬‬

‫ﺩﻭﺴﻴﻠﺩﻭﻑ ﺒﺄﻟﻤﺎﻨﻴﺎ‬ ‫ﺠﺩﻴﺭﺓ ﺒﺎﻟﺘﻔﻜﺭ‪.‬‬

‫‪١١‬‬

‫ﺤﻴﺙ ﻭﺠﺩﺕ ﺒﻘﺎﻴﺎ ﻫﻴﻜل ﻋﻅﻤﻲ ﻹﻨﺴﺎﻥ ﻗﺩﻴﻡ – ﻗﺩ ﺃﻨﻘﺭﺽ ﻤﻨﺫ ﺤﻭﺍﻟﻲ ﺘﺭﻟﻴﻭﻥ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﻬﻲ‬

‫ﺍﻟﺠﺩﻭل )‪(II‬‬ ‫ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺒﻌﺽ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺒﺎﻟﺜﻭﺍﻨﻲ ﻭﺘﺤﻭﻴﻠﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﺩﻗﺎﺌﻕ‪ ،‬ﺃﻴﺎﻡ ﺃﻭ ﺴﻨﻭﺍﺕ‬ ‫ﻋﻤﻭﺩ )‪(١‬‬

‫ﻋﻤﻭﺩ )‪(٢‬‬

‫ﻋﻤﻭﺩ )‪(٣‬‬

‫ﻋﻤﻭﺩ )‪(٤‬‬

‫ﺍﻟﻌﺩﺩ‬

‫ﻋﺩﺩ‬

‫ﺍﻻﺴﻡ ﺍﻟﻠﻔﻅﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﻻﻴﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﺭﻗﻡ ﻤﺤﺩﺩﺍﹰ ﺒﺎﻟﺜﻭﺍﻨﻲ‬

‫ﺍﻷﺼﻔﺎﺭ‬

‫ﺍﻟﻤﺘﺤﺩﺓ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻴﺔ‬

‫ﻭﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﹻ ‪:‬‬

‫‪١,000‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﺃﻟﻑ )‪(thousand‬‬

‫‪ ١٧‬ﺩﻗﻴﻘﺔ‬

‫‪١,000,000‬‬ ‫‪1,000,000,000‬‬

‫‪٦‬‬

‫ﻤﻠﻴﻭﻥ ) ‪(million‬‬

‫‪ ١١,٥‬ﻴﻭﻡ‬

‫‪٩‬‬

‫ﺒﻠﻴﻭﻥ )‪(billion‬‬

‫‪ ٣٢‬ﺴﻨﺔ‬

‫‪١,000,000,000,000‬‬

‫‪١٢‬‬

‫ﺘﺭﻟﻴﻭﻥ )‪(trillion‬‬

‫‪ ٣٢‬ﺃﻟﻑ ﺴﻨﺔ‬

‫‪1,000,000,000,000,000‬‬

‫‪١٥‬‬

‫ﻜﻭﺍﺩﺭﻟﻴﻭﻥ‬

‫‪ ٣٢‬ﻤﻠﻴﻭﻥ ﺴﻨﺔ‬

‫‪1,000,000,000,000,000,000‬‬

‫‪١٨‬‬

‫)‪(quadrillion‬‬ ‫ﻜﻭِﻨﺘﻠﻴﻭﻥ )‪(quintillion‬‬

‫‪ ٣٢‬ﺒﻠﻴﻭﻥ ﺴﻨﺔ‬

‫إذا ﻓﺮﺿﻨﺎ أن اﻹﻧﺴﺎن ﯾﺤﺘﺎج إﻟﻰ ﻋﺸﺮ ﺛﻮانٍ ﻛﻲ ﯾﻌﺪ ﻣﻦ اﻟﻮاﺣﺪ إﻟﻰ اﻟﻌﺸﺮة )أي ﯾﻌﺪ رﻗﻤﺎً واﺣﺪًا‬ ‫ﺑﺎﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﻮاﺣﺪة(‪ ،‬ﻓﮭﺬا ﯾﻌﻨﻲ إن اﻹﻧﺴﺎن ﯾﺤﺘﺎج إﻟﻰ ‪ ٣٢‬ﺳﻨﺔ ﻛﻲ ﯾﻌﺪ ﻣﻦ اﻟﻮاﺣﺪ إﻟﻰ اﻟﺒﻠﯿﻮن‪ ،‬وﯾﺤﺘﺎج‬ ‫إﻟﻰ ‪ ٣٢‬أﻟﻒ ﺳﻨﺔ ﻛﻲ ﯾﻌﺪ ﻣﻦ اﻟﻮاﺣﺪ إﻟﻰ اﻟﺘﺮﻟﯿﻮن )ﺣﺴﺐ اﻻﺳﺘﺨﺪام اﻷﻣﺮﯾﻜﻲ(‪ ١٢.‬ﻛﺬﻟﻚ إذا اﻓﺘﺮﺿﻨﺎ‬ ‫أن ﻧﻄﻖ ﻛﻠﻤﺘﻲ "اﻟﺤﻤﺪ ﷲ" ﺑﺘﺪﺑﺮ ﯾﺤﺘﺎج إﻟﻰ ﺛﺎﻧﯿﺔ واﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﺰﻣﻦ – وھﺬا اﻓﺘﺮاض ﻟﯿﺲ ﺑﺒﻌﯿﺪ ﻋﻦ‬ ‫اﻟﺤﻘﯿﻘﺔ‪ ،‬ﺟﺮب ھﺬا إذا ﻛﻨﺖ ﻻ ﺗﺼﺪق ‪ ،-‬ﻓﮭﺬا ﯾﻌﻨﻲ أﻧﻨﺎ إذا أردﻧﺎ ﺣﻤﺪ اﷲ ‪ 1,000,000,000‬ﻣﺮة‬ ‫‪١٣‬‬ ‫ﻓﻘﻂ‪ ،‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ ‪ ٣٢‬ﺳﻨﺔ‪.‬‬

‫‪٩٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫‪ ²‬اﻟﻤﺠــــــــــــــﺎل ‪ :‬ﻣﺠﻤـــــــــﻮﻋﺔ اﻟﻌﻨــــــــﺎﺻﺮ اﻟﺘﻰ ﯾﺄﺧـــــــﺬھﺎ اﻟﻤﺘﻐـــﯿﺮ س ﺑﺤــــﯿﺚ ﯾﻜــــــﻮن اﻟﻨــﺎﺗــــﺞ‬ ‫ﻛﻤﯿﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ " ﻋـﺪد ﺣﻘﯿﻘﻰ " ‪.‬‬ ‫‪ ²‬ﻗـﻮاﻋــــﺪ ھـــﺎﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (١‬ﻣﺠﺎل أى داﻟﺔ ﻛﺜﯿﺮة اﻟﺤﺪود ﻣﮭﻤﺎ ﻛﺎن درﺟﺘﮭﺎ = ح ‪.‬‬ ‫‪ (٢‬ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ = ح ‪ -‬أﺻﻔـــــــﺎر اﻟﻤﻘــــــــﺎم ‪.‬‬ ‫‪ ²‬ﺣـــﺎﻟﺔ ﺧـــــﺎﺻﺔ ‪ ï :‬ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ = ح ﻓﻰ اﻟﺤﺎﻻت اﻷﺗﯿﺔ ‪:‬‬ ‫* اﻟﻤﻘﺎم داﻟﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ ‪.‬‬

‫* اﻟﻤﻘﺎم ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة س ن ‪ +‬أ ﺣﯿﺚ ن ← زوﺟﻰ ‪ ،‬أ ‪ Э‬ح‬

‫‪+‬‬

‫* اﻟﻤﻘﺎم ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة أ س‪ + ٢‬ب س ‪ +‬ﺟـ ‪ :‬ﺣﯿﺚ اﻟﻤﻤﯿﺰ ﯾﻜﻮن ﺳﺎﻟﺒﺎً ‪.‬‬ ‫‪ (٣‬ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺠﺬرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫أوﻻً ‪ :‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن دﻟﯿﻞ اﻟﺠﺬر ﻓــﺮدﯾﺎً ‪:‬‬ ‫* ﻣﺠﺎل د ) س ( = ح‬

‫← ﻣﺠﺎل د ) س ( = ح‬

‫د)س(=‬

‫ﺛﺎﻧﯿﺎً ‪ :‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن دﻟﯿﻞ اﻟﺠﺬر زوﺟﯿﺎ ‪:‬‬ ‫* ﻣﺠﺎل د ) س ( ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ اﻟﺤﻘﯿﻘﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺠﻌﻞ ﻣﺎ ﺗﺤﺖ اﻟﺠﺬر ﻛﻤﯿﺔ ﻏﯿﺮ ﺳﺎﻟﺒﺔ ) ≤ ‪. ( ٠‬‬ ‫د)س(=‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــﻞ‬ ‫˙‪ ˙.‬س ‪ ← ٠ ≤ ٥ +‬س ≤ ‪ ← ٥ -‬ﻣﺠﺎل د ) س ( = ] ‪] ∞ ، ٥ -‬‬ ‫د)س(=‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــﻞ‬ ‫س‪ - ٢‬س ‪٠ = ١٢ -‬‬ ‫)س‪(٤-‬‬

‫)س‪٠=(٣+‬‬

‫س‪٠=٤-‬‬

‫س‪٠=٣+‬‬

‫س=‪٤‬‬

‫س=‪٣-‬‬

‫˙‪ ˙.‬ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺠﺬرﯾﺔ ﻛﻤﯿﺔ ﻏﯿﺮ ﺳﺎﻟﺒﺔ ) ≤ ‪. ( ٠‬‬ ‫‪ .˙.‬ﻣﺠﺎل د ) س ( = ] ‪ = [ ٣ - ، ∞ - ] U ] ∞ ، ٤‬ح ‪] ٤ ، ٣ [ - -‬‬

‫‪٩٦‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻟــــــــﺪوال‬ ‫‪ ²‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ :‬د ‪ ، ١‬د ‪ ٢‬داﻟﺘﯿﻦ ﻣﺠﺎﻟﮭﻤﺎ م ‪ ، ١‬م ‪ ٢‬ﺣﯿﺚ ‪:‬‬ ‫د‪ : ١‬م‪ ← ١‬ح‬

‫‪،‬‬

‫د‪: ٢‬‬

‫♦ ) د‪ ± ١‬د‪ : ( ٢‬م‪∩ ١‬‬

‫م‪٢‬‬

‫←ح‬

‫م‪٢‬‬

‫‪،‬‬

‫م‪∩ ١‬‬

‫م‪٢‬‬

‫≠‬

‫ﻓــــــﺈن ‪:‬‬

‫←ح‬

‫♦ ) د‪ . ١‬د‪ : ( ٢‬م‪ ∩ ١‬م‪ ← ٢‬ح‬ ‫♦)‬

‫ﺣﯿﺚ ف ) د ‪ ( ٢‬ھﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ أﺻﻔﺎر اﻟﻤﻘﺎم ‪.‬‬

‫( ‪ :‬م‪ ∩ ١‬م‪ - ٢‬ف } د‪ ← { ٢‬ح‬

‫‪ ²‬ﻧﻼﺣــﻆ ﻣﻦ ھﺬا اﻟﺘﻌﺮﯾﻒ أن ﻣﺠﻤﻮع أو ﻓﺮق أو ﺿﺮب داﻟﺘﯿﻦ ھﻮ داﻟﺔ ﺟﺪﯾﺪة ﺑﺸﺮط ) م ‪ ∩ ١‬م ‪≠ ٢‬‬ ‫ﺣﯿﺚ ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ ھﻮ اﻟﻤﺠﺎل اﻟﻤﺸﺘﺮك ﻟﻠﺪاﻟﺘﯿﻦ د ‪، ١‬‬

‫د‪٢‬‬

‫(‬

‫أﻣﺎ ﻣﺠﺎل ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺔ داﻟﺘﯿﻦ ھﻮ اﻟﻤﺠﺎل اﻟﻤﺸﺘﺮك‬

‫ﻟﻠﺪاﻟﺘﯿﻦ ﻣﺴﺘﺒﻌﺪا ﻣﻨﮫ أﺻﻔﺎر اﻟﻤﻘﺎم ‪.‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫أﻣﺜﻠـــــــــــﺔ ﻣﺤﻠـــــــــــﻮﻟﺔ‬ ‫‪ ²‬أوﺟـــــــﺪ ﻣﺠﺎل اﻟﺪوال اﻷﺗﯿﺔ ‪:‬‬ ‫‪ Œ‬د)س(=‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ﻧﻔﺮض أن ‪ :‬د ‪ ) ١‬س ( =‬ ‫س ‪ ← ٠ ≤ ٢ -‬س ≤ ‪ ← ٢‬ﻣﺠﺎل د ‪ ) ١‬س ( = ] ‪] ∞ ، ٢‬‬ ‫د‪ ) ٢‬س ( =‬ ‫‪ - ٥‬س ≤ ‪ ≤ ٥ ← ٠‬س ← س ≥ ‪ ← ٥‬ﻣﺠﺎل د ‪ ) ٢‬س ( = [ ‪[ ٥ ، ∞ -‬‬ ‫‪ .˙.‬ﻣﺠﺎل د ) س ( = ] ‪[ ٥ ، ∞ - [ ∩ ] ∞ ، ٢‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫•د)س(=‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــﻞ‬ ‫د‪ )١‬س ( =‬

‫‪ ï‬س ‪ ï ٠ ≤ ٣ +‬س ≤ ‪ ï ٣ -‬ﻣﺠﺎل د ‪ ) ١‬س ( = ] ‪] ∞ ، ٣ -‬‬

‫د ‪ ) ٢‬س ( = س ‪ ï ٢ -‬ﻣﺠﺎل د ‪ ) ٢‬س ( = ح‬

‫‪،‬‬

‫ف ) د ‪{٢ } = ( ٢‬‬

‫‪ .˙.‬ﻣﺠﺎل د ) س ( = ] ‪ ∩ ] ∞ ، ٣ -‬ح ‪{٢} - ] ∞ ، ٣ - ] = {٢} -‬‬ ‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪٩٧‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ ،‬د‪ )٢‬س ( = س‪ - ٢‬س ‪٦ -‬‬

‫‪ Ž‬إذا ﻛﺎن د ‪ ) ١‬س ( =‬ ‫* أوﺟﺪ ﻣﺠﺎل ) د‪ . ١‬د‪ ( ٢‬س ‪) ،‬‬

‫(س‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــﻞ‬

‫‪ ï‬س ‪ ï ٠ ≤ ٢ -‬س ≤ ‪ ï ٢‬م ‪ = ١‬ﻣﺠﺎل د‪ ) ١‬س ( = ] ‪] ∞ ، ٢‬‬

‫د‪ )١‬س ( =‬

‫‪ ،‬د ‪ ) ٢‬س ( = س ‪ - ٢‬س ‪ ï ٦ -‬م ‪ = ٢‬ﻣﺠﺎل د ‪ ) ٢‬س ( = ح‬ ‫ف ) د ‪ : ( ٢‬ﻣﺠﺎل ) د‪ . ١‬د‪ ( ٢‬س = م ‪ ∩ ١‬م ‪ ∩ ] ∞ ، ٢ ] = ٢‬ح = ] ‪] ∞ ، ٢‬‬ ‫) أﺻﻔﺎر اﻟﻤﻘﺎم (‬

‫ف ) د‪ : ( ٢‬س‪ - ٢‬س ‪ ) ï ٦ -‬س ‪ ) ( ٣ -‬س ‪٠ = ( ٢ +‬‬

‫‪ .˙.‬س = ‪ & ٣‬س = ‪-‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪ .˙.‬ف ) د ‪{ ٢ - ، ٣ } = ( ٢‬‬ ‫( س = م‪ ∩ ١‬م‪ - ٢‬ف ) د‪{ ٣ } - ] ∞ ، ٢ ] = { ٢ - ، ٣ } - ] ∞ ، ٢ ] = ( ٢‬‬

‫‪ .˙.‬ﻣﺠﺎل )‬

‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫ﺛﺎﻧﯿﺎً ‪ :‬اﻟﻤﺪى‬ ‫‪ ²‬اﻟﻤــــﺪى ‪ :‬ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ اﻟﺘﻰ ﯾﺄﺧﺬھﺎ اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ص وﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﯿﮫ ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ ﻣﻦ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬ ‫‪.‬‬ ‫[] أﺳﻔﻞ ﻗﯿﻤﺔ ‪ ،‬أﻋﻠﻰ ﻗﯿﻤﺔ []‬

‫[ ‪]١ - ، ∞ -‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪٩٨‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫) ﻧﻮع اﻟﺪاﻟﺔ (‬ ‫‪ ²‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ‪ ) :‬أوﻻً ‪ :‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺰوﺟﯿﺔ ( ‪ ï‬اﻟﺪاﻟﺔ د ‪ :‬س ← ص ﺗﻜﻮن زوﺟﯿﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪:‬‬ ‫د ) ‪ -‬س ( = د ) س ( ∀ س ‪ - ،‬س ‪ Э‬اﻟﻤﺠﺎل ‪.‬‬ ‫* اﻟﺸﺮط اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ ‪ :‬ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ زوﺟﯿﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ ﻟﮭﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ ﺣﻮل اﻟﺼﺎدات ‪.‬‬ ‫‪ Ã‬ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) س ‪ ،‬ص ( ‪ Э‬ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﺈن اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ -‬س ‪ ،‬ص ( ‪ Э‬ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪.‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ ) ²‬ﺛﺎﻧﯿﺎً ‪ :‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻔﺮدﯾﺔ ( ‪ ï‬اﻟﺪاﻟﺔ د ‪ :‬س ← ص ﺗﻜﻮن ﻓﺮدﯾﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪:‬‬ ‫د ) ‪ -‬س ( = ‪ -‬د ) س ( ∀ س ‪ - ،‬س ‪ Э‬اﻟﻤﺠﺎل ‪.‬‬ ‫* اﻟﺸﺮط اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ ‪ :‬ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﺮدﯾﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ ﻟﮭﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ‪.‬‬ ‫‪ Ã‬ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) س ‪ ،‬ص ( ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﺈن اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ -‬س ‪ - ،‬ص ( ﺗﻘﻊ أﯾﻀﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫‪.‬‬

‫**‬

‫˙‪( ٢ ، ٠ ) ˙.‬‬

‫ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ وﻛﺬﻟﻚ ) ‪( ٢ - ، ٠‬‬

‫ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ‬

‫‪ .˙.‬ﻧﺠﺪ أن اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﺮدﯾﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ‪.‬‬

‫**‬

‫˙‪ Э ( ٣ ، ٢ ) ˙.‬ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ وﻛﺬﻟﻚ ) ‪ Э ( ٣ - ، ٢ -‬ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫‪ .˙.‬ﻧﺠﺪ أن اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﺮدﯾﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ‪.‬‬

‫**‬

‫˙‪ Э ( ٣ ، ٠ ) ˙.‬ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﺑﯿﻨﻤﺎ ) ‪( ٣ - ، ٠‬‬

‫ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ‬

‫‪ .˙.‬ﻧﺠﺪ أن اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﯿﺴﺖ ﻓﺮدﯾﺔ وﻟﯿﺴﺖ زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﻷﻧﮭﺎ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ‪،‬‬ ‫ﻷﻧﮭﺎ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ‪.‬‬

‫‪٩٩‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫** ) اﺑﺤﺚ ﻧﻮع اﻟﺪوال اﻵﺗﯿﺔ ‪( :‬‬ ‫‪♦١‬‬

‫س ‪ ٣‬ﺟﺎ ‪ ٣‬س‬ ‫د)س(=‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪+١‬س‬ ‫) ‪ -‬س ( ‪ ٣‬ﺟﺎ ) ‪ ٣ -‬س (‬ ‫د)‪-‬س(=‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪-)+١‬س(‬

‫=‬

‫س ‪ ٣‬ﺟﺎ ‪ ٣‬س‬ ‫‪= ٤‬د)س(‬ ‫=‬ ‫‪+١‬س‬

‫ س ‪ - × ٣‬ﺟﺎ ‪ ٣‬س‬‫‪٤‬‬ ‫‪ +١‬س‬

‫‪ .˙.‬اﻟﺪاﻟﺔ زوﺟﯿﺔ ‪.‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪♦٢‬‬

‫د)س(=‬

‫س‪‬س‪‬‬ ‫‪ + ١‬س ﺟﺎ س‬

‫ س ‪ -‬س ‪‬‬‫ س ‪ -‬س ‪‬‬‫د)‪-‬س(=‬ ‫=‬ ‫‪ - ١‬س × ‪ -‬ﺟﺎ س‬ ‫‪ - ) + ١‬س ( ﺟﺎ ) ‪ -‬س (‬ ‫=‬

‫س‪‬س‪‬‬ ‫‪ + ١‬س ﺟﺎ س‬

‫= ‪ -‬د ) س ( ‪ .˙.‬اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﺮدﯾﺔ ‪.‬‬

‫) اﻃـــــــــﺮاد اﻟــﺪاﻟـــــــﺔ (‬ ‫‪ê‬‬ ‫ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ‬

‫▼‬ ‫‪ê‬‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬

‫‪ê‬‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺔ‬

‫‪ ) ² ١‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﺰاﯾﺪﯾﺔ ( ‪ ï‬ﯾﻘﺎل ﻟﻠﺪاﻟﺔ أﻧﮭﺎ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] أ ‪ ،‬ب [ إذا ﻛﺎن ﻟﻜﻞ س ‪ ، ١‬س‬ ‫ﯾﺘﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮط اﻵﺗﻰ ‪ :‬إذا ﻛﺎن س ‪ < ١‬س‬

‫‪ï‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪]Э‬أ‪،‬ب[‬

‫د)س‪ <(١‬د)س‪(٢‬‬

‫‪ Ã‬وﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻣــــﺔ ‪ :‬د ) س ( ﺗﻜﻮن ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪:‬‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﺘﺰاﯾﺪ ﺑﺈزدﯾﺎد ﻗﯿﻤﺔ س ‪.‬‬ ‫‪ Ã‬وﺑﻄﺮﯾﻘﺔ أﺧﺮى ‪ :‬د ) س ( ﺗﻜﻮن ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ﯾﺼﻨﻊ زاوﯾﺔ ﺣﺎدة ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ‪.‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ ) ² ٢‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ( ‪ ï‬ﯾﻘﺎل ﻟﻠﺪاﻟﺔ أﻧﮭﺎ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] أ ‪ ،‬ب [ إذا ﻛﺎن ﻟﻜﻞ س ‪ ، ١‬س ‪ ] Э ٢‬أ ‪ ،‬ب [‬ ‫ﯾﺘﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮط اﻵﺗﻰ ‪ :‬إذا ﻛﺎن س ‪ < ١‬س‬

‫‪٢‬‬

‫‪ï‬‬

‫د)س‪ >(١‬د)س‪(٢‬‬

‫‪ Ã‬وﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻣــــﺔ ‪ :‬د ) س ( ﺗﻜﻮن ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪:‬‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﺘﻨﺎﻗﺺ ﺑﺈزدﯾﺎد ﻗﯿﻤﺔ س ‪.‬‬ ‫‪ Ã‬وﺑﻄﺮﯾﻘﺔ أﺧﺮى ‪ :‬د ) س ( ﺗﻜﻮن ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫‪١٠٠‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﯾﺼﻨﻊ زاوﯾﺔ ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ‪.‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ ) ² ٣‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﺑﺘﮫ ( ‪ ï‬ﯾﻘﺎل ﻟﻠﺪاﻟﺔ أﻧﮭﺎ ﺛﺎﺑﺘﮫ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] أ ‪ ،‬ب [ إذا ﻛﺎن ﻟﻜﻞ س ‪ ، ١‬س ‪ ] Э ٢‬أ ‪ ،‬ب [‬ ‫ﯾﺘﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮط اﻵﺗﻰ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن س ‪ < ١‬س‬

‫‪٢‬‬

‫‪ï‬‬

‫د)س‪ =(١‬د)س‪=(٢‬أ‬

‫‪ Ã‬وﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻣــــﺔ ‪ :‬د ) س ( ﺗﻜﻮن ﺛﺎﺑﺘﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻣﮭﻤﺎ ﻛﺎﻧﺖ ﻗﯿﻤﺔ س ‪.‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫) اﻟﻤﻘﯿـــــــــــﺎس (‬ ‫‪ ) ²‬ﻣﻔﮭﻮم اﻟﻤﻘﯿﺎس ( ‪ ï‬ھﻮ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻰ ﻏﯿﺮ ﺳﺎﻟﺐ ) ≤ ‪( ٠‬‬ ‫‪ ) ²‬اﻟﻤﻘﯿﺎس اﻟﻌــﺪد ( ‪ ï‬ھﻮ اﻟﺠﺬر اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﻰ اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺮﺑﻊ ھﺬا اﻟﻌﺪد ‪.‬‬ ‫** ﻣﺜﺎل ‪٥ = | ٥ - | :‬‬

‫‪|، ٠=|٠| ،‬‬

‫|=‬

‫‪ ) ²‬ﺗﻌﺮﯾﻒ " ﻓـــﻚ " اﻟﻤﻘﯿﺎس ( ‪:‬‬ ‫| س|=‬

‫}‬

‫س‬ ‫‪-‬س‬

‫←‬ ‫←‬

‫س≤‪٠‬‬ ‫س>‪٠‬‬

‫‪| ،‬س‪=|٢-‬‬

‫}‬

‫س‪٢-‬‬ ‫‪-‬س‪٢+‬‬

‫←س≤‪٢‬‬ ‫←س> ‪٢‬‬

‫‪٢‬س‪٦+‬‬ ‫← س≤‪٣-‬‬ ‫| ‪٢‬س‪=|٦+‬‬ ‫} ‪٢-‬س‪ ← ٦-‬س>‪٣-‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ ) ²‬ﺧﻮاص اﻟﻤﻘﯿﺎس ( ‪:‬‬ ‫‪ | ♣١‬س | ≤ ‪، ٠‬‬

‫|س|=‪٠‬‬

‫إذا ﻛﺎن س = ‪٠‬‬

‫‪ ♣٢‬ﻣﻘﯿﺎس اﻟﻌﺪد = ﻣﻘﯿﺎس ﻣﻌﻜﻮﺳﮫ اﻟﺠﻤﻌﻰ ‪.‬‬ ‫‪| Ã‬أ|=|‪-‬أ| ‪| ، |٣-|=|٣| ،‬س‪-٢)-|=|٢-‬س(|=|‪-٢‬س| ‪|،‬س‪-٥|=|٥-‬س|‬ ‫‪ | ♣٣‬س ‪ +‬ص | ≥ | س | ‪ | +‬ص |‬ ‫‪ ♣٤‬ﻣﻘﯿﺎس ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻋﺪدﯾﻦ = ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻣﻘﯿﺎﺳﯿﮭﻤﺎ ‪ | ï .‬س ص | = | س | × | ص |‬ ‫‪٣-| Ã‬س|=|‪|×|٣-‬س| =‪|٣‬س|‬ ‫‪)٢-| Ã‬س‪|×|٢-|=|(٥-‬س‪|٢= |٥-‬س‪|٥-‬‬ ‫‪ | Ã‬س‪||٢+‬س‪)|=|٢-‬س‪)(٢+‬س‪| = |(٢-‬س‪|٤-٢‬‬

‫‪١٠١‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ ♣٥‬ﻣﻘﯿﺎس ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺔ ﻋﺪدﯾﻦ = ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺔ ﻣﻘﯿﺎﺳﯿﮭﻤﺎ ‪.‬‬ ‫س‬ ‫‪ Ã‬‬ ‫ص‬

‫س‪١+‬‬ ‫‪‬س‪١+‬‬ ‫‪،‬‬ ‫= ‪‬‬ ‫س‪٣-‬‬ ‫|س‪|٣-‬‬

‫|س|‬ ‫|ص|‬

‫‪= ‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ♣٦‬ﻣﻘﯿﺎس اﻟﻌﺪد = اﻟﺠﺬر اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﻰ اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺮﺑﻊ ھﺬا اﻟﻌﺪد ‪.‬‬ ‫‪| Ã‬أ| =‬

‫أ‬

‫‪٢‬‬

‫|‪= |٥‬‬

‫‪،‬‬

‫‪٥ = ٢٥‬‬

‫‪ | ) ♣٧‬أ | ( ‪ = ٢‬أ ‪٩ = ٢ ( | ٣ - | ) ، ٢‬‬ ‫‪ ) ²‬أوﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺤﻞ ﻟﻜﻞ ﻣﻤﺎ ﯾﻠﻰ ( ‪:‬‬ ‫‪Ã‬‬

‫|س‪|٣+‬‬ ‫|س‪|١+‬‬

‫=‪٢‬‬ ‫) اﻟﺤـــــــﻞ (‬

‫س‪٣+‬‬ ‫س‪١+‬‬ ‫س‪٣+‬‬ ‫=‪٢‬‬ ‫س‪١+‬‬ ‫‪٢‬س‪ =٢+‬س‪٣+‬‬ ‫س = ‪ " ١‬ﺗﺤﻘﻖ "‬

‫=‪٢‬‬

‫‪ï‬‬

‫س‪٣+‬‬ ‫س‪١+‬‬ ‫س‪٣+‬‬ ‫=‪٢-‬‬ ‫س‪١+‬‬ ‫س‪٢-=٣+‬س‪٢-‬‬ ‫‪٥‬‬‫" ﺗﺤﻘﻖ "‬ ‫س=‬ ‫‪٣‬‬ ‫=‪٢±‬‬

‫‪٥‬‬‫م‪.‬ح =}‪،١‬‬ ‫‪٣‬‬

‫{‬

‫‪|Ã‬س‪||١+‬س‪٣=|١-‬‬ ‫) اﻟﺤــــﻞ (‬ ‫|)س‪)(١+‬س‪٣=|(١-‬‬

‫‪| ï‬س‪٣=|١-٢‬‬

‫‪ï‬‬

‫س‪٣±=١-٢‬‬

‫س‪١-٢‬‬

‫س‪١-٢‬‬

‫س‪٤=٢‬‬

‫س ‪ " ٢ - = ٢‬ﻣﺮﻓﻮض "‬

‫‪ .˙.‬م ‪ .‬ح = } ‪{ ٢ - ، ٢‬‬ ‫س = ‪ " ٢ ±‬ﺗﺤﻘﻖ "‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪|Ã‬س‪|-|٥+‬س‪٠=|٣-‬‬ ‫) اﻟﺤـــﻞ (‬ ‫| س ‪ | = | ٥ +‬س ‪ ï | ٣ -‬ﺑﺘﺮﺑﯿﻊ اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ ‪ ) ï‬س ‪ ) = ٢ ( ٥ +‬س ‪( ٣ -‬‬

‫‪٢‬‬

‫س ‪ ١٠ + ٢‬س ‪ = ٢٥ +‬س ‪ ٦ - ٢‬س ‪٩ +‬‬ ‫‪ ١٠‬س ‪ ٦ +‬س = ‪٢٥ - ٩‬‬ ‫‪ ١٦‬س = ‪١٦ -‬‬ ‫س = ‪ " ١ -‬ﺗﺤﻘﻖ "‬

‫م‪.‬ح}‪{١-‬‬

‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪١٠٢‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪٢|Ã‬س‪|< |٣-‬س‪|١+‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫س ≤ ‪١,٥‬‬

‫‪،‬‬

‫) اﻟﺤـــﻞ (‬ ‫‪ï‬‬

‫س < ‪١,٥‬‬

‫س<‪١-‬‬

‫˙‪ ٢ | ˙.‬س ‪ ٢ = | ٣ -‬س ‪٣ -‬‬

‫‪،‬‬

‫|س‪=|١+‬س‪١+‬‬

‫‪ ٢ | .˙.‬س ‪ | < | ٣ -‬س ‪| ١ +‬‬ ‫‪٢‬س‪<٣-‬س‪١+‬‬ ‫‪٢‬س‪-‬س<‪٣+١‬‬ ‫م‪.‬ح=[‪]∞،٤‬‬

‫س<‪٤‬‬

‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫) رﺳــــﻢ اﻟﻤﻨﺤـﻨﯿـــﺎت (‬ ‫‪ ²‬ارﺳﻢ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪوال اﻵﺗﯿﺔ وﻣﻦ اﻟﺮﺳﻢ أوﺟﺪ اﻟﻤﺠﺎل واﻟﻤﺪى وﻧﻮع اﻻﻃﺮاد ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪Ã١‬‬

‫س‬ ‫د)س(=‬ ‫|س|‬ ‫) اﻟﺤـــﻞ (‬ ‫| س|=‬

‫}‬

‫س‬ ‫‪-‬س‬

‫←‬ ‫←‬

‫د)س(=‬

‫}‬

‫س‬ ‫‪-‬س‬

‫←‬ ‫←‬

‫د)س(=س‪،‬س<‪٠‬‬

‫س≤‪٠‬‬ ‫س>‪٠‬‬

‫‪ ،‬د)س( =‬

‫‪٢‬‬

‫}‬

‫س‬ ‫س‬ ‫‪٢‬‬ ‫س‬ ‫‪-‬س‬

‫← س<‪٠‬‬ ‫← س>‪٠‬‬

‫س<‪٠‬‬ ‫س>‪٠‬‬

‫د)س(=‪-‬س‪،‬س>‪٠‬‬

‫اﻟﻤﺠﺎل = ح ‪ = {٠ } -‬ح *‬ ‫اﻟﻤﺪى = [ ‪ ، ] ∞ ، ٠‬اﻟﺪاﻟﺔ زوﺟﯿﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬ ‫د ) س ( ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة [ ‪ ، ] ∞ ، ٠‬ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة [ ‪] ٠ ، ∞ -‬‬

‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪١٠٣‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬ ‫‪٣‬‬

‫‪Ã٢‬‬

‫س‬ ‫د)س(=‬ ‫|س|‬

‫‪٣‬‬‫) اﻟﺤـــﻞ (‬

‫| س|=‬

‫}‬

‫د)س(=‬

‫}‬

‫س‬ ‫‪-‬س‬

‫←‬

‫س≤‪٠‬‬

‫←‬

‫س>‪٠‬‬

‫س‪٣-٢‬‬ ‫س‪-٢‬‬‫‪٣‬‬

‫د ) س ( = س‪ ، ٣ - ٢‬س < ‪٠‬‬

‫←‬ ‫←‬

‫‪ ،‬د)س( =‬

‫‪٣‬‬

‫}‬

‫س‬ ‫س‬ ‫‪٣‬‬ ‫س‬ ‫‪٣‬‬‫س‬‫‪٣-‬‬

‫← س<‪٠‬‬ ‫← س>‪٠‬‬

‫س<‪٠‬‬ ‫س>‪٠‬‬

‫د ) س ( = ‪ -‬س‪ ، ٣ - ٢‬س > ‪٠‬‬

‫اﻟﻤﺠﺎل = ح ‪ = {٠ } -‬ح * ‪ ،‬اﻟﻤﺪى = ح ‪{٣ - } -‬‬ ‫د ) س ( ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮﺗﯿﻦ [ ‪ ، [ ٠ ، ∞ - ] ، ] ∞ ، ٠‬ﺗﺰاﯾﺪﯾﮫ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ ح *‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﯿﺴﺖ زوﺟﯿﺔ وﻟﯿﺴﺖ ﻓﺮدﯾﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬ ‫وﻏﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ‪.‬‬ ‫‪ Ã٣‬د)س(=س‪|٢‬س|‪٢-‬‬ ‫) اﻟﺤـــﻞ (‬ ‫س‬ ‫← س≤‪٠‬‬ ‫د)س(=‬ ‫| س|=‬ ‫} ‪-‬س ← س>‪٠‬‬ ‫←‬ ‫س‪٢-٣‬‬ ‫س≤‪٠‬‬ ‫د)س(=‬ ‫} ‪-‬س‪← ٢-٣‬‬ ‫س>‪٠‬‬ ‫د ) س ( = س‪ ، ٢ - ٣‬س ≤ ‪٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫}‬

‫س ×س‪٢-‬‬ ‫س‪-×٢‬س‪٢-‬‬

‫← س≤‪٠‬‬ ‫← س>‪٠‬‬

‫د ) س ( = ‪ -‬س‪ ، ٢ - ٣‬س > ‪٠‬‬

‫اﻟﻤﺠﺎل = ح‬ ‫اﻟﻤﺪى = ] ‪ ، ] ∞ ، ٢ -‬اﻟﺪاﻟﺔ زوﺟﯿﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬ ‫د ) س ( ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] ‪ ، ] ∞ ، ٠‬ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة [ ‪[ ٠ ، ∞ -‬‬

‫‪١٠٤‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫د)س(‬ ‫‪ Ã ٤‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ :‬د ) س ( = س ‪ - ٢‬س ‪ ، ٢ -‬ر ) س ( = | ‪ - ٢‬س | ‪ ،‬ق ) س ( =‬ ‫ر)س(‬ ‫** ﻋﯿﻦ ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ ق ) س ( وارﺳﻢ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ ﻟﮭﺎ وﻣﻦ اﻟﺮﺳﻢ أوﺟﺪ اﻟﻤﺪى واﻟﻨﻮع واﻻﻃﺮاد ‪.‬‬ ‫) اﻟﺤـــﻞ (‬ ‫س‪٢-‬‬ ‫س‪ -٢‬س‪٢-‬‬ ‫← س≤‪٢‬‬ ‫|س‪= |٢-‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ق)س(=‬ ‫← س>‪٢‬‬ ‫} ‪) -‬س‪(٢-‬‬ ‫|‪ -٢‬س|‬ ‫ق)س( =‬

‫}‬

‫)س‪)(٢-‬س‪(١+‬‬ ‫)س‪(٢-‬‬ ‫)س‪)(٢-‬س‪(١+‬‬ ‫← س>‪٢‬‬ ‫)س‪(٢-‬‬‫← س<‪٢‬‬

‫د)س(= س‪ ، ١+‬س<‪، ٢‬‬

‫‪،‬ق)س(=‬

‫}‬

‫س‪١+‬‬ ‫‪-‬س‪١-‬‬

‫← س<‪٢‬‬ ‫← س>‪٢‬‬

‫د)س(=‪-‬س‪ ، ١-‬س>‪٢‬‬

‫اﻟﻤﺠﺎل = ح ‪{ ٢ } -‬‬ ‫اﻟﻤــﺪى = [ ‪] ∞ ، ٣ -‬‬ ‫‪ ،‬اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﯿﺴﺖ زوﺟﯿﺔ وﻟﯿﺴﺖ ﻓﺮدﯾﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬ ‫وﻏﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ‬ ‫‪ ،‬اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة [ ‪ ، ] ∞ ، ٢‬ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة [ ‪] ٢ ، ∞ -‬‬

‫‪Ã٥‬‬

‫‪٣‬س‪٧+‬‬ ‫د)س(=‬ ‫س‪٢+‬‬ ‫) اﻟﺤـــﻞ (‬ ‫‪٣‬س‪٦+‬‬ ‫)‪٣‬س‪١+(٦+‬‬ ‫=‬ ‫د)س(=‬ ‫س‪٢+‬‬ ‫س‪٢+‬‬ ‫‪)٣‬س‪(٢+‬‬ ‫د)س(=‬

‫) س‪(٢+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪١‬‬ ‫س‪+‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪٢+‬‬

‫= ‪٣‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪١‬‬ ‫س‪+‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ) ‪( ٣ ، ٢ -‬‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل = ح ‪{ ٢ - } -‬‬ ‫اﻟﻤــﺪى = ح ‪{ ٣ } -‬‬ ‫‪ ،‬اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﯿﺴﺖ زوﺟﯿﺔ وﻟﯿﺴﺖ ﻓﺮدﯾﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻣﺤﻮر‬ ‫اﻟﺼﺎدات وﻏﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ‬ ‫‪ ،‬اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ ح ‪{ ٢ - } -‬‬ ‫‪١٠٥‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫) اﻷﺳﺲ واﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت (‬ ‫‪ -١‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﯿﺔ‬ ‫‪ ²‬ﺗﻌـــﺮﯾـﻒ ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧﺖ أ ﻋﺪدا ﺣﻘﯿﻘﯿﺎ ﻣﻮﺟﺒﺎ ≠ ‪ ١‬ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ د ‪ :‬ح ← ح‬

‫‪+‬‬

‫ﺣﯿﺚ د ) س ( = أ‬

‫س‬

‫ﺗﺴﻤﻰ‬

‫داﻟﺔ أﺳﯿﺔ أﺳﺎﺳﮭﺎ أ ‪.‬‬ ‫) د‪:‬ح←ح‬

‫‪ ²‬اﻟﺘﻤﺜﯿﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻷﺳﯿﺔ ‪:‬‬

‫‪+‬‬

‫) أوﻻً (‬

‫(‬ ‫) ﺛﺎﻧﯿﺎً (‬

‫‪>٠‬أ>‪١‬‬

‫أ<‪٠‬‬ ‫)‪(١،٠‬‬

‫اﻟﻤﺠﺎل = ح‬

‫اﻟﻤﺠﺎل = ح‬

‫اﻟﻤﺪى = ح ‪] ∞ ، ٠ [ = +‬‬

‫اﻟﻤﺪى = ح ‪] ∞ ، ٠ [ = +‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ ح‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ ح‬

‫ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪( ١ ، ٠‬‬

‫ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪( ١ ، ٠‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﯿﺴﺖ زوﺟﯿﺔ وﻟﯿﺴﺖ ﻓﺮدﯾﺔ ﻟﻌﺪم اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﯿﺴﺖ زوﺟﯿﺔ وﻟﯿﺴﺖ ﻓﺮدﯾﺔ ﻟﻌﺪم اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬

‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫** ﻣﻠﺤـــــﻮﻇﺔ ھﺎﻣــــﺔ ‪ :‬ﺗﺘﻤﺘﻊ اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﯿﺔ ﺑﺎﻟﺨﻮاص اﻵﺗﯿﺔ ﻟﺠﻤﯿﻊ ﻗﯿﻢ م ‪ ،‬ن اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ ‪:‬‬ ‫م‬

‫أ‬ ‫م‪+‬ن‬ ‫•‬ ‫‪ Œ‬أم×أن=أ‬ ‫أ‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ ²‬اﻷﺳـــﺲ ‪²‬‬ ‫ن‬

‫=أ‬

‫م‪-‬ن‬

‫م‬

‫ن‬

‫‪) Ž‬أ ( =أ‬

‫من‬

‫‪ ²‬ﻣﺮاﺟﻌﺔ اﻷﺳﺲ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ‪:‬‬ ‫‪ Œ‬أ‬

‫ن‬

‫= أ × أ × أ × ‪ × ......‬أ‬

‫• أ‪١=٠‬‬

‫∀ ن‪ Э‬ص‬

‫‪+‬‬

‫∀ أ ‪ Э‬ح*‬

‫‪١‬‬ ‫‪ Ž‬أ‪-‬ن=‬ ‫أ‬

‫ن‬

‫∀ أ ‪ Э‬ح*‬ ‫‪١٠٦‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ ²‬ﻗﻮاﻧﯿـــﻦ اﻷﺳـــﺲ ‪²‬‬ ‫‪ Œ‬أم×أن=أ‬

‫م‪+‬ن‬

‫•)أب(ن= أ‬

‫ن‬

‫أ‬ ‫أ‬

‫•‬

‫ب‬

‫ن‬

‫• )‬

‫م‬ ‫ن‬

‫أ‬ ‫ب‬

‫=أ‬ ‫(‬

‫ن‬

‫م‪-‬ن‬

‫=‬

‫م‬

‫ن‬

‫‪) Ž‬أ ( =أ‬ ‫أ‬ ‫ب‬

‫من‬

‫ن‬ ‫ن‬

‫‪ ²‬ﻗﺎﻋﺪﺗﺎن ھﺎﻣﺘﺎن ‪:‬‬ ‫‪ ) Œ‬اﻷﺳﺎس = اﻷﺳﺎس ( ‪ ) ï‬اﻷس = اﻷس ( ‪:‬‬ ‫‪ B‬أم= أ‬

‫ن‬

‫∀ أ ‪ Э‬ح ‪{ ٠ ، ١- ، ١ } -‬‬

‫‪ ï‬م=ن‬

‫• اﻷس = اﻷس‬ ‫▼‬ ‫‪ê‬‬ ‫ﻟﻮ ﻛﺎن أﺣﺪ اﻷﺳﺎﺳﯿﻦ رﻣﺰا‬ ‫▼‬ ‫اﻷﺳﺎس = اﻷﺳﺎس‬ ‫‪ =٥٢‬س‬

‫‪ê‬‬ ‫اﻷﺳﺎﺳﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺎن‬ ‫▼‬ ‫اﻷس = ﺻﻔﺮ‬

‫‪٥‬‬

‫اﻷس = اﻷس ‪ Ù‬اﻷس = ‪٠‬‬

‫س=‪٢‬‬

‫س‪ Ù٠=١-٢‬س‪Ù ١=٢‬س=‪١±‬‬ ‫‪ Ù‬م ‪ .‬ح = } ‪{ ١- ، ١‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ ²‬اﻷﺳﺲ اﻟﻜﺴﺮﻳﺔ ‪²‬‬ ‫‪ ²‬ﻗﻮاﻋﺪ ھﺎﻣﺔ ‪:‬‬

‫ﻟﻜﻞ‬

‫ن ‪ Э‬ص‬

‫‪+‬‬

‫‪،‬‬

‫أ‪،‬ب ‪ Э‬ح‬

‫‪+‬‬

‫ﻓﺈن ‪:‬‬

‫ن‬

‫‪Œ‬‬

‫= ب‬

‫وﺑﻀﺮب اﻷﺳﯿﻦ × ن ‪ ï‬أ = ب‬

‫•‬

‫=‬

‫ﻣﻘﺎم اﻷس اﻟﻜﺴﺮى ﯾﺼﺒﺢ دﻟﯿﻼ ﻟﻠﺠﺬر‬

‫‪Ž‬‬ ‫** ﻣﻠﺤـــــﻮﻇﺔ ھﺎﻣــــﺔ ‪ :‬ﺟﻤﯿﻊ ﻗﻮاﻧﯿﻦ اﻷﺳﺲ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻄﺒﯿﻘﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﺳﺲ اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ ‪.‬‬

‫‪١٠٧‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ ²‬ﺛﺎﻧﯿﺎً ‪ :‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﯿﺔ ‪²‬‬ ‫د‪:‬ح‬

‫‪+‬‬

‫‪ ²‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧﺖ أ ‪ Э‬ح ‪ ، {١} - +‬ص ‪ Э‬ح‬

‫‪Ù‬ح‬

‫‪+‬‬

‫ﻓﺈن ‪ :‬ص = أ‬

‫س‬

‫↔ ﻟﻮ ص = س‬ ‫أ‬

‫‪ ²‬اﻟﺘﻤﺜﯿﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﯿﺔ )د ‪ :‬ح‬

‫‪+‬‬

‫‪Ù‬ح(‪²‬‬

‫اﻟﻤﺠﺎل = ح ‪] ∞ ، ٠ [ = +‬‬

‫اﻟﻤﺠﺎل =‬

‫اﻟﻤﺠﺎل اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ = ح‬

‫اﻟﻤﺠﺎل اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ = ح‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ ح‬

‫ح‪+‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ ح‬

‫‪+‬‬

‫ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪( ٠ ، ١‬‬

‫‪+‬‬

‫ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪( ٠ ، ١‬‬

‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ ²‬ﻗﻮاﻧﯿﻦ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت ‪²‬‬ ‫‪ ²‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪:‬‬

‫س‪،‬ص‪Э‬ح‬

‫‪(١‬‬

‫سص=‬

‫‪(٣‬‬

‫سن= ن‬

‫‪+‬‬

‫‪،‬‬

‫س‪+‬‬

‫أ ‪ Э‬ح ‪ {١} - +‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫ص‬

‫‪(٢‬‬

‫=‬

‫‪(٤‬‬

‫أ=‪١‬‬

‫س‬

‫س‪-‬‬

‫ص‬ ‫‪(٥‬‬

‫‪ = ١‬ﺻﻔﺮ‬

‫** ﻣﻠﺤـــــﻮﻇﺔ ھﺎﻣــــﺔ ‪ :‬اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﺎت اﻟﻤﻌﺘﺎدة " اﻟﻌﺸﺮﯾﺔ " ھﻰ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﺎت اﻟﺘﻰ أﺳﺎﺳﮭﺎ ‪ ١٠‬وﻻ ﯾﻜﺘﺐ ‪.‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ ²‬ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ ‪²‬‬ ‫‪ B١‬إذا ﻛﺎﻧــﺖ ‪:‬‬

‫د)س(=‪٥‬س‪٥+‬‬

‫‪-‬س‬

‫‪ ،‬ر)س(=‪٥‬س‪٥-‬‬

‫‪-‬س‬

‫ﻓﺄﺛﺒﺖ أن ‪ ] :‬د ) س ( [ ‪ ] - ٢‬ر ) س ( [ ‪٤ = ٢‬‬ ‫) اﻟﺤــــــــــﻞ (‬ ‫= ]د)س([‪]-٢‬ر)س([‪]=٢‬د)س(‪ -‬ر)س([ ]د)س(‪ +‬ر)س([‬ ‫‪١٠٨‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫=] ‪٥‬س‪٥+‬‬

‫‪-‬س‬

‫‪-‬س‬

‫‪٥ -‬س‪٥-‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫[] ‪٥‬س‪٥+‬‬

‫‪-‬س‬

‫‪٥ +‬س‪٥-‬‬

‫‪-‬س‬

‫[‬

‫= ‪ - ٥ × ٢‬س × ‪ ٥ × ٢‬س = ‪ - ٥ × ٤‬س ‪ +‬س = ‪٤ = ٠٥ × ٤‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ B٢‬إذا ﻛﺎﻧــﺖ ‪:‬‬

‫د)س(=)‬

‫(‬

‫س‬

‫ﺣــﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ :‬د ) س ‪ - ( ٣ +‬د ) س ‪- = ( ١ -‬‬ ‫) اﻟﺤــــــــــﻞ (‬

‫س‪٣+‬‬

‫= )‬

‫(‬

‫= )‬

‫(‬

‫= )‬

‫( س‪) ] ١-‬‬

‫=)‬

‫( س‪- × ١-‬‬

‫س‪١-‬‬

‫( س‪= ١-‬‬

‫‪)-‬‬

‫(‬

‫])‬ ‫(‬

‫‪٤‬‬

‫وﺑﺄﺧﺬ )‬

‫س‪ -٣+‬س‪١+‬‬

‫(‬

‫س‪١-‬‬

‫ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮك‬

‫‪-=[١‬‬‫( س‪) ١-‬‬

‫‪)ç‬‬

‫‪-=[١-‬‬

‫= ) ( س‪= ١-‬‬

‫‪-×ç‬‬

‫= ‪-‬‬

‫‪-=(١‬‬‫=)‬

‫(‬

‫‪٤‬‬

‫‪ ï‬م‪.‬ح=}‪{٣-‬‬ ‫= ) ( س‪ ç ٤- ( ) = ١-‬س ‪ ç ٤ - = ١ -‬س = ‪٣ -‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ B٣‬إذا ﻛﺎﻧــﺖ ‪:‬‬

‫د)س(=‪٣‬‬

‫س‬

‫ﺣــﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ :‬د ) ‪ ٢‬س ( ‪ ٣٦ -‬د ) س ( ‪ +‬د ) ‪٠ = ( ٥‬‬ ‫) اﻟﺤــــــــــﻞ (‬

‫‪ ٢ ٣‬س ‪ ٣ × ٣٦ -‬س ‪٠ = ٥ ٣ +‬‬ ‫‪ .˙.‬أ ‪ ٣٦ - ٢‬أ ‪٠ = ٢٤٣ +‬‬

‫ﻧﻔﺮض أن ‪ ٣‬س = أ ‪ ٢ ٣ ç‬س = أ‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ) ç‬أ ‪ ) ( ٩ -‬أ ‪٠ = ( ٢٧ -‬‬ ‫أ=‪٩‬‬ ‫‪٣‬س=‪٣‬‬ ‫س=‪٢‬‬

‫أ = ‪٢٧‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٣‬س=‪٣‬‬

‫‪٣‬‬

‫س=‪٣‬‬

‫م‪.‬ح=}‪{٣،٢‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ ٤‬د ) س ‪ ١١ - ( ٢ +‬د ) س (‬ ‫س‬ ‫أﺛﺒﺖ أن ‪ ٢ :‬د ) س ‪ ٧ + ( ١ +‬د ) س ‪٣ = ١ -‬‬ ‫‪ B٤‬إذا ﻛﺎﻧــﺖ ‪ :‬د ) س ( = ‪٣‬‬ ‫(‬ ‫س‬

‫‪ ٣ × ٤‬س ‪٣ × ١١ - ٢ +‬‬ ‫اﻷﯾﻤﻦ =‬ ‫س‪١-‬‬ ‫‪ ٣ × ٢‬س‪٣ × ٧ +١+‬‬

‫) اﻟﺤــــــــــﻞ (‬ ‫ ‪( ١١‬‬‫‪٣‬س)‪٣×٤‬‬ ‫=‬ ‫‪ ٣‬س‪ ٣ × ٢ ) ١-‬س‪-١+‬س‪( ٧ + ١+‬‬ ‫س‪-٢+‬س‬

‫‪ ٣‬س × ‪٢٥‬‬ ‫‪ ٣‬س ) ‪( ١١ - ٣٦‬‬ ‫= ‪ = ٣‬اﻷﯾﺴﺮ‬ ‫=‪٣‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪ ٣‬س ‪٢٥ × ١ -‬‬ ‫‪ ٣‬س ‪( ٧ + ١٨ ) ١ -‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫س ‪-‬س‪١+‬‬

‫‪١٠٩‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻟﻮ ) س ‪ - ٢‬س ( ‪٠ = ٢ -‬‬

‫‪ B‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻵﺗﯿﺔ ‪:‬‬

‫ﻟﻮ ) س ‪ - ٢‬س ( = ‪٢‬‬

‫) اﻟﺤــــــــــﻞ (‬ ‫‪ ç‬س‪ -٢‬س=)‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫( ‪ ç‬س ‪ -‬س = ‪١٢‬‬

‫‪ ç‬س ‪ - ٢‬س ‪ ) ç ٠ =١٢ -‬س ‪ ) ( ٤ -‬س ‪٠ = ( ٣ +‬‬ ‫‪.˙.‬‬ ‫‪ B٦‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻵﺗﯿﺔ ‪:‬‬

‫س=‪٤‬‬

‫س=‪٣-‬‬

‫‪ ç‬م‪.‬ح= }‪{٣-،٤‬‬

‫ﻟﻮ س = ‪ - ٢‬ﻟﻮ ) س ‪( ٣ -‬‬

‫) اﻟﺤــــــــــﻞ (‬ ‫ﻟﻮ س ‪ +‬ﻟﻮ ) س ‪ ç ٢ = ( ٣ -‬ﻟﻮ س ) س ‪٢ = ( ٣ -‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ç‬س ‪٣-‬س=‪٤= ٢‬‬

‫س‪٣-٢‬س‪٠=٤-‬‬ ‫)س‪) (٤-‬س‪٠=(١+‬‬ ‫س‪٠=١+‬‬

‫س‪٠=٤-‬‬

‫‪ ç‬م‪.‬ح=}‪{٤‬‬ ‫س = ‪ " ١ -‬ﻣﺮﻓﻮض "‬ ‫س=‪٤‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪٢٥‬‬ ‫‪ ٣ × ١‬س = ‪ - ١٤‬ﻟﻮ ‪ ٢ + ٣‬ﻟﻮ ‪٦ - ٥‬‬ ‫‪ ٢ + ١٧‬ﻟﻮ‬ ‫‪ B٧‬أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ س إذا ﻛﺎن ‪:‬‬ ‫ﻟﻮ‬ ‫ﻟﻮ‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫) اﻟﺤــــــــــﻞ (‬ ‫‪٢٢٥‬‬ ‫‪ - ١٤‬ﻟــــﻮ ‪ + ٣‬ﻟﻮ ‪١٢٥ - ٢٥‬‬ ‫‪ +‬ﻟﻮ‬ ‫‪ ٣ × ٢- ٣‬س = ﻟﻮ‬ ‫ﻟﻮ‬ ‫‪٤٩‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢٢٥ × ٧ × ٢٥ ×١٤‬‬ ‫‪ ٣‬س ‪ = ٢ -‬ﻟﻮ‬ ‫‪٤٩ × ١٢٥ × ٣ × ٣‬‬ ‫س‪ç ٠=٢-‬س=‬ ‫‪ ٣‬س ‪ = ٢ -‬ﻟﻮ‪ ٣ ç ١٠‬س ‪ ٣ ç ١ = ٢ -‬س ‪ç ٠ ٣ = ٢ -‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ B ٨‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻵﺗﯿﺔ ‪:‬‬

‫‪٢ ٧‬س‪٢ = ١-‬‬

‫ﺑﺄﺧﺬ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ اﻟﻤﻌﺘﺎد ﻟﻠﻄﺮﻓﯿﻦ ‪:‬‬

‫‪٣‬س‪١+‬‬

‫) اﻟﺤــــــــــﻞ (‬ ‫‪ .˙.‬ﻟﻮ‪ ٢ ٧‬س ‪ = ١ -‬ﻟﻮ‪٢‬‬

‫‪٣‬س‪١+‬‬

‫) ‪ ٢‬س ‪ ( ١ -‬ﻟﻮ ‪ ٣ ) = ٧‬س ‪ ( ١ +‬ﻟﻮ ‪٢‬‬ ‫‪ ٢‬س ﻟﻮ ‪ - ٧‬ﻟﻮ ‪ ٣ = ٧‬س ﻟﻮ ‪ + ٢‬ﻟﻮ ‪٢‬‬ ‫‪ ٢‬س ﻟﻮ ‪ ٣ - ٧‬س ﻟﻮ ‪ = ٢‬ﻟﻮ ‪ + ٢‬ﻟﻮ ‪٧‬‬ ‫س ) ‪ ٢‬ﻟﻮ ‪ ٣ - ٧‬ﻟﻮ ‪ = ( ٢‬ﻟﻮ ‪ + ٢‬ﻟﻮ ‪٧‬‬ ‫ﻟﻮ ‪ + ٢‬ﻟﻮ ‪٧‬‬ ‫س=‬ ‫‪ ٢‬ﻟﻮ ‪ ٣ - ٧‬ﻟﻮ ‪٢‬‬

‫= ‪١,٤٥‬‬

‫‪ ç‬م ‪ .‬ح = } ‪{ ١,٤٥‬‬

‫‪١١٠‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ B ٩‬أﺛﺒﺖ أن ‪:‬‬ ‫‪ï١‬‬

‫ب‪٢‬‬

‫ب‬

‫وإﺳﺘﺨﺪم ذﻟﻚ ﻓﻰ ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﯿﻦ اﻟﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ‪:‬‬

‫‪٣‬‬ ‫ﻟﻮ س ‪ +‬ﻟﻮ س =‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻧﻔﺮض أن ‪:‬‬ ‫‪.˙.‬‬

‫ﻟﻮ أ = ﻟﻮ أ‬

‫‪٢‬‬

‫ﻟﻮ أ‬ ‫ب‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ï٢‬‬

‫ب‪٢‬‬

‫‪ï٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ب‪٢‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪ ç‬س‪٨=٣‬‬

‫ﻟﻮ ‪ ٢‬س ‪ -‬ﻟﻮ س = ‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫(‬

‫‪ ç‬أ = ب‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ç‬ﻟﻮ س ‪ + ٢‬ﻟﻮ س =‬

‫ﻟﻮ س ‪ +‬ﻟﻮ س =‬ ‫س‪(٤)=٣‬‬

‫س‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬س‬

‫ب‪٢‬‬

‫ب‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫= س ﻟﻮ ب ‪ = ٢‬س × ‪ = ١‬س ‪• ï‬‬

‫ﻣﻦ ‪ .˙. • ، Œ‬ﻟﻮ أ = ﻟﻮ أ‬ ‫‪ï١‬‬ ‫=‬

‫‪٤‬‬

‫) اﻟﺤــــــــــﻞ (‬ ‫وﻣﻨﮭﺎ أ = ب س ‪ ç‬أ = ) ب‬

‫ب‬

‫= ﻟﻮ ب‬

‫ﻟﻮ ‪ ٢‬س ‪ -‬ﻟﻮ س = ‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻟﻮ أ = س ‪Œ ï‬‬ ‫‪٢‬س‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫‪٤‬‬

‫‪ ç‬ﻟﻮ س ‪ × ٢‬س =‬

‫‪٤‬‬

‫‪ ç‬ﻟﻮ س‬

‫‪٤‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪ .˙.‬س = ‪٢‬‬

‫‪ ç‬ﻟﻮ ‪ ٤‬س ‪ - ٢‬ﻟﻮ س = ‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪ ç‬ﻟﻮ‬

‫‪٤‬‬

‫= ‪ ç ٢‬ﻟﻮ ‪ ٤‬س =‬

‫‪٤‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪ .˙.‬س = ‪٤‬‬ ‫‪ ٤‬س = ‪ ٤ ç ٢ ٤‬س = ‪١٦‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫) ﻟﻮ س ‪( ٣‬‬

‫‪ B ١٠‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻵﺗﯿﺔ ‪ ) ٢ :‬ﻟﻮ س ( ‪٢ = ٤ × ٢‬‬ ‫) اﻟﺤــــــــــﻞ (‬ ‫) ﻟﻮ س ‪( ٣‬‬ ‫‪ ) ٢‬ﻟﻮ س ( ‪ ) ٢ = ٢ ٢ × ٢‬ﻟﻮ س ‪ ) ٢ ç ( ٣‬ﻟﻮ س ( ‪٢ = ٢ + ٢‬‬ ‫˙‪ ˙.‬اﻷﺳﺎس = اﻷﺳﺎس‬

‫‪ ) .˙.‬ﻟﻮ س ( ‪ = ٢ + ٢‬ﻟﻮ س‬

‫‪٣‬‬

‫‪ ) .˙.‬ﻟﻮ س ( ‪ - ٢‬ﻟﻮ س ‪= ٢ + ٣‬‬

‫‪.˙.٠‬‬ ‫) ﻟﻮ س ( ‪ ٣ - ٢‬ﻟﻮ س ‪٠ = ٢ +‬‬ ‫) ﻟﻮ س ‪ ) ( ٢ -‬ﻟﻮ س ‪٠ = ( ١ -‬‬ ‫ﻟﻮ س = ‪٢‬‬ ‫س = ‪١٠‬‬

‫ﻟﻮ س = ‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫س = ‪١٠‬‬ ‫‪ ç‬م ‪ .‬ح = } ‪{ ١٠٠ ، ١٠‬‬

‫س = ‪١٠٠‬‬

‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪١١١‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ B ١١‬ارﺳﻢ اﻟﺪاﻟﺔ د ‪ :‬ح ← ح‬

‫‪+‬‬

‫ﺣﯿﺚ ‪ :‬د ) س ( = ‪٢‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬ ‫س‬

‫‪،‬‬

‫س ‪ [ ٤ ، ٣- ] Э‬وﻣﻦ اﻟﺮﺳﻢ أوﺟﺪ ‪:‬‬

‫‪ Œ‬د ) ‪ ، ( ١,٥‬د ) ‪( ٠,٥ -‬‬ ‫• ﻗﯿﻤﺔ ﺗﻘﺮﯾﺒﯿﺔ ﻟـ س ﻋﻨﺪﻣﺎ د ) س ( = ‪١٠‬‬ ‫) اﻟﺤــــــــــﻞ (‬

‫* ﻣﻦ اﻟﺮﺳﻢ ﻧﺠﺪ أن ‪:‬‬ ‫‪ Œ‬د ) ‪٢,٨ = ( ١,٥‬‬

‫د ) ‪٠,٧ = ( ٠,٥ -‬‬

‫‪،‬‬

‫• ﻋﻨﺪﻣﺎ د ) س ( = ص = ‪ ١٠‬ﻧﺠﺪ أن س = ‪٣,٣‬‬ ‫‪ B ١٢‬ارﺳﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ د ‪ :‬ح ‪ ← +‬ح ﺣﯿﺚ ‪ :‬د ) س ( = ﻟﻮ س ‪ ،‬س ‪] Э‬‬ ‫وﻣﻦ اﻟﺮﺳﻢ أوﺟﺪ ‪:‬‬

