ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻟﻠﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﺘﺄﻟﻴـﻑ
ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ
ﻣﺪﺭﺱ ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ Hamad70t@gmail.com
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ ﺒﺴﻡ ﺍﷲ ﺍﻟﺭﺤﻤﻥ ﺍﻟﺭﺤﻴﻡ ،ﻭﺍﻟﺼﻼﺓ ﻭﺍﻟﺴﻼﻡ ﻋﻠﻰ ﺨﺎﺘﻡ ﺍﻷﻨﺒﻴﺎﺀ ﻭﺍﻟﻤﺭﺴﻠﻴﻥ؛ ﻨﺒﻴﻨﺎ ﻤﺤﻤﺩ ﻋﻠﻴﻪ ﻭﻋﻠﻰ ﺁﻟـﻪ ﻭﺼـﺤﺒﻪ ﺃﻓﻀل ﺍﻟﺼﻼﺓ ﻭﺃﺘﻡ ﺍﻟﺘﺴﻠﻴﻡ ﺃﻤﺎ ﺒﻌﺩ: ﻻﺸﻙ ﻓﻲ ﺃﻥ ﻻ ﺸﻲ ﻴﻌﺎﺩل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻓﻬﻲ ﺒﺘﺭﻜﻴﺒﻬﺎ ﺍﻟﺩﻗﻴﻕ ﻏﻨﻴﺔ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻻ ﺘﻀﺎﻫﻴﻬﺎ ﺃﻱ ﻤﺎﺩﺓ ﻓـﻲ ﺩﻗﺘﻬـﺎ ﻭﻗـﻭﺓ ﻤﻨﻁﻘﻬﺎ ﻭﺸﺩﺓ ﺘﻨﺎﺴﻘﻬﺎ ،ﻭﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺒﻤﺜﺎﺒﺔ ﻴﻘﻴﻥ ﻋﻘﻠﻲ ﻤﻁﻠﻕ ﺒﺼﺭﻑ ﺍﻟﻨﻅﺭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻨﻁﺒﻘـﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﺃﻡ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﻁﺒﻕ ..ﺍﻷﻫﻡ ﺃﻥ ﻴﺘﺴﻕ ﺍﻟﺒﻨﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﻁﻘﻲ ﻤﻊ ﻨﻔـﺴﻪ ..ﻤﻌﻁﻴـﺎﺕ ﺍﻟﻘـﻀﻴﺔ ﻤـﻊ ﺘﻭﺍﻟﻴﻬـﺎ .. ﻓﺭﻀﻴﺎﺘﻬﺎ ﻤﻊ ﻨﺘﺎﺌﺠﻬﺎ ..ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺘﻴﺔ ﻤﻜﺘﻤﻠﺔ ﻤﻁﻠﻘﺎﹰ ﻓﻲ ﺼﺤﺘﻬﺎ ﻭﺘﺭﺍﺒﻁﻬﺎ ﻭﻻ ﻴﻌﻨﻴﻬﺎ ﺒﻌﺩ ﺫﻟـﻙ ﺍﻨﻁﺒﺎﻗﻬـﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﺃﻭ ﺘﺼﺩﻴﻘﻬﺎ ﻟﻪ ..ﺃﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﺍﻹﺨﺒﺎﺭﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ ﻓﻭﺴﺎﺌﻠﻬﺎ ﺍﻟﺤﻭﺍﺱ ﻭﺍﻟﺘﺼﻭﺭﺍﺕ ﻭﻤﺩﻯ ﺍﻟﺘﻨـﺎﻏﻡ ﻭﺍﻟﺼﺩﻕ ﻤﻊ ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ..ﻟﺫﺍ ﺭﺃﻴﻨﺎ ﻋﻠﻭﻡ ﺍﻟﻔﻠﻙ ﻭﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺘﺘﻌﺭﺽ ﻟﻠﺘﺼﺩﻴﻕ ﻭﺍﻟﺘﻜـﺫﻴﺏ ،ﻓﺘﺒﻁـل ﺍﻟﻨﻅﺭﻴـﺎﺕ ﺍﻟﺠﺩﻴـﺩﺓ ﺍﻟﻘﺩﻴﻤﺔ ﻭﺍﻟﺸﻭﺍﻫﺩ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﻓﻲ ﺘﺎﺭﻴﺦ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﺘﻜﺎﺩ ﻻ ﺘﺤﺼﻰ ..ﻤﺜل ﻜﻴﻔﻴﺔ ﺍﻹﺒﺼﺎﺭ ﻭﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﻜﻬﺭﺒﺎﺀ ﻭﻋﻠﻭﻡ ﺍﻟﻔﻠـﻙ
ﻭﺍﻟﺘﺼﻭﺭﺍﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻜﻭﻥ ﻭ ﺍﻟﺦ .ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻷﺴﺒﺎﺏ ﺴﻤﻴﺕ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﻟﻠﺩﻻﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻴﻘﻴﻨﻬﺎ ..ﺃﻤـﺎ ﻓـﻲ ﺍﻟﻌﻠـﻭﻡ ﺍﻟﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ ﻭﺍﻹﺨﺒﺎﺭﻴﺔ ﻓﺎﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ..ﻤﺠﺭﺩ ﺘﺼﻭﺭ ..ﻻ ﻴﺭﻗﻰ ﻟﻠﻴﻘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺤﻅﻰ ﺒﻪ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﺎﺘﻴﺔ ،ﻟﻬﺫﺍ
ﺍﻟﺴﺒﺏ ﺴﻤﻴﺕ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺒﻠﻘﺏ " ﻤﻠﻜﺔ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ " ..ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺃﻥ ﻤﻬﻤﺔ ﺘﻜﻭﻴﻥ ﺍﻟﻌﻘل ﺍﻟﻨﺎﻗـﺩ ﻭﺘﻤﻠﻴﻜـﻪ ﺃﺩﻭﺍﺕ ﻭﻤﻘﺎﻴﻴﺱ ﺍﻟﺤﻜﻡ ﻭﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻟﺼﺢ ﻭﺍﻟﺨﻁﺄ ﺍﻟﻤﺠﺭﺩﺓ – ﻫﻲ ﻤﻬﻤﺔ ﺘﺘﻌﻠﻕ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻭﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ﺒـﺎﻟﻤﻨﻁﻕ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀـﻲ ﺍﻟﻤﺠـﺭﺩ ﻭﻻ ﺘﺘﻌﻠﻕ ﺒﺎﻟﺤﺴﺎﺏ ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻘﻴﺔ ﻭﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﻓﻜﻠﻬﺎ ﻻ ﺘﻌﺩﻭ ﺃﻤﺜﻠﺔ ،ﻭﺫﻟﻙ ﻻ ﻴﻨﻔﻲ ﺒﺄﻱ ﺤﺎل ﺃﻥ ﺍﻟﺘﻁﻭﺭ ﺍﻟـﺫﻱ ﺤﻘﻘﻪ ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ ﻫﻭ " ﺜﻤﺭﺓ ﺍﺘﺤﺎﺩ ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ) ﺒﺸﻘﻴﻪ ﺍﻻﺴﺘﻘﺭﺍﺌﻲ ﻭﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺠﻲ ( ﻤﻊ ﺍﻟﺘﺠﺭﻴـﺏ ) ﺍﻟﻔﻴﺯﻴـﺎﺀ ﻭﻋﻠﻭﻡ ﺍﻟﻔﻠﻙ ﺒﺸﻜل ﺨﺎﺹ (٠
ﺇﺿﺎﺀﺓ ﻴﺘﻤﺘﻊ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺒﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺨﺎﺼﺔ ﻭﺴﺤﺭ ﺃﺨﹼﺎﺫ ﻭﺒﺭﻴﻕ ﻤﺒﻬﺭ ﻓﻬﻭ ﻤﺎﺩﺓ ﺇﻴﻘﺎﻅ ﺍﻟﻔﻜﺭ ﻭﺸﺤﺫ ﺍﻟﻤﻭﺍﻫﺏ ﻭﺒﻨﺎﺀ ﺍﻟﻌﻘﻭل ،ﺃﻥ ﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻫﻲ ﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺒﻨﺎﺀ ﻓﻲ ﺃﺒﺤﺎﺙ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻭﺍﻟﻔﻠﻙ ﻭﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﺍﻹﻟﻜﺘﺭﻭﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺩﺨﻠﺕ ﺠﻤﻴـﻊ ﻤﺠـﺎﻻﺕ ﺍﻟﺤﻴﺎﺓ ﻭﺘﻐﻠﻐﻠﺕ ﺒﻬﺎ ﻭﺍﻨﺘﻘﻠﺕ ﺒﺎﻟﻨﺎﺱ ﻤﻥ ﻋﺎﻟﻡ ﺇﻟﻰ ﻋﺎﻟﻡ ﺁﺨﺭ … ﻭﺒﺎﻟﺭﻏﻡ ﻤﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻤﺎﺩﺓ ﻤﺸﻭﻗﺔ ،ﺘﻤﻴل ﺍﻟﻨﻔﺱ ﺇﻟﻰ ﺩﺭﺍﺴﺘﻬﺎ ﻭﺍﻟﺒﺤﺙ ﻓﻴﻬﺎ ﺇﻻ ﺃﻨﻬﺎ ﻓﻲ ﻜﺜﻴﺭ ﻤـﻥ ﺍﻷﺤﻴـﺎﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺤﺠﺭ ﻋﺜﺭﺓ ﺃﻤﺎﻡ ﺍﻟﻜﺜﻴﺭﻴﻥ ﻤﻨﺎ .ﻭﺫﻟﻙ ﺒﺴﺒﺏ ﻋﺩﻡ ﺍﺴﺘﻴﻌﺎﺒﻨﺎ ﻷﺼﻭﻟﻬﺎ ﻭﻨﻅﺭﻴﺘﻬﺎ ﻭﻗﻭﺍﻨﻴﻨﻬﺎ . ﻭﻤﻤﺎ ﻻﺸﻙ ﻓﻴﻪ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﺠﺯ ﻋﻥ ﺍﻟﻔﻬﻡ ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﻋﻴﺒﺎﹰ ﻓﻲ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ﻭﻟﻜﻨﻪ ﻨﺎﺒﻊ ﻤﻥ ﺫﺍﺘﻨﺎ ﻨﺤﻥ !!
١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺍﻟﻤﺒﺤﺚ ﺍﻷﻭﻝ /ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻋﻠﻢ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﻋﺭﻑ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﻠﻡ ﺒﻌﺩﺓ ﺘﻌﺭﻴﻔﺎﺕ ﻫﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ: • ﻋﺭﻓﻪ ﺒﻌﻀﻬﻡ ﻓﻘﺎل :ﻫﻭ ﻋﻠﻡ ﺘﺭﺍﻜﻤﻲ ﺍﻟﺒﻨﻴﺎﻥ ) ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺴﺎﺒﻘﺔ ( ﻴﺘﻌﺎﻤـل ﻤـﻊ ﺍﻟﻌﻘـل ﺍﻟﺒﺸﺭﻱ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻭﻏﻴﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻭﻴﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺴﺱ ﻭﻤﻔﺎﻫﻴﻡ -ﻗﻭﺍﻋﺩ ﻭﻨﻅﺭﻴﺎﺕ – ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ – ﺤل ﻤـﺴﺎﺌل ) ﺤل ﻤﺸﻜﻼﺕ ( ﻭﺒﺭﻫﺎﻥ ﻴﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻭﺍﻟﺭﻤﻭﺯ ﻭﻴﻌﺘﺒﺭ ﺭﻴﺎﻀﺔ ﻟﻠﻌﻘل ﺍﻟﺒﺸﺭﻱ .ﺤﻴﺙ ﺘﺘﻡ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓـﺔ ﻓﻴـﻪ ﻭﻓﻘـﺎ ﻻﻗﺘﻨﺎﻉ ﻤﻨﻁﻘﻲ ﻟﻠﻌﻘل ﻴﺘﻡ ﻗﺒل ﺃﻭ ﺒﻌﺩ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ،ﻭﻴﻘﺎﺱ ﺘﻤﻜﻥ ﻟﺩﺍﺭﺱ ﻤﻥ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺒﻘﺩﺭﺘﻪ ﻭﻨﺠﺎﺤﻪ ﻓـﻲ ﺤل ﺍﻟﻤﺴﺎﻟﺔ ) ﺍﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ( ﻭﺘﻘﺩﻴﻡ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺏ • ﻭﻋﺭﻓﻬﺎ ﺒﻌﻀﻬﻡ ﻓﻘﺎل:ﺘﻌﺭﻑ ''']]ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ[[''' ﻋﻠﻰ ﺃﻨﻬﺎ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺒﻨﻴﺔ ،ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ،ﻭ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ،ﻭ ﺒﺸﻜل ﻋـﺎﻡ ﻋﻠـﻰ ﺃﻨﻬﺎ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺒﻨﻴﺔ ﺍﻟﻤﺠﺭﺩﺓ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﻤﻨﻁﻕ ﻭ ﺍﻟﺘﺩﻭﻴﻥ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ .ﻭ ﺒﺸﻜل ﺃﻜﺜﺭ ﻋﻤﻭﻤﻴﺔ ،ﺘﻌﺭﻑ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻋﻠـﻰ
ﺃﻨﻬﺎ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻭ ﺃﻨﻤﺎﻁﻬﺎ.
• ﻭﻋﺭﻓﻪ ﺒﻌﻀﻬﻡ ﻓﻘﺎل:ﺇﻨﻪ ﻋﻠﻡ ﺘﺭﺍﻜﻤﻲ ﺍﻟﺒﻨﻴﺎﻥ )ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺴﺎﺒﻘﻪ ( . ...ﻴﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺍﻟﻌﻘـل ﺍﻟﺒﺸﺭﻱ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻭﻏﻴﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ..ﻭﻴﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ :ﺃﺴﺱ ﻭﻤﻔﺎﻫﻴﻡ – ﻗﻭﺍﻋﺩ ﻭﻨﻅﺭﻴﺎﺕ – ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ –ﺤل ﻤـﺴﺎﺌل )ﺤل ﻤﺸﻜﻼﺕ ( ﻭﺒﺭﻫﺎﻥ ..ﻭﻴﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻭﺍﻟﺭﻤﻭﺯ .ﻭﻴﻌﺘﺒﺭ ﺭﻴﺎﻀﺔ ﻟﻠﻌﻘل ﺍﻟﺒﺸﺭﻱ ﺤﻴﺙ ﺘﺘﻡ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻓﻴﻪ ﻭﻓﻘﺎ ﻻﻗﺘﻨﺎﻉ ﻤﻨﻁﻘﻲ ﻟﻠﻌﻘل .. .ﻴﺘﻡ ﻗﺒل ﺃﻭ ﺒﻌﺩ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ﻭﻴﻘﺎﺱ ﺘﻤﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﺭﺱ ﻤﻥ ﻋﻠـﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺒﻘﺩﺭﺘﻪ ﻭﻨﺠﺎﺤﻪ ﻓﻲ ﺤل ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ )ﺍﻟﻤﺸﻜﻠﺔ( ﻭﺘﻘﺩﻴﻡ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺏ ".
٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ /ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ
ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل
ﻋﻠﻤﺎﺀ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻋﺒﺭ ﺍﻟﻌﺼﻭﺭ أﺑﻮ ﺟﻌﻔﺮ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ اﻟﺤﺴﻦ ﻧﺼﺮ اﻟﺪﯾﻦ اﻟﻄﻮﺳﻲ ھﻮ اﻟﻌﻼﻣﺔ أﺑﻮ ﺟﻌﻔﺮ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ اﻟﺤﺴﻦ ﻧﺼﺮ اﻟﺪﯾﻦ اﻟﻄﻮﺳﻲ ﻋﺎش وﺗُﻮﻓﻲّ ﻓﻲ ﺑﻐﺪاد أﯾﺎم آﺧﺮ ﺧﻠﻔﺎء ﺑﻨﻲ اﻟﻌﺒﺎس اﻟﻤﻌﺘﺼﻢ وذﻟﻚ ﻓﯿﻤﺎ ﺑﯿﻦ ) ٥٩٧ـ٦٧٢ھﺠﺮﯾﺔ ( اﻟﻤﻮاﻓﻖ ) ١٢٠١ـ ١٢٧٤ﻣﯿﻼدﯾﺔ ( . ﻛﺎن ﻋﺎﻟﻤﺎً ﻓﺬاً ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت واﻟﻔﻠﻚ ،ﻓﻘﺪ ﻋُﺮف ﺑﯿﻦ أﺻﺪﻗﺎﺋﮫ وذوﯾﮫ وﻋﻠﻤﺎء اﻟﻤﺸﺮق واﻟﻤﻐﺮب ﺑﻠﻘﺐ )ﻋﻼّﻣﺔ ( واﻟﺠﺪﯾﺮ ﺑﺎﻟﺬﻛﺮ أﻧﮫ ﻛﺎن ﯾﺠﯿﺪ اﻟﻠﻐﺎت اﻟﻼﺗﯿﻨﯿﺔ واﻟﻔﺎرﺳﯿﺔ واﻟﺘﺮﻛﯿﺔ ﻣﻤﺎ أﻋﻄﺘﮫ اﻟﻘﺪرة ﻋﻠﻰ اﻟﺴﯿﻄﺮة ﻋﻠﻰ ﺷﺘّﻰ اﻟﻤﻌﺎرف . أﻋﻤﺎﻟﮫ -: ﺗﻠﻘﻰ ﻧﺼﺮ اﻟﺪﯾﻦ ﻋﻠﻤﮫ ﻋﻦ اﻟﻌﺎﻟﻢ اﻟﻜﺒﯿﺮ) ﻛﻤﺎل اﻟﺪﯾﻦ ﺑﻦ ﯾﻮﻧﺲ اﻟﻤﻮﺻﻠﻲ ( ﻓﻐﺮس ﻓﯿﮫ ﺣﺐ اﻟﻜﺘﺐ وﻗﺪ أﺑﺪع ﻓﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﺑﺠﻤﯿﻊ ﻓﺮوﻋﮫ . ـ ﻓﻜﺎن ﻟﮫ ﻓﻀﻞ ﻛﺒﯿﺮ ﻓﻲ ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻷﻋﺪاد اﻟﺼﻢ . ـ أﺷﺘﮭﺮ ﺑﻌﻠﻤﻲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻓﻜﺘﺐ أول ﻛﺘﺎب ﻓﯿﮭﻤﺎﻛﺎن ﻣﺘﺪاوﻻً ﻓﻲ ﺟﻤﯿﻊ أﻧﺤﺎء اﻟﻤﻌﻤﻮرة وأﺳﻢ ھﺬا اﻟﻜﺘﺎب ) ﺷﻜﻞ اﻟﻘﻄﺎﻋﺎت ( وھﻮ ﯾﺤﻮي ﻋﻠﻰ ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻓﻘﻂ . ـ ﻧﻘﻞ ﻛﺘﺎب إﻗﻠﯿﺪس إﻟﻰ اﻟﻐﺔ اﻟﻌﺮﺑﯿﺔ وﻧﺸﺮ ﺑﺤﺜﺎً ﯾﺘﺮﻛﺰ ﺣﻮل ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت إﻗﻠﯿﺪس . ـ أوﻟﻰ أھﺘﻤﺎﻣﺎً ﻣﻠﻤﻮﺳﺎً ﺑﺎﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﻮﻗﯿﺔ أو اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻻّإﻗﻠﯿﺪﯾﺴﯿﺔ اﻟﺘﻲ ﺑُﻨﯿﺖ ﻋﻠﻰ أﺳﺲ ﺗﻨﺎﻗﺾ ھﻨﺪﺳﺔ إﻗﻠﯿﺪس اﻟﺘﻲ ﻛﺎن ﯾﻘﺘﻘﺪ ﺑﺄﻧﮭﺎ ﻟﯿﺴﺖ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺘﻐﯿﯿﺮ واﻹﻧﺘﻘﺎد ﻋﺒﺮ اﻟﻌﺼﻮر . ﻣﺆﻟﻔﺎﺗﮫ -: أﻟﻒ ﻧﺼﺮ اﻟﺪﯾﻦ ﻃﻮﺳﻲ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ١٤٥ﻣﺆﻟﻔﺎً ﻓﻲ ﺣﻘﻮل ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻣﻨﮭﺎ ﻋﻠﻢ ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت واﻟﺠﺒﺮ واﻟﺠﻐﺮاﻓﯿﺎ واﻟﻄﺒﯿﻌﯿﺎت واﻟﻤﻨﻄﻖ
ﻋﻤﺮاﻟﺨﯿّﺎم ھﻮ أﺑﻮ اﻟﻔﺘﺢ ﻋﻤﺮ ﺑﻦ إﺑﺮاھﯿﻢ اﻟﺨﯿّﺎم اﻟﻨﯿﺴﺘﺎﺑﻮري ﻋﺎش ﻓﯿﻤﺎ ﺑﯿﻦ) ٤٤٠ـ٥٢٥ھﺠﺮﯾﺔ) اﻟﻤﻮاﻓﻖ ) ١٠٤٨ـ١١٣١ﻣﯿﻼدﯾﺔ ( .ﻛﺎن ﯾﺸﺘﻐﻞ ﻓﻲ ﺻﻐﺮه ﺑﺼﻨﻊ وﺑﯿﻊ اﻟﺨﯿﺎم وﻟﺬا ﻛﻨﻲّ)ﺑﺎﻟﺨﯿّﺎم) وﻗﺪ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ اﻟﺘﻨﻘﻞ ﻓﻲ ﻃﻠﺐ اﻟﻌﻠﻢ ﻣﻨﺬ ﻧﻌﻮﻣﺔ أﻇﻔﺎره ﺣﺘﻰ أﺳﺘﻘﺮ ﻓﻲ ﺑﻐﺪاد ﻋﺎد ٤٦٦ھﺠﺮﯾﺔ. أﺑﺪع ﻓﻲ ﻛﺜﯿﺮ ﻣﻦ ﻓﻨﻮن اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻣﺜﻞ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت واﻟﻔﻠﻚ واﻟﻠﻐﺔ واﻟﻔﻘﮫ واﻟﺘﺎرﯾﺦ واﻷدب أﻋﻤﺎﻟﮫ :- ـ أھﺘﻢ اﻟﺨﯿّﺎم اھﺘﻤﺎﻣﺎً ﺧﺎﺻﺎً ﺑﺎﻟﻘﺪار اﻟﺠﺒﺮي وھﻮ ﯾﺒﺤﺚ ﻓﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﺠﺒﺮ ،وﻛﺎن إﻗﻠﯿﺪس ﻗﺪ ﺣﻞ ﻓﻘﻂ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺠﺒﺮي ذا ﺣﺪﯾﻦ ﻣﺮﻓﻮﻋﺎً إﻟﻰ ﻗﻮة أﺳﮫ أﺛﻨﺎن ﻓﺄﺑﺘﻜﺮ اﻟﺨﯿّﺎم ﻧﻈﺮﯾﺔ ذات اﻟﺤﺪﯾﻦ ٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ /ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ
ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ
اﻟﻤﺮﻓﻮﻋﺔ إﻟﻰ أس أي ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ ﻣﻮﺟﺐ . ـ ﺣﻞ ﻛﺜﯿﺮ ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ واﻟﺘﻲ ﻋﻠﻰ ﺻﯿﻐﺔ ا س +ب س = ج. ـ ﻛﻤﺎ ﻋﻜﻒ ﻋﻠﻰ اﻟﺒﺤﺚ ﻓﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﺠﺒﺮ ﻓﺪرس اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﻟﻰ واﻟﺜﺎﻧﯿﺔ واﻟﺜﺎﻟﺜﺔ. وﻋﺎﻟﺞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻜﻌﯿﺒﯿﺔ ﻣﻌﺎﻟﺠﺔ ﻣﻨﮭﺠﯿﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻧﺎدرة ﻓﻲ ﻧﻮﻋﮭﺎ ﻋﺒﺮ اﻟﻌﺼﻮر وأﺳﺘﺨﺮ اﻟﺠﺬور ﻷﯾﺔ درﺟﺔ. ـ أھﺘﻢ ﺑﺘﺼﻨﯿﻒ اﻟﻤﻌﺎدﻻت ذات اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺣﺴﺐ درﺟﺎﺗﮭﺎ وﺣﺴﺐ ﻋﺪد ﺣﺪودھﺎ ﻓﺄﺑﺪع ﻓﻲ ذﻟﻚ إﺑﺪاﻋﺎً ﻛﺒﯿﺮاً. ـ ﻛﺬﻟﻚ ﻗﺎم ﺑﺈدﺧﺎل ﻋﻠﻢ اﻟﺠﺒﺮ ﻋﻠﻰ ﻋﻠﻢ ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻟﺬا ﻧﺠﺪ اﻟﺨﯿّﺎم ﺣﻞ اﻟﻜﺜﯿﺮ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﻤﺴﺘﻌﺼﯿﺔ ﻓﻲ ﻋﻠﻢ ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻣﺴﺘﻌﻤﻼً ﻣﻌﺎدﻻت ﺟﺒﺮﯾﺔ ذات اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ واﻟﺮاﺑﻌﺔ. ـ ﺗﺸﻌﺐ اھﺘﻤﺎﻣﮫ ﺣﺘﻰ ﺣﻮى ﻋﻠﻢ اﻟﻔﻠﻚ . ـ رﻛﺰ ﻋﻠﻰ دراﺳﺔ ھﻨﺪﺳﺔ إﻗﻠﯿﺪس اﻟﻤﺸﺮوﺣﺔ واﻟﻤﻌﻠﻖ ﻋﻠﯿﮭﺎ ﻣﻦ ﻃﺮف ﻋﻠﻤﺎء اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﻤﺴﻠﻤﯿﻦ
اﻟﺨﻮارزﻣﻲ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ أﺑﻮ ﻋﺒﺪ اﷲ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻣﻮﺳﻰ )أﺑﻮ ﺟﻌﻔﺮ( )ﺣﻮاﻟﻲ -٧٨١ﺣﻮاﻟﻲ ،( ٨٤٥ﻛﺎن ﻣﻦ اواﺋﻞ ﻋﻠﻤﺎء اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﻤﺴﻠﻤﯿﻦ ﺣﯿﺚ ﺳﺎھﻤﺖ اﻋﻤﺎﻟﮫ ﺑﺪور ﻛﺒﯿﺮ ﻓﻲ ﺗﻘﺪم اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻓﻲ ﻋﺼﺮه. اﻧﺘﻘﻠﺖ ﻋﺎﺋﻠﺘﮫ ﻣﻦ ﻣﺪﯾﻨﺔ ﺧﻮارزم ﻓﻲ ﺧﺮاﺳﺎن إﻟﻰ ﺑﻐﺪاد ﻓﻲ اﻟﻌﺮاق، اﻧﺠﺰ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ ﻣﻌﻈﻢ اﺑﺤﺎﺛﮫ ﺑﯿﻦ ﻋﺎﻣﻲ ٨١٣و ٨٣٣ﻓﻲ دار اﻟﺤﻜﻤﺔ ،اﻟﺘﻲ أﺳﺴﮭﺎ اﻟﺨﻠﯿﻔﺔ اﻟﻤﺄﻣﻮن .و ﻧﺸﺮ اﻋﻤﺎﻟﮫ ﺑﺎﻟﻠﻐﺔ اﻟﻌﺮﺑﯿﺔ ،اﻟﺘﻲ ﻛﺎﻧﺖ ﻟﻐﺔ اﻟﻌﻠﻢ ﻓﻲ ذﻟﻚ اﻟﻌﺼﺮ .وﯾﺴﻤﯿﮫ اﻟﻄﺒﺮي ﻓﻲ ﺗﺎرﯾﺨﮫ :ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻣﻮﺳﻰ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ اﻟﻤﺠﻮﺳﻲ اﻟﻘﻄﺮﺑﻠّﻲ ،ﻧﺴﺒﺔ إﻟﻰ ﻗﺮﯾﺔ ﻗُﻄْﺮﺑُﻞّ ﻣﻦ ﺿﻮاﺣﻲ ﺑﻐﺪاد .اﻟﻠﻘﺐ ﻣﺠﻮﺳﻲ ﯾﺘﻨﺎﻗﺾ ﻣﻊ ﺑﺪء اﻟﺨﻮارزﻣﻲ ﻟﻜﺘﺎﺑﮫ )اﻟﺠﺒﺮ واﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ( ﺑﺎﻟﺒﺴﻤﻠﺔ .اﺑﺘﻜﺮ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ ﻣﻔﮭﻮم اﻟﺨﻮارزﻣﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت و ﻋﻠﻢ اﻟﺤﺎﺳﻮب) ،ﻣﻤﺎ اﻋﻄﺎه ﻟﻘﺐ اﺑﻮ ﻋﻠﻢ اﻟﺤﺎﺳﻮب(ﻋﻨﺪ اﻟﺒﻌﺾ ،ﺣﺘﻰ ان ﻛﻠﻤﺔ ﺧﻮارزﻣﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﺪﯾﺪ ﻣﻦ اﻟﻠﻐﺎت )و ﻣﻨﮭﺎ algorithmﺑﺎﻻﻧﻜﻠﯿﺰﯾﺔ( اﺷﺘﻘﺖ ﻣﻦ اﺳﻤﮫ ،ﺑﺎﻻﺿﺎﻓﺔ ﻟﺬﻟﻚ ،ﻗﺎم اﻟﺨﻮارزﻣﻲ ﺑﺎﻋﻤﺎل ھﺎﻣﺔ ﻓﻲ ﺣﻘﻮل اﻟﺠﺒﺮ و اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت واﻟﻔﻠﻚ و اﻟﺠﻐﺮاﻓﯿﺔ و رﺳﻢ اﻟﺨﺮاﺋﻂ .ادت اﻋﻤﺎﻟﮫ اﻟﻤﻨﮭﺠﯿﺔ و اﻟﻤﻨﻄﻘﯿﺔ ﻓﻲ ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ إﻟﻰ ﻧﺸﻮء ﻋﻠﻢ اﻟﺠﺒﺮ ،ﺣﺘﻰ ان اﻟﻌﻠﻢ اﺧﺬ اﺳﻤﮫ ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺑﮫ ﺣﺴﺎب اﻟﺠﺒﺮ و اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ،اﻟﺬي ﻧﺸﺮه ﻋﺎم ،٨٣٠و اﻧﺘﻘﻠﺖ ھﺬه اﻟﻜﻠﻤﺔ إﻟﻰ اﻟﻌﺪﯾﺪ ﻣﻦ اﻟﻠﻐﺎت ) Algebraﻓﻲ اﻻﻧﻜﻠﯿﺰﯾﺔ(.
ﻟﯿﻮﻧﺎرد أوﯾﻠﺮ ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﯿﺎت و ﻓﯿﺰﯾﺎء ﺳﻮﯾﺴﺮي اﻟﻤﻮﻟﺪ ﻋﺎش ﻣﻦ ١٧٠٧ﺣﺘﻰ ، ١٧٨٣و ﻗﺪ ﻋﻤﻞ ﻣﻌﻈﻢ اﻟﻮﻗﺖ ﻓﻲ ﺳﺎن ﺑﻄﺮﺳﺒﺮغ ﺣﯿﺚ ﺗﺒﻊ آل ﺑﺮﻧﻮﻟﻠﻲ ،ﺛﻢ ﻓﻲ ﺑﺮﻟﯿﻦ ﺑﺪﻋﻮة ﻣﻦ ﻓﺮﯾﺪرﯾﻚ اﻷﻛﺒﺮ ،و ﻟﻘﺪ اﺷﺘﮭﺮ ﺑﻘﺪرﺗﮫ ﻋﻠﻰ إﻧﺠﺎز ٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ /ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ
ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ
اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت اﻟﻤﻌﻘﺪة ذھﻨﯿﺎ ،و واﺻﻞ ﻋﻤﻠﮫ ﺣﺘﻰ ﺑﻌﺪ ﻓﻘﺪ ﺑﺼﺮه ،و ﯾﻌﺘﺒﺮ واﺣﺪا ﻣﻦ أﻋﻈﻢ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﯿﻦ ﻋﺒﺮ اﻟﺘﺎرﯾﺦ ،ﻓﻘﺪ ﻧﺸﺮ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ٤٠٠ورﻗﺔ ﺑﺤﺜﯿﺔ و ﻛﺘﺎﺑﺎ ﻣﻨﮭﺠﯿﺎ اھﺘﻤﺖ ﺑﻜﻞ ﻓﺮوع اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﺗﻘﺮﯾﺒﺎ ھﺬا ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ٣٥٠ورﻗﺔ ﻇﮭﺮت ﺑﻌﺪ وﻓﺎﺗﮫ ،و ﻛﺎﻧﺖ أھﻢ إﺳﮭﺎﻣﺎﺗﮫ ﻓﻲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ و اﻟﺤﺴﺎب و ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ إﺳﮭﺎﻣﮫ ﻓﻲ ﺗﻮﺣﯿﺪ ﻛﻞ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
إﻗﻠﯿﺪس ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﯿﺎت إﻏﺮﯾﻘﻲ ﻣﻦ اﺳﻜﻨﺪرﯾﺔ اﻟﻘﺮن اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻗﺒﻞ اﻟﻤﯿﻼد ،ﺗﻨﺴﺐ إﻟﯿﮫ أول ﻣﻌﺎﻟﺠﺔ ﻣﻮﺿﻮﻋﯿﺔ ﻟﻠﮭﻨﺪﺳﺔ ﻓﻲ ﻛﺘﺎﺑﮫ اﻷﺻﻮل أو اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ ،و ﯾﻌﺎﻟﺞ ھﺬا اﻟﻜﺘﺎب ﻛﺬﻟﻚ اﻟﺘﻨﺎﺳﺐ و اﻟﻌﺪد ﺑﻤﺎ ﻓﻲ ذﻟﻚ اﻷﻋﺪاد اﻟﻼﻣﻨﻄﻘﯿﺔ ،و ﻟﻘﺪ ﻛﺘﺐ إﻗﻠﯿﺪس أﻋﻤﺎﻻ ﻓﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﻔﻠﻚ و اﻟﻘﻄﻮع اﻟﻤﺨﺮوﻃﯿﺔ ، و ﻗﺪ وﺻﻞ ﻛﺘﺎب اﻷﺻﻮل إﻟﻰ اﻟﻐﺮب ﻣﺘﺮﺟﻤﺎ ﻋﻦ اﻟﻌﺮﺑﯿﺔ ، و أﺣﺪث ﺗﻐﯿﯿﺮا ﻋﻤﯿﻘﺎ ،و ﻟﻢ ﺗﻜﻦ ﻛﺘﺐ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻤﺪرﺳﯿﺔ ، و ﺣﺘﻰ وﻗﺖ ﻗﺮﯾﺐ إﻻ ﺗﺮﺟﻤﺎت ﻹﻗﻠﯿﺪس
ﻓﯿﺘﺎﻏﻮرس ﻓﯿﻠﺴﻮف و ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﯿﺎت و ﻧﺎﺳﻚ إﻏﺮﯾﻘﻲ ﻋﺎش ﻧﺤﻮ ٣٨٠ - ٣٠٠ﻗﺒﻞ اﻟﻤﯿﻼد ،و أﺳﺲ ﻣﺪرﺳﺔ ﻓﻜﺮﯾﺔ أﺛﺮت ﻋﻠﻰ أﻓﻼﻃﻮن ،و ﻛﺎن ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس و أﺗﺒﺎﻋﮫ ﯾﻌﺘﻘﺪون ﺑﺄن ﻛﻞ ﺷﻲء ﻋﺪد ﻣﻌﺘﺮﻓﯿﻦ ﺑﺎﻟﻄﺒﯿﻌﺔ
ھﻨﺮي ﻟﻮﻛﺎس ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﯿﺎت إﻧﻜﻠﯿﺰي ﻋﺎش ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ﺑﯿﻦ ١٨٤٢ و ١٨٩١
٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ /ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ
ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ
أﻧﺪرﯾﺎن ﻣﺎري ﻟﯿﺠﺎﻧﺪر ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﯿﺎت ﻓﺮﻧﺴﻲ ﻋﺎش ﺑﯿﻦ ١٧٥٢و ، ١٨٣٣ أوﺟﺪ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻣﮭﻤﺔ ﻋﺪﯾﺪة و ﺑﺨﺎﺻﺔ ﻓﻲ ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻷﻋﺪاد اﻷوﻟﯿﺔ ،و ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﺎﻛﺲ اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﻲ ،و ﻧﺸﺮ ﻛﺘﺎﺑﺎ ﻣﻨﮭﺠﯿﺎ ﻓﻲ ﻣﺒﺎدئ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ،ﻛﻤﺎ ﻧﺸﺮ أﻋﻤﺎﻻ ﺣﻮل اﻟﻤﺬﻧﺒﺎت و اﻟﻤﺴﺢ اﻷرﺿﻲ ،و ﻋﯿﻦ ﻓﻲ ﻋﺪد ﻣﻦ اﻟﻤﻨﺎﺻﺐ اﻟﺮﺳﻤﯿﺔ
ﺑﯿﯿﺮ دي ﻓﯿﺮﻣﺎت ﻣﺤﺎم و ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﯿﺎت ھﺎو ﻓﺮﻧﺴﻲ ﻋﺎش ﺑﯿﻦ ١٦٠١و ١٦٦٥و ﯾﻨﺴﺐ إﻟﯿﮫ ﺗﺄﺳﯿﺲ ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﺪﯾﺜﺔ ،و ﺣﺴﺎب اﻹﺣﺘﻤﺎﻻت ﺑﺎﺳﺘﻘﻼﻟﯿﺔ ﻋﻦ ﺑﺎﺳﻜﺎل ،و ﻛﺬﻟﻚ اﻛﺘﺸﺎف اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ ﺑﺎﺳﺘﻘﻼﻟﯿﺔ ﻋﻦ دﯾﻜﺎرت ،و ﻗﺪ ﺗﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻣﺘﻄﻮرة ﻓﻲ ﻣﺠﺎﻟﻲ أﺳﺲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ و ﺣﺴﺎب اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ ،و ﻟﻜﻨﮫ ﻟﻢ ﯾﺘﻤﻜﻦ ﻣﻦ ﻧﺸﺮھﺎ ،و أﻋﻠﻦ أﻧﮫ ﺑﺮھﻦ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻏﯿﺮ اﻟﻤﺤﻠﻮﻟﺔ اﻟﺸﮭﯿﺮة اﻟﻤﻌﺮوﻓﺔ ﺑﺎﺳﻢ ﻣﺒﺮھﻨﺔ ﻓﯿﺮﻣﺎ اﻷﺧﯿﺮة
أوﻏﺴﺘﯿﻦ ﻟﻮﯾﺲ ﻛﻮﺷﻲ ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﯿﺎت و ﻓﯿﺰﯾﺎء ﻓﺮﻧﺴﻲ ﻋﺎش ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ﻣﻦ ١٧٨٩إﻟﻰ ، ١٨٥٧ﻛﺎن ﻷﻋﻤﺎﻟﮫ اﻟﺘﻲ ﺗﻤﯿﺰت ﺑﺎﻟﺪﻗﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻋﻈﯿﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻈﻢ ﻓﺮوع اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ،و ﺑﺨﺎﺻﺔ وﺿﻊ أﺳﺲ اﻟﺘﺤﻠﯿﻞ اﻟﺤﺪﯾﺚ ﺑﺪﻻﻟﺔ اﻟﻨﮭﺎﯾﺎت و اﻹﺳﺘﻤﺮار ، و ﻃﻮر ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﺪوال ﻓﻲ ﻣﺘﻐﯿﺮات ﻋﻘﺪﯾﺔ ،و ﺑﻌﺪ اﻧﺘﮭﺎء ﺧﺪﻣﺎﺗﮫ ﻛﻤﮭﻨﺪس ﻓﻲ اﻟﻘﻮة اﻟﺘﻲ ﻛﺎﻧﺖ ﺗﻌﺪ ﻟﻐﺰو ﻧﺎﺑﻠﯿﻮن ﻟﺒﺮﯾﻄﺎﻧﯿﺎ و اﻟﺘﻲ ﻟﻢ ﺗﺘﻢ ،و ﺷﺠﻌﮫ ﻋﻠﻰ ﻣﺘﺎﺑﻌﺔ ﻧﺸﺎﻃﮫ ﻓﻲ
٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ /ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ
ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ
اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﻌﺎﻟﻢ ﻻﺑﻼس و اﻟﻌﺎﻟﻢ ﻻﻏﺮاﻧﺞ و أﺻﺒﺢ أﺳﺘﺎذا ﻟﻠﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻓﻲ ﻣﺪرﺳﺔ اﻟﺒﻮﻟﯿﺘﻜﻨﯿﻚ ،و اﻟﺴﻮرﺑﻮن ،و ﻛﻠﯿﺔ ﻓﺮﻧﺴﺎ ،و ﺑﺴﺒﺐ آراﺋﮫ اﻟﺴﯿﺎﺳﯿﺔ و اﻟﺪﯾﻨﯿﺔ رﻓﺾ أن ﯾﻘﺴﻢ ﯾﻤﯿﻦ اﻟﻮﻻء ﻟﻠﻮﯾﺲ ﻓﻠﯿﺐ ﺳﻨﺔ ١٨٣٠ﻓﻨﻔﻲ ﻣﻊ ﺣﻔﯿﺪ ﺗﺸﺎرﻟﺰ اﻟﻌﺎﺷﺮ ،و ﻋﯿﻨﺘﮫ ﺟﺎﻣﻌﺔ ﺗﻮرﯾﻨﻮ ﻓﻲ ﻣﻨﺼﺐ ﻛﺮﺳﻲ اﺳﺘﺎذﯾﮫ أﻧﺸﺊ ﻣﻦ أﺟﻠﮫ ،و ﻟﻜﻨﮫ ﺗﺮﻛﮫ ﻟﺘﻌﻠﯿﻢ ﺣﻔﯿﺪ ﺗﺸﺎرﻟﺰ اﻟﻌﺎﺷﺮ ،و ﻟﻘﺪ ﻧﺸﺮ ﻣﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﮫ ٧٨٩ﻋﻤﻼ ،ﺗﺘﻀﻤﻦ ﻣﻘﺎﻻت ﺣﻮل اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت اﻟﻤﺤﺪودة و اﻧﺘﺸﺎر اﻟﻤﻮﺟﺎت ،ﻛﻤﺎ ﻧﺸﺮ أوراق ﺑﺤﺜﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ و ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻷﻋﺪاد و اﻟﻤﺮوﻧﺔ و ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﺨﻄﺄ و اﻟﻔﻠﻚ و اﻟﻀﻮء
ﻛﺮﯾﺴﺘﯿﺎن ھﯿﺠﻨﺰ ﻋﺎﻟﻢ ﻓﻠﻚ و ﺟﺒﺮ و رﯾﺎﺿﯿﺎت ھﻮﻟﻨﺪي ﻋﺎش ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ﻣﻦ ١٦٢٩إﻟﻰ ١٦٩٥و ﻗﺪ ﺳﺎھﻤﺖ أﻋﻤﺎﻟﮫ ﻓﻲ اﻟﺘﺤﻠﯿﻞ إﻟﻰ اﻛﺘﺸﺎف اﻟﺤﺴﺒﺎن
ﻣﺎران ﻣﯿﺮﺳﯿﻦ ﻋﺎﻟﻢ ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻷﻋﺪاد و ﻓﯿﻠﺴﻮف و ﻻھﻮﺗﻲ و راھﺐ ﻓﺮﻧﺴﻲ ﻋﺎش ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ﺑﯿﻦ ١٥٨٨و ١٦٤٨ﻣﻜﻨﮫ ﺗﺮﺣﺎﻟﮫ اﻟﻜﺜﯿﺮ أن ﯾﻜﻮن ﻗﻨﺎة اﺗﺼﺎل ﺑﯿﻦ أﻛﺎدﯾﻤﯿﯿﻦ أوروﺑﯿﯿﻦ أﻣﺜﺎل دﯾﻜﺎرت و ﻏﺎﻟﯿﻠﯿﻮ و ﻓﯿﺮﻣﺎ و ﺑﺎﺳﻜﺎل و ھﯿﻐﻨﺰ ،ﻛﻤﺎ أوﺣﻰ ﺑﺎﺧﺘﺮاع ﺳﺎﻋﺔ اﻟﺒﻨﺪول
اﺑﻦ ﺑﺎﺟّﮫ ھﻮ أﺑﻮ ﺑﻜﺮ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﯾﺤﯿﻰ ﺑﻦ اﻟﺼﺎﺋﻎ اﻟﺘُﺠﯿﺒﻲ ،اﻟﺴﺮﻗﺴﻄﻲ ،اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺎﺑﻦ ﺑﺎﺟّﮫ ،أول ﻣﺸﺎھﯿﺮ اﻟﻔﻼﺳﻔﺔ اﻟﻌﺮب ﻓﻲ اﻷﻧﺪﻟﺲ ،ﻛﻤﺎ اﻧﺼﺮف ﻓﻲ ﺣﯿﺎﺗﮫ ،ﻓﻀﻼً ﻋﻦ اﻟﻔﻠﺴﻔﺔ ،إﻟﻰ اﻟﺴﯿﺎﺳﺔ ،واﻟﻌﻠﻮم اﻟﻄﺒﯿﻌﯿﺔ ،واﻟﻔﻠﻚ ،واﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ،واﻟﻤﻮﺳﯿﻘﻰ واﻟﻄﺐ .وﺑﺮز ﻓﻲ اﻟﻄﺐ ﺧﺎﺻﺔ ﺣﺘﻰ أﺛﺎر ﺣﻔﯿﻈﺔ زﻣﻼﺋﮫ ﻓﻲ ﺗﻠﻚ اﻟﺼﻨﻌﺔ ،ﻓﺪﺳﻮا ﻟﮫ اﻟﺴﻢ ،ﻓﺘﻮﻓﻲ ﻓﻲ ﻓﺎس )اﻟﻤﻐﺮب( ﺳﻨﺔ ٥٢٩ھـ .وﯾﺴﺮد اﺑﻦ أﺑﻲ أﺻﯿﺒﻌﺔ ﻻﺋﺤﺔ ﺑﺜﻤﺎﻧﯿﺔ وﻋﺸﺮﯾﻦ ﻣﺆﻟﻔﺎً ﯾﻨﺴﺒﮭﺎ إﻟﻰ اﺑﻦ ﺑﺎﺟّﮫ ،ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﺛﻼث ﻓﺌﺎت ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ :ﺷﺮوح أرﺳﻄﻮﻃﺎﻟﯿﺲ ،ﺗﺄﻟﯿﻒ اﺷﺮاﻗﯿﺔ ،وﻣﺼﻨﻔﺎت ﻃﺒﯿﺔ .ﻓﻤﻦ ﺗﺄﻟﯿﻔﮫ ﻓﻲ اﻟﻄﺐ) :ﻛﻼم ﻋﻠﻰ ﺷﻲء ﻣﻦ ﻛﺘﺎب اﻷدوﯾﺔ اﻟﻤﻔﺮدة ﻟﺠﺎﻟﯿﻨﻮس() ،ﻛﺘﺎب اﻟﺘﺠﺮﺑﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ أدوﯾﺔ ﺑﻦ واﻓﺪ() ،ﻛﺘﺎب اﺧﺘﺼﺎر اﻟﺤﺎوي ﻟﻠﺮازي( ،و )ﻛﻼم ﻓﻲ اﻟﻤﺰاج ﺑﻤﺎ ھﻮ ﻃﺒﻲ(
٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ /ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ
ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ
اﺑﻦ ﺑﺮﻏﻮث ھﻮ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻋﻤﺮ ﺑﻦ ﻣﺤﻤﺪ ،اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺎﺑﻦ ﺑﺮﻏﻮث ،ﻣﻦ ﻋﻠﻤﺎء اﻷﻧﺪﻟﺲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت واﻟﮭﯿﺌﺔ ،ﻓﻲ اﻟﻘﺮن اﻟﺨﺎﻣﺲ اﻟﮭﺠﺮي ،ﺗﻮﻓﻲ ﺳﻨﺔ ٤٤٤ھـ .ذﻛﺮه اﺑﻦ ﺻﺎﻋﺪ اﻷﻧﺪﻟﺴﻲ وﻗﺎل أﻧﮫ ﻛﺎن )ﻣﺘﺤﻘﻘﺎً ﺑﺎﻟﻌﻠﻮم اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ ،ﻣﺨﺘﺼﺎً ﻣﻨﮭﺎ ﺑﺈﯾﺜﺎر ﻋﻠﻢ اﻷﻓﻼك ،وﺣﺮﻛﺎت اﻟﻜﻮاﻛﺐ وأرﺻﺎدھﺎ( .وﻛﺎن ﯾﺸﺘﻐﻞ ﺑﺎﻷرﺻﺎد ﻣﻊ ﻋﺪد ﻣﻦ أﺻﺪﻗﺎﺋﮫ وزﻣﻼﺋﮫ ،ﻣﻨﮭﻢ اﺑﻦ اﻟﻠﯿﺚ ،واﺑﻦ اﻟﺠﻼب ،واﺑﻦ ﺣﻲّ
اﺑﻦ ﻋﺮاق ھﻮ أﺑﻮ ﻧﺼﺮ ﻣﻨﺼﻮر ﺑﻦ ﻋﻠﻲ ﺑﻦ ﻋﺮاق ،رﯾﺎﺿﻲ وﻓﻠﻜﻲ ﻣﻦ أھﻞ ﺧﻮارزم ،وﻛﺎن ﻣﻦ أﺳﺎﺗﺬة أﺑﻲ اﻟﺮﯾﺤﺎن اﻟﺒﯿﺮوﻧﻲ .ﻻ ﻧﻜﺎد ﻧﻌﺮف ﻣﻦ ﺣﯿﺎﺗﮫ ﺳﻮى أﻧﮫ راﻓﻖ اﻟﺒﯿﺮوﻧﻲ إﻟﻰ ﻏﺰﻧﺔ ﺳﻨﺔ ٤٠٨ ھـ وأرﺳﻞ إﻟﯿﮫ ﺑﻀﻊ ﻋﺸﺮة رﺳﺎﻟﺔ ،وﻗﺪ ﺗﻮﻓﻲ ﻓﻲ ﺣﺪود اﻟﺴﻨﺔ ٤٢٥ھـ .ﻣﻦ آﺛﺎره )رﺳﺎﻟﺔ ﻓﻲ إﺻﻼح ﺷﻜﺮ ﻣﻦ ﻛﺘﺎب ﻣﻨﻼوس ﻓﻲ اﻟﻜﺮﯾﺎت( ،ﻃﺒﻌﮭﺎ )ﻛﺮاوس( ﻓﻲ ﺑﺮﻟﯿﻦ ﺳﻨﺔ ١٩٣٦م .وذﻛﺮ ﻣﻦ ﻣﺆﻟﻔﺎﺗﮫ) :اﻟﻤﺠﺴﻄﻲ اﻟﺸﺎھﻲ( و )اﻟﺪواﺋﺮ اﻟﺘﻲ ﺗﺤﺪ اﻟﺴﺎﻋﺎت اﻟﺰﻣﺎﻧﯿﺔ(
اﺑﻦ اﻟﺒﻨﱠﺎء ھﻮ أﺑﻮ اﻟﻌﺒﺎس أﺣﻤﺪ ﺑﻦ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻋﺜﻤﺎن اﻷزدي اﻟﻤﺮاﻛﺸﻲ .ﻋﺮف ﺑﺎﺑﻦ اﻟﺒﻨﺎء ﻷن أﺑﺎه ﻛﺎن ﺑﻨّﺎءً ،ﻛﻤﺎ اﺷﺘﮭﺮ ﺑﻠﻘﺐ اﻟﻤﺮاﻛﺸﻲ ﻷﻧﮫ أﻗﺎم ﻓﻲ ﻣﺮاﻛﺶ ودرّس ﻓﯿﮭﺎ ،وﻓﯿﮭﺎ ﻣﺎت ﺳﻨﺔ ٧٢١أو ٧٢٣ھـ .وﻟﺪ ﻓﻲ ﻏﺮﻧﺎﻃﺔ ،وﻗﯿﻞ ﻓﻲ ﻣﺮاﻛﺶ ،وﯾﺨﺘﻠﻒ ﻣﺘﺮﺟﻤﻮه ﻓﻲ ﺳﻨﺔ وﻻدﺗﮫ ،ﻓﯿﺠﻌﻠﻮﻧﮭﺎ ﺑﯿﻦ ٦٣٩ھـ و ٦٥٦ھـ. ﺗﺒﺤّﺮ اﺑﻦ اﻟﺒﻨﱠﺎء ﻓﻲ ﻋﻠﻮم ﻣﺘﻨﻮّﻋﺔ ،إﻻ أﻧﮫ اﺷﺘﮭﺮ ﺧﺎﺻﺔ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت وﻣﺎ إﻟﯿﮭﺎ .وﻛﺎن ﻋﺎﻟﻤﺎً ﻣﺜﻤﺮاً ،وﺿﻊ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺳﺒﻌﯿﻦ ﻛﺘﺎﺑﺎً ورﺳﺎﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﺪد ،واﻟﺤﺴﺎب ،واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ،واﻟﺠﺒﺮ ،واﻟﻔﻠﻚ، ﺿﺎع ﻣﻌﻈﻤﮭﺎ ،وﻟﻢ ﯾﻌﺜﺮ اﻟﻌﻠﻤﺎء اﻹﻓﺮﻧﺞ إﻻ ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ﻗﻠﯿﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﻧﻘﻠﻮا ﺑﻌﻀﮫ إﻟﻰ ﻟﻐﺎﺗﮭﻢ .وﻗﺪ ﺗﺠﻠّﻰ ﻟﮭﻢ ﻓﻀﻞ اﺑﻦ اﻟﺒﻨﺎء ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺾ اﻟﺒﺤﻮث واﻟﻨﻈﺮﯾﺎت ﻓﻲ اﻟﺤﺴﺎب واﻟﺠﺒﺮ واﻟﻔﻠﻚ. ﻗﺎﻣﺖ ﺷﮭﺮة اﺑﻦ اﻟﺒﻨﱠﺎء ﻋﻠﻰ ﻛﺘﺎﺑﮫ اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺎﺳﻢ )ﻛﺘﺎب ﺗﻠﺨﯿﺺ أﻋﻤﺎل اﻟﺤﺴﺎب( اﻟﺬي ﯾُﻌﺪ ﻣﻦ أﺷﮭﺮ ﻣﺆﻟﻔﺎﺗﮫ وأﻧﻔﺴﮭﺎ .وﻗﺪ ﺑﻘﻲ ﻣﻌﻤﻮﻻً ﺑﮫ ﻓﻲ اﻟﻤﻐﺮب ﺣﺘﻰ ﻧﮭﺎﯾﺔ اﻟﻘﺮن اﻟﺴﺎدس ﻋﺸﺮ ﻟﻠﻤﯿﻼد ،ﻛﻤﺎ ﻓﺎز ﺑﺎھﺘﻤﺎم ﻋﻠﻤﺎء اﻟﻘﺮن اﻟﺘﺎﺳﻊ ﻋﺸﺮ واﻟﻘﺮن اﻟﻌﺸﺮﯾﻦ .ﻓﻀﻼً ﻋﻦ ھﺬا اﻟﻜﺘﺎب وﺿﻊ اﺑﻦ اﻟﺒﻨﱠﺎء ﻛﺘﺎﺑﯿﻦ ،أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﺴﻤﻰ ﻛﺘﺎب اﻷﺻﻮل واﻟﻤﻘﺪﻣﺎت ﻓﻲ اﻟﺠﺒﺮ واﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ،واﻟﺜﺎﻧﻲ ﻛﺘﺎب اﻟﺠﺒﺮ واﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ .وﻻﺑﻦ اﻟﺒﻨﱠﺎء ﻛﺬﻟﻚ رﺳﺎﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ،وأزﯾﺎج ﻓﻲ اﻟﻔﻠﻚ ،ﻛﻤﺎ ﻟﮫ ﻛﺘﺎب ﺑﺎﺳﻢ )ﻛﺘﺎب اﻟﻤﻨﺎخ( وﯾﺘﻨﺎول اﻟﺠﺪاول اﻟﻔﻠﻜﯿﺔ وﻛﯿﻔﯿﺔ ﻋﻤﻠﮭﺎ
اﺑﻦ اﻟﻠﺠﺎﺋﻲ ھﻮ أﺑﻮ زﯾﺪ ﻋﺒﺪ اﻟﺮﺣﻤﻦ ﺑﻦ أﺑﻲ اﻟﺮﺑﯿﻊ اﻟﻠﺠﺎﺋﻲ ،اﻟﻔﺎﺳﻲ ،اﺷﺘﻐﻞ ﺑﺎﻟﻔﻠﻚ واﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت .وﺟﺎء ﻋﻦ أﺑﻦ ﻗﻨﻔﺬ) :ﻛﺎن ﻟﻠﺠﺎﺋﻲ آﯾﺔ ﻓﻲ ﻓﻨﻮﻧﮫ ،وﻣﻦ ﺑﻌﺾ أﻋﻤﺎﻟﮫ أﻧﮫ اﺧﺘﺮع إﺳﻄﺮﻻﺑﺎً ﻣﻠﺼﻮﻗﺎً ﺑﺎﻟﺠﺪار ،واﻟﻤﺎء ﯾﺪﯾﺮ ﺷﺒﻜﺘﮫ ،ﻓﯿﺄﺗﻲ اﻟﻨﺎﻇﺮ ﻓﯿﻨﻈﺮ إﻟﻰ ارﺗﻔﺎع اﻟﺸﻤﺲ ،وﻛﻢ ﻣﻀﻰ ﻣﻦ اﻟﻨﮭﺎر، وﻛﺬﻟﻚ ﯾﻨﻈﺮ ارﺗﻔﺎع اﻟﻜﻮاﻛﺐ ﺑﺎﻟﻠﯿﻞ .(...وﻗﺪ ﺗﻮﻓﻲ ﺳﻨﺔ ٧٧٣ھـ
٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ /ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ
ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ
اﺑﻦ اﻟﺨﻮام ھﻮ ﻋﻤﺎد اﻟﺪﯾﻦ أﺑﻮ ﻋﻠﻲ ﻋﺒﺪ اﷲ ﺑﻦ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻋﺒﺪ اﻟﺮزّاق اﻟﺤﺮﺑﻮي ،اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺎﺑﻦ اﻟﺨﻮام، ﻃﺒﯿﺐ ورﯾﺎﺿﻲ ،وﻟﺪ ﺳﻨﺔ ٦٤٣ھـ وﻋﺎش ﻓﻲ ﺑﻐﺪاد ﻓﻜﺎن رﺋﯿﺲ أﻃﺒﺎﺋﮭﺎ ،وﻓﯿﮭﺎ ﺗﻮﻓﻲ ﺳﻨﺔ ٧٣٦ھـ .وذﻛﺮ ﻣﻦ ﺗﺼﺎﻧﯿﻔﮫ )رﺳﺎﻟﺔ اﻟﻔﺮاﺳﺔ() ،ﻣﻘﺪّﻣﺔ ﻓﻲ اﻟﻄﺐ( ،و )اﻟﻘﻮاﻋﺪ اﻟﺒﮭﺎﺋﯿﺔ( ﻓﻲ اﻟﺤﺴﺎب
اﺑﻦ اﻟﻤﺠﺪي ھﻮ أﺑﻮ اﻟﻌﺒﺎس ﺷﮭﺎب اﻟﺪﯾﻦ أﺣﻤﺪ ﺑﻦ رﺟﺐ ﺑﻦ ﻃﻨﺒﻐﺎ ،اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺎﺑﻦ اﻟﻤﺠﺪي ،ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﻲ وﻓﻠﻜﻲ ،وﻟﺪ ﺑﺎﻟﻘﺎھﺮة ﺳﻨﺔ ٧٦٠ھـ ،وﻓﯿﮭﺎ ﺗﻮﻓﻲ ﻓﻲ ١٠ذي اﻟﻘﻌﺪة ﺳﻨﺔ ٨٥٠ھـ .ﻗﺎل اﻟﺴﺨﺎوي ﻓﻲ ﺗﺮﺟﻤﺘﮫ أﻧﮫ )ﺻﺎر رأس اﻟﻨﺎس ﻓﻲ أﻧﻮاع اﻟﺤﺴﺎب ،واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ،واﻟﮭﯿﺌﺔ، واﻟﻔﺮاﺋﺾ ،وﻋﻠﻢ اﻟﻮﻗﺖ ﺑﻼ ﻣﻨﺎزع( .وﻗﺎل اﻟﺴﯿﻮﻃﻲ) :اﺷﺘﻐﻞ ،وﺑﺮع ﻓﻲ اﻟﻔﻘﮫ ،واﻟﻨﺤﻮ، واﻟﻔﺮاﺋﺾ ،واﻟﺤﺴﺎب ،واﻟﮭﯿﺌﺔ ،واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ .(...ﺗﺮك آﺛﺎراً ﻋﺪﯾﺪة وﺻﻠﻨﺎ ﺑﻌﻀﮭﺎ ﻓﻲ ﻣﻜﺘﺒﺎت اﻟﻘﺎھﺮة وﻟﯿﺪن وأﻛﺴﻔﻮرد ،وأﺷﮭﺮھﺎ) :اﻟﺪر اﻟﯿﺘﯿﻢ ﻓﻲ ﺻﻨﺎﻋﺔ اﻟﺘﻘﻮﯾﻢ() ،إرﺷﺎد اﻟﺤﺎﺋﺮ إﻟﻰ ﺗﺨﻄﯿﻂ ﻓﻀﻞ اﻟﺪواﺋﺮ( ﻓﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﮭﯿﺌﺔ) ،ﺗﻌﺪﯾﻞ اﻟﻘﻤﺮ() ،ﺗﻌﺪﯾﻞ زﺣﻞ(
اﺑﻦ اﻟﺨﯿﺎط ھﻮ أﺑﻮ ﺑﻜﺮ ﯾﺤﯿﻰ ﺑﻦ أﺣﻤﺪ اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺎﺑﻦ اﻟﺨﯿﺎط ،ﻃﺒﯿﺐ ،رﯾﺎﺿﻲ ،ﻣﮭﻨﺪس وﻓﻠﻜﻲ ،ﻣﻦ ﻋﻠﻤﺎء اﻷﻧﺪﻟﺲ ﻓﻲ اﻟﻘﺮن اﻟﺨﺎﻣﺲ اﻟﮭﺠﺮي .ذﻛﺮه ﺻﺎﻋﺪ ﻓﻲ )ﻃﺒﻘﺎت اﻷﻣﻢ( ،وﻟﺨﺺ ﻋﻨﮫ ﺗﺮﺟﻤﺘﮫ اﺑﻦ أﺑﻲ أﺻﯿﺒﻌﺔ .ﻗﺎل ﺻﺎﻋﺪ أﻧﮫ ﻛﺎن أﺣﺪ ﺗﻼﻣﯿﺬ أﺑﻲ اﻟﻘﺎﺳﻢ اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ ﻓﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﻌﺪد واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ .ﺛﻢ ﻣﺎل إﻟﻰ أﺣﻜﺎم اﻟﻨﺠﻮم ﻓﺒﺮع ﻓﯿﮭﺎ .وﻛﺎﻧﺖ وﻓﺎﺗﮫ ﺑﻄﻠﯿﻄﻠﺔ ﺳﻨﺔ ٤٤٧ھـ
اﺑﻦ اﻟﺴﻤﺢ ھﻮ أﺑﻮ اﻟﻘﺎﺳﻢ اﺻﺒﻎ ﺑﻦ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ اﻟﺴَﻤْﺢ اﻟﻤﮭﺪي اﻟﻐﺮﻧﺎﻃﻲ ،ﻣﻦ ﻋﻠﻤﺎء اﻷﻧﺪﻟﺲ .أﺧﺬ ﻓﯿﮭﺎ ﻋﻦ أﺑﻲ اﻟﻘﺎﺳﻢ اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ ،وﺑﺮع ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ،واﻟﮭﯿﺌﺔ ،وﻋﻨﻲ ﺑﺎﻟﻄﺐ .وردت ﺗﺮﺟﻤﺘﮫ ﻓﻲ ﻛﺘﺎب )ﻃﺒﻘﺎت اﻷﻣﻢ( ﻟﺼﺎﻋﺪ اﻷﻧﺪﻟﺴﻲ ،وﻋﻦ ﺻﺎﻋﺪ ﻧﻘﻞ اﺑﻦ أﺑﻲ أﺻﯿﺒﻌﺔ ﻓﻲ ﻛﺘﺎب )ﻋﯿﻮن اﻷﻧﺒﺎء(. وﺗﻮﻓﻲ اﺑﻦ اﻟﺴﻤﺢ ﻓﻲ ﻏﺮﻧﺎﻃﺔ ﻋﺎم ٤٢٦ھـ وﻣﻦ ﻣﺆﻟﻔﺎت اﺑﻦ اﻟﺴﻤﺢ )اﻟﻤﺪﺧﻞ إﻟﻰ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ( ﻓﻲ ﺗﻔﺴﯿﺮ ﻛﺘﺎب إﻗﻠﯿﺪس ،ﻛﺘﺎب )ﺛﻤﺎر اﻟﻌﺪد( ﻓﻲ اﻷﻋﻤﺎل اﻟﺘﺠﺎرﯾﺔ) ،ﻛﺘﺎب ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﻌﺪد( ،ﻛﺘﺎب )ﻓﻲ ﺻﻨﻌﺔ اﻹﺳﻄﺮﻻب() ،ﻛﺘﺎب اﻟﻌﻤﻞ ﺑﺎﻹﺳﻄﺮﻻب() ،زﯾﺞ ﻋﻠﻰ ﻣﺬھﺐ اﻟﺴﻨﺪھﻨﺪ(
اﺑﻦ ﻣﺴﻌﻮد ھﻮ ﺟﻤﺸﯿﺪ ﺑﻦ ﻣﺤﻤﻮد ﺑﻦ ﻣﺴﻌﻮد اﻟﻤﻠﻘﺐ ﺑﻐﯿﺎث اﻟﺪﯾﻦ ،وﻟﺪ ﻓﻲ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻣﻦ اﻟﻘﺮن اﻟﺜﺎﻣﻦ ﻟﻠﮭﺠﺮة ﻓﻲ ﻣﺪﯾﻨﺔ ﻛﺎﺷﺎن ،وﻟﺬﻟﻚ ﯾﻌﺮف ﺑﺎﻟﻜﺎﺷﺎﻧﻲ وﺑﺎﻟﻜﺎﺷﻲ .اﻧﺘﻘﻞ إﻟﻰ ﺳﻤﺮﻗﻨﺪ ﺑﺪﻋﻮة ﻣﻦ )أوﻟﻎ ﺑﻚ( وﻓﯿﮭﺎ ﻇﮭﺮ ﻧﺒﻮﻏﮫ ﻓﻲ ﻋﻠﻮم اﻟﺤﺴﺎب واﻟﻔﻠﻚ واﻟﻄﺒﯿﻌﺔ .وﻓﻲ ﺳﻤﺮﻗﻨﺪ أﻟﻒ ﻣﻌﻈﻢ ﻛﺘﺒﮫ .وﻗﺪ ﺗﻮﻓﻲ اﺑﻦ ﻣﺴﻌﻮد ﻓﻲ أواﺋﻞ اﻟﻘﺮن اﻟﺘﺎﺳﻊ ﻟﻠﮭﺠﺮة ،ﺗﺎرﻛﺎً ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺆﻟﻔﺎت، أھﻤﮭﺎ) :ﻛﺘﺎب زﯾﺞ اﻟﺨﺎﻗﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﺗﻜﻤﯿﻞ اﻻﯾﻠﺨﺎﻧﻲ() ،ﻧﺰھﺔ اﻟﺤﺪاﺋﻖ( ﻓﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﻔﻠﻚ) ،اﻟﺮﺳﺎﻟﺔ اﻟﻤﺤﯿﻄﯿﺔ( ﻓﻲ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻧﺴﺒﺔ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﺋﺮة إﻟﻰ ﻗﻄﺮھﺎ) ،رﺳﺎﻟﺔ اﻟﺠﯿﺐ واﻟﻮﺗﺮ( ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت، )ﻣﻔﺘﺎح اﻟﺤﺴﺎب( اﻟﺬي اﺳﺘﺨﺪم ﻓﯿﮫ اﻟﻜﺴﻮر اﻟﻌﺸﺮﯾﺔ وﻓﺎﺋﺪة اﻟﺼﻔﺮ
٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ /ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ
ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ
أﺑﻮ ﺑﻜﺮ ﺑﻦ أﺑﻲ ﻋﯿﺴﻰ ھﻮ أﺣﻤﺪ ﺑﻦ ﻋﻤﺮ ﺑﻦ أﺑﻲ ﻋﯿﺴﻰ اﻷﻧﺼﺎري ،رﯾﺎﺿﻲ وﺣﺎﺳﺐ ،ﻣﻦ ﻋﻠﻤﺎء اﻷﻧﺪﻟﺲ ﻓﻲ اﻟﻘﺮن اﻟﺮاﺑﻊ اﻟﮭﺠﺮي ،ذﻛﺮه اﺑﻦ ﺻﺎﻋﺪة ﻓﻲ )ﻃﺒﻘﺎت اﻷﻣﻢ( وﻗﺎل :ﻛﺎن ﻣﺘﻘﺪﻣﺎً ﻓﻲ اﻟﻌﺪد واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ واﻟﻨﺠﻮم ،ﻓﻜﺎن ﯾﺠﻠﺲ ﻟﺘﻌﻠﯿﻢ ذﻟﻚ أﯾﺎم اﻟﺤﻜﻢ
اﺑﻦ ﺳﯿﻨﺎ ھﻮ أﺑﻮ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺴﯿﻦ ﺑﻦ ﻋﺒﺪ اﷲ ﺑﻦ اﻟﺤﺴﻦ ﺑﻦ ﻋﻠﻰ ﺑﻦ ﺳﯿﻨﺎ ،اﻟﻤﻠﻘﺐ ﺑﺎﻟﺸﯿﺦ اﻟﺮﺋﯿﺲ، ﻓﯿﻠﺴﻮف ،ﻃﺒﯿﺐ وﻋﺎﻟﻢ ،وﻣﻦ ﻋﻈﺎم رﺟﺎل اﻟﻔﻜﺮ ﻓﻲ اﻹﺳﻼم وﻣﻦ أﺷﮭﺮ ﻓﻼﺳﻔﺔ اﻟﺸﺮق وأﻃﺒﺎﺋﮫ .وﻟﺪ ﻓﻲ ﻗﺮﯾﺔ )أﻓﺸﻨﺔ( اﻟﻔﺎرﺳﯿﺔ ﻓﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻦ ﺳﻨﺔ ٣٧٠ھـ .ﺛﻢ اﻧﺘﻘﻞ ﺑﮫ أھﻠﮫ إﻟﻰ ﺑﺨﺎرى ﺣﯿﺚ ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻔﺎرﺳﯿﺔ ﻟﻐﺔ اﻟﺒﻼط ،واﻟﻌﺮﺑﯿﺔ ﻟﻐﺔ اﻟﺪﯾﻮان واﻟﻤﺮاﺳﻼت .وﻓﻲ ﺑﺨﺎرى ﺗﻌﻤﻖ ﻓﻲ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﻤﺘﻨﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﻓﻘﮫ وﻓﻠﺴﻔﺔ وﻃﺐ ،وﺑﻘﻲ ﻓﻲ ﺗﻠﻚ اﻟﻤﺪﯾﻨﺔ ﺣﺘﻰ ﺑﻠﻮﻏﮫ اﻟﻌﺸﺮﯾﻦ .ﺛﻢ اﻧﺘﻘﻞ إﻟﻰ ﺧﻮارزم ﺣﯿﺚ ﻣﻜﺚ ﻧﺤﻮاً ﻣﻦ ﻋﺸﺮ ﺳﻨﻮات ) ٤٠٢ - ٣٩٢ھـ( ،وﻣﻨﮭﺎ إﻟﻰ ﺟﺮﺟﺎن ﻓﺈﻟﻰ اﻟﺮي .وﺑﻌﺪ ذﻟﻚ رﺣﻞ إﻟﻰ ھﻤﺬان وﺑﻘﻲ ﻓﯿﮭﺎ ﺗﺴﻊ ﺳﻨﻮات ،وﻣﻦ ﺛﻢ دﺧﻞ ﻓﻲ ﺧﺪﻣﺔ ﻋﻼء اﻟﺪوﻟﺔ ﺑﺄﺻﻔﮭﺎن .وھﻜﺬا أﻣﻀﻰ ﺣﯿﺎﺗﮫ ﻣﺘﻨﻘﻼً ﺣﺘﻰ وﻓﺎﺗﮫ ﻓﻲ ھﻤﺬان ،ﻓﻲ ﺷﮭﺮ ﺷﻌﺒﺎن ﺳﻨﺔ ٤٢٧ھـ
أﺑﻮ ﺟﻌﻔﺮ اﻟﺨﺎزن ھﻮ أﺑﻮ ﺟﻌﻔﺮ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ اﻟﺤﺴﯿﻦ اﻟﺨﺎزن اﻟﺨﺮاﺳﺎﻧﻲ ،ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﻲ ﻓﻠﻜﻲ ﻣﻦ أﺑﻨﺎء اﻟﻘﺮن اﻟﺮاﺑﻊ اﻟﮭﺠﺮي .ﻻ ﻧﻜﺎد ﻧﻌﺮف ﺷﯿﺌﺎً ﯾﺬﻛﺮ ﻣﻦ ﺣﯿﺎﺗﮫ ﺳﻮى أﻧﮫ ﺧﺪم اﺑﻦ اﻟﻌﻤﯿﺪ ،وزﯾﺮ رﻛﻦ اﻟﺪوﻟﺔ اﻟﺒﻮﯾﮭﻲ .وﻟﺪ ﻣﻦ اﻟﻜﺘﺐ) :ﻛﺘﺎب زﯾﺞ اﻟﺼﻔﺎﺋﺢ( و )ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﻌﺪدﯾﺔ( .ﻗﯿﻞ أﻧﮫ أول ﻋﺎﻟﻢ ﺣﻞّ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻜﻌﯿﺒﯿﺔ ھﻨﺪﺳﯿﺎً ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻗﻄﻮع اﻟﻤﺨﺮوط ،ﻛﻤﺎ ﺑﺤﺚ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻋﻠﻰ أﻧﻮاﻋﮭﺎ
اﺑﻦ اﻟﺼﻔّﺎر ھﻮ أﺑﻮ اﻟﻘﺎﺳﻢ أﺣﻤﺪ ﺑﻦ ﻋﺒﺪ اﷲ ﺑﻦ ﻋﻤﺮ اﻟﻘﺮﻃﺒﻲ ،ﻣﻦ رﯾﺎﺿﯿﻲ اﻷﻧﺪﻟﺲ ﻓﻲ اﻟﻘﺮن اﻟﺨﺎﻣﺲ اﻟﮭﺠﺮي ،وﻣﻦ ﺗﻼﻣﺬة أﺑﻲ اﻟﻘﺎﺳﻢ اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ .ﺗﺮﺟﻢ ﻟﮫ اﺑﻦ ﺻﺎﻋﺪ اﻷﻧﺪﻟﺴﻲ ﻓﻲ )ﻃﺒﻘﺎت اﻷﻣﻢ(، وﻗﺎل) :ﻛﺎن ﻣﺘﺤﻘﻘﺎً ﺑﻌﻠﻢ اﻟﻌﺪد واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ واﻟﻨﺠﻮم ،وﻗﻌﺪ ﻓﻲ ﻗﺮﻃﺒﺔ ﻟﺘﻌﻠﯿﻢ ذﻟﻚ ،ﻓﺘﺨﺮج ﻋﻠﯿﮫ ﻋﺪد ﻣﻦ ﻣﺸﺎھﯿﺮ اﻟﻌﻠﻤﺎء( .وﻣﻦ آﺛﺎر اﺑﻦ اﻟﺼﻔّﺎر زﯾﺞ ﻣﺨﺘﺼﺮ ﻋﻠﻰ ﻣﺬھﺐ اﻟﺴﻨﺪھﻨﺪ ،وﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻟﻌﻤﻞ ﺑﺎﻹﺳﻄﺮﻻب .وﻗﺪ ﺧﺮج ﻣﻦ ﻗﺮﻃﺒﺔ ﻋﻠﻰ أﺛﺮ اﻟﻔﺘﻨﺔ ،ﻓﺎﻧﺘﻘﻞ إﻟﻰ داﻧﯿﺔ ،وﻓﯿﮭﺎ ﻛﺎﻧﺖ وﻓﺎﺗﮫ ﺣﻮاﻟﻲ اﻟﺴﻨﺔ ٤٢٦ھـ
اﺑﻦ اﻟﺸﺎﻃﺮ ھﻮ أﺑﻮ اﻟﺤﺴﻦ ﺑﻦ ﻋﻠﻲ ﺑﻦ إﺑﺮاھﯿﻢ ﺑﻦ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ اﻟﻤﻄﻌﻢ ،اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺎﺑﻦ اﻟﺸﺎﻃﺮ ،أﺣﺪ رﯾﺎﺿﯿﻲ اﻟﻘﺮن اﻟﺜﺎﻣﻦ ﻟﻠﮭﺠﺮة .وﻟﺪ ﺑﺪﻣﺸﻖ ﺳﻨﺔ ٧٠٤ھـ وﺗﻮﻓﻲ ﻓﯿﮭﺎ ﺳﻨﺔ ٧٧٧ھـ .ﻛﺎن ﻣﻮﻗﱢﺘﺎً ﻓﻲ اﻟﺠﺎﻣﻊ اﻷﻣﻮي ،ﻋﺎﻟﻤﺎً ﺑﺂﻻت اﻟﺮﺻﺪ وﺑﻌﻠﻢ اﻟﻔﻠﻚ ،وأﻟﻒ ﺑﮭﺬﯾﻦ اﻟﻌﻠﻤﯿﻦ
أﺑﻮ اﻟﺤﺴﻦ ﺑﻦ اﻟﻌﻄﺎر ھﻮ أﺑﻮ اﻟﺤﺴﻦ ﻋﻼء اﻟﺪﯾﻦ ﻋﻠﻲ اﺑﻦ إﺑﺮاھﯿﻢ ،اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺎﺑﻦ اﻟﻌﻄﺎر ،ﻧﺴﺒﺔ ﻷﺑﯿﮫ اﻟﺬي ﻛﺎن ﻋﻄﺎراً ﺑﺪﻣﺸﻖ .وﻟﺪ ﺳﻨﺔ ٦٥٤ھـ ،وﻛﺎن ﻧﺸﯿﻄﺎً ﻓﻲ اﻟﺤﺴﺎب ،وﺗﻮﻓﻲ ﺳﻨﺔ ٧٢٤ھـ
اﻟﺒﺘﱠﺎﻧﻲ ھﻮ اﺑﻦ ﻋﺒﺪ اﷲ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﺳﻨﺎن ﺑﻦ ﺟﺎﺑﺮ اﻟﺤﺮاﻧﻲ اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺎﺳﻢ اﻟﺒﺘﺎﻧﻲ ،وﻟﺪ ﻓﻲ ﺣﺮان، وﺗﻮﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﻌﺮاق ،وھﻮ ﯾﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ أواﺧﺮ اﻟﻘﺮن اﻟﺜﺎﻧﻲ وأواﺋﻞ اﻟﻘﺮن اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻟﻠﮭﺠﺮة .وھﻮ ﻣﻦ أﻋﻈﻢ ﻓﻠﻜﯿﻲ اﻟﻌﺎﻟﻢ ،إذ وﺿﻊ ﻓﻲ ھﺬا اﻟﻤﯿﺪان ﻧﻈﺮﯾﺎت ﻣﮭﻤﺔ ،ﻛﻤﺎ ﻟﮫ ﻧﻈﺮﯾﺎت ﻓﻲ ﻋﻠﻤﻲ اﻟﺠﺒﺮ وﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ١٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ /ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ
ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ
اﻟﺒﻐﺪادي ھﻮ ﻣﻮﻓﻖ اﻟﺪﯾﻦ أﺑﻮ ﻣﺤﻤﺪ ﻋﺒﺪ اﻟﻠﻄﯿﻒ اﻟﺒﻐﺪادي ،وﻟﺪ ﻓﻲ ﺑﻐﺪاد ﺳﻨﺔ ٥٥٧ھـ ودرس ﻓﯿﮭﺎ اﻷدب واﻟﻔﻘﮫ ،واﻟﻘﺮآن ،واﻟﺤﺪﯾﺚ ،واﻟﺤﺴﺎب ،واﻟﻔﻠﻚ .ﺛﻢ رﺣﻞ إﻟﻰ ﻣﺼﺮ ﺣﯿﺚ ﺗﻌﻤﻖ ﻓﻲ اﻟﻔﻠﺴﻔﺔ واﻟﻜﯿﻤﯿﺎء ،ﻋﻠﻰ ﯾﺪ ﯾﺲ اﻟﺴﯿﻤﯿﺎﺋﻲ )اﻟﻜﯿﻤﯿﺎﺋﻲ( ،ﻛﻤﺎ ﺗﺨﺼﺺ ﻓﻲ اﻟﻄﺐ ﻋﻠﻰ ﯾﺪ ﻣﻮﺳﻰ ﺑﻦ ﻣﯿﻤﻮن اﻟﻄﺒﯿﺐ .اﻧﺘﻘﻞ إﻟﻰ دﻣﺸﻖ ﻟﯿﺸﺘﻐﻞ ﺑﺪراﺳﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﻄﺒﯿﺔ ﻣﺪة ﻣﻦ اﻟﺰﻣﻦ ،ﺛﻢ ﻋﺎد إﻟﻰ ﻣﺼﺮ ﻟﯿﺘﺴﻠﻢ إﺣﺪى وﻇﺎﺋﻒ اﻟﺘﺪرﯾﺲ ﻓﻲ اﻷزھﺮ اﻟﺸﺮﯾﻒ أﯾﺎم اﻟﻌﺰﯾﺰ اﺑﻦ ﺻﻼح اﻟﺪﯾﻦ .وﻛﺎن اﻟﺘﺪرﯾﺲ ﺑﺎﻷزھﺮ ﺷﺮﻓﺎً ﻻ ﯾﻨﺎﻟﮫ إﻻ ﻣﻦ ﯾﻨﺎﻟﮫ اﻟﺤﻆ ﻣﻦ اﻟﻌﻠﻤﺎء .وﻓﻲ أواﺧﺮ ﺣﯿﺎﺗﮫ ﻋﺎد اﻟﺒﻐﺪادي إﻟﻰ دﻣﺸﻖ وﺣﻠﺐ ﺣﯿﺚ ﺗﻮﻓﻲ ﺳﻨﺔ ٦٢٩ھـ ﻣﻦ أھﻢ ﻣﺎ وﺻﻠﻨﺎ ﻣﻦ ﻣﺆﻟﻔﺎت اﻟﺒﻐﺪادي ﻛﺘﺎب )اﻹﻓﺎدة واﻻﻋﺘﺒﺎر( وﻓﯿﮫ ﺗﺤﺪث ﻋﻦ أﺣﻮال ﻣﺼﺮ وﻣﺎ ﺷﺎھﺪه ﻓﯿﮭﺎ .ﻛﻤﺎ ﯾﺘﻀﻤﻦ اﻟﻜﺘﺎب وﺻﻔﺎً ﻟﻠﻨﺒﺎﺗﺎت واﻟﺤﯿﻮاﻧﺎت اﻟﺘﻲ رآھﺎ ﻓﻲ ﻣﺼﺮ ،ﻣﻊ ذﻛﺮ اﻟﺘﻔﺎﺻﯿﻞ اﻟﺪﻗﯿﻘﺔ ،واﻹﺷﺎرة إﻟﻰ اﻟﺨﺼﺎﺋﺺ اﻟﻄﺒﯿﺔ ﻟﻸﻋﺸﺎب
أﺑﻮ اﻟﺮﺷﯿﺪ اﻟﺮازي ھﻮ أﺑﻮ اﻟﺮﺷﯿﺪ ﻣُﺒَﺸﱢﺮ ﺑﻦ أﺣﻤﺪ ﺑﻦ ﻋﻠﻲ ،رازي اﻷﺻﻞ ،ﺑﻐﺪادي اﻟﻤﻮﻟﺪ واﻟﺪار ،وﻟﺪ ﺳﻨﺔ ٥٣٠ ھـ .اﺷﺘﻐﻞ ﺑﺎﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت وﺑﺮع ﻓﯿﮭﺎ ،وﻻﺳﯿﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺤﺴﺎب وﺧﻮاص اﻷﻋﺪاد ،واﻟﺠﺒﺮ ،واﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ، واﻟﮭﯿﺌﺔ ،وﻗﺴﻤﺔ اﻟﺘﺮﻛﺎت .اﻋﺘﻤﺪه اﻟﺨﻠﯿﻔﺔ اﻟﻨﺎﺻﺮ ﻟﺪﯾﻦ اﷲ ﻓﻲ اﺧﺘﯿﺎر اﻟﻜﺘﺐ ﻟﺨﺰاﺋﻦ اﻟﻜﺘﺐ ﺑﺎﻟﺪار اﻟﺨﻠﯿﻔﯿﺔ ،وأرﺳﻠﮫ ﻣﻮﻓﺪاً إﻟﻰ اﻟﻤﻠﻚ اﻟﻌﺎدل ﺑﻦ أﺑﻲ ﺑﻜﺮ اﻷﯾﻮﺑﻲ إﻟﻰ ﺑﻼد اﻟﻤﻮﺻﻞ .ﻓﻠﻘﯿﮫ ﻓﻲ ﻧﺼﯿﺒﯿﻦ وﺗﻮﻓﻲ ھﻨﺎك ﺳﻨﺔ ٥٨٩ھـ
أﺑﻮ ﺳﮭﻞ اﻟﻜﻮھﻲ ھﻮ أﺑﻮ ﺳﮭﻞ وَﯾْﺠَﻦ ﺑﻦ وﺷﻢ اﻟﻜﻮھﻲ ،ﻣﻦ اﻟﻌﻠﻤﺎء اﻟﺬﯾﻦ اﺷﺘﻐﻠﻮا ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت واﻟﻔﻠﻚ وﻣﺮاﻛﺰ اﻷﺛﻘﺎل ،ﻓﻲ ﻋﮭﺪ اﻟﺪوﻟﺔ اﻟﺒﻮﯾﮭﯿﺔ .أﺻﻠﮫ ﻣﻦ ﻃﺒﺮﺳﺘﺎن ،ﻗﺪم ﺑﻐﺪاد وﺑﺮز ﻓﻲ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻣﻦ اﻟﻘﺮن اﻟﺮاﺑﻊ اﻟﮭﺠﺮي) ،وﻛﺎن ﺣﺴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﺎﻟﮭﻨﺪﺳﺔ وﻋﻠﻢ اﻟﮭﯿﺌﺔ ،ﻣﺘﻘﺪﻣﺎً ﻓﯿﮭﻤﺎ إﻟﻰ اﻟﻐﺎﯾﺔ اﻟﻤﺘﻨﺎھﯿﺔ( ﻋﻠﻰ ﻗﻮل اﺑﻦ اﻟﻌﺒﺮي .واﺷﺘﮭﺮ ﺑﺼﻨﻊ اﻵﻻت اﻟﺮﺻﺪﯾﺔ ،وإﺟﺮاء اﻷرﺻﺎد اﻟﺪﻗﯿﻘﺔ. وﻗﺪ ﻋﮭﺪ إﻟﯿﮫ ﺷﺮف اﻟﺪوﻟﺔ اﻟﺮﺻﺪ ﻓﻲ اﻟﻤﺮﺻﺪ اﻟﺬي ﺑﻨﺎه ﻓﻲ ﺑﺴﺘﺎن داره ﺑﺒﻐﺪاد .ﻓﺮﺻﺪ ﻓﯿﮫ اﻟﻜﻮھﻲ اﻟﻜﻮاﻛﺐ اﻟﺴﺒﻌﺔ ﺗﻨﻘﻠﮭﺎ وأﺑﺮاﺟﮭﺎ .ﻛﻤﺎ ﺑﺤﺚ ﻓﻲ ﻣﺮاﻛﺰ اﻷﺛﻘﺎل ،ﻓﺘﻮﺳﻊ ﻓﯿﮭﺎ واﺳﺘﻌﻤﻞ اﻟﺒﺮاھﯿﻦ اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ ﻟﺤﻞ ﺑﻌﺾ ﻣﺴﺎﺋﻠﮭﺎ .وﻟﻠﻜﻮھﻲ رﺳﺎﺋﻞ وﻣﺆﻟﻔﺎت ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت واﻟﻔﻠﻚ ﻧﺬﻛﺮ ﺑﻌﻀﮭﺎ) :ﻛﺘﺎب ﻣﺮاﻛﺰ اﻷﻛﺮ() ،ﻛﺘﺎب ﺻﻔﺔ اﻹﺳﻄﺮﻻب() ،ﻛﺘﺎب اﻷﺻﻮل ﻓﻲ ﺗﺤﺮﯾﻜﺎت ﻛﺘﺎب إﻗﻠﯿﺪس() ،اﻟﺒﺮﻛﺎر اﻟﺘﺎم واﻟﻌﻤﻞ ﺑﮫ( .وﻛﺎﻧﺖ وﻓﺎة اﻟﻜﻮھﻲ ﺣﻮاﻟﻲ اﻟﺴﻨﺔ ٣٩٠ھـ
اﻟﺒﻮزﺟَﺎﻧﻲ ھﻮ أﺑﻮ اﻟﻮﻓﺎء ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﯾﺤﯿﻰ ﺑﻦ إﺳﻤﺎﻋﯿﻞ ﺑﻦ اﻟﻌﺒﺎس اﻟﺒﻮزﺟﺎﻧﻲ ،ﻣﻦ أﻋﻈﻢ رﯾﺎﺿﯿﻲ اﻟﻌﺮب، وﻣﻦ اﻟﺬﯾﻦ ﻟﮭﻢ ﻓﻀﻞ ﻛﺒﯿﺮ ﻓﻲ ﺗﻘﺪم اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ .وﻟﺪ ﻓﻲ ﺑﻮزﺟﺎن ،وھﻲ ﺑﻠﺪة ﺻﻐﯿﺮة ﺑﯿﻦ ھﺮاة وﻧﯿﺴﺎﺑﻮر ،ﻓﻲ ﻣﺴﺘﮭﻞ رﻣﻀﺎن ﺳﻨﺔ ٣٢٨ھـ .ﻗﺮأ ﻋﻠﻰ ﻋﻤﮫ اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺄﺑﻲ ﻋﻤﺮو اﻟﻤﻐﺎزﻟﻲ ،وﻋﻠﻰ ﺧﺎﻟﮫ اﻟﻤﻌﺮوف ﺑﺄﺑﻲ ﻋﺒﺪ اﷲ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻋﻨﺒﺴﺔ ،ﻣﺎ ﻛﺎن ﻣﻦ اﻟﻌﺪدﯾّﺎت واﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺎت .وﻟﻤﺎ ﺑﻠﻎ اﻟﻌﺸﺮﯾﻦ ﻣﻦ اﻟﻌﻤﺮ اﻧﺘﻘﻞ إﻟﻰ ﺑﻐﺪاد ﺣﯿﺚ ﻓﺎﺿﺖ ﻗﺮﯾﺤﺘﮫ وﻟﻤﻊ اﺳﻤﮫ وﻇﮭﺮ ﻟﻠﻨﺎس إﻧﺘﺎﺟﮫ ﻓﻲ ﻛﺘﺒﮫ ورﺳﺎﺋﻠﮫ وﺷﺮوﺣﮫ ﻟﻤﺆﻟﻔﺎت إﻗﻠﯿﺪس ودﯾﻮﻓﻨﻄﺲ واﻟﺨﻮارزﻣﻲ وﻓﻲ ﺑﻐﺪاد ﻗﺪم أﺑﻮ اﻟﻮﻓﺎء ﺳﻨﺔ ٣٧٠ھـ أﺑﺎ ﺣﯿﺎن اﻟﺘﻮﺣﯿﺪي إﻟﻰ اﻟﻮزﯾﺮ اﺑﻦ ﺳﻌﺪان .ﻓﺒﺎﺷﺮ ﻓﻲ داره ﻣﺠﺎﻟﺴﮫ اﻟﺸﮭﯿﺮة اﻟﺘﻲ دوّن أﺣﺪاﺛﮭﺎ ﻓﻲ ﻛﺘﺎب )اﻻﻣﺘﺎع واﻟﺆاﻧﺴﺔ( وﻗﺪﻣﮫ إﻟﻰ أﺑﻲ اﻟﻮﻓﺎء وﻓﻲ ﺑﻐﺪاد ﻗﻀﻰ اﻟﺒﻮزﺟﺎﻧﻲ ﺣﯿﺎﺗﮫ ﻓﻲ اﻟﺘﺄﻟﯿﻒ واﻟﺮﺻﺪ واﻟﺘﺪرﯾﺲ .وﻗﺪ اﻧﺘﺨﺐ ﻟﯿﻜﻮن أﺣﺪ أﻋﻀﺎء اﻟﻤﺮﺻﺪ اﻟﺬي أ،ﺷﺄه ﺷﺮف اﻟﺪوﻟﺔ ،ﻓﻲ ﺳﺮاﯾﺔ ،ﺳﻨﺔ ٣٧٧ھـ .وﻛﺎﻧﺖ وﻓﺎﺗﮫ ﻓﻲ ٣ ١١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ /ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ
ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ
رﺟﺐ ٣٨٨ھـ ﻋﻠﻰ اﻷرﺟﺢ. ﯾﻌﺘﺒﺮ أﺑﻮ اﻟﻮﻓﺎء أﺣﺪ اﻷﺋﻤﺔ اﻟﻤﻌﺪودﯾﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻠﻚ واﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ،وﻟﮫ ﻓﯿﮭﺎ ﻣﺆﻟﻔﺎت ﻗﯿﻤﺔ ،وﻛﺎن ﻣﻦ أﺷﮭﺮ اﻟﺬﯾﻦ ﺑﺮﻋﻮا ﻓﻲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ،أﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺠﺒﺮ ﻓﻘﺪ زاد ﻋﻠﻰ ﺑﺤﻮث اﻟﺨﻮارزﻣﻲ زﯾﺎدات ﺗﻌﺘﺒﺮ أﺳﺎﺳﺎً ﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺠﺒﺮ ﺑﺎﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ،وھﻮ أول ﻣﻦ وﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ )ﻇﻞّ( وھﻮ أول ﻣﻦ اﺳﺘﻌﻤﻠﮭﺎ ﻓﻲ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ ،وأدﺧﻞ اﻟﺒﻮزﺟﺎﻧﻲ اﻟﻘﺎﻃﻊ واﻟﻘﺎﻃﻊ ﺗﻤﺎم ،ووﺿﻊ اﻟﺠﺪاول اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ ﻟﻠﻤﺎس ،وأوﺟﺪ ﻃﺮﯾﻘﺔ ﺟﺪﯾﺪة ﻟﺤﺴﺎب ﺟﺪول اﻟﺠﯿﺐ ،وﻛﺎﻧﺖ ﺟﺪاوﻟﮫ دﻗﯿﻘﺔ، ﺣﺘﻰ أن ﺟﯿﺐ زاوﯾﺔ ٣٠درﺟﺔ ﻛﺎن ﺻﺤﯿﺤﺎً إﻟﻰ ﺛﻤﺎﻧﯿﺔ أرﻗﺎم ﻋﺸﺮﯾﺔ ،ووﺿﻊ اﻟﺒﻮزﺟﺎﻧﻲ ﺑﻌﺾ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻌﻠﻖ ﺑﺠﯿﺐ زاوﯾﺘﯿﻦ ،وﻛﺸﻒ ﺑﻌﺾ اﻟﻌﻼﻗﺎت ﺑﯿﻦ اﻟﺠﯿﺐ واﻟﻤﻤﺎس واﻟﻘﺎﻃﻊ وﻧﻈﺎﺋﺮھﺎ وﻇﮭﺮت ﻋﺒﻘﺮﯾﺔ اﻟﺒﻮزﺟﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﻧﻮاح أﺧﺮى ﻛﺎن ﻟﮭﺎ اﻷﺛﺮ اﻟﻜﺒﯿﺮ ﻓﻲ ﻓﻦ اﻟﺮﺳﻢ .ﻓﻮﺿﻊ ﻛﺘﺎﺑﺎً ﻋﻨﻮاﻧﮫ )ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﻋﻤﻞ اﻟﻤﺴﻄﺮة واﻟﺒﺮﻛﺎر واﻟﻜﻮﻧﯿﺎ( وﯾﻘﺼﺪ ﺑﺎﻟﻜﻮﻧﯿﺎ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ. وﻓﻲ ھﺬا اﻟﻜﺘﺎب ﻃﺮق ﺧﺎﺻﺔ ﻣﺒﺘﻜﺮة ﻟﻜﯿﻔﯿﺔ اﻟﺮﺳﻢ واﺳﺘﻌﻤﺎل اﻵﻻت ذﻟﻚ وﻷﺑﻲ اﻟﻮﻓﺎء ،ﻏﯿﺮ ﻣﺎ ذﻛﺮ ،ﻣﺆﻟﻔﺎت ﻗﯿﻤﺔ ،ورﺳﺎﺋﻞ ﻧﻔﯿﺴﺔ ،ﻣﻨﮭﺎ :ﻛﺘﺎب ﻣﺎ ﯾﺤﺘﺎج إﻟﯿﮫ اﻟﻌﻤﺎل واﻟﻜﺘﺎب ﻣﻦ ﺻﻨﺎﻋﺔ اﻟﺤﺴﺎب وﻗﺪ اﺷﺘﮭﺮ ﺑﺎﺳﻢ ﻛﺘﺎب ﻣﻨﺎزل اﻟﺤﺴﺎب ،ﻛﺘﺎب ﻓﯿﻤﺎ ﯾﺤﺘﺎج إﯾﮫ اﻟﺼﻨﺎع ﻣﻦ أﻋﻤﺎل اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ،ﻛﺘﺎب إﻗﺎﻣﺔ اﻟﺒﺮاھﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻚ ﻣﻦ ﻗﻮس اﻟﻨﮭﺎر ،ﻛﺘﺎب ﺗﻔﺴﯿﺮ ﻛﺘﺎب اﻟﺨﻮارزﻣﻲ ﻓﻲ اﻟﺠﺒﺮ واﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ،ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺪﺧﻞ إﻟﻰ اﻷرﺗﻤﺎﻃﯿﻘﻲ ،ﻛﺘﺎب ﻣﻌﺮﻓﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻚ ،ﻛﺘﺎب اﻟﻜﺎﻣﻞ ،ﻛﺘﺎب اﺳﺘﺨﺮاج اﻷوﺗﺎر ،ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺠﺴﻄﻲ وﺧﻼﺻﺔ اﻟﻘﻮل أن اﻟﺒﻮزﺟﺎﻧﻲ أﺑﺮع ﻋﻠﻤﺎء اﻟﻌﺮب اﻟﺬﯾﻦ ﻛﺎن ﻟﺒﺤﻮﺛﮭﻢ وﻣﺆﻟﻔﺎﺗﮭﻢ اﻷﺛﺮ اﻟﻜﺒﯿﺮ ﻓﻲ ﺗﻘﺪم اﻟﻌﻠﻮم ،وﻻ ﺳﯿﻤﺎ اﻟﻔﻠﻚ ،واﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ،وأﺻﻮل اﻟﺮﺳﻢ .ﻛﻤﺎ ﻛﺎن ﻣﻦ اﻟﺬﯾﻦ ﻣﮭّﺪوا اﻟﺴﺒﯿﻞ ﻹﯾﺠﺎد اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ ،ﺑﻮﺿﻌﮫ ﺣﻠﻮﻻً ھﻨﺪﺳﯿﺔ ﻟﺒﻌﺾ اﻟﻤﻌﺎدﻻت ،واﻷﻋﻤﺎل اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ اﻟﻌﺎﻟﯿﺔ
اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ وﻟﺪ أﺑﻮ اﻟﻘﺎﺳﻢ ﺳﻠﻤﺔ ﺑﻦ أﺣﻤﺪ ﺑﻤﺪﯾﻨﺔ ﻣﺠﺮﯾﻂ )ﻣﺪرﯾﺪ( ﻓﻲ اﻷﻧﺪﻟﺲ ،ﻓﻲ ﺳﻨﺔ ٣٤٠ھـ ،وﺗﻮﻓﻲ ﻓﻲ ﺳﻨﺔ ٣٩٧ھـ ﻋﻦ ﺳﺒﻌﺔ وﺧﻤﺴﯿﻦ ﻋﺎﻣﺎً .اھﺘﻢ ﺑﺪراﺳﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ ،ﻓﺘﻌﻤﻖ ﺑﮭﺎ ﺣﺘﻰ ﺻﺎر إﻣﺎم اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﯿﻦ ﻓﻲ اﻷﻧﺪﻟﺲ .ﻛﻤﺎ أﻧﮫ اﺷﺘﻐﻞ ﺑﺎﻟﻌﻠﻮم اﻟﻔﻠﻜﯿﺔ وﻛﺎﻧﺖ ﻟﮫ ﻓﯿﮭﺎ ﻣﻮاﻗﻒ وآراء، ﻓﻀﻼً ﻋﻦ اﻟﻜﯿﻤﯿﺎء وﺳﺎﺋﺮ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﻤﻌﺮوﻓﺔ ﺗﺮك اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ ﻣﺆﻟﻔﺎت ﻋﻠﻤﯿﺔ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ أھﻤﮭﺎ :رﺗﺒﺔ اﻟﺤﻜﻢ )ﻓﻲ اﻟﻜﯿﻤﯿﺎء( ،ﻏﺎﯾﺔ اﻟﺤﻜﯿﻢ )ﻓﻲ اﻟﻜﯿﻤﯿﺎء( وﻗﺪ ﻧُﻘﻞ إﻟﻰ اﻟﻼﺗﯿﻨﯿﺔ ﻋﻨﻲ اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ ﺑﺰﯾﺞ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ وزاد ﻋﻠﯿﮫ ،وﻟﮫ رﺳﺎﻟﺔ ﻓﻲ آﻟﺔ اﻟﺮﺻﺪ ،وﺑﺎﻹﺳﻄﺮﻻب .وﻗﺪ ﺗﺮك أﺑﺤﺎﺛﺎً ﻗﯿﻤﺔ ﻓﻲ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻓﺮوع اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻛﺎﻟﺤﺴﺎب واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ،ﻓﻀﻼً ﻋﻦ ﻣﺆﻟﻔﺎﺗﮫ ﻓﻲ اﻟﻜﯿﻤﯿﺎء .واھﺘﻢ اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ ﻛﺬﻟﻚ ﺑﺘﺘﺒﻊ ﺗﺎرﯾﺦ اﻟﺤﻀﺎرات اﻟﻘﺪﯾﻤﺔ .وﻣﻦ اﻟﺪراﺳﺎت اﻟﻤﮭﻤﺔ اﻟﺘﻲ رﻛﺰ ﻋﻠﯿﮭﺎ اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﺒﯿﺌﺔ وﻓﻲ اﻟﺨﺎﺗﻤﺔ ﻧﻘﻮل أن اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ ﯾﻊ ﺻﺎﺣﺐ ﻣﺪرﺳﺔ ﻣﮭﻤﺔ ﻓﻲ ﺣﻘﻞ اﻟﻌﻠﻮم ،ﺗﺄﺛﺮ ﺑﺂراﺋﮭﺎ اﻟﻌﺪﯾﺪ ﻣﻦ اﻟﻌﻠﻤﺎء اﻟﻼﺣﻘﯿﻦ ،أﻣﺜﺎل اﻟﺰھﺮاوي اﻟﻄﺒﯿﺐ اﻷﻧﺪﻟﺴﻲ اﻟﻤﺸﮭﻮر ،واﻟﻐﺮﻧﺎﻃﻲ ،واﻟﻜﺮﻣﺎﻧﻲ، واﺑﻦ ﺧﻠﺪون اﻟﺬي ﻧﻘﻞ ﻋﻦ اﻟﻤﺠﺮﯾﻄﻲ ﺑﻌﺾ اﻵراء اﻟﺘﻲ أدرﺟﮭﺎ ﻓﻲ ﻣﻘﺪﻣﺘﮫ
أﺣﻤﺪ ﺑﻦ اﻟﺴﺮاج ھﻮ أﺣﻤﺪ ﺑﻦ أﺑﻲ ﺑﻜﺮ ﺑﻦ ﻋﻠﻲ ﺑﻦ اﻟﺴﺮاج ،ﻋﺎﻟﻢ رﯾﺎﺿﻲ ﻣﻦ أﺑﻨﺎء اﻟﻘﺮن اﻟﺜﺎﻣﻦ اﻟﮭﺠﺮي. ﯾﻌﺮف ﻣﻦ ﻣﺼﻨﻔﺎﺗﮫ) :ﻣﺴﺎﺋﻞ ھﻨﺪﺳﯿﺔ() ،رﺳﺎﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﺮﺑﻊ اﻟﻤﺠﻨّﺢ ﻓﻲ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺟﯿﺐ اﻟﻘﻮس وﻗﻮس اﻟﺠﯿﺐ( ،و )رﺳﺎﻟﺔ ﻓﻲ ﺗﺴﻄﯿﺢ اﻟﻜﺮة(
١٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ /ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ
ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ
أﺑﻮ ﻣﻌﺸﺮ اﻟﺒﻠﺨﻲ ھﻮ أﺑﻮ ﻣﻌﺸﺮ ﺟﻌﻔﺮ ﺑﻦ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻋﻤﺮ اﻟﺒﻠﺨﻲ ،ﻣﻦ ﻛﺒﺎر ﻋﻠﻤﺎء اﻟﻨﺠﻮم ﻓﻲ اﻹﺳﻼم ،وﻣﻦ أوﺳﻌﮭﻢ ﺷﮭﺮة ﻓﻲ أوروﺑﺎ ﻣﻨﺬ اﻟﻘﺮون اﻟﻮﺳﻄﻰ ،وھﻮ ﯾﻌﺮف ﺑﺎﺳﻢ )أﻟﺒﻮﻣﺎﺳﺮ( .وﻟﺪ ﻓﻲ ﺑَﻠْﺦ، ﺷﺮﻗﻲ ﺧﺮاﺳﺎن ،وﻗﺪم ﺑﻐﺪاد ﻃﻠﺒﺎً ﻟﻠﻌﻠﻢ ،ﻓﻜﺎن ﻣﻨﺰﻟﮫ ﻓﻲ اﻟﺠﺎﻧﺐ اﻟﻐﺮﺑﻲ ﻣﻨﮭﺎ ﺑﺒﺎب ﺧﺮاﺳﺎن، ﻋﻠﻰ ﻣﺎ ﺟﺎء ﻓﻲ )اﻟﻔﮭﺮﺳﺖ( .وﻛﺎن أوﻻً ﻣﻦ أﺻﺤﺎب اﻟﺤﺪﯾﺚ ،ﺛﻢ دﺧﻞ ﻓﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﺤﺴﺎب واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ،وﻋﺪل إﻟﻰ ﻋﻠﻢ أﺣﻜﺎم اﻟﻨﺠﻮم .ﺳﻜﻦ واﺳﻂ وﻓﯿﮭﺎ ﻣﺎت ﻓﻲ ٢٨رﻣﻀﺎن ﺳﻨﺔ ٢٧٢ ھـ. ﺗﺮك أﺑﻮ ﻣﻌﺸﺮ ﻣﺼﻨّﻔﺎت ﺟﻤّﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﺠﻮم ،وذﻛﺮ ﻣﻨﮭﺎ اﺑﻦ اﻟﻨﺪﯾﻢ ﺑﻀﻌﺔ وﺛﻼﺛﯿﻦ ﻛﺘﺎﺑﺎً ،وﻣﻦ اﻵﺛﺎر اﻟﺘﻲ وﺻﻠﺘﻨﺎ ﻣﻨﮫ :ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺪﺧﻞ اﻟﻜﺒﯿﺮ اﻟﺬي ﺗﺮﺟﻢ وﻃﺒﻊ ﻋﺪة ﻣﺮات ،ﻛﺘﺎب أﺣﻜﺎم ﺗﺤﺎوﯾﻞ ﺳﻨﻲ اﻟﻤﻮاﻟﯿﺪ اﻟﺬي ﺗﺮﺟﻢ أﯾﻀﺎً وﻃﺒﻊ ﻋﺪة ﻣﺮات ،ﻛﺘﺎب ﻣﻮاﻟﯿﺪ اﻟﺮﺟﺎل واﻟﻨﺴﺎء ،ﻛﺘﺎب اﻷﻟﻮف ﻓﻲ ﺑﯿﻮت اﻟﻌﺒﺎدات ،ﻛﺘﺎب اﻟﺰﯾﺞ اﻟﻜﺒﯿﺮ ،ﻛﺘﺎب اﻟﺰﯾﺞ اﻟﺼﻐﯿﺮ ،ﻛﺘﺎب اﻟﻤﻮاﻟﯿﺪ اﻟﻜﺒﯿﺮ ،ﻛﺘﺎب اﻟﻤﻮاﻟﯿﺪ اﻟﺼﻐﯿﺮ ،ﻛﺘﺎب اﻟﺠﻤﮭﺮة ،ﻛﺘﺎب اﻻﺧﺘﯿﺎرات ،ﻛﺘﺎب اﻷﻧﻮار ،ﻛﺘﺎب اﻷﻣﻄﺎر واﻟﺮﯾﺎح وﺗﻐﯿﺮ اﻷھﻮﯾﺔ ،ﻛﺘﺎب اﻟﺴﮭﻤﯿﻦ وأﻋﻤﺎر اﻟﻤﻠﻮك واﻟﺪول ،ﻛﺘﺎب اﻗﺘﺮان اﻟﻨﺤﺴﯿﻦ ﻓﻲ ﺑﺮج اﻟﺴﺮﻃﺎن، ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺰاﺟﺎت ،ﻛﺘﺎب ﺗﻔﺴﯿﺮ اﻟﻤﻨﺎﻣﺎت ﻣﻦ اﻟﻨﺠﻮم ،ﻛﺘﺎب اﻷﻗﺎﻟﯿﻢ
أﺑﻮ ﻛﺎﻣﻞ اﻟﺤﺎﺳﺐ ھﻮ أﺑﻮ ﻛﺎﻣﻞ ﺷﺠﺎع ﺑﻦ أﺳﻠﻢ ﺑﻦ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﺷﺠﺎع ،اﻟﺤﺎﺳﺐ ،اﻟﻤﺼﺮي ،ﻣﮭﻨﺪس وﻋﺎﻟﻢ ﺑﺎﻟﺤﺴﺎب .ﻋﺎش ﻓﻲ اﻟﻘﺮن اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻟﻠﮭﺠﺮة ،وﻟﻢ ﺗﺬﻛﺮ ﻋﻨﮫ اﻟﻤﺼﺎدر اﻟﻌﺮﺑﯿﺔ اﻟﻘﺪﯾﻤﺔ ﻣﺎ ﯾﺰﯾﻞ اﻟﻐﻤﻮض اﻟﻤﺤﯿﻂ ﺑﺘﺎرﯾﺦ ﺣﯿﺎﺗﮫ .ﺟﺎء ﻓﻲ ﻛﺘﺎب )أﺧﺒﺎر اﻟﻌﻠﻤﺎء ﺑﺄﺧﺒﺎر اﻟﺤﻜﻤﺎء() :وﻛﺎن ﻓﺎﺿﻞ وﻗﺘﮫ ،وﻋﺎﻟﻢ زﻣﺎﻧﮫ ،وﺣﺎﺳﺐ أواﻧﮫ .وﻟﮫ ﺗﻼﻣﯿﺬ ﺗﺨﺮﺟﻮا ﺑﻌﻠﻤﮫ( .وذﻛﺮه اﺑﻦ اﻟﻨﺪﯾﻢ ﻓﻲ )اﻟﻔﮭﺮﺳﺖ( اﺑﻦ ﺣﺠﺮ ﻓﻲ )ﻟﺴﺎن اﻟﻤﯿﺰان( .وﯾﻌﺘﺒﺮ ﻣﻦ أﻋﻈﻢ ﻋﻠﻤﺎء اﻟﺤﺴﺎب ﻓﻲ اﻟﻌﺼﺮ اﻟﺬي ﺗﺒﻊ ﻋﺼﺮ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ ذﻛﺮ ﻟﻠﺤﺎﺳﺐ ﻋﺪة ﻣﺆﻟﻔﺎت ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت واﻟﻔﻠﻚ وﻏﯿﺮ ذﻟﻚ ،ﻣﻨﮭﺎ :ﻛﺘﺎب اﻟﺠﻤﻊ واﻟﺘﻔﺮﯾﻖ، ﻛﺘﺎب اﻟﺨﻄﺄﯾﻦ ،ﻛﺘﺎب ﻛﻤﺎل اﻟﺠﺒﺮ وﺗﻤﺎﻣﮫ واﻟﺰﯾﺎدة ﻓﻲ أﺻﻮﻟﮫ وﯾﻌﺮف ﺑﻜﺘﺎب اﻟﻜﺎﻣﻞ ،ﻛﺘﺎب اﻟﻮﺻﺎﯾﺎ ﺑﺎﻟﺠﺒﺮ واﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ،ﻛﺘﺎب اﻟﺠﺒﺮ واﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ،ﻛﺘﺎب اﻟﻮﺻﺎﯾﺎ ﺑﺎﻟﺠﺬور ،ﻛﺘﺎب اﻟﺸﺎﻣﻞ .وﯾﻤﻜﻦ اﻟﻘﻮل أن أﺑﺎ ﻛﺎﻣﻞ ﻗﺪ اﻋﺘﻤﺪ ﻛﺜﯿﺮاً ﻋﻠﻰ ﻛﺘﺐ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ ،وأوﺿﺢ ﺑﻌﺾ اﻟﻘﻀﺎﯾﺎ ﻓﯿﮭﺎ .وﻛﺬﻟﻚ أوﺿﺢ ﻓﻲ ﻣﺆﻟﻔﺎﺗﮫ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻛﺜﯿﺮة ﺣﻠّﮭﺎ ﺑﻄﺮﯾﻘﺔ ﻣﺒﺘﻜﺮة ﻟﻢ ﯾﺴﺒﻖ إﻟﯿﮭﺎ .وﻟﮫ ﻛﺘﺐ أﺧﺮى ﻣﺜﻞ: ﻛﺘﺎب اﻟﻜﻔﺎﯾﺔ ،ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ،ﻛﺘﺎب اﻟﻄﯿﺮ )درس ﻓﯿﮫ أﺳﺎﻟﯿﺐ اﻟﻄﯿﺮان( ،ﻛﺘﺎب ﻣﻔﺘﺎح اﻟﻔﻼﺣﺔ .واﺷﺘﮭﺮ ﺑﺮﺳﺎﻟﺔ اﻟﻤﺨﻤﺲ واﻟﻤﻌﺸﺮ ،وﻛﺬﻟﻚ ﺑﻜﺘﺒﮫ ﻓﻲ اﻟﺠﺒﺮ واﻟﺤﺴﺎب .وﻛﺎن وﺣﯿﺪ ﻋﺼﺮه ﻓﻲ ﺣﻞّ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ،وﻓﻲ اﺳﺘﻌﻤﺎﻟﮭﺎ ﻟﺤﻞّ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ ،وﻗﺪ ﺑﻘﻲ أﺑﻮ ﻛﺎﻣﻞ اﻟﺤﺎﺳﺐ ﻣﺮﺟﻌﺎً ﻟﺒﻌﺾ ﻋﻠﻤﺎء أوروﺑﺎ ﺣﺘﻰ اﻟﻘﺮن اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻋﺸﺮ ﻟﻠﻤﯿﻼد
ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻦ ﻗﺮﱠه ھﻮ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻦ ﻗﺮّه وﻛﻨﯿﺘﮫ أﺑﻮ اﻟﺤﺴﻦ ،وﻟﺪ ﻓﻲ ﺣﺮّان ﺳﻨﺔ ٢٢١ھـ ،واﻣﺘﮭﻦ اﻟﺼﯿﺮﻓﺔ ،ﻛﻤﺎ اﻋﺘﻨﻖ ﻣﺬھﺐ اﻟﺼﺎﺋﺒﺔ .ﻧﺰح ﻣﻦ ﺣﺮّان إﻟﻰ ﻛﻔﺮﺗﻮﻣﺎ ﺣﯿﺚ اﻟﺘﻘﻰ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ اﻟﺬي أﻋﺠﺐ ﺑﻌﻠﻢ ﺛﺎﺑﺖ اﻟﻮاﺳﻊ وذﻛﺎﺋﮫ اﻟﻨﺎدر .وﻗﺪ ﻗﺪﻣﮫ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ إﻟﻰ اﻟﺨﻠﯿﻔﺔ اﻟﻤﻌﺘﻀﺪ ،وﻛﺎن اﻟﻤﻌﺘﻀﺪ ﯾﻤﯿﻞ إﻟﻰ أھﻞ اﻟﻤﻮاھﺐ وﯾﺨﺺ أﺻﺤﺎﺑﮭﺎ ﺑﻌﻄﻔﮫ وﻋﻄﺎﯾﺎه ،وﯾﻌﺘﺒﺮھﻢ ﻣﻦ اﻟﻤﻘﺮﺑﯿﻦ إﻟﯿﮫ .وﯾﺮوى أﻧﮫ أﻗﻄﻊ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻦ ﻗﺮه ،ﻛﻤﺎ أﻗﻄﻊ ﺳﻮاه ﻣﻦ ذوي اﻟﻨﺒﻮغ ،ﺿﺒﺎﻋﺎً ﻛﺜﯿﺮة .وﻗﺪ ﺗﻮﻓﻲ ﻓﻲ ﺑﻐﺪاد ﺳﻨﺔ ٢٨٨ھـ أﺣﺐ ﺛﺎﺑﺖ اﻟﻌﻠﻢ ،ﻻ ﻃﻤﻌﺎً ﻓﻲ ﻛﺴﺐ ﯾﺠﻨﯿﮫ وﻻ ﺳﻌﯿﺎً وراء ﺷﮭﺮة ﺗﻌﻠﯿﮫ ،إﻧﻤﺎ أﺣﺒّﮫ ﻷﻧﮫ رأى ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻣﺼﺪر ﺳﻌﺎدة ﻛﺎﻧﺖ ﺗﺘﻮق ﻧﻔﺴﮫ إﻟﯿﮭﺎ .وﻟﻤﺎ ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻏﯿﺮ ﻣﺤﺼﻮرة ﻓﻲ ﺣﻘﻞ ﻣﻦ ١٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ /ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ
ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ
ﺣﻘﻮل اﻟﻨﺸﺎط اﻹﻧﺴﺎﻧﻲ ،وﻟﻤﺎ ﻛﺎﻧﺖ ﺣﻘﻮل اﻟﻨﺸﺎط اﻹﻧﺴﺎﻧﻲ ﻣﻨﻔﺘﺤﺔ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﻀﮭﺎ ﺑﻌﻀﺎً ،ﻓﺈن ﻓﻀﻮل ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻦ ﻗﺮه ﺣﻤﻠﮫ ﻋﻠﻰ ارﺗﯿﺎدھﺎ ﻛﻠﮭﺎ ،وﻣﻀﯿﻔﺎً إﻟﻰ ﺗﺮاث اﻟﻘﺪاﻣﻰ ﺛﻤﺎر ﻋﺒﻘﺮﯾﺘﮫ اﻟﺨﻼﻗﺔ ﻣﮭّﺪ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻦ ﻗﺮه ﻟﺤﺴﺎب اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ وﻟﺤﺴﺎب اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ .وﻓﻲ ﻣﻀﻤﺎر ﻋﻠﻢ اﻟﻔﻠﻚ ﯾﺆﺛﺮ أﻧﮫ ﻟﻢ ﯾﺨﻄﺊ ﻓﻲ ﺣﺴﺎب اﻟﺴﻨﺔ اﻟﻨﺠﻤﯿﺔ إﻻ ﺑﻨﺼﻒ ﺛﺎﻧﯿﺔ ،ﻛﻤﺎ ﯾﺆﺛﺮ اﻛﺘﺸﺎﻓﮫ ﺣﺮﻛﺘﯿﻦ ﻟﻨﻘﻄﺘﻲ اﻻﻋﺘﺪال إﺣﺪاھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ واﻷﺧﺮى ﻣﺘﻘﮭﻘﺮة وﻟﺜﺎﺑﺖ أﻋﻤﺎل ﺟﻠﯿﺔ واﺑﺘﻜﺎرات ﻣﮭﻤﺔ ﻓﻲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻄﺒﻖ اﻟﺠﺒﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ، وﯾﻌﺰى إﻟﯿﮫ اﻟﻌﺜﻮر ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻋﺪة ﺗﺴﺘﺨﺪم ﻓﻲ إﯾﺠﺎد اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ ،ﻛﻤﺎ ﯾﻌﺰى إﻟﯿﮫ ﺗﻘﺴﯿﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺛﻼﺛﺔ أﻗﺴﺎم ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﺑﻄﺮﯾﻘﺔ ﺗﺨﺘﻠﻒ ﻋﻦ اﻟﻄﺮق اﻟﻤﻌﺮوﻓﺔ ﻋﻨﺪ رﯾﺎﺿﯿﻲ اﻟﯿﻮﻧﺎن وﻗﺪ ﻇﮭﺮت ﻋﺒﻘﺮﯾﺔ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻦ ﻗﺮه ،ﻓﻀﻼً ﻋﻦ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ واﻟﻔﻠﻜﯿﺔ ،ﻓﻲ ﻣﺠﺎل اﻟﻌﻠﻮم اﻟﻄﺒﯿﺔ أﯾﻀﺎً ﺗﺮك ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻦ ﻗﺮّه ﻋﺪة ﻣﺆﻟﻔﺎت ﺷﻤﻠﺖ ﻋﻠﻮم اﻟﻌﺼﺮ ،وذﻛﺮھﺎ ﻛﺘﺎب ﻋﯿﻮن اﻷﻧﺒﺎء ،أﺷﮭﺮھﺎ: ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻠﻘﺐ ﺑﺎﻟﻘﻄﺎع ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﻗﻄﻊ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻟﻌﻤﻞ ﺑﺎﻟﻜﺮة ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﻗﻄﻮع اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ وﺑﺴﯿﻄﮭﺎ ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻷﺷﻜﺎل وﺳﺎﺋﺮ اﻟﺒﺴﻂ واﻷﺷﻜﺎل اﻟﻤﺠﺴﻤﺔ ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻟﻤﺮﺑﻊ ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ أن اﻟﺨﻄﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ إذا ﺧﺮﺟﺎ ﻋﻠﻰ أﻗﻞّ ﻣﻦ زاوﯾﺘﯿﻦ ﻗﺎﺋﻤﺘﯿﻦ اﻟﺘﻘﯿﺎ ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﺗﺼﺤﯿﺢ ﻣﺴﺎﺋﻞ اﻟﺠﺒﺮ ﺑﺎﻟﺒﺮاھﯿﻦ اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻟﮭﯿﺄة ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﺗﺮﻛﯿﺐ اﻷﻓﻼك ،ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺨﺘﺼﺮ ﻓﻲ ﻋﻠﻢ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﺗﺴﮭﯿﻞ اﻟﻤﺠﺴﻄﻲ ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻟﻤﻮﺳﯿﻘﻰ ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ، ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﺣﺮﻛﺔ اﻟﻔﻠﻚ ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﻣﺎ ﯾﻈﮭﺮ ﻣﻦ اﻟﻘﻤﺮ ﻣﻦ آﺛﺎر اﻟﻜﺴﻮف وﻋﻼﻣﺎﺗﮫ ،ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺪﺧﻞ إﻟﻰ إﻗﻠﯿﺪس ،ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺪﺧﻞ إﻟﻰ اﻟﻤﻨﻄﻖ ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻷﻧﻮاء ،ﻣﻘﺎﻟﺔ ﻓﻲ ﺣﺴﺎب ﺧﺴﻮف اﻟﺸﻤﺲ واﻟﻘﻤﺮ ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﻣﺨﺘﺼﺮ ﻋﻠﻢ اﻟﻨﺠﻮم ،ﻛﺘﺎب ﻟﻠﻤﻮﻟﻮدﯾﻦ ﻓﻲ ﺳﺒﻌﺔ أﺷﮭﺮ ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ أوﺟﺎع اﻟﻜﻠﻰ واﻟﻤﺜﺎﻧﻲ ،ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺪﺧﻞ إﻟﻰ ﻋﻠﻢ اﻟﻌﺪد اﻟﺬي أﻟﻔﮫ ﻧﯿﻘﻮﻣﺎﺧﻮس اﻟﺠﺎراﺳﯿﻨﻲ وﻧﻘﻠﮫ ﺛﺎﺑﺖ إﻟﻰ اﻟﻌﺮﺑﯿﺔ
أﺑﻮ اﻟﻘﺎﺳﻢ اﻹﻧﻄﺎﻛﻲ ھﻮ أﺑﻮ اﻟﻘﺎﺳﻢ ﻋﻠﻲ ﺑﻦ أﺣﻤﺪ اﻹﻧﻄﺎﻛﻲ ،اﻟﻤﻠﻘﺐ )ﺑﺎﻟﻤﺠﺘﺒﻲ( ،رﯾﺎﺿﻲ وﻣﮭﻨﺪس ،وﻣﻦ أﻋﻼم ﻣﮭﻨﺪﺳﻲ اﻟﻘﺮن اﻟﺮاﺑﻊ ﻟﻠﮭﺠﺮة .وﻟﺪ ﻓﻲ إﻧﻄﺎﻛﯿﺔ ،واﻧﺘﻘﻞ إﻟﻰ ﺑﻐﺪاد ،ﻓﺎﺳﺘﻮﻃﻨﮭﺎ ﺣﺘﻰ وﻓﺎﺗﮫ ﺣﻮاﻟﻲ اﻟﺴﻨﺔ ٣٧٦ھـ ،وﻛﺎن ﻣﻦ أﺻﺤﺎب ﻋﻀﺪ اﻟﺪوﻟﺔ اﻟﺒﻮﯾﮭﻲ واﻟﻤﻘﺪﻣﯿﻦ ﻋﻨﮫ .وﻛﺎن ﻋﻠﻰ ﻧﺒﻮﻏﮫ ﻓﻲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ واﻟﻌﺪد ،ﻣﺸﺎرﻛﺎً ﻓﻲ ﻋﻠﻮم اﻷواﺋﻞ .وأﺷﺎر اﻟﻘﻔﻄﻲ واﺑﻦ اﻟﻨﺪﯾﻢ إﻟﻰ ﻋﺪد ﻣﻦ آﺛﺎره ،ﻣﻨﮭﺎ) :اﻟﺘﺨﺖ اﻟﻜﺒﯿﺮ ﻓﻲ اﻟﺤﺴﺎب اﻟﮭﻨﺪي() ،ﺗﻔﺴﯿﺮ اﻷرﺛﻤﺎﻃﯿﻘﻲ() ،ﺷﺮح إﻗﻠﯿﺪس(، )ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻟﻤﻜﻌﺒﺎت() ،اﻟﻤﻮازﯾﻦ اﻟﻌﺪدﯾﺔ( ﯾﺒﺤﺚ ﻓﻲ اﻟﻤﻮازﯾﻦ اﻟﺘﻲ ﺗﻌﻤﻞ ﻟﺘﺤﻘﯿﻖ ﺻﺤﺔ أﻋﻤﺎل اﻟﺤﺴﺎب
أﺑﻮ اﻟﻔﻀﻞ اﻟﺤﺎرﺛﻲ ھﻮ ﻣﺆﯾﺪ اﻟﺪﯾﻦ أﺑﻮ اﻟﻔﻀﻞ ﺑﻦ ﻋﺒﺪ اﻟﻜﺮﯾﻢ ﺑﻦ ﻋﺒﺪ اﻟﺮﺣﻤﻦ اﻟﺤﺎرﺛﻲ ،ﻃﺒﯿﺐ ،رﯾﺎﺿﻲ ،ﻣﮭﻨﺪس، أدﯾﺐ وﻧﺤﻮي وﺷﺎﻋﺮ .وﻟﺪ ﻓﻲ دﻣﺸﻖ ﺳﻨﺔ ٥٢٩ھـ وﺗﻮﻓﻲ ﺳﻨﺔ ٥٩٩ھـ .ﻛﺎن ﻓﻲ أول أﻣﺮه ﻧﺠﺎراً ﺛﻢ ﺗﻌﻠﻢ ھﻨﺪﺳﺔ إﻗﻠﯿﺪس ﻟﯿﺰداد ﺗﻌﻤﻘﺎً ﻓﻲ ﺻﻨﺎﻋﺔ اﻟﻨﺠﺎرة .واﺷﺘﻐﻞ ﺑﻌﻠﻢ اﻟﮭﯿﺌﺔ وﻋﻤﻞ اﻷزﯾﺎج ،ﺛﻢ درس اﻟﻄﺐ ،ﻛﻤﺎ أﺗﻘﻦ ﻋﻤﻞ اﻟﺴﺎﻋﺎت .وﻟﮫ ﻛﺘﺐ ورﺳﺎﺋﻞ ﻓﻲ اﻟﻄﺐ واﻟﻔﻠﻚ وﻏﯿﺮھﺎ، ﻣﻨﮭﺎ )ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﻣﻌﺮﻓﺔ رﻣﺰ اﻟﺘﻘﻮﯾﻢ() ،ﻛﺘﺎب ﻓﻲ اﻷدوﯾﺔ(
١٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺇﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ /ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ
ﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻭﺍﻓﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ
