كتاب أولمبياد الرياضيات - الجزء الأول

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ا‬

‫ﺴﻢ ﷲ اﻟﺮﲪﻦ اﻟﺮﺣﲓ‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﺔ‬ ‫اﻝﺤﻤد ﷲ رب اﻝﻌﺎﻝﻤﻴن‪ ،‬واﻝﺼﻼة واﻝﺴﻼم ﻋﻠﻰ رﺴول اﷲ ﺴﻴدﻨﺎ ﻤﺤﻤد وﻋﻠﻰ آﻝﻪ وﺼﺤﺒﻪ‪.‬‬ ‫ﻴﺤﺘوي ﻫذا اﻝﻜﺘﺎب اﻝذي ﻨﻀﻌﻪ ﺒﻴن ﻴدﻴك ﻋزﻴزي اﻝﻘﺎرئ ﻋﻠﻰ ﺘﻤﺎرﻴن و ﺤﻠول ﻷوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝرﻴﺎﻀﻴﺎت‪،‬‬ ‫اﻝﻬدف ﻤﻨﻪ ﻫو إﻜﺴﺎب اﻝﻤﺘﻌﻠم ﻤﻨﻬﺠﻴﺔ ﻓﻌﺎﻝﺔ وطرﻴﻘﺔ ﺠﻴدة ﻝﺤل اﻝﺘﻤﺎرﻴن واﻝﻤﺴﺎﺌل اﻝرﻴﺎﻀﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻝﺒﻠوغ اﻝﻐﺎﻴﺎت اﻝﻤرﺠوة أﻨﺼﺤك ﻋزﻴزي اﻝﻘﺎرئ ﺒﺎﻝﺒﺤث اﻝﺸﺨﺼﻲ ﻋن اﻝﺤل اﻝواﻀﺢ واﻝﻤﻘﻨﻊ‪ ،‬ﻷن‬ ‫ﻗراءﺘك ﻝﻠﺤل اﻝﻤﻘﺘرح ﻝن ﺘﻔﻴدك ﺒﺸﻲء ﺒل ﻤﺠﻬودك وﺒﺤﺜك ﻫو اﻷﻫم ﻗﺒل اطﻼﻋك ﻋﻠﻰ اﻝﺠواب‪.‬‬ ‫وأﻤﻠﻨﺎ ﻜﺒﻴر أن ﻴﺤﻘق ﻫذا اﻝﻜﺘﺎب اﻝﻐﺎﻴﺔ اﻝﺘﻲ أﻝف ﻤن أﺠﻠﻬﺎ‪ ،‬وأن ﻴﺴﻬم ﻓﻲ ﻤﺴﺎﻋدة اﻝﺘﻼﻤﻴذ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺘﺠﺎوز اﻝﺼﻌوﺒﺎت اﻝﺘﻲ ﺘﻌﺘرﻀﻬم‪ ،‬وأن ﻴﺴﺎﻫم ﻓﻲ إﺜراء ﻤراﺠﻊ اﻷﺴﺘﺎذ‪.‬‬ ‫واﷲ وﻝﻲ اﻝﺘوﻓﻴق‬

‫اﺴطﻴط ﻋﺒداﻝرﺤﻴم‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪2‬‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ا‬

‫اﻟﻔﻬﺮس‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻷول ‪6................................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻷول ‪7............................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻨﻲ ‪10 ..............................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻨﻲ ‪11 .........................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻝث ‪15 .............................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻝث ‪16 .........................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝراﺒﻊ ‪19 ..............................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝراﺒﻊ ‪20 ..........................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺨﺎﻤس‪23 ............................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺨﺎﻤس ‪24 .......................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎدس ‪27 ............................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎدس ‪28 .......................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎﺒﻊ ‪31 .............................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎﺒﻊ ‪32 .........................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻤن ‪34 .............................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻤن ‪35 .........................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺘﺎﺴﻊ ‪38 .............................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺘﺎﺴﻊ ‪39 .........................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﻌﺎﺸر ‪42 .............................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﻌﺎﺸر ‪43 ........................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺤﺎدي ﻋﺸر ‪46 ......................................................................................‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪3‬‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ا‬

‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺤﺎدي ﻋﺸر ‪47 ..................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻨﻲ ﻋﺸر ‪50 ........................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻨﻲ ﻋﺸر‪51 ....................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻝث ﻋﺸر‪53 ........................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻝث ﻋﺸر ‪54 ...................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝراﺒﻊ ﻋﺸر ‪57 ........................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝراﺒﻊ ﻋﺸر ‪58 ....................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺨﺎﻤس ﻋﺸر ‪61 ......................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺨﺎﻤس ﻋﺸر ‪62 .................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎدس ﻋﺸر ‪65 ......................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎدس ﻋﺸر ‪66 ..................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎﺒﻊ ﻋﺸر ‪70 .......................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎﺒﻊ ﻋﺸر ‪71 ...................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻤن ﻋﺸر‪74 ........................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻤن ﻋﺸر ‪75 ...................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺘﺎﺴﻊ ﻋﺸر ‪80 .......................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺘﺎﺴﻊ ﻋﺸر ‪81 ...................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﻌﺸرون ‪84 ...........................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﻌﺸرون ‪85 ......................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝواﺤد واﻝﻌﺸرون ‪88 ...................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝواﺤد واﻝﻌﺸرون ‪89 ...............................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻨﻲ واﻝﻌﺸرون ‪92 ...................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻨﻲ واﻝﻌﺸرون ‪93 ...............................................................................‬‬ ‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪4‬‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ا‬

‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻝث واﻝﻌﺸرون ‪95 ...................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻝث واﻝﻌﺸرون ‪96 ...............................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝراﺒﻊ واﻝﻌﺸرون ‪100 ..................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝراﺒﻊ واﻝﻌﺸرون ‪101 ..............................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺨﺎﻤس واﻝﻌﺸرون ‪104 ...............................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺨﺎﻤس واﻝﻌﺸرون ‪105 ...........................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎدس واﻝﻌﺸرون‪108 ................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎدس واﻝﻌﺸرون ‪109 ...........................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎﺒﻊ واﻝﻌﺸرون ‪112 .................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺴﺎﺒﻊ واﻝﻌﺸرون ‪113 .................................................................................‬‬ ‫أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻤن واﻝﻌﺸرون ‪116 .................................................................................‬‬ ‫ﺤل أوﻝﻤﺒﻴﺎد اﻝﺜﺎﻤن واﻝﻌﺸرون ‪117 .............................................................................‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪5‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد ا ٔول‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫و‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ‬

‫‪z‬‬

‫‪x2 y 2 z 2‬‬ ‫‪+ + ≥ x+ y+z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒر اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬ ‫و‬

‫‪BA = AD‬‬

‫اﺤﺴب ‪:‬‬

‫‪BA = BC‬‬

‫و ) ‪( AD ) ⊥ ( BC‬‬

‫‪ˆ + ADB‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪BAC‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪EFG‬‬

‫ﻤﺜﻠث ﻤﺘﺴﺎوي اﻷﻀﻼع واﻝﻨﻘطﺔ‬

‫ارﺘﻔﺎع اﻝﻤﺜﻠث‬ ‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪EFG‬‬

‫اﻝﻤﺎر ﻤن‬

‫‪E‬‬

‫‪P‬‬

‫داﺨﻠﻪ‬

‫ﻴﻘطﻊ ) ‪ ( FG‬ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪D‬‬

‫‪PB + PC + PA = ED‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫و‬

‫‪z‬‬

‫و‬

‫‪w‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪x y z‬‬ ‫= =‬ ‫‪y z w‬‬

‫‪x 5 + y 2 z 2 + x3 z 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y z + w + y zw‬‬ ‫‪w‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪6‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫‪%‬ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد ا ٔول‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪≥0‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪x 2 − 2 xy + y 2 ≥ 0‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪+ y ≥ 2x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪(x − y‬‬

‫)‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪x 2 + y 2 ≥ 2 xy‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪x 2 + y 2 2 xy‬‬ ‫≥‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬

‫(‬

‫‪1‬‬

‫وﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن ‪:‬‬ ‫و‬

‫‪y2‬‬ ‫‪+ z ≥ 2y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z2‬‬ ‫‪+ x ≥ 2z‬‬ ‫‪x‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫(‬ ‫‪3‬‬

‫(‬

‫‪x2‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪z2‬‬ ‫اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت ‪ 1‬و ‪ 2‬و ‪ 3‬طرف ﺒطرف ‪+ y + + z + + x ≥ 2 x + 2 y + 2 z :‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y2 z2‬‬ ‫)‪+ + + ( x + y + z) − ( x + y + z) ≥ 2( x + y + z) − ( x + y + z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻨﺠﻤﻊ‬ ‫أي ‪:‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬

‫‪x2 y 2 z 2‬‬ ‫‪+ + ≥ x+ y+z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪BA = BC‬‬

‫إذن اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن‬ ‫وﻤﻨﻪ‬

‫و‬

‫‪BA = AD‬‬

‫‪ABC‬‬

‫و‬

‫‪ABD‬‬

‫‪ˆ = BCA‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪BAC‬‬

‫و‬

‫‪ˆ = ADB‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪ABD‬‬

‫ﺒﻤﺎ أن اﻝﻤﺜﻠﺜﺎت‬

‫‪BAF‬‬

‫و‬

‫ﻤﺘﺴﺎوﻴﺎ اﻝﺴﺎﻗﻴن ﻓﻲ‬

‫‪AFC‬‬

‫و‬

‫‪BFD‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪B‬‬

‫و‬

‫‪A‬‬

‫ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ‬

‫ﻫﻲ ﻗﺎﺌﻤﺔ اﻝزاوﻴﺔ ﻜﻠﻬﺎ ﻓﻲ‬

‫‪F‬‬

‫‪7‬‬

‫ا‬

ˆ + BDA ˆ = 90° FBD

‫و‬

ˆ + ABC ˆ = 90° BAF

‫و‬

‫ا‬:‫ذ‬

: ‫ﻓﺈن‬

ˆ + ACB ˆ = 90° FAC

: ‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺎت اﻝﺜﻼﺜﺔ طرف ﺒطرف‬

ˆ + ACB ˆ + BAF ˆ + ABC ˆ + FBD ˆ + BDA ˆ = 90° + 90° + 90° FAC

ˆ + BAF ˆ ) + ACB ˆ + ( ABC ˆ + FBD ˆ ) + BDA ˆ = 90 + 90 + 90 ( FAC °

ˆ = ABC ˆ + FBD ˆ ABD

‫و‬

°

ˆ = FAC ˆ + BAF ˆ BAC

°

‫و‬

ˆ = BCA ˆ BAC

‫ﻷن‬

: ‫أي‬

: ‫ﻨﻌﻠم أن‬

ˆ + ACB ˆ + ABD ˆ + BDA ˆ = 90° + 90° + 90° BAC ˆ = ADB ˆ ABD

‫ا‬

: ‫أي‬

ˆ + 2BDA ˆ = 270° 2 BAC

: ‫أي‬

(

: ‫أي‬

)

ˆ + BDA ˆ = 270° 2 BAC

ˆ + BDA ˆ = 135° BAC

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

3 ‫ﲤﺮﻦ‬

: ‫ﺒطرﻴﻘﺘﻴن ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴن‬ (

1

)

EFG

S EFG =

‫ﻨﺤﺴب ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث‬

ED × FG 2

: ‫اﻝطرﻴﻘﺔ اﻷوﻝﻰ‬ : ‫اﻝطرﻴﻘﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ‬ : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

S EFG = S PEG + S PFG + S PEF PB × EG PC × FG PA × EF + + 2 2 2 PB × EG + PC × FG + PA × EF = 2 =

FG = EG = EF 8

‫ﻨﻌﻠم أن‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

PB × FG + PC × FG + PA × FG : ‫إذن‬ 2 FG ( PB + PC + PA ) ( 2 ) S EFG = : ‫وﻤﻨﻪ‬ 2 FG ( PB + PC + PA ) ED × FG = : ‫ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬2 ‫ و‬1 ‫ﻤن‬ 2 2 2 FG ( PB + PC + PA ) 2 ED × FG × = × : ‫أي‬ FG 2 FG 2 =

S EFG

PB + PC + PA = ED

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

4 ‫ﲤﺮﻦ‬ x y z = = =k y z w

‫و‬

y = zk

‫و‬

z = kw

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

y = ( kw ) k

‫و‬

z = kw

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

‫و‬

‫و‬

z = kw

: ‫إذن‬

x = yk x = yk

‫و‬

x = ( wk 2 ) k = k 3 w

y = wk 2

x5 + y 2 z 2 + x3 z 2 x − =0 4 4 2 2 y z + w + y zw w 5

2 2

2

3

( k w) + ( wk ) ( kw) + ( k w) ( kw) ( wk ) ( kw) + w + ( wk ) ( kw) w 3

x5 + y 2 z 2 + x 3 z 2 x − = 4 4 2 2 y z + w + y zw w

2 4

3

2 2

4

=

k 15 w5 + k 4 w2 k 2 w2 + k 9 w3 k 2 w2 − k3 8 4 4 4 2 2 k w kw + w + k w kww

=

k 15 w5 + k 6 w4 + k 11w5 − k3 k 9 w5 + w4 + k 5 w5

(

k 6 w4 k 9 w + 1 + k 5 w = w

4

( k w +1+ k w ) 9

= k6 − k3 =

5

3 2

(k )

) −k

2

2

−

: ‫ﻝﻨﺒﻴن أن‬

wk 3 w

3

− k3 = k3 − k3 = 0 x 5 + y 2 z 2 + x3 z 2 x = 4 4 2 2 y z + w + y zw w

9

: ‫ﻨﻀﻊ‬

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﱐ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫و‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪x+ y+ z =3‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫≥‬ ‫‪y+ z x+ z x+ y 2‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫‪EFG‬‬

‫ﻤﺜﻠث ﻤﺘﺴﺎوي اﻝﺴﺎﻗﻴن ﻓﻲ‬

‫‪E‬‬

‫و‬

‫‪A‬‬

‫ﻨﻘطﺔ ﻤن ] ‪[ FG‬‬

‫و ]‪ [ FD‬اﻹرﺘﻘﺎع اﻝﻤواﻓق ﻝﻠﻀﻠﻊ ] ‪[ EG‬‬ ‫و اﻝﻨﻘطﺘﺎن‬ ‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫و‬

‫‪C‬‬

‫ﻫﻤﺎ اﻝﻤﺴﻘطﺎن اﻝﻌﻤودﻴﺎن ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫‪A‬‬

‫ﻋﻠﻰ ) ‪ ( EF‬و ) ‪ ( EG‬ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ‬

‫‪FD = AB + AC‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫و‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= y+ = z+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x+‬‬

‫‪xyz = 1‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪ECDB‬‬

‫رﺒﺎﻋﻲ ﻤﺤﺎط ﺒداﺌرة‬

‫) أﻨظر اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ (‬ ‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪EC × DB + DC × EB = BC × ED‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪10‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫‪%‬ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﱐ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪x −1 ≥ 0‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫)‬