‫‪[٨،‬‬

‫ﻟﻮ ‪٣,٥‬‬ ‫) اﻟﺤــــــــــﻞ (‬

‫ص = ﻟﻮ س‬ ‫ﻋﻨﺪ س =‬

‫‪ ç‬ص = ﻟﻮ‬

‫= ﻟﻮ )‬

‫( ‪ ٣ = ٣‬ﻟﻮ‬

‫=‪٣‬‬

‫ﻋﻨﺪ س =‬

‫‪ ç‬ص = ﻟﻮ‬

‫= ﻟﻮ )‬

‫( ‪ ٢ = ٢‬ﻟﻮ‬

‫=‪٢‬‬

‫ﻋﻨﺪ س =‬

‫‪ ç‬ص = ﻟﻮ‬

‫=‪١‬‬

‫ﻋﻨﺪ س = ‪ ç ١‬ص = ﻟﻮ ‪ = ١‬ﺻﻔﺮ‬ ‫ﻋﻨﺪ س = ‪ ç ٢‬ص = ﻟﻮ ‪ = ٢‬ﻟﻮ )‬

‫( ‪١- = ١ -‬‬

‫ﻋﻨﺪ س = ‪ ç ٤‬ص = ﻟﻮ ‪ = ٤‬ﻟﻮ )‬

‫( ‪٢- = ٢ -‬‬

‫ﻋﻨﺪ س = ‪ ç ٨‬ص = ﻟﻮ ‪ = ٨‬ﻟﻮ )‬

‫( ‪٣- = ٣ -‬‬

‫** ﻹﯾﺠﺎد ﻟﻮ ‪ ٣,٥‬ﻣﻦ اﻟﺮﺳﻢ ‪ Œ :‬ﻧﺄﺧﺬ س = ‪ ٣,٥‬ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ‪.‬‬ ‫• ﻧﺮﺳﻢ ﻣﻨﮭﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ‪ //‬اﻟﺼﺎدات ﻓﯿﻘﻄﻊ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ‪.‬‬ ‫‪ Ž‬ﻧﻘﺮأ ﻗﯿﻤﺔ ص اﻟﻤﻨﺎﻇﺮة ﻟﮭﺬه اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﻓﻨﺠﺪھﺎ = ‪١,٨ -‬‬ ‫‪١١٢‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ ²‬اﻟﻤﺘﺘــــﺎﺑﻌـــﺎت ‪²‬‬ ‫‪ ²‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ) اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﻘﯿﻘﺔ ( ‪ :‬ھﻰ داﻟﺔ ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ص ‪ +‬أو ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﺟﺰﺋﯿﺔ ﻣﻨﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة } ‪ ، .... ، ٣ ، ٢ ، ١‬ن { وﻣﺠﺎﻟﮭﺎ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ ‪ .‬أى ‪:‬‬ ‫د ‪ :‬ﻣﻦ ) ص ‪ ------ ( +‬إﻟﻰ‪ ) <-------‬ح (‬ ‫‪æ‬‬

‫‪â‬‬

‫" اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ "‬

‫‪å‬‬

‫اﻟﻤﺠﺎل " رﺗﺐ اﻟﺤﺪود "‬

‫" ﻗﯿﻢ اﻟﺤﺪود "‬

‫د ‪ ، .... ، ٣ ، ٢ ، ١ } :‬ن { ‪ Ù‬ح‬

‫** ﺑﺼﯿﻐﺔ أﺧﺮى ‪:‬‬

‫◄ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ أى ﺣﺪھﺎ اﻷﺧﯿﺮ ﻣﻌﻠﻮم‬ ‫* اﻟﺤﺪ اﻟﻨﻮﻧﻰ " اﻟﻌﺎم " ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ح‬

‫ن‬

‫‪ :‬ھﻮ داﻟﺔ ﻓﻰ ن ﯾﻤﻜﻦ ﺑﻮاﺳﻄﺘﮫ اﯾﺠﺎد أى ﺣﺪ ﻣ ﻦ ﺣ ﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌ ﺔ ﻛﻤ ﺎ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻧﻔﺴﮭﺎ ‪.‬‬

‫)) ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ (( ‪ :‬ﻻﺣﻆ اﻟﻔﺮق ﺑﯿﻦ ) ح ن ( ‪ ،‬ح‬

‫ن‬

‫ﺣﯿﺚ ) ح ن ( ﺗﺮﻣﺰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺑﯿﻨﻤﺎ ح‬

‫ن‬

‫ﺗﺮﻣﺰ ﻟﻠﺤﺪ اﻟﻨﻮﻧﻰ ﻟﮭﺎ‬

‫‪.‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ ²‬إﻃــــﺮاد اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌــﺎت ‪²‬‬ ‫▼‬ ‫‪ê‬‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬

‫‪ê‬‬ ‫ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ‬ ‫ح ن‪ - ١+‬ح‬

‫ن‬

‫< ‪ ٠‬ﻣﻮﺟﺐ‬

‫‪ Ã‬ح ن‪ - ١+‬ح‬

‫ن‬

‫ح ن‪ - ١+‬ح‬

‫ن‬

‫‪ê‬‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺔ‬ ‫ح ن‪ - ١+‬ح‬

‫> ‪ ٠‬ﺳﺎﻟﺐ‬

‫ن‬

‫=‪٠‬‬

‫ﺗﻌﻨﻰ اﻟﻔﺮق ﺑﯿﻦ أى ﺣﺪ واﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﮫ ﻣﺒﺎﺷﺮة ‪.‬‬

‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ ²‬اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌــﺎت اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ ‪²‬‬ ‫‪ ) ²‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ( ‪ ï‬ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ) ح ن ( م ‪ .‬ح إذا ﻛﺎن ‪ :‬ح ن ‪ - ١ +‬ح‬

‫ن‬

‫= ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ ∀ ن ‪ Э‬ص‬

‫‪+‬‬

‫وﯾﺴﻤﻰ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺜﺎﺑﺖ ﺑﺄﺳﺎس اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ د‬ ‫‪ Ã‬ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ ) :‬ح ن ( م ‪ .‬ح ﻓﺈن أﺳﺎس ھﺬه اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ھﻮ د = ح ن ‪ - ١ +‬ح‬

‫ن‬

‫أى أن ‪ :‬أﺳﺎس اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ = أى ﺣﺪ ﻓﯿﮭﺎ ‪ -‬اﻟﺤﺪ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﮫ ﻣﺒﺎﺷﺮة ‪.‬‬ ‫‪ ) ²‬اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ ( ‪ ï‬إذا رﻣﺰﻧﺎ ﻟﻠﺤﺪ اﻷول ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ أ ‪ ،‬اﻷﺳﺎس ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ د ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫ﻛﺘﺎﺑﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة ‪:‬‬

‫‪١١٣‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫م ‪ .‬ح ← ) أ ‪ ،‬أ ‪ +‬د ‪ ،‬أ ‪ ٢ +‬د ‪ ،‬أ ‪ ٣ +‬د ‪( ∞ ، ......... ،‬‬

‫" إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ‬

‫"‬ ‫م ‪ .‬ح ← ) أ ‪ ،‬أ ‪ +‬د ‪ ،‬أ ‪ ٢ +‬د ‪ ،‬أ ‪ ٣ +‬د ‪ ، ......... ،‬ل ‪ ٢ -‬د ‪ ،‬ل ‪ -‬د ‪ ،‬ل (‬

‫" إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ "‬

‫ﺣﯿﺚ ل ھﻮ اﻟﺤﺪ اﻷﺧﯿﺮ‬ ‫) اﻟﺤﺪ اﻟﻌﺎم ﻓﻰ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ (‬ ‫ح‬

‫ن‬

‫= أ‪)+‬ن‪(١-‬د‬

‫‪ê‬‬ ‫اﻟﺤﺪ اﻟﻌﺎم‬

‫‪ê‬‬

‫‪ê‬‬

‫‪ê‬‬

‫اﻟﺤﺪ اﻷول رﺗﺒﺔ اﻟﺤﺪ‬

‫اﻷﺳﺎس‬

‫)) ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ ھﺎﻣﺔ ﺟﺪا (( ‪:‬‬ ‫‪ Ã‬إذا ﻛﺎن ﻋﺪد ﺣﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ = ن ﻓﺈن ﺣﺪھﺎ اﻷﺧﯿﺮ ھﻮ ح‬

‫ن‬

‫وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ل‬

‫* أى أن ‪ :‬ﻋﺪد ﺣﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ اﻟﻤﻨﺘﮭﯿﺔ = رﺗﺒﺔ اﻟﺤﺪ اﻷﺧﯿﺮ‬ ‫* أى أن ‪ :‬ل = ح ن = أ ‪ ) +‬ن ‪ ( ١ -‬د‬ ‫♣ ﻓﻤﺜﻼ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ﻋﺪد ﺣﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ = ‪ ٢٠‬ﺣﺪا ﻓﺈن اﻟﺤﺪ اﻷﺧﯿﺮ ھﻮ اﻟﺤﺪ اﻟﻌﺸﺮون‬ ‫* أى أن ‪ :‬ل = ح ‪ = ٢٠‬أ ‪ ( ١ - ٢٠ ) +‬د = أ ‪ ١٩ +‬د‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ ²‬اﻷوﺳﺎط اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ ‪²‬‬ ‫‪ ²‬إذا ﻛﺎن ‪ :‬أ ‪ ،‬ب ‪ ،‬ﺟـ ﺛﻼﺛﺔ ﺣﺪود ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ﻣﻦ م ‪ .‬ح ﻓﺈن ﺿﻌﻒ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ = ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ ‪.‬‬ ‫‪ê‬‬ ‫ب=‬ ‫وﻣﻨﮭﺎ‬ ‫‪ ٢‬ب = أ ‪ +‬ﺟـ‬ ‫و‪.‬ح‬ ‫‪ ï‬أى أن ‪ :‬اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ = اﻟﻤﺠﻤﻮع ÷ ‪٢‬‬

‫" ﯾﺴﺘﺨﺪم إذا ذﻛﺮ ﻛﻠﻤﺔ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ "‬

‫♣ ﻓﻤﺜﻼ ‪ :‬إذا ﻛﺎن اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ ﻟﻌﺪدﯾﻦ = ‪٣‬‬ ‫‪ Ã‬ﻧﻔﺮض أن اﻟﻌﺪدﯾﻦ ھﻤﺎ س ‪ ،‬ص ‪.˙.‬‬

‫=‪٣‬‬

‫‪ .˙.‬س ‪ +‬ص = ‪٦‬‬

‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ ²‬ﻣﺠﻤﻮع ﺣﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ ‪²‬‬

‫ﺟـ ن =‬

‫}‬

‫ن‬ ‫‪٢‬‬ ‫ن‬ ‫]‪٢‬أ‪)+‬ن‪ (١-‬د[‬ ‫‪٢‬‬

‫إذا ﻋﻠﻢ اﻟﺤﺪ اﻷﺧﯿﺮ‬

‫]أ‪+‬ل[‬

‫إذا ﻋﻠﻢ اﻷﺳﺎس‬

‫‪١١٤‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫♣ ﺗﺬﻛـــﺮ أن ‪:‬‬ ‫‪ -١‬ﻓﻰ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ د < ‪ " ٠‬ن ﻣﻮﺟﺐ " ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ‪ ،‬وإذا ﻛﺎﻧﺖ د > ‪" ٠‬‬ ‫ن ﺳﺎﻟﺐ " ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ " ‪.‬‬ ‫‪ -٢‬إذا ﻛﺎن ﻋﺪد ﺣﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ = ن " ﻓﺮدﯾﺎ " ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻮﺟﺪ ﺣﺪ أوﺳﻂ وﺣﯿﺪ رﺗﺒﺘﮫ =‬ ‫♣ ﻓﻤﺜﻼ ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ن = ‪ " ١٥‬ﻓﺮدى "‬

‫‪ .˙.‬رﺗﺒﺔ اﻟﺤﺪ اﻷوﺳﻂ = ح‬

‫= ح‬

‫ن‪١+‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ -٣‬إذا ﻛﺎن ﻋﺪد ﺣﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ = ن " زوﺟﯿﺎ " ‪ .˙.‬ﯾﻮﺟﺪ ﺣﺪان أوﺳﻄﺎن ﺗﺮﺗﯿﺒﮭﻤﺎ‬ ‫♣ ﻓﻤﺜﻼ ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ن = ‪ " ٣٠‬زوﺟﻰ " ‪ .˙.‬رﺗﺒﺔ اﻟﺤﺪان اﻷوﺳﻄﺎن ھﻤﺎ = ح‬ ‫(‬

‫ن‬

‫‪١ + ١٥‬‬ ‫‪٢‬‬

‫= ح‬

‫‪٨‬‬

‫‪ ،‬اﻟﺬى ﯾﻠﯿﮫ ‪.‬‬

‫= واﻟﺬى ﯾﻠﯿﮫ ) ح ‪ ، ١٥‬ح‬

‫‪١٦‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ -٤‬إذا أدﺧﻠﻨﺎ ﻋﺪة أوﺳﺎط ﺣﺴﺎﺑﯿﺔ ﺑﯿﻦ ﻋﺪدﯾﻦ ﻓﺈن ‪ :‬ﻋﺪد ﺣﺪود اﻟــ م ‪ .‬ح = ﻋﺪد اﻷوﺳﺎط ‪٢ +‬‬ ‫‪ ï‬أى أن ‪ :‬ن = ﻋﺪد اﻷوﺳﺎط ‪٢ +‬‬ ‫‪å æ‬‬ ‫أ ) اﻷول (‬

‫◄ وﻣﻨﮭﺎ ﻋﺪد اﻷوﺳﺎط = ن ‪٢ -‬‬

‫ل ) اﻷﺧﯿﺮ (‬

‫‪ -٥‬رﺗﺒﺔ اﻟﺤﺪ ﺗﺰﯾﺪ ﻋﻦ رﺗﺒﺔ اﻟﻮﺳﻂ ﺑﻤﻘﺪار ‪١‬‬ ‫♣ ﻓﻤﺜﻼ ‪ :‬اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺜﺎﻟﺚ = اﻟﺤﺪ اﻟﺮاﺑﻊ‬

‫ون= ل‪-‬د‬

‫‪ .˙.‬و ‪ = ٣‬ح ‪ = ٤‬أ ‪ ٣ +‬د‬

‫و ن‪ = ٢-‬ل ‪ ٣ -‬د‬

‫وﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ‪ :‬و ‪ = ١٥‬ح ‪ = ١٦‬أ ‪ ١٥ +‬د‬ ‫‪ -٦‬ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺪود اﻟﻔﺮدﯾﺔ اﻟﺮﺗﺒﺔ ھﻰ ‪ ) :‬ح ‪ ، ١‬ح ‪ ، ٣‬ح ‪ ، ٥‬ح ‪( ............... ، ٧‬‬ ‫) أ ‪ +‬د ‪ ،‬أ ‪ ٣ +‬د ‪ ،‬أ ‪ ٥ +‬د ‪( ............. ،‬‬ ‫ﺣﺪھﺎ اﻷول = أ ‪ +‬د ‪ ،‬أﺳﺎﺳﮭﺎ = ‪ ٢‬د‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ ²‬اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌــﺎت اﻟﮫﻨﺪﺳﯿﺔ ‪²‬‬ ‫ح‬

‫ن‪١+‬‬

‫= ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ ∀ ن ‪ Э‬ص‬

‫‪ ) ²‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ( ‪ ï‬ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ) ح ن ( م ‪ .‬ھـ إذا ﻛــﺎن ‪:‬‬ ‫ح‬ ‫ن‬ ‫وﯾﺴﻤﻰ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺜﺎﺑﺖ ﺑﺄﺳﺎس اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ر‬

‫‪+‬‬

‫ح ن‪١+‬‬ ‫أى ﺣﺪ ﻓﯿﮭﺎ‬ ‫=‬ ‫‪ ) ²‬أى أن ( ‪ :‬ر =‬ ‫اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﮫ ﻣﺒﺎﺷﺮة‬ ‫ح ن‬ ‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪١١٥‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ ²‬اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌــﺎت اﻟﮫﻨﺪﺳﯿﺔ ‪²‬‬ ‫‪ Ã‬إذا رﻣﺰﻧﺎ ﻟﻠﺤﺪ اﻷول ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ أ ‪ ،‬واﻷﺳﺎس ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ر ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة‬ ‫‪:‬‬ ‫) أ ‪ ،‬أ ر ‪ ،‬أ ر‪ ، ٢‬أ ر‪( ∞ ، ....................... ، ٣‬‬ ‫‪ ) ،‬أ ‪ ،‬أ ر ‪ ،‬أ ر‪ ، ٢‬أ ر‪، ........... ، ٣‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ ،‬ل(‬

‫" إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ "‬ ‫" إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ "‬

‫‪ ²‬اﻟﺤﺪ اﻟﻌﺎم ﻓﻰ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌــﺔ اﻟﮫﻨﺪﺳﯿﺔ ‪²‬‬

‫∀ن‪Э‬ص‬

‫أ ◄ اﻟﺤﺪ اﻷول‬ ‫ن ◄ رﺗﺒﺔ اﻟﺤﺪ‬ ‫ر ◄ اﻷﺳـــﺎس‬ ‫‪+‬‬

‫‪ ²‬اﻷوﺳﺎط اﻟﮫﻨﺪﺳﯿﺔ ‪²‬‬ ‫‪ ²‬إذا ﻛﺎن ‪ :‬أ ‪ ،‬ب ‪ ،‬ﺟـ ﺛﻼﺛﺔ ﺣﺪود ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ﻣﻦ م ‪ .‬ھـ ﻓﺈن ﻣﺮﺑﻊ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ = ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ê‬‬ ‫أ ﺟـ‬ ‫ب= ‪±‬‬ ‫وﻣﻨﮭﺎ‬ ‫ب ‪ = ٢‬أ × ﺟـ‬ ‫و ‪ .‬ھـ‬ ‫‪ ï‬أى أن ‪ :‬اﻟﻮﺳﻂ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ = ‪±‬‬

‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﻟﻌﺪدﯾﻦ " اﻟﺤﺪﯾﻦ "‬

‫" ﯾﺴﺘﺨﺪم إذا ذﻛﺮ ﻛﻠﻤﺔ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ "‬

‫♣ ﻓﻤﺜﻼ ‪ :‬إذا ﻛﺎن اﻟﻮﺳﻂ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ ﻟﻌﺪدﯾﻦ = ‪٧‬‬ ‫‪ Ã‬ﻧﻔﺮض أن اﻟﻌﺪدﯾﻦ ھﻤﺎ أ ‪ ،‬ب ‪ .˙.‬أ ب = ‪٧‬‬

‫" ﺑﺘﺮﺑﯿﻊ اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ "‬

‫‪ .˙.‬أ ب = ‪٤٩‬‬

‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ ²‬ﻧﻈﺮﻳﺔ ھﺎﻣﺔ ‪²‬‬ ‫‪ Ã‬اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ ﻟﻌﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﯿﻦ ﻣﻮﺟﺒﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﯿﻦ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ وﺳﻄﮭﻤﺎ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ ‪.‬‬ ‫‪ ²‬ﻣﺠﻤﻮع ﺣﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﮫﻨﺪﺳﯿﺔ ‪²‬‬

‫ﺟـ ن =‬

‫}‬

‫أ)رن‪(١-‬‬ ‫ر‪١-‬‬ ‫ن‬ ‫أ)‪ -١‬ر (‬ ‫‪ -١‬ر‬

‫ﺟـ ن =‬

‫}‬

‫لر‪ -‬أ‬ ‫ر‪١-‬‬ ‫أ‪ -‬لر‬ ‫‪ -١‬ر‬

‫ﺣﯿﺚ ر < ‪١‬‬ ‫ﺣﯿﺚ ر > ‪١‬‬ ‫) إذا ﻋﻠﻢ ﻋﺪد اﻟﺤﺪود " ن " (‬ ‫ﺣﯿﺚ ر < ‪١‬‬ ‫ﺣﯿﺚ ر > ‪١‬‬ ‫‪١١٦‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫) إذا ﻋﻠﻢ اﻟﺤﺪ اﻷﺧﯿﺮ (‬ ‫♣ ﻣﺠﻤﻮع ﻋﺪد ﻻ ﻧﮭﺎﺋﻰ " ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮫ " ﻣﻦ اﻟﺤﺪود ‪:‬‬ ‫‪ Ã‬اﻟﺸﺮط اﻟﻼزم ﻹﯾﺠﺎد ﻣﺠﻤﻮع ﻋﺪد ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮫ ﻣﻦ ﺣﺪود م ‪ .‬ھـ ھﻮ | ر | > ‪١‬‬ ‫وﻓﻰ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﯾﻜﻮن‬

‫ﺟـ‬

‫اﻟﺤﺪ اﻷول‬ ‫‪ - ١‬اﻷﺳﺎس‬

‫∞‬

‫=‬ ‫♣ ﺗﺬﻛـــــﺮ أن ‪:‬‬

‫أو‬

‫‪ > ١-‬ر > ‪١‬‬

‫أ‬ ‫‪ -١‬ر‬

‫ﺟـ ∞ =‬

‫‪ -١‬اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ ﻟﻌﺪدﯾﻦ ﻣﻮﺟﺒﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﯿﻦ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ وﺳﻄﮭﻤﺎ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ ‪.‬‬ ‫‪ -٢‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ :‬أ ‪ ،‬ب ‪ ،‬ﺟـ ﺛﻼث ﻛﻤﯿﺎت ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻓﻰ ﺗﺘﺎﺑﻊ ﺣﺴﺎﺑﻰ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫ب<‬

‫أ ﺟـ‬

‫" ﻧﺜﺒﺖ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ وﻧﻌﺮف اﻟﻮﺳﻂ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ "‬ ‫< ب‬

‫‪ -٣‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ :‬أ ‪ ،‬ب ‪ ،‬ﺟـ ﺛﻼث ﻛﻤﯿﺎت ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻓﻰ ﺗﺘﺎﺑﻊ ھﻨﺪﺳﻰ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫" ﻧﺜﺒﺖ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ وﻧﻌﺮف اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ "‬ ‫‪ ²‬ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺎت ‪²‬‬ ‫‪ ²‬أوﻻً ‪ :‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ ‪:‬‬

‫‪ ♣١‬م ‪ .‬ح ﻓﯿﮭﺎ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺤﺪﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ واﻟﺨﺎﻣﺲ ﯾﺴﺎوى ‪ ٢٤‬وﻣﺮﺑﻊ ﺣﺪھﺎ اﻟﺴﺎدس ﯾﺴﺎوى ‪ ٣٢٤‬أوﺟﺪ‬ ‫اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ‪.‬‬ ‫) اﻟﺤـــــﻞ (‬ ‫˙‪ ˙.‬ح ‪٣٢٤ = ٢ ٦‬‬

‫˙‪ ˙.‬ح ‪ + ٣‬ح ‪٢٤ = ٥‬‬

‫) أ ‪ ٥ +‬د ( ‪٣٢٤ = ٢‬‬

‫أ ‪ ٢ +‬د ‪ +‬أ ‪ ٤ +‬د = ‪٢٤‬‬

‫أ ‪ ٥ +‬د = ‪١٨ ±‬‬

‫‪ ٢‬أ ‪ ٦ +‬د = ‪ ٢٤‬ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ÷ ‪٢‬‬ ‫أ ‪ ٣ +‬د = ‪ ١٢‬ﺑﺎﻟﻀﺮب × ‪١-‬‬ ‫‪ -‬أ ‪ ٣ -‬د = ‪١٢ -‬‬

‫‪ç‬‬

‫‪ -‬أ ‪ ٣ -‬د = ‪١٢ -‬‬

‫أ ‪ ٥ +‬د = ‪١٨‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪٢‬د=‪٦‬‬

‫‪ç‬‬

‫أ ‪ ٥ +‬د = ‪١٨ -‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪ ٢‬د = ‪٣٠ -‬‬ ‫د = ‪١٥ -‬‬

‫د=‪٣‬‬

‫أ ‪١٢ = ٤٥ -‬‬

‫أ ‪١٢ = ٩ +‬‬

‫أ = ‪٥٧‬‬

‫أ=‪٣‬‬ ‫‪ê‬‬

‫‪ê‬‬

‫م ‪ .‬ح = ) ‪( ..... ، ٩ ، ٦ ، ٣‬‬

‫م ‪ .‬ح = ) ‪( ..... ، ٢٧ ، ٤٢ ، ٥٧‬‬ ‫‪١١٧‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ ♣٢‬م ‪ .‬ح ﺣﺪودھﺎ أﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺤﺔ ‪ ،‬ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﻟﺤﺪﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ واﻟﺴﺎدس ‪ ، ٤٠٦‬وﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺔ اﻟﺤﺪ‬ ‫اﻟﺘﺎﺳـــــﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺪ اﻟﺮاﺑﻊ ﻣﻨﮭﺎ ﯾﺴﺎوى ‪ ٢‬واﻟﺒﺎﻗﻰ ‪ ٦ -‬أوﺟﺪ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ‪.‬‬ ‫) اﻟﺤـــــﻞ (‬ ‫˙‪ ˙.‬ح ‪ × ٣‬ح ‪٤٠٦ = ٦‬‬

‫˙‪ ˙.‬ح ‪ ٢ - ٩‬ح ‪٦ - = ٤‬‬

‫) أ ‪ ٢ +‬د ( ) أ ‪ ٥ +‬د ( = ‪Œ ß ٤٠٦‬‬

‫أ‪٨+‬د‪) ٢-‬أ‪٣+‬د(=‪٦-‬‬

‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻣﻦ • ﻓﻰ ‪Œ‬‬

‫أ‪٨+‬د‪٢-‬أ‪٦-‬د =‪٦-‬‬

‫) ‪٢‬د ‪ ٢ + ٦ -‬د ( ) ‪ ٢‬د ‪ ٥ + ٦ -‬د ( = ‪٤٠٦‬‬

‫‪-‬أ‪٢+‬د=‪٦-‬‬

‫) ‪ ٤‬د ‪ ٧ ) ( ٦ -‬د ‪٤٠٦ = ( ٦ -‬‬

‫أ=‪٢‬د‪•ß ٦+‬‬

‫‪ ٢٨‬د ‪ ٢٤ - ٢‬د ‪ ٤٢ -‬د ‪٤٠٦ = ٣٦ +‬‬

‫‪ç‬‬

‫‪ ٢٨‬د ‪ ٦٦ - ٢‬د ‪٠ = ٣٧٠ -‬‬

‫‪ ١٤‬د ‪ ٣٣ - ٢‬د ‪٠ = ١٨٥ -‬‬

‫‪ç‬‬

‫) ‪ ١٤‬د ‪ ) ( ٣٧ -‬د ‪٠ = ( ٥ +‬‬

‫د=‪٥-‬‬

‫‪ ١٤‬د = ‪٣٧‬‬

‫أ = ‪٤ - = ٦ + ١٠ -‬‬

‫د=‬

‫م ‪ .‬ح = ) ‪( ..... ، ١٤ - ، ٩ - ، ٤ -‬‬

‫" ﻣﺮﻓﻮض "‬ ‫ﻷن اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺣﺪودھﺎ ﺻﺤﯿﺤﺔ‬

‫‪ ♣٣‬م ‪ .‬ح ﻓﯿﮭﺎ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺤﺪود اﻷرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﻣﻨﮭﺎ = ‪ ، ٥٦‬وﻣﺠﻤﻮع اﻟﺤﺪود اﻷرﺑﻌﺔ اﻷﺧﯿﺮة ﻣﻨﮭﺎ = ‪١١٢‬‬ ‫‪ ،‬وﺣﺪھﺎ اﻷول = ‪ ١١‬أوﺟﺪ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ وﻋﺪد ﺣﺪودھﺎ ‪.‬‬ ‫) اﻟﺤـــــﻞ (‬ ‫˙‪ ˙.‬ﺟـ ‪ ٤‬اﻷﺧﯿﺮة = ‪١١٢‬‬

‫˙‪ ˙.‬ﺟـ ‪ ٤‬اﻷوﻟﻰ = ‪٥٦‬‬

‫ل ‪ +‬ل ‪ -‬د ‪ +‬ل ‪ ٢ -‬د ‪ +‬ل ‪ ٣ -‬د = ‪١١٢‬‬

‫ن‬ ‫ﺟـ ن =‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫] ‪ ٢‬أ ‪ ٣ +‬د [ = ‪٥٦‬‬ ‫ﺟـ ن =‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ٢ ) ٢‬أ ‪ ٣ +‬د ( = ‪ ٥٦‬ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ÷ ‪٢‬‬

‫]‪٢‬أ‪)+‬ن‪(١-‬د[‬

‫‪ ٤‬ل ‪ ٦ -‬د = ‪١١٢‬‬ ‫‪ ٤‬ل ‪١١٢ = ١٢ -‬‬ ‫‪ ٤‬ل = ‪١٢٤‬‬

‫‪ ٢‬أ ‪ ٣ +‬د = ‪Œ ç ٢٨‬‬ ‫˙‪˙.‬‬

‫‪ ç‬ل = ‪٣١‬‬

‫ح ‪ = ٣‬ل = ‪ ç ٣١‬أ ‪ ) +‬ن ‪ ( ١ -‬د = ‪٣١‬‬

‫أ = ‪١١‬‬

‫‪ ) + ١١‬ن ‪٣١ = ٢ × ( ١ -‬‬

‫‪ ٣ + ٢٢ .˙.‬د = ‪٢٨‬‬

‫‪ ٢ + ١١‬ن ‪٣١ = ٢ -‬‬

‫‪٣‬د=‪ ç ٦‬د=‪٢‬‬

‫‪ ٢‬ن = ‪٢٢‬‬

‫م ‪ .‬ح = ) ‪( ........ ، ١٥ ، ١٣ ، ١١‬‬

‫ن = ‪ ١١‬ﺣﺪا‬ ‫‪١١٨‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ ♣٤‬ﻛﻢ ﺣﺪا ﯾﻠﺰم أﺧﺬھﺎ اﺑﺘﺪاء ﻣﻦ اﻟﺤﺪ اﻷول ﻣﻦ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ ) ‪( ....... ،... ، ... ، ٢٠ ، ٢٥ ، ٣٠‬‬ ‫ﻟﯿﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮﻋﮭﺎ = ‪ ١٠٠‬ﺛﻢ ﻓﺴﺮ ﻣﻌﻨﻰ اﻟﺠﻮاب ‪.‬‬ ‫) اﻟﺤـــــﻞ (‬ ‫أ = ‪، ٣٠‬‬

‫د=‪٥-‬‬

‫ﺟـ ن = ‪١٠٠‬‬

‫‪،‬‬

‫ن=؟‬

‫‪،‬‬

‫ن‬ ‫ﺟـ ن =‬ ‫‪٢‬‬ ‫ن‬ ‫] ‪ ) + ٦٠‬ن ‪ [ ٥ - × ( ١ -‬ﺑﺎﻟﻀﺮب × ‪٢‬‬ ‫‪= ١٠٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ = ٢٠٠‬ن ) ‪ ٥ - ٦٥‬ن (‬ ‫‪ = ٢٠٠‬ن ) ‪ ٥ - ٦٠‬ن ‪( ٥ +‬‬ ‫]‪٢‬أ‪)+‬ن‪(١-‬د[‬

‫‪ ٥‬ن ‪ ٦٥ - ٢‬ن ‪٠ = ٢٠٠ +‬‬

‫‪ ٦٥ ) = ٢٠٠‬ن ‪ ٥ -‬ن ‪( ٢‬‬ ‫ن ‪ ١٣ - ٢‬ن ‪٠ = ٤٠ +‬‬

‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ÷ ‪٥‬‬

‫)ن‪)(٥-‬ن‪٠=(٨-‬‬ ‫ن=‪٥‬‬

‫ن=‪٨‬‬

‫‪،‬‬

‫ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺤﺪود اﻟﺨﻤﺴﺔ اﻷوﻟﻰ = ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺤﺪود اﻟﺜﺎﻣﻨﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫ﺟـ ‪ ٥‬اﻷوﻟﻰ = ﺟـ ‪ ٨‬اﻷوﻟﻰ = ‪١٠٠‬‬ ‫وھﺬا ﯾﻌﻨﻰ أن ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺤﺪود اﻟﺴﺎدس واﻟﺴﺎﺑﻊ واﻟﺜﺎﻣﻦ = ‪٠‬‬ ‫اﻻﺛﺒﺎت ‪ :‬ح ‪ + ٦‬ح ‪ + ٧‬ح ‪ = ٨‬أ ‪ ٥ +‬د ‪ +‬أ ‪ ٦ +‬د ‪ +‬أ ‪ ٧ +‬د‬ ‫= ‪ ٣‬أ ‪ ١٨ +‬د = ‪ = ٩٠ - ٩٠ = ٥ - × ١٨ + ٣ × ٣‬ﺻﻔﺮ ‪#‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ ♣٥‬إذا ﻛﻮﻧﺖ أﺿﻼع ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺣﺴﺎﺑﯿﺔ وﻛﺎن ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ = ‪ ٣٠‬ﺳﻢ أوﺟﺪ أﻃﻮال أﺿﻼﻋﮫ إذا ﻛﺎﻧﺖ أﻛﺒﺮ‬ ‫) اﻟﺤـــــﻞ (‬

‫زواﯾﺎه ‪. ْ ١٢٠‬‬

‫◄ ﻧﻔﺮض أن أﻃﻮال أﺿﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ ھﻰ أ ‪ ،‬أ ‪ +‬د ‪ ،‬أ ‪ ٢ +‬ء‬ ‫˙‪˙.‬‬

‫ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ = ‪٣٠‬‬

‫‪ .˙.‬أ ‪ +‬أ ‪ +‬د ‪ +‬أ ‪ ٢ +‬ء = ‪٣٠‬‬ ‫‪ ٣ .˙.‬أ ‪ ٣ +‬د = ‪٣٠‬‬ ‫‪ .˙.‬أ ‪ +‬د = ‪١٠‬‬

‫‪ï‬‬

‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ÷ ‪٣‬‬ ‫أ = ‪ - ١٠‬د‬

‫‪Œç‬‬

‫ﺑﺘﻄﺒﯿﻖ ﻗﺎﻧﻮن ﺟﯿﺐ اﻟﺘﻤﺎم ﻓﻰ اﻟﻤﺜﻠﺚ أ ب ﺟـ‬ ‫) أ ﺟـ ( ‪ ) = ٢‬أ ب ( ‪ ) + ٢‬ب ﺟـ ( ‪ ) ٢ - ٢‬أ ب ( ) ب ﺟـ ( ﺟﺘﺎ ب‬ ‫) أ ‪ ٢ +‬د ( ‪ = ٢‬أ ‪ ) + ٢‬أ ‪ +‬د ( ‪ ٢ - ٢‬أ ) أ ‪ +‬د ( ﺟﺘﺎ ‪١٢٠‬‬

‫‪•ç‬‬

‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻣﻦ ‪ Œ‬ﻓﻰ • ‪:‬‬ ‫) ‪ - ١٠‬د ‪ ٢ +‬د ( ‪ - ١٠ ) = ٢‬د ( ‪ - ١٠ ) + ٢‬د ‪ +‬د ( ‪ - ١٠ ) ٢ - ٢‬د ( ) ‪ - ١٠‬د ‪ +‬د ( × ‪-‬‬ ‫‪١١٩‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫) ‪ + ١٠‬د ( ‪ - ١٠ ) = ٢‬د ( ‪ - ١٠ ) + ٢ ( ١٠ ) + ٢‬د ( × ‪١٠‬‬ ‫‪ ٢٠ + ١٠٠‬د ‪ +‬د ‪ ٢٠ - ١٠٠ = ٢‬د ‪ +‬د ‪ ١٠ - ١٠٠ + ١٠٠ + ٢‬د‬ ‫‪ ٥٠‬د = ‪ ç ٢٠٠‬د = ‪٤‬‬ ‫أ = ‪٦ = ٤ - ١٠‬‬ ‫‪.˙.‬‬

‫أﺿﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ ھﻰ ‪١٤ ، ١٠ ، ٦‬‬

‫‪#‬‬

‫‪-------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪ ♣٦‬م ‪ .‬ھـ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺤﺪﯾﻦ اﻷول واﻷﺧﯿﺮ = ‪ ، ٦٦‬وﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﻟﺤﺪﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻰ وﻗﺒﻞ اﻷﺧﯿﺮ =‬ ‫‪ ، ١٢٨‬وﻣﺠﻤﻮع ﺣﺪودھﺎ ‪ ١٢٦‬أوﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﺪود ھﺬه اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ‪.‬‬ ‫) اﻟﺤـــــﻞ (‬ ‫أ ‪ +‬ل = ‪٦٦‬‬ ‫ل‬ ‫ح‪×٢‬‬ ‫ر‬

‫= ‪١٢٨‬‬

‫‪ç‬‬

‫أ = ‪ - ٦٦‬ل‬

‫‪ç‬‬

‫ل‬ ‫أر×‬ ‫ر‬

‫‪Œ ç‬‬ ‫= ‪١٢٨‬‬

‫‪ ç‬أ ل = ‪• ç ١٢٨‬‬

‫‪ ٦٦ ç‬ل ‪ -‬ل‪ç ١٢٨ = ٢‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻣﻦ ‪ Œ‬ﻓﻰ • ) ‪ - ٦٦‬ل ( ل = ‪١٢٨‬‬ ‫‪ .˙.‬ل‪ ٦٦ - ٢‬ل ‪٠ = ١٢٨ +‬‬ ‫) ل ‪ ) ( ٢ -‬ل ‪٠ = ( ٦٤ -‬‬ ‫ل‪٠=٢-‬‬

‫ل ‪٠ = ٦٤ -‬‬

‫ل = ‪٦٤‬‬ ‫ل=‪٢‬‬ ‫‪١٢٨‬‬ ‫‪١٢٨‬‬ ‫أ=‬ ‫=‪٢‬‬ ‫= ‪ ٦٤‬أ =‬ ‫‪٦٤‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫وﺣﯿﺚ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ‪ .˙.‬أ = ‪ ، ٢‬ل = ‪˙.˙ ، ٦٤‬‬ ‫‪.˙.‬‬

‫ﺟـ ن = ‪١٢٦‬‬

‫‪ ٦٤‬ر ‪٢ -‬‬ ‫لر‪ -‬أ =‬ ‫‪ç‬‬ ‫ر ‪ -‬أ ‪١٢٦‬‬ ‫ر‪١-‬‬ ‫‪ ١٢٦‬ر ‪ ٦٤ = ١٢٦ -‬ر ‪ ٦٢ ç ٢ -‬ر = ‪١٢٤‬‬ ‫= ‪١٢٦‬‬

‫وﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻟﻠﻄﺮﻓﯿﻦ ﻋﻠﻰ ‪٦٢‬‬ ‫‪.˙.‬‬

‫‪.˙.‬‬

‫ر=‪٢‬‬

‫م ‪ .‬ھـ = ) ‪( ٦٤ ، ................ ، ٨ ، ٤ ، ٢‬‬ ‫ح ن = ل = ‪ ç ٦٤‬أ ر ن ‪٦٤ = ١ -‬‬

‫‪ ٢ × ١ ٢‬ن ‪ + ١ ٢ ç ٦٤ = ١ -‬ن ‪٦٤ = ١ -‬‬ ‫ن=‪٦‬‬

‫‪ç‬‬

‫‪٢‬ن=‪٢‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪#‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪١٢٠‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ ♣٧‬م ‪ .‬ھـ ﺣﺪھﺎ اﻟﺮاﺑﻊ = ‪ ، ٤‬وﺣﺪھﺎ اﻷﺧﯿﺮ = ‪ ، ٦٤‬واﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺠﻤﻮع ن ﻣﻦ ﺣﺪودھﺎ إﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫ن ﻣﻦ ﻣﻘﻠﻮﺑﺎت ھﺬه اﻟﺤﺪود = ‪ ١ : ٣٢‬أوﺟﺪ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ وﻋﺪد ﺣﺪودھﺎ ‪.‬‬ ‫) اﻟﺤـــــﻞ (‬

‫˙‪˙.‬‬

‫˙‪˙.‬‬

‫ح ‪ ç ٤ = ٤‬أ ر‪Œ ç ٤ = ٣‬‬

‫˙‪˙.‬‬

‫ل = ‪ ç ٦٤‬أ ر ن ‪• ç ٦٤ = ١ -‬‬

‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ ھﻰ ‪ ) :‬أ ‪ ،‬أ ر ‪ ،‬أ ر‪ ، ......... ، ٢‬ل (‬

‫‪١‬‬ ‫‪ .˙.‬اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ ﻟﻤﻘﻠﻮﺑﺎت اﻟﺤﺪود ھﻰ ‪) :‬‬ ‫أ‬ ‫‪١‬‬ ‫ﺣﯿﺚ اﻟﺤﺪ اﻷول ح ‪= ١‬‬ ‫أ‬ ‫‪١ -١] ١‬‬ ‫أ )‬ ‫ر‬ ‫‪ .˙.‬ﺟـ ن ﻟﻠﻤﻘﻠﻮﺑﺎت =‬ ‫‪١‬‬ ‫‪-١‬‬ ‫ر‬ ‫‪ .˙.‬ﺟـ ن ﻟﻠﻤﻘﻠﻮﺑﺎت =‬ ‫˙‪˙.‬‬

‫ﺟـ‬

‫ن‬

‫‪ :‬ﺟـ‬

‫ن‬

‫رن‪١-‬‬ ‫ر‬

‫‪١‬‬ ‫أر‬

‫‪،‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ،‬واﻷﺳﺎس =‬ ‫ر‬

‫(ن[‬ ‫=‬

‫‪١‬‬ ‫ر‬

‫ن ‪١-‬‬ ‫ن‬

‫ر‬ ‫ر‪١-‬‬ ‫أ)‬ ‫ر‬

‫(‬

‫ر)رن‪(١-‬‬ ‫ر‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫ن‬ ‫أر )ر‪(١-‬‬ ‫أ)ر‪(١-‬‬

‫ﻟﻠﻤﻘﻠﻮﺑﺎت = ‪١ : ٣٢‬‬

‫أ)رن‪(١-‬‬ ‫‪.˙.‬‬ ‫÷‬ ‫ر‪١-‬‬

‫ر) ر ن ‪( ١ -‬‬ ‫أرن)ر‪(١-‬‬

‫‪٣٢‬‬ ‫=‬ ‫‪١‬‬

‫أرن)ر‪(١-‬‬ ‫أ)رن‪(١-‬‬ ‫= ‪٣٢‬‬ ‫×‬ ‫‪.˙.‬‬ ‫ر) ر ن ‪( ١ -‬‬ ‫ر‪١-‬‬ ‫‪ ç‬أ × ‪٣٢ = ٦٤‬‬ ‫‪ ç‬أ × أ ر ن ‪٣٢ = ١ -‬‬

‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ÷ ‪٦٤‬‬

‫‪.˙.‬‬

‫أ=‬

‫ر‪ ç ٤ = ٣‬ر‪ ç ٨ = ٣‬ر = ‪٢‬‬

‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ ‪Œ‬‬ ‫‪.˙.‬‬

‫‪١‬‬ ‫أر‬

‫‪،‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪، .... ،‬‬ ‫ل‬

‫(‬

‫م ‪ .‬ھـ = )‬

‫‪( ٦٤ ، ............... ، ٤ ، ٢ ، ١ ،‬‬

‫ح ن = ل = ‪٦٤‬‬

‫‪ ç‬أ ر ن ‪٦٤ = ١ -‬‬

‫‪ ٢ × ç‬ن ‪٦٤ = ١ -‬‬

‫ﺑﺎﻟﻀﺮب × ‪٢‬‬

‫‪ ٢‬ن ‪ ٢ ç ١٢٨ = ١ -‬ن ‪٢ = = ١ -‬‬ ‫‪ç‬ن‪٧=١-‬‬

‫‪٧‬‬

‫‪ ç‬ن = ‪ ٨‬ﺣﺪود ‪#‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪١٢١‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫اﻟﺘﺒﺎدﯾﻞ‬ ‫اﻟﺘﺒﺎدﯾﻞ‪ -:‬ھﻮ ﻛﻞ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﯾﻤﻜﻦ ﻋﻤﻠﮫ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻻﺷﯿﺎء ﺑﺄﺧﺬ ﺑﻌﻀﮭﺎ أو ﻛﻠﮭﺎ‬ ‫ﻣﺒﺪأ اﻟﻌﺪ ‪ -:‬إذا أﻣﻜﻦ أﺟﺮاء ﻋﻤﻠﯿﺔ ﺑﺄﺣﺪى ﻃﺮق ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻋﺪدھﺎ م وﻛﺎن ﻟﺪﯾﻨﺎ ﻓﻰ اﻟﻮﻗﺖ‬ ‫ﻧﻔﺴﮫ ﻋﻤﻠﯿﺔ أﺧﺮى ﯾﻤﻜﻦ أﺟﺮاؤھﺎ ﺑﻄﺮق ﻋﺪدھﺎ ن ﻓﺈن ﻋﺪد اﻟﻄﺮق اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ‬ ‫ﻻﺟﺮاء اﻟﻌﻤﻠﯿﺘﯿﻦ ﻣﻌﺎ ﯾﺴﺎوى م × ن‬ ‫ﻗﻮاﻧﯿﯿﻦ اﻟﺘﺒﺎدﯾﻞ ‪-:‬‬ ‫ن‬ ‫)‪ (١‬ل ر = ن ) ن – ‪ )( ١‬ن – ‪ ) ..................................... ( ٢‬ن – ر ‪( ١ +‬‬ ‫ن‬ ‫)‪ (٢‬ل ن = ن = ن ) ن – ‪ )( ١‬ن – ‪١ × ٢ × ٣ × ................... × ( ٢‬‬ ‫)‪ (٣‬ن = ن ن – ‪ = ١‬ن ) ن – ‪ ( ١‬ن – ‪٢‬‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫)‪ (٤‬ل ر = ـــــــــــــــــ‬ ‫ن–ر‬ ‫ن‬ ‫ﺻﻔﺮ = ‪١‬‬ ‫‪،‬‬ ‫)‪ (٥‬ل ‪١ = ٠‬‬ ‫ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﻛﻼ ﻣﻤﺎ ﯾﺎﺗﻰ‬

‫‪٥‬‬

‫ل‪، ٢‬‬

‫‪٧‬‬

‫ل ‪ ٩ ، ٣‬ل ‪ ٥، ٤‬ل‬ ‫‪٠‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫‪ ٥‬ل ‪٢٠ = ٤ × ٥ = ٢‬‬ ‫‪ ٧‬ل = ‪٢١٠ = ٥ × ٦ × ٧‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٩‬ل =‪=٦×٧×٨×٩‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﻛﻼ ﻣﻦ ‪، ٤‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪١٠ ،‬‬ ‫ل‬ ‫‪١‬‬

‫‪ ١٠‬ل‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٥‬ل = ‪١‬‬ ‫‪٠‬‬

‫= ‪١٠‬‬

‫‪، ٥‬‬

‫‪٦‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫‪٢٤ = ١ × ٢ × ٣ × ٤ = ٤‬‬

‫‪١٢٠ = ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ = ٥‬‬ ‫‪٧٢٠ = ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ × ٦ = ٦‬‬ ‫‪١٢٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ن‪١+‬‬ ‫ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎن ــــــــــــــ = ‪ ٢٠‬ﻓﻤﺎ ﻗﯿﻤﺔ ن‬ ‫ن–‪١‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫‪ ٠ ٠‬ن‪١+‬‬ ‫‪ ٠‬ـــــــــــــــ = ‪٢٠‬‬ ‫ن–‪١‬‬ ‫ن ) ن ‪٢٠ = (١+‬‬ ‫ن‪ + ٢‬ن – ‪٠ = ٢٠‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫إذا ﻛﺎن‬

‫)ن‪ (١+‬ن ن – ‪١‬‬ ‫‪ ٠‬ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ‪٢٠‬‬ ‫‪٠ ٠‬‬ ‫ن–‪١‬‬ ‫) ن – ‪ )( ٤‬ن ‪٠ = ( ٥ +‬‬ ‫ن=‪٤‬‬

‫ن = ‪٥٠٤٠‬‬

‫ن = ‪) ٥-‬ﻣﺮﻓﻮض(‬

‫ﻓﻤﺎ ﻗﯿﻤﺔ ن‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫‪٥٠٤٠‬‬ ‫‪٥٠٤٠‬‬ ‫‪٢٥٢٠‬‬ ‫‪٨٤٠‬‬ ‫‪٢١٠‬‬ ‫‪٤٢‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪١‬‬

‫ﻧﻘﺴﻢ ‪ ٥٠٤٠‬ﻋﻠﻰ ‪ ١‬ﺛﻢ ﻋﻠﻰ ‪ ٢‬ﺛﻢ ﻋﻠﻰ ‪............ ٣‬‬ ‫ﺣﺘﻰ ﯾﺆول ﺧﺎرج اﻟﻘﺴﻤﺔ اﻟﻰ اﻟﻮاﺣﺪ اﻟﺼﺤﯿﺢ‬ ‫ن=‪١×٢×٣×٤×٥×٦×٧‬‬ ‫ن=‪٧‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪١٠‬ل ر = ‪٧٢٠‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻓﻤﺎ ﻗﯿﻤﺔ ر‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٧‬‬

‫إذا ﻛﺎن نل = ‪ ٦٠‬أوﺟﺪ ن‬ ‫‪٣‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫ل‬

‫‪١٠‬ل ر = ‪٨ × ٩ × ١٠‬‬ ‫ر=‪٣‬‬ ‫ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎن ‪ ٦‬ل ر = ‪ ٣٠‬ﻓﻤﺎ ﻗﯿﻤﺔ ر‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫=‪٣×٤×٥‬‬

‫ن=‪٥‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫إذا ﻛﺎن ن ل ‪ ٩٠ = ٢‬أوﺟﺪ ن‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬ ‫ن‬ ‫ل‪٩ × ١٠ = ٢‬‬ ‫ن = ‪١٠‬‬

‫‪٦‬ل ر = ‪٥ × ٦‬‬ ‫ر=‪٢‬‬ ‫‪١٢٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﺘﻮاﻓﯿﻖ‬ ‫اﻟﺘﻮاﻓﯿﻖ ‪ -:‬ھﻮ ﻛﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻜﻮﯾﻨﮭﺎ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻻﺷﯿﺎء ﻣﺄﺧﻮذة ﻛﻠﮭﺎ أو‬ ‫ﺑﻌﻀﮭﺎ ﺑﺼﺮف اﻟﻨﻈﺮ ﻋﻦ ﺗﺮﺗﯿﺒﮭﺎ‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ ‪٥‬ق‬

‫‪٢‬‬

‫ھﻰ ﻋﺪد اﻟﻤﺠﻮﻋﺎت اﻟﺠﺰﺋﯿﺔ اﻟﺘﻰ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﯾﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﻋﻨﺼﺮﯾﻦ واﻟﺘﻰ ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫ﺗﻜﻮﯾﻨﮭﺎ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ‪ ٥‬ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺑﺼﺮف اﻟﻨﻈﺮ ﻋﻦ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‬

‫أﻣﺎ‬

‫‪٥‬ل‬

‫‪٢‬‬

‫ھﻰ ﻋﺪد اﻟﻤﺠﻮﻋﺎت اﻟﺠﺰﺋﯿﺔ اﻟﺘﻰ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﯾﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﻋﻨﺼﺮﯾﻦ واﻟﺘﻰ ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫ﺗﻜﻮﯾﻨﮭﺎ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ‪ ٥‬ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﻊ ﻣﺮاﻋﺎة اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‬

‫ن‬ ‫ل‬ ‫ر‬ ‫)‪ (١‬نق ر = ــــــــــــ‬ ‫ر‬

‫ﻗﻮاﻧﯿﯿﻦ اﻟﺘﻮاﻓﯿﻖ‬ ‫ن‬ ‫)‪ (٢‬ن ق ر = ـــــــــــــــــــــ‬ ‫ر ن–ر‬

‫ن‬ ‫)‪ (٣‬ن ق = ق ن – ر )ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﺒﺴﯿﻂ ( ﻓﻤﺜﻼ ‪٧‬ق‬ ‫‪٥‬‬ ‫ر‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪ (٤‬ن ق ن = ن ق ‪١ = ٠‬‬ ‫ن‬ ‫)‪ (٥‬إذا ﻛﺎن ن ق س = ق ص ﻓﺎن س = ص أو ن = س ‪ +‬ص‬ ‫ن‬ ‫‪٩‬‬ ‫ق‬ ‫ق‬ ‫‪١‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ر‬ ‫–‬ ‫ن‬ ‫ـــــــــــــــــ = ‪٦‬‬ ‫ر‬ ‫ـــــــــ = ‪١+ ٤ – ٩‬‬ ‫ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ ) ﻗﺎﻧﻮن اﻟﻨﺴﺒﺔ( ﻓﻤﺜﻼ ‪٤‬‬ ‫)‪(٦‬‬ ‫ن‬ ‫ر‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫قر – ‪١‬‬ ‫ق‪٣‬‬ ‫= ‪٧‬ق‬

‫ﻻﯾﺠﺎد اﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﯿﻦ ﺣﺪﯾﻦ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﯿﻦ‬ ‫‪٨‬ق‬ ‫‪٨‬ق‬ ‫‪٨‬ق‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫–‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫–‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫= × =‪١‬‬ ‫×‬ ‫ـــــــــــ = ــــــــــ × ـــــــــــ =‬ ‫‪٤ ٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪ ٨‬ق ‪٨ ٣‬ق‬ ‫‪٨‬ق‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ن‬ ‫ق‬ ‫اﻟﻜﺒﯿﺮ‬ ‫ــــــــــــــــ = ن – اﻟﺼﻐﯿﺮ‬ ‫ـــــــــــــــــــــ‬ ‫ن‬ ‫اﻟﻜﺒﯿﺮ‬ ‫قاﻟﺼﻐﯿﺮ‬ ‫‪١٢٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﺑﻜﻢ ﻃﺮﯾﻘﺔ ﯾﻤﻜﻦ ﯾﻤﻜﻦ اﻧﺘﺨﺎب ‪ ٣‬ﻟﺠﺎن ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﯾﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﺷﺨﺼﯿﻦ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ ‪١٠‬‬ ‫أﺷﺨﺎص ﺑﺤﯿﺚ ﻻ ﯾﺸﺘﺮك اﻟﺸﺨﺺ ﻓﻰ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻟﺠﻨﺔ واﺣﺪة ؟‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫ﯾﻤﻜﻦ أﻧﺘﺨﺎب اﻟﻠﺠﻨﺔ اﻻوﻟﻰ ﺑﻌﺪد ﻣﻦ اﻟﻄﺮق =‪١٠‬ق = ‪ ٤٥ = ٩×١٠‬ﻃﺮﯾﻘﺔ‬ ‫‪١×٢ ٢‬‬ ‫إذا اﻧﺘﺨﺒﻨﺎ اﺛﻨﯿﻦ ﻟﻠﺠﻨﺔ اﻻوﻟﻰ ﯾﺘﺒﻘﻰ ‪ ٨‬أﺷﺨﺎص ﯾﻨﺘﺨﺐ ﻣﻨﮭﻢ ‪ ٢‬ﻟﻠﺠﻨﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﺑﻌﺪد ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻄﺮق = ‪٨‬ق = ‪ ٢٨ = ٧×٨‬ﻃﺮﯾﻘﺔ‬ ‫‪١×٢ ٢‬‬ ‫وأﺧﯿﺮا ﯾﺘﺒﻘﻰ ‪ ٦‬أﺷﺨﺎص ﯾﻨﺘﺨﺐ ﻣﻨﮭﻢ ‪ ٢‬ﻟﻠﺠﻨﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺑﻌﺪد ﻣﻦ اﻟﻄﺮق‬ ‫= ‪٦‬ق = ‪ ١٥ = ٥ × ٦‬ﻃﺮﯾﻘﺔ‬ ‫‪١×٢ ٢‬‬ ‫∴ ﻋﺪد اﻟﻄﺮق اﻟﺘﻰ ﯾﻤﻜﻦ ﺑﮭﺎ اﺧﺘﯿﺎر اﻟﻠﺠﺎن اﻟﺜﻼث = ‪١٨٩٠٠ = ١٥ × ٢٨ × ٤٥‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫أﻋﻠﻨﺖ ﺷﺮﻛﺔ ﻋﻦ وﺟﻮد ‪ ٥‬وﻇﺎﺋﻒ ﺑﮭﺎ ﯾﺸﺘﺮط أن ﺗﺸﻐﻞ ﺳﯿﺪﺗﺎن وﻇﯿﻔﺘﯿﻦ ﻣﻨﮭﺎ‬ ‫ﻓﺘﻘﺪم ﻟﮭﺎ ‪ ٧‬رﺟﺎل ‪ ٤ ،‬ﺳﯿﺪات ﺑﻜﻢ ﻃﺮﯾﻘﺔ ﯾﻤﻜﻦ أﺧﺘﯿﺎر اﻻﺷﺨﺎص اﻟﺨﻤﺴﺔ‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫ﯾﻤﻜﻦ أﺧﺘﯿﺎر ‪ ٣‬رﺟﺎل ﺑﻄﺮق ﻋﺪدھﺎ = ‪ ٧‬ق = ‪٣٥ = ٥ × ٦ × ٧‬‬ ‫‪١×٢×٣ ٣‬‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ أﺧﺘﯿﺎر ﺳﯿﺪﺗﺎن ﺑﻄﺮق ﻋﺪدھﺎ = ‪٤‬ق‪٦ = ٣ × ٤ = ٢‬‬ ‫‪١×٢‬‬ ‫ﻋﺪد اﻟﻄﺮق اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻻﺧﺘﯿﺎر اﻻﺷﺨﺎص اﻟﺨﻤﺴﺔ = ‪٢١٠ = ٦ × ٣٥‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫إذا أرﯾﺪ أﻧﺘﺨﺎب ‪ ١١‬رﺟﻞ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ ‪ ١٤‬رﺟﻼ ﻓﻤﺎ ﻋﺪد اﻟﻄﺮق ﻟﻼﻧﺘﺨﺎب‬

‫ﻋﺪد اﻟﻄﺮق =‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫‪١٤‬‬

‫ق ‪١١‬‬

‫‪١٤‬‬ ‫= ق‪٣٦٤ = ١٢ × ١٣ × ١٤ = ٣‬‬

‫‪١×٢×٣‬‬

‫‪١٢٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﻛﻼ ﻣﻦ ‪١٠‬‬

‫ق‪٣‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫‪١٣ ،‬‬

‫ق‪٤‬‬

‫‪٢٠،‬‬

‫ق‪١٧‬‬

‫‪١٥ ،‬‬

‫ق‪٠‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫‪١٠‬ق‪١٢٠ = ٨ × ٩ × ١٠ = ٣‬‬ ‫‪١×٢×٣‬‬

‫‪١٠ ،‬‬

‫ق‪١٠‬‬

‫‪١٣‬ق‪٧١٥ = ١٠×١١×١٢×١٣ = ٤‬‬ ‫‪١×٢×٣×٤‬‬

‫‪٢٠‬ق‪٢٠ = ١٧‬ق‪= ١٨×١٩×٢٠ = ٣‬‬ ‫‪١×٢×٣‬‬ ‫‪١٥‬‬

‫ق‪١ = ٠‬‬

‫‪١٠‬ق‪١ = ١٠‬‬

‫ﻧﻈﺮﯾﺔ ذات اﻟﺤﺪﯾﻦ‬ ‫‪ ٢‬ن–‪٢‬‬

‫‪ + .............. +‬ن قن ب‬

‫ن‬

‫) أ ‪+‬ب(ن = أ ن ‪ +‬ن ق‪ ١‬ب‪ ١‬أ ن ‪ + ١-‬نق‪ ٢‬ب أ‬

‫‪ ٢‬ن–‪٢‬‬

‫‪ + .............. +‬ن قن ب‬

‫ن‬

‫) أ ‪ -‬ب(ن = أ ن ‪ -‬ن ق‪ ١‬ب‪ ١‬أ ن ‪ + ١-‬نق‪ ٢‬ب أ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫‪٣‬‬ ‫ن‬ ‫‪٢‬‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫)‪+١‬س(ن = ‪ + ١‬ق‪ ١‬س ‪ +‬ق‪ ٢‬س ‪ +‬ق‪ ٣‬س ‪ + ................... +‬قن س‬ ‫ن‬ ‫= ‪ + ١‬ن ق‪ ١‬س ‪ +‬ن ق‪ ٢‬س‪ + ٢‬نق‪ ٣‬س‪ + ................... + ٣‬س‬ ‫*******************************************************‬ ‫‪٥‬‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﻔﻜﻮك ) أ ‪ +‬ب (‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫)‪ (٢‬ﺣﺴﺐ ﻗﻮى أ اﻟﺘﺼﺎﻋﺪﯾﺔ‬ ‫)‪ (١‬ﺣﺴﺐ ﻗﻮى أ اﻟﺘﻨﺎزﻟﯿﺔ‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫)‪ (١‬ﺣﺴﺐ ﻗﻮى أ اﻟﺘﻨﺎزﻟﯿﺔ‬ ‫‪٠ ٥‬‬ ‫) أ ‪+‬ب (‪ = ٥‬أ‪٥ + ٥‬ق‪ ١‬ب أ‪٥ + ٤‬ق‪ ٢‬ب‪ ٢‬أ‪٥ + ٣‬ق‪ ٣‬ب‪ ٣‬أ‪٥ + ٢‬ق‪ ٤‬ب‪ ٤‬أ ‪ ٥ +‬ق‪ ٥‬ب أ‬ ‫‪٥‬‬ ‫= أ‪ ٥ + ٥‬ب أ‪ ١٠ + ٤‬ب‪ ٢‬أ‪ ١٠ + ٣‬ب‪ ٣‬أ‪ ٥ + ٢‬ب‪ ٤‬أ ‪ +‬ب‬ ‫)‪ (٢‬ﺣﺴﺐ ﻗﻮى أ اﻟﺘﺼﺎﻋﺪﯾﺔ‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٢ ٣‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣ ٢‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫) ب ‪ +‬أ (‪ = ٥‬ب‪٥ + ٥‬ق‪ ١‬أ ب ‪ +‬ق‪ ٢‬أ ب ‪ +‬ق‪ ٣‬أ ب ‪ +‬ق‪ ٤‬أ ب ‪ +‬ق‪ ٥‬أ‬ ‫‪٥‬‬ ‫= ب‪ ٥ + ٥‬أ ب‪ ١٠ + ٤‬أ‪ ٢‬ب‪ ١٠ + ٣‬أ‪ ٣‬ب‪ ٥ + ٢‬أ‪ ٤‬ب ‪ +‬أ‬ ‫‪١٢٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻣﻔﻜﻮك ) ‪ + ١‬س (‪ ٧‬ﺣﺴﺐ ﻗﻮى س اﻟﺘﺼﺎﻋﺪﯾﺔ‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬ ‫‪٦‬‬

‫) ‪ + ١‬س(‪٧ + ١ = ٧‬ق‪ ١‬س‪٧ +‬ق‪ ٢‬س‪٧ + ٢‬ق‪ ٣‬س‪٧ + ٣‬ق‪ ٤‬س‪٧ + ٤‬ق‪ ٥‬س‪٧+ ٥‬ق‪ ٦‬س‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪ ٧+‬ق‪ ٧‬س‬ ‫‪٧‬‬ ‫= ‪ ٧ + ١‬س ‪ ٢١ +‬س‪٣٥ + ٢‬س‪٣٥ + ٣‬س‪٢١ + ٤‬س‪٧ + ٥‬س‪ + ٦‬س‬ ‫*******************************************************‬ ‫ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻣﻔﻜﻮك ) ‪٢‬س – ‪٣‬ص(‬

‫‪٣‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬ ‫‪٣‬‬

‫)‪٢‬س‪٣ -‬ص(‪٢) = ٣‬س(‪٣ + ٣‬ق‪٣-)١‬ص(‪٢)١‬س(‪٣+ ٢‬ق‪٣-)٢‬ص(‪٢)٢‬س(‪٣-) +‬ص(‬ ‫= ‪٨‬س‪ ٣٦ – ٣‬ص س‪ ٥٤+ ٢‬ص‪ ٢‬س – ‪ ٢٧‬ص‬ ‫*******************************************************‬ ‫أوﺟﺪ )‪ ٥(٠٫٩٨‬ﻻرﺑﻌﺔ أرﻗﺎم ﻋﺸﺮﯾﺔ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫) ‪٥+ ١ = ٥(٠٫٠٢ – ١‬ق‪٥+ ١(٠٫٠٢-)١‬ق‪٥+ ٢(٠٫٠٢-)٢‬ق‪... +٣(٠٫٠٢-) ٣‬‬ ‫= ‪٠٫٠٠٠٠٠٨ - × ١٠ + ٠٫٠٠٠٤ × ١٠ + ٠٫٠٢- × ٥+١‬‬ ‫= ‪٠٫٩٠٣٩ = ٠٫٠٠٠٠٨ -٠٫٠٠٤ + ٠٫١ – ١‬‬ ‫اﻟﺤﺪ اﻟﻌﺎم ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮك ) س ‪ +‬ص (ن ﯾﻌﻄﻰ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ن‬ ‫ن–ر‬ ‫ر‬ ‫ح ر‪ = ١+‬قر )اﻟﺜﺎﻧﻰ( )اﻻول(‬ ‫ن‬

‫ر‬

‫ن–ر‬

‫ﻣﻌﺎﻣﻞ ح ر‪ = ١+‬قر )ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺜﺎﻧﻰ( )ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻول(‬

‫‪١٢٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻤﺤﺪدات‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﻤﺤﺪد‪-:‬‬ ‫اﻟﻤﺤﺪد ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ ن ﯾﺘﻜﻮن ﻣﻦ ن ﻣﻦ اﻟﺼﻔﻮف ‪ ،‬ن ﻣﻦ اﻻﻋﻤﺪة وﯾﻨﺸﺄ ﻣﻦ ﺣﺬف‬ ‫) ن – ‪ ( ١‬ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات ﻓﻰ ن ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺨﻄﯿﺔ وﯾﻜﺘﺐ رﻣﺰﯾﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻻﺗﻰ‬ ‫ﻣـ ن =‬

‫أ‪١١‬‬

‫أ‪٢١‬‬

‫أ ن‪١‬‬

‫أ ن‪٢‬‬

‫أ‪١٢‬‬

‫‪...........‬‬ ‫أص ع ∋ ح‬ ‫‪ ...........‬أ‬ ‫‪ ١٢ ...........‬ص ‪ ،‬ع = ‪ ............... ، ٣ ، ٢ ، ١‬ن‬ ‫أ ن‪١‬‬ ‫أ‪١١‬‬

‫أ‪٢٢‬‬

‫أﻧﻮاع اﻟﻤﺤﺪدات ‪-:‬‬ ‫)‪ (١‬ﻣﺤﺪد ‪ ١ × ١‬ھﻮ ﯾﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﺻﻒ واﺣﺪ وﻋﻤﻮد واﺣﺪ‬