اﻟﺒﯿﺮوﻧﻲ ھﻮ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ أﺣﻤﺪ اﻟﻤﻜﻨﻰ ﺑﺄﺑﻲ اﻟﺮﯾﺤﺎن اﻟﺒﯿﺮوﻧﻲ ،وﻟﺪ ﻓﻲ ﺧﻮارزم ﻋﺎم ٣٦٢ھـ .وﯾﺮوى أﻧﮫ ارﺗﺤﻞ ﻋﻦ ﺧﻮارزم إﻟﻰ ﻛﻮرﻛﻨﺞ ،ﻋﻠﻰ أﺛﺮ ﺣﺎدث ﻣﮭﻢ ﻟﻢ ﺗﻌﺮف ﻣﺎھﯿﺘﮫ ،ﺛﻢ اﻧﺘﻘﻞ إﻟﻰ ﺟﺮﺟﺎن. واﻟﺘﺤﻖ ھﻨﺎك ﺑﺸﻤﺲ اﻟﻤﻌﺎﻟﻲ ﻗﺎﺑﻮس ،ﻣﻦ ﺳﻼﻟﺔ ﺑﻨﻲ زﯾﺎد .وﻣﻦ ﺟﺮﺟﺎن ﻋﺎد إﻟﻰ ﻛﻮرﻛﻨﺞ ﺣﯿﺚ ﺗﻘﺮب ﻣﻦ ﺑﻨﻲ ﻣﺄﻣﻮن ،ﻣﻠﻮك ﺧﻮارزم ،وﻧﺎل ﻟﺪﯾﮭﻢ ﺣﻈﻮة ﻛﺒﯿﺮة .وﻟﻜﻦ وﻗﻮع ﺧﻮازم ﺑﯿﺪ اﻟﻐﺎزي ﺳﺒﻜﺘﻜﯿﻦ اﺿﻄﺮ اﻟﺒﯿﺮوﻧﻲ إﻟﻰ اﻻرﺗﺤﺎل ﺑﺎﺗﺠﺎه ﺑﻼد اﻟﮭﻨﺪ ،ﺣﯿﺚ ﻣﻜﺚ أرﺑﻌﯿﻦ ﺳﻨﺔ ،ﻋﻠﻰ ﻣﺎ ﯾﺮوى .وﻗﺪ ﺟﺎب اﻟﺒﯿﺮوﻧﻲ ﺑﻼد اﻟﮭﻨﺪ ،ﺑﺎﺣﺜﺎً ﻣﻨﻘﺒﺎً ،ﻣﻤﺎ أﺗﺎح ﻟﮫ أن ﯾﺘﺮك ﻣﺆﻟﻔﺎت ﻗﯿﻤﺔ ﻟﮭﺎ ﺷﺄﻧﮭﺎ ﻓﻲ ﺣﻘﻮل اﻟﻌﻠﻢ .وﻗﺪ ﻋﺎد ﻣﻦ اﻟﮭﻨﺪ إﻟﻰ ﻏﺰﻧﺔ وﻣﻨﮭﺎ إﻟﻰ ﺧﻮارزم ﺣﯿﺚ ﺗﻮﻓﻲ ﻓﻲ ﺣﺪود ﻋﺎم ٤٤٠ھـ ﺗﺮك اﻟﺒﯿﺮوﻧﻲ ﻣﺎ ﯾﻘﺎرب اﻟﻤﺎﺋﺔ ﻣﺆﻟﻒ ﺷﻤﻠﺖ ﺣﻘﻮل اﻟﺘﺎرﯾﺦ واﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت واﻟﻔﻠﻚ وﺳﻮى ذﻟﻚ، وأھﻢ آﺛﺎره :ﻛﺘﺎب اﻵﺛﺎر اﻟﺒﺎﻗﯿﺔ ﻋﻦ اﻟﻘﺮون اﻟﺨﺎﻟﯿﺔ ،ﻛﺘﺎب ﺗﺎرﯾﺦ اﻟﮭﻨﺪ ،ﻛﺘﺎب ﻣﻘﺎﻟﯿﺪ ﻋﻠﻢ اﻟﮭﯿﺌﺔ وﻣﺎ ﯾﺤﺪث ﻓﻲ ﺑﺴﯿﻄﺔ اﻟﻜﺮة ،ﻛﺘﺎب اﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﻤﺴﻌﻮدي ﻓﻲ اﻟﮭﯿﺌﺔ واﻟﻨﺠﻮم ،ﻛﺘﺎب اﺳﺘﺨﺮاج اﻷوﺗﺎر ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮة ،ﻛﺘﺎب اﺳﺘﯿﻌﺎب اﻟﻮﺟﻮه اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻓﻲ ﺻﻔﺔ اﻹﺳﻄﺮﻻب ،ﻛﺘﺎب اﻟﻌﻤﻞ ﺑﺎﻹﺳﻄﺮﻻب ،ﻛﺘﺎب اﻟﺘﻄﺒﯿﻖ إﻟﻰ ﺣﺮﻛﺔ اﻟﺸﻤﺲ ،ﻛﺘﺎب ﻛﯿﻔﯿﺔ رﺳﻮم اﻟﮭﻨﺪ ﻓﻲ ﺗﻌﻠﻢ اﻟﺤﺴﺎب، ﻛﺘﺎب ﻓﻲ ﺗﺤﻘﯿﻖ ﻣﻨﺎزل اﻟﻘﻤﺮ ،ﻛﺘﺎب ﺟﻼء اﻷذھﺎن ﻓﻲ زﯾﺞ اﻟﺒﺘﺎﻧﻲ ،ﻛﺘﺎب اﻟﺼﯿﺪﻟﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﻄﺐ، ﻛﺘﺎب رؤﯾﺔ اﻷھﻠﺔ ،ﻛﺘﺎب ﺟﺪول اﻟﺘﻘﻮﯾﻢ ،ﻛﺘﺎب ﻣﻔﺘﺎح ﻋﻠﻢ اﻟﮭﯿﺌﺔ ،ﻛﺘﺎب ﺗﮭﺬﯾﺐ ﻓﺼﻮل اﻟﻔﺮﻏﺎﻧﻲ ،ﻣﻘﺎﻟﺔ ﻓﻲ ﺗﺼﺤﯿﺢ اﻟﻄﻮل واﻟﻌﺮض ﻟﻤﺴﺎﻛﻦ اﻟﻤﻌﻤﻮرة ﻣﻦ اﻷرض ،ﻛﺘﺎب إﯾﻀﺎح اﻷدﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻛﯿﻔﯿﺔ ﺳﻤﺖ اﻟﻘﺒﻠﺔ ،ﻛﺘﺎب ﺗﺼﻮر أﻣﺮ اﻟﻔﺠﺮ واﻟﺸﻔﻖ ﻓﻲ ﺟﮭﺔ اﻟﺸﺮق واﻟﻐﺮب ﻣﻦ اﻷﻓﻖ ،ﻛﺘﺎب اﻟﺘﻔﮭﯿﻢ ﻷواﺋﻞ ﺻﻨﺎﻋﺔ اﻟﺘﻨﺠﯿﻢ ،ﻛﺘﺎب اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ. ﺳﺎھﻢ اﻟﺒﯿﺮوﻧﻲ ﻓﻲ ﺗﻘﺴﯿﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺛﻼﺛﺔ أﻗﺴﺎم ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ،وﻛﺎن ﻣﺘﻌﻤﻘﺎً ﻓﻲ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻗﺎﻧﻮن ﺗﻨﺎﺳﺐ اﻟﺠﯿﻮب .وﻗﺪ اﺷﺘﻐﻞ ﺑﺎﻟﺠﺪاول اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ ﻟﻠﺠﯿﺐ واﻟﻈﻞ ﺑﺎﻻﺳﺘﻨﺎد إﻟﻰ اﻟﺠﺪاول اﻟﺘﻲ ﻛﺎن ﻗﺪ وﺿﻌﮭﺎ أﺑﻮ اﻟﻮﻓﺎء اﻟﺒﻮزﺟﺎﻧﻲ .واﻛﺘﺸﻒ ﻃﺮﯾﻘﺔ ﻟﺘﻌﯿﯿﻦ اﻟﻮزن اﻟﻨﻮﻋﻲ .ﻓﻀﻼً ﻋﻦ ذﻟﻚ ﻗﺎم اﻟﺒﯿﺮوﻧﻲ ﺑﺪراﺳﺎت ﻧﻈﺮﯾﺔ وﺗﻄﺒﯿﻘﯿﺔ ﻋﻠﻰ ﺿﻐﻂ اﻟﺴﻮاﺋﻞ ،وﻋﻠﻰ ﺗﻮازن ھﺬه اﻟﺴﻮاﺋﻞ .ﻛﻤﺎ ﺷﺮح ﻛﯿﻔﯿﺔ ﺻﻌﻮد ﻣﯿﺎه اﻟﻔﻮارات واﻟﯿﻨﺎﺑﯿﻊ ﻣﻦ ﺗﺤﺖ إﻟﻰ ﻓﻮق ،وﻛﯿﻔﯿﺔ ارﺗﻔﺎع اﻟﺴﻮاﺋﻞ ﻓﻲ اﻷوﻋﯿﺔ اﻟﻤﺘﺼﻠﺔ إﻟﻰ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ ،ﻋﻠﻰ اﻟﺮﻏﻢ ﻣﻦ اﺧﺘﻼف أﺷﻜﺎل ھﺬه اﻷوﻋﯿﺔ وأﺣﺠﺎﻣﮭﺎ .وﻗﺪ ﻧﺒّﮫ إﻟﻰ أن اﻷرض ﺗﺪور ﺣﻮل ﻣﺤﻮرھﺎ ،ووﺿﻊ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻻﺳﺘﺨﺮاج ﻣﺤﯿﻂ اﻷرض
١٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻋﻠﻢ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ھﻮ دراﺳﺔ ﻣﺨﺘﻠﻒ أﻧﻮاع اﻷﺷﻜﺎل وﺻﻔﺎﺗﮭﺎ ،ﻛﻤﺎ أﻧﮭﺎ دراﺳﺔ ﻋﻼﻗﺔ اﻷﺷﻜﺎل واﻟﺰواﯾﺎ واﻟﻤﺴﺎﻓﺎت ﺑﺒﻌﻀﮭﺎ ،وﺗﻨﻘﺴﻢ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺒﺴﯿﻄﺔ إﻟﻰ ﺟﺰأﯾﻦ :اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ ، وﻓﻲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ ﺗﺪرس اﻷﺷﻜﺎل اﻟﺘﻲ ﻟﮭﺎ ﺑﻌﺪﯾﻦ ﻓﻘﻂ ،أي اﻟﺘﻲ ﻟﮭﺎ ﻃﻮل وﻋﺮض ،أﻣﺎ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ ﻓﺘﺪرس اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ﻓﻲ ﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد ،وﺗﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﻣﻔﺮﻏﺎت ﻣﺜﻞ ﻣﺘﻮازﯾﺎت اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻼت ،واﻟﻤﺠﺴﻤﺎت اﻷﺳﻄﻮاﻧﯿﺔ ،واﻷﺟﺴﺎم ﻣﺨﺮوﻃﯿﺔ اﻟﺸﻜﻞ ،واﻷﺟﺴﺎم اﻟﻜﺮوﯾﺔ ،اﻟﺦ ...أي ﻣﻊ اﻷﺷﻜﺎل اﻟﺘﻲ ﻟﮭﺎ ﻃﻮل وﻋﺮض وﺳﻤﻚ ،وﯾﻤﻜﻦ وﺿﻊ ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻷﻧﻮاع ھﺬا اﻟﻌﻠﻢ ﺑﺎﻟﺘﺮﺗﯿﺐ أدﻧﺎه: (١اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ : Geometryﻓﺮع ﻣﻦ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﯾﺒﺤﺚ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻂ واﻟﺨﻄﻮط واﻟﺰواﯾﺎ واﻟﺴﻄﻮح واﻟﻤﺠﺴﻤﺎت ﻣﻦ ﺣﯿﺚ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ وﺧﺼﺎﺋﺼﮭﺎ وﻋﻼﻗﺔ ﺑﻌﻀﮭﺎ ﺑﺒﻌﻀﮭﺎ اﻵﺧﺮ . أﻗﺴﺎﻣﮭﺎ ﻛﺜﯿﺮة ﻣﻨﮭﺎ :اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ ،اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ ،اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻜﺮوﯾﺔ، اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ .ﯾﻀﺎف إﻟﻰ ھﺬه اﻷﻗﺴﺎم اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻮﺻﻔﯿﺔ وھﻲ ﺗﻌﻨﻰ ﺑﺈﻋﺎدة ﺗﻤﺜﯿﻞ اﻷﺷﻜﺎل اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ ﺑﺄﺧﺮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ وﺗﻌﺘﺒﺮ ذات أھﻤﯿﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ﻓﻦ اﻟﻌﻤﺎرة. (٢اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ : Analytic Geometryﻓﺮع ﻣﻦ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ﺗﺠﺮي ﻓﯿﮫ دراﺳﺔ اﻟﻌﻼﻗﺎت اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﯿﺎت اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻋﻦ ﻃﺮﯾﻖ ﻋﻼﻗﺎت ﺟﺒﺮﯾﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻤﺜﻞ ﺗﻠﻚ اﻟﻤﻨﺤﻨﯿﺎت ﻣﻨﺴﻮﺑﺔ إﻟﻰ إﺣﺪاﺛﯿﺎت ﻣﻌﯿﻨﺔ .اﻛﺘﺸﻔﮭﺎ ﻛﻞ ﻣﻦ رﯾﻨﯿﮫ دﯾﻜﺎرت وﺑﯿﯿﺮ دو ﻓﯿﺮﻣﺎ ﺑﻤﻌﺰل ﻋﻦ اﻵﺧﺮ (٣اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ : Solid Geometryﻓﺮع ﻣﻦ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ﯾﺒﺤﺚ ﻓﻲ اﻷﺷﻜﺎل اﻟﻤﺠﺴﻤﺔ ﻛﺎﻟﻤﺨﺎرﯾﻂ واﻟﻤﻜﻌﺒﺎت. (٤اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻜﺮوﯾﺔ : Spherical Geometryﻓﺮع ﻣﻦ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ﯾﻌﻨﻰ ﺑﺪراﺳﺔ اﻷﺷﻜﺎل اﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺔ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ ﻛﺮة. (٥اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ : Plane Geometryﻓﺮع ﻣﻦ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ﯾﺒﺤﺚ ﻓﻲ اﻷﺷﻜﺎل اﻟﻮاﻗﻌﺔ ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى Planeواﺣﺪ .وھﺬه اﻷﺷﻜﺎل ﻗﺪ ﺗﻜﻮن ﺧﻄﻮﻃﺎ أو زواﯾﺎ أو ﻣﺜﻠﺜﺎت ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ أو دواﺋﺮ أو ﻣﻀﻠﻌﺎت إﻟﺦ. (٦إذن ﻓﺎﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ﻛﻌﻠﻢ ھﻲ ﻋﻤﻠﯿﺔ رﯾﺎﺿﯿﺔ ﺗﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﺰواﯾﺎ واﻟﺨﻄﻮط وﺣﺴﺎﺑﺎﺗﮭﺎ .أﻣﺎ اﻟﻤﺼﻄﻠﺢ اﻟﺤﺪﯾﺚ ﻟﻠﮭﻨﺪﺳﺔ واﻟﺨﺎص ﺑﺘﻄﺒﯿﻘﺎت اﻟﺘﻘﺎﻧﺎت واﻟﺼﻨﺎﻋﺎت ﻓﻘﺪ ﺗﻌﻤﻖ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻔﺼﻞ وأﺻﺒﺢ ﯾﺨﺺ ﺣﻘﻮل اﻟﻔﯿﺰﯾﺎء واﻟﻜﯿﻤﯿﺎء اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ،ﻛﺎﻟﻜﮭﺮﺑﺎء واﻹﻟﻜﺘﺮون واﻟﺬرة واﻟﻤﯿﻜﺎﻧﯿﻚ واﻟﻄﺎﻗﺔ وﻏﯿﺮھﺎ.
١٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻨﻘﻄﺔ :ﺗﺸﯿﺮ إﻟﻰ ﻣﻜﺎن ﻓﻲ اﻟﻔﺮاغ وﻻ ﯾﻮﺟﺪ ﻟﮭﺎ ﺳﻤﻚ وﻻ ﻋﺮض وﻻ ﻃﻮل ) .ﻻ ﯾﻮﺟﺪ ﻟﮭﺎ أﺑﻌﺎد(. ﺻﻔﺎت اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ :ﻟﯿﺲ ﻟﮫ ﺑﺪاﯾﺔ وﻟﯿﺲ ﻟﮫ ﻧﮭﺎﯾﺔ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة ﯾﻤﺮ ﻣﺎ ﻻ ﻧﮭﺎﯾﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ ﯾﻤﺮ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ واﺣﺪ ﻓﻘﻂ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺎ ﻻ ﻧﮭﺎﯾﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﺎط اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ :ھﻲ ﺟﺰء ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺤﺪود ﺑﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ) أي ﯾﻮﺟﺪ ﻟﮭﺎ ﺑﺪاﯾﺔ وﻧﮭﺎﯾﺔ ( اﻟﺸﻌﺎع :ھﻮ ﺟﺰء ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻟﮫ ﺑﺪاﯾﺔ وﻟﯿﺲ ﻟﮫ ﻧﮭﺎﯾﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ :ﺗﻨﺘﺞ ﻋﻦ ﺷﻌﺎﻋﯿﻦ ﯾﺨﺮﺟﺎن ﻣﻦ رأس ﻣﺸﺘﺮك
اﻟﺨﻂ اﻟﻤﻨﻜﺴﺮ :ﻣﺒﻨﻲ ﻣﻦ ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ﺗﺘﺼﻞ ﺑﺒﻌﻀﮭﺎ اﻟﺒﻌﺾ ﻓﻲ ﺳﻠﺴﻠﺔ ﻟﯿﺴﺖ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة. اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﺘﻮازﯾﺎن :ھﻤﺎ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻠﺬان ﻻ ﯾﻠﺘﻘﯿﺎن أﺑﺪا ً أي اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﺛﺎﺑﺖ اﺷﺎرة اﻟﺘﻮازي ھﻲ: b
aﯾﻌﻨﻲ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ a
وَ bﻣﺘﻮازﯾﺎن
اﻟﻘﻄﻌﺘﺎن اﻟﻤﺘﻮازﯾﺘﺎن :ھﻤﺎ ﻗﻄﻌﺘﺎن واﻗﻌﺘﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ
١٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪان: ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﯾُﻜﻮﻧﺎن ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ زاوﯾﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ إﻧﺘﺒﮭﻮا: اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻗﺪ ﯾﻘﻌﺎن ﻓﻲ ﻛﻞ اﺗﺠﺎه ،ﺷﺮط أن ﺗﻜﻮن اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﻗﺎﺋﻤﺔ. إﺷﺎرة اﻟﺘﻌﺎﻣﺪ ھﻲ: a
b
ﯾﻌﻨﻲ أن "اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ aوَ bﻣﺘﻌﺎﻣﺪان".
اﻟﻤﻀﻠﻊ : اﻟﺘﻌﺮﯾﻒ :ھﻮ ﺧﻂ ﻣﻨﻜﺴﺮ ﻣﻐﻠﻖ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻀﻠﻊ ﯾﻮﺟﺪ : .١أﺿﻼع :ھﻲ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺮﻛﺐ اﻟﻤﻀﻠﻊ .٢رؤوس :ھﻲ ﻧﻘﺎط اﻹﻟﺘﻘﺎء ﺑﯿﻦ ﻛﻞ ﺿﻠﻌﯿﻦ . .٣زواﯾﺎ :ﺗﺘﻜﻮن ﻓﻲ ﻛﻞ رأس ﻣﻦ رؤوس اﻟﻤﻀﻠﻊ . .٤ﻗﻄﺮ :ھﻮ ﻗﻄﻌﺔ ﺗﺼﻞ ﺑﯿﻦ رأﺳﯿﻦ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺠﺎورﯾﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ. ) إﻧﺘﺒﮫ :ﻃﺒﻌﺎ اﻟﻤﺜﻠﺚ ھﻮ ﻣﻀﻠﻊ ﻟﻜﻨﮫ ﻻ ﯾﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ اﻗﻄﺎر ( .٥ﻋﺪد اﻷﺿﻼع = ﻋﺪد اﻟﺮؤوس = ﻋﺪد اﻟﺰواﯾﺎ ﺗﺼﻨﻒ اﻟﻤﻀﻠﻌﺎت ﺣﺴﺐ ﻋﺪد اﻷﺿﻼع : وﻟﮭﺎ ٣أﺿﻼع : .١اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت وﻟﮭﺎ ٤أﺿﻼع .٢اﻷﺷﻜﺎل اﻟﺮﺑﺎﻋﯿﺔ : وﻟﮭﺎ ٥أﺿﻼع .٣اﻷﺷﻜﺎل اﻟﺨﻤﺎﺳﯿﺔ : وﻟﮭﺎ ٦أﺿﻼع .٤اﻷﺷﻜﺎل اﻟﺴﺪاﺳﯿﺔ : وﻟﮭﺎ ٧أﺿﻼع .٥اﻷﺷﻜﺎل اﻟﺴﺒﺎﻋﯿﺔ : وھﻜﺬا ..........................................
٣ ٤ ٥ ٦ ٧
رؤوس ٣ رؤوس ٤ رؤوس ٥ رؤوس ٦ رؤوس ٧
زواﯾﺎ زواﯾﺎ زواﯾﺎ زواﯾﺎ زواﯾﺎ
اﻟﻘﺎﻧﻮن ﻟﻌﺪد أﻗﻄﺎر اﻟﻤﻀﻠﻊ : ) ﺑﺤﯿﺚ ان nھﻮ ﻋﺪد أﺿﻼع اﻟﻤﻀﻠﻊ ( ﻣﺜﺎل :ﻣﻀﻠﻊ ذو ٦أﺿﻼع ﻟﮫ ٩أﻗﻄﺎر
)n × ( n - 3 ٢ ٩
= )6 ×(6–3 2
اﻟﻘﺎﻧﻮن ﻟﻌﺪد اﻻﻗﻄﺎر ﻣﻦ اﻟﺮأس اﻟﻮاﺣﺪ : ١٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
) ﺑﺤﯿﺚ ان nھﻮ ﻋﺪد أﺿﻼع اﻟﻤﻀﻠﻊ (
n - 3
ﻣﺜﺎل :ﻣﻀﻠﻊ ذو ٧أﺿﻼع ﻟﮫ ٤أﻗﻄﺎر ﻣﻦ ﻛﻞ رأس
7 - 3 = 4
اﻟﻀﻠﻌﺎن اﻟﻤﺘﺠﺎوران )ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ( : ھﻤﺎ ﺿﻠﻌﺎن ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ ﻟﮭﻤﺎ رأس ﻣُﺸﺘﺮك. ﻣﺜﺎل :اﻟﻀﻠﻌﺎن A Bوَ B Cﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺨﻤﺎﺳﻲ ھﺬا ھﻤﺎ ﻣﺘﺠﺎوران ﻷن ﻟﮭﻤﺎ رأﺳًﺎ ﻣﺸﺘﺮﻛًﺎ .B
اﻟﺮأﺳﺎن اﻟﻤﺘﺠﺎوران )ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ( : ھﻤﺎ رأﺳﺎن ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ ﯾﻨﺘﻤﯿﺎن إﻟﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻀﻠﻊ ) أي ﯾﺮﺑﻂ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﺿﻠﻊ ﻣﺸﺘﺮك ( ﻓﻲ ﻛﻞ رأس ﻣﻦ رؤوس اﻟﻤﻀﻠﻊ ﺗﺘﻜﻮّن زاوﯾﺔ ﻟﻠﻤﻀﻠﻊ. ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧﺘﺤﺪّث ﻋﻦ زواﯾﺎ اﻟﻤﻀﻠﻊ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﺼﺪ ﻓﻘﻂ ﻟﺰواﯾﺎه اﻟﺪاﺧﻠﯿﺔ. ﻣﺜﺎل:
اﻟﺮأس Aواﻟﺮأس Bھﻤﺎ رأﺳﺎن ﻣﺘﺠﺎوران ﯾﻨﺘﻤﯿﺎن إﻟﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻀﻠﻊ AB ﺑﻜﻠﻤﺎت أﺧﺮى اﻟﺮأس
B
ﯾﺠﺎور اﻟﺮأس A
اﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻟﻤﺘﺠﺎورﺗﺎن )ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ( : ھﻤﺎ زاوﯾﺘﺎن ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ رأﺳﺎھﻤﺎ ﻣﺘﺠﺎوران ) ﯾﺮﺑﻂ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﺿﻠﻊ ﻣﺸﺘﺮك ( . ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ ﻓﻲ اﻟﺮﺳﻤﺔ ،اﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻟﻤﻌﻠّﻤﺘﺎن ) ∢Bوَ ( ∢Cھﻤﺎ زاوﯾﺘﺎن ﻣﺘﺠﺎورﺗﺎن ﺑﻜﻠﻤﺎت أﺧﺮى :اﻟﺰاوﯾﺔ Bﺗﺠﺎور اﻟﺰاوﯾﺔ C
١٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻀﻠﻌﺎن اﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻼن ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ : ھﻤﺎ ﺿﻠﻌﺎن ﻻ ﯾﻮﺟﺪ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ رأس ﻣﺸﺘﺮك )ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺠﺎورﯾﻦ(.
اﻟﺮأﺳﺎن اﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻼن ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ : ھﻤﺎ رأﺳﺎن ﻻ ﯾﻨﺘﻤﯿﺎن إﻟﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻀﻠﻊ )ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺠﺎورﯾﻦ(.
اﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻠﺘﺎن ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ : ھﻤﺎ زاوﯾﺘﺎن رأﺳﺎھﻤﺎ ﻣﺘﻘﺎﺑﻼن ) ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺠﺎورﯾﻦ(
اﻟﻘﻄﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ : ھﻮ ﻗﻄﻌﺔ ﺗﺼﻞ ﺑﯿﻦ رأﺳﯿﻦ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺠﺎورﯾﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ.
ھﻨﺎك أرﺑﻊ إﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ﻟﻤﻮﻗﻊ اﻟﻘﻄﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ: • • • •
أن ﯾﻘﻊ ﺑﻜﺎﻣﻠﮫ ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ )اﻟﺮﺳﻤﺔ أ(. أن ﯾﻘﻊ ﺑﻜﺎﻣﻠﮫ ﺧﺎرج اﻟﻤﻀﻠﻊ )اﻟﺮﺳﻤﺔ ب(. أن ﯾﻘﻊ ﻗﺴﻢٌ ﻣﻨﮫ ﻓﻲ اﻟﺪاﺧﻞ وﻗﺴﻢٌ ﻣﻨﮫ ﻓﻲ اﻟﺨﺎرج )اﻟﺮﺳﻤﺔ ج(. أن ﯾﻘﻊ ﻗﺴﻢ ﻣﻨﮫ ﻋﻠﻰ ﺿﻠﻊ )اﻟﺮﺳﻤﺔ د(. أﻣﺜﻠﺔ:
)اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺘﻘﻄﻌﺔ ھﻲ أﻣﺜﻠﺔ ﻷﻗﻄﺎر(.
ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻻ ﯾﻮﺟﺪ أﻗﻄﺎر ﻷن ﻛﻞ رأﺳﯿﻦ ﻓﯿﮫ ھﻤﺎ ﻣﺘﺠﺎوران. ٢٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﻤُﺤﺪﱠب: ھﻮ ﻣﻀﻠﻊ ﯾﺤﻮي ﻓﻲ داﺧﻠﮫ ﻛﻞﱠ أﻗﻄﺎره وھﻮ ﻣﻀﻠﻊ ﻛﻞ زاوﯾﺔ داﺧﻠﯿﺔ ﻓﯿﮫ أﺻﻐﺮ ﻣﻦ .١٨٠°
)اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﻐﯿﺮ ﻣﺤﺪب اﻟﻤﻘﻌّﺮ ( : )ھﻮ ﻣﻀﻠﻊ ﯾﻘﻊ أﺣﺪ أﻗﻄﺎره ﺧﺎرﺟﮫ ) ﻓﯿﮫ زاوﯾﺔ ﻣﻨﻌﻜﺴﺔ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ ( ١٨٠°
اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈِﻢ : ھﻮ ﻣﻀﻠﻊ ﻛﻞ أﺿﻼﻋﮫ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ وﻛﻞ زواﯾﺎه ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ. أﻣﺜﻠﺔ:
ﻗﺎﻧﻮن ﻟﺤﺴﺎب ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺪاﺧﻠﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ : )180 × (n – 2 n
) ﺑﺤﯿﺚ أن nﻋﺪد أﺿﻼع اﻟﻤﻀﻠﻊ(
ﻗﺎﻧﻮن ﻟﺤﺴﺎب ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺨﺎرﺟﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ) ﺗﺬﻛﺮ :ﺟﻤﯿﻊ أﺿﻼﻋﮫ وزواﯾﺎه ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ( ) ﺑﺤﯿﺚ أن nﻋﺪد أﺿﻼع اﻟﻤﻀﻠﻊ(
360 N ٢١
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﺜﺎل : ١ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻷﺿﻼع ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺪاﺧﻠﯿﺔ =
180 × ( 3- 2) = 60° 3 360 = 120 ° 3
ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻷﺿﻼع ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺨﺎرﺟﯿﺔ = ﻣﺜﺎل : 2 ﻓﻲ اﻟﻤﺮﺑﻊ
ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺪاﺧﻠﯿﺔ =
ﻓﻲ اﻟﻤﺮﺑﻊ
ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺨﺎرﺟﯿﺔ =
ﻓﻲ اﻟﻤﺨﻤﺲ
90 °
= )180 × ( 4 - 2 4
90 ° 108 °
ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺪاﺧﻠﯿﺔ =
=
360 ٤
= )180 × ( 5 - 2 5
ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﺰاوﯾﺔ :ﺗﺘﻜﻮّن ﻣﻦ ﺷﻌﺎﻋَﯿﻦ ﺧﺎرﺟﯿﻦ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺸﺘﺮﻛﺔ. ﻧُﺴﻤﻲ اﻟﺸﻌﺎﻋﯿﻦ ﺳﺎﻗﻲ اﻟﺰاوﯾﺔ. اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ ﯾﺨﺮج ﻣﻨﮭﺎ اﻟﺸﻌﺎﻋﺎن ﺗُﺴﻤﻰ رأس اﻟﺰاوﯾﺔ. اﻟﺸﻌﺎﻋﺎن اﻟﺨﺎرﺟﺎن ﻣﻦ رأس ﻣُﺸﺘﺮك ﯾﻜﻮﻧﺎن زاوﯾﺘﯿﻦ. ﯾﺸﯿﺮ رﺳﻢ اﻟﻘﻮس ﻋﺎدة إﻟﻰ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻲ ﻧﻘﺼﺪھﺎ.
ﻛُﺒْﺮ اﻟﺰاوﯾﺔ ﯾُﺤﺪﱠد ﺑﺤﺴﺐ ﻣﻘﺪار دوران أﺣﺪ اﻟﺸﻌﺎﻋﯿﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻶﺧﺮ )»اﻟﻔﺘﺤﺔ« ﺑﯿﻦ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ(.
٢٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻧُﺼﻨّﻒ اﻟﺰواﯾﺎ إﻟﻰ أﻧﻮاع ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ: اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺤﺎدّة
:
ھﻲ زاوﯾﺔ أﺻﻐﺮ ﻣﻦ زاوﯾﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ. ﻣﻘﺪار اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺤﺎدة أﺻﻐﺮ ﻣﻦ .٩٠ o اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻨﻔﺮﺟﺔ : ھﻲ زاوﯾﺔ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ وأﺻﻐﺮ ﻣﻦ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ. ﻣﻘﺪار اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻨﻔﺮﺟﺔ ھﻮ ﺑﯿﻦ ٩٠ o
اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ
و
) ١٨٠oﻻ ﯾﺸﻤﻠﮭﻤﺎ(.
:
ھﻲ ﻛﻞ زاوﯾﺔ ﻣﻦ اﻟﺰاوﯾﺘﯿﻦ اﻟﻨﺎﺗﺠﺘﯿﻦ ﻣﻦ ﺗﻨﺼﯿﻒ زاوﯾﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ. ﻣﻘﺪار اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ.٩٠ o : ﻓﻲ اﻟﺮﺳﻢ ﻧُﺸﯿﺮ ﻋﺎدة إﻟﻰ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ھﻜﺬا: ﯾﻤﻜﻦ ﻓﺤﺺ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻗُﺮﻧﺔ ﻣﺴﺘﻄﯿﻠﺔ أﯾّﺎ ﻛﺎﻧﺖ )ﻣﺜﻼ ،ﺑﻄﺎﻗﺔ ﻣﺴﺘﻄﯿﻠﺔ( ھﻜﺬا: اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ : ھﻲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻲ ﯾُﺸﻜﱢﻞ ﺳﺎﻗﺎھﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤًﺎ. ﻣﻘﺪار اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ) ١٨٠ o :ﻷن اﻟﺪورة اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ ﻓﯿﮭﺎ .(٣٦٠ o
اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻨﻌﻜﺴﺔ
:
0
زاوﯾﺔ اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﺘﻲ رأﺳﮭﺎ Bھﻲ زاوﯾﺔ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ ) ١٨٠ﻣﻨﻌﻜﺴﺔ(.
٢٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻟﻤﺘﺠﺎورﺗﺎن : ﺗﻜﻮن اﻟﺰاوﯾﺘﺎن س ̂ص ع ،ع ̂ص ل ﻣﺘﺠﺎورﺗﺎن إذا ﻛﺎن : ل
ع
ﻟﮭﻤﺎ رأس واﺣﺪة ) ص ( ،وﻟﮭﻤﺎ ﺿﻠﻊ ﻣﺸﺘﺮك ) ص ع (. س
اﻟﻀﻠﻌﺎن اﻟﻤﺘﻄﺮﻓﺎن ) ص س ،ص ل ( ﻓﻲ ﺟﮭﺘﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻤﺸﺘﺮك ) ص ع ( .
ص
اﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻟﻤﺘﺠﺎورﺗﺎن اﻟﺤﺎدﺛﺘﺎن ﻣﻦ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ وﺷﻌﺎع ﻧﻘﻄﮫ ﺑﺪاﯾﺘﮫ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎن اذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺰاوﯾﺘﺎن ﻣﺘﺠﺎورﺗﺎن ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎن ﻓﺎن ﺿﻠﻌﯿﮭﻤﺎ اﻟﻤﺘﻄﺮﻓﯿﻦ ﯾﻜﻮﻧﺎن ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﮫ واﺣﺪة اذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻟﻤﺘﺠﺎورﺗﺎن ﻣﺘﺘﺎﻣﺘﯿﻦ ﻓﺎن ﺿﻠﻌﯿﮭﻤﺎ اﻟﻤﺘﻄﺮﻓﯿﻦ ﯾﻜﻮﻧﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﯾﻦ
ﻣﺠﻤﻮع ﻗﯿﺎس اﻟﺰواﯾﺎ اﻟﻤﺘﺠﺎورة ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﺴﺎوي . ْ ١٨٠ ﻣﺠﻤﻮع ﻗﯿﺎس اﻟﺰواﯾﺎ اﻟﻤﺠﺘﻤﻌﺔ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ ﯾﺴﺎوي . ْ ٣٦٠ اﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻠﺘﺎن ﺑﺎﻟﺮأس : إذا ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻓﺈن ﻛﻞ زاوﯾﺘﺎن ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﺎن ﺑﺎﻟﺮأس ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘﺎن )ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن ﻓﻲ اﻟﻘﯿﺎس (. اﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻟﻤﺘﺘﺎﻣﺘﺎن : ﺗﻜﻮن اﻟﺰاوﯾﺘﺎن ﻣﺘﺘﺎﻣﺘﺎن إذا ﻛﺎن ﻣﺠﻤﻮع ﻗﯿﺎﺳﮭﻤﺎ . ْ ٩٠ اﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻟﻤﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎن : ﺗﻜﻮن اﻟﺰاوﯾﺘﺎن ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎن إذا ﻛﺎن ﻣﺠﻤﻮع ﻗﯿﺎﺳﮭﻤﺎ . ْ ١٨٠
ﻻﺣﻆ أن اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺤﺎدة ﺗﻜﻤﻠﮭﺎ زاوﯾﺔ ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻨﻔﺮﺟﺔ ﺗﻜﻤﻠﮭﺎ زاوﯾﺔ ﺣﺎدة اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﺗﻜﻤﻠﮭﺎ زاوﯾﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ﺗﻜﻤﻠﮭﺎ زاوﯾﺔ ﺻﻔﺮﯾﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺤﺎدة ﺗﺘﻤﻤﮭﺎ زاوﯾﺔ ﺣﺎدة اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﺗﺘﻤﻤﮭﺎ زاوﯾﺔ ﺻﻔﺮﯾﺔ
ﻣﻨﺼﻒ اﻟﺰاوﯾﺔ -: ھﻮ ﺷﻌﺎع ﯾﻘﺴﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ إﻟﻰ زاوﯾﺘﯿﻦ
ﺟـ
ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن ﻓﻰ اﻟﻘﯿﺎس
* ب
إذا ﻛﺎن ق ) ب أ ﺟـ ( = ق ) ﺟـ أ ء (
ء * أ
٢٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻓﺈن أ ﺟـ ﯾﺴﻤﻰ ﻣﻨﺼﻒ ﻟﻠﺰاوﯾﺔ ب أ ء
أﻧﻮاع اﻟﺰواﯾﺎ اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻋﻦ ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ إذا ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﯾﻨﺘﺞ ﺛﻼث أﻧﻮاع ﻣﻦ اﻟﺰواﯾﺎ ) (١زواﯾﺎ ﻣﺘﺒﺎدﻟﺔ ﻣﺜﻞ ٥ ، ٤أو ٦ ، ٣ ) (٢زواﯾﺎ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮة ﻣﺜﻞ ٥ ، ١أو ٦ ، ٢ أو ٧ ، ٤ أو ٨ ، ٣ ) (٣زواﯾﺎ داﺧﻠﺔ ٦،٤ ﻣﺜﻞ / ٥ ، ٣
١
٢ ٤
٣
٥
٦ ٧ ٨
إذا ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺎن ﻓﺈن -١ﻛﻞ زاوﯾﺘﯿﻦ ﻣﺘﺒﺎدﻟﺘﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻘﯿﺎس -٢ﻛﻞ زاوﯾﺘﯿﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻘﯿﺎس -٣ﻛﻞ زاوﯾﺘﯿﻦ داﺧﻠﯿﺘﯿﻦ وﻓﻰ ﺟﮭﺔ واﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻘﺎﻃﻊ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎن
ﺷﺮوط ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﯾﺘﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن إذا ﻗﻄﻌﮭﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺛﺎﻟﺚ وﺣﺪﺛﺖ إﺣﺪى اﻟﺤﺎﻻت اﻻﺗﯿﺔ -١زاوﯾﺘﺎن ﻣﺘﺒﺎدﻟﺘﺎن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن ﻓﻰ اﻟﻘﯿﺎس -٢زاوﯾﺘﺎن ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺗﺎن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن ﻓﻰ اﻟﻘﯿﺎس زاوﯾﺘﺎن داﺧﻠﯿﺘﺎن وﻓﻰ ﺟﮭﺔ واﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻘﺎﻃﻊ وﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎن ﻣﻼﺣﻈﺎت ) (١اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻌﻤﻮدى ﻋﻠﻰ أﺣﺪ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻷﺧﺮ ل٢ ل ١ﻓﺈن ل٣ أى أن إذا ﻛﺎن ل // ١ل ، ٢ل٣ ) (٢إذا ﻛﺎن ﻛﻼ ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺛﺎﻟﺚ ﻛﺎن ھﺬا اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺎن ل ٣ﻓﺈن ل // ١ل٢ ل ، ٣ل٢ أى أن إذا ﻛﺎن ل١ ) (٣إذا وازى ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎً ﺛﺎﻟﺜﺎً ﻛﺎن ھﺬا اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺎن ﺑﺼﻮرة أﺧﺮى اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﻮازﯾﺎن ﻟﺜﺎﻟﺚ ﻣﺘﻮزﯾﺎن أى ان إذا ﻛﺎن ل // ١ل ، ٣ل // ٢ل ٣ﻓﺈن ل // ١ل٢ ) (٤إذا ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻋﺪة ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎت ﻣﺘﻮازﯾﺔ وﻛﺎﻧﺖ أﺟﺰاء اﻟﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺤﺼﻮرة ﺑﯿﻦ ھﺬه اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻄﻮل ﻓﺈن اﻻﺟﺰاء اﻟﻤﺤﺼﻮرة ﺑﯿﻨﮭﺎ ﻻى ﻗﺎﻃﻊ أﺧﺮ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻄﻮل أﯾﻀﺎً
٢٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﻤﺜﻠﺚ :ھﻮ ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ﻣﻀﻠﻊ ذو ٣أﺿﻼع ٣زواﯾﺎ ٣رؤوس وﻻ ﯾﻮﺟﺪ ﻓﯿﮫ أﻗﻄﺎر. ﻗﺎﻧﻮن أﺳﺎﺳﻲ ﻟﺒﻨﺎء ﻣﺜﻠﺚ :ھﻮ أن ﯾﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮع ﻛﻞ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ. ﺷﺮط ﻣﻜﺎﻓﺊ :أن ﯾﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮع أﺻﻐﺮ ﺿﻠﻌﯿﻦ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ. ﻣﺜﺎل : ١ﻣﻦ ھﺬه اﻻﺿﻼع
١ ٦ ٤ﻻ ﻧﺴﺘﻄﯿﻊ
ﻣﺜﺎل : ٢ﻣﻦ ھﺬه اﻷﺿﻼع ﻧﻈﺮﯾﺎت اﻟﻤﺜﻠﺚ
٥ ٣
ﺑﻨﺎء ﻣﺜﻠﺚ ﻷن ١ + ٤ < ٦
٧ﻧﺴﺘﻄﯿﻊ ﺑﻨﺎء ﻣﺜﻠﺚ ﻷن ٥ +٣ > ٧
ﻧﻈﺮﯾﺔ ): (١ ﻣﺠﻤﻮع ﻗﯿﺎﺳﺎت زواﯾﺎ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﺪاﺧﻠﺔ ﺗﺴﺎوي ْ ١٨٠ أي أن ق ) أ ( +ق ) ب ( +ق ) ﺟـ ( = ْ ١٨٠ ﻧﻈﺮﯾﺔ ): (٢ إذا ﻣﺪ أﺣﺪ أﺿﻼع ﻣﺜﻠﺚ ﻓﺈن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺨﺎرﺟﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﺗﺴﺎوي ﻣﺠﻤﻮع ﻗﯿﺎﺳﻲ اﻟﺰاوﯾﺘﯿﻦ اﻟﺪاﺧﻠﺘﯿﻦ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﻣﺎ ﻋﺪا اﻟﻤﺠﺎورة ﻟﮭﺎ أي أن ق ) س ( = ق ) أ ( +ق ) ب (
أ
س
#ﻧﺘﺎﺋﺞ : ﻧﺘﯿﺠﺔ ) : ( ١ ﻣﺠﻤﻮع ﻗﯿﺎﺳﺎت زواﯾﺎ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﺨﺎرﺟﺔ ﺗﺴﺎوي ْ ٣٦٠ أي أن :ق ) س ( +ق ) ص ( +ق ) ع ( = ْ ٣٦٠
ب
ﺟـ س ع ص
ﻧﺘﯿﺠﺔ ) : ( ٢ إذا ﻃﺎﺑﻘﺖ زاوﯾﺘﺎن ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ زاوﯾﺘﺎن ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ آﺧﺮ ﺗﻄﺎﺑﻘﺖ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ س
أ
▪
▪
ب
•
X
ﺟـ ص
•
X
ع
٢٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺗﺼﻨﯿﻒ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﺣﺴﺐ اﻷﺿﻼع : ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ : ﺗﻌﺮﯾﻒ :ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﯿﮫ ﺿﻠﻌﺎن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن ﻓﻲ اﻟﻄﻮل. اﻟﻀﻠﻌﺎن اﻟﻤﺘﺴﺎوﯾﺎن ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ ﯾُﺴﻤﯿﺎن اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ واﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﯾُﺴﻤﻰ اﻟﻘﺎﻋﺪة. إﻧﺘﺒﮭﻮا :اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻗﺪ ﺗﻜﻮن أﻃﻮل ﻣﻦ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ ،أو أﻗﺼﺮ ﻣﻨﮭﻤﺎ أو ﺗُﺴﺎوﯾﮭﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﻄﻮل. أﻣﺜﻠﺔ ﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ:
ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻷﺿﻼع : ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻛﻞ أﺿﻼﻋﮫ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﻄﻮل. إﻧﺘﺒﮭﻮا :اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻷﺿﻼع ھﻮ ،ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ. ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺨﺘﻠﻒ اﻷﺿﻼع : ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ أﺿﻼﻋﮫ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻓﻲ أﻃﻮاﻟﮭﺎ.
٢٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺗﺼﻨﯿﻒ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﺣﺴﺐ اﻟﺰواﯾﺎ : ﻣﺜﻠﺚ ﺣﺎد اﻟﺰواﯾﺎ : ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻛﻞ زواﯾﺎه ﺣﺎدّة. أﺣﯿﺎﻧًﺎ ﻧُﺴﻤﻲ ھﺬا اﻟﻤﺜﻠﺚ "ﻣﺜﻠﺚ ﺣﺎد اﻟﺰاوﯾﺔ". ﻧﻘﺼﺪ ﻣﻦ اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﯿﻦ – "ﻣﺜﻠﺚ ﺣﺎد اﻟﺰواﯾﺎ" و"ﻣﺜﻠﺚ ﺣﺎد اﻟﺰاوﯾﺔ" -ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﺬي ﻓﯿﮫ ﻛﻞ اﻟﺰواﯾﺎ ﺣﺎدة.
ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ : ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﯿﮫ زاوﯾﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ. ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺗﻮﺟﺪ ﻓﻘﻂ زاوﯾﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ واﺣﺪة ،واﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻷﺧﺮﯾﺎن داﺋﻤًﺎ ﺣﺎدّﺗﺎن. ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ : ﻧُﺴﻤﻲ ﻛﻞ ﺿﻠﻊ ﻣﻦ ﺿﻠﻌﻲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻘﺎﺋﻢ ،واﻟﻀﻠﻊ اﻟﺬي ﯾُﻘﺎﺑﻞ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ اﻟﻮﺗﺮ.
ﻣﺜﻠﺚ ﻣﻨﻔﺮج اﻟﺰاوﯾﺔ : ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﯿﮫ زاوﯾﺔ ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ. ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﻨﻔﺮج اﻟﺰاوﯾﺔ ﺗﻮﺟﺪ ﻓﻘﻂ زاوﯾﺔ ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ واﺣﺪة ،واﻟﺰاوﯾﺘﺎن اﻷﺧﺮﯾﺎن داﺋﻤًﺎ ﺣﺎدّﺗﺎن.
اﻹرﺗﻔﺎع : ﺗﻌﺮﯾﻔﮫ :ھﻮ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ أﺣﺪ ﻃﺮﻓﯿﮭﺎ ﻣﻮﺟﻮد ﻓﻲ أﺣﺪ اﻟﺮؤوس ،وﻃﺮﻓﮭﺎ اﻵﺧﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ أو ﻋﻠﻰ اﻣﺘﺪاده وھﻮ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﻀﻠﻊ . ﻓﻲ ﺑﻌﺾ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ﻗﺪ ﯾﻜﻮن اﻟﻀﻠﻊ ﻧﻔﺴﮫ ھﻮ أﯾﻀﺎ ً ارﺗﻔﺎع . • ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺗﻮﺟﺪ ٣ارﺗﻔﺎﻋﺎت ﯾﺮﻣﺰ ﻟﻼرﺗﻔﺎع ﺑﺎﻟﺤﺮف h • ﻟﻜﻞ ﻣﺜﻠﺚ ٣ارﺗﻔﺎﻋﺎت ،ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺸﺘﺮﻛﺔ ﻟﻼرﺗﻔﺎﻋﺎت اﻟﺜﻼﺛﺔ أو اﻣﺘﺪاداﺗﮭﺎ .
٢٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻹرﺗﻔﺎع ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺣﺎد اﻟﺰاوﯾﺔ :
اﻹرﺗﻔﺎع ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ :
اﻹرﺗﻔﺎع ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻣﻨﻔﺮج اﻟﺰاوﯾﺔ :
٢٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﺘﺒﺎﯾﻨﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ : ﻣﺠﻤﻮع ﻃﻮﻟﻲ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻓﻲ أي ﻣﺜﻠﺚ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ وﯾﻤﻜﻦ اﺛﺒﺎت ذﻟﻚ : ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ أ ب ﺟـ ﻧﺮﺳﻢ أ د ┴ ب ﺟـ ﻓﯿﻜﻮن أ ب < ب د ( ١ ) .... أ ﺟـ < ﺟـ د ( ٢ ) .... ﺑﺎﻟﺠﻤﻊ أ ب +أ ﺟـ < ب ﺟـ ب
أ
ﺟـ
د
#إذا اﺧﺘﻠﻒ ﻃﻮﻻ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﺄﻛﺒﺮھﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﻄﻮل ﺗﻘﺎﺑﻠﮫ زاوﯾﺔ أﻛﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻘﯿﺎس ﻣﻦ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻶﺧﺮ واﻟﻌﻜﺲ ﺻﺤﯿﺢ ================================================= #إذا ﻛﺎن ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻷﻃﻮل ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ أﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺮﺑﻌﻲ ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ اﻵﺧﺮﯾﻦ ﻓﺈن اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺣﺎد اﻟﺰواﯾﺎ ================================================= #إذا ﻛﺎن ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻷﻃﻮل ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺮﺑﻌﻲ ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ اﻵﺧﺮﯾﻦ ﻓﺈن اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻣﻨﻔﺮج اﻟﺰاوﯾﺔ وﺗﻜﻮن اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻨﻔﺮﺟﺔ ھﻲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﻀﻠﻊ اﻷﻛﺒﺮ ================================================= #إذا ﻛﺎن ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻷﻃﻮل ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺴﺎوﯾﺎ ﻟﻤﺠﻤﻮع ﻣﺮﺑﻌﻲ ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ اﻵﺧﺮﯾﻦ ﻓﺈن اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ وﺗﻜﻮن اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ھﻲ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﻀﻠﻊ اﻷﻛﺒﺮ )) ﻋﻜﺲ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرث (( ================================================= ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرث : أ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮل اﻟﻮﺗﺮ ﯾﺴﺎوي ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺮﺑﻌﻲ ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ اﻵﺧﺮﯾﻦ ق) ب ( = ْ ٩٠ ٢ ٢ ب ﺟـ ) أ ﺟـ ( ) = ٢أ ب ( ) +ب ﺟـ ( ================================================ ﻧﺘﯿﺠﺔ : ْ ٦٠ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﺜﻼﺛﯿﻨﻲ اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ ﯾﻜﻮن ﻃﻮل • اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﻠﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻲ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ ٣٠ ْ ٣٠ ﺟـ ﯾﺴﺎوي ﻧﺼﻒ ﻃﻮل اﻟﻮﺗﺮ
أ
ب
٣٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺣﺎﻻت ﺗﻄﺎﺑﻖ اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﻦ : س
) (١ﯾﺘﻄﺎﺑﻖ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت إذا ﺗﻄﺎﺑﻖ ﻛﻞ ﺿﻠﻊ ﻓﻲ أﺣﺪھﻤﺎ ﻣﻊ ﻧﻈﯿﺮه ﻓﻲ اﻵﺧﺮ )ض.ض.ض(
ل
ص
ع
د
أ
) (٢ﯾﺘﻄﺎﺑﻖ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎن إذا ﺗﻄﺎﺑﻖ ﻓﻲ أﺣﺪھﻤﺎ ﺿﻠﻌﺎن واﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﻣﻌﮭﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺮأس ﻣﻊ ﻧﻈﺎﺋﺮھﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻵﺧﺮ )ض.ز.ض(
•
•
ب
) (٣ﯾﺘﻄﺎﺑﻖ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎن إذا ﺗﻄﺎﺑﻖ ﻓﻲ أﺣﺪھﻤﺎ زاوﯾﺘﺎن واﻟﻀﻠﻊ اﻟﻮاﺻﻞ ﺑﯿﻦ رأﺳﯿﮭﻤﺎ ﻣﻊ ﻧﻈﺎﺋﺮھﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻵﺧﺮ )ز.ض.ز( ب
م
ن
ﺟـ
أ
•
و
ھـ
ل
X
ﺟـ
•
م
X
ھـ
) (٤ﯾﺘﻄﺎﺑﻖ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎن ﻗﺎﺋﻤﺎ اﻟﺰاوﯾﺔ إذا ﺗﻄﺎﺑﻖ ﻓﻲ أﺣﺪھﻤﺎ وﺗﺮ وﺿﻠﻊ ﻣﻊ ﻧﻈﺎﺋﺮھﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻵﺧﺮ س
ع
أ
ص
ب
ﺟـ
ﺑﻌﺾ ﻧﻈﺮﯾﺎت اﻟﻤﺜﻠﺚ :
أ
ﻧﻈﺮﯾﺔ ): (١ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﻮاﺻﻠﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﻨﺘﺼﻔﻲ ﺿﻠﻌﻲ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ ﺗﻮازي اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ وﻃﻮﻟﮭﺎ ﯾﺴﺎوي ﻧﺼﻒ ﻃﻮﻟﮫ
م ب
ن ﺟ ـ
٣١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻧﻈﺮﯾﺔ ): (٢ ﻃﻮل اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﻮاﺻﻠﺔ ﻣﻦ رأس اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ إﻟﻰ ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻮﺗﺮ ﯾﺴﺎوي ﻧﺼﻒ ﻃﻮل اﻟﻮﺗﺮ
أ
ﺟ
ﻣﺤﺎور أﺿﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ : #ﻣﺤﻮر اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ھﻮ اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﻨﺼﻒ ﻟﮭﺎ #ﻣﺤﺎور أﺿﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺗﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة
ب
ل
ب
أ
================== ﻧﻈﺮﯾﺔ ): (٣ اﻷﻋﻤﺪة اﻟﻤﻘﺎﻣﺔ ﻋﻠﻰ أﺿﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻣﻦ ﻣﻨﺘﺼﻔﺎﺗﮭﺎ ﺗﺘﻘﺎﻃﻊ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة
أ و
و
١
٣
م
ب
و
ﺟـ
٢
أ
------------------------------------------------ﻧﻈﺮﯾﺔ ): (٤ ﻣﻨﺼﻔﺎت زواﯾﺎ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺗﺘﻼﻗﻰ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة
▪▪
م
••
#ﻧﺘﯿﺠﺔ : ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻼﻗﻲ ﻣﻨﺼﻔﺎت زواﯾﺎ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ أﺑﻌﺎد ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻣﻦ أﺿﻼﻋﮫ اﻟﺜﻼﺛﺔ ب
X
اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ
X
ﺟـ
أ
#اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ :ھﻲ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺼﻞ أي رأس ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﺑﻤﻨﺘﺼﻒ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ أ د ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ أ ب ﺟـ
ب
ﺟـ
د أ
ﻧﻈﺮﯾﺔ ): (٥ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ﺗﺘﻼﻗﻰ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة ﺗﻘﺴﻢ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﺑﻨﺴﺒﺔ ١ : ٢ﻣﻦ ﺟﮭﺔ اﻟﺮأس
و ب
م
د
ھـ ﺟـ
اﻷﺷﻜﺎل اﻟﺮﺑﺎﻋﯿﺔ : ﺗﻌﺮﯾﻒ :ھﻲ ﻣﻀﻠﻌﺎت ﻟﮭﺎ ٤أﺿﻼع ٤رؤوس ٤زواﯾﺎ و َ ٢أﻗﻄﺎر ٣٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺰواﯾﺎ اﻟﺪاﺧﻠﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ھﻮ ٣٦٠° ﻧُﻤﯿﱢﺰ ﺑﯿﻦ أﺷﻜﺎل رﺑﺎﻋﯿﺔ ﺧﺎﺻّﺔ -ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ،اﻟﺪﻟﺘﻮن ،اﻟﻤُﻌﯿﻦ ،اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻞ ،اﻟﻤﺮﺑﻊ ،ﺷﺒﮫ اﻟﻤﻨﺤﺮف وﺑﯿﻦ أﺷﻜﺎل رﺑﺎﻋﯿﺔ ﻏﯿﺮ ﺧﺎﺻّﺔ ،أي أﻧﮭﺎ ﻻ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ أﺣﺪ اﻷﻧﻮاع اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ.
ﻣﺜﺎل:
اﻷﺷﻜﺎل اﻟﺮﺑﺎﻋﯿﺔ اﻟﺨﺎﺻﺔ : ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع : ﺗﻌﺮﯾﻔﮫ :ھﻮ ﺷﻜﻞ رﺑﺎﻋﻲ ﻓﯿﮫ ﻛﻞ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن. ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﻜﺎﻓﺊ " :ھﻮ ﺷﻜﻞ رﺑﺎﻋﻲ ﻓﯿﮫ زوﺟﺎن ﻣﻦ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ".
ﺻﻔﺎت ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع: • • • •
ﻛﻞ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﯿﻦ ﻓﻲ ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ﻣﺘﻮازﯾﺎن )ھﺬا ھﻮ أﯾﻀﺎ ﻣﺼﺪر اﻻﺳﻢ "ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع"(. ﻛﻞ زاوﯾﺘﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﯿﻦ ﻓﯿﮫ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن. ﻗﻄﺮاه ﯾُﻨﺼﱢﻒ أﺣﺪھﻤﺎ اﻵﺧﺮ )أي أن ﻛﻞ ﻗُﻄﺮ ﯾﻘﺴﻢ اﻵﺧﺮ إﻟﻰ ﻗﺴﻤﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ(. ﻓﯿﮫ ﺗﻤﺎﺛﻞ دوراﻧﻲ ﻣﺮﻛﺰه ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻗُﻄﺮﯾﮫ.
اﻟﺪاﻟﺘﻮن : ھﻮ ﺷﻜﻞ رﺑﺎﻋﻲ ﻓﯿﮫ زوﺟﺎن ﻣﻨﻔﺮدان ﻣﻦ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﺠﺎورﯾﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ.
اﻟﺮأس اﻟﻤﻮﺟﻮد ﺑﯿﻦ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ ﻓﻲ اﻟﺪﻟﺘﻮن ﯾُﺴﻤﻰ رأﺳًﺎ رﺋﯿﺴﯿًﺎ .ﻓﻲ اﻟﺪﻟﺘﻮن ﯾﻮﺟﺪ رأﺳﺎن رﺋﯿﺴﯿﺎن. زاوﯾﺔ اﻟﺪﻟﺘﻮن اﻟﺘﻲ رأﺳﮭﺎ " رأﺳًﺎ رﺋﯿﺴﯿًﺎ" ﺗﺴﻤﻰ "زاوﯾﺔ رﺋﯿﺴﯿﺔ" ٣٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻘﻄﺮ اﻟﺬي ﯾﺼﻞ اﻟﺮأﺳﯿﻦ اﻟﺮﺋﯿﺴﯿﯿﻦ ﻓﻲ اﻟﺪﻟﺘﻮن ﯾُﺴﻤﻰ اﻟﻘﻄﺮ اﻟﺮﺋﯿﺴﻲ ،ﺑﯿﻨﻤﺎ ﯾُﺴﻤﻰ اﻟﻘُﻄﺮ اﻵﺧﺮ اﻟﻘُﻄﺮ اﻟﺜﺎﻧﻮي.
ﺻﻔﺎت اﻟﺪﻟﺘﻮن: • • • • • •
زاوﯾﺘﺎه اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺘﺎن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن. ﻗﻄﺮاه ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان. ﻗﻄﺮه اﻟﺮﺋﯿﺴﻲ ﯾُﻨﺼّﻒ ﻗﻄﺮه اﻟﺜﺎﻧﻮي. ﻗُﻄﺮه اﻟﺮﺋﯿﺴﻲ ﯾﻘﺴﻢ اﻟﺪﻟﺘﻮن إﻟﻰ ﻣﺜﻠﺜﯿﻦ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﯿﻦ. ﻓﯿﮫ ﺗﻤﺎﺛﻞ اﻧﻌﻜﺎﺳﻲ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻘﻄﺮه اﻟﺮﺋﯿﺴﻲ. ﻗُﻄﺮه اﻟﺜﺎﻧﻮي ﯾُﻜﻮﱢن ﻓﻲ اﻟﺪﻟﺘﻮن ﻣﺜﻠﺜﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﻲ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ ،ﻗﺎﻋﺪﺗﮭﻤﺎ اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ھﻲ اﻟﻘﻄﺮ اﻟﺜﺎﻧﻮي. )إذا ﻛﺎن اﻟﺪﻟﺘﻮن ﻏﯿﺮ ﻣﺤﺪب ،ﯾﻘﻊ أﺣﺪ اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﻦ داﺧﻞ اﻵﺧﺮ(. 1 = 2
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﻟﺘﻮن ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﻟﺘﻮن = ﻣﺠﻤﻮع أﺿﻼﻋﮫ اﻟﻤُﻌﯿّﻦ :
ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﻟﻘﻄﺮﯾﻦ
ﺗﻌﺮﯾﻔﮫ :ھﻮ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﺧﺎص وأﯾﻀًﺎ دﻟﺘﻮن ﺧﺎص. ﻟﺬﻟﻚ ﻓﯿﮫ ﻛﻞ ﺻﻔﺎت اﻟﺪﻟﺘﻮن وﺻﻔﺎت ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ،ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ﺻﻔﺎتٍ ﺧﺎﺻﺔ ﺑﮫ. ﺻﻔﺎت اﻟﻤُﻌﯿّﻦ: • • • • •
ﻛﻞ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﯿﻦ ﻓﯿﮫ ﻣﺘﻮازﯾﺎن. ﻛﻞ زاوﯾﺘﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﯿﻦ ﻓﯿﮫ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن. ﻗﻄﺮاه ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان. ﻗﻄﺮاه ﯾﻨﺼّﻒ أﺣﺪھﻤﺎ اﻵﺧﺮ. ﻛﻞ ﻗُﻄﺮ ﻓﯿﮫ ﯾﻨﺼﻒ زاوﯾﺘﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﯿﻦ. ٣٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت • • •
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻓﯿﮫ ﺗﻤﺎﺛﻞ اﻧﻌﻜﺎﺳﻲ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﻗﻄﺮ ﻣﻦ ﻗﻄﺮﯾﮫ. ﻓﯿﮫ ﺗﻤﺎﺛﻞ دوراﻧﻲ؛ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ھﻮ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻘﺎء ﻗﻄﺮﯾﮫ. ﻛﻞ ﻗُﻄﺮ ﯾﻘﺴﻢ اﻟﻤﻌﯿﻦ إﻟﻰ ﻣﺜﻠﺜﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﻲ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﯿﻦ.
اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻞ ھﻮ ﺷﻜﻞ رﺑﺎﻋﻲ ﻛﻞ زواﯾﺎه ﻗﺎﺋﻤﺔ.
اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻞ ھﻮ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﺧﺎص ،وﻟﺬﻟﻚ ﻓﯿﮫ ﻛﻞ ﺻﻔﺎت ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ﺻﻔﺎتٍ ﺧﺎﺻﺔ ﺑﮫ. ﺻﻔﺎت اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻞ: • ﻛﻞ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﯿﻦ ﻓﯿﮫ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن. • ﻛﻞ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﯿﻦ ﻓﯿﮫ ﻣﺘﻮازﯾﺎن. • ٤زواﯾﺎ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ،ﻗﻮاﺋﻢ. • ﻗﻄﺮاه ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن. • ﻗﻄﺮاه ﯾﻨﺼﻒ أﺣﺪھﻤﺎ اﻵﺧﺮ. • ﻛﻞ ﻗﻄﺮ ﻓﯿﮫ ﯾﻘﺴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻞ إﻟﻰ ﻣﺜﻠﺜﯿﻦ ﻗﺎﺋﻤﻲ اﻟﺰاوﯾﺔ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘﯿﻦ • ﻓﯿﮫ ﺗﻤﺎﺛﻞ دوراﻧﻲ؛ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ھﻮ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻘﺎء اﻟﻘﻄﺮﯾﻦ. • ﻓﯿﮫ ﺗﻤﺎﺛﻞ اﻧﻌﻜﺎﺳﻲ؛ ﻓﯿﮫ ﺧﻄّﺎ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﯾﻤﺮان ﻓﻲ ﻣﻨﺘﺼﻔﺎت اﻷﺿﻼع اﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻠﺔ
اﻟﻤﺮﺑﻊ: ھﻮ ﺷﻜﻞ رﺑﺎﻋﻲ ﻛﻞ أﺿﻼﻋﮫ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ وﻛﻞ زواﯾﺎه ﻗﺎﺋﻤﺔ.
اﻟﻤﺮﺑﻊ ھﻮ ﺷﻜﻞ رﺑﺎﻋﻲ ﻣﻨﺘﻈﻢ؛ اﻟﻤﺮﺑﻊ أﯾﻀًﺎ ھﻮ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﺧﺎص ،وﻛﺬﻟﻚ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﺧﺎص ودﻟﺘﻮن ﺧﺎص وﻣﻌﯿﻦ ﺧﺎص .ﻟﻜﻞ ﻣﺮﺑﻊ ﺗﻮﺟﺪ ﺻﻔﺎت ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ،اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻞ، اﻟﺪﻟﺘﻮن واﻟﻤﻌﯿﻦ ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ﺻﻔﺎت ﺧﺎﺻﺔ ﺑﮫ. ﺻﻔﺎت اﻟﻤﺮﺑﻊ :ﻓﯿﮫ زوﺟﺎن ﻣﻦ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ. ٣٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
• • • •
• • •
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻓﯿﮫ ٤زواﯾﺎ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ،ﻗﻮاﺋﻢ ) ﻛﻞ زاوﯾﺔ ﻗﯿﻤﺘﮭﺎ ( ٩٠° ﻗﻄﺮاه ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن. ﻗﻄﺮاه ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان. ﻗﻄﺮاه ﯾﻨﺼّﻒ أﺣﺪھﻤﺎ اﻵﺧﺮ. ﻓﯿﮫ ﺗﻤﺎﺛﻞ اﻧﻌﻜﺎﺳﻲ؛ ﻓﯿﮫ ٤ﺧﻄﻮط ﺗﻤﺎﺛﻞ. ﻓﯿﮫ ﺗﻤﺎﺛﻞ دوراﻧﻲ؛ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ھﻮ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻘﺎء ﻗﻄﺮﯾﺔ. ﻛﻞ ﻗُﻄﺮ ﻣﻦ ﻗُﻄﺮﯾﮫ ﯾﻘﺴﻢ اﻟﻤﺮﺑﻊ إﻟﻰ ﻣﺜﻠﺜﯿﻦ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﯿﻦ ،ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ وﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ.
ﺷﺒﮫ اﻟﻤﻨﺤﺮف : ھﻮ ﺷﻜﻞ رﺑﺎﻋﻲ ﻓﯿﮫ ﻓﻘﻂ زوج واﺣﺪ ﻣﻦ ﺿﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ. ﻧُﻤﯿّﺰ ﻓﻲ أﺿﻼع ﺷﺒﮫ اﻟﻤﻨﺤﺮف ﺑﯿﻦ ﻗﺎﻋﺪﺗﯿﻦ وﺳﺎﻗﯿﻦ: اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﺎن -ھﻤﺎ اﻟﻀﻠﻌﺎن اﻟﻤﺘﻮازﯾﺎن. اﻟﺴﺎﻗﺎن -ھﻤﺎ اﻟﻀﻠﻌﺎن اﻵﺧﺮان )أي :اﻟﻀﻠﻌﺎن اﻟﻤﺘﻘﺎﺑﻼن ﻏﯿﺮ اﻟﻤﺘﻮازﯾﯿﻦ(.
ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ : ھﻮ ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف أﺣﺪ ﺳﺎﻗﯿﮫ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ. ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ : ھﻮ ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف ﺳﺎﻗﺎه ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن.
ﺻﻔﺎت ﺷﺒﮫ اﻟﻤﻨﺤﺮف اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ: • • •
ﻗُﻄﺮاهُ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن. اﻟﺰاوﯾﺘﺎن ﺑﯿﻦ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ وﻛﻞ ﻗﺎﻋﺪة ﻣﻦ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن. ﻓﯿﮫ ﺗﻤﺎﺛﻞ اﻧﻌﻜﺎﺳﻲ ؛ ﺧﻂ ﺗﻤﺎﺛﻠﮫ ﯾﻤﺮ ﻓﻲ ﻣﻨﺘﺼﻔﻲ ﻗﺎﻋﺪﺗﯿﮫ. ٣٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﺘﺒﺮﯾﺮ اﻻﺳﺘﻘﺮاﺋﻲ واﻟﺘﺨﻤﯿﻦ اﻟﺮﯾﺎﺿﻲ اﻟﺘﺨﻤﯿﻦ :اﺻﺪار ادﻋﺎء ﻋﺎم )ﺑﮭﺪف ﺗﻌﻠﯿﻤﻲ (ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻄﯿﺎت وﻣﻌﻠﻮﻣﺎت ﻣﻌﺮوﻓﺔ اﻟﺘﺒﺮﯾﺮ اﻻﺳﺘﻘﺮاﺋﻲ :اﻟﻨﻤﻂ اﻟﺬي ﯾﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ اﺻﺪار ادﻋﺎء ﻣﺜﺎل ﻣﻀﺎد :ھﻮ اﻟﻤﺜﺎل اﻟﺬي ﯾﻜﻮن ﻓﯿﮫ اﻻدﻋﺎء ﻏﯿﺮ ﺻﺤﯿﺢ
اﻟﻤﻨﻄﻖ اﻟﻌﺒﺎرة :ﺟﻤﻠﺔ ﺧﺒﺮﯾﺔ إﻣﺎ ان ﺗﻜﻮن ﺻﺤﯿﺤﺔ ﻓﻘﻂ او ﺧﺎﻃﺌﺔ ﻓﻘﻂ وﻻ ﺗﺤﺘﻤﻞ أي وﺿﻊ ﺛﺎﻟﺚ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺼﻮاب :ﺗﺴﻤﻰ ﺻﺤﺔ او ﺧﻄﺎ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﻤﻨﻄﻘﯿﺔ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺼﻮاب ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻌﺒﺎرة ﻧﻔﻲ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﻤﻨﻄﻘﯿﺔ :ﯾﻔﯿﺪ ﻣﻌﻨﻰ ﻣﻀﺎد ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻌﺒﺎرة وﻗﯿﻤﺔ اﻟﺼﻮاب ﻟﮭﺎ ﻋﻜﺲ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺼﻮاب ﻟﻠﻌﺒﺎرة ﻋﺒﺎرة ﻣﺮﻛﺒﺔ :ﺟﻤﻠﺔ ﺧﺒﺮﯾﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﺧﺒﺮﯾﻦ او اﻛﺜﺮ ﻋﺒﺎرة ﺑﺴﯿﻄﺔ :ﺟﻤﻠﺔ ﺧﺒﺮﯾﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﺧﺒﺮ واﺣﺪ ﻋﺒﺎرة اﻟﻮﺻﻞ :ﻋﺒﺎرة ﻣﺮﻛﺒﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ رﺑﻂ ﻋﺒﺎرﺗﯿﻦ او اﻛﺜﺮ ﺑﺄداة اﻟﺮﺑﻂ )و( )^( ﻋﺒﺎرة اﻟﻔﺼﻞ :ﻋﺒﺎرة ﻣﺮﻛﺒﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ رﺑﻂ ﻋﺒﺎرﺗﯿﻦ او اﻛﺜﺮ ﺑﺄداة اﻟﺮﺑﻂ )أو( )(v
ﺟﺪول اﻟﺼﻮاب :ﺟﺪول ﻟﺘﻨﻈﯿﻢ ﻗﯿﻢ اﻟﺼﻮاب ﻟﻠﻌﺒﺎرات اﻟﻤﻨﻄﻘﯿﺔ اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﺸﺮﻃﯿﺔ اﻟﻌﺒﺎرة اذا ﻛﺎن ﻓﺎن :اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﻲ ﺗﺘﺒﻊ اذا ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻔﺮض واﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﻲ ﺗﺘﺒﻊ ﻓﺎن ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻨﺘﯿﺠﺔ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺸﺮﻃﯿﺔ :ھﻲ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﻤﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﻓﺮض وﻣﻌﻄﻰ وﻧﺘﯿﺠﺔ اﻟﻌﻜﺲ :ﺗﺒﺪﯾﻞ اﻟﻔﺮض واﻟﻨﺘﯿﺠﺔ اﻟﻤﻌﻜﻮس :ﻧﻔﻲ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻔﺮض واﻟﻨﺘﯿﺠﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺸﺮﻃﯿﺔ اﻟﻤﻌﺎﻛﺲ اﻹﯾﺠﺎﺑﻲ :ﻧﻔﻲ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻔﺮض واﻟﻨﺘﯿﺠﺔ ﻓﻲ ﻋﻜﺲ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺸﺮﻃﯿﺔ اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺔ ﻣﻨﻄﻘﯿﺎ :ھﻲ اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﺘﻲ ﻟﮭﺎ ﻧﻔﺲ ﻗﯿﻢ اﻟﺼﻮاب
اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺸﺮﻃﯿﺔ اﻟﺜﻨﺎﺋﯿﺔ :رﺑﻂ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺸﺮﻃﯿﺔ وﻋﻜﺴﮭﺎ ﺑﺄداة اﻟﺮﺑﻂ و ٣٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﺘﺒﺮﯾﺮ اﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺟﻲ :ﺳﺘﻌﻤﻞ ﻗﻮاﻋﺪ أ ،ﺗﻌﺎرﯾﻒ أو ﺣﻘﺎﺋﻖ أ ،ﺧﺼﺎﺋﺺ ﻟﻠﻮﺻﻮل إﻟﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻣﻨﻄﻘﯿﺔ ﻗﺎﻧﻮن اﻟﻔﺼﻞ اﻟﻤﻨﻄﻘﻲ :اﺣﺪ أﺷﻜﺎل اﻟﺘﺒﺮﯾﺮ اﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺟﻲ وﯾﺴﺘﻌﻤﻞ ﻟﻠﻮﺻﻮل إﻟﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻋﻦ ﻃﺮﯾﻖ ﻋﺒﺎرات ﺷﺮﻃﯿﺔ ﺻﺤﯿﺤﺔ ﻗﺎﻧﻮن اﻟﻘﯿﺎس اﻟﻤﻨﻄﻘﻲ :اﺣﺪ أﺷﻜﺎل اﻟﺘﺒﺮﯾﺮ اﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺟﻲ واﻟﺬي ﯾﺴﺘﻌﻤﻞ ﻟﻠﻮﺻﻮل إﻟﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻣﺸﺎﺑﮭﮫ ﻟﺨﺎﺻﯿﺔ اﻟﺘﻌﺪي ﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﻤﺴﺎوة اﻟﻤﺴﻠﻤﺎت واﻟﺒﺮاھﯿﻦ اﻟﺤﺮة : اﻟﻤﺴﻠﻤﺔ :ﺣﻘﯿﻘﺔ ﻻ ﺗﺤﺘﺎج إﻟﻰ ﺑﺮھﺎن اﻟﻨﻈﺮﯾﺔ :ﺣﻘﯿﻘﺔ ﺗﺤﺘﺎج إﻟﻰ ﺑﺮھﺎن اﻟﺒﺮھﺎن :دﻟﯿﻞ ﻣﻨﻄﻘﻲ اﻟﺒﺮھﺎن اﻟﺤﺮ :ھﻮ اﺣﺪ أﻧﻮاع اﻟﺒﺮھﺎن وﻓﻲ ﺗﻜﺘﺐ ﻓﻘﺮة ﺗﻮﺿﺢ ﻟﻤﺎذا ﯾﻜﻮن اﻟﺘﺨﻤﯿﻦ ﻟﻮﺿﻊ ﻣﻌﻄﻰ ﺻﺤﯿﺢ! اﻟﺒﺮھﺎن اﻟﺠﺒﺮي:ھﻮ اﻟﺪﻟﯿﻞ اﻟﻤﻨﻄﻘﻲ اﻟﺬي ﯾﺴﺘﺨﺪم ﺧﺼﺎﺋﺺ ﻣﺠﻤﻮﻋﺎت اﻷﻋﺪاد واﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﯿﮫ اﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ اﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺟﯿﺔ :ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺴﺘﻌﻤﻞ ﻟﺤﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﺒﺮھﺎن ذا اﻟﻌﻤﻮدﯾﻦ :ﯾﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺒﺎرات ﻓﻲ ﻋﻤﻮد واﻟﻤﺒﺮرات ﻓﻲ ﻋﻤﻮد ﻣﻮاز اﻟﺒﺮھﺎن اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ :ھﻮ اﻟﺪﻟﯿﻞ اﻟﻤﻨﻄﻘﻲ ﻻ ﺛﺒﺎت اﻟﻌﻼﻗﺎت ﺑﯿﻦ اﻟﺰواﯾﺎ واﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ زواﯾﺎ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﺒﺮھﺎن اﻟﺘﺴﻠﺴﻠﻲ :ﺗﻨﻈﻢ ﺳﻠﺴﻠﺔ ﻣﻦ اﻟﻌﺒﺎرات ﻓﻲ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻣﻨﻄﻘﻲ ﺑﺪءا ﺑﺎﻟﻌﺒﺎرات اﻟﻤﻌﻄﺎة وﺗﻜﺘﺐ ﻛﻞ ﻋﺒﺎرة داﺧﻞ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ واﻟﻤﺒﺮر ﺗﺤﺖ ﻛﻞ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ وﺗﺮﺑﻂ اﻟﻌﺒﺎرات ﺑﺎﺳﮭﻢ ﻟﺒﯿﺎن ﻛﯿﻔﯿﺔ ارﺗﺒﺎﻃﮭﻤﺎ اﻟﻨﺘﯿﺠﺔ :ھﻲ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﻲ ﻏﺎﻟﺒﺎ ﻣﺎ ﯾﺘﻢ إﺛﺒﺎﺗﮭﺎ ﺑﺴﮭﻮﻟﺔ ﻋﻦ ﻃﺮﯾﻖ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻨﺘﯿﺠﺔ ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻨﻈﺮﯾﺔ اﻟﺒﺮھﺎن اﻻﺣﺪاﺛﻰ :ﯾﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﺒﺮھﺎن اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻷﺷﻜﺎل ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻻﺣﺪاﺛﻰ واﻟﺠﺒﺮ ﻻ ﺛﺒﺎت ﺻﺤﺔ اﻟﻤﻔﺎھﯿﻢ اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ اﻟﺒﺮھﺎن ﻏﯿﺮ اﻟﻤﺒﺎﺷﺮ : اﻟﺘﺒﺮﯾﺮ ﻏﯿﺮ اﻟﻤﺒﺎﺷﺮ :اﻓﺘﺮاض إن اﻟﻨﺘﯿﺠﺔ ﺧﻄﺎ ﺛﻢ ﺗﺒﯿﻦ إن ھﺬا اﻻﻓﺘﺮاض ﯾﺆدي إﻟﻰ ﺗﻨﺎﻗﺾ ﻣﻊ اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت اﻟﺒﺮھﺎن ﻏﯿﺮ اﻟﻤﺒﺎﺷﺮ :اﻻﻓﺘﺮاض ﺧﻄﺄ اﻟﻨﺘﯿﺠﺔ ﺑﺈﺛﺒﺎت ﺻﺤﺘﮭﺎ ٣٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ ھﻨﺪﺳﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺪاﺋﺮة :ھﻲ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻐﻠﻖ اﻟﺬي ﺟﻤﯿﻊ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ﻣﺘﺴﺎو ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮاه ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة . ﻧﻖ ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ :ھﻮ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﺘﻲ أﺣﺪ ﻃﺮﻓﯿﮭﺎ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة واﻟﻄﺮف اﻷﺧﺮ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﺪاﺋﺮة ).ﻧﻖ( اﻟﻮﺗﺮ :ھﻮ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ﻧﮭﺎﯾﺘﺎھﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮة . اﻟﻘﻄﺮ :ھﻮ وﺗﺮ ﻣﺎر ﺑﻤﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة = ٢ﻧﻖ ﻗﻄﺮ .. ٠
)(١ )(٢ )(٣ )(٤ ﻣﻼﺣﻈﺎت
وﺗﺮ
أ أﻃﻮل وﺗﺮ ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮة ھﻮ اﻟﻘﻄﺮ أي ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻤﺮ ﺑﻤﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ھﻮ ﻣﺤﻮر ﺗﻨﺎﻇﺮ ﻟﮭﺎ اﻟﺪاﺋﺮة ﻟﮭﺎ ﻋﺪد ﻻ ﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣﻦ ﻣﺤﺎور اﻟﺘﻨﺎﻇﺮ . وﺿﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ اﻟﺪاﺋﺮة
. ل
)(١ )(٢
إذا ﻛﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ∩ اﻟﺪاﺋﺮة و = Ф ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻜﻮن ﺧﺎرج اﻟﺪاﺋﺮة وﯾﻜﻮن ﺑﻌﺪه ﻋﻦ اﻟﻤﺮﻛﺰ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ ﻓﻲ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ∩ اﻟﺪاﺋﺮة و = أ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻜﻮن ﻣﻤﺎس ﻟﻠﺪاﺋﺮة وﯾﻜﻮن ﺑﻌﺪه ﻋﻦ اﻟﻤﺮﻛﺰ ﻣﺴﺎوﯾﺎ ﻟﻄﻮل ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ ﻓﻲ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ وﺗﺴﻤﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ أ ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻤﺎس.