‫)‬

‫( )‬ ‫‪(x − 2‬‬

‫( )‬

‫)‬

‫‪− x −2≤0‬‬

‫(‬

‫‪− x x − 2 x + 2x + 4 x − x − 2 ≤ 0‬‬

‫‪−x x + 3 x − 2 ≤ 0‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪x (3 − x ) ≤ 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≥‬ ‫‪x (3 − x ) 2‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪( x ) × 12‬‬ ‫‪2‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≥‬ ‫‪y+z 2‬‬

‫)‬

‫‪1‬‬ ‫≥‬ ‫) ‪x (3 − x‬‬

‫)‬

‫‪1‬‬

‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن ‪:‬‬ ‫و‬ ‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬ ‫أي ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪x −1 × − x − 2 ≤ 0 × − x − 2‬‬ ‫‪x +1 × − x − 2 ≤ 0‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪1‬‬

‫و‬

‫‪2‬‬

‫‪3− x = y + z > 0‬‬

‫(‬

‫‪2‬‬

‫× )‪( x‬‬

‫(‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫≥‬ ‫‪x+z 2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫≥‬ ‫‪x+ y 2‬‬

‫و‬

‫‪3‬‬

‫)‬ ‫)‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫(‬ ‫(‬

‫طرف ﺒطرف ‪:‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x y z‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪≥ + +‬‬ ‫‪y+ z x+ z x+ y 2 2 2‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x+ y+ z‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫≥‬ ‫‪y+ z x+ z x+ y‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫≥‬ ‫‪y+ z x+ z x+ y 2‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪11‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

S EFG = S EFA + S EAG

( EAG ‫ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻤﺜﻠث‬: S EAG ،،

(

E

‫ﻤﺘﺴﺎوي اﻝﺴﺎﻗﻴن ﻓﻲ‬

EFG

EFA

‫ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻤﺜﻠث‬:

‫ﻷن اﻝﻤﺜﻠث‬

S EFA

،،

EFG

‫ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻤﺜﻠث‬:

EG × FD AB × EF AC × EG = + 2 2 2 EG × FD AB × EF + AC × EG = 2 2 EG × FD AB × EG + AC × EG EF = EG ) = 2 2 EG × FD EG ( AB + AC ) = 2 2 EG ( AB + AC ) 2 EG × FD 2 × = × EG 2 EG 2

FD = AB + AC

‫ا‬

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ S EFG )

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫إذن‬

3 ‫ﲤﺮﻦ‬ 1 1 = y + : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ y z 1 1 x− y = − : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ z y x( y − z) xyz = : ‫إذن‬ x− y 1 1 y + = z + : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ z x 1 1 y − z = − : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ x z x+

zy =

y−z x− y

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x− y =

y−z zy

:‫ﻴﻌﻨﻲ‬ (

xz =

12

z−x y−z

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

y−z =

z−x xz

1

)

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫)‪y ( z − x‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫طرف ﺒطرف ‪:‬‬

‫= ‪xyz‬‬

‫‪y−z‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪x + = z + :‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪ z − x = 1 − 1 :‬ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫‪y x‬‬ ‫إذن ‪( 3 ) xy = x − y :‬‬ ‫‪z−x‬‬

‫ﻨﻀرب اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺘﺎن‬ ‫) ‪xy ( z − x‬‬

‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻤن‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪x− y‬‬

‫و‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪x>0‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫و‬

‫‪x− y‬‬

‫×‬

‫=‬

‫‪z−x‬‬

‫‪y>0‬‬

‫و‬

‫‪x− y‬‬ ‫‪xy‬‬

‫‪:‬‬

‫)‬

‫) ‪( xyz‬‬

‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪:‬‬

‫‪z−x‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪x− y‬‬

‫ﺒﻤﺎ أن‬

‫=‬

‫‪1‬‬

‫و‬

‫(‬

‫‪4‬‬

‫=‪z−x‬‬

‫‪y−z‬‬

‫‪x− y‬‬

‫(‬

‫‪ x− y‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪( z − x‬‬ ‫‪z−x‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x− y‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪) × y ( z − x‬‬

‫(‬

‫‪x y−z‬‬

‫= ) ‪( xyz ) × ( xyz‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪( xyz‬‬

‫) ‪( xyz‬‬

‫‪z>0‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪xyz > 0‬‬

‫‪xyz = 1‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬

‫ﻨﻀﻊ اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪F‬‬

‫ˆ‬ ‫‪DBF‬‬

‫و‬

‫ﺒﻤﺎ أن‬ ‫ﻓﺈن‪:‬‬ ‫ﻤن‬

‫‪1‬‬

‫ﻋﻠﻰ ] ‪ [ BC‬ﺒﺤﻴث ‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪DEC‬‬

‫‪ˆ = DEC‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪DBF‬‬

‫و‬

‫‪2‬‬

‫‪ˆ = BDF‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪CDE‬‬

‫)‬

‫‪1‬‬

‫(‬

‫زاوﻴﺘﺎن ﻤﺤﻴطﻴﺘﺎن ﺘﺤﺼران ﻨﻔس اﻝﻘوس‬ ‫)‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن‬

‫‪CED‬‬

‫و‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪DBF‬‬

‫ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺎن‬ ‫‪13‬‬

‫ا‬

(

3

)

‫أي‬

ˆ + EDF ˆ = BDF ˆ + EDF ˆ CDE

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

DFC

)

4

5

DB × CE + DC × BE = BF × DE + CF × DE

6

)

ˆ DEB

)

‫و‬

ˆ DCF

‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن‬

5

‫و‬

:‫ﻓﺈن‬

6

4

‫ﻤن‬

: ‫أي‬ : ‫وﻤﻨﻪ‬

DC × BE = CF × DE

: ‫ طرف ﺒطرف‬3 ‫و‬

‫ﺒﻤﺎ أن‬

ˆ = DEB ˆ DCF

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺘﻴن‬

DB × CE + DC × BE = DE ( BF + CF ) EC × DB + DC × EB = BC × ED

14

: ‫إذن‬

ˆ = EDB ˆ CDF

DC CF = DE BE

(

‫وﻤﻨﻪ‬ : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

( ‫و‬

DB BF = DE CE

ˆ = BDF ˆ CDE

‫زاوﻴﺘﺎن ﻤﺤﻴطﻴﺘﺎن ﺘﺤﺼران ﻨﻔس اﻝﻘوس‬

DBE

‫ا‬

DB × CE = BF × DE

(

‫ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺎن‬

‫ا‬:‫ذ‬

: ‫أي‬

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ‬

‫‪xy xz yz‬‬ ‫‪+ +‬‬ ‫‪≥ x+ y+z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﺒﻴن أن‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫‪AHB‬‬

‫ﻤﺜﻠث ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪ˆ = 120°‬‬ ‫‪ABH‬‬

‫و ) ‪ [ BC‬ﻫو ﻤﻨﺼف اﻝزاوﻴﺔ‬ ‫اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم اﻝﻤﺎر ﻤن‬

‫‪H‬‬

‫ˆ‬ ‫‪C ∈ [ HA] ) ABH‬‬

‫(‬

‫واﻝﻤوازي ﻝﻠﻤﺴﺴﺘﻘﻴم ) ‪ ( CB‬ﻴﻘطﻊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ‪ ( AB‬ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪D‬‬

‫‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪BH AB CB‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺔ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪= x2 + y 2 + z 2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪(x + y + z‬‬

‫‪1 1 1‬‬ ‫‪+ + =0‬‬ ‫‪x y z‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪ABC‬‬

‫ﻤﺜﻠث و اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪D‬‬

‫ﻤﻨﺘﺼف ] ‪[ BC‬‬

‫و ) ‪ ( AE‬اﻹرﺘﻔﺎع اﻝﻤواﻓق ﻝﻠﻀﻠﻊ ] ‪[ BC‬‬ ‫و اﻝﻨﻘطﺘﺎن‬ ‫ﺒﻴن أن‬

‫‪F‬‬

‫و‬

‫‪G‬‬

‫)‬

‫) ‪E ∈ ( BC‬‬

‫(‬

‫ﻫﻤﺎ اﻝﻤﺴﻘطﺎن اﻝﻌﻤودﻴﺎن ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ ﻝﻠﻨﻘطﺘﻴن‬

‫‪B‬‬

‫و‬

‫‪C‬‬

‫ﻋﻠﻰ ) ‪( AD‬‬

‫‪CG = BF‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪15‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

‫ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻟﺚ‬% 1 ‫ﲤﺮﻦ‬ c = xz

‫و‬

b = yz

‫و‬

a = xy

:‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث‬ (c − a)

a 2 − 2ab + b 2 + b 2 − 2bc + c 2 + c 2 − 2ac + a 2 ≥ 0 2 ( a 2 + a 2 + a 2 ) ≥ 2 ( ab + bc + ac )

1

2

≥0

c

‫و‬

b

‫و‬

a

‫ ( و‬b − c )2 ‫ ( و‬a − b )2 ≥ 0 : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

: ‫ ( أي‬a − b )2 + ( b − c )2 + ( c − a )2 ≥ 0 : ‫أي‬

: ‫أي‬

2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 2ab − 2bc − 2ac ≥ 0

1

× 2 ( a2 + b2 + c2 ) ≥

× 2 ( ab + bc + ac ) 2 abc b2 c2 ab bc ac + + ≥ + + abc abc abc abc abc abc

2 abc a2

a2 b2 c2 a 2b 2 b2c 2 a 2c 2 + + ≥ + + abc abc abc abc abc abc a2

+

abc

x2 y 2 x2 y2 z2

+

y2 z2 x2 y2 z 2

‫ﻝﺘﻜن‬

+

b2

c2

+

abc

≥

abc

x2 z 2 x2 y2 z 2

≥

: ‫أي‬ : ‫أي‬ : ‫أي‬

ab bc ac + + c a b

xy 2 z + xz

: ‫أي‬

: ‫أي‬

yz 2 x x 2 yz + xy yz

: ‫أي‬

x2 y 2 y 2 z 2 x2 z 2 + + ≥ y 2 + z 2 + x 2 : ‫أي‬ xyz xyz xyz xy yz xz + + ≥ y + z + x : ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬ z x y

2 ‫ﲤﺮﻦ‬

ˆ ABH

16

‫ [ ﻫو ﻤﻨﺼف اﻝزاوﻴﺔ‬BC ) ‫ﺒﻤﺎ أن‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

(

1

)

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

ˆ ˆ = HBC ˆ = ABH = 120 = 60 ABC 2 2

: ‫ﻓﺈن‬

ˆ = HBD ˆ + ABH ˆ DBA

‫وﻝدﻴﻨﺎ‬

ˆ = DBA ˆ − ABH ˆ =180° −120° = 60° HBD

: ‫إذن‬

‫ ( ﻗﺎطﻊ ﻝﻬﻤﺎ‬HB ) ‫ ( ﻤﺘوازﻴﺎن و‬HD ) ‫ ( و‬CB ) ‫ﺒﻤﺎ أن اﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن‬ (

ˆ = HBC ˆ = 60° BHD

: ‫ﻓﺈن‬

ˆ + DHB ˆ + HBD ˆ = 180 : HDB

‫وﻝدﻴﻨﺎ‬

2

)

(

ˆ = 180 − DHB ˆ + HBD ˆ HDB

(

3

)

)

‫وﻤﻨﻪ‬

ˆ = 180° − ( 60° + 60° ) = 180° − 120° = 60° HDB

‫ﻤﺘﺴﺎوي اﻷﻀﻼع‬

‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن اﻝﻤﺜﻠث‬

HDB

3

‫و‬

2

‫و‬

HD = HB = DB

‫أي‬

1

‫ﻤن‬

‫وﻤﻨﻪ‬

( HD ) / / ( CB ) ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ AH AD DH = = AC AB CB

(

AD = AB + BD

‫و‬

: ‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ طﺎﻝﻴس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن‬

AD DH : ‫أي‬ = AB CB AB + BD BH : ‫أي‬ HD = HB = DB ) = AB CB AB + BH 1 : ‫أي‬ = AB × BH CB AB BH 1 : ‫أي‬ = + AB × BH AB × BH CB 1 1 1 : ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬ + = BH AB CB

3 ‫ﲤﺮﻦ‬ (x + y + z)

= x2 + y 2 + z 2

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

+ 2 ( x + y ) z + z 2 = x2 + y2 + z 2

: ‫أي‬

x 2 + 2 xy + y 2 + 2 ( x + y ) z + z 2 = x 2 + y 2 + z 2

: ‫أي‬

( x + y)

2

2 ( xy + xz + yz ) = 0 xy xz yz + + =0 xyz xyz xyz

17

2

: ‫أي‬

: ‫أي‬

2 xy + 2 ( x + y ) z = 0 :

1 1 × 2 ( xy + xz + yz ) = 0 × 2 xyz 2 xyz

‫أي‬

: ‫أي‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬

‫‪1 1 1‬‬ ‫‪+ + =0‬‬ ‫‪x y z‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬

‫ﻨﺤﺴب ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠﺜﻴن‬

‫‪ABD‬‬

‫و‬

‫‪ACD‬‬

‫ﺒطرﻴﻘﺘﻴن ﻤﺤﺘﻠﻔﺘﻴن‬

‫اﻝطرﻴﻘﺔ اﻷوﻝﻰ ‪:‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫)‬

‫‪S ABD‬‬

‫ﻨﻌﻠم أن‬ ‫إذن‬

‫‪AE × BD‬‬ ‫‪2‬‬

‫و‬

‫= ‪S ABD‬‬

‫ﻫﻲ ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪AE × CD‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ABD‬‬

‫و‬

‫= ‪S ACD‬‬

‫‪S ACD‬‬

‫ﻫﻲ ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪ACD‬‬

‫(‬

‫‪BD = CD‬‬

‫‪S ABD = S ACD‬‬

‫اﻝطرﻴﻘﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪AD × BF‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺒﻤﺎ أن‬

‫‪S ABD = S ACD‬‬

‫= ‪S ABD‬‬

‫و‬

‫‪AD × CG‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪S ACD‬‬

‫‪AD × BF AD × CG‬‬ ‫ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AD × BF‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AD × CG‬‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬

‫‪BF = CG‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪18‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫ﻋددان ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﻤوﺠﺒﺎن ﻗطﻌﺎ‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ 4‬‬ ‫≤‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +y‬‬ ‫‪y +x‬‬ ‫‪xy‬‬

‫ﺒﻴن أن‬

‫‪4‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫‪ABC‬‬

‫ﻤﺜﻠث واﻝﻨﻘط‬

‫‪D‬‬

‫و‬

‫‪E‬‬

‫و‬

‫‪F‬‬

‫ﻫﻲ ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ‬

‫ﻤﻨﺘﺼﻔﺎت اﻝﻘطﻊ ] ‪ [ BC‬و ] ‪ [ AC‬و ]‪[ AB‬‬ ‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪AB + AC + BC‬‬ ‫‪< AD + CE + BF < AB + AC + BC‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪ EFG‬ﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫‪E‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪EF 4 + EG 4 < FG 4 :‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫ﺒﻴن ان ‪:‬‬

‫‪1 3 5‬‬ ‫‪2012 2014‬‬ ‫‪1‬‬ ‫× ‪× × × ...‬‬ ‫×‬ ‫<‬ ‫‪2 4 6‬‬ ‫‪2013 2015‬‬ ‫‪2016‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪19‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫‪%‬ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫أي ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪+ y) ≥ 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(x‬‬