‫أ‪١١‬‬

‫)‪ (٢‬ﻣﺤﺪد ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ ‪ ] ٢ × ٢‬ﺻﻔﯿﻦ وﻋﻤﻮدﯾﻦ [ وھﻮ ﻛﺎﻻﺗﻰ‬ ‫ﻣـ ‪= ٢ × ٢‬‬

‫أ‪١١‬‬

‫أ‪٢١‬‬

‫أ‪١٢‬‬

‫أ‪٢٢‬‬

‫)‪ (٣‬ﻣﺤﺪد ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ ‪ ٣ ] ٣ × ٣‬ﺻﻔﻮف ‪ ٣ ،‬أﻋﻤﺪة [‬ ‫ﻣـ ‪= ٣ × ٣‬‬

‫أ‪١١‬‬

‫أ‪١٢‬‬ ‫أ‪١٣‬‬

‫أ‪٢١‬‬

‫أ‪٢٢‬‬ ‫أ‪٢٣‬‬

‫أ‪٣١‬‬

‫أ‪٣٢‬‬ ‫أ‪٣٣‬‬

‫ﻛﯿﻔﯿﺔ إﯾﺠﺎد ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد ‪-:‬‬ ‫)أوﻻ ( إﯾﺠﺎد ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد ‪٢ × ٢‬‬ ‫أ‪١١‬‬

‫أ‪٢١‬‬

‫أ‪١٢‬‬

‫أ‪٢٢‬‬

‫= أ‪ × ١١‬أ‪ – ٢٢‬أ‪ × ١٢‬أ‪٢١‬‬

‫‪١٢٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﻤﺤﺪدات اﻻﺗﯿﺔ‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫)‪(١‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫‪٥‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫)‪(٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٢-‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٤‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ ? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد = ‪٢ × ٣ – ٤ × ٥‬‬ ‫= ‪١٤ = ٦ – ٢٠‬‬ ‫)‪(٣‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد = ‪(٢- × ٥) – ٤ × ٣‬‬ ‫= ‪٢٢ = ١٠ + ١٢‬‬ ‫)‪(٤‬‬

‫‪٧‬‬

‫‪٤-‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪١-‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ ? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد = ‪٠ × ٣ – ٤ × ٠‬‬ ‫=‪٠=٠–٠‬‬ ‫)‪(٥‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد = ‪(٤- × ٣) – ١- × ٧‬‬ ‫= ‪٥ = ١٢+ ٧-‬‬ ‫)‪(٦‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪١-‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ ? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد = ‪٠ × ٣ – ٤ × ١‬‬ ‫=‪٤=٠–٤‬‬

‫ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد = ‪(٢ × ٣) – ١- × ٥‬‬ ‫= ‪١١- = ٦ – ٥-‬‬

‫)ﺛﺎﻧﯿﺎ( إﯾﺠﺎد ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد ﻣﻦ رﺗﺒﺔ ‪٣ × ٣‬‬ ‫أ‪١١‬‬

‫أ‪١٢‬‬ ‫أ‪١٣‬‬

‫أ‪٢١‬‬

‫أ‪٢٢‬‬ ‫أ‪٢٣‬‬

‫أ‪٣١‬‬

‫أ‪٣٢‬‬ ‫أ‪٣٣‬‬

‫‪١٢٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﯾﻤﻜﻦ اﻟﻔﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺼﻒ اﻻول‬ ‫=‬

‫أ‪١١‬‬

‫أ‪٣٢‬‬

‫أ‪٢٢‬‬

‫أ‪٣٣‬‬

‫أ‪٢٣‬‬

‫أ‪١٢‬‬

‫أ‪٣٢‬‬

‫ أ‪٢١‬‬‫أ‪ ١٣‬أ‪٣٣‬‬

‫أ‪٢٢‬‬

‫أ‪١٢‬‬

‫‪ +‬أ‪٣١‬‬ ‫أ‪ ١٣‬أ‪٢٣‬‬

‫وﯾﻤﻜﻦ اﻟﻔﻚ ﺑﺎﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻛﺎﻻﺗﻰ‬ ‫=‪-‬‬

‫أ‪١٢‬‬

‫أ‪٣١‬‬

‫أ‪٢١‬‬

‫أ‪٣٣‬‬

‫أ‪٣٢‬‬

‫‪ +‬أ‪٢٢‬‬

‫أ‪٣١‬‬

‫أ‪١١‬‬

‫أ‪٣٣‬‬

‫أ‪١٣‬‬

‫أ‪٢١‬‬

‫أ‪١١‬‬

‫ أ‪٣٢‬‬‫أ‪ ١٣‬أ‪٢٣‬‬

‫وﯾﻤﻜﻦ اﻟﻔﻚ ﺑﺄى ﺻﻒ أو ﻋﻤﻮد ] ﻣﻦ اﻻﻓﻀﻞ ﻋﻨﺪ ﻓﻚ ﻣﺤﺪد ‪ ٣ × ٣‬اﻟﻔﻚ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺼﻒ أو اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺤﺘﻮى ﻋﻠﻰ أﻛﺒﺮ أﺻﻔﺎر[‬ ‫ﻻﺣﻆ إﺷﺎرات ﻛﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﻋﻨﺎﺻﺮ ‪+ - +‬‬ ‫اﻟﻤﺤﺪد ‪٣ × ٣‬‬ ‫ ‪- +‬‬‫‪+‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬‫‪٤‬‬

‫أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد‬

‫اﻟﻤﺤﺪد = ‪١‬‬

‫ ‪+‬‬‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١-‬‬

‫‪١‬‬‫‪٣‬‬ ‫‪٥‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫‪٣‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪(١-) -‬‬

‫‪١ ٢‬‬‫‪٤‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪٢+‬‬

‫‪٢-‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪٥‬‬

‫= ‪( ٣ × ٤ – ٥ × ٢- ) ٢+ ( ١ × ٤ – ١- × ٢- ) ١+ ( ١ × ٥ – ١- × ٣ ) ١‬‬ ‫= ) ‪( ١٢ – ١٠- ) ٢+ ( ٤ – ٢ ) + ( ٥ – ٣-‬‬ ‫= ‪٥٤ - = ٤٤ – ٢ – ٨ - = ٢٢- × ٢+ ٢ – ٨ -‬‬ ‫********************************************************‬ ‫ﻇﺎ‪٢‬س‬ ‫ﻗﺎس‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد‬ ‫ﻗﺎس‬ ‫‪١‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬ ‫‪١٣٠‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻤﺤﺪد = ﻗﺎس × ﻗﺎس – ‪ × ١‬ﻇﺎ‪ ٢‬س = ﻗﺎ‪ ٢‬س – ﻇﺎ‪ ٢‬س = ‪١‬‬ ‫ﺗﺬﻛﺮ أن‬ ‫‪ + ١‬ﻇﺎ‪ ٢‬س = ﻗﺎ‪ ٢‬س‬ ‫‪ + ١‬ﻇﺘﺎ‪ ٢‬س = ﻗﺘﺎ‪ ٢‬س‬

‫س‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬

‫أوﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪٠‬‬ ‫س‬ ‫‪٢‬‬

‫‪١‬‬‫‪٤‬‬ ‫‪١‬‬

‫= ‪١٠‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬ ‫س‪ ٨ – ٢‬س ‪٢ + ٦-‬س – ‪٠ = ١٠‬‬

‫ﺑﻔﻚ اﻟﻤﺤﺪد وﻣﺴﺎواﺗﮫ ﺑـ ‪١٠‬‬ ‫‪ ٣‬س‬ ‫س ‪٤‬‬ ‫= ‪١٠‬‬ ‫‪( ١- ) +‬‬ ‫س‬ ‫‪٢ ٢‬‬ ‫‪١ ٢‬‬

‫س‪ ٦ – ٢‬س – ‪٠ = ١٦‬‬ ‫) س – ‪ )( ٨‬س ‪٠ = ( ٢ +‬‬

‫س ) س – ‪ ٢ – ٦ ) ١ – ( ٨‬س ( = ‪١٠‬‬ ‫أ ب‬ ‫إذا ﻋﻠﻢ أن ﺟـ ء = ‪٣‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫)‪(١‬‬

‫أ‬

‫‪٣‬ﺟـ‬

‫‪٦‬أ‬

‫‪٢‬ء‬

‫‪٤‬ب‬

‫ب‬

‫ﺟـ ء‬

‫=‪٣‬‬

‫س = ‪٢-‬‬

‫س=‪٨‬‬

‫أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﻛﻼ ﻣﻤﺎ ﯾﺄﺗﻰ‬ ‫)‪(٢‬‬

‫أ‪+‬ﺟـ‬

‫ب‪+‬ء‬

‫‪ ٧‬ﺟـ‬

‫‪٧‬ء‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬ ‫أ ء – ب ﺟـ = ‪٣‬‬

‫ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد اﻻول = ‪٣‬ﺟـ × ‪ ٤‬ب – ‪ ٢‬ء × ‪ ٦‬أ = ‪ ١٢‬ﺟـ ب – ‪ ١٢‬ء أ‬ ‫= ‪ ) ١٢‬ﺟـ ب – ء أ ( = ‪٣٦- = ٣- × ١٢‬‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد اﻟﺜﺎﻧﻰ = ) أ ‪ +‬ﺟـ ( × ‪ ٧‬ء – ‪ ٧‬ﺟـ ) ب ‪ +‬ء (‬ ‫= ‪ ٧‬أ ء ‪ ٧ +‬ﺟـ ء ‪ ٧ -‬ﺟـ ب – ‪ ٧‬ﺟـ ء‬ ‫= ‪ ٧‬أ ء – ‪ ٧‬ﺟـ ب‬ ‫‪١٣١‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫= ‪ ) ٧‬أ ء – ب ﺟـ ( = ‪٢١ = ٣ × ٧‬‬

‫ﺧﻮاص اﻟﻤﺤﺪدات‬ ‫ﺧﺎﺻﯿﺔ)‪(١‬‬

‫ﻓﻰ أى ﻣﺤﺪد إذا ﺑﺪﻟﺖ اﻟﺼﻔﻮف ﺑﺎﻻﻋﻤﺪة واﻻﻋﻤﺪة ﺑﺎﻟﺼﻔﻮف‬ ‫ﺑﻨﻔﺲ ﺗﺮﺗﯿﺒﮭﺎ ﻓﺎن ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد ﻻ ﺗﺘﻐﯿﺮ‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٢-‬‬

‫‪٤‬‬ ‫‪١‬‬‫‪٢‬‬ ‫‪١-‬‬

‫=‬

‫‪٥‬‬

‫‪٢-‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫= ‪٢٦‬‬

‫‪٠ ٠ ٣‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪١٥ = ١- ٢ ١- = ٣‬‬‫‪٤ ٣‬‬‫‪٥‬‬ ‫‪٤‬‬

‫ﺧﺎﺻﯿﺔ)‪(٢‬‬

‫ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد ﻻ ﺗﺘﻐﯿﺮ ﺑﻔﻜﮫ ﻋﻦ ﻃﺮﯾﻖ ﻋﻨﺎﺻﺮ أﺣﺪ ﺻﻔﻮﻓﮫ أو‬ ‫أﺣﺪ أﻋﻤﺪﺗﮫ‬ ‫*****************************************************‬ ‫‪٥ ١- ٣‬‬ ‫‪٣‬‬‫ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد ‪٢ ٠‬‬ ‫‪٤ ١- ٠‬‬ ‫)‪ (١‬ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫)‪ (٢‬ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﻌﻤﻮد اﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫)‪ (١‬ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪١٣٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣـ = ‪(١-) -‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٣-‬‬

‫‪٤+‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫= ‪١٥ = ٢٤+٩- = (٠ – ٦)٤+ (٠ – ٩- ) ١‬‬

‫)‪ (٢‬ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام اﻟﻌﻤﻮد اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫ﻣـ = ‪(١-) -‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٣-‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٤-‬‬

‫‪٢+‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪(٣-) -‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪١-‬‬

‫= ‪١٥ = ٩ – ٢٤+ ٠ = (٠ – ٣- ) ٣+ ( ٠ – ١٢ ) ٢ + ( ٠ – ٠ ) ١‬‬

‫ﺧﺎﺻﯿﺔ)‪(٣‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻋﻨﺎﺻﺮ أى ﺻﻒ ) أى ﻋﻤﻮد ( ﻛﻠﮭﺎ أﺻﻔﺎر ﻓﺈن ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫اﻟﻤﺤﺪد = ﺻﻔﺮ‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ اﻟﻤﺤﺪدات‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٠‬‬

‫= ﺻﻔﺮ‬

‫‪،،‬‬

‫‪٣ ٥‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٤ ١-‬‬

‫‪٢‬‬‫‪ = ٠‬ﺻﻔﺮ‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺧﺎﺻﯿﺔ)‪(٤‬‬

‫إذا ﺗﺒﺎدل ﺻﻔﺎن ) أو ﻋﻤﻮدان( ﻓﺎن ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد اﻟﻨﺎﺗﺞ ﺗﺴﺎوى‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد اﻻﺻﻠﻰ ﻣﻀﺮوﺑﺎ × ‪١-‬‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ‬ ‫‪١- ٢ ٣‬‬ ‫‪-= ٢ ٥ ٤‬‬ ‫‪١ ٤ ٣-‬‬

‫‪٢ ٥ ٤‬‬ ‫‪- = ١- ٢ ٣‬‬ ‫‪١ ٤ ٣-‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪١- ٣‬‬ ‫‪٢ ٤‬‬ ‫‪١ ٣-‬‬

‫‪١٣٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪٣‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪١‬‬ ‫=‪-‬‬

‫‪٣‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬

‫ﺧﺎﺻﯿﺔ)‪(٥‬‬

‫إذا ﺗﺴﺎوى ﺻﻔﺎن ) أو ﻋﻤﻮدان ( ﻓﺈن ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد = ﺻﻔﺮ‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ‬

‫‪١ ٢- ٣‬‬ ‫‪٢ ٤ ٥‬‬ ‫‪١ ٢- ٣‬‬

‫‪٢ ٥‬‬ ‫‪٣- ٤‬‬ ‫‪٦ ١-‬‬

‫=‪٠‬‬

‫‪٥‬‬ ‫‪ = ٤‬ﺻﻔﺮ‬ ‫‪١-‬‬

‫ﺧﺎﺻﯿﺔ)‪(٦‬‬

‫إذا وﺟﺪ ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮك ك ﻓﻰ ﺟﻤﯿﻊ ﻋﻨﺎﺻﺮ أى ﺻﻒ )ﻋﻤﻮد(‬ ‫ﻓﺎن ھﺬا اﻟﻌﺎﻣﻞ ﯾﻤﻜﻦ أﺧﺬه ﺧﺎرج اﻟﻤﺤﺪد وﯾﻜﻮن‬ ‫اﻟﻤﺤﺪد اﻻﺻﻠﻰ = ك × اﻟﻤﺤﺪد اﻟﻨﺎﺗﺞ‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ‬

‫‪١٥ ١٠‬‬ ‫‪٤ ١-‬‬

‫واﻟﻌﻜﺲ ‪٣‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫=‪٥‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪١-‬‬

‫‪٤‬‬ ‫‪٦‬‬

‫=‬

‫‪١‬‬

‫ﺑﺪون ﻓﻚ أﺛﺒﺖ أن‬

‫‪١٥‬‬

‫أو =‬

‫‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪٢‬‬‫‪١‬‬‫‪٦‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪٥‬‬

‫أو =‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪١٥‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪٣٥‬‬

‫= ﺻﻔﺮ‬

‫‪٢‬‬

‫‪١٥‬‬

‫‪١‬‬

‫‪١٢‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬ ‫‪١٣٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺑﺄﺧﺬ ‪ ٥‬ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮك ﻣﻦ ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﻌﻤﻮد اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫‪٣‬‬ ‫اﻟﻤﺤﺪد = ‪٤ ٥‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪ × ٥ = ٤‬ﺻﻔﺮ = ﺻﻔﺮ‬ ‫‪٧‬‬

‫‪٢‬‬‫‪١‬‬‫‪٦‬‬

‫ﺧﺎﺻﯿﺔ)‪(٧‬‬

‫ﺗﺤﻮﯾﻞ ﻣﺤﺪد اﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺤﺪدﯾﻦ ‪-:‬‬ ‫ﻓﻰ أى ﻣﺤﺪد إذا ﻛﺘﺒﺖ ﺟﻤﯿﻊ ﻋﻨﺎﺻﺮ أى ﺻﻒ )أى ﻋﻤﻮد(‬ ‫ﻛﻤﺠﻤﻮع ﻋﻨﺼﺮﯾﻦ ﻓﺈن ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد ﯾﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﮭﺎ‬ ‫ﻛﻤﺠﻤﻮع ﻗﯿﻤﺘﻰ ﻣﺤﺪدﯾﻦ ‪٠‬‬ ‫أ‪+‬س ب ‪ +‬ص ﺟـ‪ +‬ع‬

‫أ‬

‫ب‬

‫ﺟـ‬

‫ل‬

‫م‬

‫ن‬

‫ق‬

‫ك‬ ‫ﺟـ‬

‫ل‬

‫م‬

‫ن‬

‫ف‬

‫ق‬

‫ك‬

‫ف‬

‫أ‪+‬س‬

‫ب‬

‫ﺟـ‬

‫أ‬

‫ب‬

‫ل‪+‬ص‬

‫م‬

‫ن‬

‫ل‬

‫م‬

‫ن‬

‫ف‪ +‬ع‬

‫ق‬

‫ك‬

‫ف‬

‫ق‬

‫ك‬

‫=‬

‫=‬

‫س‬ ‫‪ +‬ل‬

‫ص‬

‫ع‬

‫م‬

‫ن‬

‫ف‬

‫‪+‬‬

‫ق‬

‫ك‬

‫س‬

‫ب‬

‫ﺟـ‬

‫ص‬

‫م‬

‫ن‬

‫ع‬

‫ق‬

‫ك‬

‫واﻟﻌﻜﺲ ﻋﻨﺪ ﺟﻤﻊ ﻣﺤﺪدﯾﻦ ﻻ ﯾﺨﺘﻠﻔﺎن اﻻ ﻓﻰ ﻋﻨﺎﺻﺮ أﺣﺪ اﻟﺼﻔﻮف ) أو اﻻﻋﻤﺪة( ﻧﺠﻤﻊ‬ ‫ھﺬان اﻟﺼﻔﺎن أو اﻟﻌﻤﻮدان وﺑﻘﺎء ﺑﻘﯿﺔ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ ﻛﻤﺎ ھﻰ ‪٠‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪١‬‬ ‫أوﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬ ‫‪٣ ١‬‬ ‫‪٤ + ١- ٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢ - ١-‬‬

‫‪١ ٢‬‬ ‫‪١- ٢‬‬ ‫‪٢ - ١-‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬ ‫‪١٣٥‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪٤‬‬ ‫‪٣ ١‬‬ ‫‪٤ + ١- ٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢ - ١-‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫‪٥‬‬ ‫‪١ ٢‬‬ ‫‪٤ = ١- ٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢ - ١-‬‬

‫‪٤ ٣‬‬ ‫‪١- ٢‬‬ ‫‪٢ - ١-‬‬

‫ﺧﺎﺻﯿﺔ)‪(٨‬‬

‫إذا أﺿﯿﻔﺖ ﻟﻌﻨﺎﺻﺮ أى ﺻﻒ ) أو ﻋﻤﻮد( ﻓﻰ ﻣﺤﺪد‬ ‫ﻣﻀﺎﻋﻔﺎت ﻧﻈﺎﺋﺮھﺎ ﻣﻦ ﻋﻨﺎﺻﺮ أى ﺻﻒ ) أو ﻋﻤﻮد( أﺧﺮ‬ ‫ﻓﺎن ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد ﻻ ﺗﺘﻐﯿﺮ‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ‬

‫أ‬

‫ب‬

‫ﺟـ‬

‫ء‬

‫أ ‪٣-‬ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫= ﺟـ‬ ‫ء‬

‫أ‪٢+‬ب‬ ‫=‬ ‫ﺟـ ‪٢+‬ء‬

‫ب – ‪٣‬ء‬ ‫ء‬

‫ﺧﺎﺻﯿﺔ)‪(٩‬‬

‫ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ ﺗﺴﺎوى ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب‬ ‫ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﻘﻄﺮ اﻟﺮﺋﯿﺴﻰ‬ ‫اﻟﺼﻮرة اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ اﻟﻌﻠﯿﺎ‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٧‬‬

‫= ‪٤٢ = ٧ × ٣ × ٢‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٢٠ = ٤ × ١ × ٥ = ٧‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪١٣٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ھﺎﻣﺔ‬ ‫ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام ﺧﺎﺻﯿﺔ )‪ (٨‬ﯾﻤﻜﻦ ﺗﺤﻮﯾﻞ أى ﻣﺤﺪد اﻟﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﯾﺴﮭﻞ أﯾﺠﺎد‬ ‫ﻗﯿﻤﺘﮫ ﺑﺪون ﻓﻜﮫ‬ ‫ﻣﺜﺎل ﺑﺪون ﻓﻚ اﻟﻤﺤﺪد إﺛﺒﺖ ان‬

‫ب‬ ‫أ‬ ‫أ‬

‫أ‬ ‫أ‬ ‫ب‬

‫أ‬ ‫ب‬ ‫أ‬

‫= ) ب ‪ ٢+‬أ( ) ب – أ (‬

‫‪٢‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬ ‫‪١‬‬ ‫أ‬ ‫أ‬ ‫ب‪٢+‬أ‬ ‫أ =)ب‪٢+‬أ( ‪١‬‬ ‫اﻟﻤﺤﺪد = ب‪٢+‬أ ب‬ ‫‪١‬‬ ‫ب‬ ‫ب‪٢+‬أ أ‬ ‫ع‪ = ١‬ع‪ + ١‬ع‪ + ٢‬ع‪٣‬‬

‫أ‬

‫أ‬ ‫ب‬ ‫أ‬

‫أ‬ ‫أ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪ ) = ٠‬ب ‪ ٢ +‬أ () ب – أ (‬ ‫= ) ب ‪ ٢ +‬أ ( ‪ ٠‬ب‪ -‬أ‬ ‫‪ ٠‬ب‪-‬أ‬ ‫‪٠‬‬ ‫ص‪ = ٢‬ص‪ – ٢‬ص‪١‬‬ ‫ص‪ = ٣‬ص‪ – ٣‬ص‪١‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫ﺑﺪون ﻓﻚ اﻟﻤﺤﺪد إﺛﺒﺖ أن‬

‫‪١‬‬

‫‪١‬‬

‫‪١‬‬

‫أ‬

‫ب‬

‫ﺟـ‬

‫أ‬

‫‪٢‬‬

‫ب‬

‫‪٢‬‬

‫أ‬ ‫ب‬

‫‪٢‬‬

‫= )أ‪ -‬ب()ب – ﺟـ()ﺟـ ‪ -‬أ (‬

‫‪٢‬‬

‫ﺟـ‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬ ‫‪١‬‬ ‫= ‪١‬‬ ‫‪١‬‬

‫أ‬ ‫ب‬ ‫ﺟـ‬

‫‪٢‬‬

‫أ‬ ‫ب‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺟـ‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫أ‬ ‫أ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫= ‪ ٠‬ب–أ ب –أ = ‪٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪ ٠‬ﺟـ ‪ -‬أ ﺟـ‪ – ٢‬أ‬ ‫ص‪ = ٢‬ص‪ – ٢‬ص‪١‬‬ ‫ص‪ = ٣‬ص‪ – ٣‬ص‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫أ‬ ‫أ‬ ‫ب – أ )ب – أ ()ب ‪ +‬أ (‬ ‫ﺟـ ‪ -‬أ ) ﺟـ ‪ -‬أ () ﺟـ ‪ +‬أ(‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬ ‫أ‬ ‫‪ ١‬أ‬ ‫أ‬ ‫‪ ١‬أ‬ ‫= ) ب – أ ( ) ﺟـ ‪ -‬أ ( ‪ ١ ٠‬ب ‪ +‬أ = ) ب – أ () ﺟـ ‪ -‬أ ( ‪ ١ ٠‬ب ‪ +‬أ‬ ‫‪ ٠ ٠‬ﺟـ ‪ -‬ب‬ ‫‪ ١ ٠‬ﺟـ‪ +‬أ ‪١٣٧‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ص‪٢‬‬

‫ﺑﺄﺧﺬ ) ب – أ ( ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮك ﻣﻦ‬ ‫ﺑﺄﺧﺬ )ﺟـ ‪ -‬أ ( ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮك ﻣﻦ ص‪٣‬‬ ‫= ) ب – أ ( ) ﺟـ ‪ -‬أ ( ) ﺟـ ‪ -‬ب ( = ‪ ) -‬أ – ب ( ) ﺟـ ‪ -‬أ ( × ‪ ) -‬ب – ﺟـ (‬ ‫= ) أ – ب () ب – ﺟـ ( ) ﺟـ ‪ -‬أ (‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫= ‪ ) -‬أ – ب()ب– ﺟـ()ﺟـ ‪ -‬أ(‬ ‫ﻣﺜﺎل ﺑﺪون ﻓﻚ إﺛﺒﺖ أن‬ ‫ب‪+‬ﺟـ ﺟـ ‪ +‬أ أ‪+‬ب‬ ‫ﺟـ أ أ ب‬ ‫ب ﺟـ‬ ‫ص‪ = ٣‬ص‪– ٣‬‬

‫ص‪٢‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ب – ﺟـ‬ ‫أ–ب‬ ‫اﻟﻤﺤﺪد = ب ‪ +‬ﺟـ‬ ‫ﺟـ ) أ – ب( أ ) ب – ﺟـ(‬ ‫ب ﺟـ‬ ‫‪٠ ٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫= ) أ – ب( )ب – ﺟـ( ب ‪ +‬ﺟـ ‪١ ١‬‬ ‫ﺟـ أ‬ ‫ب ﺟـ‬ ‫‪١‬‬

‫ع‪١‬‬

‫ع‪ = ٢‬ع‪– ٢‬‬ ‫ع‪ = ٣‬ع‪ – ٣‬ع‪٢‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٠‬‬

‫= ) أ – ب ( ) ب – ﺟـ ( ب ‪ +‬ﺟـ ‪١‬‬

‫‪٠‬‬

‫ب ﺟـ‬

‫ﺟـ‬

‫أ‪ -‬ﺟـ‬

‫ع‪ = ٣‬ع‪– ٣‬‬

‫ع‪٢‬‬

‫= ) أ – ب ( ) ب – ﺟـ( ) أ – ﺟـ( = ‪ ) -‬أ – ب ( ) ب – ﺟـ () ﺟـ ‪ -‬أ (‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫س‬ ‫س ب = ) س‪ +‬أ ‪ +‬ب()س – أ()س– ب(‬ ‫ﻣﺜﺎل ﺑﺪون ﻓﻚ إﺛﺒﺖ أن‬ ‫أ‬ ‫ب س‬ ‫أ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫‪١‬‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫س‪+‬أ‪+‬ب‬ ‫س ب‬ ‫س ب =)س‪+‬أ‪+‬ب( ‪١‬‬ ‫= س‪+‬أ‪+‬ب‬ ‫ب س‬ ‫‪١‬‬ ‫ب س‬ ‫س‪+‬أ‪+‬ب‬ ‫‪١‬‬ ‫=)س‪+‬أ‪+‬ب( ‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬

‫أ‬ ‫س–أ‬ ‫ب–أ‬

‫ب‬ ‫‪٠‬‬ ‫س–ب‬ ‫‪١٣٨‬‬

‫ع‪١‬‬

‫ع‪ = ٢‬ع‪ – ٢‬أ‬ ‫ع‪ = ٣‬ع‪ – ٣‬ب ع‪١‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪١‬‬ ‫=)س‪+‬أ‪+‬ب( ‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪٠‬‬ ‫س–أ‬ ‫ب–أ‬

‫ﺑﺪون ﻓﻚ إﺛﺒﺖ أن‬

‫أ‬ ‫ب‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺟـ‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫‪٠‬‬ ‫=) س ‪ +‬أ ‪ +‬ب() س – أ()س – ب(‬ ‫‪٠‬‬ ‫س–ب‬ ‫ ﺟـ‬‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬

‫ب‬‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬

‫‪٣‬‬

‫= أ ‪ +‬ب‪ + ٢‬ﺟـ‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬ ‫ص‪ = ١‬ص‪ + ١‬ب‬

‫ص‪٢‬‬

‫ص‪ = ١‬ص‪ + ١‬ﺟـ‬

‫أ‪+‬ب‬ ‫ب‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺟـ‬

‫=‬

‫ص‪٢‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬

‫أ‪+‬ب‪ + ٢‬ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺟـ‬

‫=‬

‫‪٣‬‬

‫ ﺟـ‬‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫= أ ‪ +‬ب‪ + ٢‬ﺟـ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﺑﺪون ﻓﻚ إﺛﺒﺖ أن‬ ‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫ ﺟـ‬‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬

‫س‬ ‫‪٢‬س‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬ص ص = ) س – ص (‬ ‫س‪+‬ص ص‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬ ‫‪١‬‬ ‫= ‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬

‫ص‪١‬‬

‫ص‪ = ٢‬ص‪– ٢‬‬ ‫ص‪ = ٣‬ص‪ – ٣‬ص‪١‬‬

‫‪١‬‬ ‫=)ص–س()ص–س( ‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬

‫‪٢‬س‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬

‫س‬ ‫‪٢‬س‬ ‫‪)٢‬ص‪ -‬س( ص – س‬ ‫ص–س ص–س‬ ‫س‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬

‫ص‪ = ٣‬ص‪– ٣‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ص‪٢‬‬

‫‪١٣٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫=)ص–س(‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬س‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٠‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫س‬ ‫‪١‬‬

‫= ) ص – س (‪١ × ٢ × ١ × ٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫= ) ص – س (‪ ) = ٢‬س – ص (‬ ‫ع‬ ‫ص‬ ‫أ‪+‬س‬ ‫= أ‪ ) ٢‬أ ‪ +‬س ‪ +‬ص ‪ +‬ع (‬ ‫ﺑﺪون ﻓﻚ إﺛﺒﺖ أن‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫أ‪+‬ص ع‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫أ‪+‬ع‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫ع‪= ١‬‬

‫ع‬ ‫ص‬ ‫أ‪+‬س‪+‬ص‪+‬ع‬ ‫= أ‪+‬س‪+‬ص‪+‬ع أ‪+‬ص ع‬ ‫أ‪+‬ع‬ ‫أ‪+‬س‪+‬ص‪+‬ع ص‬

‫ع‪+١‬ع‪+٢‬ع‪٣‬‬

‫ع‬ ‫ع‬ ‫أ‪+‬ع‬

‫ص‬ ‫أ‪+‬ص‬ ‫ص‬ ‫ص ع‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪= ٠‬أ )أ‪+‬س‪+‬ص‪+‬ع(‬ ‫أ‬ ‫أ‬ ‫‪٠‬‬

‫‪١‬‬ ‫)أ‪+‬س‪+‬ص‪+‬ع( ‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫=)أ‪+‬س‪+‬ص‪+‬ع( ‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪١‬‬ ‫ﺑﺪون ﻓﻚ إﺛﺒﺖ أن ب‬ ‫ﺟـ‬

‫ب‬ ‫‪+١‬ب‬ ‫ب ﺟـ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺟـ‬ ‫ب ﺟـ = ‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ + ١‬ﺟـ‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫ع‪١‬‬

‫ع‪ = ٢‬ع‪ – ٢‬ب‬ ‫ع‪ = ٣‬ع‪ – ٣‬ﺟـ ع‪١‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬

‫‪١‬‬ ‫= ب‬ ‫ﺟـ‬

‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬

‫=‪١‬‬

‫‪١٤٠‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام ﺧﺼﺎﺋﺺ اﻟﻤﺤﺪدات إﺛﺒﺖ أن‬ ‫أ‪+‬ءس‬ ‫ب ‪ +‬ھـ س‬ ‫ﺟـ ‪ +‬و س‬

‫ءس–أ‬ ‫ھـ س – ب‬ ‫و س – ﺟـ‬

‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬

‫أ‪+‬ءس‬ ‫= ب ‪ +‬ھـ س‬ ‫ﺟـ ‪ +‬و س‬

‫‪٢‬ءس‬ ‫‪٢‬ھـ س‬ ‫‪٢‬و س‬

‫ب‬ ‫ھـ‬ ‫‪١‬‬

‫أ‬ ‫= ‪٢‬س ء‬ ‫‪١‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫ع‪ = ٢‬ع‪+ ٢‬‬

‫ع‪١‬‬

‫أ‪+‬ءس‬ ‫= ‪ ٢‬س ب ‪ +‬ھـ س‬ ‫ﺟـ ‪ +‬و س‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ء‬ ‫ھـ‬ ‫و‬

‫ﺟـ‬ ‫و‬ ‫‪١‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬

‫ء ‪١‬‬ ‫أ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢ = ١‬س ب ھـ ‪٢ = ١‬س‬ ‫ﺟـ و ‪١‬‬ ‫‪١‬‬

‫أ‬ ‫ء‬ ‫‪١‬‬

‫ب ﺟـ‬ ‫ھـ و‬ ‫‪١ ١‬‬

‫ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام ﻃﺮﯾﻘﺔ ﻛﺮاﻣﺮ أوﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺘﯿﻦ‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫س ‪ ٣+‬ص = ‪١‬‬

‫ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺤﺪد اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت‬

‫‪ ٢ ،،‬س ‪ ٨ +‬س = ‪٠‬‬

‫= ‪٢=٦–٨=٢×٣–٨×١= ٣ ١‬‬ ‫‪٨ ٢‬‬

‫ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺤﺪد س =‬

‫س= ‪٨=٠–٨= ٣ ١‬‬ ‫‪٨ ٠‬‬

‫ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺤﺪد ص =‬

‫‪٣ ١‬‬ ‫ص=‬ ‫‪٨ ٢‬‬

‫=‪٢=٦–٨‬‬

‫ص‬ ‫س‬ ‫ــــــــــ = ‪٨‬‬ ‫ـــــــــ = ‪٢‬‬ ‫ــــ = ‪١‬‬ ‫ص=‬ ‫ـــــ = ‪٤‬‬ ‫س=‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫م‪٠‬ح=})‪{(١،٤‬‬

‫‪١٤١‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام ﻃﺮﯾﻘﺔ ﻛﺮاﻣﺮ أوﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻻت اﻻﺗﯿﺔ‬ ‫س – ص ‪ +‬ع = ‪٢ ، ٢‬س‪٣+‬ص‪ -‬ع =‪٣ ، ٥‬س – ‪٥‬ص ‪٢ +‬ع = ‪١-‬‬

‫? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @‬

‫‪١ ١- ١‬‬ ‫= ‪٢ (١-) - ١- ٣ ١ = ١- ٣ ٢‬‬ ‫‪٢ ٥‬‬‫‪٣‬‬ ‫‪٢ ٥- ٣‬‬

‫‪٢ ١ + ١‬‬‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٥-‬‬

‫= )‪١١- = ١٩ – ٧ + ١ = (٩ – ١٠- ) + ( ٣ + ٤ ) + ( ٥ – ٦‬‬ ‫‪١ ١- ٢‬‬ ‫= ‪٣ ٥ ١ + ١- ٥ (١-) - ١- ٣ ٢‬‬ ‫س= ‪١- ٣ ٥‬‬ ‫‪٥- ١‬‬‫‪٢ ٥‬‬‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬‫‪٢ ٥- ١‬‬‫= ‪١١- = ٢٢ – ٩+ ٢ = (٣+ ٢٥-) + ( ١ – ١٠ ) + ( ٥ – ٦ ) ٢‬‬ ‫‪١ ٢ ١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‬‫‪٥‬‬ ‫ ‪٢‬‬‫ص= ‪١ = ١- ٥ ٢‬‬ ‫‪٢ ١‬‬‫‪٢ ١- ٣‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٢ ١ + ١‬‬‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٥‬‬ ‫‪١-‬‬

‫= ) ‪٢٢- = ١٧ – ١٤ – ٩ = ( ١٥ – ٢- ) + ( ٣+ ٤ ) ٢ – ( ١ – ١٠‬‬ ‫‪٢ ١- ١‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ )‪٢ (١-‬‬‫=‪١= ٥ ٣ ٢‬‬ ‫ع‬ ‫‪١- ٥‬‬‫‪٣‬‬ ‫‪١- ٥- ٣‬‬

‫‪٢ ٢+ ٥‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١-‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٥-‬‬

‫= ) ‪٣٣- = ٣٨ – ١٧- ٢٢ = ( ٩ – ١٠- ) ٢ + (١٥ – ٢- ) + ( ٢٥+٣-‬‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫ـــــــــ = ‪٢٢-‬‬ ‫ـــــــــ = ‪١١-‬‬ ‫ــــــــ = ‪٢‬‬ ‫ص=‬ ‫ـــــــــ = ‪١‬‬ ‫س=‬ ‫‪١١‬‬‫‪١١‬‬‫ع‬ ‫ــــــــ = ‪٣٣-‬‬ ‫ـــــــــ = ‪٣‬‬ ‫ع=‬ ‫‪١١‬‬‫م‪٠‬ح=})‪{(٣،٢،١‬‬

‫‪١٤٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ‪ :‬ھﻲ ﺗﻨﻈﯿﻢ ﻟﻠﺒﯿﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﺷﻜﻞ ﺻﻔﻮف ) أﻓﻘﯿﺔ (وأﻋﻤﺪة )رأﺳﯿﺔ( ﺗﻮﺿﻊ ﺑﯿﻦ ﻗﻮﺳﯿﻦ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﻞ ‪:‬‬ ‫‪٣ ٩‬‬ ‫‪٢ ٣ ٧‬‬ ‫‪ ،‬ج = ‪٥ ٠ ١‬‬ ‫‪ ،‬ب=‬ ‫أ=‬ ‫‪١ ٢‬‬‫‪١ ٠ ٦‬‬ ‫ﻧﻈﻢ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ‪ :‬إذا ﻛﺎن ﻋﺪد ﺻﻔﻮف اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ = م ‪ ،‬ﻋﺪد اﻷﻋﻤﺪة = ن‬ ‫ـ ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ م×ن‬ ‫ـ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ أ ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ‪ ، ٣ × ٢‬اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ب ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ‪ ، ٢×٢‬ج ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ‪٣× ١‬‬ ‫ـ ﺗﺴﻤﯿﺔ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ‪ :‬ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺑﺄي ﺣﺮف ﻛﺒﯿﺮ ) أ ‪ ،‬ب ‪ ،‬ج ‪ ،‬س ‪ ،‬ص ‪( ........‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :‬ﻣﺤﻼن ﻟﺒﯿﻊ اﻷدوات اﻟﻜﮭﺮﺑﯿﺔ ﻓﻲ أﺣﺪ اﻷﯾﺎم ﺑﺎع اﻟﻤﺤﻞ اﻷول ‪ ٥‬ﺧﻼﻃﺎت ‪ ٦ ،‬ﻣﺮاوح ‪ ٣ ،‬ﺛﻼﺟﺎت‬ ‫ـ و ﺑﺎع اﻟﻤﺤﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ ٤‬ﺧﻼﻃﺎت ‪ ٩ ،‬ﻣﺮاوح ‪ ٣ ،‬ﺛﻼﺟﺎت ـ أﻛﺘﺐ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻤﺒﯿﻌﺎت س ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ‪٣×٢‬‬ ‫اﻟﻤﺤﻞ اﻷول‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ‬ ‫‪٣ ٦ ٥‬‬ ‫اﻟﻤﺤﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪..‬‬ ‫س =‬ ‫‪٣ ٩ ٤‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫* ﻣﻮﻗﻊ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ‪:‬‬ ‫ـ ﻓﻲ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ أ ﯾﻜﻮن اﻟﻌﻨﺼﺮ ) أص ع ( ھﻮ اﻟﻌﻨﺼﺮ اﻟﺬي ﯾﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﺼﻒ ص ‪ ،‬اﻟﻌﻤﻮد ع‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫‪٤ ٣ ٧‬‬ ‫ـ أﻛﺘﺐ ﻧﻈﻢ أ ﺛﻢ أوﺟﺪ أ ‪ ، ٢١‬أ ‪ ، ٢ ٣‬أ ‪ ، ٢ ٢‬أ ‪.. ١ ٣‬‬ ‫أ =‬ ‫‪٦ ٩ ١‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫‪٠ ٥ ٢‬‬‫ـ ﻧﻈﻢ أ ھﻮ ‪ ، ٣ × ٣‬أ ‪ ، ٣ = ٢١‬أ ‪ ، ٥ = ٢ ٣‬أ ‪ ، ٩ = ٢ ٢‬أ ‪٢- = ١ ٣‬‬

‫* ﺑﻌﺾ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت اﻟﺨﺎﺻﺔ ‪.:‬‬ ‫‪١‬ـ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﺼﻒ ‪ :‬ھﻲ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﺻﻒ واﺣﺪ و أي ﻋﺪد ﻣﻦ اﻷﻋﻤﺪة ‪ :‬م = ‪١‬‬ ‫ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ‪٣ × ١‬‬ ‫ﻣﺜﻞ س =‬ ‫‪٥ ٧ ١‬‬ ‫‪٢‬ـ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻌﻤﻮد ‪ :‬ھﻲ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ أي ﻋﺪد ﻣﻦ اﻟﺼﻔﻮف و ﻋﻤﻮد واﺣﺪ ﻓﻘﻂ ‪:‬‬ ‫ن=‪١‬‬ ‫ﻣﺜﻞ‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ،‬ل=‬ ‫ص= ‪٠‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٣‬ـ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻤﺮﺑﻌﺔ ‪ :‬اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﻓﯿﮭﺎ ﻋﺪد اﻟﺼﻔﻮف = ﻋﺪد اﻷﻋﻤﺪة ‪ :‬م = ن‬ ‫‪٤‬ـ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﺼﻔﺮﯾﺔ ‪ :‬اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﻛﻞ ﻋﻨﺎﺻﺮھﺎ أﺻﻔﺎر ‪ :‬رﻣﺰھﺎ‬ ‫ﻣﺜﻞ‬

‫‪٠ ٠ ٠‬‬ ‫= ‪٠ ٠ ٠‬‬

‫‪،‬‬

‫=‬

‫ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﺻﻐﯿﺮ‬

‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١٤٣‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﺪوّر اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ‪ :‬ﻷي ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ أ ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ م × ن إذا ﺟﻌﻠﻨﺎ اﻟﺼﻔﻮف أﻋﻤﺪة ‪ .‬و اﻷﻋﻤﺪة ﺻﻔﻮف‬ ‫ﻣﺪ‬ ‫ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻲ ﻣﺪور اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ] أ [ و رﻣﺰھﺎ ) أ ( و ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ن × م ‪..‬‬

‫*‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ‪ ) :‬أ ﻣﺪ ( ﻣﺪ = أ‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ :‬ـ‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ أ =‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫‪١ ٢ ٣‬‬ ‫‪٤ ٠ ٥‬‬

‫‪١ ٢ ٣‬‬ ‫‪،‬ب= ‪٤ ٠ ٥‬‬ ‫‪٨ ٦ ١-‬‬

‫‪،‬ج= ‪٩ ٦ ٣‬‬

‫ﻣﺪ‬

‫ﻣﺪ‬

‫أوﺟﺪ أ ‪ ،‬ب ‪ ،‬ج‬

‫ﻣﺪ‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٥ ٣‬‬ ‫‪١- ٥ ٣‬‬ ‫ﻣﺪ‬ ‫ﻣﺪ‬ ‫ﻣﺪ‬ ‫‪،‬ج = ‪٦‬‬ ‫‪...........‬‬ ‫أ = ‪٠ ٢‬‬ ‫‪،‬ب = ‪٦ ٠ ٢‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪٤ ١‬‬ ‫‪٨ ٤ ١‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫ـ ﺗﺘﺴﺎوي اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺘﺎن أ ‪ ،‬ب إذا ﻛﺎن‬ ‫* ﺗﺴﺎوي ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﯿﻦ ‪:‬ـ‬ ‫]‪ [٢‬ﻛﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻓﻲ أ ﯾﺴﺎوي ﻧﻈﯿﺮه ﻓﻲ ب أي أن أ ص ع = ب ص ع ‪..‬‬ ‫]‪ [١‬ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﻈﻢ‬ ‫‪٠ ٢ ٧‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪: ١‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ ٣ ٥‬ع‬

‫‪ ٧‬س ‪٠‬‬ ‫= ص ‪٤ ٣‬‬

‫أوﺟﺪ س ‪ ،‬ص ‪ ،‬ع‬

‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ ﻣﻦ اﻟﺘﺴﺎوي ‪ .:‬س = ‪ ، ٢‬ص = ‪ ، ٥‬ع = ‪٤‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪٢‬ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫‪٥ ٣‬‬ ‫‪ ٣‬ﺟـ‪ -‬د‬ ‫= ‪ ٢‬ﺟـ‪+‬د‬ ‫‪١ ٢‬‬ ‫أوﺟﺪ ﺟـ ‪ ،‬د ‪ ،‬ھـ‬ ‫‪٤ ٧‬‬ ‫ھـ ‪٤‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺘﺴﺎوي ‪ :‬ﺟـ ‪ -‬د = ‪ ، [١]... ٥‬ﺟـ ‪ +‬د = ‪ [٢] .... ١‬ﺑﺠﻤﻊ ‪ ٢ .: ٢ ، ١‬ﺟـ = ‪ Ù ٦‬ﺟـ =‪٣‬‬ ‫‪ ،‬ﻣﻦ اﻟﺘﺴﺎوي ھـ = ‪٧‬‬ ‫‪ ،‬ﻣﻦ ]‪ + ٣ [٢‬د = ‪ Ù ١‬د = ‪٢-‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪٣‬ـ إﺛﺒﺖ أﻧﮫ ﻟﺠﻤﯿﻊ ﻗﯿﻢ س ‪ ،‬ص ﻻ ﯾﻤﻜﻦ أن ﺗﺘﺤﻘﻖ اﻟﻤﺴﺎواة اﻷﺗﯿﺔ ‪.‬‬ ‫س ‪١ ٢‬‬ ‫‪٤ ٣ ٨‬‬ ‫‪ ٠‬ص ‪٢-‬‬

‫‪١ ٢ ٥‬‬ ‫= ‪ ٣ ٨‬س‪+‬ص‬ ‫‪٢- ٤ ٠‬‬

‫اﻟﺤﻞ‪:‬ـ ﻣﻦ اﻟﺘﺴﺎوي ‪ :‬س = ‪ ، ٥‬ص = ‪٤‬‬ ‫‪ ،‬ﻣﻦ اﻟﺘﺴﺎوي س ‪ +‬ص = ‪(٣) ٤‬‬ ‫ﻟﻜﻦ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻋﻦ ﻗﯿﻢ س ‪ ،‬ص ﯾﻜﻮن س ‪ +‬ص = ‪٤ ≠ ٩ = ٤+٥‬‬ ‫أي أن س ‪ ،‬ص ﻻ ﺗﺤﻘﻘﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ ∴ (٣‬ﻻ ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺘﺴﺎوي ‪..‬‬ ‫‪١٤٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻲ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت ‪:‬ـ‬ ‫أوﻻً اﻟﺠﻤﻊ و اﻟﻄﺮح ‪:‬ـ ﻟﺠﻤﻊ ) أو ﻃﺮح ( ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﯿﻦ ﻻﺑﺪ و أن ﯾﻜﻮﻧﺎ ﻋﻠﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﻈﻢ و ﯾﻜﻮن‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺞ ﻋﻦ ﻃﺮﯾﻖ ﺟﻤﻊ ) أو ﻃﺮح ( اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ اﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮة ﻓﯿﮭﻤﺎ ‪..‬‬ ‫‪٠ ٢‬‬ ‫‪ ،‬ب = ‪١- ٧‬‬ ‫‪٦ ١‬‬

‫‪٥ ٣‬‬ ‫أوﺟﺪ أ‪ +‬ب‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ :١‬إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ‪٠ ٢‬‬ ‫‪٤ ١‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪.:‬‬ ‫‪٥ ٥‬‬ ‫أ ‪ +‬ب = ‪ ١- ٩‬و ذﻟﻚ ﺑﺠﻤﻊ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ اﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮة ﻓﯿﮭﻤﺎ ‪..‬‬ ‫‪١٠ ٢‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪٧ ١‬‬ ‫‪٢‬ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ أ =‬ ‫‪٤ ٢‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬ـ‬ ‫أ‪+‬ب‬

‫ﻣﺪ‬

‫‪٧ ١‬‬ ‫=‬ ‫‪٤ ٢‬‬

‫‪ ،‬ب=‬

‫‪+‬‬

‫‪٥ ٠‬‬ ‫‪٦ ٣-‬‬

‫‪٣- ٠‬‬ ‫‪٦ ٥‬‬ ‫=‬

‫ﻣﺪ‬

‫أوﺟﺪ أ ‪ +‬ب‬ ‫‪١٢ ١‬‬ ‫‪١٠ ١-‬‬

‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫* ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ ‪ ) [١] :‬أ ‪ +‬ب (ﻣﺪ = أ ﻣﺪ ‪ +‬ب ﻣﺪ ‪ :‬ﯾﻤﻜﻦ اﻹﺛﺒﺎت ﻣﻦ اﻟﻤﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ ‪..‬‬ ‫]‪ [٢‬ﯾﻤﻜﻦ ﺿﺮب أي ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻓﻲ أي ﻋﺪد ﻣﺜﻞ ك ﺣﯿﺚ ك ≠ ﺻﻔﺮ‬ ‫]‪ [٣‬اﻟﻤﻌﻜﻮس اﻟﺠﻤﻌﻲ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ) أ ( ھﻮ ) ‪ -‬أ ( ﺑﺤﯿﺚ أ ‪ - ) +‬أ ( =‬ ‫= أ‬ ‫]‪ [٤‬أ ‪ +‬ب = ب ‪ +‬أ ‪ ،‬أ ‪+‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪٣‬ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫‪٢ ١- ٤‬‬ ‫‪٠ ٢ ١‬‬ ‫أوﺟﺪ ‪٣‬س‪٢ -‬ص‬ ‫‪ ،‬ص = ‪١- ١ ٧‬‬ ‫س= ‪٣ ٠ ٢‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ‬ ‫‪٠ ٢ ١‬‬ ‫‪٣‬س – ‪٢‬ص = ‪٣ ٠ ٢ ٣‬‬

‫‪٢ ١- ٤‬‬ ‫‪١- ١ ٧ ٢ -‬‬

‫‪٠ ٦ ٣‬‬ ‫=‪٩ ٠ ٦‬‬

‫‪٤- ٢ ٨‬‬‫‪٢ ٢- ١٤- +‬‬

‫‪٤- ٨ ٥‬‬‫= ‪١١ ٢- ٨-‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫‪٢ ٠ ١‬‬ ‫‪١ ٢ ٤‬‬ ‫ﻣﺪ‬ ‫‪ ،‬ب = ‪ ٣ ٤ ١-‬أوﺟﺪ ‪ :‬أ ‪٤ -‬ب ‪٣ ،‬أ ‪ +‬ب ‪ ،‬أ ‪ +‬ب إن أﻣﻜﻦ‬ ‫أ= ‪٤ ٧ ٢‬‬ ‫‪١٤٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪٤‬ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ‬

‫أ= ‪٥ ١ ٢‬‬ ‫‪٤ ٣ ٢-‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫‪ ،‬ب = ‪ ٣- ٠ ١‬أوﺟﺪ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ س ﺑﺤﯿﺚ ‪٢‬ب ‪ +‬س = ‪٣‬أ‬ ‫‪٤ ١- ٥‬‬ ‫ﻣﺪ‬

‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ‬ ‫‪٢ .:‬ب ‪ +‬سﻣﺪ = ‪ ٣‬أ ‪ Ù‬سﻣﺪ = ‪ ٣‬أ ‪٢ -‬ب = ‪٣- ٠ ١ ٢ - ٥ ١ ٢ ٣‬‬ ‫‪٤ ١- ٥‬‬ ‫‪٤ ٣ ٢‬‬‫‪٦- ٠ ٢‬‬ ‫‪٨ ٢- ١٠‬‬

‫‪ .:‬س ﻣﺪ = ‪- ١٥ ٣ ٦‬‬ ‫‪١٢ ٩ ٦‬‬‫‪ ) .:‬س ﻣﺪ ( ﻣﺪ = س ‪ Ù‬س =‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪٥‬ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫‪٢‬أ‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ‬ ‫‪٢‬أ‬

‫ﻣﺪ‬

‫=‬

‫ﻣﺪ‬

‫‪٠ ٢ ١‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪٤ ٧- ٥‬‬

‫‪١٦- ٤‬‬ ‫‪١١ ٣‬‬ ‫‪٤ ٢١‬‬ ‫=‬

‫=‬

‫‪٢١ ٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤ ١١ ١٦‬‬‫‪#‬‬

‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫ﻓﺄوﺟﺪ أ‬

‫‪٠ ٢- ١‬‬‫‪٠ ١- ٢/١‬‬‫‪٠ ٢ ١‬‬ ‫‪٠ ٠ ٠‬‬ ‫‪ Ù‬أ ﻣﺪ =‬ ‫=‬ ‫‬‫‪٤- ٧ ٥‬‬‫‪٢- ٢/٧ ٢/٥‬‬‫‪٤ ٧- ٥‬‬ ‫‪٠ ٠ ٠‬‬

‫أﻛﻤﻞ‬

‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪٦‬ـ )ھﺎم( إذا ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫أ = ‪٣- ٤‬‬ ‫‪١- ٢-‬‬

‫‪ ،‬ب= ‪٠ ٥‬‬ ‫‪٢- ٣-‬‬

‫ﻓﺄوﺟﺪ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ س ﺑﺤﯿﺚ‬

‫ﻣﺪ‬

‫‪ ٣‬أ ﻣﺪ ‪ -‬س = ‪٢‬ب ‪ ٣ -‬س‬ ‫ﻣﺪ‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ ‪ ٣ .:‬أ ﻣﺪ ‪ -‬س = ‪٢‬ب ‪ ٣ -‬سﻣﺪ ∴ ‪٣‬سﻣﺪ ‪ -‬س = ‪ ٢‬ب ‪ ٣ -‬أ‬ ‫∴ ‪٣‬س ﻣﺪ ‪ -‬س = ‪٢- ٤ ٣ - ٠ ٥ ٢‬‬ ‫‪١- ٣‬‬‫‪٢- ٣‬‬‫ﻣﺪ‬ ‫∴ ‪ ٣‬س ‪ -‬س = ‪٦ ٢-‬‬ ‫‪١- ٣‬‬

‫∴ ‪ ٣‬س ‪ -‬سﻣﺪ =‬

‫‪٣ ٢‬‬‫‪١- ٦‬‬

‫∴ ‪ ٩‬س ‪ ٣ -‬س ﻣﺪ = ‪٩ ٦-‬‬ ‫‪٣- ١٨‬‬ ‫∴‪٨‬س=‬

‫= ‪- ٠ ١٠‬‬ ‫‪٤- ٦-‬‬

‫‪٦- ١٢‬‬ ‫‪٣- ٩-‬‬

‫‪ (١) .......‬ﺑﺘﺪوﯾﺮ اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫‪ ، (٢) .........‬ﺑﻀﺮب اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪٣ × (٢‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪ : /(٢ ) ........‬ﺑﺠﻤﻊ )‪ (١‬و )‪(٢‬‬

‫‪ Ù ١٥ ٨- = ٩ ٦- + ٦ ٢‬س = ‪١ -‬‬‫‪٨/ ٢١‬‬ ‫‪٤- ٢١‬‬ ‫‪٣- ١٨‬‬ ‫‪١- ٣‬‬ ‫‪١٤٦‬‬

‫‪٨/ ١٥‬‬ ‫‪٢/١-‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺿﺮب اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت ‪:‬ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ أ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ م × ن ‪ ،‬ب ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ن× ر‬ ‫ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻤﻜﻦ ﺿﺮب أ × ب و ﯾﻜﻮن اﻟﻨﺎﺗﺞ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ) م × ر (‬ ‫ـ ﺷﺮط ﺿﺮب ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﯿﻦ ‪ :‬ﻋﺪد أﻋﻤﺪة اﻷوﻟﻲ = ﻋﺪد ﺻﻔﻮف اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ‪ ] ..‬ﺗﺴﺎوي اﻟﻮﺳﻄﯿﻦ [‬ ‫ـ ﻧﻈﻢ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ = ﻋﺪد ﺻﻔﻮف اﻷوﻟﻲ × ﻋﺪد أﻋﻤﺪة اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ‪ ] ..‬ﻧﻈﻢ اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ [‬ ‫ﻣﺜﺎل‪:١‬ـ أ = ‪١ ٣ ٢‬‬ ‫‪٢ ١ ١‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ‬ ‫‪٢‬‬ ‫أب= ‪١ ٣ ٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢ ١ ١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪١ ٢‬‬ ‫ب = ‪٤ ٢‬‬ ‫‪١ ٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫= ‪٣+٦+٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٦+٢+٢‬‬ ‫‪١‬‬

‫ـ ﻓﺄوﺟﺪ أ ب ‪ ،‬ب أ‬ ‫‪١+١٢+٢‬‬ ‫‪٢+٤+١‬‬

‫=‬

‫‪١٥ ١٣‬‬ ‫‪٧ ١٠‬‬

‫ـ ﻻﺣﻆ أن ‪ :‬أ ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ‪ ، ٣ × ٢‬ب ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ‪ ، ٢ × ٣‬أ ب ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ‪ ] ٢ × ٢‬ﺣﺬف اﻟﻮﺳﻄﯿﻦ[‬ ‫‪٢+٢ ١+٦ ١+٤‬‬ ‫‪١ ٢‬‬ ‫‪١ ٣ ٢‬‬ ‫‪٤ ٧ ٥‬‬ ‫‪= ٨+٢ ٤+٦ ٤+٤ = ٢ ١ ١‬‬ ‫بأ= ‪٤ ٢‬‬ ‫‪١٠ ١٠ ٨‬‬ ‫‪٢+٣ ١+٩ ١+٦‬‬ ‫‪١ ٣‬‬ ‫‪٥ ١٠ ٧‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪٢‬ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‬‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‬‫‪٢‬‬ ‫ـ إﺛﺒﺖ أن أ ) ب‪+‬ج( = أ ب ‪ +‬أ ج‬ ‫‪،‬ج=‬ ‫‪ ،‬ب=‬ ‫أ =‬ ‫‪١- ٢‬‬‫‪١ ٤‬‬ ‫‪٠ ٣‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ‬ ‫‪ .:‬أ ) ب ‪ +‬ج ( = ‪١- ٢‬‬ ‫‪٠ ٣‬‬

‫‪٥ ١ + ٢- ٣‬‬ ‫‪١- ٢‬‬‫‪١ ٤‬‬

‫= ‪١- ٢‬‬ ‫‪٠ ٣‬‬

‫‪١- ٢‬‬ ‫‪٠ ٣‬‬

‫‪٢- ٣ + ٢- ٣‬‬ ‫‪١ ٤‬‬ ‫‪١ ٤‬‬

‫‪٥ ١‬‬ ‫‪١- ٢-‬‬

‫‪ .:‬أ ب ‪ +‬ب ج =‬

‫=‬

‫‪٥- ٢‬‬ ‫‪+ ٦- ٩‬‬

‫‪١١ ٤‬‬ ‫‪= ١٥ ٣‬‬

‫‪٦ ٦‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫‪(٢) ٩‬‬

‫‪٦ ٦ = ٣ ٤‬‬ ‫‪٩ ١٢‬‬ ‫‪٠ ٢‬‬

‫)‪(١‬‬

‫∴ أ ) ب‪+‬ج( = أ ب ‪ +‬أ ج‬

‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ ﺟﺪاً ‪:‬‬ ‫‪١‬ـ ) أ ب (ﻣﺪ = ب ﻣﺪ أ‬

‫ﻣﺪ‬

‫‪٤‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬ـ أ = أ × أ ‪ ،‬أ = أ × أ‬

‫‪٢‬‬

‫] ﺣﯿﺚ أ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﺮﺑﻌﺔ [‬

‫‪٣‬ـ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻮﺣﺪة ) ‪( I‬‬ ‫ـ ھﻲ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﺮﺑﻌﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﻘﻄﺮ اﻟﺮﺋﯿﺴﻲ ﻓﯿﮭﺎ = ‪ ، ١‬و ﺑﺎﻗﻲ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ أﺻﻔﺎر ‪.‬‬ ‫‪٠ ١‬‬ ‫ﻣﺜﻞ ‪١ ٠ = I‬‬

‫‪،‬‬

‫‪٠ ٠ ١‬‬ ‫‪٠ ١ ٠ =I‬‬ ‫‪١ ٠ ٠‬‬

‫‪..............‬‬

‫‪١٤٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪٤‬ـ أ × ‪ × I = I‬أ = أ‬ ‫‪٣‬ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‬‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ـ ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ أ ‪ ٣ -‬ب‬ ‫‪،‬ب=‬ ‫أ=‬ ‫‪٨ ٥‬‬ ‫‪٥ ٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ‬ ‫‪ .:‬أ‬

‫‪٢‬‬

‫=أ×أ= ‪١ ٣‬‬ ‫‪٥ ٢‬‬

‫‪١ ٣‬‬ ‫‪٥ ٢‬‬

‫= ‪٨ ١١‬‬ ‫‪٢٧ ١٦‬‬

‫∴ أ ‪ ٣ - ٢‬ب = ‪٨ ١٧ = ٠ ٢- ٣ - ٨ ١١‬‬ ‫‪٣ ١‬‬ ‫‪٨ ٥‬‬ ‫‪٢٧ ١٦‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪٤‬ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫‪١ ٢‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ أ‬ ‫أ= ‪٥ ٠‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٧ ٤ = ١ ٢‬‬ ‫‪ .:‬أ = أ × أ = ‪١ ٢‬‬ ‫‪٢٥ ٠‬‬ ‫‪٥ ٠‬‬ ‫‪٥ ٠‬‬ ‫‪٢٠٣ ١٦‬‬ ‫‪٧ ٤‬‬ ‫‪٧ ٤‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫أ‬ ‫×‬ ‫أ‬ ‫=‬ ‫أ‬ ‫‪٦٢٥ ٠‬‬ ‫‪٢٥ ٠‬‬ ‫‪٢٥ ٠‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪٥‬ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫‪١- ٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ـ ﻓﺈﺛﺒﺖ أن ‪ :‬أ ‪ ٥ -‬أ ‪= I ٢ +‬‬ ‫أ=‬ ‫‪٣ ٤‬‬‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ‬ ‫‪١- ٢‬‬ ‫‪ .:‬أ‪= ٢‬‬ ‫‪٣ ٤-‬‬

‫‪١- ٢‬‬ ‫‪٣ ٤-‬‬

‫=‬

‫‪٥- ٨‬‬ ‫‪١٣ ٢٠-‬‬

‫∴ أ‪ ٥ - ٢‬أ ‪١- ٢ ٥ - ٥- ٨ = I٢ +‬‬ ‫‪٣ ٤‬‬‫‪١٣ ٢٠-‬‬

‫‪٢+‬‬

‫‪٠ ١‬‬ ‫‪١ ٠‬‬

‫= ‪٠ ٠ = ٠ ٢ + ٥- ١٠ - ٥- ٨‬‬ ‫‪٠ ٠‬‬ ‫‪٢ ٠‬‬ ‫‪١٥ ٢٠‬‬‫‪١٣ ٢٠‬‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫=‬

‫‪#‬‬

‫‪١٤٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄـــﯿﺔ‬ ‫ـ ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﯾﻨﺎت اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﻟﻲ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﯿﺮ واﺣﺪ ‪..‬‬ ‫ـ أوﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺎت اﻷﺗﯿﺔ ﻓﻲ ح و ﻣﺜﻞ اﻟﺤﻞ ﻋﻠﻲ ﺧﻂ اﻷﻋﺪاد ‪.‬‬

‫)‪ ٣ (١‬س ‪٢ ≤ ٤ -‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ‬ ‫‪ ٣‬س ≤ ‪٤+٢‬‬ ‫‪٣‬س ≤ ‪٣ ÷ ، ٦‬‬ ‫∴س≤‪٢‬‬ ‫م ح = ] ‪] ∞ ،٢‬‬

‫)‪ ٢ (٢‬س ‪٧ ≥ ٥ +‬‬ ‫‪٢‬س≥‪٥-٧‬‬ ‫‪ ٢‬س ≥ ‪ ٢‬؛ ÷‪٢‬‬ ‫∴س≥‪١‬‬ ‫مح=[‪[١،∞-‬‬

‫)‪ ٤ > ٥- (٣‬س ‪١١ ≥ ٣ +‬‬ ‫ ‪ ٤ > ٣ - ٥‬س ≥ ‪٣ - ١١‬‬‫‪٤>٨‬س≥‪٤÷، ٨‬‬‫∴ ‪>٢-‬س≥‪٢‬‬ ‫مح=[‪[٢،٢-‬‬

‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫ـ ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﯾﻨﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﻟﻲ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﯿﺮﯾﻦ‬

‫‪:‬ـ‬

‫‪١‬ـ ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ ‪٢ :‬س ‪ +‬ص < ‪٦‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ ﻧﺮﺳﻢ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺤﺪي ‪٢ :‬س‪+‬ص = ‪ ٦‬و ذﻟﻚ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﺑﺄي ﻗﯿﻤﺘﯿﻦ ﻟـ س و ﻧﺤﺴﺐ ﻗﯿﻢ ص‬ ‫اﻟﻤﻨﺎﻇﺮة ﻟﮭﺎ ـ و ﯾﻔﻀﻞ وﺿﻊ س = ‪ ٠‬و ﻧﺤﺴﺐ ص ﺛﻢ ﻧﻀﻊ ص = ‪ ٠‬و ﻧﺤﺴﺐ س‬ ‫ـ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻘﺴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻮي إﻟﻲ ﺟﺰﺋﯿﻦ ف‪ ، ١‬ف‪ ٢‬ـ ﻧﻌﻮض ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ و اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ ﯾﻜﻮن ﻋﻨﺪھﺎ اﻟﺤﻞ و ﯾﻔﻀﻞ اﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ )‪(٠،٠‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻋﻼﻣﺔ اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ ] > أ‪ [ < ،‬ﯾﻜﻮن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺘﻘﻄﻊ‬ ‫ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻋﻼﻣﺔ اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ ] ≤ أ‪ [ ≥ ،‬ﯾﻜﻮن اﻟﺨﻂ ﻣﺘﺼﻞ ‪.‬‬ ‫‪ .:‬ل ‪٢ :‬س‪ +‬ص = ‪ ٦‬ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫)‪(٠،٣)، (٦،٠‬‬ ‫‪ .:‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٠ ، ٠‬ﻻ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ ‪٢‬س‪ +‬ص < ‪٦‬‬ ‫∴ اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ‪..‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪٢‬ـ ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ س ≤ ‪٢-‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺤﺪي ل ‪ :‬س = ‪ ٢-‬ﯾﻤﺜﻠﮫ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﯾﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات و ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪( ٠ ، ٢-‬‬ ‫‪ .:‬ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ س ≤ ‪٢-‬‬ ‫ﺣﯿﺚ ‪ ∴ ٢- ≤ ٠‬اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ‪...‬‬

‫‪١٤٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪٣‬ـ ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ ص ≥ ‪٢‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺤﺪي ل ‪ :‬ص = ‪٢‬‬ ‫ﯾﻤﺜﻠﮫ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫و ﯾﻤﺮ ﯾﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪( ٢ ، ٠‬‬ ‫ـ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ (٠،٠‬ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﺘﯿﺎﯾﻨﺔ ص > ‪ ٢‬ﻷن‬ ‫‪ ∴ ٢ > ٠‬اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ‪..‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪٤‬ـ ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ ‪٢‬س‪٣ +‬ص ≤ ‪٦‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺤﺪي ل ‪٢ :‬س ‪٣ +‬ص = ‪ ٦‬ﯾﻤﺮ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﻘﻂ ) ‪(٠ ،٣ ) ، ( ٢ ،٠‬‬ ‫‪ .:‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ (٠،٠‬ﻻ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ‬ ‫‪٢‬س‪٣+‬ص ≤ ‪ ٦‬ﻷن ‪٦ > ٠+٠‬‬ ‫∴ اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ‪..‬‬

‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫اﻟﺤﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ ﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺘﯿﻦ أو أﻛﺜﺮ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﻟﻲ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﯿﺮﯾﻦ ‪..‬‬ ‫ـ ﻣﺜﺎل‪ :١‬ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺘﯿﻦ ‪٢‬س‪ +‬ص ≤ ‪ ، ٤‬ص ≤ ‪١-‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ ﻧﺤﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺘﯿﻦ ﺑﯿﺎﻧﯿﺎً ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﺸﻜﻞ ﻓﯿﻜﻮن اﻟﺤﻞ ھﻮ ﻣﻨﻄﻘﺔ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ‪..‬‬ ‫‪ .:‬ل‪٢ : ١‬س ‪ +‬ص = ‪ ٤‬ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ‪(٠ ،٢ ) ، (٤ ، ٠‬‬ ‫‪ ،‬ل‪ : ٢‬ص = ‪ ١-‬ﯾﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت و ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ‪(١- ،٠‬‬

‫ل‪١‬‬

‫ـ ﻻﺣﻆ أن اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻞ‬ ‫ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺘﯿﻦ ﻣﻌﺎً‬ ‫‪ .:‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ (٢ ،٣‬ﺗﺤﻘﻖ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺘﯿﻦ‬ ‫∴ اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ‪..‬‬

‫ل‪٢‬‬

‫‪١٥٠‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪٢‬ـ أوﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺎت اﻷﺗﯿﺔ ﺑﯿﺎﻧﯿ ًﺎ‬ ‫س ≤ ‪ ، ٠‬ص ≤ ‪٢ ، ٠‬س ‪ +‬ص ≥ ‪٤‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ‬ ‫ل‪ : ١‬س = ‪ ٠‬ھﻮ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ‪ ،‬ل‪ : ٢‬ص = ‪ ٠‬ھﻮ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫و اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺘﯿﻦ س ≤ ‪ ، ٠‬ص ≤ ‪ ٠‬ﯾﺤﺪدان داﺋﻤﺎً ﻣﻌﺎً اﻟﺮﺑﻊ اﻷول‬ ‫ـ ل‪٢ : ٣‬س ‪ +‬ص= ‪ ٤‬ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻂ‬ ‫) ‪(٠ ،٢ ) ، (٤، ٠‬‬ ‫ـ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ (٠،٠‬ﺗﺤﻘﻖ ﻛﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺎت‬ ‫∴ اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ‪..‬‬

‫ل‪١‬‬ ‫ل‪٣‬‬

‫ل‪٢‬‬

‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪٣‬ـ أوﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺎت اﻷﺗﯿﺔ ﺑﯿﺎﻧﯿﺎً‬ ‫س ≤ ‪ ، ٠‬ص ≤ ‪ ، ٠‬س ‪ +‬ص ≥ ‪٢ ، ٤‬س‪ +‬ص ≥ ‪٦‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ‬ ‫ـ ﻛﻤﺎ ﺳﺒﻖ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺘﯿﻦ س ≤ ‪ ، ٠‬ص ≤ ‪ ٠‬ﯾﺤﺪدان داﺋﻤﺎً ﻣﻌﺎً اﻟﺮﺑﻊ اﻷول‬ ‫ل‪ : ١‬س‪ +‬ص = ‪ ٤‬ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ‪(٤ ، ٠) ، (٠،٤‬‬ ‫ل‪٢ : ٢‬س‪ +‬ص= ‪ ٦‬ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ‪(٠ ،٣ ) ، (٦،٠‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ‪..‬‬

‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫ل‪٢‬‬

‫ل‪١‬‬

‫اﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﯿﺔ ‪:‬ـ ـ ـ‬ ‫ـ ھﻲ وﺳﯿﻠﺔ ﻹﻋﻄﺎء أﻓﻀﻞ ﻗﺮار ﻓﻲ ﺣﻞ ﻣﺸﻜﻠﺔ ‪.‬‬ ‫ـ أو ھﻲ اﻟﺤﻞ اﻷﻣﺜﻞ ﻟﺘﺤﻘﯿﻖ ھﺪف ﻣﻌﯿﻦ ﻋﻠﻲ ﺻﻮرة داﻟﺔ ﺧﻄﯿﺔ ] ر = أ س ‪ +‬ب ص [‬

‫و ﻹﯾﺠﺎد اﻟﺤﻞ اﻟﻤﻄﻠﻮب ) أﻛﺒﺮ ﻗﯿﻤﺔ أو أﺻﻐﺮ ﻗﯿﻤﺔ ( ﻧﺤﺪد ﻣﻨﻄﻘﺔ اﻟﺤﻠﻮل اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﻟﻠﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺎت اﻟﻤﻮﺟﻮدة‬ ‫ﻓﻨﺠﺪ أﻧﮫ ﯾﺤﺪدھﺎ رؤوس ﻣﻀﻠﻊ ‪..‬‬ ‫ـ و ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﺑﮭﺬه اﻟﺮؤوس ﻓﻲ داﻟﺔ اﻟﮭﺪف ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﻄﻠﻮب ) داﻟﺔ اﻟﮭﺪف (‬ ‫)) و اﻷﻣﺜﻠﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ﺗﻮﺿﺢ ذﻟﻚ (( ‪Ù‬‬ ‫‪١٥١‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﺜﺎل‪ :١‬ﻋﯿﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺎت اﻷﺗﯿﺔ ﻣﻌﺎً ﺑﯿﺎﻧﯿﺎً‬ ‫س ≤ ‪ ، ٠‬ص ≤ ‪ ، ٠‬ص‪ -‬س ≥ ‪٢ ، ٣‬ص‪ ٥+‬س ≥ ‪٢٠‬‬ ‫ـ ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺤﻞ ﻗﯿﻢ ) س‪ ،‬ص( اﻟﺘﻲ ﺗﺠﻌﻞ ل أﻛﺒﺮ ﻣﺎ ﯾﻤﻜﻦ ﺣﯿﺚ ل = ‪٥‬س‪٣+‬ص ‪..‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ‬ ‫ـ ﻛﻤﺎ ﺳﺒﻖ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺘﯿﻦ س ≤ ‪ ، ٠‬ص ≤ ‪ ٠‬ﯾﺤﺪدان داﺋﻤﺎً ﻣﻌﺎً اﻟﺮﺑﻊ اﻷول‬ ‫ـ ل‪ : ١‬ص‪ -‬س = ‪ ٣‬ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ‪( ٤ ، ١ ) ، (٣ ، ٠‬‬ ‫ـ ل‪٢ : ٢‬ص‪٥ +‬س = ‪ ٢٠‬ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ‪(٠ ، ٤ ) ، ( ١٠ ، ٠‬‬ ‫ـ ﻓﻀﺎء اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻀﻠﻊ أ و ﺟـ ب‬ ‫ل‪٢‬‬ ‫ﺣﯿﺚ أ ) ‪ ،( ٠ ، ٤‬و )‪، (٠،٠‬ﺟـ ) ‪ ،(٣ ،٠‬ب) ‪(٢،٥‬‬ ‫‪ .:‬داﻟﺔ اﻟﮭﺪف ل = ‪٥‬س‪٣+‬ص ‪..‬‬ ‫ل‪١‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﺑﺎﻟﻨﻘﻂ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻲ اﻟﻤﻄﻠﻮب‬ ‫ب‬ ‫∴ ل أ = ‪٢٠ = ٠×٣ +٤×٥‬‬ ‫ﺟـ‬ ‫‪ ،‬ل ب = ‪٢٥ = ٥×٣ +٢×٥‬‬ ‫‪ ،‬ل ﺟـ = ‪٩ = ٣×٣ + ٠×٥‬‬ ‫‪ ،‬ل و = ‪ = ٠×٣ +٠×٥‬ﺻﻔﺮ‬

‫و‬

‫أ‬

‫∴ ل أﻛﺒﺮ ﻣﺎ ﯾﻤﻜﻦ ﻋﻨﺪ ب ) ‪( ٥ ،٢‬‬

‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪٢‬ـ أوﺟﺪ ﺑﯿﺎﻧﯿﺎً ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺎت اﻷﺗﯿﺔ‬ ‫س ≤ ‪ ، ٠‬ص ≤ ‪ ، ٠‬س‪٢ +‬ص ≤ ‪ ، ٤‬س ‪ +‬ص ≤ ‪٣‬‬ ‫ـ ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺤﻞ ﻗﯿﻢ ) س‪ ،‬ص( اﻟﺘﻲ ﺗﺠﻌﻞ ) ر ( أﻗﻞ ﻣﺎ ﯾﻤﻜﻦ ﺣﯿﺚ ر = ‪٥‬س‪٤ +‬ص ‪.‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ‬ ‫ـ ل‪ : ١‬س ‪٢ +‬ص = ‪ ٤‬ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ‪(٠ ، ٤ ) ، ( ٢ ،٠‬‬ ‫ـ ل‪ :٢‬س‪ +‬ص= ‪ ٣‬ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ‪( ٠ ، ٣ ) ، ( ٣ ،٠‬‬ ‫∴اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﺤﺪدة ﺑﺄﺳﻔﻞ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﻘﻂ أ ) ‪ ، (٠ ،٤‬ب) ‪ ، (١ ،٢‬ﺟـ ) ‪(٣ ،٠‬‬ ‫‪ .:‬ر = ‪٥‬س‪٤ +‬ص‬ ‫∴ ر أ = ‪٢٠ = ٠×٤ + ٤ ×٥‬‬ ‫ﺟـ‬ ‫‪ ،‬ر ب = ‪١٤ =١×٤ +٢×٥‬‬ ‫‪ ،‬ر ﺟـ = ‪١٢ =٣×٤ +٠×٥‬‬

‫ل‪١‬‬

‫ب‬

‫∴ أﻗﻞ ﻗﯿﻤﺔ ﻋﻨﺪ ﺟـ = ) ‪( ٣ ،٠‬‬

‫أ‬ ‫ل‪٢‬‬

‫‪٣‬ـ ﻣﻄﺤﻦ ﻟﺪﯾﮫ ‪ ٨٠‬ﻛﺠﻢ ﻣﻦ اﻟﺬرة ‪ ١٢٠ ،‬ﻛﺠﻢ ﻣﻦ اﻟﻘﻤﺢ ـ ﯾﻨﺘﺞ ﻧﻮﻋﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﺪﻗﯿﻖ و ﯾﻀﻌﮫ ﻓﻲ أﻛﯿﺎس ‪ ،‬ﺑﺤﯿﺚ‬ ‫ﯾﻠﺰم ﻟﻠﻜﯿﺲ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻷول ﻛﯿﻠﻮ واﺣﺪ ﻣﻦ اﻟﺬرة ‪ ٣ ،‬ﻛﺠﻢ ﻣﻦ اﻟﻘﻤﺢ ـ ﯾﻠﺰم ﻟﻠﻜﯿﺲ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ ٢‬ﻛﺠﻢ ﻣﻦ‬

‫‪١٥٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﺬرة ‪ ٢ ،‬ﻛﺠﻢ ﻣﻦ اﻟﻘﻤﺢ ـ أوﺟﺪ ﻋﺪد اﻷﻛﯿﺎس ﻣﻦ ﻛﻞ ﻧﻮع اﻟﺘﻲ ﯾﺠﺐ أن ﯾﻨﺘﺠﮭﺎ اﻟﻤﻄﺤﻦ ﻟﯿﻜﻮن دﺧﻠﮫ أﻛﺒﺮ ﻣﺎ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ ‪ ،‬ﻋﻠﻤﺎً ﺑﺄن ﺛﻤﻦ اﻟﻜﯿﺲ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻷول ‪ ٤‬ﺟﻨﯿﮫ ‪ ،‬اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ ٢‬ﺟـ ‪.‬‬

‫اﻟﺤﻞ ‪:‬ـ‬ ‫ذرة‬ ‫ﻗﻤﺢ‬ ‫اﻟﺜﻤﻦ‬

‫اﻟﻨﻮع اﻷول‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬

‫اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫اﻟﻜﻤﯿﺔ اﻟﻤﺘﺎﺣﺔ‬ ‫‪٨٠‬‬ ‫‪١٢٠‬‬

‫ـ ‪ .:‬س ≤ ‪ ، ٠‬ص ≤ ‪ ، ٠‬س ‪٢ +‬ص ≥ ‪٣ ، ٨٠‬س‪٢ +‬ص ≥ ‪١٢٠‬‬ ‫‪ ،‬داﻟﺔ اﻟﮭﺪف ‪ :‬ر = ‪٤‬س‪٢ +‬ص ‪..‬‬ ‫ـ ل‪ :١‬س‪٢+‬ص= ‪ ٨٠‬ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ‪(٠ ، ٨٠ ) ، ( ٤٠، ٠‬‬ ‫ـ ل‪٣ :٢‬س‪٢+‬ص= ‪ ١٢٠‬ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ‪(٠ ، ٤٠ ) ، ( ٦٠ ،٠‬‬ ‫ـ ﻣﻨﻄﻘﺔ اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻀﻠﻊ أ و ﺟـ ب ﺣﯿﺚ‬ ‫أ)‪ ، (٠ ،٤٠‬و)‪، (٠،٠‬ﺟـ )‪ ، (٤٠ ،٠‬ب)‪(٣٠ ،٢٠‬‬ ‫‪ ،‬داﻟﺔ اﻟﮭﺪف ‪ :‬ر= ‪٤‬س‪٢+‬ص‬ ‫ر أ = ‪ ، ١٦٠‬ر و = ‪ ، ٠‬ر ﺟـ = ‪ ، ٨٠‬ر ب =‪١٤٠‬‬ ‫ﯾﻜﻮن اﻟﺪﺧﻞ أﻛﺒﺮ ﻣﺎ ﯾﻤﻜﻦ ﻋﻨﺪ أ ) ‪(٠ ،٤٠‬‬ ‫أي أن اﻟﻤﻄﺤﻦ ﯾﻨﺘﺞ ‪ ٤٠‬ﻛﯿﺲ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻷول‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫أ‬ ‫‪٤‬ـ ﯾﺮاد وﺿﻊ ﻧﻮﻋﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﻜﺘﺐ أ ‪ ،‬ب ﻋﻠﻲ رف‬

‫ل‪٢‬‬

‫ﺟـ‬

‫ب‬

‫و‬

‫ل‪١‬‬

‫ﻣﻜﺘﺒﺔ ﻃﻮﻟﮫ ‪٩٦‬ﺳﻢ ‪ ،‬و ﺣﻤﻮﻟﺘﮫ اﻟﻘﺼﻮي ‪٢٠‬ﻛﺠﻢ ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎن وزن اﻟﻜﺘﺎب ﻣﻦ ﻛﻼ اﻟﻨﻮﻋﯿﻦ ھﻮ ‪١‬ﻛﺠﻢ ‪ ،‬و ﺳﻤﻚ‬ ‫اﻟﻜﺘﺎب ﻣﻦ اﻟﻨﻮع أ ھﻮ ‪٦‬ﺳﻢ ‪ ،‬و ﻣﻦ اﻟﻨﻮع ب ‪٤‬ﺳﻢ ـ أوﺟﺪ ﻋﺪد اﻟﻜﺘﺐ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻧﻮع اﻟﺘﻲ ﺗﻮﺿﻊ ﻋﻠﻲ اﻟﺮف ﺑﺤﯿﺚ‬ ‫ﯾﻜﻮن ﻋﺪدھﺎ أﻛﺒﺮ ﻣﺎ ﯾﻤﻜﻦ ‪.‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬ـ‬

‫اﻟﻮزن‬ ‫اﻟﺴﻤﻚ‬

‫اﻟﻨﻮع أ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٦‬‬

‫اﻟﻨﻮع ب‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٤‬‬

‫اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻌﻈﻤﻲ‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪٩٦‬‬

‫‪ .:‬س ≤ ‪ ، ٠‬ص ≤ ‪ ، ٠‬س‪ +‬ص ≥ ‪٦ ، ٢٠‬س‪٤+‬ص ≥ ‪ ، ٩٦‬داﻟﺔ اﻟﮭﺪف ر = س‪ +‬ص‬ ‫∴ ل‪ : ١‬س‪+‬ص= ‪ ٢٠‬ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ‪(٠ ،٢٠ ) ، (٢٠ ،٠‬‬

‫‪ ،‬ـ ل‪٦ : ٢‬س‪٤+‬ص= ‪ ٩٦‬ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ‪(٠، ١٦ ) ، (٢٤ ،٠‬‬

‫اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﻀﻠﻌﺔ أ و ﺟـ ب‬ ‫ﺣﯿﺚ أ)‪ ، (٠ ،١٦‬و)‪ ، (٠،٠‬ﺟـ ) ‪ ، (٢٠، ٠‬ب) ‪(١٢ ،٨‬‬ ‫‪ .: ،‬ر = س‪ +‬ص‬ ‫∴ ر أ = ‪ ، ١٦‬ر و = ‪ ، ٠‬ر ﺟـ = ‪ ، ٢٠‬ر ب = ‪٢٠‬‬ ‫∴ أﻛﺒﺮ ﻗﯿﻤﺔ ﻋﻨﺪ ﺟـ ) ‪ ، (٢٠ ،٠‬ب ) ‪(١٢ ،٨‬‬ ‫ـ أي أﻧﮫ ﻧﻀﻊ ‪ ٢٠‬ﻛﺘﺎب ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻓﻘﻂ‬ ‫أو ﻧﻀﻊ ‪ ٨‬ﻛﺘﺐ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻷول ‪ ١٢ ،‬ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪..‬‬

‫ب‬

‫أ‬

‫ﺟـ‬

‫و‬

‫‪١٥٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪٥‬ـ ﻗﺮرت إﺣﺪي اﻟﺸﺮﻛﺎت أن ﺗﻘﺪم وﺟﺒﺔ ﺧﻔﯿﻔﺔ ﻟﻤﻮﻇﻔﯿﮭﺎ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﺻﻨﻔﯿﻦ ‪ ،‬ﺑﺤﯿﺚ ﺗﺘﻮﻓﺮ ﻓﻲ اﻟﻮﺟﺒﺔ اﻟﻮاﺣﺪة‬ ‫ﻟﻜﻞ ﺷﺨﺺ ‪ ٤‬وﺣﺪات ﻋﻠﻲ اﻷﻗﻞ ﻣﻦ ﻓﯿﺘﺎﻣﯿﻦ أ ‪ ٩ ،‬وﺣﺪات ﻣﻦ ﻓﯿﺘﺎﻣﯿﻦ ب ـ ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﺼﻨﻒ اﻷول‬ ‫ﺗﻌﻄﻲ ﻓﻲ اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ وﺣﺪة ﻓﯿﺘﺎﻣﯿﻦ أ ‪ ٣ ،‬وﺣﺪات ﻓﯿﺘﺎﻣﯿﻦ ب ـ و ان اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﺼﻨﻒ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﺗﻌﻄﻲ ﻓﻲ اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ‬ ‫وﺣﺪﺗﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﯿﺘﺎﻣﯿﻦ أ ‪ ٣ ،‬وﺣﺪات ﻣﻦ ﻓﯿﺘﺎﻣﯿﻦ ب ـ وﻛﺎن ﺳﻌﺮ اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﺼﻨﻒ اﻷول ‪ ٧٥‬ﻗﺮش ‪ ،‬وﺳﻌﺮ‬ ‫اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﺼﻨﻒ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ ٥٠‬ﻗﺮش ـ ﻓﻜﻢ ﻋﺪد اﻟﻮﺣﺪات ﻣﻦ اﻟﺼﻨﻔﯿﻦ ﯾﻌﻄﻲ أرﺧﺺ وﺟﺒﺔ و ﺗﺘﻀﻤﻦ اﻟﺤﺪ‬ ‫اﻷدﻧﻲ ﻣﻦ اﻟﻔﯿﺘﺎﻣﯿﻨﺎت ‪.‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬ـ‬ ‫ﻓﯿﺘﺎﻣﯿﻦ اﻟﺼﻨﻒ اﻷول اﻟﺼﻨﻒ اﻟﺜﺎﻧﻲ اﻟﺤﺪ اﻷدﻧﻲ‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫أ‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ب‬ ‫‪٥٠‬‬ ‫‪٧٥‬‬ ‫اﻟﺴﻌﺮ‬ ‫‪ .:‬س ≤ ‪ ، ٠‬ص ≤ ‪ ، ٠‬س‪٢ +‬ص ≤ ‪٣ ، ٤‬س‪٣ +‬ص ≤ ‪ ، ٩‬داﻟﺔ اﻟﮭﺪف ‪ :‬ر = ‪٧٥‬س‪٥٠ +‬ص‬ ‫∴ ل‪ : ١‬س‪٢ +‬ص = ‪ ٤‬ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ‪( ٠ ،٤ ) ، ( ٢ ،٠‬‬ ‫ـ ل‪٣ : ٢‬س‪٣+‬ص= ‪ ٩‬ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ‪(٠ ، ٣ ) ، (٣ ،٠‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﺘﻲ ﺣﺪودھﺎ اﻟﺴﻔﻠﻲ أ ‪ ،‬ب ‪ ،‬ﺟـ‬ ‫ﺣﯿﺚ أ) ‪ ، (٠ ،٤‬ب ) ‪ ،(١ ،٢‬ﺟـ )‪(٣ ،٠‬‬ ‫‪ .:‬ر = ‪٧٥‬س‪ ٥٠ +‬ص‬ ‫∴ ر أ = ‪٣٠٠ =٠×٥٠+٤×٧٥‬‬ ‫ل‪١‬‬ ‫ﺟـ‬ ‫‪ ،‬ر ب = ‪٢٠٠ =١+٥٠+٢×٧٥‬‬ ‫‪ ،‬ر ﺟـ = ‪١٥٠ = ٣×٥٠ +٠×٧٥‬‬ ‫ب‬ ‫∴ أرﺧﺺ وﺟﺒﺔ ﻋﻨﺪ ﺟـ ) ‪(٣ ،٠‬‬ ‫أ‬ ‫ـ ‪٣‬وﺣﺪات ﻣﻦ اﻟﺼﻨﻒ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫ل‪٢‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪٦‬ـ ﻃﺎﺋﺮة ﺑﮭﺎ ‪ ٤‬ﻣﻘﺎﻋﺪ ﻟﻠﺮﻛﺎب ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎن راﻛﺐ اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﻟﻲ ﯾﺴﻤﺢ ﻟﮫ ﺑﺤﻤﻞ ‪ ٦٠‬ﻛﺠﻢ و ﯾﺪﻓﻊ ‪٥٠٠٠‬ﺟـﻨﯿﮫ ‪،‬‬ ‫و راﻛﺐ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﯾﺤﻤﻞ ‪٢٠‬ﻛﺠﻢ و ﯾﺪﻓﻊ ‪٢٥٠٠‬ﺟـ ‪ .‬ﻓﺈذا ﻛﺎن أﻛﺒﺮ وزن ﻟﻸﻣﺘﻌﺔ ھﻮ ‪ ١٢٠‬ﻛﺠﻢ ‪ ..‬ـ ﻓﺄوﺟﺪ‬ ‫ﻋﺪد اﻟﺮﻛﺎب ﻣﻦ ﻛﻞ درﺟﺔ اﻟﺬي ﯾﺤﻘﻖ أﻛﺒﺮ دﺧﻞ ﻣﻦ اﻷﺟﻮر ‪.‬‬

‫اﻟﺤﻞ‪:‬ـ‬

‫اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‬ ‫ص‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪٢٥٠٠‬‬

‫اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﻟﻲ‬ ‫س‬ ‫اﻟﻤﻘﺎﻋﺪ‬ ‫‪٦٠‬‬ ‫اﻟﻮزن‬ ‫‪٥٠٠٠‬‬ ‫اﻟﺴﻌﺮ‬

‫اﻟﻤﺘﺎح‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪١٢٠‬‬

‫‪ .:‬س ≤ ‪ ، ٠‬ص ≤ ‪ ، ٠‬س‪ +‬ص ≥ ‪ ٦٠ ، ٤‬س ‪ ٢٠ +‬ص ≥ ‪١٢٠‬‬ ‫‪ ،‬داﻟﺔ اﻟﮭﺪف ر = ‪٥٠٠٠‬س‪ ٢٥٠٠ +‬ص ‪.‬‬

‫‪ ،‬ل‪ : ١‬س‪+‬ص= ‪ ٤‬ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ‪(٠ ،٤ ) ، (٤ ،٠‬‬ ‫‪ ،‬ل‪٦٠: ٢‬س‪٢٠ +‬ص =‪١٢٠‬ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ‪(٠ ،٢ )،(٦ ،٠‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﻀﻠﻌﺔ أ ب ﺟـ و‬ ‫ﺣﯿﺚ‪ :‬أ)‪ ، (٠ ،٢‬ب) ‪ ،(٣ ،١‬ﺟـ ) ‪ ، (٤ ،٠‬و)‪(٠،٠‬‬ ‫‪ .:‬داﻟﺔ اﻟﮭﺪف ‪ :‬ر= ‪٥٠٠٠‬س‪٢٥٠٠+‬ص‬ ‫∴ ر أ = ‪ ، ١٠٠٠٠‬ر ب = ‪ ، ١٢٥٠٠‬ر ﺟـ = ‪١٠٠٠٠‬‬ ‫أﻛﺒﺮ دﺧﻞ ﻋﻨﺪ ب) ‪ : (٣ ،١‬ﻣﻘﻌﺪ واﺣﺪ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﻟﻲ‬

‫‪ ٣ ،‬ﻣﻘﺎﻋﺪ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‬

‫‪١٥٤‬‬

‫ب‬ ‫أ‬

‫ﺟـ‬

‫و‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﺒﺎب اﻟﺮاﺑﻊ اﻻﺣﺼﺎء‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﮫ ﻓﻲ ﻣﺎدة اﻹﺣﺼﺎء‬ ‫ﻧﺤﻦ ﻧﻌﯿﺶ ﻓﻲ ﻋﺼﺮ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت وﻋﺎﻟﻢ اﻷﻋﻤﺎل ﯾﺘﻄﻠﺐ ﻣﻨﺎ اﻟﯿﻮم ﻣﻌﺎﻟﺠﺔ وﺗﻨﻈ ﯿﻢ وﺗﻘ ﺪﯾﻢ وﺗﻔ ﺴﯿﺮ‬ ‫ﻛﻤﯿ ﺎت ﻛﺒﯿ ﺮة ﻣﻨﮭ ﺎ وﻃﺒﯿﻌﺘﮭ ﺎ اﻟﻜﻤﯿ ﺔ‪ .‬واﻟﻤﮭ ﺎرات اﻟﺘ ﻲ ﻧﺤ ﻦ ﺑﺤﺎﺟ ﺔ إﻟﯿﮭ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺘﻌﺎﻣ ﻞ ﻣ ﻊ ھ ﺬه‬ ‫اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت ﻣﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﻌﻠﻢ اﻹﺣﺼﺎء )‪.(statistics‬‬ ‫ﻓﺎﻹﺣﺼﺎء ‪ :‬ھ ﻮ اﻟﻌﻠ ﻢ اﻟ ﺬي ﯾﺒﺤ ﺚ ﻓ ﻲ ﺟﻤﯿ ﻊ اﻟﺒﯿﺎﻧ ﺎت اﻟﺨﺎﺻ ﺔ ﻟﻤﺨﺘﻠ ﻒ اﻟﻈ ﻮاھﺮ وﺗ ﺼﻨﯿﻒ ھ ﺬه‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﺟﺪاول ﻣﻨﻈﻤﺔ وﺗﻤﺜﯿﻠﮭﺎ ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ ﻋﻠﻲ ﺷﻜﻞ رﺳ ﻮﻣﺎت أو ﺻ ﻮر ﺗﻮﺿ ﯿﺤﯿﺔ وﻛ ﺬﻟﻚ ﺗﺤﻠﯿ ﻞ‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧ ﺎت واﺳ ﺘﺨﻼص اﻟﻨﺘ ﺎﺋﺞ ﻣﻨﮭ ﺎ واﺳ ﺘﺨﺪاﻣﮭﺎ ﻓ ﻲ اﺗﺨ ﺎذ اﻟﻘ ﺮار اﻟﻤﻨﺎﺳ ﺐ وﻣﻘﺎرﻧ ﺔ اﻟﻈ ﻮاھﺮ‬ ‫ﺑﺒﻌﻀﮭﺎ وﻣﺤﺎوﻟﺔ اﺳﺘﻨﺘﺎج ﻋﻼﻗﺎت ﺑﯿﻨﮭﺎ‪.‬‬ ‫وﻋﻠ ﻢ اﻹﺣ ﺼﺎء أﯾ ﻀﺎ ﻧﻔ ﺴﮫ ھ ﻮ ﻓ ﺮع ﻣ ﻦ ﻋﻠ ﻢ اﻟﺮﯾﺎﺿ ﯿﺎت ﻣﺘﻌﻠ ﻖ ﺑﻤﻌﺎﻟﺠ ﺔ ﻣﺨﺘﻠ ﻒ اﻟﺒﯿﺎﻧ ﺎت‬ ‫اﻹﺣ ﺼﺎﺋﯿﺔ ﻋ ﻦ اﻟﻌ ﺎﻟﻢ وھ ﻮ ﻋﺒ ﺎرة ﻋ ﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﺔ ﻣ ﻦ اﻷﺳ ﺎﻟﯿﺐ واﻟﻌﻤﻠﯿ ﺎت اﻹﺣ ﺼﺎﺋﯿﺔ اﻟﺨﺎﺻ ﺔ‬ ‫ﺑﻤﻌﺎﻟﺠﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت اﻟﻜﻤﯿﺔ أو اﻟﺮﻗﻤﯿﺔ‪.‬‬

‫ﻣﻘﺎﯾﯿﺲ اﻟﻨﺰﻋﺔ اﳌﺮﻛﺰﯾﺔ‬ ‫‪ .١‬اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ‬ ‫‪ .٢‬اﻟﻮﺳﯿﻂ‬ ‫‪ .٣‬اﻟﻤﻨﻮال‬ ‫‪ .٤‬اﻟﻮﺳﻂ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ‬ ‫‪ .٥‬اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺘﻮاﻓﻘﻲ‬ ‫وﻻ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻔﻀﯿﻞ أﺣ ﺪ ھ ﺬه اﻟﻤﻘ ﺎﯾﯿﺲ ﻋﻠ ﻰ اﻵﺧ ﺮ ﻷن ﻟﻜ ﻞ ﻣﻨﮭ ﺎ ﻣﺰاﯾ ﺎه وﻋﯿﻮﺑ ﮫ إﻻ أن اﻟﻤﻘ ﺎﯾﯿﺲ‬ ‫اﻟﺜﻼﺛﺔ اﻷوﻟﻰ ھﻲ اﻷﻛﺜﺮ اﺳﺘﺨﺪاﻣﺎً‪.‬‬ ‫أوﻻً‪ :‬اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ ) س(‬ ‫وﯾﻌ ﺮف اﻟﻮﺳ ﻂ اﻟﺤ ﺴﺎﺑﻲ ﺑﺄﻧ ﮫ اﻟﻘﯿﻤ ﺔ اﻟﺘ ﻲ أذا أﻋﻄﯿ ﺖ ﻟﻜ ﻞ ﻣﻔ ﺮدة ﻣ ﻦ ﻣﻔ ﺮدات اﻟﻈ ﺎھﺮة ﻟﻜ ﺎن‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﯿﻢ اﻟﺠﺪﯾﺪة ﻣﺴﺎوﯾﺎ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮع اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻠﻘﯿﻢ اﻷﺻﻠﯿﺔ ﻟﻠﻈﺎھﺮة‪.‬‬ ‫أي ﺑﺒﺴﺎﻃﺔ‪،‬‬ ‫اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﯿﻢ =‬

‫ﻣﺠﻤﻮع ھﺬه اﻟﻘﯿﻢ‬ ‫ﻋﺪدھﻢ‬

‫‪١٥٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻃﺮق ﺣﺴﺎب اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ‪:‬‬ ‫) ‪ (١‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت ﻏﯿﺮ اﻟﻤﺒﻮﺑﺔ‬ ‫أوﻻ‪ :‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت ﻏﯿﺮ اﻟﻤﺒﻮﺑﺔ‪.‬‬

‫) ‪ (٢‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﮫ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت اﻟﻤﺒﻮﺑﺔ )اﻟﺠﺪاول اﻟﺘﻜﺮارﯾﺔ (‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(١‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ درﺟﺎت ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻄﻠﺒﺔ ﻓﻲ ﻛﻠﯿﺔ اﻟﺘﻘﻨﯿﺔ ﺑﺎﻟﻤﺠﻤﻌﺔ ﻓﻲ ﻣﺎدة اﻹﺣﺼﺎء ھﻲ‪:‬‬ ‫‪ ٣٠‬و‪ ٦٠‬و‪ ٤٠‬و‪ ٧٠‬و ‪١٠٠‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ ﻟﺪرﺟﺎت اﻟﻄﻼب‪.‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ )س( = ‪١٠٠ + ٧٠ + ٤٠ + ٦٠ + ٣٠‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣٠٠‬‬ ‫ـــــــ‬ ‫= ـــــــ‬ ‫‪٥‬‬ ‫= ‪ ٦٠‬درﺟﺔ‪.‬‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ أﺧﺮي‪-:‬‬ ‫ﯾﻤﻜﻨﻚ اﺳﺘﺨﺪام ﻣﮭﺎرة اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻓﻲ وﺿﻊ ﻣﺜﺎل ﻛﻤﺎ ﻓﻌﻠﺖ أﻣﺎﻣﮫ ﻷن ھ ﺪﻓﻨﺎ ھ ﻮ اﻟﻄﺎﻟ ﺐ ﺣﺘ ﻰ ﻧﺨ ﺮج‬ ‫ﻣﻦ أﺳﻠﻮب اﻟﺘﻠﻘﯿﻦ إﻟﻲ أﺳﻠﻮب اﻟﻤ ﺸﺎرﻛﺔ اﻟﻔﻌﺎﻟ ﺔ ﻓﮭ ﻮ أﺳ ﺎس اﻟﻌﻤﻠﯿ ﺔ اﻟﺘﻌﻠﯿﻤﯿ ﺔ وأن ﻛ ﺎن أﻣﺎﻣ ﻚ‬ ‫‪ ٣٠‬ﻃﺎﻟﺐ ﻣﺜﻼ ﻓﺄﻧﺖ ﻟﺪﯾﻚ ‪ ٣٠‬ﻣﺜﺎل أو ﻣﺴﺄﻟﺔ وﺗﺒﻨﻲ ﺟﺴﺮ ﻣﻦ اﻟﺜﻘﺔ ﺑﯿﻨﻚ وﺑ ﯿﻦ اﻟﻄﺎﻟ ﺐ ﻣ ﻦ ﺟﮭ ﺔ‬ ‫وﺑﯿﻦ اﻟﻄﺎﻟﺐ وﻧﻔﺴﮫ ﻣﻦ ﺟﮭﺔ أﺧﺮى ﺣﺘﻰ ﺗﺨﺮج ﻣﺎدة اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت إﻟﻲ اﻟﻤﻌﺎﯾﺸﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل )‪(٢‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ درﺟﺎت ﺳﺘﺔ ﻃﻼب ﻓﻲ اﺣﺪ اﻟﻤﻮاد ھﻲ‬ ‫‪٦٣‬و‪ ٨٠‬و‪ ٤٠‬و‪ ٧٢‬و‪ ٦٠‬و ‪٢٥‬‬ ‫أﺣﺴﺐ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ ﻟﺪرﺟﺎت اﻟﻄﻼب‬ ‫ﻣﺜﺎل )‪(٣‬‬ ‫اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ ﻟﻠﻌﺪدﯾﻦ ‪ ٤‬و ‪ ٦‬ھﻮ‪................‬‬ ‫ﻣﺜﺎل )‪(٤‬‬ ‫اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﮫ ﻣﻦ اﻟﻘﯿﻢ ھﻮ ‪............‬‬ ‫ﻣﺜﺎل )‪(٥‬‬ ‫أوﺟﺪ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ ﻟﻠﻘﯿﻢ ‪ ١٫٥‬و‪ ٢٫٦‬و ‪ ٣٫٥‬و ‪ ٤٫٤‬و ‪ ٥٫٧‬و‪٨٫٣‬‬

‫‪١٥٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت اﻟﻤﺒﻮﺑﺔ )اﻟﺠﺪاول اﻟﺘﻜﺮارﯾﺔ(‪.‬‬ ‫ﯾﺒﯿﻦ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ أﺟﻮر ‪ ٤٠‬ﻋﺎﻣﻞ ﻓﻲ أﺣﺪ اﻟﻤﺼﺎﻧﻊ وﻛﺎﻧﺖ ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﻔﺌﺎت‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار‬

‫‪-٩‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫‪-٣‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪-٢١‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪-١٥‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪-٢٧‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪-٣٣‬‬ ‫‪١‬‬

‫اﻟﻤﺠﻤﻮع‬ ‫‪٤٠‬‬

‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫اﻟﻔﺌﺎت‬

‫اﻟﺘﻜﺮار)ك(‬

‫‪-٣‬‬ ‫‪-٩‬‬ ‫‪-١٥‬‬ ‫‪-٢١‬‬ ‫‪-٢٧‬‬ ‫‪-٣٣‬‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮع‬

‫‪١٠‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٤٠‬‬

‫اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ )س(‬

‫ﻣﺮاﻛﺰ اﻟﻔﺌﺎت‬ ‫)س(‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫‪٢٤‬‬ ‫‪٣٠‬‬ ‫‪٣٦‬‬

‫ك×س‬ ‫‪٦٠‬‬ ‫‪١٤٤‬‬ ‫‪١٤٤‬‬ ‫‪١٤٤‬‬ ‫‪٩٠‬‬ ‫‪٣٦‬‬ ‫‪٦١٨‬‬

‫ﻣﺞ ك × س‬ ‫= ــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫ﻣﺞ ك‬ ‫‪٦١٨‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫=‬ ‫‪٤٠‬‬ ‫= ‪ ١٥٫٤٥‬رﯾﺎﻻً‪.‬‬

‫ﻃﺒﻌﺎ اﻟﺤﻞ ﻣﻜﺘﻮب ﻋﻠﻰ ﺻﻮرة ‪ ٤‬أﻋﻤ ﺪة‪ :‬ﻓ ﺎﻟﻌﻤﻮد اﻷول)اﻟﻔﺌ ﺎت( واﻟﻌﻤ ﻮد اﻟﺜ ﺎﻧﻲ )اﻟﺘﻜ ﺮار( وھ ﻢ‬ ‫ﻣﻦ ورﻗﺔ اﻷﺳﺌﻠﺔ أو اﻟﻤﻌﻄﯿ ﺎت أﻣ ﺎ اﻟﻌﻤ ﻮد اﻟﺜﺎﻟ ﺚ )ﻣﺮاﻛ ﺰ اﻟﻔﺌ ﺎت)س( ( ﻧﺤ ﺼﻞ ﻋﻠﯿ ﮫ ﺑ ﺄﻛﺜﺮ ﻣ ﻦ‬ ‫ﻃﺮﯾﻘ ﺔ ﻓﻤﻨﮭ ﺎ أن ﻧﻌ ﺮف ﻃ ﻮل اﻟﻔﺌ ﺔ ﻓ ﻲ اﻟﻤ ﺴﺄﻟﺔ ‪ .‬وھ ﻲ ﺗﺨﺘﻠ ﻒ ﻣ ﻦ ﻣ ﺴﺄﻟﺔ ﻵﺧ ﺮي ﻓﻔ ﻲ ﻣﺜﺎﻟﻨ ﺎ‬ ‫اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻃﻮل اﻟﻔﺌﺔ ھﻮ )أﻋﺮف أﻧﻚ رﺑﻤﺎ ﺗﻘﻮل ‪ .١٠‬ﻻ‪ ،‬ﻃﺒﻌﺎً!(‬ ‫ﻃﻮل اﻟﻔﺌﺔ = ‪٣-٩‬‬ ‫= ‪٩-١٥‬‬ ‫= ‪١٥-٢١‬‬ ‫= ‪٢١-٢٧‬‬ ‫= ‪٢٧-٣٣‬‬ ‫=‪٦‬‬ ‫ﻧﻤﺴﻚ ﻃﻮل اﻟﻔﺌﺔ وھﻮ ‪ ٦‬وﻧﻘﺴﻤﮫ ﻋﻠﻰ ‪) ٢‬ﺛﺎﺑﺘﺔ( ﻓﯿﻨﺘﺞ ‪٣‬‬ ‫ﻧﻤﺴﻚ ﺧﺎرج اﻟﻘﺴﻤﺔ وھﻲ ‪ ٣‬وﻧﻀﯿﻔﮭﺎ إﻟﻰ اﻟﻔﺌﺎت ﻟﺘﻌﻄﻲ ﻣﺮاﻛﺰ اﻟﻔﺌﺎت)س(‬ ‫‪١٥٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫أﻣﺎ اﻟﻌﻤﻮد اﻟﺮاﺑﻊ واﻷﺧﯿﺮ ﻓﮭﻮ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ك)اﻟﺘﻜﺮار( ﻓﻲ س )ﻣﺮاﻛﺰ اﻟﻔﺌﺎت(‬ ‫وﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ﻣﺠﻤﻮع ك ﻓﻲ س ﻧﻘﺴﻤﮫ ﻋﻠﻲ ﻣﺠﻤﻮع ك)اﻟﺘﻜﺮار( ﻓﯿﻨﺘﺞ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ‬ ‫أي اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ )س(‬

‫ﻣﺞ ك × س‬ ‫ــــــــــــــــــــــ‬ ‫= ـــــــــ‬ ‫ﻣﺞ ك‬ ‫= ـــ ‪٦١٨‬‬ ‫ــــــــــــــ‬ ‫‪٤٠‬‬ ‫= ‪ ١٥٫٤٥‬رﯾﺎﻻً‪.‬‬

‫ﻣﻦ ﻋﯿ ﻮب اﻟﻮﺳ ﻂ اﻟﺤ ﺴﺎﺑﻲ أﻧ ﮫ ﻻ ﯾﻤﻜ ﻦ إﯾﺠ ﺎده ﺑﺎﻟﺮﺳ ﻢ وﯾﺘ ﺄﺛﺮ ﺑ ﺎﻟﻘﯿﻢ اﻟ ﺸﺎذة أﻣ ﺎ ﻣﺰاﯾ ﺎه ﻓﻤﻨﮭ ﺎ‬ ‫اﻟﺴﮭﻮﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﺤﺴﺎب وﻟﺬﻟﻚ ﻓﮭﻮ أﻛﺜﺮ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺎت اﺳﺘﺨﺪاﻣﺎ ﻛﻤﺎ ﺗ ﺪﺧﻞ ﺟﻤﯿ ﻊ ﻗ ﯿﻢ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋ ﺔ ﻓ ﻲ‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﮫ‪.‬‬ ‫وﯾﻤﻜﻨ ﻚ ﻣ ﻊ ﻃﻼﺑ ﻚ أﯾ ﺎً ﻛﺎﻧ ﺖ أﻋﻤ ﺎرھﻢ أن ﺗﺠﻌﻠﮭ ﻢ ﯾﻜﻮﻧ ﻮن ﻣ ﺴﺎﺋﻞ ﺗﺨﺘﻠ ﻒ ﻓ ﻲ ﻃ ﻮل اﻟﻤﺠﻤﻮﻋ ﺔ‬ ‫وﺗﻨﺒﮭﮭﻢ إن ﺗﻜﻮن ﻃﻮل اﻟﻔﺌﺔ واﺣﺪه ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ أﻣﺎ اﻟﺘﻜﺮار ﻓﻠﮭﻢ ﺣﺮﯾﺔ اﻻﺧﺘﯿﺎر ﺣﺴﺐ ﻃﺎﻟﺐ‬ ‫وأﺧﺮ ﻃﺒﻌﺎ وﯾﻜﻮن ﻋﻨﺪك ﺑﻨﻚ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﺘﻲ ﺗ ﻢ ﺗﻜﻮﯾﻨﮭ ﺎ ﻣ ﻦ ﺟﺎﻧ ﺐ اﻟﻄ ﻼب اﻟ ﺬي ﻧﺘﻤﻨ ﻰ اﻷﻣ ﻞ‬ ‫ﻓﯿﮭﻢ ﺑﺈذن اﷲ ﺳﺒﺤﺎﻧﮫ وﺗﻌﺎﻟﻲ ‪.‬‬

‫ﺛﺎﻧﯿﺎ‪:‬اﻟﻮﺳﯿﻂ‬ ‫اﻟﻮﺳﯿﻂ ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﯿﻢ ھﻮ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻮﺳﻂ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﯿﻢ ﺑﻌﺪ ﺗﺮﺗﯿﺒﮭﺎ ﺗﺼﺎﻋﺪﯾﺎً أو ﺗﻨﺎزﻟﯿﺎً‬ ‫أي أﻧﮫ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﺘﻲ ﯾﻜﻮن ﻋﺪد اﻟﻘﯿﻢ اﻷﺻﻐﺮ ﻣﻨﮭﺎ ﻣﺴﺎوﯾﺎً ﻟﻌﺪد اﻟﻘﯿﻢ اﻷﻛﺒﺮ ﻣﻨﮭﺎ‪.‬‬ ‫ﻃﺮق ﺣﺴﺎﺑﮫ ‪-:‬‬ ‫)‪ (١‬ﺟﺒﺮﯾﺎ‬

‫)‪ (٢‬ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬

‫اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ‪:‬‬ ‫ﺳﻮف أﺗﻜﻠﻢ ﻋﻦ اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ وﻻ ﺣﻘﺎ ﻧﺘﻜﻠﻢ ﻋﻦ اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﯿﺔ ﻣﻊ ﻣﻌﺎﻟﺠﺔ اﻟﻄﺮﯾﻘ ﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﯿ ﺔ‬ ‫ﻟﻤﻘﺎﯾﯿﺲ اﻟﻨﺰﻋﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ﻛﻠﮭﺎ ﻣﻌﺎً‪ .‬وﯾﻤﻜ ﻦ ﺣ ﺴﺎﺑﮫ أﯾ ﻀﺎً ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧ ﺎت ﻏﯿ ﺮ اﻟﻤﺒﻮﺑ ﺔ و ﻓ ﻲ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت اﻟﻤﺒﻮﺑﺔ )اﻟﺠﺪاول اﻟﺘﻜﺮارﯾﺔ(‪.‬‬ ‫)أ( ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت ﻏﯿﺮ اﻟﻤﺒﻮﺑﺔ‪:‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ :‬أوﺟﺪ اﻟﻮﺳﯿﻂ ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﯿﻢ ‪ ٣٠‬و ‪ ٦٠‬و‪ ٢٠‬و ‪ ٤٠‬و ‪٧٠‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‪ :‬أوﻻً ﻻﺑﺪ ﻣﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ اﻟﻘﯿﻢ ﺗﺮﺗﯿﺒﺎً ﺗﺼﺎﻋﺪﯾﺎً أو ﺗﻨﺎزﻟﯿﺎً وﻧﺨﺘﺎر اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﺘﻲ ﺑﺎﻟﻤﻨﺘﺼﻒ ﻃﺒﻌﺎ أذا‬ ‫ﻛﺎن ﻋﺪد اﻟﻤﻔﺮدات ﻓﺮدي‪ ،‬ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪١٥٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻘﯿﻢ ﺑﻌﺪ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‪:‬‬ ‫اﻟﻮﺳﯿﻂ ھﻮ‪٤٠ :‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫‪ ٢٠‬و ‪ ٣٠‬و ‪ ٤٠‬و ‪ ٦٠‬و ‪٧٠‬‬

‫ﻣﺜﺎل آﺧﺮ‪ :‬أوﺟﺪ اﻟﻮﺳﯿﻂ ﻟﻠﻘﯿﻢ ‪ ١٢‬و ‪ ٤‬و ‪ ١‬و ‪ ٦‬و ‪ ١١‬و ‪٨‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫اﻟﻘﯿﻢ ﺑﻌﺪ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ ١ :‬و ‪ ٤‬و ‪ ٦‬و ‪ ٨‬و ‪ ١١‬و‪١٢‬‬ ‫اﻟﻮﺳﯿﻂ = ‪٨ + ٦‬‬ ‫ـــــــــــــ‬ ‫‪٢‬‬ ‫= ‪١٤‬‬ ‫ــــــــــ‬ ‫‪٢‬‬ ‫= ‪٧‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ أوﻻ ﻧﺮﺗﺐ اﻟﻘ ﯿﻢ ﺗﺮﺗﯿﺒ ﺎ ﺗ ﺼﺎﻋﺪﯾﺎ )ﺗﻨﺎزﻟﯿ ﺎ( ﺛ ﻢ ﻧﺨﺘ ﺎر اﻟﻘﯿﻤﺘ ﺎن اﻟﺘ ﻲ ﺑﺎﻟﻤﻨﺘ ﺼﻒ‬ ‫وھﻤﺎ ‪ ٦‬و ‪ ٨‬وﻧﺠﻤﻌﮭﻢ وﻧﻘﺴﻤﮭﻢ ﻋﻠﻲ ‪) ٢‬وھﻲ ﻗﯿﻤﮫ ﺛﺎﺑﺘﺔ( واﻟﻨﺎﺗﺞ ﻣﻦ ﺧ ﺎرج اﻟﻘ ﺴﻤﺔ ھ ﻮ ﻗﯿﻤ ﺔ‬ ‫اﻟﻮﺳﯿﻂ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت اﻟﻐﯿﺮ ﻣﺒﻮﺑﮫ وﻓﻲ ﻣﺜﺎﻟﻨﺎ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻋﺪد اﻟﻤﻔﺮدات زوﺟﻲ‪.‬‬ ‫ﻣﺰﯾ ﺪ ﻣ ﻦ اﻷﻣﺜﻠ ﺔ واﻟﻤ ﺴﺎﺋﻞ اﺟﻌ ﻞ ﻃﻼﺑ ﻚ ھ ﻢ اﻟ ﺬﯾﻦ ﯾﻘﻮﻣ ﻮن ﺑﺘﻜ ﻮﯾﻦ ھ ﺬه اﻷﻣﺜﻠ ﺔ واﻟﻤ ﺴﺎﺋﻞ ﻣ ﻊ‬ ‫ﺗﻮﺟﯿﮭﻚ ﻟﮭﻢ إن ﻛﻞ ﻃﺎﻟﺐ ﻋﻠﯿﮫ أﻋﻄﺎء ﻣﺜﺎل ﻟﻘﯿﻢ ﻋﺪد ﻣﻔﺮداﺗﮭﺎ ﻓ ﺮدي وﻗ ﯿﻢ أﺧ ﺮي ﻋ ﺪد ﻣﻔﺮداﺗﮭ ﺎ‬ ‫زوﺟﻲ‪.‬‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ ﺑﺒﺴﺎﻃﺔ أوﺟﺪ اﻟﻮﺳﯿﻂ ﻟﻠﻘﯿﻢ اﻵﺗﯿﺔ‪:‬‬ ‫)‪ ٦ (١‬و ‪ ٤‬و ‪٨‬‬ ‫)‪ ٦ (٢‬و ‪ ٤‬و ‪ ٨‬و ‪١٠‬‬ ‫)ب( ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت اﻟﻤﺒﻮﺑﺔ )اﻟﺠﺪاول اﻟﺘﻜﺮارﯾﺔ(‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫أوﺟﺪ اﻟﻮﺳﯿﻂ ﻟﻠﺠﺪول اﻟﺘﻜﺮاري اﻷﺗﻲ اﻟﺬي ﯾﺒﯿﻦ أﺟﻮر اﻟﻌﻤﺎل ﻓﻲ أﺣﺪ اﻟﻤﺼﺎﻧﻊ وﻛﺎﻧﺖ ﺑﺎﻟﺮﯾﺎل‬ ‫اﻟﻔﺌﺎت‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار‬

‫‪-٣‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪-٩‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫‪-١٥‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪-٢١‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪-٢٧‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪-٣٣‬‬ ‫‪١‬‬

‫اﻟﻤﺠﻤﻮع‬ ‫‪٤٠‬‬

‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫أوﻻ ﻧﻜﻮّن ﺟﺪول اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻤﺘﺠﻤﻊ اﻟﺼﺎﻋﺪ ﻣﻦ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﻜﺮاري اﻟﺒﺴﯿﻂ اﻟﻤﻌﻄﻰ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ وھﻮ‬ ‫ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ﻋﻤﻮدﯾﻦ ﻓﻘ ﻂ اﻟﻌﻤ ﻮد اﻷول اﻟﻔﺌ ﺎت واﻟﺜ ﺎﻧﻲ اﻟﺘﻜ ﺮار اﻟﻤﺘﺠﻤ ﻊ اﻟ ﺼﺎﻋﺪ ﻟﻠﻔﺌ ﺎت‪ .‬اﻟﻔﺌ ﺎت‬ ‫ﺗﻜﺘﺐ ﻛﻤﺎ ھﻲ ﺑﺎﻟﺠﺪول اﻟﺘﻜ ﺮاري اﻟﺒ ﺴﯿﻂ أﻣ ﺎ اﻟﺘﻜ ﺮار اﻟﻤﺘﺠﻤ ﻊ اﻟ ﺼﺎﻋﺪ ﻓﻨﺒ ﺪأ ﺑﺎﻟ ﺼﻔﺮ )ﺛﺎﺑ ﺖ( ﺛ ﻢ‬ ‫‪١٥٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻧﻀﯿﻒ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻔﺮ أول ﺗﻜﺮار وھﻮ ‪ ١٠‬ﻓﻲ ھﺬه اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺛﻢ ‪ ١٢‬ﻋﻠﻰ أﺧﺮ ﻣﺠﻤﻮع ﺛﻢ ﻧﻀﯿﻒ ‪ ٨‬ﺛﻢ‬ ‫‪ ٦‬ﺛﻢ ‪ ٣‬ﺛﻢ ‪ ١‬ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ‪ ٤٠‬وھﻮ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺘﻜﺮار وھ ﺬا ﯾ ﺪل ﻋﻠ ﻰ أن اﻟﺠﻤ ﻊ ﺻ ﺤﯿﺢ وإذا ﻛ ﺎن‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮع ﻏﯿﺮ ﻣﻄﺎﺑﻖ ﻟﻤﺠﻤﻮع اﻟﺘﻜﺮار ﻓﻨﻌﯿﺪ اﻟﺠﻤﻊ ﻣﺮة ﺛﺎﻧﯿ ﺔ ﺣﺘ ﻰ ﯾﻜ ﻮن ﻧﺘﯿﺠ ﺔ اﻟﺠﻤ ﻊ ﻣ ﺴﺎوﯾﺔ‬ ‫ﻟﻤﺠﻤﻮع اﻟﺘﻜﺮار ﻛﻤﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫اﻟﻔﺌﺎت‬ ‫أﻗﻞ ﻣﻦ ‪٣‬‬ ‫أﻗﻞ ﻣﻦ ‪٩‬‬ ‫أﻗﻞ ﻣﻦ ‪١٥‬‬ ‫اﻗﻞ ﻣﻦ ‪٢١‬‬ ‫أﻗﻞ ﻣﻦ ‪٢٧‬‬ ‫أﻗﻞ ﻣﻦ ‪٣٣‬‬ ‫اﻗﻞ ﻣﻦ ‪٣٩‬‬

‫)اﻟﺒﺪاﯾﺔ(‬

‫اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻤﺘﺠﻤﻊ اﻟﺼﺎﻋﺪ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫‪) ١٠‬اﻟﺘﻜﺮار اﻟﺴﺎﺑﻖ(‬ ‫‪) ٢٢‬اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻼﺣﻖ(‬ ‫‪٣٠‬‬ ‫‪٣٦‬‬ ‫‪٣٩‬‬ ‫‪٤٠‬‬

‫‪٢٠‬‬ ‫رﺗﺒﺔ اﻟﻮﺳﯿﻂ‬

‫ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺗﺮﺗﯿﺐ اﻟﻮﺳﯿﻂ ﺑﻘﺴﻤﺔ اﻟﻤﺠﻤﻮع ﻋﻠﻰ ‪٢‬‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮع‬ ‫ـــــــــــــــ = ‪٤٠‬‬ ‫ـــــــــــــــ = ‪٢٠‬‬ ‫رﺗﺒﺔ اﻟﻮﺳﯿﻂ =‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻮﺳﯿﻂ = ﺑﺪاﯾﺔ اﻟﻔﺌﺔ اﻟﻮﺳﯿﻄﺔ ‪ +‬رﺗﺒﺔ اﻟﻮﺳﯿﻂ – اﻟﺘﻜﺮار اﻟﺴﺎﺑﻖ‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ﻃﻮل اﻟﻔﺌﺔ‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻼﺣﻖ – اﻟﺘﻜﺮار اﻟﺴﺎﺑﻖ‬ ‫=‬

‫‪٩‬‬

‫‪ +‬ـــ‪١٠ - ٢٠‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــ × ‪٦‬‬ ‫‪١٠ - ٢٢‬‬

‫=‬

‫‪٩‬‬

‫‪ +‬ــــ ‪١٠‬‬ ‫ــــــــــــــــــ × ‪٦‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫= ‪ ١٤‬رﯾﺎل‬ ‫=‬ ‫رﺗﺒﺔ اﻟﻮﺳﯿﻂ‬ ‫ﺑﺪاﯾﺔ اﻟﻔﺌﺔ اﻟﻮﺳﯿﻄﺔ =‬ ‫=‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار اﻟﺴﺎﺑﻖ‬ ‫=‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻼﺣﻖ‬ ‫=‬ ‫ﻃﻮل اﻟﻔﺌﺔ‬

‫‪٢٠‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪٢٢‬‬ ‫‪٦‬‬

‫ﻣﻦ ﻣﺰاﯾﺎ اﻟﻮﺳﯿﻂ أﻧﮫ ﻻ ﯾﺘﺄﺛﺮ ﺑﺎﻟﻘﯿﻢ اﻟﺸﺎذة وﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮫ ﺑﺎﻟﺮﺳﻢ وﻣﻦ ﻋﯿﻮﺑﮫ أﻧﮫ ﻻ ﯾﺪﺧﻞ‬ ‫ﻓﻲ ﺣﺴﺎﺑﮫ ﺳﻮى ﻗﺮاءة واﺣﺪة أو ﻗﺮاءﺗﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻛﻠﮭﺎ‪.‬‬ ‫‪١٦٠‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺛﺎﻟﺜﺎً‪ :‬اﻟﻤﻨﻮال ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت اﻟﻤﺒﻮﺑﺔ )اﻟﺠﺪاول اﻟﺘﻜﺮارﯾﺔ(‪.‬‬ ‫اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ ﯾﺒﯿﻦ درﺟﺎت ‪ ٤٠‬ﻃﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﻃﻼب ﻛﻠﯿﺔ اﻟﺘﻘﻨﯿﺔ ﻓﻲ أﺣﺪ اﻟﻤﻮاد اﻟﻌﻤﻠﯿﺔ واﻟﻤﻄﻠﻮب‬ ‫أﯾﺠﺎد اﻟﻤﻨﻮال‪.‬‬ ‫اﻟﺒﺪاﯾﺔ‬ ‫‪ -٣٣‬اﻟﻤﺠﻤﻮع‬ ‫‪-٢٧‬‬ ‫‪-٢١‬‬ ‫‪-١٥‬‬ ‫‪-٩‬‬ ‫اﻟﻔﺌﺎت ‪-٣‬‬ ‫‪٤٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار ‪١٠‬‬ ‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫اﻟﺴﺎﺑﻖ)ك‪(١‬‬ ‫اﻟﻤﻨﻮال‬

‫أﻛﺒﺮ‬ ‫ﺗﻜﺮار)ك(‬

‫اﻟﺘﻜﺮار‬ ‫اﻟﻼﺣﻖ)ك‪(٢‬‬

‫ك ‪ -‬ك‪١‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫= ﺑﺪاﯾﺔ اﻟﻔﺌﺔ اﻟﻤﻨﻮاﻟﯿﺔ ‪+‬‬ ‫ك‬ ‫‬‫ك‬ ‫‬‫ك‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬

‫=‬

‫‪٩‬‬

‫=‬

‫‪٩‬‬

‫=‬

‫‪١١‬‬

‫× ﻃﻮل اﻟﻔﺌﺔ‬

‫‪ +‬ـــــ ‪١٠ – ١٢‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــ × ‪٦‬‬ ‫‪٨ – ١٠ – ١٢ × ٢‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪٢‬‬ ‫ـــــــــــــــــــ‬ ‫‪٦‬‬

‫× ‪٦‬‬

‫ﺑﺪاﯾﺔ اﻟﻔﺌﺔ اﻟﻤﻨﻮاﻟﯿﺔ ھﻲ أﻣﺎم أﻛﺒﺮ ﺗﻜﺮار وھﻲ ‪٩‬‬ ‫ك وھﻲ أﻛﺒﺮ ﺗﻜﺮار وھﻲ ‪١٢‬‬ ‫ك‪ ١‬ﺗﻌﻨﻲ اﻟﺘﻜﺮار اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻷﻛﺒﺮ ﺗﻜﺮار وھﻲ ‪١٠‬‬ ‫ك‪ ٢‬ﺗﻌﻨﻲ اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻼﺣﻖ ﻷﻛﺒﺮ ﺗﻜﺮار وھﻲ ‪٨‬‬ ‫ﻃﻮل اﻟﻔﺌﺔ وھﻲ ‪ ٦‬وھﻲ زﯾﺎدة اﻟﻔﺌﺔ ﻣﻦ ﺧﺎﻧﺔ ﻷﺧﺮى‪.‬‬ ‫ﻣﻦ ﻣﺰاﯾﺎ اﻟﻤﻨﻮال ﺳﮭﻮﻟﺔ اﻟﺤﺴﺎب وأﻧﮫ ﻻ ﯾﺘﺄﺛﺮ ﺑﺎﻟﻘﯿﻢ اﻟﺸﺎذة وﻣﻦ ﻋﯿﻮﺑﮫ أﻧﮫ ﻏﯿﺮ دﻗﯿﻖ ﺣﯿﺚ ﯾﺘﻢ‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﮫ ﺑﻄﺮق ﻛﻠﮭﺎ ﺗﻘﺮﯾﺒﯿﺔ‪.‬‬

‫‪١٦١‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻻﺣﺘﻤﺎل‬ ‫* اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ‬ ‫اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ ھﻲ ﻛﻞ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻧﺴﺘﻄﯿﻊ أن ﻧﺤﺪد ﻣﻘﺪﻣﺎ )أي ﻗﺒﻞ إﺟﺮاﺋﮭﺎ( ﺟﻤﯿﻊ اﻟﻨﻮاﺗﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ‬ ‫اﻟﺤﺪوث‪ ،‬وﻟﻜﻦ ﻻ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﺤﺪﯾﺪ أي ﻣﻦ ھﺬه اﻟﻨﻮاﺗﺞ ﺳﯿﺘﺤﻘﻖ ﻓﻌﻼً ﻋﻨﺪ إﺟﺮاء ھﺬه اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‪ :‬ﻓﻀﺎء ) ﻓﺮاغ ( اﻟﻌﯿﻨﺔ أو ﻓﻀﺎء اﻟﻨﻮاﺗﺞ )ف(‬ ‫ھﻮ ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﯿﻊ اﻟﻨﻮاﺗﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ اﻟﺤﺪوث ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﺤﺪث‬ ‫ھﻮ أى ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﯿﺔ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ‪.‬‬ ‫* أﻧﻮاع اﻷﺣﺪاث‬