و
) (٣إذا ﻛﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ∩ اﻟﺪاﺋﺮة و= أ ،ب ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻜﻮن ﻗﺎﻃﻊ ﻟﻠﺪاﺋﺮة وﯾﻜﻮن ﺑﻌﺪه ﻋﻦ اﻟﻤﺮﻛﺰ أﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ ﻓﻲ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ . ﻣﻼﺣﻈﺔ
ل أ و
ل و
اﻟﻤﻤﺎس :ھﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬي ﯾﺸﺘﺮك ﻣﻊ اﻟﺪاﺋﺮة ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة . ﻧﻈﺮﯾﺔ )(١ ﻛﻞ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻟﯿﺴﺖ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة ﺗﻤﺮ ﺑﮭﺎ داﺋﺮة واﺣﺪه ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻷﻋﻤﺪة اﻟﻤﻨﺼﻔﺔ ﻷﺿﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ ھﻲ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺎرة ﺑﺮؤوﺳﮫ .
ﻧﺘﯿﺠﺔ
ﻣﻼﺣﻈﺎت )(١
ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺎرة ﺑﺮؤوس اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﺤﺎد اﻟﺰواﯾﺎ ﯾﻘﻊ داﺧﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ
٣٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
)(٢ )(٣
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺎرة ﺑﺮؤوس اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﯾﻘﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺜﻠﺚ ) ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ( ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺎرة ﺑﺮؤوس اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﻨﻔﺮج اﻟﺰاوﯾﺔ ﯾﻘﻊ ﺧﺎرج اﻟﻤﺜﻠﺚ .
(١ﺍﻟﻘﻭﺱ: ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻓﻤﺜﻼ" ﺃ ﺱ ﺏ ﻴﻤﺜل ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﺃ ﺹ ﺏ ﻴﻤﺜل ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻤﻠﺤﻭﻅﺔ :ﺍﻟﺭﻤﺯ ﺃ ﺏ ﻴﻌﻨﻰ ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻤﺎ ﻟﻡ ﻴﺫﻜﺭ ﺨﻼﻑ ﺫﻟﻙ
(٢ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ:
ﻫﻰ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺭﺃﺴﻬﺎ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻭﻴﺤﺘﻭﻯ ﻜل ﻀﻠﻊ ﻤﻥ ﻀﻠﻌﻴﻬﺎ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﻓﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ. > ﺃ ﻡ ﺏ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﻤﺭﻜﺯﻴﺔ ﻴﻘﺎﺒﻠﻬﺎ ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺃ ﺠـ ﺏ > ﺃ ﻡ ﺏ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﻤﺭﻜﺯﻴﻪ ﻤﻨﻌﻜﺴﺔ ﻴﻘﺎﺒﻠﻬﺎ ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺃ ﺩ ﺏ
(٣ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﻴﻁﻴﺔ :
ﻫﻰ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺭﺃﺴﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻭﻴﺤﻤل ﻜل ﻀﻠﻊ ﻤﻥ ﻀﻠﻌﻴﻬﺎ ﻭﺘﺭﺍ" ﻓﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻓﻤﺜﻼ" > :ﺠـ ﺩ ﺏ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﻤﺤﻴﻁﻴﺔ ﻴﻘﺎﺒﻠﻬﺎ ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺠـ ﺏ
(٤ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﻘﻭﺱ :ﻫﻭ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒﻠﺔ ﻟﻪ . (٥ﻁﻭل ﺍﻟﻘﻭﺱ :ﻫﻭ ﺠﺯﺀ ﻤﻥ ﻤﺤﻴﻁ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ .
ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻫﺎﻣﺔ:
(١ﻓﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ ﺃﻭ ﺍﻟﺩﻭﺍﺌﺭ ﺍﻟﻤﺘﻁﺎﺒﻘﺔ ﺍﻷﻗﻭﺍﺱ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻁﻭل ﻭﺍﻟﻌﻜﺱ ﺼﺤﻴﺢ . (٢ﻓﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ ﺃﻭ ﺍﻟﺩﻭﺍﺌﺭ ﺍﻟﻤﺘﻁﺎﺒﻘﺔ ﺍﻷﻗﻭﺍﺱ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺃﻭﺘﺎﺭﻫﺎ
ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻓﻰ
ﺍﻟﻁﻭل ﻭﺍﻟﻌﻜﺱ ﺼﺤﻴﺢ (٣ﺍﻟﻭﺘﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻴﺤﺼﺭﺍﻥ ﻗﻭﺴﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﻴﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ. (٤ﺍﻟﻘﻭﺴﺎﻥ ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭﺍﻥ ﺒﻴﻥ ﻭﺘﺭ ﻭﻤﻤﺎﺱ ﻴﻭﺍﺯﻴﻪ ﻓﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺎﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ. ﻨﻅﺭﻴﺔ-:
ﺍﻷﻭﺘﺎﺭ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺘﺒﻌﺩ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ. ﻨﻅﺭﻴﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ:
ﺍﻷﻭﺘﺎﺭ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﻌﺩ ﺃﺒﻌﺎﺩﺍ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ. ٤٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻧﻈﺮﻳﺔ
" ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺤﻴﻄﻴﺔ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻧﺼﻒ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺮﻛﺰﻳﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﻣﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻕ)>ﺃﺠـ ﺏ( = ٢/١ﻕ)> ﺃﻡ ﺏ(
ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻘﻮﺱ "
ﻨﺘﻴﺠﺔ) (١ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﻴﻁﻴﺔ ﻴﺴﺎﻭﻯ ﻨﺼﻑ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻬﺎ . ﻨﺘﻴﺠﺔ) (٢ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﻴﻁﻴﺔ ﺍﻟﻤﺭﺴﻭﻤﺔ ﻓﻰ ﻨﺼﻑ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻗﺎﺌﻤﺔ .
ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﺸﻬﻭﺭ):(١ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺃﺏ ،ﺠـ ﺩ ﻭﺘﺭﺍﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻡ ﺃ ﺏ ∩ ﺠـ ﺩ = } ﻫـ { ﻓﺈﻥ : ﻕ)>ﺃﻫـ ﺠـ( =} ٢/١ﻕ)ﺃﺠـ(+ﻕ)ﺩ ﺏ( { = } ٢/١ﻕ)ﺃ ﺩ( +ﻕ) ﺏ ﺠـ( {
ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﺸﻬﻭﺭ): (٢
ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺃ ﺏ ،ﺠـ ﺩ ﻭﺘﺭﺍﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻡ ﺃ ﺏ ∩ ﺠـ ﺩ =} ﻫـ { ﺤﻴﺙ ﻫـ ﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻓﺈﻥ ﻕ)>ﻫـ( = } ٢/١ﻕ)ﺃ ﺠـ( – ﻕ) ﺏ ﺩ( {
ﻧﻈﺮﻳﺔ " ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﺤﻴﻄﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺤﺼﺮ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻘﻮﺱ ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ "
ﻕ)>ﺠـ(=ﻕ)>ﺩ(=ﻕ)>ﻫـ(
ﻨﺘﻴﺠﺔ :ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ﺍﻟﻤﺤﻴﻁﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺘﺤﺼﺭ ﺃﻗﻭﺍﺴﺎ" ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻓﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ ﺃﻭ )ﻋﺩﺓ ﺩﻭﺍﺌﺭ( ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ .
ﻋﻜﺲ ﻧﻈﺮﻳﺔ " ﺇﺫﺍ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﻗﻴﺎﺳﺎ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻣﺮﺳﻮﻣﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻭﺍﺣﺪﻩ ﻭﻓﻰ ﺟﻬﺔ ﻭﺍﺣﺪﻩ ﻣﻨﻬﺎ ﻓﺈﻧﻪ ﺗﻤﺮ ﺑﺮﺃﺳﻴﻬﻤﺎ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻭﺍﺣﺪﻩ ﻭﺗﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﻭﺗﺮﺍ" ﻓﻴﻬﺎ "
٤١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻧﻈﺮﻳﺔ
" ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺩﺍﺋﺮﻳﺎ" ﻓﺈﻥ ﻛﻞ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﻴﻦ ﻓﻴﻪ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﺎﻥ " ) (١ﻕ)>ﺃ( +ﻕ)>ﺠـ(=° ١٨٠ ) (٢ﻕ)ﺏ( +ﻕ)>ﺩ( = ° ١٨٠
ﻋﻜﺲ ﻧﻈﺮﻳﺔ " ﺇﺫﺍ ﻭﺟﺪﺕ ﺯﺍﻭﻳﺘﺎﻥ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﺎﻥ ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺘﻴﻦ ﻓﻰ ﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﻛﺎﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻲ ﺩﺍﺋﺮﻱ "
ﻨﺘﻴﺠﺔ :ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﺔ ﻋﻨﺩ ﺃﻯ ﺭﺃﺱ ﻤﻥ ﺭﺅﻭﺱ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻱ ﻴﺴﺎﻭﻯ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒﻠﺔ ﻟﻠﻤﺠﺎﻭﺭﺓ ﻟﻬﺎ .
ﺣﺎﻻﺕ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ ﻳﻜﻮن اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ داﺋﺮﻳﺎ" ﻓﻰ إﺣﺪى اﻟﺤﺎﻻت اﻵﺗﯿﺔ : (١ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩﺕ ﻨﻘﻁﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺩﺍﺨﻠﻪ ﺘﺒﻌﺩ ﻋﻥ ﻜل ﺭﺃﺱ ﻤﻥ ﺭﺅﻭﺴﻪ ﺒﻤﻘﺩﺍﺭ ﺜﺎﺒﺕ ﺃﻭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺭﺅﻭﺴﻪ ﺍﻷﺭﺒﻌﺔ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ ﺜﺎﺒﺕ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ (٢ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩﺕ ﺯﺍﻭﻴﺘﺎﻥ ﻤﺭﺴﻭﻤﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﻀﻠﻊ ﻤﻥ ﺃﻀﻼﻋﻪ ﻜﻘﺎﻋﺩﺓ ﻭﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﺎﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ . (٣ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩﺕ ﺯﺍﻭﻴﺘﺎﻥ ﻤﺘﻘﺎﺒﻠﺘﺎﻥ ﻓﻴﻪ ﻤﺘﻜﺎﻤﻠﺘﺎﻥ. (٤ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩﺕ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺨﺎﺭﺠﻪ ﻋﻨﺩ ﺃﻯ ﺭﺃﺱ ﻤﻥ ﺭﺅﻭﺴﻪ ﻗﻴﺎﺴﻬﺎ ﻴﺴﺎﻭﻯ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒﻠﺔ ﻟﻠﻤﺠﺎﻭﺭﺓ ﻟﻬﺎ .
ﻧﻈﺮﻳﺔ " ﺍﻟﻘﻄﻌﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﻤﺎﺳﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺘﺎﻥ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﺎﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﻄﻮﻝ "
ﺃ ﺏ = ﺃ ﺠـ
ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ : ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺃ ﺏ ،ﺃ ﺠـ ﻗﻁﻌﺘﻴﻥ ﻤﻤﺎﺴﺘﻴﻥ ﻟﻠﺩﺍﺌﺭﺓ ﻡ ﻓﺈﻥ (١ﻡ ﺃ ﻤﺤﻭﺭ ﺏ ﺠـ ) ﻡ ﺃ ⊥ ﺏ ﺠـ ﻭﻴﻨﺼﻔﻪ ( (٢ﺃ ﻡ ﻴﻨﺼﻑ > ﺏ ﺃ ﺠـ ،ﻡ ﺃ ﻴﻨﺼﻑ > ﺏ ﻡ ﺠـ ٤٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺗﻌﺮﻳﻒ :
ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺙ ﻫﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺘﻰ ﺘﻤﺱ ﺃﻀﻼﻋﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﺨل ﻭﻴﻜﻭﻥ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﻤﻨﺼﻔﺎﺕ
ﺯﻭﺍﻴﺎ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ
ﻧﻈﺮﻳﺔ " ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺳﻴﺔ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﺤﻴﻄﻴﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﻣﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻘﻮﺱ "
ﻨﺘﻴﺠﺔ: ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻤﺎﺳﯿﺔ ﯾﺴﺎوى ﻧﺼﻒ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﻣﻌﮭﺎ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻘﻮس
ﻋﻜﺲ ﻧﻈﺮﻳﺔ ) ( ٢ – ٢ " ﺇﺫﺍ ﺭﺳﻢ ﺃ ﺩ ﻣﻦ ﺇﺣﺪﻯ ﻧﻬﺎﻳﺘﻲ ﺍﻟﻮﺗﺮ ﺃ ﺏ
ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﻡ ﺑﺤﻴﺚ ﻛﺎﻥ
ﻕ)> ﺩ ﺃ ﺏ(=ﻕ)> ﺟـ( ﻓﺈﻥ ﺃ ﺩ ﻣﻤﺎﺱ ﻟﻠﺪﺍﺋﺮﺓ ﻋﻨﺪ ﺃ
ﻣﻼﺣﻈﺔ ) (١ﻃﻮل ا ﻟﻘﻮس ھﻮ ﻃﻮل ﺟﺰء ﻣﻦ ﻣﺤﯿﻂ ا ﻟﺪاﺋﺮة . ﻃﻮل ا ﻟﺪاﺋﺮة = ﻣﺤﯿﻄﮭﺎ = ٢ط ﻧﻖ ،ﻗﯿﺎس ا ﻟﺪاﺋﺮة = ٣٦٠ ٥ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ داﺋﺮة = ط ﻧﻖ ،ﻗﯿﺎس ﻧﺼﻒ داﺋﺮة = ١٨٠
٥
٣ط ﻧﻖ ٢
ﻃﻮل ٣داﺋﺮة = ٢ × ٣ط ﻧﻖ = ٤ ٤ ٥ ﻗﯿﺎس ٣داﺋﺮة = ٢٧٠ = ٣٦٠ × ٣ ٤ ٤ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ × ٢ط ﻧﻖ ) (٢ﻃﻮل ا ﻟﻘﻮس = ٣٦٠ ٢٢ ) ﻣﺎ ﻟﻢ ﯾﺬﻛﺮ ﺧﻼف ذﻟﻚ ( ﻧﻖ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ا ﻟﺪاﺋﺮة ،ط = ٧
٤٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻟﺚ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ
اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) س ، ١ص ، ( ١ب = )س ، ٢ص ( ٢ﻓﺈن اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ أ ،ب ﯾﺘﻌﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ أب=
) س – ٢س ) + ٢( ١ص – ٢ص =٢( ١ﻣﺮﺑﻊ ﻓﺮق اﻟﺴﯿﻨﺎت +ﻣﺮﺑﻊ ﻓﺮق اﻟﺼﺎدات إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) ، ( ٢ ، ١ب = ) ( ٦ ، ٤أوﺟﺪ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ أ ،ب
أ ب = )= ٢( ٢ – ٦ ) + ٢( ١ – ٤ ﻣﺜﺎل
) ٥ = ٢٥ = ١٦+ ٩ = ٢(٤) + ٢(٣وﺣﺪات
إذا ﻛﺎن أ = ) ، (٢ ، ١ب = ) س ( ٦ ،وﻛﺎن ﻃﻮل أ ب = ٥وﺣﺪات أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ س أب=٥
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
) س – ٥ = ٢( ٢ – ٦) + ٢( ١ﺑﺎﻟﺘﺮﺑﯿﻊ ) س – ٢٥ = ٢(٤) + ٢( ١ س٢ – ٢س ٠ = ٢٥ – ١٦+ ١+
س ٢ – ٢س – ٠ = ٨ ) س – )( ٤س ٠ = ( ٢+ س=٤
س = ٢-
ﻣﺜﺎل اﺛﺒﺖ أن اﻟﻨﻘﻂ أ ) ، (١ ، ١-ب ) ، (٤ ، ٠ﺟـ) (١ ، ٣ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﯿﻂ داﺋﺮة واﺣﺪة ﻣﺮﻛﺰھﺎ م ) (٢ ، ١وأوﺟﺪ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ وﻣﺤﯿﻄﮭﺎ وﻣﺴﺎﺣﺘﮭﺎ ٠ اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــﻞ
م أ = ) ٥ = ١ + ٤ = ٢( ١ – ٢ ) + ٢( ١ + ١ مب=
) ٥ = ٤+١ = ٢( ٢ – ٤ ) + ٢( ٠ – ١
م ﺟـ = )٥ = ١ + ٤ = ٢( ١ – ٢ ) + ٢( ١ – ٣ م أ = م ب = م ﺟـ
أ ،ب ،ﺟـ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﯿﻂ داﺋﺮة واﺣﺪة وﯾﻜﻮن ﻧﻖ = ٥ ٢
ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﺋﺮة = ٢ط ﻧﻖ = × ٢ط × ١٤ = ٥ﺳﻢ
٢
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة = ط ﻧﻖ = ٢ط ) = ٢( ٥ط × ١٥٫٧ = ٥ﺳﻢ ٤٤
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
أﺣﺪاﺛﯿﺎت ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻨﺼﯿﻒ إذا ﻛﺎﻧﺖ إﺣﺪاﺛﯿﺎت أ = ) س ، ١ص ،، ( ١ب = ) س ، ٢ص ( ٢ﻓﺈن س+١س ٢ص+١ص٢ ـــــــــــــــــــ( إﺣﺪاﺛﯿﺎت ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ب = ) ـــــــــــــــ ، ٢ ٢ إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) ، ( ٢ ، ١ب = ) ( ٦ ، ٣أوﺟﺪ ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ب ﻣﺜﺎل
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
٨ ٤ ٦+٢ ٣+١ (=) ، ، ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ب = ) ٢ ٢ ٢ ٢ ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) ، ( ١ ، ٢ب = ) ، ( ١- ، ٥ﺟـ) ، ( ٥ ، ٦ء = ) ( ٧ ، ٣اﺛﺒﺖ أن اﻟﺸﻜﻞ أ ب ﺟـ ء ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ( = )( ٤ ، ٢
اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ
٥+١ ٦+٢ ، ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ﺟـ = ) ٢ ٢ ٧+١- ٣+٥ (=)( ٣ ، ٤ ، ﻣﻨﺘﺼﻒ ب ء = ) ٢ ٢ (=) (٣، ٤
ﻣﺜﺎل
ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ﺟـ = ﻣﻨﺘﺼﻒ ب ء ∴أ ﺟـ ،ب ء ﯾﻨﺼﻒ ﻛﻼ ﻣﻨﮭﻤﺎ اﻻﺧﺮ ∴ اﻟﺸﻜﻞ أ ب ﺟـ ء ﻣﺘﻮازى أﺿﻼع
إذا ﻛﺎﻧﺖ أ=) ، (١ ، ٣-ب = ) ( ٥ ، ٥أوﺟﺪ أﺣﺪاﺛﯿﺎت اﻟﻨﻘﻂ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ أ ب إﻟﻰ أرﺑﻌﺔ أﺟﺰاء ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ
اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ أ
ﺟـ
ء
٦ ٢ ء ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ب = ) ، ) = ( ٥+١ ، ٥+٣- ٢ ٢ ٢ ٢ ٤ ٢٣+١ ١+٣(=) ، ، ﺟـ ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ء = ) ٢ ٢ ٢ ٢
ھـ
ب
(=)(٣،١
( = ) ( ٢ ، ١-
٥+٣ ٥+١( = ) (٤ ، ٢ ) = ( ٨ ، ٤ ، ھـ ﻣﻨﺘﺼﻒ ء ب = ) ٢ ٢ ٢ ٢ ﻣﺜﺎل
أوﺟﺪ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ أ ب ﻗﻄﺮ ﻓﯿﮭﺎ أ = ) ، (٢ ، ١ب = ) (٤ ، ٥-
اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ ٦ ٤+٢ (٥-)+١ ( = ) ( ٣ ، ٢-) = ( ، ٤- ، ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة = ) ٢ ٢ ٢ ٢ ٤٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻤﯿـــــــــــــــــــــﻞ
ﻣﯿﻞ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ
ص – ٢ص١ ـــــــــــــــــــــ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ )س ، ١ص) ، (١س ، ٢ص ( ٢ﯾﺘﻌﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ م = س – ٢س١
ﻣﺜﺎل
ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ
أوﺟﺪ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ
أ = ) ، (٢- ، ١-ب = ) (١ ، ٥-
) ( ٧ ، ٤ ) ، (٢ ، ١
اﻟﺤــــــــــــﻞ
اﻟﺤــــــــــــﻞ
٣- ٣ ص – ٢ص١ (٢-) – ١ ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ = = م= ٤ ٤- (٢-) – ٥س – ٢س١
٥ ٢–٧ ص – ٢ص١ ــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ = م= ٣ ١–٤ س – ٢س١
) (١ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻜﻮن ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻰ ﻣﻮﺟﺐ أو ﺳﺎﻟﺐ أو ﺻﻔﺮ ) (٢ﻣﯿﻞ أى ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ أﻓﻘﻰ ) ﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ( = ﺻﻔﺮ وھﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ )ص=ﺛﺎﺑﺖ( ) (٣ﻣﯿﻞ أى ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ رأﺳﻰ)ﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﺻﺎدات( = ) (٤إذا ﻛﺎن ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﻮﺟﺐ ﯾﻜﻮن ﺷﻜﻠﮫ ) أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﯿﻠﮫ = ٠ﯾﻜﻮن ﺷﻜﻠﮫ )
) ١ ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺮف ( وھﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ )س=ﺛﺎﺑﺖ( ٠
( أﻣﺎ إذا ﻛﺎن اﻟﻤﯿﻞ ﺳﺎﻟﺐ ﯾﻜﻮن ﺷﻜﻠﮫ)
( وإذا ﻛﺎن ﻣﯿﻠﮫ ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺮف ﯾﻜﻮن ﺷﻜﻠﮫ)
اﻟﺘﻐﯿﺮ اﻟﺮأﺳﻰ
( (
) (٥ﯾﻤﻜﻦ إﯾﺠﺎد ﻣﯿﻞ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ ﻋﻦ ﻃﺮﯾﻖ اﻟﻘﺎﻧﻮن م = اﻟﺘﻐﯿﺮ اﻻﻓﻘــﻰ ) (٦ﯾﻤﻜﻦ أﺳﺘﺨﺪام ﻓﻜﺮة اﻟﻤﯿﻞ ﻻﺛﺒﺎت أن أ ،ب ،ﺟـ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ أﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة ﻧﺜﺒﺖ أن اﻟﻤﯿﻞ ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ أ ،ب ﯾﺴﺎوى اﻟﻤﯿﻞ ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ب ،ﺟـ
ﻣﺜﺎل
ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ اوﺟﺪ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
اﻟﺘﻐﯿﺮ اﻟﺮاﺳﻰ ٣ = اﻟﻤﯿﻞ = اﻟﺘﻐﯿﺮ اﻻﻓﻘﻰ ٢
٣ ٢
٤٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
إذا ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﺗﺴﺎوى ﻣﯿﻼھﻤﺎ ﻣﺜﺎل
إﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ٦س – ٣ص ، ٠ = ٥+ص = ٢س ٧+ﻣﺘﻮازﯾﺎن
٦م = ٣- ١
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ م= ١
= ٢
م٢
∴ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺎن
م٢ = ٢
إذا ﻛﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن أ س – ٦ص ٠ = ٥+واﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ) (١، ٠
ﻣﺜﺎل
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
(٣ ، ٣ ) ،ﻣﺘﻮازﯾﺎن أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ أ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺎن م= ١
٢ أ ـــــــ = ٣ ٦ ٣أ = ١٢
م٢
أــــــ = ١ – ٣ ــــــــــــ ٦٠–٣ أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) (٢ ، ١-وﯾﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ )(١ ، ٠ أ=٤
ﻣﺜﺎل
)(٤،٥ ٣ ١–٤ = = م اﻟﻤﻮازى ٥ ٠ - ٥
اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ
٣ = م اﻟﻤﻄﻠﻮب ٥
ص–٣ ٢ س ٥= ١ +
اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻄﻠﻮب ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ) (٢ ، ١-وﻣﯿﻠﮫ= ٥، ٣ص – ٣ = ١٠س ٣ + ٥ ٥ص – ٣س – ٠ = ١٣
ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻣﯿﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪﯾﻦ=١- ﻣﺜﺎل ٢م = ٣- ١ ٦م٤ = ٢
إﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ٢س – ٣ص ٦ ، ٠ = ٥+س ٤ +ص ٠ = ١+ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﯾﻦ ٢ = ٣ ٣= ٢
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
٣- ٢ م × ١م١- = ٢ × ٣ = ٢
∴ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان
٤٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﺘﻘــــــــــــــــﺴﯿﻢ إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = )س ،١ص،(١ب =)س ،٢ص (٢وﻛﺎﻧﺖ ﺟـ ﺗﻘﺴﻢ أ ب ﺑﻨﺴﺒﺔ م : ١م ٢ﻓﺎن أﺣﺪاﺛﯿﺖ ﺟـ ﺗﺘﻌﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺘﯿﻦ إذا ﻛﺎن اﻟﺘﻘﺴﯿﻢ ﻣﻦ اﻟﺨﺎرج إذا ﻛﺎن اﻟﺘﻘﺴﯿﻢ ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ م × ١س - ٢م × ٢س١ م × ١س + ٢م × ٢س١ س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ س= م + م ٢ ١ م م ٢ ١ م × ١ص + ٢م × ٢ص١ م × ١ص - ٢م × ٢ص١ ص = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ص = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ م - ١م٢ م + ١م٢ ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) ، ( ٣ ، ١-ب = ) ( ٨ ، ٤أوﺟﺪ أﺣﺪاﺛﯿﺎت ﺟـ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ أ ب ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ ﺑﻨﺴﺒﺔ ٣:٢ ص اﻟﻨﺴﺒﺔ س ٣ ٢ ١اﻟﺤــــــــــﻞ + ﺑﻔﺮض أن ﺟـ = ) س ،ص ( ٨ ٣ ٤ ٩ +١٦= ٣ س = - × ٣ + ٤ ×٢ ـــــــــــــــــــــــــــ = ٣ – ٨ = ١ـــ٥ـــ = ، ١ص = × ٣ + ٨ × ٢ ٥ = ٢٥ ـــــــــــــ = ــــــ ــــــــــــــــــــــــــ ٥ ٣+٢ ٥ ٥ ٥ ٣+٢ أﺣﺪاﺛﯿﺎت ﺟـ = ) ( ٥ ، ١ ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) ، ( ٣ ، ١-ب = ) ( ٨ ، ٤أوﺟﺪ ﺟـ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ أ ب ﻣﻦ اﻟﺨﺎرج ﺑﻨﺴﺒﺔ ٢ : ٧ اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ اﻟﻨﺴﺒﺔ ص س ﺑﻔﺮض أن ﺟـ = ) س ،ص ( ٣ ٧ ١م × ١س - ٢م × ٢س ـــــــــــــــ = ٣٠ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ- × ٢ - ٤ ×٧ = ١ ـــــــــــــــــــــــــ٢+ ٢٨ = ١ ٨ ٢ ٤ ـــــــــ = ٦ س= م م ٢ ١ ٥ ٥ ٢-٧ م × ١ص - ٢م × ٢ص -٥٦ = ٣ ـــــــــــــــ× ٢ - ــــــــــــــــــــــــ٨ × ٧ = ١ ــــــــــــ١٠ = ٥٠ = ٦ ـــــــــــ ـــــــــــــــ ص= م م ٢ ١ ٥ ٥ ٢ -٧ أﺣﺪاﺛﯿﺎت ﺟـ = ) ( ١٠ ، ٦ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) ، ( ٢ ، ١-ب = ) ، ( ٧ ، ٤ﺟـ = ) س ( ٤ ،أوﺟﺪ اﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ ﺑﮭﺎ ﺟـ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ أ ب ﻣﺒﯿﻨﺎ ﻧﻮع اﻟﺘﻘﺴﯿﻢ ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ س اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ﺟـ = ) س ، ( ٤ ،أ = ) ، ( ٢ ، ١-ب = ) ( ٧ ، ٤ ص = ، ٤ص ، ٢ = ١ص٧ = ٢ ٧م ٤ – ١م ٤ = ١م ٢ – ٢م٢ م١ ــــــــ = ٢ ص = م × ١ص + ٢م × ٢ص١ ــــ ٣ : ٢ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣م ٢ = ١م٢ م٢ ٣ م + ١م٢ = ٤م + ٧ × ١م٢ × ٢ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ م + ١م٢
ـــــــ– ٨ = ١ ــــــــــــــــــــــ× - ص= ٣+٤×٢ ١ = ٥= ٣ ـــــــــــ ٥ ٥ ٣ + ٢ ٤٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت م٢
٧م ٢ + ١م ٤ = ٢م٤ + ١ ﻣﺜﺎل :إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) ، ( ٤- ، ٢ب = ) ( ٥ ، ٣أوﺟﺪ اﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻨﻘﺴﻢ ﺑﮭﺎ أ ب ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻣﺤﻮرى اﻻﺣﺪاﺛﯿﺎت اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﺟـ = ) ، ٠ص ( ﺟـ = ) س ( ٠ ، م × ١ص + ٢م × ٢ص١ ـــــــــــــــــــــــــــــ س = ــــــــــ م + ١م٢ م + ٣ × ١م٢ × ٢ ـــــــــــــــــــ = ٠ــــــــــــــ م + ١م٢
م × ١ص + ٢م × ٢ص١ ـــــــــــــــــ ص = ـــــــــــــــــــــــ م + ١م٢ م + ٥ × ١م٤- × ٢ ــــــــــــــــــــــــــــــــــ =٠ م + ١م٢
٣م ٢ + ١م٠ = ٢ ٣م ٢ - = ١م٢
٥م ٤ – ١م٠ = ٢ ٥م ٤ = ١م٢ م١ ــــــ = ٤ ــــ م٥ ٢ أ ب ﺗﻨﻘﺴﻢ ﺑﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﺑﻨﺴﺒﺔ ٥ : ٤ ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ
م١ ـــــــــ = ٢- ــــــ م٢ ٣
أ ب ﺗﻨﻘﺴﻢ ﺑﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﺑﻨﺴﺒﺔ ٣ : ٢ ﻣﻦ اﻟﺨﺎرج
ﻣﻼﺣﻈﺎت (١إذا ﻛﺎﻧﺖ ﺟـ ∋ أ ب ﻓﺎن ﺟـ ﺗﻘﺴﻢ أ ب ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ (٢إذا ﻛﺎﻧﺖ ﺟـ ∋ أ ب ،ﺟـ ∋ أ ب ﻓﺎن ﺟـ ﺗﻘﺴﻢ أ ب ﻣﻦ اﻟﺨﺎرج (٤إذا ﻛﺎﻧﺖ ﺟـ ﺗﻘﺴﻢ أ ب ﺑﺤﯿﺚ ٢أ ﺟـ = ٣ﺟـ ب أ ﺟـــ ــــــــ = ٣ ــــــ ﻓﺎن م ، ٣ = ١م= ٢ ﺟـ ب ٢ ٢ إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) ، ( ١ ، ١-ب = ) ( ٧ ، ٢أوﺟﺪ أﺣﺪاﺛﯿﺎت اﻟﻨﻘﻂ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﺴﻢ أ ب ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ إﻟﻰ ﺛﻼث أﺟﺰاء ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ﺟـ ﺗﻘﺴﻢ أ ب ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ ﺑﻨﺴﺒﺔ ٢ : ١ ﺟـ أ ﺟـ = ) س ،ص ( ٩ ١×٢+٧×١ =٣ = س = = ١- × ٢ + ٢ × ١ﺻﻔﺮ = ،،، ٠ص = ٣ ٢+١ ٣ ٢+١
ء
ب
ﺟـ = ) ( ٣ ، ٠ ء ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺟـ ب ء = ) ( ٥ ، ١ ) = (٧+٣ ، ٢+٠ ٢ ٢ ٤٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺨﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ * ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﯾﻤﺮ ﺑﮭﺎ وﻣﯿﻠﮫ ص– اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) س ، ١ص ( ١وﻣﯿﻠﮫ = م ﺗﺘﻌﯿﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ ــــــــــــــــــ = م س -س١ * ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ )س ، ١ص ) ، ( ١س ، ٢ص ( ٢ﺗﺘﻌﯿﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ ـــــــــــــــــــــ = ص – ٢ص١ ص – ص١ ـــــــــــــــــــــــــ س - ٢س١ س -س١ ص١
* ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ ﻣﯿﻠﮫ واﻟﺠﺰء اﻟﻤﻘﻄﻮع ﻣﻦ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﺣﯿﺚ ﻣﯿﻠﮫ = م ،ﺟـ ھﻰ اﻟﺠﺰء اﻟﻤﻘﻄﻮع ﻣﻦ ﻣﺤﻮرى اﻻﺣﺪاﺛﯿﺎت ص = م س +ﺟـ ص س * ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ اﻟﺠﺰﺋﯿﻦ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﯿﻦ ﻣﻦ ﻣﺤﻮرى اﻻﺣﺪاﺛﯿﺎت ـــــــــ +ـــــــــ = ١ ب أ ﺣﯿﺚ أ ھﻰ اﻟﺠﺰء اﻟﻤﻘﻄﻮع ﻣﻦ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ،ب ھﻰ اﻟﺠﺰء اﻟﻤﻘﻄﻮع ﻣﻦ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات * ﻻﯾﺠﺎد اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ أو ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻧﻀﻊ ص = ٠ * ﻻﯾﺠﺎد اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ اﻟﺼﺎدﯾﺔ أو ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﻧﻀﻊ س = ٠ اﻟﻤﯿﻞ * ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ
م = ص – ٢ص١ ـــــــــــــــــــــــ س - ٢س١
* ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ زاوﯾﺔ اﻟﻤﯿﻞ م = ﻇﺎ ھـ ﺣﯿﺚ ھـ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﯾﺼﻨﻌﮭﺎ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت * ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ أ س +ب ص +ﺟـ = ٠ ـــــــــــــــــــــــ = -أ اﻟﻤﯿﻞ = -ﻣﻌﺎﻣﻞ س ــــــــ ب ﻣﻌﺎﻣﻞ ص ﻣﻼﺣﻈﺎت * ﻣﯿﻞ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت واى ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻮازﯾﮫ = ﺻﻔﺮ * ﻣﯿﻞ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات واى ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻮازﯾﮫ = ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺮف * ﺷﺮط ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ھﻮ م = ١م٢ * ﺷﺮط ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ م × ١م١- = ٢ * اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﯾﺼﻨﻊ زاوﯾﺔ ﺣﺎدة ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﯾﻜﻮن ﻣﯿﻠﮫ = ﻋﺪد ﻣﻮﺟﺐ * اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﯾﺼﻨﻊ زاوﯾﺔﻣﻨﻔﺮﺟﺔ ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮراﻟﺴﯿﻨﺎت ﯾﻜﻮن ﻣﯿﻠﮫ = ﻋﺪد ﺳﺎﻟﺐ أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٣ ، ١-وﻣﯿﻠﮫ = ٣ اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ٥ ــــــــــــــــ = ٣ ص ٣- ص – ص١ ـــــــــــــــــــــ = م س٥ ١+ س -س١ ٣س – ٥ص ٠ = ١٨ +
٣س ٥ = ٣ +ص – ١٥ ٥٠
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ أ ) ، ( ٢ ، ١ب ) ( ٧ ، ٥ اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ص– ـــــــــــــــــــــ = ص – ٢ص ــــــــــــــــــ١ ص – ص١ ٢ – ٧ =٢ ـــــــــــــ ـــــــــــــــ س - ٢س١ س -س١ س١–٥ ١ - ص–٥ ٢ ٥س–٤ص٠=٣+ ٥س–٤=٥ص–٨ ــــــــــــــ = س٤ ١ - ************************************************************* أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﻣﯿﻠﮫ = ٣وﯾﻘﻄﻊ ﺧﻤﺲ وﺣﺪات ﻣﻦ اﻟﺠﺰء اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ص = م س +ﺟـ = ٣س ٥ + ************************************************************* أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٣ ، ٢-وﯾﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٤س – ٧ص ٠ = ٣+ اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ٤ = ٤= ٤- م اﻟﻤﻄﻠﻮب = ماﻟﻤﻮازى ٧ ٧ ٧ص–٤ ٣ ٤س – ٧ص ٠ = ٢٩+ ٤س ٧ = ٨ +ص – ٢١ ـــــــــــــــــ = س٧ ٢+ ************************************************************* أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٤ ، ٣وﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٥س٧+ص = ١ اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ = ٧ = ٥- ماﻟﻤﻄﻠﻮب ماﻟﻌﻤﻮدى ٧ ٥ ــــــــــــــــ = ٧ ص–٤ ٧س – ٥ص – ٠ = ١ ٧س – ٥ = ٢١ص – ٢٠ س–٥ ٣ ************************************************************* أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٤- ، ١وﯾﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ )(٥،٤)،(٣،١ اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ٢ ٢ ٣–٥ ماﻟﻤﻄﻠﻮب = ماﻟﻤﻮازى = ــــــــــــــ = ٣ ٣ ١–٤ ــــــــــــــــ = ٢ ص٤+ ٢س – ٣ص ٠ = ١٤- ٢س – ٣ = ٢ص ١٢+ س–٣ ١ أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٤- ، ٢-وﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ) ( ٥ ، ٣ ) ، ( ٢ ، ١- اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ٣ ٢ - ٥ = ٤- ماﻟﻌﻤﻮدى = ــــــــــــــــ = ماﻟﻤﻄﻠﻮب ٤ ١ + ٣ ٣ ٥١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
٤- = ٤ ص+ ــــــــــــــــ س٣ ٢+
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
٣ص ٤ - = ١٢ +س – ٨
٣ص٤+س ٠ = ٢٠+
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﯾﻘﻄﻊ ٣وﺣﺪات ﻣﻦ اﻟﺠﺰء اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ٤ ،وﺣﺪات ﻣﻦ اﻟﺠﺰء اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ س ٤س – ٣ص = ١٢ ص = ١٢× ١ ــــــ +ــــــ ٤٣ أوﺟﺪ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺘﯿﻦ اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ واﻟﺼﺎدﯾﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٢س – ٥ص = ١٠ اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ س=٥ ٢س = ١٠ ﻻﯾﺠﺎد اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ ﻧﻀﻊ ص = ٠ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ = ٥ ص = ٢- ٥ص = ١٠ﻻﯾﺠﺎد اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ اﻟﺼﺎدﯾﺔ ﻧﻀﻊ س = ٠ اﻟﻤﻘﻄﻮﻋﺔ اﻟﺼﺎدﯾﺔ = ٢ - أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ أ
إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) أ ( ٣ ،ﺗﻨﺘﻤﻰ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٢س ٥ +ص – ٠ = ١٧ اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ٢أ ٠ = ١٧ – ١٥+ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ٢أ ٠ = ١٧ – ( ٣) ٥ + ٢أ–٠=٢
أ=١
٢أ=٢
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٣ ، ٢وﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ = ﻣﯿﻞ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت = ٠ ص–٣ ــــــــــــــــ = ٠ س–٢
ص=٣
ص–٠=٣
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٣ ، ٢وﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ = ﻣﯿﻞ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات = ١ ٠ ــــــــــــــــ = ١ ص–٣ س=٢ س–٠=٢ س–٠ ٢
٥٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﯾﻘﻄﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٣س – ٢ص ٠ = ١١ +ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻌﺎﻣﺪ ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ١ اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ = ٢- = ٣ = ٣- ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ١ ماﻟﻌﻤﻮدى ماﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٣ ٢ ٢ ٢ – (١)٣ص ٠ = ١١ + اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻄﻠﻮب ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٧ ، ١وﻣﯿﻠﮫ = ٢- ٢ – ٣ص ٠ = ١١ + ٣ ص – ٢- = ٧ ٢ص ٠ = ١٤ +س–٣ ١ ٢ص = ١٤ -ص=٧
٣ص – ٢- = ٢١س٢+
٣ص٢+س – ٠ = ٢٣
إذا ﻛﺎن أ = ) ، ( ١ ، ٣-ب = ) ( ٧ ، ٥أوﺟﺪ ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ أ ب اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــﻞ ص – ٤- = ٤ ﻣﺤﻮر اﻟﻘﻄﻌﺔ ھﻮ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻌﻤﻮدى ﻋﻠﯿﮭﺎ ﻣﻦ ﻣﻨﺘﺼﻔﮭﺎ س–٣ ١ ٣ص – ٤ - = ١٢س ٤+ ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ب = ) ( ٤ ، ١ ) = ( ٧+١ ، ٥+٣- ٢ ٢ ﻣﯿﻞ أ ب = ٣ = ٦ = ١ – ٧ ٣ص – ٤+ ١٢س ٠ = ٤ + ٤ ٨ ٣+٥ ٤ ٣ص ٤ +س – ٠ = ٨ ﻣﺤﻮر اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) (٤ ، ١وﻣﯿﻠﮫ = ٣ إذا ﻛﺎن أ ب ﻗﻄﺮ ﻓﻰ اﻟﺪاﺋﺮة م ﺣﯿﺚ أ = ) ، ( ١ ، ٤-ب = ) ( ٤ ، ٢-أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﺪاﺋﺮة م ﻋﻨﺪ أ اﻟﺤــــــــــــــــــــﻞ ص – ٢- = ١ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﺪاﺋﺮة ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدﯾﺎً ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻄﺮ اﻟﻤﺮﺳﻮم س٣ ٤+ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻤﺎس ﻣﯿﻞ أ ب = ٣ = ١ – ٤ ٣ص – ٢- = ٣س ٨ - ٢ ٤+٢ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ٢- ٣ص – ٢+ ٣س ٠ = ٨ + ٣ ٢٣ص ٢+س ٠ = ٥+ اﻟﻤﻤﺎس ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) (١ ، ٤-وﻣﯿﻠﮫ = ٣
٥٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
إذا ﻛﺎن أﺟـ ﻗﻄﺮ ﻓﻰ اﻟﻤﺮﺑﻊ أ ب ﺟـ ء ﺣﯿﺚ أ = ) ، (٥ ، ٣ﺟـ = ) (١- ، ١-أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﺮ ب ء اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــﻞ اﻟﻘﻄﺮ ب ء ﯾﻤﺮ ﺑﻤﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ أ ﺟـ وﻋﻤﻮدى ﻋﻠﯿﮫ
ص – ٢- = ٢ س–٣ ١
ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ﺟـ = )( ٢ ، ١) = ( (١-)+ ٥ ، (١-)+٣ ٢ ٢ ﻣﯿﻞ أ ﺟـ = ٣ = ٦- = ٥ – ١- ٢ ٤- ٣ – ١ﻣﯿﻞ ب ء = ٢- ٣ اﻟﻘﻄﺮ ب ء ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٢ ، ١وﻣﯿﻠﮫ = ٢- ٣
٣ص – ٢- = ٦س ٢+ ٣ص – ٢+ ٦س – ٠ = ٢ ٣ص ٢+س – ٠ = ٨
اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ * أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ٢س – ٣ص ، ٠ = ١+س – ٥ص ٠ = ٧+ اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ١ ٢ ،م= ٢ م= ١ ٥ ٣ ٢ـــ ١ ٣ – ١٠ ٢ـــ ١ ـــــــــــــــــــ = ٧ م – ١م٢ ـــــــــــــــ ٥ ــــــــــــــــــــ = ٣ ١٥ ــــــــــــــــ = ٣ ٥ ـــــــ = ﻇﺎھــ =+ م م + ١ ٢ ١٧ ٢ + ١٥ ٢ ١ ١ ٢ +١ × +١ ١٥ ١٥ ٥ ٣ ق ) ھــ ( = ْ ٢٢ / ٢٢
٥٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ٣س – ص = ٢ ، ٥س +ص – ٠ = ٧ اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ،م٢ - = ٢ م٣ = ١ ـــــــــــــــــ = ( ٢- ) – ٣ م – ١م٢ ــــــــــــــــــــ = ٥ ـــــــــ = ١- ﻇﺎھـــ = م م + ١ ٢ × ٣ + ١ ٢ ١ ٥-
ق ) ھـ ( = ْ ١٣٥أو ْ ٤٥
إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) ، ( ٤ ، ١ب=) ، (١ ، ٢ﺟـ= ) (٢ ، ٤أوﺟﺪ ق ) ب أ ﺟـ ( اﻟﻤﻨﻔﺮﺟﺔ اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ــــــــــــ = ٢- = ٢ ،م = ٢م أ ﺟـ = ٢ - ٤ م = ١م أ ب = ١ – ٤ ــــــــــــــــ = ٣- ٣ ٣- ٤ – ١ ٢–١ ٣ـــ ٢ + ٣- ٢-٢ + ٩م – ١م٢ ٣ ٣ ٣ ـــــــــــــــــ = = ١ × ٧- ـــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ = ﻇﺎھـــ = م م + ١ ٣ ٣ ٢ ١ ٢ ٣ ٢ +١ ×٣- + ١ ٣ ق ) ب أ ﺟـ ( = ْ ١٤٢ / ٧
٧٩
أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٣س – ٢ص ٠ = ١+واﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﻣﯿﻠﮫ = اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ٢-١٥ ١ - ٣ ١ - ٣ ﻇﺎھـ = +م – ١م٢ ـــــــــــــــ = ١٠ ٥ ــــــــــــــ = ٢ ـــــــــــــــ = ١ + = ١٣ ـــــــــــــــــــ = ٥ ٢ +١م ١م١ × ٣ +١ ٢ ٣ +١ ٣+١٠ ١٣ ٥ ٢ ١٠ ١٠ ﻇﺎھـ = ١ ق)ھـ( = ْ ٤٥
ﻇﺎھـ = ١- ق)ھـ( = ْ ١٣٥
إذا ﻛﺎن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ س – ك ص ، ٠ = ٢+س – ٣ص ٠ = ٤+ﺗﺴﺎوى أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ك اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ م = ١ = ١- م = ١ = ١- ٢ ١ –٣ك ٣ ٣ك ك٣ك ـــــــــــــــــــ = ١ + ھـ = ٤٥ ٣ك ١+ ﻇﺎھـ = ١ + ٣ك –٣ك م – ١م٢ =١ ــــــــــــــ = ١ + ـ ٣ك ١+ +١م ١م٢
– ٣ك = ١- ٣ك ١+
٥٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
١ـــ ١ ك ٣ ــــــــــــــــــــ = ١ + ١ × ١ +١ ك ٣ ١ـــ ١ ك ٣ ـــــــــــــــــــ = ١ + ١ +١ـــــــ ٣ك
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
٣ك – ٣ = ١+ك ٣ك+ك = ١ – ٣ ٤ك=٢ ك = ١= ٢ ٢ ٤
٣ك––٣=١ك ٣ك +ك = ١ + ٣ ٢ك = ٤ك = ٢-
إذا ﻛﺎن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﺗﺴﺎوى ْ ٤٥ﻓﺈذا ﻋﻠﻢ أن ﻣﯿﻞ اﻻول = ٢أوﺟﺪ ﻣﯿﻞ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻧﻔﺮض أن ﻣﯿﻞ اﻟﺜﺎﻧﻰ = م ھـ = ْ ٤٥ م – ١م٢ ــــــــــــــــ = ١ + + ١م ١م٢ –٢م ــــــــــــــ = ١ + × ٢ +١م –٢م =١+ ٢+١م
اﻟﺤــــــــــــــــــــــــﻞ – ٢م =١ ٢+١م ٢+١م=–٢م ٢م +م = ١ – ٢
– ٢م = ١- ٢+١م ٢ – ١م = – ٢م٢-م +م = ١ + ٢
٣م = ١
-م=٣
م =١ ٣
م = ٣-
اﻟﺒﻌﺪ اﻟﻌﻤﻮدى ﻻﯾﺠﺎد ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ )س ، ١ص ( ١ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ أ س +ب ص +ﺟـ = ٠ ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻟﻘﺎﻧﻮن ﺟـ + ص ب + س أ ١ ١ ع = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ أ + ٢ب ......................................................................................................................... ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (١ ، ٢ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٤س – ٣ص ٠ = ١١ + اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ـــــــــــــــــــــــــ =١٦ ــــــــــــــــــ– ١١ + ( ١) ٣ ع= (٢)٤ ـــــــــــــــــــــــــــ= ١١+ ٣ – ٨ ٥ ٩ + ١٦ ٢٥ ......................................................................................................................... ٥٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎن ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٤س – ٣ص +ك = ٠ ﯾﺴﺎوى ٣وﺣﺪات أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ك اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ + ( ٠) ٣ – ( ٠) ٤ك ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٣ ع=٣ ٩ + ١٦ ك ك = ١٥ = ٣ × ٥ ـــــ = ٣ ٥
ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎن ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ١، ٢ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٣س – ك ص ٠ = ٨+ ﯾﺴﺎوى ٢أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ك اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ + ٩ ٢ك – ١٤ = ٢ك
ع=٢ – (٢)٣ك )٨ + (١ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٢ ٢ +٩ك
ﺑﺎﻟﺘﺮﺑﯿﻊ ٢
+ ٩ ) ٤ك ٢٨ – ١٩٦ = ( ٢ك +ك ٤ + ٣٦ك٢٨+ ١٩٦ – ٢ك – ك٠ = ٢ ٣ك ٢٨ + ٢ك ٠ = ١٦٠ - ) ك – ٣ ) ( ٤ك ٠ = ( ٤٠ + ك = ٤٠- ك=٤ ٣
–٦ك٨+ ـــــــــــــــــــــــ = ٢ ٢ +٩ك – ١٤ك ـــــــــــــــــــــ = ٢ ٢ +٩ك
ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) ، (٢- ، ٢ب = ) ، (١ ، ١-ﺟـ = ) (٥ ، ٤-أوﺟﺪ ) (٢ﻣﻌﺎدﻟﺔ ب ﺟـ ) (١ﻃﻮل ب ﺟـ ) (٤ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ أ ب ﺟـ ) (٣ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ أ ﻋﻠﻰ ب ﺟـ اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ب ﺟـ = ) ٥ = ٢٥ =١٦ + ٩ = ٢(٥ -١٣ ) + ٢(٤+١-وﺣﺪات ﻣﻌﺎدﻟﺔ ب ﺟـ ص–٤ ١ ١ – ٥ ١ – ص ــــــــــــــ = ــــــــــــــــ = ـــــــــــــ س ٣- ١ + ١ + ٤س١+ ٤س ٣- = ٤ +ص ٣+ ** ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ أ ﻋﻠﻰ ب ﺟـ
٤س٣+ص٠=١+
ــــــــــــــــــــــ = ٣ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ١ + ٦ – ٨ ع = ١ + ( ٢- ) ٣ + ( ٢ ) ٤ ٥ ٥ ٩ + ١٦ ٥٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
** ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ أ ب ﺟـ ٣ ١ ١ ١ = ١٫٥ﺳﻢ اﻟﻘﺎﻋﺪة × اﻻرﺗﻔﺎع = × ب ﺟـ × ع = × × ٥ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ = ٥ ٢ ٢ ٢
٢
ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) ( ٣- ، ١واﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ١٢س – ٥ص ٠ = ١- ﻣﻤﺎس ﻟﮭﺎ واوﺟﺪ ﻣﺤﯿﻄﮭﺎ وﻣﺴﺎﺣﺘﮭﺎ اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ١ – ( ٣-) ٥- (١)١٢ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ١ – ١٥ + ١٢ ــــــــــــــــــــــــــــ = ٢٦ ــــــــــ = ٢وﺣﺪة ﻃﻮﻟﯿﺔ ﻧﻖ = ع = ١٣ ١٣ ٢٥ + ١٤٤ ﻣﺤﯿﻄﮭﺎ = ٢ط ﻧﻖ = ٢ط × ٤ = ٢ط ﻣﺴﺎﺣﺘﮭﺎ = ط ﻧﻖ = ٢ط × ) ٤ = ٢(٢ط
ﻣﺜﺎل إﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ٣س – ٤ص – ٦ ، ٠ = ٦س – ٨ص ٠ = ١ +ﻣﺘﻮازﯾﺎن واوﺟﺪ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ،م =٣ = ٦- م = ٣ = ٣- م = ١م ٢اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺎن ٢ ١ ٤ ٨٤ ٤ﻻﯾﺠﺎد اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﻧﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ أﺣﺪھﻤﺎ ﺛﻢ ﻧﻮﺟﺪ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻨﮭﺎ وﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻻﺧﺮ س=٢ ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻻول ﻧﻀﻊ ص = ٠ﻧﺠﺪ ان ٣س – ٣ ٠ = ٦س = ٦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٠ ، ٢ﺗﻨﺘﻤﻰ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻻول ﻧﻮﺟﺪ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻨﮭﺎ وﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺜﺎﻧﻰ ١+ ع =( ٠ ) ٨ – ( ٢ ) ٦ ــــــــــ = ١ + ٠ + ١٢ ــــــــــــــــــــــــــــ = ١٫٣ = ١٣وﺣﺪة ﻃﻮﻟﯿﺔ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ ١٠ ١٠٠ ٦٤ + ٣٦
ﻣﺜﺎل إﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬى ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ ٤س ٣ +ص ٠ = ٢ +ﯾﻤﺲ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻰ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) ( ٢ ، ٣وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٤ﺳﻢ اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ﻧﻮﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ اﻟﻤﺮﻛﺰ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٤س ٣ +ص ٠ = ٢+ ع =٢ + ( ٢ ) ٣ + ( ٣ ) ٤ ٢+٦+ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ١٢ ٤ = ٢٠ ــــــــــــــــــ = ــــــ ـــــــــــــ ٥ ٩ + ١٦ ٢٥ ع = ﻧﻖ
اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻤﺲ اﻟﺪاﺋﺮة
ﻣﺜﺎل إﺛﺒﺖ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٤ ، ١ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ أﺣﺪ ﻣﻨﺼﻔﻰ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ س +ص ، ٠ = ٣+س – ٧ص ٠ = ١٣- ٥٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ﻧﺜﺒﺖ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٨ ع٣ + ( ٤ ) ١ + ( ١ ) = ١ ـــــــ ٢ ١+١
=٢ ٤
ـــــــــــ = ٨ ع١٣- ( ٤ ) ٧ – ( ١ ) ١ = ٢ ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٤٠ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ١٣ – ٢٨ – ١ ــــــــ = ٢ ٤ ٢ ٥ ٢ ٥٠ ٤٩ + ١ ∴ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ أﺣﺪ ﻣﻨﺼﻔﻰ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ٠ ٠ع = ١ع٢ ٠ إﺛﺒﺖ أن اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ أ ) ، ( ١ ، ٣ب = ) ( ٢ ، ٣-ﺗﻘﻌﺎن ﻋﻠﻰ ﺟﺎﻧﺒﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٣س – ٤ص ٠ = ٦+وﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪﯾﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ ﻣﻨﮫ اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ﻧﻮﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﺴﺎﻗﻂ ﻣﻦ أ ) (١ ، ٣ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ١١ ١١ ع٦ + (١) ٤ – (٣)٣ = ١ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٦ + ٤ – ٩ ــــــــــــــــــــــ = ــــــــ = ٥ ٥ ١٦ + ٩ ٢٥
= ٢٫٢وﺣﺪة ﻃﻮل
ﻧﻮﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﺴﺎﻗﻂ ﻣﻦ ب ) (٢ ، ٣-ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ١١ ١١- ٦ +٨ – ٩ع٦ + (٢) ٤ – (٣-)٣ = ١ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ = ــــــــ = ٥ ٥ ١٦ + ٩ ٢٥ اﻟﻤﻘﺪار ٣س – ٤ص ٦+ﻟﮫ أﺷﺎرىﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ ١١- ، ١١ﻋﻨﺪ اﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ = ٢٫٢وﺣﺪة ﻃﻮل
∴ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ﻓﻰ ﺟﮭﺘﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٣س – ٤ص ٠ = ٦ +وﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪﯾﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ ﻣﻨﮫ
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ
ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ،س +ص = ٨وﯾﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٤س – ٧ص ٠ = ١ + ٢س +ص = ١١ ٥٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ =٤ =٤ ﻧﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ماﻟﻤﻄﻠﻮب ماﻟﻤﻮازى ٧ ٧ ٢س +ص = ١١ ص–٥ ـــــــــــــــ = ٤ س +ص =٨ س–٣ ٧ س=٣ ٤س – ٧ = ١٢ص – ٣٥ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ ٢ ٤س – ٧ص ٠ = ٢٣+ +٣ص=٨ )( ٥ ، ٣ ص=٥ ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ،س – ص = ١وﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٣س – ٥ص ٠ = ١+ ٢س +ص = ١١ اﻟـــــﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ٢س +ص = ١١ ٥٣ ماﻟﻤﻄﻠﻮب = ماﻟﻌﻤﻮدى = س -ص=١ ٣ ٥ ........................ ـــــــــــــــ٥- = ٣ ص– ٣س = ١٢ ٣ س–٤ س=٤ ٣ص – ٥- = ٩س ٢٠+ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ ١ ٣س ٥ +ص ٠ = ٢٩- + (٤)٢ص = ١١ + ٨ص = ١١ ص=٣ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ) ( ٣ ، ٤ ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ٢س +ص = ، ٧س ٢ +ص = ٨وﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٤ ، ٥ اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻄﻠﻮب ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ﺑﻀﺮب اﻻوﻟﻰ × ٢ )( ٤ ، ٥ ) ، ( ٣ ، ٢ ٤س ٢ +ص = ١٤ س٢+ص=٨ ص–١ ٣–٤ ٣ ــــــــــــــ = ـــــــــــــ = .............................. س–٣ ٢–٥ ٢ س=٢ ٣س=٦ س–٣=٢ص–٩ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ ٢ س–٣ص٠=٧+ ٢+٢ص=٨ ٢ص = ٦ص = ٣ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ) ( ٣ ، ٢
٦٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
أوﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ س+ص= ، ٥س – ص = ١ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٨س ٦+ص ٠ = ٥ + اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ﻧﻮﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻨﺎزل ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ )( ٢ ، ٣ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ٨س٦+ص ٠ = ٥+
ﻧﻮﺟﺪ أوﻻ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ س+ص=٥ س–ص=١ ٥ + ( ٢ ) ٦ + ( ٣ ) ٨ ع = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٥+١٢+٢٤ ـــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــ ﺑﺎﻟﺠﻤﻊ ٣٦+٦٤ ١٠٠ ٢س = ٦ س=٣ ٤١ = = ٤٫١وﺣﺪة ﻃﻮﻟﯿﺔ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻻوﻟﻰ ﻧﺠﺪ أن ص = ٢ ١٠ إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ) ، ( ٢ ، ١-ب = ) ( ٨ ، ٣أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻌﻤﻮدى ﻋﻠﻰ أ ب ﻣﻦ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــﻞ ص – ٢- = ٥ س–٣ ١
ﻣﻨﺘﺼﻒ أ ب = ) ( ٥ ، ١)=( ٨+٢ ، ٣+١- ٢ ٢ ﻣﯿﻞ أ ب =٣ = ٦ = ٢ – ٨ ٢ ٤ ١+٣ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻄﻠﻮب = ٢- ٣
٣ص – ٢- = ١٥س ٢+ ٣ص – ٢+ ١٥س – ٠ = ٢
اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻄﻠﻮب ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ) (٥ ، ١وﻣﯿﻠﮫ = ٢- ٣
٣ص ٢+س – ٠ = ١٧
إذا ﻛﺎن أ ب ﻗﻄﺮ ﻓﻰ داﺋﺮة ﻣﺮﻛﺰھﺎم ﺣﯿﺚ أ = ) ، (٢ ، ١-ب = ) ( ٥ ، ٣أوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﺪاﺋﺮة ﻋﻨﺪ أ اﻟﺤـــــــــــــــــﻞ ص – ٤- = ٢ س ٣ ١+
ﻣﯿﻞ أ ب =٣ = ٢ – ٥ ٤ ١+٣
٣ص – ٤ - = ٦س – ٤
اﻟﻤﻤﺎس ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻄﺮ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ٤- ٣
٣ص – ٤+ ٦س ٠ = ٤+
اﻟﻤﻤﺎس ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) (٢ ، ١-وﻣﯿﻠﮫ = ٤- ٣
٣ص ٤+س – ٠ = ٢
٦١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) د ،ھـ( وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﻧﻖ ھﻲ: ) س – د( ) + ٢ص – ھـ( = ٢ﻧﻖ ٢ﻧﻖ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ھﺬه اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ اﺳﺘﺨﺪام ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ) س ، ١ص ) ، (١س ، ٢ص (٢ھﻮ: ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ = ) س – ٢س ) + ٢(١ص – ٢ص٢(١ وﺑﺘﻄﺒﯿﻘﮫ ﻋﻠﻰ اﻟﺒﻌﺪ ﻧﻖ اﻟﻮاﺻﻞ ﺑﯿﻦ ) س ،ص( ) ،د ،ھـ( ﻣﻊ ﻣﻼﺣﻈﺔ ) د ،ھـ( أي ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى اﻹﺣﺪاﺛﯿﺎت اﻟﺪﯾﻜﺎرﺗﯿﮫ واﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺮﻓﻖ ﺗﻮﺿﯿﺢ ﻟﺬﻟﻚ.
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﻧﻖ وﻓﻲ ﺣﺎل ﻛﻮن د = ، ٠ھـ = ٠أي ) د ،ھـ( ﺗﻜﻮن ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ﻓﺈن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ﺗﺆول إﻟﻰ س + ٢ص =٢ﻧﻖ٢ وھﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﻧﻖ وﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮭﺎ ﻣﺒﺎﺷﺮة ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﻔﺲ اﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﺴﺎﺑﻖ وھﻮ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ.
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻃﺮﻓﺎ ﻗﻄﺮ ﻓﯿﮭﺎ ) س ، ١ص ) ، (١س ، ٢ص (٢ھﻲ: ) س – س ) (١س – س ) + (٢ص – ص )(١ص – ص٠ = (٢ ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮭﺎ ﻣﻦ: ق> د = ٩٠
> د ﻣﺮﺳﻮﻣﺔ ﻓﻲ ﻧﺼﻒ داﺋﺮة ﻻﺣﻆ اﻟﺸﻜﻞ
ﻣﯿﻞ ب د × ﻣﯿﻞ د ھـ = – ١
ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ٦٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻤﯿﻞ ﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺎر ﺑﻨﻘﻄﺘﯿﻦ = ﻓﺮق اﻟﺼﺎدات ÷ ﻓﺮق اﻟﺴﯿﻨﺎت ص – ص١
ص – ص٢
ـــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــ = – ١ س – س١
س – س٢
) س – س ) (١س – س )– = (٢ص – ص )(١ص – ص(٢ ) س – س ) (١س – س ) + (٢ص – ص )(١ص – ص٠ = (٢
اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة: ﻣﻦ ) :س – د( ) + ٢ص – ھـ( = ٢ﻧﻖ ٢وﺑﻔﻚ اﻷﻗﻮاس ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ س + ٢ص ٢–٢د س –٢ھـ ص +د +٢ھـ –٢ﻧﻖ ٠ = ٢وﺑﻮﺿﻊ د= – ل ،ھـ = – ك ،د + ٢ھـ –٢ﻧﻖ٢ = ﺣـ ﯾﻜﻮن: س + ٢ص ٢ + ٢ل س ٢ +ك ص +ﺣـ = ٠ﻣﺮﻛﺰھﺎ )– ل – ،ك( وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﻧﻖ ﺣﯿﺚ ﻧﻖ =٢ل+ ٢ ك – ٢ﺣـ ﻻﺣــــــــﻆ: (١ﻹﯾﺠﺎد اﻟﻤﺮﻛﺰ ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻧﺠﻌﻞ ﻣﻌﺎﻣﻞ س =٢ﻣﻌﺎﻣﻞ ص ١ =٢ﺛﻢ اﻟﻤﺮﻛﺰ = )– ﻣﻌﺎﻣﻞ س÷ – ، ٢ﻣﻌﺎﻣﻞ ص÷(٢ (٢إذا ﻣﺮﱠ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﺋﺮة ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ﻓﺈن ﺣـ = ٠واﻟﻌﻜﺲ ﺻﺤﯿﺢ ﻷن س = ص = ٠وﺗﺆول اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ إﻟﻰ: س + ٢ص ٢ + ٢ل س ٢ +ك ص = ٠ ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ: (١إذا وﻗﻊ اﻟﻤﺮﻛﺰ م = )– ل – ،ك( ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻓﺈن ك = ) ٠إي ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات إﺣﺪاﺛﮭﺎ اﻟﺴﯿﻨﻲ =(٠ أي م = )– ل (٠ ،وﺗﺼﺒﺢ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة: س + ٢ص ٢ + ٢ل س +ﺣـ = ٠ وﯾﻜﻮن ل + ٢ك – ٢ﺣـ = ﻧﻖ٢
)ك=(٠ ٦٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
أي أن :ل –٢ﺣـ = ﻧﻖ٢ (٢إذا وﻗﻊ اﻟﻤﺮﻛﺰ م = )– ل – ،ك( ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﻓﺈن ل = ) ٠إي ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات إﺣﺪاﺛﮭﺎ اﻟﺴﯿﻨﻲ =(٠ أي م = ) – ، ٠ك( وﺗﺆول ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة: س + ٢ص ٢ + ٢ك ص +ﺣـ = ٠ وﯾﻜﻮن ل + ٢ك – ٢ﺣـ = ﻧﻖ٢
)ل=(٠
أي أن :ك –٢ﺣـ = ﻧﻖ٢
(٣إذا ﻣﺲَ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﺋﺮة ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻓﺈن ك = ﻧﻖ أي ك =٢ﻧﻖ٢ وﻣﻦ :ل +٢ك –٢ﺣـ = ﻧﻖ٢ ل –٢ﺣـ = ٠ ل = ٢ﺣـ (٣إذا ﻣﺲَ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﺪاﺋﺮة ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻓﺈن ك = ل = ﻧﻖ واﻟﻤﺮﻛﺰ ھﻨﺎ ) ﻧﻖ ،ﻧﻖ ( وﺗﻮﺟﺪ ٤دواﺋﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﻮﻗـــﻊ اﻟﻤﺮﻛﺰ ﻓﻲ أي رﺑﻊ ﻣﻦ اﻷرﺑﺎع اﻷرﺑﻌﺔ. ) س – ﻧﻖ( ) + ٢ص – ﻧﻖ( = ٢ﻧﻖ٢ ) س +ﻧﻖ( ) + ٢ص – ﻧﻖ( = ٢ﻧﻖ٢ ) س +ﻧﻖ( ) + ٢ص +ﻧﻖ( = ٢ﻧﻖ٢ ) س – ﻧﻖ( ) + ٢ص +ﻧﻖ( = ٢ﻧﻖ٢
٦٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻟﺼﻮر اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﯾﻨﻄﺒﻖ ﻣﺤﻮره ﻋﻠﻰ أﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ ورأﺳﮫ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ) ( ٠ ، ٠ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
اﻟﺮأس
اﻟﺒﺆرة
اﻟﺪﻟﯿﻞ
اﻟﻤﺤﻮر
اﺗﺠﺎه ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ
)(٠،٠
) ﺟـ ( ٠ ،
س = -ﺟـ
ص=٠
Σ
) ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت
ص=٠
Σ
) ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت
س=٠
Ξ
) ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات
س=٠
Ξ
) ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات
ص٤ = ٢ﺟـ س
ص٤- = ٢ﺟـ س س٤ = ٢ﺟـ ص س٤ - = ٢ﺟـ ص
)(٠،٠
) -ﺟـ ( ٠ ،
س = ﺟـ
)(٠،٠
) ، ٠ﺟـ (
ص = -ﺟـ
)(٠،٠
) - ، ٠ﺟـ (
ص = ﺟـ
+
-
+
-
ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ : • ﻟﺮﺳﻢ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻧﺘﺤﺮك ﻣﻦ اﻟﺒﺆرة ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ٢ﺟـ ﻓﻲ اﻻﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ • ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ ﺗﺘﺠﮫ داﺋﻤﺎُ ﻣﻦ اﻟﺮأس إﻟﻰ اﻟﺒﺆرة • اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري = ﺟـ • ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ ﯾﻠﺰﻣﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﻓﺘﺤﺔ ﻻﺧﺘﯿﺎر اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ،ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د ،ھـ ،ﺟـ ﻣﻦ ﺧﻼل اﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت .
٦٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻟﺼﻮر اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﯾﻮازي ﻣﺤﻮره أﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ ورأﺳﮫ ) د ،ھـ ( اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
اﻟﺮأس
اﻟﺒﺆرة
اﻟﺪﻟﯿﻞ
)ص -ھـ(٤=٢ﺟـ )س– د(
) د ،ھـ (
) ﺟـ +د ،ھـ (
س = -ﺟـ +د
)ص -ھـ(٤-=٢ﺟـ )س– د(
) د ،ھـ (
) -ﺟـ +د ،ھـ (
س = ﺟـ +د
) د ،ھـ (
) د ،ﺟـ +ھـ (
ص = -ﺟـ +ھـ
) د ،ھـ (
) د - ،ﺟـ +ھـ (
ص = ﺟـ +ھـ
اﻟﻤﺤﻮر
اﺗﺠﺎه ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ
ص = ھـ
Σ
) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر
ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (
اﻟﺴﯿﻨﺎت
ص = ھـ ) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (
)س – د (٤=٢ﺟـ )ص– ھـ(
)س – د(٤-=٢ﺟـ )ص– ھـ(
+
Σ
-
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت
س=د
Ξ
) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر
ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (
اﻟﺼﺎدات
س=د
Ξ
) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر
ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (
اﻟﺼﺎدات
+
-
٦٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﻤﺮﻛﺰ
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ
٢
٢ ص س١ = ٢ + ٢ ب Α ٢
٢ س ص١ = ٢ + ٢ ب Α
)س -د(
Α
٢
٢
)ص -ھـ(
Α
٢
+
)ص -ھـ(
٢
+
٢
ب
ب
)(٠،٠
) -ﺟـ ( ٠ ،
)( ٠ ، Α -
) ،٠ﺟـ (
)(Α،٠
) - ،٠ﺟـ (
) (Α - ، ٠
)ﺟـ +د ،ھـ (
) + Αد ،ھـ (
) -ﺟـ +د ،ھـ (
) + Α -د ،ھـ (
) د ،ھـ (
=١
) د ،ﺟـ +ھـ ( ) د - ،ﺟـ +ھـ (
* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺒﺆرﺗﯿﻦ = ٢ﺟـ = اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري ٢
= ٢Αب + ٢ﺟـ
)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(
)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
ص=٠
س=٠
)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(
)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
س=٠
ص=٠
Σ //
Ξ //
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
) (٠ ، Α
)ﺟـ (٠،
) -ﺟـ (٠،
) (٠ ، Α -
)،٠ﺟـ( ) -،٠ﺟـ(
) (Α - ، ٠
=١
٢
) ﺟـ ( ٠ ،
)(٠،Α
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
)(Α،٠
) د ،ھـ (
٢
)س -د( ٢
)(٠،٠
اﻟﺒﺆرﺗﺎن
اﻟﺮأﺳﺎن
اﻟﻤﺤﻮر اﻷﻛﺒﺮ
اﻟﻤﺤﻮر اﻷﺻﻐﺮ
اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ
ﺣﯿﺚ
ص = ھـ
س=د
) د + Α ،ھـ (
Ξ //
Σ //
) د + Α - ،ھـ (
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
س=د
ص = ھـ
* اﻟﺒﻌﺪ اﻷﻛﺒﺮ = Α ٢
* اﻟﺒﻌﺪ اﻷﺻﻐﺮ = ٢ب
، Αب ،ﺟـ : Λ ٦٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(١ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﮭﺬا اﻟﻘﻄﻊ ،ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ س ) ٢ﻣﺜﻼُ ( ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ً ) ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ص ٢ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ً ) ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي . (٢ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻷﻛﺒﺮ ) ﺗﻘﻊ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ( ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د ،ھـ ،أ ،ب ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت .
اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض اﻟﻤﺮﻛﺰ
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ
)اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺒﺆري(
اﻟﺒﺆرﺗﺎن
اﻟﺮأﺳﺎن
) ﺟـ ( ٠ ،
)(٠،Α
) -ﺟـ ( ٠ ،
)( ٠ ، Α -
) ،٠ﺟـ (
)(Α،٠
) - ،٠ﺟـ (
) (Α - ، ٠
)ﺟـ +د ،ھـ (
) + Αد ،ھـ (
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
٢
س- ٢ Α
٢
ص- ٢ Α
٢
ص =٢ ب ٢
س= ٢ ب
)(٠،٠
١
١
)(٠،٠
٢
)س -د() ٢ص -ھـ( - ٢Αب= ٢
١
) د ،ھـ (
) -ﺟـ +د ،ھـ (
) + Α -د ،ھـ (
اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺮاﻓﻖ وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(
)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
ص=٠
س=٠
)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(
)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
س=٠
ص=٠
Σ //
Ξ //
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
ص = ھـ
س=د
اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ
٦٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
٢
)ص٢ -ھـ( - Α
٢
)س -د( = ٢ ب
) د ،ھـ (
١
) د ،ﺟـ +ھـ ( ) د - ،ﺟـ +ھـ (
) د + Α ،ھـ (
Ξ //
Σ //
) د + Α - ،ھـ (
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
س=د
ص = ھـ
٢
ﺟـ = ٢بΑ + ٢
* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺮأﺳﯿﻦ = Α ٢
* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺒﺆرﺗﯿﻦ = ٢ﺟـ = اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري
ﺣﯿﺚ
، Αب ،ﺟـ : Λ
* ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﮭﺬا اﻟﻘﻄﻊ ،ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ س ) ٢ﻣﺜﻼً ( ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ) ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ .أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ص ٢ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً )ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي . * ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ :ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ) ﺗﻘﻊ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ( ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د ،ه ،أ ،ب ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت .
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﺼﻮرة :
0س +٢بَ س ص +ﺟـَ ص + ٢دَ س +ھـَ ص +وَ= ٠ ﺗُﻤﺜـﻞ
ﻗﻄﻌﺎً ﻣﻜﺎﻓﺌًﺎ إذا ﻛﺎن ×0ﺟـَ = ٠
ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ،0ﺟـَ أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﺴﺎوي اﻟﺼﻔﺮ
ﻗﻄﻌﺎً ﻧﺎﻗﺼﺎً إذا ﻛﺎن ×0ﺟـَ < ٠
ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ،0ﺟـَ ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻹﺷﺎرة
ﻗﻄﻌﺎً زاﺋﺪًا إذا ﻛﺎن ×0ﺟـَ > ٠
ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ،0ﺟـَ ﻟﮭﻤﺎ إﺷﺎرﺗﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ
٦٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
٧٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻟﺼﻮر اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﯾﻨﻄﺒﻖ ﻣﺤﻮره ﻋﻠﻰ أﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ ورأﺳﮫ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ) ( ٠ ، ٠ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
اﻟﺮأس
اﻟﺒﺆرة
اﻟﺪﻟﯿﻞ
اﻟﻤﺤﻮر
اﺗﺠﺎه ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ
)(٠،٠
) ﺟـ ( ٠ ،
س = -ﺟـ
ص=٠
Σ
) ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت
ص=٠
Σ
) ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت
س=٠
Ξ
) ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات
س=٠
Ξ
) ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات
ص٤ = ٢ﺟـ س
ص٤- = ٢ﺟـ س س٤ = ٢ﺟـ ص س٤ - = ٢ﺟـ ص
)(٠،٠
) -ﺟـ ( ٠ ،
س = ﺟـ
)(٠،٠
) ، ٠ﺟـ (
ص = -ﺟـ
)(٠،٠
) - ، ٠ﺟـ (
ص = ﺟـ
+
-
+
-
ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ : • ﻟﺮﺳﻢ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻧﺘﺤﺮك ﻣﻦ اﻟﺒﺆرة ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ٢ﺟـ ﻓﻲ اﻻﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ • ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ ﺗﺘﺠﮫ داﺋﻤﺎُ ﻣﻦ اﻟﺮأس إﻟﻰ اﻟﺒﺆرة • اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري = ﺟـ • ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ ﯾﻠﺰﻣﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﻓﺘﺤﺔ ﻻﺧﺘﯿﺎر اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ،ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د ،ھـ ،ﺟـ ﻣﻦ ﺧﻼل اﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت .
٦٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻟﺼﻮر اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﯾﻮازي ﻣﺤﻮره أﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ ورأﺳﮫ ) د ،ھـ ( اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
اﻟﺮأس
اﻟﺒﺆرة
اﻟﺪﻟﯿﻞ
)ص -ھـ(٤=٢ﺟـ )س– د(
) د ،ھـ (
) ﺟـ +د ،ھـ (
س = -ﺟـ +د
)ص -ھـ(٤-=٢ﺟـ )س– د(
) د ،ھـ (
) -ﺟـ +د ،ھـ (
س = ﺟـ +د
) د ،ھـ (
) د ،ﺟـ +ھـ (
ص = -ﺟـ +ھـ
) د ،ھـ (
) د - ،ﺟـ +ھـ (
ص = ﺟـ +ھـ
اﻟﻤﺤﻮر
اﺗﺠﺎه ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ
ص = ھـ
Σ
) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر
ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (
اﻟﺴﯿﻨﺎت
ص = ھـ ) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (
)س – د (٤=٢ﺟـ )ص– ھـ(
)س – د(٤-=٢ﺟـ )ص– ھـ(
+
Σ
-
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت
س=د
Ξ
) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر
ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (
اﻟﺼﺎدات
س=د
Ξ
) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر
ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (
اﻟﺼﺎدات
+
-
٦٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﻤﺮﻛﺰ
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ
٢
٢ ص س١ = ٢ + ٢ ب Α
)(٠،٠
اﻟﺒﺆرﺗﺎن
اﻟﺮأﺳﺎن
) ﺟـ ( ٠ ،
)(٠،Α
) -ﺟـ ( ٠ ،
)( ٠ ، Α -
) ،٠ﺟـ (
)(Α،٠
) - ،٠ﺟـ (
) (Α - ، ٠
)ﺟـ +د ،ھـ (
) + Αد ،ھـ (
) -ﺟـ +د ،ھـ (
) + Α -د ،ھـ (
اﻟﻤﺤﻮر اﻷﻛﺒﺮ
اﻟﻤﺤﻮر اﻷﺻﻐﺮ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(
)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
ص=٠
س=٠
)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(
)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
س=٠
ص=٠
Σ //
Ξ //
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ
) (٠ ، Α
)ﺟـ (٠،
) -ﺟـ (٠،
) (٠ ، Α -
)(Α،٠
٢
٢ س ص١ = ٢ + ٢ ب Α
)س -د(
Α
٢
٢
)ص -ھـ(
Α
٢
+
)ص -ھـ(
٢
+
٢
ب
=١
ب
٢
) د ،ھـ (
=١
) د ،ﺟـ +ھـ ( ) د - ،ﺟـ +ھـ (
* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺒﺆرﺗﯿﻦ = ٢ﺟـ = اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري ٢
= ٢Αب + ٢ﺟـ
) -،٠ﺟـ(
) (Α - ، ٠
) د ،ھـ (
٢
)س -د( ٢
)(٠،٠
)،٠ﺟـ(
ﺣﯿﺚ
، Αب ،ﺟـ : Λ
ص = ھـ
س=د
) د + Α ،ھـ (
Ξ //
Σ //
) د + Α - ،ھـ (
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
س=د
ص = ھـ
* اﻟﺒﻌﺪ اﻷﻛﺒﺮ = Α ٢
* اﻟﺒﻌﺪ اﻷﺻﻐﺮ = ٢ب
٦٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(١ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﮭﺬا اﻟﻘﻄﻊ ،ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ س ) ٢ﻣﺜﻼُ ( ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ً ) ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ص ٢ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ً ) ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي . (٢ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻷﻛﺒﺮ ) ﺗﻘﻊ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ( ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د ،ھـ ،أ ،ب ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت .
اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض اﻟﻤﺮﻛﺰ
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ
)اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺒﺆري(
اﻟﺒﺆرﺗﺎن
اﻟﺮأﺳﺎن
) ﺟـ ( ٠ ،
)(٠،Α
) -ﺟـ ( ٠ ،
)( ٠ ، Α -
) ،٠ﺟـ (
)(Α،٠
) - ،٠ﺟـ (
) (Α - ، ٠
)ﺟـ +د ،ھـ (
) + Αد ،ھـ (
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
٢
س- ٢ Α
٢
ص- ٢ Α
٢
ص =٢ ب ٢
س= ٢ ب
)(٠،٠
١
١
)(٠،٠
٢
)س -د() ٢ص -ھـ( - ٢Αب= ٢
١
) د ،ھـ (
) -ﺟـ +د ،ھـ (
) + Α -د ،ھـ (
اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺮاﻓﻖ وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(
)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
ص=٠
س=٠
)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(
)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
س=٠
ص=٠
Σ //
Ξ //
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
ص = ھـ
س=د
اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ
٦٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
٢
)ص٢ -ھـ( - Α
٢
)س -د( = ٢ ب
) د ،ھـ (
١
) د ،ﺟـ +ھـ ( ) د - ،ﺟـ +ھـ (
) د + Α ،ھـ (
Ξ //
Σ //
) د + Α - ،ھـ (
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
س=د
ص = ھـ
٢
ﺟـ = ٢بΑ + ٢
* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺮأﺳﯿﻦ = Α ٢
* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺒﺆرﺗﯿﻦ = ٢ﺟـ = اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري
ﺣﯿﺚ
، Αب ،ﺟـ : Λ
* ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﮭﺬا اﻟﻘﻄﻊ ،ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ س ) ٢ﻣﺜﻼً ( ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ) ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ .أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ص ٢ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً )ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي . * ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ :ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ) ﺗﻘﻊ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ( ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د ،ه ،أ ،ب ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت .
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﺼﻮرة :
0س +٢بَ س ص +ﺟـَ ص + ٢دَ س +ھـَ ص +وَ= ٠ ﺗُﻤﺜـﻞ
ﻗﻄﻌﺎً ﻣﻜﺎﻓﺌًﺎ إذا ﻛﺎن ×0ﺟـَ = ٠
ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ،0ﺟـَ أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﺴﺎوي اﻟﺼﻔﺮ
ﻗﻄﻌﺎً ﻧﺎﻗﺼﺎً إذا ﻛﺎن ×0ﺟـَ < ٠
ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ،0ﺟـَ ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻹﺷﺎرة
ﻗﻄﻌﺎً زاﺋﺪًا إذا ﻛﺎن ×0ﺟـَ > ٠
ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ،0ﺟـَ ﻟﮭﻤﺎ إﺷﺎرﺗﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ
٦٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
٧٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻟﺼﻮر اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﯾﻨﻄﺒﻖ ﻣﺤﻮره ﻋﻠﻰ أﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ ورأﺳﮫ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ) ( ٠ ، ٠ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
اﻟﺮأس
اﻟﺒﺆرة
اﻟﺪﻟﯿﻞ
اﻟﻤﺤﻮر
اﺗﺠﺎه ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ
)(٠،٠
) ﺟـ ( ٠ ،
س = -ﺟـ
ص=٠
Σ
) ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت
ص=٠
Σ
) ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت
س=٠
Ξ
) ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات
س=٠
Ξ
) ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات
ص٤ = ٢ﺟـ س
ص٤- = ٢ﺟـ س س٤ = ٢ﺟـ ص س٤ - = ٢ﺟـ ص
)(٠،٠
) -ﺟـ ( ٠ ،
س = ﺟـ
)(٠،٠
) ، ٠ﺟـ (
ص = -ﺟـ
)(٠،٠
) - ، ٠ﺟـ (
ص = ﺟـ
+
-
+
-
ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ : • ﻟﺮﺳﻢ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻧﺘﺤﺮك ﻣﻦ اﻟﺒﺆرة ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ٢ﺟـ ﻓﻲ اﻻﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ • ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ ﺗﺘﺠﮫ داﺋﻤﺎُ ﻣﻦ اﻟﺮأس إﻟﻰ اﻟﺒﺆرة • اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري = ﺟـ • ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ ﯾﻠﺰﻣﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﻓﺘﺤﺔ ﻻﺧﺘﯿﺎر اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ،ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د ،ھـ ،ﺟـ ﻣﻦ ﺧﻼل اﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت .
٦٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻟﺼﻮر اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﯾﻮازي ﻣﺤﻮره أﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ ورأﺳﮫ ) د ،ھـ ( اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
اﻟﺮأس
اﻟﺒﺆرة
اﻟﺪﻟﯿﻞ
)ص -ھـ(٤=٢ﺟـ )س– د(
) د ،ھـ (
) ﺟـ +د ،ھـ (
س = -ﺟـ +د
)ص -ھـ(٤-=٢ﺟـ )س– د(
) د ،ھـ (
) -ﺟـ +د ،ھـ (
س = ﺟـ +د
) د ،ھـ (
) د ،ﺟـ +ھـ (
ص = -ﺟـ +ھـ
) د ،ھـ (
) د - ،ﺟـ +ھـ (
ص = ﺟـ +ھـ
اﻟﻤﺤﻮر
اﺗﺠﺎه ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ
ص = ھـ
Σ
) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر
ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (
اﻟﺴﯿﻨﺎت
ص = ھـ ) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (
)س – د (٤=٢ﺟـ )ص– ھـ(
)س – د(٤-=٢ﺟـ )ص– ھـ(
+
Σ
-
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت
س=د
Ξ
) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر
ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (
اﻟﺼﺎدات
س=د
Ξ
) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر
ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (
اﻟﺼﺎدات
+
-
٦٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﻤﺮﻛﺰ
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ
٢
٢ ص س١ = ٢ + ٢ ب Α
)(٠،٠
اﻟﺒﺆرﺗﺎن
اﻟﺮأﺳﺎن
) ﺟـ ( ٠ ،
)(٠،Α
) -ﺟـ ( ٠ ،
)( ٠ ، Α -
) ،٠ﺟـ (
)(Α،٠
) - ،٠ﺟـ (
) (Α - ، ٠
)ﺟـ +د ،ھـ (
) + Αد ،ھـ (
) -ﺟـ +د ،ھـ (
) + Α -د ،ھـ (
اﻟﻤﺤﻮر اﻷﻛﺒﺮ
اﻟﻤﺤﻮر اﻷﺻﻐﺮ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(
)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
ص=٠
س=٠
)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(
)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
س=٠
ص=٠
Σ //
Ξ //
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ
) (٠ ، Α
)ﺟـ (٠،
) -ﺟـ (٠،
) (٠ ، Α -
)(Α،٠
٢
٢ س ص١ = ٢ + ٢ ب Α
)س -د(
Α
٢
٢
)ص -ھـ(
Α
٢
+
)ص -ھـ(
٢
+
٢
ب
=١
ب
٢
) د ،ھـ (
=١
) د ،ﺟـ +ھـ ( ) د - ،ﺟـ +ھـ (
* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺒﺆرﺗﯿﻦ = ٢ﺟـ = اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري ٢
= ٢Αب + ٢ﺟـ
) -،٠ﺟـ(
) (Α - ، ٠
) د ،ھـ (
٢
)س -د( ٢
)(٠،٠
)،٠ﺟـ(
ﺣﯿﺚ
، Αب ،ﺟـ : Λ
ص = ھـ
س=د
) د + Α ،ھـ (
Ξ //
Σ //
) د + Α - ،ھـ (
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
س=د
ص = ھـ
* اﻟﺒﻌﺪ اﻷﻛﺒﺮ = Α ٢
* اﻟﺒﻌﺪ اﻷﺻﻐﺮ = ٢ب
٦٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(١ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﮭﺬا اﻟﻘﻄﻊ ،ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ س ) ٢ﻣﺜﻼُ ( ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ً ) ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ص ٢ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ً ) ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي . (٢ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻷﻛﺒﺮ ) ﺗﻘﻊ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ( ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د ،ھـ ،أ ،ب ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت .
اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض اﻟﻤﺮﻛﺰ
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ
)اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺒﺆري(
اﻟﺒﺆرﺗﺎن
اﻟﺮأﺳﺎن
) ﺟـ ( ٠ ،
)(٠،Α
) -ﺟـ ( ٠ ،
)( ٠ ، Α -
) ،٠ﺟـ (
)(Α،٠
) - ،٠ﺟـ (
) (Α - ، ٠
)ﺟـ +د ،ھـ (
) + Αد ،ھـ (
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
٢
س- ٢ Α
٢
ص- ٢ Α
٢
ص =٢ ب ٢
س= ٢ ب
)(٠،٠
١
١
)(٠،٠
٢
)س -د() ٢ص -ھـ( - ٢Αب= ٢
١
) د ،ھـ (
) -ﺟـ +د ،ھـ (
) + Α -د ،ھـ (
اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺮاﻓﻖ وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(
)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
ص=٠
س=٠
)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(
)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
س=٠
ص=٠
Σ //
Ξ //
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
ص = ھـ
س=د
اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ
٦٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
٢
)ص٢ -ھـ( - Α
٢
)س -د( = ٢ ب
) د ،ھـ (
١
) د ،ﺟـ +ھـ ( ) د - ،ﺟـ +ھـ (
) د + Α ،ھـ (
Ξ //
Σ //
) د + Α - ،ھـ (
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
س=د
ص = ھـ
٢
ﺟـ = ٢بΑ + ٢
* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺮأﺳﯿﻦ = Α ٢
* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺒﺆرﺗﯿﻦ = ٢ﺟـ = اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري
ﺣﯿﺚ
، Αب ،ﺟـ : Λ
* ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﮭﺬا اﻟﻘﻄﻊ ،ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ س ) ٢ﻣﺜﻼً ( ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ) ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ .أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ص ٢ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً )ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي . * ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ :ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ) ﺗﻘﻊ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ( ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د ،ه ،أ ،ب ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت .
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﺼﻮرة :
0س +٢بَ س ص +ﺟـَ ص + ٢دَ س +ھـَ ص +وَ= ٠ ﺗُﻤﺜـﻞ
ﻗﻄﻌﺎً ﻣﻜﺎﻓﺌًﺎ إذا ﻛﺎن ×0ﺟـَ = ٠
ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ،0ﺟـَ أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﺴﺎوي اﻟﺼﻔﺮ
ﻗﻄﻌﺎً ﻧﺎﻗﺼﺎً إذا ﻛﺎن ×0ﺟـَ < ٠
ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ،0ﺟـَ ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻹﺷﺎرة
ﻗﻄﻌﺎً زاﺋﺪًا إذا ﻛﺎن ×0ﺟـَ > ٠
ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ،0ﺟـَ ﻟﮭﻤﺎ إﺷﺎرﺗﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ
٦٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻟﺼﻮر اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﯾﻨﻄﺒﻖ ﻣﺤﻮره ﻋﻠﻰ أﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ ورأﺳﮫ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ) ( ٠ ، ٠ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
اﻟﺮأس
اﻟﺒﺆرة
اﻟﺪﻟﯿﻞ
اﻟﻤﺤﻮر
اﺗﺠﺎه ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ
)(٠،٠
) ﺟـ ( ٠ ،
س = -ﺟـ
ص=٠
Σ
) ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت
ص=٠
Σ
) ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت
س=٠
Ξ
) ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات
س=٠
Ξ
) ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات
ص٤ = ٢ﺟـ س
ص٤- = ٢ﺟـ س س٤ = ٢ﺟـ ص س٤ - = ٢ﺟـ ص
)(٠،٠
) -ﺟـ ( ٠ ،
س = ﺟـ
)(٠،٠
) ، ٠ﺟـ (
ص = -ﺟـ
)(٠،٠
) - ، ٠ﺟـ (
ص = ﺟـ
+
-
+
-
ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ : • ﻟﺮﺳﻢ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻧﺘﺤﺮك ﻣﻦ اﻟﺒﺆرة ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ٢ﺟـ ﻓﻲ اﻻﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ • ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ ﺗﺘﺠﮫ داﺋﻤﺎُ ﻣﻦ اﻟﺮأس إﻟﻰ اﻟﺒﺆرة • اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري = ﺟـ • ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ ﯾﻠﺰﻣﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﻓﺘﺤﺔ ﻻﺧﺘﯿﺎر اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ،ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د ،ھـ ،ﺟـ ﻣﻦ ﺧﻼل اﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت .
٦٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻟﺼﻮر اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﯾﻮازي ﻣﺤﻮره أﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﯾﻦ ورأﺳﮫ ) د ،ھـ ( اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
اﻟﺮأس
اﻟﺒﺆرة
اﻟﺪﻟﯿﻞ
)ص -ھـ(٤=٢ﺟـ )س– د(
) د ،ھـ (
) ﺟـ +د ،ھـ (
س = -ﺟـ +د
)ص -ھـ(٤-=٢ﺟـ )س– د(
) د ،ھـ (
) -ﺟـ +د ،ھـ (
س = ﺟـ +د
) د ،ھـ (
) د ،ﺟـ +ھـ (
ص = -ﺟـ +ھـ
) د ،ھـ (
) د - ،ﺟـ +ھـ (
ص = ﺟـ +ھـ
اﻟﻤﺤﻮر
اﺗﺠﺎه ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ
ص = ھـ
Σ
) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر
ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (
اﻟﺴﯿﻨﺎت
ص = ھـ ) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت (
)س – د (٤=٢ﺟـ )ص– ھـ(
)س – د(٤-=٢ﺟـ )ص– ھـ(
+
Σ
-
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت
س=د
Ξ
) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر
ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (
اﻟﺼﺎدات
س=د
Ξ
) اﻟﻤﺤﻮر ﯾﻮازي
اﻻﺗﺠﺎه اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر
ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (
اﻟﺼﺎدات
+
-
٦٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﻤﺮﻛﺰ
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ
٢
٢ ص س١ = ٢ + ٢ ب Α
)(٠،٠
اﻟﺒﺆرﺗﺎن
اﻟﺮأﺳﺎن
) ﺟـ ( ٠ ،
)(٠،Α
) -ﺟـ ( ٠ ،
)( ٠ ، Α -
) ،٠ﺟـ (
)(Α،٠
) - ،٠ﺟـ (
) (Α - ، ٠
)ﺟـ +د ،ھـ (
) + Αد ،ھـ (
) -ﺟـ +د ،ھـ (
) + Α -د ،ھـ (
اﻟﻤﺤﻮر اﻷﻛﺒﺮ
اﻟﻤﺤﻮر اﻷﺻﻐﺮ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(
)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
ص=٠
س=٠
)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(
)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
س=٠
ص=٠
Σ //
Ξ //
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ
) (٠ ، Α
)ﺟـ (٠،
) -ﺟـ (٠،
) (٠ ، Α -
)(Α،٠
٢
٢ س ص١ = ٢ + ٢ ب Α
)س -د(
Α
٢
٢
)ص -ھـ(
Α
٢
+
)ص -ھـ(
٢
+
٢
ب
=١
ب
٢
) د ،ھـ (
=١
) د ،ﺟـ +ھـ ( ) د - ،ﺟـ +ھـ (
* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺒﺆرﺗﯿﻦ = ٢ﺟـ = اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري ٢
= ٢Αب + ٢ﺟـ
) -،٠ﺟـ(
) (Α - ، ٠
) د ،ھـ (
٢
)س -د( ٢
)(٠،٠
)،٠ﺟـ(
ﺣﯿﺚ
، Αب ،ﺟـ : Λ
ص = ھـ
س=د
) د + Α ،ھـ (
Ξ //
Σ //
) د + Α - ،ھـ (
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
س=د
ص = ھـ
* اﻟﺒﻌﺪ اﻷﻛﺒﺮ = Α ٢
* اﻟﺒﻌﺪ اﻷﺻﻐﺮ = ٢ب
٦٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(١ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﮭﺬا اﻟﻘﻄﻊ ،ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ س ) ٢ﻣﺜﻼُ ( ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ً ) ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ص ٢ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ً ) ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي . (٢ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻷﻛﺒﺮ ) ﺗﻘﻊ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ( ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د ،ھـ ،أ ،ب ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت .
اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض اﻟﻤﺮﻛﺰ
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ
)اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺒﺆري(
اﻟﺒﺆرﺗﺎن
اﻟﺮأﺳﺎن
) ﺟـ ( ٠ ،
)(٠،Α
) -ﺟـ ( ٠ ،
)( ٠ ، Α -
) ،٠ﺟـ (
)(Α،٠
) - ،٠ﺟـ (
) (Α - ، ٠
)ﺟـ +د ،ھـ (
) + Αد ،ھـ (
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
٢
س- ٢ Α
٢
ص- ٢ Α
٢
ص =٢ ب ٢
س= ٢ ب
)(٠،٠
١
١
)(٠،٠
٢
)س -د() ٢ص -ھـ( - ٢Αب= ٢
١
) د ،ھـ (
) -ﺟـ +د ،ھـ (
) + Α -د ،ھـ (
اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺮاﻓﻖ وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(
)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
ص=٠
س=٠
)ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات(
)ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت(
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
س=٠
ص=٠
Σ //
Ξ //
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
ص = ھـ
س=د
اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ
٦٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
٢
)ص٢ -ھـ( - Α
٢
)س -د( = ٢ ب
) د ،ھـ (
١
) د ،ﺟـ +ھـ ( ) د - ،ﺟـ +ھـ (
) د + Α ،ھـ (
Ξ //
Σ //
) د + Α - ،ھـ (
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
وﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ
س=د
ص = ھـ
٢
ﺟـ = ٢بΑ + ٢
* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺮأﺳﯿﻦ = Α ٢
* اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺒﺆرﺗﯿﻦ = ٢ﺟـ = اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري
ﺣﯿﺚ
، Αب ،ﺟـ : Λ
* ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻟﮭﺬا اﻟﻘﻄﻊ ،ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ س ) ٢ﻣﺜﻼً ( ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً ) ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﻲ .أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺬي ﯾﺤﻮي اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ص ٢ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً )ﻣﻨﻄﺒﻘﺎً ( ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي . * ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ :ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺴﺘﻌﺮض ) ﺗﻘﻊ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ( ﺛﻢ إﯾﺠﺎد د ،ه ،أ ،ب ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت .
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﺼﻮرة :
0س +٢بَ س ص +ﺟـَ ص + ٢دَ س +ھـَ ص +وَ= ٠ ﺗُﻤﺜـﻞ
ﻗﻄﻌﺎً ﻣﻜﺎﻓﺌًﺎ إذا ﻛﺎن ×0ﺟـَ = ٠
ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ،0ﺟـَ أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﺴﺎوي اﻟﺼﻔﺮ
ﻗﻄﻌﺎً ﻧﺎﻗﺼﺎً إذا ﻛﺎن ×0ﺟـَ < ٠
ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ،0ﺟـَ ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻹﺷﺎرة
ﻗﻄﻌﺎً زاﺋﺪًا إذا ﻛﺎن ×0ﺟـَ > ٠
ﺑﻤﻌﻨﻰ أن ،0ﺟـَ ﻟﮭﻤﺎ إﺷﺎرﺗﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ
٦٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
٧٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺮاﺑﻊ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿﺔ ﻋﻠ ﻢ اﻟﮭﻨﺪﺳ ﺔ اﻟﻔﺮاﻏﯿ ﺔ ﯾﺒﻨ ﻰ ﻋﻠ ﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﺔ ﻣ ﻦ اﻟﻤ ﺴﻠﻤﺎت واﻟﻨﻈﺮﯾ ﺎت واﻟﻨﺘ ﺎﺋﺞ واﻟﺘ ﻲ ﯾﺠ ﺐ اﻟﺘﻌ ﺮف ﻋﻠﯿﮭ ﺎ وﺳﻨﺴﺮد ھﻨﺎ اﻟﻌﺪﯾﺪ ﻣﻨﮭﺎ: (١أي ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﺮاغ ﯾﻤﺮ ﺑﮭﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ واﺣﺪ ﻓﻘﻂ. (٢ﯾﺘﻌﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺑﺜﻼث ﻧﻘﺎط ﻟﯿﺴﺖ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة أو ﻣ ﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻘﺎﻃﻌ ﺎن أو ﻣ ﺴﺘﻘﯿﻢ وﻧﻘﻄ ﺔ ﺧﺎرﺟ ﺔ ﻋﻨﮫ أو ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ. (٣اﻟﻤﺴﺘﻮى ﯾﺤﻮي ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻟﯿﺴﺖ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة (٤اﻟﻤﺴﺘﻮى ھﻮ ذﻟﻚ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺬي إذا اﺧﺘﯿ ﺮت ﻧﻘﻄﺘ ﺎن ﻋﻠﯿ ﮫ ﻓﺎﻟﻤ ﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤ ﺎر ﺑﮭﻤ ﺎ ﯾﻘ ﻊ ﺑﺄﻛﻤﻠ ﮫ ﻓ ﻲ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى )ﻣﻨﻄﺒﻖ ﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻟﺴﻄﺢ(. (٥إذا اﺷﺘﺮك ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ وﻣﺴﺘﻮى ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻓﺎﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻘﻊ ﺑﻜﺎﻣﻠﮫ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى. (٦ﯾﺘﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺎن ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻌﺮف ﺑﺨﻂ ﺗﻘﺎﻃﻌﮭﻤﺎ اﻟﻤﺸﺘﺮك. (٧إذا اﺷﺘﺮك ﻣﺴﺘﻮﯾﺎن ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻼ ﺑﺪ أن ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺗﻘﺎﻃﻌﮭﻤﺎ وﻻ ﺑﺪ ﻣﻦ أﻧﮭﻤﺎ ﻣﺘﻘﻄﻌﺎن.. (٨ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎرج ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻻ ﯾﻤﻜﻦ رﺳﻢ إﻻ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ واﺣﺪ ﯾﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻔﺮوض (٩اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻠﺬان ﻻ ﯾﻠﺘﻘﯿﺎن أﻣﺎ أن ﯾﻜﻮﻧﺎ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ إذا ﺟﻤﻌﮭﻤﺎ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ وإﻻ ﻓﺈﻧﮭﻤﺎ ﻣﺘﺨﺎﻟﻔﺎن (١٠ﺗﻘﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ اﻟﻤﺘﺨﺎﻟﻔﯿﻦ ﺑﺮﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻮازي أﺣﺪھﻤﺎ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ )أﺗﻔ ﻖ ﻋﻠ ﻰ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺤﺎدة( . (١١إذا اﺷﺘﺮك ﻣﺴﺘﻮﯾﺎن ﻓﻲ ﺛﻼث ﻧﻘﺎط ﻟﯿﺴﺖ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة ﻓﺈﻧﮭﻤﺎ ﻣﻨﻄﺒﻘﺎن. (١٢اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ﯾﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻮى س إذا ﻛﺎن ل ∩ س = Фأي ﻻ ﯾﻠﺘﻘﯿﺎ (١٣إن ﻟﻢ ﯾﻜﻦ ل //س ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻘﻄﻌﮫ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ب ﻣﺜﻼً. (١٤ﯾﺘﻮازى اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺎن إذا اﺷﺘﺮﻛﺎ ﻓﻲ ﺛﻼث ﻧﻘﺎط )ﻣﻨﻄﺒﻘﺎن( أو ﻻ ﯾﻠﺘﻘﯿﺎ ﻣﮭﻤﺎ اﻣﺘﺪا ) س ∩ ص = ( . (١٥إذا وازى ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ل ﺧﺎرج اﻟﻤﺴﺘﻮى س ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎً ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى س ﻓﺈن ل //س. (١٦إذا وازى ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ل ﻣﺴﺘﻮى س ﻓﻜﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ل ﯾﻘﻄﻊ اﻟﻤﺴﺘﻮى س ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ك ﻓﺈن ل //ك. (١٧إذا ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ ﻓﺈن ﺧﻄﺎ ﺗﻘﺎﻃﻌﮫ ﻣﻌﮭﻤﺎ ﻣﺘﻮازﯾﺎن. (١٨اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮﯾﯿﮭﻤﺎ أو ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻌﮭﻤﺎ. (١٩اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻌﻤﻮدﯾﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى واﺣﺪ ﻣﺘﻮازﯾﺎن. (٢٠اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﺘﻮازﯾﺎن إذا ﻛﺎن أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻓﺎﻵﺧﺮ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﯿﮫ. (٢١إذا ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻓﺎﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﺑﺄﺣﺪھﻤﺎ ﯾﻜﻮن ﻣﻮازﯾﺎً اﻵﺧﺮ (٢٢إذا ﻗﻄﻌ ﺖ ﺛﻼﺛ ﺔ ﻣ ﺴﺘﻮﯾﺎت ﻣﺘﻮازﯾ ﺔ ﺑﻤ ﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻓ ﺈن أﻃ ﻮال اﻟﻘﻄ ﻊ اﻟﻤ ﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤ ﺼﻮرة ﺑﯿﻨﮭﻤ ﺎ ﺗﻜ ﻮن ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ. (٢٣اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن اﻟﻤﻮازﯾﺎن ﻟﺜﺎﻟﺚ ﻓﻲ اﻟﻔﺮاغ ﻣﺘﻮازﯾﺎن. (٢٤إذا ﻣﺮ ﻣﺴﺘﻮﯾﺎن ﺑﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ ﻓﺈن ﺧﻂ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﯿﻦ ﯾﻮازي ﻛﻼً ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ اﻟﻤﺘﻮازﯾﯿﻦ. (٢٥إذا وازى ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ آﺧﺮﯾﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﯿﻦ ﻓﺎﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ اﻷوﻟﯿﯿﻦ ﻣﺴﺎوﯾﺔ ﻟﻠﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻵﺧﺮﯾﻦ أو ﻣﻜﻤﻠﺔ ﻟﮭﺎ. (٢٦إذا ﻛﺎن ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻓﻜﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﯾﻤﺮ ﺑﮭﺬا اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدﯾﺎً ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى. (٢٧إذا ﺗﻌﺎﻣ ﺪ ﻣ ﺴﺘﻮﯾﺎن ووﺟ ﺪ ﻣ ﺴﺘﻘﯿﻢ ﻓ ﻲ أﺣ ﺪھﻤﺎ ﻋﻤ ﻮدي ﻋﻠ ﻰ ﺧ ﻂ ﺗﻘﺎﻃﻌﮭﻤ ﺎ ﻓﺈﻧ ﮫ ﯾﻜ ﻮن ﻋﻤ ﻮدي ﻋﻠ ﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ. (٢٨اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺎن اﻟﻤﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻋﻤﻮدان ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﺛﺎﻟﺚ ﻓﺈن ﺧﻂ ﺗﻘﺎﻃﻌﮭﻤﺎ ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدﯾﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺜﺎﻟﺚ. (٢٩ﺗﻌ ﺮف اﻟﺰاوﯾ ﺔ ﺑ ﯿﻦ ﻣ ﺴﺘﻮﯾﯿﻦ ﺑﺎﻟﺰاوﯾ ﺔ اﻟﺰوﺟﯿ ﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤ ﺎ وﺗﻘ ﺎس ﺑﺎﻟﺰاوﯾ ﺔ اﻟﻤﺤ ﺼﻮرة ﺑ ﯿﻦ اﻟﻌﻤ ﻮدﯾﻦ اﻟﻤﻘﺎﻣﯿﻦ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺗﻘﺎﻃﻌﮭﻤﺎ. (٣٠إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺰوﺟﯿﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺴﺘﻮﯾﯿﻦ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﻛﺎن اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﯾﻦ ،واﻟﻌﻜﺲ ﺻﺤﯿﺢ. ٧٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
) ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﺤﻴﻄﺎﺕ (
ﻭﻻ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺔ ً ½ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ – ١اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ= ½ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺃﻱ ﺿﻠﻌﲔ × ﺟﺎ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﶈﺼﻮﺭﺓ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ح ) ح – أ َ ) ح –بَ ( ) ح – ﺣـَ ﺣﻴﺚ ﺡ = ﻧﺼﻒ ﺍﶈﻴﻂ ﺃ َ ﻃﻮﻝ (ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺃ
أ
ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﺍﳌﺘﻄﺎﺑﻖ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ =
٣ﻝ
٢
ﺣﯿﺚ ل ﻃﻮل ﺿﻠﻌﮫ
بَ
ﺟـَ
٤
ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ = ﻣﺠﻤﻮع أﻃﻮال أﺿﻼﻋﮫ ب
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ = ل -٢اﻟﻤﺮﺑﻊ اﻟﻤﺤﯿﻂ = × ٤ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ
٢
ﺟـ
أ
) ﺣﯿﺚ ل ﻃﻮل ﺿﻠﻌﮫ ( س ص
-٣اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻞ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ = اﻟﻄﻮل × اﻟﻌﺮض = س × ص اﻟﻤﺤﯿﻂ = ) ٢اﻟﻄﻮل +اﻟﻌﺮض ( = ) ٢س +ص ( اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ = اﻟﻘﺎﻋﺪة × اﻻرﺗﻔﺎع - ٤اﻟﻤﻌﯿﻦ = ½ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻃﻮﻟﻲ ﻗﻄﺮﯾﮫ اﻟﻤﺤﯿﻂ = × ٤ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ
اﻷﻛﺒﺮ اﻷﺻﻐﺮ
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ = اﻟﻘﺎﻋﺪة × اﻻرﺗﻔﺎع – ٥ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع اﻟﻤﺤﯿﻂ = ) ٢ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻷﻛﺒﺮ +ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻷﺻﻔﺮ ( – ٦ﺷﺒﮫ اﻟﻤﻨﺤﺮف اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ= ½ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ × اﻻرﺗﻔﺎع = اﻟﻘﺎﻋﺪة اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ × اﻻرﺗﻔﺎع ﻣﺤﯿﻂ ﺷﺒﮫ اﻟﻤﻨﺤﺮف = ﻣﺠﻤﻮع أﻃﻮال أﺿﻼﻋﮫ
– ٧ﻣﺴﺎﺣﺔ أي ﺷﻜﻞ رﺑﺎﻋﻲ = ½ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻃﻮﻻ ﻗﻄﺮﯾﻦ × ﺣﺎ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺤﺼﻮرة ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ٧١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
– ٨ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ اﻟﻤﻀﻠﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ = ﻥ ﻝ ٢ﻇﺎ ﻫـ ) ٨ﻫـ = )ﻥ – ( ١٨٠ × (٢ ن ن ٤ ) ﻥ ﻋﺪﺩ ﺃﺿﻼﻉ ﻝ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻀﻠﻊ ( = ﻥ ﻝ ٢ﻇﺘﺎ ١٨٠ ن ٤ = ﻥ ﻧﻖ ٢ﺟﺎ ) ( ٣٦٠ ن ٢ ﺣﻴﺚ ﻧﻖ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﳌﺎﺭﺓ ﺑﺮﺅﻭﺳﻪ -٩اﻟﻤﻜﻌﺐ ﺣﺠﻤﻪ = ﻝ -١٠اﻟﺪاﺋﺮة
٣
ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ = ٦ﻝ ٢ﺣﻴﺚ ﻝ ﻃﻮﻝ ﺣﺮﻓﻪ ) ﺿﻠﻌﻪ ( ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ = ﻁ ﻧﻖ
٢
ﺍﶈﻴﻂ = ٢ﻁ ﻧﻖ ﺣﻴﺚ ﻧﻖ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮ ﻁ = ٢٢ﺃﻭ ٣,١٤ ٧ - ١١ﻗﺎﻋﺪة ھﺎﻣﺔ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮل اﻟﻮﺗﺮ ﯾﺴﺎوي ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺮﺑﻌﻰ ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ اﻵﺧﺮﯾﻦ
| ﺃ ﺝ | | = ٢ﺃ ﺏ | | + ٢ﺏ ﺝ |
٢
-١٢اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﺜﻼﺛﻲ اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ ٣٠
٢
٣
٦٠ ١
-١٣اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻖ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ ٤٥ ٢ ٤٥
١ ١
٧٢
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻤﻨﺸﻮر ﺗﻌﺮﯾﻔ ﮫ -:ھ ﻮ ﻛﺜﯿﺮوﺟ ﻮه ﻟ ﮫ ﻗﺎﻋ ﺪﺗﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺘ ﺎن وﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺘ ﺎن وﻛ ﻞ ﻣﻨﮭﻤ ﺎ ﻣ ﻀﻠﻊ واﻷوﺟ ﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿ ﺔ ﻣﺘﻮازﯾ ﺎت أﺿﻼع ﻣﻼﺣﻈﺎت – ١اﻷﺣﺮف اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻟﻠﻤﻨﺸﻮر ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ اﻟﻄﻮل وﻣﺘﻮازﯾﺔ . – ٢ﯾﺴﻤﻰ اﻟﻤﻨﺸﻮر ﺣﺴﺐ ﻋﺪد أﺿﻼع اﻟﻘﺎﻋﺪة . – ٣ارﺗﻔﺎع اﻟﻤﻨﺸﻮر :ھﻮ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ ﻗﺎﻋﺪﺗﯿﮫ أو اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻛﻼً ﻣﻦ ﻗﺎﻋﺪﺗﯿﮫ . - ٤اﻟﻤﻨﺸﻮر اﻟﻘﺎﺋﻢ :ﺗﻜﻮن اﻷﺣﺮف اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ اﻻرﺗﻔﺎع ﯾﺴﺎوي اﻟﺤﺮف اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ واﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺴﺘﻄﯿﻼت . – ٥اﻟﻤﻨﺸﻮر اﻟﻤﺎﺋﻞ :ھﻮ اﻟﺬي ﺗﻜﻮن اﻷﺣﺮف اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺎﺋﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻋﺪﺗﯿﮫ واﻻرﺗﻔﺎع = ﻃﻮل اﻟﺤﺮف × ﺣﺎھـ ) ھـ زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻷﺣﺮف ﻋﻠﻰ اﻟﻘﺎﻋﺪة ( ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻘﺎﺋﻢ :ھﻮ ﺳﻄﺢ ﻧﺎﺗﺞ ﻋﻦ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻮ ﯾﻌﺎﻣﺪ أﺣﺮف اﻟﻤﻨﺸﻮر ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ :إذا ﻗﻄﻊ ﻣﻨﺸﻮر ﺑﻤﺴﺘﻮى ﯾﻮازي أﺣﺪ أﺣﺮﻓﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ) أو أﺣﺪ أوﺟﮭﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻓﺈن اﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﺗﺞ ﯾﻜﻮن ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ( ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﻨﺸﻮر – ١إذا ﻛﺎن اﻟﻤﻨﺸﻮر رﺑﺎﻋﻲ ﻗﺎﺋﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﺳﻤﻰ ﻣﺘﻮازي ﻣﺴﺘﻄﯿﻼت -٢إذا ﻛﺎن اﻟﻤﻨﺸﻮر رﺑﺎﻋﻲ ﻣﺎﺋﻞ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﺳﻤﻰ ﻣﺘﻮازي ﺳﻄﻮح -٣إذا ﻛﺎن اﻟﻤﻨﺸﻮر رﺑﺎﻋﻲ ﻗﺎﺋﻢ ﺟﻤﯿﻊ أوﺟﮭﮫ ﻣﺮﺑﻌﺎت ) أو أﺣﺮﻓﮫ ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ( ﺳﻤﻰ ﻣﻜﻌﺐ
ﻣﻠﺨﺺ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻟﻤﻨﺸﻮﺭ اﻟﻤﺠﺴﻢ اﻟﻤﻨﺸﻮر اﻟﻤﻨﺸﻮر اﻟﻘﺎﺋﻢ
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﯿﺔ + ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺘﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ + ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺘﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت أوﺟﮫ أو ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻘﺎﺋﻢ × ﻃﻮل اﻟﺤﺮف اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة × اﻻرﺗﻔﺎع
اﻟﺤﺠﻢ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻘﺎﺋﻢ × ﻃﻮل اﻟﺤﺮف اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة × اﻻرﺗﻔﺎع
ﲤــﺎﺭﻳﻦ – ١أو ﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺨﻤﺎﺳﻲ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ اﻟﺬي ﻃﻮل ﺿﻠﻌﮫ ل ﺳﻢ ؟ ﺍﳊﻞ-: ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻀﻠﻊ ﺍﳌﻨﺘﻈﻢ = ﻥ × ﻝ × ٢ﻇﺘﺎ ١٨٠ ن ٤ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳋﻤﺎﺳﻲ ﺍﳌﻨﺘﻈﻢ = ٥ﻝ ٢ﻇﺘﺎ ١٨٠ ٤
ن ٧٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻩ
= ٥ﻝ ٢ﻇﺘﺎ ٣٦ ٤ = ٥ﻝ ٢ﻇﺎ ٥٤ ٤
ﻣﺘﻤﻤﺔ
ﻩ
٢
= ١,٧٢ﻝ ٢ﺳﻢ
– ٢أﺣﺴﺐ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ واﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻤﻨﺸﻮر ﺧﻤﺎﺳﻲ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻃﻮل ﺿﻠﻊ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ١٠ﺳﻢ وارﺗﻔﺎﻋﮫ ٢٥ﺳﻢ ؟ ﺍﳊﻞ -: ٢٥
ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ) ﲬﺎﺳﻲ ﻣﻨﺘﻈﻢ ( = ﻥ ﻝ ٢ﻇﺘﺎ × ١٠٠ × ٥ = ١٨٠ﻇﺘﺎ ١٨٠ ٥ ٤ ٥ = ١٢٥ﻇﺘﺎ ٣٦ﻩ = ١٢٥ﻇﺎ ٥٤ﻩ ٤ = ١٧٢ﺳﻢ
٢
ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ = ﳏﻴﻂ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﻃﻮﻝ ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ = ) ١٢٥٠ = ٢٥ × ( ١٠ × ٥ﺳﻢ
٢
ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ = ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ × ٢ +ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ = ١٧٢ × ٢ + ١٢٥٠
= ٣٤٤ + ١٢٥٠
= ١٥٩٤ﺳﻢ
٢
-٣ﻣﻨﺸﻮر ﺛﻼﺛﻲ ﻣﺎﺋﻞ ﻃﻮل ﺣﺮﻓﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ٦ﺳﻢ وﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﺜﻠﺚ اﺿﻼﻋﮫ ١٣ﺳﻢ ، ١٢ﺳﻢ ٥ ،ﺳﻢ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﻜﻠﯿﺔ ٢٤٠ﺳﻢ ٢ﻓﻜﻢ ﻣﺤﯿﻂ ﻣﻘﻄﻌﮫ اﻟﻘﺎﺋﻢ ؟ ﺍﳊﻞ -: ) ( ١٣ ) = ١٦٩ = ٢٥ + ١٤٤ = ٢( ٥ ) + ٢( ١٢
٢
ﺍﳌﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ) ﺍﳌﺜﻠﺚ ( = ½ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ =½ × ٣٠ = ١٢ × ٥ﺳﻢ
٢
ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ = ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ × ٢ +ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ = ٢٤٠ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ ٦٠ +
١٣
١٢ ٥
٧٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ = ١٨٠ = ٦٠ – ٢٤٠ﺳﻢ
٢
ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ ﳌﻨﺸﻮﺭ ﻣﺎﺋﻞ = ﳏﻴﻂ ﺍﳌﻘﻄﻊ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ × ﻃﻮﻝ ﺍﳊﺮﻑ =١٨٠ﳏﻴﻂ ﺍﳌﻘﻄﻊ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ × ٦
ﳏﻴﻂ ﺍﳌﻘﻄﻊ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ = ٣٠ = ١٨٠ ٦
– ٤ﻣﻨﺸﻮر ﻗﺎﺋﻢ ارﺗﻔﺎﻋﮫ ٤ﺳﻢ وﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﻌﯿﻦ ﻗﻄﺮاه ١٢ﺳﻢ ١٦ ،ﺳﻢ .ﻛﻢ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﻜﻠﯿﺔ ؟ ﺍﳊﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ) ﺍﳌﻌﲔ ( = ½ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻃﻮﱄ ﻗﻄﺮﻳﺔ =½ × ٩٦ + ١٦ × ١٢ﺳﻢ
٢
ﻣﻦ ﻓﺜﻴﺎﻏﻮﺭﺕ :ﻝ١٠٠ = ٦٤ + ٣٦ = ٢٨ + ٢٦ = ٢ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ = ﳏﻴﻂ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ = ) ١٦٠ = ٤ × ( ١٠ × ٤ﺳﻢ
٢
ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ = ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ × ٢ +ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ = ٦٩ × ٢ + ١٦٠ = ٣٥٢ﺳﻢ
٢
= ١٩٢ + ١٦٠
ﻝ )ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻊ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ( = ١٠ﺳﻢ ل
٨ ٦
٧٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﮭﺮم ﺗﻌﺮﯾﻔﮫ :ھﻮ ﻛﺜﯿﺮ وﺟﻮه أﺣﺪ وﺟﻮھﮫ ﻣﻀﻠﻊ وﯾﻘﯿﮫ اﻟﻮﺟﻮه ﻣﺜﻠﺜﺎت ﺗﻠﺘﻘﻲ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﮫ واﺣﺪة ھﻲ رأس اﻟﮭﺮم
ﻣﻼﺣﻈﺎت : اﻟﮭﺮم اﻟﻘﺎﺋﻢ ھﻮ ھﺮم ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺧﻮاﺻﮫ -٢ارﺗﻔﺎﻋﮫ ھﻮ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ رأﺳﮫ وﻣﺮﻛﺰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ . – ١ﺟﻤﯿﻊ اﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ . – ٣ارﺗﻔﺎﻋﺎت أوﺟﮭﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﻄﻮل . اﻟﮭﺮم اﻟﺜﻼﺛﻲ ﯾﺴﻤﻰ رﺑﺎﻋﻲ وﺟﻮه وإذا ﻛﺎﻧﺖ ﺣﺮوﻓﮫ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﻄ ﻮل ﺳ ﻤﻰ رﺑ ﺎﻋﻲ وﺟ ﻮه ﻣﻨﺘﻈﻢ . ﻓﻲ رﺑﺎﻋﻲ اﻟﻮﺟﻮه اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ :أوﺟﮭﮫ اﻻرﺑﻌﮫ ) ﺑﻤﺎ ﻓﻲ ذﻟ ﻚ اﻟﻘﺎﻋ ﺪة ( ﻣﺜﻠﺜ ﺎت ﻣﺘﻄﺎﺑﻘ ﺔ اﻷﺿ ﻼع وﺟﻤﯿﻌﮭﺎ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ .
ﻗﻮاﻧﯿﻦ اﻟﮭﺮم اﻟﻤﺠﺴﻢ اﻟﮭﺮم اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﮭﺮم اﻟﻨﺎﻗﺺ
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﯿﺔ ½ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة × اﻻرﺗﻔﺎع اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ½ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ × ارﺗﻔﺎع اﻟﻮﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ + ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ + ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ
اﻟﺤﺠﻢ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة × ٣ اﻻرﺗﻔﺎع ح ١عَ) ق+١ق+ ٢ (٣ﺣﯿﺚ عَ اﻻرﺗﻔﺎع ق ١ق ٢ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ
ق ١ق٢
٧٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﻼﺣﻈﺎت إذا ﻗﻄﻌ ﺖ اﻻﺣ ﺮف اﻟﺠﺎﻧﺒﯿ ﺔ ﻟﻠﮭ ﺮم ﺑﻤ ﺴﺘﻮ //ﻗﺎﻋﺪﺗ ﮫ ﻓ ﺈن اﻟﺠ ﺰء اﻟﻤﺤ ﺼﻮر ﯾﺒ ﯿﻦ ﻗﺎﻋ ﺪة اﻟﮭ ﺮم واﻟﻤﺴﺘﻮي اﻟﻘﺎﻃﻊ ﯾﺴﻤﻰ ھﺮم ﻧﺎﻗﺺ ﻣﺘﻮازي اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ
ﲝﻴﺚ ﺑﺤﯿﺚ
ﻕ) = ١ﻉ – ﻉ( ع٢ ق٢
٢
ق ١ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺼﻐﺮﻯ ق ٢ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻜﱪﻯ ع ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﳍﺮﻡ ﺍﻟﻜﺎﻣﻞ عَ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻨﺎﻗﺺ -١ﻣﺎ ھﻲ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ وﺟﻮه ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻃﻮل ﺣﺮف ل ؟ ﺍﳊﻞ -:ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻮﺟﻪ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ = ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻄﺎﺑﻖ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻌﻪ ﻝ =
ﻝ
٢
٤ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ = × ٤ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻮﺟﻪ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ = ×٤
٤
ﻝ
٢
ﻝ ٢ﺳﻢ
=
٢
– ٢ھﺮم ﺛﻼﺛﻲ ارﺗﻔﺎﻋﮫ ١٥ﺳﻢ وﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﺜﻠﺚ أﺿﻼﻋﮫ ٧ﺳﻢ ١٧ ،ﺳﻢ ٤ ، ﻓﻤﺎ ھﻮ ﺣﺠﻤﮫ ؟ ٢ ﺍﳊﻞ ١٧ = ٢٨٩ = ١٤٠ + ٤٩ = ٢( ١٥ ٤ ) + ٢٧ -: ١٧
ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ = ½ × ١٥ ١٤ = ١٥ ٤× ٧ﺳﻢ
٢
١٥
١٥ ٤
٧
ﺣﺠﻢ ﺍﳍﺮﻡ = ١ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ٣ = ١٥ ٧٠ = ١٥ × ١٥ ١٤ × ١ﺳﻢ ٣
٣
٧٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺍﳊﻞ -:ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ) ﺍﳌﻌﲔ ( = ½ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻃﻮﱄ ﻗﻄﺮﻳﻪ = ½ × ٢٤ = ٨ × ٦ﺳﻢ
٢
ﺣﺠﻢ ﺍﳍﺮﻡ = ١ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ٣ = ١٢٨ = ١٦ × ٢٤ × ١ﺳﻢ ٣
٣
- ٣ﻗﻄ ﻊ ھ ﺮم ﻣ ﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪﺗ ﮫ ١٩٦ﺳ ﻢ ٢ﺑﻤ ﺴﺘﻮي ﯾ ﻮازي اﻟﻘﺎﻋ ﺪة وﯾﺒﻌ ﺪ ﻋﻨﮭ ﺎ ﻣ ﺴﺎﻓﺔ ١٠ﺳ ﻢ إذا ﻛﺎﻧ ﺖ ﻣ ﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﻤﻘﻄ ﻊ اﻟﻨ ﺎﺗﺞ ١٤٤ﺳ ﻢ ٢ﻓﺄﺣ ﺴﺐ ارﺗﻔ ﺎع اﻟﮭ ﺮم وﺣﺠﻤﮫ . ﺍﳊﻞ -:ﻕ ) : ١ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻘﻄﻊ ( = ، ١٤٤ﻕ ) : ٢ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ( = ١٩٦ ﻉ : ﺍﻟﺒﻌﺪ ﺑﲔ ﺍﳌﻘﻄﻊ ﻭﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ = ، ١٠ ﻕ ) = ١ﻉ – ﻉ( ع٢ ق٢
ﻉ :ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﳍﺮﻡ = ؟
) = ١٤٤ﻉ ( ١٠ - ع٢ ١٩٦
٢
ﺑﺄﺧﺬ ﺍﳉﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﻠﻄﺮﻓﲔ = ١٢ﻉ – ١٠ ١٤ ع ٢ﻉ = ١٤٠
١٤ﻉ ١٢ = ١٤٠ -ﻉ
ﻉ = ٧٠ﺳﻢ
ﺣﺠﻢ ﺍﳍﺮﻡ = ١ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ٣ ٣ = ٤٥٧٣,٣ = ٧٠ × ١٩٦ × ١ﺳﻢ ٣ – ٤ﻓﻲ ھﺮم ﻧﺎﻗﺺ اﻻرﺗﻔﺎع ١٢ﺳﻢ واﻟﻘﺎﻋﺪﺗﺎن ﻣﺮﺑﻌﺎن ﺿﻠﮭﺎھﻤﺎ ٦ﺳﻢ ١٦ ،ﺳﻢ أﺣﺴﺐ ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم اﻟﻨﺎﻗﺺ وﻣﺎ ﺣﺠﻢ اﻟﮭﺮم اﻟﻜﺎﻣﻞ ؟ ﺍﳊﻞ -:ﻕ ٣٦ = ١ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺼﻐﲑﺓ ﻕ ٢٥٦ = ٢ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻜﱪﻯ
)ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺮﺑﻊ = ٢ﻝ ﺣﻴﺚ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻌﻪ( ﻉ ١٢ = ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﳍﺮﻡ ﺍﻟﻨﺎﻗﺺ
٧٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺣﺠﻢ ﺍﳍﺮﻡ ﺍﻟﻨﺎﻗﺺ = ١ﻉ ) ﻕ + ١ﻕ +٢ﻕ ١ﻕ( ٢ ٣ ٣ ١٥٥٢ = ٣٨٨ × ٤ = ( ٩٦ + ٢٥٦ + ٣٦ ) ١٢ × ١ﺳﻢ ٣ ٢ ﲜﺬﺭ ﺍﻟﻄﺮﻓﲔ ﻕ ) = ١ﻉ – ﻉ ) = ٣٦ ( ﻉ – ( ١٢ ٢ ع ع٢ ٢٥٦ ق٢ = ٣ﻉ – ١٢ = ٦ﻉ – ١٢ ع ع ٨ ١٦ ٨ﻉ – ٣ = ٩٦ﻉ ⇐ ٥ﻉ = ⇐ ٩٦ﻉ = ١٩,٢ ٩٦ﺳﻢ ٥ ﺣﺠﻢ ﺍﳍﺮﻡ = ١ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ × ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ٣ ٣ ﺍﻟﻜﺎﻣﻞ = ١٦٣,٤ = ١٩,٢ × ٢٥٦ × ١ﺳﻢ – ٥ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ٣ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﳍﺮﻡ ﺳﺪﺍﺳﻲ ﻧﺎﻗﺺ ﻭﻗﺎﺋﻢ ٢٧٦ﺳﻢ ٢ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻃﻮﻻ ﺿﻠﻌﻲ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ٦ﺳﻢ ، ٨ﺳﻢ ،ﺃﺣﺴﺐ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻮﺟﻪ ﺍﳉﺎﻧﱯ ﺍﳊﻞ -:ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺴﺪﺍﺳﻲ ﺍﳌﻨﺘﻈﻢ = ﻥ ﻝ ٢ﻇﺘﺎ ١٨٠ ن ) ﻝ = ٦ﺳﻢ ( ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪ ﺍﻟﺼﻐﺮﻯ ﻕ × ٣٦٤× ٦ = ١ﻇﺘﺎ ١٨٠ ٦ ٤ ﻩ = ٥٤ﻇﺘﺎ ٣٠ﻩ = ٥٤ﻇﺎ ٦٠ ﻥ=٦
=٥٤
ﺳﻢ
٢
) ﻝ = ٨ﺳﻢ (
ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﻜﱪﻯ ﻕ × ٦٤ × ٦ = ٢ﻇﺘﺎ ١٨٠ ٦ ٤ ٢ = ٩٦ﻇﺘﺎ ٩٦ = ٣٠ﻇﺎ ٩٦ = ٦٠ﺳﻢ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻟﻠﻬﺮﻡ ﺍﻟﺴﺪﺍﺳﻲ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﺍﻟﻨﺎﻗﺺ = ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ +ﳎﻤﻮﻉ ﻣﺴﺎﺣﱵ ﻗﺎﻋﺪﺗﻴﻪ = ٣ ٢٧٦ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ ٣ ٩٦ + ٣ ٥٤ + ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ = ٣ ١٥٠ - ٣ ٢٦٧ = ٣ ١٢٦ﺳﻢ٢ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ = ½ ﳎﻤﻮﻉ ﳏﻴﻄﻲ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺗﲔ × ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻮﺟﻪ ﺍﳉﺎﻧﱯ ١٢٦
× ( ٨ × ٦ = ٦ × ٦ ) ½ = ٣ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻮﺟﻪ ﺍﳉﺎﻧﱯ
× ٤٢ = ٣ ١٢٦ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻮﺟﻪ ﺍﳉﺎﻧﱯ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻮﺟﻪ ﺍﳉﺎﻧﱯ = ٣ ١٢٦
= ٣ ٣ﺳﻢ ٧٩
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
٤٢
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ واﻟﻤﺨﺮوط
أوﻻً اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ : ﺗﻌﺮﯾﻒ -:ھﻲ اﻟﺠﺴﻢ اﻟﺬي ﯾﺘﻮﻟﺪ ﻣﻦ دوران ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ دوره ﻛﺎﻣﻠﺔ ﺣﻮل أﺣﺪ أﺿﻼﻋﮫ .
ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ -١إذا ﻗﻄﻌﺖ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﺑﻤﺴﺘﻮ ﯾﻮازي اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻓﺎﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﺗﺞ ھﻮ ﻗﺮص داﺋﺮي ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ ﺗﺴﺎوي ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة -٢إذا ﻗﻄﻌﺖ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﺑﻤﺴﺘﻮ ﯾﺤﺘﻮي ﻣﺤﻮرھﺎ ﻓﺎﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﺗﺞ ھﻮ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ )٢رع ( ﺣﯿﺚ ر ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ ،ع ارﺗﻔﺎﻋﮭﺎ . ﺛﺎﻧﯿﺎً :اﻟﻤﺨﺮوط -: ﺗﻌﺮﯾﻔﮫ :ھﻮ ﺟﺴﻢ ﻟﮫ ﻗﺎﻋﺪة ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ﺳﻄﺢ ﻣﺴﺘﻮ داﺋﺮي وﺳﻄﺤﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ أﻣﻠﺲ ﻏﯿﺮ ﻣﺴﺘﻮ واﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ -:ﯾﺘﻮﻟﺪ ﻣﻦ دوران ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ دورة ﻛﺎﻣﻠﺔ ﺣﻮل أﺣﺪ ﺿﻠﻌﻲ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ .أو ﻣﻦ دوران ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوى اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ دورة ﻛﺎﻣﻠﺔ ﺣﻮل ارﺗﻔﺎﻋﮫ
ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ -: -١إذا ﻗﻄﻊ اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ ﺑﻤﻘﻄﻊ ﯾﻮازي اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻓﺎﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﺗﺞ ھﻮ ﻗﺮص داﺋﺮي ﺗﺘﺤﺪد ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ :ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻘﻄﻊ = ) ع – عَ (
٢
٢
ع
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة
ﺣﯿﺚ عَ ھﻲ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﻘﻄﻊ واﻟﻘﺎﻋﺪة ) ارﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﻨﺎﻗﺺ ( – ١إذا ﻗﻄﻊ اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ ﺑﻤﺴﺘﻮ ﯾﺤﺘﻮي اﻟﻤﺤﻮر ﻓﺎﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﺗﺞ ھ ﻮ ﻣﺜﻠ ﺚ ﻣﺘﻄ ﺎﺑﻖ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ ﺗﺴﺎوي ½ ر ع
٨٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﻠﺨﺺ ﻗﻮاﻧﯿﻦ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ واﻟﻤﺨﺮوط اﻟﻤﺠﺴﻢ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﻨﺎﻗﺺ
اﻟﺤﺠﻢ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة × اﻻرﺗﻔﺎع = ط ر× ٢ ع
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ + ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة × ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺘﻲ اﻻرﺗﻔﺎع = ٢ط ر ع اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ ٢ط ر ع +ط ٢ ر اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ + ½ ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة × ١ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة × ﻃﻮل اﻟﺮاﺳﻢ = ط ر ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة = ط رع ٣ ٢ +ط ر٢ ل اﻻرﺗﻔﺎع = ١ط ر ع ½ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺤﯿﻄﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ × ﻃﻮل اﻟﺮاﺳﻢ ط )ر+١ر( ٢ل ﺣﯿﺚ ر،١ر ٢ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮي ﻗﺎﻋﺪﺗﯿﮫ ع ارﺗﻔﺎﻋﮫ ل ﻃﻮل راﺳﻤﮫ
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ + ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ
٣
١ط ع ) ٢ر+ ١ ٢ ٣ر+ ٢ر١ر( ٢
– ١ﻃﻮل أﻧﺒﻮﺑﺔ ﻣﻌﺪﻧﯿﺔ ﻋﻠﻰ ھﯿﺌﺔ اﺳﻄﻮاﻧﺔ داﺋﺮﯾﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ أ م .إذا ﻛﺎن ﻗﻄﺮھﺎ اﻟﺨﺎرﺟﻲ ٤٠ ﺳﻢ و اﻟﺪاﺧﻠﻲ ٣٠ﺳﻢ .ﻓﻤﺎ ﺣﺠﻢ اﻟﻤﻌﺪن ؟ اﻟﺤﻞ -:ﺣﺠﻢ اﻟﻤﻌﺪن = ﺣﺠﻢ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺨﺎرﺟﯿﺔ – ﺣﺠﻢ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﺪاﺧﻠﯿﺔ = ط ر ٢ع – ط ر ٢ع ١ – ١٠٠ط ) ١٠٠ × ٢( ١٥ = ط ) × ( ٢٠ ٢ = ط × – ١٠٠ × ٤٠٠ط × ١٠٠ × ٢٢٥ ٣ = ٤٠٠٠٠ط – ٢٢٥٠٠ط = ١٧٥٠٠ط ﺳﻢ – ٢ﻗﻄﻌﺖ اﺳﻄﻮاﻧﺔ داﺋﺮﯾﺔ ﻗﺎﺋﻤ ﺔ ارﺗﻔﺎﻋﮭ ﺎ ٣٨ﺳ ﻢ ﺑﻤ ﺴﺘﻮ ﯾﻤ ﺮ ﺑﻤﺤﻮرھ ﺎ م ن ﻓﻜﺎﻧ ﺖ ﻣ ﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﺗﺞ ٥٣٢ﺳﻢ . ٢أﺣﺴﺐ ﺣﺠﻢ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ وﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺤﮭﺎ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ) ط = ( ٢٢؟ اﻟﺤﻞ -:اﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﺗﺞ ھﻮ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ ٢ر ع ٧ ⇐٣٨ × ٢ر = ٧٦ ⇐ ٥٣٢ر = ⇐ ٥٣٢ر = ٧ = ٥٣٢ﺳﻢ
٧٦
ﺣﺠﻢ اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ = ط ر ٢ع = ٥٨٥٢ = ٣٨ × ٤٩ × ٢٢ﺳﻢ
٧
٣
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ = ٢ط ر ع = ع × ١٦٧٢ = ٣٨ × ٧ × ٢٢ﺳﻢ
٢
٧ ٨١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
– ٣ﻓﻲ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮي ﻗﺎﺋﻢ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻘﺎﻋﺪة ٨ﺳﻢ وﻃﻮل اﻟﺮاﺳﻢ ١٧ﺳﻢ أﺣﺴﺐ اﻟﺤﺠﻢ واﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﯿﺔ . ﺍﳊﻞ - :ﻣﻦ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺙ ﻉ٦٤ – ٢٨٩ = ٢٨ – ٢١٧ = ٢ = ٢٥٥
⇐
ﻉ = ١٥ = ٢٢٥ﺳﻢ ﺣﺠﻢ ﺍﳌﺨﺮﻭﻁ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ = ١ﻁ ﺭ ٢ﻉ ٣ ٣ = ١ﻁ × ٣٢٠ = ١٥ × ٦٤ﻁ ﺳﻢ ٣ ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ = ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ +ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ٢ = ﻁﺭﻝ +ﻁﺭ = ﻁ × + ١٧ × ٨ﻁ × ١٣٦ = ٦٤ﻁ ٦٤ +ﻁ = ٢٠٠ﻁ ﺳﻢ
٢
ﺍﻟﻜﺮﻩ ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﻜﺮه -:ھﻲ ﺟﺴﻢ ﻣﺤﺪود ﺑﺴﻄﺢ ﻣﻨﺤﻨﻲ ﻣﻘﻔﻞ ﺟﻤﯿﻊ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ أﺑﻌﺎد ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ ) م ( ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﺮﻛﺰ . )) وﯾﺴﻤﻰ اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺜﺎﺑﺖ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻜﺮه ورﻣﺰه ر (( اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻜﺮوﯾﺔ -:ھﻮ اﻟﺠﺰء اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ ﻣﺴﺘﻮﯾﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﯿﻦ ﻗﻄﻌﺎ اﻟﻜﺮه وارﺗﻔﺎﻋﮭﺎ ) ع ( ھﻮ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﯿﻦ اﻟﻘﺒﺔ اﻟﻜﺮوﯾﺔ :إذا ﻗﻄﻌﺖ اﻟﻜﺮة ﺑﻤﺴﺘﻮ ﻓﺈن ﻛﻼً ﻣﻦ اﻟﺠﺰأﯾﻦ اﻟﻨﺎﺗﺠﯿﻦ ﯾﺴﻤﻰ ﻗﺒﺔ ﻛﺮوﯾﺔ . اﻟﻘﻄﺎع اﻟﻜﺮوي ھﻮ ﺟﺰء ﻣﻦ ﻛﺮه ﻣﻜﻮن ﻣﻦ ﻗﺒﺔ ﻛﺮوﯾﺔ وﻣﺨﺮوط داﺋﺮي ﻗﺎﺋﻢ رأﺳﮫ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻜﺮه وﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ھﻮ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻘﺒﺔ
٨٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻤﺠﺴﻢ
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ
اﻟﻜﺮه اﻟﻘﺒﺔ اﻟﻜﺮوﯾﺔ
٢طرع
اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻜﺮوﯾﺔ
٢طرع
٣
٤طر ٣ ١ط ع٣ )٢ر – ع ( ٣ ھﻮ اﻟﻔﺮق ﺑﯿﻦ ﺣﺠﻢ ﻗﯿﻦ
٢
٤طر
اﻟﺤﺠﻢ
ﻣﻼﺣﻈﺎت ﻓﻲ ﺟﻤﯿﻊ اﻟﻘﻮاﺳﯿﻦ ھـ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻜﺮه
ﻗﺒﮫ ﻛﺮوﯾﮫ ارﺗﻔﺎﻋﮭﺎ ٢ﺳﻢ وﻃﻮل ﻗﻄﺮھﺎ ٨ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻣﺎ ﯾﻠﻲ -: – ٢ﺣﺠﻢ اﻟﻘﺒﺔ اﻟﻜﺮوﯾﺔ – ١ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺒﺔ اﻟﻜﺮوﯾﺔ ﺍﳊﻞ -: ﺣﺴﺐ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺕ :
٢ﺭ = ) + ٢٤ﺭ ( ٢ -
٢
٢ﺭ = ٢ + ١٦ﺭ – ٤ﺭ ٤ + ⇐٤ﺭ = ٢٠
⇐
ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻘﺒﺔ ﺍﻟﻜﺮﻭﻳﺔ = ٢ﻁ ﺭ ﻉ
) ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﺍﻟﻜﺮﻩ (
ﺭ=٥
= ٢ﻁ × ٢٠ = ٢ × ٥ﻁ ﺳﻢ
٢
١#
ﺣﺠﻢ ﺍﻟﻘﺒﺔ ﺍﻟﻜﺮﻭﻳﺔ = ﻁ ﻉ٣ ) ٢ﺭ – ﻉ ( ٣ = ﻁ × ( ٢ – ١٥ ) ٤ ٣ = ﻁ × ٥٢ = ١٣ × ٤ﻁ ﺳﻢ ٣ ٣
٣
٢#
٨٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﺒﺎب اﻟﺜﺎﻟﺚ )اﻟﺠَﺒْﺮ( ﺟَﺒْﺮ ﻛﻠﻤﺔ ﻋﺮﺑﯿﺔ وھﻮ ﻓﺮع ﻣﻦ ﻋﻠﻢ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت وﺟﺎء اﺳﻤﮫ ﻣﻦ ﻛﺘﺎب ﻋﺎﻟﻢ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت واﻟﻔﻠﻚ واﻟﺮﺣﺎﻟﺔ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻣﻮﺳﻰ اﻟﺨﻮرازﻣﻲ )اﻟﻜﺘﺎب اﻟﻤﺨﺘﺼﺮ ﻓﻲ ﺣﺴﺎب اﻟﺠﺒﺮ واﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ( اﻟﺬي ﻗﺪم اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻨﻈﻢ إﯾﺠﺎد ﺣﻠﻮل ﻟﻠﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺨﻄﯿﺔ واﻟﺘﺮﺑﯿﻌﯿﺔ. وﯾﺸﻜﻞ ﻋﻠﻢ اﻟﺠﺒﺮ أﺣﺪ اﻟﻔﺮوع اﻟﺜﻼﺛﺔ اﻷﺳﺎﺳﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت إﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ واﻟﺘﺤﻠﯿﻞ اﻟﺮﯾﺎﺿﻲ وﻧﻈﺮﯾﺔ اﻷﻋﺪاد واﻟﺘﺒﺎدﯾﻞ واﻟﺘﻮاﻓﯿﻖ .وﯾﮭﺘﻢ ھﺬا اﻟﻌﻠﻢ ﺑﺪراﺳﺔ اﻟﺒﻨﻲ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ واﻟﺘﻤﺎﺛﻼت ﺑﯿﻨﮭﺎ ،واﻟﻌﻼﻗﺎت واﻟﻜﻤﯿﺎت. واﻟﺠﺒﺮ ھﻮ ﻣﻔﮭﻮم أوﺳﻊ وأﺷﻤﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺴﺎب أو اﻟﺠﺒﺮ اﻻﺑﺘﺪاﺋﻲ .ﻓﮭﻮ ﻻ ﯾﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ اﻷرﻗﺎم ﻓﺤﺴﺐ ،ﺑﻞ ﯾﺼﯿﻎ اﻟﺘﻌﺎﻣﻼت ﻣﻊ اﻟﺮﻣﻮز واﻟﻤﺘﻐﯿﺮات واﻟﻔﺌﺎت ﻛﺬﻟﻚ .وﯾﺼﯿﻎ اﻟﺠﺒﺮ اﻟﺒﺪھﯿﺎت واﻟﻌﻼﻗﺎت اﻟﺘﻲ ﺑﻮاﺳﻄﺘﮭﺎ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﯿﻞ أي ﻇﺎھﺮة ﻓﻲ اﻟﻜﻮن .وﻟﺬا ﯾﻌﺘﺒﺮ ﻣﻦ اﻷﺳﺎﺳﯿﺎت اﻟﻤﻨﻈﻤﺔ ﻟﻄﺮق اﻟﺒﺮھﺎن. ﯾﻘﺴﻢ ﻋﻠﻢ اﻟﺠﺒﺮ ﻟﻌﺪة ﻓﺮوع. اﻟﺠﺒﺮ اﻻﺑﺘﺪاﺋﻲ ،وﻓﯿﮫ ﯾﺘﻢ دراﺳﺔ ﺧﺼﺎﺋﺺ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ ،وﺗﺴﺘﺨﺪم رﻣﻮز ﻟﻠﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻦ اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات واﻟﺜﻮاﺑﺖ ،وﺗﺘﻢ دراﺳﺔ اﻟﻘﻮاﻋﺪ اﻟﺘﻲ ﺗﻀﺒﻂ اﻟﻤﻌﺎدﻻت واﻟﺘﻌﺎﺑﯿﺮ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ اﻟﻤﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ھﺬه اﻟﺮﻣﻮز .وﯾﺘﻢ ﺗﺪرﯾﺴﮫ ﻏﺎﻟﺒﺎ ﻓﻲ اﻟﺘﻌﻠﯿﻢ اﻟﺜﺎﻧﻮي إﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ إﻋﻄﺎء أﻓﻜﺎر أﺳﺎﺳﯿﺔ ﺣﻮل ﺑﻘﯿﺔ ﻣﻮاﺿﯿﻊ اﻟﺠﺒﺮ اﻟﺘﺠﺮﯾﺪي ﻓﻲ اﻟﺠﺒﺮ اﻻﺑﺘﺪاﺋﻲ ﺗﺘﻢ دراﺳﺔ ﺟﻤﻊ وﺿﺮب اﻷﻋﺪاد ،ودراﺳﺔ ﻛﺜﯿﺮات اﻟﺤﺪود وﻃﺮق إﯾﺠﺎد اﻟﺠﺬور ﻟﻜﺜﯿﺮات اﻟﺤﺪود ھﺬه. اﻟﺠﺒﺮ اﻟﺘﺠﺮﯾﺪي ،وﻓﯿﮫ ﺗﺘﻢ دراﺳﺔ اﻟﺒﻨﻰ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻛﺎﻟﺰﻣﺮ )أو اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺎت( واﻟﺤﻠﻘﺎت واﻟﺤﻘﻮل )أو اﻟﻤﺠﺎﻻت( ،واﻟﻔﻀﺎء اﻟﺸﻌﺎﻋﻲ )أو ﻓﻀﺎء اﻟﻤﺘﺠﮭﺎت أو اﻟﻔﺮاغ اﻻﺗﺠﺎھﻲ( اﻟﺬي ﯾﻤﺜﻞ ﻋﺼﺐ دراﺳﺔ اﻟﺠﺒﺮ اﻟﺨﻄﻲ .وﯾﺘﻢ ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ﻓﻲ اﻟﺠﺒﺮ اﻟﺘﺠﺮﯾﺪي ،ﻋﻤﻠﯿﺔ ﺗﺠﺮﯾﺪ ﻟﻠﻌﻤﻠﯿﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ ﻓﯿﺴﺘﻌﺎض ﻋﻦ اﻷﻋﺪاد ﺑﺮﻣﻮز ﺗﺪﻋﻰ ﻓﻲ اﻟﺠﺒﺮ ﻣﺘﻐﯿﺮات أو ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﺎ .ﻋﻨﺪﺋﺬ ﺗﺼﺒﺢ ﻋﻤﻠﯿﺎت اﻟﺠﻤﻊ واﻟﻀﺮب ﻣﺠﺮد أﻣﺜﻠﺔ ﻋﻦ اﻟﻤﺆﺛﺮات اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ واﻟﻌﻤﻠﯿﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ اﻟﺜﻨﺎﺋﯿﺔ ،وﺗﻌﺮﯾﻒ ھﺬه اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﯾﻘﻮدﻧﺎ إﻟﻰ ﺑﻨﻰ ﺟﺒﺮﯾﺔ ﻣﺜﻞ اﻟﺰﻣﺮ ،واﻟﺤﻠﻘﺎت ،واﻟﺤﻘﻮل. اﻟﺠﺒﺮ اﻟﺨﻄﻰ ،وھﻮ ﻣﮭﺘﻢ ﺑﺪراﺳﺔ اﻟﻤﺘﺠﮭﺎت ،اﻟﻔﺮاﻏﺎت اﻟﺨﻄﯿﺔ ،اﻟﺘﺤﻮﯾﻼت اﻟﺨﻄﯿﺔ ،وﻧﻈﻢ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺨﻄﯿﺔ .ﺗﻌﺘﺒﺮ ﻓﺮاﻏﺎت اﻟﻤﺘﺠﮭﺎت ﻣﻮﺿﻮﻋﺎ ﻣﺮﻛﺰﯾﺎ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﺤﺪﯾﺜﺔ؛ ﻟﺬا ﯾﻌﺘﺒﺮ اﻟﺠﺒﺮ اﻟﺨﻄﻲ ﻛﺜﯿﺮ اﻻﺳﺘﻌﻤﺎل ﻓﻲ ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﺠﺒﺮ اﻟﻤﺠﺮد واﻟﺘﺤﻠﯿﻞ اﻟﺪاﻟﻲ .اﻟﺠﺒﺮ اﻟﺨﻄﻲ ﻟﮫ أﯾﻀﺎً أھﻤﯿﺔ ﻗﺼﻮى ﻓﻲ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ ﻛﻤﺎ أن ﻟﮫ ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت ﺷﺎﻣﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﻄﺒﯿﻌﺔ واﻟﻌﻠﻮم اﻻﺟﺘﻤﺎﻋﯿﺔ. اﻟﺠﺒﺮ اﻟﺸﺎﻣﻞ ،وﻓﯿﮫ ﺗﺘﻢ دراﺳﺔ اﻟﺨﻮاص اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻜﻞ اﻟﺒﻨﻰ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ. ﺟﺒﺮ اﻷﻋﺪاد ،وھﻮ ﯾﮭﺘﻢ ﺑﺪراﺳﺔ ﺧﻮاص اﻷﻋﺪاد ﻣﻦ اﻟﻨﺎﺣﯿﺔ اﻟﻨﻈﺮﯾﺔ. اﻟﺠﺒﺮ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ ،وﯾﮭﺘﻢ ﺑﺪراﺳﺔ ﺗﺠﺮﯾﺪ ﻗﻮاﻋﺪ اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ. ﺟﺒﺮ اﻟﺘﻮاﻓﯿﻖ ،وﯾﮭﺘﻢ ﺑﺪراﺳﺔ اﻟﺘﺒﺎدﯾﻞ واﻟﺘﻮاﻓﯿﻖ. ٨٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺟﺒﺮ اﻟﺤﺎﺳﻮب ،وﻓﯿﮫ ﺗﺘﻢ دراﺳﺔ اﻟﺨﻮارزﻣﯿﺎت اﻟﺨﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ اﻟﻜﺎﺋﻨﺎت اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ
ﻤﻘﺩﻤﺔ
١
ﺍﻷﻋﺩﺍﹶﺩ ﻟﻐﺔﹰ ﻫﻲ ﺠﻤﻊ ﺍﻟﻌﺩﺩِ ،ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ﻫﻭ "ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻤﺎ ﻴﻌﺩ ،ﻭﻤﺒﻠﹶﻐﹸﻪ".
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻫﻭ ﺘﻌﺒﻴﺭ ﺭﻤﺯﻱ ﺃﻭ ﺍﺼﻁﻼﺤﻲ ﺃﻭ
ﻜﺘﺎﺒﻲ ﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻤﺎ ﻴﻌﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﺎﺌﻨﺎﺕ ﻭﺍﻷﺸﻴﺎﺀ. ﺃﻤﺎ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻟﻐﺔﹰ ﻓﻬﻲ ﺠﻤﻊ ﺍﻟﺭﻗﹾﻡ ،ﻭﺍﻟﺭﻗﹾﻡ ﻓﻲ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ" :ﻫﻭ ﺍﻟﺭﻤﺯ ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤل ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﺃﺤﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺒﺴﻴﻁﺔ، ﻭﻫﻲ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺴﻌﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﺍﻟﺼﻔﺭ] ،ﺃﻭ ﻤﺎ ﺭﻜﱢﺏ ﻤﻨﻬﺎ[".
٢
ﺇﺫﺍﹰ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﻫﻭ ﺭﻤﺯ ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻋﺎﺩﺓﹰ ﻤﺎ ﻴﻌﺒﺭ
ﻋﻨﻪ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺘﺭﻜﻴﺏ ﻤﻌﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺃﻭ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻤﺎ ﻴﻜﺘﺏ ﻜﺘﺎﺒﺔﹰ .ﻓﻔﻲ ﺍﻟﻘﺭﺁﻥ ﺍﻟﻜﺭﻴﻡ ﻤﺜﻼﹰ ﻻ ﻴﻭﺠﺩ ﺁﻴﺔﹲ ﻜﺘﺏ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺒﺸﻜل ﺭﻗﻤﻲ )ﺃﻱ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺭﻤﺯ( ﻭﻟﻜﻥ ﻋﺒﺭ ﻋﻨﻬﺎ ﺒﺸﻜل ﻜﺘﺎﺒﻲ .ﻓﻔﻲ ﻗﻭﻟﻪ ﺘﻌﺎﻟﻰ ﻓﻲ ﺴﻭﺭﺓ ﺍﻟﺒﻘﺭﺓ ﺍﻵﻴﺔ ) :١٩٦ﻓﻤﻥ ﻟﱠﻡ ﻴﺠِﺩ ﻓﹶﺼِﻴﺎﻡ ﺜﹶﻼﹶﺜﹶﺔِ ﺃَﻴﺎﻡٍ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺞِ ﻭﺴﺒﻌﺔٍ ﺇﺫﺍ ﺭﺠﻌﺘﹸﻡ ،ﺘِﻠﻙ ﻋﺸﹶﺭﺓﹲ ﻜﹶﺎﻤِﻠﹶﺔﹲ( ،ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ – ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺎل ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺴﻭﺭ ﺍﻟﻘﺭﺁﻥ ﺍﻟﻜﺭﻴﻡ – ﻗﺩ ﻜﺘﺒﺕ ﻜﺘﺎﺒﺔﹰ.
٣
ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻭﺗﻄﻮﺭﻫﺎ ﺠﺭﺕ ﺍﻟﻌﺎﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺘﻘﺴﻡ ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﺸﻴﻭﻋﺎﹰ ﺇﻟﻰ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ:
٤
:١ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ):(natural numbers
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ أﻋﺪاد اﻟﻌﺪ )ع (= } { ........... ، ٥ ،٤ ، ٣ ، ٢ ،١ﻫﻲ ﺃﻗﺩﻡ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻤﻌﺭﻭﻓﺔ ﻋﺒﺭ ﺍﻟﺘﺎﺭﻴﺦ ،ﻭﻫﻲ ﺃﻭل ﺸﻜل ﺃﻭﺠﺩﻩ ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﻘﺎﺩﻴﺭ ﻭﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ .ﻭﻫﻲ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ) …، ٦ ،٥ ،٤ ،٣ ،٢ ،١ ،٠ﺇﻟﺦ(.
(٢ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ) :(integersص = } { ...... ، ٢ ، ١ ، ٠ ، ١- ، ٢- ، ....... ﻭﻫﻲ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺼﻔﺭ ) ،(٠ﻭﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻭﻨﻅﺎﺌﺭﻫﺎ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﺈﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺘﻀﻡ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ :ﺍﻟﺼﻔﺭ ) ،(٠ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻭﺠﺒﺔ ) (positive integersﻭﺘﺴﻤﻰ ﺃﺤﻴﺎﻨﺎﹰ ﺒﺎﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ) ( natural numbersﻭﻫﻲ ) ،١ ،( …، ٦ ،٥ ،٤ ،٣ ،٢ﻭﺇﻟﻰ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺴﺎﻟﺒﺔ ) (negative integersﻭﻫﻲ )،-٥ ،-٤ ،-٣ ،-٢ ،-١ .(…،-٦
ﻻﺣﻆ أن
) (١ص = ص∪ { ٠ } ∪ + ) (٢اﻟﺼﻔﺮ ﻟﯿﺲ ﻣﻮﺟﺐ وﻻ ﺳﺎﻟﺐ ) (٣ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ص{.................. ، ٣- ، ٢- ، ١- } = - ) (٤ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ص{.................. ، ٣ ، ٢ ، ١ } = + ص-
٨٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
:٣ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﺎدﯾﺔ أو اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ ) ) (rational numbersن ( ھﻮ اﻟﻌﺪد اﻟﺬي ﯾﻤﻜﻦ وﺿﻌﮫ ﻋﻠﻰ ﺻﻮرة ﻛﺴﺮ أﻋﺘﯿﺎدى ﺑﺴﻄﮫ وﻣﻘﺎﻣﮫ أﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺤﺔ وﻣﻘﺎﻣﮫ ﻻ ﯾﺴﺎوى اﻟﺼﻔﺮ 5 1 ﻭﻫﻲ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻤﺜل: ، 3 2
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﻜﺘﺏ ﻜﻨﺴﺒﺔ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺼﺤﻴﺤﻴﻥ ﺇﻟﻰ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺒﺎﺴﺘﺜﻨﺎﺀ ﺃﻨﻪ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ
ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﺼﻔﺭﺍﹰ ).(٠
ﻟﺫﻟﻙ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ) (٢ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﻨﺴﺒﻲ ﻷﻥ . = 2ﻓﻲ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ﺇﻥ ﻜل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻫﻲ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻨﺴﺒﻴﺔ. 2 1
3 ﻜل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﻤﺜل ﺒﺄﻋﺩﺍﺩ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ) (terminating decimalsﻤﺜل= 0.75 : 4 3 ﺃﻭ ﺒﺄﻋﺩﺍﺩ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ﻭﺩﻭﺭﻴﺔ ) (nonterminating repeating decimalsﻤﺜل: = 1.5 2 2 −4 2 . = 0.13333... ، = − 0.3636.... ، = 0.6666.... 15 11 3
،
ﻣﻼﺣﻈﺎت -: ) (١ﻛﻞ ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ ھﻮ ﻋﺪد ﻧﺴﺒﻰ ﻣﻘﺎﻣﮫ = ١أى أن ص ⊃ ن ) (٢ط ⊃ ص ⊃ ن
:٤ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ) (real numbersﻭﻫﻲ ﺘﻀﻡ: ﺃ :ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ) (rational numbersﻭﻫﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺃﻋﻼﻩ.
ﺏ :ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻐﻴﺭ ﻨﺴﺒﻴﺔ ) :( irrational numbersﻫﻲ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﻜﺘﺏ ﻜﻨﺴﺒﺔ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺼﺤﻴﺤﻴﻥ ﺇﻟﻰ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ .ﻭﻫﻲ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﹸﻤﺜل ﺒﺄﻋﺩﺍﺩ ﻋﺸﺭﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ﻭﻏﻴﺭ ﺩﻭﺭﻴﺔ ) nonterminating (nonrepeating decimalsﻭﻨﻅﺎﺌﺭﻫﺎ .ﻤﺜﺎل ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻌﺩﺩ πππππ =π٣,١٤١٥٩٢٧ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ، 2 =١,٤١٤٢١٣٦ﻭﻨﻅﺎﺌﺭﻫﻤﺎ، -٣,١٤١٥٩٢٧ :
. -١,٤١٤٢١٣٦
ﻣﻼﺣﻈﺎت -١ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ أﻋﺪاد اﻟﻌﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﯿﺔ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﻄﺒﯿﻌﯿﺔ. -٢اﻷﻋﺪاد اﻟﺰوﺟﯿﺔ ھﻲ اﻟﺘﻲ ﺗﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٢وأﺻﻐﺮ ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌﻲ زوﺟﻲ ھﻮ اﻟﺼﻔﺮ وﻣﻦ أﻣﺜﻠﺘﮭﺎ ............. ، ٨ ، ٦ ، ٤ ، ٢ ، ٠ -٣اﻷﻋﺪاد اﻟﻔﺮدﯾﺔ ھﻲ اﻷﻋﺪاد اﻟﺘﻲ ﻻﺗﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٢وأﺻﻐﺮھﺎ اﻟﻮاﺣﺪ وﻣﻦ أﻣﺜﻠﺘﮭﺎ ................. ، ٩ ، ٧ ، ٥ ، ٣ ، ١ -٥ﻋﻨﺪ ﺿﺮب ﻋﺪدﯾﻦ أو أﻛﺜﺮ ﻓﺄن ﻛﻞ ﻋﺪد ﯾﺴﻤﻰ ﻋﺎﻣﻞ ﻣﻦ ﻋﻮاﻣﻞ ﺣﺎﺻﻞ اﻟﻀﺮب ٨٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻓﻤﺜﻼ ١٤ = ٧ × ٢وﻋﻠﻰ ھﺬا ﻓﺄن ٧ ، ٢ﻋﺎﻣﻼن ﻣﻦ ﻋﻮاﻣﻞ . ١٤ -٦إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻋﻮاﻣﻞ ﺣﺎﺻﻞ اﻟﻀﺮب ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﺄن ﺣﺎﺻﻞ اﻟﻀﺮب ﯾﺴﻤﻰ ﻗﻮى اﻟﻌﺎﻣﻞ ﻓﻤﺜﻼ ٢ ( ٣) = ٩ = ٣ × ٣ -:ﯾﺴﻤﻰ اﻟﻌﺪد ٩اﻟﻘﻮى اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻟﻠﻌﺎﻣﻞ ، ٣ -٧ﻟﻜﻞ ﻋﺪد أ ﻻ ﯾﺴﺎوى اﻟﺼﻔﺮ ﯾﻜﻮن ا ﺻﻔﺮ = ١ﻓﻤﺜﻼ ٥ﺻﻔﺮ = ( ٤٥ ) ، ١ﺻﻔﺮ = ١
ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﺑﻌﺔ ھﻲ اﻷﻋﺪاد اﻟﺘﻲ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﯿﻠﮭﺎ ﺑﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﺎط ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺜﻞ ..... ، ٢٥ ، ١٦ ، ٩ ، ٤ ، ١ ﺗﻌﺮﯾﻒ أﺧﺮ -:ھﻲ ﺗﻠﻚ اﻷﻋﺪاد اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻋﺎﻣﻠﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ) اﻟﻘﻮى اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻟﻸﻋﺪاد ( ﻓﻤﺜﻼً ٢٥ = ٥ ×٥ ١٦ = ٤ × ٤ ٩ = ٣ × ٣ ٤ = ٢ × ٢ ١ = ١ ×١ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺮﺑﻌﺔ ھﻲ ) ....... ، ٨١ ، ٦٤ ، ٤٩ ، ٣٦ ، ٢٥ ، ١٦ ، ٩ ، ٤ ، ١
ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﻜﻌﺒﺔ ھﻲ اﻷﻋﺪاد اﻟﺘﻲ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﯿﻠﮭﺎ ﺑﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻂ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﻜﻌﺐ ﻣﺜﻞ ) ( ............. ، ١٢٥ ، ٦٤ ، ٢٧ ، ٨ ، ١ ﺗﻌﺮﯾﻒ أﺧﺮ -:ھﻲ ﺗﻠﻚ اﻷﻋﺪاد اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﺛﻼﺛﺔ أﻋﺪاد ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ) اﻟﻘﻮى اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻟﻸﻋﺪاد ( . ﻓﻤﺜﻼ -: ١ = ١ × ١ ×١
٨=٢×٢×٢
٢٧ = ٣ × ٣ × ٣
اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ھﻲ: اﻷﻋﺪاد اﻟﺘﻲ ﻣﺠﻤﻮع اﻷرﻗﺎم ذات اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺰوﺟﯿﺔ ﻓﯿﮭﺎ ﯾﺴﺎوي ﻣﺠﻤﻮع اﻷرﻗﺎم ذات اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﻔﺮدﯾﺔ ﻓﯿﮭﺎ ﻓﻤﺜﻼ : ٢٤٢ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﻷن :ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻗﻢ ) اﻷول و اﻟﺜﺎﻟﺚ ( = ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻗﻢ اﻟﺜﺎﻧﻲ ) ( ٤ = ٢ + ٢ واﻟﻌﺪد : ٤ ٢ ٦ ٤ ٥ ٩ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﻷن :ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻗﻢ ) اﻷول واﻟﺜﺎﻟﺚ واﻟﺨﺎﻣﺲ ( = ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻗﻢ ) اﻟﺜﺎﻧﻲ واﻟﺮاﺑﻊ واﻟﺴﺎدس ( ) ( ٤ + ٦ + ٥ = ٢ + ٤ + ٩ ٨٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
واﻟﻌﺪد: ٥٤٤٥ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﻷن :ﻣﺠﻤﻮع اﻷرﻗﺎم ) اﻷول واﻟﺜﺎﻟﺚ ( = ﻣﺠﻤﻮع اﻷرﻗﺎم ) اﻟﺜﺎﻧﻲ واﻟﺮاﺑﻊ ( )(٥+٤=٤+٥ أﻣﺎ اﻟﻌﺪد ٦٥٦ :ﻓﻐﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﻷن :ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻗﻢ ) اﻷول واﻟﺜﺎﻟﺚ ( = =/اﻟﺮﻗﻢ اﻟﺜﺎﻧﻲ ) ( ٥ =/= ٦ + ٦ وﻧﻼﺣﻆ أن :اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺗﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ اﻟـ ١١ أي أن: اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ھﻲ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎت اﻟﻌﺪد ١١ وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﻨﺘﺎج ﻗﺎﻋﺪة ﻟﻘﺎﺑﻠﯿﺔ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ١١ﻣﻔﺎدھﺎ أن: اﻟﻌﺪد اﻟﺬي ﻣﺠﻤﻮع أرﻗﺎﻣﮫ ﻓﺮدﯾﺔ اﻟﺮﺗﺒﺔ = ﻣﺠﻤﻮع أرﻗﺎﻣﮫ زوﺟﯿﺔ اﻟﺮﺗﺒﺔ ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ١١ *ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ * إذا ﻛﺎﻧﺖ أرﻗﺎم اﻟﻌﺪد ﻣﺘﺸﺎﺑﮭﺔ وﻋﺪد اﻷرﻗﺎم زوﺟﯿﺎ ً ﻓﺈن اﻟﻌﺪد ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ١١
اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔTriangular Numbers ﯾﻌﺮف اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ )أو اﻟﺜﻼﺛﻲ ) triangular numberﻋﻠﻰ أﻧﮫ ﻣﺠﻤﻮع أول n ﻋﺪدا ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ،أي أن ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ھﺬه اﻷﻋﺪاد ھﻲ ....................، ٥٥ ، ٤٥ ، ٣٦ ، ٢٨ ، ٢١، ١٥ ، ١٠ ، ٦ ، ٣ ، ١
ﺧﺼﺎﺋﺺ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ )(1ﻣﺠﻤﻮع ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺜﻠﺜﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﯿﻦ ﻋﺪد ﻣﺮﺑﻊ. )(2ﻛﻞ ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ ﻣﻮﺟﺐ ﯾﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﮫ ﻛﺤﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ ﺛﻼﺛﺔ أﻋﺪاد ﻣﺜﻠﺜﯿﺔ أو أﻗﻞ. اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ ﻓﻲ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺎت اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ
ﻛﺎن اﻟﺮﯾﺎﺿﻲ ﺳﯿﺮﺑﻨﺴﻜﻲ Sierpinskiﻗﺪ ﻃﺮح ﺳﺆاﻻ ﻓﯿﻤﺎ إذا ﻛﺎن ھﻨﺎك أرﺑﻌﺔ أﻋﺪاد ﻣﺜﻠﺜﯿﺔ ﻓﻲ ﺗﺘﺎﺑﻊ ھﻨﺪﺳﻲ أم ﻻ .اﻟﺮﯾﺎﺿﻲ ﺑﯿﻨﯿﺖ Bennettﻗﺪم ﺣﺪﺳﮫ ﺑﺎﻟﻨﻔﻲ ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﺘﺴﺎؤل .ﻓﻲ اﻟﻌﺎم ٢٠٠٧ﻣﯿﻼدي أﺛﺒﺘﺖ ﺻﺤﺔ ھﺬا اﻟﺤﺪس .أي أﻧﮫ ﻻ ﯾﻮﺟﺪ أرﺑﻌﺔ أﻋﺪاد ٨٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﺜﻠﺜﯿﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ھﻨﺪﺳﯿﺔ .ﺑﺎﻟﻤﻨﺎﺳﺒﺔ ﯾﻮﺟﺪ ﺛﻼﺛﺔ أﻋﺪاد ﻣﺜﻠﺜﯿﺔ ﻓﻲ ﺗﺘﺎﺑﻊ ھﻨﺪﺳﻲ وھﻲ .
اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ اﺑﺘﻜﺮ ﻋﺎﻟﻢ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرث زوﺟﺎ ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ ھﻤﺎ ) ( ٢٨٤ ، ٢٢٠و ﻛﺘﻌﺮﯾﻒ ﻟﻌﺪدﯾﻦ ﻣﺘﺤﺎﺑﯿﻦ ھﻤﺎ ﻋﺪدان ﻣﺠﻤﻮع ﻗﻮاﺳﻢ أي ﻣﻨﮭﻤﺎ ﻣﺴﺎوﯾﺎ ﻟﻠﻌﺪد اﻷﺧﺮ ) ﻃﺒﻌﺎ ﻋﺪد ﻣﻮﺟﺐ ( . ﻗﻮاﺳﻢ اﻟﻌﺪد ٢٢٠ھﻲ ١١٠ ،٥٥ ،٤٤ ،٢٢ ،١١ ،٢٠ ،١٠ ،٥ ،٤ ،٢ ،١ :وﻣﺠﻤﻮع ھﺬه اﻟﻘﻮاﺳﻢ . ٢٨٤ ﻗﻮاﺳﻢ اﻟﻌﺪد ٢٨٤ھﻲ ١٤٢ ،٧١ ،٤ ،٢ ،١ :وﻣﺠﻤﻮع ﻗﻮاﺳﻢ اﻟﻌﺪد ٢٨٤ھﻲ . ٢٢٠ وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ اﻟﻌﺪدان ٢٢٠و ٢٨٤ﻋﺪدان ﻣﺘﺤﺎﺑﺎن . وﻗﺪ ﺣﻈﯿﺖ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ ﺑﺎھﺘﻤﺎم اﻟﻜﺜﯿﺮ ﻣﻦ اﻟﻌﻠﻤﺎء ﺣﯿﺚ اﺑﺘﻜﺮ ﻋﺎﻟﻢ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت اﻟﻌﺮﺑﻲ اﺑﻦ اﻟﺒﻨﺎ ﻓﻲ اﻟﻘﺮن اﻟﺮاﺑﻊ ﻋﺸﺮ زوﺟﺎ ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ ھﻤﺎ ١٧٢٩٦و ١٨٤١٦وأﻋﯿﺪ اﻛﺘﺸﺎﻓﮭﺎ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ اﻟﻌﺎﻟﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻲ ﺑﯿﯿﺮ ﻓﯿﺮﻣﺎت ﺳﻨﺔ ١٦٣٦م. و ﻓﻲ ﻋﺎم ١٦٣٨م اﺑﺘﻜﺮ اﻟﻌﺎﻟﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻲ دﯾﻜﺎرت ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺘﺤﺎﺑﯿﻦ ھﻤﺎ ٩٣٦٣٥٨٤و .٩٤٣٧٠٥٦ و ﻓﻲ ﻋﺎم ١٧٥٠م اﺑﺘﺪع اﻟﺮﯾﺎﺿﻲ اﻟﻨﻤﺴﺎوي اوﯾﻠﺮ واﺣﺪ و ﺳﺘﻮن زوﺟﺎ ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ و ﻟﻜﻨﮭﺎ اﺣﺘﻮت ﻋﻠﻰ ﺧﻄﺄﯾﻦ ﻓﺄﺻﺒﺢ اﻟﻌﺪد واﺣﺪ و ﺧﻤﺴﻮن زوﺟﺎ ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ . و ﻛﺎن ﻟﻸﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ دورا ﻛﺒﯿﺮا ﻓﻲ اﻟﺤﻀﺎرة اﻹﺳﻼﻣﯿﺔ وﺗﻮﺟﺪ ﺑﻜﺜﺮة ﻓﻲ اﻟﻜﺘﺎﺑﺎت اﻹﺳﻼﻣﯿﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ وأﻛﺪوا أن اﻟﻌﺪدﯾﻦ اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﯿﻦ ٢٢٠و ٢٨٤ﻟﮭﻤﺎ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻓﻲ اﻟﺮواﺑﻂ أو إﯾﺠﺎد ﺻﺪاﻗﺔ ﺣﻤﯿﻤﺔ ﺑﯿﻦ ﺷﺨﺼﯿﻦ.. ﻗﺎﻋﺪة اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ: اﺑﺘﻜﺮ اﻟﻌﺎﻟﻢ اﻟﻤﺴﻠﻢ ﺛﺎﺑﺖ اﺑﻦ ﻗﺮة ﻗﺎﻋﺪة ﻓﻲ إﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ اﻟﺘﻲ اھﺘﻢ ﺑﮭﺎ ﻋﻠﻤﺎء اﻟﻐﺮب ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻠﺤﻮظ ﻋﺒﺮ اﻟﺘﺎرﯾﺦ ..واﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ھﻲ: إذا ﻛﺎن ﻛﻞ ﻣﻦ س ،ص،ع أﻋﺪاد أوﻟﯿﮫ و ن ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ ﻃﺒﯿﻌﻲ اﻛﺒﺮ ﻣﻦ ١ﻓﺎن: س = ^٢) × ٣ن( ١ - ٨٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ص = )^٢) × ٣ن١ - ((١- ع = ٢)^٢) × ٩ن١ - ((١- ﻓﺄن س،ص،ع أﻋﺪاد ﻓﺮدﯾﮫ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ و ك = ^٢ن ×س×ص ،م= ^٢ن ×ع زوج ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺔ ھﻤﺎ ك ،م و ھﺬا ﺻﺤﯿﺢ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﺎ أﺧﺬﻧﺎ ن = ٢ﻓﺎن اﻟﻌﺪدان اﻟﻤﺘﺤﺎﺑﺎن ھﻤﺎ ٢٨٤ ، ٢٢٠ وﻟﻜﻦ ﻋﻨﺪﻣﺎ ن= ٣ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻋﺪدان ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺤﺎﺑﺎن ..وھﺬا ﯾﺪل ﻋﻠﻰ أن اﻟﻘﺎﻋﺪة ﺗﻨﺺ ﻋﻠﻰ اﻧﮫ إذا وﺟﺪ ﻋﺪدان ﻣﺘﺤﺎﺑﺎن ﻓﮭﻤﺎ ك ،م... ﻓﻲ اﻋﺘﻘﺎدﻛﻢ ھﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﻤﻜﻦ أن ﯾﺄﺗﻲ ﯾﻮم ﺗﻘﺎم ﻓﯿﮫ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯿﻦ ﺷﺨﺼﯿﻦ ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺛﺎﺑﺖ اﺑﻦ ﻗﺮه ؟ أم أن اﻟﻤﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ﻟﻌﻼﻗﺔ رﯾﺎﺿﯿﺔ أﺧﺮى ﺗﺴﻤﺢ ﺑﺈﻗﺎﻣﺔ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ؟
ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺘﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﺃﻨﻪ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻭﺍﺴﻤﻪ ﺒﺎﺴﺘﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺫﺍﺘﻪ .ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﻘﻭل -ﺇﺫﺍ ﻟﻡ ﻨﺘﻘﻴﺩ ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻻﺴﺘﺜﻨﺎﺀ -ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺘﺎﻡ ﻫﻭ ﻀﻌﻑ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺫﺍﺘﻪ. ﻭﻗﺩ ﺃﻤﻜﻥ ﺍﻵﻥ ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﺜﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻤﺔ ﻨﺫﻜﺭ ﻤﻨﻬﺎ ٢٨ ، ٦ ،١ :ﻭ .٤٩٦ ﻭﺍﻟﻤﺘﻤﻌﻥ ﻓﻲ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻡ ﺍﻜﺘﺸﺎﻓﻬﺎ ﻴﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻜﻠﻬﺎ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺯﻭﺠﻴﺔ .ﻭﻤﻥ ﻫﻨﺎ ﻴﻁﺭﺡ ﺍﻟﺴﺅﺍل :ﻫل ﻜل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻤﺔ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺯﻭﺠﻴﺔ؟ ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ ﻋﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﻟﻡ ﻴﺘﻀﺢ ﺒﻌﺩ .ﻭﻟﻡ ﻴﺘﻭﻗﻑ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﻭﻥ ﻋﻨﺩ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺤﺩ ﻓﻲ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻤﺔ ﺒل ﻭﺴﻌﻭﻫﺎ ﻭﻋﺭﻓﻭﺍ ﻤﺜﻼ ﻤﺎ ﻴﺴﻤﻰ ﺒﺎﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﻬﻴﺒﺔ sublimesﻭﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻘﺎﺼﺭﺓ ) déficientsﻭﻫﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻭﺍﺴﻤﻬﺎ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻨﻬﺎ( ﻤﺜل ٢٧ﻭﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺯﺍﺌﺩﺓ ) abondantsﻭﻫﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻭﺍﺴﻤﻬﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻨﻬﺎ( ﻤﺜل .٣٠
ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺣﺴﺐ ﺍﻷﺻﻞ ﺍﻟﺠﻐﺮﺍﻓﻲ ﻜﺎﻥ ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ ﺍﻟﻘﺩﻴﻡ ﻴﻘﻭﻡ ﺒﻌﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩ ﻋﻥ ﻁﺭﻴﻕ ﻭﻀﻊ ﺃﺜﻼﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺸﺠﺎﺭ ﺃﻭ ﺍﻷﺤﺠﺎﺭ ﻟﺘﺴﺠﻴل ﻤﺭﻭﺭ ﺍﻷﻴﺎﻡ .ﻓﻘﺎﻡ ﺍﻟﻤﺼﺭﻴﻭﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻌﺩ ﺒﺎﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻭﺭﻕ ﺍﻟﺒﺭﺩﻱ ) (papyrusﻭﺍﻟﻤﺼﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﺼﺏ ،ﻭﻜﺘﺒﺕ ﺸﻌﻭﺏ ﺒﻼﺩ ﻤﺎ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻬﺭﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻔﺨﺎﺭ ﺍﻟﺭﻁﺏ .ﻟﻘﺩ ﺍﺴﺘﻌﻤﻠﻭﺍ ﺨﻁﻭﻁﺎﹰ ﺼﻐﻴﺭﺓ )ﺨﹶﻁﹼﺔ( ﻜﺭﻤﺯ ﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻵﺤﺎﺩ ،ﻭﻋﻼﻤﺎﺕ ﺃﺨﺭﻯ ﻟﻠﻌﺸﺭﺍﺕ ﻭﻤﺎ ﺒﻌﺩﻫﺎ.
٩٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻭﻜﺎﻥ ﺍﻟﺭﻭﻤﺎﻥ ﻻ ﻴﺯﺍﻟﻭﻥ ﻴﺴﺘﻌﻤﻠﻭﻥ ﺨﻁﻭﻁﺎﹰ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ ﻤﻥ ﻭﺍﺤﺩ ﺤﺘﻰ ﺃﺭﺒﻌﺔ ) ،(IIII, III, II,Iﻟﻜﻨﻬﻡ - ﻭﻤﻨﺫ ﺤﻭﺍﻟﻲ ﺃﻟﻔﻲ ﻋﺎﻡ -ﺍﺴﺘﺨﺩﻤﻭﺍ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﺠﺩﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺤﺭﻭﻑ ﻟﻠﻌﺸﺭﺍﺕ ﻭﺍﻟﺨﻤﺴﻴﻨﺎﺕ ﻭﻫﻜﺫﺍ )ﻓﺎﻟﻌﺸﺭﺍﺕ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ﻋﺸﺭﺓ ) ،(Xﻭﺍﻟﺨﻤﺴﻴﻨﺎﺕ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ﺨﻤﺴﻴﻥ ) ،(Lﻭﺍﻟﻤﺌﺎﺕ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ﻤﺌﺔ ) ،(Cﻭﺍﻟﺨﻤﺴﻤﺌﺎﺕ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ﺨﻤﺴﻤﺎﺌﺔ ) ،(Dﻭﺍﻷﻟﻭﻑ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ﺃﻟﻑ ) .((Mﻭﺍﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﺼﻴﻨﻴﻭﻥ ﻋﻼﻤﺎﺕ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ ﻤﻥ ﺃﺭﺒﻌﺔ ﻭﺤﺘﻰ ﻋﺸﹶﺭﺓ ،ﻟﻜﻨﻬﻡ ﻜﺎﻨﻭﺍ ﻻ ﻴﺯﺍﻟﻭﻥ ﻴﺴﺘﻌﻤﻠﻭﻥ ﺨﻁﻭﻁﺎﹰ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ. ﺃﻤﺎ ﺸﻌﺏ ﺍﻟﻤﺎﻴﺎ ﻓﻲ ﺃﻤﺭﻴﻜﺎ ﺍﻟﻭﺴﻁﻰ ﻓﻠﻘﺩ ﺃﺨﺘﺭﻉ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﻟﻔﺘﺎﹰ ﻟﻠﻨﻅﺭ .ﻟﻘﺩ ﺍﺴﺘﻌﻤﻠﻭﺍ ﻓﻘﻁ ﺜﻼﺙ ﻋﻼﻤﺎﺕ :ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ، ﺍﻟﺨﹶﻁﹼﺔ ،ﻭﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺒﻴﻀﺎﻭﻱ .ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻤﺎﺕ ﻜﺎﻥ ﺒﺎﺴﺘﻁﺎﻋﺘﻬﻡ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺃﻱ ﺭﻗﻡ ﻤﻬﻤﺎ ﻜﺎﻥ ﻜﺒﻴﺭﺍﹰ.
٥
ﻭﺤﺎﻟﻴﺎﹰ )ﻋﺎﻡ (٢٠٠٢ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺼﻨﻴﻑ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺩﻤﺔ ﻓﻌﻠﻴﺎﹰ ﺇﻟﻰ ﺍﻷﻨﻭﺍﻉ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ: :١ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﺍﻟﻤﻐﺭﺒﻴﺔ ) (٩ , 8 , 7 , 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0ﻭﻫﻲ ﺤﺎﻟﻴﺎﹰ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻤﺎﹰ ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺃﻨﺤﺎﺀ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ،ﺤﻴﺙ ﺘﻡ ﺍﻋﺘﻤﺎﺩﻫﺎ ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺩﻭل ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ )ﺒﺎﺴﺘﺜﻨﺎﺀ ﺃﻏﻠﺏ ﺍﻟﺩﻭل ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ!( ﻜﻤﺎ ﺃﻨﻬﺎ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﺍﻟﻭﺤﻴﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤل ﻓﻲ ﺍﻵﻻﺕ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ﺍﻟﻌﺎﺩﻴﺔ ﻭﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻭﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﺍﻟﺭﻗﻤﻴﺔ ﺍﻷﺨﺭﻯ. :٢ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﺍﻟﻤﺸﺭﻗﻴﺔ ﻭﻫﻲ ( ٩ ،٨ ،٧ ،٦ ،٥ ،٤ ،٣ ،٢ ، ١) :ﻭﺘﺴﺘﻌﻤل ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﻭل ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﺍﻟﻤﺸﺭﻗﻴﺔ ﻓﻘﻁ. :٣ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﺭﻭﻤﺎﻨﻴﺔ: ﯾﺤﺘﻮي ﻧﻈﺎم اﻟﻌﺪ اﻟﺮوﻣﺎﻧﻲ ﻋﻠﻰ ﻟﻤﺤﺔ ﻣﻦ ﻓﻜﺮة اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﻜﺎﻧﯿﺔ – ﻛﻤﺎ ﺳﻨﺮى – وﯾﻌﺘﻘﺪ أن أﺳﺎس اﻟﻨﻈﺎم اﻟﻌﺪدي اﻟﺮوﻣﺎﻧﻲ ھﻮ اﻟﻌﺪ ﺑﺎﻷﺻﺎﺑﻊ ﯾﺪل ﻋﻠﻰ ذﻟﻚ أن اﻟﻜﻠﻤﺔ اﻟﻼﺗﯿﻨﯿﺔ ﻟﻸﺻﺒﻊ ھﻲ Jigitusوﺗﺴﺘﺨﺪم اﻵن ﻛﻠﻤﺔ ﻣﺸﺘﻘﺔ ﻣﻨﮭﺎ ھﻲ digitاﻟﺘﻲ ﺗﺴﺘﺨﺪم ﻓﻲ وﺻﻒ أي رﻣﺰ ﻣﻦ رﻣﻮزھﻢ اﻟﻌﺪدﯾﺔ .وﻗﺪ ﻛﺘﺐ اﻟﺮوﻣﺎن اﻷﻋﺪاد ﻣﻦ واﺣﺪ إﻟﻰ أرﺑﻌﺔ ﻛﻤﺎ ﯾﻠﻲ: أﻣﺎ رﻣﺰ ﺧﻤﺴﺔ ﻓﻘﺪ ﻛﺎن ﻋﻼﻣﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ Vوﻟﻌﻠﮭﺎ ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻔﺠﻮة ﺑﯿﻦ اﻹﺑﮭﺎم وﺑﻘﯿﺔ اﻷﺻﺎﺑﻊ ﻛﻤﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ أدﻧﺎه وﻗﺪ ﻧﺸﺄت ﻋﻨﺪھﻢ ﻓﻜﺮة اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﻜﺎﻧﯿﺔ ﻣﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﮭﺬا اﻟﺮﻣﺰ؛ ﻓﻠﻜﻲ ﯾﺘﺠﻨﺒﻮا اﻟﺘﻀﺨﻢ ﻓﻲ ﻛﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﺪد Iأرﺑﻌﺔ ﻣﺮات ھﻜﺬا IIIIوﺿﻌﻮا Iإﻟﻰ ﯾﺴﺎر Vوﻃﺒﻘﺖ ﻧﻔﺲ اﻟﻔﻜﺮة ﻓﻲ رﻣﻮز أﺧﺮى ،وأﺻﺒﺢ ﻣﻔﮭﻮﻣﺎ أﻧﮫ إذا ﻛﺘﺐ اﻟﺮﻣﺰ إﻟﻰ ﯾﺴﺎر رﻣﺰ آﺧﺮ ﻗﯿﻤﺘﮫ أﻛﺒﺮ ﻓﺈن اﻟﻌﺪد ﯾﺪل ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺮق ﺑﯿﻦ اﻟﺮﻣﺰﯾﻦ وإذا ﻛﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﯾﻤﯿﻨﮫ ﻓﺈن اﻟﻌﺪد ﯾﺪل ﻋﻠﻰ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻣﺰﯾﻦ ،وﻗﺪ ﻧﺸﺄ ھﺬا اﻟﺘﻌﺒﯿﺮ ﺑﺎﻷﺻﺎﺑﻊ ﻋﻦ اﻷﻋﺪاد 8 ، 7، ٦ﻛﻤﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ: وﻟﻠﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻦ اﻟﻌﺪد ٩ﻛﺘﺐ Iﻋﻠﻰ ﯾﺴﺎر اﻟﺮﻣﺰ اﻟﺪال ﻋﻠﻰ ﻋﺸﺮة وھﻮ Xوﻟﻌﻠﮫ ﻣﺄﺧﻮذ ﻣﻦ وﺿﻊ اﻟﯿﺪﯾﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺘﯿﻦ .وإذن ﻓﺎﻟﻌﺪد ٩ﯾﻜﺘﺐ ھﻜﺬا IXﺛﻢ اﻟﻌﺪد ١٠ﯾﻜﺘﺐ Xﺛﻢ اﻟﻌﺪد ١١وﯾﺪل ﻋﻠﯿﮫ اﻟﺮﻣﺰ XIﺣﯿﺚ ﯾﻮﺿﻊ اﻟﺮﻣﺰ اﻟﻤﻌﺒﺮ ﻋﻦ اﻟﻌﺪد واﺣﺪ ﻋﻠﻰ ﯾﻤﯿﻦ رﻣﺰ اﻟﻌﺸﺮة ﻟﯿﺪل ذﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻗﻤﯿﻦ وھﻜﺬا ،وﺑﺬﻟﻚ ﻓﺈن اﻷرﻗﺎم اﻟﺮوﻣﺎﻧﯿﺔ اﻷوﻟﻰ ھﻲ: IX VIII VII VI V IV III II I اﻷرﻗ ﺎم اﻟﺮوﻣﺎﻧﯿ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ ﺮة ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ﺎم اﻟﻤﻌﺎﺻ ﻦ اﻷرﻗ ﺎﻣ ﺎ ﯾﻘﺎﺑﻠﮭ ﻣ XVI XIII XII XI X اﻷرﻗ ﺎم اﻟﺮوﻣﺎﻧﯿ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ ﺮة ١٠ ١١ ١٢ ١٣ ١٤ ﺎم اﻟﻤﻌﺎﺻ ﻦ اﻷرﻗ ﺎﻣ ﺎ ﯾﻘﺎﺑﻠﮭ ﻣ وھﻜ
ﺬا إﻟ
ﻰﻋ
ﺸﺮﯾﻦ
ﺛ
XX
ﻢ ﺛﻼﺛ
ﯿﻦXXX
وﻟﺘﺠﻨ ﺐ ﺗﻜ ﺮار رﻣ ﺰ أرﺑ ﻊ ﻣ ﺮات ﻟﻠﺪﻻﻟ ﺔ ﻋﻠ ﻰ ٤٠ھﻜ ﺬا XXXXوﺿ ﻊ رﻣ ﺰ Lﻟﻠﺪﻻﻟ ﺔ ﻋﻠ ﻰ اﻟﻌ ﺪد ﺧﻤ ﺴﯿﻦ وﯾﻌﺘﻘﺪ أﻧﮫ اﻟﻨﺼﻒ اﻷﺳﻔﻞ ﻣﻦ ﺣﺮف Cاﻟﺪال ﻋﻠﻰ ﻣﺎﺋﺔ وھﻮ اﻟﺤﺮف اﻷول ﻣﻦ ﻛﻠﻤﺔ ( Centumأي ﻣﺎﺋ ﺔ (، ٩١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻓﺈن اﻟﻌﺪد ٤٠ﯾﻜﺘﺐ ھﻜﺬا XLﺑﯿﻨﻤﺎ ﺗﺪل LXﻋﻠﻰ اﻟﻌﺪد ﺳﺘﯿﻦ ،ﻛﺬﻟﻚ ﻓﺈن XCﺗﺪل ﻋﻠﻰ ٩٠ﺑﯿﻨﻤﺎ CXﺗﺪل ﻋﻠﻰ ﻣﺎﺋﺔ وﻋﺸﺮة ) ( ١١٠ﺛﻢ اﺳﺘﺨﺪم ﺣﺮف Mﻟﻠﺪﻻﻟﺔ ﻋﻠ ﻰ اﻟﻌ ﺪد أﻟ ﻒ ) ( ١٠٠٠رﺑﻤ ﺎ ﻷن M ھ ﻮ اﻟﺤ ﺮف اﻷول ﻣ ﻦ ﻛﻠﻤ ﺔ Milleاﻟﻼﺗﯿﻨﯿ ﺔ ﺑﻤﻌﻨ ﻰ أﻟ ﻒ ) ( ١٠٠٠وﻗﺒ ﻞ ذﻟ ﻚ ﻛ ﺎن ﯾ ﺘﻢ اﻟﺘﻌﺒﯿ ﺮ ﻋ ﻦ اﻟﻌ ﺪد ١٠٠٠ﺑﺎﻟﺤﺮف ) ﻓﺄي ( اﻟﯿﻮﻧﺎﻧﻲ ﺛﻢ ﻛﺘﺐ ﺑﺼﻮرة ﺑﺴﯿﻄﺔ ھﻜ ﺬا ) (Iوھ ﺬا ﺗﺤ ﻮر إﻟ ﻰ Mﻟﻠﺪﻻﻟ ﺔ ﻋﻠ ﻰ ١٠٠٠ أﻣﺎ اﻟﻌﺪد ٥٠٠ﻓﻘﺪ ﻛﺎن ﯾﺘﻢ اﻟﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻨﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ وھﻮ ﻛﻤﺎ ﺗﺮى اﻟﺠﺰء اﻷﯾﻤﻦ ﻣﻦ ﺣ ﺮف ) ( Iﻓ ﺄي ﻓ ﻲ ﺻ ﻮرﺗﮫ اﻟﺒﺴﯿﻄﺔ ﺛﻢ ﺗﺤﻮر اﻟﺮﻣﺰ اﻟﺪال ﻋﻠﻰ ﺧﻤﺴﻤﺎﺋﺔ إﻟﻰ ﺣﺮف D.واﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ ﯾﺒ ﯿﻦ ﺑﺎﺧﺘ ﺼﺎر اﻟﺮﻣ ﻮز اﻷﺳﺎﺳ ﯿﺔ ﺎﻧﻲ: ﺪ اﻟﺮوﻣ ﺎم اﻟﻌ ﻟﻨﻈ M 1000
D 500
C 100
X
L 50
10
V 5
I 1
وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ﻚ ﻓ ﺈن اﻟﻌ ﺪد MXDVIIIﯾ ﺪل ﻋﻠ ﻰ ، ١٤٠٨واﻟﻌ ﺪد MMCCCXXLVﯾ ﺪل ﻋﻠ ﻰ ، ٢٣٢٤ وھﻜ ﺬا.. MCMXCIX واﻟﻌ ﺎم ١٩٩٩ﯾ ﺪل ﻋﻠﯿ ﮫ اﻟﻌ ﺪد وﻗﺪ ﻇﻞ اﻟﻨﻈﺎم اﻟﺮوﻣﺎﻧﻲ ﺳﺎﺋﺪا ﻓﻲ أورﺑﺎ ﺣﺘﻰ دﺧﻮل اﻟﻨﻈﺎم اﻟﻌﺮﺑﻲ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ ] -ﻧﺴﺒﺔ إﻟﻰ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻣﻮﺳﻰ اﻟﺨﻮارزﻣﻲ ﻣﺆﺳﺲ ﻋﻠﻢ اﻟﺠﺒ ﺮ ) ﻣ ﻦ ١٦٤ه إﻟ ﻰ ٢٣٥ه( ) [ -ﻓ ﻲ اﻟﻘ ﺮن اﻟﻌﺎﺷ ﺮ اﻟﻤ ﯿﻼدي( وﻇ ﻞ اﻟﻨﻈﺎﻣ ﺎن ﯾﺘﻨﺎﻓﺴﺎن ﻓﻲ أوروﺑﺎ ﻗﺮاﺑﺔ أرﺑﻌﺔ ﻗﺮون إﻟﻰ أن ﺳﺎد اﻟﻨﻈﺎم اﻟﻌﺮﺑ ﻲ ﻟ ﺴﮭﻮﻟﺘﮫ ﻓ ﻲ ﺗ ﺴﺠﯿﻞ اﻷﻋ ﺪاد وﻓ ﻲ إﺟ ﺮاء اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ دون ﺣﺎﺟﺔ إﻟﻰ اﻟﻤﻌﺪاد اﻟﺬي ﻛﺎن ﯾ ﺴﺘﺨﺪم ﻓ ﻲ ﻇ ﻞ اﻟﻨﻈ ﺎم اﻟﺮوﻣ ﺎﻧﻲ ) .واﻟﻤﻌ ﺪاد ھ ﻮ ﺟﮭ ﺎز ﻋﻨﺪ اﻟﺮوﻣﺎن(.
ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﻠﻔﻆ ﺘﻨﻘﺴﻡ ﺃﻟﻔﺎﻅ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺇﻟﻰ ﻗﺴﻤﻴﻥ:
:١ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ) :(cardinalﻭﺍﺤﺩ )ﺃﺤﺩ( ،ﺍﺜﻨﺎﻥ ،ﺜﻼﺙ ،ﺃﺭﺒﻊ ،ﺨﻤﺱ ،ﺴﺕ ،ﺴﺒﻊ ،ﺜﻤﺎﻥ ،ﺘﺴﻊ ،ﻋﺸﺭ،
ﻋﺸﺭﻭﻥ ،ﺜﻼﺜﻭﻥ ،ﺃﺭﺒﻌﻭﻥ ، … ،ﺘﺴﻌﻭﻥ ،ﻤﺌﺔ ،ﺃﻟﻑ .ﻭﻫﻲ ﺘﻠﻙ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﻴﻥ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻤﻌﺩﻭﺩﻫﺎ .ﻓﺈﺫﺍ ﻗﻠﺕ: "ﺠﺎﺀﺕ ﺨﻤﺱ ﻓﺘﻴﺎﺕ" ﺃﻭ " ﺠﺎﺀ ﺨﻤﺴﺔ ﺭﺠﺎل" ،ﻓﻬﻡ ﺍﻟﺴﺎﻤﻊ ﺃﻨﻙ ﺘﻌﻨﻲ ﻓﺘﻴﺎﺕﹲ ﺒﻠﻎ ﻤﻘﺩﺍﺭﻫﻥ "ﺨﻤﺱ" ﻭﺭﺠﺎﻻﹰ ﺒﻠﻎ
ﻤﻘﺩﺍﺭﻫﻡ "ﺨﻤﺴﺔ" ٦.ﻭﻴﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﺘﻠﻙ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺒﺎﻟﺭﻤﻭﺯ )ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ( ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻓﺔ.( 9 , 8 , 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1):
:٢ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺒﻴﺔ ) :(ordinalﻭﻫﻲ ﺘﻠﻙ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺸﻴﺭ ﺇﻟﻰ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻌﺩﻭﺩﻫﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻏﻴﺭﻩ .ﻭﻗﺩ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺫﹼﻜﺭﺓ :ﺍﻷﻭل ،ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ،ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ،ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ …ﺍﻟﺦ ،ﺃﻭ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺅﻨﺜﺔ :ﺍﻷﻭﻟﻰ ،ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ،ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ،ﺍﻟﺭﺍﺒﻌﺔ …ﺍﻟﺦ .ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻠﻐﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﻻ ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﺘﻠﻙ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺒﺭﻤﻭﺯ )ﺃﺭﻗﺎﻡ( ﻤﻌﺭﻭﻓﺔ ،ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺎل ﻓﻲ ﺍﻟﻠﻐﺔ ﺍﻹﻨﻜﻠﻴﺯﻴﺔ ﻤﺜﻼﹰ: ) .(1st , 2nd, 3rd, 4th
ﻣﺸﻜﻼﺕ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺃ :ﻤﺸﻜﻠﺔ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﺩ: ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻨﻭﻋﺎﻥ :ﻤﺒﻬﻡ ﻭﺼﺭﻴﺢ .ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺒﻬﻡ ﻭﻫﻭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩلّ ﻋﻠﻴﻪ ﺒﻜﻨﺎﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩ :ﻜﻡ ،ﻜﺄﻴﻥ ،ﻜﺫﺍ .ﻭﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺭﻴﺤﺔ ﻫﻲ )ﺍﻟﻤﺒﺎﺭﻙ ،ﻭﺁﺨﺭﻭﻥ:( ١٩٨٣ ، – ﻤﻥ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﺸﺭﺓ. ٩٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
– ﺃﻟﻔﺎﻅ ﺍﻟﻌﻘﻭﺩ :ﻋﺸﺭﻭﻥ ،ﺜﻼﺜﻭﻥ ،ﺃﺭﺒﻌﻭﻥ … ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺘﺴﻌﻴﻥ. – ﺍﻟﻤﺎﺌﺔ ﻭﺍﻷﻟﻑ ﻭﻤﺜﻨﺎﻫﻤﺎ ﻭﺠﻤﻌﻬﻤﺎ ﻭﻤﺎ ﺠﺭﻯ ﻤﺠﺭﺍﻫﻤﺎ ﻜﺎﻟﻤﻠﻴﻭﻥ ﻭﺍﻟﺒﻠﻴﻭﻥ ﻭﺍﻟﺘﺭﻴﻠﻴﻭﻥ … ﻭﻟﻬﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺤﻴﺙ ﺍﻟﻤﻁﺎﺒﻘﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺫﻜﻴﺭ ﻭﺍﻟﺘﺄﻨﻴﺙ ﺃﻭ ﻋﺩﻤﻬﺎ ﺍﻷﺤﻜﺎﻡ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ: :١ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺒﻠﻔﻅ ﻭﺍﺤﺩ ﻟﻠﻤﺫﻜﺭ ﻭﺍﻟﻤﺅﻨﺙ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻴﻥ )ﺏ( ﻭ )ﺝ( ﺃﻋﻼﻩ ،ﻨﺤﻭ: »ﻋﻨﺩﻱ ﻋﺸﺭﻭﻥ ) ﺜﻼﺜﻭﻥ ،ﻤﺌﺔ ،ﺃﻟﻑ ،ﻤﻠﻴﻭﻥ ،ﺒﻠﻴﻭﻥ( ﻟﻴﺭﺓ ،ﻋﻨﺩﻱ ﻋﺸﺭﻭﻥ ) ﺜﻼﺜﻭﻥ ،ﻤﺌﺔ ،ﺃﻟﻑ ،ﻤﻠﻴﻭﻥ ،ﺒﻠﻴﻭﻥ( ﺩﻴﻨﺎﺭﺍﹰ «. ) :٢ﻭﺍﺤﺩ ،ﺍﺜﻨﺎﻥ( ﻴﻭﺍﻓﻘﺎﻥ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﺩ ﺩﺍﺌﻤﺎﹰ ﻓﻴﺫﻜﺭﺍﻥ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺫﻜﺭ ﻭﻴﺅﻨﺜﺎﻥ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺅﻨﺙ ﺴﻭﺍﺀ ﺃﻜﺎﻨﺎ ﻤﻔﺭﺩﻴﻥ ﺃﻡ ﻤﺭﻜﺒﻴﻥ ﺃﻡ ﻤﺘﻌﺎﻁﻔﻴﻥ ،ﻨﺤﻭ» :ﻫﺫﺍ ﺩﻴﻨﺎﺭ ﻭﺍﺤﺩ ،ﻫﺫﺍﻥ ﺩﻴﻨﺎﺭﺍﻥ ﺍﺜﻨﺎﻥ ،ﻫﺫﻩ ﻟﻴﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ،ﻫﺎﺘﺎﻥ ﻟﻴﺭﺘﺎﻥ ﺍﺜﻨﺘﺎﻥ ،ﻋﻨﺩﻱ ﺃﺤﺩ ﻋﺸﺭ ﺴﻬﻤﺎﹰ ،ﻋﻨﺩﻱ ﺍﺜﻨﺎ ﻋﺸﺭ ﺴﻬﻤﺎﹰ ،ﻋﻨﺩﻱ ﺇﺤﺩﻯ ﻋﺸﺭﺓ ﻟﻴﺭﺓ ،ﻋﻨﺩﻱ ﺍﺜﻨﺘﺎ ﻋﺸﺭﺓ ﻟﻴﺭﺓ ،ﻋﻨﺩﻱ ﻭﺍﺤﺩ ﻭﻋﺸﺭﻭﻥ ﺩﻭﻻﺭﺍﹰ ،ﻋﻨﺩﻱ ﺍﺜﻨﺎﻥ ﻭﻋﺸﺭﻭﻥ ﺩﻭﻻﺭﺍﹰ ،ﻋﻨﺩﻱ ﺇﺤﺩﻯ ﻭﻋﺸﺭﻭﻥ ﺃﻭﻗﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺫﻫﺏ ،ﻋﻨﺩﻱ ﺍﺜﻨﺘﺎﻥ ﻭﻋﺸﺭﻭﻥ ﺃﻭﻗﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺫﻫﺏ«. ) :٣ﺜﻼﺜﺔ ﺇﻟﻰ ﺘﺴﻌﺔ( ﺘﺨﺎﻟﻑ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﺩ ﻓﺘﺫﻜﺭ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺅﻨﺙ ﻭﺘﺅﻨﺙ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺫﻜﺭ ،ﺴﻭﺍﺀ ﺃﻜﺎﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻤﻔﺭﺩﺍﹰ ﺃﻡ ﻤﺭﻜﺒﺎﹰ ﺃﻡ ﻤﺘﻌﺎﻁﻔﺎﹰ ،ﻨﺤﻭ » :ﺜﻼﺙ ﻟﻴﺭﺍﺕ ،ﺜﻼﺜﺔ ﺩﻨﺎﻨﻴﺭ ،ﺜﻼﺙ ﻋﺸﺭﺓ ﻟﻴﺭﺓ ،ﺜﻼﺜﺔ ﻋﺸﺭ ﺩﻴﻨﺎﺭﺍﹰ ،ﺜﻼﺙ ﻭﻋﺸﺭﻭﻥ ﻟﻴﺭﺓ ،ﺜﻼﺜﺔ ﻭﻋﺸﺭﻭﻥ ﺩﻴﻨﺎﺭﺍﹰ «.
:٤ﺍﻟﻌﺩﺩ )ﻋﺸﺭﺓ( ﻴﺨﺎﻟﻑ ﻤﻌﺩﻭﺩﻩ ﺇﻥ ﻜﺎﻥ ﻤﻔﺭﺩﺍﹰ ﻭﻴﻭﺍﻓﻘﻪ ﺇﻥ ﻜﺎﻥ ﻤﺭﻜﺒﺎﹰ ،ﻨﺤﻭ» :ﻋﺸﺭ ﻟﻴﺭﺍﺕ ،ﻋﺸﺭﺓ ﺩﻨﺎﻨﻴﺭ ،
ﺜﻼﺙ ﻋﺸﺭﺓ ﻟﻴﺭﺓ ،ﺜﻼﺜﺔ ﻋﺸﺭ ﺩﻴﻨﺎﺭﺍﹰ «. ﺏ :ﻤﺸﻜﻠﺔ ﺍﻟﺘﻤﻴﻴﺯ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻭﺍﻟﺭﻗﻡ: ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻫﻭ ﺘﻌﺒﻴﺭ ﺭﻗﻤﻲ ﻋﻥ ﻜﻤﻴﺔ ﻤﻌﺩﻭﺩﺓ ﻭﻴﻠﻔﻅ ﺒﻜل ﻤﺭﺍﺘﺒﻪ .ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﻓﻬﻭ ﺭﻤﺯ ﻤﺠﺭﺩ ﺒﺩﻭﻥ ﻤﻌﺩﻭﺩ ،ﻤﺜل :ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻬﺎﺘﻑ ،ﺭﻗﻡ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ،ﻭﺭﻗﻡ ﺍﻟﺒﻨﺎﺀ …ﺇﻟﺦ ،ﻭﻴﻔﻀل ﺃﻥ ﻴﻠﻔﻅ ﺒﺩﻭﻥ ﻤﺭﺍﺘﺏ ﻜﺄﻥ ﻨﻠﻔﻅ ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻬﺎﺘﻑ ٧٦٣٤٣٠ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺃﺯﻭﺍﺝ ٧٦ﻭ ٣٤ﻭ ٣٠ﻭﺫﻟﻙ ﻟﺴﻬﻭﻟﺔ ﺍﻟﻔﻬﻡ ﻭﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ .ﻭﻗﺩ ﺍﺴﺘﺨﺩﻤﺕ ﺭﻤﻭﺯ ﻤﺘﻌﺩﺩﺓ ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﺨﺘﻠﻔﺕ ﺒﺎﺨﺘﻼﻑ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﻭﺍﻟﺯﻤﺎﻥ. ﺝ :ﻤﺸﻜﻠﺔ ﺍﻟﺒﻠﻴﻭﻥ ﺍﻹﻨﻜﻠﻴﺯﻱ ﻭﺍﻟﺒﻠﻴﻭﻥ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻲ )ﻤﺸﻜﻠﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ(: "ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺭﺏ ﻟﻔﻅ ﻟﻠﻌﺩﺩ ﺇﺫﺍ ﺘﺠﺎﻭﺯ ﺍﻷﻟﻑ ،ﻓﻜﺎﻨﻭﺍ ﻴﻌﺒﺭﻭﻥ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﻠﻴﻭﻥ ) ( 1,000,000ﺒﻘﻭﻟﻬﻡ »ﺃﻟﻑﹸ ﺃﻟﻑٍ«، ﻭﻋﻥ ﺍﻟﻤﻠﻴﺎﺭ ) – ( 1,000,000,000ﻭﻴﺴﻤﻰ ﻋﻨﺩ ﺍﻹﻨﻜﻠﻴﺯ ]ﺒل ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻋﻨﺩ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﺎﻥ[ »ﺒﻠﻴﻭﻥ« -ﺒﻘﻭﻟﻬﻡ »ﺃﻟﻑﹸ ﺃﻟﻑِ ﺃﻟﻑٍ«".
٨
ﻭﻟﻘﺩ ﺃﻭﺭﺩ ) (Hornby, 1978, p. 1036ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺒﻴﻥ ﻟﻨﺎ ﺍﻷﺴﻤﺎﺀ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﺒﻌﺽ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻓﻲ ﻜل ﻤﻥ ﺒﺭﻴﻁﺎﻨﻴﺎ ﻭﺍﻟﺩﻭل ﺍﻷﻭﺭﺒﻴﺔ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ،ﻭﺍﻟﻭﻻﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺤﺩﺓ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻴﺔ ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ: ﺍﻟﺠﺩﻭل )(I ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ ﻭﺍﻻﺴﻡ ﺍﻟﻠﻔﻅﻲ ﻟﺒﻌﺽ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻋﻤﻮد )(١
ﻋﻤﻮد )(٢
ﻋﻤﻮد )(٣
ﻋﻤﻭﺩ )(٤
اﻟﻌﺪد
اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻌﻠﻤﻲ ﻟﻠﻌﺪد
اﻻﺳﻢ اﻟﻠﻔﻈﻲ ﻓﻲ اﻟﻮﻻﯾﺎت اﻟﻤﺘﺤﺪة اﻷﻣﺮﯾﻜﯿﺔ
ﺍﻻﺴﻡ ﺍﻟﻠﻔﻅﻲ ﻓﻲ
٩٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺒﺭﻴﻁﺎﻨﻴﺎ ﻭﺍﻟﺩﻭل ﺍﻷﻭﺭﺒﻴﺔ ﺍﻷﺨﺭﻯ
1,000,000,000
١٠٩
ﺑﻠﯿﻮن )(billion
١,000,000,000,000
١٠١٢
ﺃﻟﻑ ﻤﻠﻴﻭﻥ
ﺗﺮﻟﯿﻮن )(trillion
١,000,000,000,000,000
١٠١٥
ﺒﻠﻴﻭﻥ )(billion
ﻛﻮادرﻟﯿﻮن )(quadrillion
ﺃﻟﻑ ﺒﻠﻴﻭﻥ
1,000,000,000,000,000,000
١٠١٨
ﻛﻮِﻧﺘﻠﯿﻮن )(quintillion
ﺘﺭﻟﻴﻭﻥ )(trillion
ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ) ( Iﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﺒﻠﻴﻭﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﻻﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺤﺩﺓ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻴﺔ ﻻ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺒﻠﻴﻭﻥ ﻓﻲ ﺒﺭﻴﻁﺎﻨﻴﺎ ﻭﺍﻟﺩﻭل ﺍﻷﻭﺭﺒﻴﺔ ﺍﻷﺨﺭﻯ ،ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﻋﺩﺩ ﺃﺼﻔﺎﺭ ﺍﻷﻭل ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺘﺴﻌﺔ ﻭﻋﺩﺩ ﺃﺼﻔﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺃﺜﻨﻲ ﻋﺸﺭ ﺼﻔﺭﺍﹰ )ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺜﻼﺙ ﺃﺼﻔﺎﺭ(. ﻜﺫﻟﻙ ﻫﻨﺎﻙ ﻓﺭﻕ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺴﺘﺔ ﺃﺼﻔﺎﺭ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﺭﻟﻴﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺩﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﻻﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺤﺩﺓ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻴﺔ ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ،ﻭﺍﻟﺘﺭﻟﻴﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺩﻡ ﻓﻲ ﺒﺭﻴﻁﺎﻨﻴﺎ ﻭﺍﻟﺩﻭل ﺍﻷﻭﺭﺒﻴﺔ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ! ﻻ ﺸﻙ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻻﺨﺘﻼﻑ ﻴﺨﻠﻕ ﻤﺸﺎﻜل ﺠﻤﺔ ﻟﻺﺤﺼﺎﺌﻴﻴﻥ ﻭﻟﻠﺒﺎﺤﺜﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ،ﻭﻴﺘﻁﻠﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺩﻗﺔ ﻭﺍﻟﺤﺫﺭ ﻋﻨﺩ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻜﻠﻤﺎﺕ ﻭﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻌﻬﺎ. ﺇﻥ ﻭﺠﻭﺩ ﺍﻟﻤﻘﺭ ﺍﻟﺭﺌﻴﺱ ﻟﻸﻤﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺩﺓ ،ﻭﻤﻘﺎﺭ ﻤﻨﻅﻤﺎﺕ ﺩﻭﻟﻴﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻤﺜل :ﺼﻨﺩﻭﻕ ﺍﻟﻨﻘﺩ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﻭﺍﻟﺒﻨﻙ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﻻﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺤﺩﺓ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻴﺔ ،ﻭﺍﻋﺘﻤﺎﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻨﻅﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻨﻰ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻲ ﻟﻸﻋﺩﺍﺩ )ﻋﻤﻭﺩ ٣ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ،( Iﺴﺎﻋﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻨﺘﺸﺎﺭ ﺍﻻﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻲ ﻟﻬﺎ ﻭﺍﻨﺩﺜﺎﺭ ﺍﻻﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺒﺭﻴﻁﺎﻨﻲ ﺘﺩﺭﻴﺠﻴﺎﹰ ،ﺤﺘﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﺒﺭﻴﻁﺎﻨﻴﻴﻥ ﺃﻨﻔﺴﻬﻡ ﺒﺩﺅﻭﺍ ﻴﺴﺘﺨﺩﻤﻭﻥ ﻭﺒﺸﻜل ﻤﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﻻﺴﻡ ﻭﺍﻟﻤﻌﻨﻰ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻲ ﻟﻠﺒﻠﻴﻭﻥ ،ﻭﺇﻁﻼﻕ ﻜﻠﻤﺔ "ﺍﻟﺒﻠﻴﻭﻥ ﺍﻟﺘﻘﻠﻴﺩﻱ" ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻠﻴﻭﻥ ﺫﻭ ﺍﻻﺜﻨﻲ ﻋﺸﺭ ﺼﻔﺭﺍﹰ .ﺇﺫﺍﹰ ،ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﻭﺼﻭل ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻫﻲ ﺃﻥ ﻤﻌﺎﻨﻲ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ٤ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ) (Iﻫﻲ ﻋﻤﻠﻴﺎﹰ ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﻌﻤﻠﺔ ﺤﺎﻟﻴﺎﹰ ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺩﻭل ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ،ﻤﺎ ﻋﺩﺍ ﻤﻌﻨﻰ "ﺃﻟﻑ ﻤﻠﻴﻭﻥ" ،ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﻜﺜﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻹﻨﻜﻠﻴﺯ ﻜﺎﻨﻭﺍ ﻭﻻﺯﺍﻟﻭﺍ ﻴﻔﻀﻠﻭﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺴﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻜﻠﻤﺔ "ﺒﻠﻴﻭﻥ" ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺩﻤﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻴﻴﻥ ﻭﺁﺨﺭﻴﻥ ﻏﻴﺭﻫﻡ ،ﻤﻊ ﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ .1,000,000,000
ﻜﺫﻟﻙ ﺘﺠﺩﺭ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ ﻜﻠﻤﺔ ﻤﻠﻴﺎﺭ ) (milliardﻓﻲ ﺍﻟﻠﻐﺔ ﺍﻹﻨﻜﻠﻴﺯﻴﺔ ﻫﻲ ﺫﺍﺕ ﺃﺼل ﻓﺭﻨﺴﻲ ٩،ﻟﻜﻨﻬﺎ ﻋﻤﻠﻴﺎﹰ ﻻ ﺘﺴﺘﺨﺩﻡ ﻓﻲ ﺒﺭﻴﻁﺎﻨﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺭﻏﻡ ﻤﻥ ﺘﻔﻀﻴل ﺍﻟﻔﺭﻨﺴﻴﻴﻥ ﻭﺒﻌﺽ ﺍﻟﻌﺭﺏ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺴﻤﻴﺔ ،ﻤﻊ ﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻨﻬﺎ ﻜﺫﻟﻙ ﺘﺴﺎﻭﻱ 1,000,000,000ﻭﺘﻌﺎﺩل ﺍﻟﺒﻠﻴﻭﻥ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻲ. ﺇﺫﺍﹰ ،ﻤﺎ ﻴﺠﺏ ﺘﺫﻜﺭﻩ ﺩﺍﺌﻤﺎﹰ ﻫﻭ ﺃﻥ: ﻤﻠﻴﺎﺭ ﻓﻲ ﻓﺭﻨﺴﺎ = ﺃﻟﻑ ﻤﻠﻴﻭﻥ ﻓﻲ ﺒﺭﻴﻁﺎﻨﻴﺎ = ﺒﻠﻴﻭﻥ ﻓﻲ ﺃﻤﺭﻴﻜﺎ = 1,000,000,000
ﻭﻟﻨﺘﺴﺎﺀل ﺍﻵﻥ ﻜﻡ ﻫﻭ ﻜﺒﻴﺭ ﺍﻟﺒﻠﻴﻭﻥ ،ﺍﻟﺘﺭﻟﻴﻭﻥ ،ﺍﻟﻜﻭﺍﺩﺭﻟﻴﻭﻥ ،ﻭﺍﻟﻜﻭِﻨﺘﻠﻴﻭﻥ ؟ ٩٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺇﻥ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ) (٤ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ) ،(IIﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺒﻠﻴﻭﻥ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺘﻘﺭﻴﺒﺎﹰ ٣٢ﺴﻨﺔ ،ﻴﻌﻁﻲ ﻓﻜﺭﺓ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ. ﺤﻘﻴﻘﺔ ﺃﻥ ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ ﺍﻟﻨﻴﺎﻨﺩﺭﺘﺎﻟﻲ ) – (Neanderthal manﻭﻫﻭ ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻭﺍﺩﻱ ﺍﻟﻨﻴﺎﻨﺩﺭﺘﺎل ﻗﺭﺏ ١٠
ﺩﻭﺴﻴﻠﺩﻭﻑ ﺒﺄﻟﻤﺎﻨﻴﺎ ﺠﺩﻴﺭﺓ ﺒﺎﻟﺘﻔﻜﺭ.
١١
ﺤﻴﺙ ﻭﺠﺩﺕ ﺒﻘﺎﻴﺎ ﻫﻴﻜل ﻋﻅﻤﻲ ﻹﻨﺴﺎﻥ ﻗﺩﻴﻡ – ﻗﺩ ﺃﻨﻘﺭﺽ ﻤﻨﺫ ﺤﻭﺍﻟﻲ ﺘﺭﻟﻴﻭﻥ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﻬﻲ
ﺍﻟﺠﺩﻭل )(II ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺒﻌﺽ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺒﺎﻟﺜﻭﺍﻨﻲ ﻭﺘﺤﻭﻴﻠﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﺩﻗﺎﺌﻕ ،ﺃﻴﺎﻡ ﺃﻭ ﺴﻨﻭﺍﺕ ﻋﻤﻭﺩ )(١
ﻋﻤﻭﺩ )(٢
ﻋﻤﻭﺩ )(٣
ﻋﻤﻭﺩ )(٤
ﺍﻟﻌﺩﺩ
ﻋﺩﺩ
ﺍﻻﺴﻡ ﺍﻟﻠﻔﻅﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﻻﻴﺎﺕ
ﺍﻟﺭﻗﻡ ﻤﺤﺩﺩﺍﹰ ﺒﺎﻟﺜﻭﺍﻨﻲ
ﺍﻷﺼﻔﺎﺭ
ﺍﻟﻤﺘﺤﺩﺓ ﺍﻷﻤﺭﻴﻜﻴﺔ
ﻭﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﹻ :
١,000
٣
ﺃﻟﻑ )(thousand
١٧ﺩﻗﻴﻘﺔ
١,000,000 1,000,000,000
٦
ﻤﻠﻴﻭﻥ ) (million
١١,٥ﻴﻭﻡ
٩
ﺒﻠﻴﻭﻥ )(billion
٣٢ﺴﻨﺔ
١,000,000,000,000
١٢
ﺘﺭﻟﻴﻭﻥ )(trillion
٣٢ﺃﻟﻑ ﺴﻨﺔ
1,000,000,000,000,000
١٥
ﻜﻭﺍﺩﺭﻟﻴﻭﻥ
٣٢ﻤﻠﻴﻭﻥ ﺴﻨﺔ
1,000,000,000,000,000,000
١٨
)(quadrillion ﻜﻭِﻨﺘﻠﻴﻭﻥ )(quintillion
٣٢ﺒﻠﻴﻭﻥ ﺴﻨﺔ
إذا ﻓﺮﺿﻨﺎ أن اﻹﻧﺴﺎن ﯾﺤﺘﺎج إﻟﻰ ﻋﺸﺮ ﺛﻮانٍ ﻛﻲ ﯾﻌﺪ ﻣﻦ اﻟﻮاﺣﺪ إﻟﻰ اﻟﻌﺸﺮة )أي ﯾﻌﺪ رﻗﻤﺎً واﺣﺪًا ﺑﺎﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﻮاﺣﺪة( ،ﻓﮭﺬا ﯾﻌﻨﻲ إن اﻹﻧﺴﺎن ﯾﺤﺘﺎج إﻟﻰ ٣٢ﺳﻨﺔ ﻛﻲ ﯾﻌﺪ ﻣﻦ اﻟﻮاﺣﺪ إﻟﻰ اﻟﺒﻠﯿﻮن ،وﯾﺤﺘﺎج إﻟﻰ ٣٢أﻟﻒ ﺳﻨﺔ ﻛﻲ ﯾﻌﺪ ﻣﻦ اﻟﻮاﺣﺪ إﻟﻰ اﻟﺘﺮﻟﯿﻮن )ﺣﺴﺐ اﻻﺳﺘﺨﺪام اﻷﻣﺮﯾﻜﻲ( ١٢.ﻛﺬﻟﻚ إذا اﻓﺘﺮﺿﻨﺎ أن ﻧﻄﻖ ﻛﻠﻤﺘﻲ "اﻟﺤﻤﺪ ﷲ" ﺑﺘﺪﺑﺮ ﯾﺤﺘﺎج إﻟﻰ ﺛﺎﻧﯿﺔ واﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﺰﻣﻦ – وھﺬا اﻓﺘﺮاض ﻟﯿﺲ ﺑﺒﻌﯿﺪ ﻋﻦ اﻟﺤﻘﯿﻘﺔ ،ﺟﺮب ھﺬا إذا ﻛﻨﺖ ﻻ ﺗﺼﺪق ،-ﻓﮭﺬا ﯾﻌﻨﻲ أﻧﻨﺎ إذا أردﻧﺎ ﺣﻤﺪ اﷲ 1,000,000,000ﻣﺮة ١٣ ﻓﻘﻂ ،ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ ٣٢ﺳﻨﺔ.
٩٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ ²اﻟﻤﺠــــــــــــــﺎل :ﻣﺠﻤـــــــــﻮﻋﺔ اﻟﻌﻨــــــــﺎﺻﺮ اﻟﺘﻰ ﯾﺄﺧـــــــﺬھﺎ اﻟﻤﺘﻐـــﯿﺮ س ﺑﺤــــﯿﺚ ﯾﻜــــــﻮن اﻟﻨــﺎﺗــــﺞ ﻛﻤﯿﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ " ﻋـﺪد ﺣﻘﯿﻘﻰ " . ²ﻗـﻮاﻋــــﺪ ھـــﺎﻣﺔ : (١ﻣﺠﺎل أى داﻟﺔ ﻛﺜﯿﺮة اﻟﺤﺪود ﻣﮭﻤﺎ ﻛﺎن درﺟﺘﮭﺎ = ح . (٢ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ = ح -أﺻﻔـــــــﺎر اﻟﻤﻘــــــــﺎم . ²ﺣـــﺎﻟﺔ ﺧـــــﺎﺻﺔ ï :ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ = ح ﻓﻰ اﻟﺤﺎﻻت اﻷﺗﯿﺔ : * اﻟﻤﻘﺎم داﻟﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ .
* اﻟﻤﻘﺎم ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة س ن +أ ﺣﯿﺚ ن ← زوﺟﻰ ،أ Эح
+
* اﻟﻤﻘﺎم ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة أ س + ٢ب س +ﺟـ :ﺣﯿﺚ اﻟﻤﻤﯿﺰ ﯾﻜﻮن ﺳﺎﻟﺒﺎً . (٣ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺠﺬرﯾﺔ : أوﻻً :ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن دﻟﯿﻞ اﻟﺠﺬر ﻓــﺮدﯾﺎً : * ﻣﺠﺎل د ) س ( = ح
← ﻣﺠﺎل د ) س ( = ح
د)س(=
ﺛﺎﻧﯿﺎً :ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن دﻟﯿﻞ اﻟﺠﺬر زوﺟﯿﺎ : * ﻣﺠﺎل د ) س ( ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ اﻟﺤﻘﯿﻘﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺠﻌﻞ ﻣﺎ ﺗﺤﺖ اﻟﺠﺬر ﻛﻤﯿﺔ ﻏﯿﺮ ﺳﺎﻟﺒﺔ ) ≤ . ( ٠ د)س(= اﻟﺤـــــــــــــــــــﻞ ˙ ˙.س ← ٠ ≤ ٥ +س ≤ ← ٥ -ﻣﺠﺎل د ) س ( = ] ] ∞ ، ٥ - د)س(= اﻟﺤـــــــــــــــــــﻞ س - ٢س ٠ = ١٢ - )س(٤-
)س٠=(٣+
س٠=٤-
س٠=٣+
س=٤
س=٣-
˙ ˙.ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺠﺬرﯾﺔ ﻛﻤﯿﺔ ﻏﯿﺮ ﺳﺎﻟﺒﺔ ) ≤ . ( ٠ .˙.ﻣﺠﺎل د ) س ( = ] = [ ٣ - ، ∞ - ] U ] ∞ ، ٤ح ] ٤ ، ٣ [ - -
٩٦
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻟــــــــﺪوال ²إذا ﻛﺎﻧﺖ :د ، ١د ٢داﻟﺘﯿﻦ ﻣﺠﺎﻟﮭﻤﺎ م ، ١م ٢ﺣﯿﺚ : د : ١م ← ١ح
،
د: ٢
♦ ) د ± ١د : ( ٢م∩ ١
م٢
←ح
م٢
،
م∩ ١
م٢
≠
ﻓــــــﺈن :
←ح
♦ ) د . ١د : ( ٢م ∩ ١م ← ٢ح ♦)
ﺣﯿﺚ ف ) د ( ٢ھﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ أﺻﻔﺎر اﻟﻤﻘﺎم .
( :م ∩ ١م - ٢ف } د ← { ٢ح
²ﻧﻼﺣــﻆ ﻣﻦ ھﺬا اﻟﺘﻌﺮﯾﻒ أن ﻣﺠﻤﻮع أو ﻓﺮق أو ﺿﺮب داﻟﺘﯿﻦ ھﻮ داﻟﺔ ﺟﺪﯾﺪة ﺑﺸﺮط ) م ∩ ١م ≠ ٢ ﺣﯿﺚ ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ ھﻮ اﻟﻤﺠﺎل اﻟﻤﺸﺘﺮك ﻟﻠﺪاﻟﺘﯿﻦ د ، ١
د٢
(
أﻣﺎ ﻣﺠﺎل ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺔ داﻟﺘﯿﻦ ھﻮ اﻟﻤﺠﺎل اﻟﻤﺸﺘﺮك
ﻟﻠﺪاﻟﺘﯿﻦ ﻣﺴﺘﺒﻌﺪا ﻣﻨﮫ أﺻﻔﺎر اﻟﻤﻘﺎم . -------------------------------------------------------------------------------------------------------أﻣﺜﻠـــــــــــﺔ ﻣﺤﻠـــــــــــﻮﻟﺔ ²أوﺟـــــــﺪ ﻣﺠﺎل اﻟﺪوال اﻷﺗﯿﺔ : Œد)س(= اﻟﺤـــــــــــــــــــﻞ ﻧﻔﺮض أن :د ) ١س ( = س ← ٠ ≤ ٢ -س ≤ ← ٢ﻣﺠﺎل د ) ١س ( = ] ] ∞ ، ٢ د ) ٢س ( = - ٥س ≤ ≤ ٥ ← ٠س ← س ≥ ← ٥ﻣﺠﺎل د ) ٢س ( = [ [ ٥ ، ∞ - .˙.ﻣﺠﺎل د ) س ( = ] [ ٥ ، ∞ - [ ∩ ] ∞ ، ٢ -------------------------------------------------------------------------------------------------------•د)س(= اﻟﺤـــــــــــــــــــﻞ د )١س ( =
ïس ï ٠ ≤ ٣ +س ≤ ï ٣ -ﻣﺠﺎل د ) ١س ( = ] ] ∞ ، ٣ -
د ) ٢س ( = س ï ٢ -ﻣﺠﺎل د ) ٢س ( = ح
،
ف ) د {٢ } = ( ٢
.˙.ﻣﺠﺎل د ) س ( = ] ∩ ] ∞ ، ٣ -ح {٢} - ] ∞ ، ٣ - ] = {٢} - --------------------------------------------------------------------------------------------------------
٩٧
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
،د )٢س ( = س - ٢س ٦ -
Žإذا ﻛﺎن د ) ١س ( = * أوﺟﺪ ﻣﺠﺎل ) د . ١د ( ٢س ) ،
(س اﻟﺤـــــــــــــــــــﻞ
ïس ï ٠ ≤ ٢ -س ≤ ï ٢م = ١ﻣﺠﺎل د ) ١س ( = ] ] ∞ ، ٢
د )١س ( =
،د ) ٢س ( = س - ٢س ï ٦ -م = ٢ﻣﺠﺎل د ) ٢س ( = ح ف ) د : ( ٢ﻣﺠﺎل ) د . ١د ( ٢س = م ∩ ١م ∩ ] ∞ ، ٢ ] = ٢ح = ] ] ∞ ، ٢ ) أﺻﻔﺎر اﻟﻤﻘﺎم (
ف ) د : ( ٢س - ٢س ) ï ٦ -س ) ( ٣ -س ٠ = ( ٢ +
.˙.س = & ٣س = -
٢ .˙.ف ) د { ٢ - ، ٣ } = ( ٢ ( س = م ∩ ١م - ٢ف ) د{ ٣ } - ] ∞ ، ٢ ] = { ٢ - ، ٣ } - ] ∞ ، ٢ ] = ( ٢
.˙.ﻣﺠﺎل )
-------------------------------------------------------------------------------------------------------ﺛﺎﻧﯿﺎً :اﻟﻤﺪى ²اﻟﻤــــﺪى :ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ اﻟﺘﻰ ﯾﺄﺧﺬھﺎ اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ص وﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﯿﮫ ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ ﻣﻦ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات . [] أﺳﻔﻞ ﻗﯿﻤﺔ ،أﻋﻠﻰ ﻗﯿﻤﺔ []
[ ]١ - ، ∞ -
٤
٩٨
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
) ﻧﻮع اﻟﺪاﻟﺔ ( ²ﺗﻌﺮﯾﻒ ) :أوﻻً :اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺰوﺟﯿﺔ ( ïاﻟﺪاﻟﺔ د :س ← ص ﺗﻜﻮن زوﺟﯿﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ : د ) -س ( = د ) س ( ∀ س - ،س Эاﻟﻤﺠﺎل . * اﻟﺸﺮط اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ :ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ زوﺟﯿﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ ﻟﮭﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ ﺣﻮل اﻟﺼﺎدات . Ãﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) س ،ص ( Эﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﺈن اﻟﻨﻘﻄﺔ ) -س ،ص ( Эﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ . ------------------------------------------------------------------------------------------------------- ) ²ﺛﺎﻧﯿﺎً :اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻔﺮدﯾﺔ ( ïاﻟﺪاﻟﺔ د :س ← ص ﺗﻜﻮن ﻓﺮدﯾﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ : د ) -س ( = -د ) س ( ∀ س - ،س Эاﻟﻤﺠﺎل . * اﻟﺸﺮط اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ :ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﺮدﯾﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ ﻟﮭﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ . Ãﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) س ،ص ( ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﺈن اﻟﻨﻘﻄﺔ ) -س - ،ص ( ﺗﻘﻊ أﯾﻀﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ .
**
˙( ٢ ، ٠ ) ˙.
ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ وﻛﺬﻟﻚ ) ( ٢ - ، ٠
ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ
.˙.ﻧﺠﺪ أن اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﺮدﯾﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ .
**
˙ Э ( ٣ ، ٢ ) ˙.ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ وﻛﺬﻟﻚ ) Э ( ٣ - ، ٢ -ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ .˙.ﻧﺠﺪ أن اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﺮدﯾﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ .
**
˙ Э ( ٣ ، ٠ ) ˙.ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﺑﯿﻨﻤﺎ ) ( ٣ - ، ٠
ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ
.˙.ﻧﺠﺪ أن اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﯿﺴﺖ ﻓﺮدﯾﺔ وﻟﯿﺴﺖ زوﺟﯿﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ، ﻷﻧﮭﺎ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات .
٩٩
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
** ) اﺑﺤﺚ ﻧﻮع اﻟﺪوال اﻵﺗﯿﺔ ( : ♦١
س ٣ﺟﺎ ٣س د)س(= ٤ +١س ) -س ( ٣ﺟﺎ ) ٣ -س ( د)-س(= ٤ -)+١س(
=
س ٣ﺟﺎ ٣س = ٤د)س( = +١س
س - × ٣ﺟﺎ ٣س٤ +١س
.˙.اﻟﺪاﻟﺔ زوﺟﯿﺔ . -------------------------------------------------------------------------------------------------------♦٢
د)س(=
سس + ١س ﺟﺎ س
س -س س -س د)-س(= = - ١س × -ﺟﺎ س - ) + ١س ( ﺟﺎ ) -س ( =
سس + ١س ﺟﺎ س
= -د ) س ( .˙.اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﺮدﯾﺔ .
) اﻃـــــــــﺮاد اﻟــﺪاﻟـــــــﺔ ( ê ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ
▼ ê ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ
ê ﺛﺎﺑﺘﺔ
) ² ١اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﺰاﯾﺪﯾﺔ ( ïﯾﻘﺎل ﻟﻠﺪاﻟﺔ أﻧﮭﺎ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] أ ،ب [ إذا ﻛﺎن ﻟﻜﻞ س ، ١س ﯾﺘﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮط اﻵﺗﻰ :إذا ﻛﺎن س < ١س
ï
٢
٢
]Эأ،ب[
د)س <(١د)س(٢
Ãوﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻣــــﺔ :د ) س ( ﺗﻜﻮن ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ : ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﺘﺰاﯾﺪ ﺑﺈزدﯾﺎد ﻗﯿﻤﺔ س . Ãوﺑﻄﺮﯾﻘﺔ أﺧﺮى :د ) س ( ﺗﻜﻮن ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﯾﺼﻨﻊ زاوﯾﺔ ﺣﺎدة ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت . ------------------------------------------------------------------------------------------------------- ) ² ٢اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ( ïﯾﻘﺎل ﻟﻠﺪاﻟﺔ أﻧﮭﺎ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] أ ،ب [ إذا ﻛﺎن ﻟﻜﻞ س ، ١س ] Э ٢أ ،ب [ ﯾﺘﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮط اﻵﺗﻰ :إذا ﻛﺎن س < ١س
٢
ï
د)س >(١د)س(٢
Ãوﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻣــــﺔ :د ) س ( ﺗﻜﻮن ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ : ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﺘﻨﺎﻗﺺ ﺑﺈزدﯾﺎد ﻗﯿﻤﺔ س . Ãوﺑﻄﺮﯾﻘﺔ أﺧﺮى :د ) س ( ﺗﻜﻮن ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ١٠٠
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﯾﺼﻨﻊ زاوﯾﺔ ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت . ------------------------------------------------------------------------------------------------------- ) ² ٣اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﺑﺘﮫ ( ïﯾﻘﺎل ﻟﻠﺪاﻟﺔ أﻧﮭﺎ ﺛﺎﺑﺘﮫ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] أ ،ب [ إذا ﻛﺎن ﻟﻜﻞ س ، ١س ] Э ٢أ ،ب [ ﯾﺘﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮط اﻵﺗﻰ : إذا ﻛﺎن س < ١س
٢
ï
د)س =(١د)س=(٢أ
Ãوﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻣــــﺔ :د ) س ( ﺗﻜﻮن ﺛﺎﺑﺘﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻣﮭﻤﺎ ﻛﺎﻧﺖ ﻗﯿﻤﺔ س . -------------------------------------------------------------------------------------------------------) اﻟﻤﻘﯿـــــــــــﺎس ( ) ²ﻣﻔﮭﻮم اﻟﻤﻘﯿﺎس ( ïھﻮ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻰ ﻏﯿﺮ ﺳﺎﻟﺐ ) ≤ ( ٠ ) ²اﻟﻤﻘﯿﺎس اﻟﻌــﺪد ( ïھﻮ اﻟﺠﺬر اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﻰ اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺮﺑﻊ ھﺬا اﻟﻌﺪد . ** ﻣﺜﺎل ٥ = | ٥ - | :
|، ٠=|٠| ،
|=
) ²ﺗﻌﺮﯾﻒ " ﻓـــﻚ " اﻟﻤﻘﯿﺎس ( : | س|=
}
س -س
← ←
س≤٠ س>٠
| ،س=|٢-
}
س٢- -س٢+
←س≤٢ ←س> ٢
٢س٦+ ← س≤٣- | ٢س=|٦+ } ٢-س ← ٦-س>٣- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- ) ²ﺧﻮاص اﻟﻤﻘﯿﺎس ( : | ♣١س | ≤ ، ٠
|س|=٠
إذا ﻛﺎن س = ٠
♣٢ﻣﻘﯿﺎس اﻟﻌﺪد = ﻣﻘﯿﺎس ﻣﻌﻜﻮﺳﮫ اﻟﺠﻤﻌﻰ . | Ãأ|=|-أ| | ، |٣-|=|٣| ،س-٢)-|=|٢-س(|=|-٢س| |،س-٥|=|٥-س| | ♣٣س +ص | ≥ | س | | +ص | ♣٤ﻣﻘﯿﺎس ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻋﺪدﯾﻦ = ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻣﻘﯿﺎﺳﯿﮭﻤﺎ | ï .س ص | = | س | × | ص | ٣-| Ãس|=||×|٣-س| =|٣س| )٢-| Ãس|×|٢-|=|(٥-س|٢= |٥-س|٥- | Ãس||٢+س)|=|٢-س)(٢+س| = |(٢-س|٤-٢
١٠١
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
♣٥ﻣﻘﯿﺎس ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺔ ﻋﺪدﯾﻦ = ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺔ ﻣﻘﯿﺎﺳﯿﮭﻤﺎ . س Ã ص
س١+ س١+ ، = س٣- |س|٣-
|س| |ص|
=
♣٦ﻣﻘﯿﺎس اﻟﻌﺪد = اﻟﺠﺬر اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﻰ اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺮﺑﻊ ھﺬا اﻟﻌﺪد . | Ãأ| =
أ
٢
|= |٥
،
٥ = ٢٥
| ) ♣٧أ | ( = ٢أ ٩ = ٢ ( | ٣ - | ) ، ٢ ) ²أوﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺤﻞ ﻟﻜﻞ ﻣﻤﺎ ﯾﻠﻰ ( : Ã
|س|٣+ |س|١+
=٢ ) اﻟﺤـــــــﻞ (
س٣+ س١+ س٣+ =٢ س١+ ٢س =٢+س٣+ س = " ١ﺗﺤﻘﻖ "
=٢
ï
س٣+ س١+ س٣+ =٢- س١+ س٢-=٣+س٢- ٥" ﺗﺤﻘﻖ " س= ٣ =٢±
٥م.ح =}،١ ٣
{
|Ãس||١+س٣=|١- ) اﻟﺤــــﻞ ( |)س)(١+س٣=|(١-
| ïس٣=|١-٢
ï
س٣±=١-٢
س١-٢
س١-٢
س٤=٢
س " ٢ - = ٢ﻣﺮﻓﻮض "
.˙.م .ح = } { ٢ - ، ٢ س = " ٢ ±ﺗﺤﻘﻖ " -------------------------------------------------------------------------------------------------------|Ãس|-|٥+س٠=|٣- ) اﻟﺤـــﻞ ( | س | = | ٥ +س ï | ٣ -ﺑﺘﺮﺑﯿﻊ اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ ) ïس ) = ٢ ( ٥ +س ( ٣ -
٢
س ١٠ + ٢س = ٢٥ +س ٦ - ٢س ٩ + ١٠س ٦ +س = ٢٥ - ٩ ١٦س = ١٦ - س = " ١ -ﺗﺤﻘﻖ "
م.ح}{١-
-------------------------------------------------------------------------------------------------------١٠٢
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
٢|Ãس|< |٣-س|١+
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
س ≤ ١,٥
،
) اﻟﺤـــﻞ ( ï
س < ١,٥
س<١-
˙ ٢ | ˙.س ٢ = | ٣ -س ٣ -
،
|س=|١+س١+
٢ | .˙.س | < | ٣ -س | ١ + ٢س<٣-س١+ ٢س-س<٣+١ م.ح=[]∞،٤
س<٤
-------------------------------------------------------------------------------------------------------) رﺳــــﻢ اﻟﻤﻨﺤـﻨﯿـــﺎت ( ²ارﺳﻢ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪوال اﻵﺗﯿﺔ وﻣﻦ اﻟﺮﺳﻢ أوﺟﺪ اﻟﻤﺠﺎل واﻟﻤﺪى وﻧﻮع اﻻﻃﺮاد : ٢
Ã١
س د)س(= |س| ) اﻟﺤـــﻞ ( | س|=
}
س -س
← ←
د)س(=
}
س -س
← ←
د)س(=س،س<٠
س≤٠ س>٠
،د)س( =
٢
}
س س ٢ س -س
← س<٠ ← س>٠
س<٠ س>٠
د)س(=-س،س>٠
اﻟﻤﺠﺎل = ح = {٠ } -ح * اﻟﻤﺪى = [ ، ] ∞ ، ٠اﻟﺪاﻟﺔ زوﺟﯿﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات د ) س ( ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة [ ، ] ∞ ، ٠ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة [ ] ٠ ، ∞ -
-------------------------------------------------------------------------------------------------------١٠٣
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ٣
Ã٢
س د)س(= |س|
٣) اﻟﺤـــﻞ (
| س|=
}
د)س(=
}
س -س
←
س≤٠
←
س>٠
س٣-٢ س-٢٣
د ) س ( = س ، ٣ - ٢س < ٠
← ←
،د)س( =
٣
}
س س ٣ س ٣س٣-
← س<٠ ← س>٠
س<٠ س>٠
د ) س ( = -س ، ٣ - ٢س > ٠
اﻟﻤﺠﺎل = ح = {٠ } -ح * ،اﻟﻤﺪى = ح {٣ - } - د ) س ( ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮﺗﯿﻦ [ ، [ ٠ ، ∞ - ] ، ] ∞ ، ٠ﺗﺰاﯾﺪﯾﮫ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ ح * اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﯿﺴﺖ زوﺟﯿﺔ وﻟﯿﺴﺖ ﻓﺮدﯾﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻏﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ . Ã٣د)س(=س|٢س|٢- ) اﻟﺤـــﻞ ( س ← س≤٠ د)س(= | س|= } -س ← س>٠ ← س٢-٣ س≤٠ د)س(= } -س← ٢-٣ س>٠ د ) س ( = س ، ٢ - ٣س ≤ ٠
٢
}
س ×س٢- س-×٢س٢-
← س≤٠ ← س>٠
د ) س ( = -س ، ٢ - ٣س > ٠
اﻟﻤﺠﺎل = ح اﻟﻤﺪى = ] ، ] ∞ ، ٢ -اﻟﺪاﻟﺔ زوﺟﯿﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات د ) س ( ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] ، ] ∞ ، ٠ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة [ [ ٠ ، ∞ -
١٠٤
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
د)س( Ã ٤إذا ﻛﺎﻧﺖ :د ) س ( = س - ٢س ، ٢ -ر ) س ( = | - ٢س | ،ق ) س ( = ر)س( ** ﻋﯿﻦ ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ ق ) س ( وارﺳﻢ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ ﻟﮭﺎ وﻣﻦ اﻟﺮﺳﻢ أوﺟﺪ اﻟﻤﺪى واﻟﻨﻮع واﻻﻃﺮاد . ) اﻟﺤـــﻞ ( س٢- س -٢س٢- ← س≤٢ |س= |٢- ، ق)س(= ← س>٢ } ) -س(٢- | -٢س| ق)س( =
}
)س)(٢-س(١+ )س(٢- )س)(٢-س(١+ ← س>٢ )س(٢-← س<٢
د)س(= س ، ١+س<، ٢
،ق)س(=
}
س١+ -س١-
← س<٢ ← س>٢
د)س(=-س ، ١-س>٢
اﻟﻤﺠﺎل = ح { ٢ } - اﻟﻤــﺪى = [ ] ∞ ، ٣ - ،اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﯿﺴﺖ زوﺟﯿﺔ وﻟﯿﺴﺖ ﻓﺮدﯾﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻏﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ،اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة [ ، ] ∞ ، ٢ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة [ ] ٢ ، ∞ -
Ã٥
٣س٧+ د)س(= س٢+ ) اﻟﺤـــﻞ ( ٣س٦+ )٣س١+(٦+ = د)س(= س٢+ س٢+ )٣س(٢+ د)س(=
) س(٢+
+
١ س+ ٢
١ + س٢+
= ٣ +
١ س+ ٢
ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ) ( ٣ ، ٢ - اﻟﻤﺠﺎل = ح { ٢ - } - اﻟﻤــﺪى = ح { ٣ } - ،اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﯿﺴﺖ زوﺟﯿﺔ وﻟﯿﺴﺖ ﻓﺮدﯾﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻏﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ،اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ ح { ٢ - } - ١٠٥
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
) اﻷﺳﺲ واﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت ( -١اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﯿﺔ ²ﺗﻌـــﺮﯾـﻒ :إذا ﻛﺎﻧﺖ أ ﻋﺪدا ﺣﻘﯿﻘﯿﺎ ﻣﻮﺟﺒﺎ ≠ ١ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ د :ح ← ح
+
ﺣﯿﺚ د ) س ( = أ
س
ﺗﺴﻤﻰ
داﻟﺔ أﺳﯿﺔ أﺳﺎﺳﮭﺎ أ . ) د:ح←ح
²اﻟﺘﻤﺜﯿﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻷﺳﯿﺔ :
+
) أوﻻً (
( ) ﺛﺎﻧﯿﺎً (
>٠أ>١
أ<٠ )(١،٠
اﻟﻤﺠﺎل = ح
اﻟﻤﺠﺎل = ح
اﻟﻤﺪى = ح ] ∞ ، ٠ [ = +
اﻟﻤﺪى = ح ] ∞ ، ٠ [ = +
اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ ح
اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ ح
ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ١ ، ٠
ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ١ ، ٠ اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﯿﺴﺖ زوﺟﯿﺔ وﻟﯿﺴﺖ ﻓﺮدﯾﺔ ﻟﻌﺪم اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ
اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﯿﺴﺖ زوﺟﯿﺔ وﻟﯿﺴﺖ ﻓﺮدﯾﺔ ﻟﻌﺪم اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------** ﻣﻠﺤـــــﻮﻇﺔ ھﺎﻣــــﺔ :ﺗﺘﻤﺘﻊ اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﯿﺔ ﺑﺎﻟﺨﻮاص اﻵﺗﯿﺔ ﻟﺠﻤﯿﻊ ﻗﯿﻢ م ،ن اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ : م
أ م+ن • Œأم×أن=أ أ ------------------------------------------------------------------------------------------------------- ²اﻷﺳـــﺲ ² ن
=أ
م-ن
م
ن
) Žأ ( =أ
من
²ﻣﺮاﺟﻌﺔ اﻷﺳﺲ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ : Œأ
ن
= أ × أ × أ × × ......أ
• أ١=٠
∀ ن Эص
+
∀ أ Эح*
١ Žأ-ن= أ
ن
∀ أ Эح* ١٠٦
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
²ﻗﻮاﻧﯿـــﻦ اﻷﺳـــﺲ ² Œأم×أن=أ
م+ن
•)أب(ن= أ
ن
أ أ
•
ب
ن
• )
م ن
أ ب
=أ (
ن
م-ن
=
م
ن
) Žأ ( =أ أ ب
من
ن ن
²ﻗﺎﻋﺪﺗﺎن ھﺎﻣﺘﺎن : ) Œاﻷﺳﺎس = اﻷﺳﺎس ( ) ïاﻷس = اﻷس ( : Bأم= أ
ن
∀ أ Эح { ٠ ، ١- ، ١ } -
ïم=ن
• اﻷس = اﻷس ▼ ê ﻟﻮ ﻛﺎن أﺣﺪ اﻷﺳﺎﺳﯿﻦ رﻣﺰا ▼ اﻷﺳﺎس = اﻷﺳﺎس =٥٢س
ê اﻷﺳﺎﺳﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺎن ▼ اﻷس = ﺻﻔﺮ
٥
اﻷس = اﻷس Ùاﻷس = ٠
س=٢
س Ù٠=١-٢سÙ ١=٢س=١± Ùم .ح = } { ١- ، ١ ------------------------------------------------------------------------------------------------------- ²اﻷﺳﺲ اﻟﻜﺴﺮﻳﺔ ² ²ﻗﻮاﻋﺪ ھﺎﻣﺔ :
ﻟﻜﻞ
ن Эص
+
،
أ،ب Эح
+
ﻓﺈن :
ن
Œ
= ب
وﺑﻀﺮب اﻷﺳﯿﻦ × ن ïأ = ب
•
=
ﻣﻘﺎم اﻷس اﻟﻜﺴﺮى ﯾﺼﺒﺢ دﻟﯿﻼ ﻟﻠﺠﺬر
Ž ** ﻣﻠﺤـــــﻮﻇﺔ ھﺎﻣــــﺔ :ﺟﻤﯿﻊ ﻗﻮاﻧﯿﻦ اﻷﺳﺲ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻄﺒﯿﻘﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﺳﺲ اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ .
١٠٧
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
²ﺛﺎﻧﯿﺎً :اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﯿﺔ ² د:ح
+
²ﺗﻌﺮﯾﻒ :إذا ﻛﺎﻧﺖ أ Эح ، {١} - +ص Эح
Ùح
+
ﻓﺈن :ص = أ
س
↔ ﻟﻮ ص = س أ
²اﻟﺘﻤﺜﯿﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﯿﺔ )د :ح
+
Ùح(²
اﻟﻤﺠﺎل = ح ] ∞ ، ٠ [ = +
اﻟﻤﺠﺎل =
اﻟﻤﺠﺎل اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ = ح
اﻟﻤﺠﺎل اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ = ح
اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ ح
ح+
اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ ح
+
ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٠ ، ١
+
ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٠ ، ١
------------------------------------------------------------------------------------------------------- ²ﻗﻮاﻧﯿﻦ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت ² ²إذا ﻛﺎﻧﺖ :
س،صЭح
(١
سص=
(٣
سن= ن
+
،
س+
أ Эح {١} - +ﻓﺈن :
ص
(٢
=
(٤
أ=١
س
س-
ص (٥
= ١ﺻﻔﺮ
** ﻣﻠﺤـــــﻮﻇﺔ ھﺎﻣــــﺔ :اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﺎت اﻟﻤﻌﺘﺎدة " اﻟﻌﺸﺮﯾﺔ " ھﻰ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﺎت اﻟﺘﻰ أﺳﺎﺳﮭﺎ ١٠وﻻ ﯾﻜﺘﺐ . ------------------------------------------------------------------------------------------------------- ²ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ ² B١إذا ﻛﺎﻧــﺖ :
د)س(=٥س٥+
-س
،ر)س(=٥س٥-
-س
ﻓﺄﺛﺒﺖ أن ] :د ) س ( [ ] - ٢ر ) س ( [ ٤ = ٢ ) اﻟﺤــــــــــﻞ ( = ]د)س([]-٢ر)س([]=٢د)س( -ر)س([ ]د)س( +ر)س([ ١٠٨
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
=] ٥س٥+
-س
-س
٥ -س٥-
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
[] ٥س٥+
-س
٥ +س٥-
-س
[
= - ٥ × ٢س × ٥ × ٢س = - ٥ × ٤س +س = ٤ = ٠٥ × ٤ ------------------------------------------------------------------------------------------------------- B٢إذا ﻛﺎﻧــﺖ :
د)س(=)
(
س
ﺣــﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ :د ) س - ( ٣ +د ) س - = ( ١ - ) اﻟﺤــــــــــﻞ (
س٣+
= )
(
= )
(
= )
( س) ] ١-
=)
( س- × ١-
س١-
( س= ١-
)-
(
]) (
٤
وﺑﺄﺧﺬ )
س -٣+س١+
(
س١-
ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮك
-=[١( س) ١-
)ç
-=[١-
= ) ( س= ١-
-×ç
= -
-=(١=)
(
٤
ïم.ح=}{٣- = ) ( س ç ٤- ( ) = ١-س ç ٤ - = ١ -س = ٣ - ------------------------------------------------------------------------------------------------------- B٣إذا ﻛﺎﻧــﺖ :
د)س(=٣
س
ﺣــﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ :د ) ٢س ( ٣٦ -د ) س ( +د ) ٠ = ( ٥ ) اﻟﺤــــــــــﻞ (
٢ ٣س ٣ × ٣٦ -س ٠ = ٥ ٣ + .˙.أ ٣٦ - ٢أ ٠ = ٢٤٣ +
ﻧﻔﺮض أن ٣س = أ ٢ ٣ çس = أ
٢
) çأ ) ( ٩ -أ ٠ = ( ٢٧ - أ=٩ ٣س=٣ س=٢
أ = ٢٧ ٢
٣س=٣
٣
س=٣
م.ح=}{٣،٢ ------------------------------------------------------------------------------------------------------- ٤د ) س ١١ - ( ٢ +د ) س ( س أﺛﺒﺖ أن ٢ :د ) س ٧ + ( ١ +د ) س ٣ = ١ - B٤إذا ﻛﺎﻧــﺖ :د ) س ( = ٣ ( س
٣ × ٤س ٣ × ١١ - ٢ + اﻷﯾﻤﻦ = س١- ٣ × ٢س٣ × ٧ +١+
) اﻟﺤــــــــــﻞ ( ( ١١٣س)٣×٤ = ٣س ٣ × ٢ ) ١-س-١+س( ٧ + ١+ س-٢+س
٣س × ٢٥ ٣س ) ( ١١ - ٣٦ = = ٣اﻷﯾﺴﺮ =٣ = = ٣س ٢٥ × ١ - ٣س ( ٧ + ١٨ ) ١ - -------------------------------------------------------------------------------------------------------س -س١+
١٠٩
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻟﻮ ) س - ٢س ( ٠ = ٢ -
Bﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻵﺗﯿﺔ :
ﻟﻮ ) س - ٢س ( = ٢
) اﻟﺤــــــــــﻞ ( çس -٢س=)
٢
٢
( çس -س = ١٢
çس - ٢س ) ç ٠ =١٢ -س ) ( ٤ -س ٠ = ( ٣ + .˙. B٦ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻵﺗﯿﺔ :
س=٤
س=٣-
çم.ح= }{٣-،٤
ﻟﻮ س = - ٢ﻟﻮ ) س ( ٣ -
) اﻟﺤــــــــــﻞ ( ﻟﻮ س +ﻟﻮ ) س ç ٢ = ( ٣ -ﻟﻮ س ) س ٢ = ( ٣ -
٢
٢
çس ٣-س=٤= ٢
س٣-٢س٠=٤- )س) (٤-س٠=(١+ س٠=١+
س٠=٤-
çم.ح=}{٤ س = " ١ -ﻣﺮﻓﻮض " س=٤ -------------------------------------------------------------------------------------------------------٢٥ ٣ × ١س = - ١٤ﻟﻮ ٢ + ٣ﻟﻮ ٦ - ٥ ٢ + ١٧ﻟﻮ B٧أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ س إذا ﻛﺎن : ﻟﻮ ﻟﻮ ٧ ٧ ٣ ٩ ) اﻟﺤــــــــــﻞ ( ٢٢٥ - ١٤ﻟــــﻮ + ٣ﻟﻮ ١٢٥ - ٢٥ +ﻟﻮ ٣ × ٢- ٣س = ﻟﻮ ﻟﻮ ٤٩ ٧ ٣ ٢٢٥ × ٧ × ٢٥ ×١٤ ٣س = ٢ -ﻟﻮ ٤٩ × ١٢٥ × ٣ × ٣ سç ٠=٢-س= ٣س = ٢ -ﻟﻮ ٣ ç ١٠س ٣ ç ١ = ٢ -س ç ٠ ٣ = ٢ - ٢ ------------------------------------------------------------------------------------------------------- B ٨ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻵﺗﯿﺔ :
٢ ٧س٢ = ١-
ﺑﺄﺧﺬ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ اﻟﻤﻌﺘﺎد ﻟﻠﻄﺮﻓﯿﻦ :
٣س١+
) اﻟﺤــــــــــﻞ ( .˙.ﻟﻮ ٢ ٧س = ١ -ﻟﻮ٢
٣س١+
) ٢س ( ١ -ﻟﻮ ٣ ) = ٧س ( ١ +ﻟﻮ ٢ ٢س ﻟﻮ - ٧ﻟﻮ ٣ = ٧س ﻟﻮ + ٢ﻟﻮ ٢ ٢س ﻟﻮ ٣ - ٧س ﻟﻮ = ٢ﻟﻮ + ٢ﻟﻮ ٧ س ) ٢ﻟﻮ ٣ - ٧ﻟﻮ = ( ٢ﻟﻮ + ٢ﻟﻮ ٧ ﻟﻮ + ٢ﻟﻮ ٧ س= ٢ﻟﻮ ٣ - ٧ﻟﻮ ٢
= ١,٤٥
çم .ح = } { ١,٤٥
١١٠
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
B ٩أﺛﺒﺖ أن : ï١
ب٢
ب
وإﺳﺘﺨﺪم ذﻟﻚ ﻓﻰ ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﯿﻦ اﻟﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ :
٣ ﻟﻮ س +ﻟﻮ س = ٢ ٤ ٢
ﻧﻔﺮض أن : .˙.
ﻟﻮ أ = ﻟﻮ أ
٢
ﻟﻮ أ ب٢
٢
ï٢
ب٢
ï٢ ٢
ب٢
٤
٤
çس٨=٣
ﻟﻮ ٢س -ﻟﻮ س = ٢ ٢
(
çأ = ب
٢
çﻟﻮ س + ٢ﻟﻮ س =
ﻟﻮ س +ﻟﻮ س = س(٤)=٣
س
٢
٢
٢س
ب٢
ب
٢
٢
= س ﻟﻮ ب = ٢س × = ١س • ï
ﻣﻦ .˙. • ، Œﻟﻮ أ = ﻟﻮ أ ï١ =
٤
) اﻟﺤــــــــــﻞ ( وﻣﻨﮭﺎ أ = ب س çأ = ) ب
ب
= ﻟﻮ ب
ﻟﻮ ٢س -ﻟﻮ س = ٢
٢
ﻟﻮ أ = س Œ ï ٢س
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
٤
çﻟﻮ س × ٢س =
٤
çﻟﻮ س
٤
٣
٤
.˙.س = ٢
çﻟﻮ ٤س - ٢ﻟﻮ س = ٢ ٤
çﻟﻮ
٤
= ç ٢ﻟﻮ ٤س =
٤
٤
.˙.س = ٤ ٤س = ٤ ç ٢ ٤س = ١٦ -------------------------------------------------------------------------------------------------------) ﻟﻮ س ( ٣
B ١٠ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻵﺗﯿﺔ ) ٢ :ﻟﻮ س ( ٢ = ٤ × ٢ ) اﻟﺤــــــــــﻞ ( ) ﻟﻮ س ( ٣ ) ٢ﻟﻮ س ( ) ٢ = ٢ ٢ × ٢ﻟﻮ س ) ٢ ç ( ٣ﻟﻮ س ( ٢ = ٢ + ٢ ˙ ˙.اﻷﺳﺎس = اﻷﺳﺎس
) .˙.ﻟﻮ س ( = ٢ + ٢ﻟﻮ س
٣
) .˙.ﻟﻮ س ( - ٢ﻟﻮ س = ٢ + ٣
.˙.٠ ) ﻟﻮ س ( ٣ - ٢ﻟﻮ س ٠ = ٢ + ) ﻟﻮ س ) ( ٢ -ﻟﻮ س ٠ = ( ١ - ﻟﻮ س = ٢ س = ١٠
ﻟﻮ س = ١ ٢
س = ١٠ çم .ح = } { ١٠٠ ، ١٠
س = ١٠٠
-------------------------------------------------------------------------------------------------------١١١
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
B ١١ارﺳﻢ اﻟﺪاﻟﺔ د :ح ← ح
+
ﺣﯿﺚ :د ) س ( = ٢
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن س
،
س [ ٤ ، ٣- ] Эوﻣﻦ اﻟﺮﺳﻢ أوﺟﺪ :
Œد ) ، ( ١,٥د ) ( ٠,٥ - • ﻗﯿﻤﺔ ﺗﻘﺮﯾﺒﯿﺔ ﻟـ س ﻋﻨﺪﻣﺎ د ) س ( = ١٠ ) اﻟﺤــــــــــﻞ (
* ﻣﻦ اﻟﺮﺳﻢ ﻧﺠﺪ أن : Œد ) ٢,٨ = ( ١,٥
د ) ٠,٧ = ( ٠,٥ -
،
• ﻋﻨﺪﻣﺎ د ) س ( = ص = ١٠ﻧﺠﺪ أن س = ٣,٣ B ١٢ارﺳﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ د :ح ← +ح ﺣﯿﺚ :د ) س ( = ﻟﻮ س ،س ] Э وﻣﻦ اﻟﺮﺳﻢ أوﺟﺪ :
[٨،
ﻟﻮ ٣,٥ ) اﻟﺤــــــــــﻞ (
ص = ﻟﻮ س ﻋﻨﺪ س =
çص = ﻟﻮ
= ﻟﻮ )
( ٣ = ٣ﻟﻮ
=٣
ﻋﻨﺪ س =
çص = ﻟﻮ
= ﻟﻮ )
( ٢ = ٢ﻟﻮ
=٢
ﻋﻨﺪ س =
çص = ﻟﻮ
=١
ﻋﻨﺪ س = ç ١ص = ﻟﻮ = ١ﺻﻔﺮ ﻋﻨﺪ س = ç ٢ص = ﻟﻮ = ٢ﻟﻮ )
( ١- = ١ -
ﻋﻨﺪ س = ç ٤ص = ﻟﻮ = ٤ﻟﻮ )
( ٢- = ٢ -
ﻋﻨﺪ س = ç ٨ص = ﻟﻮ = ٨ﻟﻮ )
( ٣- = ٣ -
** ﻹﯾﺠﺎد ﻟﻮ ٣,٥ﻣﻦ اﻟﺮﺳﻢ Œ :ﻧﺄﺧﺬ س = ٣,٥ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت . • ﻧﺮﺳﻢ ﻣﻨﮭﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ //اﻟﺼﺎدات ﻓﯿﻘﻄﻊ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ . Žﻧﻘﺮأ ﻗﯿﻤﺔ ص اﻟﻤﻨﺎﻇﺮة ﻟﮭﺬه اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﻓﻨﺠﺪھﺎ = ١,٨ - ١١٢
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
²اﻟﻤﺘﺘــــﺎﺑﻌـــﺎت ² ²ﺗﻌﺮﯾﻒ ) اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﻘﯿﻘﺔ ( :ھﻰ داﻟﺔ ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ص +أو ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﯿﺔ ﻣﻨﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة } ، .... ، ٣ ، ٢ ، ١ن { وﻣﺠﺎﻟﮭﺎ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ .أى : د :ﻣﻦ ) ص ------ ( +إﻟﻰ ) <-------ح ( æ
â
" اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ "
å
اﻟﻤﺠﺎل " رﺗﺐ اﻟﺤﺪود "
" ﻗﯿﻢ اﻟﺤﺪود "
د ، .... ، ٣ ، ٢ ، ١ } :ن { Ùح
** ﺑﺼﯿﻐﺔ أﺧﺮى :
◄ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ أى ﺣﺪھﺎ اﻷﺧﯿﺮ ﻣﻌﻠﻮم * اﻟﺤﺪ اﻟﻨﻮﻧﻰ " اﻟﻌﺎم " ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ح
ن
:ھﻮ داﻟﺔ ﻓﻰ ن ﯾﻤﻜﻦ ﺑﻮاﺳﻄﺘﮫ اﯾﺠﺎد أى ﺣﺪ ﻣ ﻦ ﺣ ﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌ ﺔ ﻛﻤ ﺎ ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻧﻔﺴﮭﺎ .
)) ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ (( :ﻻﺣﻆ اﻟﻔﺮق ﺑﯿﻦ ) ح ن ( ،ح
ن
ﺣﯿﺚ ) ح ن ( ﺗﺮﻣﺰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺑﯿﻨﻤﺎ ح
ن
ﺗﺮﻣﺰ ﻟﻠﺤﺪ اﻟﻨﻮﻧﻰ ﻟﮭﺎ
. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- ²إﻃــــﺮاد اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌــﺎت ² ▼ ê ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ
ê ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ح ن - ١+ح
ن
< ٠ﻣﻮﺟﺐ
Ãح ن - ١+ح
ن
ح ن - ١+ح
ن
ê ﺛﺎﺑﺘﺔ ح ن - ١+ح
> ٠ﺳﺎﻟﺐ
ن
=٠
ﺗﻌﻨﻰ اﻟﻔﺮق ﺑﯿﻦ أى ﺣﺪ واﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﮫ ﻣﺒﺎﺷﺮة .
------------------------------------------------------------------------------------------------------- ²اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌــﺎت اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ ² ) ²ﺗﻌﺮﯾﻒ ( ïﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ) ح ن ( م .ح إذا ﻛﺎن :ح ن - ١ +ح
ن
= ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ ∀ ن Эص
+
وﯾﺴﻤﻰ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺜﺎﺑﺖ ﺑﺄﺳﺎس اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ د Ãﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ ) :ح ن ( م .ح ﻓﺈن أﺳﺎس ھﺬه اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ھﻮ د = ح ن - ١ +ح
ن
أى أن :أﺳﺎس اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ = أى ﺣﺪ ﻓﯿﮭﺎ -اﻟﺤﺪ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﮫ ﻣﺒﺎﺷﺮة . ) ²اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ ( ïإذا رﻣﺰﻧﺎ ﻟﻠﺤﺪ اﻷول ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ أ ،اﻷﺳﺎس ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ د ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة :
١١٣
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
م .ح ← ) أ ،أ +د ،أ ٢ +د ،أ ٣ +د ( ∞ ، ......... ،
" إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ
" م .ح ← ) أ ،أ +د ،أ ٢ +د ،أ ٣ +د ، ......... ،ل ٢ -د ،ل -د ،ل (
" إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ "
ﺣﯿﺚ ل ھﻮ اﻟﺤﺪ اﻷﺧﯿﺮ ) اﻟﺤﺪ اﻟﻌﺎم ﻓﻰ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ ( ح
ن
= أ)+ن(١-د
ê اﻟﺤﺪ اﻟﻌﺎم
ê
ê
ê
اﻟﺤﺪ اﻷول رﺗﺒﺔ اﻟﺤﺪ
اﻷﺳﺎس
)) ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ ھﺎﻣﺔ ﺟﺪا (( : Ãإذا ﻛﺎن ﻋﺪد ﺣﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ = ن ﻓﺈن ﺣﺪھﺎ اﻷﺧﯿﺮ ھﻮ ح
ن
وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ل
* أى أن :ﻋﺪد ﺣﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ اﻟﻤﻨﺘﮭﯿﺔ = رﺗﺒﺔ اﻟﺤﺪ اﻷﺧﯿﺮ * أى أن :ل = ح ن = أ ) +ن ( ١ -د ♣ ﻓﻤﺜﻼ :إذا ﻛﺎن ﻋﺪد ﺣﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ = ٢٠ﺣﺪا ﻓﺈن اﻟﺤﺪ اﻷﺧﯿﺮ ھﻮ اﻟﺤﺪ اﻟﻌﺸﺮون * أى أن :ل = ح = ٢٠أ ( ١ - ٢٠ ) +د = أ ١٩ +د ------------------------------------------------------------------------------------------------------- ²اﻷوﺳﺎط اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ ² ²إذا ﻛﺎن :أ ،ب ،ﺟـ ﺛﻼﺛﺔ ﺣﺪود ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ﻣﻦ م .ح ﻓﺈن ﺿﻌﻒ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ = ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ . ê ب= وﻣﻨﮭﺎ ٢ب = أ +ﺟـ و.ح ïأى أن :اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ = اﻟﻤﺠﻤﻮع ÷ ٢
" ﯾﺴﺘﺨﺪم إذا ذﻛﺮ ﻛﻠﻤﺔ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ "
♣ ﻓﻤﺜﻼ :إذا ﻛﺎن اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ ﻟﻌﺪدﯾﻦ = ٣ Ãﻧﻔﺮض أن اﻟﻌﺪدﯾﻦ ھﻤﺎ س ،ص .˙.
=٣
.˙.س +ص = ٦
------------------------------------------------------------------------------------------------------- ²ﻣﺠﻤﻮع ﺣﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ ²
ﺟـ ن =
}
ن ٢ ن ]٢أ)+ن (١-د[ ٢
إذا ﻋﻠﻢ اﻟﺤﺪ اﻷﺧﯿﺮ
]أ+ل[
إذا ﻋﻠﻢ اﻷﺳﺎس
١١٤
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
♣ ﺗﺬﻛـــﺮ أن : -١ﻓﻰ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ د < " ٠ن ﻣﻮﺟﺐ " ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ،وإذا ﻛﺎﻧﺖ د > " ٠ ن ﺳﺎﻟﺐ " ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ " . -٢إذا ﻛﺎن ﻋﺪد ﺣﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ = ن " ﻓﺮدﯾﺎ " ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻮﺟﺪ ﺣﺪ أوﺳﻂ وﺣﯿﺪ رﺗﺒﺘﮫ = ♣ ﻓﻤﺜﻼ :إذا ﻛﺎﻧﺖ ن = " ١٥ﻓﺮدى "
.˙.رﺗﺒﺔ اﻟﺤﺪ اﻷوﺳﻂ = ح
= ح
ن١+ ٢
-٣إذا ﻛﺎن ﻋﺪد ﺣﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ = ن " زوﺟﯿﺎ " .˙.ﯾﻮﺟﺪ ﺣﺪان أوﺳﻄﺎن ﺗﺮﺗﯿﺒﮭﻤﺎ ♣ ﻓﻤﺜﻼ :إذا ﻛﺎﻧﺖ ن = " ٣٠زوﺟﻰ " .˙.رﺗﺒﺔ اﻟﺤﺪان اﻷوﺳﻄﺎن ھﻤﺎ = ح (
ن
١ + ١٥ ٢
= ح
٨
،اﻟﺬى ﯾﻠﯿﮫ .
= واﻟﺬى ﯾﻠﯿﮫ ) ح ، ١٥ح
١٦
٢
-٤إذا أدﺧﻠﻨﺎ ﻋﺪة أوﺳﺎط ﺣﺴﺎﺑﯿﺔ ﺑﯿﻦ ﻋﺪدﯾﻦ ﻓﺈن :ﻋﺪد ﺣﺪود اﻟــ م .ح = ﻋﺪد اﻷوﺳﺎط ٢ + ïأى أن :ن = ﻋﺪد اﻷوﺳﺎط ٢ + å æ أ ) اﻷول (
◄ وﻣﻨﮭﺎ ﻋﺪد اﻷوﺳﺎط = ن ٢ -
ل ) اﻷﺧﯿﺮ (
-٥رﺗﺒﺔ اﻟﺤﺪ ﺗﺰﯾﺪ ﻋﻦ رﺗﺒﺔ اﻟﻮﺳﻂ ﺑﻤﻘﺪار ١ ♣ ﻓﻤﺜﻼ :اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺜﺎﻟﺚ = اﻟﺤﺪ اﻟﺮاﺑﻊ
ون= ل-د
.˙.و = ٣ح = ٤أ ٣ +د
و ن = ٢-ل ٣ -د
وﺑﺎﻟﻤﺜﻞ :و = ١٥ح = ١٦أ ١٥ +د -٦ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺪود اﻟﻔﺮدﯾﺔ اﻟﺮﺗﺒﺔ ھﻰ ) :ح ، ١ح ، ٣ح ، ٥ح ( ............... ، ٧ ) أ +د ،أ ٣ +د ،أ ٥ +د ( ............. ، ﺣﺪھﺎ اﻷول = أ +د ،أﺳﺎﺳﮭﺎ = ٢د ------------------------------------------------------------------------------------------------------- ²اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌــﺎت اﻟﮫﻨﺪﺳﯿﺔ ² ح
ن١+
= ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ ∀ ن Эص
) ²ﺗﻌﺮﯾﻒ ( ïﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ) ح ن ( م .ھـ إذا ﻛــﺎن : ح ن وﯾﺴﻤﻰ اﻟﻤﻘﺪار اﻟﺜﺎﺑﺖ ﺑﺄﺳﺎس اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ر
+
ح ن١+ أى ﺣﺪ ﻓﯿﮭﺎ = ) ²أى أن ( :ر = اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﮫ ﻣﺒﺎﺷﺮة ح ن --------------------------------------------------------------------------------------------------------
١١٥
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
²اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌــﺎت اﻟﮫﻨﺪﺳﯿﺔ ² Ãإذا رﻣﺰﻧﺎ ﻟﻠﺤﺪ اﻷول ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ أ ،واﻷﺳﺎس ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ر ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة : ) أ ،أ ر ،أ ر ، ٢أ ر( ∞ ، ....................... ، ٣ ) ،أ ،أ ر ،أ ر ، ٢أ ر، ........... ، ٣
،
،ل(
" إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ " " إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ "
²اﻟﺤﺪ اﻟﻌﺎم ﻓﻰ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌــﺔ اﻟﮫﻨﺪﺳﯿﺔ ²
∀نЭص
أ ◄ اﻟﺤﺪ اﻷول ن ◄ رﺗﺒﺔ اﻟﺤﺪ ر ◄ اﻷﺳـــﺎس +
²اﻷوﺳﺎط اﻟﮫﻨﺪﺳﯿﺔ ² ²إذا ﻛﺎن :أ ،ب ،ﺟـ ﺛﻼﺛﺔ ﺣﺪود ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ﻣﻦ م .ھـ ﻓﺈن ﻣﺮﺑﻊ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ = ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ . ê أ ﺟـ ب= ± وﻣﻨﮭﺎ ب = ٢أ × ﺟـ و .ھـ ïأى أن :اﻟﻮﺳﻂ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ = ±
ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﻟﻌﺪدﯾﻦ " اﻟﺤﺪﯾﻦ "
" ﯾﺴﺘﺨﺪم إذا ذﻛﺮ ﻛﻠﻤﺔ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ "
♣ ﻓﻤﺜﻼ :إذا ﻛﺎن اﻟﻮﺳﻂ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ ﻟﻌﺪدﯾﻦ = ٧ Ãﻧﻔﺮض أن اﻟﻌﺪدﯾﻦ ھﻤﺎ أ ،ب .˙.أ ب = ٧
" ﺑﺘﺮﺑﯿﻊ اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ "
.˙.أ ب = ٤٩
------------------------------------------------------------------------------------------------------- ²ﻧﻈﺮﻳﺔ ھﺎﻣﺔ ² Ãاﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ ﻟﻌﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﯿﻦ ﻣﻮﺟﺒﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﯿﻦ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ وﺳﻄﮭﻤﺎ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ . ²ﻣﺠﻤﻮع ﺣﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﮫﻨﺪﺳﯿﺔ ²
ﺟـ ن =
}
أ)رن(١- ر١- ن أ) -١ر ( -١ر
ﺟـ ن =
}
لر -أ ر١- أ -لر -١ر
ﺣﯿﺚ ر < ١ ﺣﯿﺚ ر > ١ ) إذا ﻋﻠﻢ ﻋﺪد اﻟﺤﺪود " ن " ( ﺣﯿﺚ ر < ١ ﺣﯿﺚ ر > ١ ١١٦
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
) إذا ﻋﻠﻢ اﻟﺤﺪ اﻷﺧﯿﺮ ( ♣ ﻣﺠﻤﻮع ﻋﺪد ﻻ ﻧﮭﺎﺋﻰ " ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮫ " ﻣﻦ اﻟﺤﺪود : Ãاﻟﺸﺮط اﻟﻼزم ﻹﯾﺠﺎد ﻣﺠﻤﻮع ﻋﺪد ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮫ ﻣﻦ ﺣﺪود م .ھـ ھﻮ | ر | > ١ وﻓﻰ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﯾﻜﻮن
ﺟـ
اﻟﺤﺪ اﻷول - ١اﻷﺳﺎس
∞
= ♣ ﺗﺬﻛـــــﺮ أن :
أو
> ١-ر > ١
أ -١ر
ﺟـ ∞ =
-١اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ ﻟﻌﺪدﯾﻦ ﻣﻮﺟﺒﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﯿﻦ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ وﺳﻄﮭﻤﺎ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ . -٢إذا ﻛﺎﻧﺖ :أ ،ب ،ﺟـ ﺛﻼث ﻛﻤﯿﺎت ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻓﻰ ﺗﺘﺎﺑﻊ ﺣﺴﺎﺑﻰ ﻓﺈن :
ب<
أ ﺟـ
" ﻧﺜﺒﺖ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ وﻧﻌﺮف اﻟﻮﺳﻂ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ " < ب
-٣إذا ﻛﺎﻧﺖ :أ ،ب ،ﺟـ ﺛﻼث ﻛﻤﯿﺎت ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻓﻰ ﺗﺘﺎﺑﻊ ھﻨﺪﺳﻰ ﻓﺈن : " ﻧﺜﺒﺖ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ وﻧﻌﺮف اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ " ²ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺎت ² ²أوﻻً :ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ :
♣١م .ح ﻓﯿﮭﺎ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺤﺪﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ واﻟﺨﺎﻣﺲ ﯾﺴﺎوى ٢٤وﻣﺮﺑﻊ ﺣﺪھﺎ اﻟﺴﺎدس ﯾﺴﺎوى ٣٢٤أوﺟﺪ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ . ) اﻟﺤـــــﻞ ( ˙ ˙.ح ٣٢٤ = ٢ ٦
˙ ˙.ح + ٣ح ٢٤ = ٥
) أ ٥ +د ( ٣٢٤ = ٢
أ ٢ +د +أ ٤ +د = ٢٤
أ ٥ +د = ١٨ ±
٢أ ٦ +د = ٢٤ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ÷ ٢ أ ٣ +د = ١٢ﺑﺎﻟﻀﺮب × ١- -أ ٣ -د = ١٢ -
ç
-أ ٣ -د = ١٢ -
أ ٥ +د = ١٨ ــــــــــــــــــــــــ ٢د=٦
ç
أ ٥ +د = ١٨ - ـــــــــــــــــــــــــــــ ٢د = ٣٠ - د = ١٥ -
د=٣
أ ١٢ = ٤٥ -
أ ١٢ = ٩ +
أ = ٥٧
أ=٣ ê
ê
م .ح = ) ( ..... ، ٩ ، ٦ ، ٣
م .ح = ) ( ..... ، ٢٧ ، ٤٢ ، ٥٧ ١١٧
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
♣٢م .ح ﺣﺪودھﺎ أﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺤﺔ ،ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﻟﺤﺪﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ واﻟﺴﺎدس ، ٤٠٦وﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺔ اﻟﺤﺪ اﻟﺘﺎﺳـــــﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺪ اﻟﺮاﺑﻊ ﻣﻨﮭﺎ ﯾﺴﺎوى ٢واﻟﺒﺎﻗﻰ ٦ -أوﺟﺪ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ . ) اﻟﺤـــــﻞ ( ˙ ˙.ح × ٣ح ٤٠٦ = ٦
˙ ˙.ح ٢ - ٩ح ٦ - = ٤
) أ ٢ +د ( ) أ ٥ +د ( = Œ ß ٤٠٦
أ٨+د) ٢-أ٣+د(=٦-
ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻣﻦ • ﻓﻰ Œ
أ٨+د٢-أ٦-د =٦-
) ٢د ٢ + ٦ -د ( ) ٢د ٥ + ٦ -د ( = ٤٠٦
-أ٢+د=٦-
) ٤د ٧ ) ( ٦ -د ٤٠٦ = ( ٦ -
أ=٢د•ß ٦+
٢٨د ٢٤ - ٢د ٤٢ -د ٤٠٦ = ٣٦ +
ç
٢٨د ٦٦ - ٢د ٠ = ٣٧٠ -
١٤د ٣٣ - ٢د ٠ = ١٨٥ -
ç
) ١٤د ) ( ٣٧ -د ٠ = ( ٥ +
د=٥-
١٤د = ٣٧
أ = ٤ - = ٦ + ١٠ -
د=
م .ح = ) ( ..... ، ١٤ - ، ٩ - ، ٤ -
" ﻣﺮﻓﻮض " ﻷن اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺣﺪودھﺎ ﺻﺤﯿﺤﺔ
♣٣م .ح ﻓﯿﮭﺎ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺤﺪود اﻷرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﻣﻨﮭﺎ = ، ٥٦وﻣﺠﻤﻮع اﻟﺤﺪود اﻷرﺑﻌﺔ اﻷﺧﯿﺮة ﻣﻨﮭﺎ = ١١٢ ،وﺣﺪھﺎ اﻷول = ١١أوﺟﺪ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ وﻋﺪد ﺣﺪودھﺎ . ) اﻟﺤـــــﻞ ( ˙ ˙.ﺟـ ٤اﻷﺧﯿﺮة = ١١٢
˙ ˙.ﺟـ ٤اﻷوﻟﻰ = ٥٦
ل +ل -د +ل ٢ -د +ل ٣ -د = ١١٢
ن ﺟـ ن = ٢ ٤ ] ٢أ ٣ +د [ = ٥٦ ﺟـ ن = ٢ ٢ ) ٢أ ٣ +د ( = ٥٦ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ÷ ٢
]٢أ)+ن(١-د[
٤ل ٦ -د = ١١٢ ٤ل ١١٢ = ١٢ - ٤ل = ١٢٤
٢أ ٣ +د = Œ ç ٢٨ ˙˙.
çل = ٣١
ح = ٣ل = ç ٣١أ ) +ن ( ١ -د = ٣١
أ = ١١
) + ١١ن ٣١ = ٢ × ( ١ -
٣ + ٢٢ .˙.د = ٢٨
٢ + ١١ن ٣١ = ٢ -
٣د= ç ٦د=٢
٢ن = ٢٢
م .ح = ) ( ........ ، ١٥ ، ١٣ ، ١١
ن = ١١ﺣﺪا ١١٨
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
♣٤ﻛﻢ ﺣﺪا ﯾﻠﺰم أﺧﺬھﺎ اﺑﺘﺪاء ﻣﻦ اﻟﺤﺪ اﻷول ﻣﻦ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ ) ( ....... ،... ، ... ، ٢٠ ، ٢٥ ، ٣٠ ﻟﯿﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮﻋﮭﺎ = ١٠٠ﺛﻢ ﻓﺴﺮ ﻣﻌﻨﻰ اﻟﺠﻮاب . ) اﻟﺤـــــﻞ ( أ = ، ٣٠
د=٥-
ﺟـ ن = ١٠٠
،
ن=؟
،
ن ﺟـ ن = ٢ ن ] ) + ٦٠ن [ ٥ - × ( ١ -ﺑﺎﻟﻀﺮب × ٢ = ١٠٠ ٢ = ٢٠٠ن ) ٥ - ٦٥ن ( = ٢٠٠ن ) ٥ - ٦٠ن ( ٥ + ]٢أ)+ن(١-د[
٥ن ٦٥ - ٢ن ٠ = ٢٠٠ +
٦٥ ) = ٢٠٠ن ٥ -ن ( ٢ ن ١٣ - ٢ن ٠ = ٤٠ +
ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ÷ ٥
)ن)(٥-ن٠=(٨- ن=٥
ن=٨
،
ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺤﺪود اﻟﺨﻤﺴﺔ اﻷوﻟﻰ = ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺤﺪود اﻟﺜﺎﻣﻨﺔ اﻷوﻟﻰ ﺟـ ٥اﻷوﻟﻰ = ﺟـ ٨اﻷوﻟﻰ = ١٠٠ وھﺬا ﯾﻌﻨﻰ أن ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺤﺪود اﻟﺴﺎدس واﻟﺴﺎﺑﻊ واﻟﺜﺎﻣﻦ = ٠ اﻻﺛﺒﺎت :ح + ٦ح + ٧ح = ٨أ ٥ +د +أ ٦ +د +أ ٧ +د = ٣أ ١٨ +د = = ٩٠ - ٩٠ = ٥ - × ١٨ + ٣ × ٣ﺻﻔﺮ # ------------------------------------------------------------------------------------------------------- ♣٥إذا ﻛﻮﻧﺖ أﺿﻼع ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺣﺴﺎﺑﯿﺔ وﻛﺎن ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ = ٣٠ﺳﻢ أوﺟﺪ أﻃﻮال أﺿﻼﻋﮫ إذا ﻛﺎﻧﺖ أﻛﺒﺮ ) اﻟﺤـــــﻞ (
زواﯾﺎه . ْ ١٢٠
◄ ﻧﻔﺮض أن أﻃﻮال أﺿﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ ھﻰ أ ،أ +د ،أ ٢ +ء ˙˙.
ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ = ٣٠
.˙.أ +أ +د +أ ٢ +ء = ٣٠ ٣ .˙.أ ٣ +د = ٣٠ .˙.أ +د = ١٠
ï
ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ÷ ٣ أ = - ١٠د
΍
ﺑﺘﻄﺒﯿﻖ ﻗﺎﻧﻮن ﺟﯿﺐ اﻟﺘﻤﺎم ﻓﻰ اﻟﻤﺜﻠﺚ أ ب ﺟـ ) أ ﺟـ ( ) = ٢أ ب ( ) + ٢ب ﺟـ ( ) ٢ - ٢أ ب ( ) ب ﺟـ ( ﺟﺘﺎ ب ) أ ٢ +د ( = ٢أ ) + ٢أ +د ( ٢ - ٢أ ) أ +د ( ﺟﺘﺎ ١٢٠
•ç
ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻣﻦ Œﻓﻰ • : ) - ١٠د ٢ +د ( - ١٠ ) = ٢د ( - ١٠ ) + ٢د +د ( - ١٠ ) ٢ - ٢د ( ) - ١٠د +د ( × - ١١٩
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
) + ١٠د ( - ١٠ ) = ٢د ( - ١٠ ) + ٢ ( ١٠ ) + ٢د ( × ١٠ ٢٠ + ١٠٠د +د ٢٠ - ١٠٠ = ٢د +د ١٠ - ١٠٠ + ١٠٠ + ٢د ٥٠د = ç ٢٠٠د = ٤ أ = ٦ = ٤ - ١٠ .˙.
أﺿﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ ھﻰ ١٤ ، ١٠ ، ٦
#
------------------------------------------------------------------------------------------------------- ♣٦م .ھـ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺤﺪﯾﻦ اﻷول واﻷﺧﯿﺮ = ، ٦٦وﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﻟﺤﺪﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻰ وﻗﺒﻞ اﻷﺧﯿﺮ = ، ١٢٨وﻣﺠﻤﻮع ﺣﺪودھﺎ ١٢٦أوﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﺪود ھﺬه اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ . ) اﻟﺤـــــﻞ ( أ +ل = ٦٦ ل ح×٢ ر
= ١٢٨
ç
أ = - ٦٦ل
ç
ل أر× ر
Œ ç = ١٢٨
çأ ل = • ç ١٢٨
٦٦ çل -لç ١٢٨ = ٢
وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻣﻦ Œﻓﻰ • ) - ٦٦ل ( ل = ١٢٨ .˙.ل ٦٦ - ٢ل ٠ = ١٢٨ + ) ل ) ( ٢ -ل ٠ = ( ٦٤ - ل٠=٢-
ل ٠ = ٦٤ -
ل = ٦٤ ل=٢ ١٢٨ ١٢٨ أ= =٢ = ٦٤أ = ٦٤ ٢ وﺣﯿﺚ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ .˙.أ = ، ٢ل = ˙.˙ ، ٦٤ .˙.
ﺟـ ن = ١٢٦
٦٤ر ٢ - لر -أ = ç ر -أ ١٢٦ ر١- ١٢٦ر ٦٤ = ١٢٦ -ر ٦٢ ç ٢ -ر = ١٢٤ = ١٢٦
وﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻟﻠﻄﺮﻓﯿﻦ ﻋﻠﻰ ٦٢ .˙.
.˙.
ر=٢
م .ھـ = ) ( ٦٤ ، ................ ، ٨ ، ٤ ، ٢ ح ن = ل = ç ٦٤أ ر ن ٦٤ = ١ -
٢ × ١ ٢ن + ١ ٢ ç ٦٤ = ١ -ن ٦٤ = ١ - ن=٦
ç
٢ن=٢
٦
#
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
١٢٠
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
♣٧م .ھـ ﺣﺪھﺎ اﻟﺮاﺑﻊ = ، ٤وﺣﺪھﺎ اﻷﺧﯿﺮ = ، ٦٤واﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺠﻤﻮع ن ﻣﻦ ﺣﺪودھﺎ إﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮع ن ﻣﻦ ﻣﻘﻠﻮﺑﺎت ھﺬه اﻟﺤﺪود = ١ : ٣٢أوﺟﺪ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ وﻋﺪد ﺣﺪودھﺎ . ) اﻟﺤـــــﻞ (
˙˙.
˙˙.
ح ç ٤ = ٤أ رŒ ç ٤ = ٣
˙˙.
ل = ç ٦٤أ ر ن • ç ٦٤ = ١ -
اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ ھﻰ ) :أ ،أ ر ،أ ر ، ......... ، ٢ل (
١ .˙.اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ ﻟﻤﻘﻠﻮﺑﺎت اﻟﺤﺪود ھﻰ ) : أ ١ ﺣﯿﺚ اﻟﺤﺪ اﻷول ح = ١ أ ١ -١] ١ أ ) ر .˙.ﺟـ ن ﻟﻠﻤﻘﻠﻮﺑﺎت = ١ -١ ر .˙.ﺟـ ن ﻟﻠﻤﻘﻠﻮﺑﺎت = ˙˙.
ﺟـ
ن
:ﺟـ
ن
رن١- ر
١ أر
،
٢
،واﻷﺳﺎس = ر
(ن[ =
١ ر
ن ١- ن
ر ر١- أ) ر
(
ر)رن(١- ر = × ن أر )ر(١- أ)ر(١-
ﻟﻠﻤﻘﻠﻮﺑﺎت = ١ : ٣٢
أ)رن(١- .˙. ÷ ر١-
ر) ر ن ( ١ - أرن)ر(١-
٣٢ = ١
أرن)ر(١- أ)رن(١- = ٣٢ × .˙. ر) ر ن ( ١ - ر١- çأ × ٣٢ = ٦٤ çأ × أ ر ن ٣٢ = ١ -
ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ÷ ٦٤
.˙.
أ=
ر ç ٤ = ٣ر ç ٨ = ٣ر = ٢
ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ Œ .˙.