‫‪x4 − 2x2 y + y 2 ≥ 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +y‬‬ ‫‪2 xy‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫أي ‪:‬‬ ‫)‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x4 + y 2 ≥ 2x2 y‬‬

‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫طرف ﺒطرف ‪:‬‬

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬ ‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫(‬

‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y +x‬‬ ‫‪2 yx‬‬

‫و‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪≤ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +y‬‬ ‫‪2x y‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪≤ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +y‬‬ ‫‪2x y‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+ 4‬‬ ‫≤‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +y‬‬ ‫‪y +x‬‬ ‫‪2 xy‬‬

‫)‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ 4‬‬ ‫≤‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +y‬‬ ‫‪y +x‬‬ ‫‪2 xy 2 yx‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬ ‫‪4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ 4‬‬ ‫≤‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +y‬‬ ‫‪y +x‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫ﻝﺘﻜن‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

‫‪M‬‬

‫‪D‬‬

‫ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ‬

‫‪A‬‬

‫ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫‪D‬‬

‫ﻤﻨﺘﺼف ] ‪[ BC‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪20‬‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫إذن‬

‫‪C‬‬

‫ا‬

‫ﻫﻲ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ‬

‫ﺒﻤﺎ أن‬

‫و‬

‫‪C‬‬

‫ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫ﻤن‬

‫و‬

‫ﻨﻌﻠم أن‬ ‫أي‬

‫‪M‬‬

‫)‬

‫‪1‬‬

‫‪AM < AC + CM‬‬

‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ADC‬‬

‫‪AB < AD + DB‬‬

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺘﻴن‬ ‫ﻨﻌﻠم أن ‪:‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ADB‬‬

‫)‬

‫‪5‬‬

‫و‬

‫‪5‬‬

‫طرف ﺒطرف ‪:‬‬

‫‪D‬‬

‫)‬

‫‪4‬‬

‫(‬

‫‪AC + AB < AD + DC + AD + DB‬‬

‫‪BC = BD + DC‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AC + AB − BC < 2 AD‬‬

‫ﻤن‬

‫‪AC < AD + DC‬‬

‫(‬

‫أي ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪A‬‬

‫ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫ﻴﻌﻨﻲ‬

‫‪D‬‬

‫ﻤﻨﺘﺼف ] ‪( [ AM‬‬

‫(‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪AC + AB < 2 AD + BC‬‬

‫و‬

‫ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ‬

‫‪M‬‬

‫)‬

‫‪2 AD < AC + AB‬‬

‫و‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪AM < AC + AB‬‬

‫) ﻷن‬

‫‪AM = 2 AD‬‬

‫‪A‬‬

‫ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫‪D‬‬

‫(‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪ACM‬‬

‫ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن‬ ‫و‬

‫و‬

‫‪B‬‬

‫ﻫﻤﺎ ﻤﻤﺎﺜﻠﺘﻲ‬

‫‪AB = CM‬‬

‫ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث‬ ‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫‪D‬‬

‫‪6‬‬

‫ﻨﺴﺘﻤﻨﺞ أن ‪:‬‬

‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن ‪:‬‬ ‫و‬ ‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬

‫‪7‬‬

‫و‬

‫‪8‬‬

‫)‬

‫‪6‬‬

‫(‬

‫‪AC + AB − BC < 2 AD < AC + AB‬‬ ‫‪AC + BC − AB < 2CE < AC + BC‬‬ ‫‪AB + BC − AC < 2 BF < AB + BC‬‬

‫و‬

‫‪9‬‬

‫)‬

‫‪7‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪8‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪9‬‬

‫(‬

‫طرف ﺒطرف ‪:‬‬

‫‪AC + AB − BC + AC + BC − AB + AB + BC − AC < 2 AD + 2CE + 2 BF < AC + AB + AC + BC + AB + BC‬‬

‫أي ‪:‬‬ ‫‪AC + AB − BC + AC + BC − AB + AB + BC − AC < 2 ( AD + CE + BF ) < 2 AC + 2 AB + 2 BC‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أي ‪× ( AB + AC + BC ) < × 2 ( AD + CE + BF ) < × 2 ( AC + AB + BC ) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AB + AC + BC‬‬ ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪< AD + CE + BF < AB + AC + BC :‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪ EFG‬ﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ ‪E‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪21‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

EF 2 + EG 2 = FG 2 : ‫إذن‬

: ( EF 4 + EG 4 ) − FG 4 2

‫ﻝﻨﺤدد إﺸﺎرة اﻝﻔرق‬

2

FG 4 − EF 4 − EG 4 = ( FG 2 ) − EF 4 − EG 4 = ( EF 2 + EG 2 ) − EF 4 − EG 4 2

2

= ( EF 2 ) + 2 EF 2 × EG 2 + ( EG 2 ) − EF 4 − EG 4 = EF 4 + 2EF 2 × EG 2 + EG 4 − EF 4 − EG 4 = 2 EF 2 × EG 2 > 0 EF 4 + EG 4 < FG 4 :

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

4 ‫ﲤﺮﻦ‬ 2 4 6 2013 2015 Y = × × × ... × × 3 5 7 2014 2016

‫و‬

1 3 5 2012 2014 X = × × × ... × × 2 4 6 2013 2015

: ‫ﻨﻀﻊ‬ : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

1 2 < 2 3 3 4 < 4 5 M 2012 2013 < 2013 2014 2014 2015 < 2015 2016 1 3 5 2012 2014 2 4 6 2013 2015 × × × ... × × < × × × ... × × 2 4 6 2013 2015 3 5 7 2014 2016 X <Y

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

X 2 < XY

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

X2 = X <

: XY =

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

XY

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

XY

‫ﻝﻨﺤﺴب‬

1 2 3 4 5 6 2012 2013 2014 2015 1 × × × × × × ... × × × × = 2013 2014 2015 2016 2016 2 3 4 5 6 7

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

1 1 : ‫إذن‬ = 2016 2016 1 3 5 2012 2014 1 : ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬ X = × × × ... × × < XY = 2 4 6 2013 2015 2016 XY =

22

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﳋﺎﻣﺲ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ‬

‫‪1 1 1‬‬ ‫‪+ + ≥9‬‬ ‫‪x y z‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪( x + y + z)‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫‪EFGH‬‬

‫رﺒﺎﻋﻲ ﻤﺤدب ﻗطراﻩ‬

‫] ‪ [ EG‬و ] ‪ [ FH‬ﻴﺘﻘﺎطﻌﺎن‬ ‫ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪O‬‬

‫ﻜﻤﺎﻫو ﻤﺒﻴن‬

‫ﻓﻲ اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ‬ ‫‪ : P‬ﻤﺤﻴط اﻝرﻴﺎﻋﻲ‬ ‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪EFGH‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪P < EG + FH < P‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫اﺤﺴب‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ .... +‬‬ ‫‪1× 2 3 × 4 5 × 6‬‬ ‫‪99 ×100‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ ... +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪51× 100 52 × 99 53 × 98‬‬ ‫‪99 × 52 100 × 51‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫أﻨﺸﺊ ﻗطﻌﺔ طوﻝﻬﺎ‬

‫‪10‬‬

‫) ﺘﺒرﻴر اﻹﻨﺸﺎء (‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪23‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

‫ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﳋﺎﻣﺲ‬% 1 ‫ﲤﺮﻦ‬ : ( x + y + z )  1 + 1 + 1  − 9 ‫ﻨﺤدد إﺸﺎرة اﻝﻔرق‬ x

z

y

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ 1 1 1 x x x y y y z z z + + −9 = + + + + + + + + −9 x y z x y z x y z x y z

(x + y + z)

x x y y z z + + +1+ + + +1− 9 y z x z x y x x y y z z = + + + + + −6 y z x z x y x y y z z x = + −2+ + −2+ + −2 y x z y x z = 1+

=

x 2 + y 2 − 2 xy y 2 + z 2 − 2 zy x 2 + z 2 − 2 xz + + xy zy xz

( x − y) =

2

xy

( z − y) + zy

(z − y) xz > 0

‫و‬

2

zy > 0

‫و‬

2

(x − z) +

2

xz

≥0

xy > 0

‫ ( و‬x − y )2 ≥ 0 ‫ ( و‬x − z )2 ≥ 0 ‫ﻨﻌﻠم أن‬ : ‫ﻓﺈن‬

z>0

‫و‬

2

y>0

‫و‬

2

x>0

‫ﺒﻤﺎ أن‬

2

1 1 1 ( x − y ) + ( z − y ) + ( x − z ) ≥ 0 : ‫إذن‬ (x + y + z) + +  − 9 = xy zy xz x y z 1 1 1 ( x + y + z )  + +  ≥ 9 : ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬ x y z

2 ‫ﲤﺮﻦ‬ : ‫ﻫو‬

EFGH

‫ﻤﺤﻴط اﻝرﺒﺎﻋﻲ‬

P = EF + FG + GH + HE EG < EH + HG

‫و‬

EG < EF + FG

EG + EG < EF + FG + EH + HG

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

EHG

‫و‬

EFG

‫ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠﺜﻴن‬

: ‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﻴﺘﻴن طرف ﺒطرف‬ 2 EG < P

24

: ‫أي‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

( ‫و‬

FH < GF + HG

FH < EF + EH

FH + FH < EF + EH + GF + HG

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

1

) ‫و‬

HGF

‫ا‬:‫ذ‬ P 2

EG < EHF

: ‫إذن‬

‫ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠﺜﻴن‬

: ‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﻴﺘﻴن طرف ﺒطرف‬ : ‫أي‬

2FH < P

( ( : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

3

)

EG + FH < P

‫و‬

)

2

P 2

FH <

: ‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬

: ‫إذن‬ ‫و‬

2

1

‫ﻤن‬

EOH

‫و‬

HGO

FOG

‫و‬

EFO

EH < OH + OE

‫و‬

HG < OG + OH

‫و‬

FG < OF + OG

EF < EO + OF

EF + FG + HG + EH < EO + OF + OF + OG + OG + OH + OH + OE :‫ﺒطرف‬ P < 2 EG + 2 FH

(

‫ا‬

4

)

: ‫أي‬

‫ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠﺜﺎت‬

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت طرف‬ : ‫أي‬

P < 2 ( EO + OG ) + 2 ( OF + OH )

P < EG + FH : ‫أي‬ 2 1 P < EG + FH < P 2

‫و‬

: ‫أي‬

P < 2 ( EG + FH )

: ‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬

4

‫و‬

3

‫ﻤن‬

3 ‫ﲤﺮﻦ‬ 1 1 1 1 : ‫ﻨﻀﻊ‬ + + + ... + 1× 2 3 × 4 5 × 6 99 × 100 1 1 1 1 1 ‫و‬ Y= + + + ... + + 51×100 52 × 99 53 × 98 99 × 52 100 × 51 1 1 1 1 : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ X= + + + ... + 1× 2 3 × 4 5 × 6 99 × 100 1   1 1 1 1 1  1 X = 1 −  +  −  +  −  + ... +  −  : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬  2 3 4 5 6  99 100   1 1   1  1 1   1  1 1   1  1 1  X = 1 +  − 2 ×   +  +  − 2 ×   +  +  − 2 ×   + ... +  +  − 2×  : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ 2   3  4 4   5  6 6  100    2  99  100 X=

1 1  1 1 1 1   1 1 1 1 1 X = 1 + + + + + ... + +  − 2  + + ... +  99 100   2 4 6 100   2 3 4 5 6 1 1   1 1 1   1 1 1 1 1 X = 1 + + + + + ... + +  −  1 + + ... +  99 100   2 3 50   2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 X = + + ... + + 51 52 53 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1     X + X =  + + ... + +  +  + + ... + +  99 100   51 52 53 99 100   51 52 53

25

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪1   1‬‬ ‫‪1   1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1   1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪2X =  +‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫‪ +  +  +  +  + ... +  +  + ‬‬ ‫‪ 51 100   52 99   53 98 ‬‬ ‫‪ 99 52   100 51 ‬‬ ‫‪151‬‬ ‫‪151‬‬ ‫‪151‬‬ ‫‪151‬‬ ‫‪151‬‬ ‫= ‪2X‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ ... +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪51×100 52 × 99 53 × 98‬‬ ‫‪99 × 52 100 × 51‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ ... +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 X = 151‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪99 × 52 100 × 51 ‬‬ ‫‪ 51×100 52 × 99 53 × 98‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪2 X = 151Y‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬

‫‪X 151‬‬ ‫=‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫اﻝﻤرﺤﻠﺔ اﻷوﻝﻰ ‪:‬‬ ‫ﻨﻨﺸﺊ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪ABC‬‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪AB = BC = 1‬‬

‫ﺠﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن ‪:‬‬ ‫‪AC 2 = AB 2 + BC 2‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪AC 2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2‬‬

‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬

‫‪AC = 2‬‬

‫اﻝﻤرﺤﻠﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻨﻨﺸﺊ اﻝﻨﻘطﺔ‬ ‫‪C‬‬

‫ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪D‬‬

‫ﺒﺤﻴث اﻝﻤﺜﻠث‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫‪ADC‬‬

‫‪DC = 2‬‬

‫ﺠﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن ‪:‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪+ 22 = 2 + 4 = 6‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪( 2‬‬

‫= ‪AD 2‬‬

‫‪AD 2 = AC 2 + DC 2‬‬

‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬

‫‪AD = 6‬‬

‫اﻝﻤرﺤﻠﺔ اﻝﺜﺎﻝﺜﺔ ‪:‬‬ ‫ﻨﻨﺸﺊ اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫'‪A‬‬

‫ﺒﺤﻴث اﻝﻤﺜﻠث‬

‫' ‪ADA‬‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫ﺠﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪= 4 + 6 = 10‬‬

‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬

‫‪AA ' = 10‬‬

‫)‪( 6‬‬

‫‪D‬‬

‫ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪DA ' = 2‬‬

‫‪AA '2 = DA '2 + AD 2‬‬

‫‪AA '2 = 2 2 +‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪26‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎدس‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ‬

‫)‪x >0‬‬

‫و‬

‫‪y>0‬‬

‫و‬

‫‪z>0‬‬

‫(‬

‫‪x y‬‬ ‫ﺒﻴن أن ‪+ ≥ 2‬‬ ‫‪y x‬‬ ‫‪x+ y y+ z x+ z‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫اﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪≥ 6 :‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪ x − 7 y + 8z = 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8 x + 4 y − z = 7‬‬

‫‪x2 − y 2 + z 2 = 1‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫ﻓﻲ اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫) ‪ ( AC ) / / ( BD‬و‬ ‫و‬

‫و‬

‫‪BD = 4‬‬

‫‪E‬‬

‫‪AC = 8‬‬

‫ﻨﻘطﺔ‬

‫ﺘﻘﺎطﻊ ) ‪ ( BC‬و ) ‪( AD‬‬

‫و‬

‫‪F‬‬

‫ﻨﻘطﺔ ﻤن اﻝﻘطﻌﺔ ]‪ [ AB‬ﺒﺤﻴث ) ‪( EF ) / / ( BD‬‬

‫اﺤﺴب‬

‫‪EF‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﺤﻴث ‪:‬‬ ‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫و‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ‬

‫‪xyz = 1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫و‬

‫و‪m‬‬

‫ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ‬

‫‪2 xm‬‬ ‫‪2 ym‬‬ ‫‪2 zm‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪xy + x + 1 yz + y + 1 xz + z + 1‬‬