‫‪ (١‬اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺆﻛﺪ‪ :‬ھﻮ اﻟﺤﺪث اﻟﺬي ﻻﺑﺪ أن ﯾﻘﻊ وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ‬ ‫ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ )ف(‪.‬‬ ‫‪ (٢‬اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺴﺘﺤﯿﻞ‪ :‬ھﻮ اﻟﺤﺪث اﻟﺬي ﻻ ﯾﻤﻜﻦ أن ﯾﻘﻊ وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ‬ ‫ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪.(φ‬‬

‫‪ (٣‬اﻟﺤﺪث اﻷوﻟﻰ )اﻟﺒﺴﯿﻂ(‪ :‬ھﻮ اﻟﺤﺪث اﻟﺬي ﺗﺘﺄﻟﻒ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻤﺜﻠﮫ ﻣﻦ‬ ‫ﻋﻨﺼﺮ واﺣﺪ ﻣﻦ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ‪.‬‬ ‫‪ (٤‬اﻟﺤﺪﺛﺎن اﻟﻤﺘﻨﺎﻓﯿﺎن ‪ :‬ھﻤﺎ اﻟﺤﺪﺛﺎن اﻟﻠﺬان ﯾﺴﺘﺤﻼ و ﻗﻮﻋﮭﻤﺎ ﻣﻌﺎً و وﻗﻮع‬ ‫أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﻤﻨﻊ وﻗﻮع اﻵﺧﺮ ‪.‬‬

‫• ﻣﺴﻠﻤﺎت اﻻﺣﺘﻤﺎل‬

‫)‪ (١‬ل )ف( = ‪ ] ١‬ف ﯾﺴﻤﻰ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ [‬ ‫)‪ ≥ ٠ (٢‬ل) أ ( ≥ ‪ ] ١‬ﺣﯿﺚ أ ﺣﺪث ﻣﺎ [‬ ‫)‪ (٣‬ل) أ ∪ ب ( = ل ) أ ( ‪ +‬ل ) ب ( ] ﺣﯿﺚ أ ‪ ،‬ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﯿﻦ ﻣﻦ ف [‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻗﻮاﻧﯿﻦ اﻻﺣﺘﻤﺎل‬ ‫ل)أ∪ب(=ل)أ(‪+‬ل)ب(–ل)أ∩ب(‬ ‫وھﻮ ﯾﻌﻨﻰ ﻟﻔﻈﯿﺎ – اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أ أو ب‬ ‫‪ -‬اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ‬

‫ل)أ∩ب(=ل)أ(‪+‬ل)ب(–ل)أ∪ب(‬ ‫وھﻮ ﯾﻌﻨﻰ ﻟﻔﻈﯿﺎ اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻣﻌﺎ‬

‫ل)أ‪ -‬ب(=ل)أ( –ل)أ∩ ب(‬ ‫ اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أ وﻋﺪم وﻗﻮع ب‬‫وھﻮ ﯾﻌﻨﻰ‬ ‫ اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أ ﻓﻘﻂ‬‫ﻻﺣﻆ أن ل ) أ ∩ ب ‪ = ( /‬ل ) أ – ب ( = ل ) أ ( – ل ) أ ∩ ب (‬

‫ل)ب‪ -‬أ(=ل)ب( –ل)أ∩ ب‬ ‫ اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب وﻋﺪم وﻗﻮع أ‬‫وھﻮ ﯾﻌﻨﻰ‬ ‫ اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂ‬‫ﻻﺣﻆ أن ل ) ب ∩ أ ‪ = ( /‬ل ) ب – أ ( = ل ) ب ( – ل ) أ ∩ ب (‬

‫ل ) أ ‪ - ١ = (/‬ل ) أ (‬ ‫وھﻮ ﯾﻌﻨﻰ اﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع أ‬ ‫ﻻﺣﻆ أن ل) اﻟﺤﺪث (‪ – ١ = /‬اﻟﺤﺪث‬ ‫ل) أ ∪ ب (‪ – ١ = /‬ل ) أ ∪ ب (‬ ‫ل ) أ – ب (‪ – ١ = /‬ل ) أ – ب (‬

‫ﻓﻤﺜﻼ‬

‫‪ ،،،‬ل ) أ ∩ ب (‪ – ١ = /‬ل ) أ ∩ ب (‬ ‫‪ ،،،‬ل ) ب – أ (‪ – ١ = /‬ل ) ب – أ (‬

‫‪١٦٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻻﺣﻆ أن‬ ‫* اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ‬

‫ل)أ∪ب(=ل)أ(‪+‬ل)ب(–ل)أ∩ب(‬ ‫* اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ‬

‫ل)أ∩‬

‫ب (‪ – ١ = /‬ل ) أ‬

‫∩‬

‫ب(‬

‫* اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻓﻘﻂ‬

‫=ل)أ–ب(‪+‬ل)ب–أ(=ل)أ(‪+‬ل)ب(–‪٢‬ل)أ∩ ب (‬ ‫=ل)أ∪ب(–ل)أ∩ب(‬ ‫* اﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع أ أو ب‬ ‫ل ) أ ∪ ب (‪ – ١ = /‬ل ) أ ∪ ب (‬

‫* اﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع أ ‪ ،‬ب ﻣﻌﺎ‬ ‫ل ) أ ∩ ب (‪ – ١ = /‬ل ) أ ∩ ب (‬

‫* ل ) أ ‪ ∪ /‬ب‪ = ( /‬ل ) أ ∩ ب (‪ – ١ = /‬ل ) أ ∩ ب (‬ ‫* ل ) أ ‪ ∩ /‬ب‪ = ( /‬ل ) أ ∪ ب (‪ – ١ = /‬ل ) أ ∪ ب (‬

‫* ل ) أ ∪ ب‪ = ( /‬ل ) ب‪ + ( /‬ل ) أ ∩ ب (‬ ‫* ل ) أ‪ ∪ /‬ب ( = ل ) أ ‪ + ( /‬ل ) أ ∩ ب (‬ ‫**************************************************‬ ‫** إذا ﻛﺎن أ ‪ ،‬ب ﺣﺪﺛﺎن ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺎن ﻓﺎن‬

‫ل)أ∩‬

‫ب‬

‫ب(=‪٠‬‬

‫** إذا ﻛﺎن أ ⊃ ب ﻓﺎن‬ ‫ل ) أ ∩ ب( = ل ) أ ( ‪،،،،‬‬

‫ل)أ∪ب(=ل)ب(‬

‫** إذا ﻛﺎن ب ⊃ أ ﻓﺎن‬ ‫ل ) أ ∩ ب( = ل ) ب ( ‪،،،،‬‬

‫ل)أ∪ب(=ل)أ(‬

‫أ‬

‫أ‬ ‫ب‬

‫‪١٦٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إذا ﻛﺎن س ‪،‬ص ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ف ﺑﺤﯿﺚ ﻛﺎن ل)س( = ‪ ، ٠٫٥‬ل)ص( = ‪٠٫٦‬‬ ‫ل) س ∩ ص ( = ‪ ٠٫٣‬أوﺟﺪ‬ ‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬ ‫)‪ (٧‬ل)س ∩ ص (‬ ‫)‪ (٤‬ل )س‪(/‬‬ ‫)‪ (١‬ل ) س ص(‬ ‫‪/‬‬ ‫‪/‬‬ ‫)‪ (٨‬ل ) س ص (‬ ‫)‪ (٥‬ل )ص (‬ ‫)‪ (٢‬ل)س – ص (‬ ‫)‪ (٩‬ل ) س‪ /‬ص(‬ ‫)‪ (٦‬ل )س‪ /‬ص‪(/‬‬ ‫)‪ (٣‬ل ) ص – س (‬

‫)‪ (١‬ل) س ص( = ل )س( ‪ +‬ل)ص( – ل) س ∩ ص( = ‪٠٫٨ = ٠٫٣-٠٫٦+٠٫٥‬‬ ‫)‪ (٢‬ل) س – ص ( = ل )س( – ل ) س ∩ ص( = ‪٠٫٢ = ٠٫٣ – ٠٫٥‬‬ ‫)‪ (٣‬ل ) ص – س ( = ل )ص( – ل ) س ∩ ص ( = ‪٠٫٣ = ٠٫٣ – ٠٫٦‬‬ ‫)‪ (٤‬ل)س‪ – ١ = (/‬ل )س( = ‪٠٫٥ = ٠٫٥ – ١‬‬ ‫)‪ (٥‬ل)ص‪ – ١ = (/‬ل )ص( = ‪٠٫٤ = ٠٫٦ – ١‬‬ ‫)‪ (٦‬ل) س‪ /‬ص‪ = (/‬ل ) س ∩ ص(‪ – ١ = /‬ل) س ∩ ص( = ‪٠٫٧ = ٠٫٣ – ١‬‬ ‫)‪ (٧‬ل )س‪ ∩ /‬ص‪ = ( /‬ل ) س ص(‪ – ١ = /‬ل )س ص( = ‪٠٫٢ = ٠٫٨ – ١‬‬ ‫)‪ (٨‬ل) س ص‪ = (/‬ل)ص‪ + (/‬ل ) س ∩ ص( = ‪٠٫٧ = ٠٫٣ + ٠٫٤‬‬ ‫)‪ (٩‬ل ) س‪ /‬ص( = ل)س‪ + (/‬ل ) س ∩ ص( = ‪٠٫٨ = ٠٫٣ + ٠٫٥‬‬ ‫********************************************************‬ ‫إذا ﻛﺎن س ‪،‬ص ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ف ﺑﺤﯿﺚ ﻛﺎن ل)س( = ‪ ، ٠٫٤‬ل)ص( = ‪٠٫٨‬‬ ‫ل) س ∩ ص ( = ‪ ٠٫٣‬أوﺟﺪ‬ ‫)‪ (١‬اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ )‪ (٢‬اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع س ﻓﻘﻂ‬ ‫)‪ (٤‬اﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع س‬ ‫)‪ (٣‬اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ص ﻓﻘﻂ‬ ‫)‪ (١‬اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ‬ ‫ل)س ص( = ل) س( ‪ +‬ل )ص( – ل)س ∩ ص( = ‪٠٫٩ = ٠٫٣ – ٠٫٨+ ٠٫٤‬‬ ‫**************************************************‬ ‫)‪ (٢‬اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع س ﻓﻘﻂ‬ ‫ل) س – ص ( = ل )س( – ل ) س ∩ ص( = ‪٠٫١ = ٠٫٣ – ٠٫٤‬‬ ‫***************************************************‬ ‫)‪ (٣‬اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ص ﻓﻘﻂ‬ ‫ل)ص – س ( = ل)ص( – ل ) س ∩ ص( = ‪٠٫٥ = ٠٫٣ – ٠٫٨‬‬ ‫****************************************************‬ ‫)‪ (٤‬اﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع س‬ ‫ل)س‪ – ١ = (/‬ل ) س( = ‪٠٫٦ = ٠٫٤ – ١‬‬ ‫****************************************************‬

‫‪١٦٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﯾﺤﺎول ﻋﺒﺪاﻟﺮﺣﻤﻦ وﺟﮭﺎد ﺣﻞ ﻣﺴﺄﻟﺔ ﻓﺈذا ﻛﺎن اﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﺤﻠﮭﺎ ﻋﺒﺪاﻟﺮﺣﻤﻦ ‪ ٠٫٦‬واﺣﺘﻤﺎل أن‬ ‫ﺗﺤﻠﮭﺎ ﺟﮭﺎد ‪ ٠٫٥‬واﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﺤﻞ ﻛﻼھﻤﺎ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻣﻌﺎ ‪ ٠٫٣٥‬أوﺟﺪ‬ ‫)‪ (٢‬اﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﺤﻠﮭﺎ ﻋﺒﺪ اﻟﺮﺣﻤﻦ ﻓﻘﻂ‬

‫)‪ (١‬اﺣﺘﻤﺎل ﺣﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ‬

‫)‪ (٤‬اﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﺤﻠﮭﺎ أﺣﺪھﻤﺎ دون اﻷﺧﺮ‬

‫)‪ (٣‬اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﺤﻠﮭﺎ ﺟﮭﺎد ﻓﻘﻂ‬

‫)‪ (٦‬اﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﺤﻠﮭﺎ أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ‬

‫)‪ (٥‬اﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم ﺣﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ‬

‫)‪ (٧‬اﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﻔﺸﻞ ﻋﺒﺪ اﻟﺮﺣﻤﻦ ﻓﻰ ﺣﻠﮭﺎ )‪ (٨‬اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﻔﺸﻞ ﺟﮭﺎد ﻓﻰ ﺣﻠﮭﺎ‬ ‫ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻨﺠﺎح ﻋﺒﺪ اﻟﺮﺣﻤﻦ ﻓﻰ ﺣﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ س وﺟﮭﺎد ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ص‬ ‫ل)س( = ‪٠٫٦‬‬

‫ل)ص( = ‪٠٫٥‬‬

‫ل) س ∩ ص( = ‪٠٫٣٥‬‬

‫)‪ (١‬اﺣﺘﻤﺎل ﺣﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ‬ ‫ل)س ص( = ل)س( ‪ +‬ل)ص( – ل )س ∩ ص( = ‪٠٫٧٥ =٠٫٣٥ – ٠٫٥ + ٠٫٦‬‬ ‫)‪ (٢‬اﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﺤﻠﮭﺎ ﻋﺒﺪ اﻟﺮﺣﻤﻦ ﻓﻘﻂ‬ ‫ل)س – ص( = ل)س( – ل)س ∩ ص( = ‪٠٫٢٥ = ٠٫٣٥ – ٠٫٦‬‬ ‫)‪ (٣‬اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﺤﻠﮭﺎ ﺟﮭﺎد ﻓﻘﻂ‬ ‫ل)ص – س( = ل)ص( – ل) س ∩ ص( = ‪٠٫١٥ = ٠٫٣٥ – ٠٫٥‬‬ ‫)‪ (٤‬اﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﺤﻠﮭﺎ أﺣﺪھﻤﺎ دون اﻷﺧﺮ‬ ‫ل)س‬

‫ص( – ل)س ص( = ‪٠٫٤ = ٠٫٣٥ – ٠٫٧٥‬‬

‫)‪ (٥‬اﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم ﺣﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ‬ ‫ل)س ص(‪ – ١ = /‬ل )س ص( = ‪٠٫٢٥ = ٠٫٧٥ – ١‬‬ ‫)‪ (٦‬اﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﺤﻠﮭﺎ أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ‬ ‫ل)س ∩ ص(‪ – ١ = /‬ل)س ∩ ص( = ‪٠٫٦٥ = ٠٫٣٥ – ١‬‬ ‫)‪ (٧‬اﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﻔﺸﻞ ﻋﺒﺪ اﻟﺮﺣﻤﻦ ﻓﻰ ﺣﻠﮭﺎ‬ ‫ل)س‪ – ١ = ( /‬ل )س( = ‪٠٫٤ = ٠٫٦ – ١‬‬ ‫)‪ (٨‬اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﻔﺸﻞ ﺟﮭﺎد ﻓﻰ ﺣﻠﮭﺎ‬ ‫ل)ص‪ – ١ = (/‬ل )ص( = ‪٠٫٥ = ٠٫٥ – ١‬‬

‫‪١٦٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ﻣﺘﺴﺎو اﻹﻣﻜﺎﻧﺎت‬ ‫ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﻣﺮة واﺣﺪة أﻛﺘﺐ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ‬ ‫ف=}ص‪،‬ك{‬ ‫***************************************************************‬ ‫ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﻣﺮﺗﯿﻦ أﻛﺘﺐ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ‬ ‫ص‬ ‫ف = } )ص‪ ،‬ص( ‪) ،‬ص‪،‬ك(‪) ،‬ك‪،‬ص(‪)،‬ك‪،‬ك({‬

‫ص‬

‫ك‬ ‫ص‬

‫ك‬

‫ك‬

‫**************************************************************‬ ‫ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﺛﻼث ﻣﺮات أﻛﺘﺐ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ‬

‫ص‬ ‫ص‬

‫ف= } )ص ‪ ،‬ص ‪ ،‬ص( ‪ )،‬ص ‪ ،‬ص ‪ ،‬ك(‬ ‫)ص ‪ ،‬ك ‪ ،‬ص( ‪ )،‬ص ‪ ،‬ك ‪ ،‬ك( )ك ‪ ،‬ص ‪ ،‬ص(‬ ‫)ك ‪ ،‬ص ‪ ،‬ك ( ‪ ) ،‬ك ‪ ،‬ك ‪ ،‬ص( ‪)،‬ك ‪ ،‬ك ‪ ،‬ك ( {‬

‫ص‬

‫ك‬ ‫ص‬

‫ك‬ ‫ك‬ ‫ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﺮة واﺣﺪة أﻛﺘﺐ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ؟‬

‫ك‬ ‫ص‬ ‫ك‬ ‫ص‬ ‫ك‬ ‫ص‬ ‫ك‬

‫ف=}‪{٦،٥،٤،٣،٢،١‬‬ ‫***************************************************************‬

‫‪١٦٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﺮﺗﯿﻦ أﻛﺘﺐ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ؟‬

‫‪١‬‬

‫ف= } )‪{(٦،٦) ،........ ، (٢ ،١) ( ١ ، ١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪١‬‬

‫)‪(١،١‬‬

‫)‪(٦ ، ١) (٥ ، ١) (٤ ، ١) (٣ ، ١) (٢ ، ١‬‬

‫‪٢‬‬

‫)‪(١ ، ٢‬‬

‫)‪(٤ ، ٢) (٣ ، ٢) (٢ ، ٢‬‬

‫)‪(٦ ، ٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫)‪(١ ، ٣‬‬

‫)‪(٦ ، ٣) (٥ ، ٣) (٤ ، ٣) (٣ ، ٣) (٢ ، ٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫)‪(١ ، ٤‬‬

‫)‪(٦ ، ٤) (٥ ، ٤) (٤ ، ٤) (٣ ، ٤) (٢ ، ٤‬‬

‫‪٥‬‬

‫)‪(١ ، ٥‬‬

‫)‪(٦ ، ٥) (٥ ، ٥) (٤ ، ٥) (٣ ، ٥) (٢ ، ٥‬‬

‫‪٦‬‬

‫)‪(١ ، ٦‬‬

‫)‪(٦ ، ٦) (٥ ، ٦) (٤ ، ٦‬‬

‫)‪(٢ ، ٦‬‬

‫)‪(٣، ٦‬‬

‫)‪(٥، ٢‬‬

‫***************************************************************‬

‫ﻣــــﻼﺣﻈﺔ‬ ‫إذا ﻛﺎن أ ﺣﺪث ﺟﺰﺋﻲ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻣﺘﺴﺎو اﻹﻣﻜﺎﻧﺎت ﻓﺎن‬

‫ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﺤﺪث أ‬ ‫ل) أ ( =‬ ‫ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ ف‬ ‫ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ أﻛﺘﺐ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﺛﻢ ﻋﯿﻦ اﺣﺘﻤﺎل ﻛﻼ ﻣﻦ‬ ‫اﻷﺣﺪاث اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫)‪ (٢‬ﻇﮭﻮر ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﮭﻢ = ‪٥‬‬ ‫)‪ (١‬أ = ﺣﺪث ﻇﮭﻮر ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ‬ ‫)‪ (٤‬ء = ﻇﮭﻮر ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﮭﻢ ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪٤‬‬ ‫)‪ (٣‬ﺟـ = ﻇﮭﻮر ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﮭﻢ ≤‪١٠‬‬ ‫ف = } )‪ ٣٦ { ( ٦ ، ٦ ).......................................... ، ( ٢ ، ١ ) ، ( ١ ، ١‬زوج‬ ‫)‪ (١‬أ = ﺣﺪث ﻇﮭﻮر ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ‬ ‫أ= })‪ { (٦، ٦) ، (٥ ،٥) ، (٤ ، ٤) ، (٣ ، ٣) ، (٢، ٢) ، (١ ، ١‬ل) أ ( = ‪١ = ٦‬‬ ‫‪٦ ٣٦‬‬ ‫)‪ (٢‬ﻇﮭﻮر ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﮭﻢ = ‪٥‬‬ ‫ل)ب( = ‪١ = ٤‬‬ ‫ب = })‪{ (٢ ، ٣) ، ( ٣ ، ٢) ، (١، ٤) ،(٤ ، ١‬‬ ‫‪٩ ٣٦‬‬ ‫)‪ (٣‬ﺟـ = ﻇﮭﻮر ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﮭﻢ ≤‪١٠‬‬ ‫ﺟـ = })‪ { (٦ ، ٦) ، (٥ ، ٦) ، (٦ ، ٥ ) ، (٥ ، ٥) ، (٤ ، ٦) ، (٦ ، ٤‬ل)ﺟـ( = ‪١= ٦‬‬ ‫‪٦ ٣٦‬‬ ‫)‪ (٤‬ء = ﻇﮭﻮر ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﮭﻢ ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪٤‬‬ ‫ء = } )‪( ٤ ، ٤) ، (٢ ، ٦) ، (٦ ، ٢) ، (٣ ، ٥) ، ( ٥ ، ٣) ، (٢ ، ٢) ، (١ ، ٣) ، (٣ ، ١‬‬ ‫ل )ء ( = ‪١ = ٩‬‬ ‫)‪{(٦،٦‬‬ ‫‪٤ ٣٦‬‬

‫‪١٦٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ‪-:‬‬ ‫ح‬ ‫اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ھﻮ داﻟﺔ ﻣﻦ ف‬ ‫أﻧﻮاع اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ‬ ‫)‪ (١‬اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ اﻟﻤﺘﻘﻄﻊ‬ ‫ھﻮ ﻣﺘﻐﯿﺮﻋﺸﻮاﺋﻰ ﻣﺪاه ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﺤﺪودة ﻣﻦ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ‬ ‫)‪ (٢‬اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ اﻟﻤﺘﺼﻞ‬ ‫ھﻮ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻣﺪاه ﻓﺘﺮة ]ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻏﯿﺮ ﻣﺤﺪودة ﻣﻦ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ [‬ ‫********************************************************‬ ‫اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ اﻟﻤﺘﻘﻄﻊ‬ ‫أوﻻ ﺗﻜﻮﯾﻦ ﺟﺪول اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ‪-:‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :‬ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻛﺎن اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ﯾﻌﺒﺮ ﻋﻦ )ﻋﺪد اﻟﺼﻮر(‬ ‫ﻛﻮن ﺟﺪول اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ س‬ ‫ح‬ ‫ف‬ ‫‪٢‬‬ ‫)ص ‪ ،‬ص(‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫سر‬ ‫‪١‬‬ ‫)ص ‪ ،‬ك (‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫د)سر(‬ ‫‪١‬‬ ‫) ك ‪ ،‬ص(‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫)ك‪،‬ك(‬ ‫********************************************************‬ ‫ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﺛﻼث ﻣﺮات ﻛﺎن اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ﯾﻌﺒﺮ ﻋﻦ‬ ‫)ﻋﺪد اﻟﻜﺘﺎﺑﺎت ( ﻛﻮن ﺟﺪول اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ‬ ‫ف‬ ‫) ص ‪ ،‬ص ‪ ،‬ص(‬ ‫)ص‪،‬ص‪،‬ك(‬ ‫) ص ‪ ،‬ك ‪ ،‬ص(‬ ‫)ص‪،‬ك‪،‬ك(‬ ‫)ك ‪ ،‬ص ‪ ،‬ص (‬ ‫)ك‪،‬ص‪،‬ك(‬ ‫)ك‪،‬ك‪،‬ص(‬ ‫)ك‪،‬ك‪،‬ك(‬

‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬

‫سر‬

‫د)سر(‬

‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪١٦٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﺛﻼث ﻣﺮات ﻛﺎن اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ﯾﻌﺒﺮ ﻋﻦ‬ ‫)ﻋﺪد اﻟﺼﻮر ‪ -‬ﻋﺪد اﻟﻜﺘﺎﺑﺎت ( ﻛﻮن ﺟﺪول اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ‬ ‫ف‬

‫ح‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬‫‪١‬‬‫‪٣-‬‬

‫) ص ‪ ،‬ص ‪ ،‬ص(‬ ‫)ص‪،‬ص‪،‬ك(‬ ‫) ص ‪ ،‬ك ‪ ،‬ص(‬ ‫)ص‪،‬ك‪،‬ك(‬ ‫)ك ‪ ،‬ص ‪ ،‬ص (‬ ‫)ك‪،‬ص‪،‬ك(‬ ‫)ك‪،‬ك‪،‬ص(‬ ‫)ك‪،‬ك‪،‬ك(‬

‫سر‬

‫د)سر(‬

‫‪٣‬‬‫‪١‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪١‬‬‫‪٣‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٨‬‬

‫********************************************************‬ ‫ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ وﻛﺎن اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ﯾﻌﺒﺮ ﻋﻦ‬ ‫) ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻌﺪدﯾﻦ ( ﻛﻮن ﺟﺪول اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ س‬

‫سر‬

‫د)سر(‬

‫‪١٢ ١١ ١٠ ٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢‬‬

‫‪١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١‬‬ ‫‪٣٦ ٣٦ ٣٦ ٣٦ ٣٦ ٣٦ ٣٦ ٣٦ ٣٦ ٣٦ ٣٦‬‬

‫اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ أو اﻟﺘﻮﻗﻊ وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪µ‬‬ ‫اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ )‪( ٢δ‬‬

‫‪ = ٢δ‬ﻣﺠـ سر‪ × ٢‬د)سر( ‪µ -‬‬

‫اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﯿﺎري )‪=(δ‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪٦‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫‪ = µ‬ﻣﺠـــــ سر × د)سر(‬ ‫‪٢‬‬

‫اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ‬

‫ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺧﺘﻼف = اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﯿﺎري × ‪% ١٠٠‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺧﺘﻼف‬

‫********************************************************‬ ‫‪١٧٠‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫إذا ﻛﺎن س ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻣﺘﻘﻄﻊ ﺗﻮزﯾﻌﮫ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻣﺤﺪد ﺑﺎﻟﺠﺪول‬ ‫سر‬

‫‪٠‬‬ ‫‪٠٫١‬‬

‫د)سر(‬

‫‪١‬‬ ‫‪٠٫٢‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٠٫٤‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٠٫٣‬‬

‫أوﺟﺪ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ – اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ – اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﯿﺎري – ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺧﺘﻼف‬

‫اﻟﺤـــــــــــــﻞ‬ ‫اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ = ‪٢‬‬ ‫اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ = ‪١ = ٢(٢) – ٥‬‬ ‫اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﯿﺎري = ‪١ = ١‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺧﺘﻼف = اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﯿﺎري‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺧﺘﻼف‬

‫×‪%١٠٠‬‬

‫= ‪١‬‬ ‫ــــــ × ‪% ١٠٠‬‬ ‫‪٢‬‬

‫سر‬

‫د)سر(‬

‫سر×د)سر(‬

‫سر‪ × ٢‬د)سر(‬

‫‪٠‬‬

‫‪٠٫١‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٠٫٢‬‬

‫‪٠٫٢‬‬

‫‪٠٫٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٠٫٣‬‬

‫‪٠٫٦‬‬

‫‪١٫٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٠٫٤‬‬

‫‪١٫٢‬‬

‫‪٣٫٦‬‬

‫‪µ =٢‬‬

‫‪٥‬‬

‫= ‪% ٥٠‬‬

‫ﻣﺠـ‬

‫********************************************************‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫إذا ﻛﺎن س ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻣﺘﻘﻄﻊ ﺗﻮزﯾﻌﮫ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻣﺤﺪد ﺑﺎﻟﺠﺪول‬ ‫سر‬

‫د)سر(‬ ‫أوﺟﺪ )‪ (١‬ﻗﯿﻤﺔ ك‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬ك‬

‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬ك‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬ك‬

‫‪٦‬‬ ‫ك‬

‫)‪ (٢‬اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ واﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﯿﺎري‬

‫اﻟﺤـــــــــــــﻞ‬

‫سر‬

‫د)سر( سر×د)سر( سر‪ × ٢‬د)سر(‬

‫‪٢‬ك ‪ ٣+‬ك ‪ ٤+‬ك ‪ +‬ك = ‪١‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٠٫٢‬‬

‫‪٠٫٢‬‬

‫‪٠٫٢‬‬

‫‪١٠‬ك = ‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٠٫٣‬‬

‫‪٠٫٦‬‬

‫‪١٫٢‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪٠٫٤‬‬

‫‪١٫٦‬‬

‫‪٦٫٤‬‬

‫ك = ‪٠٫١ = ١‬‬

‫‪١٠‬‬

‫اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ = ‪٣‬‬ ‫اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ = ‪٢٫٤ = ٢(٣) – ١١٫٤‬‬ ‫اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﯿﺎري = ‪= ٢٫٤‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪٠٫١‬‬ ‫ﻣﺠـ‬

‫‪٠٫٦‬‬

‫‪µ =٣‬‬

‫‪٣٫٦‬‬ ‫‪١١٫٤‬‬

‫‪١٧١‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ )أو اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺠﺎوﺳﻰ (‬ ‫ھﻮ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﯾﺄﺧﺬ ﺷﻜﻞ اﻟﻨﺎﻗﻮس أو اﻟﺠﺮس‬ ‫ﺧﺼﺎﺋﺺ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ‬ ‫)‪ (١‬ل ) ‪ > ∞ -‬س > ∞ ( = ‪١‬‬ ‫)‪ (٢‬ل) ‪ > ٠‬س > ∞ ( = ‪٠٫٥‬‬ ‫)‪ (٣‬ل) ‪ > ∞ -‬س > ‪٠٫٥ = ( ٠‬‬ ‫)‪ (٤‬ل)‪ -‬أ > س > ‪ = (٠‬ل)‪ > ٠‬س > أ (‬ ‫********************************************************‬ ‫]أ[ ﻛﯿﻔﯿﺔ ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] ‪ ، ٠‬ى [ ﺣﯿﺚ ى ﻋﺪد ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫ﻹﯾﺠﺎد ل ) ‪ > ٠‬س > ‪ ( ١٫٢٥‬ﻧﺴﺘﺨﺪم ﺟﺪول اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت‬ ‫ل)‪ >٠‬س> ‪٠٫٣٩٤٤ = (١٫٢٥‬‬

‫ل )‪>٠‬س>‪٠٫٤٣٣٢ = (١٫٥‬‬

‫‪٠٫٠٠‬‬

‫‪٠٫٠٥‬‬

‫‪٠٫١‬‬ ‫‪٠٫٢‬‬ ‫‪١٫٢‬‬

‫‪٠٫٣٩٤٤‬‬

‫‪٠٫٤٣٣٢ ١٫٥‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ]‪ -‬ى ‪[ ٠ ،‬‬ ‫ل) ‪ > ١٫٥ -‬س > ‪ = ( ٠‬ل ) ‪ > ٠‬س > ‪٠٫٤٣٣٢ = ( ١٫٥‬‬ ‫ل) ‪ > ٠٫٧٥-‬س > ‪ = ( ٠‬ل ) ‪ > ٠‬س > ‪٠٫٢٧٣٤ = ( ٠٫٧٥‬‬ ‫********************************************************‬ ‫ﺛﺎﻟﺜﺎ ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] أ ‪ ،‬ب [‬ ‫ل)أ > س > ب( = ل)‪ >٠‬س > ب( – ل ) ‪ > ٠‬س > أ (‬ ‫ل)‪ -‬أ > س > ‪ -‬ب ( = ل ) ب > س > أ ( = ل)‪ > ٠‬س > أ ( – ل) ‪ > ٠‬س > ب (‬ ‫ل) ‪ -‬أ > س > ب ( = ل ) ‪ > ٠‬س > ب ( ‪ +‬ل ) ‪ > ٠‬س > أ (‬

‫‪١٧٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻓﻤﺜﻼ‬ ‫ل)‪ > ١‬س > ‪ = (٢٫٥‬ل ) ‪ > ٠‬س > ‪ – (٢٫٥‬ل ) ‪ > ٠‬س > ‪( ١‬‬ ‫= ‪٠٫١٥٢٥ = ٠٫٣٤١٣ – ٠٫٤٩٣٨‬‬ ‫ل)‪ > ٢ -‬س > ‪ = ( ٠٫٥ -‬ل ) ‪ > ٠٫٥‬س > ‪=(٢‬ل)‪ > ٠‬س > ‪ – (٢‬ل)‪ > ٠‬س > ‪(٠٫٥‬‬ ‫= ‪= ٠٫١٩١٥ – ٠٫٤٧٧٢‬‬ ‫ل) ‪ > ٠٫٧٥-‬س > ‪ = ( ١‬ل ) ‪ > ٠‬س > ‪ + ( ١‬ل ) ‪ > ٠‬س > ‪( ٠٫٧٥‬‬ ‫= ‪٠٫٦١٤٧ = ٠٫٢٧٣٤ + ٠٫٣٤١٣‬‬ ‫********************************************************‬ ‫راﺑﻌﺎ ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ‬ ‫ل) س < ‪ – ٠٫٥ = ( ١‬ل ) ‪ > ٠‬س > ‪(١‬‬ ‫= ‪٠٫٣٤١٣ – ٠٫٥‬‬ ‫= ‪٠٫١٥٨٧‬‬ ‫********************************************************‬ ‫ل)س > ‪ + ٠٫٥ = ( ١‬ل ) ‪ > ٠‬س > ‪( ١‬‬ ‫= ‪٠٫٣٤١٣ + ٠٫٥‬‬ ‫= ‪٠٫٨٤١٣‬‬ ‫********************************************************‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫ل ) س < ‪ = ( ١-‬ل ) س > ‪ + ٠٫٥ = ( ١‬ل ) ‪ > ٠‬س > ‪( ١‬‬ ‫= ‪٠٫٨٤١٣ = ٠٫٣٤١٣ + ٠٫٥‬‬

‫اﻟﺒﺤﺚ ﻓﻰ ﻋﻤﻖ اﻟﺠﺪول ‪-:‬‬ ‫ﻓﻰ ھﺬا اﻟﺠﺰء ﺳﻮف ﯾﻜﻮن ﻣﻌﻠﻮم ﻗﯿﻤﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل وﻣﺠﮭﻮل أﺣﺪ ﺣﺪود اﻟﻔﺘﺮة‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ إذا ﻛﺎن ل ) ‪ > ٠‬م > ك ( = ‪ ٠٫٣٩٤٤‬ﻓﻤﺎ ﻗﯿﻤﺔ ك‬ ‫ﻹﯾﺠﺎد ﻗﯿﻤﺔ ك ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻌﻄﺎة ‪ ٠٫٣٩٤٤‬ﻓﻰ ﺟﺪول اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت ﻓﻨﺠﺪھﺎ ﻓﻰ ﺻﻒ‬ ‫‪ ١٫٢‬وﺗﺤﺖ ‪ ٠٫٠٥‬وﻟﮭﺬا ﻓﺈن ك = ‪١٫٢٥‬‬

‫‪١٧٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫اﻻرﺗﺒــﺎط‬ ‫* ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻻرﺗﺒﺎط‬ ‫اﻻرﺗﺒﺎط ھﻮ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺘﻐﯿﺮﯾﻦ ‪،‬أو أﻛﺜﺮ ‪،‬وﯾﻘﺎس اﻻرﺗﺒﺎط ﺑﻤﻌﺎﻣﻞ اﻻرﺗﺒﺎط‬ ‫" ر" ﺣﯿﺚ ‪ ≥ ١ -‬ر ‪≥ 1‬‬ ‫* أﻧﻮاع اﻻرﺗﺒﺎط‬ ‫‪ -١‬ﻃﺮدى‪ :‬ﺻﻔﺮ > س‪≥ 1.‬‬ ‫‪ 2‬ﻋﻜﺴﻲ ≥ ‪: -1‬س < ﺻﻔﺮ‪.‬‬‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬ ‫‪ -١‬إذا ﻛﺎن ر = ﺻﻔﺮ‬ ‫‪ -٢‬إذا ﻛﺎن ر = ‪١‬‬ ‫‪ -٣‬إذا ﻛﺎن ر =‪١-‬‬

‫ﻻ ارﺗﺒﺎط‬ ‫ارﺗﺒﺎط ﻃﺮدى ﺗﺎم‬ ‫ارﺗﺒﺎط ﻋﻜﺴﻲ ﺗﺎم‬

‫* درﺟﺎت اﻻرﺗﺒﺎط‬ ‫‪ -١‬ﺿﻌﯿﻒ‪ :‬ﺻﻔﺮ > ر > ‪ ٠٫٤‬أو ‪ > ٠٫٤-‬ر > ﺻﻔﺮ‪.‬‬ ‫‪ ≥ 0.6‬أو ≥ ‪ -0.6‬ر‪≥ -0.4.‬‬ ‫‪ -٢‬ﻣﺘﻮﺳﻂ‪ ≥ ٠٫٤ :‬ر‬ ‫‪ -٣‬ﻗﻮى‪ > ٠٫٦ :‬ر> ‪ ١‬أو ‪ < ١-‬ر < ‪٠٫٦-‬‬ ‫* ﻣﻌﺎﻣﻞ ارﺗﺒﺎط ﺑﯿﺮﺳﻮن‬

‫ﺣﯿﺚ ن ﻋﺪد ﻗﯿﻢ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻐﯿﺮﯾﻦ وﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻرﺗﺒﺎط ﺑﮭﺬه اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻧﻜﻮن ﺟﺪوﻻً ﻣﻦ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬أﻋﻤﺪة وھﻰ س‪ ،‬ص ‪،‬س ص ‪،‬س ‪،2‬ص‬ ‫ﻣﺜﺎل‪1‬‬ ‫ﻣﻦ ﺑﯿﺎﻧﺎت اﻟﺠﺪول اﻵﺗﻰ‪ ،‬أوﺟﺪ ﻣﻌﺎﻣﻞ ارﺗﺒﺎط ﺑﯿﺮﺳﻮن ﺑﯿﻦ ﻗﯿﻢ س‪ ،‬ص ﻣﺒﯿﻨﺎً ﻧﻮﻋﮫ‬ ‫ودرﺟﺘﮫ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺤل‬

‫‪١٧٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻥ‪= 7‬‬

‫ﺭ‪٠,٣٤ = ( (٩٦) = 35 ÷ ( (112) x‬‬

‫ﻁﺭﺩﻱ ﻀﻌﻴﻑ‬

‫ﻣﻌﺎﻣﻞ ارﺗﺒﺎط اﻟﺮﺗﺐ ﻟﺴﺒﯿﺮﻣﺎن‬ ‫* ﻣﻌﺎﻣﻞ ارﺗﺒﺎط اﻟﺮﺗﺐ ﻟﺴﺒﯿﺮﻣﺎن‬ ‫ﻓﻰ ھﺬه اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻧﻮﺟﺪ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻرﺗﺒﺎط ﺑﯿﻦ رﺗﺐ اﻟﻘﯿﻢ ‪ ،‬وﻟﯿﺲ ﺑﯿﻦ اﻟﻘﯿﻢ ﻧﻔﺴﮭﺎ‪.‬‬ ‫ﺧﻄﻮات اﻟﺤﻞ‬ ‫‪-١‬ﻧﺮﺗﺐ ﻛﻞ ﻣﻦ أزواج اﻟﻘﯿﻢ ﺑﻨﻔﺲ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‬ ‫)ﺗﻨﺎزﻟﯿﺎً ﻣﻌﺎً أو ﺗﺼﺎﻋﺪﯾﺎ‪ ‬ﻣﻌﺎً(‪.‬‬ ‫ﻣﻊ ﻣﻼﺣﻈﺔ أﻧﮫ إذا اﺷﺘﺮك اﺛﻨﺎن أو أﻛﺜﺮ ﻓﻰ رﺗﺒﺔ ﺗﻌﻄﻰ ﻟﻜﻞ‪ ‬ﻣﻨﮭﻤﺎ اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ ﻟﮭﺬه‬ ‫اﻟﺮﺗﺐ‪.‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ -٢ -٢‬ﻧﻜﻮن ﺟﺪوﻻً ﻣﻦ أرﺑﻌﺔ أﻋﻤﺪة وھﻰ‪ :‬رﺗﺐ س‪ ،‬رﺗﺐ ص‪ ،‬ف‪ ،‬ف ﺣﯿﺚ ف ﺗﻌﻨﻰ‬ ‫اﻟﻔﺮق اﻟﻤﻄﻠﻖ ﺑﯿﻦ اﻟﺮﺗﺐ‪.‬‬ ‫‪ -٣‬ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻟﻘﺎﻧﻮن‪:‬‬ ‫‪١٧٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺤﻴﺙ ﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺯﻭﺍﺝ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ‬

‫ﻤﺜﺎل ‪١‬‬

‫ﻤﻥ ﺒﻴﺎﻨﺎﺕ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻰ‪:‬‬

‫ﺍﺤﺴﺏ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﺭﺘﺒﺎﻁ ﺍﻟﺭﺘﺏ ﻟﺴﺒﻴﺭﻤﺎﻥ ﺒﻴﻥ ﺱ‪ ،‬ﺹ‬ ‫ﺍﻟﺤل‬ ‫ﻥ=‪٦‬‬

‫ﺭ)‪= 1-( 6 × 49.5) ÷ (6 ×35‬‬ ‫ﺭ ‪ = -0.41‬ﻀﻌﻴﻑ‬

‫‪١٧٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫اﻟﺒﺎب اﻟﺨﺎﻣﺲ ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻮﺟﮭﺔ ‪-:‬‬ ‫ھﻰ زاوﯾﺔ ﻣﺤﺼﻮرة ﺑﯿﻦ ﺿﻠﻌﯿﻦ أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﺴﻤﻰ ﺿﻠﻊ أﺑﺘﺪاﺋﻰ واﻷﺧﺮ ﯾﺴﻤﻰ ﺿﻠﻊ ﻧﮭﺎﺋﻲ وﻟﮭﺎ اﺗﺠﺎه‬ ‫ﯾﺘﺤﺪد ﻣﻦ اﻟﻀﻠﻊ اﻻﺑﺘﺪاﺋﻲ إﻟﻰ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻨﮭﺎﺋﻲ‬ ‫ب‬

‫ب‬

‫أ‬

‫و‬

‫أ‬

‫و‬

‫و ب ﯾﺴﻤﻰ ﺿﻠﻊ أﺑﺘﺪاﺋﻰ‬ ‫و أ ﯾﺴﻤﻰ ﺿﻠﻊ ﻧﮭﺎﺋﻲ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺰاوﯾﺔ ب و أ‬

‫و أ ﯾﺴﻤﻰ ﺿﻠﻊ أﺑﺘﺪاﺋﻰ‬ ‫و ب ﯾﺴﻤﻰ ﺿﻠﻊ ﻧﮭﺎﺋﻲ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺰاوﯾﺔ أ و ب‬ ‫ﻻﺣﻆ أن‬ ‫ق ) أ و ب ( ≠ ق) ب و أ (‬ ‫*************************************************************‬

‫ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻮﺟﮭﺔ‬ ‫ﻟﻠﺰاوﯾﺔ ﺗﻘﺴﯿﻤﺎن ﻣﻦ ﺣﯿﺚ اﻟﻘﯿﺎس‬ ‫)‪ (١‬ﻣﻦ ﺣﯿﺚ وﺣﺪة اﻟﻘﯿﺎس ﯾﻮﺟﺪ ﻧﻮﻋﺎن‬ ‫ب – ﻗﯿﺎس ﺳﺎﻟﺐ‬ ‫أ‪ -‬ﻗﯿﺎس ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫)‪ (٢‬ﻣﻦ ﺣﯿﺚ اﻹﺷﺎرة )اﺗﺠﺎه اﻟﺪوران (‬ ‫ب‪ -‬ﻗﯿﺎس ﺳﺎﻟﺐ‬ ‫أ‪ -‬ﻗﯿﺎس ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫***************************************************************‬ ‫أوﻻ اﻟﻘﯿﺎس ﻣﻦ ﺣﯿﺚ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫)‪ (١‬اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ‪-:‬‬ ‫ھﻮ ﻗﯿﺎس وﺣﺪاﺗﮫ اﻟﺪرﺟﺔ‪ ،‬اﻟﺪﻗﯿﻘﺔ ‪ ،‬اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ س ْ‬ ‫‪//‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪٦٠ = /١ ،‬‬ ‫‪٦٠ = ْ١‬‬ ‫)‪ (٢‬اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي‪-:‬‬ ‫ء‬ ‫ء‬ ‫ل‬ ‫ھﻮ ﻗﯿﺎس وﺣﺪﺗﮫ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ )‪ ( ١‬وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ھـ‬ ‫ء‬ ‫ﻧﻖ‬ ‫ﻃﻮل اﻟﻘﻮس اﻟﺬى ﺗﺤﺼﺮه‬ ‫ھـ‬ ‫اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي ﻟﺰاوﯾﺔ ﻣﺮﻛﺰﯾﺔ =‬ ‫ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ء‬ ‫‪ ،،،،‬ﻧﻖ = ل‬ ‫ھـء = ل‬ ‫‪ ،،،‬ل = ھـ × ﻧﻖ‬ ‫ــــــ‬ ‫ـــــ‬ ‫ء‬ ‫ﻧﻖ‬ ‫ھـ‬

‫‪١٧٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫أوﺟﺪ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي ﻟﺰاوﯾﺔ ﻣﺮﻛﺰﯾﺔ ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎً ﻃﻮﻟﮫ ‪١٠‬ﺳﻢ ﻣﻦ داﺋﺮة ﻃﻮل ﻧﺼﻒ‬ ‫ﻗﻄﺮھﺎ ‪٤‬ﺳﻢ‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــﻞ‬ ‫ء‬

‫ھـء = ل‬ ‫‪٢٫٥ = ١٠‬‬ ‫ــــــ = ــــــ‬ ‫ﻧﻖ‬ ‫‪٤‬‬ ‫***************************************************************‬ ‫زاوﯾﺔ ﻣﺮﻛﺰﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪١٫٥‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ء‬

‫ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎ ﻃﻮﻟﮫ ‪ ٧٫٥‬ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ‬

‫اﻟﺤــــــــــــــــﻞ‬ ‫ﻧﻖ = ل‬ ‫ـــــــ = ــــ‪٧٫٥‬‬ ‫ـــــ = ‪٥‬ﺳﻢ‬ ‫ء‬ ‫‪١٫٥‬‬ ‫ھـ‬ ‫*************************************************************‬ ‫ء‬ ‫زاوﯾﺔ ﻣﺮﻛﺰﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ ١٫٤‬ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎً ﻃﻮﻟﮫ ‪٤‬ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻘﻮس اﻟﺬي ﺗﺤﺼﺮه‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــﻞ‬ ‫ء‬

‫ل = ھـ × ﻧﻖ = ‪ ٧ = ٥ × ١٫٤‬ﺳﻢ‬ ‫**************************************************************‬

‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻨﺼﻒ ﻗﻄﺮﯾﺔ‬ ‫ھﻰ زاوﯾﺔ ﻣﺮﻛﺰﯾﺔ ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎ ﻃﻮﻟﮫ ﯾﺴﺎوى ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ ) ل = ﻧﻖ ( ﻓﯿﻜﻮن ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ‬ ‫ء‬

‫اﻟﺪاﺋﺮي ﯾﺴﺎوى ‪١‬‬ ‫***************************************************************‬

‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﻦ اﻟﺪاﺋﺮى واﻟﺴﺘﯿﻨﻰ‬ ‫ء‬

‫سْ‬ ‫ــــــــ = ھـ‬ ‫ــــــ‬ ‫‪١٨٠‬‬ ‫ط‬

‫وﻣﻨﮫ ﻧﺠﺪ أن‬

‫ھـء × ‪١٨٠‬‬ ‫)‪ (١‬س ْ =‬ ‫ط‬ ‫ء سْ × ط‬ ‫)‪ (٢‬ھـ =‬ ‫‪١٨٠‬‬

‫‪١٧٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ﺣﻮل ﻣﻦ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ إﻟﻰ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫ء سْ × ط ‪ × ١٢٠‬ط‬ ‫=‬ ‫ھـ =‬ ‫‪١٨٠‬‬ ‫‪١٨٠‬‬ ‫‪180‬‬ ‫÷‬ ‫=‬

‫) ‪ ْ ١٢٠ ( ١‬اﻟﺤـــــــــــــﻞ‬

‫)‪١٥ (٢‬‬

‫‪//‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫)‪٠٫٦ (١‬‬

‫=‬

‫‪180‬‬

‫=‬

‫‪180‬‬

‫÷‬

‫‪Exp‬‬

‫×‬

‫‪120‬‬

‫‪Exp‬‬

‫×‬

‫‪120‬‬

‫‪/‬‬ ‫ط‬ ‫×‬ ‫ْ‬ ‫‪٢٠٠‬‬ ‫ھـء = ‪٤٠‬‬ ‫=‬ ‫‪١٨٠‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪,,,,‬‬ ‫‪Exp‬‬ ‫×‬

‫)‪ ْ ٢٠٠ / ٤٠ (٢‬اﻟﺤـــــــــــــﻞ‬ ‫÷‬

‫÷‬

‫‪180‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪Exp‬‬

‫×‬

‫‪Sh‬‬

‫‪,,,,‬‬

‫‪,,,,‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪200‬‬ ‫‪,,,,‬‬

‫ء ‪ × ْ ١٠٠ / ٢٠ // ١٥‬ط‬ ‫‪ ْ ١٠٠ / ٢٠‬اﻟﺤـــــــــــــﻞ‬ ‫=‬ ‫ھـ =‬ ‫‪١٨٠‬‬ ‫‪,,,‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪,,,‬‬ ‫= ‪× Exp ÷ 180‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,,,‬‬ ‫‪20‬‬ ‫= ‪15 ,,, × Sh Exp ÷ 180‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪200‬‬

‫‪,,,‬‬

‫‪100‬‬

‫‪,,,‬‬

‫‪100‬‬

‫ﺣﻮل ﻣﻦ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي إﻟﻰ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ‬ ‫ء‬

‫‪١٨٠ × ٠٫٦‬‬ ‫سْ =‬ ‫ط‬

‫اﻟﺤـــــــــــــﻞ‬

‫)ﻓﻰ اﻵﻻت اﻟﺤﺪﯾﺜﺔ(‬

‫=‬

‫‪,,,‬‬

‫)ﻓﻰ اﻵﻻت اﻟﻘﺪﯾﻤﺔ( ‪,,,‬‬

‫‪sh‬‬

‫=‬

‫÷‬

‫‪Exp‬‬

‫‪Exp‬‬

‫‪sh‬‬

‫‪180‬‬ ‫÷‬

‫‪180‬‬

‫×‬ ‫×‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫إذا أﻋﻄﯿﺖ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮى ﺑﺪﻻﻟﺔ ط ﻓﺈﻧﮫ ﯾﺤﻮل ﻣﺒﺎﺷﺮة إﻟﻰ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻰ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫‪١٨٠ × ١٫٢‬‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــﻞط ﺑـ ‪ْ ١٨٠‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻋﻦ‬ ‫ط‬ ‫***************************************************************‬ ‫ﻣﺜﺎل ﺣﻮل ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ اﻵﺗﯿﺔ إﻟﻰ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ‬ ‫)‪ (١‬ھـء = ط‬ ‫‪٢‬‬

‫اﻟﺤـــــــﻞ‬

‫س ْ = ‪ْ ٩٠ = ١٨٠‬‬ ‫‪٢‬‬

‫)‪ (٢‬ھـء = ‪ ٥‬ط‬ ‫‪٣‬‬

‫اﻟﺤـــــــﻞ‬

‫س ْ = ‪ْ ٣٠٠ = ١٨٠ × ٥‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١٧٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫أوﺟﺪ ﺑﺪﻻﻟﺔ ط اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي ﻟﻜﻼ ﻣﻦ اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻵﺗﯿﺔ‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫)‪ْ ١٢٠ (١‬‬

‫ھـء = ‪ × ١٢٠‬ط = ‪٢‬ط‬ ‫‪١٨٠‬‬ ‫‪٣‬‬

‫اﻟﺤـــــــﻞ‬

‫أوﺟﺪ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي واﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ ﻟﻠﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎ ﻃﻮﻟﮫ‪٥‬ﺳﻢ ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫داﺋﺮة ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ‪٤‬ﺳﻢ‬ ‫ل = ‪٥‬ﺳﻢ‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــﻞ‬ ‫ء‬

‫ھـء = ل‬ ‫ــــــ = ‪٥‬‬ ‫ــــ = ‪١٫٢٥‬‬ ‫ﻧﻖ ‪٤‬‬ ‫ھـء × ‪١٨٠ × ١٫٢٥ ١٨٠‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫س=‬ ‫ط‬ ‫ط‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫ﻧﻖ=‪٤‬ﺳﻢ‬

‫أوﺟﺪ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ ﻟﻠﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎ ﻃﻮﻟﮫ‪٩‬ﺳﻢ ﻣﻦ داﺋﺮة ﻃﻮل ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫‪١٠‬ﺳﻢ‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــﻞ‬ ‫ل = ‪٩‬ﺳﻢ‬ ‫ء‬

‫ھـء = ل‬ ‫ــــــ = ‪٩‬‬ ‫ــــ = ‪١٫٨‬‬ ‫ﻧﻖ ‪٥‬‬ ‫‪١٨٠ × ١٫٨‬‬ ‫ھـء × ‪١٨٠‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫س=‬ ‫ط‬ ‫ط‬

‫ﻧﻖ=‪٥‬ﺳﻢ‬

‫ﻣﺜﺎل زاوﯾﺔ ﻣﺮﻛﺰﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ ْ ١٢٠‬ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ ‪٥‬ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻘﻮس اﻟﺬي ﺗﺤﺼﺮه‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــﻞ‬ ‫ء سْ × ط ‪ × ١٢٠‬ط‬ ‫=‬ ‫ھـ =‬ ‫‪١٨٠‬‬ ‫‪١٨٠‬‬

‫= ‪٢٫١‬‬

‫ء‬

‫س = ‪ْ ١٢٠‬‬ ‫ﻧﻖ=‪٥‬ﺳﻢ‬

‫ل = ھـء × ﻧﻖ = ‪ ١٠٫٥ = ٥ × ٢٫١‬ﺳﻢ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫زاوﯾﺔ ﻣﺮﻛﺰﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ ْ ١٥٠‬ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎً ﻃﻮﻟﮫ ‪١٧‬ط ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ‬ ‫‪٤‬‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــﻞ‬

‫س = ‪ْ ١٥٠‬‬

‫‪١٧‬ط‬ ‫ل=‬ ‫‪٤‬‬

‫= ‪١٣٫٣٥‬‬ ‫‪١٨٠‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ء س × ط ‪ × ١٥٠‬ط‬ ‫=‬ ‫ھـ =‬ ‫‪١٨٠‬‬ ‫‪١٨٠‬‬

‫= ‪٢٫٦‬‬

‫ﻧﻖ = ل‬ ‫ـــــــ = ‪ ٥٫٢٥ = ١٣٫٣٥‬ﺳﻢ‬ ‫ء‬ ‫‪٢٫٦‬‬ ‫ھـ‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫زاوﯾﺔ ﻣﺤﯿﻄﯿﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ ْ ٦٥‬ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ = ‪٤‬ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻘﻮس اﻟﺬي ﺗﺤﺼﺮه‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــﻞ‬

‫سْ = ‪ْ ١٣٠ = ْ ٦٥ × ٢‬‬ ‫ء ‪ × ْ ١٣٠‬ط‬ ‫ھـ =‬ ‫‪١٨٠‬‬

‫ﻧﻖ = ‪٤‬ﺳﻢ‬

‫= ‪٢٫٣‬‬

‫ْ‬

‫ل = ھـء × ﻧﻖ = ‪ ٩٫٢ = ٤ × ٢٫٣‬ﺳﻢ‬ ‫ﻣﺜﺎل زاوﯾﺔ ﻣﺤﯿﻄﯿﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪٢٠‬‬

‫‪/‬‬

‫‪ ْ ٧٥‬ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎً ﻃﻮﻟﮫ ‪١٠‬ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــﻞ‬

‫سْ = ‪ْ ١٥٠ / ٤٠ = ْ ٧٥ / ٢٠ × ٢‬‬

‫ل = ‪ ١٥‬ﺳﻢ‬

‫‪/‬‬ ‫ط‬ ‫×‬ ‫ْ‬ ‫‪١٥٠‬‬ ‫ھـء =‪٤٠‬‬ ‫= ‪٢٫٦٣‬‬ ‫‪١٨٠‬‬ ‫ﻧﻖ = ل‬ ‫ــــــ = ‪١٥‬‬ ‫ـــــــــــ = ‪ ٥٫٧‬ﺳﻢ‬ ‫ء‬ ‫ھـ‬ ‫‪٢٫٦٣‬‬ ‫أوﺟﺪ اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﻦ اﻟﺪاﺋﺮي واﻟﺴﺘﯿﻨﻲ ﻟﻠﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎً ﻃﻮﻟﮫ ﯾﺴﺎوى ﻃﻮل‬ ‫ﻣﺜﺎل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ ) اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻨﺼﻒ ﻗﻄﺮﯾﺔ (‬ ‫ء‬

‫اﻟﺤــــــــــــــــﻞ‬ ‫ل = ﻧﻖ‬ ‫ل‬ ‫ــــــــ = ﻧﻖ‬ ‫ـــــــ = ‪١‬‬ ‫ھـء =‬ ‫ﻧﻖ‬ ‫ﻧﻖ‬

‫ء‬

‫س ْ= ‪٤٤ = ١٨٠ × ١‬‬ ‫ط‬

‫‪//‬‬

‫‪١٧‬‬

‫‪/‬‬

‫‪ْ ٥٧‬‬

‫‪١٨١‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫اﻟﻘﯿﺎس ﻣﻦ ﺣﯿﺚ اﻹﺷﺎرة‬ ‫ﯾﻨﻘﺴﻢ اﻟﻘﯿﺎس ﻣﻦ ﺣﯿﺚ اﻹﺷﺎرة إﻟﻰ‬ ‫)‪ (١‬اﻟﻘﯿﺎس اﻟﻤﻮﺟﺐ‬ ‫ب‬

‫ﯾﻜﻮن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻮﺟﮭﺔ ﻣﻮﺟﺒﺎ إذا ﻛﺎن‬ ‫اﺗﺠﺎه اﻟﺪوران ﻣﻦ اﻟﻀﻠﻊ اﻷﺑﺘﺪاﺋﻰ إﻟﻰ اﻟﻀﻠﻊ‬ ‫اﻟﻨﮭﺎﺋﻲ ﺿﺪ ﺣﺮﻛﺔ ﻋﻘﺎرب اﻟﺴﺎﻋﺔ‬

‫و‬

‫أ‬

‫)‪ (١‬اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺎﻟﺐ‬

‫ب‬

‫ﯾﻜﻮن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻮﺟﮭﺔ ﺳﺎﻟﺒﺎ إذا ﻛﺎن‬ ‫اﺗﺠﺎه اﻟﺪوران ﻣﻦ اﻟﻀﻠﻊ اﻷﺑﺘﺪاﺋﻰ إﻟﻰ اﻟﻀﻠﻊ‬ ‫اﻟﻨﮭﺎﺋﻲ ﻣﻊ ﺣﺮﻛﺔ ﻋﻘﺎرب اﻟﺴﺎﻋﺔ‬

‫و‬

‫أ‬ ‫ﻟﻠﺘﺤﻮﯾﻞ ﻣﻦ ﻗﯿﺎس ﺳﺎﻟﺐ إﻟﻰ ﻗﯿﺎس ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ اﻟﺴﺎﻟﺐ = اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨىﺎﻟﻤﻮﺟﺐ – ‪٣٦٠‬‬ ‫) ﺑﺪﻻﻟﺔ ط (‬

‫اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﺴﺎﻟﺐ = اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻤﻮﺟﺐ – ‪٢‬ط‬ ‫ﻟﻠﺘﺤﻮﯾﻞ ﻣﻦ ﻗﯿﺎس ﻣﻮﺟﺐ إﻟﻰ ﻗﯿﺎس ﺳﺎﻟﺐ‬ ‫اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ اﻟﻤﻮﺟﺐ = اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ اﻟﺴﺎﻟﺐ ‪٣٦٠ +‬‬ ‫اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻤﻮﺟﺐ = اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﺴﺎﻟﺐ ‪٢ +‬ط‬

‫ﺣﻮل ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ اﻵﺗﯿﺔ إﻟﻰ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺎﻟﺐ‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫)‪ْ ١٥٠ (١‬‬

‫)‪٢٥ (٣‬‬

‫اﻟﺤــــــــــــــــﻞ‬

‫اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺎﻟﺐ = ‪٢١٠ -=٣٦٠ - ١٥٠‬‬ ‫)‪٤٠ (٢‬‬

‫) ﺑﺪﻻﻟﺔ ط (‬

‫‪/‬‬

‫‪ْ ١٠٠‬‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــﻞ‬

‫‪//‬‬

‫‪ْ ٢٠٠ / ٥٠‬‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــﻞ‬

‫اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺎﻟﺐ = ‪٢٥‬‬ ‫= ‪٣٥ -‬‬

‫‪//‬‬

‫‪٩‬‬

‫‪/‬‬

‫‪//‬‬

‫‪٣٦٠ – ْ ٢٠٠ / ٥٠‬‬

‫‪ْ ١٥٩‬‬

‫اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺎﻟﺐ=‪ْ ٣٦٠ – ْ ١٠٠ / ٤٠‬‬ ‫= ‪٢٠ -‬‬

‫‪/‬‬

‫‪ْ ٢٥٩‬‬ ‫‪١٨٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺣﻮل ﻛﻼ اﻟﺰواﯾﺎ اﻟﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺔ ‪-:‬‬ ‫ھﻰ اﻟﺰواﯾﺎ اﻟﺘﻰ ﻟﮭﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﺸﻌﺎع اﻟﻨﮭﺎﺋﻲ وﺗﻨﺘﺞ ﺑﺈﺿﺎﻓﺔ أو ﻃﺮح )‪ ْ ٣٦٠‬أو ‪ ٢‬ط ( ﻣﻦ اﻟﻘﯿﺎس ﺣﺴﺐ‬ ‫ﻧﻮﻋﮫ‬ ‫ھـ = ھـ ‪ +‬ن × ‪) ْ ٣٦٠‬إذا ﻛﺎن اﻟﻘﯿﺎس ﺳﺘﯿﻨﻲ‬ ‫ھـ = ھـ ‪ ٢ +‬ن ط ) إذا ﻛﺎن اﻟﻘﯿﺎس داﺋﺮي ﺑﺪﻻﻟﺔ ط ( ﻓﻤﺜﻼ‬ ‫ط = ط ‪ ٢+‬ط = ط ‪ ١٠+‬ط = ‪١١‬ط‬ ‫‪٣٩٠ = ٣٦٠+٣٠ = ْ ٣٠‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥ ٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫= ‪١١‬ط ‪٢+‬ط = ‪ ١١‬ط ‪١٠+‬ط = ‪ ٢١‬ط‬ ‫= ‪٧٥٠ = ٣٦٠ × ٢+ ٣٠‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫= ‪١١١٠ = ٣٦٠ × ٣+ ٣٠‬‬ ‫وﻟﮭﺬا ﻓﺈن اﻟﺰاوﯾﺔ‬ ‫‪ْ ١١١٠ = ْ ٧٥٠ = ْ ٣٩٠ = ْ ٣٠‬‬ ‫***************************************************************‬ ‫‪ ٢+ ٣٠ = ٣٠‬ط = ‪ ٤+ ٣٠‬ط = ‪٦+ ٣٠‬ط = ‪ ٨+ ٣٠‬ط = ‪١٠+٣٠‬ط = وھﻜﺬا‬ ‫ﻟﻜﻦ‬ ‫‪ + ٣٠‬ط = ‪ ٣ + ٣٠‬ط = ‪ ٥+ ٣٠‬ط = ‪٧+ ٣٠‬ط = ‪ ٩+ ٣٠‬ط = ‪ْ ١١٠‬‬ ‫وﻛﺬﻟﻚ‬ ‫‪ْ ٣٣٠ - = ٣٦٠ – ٣٠ = ٣٠‬‬ ‫‪ْ ٦٩٠ - = ٣٦٠ × ٢ – ٣٠ = ٣٠‬‬ ‫‪١١٥٠ - = ْ ٣٦٠ × ٣ – ٣٠ = ٣٠‬‬ ‫ﺧﻼﺻﺔ اﻟﻘﻮل‬ ‫أن اﻟﺰاوﯾﺔ ﻻ ﺗﺘﻐﯿﺮ أذا أﺿﯿﻒ إﻟﯿﮭﺎ ﻋﺪد ﻛﺎﻣﻞ ﻣﻦ اﻟﺪورات أو ﻃﺮح ﻣﻨﮭﺎ ﻋﺪد ﻛﺎﻣﻞ ﻣﻦ اﻟﺪورات‬ ‫**************************************************************‬ ‫ﻻﺣﻆ أن‬

‫‪٩٠‬‬

‫)‪(١‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ > ٠‬س > ‪ ْ ٩٠‬ﻓﺈن س ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻷول‬

‫)‪(٢‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ > ٩٠‬س > ‪ ْ ١٨٠‬ﻓﺈن س ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫)‪(٣‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ > ١٨٠‬س > ‪ ْ ٢٧٠‬ﻓﺈن س ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫)‪(٤‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ > ٢٧٠‬س > ‪ ْ ٣٦٠‬ﻓﺈن س ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ‬