١ أر
،
١ ، .... ، ل
(
م .ھـ = )
( ٦٤ ، ............... ، ٤ ، ٢ ، ١ ،
ح ن = ل = ٦٤
çأ ر ن ٦٤ = ١ -
٢ × çن ٦٤ = ١ -
ﺑﺎﻟﻀﺮب × ٢
٢ن ٢ ç ١٢٨ = ١ -ن ٢ = = ١ - çن٧=١-
٧
çن = ٨ﺣﺪود #
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
١٢١
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻟﺚ
اﻟﺘﺒﺎدﯾﻞ اﻟﺘﺒﺎدﯾﻞ -:ھﻮ ﻛﻞ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﯾﻤﻜﻦ ﻋﻤﻠﮫ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻻﺷﯿﺎء ﺑﺄﺧﺬ ﺑﻌﻀﮭﺎ أو ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺒﺪأ اﻟﻌﺪ -:إذا أﻣﻜﻦ أﺟﺮاء ﻋﻤﻠﯿﺔ ﺑﺄﺣﺪى ﻃﺮق ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻋﺪدھﺎ م وﻛﺎن ﻟﺪﯾﻨﺎ ﻓﻰ اﻟﻮﻗﺖ ﻧﻔﺴﮫ ﻋﻤﻠﯿﺔ أﺧﺮى ﯾﻤﻜﻦ أﺟﺮاؤھﺎ ﺑﻄﺮق ﻋﺪدھﺎ ن ﻓﺈن ﻋﺪد اﻟﻄﺮق اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻻﺟﺮاء اﻟﻌﻤﻠﯿﺘﯿﻦ ﻣﻌﺎ ﯾﺴﺎوى م × ن ﻗﻮاﻧﯿﯿﻦ اﻟﺘﺒﺎدﯾﻞ -: ن ) (١ل ر = ن ) ن – )( ١ن – ) ..................................... ( ٢ن – ر ( ١ + ن ) (٢ل ن = ن = ن ) ن – )( ١ن – ١ × ٢ × ٣ × ................... × ( ٢ ) (٣ن = ن ن – = ١ن ) ن – ( ١ن – ٢ ن ن ) (٤ل ر = ـــــــــــــــــ ن–ر ن ﺻﻔﺮ = ١ ، ) (٥ل ١ = ٠ ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﻛﻼ ﻣﻤﺎ ﯾﺎﺗﻰ
٥
ل، ٢
٧
ل ٩ ، ٣ل ٥، ٤ل ٠
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
٥ل ٢٠ = ٤ × ٥ = ٢ ٧ل = ٢١٠ = ٥ × ٦ × ٧ ٣ ٩ل ==٦×٧×٨×٩ ٤ أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﻛﻼ ﻣﻦ ، ٤ ﻣﺜﺎل
١٠ ، ل ١
١٠ل ١ ٥ل = ١ ٠
= ١٠
، ٥
٦
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
٢٤ = ١ × ٢ × ٣ × ٤ = ٤
١٢٠ = ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ = ٥ ٧٢٠ = ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ × ٦ = ٦ ١٢٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ن١+ ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎن ــــــــــــــ = ٢٠ﻓﻤﺎ ﻗﯿﻤﺔ ن ن–١
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
٠ ٠ن١+ ٠ـــــــــــــــ = ٢٠ ن–١ ن ) ن ٢٠ = (١+ ن + ٢ن – ٠ = ٢٠ ﻣﺜﺎل
إذا ﻛﺎن
)ن (١+ن ن – ١ ٠ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٢٠ ٠ ٠ ن–١ ) ن – )( ٤ن ٠ = ( ٥ + ن=٤
ن = ٥٠٤٠
ن = ) ٥-ﻣﺮﻓﻮض(
ﻓﻤﺎ ﻗﯿﻤﺔ ن
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
٥٠٤٠ ٥٠٤٠ ٢٥٢٠ ٨٤٠ ٢١٠ ٤٢ ٧ ١
ﻧﻘﺴﻢ ٥٠٤٠ﻋﻠﻰ ١ﺛﻢ ﻋﻠﻰ ٢ﺛﻢ ﻋﻠﻰ ............ ٣ ﺣﺘﻰ ﯾﺆول ﺧﺎرج اﻟﻘﺴﻤﺔ اﻟﻰ اﻟﻮاﺣﺪ اﻟﺼﺤﯿﺢ ن=١×٢×٣×٤×٥×٦×٧ ن=٧ إذا ﻛﺎن ١٠ل ر = ٧٢٠ ﻣﺜﺎل ﻓﻤﺎ ﻗﯿﻤﺔ ر
١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧
إذا ﻛﺎن نل = ٦٠أوﺟﺪ ن ٣
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
ﻣﺜﺎل
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
ل
١٠ل ر = ٨ × ٩ × ١٠ ر=٣ ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎن ٦ل ر = ٣٠ﻓﻤﺎ ﻗﯿﻤﺔ ر
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
=٣×٤×٥
ن=٥ ﻣﺜﺎل
إذا ﻛﺎن ن ل ٩٠ = ٢أوﺟﺪ ن
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ ن ل٩ × ١٠ = ٢ ن = ١٠
٦ل ر = ٥ × ٦ ر=٢ ١٢٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﺘﻮاﻓﯿﻖ اﻟﺘﻮاﻓﯿﻖ -:ھﻮ ﻛﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻜﻮﯾﻨﮭﺎ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻻﺷﯿﺎء ﻣﺄﺧﻮذة ﻛﻠﮭﺎ أو ﺑﻌﻀﮭﺎ ﺑﺼﺮف اﻟﻨﻈﺮ ﻋﻦ ﺗﺮﺗﯿﺒﮭﺎ ﻓﻤﺜﻼ ٥ق
٢
ھﻰ ﻋﺪد اﻟﻤﺠﻮﻋﺎت اﻟﺠﺰﺋﯿﺔ اﻟﺘﻰ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﯾﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﻋﻨﺼﺮﯾﻦ واﻟﺘﻰ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻜﻮﯾﻨﮭﺎ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ٥ﻋﻨﺎﺻﺮ ﺑﺼﺮف اﻟﻨﻈﺮ ﻋﻦ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ
أﻣﺎ
٥ل
٢
ھﻰ ﻋﺪد اﻟﻤﺠﻮﻋﺎت اﻟﺠﺰﺋﯿﺔ اﻟﺘﻰ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﯾﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﻋﻨﺼﺮﯾﻦ واﻟﺘﻰ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻜﻮﯾﻨﮭﺎ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ٥ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﻊ ﻣﺮاﻋﺎة اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ
ن ل ر ) (١نق ر = ــــــــــــ ر
ﻗﻮاﻧﯿﯿﻦ اﻟﺘﻮاﻓﯿﻖ ن ) (٢ن ق ر = ـــــــــــــــــــــ ر ن–ر
ن ) (٣ن ق = ق ن – ر )ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﺒﺴﯿﻂ ( ﻓﻤﺜﻼ ٧ق ٥ ر ٢ ) (٤ن ق ن = ن ق ١ = ٠ ن ) (٥إذا ﻛﺎن ن ق س = ق ص ﻓﺎن س = ص أو ن = س +ص ن ٩ ق ق ١ + ر – ن ـــــــــــــــــ = ٦ ر ـــــــــ = ١+ ٤ – ٩ ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ ) ﻗﺎﻧﻮن اﻟﻨﺴﺒﺔ( ﻓﻤﺜﻼ ٤ )(٦ ن ر ٤ ٩ ٤ قر – ١ ق٣ = ٧ق
ﻻﯾﺠﺎد اﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﯿﻦ ﺣﺪﯾﻦ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﯿﻦ ٨ق ٨ق ٨ق ٥ ٤ ٤ – ٨ ٣ – ٨ ٥ ٥ ٤ = × =١ × ـــــــــــ = ــــــــــ × ـــــــــــ = ٤ ٥ ٥ ٤ ٨ق ٨ ٣ق ٨ق ٤ ٣ ن ق اﻟﻜﺒﯿﺮ ــــــــــــــــ = ن – اﻟﺼﻐﯿﺮ ـــــــــــــــــــــ ن اﻟﻜﺒﯿﺮ قاﻟﺼﻐﯿﺮ ١٢٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﺜﺎل
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﺑﻜﻢ ﻃﺮﯾﻘﺔ ﯾﻤﻜﻦ ﯾﻤﻜﻦ اﻧﺘﺨﺎب ٣ﻟﺠﺎن ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﯾﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﺷﺨﺼﯿﻦ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ ١٠ أﺷﺨﺎص ﺑﺤﯿﺚ ﻻ ﯾﺸﺘﺮك اﻟﺸﺨﺺ ﻓﻰ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻟﺠﻨﺔ واﺣﺪة ؟
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
ﯾﻤﻜﻦ أﻧﺘﺨﺎب اﻟﻠﺠﻨﺔ اﻻوﻟﻰ ﺑﻌﺪد ﻣﻦ اﻟﻄﺮق =١٠ق = ٤٥ = ٩×١٠ﻃﺮﯾﻘﺔ ١×٢ ٢ إذا اﻧﺘﺨﺒﻨﺎ اﺛﻨﯿﻦ ﻟﻠﺠﻨﺔ اﻻوﻟﻰ ﯾﺘﺒﻘﻰ ٨أﺷﺨﺎص ﯾﻨﺘﺨﺐ ﻣﻨﮭﻢ ٢ﻟﻠﺠﻨﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﺑﻌﺪد ﻣﻦ اﻟﻄﺮق = ٨ق = ٢٨ = ٧×٨ﻃﺮﯾﻘﺔ ١×٢ ٢ وأﺧﯿﺮا ﯾﺘﺒﻘﻰ ٦أﺷﺨﺎص ﯾﻨﺘﺨﺐ ﻣﻨﮭﻢ ٢ﻟﻠﺠﻨﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺑﻌﺪد ﻣﻦ اﻟﻄﺮق = ٦ق = ١٥ = ٥ × ٦ﻃﺮﯾﻘﺔ ١×٢ ٢ ∴ ﻋﺪد اﻟﻄﺮق اﻟﺘﻰ ﯾﻤﻜﻦ ﺑﮭﺎ اﺧﺘﯿﺎر اﻟﻠﺠﺎن اﻟﺜﻼث = ١٨٩٠٠ = ١٥ × ٢٨ × ٤٥ ﻣﺜﺎل
أﻋﻠﻨﺖ ﺷﺮﻛﺔ ﻋﻦ وﺟﻮد ٥وﻇﺎﺋﻒ ﺑﮭﺎ ﯾﺸﺘﺮط أن ﺗﺸﻐﻞ ﺳﯿﺪﺗﺎن وﻇﯿﻔﺘﯿﻦ ﻣﻨﮭﺎ ﻓﺘﻘﺪم ﻟﮭﺎ ٧رﺟﺎل ٤ ،ﺳﯿﺪات ﺑﻜﻢ ﻃﺮﯾﻘﺔ ﯾﻤﻜﻦ أﺧﺘﯿﺎر اﻻﺷﺨﺎص اﻟﺨﻤﺴﺔ
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
ﯾﻤﻜﻦ أﺧﺘﯿﺎر ٣رﺟﺎل ﺑﻄﺮق ﻋﺪدھﺎ = ٧ق = ٣٥ = ٥ × ٦ × ٧ ١×٢×٣ ٣ ﯾﻤﻜﻦ أﺧﺘﯿﺎر ﺳﯿﺪﺗﺎن ﺑﻄﺮق ﻋﺪدھﺎ = ٤ق٦ = ٣ × ٤ = ٢ ١×٢ ﻋﺪد اﻟﻄﺮق اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻻﺧﺘﯿﺎر اﻻﺷﺨﺎص اﻟﺨﻤﺴﺔ = ٢١٠ = ٦ × ٣٥ ﻣﺜﺎل
إذا أرﯾﺪ أﻧﺘﺨﺎب ١١رﺟﻞ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ ١٤رﺟﻼ ﻓﻤﺎ ﻋﺪد اﻟﻄﺮق ﻟﻼﻧﺘﺨﺎب
ﻋﺪد اﻟﻄﺮق =
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
١٤
ق ١١
١٤ = ق٣٦٤ = ١٢ × ١٣ × ١٤ = ٣
١×٢×٣
١٢٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﺜﺎل
أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﻛﻼ ﻣﻦ ١٠
ق٣
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
١٣ ،
ق٤
٢٠،
ق١٧
١٥ ،
ق٠
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
١٠ق١٢٠ = ٨ × ٩ × ١٠ = ٣ ١×٢×٣
١٠ ،
ق١٠
١٣ق٧١٥ = ١٠×١١×١٢×١٣ = ٤ ١×٢×٣×٤
٢٠ق٢٠ = ١٧ق= ١٨×١٩×٢٠ = ٣ ١×٢×٣ ١٥
ق١ = ٠
١٠ق١ = ١٠
ﻧﻈﺮﯾﺔ ذات اﻟﺤﺪﯾﻦ ٢ن–٢
+ .............. +ن قن ب
ن
) أ +ب(ن = أ ن +ن ق ١ب ١أ ن + ١-نق ٢ب أ
٢ن–٢
+ .............. +ن قن ب
ن
) أ -ب(ن = أ ن -ن ق ١ب ١أ ن + ١-نق ٢ب أ ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ن ن ٣ ن ٢ ن ن )+١س(ن = + ١ق ١س +ق ٢س +ق ٣س + ................... +قن س ن = + ١ن ق ١س +ن ق ٢س + ٢نق ٣س + ................... + ٣س ******************************************************* ٥ أوﺟﺪ ﻣﻔﻜﻮك ) أ +ب ( ﻣﺜﺎل ) (٢ﺣﺴﺐ ﻗﻮى أ اﻟﺘﺼﺎﻋﺪﯾﺔ ) (١ﺣﺴﺐ ﻗﻮى أ اﻟﺘﻨﺎزﻟﯿﺔ
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
) (١ﺣﺴﺐ ﻗﻮى أ اﻟﺘﻨﺎزﻟﯿﺔ ٠ ٥ ) أ +ب ( = ٥أ٥ + ٥ق ١ب أ٥ + ٤ق ٢ب ٢أ٥ + ٣ق ٣ب ٣أ٥ + ٢ق ٤ب ٤أ ٥ +ق ٥ب أ ٥ = أ ٥ + ٥ب أ ١٠ + ٤ب ٢أ ١٠ + ٣ب ٣أ ٥ + ٢ب ٤أ +ب ) (٢ﺣﺴﺐ ﻗﻮى أ اﻟﺘﺼﺎﻋﺪﯾﺔ ٥ ٥ ٤ ٥ ٢ ٣ ٥ ٣ ٢ ٥ ٤ ) ب +أ ( = ٥ب٥ + ٥ق ١أ ب +ق ٢أ ب +ق ٣أ ب +ق ٤أ ب +ق ٥أ ٥ = ب ٥ + ٥أ ب ١٠ + ٤أ ٢ب ١٠ + ٣أ ٣ب ٥ + ٢أ ٤ب +أ ١٢٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻣﻔﻜﻮك ) + ١س ( ٧ﺣﺴﺐ ﻗﻮى س اﻟﺘﺼﺎﻋﺪﯾﺔ
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ ٦
) + ١س(٧ + ١ = ٧ق ١س٧ +ق ٢س٧ + ٢ق ٣س٧ + ٣ق ٤س٧ + ٤ق ٥س٧+ ٥ق ٦س ٧ ٧+ق ٧س ٧ = ٧ + ١س ٢١ +س٣٥ + ٢س٣٥ + ٣س٢١ + ٤س٧ + ٥س + ٦س ******************************************************* ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻣﻔﻜﻮك ) ٢س – ٣ص(
٣
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ ٣
)٢س٣ -ص(٢) = ٣س(٣ + ٣ق٣-)١ص(٢)١س(٣+ ٢ق٣-)٢ص(٢)٢س(٣-) +ص( = ٨س ٣٦ – ٣ص س ٥٤+ ٢ص ٢س – ٢٧ص ******************************************************* أوﺟﺪ ) ٥(٠٫٩٨ﻻرﺑﻌﺔ أرﻗﺎم ﻋﺸﺮﯾﺔ ﻣﺜﺎل
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
) ٥+ ١ = ٥(٠٫٠٢ – ١ق٥+ ١(٠٫٠٢-)١ق٥+ ٢(٠٫٠٢-)٢ق... +٣(٠٫٠٢-) ٣ = ٠٫٠٠٠٠٠٨ - × ١٠ + ٠٫٠٠٠٤ × ١٠ + ٠٫٠٢- × ٥+١ = ٠٫٩٠٣٩ = ٠٫٠٠٠٠٨ -٠٫٠٠٤ + ٠٫١ – ١ اﻟﺤﺪ اﻟﻌﺎم ﻓﻰ ﻣﻔﻜﻮك ) س +ص (ن ﯾﻌﻄﻰ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ ن ن–ر ر ح ر = ١+قر )اﻟﺜﺎﻧﻰ( )اﻻول( ن
ر
ن–ر
ﻣﻌﺎﻣﻞ ح ر = ١+قر )ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺜﺎﻧﻰ( )ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻول(
١٢٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻤﺤﺪدات ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﻤﺤﺪد-: اﻟﻤﺤﺪد ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ ن ﯾﺘﻜﻮن ﻣﻦ ن ﻣﻦ اﻟﺼﻔﻮف ،ن ﻣﻦ اﻻﻋﻤﺪة وﯾﻨﺸﺄ ﻣﻦ ﺣﺬف ) ن – ( ١ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات ﻓﻰ ن ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺨﻄﯿﺔ وﯾﻜﺘﺐ رﻣﺰﯾﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻻﺗﻰ ﻣـ ن =
أ١١
أ٢١
أ ن١
أ ن٢
أ١٢
........... أص ع ∋ ح ...........أ ١٢ ...........ص ،ع = ............... ، ٣ ، ٢ ، ١ن أ ن١ أ١١
أ٢٢
أﻧﻮاع اﻟﻤﺤﺪدات -: ) (١ﻣﺤﺪد ١ × ١ھﻮ ﯾﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﺻﻒ واﺣﺪ وﻋﻤﻮد واﺣﺪ
أ١١
) (٢ﻣﺤﺪد ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ ] ٢ × ٢ﺻﻔﯿﻦ وﻋﻤﻮدﯾﻦ [ وھﻮ ﻛﺎﻻﺗﻰ ﻣـ = ٢ × ٢
أ١١
أ٢١
أ١٢
أ٢٢
) (٣ﻣﺤﺪد ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ ٣ ] ٣ × ٣ﺻﻔﻮف ٣ ،أﻋﻤﺪة [ ﻣـ = ٣ × ٣
أ١١
أ١٢ أ١٣
أ٢١
أ٢٢ أ٢٣
أ٣١
أ٣٢ أ٣٣
ﻛﯿﻔﯿﺔ إﯾﺠﺎد ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد -: )أوﻻ ( إﯾﺠﺎد ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد ٢ × ٢ أ١١
أ٢١
أ١٢
أ٢٢
= أ × ١١أ – ٢٢أ × ١٢أ٢١
١٢٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﻤﺤﺪدات اﻻﺗﯿﺔ
ﻣﺜﺎل
)(١
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
٥
٢
٣
٤
)(٢
٣
٢-
٥
٤
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ ? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد = ٢ × ٣ – ٤ × ٥ = ١٤ = ٦ – ٢٠ )(٣
٠
٠
٣
٤
ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد = (٢- × ٥) – ٤ × ٣ = ٢٢ = ١٠ + ١٢ )(٤
٧
٤-
٣
١-
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ ? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد = ٠ × ٣ – ٤ × ٠ =٠=٠–٠ )(٥
١
٠
٣
٤
ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد = (٤- × ٣) – ١- × ٧ = ٥ = ١٢+ ٧- )(٦
٥
٢
٣
١-
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ ? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد = ٠ × ٣ – ٤ × ١ =٤=٠–٤
ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد = (٢ × ٣) – ١- × ٥ = ١١- = ٦ – ٥-
)ﺛﺎﻧﯿﺎ( إﯾﺠﺎد ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد ﻣﻦ رﺗﺒﺔ ٣ × ٣ أ١١
أ١٢ أ١٣
أ٢١
أ٢٢ أ٢٣
أ٣١
أ٣٢ أ٣٣
١٢٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﯾﻤﻜﻦ اﻟﻔﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺼﻒ اﻻول =
أ١١
أ٣٢
أ٢٢
أ٣٣
أ٢٣
أ١٢
أ٣٢
أ٢١أ ١٣أ٣٣
أ٢٢
أ١٢
+أ٣١ أ ١٣أ٢٣
وﯾﻤﻜﻦ اﻟﻔﻚ ﺑﺎﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻛﺎﻻﺗﻰ =-
أ١٢
أ٣١
أ٢١
أ٣٣
أ٣٢
+أ٢٢
أ٣١
أ١١
أ٣٣
أ١٣
أ٢١
أ١١
أ٣٢أ ١٣أ٢٣
وﯾﻤﻜﻦ اﻟﻔﻚ ﺑﺄى ﺻﻒ أو ﻋﻤﻮد ] ﻣﻦ اﻻﻓﻀﻞ ﻋﻨﺪ ﻓﻚ ﻣﺤﺪد ٣ × ٣اﻟﻔﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺼﻒ أو اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺤﺘﻮى ﻋﻠﻰ أﻛﺒﺮ أﺻﻔﺎر[ ﻻﺣﻆ إﺷﺎرات ﻛﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﻋﻨﺎﺻﺮ + - + اﻟﻤﺤﺪد ٣ × ٣ - ++ ﻣﺜﺎل
١ ٢٤
أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد
اﻟﻤﺤﺪد = ١
+٢ ١ ١-
١٣ ٥
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
٣
١
٥
١-
(١-) -
١ ٢٤
١-
٢+
٢-
٣
٤
٥
= ( ٣ × ٤ – ٥ × ٢- ) ٢+ ( ١ × ٤ – ١- × ٢- ) ١+ ( ١ × ٥ – ١- × ٣ ) ١ = ) ( ١٢ – ١٠- ) ٢+ ( ٤ – ٢ ) + ( ٥ – ٣- = ٥٤ - = ٤٤ – ٢ – ٨ - = ٢٢- × ٢+ ٢ – ٨ - ******************************************************** ﻇﺎ٢س ﻗﺎس ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد ﻗﺎس ١
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ ١٣٠
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻤﺤﺪد = ﻗﺎس × ﻗﺎس – × ١ﻇﺎ ٢س = ﻗﺎ ٢س – ﻇﺎ ٢س = ١ ﺗﺬﻛﺮ أن + ١ﻇﺎ ٢س = ﻗﺎ ٢س + ١ﻇﺘﺎ ٢س = ﻗﺘﺎ ٢س
س ٣ ٢
أوﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ
ﻣﺜﺎل
٠ س ٢
١٤ ١
= ١٠
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ س ٨ – ٢س ٢ + ٦-س – ٠ = ١٠
ﺑﻔﻚ اﻟﻤﺤﺪد وﻣﺴﺎواﺗﮫ ﺑـ ١٠ ٣س س ٤ = ١٠ ( ١- ) + س ٢ ٢ ١ ٢
س ٦ – ٢س – ٠ = ١٦ ) س – )( ٨س ٠ = ( ٢ +
س ) س – ٢ – ٦ ) ١ – ( ٨س ( = ١٠ أ ب إذا ﻋﻠﻢ أن ﺟـ ء = ٣
ﻣﺜﺎل )(١
أ
٣ﺟـ
٦أ
٢ء
٤ب
ب
ﺟـ ء
=٣
س = ٢-
س=٨
أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﻛﻼ ﻣﻤﺎ ﯾﺄﺗﻰ )(٢
أ+ﺟـ
ب+ء
٧ﺟـ
٧ء
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ أ ء – ب ﺟـ = ٣
ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد اﻻول = ٣ﺟـ × ٤ب – ٢ء × ٦أ = ١٢ﺟـ ب – ١٢ء أ = ) ١٢ﺟـ ب – ء أ ( = ٣٦- = ٣- × ١٢ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد اﻟﺜﺎﻧﻰ = ) أ +ﺟـ ( × ٧ء – ٧ﺟـ ) ب +ء ( = ٧أ ء ٧ +ﺟـ ء ٧ -ﺟـ ب – ٧ﺟـ ء = ٧أ ء – ٧ﺟـ ب ١٣١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
= ) ٧أ ء – ب ﺟـ ( = ٢١ = ٣ × ٧
ﺧﻮاص اﻟﻤﺤﺪدات ﺧﺎﺻﯿﺔ)(١
ﻓﻰ أى ﻣﺤﺪد إذا ﺑﺪﻟﺖ اﻟﺼﻔﻮف ﺑﺎﻻﻋﻤﺪة واﻻﻋﻤﺪة ﺑﺎﻟﺼﻔﻮف ﺑﻨﻔﺲ ﺗﺮﺗﯿﺒﮭﺎ ﻓﺎن ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد ﻻ ﺗﺘﻐﯿﺮ ﻓﻤﺜﻼ
٣ ٠ ٠
٥
٣
٢-
٤ ١٢ ١-
=
٥
٢-
٣
٤
= ٢٦
٠ ٠ ٣ ٥ ١٥ = ١- ٢ ١- = ٣٤ ٣٥ ٤
ﺧﺎﺻﯿﺔ)(٢
ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد ﻻ ﺗﺘﻐﯿﺮ ﺑﻔﻜﮫ ﻋﻦ ﻃﺮﯾﻖ ﻋﻨﺎﺻﺮ أﺣﺪ ﺻﻔﻮﻓﮫ أو أﺣﺪ أﻋﻤﺪﺗﮫ ***************************************************** ٥ ١- ٣ ٣ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد ٢ ٠ ٤ ١- ٠ ) (١ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ
) (٢ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﻌﻤﻮد اﻟﺜﺎﻧﻰ
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
) (١ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﻟﺚ
١٣٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣـ = (١-) -
٣
٥
٠
٣-
٤+
٣
١-
٠
٢
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
= ١٥ = ٢٤+٩- = (٠ – ٦)٤+ (٠ – ٩- ) ١
) (٢ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام اﻟﻌﻤﻮد اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻣـ = (١-) -
٠
٣-
٠
٤-
٢+
٣
٥
٠
٤
(٣-) -
٣
٠
١-
١-
= ١٥ = ٩ – ٢٤+ ٠ = (٠ – ٣- ) ٣+ ( ٠ – ١٢ ) ٢ + ( ٠ – ٠ ) ١
ﺧﺎﺻﯿﺔ)(٣
إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻋﻨﺎﺻﺮ أى ﺻﻒ ) أى ﻋﻤﻮد ( ﻛﻠﮭﺎ أﺻﻔﺎر ﻓﺈن ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد = ﺻﻔﺮ ﻓﻤﺜﻼ اﻟﻤﺤﺪدات ٢
٠
٥
٠
= ﺻﻔﺮ
،،
٣ ٥ ٠ ٠ ٤ ١-
٢ = ٠ﺻﻔﺮ ٢
ﺧﺎﺻﯿﺔ)(٤
إذا ﺗﺒﺎدل ﺻﻔﺎن ) أو ﻋﻤﻮدان( ﻓﺎن ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد اﻟﻨﺎﺗﺞ ﺗﺴﺎوى ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد اﻻﺻﻠﻰ ﻣﻀﺮوﺑﺎ × ١- ﻓﻤﺜﻼ ١- ٢ ٣ -= ٢ ٥ ٤ ١ ٤ ٣-
٢ ٥ ٤ - = ١- ٢ ٣ ١ ٤ ٣-
٢ ٥ ٤
١- ٣ ٢ ٤ ١ ٣-
١٣٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
٣
٥
١
٤
١ =-
٣
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
٤ ٥
ﺧﺎﺻﯿﺔ)(٥
إذا ﺗﺴﺎوى ﺻﻔﺎن ) أو ﻋﻤﻮدان ( ﻓﺈن ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد = ﺻﻔﺮ ﻓﻤﺜﻼ
١ ٢- ٣ ٢ ٤ ٥ ١ ٢- ٣
٢ ٥ ٣- ٤ ٦ ١-
=٠
٥ = ٤ﺻﻔﺮ ١-
ﺧﺎﺻﯿﺔ)(٦
إذا وﺟﺪ ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮك ك ﻓﻰ ﺟﻤﯿﻊ ﻋﻨﺎﺻﺮ أى ﺻﻒ )ﻋﻤﻮد( ﻓﺎن ھﺬا اﻟﻌﺎﻣﻞ ﯾﻤﻜﻦ أﺧﺬه ﺧﺎرج اﻟﻤﺤﺪد وﯾﻜﻮن اﻟﻤﺤﺪد اﻻﺻﻠﻰ = ك × اﻟﻤﺤﺪد اﻟﻨﺎﺗﺞ ﻓﻤﺜﻼ
١٥ ١٠ ٤ ١-
واﻟﻌﻜﺲ ٣
ﻣﺜﺎل
=٥
٢
٥
١
٤
٢
٣
١-
٤ ٦
=
١
ﺑﺪون ﻓﻚ أﺛﺒﺖ أن
١٥
أو =
٤ ٣ ٤ ٧
٢١٦
٦
٥
أو =
٣
٤
١٥ ٢٠ ٣٥
= ﺻﻔﺮ
٢
١٥
١
١٢
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ ١٣٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺑﺄﺧﺬ ٥ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮك ﻣﻦ ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﻌﻤﻮد اﻟﺜﺎﻟﺚ ٣ اﻟﻤﺤﺪد = ٤ ٥ ٧
٣ × ٥ = ٤ﺻﻔﺮ = ﺻﻔﺮ ٧
٢١٦
ﺧﺎﺻﯿﺔ)(٧
ﺗﺤﻮﯾﻞ ﻣﺤﺪد اﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺤﺪدﯾﻦ -: ﻓﻰ أى ﻣﺤﺪد إذا ﻛﺘﺒﺖ ﺟﻤﯿﻊ ﻋﻨﺎﺻﺮ أى ﺻﻒ )أى ﻋﻤﻮد( ﻛﻤﺠﻤﻮع ﻋﻨﺼﺮﯾﻦ ﻓﺈن ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد ﯾﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﮭﺎ ﻛﻤﺠﻤﻮع ﻗﯿﻤﺘﻰ ﻣﺤﺪدﯾﻦ ٠ أ+س ب +ص ﺟـ +ع
أ
ب
ﺟـ
ل
م
ن
ق
ك ﺟـ
ل
م
ن
ف
ق
ك
ف
أ+س
ب
ﺟـ
أ
ب
ل+ص
م
ن
ل
م
ن
ف +ع
ق
ك
ف
ق
ك
=
=
س +ل
ص
ع
م
ن
ف
+
ق
ك
س
ب
ﺟـ
ص
م
ن
ع
ق
ك
واﻟﻌﻜﺲ ﻋﻨﺪ ﺟﻤﻊ ﻣﺤﺪدﯾﻦ ﻻ ﯾﺨﺘﻠﻔﺎن اﻻ ﻓﻰ ﻋﻨﺎﺻﺮ أﺣﺪ اﻟﺼﻔﻮف ) أو اﻻﻋﻤﺪة( ﻧﺠﻤﻊ ھﺬان اﻟﺼﻔﺎن أو اﻟﻌﻤﻮدان وﺑﻘﺎء ﺑﻘﯿﺔ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ ﻛﻤﺎ ھﻰ ٠ ﻣﺜﺎل
١ أوﺟﺪ ﻧﺎﺗﺞ ٤ ٣
٤ ٣ ١ ٤ + ١- ٢ ٣ ٢ - ١-
١ ٢ ١- ٢ ٢ - ١-
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ ١٣٥
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
٤ ٣ ١ ٤ + ١- ٢ ٣ ٢ - ١-
١ ٤ ٣
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
٥ ١ ٢ ٤ = ١- ٢ ٣ ٢ - ١-
٤ ٣ ١- ٢ ٢ - ١-
ﺧﺎﺻﯿﺔ)(٨
إذا أﺿﯿﻔﺖ ﻟﻌﻨﺎﺻﺮ أى ﺻﻒ ) أو ﻋﻤﻮد( ﻓﻰ ﻣﺤﺪد ﻣﻀﺎﻋﻔﺎت ﻧﻈﺎﺋﺮھﺎ ﻣﻦ ﻋﻨﺎﺻﺮ أى ﺻﻒ ) أو ﻋﻤﻮد( أﺧﺮ ﻓﺎن ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد ﻻ ﺗﺘﻐﯿﺮ ﻓﻤﺜﻼ
أ
ب
ﺟـ
ء
أ ٣-ﺟـ ب = ﺟـ ء
أ٢+ب = ﺟـ ٢+ء
ب – ٣ء ء
ﺧﺎﺻﯿﺔ)(٩
ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪد ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ ﺗﺴﺎوى ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﻘﻄﺮ اﻟﺮﺋﯿﺴﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ اﻟﻌﻠﯿﺎ ٢
٠
٠
٥
٣
٠
٤
١
٧
= ٤٢ = ٧ × ٣ × ٢
٥
٣
٢
٠
١
٢٠ = ٤ × ١ × ٥ = ٧
٠
٠
٤
١٣٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﻼﺣﻈﺔ ھﺎﻣﺔ ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام ﺧﺎﺻﯿﺔ ) (٨ﯾﻤﻜﻦ ﺗﺤﻮﯾﻞ أى ﻣﺤﺪد اﻟﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﯾﺴﮭﻞ أﯾﺠﺎد ﻗﯿﻤﺘﮫ ﺑﺪون ﻓﻜﮫ ﻣﺜﺎل ﺑﺪون ﻓﻚ اﻟﻤﺤﺪد إﺛﺒﺖ ان
ب أ أ
أ أ ب
أ ب أ
= ) ب ٢+أ( ) ب – أ (
٢
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ ١ أ أ ب٢+أ أ =)ب٢+أ( ١ اﻟﻤﺤﺪد = ب٢+أ ب ١ ب ب٢+أ أ ع = ١ع + ١ع + ٢ع٣
أ
أ ب أ
أ أ ١ ) = ٠ب ٢ +أ () ب – أ ( = ) ب ٢ +أ ( ٠ب -أ ٠ب-أ ٠ ص = ٢ص – ٢ص١ ص = ٣ص – ٣ص١ ﻣﺜﺎل
ﺑﺪون ﻓﻚ اﻟﻤﺤﺪد إﺛﺒﺖ أن
١
١
١
أ
ب
ﺟـ
أ
٢
ب
٢
أ ب
٢
= )أ -ب()ب – ﺟـ()ﺟـ -أ (
٢
ﺟـ
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ ١ = ١ ١
أ ب ﺟـ
٢
أ ب ٢ ﺟـ
٢
٢ ١ أ أ ١ ٢ ٢ = ٠ب–أ ب –أ = ٠ ٢ ٠ ٠ﺟـ -أ ﺟـ – ٢أ ص = ٢ص – ٢ص١ ص = ٣ص – ٣ص١
٢
أ أ ب – أ )ب – أ ()ب +أ ( ﺟـ -أ ) ﺟـ -أ () ﺟـ +أ(
٢
٢ أ ١أ أ ١أ = ) ب – أ ( ) ﺟـ -أ ( ١ ٠ب +أ = ) ب – أ () ﺟـ -أ ( ١ ٠ب +أ ٠ ٠ﺟـ -ب ١ ٠ﺟـ +أ ١٣٧
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ص٢
ﺑﺄﺧﺬ ) ب – أ ( ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮك ﻣﻦ ﺑﺄﺧﺬ )ﺟـ -أ ( ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮك ﻣﻦ ص٣ = ) ب – أ ( ) ﺟـ -أ ( ) ﺟـ -ب ( = ) -أ – ب ( ) ﺟـ -أ ( × ) -ب – ﺟـ ( = ) أ – ب () ب – ﺟـ ( ) ﺟـ -أ ( ١ ١ ١ = ) -أ – ب()ب– ﺟـ()ﺟـ -أ( ﻣﺜﺎل ﺑﺪون ﻓﻚ إﺛﺒﺖ أن ب+ﺟـ ﺟـ +أ أ+ب ﺟـ أ أ ب ب ﺟـ ص = ٣ص– ٣
ص٢
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
٠ ٠ ١ ب – ﺟـ أ–ب اﻟﻤﺤﺪد = ب +ﺟـ ﺟـ ) أ – ب( أ ) ب – ﺟـ( ب ﺟـ ٠ ٠ ١ = ) أ – ب( )ب – ﺟـ( ب +ﺟـ ١ ١ ﺟـ أ ب ﺟـ ١
ع١
ع = ٢ع– ٢ ع = ٣ع – ٣ع٢
٠
٠
= ) أ – ب ( ) ب – ﺟـ ( ب +ﺟـ ١
٠
ب ﺟـ
ﺟـ
أ -ﺟـ
ع = ٣ع– ٣
ع٢
= ) أ – ب ( ) ب – ﺟـ( ) أ – ﺟـ( = ) -أ – ب ( ) ب – ﺟـ () ﺟـ -أ ( ب أ س س ب = ) س +أ +ب()س – أ()س– ب( ﻣﺜﺎل ﺑﺪون ﻓﻚ إﺛﺒﺖ أن أ ب س أ ب أ ١ ب أ س+أ+ب س ب س ب =)س+أ+ب( ١ = س+أ+ب ب س ١ ب س س+أ+ب ١ =)س+أ+ب( ٠ ٠
أ س–أ ب–أ
ب ٠ س–ب ١٣٨
ع١
ع = ٢ع – ٢أ ع = ٣ع – ٣ب ع١
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
١ =)س+أ+ب( ٠ ٠ ﻣﺜﺎل
٠ س–أ ب–أ
ﺑﺪون ﻓﻚ إﺛﺒﺖ أن
أ ب ٢ ﺟـ
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
٠ =) س +أ +ب() س – أ()س – ب( ٠ س–ب ﺟـ٠ ١
ب١ ٠
٣
= أ +ب + ٢ﺟـ
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ ص = ١ص + ١ب
ص٢
ص = ١ص + ١ﺟـ
أ+ب ب ٢ ﺟـ
=
ص٢
٠ ١ ٠
أ+ب + ٢ﺟـ ب ٢ ﺟـ
=
٣
ﺟـ٠ ١
٠ ١ ٠
٣
ﻣﺜﺎل
= أ +ب + ٢ﺟـ ١ ١ ﺑﺪون ﻓﻚ إﺛﺒﺖ أن ١
٢
ﺟـ٠ ١
س ٢س ٢ ٢ص ص = ) س – ص ( س+ص ص
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @ ١ = ٠ ٠
ص١
ص = ٢ص– ٢ ص = ٣ص – ٣ص١
١ =)ص–س()ص–س( ٠ ٠
٢س ٢ ١
س ٢س )٢ص -س( ص – س ص–س ص–س س ١ ١
ص = ٣ص– ٣
١ ٢
ص٢
١٣٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
=)ص–س(
٢
٢س ٢ ٠
١ ٠ ٠
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
س ١
= ) ص – س (١ × ٢ × ١ × ٢ ٢
١ ٢
٢
= ) ص – س ( ) = ٢س – ص ( ع ص أ+س = أ ) ٢أ +س +ص +ع ( ﺑﺪون ﻓﻚ إﺛﺒﺖ أن ﻣﺜﺎل أ+ص ع س ص س أ+ع
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
ع= ١
ع ص أ+س+ص+ع = أ+س+ص+ع أ+ص ع أ+ع أ+س+ص+ع ص
ع+١ع+٢ع٣
ع ع أ+ع
ص أ+ص ص ص ع ٢ = ٠أ )أ+س+ص+ع( أ أ ٠
١ )أ+س+ص+ع( ١ ١ ١ =)أ+س+ص+ع( ٠ ٠ ﻣﺜﺎل
١ ﺑﺪون ﻓﻚ إﺛﺒﺖ أن ب ﺟـ
ب +١ب ب ﺟـ
٢
ﺟـ ب ﺟـ = ١ ٢ + ١ﺟـ
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
ع١
ع = ٢ع – ٢ب ع = ٣ع – ٣ﺟـ ع١
٠ ١ ٠
١ = ب ﺟـ
٠ ٠ ١
=١
١٤٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﺜﺎل
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام ﺧﺼﺎﺋﺺ اﻟﻤﺤﺪدات إﺛﺒﺖ أن أ+ءس ب +ھـ س ﺟـ +و س
ءس–أ ھـ س – ب و س – ﺟـ
١ ١ ١
أ+ءس = ب +ھـ س ﺟـ +و س
٢ءس ٢ھـ س ٢و س
ب ھـ ١
أ = ٢س ء ١
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
ع = ٢ع+ ٢
ع١
أ+ءس = ٢س ب +ھـ س ﺟـ +و س
ﻣﺜﺎل
ء ھـ و
ﺟـ و ١
١ ١ ١
ء ١ أ ١ ٢ = ١س ب ھـ ٢ = ١س ﺟـ و ١ ١
أ ء ١
ب ﺟـ ھـ و ١ ١
ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام ﻃﺮﯾﻘﺔ ﻛﺮاﻣﺮ أوﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺘﯿﻦ
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
س ٣+ص = ١
ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺤﺪد اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت
٢ ،،س ٨ +س = ٠
= ٢=٦–٨=٢×٣–٨×١= ٣ ١ ٨ ٢
ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺤﺪد س =
س= ٨=٠–٨= ٣ ١ ٨ ٠
ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺤﺪد ص =
٣ ١ ص= ٨ ٢
=٢=٦–٨
ص س ــــــــــ = ٨ ـــــــــ = ٢ ــــ = ١ ص= ـــــ = ٤ س= ٢ ٢ م٠ح=}){(١،٤
١٤١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﺜﺎل
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام ﻃﺮﯾﻘﺔ ﻛﺮاﻣﺮ أوﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻻت اﻻﺗﯿﺔ س – ص +ع = ٢ ، ٢س٣+ص -ع =٣ ، ٥س – ٥ص ٢ +ع = ١-
? اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ @
١ ١- ١ = ٢ (١-) - ١- ٣ ١ = ١- ٣ ٢ ٢ ٥٣ ٢ ٥- ٣
٢ ١ + ١٣ ٢
٣ ٥-
= )١١- = ١٩ – ٧ + ١ = (٩ – ١٠- ) + ( ٣ + ٤ ) + ( ٥ – ٦ ١ ١- ٢ = ٣ ٥ ١ + ١- ٥ (١-) - ١- ٣ ٢ س= ١- ٣ ٥ ٥- ١٢ ٥٢ ١٢ ٥- ١= ١١- = ٢٢ – ٩+ ٢ = (٣+ ٢٥-) + ( ١ – ١٠ ) + ( ٥ – ٦ ) ٢ ١ ٢ ١ ١ ٥ ٢ص= ١ = ١- ٥ ٢ ٢ ١٢ ١- ٣
٢ ٣
٢ ١ + ١٣ ٢
٥ ١-
= ) ٢٢- = ١٧ – ١٤ – ٩ = ( ١٥ – ٢- ) + ( ٣+ ٤ ) ٢ – ( ١ – ١٠ ٢ ١- ١ ٥ ٣ )٢ (١-=١= ٥ ٣ ٢ ع ١- ٥٣ ١- ٥- ٣
٢ ٢+ ٥ ٣ ١-
٣ ٥-
= ) ٣٣- = ٣٨ – ١٧- ٢٢ = ( ٩ – ١٠- ) ٢ + (١٥ – ٢- ) + ( ٢٥+٣- ص س ـــــــــ = ٢٢- ـــــــــ = ١١- ــــــــ = ٢ ص= ـــــــــ = ١ س= ١١١١ع ــــــــ = ٣٣- ـــــــــ = ٣ ع= ١١م٠ح=}){(٣،٢،١
١٤٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ :ھﻲ ﺗﻨﻈﯿﻢ ﻟﻠﺒﯿﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﺷﻜﻞ ﺻﻔﻮف ) أﻓﻘﯿﺔ (وأﻋﻤﺪة )رأﺳﯿﺔ( ﺗﻮﺿﻊ ﺑﯿﻦ ﻗﻮﺳﯿﻦ. ﻣﺜﻞ : ٣ ٩ ٢ ٣ ٧ ،ج = ٥ ٠ ١ ،ب= أ= ١ ٢١ ٠ ٦ ﻧﻈﻢ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ :إذا ﻛﺎن ﻋﺪد ﺻﻔﻮف اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ = م ،ﻋﺪد اﻷﻋﻤﺪة = ن ـ ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ م×ن ـ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ أ ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ، ٣ × ٢اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ب ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ، ٢×٢ج ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ٣× ١ ـ ﺗﺴﻤﯿﺔ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ :ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ﺑﺄي ﺣﺮف ﻛﺒﯿﺮ ) أ ،ب ،ج ،س ،ص ( ........ ﻣﺜﺎل :ﻣﺤﻼن ﻟﺒﯿﻊ اﻷدوات اﻟﻜﮭﺮﺑﯿﺔ ﻓﻲ أﺣﺪ اﻷﯾﺎم ﺑﺎع اﻟﻤﺤﻞ اﻷول ٥ﺧﻼﻃﺎت ٦ ،ﻣﺮاوح ٣ ،ﺛﻼﺟﺎت ـ و ﺑﺎع اﻟﻤﺤﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ ٤ﺧﻼﻃﺎت ٩ ،ﻣﺮاوح ٣ ،ﺛﻼﺟﺎت ـ أﻛﺘﺐ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻤﺒﯿﻌﺎت س ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ٣×٢ اﻟﻤﺤﻞ اﻷول اﻟﺤﻞ :ـ ٣ ٦ ٥ اﻟﻤﺤﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ .. س = ٣ ٩ ٤ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
* ﻣﻮﻗﻊ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ : ـ ﻓﻲ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ أ ﯾﻜﻮن اﻟﻌﻨﺼﺮ ) أص ع ( ھﻮ اﻟﻌﻨﺼﺮ اﻟﺬي ﯾﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﺼﻒ ص ،اﻟﻌﻤﻮد ع ﻣﺜﺎل :إذا ﻛﺎﻧﺖ ٤ ٣ ٧ ـ أﻛﺘﺐ ﻧﻈﻢ أ ﺛﻢ أوﺟﺪ أ ، ٢١أ ، ٢ ٣أ ، ٢ ٢أ .. ١ ٣ أ = ٦ ٩ ١ اﻟﺤﻞ : ٠ ٥ ٢ـ ﻧﻈﻢ أ ھﻮ ، ٣ × ٣أ ، ٣ = ٢١أ ، ٥ = ٢ ٣أ ، ٩ = ٢ ٢أ ٢- = ١ ٣
* ﺑﻌﺾ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت اﻟﺨﺎﺻﺔ .: ١ـ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﺼﻒ :ھﻲ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﺻﻒ واﺣﺪ و أي ﻋﺪد ﻣﻦ اﻷﻋﻤﺪة :م = ١ ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ٣ × ١ ﻣﺜﻞ س = ٥ ٧ ١ ٢ـ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻌﻤﻮد :ھﻲ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ أي ﻋﺪد ﻣﻦ اﻟﺼﻔﻮف و ﻋﻤﻮد واﺣﺪ ﻓﻘﻂ : ن=١ ﻣﺜﻞ ٩ ٢ ،ل= ص= ٠ ٥ ٦ ٣ـ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻤﺮﺑﻌﺔ :اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﻓﯿﮭﺎ ﻋﺪد اﻟﺼﻔﻮف = ﻋﺪد اﻷﻋﻤﺪة :م = ن ٤ـ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﺼﻔﺮﯾﺔ :اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﺘﻲ ﻛﻞ ﻋﻨﺎﺻﺮھﺎ أﺻﻔﺎر :رﻣﺰھﺎ ﻣﺜﻞ
٠ ٠ ٠ = ٠ ٠ ٠
،
=
ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﺻﻐﯿﺮ
٠ ٠ ١٤٣
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﺪوّر اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ :ﻷي ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ أ ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ م × ن إذا ﺟﻌﻠﻨﺎ اﻟﺼﻔﻮف أﻋﻤﺪة .و اﻷﻋﻤﺪة ﺻﻔﻮف ﻣﺪ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻲ ﻣﺪور اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ] أ [ و رﻣﺰھﺎ ) أ ( و ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ن × م ..
*
ﻣﻼﺣﻈﺔ ) :أ ﻣﺪ ( ﻣﺪ = أ
ﻣﺜﺎل :ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = اﻟﺤﻞ :
١ ٢ ٣ ٤ ٠ ٥
١ ٢ ٣ ،ب= ٤ ٠ ٥ ٨ ٦ ١-
،ج= ٩ ٦ ٣
ﻣﺪ
ﻣﺪ
أوﺟﺪ أ ،ب ،ج
ﻣﺪ
٣ ٥ ٣ ١- ٥ ٣ ﻣﺪ ﻣﺪ ﻣﺪ ،ج = ٦ ........... أ = ٠ ٢ ،ب = ٦ ٠ ٢ ٩ ٤ ١ ٨ ٤ ١ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـ ﺗﺘﺴﺎوي اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺘﺎن أ ،ب إذا ﻛﺎن * ﺗﺴﺎوي ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﯿﻦ :ـ ] [٢ﻛﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻓﻲ أ ﯾﺴﺎوي ﻧﻈﯿﺮه ﻓﻲ ب أي أن أ ص ع = ب ص ع .. ] [١ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﻈﻢ ٠ ٢ ٧ ﻣﺜﺎل: ١إذا ﻛﺎﻧﺖ ٣ ٥ع
٧س ٠ = ص ٤ ٣
أوﺟﺪ س ،ص ،ع
اﻟﺤﻞ :ـ ﻣﻦ اﻟﺘﺴﺎوي .:س = ، ٢ص = ، ٥ع = ٤ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ ٥ ٣ ٣ﺟـ -د = ٢ﺟـ+د ١ ٢ أوﺟﺪ ﺟـ ،د ،ھـ ٤ ٧ ھـ ٤ اﻟﺤﻞ :ـ ﻣﻦ اﻟﺘﺴﺎوي :ﺟـ -د = ، [١]... ٥ﺟـ +د = [٢] .... ١ﺑﺠﻤﻊ ٢ .: ٢ ، ١ﺟـ = Ù ٦ﺟـ =٣ ،ﻣﻦ اﻟﺘﺴﺎوي ھـ = ٧ ،ﻣﻦ ] + ٣ [٢د = Ù ١د = ٢- ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ـ إﺛﺒﺖ أﻧﮫ ﻟﺠﻤﯿﻊ ﻗﯿﻢ س ،ص ﻻ ﯾﻤﻜﻦ أن ﺗﺘﺤﻘﻖ اﻟﻤﺴﺎواة اﻷﺗﯿﺔ . س ١ ٢ ٤ ٣ ٨ ٠ص ٢-
١ ٢ ٥ = ٣ ٨س+ص ٢- ٤ ٠
اﻟﺤﻞ:ـ ﻣﻦ اﻟﺘﺴﺎوي :س = ، ٥ص = ٤ ،ﻣﻦ اﻟﺘﺴﺎوي س +ص = (٣) ٤ ﻟﻜﻦ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻋﻦ ﻗﯿﻢ س ،ص ﯾﻜﻮن س +ص = ٤ ≠ ٩ = ٤+٥ أي أن س ،ص ﻻ ﺗﺤﻘﻘﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ∴ (٣ﻻ ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺘﺴﺎوي .. ١٤٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻲ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت :ـ أوﻻً اﻟﺠﻤﻊ و اﻟﻄﺮح :ـ ﻟﺠﻤﻊ ) أو ﻃﺮح ( ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﯿﻦ ﻻﺑﺪ و أن ﯾﻜﻮﻧﺎ ﻋﻠﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﻈﻢ و ﯾﻜﻮن اﻟﻨﺎﺗﺞ ﻋﻦ ﻃﺮﯾﻖ ﺟﻤﻊ ) أو ﻃﺮح ( اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ اﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮة ﻓﯿﮭﻤﺎ .. ٠ ٢ ،ب = ١- ٧ ٦ ١
٥ ٣ أوﺟﺪ أ +ب ﻣﺜﺎل :١إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ٠ ٢ ٤ ١ اﻟﺤﻞ .: ٥ ٥ أ +ب = ١- ٩و ذﻟﻚ ﺑﺠﻤﻊ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ اﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮة ﻓﯿﮭﻤﺎ .. ١٠ ٢ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٧ ١ ٢ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ٤ ٢ اﻟﺤﻞ:ـ أ+ب
ﻣﺪ
٧ ١ = ٤ ٢
،ب=
+
٥ ٠ ٦ ٣-
٣- ٠ ٦ ٥ =
ﻣﺪ
أوﺟﺪ أ +ب ١٢ ١ ١٠ ١-
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ * ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ ) [١] :أ +ب (ﻣﺪ = أ ﻣﺪ +ب ﻣﺪ :ﯾﻤﻜﻦ اﻹﺛﺒﺎت ﻣﻦ اﻟﻤﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ .. ] [٢ﯾﻤﻜﻦ ﺿﺮب أي ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻓﻲ أي ﻋﺪد ﻣﺜﻞ ك ﺣﯿﺚ ك ≠ ﺻﻔﺮ ] [٣اﻟﻤﻌﻜﻮس اﻟﺠﻤﻌﻲ ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ ) أ ( ھﻮ ) -أ ( ﺑﺤﯿﺚ أ - ) +أ ( = = أ ] [٤أ +ب = ب +أ ،أ + ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ ٢ ١- ٤ ٠ ٢ ١ أوﺟﺪ ٣س٢ -ص ،ص = ١- ١ ٧ س= ٣ ٠ ٢ اﻟﺤﻞ :ـ ٠ ٢ ١ ٣س – ٢ص = ٣ ٠ ٢ ٣
٢ ١- ٤ ١- ١ ٧ ٢ -
٠ ٦ ٣ =٩ ٠ ٦
٤- ٢ ٨٢ ٢- ١٤- +
٤- ٨ ٥= ١١ ٢- ٨- ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ﺗﻤﺮﯾﻦ :إذا ﻛﺎﻧﺖ ٢ ٠ ١ ١ ٢ ٤ ﻣﺪ ،ب = ٣ ٤ ١-أوﺟﺪ :أ ٤ -ب ٣ ،أ +ب ،أ +ب إن أﻣﻜﻦ أ= ٤ ٧ ٢ ١٤٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
٤ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ
أ= ٥ ١ ٢ ٤ ٣ ٢-
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
،ب = ٣- ٠ ١أوﺟﺪ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ س ﺑﺤﯿﺚ ٢ب +س = ٣أ ٤ ١- ٥ ﻣﺪ
اﻟﺤﻞ :ـ ٢ .:ب +سﻣﺪ = ٣أ Ùسﻣﺪ = ٣أ ٢ -ب = ٣- ٠ ١ ٢ - ٥ ١ ٢ ٣ ٤ ١- ٥ ٤ ٣ ٢٦- ٠ ٢ ٨ ٢- ١٠
.:س ﻣﺪ = - ١٥ ٣ ٦ ١٢ ٩ ٦ ) .:س ﻣﺪ ( ﻣﺪ = س Ùس = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٥ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ ٢أ اﻟﺤﻞ :ـ ٢أ
ﻣﺪ
=
ﻣﺪ
٠ ٢ ١ + ٤ ٧- ٥
١٦- ٤ ١١ ٣ ٤ ٢١ =
=
٢١ ٣ ٤ ٤ ١١ ١٦#
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﻓﺄوﺟﺪ أ
٠ ٢- ١٠ ١- ٢/١٠ ٢ ١ ٠ ٠ ٠ Ùأ ﻣﺪ = = ٤- ٧ ٥٢- ٢/٧ ٢/٥٤ ٧- ٥ ٠ ٠ ٠
أﻛﻤﻞ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٦ـ )ھﺎم( إذا ﻛﺎﻧﺖ أ = ٣- ٤ ١- ٢-
،ب= ٠ ٥ ٢- ٣-
ﻓﺄوﺟﺪ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ س ﺑﺤﯿﺚ
ﻣﺪ
٣أ ﻣﺪ -س = ٢ب ٣ -س ﻣﺪ اﻟﺤﻞ :ـ ٣ .:أ ﻣﺪ -س = ٢ب ٣ -سﻣﺪ ∴ ٣سﻣﺪ -س = ٢ب ٣ -أ ∴ ٣س ﻣﺪ -س = ٢- ٤ ٣ - ٠ ٥ ٢ ١- ٣٢- ٣ﻣﺪ ∴ ٣س -س = ٦ ٢- ١- ٣
∴ ٣س -سﻣﺪ =
٣ ٢١- ٦
∴ ٩س ٣ -س ﻣﺪ = ٩ ٦- ٣- ١٨ ∴٨س=
= - ٠ ١٠ ٤- ٦-
٦- ١٢ ٣- ٩-
(١) .......ﺑﺘﺪوﯾﺮ اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ ، (٢) .........ﺑﻀﺮب اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )٣ × (٢ /
: /(٢ ) ........ﺑﺠﻤﻊ ) (١و )(٢
Ù ١٥ ٨- = ٩ ٦- + ٦ ٢س = ١ -٨/ ٢١ ٤- ٢١ ٣- ١٨ ١- ٣ ١٤٦
٨/ ١٥ ٢/١-
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺿﺮب اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت :ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ أ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ م × ن ،ب ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ن× ر ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻤﻜﻦ ﺿﺮب أ × ب و ﯾﻜﻮن اﻟﻨﺎﺗﺞ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ) م × ر ( ـ ﺷﺮط ﺿﺮب ﻣﺼﻔﻮﻓﺘﯿﻦ :ﻋﺪد أﻋﻤﺪة اﻷوﻟﻲ = ﻋﺪد ﺻﻔﻮف اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ] ..ﺗﺴﺎوي اﻟﻮﺳﻄﯿﻦ [ ـ ﻧﻈﻢ اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ = ﻋﺪد ﺻﻔﻮف اﻷوﻟﻲ × ﻋﺪد أﻋﻤﺪة اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ] ..ﻧﻈﻢ اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ [ ﻣﺜﺎل:١ـ أ = ١ ٣ ٢ ٢ ١ ١ اﻟﺤﻞ :ـ ٢ أب= ١ ٣ ٢ ٢ ٢ ١ ١ ٣ ،
١ ٢ ب = ٤ ٢ ١ ٣ ١ = ٣+٦+٤ ٤ ٦+٢+٢ ١
ـ ﻓﺄوﺟﺪ أ ب ،ب أ ١+١٢+٢ ٢+٤+١
=
١٥ ١٣ ٧ ١٠
ـ ﻻﺣﻆ أن :أ ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ، ٣ × ٢ب ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ، ٢ × ٣أ ب ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻈﻢ ] ٢ × ٢ﺣﺬف اﻟﻮﺳﻄﯿﻦ[ ٢+٢ ١+٦ ١+٤ ١ ٢ ١ ٣ ٢ ٤ ٧ ٥ = ٨+٢ ٤+٦ ٤+٤ = ٢ ١ ١ بأ= ٤ ٢ ١٠ ١٠ ٨ ٢+٣ ١+٩ ١+٦ ١ ٣ ٥ ١٠ ٧ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ ٥ ١ ٢ ٣ ١ ٢ ـ إﺛﺒﺖ أن أ ) ب+ج( = أ ب +أ ج ،ج= ،ب= أ = ١- ٢١ ٤ ٠ ٣ اﻟﺤﻞ :ـ .:أ ) ب +ج ( = ١- ٢ ٠ ٣
٥ ١ + ٢- ٣ ١- ٢١ ٤
= ١- ٢ ٠ ٣
١- ٢ ٠ ٣
٢- ٣ + ٢- ٣ ١ ٤ ١ ٤
٥ ١ ١- ٢-
.:أ ب +ب ج =
=
٥- ٢ + ٦- ٩
١١ ٤ = ١٥ ٣
٦ ٦ ١٢
(٢) ٩
٦ ٦ = ٣ ٤ ٩ ١٢ ٠ ٢
)(١
∴ أ ) ب+ج( = أ ب +أ ج
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ ﺟﺪاً : ١ـ ) أ ب (ﻣﺪ = ب ﻣﺪ أ
ﻣﺪ
٤
٢
٢
٢ـ أ = أ × أ ،أ = أ × أ
٢
] ﺣﯿﺚ أ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﺮﺑﻌﺔ [
٣ـ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﻮﺣﺪة ) ( I ـ ھﻲ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﺮﺑﻌﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﻘﻄﺮ اﻟﺮﺋﯿﺴﻲ ﻓﯿﮭﺎ = ، ١و ﺑﺎﻗﻲ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ أﺻﻔﺎر . ٠ ١ ﻣﺜﻞ ١ ٠ = I
،
٠ ٠ ١ ٠ ١ ٠ =I ١ ٠ ٠
..............
١٤٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
٤ـ أ × × I = Iأ = أ ٣ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ ٠ ٢ ١ ٣ ـ ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ أ ٣ -ب ،ب= أ= ٨ ٥ ٥ ٢ ٢
اﻟﺤﻞ :ـ .:أ
٢
=أ×أ= ١ ٣ ٥ ٢
١ ٣ ٥ ٢
= ٨ ١١ ٢٧ ١٦
∴ أ ٣ - ٢ب = ٨ ١٧ = ٠ ٢- ٣ - ٨ ١١ ٣ ١ ٨ ٥ ٢٧ ١٦ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٤ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ ١ ٢ ٤ ﻓﺄوﺟﺪ أ أ= ٥ ٠ اﻟﺤﻞ :ـ ٢ ٧ ٤ = ١ ٢ .:أ = أ × أ = ١ ٢ ٢٥ ٠ ٥ ٠ ٥ ٠ ٢٠٣ ١٦ ٧ ٤ ٧ ٤ ٢ ٢ ٤ = = أ × أ = أ ٦٢٥ ٠ ٢٥ ٠ ٢٥ ٠ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٥ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ ١- ٢ ٢ ـ ﻓﺈﺛﺒﺖ أن :أ ٥ -أ = I ٢ + أ= ٣ ٤اﻟﺤﻞ :ـ ١- ٢ .:أ= ٢ ٣ ٤-
١- ٢ ٣ ٤-
=
٥- ٨ ١٣ ٢٠-
∴ أ ٥ - ٢أ ١- ٢ ٥ - ٥- ٨ = I٢ + ٣ ٤١٣ ٢٠-
٢+
٠ ١ ١ ٠
= ٠ ٠ = ٠ ٢ + ٥- ١٠ - ٥- ٨ ٠ ٠ ٢ ٠ ١٥ ٢٠١٣ ٢٠ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ =
#
١٤٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄـــﯿﺔ ـ ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﯾﻨﺎت اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﻟﻲ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﯿﺮ واﺣﺪ .. ـ أوﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺎت اﻷﺗﯿﺔ ﻓﻲ ح و ﻣﺜﻞ اﻟﺤﻞ ﻋﻠﻲ ﺧﻂ اﻷﻋﺪاد .
) ٣ (١س ٢ ≤ ٤ - اﻟﺤﻞ :ـ ٣س ≤ ٤+٢ ٣س ≤ ٣ ÷ ، ٦ ∴س≤٢ م ح = ] ] ∞ ،٢
) ٢ (٢س ٧ ≥ ٥ + ٢س≥٥-٧ ٢س ≥ ٢؛ ÷٢ ∴س≥١ مح=[[١،∞-
) ٤ > ٥- (٣س ١١ ≥ ٣ + ٤ > ٣ - ٥س ≥ ٣ - ١١٤>٨س≥٤÷، ٨∴ >٢-س≥٢ مح=[[٢،٢-
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ـ ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﯾﻨﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﻟﻲ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﯿﺮﯾﻦ
:ـ
١ـ ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ ٢ :س +ص < ٦ اﻟﺤﻞ :ـ ﻧﺮﺳﻢ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺤﺪي ٢ :س+ص = ٦و ذﻟﻚ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﺑﺄي ﻗﯿﻤﺘﯿﻦ ﻟـ س و ﻧﺤﺴﺐ ﻗﯿﻢ ص اﻟﻤﻨﺎﻇﺮة ﻟﮭﺎ ـ و ﯾﻔﻀﻞ وﺿﻊ س = ٠و ﻧﺤﺴﺐ ص ﺛﻢ ﻧﻀﻊ ص = ٠و ﻧﺤﺴﺐ س ـ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻘﺴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻮي إﻟﻲ ﺟﺰﺋﯿﻦ ف ، ١ف ٢ـ ﻧﻌﻮض ﺑﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ و اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ ﯾﻜﻮن ﻋﻨﺪھﺎ اﻟﺤﻞ و ﯾﻔﻀﻞ اﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ )(٠،٠ ﻣﻼﺣﻈﺔ :إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻋﻼﻣﺔ اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ ] > أ [ < ،ﯾﻜﻮن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺘﻘﻄﻊ ـ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻋﻼﻣﺔ اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ ] ≤ أ [ ≥ ،ﯾﻜﻮن اﻟﺨﻂ ﻣﺘﺼﻞ . .:ل ٢ :س +ص = ٦ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ )(٠،٣)، (٦،٠ .:اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٠ ، ٠ﻻ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ ٢س +ص < ٦ ∴ اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ .. ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ـ ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ س ≤ ٢- اﻟﺤﻞ :ـ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺤﺪي ل :س = ٢-ﯾﻤﺜﻠﮫ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات و ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٠ ، ٢- .:ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ س ≤ ٢- ﺣﯿﺚ ∴ ٢- ≤ ٠اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ...
١٤٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
٣ـ ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ ص ≥ ٢ اﻟﺤﻞ :ـ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺤﺪي ل :ص = ٢ ﯾﻤﺜﻠﮫ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت و ﯾﻤﺮ ﯾﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٢ ، ٠ ـ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (٠،٠ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﺘﯿﺎﯾﻨﺔ ص > ٢ﻷن ∴ ٢ > ٠اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ .. ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٤ـ ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ ٢س٣ +ص ≤ ٦ اﻟﺤﻞ :ـ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺤﺪي ل ٢ :س ٣ +ص = ٦ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻂ ) (٠ ،٣ ) ، ( ٢ ،٠ .:اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (٠،٠ﻻ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ ٢س٣+ص ≤ ٦ﻷن ٦ > ٠+٠ ∴ اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ..
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ اﻟﺤﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﻲ ﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺘﯿﻦ أو أﻛﺜﺮ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﻟﻲ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﯿﺮﯾﻦ .. ـ ﻣﺜﺎل :١ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺘﯿﻦ ٢س +ص ≤ ، ٤ص ≤ ١- اﻟﺤﻞ :ـ ﻧﺤﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺘﯿﻦ ﺑﯿﺎﻧﯿﺎً ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﺸﻜﻞ ﻓﯿﻜﻮن اﻟﺤﻞ ھﻮ ﻣﻨﻄﻘﺔ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ .. .:ل٢ : ١س +ص = ٤ﯾﻤﺮ ﺑـ ) (٠ ،٢ ) ، (٤ ، ٠ ،ل : ٢ص = ١-ﯾﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت و ﯾﻤﺮ ﺑـ ) (١- ،٠
ل١
ـ ﻻﺣﻆ أن اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺘﯿﻦ ﻣﻌﺎً .:اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (٢ ،٣ﺗﺤﻘﻖ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺘﯿﻦ ∴ اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ..
ل٢
١٥٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
٢ـ أوﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺎت اﻷﺗﯿﺔ ﺑﯿﺎﻧﯿ ًﺎ س ≤ ، ٠ص ≤ ٢ ، ٠س +ص ≥ ٤ اﻟﺤﻞ :ـ ل : ١س = ٠ھﻮ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ،ل : ٢ص = ٠ھﻮ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت و اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺘﯿﻦ س ≤ ، ٠ص ≤ ٠ﯾﺤﺪدان داﺋﻤﺎً ﻣﻌﺎً اﻟﺮﺑﻊ اﻷول ـ ل٢ : ٣س +ص= ٤ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻂ ) (٠ ،٢ ) ، (٤، ٠ ـ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (٠،٠ﺗﺤﻘﻖ ﻛﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺎت ∴ اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ..
ل١ ل٣
ل٢
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ـ أوﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺎت اﻷﺗﯿﺔ ﺑﯿﺎﻧﯿﺎً س ≤ ، ٠ص ≤ ، ٠س +ص ≥ ٢ ، ٤س +ص ≥ ٦ اﻟﺤﻞ :ـ ـ ﻛﻤﺎ ﺳﺒﻖ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺘﯿﻦ س ≤ ، ٠ص ≤ ٠ﯾﺤﺪدان داﺋﻤﺎً ﻣﻌﺎً اﻟﺮﺑﻊ اﻷول ل : ١س +ص = ٤ﯾﻤﺮ ﺑـ ) (٤ ، ٠) ، (٠،٤ ل٢ : ٢س +ص= ٦ﯾﻤﺮ ﺑـ ) (٠ ،٣ ) ، (٦،٠ اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ..
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ل٢
ل١
اﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﯿﺔ :ـ ـ ـ ـ ھﻲ وﺳﯿﻠﺔ ﻹﻋﻄﺎء أﻓﻀﻞ ﻗﺮار ﻓﻲ ﺣﻞ ﻣﺸﻜﻠﺔ . ـ أو ھﻲ اﻟﺤﻞ اﻷﻣﺜﻞ ﻟﺘﺤﻘﯿﻖ ھﺪف ﻣﻌﯿﻦ ﻋﻠﻲ ﺻﻮرة داﻟﺔ ﺧﻄﯿﺔ ] ر = أ س +ب ص [
و ﻹﯾﺠﺎد اﻟﺤﻞ اﻟﻤﻄﻠﻮب ) أﻛﺒﺮ ﻗﯿﻤﺔ أو أﺻﻐﺮ ﻗﯿﻤﺔ ( ﻧﺤﺪد ﻣﻨﻄﻘﺔ اﻟﺤﻠﻮل اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﻟﻠﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺎت اﻟﻤﻮﺟﻮدة ﻓﻨﺠﺪ أﻧﮫ ﯾﺤﺪدھﺎ رؤوس ﻣﻀﻠﻊ .. ـ و ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﺑﮭﺬه اﻟﺮؤوس ﻓﻲ داﻟﺔ اﻟﮭﺪف ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﻄﻠﻮب ) داﻟﺔ اﻟﮭﺪف ( )) و اﻷﻣﺜﻠﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ﺗﻮﺿﺢ ذﻟﻚ (( Ù ١٥١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﺜﺎل :١ﻋﯿﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺎت اﻷﺗﯿﺔ ﻣﻌﺎً ﺑﯿﺎﻧﯿﺎً س ≤ ، ٠ص ≤ ، ٠ص -س ≥ ٢ ، ٣ص ٥+س ≥ ٢٠ ـ ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺤﻞ ﻗﯿﻢ ) س ،ص( اﻟﺘﻲ ﺗﺠﻌﻞ ل أﻛﺒﺮ ﻣﺎ ﯾﻤﻜﻦ ﺣﯿﺚ ل = ٥س٣+ص .. اﻟﺤﻞ :ـ ـ ﻛﻤﺎ ﺳﺒﻖ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺘﯿﻦ س ≤ ، ٠ص ≤ ٠ﯾﺤﺪدان داﺋﻤﺎً ﻣﻌﺎً اﻟﺮﺑﻊ اﻷول ـ ل : ١ص -س = ٣ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ( ٤ ، ١ ) ، (٣ ، ٠ ـ ل٢ : ٢ص٥ +س = ٢٠ﯾﻤﺮ ﺑـ ) (٠ ، ٤ ) ، ( ١٠ ، ٠ ـ ﻓﻀﺎء اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻀﻠﻊ أ و ﺟـ ب ل٢ ﺣﯿﺚ أ ) ،( ٠ ، ٤و )، (٠،٠ﺟـ ) ،(٣ ،٠ب) (٢،٥ .:داﻟﺔ اﻟﮭﺪف ل = ٥س٣+ص .. ل١ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﺑﺎﻟﻨﻘﻂ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻲ اﻟﻤﻄﻠﻮب ب ∴ ل أ = ٢٠ = ٠×٣ +٤×٥ ﺟـ ،ل ب = ٢٥ = ٥×٣ +٢×٥ ،ل ﺟـ = ٩ = ٣×٣ + ٠×٥ ،ل و = = ٠×٣ +٠×٥ﺻﻔﺮ
و
أ
∴ ل أﻛﺒﺮ ﻣﺎ ﯾﻤﻜﻦ ﻋﻨﺪ ب ) ( ٥ ،٢
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ـ أوﺟﺪ ﺑﯿﺎﻧﯿﺎً ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺎت اﻷﺗﯿﺔ س ≤ ، ٠ص ≤ ، ٠س٢ +ص ≤ ، ٤س +ص ≤ ٣ ـ ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺤﻞ ﻗﯿﻢ ) س ،ص( اﻟﺘﻲ ﺗﺠﻌﻞ ) ر ( أﻗﻞ ﻣﺎ ﯾﻤﻜﻦ ﺣﯿﺚ ر = ٥س٤ +ص . اﻟﺤﻞ :ـ ـ ل : ١س ٢ +ص = ٤ﯾﻤﺮ ﺑـ ) (٠ ، ٤ ) ، ( ٢ ،٠ ـ ل :٢س +ص= ٣ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ( ٠ ، ٣ ) ، ( ٣ ،٠ ∴اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﺤﺪدة ﺑﺄﺳﻔﻞ ﺑﺎﻟﻨﻘﻂ أ ) ، (٠ ،٤ب) ، (١ ،٢ﺟـ ) (٣ ،٠ .:ر = ٥س٤ +ص ∴ ر أ = ٢٠ = ٠×٤ + ٤ ×٥ ﺟـ ،ر ب = ١٤ =١×٤ +٢×٥ ،ر ﺟـ = ١٢ =٣×٤ +٠×٥
ل١
ب
∴ أﻗﻞ ﻗﯿﻤﺔ ﻋﻨﺪ ﺟـ = ) ( ٣ ،٠
أ ل٢
٣ـ ﻣﻄﺤﻦ ﻟﺪﯾﮫ ٨٠ﻛﺠﻢ ﻣﻦ اﻟﺬرة ١٢٠ ،ﻛﺠﻢ ﻣﻦ اﻟﻘﻤﺢ ـ ﯾﻨﺘﺞ ﻧﻮﻋﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﺪﻗﯿﻖ و ﯾﻀﻌﮫ ﻓﻲ أﻛﯿﺎس ،ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻠﺰم ﻟﻠﻜﯿﺲ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻷول ﻛﯿﻠﻮ واﺣﺪ ﻣﻦ اﻟﺬرة ٣ ،ﻛﺠﻢ ﻣﻦ اﻟﻘﻤﺢ ـ ﯾﻠﺰم ﻟﻠﻜﯿﺲ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ٢ﻛﺠﻢ ﻣﻦ
١٥٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﺬرة ٢ ،ﻛﺠﻢ ﻣﻦ اﻟﻘﻤﺢ ـ أوﺟﺪ ﻋﺪد اﻷﻛﯿﺎس ﻣﻦ ﻛﻞ ﻧﻮع اﻟﺘﻲ ﯾﺠﺐ أن ﯾﻨﺘﺠﮭﺎ اﻟﻤﻄﺤﻦ ﻟﯿﻜﻮن دﺧﻠﮫ أﻛﺒﺮ ﻣﺎ ﯾﻤﻜﻦ ،ﻋﻠﻤﺎً ﺑﺄن ﺛﻤﻦ اﻟﻜﯿﺲ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻷول ٤ﺟﻨﯿﮫ ،اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ٢ﺟـ .
اﻟﺤﻞ :ـ ذرة ﻗﻤﺢ اﻟﺜﻤﻦ
اﻟﻨﻮع اﻷول ١ ٣ ٤
اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ٢ ٢ ٢
اﻟﻜﻤﯿﺔ اﻟﻤﺘﺎﺣﺔ ٨٠ ١٢٠
ـ .:س ≤ ، ٠ص ≤ ، ٠س ٢ +ص ≥ ٣ ، ٨٠س٢ +ص ≥ ١٢٠ ،داﻟﺔ اﻟﮭﺪف :ر = ٤س٢ +ص .. ـ ل :١س٢+ص= ٨٠ﯾﻤﺮ ﺑـ ) (٠ ، ٨٠ ) ، ( ٤٠، ٠ ـ ل٣ :٢س٢+ص= ١٢٠ﯾﻤﺮ ﺑـ ) (٠ ، ٤٠ ) ، ( ٦٠ ،٠ ـ ﻣﻨﻄﻘﺔ اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻀﻠﻊ أ و ﺟـ ب ﺣﯿﺚ أ) ، (٠ ،٤٠و)، (٠،٠ﺟـ ) ، (٤٠ ،٠ب)(٣٠ ،٢٠ ،داﻟﺔ اﻟﮭﺪف :ر= ٤س٢+ص ر أ = ، ١٦٠ر و = ، ٠ر ﺟـ = ، ٨٠ر ب =١٤٠ ﯾﻜﻮن اﻟﺪﺧﻞ أﻛﺒﺮ ﻣﺎ ﯾﻤﻜﻦ ﻋﻨﺪ أ ) (٠ ،٤٠ أي أن اﻟﻤﻄﺤﻦ ﯾﻨﺘﺞ ٤٠ﻛﯿﺲ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻷول ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ أ ٤ـ ﯾﺮاد وﺿﻊ ﻧﻮﻋﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﻜﺘﺐ أ ،ب ﻋﻠﻲ رف
ل٢
ﺟـ
ب
و
ل١
ﻣﻜﺘﺒﺔ ﻃﻮﻟﮫ ٩٦ﺳﻢ ،و ﺣﻤﻮﻟﺘﮫ اﻟﻘﺼﻮي ٢٠ﻛﺠﻢ ،ﻓﺈذا ﻛﺎن وزن اﻟﻜﺘﺎب ﻣﻦ ﻛﻼ اﻟﻨﻮﻋﯿﻦ ھﻮ ١ﻛﺠﻢ ،و ﺳﻤﻚ اﻟﻜﺘﺎب ﻣﻦ اﻟﻨﻮع أ ھﻮ ٦ﺳﻢ ،و ﻣﻦ اﻟﻨﻮع ب ٤ﺳﻢ ـ أوﺟﺪ ﻋﺪد اﻟﻜﺘﺐ ﻣﻦ ﻛﻞ ﻧﻮع اﻟﺘﻲ ﺗﻮﺿﻊ ﻋﻠﻲ اﻟﺮف ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻜﻮن ﻋﺪدھﺎ أﻛﺒﺮ ﻣﺎ ﯾﻤﻜﻦ . اﻟﺤﻞ:ـ
اﻟﻮزن اﻟﺴﻤﻚ
اﻟﻨﻮع أ ١ ٦
اﻟﻨﻮع ب ١ ٤
اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻌﻈﻤﻲ ٢٠ ٩٦
.:س ≤ ، ٠ص ≤ ، ٠س +ص ≥ ٦ ، ٢٠س٤+ص ≥ ، ٩٦داﻟﺔ اﻟﮭﺪف ر = س +ص ∴ ل : ١س+ص= ٢٠ﯾﻤﺮ ﺑـ ) (٠ ،٢٠ ) ، (٢٠ ،٠
،ـ ل٦ : ٢س٤+ص= ٩٦ﯾﻤﺮ ﺑـ ) (٠، ١٦ ) ، (٢٤ ،٠
اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﻀﻠﻌﺔ أ و ﺟـ ب ﺣﯿﺚ أ) ، (٠ ،١٦و) ، (٠،٠ﺟـ ) ، (٢٠، ٠ب) (١٢ ،٨ .: ،ر = س +ص ∴ ر أ = ، ١٦ر و = ، ٠ر ﺟـ = ، ٢٠ر ب = ٢٠ ∴ أﻛﺒﺮ ﻗﯿﻤﺔ ﻋﻨﺪ ﺟـ ) ، (٢٠ ،٠ب ) (١٢ ،٨ ـ أي أﻧﮫ ﻧﻀﻊ ٢٠ﻛﺘﺎب ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻓﻘﻂ أو ﻧﻀﻊ ٨ﻛﺘﺐ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻷول ١٢ ،ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ..
ب
أ
ﺟـ
و
١٥٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
٥ـ ﻗﺮرت إﺣﺪي اﻟﺸﺮﻛﺎت أن ﺗﻘﺪم وﺟﺒﺔ ﺧﻔﯿﻔﺔ ﻟﻤﻮﻇﻔﯿﮭﺎ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﺻﻨﻔﯿﻦ ،ﺑﺤﯿﺚ ﺗﺘﻮﻓﺮ ﻓﻲ اﻟﻮﺟﺒﺔ اﻟﻮاﺣﺪة ﻟﻜﻞ ﺷﺨﺺ ٤وﺣﺪات ﻋﻠﻲ اﻷﻗﻞ ﻣﻦ ﻓﯿﺘﺎﻣﯿﻦ أ ٩ ،وﺣﺪات ﻣﻦ ﻓﯿﺘﺎﻣﯿﻦ ب ـ ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﺼﻨﻒ اﻷول ﺗﻌﻄﻲ ﻓﻲ اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ وﺣﺪة ﻓﯿﺘﺎﻣﯿﻦ أ ٣ ،وﺣﺪات ﻓﯿﺘﺎﻣﯿﻦ ب ـ و ان اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﺼﻨﻒ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﺗﻌﻄﻲ ﻓﻲ اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ وﺣﺪﺗﯿﻦ ﻣﻦ ﻓﯿﺘﺎﻣﯿﻦ أ ٣ ،وﺣﺪات ﻣﻦ ﻓﯿﺘﺎﻣﯿﻦ ب ـ وﻛﺎن ﺳﻌﺮ اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﺼﻨﻒ اﻷول ٧٥ﻗﺮش ،وﺳﻌﺮ اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﺼﻨﻒ اﻟﺜﺎﻧﻲ ٥٠ﻗﺮش ـ ﻓﻜﻢ ﻋﺪد اﻟﻮﺣﺪات ﻣﻦ اﻟﺼﻨﻔﯿﻦ ﯾﻌﻄﻲ أرﺧﺺ وﺟﺒﺔ و ﺗﺘﻀﻤﻦ اﻟﺤﺪ اﻷدﻧﻲ ﻣﻦ اﻟﻔﯿﺘﺎﻣﯿﻨﺎت . اﻟﺤﻞ:ـ ﻓﯿﺘﺎﻣﯿﻦ اﻟﺼﻨﻒ اﻷول اﻟﺼﻨﻒ اﻟﺜﺎﻧﻲ اﻟﺤﺪ اﻷدﻧﻲ ٤ ٢ ١ أ ٩ ٣ ٣ ب ٥٠ ٧٥ اﻟﺴﻌﺮ .:س ≤ ، ٠ص ≤ ، ٠س٢ +ص ≤ ٣ ، ٤س٣ +ص ≤ ، ٩داﻟﺔ اﻟﮭﺪف :ر = ٧٥س٥٠ +ص ∴ ل : ١س٢ +ص = ٤ﯾﻤﺮ ﺑـ ) ( ٠ ،٤ ) ، ( ٢ ،٠ ـ ل٣ : ٢س٣+ص= ٩ﯾﻤﺮ ﺑـ ) (٠ ، ٣ ) ، (٣ ،٠ اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﺘﻲ ﺣﺪودھﺎ اﻟﺴﻔﻠﻲ أ ،ب ،ﺟـ ﺣﯿﺚ أ) ، (٠ ،٤ب ) ،(١ ،٢ﺟـ )(٣ ،٠ .:ر = ٧٥س ٥٠ +ص ∴ ر أ = ٣٠٠ =٠×٥٠+٤×٧٥ ل١ ﺟـ ،ر ب = ٢٠٠ =١+٥٠+٢×٧٥ ،ر ﺟـ = ١٥٠ = ٣×٥٠ +٠×٧٥ ب ∴ أرﺧﺺ وﺟﺒﺔ ﻋﻨﺪ ﺟـ ) (٣ ،٠ أ ـ ٣وﺣﺪات ﻣﻦ اﻟﺼﻨﻒ اﻟﺜﺎﻧﻲ ل٢ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٦ـ ﻃﺎﺋﺮة ﺑﮭﺎ ٤ﻣﻘﺎﻋﺪ ﻟﻠﺮﻛﺎب ،ﻓﺈذا ﻛﺎن راﻛﺐ اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﻟﻲ ﯾﺴﻤﺢ ﻟﮫ ﺑﺤﻤﻞ ٦٠ﻛﺠﻢ و ﯾﺪﻓﻊ ٥٠٠٠ﺟـﻨﯿﮫ ، و راﻛﺐ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﯾﺤﻤﻞ ٢٠ﻛﺠﻢ و ﯾﺪﻓﻊ ٢٥٠٠ﺟـ .ﻓﺈذا ﻛﺎن أﻛﺒﺮ وزن ﻟﻸﻣﺘﻌﺔ ھﻮ ١٢٠ﻛﺠﻢ ..ـ ﻓﺄوﺟﺪ ﻋﺪد اﻟﺮﻛﺎب ﻣﻦ ﻛﻞ درﺟﺔ اﻟﺬي ﯾﺤﻘﻖ أﻛﺒﺮ دﺧﻞ ﻣﻦ اﻷﺟﻮر .
اﻟﺤﻞ:ـ
اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ص ٢٠ ٢٥٠٠
اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﻟﻲ س اﻟﻤﻘﺎﻋﺪ ٦٠ اﻟﻮزن ٥٠٠٠ اﻟﺴﻌﺮ
اﻟﻤﺘﺎح ٤ ١٢٠
.:س ≤ ، ٠ص ≤ ، ٠س +ص ≥ ٦٠ ، ٤س ٢٠ +ص ≥ ١٢٠ ،داﻟﺔ اﻟﮭﺪف ر = ٥٠٠٠س ٢٥٠٠ +ص .
،ل : ١س+ص= ٤ﯾﻤﺮ ﺑـ ) (٠ ،٤ ) ، (٤ ،٠ ،ل٦٠: ٢س٢٠ +ص =١٢٠ﯾﻤﺮ ﺑـ ) (٠ ،٢ )،(٦ ،٠ اﻟﺤﻞ ھﻮ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﻀﻠﻌﺔ أ ب ﺟـ و ﺣﯿﺚ :أ) ، (٠ ،٢ب) ،(٣ ،١ﺟـ ) ، (٤ ،٠و)(٠،٠ .:داﻟﺔ اﻟﮭﺪف :ر= ٥٠٠٠س٢٥٠٠+ص ∴ ر أ = ، ١٠٠٠٠ر ب = ، ١٢٥٠٠ر ﺟـ = ١٠٠٠٠ أﻛﺒﺮ دﺧﻞ ﻋﻨﺪ ب) : (٣ ،١ﻣﻘﻌﺪ واﺣﺪ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﻟﻲ
٣ ،ﻣﻘﺎﻋﺪ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ
١٥٤
ب أ
ﺟـ
و
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﺒﺎب اﻟﺮاﺑﻊ اﻻﺣﺼﺎء ﻣﻘﺪﻣﮫ ﻓﻲ ﻣﺎدة اﻹﺣﺼﺎء ﻧﺤﻦ ﻧﻌﯿﺶ ﻓﻲ ﻋﺼﺮ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت وﻋﺎﻟﻢ اﻷﻋﻤﺎل ﯾﺘﻄﻠﺐ ﻣﻨﺎ اﻟﯿﻮم ﻣﻌﺎﻟﺠﺔ وﺗﻨﻈ ﯿﻢ وﺗﻘ ﺪﯾﻢ وﺗﻔ ﺴﯿﺮ ﻛﻤﯿ ﺎت ﻛﺒﯿ ﺮة ﻣﻨﮭ ﺎ وﻃﺒﯿﻌﺘﮭ ﺎ اﻟﻜﻤﯿ ﺔ .واﻟﻤﮭ ﺎرات اﻟﺘ ﻲ ﻧﺤ ﻦ ﺑﺤﺎﺟ ﺔ إﻟﯿﮭ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺘﻌﺎﻣ ﻞ ﻣ ﻊ ھ ﺬه اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت ﻣﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﻌﻠﻢ اﻹﺣﺼﺎء ).(statistics ﻓﺎﻹﺣﺼﺎء :ھ ﻮ اﻟﻌﻠ ﻢ اﻟ ﺬي ﯾﺒﺤ ﺚ ﻓ ﻲ ﺟﻤﯿ ﻊ اﻟﺒﯿﺎﻧ ﺎت اﻟﺨﺎﺻ ﺔ ﻟﻤﺨﺘﻠ ﻒ اﻟﻈ ﻮاھﺮ وﺗ ﺼﻨﯿﻒ ھ ﺬه اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﺟﺪاول ﻣﻨﻈﻤﺔ وﺗﻤﺜﯿﻠﮭﺎ ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ ﻋﻠﻲ ﺷﻜﻞ رﺳ ﻮﻣﺎت أو ﺻ ﻮر ﺗﻮﺿ ﯿﺤﯿﺔ وﻛ ﺬﻟﻚ ﺗﺤﻠﯿ ﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧ ﺎت واﺳ ﺘﺨﻼص اﻟﻨﺘ ﺎﺋﺞ ﻣﻨﮭ ﺎ واﺳ ﺘﺨﺪاﻣﮭﺎ ﻓ ﻲ اﺗﺨ ﺎذ اﻟﻘ ﺮار اﻟﻤﻨﺎﺳ ﺐ وﻣﻘﺎرﻧ ﺔ اﻟﻈ ﻮاھﺮ ﺑﺒﻌﻀﮭﺎ وﻣﺤﺎوﻟﺔ اﺳﺘﻨﺘﺎج ﻋﻼﻗﺎت ﺑﯿﻨﮭﺎ. وﻋﻠ ﻢ اﻹﺣ ﺼﺎء أﯾ ﻀﺎ ﻧﻔ ﺴﮫ ھ ﻮ ﻓ ﺮع ﻣ ﻦ ﻋﻠ ﻢ اﻟﺮﯾﺎﺿ ﯿﺎت ﻣﺘﻌﻠ ﻖ ﺑﻤﻌﺎﻟﺠ ﺔ ﻣﺨﺘﻠ ﻒ اﻟﺒﯿﺎﻧ ﺎت اﻹﺣ ﺼﺎﺋﯿﺔ ﻋ ﻦ اﻟﻌ ﺎﻟﻢ وھ ﻮ ﻋﺒ ﺎرة ﻋ ﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﺔ ﻣ ﻦ اﻷﺳ ﺎﻟﯿﺐ واﻟﻌﻤﻠﯿ ﺎت اﻹﺣ ﺼﺎﺋﯿﺔ اﻟﺨﺎﺻ ﺔ ﺑﻤﻌﺎﻟﺠﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت اﻟﻜﻤﯿﺔ أو اﻟﺮﻗﻤﯿﺔ.
ﻣﻘﺎﯾﯿﺲ اﻟﻨﺰﻋﺔ اﳌﺮﻛﺰﯾﺔ .١اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ .٢اﻟﻮﺳﯿﻂ .٣اﻟﻤﻨﻮال .٤اﻟﻮﺳﻂ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ .٥اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺘﻮاﻓﻘﻲ وﻻ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻔﻀﯿﻞ أﺣ ﺪ ھ ﺬه اﻟﻤﻘ ﺎﯾﯿﺲ ﻋﻠ ﻰ اﻵﺧ ﺮ ﻷن ﻟﻜ ﻞ ﻣﻨﮭ ﺎ ﻣﺰاﯾ ﺎه وﻋﯿﻮﺑ ﮫ إﻻ أن اﻟﻤﻘ ﺎﯾﯿﺲ اﻟﺜﻼﺛﺔ اﻷوﻟﻰ ھﻲ اﻷﻛﺜﺮ اﺳﺘﺨﺪاﻣﺎً. أوﻻً :اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ ) س( وﯾﻌ ﺮف اﻟﻮﺳ ﻂ اﻟﺤ ﺴﺎﺑﻲ ﺑﺄﻧ ﮫ اﻟﻘﯿﻤ ﺔ اﻟﺘ ﻲ أذا أﻋﻄﯿ ﺖ ﻟﻜ ﻞ ﻣﻔ ﺮدة ﻣ ﻦ ﻣﻔ ﺮدات اﻟﻈ ﺎھﺮة ﻟﻜ ﺎن ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﯿﻢ اﻟﺠﺪﯾﺪة ﻣﺴﺎوﯾﺎ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮع اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻠﻘﯿﻢ اﻷﺻﻠﯿﺔ ﻟﻠﻈﺎھﺮة. أي ﺑﺒﺴﺎﻃﺔ، اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﯿﻢ =
ﻣﺠﻤﻮع ھﺬه اﻟﻘﯿﻢ ﻋﺪدھﻢ
١٥٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻃﺮق ﺣﺴﺎب اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ: ) (١ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت ﻏﯿﺮ اﻟﻤﺒﻮﺑﺔ أوﻻ :ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت ﻏﯿﺮ اﻟﻤﺒﻮﺑﺔ.
) (٢ﻓﻲ ﺣﺎﻟﮫ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت اﻟﻤﺒﻮﺑﺔ )اﻟﺠﺪاول اﻟﺘﻜﺮارﯾﺔ (
ﻣﺜﺎل )(١ إذا ﻛﺎﻧﺖ درﺟﺎت ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻄﻠﺒﺔ ﻓﻲ ﻛﻠﯿﺔ اﻟﺘﻘﻨﯿﺔ ﺑﺎﻟﻤﺠﻤﻌﺔ ﻓﻲ ﻣﺎدة اﻹﺣﺼﺎء ھﻲ: ٣٠و ٦٠و ٤٠و ٧٠و ١٠٠ ﻓﺄوﺟﺪ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ ﻟﺪرﺟﺎت اﻟﻄﻼب. اﻟﺤﻞ: اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ )س( = ١٠٠ + ٧٠ + ٤٠ + ٦٠ + ٣٠ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٥ ٣٠٠ ـــــــ = ـــــــ ٥ = ٦٠درﺟﺔ. أﻣﺜﻠﺔ أﺧﺮي-: ﯾﻤﻜﻨﻚ اﺳﺘﺨﺪام ﻣﮭﺎرة اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻓﻲ وﺿﻊ ﻣﺜﺎل ﻛﻤﺎ ﻓﻌﻠﺖ أﻣﺎﻣﮫ ﻷن ھ ﺪﻓﻨﺎ ھ ﻮ اﻟﻄﺎﻟ ﺐ ﺣﺘ ﻰ ﻧﺨ ﺮج ﻣﻦ أﺳﻠﻮب اﻟﺘﻠﻘﯿﻦ إﻟﻲ أﺳﻠﻮب اﻟﻤ ﺸﺎرﻛﺔ اﻟﻔﻌﺎﻟ ﺔ ﻓﮭ ﻮ أﺳ ﺎس اﻟﻌﻤﻠﯿ ﺔ اﻟﺘﻌﻠﯿﻤﯿ ﺔ وأن ﻛ ﺎن أﻣﺎﻣ ﻚ ٣٠ﻃﺎﻟﺐ ﻣﺜﻼ ﻓﺄﻧﺖ ﻟﺪﯾﻚ ٣٠ﻣﺜﺎل أو ﻣﺴﺄﻟﺔ وﺗﺒﻨﻲ ﺟﺴﺮ ﻣﻦ اﻟﺜﻘﺔ ﺑﯿﻨﻚ وﺑ ﯿﻦ اﻟﻄﺎﻟ ﺐ ﻣ ﻦ ﺟﮭ ﺔ وﺑﯿﻦ اﻟﻄﺎﻟﺐ وﻧﻔﺴﮫ ﻣﻦ ﺟﮭﺔ أﺧﺮى ﺣﺘﻰ ﺗﺨﺮج ﻣﺎدة اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت إﻟﻲ اﻟﻤﻌﺎﯾﺸﺔ. ﻣﺜﺎل )(٢ إذا ﻛﺎﻧﺖ درﺟﺎت ﺳﺘﺔ ﻃﻼب ﻓﻲ اﺣﺪ اﻟﻤﻮاد ھﻲ ٦٣و ٨٠و ٤٠و ٧٢و ٦٠و ٢٥ أﺣﺴﺐ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ ﻟﺪرﺟﺎت اﻟﻄﻼب ﻣﺜﺎل )(٣ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ ﻟﻠﻌﺪدﯾﻦ ٤و ٦ھﻮ................ ﻣﺜﺎل )(٤ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﮫ ﻣﻦ اﻟﻘﯿﻢ ھﻮ ............ ﻣﺜﺎل )(٥ أوﺟﺪ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ ﻟﻠﻘﯿﻢ ١٫٥و ٢٫٦و ٣٫٥و ٤٫٤و ٥٫٧و٨٫٣
١٥٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺛﺎﻧﯿﺎ :ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت اﻟﻤﺒﻮﺑﺔ )اﻟﺠﺪاول اﻟﺘﻜﺮارﯾﺔ(. ﯾﺒﯿﻦ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ أﺟﻮر ٤٠ﻋﺎﻣﻞ ﻓﻲ أﺣﺪ اﻟﻤﺼﺎﻧﻊ وﻛﺎﻧﺖ ﻛﺎﻵﺗﻲ: اﻟﻔﺌﺎت اﻟﺘﻜﺮار
-٩ ١٢
-٣ ١٠
-٢١ ٦
-١٥ ٨
-٢٧ ٣
-٣٣ ١
اﻟﻤﺠﻤﻮع ٤٠
اﻟﺤﻞ: اﻟﻔﺌﺎت
اﻟﺘﻜﺮار)ك(
-٣ -٩ -١٥ -٢١ -٢٧ -٣٣ اﻟﻤﺠﻤﻮع
١٠ ١٢ ٨ ٦ ٣ ١ ٤٠
اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ )س(
ﻣﺮاﻛﺰ اﻟﻔﺌﺎت )س( ٦ ١٢ ١٨ ٢٤ ٣٠ ٣٦
ك×س ٦٠ ١٤٤ ١٤٤ ١٤٤ ٩٠ ٣٦ ٦١٨
ﻣﺞ ك × س = ــــــــــــــــــــــــــــــ ﻣﺞ ك ٦١٨ ــــــــــــــــــــــــــ = ٤٠ = ١٥٫٤٥رﯾﺎﻻً.
ﻃﺒﻌﺎ اﻟﺤﻞ ﻣﻜﺘﻮب ﻋﻠﻰ ﺻﻮرة ٤أﻋﻤ ﺪة :ﻓ ﺎﻟﻌﻤﻮد اﻷول)اﻟﻔﺌ ﺎت( واﻟﻌﻤ ﻮد اﻟﺜ ﺎﻧﻲ )اﻟﺘﻜ ﺮار( وھ ﻢ ﻣﻦ ورﻗﺔ اﻷﺳﺌﻠﺔ أو اﻟﻤﻌﻄﯿ ﺎت أﻣ ﺎ اﻟﻌﻤ ﻮد اﻟﺜﺎﻟ ﺚ )ﻣﺮاﻛ ﺰ اﻟﻔﺌ ﺎت)س( ( ﻧﺤ ﺼﻞ ﻋﻠﯿ ﮫ ﺑ ﺄﻛﺜﺮ ﻣ ﻦ ﻃﺮﯾﻘ ﺔ ﻓﻤﻨﮭ ﺎ أن ﻧﻌ ﺮف ﻃ ﻮل اﻟﻔﺌ ﺔ ﻓ ﻲ اﻟﻤ ﺴﺄﻟﺔ .وھ ﻲ ﺗﺨﺘﻠ ﻒ ﻣ ﻦ ﻣ ﺴﺄﻟﺔ ﻵﺧ ﺮي ﻓﻔ ﻲ ﻣﺜﺎﻟﻨ ﺎ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻃﻮل اﻟﻔﺌﺔ ھﻮ )أﻋﺮف أﻧﻚ رﺑﻤﺎ ﺗﻘﻮل .١٠ﻻ ،ﻃﺒﻌﺎً!( ﻃﻮل اﻟﻔﺌﺔ = ٣-٩ = ٩-١٥ = ١٥-٢١ = ٢١-٢٧ = ٢٧-٣٣ =٦ ﻧﻤﺴﻚ ﻃﻮل اﻟﻔﺌﺔ وھﻮ ٦وﻧﻘﺴﻤﮫ ﻋﻠﻰ ) ٢ﺛﺎﺑﺘﺔ( ﻓﯿﻨﺘﺞ ٣ ﻧﻤﺴﻚ ﺧﺎرج اﻟﻘﺴﻤﺔ وھﻲ ٣وﻧﻀﯿﻔﮭﺎ إﻟﻰ اﻟﻔﺌﺎت ﻟﺘﻌﻄﻲ ﻣﺮاﻛﺰ اﻟﻔﺌﺎت)س( ١٥٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
أﻣﺎ اﻟﻌﻤﻮد اﻟﺮاﺑﻊ واﻷﺧﯿﺮ ﻓﮭﻮ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ك)اﻟﺘﻜﺮار( ﻓﻲ س )ﻣﺮاﻛﺰ اﻟﻔﺌﺎت( وﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ﻣﺠﻤﻮع ك ﻓﻲ س ﻧﻘﺴﻤﮫ ﻋﻠﻲ ﻣﺠﻤﻮع ك)اﻟﺘﻜﺮار( ﻓﯿﻨﺘﺞ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ أي اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ )س(
ﻣﺞ ك × س ــــــــــــــــــــــ = ـــــــــ ﻣﺞ ك = ـــ ٦١٨ ــــــــــــــ ٤٠ = ١٥٫٤٥رﯾﺎﻻً.
ﻣﻦ ﻋﯿ ﻮب اﻟﻮﺳ ﻂ اﻟﺤ ﺴﺎﺑﻲ أﻧ ﮫ ﻻ ﯾﻤﻜ ﻦ إﯾﺠ ﺎده ﺑﺎﻟﺮﺳ ﻢ وﯾﺘ ﺄﺛﺮ ﺑ ﺎﻟﻘﯿﻢ اﻟ ﺸﺎذة أﻣ ﺎ ﻣﺰاﯾ ﺎه ﻓﻤﻨﮭ ﺎ اﻟﺴﮭﻮﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﺤﺴﺎب وﻟﺬﻟﻚ ﻓﮭﻮ أﻛﺜﺮ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺎت اﺳﺘﺨﺪاﻣﺎ ﻛﻤﺎ ﺗ ﺪﺧﻞ ﺟﻤﯿ ﻊ ﻗ ﯿﻢ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋ ﺔ ﻓ ﻲ ﺣﺴﺎﺑﮫ. وﯾﻤﻜﻨ ﻚ ﻣ ﻊ ﻃﻼﺑ ﻚ أﯾ ﺎً ﻛﺎﻧ ﺖ أﻋﻤ ﺎرھﻢ أن ﺗﺠﻌﻠﮭ ﻢ ﯾﻜﻮﻧ ﻮن ﻣ ﺴﺎﺋﻞ ﺗﺨﺘﻠ ﻒ ﻓ ﻲ ﻃ ﻮل اﻟﻤﺠﻤﻮﻋ ﺔ وﺗﻨﺒﮭﮭﻢ إن ﺗﻜﻮن ﻃﻮل اﻟﻔﺌﺔ واﺣﺪه ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ أﻣﺎ اﻟﺘﻜﺮار ﻓﻠﮭﻢ ﺣﺮﯾﺔ اﻻﺧﺘﯿﺎر ﺣﺴﺐ ﻃﺎﻟﺐ وأﺧﺮ ﻃﺒﻌﺎ وﯾﻜﻮن ﻋﻨﺪك ﺑﻨﻚ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﺘﻲ ﺗ ﻢ ﺗﻜﻮﯾﻨﮭ ﺎ ﻣ ﻦ ﺟﺎﻧ ﺐ اﻟﻄ ﻼب اﻟ ﺬي ﻧﺘﻤﻨ ﻰ اﻷﻣ ﻞ ﻓﯿﮭﻢ ﺑﺈذن اﷲ ﺳﺒﺤﺎﻧﮫ وﺗﻌﺎﻟﻲ .
ﺛﺎﻧﯿﺎ:اﻟﻮﺳﯿﻂ اﻟﻮﺳﯿﻂ ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﯿﻢ ھﻮ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻮﺳﻂ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﯿﻢ ﺑﻌﺪ ﺗﺮﺗﯿﺒﮭﺎ ﺗﺼﺎﻋﺪﯾﺎً أو ﺗﻨﺎزﻟﯿﺎً أي أﻧﮫ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﺘﻲ ﯾﻜﻮن ﻋﺪد اﻟﻘﯿﻢ اﻷﺻﻐﺮ ﻣﻨﮭﺎ ﻣﺴﺎوﯾﺎً ﻟﻌﺪد اﻟﻘﯿﻢ اﻷﻛﺒﺮ ﻣﻨﮭﺎ. ﻃﺮق ﺣﺴﺎﺑﮫ -: ) (١ﺟﺒﺮﯾﺎ
) (٢ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ
اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ: ﺳﻮف أﺗﻜﻠﻢ ﻋﻦ اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ وﻻ ﺣﻘﺎ ﻧﺘﻜﻠﻢ ﻋﻦ اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﯿﺔ ﻣﻊ ﻣﻌﺎﻟﺠﺔ اﻟﻄﺮﯾﻘ ﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﯿ ﺔ ﻟﻤﻘﺎﯾﯿﺲ اﻟﻨﺰﻋﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ﻛﻠﮭﺎ ﻣﻌﺎً .وﯾﻤﻜ ﻦ ﺣ ﺴﺎﺑﮫ أﯾ ﻀﺎً ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧ ﺎت ﻏﯿ ﺮ اﻟﻤﺒﻮﺑ ﺔ و ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت اﻟﻤﺒﻮﺑﺔ )اﻟﺠﺪاول اﻟﺘﻜﺮارﯾﺔ(. )أ( ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت ﻏﯿﺮ اﻟﻤﺒﻮﺑﺔ: ﻣﺜﺎل :أوﺟﺪ اﻟﻮﺳﯿﻂ ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﯿﻢ ٣٠و ٦٠و ٢٠و ٤٠و ٧٠ اﻟﺤﻞ :أوﻻً ﻻﺑﺪ ﻣﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ اﻟﻘﯿﻢ ﺗﺮﺗﯿﺒﺎً ﺗﺼﺎﻋﺪﯾﺎً أو ﺗﻨﺎزﻟﯿﺎً وﻧﺨﺘﺎر اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﺘﻲ ﺑﺎﻟﻤﻨﺘﺼﻒ ﻃﺒﻌﺎ أذا ﻛﺎن ﻋﺪد اﻟﻤﻔﺮدات ﻓﺮدي ،ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻲ: ١٥٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﻘﯿﻢ ﺑﻌﺪ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ: اﻟﻮﺳﯿﻂ ھﻮ٤٠ :
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
٢٠و ٣٠و ٤٠و ٦٠و ٧٠
ﻣﺜﺎل آﺧﺮ :أوﺟﺪ اﻟﻮﺳﯿﻂ ﻟﻠﻘﯿﻢ ١٢و ٤و ١و ٦و ١١و ٨ اﻟﺤﻞ: اﻟﻘﯿﻢ ﺑﻌﺪ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ١ :و ٤و ٦و ٨و ١١و١٢ اﻟﻮﺳﯿﻂ = ٨ + ٦ ـــــــــــــ ٢ = ١٤ ــــــــــ ٢ = ٧ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ أوﻻ ﻧﺮﺗﺐ اﻟﻘ ﯿﻢ ﺗﺮﺗﯿﺒ ﺎ ﺗ ﺼﺎﻋﺪﯾﺎ )ﺗﻨﺎزﻟﯿ ﺎ( ﺛ ﻢ ﻧﺨﺘ ﺎر اﻟﻘﯿﻤﺘ ﺎن اﻟﺘ ﻲ ﺑﺎﻟﻤﻨﺘ ﺼﻒ وھﻤﺎ ٦و ٨وﻧﺠﻤﻌﮭﻢ وﻧﻘﺴﻤﮭﻢ ﻋﻠﻲ ) ٢وھﻲ ﻗﯿﻤﮫ ﺛﺎﺑﺘﺔ( واﻟﻨﺎﺗﺞ ﻣﻦ ﺧ ﺎرج اﻟﻘ ﺴﻤﺔ ھ ﻮ ﻗﯿﻤ ﺔ اﻟﻮﺳﯿﻂ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت اﻟﻐﯿﺮ ﻣﺒﻮﺑﮫ وﻓﻲ ﻣﺜﺎﻟﻨﺎ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻋﺪد اﻟﻤﻔﺮدات زوﺟﻲ. ﻣﺰﯾ ﺪ ﻣ ﻦ اﻷﻣﺜﻠ ﺔ واﻟﻤ ﺴﺎﺋﻞ اﺟﻌ ﻞ ﻃﻼﺑ ﻚ ھ ﻢ اﻟ ﺬﯾﻦ ﯾﻘﻮﻣ ﻮن ﺑﺘﻜ ﻮﯾﻦ ھ ﺬه اﻷﻣﺜﻠ ﺔ واﻟﻤ ﺴﺎﺋﻞ ﻣ ﻊ ﺗﻮﺟﯿﮭﻚ ﻟﮭﻢ إن ﻛﻞ ﻃﺎﻟﺐ ﻋﻠﯿﮫ أﻋﻄﺎء ﻣﺜﺎل ﻟﻘﯿﻢ ﻋﺪد ﻣﻔﺮداﺗﮭﺎ ﻓ ﺮدي وﻗ ﯿﻢ أﺧ ﺮي ﻋ ﺪد ﻣﻔﺮداﺗﮭ ﺎ زوﺟﻲ. ﻓﻤﺜﻼ ﺑﺒﺴﺎﻃﺔ أوﺟﺪ اﻟﻮﺳﯿﻂ ﻟﻠﻘﯿﻢ اﻵﺗﯿﺔ: ) ٦ (١و ٤و ٨ ) ٦ (٢و ٤و ٨و ١٠ )ب( ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت اﻟﻤﺒﻮﺑﺔ )اﻟﺠﺪاول اﻟﺘﻜﺮارﯾﺔ(. ﻣﺜﺎل: أوﺟﺪ اﻟﻮﺳﯿﻂ ﻟﻠﺠﺪول اﻟﺘﻜﺮاري اﻷﺗﻲ اﻟﺬي ﯾﺒﯿﻦ أﺟﻮر اﻟﻌﻤﺎل ﻓﻲ أﺣﺪ اﻟﻤﺼﺎﻧﻊ وﻛﺎﻧﺖ ﺑﺎﻟﺮﯾﺎل اﻟﻔﺌﺎت اﻟﺘﻜﺮار
-٣ ١٠
-٩ ١٢
-١٥ ٨
-٢١ ٦
-٢٧ ٣
-٣٣ ١
اﻟﻤﺠﻤﻮع ٤٠
اﻟﺤﻞ: أوﻻ ﻧﻜﻮّن ﺟﺪول اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻤﺘﺠﻤﻊ اﻟﺼﺎﻋﺪ ﻣﻦ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﻜﺮاري اﻟﺒﺴﯿﻂ اﻟﻤﻌﻄﻰ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ وھﻮ ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ﻋﻤﻮدﯾﻦ ﻓﻘ ﻂ اﻟﻌﻤ ﻮد اﻷول اﻟﻔﺌ ﺎت واﻟﺜ ﺎﻧﻲ اﻟﺘﻜ ﺮار اﻟﻤﺘﺠﻤ ﻊ اﻟ ﺼﺎﻋﺪ ﻟﻠﻔﺌ ﺎت .اﻟﻔﺌ ﺎت ﺗﻜﺘﺐ ﻛﻤﺎ ھﻲ ﺑﺎﻟﺠﺪول اﻟﺘﻜ ﺮاري اﻟﺒ ﺴﯿﻂ أﻣ ﺎ اﻟﺘﻜ ﺮار اﻟﻤﺘﺠﻤ ﻊ اﻟ ﺼﺎﻋﺪ ﻓﻨﺒ ﺪأ ﺑﺎﻟ ﺼﻔﺮ )ﺛﺎﺑ ﺖ( ﺛ ﻢ ١٥٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻧﻀﯿﻒ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻔﺮ أول ﺗﻜﺮار وھﻮ ١٠ﻓﻲ ھﺬه اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺛﻢ ١٢ﻋﻠﻰ أﺧﺮ ﻣﺠﻤﻮع ﺛﻢ ﻧﻀﯿﻒ ٨ﺛﻢ ٦ﺛﻢ ٣ﺛﻢ ١ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ٤٠وھﻮ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺘﻜﺮار وھ ﺬا ﯾ ﺪل ﻋﻠ ﻰ أن اﻟﺠﻤ ﻊ ﺻ ﺤﯿﺢ وإذا ﻛ ﺎن اﻟﻤﺠﻤﻮع ﻏﯿﺮ ﻣﻄﺎﺑﻖ ﻟﻤﺠﻤﻮع اﻟﺘﻜﺮار ﻓﻨﻌﯿﺪ اﻟﺠﻤﻊ ﻣﺮة ﺛﺎﻧﯿ ﺔ ﺣﺘ ﻰ ﯾﻜ ﻮن ﻧﺘﯿﺠ ﺔ اﻟﺠﻤ ﻊ ﻣ ﺴﺎوﯾﺔ ﻟﻤﺠﻤﻮع اﻟﺘﻜﺮار ﻛﻤﺎ ﯾﻠﻲ : اﻟﻔﺌﺎت أﻗﻞ ﻣﻦ ٣ أﻗﻞ ﻣﻦ ٩ أﻗﻞ ﻣﻦ ١٥ اﻗﻞ ﻣﻦ ٢١ أﻗﻞ ﻣﻦ ٢٧ أﻗﻞ ﻣﻦ ٣٣ اﻗﻞ ﻣﻦ ٣٩
)اﻟﺒﺪاﯾﺔ(
اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻤﺘﺠﻤﻊ اﻟﺼﺎﻋﺪ ﺻﻔﺮ ) ١٠اﻟﺘﻜﺮار اﻟﺴﺎﺑﻖ( ) ٢٢اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻼﺣﻖ( ٣٠ ٣٦ ٣٩ ٤٠
٢٠ رﺗﺒﺔ اﻟﻮﺳﯿﻂ
ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺗﺮﺗﯿﺐ اﻟﻮﺳﯿﻂ ﺑﻘﺴﻤﺔ اﻟﻤﺠﻤﻮع ﻋﻠﻰ ٢ اﻟﻤﺠﻤﻮع ـــــــــــــــ = ٤٠ ـــــــــــــــ = ٢٠ رﺗﺒﺔ اﻟﻮﺳﯿﻂ = ٢ ٢ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻮﺳﯿﻂ = ﺑﺪاﯾﺔ اﻟﻔﺌﺔ اﻟﻮﺳﯿﻄﺔ +رﺗﺒﺔ اﻟﻮﺳﯿﻂ – اﻟﺘﻜﺮار اﻟﺴﺎﺑﻖ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ﻃﻮل اﻟﻔﺌﺔ اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻼﺣﻖ – اﻟﺘﻜﺮار اﻟﺴﺎﺑﻖ =
٩
+ـــ١٠ - ٢٠ ـــــــــــــــــــــ × ٦ ١٠ - ٢٢
=
٩
+ــــ ١٠ ــــــــــــــــــ × ٦ ١٢
= ١٤رﯾﺎل = رﺗﺒﺔ اﻟﻮﺳﯿﻂ ﺑﺪاﯾﺔ اﻟﻔﺌﺔ اﻟﻮﺳﯿﻄﺔ = = اﻟﺘﻜﺮار اﻟﺴﺎﺑﻖ = اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻼﺣﻖ = ﻃﻮل اﻟﻔﺌﺔ
٢٠ ٩ ١٠ ٢٢ ٦
ﻣﻦ ﻣﺰاﯾﺎ اﻟﻮﺳﯿﻂ أﻧﮫ ﻻ ﯾﺘﺄﺛﺮ ﺑﺎﻟﻘﯿﻢ اﻟﺸﺎذة وﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮫ ﺑﺎﻟﺮﺳﻢ وﻣﻦ ﻋﯿﻮﺑﮫ أﻧﮫ ﻻ ﯾﺪﺧﻞ ﻓﻲ ﺣﺴﺎﺑﮫ ﺳﻮى ﻗﺮاءة واﺣﺪة أو ﻗﺮاءﺗﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻛﻠﮭﺎ. ١٦٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺛﺎﻟﺜﺎً :اﻟﻤﻨﻮال ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت اﻟﻤﺒﻮﺑﺔ )اﻟﺠﺪاول اﻟﺘﻜﺮارﯾﺔ(. اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ ﯾﺒﯿﻦ درﺟﺎت ٤٠ﻃﺎﻟﺐ ﻣﻦ ﻃﻼب ﻛﻠﯿﺔ اﻟﺘﻘﻨﯿﺔ ﻓﻲ أﺣﺪ اﻟﻤﻮاد اﻟﻌﻤﻠﯿﺔ واﻟﻤﻄﻠﻮب أﯾﺠﺎد اﻟﻤﻨﻮال. اﻟﺒﺪاﯾﺔ -٣٣اﻟﻤﺠﻤﻮع -٢٧ -٢١ -١٥ -٩ اﻟﻔﺌﺎت -٣ ٤٠ ١ ٣ ٦ ٨ ١٢ اﻟﺘﻜﺮار ١٠ اﻟﺘﻜﺮار اﻟﺴﺎﺑﻖ)ك(١ اﻟﻤﻨﻮال
أﻛﺒﺮ ﺗﻜﺮار)ك(
اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻼﺣﻖ)ك(٢
ك -ك١ ـــــــــــــــــــــــــــــ = ﺑﺪاﯾﺔ اﻟﻔﺌﺔ اﻟﻤﻨﻮاﻟﯿﺔ + ك ك ك ٢ ٢ ١
=
٩
=
٩
=
١١
× ﻃﻮل اﻟﻔﺌﺔ
+ـــــ ١٠ – ١٢ ــــــــــــــــــــــــــــــــ × ٦ ٨ – ١٠ – ١٢ × ٢ +
٢ ـــــــــــــــــــ ٦
× ٦
ﺑﺪاﯾﺔ اﻟﻔﺌﺔ اﻟﻤﻨﻮاﻟﯿﺔ ھﻲ أﻣﺎم أﻛﺒﺮ ﺗﻜﺮار وھﻲ ٩ ك وھﻲ أﻛﺒﺮ ﺗﻜﺮار وھﻲ ١٢ ك ١ﺗﻌﻨﻲ اﻟﺘﻜﺮار اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻷﻛﺒﺮ ﺗﻜﺮار وھﻲ ١٠ ك ٢ﺗﻌﻨﻲ اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻼﺣﻖ ﻷﻛﺒﺮ ﺗﻜﺮار وھﻲ ٨ ﻃﻮل اﻟﻔﺌﺔ وھﻲ ٦وھﻲ زﯾﺎدة اﻟﻔﺌﺔ ﻣﻦ ﺧﺎﻧﺔ ﻷﺧﺮى. ﻣﻦ ﻣﺰاﯾﺎ اﻟﻤﻨﻮال ﺳﮭﻮﻟﺔ اﻟﺤﺴﺎب وأﻧﮫ ﻻ ﯾﺘﺄﺛﺮ ﺑﺎﻟﻘﯿﻢ اﻟﺸﺎذة وﻣﻦ ﻋﯿﻮﺑﮫ أﻧﮫ ﻏﯿﺮ دﻗﯿﻖ ﺣﯿﺚ ﯾﺘﻢ ﺣﺴﺎﺑﮫ ﺑﻄﺮق ﻛﻠﮭﺎ ﺗﻘﺮﯾﺒﯿﺔ.