‫=‪m‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪27‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫‪%‬ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎدس‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ - 1‬ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪x y‬‬ ‫‪x2 + y 2‬‬ ‫) ‪x 2 − 2 xy + y 2 ( x − y‬‬ ‫=‪+ −2‬‬ ‫=‪−2‬‬ ‫=‬ ‫‪≥0‬‬ ‫‪y x‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪xy‬‬

‫) ﻷن ‪ ( x − y )2 ≥ 0‬و‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪+ ≥2‬‬ ‫‪y x‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪ -2‬ﺤﺴب اﻝﺴؤال‬ ‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ‬

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬

‫أي ‪:‬‬ ‫إذن ‪:‬‬

‫‪xy > 0‬‬

‫(‬

‫‪1‬‬

‫‪x y‬‬ ‫اﻝﺴﺎﺒق ﻝدﻴﻨﺎ ‪+ ≥ 2 :‬‬ ‫‪y x‬‬ ‫‪y z‬‬ ‫ﻨﺒﻴن أن ‪+ ≥ 2 :‬‬ ‫‪z y‬‬ ‫‪x z‬‬ ‫و ‪+ ≥2‬‬ ‫‪z x‬‬

‫و‬

‫‪2‬‬

‫و‬

‫‪3‬‬

‫)‬

‫‪1‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪3‬‬

‫(‬

‫طرف ﺒطرف ‪:‬‬

‫‪x y y z x z‬‬ ‫‪+ + + + + ≥ 2+2+2‬‬ ‫‪y x z y z x‬‬ ‫‪x+ y y+ z x+ z‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪≥ 2+2+2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x+ y y+ z x+ z‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪≥6‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫ﻨﻀﻊ ‪:‬‬

‫)‪(1‬‬ ‫)‪( 2‬‬

‫‪ x − 7 y + 8 z = 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8 x + 4 y − z = 7‬‬

‫ﻨﻀرب اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ )‪ (1‬ﻓﻲ‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫واﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ )‪ ( 2‬ﻓﻲ‬

‫‪1‬‬

‫) ‪(×2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫)‪(×1‬‬

‫‪ x − 7 y + 8 z = 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8 x + 4 y − z = 7‬‬

‫‪ 2 x − 14 y + 16 z = 8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8 x + 4 y − z = 7‬‬

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﻌﺎدﻝﺘﻴن اﻝﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ طرف ﺒطرف ‪:‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪2 x − 14 y + 16 z + 8 x + 4 y − z = 8 + 7‬‬

‫‪28‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪10 x − 10 y + 15 z = 15‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫) ‪10 ( x − y ) = 15 (1 − z‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪(1 − z ) = (1 − z‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻨﻀرب اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ )‬

‫‪1‬‬

‫)‬

‫= ‪x− y‬‬

‫( ﻓﻲ‬

‫‪−1‬‬

‫‪3‬‬

‫(‬

‫واﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ )‬

‫‪2‬‬

‫( ﻓﻲ‬

‫‪2‬‬

‫‪:‬‬

‫) )‪(× ( −1‬‬ ‫) ‪(×2‬‬

‫‪ x − 7 y + 8 z = 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8 x + 4 y − z = 7‬‬

‫‪ − x + 7 y − 8 z = −4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16 x + 8 y − 2 z = 14‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﻌﺎدﻝﺘﻴن اﻝﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ طرف ﺒطرف ‪:‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪15 x + 15 y − 10 z = 10‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫) ‪15 ( x + y ) = 10 (1 + z‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪(1 + z ) = (1 + z‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻨﻀرب اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺘﺎن‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫و‬

‫= ‪x+ y‬‬

‫‪4‬‬

‫)‬

‫‪4‬‬

‫‪− x + 7 y − 8 z + 16 x + 8 y − 2 z = −4 + 14‬‬

‫(‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫طرف ﺒطرف ‪( x − y ) × ( x + y ) = (1 − z ) × (1 + z ) :‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x2 − y 2 = 1 − z 2‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬

‫‪x2 − y 2 + z 2 = 1‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫ﺒﺘطﺒﻴق طﺎﻝﻴس اﻝﻤﺒﺎﺸرة ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث ‪: ABC‬‬ ‫‪BF BE EF‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪BA BC AC‬‬

‫وﻤﻨﻪ‬

‫‪BF EF‬‬ ‫=‬ ‫‪BA AC‬‬

‫)‬

‫‪1‬‬

‫(‬

‫ﺒﺘطﺒﻴق طﺎﻝﻴس اﻝﻤﺒﺎﺸرة ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث ‪: ADB‬‬ ‫‪AF EF‬‬ ‫‪AF AE EF‬‬ ‫وﻤﻨﻪ‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪AB DB‬‬ ‫‪AB AD DB‬‬

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺘﺎن‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫إذن ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫و‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫طرف ﺒطرف ﻨﺠد ‪:‬‬

‫‪BF AF EF EF‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪BA AB AC DB‬‬ ‫‪1  BF + AF AB‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪EF ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪=1‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪ AC DB ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪AC DB EF‬‬

‫اﻝﺘطﺒﻴق اﻝﻌددي ‪:‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪29‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

1 1 1 4 + 8 12 = + = = EF 8 4 32 32 32 8 = EF = 12 3

4 ‫ﲤﺮﻦ‬ 1 ‫ و‬yz = 1 : ‫ ﻓﺈن‬xyz = 1 : ‫ﺒﻤﺎ أن‬ y x 2 xm 2 ym 2 zm + + = 1 : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ xy + x + 1 yz + y + 1 xz + z + 1 2 xm 2 ym 2 zm + + = 1 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ xy + x + 1 1 + y + 1 1 + z + 1 x y 2 xm 2 ym 2 zm + + = 1 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ xy + x + 1 1 + xy + x 1 + yz + y x y 2 xm 2 xym 2 yzm + + = 1 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ xy + x + 1 1 + xy + x 1 + yz + y 2 xm 2 xym 2 yxm + + = 1 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ xy + x + 1 1 + xy + x 1 + 1 + y x 2 xm 2 xym 2 yzm + + = 1 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ xy + x + 1 1 + xy + x 1 + xy + x x 2 xm 2 xym 2 xyzm + + = 1 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ xy + x + 1 1 + xy + x 1 + xy + x 2 xm + 2 xym + 2 ×1× m = 1 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ xy + x + 1

xz =

(

) =1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

2m = 1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

2m x + xy + 1 xy + x + 1

m=

30

1 2

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎﺑﻊ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫و‬

‫‪z‬‬

‫‪ -1‬ﺒﻴن أن‬ ‫‪ -2‬اﺴﺘﻨﺘﺞ‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫≥ ‪+‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪x y x+ y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫≥‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫أن ‪:‬‬ ‫‪2x 2 y 2z x + y y + z z + x‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫ﻓﻲ اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﻝدﻴﻨﺎ‬

‫‪S ∈ [ PM ] :‬‬

‫و‬

‫] ‪R ∈ [ NM‬‬

‫و ) ‪ ( AR ) / / ( NS‬و ) ‪( PR ) / / ( BS‬‬ ‫‪MA MB‬‬ ‫=‬ ‫‪MP MN‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪ ABC‬ﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ ‪C‬‬ ‫ﺒﻴن أن ‪BC K > AB k + AC K :‬‬

‫) ‪( K >2‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫و‬

‫‪z‬‬

‫و‬

‫'‪x‬‬

‫و‬

‫'‪y‬‬

‫و‬

‫'‪z‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪( x + y + z )( x '+ y '+ z ') :‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪= = =m‬‬ ‫'‪x' y' z‬‬

‫= ' ‪xx ' + yy ' + zz‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪31‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

‫ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎﺑﻊ‬% 1 ‫ﲤﺮﻦ‬ 2

2

x + y ) − 4 xy x 2 − 2 xy + y 2 ( ( x − y) ≥ 0 1 1 4 y+x 4 + − = − = = = x y x+ y xy x+ y xy ( x + y ) xy ( x + y ) xy ( x + y )

(

xy ( x + y ) ≥ 0

‫ﻴﻌﻨﻲ‬

‫و‬

y>0

x>0

: ‫ ﻝدﻴﻨﺎ‬-1

‫ ( و ﻝدﻴﻨﺎ‬x − y )2 ≥ 0 : ‫) ﻷن‬ 1 1 4 + ≥ x y x+ y

(

1

)

(

2

)

(

3

)

1 1 4 + ≥ x y x+ y 1 1 4 + ≥ y z y+z 1 1 4 + ≥ x z x+ z

1 1 1 1 1 1 4 4 4 + + + + + ≥ + + x y y z x z x+ y y+z x+z

: ‫إذن‬

: ‫ ﺤﺴب اﻝﺴؤال اﻝﺴﺎﺒق ﻝدﻴﻨﺎ‬-2 : ‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن‬ ‫و‬

: ‫طرف ﺒطرف‬

3

‫و‬

2

‫و‬

1

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬

 1 2 2 2 1 1  + + ≥ 4 + +  x y z  x+ y y+ z x+ z 

: ‫أي‬

1 1 1 1 1  1 1 1  × 2 + +  ≥ × 4 + +  : ‫أي‬ 4  x y z 4  x+ y y+z x+z 11 1 1 1 1 1 + + : ‫أي‬  + + ≥ 2 x y z  x+ y y+ z x+ z 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + : ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬ 2x 2 y 2z x + y y + z z + x

2 ‫ﲤﺮﻦ‬ ( AR ) / / ( NS ) : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ MA MR = MS MN

‫وﻤﻨﻪ‬

MA MR AR = = MS MN SN

1

)

MS × MR = MA × MN

( PR ) / / ( BS ) : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

‫وﻤﻨﻪ‬

MB MS BS = = MR MP PR

MRP

‫أي‬

‫ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث‬

: ‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ طﺎﻝﻴس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن‬ (

32

‫ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث‬

: ‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ طﺎﻝﻴس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن‬ (

MB MS = MR MP

MSN

2

)

MS × MR = MB × MP

‫أي‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

MA × MN = MB × MP

‫ا‬:‫ذ‬

: ‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬

2

MA MB = MP MN

‫و‬

1

‫ا‬

‫ﻤن‬

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

3 ‫ﲤﺮﻦ‬ C

‫ ﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬ABC

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ : ‫إذن‬

BC 2 = AB 2 + AC 2 BC 2 × BC K − 2 = AB 2 × BC K − 2 + AC 2 × BC K − 2

( BC K − 2 > AC K − 2

‫و‬

: ‫ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ‬ 1

)

2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

BC K − 2 > AB K − 2

)

‫ﻨﻀرب طرﻓﻲ اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺔ ﻓﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

BC K = AB 2 × BC K − 2 + AC 2 × BC K − 2

BC K − 2 × AC 2 > AC K − 2 × AC 2

(

BC K − 2

‫و‬

BC > AB

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

BC K − 2 × AB 2 > AB K − 2 × AB 2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

BC K − 2 × AC 2 > AC K

BC > AC

‫و‬

‫و‬

: ‫إذن‬

BC K − 2 × AB 2 > AB k

BC K > AB k + AC K

: ‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬

2

‫و‬

1

‫ﻤن‬

4 ‫ﲤﺮﻦ‬ z = mz '

‫و‬

x y z = = =m x' y' z'

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

‫و‬

: ‫إذن‬

y = my '

x = mx '

:‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ xx ' + yy ' + zz ' = mx ' x ' + my ' y ' + mz ' z ' = mx '2 + my '2 + mz '2 = x' m + y' m + z' m = m ( x '+ y '+ z ')

‫و‬ ( x + y + z )( x '+ y '+ z ') = ( mx '+ my '+ mz ')( x '+ y '+ z ') = m ( x '+ y '+ z ')( x '+ y '+ z ') = m ( x '+ y '+ z ')

xx ' + yy ' + zz ' =

33

( x + y + z )( x '+ y '+ z ') : ‫إذن‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻣﻦ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫ﻋددان ﻤوﺠﺒﺎن ﻗطﻌﺎ‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪x+ y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫≤‬ ‫‪+‬‬ ‫‪xy + x + 1 x + 1 y + 1‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫ﻤرﺒﻊ‬

‫‪EFGH‬‬

‫و اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪P‬‬

‫ﺘوﺠد ﻓﻲ داﺨﻠﻪ‬

‫ﻜﻤﺎﻫو ﻤﺒﻴن ﻓﻲ اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ‬ ‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪GP 2 + EP 2 = HP 2 + FP 2‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫ﻋددﻴن ﺤﻘﻴﻘﻴﻴن ﻤﺨﺘﻠﻔﻴن ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﻴن ﺒﺤﻴث ‪( x − y )( 3x − 2 y ) = xy :‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x+ y‬‬ ‫‪x− y‬‬

‫اﺤﺴب‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒر اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬ ‫‪ABDC‬‬

‫ﻤرﺒﻊ و‬

‫‪BD = 6cm‬‬

‫و‬

‫‪r‬‬

‫ﻫو‬

‫ﺸﻌﺎع اﻝداﺌرة ) ‪( C‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪r = 1cm‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪34‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫‪%‬ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻣﻦ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪x>0‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫إذن ‪:‬‬

‫و‬

‫‪y>0‬‬

‫‪x+ y ≥ x‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≤‬ ‫‪x + y +1 x +1‬‬

‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫)‬

‫‪x + y +1 ≥ x +1‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫‪x + y +1 x +1‬‬

‫(‬

‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫≤‬ ‫‪y + x +1 y +1‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫≤‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻤن ‪ 1‬و ‪ 2‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪:‬‬ ‫‪x + y +1 y + x +1 x +1 y +1‬‬ ‫‪x+ y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫≤‬ ‫‪+‬‬ ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬ ‫‪x + y +1 x +1 y +1‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬

‫ﺘﻌﺘﺒر اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪A‬‬

‫اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫‪P‬‬

‫ﻋﻠﻰ ] ‪[ EF‬‬

‫و اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪C‬‬

‫اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫‪P‬‬

‫ﻋﻠﻰ ] ‪[ FG‬‬

‫و اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪B‬‬

‫اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫‪P‬‬

‫ﻋﻠﻰ ] ‪[GH‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪35‬‬

‫ا‬

[ EH ] ‫ﻋﻠﻰ‬ : (

HB = DP

PHB

‫و‬

‫و‬

PCG

AF = PC

‫و‬

‫و‬

AFP

CG = PB

‫و‬ ‫و‬

AEP

P

‫اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫ا‬:‫ذ‬

D

‫ا‬

‫و اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫ﻨطﺒق ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺜﻠﺜﺎت‬

AE = DP )

 EP 2 = AP 2 + AE 2 = AP 2 + DP 2  2 2 2 2 2  PG = PC + CG = PC + PB  2 2 2 2 2  PF = AP + AF = AP + PC  PH 2 = PB 2 + HB 2 = PB 2 + DP 2 

: ‫إذن‬ PG 2 + EP 2 = PC 2 + PB 2 + AP 2 + DP 2 = PB 2 + DP 2 + AP 2 + PC 2 = PH 2 + PF 2

3 ‫ﲤﺮﻦ‬ 3 x 2 − 2 xy − 3 xy + 2 y 2 − xy = 0

:‫ﻴﻌﻨﻲ‬

( x − y )( 3x − 2 y ) = xy : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