‫‪٠‬‬

‫اﻟﺮﺑﻊ‬ ‫اﻻول‬

‫اﻟﺮﺑﻊ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫اﻟﺮﺑﻊ‬ ‫اﻟﺮاﺑﻊ‬

‫اﻟﺮﺑﻊ‬ ‫اﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪١٨٠‬‬

‫‪٢٧٠‬‬ ‫‪١٨٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ﺣﺪد اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺬي ﺗﻘﻊ ﻓﯿﮫ ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﺰواﯾﺎ اﻟﺘﻰ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ﻛﺎﻻﺗﻰ‬

‫)‪ْ ١٢٠٠ (١‬‬

‫اﻟﺤــــــــــــــــﻞ‬

‫‪ْ ١٢٠ = ٣٦٠ – ٤٨٠ = ٣٦٠ – ٨٤٠ = ٣٦٠ – ١٢٠٠ = ١٢٠٠‬‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ ١٢٠٠‬ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫***********************‬ ‫)‪١٥٠٠ – (٢‬‬

‫اﻟﺤــــــــــــــــﻞ‬

‫ ‪٦٠- = ٣٦٠+ ٤٢٠ - = ٣٦٠+ ٧٨٠ - = ٣٦٠+ ١١٤٠ - = ٣٦٠+ ١٥٠٠ - = ١٥٠٠‬‬‫= ‪٣٠٠ = ٣٦٠+ ٦٠-‬‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ – ‪ ١٥٠٠‬ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫*********************‬ ‫)‪١٧ (٣‬ط‬ ‫‪٣‬‬

‫‪١٧‬ط ‪١٨٠ × ١٧‬‬ ‫=‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬

‫اﻟﺤــــــــــــــــﻞ‬

‫= ‪ْ ٤٠ = ٣٦٠- ٤٠٠ = ٣٦٠ – ٧٦٠ = ٣٦٠ – ١١٢٠ = ١١٢٠‬‬

‫‪١٧‬ط‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ‬ ‫‪٣‬‬

‫ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻷول‬ ‫*************************‬

‫)‪١٩- (٤‬ط‬ ‫‪٤‬‬

‫اﻟﺤــــــــــــــــﻞ‬

‫‪١٩‬ط = ‪٢٢٥=٣٦٠+ ١٣٥ - =٣٦٠+ ٤٩٥ - = ٣٦٠+ ٨٥٥ - = ٨٥٥ - = ١٨٠ × ١٩-‬‬‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪١٩-‬ط ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫‪٤‬‬

‫‪١٨٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ‬ ‫داﺋﺮة اﻟﻮﺣﺪة ‪-:‬‬

‫ب) ‪( ١ ، ٠‬‬

‫ھﻰ داﺋﺮة ﻣﺮﻛﺰھﺎ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ و)‪( ٠ ، ٠‬‬

‫)‪( ٠ ، ١‬‬

‫وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ‪١‬ﺳﻢ ﺗﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮري‬

‫)‪( ٠ ، ١-‬‬ ‫ﺟـ‬

‫أ‬

‫اﻹﺣﺪاﺛﯿﺎت ﻓﻰ أرﺑﻌﺔ ﻧﻘﻂ ھﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‬

‫ء ) ‪( ١- ، ٠‬‬

‫أ=)‪ ،،،، ( ٠ ، ١‬ب = ) ‪( ١ ، ٠‬‬ ‫ﺟـ = )‪ ،،، ( ٠ ، ١-‬ء = ) ‪( ١- ، ٠‬‬

‫**************************************************************‬ ‫إذا ﻓﺮض وﺟﻮد ﻧﻘﻄﺔ ب = ) س ‪ ،‬ص ( ھﺬه اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻓﻰ أى‬

‫)س‪،‬ص(‬ ‫ب‬ ‫ص ‪١‬ﺳﻢ‬

‫ﻣﻮﺿﻊ ﺗﻜﻮن زاوﯾﺔ أ و ب ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﺪوال‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ ﻟﮭﺬه اﻟﺰاوﯾﺔ وھﺬه اﻟﺪوال ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ اﻻﺣﺪاﺛﯿﯿﻦ‬ ‫أ‬

‫اﻟﺴﯿﻨﻰ واﻟﺼﺎدى ﻟﻨﻘﻄﺔ ب وھﻰ ﻛﺎﻻﺗﻰ‬

‫س‬

‫و‬

‫)‪ (٤‬داﻟﺔ ﻗﺎﻃﻊ اﻟﺘﻤﺎم ) ﻗﺘﺎ (‬ ‫‪( sin‬‬ ‫)‪ (١‬داﻟﺔ اﻟﺠﯿﺐ ) ﺟﺎ‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــ = ‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ـــــــ‬ ‫ﺟﺎ )أ و ب ( = اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺼﺎدى ﻟﻨﻘﻄﺔ ب=ص ﻗﺘﺎ)أ و ب ( =‬ ‫اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺼﺎدى ص‬ ‫*************************************************************‬ ‫)‪ (٥‬داﻟﺔ اﻟﻘﺎﻃﻊ ) ﻗﺎ (‬

‫)‪ (٢‬داﻟﺔ ﺟﯿﺐ اﻟﺘﻤﺎم ) ﺟﺘﺎ ‪( cos‬‬

‫ﺟﺘﺎ )أ و ب ( = اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺴﯿﻨﻰ ﻟﻨﻘﻄﺔ ب = س ﻗﺎ)أ و ب ( = ــــــــــــــ‪١‬ــــــــــــ = ‪١‬‬ ‫ـــــــ‬ ‫س‬ ‫اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺴﯿﻨﻰ‬ ‫**************************************************************‬ ‫)‪ (٣‬داﻟﺔ اﻟﻈﻞ ) ﻇﺎ ‪( tan‬‬ ‫ﻇﺎ) أ و ب ( = اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺼﺎدى = ص‬ ‫اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺴﯿﻨﻰ س‬

‫)‪ (٦‬داﻟﺔ ﻇﻞ اﻟﺘﻤﺎم ) ﻇﺘﺎ (‬ ‫ﻇﺘﺎ) أ و ب ( = اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺴﯿﻨﻰ = س‬ ‫اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺼﺎدى ص‬

‫‪١٨٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻣﻠﺨﺺ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ زاوﯾﺔ أ و ب = ھـ ﺗﻘﻄﻊ داﺋﺮة اﻟﻮﺣﺪة ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ب = ) س ‪ ،‬ص ( ﻓﺈن‬ ‫ﻗﺘﺎ ھـ = ــــ‪١‬ــ‬ ‫ﺟﺎ ھـ = ص‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ھﺎﻣﺔ ﺟﺪاً‬ ‫ص‬ ‫اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺼﺎدى واﻟﺴﯿﻨﻰ ﻟﻨﻘﻄﺔ ب ﯾﺮﺗﺒﻄﺎن‬ ‫ﻗﺎھـ = ‪١‬‬ ‫ــــــ‬ ‫ﺟﺘﺎھـ = س‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫س‬ ‫ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ س ‪ +‬ص = ‪١‬‬ ‫ﻇﺘﺎھـ = س‬ ‫ﻇﺎھـ = ص‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫***************************************************************‬ ‫ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎﻧﺖ أ و ب زاوﯾﺔ ﻓﻰ وﺿﻌﮭﺎ اﻟﻘﯿﺎﺳﻰ ﺗﻘﻄﻊ داﺋﺮة اﻟﻮﺣﺪة ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ب أوﺟﺪ ﺟﻤﯿﻊ اﻟﺪوال‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ ﻟﮭﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫)‪ ) (٣‬س ‪ ( ١ ،‬ﺣﯿﺚ س < ‪٠‬‬ ‫)‪ (١‬ب = ) ‪( ٣ ، ١‬‬ ‫‪٢ ٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺴﯿﻨﻰ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ــــــــ‬ ‫ﻗﺘﺎھـ =‬ ‫ﺟﺎھـ =‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫س‪ + ٢‬ص‪١ = ٢‬‬ ‫ﺟﺘﺎھـ =‪١‬‬ ‫س‪١ = ٢( ١ ) + ٢‬‬ ‫ﻗــﺎھـ = ‪٢‬‬ ‫‪٢ ٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫=‪١‬‬ ‫س ‪+‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤ ٢‬‬ ‫ﻇﺎھـ = ‪٢‬‬ ‫س =‪٣= ١ -١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ــــــــ = ‪ ٣‬ﻇﺘﺎھـ = ـــــ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٤ ٤‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫س= ‪٣ = ٣‬‬ ‫)‪ (٢‬ب = ) ‪( ٠٫٨ ، ٠٫٦‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ﻗﺘﺎھـ = ‪١٠‬‬ ‫ﺟﺎھـ = ‪٨‬‬ ‫ب = ) ‪( ١ ،٣‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪٢ ٢‬‬ ‫ﺟﺘﺎھـ = ‪٦‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫ـــــــ = ‪٨‬‬ ‫ﻇﺎھـ = ‪١٠‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫ﻗﺎھـ = ‪١٠‬‬ ‫‪٦‬‬

‫ﺟﺎھـ = ‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻗﺘﺎھـ = ‪٢‬‬

‫‪٦‬‬ ‫ﻇﺘﺎھـ =‬ ‫‪٨‬‬

‫ﺟﺘﺎ ھـ = ‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ـــــــ = ـــــ‪١‬‬ ‫ﻇﺎھـ = ‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻗﺎھـ = ‪٢‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻇﺘﺎھـ = ‪٣‬‬

‫‪١٨٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى‬ ‫اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮي ‪-:‬‬ ‫ھﻮ ﺟﺰء ﻣﻦ ﺳﻄﺢ داﺋﺮة ﻣﺤﺼﻮر‬ ‫ﺑﯿﻦ ﻧﺼﻔﻰ ﻗﻄﺮ وﻃﻮل ﻗﻮس‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع‬

‫‪١‬‬ ‫=‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫=‪٢‬‬

‫ﻧﻖ ل‬ ‫ھـء × ﻧﻖ‬

‫ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﻄﺎع = ‪ ٢‬ﻧﻖ ‪ +‬ع‬

‫سْ‬

‫=‪ × ٣٦٠‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ھـــ‬

‫=‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ء‬

‫‪٢‬ط‬

‫× ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة‬

‫ﻗﻄﺎع داﺋﺮة ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ ‪٦‬ﺳﻢ ﯾﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎً ﻃﻮﻟﮫ ‪٥‬ﺳﻢ‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﺤﯿﻄﮫ وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬

‫ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﻄﺎع = ‪ ٢‬ﻧﻖ ‪ +‬ل = ‪ ١٧ = ٥+ ١٢ = ٥ + ٦ × ٢‬ﺳﻢ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع‬

‫‪١‬‬ ‫=‪٢‬‬

‫ﻧﻖ × ل‬

‫‪١‬‬ ‫=‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫× ‪ ١٥ = ٥ × ٦‬ﺳﻢ‬

‫@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@‬ ‫@‬ ‫ء‬ ‫ﻗﻄﺎع داﺋﺮي ﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮫ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ‪ ١٫٥‬وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪٤‬ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻣﺤﯿﻄﮫ وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ‬ ‫ل = ھـء × ﻧﻖ = ‪ ٦ = ٤ × ١٫٥‬ﺳﻢ‬ ‫ﻣﺤﯿﻄﮫ = ‪ ٢‬ﻧﻖ ‪ +‬ل = ‪١٤ = ٦+ ٨ = ٦ + ٤ × ٢‬ﺳﻢ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪١٨٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ =‬

‫‪٢‬‬

‫× ‪ ١٢ = ٦ × ٤‬ﺳﻢ‬

‫ﻧﻖ × ل =‬

‫ﻗﻄﺎع داﺋﺮي ﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮫ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ‪ ْ ٥٠‬وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ ‪٦‬ﺳﻢ‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫أوﺟﺪ ﻣﺤﯿﻄﮫ وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ ‪٠‬‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ء ‪ × ٥٠‬ط‬ ‫ھـ = ‪١٨٠‬‬

‫ﻧﻖ = ‪٦‬ﺳﻢ‬

‫= ‪٠٫٨٧‬‬

‫ل = ھـء × ﻧﻖ = ‪ ٥٫٢٢ = ٦ ×٠٫٨٧‬ﺳﻢ‬ ‫ﻣﺤﯿﻄﮫ = ‪ ٢‬ﻧﻖ ‪ +‬ل = ‪ ١٧٫٢٢ = ٥٫٢٢ + ٦ × ٢‬ﺳﻢ‬ ‫‪١‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ =‪ ٢‬ﻧﻖ × ل‬

‫‪١‬‬ ‫=‪٢‬‬

‫× ‪ ١٥٫٦٦ = ٥٫٢٢ × ٦‬ﺳﻢ‬

‫@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻗﻄﺎع داﺋﺮي ﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮫ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ = ‪ ْ ٦٠‬وﻣﺴﺎﺣﺔ داﺋﺮﺗﮫ = ‪١٥‬ﺳﻢ‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫أوﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫‪ْ ٦٠‬‬

‫س‬

‫‪٢‬‬

‫ــــــ × ‪ ٢٫٥ = ١٥‬ﺳﻢ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع =‬ ‫ــــــــ × ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة =‪ْ ٣٦٠‬‬ ‫‪ْ ٣٦٠‬‬

‫ﻗﻄﺎع داﺋﺮي ﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮫ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ‪ ٢٫٢‬ء وﻃﻮل ﻗﻮﺳﮫ = ‪ ١١‬ﺳﻢ‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﺤﯿﻄﮫ وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬ ‫ﻧﻖ =‬

‫ل‬ ‫ھــــــــ‬ ‫ء‬

‫‪١١‬‬ ‫ـــــــ‬ ‫=‬ ‫‪٢٫٢‬‬

‫= ‪٥‬ﺳﻢ‬

‫ﻣﺤﯿﻄﮫ = ‪ ٢‬ﻧﻖ ‪ +‬ل = ‪ ٢١ = ١١+ ١٠ = ١١+ ٥ × ٢‬ﺳﻢ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ‬

‫‪١‬‬ ‫=‪٢‬‬

‫ﻧﻖ ل‬

‫‪١‬‬ ‫=‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫× ‪ ٢٧٫٥ = ١١ × ٥‬ﺳﻢ‬

‫‪١٨٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻗﻄﺎع داﺋﺮي ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ ‪ ٤٠‬ﺳﻢ‪ ٢‬ﯾﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎً ﻃﻮﻟﮫ = ‪١٠‬ﺳﻢ‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﺤﯿﻄﮫ‬ ‫اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ = ‪٤٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺤﯿﻄﮫ = ‪٢‬ﻧﻖ ‪ +‬ل‬ ‫= ‪١٠ + ٨ × ٢‬‬

‫ﻧﻖ × ل = ‪٤٠‬‬

‫= ‪ ٢٦ = ١٠+١٦‬ﺳﻢ‬

‫× ﻧﻖ × ‪٤٠ = ١٠‬‬ ‫‪ ٥‬ﻧﻖ = ‪٤٠‬‬ ‫ﻧﻖ‬

‫‪٤٠‬‬ ‫=‪٥‬‬

‫= ‪٨‬ﺳﻢ‬

‫اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ‬ ‫اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ ‪-:‬‬ ‫ھﻰ ﺟﺰء ﻣﻦ ﺳﻄﺢ‬ ‫داﺋﺮة ﻣﺤﺪود ﺑﻮﺗﺮ وﻗﻮس‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ‬

‫‪١‬‬ ‫=‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ء‬

‫ﻧﻖ ) ھـ – ﺟﺎھـ (‬

‫@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮭﺎ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ = ‪ْ ١٢٠‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ = ‪١٠‬ﺳﻢ‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــﻞ‬ ‫ء ‪ ×١٢٠‬ط‬ ‫ھـ = ‪١٨٠‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ‬

‫= ‪٢٫١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫=‪٢‬‬

‫ء‬

‫‪٢‬‬

‫ء‬

‫ﻧﻖ ) ھـ – ﺟﺎھـ (‬

‫‪١‬‬ ‫=‪٢‬‬

‫× ‪ – ٢٫١ ) ١٠٠‬ﺟﺎ‪( ١٢٠‬‬ ‫‪٢‬‬

‫= ‪ – ٢٫١ ) ٥٠‬ﺟﺎ ‪ ٦١٫٧ = ( ١٢٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪١٨٩‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫أوﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮭﺎ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ = ‪١٫٢‬‬ ‫وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ = ‪٨‬ﺳﻢ‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــﻞ‬

‫ء ‪١٨٠ ×١٫٢‬‬ ‫ھـ =‬ ‫ط‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ‬

‫= ‪ْ ٦٩‬‬

‫‪١‬‬ ‫=‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ء‬

‫ﻧﻖ ) ھـ – ﺟﺎھـ (‬

‫‪١‬‬ ‫=‪٢‬‬

‫× ‪ – ١٫٢ ) ٦٤‬ﺟﺎ‪( ٦٩‬‬ ‫‪٢‬‬

‫= ‪ – ١٫٢ ) ٣٢‬ﺟﺎ‪ ٨٫٥ = ( ٦٩‬ﺳﻢ‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫أوﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ ‪٨‬ﺳﻢ‬ ‫وأرﺗﻔﺎﻋﮭﺎ = ‪ ٤‬ﺳﻢ‬ ‫اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــﻞ‬

‫م ھـ = ﻧﻖ = ‪ ٨‬ﺳﻢ‬ ‫م ء = ‪١٤ = ٤ – ٨‬ﺳﻢ‬ ‫‪٤‬‬ ‫=‬ ‫ﺟﺘﺎ) أ م ء ( =‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٨‬‬

‫∴‬

‫م‬ ‫‪٨‬‬ ‫أ‬

‫ق ) أ م ء ( = ‪ ∴ ْ ٦٠‬ق ) أ م ب ( = ‪ْ ١٢٠ = ْ ٦٠ × ٢‬‬

‫ء ‪ ×١٢٠‬ط‬ ‫ھـ = ‪١٨٠‬‬

‫ء‬ ‫‪٤‬‬ ‫ھـ‬

‫ب‬

‫= ‪٢٫١‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ = ‪ ٢١‬ﻧﻖ‪ ) ٢‬ھـء – ﺟﺎھـ (‬ ‫= ‪ – ٢٫١ ) ٦٤ × ١‬ﺟﺎ‪(١٢٠‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪١٩٠‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻗﻮاﻧﯿﻦ ھﺎﻣﺔ‬

١٩١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

١٩٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﺒﺎب اﻟﺴﺎدس اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ واﻟﺘﻜﺎﻣﻞ‬ ‫ﺍﻟﺘﻐــــــﻴﺭ‪.‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ص = د) س ( ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪ Ã‬اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻓﻰ س = ھـ = ∆ س = س‪ – ٢‬س‪١‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﯾﻜﻮن ‪ :‬س‪ = ٢‬س‪ + ١‬ھـ‬ ‫‪ Ã‬اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻓﻰ ص = ∆ ص = ص‪ – ٢‬ص‪ = ١‬د ) س‪ – (٢‬د ) س‪(١‬‬ ‫‪ Ã‬داﻟﺔ اﻟﺘﻐﯿﺮ ت ) ھـ ( = د ) س‪ + ١‬ھـ ( – د ) س‪. (١‬‬ ‫‪Ã‬‬

‫‪.‬د ) س‪ + ١‬ھـ ( – د ) س‪(١‬‬ ‫داﻟﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﺘﻐﯿﺮ م ) ھـ ( =‬ ‫ھـ‬ ‫ت ) ھـ ( ﺩ ) ﺱ‪ - (2‬ﺩ ) ﺱ (‬ ‫ﺹ‪ - 2‬ﺹ‪ ∆ 1‬ص‬ ‫=‬ ‫‪= 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ھـ‬ ‫∆س‬ ‫ﺱ‪ - 2‬ﺱ‪1‬‬ ‫ﺱ‪ - 2‬ﺱ‪1‬‬

‫‪Ã‬‬

‫‪.‬د ) س‪ + ١‬ھـ ( – د ) س‪(١‬‬ ‫ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻧﮭــــــــﺎ م ) ھـ ( = ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ھـ‬ ‫ھـ ← ‪٠‬‬ ‫ھـ ← ‪٠‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ١‬إذا ﻛﺎن د ) س ( = س‪ ٥ + ٢‬س‬ ‫) أوﻻً ( أوﺟﺪ داﻟﺔ اﻟﺘﻐﯿﺮ ت ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ‪ ٢‬ﺛﻢ اﺣﺴﺐ ت ) ‪( ٠٫١‬‬ ‫) ﺛﺎﻧﯿﺎً ( اﺣﺴﺐ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺗﻐﯿﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺘﻐﯿﺮ س ﻣﻦ ‪ ٣‬إﻟﻰ ‪٣٫٥‬‬ ‫) ﺛﺎﻟﺜﺎً ( أوﺟﺪ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﯿﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ‪٤‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ (‬ ‫) أوﻻً ( ت ) ھـ ( = د ) س‪ + ١‬ھـ ( – د ) س‪(١‬‬ ‫= ])س‪ + ١‬ھـ (‪ ) ٥ + ٢‬س‪ + ١‬ھـ ( [ – ] ﺱ‪ ٥ + 21‬س‪[١‬‬ ‫= ﺱ‪ ٢ + 21‬س‪ ١‬ھـ ‪ +‬ھـ‪ ٥ + ٢‬س‪ ٥ + ١‬ھـ ‪ -‬ﺱ‪٥ - 21‬‬ ‫= ‪ ٢‬س‪ ١‬ھـ ‪ +‬ھـ‪ ٥ +٢‬ھـ‬

‫س‪١‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ‪٢‬‬ ‫ت ) ھـ ( = ‪ × ٢ × ٢‬ھـ ‪ +‬ھـ ‪ ٥ +‬ھـ = ھـ ‪ ٩ +‬ھـ‬ ‫ت ) ‪٠٫٩١ = ٠٫٩ + ٠٫٠١ = ٠٫١ × ٩ + ٢( ٠٫١ ) = ( ٠٫١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪١٩٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪.‬د ) س‪ + ١‬ھـ ( – د ) س‪(١‬‬ ‫) ﺛﺎﻧﯿﺎً ( م ) ھـ ( =‬ ‫ھـ‬ ‫ھـ )‪ ٢‬س‪ + ١‬ھـ ‪( ٥ +‬‬ ‫‪ ٢‬س‪ ١‬ھـ ‪ +‬ھـ‪ ٥ + ٢‬ھـ‬ ‫=‬ ‫م ) ھـ ( =‬ ‫ھـ‬ ‫ھـ‬ ‫م ) ھـ ( = ‪ ٢‬س‪ + ١‬ھـ ‪٥ +‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ‪ ، ٣‬ھـ = ‪٠٫٥‬‬ ‫م ) ھـ ( = ‪١١٫٥ = ٥ + ٠٫٥ + ٣ × ٢‬‬ ‫‪.‬د ) س‪ + ١‬ھـ ( – د ) س‪(١‬‬ ‫) ﺛﺎﻟﺜﺎً ( ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ﻧﮭــــــــﺎ م ) ھـ ( = ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ھـ‬ ‫ھـ ← ‪٠‬‬ ‫ھـ ← ‪٠‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ )‪ ٢‬س‪ + ١‬ھـ ‪ ٢ = ( ٥ +‬س‪٥ + ١‬‬ ‫ھـ ← ‪٠‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ‪٤‬‬ ‫∴ ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ‪١٣ = ٥ + ٤ × ٢‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢‬إذا ﻛﺎن د ) س ( = س‪ ٣ + ٢‬س ‪ ٤+‬ﻓﺄوﺟﺪ داﻟﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫ﺗﺘﻐﯿﺮ س ﻣﻦ س‪ ١‬إﻟﻰ س‪ + ١‬ھـ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺗﻐﯿﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺘﻐﯿﺮ س ﻣﻦ‬ ‫‪ ٥‬إﻟﻰ ‪ ٤٫٨‬ﺛﻢ اﺣﺴﺐ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﯿﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ‪٥‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ت ) ھـ ( = د ) س‪ + ١‬ھـ ( – د ) س‪(١‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ] ) س‪ + ١‬ھـ (‪ ) ٣ + ٢‬س‪ + ١‬ھـ ( ‪ ] – [ ٤ +‬ﺱ‪ ٣ + 1‬س‪[ ٤+ ١‬‬ ‫= س ‪ ٢ + 21‬س‪ ١‬ھـ ‪ +‬ھـ‪ ٣ + ٢‬س‪ ٣ + ١‬ھـ ‪ - ٤ +‬ﺱ‪ ٣ - 21‬س‪٤ – ١‬‬ ‫= ‪ ٢‬س‪ ١‬ھـ ‪ +‬ھـ‪ ٣ + ٢‬ھـ‬

‫ھـ )‪ ٢‬س‪ + ١‬ھـ ‪( ٣ +‬‬ ‫ت ) ھـ ( ‪ ٢‬س‪ ١‬ھـ ‪ +‬ھـ‪ ٣ + ٢‬ھـ‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫م ) ھـ ( =‬ ‫ھـ‬ ‫ھـ‬ ‫ھـ‬ ‫م ) ھـ ( = ‪ ٢‬س‪ + ١‬ھـ ‪٣ +‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ‪ ، ٥‬ھـ = ‪٠٫٢ - = ٥ – ٤٫٨‬‬ ‫م ) ھـ ( = ‪١٢٫٨ = ٣ + ٠٫٢ – ٥ × ٢‬‬ ‫‪١٩٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ ،‬ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ﻧﮭــــــــﺎ م ) ھـ ( = ﻧﮭــــــــﺎ )‪ ٢‬س‪ + ١‬ھـ ‪ ٢ = ( ٣ +‬س‪٣ + ١‬‬ ‫ھـ ← ‪٠‬‬ ‫ھـ ← ‪٠‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ‪٥‬‬ ‫∴ ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ‪١٣ = ٣ + ٥ × ٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٣‬إذا ﻛﺎن د ) س ( = أ س ‪ +‬ب س ‪ ٣ +‬ﻓﺄوﺟﺪ داﻟﺔ اﻟﺘﻐﯿﺮ ت ) ھـ ( ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫ﺗﺘﻐﯿﺮ س ﻣﻦ ‪ ٢‬إﻟﻰ ‪ + ٢‬ھـ ‪ .‬وإذا ﻛﺎن د ) ‪ ، ٣ = ( ٢‬ت ) ‪ ١٫٢٥ = ( ٠٫٥‬ﻓﺄوﺟﺪ‬ ‫أ‪،‬ب‪.‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ت ) ھـ ( = د ) ‪ + ٢‬ھـ ( – د ) ‪( ٢‬‬ ‫= ] أ) ‪ +٢‬ھـ (‪ + ٢‬ب ) ‪ + ٢‬ھـ ( ‪ ٤ ] – [ ٣ +‬أ ‪ ٢ +‬ب ‪[ ٣ +‬‬ ‫= أ ) ‪ ٤ + ٤‬ھـ ‪ +‬ھـ‪ ٢ + ( ٢‬ب ‪ +‬ب ھـ ‪ ٤ – ٣ +‬أ – ‪ ٢‬ب – ‪٣‬‬ ‫= ‪ ٤‬أ ‪ ٤ +‬أ ھـ ‪ +‬أ ھـ‪ ٢ + ٢‬ب ‪ +‬ب ھـ ‪ ٤ – ٣ +‬أ – ‪ ٢‬ب – ‪٣‬‬ ‫=‪ ٤‬أ ھـ ‪ +‬أ ھـ‪ + ٢‬ب ھـ‬ ‫∴‪ ٤‬أ ‪ ٢ +‬ب ‪٣ = ٣ +‬‬ ‫‪Q‬د)‪٣=(٢‬‬ ‫∴‪ ٢‬أ ‪ +‬ب = ‪٠‬‬ ‫∴‪ ٤‬أ ‪ ٢ +‬ب = ‪٠‬‬ ‫∴ ب = ‪ ٢ -‬أ ‪(١) ...‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻀﺮب × ‪٤‬‬ ‫‪ Q ،‬ت ) ( = ‪ ٤∴ ١٫٢٥‬أ × ‪ +‬أ × ‪ +‬ب × =‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∴ ‪ ٩‬أ ‪ ٢ +‬ب = ‪(٢) ... ٥‬‬ ‫∴‪٨‬أ‪+‬أ‪٢+‬ب=‪٥‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻣﻦ )‪ (١‬ﻓﻰ )‪(٢‬‬ ‫∴‪٩‬أ–‪٤‬أ=‪٥‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ )‪ ∴ (١‬ب = – ‪٢‬‬ ‫∴أ=‪١‬‬ ‫∴‪ ٥‬أ = ‪٥‬‬ ‫س – ‪ ١‬ﺛﻢ‬ ‫أوﺟﺪ داﻟﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻟﻠﺪاﻟﺔ د ) س ( =‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪٤‬‬ ‫اﺣﺴﺐ ھﺬا اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺘﻐﯿﺮ س ﻣﻦ ‪ ١٠‬إﻟﻰ ‪ . ١٧‬أوﺟﺪ أﯾﻀﺎً ﻣﻌﺪل ﺗﻐﯿﺮ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ‪١٠‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ت ) ھـ ( = د ) س‪ + ١‬ھـ ( – د ) س‪(١‬‬ ‫س‪١ – ١‬‬ ‫س‪ + ١‬ھـ ‪- ١ -‬‬ ‫=‬ ‫ت ) ھـ (‬ ‫م ) ھـ ( =‬ ‫ھـ‬

‫=‬

‫س‪ + ١‬ھـ ‪- ١ -‬‬ ‫ھـ‬

‫س‪١ - ١‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ‪ ، ١٠‬ھـ = ‪٧‬‬ ‫‪١٩٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪1 3 −4‬‬ ‫‪٩ - ١٦‬‬ ‫=‬ ‫م ) ھـ ( =‬ ‫=‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ھـ ← ‪٠‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ھـ ← ‪٠‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ھـ ← ‪٠‬‬

‫)‬

‫‪.‬د ) س‪ + ١‬ھـ ( – د ) س‪(١‬‬ ‫ھـ‬ ‫س‪ + ١‬ھـ ‪ - ١ -‬س‪١ - ١‬‬ ‫ھـ‬

‫س‪ + ١‬ھـ ‪ - ١ -‬س‪ ) ( ١ - ١‬س‪ + ١‬ھـ ‪+ ١ -‬‬ ‫ھـ ) س‪ + ١‬ھـ ‪ + ١ -‬س‪( ١ – ١‬‬

‫س‪( ١ – ١‬‬

‫) س‪ + ١‬ھـ ‪ ) – (١ -‬س‪(١ - ١‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ھـ ← ‪ ٠‬ھـ ) س‪ + ١‬ھـ ‪ + ١ -‬س‪( ١ – ١‬‬ ‫ھـ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ھـ ← ‪ ٠‬ھـ ) س‪ + ١‬ھـ ‪+ ١ -‬‬ ‫‪١‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ھـ ← ‪ ) ٠‬س‪ + ١‬ھـ ‪+ ١ -‬‬

‫س‪( ١ – ١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫=‬ ‫‪ ٢‬س‪١ – ١‬‬ ‫س‪( ١ – ١‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ‪١٠‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ =‬ ‫‪9 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٥‬أوﺟﺪ داﻟﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻟﻠﺪاﻟﺔ د ) س ( =‬ ‫س‪3-‬‬ ‫اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺘﻐﯿﺮ س ﻣﻦ ‪ ٥‬إﻟﻰ ‪ . ٥٫٢‬أوﺟﺪ ﻛﺬﻟﻚ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﯿﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻨﺪ س = ‪٥‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ (‬ ‫ت ) ھـ ( = د ) س‪ + ١‬ھـ ( – د ) س‪(١‬‬ ‫ﺛﻢ اﺣﺴﺐ ﻣﺘﻮﺳﻂ‬

‫‪١٩٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ )٢‬س‪ ) ٢ – ( ٣ – ١‬س‪ + ١‬ھـ ‪( ٣ -‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫=‬ ‫‬‫=‬ ‫س‪ + ١‬ھـ ‪٣ -‬‬ ‫) س‪ + ١‬ھـ ‪ ) ( ٣ -‬س‪( ٣ – ١‬‬ ‫س‪٣ - ١‬‬ ‫– ‪ ٢‬ھـ‬ ‫‪ ٢‬س‪ ٢ – ٦ – ١‬س‪ ٢ – ١‬ھـ ‪٦ +‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫) س‪ + ١‬ھـ ‪ ) ( ٣ -‬س‪( ٣ – ١‬‬ ‫) س‪ + ١‬ھـ ‪ ) ( ٣ -‬س‪( ٣ – ١‬‬ ‫– ‪ ٢‬ھـ‬ ‫ت ) ھـ ( ‪١‬‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫م ) ھـ ( =‬ ‫ھـ‬ ‫ھـ‬ ‫) س‪ + ١‬ھـ ‪ ) ( ٣ -‬س‪( ٣ – ١‬‬ ‫–‪٢‬‬ ‫م ) ھـ ( =‬ ‫) س‪ + ١‬ھـ ‪ ) ( ٣ -‬س‪( ٣ – ١‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ‪ ، ٥‬ھـ = ‪٠٫٢‬‬ ‫‪2−‬‬ ‫‪2‬‬‫‪5 − 10 −‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫م ) ھـ ( =‬ ‫) ‪2 × 2.2 ( 3 - 5 ) ( 3 -0.2 + 5‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2−‬‬

‫–‪٢‬‬ ‫‪ ،‬ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ھـ ← ‪ ) ٠‬س‪ + ١‬ھـ ‪ ) ( ٣ -‬س‪ ) ( ٣ – ١‬ﺱ‪( 3 - 1‬‬ ‫‪1− 2 −‬‬ ‫=‬ ‫∴ ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ =‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ‪٥‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٦‬ﻣﻜﻌﺐ ﯾﺘﻤﺪد ﺑﺎﻧﺘﻈﺎم ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻈﻞ ﻣﺤﺘﻔﻈﺎً ﺑﺸﻜﻠﮫ ‪ .‬أوﺟﺪ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ‬ ‫ﻓﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ أوﺟﮭﮫ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﺰداد ﻃﻮل ﺣﺮﻓﮫ ﻣﻦ ‪ ٥‬ﺳﻢ إﻟﻰ ‪ ٥٫٢‬ﺳﻢ ‪.‬‬ ‫ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻓﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ أوﺟﮭﮫ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن ﻃﻮل ﺣﺮﻓﮫ ‪ ٥‬ﺳﻢ ‪.‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ (‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻧﻔﺮض أن ﻃﻮل ﺣﺮف اﻟﻤﻜﻌﺐ = س ﺳﻢ ‪ ،‬ﻣﺴﺎﺣﺔ أوﺟﮭﮫ = ص ﺳﻢ‬ ‫‪٢‬‬ ‫∴ ﻣﺴﺎﺣﺔ أوﺟﮭﮫ ص = د ) س ( = ‪ ٦‬س‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ت ) ھـ ( = د ) س‪ + ١‬ھـ ( – د ) س‪ ) ٦ = (١‬س‪ + ١‬ھـ ( – ‪ ٦‬ﺱ‪1‬‬ ‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ )٦‬ﺱ‪ ٢+ 1‬س‪ ١‬ھـ ‪ +‬ھـ ( – ‪ ٦‬ﺱ‪ ٦ = 1‬ﺱ‪١٢+ 1‬س‪ ١‬ھـ ‪٦ +‬ھـ – ‪ ٦‬ﺱ‪1‬‬

‫‪١٩٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫= ‪ ١٢‬س‪ ١‬ھـ ‪٦ +‬ھـ‪ = ٢‬ھـ ) ‪ ١٢‬س‪ ٦ + ١‬ھـ (‬ ‫ھـ ) ‪ ١٢‬س‪ ٦ + ١‬ھـ (‬ ‫ت ) ھـ (‬ ‫=‬ ‫م ) ھـ ( =‬ ‫ھـ‬ ‫ھـ‬

‫= ‪ ١٢‬س‪ ٦ + ١‬ھـ‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ‪ ، ٥‬ھـ = ‪٠٫٢‬‬ ‫م ) ھـ ( = ‪٦١٫٢ = ٠٫٢ × ٦ + ٥ × ١٢‬‬ ‫‪ ،‬ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ﻧﮭــــــــﺎ م ) ھـ ( = ﻧﮭــــــــﺎ )‪ ١٢‬س‪ ٦ + ١‬ھـ ( = ‪ ١٢‬س‪١‬‬ ‫ھـ ← ‪٠‬‬ ‫ھـ ← ‪٠‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ‪٥‬‬ ‫ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ‪٦٠ = ٥ × ١٢‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٧‬ﺻﻔﯿﺤﺔ داﺋﺮﯾﺔ اﻟﺸﻜﻞ ﺗﺘﻤﺪد ﺑﺎﻧﺘﻈﺎم ﺑﺤﯿﺚ ﺗﻈﻞ ﻣﺤﺘﻔﻈﺔ ﺑﺸﻜﻠﮭﺎ ‪ .‬أوﺟﺪ‬ ‫ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻓﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن‬ ‫‪22‬‬ ‫(‬ ‫ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ = ‪ ٧‬ﺳﻢ ‪ ) .‬ط =‬ ‫‪7‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ﻧﻔﺮض أن ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ = س ﺳﻢ ‪ ،‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺤﮭﺎ = ص ﺳﻢ‬ ‫‪٢‬‬ ‫∴ص=د)س(=طس‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ت ) ھـ ( = د ) س‪ + ١‬ھـ ( – د ) س‪ = (١‬ط ) س‪ + ١‬ھـ ( – ط ﺱ‪1‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ط ) ﺱ‪ ٢+ 1‬س‪ ١‬ھـ ‪ +‬ھـ ( – ط ﺱ‪1‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ط ﺱ‪٢+ 1‬ط س‪ ١‬ھـ ‪ +‬ط ھـ – ط ﺱ‪1‬‬

‫= ‪٢‬ط س‪ ١‬ھـ ‪ +‬ط ھـ‪ = ٢‬ھـ )‪٢‬ط س‪ + ١‬ط ھـ (‬ ‫ت ) ھـ ( ھـ ) ‪ ٢‬ط س‪ + ١‬ط ھـ (‬ ‫=‬ ‫م ) ھـ ( =‬ ‫ھـ‬ ‫ھـ‬

‫= ‪ ٢‬ط س‪ + ١‬ط ھـ‬

‫ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ﻧﮭــــــــﺎ م ) ھـ ( = ﻧﮭــــــــﺎ )‪ ٢‬ط س‪ + ١‬ط ھـ ( = ‪ ٢‬ط‬ ‫ھـ ← ‪٠‬‬ ‫ھـ ← ‪٠‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ‪ ٧‬ﺳﻢ‬ ‫‪22‬‬ ‫× ‪٤٤ = ٧‬‬ ‫ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ‪× ٢‬‬ ‫‪7‬‬

‫س‪١‬‬

‫‪١٩٨‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻘـﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﺩﺍﻟــﺔ‪.‬‬ ‫‪.‬د ) س ‪ +‬ھـ ( – د ) س(‬ ‫ءص‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪ µ‬اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‪.‬‬ ‫ھـ‬ ‫ء س ھـ ← ‪٠‬‬ ‫‪ µ‬اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‪.‬ﻗﺪ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ أو اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻰ اﻷول‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ أو ﻣﻌﺪل ﺗﻐﯿﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪.‬‬ ‫ء‬ ‫ءص‬ ‫] د) س ([‬ ‫‪ µ‬وﻣﻦ رﻣﻮزھﺎ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‪.‬‬ ‫‪ ،‬ص‪ ، /‬د‪ )/‬س ( ‪،‬‬ ‫ءس‬ ‫ءس‬ ‫‪ µ‬ﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق‪.‬‬ ‫‪/‬‬ ‫ﻓﺈن د ) س ( = ‪. ٠‬‬ ‫‪ ³‬إذا ﻛﺎن د ) س ( = أ ﺣﯿﺚ أ ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫‪/‬‬ ‫∴د ) س ( = ‪٠‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٨‬إذا ﻛﺎن د ) س ( = ‪٧‬‬ ‫ن‪. ١ -‬‬ ‫‪/‬‬ ‫ن‬ ‫ﻓﺈن د ) س ( = ن س‬ ‫‪ ³‬إذا ﻛﺎن د ) س ( = س‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫∴د ) س ( = ‪ ٥‬س‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٩‬إذا ﻛﺎن د ) س ( = س‬ ‫ن‪. ١ -‬‬ ‫ن‬ ‫ﻓﺈن د ‪ ) /‬س ( = أ ن س‬ ‫‪ ³‬إذا ﻛﺎن د ) س ( = أ س‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫∴ د ) س ( = ‪ ٣٥‬س‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ١٠‬إذا ﻛﺎن د ) س ( = ‪ ٧‬س‬ ‫‪/‬‬ ‫ﻓﺈن د ) س ( = أ‪.‬‬ ‫‪ ³‬إذا ﻛﺎن د ) س ( = أ س‬ ‫‪/‬‬ ‫ﻓﺈن د ) س ( = ‪٨‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ١١‬إذا ﻛﺎن د ) س ( = ‪ ٨‬س‬ ‫‪/‬‬ ‫ﻓﺈن د ) س ( = ‪. ١‬‬ ‫‪ ³‬إذا ﻛﺎن د ) س ( = س‬ ‫‪ µ‬اﻟﺘﻔﺴﯿﺮ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ ﻟﻠﻤﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) س‪ ، ١‬ص‪ ( ١‬ھﻰ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻋﻨﺪ ﺗﻠﻚ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.‬‬ ‫‪١٩٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪3‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ١٢‬إذا ﻛﺎن ص = س‪ ٥ – ٣‬س‪ ٧ + ٤‬س ‪ ١٤ + 2 -‬ﻓﺄوﺟﺪ ص‬ ‫ﺱ‬ ‫ص = س‪ ٥ – ٣‬س‪ ٧ + ٤‬س – ‪ ٣‬س‪١٤ + ٢-‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ (‬ ‫‪٣‬‬‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪/‬‬ ‫∴ ص = ‪ ٣‬س – ‪ ٢٠‬س ‪ ٦ + ٧ +‬س‬ ‫∴ ص ‪ ٣ = /‬س‪ ٢٠ – ٢‬س‪+ ٧ + ٣‬‬

‫‪6‬‬ ‫ﺱ‬

‫‪3‬‬

‫‪9 ٧ ٣‬س‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ١٣‬إذا ﻛﺎن ص = ‪ ٤‬س س ‪ ٦ +‬س ‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪/‬‬

‫‪7‬‬

‫‪3‬‬

‫ﻓﺄوﺟﺪ ص‬

‫‪/‬‬

‫‪7‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص =‪ ٤‬س × ﺱ ‪ ٦ + 2‬ﺱ ‪ - 3‬س = ‪ ٤‬ﺱ ‪ ٦ + 2‬ﺱ ‪ - 3‬س‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∴ ص ‪ × ٤ = /‬ﺱ‪ × ٦ + 2‬ﺱ ‪٦ = - 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪9 ٤ ٣‬‬ ‫س ‪ ١٤ +‬س ‪-‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ١٤‬أوﺟﺪ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = ‪ ٣‬س‪ – ٢‬س ‪ ٣٩ -‬س‬ ‫ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ، ١‬د ) س ( ( ‪ ،‬ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﯾﺼﻨﻌﮭﺎ اﻟﻤﻤﺎس‬ ‫ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻋﻨﺪ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪2‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص = ‪ ٣‬س‪ – ٢‬س ‪ ٩ -‬ﺱ ‪3‬‬ ‫‪1‬‬‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∴ ص ‪ ٦ = /‬س – ‪ ×٩ -١‬ﺱ ‪ ٦ = 3‬س – ‪ ٦ = 1 -١‬س – ‪-١‬‬ ‫‪ ٣‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺱ‪3‬‬

‫ﻋﻨﺪ س = ‪١‬‬ ‫ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص = ‪١- = ٦ - ١ – ٦‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪٢٠٠‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‪ .‬ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﯾﺴﺎوى ﻇﻞ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ‬ ‫ﯾﺼﻨﻌﮭﺎ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻨﺪ ﺗﻠﻚ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ Q‬ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ‪ ∴ ١ -‬ﻇﺎ ھـ = ‪ ∴ ١ -‬ھـ = ‪135‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ١٥‬أوﺟﺪ اﻟﻨﻘﻂ اﻟﻮاﻗﻌﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ د ) س ( = س – ‪ ٣‬س ‪٣ +‬س‬ ‫واﻟﺘﻰ ﯾﻜﻮن ﻋﻨﺪھﺎ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ﯾﺴﺎوى ‪. ١٢‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = د ‪ ) /‬س ( = ‪ ٣‬س‪ ٦ – ٢‬س ‪١٢ = ٣ +‬‬ ‫∴ ‪ ٣‬س‪ ٦ – ٢‬س ‪٠ = ٩ -‬‬ ‫∴ ‪ ٣‬س‪ ٦ – ٢‬س ‪٠ = ١٢ – ٣ +‬‬ ‫∴ س‪ ٢ – ٢‬س ‪٠ = ٣ -‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪٣‬‬ ‫∴)س –‪)(٣‬س‪٠=(١+‬‬ ‫وﻋﻨﺪھﺎ ص = ‪٩ = ٩ + ٢٧ – ٢٧‬‬ ‫إﻣﺎ س‪ ٠ = ٣ -‬وﻣﻨﮭﺎ س = ‪٣‬‬ ‫وﻋﻨﺪھﺎ ص = ‪٧- = ٣ – ٣ – ١-‬‬ ‫أ‪ ،‬س ‪ ٠ = ١ +‬وﻣﻨﮭﺎ س = ‪١ -‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺘﺎن ھﻤﺎ ) ‪( ٧ - ، ١ - ) ، ( ٩ ، ٣‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ١٦‬أوﺟﺪ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = س‪ ٣ – ٢‬س ‪ ٢ +‬ﻋﻨﺪ ﻛﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﻧﻘﻂ ﺗﻘﺎﻃﻌﮫ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ‪.‬‬ ‫ ﻹﯾﺠﺎد ﻧﻘﻂ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻧﻀﻊ ص = ‪ ٠‬ﻓﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬‫ ﻹﯾﺠﺎد ﻧﻘﻂ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﻧﻀﻊ س = ‪ ٠‬ﻓﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬‫) اﻟﺤﻞ ( ﻧﻀﻊ ص = ‪ ٠‬ﻓﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫∴)س –‪)(١‬س–‪٠=(٢‬‬ ‫∴ س‪ ٣ – ٢‬س ‪٠ = ٢ +‬‬ ‫وﻣﻨﮭﺎ س = ‪١‬‬ ‫إﻣﺎ س – ‪٠ = ١‬‬ ‫وﻣﻨﮭﺎ س = ‪٢‬‬ ‫أ‪ ،‬س – ‪٠ = ٢‬‬ ‫∴ ﻧﻘﻄﺘﺎ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ھﻤﺎ ) ‪( ٠ ، ٢ ) ، ( ٠ ، ١‬‬ ‫ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص ‪ ٢ = /‬س – ‪٣‬‬ ‫ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ∴ ( ٠ ، ١‬ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص ‪١ - = ٣ – ٢ = /‬‬ ‫ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ∴ ( ٠ ، ٢‬ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص ‪١ = ٣ – ٤ = /‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ١٧‬أوﺟﺪ اﻟﻨﻘﻂ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = س ‪+‬‬ ‫اﻟﺘﻰ ﻋﻨﺪھﺎ‬ ‫س‬ ‫اﻟﻤﻤﺎس ﯾﺼﻨﻊ ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت زاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪. o135‬‬ ‫‪١‬‬‫) اﻟﺤﻞ ( ص = س ‪ ٢ +‬س‬ ‫‪٢٠١‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪2‬‬ ‫∴ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص ‪ ٢ – ١ = /‬س‪ = 2 - ١ = ٢-‬ﻇﺎ ‪١ - = o135‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∴ ‪ ٢∴ 2 = ٢∴ ١ - = 2 - ١‬س‪ ∴ ٢ = ٢‬س‪ ∴ ١ = ٢‬س = ‪١ ±‬‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱ‬ ‫∴ اﻟﻨﻘﻄﺔ ھﻰ ) ‪( ٣ ، ١‬‬ ‫ﻋﻨﺪ س = ‪ ∴ ١‬ص = ‪٣ = ٢ + ١‬‬ ‫∴ اﻟﻨﻘﻄﺔ ھﻰ ) ‪( ٣ - ، ١ -‬‬ ‫ﻋﻨﺪ س = ‪ ∴ ١ -‬ص = ‪٣ - = ٢ - ١ -‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ١٨‬أﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = ‪ ٢‬س‪ ٣ – ٣‬س‪ ٤ + ٢‬ﻋﻨﺪ‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺣﯿﺚ س = ‪ ١‬ﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ‪.‬‬ ‫‪/‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‪ .‬إذا ﻛﺎن اﻟﻤﻤﺎس ﻣﻮازﯾﺎً ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻓﺈن ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص = ‪٠‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص ‪ ٦ = /‬س‪ ٦ – ٢‬س‬ ‫ﻋﻨﺪ س = ‪١‬‬ ‫∴ اﻟﻤﻤﺎس ﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫∴ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ‪٠ = ٦ – ٦‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ١٩‬أوﺟﺪ ﻗﯿﻢ أ‪ ،‬ب إذا ﻛﺎن ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = أ س ‪ +‬ب س‬ ‫ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٥ ، ١‬اﻟﻮاﻗﻌﺔ ﻋﻠﯿﮫ ﯾﺴﺎوى ‪. ٨‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ‪ Q‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٥ ، ١‬ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﮭﻰ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬ ‫‪(١) ...‬‬ ‫∴أ‪+‬ب=‪٥‬‬ ‫ءص‬ ‫=‪٢‬أس‪+‬ب=‪٨‬‬ ‫ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس =‬ ‫ءس‬ ‫‪(٢) ...‬‬ ‫∴‪٢‬أ‪+‬ب=‪٨‬‬ ‫ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪( ٥ ، ١‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ )‪ ∴ (١‬ب = ‪٢‬‬ ‫∴أ=‪٣‬‬ ‫ﺑﻄﺮح )‪ (١‬ﻣﻦ )‪(٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢٠‬إذا ﻛﺎن اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = أ س ‪ +‬ب س ﯾﻮازى ﻣﺤﻮر‬ ‫اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٢ ، ١ -‬ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﻛﻼً ﻣﻦ أ ‪ ،‬ب ‪.‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ‪ Q‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٢ ، ١ -‬ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﮭﻰ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬ ‫‪(١) ...‬‬ ‫∴‪-‬أ‪-‬ب=‪٢‬‬ ‫ءص‬ ‫= ‪ ٣‬أ س‪ +٢‬ب = ‪٠‬‬ ‫ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس =‬ ‫ءس‬ ‫‪(٢) ...‬‬ ‫∴‪٣‬أ‪+‬ب=‪٠‬‬ ‫ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪( ٢ ، ١ -‬‬ ‫‪٢٠٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫∴‪٢‬أ=‪∴ ٢‬أ=‪١‬‬ ‫ﺑﺠﻤﻊ )‪(٢) ، (١‬‬ ‫∴ ب = ‪٣-‬‬ ‫∴‪+٣‬ب=‪٠‬‬ ‫ﻧﻌﻮض ﻓﻰ )‪(٢‬‬ ‫ﺣﯿﺚ أ ‪ ،‬ب ‪ ،‬ﺟـ ∋ ح‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢١‬إذا ﻛﺎن د ) س ( = أ س‪ + ٢‬ب س ‪ +‬ﺟـ‬ ‫وﻛﺎن د )‪ ، ٣ = (٠‬د ‪ ، ٥ - = (٠) /‬د ‪ ٣ = (٢) /‬ﻓﺄوﺟﺪ د )‪ ، (١‬د ‪. (٢ -) /‬‬ ‫∴ د‪ )/‬س ( = ‪ ٢‬أ س ‪ +‬ب‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( د ) س ( = أ س‪ + ٢‬ب س ‪ +‬ﺟـ‬ ‫‪(١) ...‬‬ ‫∴ ﺟـ = ‪٣‬‬ ‫‪ Q‬د )‪٣ = (٠‬‬ ‫‪(٢) ...‬‬ ‫∴ب=‪٥-‬‬ ‫‪ Q ،‬د ‪٥ - = (٠) /‬‬ ‫‪(٣) ...‬‬ ‫∴‪ ٤‬أ ‪ +‬ب = ‪٣‬‬ ‫‪ ،‬د ‪٣ = (٢) /‬‬ ‫∴‪ ٤‬أ – ‪ ٤∴ ٣ = ٥‬أ = ‪ ∴ ٨‬أ = ‪٢‬‬ ‫ﻧﻌﻮض ﻣﻦ )‪ (٢‬ﻓﻰ )‪(٣‬‬ ‫∴ د )‪٠ = ٣ + ٥ – ٢ = (١‬‬ ‫∴ د ) س ( = ‪ ٢‬س‪ ٥ – ٢‬س ‪٣ +‬‬ ‫∴ د ‪١٣ - = ٥ – ٨ - = (٢-) /‬‬ ‫‪ ،‬د‪ )/‬س ( = ‪ ٤‬س – ‪٥‬‬

‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ﻟﺤﺎﺻﻞ ﺿﺮب داﻟﺘﯿﻦ‬ ‫= ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻷوﻟﻰ × اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ‪ +‬ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ × اﻟﺪاﻟﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫‪/‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢٢‬إذا ﻛﺎن ص = ) س‪ ٣ +٢‬س ‪ ) ( ١ +‬س‪ ٣ –٢‬س ‪ ( ٤ +‬ﻓﺄوﺟﺪ ص‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص ‪٢) = /‬س ‪ ) (٣+‬س‪٣ –٢‬س ‪٢) + (٤+‬س –‪ ) (٣‬س‪٣+٢‬س ‪(١+‬‬ ‫= ‪ ٢‬س‪ ٦ – ٣‬س‪ ٨ + ٢‬س ‪ ٣ +‬س‪ ٩ – ٢‬س ‪ ٢ + ١٢ +‬س‪ ٦ + ٣‬س‪ ٢ + ٢‬س‬ ‫– ‪ ٣‬س‪ ٩ – ٢‬س – ‪ ٤ = ٣‬س‪ ٨ – ٣‬س ‪٩ +‬‬

‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ﻟﺤﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﺛﻼث دوال‬ ‫= ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻷوﻟﻰ × اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ×اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ‪ +‬ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ×‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻷوﻟﻰ × اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ‪ +‬ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ × اﻟﺪاﻟﺔ اﻷوﻟﻰ × اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‬ ‫‪/‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢٣‬إذا ﻛﺎن ص = ) س‪ ٢ ) (١ -٢‬س – ‪ ٣ ) ( ٥‬س ‪ ( ٧ +‬ﻓﺄوﺟﺪ ص‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص ‪٢ = /‬س )‪ ٢‬س – ‪ ٣ ) (٥‬س ‪ )٢ + ( ٧ +‬س‪ ٣) (١ -٢‬س ‪(٧ +‬‬ ‫‪ ) ٣ +‬س‪ ٢ ) ( ١ – ٢‬س – ‪( ٥‬‬ ‫= ‪ ٢‬س ) ‪ ٦‬س‪ – ٢‬س – ‪ ٣ ) ٢ + ( ٣٥‬س‪ ٧ + ٣‬س‪ ٣ – ٢‬س – ‪( ٧‬‬ ‫‪ ٢ ) ٣ +‬س‪ ٥ – ٣‬س‪ ٢ – ٢‬س ‪( ٥ +‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫= ‪ ١٢‬س‪ ٢ – ٣‬س‪ ٧٠ – ٢‬س ‪ ٦ +‬س‪ ١٤ + ٣‬س‪ ٦ – ٢‬س – ‪ ٦ + ١٤‬س‬ ‫ ‪ ١٥‬س‪ ٦ – ٢‬س ‪ ٢٤ = ١٥ +‬س‪ ٣ – ٣‬س‪ ٨٢ – ٢‬س ‪١ +‬‬‫‪٢٠٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢٤‬إذا ﻛﺎن ص = ) س‪ ) ( ٩ + ٢‬س ‪ ) ( ٣ +‬س ‪( ٣ -‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ ص‬ ‫‪٣‬‬ ‫∴ص‪ ٤ = /‬س‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص = ) س‪ ) ( ٩ + ٢‬س‪ = ( ٩ – ٢‬س‪٨١ – ٤‬‬ ‫‪/‬‬

‫ﻣﺸﺘﻘﺔ ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺔ داﻟﺘﯿﻦ = ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺒﺴﻂ × اﻟﻤﻘﺎم – ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﻤﻘﺎم × اﻟﺒﺴﻂ‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ اﻟﻤﻘﺎم‬ ‫‪.......‬‬ ‫‪2‬س‪3-‬‬ ‫إذا ﻛﺎن د ) س ( =‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪٢٥‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ د ‪( ٠ ) /‬‬ ‫‪ 5‬س ‪1+‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ (‬ ‫‪ 5 ) × 2‬ﺱ ‪ 2 ) × 5 - ( 1 +‬ﺱ ‪ 10 ( 3 -‬ﺱ ‪ 10 − 2 +‬ﺱ ‪15 +‬‬ ‫=‬ ‫د ‪ ) /‬س (=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ 5‬ﺱ ‪(1 +‬‬ ‫) ‪ 5‬ﺱ ‪(1 +‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪17‬‬ ‫= ‪١٧‬‬ ‫∴ د‪= ( ٠ )/‬‬ ‫د‪ )/‬س ( =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪ 5‬ﺱ ‪(1 +‬‬ ‫ء ‪ 4‬س ‪ 3 +‬‬ ‫أوﺟﺪ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪٢٦‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ء س ‪ 5 ‬س ‪ 1-‬‬ ‫ء ‪ 4 ‬س ‪ 5 ) × 4  3 +‬ﺱ ‪ 4 ) × 5 - (1-‬ﺱ ‪(3 +‬‬ ‫‪=‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ (‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ 5‬ﺱ ‪(1-‬‬ ‫ء س ‪ 5 ‬س ‪ 1-‬‬

‫ﻋﻨﺪ س = ‪١‬‬

‫=‬

‫‪ 20‬ﺱ ‪ 20 - 4 -‬ﺱ ‪15 −‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪ 5‬ﺱ ‪(1-‬‬

‫=‬

‫ ‪19‬‬‫‪2‬‬

‫) ‪ 5‬ﺱ ‪(1-‬‬

‫ء ‪ 4 ‬س ‪19 −  3 +‬‬ ‫ﻋﻨﺪ س = ‪١‬‬ ‫‪=‬‬ ‫∴‬ ‫‪‬‬ ‫س‬ ‫ء‬ ‫‪16‬‬ ‫‪1‬‬‫س‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫س‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢٧‬إذا ﻛﺎن د ) س ( =‬ ‫وﻛﺎن د ‪١ - = ( ٢ ) /‬‬ ‫س‪ -‬ب‬

‫ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ب‬

‫‪٢٠٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ ) × 1‬ﺱ ‪ -‬ﺏ ( ‪ × 1-‬ﺱ ﺱ ‪ -‬ﺏ ‪ -‬ﺱ‬ ‫‪/‬‬ ‫=‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( د‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫س‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ﺱ ‪ -‬ﺏ(‪ ) 2‬ﺱ ‪ -‬ﺏ(‬ ‫) ﺱ ‪ -‬ﺏ(‬ ‫‪-‬ﺏ‬

‫ﺏ‬‫‪١-= 2‬‬ ‫د‪= ( ٢ )/‬‬ ‫) ‪ - 2‬ﺏ(‬ ‫∴ ‪ ٤ – ٤‬ب ‪ +‬ب‪ = ٢‬ب‬ ‫∴) ب–‪ )(١‬ب–‪٠=(٤‬‬

‫∴ ) ‪ – ٢‬ب (‪ = ٢‬ب‬ ‫∴ ب‪ ٥ – ٢‬ب ‪٠ = ٤ +‬‬ ‫أ‪ ،‬ب = ‪٤‬‬ ‫إﻣﺎ ب = ‪١‬‬

‫ﺱ‪2 + 2‬‬ ‫واﻟﺘﻰ ﯾﻜﻮن‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢٨‬أوﺟﺪ اﻟﻨﻘﻂ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص =‬ ‫‪ 2‬ﺱ ‪1-‬‬ ‫ﻋﻨﺪھﺎ اﻟﻤﻤﺎس ﻣﻮازﯾﺎً ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬ﺱ × ) ‪ 2‬ﺱ ‪ ) × 2 - (1-‬ﺱ ‪(2 +‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس =‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ 2‬ﺱ ‪(1-‬‬

‫=‬

‫‪ 4‬ﺱ‪ 2 - 2‬ﺱ ‪ 2 -‬ﺱ‪4 - 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪ 2‬ﺱ‪ 2 - 2‬ﺱ ‪4 -‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪٠‬‬

‫) ‪ 2‬ﺱ ‪(1-‬‬ ‫) ‪ 2‬ﺱ ‪(1-‬‬ ‫ﻷن اﻟﻤﻤﺎس ﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫∴ ‪ ٢‬س‪ ٢ – ٢‬س – ‪ ∴ ٠ = ٤‬س‪ – ٢‬س – ‪٠ = ٢‬‬ ‫∴)س –‪)(٢‬س‪٠=(١+‬‬

‫إﻣﺎ س – ‪٠ = ٢‬‬

‫وﻣﻨﮭﺎ س = ‪٢‬‬

‫أ‪ ،‬س ‪٠ = ١ +‬‬

‫وﻣﻨﮭﺎ س = ‪١ -‬‬

‫‪2 +4‬‬ ‫وﻋﻨﺪھﺎ ص =‬ ‫‪1−4‬‬ ‫‪2 +1‬‬ ‫=‪١-‬‬ ‫وﻋﻨﺪھﺎ ص =‬ ‫‪1− 2 −‬‬ ‫=‪٢‬‬

‫∴ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺘﺎن ھﻤﺎ ) ‪( ١ - ، ١ - ) ، ( ٢ ، ٢‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢٩‬أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﯾﺼﻨﻌﮭﺎ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫‪٢٠٥‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺱ‪27 - 3‬‬ ‫ﻋﻨﺪ س = ‪ ١ -‬ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ‪.‬‬ ‫ص=‬ ‫ﺱ‪3-‬‬ ‫) ﺱ ‪ ) (3 -‬ﺱ‪ 3 + 2‬ﺱ ‪(9 +‬‬ ‫=س ‪٣+‬س‪٩+‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص =‬ ‫) ﺱ ‪(3 -‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص ‪ ٢ = /‬س ‪٣ +‬‬ ‫ﻋﻨﺪ س = ‪١ -‬‬ ‫ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ‪ ∴ ١ = ٣ + ٢ -‬ﻇﺎ ھـ = ‪١‬‬

‫∴ ھـ = ‪45‬‬ ‫ﺱ ‪2-‬‬ ‫واﻟﺘﻰ ﯾﻜﻮن ﻋﻨﺪھﺎ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٣٠‬أوﺟﺪ اﻟﻨﻘﻂ اﻟﻮاﻗﻌﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص =‬ ‫ﺱ ‪1-‬‬ ‫اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ﻣﻮازﯾﺎً ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ص = س ‪٤ +‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ (‬ ‫‪ ) × 1 /‬ﺱ ‪ ) × 1 - (1-‬ﺱ ‪(2 -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ = ص =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ﺱ ‪(1 -‬‬ ‫) ﺱ ‪(1 -‬‬ ‫ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ = ص‪١ = /‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ) ∴ ١ = 2‬س – ‪١ = ٢(١‬‬ ‫∴‬ ‫) ﺱ ‪(1 -‬‬ ‫∴ س‪ ٢ – ٢‬س = ‪٠‬‬ ‫∴ س‪ ٢ – ٢‬س ‪١ = ١ +‬‬ ‫∴س)س –‪٠=(٢‬‬ ‫‪2 -0‬‬ ‫=‪٢‬‬ ‫إﻣﺎ س = ‪ ٠‬وﻣﻨﮭﺎ ص =‬ ‫‪1- 0‬‬ ‫أ‪ ،‬س = ‪٢‬‬

‫‪2-2‬‬ ‫وﻣﻨﮭﺎ ص =‬ ‫‪1- 2‬‬

‫‪o‬‬

‫=‪٠‬‬

‫∴ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ھﻤﺎ ) ‪( ٠ ، ٢ ) ، ( ٢ ، ٠‬‬ ‫‪٢٠٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺩﺍﻟــﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟــﺔ ) ﻗﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ (‪.‬‬ ‫ﻓﺈن ص ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ داﻟﺔ س‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ص داﻟﺔ ﻓﻰ ع ‪ ،‬ع داﻟﺔ ﻓﻰ س‬ ‫ءص ءص ءع‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫وﯾﻜﻮن ‪. :‬‬ ‫ءس ءع ءس‬ ‫ﻧﺘﺎﺋﺞ ھﺎﻣﺔ‪.‬‬ ‫ﻥ ‪1−‬‬

‫ﻥ‬

‫) ‪. ( ١‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = ] ﺩ ) ﺱ ([ ﻓﺈن ء ص = ن× ] ﺩ ) ﺱ ([‬ ‫× د ) س (‪.‬‬ ‫ءس‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪/‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٣١‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = ) س‪ ٥ – ٢‬س ‪( ٣ +‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ ص‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص ‪ ) × ٩ = /‬س‪ ٥ – ٢‬س ‪ ٢ ) × ٨( ٣ +‬س – ‪( ٥‬‬ ‫ﻥ‪ 1-‬ﺀ ﺹ‬ ‫ء‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫×‬ ‫) ﺹ( ﻥ = ﻥ × ﺹ‬ ‫ﺀﺱ‬ ‫ءس‬ ‫‪ ٤‬ءص‬ ‫ء‬ ‫ﺹ‪ ٥ = 5‬ص ×‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪٣٢‬‬ ‫ءس‬ ‫ءس‬ ‫‪/‬‬