١٦١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻻﺣﺘﻤﺎل * اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ ھﻲ ﻛﻞ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻧﺴﺘﻄﯿﻊ أن ﻧﺤﺪد ﻣﻘﺪﻣﺎ )أي ﻗﺒﻞ إﺟﺮاﺋﮭﺎ( ﺟﻤﯿﻊ اﻟﻨﻮاﺗﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ اﻟﺤﺪوث ،وﻟﻜﻦ ﻻ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﺤﺪﯾﺪ أي ﻣﻦ ھﺬه اﻟﻨﻮاﺗﺞ ﺳﯿﺘﺤﻘﻖ ﻓﻌﻼً ﻋﻨﺪ إﺟﺮاء ھﺬه اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺗﻌﺮﯾﻒ :ﻓﻀﺎء ) ﻓﺮاغ ( اﻟﻌﯿﻨﺔ أو ﻓﻀﺎء اﻟﻨﻮاﺗﺞ )ف( ھﻮ ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﯿﻊ اﻟﻨﻮاﺗﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ اﻟﺤﺪوث ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ.
ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﺤﺪث ھﻮ أى ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﯿﺔ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ. * أﻧﻮاع اﻷﺣﺪاث
(١اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺆﻛﺪ :ھﻮ اﻟﺤﺪث اﻟﺬي ﻻﺑﺪ أن ﯾﻘﻊ وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ )ف(. (٢اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺴﺘﺤﯿﻞ :ھﻮ اﻟﺤﺪث اﻟﺬي ﻻ ﯾﻤﻜﻦ أن ﯾﻘﻊ وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ).(φ
(٣اﻟﺤﺪث اﻷوﻟﻰ )اﻟﺒﺴﯿﻂ( :ھﻮ اﻟﺤﺪث اﻟﺬي ﺗﺘﺄﻟﻒ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻤﺜﻠﮫ ﻣﻦ ﻋﻨﺼﺮ واﺣﺪ ﻣﻦ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ. (٤اﻟﺤﺪﺛﺎن اﻟﻤﺘﻨﺎﻓﯿﺎن :ھﻤﺎ اﻟﺤﺪﺛﺎن اﻟﻠﺬان ﯾﺴﺘﺤﻼ و ﻗﻮﻋﮭﻤﺎ ﻣﻌﺎً و وﻗﻮع أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﻤﻨﻊ وﻗﻮع اﻵﺧﺮ .
• ﻣﺴﻠﻤﺎت اﻻﺣﺘﻤﺎل
) (١ل )ف( = ] ١ف ﯾﺴﻤﻰ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ [ ) ≥ ٠ (٢ل) أ ( ≥ ] ١ﺣﯿﺚ أ ﺣﺪث ﻣﺎ [ ) (٣ل) أ ∪ ب ( = ل ) أ ( +ل ) ب ( ] ﺣﯿﺚ أ ،ب ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﯿﻦ ﻣﻦ ف [
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻗﻮاﻧﯿﻦ اﻻﺣﺘﻤﺎل ل)أ∪ب(=ل)أ(+ل)ب(–ل)أ∩ب( وھﻮ ﯾﻌﻨﻰ ﻟﻔﻈﯿﺎ – اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أ أو ب -اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ
ل)أ∩ب(=ل)أ(+ل)ب(–ل)أ∪ب( وھﻮ ﯾﻌﻨﻰ ﻟﻔﻈﯿﺎ اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻣﻌﺎ
ل)أ -ب(=ل)أ( –ل)أ∩ ب( اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أ وﻋﺪم وﻗﻮع بوھﻮ ﯾﻌﻨﻰ اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أ ﻓﻘﻂﻻﺣﻆ أن ل ) أ ∩ ب = ( /ل ) أ – ب ( = ل ) أ ( – ل ) أ ∩ ب (
ل)ب -أ(=ل)ب( –ل)أ∩ ب اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب وﻋﺪم وﻗﻮع أوھﻮ ﯾﻌﻨﻰ اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ب ﻓﻘﻂﻻﺣﻆ أن ل ) ب ∩ أ = ( /ل ) ب – أ ( = ل ) ب ( – ل ) أ ∩ ب (
ل ) أ - ١ = (/ل ) أ ( وھﻮ ﯾﻌﻨﻰ اﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع أ ﻻﺣﻆ أن ل) اﻟﺤﺪث ( – ١ = /اﻟﺤﺪث ل) أ ∪ ب ( – ١ = /ل ) أ ∪ ب ( ل ) أ – ب ( – ١ = /ل ) أ – ب (
ﻓﻤﺜﻼ
،،،ل ) أ ∩ ب ( – ١ = /ل ) أ ∩ ب ( ،،،ل ) ب – أ ( – ١ = /ل ) ب – أ (
١٦٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻻﺣﻆ أن * اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ
ل)أ∪ب(=ل)أ(+ل)ب(–ل)أ∩ب( * اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ
ل)أ∩
ب ( – ١ = /ل ) أ
∩
ب(
* اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻓﻘﻂ
=ل)أ–ب(+ل)ب–أ(=ل)أ(+ل)ب(–٢ل)أ∩ ب ( =ل)أ∪ب(–ل)أ∩ب( * اﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع أ أو ب ل ) أ ∪ ب ( – ١ = /ل ) أ ∪ ب (
* اﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع أ ،ب ﻣﻌﺎ ل ) أ ∩ ب ( – ١ = /ل ) أ ∩ ب (
* ل ) أ ∪ /ب = ( /ل ) أ ∩ ب ( – ١ = /ل ) أ ∩ ب ( * ل ) أ ∩ /ب = ( /ل ) أ ∪ ب ( – ١ = /ل ) أ ∪ ب (
* ل ) أ ∪ ب = ( /ل ) ب + ( /ل ) أ ∩ ب ( * ل ) أ ∪ /ب ( = ل ) أ + ( /ل ) أ ∩ ب ( ************************************************** ** إذا ﻛﺎن أ ،ب ﺣﺪﺛﺎن ﻣﺘﻨﺎﻓﯿﺎن ﻓﺎن
ل)أ∩
ب
ب(=٠
** إذا ﻛﺎن أ ⊃ ب ﻓﺎن ل ) أ ∩ ب( = ل ) أ ( ،،،،
ل)أ∪ب(=ل)ب(
** إذا ﻛﺎن ب ⊃ أ ﻓﺎن ل ) أ ∩ ب( = ل ) ب ( ،،،،
ل)أ∪ب(=ل)أ(
أ
أ ب
١٦٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إذا ﻛﺎن س ،ص ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ف ﺑﺤﯿﺚ ﻛﺎن ل)س( = ، ٠٫٥ل)ص( = ٠٫٦ ل) س ∩ ص ( = ٠٫٣أوﺟﺪ / / ) (٧ل)س ∩ ص ( ) (٤ل )س(/ ) (١ل ) س ص( / / ) (٨ل ) س ص ( ) (٥ل )ص ( ) (٢ل)س – ص ( ) (٩ل ) س /ص( ) (٦ل )س /ص(/ ) (٣ل ) ص – س (
) (١ل) س ص( = ل )س( +ل)ص( – ل) س ∩ ص( = ٠٫٨ = ٠٫٣-٠٫٦+٠٫٥ ) (٢ل) س – ص ( = ل )س( – ل ) س ∩ ص( = ٠٫٢ = ٠٫٣ – ٠٫٥ ) (٣ل ) ص – س ( = ل )ص( – ل ) س ∩ ص ( = ٠٫٣ = ٠٫٣ – ٠٫٦ ) (٤ل)س – ١ = (/ل )س( = ٠٫٥ = ٠٫٥ – ١ ) (٥ل)ص – ١ = (/ل )ص( = ٠٫٤ = ٠٫٦ – ١ ) (٦ل) س /ص = (/ل ) س ∩ ص( – ١ = /ل) س ∩ ص( = ٠٫٧ = ٠٫٣ – ١ ) (٧ل )س ∩ /ص = ( /ل ) س ص( – ١ = /ل )س ص( = ٠٫٢ = ٠٫٨ – ١ ) (٨ل) س ص = (/ل)ص + (/ل ) س ∩ ص( = ٠٫٧ = ٠٫٣ + ٠٫٤ ) (٩ل ) س /ص( = ل)س + (/ل ) س ∩ ص( = ٠٫٨ = ٠٫٣ + ٠٫٥ ******************************************************** إذا ﻛﺎن س ،ص ﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﻦ ف ﺑﺤﯿﺚ ﻛﺎن ل)س( = ، ٠٫٤ل)ص( = ٠٫٨ ل) س ∩ ص ( = ٠٫٣أوﺟﺪ ) (١اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ) (٢اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع س ﻓﻘﻂ ) (٤اﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع س ) (٣اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ص ﻓﻘﻂ ) (١اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع أﺣﺪ اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ل)س ص( = ل) س( +ل )ص( – ل)س ∩ ص( = ٠٫٩ = ٠٫٣ – ٠٫٨+ ٠٫٤ ************************************************** ) (٢اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع س ﻓﻘﻂ ل) س – ص ( = ل )س( – ل ) س ∩ ص( = ٠٫١ = ٠٫٣ – ٠٫٤ *************************************************** ) (٣اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع ص ﻓﻘﻂ ل)ص – س ( = ل)ص( – ل ) س ∩ ص( = ٠٫٥ = ٠٫٣ – ٠٫٨ **************************************************** ) (٤اﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم وﻗﻮع س ل)س – ١ = (/ل ) س( = ٠٫٦ = ٠٫٤ – ١ ****************************************************
١٦٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﯾﺤﺎول ﻋﺒﺪاﻟﺮﺣﻤﻦ وﺟﮭﺎد ﺣﻞ ﻣﺴﺄﻟﺔ ﻓﺈذا ﻛﺎن اﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﺤﻠﮭﺎ ﻋﺒﺪاﻟﺮﺣﻤﻦ ٠٫٦واﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﺤﻠﮭﺎ ﺟﮭﺎد ٠٫٥واﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﺤﻞ ﻛﻼھﻤﺎ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻣﻌﺎ ٠٫٣٥أوﺟﺪ ) (٢اﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﺤﻠﮭﺎ ﻋﺒﺪ اﻟﺮﺣﻤﻦ ﻓﻘﻂ
) (١اﺣﺘﻤﺎل ﺣﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ
) (٤اﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﺤﻠﮭﺎ أﺣﺪھﻤﺎ دون اﻷﺧﺮ
) (٣اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﺤﻠﮭﺎ ﺟﮭﺎد ﻓﻘﻂ
) (٦اﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﺤﻠﮭﺎ أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ
) (٥اﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم ﺣﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ
) (٧اﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﻔﺸﻞ ﻋﺒﺪ اﻟﺮﺣﻤﻦ ﻓﻰ ﺣﻠﮭﺎ ) (٨اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﻔﺸﻞ ﺟﮭﺎد ﻓﻰ ﺣﻠﮭﺎ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻨﺠﺎح ﻋﺒﺪ اﻟﺮﺣﻤﻦ ﻓﻰ ﺣﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ س وﺟﮭﺎد ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ص ل)س( = ٠٫٦
ل)ص( = ٠٫٥
ل) س ∩ ص( = ٠٫٣٥
) (١اﺣﺘﻤﺎل ﺣﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ل)س ص( = ل)س( +ل)ص( – ل )س ∩ ص( = ٠٫٧٥ =٠٫٣٥ – ٠٫٥ + ٠٫٦ ) (٢اﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﺤﻠﮭﺎ ﻋﺒﺪ اﻟﺮﺣﻤﻦ ﻓﻘﻂ ل)س – ص( = ل)س( – ل)س ∩ ص( = ٠٫٢٥ = ٠٫٣٥ – ٠٫٦ ) (٣اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﺤﻠﮭﺎ ﺟﮭﺎد ﻓﻘﻂ ل)ص – س( = ل)ص( – ل) س ∩ ص( = ٠٫١٥ = ٠٫٣٥ – ٠٫٥ ) (٤اﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﺤﻠﮭﺎ أﺣﺪھﻤﺎ دون اﻷﺧﺮ ل)س
ص( – ل)س ص( = ٠٫٤ = ٠٫٣٥ – ٠٫٧٥
) (٥اﺣﺘﻤﺎل ﻋﺪم ﺣﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ل)س ص( – ١ = /ل )س ص( = ٠٫٢٥ = ٠٫٧٥ – ١ ) (٦اﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﺤﻠﮭﺎ أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺜﺮ ل)س ∩ ص( – ١ = /ل)س ∩ ص( = ٠٫٦٥ = ٠٫٣٥ – ١ ) (٧اﺣﺘﻤﺎل أن ﯾﻔﺸﻞ ﻋﺒﺪ اﻟﺮﺣﻤﻦ ﻓﻰ ﺣﻠﮭﺎ ل)س – ١ = ( /ل )س( = ٠٫٤ = ٠٫٦ – ١ ) (٨اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﻔﺸﻞ ﺟﮭﺎد ﻓﻰ ﺣﻠﮭﺎ ل)ص – ١ = (/ل )ص( = ٠٫٥ = ٠٫٥ – ١
١٦٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﻀﺎء ﻋﯿﻨﺔ ﻣﺘﺴﺎو اﻹﻣﻜﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﻣﺮة واﺣﺪة أﻛﺘﺐ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ف=}ص،ك{ *************************************************************** ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﻣﺮﺗﯿﻦ أﻛﺘﺐ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ص ف = } )ص ،ص( ) ،ص،ك() ،ك،ص()،ك،ك({
ص
ك ص
ك
ك
************************************************************** ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﺛﻼث ﻣﺮات أﻛﺘﺐ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ
ص ص
ف= } )ص ،ص ،ص( )،ص ،ص ،ك( )ص ،ك ،ص( )،ص ،ك ،ك( )ك ،ص ،ص( )ك ،ص ،ك ( ) ،ك ،ك ،ص( )،ك ،ك ،ك ( {
ص
ك ص
ك ك ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﺮة واﺣﺪة أﻛﺘﺐ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ؟
ك ص ك ص ك ص ك
ف=}{٦،٥،٤،٣،٢،١ ***************************************************************
١٦٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﺮﺗﯿﻦ أﻛﺘﺐ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ؟
١
ف= } ){(٦،٦) ،........ ، (٢ ،١) ( ١ ، ١
٢
٣
٤
٦
٥
١
)(١،١
)(٦ ، ١) (٥ ، ١) (٤ ، ١) (٣ ، ١) (٢ ، ١
٢
)(١ ، ٢
)(٤ ، ٢) (٣ ، ٢) (٢ ، ٢
)(٦ ، ٢
٣
)(١ ، ٣
)(٦ ، ٣) (٥ ، ٣) (٤ ، ٣) (٣ ، ٣) (٢ ، ٣
٤
)(١ ، ٤
)(٦ ، ٤) (٥ ، ٤) (٤ ، ٤) (٣ ، ٤) (٢ ، ٤
٥
)(١ ، ٥
)(٦ ، ٥) (٥ ، ٥) (٤ ، ٥) (٣ ، ٥) (٢ ، ٥
٦
)(١ ، ٦
)(٦ ، ٦) (٥ ، ٦) (٤ ، ٦
)(٢ ، ٦
)(٣، ٦
)(٥، ٢
***************************************************************
ﻣــــﻼﺣﻈﺔ إذا ﻛﺎن أ ﺣﺪث ﺟﺰﺋﻲ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻣﺘﺴﺎو اﻹﻣﻜﺎﻧﺎت ﻓﺎن
ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﺤﺪث أ ل) أ ( = ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ ف ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ أﻛﺘﺐ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ﺛﻢ ﻋﯿﻦ اﺣﺘﻤﺎل ﻛﻼ ﻣﻦ اﻷﺣﺪاث اﻵﺗﯿﺔ ) (٢ﻇﮭﻮر ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﮭﻢ = ٥ ) (١أ = ﺣﺪث ﻇﮭﻮر ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ ) (٤ء = ﻇﮭﻮر ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﮭﻢ ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٤ ) (٣ﺟـ = ﻇﮭﻮر ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﮭﻢ ≤١٠ ف = } ) ٣٦ { ( ٦ ، ٦ ).......................................... ، ( ٢ ، ١ ) ، ( ١ ، ١زوج ) (١أ = ﺣﺪث ﻇﮭﻮر ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ أ= }) { (٦، ٦) ، (٥ ،٥) ، (٤ ، ٤) ، (٣ ، ٣) ، (٢، ٢) ، (١ ، ١ل) أ ( = ١ = ٦ ٦ ٣٦ ) (٢ﻇﮭﻮر ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﮭﻢ = ٥ ل)ب( = ١ = ٤ ب = }){ (٢ ، ٣) ، ( ٣ ، ٢) ، (١، ٤) ،(٤ ، ١ ٩ ٣٦ ) (٣ﺟـ = ﻇﮭﻮر ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﮭﻢ ≤١٠ ﺟـ = }) { (٦ ، ٦) ، (٥ ، ٦) ، (٦ ، ٥ ) ، (٥ ، ٥) ، (٤ ، ٦) ، (٦ ، ٤ل)ﺟـ( = ١= ٦ ٦ ٣٦ ) (٤ء = ﻇﮭﻮر ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﮭﻢ ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٤ ء = } )( ٤ ، ٤) ، (٢ ، ٦) ، (٦ ، ٢) ، (٣ ، ٥) ، ( ٥ ، ٣) ، (٢ ، ٢) ، (١ ، ٣) ، (٣ ، ١ ل )ء ( = ١ = ٩ ){(٦،٦ ٤ ٣٦
١٦٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ-: ح اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ھﻮ داﻟﺔ ﻣﻦ ف أﻧﻮاع اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ ) (١اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ اﻟﻤﺘﻘﻄﻊ ھﻮ ﻣﺘﻐﯿﺮﻋﺸﻮاﺋﻰ ﻣﺪاه ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﺤﺪودة ﻣﻦ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ ) (٢اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ اﻟﻤﺘﺼﻞ ھﻮ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻣﺪاه ﻓﺘﺮة ]ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻏﯿﺮ ﻣﺤﺪودة ﻣﻦ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ [ ******************************************************** اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ اﻟﻤﺘﻘﻄﻊ أوﻻ ﺗﻜﻮﯾﻦ ﺟﺪول اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ-: ﻣﺜﺎل :ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻛﺎن اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ﯾﻌﺒﺮ ﻋﻦ )ﻋﺪد اﻟﺼﻮر( ﻛﻮن ﺟﺪول اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ س ح ف ٢ )ص ،ص( ٢ ١ ٠ سر ١ )ص ،ك ( ١ ٢ ١ د)سر( ١ ) ك ،ص( ٤ ٤ ٤ ٠ )ك،ك( ******************************************************** ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﺛﻼث ﻣﺮات ﻛﺎن اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ﯾﻌﺒﺮ ﻋﻦ )ﻋﺪد اﻟﻜﺘﺎﺑﺎت ( ﻛﻮن ﺟﺪول اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ف ) ص ،ص ،ص( )ص،ص،ك( ) ص ،ك ،ص( )ص،ك،ك( )ك ،ص ،ص ( )ك،ص،ك( )ك،ك،ص( )ك،ك،ك(
٠ ١ ١ ٢ ١ ٢ ٢ ٣
سر
د)سر(
٠ ١ ٨
١ ٣ ٨
٢ ٣ ٨
٣ ١ ٨
١٦٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﺛﻼث ﻣﺮات ﻛﺎن اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ﯾﻌﺒﺮ ﻋﻦ )ﻋﺪد اﻟﺼﻮر -ﻋﺪد اﻟﻜﺘﺎﺑﺎت ( ﻛﻮن ﺟﺪول اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ف
ح ٣ ١ ١ ١١ ١١٣-
) ص ،ص ،ص( )ص،ص،ك( ) ص ،ك ،ص( )ص،ك،ك( )ك ،ص ،ص ( )ك،ص،ك( )ك،ك،ص( )ك،ك،ك(
سر
د)سر(
٣١ ٨
١٣ ٨
٣ ١ ٨
١ ٣ ٨
******************************************************** ﻓﻰ ﺗﺠﺮﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﺣﺠﺮ ﻧﺮد ﻣﺮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ وﻛﺎن اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ﯾﻌﺒﺮ ﻋﻦ ) ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻌﺪدﯾﻦ ( ﻛﻮن ﺟﺪول اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ س
سر
د)سر(
١٢ ١١ ١٠ ٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢
١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٣٦ ٣٦ ٣٦ ٣٦ ٣٦ ٣٦ ٣٦ ٣٦ ٣٦ ٣٦ ٣٦
اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ أو اﻟﺘﻮﻗﻊ وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ µ اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ )( ٢δ
= ٢δﻣﺠـ سر × ٢د)سر( µ -
اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﯿﺎري )=(δ
١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦
١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧
٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨
٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩
٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ١٠
٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ١٠ ١١
٦ ٧ ٨ ٩ ١٠ ١١ ١٢
= µﻣﺠـــــ سر × د)سر( ٢
اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ
ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺧﺘﻼف = اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﯿﺎري × % ١٠٠ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺧﺘﻼف
******************************************************** ١٧٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻣﺜﺎل
إذا ﻛﺎن س ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻣﺘﻘﻄﻊ ﺗﻮزﯾﻌﮫ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻣﺤﺪد ﺑﺎﻟﺠﺪول سر
٠ ٠٫١
د)سر(
١ ٠٫٢
٣ ٠٫٤
٢ ٠٫٣
أوﺟﺪ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ – اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ – اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﯿﺎري – ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺧﺘﻼف
اﻟﺤـــــــــــــﻞ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ = ٢ اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ = ١ = ٢(٢) – ٥ اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﯿﺎري = ١ = ١
ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺧﺘﻼف = اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﯿﺎري ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺧﺘﻼف
×%١٠٠
= ١ ــــــ × % ١٠٠ ٢
سر
د)سر(
سر×د)سر(
سر × ٢د)سر(
٠
٠٫١
٠
٠
١
٠٫٢
٠٫٢
٠٫٢
٢
٠٫٣
٠٫٦
١٫٢
٣
٠٫٤
١٫٢
٣٫٦
µ =٢
٥
= % ٥٠
ﻣﺠـ
********************************************************
ﻣﺜﺎل
إذا ﻛﺎن س ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻣﺘﻘﻄﻊ ﺗﻮزﯾﻌﮫ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻣﺤﺪد ﺑﺎﻟﺠﺪول سر
د)سر( أوﺟﺪ ) (١ﻗﯿﻤﺔ ك
١ ٢ك
٤ ٤ك
٢ ٣ك
٦ ك
) (٢اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ واﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﯿﺎري
اﻟﺤـــــــــــــﻞ
سر
د)سر( سر×د)سر( سر × ٢د)سر(
٢ك ٣+ك ٤+ك +ك = ١
١
٠٫٢
٠٫٢
٠٫٢
١٠ك = ١
٢
٠٫٣
٠٫٦
١٫٢
٤
٠٫٤
١٫٦
٦٫٤
ك = ٠٫١ = ١
١٠
اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ = ٣ اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ = ٢٫٤ = ٢(٣) – ١١٫٤ اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﯿﺎري = = ٢٫٤
٦
٠٫١ ﻣﺠـ
٠٫٦
µ =٣
٣٫٦ ١١٫٤
١٧١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ )أو اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺠﺎوﺳﻰ ( ھﻮ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﯾﺄﺧﺬ ﺷﻜﻞ اﻟﻨﺎﻗﻮس أو اﻟﺠﺮس ﺧﺼﺎﺋﺺ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ) (١ل ) > ∞ -س > ∞ ( = ١ ) (٢ل) > ٠س > ∞ ( = ٠٫٥ ) (٣ل) > ∞ -س > ٠٫٥ = ( ٠ ) (٤ل) -أ > س > = (٠ل) > ٠س > أ ( ******************************************************** ]أ[ ﻛﯿﻔﯿﺔ ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] ، ٠ى [ ﺣﯿﺚ ى ﻋﺪد ﻣﻮﺟﺐ ﻹﯾﺠﺎد ل ) > ٠س > ( ١٫٢٥ﻧﺴﺘﺨﺪم ﺟﺪول اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت ل) >٠س> ٠٫٣٩٤٤ = (١٫٢٥
ل )>٠س>٠٫٤٣٣٢ = (١٫٥
٠٫٠٠
٠٫٠٥
٠٫١ ٠٫٢ ١٫٢
٠٫٣٩٤٤
٠٫٤٣٣٢ ١٫٥ ﺛﺎﻧﯿﺎ ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ] -ى [ ٠ ، ل) > ١٫٥ -س > = ( ٠ل ) > ٠س > ٠٫٤٣٣٢ = ( ١٫٥ ل) > ٠٫٧٥-س > = ( ٠ل ) > ٠س > ٠٫٢٧٣٤ = ( ٠٫٧٥ ******************************************************** ﺛﺎﻟﺜﺎ ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] أ ،ب [ ل)أ > س > ب( = ل) >٠س > ب( – ل ) > ٠س > أ ( ل) -أ > س > -ب ( = ل ) ب > س > أ ( = ل) > ٠س > أ ( – ل) > ٠س > ب ( ل) -أ > س > ب ( = ل ) > ٠س > ب ( +ل ) > ٠س > أ (
١٧٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻓﻤﺜﻼ ل) > ١س > = (٢٫٥ل ) > ٠س > – (٢٫٥ل ) > ٠س > ( ١ = ٠٫١٥٢٥ = ٠٫٣٤١٣ – ٠٫٤٩٣٨ ل) > ٢ -س > = ( ٠٫٥ -ل ) > ٠٫٥س > =(٢ل) > ٠س > – (٢ل) > ٠س > (٠٫٥ = = ٠٫١٩١٥ – ٠٫٤٧٧٢ ل) > ٠٫٧٥-س > = ( ١ل ) > ٠س > + ( ١ل ) > ٠س > ( ٠٫٧٥ = ٠٫٦١٤٧ = ٠٫٢٧٣٤ + ٠٫٣٤١٣ ******************************************************** راﺑﻌﺎ ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ ل) س < – ٠٫٥ = ( ١ل ) > ٠س > (١ = ٠٫٣٤١٣ – ٠٫٥ = ٠٫١٥٨٧ ******************************************************** ل)س > + ٠٫٥ = ( ١ل ) > ٠س > ( ١ = ٠٫٣٤١٣ + ٠٫٥ = ٠٫٨٤١٣ ******************************************************** ﻣﻼﺣﻈﺔ ل ) س < = ( ١-ل ) س > + ٠٫٥ = ( ١ل ) > ٠س > ( ١ = ٠٫٨٤١٣ = ٠٫٣٤١٣ + ٠٫٥
اﻟﺒﺤﺚ ﻓﻰ ﻋﻤﻖ اﻟﺠﺪول -: ﻓﻰ ھﺬا اﻟﺠﺰء ﺳﻮف ﯾﻜﻮن ﻣﻌﻠﻮم ﻗﯿﻤﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل وﻣﺠﮭﻮل أﺣﺪ ﺣﺪود اﻟﻔﺘﺮة ﻓﻤﺜﻼ إذا ﻛﺎن ل ) > ٠م > ك ( = ٠٫٣٩٤٤ﻓﻤﺎ ﻗﯿﻤﺔ ك ﻹﯾﺠﺎد ﻗﯿﻤﺔ ك ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻌﻄﺎة ٠٫٣٩٤٤ﻓﻰ ﺟﺪول اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت ﻓﻨﺠﺪھﺎ ﻓﻰ ﺻﻒ ١٫٢وﺗﺤﺖ ٠٫٠٥وﻟﮭﺬا ﻓﺈن ك = ١٫٢٥
١٧٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻻرﺗﺒــﺎط * ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻻرﺗﺒﺎط اﻻرﺗﺒﺎط ھﻮ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺘﻐﯿﺮﯾﻦ ،أو أﻛﺜﺮ ،وﯾﻘﺎس اﻻرﺗﺒﺎط ﺑﻤﻌﺎﻣﻞ اﻻرﺗﺒﺎط " ر" ﺣﯿﺚ ≥ ١ -ر ≥ 1 * أﻧﻮاع اﻻرﺗﺒﺎط -١ﻃﺮدى :ﺻﻔﺮ > س≥ 1. 2ﻋﻜﺴﻲ ≥ : -1س < ﺻﻔﺮ.ﻣﻼﺣﻈﺎت -١إذا ﻛﺎن ر = ﺻﻔﺮ -٢إذا ﻛﺎن ر = ١ -٣إذا ﻛﺎن ر =١-
ﻻ ارﺗﺒﺎط ارﺗﺒﺎط ﻃﺮدى ﺗﺎم ارﺗﺒﺎط ﻋﻜﺴﻲ ﺗﺎم
* درﺟﺎت اﻻرﺗﺒﺎط -١ﺿﻌﯿﻒ :ﺻﻔﺮ > ر > ٠٫٤أو > ٠٫٤-ر > ﺻﻔﺮ. ≥ 0.6أو ≥ -0.6ر≥ -0.4. -٢ﻣﺘﻮﺳﻂ ≥ ٠٫٤ :ر -٣ﻗﻮى > ٠٫٦ :ر> ١أو < ١-ر < ٠٫٦- * ﻣﻌﺎﻣﻞ ارﺗﺒﺎط ﺑﯿﺮﺳﻮن
ﺣﯿﺚ ن ﻋﺪد ﻗﯿﻢ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻐﯿﺮﯾﻦ وﻹﯾﺠﺎد ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻرﺗﺒﺎط ﺑﮭﺬه اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻧﻜﻮن ﺟﺪوﻻً ﻣﻦ 2 5أﻋﻤﺪة وھﻰ س ،ص ،س ص ،س ،2ص ﻣﺜﺎل1 ﻣﻦ ﺑﯿﺎﻧﺎت اﻟﺠﺪول اﻵﺗﻰ ،أوﺟﺪ ﻣﻌﺎﻣﻞ ارﺗﺒﺎط ﺑﯿﺮﺳﻮن ﺑﯿﻦ ﻗﯿﻢ س ،ص ﻣﺒﯿﻨﺎً ﻧﻮﻋﮫ ودرﺟﺘﮫ.
ﺍﻟﺤل
١٧٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻥ= 7
ﺭ٠,٣٤ = ( (٩٦) = 35 ÷ ( (112) x
ﻁﺭﺩﻱ ﻀﻌﻴﻑ
ﻣﻌﺎﻣﻞ ارﺗﺒﺎط اﻟﺮﺗﺐ ﻟﺴﺒﯿﺮﻣﺎن * ﻣﻌﺎﻣﻞ ارﺗﺒﺎط اﻟﺮﺗﺐ ﻟﺴﺒﯿﺮﻣﺎن ﻓﻰ ھﺬه اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻧﻮﺟﺪ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻرﺗﺒﺎط ﺑﯿﻦ رﺗﺐ اﻟﻘﯿﻢ ،وﻟﯿﺲ ﺑﯿﻦ اﻟﻘﯿﻢ ﻧﻔﺴﮭﺎ. ﺧﻄﻮات اﻟﺤﻞ -١ﻧﺮﺗﺐ ﻛﻞ ﻣﻦ أزواج اﻟﻘﯿﻢ ﺑﻨﻔﺲ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ )ﺗﻨﺎزﻟﯿﺎً ﻣﻌﺎً أو ﺗﺼﺎﻋﺪﯾﺎ ﻣﻌﺎً(. ﻣﻊ ﻣﻼﺣﻈﺔ أﻧﮫ إذا اﺷﺘﺮك اﺛﻨﺎن أو أﻛﺜﺮ ﻓﻰ رﺗﺒﺔ ﺗﻌﻄﻰ ﻟﻜﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ ﻟﮭﺬه اﻟﺮﺗﺐ. ٢ -٢ -٢ﻧﻜﻮن ﺟﺪوﻻً ﻣﻦ أرﺑﻌﺔ أﻋﻤﺪة وھﻰ :رﺗﺐ س ،رﺗﺐ ص ،ف ،ف ﺣﯿﺚ ف ﺗﻌﻨﻰ اﻟﻔﺮق اﻟﻤﻄﻠﻖ ﺑﯿﻦ اﻟﺮﺗﺐ. -٣ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻟﻘﺎﻧﻮن: ١٧٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺤﻴﺙ ﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺯﻭﺍﺝ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ
ﻤﺜﺎل ١
ﻤﻥ ﺒﻴﺎﻨﺎﺕ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻰ:
ﺍﺤﺴﺏ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﺭﺘﺒﺎﻁ ﺍﻟﺭﺘﺏ ﻟﺴﺒﻴﺭﻤﺎﻥ ﺒﻴﻥ ﺱ ،ﺹ ﺍﻟﺤل ﻥ=٦
ﺭ)= 1-( 6 × 49.5) ÷ (6 ×35 ﺭ = -0.41ﻀﻌﻴﻑ
١٧٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻟﺒﺎب اﻟﺨﺎﻣﺲ ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻮﺟﮭﺔ -: ھﻰ زاوﯾﺔ ﻣﺤﺼﻮرة ﺑﯿﻦ ﺿﻠﻌﯿﻦ أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﺴﻤﻰ ﺿﻠﻊ أﺑﺘﺪاﺋﻰ واﻷﺧﺮ ﯾﺴﻤﻰ ﺿﻠﻊ ﻧﮭﺎﺋﻲ وﻟﮭﺎ اﺗﺠﺎه ﯾﺘﺤﺪد ﻣﻦ اﻟﻀﻠﻊ اﻻﺑﺘﺪاﺋﻲ إﻟﻰ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻨﮭﺎﺋﻲ ب
ب
أ
و
أ
و
و ب ﯾﺴﻤﻰ ﺿﻠﻊ أﺑﺘﺪاﺋﻰ و أ ﯾﺴﻤﻰ ﺿﻠﻊ ﻧﮭﺎﺋﻲ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺰاوﯾﺔ ب و أ
و أ ﯾﺴﻤﻰ ﺿﻠﻊ أﺑﺘﺪاﺋﻰ و ب ﯾﺴﻤﻰ ﺿﻠﻊ ﻧﮭﺎﺋﻲ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺰاوﯾﺔ أ و ب ﻻﺣﻆ أن ق ) أ و ب ( ≠ ق) ب و أ ( *************************************************************
ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻮﺟﮭﺔ ﻟﻠﺰاوﯾﺔ ﺗﻘﺴﯿﻤﺎن ﻣﻦ ﺣﯿﺚ اﻟﻘﯿﺎس ) (١ﻣﻦ ﺣﯿﺚ وﺣﺪة اﻟﻘﯿﺎس ﯾﻮﺟﺪ ﻧﻮﻋﺎن ب – ﻗﯿﺎس ﺳﺎﻟﺐ أ -ﻗﯿﺎس ﻣﻮﺟﺐ ) (٢ﻣﻦ ﺣﯿﺚ اﻹﺷﺎرة )اﺗﺠﺎه اﻟﺪوران ( ب -ﻗﯿﺎس ﺳﺎﻟﺐ أ -ﻗﯿﺎس ﻣﻮﺟﺐ *************************************************************** أوﻻ اﻟﻘﯿﺎس ﻣﻦ ﺣﯿﺚ اﻟﻮﺣﺪة ) (١اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ-: ھﻮ ﻗﯿﺎس وﺣﺪاﺗﮫ اﻟﺪرﺟﺔ ،اﻟﺪﻗﯿﻘﺔ ،اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ س ْ // / ٦٠ = /١ ، ٦٠ = ْ١ ) (٢اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي-: ء ء ل ھﻮ ﻗﯿﺎس وﺣﺪﺗﮫ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ ) ( ١وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ھـ ء ﻧﻖ ﻃﻮل اﻟﻘﻮس اﻟﺬى ﺗﺤﺼﺮه ھـ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي ﻟﺰاوﯾﺔ ﻣﺮﻛﺰﯾﺔ = ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ء ،،،،ﻧﻖ = ل ھـء = ل ،،،ل = ھـ × ﻧﻖ ــــــ ـــــ ء ﻧﻖ ھـ
١٧٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻣﺜﺎل
أوﺟﺪ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي ﻟﺰاوﯾﺔ ﻣﺮﻛﺰﯾﺔ ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎً ﻃﻮﻟﮫ ١٠ﺳﻢ ﻣﻦ داﺋﺮة ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٤ﺳﻢ اﻟﺤــــــــــــــــﻞ ء
ھـء = ل ٢٫٥ = ١٠ ــــــ = ــــــ ﻧﻖ ٤ *************************************************************** زاوﯾﺔ ﻣﺮﻛﺰﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ١٫٥
ﻣﺜﺎل
ء
ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎ ﻃﻮﻟﮫ ٧٫٥ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ
اﻟﺤــــــــــــــــﻞ ﻧﻖ = ل ـــــــ = ــــ٧٫٥ ـــــ = ٥ﺳﻢ ء ١٫٥ ھـ ************************************************************* ء زاوﯾﺔ ﻣﺮﻛﺰﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ١٫٤ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎً ﻃﻮﻟﮫ ٤ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻘﻮس اﻟﺬي ﺗﺤﺼﺮه ﻣﺜﺎل اﻟﺤــــــــــــــــﻞ ء
ل = ھـ × ﻧﻖ = ٧ = ٥ × ١٫٤ﺳﻢ **************************************************************
اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻨﺼﻒ ﻗﻄﺮﯾﺔ ھﻰ زاوﯾﺔ ﻣﺮﻛﺰﯾﺔ ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎ ﻃﻮﻟﮫ ﯾﺴﺎوى ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ ) ل = ﻧﻖ ( ﻓﯿﻜﻮن ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ء
اﻟﺪاﺋﺮي ﯾﺴﺎوى ١ ***************************************************************
اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﻦ اﻟﺪاﺋﺮى واﻟﺴﺘﯿﻨﻰ ء
سْ ــــــــ = ھـ ــــــ ١٨٠ ط
وﻣﻨﮫ ﻧﺠﺪ أن
ھـء × ١٨٠ ) (١س ْ = ط ء سْ × ط ) (٢ھـ = ١٨٠
١٧٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻣﺜﺎل
ﺣﻮل ﻣﻦ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ إﻟﻰ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻵﺗﯿﺔ ء سْ × ط × ١٢٠ط = ھـ = ١٨٠ ١٨٠ 180 ÷ =
) ْ ١٢٠ ( ١اﻟﺤـــــــــــــﻞ
)١٥ (٢
//
ﻣﺜﺎل )٠٫٦ (١
=
180
=
180
÷
Exp
×
120
Exp
×
120
/ ط × ْ ٢٠٠ ھـء = ٤٠ = ١٨٠ 40 ,,,, Exp ×
) ْ ٢٠٠ / ٤٠ (٢اﻟﺤـــــــــــــﻞ ÷
÷
180
=
=
Exp
×
Sh
,,,,
,,,, 40
200 ,,,,
ء × ْ ١٠٠ / ٢٠ // ١٥ط ْ ١٠٠ / ٢٠اﻟﺤـــــــــــــﻞ = ھـ = ١٨٠ ,,, 20 15 ,,, = × Exp ÷ 180 , ,,, 20 = 15 ,,, × Sh Exp ÷ 180 ,
200
,,,
100
,,,
100
ﺣﻮل ﻣﻦ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي إﻟﻰ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ ء
١٨٠ × ٠٫٦ سْ = ط
اﻟﺤـــــــــــــﻞ
)ﻓﻰ اﻵﻻت اﻟﺤﺪﯾﺜﺔ(
=
,,,
)ﻓﻰ اﻵﻻت اﻟﻘﺪﯾﻤﺔ( ,,,
sh
=
÷
Exp
Exp
sh
180 ÷
180
× ×
6 6
٠ ٠
0 0
إذا أﻋﻄﯿﺖ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮى ﺑﺪﻻﻟﺔ ط ﻓﺈﻧﮫ ﯾﺤﻮل ﻣﺒﺎﺷﺮة إﻟﻰ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻰ ﻣﻼﺣﻈﺔ ١٨٠ × ١٫٢ اﻟﺤـــــــــــــﻞط ﺑـ ْ ١٨٠ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻋﻦ ط *************************************************************** ﻣﺜﺎل ﺣﻮل ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ اﻵﺗﯿﺔ إﻟﻰ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ ) (١ھـء = ط ٢
اﻟﺤـــــــﻞ
س ْ = ْ ٩٠ = ١٨٠ ٢
) (٢ھـء = ٥ط ٣
اﻟﺤـــــــﻞ
س ْ = ْ ٣٠٠ = ١٨٠ × ٥ ٣ ١٧٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
أوﺟﺪ ﺑﺪﻻﻟﺔ ط اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي ﻟﻜﻼ ﻣﻦ اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻵﺗﯿﺔ
ﻣﺜﺎل
)ْ ١٢٠ (١
ھـء = × ١٢٠ط = ٢ط ١٨٠ ٣
اﻟﺤـــــــﻞ
أوﺟﺪ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي واﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ ﻟﻠﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎ ﻃﻮﻟﮫ٥ﺳﻢ ﻣﻦ ﻣﺜﺎل داﺋﺮة ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ٤ﺳﻢ ل = ٥ﺳﻢ اﻟﺤــــــــــــــــﻞ ء
ھـء = ل ــــــ = ٥ ــــ = ١٫٢٥ ﻧﻖ ٤ ھـء × ١٨٠ × ١٫٢٥ ١٨٠ = = س= ط ط ﻣﺜﺎل
ﻧﻖ=٤ﺳﻢ
أوﺟﺪ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ ﻟﻠﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎ ﻃﻮﻟﮫ٩ﺳﻢ ﻣﻦ داﺋﺮة ﻃﻮل ﻗﻄﺮھﺎ ١٠ﺳﻢ اﻟﺤــــــــــــــــﻞ ل = ٩ﺳﻢ ء
ھـء = ل ــــــ = ٩ ــــ = ١٫٨ ﻧﻖ ٥ ١٨٠ × ١٫٨ ھـء × ١٨٠ = = س= ط ط
ﻧﻖ=٥ﺳﻢ
ﻣﺜﺎل زاوﯾﺔ ﻣﺮﻛﺰﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ ١٢٠ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ ٥ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻘﻮس اﻟﺬي ﺗﺤﺼﺮه اﻟﺤــــــــــــــــﻞ ء سْ × ط × ١٢٠ط = ھـ = ١٨٠ ١٨٠
= ٢٫١
ء
س = ْ ١٢٠ ﻧﻖ=٥ﺳﻢ
ل = ھـء × ﻧﻖ = ١٠٫٥ = ٥ × ٢٫١ﺳﻢ ﻣﺜﺎل
زاوﯾﺔ ﻣﺮﻛﺰﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ ١٥٠ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎً ﻃﻮﻟﮫ ١٧ط ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ ٤ اﻟﺤــــــــــــــــﻞ
س = ْ ١٥٠
١٧ط ل= ٤
= ١٣٫٣٥ ١٨٠
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ء س × ط × ١٥٠ط = ھـ = ١٨٠ ١٨٠
= ٢٫٦
ﻧﻖ = ل ـــــــ = ٥٫٢٥ = ١٣٫٣٥ﺳﻢ ء ٢٫٦ ھـ
ﻣﺜﺎل
زاوﯾﺔ ﻣﺤﯿﻄﯿﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ْ ٦٥ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ = ٤ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻃﻮل اﻟﻘﻮس اﻟﺬي ﺗﺤﺼﺮه اﻟﺤــــــــــــــــﻞ
سْ = ْ ١٣٠ = ْ ٦٥ × ٢ ء × ْ ١٣٠ط ھـ = ١٨٠
ﻧﻖ = ٤ﺳﻢ
= ٢٫٣
ْ
ل = ھـء × ﻧﻖ = ٩٫٢ = ٤ × ٢٫٣ﺳﻢ ﻣﺜﺎل زاوﯾﺔ ﻣﺤﯿﻄﯿﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ٢٠
/
ْ ٧٥ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎً ﻃﻮﻟﮫ ١٠ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ اﻟﺤــــــــــــــــﻞ
سْ = ْ ١٥٠ / ٤٠ = ْ ٧٥ / ٢٠ × ٢
ل = ١٥ﺳﻢ
/ ط × ْ ١٥٠ ھـء =٤٠ = ٢٫٦٣ ١٨٠ ﻧﻖ = ل ــــــ = ١٥ ـــــــــــ = ٥٫٧ﺳﻢ ء ھـ ٢٫٦٣ أوﺟﺪ اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﻦ اﻟﺪاﺋﺮي واﻟﺴﺘﯿﻨﻲ ﻟﻠﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎً ﻃﻮﻟﮫ ﯾﺴﺎوى ﻃﻮل ﻣﺜﺎل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ ) اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻨﺼﻒ ﻗﻄﺮﯾﺔ ( ء
اﻟﺤــــــــــــــــﻞ ل = ﻧﻖ ل ــــــــ = ﻧﻖ ـــــــ = ١ ھـء = ﻧﻖ ﻧﻖ
ء
س ْ= ٤٤ = ١٨٠ × ١ ط
//
١٧
/
ْ ٥٧
١٨١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻟﻘﯿﺎس ﻣﻦ ﺣﯿﺚ اﻹﺷﺎرة ﯾﻨﻘﺴﻢ اﻟﻘﯿﺎس ﻣﻦ ﺣﯿﺚ اﻹﺷﺎرة إﻟﻰ ) (١اﻟﻘﯿﺎس اﻟﻤﻮﺟﺐ ب
ﯾﻜﻮن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻮﺟﮭﺔ ﻣﻮﺟﺒﺎ إذا ﻛﺎن اﺗﺠﺎه اﻟﺪوران ﻣﻦ اﻟﻀﻠﻊ اﻷﺑﺘﺪاﺋﻰ إﻟﻰ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻨﮭﺎﺋﻲ ﺿﺪ ﺣﺮﻛﺔ ﻋﻘﺎرب اﻟﺴﺎﻋﺔ
و
أ
) (١اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺎﻟﺐ
ب
ﯾﻜﻮن ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﻮﺟﮭﺔ ﺳﺎﻟﺒﺎ إذا ﻛﺎن اﺗﺠﺎه اﻟﺪوران ﻣﻦ اﻟﻀﻠﻊ اﻷﺑﺘﺪاﺋﻰ إﻟﻰ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻨﮭﺎﺋﻲ ﻣﻊ ﺣﺮﻛﺔ ﻋﻘﺎرب اﻟﺴﺎﻋﺔ
و
أ ﻟﻠﺘﺤﻮﯾﻞ ﻣﻦ ﻗﯿﺎس ﺳﺎﻟﺐ إﻟﻰ ﻗﯿﺎس ﻣﻮﺟﺐ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ اﻟﺴﺎﻟﺐ = اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨىﺎﻟﻤﻮﺟﺐ – ٣٦٠ ) ﺑﺪﻻﻟﺔ ط (
اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﺴﺎﻟﺐ = اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻤﻮﺟﺐ – ٢ط ﻟﻠﺘﺤﻮﯾﻞ ﻣﻦ ﻗﯿﺎس ﻣﻮﺟﺐ إﻟﻰ ﻗﯿﺎس ﺳﺎﻟﺐ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ اﻟﻤﻮﺟﺐ = اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺘﯿﻨﻲ اﻟﺴﺎﻟﺐ ٣٦٠ + اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻤﻮﺟﺐ = اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﺴﺎﻟﺐ ٢ +ط
ﺣﻮل ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ اﻵﺗﯿﺔ إﻟﻰ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺎﻟﺐ
ﻣﺜﺎل )ْ ١٥٠ (١
)٢٥ (٣
اﻟﺤــــــــــــــــﻞ
اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺎﻟﺐ = ٢١٠ -=٣٦٠ - ١٥٠ )٤٠ (٢
) ﺑﺪﻻﻟﺔ ط (
/
ْ ١٠٠ اﻟﺤــــــــــــــــﻞ
//
ْ ٢٠٠ / ٥٠ اﻟﺤــــــــــــــــﻞ
اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺎﻟﺐ = ٢٥ = ٣٥ -
//
٩
/
//
٣٦٠ – ْ ٢٠٠ / ٥٠
ْ ١٥٩
اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺴﺎﻟﺐ=ْ ٣٦٠ – ْ ١٠٠ / ٤٠ = ٢٠ -
/
ْ ٢٥٩ ١٨٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺣﻮل ﻛﻼ اﻟﺰواﯾﺎ اﻟﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺔ -: ھﻰ اﻟﺰواﯾﺎ اﻟﺘﻰ ﻟﮭﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﺸﻌﺎع اﻟﻨﮭﺎﺋﻲ وﺗﻨﺘﺞ ﺑﺈﺿﺎﻓﺔ أو ﻃﺮح ) ْ ٣٦٠أو ٢ط ( ﻣﻦ اﻟﻘﯿﺎس ﺣﺴﺐ ﻧﻮﻋﮫ ھـ = ھـ +ن × ) ْ ٣٦٠إذا ﻛﺎن اﻟﻘﯿﺎس ﺳﺘﯿﻨﻲ ھـ = ھـ ٢ +ن ط ) إذا ﻛﺎن اﻟﻘﯿﺎس داﺋﺮي ﺑﺪﻻﻟﺔ ط ( ﻓﻤﺜﻼ ط = ط ٢+ط = ط ١٠+ط = ١١ط ٣٩٠ = ٣٦٠+٣٠ = ْ ٣٠ ٥ ٥ ٥ ٥ = ١١ط ٢+ط = ١١ط ١٠+ط = ٢١ط = ٧٥٠ = ٣٦٠ × ٢+ ٣٠ ٥ ٥ ٥ = ١١١٠ = ٣٦٠ × ٣+ ٣٠ وﻟﮭﺬا ﻓﺈن اﻟﺰاوﯾﺔ ْ ١١١٠ = ْ ٧٥٠ = ْ ٣٩٠ = ْ ٣٠ *************************************************************** ٢+ ٣٠ = ٣٠ط = ٤+ ٣٠ط = ٦+ ٣٠ط = ٨+ ٣٠ط = ١٠+٣٠ط = وھﻜﺬا ﻟﻜﻦ + ٣٠ط = ٣ + ٣٠ط = ٥+ ٣٠ط = ٧+ ٣٠ط = ٩+ ٣٠ط = ْ ١١٠ وﻛﺬﻟﻚ ْ ٣٣٠ - = ٣٦٠ – ٣٠ = ٣٠ ْ ٦٩٠ - = ٣٦٠ × ٢ – ٣٠ = ٣٠ ١١٥٠ - = ْ ٣٦٠ × ٣ – ٣٠ = ٣٠ ﺧﻼﺻﺔ اﻟﻘﻮل أن اﻟﺰاوﯾﺔ ﻻ ﺗﺘﻐﯿﺮ أذا أﺿﯿﻒ إﻟﯿﮭﺎ ﻋﺪد ﻛﺎﻣﻞ ﻣﻦ اﻟﺪورات أو ﻃﺮح ﻣﻨﮭﺎ ﻋﺪد ﻛﺎﻣﻞ ﻣﻦ اﻟﺪورات ************************************************************** ﻻﺣﻆ أن
٩٠
)(١
إذا ﻛﺎﻧﺖ > ٠س > ْ ٩٠ﻓﺈن س ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻷول
)(٢
إذا ﻛﺎﻧﺖ > ٩٠س > ْ ١٨٠ﻓﺈن س ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ
)(٣
إذا ﻛﺎﻧﺖ > ١٨٠س > ْ ٢٧٠ﻓﺈن س ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ
)(٤
إذا ﻛﺎﻧﺖ > ٢٧٠س > ْ ٣٦٠ﻓﺈن س ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ
٠
اﻟﺮﺑﻊ اﻻول
اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻰ
اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ
اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ
١٨٠
٢٧٠ ١٨٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻣﺜﺎل
ﺣﺪد اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺬي ﺗﻘﻊ ﻓﯿﮫ ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﺰواﯾﺎ اﻟﺘﻰ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ﻛﺎﻻﺗﻰ
)ْ ١٢٠٠ (١
اﻟﺤــــــــــــــــﻞ
ْ ١٢٠ = ٣٦٠ – ٤٨٠ = ٣٦٠ – ٨٤٠ = ٣٦٠ – ١٢٠٠ = ١٢٠٠ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ١٢٠٠ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ *********************** )١٥٠٠ – (٢
اﻟﺤــــــــــــــــﻞ
٦٠- = ٣٦٠+ ٤٢٠ - = ٣٦٠+ ٧٨٠ - = ٣٦٠+ ١١٤٠ - = ٣٦٠+ ١٥٠٠ - = ١٥٠٠= ٣٠٠ = ٣٦٠+ ٦٠- اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ – ١٥٠٠ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ ********************* )١٧ (٣ط ٣
١٧ط ١٨٠ × ١٧ = ٣ ٣
اﻟﺤــــــــــــــــﻞ
= ْ ٤٠ = ٣٦٠- ٤٠٠ = ٣٦٠ – ٧٦٠ = ٣٦٠ – ١١٢٠ = ١١٢٠
١٧ط اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ٣
ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻷول *************************
)١٩- (٤ط ٤
اﻟﺤــــــــــــــــﻞ
١٩ط = ٢٢٥=٣٦٠+ ١٣٥ - =٣٦٠+ ٤٩٥ - = ٣٦٠+ ٨٥٥ - = ٨٥٥ - = ١٨٠ × ١٩-٤ ٤ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ١٩-ط ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ ٤
١٨٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ داﺋﺮة اﻟﻮﺣﺪة -:
ب) ( ١ ، ٠
ھﻰ داﺋﺮة ﻣﺮﻛﺰھﺎ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ و)( ٠ ، ٠
)( ٠ ، ١
وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ١ﺳﻢ ﺗﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮري
)( ٠ ، ١- ﺟـ
أ
اﻹﺣﺪاﺛﯿﺎت ﻓﻰ أرﺑﻌﺔ ﻧﻘﻂ ھﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ
ء ) ( ١- ، ٠
أ=) ،،،، ( ٠ ، ١ب = ) ( ١ ، ٠ ﺟـ = ) ،،، ( ٠ ، ١-ء = ) ( ١- ، ٠
************************************************************** إذا ﻓﺮض وﺟﻮد ﻧﻘﻄﺔ ب = ) س ،ص ( ھﺬه اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻓﻰ أى
)س،ص( ب ص ١ﺳﻢ
ﻣﻮﺿﻊ ﺗﻜﻮن زاوﯾﺔ أ و ب ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ ﻟﮭﺬه اﻟﺰاوﯾﺔ وھﺬه اﻟﺪوال ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ اﻻﺣﺪاﺛﯿﯿﻦ أ
اﻟﺴﯿﻨﻰ واﻟﺼﺎدى ﻟﻨﻘﻄﺔ ب وھﻰ ﻛﺎﻻﺗﻰ
س
و
) (٤داﻟﺔ ﻗﺎﻃﻊ اﻟﺘﻤﺎم ) ﻗﺘﺎ ( ( sin ) (١داﻟﺔ اﻟﺠﯿﺐ ) ﺟﺎ ـــــــــــــــــــــــــ = ١ ١ ـــــــ ﺟﺎ )أ و ب ( = اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺼﺎدى ﻟﻨﻘﻄﺔ ب=ص ﻗﺘﺎ)أ و ب ( = اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺼﺎدى ص ************************************************************* ) (٥داﻟﺔ اﻟﻘﺎﻃﻊ ) ﻗﺎ (
) (٢داﻟﺔ ﺟﯿﺐ اﻟﺘﻤﺎم ) ﺟﺘﺎ ( cos
ﺟﺘﺎ )أ و ب ( = اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺴﯿﻨﻰ ﻟﻨﻘﻄﺔ ب = س ﻗﺎ)أ و ب ( = ــــــــــــــ١ــــــــــــ = ١ ـــــــ س اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺴﯿﻨﻰ ************************************************************** ) (٣داﻟﺔ اﻟﻈﻞ ) ﻇﺎ ( tan ﻇﺎ) أ و ب ( = اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺼﺎدى = ص اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺴﯿﻨﻰ س
) (٦داﻟﺔ ﻇﻞ اﻟﺘﻤﺎم ) ﻇﺘﺎ ( ﻇﺘﺎ) أ و ب ( = اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺴﯿﻨﻰ = س اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺼﺎدى ص
١٨٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻣﻠﺨﺺ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ زاوﯾﺔ أ و ب = ھـ ﺗﻘﻄﻊ داﺋﺮة اﻟﻮﺣﺪة ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ب = ) س ،ص ( ﻓﺈن ﻗﺘﺎ ھـ = ــــ١ــ ﺟﺎ ھـ = ص ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻣﻼﺣﻈﺔ ھﺎﻣﺔ ﺟﺪاً ص اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺼﺎدى واﻟﺴﯿﻨﻰ ﻟﻨﻘﻄﺔ ب ﯾﺮﺗﺒﻄﺎن ﻗﺎھـ = ١ ــــــ ﺟﺘﺎھـ = س ٢ ٢ س ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ س +ص = ١ ﻇﺘﺎھـ = س ﻇﺎھـ = ص ص س *************************************************************** ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎﻧﺖ أ و ب زاوﯾﺔ ﻓﻰ وﺿﻌﮭﺎ اﻟﻘﯿﺎﺳﻰ ﺗﻘﻄﻊ داﺋﺮة اﻟﻮﺣﺪة ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ب أوﺟﺪ ﺟﻤﯿﻊ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ ﻟﮭﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ ) ) (٣س ( ١ ،ﺣﯿﺚ س < ٠ ) (١ب = ) ( ٣ ، ١ ٢ ٢ ٢ اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ٣ ٢ ﻧﻮﺟﺪ اﻻﺣﺪاﺛﻰ اﻟﺴﯿﻨﻰ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ ــــــــ ﻗﺘﺎھـ = ﺟﺎھـ = ٢ ٣ س + ٢ص١ = ٢ ﺟﺘﺎھـ =١ س١ = ٢( ١ ) + ٢ ﻗــﺎھـ = ٢ ٢ ٢ ٢ ١ =١ س + ٣ ٤ ٢ ﻇﺎھـ = ٢ س =٣= ١ -١ ١ ــــــــ = ٣ﻇﺘﺎھـ = ـــــ ١ ٤ ٤ ٣ ٢ س= ٣ = ٣ ) (٢ب = ) ( ٠٫٨ ، ٠٫٦ ٢ ٤ اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــﻞ ﻗﺘﺎھـ = ١٠ ﺟﺎھـ = ٨ ب = ) ( ١ ،٣ ٨ ١٠ ٢ ٢ ﺟﺘﺎھـ = ٦ ١٠ ٨ ـــــــ = ٨ ﻇﺎھـ = ١٠ ٦ ٦ ١٠
ﻗﺎھـ = ١٠ ٦
ﺟﺎھـ = ١ ٢
ﻗﺘﺎھـ = ٢
٦ ﻇﺘﺎھـ = ٨
ﺟﺘﺎ ھـ = ٣ ٢ ١ ـــــــ = ـــــ١ ﻇﺎھـ = ٢ ٣ ٣ ٢
ﻗﺎھـ = ٢ ـــــ ٣ ﻇﺘﺎھـ = ٣
١٨٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮى اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺪاﺋﺮي -: ھﻮ ﺟﺰء ﻣﻦ ﺳﻄﺢ داﺋﺮة ﻣﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ ﻧﺼﻔﻰ ﻗﻄﺮ وﻃﻮل ﻗﻮس ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع
١ =٢ ١ =٢
ﻧﻖ ل ھـء × ﻧﻖ
ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﻄﺎع = ٢ﻧﻖ +ع
سْ
= × ٣٦٠ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ھـــ
=
ﻣﺜﺎل
ء
٢ط
× ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة
ﻗﻄﺎع داﺋﺮة ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ ٦ﺳﻢ ﯾﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎً ﻃﻮﻟﮫ ٥ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻣﺤﯿﻄﮫ وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ
ﻣﺤﯿﻂ اﻟﻘﻄﺎع = ٢ﻧﻖ +ل = ١٧ = ٥+ ١٢ = ٥ + ٦ × ٢ﺳﻢ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع
١ =٢
ﻧﻖ × ل
١ =٢
٢
× ١٥ = ٥ × ٦ﺳﻢ
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @ ء ﻗﻄﺎع داﺋﺮي ﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮫ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ١٫٥وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ ﻣﺜﺎل ٤ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻣﺤﯿﻄﮫ وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ ل = ھـء × ﻧﻖ = ٦ = ٤ × ١٫٥ﺳﻢ ﻣﺤﯿﻄﮫ = ٢ﻧﻖ +ل = ١٤ = ٦+ ٨ = ٦ + ٤ × ٢ﺳﻢ ١ ٢
١ ٢
١٨٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ =
٢
× ١٢ = ٦ × ٤ﺳﻢ
ﻧﻖ × ل =
ﻗﻄﺎع داﺋﺮي ﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮫ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ْ ٥٠وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮫ ٦ﺳﻢ
ﻣﺜﺎل
أوﺟﺪ ﻣﺤﯿﻄﮫ وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ ٠ اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ء × ٥٠ط ھـ = ١٨٠
ﻧﻖ = ٦ﺳﻢ
= ٠٫٨٧
ل = ھـء × ﻧﻖ = ٥٫٢٢ = ٦ ×٠٫٨٧ﺳﻢ ﻣﺤﯿﻄﮫ = ٢ﻧﻖ +ل = ١٧٫٢٢ = ٥٫٢٢ + ٦ × ٢ﺳﻢ ١
ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ = ٢ﻧﻖ × ل
١ =٢
× ١٥٫٦٦ = ٥٫٢٢ × ٦ﺳﻢ
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ ٢
ﻗﻄﺎع داﺋﺮي ﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮫ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ = ْ ٦٠وﻣﺴﺎﺣﺔ داﺋﺮﺗﮫ = ١٥ﺳﻢ
ﻣﺜﺎل
أوﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ْ ٦٠
س
٢
ــــــ × ٢٫٥ = ١٥ﺳﻢ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﺎع = ــــــــ × ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة =ْ ٣٦٠ ْ ٣٦٠
ﻗﻄﺎع داﺋﺮي ﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮫ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ٢٫٢ء وﻃﻮل ﻗﻮﺳﮫ = ١١ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻣﺤﯿﻄﮫ وﻣﺴﺎﺣﺘﮫ
ﻣﺜﺎل
اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ ﻧﻖ =
ل ھــــــــ ء
١١ ـــــــ = ٢٫٢
= ٥ﺳﻢ
ﻣﺤﯿﻄﮫ = ٢ﻧﻖ +ل = ٢١ = ١١+ ١٠ = ١١+ ٥ × ٢ﺳﻢ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ
١ =٢
ﻧﻖ ل
١ =٢
٢
× ٢٧٫٥ = ١١ × ٥ﺳﻢ
١٨٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻗﻄﺎع داﺋﺮي ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ ٤٠ﺳﻢ ٢ﯾﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎً ﻃﻮﻟﮫ = ١٠ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻣﺤﯿﻄﮫ اﻟﺤـــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ
ﻣﺜﺎل
ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ = ٤٠ ١ ٢ ١ ٢
ﻣﺤﯿﻄﮫ = ٢ﻧﻖ +ل = ١٠ + ٨ × ٢
ﻧﻖ × ل = ٤٠
= ٢٦ = ١٠+١٦ﺳﻢ
× ﻧﻖ × ٤٠ = ١٠ ٥ﻧﻖ = ٤٠ ﻧﻖ
٤٠ =٥
= ٨ﺳﻢ
اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ -: ھﻰ ﺟﺰء ﻣﻦ ﺳﻄﺢ داﺋﺮة ﻣﺤﺪود ﺑﻮﺗﺮ وﻗﻮس ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ
١ =٢
٢
ء
ﻧﻖ ) ھـ – ﺟﺎھـ (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ أوﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮭﺎ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ = ْ ١٢٠ ﻣﺜﺎل وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ = ١٠ﺳﻢ اﻟﺤــــــــــــــﻞ ء ×١٢٠ط ھـ = ١٨٠
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ
= ٢٫١ ١ =٢
ء
٢
ء
ﻧﻖ ) ھـ – ﺟﺎھـ (
١ =٢
× – ٢٫١ ) ١٠٠ﺟﺎ( ١٢٠ ٢
= – ٢٫١ ) ٥٠ﺟﺎ ٦١٫٧ = ( ١٢٠ﺳﻢ ١٨٩
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻣﺜﺎل
أوﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﯿﺎس زاوﯾﺘﮭﺎ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ = ١٫٢ وﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ = ٨ﺳﻢ اﻟﺤــــــــــــــﻞ
ء ١٨٠ ×١٫٢ ھـ = ط
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ
= ْ ٦٩
١ =٢
٢
ء
ﻧﻖ ) ھـ – ﺟﺎھـ (
١ =٢
× – ١٫٢ ) ٦٤ﺟﺎ( ٦٩ ٢
= – ١٫٢ ) ٣٢ﺟﺎ ٨٫٥ = ( ٦٩ﺳﻢ
ﻣﺜﺎل
أوﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ داﺋﺮﺗﮭﺎ ٨ﺳﻢ وأرﺗﻔﺎﻋﮭﺎ = ٤ﺳﻢ اﻟﺤــــــــــــــــــــــــــﻞ
م ھـ = ﻧﻖ = ٨ﺳﻢ م ء = ١٤ = ٤ – ٨ﺳﻢ ٤ = ﺟﺘﺎ) أ م ء ( = ٢ ٨
∴
م ٨ أ
ق ) أ م ء ( = ∴ ْ ٦٠ق ) أ م ب ( = ْ ١٢٠ = ْ ٦٠ × ٢
ء ×١٢٠ط ھـ = ١٨٠
ء ٤ ھـ
ب
= ٢٫١
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ = ٢١ﻧﻖ ) ٢ھـء – ﺟﺎھـ ( = – ٢٫١ ) ٦٤ × ١ﺟﺎ(١٢٠ ٢
١٩٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻗﻮاﻧﯿﻦ ھﺎﻣﺔ
١٩١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
١٩٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
اﻟﺒﺎب اﻟﺴﺎدس اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ واﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺍﻟﺘﻐــــــﻴﺭ. إذا ﻛﺎن ص = د) س ( ﻓﺈن : Ãاﻟﺘﻐﯿﺮ ﻓﻰ س = ھـ = ∆ س = س – ٢س١ وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﯾﻜﻮن :س = ٢س + ١ھـ Ãاﻟﺘﻐﯿﺮ ﻓﻰ ص = ∆ ص = ص – ٢ص = ١د ) س – (٢د ) س(١ Ãداﻟﺔ اﻟﺘﻐﯿﺮ ت ) ھـ ( = د ) س + ١ھـ ( – د ) س. (١ Ã
.د ) س + ١ھـ ( – د ) س(١ داﻟﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﺘﻐﯿﺮ م ) ھـ ( = ھـ ت ) ھـ ( ﺩ ) ﺱ - (2ﺩ ) ﺱ ( ﺹ - 2ﺹ ∆ 1ص = = 1 = = ھـ ∆س ﺱ - 2ﺱ1 ﺱ - 2ﺱ1
Ã
.د ) س + ١ھـ ( – د ) س(١ ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻧﮭــــــــﺎ م ) ھـ ( = ﻧﮭــــــــﺎ ھـ ھـ ← ٠ ھـ ← ٠
ﻣﺜﺎل ١إذا ﻛﺎن د ) س ( = س ٥ + ٢س ) أوﻻً ( أوﺟﺪ داﻟﺔ اﻟﺘﻐﯿﺮ ت ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ٢ﺛﻢ اﺣﺴﺐ ت ) ( ٠٫١ ) ﺛﺎﻧﯿﺎً ( اﺣﺴﺐ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺗﻐﯿﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺘﻐﯿﺮ س ﻣﻦ ٣إﻟﻰ ٣٫٥ ) ﺛﺎﻟﺜﺎً ( أوﺟﺪ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﯿﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ٤ ) اﻟﺤﻞ ( ) أوﻻً ( ت ) ھـ ( = د ) س + ١ھـ ( – د ) س(١ = ])س + ١ھـ ( ) ٥ + ٢س + ١ھـ ( [ – ] ﺱ ٥ + 21س[١ = ﺱ ٢ + 21س ١ھـ +ھـ ٥ + ٢س ٥ + ١ھـ -ﺱ٥ - 21 = ٢س ١ھـ +ھـ ٥ +٢ھـ
س١
ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ٢ ت ) ھـ ( = × ٢ × ٢ھـ +ھـ ٥ +ھـ = ھـ ٩ +ھـ ت ) ٠٫٩١ = ٠٫٩ + ٠٫٠١ = ٠٫١ × ٩ + ٢( ٠٫١ ) = ( ٠٫١ ٢
٢
١٩٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
.د ) س + ١ھـ ( – د ) س(١ ) ﺛﺎﻧﯿﺎً ( م ) ھـ ( = ھـ ھـ ) ٢س + ١ھـ ( ٥ + ٢س ١ھـ +ھـ ٥ + ٢ھـ = م ) ھـ ( = ھـ ھـ م ) ھـ ( = ٢س + ١ھـ ٥ + ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ، ٣ھـ = ٠٫٥ م ) ھـ ( = ١١٫٥ = ٥ + ٠٫٥ + ٣ × ٢ .د ) س + ١ھـ ( – د ) س(١ ) ﺛﺎﻟﺜﺎً ( ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ﻧﮭــــــــﺎ م ) ھـ ( = ﻧﮭــــــــﺎ ھـ ھـ ← ٠ ھـ ← ٠ = ﻧﮭــــــــﺎ ) ٢س + ١ھـ ٢ = ( ٥ +س٥ + ١ ھـ ← ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ٤ ∴ ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ١٣ = ٥ + ٤ × ٢ ﻣﺜﺎل ٢إذا ﻛﺎن د ) س ( = س ٣ + ٢س ٤+ﻓﺄوﺟﺪ داﻟﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺘﻐﯿﺮ س ﻣﻦ س ١إﻟﻰ س + ١ھـ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺗﻐﯿﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺘﻐﯿﺮ س ﻣﻦ ٥إﻟﻰ ٤٫٨ﺛﻢ اﺣﺴﺐ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﯿﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ٥ ) اﻟﺤﻞ ( ت ) ھـ ( = د ) س + ١ھـ ( – د ) س(١ 2 = ] ) س + ١ھـ ( ) ٣ + ٢س + ١ھـ ( ] – [ ٤ +ﺱ ٣ + 1س[ ٤+ ١ = س ٢ + 21س ١ھـ +ھـ ٣ + ٢س ٣ + ١ھـ - ٤ +ﺱ ٣ - 21س٤ – ١ = ٢س ١ھـ +ھـ ٣ + ٢ھـ
ھـ ) ٢س + ١ھـ ( ٣ + ت ) ھـ ( ٢س ١ھـ +ھـ ٣ + ٢ھـ = = م ) ھـ ( = ھـ ھـ ھـ م ) ھـ ( = ٢س + ١ھـ ٣ + ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ، ٥ھـ = ٠٫٢ - = ٥ – ٤٫٨ م ) ھـ ( = ١٢٫٨ = ٣ + ٠٫٢ – ٥ × ٢ ١٩٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
،ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ﻧﮭــــــــﺎ م ) ھـ ( = ﻧﮭــــــــﺎ ) ٢س + ١ھـ ٢ = ( ٣ +س٣ + ١ ھـ ← ٠ ھـ ← ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ٥ ∴ ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ١٣ = ٣ + ٥ × ٢ ٢ ﻣﺜﺎل ٣إذا ﻛﺎن د ) س ( = أ س +ب س ٣ +ﻓﺄوﺟﺪ داﻟﺔ اﻟﺘﻐﯿﺮ ت ) ھـ ( ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺘﻐﯿﺮ س ﻣﻦ ٢إﻟﻰ + ٢ھـ .وإذا ﻛﺎن د ) ، ٣ = ( ٢ت ) ١٫٢٥ = ( ٠٫٥ﻓﺄوﺟﺪ أ،ب. ) اﻟﺤﻞ ( ت ) ھـ ( = د ) + ٢ھـ ( – د ) ( ٢ = ] أ) +٢ھـ ( + ٢ب ) + ٢ھـ ( ٤ ] – [ ٣ +أ ٢ +ب [ ٣ + = أ ) ٤ + ٤ھـ +ھـ ٢ + ( ٢ب +ب ھـ ٤ – ٣ +أ – ٢ب – ٣ = ٤أ ٤ +أ ھـ +أ ھـ ٢ + ٢ب +ب ھـ ٤ – ٣ +أ – ٢ب – ٣ = ٤أ ھـ +أ ھـ + ٢ب ھـ ∴ ٤أ ٢ +ب ٣ = ٣ + Qد)٣=(٢ ∴ ٢أ +ب = ٠ ∴ ٤أ ٢ +ب = ٠ ∴ ب = ٢ -أ (١) ... 5 1 1 1 1 ﺑﺎﻟﻀﺮب × ٤ Q ،ت ) ( = ٤∴ ١٫٢٥أ × +أ × +ب × = 4 2 4 2 2 ∴ ٩أ ٢ +ب = (٢) ... ٥ ∴٨أ+أ٢+ب=٥ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻣﻦ ) (١ﻓﻰ )(٢ ∴٩أ–٤أ=٥ وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ ) ∴ (١ب = – ٢ ∴أ=١ ∴ ٥أ = ٥ س – ١ﺛﻢ أوﺟﺪ داﻟﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻟﻠﺪاﻟﺔ د ) س ( = ﻣﺜﺎل ٤ اﺣﺴﺐ ھﺬا اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺘﻐﯿﺮ س ﻣﻦ ١٠إﻟﻰ . ١٧أوﺟﺪ أﯾﻀﺎً ﻣﻌﺪل ﺗﻐﯿﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ١٠ ) اﻟﺤﻞ ( ت ) ھـ ( = د ) س + ١ھـ ( – د ) س(١ س١ – ١ س + ١ھـ - ١ - = ت ) ھـ ( م ) ھـ ( = ھـ
=
س + ١ھـ - ١ - ھـ
س١ - ١
ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ، ١٠ھـ = ٧ ١٩٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
1 3 −4 ٩ - ١٦ = م ) ھـ ( = = ٧ 7 7 ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ﻧﮭــــــــﺎ ھـ ← ٠ = ﻧﮭــــــــﺎ ھـ ← ٠ = ﻧﮭــــــــﺎ ھـ ← ٠
)
.د ) س + ١ھـ ( – د ) س(١ ھـ س + ١ھـ - ١ -س١ - ١ ھـ
س + ١ھـ - ١ -س ) ( ١ - ١س + ١ھـ + ١ - ھـ ) س + ١ھـ + ١ -س( ١ – ١
س( ١ – ١
) س + ١ھـ ) – (١ -س(١ - ١ = ﻧﮭــــــــﺎ ھـ ← ٠ھـ ) س + ١ھـ + ١ -س( ١ – ١ ھـ = ﻧﮭــــــــﺎ ھـ ← ٠ھـ ) س + ١ھـ + ١ - ١ = ﻧﮭــــــــﺎ ھـ ← ) ٠س + ١ھـ + ١ -
س( ١ – ١ ١ = ٢س١ – ١ س( ١ – ١
ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ١٠ 1 ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = 9 2
1 = 6
2 ﻣﺜﺎل ٥أوﺟﺪ داﻟﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻟﻠﺪاﻟﺔ د ) س ( = س3- اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺘﻐﯿﺮ س ﻣﻦ ٥إﻟﻰ . ٥٫٢أوﺟﺪ ﻛﺬﻟﻚ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﯿﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻨﺪ س = ٥ ) اﻟﺤﻞ ( ت ) ھـ ( = د ) س + ١ھـ ( – د ) س(١ ﺛﻢ اﺣﺴﺐ ﻣﺘﻮﺳﻂ
١٩٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
)٢س ) ٢ – ( ٣ – ١س + ١ھـ ( ٣ - ٢ ٢ = = س + ١ھـ ٣ - ) س + ١ھـ ) ( ٣ -س( ٣ – ١ س٣ - ١ – ٢ھـ ٢س ٢ – ٦ – ١س ٢ – ١ھـ ٦ + = = ) س + ١ھـ ) ( ٣ -س( ٣ – ١ ) س + ١ھـ ) ( ٣ -س( ٣ – ١ – ٢ھـ ت ) ھـ ( ١ × = م ) ھـ ( = ھـ ھـ ) س + ١ھـ ) ( ٣ -س( ٣ – ١ –٢ م ) ھـ ( = ) س + ١ھـ ) ( ٣ -س( ٣ – ١ ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ، ٥ھـ = ٠٫٢ 2− 25 − 10 − = = = م ) ھـ ( = ) 2 × 2.2 ( 3 - 5 ) ( 3 -0.2 + 5 11 22 2−
–٢ ،ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ﻧﮭــــــــﺎ ھـ ← ) ٠س + ١ھـ ) ( ٣ -س ) ( ٣ – ١ﺱ( 3 - 1 1− 2 − = ∴ ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ٥ 2 4 ﻣﺜﺎل ٦ﻣﻜﻌﺐ ﯾﺘﻤﺪد ﺑﺎﻧﺘﻈﺎم ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻈﻞ ﻣﺤﺘﻔﻈﺎً ﺑﺸﻜﻠﮫ .أوﺟﺪ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻓﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ أوﺟﮭﮫ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﺰداد ﻃﻮل ﺣﺮﻓﮫ ﻣﻦ ٥ﺳﻢ إﻟﻰ ٥٫٢ﺳﻢ . ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻓﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ أوﺟﮭﮫ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن ﻃﻮل ﺣﺮﻓﮫ ٥ﺳﻢ . ) اﻟﺤﻞ ( ٢ ﻧﻔﺮض أن ﻃﻮل ﺣﺮف اﻟﻤﻜﻌﺐ = س ﺳﻢ ،ﻣﺴﺎﺣﺔ أوﺟﮭﮫ = ص ﺳﻢ ٢ ∴ ﻣﺴﺎﺣﺔ أوﺟﮭﮫ ص = د ) س ( = ٦س ٢ 2 ت ) ھـ ( = د ) س + ١ھـ ( – د ) س ) ٦ = (١س + ١ھـ ( – ٦ﺱ1 =
2
٢ ٢ 2 2 2 2 = )٦ﺱ ٢+ 1س ١ھـ +ھـ ( – ٦ﺱ ٦ = 1ﺱ١٢+ 1س ١ھـ ٦ +ھـ – ٦ﺱ1
١٩٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
= ١٢س ١ھـ ٦ +ھـ = ٢ھـ ) ١٢س ٦ + ١ھـ ( ھـ ) ١٢س ٦ + ١ھـ ( ت ) ھـ ( = م ) ھـ ( = ھـ ھـ
= ١٢س ٦ + ١ھـ
ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ، ٥ھـ = ٠٫٢ م ) ھـ ( = ٦١٫٢ = ٠٫٢ × ٦ + ٥ × ١٢ ،ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ﻧﮭــــــــﺎ م ) ھـ ( = ﻧﮭــــــــﺎ ) ١٢س ٦ + ١ھـ ( = ١٢س١ ھـ ← ٠ ھـ ← ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ٥ ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ٦٠ = ٥ × ١٢ ﻣﺜﺎل ٧ﺻﻔﯿﺤﺔ داﺋﺮﯾﺔ اﻟﺸﻜﻞ ﺗﺘﻤﺪد ﺑﺎﻧﺘﻈﺎم ﺑﺤﯿﺚ ﺗﻈﻞ ﻣﺤﺘﻔﻈﺔ ﺑﺸﻜﻠﮭﺎ .أوﺟﺪ ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻓﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن 22 ( ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ = ٧ﺳﻢ ) .ط = 7 ٢ ) اﻟﺤﻞ ( ﻧﻔﺮض أن ﻃﻮل ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ = س ﺳﻢ ،ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺤﮭﺎ = ص ﺳﻢ ٢ ∴ص=د)س(=طس ٢ 2 ت ) ھـ ( = د ) س + ١ھـ ( – د ) س = (١ط ) س + ١ھـ ( – ط ﺱ1 ٢ 2 2 = ط ) ﺱ ٢+ 1س ١ھـ +ھـ ( – ط ﺱ1 ٢ 2 2 = ط ﺱ٢+ 1ط س ١ھـ +ط ھـ – ط ﺱ1
= ٢ط س ١ھـ +ط ھـ = ٢ھـ )٢ط س + ١ط ھـ ( ت ) ھـ ( ھـ ) ٢ط س + ١ط ھـ ( = م ) ھـ ( = ھـ ھـ
= ٢ط س + ١ط ھـ
ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = ﻧﮭــــــــﺎ م ) ھـ ( = ﻧﮭــــــــﺎ ) ٢ط س + ١ط ھـ ( = ٢ط ھـ ← ٠ ھـ ← ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ س = ٧ﺳﻢ 22 × ٤٤ = ٧ ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﯿﺮ = × ٢ 7
س١
١٩٨
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺍﻟﻤﺸﺘﻘـﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﺩﺍﻟــﺔ. .د ) س +ھـ ( – د ) س( ءص = ﻧﮭــــــــﺎ µاﻟﻤﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ﻟﻠﺪاﻟﺔ. ھـ ء س ھـ ← ٠ µاﻟﻤﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ﻟﻠﺪاﻟﺔ.ﻗﺪ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ أو اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻰ اﻷول ﻟﻠﺪاﻟﺔ أو ﻣﻌﺪل ﺗﻐﯿﺮ اﻟﺪاﻟﺔ . ء ءص ] د) س ([ µوﻣﻦ رﻣﻮزھﺎ اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ. ،ص ، /د )/س ( ، ءس ءس µﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق. / ﻓﺈن د ) س ( = . ٠ ³إذا ﻛﺎن د ) س ( = أ ﺣﯿﺚ أ ﺛﺎﺑﺖ / ∴د ) س ( = ٠ ﻣﺜﺎل ٨إذا ﻛﺎن د ) س ( = ٧ ن. ١ - / ن ﻓﺈن د ) س ( = ن س ³إذا ﻛﺎن د ) س ( = س ٤ / ٥ ∴د ) س ( = ٥س ﻣﺜﺎل ٩إذا ﻛﺎن د ) س ( = س ن. ١ - ن ﻓﺈن د ) /س ( = أ ن س ³إذا ﻛﺎن د ) س ( = أ س ٤ / ٥ ∴ د ) س ( = ٣٥س ﻣﺜﺎل ١٠إذا ﻛﺎن د ) س ( = ٧س / ﻓﺈن د ) س ( = أ. ³إذا ﻛﺎن د ) س ( = أ س / ﻓﺈن د ) س ( = ٨ ﻣﺜﺎل ١١إذا ﻛﺎن د ) س ( = ٨س / ﻓﺈن د ) س ( = . ١ ³إذا ﻛﺎن د ) س ( = س µاﻟﺘﻔﺴﯿﺮ اﻟﮭﻨﺪﺳﻲ ﻟﻠﻤﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﻰ : اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) س ، ١ص ( ١ھﻰ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻨﺪ ﺗﻠﻚ اﻟﻨﻘﻄﺔ . ١٩٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
3 ﻣﺜﺎل ١٢إذا ﻛﺎن ص = س ٥ – ٣س ٧ + ٤س ١٤ + 2 -ﻓﺄوﺟﺪ ص ﺱ ص = س ٥ – ٣س ٧ + ٤س – ٣س١٤ + ٢- ) اﻟﺤﻞ ( ٣٣ ٢ / ∴ ص = ٣س – ٢٠س ٦ + ٧ +س ∴ ص ٣ = /س ٢٠ – ٢س+ ٧ + ٣
6 ﺱ
3
9 ٧ ٣س ﻣﺜﺎل ١٣إذا ﻛﺎن ص = ٤س س ٦ +س - 5 1
/
7
3
ﻓﺄوﺟﺪ ص
/
7
9 9 ) اﻟﺤﻞ ( ص = ٤س × ﺱ ٦ + 2ﺱ - 3س = ٤ﺱ ٦ + 2ﺱ - 3س 5 5 1
4
9 7 3 ∴ ص × ٤ = /ﺱ × ٦ + 2ﺱ ٦ = - 3 5 3 2
9 ٤ ٣ س ١٤ +س - 5
ﻣﺜﺎل ١٤أوﺟﺪ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = ٣س – ٢س ٣٩ -س ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ، ١د ) س ( ( ،ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﯾﺼﻨﻌﮭﺎ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻋﻨﺪ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ .
٢
2 ) اﻟﺤﻞ ( ص = ٣س – ٢س ٩ -ﺱ 3 16 6 2 ∴ ص ٦ = /س – ×٩ -١ﺱ ٦ = 3س – ٦ = 1 -١س – -١ ٣س 3 ﺱ3
ﻋﻨﺪ س = ١ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص = ١- = ٦ - ١ – ٦ /
٢٠٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﻼﺣﻈﺔ .ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﯾﺴﺎوى ﻇﻞ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﯾﺼﻨﻌﮭﺎ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻨﺪ ﺗﻠﻚ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت o Qﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ∴ ١ -ﻇﺎ ھـ = ∴ ١ -ھـ = 135 ٢ ٣ ﻣﺜﺎل ١٥أوﺟﺪ اﻟﻨﻘﻂ اﻟﻮاﻗﻌﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ د ) س ( = س – ٣س ٣ +س واﻟﺘﻰ ﯾﻜﻮن ﻋﻨﺪھﺎ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ﯾﺴﺎوى . ١٢ ) اﻟﺤﻞ ( ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = د ) /س ( = ٣س ٦ – ٢س ١٢ = ٣ + ∴ ٣س ٦ – ٢س ٠ = ٩ - ∴ ٣س ٦ – ٢س ٠ = ١٢ – ٣ + ∴ س ٢ – ٢س ٠ = ٣ - ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٣ ∴)س –)(٣س٠=(١+ وﻋﻨﺪھﺎ ص = ٩ = ٩ + ٢٧ – ٢٧ إﻣﺎ س ٠ = ٣ -وﻣﻨﮭﺎ س = ٣ وﻋﻨﺪھﺎ ص = ٧- = ٣ – ٣ – ١- أ ،س ٠ = ١ +وﻣﻨﮭﺎ س = ١ - وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺘﺎن ھﻤﺎ ) ( ٧ - ، ١ - ) ، ( ٩ ، ٣ ﻣﺜﺎل ١٦أوﺟﺪ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = س ٣ – ٢س ٢ +ﻋﻨﺪ ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﻧﻘﻂ ﺗﻘﺎﻃﻌﮫ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت . ﻹﯾﺠﺎد ﻧﻘﻂ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻧﻀﻊ ص = ٠ﻓﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻹﯾﺠﺎد ﻧﻘﻂ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﻧﻀﻊ س = ٠ﻓﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ) اﻟﺤﻞ ( ﻧﻀﻊ ص = ٠ﻓﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ∴)س –)(١س–٠=(٢ ∴ س ٣ – ٢س ٠ = ٢ + وﻣﻨﮭﺎ س = ١ إﻣﺎ س – ٠ = ١ وﻣﻨﮭﺎ س = ٢ أ ،س – ٠ = ٢ ∴ ﻧﻘﻄﺘﺎ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ھﻤﺎ ) ( ٠ ، ٢ ) ، ( ٠ ، ١ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص ٢ = /س – ٣ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ∴ ( ٠ ، ١ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص ١ - = ٣ – ٢ = / ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ∴ ( ٠ ، ٢ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص ١ = ٣ – ٤ = / 2 ﻣﺜﺎل ١٧أوﺟﺪ اﻟﻨﻘﻂ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = س + اﻟﺘﻰ ﻋﻨﺪھﺎ س اﻟﻤﻤﺎس ﯾﺼﻨﻊ ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت زاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ . o135 ١) اﻟﺤﻞ ( ص = س ٢ +س ٢٠١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
2 ∴ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص ٢ – ١ = /س = 2 - ١ = ٢-ﻇﺎ ١ - = o135 ﺱ 2 2 ∴ ٢∴ 2 = ٢∴ ١ - = 2 - ١س ∴ ٢ = ٢س ∴ ١ = ٢س = ١ ± ﺱ ﺱ ∴ اﻟﻨﻘﻄﺔ ھﻰ ) ( ٣ ، ١ ﻋﻨﺪ س = ∴ ١ص = ٣ = ٢ + ١ ∴ اﻟﻨﻘﻄﺔ ھﻰ ) ( ٣ - ، ١ - ﻋﻨﺪ س = ∴ ١ -ص = ٣ - = ٢ - ١ - ﻣﺜﺎل ١٨أﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = ٢س ٣ – ٣س ٤ + ٢ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺣﯿﺚ س = ١ﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت . / ﻣﻼﺣﻈﺔ .إذا ﻛﺎن اﻟﻤﻤﺎس ﻣﻮازﯾﺎً ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻓﺈن ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص = ٠ ) اﻟﺤﻞ ( ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص ٦ = /س ٦ – ٢س ﻋﻨﺪ س = ١ ∴ اﻟﻤﻤﺎس ﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ∴ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ٠ = ٦ – ٦ ٢ ﻣﺜﺎل ١٩أوﺟﺪ ﻗﯿﻢ أ ،ب إذا ﻛﺎن ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = أ س +ب س ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٥ ، ١اﻟﻮاﻗﻌﺔ ﻋﻠﯿﮫ ﯾﺴﺎوى . ٨ ) اﻟﺤﻞ ( Qاﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٥ ، ١ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﮭﻰ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ (١) ... ∴أ+ب=٥ ءص =٢أس+ب=٨ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ءس (٢) ... ∴٢أ+ب=٨ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٥ ، ١ وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ ) ∴ (١ب = ٢ ∴أ=٣ ﺑﻄﺮح ) (١ﻣﻦ )(٢ ٣ ﻣﺜﺎل ٢٠إذا ﻛﺎن اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = أ س +ب س ﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٢ ، ١ -ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﻛﻼً ﻣﻦ أ ،ب . ) اﻟﺤﻞ ( Qاﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٢ ، ١ -ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﮭﻰ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ (١) ... ∴-أ-ب=٢ ءص = ٣أ س +٢ب = ٠ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ءس (٢) ... ∴٣أ+ب=٠ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( ٢ ، ١ - ٢٠٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
∴٢أ=∴ ٢أ=١ ﺑﺠﻤﻊ )(٢) ، (١ ∴ ب = ٣- ∴+٣ب=٠ ﻧﻌﻮض ﻓﻰ )(٢ ﺣﯿﺚ أ ،ب ،ﺟـ ∋ ح ﻣﺜﺎل ٢١إذا ﻛﺎن د ) س ( = أ س + ٢ب س +ﺟـ وﻛﺎن د ) ، ٣ = (٠د ، ٥ - = (٠) /د ٣ = (٢) /ﻓﺄوﺟﺪ د ) ، (١د . (٢ -) / ∴ د )/س ( = ٢أ س +ب ) اﻟﺤﻞ ( د ) س ( = أ س + ٢ب س +ﺟـ (١) ... ∴ ﺟـ = ٣ Qد )٣ = (٠ (٢) ... ∴ب=٥- Q ،د ٥ - = (٠) / (٣) ... ∴ ٤أ +ب = ٣ ،د ٣ = (٢) / ∴ ٤أ – ٤∴ ٣ = ٥أ = ∴ ٨أ = ٢ ﻧﻌﻮض ﻣﻦ ) (٢ﻓﻰ )(٣ ∴ د )٠ = ٣ + ٥ – ٢ = (١ ∴ د ) س ( = ٢س ٥ – ٢س ٣ + ∴ د ١٣ - = ٥ – ٨ - = (٢-) / ،د )/س ( = ٤س – ٥
اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ﻟﺤﺎﺻﻞ ﺿﺮب داﻟﺘﯿﻦ = ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻷوﻟﻰ × اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ +ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ × اﻟﺪاﻟﺔ اﻷوﻟﻰ / ﻣﺜﺎل ٢٢إذا ﻛﺎن ص = ) س ٣ +٢س ) ( ١ +س ٣ –٢س ( ٤ +ﻓﺄوﺟﺪ ص ) اﻟﺤﻞ ( ص ٢) = /س ) (٣+س٣ –٢س ٢) + (٤+س – ) (٣س٣+٢س (١+ = ٢س ٦ – ٣س ٨ + ٢س ٣ +س ٩ – ٢س ٢ + ١٢ +س ٦ + ٣س ٢ + ٢س – ٣س ٩ – ٢س – ٤ = ٣س ٨ – ٣س ٩ +
اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ﻟﺤﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﺛﻼث دوال = ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻷوﻟﻰ × اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ×اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ +ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ × اﻟﺪاﻟﺔ اﻷوﻟﻰ × اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ +ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ × اﻟﺪاﻟﺔ اﻷوﻟﻰ × اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ / ﻣﺜﺎل ٢٣إذا ﻛﺎن ص = ) س ٢ ) (١ -٢س – ٣ ) ( ٥س ( ٧ +ﻓﺄوﺟﺪ ص ) اﻟﺤﻞ ( ص ٢ = /س ) ٢س – ٣ ) (٥س )٢ + ( ٧ +س ٣) (١ -٢س (٧ + ) ٣ +س ٢ ) ( ١ – ٢س – ( ٥ = ٢س ) ٦س – ٢س – ٣ ) ٢ + ( ٣٥س ٧ + ٣س ٣ – ٢س – ( ٧ ٢ ) ٣ +س ٥ – ٣س ٢ – ٢س ( ٥ + ٣ = ١٢س ٢ – ٣س ٧٠ – ٢س ٦ +س ١٤ + ٣س ٦ – ٢س – ٦ + ١٤س ١٥س ٦ – ٢س ٢٤ = ١٥ +س ٣ – ٣س ٨٢ – ٢س ١ +٢٠٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﺜﺎل ٢٤إذا ﻛﺎن ص = ) س ) ( ٩ + ٢س ) ( ٣ +س ( ٣ - ﻓﺄوﺟﺪ ص ٣ ∴ص ٤ = /س ) اﻟﺤﻞ ( ص = ) س ) ( ٩ + ٢س = ( ٩ – ٢س٨١ – ٤ /
ﻣﺸﺘﻘﺔ ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺔ داﻟﺘﯿﻦ = ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺒﺴﻂ × اﻟﻤﻘﺎم – ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﻤﻘﺎم × اﻟﺒﺴﻂ ﻣﺮﺑﻊ اﻟﻤﻘﺎم ....... 2س3- إذا ﻛﺎن د ) س ( = ﻣﺜﺎل ٢٥ ﻓﺄوﺟﺪ د ( ٠ ) / 5س 1+ ) اﻟﺤﻞ ( 5 ) × 2ﺱ 2 ) × 5 - ( 1 +ﺱ 10 ( 3 -ﺱ 10 − 2 +ﺱ 15 + = د ) /س (= 2 2 ) 5ﺱ (1 + ) 5ﺱ (1 + 17 17 = ١٧ ∴ د= ( ٠ )/ د )/س ( = 2 1 ) 5ﺱ (1 + ء 4س 3 + أوﺟﺪ ﻣﺜﺎل ٢٦ ء س 5 س 1- ء 4 س 5 ) × 4 3 +ﺱ 4 ) × 5 - (1-ﺱ (3 + = ) اﻟﺤﻞ ( 2 ) 5ﺱ (1- ء س 5 س 1-
ﻋﻨﺪ س = ١
=
20ﺱ 20 - 4 -ﺱ 15 − 2
) 5ﺱ (1-
=
192
) 5ﺱ (1-
ء 4 س 19 − 3 + ﻋﻨﺪ س = ١ = ∴ س ء 16 1س 5 س ﻣﺜﺎل ٢٧إذا ﻛﺎن د ) س ( = وﻛﺎن د ١ - = ( ٢ ) / س -ب
ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ب
٢٠٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
) × 1ﺱ -ﺏ ( × 1-ﺱ ﺱ -ﺏ -ﺱ / = ) اﻟﺤﻞ ( د = = ( س ) 2 2 ) ﺱ -ﺏ( ) 2ﺱ -ﺏ( ) ﺱ -ﺏ( -ﺏ
ﺏ١-= 2 د= ( ٢ )/ ) - 2ﺏ( ∴ ٤ – ٤ب +ب = ٢ب ∴) ب– )(١ب–٠=(٤
∴ ) – ٢ب ( = ٢ب ∴ ب ٥ – ٢ب ٠ = ٤ + أ ،ب = ٤ إﻣﺎ ب = ١
ﺱ2 + 2 واﻟﺘﻰ ﯾﻜﻮن ﻣﺜﺎل ٢٨أوﺟﺪ اﻟﻨﻘﻂ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = 2ﺱ 1- ﻋﻨﺪھﺎ اﻟﻤﻤﺎس ﻣﻮازﯾﺎً ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت . 2 2ﺱ × ) 2ﺱ ) × 2 - (1-ﺱ (2 + ) اﻟﺤﻞ ( ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = 2 ) 2ﺱ (1-
=
4ﺱ 2 - 2ﺱ 2 -ﺱ4 - 2 2
=
2ﺱ 2 - 2ﺱ 4 - 2
=٠
) 2ﺱ (1- ) 2ﺱ (1- ﻷن اﻟﻤﻤﺎس ﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ∴ ٢س ٢ – ٢س – ∴ ٠ = ٤س – ٢س – ٠ = ٢ ∴)س –)(٢س٠=(١+
إﻣﺎ س – ٠ = ٢
وﻣﻨﮭﺎ س = ٢
أ ،س ٠ = ١ +
وﻣﻨﮭﺎ س = ١ -
2 +4 وﻋﻨﺪھﺎ ص = 1−4 2 +1 =١- وﻋﻨﺪھﺎ ص = 1− 2 − =٢
∴ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺘﺎن ھﻤﺎ ) ( ١ - ، ١ - ) ، ( ٢ ، ٢ ﻣﺜﺎل ٢٩أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﯾﺼﻨﻌﮭﺎ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ٢٠٥
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺱ27 - 3 ﻋﻨﺪ س = ١ -ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت . ص= ﺱ3- ) ﺱ ) (3 -ﺱ 3 + 2ﺱ (9 + =س ٣+س٩+ ) اﻟﺤﻞ ( ص = ) ﺱ (3 - ٢
ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص ٢ = /س ٣ + ﻋﻨﺪ س = ١ - ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ∴ ١ = ٣ + ٢ -ﻇﺎ ھـ = ١
∴ ھـ = 45 ﺱ 2- واﻟﺘﻰ ﯾﻜﻮن ﻋﻨﺪھﺎ ﻣﺜﺎل ٣٠أوﺟﺪ اﻟﻨﻘﻂ اﻟﻮاﻗﻌﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = ﺱ 1- اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ﻣﻮازﯾﺎً ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ص = س ٤ + ) اﻟﺤﻞ ( ) × 1 /ﺱ ) × 1 - (1-ﺱ (2 - 1 = ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ = ص = 2 2 ) ﺱ (1 - ) ﺱ (1 - ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ = ص١ = / 1 ) ∴ ١ = 2س – ١ = ٢(١ ∴ ) ﺱ (1 - ∴ س ٢ – ٢س = ٠ ∴ س ٢ – ٢س ١ = ١ + ∴س)س –٠=(٢ 2 -0 =٢ إﻣﺎ س = ٠وﻣﻨﮭﺎ ص = 1- 0 أ ،س = ٢
2-2 وﻣﻨﮭﺎ ص = 1- 2
o
=٠
∴ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ھﻤﺎ ) ( ٠ ، ٢ ) ، ( ٢ ، ٠ ٢٠٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺩﺍﻟــﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟــﺔ ) ﻗﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﺴﻠﺴﻠﺔ (. ﻓﺈن ص ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ داﻟﺔ س إذا ﻛﺎﻧﺖ ص داﻟﺔ ﻓﻰ ع ،ع داﻟﺔ ﻓﻰ س ءص ءص ءع × = . وﯾﻜﻮن . : ءس ءع ءس ﻧﺘﺎﺋﺞ ھﺎﻣﺔ. ﻥ 1−
ﻥ
) . ( ١إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = ] ﺩ ) ﺱ ([ ﻓﺈن ء ص = ن× ] ﺩ ) ﺱ ([ × د ) س (. ءس ٩ / ﻣﺜﺎل ٣١إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = ) س ٥ – ٢س ( ٣ + ﻓﺄوﺟﺪ ص ) اﻟﺤﻞ ( ص ) × ٩ = /س ٥ – ٢س ٢ ) × ٨( ٣ +س – ( ٥ ﻥ 1-ﺀ ﺹ ء . )(٢ × ) ﺹ( ﻥ = ﻥ × ﺹ ﺀﺱ ءس ٤ءص ء ﺹ ٥ = 5ص × ﻣﺜﺎل ٣٢ ءس ءس /
) (
٢٠٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ءص ﻣﺜﺎل ٣٣إذا ﻛﺎن س ) ٢ص ٤ = ( ١ + ٢ﻓﺄﺛﺒﺖ أن س ٣ص ءس ) اﻟﺤﻞ ( س ٢ص + ٢س (١) ... ٤ = ٢ﺑﺈﺟﺮاء اﻻﺷﺘﻘﺎق ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ س ءص × س ٢ + ٢س = ٠ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ٢ ٢س × ص ٢ + ٢ص × ءس
٠=٤+
ءص ∴ س ص + ٢س ٢ص ءس ءص ∴ س ٢ص + ٢س ٣ص ءس ﻧﻌﻮض ﻣﻦ ) (١ﻓﻰ )(٢ ﻣﺜﺎل ٣٤
إذا ﻛﺎﻧﺖ ص =
+س=٠ +س٠ = ٢
(٢) ...