 2 y2  3  x 2 − 2 xy + =0 3    y2  2 x − y − ( )  =0 3  

:‫ﻴﻌﻨﻲ‬

3 x 2 − 6 xy + 2 y 2 = 0

:‫ﻴﻌﻨﻲ‬

 2 y2  2 x − 2 xy + y −   = 0 :‫ﻴﻌﻨﻲ‬ 3   y  y   x− y+  x − y −  = 0 :‫ﻴﻌﻨﻲ‬ 3  3  y y x− y− =0 ‫ و‬x− y+ = 0 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ 3 3 y x= y+ ‫ و‬x = y − y : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ 3 3

:‫ﻴﻌﻨﻲ‬

: ‫إذن‬ y y + y 2y − x+ y 3 3 = 2 3 −1 = 1− 2 3 = = y x− y y− y − y −1 − 3 3 y−

‫أو‬ y y y+ + y 2y + x+ y 3 3 = 1+ 2 3 = = y y x− y y+ −y 3 3

36

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒر اﻝﻨﻘطﺔ‬ ‫‪O‬‬

‫‪H‬‬

‫اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫ﻋﻠﻰ ) ‪( CD‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪ˆ = 90°‬‬ ‫‪OHD‬‬

‫ﺒﻤﺎ أن ) ‪ ( DN‬ﻤﻤﺎﺴﺎ ﻝﻠداﺌرة ) ‪ ( C‬ﻓﻲ‬ ‫اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪N‬‬

‫ﻓﺈن‪ ( DN ) ⊥ ( ON ) :‬وﻤﻨﻪ‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪ˆ = 90°‬‬ ‫‪DNO‬‬

‫‪ˆ = 360 − DNO‬‬ ‫‪ˆ − OHD‬‬ ‫‪ˆ − HDN‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪HON‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ‪ˆ = 360° − 90° − 90° − 90° = 90° :‬‬ ‫‪HON‬‬

‫ﺒﻤﺎ أن‬

‫‪ˆ = DNO‬‬ ‫‪ˆ = OHD‬‬ ‫‪ˆ = HDN‬‬ ‫‪ˆ = 90°‬‬ ‫‪HON‬‬

‫ﻓﺈن اﻝرﺒﺎﻋﻲ‬ ‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬

‫‪ONDH‬‬

‫ﻤﺴﺘطﻴل‬

‫‪OH = ND‬‬

‫وﻨﻌﻠم أن ‪:‬‬

‫‪CH = CD − HD‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪CH = 6 − r‬‬

‫ﺤﺴﺎب‬

‫‪:‬‬

‫‪OH‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪OHC‬‬

‫و‬

‫و‬

‫‪CO = CM + MO‬‬

‫و‬

‫‪CO = 6 + r‬‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫‪DO = 6 − r‬‬

‫‪H‬‬

‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن ‪:‬‬ ‫اي ‪:‬‬ ‫أي ‪:‬‬

‫‪OH 2 = CO 2 − CH 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪CO 2 = CH 2 + OH 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪OH 2 = ( 6 + r ) − ( 6 − r‬‬

‫‪OH 2 = 36 + 12r + r 2 − 36 + 12r − r‬‬

‫ﺤﺴﺎب‬

‫‪r‬‬

‫‪ODN‬‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫‪D‬‬

‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن ‪:‬‬ ‫اي ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪36 − 12r + r 2 = r 2 + 24r‬‬

‫‪24r‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬

‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬

‫‪OH = 24r‬‬

‫‪:‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫)‬

‫و‬

‫‪DO = DP − PO‬‬

‫(‬

‫‪= r2 +‬‬

‫‪2‬‬

‫‪OD 2 = ON 2 + DN 2‬‬

‫) ‪DO = 6 − r‬‬

‫) ‪(6 − r‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫و‬

‫‪OH = ND‬‬

‫(‬

‫‪36r = 36‬‬

‫‪r =1‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪37‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺘﺎﺳﻊ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫ﻋددﻝن ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x >1‬‬

‫و‬

‫‪y >1‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪≥8‬‬ ‫‪y −1 x −1‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫‪ EFG‬ﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫‪F‬‬

‫ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪M‬‬

‫ﻤﻨﺘﺼف ] ‪[ EF‬‬

‫اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪N‬‬

‫ﻫﻲ اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫‪M‬‬

‫‪EF < FG‬‬

‫ﻋﻠﻰ ) ‪( EG‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪GN 2 − EN 2 = FG 2‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪m‬‬

‫ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤوﺠب ﻗطﻌﺎ ﻗطﻌﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪≥2‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪ -1‬ﺒﻴن أن‬ ‫‪-2‬‬

‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫و‬

‫‪z‬‬

‫و‬

‫‪m+‬‬ ‫‪t‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ‬

‫‪ 1 1 1 1‬‬ ‫‪+ + +  ≥ 16‬‬ ‫‪x y z t‬‬

‫‪( x + y + z + t)‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪ABCD‬‬

‫ﻤﺘوازي اﻷﻀﻼع و‬

‫ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث‬ ‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪AMD‬‬

‫‪M‬‬

‫و‬

‫اﻹرﺘﻔﺎع اﻝﻤﺎر ﻤن‬

‫‪N‬‬ ‫‪D‬‬

‫ﻤﻨﺘﺼﻔﺎ ] ‪ [ BC‬و ] ‪ [ AD‬ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ‬ ‫ﻴﻘطﻊ ) ‪ ( AM‬ﻓﻲ‬

‫‪E‬‬

‫‪CE = CD‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪38‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫‪%‬ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺘﺎﺳﻊ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪x >1‬‬

‫و‬

‫‪y >1‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪x −1 > 0‬‬

‫و‬

‫‪y −1 > 0‬‬

‫ﻨﻀﻊ ‪:‬‬

‫‪a = x −1‬‬

‫و‬

‫‪b = y −1‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫إذن ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫و‬

‫‪x = a +1‬‬

‫‪y = b +1‬‬

‫و‬

‫)‪x 2 = ( a + 1‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪y 2 = ( b + 1‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪( a + 1) + ( b + 1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪y −1 x −1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪a 2 + 2a + 1 b 2 + 2b + 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a +1 b +1  a b ‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ 2 + ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b a‬‬ ‫=‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪≥0‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪a 2 + 2ab + b 2 ≥ 0‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪(a + b‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪a 2 + b 2 ≥ 2ab‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≥ ) ‪× ( a 2 + b2‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪× 2 ab :‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫إذن ‪2  +  ≥ 4 :‬‬ ‫‪b a‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪≥0‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪a 2 − 2a + 1 ≥ 0‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪a b‬‬ ‫‪+ ≥2‬‬ ‫‪b a‬‬

‫)‪( a − 1‬‬

‫‪a 2 + 1 2a‬‬ ‫≥‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫)‬

‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن ‪:‬‬ ‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺘﻴن‬

‫‪2‬‬

‫و‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a 2 + 1 ≥ 2a‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪× ( a 2 + 1) ≥ × 2a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬

‫(‬

‫‪b 2 + 1 2b‬‬ ‫≥‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬

‫)‬

‫‪3‬‬

‫(‬

‫طرف ﺒطرف ‪:‬‬

‫‪a 2 + 1 b 2 + 1 2a 2b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫≥‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪39‬‬

‫ا‬

(

)

4

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

a 2 + 1 b2 + 1 a b + ≥ 2 +  b a b a

: ‫أي‬

a 2 + 1 b2 + 1 a b + ≥ 2 +  : b a b a

‫وﻤﻨﻪ‬

x2 y2 a 2 + 1 b2 + 1  a b  + = + + 2 +  ≥ 4 + 4 y −1 x −1 b a b a

: ‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ x2 y2 + ≥8 y −1 x −1

‫و‬

4

1

‫ﻤن‬

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

2 ‫ﲤﺮﻦ‬ ‫ﻗﺎﺌﻤﺎ اﻝزاوﻴﺔ‬ ‫و‬

MG 2 = MN 2 + GN 2

ME 2 = MN 2 + EN 2

MNG

‫و‬

MEN

‫ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن‬

: ‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن‬ ‫و‬

GN 2 = MG 2 − MN 2

EN 2 = ME 2 − MN 2

: ‫وﻤﻨﻪ‬

GN 2 − EN 2 = MG 2 − MN 2 − ( ME 2 − MN 2 ) :

(

1

)

( [ EF ] ‫ﻤﻨﺘﺼف‬

GN 2 − EN 2 = MG 2 − ME 2

: ‫وﻤﻨﻪ‬

GN 2 − EN 2 = MG 2 − MF 2

: ‫وﻤﻨﻪ‬

‫ﻷن اﻝﻨﻘطﺔ‬

M

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ‬ MG 2 = MF 2 + FG 2

‫وﻤﻨﻪ‬

ME = MF

MGF

)

‫ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن‬

: ‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن‬ (

2

)

FG 2 = MG 2 − MF 2

GN 2 − EN 2 = FG 2

: ‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬

2

: ‫وﻤﻨﻪ‬ ‫و‬

1

‫ﻤن‬

3 ‫ﲤﺮﻦ‬ 1 m+ ≥ 2 m

2

: ‫إذن‬

1 m2 + 1 m 2 + 1 − 2m ( m − 1) m+ −2= −2= = ≥0 m m m m

: ‫ ﻝدﻴﻨﺎ‬-1 : ‫ ﻝدﻴﻨﺎ‬-2

 1 1 1 1 x x x y y y z z z t t t + + +  = 1+ + + + +1+ + + + +1+ + + + +1 y z t x z t x y t x y z x y z t

(x + y + z + t)

 x y x z x t   =  + + + + + +  y x  z x  t x  x x t x z + + ≥2 ‫و‬ + ≥2 ‫و‬ t x z x y 40

y z y t  z t + + + + + +4 z y  t y t z y ≥ 2 : ‫ ﻝدﻴﻨﺎ‬1 ‫ﺤﺴب اﻝﺴؤال‬ x

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬ z t + ≥2 t z

‫و‬

y t + ≥2 t y

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

y z + ≥2‫و‬ z y

‫و‬

: ‫إذن‬  1 1 1 1 x x x y y y z z z t t t + + +  = 1+ + + + +1+ + + + +1+ + + + +1 y z t x z t x y t x y z x y z t

(x + y + z + t)

 x y x z x t   y z  y t  z t  =  + + + + + + + + + + + +4  y x  z x  t x  z y  t y  t z ≥ 2+2+2+2+2+2+4  1 1 1 1 + + +  ≥ 16 x y z t

( x + y + z + t)

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

4 ‫ﲤﺮﻦ‬

‫ [ ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ‬AD ] ‫ [ و‬BC ] ‫ﻤﻨﺘﺼﻔﺎ‬

‫و‬

N

M

‫ﻤﺘوازي اﻷﻀﻼع و‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

ABCD

‫ ( و‬MC ) / / ( AN ) : ‫إذن‬

MC = AN

‫ﻤﺘوازي اﻷﻀﻼع‬

ANCM

‫ اﻝرﺒﺎﻋﻲ‬: ‫وﻤﻨﻪ‬

( AM ) / / ( NC ) : ‫وﻤﻨﻪ‬

( ( AM ) ⊥ ( DE ) ‫) ﻷن‬

(

( CN ) / / ( AE ) ‫ [ و‬AD ] ‫ﻤﻨﺘﺼف‬

(

2

)

1

) N

( CN ) ⊥ ( DE ) : ‫وﻤﻨﻪ‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

ADE

( DE ) ‫ ( ﻴﻤر ﻤن ﻤﻨﺘﺼف‬CN ) ‫إذن‬

[ DE ] ‫ ( ﻫو واﺴط اﻝﻘطﻌﺔ‬CN ) ‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ CE = CD

41

‫ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث‬

2

‫و‬

1

‫ﻤن‬

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﻌﺎﴍ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫‪z‬‬

‫‪ -1‬ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫و‬

‫‪t‬‬

‫‪t +1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ -1‬اﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪:‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪x + y + z =1‬‬

‫≤‪t‬‬

‫‪2x + 1 + 2 y + 1 + 2z +1 ≤ 4‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫‪EFG‬‬

‫ﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪M‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪E‬‬

‫اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫‪E‬‬

‫ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ‪( FG‬‬

‫‪EF + EG < EM + FG‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪ABCD‬‬

‫رﺒﺎﻋﻲ ﺒﺤﻴث ‪( AB ) ⊥ ( AC ) :‬‬

‫و ) ‪ ( DC ) ⊥ ( AC‬واﻝﻨﻘطﺔ‬ ‫اﻝﻨﻔطﺔ‬ ‫‪E‬‬

‫‪H‬‬

‫‪E‬‬

‫ﻤﻨﺘﺼف ]‪[ BD‬‬

‫ﻫﻲ اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫ﻋﻠﻰ ) ‪( AC‬‬

‫ﺒﻴن أن‬

‫‪2EH = AB + DC‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫اﺤﺴب ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1000 999 + 999 1000‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪+ ... +‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3 2 +2 3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2 1 +1 2‬‬

‫=‪S‬‬

‫‪42‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

‫ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﻌﺎﴍ‬% 1 ‫ﲤﺮﻦ‬ ( 2 t ≤ t +1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

−2 t ≥ −t − 1

(

)

)

2

t −1 ≥ 0

: ‫ ﻝدﻴﻨﺎ‬-1

2

t −1 = t − 2 t +1 ≥ 0

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

1 1 × 2 t ≤ ( t + 1) : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ 2 2 t +1 : ‫إذن‬ t≤ 2 2x + 1 ≤ 2 y +1 ≤

( 2 x + 1) + 1

: ‫ ﻝدﻴﻨﺎ‬1 ‫ ﺤﺴب اﻝﺴؤال‬-2

2 2 y + ( 1) + 1

2z + 1 ≤

‫و‬

2 ( 2 z + 1) + 1

2 ( 2 x + 1) + 1 + ( 2 y + 1) + 1 + ( 2 z + 1) + 1 2x +1 + 2 y +1 + 2z +1 ≤ 2 2 2

‫و‬

: ‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت طرف ﺒطرف‬

2x + 2 y + 2z + 6 2 2( x + y + z) + 6 2x + 1 + 2 y + 1 + 2z +1 ≤ 2 ‫ ﻴﻌﻨﻲ‬2 x + 1 + 2 y + 1 + 2 z + 1 ≤ 2 ×1 + 6 2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

2x +1 + 2 y +1 + 2z +1 ≤

2x +1 + 2 y +1 + 2z +1 ≤

8 2

:

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

2x + 1 + 2 y + 1 + 2z +1 ≤ 4

: ‫إذن‬

2 ‫ﲤﺮﻦ‬ : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ ( EM + FG )

S EFG

( ( 43

1

2

= EM 2 + 2 EM × FG + FG 2

 EM × FG  2 = EM 2 + 4   + FG 2   EM × FG EF × EG : ‫ﻨﻌﻠم أن‬ = = 2 2

EFG

‫ ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث‬:

S EFG )

) ( EM + FG )2 = EM 2 + 4S EFG + FG 2 : ‫إذن‬ https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ ( EF + EG )

2

= EF 2 + 2 EF × EG + EG 2  EF × EG  = EF 2 + EG 2 + 4   2  

(

E

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

EFG

(

2

‫ﻷن اﻝﻤﺜﻠث‬ )

( EF + EG )