‫) (‬

‫‪٢٠٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ءص‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٣٣‬إذا ﻛﺎن س‪ ) ٢‬ص‪ ٤ = ( ١ + ٢‬ﻓﺄﺛﺒﺖ أن س‪ ٣‬ص‬ ‫ءس‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( س‪ ٢‬ص‪ + ٢‬س‪ (١) ... ٤ = ٢‬ﺑﺈﺟﺮاء اﻻﺷﺘﻘﺎق ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ س‬ ‫ءص‬ ‫× س‪ ٢ + ٢‬س = ‪ ٠‬ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪٢‬‬ ‫‪ ٢‬س × ص‪ ٢ + ٢‬ص ×‬ ‫ءس‬

‫‪٠=٤+‬‬

‫ءص‬ ‫∴ س ص‪ + ٢‬س‪ ٢‬ص‬ ‫ءس‬ ‫ءص‬ ‫∴ س‪ ٢‬ص‪ + ٢‬س‪ ٣‬ص‬ ‫ءس‬ ‫ﻧﻌﻮض ﻣﻦ )‪ (١‬ﻓﻰ )‪(٢‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪٣٤‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ص =‬

‫‪+‬س=‪٠‬‬ ‫‪ +‬س‪٠ = ٢‬‬

‫‪(٢) ...‬‬

‫ءص‬ ‫∴ س‪ ٣‬ص‬ ‫ءس‬ ‫‪7‬‬

‫‪٠=٤+‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ ص‬

‫‪4‬‬

‫) ‪ 5‬ﺱ ‪(1 +‬‬

‫) اﻟﺤﻞ ( ص = ‪ ٥ ) ٧‬س ‪( ١ +‬‬

‫‪/‬‬

‫‪٤-‬‬

‫∴ ص ‪ ٥ ) ٢٨ - = /‬س ‪= ٥ × ٥-( ١ +‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪٣٥‬‬

‫ﺑﺎﻟﻀﺮب × س‬

‫‪140 −‬‬ ‫) ‪ 5‬ﺱ ‪(1 +‬‬

‫‪5‬‬

‫‪٤ ٢‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ص‪ ٢ +١ ) = ٣‬س (‬

‫ﻓﺄوﺟﺪ ص‬

‫‪/‬‬

‫‪4‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص = ) ‪ 2 + 1‬ﺱ‪3 (2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣ 16‬‬ ‫س ‪٢+١‬س‬ ‫ص ‪ 2 + 1 ) = /‬ﺱ‪ ٤ × 3 (2‬س =‬

‫‪3‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪٣٦‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ (‬

‫‪3‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ ٢‬ص = س‪٣ – ٢‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ ص‬ ‫ﺑﺘﺮﺑﯿﻊ اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ ∴‪ ٤‬ص = س‪ ٦ – ٤‬س‪٩ + ٢‬‬

‫‪/‬‬

‫‪٢٠٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪9 ٢ 3 ٤ 1‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ∴ ٤‬ص = س ‪ -‬س ‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ءص‬ ‫= ‪ ٦‬ﻋﻨﺪ س = ‪ ١‬ﻓﺄوﺟﺪ أ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٣٧‬إذا ﻛﺎن ص = ) أ س ‪ ،٢( ٢ +‬وﻛﺎن‬ ‫ءس‬ ‫ءص‬ ‫=‪)٢‬أس‪×(٢+‬أ‬ ‫) اﻟﺤﻞ (‬ ‫ءس‬ ‫∴) أ‪×(٢+‬أ=‪٣‬‬ ‫ﻋﻨﺪ س = ‪ ) ٢ ∴ ١‬أ ‪ × ( ٢ +‬أ = ‪٦‬‬

‫∴ ص ‪ = /‬س‪ ٣ – ٣‬س‬

‫‪2‬‬

‫∴أ ‪ ٢ +‬أ – ‪٠ = ٣‬‬ ‫∴) أ‪)(٣+‬أ–‪٠=(١‬‬ ‫وﻣﻨﮭﺎ أ = ‪٣ -‬‬ ‫إﻣﺎ أ ‪٠ = ٣ +‬‬ ‫وﻣﻨﮭﺎ أ = ‪١‬‬ ‫أ‪ ،‬أ – ‪٠ = ١‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٣٨‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = ) ع – ‪ ، ٥( ١‬ع = س‪٣ + ٢‬‬

‫ءص‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ‬ ‫ءس‬

‫‪٥‬‬

‫) اﻟﺤﻞ ( ص = ) س‪ ) = ٥( ١ – ٣ + ٢‬س‪( ٢ + ٢‬‬ ‫ءص‬ ‫‪٤‬‬ ‫= ‪ ) ٥‬س‪ ٢ × ٤( ٢ + ٢‬س = ‪ ١٠‬س ) س‪( ٢ + ٢‬‬ ‫∴‬ ‫ءس‬ ‫ءص‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫=‪)٥‬ع–‪(١‬‬ ‫∴‬ ‫ﺣﻞ آﺧﺮ ‪ Q‬ص = ) ع – ‪( ١‬‬ ‫ءع‬ ‫ءع‬ ‫=‪٢‬س‬ ‫∴‬ ‫‪ Q ،‬ع = س‪٣ + ٢‬‬ ‫ءس‬ ‫ءع‬ ‫ءص ءص‬ ‫= ‪ ) ٥‬ع – ‪ ٢ × ٤( ١‬س‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫∴‬ ‫ءس‬ ‫ءس‬ ‫ءع‬ ‫‪٤‬‬ ‫= ‪ ) ٥‬س‪ ٢ × ٤( ١ – ٣ + ٢‬س = ‪ ١٠‬س ) س‪( ٢ + ٢‬‬ ‫ءص‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٣٩‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = ع‪ ، ٧‬ع = س‪ ٢ +٣‬س‪ ٤–٢‬ﻓﺄوﺟﺪ‬ ‫ﻋﻨﺪ س = ‪١‬‬ ‫ءس‬ ‫‪٧‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص = ) س‪ ٢ + ٣‬س‪( ٤ – ٢‬‬ ‫‪٢٠٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ءص‬ ‫∴‬ ‫ءس‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫= ‪ ) ٧‬س‪ ٢ + ٣‬س‪ ٣ ) × ٦( ٤ – ٢‬س‪ ٤ + ٢‬س (‬

‫ءص‬ ‫ﻋﻨﺪ س = ‪∴ ١‬‬ ‫ءس‬

‫= ‪٤٩ = ٧ × ١ × ٧ = ( ٤ + ٣ ) × ٦( ٤ – ٢ + ١ ) ٧‬‬

‫ءص‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٤٠‬إذا ﻛﺎن ص = ع‪ + ٥‬ع ‪ ،‬ع = س ‪+‬‬ ‫ءس‬ ‫س‬ ‫‪5‬‬

‫]‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ﺱ‪+‬ﺱ‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص = ‪ ‬ﺱ ‪ +  +‬س ‪+‬‬ ‫س‬ ‫ﺱ‪‬‬ ‫‪‬‬

‫[‬

‫]‬

‫‪4‬‬

‫ءص‬ ‫= ‪ ٥‬ﺱ ‪ +‬ﺱ ‪ – ١ ) 1-‬س ( ‪ – ١ +‬س‬ ‫ءس‬ ‫‪٢-‬‬

‫[‬

‫‪1-‬‬

‫ﻋﻨﺪ س = ‪١ -‬‬

‫‪5‬‬

‫‪+‬س‪+‬س‬

‫‪١-‬‬

‫‪٢-‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‬‫‪١‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‬‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱ ‪  ‬ﺱ‪ 2‬‬ ‫= ‪ ٥‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ءص‬ ‫= ‪٠ = ١ – ١ + ( ١ – ١ ) ٤( ١ – ١ - ) ٥‬‬ ‫ﻋﻨﺪ س = ‪∴ ١ -‬‬ ‫ءس‬ ‫ءص‬ ‫س ‪1+‬‬ ‫ع‪2−‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ‬ ‫‪،‬ع=‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ص =‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪٤١‬‬ ‫ءس‬ ‫‪ 2‬س ‪1-‬‬ ‫ع ‪1+‬‬ ‫س ‪1+‬‬ ‫‪2−‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص = ‪ 2‬س ‪1 -‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻀﺮب ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً × ) ‪ ٢‬س – ‪( ١‬‬ ‫س ‪1+‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪ 2‬س ‪1-‬‬ ‫‪1‬‬

‫س ‪ 4 -1 +‬س ‪ 3 - 3 2 +‬س‬ ‫س ‪ 2 ) 2 - 1 +‬س ‪(1-‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫∴ص=‬ ‫‪3‬س‬ ‫س ‪ 2 + 1 +‬س ‪1-‬‬ ‫س ‪ 2) + 1 +‬س ‪(1-‬‬ ‫‪٢١٠‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪3‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫‬‫=‬ ‫‪3‬س ‪3‬س‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ءص‬ ‫∴‬ ‫ءس‬

‫= س‪١ – ١-‬‬

‫= ‪ -‬س‪= ٢-‬‬ ‫‪٢‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = ع‪ + ٢‬ع ‪ ،‬ع = ‪ ٢‬س‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪٤٢‬‬ ‫ﺀﺹ ﺀﻉ‬ ‫‪٣‬‬ ‫= ‪ ١٦‬س‬ ‫‬‫ﺀﺱ ﺀﺱ‬ ‫‪٢‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص = ) ‪ ٢‬س‪ ٢ + ٢( ٢‬س‪ ٤ = ٢‬س‪ ٢ + ٤‬س‬ ‫ﺀﻉ‬ ‫ﺀﺹ‬ ‫=‪٤‬س‬ ‫∴‬ ‫‪،‬‬ ‫= ‪ ١٦‬س‪ ٤ + ٣‬س‬ ‫ﺀﺱ‬ ‫ﺀﺱ‬ ‫ﺀﺹ ﺀﻉ‬ ‫‪٣‬‬ ‫= ‪ ١٦‬س‪ ٤ + ٣‬س – ‪ ٤‬س = ‪ ١٦‬س‬ ‫∴‬ ‫‬‫ﺀﺱ ﺀﺱ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪٤٣‬‬

‫‪ 3 ‬ﺱ ‪ 1-‬‬ ‫‪‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = ‪‬‬ ‫‪ 2‬ﺱ ‪ 3 +‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ 3 ‬ﺱ ‪ 1-‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪× ‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص = ‪ ٥‬‬ ‫‪ 2‬ﺱ ‪ 3 +‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ 3 ‬ﺱ ‪ 1-‬‬ ‫‪× ‬‬ ‫=‪ ٥‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1−‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺱ‬ ‫ﻓﺄﺛﺒﺖ أن‬ ‫) أول ‪( ٢٠٠٢‬‬

‫‪5‬‬

‫ﻓﺄوﺟﺪ ص‬

‫‪/‬‬

‫‪ 2 ) 3‬ﺱ ‪ 3 ) 2 - (3 +‬ﺱ ‪(1-‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪ 2‬ﺱ ‪(3 +‬‬

‫‪ 6‬ﺱ ‪ 6- 9 +‬ﺱ ‪2 +‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪ 2‬ﺱ ‪(3 +‬‬

‫)‪ 3‬ﺱ ‪(1-‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫=‪٥‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫) ‪ 2‬ﺱ ‪(3 +‬‬ ‫)‪ 2‬ﺱ ‪(3 +‬‬ ‫) ‪ 2‬ﺱ ‪(3 +‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ 3 ) 55‬ﺱ ‪(1-‬‬ ‫‪٨‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٤٤‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = ) ‪ ٢‬س ‪ ٣ ) ٥( ١ +‬س – ‪( ٤‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص ‪ ٢ ) ٥ = /‬س ‪ ٣ ) × ٢ × ٤( ١ +‬س – ‪( ٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪ ٣ ) × ٨ +‬س – ‪ ٢ ) × ٣ × ٧( ٤‬س ‪( ١ +‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ص ‪ ٢ ) ١٠ = /‬س ‪ ٣ )٤( ١ +‬س – ‪ ٣ )٢٤ + ٨( ٤‬س – ‪ ٢ )٧( ٤‬س ‪( ١ +‬‬ ‫= ‪ ٢ ) ٢‬س ‪ ٣ ) ٤( ١ +‬س – ‪ ٣ ) ٥ } ٧( ٤‬س ‪ ٢ ) ١٢ + ( ٤ -‬س ‪{ ( ١ +‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ ص‬

‫‪/‬‬

‫‪٢١١‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫= ‪ ٢ ) ٢‬س ‪ ٣ ) ٤( ١ +‬س – ‪ ١٥ ) ٧( ٤‬س – ‪ ٢٤ + ٢٠‬س ‪( ١٢ +‬‬ ‫= ‪ ٢ ) ٢‬س ‪ ٣ ) ٤( ١ +‬س – ‪ ٣٩ ) ٧( ٤‬س ‪( ٨ -‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪/‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٤٥‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = ) ‪ ٢‬س ‪ ٢ ) ٧( ٣ +‬س – ‪( ٣‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ ص‬ ‫‪٧‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص = ) ‪ ٢‬س ‪ ٢ ) ٧( ٣ +‬س – ‪ ٤ ) = ٧( ٣‬س‪( ٩ – ٢‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫ص ‪ ٤ ) ٧ = /‬س‪ ٨ × ٦( ٩ – ٢‬س = ‪ ٥٦‬س ) ‪ ٤‬س‪( ٩ – ٢‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪٤٦‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ص =‬

‫‪5‬‬

‫) ‪ 2‬ﺱ ‪(1 +‬‬ ‫) ‪ 3‬ﺱ ‪(4 -‬‬

‫ﻓﺄوﺟﺪ ص‬

‫‪8‬‬

‫‪/‬‬

‫‪٨-‬‬

‫) اﻟﺤﻞ ( ص = ) ‪ ٢‬س ‪ ٣ ) ٥( ١ +‬س – ‪( ٤‬‬ ‫‪٨‬‬‫ص ‪ ٢ ) ٥ = /‬س ‪ ٣ ) × ٢ × ٤( ١ +‬س – ‪( ٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ ‪ ٣ ) × ٨‬س – ‪ ٢ ) × ٣ × ٩ -( ٤‬س ‪( ١ +‬‬‫‪٥‬‬ ‫= ‪ ٢ ) ١٠‬س ‪ ٣ )٤( ١ +‬س – ‪ ٣ )٢٤ - ٨ -( ٤‬س – ‪ ٢ )٩ -( ٤‬س ‪( ١ +‬‬ ‫= ‪ ٢ ) ٢‬س ‪ ٣ ) ٤( ١ +‬س – ‪ ٣ ) ٥ } ٩ -( ٤‬س ‪ ٢ ) ١٢ - ( ٤ -‬س ‪{ ( ١ +‬‬ ‫= ‪ ٢ ) ٢‬س ‪ ٣ ) ٤( ١ +‬س – ‪ ١٥ ) ٩ -( ٤‬س – ‪ ٢٤ - ٢٠‬س ‪( ١٢ -‬‬ ‫= ‪ ٢ ) ٢‬س ‪ ٣ ) ٤( ١ +‬س – ‪ ٩ - ) ٩ -( ٤‬س ‪( ٣٢ -‬‬ ‫= ‪ ٢ ) ٢ -‬س ‪ ٣ ) ٤( ١ +‬س – ‪ ٩ ) ٩ -( ٤‬س ‪( ٣٢ +‬‬ ‫ ‪ 2 ) 2‬ﺱ ‪ 9 ) 4(1 +‬ﺱ ‪(32 +‬‬‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫) ‪ 3‬ﺱ ‪(4 -‬‬

‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻧﻈﺮﯾﺎت وﻧﺘﺎﺋﺞ‪.‬‬ ‫‪Ã‬‬

‫إذا ﻛﺎن ص = ﺟﺎ س‬

‫‪Ã‬‬

‫إذا ﻛﺎن ص = ﺟﺘﺎ س‬

‫‪Ã‬‬

‫إذا ﻛﺎن ص = ﺟﺎ أ س‬

‫ءص‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ءس‬ ‫ءص‬ ‫= ‪ -‬ﺟﺎ س‪.‬‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ءس‬ ‫ءص‬ ‫= أ ﺟﺘﺎ أ س‪.‬‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ءس‬ ‫= ﺟﺘﺎ س‪.‬‬

‫‪٢١٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٤٧‬إذا ﻛﺎن ص = ﺟﺎ ‪ ٧‬س‬ ‫‪Ã‬‬

‫إذا ﻛﺎن ص = ﺟﺘﺎ أ س‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ءص‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ءس‬ ‫ءص‬ ‫= ‪ -‬أ ﺟﺎ أ س‪.‬‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ءس‬

‫= ‪ ٧‬ﺟﺘﺎ ‪ ٧‬س‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٤٨‬إذا ﻛﺎن ص = ‪ ٥‬ﺟﺘﺎ ‪ ٣‬س‬ ‫ءص‬ ‫= ‪ ٣ - ) × ٥‬ﺟﺎ ‪ ٣‬س ( = ‪ ١٥ -‬ﺟﺎ ‪ ٣‬س‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ءس‬ ‫ءص‬ ‫= أ ﺟﺘﺎ ) أ س ‪ +‬ب (‪.‬‬ ‫‪ Ã‬إذا ﻛﺎن ص = ﺟﺎ ) أ س ‪ +‬ب ( ﻓﺈن‬ ‫ءس‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٤٩‬إذا ﻛﺎن ص = ‪ ٥‬ﺟﺎ ) ‪ ٣‬س – ‪( ٢‬‬ ‫ءص‬ ‫= ‪ ٣ × ٥‬ﺟﺘﺎ ) ‪ ٣‬س – ‪ ١٥ = ( ٢‬ﺟﺘﺎ ) ‪ ٣‬س – ‪( ٢‬‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ءس‬ ‫‪Ã‬‬ ‫‪Ã‬‬

‫إذا ﻛﺎن ص = ﺟﺘﺎ ) أ س ‪ +‬ب (‬

‫ءص‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ءس‬

‫= ‪ -‬أ ﺟﺎ ) أ س ‪ +‬ب (‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٥٠‬إذا ﻛﺎن ص = ‪ ٨‬ﺟﺘﺎ ) ‪ ٥ – ٢‬س (‬ ‫ءص‬ ‫= ‪ - × ٥- × ٨‬ﺟﺎ ) ‪ ٥ – ٢‬س ( = ‪ ٤٠‬ﺟﺎ ) ‪ ٥ – ٢‬س (‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ءس‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪/‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٥١‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = ) ‪ ٣‬ﺟﺘﺎ ‪ ٤‬س – ‪ ٥‬ﺟﺎ ‪ ٢‬س (‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ ص‬ ‫) اﻟﺤﻞ (‬ ‫‪٦‬‬ ‫ص ‪ ٣ ) ٧ = /‬ﺟﺘﺎ ‪ ٤‬س – ‪ ٥‬ﺟﺎ ‪ ٢‬س ( ) ‪ ١٢ -‬ﺟﺎ ‪ ٤‬س – ‪ ١٠‬ﺟﺘﺎ ‪ ٢‬س (‬ ‫= ‪ ٣ ) ٧‬ﺟﺘﺎ ‪ ٤‬س – ‪ ٥‬ﺟﺎ ‪ ٢‬س (‪ ٦ ) ٢ - × ٦‬ﺟﺎ ‪ ٤‬س ‪ ٥ +‬ﺟﺘﺎ ‪ ٢‬س (‬ ‫= ‪ ٣ ) ١٤ -‬ﺟﺘﺎ ‪ ٤‬س – ‪ ٥‬ﺟﺎ ‪ ٢‬س (‪ ٦ ) ٦‬ﺟﺎ ‪ ٤‬س ‪ ٥ +‬ﺟﺘﺎ ‪ ٢‬س (‬ ‫ءص‬ ‫س‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٥٢‬إذا ﻛﺎن ص = س ﺟﺘﺎ ‪ ٣‬س ‪ +‬س‪ ٣‬ﺟﺎ س ‪ +‬ﺟﺎ‬ ‫ءس‬ ‫‪3‬‬ ‫‪٢١٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ءص‬ ‫) اﻟﺤﻞ (‬ ‫ءس‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫= ‪ × ١‬ﺟﺘﺎ ‪ ٣‬س ‪ ٣ - ) +‬ﺟﺎ ‪ ٣‬س ( × س ‪ ٣ +‬س‪ × ٢‬ﺟﺎ س‬

‫س‬ ‫‪1 ٣‬‬ ‫ﺟﺘﺎ‬ ‫‪ ) +‬ﺟﺘﺎ س ( × س ‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫س‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺟﺘﺎ‬ ‫= ﺟﺘﺎ ‪ ٣‬س – ‪ ٣‬س ﺟﺎ ‪ ٣‬س ‪ ٣ +‬س‪ ٢‬ﺟﺎ س ‪ +‬س‪ ٣‬ﺟﺘﺎ س ‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪/‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ص = ‪ ١٠‬ﺟﺎ س ﺟﺘﺎ س‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪٥٣‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ ص‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص = ‪ ٢ × ٥‬ﺟﺎ س ﺟﺘﺎ س = ‪ ٥‬ﺟﺎ ‪ ٢‬س‬ ‫∴ ص ‪ ٢ × ٥ = /‬ﺟﺘﺎ ‪ ٢‬س = ‪ ١٠‬ﺟﺘﺎ ‪ ٢‬س‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪/‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ص = ) ﺟﺎ س ‪ +‬ﺟﺘﺎ س (‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪٥٤‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ ص‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص = ﺟﺎ س ‪ ٢ +‬ﺟﺎ س ﺟﺘﺎ س ‪ +‬ﺟﺘﺎ س = ‪ + ١‬ﺟﺎ ‪ ٢‬س‬ ‫∴ ص ‪ ٢ = /‬ﺟﺘﺎ ‪ ٢‬س‬ ‫ﺗﺬﻛﺮ أن ‪ :‬ﺟﺎ ‪ ٢‬س ‪ +‬ﺟﺘﺎ ‪ ٢‬س = ‪ ، ١‬ﺟﺎ ‪ ٢‬س = ‪ ٢‬ﺟﺎ س ﺟﺘﺎ س‪.‬‬ ‫‪/‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ص = ﻗﺘﺎ س‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪٥٥‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ ص‬ ‫‪ × 0 /‬ﺠﺎ ﺱ ‪ -‬ﺠﺘﺎ ﺱ ×‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫∴‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص = ﻗﺘﺎ س =‬ ‫ص‬ ‫ﺟﺎ س‬ ‫ﺠﺎ‪ 2‬ﺱ‬ ‫ ﺠﺘﺎ ﺱ ‪ -‬ﺠﺘﺎ ﺱ‬‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ﺠﺎ ﺱ‬ ‫ﺟﺎ س‬ ‫ﺠﺎ‪ 2‬ﺱ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪٥٦‬‬

‫∴ ص ‪ - = /‬ﻇﺘﺎ س ﻗﺘﺎ س‬

‫إذا ﻛﺎن ص = ﺟﺎ‪ ٢ ) ٢‬س – ‪( ٣‬‬

‫ص = ] ﺠﺎ ) ‪ 2‬ﺱ ‪[(3 -‬‬

‫ﻓﺄوﺟﺪ ص‬

‫‪/‬‬

‫‪2‬‬

‫) اﻟﺤﻞ (‬ ‫ص ‪ ٢ = /‬ﺟﺎ ) ‪ ٢‬س – ‪ × ( ٣‬ﺟﺘﺎ ) ‪ ٢‬س – ‪٢ × ( ٣‬‬ ‫= ‪ ٢ × ٢‬ﺟﺎ ) ‪ ٢‬س – ‪ ( ٣‬ﺟﺘﺎ ) ‪ ٢‬س – ‪ ٢ = ( ٣‬ﺟﺎ ) ‪ ٤‬س – ‪( ٦‬‬ ‫ﺟﺎ س‬ ‫‪/‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ص =‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪٥٧‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ ص‬ ‫‪ + 1‬ﺟﺘﺎ س‬ ‫‪٢١٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺟﺘﺎ س ) ‪ + 1‬ﺟﺘﺎ س ( ‪ - ) -‬ﺟﺎ س ( ﺟﺎ س‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص ‪= /‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ + 1‬ﺟﺘﺎ س (‬ ‫‪ + 1‬ﺠﺘﺎ ﺱ‬ ‫ﺟﺘﺎ س ‪ +‬ﺟﺘﺎ‪ 2‬س ‪ +‬ﺟﺎ‪ 2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪= 2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ + 1‬ﺟﺘﺎ س‬ ‫) ‪ + 1‬ﺟﺘﺎ س (‬ ‫) ‪ + 1‬ﺠﺘﺎ ﺱ (‬ ‫ﺟﺎ ‪ 2‬س‬ ‫إذا ﻛﺎن ص =‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪٥٨‬‬ ‫ﺟﺘﺎ ‪ 3‬س‬ ‫‪ 2 /‬ﺟﺘﺎ ‪ 2‬س × ﺟﺘﺎ ‪ 3‬س ‪ 3 -) -‬ﺟﺎ ‪ 3‬س( × ﺟﺎ ‪ 2‬س‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ص =‬ ‫ﺟﺘﺎ‪ 3 2‬س‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ ص‬

‫=‬

‫‪/‬‬

‫‪ 2‬ﺠﺘﺎ ‪ 2‬ﺱ ﺠﺘﺎ ‪ 3‬ﺱ ‪ 3 +‬ﺠﺎ ‪ 3‬ﺱ ﺠﺎ ‪ 2‬ﺱ‬ ‫ﺠﺘﺎ‪ 3 2‬ﺱ‬

‫ط‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٥٩‬أﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = س ﺟﺘﺎ ‪ ٢‬س ﻋﻨﺪ س =‬ ‫‪2‬‬ ‫ﯾﺼﻨﻊ ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت زاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪. o135‬‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص ‪ × ١ = /‬ﺟﺘﺎ ‪ ٢‬س ‪ ٢ - ) +‬ﺟﺎ ‪ ٢‬س ( × س‬ ‫= ﺟﺘﺎ ‪ ٢‬س – ‪ ٢‬س ﺟﺎ ‪ ٢‬س‬ ‫ط‬ ‫ط‬ ‫∴ ص ‪ = /‬ﺟﺘﺎ ط – ‪ × ×٢‬ﺟﺎ ط‬ ‫ﻋﻨﺪ س =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪o‬‬ ‫∴ ھـ = ‪135‬‬ ‫∴ ﻇﺎ ھـ = ‪١ -‬‬ ‫∴ ص ‪ – ١- = /‬ط × ‪١ - = ٠‬‬ ‫‪5‬ط‬ ‫(‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٦٠‬أوﺟﺪ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = ﺟﺎ س ‪ ٢ +‬ﺟﺘﺎ ) س ‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻋﻨﺪ س = ط‬ ‫‪٢١٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪5‬ط‬ ‫) اﻟﺤﻞ ( ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص ‪ = /‬ﺟﺘﺎ س ‪ - ] ٢ +‬ﺟﺎ ) س ‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬ط‬ ‫= ﺟﺘﺎ س ‪ ٢ -‬ﺟﺎ ) س ‪-‬‬ ‫(‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻋﻨﺪ س = ط‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬ط‬ ‫( = ‪٢ - = ×٢ – ١ -‬‬ ‫∴ ص ‪ = /‬ﺟﺘﺎ ط ‪ ٢ -‬ﺟﺎ ) ط ‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٦١‬أوﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻷول ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = ﺟﺎ س ‪ +‬ﺟﺘﺎ س‬ ‫ﯾﻜﻮن اﻟﻤﻤﺎس ﻋﻨﺪھﺎ ﻣﻮازﯾﺎً ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ‪.‬‬ ‫ءص‬ ‫= ﺟﺘﺎ س – ﺟﺎ س = ‪ ) ٠‬ﻷن اﻟﻤﻤﺎس ﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (‬ ‫) اﻟﺤﻞ (‬ ‫ءس‬ ‫‪ o‬ط‬ ‫ﺟﺎ س‬ ‫= ‪ ∴ ١‬ﻇﺎ س = ‪ ∴ ١‬س = ‪= 45‬‬ ‫∴ ﺟﺎ س = ﺟﺘﺎ س ∴‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺟﺘﺎ س‬ ‫([‬

‫∴ ص = ﺟﺎ ‪ + o45‬ﺟﺘﺎ ‪= o45‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫ط‬ ‫∴ اﻟﻨﻘﻄﺔ ھﻰ )‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪٢‬‬

‫‪( ٢ ،‬‬

‫‪٢١٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪Ã‬‬

‫‪Ã‬‬

‫‪Ã‬‬

‫‪Ã‬‬

‫‪Ã‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫اﻟﻨﮭﺎﯾﺎت‬ ‫ﻣﻔﺎھﯿــــــﻢ وﺗﻌﺎرﯾــــــﻒ‪.‬‬ ‫إذا ﻛﺎن س ∋ ح = [ ‪ ] ∞ ، ∞ -‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)ﻣﺜﺎل( ‪∞ > ٣ - > ∞ -‬‬ ‫‪ > ∞ - .١‬س > ∞‬ ‫)ﻣﺜﺎل( ∞ ‪∞ = ٨ ±‬‬ ‫‪ ± ∞ .٢‬س = ∞‬ ‫)ﻣﺜﺎل( ‪∞ - = ٥ ± ∞ -‬‬ ‫‪ ± ∞ - .٣‬س = ‪∞ -‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ س ∋ ح‪ +‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)ﻣﺜﺎل( ‪∞ = ∞ × ٣‬‬ ‫‪ .١‬س × ∞ = ∞‬ ‫)ﻣﺜﺎل( ‪∞ - = ∞ - × ٤‬‬ ‫‪ .٢‬س × ‪∞ - = ∞ -‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪.٣‬‬ ‫=∞‬ ‫)ﻣﺜﺎل(‬ ‫=∞‬ ‫س‬ ‫‪7‬‬ ‫‪∞−‬‬ ‫‪∞−‬‬ ‫=‪∞-‬‬ ‫)ﻣﺜﺎل(‬ ‫=‪∞-‬‬ ‫‪.٤‬‬ ‫س‬ ‫‪7‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ س ∋ ح‪ -‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)ﻣﺜﺎل( ‪∞ - = ∞ × ٣ -‬‬ ‫‪ .١‬س × ∞ = ‪∞ -‬‬ ‫)ﻣﺜﺎل( ‪∞ = ∞ - × ٤-‬‬ ‫‪ .٢‬س × ‪∞ = ∞ -‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫=‪∞-‬‬ ‫)ﻣﺜﺎل(‬ ‫=‪∞-‬‬ ‫‪.٣‬‬ ‫س‬ ‫‪7−‬‬ ‫‪∞−‬‬ ‫‪∞−‬‬ ‫=∞‬ ‫)ﻣﺜﺎل(‬ ‫=∞‬ ‫‪.٤‬‬ ‫س‬ ‫‪7−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)ﻣﺜﺎل( ‪٠، ، ٥- ، ٧‬‬ ‫اﻟﻜﻤﯿﺔ اﻟﻤﻌﯿﻨﺔ ‪ :‬ھﻰ اﻟﻜﻤﯿﺔ اﻟﺘﻰ ﻟﮭﺎ ﻧﺎﺗﺞ ﻣﺤﺪد‬ ‫‪4‬‬ ‫‪∞ 0‬‬ ‫‪-∞، ،‬‬ ‫اﻟﻜﻤﯿﺔ ﻏﯿﺮ اﻟﻤﻌﯿﻨﺔ ‪ :‬ھﻰ اﻟﺘﻰ ﻟﯿﺲ ﻟﮭﺎ ﻗﯿﻤﺔ ﻣﺤﺪدة )ﻣﺜﺎل(‬ ‫‪∞ 0‬‬ ‫∞‬

‫‪٢١٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬ ‫‪Ã‬‬

‫‪Ã‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫‪7− 5‬‬ ‫س‬ ‫‪،‬‬ ‫ﺣﯿﺚ س ∋ ح – } ‪) { ٠‬ﻣﺜﺎل(‬ ‫اﻟﻜﻤﯿﺔ ﻏﯿﺮ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫س‬ ‫=‪٠‬‬ ‫=‪،٠‬‬ ‫=‪،٠‬‬ ‫)ﻣﺜﺎل(‬ ‫= ‪ ٠‬ﺣﯿﺚ س ∋ ح‬ ‫∞‬‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪∞±‬‬ ‫ﻧﮭﺎﯾـــﺔ داﻟـــﺔ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄـــﺔ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ١‬ﻧﮭــــــــﺎ ) س‪ ٥+٢‬س‪٧ = ٧-١٠+٤ = ( ٧-‬‬ ‫س←‪٢‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢‬ﻧﮭــــــــﺎ ‪٩ = ٩‬‬ ‫س←‪٥‬‬

‫‪3−‬‬ ‫ﺱ‪ + 3‬ﺱ‪5 − 1 + 1 5 - 2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٣‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4 +1‬‬ ‫ﺱ‪4 + 2‬‬ ‫س←‪١‬‬ ‫‪9−9‬‬ ‫ﺱ‪9 − 2‬‬ ‫=‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٤‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س←‪ ٣‬ﺱ ‪3+‬‬ ‫‪3 +3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫س‪3+‬‬ ‫=‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٥‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪ ٥‬س‪5-‬‬ ‫‪0‬‬

‫=‬

‫ﺻﻔﺮ‬ ‫‪6‬‬

‫= ﺻﻔﺮ‬

‫ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺮف " اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﯿﺲ ﻟﮭﺎ ﻧﮭﺎﯾﺔ "‬

‫‪0 8 - 8 6 −2 -4×2‬‬ ‫‪ 2‬ﺱ‪ - 2‬ﺱ ‪6 −‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫∴ د)‪= (٢‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٦‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪0 4-4‬‬ ‫‪4 -4‬‬ ‫ﺱ‪4 − 2‬‬ ‫س←‪٢‬‬ ‫ﻧﻀﻊ س = ‪ + ٢‬ﻫ‬

‫ﺣﯿﺚ س ← ‪٢‬‬

‫د)‪ +٢‬ﻫ( = ‪ +٢)٢‬ﻫ(‪ +٢) – ٢‬ﻫ( – ‪٦‬‬ ‫)‪ +٢‬ﻫ(‪٤- ٢‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻫ ← ‪٠‬‬

‫‪٤+٤)=٢‬ﻫ‪ +‬ﻫ‪ -٢ – (٢‬ﻫ – ‪٦‬‬ ‫‪٤+٤‬ﻫ‪ +‬ﻫ‪٤- ٢‬‬

‫‪٢١٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫= ‪٨+٨‬ﻫ ‪٢+‬ﻫ‪ -٢– ٢‬ﻫ – ‪٦‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤‬ﻫ‪ +‬ﻫ‬

‫‪٢‬‬

‫=ﻫ ‪٢+‬ﻫ‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤‬ﻫ‪ +‬ﻫ‬

‫ﻫ )=‪٢+٧‬ﻫ(‬ ‫ﻫ )‪ +٤‬ﻫ(‬

‫‪٢=+٧‬ﻫ‬ ‫‪ +٤‬ﻫ‬

‫‪7 0+ 7‬‬ ‫‪ 2‬ﺱ‪ - 2‬ﺱ ‪6 −‬‬ ‫ﻫ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫=‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫∴ ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫=‬ ‫ﻫ ← ‪ +٤ ٠‬ﻫ‬ ‫‪4 0+4‬‬ ‫ﺱ‪4 − 2‬‬ ‫س←‪٢‬‬ ‫‪0 8 - 8 6 −2 -4×2‬‬ ‫‪ 2‬ﺱ‪ - 2‬ﺱ ‪6 −‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٧‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫∴ د)‪= (٢‬‬ ‫‪0 4-4‬‬ ‫‪4 -4‬‬ ‫ﺱ‪4 − 2‬‬ ‫س←‪٢‬‬ ‫ﻧﺤﻠﻞ اﻟﺒﺴﻂ واﻟﻤﻘﺎم )إذا أﻣﻜﻦ ذﻟﻚ( وﻧﺨﺘﺼﺮ اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼﻔﺮى )اﻟﻤﺴﺒﺐ ﻟﻠﺼﻔﺮ ﻓﻰ‬ ‫ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺒﺴﻂ واﻟﻤﻘﺎم(‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 2‬س ‪3 +4 3 +‬‬ ‫)‪ 2‬س ‪) (3 +‬س ‪(2 -‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪ ٢‬س ‪2+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2+2‬‬ ‫س ← ‪) ٢‬س ‪) (2 -‬س ‪(2 +‬‬ ‫ﺱ‪ 4 + 2‬ﺱ‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٨‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪ 2 ٤-‬ﺱ‪ 4 + 2‬ﺱ ‪16 -‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪16 - 16‬‬ ‫=‬ ‫∴ د)‪= (٤-‬‬ ‫‪0 16 - 16 - 32‬‬

‫ﺱ )ﺱ ‪(4 +‬‬ ‫س )س ‪(4 +‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪) 2 ٤-‬ﺱ‪ 2 + 2‬ﺱ ‪ (8 -‬س ← ‪) 2 ٤-‬س ‪) ( 4 +‬س ‪(2 −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬‫س‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪) 2 ٤-‬س ‪3 6 - × 2 (2 -‬‬

‫‪٢١٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫) ﺱ ‪1- 2(2 -‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٩‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪ 3 ٣‬ﺱ‪ 4 − 2‬ﺱ ‪15 -‬‬ ‫ﺱ‪ 4 - 2‬ﺱ ‪1 - 4 +‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1- 1‬‬ ‫∴ د)‪= (٣‬‬ ‫=‬ ‫‪0 15 -12 - 27‬‬ ‫ﺱ‪ 4 - 2‬ﺱ ‪3 +‬‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪ 3 ٣‬ﺱ‪ 4 − 2‬ﺱ ‪ 15 -‬س ← ‪ 3 ٣‬ﺱ‪ 4 − 2‬ﺱ ‪15 -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1- 3‬‬ ‫س ‪1-‬‬ ‫)س ‪) ( 1-‬س ‪(3 -‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪ 3) ٣‬س ‪) (5 +‬س ‪ (3 −‬س ← ‪ 3 ٣‬س ‪7 14 5 + 9 5 +‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪١٠‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 3) - 1‬ﺱ ‪(1 +‬‬ ‫ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪4‬ﺱ‬ ‫س←‪٠‬‬

‫‪0 1− 1‬‬ ‫=‬ ‫∴ د)‪= (٠‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪ 9) - 1‬ﺱ‪ 6 + 2‬ﺱ ‪(1 +‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪4‬ﺱ‬ ‫س←‪٠‬‬ ‫س←‪٠‬‬ ‫‪ 9 - 1‬ﺱ‪ 6 - 2‬ﺱ ‪1 -‬‬ ‫‪4‬ﺱ‬ ‫ ‪ 3‬ﺱ )‪ 3‬ﺱ ‪(2 +‬‬‫ ‪ 9‬ﺱ‪ 6 - 2‬ﺱ‬‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪4‬ﺱ‬ ‫‪4‬ﺱ‬ ‫س←‪٠‬‬ ‫س←‪٠‬‬ ‫‪3−‬‬ ‫‪6−‬‬ ‫ ‪ 3) 3‬س ‪(2 +‬‬‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫س←‪٠‬‬

‫‪٢٢٠‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫)‪0 2(9 - 9‬‬ ‫∴ د)‪= (٣-‬‬ ‫=‬ ‫‪6 + 6‬‬‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫) ﺱ‪(9 - 2‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ١١‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪ 2 ٣-‬ﺱ ‪6 +‬‬

‫‪2‬‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ ]) ﺱ ‪ ) (3 +‬ﺱ ‪[(3 -‬‬ ‫س ← ‪٣-‬‬

‫‪ ) 2‬ﺱ ‪(3 +‬‬

‫‪2‬‬

‫) ﺱ ‪ ) 2(3 +‬ﺱ ‪(3 -‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪ ) 2‬ﺱ ‪(3 +‬‬ ‫س ← ‪٣-‬‬

‫) ﺱ ‪ ) (3 +‬ﺱ ‪36 ×0 2(3 -‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫=‪٠‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س ← ‪٣-‬‬ ‫‪0 12 + 16 - 4 - 8‬‬ ‫ﺱ‪ - 3‬ﺱ‪ 8 - 2‬ﺱ ‪12 +‬‬ ‫∴ د)‪= (٢‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ١٢‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6 + 10 − 4‬‬ ‫ﺱ‪ 5 - 2‬ﺱ ‪6 +‬‬ ‫س←‪٢‬‬ ‫إذا ﻛﺎن اﻟﺘﺤﻠﯿﻞ ﺻﻌﺒﺎً ﻧﻘﺴﻢ ﻛﻼً ﻣﻦ اﻟﺒﺴﻂ واﻟﻤﻘﺎم ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼﻔﺮى‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً ﻋﻠﻰ ) س‪(٢ -‬‬ ‫س–‪٢‬‬ ‫س‪ – ٣‬س‪ ٨ – ٢‬س ‪١٢ +‬‬ ‫س‪ + ٢‬س – ‪٦‬‬

‫‪٢‬‬

‫س‪٢– ٣‬س‬

‫… ‪ +‬س‪ ٨ – ٢‬س‬ ‫‪ +‬س‪ ٢ – ٢‬س‬ ‫…‬

‫ ‪ ٦‬س ‪١٢ +‬‬‫ ‪ ٦‬س ‪١٢ +‬‬‫‪٢٢١‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫…‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫‪...‬‬

‫ﺱ‪ + 2‬ﺱ ‪6 -‬‬ ‫) س ‪ ) (2 -‬س ‪ + 2‬س ‪(6 -‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫) س ‪ ) (2 -‬س ‪(3 -‬‬ ‫س ← ‪٢‬ﺱ ‪3 -‬‬ ‫س←‪٢‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6 -2 + 4‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪3 -2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬ﺱ‪ - 4‬ﺱ‪ + 3‬ﺱ ‪1 -‬‬ ‫‪1 - 1 + 1 - 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ∴ ‬د)‪= (١‬‬ ‫‪= ‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ١٣‬ﻧﮭــــــــﺎ ‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2 - 1 + 1 ‬‬ ‫س ← ‪  ١‬ﺱ ‪ +‬ﺱ ‪ 2 -‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‪٠‬‬

‫ﻧﻘﺴﻢ ﻛﻼً ﻣﻦ اﻟﺒﺴﻂ واﻟﻤﻘﺎم ﻋﻠﻰ ) س‪(١-‬‬ ‫س‪ – ٤‬س‪ + ٣‬س – ‪ ١‬س – ‪١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫س‪١ + ٣‬‬ ‫س‪ – ٤‬س‬ ‫‪..‬‬ ‫‪..‬‬ ‫س–‪١‬‬ ‫س–‪١‬‬ ‫‪.. ..‬‬ ‫س‪ + ...... ٣‬س – ‪ ٢‬س – ‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫س‪ + ٢‬س ‪٢ +‬‬ ‫س‪ – ٣‬س‬ ‫س‪ + ٢‬س‬ ‫س‪ – ٢‬س‬ ‫‪٢‬س–‪٢‬‬ ‫‪٢٢٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪٢‬س–‪٢‬‬ ‫‪.. ..‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ) ‬ﺱ ‪ ) (1-‬ﺱ‪ (1 + 3‬‬ ‫‪ ‬ﺱ‪ 1 + 3‬‬ ‫∴ ﻧﮭــــــــﺎ ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ = ‬ﻧﮭــــــــﺎ ‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س ← ‪ )  ١‬ﺱ ‪ ) ( 1-‬ﺱ ‪ +‬ﺱ ‪ (2 +‬‬ ‫س ← ‪  ١‬ﺱ ‪ +‬ﺱ ‪2 +‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1+ 1 ‬‬ ‫=‬ ‫‪=   = ‬‬ ‫= ‪‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪ 2 + 1 + 1‬‬ ‫‪4 16‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ١٤‬ﻧﮭــــــــﺎ ‪‬‬ ‫‬‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬‫ﺱ‬ ‫ﺱ ‪8-‬‬ ‫س←‪ ٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‬‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪  ٢‬ﺱ ‪ ) 2 -‬ﺱ ‪ ) (2 -‬ﺱ‪ 2 + 2‬ﺱ ‪ (4 +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ﺱ‪ 2 + 2‬ﺱ ‪12 - (4 +‬‬ ‫ﺱ‪ 2 + 2‬ﺱ ‪8 −‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺱ‬ ‫)‬ ‫‪(2‬‬ ‫‬‫ﺱ‬ ‫)‬ ‫س←‪٢‬‬ ‫س←‪٢‬‬ ‫) ﺱ ‪ ) (2 -‬ﺱ ‪(4 +‬‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪ ) ٢‬ﺱ ‪ ) ( 2 -‬ﺱ‪ 2 + 2‬ﺱ ‪(4 +‬‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬

‫ﺱ ‪4+‬‬

‫س ← ‪ ٢‬ﺱ‪ 2 + 2‬ﺱ ‪4 +‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4+2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2 12 4 + 4 + 4‬‬ ‫‪٢٢٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫د) س ‪ +‬و( ‪ -‬د) س(‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ١٥‬إذا ﻛﺎن د)س( = ‪٣‬س‪ ٥+‬ﻓﺄوﺟﺪ ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫و‬ ‫و← ‪٠‬‬ ‫‪ )3‬س ‪ +‬و( ‪ 3) - 5 +‬س ‪(5 +‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫و‬ ‫و← ‪٠‬‬ ‫‪3‬و‬ ‫‪ 3‬س ‪ 3 +‬و ‪ 3 -5 +‬س ‪5 −‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫و← ‪٠‬‬ ‫و← ‪ ٠‬و‬ ‫و‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ ‪٣ = ٣‬‬ ‫و← ‪٠‬‬

‫ﺱ‪ + 3) + 2‬ﺏ( ﺱ ‪ 3 +‬ﺏ‬ ‫= ‪ ١٠‬ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ١٦‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ﺱ‪3+‬‬ ‫س← ‪٣-‬‬ ‫ب‬ ‫) س ‪ ) (3 +‬س ‪ +‬ب(‬ ‫= ‪١٠‬‬ ‫ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫) س ‪(3 +‬‬ ‫س← ‪٣-‬‬ ‫∴ ﻧﮭــــــــﺎ )س‪ +‬ب( = ‪ + ٣- ∴ ١٠‬ب = ‪١٠‬‬ ‫س← ‪٣-‬‬

‫‪ 3‬ﺱ‪75 - 2‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ١٧‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ﺱ ‪5-‬‬ ‫س← ‪٥‬‬

‫∴ ب = ‪١٣‬‬

‫‪0 75 - 75‬‬ ‫=‬ ‫∴ د)‪= (٥‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5 -5‬‬

‫‪ ) 3‬ﺱ‪(25 - 2‬‬ ‫) س ‪ ) (5 -‬س ‪(5 +‬‬ ‫= ‪ ٣‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ﺱ ‪5-‬‬ ‫) س ‪(5 -‬‬ ‫س← ‪٥‬‬ ‫س← ‪٥‬‬ ‫= ‪ ٣‬ﻧﮭــــــــﺎ ) س ‪٣٠ = ١٠ × ٣ = (٥ +‬‬ ‫س← ‪٥‬‬

‫‪٢٢٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬ ‫‪2‬‬

‫ﺱ‪ 27 - 5‬ﺱ‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (٣‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ١٨‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪ 4 ٣‬ﺱ‪ 36 - 3‬ﺱ‬ ‫ﺱ‪ ) 2‬ﺱ‪(27 - 3‬‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪ 4 ٣‬ﺱ ) ﺱ‪(9 - 2‬‬

‫) ﺱ ‪ ) (3 -‬ﺱ‪ 3 + 2‬ﺱ ‪(9 +‬‬ ‫س‬ ‫× ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫) ﺱ ‪ ) (3 -‬ﺱ ‪(3 +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫س← ‪٣‬‬ ‫س← ‪٣‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪27‬‬ ‫ﺱ‪ 3 + 2‬ﺱ ‪3 9 + 9 + 9 3 9 +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫= ×‬ ‫= ×‬ ‫= × ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ﺱ ‪3+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 +3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫س← ‪٣‬‬ ‫ﺱ‪64 - 6‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ١٩‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪ ٢‬ﺱ ‪2 -‬‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (٢‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻥ‬

‫ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻟﻨﻈﺮﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬

‫ﻥ‬

‫ﺱ ‪-‬ﺃ‬ ‫ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← أ ﺱ ‪ -‬ﺃ‬

‫ﻥ ‪1-‬‬

‫=ن× ﺃ‬

‫‪.‬‬

‫ﺱ‪2 - 6‬‬ ‫= ‪١٩٢ = ٣٢ × ٦ = 2 × ٦‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪ ٢‬ﺱ ‪2 -‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪ 3‬ﺱ‪75 - 2‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢٠‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ﺱ ‪5-‬‬ ‫س← ‪٥‬‬

‫‪0 75 - 75‬‬ ‫=‬ ‫∴ د)‪= (٥‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5 -5‬‬ ‫‪٢٢٥‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ ) 3‬ﺱ‪(25 - 2‬‬ ‫ﺱ‪5 - 2‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ‪٣٠ = ٥× ٢ × ٣‬‬ ‫= ‪ ٣‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪ ٥‬ﺱ ‪5 -‬‬ ‫ﺱ ‪5-‬‬ ‫س← ‪٥‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 32‬ﺱ‪ - 2‬ﺱ‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢١‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪ 4 ٢‬ﺱ‪ - 3‬ﺱ‬

‫‪7‬‬

‫‪0‬‬ ‫∴د)‪= (٢‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪5‬‬ ‫ﻥ‬

‫ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻟﻨﺘﯿﺠﺔ ‪:‬‬

‫ﻥ‬

‫ن‬ ‫ﺱ ‪-‬ﺃ‬ ‫ﻡ ﻡ =‬ ‫ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫م‬ ‫س← أ‬ ‫ﺱ ‪-‬ﺃ‬

‫ﻥ‪ -‬ﻡ‬

‫× ﺃ‬

‫‪.‬‬

‫ﺱ‪ - 32) 2‬ﺱ‪( 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫× ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪ = 2‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫س← ‪ ٢‬س س← ‪ ٢‬ﺱ‪2 - 2‬‬ ‫س← ‪ ٢‬ﺱ‪ - 4) 3‬ﺱ (‬ ‫‪5 1‬‬ ‫= × × ‪١٠ = 32‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺱ‪ 27 - 5‬ﺱ‬ ‫∴ د)‪= (٣‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢٢‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪0‬‬ ‫س← ‪ 4 ٣‬ﺱ‪ 36 - 3‬ﺱ‬ ‫‪5‬‬

‫ﺱ‪2 - 5‬‬

‫ﺱ‪ ) 2‬ﺱ‪(27 - 3‬‬ ‫س‬ ‫× ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫س← ‪ 4 ٣‬ﺱ ) ﺱ‪(9 - 2‬‬ ‫س← ‪ 4 ٣‬س← ‪ ٣‬ﺱ‪3 - 2‬‬ ‫ﺱ‪3 - 3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= × ×‪=٣‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪٢٢٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺱ‪81 - 4‬‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (٣-‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢٣‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪ ٣-‬ﺱ‪243 + 5‬‬

‫‪4‬‬ ‫ﺱ‪(3-) - 4‬‬ ‫‪4−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4 1−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪× = (3− ) × = 5‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫س← ‪ ٣-‬ﺱ‪(3-) - 5‬‬

‫‪ 16‬ﺱ‪1 − 4‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢٤‬ﻧﮭــــــــــــــــﺎ‬ ‫س← ‪ 2 ٠٫٥ -‬ﺱ ‪1 +‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (٠٫٥-‬‬ ‫‪0‬‬

‫)‪ 2‬ﺱ(‪(1- ) - 4‬‬ ‫= ‪٤- = (١- ) × ٤‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪٢‬س← ‪ 2 ١-‬ﺱ ‪(1- ) -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢٥‬ﻧﮭــــــــﺎ ‪2‬‬ ‫س← ‪4‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﺱ‪128 − 4‬‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (٤‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﺱ ‪4-‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻀﺮب × ‪ ٢‬ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً‬

‫ﺱ‪1 44 - 4‬‬ ‫ﺱ‪1 256 − 4‬‬ ‫= × ‪١٢٨ = 4 × ٤‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪ ) 2 4‬ﺱ ‪(4 -‬‬ ‫‪ 2‬س← ‪ 4‬ﺱ ‪4 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢٦‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪٢‬‬

‫ﺱ‪ + 5‬ﺱ‪40- 3‬‬ ‫ﺱ‪4 - 2‬‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (٢‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪٢٢٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ ‬ﺱ‪ 32 - 5‬ﺱ‪ 8 - 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫ﻧﮭــــــــﺎ ‪ ‬ﺱ‪ + 4 - 2‬ﺱ‪ 4 - 2‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫←‬ ‫س‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 3 5‬‬ ‫= ×‪+ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ‬ﺱ‪ 52 - 5‬ﺱ‪ 32 - 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫ﻧﮭــــــــﺎ ‪ ‬ﺱ‪ + 22 - 2‬ﺱ‪ 22 - 2‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫←‬ ‫س‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫× ‪٢٣ = ٣ + ٢٠ = 2‬‬

‫س‪ ٥‬س ‪1−‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢٧‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ‪1-‬‬ ‫س← ‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (١‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺱ‪51- 5‬‬ ‫‪6 5 6‬‬ ‫ﺱ × ﺱ‪1 − 5‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ×‪= 1‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪5‬‬ ‫س← ‪ 1‬ﺱ ‪1-‬‬ ‫ﺱ ‪1-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫س← ‪1‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢٨‬ﻧﮭــــــــﺎ‬

‫)‪ ٣‬ﺱ‬

‫ﺱ‬

‫‪) (1-‬‬

‫‪(1-‬‬

‫‪2‬‬

‫) ﺱ ‪(1-‬‬

‫س← ‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (١‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪2‬‬‫ﺱ‪21 - 2‬‬ ‫ﺱ ‪31 - 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= × ‪= 2 1× × 3 1‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺱ ‪1-‬‬ ‫س← ‪ 1‬ﺱ ‪1 -‬‬ ‫‪6‬‬

‫ﺱ‪- 4‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٢٩‬ﻧﮭــــــــﺎ‬

‫‪3‬‬

‫س← ‪ ١-‬ﺱ ‪−‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﺱ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺱ‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (١-‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫ﺑﺎﻟﻀﺮب ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً × س‪ ٤‬ﺣﯿﺚ س ≠ ‪٠‬‬ ‫‪٢٢٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺱ‪1 − 8‬‬

‫ﺱ‪1 − 8‬‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪ ١-‬ﺱ‪ - 7‬ﺱ س← ‪ ١-‬ﺱ ) ﺱ‪(1- 6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺱ‪(1-) - 8‬‬ ‫‪4− 2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪= (1-) × × ١- = 6‬‬ ‫ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫×‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫س← ‪ ١-‬س س← ‪ ١-‬ﺱ‪(1-) - 6‬‬

‫ﺱ‪ 5‬ﻥ ‪ +‬ﺱ ﻥ ‪2 -‬‬ ‫= ‪١٢‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٣٠‬إذا ﻛﺎن ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ﺱ ‪1-‬‬ ‫س← ‪١‬‬ ‫‪ ‬ﺱ‪ 5‬ﻥ ‪ 51 −‬ﻥ ﺱ ﻥ ‪ 1 −‬ﻥ ‪‬‬ ‫ﻧﮭــــــــﺎ ‪‬‬ ‫‪٥ = ‬ن × ‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س← ‪ ١‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ 5‬ﻥ ‪1-‬‬

‫= ‪٥‬ن ‪ +‬ن = ‪٦‬ن = ‪١٢‬‬

‫= ﻧﮭـــــــــــﺎ‬ ‫ﺣﻞ آﺧﺮ ‪:‬‬

‫‪+‬ن×‪1‬‬

‫ﻥ‪1-‬‬

‫∴ن=‪٢‬‬

‫‪ + 1 ٣‬و ‪1-‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٣١‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫و‬ ‫و← ‪٠‬‬

‫‪ +١‬و← ‪١‬‬

‫ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ن‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (٠‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2−‬‬ ‫)‪ + 1‬ﻭ(‪31 − 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ×‪= 3 1‬‬

‫)‪ + 1‬ﻭ( ‪1-‬‬

‫ﻧﻀﻊ ‪ +١‬و = ص‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ و ← ‪٠‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫∴و=ص–‪١‬‬ ‫∴ص←‪١‬‬ ‫‪٢٢٩‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2−‬‬ ‫ﺹ‪31 − 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ×‪= 3 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ص← ‪ ١‬ﺹ ‪1-‬‬ ‫‪3‬‬

‫) ﺱ ‪81 − 4(2 +‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٣٢‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ﺱ ‪1-‬‬ ‫س← ‪١‬‬ ‫= ﻧﮭـــــــــــﺎ‬ ‫س‪٣ ←٢+‬‬

‫ﺣﻞ آﺧﺮ ‪:‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (١‬‬ ‫‪0‬‬

‫) ﺱ ‪3 − 4(2 +‬‬ ‫= ‪١٠٨ = ٢٧ × ٤ = 3 × ٤‬‬ ‫)ﺱ ‪3 - (2 +‬‬ ‫‪3‬‬

‫∴ س = ص ‪٢-‬‬ ‫∴ص←‪٣‬‬

‫ﻧﻀﻊ س‪ = ٢+‬ص‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ س ← ‪١‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﺹ‪3 - 4‬‬ ‫ﺹ‪81 − 4‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ‪= ٢٧ × ٤ = 3 × ٤‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ص← ‪ ٣‬ﺹ ‪ 1- 2 -‬ص← ‪ ٣‬ﺹ ‪3 -‬‬ ‫‪١٠٨‬‬ ‫‪3‬‬

‫) ﺱ ‪1 + 7(3 +‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٣٣‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ﺱ ‪4+‬‬ ‫س← ‪٤-‬‬ ‫= ﻧﮭـــــــــــﺎ‬ ‫س‪١- ←٣+‬‬

‫ﺣﻞ آﺧﺮ ‪:‬‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (٤-‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪7‬‬

‫) ﺱ ‪(1−) - 7( 3 +‬‬ ‫= ‪٧ = ١ × ٧ = (1− ) × ٧‬‬ ‫) ﺱ ‪(1-) - (3 +‬‬ ‫‪6‬‬

‫∴ س = ص ‪٣-‬‬ ‫∴ ص ← ‪١-‬‬

‫ﻧﻀﻊ س‪ = ٣+‬ص‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ س ← ‪٤-‬‬ ‫‪٢٣٠‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪7‬‬

‫ﺹ‪(1-) - 7‬‬ ‫ﺹ‪1 + 7‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ‪= ١ × ٧= (1− ) × ٧‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ص← ‪ ١-‬ﺹ ‪ 4 + 3 -‬ص← ‪ ١-‬ﺹ ‪(1-) -‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪6‬‬

‫)ﺱ ‪1 − 3(2 -‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٣٤‬ﻧﮭـــــــﺎ‬ ‫س← ‪ ٣‬ﺱ )ﺱ ‪(3 -‬‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (٣‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪3‬‬ ‫)ﺱ ‪1 - 3(2 -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ×‪١= 1×٣‬‬ ‫× ﻧﮭـــــــــــﺎ‬ ‫س← ‪ ٣‬س س‪) ١ ←٢-‬ﺱ ‪1 - (2 -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٣٥‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪2‬‬

‫)ﺱ ‪243 - 5(1 +‬‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (٢‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﺱ‪16 - 4‬‬

‫)ﺱ ‪243 - 5(1 +‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫×‬ ‫ﺱ ‪2-‬‬ ‫ﺱ‪16 - 4‬‬ ‫س← ‪2‬‬ ‫ﺱ ‪2-‬‬

‫= ﻧﮭـــــــــــﺎ‬ ‫س‪3 ←١+‬‬

‫‪5‬‬

‫)ﺱ ‪3 − 5(1 +‬‬ ‫× ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪4‬‬ ‫)ﺱ ‪3 - (1 +‬‬ ‫س← ‪ 2‬ﺱ‪2 - 4‬‬

‫‪1‬‬

‫ﺱ‪2 − 1‬‬

‫‪405‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪= × × ٨١ × ٥ = 3− 2 × × 43 × ٥‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪8 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪ + 2‬ﻭ(‪32 - 5‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٣٦‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ﻭ‬ ‫و← ‪٠‬‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (٠‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪٢٣١‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫= ﻧﮭـــــــــــﺎ‬ ‫‪ +٢‬و ← ‪٢‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫‪5‬‬

‫)‪ + 2‬ﻭ(‪2 − 5‬‬ ‫= ‪٨٠ = ١٦ × ٥ = 2 × ٥‬‬ ‫)‪ + 2‬ﻭ( ‪2 -‬‬ ‫‪4‬‬

‫)‪ + 2‬ﻭ(‪32 - 5‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٣٧‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫و← ‪٠‬‬ ‫‪7‬ﻭ‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (٠‬‬ ‫‪0‬‬

‫)‪ + 2‬ﻭ(‪32 - 5‬‬ ‫)‪ + 2‬ﻭ(‪32 - 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= × ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= × ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫و← ‪٠‬‬ ‫و← ‪٠‬‬ ‫×‪ 7‬ﻭ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪ + 2‬ﻭ(‪2 − 5‬‬ ‫‪80 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= × ﻧﮭـــــــــــﺎ‬ ‫= ×‪= 2×٥‬‬ ‫‪ +٢ 7‬و ← ‪ + 2) ٢‬ﻭ( ‪2 -‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬

‫)‪ 3 + 2‬ﻭ(‪32 - 5‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٣٨‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ﻭ‬ ‫و← ‪٠‬‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (٠‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬

‫)‪ 3 + 2‬ﻭ(‪2 - 5‬‬ ‫)‪ 3 + 2‬ﻭ(‪32 - 5‬‬ ‫= ‪ × ٣‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ‪ × ٣‬ﻧﮭـــــــــــﺎ‬ ‫‪ ٣+٢‬و← ‪ 3 + 2) ٢‬ﻭ( ‪2 -‬‬ ‫‪ ×3‬ﻭ‬ ‫و← ‪٠‬‬ ‫= ‪٢٤٠ = ١٦ × ٥ × ٣ = 42 × ٥ × ٣‬‬ ‫)‪ 3 + 2‬ﻭ(‪32 - 5‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٣٩‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪7‬ﻭ‬ ‫و← ‪٠‬‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (٠‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪٢٣٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫)‪ 3 + 2‬ﻭ(‪32 - 5‬‬ ‫)‪ 3 + 2‬ﻭ(‪32 - 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= × ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= × ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬ﻭ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫و← ‪٠‬‬ ‫و← ‪٠‬‬ ‫×‪ 7‬ﻭ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪ 3 + 2‬ﻭ(‪2 − 5‬‬ ‫‪240 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ×‪= 2×٥‬‬ ‫= × ﻧﮭـــــــــــﺎ‬ ‫‪ ٣+٢ 7‬و ← ‪ 3 + 2) ٢‬ﻭ( ‪2 -‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٤٠‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪١‬‬

‫س ‪2- 3 +‬‬ ‫س ‪1-‬‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (١‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﺑﺎﻟﻀﺮب ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً × ﻣﺮاﻓﻖ اﻟﺒﺴﻂ‪.‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪١‬‬

‫س ‪2- 3 +‬‬ ‫س ‪1-‬‬

‫×‬

‫)س ‪4 - (3 +‬‬ ‫س‪2+ 3 +‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫اﻟﻤﻘﺎم‬ ‫س ‪ 2 + 3 +‬س← ‪١‬‬

‫) س ‪(1-‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪ ) ١‬س ‪ ) (1-‬س ‪(2 + 3 +‬‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪١‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫س‪4 2+ 3 +‬‬

‫ﺱ‪1 + 3‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٤١‬ﻧﮭـــــــــــﺎ‬ ‫س← ‪ - 4 ١-‬ﺱ‪ + 2‬ﺱ ‪16 +‬‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (١-‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﺑﺎﻟﻀﺮب ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً × ﻣﺮاﻓﻖ اﻟﻤﻘﺎم‪.‬‬ ‫ﺱ‪1 + 3‬‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪ - 4 ١-‬ﺱ‪ + 2‬ﺱ ‪16 +‬‬

‫×‬

‫‪ + 4‬ﺱ ‪ +2‬ﺱ ‪16 +‬‬ ‫‪ + 4‬ﺱ ‪ +2‬ﺱ ‪16 +‬‬

‫‪٢٣٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﺍﻟﺒﺴﻁ‬

‫= ﻧﮭـــــــــــﺎ‬ ‫س← ‪ ) - 16 ١-‬ﺱ‪ + 2‬ﺱ ‪(16 +‬‬

‫= ﻧﮭـــــــــــﺎ‬ ‫س← ‪١-‬‬

‫ﺍﻟﺒﺴﻁ‬ ‫‪2‬‬

‫‪-‬ﺱ ‪−‬ﺱ‬

‫) ﺱ ‪ ) (1 +‬ﺱ‪ - 2‬ﺱ ‪ + 4) (1 +‬ﺱ‪ + 2‬ﺱ ‪( 16 +‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪١-‬‬ ‫ ﺱ ) ﺱ ‪(1 +‬‬‫) ﺱ‪ - 2‬ﺱ ‪ + 4) (1 +‬ﺱ‪ + 2‬ﺱ ‪( 16 +‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ﺱ‬‫س← ‪١-‬‬ ‫‪8×3‬‬ ‫)‪( 16 + 1- 1 + 4 ) (1 + 1 + 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٤٢‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪٣‬‬