ءص ∴ س ٣ص ءس 7
٠=٤+ ﻓﺄوﺟﺪ ص
4
) 5ﺱ (1 +
) اﻟﺤﻞ ( ص = ٥ ) ٧س ( ١ +
/
٤-
∴ ص ٥ ) ٢٨ - = /س = ٥ × ٥-( ١ + ﻣﺜﺎل ٣٥
ﺑﺎﻟﻀﺮب × س
140 − ) 5ﺱ (1 +
5
٤ ٢
إذا ﻛﺎﻧﺖ ص ٢ +١ ) = ٣س (
ﻓﺄوﺟﺪ ص
/
4 ) اﻟﺤﻞ ( ص = ) 2 + 1ﺱ3 (2 1 4 ٢ ٣ 16 س ٢+١س ص 2 + 1 ) = /ﺱ ٤ × 3 (2س =
3 ﻣﺜﺎل ٣٦ ) اﻟﺤﻞ (
3 إذا ﻛﺎن ٢ص = س٣ – ٢ ﻓﺄوﺟﺪ ص ﺑﺘﺮﺑﯿﻊ اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ ∴ ٤ص = س ٦ – ٤س٩ + ٢
/
٢٠٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
9 ٢ 3 ٤ 1 ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ∴ ٤ص = س -س + 4 2 4 ءص = ٦ﻋﻨﺪ س = ١ﻓﺄوﺟﺪ أ ﻣﺜﺎل ٣٧إذا ﻛﺎن ص = ) أ س ،٢( ٢ +وﻛﺎن ءس ءص =)٢أس×(٢+أ ) اﻟﺤﻞ ( ءس ∴) أ×(٢+أ=٣ ﻋﻨﺪ س = ) ٢ ∴ ١أ × ( ٢ +أ = ٦
∴ ص = /س ٣ – ٣س
2
∴أ ٢ +أ – ٠ = ٣ ∴) أ)(٣+أ–٠=(١ وﻣﻨﮭﺎ أ = ٣ - إﻣﺎ أ ٠ = ٣ + وﻣﻨﮭﺎ أ = ١ أ ،أ – ٠ = ١ ﻣﺜﺎل ٣٨إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = ) ع – ، ٥( ١ع = س٣ + ٢
ءص ﻓﺄوﺟﺪ ءس
٥
) اﻟﺤﻞ ( ص = ) س ) = ٥( ١ – ٣ + ٢س( ٢ + ٢ ءص ٤ = ) ٥س ٢ × ٤( ٢ + ٢س = ١٠س ) س( ٢ + ٢ ∴ ءس ءص ٤ ٥ =)٥ع–(١ ∴ ﺣﻞ آﺧﺮ Qص = ) ع – ( ١ ءع ءع =٢س ∴ Q ،ع = س٣ + ٢ ءس ءع ءص ءص = ) ٥ع – ٢ × ٤( ١س × = ∴ ءس ءس ءع ٤ = ) ٥س ٢ × ٤( ١ – ٣ + ٢س = ١٠س ) س( ٢ + ٢ ءص ﻣﺜﺎل ٣٩إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = ع ، ٧ع = س ٢ +٣س ٤–٢ﻓﺄوﺟﺪ ﻋﻨﺪ س = ١ ءس ٧ ) اﻟﺤﻞ ( ص = ) س ٢ + ٣س( ٤ – ٢ ٢٠٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ءص ∴ ءس
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
= ) ٧س ٢ + ٣س ٣ ) × ٦( ٤ – ٢س ٤ + ٢س (
ءص ﻋﻨﺪ س = ∴ ١ ءس
= ٤٩ = ٧ × ١ × ٧ = ( ٤ + ٣ ) × ٦( ٤ – ٢ + ١ ) ٧
ءص 1 ﻓﺄوﺟﺪ ﻣﺜﺎل ٤٠إذا ﻛﺎن ص = ع + ٥ع ،ع = س + ءس س 5
]
1 1 = ﺱ+ﺱ ) اﻟﺤﻞ ( ص = ﺱ + +س + س ﺱ
[
]
4
ءص = ٥ﺱ +ﺱ – ١ ) 1-س ( – ١ +س ءس ٢-
[
1-
ﻋﻨﺪ س = ١ -
5
+س+س
١-
٢-
4
1 1 ١ + 1 + ﺱ ﺱ ﺱ 2 = ٥ 2 ﺱ ءص = ٠ = ١ – ١ + ( ١ – ١ ) ٤( ١ – ١ - ) ٥ ﻋﻨﺪ س = ∴ ١ - ءس ءص س 1+ ع2− ﻓﺄوﺟﺪ ،ع= إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = ﻣﺜﺎل ٤١ ءس 2س 1- ع 1+ س 1+ 2− ) اﻟﺤﻞ ( ص = 2س 1 - ﺑﺎﻟﻀﺮب ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً × ) ٢س – ( ١ س 1+ 1+ 2س 1- 1
س 4 -1 +س 3 - 3 2 +س س 2 ) 2 - 1 +س (1- = = ∴ص= 3س س 2 + 1 +س 1- س 2) + 1 +س (1- ٢١٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
3س 3 = 3س 3س
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ءص ∴ ءس
= س١ – ١-
= -س= ٢- ٢
إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = ع + ٢ع ،ع = ٢س ﻣﺜﺎل ٤٢ ﺀﺹ ﺀﻉ ٣ = ١٦س ﺀﺱ ﺀﺱ ٢ ) اﻟﺤﻞ ( ص = ) ٢س ٢ + ٢( ٢س ٤ = ٢س ٢ + ٤س ﺀﻉ ﺀﺹ =٤س ∴ ، = ١٦س ٤ + ٣س ﺀﺱ ﺀﺱ ﺀﺹ ﺀﻉ ٣ = ١٦س ٤ + ٣س – ٤س = ١٦س ∴ ﺀﺱ ﺀﺱ ﻣﺜﺎل ٤٣
3 ﺱ 1- إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = 2ﺱ 3 + 4
3 ﺱ 1- / × ) اﻟﺤﻞ ( ص = ٥ 2ﺱ 3 + 4
3 ﺱ 1- × = ٥ 3 + ﺱ 2 4
1− 2
ﺱ ﻓﺄﺛﺒﺖ أن ) أول ( ٢٠٠٢
5
ﻓﺄوﺟﺪ ص
/
2 ) 3ﺱ 3 ) 2 - (3 +ﺱ (1- 2
) 2ﺱ (3 +
6ﺱ 6- 9 +ﺱ 2 + 2
) 2ﺱ (3 +
) 3ﺱ (1- = × =٥ 2 4 6 ) 2ﺱ (3 + ) 2ﺱ (3 + ) 2ﺱ (3 + 11
4
3 ) 55ﺱ (1- ٨
ﻣﺜﺎل ٤٤إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = ) ٢س ٣ ) ٥( ١ +س – ( ٤ ٨ ) اﻟﺤﻞ ( ص ٢ ) ٥ = /س ٣ ) × ٢ × ٤( ١ +س – ( ٤ ٥ ٣ ) × ٨ +س – ٢ ) × ٣ × ٧( ٤س ( ١ + ٥ ص ٢ ) ١٠ = /س ٣ )٤( ١ +س – ٣ )٢٤ + ٨( ٤س – ٢ )٧( ٤س ( ١ + = ٢ ) ٢س ٣ ) ٤( ١ +س – ٣ ) ٥ } ٧( ٤س ٢ ) ١٢ + ( ٤ -س { ( ١ + ﻓﺄوﺟﺪ ص
/
٢١١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
= ٢ ) ٢س ٣ ) ٤( ١ +س – ١٥ ) ٧( ٤س – ٢٤ + ٢٠س ( ١٢ + = ٢ ) ٢س ٣ ) ٤( ١ +س – ٣٩ ) ٧( ٤س ( ٨ - ٧ / ﻣﺜﺎل ٤٥إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = ) ٢س ٢ ) ٧( ٣ +س – ( ٣ ﻓﺄوﺟﺪ ص ٧ ) اﻟﺤﻞ ( ص = ) ٢س ٢ ) ٧( ٣ +س – ٤ ) = ٧( ٣س( ٩ – ٢ ٦ ص ٤ ) ٧ = /س ٨ × ٦( ٩ – ٢س = ٥٦س ) ٤س( ٩ – ٢ ﻣﺜﺎل ٤٦
إذا ﻛﺎﻧﺖ ص =
5
) 2ﺱ (1 + ) 3ﺱ (4 -
ﻓﺄوﺟﺪ ص
8
/
٨-
) اﻟﺤﻞ ( ص = ) ٢س ٣ ) ٥( ١ +س – ( ٤ ٨ص ٢ ) ٥ = /س ٣ ) × ٢ × ٤( ١ +س – ( ٤ ٥ ٣ ) × ٨س – ٢ ) × ٣ × ٩ -( ٤س ( ١ +٥ = ٢ ) ١٠س ٣ )٤( ١ +س – ٣ )٢٤ - ٨ -( ٤س – ٢ )٩ -( ٤س ( ١ + = ٢ ) ٢س ٣ ) ٤( ١ +س – ٣ ) ٥ } ٩ -( ٤س ٢ ) ١٢ - ( ٤ -س { ( ١ + = ٢ ) ٢س ٣ ) ٤( ١ +س – ١٥ ) ٩ -( ٤س – ٢٤ - ٢٠س ( ١٢ - = ٢ ) ٢س ٣ ) ٤( ١ +س – ٩ - ) ٩ -( ٤س ( ٣٢ - = ٢ ) ٢ -س ٣ ) ٤( ١ +س – ٩ ) ٩ -( ٤س ( ٣٢ + 2 ) 2ﺱ 9 ) 4(1 +ﺱ (32 += 9 ) 3ﺱ (4 -
ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ. ﻧﻈﺮﯾﺎت وﻧﺘﺎﺋﺞ. Ã
إذا ﻛﺎن ص = ﺟﺎ س
Ã
إذا ﻛﺎن ص = ﺟﺘﺎ س
Ã
إذا ﻛﺎن ص = ﺟﺎ أ س
ءص ﻓﺈن ءس ءص = -ﺟﺎ س. ﻓﺈن ءس ءص = أ ﺟﺘﺎ أ س. ﻓﺈن ءس = ﺟﺘﺎ س.
٢١٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﺜﺎل ٤٧إذا ﻛﺎن ص = ﺟﺎ ٧س Ã
إذا ﻛﺎن ص = ﺟﺘﺎ أ س
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ءص ﻓﺈن ءس ءص = -أ ﺟﺎ أ س. ﻓﺈن ءس
= ٧ﺟﺘﺎ ٧س
ﻣﺜﺎل ٤٨إذا ﻛﺎن ص = ٥ﺟﺘﺎ ٣س ءص = ٣ - ) × ٥ﺟﺎ ٣س ( = ١٥ -ﺟﺎ ٣س ﻓﺈن ءس ءص = أ ﺟﺘﺎ ) أ س +ب (. Ãإذا ﻛﺎن ص = ﺟﺎ ) أ س +ب ( ﻓﺈن ءس ﻣﺜﺎل ٤٩إذا ﻛﺎن ص = ٥ﺟﺎ ) ٣س – ( ٢ ءص = ٣ × ٥ﺟﺘﺎ ) ٣س – ١٥ = ( ٢ﺟﺘﺎ ) ٣س – ( ٢ ﻓﺈن ءس Ã Ã
إذا ﻛﺎن ص = ﺟﺘﺎ ) أ س +ب (
ءص ﻓﺈن ءس
= -أ ﺟﺎ ) أ س +ب (.
ﻣﺜﺎل ٥٠إذا ﻛﺎن ص = ٨ﺟﺘﺎ ) ٥ – ٢س ( ءص = - × ٥- × ٨ﺟﺎ ) ٥ – ٢س ( = ٤٠ﺟﺎ ) ٥ – ٢س ( ﻓﺈن ءس ٧ / ﻣﺜﺎل ٥١إذا ﻛﺎﻧﺖ ص = ) ٣ﺟﺘﺎ ٤س – ٥ﺟﺎ ٢س ( ﻓﺄوﺟﺪ ص ) اﻟﺤﻞ ( ٦ ص ٣ ) ٧ = /ﺟﺘﺎ ٤س – ٥ﺟﺎ ٢س ( ) ١٢ -ﺟﺎ ٤س – ١٠ﺟﺘﺎ ٢س ( = ٣ ) ٧ﺟﺘﺎ ٤س – ٥ﺟﺎ ٢س ( ٦ ) ٢ - × ٦ﺟﺎ ٤س ٥ +ﺟﺘﺎ ٢س ( = ٣ ) ١٤ -ﺟﺘﺎ ٤س – ٥ﺟﺎ ٢س ( ٦ ) ٦ﺟﺎ ٤س ٥ +ﺟﺘﺎ ٢س ( ءص س ﻓﺄوﺟﺪ ﻣﺜﺎل ٥٢إذا ﻛﺎن ص = س ﺟﺘﺎ ٣س +س ٣ﺟﺎ س +ﺟﺎ ءس 3 ٢١٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ءص ) اﻟﺤﻞ ( ءس
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
= × ١ﺟﺘﺎ ٣س ٣ - ) +ﺟﺎ ٣س ( × س ٣ +س × ٢ﺟﺎ س
س 1 ٣ ﺟﺘﺎ ) +ﺟﺘﺎ س ( × س + 3 3
س 1 ﺟﺘﺎ = ﺟﺘﺎ ٣س – ٣س ﺟﺎ ٣س ٣ +س ٢ﺟﺎ س +س ٣ﺟﺘﺎ س + 3 3 / إذا ﻛﺎن ص = ١٠ﺟﺎ س ﺟﺘﺎ س ﻣﺜﺎل ٥٣ ﻓﺄوﺟﺪ ص ) اﻟﺤﻞ ( ص = ٢ × ٥ﺟﺎ س ﺟﺘﺎ س = ٥ﺟﺎ ٢س ∴ ص ٢ × ٥ = /ﺟﺘﺎ ٢س = ١٠ﺟﺘﺎ ٢س ٢ / إذا ﻛﺎن ص = ) ﺟﺎ س +ﺟﺘﺎ س ( ﻣﺜﺎل ٥٤ ﻓﺄوﺟﺪ ص ٢ ٢ ) اﻟﺤﻞ ( ص = ﺟﺎ س ٢ +ﺟﺎ س ﺟﺘﺎ س +ﺟﺘﺎ س = + ١ﺟﺎ ٢س ∴ ص ٢ = /ﺟﺘﺎ ٢س ﺗﺬﻛﺮ أن :ﺟﺎ ٢س +ﺟﺘﺎ ٢س = ، ١ﺟﺎ ٢س = ٢ﺟﺎ س ﺟﺘﺎ س. / إذا ﻛﺎن ص = ﻗﺘﺎ س ﻣﺜﺎل ٥٥ ﻓﺄوﺟﺪ ص × 0 /ﺠﺎ ﺱ -ﺠﺘﺎ ﺱ ×1 1 = ∴ ) اﻟﺤﻞ ( ص = ﻗﺘﺎ س = ص ﺟﺎ س ﺠﺎ 2ﺱ ﺠﺘﺎ ﺱ -ﺠﺘﺎ ﺱ1 × = = ﺠﺎ ﺱ ﺟﺎ س ﺠﺎ 2ﺱ ﻣﺜﺎل ٥٦
∴ ص - = /ﻇﺘﺎ س ﻗﺘﺎ س
إذا ﻛﺎن ص = ﺟﺎ ٢ ) ٢س – ( ٣
ص = ] ﺠﺎ ) 2ﺱ [(3 -
ﻓﺄوﺟﺪ ص
/
2
) اﻟﺤﻞ ( ص ٢ = /ﺟﺎ ) ٢س – × ( ٣ﺟﺘﺎ ) ٢س – ٢ × ( ٣ = ٢ × ٢ﺟﺎ ) ٢س – ( ٣ﺟﺘﺎ ) ٢س – ٢ = ( ٣ﺟﺎ ) ٤س – ( ٦ ﺟﺎ س / إذا ﻛﺎن ص = ﻣﺜﺎل ٥٧ ﻓﺄوﺟﺪ ص + 1ﺟﺘﺎ س ٢١٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺟﺘﺎ س ) + 1ﺟﺘﺎ س ( - ) -ﺟﺎ س ( ﺟﺎ س ) اﻟﺤﻞ ( ص = / 2 ) + 1ﺟﺘﺎ س ( + 1ﺠﺘﺎ ﺱ ﺟﺘﺎ س +ﺟﺘﺎ 2س +ﺟﺎ 2س 1 = = 2 = 2 + 1ﺟﺘﺎ س ) + 1ﺟﺘﺎ س ( ) + 1ﺠﺘﺎ ﺱ ( ﺟﺎ 2س إذا ﻛﺎن ص = ﻣﺜﺎل ٥٨ ﺟﺘﺎ 3س 2 /ﺟﺘﺎ 2س × ﺟﺘﺎ 3س 3 -) -ﺟﺎ 3س( × ﺟﺎ 2س ) اﻟﺤﻞ ( ص = ﺟﺘﺎ 3 2س ﻓﺄوﺟﺪ ص
=
/
2ﺠﺘﺎ 2ﺱ ﺠﺘﺎ 3ﺱ 3 +ﺠﺎ 3ﺱ ﺠﺎ 2ﺱ ﺠﺘﺎ 3 2ﺱ
ط ﻣﺜﺎل ٥٩أﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = س ﺟﺘﺎ ٢س ﻋﻨﺪ س = 2 ﯾﺼﻨﻊ ﻣﻊ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت زاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ . o135 ) اﻟﺤﻞ ( ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص × ١ = /ﺟﺘﺎ ٢س ٢ - ) +ﺟﺎ ٢س ( × س = ﺟﺘﺎ ٢س – ٢س ﺟﺎ ٢س ط ط ∴ ص = /ﺟﺘﺎ ط – × ×٢ﺟﺎ ط ﻋﻨﺪ س = 2 2 o ∴ ھـ = 135 ∴ ﻇﺎ ھـ = ١ - ∴ ص – ١- = /ط × ١ - = ٠ 5ط ( ﻣﺜﺎل ٦٠أوﺟﺪ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = ﺟﺎ س ٢ +ﺟﺘﺎ ) س - 6 ﻋﻨﺪ س = ط ٢١٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
5ط ) اﻟﺤﻞ ( ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس = ص = /ﺟﺘﺎ س - ] ٢ +ﺟﺎ ) س - 6 5ط = ﺟﺘﺎ س ٢ -ﺟﺎ ) س - ( 6 ﻋﻨﺪ س = ط 1 5ط ( = ٢ - = ×٢ – ١ - ∴ ص = /ﺟﺘﺎ ط ٢ -ﺟﺎ ) ط - 2 6 ﻣﺜﺎل ٦١أوﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ اﻟﺮﺑﻊ اﻷول ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ص = ﺟﺎ س +ﺟﺘﺎ س ﯾﻜﻮن اﻟﻤﻤﺎس ﻋﻨﺪھﺎ ﻣﻮازﯾﺎً ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت . ءص = ﺟﺘﺎ س – ﺟﺎ س = ) ٠ﻷن اﻟﻤﻤﺎس ﯾﻮازى ﻣﺤﻮر اﻟﺴﯿﻨﺎت ( ) اﻟﺤﻞ ( ءس oط ﺟﺎ س = ∴ ١ﻇﺎ س = ∴ ١س = = 45 ∴ ﺟﺎ س = ﺟﺘﺎ س ∴ 4 ﺟﺘﺎ س ([
∴ ص = ﺟﺎ + o45ﺟﺘﺎ = o45
1 2
+
ط ∴ اﻟﻨﻘﻄﺔ ھﻰ ) 4
1 2
=
2 2
= ٢
( ٢ ،
٢١٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
Ã
Ã
Ã
Ã
Ã
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
اﻟﻨﮭﺎﯾﺎت ﻣﻔﺎھﯿــــــﻢ وﺗﻌﺎرﯾــــــﻒ. إذا ﻛﺎن س ∋ ح = [ ] ∞ ، ∞ -ﻓﺈن : )ﻣﺜﺎل( ∞ > ٣ - > ∞ - > ∞ - .١س > ∞ )ﻣﺜﺎل( ∞ ∞ = ٨ ± ± ∞ .٢س = ∞ )ﻣﺜﺎل( ∞ - = ٥ ± ∞ - ± ∞ - .٣س = ∞ - إذا ﻛﺎﻧﺖ س ∋ ح +ﻓﺈن : )ﻣﺜﺎل( ∞ = ∞ × ٣ .١س × ∞ = ∞ )ﻣﺜﺎل( ∞ - = ∞ - × ٤ .٢س × ∞ - = ∞ - ∞ ∞ .٣ =∞ )ﻣﺜﺎل( =∞ س 7 ∞− ∞− =∞- )ﻣﺜﺎل( =∞- .٤ س 7 إذا ﻛﺎﻧﺖ س ∋ ح -ﻓﺈن : )ﻣﺜﺎل( ∞ - = ∞ × ٣ - .١س × ∞ = ∞ - )ﻣﺜﺎل( ∞ = ∞ - × ٤- .٢س × ∞ = ∞ - ∞ ∞ =∞- )ﻣﺜﺎل( =∞- .٣ س 7− ∞− ∞− =∞ )ﻣﺜﺎل( =∞ .٤ س 7− 3 )ﻣﺜﺎل( ٠، ، ٥- ، ٧ اﻟﻜﻤﯿﺔ اﻟﻤﻌﯿﻨﺔ :ھﻰ اﻟﻜﻤﯿﺔ اﻟﺘﻰ ﻟﮭﺎ ﻧﺎﺗﺞ ﻣﺤﺪد 4 ∞ 0 -∞، ، اﻟﻜﻤﯿﺔ ﻏﯿﺮ اﻟﻤﻌﯿﻨﺔ :ھﻰ اﻟﺘﻰ ﻟﯿﺲ ﻟﮭﺎ ﻗﯿﻤﺔ ﻣﺤﺪدة )ﻣﺜﺎل( ∞ 0 ∞
٢١٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت Ã
Ã
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
7− 5 س ، ﺣﯿﺚ س ∋ ح – } ) { ٠ﻣﺜﺎل( اﻟﻜﻤﯿﺔ ﻏﯿﺮ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ : 0 0 0 3 4− 5 س =٠ =،٠ =،٠ )ﻣﺜﺎل( = ٠ﺣﯿﺚ س ∋ ح ∞∞ ∞ ∞± ﻧﮭﺎﯾـــﺔ داﻟـــﺔ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄـــﺔ.
ﻣﺜﺎل ١ﻧﮭــــــــﺎ ) س ٥+٢س٧ = ٧-١٠+٤ = ( ٧- س←٢
ﻣﺜﺎل ٢ﻧﮭــــــــﺎ ٩ = ٩ س←٥
3− ﺱ + 3ﺱ5 − 1 + 1 5 - 2 = = ﻣﺜﺎل ٣ﻧﮭــــــــﺎ 5 4 +1 ﺱ4 + 2 س←١ 9−9 ﺱ9 − 2 = ﻣﺜﺎل ٤ﻧﮭــــــــﺎ س← ٣ﺱ 3+ 3 +3 8 س3+ = ﻣﺜﺎل ٥ﻧﮭــــــــﺎ س ← ٥س5- 0
=
ﺻﻔﺮ 6
= ﺻﻔﺮ
ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺮف " اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﯿﺲ ﻟﮭﺎ ﻧﮭﺎﯾﺔ "
0 8 - 8 6 −2 -4×2 2ﺱ - 2ﺱ 6 − = = ∴ د)= (٢ ﻣﺜﺎل ٦ﻧﮭــــــــﺎ 0 4-4 4 -4 ﺱ4 − 2 س←٢ ﻧﻀﻊ س = + ٢ﻫ
ﺣﯿﺚ س ← ٢
د) +٢ﻫ( = +٢)٢ﻫ( +٢) – ٢ﻫ( – ٦ ) +٢ﻫ(٤- ٢
ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻫ ← ٠
٤+٤)=٢ﻫ +ﻫ -٢ – (٢ﻫ – ٦ ٤+٤ﻫ +ﻫ٤- ٢
٢١٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
= ٨+٨ﻫ ٢+ﻫ -٢– ٢ﻫ – ٦ ٢ ٤ﻫ +ﻫ
٢
=ﻫ ٢+ﻫ ٧ ٢ ٤ﻫ +ﻫ
ﻫ )=٢+٧ﻫ( ﻫ ) +٤ﻫ(
٢=+٧ﻫ +٤ﻫ
7 0+ 7 2ﺱ - 2ﺱ 6 − ﻫ ٢ + ٧ = = ﻧﮭــــــــﺎ ∴ ﻧﮭــــــــﺎ = ﻫ ← +٤ ٠ﻫ 4 0+4 ﺱ4 − 2 س←٢ 0 8 - 8 6 −2 -4×2 2ﺱ - 2ﺱ 6 − ﻣﺜﺎل ٧ﻧﮭــــــــﺎ = = ∴ د)= (٢ 0 4-4 4 -4 ﺱ4 − 2 س←٢ ﻧﺤﻠﻞ اﻟﺒﺴﻂ واﻟﻤﻘﺎم )إذا أﻣﻜﻦ ذﻟﻚ( وﻧﺨﺘﺼﺮ اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼﻔﺮى )اﻟﻤﺴﺒﺐ ﻟﻠﺼﻔﺮ ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺒﺴﻂ واﻟﻤﻘﺎم( 7 2س 3 +4 3 + ) 2س ) (3 +س (2 - = ﻧﮭــــــــﺎ = = = ﻧﮭــــــــﺎ س ← ٢س 2+ 4 2+2 س ← ) ٢س ) (2 -س (2 + ﺱ 4 + 2ﺱ
ﻣﺜﺎل ٨ﻧﮭــــــــﺎ س ← 2 ٤-ﺱ 4 + 2ﺱ 16 -
0 16 - 16 = ∴ د)= (٤- 0 16 - 16 - 32
ﺱ )ﺱ (4 + س )س (4 + = ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ س ← ) 2 ٤-ﺱ 2 + 2ﺱ (8 -س ← ) 2 ٤-س ) ( 4 +س (2 − 1 4س = = = ﻧﮭــــــــﺎ س ← ) 2 ٤-س 3 6 - × 2 (2 -
٢١٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
) ﺱ 1- 2(2 -
ﻣﺜﺎل ٩ﻧﮭــــــــﺎ س ← 3 ٣ﺱ 4 − 2ﺱ 15 - ﺱ 4 - 2ﺱ 1 - 4 +
0 1- 1 ∴ د)= (٣ = 0 15 -12 - 27 ﺱ 4 - 2ﺱ 3 +
= ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ س ← 3 ٣ﺱ 4 − 2ﺱ 15 -س ← 3 ٣ﺱ 4 − 2ﺱ 15 - 1 2 1- 3 س 1- )س ) ( 1-س (3 - = = = = ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ س ← 3) ٣س ) (5 +س (3 −س ← 3 ٣س 7 14 5 + 9 5 + ﻣﺜﺎل ١٠
2
3) - 1ﺱ (1 + ﻧﮭــــــــﺎ 4ﺱ س←٠
0 1− 1 = ∴ د)= (٠ 0 0
9) - 1ﺱ 6 + 2ﺱ (1 + = ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ 4ﺱ س←٠ س←٠ 9 - 1ﺱ 6 - 2ﺱ 1 - 4ﺱ 3ﺱ ) 3ﺱ (2 + 9ﺱ 6 - 2ﺱ= ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ 4ﺱ 4ﺱ س←٠ س←٠ 3− 6− 3) 3س (2 += ﻧﮭــــــــﺎ = = 2 4 4 س←٠
٢٢٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
)0 2(9 - 9 ∴ د)= (٣- = 6 + 60
2
) ﺱ(9 - 2 ﻣﺜﺎل ١١ﻧﮭــــــــﺎ س ← 2 ٣-ﺱ 6 +
2
= ﻧﮭــــــــﺎ ]) ﺱ ) (3 +ﺱ [(3 - س ← ٣-
) 2ﺱ (3 +
2
) ﺱ ) 2(3 +ﺱ (3 - = ﻧﮭــــــــﺎ ) 2ﺱ (3 + س ← ٣-
) ﺱ ) (3 +ﺱ 36 ×0 2(3 - = ﻧﮭــــــــﺎ =٠ = 2 2 س ← ٣- 0 12 + 16 - 4 - 8 ﺱ - 3ﺱ 8 - 2ﺱ 12 + ∴ د)= (٢ ﻣﺜﺎل ١٢ﻧﮭــــــــﺎ = 0 6 + 10 − 4 ﺱ 5 - 2ﺱ 6 + س←٢ إذا ﻛﺎن اﻟﺘﺤﻠﯿﻞ ﺻﻌﺒﺎً ﻧﻘﺴﻢ ﻛﻼً ﻣﻦ اﻟﺒﺴﻂ واﻟﻤﻘﺎم ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼﻔﺮى. ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً ﻋﻠﻰ ) س(٢ - س–٢ س – ٣س ٨ – ٢س ١٢ + س + ٢س – ٦
٢
س٢– ٣س
… +س ٨ – ٢س +س ٢ – ٢س …
٦س ١٢ + ٦س ١٢ +٢٢١
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
…
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
...
ﺱ + 2ﺱ 6 - ) س ) (2 -س + 2س (6 - = ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ ) س ) (2 -س (3 - س ← ٢ﺱ 3 - س←٢ 0 6 -2 + 4 = = 1− 3 -2 2 2 ﺱ - 4ﺱ + 3ﺱ 1 - 1 - 1 + 1 - 1 ∴ د)= (١ = ﻣﺜﺎل ١٣ﻧﮭــــــــﺎ 3 2 - 1 + 1 س ← ١ﺱ +ﺱ 2 - 0 0 =٠
ﻧﻘﺴﻢ ﻛﻼً ﻣﻦ اﻟﺒﺴﻂ واﻟﻤﻘﺎم ﻋﻠﻰ ) س(١- س – ٤س + ٣س – ١س – ١ ٣ س١ + ٣ س – ٤س .. .. س–١ س–١ .. .. س + ...... ٣س – ٢س – ١ ٢ س + ٢س ٢ + س – ٣س س + ٢س س – ٢س ٢س–٢ ٢٢٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
٢س–٢ .. .. 2 ) ﺱ ) (1-ﺱ (1 + 3 ﺱ 1 + 3 ∴ ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ 2 2 س ← ) ١ﺱ ) ( 1-ﺱ +ﺱ (2 + س ← ١ﺱ +ﺱ 2 + 2
2
2
1 4 2 1+ 1 = = = = 4 2 + 1 + 1 4 16 12 1 ﻣﺜﺎل ١٤ﻧﮭــــــــﺎ 3 2 ﺱ ﺱ 8- س← ٢ 12 1 = ﻧﮭــــــــﺎ س ← ٢ﺱ ) 2 -ﺱ ) (2 -ﺱ 2 + 2ﺱ (4 + ) ﺱ 2 + 2ﺱ 12 - (4 + ﺱ 2 + 2ﺱ 8 − = ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ 2 ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ (4 + ﺱ 2 + ﺱ ) (2 ﺱ ) س←٢ س←٢ ) ﺱ ) (2 -ﺱ (4 +
= ﻧﮭــــــــﺎ س ← ) ٢ﺱ ) ( 2 -ﺱ 2 + 2ﺱ (4 +
= ﻧﮭــــــــﺎ
ﺱ 4+
س ← ٢ﺱ 2 + 2ﺱ 4 +
1 6 4+2 = = = 2 12 4 + 4 + 4 ٢٢٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
د) س +و( -د) س( ﻣﺜﺎل ١٥إذا ﻛﺎن د)س( = ٣س ٥+ﻓﺄوﺟﺪ ﻧﮭــــــــﺎ و و← ٠ )3س +و( 3) - 5 +س (5 + = ﻧﮭــــــــﺎ و و← ٠ 3و 3س 3 +و 3 -5 +س 5 − = ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ و← ٠ و← ٠و و
= ﻧﮭــــــــﺎ ٣ = ٣ و← ٠
ﺱ + 3) + 2ﺏ( ﺱ 3 +ﺏ = ١٠ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﻣﺜﺎل ١٦إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻧﮭــــــــﺎ ﺱ3+ س← ٣- ب ) س ) (3 +س +ب( = ١٠ ﻧﮭــــــــﺎ ) س (3 + س← ٣- ∴ ﻧﮭــــــــﺎ )س +ب( = + ٣- ∴ ١٠ب = ١٠ س← ٣-
3ﺱ75 - 2 ﻣﺜﺎل ١٧ﻧﮭــــــــﺎ ﺱ 5- س← ٥
∴ ب = ١٣
0 75 - 75 = ∴ د)= (٥ 0 5 -5
) 3ﺱ(25 - 2 ) س ) (5 -س (5 + = ٣ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ ﺱ 5- ) س (5 - س← ٥ س← ٥ = ٣ﻧﮭــــــــﺎ ) س ٣٠ = ١٠ × ٣ = (٥ + س← ٥
٢٢٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت 2
ﺱ 27 - 5ﺱ
0 ∴ د)= (٣ 0
ﻣﺜﺎل ١٨ﻧﮭــــــــﺎ س← 4 ٣ﺱ 36 - 3ﺱ ﺱ ) 2ﺱ(27 - 3
= ﻧﮭــــــــﺎ س← 4 ٣ﺱ ) ﺱ(9 - 2
) ﺱ ) (3 -ﺱ 3 + 2ﺱ (9 + س × ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ ) ﺱ ) (3 -ﺱ (3 + 4 س← ٣ س← ٣ 27 27 ﺱ 3 + 2ﺱ 3 9 + 9 + 9 3 9 + 3 = = × = × = × ﻧﮭــــــــﺎ ﺱ 3+ 8 6 4 3 +3 4 4 س← ٣ ﺱ64 - 6 ﻣﺜﺎل ١٩ﻧﮭــــــــﺎ س← ٢ﺱ 2 -
0 ∴ د)= (٢ 0 ﻥ
ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻟﻨﻈﺮﯾﺔ : 6
ﻥ
ﺱ -ﺃ ﻧﮭــــــــﺎ س← أ ﺱ -ﺃ
ﻥ 1-
=ن× ﺃ
.
ﺱ2 - 6 = ١٩٢ = ٣٢ × ٦ = 2 × ٦ = ﻧﮭــــــــﺎ س← ٢ﺱ 2 - 5
3ﺱ75 - 2 ﻣﺜﺎل ٢٠ﻧﮭــــــــﺎ ﺱ 5- س← ٥
0 75 - 75 = ∴ د)= (٥ 0 5 -5 ٢٢٥
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
) 3ﺱ(25 - 2 ﺱ5 - 2 = ﻧﮭــــــــﺎ = ٣٠ = ٥× ٢ × ٣ = ٣ﻧﮭــــــــﺎ س← ٥ﺱ 5 - ﺱ 5- س← ٥ 2
32ﺱ - 2ﺱ
ﻣﺜﺎل ٢١ﻧﮭــــــــﺎ س← 4 ٢ﺱ - 3ﺱ
7
0 ∴د)= (٢ 0
5 ﻥ
ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻟﻨﺘﯿﺠﺔ :
ﻥ
ن ﺱ -ﺃ ﻡ ﻡ = ﻧﮭــــــــﺎ م س← أ ﺱ -ﺃ
ﻥ -ﻡ
× ﺃ
.
ﺱ - 32) 2ﺱ( 5 1 × ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ = 2ﻧﮭــــــــﺎ 2 س← ٢س س← ٢ﺱ2 - 2 س← ٢ﺱ - 4) 3ﺱ ( 5 1 = × × ١٠ = 32 2 2 2 0 ﺱ 27 - 5ﺱ ∴ د)= (٣ ﻣﺜﺎل ٢٢ﻧﮭــــــــﺎ 0 س← 4 ٣ﺱ 36 - 3ﺱ 5
ﺱ2 - 5
ﺱ ) 2ﺱ(27 - 3 س × ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ 2 س← 4 ٣ﺱ ) ﺱ(9 - 2 س← 4 ٣س← ٣ﺱ3 - 2 ﺱ3 - 3
3
27 3 3 = × ×=٣ 8 2 4
٢٢٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺱ81 - 4
0 ∴ د)= (٣- 0
ﻣﺜﺎل ٢٣ﻧﮭــــــــﺎ س← ٣-ﺱ243 + 5
4 ﺱ(3-) - 4 4− 1 4 1− 4 = × = (3− ) × = 5 = ﻧﮭــــــــﺎ 15 3− 5 5 س← ٣-ﺱ(3-) - 5
16ﺱ1 − 4 ﻣﺜﺎل ٢٤ﻧﮭــــــــــــــــﺎ س← 2 ٠٫٥ -ﺱ 1 + 4
0 ∴ د)= (٠٫٥- 0
) 2ﺱ((1- ) - 4 = ٤- = (١- ) × ٤ = ﻧﮭــــــــﺎ ٢س← 2 ١-ﺱ (1- ) - 1 ﻣﺜﺎل ٢٥ﻧﮭــــــــﺎ 2 س← 4
٣
ﺱ128 − 4
0 ∴ د)= (٤ 0
ﺱ 4- ﺑﺎﻟﻀﺮب × ٢ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً
ﺱ1 44 - 4 ﺱ1 256 − 4 = × ١٢٨ = 4 × ٤ = ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ س← ) 2 4ﺱ (4 - 2س← 4ﺱ 4 - 2 3
ﻣﺜﺎل ٢٦ﻧﮭــــــــﺎ س← ٢
ﺱ + 5ﺱ40- 3 ﺱ4 - 2
0 ∴ د)= (٢ 0
٢٢٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺱ 32 - 5ﺱ 8 - 3 = ﻧﮭــــــــﺎ ﺱ + 4 - 2ﺱ 4 - 2 ٢ ← س 3 3 5 = ×+ 2 2 2
ﺱ 52 - 5ﺱ 32 - 3 = ﻧﮭــــــــﺎ ﺱ + 22 - 2ﺱ 22 - 2 ٢ ← س
× ٢٣ = ٣ + ٢٠ = 2
س ٥س 1− ﻣﺜﺎل ٢٧ﻧﮭــــــــﺎ س 1- س← 1
0 ∴ د)= (١ 0
6 6 1 1 ﺱ51- 5 6 5 6 ﺱ × ﺱ1 − 5 = ﻧﮭــــــــﺎ = ×= 1 = ﻧﮭــــــــﺎ 5 س← 1ﺱ 1- ﺱ 1- 5 س← 1
ﻣﺜﺎل ٢٨ﻧﮭــــــــﺎ
) ٣ﺱ
ﺱ
) (1-
(1-
2
) ﺱ (1-
س← 1
0 ∴ د)= (١ 0
1 1 1 1 1− 2ﺱ21 - 2 ﺱ 31 - 3 1 1 1 = × = 2 1× × 3 1 = ﻧﮭــــــــﺎ × 2 3 ﺱ 1- س← 1ﺱ 1 - 6
ﺱ- 4 ﻣﺜﺎل ٢٩ﻧﮭــــــــﺎ
3
س← ١-ﺱ −
1 4
ﺱ 1 ﺱ
0 ∴ د)= (١- 0
3
ﺑﺎﻟﻀﺮب ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً × س ٤ﺣﯿﺚ س ≠ ٠ ٢٢٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺱ1 − 8
ﺱ1 − 8
= ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ س← ١-ﺱ - 7ﺱ س← ١-ﺱ ) ﺱ(1- 6 8 ﺱ(1-) - 8 4− 2 8 1 = ﻧﮭــــــــﺎ = (1-) × × ١- = 6 ﻧﮭــــــــﺎ × 6 3 س← ١-س س← ١-ﺱ(1-) - 6
ﺱ 5ﻥ +ﺱ ﻥ 2 - = ١٢ ﻣﺜﺎل ٣٠إذا ﻛﺎن ﻧﮭــــــــﺎ ﺱ 1- س← ١ ﺱ 5ﻥ 51 −ﻥ ﺱ ﻥ 1 −ﻥ ﻧﮭــــــــﺎ ٥ = ن × 1 + س← ١ 1 − ﺱ 1 − ﺱ
5ﻥ 1-
= ٥ن +ن = ٦ن = ١٢
= ﻧﮭـــــــــــﺎ ﺣﻞ آﺧﺮ :
+ن×1
ﻥ1-
∴ن=٢
+ 1 ٣و 1- ﻣﺜﺎل ٣١ﻧﮭــــــــﺎ و و← ٠
+١و← ١
ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ن
0 ∴ د)= (٠ 0
1 1 2− ) + 1ﻭ(31 − 3 1 1 = ×= 3 1
) + 1ﻭ( 1-
ﻧﻀﻊ +١و = ص ﻋﻨﺪﻣﺎ و ← ٠
3
3
∴و=ص–١ ∴ص←١ ٢٢٩
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت 1 1 2− ﺹ31 − 3 1 1 = ﻧﮭــــــــﺎ = ×= 3 1 3 ص← ١ﺹ 1- 3
) ﺱ 81 − 4(2 + ﻣﺜﺎل ٣٢ﻧﮭــــــــﺎ ﺱ 1- س← ١ = ﻧﮭـــــــــــﺎ س٣ ←٢+
ﺣﻞ آﺧﺮ :
4
0 ∴ د)= (١ 0
) ﺱ 3 − 4(2 + = ١٠٨ = ٢٧ × ٤ = 3 × ٤ )ﺱ 3 - (2 + 3
∴ س = ص ٢- ∴ص←٣
ﻧﻀﻊ س = ٢+ص ﻋﻨﺪﻣﺎ س ← ١ 4
ﺹ3 - 4 ﺹ81 − 4 = ﻧﮭــــــــﺎ = = ٢٧ × ٤ = 3 × ٤ = ﻧﮭــــــــﺎ ص← ٣ﺹ 1- 2 -ص← ٣ﺹ 3 - ١٠٨ 3
) ﺱ 1 + 7(3 + ﻣﺜﺎل ٣٣ﻧﮭــــــــﺎ ﺱ 4+ س← ٤- = ﻧﮭـــــــــــﺎ س١- ←٣+
ﺣﻞ آﺧﺮ :
0 ∴ د)= (٤- 0
7
) ﺱ (1−) - 7( 3 + = ٧ = ١ × ٧ = (1− ) × ٧ ) ﺱ (1-) - (3 + 6
∴ س = ص ٣- ∴ ص ← ١-
ﻧﻀﻊ س = ٣+ص ﻋﻨﺪﻣﺎ س ← ٤- ٢٣٠
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
7
ﺹ(1-) - 7 ﺹ1 + 7 = ﻧﮭــــــــﺎ = = ١ × ٧= (1− ) × ٧ = ﻧﮭــــــــﺎ ص← ١-ﺹ 4 + 3 -ص← ١-ﺹ (1-) - ٧ 6
)ﺱ 1 − 3(2 - ﻣﺜﺎل ٣٤ﻧﮭـــــــﺎ س← ٣ﺱ )ﺱ (3 -
0 ∴ د)= (٣ 0
3 )ﺱ 1 - 3(2 - 1 1 = ﻧﮭــــــــﺎ = ×١= 1×٣ × ﻧﮭـــــــــــﺎ س← ٣س س) ١ ←٢-ﺱ 1 - (2 - 3 2
ﻣﺜﺎل ٣٥ﻧﮭــــــــﺎ س← 2
)ﺱ 243 - 5(1 +
0 ∴ د)= (٢ 0
ﺱ16 - 4
)ﺱ 243 - 5(1 + = ﻧﮭــــــــﺎ × ﺱ 2- ﺱ16 - 4 س← 2 ﺱ 2-
= ﻧﮭـــــــــــﺎ س3 ←١+
5
)ﺱ 3 − 5(1 + × ﻧﮭــــــــﺎ 4 )ﺱ 3 - (1 + س← 2ﺱ2 - 4
1
ﺱ2 − 1
405 1 1 1 = = × × ٨١ × ٥ = 3− 2 × × 43 × ٥ 32 8 4 4 ) + 2ﻭ(32 - 5 ﻣﺜﺎل ٣٦ﻧﮭــــــــﺎ ﻭ و← ٠
0 ∴ د)= (٠ 0 ٢٣١
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
= ﻧﮭـــــــــــﺎ +٢و ← ٢
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
5
) + 2ﻭ(2 − 5 = ٨٠ = ١٦ × ٥ = 2 × ٥ ) + 2ﻭ( 2 - 4
) + 2ﻭ(32 - 5 ﻣﺜﺎل ٣٧ﻧﮭــــــــﺎ و← ٠ 7ﻭ
0 ∴ د)= (٠ 0
) + 2ﻭ(32 - 5 ) + 2ﻭ(32 - 5 1 1 = × ﻧﮭــــــــﺎ = × ﻧﮭــــــــﺎ 1 ﻭ 7 7 و← ٠ و← ٠ × 7ﻭ 7 5 ) + 2ﻭ(2 − 5 80 4 1 1 = × ﻧﮭـــــــــــﺎ = ×= 2×٥ +٢ 7و ← + 2) ٢ﻭ( 2 - 7 7
) 3 + 2ﻭ(32 - 5 ﻣﺜﺎل ٣٨ﻧﮭــــــــﺎ ﻭ و← ٠
0 ∴ د)= (٠ 0 5
) 3 + 2ﻭ(2 - 5 ) 3 + 2ﻭ(32 - 5 = × ٣ﻧﮭــــــــﺎ = × ٣ﻧﮭـــــــــــﺎ ٣+٢و← 3 + 2) ٢ﻭ( 2 - ×3ﻭ و← ٠ = ٢٤٠ = ١٦ × ٥ × ٣ = 42 × ٥ × ٣ ) 3 + 2ﻭ(32 - 5 ﻣﺜﺎل ٣٩ﻧﮭــــــــﺎ 7ﻭ و← ٠
0 ∴ د)= (٠ 0
٢٣٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
) 3 + 2ﻭ(32 - 5 ) 3 + 2ﻭ(32 - 5 3 3 = × ﻧﮭــــــــﺎ = × ﻧﮭــــــــﺎ 3 3ﻭ 7 7 و← ٠ و← ٠ × 7ﻭ 7 5 ) 3 + 2ﻭ(2 − 5 240 4 3 3 = ×= 2×٥ = × ﻧﮭـــــــــــﺎ ٣+٢ 7و ← 3 + 2) ٢ﻭ( 2 - 7 7
ﻣﺜﺎل ٤٠ﻧﮭــــــــﺎ س← ١
س 2- 3 + س 1-
0 ∴ د)= (١ 0
ﺑﺎﻟﻀﺮب ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً × ﻣﺮاﻓﻖ اﻟﺒﺴﻂ. = ﻧﮭــــــــﺎ س← ١
س 2- 3 + س 1-
×
)س 4 - (3 + س2+ 3 + = ﻧﮭــــــــﺎ اﻟﻤﻘﺎم س 2 + 3 +س← ١
) س (1- = ﻧﮭــــــــﺎ س← ) ١س ) (1-س (2 + 3 +
= ﻧﮭــــــــﺎ س← ١
1 1 = س4 2+ 3 +
ﺱ1 + 3
ﻣﺜﺎل ٤١ﻧﮭـــــــــــﺎ س← - 4 ١-ﺱ + 2ﺱ 16 +
0 ∴ د)= (١- 0
ﺑﺎﻟﻀﺮب ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً × ﻣﺮاﻓﻖ اﻟﻤﻘﺎم. ﺱ1 + 3
= ﻧﮭــــــــﺎ س← - 4 ١-ﺱ + 2ﺱ 16 +
×
+ 4ﺱ +2ﺱ 16 + + 4ﺱ +2ﺱ 16 +
٢٣٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﺍﻟﺒﺴﻁ
= ﻧﮭـــــــــــﺎ س← ) - 16 ١-ﺱ + 2ﺱ (16 +
= ﻧﮭـــــــــــﺎ س← ١-
ﺍﻟﺒﺴﻁ 2
-ﺱ −ﺱ
) ﺱ ) (1 +ﺱ - 2ﺱ + 4) (1 +ﺱ + 2ﺱ ( 16 + = ﻧﮭــــــــﺎ س← ١- ﺱ ) ﺱ (1 +) ﺱ - 2ﺱ + 4) (1 +ﺱ + 2ﺱ ( 16 + = ﻧﮭــــــــﺎ ﺱس← ١- 8×3 )( 16 + 1- 1 + 4 ) (1 + 1 + 1 = = 1 1 ﻣﺜﺎل ٤٢ﻧﮭــــــــﺎ س← ٣
= ٢٤
س 2 - 1+ -7س 2-
0 ∴ د)= (٣ 0
ﺑﺎﻟﻀﺮب ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً × ﻣﺮاﻓﻖ اﻟﺒﺴﻂ × ﻣﺮاﻓﻖ اﻟﻤﻘﺎم. ) س ) (2 - 1 +س - 7 ) (2 + 1 +س (2 + = ﻧﮭــــــــﺎ س← - 7 ) ٣س ) (2 -س - 7 ) (2 + 1 +س (2 + ) س - 7 ) (4 -1 +س (2 + = ﻧﮭــــــــﺎ س← - 7) ٣س ) (4 -س (2 + 1 + ) س - 7 ) (3 -س (2 + ) س - 7 ) (3 -س (2 + = ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ س← - 3) ٣س( ) س (2 + 1 +س← ) - ٣س ) (3 -س (2 + 1 + ٢٣٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
= -ﻧﮭــــــــﺎ س← ٣
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
2 +2 -7س 2+ =- س 2 + 1+ 2 +2
= ١-
ﻧﮭﺎﯾـــﺔ داﻟـــﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﻼﻧﮭﺎﯾـــﺔ. ﺃ ﻥ = ﺻﻔﺮ ﻧﮭــــــــﺎ س← ∞ ﺱ
ﺣﯿﺚ أ ∋ ح ،ن ∋ ح
.+
ﻹﯾﺠﺎد ﻧﮭﺎﯾﺔ داﻟﺔ ﻛﺴﺮﯾﺔ ﺟﺒﺮﯾﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﻼﻧﮭﺎﯾﺔ ﻧﻘﺴﻢ ﻛﻼً ﻣﻦ اﻟﺒﺴﻂ واﻟﻤﻘﺎم ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ س ﻣﺮﻓﻮﻋﺎً ﻷﻛﺒﺮ ﻗﻮة ﻟﮫ ﻓﻰ اﻟﻤﻘﺎم 5 -3 2 3ﺱ 5 - 2ﺱ 7 + ﺱ ﺱ = ﻧﮭــــــــﺎ ﻣﺜﺎل ٤٣ﻧﮭــــــــﺎ 2 3 2 3 ﺱ 2 + ﺱ 4 ∞ ← س س← ∞ +4ﺱ 2 - ﺱ +
وذﻟﻚ ﺑﻘﺴﻤﺔ ﻛﻼً ﻣﻦ اﻟﺒﺴﻂ واﻟﻤﻘﺎم ﻋﻠﻰ س
7
٢
3 0 +0 − 3 = = 4 0 −0 + 4 ﻣﺜﺎل ٤٤ﻧﮭــــــــﺎ س← ∞
) 2ﺱ ) ( 3 -ﺱ (1 + ﺱ 5 − 3ﺱ 2 +
= ﻧﮭــــــــﺎ
2ﺱ - 2ﺱ 3 -
س← ∞ ﺱ 5 - 3ﺱ 2 +
٢٣٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
3
= ﻧﮭــــــــﺎ س← ∞
س
٣
1 2 − 3 ﺱ ﺱ 2ﺱ 2 5 + −1 3 ﺱ 2ﺱ
0 0 −0 −0 = = 1 0 + 0 −1
وذﻟﻚ ﺑﻘﺴﻤﺔ ﻛﻼً ﻣﻦ اﻟﺒﺴﻂ واﻟﻤﻘﺎم ﻋﻠﻰ
=٠
ﺱ 5 - 2ﺱ2 + 3 = ﻧﮭــــــــﺎ ﻣﺜﺎل ٤٥ﻧﮭــــــــﺎ (1 ﺱ )2 ﺱ س← ∞ س← ∞ 5 -1ﺱ + = ﻧﮭــــــــﺎ س← ∞
1 −2 ﺱ
∞ - 0 + ∞ −1 = = 2 0− 2
ﺱ 5 - 2ﺱ2 + 3 2ﺱ - 2ﺱ
2 2
ﺱ
=∞ -
وذﻟﻚ ﺑﻘﺴﻤﺔ ﻛﻼً ﻣﻦ اﻟﺒﺴﻂ واﻟﻤﻘﺎم ﻋﻠﻰ س
٢
∴ اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﯿﺲ ﻟﮭﺎ ﻧﮭﺎﯾﺔ
2 ﻣﺜﺎل ٤٦ﻧﮭــــــــﺎ 2 ﺱ 2) -ﺱ (3 - س← ∞ ﺱ 1 +
2ﺱ 2 ) - 2ﺱ ) (3 -ﺱ (1 + = ﻧﮭــــــــﺎ س← ∞ ﺱ 1+ ٢٣٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
2ﺱ 2 ) - 2ﺱ - 2ﺱ (3 - = ﻧﮭــــــــﺎ ﺱ 1+ س← ∞ 2ﺱ 2 - 2ﺱ + 2ﺱ 3 + س3+ = ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ س← ∞ س 1 + ﺱ 1+ س← ∞ 3 +1 0+1 س =١ = = ﻧﮭــــــــﺎ 1 0+1 س← ∞ + 1 س ﻣﺜﺎل ٤٧ﻧﮭــــــــﺎ س← ∞
= ﻧﮭــــــــﺎ س← ∞
4ﺱ 3- 9ﺱ1 + 2
3 ﺱ )− 4 ﺱ ﺱ
+9
وذﻟﻚ ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً ﻋﻠﻰ س
= ﻧﮭــــــــﺎ س← ∞
( 1 2
= ﻧﮭــــــــﺎ س← ∞
ﺱ
4ﺱ 3- 1 ﺱ( 2 + 9) 2 ﺱ 3 −4 ﺱ 1 2 +9 ﺱ
=
0−4 0+ 9
4 = 3
٢٣٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
1 ٥ﺱ( 3 − 1) 5 ٥ 2 ﺱ - 5ﺱ ﺱ ﻣﺜﺎل ٤٨ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ 7 1 س← ∞ ٧ 7 1 + ﺱ ∞ ← س ٧ ﺱ )( 7 + 1 ﺱ ﺱ ٥
−1
= ﻧﮭــــــــﺎ
س← ∞ ﺱ + 1 ٧
1 ﺱ 1 ﺱ
3
7
1
−1 ٥ 3 ﺱ = ﻧﮭـــــــــــﺎ 1 س← ∞ + 1 ٧ 7 ﺱ
٥
0- 1 = 0+1 ٧
=
١ 1 2 ﻣﺜﺎل ٤٩ﻧﮭــــــــﺎ ) ) × (3 + ﺱ س← ∞ ﺱ = ﻧﮭــــــــﺎ س← ∞
= ﻧﮭــــــــﺎ س← ∞
1 2 ) × (3 + ﺱ ﺱ ﺱ 2 ) × (3 + ﺱ ﺱ
ﺱ + 2ﺱ ( 1 +
1 1 (2 + ﺱ+ 1) 2 ﺱ ﺱ 1 1 = ٠+٠+١ × (٣+٠) = 2 + +1 ﺱ ﺱ
٣ ﻣﺜﺎل ٥٠ﻧﮭــــــــﺎ ) س← ∞
= ﻧﮭــــــــﺎ س← ∞
س- ١+ ٢
س( ١– ٢
) ﺱ - 1 + 2ﺱ ) ( 1 - 2ﺱ + 1 + 2ﺱ( 1- 2 ) ﺱ + 1 + 2ﺱ( 1- 2
٢٣٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
= ﻧﮭــــــــﺎ س← ∞
)ﺱ) - (1 + 2ﺱ(1- 2 1 1 ﺱ( 2 − 1) 2 ﺱ+ ( 2 + 1) 2 ﺱ ﺱ
= ﻧﮭــــــــﺎ س← ∞
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﺱ
2
1
−1
+ 2 +1ﺱ ﺱ
1 2
ﺱ
ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً ﻋﻠﻰ س
= ﻧﮭــــــــﺎ س← ∞
1
2 ﺱ −1
+ 2 +1 ﺱ ٣
ﻣﺜﺎل : ٥١إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻧﮭــــــــﺎ س← ∞
1 2
0 = 1+1
=٠
ﺱ
ﺏ ﺱ 3 + 3ﺱ1- 2 4ﺱ7 + 2
= ١ -ﻓﻤﺎ ﻗﯿﻤﺔ ب ؟
1 3 (3 − ٣ﺱ ) 3ﺏ + ﺱ ﺱ = ﻧﮭــــــــﺎ 7 2 س← ∞ ﺱ )( 2 + 4 ﺱ
٢٣٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
= ﻧﮭــــــــﺎ س← ∞
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
3 ﺱ ٣ﺏ+ ﺱ +4
ﺱ
٣ب ٣ب 0- 0 + = = 2 0+4 ٨-
− 7
1 ﺱ
3
2
ﺱ
∴ ٣ب = ٢ -
=١-
∴ب=
ﻧﮭﺎﯾـــﺔ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﯿـــﺔ. ﺟﺎ س ﻧﮭــــــــﺎ س ← ٠س
= ١
،
أ ﺟﺎ أ س = ﻧﮭــــــــﺎ ب بس س←٠
.
ﻇﺎ س ﻧﮭــــــــﺎ س ← ٠س
= ١
،
أ ﻇﺎ أ س = ﻧﮭــــــــﺎ ب بس س←٠
.
ﻣﻼﺣﻈﺔ .ﻧﮭــــــــﺎ ﺟﺘﺎ س = ١ س←٠
ﻣﺜﺎل ٥٢ﻧﮭــــــــﺎ س←٠
ﻣﺜﺎل ٥٣ﻧﮭــــــــﺎ س←٠
،
ﻧﮭــــــــﺎ ﺟﺘﺎ أ س = ١ س←٠
ﺟﺎ 5س س 1 ﻇﺎ س = 3س 3
=٥
٢٤٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﺜﺎل ٥٤
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
3س 3 3س = ﻧﮭــــــــﺎ س = ﻧﮭــــــــﺎ س ← ٠ﺟﺎ 7س س ← ٠ﺟﺎ 7س 7 س وذﻟﻚ ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎ ﻋﻠﻰ س
ﻇﺎ 8س ﻇﺎ 8س 8 ﻣﺜﺎل ٥٥ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ س = س ← ٠ﺟﺎ 5س س ← ٠ﺟﺎ 5س 5 س 2س ﺟﺎ 7س + س ﻣﺜﺎل ٥٦ﻧﮭــــــــﺎ 2س +ﺟﺎ 7س = ﻧﮭــــــــﺎ س س ← 4 ٠س +ﻇﺎ 5س س ← 4 ٠س ﻇﺎ 5س + س س 9 7 +2 = =١ = 9 5 +4 5ﺱ 7 2ﺱ − 5ﺱ 7 - 2ﺱ ﺱ ﺱ = ﻧﮭــــــــﺎ ﻣﺜﺎل ٥٧ﻧﮭــــــــﺎ 3ﺠﺎ ﺱ ﺱ ﺠﺎ 3 س←٠ س←٠ ﺱ
٢٤١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
7 5س 7 −0 7 − = ﻧﮭــــــــﺎ = = س ← 3 ٠ﺟﺎ س 3 1× 3 س ﺟﺎ س 4ﻇﺎ س − س ﻣﺜﺎل ٥٨ﻧﮭــــــــﺎ ﺟﺎ س 4 -ﻇﺎ س = ﻧﮭــــــــﺎ س س ← 5 ٠س ﺟﺘﺎ 3س س ← 5 ٠س × ﺟﺘﺎ 3س س 3 − 1× 4 - 1 = = 5 1× 5 5ﺱ
2
2
2
5ﺱ ﺱ ﻧﮭــــــــﺎ = ﻣﺜﺎل ٥٩ﻧﮭــــــــﺎ س ← ٠ﺠﺎ 4 2ﺱ س ← ٠ﺠﺎ 4 2ﺱ 2
ﺱ
وذﻟﻚ ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﺑﺴﻄﺎً وﻣﻘﺎﻣﺎً ﻋﻠﻰ س
٢
5 5 5 = 2 = ﻧﮭــــــــﺎ = 2 16 )(4 ﺱ 4 ﺠﺎ س← ٠ ﺱ
٢٤٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
2
ﺠﺎ 2ﺱ
3ﺱ + 2 3ﺱ + 2ﺠﺎ 2ﺱ ﺱ ﺱ ﻣﺜﺎل ٦٠ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ س ← 2 ٠ﺱ - 2ﻅﺎ 2ﺱ س ← 2 ٠ﺱ 2ﻅﺎ 2ﺱ − 2 2 ﺱ ﺱ 2
2
ﺠﺎ ﺱ +3 1+ 3 1) + 3 ﺱ =٤ = 2 = = ﻧﮭــــــــﺎ 1−2 ﻅﺎ ﺱ (1) − 2 2 س←٠ −2 ﺱ (2
ﺟﺎ 3س ﺟﺘﺎ س ﺣﺎ 3س = ﻧﮭــــــــﺎ ﺟﺘﺎ س × ﻧﮭــــــــﺎ ﻣﺜﺎل ٦١ﻧﮭــــــــﺎ س←5 ٠س س 5 س←٠ س←٠ 3 3 == ×١ 5 5 2
ﺱ ﻣﺜﺎل ٦٢ﻧﮭــــــــﺎ س ٢ﻇﺘﺎ ٧س ﻗﺘﺎ ٥س = ﻧﮭــــــــﺎ س ← ٠ﻅﺎ 7ﺱ × ﺠﺎ 5ﺱ س←٠ ﺱ
2
2 1 1 ﺱ = = = ﻧﮭــــــــﺎ س ← ٠ﻅﺎ 7ﺱ ﺤﺎ 5ﺱ 35 5×7 × ﺱ ﺱ
٢٤٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﺜﺎل ٦٣ﻧﮭــــــــﺎ س) ﻇﺘﺎ ٥س – ﻗﺘﺎ ٤س( س←٠ 1 1 − = ﻧﮭـــــــﺎ س س 4 ﺟﺎ س 5 ﻇﺎ س←٠ س س − = ﻧﮭــــــــﺎ س 4 ﺟﺎ س 5 ﻇﺎ س← ٠
س س س س = ﻧﮭــــــــﺎ − س ← ٠ﻇﺎ 5س ﺟﺎ 4س س س
1− 5 −4 1 1 = = − = 20 20 4 5 5 ﺟﺎ 4س 5 ﻣﺜﺎل ٦٤ﻧﮭــــــــﺎ ) 2 +ﺟﺎ 4س (2 +ﺟﺎ 4س = ﻧﮭــــــــﺎ س←3 ٠س س←3 ٠س 20 4 ==٠×٢+ ×٥ 3 3 ﻣﺜﺎل ٦٥ﻧﮭــــــــﺎ س +١ )٢ﻅﺘﺎ 2ﺱ ( = ﻧﮭــــــــﺎ س × ٢ﻗﺘﺎ 2ﺱ س←٠
س←٠
2
ﺱ
2 2 ﺱ 1 1 ﺱ ١= = 2 = ﻧﮭــــــــﺎ = ﻧﮭــــــــﺎ 2 = ﻧﮭــــــــﺎ 2 1 ﺱ ﺠﺎ ﺱ س ← ٠ﺠﺎ ٠ ← س ٠ ← س ﺠﺎ ﺱ 2 ﺱ ﺱ
٢٤٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻛﺘﺎب اﻟﻮاﻓﻲ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
ﻣﺜﺎل ٦٦ﻧﮭــــــــﺎ
إﻋﺪاد اﻷﺳﺘﺎذ /اﺣﻤﺪ ﺣﻤﺎد ﺷﻌﺒﺎن
- 1ﺠﺘﺎ 2ﺱ 7ﺱ
س←٠
= ﻧﮭــــــــﺎ
س←٠
2 + 1 - 1ﺠﺎ 2ﺱ 2
7ﺱ
2
= ﻧﮭــــــــﺎ
2 - 1) - 1ﺠﺎ 2ﺱ( 7ﺱ
س←٠
2
2ﺠﺎ 2ﺱ
= ﻧﮭــــــــﺎ س← 7 ٠ﺱ
2
2
2 2 2 ﺠﺎ ﺱ =١× = = × ﻧﮭــــــــﺎ 7 7 7س← ٠ﺱ ﻇﺎ ٥ 7س ﻣﺜﺎل ٦٧ﻧﮭــــــــﺎ س ← ٥4 ٠س ﻧﻀﻊ ص = ٥س
وﻋﻨﺪﻣﺎ س ← ٠
ﺗﻜﻮن ص ← ٠
7 ﻇﺎ 7ص = = ﻧﮭــــــــﺎ ص ← 4 ٠ص 4
٢٤٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺑﻌﺾ ﻗﻮاﻋﺪ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻗﻮاﻋﺪ ﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب داﻟﺘﯿﻦ أو ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺔ داﻟﺘﯿﻦ وﻓﯿﻤﺎ ﯾﻠﻲ ﺟﺪول ﺑﻌﺾ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت اﻟﻐﯿﺮ اﻟﻤﺤﺪودة ∋ Η ﺣﯿﺚ ن ھﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ ،ﺣﯿﺚ :ث Α ، (١
دس = س +ث
(٢
Αدس =
(٣
سن د س =
(٤
Αد س = Αس +ث س
ن١+
ﺣﯿﺚ ن ∋ { ١ - } - Ν
+ث
ن١+ ) ﺟـــــــﺎ س ( د س = -ﺟــﺘــﺎ س +ث
ف= Η
ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ ﺟــــﺎ س +ث
(٥
) ﺟـــﺘــــﺎ س( د س =
(٦
) ﻗــــــﺎ ٢س( د س = ﻇــــﺎ س +ث ،
ف=}- Η
(٧
) ﻗــﺘــﺎ ٢س( د س = -ﻇـــﺘـــﺎ س +ث
،ف = }- Ηمط{
ط +
+مط{
م
ﺣﯿﺚ ط
(٨
) ﻗــــــﺎ س ﻇـــﺎ س ( د س
= ﻗـــــﺎ س +ث ،
ف=}- Η
(٩
) ﻗــﺘــﺎ س ﻇـــﺘــﺎ س ( د س
= -ﻗـــﺘـــﺎ س +ث
،ف = }- Ηمط{
+
٢
م∋ Ξ
ﺣﯿﺚ م∋ Ξ
م∋ Ξ
+مط{
ﺣﯿﺚ
ﺣﯿﺚ
م∋ Ξ
ﻃﺮق اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﺤﻮﯾﻠﮭﺎ إﻟﻰ اﺣﺪى اﻟﺼﻮر اﻟﻤﺤﺘﻮاه داﺧﻞ اﻟﺠﺪول اﻟﺴﺎﺑﻖ اوﻻ :ﺗﻜﺎﻣﻞ داﻟﺔ ﺧﻄﯿﺔ ﻣﺮﻓﻮﻋﺔ ﻷس
و ن ≠ ١ -أو
ن
ﺗﻜﺎﻣﻞ داﻟﺔ ﺧﻄﯿﺔ ﻣﺮﻓﻮﻋﺔ ﻷس ﻋﻠﻰ ﺻﻮرة ) Αس +ب ( ) Αس +ب (
ن
دس = ١ Α
) Αس +ب ( ن ١+
أي أن ﺗﻜﺎﻣﻞ داﻟﺔ ﺧﻄﯿﺔ ﻣﺮﻓﻮﻋﺔ ﻷس ن = ١ ﻣﻌﺎﻣﻞ س
ن
دس
ن١+
) Αس +ب (
ن
دس
ن≠: ١-
ن≠١- +ث
) Αس +ب ( ن ١+
ن١+
+ث
ﺛﺎﻟﺜﺎً ¨ ﺗﻜﺎﻣﻞ داﻟﺔ داﺋﺮﯾﺔ زاوﯾﺘﮭﺎ داﻟﺔ ﺧﻄﯿﺔ : ١ Α
(١
ﺟــــﺎ ) Αس +ب ( د س
(٢
ﺟـﺘـــﺎ ) Αس +ب ( د س = ١ Α ١ ﻇـــــﺎ ) Αس +ب ( +ث ﻗــــﺎ Α ) ٢س +ب ( د س = Α ﻗـــﺘـــﺎ Α ) ٢س +ب ( د س = ١- ﻇــﺘـــﺎ ) Αس +ب ( +ث Α ١ ﻗـــــﺎ ) Αس +ب ( +ث ﻗــــﺎ ) Αس +ب ( ﻇـــــﺎ ) Αس +ب ( د س = Α ﻗـــﺘـــﺎ ) Αس +ب ( ﻇــﺘـــﺎ ) Αس +ب ( د س = ١ -ﻗــﺘـــﺎ ) Αس +ب ( +ث Α ٢٤٦
(٣ (٤ (٥ (٦
= -
ﺟـــﺘـــﺎ ) Αس +ب ( +ث ﺟــــﺎ ) Αس +ب ( +ث
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
راﺑﻌﺎَ ¨ ﺗﻜﺎﻣﻞ داﻟﺔ داﺋﺮﯾﺔ زاوﯾﺘﮭﺎ داﻟﺔ ﺧﻄﯿﺔ ﻻ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻜﺎﻣﻠﮭﺎ إﻻ ﺑﺘﺤﻮﯾﻠﮭﺎ إﻟﻰ دوال اﺧﺮى : ١ (١ﺟــﺘــﺎ ٢س = ٢ (٢ﺟــﺎ ٢س = - ١ )١ﺟــﺘــﺎ ٢س ( σ ٢
) + ١ﺟــﺘــﺎ ٢س ( σ
(٣ﻇــــﺎ ٢س =
ﻗــﺎ ٢س ١ - ﻗـﺘـﺎ ٢س ١ -
σ
- ١ ) ١ﺟــﺘــﺎ ﺿﻌﻒ اﻟﺰاوﯾﺔ ( ٢
ﺟــــﺎ ) ٢زاوﯾﺔ ( =
ﻇــــﺎ ) ٢زاوﯾﺔ ( =
σ
(٢ﻇـﺘـــﺎ ٢س = ﻣﻼﺣﻈﺔ : ٢ (١ﺟــﺘــﺎ ) Αس +ب ( = ١ ٢
ﺟــﺘــﺎ ) ٢زاوﯾﺔ ( =
ﻗـﺎ
ﻇـﺘـــﺎ ) ٢زاوﯾﺔ ( =
١ ٢
) + ١ﺟــﺘــﺎ ﺿﻌﻒ اﻟﺰاوﯾﺔ (
٢
) ﻧﻔﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ ( ١ -
ﻗـﺘﺎ
٢
) ﻧﻔﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ ( ١ -
) + ١ﺟــﺘــﺎ Α ) ٢س +ب ( (
١ (٢ﺟــﺎ Α ) ٢س +ب ( = - ١ ) ٢ﺟــﺘــﺎ Α ) ٢س +ب ( ( (٣ﻇــــﺎ Α ) ٢س +ب ( =
ﻗــﺎ Α ) ٢س +ب ( ١ -
(٢ﻇـﺘـــﺎ Α ) ٢س +ب ( = ﻣﻼﺣﻈﺔ
ﻗـﺘـﺎ Α ) ٢س +ب ( ١ -
ﺗﻜﺎﻣﻞ داﻟﺔ داﺋﺮﯾﺔ ﻟﺰاوﯾﺔ ﻣﺎ × ﺗﻔﺎﺿﻞ اﻟﺰاوﯾﺔ = ﺗﻜﺎﻣﻞ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮﯾﺔ ﻟﻨﻔﺲ اﻟﺰاوﯾﺔ
ﺧﺎﻣﺴﺎً ¨ ﺗﻜﺎﻣﻞ داﻟﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة ] د ) س ( [
ن
× دَ ) س ( :
) ﺗﻜﺎﻣﻞ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب داﻟﺔ ﻣﺮﻓﻮﻋﺔ ﻷس ن ﻓﻲ ﻣﺸﺘﻘﺘﮭﺎ ﺣﯿﺚ ن ﻋﺪد ﻧﺴﺒﻲ و ن ≠ ( ١
أي أن إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻺﺷﺘﻘﺎق ﺧﻼل اﻟﻔﺘﺮة ف وﻛﺎن ن ∋ { ١ - } - Ν ن١ +
ﻓﺈن :
] د ) س ( [ ن × دَ ) س ( د س = ] د ) س ( [ ن١+ ] اﻟﺪاﻟﺔ [ ن × ﻣﺸﺘﻘﺘﮭﺎ = ] اﻟﺪاﻟﺔ [ ن + ١ +ث ن١+ ﻣﻼﺣﻈﺔ : إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻟﺪﯾﻨﺎ داﻟﺘﯿﻦ ﻣﻀﺮوﺑﺘﯿﻦ أو ﻣﻘﺴﻮﻣﺔ واﻣﻜﻦ ﺗﺤﻮﯾﻠﮭﺎ إﻟﻰ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﺑﺸﺮط أن اس اﻟﻤﻘﺎم ≠ ١ وﻛﺎﻧﺖ اﺣﺪاھﻤﺎ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻷﺧﺮى ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻤﻜﻦ اﺗﺒﺎع ﻣﺎ ﯾﻠﻲ : ﻧﻔﺮض أن اﻟﺪاﻟﺔ ذات اﻷس ھﻲ د ) س ( ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ اﻻﺧﺮى ھﻲ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ او ﺷﺒﺴﮭﮫ ﺑﻤﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﺼﺒﺢ : ن١ + ] د ) س ( [ ن × دَ ) س ( ∀س = ] د ) س ( [ +ث ن١+ +ث
٢٤٧
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ً ¨ ﺗﻜﺎﻣﻞ اﻟﺪوال ﻋﻠﻰ ﺻﻮرة أو ﻋﻠﻰ ﺻﻮرة ٢Αس - ٢ب
٢
ب ٢Α - ٢س٢
٢Α ،س - ٢ب
٢
،
٢Αس + ٢ب
ﻓﻲ اﻟﻤﻘﺎم أو اﻟﺒﺴﻂ ﺑﺤﯿﺚ ﻻﯾﻜﻮن اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻋﻠﻰ ﺻﻮرة
٢
] د)س( [
ن
× دَ ) س ( ∀س
ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺘﺨﻠﺺ ﻣﻦ اﻟﺠﺬر ﺑﻮاﺳﻄﺔ اﻟﻌﻼﻗﺎت وﺗﺤﻮل اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت إﻟﻰ ﻧﻮع ﺳﺒﻖ دراﺳﺘﮫ ،ھﺬه اﻟﻌﻼﻗﺎت ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎت اﻷﺳﺎﺳﯿﺔ اﻷوﻟﻰ ﻟﺤﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﺎث :ﺟـﺎ ٢س +ﺟـﺘﺎ ٢س = ، ١ﻇـﺎ ٢س =١ +ﻗــﺎ٢س ،ﻇﺘـﺎ ٢س =١ +ﻗﺘــﺎ٢س ﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪام ھﺬه اﻟﻌﻼﻗﺎت ﺳﻮاء ﻛﺎﻧﺖ ھﺬه اﻟﺪوال ﻛﺴﺮﯾﺔ أو ﺟﺬرﯾﺔ : اﻟـــــــــــﺘــــــــــﻌﻮﯾﺾ
اﻟــــــــــﺼــــــــــﻮرة ب ٢Α - ٢س ٢أو ب ٢Α - ٢س٢ ) ﻋﺪد - ٢ﻣﺘﻐﯿﺮ( ٢
ﻓﻲ اﻟﻤﻘﺎم
٢ أو ٢Αس - ٢ب ٢Αس - ٢ب ٢ ) ﻣﺘﻐﯿﺮ - ٢ﻋﺪد ( ٢
٢Αس + ٢ب ) ﻣﺘﻐﯿﺮ+ ٢
٢
أو ٢Αس + ٢ب ﻋﺪد( ٢
ﻓﻲ اﻟﻤﻘﺎم ٢
ﻓﻲ اﻟﻤﻘﺎم
س = ب ﺟــﺎ ص Α
أو
س = ب ﻗــﺎ ص Α
أو
س= ب Α
س = ب ﻇــﺎ ص Α
أو
س = ب ﻇـﺘــﺎ ص Α
س = ب ﺟـﺘــﺎ ص Α ﻗـﺘــﺎ ص
***************************************************************************************** ﺟـﺎ ٢س = - ١ﺟـﺘﺎ ٢س ﻣﻼﺣﻈﺎت : (١ﺟـﺎ ٢س +ﺟـﺘﺎ ٢س = ١ ﺟﺘـﺎ ٢س = - ١ﺟــﺎ ٢س (٢ﻇـﺎ ٢س =١ +ﻗــﺎ٢س σﻇـﺎ ٢س = ﻗــﺎ٢س ١ - (٣ﻇﺘـﺎ ٢س =١ +ﻗــﺎ٢س σﻇـﺘﺎ ٢س = ﻗـﺘـﺎ٢س ١ - ١ (٤ﺟﺘـﺎ ٢س = ٢
) + ١ﺟﺘــﺎ ٢س (
(٥ﺟــﺎ ٢س = - ١ ) ١ﺟﺘــﺎ ٢س ( ٢ (٦ﺟــﺎ٢س = ٢ﺟــﺎس ﺟــﺘــﺎ س (٧ﺟــﺘــﺎ ٢س = ﺟــﺘــﺎ ٢س -ﺟــــﺎ ٢س (٨ﻧﻈﺮﯾﺔ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرس ) :اﻟﻮﺗﺮ ( اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ =
) اﻟﻮﺗﺮ (
٢
اﻟﻤﺠﺎور =
) اﻟﻮﺗﺮ (
٢
٢
=
) اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ (
-
) اﻟﻤﺠﺎور(
٢
-
) اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ (
٢
٢
) +اﻟﻤﺠﺎور(
٢
اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ = اﻟﻮﺗﺮ =
) اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ (
٢
) +اﻟﻤﺠﺎور(
) ااﻟﻮﺗﺮ (
٢
) -اﻟﻤﺠﺎور (
٢
٢
ص اﻟﻤﺠﺎور =
٢٤٨
) ااﻟﻮﺗﺮ (
٢
) -اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ (
٢
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﺑﻌﺾ اﻟﻤﻼﺣﻈﺎت : (١ﺟـــﺎص = اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ اﻟﻮﺗﺮ ﻗــﺘـــﺎص = اﻟﻮﺗﺮ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ (٢س = ب Α
،
ﺟــﺘــﺎس = اﻟﻤﺠﺎور اﻟﻮﺗﺮ ﻗــــﺎس = اﻟﻮﺗﺮ اﻟﻤﺠﺎور
، σ
ﺟــﺎ ص
،ﻇــــﺎس = اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ اﻟﻤﺠﺎور ،ﻇــﺘـــﺎس = اﻟﻤﺠﺎور اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ
ﺟــﺎ ص = Αس ب ١-
(٣ﺟــﺎ ص = Αس ب (٤ﻟﺤﻞ دوال ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة داﻟﺔ ﻛﺴﺮﯾﺔ ﻓﻲ ﺑﺴﻂ أو ﻓﻲ ﻣﻘﺎم ﺳﻮاء ﻓﯿﮭﺎ ﺟﺬر أو ﻏﯿﺮ ذﻟﻚ وﻟﯿﺴﺖ ﻋﻠﻰ ﺻﻮرة داﻟﺔ ﻓﻲ ﻣﺸﺘﻘﺘﮭﺎ ﻧﺘﺒﻊ ﻣﺎﯾﻠﻲ : σ
G
١
) ﻋﺪد (
٢
ص = ﺟــﺎ
Αس ب ٢
) -ﻋﺪد × ﻣﻘﺪار ﻣﺘﻐﯿﺮ (
٢
) ﻋﺪد × ﻣﺘﻐﯿﺮ (
٢
) -ﻋﺪد(
٣
) ﻋﺪد × ﻣﺘﻐﯿﺮ (
٢
) +ﻋﺪد(
] ﺟــﺎ ص
٢
ب ٢Α -س٢
=
٢Αس - ٢ب
=
٢
٢
٢
ﻧﻀﻊ ﻧﻀﻊ
س= ب Α س= ب Α
٢ ﻧﻀﻊ س = ب ٢Αس + ٢ب Α ) ﻧﺸﺘﻖ اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ ( أو ﻇــﺎ ص [
=
أو ﻗــﺎ ص
Aﻧﻔﺮض أن س = ب Α س = ب ] ﺟــﺎ ص أو ﻗــﺎ ص أو ﻇــﺎ ص [ ﻣﺜﻼً Α σ ء س = ب ] ﺟــﺘــﺎ ص د ص ،ﻗــﺎ ص ﻇـﺎص د ص Α
ﺟــﺎ ص ﻗــﺎ ص ﻇــﺎ ص
،ﻗــــﺎ ٢ص د ص [
Bﻧﻌﻮض ﻋﻦ ﻗﯿﻢ س ،د س ﺑﺪﻻﻟﺔ ص ،د ص ﻧﺤﺎول ان ﻧﺨﺘﺼﺮ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت وأﺧﺪ ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮك ﻣﻊ ﻣﻼﺣﻈﺔ : ٢
ﺟــﺎ ٢ص (
= ب - ٢ب
٢
ﺟــﺎ ٢ص
& ب ) ٢Α - ٢ب ٢ Α ١ ٢ ﺟﺘـﺎ س = ) + ١ﺟﺘــﺎ ٢س ( ٢ & ) ٢Αب Α
٢
٢
ﻗــﺎ ٢ص ( -ب= ٢ ٢
ب
٢
=
ب - ١ ) ٢ﺟﺎ ٢ص ( =
١ ،ﺟﺘـﺎ ٢س = ٢
ﻗــﺎ ٢ص -ب
٢
) - ١ﺟﺘــﺎ ٢س (
ب ) ٢ﻗﺎ ٢ص – = ( ١
=
ب ٢ﺟــﺘﺎ ٢ص = ب ﺟﺘﺎص
ب ٢ﻇــﺎ ٢ص = ب ﻇــﺎص
& ب ) ٢Α + ٢ب ٢ Α ***************************************************************************************************************** ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ :إذا ﻛﺎﻧﺖ ن ∋ { ١ - } - Ν ﻇــﺎ ٢ص (
= ب + ٢ب
ن١+
٢
ﻇــﺎ ٢ص
=
ب + ١ ) ٢ﻇـﺎ ٢ص ( =
(١
ﺟﺎن س ﺟﺘﺎ س ء س =
(٢
ﺟﺘﺎن س ﺟﺎ س ء س = -ﺟﺘﺎن س ) -ﺟﺎ س ( ء س = -ﺟﺎ
ﺟﺘﺎ ن ١+
ب ٢ﻗــﺎ ٢ص = ب ﻗــﺎص
س +ث ن١+
س +ث
ن ١+ ٢٤٩
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻇﺎ ن س ﻗﺎ ٢س ء س = ﻇﺎ ن ١ +س +ث ن١+
(٣
ن١+
( ٤ﻇﺘﺎن س ﻗﺘﺎ ٢س ء س = ٠-ﻇﺘﺎن س ) -ﻗﺘﺎ ٢س ( ء س = -ﻇﺘﺎ ن ١+ (٥ﻗﺎن س ) ﻗﺎ س ﻇﺎ س ( ء س = ﻗﺎن ١ +س +ث ن ١+
س +ث
ﻗﺘﺎن س ) ﻗﺘﺎ س ﻇﺘﺎ س ( ء س = - ﻗﺘﺎن س ) -ﻗﺘﺎ س ﻇﺘﺎ س ( ء س = -ﻗﺘﺎن ١ +س +ث ن ١+ ﻗﺎ ن س ﻇﺎ س ء س = ﻗﺎن ١-س ) ﻗﺎ س ﻇﺎ س ( ء س = ﻗﺎن س +ث ن
(٦ (٧
(٨ﻗﺘﺎ ن س ﻇﺘﺎ سء س = ﻗﺘﺎن ١-س ) ﻗﺘﺎ س ﻇﺘﺎ س ( ء س = -ﻗﺘﺎن ١-س ) -ﻗﺘﺎ س ﻇﺘﺎ س ( ء س = -ﻗﺘﺎن س +ث ن ) ﺟﺎس -ﺣﺘﺎ ٢س ﺟﺎ س ( ء س ﺣﺎ ٢س ﺟﺎس ء س = ) – ١ﺟﺘﺎ ٢س ( ﺟﺎ س ء س = (٩ﺟﺎ ٣س ء س = )ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻟـ ﺣﺘﺎ ٣س (
= -ﺟﺘﺎ س ١ +ﺟﺘﺎ ٣س +ث ٣ (١٠ﺟﺘﺎ ٤س ء س = ﺟﺘﺎ ٢س ﺟﺘﺎ ٢س ء س = = =
=
١ ١ ١ + ١ ) ٤ﺟﺘﺎ ٢س +ﺟﺘﺎ ٢ ٢س ( ء س = + ١ ) ٤ﺟﺘﺎ ٢س + ١ ) ٢ +ﺟﺘﺎ ٤س ( ( ء س ١ ١ ١ ١ ١ ] ٤س ٢ × ٢ +ﺟﺎ ٢س ٢ +س ٤ × ٢ +ﺟﺎ ٤س [ +ث ١ ١ ١ ١ ٤س ٤ +ﺟﺎ ٢س ٨ +س ٣٢ +ﺟﺎ ٤س +ث ٣ ٨
س +
(١١ﻗﺎ ٤س ء س ١ ٣ = ﻇﺎ س ٣ +ﻇﺎ س =
(١٢ =
=
) ﺟﺘﺎ ٢س (
٢
ءس=
١ ) ٢
) + ١ﺟﺘﺎ ٢س ( (
٢
ءس
ﻇﺎ ٤س ء س
=
١ ٤ﺟﺎ ٢س +
١ ٣٢
ﺟﺎ ٤س +ث
ﻗﺎ ٢س ﻗﺎ ٢س ء س = +ث
) ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻟـ ﺟﺎ ٤س (
) + ١ﻇﺎ ٢س ( ﻗﺎ ٢س ء س = ) ﻗﺎ ٢س +ﻇﺎ ٢س ﻗﺎ ٢س ( ء س
) ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻗﺘﺎ ٤س (
ﻇﺎ ٢س ﻇﺎ ٢س ء س =
) ﻗﺎ ٢س ( ١ -ﻇﺎ ٢س ء س = )ﻇﺎ ٢س ﻗﺎ ٢س -ﻇﺎ ٢س
( ءس
) ﻇﺎ ٢س ﻗﺎ ٢س ) -ﻗﺎ ٢س ( ( ١ -ء س
= ١ﻇﺎ ٣س -ﻇﺎ س +س +ث ٣ *************************************************************************************** اﻟﺪاﻟﺔ اﻻﺳﯿﺔ واﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﯿﺔ : اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﯿﺔ اوﻻَ :اﻻﺷﺘﻘﺎق : × دَ ) س ( = دَ ) س ( ١ (١ص = ﻟﻮ د) س ( ⇐ صَ = د) س ( د) س ( أي ان ﺗﻔﺎﺿﻞ ﻟﻮ) أي داﻟﺔ ( = × ١ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺪاﻟﺔ (٢ص = ﻟﻮ س ⇐ صَ = ١ ص ) ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻇﺘﺎ ٤س (
٢٥٠
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ﻻﺣﻆ :ص = ﻟﻮ
Α
⇐ صَ =
د) س ( = ﻟﻮ د) س (
ﻟﻮ Α
× ١
١
ﻟﻮ Α
د) س (
دَ ) س (
× دَ ) س ( =
ﻟﻮ Αﻟﻮ د) س (
ﺛﺎﻧﯿﺎَ :اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻟﻮ | د ) س ( | +ث
(١
دَ ) س ( ء س = د)س( ﻟﻮ | اﻟﺪاﻟﺔ | +ث ﻣﺸﺘﻘﺔ ء س = اﻟﺪاﻟﺔ
(٢
ﻟﻮس ء س = س ﻟﻮ س -س +ث
(٣ﻟﻮس ن ء س = (٤
ن
ﻟﻮ س ء س = Α
( ٥ﻟﻮ س Α
ن
=
ﻟﻮ س = ن ) س ﻟﻮ س -س ( +ث ﻟﻮ س ء س = ﻟﻮ Α
ن
ﺗﻜﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﻘﺔ = ﻟﻮ | اﻟﺪاﻟﺔ | +ث اﻟﺪاﻟﺔ
س ﻟﻮ س -س +ث ﻟﻮ Α
ﻟﻮ س = ن ) س ﻟﻮ س -س ( +ث ﻟﻮ Α ﻟﻮ Α
اﻟﺪاﻟﺔ اﻻﺳﯿﺔ : اوﻻَ :اﻻﺷﺘﻘﺎق ) :اﺗﺒﻌﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻓﻘﻂ ( ﺗﻔﺎﺿﻞ أي داﻟﺔ اﺳﯿﺔ = ﻧﻔﺲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻻﺳﯿﺔ × ﺗﻔﺎﺿﻞ اﻻس × ﻟﻮ اﻻﺳﺎس ﻷن ﻟﻮ ھـ = ( ١أي ان : ) وﻟﻜﻦ إذا ﻛﺎن اﺳﺎﺳﮫ ھـ ﻣﺎﻧﻜﺘﺐ ﻟﻮ اﻻﺳﺎس ھ ( ١ص = ھـ
س
⇐ ص َ= ھـ
(٢ص = ھـ
د) س (
(٣ص= Α
س
(٤ص = Α
د) س (
(٥ص = ﻟﻮ ھـ
س
⇐ ص َ= ھـ د) س ( × دَ ) س ( ⇐ ص َ= Α
د) س (
س
ﻟﻮ Α د) س (
⇐ ص َ= Α = د) س (
(٦ﻻﺣﻈﻲ ھﻨﺎﻟﻚ ﻓﺮق ﺑﯿﻦ
× دَ ) س ( ﻟﻮ Α ﻟﻮ د) س (
،ص = ھـ
ص = ھـ
ﻟﻮ ) س (Α +
= د) س (
= سΑ +
و
) وﺗﻔﺎﺿﻞ او ﺗﻜﺎﻣﻞ ﺣﺴﺐ ﻧﻮع اﻟﺪاﻟﺔ ( ص = ھـ
ﻟﻮ س Α +
= ھـ
ﻟﻮ س
ھـ
Α
= س ھـ
Α
ﺛﺎﻧﯿﺎً :اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ) :اﺗﺒﻌﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻓﻘﻂ ( ﺗﻜﺎﻣﻞ أي داﻟﺔ اﺳﯿﺔ × ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻻس = ﻧﻔﺲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻻﺳﯿﺔ ﻟﻮ اﻻﺳﺎس ) وﻟﻜﻦ إذا ﻛﺎن اﺳﺎﺳﮫ ھـ ﻣﺎﻧﻜﺘﺐ ﻟﻮ اﻻﺳﺎس (١
ھـ
(٢
ھـ
س
ء س = ھـ
د) س (
س
ﻷن
ﻟﻮ ھـ = ( ١أي ان : ھ
+ث
× دَ ) س ( ء س
=
ھـ
د) س (
+ث
٢٥١
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(٣ (٤
Α
س
س
ء س = Α ﻟﻮ Α د) س (
Α
(٥ص = س = س (٦
س
س
س
س
+ث د) س (
= Α × دَ ) س ( ء س ﻟﻮ Α س ﻟﻮ س ⇐ صَ = ھـ ⇐ ص = ھـ ﻟﻮ س س = ھـ +ث
س ﻟﻮ س
× ) × ١ﻟﻮ س +س × ١ س
(
) ﻟﻮ س ( ١ + ) ﻟﻮ س ( ١ +ء س = س
س
+ث
ﻻﺗﻮﺟﺪ ﻗﺎﻋﺪة ﻣﺒﺎﺷﺮة ﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺿﺮب او ﻗﺴﻤﺔ داﻟﺘﯿﻦ : اوﻻَ :ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻀﺮب (١إذا ﯾﻤﻜﻦ اﻟﻀﺮب ﻧﻀﺮب ﺛﻢ ﻧﻜﺎﻣﻞ (٢ﻻﯾﻤﻜﻦ اﻟﻀﺮب اﺣﺪى اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻻﺧﺮى
ﻻﯾﻤﻜﻦ اﻟﻀﺮب او ﻟﯿﺴﺖ اﺣﺪى اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻻﺧﺮى
أي أن إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻺﺷﺘﻘﺎق ﺧﻼل اﻟﻔﺘﺮة ف وﻛﺎن ن ∋ { ١ - } - Νﻓﺈن : ن١ +
] د ) س ( [ ن × دَ ) س ( ∀س = ] د ) س ( [ ن١+ ﺧﻄﯿﮫ ] اﻟﺪاﻟﺔ [ ن × ﻣﺸﺘﻘﺘﮭﺎ = ] اﻟﺪاﻟﺔ [ ن + ١ +ث ن١+ اﻟﺨﻄﻮات
اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ :ﻧﻔﺮض ان اﻟﻤﻘﺪار ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﺨﻄﯿﺔ واﻟﺘﻲ ﻟﮭﺎ ذات اﻻس اﻟﺼﻌﺐ ﺑـ ص ﻧﻮﺟﺪ س ﺑﺪﻻﻟﺔ ص ﻧﻔﺎﺿﻞ اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ ﺛﻢ ﻧﻌﻮض ﻋﻦ ﻗﯿﻢ س ،ء س ﺑﺪﻻﻟﺔ ص ،ء ص ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻣﻤﻜﻦ ﻓﻲ ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال ﻟﯿﺴﺖ داﻟﺔ
+ث
وﻟﻜﻦ ﻧﺤﺎول ان ﻧﺴﺘﺨﺪم ﻟﮭﺎ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻧﻔﺮض واﻟﺘﻲ ﻟﮭﺎ اﻻس اﻟﺼﻌﺐ ﺑـ ص ﺛﻢ ﻧﺘﺒﻊ
ﺛﺎﻧﯿﺎَ :ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ : او َﻻ :ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻀﺮب ﻗﺴﻤﺔ داﻟﺘﯿﻦ
ﯾﻤﻜﻦ رﻓﻊ اﻟﻤﻘﺎم ﻟﻠﺒﺴﻂ ﺑﺤﯿﺚ اس اﻟﻤﻘﺎم ن ≠ ١ -
ﻻﯾﻤﻜﻦ رﻓﻊ اﻟﻤﻘﺎم ﻷن اﻟﻤﻘﺎم ﺑﺎس ﯾﺴﺎوي ١
ﺗﺤﻮل إﻟﻰ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب داﻟﺘﯿﻦ وﺗﻔﺎﺿﻞ ﻋﻠﻰ ﺣﺴﺐ ﻣﺎ ﺳﺒﻖ
إذا ﻛﺎن درﺟﺔ اﻟﺒﺴﻂ ≤ درﺟﺔ اﻟﻤﻘﺎم
إذا ﻛﺎن درﺟﺔ اﻟﺒﺴﻂ > درﺟﺔ اﻟﻤﻘﺎم وﻛﺎن اﻟﺒﺴﻂ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﻤﻘﺎم
اﻣﺎ ﺑﺎﻟﺘﺤﻠﯿﻞ واﻻﺧﺘﺼﺎر ﺛﻢ ﻧﻜﺎﻣﻞ إذا ﻛﺎن درﺟﺔ اﻟﺒﺴﻂ < درﺟﺔ اﻟﻤﻘﺎم او ﻗﺴﻤﺔ ﻣﻄﻮﻟﺔ ﺛﻢ ﻧﺨﺘﺎر ﻃﺮﯾﻘﺔ ﻣﻨﺎﺳﯿﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻞ
دَ ) س ( ء س = ﻟﻮ | د ) س( | +ث د) س (
٢٥٢
ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ
= ﻟﻮ | اﻟﺪاﻟﺔ | +ث
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
وﻓﻲ اﻟﺨﺘﺎم ﻳﺎ ﻗﺎﺭﺉ ﺣﻈﻲ ﻻ ﺗﺒﻜﻲ ﻋﻠﻰ ﻣﻮﺗﻲ..ﻓﺎﻟﻴﻮﻡ ﺃﻧﺎ ﻣﻌﻚ ﻭﻏﺪﺍﹰ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺮﺍﺏ.. ﻓﺈﻥ ﻋﺸﺖ ﻓﺈﻧﻲ ﻣﻌﻚ ﻭﺇﻥ ﻣﺖ ﻓﻠﻠﺬﻛﺮﻯ!.. ﻭﻳﺎ ﻣﺎﺭﺍﹰ ﻋﻠﻰ ﻗﺒﺮﻱ ﻻ ﺗﻌﺠﺐ ﻣﻦ ﺃﻣﺮﻱ.. ﺑﺎﻷﻣﺲ ﻛﻨﺖ ﻣﻌﻚ ﻭﻏﺪﺍﹰ ﺃﻧﺖ ﻣﻌﻲ... ﻭﻨﺴﺄل ﺍﷲ ﺍﻟﻌﻠﻲ ﺍﻟﻘﺩﻴﺭ ﺃﻥ ﻨﻜﻭﻥ ﻗﺩ ﻭﻓﻘﻨﺎ ﻓـﻲ ﻤﻌﺎﻟﺠـﺔ ﻤﻭﻀـﻭﻋﺎﺕ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ،ﻜﻤﺎ ﻨﺴﺄﻟﻪ ﺘﻌﺎﻟﻰ ﺃﻥ ﻴﻨﻔﻊ ﺒﻪ ﺍﻟﻘﺎﺭﺉ ﺍﻟﻜـﺭﻴﻡ ،ﻭﺃﻥ ﻴﻜـﻭﻥ ﻓـﻲ ﻤﻴﺯﺍﻥ ﺤﺴﻨﺎﺘﻨﺎ ﻴﻭﻡ ﺍﻟﻘﻴﺎﻤﺔ ،ﻴﻭﻡ ﻻ ﻴﻨﻔﻊ ﻤﺎل ﻭﻻ ﺒﻨﻭﻥ ﺇﻻ ﻤﻥ ﺃﺘـﻰ ﺍﷲ ﺒﻘﻠﺏ ﺴﻠﻴﻡ. ﻭﺍﷲ ﻭﻟﻲ ﺍﻟﺘﻭﻓﻴﻕ،،، ﻭﺼﻠﻰ ﺍﷲ ﻭﺴﻠﹼﻡ ﻋﻠﻰ ﻨﺒﻴﻨﺎ ﺍﻷﻜﺭﻡ
ﺒﻘﻠﻡ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ ﺍﺤﻤﺩ ﺤﻤﺎﺩ ﺸﻌﺒﺎﻥ
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com