: ‫طرف ﺒطرف‬ 2

( EF + EG ) − ( EM + FG )

2

FG 2 = EF 2 + EG 2 )

2

‫و‬

2

= FG 2 + 4 S EFG

: ‫إذن‬

‫ﻨﻘوم ﺒطرح اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺘﻴن‬

1

= FG 2 + 4 S ABC − ( EM 2 + 4 S ABC + FG 2 ) = FG 2 + 4 S ABC − EM 2 − 4 S ABC − FG 2 = − EM 2 < 0

( EF + EG )

2

< ( EM + FG )

EF + EG < EM + FG

2

: ‫إذن‬

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

3 ‫ﲤﺮﻦ‬

BG BE GE = = BC BD CD

: BCD ‫ﺒﺘطﺒﻴق طﺎﻝﻴس اﻝﻤﺒﺎﺸرة ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث‬

( [ BD] ‫ ﻤﻨﺘﺼف‬E ‫) ﻷن‬

( GE ) / / ( CD ) ‫ [ و‬BD] ‫ﻤﻨﺘﺼف‬

GE BE BE 1 :‫ﻴﻌﻨﻲ‬ = = = CD BD 2 BE 2 ( 1 ) GE = 1 CD ‫إذن‬ 2 E ‫ اﻝﻨﻘطﺔ‬BCD ‫ﻝدﻴﻨﺎ ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث‬

[ BC ] ‫ﻤﻨﺘﺼف‬ 44

G ‫إذن‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

CH CG HG : ABC ‫ﺒﺘطﺒﻴق طﺎﻝﻴس اﻝﻤﺒﺎﺸرة ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث‬ = = CA CB AB HG CG 1 ‫وﻤﻨﻪ‬ ( [ BC ] ‫ ﻤﻨﺘﺼف‬G ) = = AB CB 2 ( 2 ) HG = 1 AB : ‫إذن‬ 2 1 1  2 EH = 2 ( HG + GE ) = 2  AB + CD  = AB + CD : ‫ ﻨﺴﺘﻤﻨﺞ أن‬2 ‫ و‬1 ‫ﻤن‬ 2 2 

4 ‫ﲤﺮﻦ‬ : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ x x − 1 − ( x − 1) x 1 1 = × x x − 1 + ( x − 1) x x x − 1 + ( x − 1) x x x − 1 − ( x − 1) x =

=

=

x x − 1 − ( x − 1) x 2

x 2 ( x − 1) − ( x − 1) × x x x − 1 − ( x − 1) x x − x 2 − x ( x 2 − 2 x + 1) 3

x x − 1 − ( x − 1) x x3 − x 2 − x3 + 2 x 2 − x

x x − 1 − ( x − 1) x x2 − x x x − 1 − ( x − 1) x = x ( x − 1) =

(

)

=

x −1 x x x −1 − x ( x − 1) x x − 1

=

x −1 x − x −1 x

(

)

: ‫إذن‬ S= =

1 1 1 + + ... + 2 1 +1 2 3 2 + 2 3 1000 999 + 999 1000 1 2 2 3 999 1000 − + − + ...... + − 1 2 2 3 999 1000

= 1− 45

1000 10 10 10 = 1− = 1− 1000 1000 100 https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﳊﺎدي ﻋﴩ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒر اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬ ‫اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ‪ ( DE‬ﻤﻤﺎس ﻝﻠداﺌرة اﻝﺼﻐﻴرة‬ ‫و‬

‫‪DE = 8cm‬‬

‫اﺤﺴب‬

‫'‪S‬‬

‫ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤطﻘﺔ اﻝﻤظﻠﻠﺔ‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫و‬

‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺔ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪= 1287‬‬ ‫‪xyz‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪x+‬‬

‫و‬

‫‪1‬‬ ‫‪= 11‬‬ ‫‪z‬‬

‫‪y+‬‬

‫و‬

‫‪1‬‬ ‫‪= 12‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪z+‬‬

‫‪xyz +‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪EFG‬‬

‫ﻤﺜﻠث ﻤﺘﺴﺎوي اﻝﺴﺎﻗﻴن ﻓﻲ‬

‫‪E‬‬

‫و‬

‫‪A‬‬

‫ﻨﻘطﺔ ﻤن ] ‪[ FG‬‬

‫و ]‪ [ FD‬اﻹرﺘﻘﺎع اﻝﻤواﻓق ﻝﻠﻀﻠﻊ ] ‪[ EG‬‬ ‫و اﻝﻨﻘطﺘﺎن‬ ‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫و‬

‫‪C‬‬

‫ﻫﻤﺎ اﻝﻤﺴﻘطﺎن اﻝﻌﻤودﻴﺎن ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫‪A‬‬

‫ﻋﻠﻰ ) ‪ ( EF‬و ) ‪ ( EG‬ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ‬

‫‪FD = AB + AC‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫ﻋددﻴن ﺤﻘﻴﻘﻴﻴن‬ ‫)‪+ 1)( y 2 + 1) ≥ x ( y 2 + 1) + y ( x 2 + 1‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(x‬‬

‫‪46‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫‪%‬ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﳊﺎدي ﻋﴩ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬

‫ﻨﻌﺘﺒر اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫'‪O‬‬

‫و اﻝﻨﻘطﺔ‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫ﻤرﻜز اﻝداﺌرة اﻝﻜﺒﻴرة اﻝﺘﻲ ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ‬

‫‪O‬‬

‫‪R‬‬

‫ﻤرﻜز اﻝداﺌرة اﻝﺼﻐﻴرة اﻝﺘﻲ ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ‬

‫‪r‬‬

‫‪O 'E = O ' D = R‬‬

‫إذن ) ‪ ( O ' G‬واﺴط اﻝﻘطﻌﺔ ] ‪[ DE‬‬ ‫وﻤﻨﻪ اﻝﻨﻘطﺔ‬ ‫أي‬

‫‪G‬‬

‫ﻤﻨﺘﺼف ] ‪[ DE‬‬

‫‪GE = GD = 4cm‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪O ' GE‬‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫‪G‬‬

‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن ‪:‬‬ ‫أي ‪:‬‬

‫‪O ' E 2 = O ' G 2 + GE 2‬‬

‫‪R 2 = r 2 + 16‬‬

‫ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤظﻠﻠﺔ‬

‫)'‪S‬‬

‫(‬

‫=‬

‫ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻨﺼف اﻝداﺌرة اﻝﻜﺒﻴرة – ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻨﺼف اﻝداﺌرة اﻝﺼﻐﻴرة‬

‫‪π ( r 2 + 16 ) π r 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪2‬‬

‫‪π 16‬‬

‫=‬

‫‪π r2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪π R2‬‬ ‫‪2‬‬

‫='‪S‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬ ‫‪= 8π‬‬ ‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪47‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

2 ‫ﲤﺮﻦ‬ z+

x+ y+ z+

1 = 12 x

1 1 1 + + = 33 x y z

‫و‬

y+

1 = 11 z

‫و‬

x+

1 = 10 y

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

: ‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺎت طرف ﺒطرف إذن‬

 1  1  1  x +  ×  y +  ×  z +  = 1320 :‫ﻨﻀرب اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺎت طرف ﺒطرف‬ y  z  x   x 1   1  xy + + 1 +  ×  z +  = 1320 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ z yz   x  1 1 1 1 xyz + y + x + + z + + + = 1320 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ z x y xyz  1   1 1 1  xyz +  +  x + y + z + + +  = 1320 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ xyz   x y z   1   xyz +  + 33 = 1320 xyz   1 xyz + = 1287 : xyz

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

3 ‫ﲤﺮﻦ‬

S EFG = S EFA + S EAG

( EAG ‫ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻤﺜﻠث‬: S EAG ،، 48

EFA

‫ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻤﺜﻠث‬:

S EFA

،،

EFG

‫ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻤﺜﻠث‬:

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ S EFG )

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

(

E

‫ﻤﺘﺴﺎوي اﻝﺴﺎﻗﻴن ﻓﻲ‬

EFG

‫ﻷن اﻝﻤﺜﻠث‬

‫ا‬:‫ذ‬

EG × FD AB × EF AC × EG = + 2 2 2 EG × FD AB × EF + AC × EG = 2 2 EG × FD AB × EG + AC × EG EF = EG ) = 2 2 EG × FD EG ( AB + AC ) = 2 2 EG ( AB + AC ) 2 EG × FD 2 × = × EG 2 EG 2

FD = AB + AC

‫ا‬

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫إذن‬

4 ‫ﲤﺮﻦ‬ ( y − 1)

2

= y2 − 2 y +1 ≥ 0

‫ ( و‬x − 1)2 = x 2 − 2 x + 1 ≥ 0 : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ x2 + 1 ≥ 2x

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

y2 +1 x2 + 1 ≥y ‫و‬ ≥x 2 2 ( x2 + 1) y 2 + 1 ≥ x y 2 + 1 ( ) ( ) 2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

y2 +1 ≥ 2 y

(y

2

+ 1)

2

(x

2

+ 1)

2

(y

2

+ 1) +

(x

2

+ 1) ≥ y ( x 2 + 1)

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

y2 +1 2 x + 1) ≥ x ( y 2 + 1) + y ( x 2 + 1) : ‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺘﻴن طرف ﺒطرف‬ ( 2 2 ( x 2 + 1) × ( y 2 + 1) ≥ x × ( y 2 + 1) + y × ( x 2 + 1) : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ 2

(x

49

‫و‬

‫و‬

2

+ 1) × ( y 2 + 1) ≥ x × ( y 2 + 1) + y × ( x 2 + 1)

: ‫إذن‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﱐ ﻋﴩ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫‪z‬‬

‫أﻋدادا ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺔ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪xz + yz + xy = 0‬‬

‫‪x+ y y+ z z+ x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪yz‬‬ ‫‪xc‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫‪ABC‬‬

‫ﻤﺜﻠث ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫ﺒﻴن أن اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪ABC‬‬

‫) ‪AB 4 − AC 4 = BC 2 ( AB 2 − AC 2‬‬

‫و‬

‫‪AB ≠ AC‬‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪z‬‬

‫أﻋدادا ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺔ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪x< y+z‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫<‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1+ x 1+ y 1+ z‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒر اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ‬ ‫ﺒﻴن أن‬

‫‪Aˆ + Dˆ + Bˆ + Eˆ + Cˆ = 180°‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪50‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

‫ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﱐ ﻋﴩ‬% 1 ‫ﲤﺮﻦ‬ : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ x+ y y+ z z+ x z x+ y x y+ z y z+ x + + = × + × + × xy yz xc z xy x yz y xz xz + yz xy + xz yz + xy = + + xyz xyz xyz =

xz + yz + xy + xz + yz + xy xyz

=

2 xz + 2 yz + 2 xy xyz

= =

2 ( xz + yz + xy )

xyz 2× 0 =0 xyz

x+ y y+ z z+ x + + =0 xy yz xc

: ‫إذن‬

2 ‫ﲤﺮﻦ‬ AB 4 − AC 4 = BC 2 ( AB 2 − AC 2 ) :

( AB

2

AB 4 − AC 4 = BC 2 × AB 2 − BC 2 × AC 2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

AB 4 − AC 4 − BC 2 × AB 2 + BC 2 × AC 2 = 0

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

− AC 2 )( AB 2 + AC 2 ) − BC 2 ( AB 2 − AC 2 ) = 0

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

( AB

2

− AC 2 )( AB 2 + AC 2 − BC 2 ) = 0

AB 2 + AC 2 − BC 2 = 0

‫أو‬

AB 2 + AC 2 = BC 2

AB 2 + AC 2 = BC 2

51

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

ABC

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

AB 2 − AC 2 = 0

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

‫أو‬

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

AB 2 + AC 2 = BC 2

A

‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

AB 2 = AC 2

‫أو‬

‫إذن‬

AB = AC AB ≠ AC

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫وﻨﻌﻠم أن‬

‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻗورس اﻝﻌﻜﺴﻴﺔ ﻓﺈن اﻝﻤﺜﻠث‬ https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

3 ‫ﲤﺮﻦ‬  y x z  x y z − + − − = 1+ x  1+ y 1+ z  1+ x 1+ y 1+ z = = =

x (1 + y )(1 + z ) − y (1 + x )(1 + z ) − z (1 + x )(1 + y ) (1 + x )(1 + y )(1 + z ) x + xz + xy + xyz − y − yz − xy − xyz − z − yz − xz − xyz

(1 + x )(1 + y )(1 + z ) x − y − z − 2 yz − xyz (1 + x )(1 + y )(1 + z )

x< y+z x− y−z <0

‫و‬

‫و‬

‫و‬

z>0

−2 yz − xyz < 0

‫و‬

y>0

x>0

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

‫( و‬1 + x )(1 + y )(1 + z ) > 0 ‫إذن‬

x − y − z − 2 yz − xyz <0 (1 + x )(1 + y )(1 + z ) x y z < + 1+ x 1+ y 1+ z

: ‫وﻤﻨﻪ‬

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

4 ‫ﲤﺮﻦ‬ ( EB ) ‫ ( و‬AD ) ‫ﺘﻘﺎطﻊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴن‬ ( EB ) ‫ ( و‬AC ) ‫ﺘﻘﺎطﻊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴن‬ ˆ = 180 − AIF ˆ CIE

‫و‬

ˆ = 180 − AFI ˆ ) BFD

ˆ = 180 − AFI ˆ BFD

: ‫إذن‬

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

1

ˆ + Eˆ + Cˆ = 180 CIE ˆ = 180 − AIF ˆ ) CIE

3

)

ˆ + AIF ˆ = 180° Aˆ + AFI

Aˆ + Dˆ + Bˆ + Eˆ + Cˆ = 180°

52

‫ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث‬

)

ˆ = Dˆ + Bˆ AFI

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

CEI

2

)

ˆ = Eˆ + Cˆ AIF

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ : ‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬

AFI

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫إدن‬

‫ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث‬

ˆ + Eˆ + Cˆ = 180 180 − AIF

( (

DFB

ˆ + Dˆ + Bˆ = 180 180 − AFI

( (

‫و ﻨﻀﻊ اﻝﻨﻘطﺔ‬ : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

ˆ + Dˆ + Bˆ = 180 BFD

(

I

‫ﻨﻀﻊ اﻝﻨﻘطﺔ‬

ˆ + BFD ˆ = 180 AFI

‫و‬

ˆ + CIE ˆ = 180 AIF

F

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫إدن‬

‫ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث‬

3‫ و‬2 ‫ و‬1

‫ﻤن‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻋﴩ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫ﻋددان ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﻤﺨﺘﻠﻔﺎن )‬

‫‪y‬‬

‫‪x≠ y‬‬

‫( و ﻤوﺠﺒﺎن ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪x + 2 y = 3 xy‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫اﺤﺴب‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫أراد ﻤﺤﻤد أن ﻴرﺴم ﻤﺜﻠﺜﺎ‬ ‫ﻻﺤظ أن اﻝرأس‬

‫‪A‬‬

‫‪ABC‬‬

‫ﻝﻜن‬

‫ﻴوﺠد ﺨﺎرج اﻝورﻗﺔ‬

‫ﻜﻤﺎﻫو ﻤﺒﻴن ﻓﻲ اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ‬ ‫ﺴﺎﻋد ﻤﺤﻤد ﻋﻠﻰ رﺴم اﻝﻤﺘوﺴط اﻝﻤواﻓق‬