‫= ‪٢٤‬‬

‫س ‪2 - 1+‬‬ ‫‪ -7‬س ‪2-‬‬

‫‪0‬‬ ‫∴ د)‪= (٣‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﺑﺎﻟﻀﺮب ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً × ﻣﺮاﻓﻖ اﻟﺒﺴﻂ × ﻣﺮاﻓﻖ اﻟﻤﻘﺎم‪.‬‬ ‫) س ‪ ) (2 - 1 +‬س ‪ - 7 ) (2 + 1 +‬س ‪(2 +‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪ - 7 ) ٣‬س ‪ ) (2 -‬س ‪ - 7 ) (2 + 1 +‬س ‪(2 +‬‬ ‫) س ‪ - 7 ) (4 -1 +‬س ‪(2 +‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪ - 7) ٣‬س ‪ ) (4 -‬س ‪(2 + 1 +‬‬ ‫) س ‪ - 7 ) (3 -‬س ‪(2 +‬‬ ‫) س ‪ - 7 ) (3 -‬س ‪(2 +‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪ - 3) ٣‬س( ) س ‪ (2 + 1 +‬س← ‪ ) - ٣‬س ‪ ) (3 -‬س ‪(2 + 1 +‬‬ ‫‪٢٣٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫= ‪ -‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ‪٣‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫‪2 +2‬‬ ‫‪ -7‬س ‪2+‬‬ ‫=‪-‬‬ ‫س ‪2 + 1+‬‬ ‫‪2 +2‬‬

‫= ‪١-‬‬

‫ﻧﮭﺎﯾـــﺔ داﻟـــﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﻼﻧﮭﺎﯾـــﺔ‪.‬‬ ‫ﺃ‬ ‫ﻥ = ﺻﻔﺮ‬ ‫ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ∞ ﺱ‬

‫ﺣﯿﺚ أ ∋ ح ‪ ،‬ن ∋ ح‬

‫‪.+‬‬

‫ﻹﯾﺠﺎد ﻧﮭﺎﯾﺔ داﻟﺔ ﻛﺴﺮﯾﺔ ﺟﺒﺮﯾﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﻼﻧﮭﺎﯾﺔ ﻧﻘﺴﻢ ﻛﻼً ﻣﻦ اﻟﺒﺴﻂ واﻟﻤﻘﺎم ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ س ﻣﺮﻓﻮﻋﺎً ﻷﻛﺒﺮ ﻗﻮة ﻟﮫ ﻓﻰ اﻟﻤﻘﺎم‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬ﺱ‪ 5 - 2‬ﺱ ‪7 +‬‬ ‫ﺱ ﺱ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٤٣‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‬‫ﺱ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪4‬‬ ‫∞‬ ‫←‬ ‫س‬ ‫س← ∞‬ ‫‪ +4‬ﺱ ‪2 -‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪+‬‬

‫وذﻟﻚ ﺑﻘﺴﻤﺔ ﻛﻼً ﻣﻦ اﻟﺒﺴﻂ واﻟﻤﻘﺎم ﻋﻠﻰ س‬

‫‪7‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪3 0 +0 − 3‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪4 0 −0 + 4‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٤٤‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ∞‬

‫) ‪ 2‬ﺱ ‪ ) ( 3 -‬ﺱ ‪(1 +‬‬ ‫ﺱ‪ 5 − 3‬ﺱ ‪2 +‬‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬

‫‪ 2‬ﺱ‪ - 2‬ﺱ ‪3 -‬‬

‫س← ∞ ﺱ‪ 5 - 3‬ﺱ ‪2 +‬‬

‫‪٢٣٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪3‬‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ∞‬

‫س‬

‫‪٣‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺱ ﺱ‪ 2‬ﺱ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺱ‪ 2‬ﺱ‬

‫‪0 0 −0 −0‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪1 0 + 0 −1‬‬

‫وذﻟﻚ ﺑﻘﺴﻤﺔ ﻛﻼً ﻣﻦ اﻟﺒﺴﻂ واﻟﻤﻘﺎم ﻋﻠﻰ‬

‫=‪٠‬‬

‫ﺱ‪ 5 - 2‬ﺱ‪2 + 3‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٤٥‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪(1‬‬ ‫‬‫ﺱ‬ ‫)‪2‬‬ ‫ﺱ‬ ‫س← ∞‬ ‫س← ∞‬ ‫‪ 5 -1‬ﺱ ‪+‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ∞‬

‫‪1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫ﺱ‬

‫‪∞ - 0 + ∞ −1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0− 2‬‬

‫ﺱ‪ 5 - 2‬ﺱ‪2 + 3‬‬ ‫‪ 2‬ﺱ‪ - 2‬ﺱ‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺱ‬

‫=‪∞ -‬‬

‫وذﻟﻚ ﺑﻘﺴﻤﺔ ﻛﻼً ﻣﻦ اﻟﺒﺴﻂ واﻟﻤﻘﺎم ﻋﻠﻰ س‬

‫‪٢‬‬

‫∴ اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﯿﺲ ﻟﮭﺎ ﻧﮭﺎﯾﺔ‬

‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٤٦‬ﻧﮭــــــــﺎ ‪ 2 ‬ﺱ ‪ 2) -‬ﺱ ‪ (3 -‬‬ ‫‪‬‬ ‫س← ∞ ‪ ‬ﺱ ‪1 +‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ 2‬ﺱ‪ 2 ) - 2‬ﺱ ‪ ) (3 -‬ﺱ ‪(1 +‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ∞‬ ‫ﺱ ‪1+‬‬ ‫‪٢٣٦‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪ 2‬ﺱ‪ 2 ) - 2‬ﺱ‪ - 2‬ﺱ ‪(3 -‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ﺱ ‪1+‬‬ ‫س← ∞‬ ‫‪ 2‬ﺱ‪ 2 - 2‬ﺱ‪ + 2‬ﺱ ‪3 +‬‬ ‫س‪3+‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ∞ س ‪1 +‬‬ ‫ﺱ ‪1+‬‬ ‫س← ∞‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪0+1‬‬ ‫س‬ ‫=‪١‬‬ ‫=‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0+1‬‬ ‫س← ∞ ‪+ 1‬‬ ‫س‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٤٧‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ∞‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ∞‬

‫‪ 4‬ﺱ ‪3-‬‬ ‫‪ 9‬ﺱ‪1 + 2‬‬

‫‪3‬‬ ‫ﺱ )‪− 4‬‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱ‬

‫‪+9‬‬

‫وذﻟﻚ ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً ﻋﻠﻰ س‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ∞‬

‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ∞‬

‫ﺱ‬

‫‪ 4‬ﺱ ‪3-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺱ‪( 2 + 9) 2‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 +9‬‬ ‫ﺱ‬

‫=‬

‫‪0−4‬‬ ‫‪0+ 9‬‬

‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬

‫‪٢٣٧‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪1‬‬ ‫‪ ٥‬ﺱ‪( 3 − 1) 5‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺱ‪ - 5‬ﺱ‬ ‫ﺱ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٤٨‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫س← ∞ ‪٧‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺱ‬ ‫∞‬ ‫←‬ ‫س‬ ‫‪٧‬‬ ‫ﺱ )‪( 7 + 1‬‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱ ‪٥‬‬

‫‪−1‬‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬

‫س← ∞ ﺱ ‪+ 1 ٧‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺱ‬

‫‪3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪−1 ٥‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺱ‬ ‫= ﻧﮭـــــــــــﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫س← ∞ ‪+ 1 ٧‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺱ‬

‫‪٥‬‬

‫‪0- 1‬‬ ‫=‬ ‫‪0+1 ٧‬‬

‫=‬

‫‪١‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٤٩‬ﻧﮭــــــــﺎ ) ‪) × (3 +‬‬ ‫ﺱ‬ ‫س← ∞ ﺱ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ∞‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ∞‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪× (3 +‬‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱ‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪× (3 +‬‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱ‬

‫ﺱ‪ + 2‬ﺱ ‪( 1 +‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(2 +‬‬ ‫ﺱ‪+ 1) 2‬‬ ‫ﺱ ﺱ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= ٠+٠+١ × (٣+٠) = 2 +‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫ﺱ ﺱ‬

‫‪٣‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٥٠‬ﻧﮭــــــــﺎ )‬ ‫س← ∞‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ∞‬

‫س‪- ١+ ٢‬‬

‫س‪( ١– ٢‬‬

‫) ﺱ‪ - 1 + 2‬ﺱ‪ ) ( 1 - 2‬ﺱ‪ + 1 + 2‬ﺱ‪( 1- 2‬‬ ‫) ﺱ‪ + 1 + 2‬ﺱ‪( 1- 2‬‬

‫‪٢٣٨‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ∞‬

‫)ﺱ‪) - (1 + 2‬ﺱ‪(1- 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺱ‪( 2 − 1) 2‬‬ ‫ﺱ‪+ ( 2 + 1) 2‬‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱ‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ∞‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﺱ‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪ + 2 +1‬ﺱ‬ ‫ﺱ‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺱ‬

‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً ﻋﻠﻰ س‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ∞‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪−1‬‬

‫‪+ 2 +1‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪٣‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ : ٥١‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ∞‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪1+1‬‬

‫=‪٠‬‬

‫ﺱ‬

‫ﺏ ﺱ‪ 3 + 3‬ﺱ‪1- 2‬‬ ‫‪ 4‬ﺱ‪7 + 2‬‬

‫= ‪ ١ -‬ﻓﻤﺎ ﻗﯿﻤﺔ ب ؟‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(3 −‬‬ ‫‪ ٣‬ﺱ‪ ) 3‬ﺏ ‪+‬‬ ‫ﺱ ﺱ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س← ∞‬ ‫ﺱ )‪( 2 + 4‬‬ ‫ﺱ‬

‫‪٢٣٩‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س← ∞‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫‪3‬‬ ‫ﺱ‪ ٣‬ﺏ‪+‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪+4‬‬

‫ﺱ‬

‫‪ ٣‬ب‬ ‫‪ ٣‬ب ‪0- 0 +‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0+4‬‬ ‫‪٨-‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﺱ‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺱ‬

‫∴‪ ٣‬ب = ‪٢ -‬‬

‫=‪١-‬‬

‫∴ب=‬

‫ﻧﮭﺎﯾـــﺔ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﯿـــﺔ‪.‬‬ ‫ﺟﺎ س‬ ‫ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪٠‬س‬

‫= ‪١‬‬

‫‪،‬‬

‫أ‬ ‫ﺟﺎ أ س‬ ‫=‬ ‫ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ب‬ ‫بس‬ ‫س←‪٠‬‬

‫‪.‬‬

‫ﻇﺎ س‬ ‫ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪٠‬س‬

‫= ‪١‬‬

‫‪،‬‬

‫أ‬ ‫ﻇﺎ أ س‬ ‫=‬ ‫ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ب‬ ‫بس‬ ‫س←‪٠‬‬

‫‪.‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‪ .‬ﻧﮭــــــــﺎ ﺟﺘﺎ س = ‪١‬‬ ‫س←‪٠‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٥٢‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س←‪٠‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٥٣‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س←‪٠‬‬

‫‪،‬‬

‫ﻧﮭــــــــﺎ ﺟﺘﺎ أ س = ‪١‬‬ ‫س←‪٠‬‬

‫ﺟﺎ ‪ 5‬س‬ ‫س‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻇﺎ س‬ ‫=‬ ‫‪3‬س‬ ‫‪3‬‬

‫=‪٥‬‬

‫‪٢٤٠‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﺜﺎل ‪٥٤‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫‪3‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬س‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ س =‬ ‫ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪ ٠‬ﺟﺎ ‪ 7‬س س ← ‪ ٠‬ﺟﺎ ‪ 7‬س‬ ‫‪7‬‬ ‫س‬ ‫وذﻟﻚ ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎ ﻋﻠﻰ س‬

‫ﻇﺎ ‪ 8‬س‬ ‫ﻇﺎ ‪ 8‬س‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٥٥‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ س =‬ ‫س ← ‪ ٠‬ﺟﺎ ‪ 5‬س س ← ‪ ٠‬ﺟﺎ ‪ 5‬س‬ ‫‪5‬‬ ‫س‬ ‫‪ 2‬س ﺟﺎ ‪ 7‬س‬ ‫‪+‬‬ ‫س‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٥٦‬ﻧﮭــــــــﺎ ‪ 2‬س ‪ +‬ﺟﺎ ‪ 7‬س = ﻧﮭــــــــﺎ س‬ ‫س ← ‪ 4 ٠‬س ‪ +‬ﻇﺎ ‪ 5‬س س ← ‪ 4 ٠‬س ﻇﺎ ‪ 5‬س‬ ‫‪+‬‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫‪9 7 +2‬‬ ‫= =‪١‬‬ ‫=‬ ‫‪9 5 +4‬‬ ‫‪ 5‬ﺱ‪ 7 2‬ﺱ‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ 5‬ﺱ‪ 7 - 2‬ﺱ‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٥٧‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪ 3‬ﺠﺎ ﺱ‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺠﺎ‬ ‫‪3‬‬ ‫س←‪٠‬‬ ‫س←‪٠‬‬ ‫ﺱ‬

‫‪٢٤١‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪7‬‬‫‪ 5‬س ‪7 −0 7 −‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫س ← ‪ 3 ٠‬ﺟﺎ س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1× 3‬‬ ‫س‬ ‫ﺟﺎ س ‪ 4‬ﻇﺎ س‬ ‫‪−‬‬ ‫س‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٥٨‬ﻧﮭــــــــﺎ ﺟﺎ س ‪ 4 -‬ﻇﺎ س = ﻧﮭــــــــﺎ س‬ ‫س ← ‪ 5 ٠‬س ﺟﺘﺎ ‪ 3‬س س ← ‪ 5 ٠‬س‬ ‫× ﺟﺘﺎ ‪ 3‬س‬ ‫س‬ ‫‪3 − 1× 4 - 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1× 5‬‬ ‫‪5‬ﺱ‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬ﺱ‬ ‫ﺱ‬ ‫ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫=‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٥٩‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪ ٠‬ﺠﺎ‪ 4 2‬ﺱ س ← ‪ ٠‬ﺠﺎ‪ 4 2‬ﺱ‬ ‫‪2‬‬

‫ﺱ‬

‫وذﻟﻚ ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً ﻋﻠﻰ س‬

‫‪٢‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺠﺎ‬ ‫‪‬‬ ‫س←‪ ٠‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ﺱ ‪‬‬

‫‪٢٤٢‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫‪2‬‬

‫ﺠﺎ‪ 2‬ﺱ‬

‫‪3‬ﺱ‬ ‫‪+ 2‬‬ ‫‪ 3‬ﺱ‪ + 2‬ﺠﺎ‪ 2‬ﺱ‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٦٠‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪ 2 ٠‬ﺱ‪ - 2‬ﻅﺎ‪ 2‬ﺱ س ← ‪ 2 ٠‬ﺱ‪ 2‬ﻅﺎ‪ 2‬ﺱ‬ ‫‪− 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱ‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ‬ﺠﺎ ﺱ ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪1+ 3‬‬ ‫‪1) + 3‬‬ ‫‪ ‬ﺱ‬ ‫‪‬‬ ‫=‪٤‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫=‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪1−2‬‬ ‫‪ ‬ﻅﺎ ﺱ ‪(1) − 2 2 ‬‬ ‫س←‪٠‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ −2‬‬ ‫‪ ‬ﺱ ‪‬‬ ‫(‪2‬‬

‫ﺟﺎ ‪ 3‬س‬ ‫ﺟﺘﺎ س ﺣﺎ ‪ 3‬س‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ ﺟﺘﺎ س × ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٦١‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س←‪5 ٠‬س‬ ‫س‬ ‫‪5‬‬ ‫س←‪٠‬‬ ‫س←‪٠‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪= ×١‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺱ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٦٢‬ﻧﮭــــــــﺎ س‪ ٢‬ﻇﺘﺎ ‪ ٧‬س ﻗﺘﺎ ‪ ٥‬س = ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪ ٠‬ﻅﺎ ‪ 7‬ﺱ × ﺠﺎ ‪ 5‬ﺱ‬ ‫س←‪٠‬‬ ‫ﺱ‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺱ‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪ ٠‬ﻅﺎ ‪ 7‬ﺱ ﺤﺎ ‪ 5‬ﺱ‬ ‫‪35‬‬ ‫‪5×7‬‬ ‫×‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱ‬

‫‪٢٤٣‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٦٣‬ﻧﮭــــــــﺎ س) ﻇﺘﺎ ‪٥‬س – ﻗﺘﺎ ‪٤‬س(‬ ‫س←‪٠‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫= ﻧﮭـــــــﺎ س ‪‬‬ ‫س‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺟﺎ‬ ‫س‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻇﺎ‬ ‫س←‪٠‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫س ‪‬‬ ‫‪ ‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ ‪‬‬ ‫س‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺟﺎ‬ ‫س‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻇﺎ‬ ‫‪‬‬ ‫س←‪ ٠‬‬

‫‪ ‬س‬ ‫س ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫‪‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ ‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫س ← ‪  ٠‬ﻇﺎ ‪ 5‬س ﺟﺎ ‪ 4‬س ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬س‬ ‫س ‪‬‬

‫‪1−‬‬ ‫‪5 −4 1 1‬‬ ‫= ‪= −‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪4 5‬‬ ‫‪ 5 ‬ﺟﺎ ‪ 4‬س‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٦٤‬ﻧﮭــــــــﺎ )‬ ‫‪ 2 +‬ﺟﺎ ‪ 4‬س ‪‬‬ ‫‪ (2 +‬ﺟﺎ ‪ 4‬س = ﻧﮭــــــــﺎ ‪‬‬ ‫س←‪3 ٠‬س‬ ‫س←‪3  ٠‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‪=٠×٢+ ×٥‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٦٥‬ﻧﮭــــــــﺎ س‪ +١ )٢‬ﻅﺘﺎ‪ 2‬ﺱ ( = ﻧﮭــــــــﺎ س‪ × ٢‬ﻗﺘﺎ‪ 2‬ﺱ‬ ‫س←‪٠‬‬

‫س←‪٠‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺱ‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪١= = 2‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ ‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺠﺎ‬ ‫ﺱ‬ ‫س ← ‪ ٠‬ﺠﺎ‬ ‫‪٠‬‬ ‫←‬ ‫س‬ ‫‪٠‬‬ ‫←‬ ‫س‬ ‫‪ ‬ﺠﺎ ﺱ ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺱ‬ ‫‪ ‬ﺱ ‪‬‬

‫‪٢٤٤‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ٦٦‬ﻧﮭــــــــﺎ‬

‫إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ ‪ /‬اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن‬

‫‪ - 1‬ﺠﺘﺎ ‪ 2‬ﺱ‬ ‫‪7‬ﺱ‬

‫س←‪٠‬‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬

‫س←‪٠‬‬

‫‪ 2 + 1 - 1‬ﺠﺎ‪ 2‬ﺱ‬ ‫‪2‬‬

‫‪7‬ﺱ‬

‫‪2‬‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬

‫‪ 2 - 1) - 1‬ﺠﺎ‪ 2‬ﺱ(‬ ‫‪7‬ﺱ‬

‫س←‪٠‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 2‬ﺠﺎ‪ 2‬ﺱ‬

‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س←‪ 7 ٠‬ﺱ‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬ﺠﺎ ﺱ ‪‬‬ ‫‪=١× = ‬‬ ‫= × ﻧﮭــــــــﺎ ‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 7‬س←‪  ٠‬ﺱ ‪‬‬ ‫ﻇﺎ ‪ ٥ 7‬س‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٦٧‬ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫س ← ‪ ٥4 ٠‬س‬ ‫ﻧﻀﻊ ص = ‪ ٥‬س‬

‫وﻋﻨﺪﻣﺎ س ← ‪٠‬‬

‫ﺗﻜﻮن ص ← ‪٠‬‬

‫‪7‬‬ ‫ﻇﺎ ‪ 7‬ص‬ ‫=‬ ‫= ﻧﮭــــــــﺎ‬ ‫ص ← ‪4 ٠‬ص‬ ‫‪4‬‬

‫‪٢٤٥‬‬ ‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺑﻌﺾ ﻗﻮاﻋﺪ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ‬ ‫ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻗﻮاﻋﺪ ﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب داﻟﺘﯿﻦ أو ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺔ داﻟﺘﯿﻦ وﻓﯿﻤﺎ ﯾﻠﻲ ﺟﺪول ﺑﻌﺾ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت اﻟﻐﯿﺮ اﻟﻤﺤﺪودة‬ ‫∋ ‪Η‬‬ ‫ﺣﯿﺚ ن ھﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ ‪ ،‬ﺣﯿﺚ ‪ :‬ث ‪Α ،‬‬ ‫‪(١‬‬

‫دس = س‪ +‬ث‬

‫‪(٢‬‬

‫‪ Α‬دس =‬

‫‪(٣‬‬

‫سن د س =‬

‫‪(٤‬‬

‫‪ Α‬د س = ‪Α‬س‪ +‬ث‬ ‫س‬

‫ن‪١+‬‬

‫ﺣﯿﺚ ن ∋ ‪{ ١ - } - Ν‬‬

‫‪ +‬ث‬

‫ن‪١+‬‬ ‫) ﺟـــــــﺎ س ( د س = ‪ -‬ﺟــﺘــﺎ س ‪ +‬ث‬

‫ف= ‪Η‬‬

‫ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺟــــﺎ س ‪ +‬ث‬

‫‪(٥‬‬

‫) ﺟـــﺘــــﺎ س( د س =‬

‫‪(٦‬‬

‫) ﻗــــــﺎ‪ ٢‬س( د س = ﻇــــﺎ س ‪ +‬ث ‪،‬‬

‫ف=‪}- Η‬‬

‫‪(٧‬‬

‫) ﻗــﺘــﺎ‪ ٢‬س( د س = ‪ -‬ﻇـــﺘـــﺎ س ‪ +‬ث‬

‫‪ ،‬ف = ‪ }- Η‬مط{‬

‫ط‬ ‫‪+‬‬

‫‪ +‬مط{‬

‫م‬

‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ط‬

‫‪(٨‬‬

‫) ﻗــــــﺎ س ﻇـــﺎ س ( د س‬

‫= ﻗـــــﺎ س ‪ +‬ث ‪،‬‬

‫ف=‪}- Η‬‬

‫‪(٩‬‬

‫) ﻗــﺘــﺎ س ﻇـــﺘــﺎ س ( د س‬

‫= ‪ -‬ﻗـــﺘـــﺎ س ‪ +‬ث‬

‫‪ ،‬ف = ‪ }- Η‬مط{‬

‫‪+‬‬

‫‪٢‬‬

‫م∋ ‪Ξ‬‬

‫ﺣﯿﺚ‬ ‫م∋ ‪Ξ‬‬

‫م∋ ‪Ξ‬‬

‫‪ +‬مط{‬

‫ﺣﯿﺚ‬

‫ﺣﯿﺚ‬

‫م∋ ‪Ξ‬‬

‫ﻃﺮق اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﺤﻮﯾﻠﮭﺎ إﻟﻰ اﺣﺪى اﻟﺼﻮر اﻟﻤﺤﺘﻮاه داﺧﻞ اﻟﺠﺪول اﻟﺴﺎﺑﻖ‬ ‫اوﻻ ‪ :‬ﺗﻜﺎﻣﻞ داﻟﺔ ﺧﻄﯿﺔ ﻣﺮﻓﻮﻋﺔ ﻷس‬

‫و ن ≠ ‪ ١ -‬أو‬

‫ن‬

‫ﺗﻜﺎﻣﻞ داﻟﺔ ﺧﻄﯿﺔ ﻣﺮﻓﻮﻋﺔ ﻷس ﻋﻠﻰ ﺻﻮرة ) ‪ Α‬س ‪ +‬ب (‬ ‫)‪ Α‬س‪ +‬ب (‬

‫ن‬

‫دس = ‪١‬‬ ‫‪Α‬‬

‫)‪ Α‬س‪ +‬ب (‬ ‫ن ‪١+‬‬

‫أي أن ﺗﻜﺎﻣﻞ داﻟﺔ ﺧﻄﯿﺔ ﻣﺮﻓﻮﻋﺔ ﻷس ن = ‪١‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ س‬

‫ن‬

‫دس‬

‫ن‪١+‬‬

‫)‪ Α‬س‪ +‬ب (‬

‫ن‬

‫دس‬

‫ن≠‪: ١-‬‬

‫ن≠‪١-‬‬ ‫‪ +‬ث‬

‫)‪ Α‬س ‪ +‬ب (‬ ‫ن ‪١+‬‬

‫ن‪١+‬‬

‫‪ +‬ث‬

‫ﺛﺎﻟﺜﺎً ¨ ﺗﻜﺎﻣﻞ داﻟﺔ داﺋﺮﯾﺔ زاوﯾﺘﮭﺎ داﻟﺔ ﺧﻄﯿﺔ ‪:‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪Α‬‬

‫‪(١‬‬

‫ﺟــــﺎ ) ‪ Α‬س ‪ +‬ب ( د س‬

‫‪(٢‬‬

‫ﺟـﺘـــﺎ ) ‪ Α‬س ‪ +‬ب ( د س = ‪١‬‬ ‫‪Α‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻇـــــﺎ )‪ Α‬س ‪ +‬ب ( ‪ +‬ث‬ ‫ﻗــــﺎ‪ Α ) ٢‬س ‪ +‬ب ( د س =‬ ‫‪Α‬‬ ‫ﻗـــﺘـــﺎ‪ Α ) ٢‬س ‪ +‬ب ( د س = ‪١-‬‬ ‫ﻇــﺘـــﺎ )‪ Α‬س ‪ +‬ب ( ‪ +‬ث‬ ‫‪Α‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻗـــــﺎ )‪ Α‬س ‪ +‬ب ( ‪ +‬ث‬ ‫ﻗــــﺎ ) ‪ Α‬س ‪ +‬ب ( ﻇـــــﺎ )‪ Α‬س ‪ +‬ب ( د س =‬ ‫‪Α‬‬ ‫ﻗـــﺘـــﺎ ) ‪ Α‬س ‪ +‬ب ( ﻇــﺘـــﺎ )‪ Α‬س ‪ +‬ب ( د س = ‪ ١ -‬ﻗــﺘـــﺎ )‪ Α‬س ‪ +‬ب ( ‪ +‬ث‬ ‫‪Α‬‬ ‫‪٢٤٦‬‬

‫‪(٣‬‬ ‫‪(٤‬‬ ‫‪(٥‬‬ ‫‪(٦‬‬

‫= ‪-‬‬

‫ﺟـــﺘـــﺎ )‪ Α‬س ‪ +‬ب ( ‪ +‬ث‬ ‫ﺟــــﺎ )‪ Α‬س ‪ +‬ب ( ‪ +‬ث‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫راﺑﻌﺎَ ¨ ﺗﻜﺎﻣﻞ داﻟﺔ داﺋﺮﯾﺔ زاوﯾﺘﮭﺎ داﻟﺔ ﺧﻄﯿﺔ ﻻ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻜﺎﻣﻠﮭﺎ إﻻ ﺑﺘﺤﻮﯾﻠﮭﺎ إﻟﻰ دوال اﺧﺮى ‪:‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪ (١‬ﺟــﺘــﺎ‪ ٢‬س =‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ (٢‬ﺟــﺎ‪ ٢‬س = ‪ - ١ )١‬ﺟــﺘــﺎ ‪ ٢‬س ( ‪σ‬‬ ‫‪٢‬‬

‫) ‪ + ١‬ﺟــﺘــﺎ ‪ ٢‬س ( ‪σ‬‬

‫‪ (٣‬ﻇــــﺎ‪ ٢‬س =‬

‫ﻗــﺎ‪ ٢‬س ‪١ -‬‬ ‫ﻗـﺘـﺎ‪ ٢‬س ‪١ -‬‬

‫‪σ‬‬

‫‪ - ١ ) ١‬ﺟــﺘــﺎ ﺿﻌﻒ اﻟﺰاوﯾﺔ (‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺟــــﺎ‪ ) ٢‬زاوﯾﺔ ( =‬

‫ﻇــــﺎ‪ ) ٢‬زاوﯾﺔ ( =‬

‫‪σ‬‬

‫‪ (٢‬ﻇـﺘـــﺎ‪ ٢‬س =‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ (١‬ﺟــﺘــﺎ ) ‪ Α‬س ‪ +‬ب ( = ‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺟــﺘــﺎ‪ ) ٢‬زاوﯾﺔ ( =‬

‫ﻗـﺎ‬

‫ﻇـﺘـــﺎ‪ ) ٢‬زاوﯾﺔ ( =‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬

‫) ‪ + ١‬ﺟــﺘــﺎ ﺿﻌﻒ اﻟﺰاوﯾﺔ (‬

‫‪٢‬‬

‫) ﻧﻔﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ ( ‪١ -‬‬

‫ﻗـﺘﺎ‬

‫‪٢‬‬

‫) ﻧﻔﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ ( ‪١ -‬‬

‫) ‪ + ١‬ﺟــﺘــﺎ ‪ Α ) ٢‬س ‪ +‬ب ( (‬

‫‪١‬‬ ‫‪ (٢‬ﺟــﺎ‪ Α ) ٢‬س ‪ +‬ب ( = ‪ - ١ ) ٢‬ﺟــﺘــﺎ ‪ Α ) ٢‬س ‪ +‬ب ( (‬ ‫‪ (٣‬ﻇــــﺎ‪ Α ) ٢‬س ‪ +‬ب ( =‬

‫ﻗــﺎ‪ Α ) ٢‬س ‪ +‬ب ( ‪١ -‬‬

‫‪ (٢‬ﻇـﺘـــﺎ‪ Α ) ٢‬س ‪ +‬ب ( =‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬

‫ﻗـﺘـﺎ‪ Α ) ٢‬س ‪ +‬ب ( ‪١ -‬‬

‫ﺗﻜﺎﻣﻞ داﻟﺔ داﺋﺮﯾﺔ ﻟﺰاوﯾﺔ ﻣﺎ × ﺗﻔﺎﺿﻞ اﻟﺰاوﯾﺔ = ﺗﻜﺎﻣﻞ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ ﻟﻨﻔﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ‬

‫ﺧﺎﻣﺴﺎً ¨ ﺗﻜﺎﻣﻞ داﻟﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة ] د ) س ( [‬

‫ن‬

‫× دَ ) س ( ‪:‬‬

‫) ﺗﻜﺎﻣﻞ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب داﻟﺔ ﻣﺮﻓﻮﻋﺔ ﻷس ن ﻓﻲ ﻣﺸﺘﻘﺘﮭﺎ ﺣﯿﺚ ن ﻋﺪد ﻧﺴﺒﻲ و ن ≠ ‪( ١‬‬

‫أي أن إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻺﺷﺘﻘﺎق ﺧﻼل اﻟﻔﺘﺮة ف وﻛﺎن ن ∋ ‪{ ١ - } - Ν‬‬ ‫ن‪١ +‬‬

‫ﻓﺈن ‪:‬‬

‫] د ) س ( [ ن × دَ ) س ( د س = ] د ) س ( [‬ ‫ن‪١+‬‬ ‫] اﻟﺪاﻟﺔ [ ن × ﻣﺸﺘﻘﺘﮭﺎ = ] اﻟﺪاﻟﺔ [ ن ‪ + ١ +‬ث‬ ‫ن‪١+‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻟﺪﯾﻨﺎ داﻟﺘﯿﻦ ﻣﻀﺮوﺑﺘﯿﻦ أو ﻣﻘﺴﻮﻣﺔ واﻣﻜﻦ ﺗﺤﻮﯾﻠﮭﺎ إﻟﻰ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﺑﺸﺮط أن اس اﻟﻤﻘﺎم ≠ ‪١‬‬ ‫وﻛﺎﻧﺖ اﺣﺪاھﻤﺎ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻷﺧﺮى ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻤﻜﻦ اﺗﺒﺎع ﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﻧﻔﺮض أن اﻟﺪاﻟﺔ ذات اﻷس ھﻲ د ) س ( ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ اﻻﺧﺮى ھﻲ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ او ﺷﺒﺴﮭﮫ ﺑﻤﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﺼﺒﺢ ‪:‬‬ ‫ن‪١ +‬‬ ‫] د ) س ( [ ن × دَ ) س ( ∀س = ] د ) س ( [‬ ‫‪ +‬ث‬ ‫ن‪١+‬‬ ‫‪ +‬ث‬

‫‪٢٤٧‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ً ¨ ﺗﻜﺎﻣﻞ اﻟﺪوال ﻋﻠﻰ ﺻﻮرة‬ ‫أو ﻋﻠﻰ ﺻﻮرة ‪ ٢Α‬س‪ - ٢‬ب‬

‫‪٢‬‬

‫ب‪ ٢Α - ٢‬س‪٢‬‬

‫‪ ٢Α ،‬س‪ - ٢‬ب‬

‫‪٢‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ ٢Α‬س‪ + ٢‬ب‬

‫ﻓﻲ اﻟﻤﻘﺎم أو اﻟﺒﺴﻂ ﺑﺤﯿﺚ ﻻﯾﻜﻮن اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻋﻠﻰ ﺻﻮرة‬

‫‪٢‬‬

‫] د)س( [‬

‫ن‬

‫× دَ ) س ( ∀س‬

‫ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺘﺨﻠﺺ ﻣﻦ اﻟﺠﺬر ﺑﻮاﺳﻄﺔ اﻟﻌﻼﻗﺎت وﺗﺤﻮل اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت إﻟﻰ ﻧﻮع ﺳﺒﻖ دراﺳﺘﮫ ‪ ،‬ھﺬه اﻟﻌﻼﻗﺎت ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎت اﻷﺳﺎﺳﯿﺔ‬ ‫اﻷوﻟﻰ ﻟﺤﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎث ‪ :‬ﺟـﺎ‪ ٢‬س ‪ +‬ﺟـﺘﺎ‪ ٢‬س = ‪ ، ١‬ﻇـﺎ‪ ٢‬س ‪ =١ +‬ﻗــﺎ‪٢‬س ‪ ،‬ﻇﺘـﺎ‪ ٢‬س ‪ =١ +‬ﻗﺘــﺎ‪٢‬س‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪام ھﺬه اﻟﻌﻼﻗﺎت ﺳﻮاء ﻛﺎﻧﺖ ھﺬه اﻟﺪوال ﻛﺴﺮﯾﺔ أو ﺟﺬرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫اﻟـــــــــــﺘــــــــــﻌﻮﯾﺾ‬

‫اﻟــــــــــﺼــــــــــﻮرة‬ ‫ب‪ ٢Α - ٢‬س‪ ٢‬أو ب‪ ٢Α - ٢‬س‪٢‬‬ ‫) ﻋﺪد‪ - ٢‬ﻣﺘﻐﯿﺮ‪( ٢‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﻤﻘﺎم‬

‫‪٢‬‬ ‫أو ‪ ٢Α‬س‪ - ٢‬ب‬ ‫‪ ٢Α‬س‪ - ٢‬ب‬ ‫‪٢‬‬ ‫) ﻣﺘﻐﯿﺮ‪ - ٢‬ﻋﺪد (‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ ٢Α‬س‪ + ٢‬ب‬ ‫) ﻣﺘﻐﯿﺮ‪+ ٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫أو ‪ ٢Α‬س‪ + ٢‬ب‬ ‫ﻋﺪد‪( ٢‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﻤﻘﺎم‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﻤﻘﺎم‬

‫س = ب ﺟــﺎ ص‬ ‫‪Α‬‬

‫أو‬

‫س = ب ﻗــﺎ ص‬ ‫‪Α‬‬

‫أو‬

‫س= ب‬ ‫‪Α‬‬

‫س = ب ﻇــﺎ ص‬ ‫‪Α‬‬

‫أو‬

‫س = ب ﻇـﺘــﺎ ص‬ ‫‪Α‬‬

‫س = ب ﺟـﺘــﺎ ص‬ ‫‪Α‬‬ ‫ﻗـﺘــﺎ ص‬

‫*****************************************************************************************‬ ‫ﺟـﺎ‪ ٢‬س = ‪ - ١‬ﺟـﺘﺎ‪ ٢‬س‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺎت ‪:‬‬ ‫‪ (١‬ﺟـﺎ‪ ٢‬س ‪ +‬ﺟـﺘﺎ‪ ٢‬س = ‪١‬‬ ‫ﺟﺘـﺎ‪ ٢‬س = ‪ - ١‬ﺟــﺎ‪ ٢‬س‬ ‫‪ (٢‬ﻇـﺎ‪ ٢‬س ‪ =١ +‬ﻗــﺎ‪٢‬س ‪ σ‬ﻇـﺎ‪ ٢‬س = ﻗــﺎ‪٢‬س ‪١ -‬‬ ‫‪ (٣‬ﻇﺘـﺎ‪ ٢‬س ‪ =١ +‬ﻗــﺎ‪٢‬س ‪ σ‬ﻇـﺘﺎ‪ ٢‬س = ﻗـﺘـﺎ‪٢‬س ‪١ -‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪ (٤‬ﺟﺘـﺎ‪ ٢‬س =‬ ‫‪٢‬‬

‫) ‪ + ١‬ﺟﺘــﺎ‪ ٢‬س (‬

‫‪ (٥‬ﺟــﺎ‪ ٢‬س = ‪ - ١ ) ١‬ﺟﺘــﺎ‪ ٢‬س (‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ (٦‬ﺟــﺎ‪٢‬س = ‪ ٢‬ﺟــﺎس ﺟــﺘــﺎ س‬ ‫‪ (٧‬ﺟــﺘــﺎ ‪ ٢‬س = ﺟــﺘــﺎ‪ ٢‬س ‪ -‬ﺟــــﺎ‪ ٢‬س‬ ‫‪ (٨‬ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس ‪ ) :‬اﻟﻮﺗﺮ (‬ ‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ =‬

‫) اﻟﻮﺗﺮ (‬

‫‪٢‬‬

‫اﻟﻤﺠﺎور =‬

‫) اﻟﻮﺗﺮ (‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫=‬

‫) اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ (‬

‫‪-‬‬

‫) اﻟﻤﺠﺎور(‬

‫‪٢‬‬

‫‪-‬‬

‫) اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ (‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ) +‬اﻟﻤﺠﺎور(‬

‫‪٢‬‬

‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ =‬ ‫اﻟﻮﺗﺮ =‬

‫) اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ (‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ) +‬اﻟﻤﺠﺎور(‬

‫) ااﻟﻮﺗﺮ (‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ) -‬اﻟﻤﺠﺎور (‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ص‬ ‫اﻟﻤﺠﺎور =‬

‫‪٢٤٨‬‬

‫) ااﻟﻮﺗﺮ (‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ) -‬اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ (‬

‫‪٢‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﺑﻌﺾ اﻟﻤﻼﺣﻈﺎت ‪:‬‬ ‫‪ (١‬ﺟـــﺎص = اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﻮﺗﺮ‬ ‫ﻗــﺘـــﺎص = اﻟﻮﺗﺮ‬ ‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫‪ (٢‬س = ب‬ ‫‪Α‬‬

‫‪،‬‬

‫ﺟــﺘــﺎس = اﻟﻤﺠﺎور‬ ‫اﻟﻮﺗﺮ‬ ‫ﻗــــﺎس = اﻟﻮﺗﺮ‬ ‫اﻟﻤﺠﺎور‬

‫‪،‬‬ ‫‪σ‬‬

‫ﺟــﺎ ص‬

‫‪ ،‬ﻇــــﺎس = اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﻤﺠﺎور‬ ‫‪ ،‬ﻇــﺘـــﺎس = اﻟﻤﺠﺎور‬ ‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬

‫ﺟــﺎ ص = ‪ Α‬س‬ ‫ب‬ ‫‪١-‬‬

‫‪ (٣‬ﺟــﺎ ص = ‪ Α‬س‬ ‫ب‬ ‫‪ (٤‬ﻟﺤﻞ دوال ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة داﻟﺔ ﻛﺴﺮﯾﺔ ﻓﻲ ﺑﺴﻂ أو ﻓﻲ ﻣﻘﺎم ﺳﻮاء ﻓﯿﮭﺎ ﺟﺬر أو ﻏﯿﺮ ذﻟﻚ وﻟﯿﺴﺖ ﻋﻠﻰ ﺻﻮرة داﻟﺔ ﻓﻲ ﻣﺸﺘﻘﺘﮭﺎ ﻧﺘﺒﻊ ﻣﺎﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪σ‬‬

‫‪G‬‬

‫‪١‬‬

‫) ﻋﺪد (‬

‫‪٢‬‬

‫ص = ﺟــﺎ‬

‫‪ Α‬س‬ ‫ب‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ ) -‬ﻋﺪد × ﻣﻘﺪار ﻣﺘﻐﯿﺮ (‬

‫‪٢‬‬

‫) ﻋﺪد × ﻣﺘﻐﯿﺮ (‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ) -‬ﻋﺪد(‬

‫‪٣‬‬

‫) ﻋﺪد × ﻣﺘﻐﯿﺮ (‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ) +‬ﻋﺪد(‬

‫] ﺟــﺎ ص‬

‫‪٢‬‬

‫ب ‪ ٢Α -‬س‪٢‬‬

‫=‬

‫‪ ٢Α‬س‪ - ٢‬ب‬

‫=‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻧﻀﻊ‬ ‫ﻧﻀﻊ‬

‫س= ب‬ ‫‪Α‬‬ ‫س= ب‬ ‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬ ‫ﻧﻀﻊ س = ب‬ ‫‪ ٢Α‬س‪ + ٢‬ب‬ ‫‪Α‬‬ ‫) ﻧﺸﺘﻖ اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ (‬ ‫أو ﻇــﺎ ص [‬

‫=‬

‫أو ﻗــﺎ ص‬

‫‪ A‬ﻧﻔﺮض أن س = ب‬ ‫‪Α‬‬ ‫س = ب ] ﺟــﺎ ص أو ﻗــﺎ ص أو ﻇــﺎ ص [‬ ‫ﻣﺜﻼً‬ ‫‪Α‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫ء س = ب ] ﺟــﺘــﺎ ص د ص ‪ ،‬ﻗــﺎ ص ﻇـﺎص د ص‬ ‫‪Α‬‬

‫ﺟــﺎ ص‬ ‫ﻗــﺎ ص‬ ‫ﻇــﺎ ص‬

‫‪ ،‬ﻗــــﺎ‪ ٢‬ص د ص [‬

‫‪ B‬ﻧﻌﻮض ﻋﻦ ﻗﯿﻢ س ‪ ،‬د س ﺑﺪﻻﻟﺔ ص ‪ ،‬د ص‬ ‫ﻧﺤﺎول ان ﻧﺨﺘﺼﺮ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت وأﺧﺪ ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮك ﻣﻊ ﻣﻼﺣﻈﺔ ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﺟــﺎ‪ ٢‬ص (‬

‫= ب‪ - ٢‬ب‬

‫‪٢‬‬

‫ﺟــﺎ‪ ٢‬ص‬

‫& ب‪ ) ٢Α - ٢‬ب‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪Α‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺟﺘـﺎ س = ) ‪ + ١‬ﺟﺘــﺎ‪ ٢‬س (‬ ‫‪٢‬‬ ‫& ‪ ) ٢Α‬ب‬ ‫‪Α‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻗــﺎ‪ ٢‬ص ( ‪ -‬ب‪= ٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ب‬

‫‪٢‬‬

‫=‬

‫ب‪ - ١ ) ٢‬ﺟﺎ‪ ٢‬ص ( =‬

‫‪١‬‬ ‫‪ ،‬ﺟﺘـﺎ‪ ٢‬س =‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻗــﺎ‪ ٢‬ص‪ -‬ب‬

‫‪٢‬‬

‫) ‪ - ١‬ﺟﺘــﺎ‪ ٢‬س (‬

‫ب‪ ) ٢‬ﻗﺎ‪ ٢‬ص – ‪= ( ١‬‬

‫=‬

‫ب‪ ٢‬ﺟــﺘﺎ‪ ٢‬ص = ب ﺟﺘﺎص‬

‫ب‪ ٢‬ﻇــﺎ‪ ٢‬ص = ب ﻇــﺎص‬

‫& ب‪ ) ٢Α + ٢‬ب‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪Α‬‬ ‫*****************************************************************************************************************‬ ‫ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ن ∋ ‪{ ١ - } - Ν‬‬ ‫ﻇــﺎ‪ ٢‬ص (‬

‫= ب‪ + ٢‬ب‬

‫ن‪١+‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻇــﺎ‪ ٢‬ص‬

‫=‬

‫ب‪ + ١ ) ٢‬ﻇـﺎ‪ ٢‬ص ( =‬

‫‪(١‬‬

‫ﺟﺎن س ﺟﺘﺎ س ء س =‬

‫‪(٢‬‬

‫ﺟﺘﺎن س ﺟﺎ س ء س = ‪ -‬ﺟﺘﺎن س )‪ -‬ﺟﺎ س ( ء س = ‪ -‬ﺟﺎ‬

‫ﺟﺘﺎ‬ ‫ن ‪١+‬‬

‫ب‪ ٢‬ﻗــﺎ‪ ٢‬ص = ب ﻗــﺎص‬

‫س‪ +‬ث‬ ‫ن‪١+‬‬

‫س‪ +‬ث‬

‫ن ‪١+‬‬ ‫‪٢٤٩‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻇﺎ ن س ﻗﺎ‪ ٢‬س ء س = ﻇﺎ ن ‪١ +‬س ‪ +‬ث‬ ‫ن‪١+‬‬

‫‪(٣‬‬

‫ن‪١+‬‬

‫‪ ( ٤‬ﻇﺘﺎن س ﻗﺘﺎ‪ ٢‬س ء س = ‪ ٠-‬ﻇﺘﺎن س ) ‪ -‬ﻗﺘﺎ‪ ٢‬س ( ء س = ‪ -‬ﻇﺘﺎ‬ ‫ن ‪١+‬‬ ‫‪ (٥‬ﻗﺎن س ) ﻗﺎ س ﻇﺎ س ( ء س = ﻗﺎن ‪ ١ +‬س ‪ +‬ث‬ ‫ن ‪١+‬‬

‫س‪ +‬ث‬

‫ﻗﺘﺎن س ) ﻗﺘﺎ س ﻇﺘﺎ س ( ء س = ‪-‬‬ ‫ﻗﺘﺎن س )‪ -‬ﻗﺘﺎ س ﻇﺘﺎ س ( ء س = ‪ -‬ﻗﺘﺎن ‪ ١ +‬س ‪ +‬ث‬ ‫ن ‪١+‬‬ ‫ﻗﺎ ن س ﻇﺎ س ء س = ﻗﺎن‪ ١-‬س ) ﻗﺎ س ﻇﺎ س ( ء س = ﻗﺎن س ‪ +‬ث‬ ‫ن‬

‫‪(٦‬‬ ‫‪(٧‬‬

‫‪ (٨‬ﻗﺘﺎ ن س ﻇﺘﺎ سء س = ﻗﺘﺎن‪ ١-‬س ) ﻗﺘﺎ س ﻇﺘﺎ س ( ء س = ‪ -‬ﻗﺘﺎن‪ ١-‬س )‪ -‬ﻗﺘﺎ س ﻇﺘﺎ س ( ء س = ‪ -‬ﻗﺘﺎن س ‪ +‬ث‬ ‫ن‬ ‫) ﺟﺎس ‪ -‬ﺣﺘﺎ‪ ٢‬س ﺟﺎ س ( ء س‬ ‫ﺣﺎ‪ ٢‬س ﺟﺎس ء س = ) ‪ – ١‬ﺟﺘﺎ‪ ٢‬س ( ﺟﺎ س ء س =‬ ‫‪ (٩‬ﺟﺎ ‪ ٣‬س ء س =‬ ‫)ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻟـ ﺣﺘﺎ‪ ٣‬س (‬

‫= ‪ -‬ﺟﺘﺎ س ‪ ١ +‬ﺟﺘﺎ ‪ ٣‬س ‪ +‬ث‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ (١٠‬ﺟﺘﺎ‪ ٤‬س ء س = ﺟﺘﺎ‪ ٢‬س ﺟﺘﺎ‪ ٢‬س ء س‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬

‫=‬

‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪ + ١ ) ٤‬ﺟﺘﺎ‪ ٢‬س ‪ +‬ﺟﺘﺎ‪ ٢ ٢‬س ( ء س = ‪ + ١ ) ٤‬ﺟﺘﺎ ‪ ٢‬س ‪ + ١ ) ٢ +‬ﺟﺘﺎ ‪ ٤‬س ( ( ء س‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪ ] ٤‬س ‪ ٢ × ٢ +‬ﺟﺎ ‪ ٢‬س ‪ ٢ +‬س ‪ ٤ × ٢ +‬ﺟﺎ ‪ ٤‬س [ ‪ +‬ث‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪ ٤‬س ‪ ٤ +‬ﺟﺎ ‪ ٢‬س ‪ ٨ +‬س ‪ ٣٢ +‬ﺟﺎ ‪ ٤‬س ‪ +‬ث‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٨‬‬

‫س ‪+‬‬

‫‪ (١١‬ﻗﺎ‪ ٤‬س ء س‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫= ﻇﺎ س ‪ ٣ +‬ﻇﺎ س‬ ‫=‬

‫‪(١٢‬‬ ‫=‬

‫=‬

‫) ﺟﺘﺎ‪ ٢‬س (‬

‫‪٢‬‬

‫ءس=‬

‫‪١‬‬ ‫)‬ ‫‪٢‬‬

‫) ‪ + ١‬ﺟﺘﺎ‪ ٢‬س ( (‬

‫‪٢‬‬

‫ءس‬

‫ﻇﺎ‪ ٤‬س ء س‬

‫=‬

‫‪١‬‬ ‫‪ ٤‬ﺟﺎ ‪ ٢‬س ‪+‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٣٢‬‬

‫ﺟﺎ ‪ ٤‬س ‪ +‬ث‬

‫ﻗﺎ‪ ٢‬س ﻗﺎ‪ ٢‬س ء س =‬ ‫‪ +‬ث‬

‫) ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻟـ ﺟﺎ‪ ٤‬س (‬

‫) ‪ + ١‬ﻇﺎ‪ ٢‬س ( ﻗﺎ‪ ٢‬س ء س = ) ﻗﺎ‪ ٢‬س ‪ +‬ﻇﺎ‪ ٢‬س ﻗﺎ‪ ٢‬س ( ء س‬

‫) ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻗﺘﺎ‪ ٤‬س (‬

‫ﻇﺎ‪ ٢‬س ﻇﺎ‪ ٢‬س ء س =‬

‫) ﻗﺎ‪ ٢‬س ‪ ( ١ -‬ﻇﺎ‪ ٢‬س ء س = )ﻇﺎ‪ ٢‬س ﻗﺎ‪ ٢‬س ‪ -‬ﻇﺎ‪ ٢‬س‬

‫( ءس‬

‫) ﻇﺎ‪ ٢‬س ﻗﺎ‪ ٢‬س ‪ ) -‬ﻗﺎ‪ ٢‬س ‪ ( ( ١ -‬ء س‬

‫= ‪ ١‬ﻇﺎ‪ ٣‬س ‪ -‬ﻇﺎ س ‪ +‬س ‪ +‬ث‬ ‫‪٣‬‬ ‫***************************************************************************************‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻻﺳﯿﺔ واﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﯿﺔ ‪:‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﯿﺔ‬ ‫اوﻻَ ‪ :‬اﻻﺷﺘﻘﺎق ‪:‬‬ ‫× دَ ) س ( = دَ ) س (‬ ‫‪١‬‬ ‫‪ (١‬ص = ﻟﻮ د) س ( ⇐ صَ =‬ ‫د) س (‬ ‫د) س (‬ ‫أي ان ﺗﻔﺎﺿﻞ ﻟﻮ) أي داﻟﺔ ( = ‪ × ١‬ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫‪ (٢‬ص = ﻟﻮ س ⇐ صَ = ‪١‬‬ ‫ص‬ ‫) ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻇﺘﺎ‪ ٤‬س (‬

‫‪٢٥٠‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫ﻻﺣﻆ ‪ :‬ص = ﻟﻮ‬

‫‪Α‬‬

‫⇐ صَ =‬

‫د) س ( = ﻟﻮ د) س (‬

‫ﻟﻮ ‪Α‬‬

‫‪× ١‬‬

‫‪١‬‬

‫ﻟﻮ ‪Α‬‬

‫د) س (‬

‫دَ ) س (‬

‫× دَ ) س ( =‬

‫ﻟﻮ ‪ Α‬ﻟﻮ د) س (‬

‫ﺛﺎﻧﯿﺎَ ‪ :‬اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ‬ ‫ﻟﻮ | د ) س ( | ‪ +‬ث‬

‫‪(١‬‬

‫دَ ) س ( ء س =‬ ‫د)س(‬ ‫ﻟﻮ | اﻟﺪاﻟﺔ | ‪ +‬ث‬ ‫ﻣﺸﺘﻘﺔ ء س =‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬

‫‪(٢‬‬

‫ﻟﻮس ء س = س ﻟﻮ س ‪ -‬س ‪ +‬ث‬

‫‪ (٣‬ﻟﻮس ن ء س =‬ ‫‪(٤‬‬

‫ن‬

‫ﻟﻮ س ء س =‬ ‫‪Α‬‬

‫‪ ( ٥‬ﻟﻮ س‬ ‫‪Α‬‬

‫ن‬

‫=‬

‫ﻟﻮ س = ن ) س ﻟﻮ س ‪ -‬س ( ‪ +‬ث‬ ‫ﻟﻮ س ء س =‬ ‫ﻟﻮ ‪Α‬‬

‫ن‬

‫ﺗﻜﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﻘﺔ = ﻟﻮ | اﻟﺪاﻟﺔ | ‪ +‬ث‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬

‫س ﻟﻮ س ‪ -‬س ‪ +‬ث‬ ‫ﻟﻮ ‪Α‬‬

‫ﻟﻮ س = ن ) س ﻟﻮ س ‪ -‬س ( ‪ +‬ث‬ ‫ﻟﻮ ‪Α‬‬ ‫ﻟﻮ ‪Α‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻻﺳﯿﺔ ‪:‬‬ ‫اوﻻَ ‪ :‬اﻻﺷﺘﻘﺎق ‪ ) :‬اﺗﺒﻌﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻓﻘﻂ (‬ ‫ﺗﻔﺎﺿﻞ أي داﻟﺔ اﺳﯿﺔ = ﻧﻔﺲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻻﺳﯿﺔ × ﺗﻔﺎﺿﻞ اﻻس × ﻟﻮ اﻻﺳﺎس‬ ‫ﻷن ﻟﻮ ھـ = ‪ ( ١‬أي ان ‪:‬‬ ‫) وﻟﻜﻦ إذا ﻛﺎن اﺳﺎﺳﮫ ھـ ﻣﺎﻧﻜﺘﺐ ﻟﻮ اﻻﺳﺎس‬ ‫ھ‬ ‫‪ ( ١‬ص = ھـ‬

‫س‬

‫⇐ ص َ= ھـ‬

‫‪ (٢‬ص = ھـ‬

‫د) س (‬

‫‪ (٣‬ص= ‪Α‬‬

‫س‬

‫‪ (٤‬ص = ‪Α‬‬

‫د) س (‬

‫‪ (٥‬ص = ﻟﻮ ھـ‬

‫س‬

‫⇐ ص َ= ھـ د) س ( × دَ ) س (‬ ‫⇐ ص َ= ‪Α‬‬

‫د) س (‬

‫س‬

‫ﻟﻮ ‪Α‬‬ ‫د) س (‬

‫⇐ ص َ= ‪Α‬‬ ‫= د) س (‬

‫‪ (٦‬ﻻﺣﻈﻲ ھﻨﺎﻟﻚ ﻓﺮق ﺑﯿﻦ‬

‫× دَ ) س ( ﻟﻮ ‪Α‬‬ ‫ﻟﻮ د) س (‬

‫‪ ،‬ص = ھـ‬

‫ص = ھـ‬

‫ﻟﻮ ) س ‪(Α +‬‬

‫= د) س (‬

‫= س‪Α +‬‬

‫و‬

‫) وﺗﻔﺎﺿﻞ او ﺗﻜﺎﻣﻞ ﺣﺴﺐ ﻧﻮع اﻟﺪاﻟﺔ (‬ ‫ص = ھـ‬

‫ﻟﻮ س ‪Α +‬‬

‫= ھـ‬

‫ﻟﻮ س‬

‫ھـ‬

‫‪Α‬‬

‫= س ھـ‬

‫‪Α‬‬

‫ﺛﺎﻧﯿﺎً ‪ :‬اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪ ) :‬اﺗﺒﻌﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻓﻘﻂ (‬ ‫ﺗﻜﺎﻣﻞ أي داﻟﺔ اﺳﯿﺔ × ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻻس = ﻧﻔﺲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻻﺳﯿﺔ‬ ‫ﻟﻮ اﻻﺳﺎس‬ ‫) وﻟﻜﻦ إذا ﻛﺎن اﺳﺎﺳﮫ ھـ ﻣﺎﻧﻜﺘﺐ ﻟﻮ اﻻﺳﺎس‬ ‫‪(١‬‬

‫ھـ‬

‫‪(٢‬‬

‫ھـ‬

‫س‬

‫ء س = ھـ‬

‫د) س (‬

‫س‬

‫ﻷن‬

‫ﻟﻮ ھـ = ‪ ( ١‬أي ان ‪:‬‬ ‫ھ‬

‫‪ +‬ث‬

‫× دَ ) س ( ء س‬

‫=‬

‫ھـ‬

‫د) س (‬

‫‪ +‬ث‬

‫‪٢٥١‬‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫‪(٣‬‬ ‫‪(٤‬‬

‫‪Α‬‬

‫س‬

‫س‬

‫ء س = ‪Α‬‬ ‫ﻟﻮ ‪Α‬‬ ‫د) س (‬

‫‪Α‬‬

‫‪ (٥‬ص = س‬ ‫= س‬ ‫‪(٦‬‬

‫س‬

‫س‬

‫س‬

‫س‬

‫‪ +‬ث‬ ‫د) س (‬

‫= ‪Α‬‬ ‫× دَ ) س ( ء س‬ ‫ﻟﻮ ‪Α‬‬ ‫س ﻟﻮ س‬ ‫⇐ صَ = ھـ‬ ‫⇐ ص = ھـ ﻟﻮ س س = ھـ‬ ‫‪ +‬ث‬

‫س ﻟﻮ س‬

‫× ) ‪ × ١‬ﻟﻮ س ‪ +‬س × ‪١‬‬ ‫س‬

‫(‬

‫) ﻟﻮ س ‪( ١ +‬‬ ‫) ﻟﻮ س ‪ ( ١ +‬ء س = س‬

‫س‬

‫‪+‬ث‬

‫ﻻﺗﻮﺟﺪ ﻗﺎﻋﺪة ﻣﺒﺎﺷﺮة ﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺿﺮب او ﻗﺴﻤﺔ داﻟﺘﯿﻦ ‪:‬‬ ‫اوﻻَ ‪ :‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻀﺮب‬ ‫‪ (١‬إذا ﯾﻤﻜﻦ اﻟﻀﺮب ﻧﻀﺮب ﺛﻢ ﻧﻜﺎﻣﻞ‬ ‫‪ (٢‬ﻻﯾﻤﻜﻦ اﻟﻀﺮب‬ ‫اﺣﺪى اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻻﺧﺮى‬

‫ﻻﯾﻤﻜﻦ اﻟﻀﺮب او ﻟﯿﺴﺖ اﺣﺪى اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻻﺧﺮى‬

‫أي أن إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻺﺷﺘﻘﺎق ﺧﻼل‬ ‫اﻟﻔﺘﺮة ف وﻛﺎن ن ∋ ‪ { ١ - } - Ν‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫ن‪١ +‬‬

‫] د ) س ( [ ن × دَ ) س ( ∀س = ] د ) س ( [‬ ‫ن‪١+‬‬ ‫ﺧﻄﯿﮫ‬ ‫] اﻟﺪاﻟﺔ [ ن × ﻣﺸﺘﻘﺘﮭﺎ = ] اﻟﺪاﻟﺔ [ ن ‪ + ١ +‬ث‬ ‫ن‪١+‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮات‬

‫اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ‪ :‬ﻧﻔﺮض ان اﻟﻤﻘﺪار ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﺨﻄﯿﺔ‬ ‫واﻟﺘﻲ ﻟﮭﺎ ذات اﻻس اﻟﺼﻌﺐ ﺑـ ص ﻧﻮﺟﺪ س ﺑﺪﻻﻟﺔ ص‬ ‫ﻧﻔﺎﺿﻞ اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ ﺛﻢ ﻧﻌﻮض ﻋﻦ ﻗﯿﻢ س ‪ ،‬ء س‬ ‫ﺑﺪﻻﻟﺔ ص ‪ ،‬ء ص‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻣﻤﻜﻦ ﻓﻲ ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال ﻟﯿﺴﺖ داﻟﺔ‬

‫‪ +‬ث‬

‫وﻟﻜﻦ ﻧﺤﺎول ان ﻧﺴﺘﺨﺪم ﻟﮭﺎ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ‬ ‫ﻧﻔﺮض واﻟﺘﻲ ﻟﮭﺎ اﻻس اﻟﺼﻌﺐ ﺑـ ص ﺛﻢ ﻧﺘﺒﻊ‬

‫ﺛﺎﻧﯿﺎَ ‪ :‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ ‪:‬‬ ‫او َﻻ ‪ :‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻀﺮب‬ ‫ﻗﺴﻤﺔ داﻟﺘﯿﻦ‬

‫ﯾﻤﻜﻦ رﻓﻊ اﻟﻤﻘﺎم ﻟﻠﺒﺴﻂ‬ ‫ﺑﺤﯿﺚ اس اﻟﻤﻘﺎم ن ≠ ‪١ -‬‬

‫ﻻﯾﻤﻜﻦ رﻓﻊ اﻟﻤﻘﺎم ﻷن اﻟﻤﻘﺎم ﺑﺎس ﯾﺴﺎوي ‪١‬‬

‫ﺗﺤﻮل إﻟﻰ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب داﻟﺘﯿﻦ وﺗﻔﺎﺿﻞ ﻋﻠﻰ ﺣﺴﺐ ﻣﺎ ﺳﺒﻖ‬

‫إذا ﻛﺎن درﺟﺔ اﻟﺒﺴﻂ ≤ درﺟﺔ اﻟﻤﻘﺎم‬

‫إذا ﻛﺎن درﺟﺔ اﻟﺒﺴﻂ > درﺟﺔ اﻟﻤﻘﺎم‬ ‫وﻛﺎن اﻟﺒﺴﻂ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﻤﻘﺎم‬

‫اﻣﺎ ﺑﺎﻟﺘﺤﻠﯿﻞ واﻻﺧﺘﺼﺎر ﺛﻢ ﻧﻜﺎﻣﻞ إذا ﻛﺎن‬ ‫درﺟﺔ اﻟﺒﺴﻂ < درﺟﺔ اﻟﻤﻘﺎم‬ ‫او ﻗﺴﻤﺔ ﻣﻄﻮﻟﺔ ﺛﻢ ﻧﺨﺘﺎر ﻃﺮﯾﻘﺔ ﻣﻨﺎﺳﯿﺔ‬ ‫ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻞ‬

‫دَ ) س ( ء س = ﻟﻮ | د ) س( | ‪ +‬ث‬ ‫د) س (‬

‫‪٢٥٢‬‬

‫ﻣﺸﺘﻘﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬

‫= ﻟﻮ | اﻟﺪاﻟﺔ | ‪ +‬ث‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬

‫وﻓﻲ اﻟﺨﺘﺎم‬ ‫ﻳﺎ ﻗﺎﺭﺉ ﺣﻈﻲ ﻻ ﺗﺒﻜﻲ ﻋﻠﻰ ﻣﻮﺗﻲ‪..‬ﻓﺎﻟﻴﻮﻡ ﺃﻧﺎ ﻣﻌﻚ ﻭﻏﺪﺍﹰ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺮﺍﺏ‪..‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﻋﺸﺖ ﻓﺈﻧﻲ ﻣﻌﻚ ﻭﺇﻥ ﻣﺖ ﻓﻠﻠﺬﻛﺮﻯ!‪..‬‬ ‫ﻭﻳﺎ ﻣﺎﺭﺍﹰ ﻋﻠﻰ ﻗﺒﺮﻱ ﻻ ﺗﻌﺠﺐ ﻣﻦ ﺃﻣﺮﻱ‪..‬‬ ‫ﺑﺎﻷﻣﺲ ﻛﻨﺖ ﻣﻌﻚ ﻭﻏﺪﺍﹰ ﺃﻧﺖ ﻣﻌﻲ‪...‬‬ ‫ﻭﻨﺴﺄل ﺍﷲ ﺍﻟﻌﻠﻲ ﺍﻟﻘﺩﻴﺭ ﺃﻥ ﻨﻜﻭﻥ ﻗﺩ ﻭﻓﻘﻨﺎ ﻓـﻲ ﻤﻌﺎﻟﺠـﺔ ﻤﻭﻀـﻭﻋﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻨﺴﺄﻟﻪ ﺘﻌﺎﻟﻰ ﺃﻥ ﻴﻨﻔﻊ ﺒﻪ ﺍﻟﻘﺎﺭﺉ ﺍﻟﻜـﺭﻴﻡ‪ ،‬ﻭﺃﻥ ﻴﻜـﻭﻥ ﻓـﻲ‬ ‫ﻤﻴﺯﺍﻥ ﺤﺴﻨﺎﺘﻨﺎ ﻴﻭﻡ ﺍﻟﻘﻴﺎﻤﺔ‪ ،‬ﻴﻭﻡ ﻻ ﻴﻨﻔﻊ ﻤﺎل ﻭﻻ ﺒﻨﻭﻥ ﺇﻻ ﻤﻥ ﺃﺘـﻰ ﺍﷲ‬ ‫ﺒﻘﻠﺏ ﺴﻠﻴﻡ‪.‬‬ ‫ﻭﺍﷲ ﻭﻟﻲ ﺍﻟﺘﻭﻓﻴﻕ‪،،،‬‬ ‫ﻭﺼﻠﻰ ﺍﷲ ﻭﺴﻠﹼﻡ ﻋﻠﻰ ﻨﺒﻴﻨﺎ ﺍﻷﻜﺭﻡ‬

‫ﺒﻘﻠﻡ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ‬ ‫ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ‬

‫‪PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com‬‬