‫ﻝﻠﻀﻠﻊ ] ‪[ BC‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬

‫‪y‬‬

‫و‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ‬

‫‪xy‬‬ ‫‪x+ y‬‬ ‫≤‬ ‫ﺒﻴن أن‬ ‫‪x+ y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪xz‬‬ ‫‪zy‬‬ ‫‪x+ y+ z‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫≤‬ ‫أﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫‪x+ y x+ z z+ y‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪EFG‬‬

‫ﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪F‬‬

‫‪EF + FG ≤ 2 EG‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪53‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

‫ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻋﴩ‬% 1 ‫ﲤﺮﻦ‬ : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

x + 2 y = 3 xy x + 2 y 3 xy = y y

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

xy x +2=3 y y2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x xy +2=3 2 y y

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x x +2=3 y y

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x x −3 +2=0 y y

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

2

 x x −   − 2 y  y   x x − 2  −   y y    x  − 2     y 

x −1 = 0 y

x +2=0 y

 x − 2  = 0 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ y   x − 1 = 0 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ y 

x −2=0 y

‫أو‬

x =1 y

x =2 y

‫أو‬

2

 x  2   = 1 ‫ أو‬  y  x = 1 ‫أو‬ y

x ≠1 y

‫ﻋددان ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﻤﺨﺘﻠﻔﺎن إذن‬

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

2

 2  = 2  x =4 : y

x y

y

‫و‬

x =4 y

54

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

‫وﻨﻌﻠم أن‬ : ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬

‫‪ -‬ﻨﻨﺸﺊ اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪P‬‬

‫ﻤﻨﺘﺼف ] ‪[ BC‬‬

‫‪ -‬ﻨﻨﺸﺊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم اﻝﻤﺎر ﻤن‬

‫‪P‬‬

‫واﻝﻤوازي ﻝﻠﻤﺴﺘﻘﻴم ) ∆ ( وﻴﻘطﻊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ‪ ( D‬ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪E‬‬

‫‪ -‬ﻨﻨﺸﺊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم اﻝﻤﺎر ﻤن‬

‫‪P‬‬

‫واﻝﻤوازي ﻝﻠﻤﺴﺘﻘﻴم ) ‪ ( D‬وﻴﻘطﻊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ∆ ( ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪F‬‬

‫‪ -‬ﻝدﻴﻨﺎ ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪ABC‬‬

‫اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ‪ ( PE‬ﻴﻤر ﻤن‬

‫وﻴﻘطﻊ ) ‪ ( AC ) = ( D‬ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ‬ ‫إذن اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪E‬‬

‫ﻫﻲ ﻤﻨﺘﺼف اﻝﻘطﻌﺔ ] ‪[ AC‬‬

‫‪ -‬ﻝدﻴﻨﺎ ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪ABC‬‬

‫ﻤن‬

‫‪1‬‬

‫و‬

‫)‬ ‫‪P‬‬

‫(‬

‫‪1‬‬

‫ﻤﻨﺘﺼف اﻝﻘطﻌﺔ ] ‪ [ BC‬وﻴوازي ) ‪( D ) = ( AC‬‬

‫‪F‬‬

‫ﻫﻲ ﻤﻨﺘﺼف اﻝﻘطﻌﺔ ] ‪[ AB‬‬

‫وﻤﻨﻪ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ‪ ( CF‬ﻫو ﻤﺘوﺴط اﻝﻤﺜﻠث‬ ‫‪2‬‬

‫‪ABC‬‬

‫اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ‪ ( PF‬ﻴﻤر ﻤن‬

‫وﻴﻘطﻊ ) ∆ ( = ) ‪ ( AB‬ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ‬ ‫إذن اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪P‬‬

‫‪E‬‬

‫وﻤﻨﻪ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ‪ ( BE‬ﻫو ﻤﺘوﺴط اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪F‬‬

‫ﻤﻨﺘﺼف اﻝﻘطﻌﺔ ] ‪ [ BC‬وﻴوازي ) ‪( ∆ ) = ( AB‬‬

‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪G‬‬

‫‪ABC‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫ﻫﻲ ﻤرﻜز ﺜﻘل اﻝﻤﺜﻠث‬

‫(‬ ‫‪ABC‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ‪ ( PG‬ﻫو اﻝﻤﺘوﺴط اﻝﻤواﻓق ﻝﻠﻀﻠﻊ ] ‪ [ BC‬اﻝﻤﺎر ﻤن اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪A‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪55‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

: ‫ ﻝدﻴﻨﺎ‬-1 2

2

xy x + y 4 xy − ( x + y ) 4 xy − x 2 − 2 xy − y 2 2 xy − x 2 − y 2 − ( x − y ) − = = = = ≥0 4 4( x + y) 4( x + y) 4( x + y) 4( x + y) x+ y xy x+ y ≤ x+ y 4

: ‫إذن‬

x+ y  xy x+ y ≤ 4  z+ y xy xz zy x+ y x+ z z+ y  zy ≤ + + ≤ + + : ‫ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ : ‫ ﻝدﻴﻨﺎ‬1 ‫ ﺤﺴب اﻝﺴؤال‬-2 z + y 4 x+ y x+ z z+ y 4 4 4   xz x+ z ≤  4 x+ z 2( x + y + z) xy xz zy xy xz zy 2x + 2 y + 2z + + ≤ : ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ + + ≤ : ‫ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ x+ y x+ z z+ y 4 x+ y x+ z z+ y 4 xy xz zy x+ y+ z : ‫إذن‬ + + ≤ x+ y x+ z z+ y 2

4 ‫ﲤﺮﻦ‬ F

EG 2 = EF 2 + FG 2

‫ﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

2

−

(

2 EG

)

2

‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

: ‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن‬

: ( EF + FG )2 − ( ( EF + FG )

EFG

2 EG

)

2

‫ﻝﻨﺤدد إﺸﺎرة اﻝﻔرق‬

= EF 2 + FG 2 + 2 EF × FG − 2 EG 2 = EF 2 + FG 2 + 2 EF × FG − 2 EG 2 = EF 2 + FG 2 + 2 EF × FG − 2 ( EF 2 + FG 2 ) = EF 2 + FG 2 + 2 EF × FG − 2 EF 2 − 2 FG 2 = 2 EF × FGG − EF 2 − FG 2 = − ( EF 2 − 2 EF × FG + FG 2 ) 2

= − ( EF − FG ) ≤ 0

( EF + FG )

2

≤

(

2 EG

)

EF + FG ≤ 2 EG

56

2

: ‫إذن‬ : ‫وﻤﻨﻪ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺮاﺑﻊ ﻋﴩ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ x‬و ‪ y‬ﻋددﻴن ﺤﻘﻴﻘﻴﻴن ﻤوﺠﺒﻴن‪.‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪x3 + y 3‬‬ ‫‪ x+ y‬‬ ‫≤‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2 ‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒر اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ‪:‬‬ ‫ﺤدد ﻨﻘطﺘﻴن‬

‫'‪O‬‬

‫و‬

‫‪N‬‬

‫ﻤن‬

‫اﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴن )‪ ( OA‬و ) ‪ ( OB‬ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻝﺘواﻝﻲ ﺒﺤﻴث ﺘﻜون اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪M‬‬

‫ﻤﻨﺘﺼف ]' ‪[ NO‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫و‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺔ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪xy + yz + zx = 0‬‬

‫‪x+ y y+ z x+ z‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪= −3‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫اﺤﺴب‬

‫‪S‬‬

‫ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤﻀﻠﻠﺔ‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪57‬‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ا‬

‫‪%‬ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺮاﺑﻊ ﻋﴩ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪x + y ) x3 + y 3 ( x + y ) ( x + y ) 4 ( x + y‬‬ ‫(‬ ‫‪ x+ y x + y‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪4× 2‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x + 3 x y + 3 xy + y 4 x3 + 4 y 3‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−3 x + 3 x y + 3 xy − 3 y‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪−3 ( x − x y − xy 2 + y 3‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ) ‪−3 ( x ( x − y ) − y 2 ( x − y‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪−3 ( x − y ) ( x − y 2‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫) ‪−3 ( x − y )( x − y )( x + y‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪≤0‬‬

‫) ﻷن ‪ ( x − y )2 ≥ 0‬و‬

‫) ‪−3 ( x − y ) ( x + y‬‬

‫‪x+ y ≥0‬‬

‫‪8‬‬

‫=‬

‫(‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬

‫اﻝﻤرﺤﻠﺔ اﻷوﻝﻰ ‪:‬‬ ‫ﻨﻨﺸﺊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ‪ ( D‬اﻝﻤوازي ﻝﻠﻤﺴﺘﻘﻴم ) ‪ ( OB‬وﻴﻘطﻊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم )‪ ( OA‬ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪C‬‬

‫اﻝﻤرﺤﻠﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪58‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ﻨﻨﺸﺊ اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫'‪O‬‬

‫ﻤﻤﺎﺌﻠﺔ اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪O‬‬

‫ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫‪C‬‬

‫اﻝﻤرﺤﻠﺔ اﻝﺜﺎﻝﺜﺔ ‪:‬‬ ‫ﻨﻨﺸﺊ اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪N‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫ﺘﻘﺎطﻊ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴن ) ‪ ( O 'M‬و ) ‪( OB‬‬

‫اﻝﺴﺘﻘﻴم اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ‪ ( D‬ﻴﻤر ﻤن‬

‫‪O 'ON‬‬

‫وﻴﻘطﻊ ]' ‪ [ NO‬ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ‬ ‫إذن اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪M‬‬

‫‪C‬‬

‫ﻤﻨﺘﺼف اﻝﻘطﻌﺔ ]' ‪ [OO‬وﻴوازي ) ‪( ON‬‬

‫‪M‬‬

‫ﻫﻲ ﻤﻨﺘﺼف اﻝﻘطﻌﺔ ]' ‪[ NO‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫) ‪x + y y + z z + x xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + xz ( z + x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪xyz‬‬ ‫‪xy ( x + y ) + xyz − xyz + yz ( y + z ) + xyz − xyz + xz ( z + x ) + xyz − xyz‬‬ ‫‪xyz‬‬ ‫‪xy ( x + y + z ) − xyz + yz ( y + z + x ) − xyz + xz ( z + x + y ) − xyz‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫‪xyz‬‬ ‫‪xy × 0 − xyz + yz × 0 − xyz + xz × 0 − xyz‬‬ ‫=‬ ‫‪xyz‬‬ ‫‪− xyz − xyz − xyz‬‬ ‫=‬ ‫‪xyz‬‬ ‫‪−3 xyz‬‬ ‫‪xyz‬‬

‫=‬

‫‪= −3‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪ACE‬‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫‪C‬‬

‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن ‪:‬‬ ‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫أي ‪:‬‬

‫‪AE 2 = AC 2 + CE 2‬‬

‫‪AE 2 = 22 + 12 = 4 + 1 = 5‬‬

‫‪AE = 5‬‬

‫و ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪ AC = DC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪CE = DF‬‬ ‫ˆ ‪‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪ ACE = FDC‬‬

‫إذن اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن‬

‫‪ACE‬‬

‫و‬

‫‪FDC‬‬

‫ﻤﺘﻘﺎﻴﺴﺎن‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪59‬‬

‫ا‬

‫ا‬

ˆ = FCD ˆ CAE

: ‫وﻤﻨﻪ‬

ˆ + HEC ˆ + HEC ˆ = 180° − 90° = 90° ˆ = CAE ˆ = 180° − ACE HCE

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

AE = CF = 5

(

‫و‬

‫ا‬:‫ذ‬

)

ˆ + HEC ˆ = 180° − HCE ˆ = 180° − 90° = 90° CHE H

‫ﻗﺎﺌﻤﺎ اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

( ‫ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤﻀﻠﻠﺔ‬

S)

:

FHE

S= FH

‫و‬

‫و‬

AHC

‫وﻤﻨﻪ اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن‬

AH × CH EH × FH + 2 2 EH

‫و‬

CH

‫و‬

: ‫إذن‬

AH

: ‫أي‬ ‫ﺤﺴﺎب‬

ˆ = CE = CH : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ sin CAE AE AC ˆ = CA = AH ‫و‬ cos CAE AE AC FD EH ˆ = ‫و‬ sin FCD = FC EC 1 CH : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ = 2 5 2 AH = ‫و‬ 2 5 1 EH = ‫و‬ 1 5 2 CH = : ‫إذن‬ 5 4 AH = ‫و‬ 5 1 EH = ‫و‬ 5 2 3 FH = FC − CH = 5 − = : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ 5 5

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬ 4 2 1 3 × × 5+ 5 5 S= 5 2 2 4 3 = + 5 10 11 = 10

60

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﳋﺎﻣﺲ ﻋﴩ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫و‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ‬

‫‪1 1 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≥ ‪+ +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x y z x+ y y+ z x+ z‬‬

‫ﺒﻴن أن‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫‪ABC‬‬

‫ﻤﺜﻠث‬ ‫‪r‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺒﻴن أن‬ ‫‪ABC‬‬

‫و‬

‫) ‪ S ABC‬ﻫﻲ ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫= ‪S ABC‬‬

‫ﻫو ﻤﺤﻴط اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪p‬‬

‫‪ABC‬‬

‫‪ABC‬‬

‫و‬

‫‪r‬‬

‫ﻫو ﺸﻌﺎع اﻝداﺌرة اﻝﻤﺤﺎطﺔ ﺒﺎﻝﻤﺜﻠث‬

‫(‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫و‬

‫‪z‬‬

‫أﻋدادا ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪2 ( z 2 − y 2 ) = 3x 2‬‬

‫ﺤدد أ ﻜﺒر ﻫدﻩ اﻷﻋداد‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪ ABC‬ﻤﺜﻠث ﺠﻤﻴﻊ زواﻴﺎﻩ ﺤﺎدة و اﻝﻨﻘطﺔ‬ ‫‪P‬‬

‫داﺨﻠﻪ ‪.‬‬

‫اﻝﻨﻘط‬

‫‪D‬‬

‫و‬

‫‪E‬‬

‫اﻝﻌﻤودﻴﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫و‬

‫‪F‬‬ ‫‪P‬‬

‫ﻫﻲ اﻝﻤﺴﺎﻗط‬

‫ﻋﻠﻰ ] ‪ [ AB‬و ] ‪[ BC‬‬

‫و ]‪ [CA‬ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ‪.‬‬ ‫ﻨﻨﺸﺊ ‪ 6‬ﻤرﺒﻌﺎت ﺨﺎرج اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪ABC‬‬

‫ﻜﻤﺎ‬

‫ﻫو ﻤﺒﻴن ﻓﻲ اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ‬ ‫ﺒﻴن أن ﻤﺠﻤوع ﻤﺴﺎﺤﺎت اﻝﻤرﺒﻌﺎت اﻝرﻤﺎدﻴﺔ ﻴﺴﺎوي ﻤﺠﻤوع ﻤﺴﺎﺤﺎت اﻝﻤرﺒﻌﺎت اﻝﺒﻴﻀﺎء‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪61‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

‫ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﳋﺎﻣﺲ ﻋﴩ‬% 1 ‫ﲤﺮﻦ‬

(

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

x − 2 xy + y ≥ 0

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

)

1

2

≥0

(

x+ y

)

x + y ≥ 2 xy

: ‫إذن‬

2

 1 1 +   ≥0 y   x 1 1 1 −2 + ≥0 x xy y

( 1 1 1 +  ≥ 2 xy × 2 xy x y

( x + y)

2

1 1 1 + ≥2 x y xy

)

: ‫طرف ﺒطرف‬

‫و‬

2

1

1 1 1 +  ≥ 2 × 2 xy × xy x y

)

(

5

)

1 1 1 1 1 1 4 4 4 + + + + + ≥ + + x y y z x z x+ y y+z x+z

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

)

1 1 4 + ≥ x z x+ z

: ‫طرف ﺒطرف‬

5

‫و‬

‫و‬ 4

‫و‬

3

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬

2 2 2 2× 2 2× 2 2× 2 + + ≥ + + x y z x+ y y+ z x+ z 1 1 1  2 2 2  2 + +  ≥ 2 + +  x y z  x+ y y+z x+z

62

: ‫إذن‬

1 1 1 1 × x + y  +  ≥ 4× : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ x+ y x+ y x y ( 3 ) 1 + 1 ≥ 4 : ‫إذن‬ x y x+ y 1 1 4 + ≥ : ‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن‬ y z y+z

(

4

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

‫ﻨﻀرب اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺘﻴن‬

( x + y)

(

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

1 1 1 1  2 1 2 2  × 2 + + ≥ × 2 + +  2 x y z 2  x+ y y+ z x+ z 1 1 1 2 2 2 + + ≥ + + : x y z x+ y y+ z x+ z

‫ا‬

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

2 ‫ﲤﺮﻦ‬

‫ ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ‬r ‫و‬ ‫ [ ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ‬AC ] ‫ [ و‬AB ] ‫ [ و‬BC ] ‫ﻋﻠﻰ‬

ABC O

‫ﻫﻲ ﻤرﻜز اﻝداﺌرة اﻝﻤﺤﺎطﺔ ﺒﺎﻝﻤﺜﻠث‬

‫ﻫﻲ اﻝﻤﺴﺎﻗط اﻝﻌﻤودﻴﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

F

‫و‬

E

O

‫و‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻨﻘطﺔ‬ D

‫و اﻝﻨﻘط‬

OF = OE = OD = r

: ‫إذن‬ : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

S ABC = S AOC + S ABO + SOBC AC × OF AB × OE BC × OD + + 2 2 2 AC × r AB × r BC × r = + + 2 2 2 r = ( AC + AB + BC ) 2 =

p = AC + AB + BC

: ‫ﻫو‬

ABC

S ABC =

r r ( AC + AB + BC ) = p 2 2

‫ﻨﻌﻠم أن ﻤﺤﻴط اﻝﻤﺜﻠث‬ : ‫إذن‬

3 ‫ﲤﺮﻦ‬ 2 ( z 2 − y 2 ) = 3x 2 ≥ 0

z2 ≥ y2

63

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

z2 − y2 ≥ 0

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

(

y≥0

‫و‬

‫) ﻷن‬

z≥0

x≥0

1

)

‫ا‬

: ‫إذن‬

z≥y

2z 2 − 2 y2 = 2x2 + x2

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

2z 2 − 2x2 = 2 ( z 2 − x2 ) = 2 y 2 + x2 ≥ 0

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

z 2 ≥ x2

(

(

‫ا‬:‫ذ‬

‫و‬

z≥0

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

‫) ﻷن‬

‫ﻫو أﻜﺒر ﻫدﻩ اﻷﻋداد‬

z 2 − x2 ≥ 0

( z

2

)

‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬

z≥x 2

‫و‬

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫إذن‬ 1

‫ﻤن‬

4 ‫ﲤﺮﻦ‬ AF 2 + CE 2 + BD 2 FC 2 + BE 2 + DA2

: ‫ ﻤﺴﺎﺤﺎت اﻝﻤرﺒﻌﺎت اﻝرﻤﺎدﻴﺔ ﻫﻲ‬: ‫ ﻤﺴﺎﺤﺎت اﻝﻤرﻴﻌﺎت اﻝﻤﺨدﺸﺔ ﻫﻲ‬-

AF 2 + CE 2 + BD 2 = FC 2 + BE 2 + DA2

:

PAF

‫و‬

PBD

‫و‬

PCE

‫و‬

PBE

‫و‬

PCF

‫و‬

APD

: ‫ﻝﻨﺒﻴن أن‬

‫ﻨطﺒق ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺜﻠﺜﺎت‬

 PA2 = AD 2 + PD 2  2 2 2  PC = CF + PF  PB 2 = BE 2 + PE 2   2 2 2  PC = EC + PE  PB 2 = DB 2 + PD 2   PA2 = FA2 + PF 2  AD 2 = PA2 − PD 2  2 2 2 CF = PC − PF  BE 2 = PB 2 − PE 2   2 2 2  EC = PC − PE  DB 2 = PB 2 − PD 2   FA2 = PA2 − PF 2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

: ‫إذن‬ FA2 + EC 2 + DB 2 = PA2 − PF 2 + PC 2 − PE 2 + PB 2 − PD 2 = PA2 − PD 2 + PC 2 − PF 2 + PB 2 − PE 2 = AD 2 + CF 2 + BE 2

64

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎدس ﻋﴩ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺔ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬ ‫) ‪x (1 − x ) y (1 − y ) z (1 − z‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺒﻴن أن ‪≥ 6 :‬‬ ‫‪xz‬‬

‫‪xy‬‬

‫‪x + y + z =1‬‬

‫‪yz‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒر اﻝﺸﻜل أﺴﻔﻠﻪ ﺒﺤﻴث‬ ‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫)‬

‫‪ABDC :‬‬

‫ﻤرﺒﻊ و‬

‫‪BD = R‬‬

‫و‬

‫‪r‬‬

‫ﻫو ﺸﻌﺎع اﻝداﺌرة ) ‪( C‬‬

‫(‬

‫‪r = R 3−2 2‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫ﺤل اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ ‪:‬‬

‫‪=8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x+2+ x‬‬

‫‪+‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x + x−2‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫ﻋددان ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﻤوﺠﺒﺎن ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺎن‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y 1 1‬‬ ‫‪+ 2≥ +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x y‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪65‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

‫ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎدس ﻋﴩ‬% 1 ‫ﲤﺮﻦ‬ ( x − y)

( ( (

3

2

)

)

1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x 2 + y 2 ≥ 2 xy

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

z × ( x 2 + y 2 ) ≥ z × 2 xy

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

)

: ‫إذن‬

x ( y 2 + z 2 ) ≥ 2 xyz

3

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

≥0

x 2 − 2 xy + y 2 ≥ 0

z ( x 2 + y 2 ) ≥ 2 xyz

: ‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن‬

y ( x 2 + z 2 ) ≥ 2 xyz

: ‫طرف ﺒطرف‬

2

‫و‬

‫و‬ ‫و‬

2

1

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬

z ( x 2 + y 2 ) + y ( x 2 + z 2 ) + x ( y 2 + z 2 ) ≥ 2 xyz + 2 xyz + 2 xyz

y + z = 1− x

‫و‬

x + z = 1− y

‫و‬

zx 2 + zy 2 + yx 2 + yz 2 + xy 2 + xz 2 ≥ 6 xyz

: ‫أي‬

x 2 ( y + z ) + y 2 ( x + z ) + z 2 ( y + x ) ≥ 6 xyz

: ‫أي‬

x + y = 1− z

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x + y + z =1

: ‫وﻨﻌﻠم أن‬

x 2 ( y + z ) + y 2 ( x + z ) + z 2 ( y + x ) = x 2 (1 − x ) + y 2 (1 − y ) + z 2 (1 − z ) ≥ 6 xyz

: ‫أي‬

1 1 × ( x 2 (1 − x ) + y 2 (1 − y ) + z 2 (1 − z ) ) ≥ × 6 xyz xyz xyz

: ‫أي‬

x 2 (1 − x ) y 2 (1 − y ) z 2 (1 − z ) + + ≥ 6 : ‫أي‬ xyz xyz xyz x (1 − x ) y (1 − y ) z (1 − z ) + + ≥ 6 : ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬ yz xz xy

66

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ) ‪ ( AM‬و ) ‪ ( AP‬ﻤﻤﺎﺴﺎ ﻝﻠداﺌرة ) ‪( C‬‬

‫إذن ‪ ( AM ) ⊥ ( OM ) :‬و ) ‪( AP ) ⊥ ( OP‬‬

‫وﻤﻨﻪ‬

‫‪ˆ = APO‬‬ ‫‪ˆ = 90°‬‬ ‫‪AMO‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪ˆ = 360 − AMO‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪ˆ − APO‬‬ ‫‪ˆ − MAP‬‬ ‫‪POM‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪ˆ = 360° − 90° − 90° − 90° = 90°‬‬ ‫‪POM‬‬

‫ﺒﻤﺎ أن‬

‫‪ˆ = AMO‬‬ ‫‪ˆ = 90°‬‬ ‫‪ˆ = APO‬‬ ‫‪ˆ = MAP‬‬ ‫‪POM‬‬

‫ﻓﺈن اﻝرﺒﺎﻋﻲ‬ ‫ﺤﺴﺎب‬

‫‪AO‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪AMOP‬‬

‫ﻤرﺒﻊ‬

‫‪:‬‬ ‫‪AMO‬‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫‪M‬‬

‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن ‪:‬‬ ‫اي ‪:‬‬

‫‪AO 2 = AM 2 + MO 2‬‬

‫‪AO 2 = r 2 + r 2 = 2r 2‬‬

‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺤﺴﺎب‬

‫‪AO = r 2 2 = r 2‬‬ ‫‪AD‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪:‬‬ ‫‪ABD‬‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫‪D‬‬

‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن ‪:‬‬ ‫اي ‪:‬‬

‫و‬

‫‪OP = OM‬‬

‫‪AD 2 = AB 2 + BD 2‬‬

‫‪AD 2 = R 2 + R 2 = 2 R 2‬‬

‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬

‫‪AD = R 2 2 = R 2‬‬

‫ﺤﺴﺎب‬

‫‪r‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪AD = AO + ON + ND‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪R 2 =r 2+r+R‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪R 2−R =r 2+r‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪:‬‬

‫)‬ ‫)‪2 − 1‬‬ ‫‪2 +1‬‬

‫‪2 +1‬‬

‫( )‬ ‫(‪R‬‬ ‫=‪r‬‬

‫‪2 −1 = r‬‬

‫(‬

‫‪R‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪67‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ R r=

(

2 +1 R

=

)×

2 −1

(

)

2 −1 2 −1

2

2 −1 2

( 2 ) −1 R ( 2 − 2 2 + 1) = 2

1

(

= R 3− 2 2

)

(

r = R 3− 2 2

)

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

3 ‫ﲤﺮﻦ‬ 1

+

x + x−2 1 x + x−2

×

1 =8 x+2+ x

x − x−2 1 x+2 − x + × =8 x − x−2 x+2 + x x+2 − x

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x − x−2 x+2 − x + =8 x − ( x − 2) x+2− x

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x − x−2 x+2 − x + =8 2 2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x − x−2 + x+2 − 2

(− x− 2 −2

x

=8

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

− x−2 + x+2 =8

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x−2 + x+2

)

2

= 82

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

( x − 2 )( x + 2 ) + x + 2 = 64 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ 2 x − 2 x 2 − 4 = 64

)

(

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

2 x − x 2 − 4 = 64

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x − x 2 − 4 = 32

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

− x 2 − 4 = 32 − x

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

(

68

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

− x2 − 4

)

2

= ( 32 − x )

2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

x 2 − 4 = 1024 − 64x + x 2

x=

‫ا‬

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

64 x = 4 + 1024

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

64 x = 1028

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

1028 257 = 64 16

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

4 ‫ﲤﺮﻦ‬ : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ x y  1 1  x2 + y 2 y + x + − +  = 2 2 − y2 x2  x y  y x xy 3 3 x +y xy y + x = 2 2 − × y x xy xy x 3 + y 3 xy 2 + x 2 y = 2 2 − y x x2 y2 =

x 3 + y 3 − xy 2 − x 2 y x2 y 2

=

x2 ( x − y ) − y2 ( x − y ) x2 y 2

= =

( x − y ) ( x2 − y 2 ) x2 y 2

( x − y )( x − y )( x + y ) x2 y 2 2

( x − y) ( x + y) ≥ 0 = x2 y 2

(

y>0

‫و‬

x >0)

x2 y 2 > 0

‫ ( و‬x + y ) > 0 ‫ ( و‬x − y )2 ≥ 0 ‫ﻷن‬ x y 1 1 + 2≥ + 2 y x x y

69

: ‫إذن‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎﺑﻊ ﻋﴩ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫ﻋددان ﺼﺤﻴﺤﺎن طﺒﻴﻌﻴﺎن ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺎن )‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪y>x‬‬

‫(‬

‫‪2‬‬

‫) ‪x 2 + y 2 + ( xy ) = ( x 2 + y‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫ﻋددان ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪x >1‬‬

‫و‬

‫‪y >1‬‬

‫‪y x − 1 + x y − 1 ≤ xy‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒر اﻝﻨﻘطﺘﻴن‬

‫أﻨﺸﺊ اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪A‬‬

‫‪H‬‬

‫و‬

‫‪O‬‬

‫ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ‬

‫ﻤن اﻝﻤﺴﺘوى‬

‫‪A‬‬

‫ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫‪O‬‬

‫و اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪F‬‬

‫ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ‬

‫‪O‬‬

‫ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫‪A‬‬

‫ﺒواﺴطﺔ اﻝﺒرﻜﺎر ﻓﻘط ) ﺘﺒرﻴر اﻹﻨﺸﺎء (‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪DGFE‬‬

‫اﻝﻨﻘطﺘﺎن‬

‫ﻤرﺒﻊ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬ ‫‪A‬‬

‫و‬

‫‪B‬‬

‫‪DG = 8cm‬‬

‫ﻫﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ‬

‫ﻤﻨﺘﺼﻔﺎ ] ‪ [ DE‬و ] ‪[ EF‬‬ ‫اﺤﺴب ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤظﻠﻠﺔ‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪70‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫‪%‬ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎﺑﻊ ﻋﴩ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫ﺒﻤﺎ أن‬ ‫ﻓﺈن‬

‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﻋددان ﺼﺤﻴﺤﺎن طﺒﻴﻌﻴﺎن ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺎن و‬

‫‪y>x‬‬

‫‪y = x +1‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪x 2 + y 2 + ( xy ) = x 2 + y 2 + ( x ( x + 1) ) = x 2 + y 2 + x 2 ( x + 1‬‬

‫)‪= x 2 + y 2 + x 2 ( x 2 + 2 x + 1‬‬ ‫‪= x2 + y 2 + x4 + 2 x3 + x2‬‬ ‫‪= x 4 + y 2 + 2 x 2 + 2 x3‬‬ ‫) ‪= x 4 + y 2 + 2 x 2 (1 + x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪= ( x2 ) + y 2 + 2 x2 y‬‬

‫ﻨﻌﻠم أن ‪:‬‬

‫‪+ y ) = ( x2 ) + y 2 + 2 x2 y‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(x‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪x 2 + y 2 + ( xy ) = ( x 2 + y‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫ﺒﻤﺎ أن‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫إذن ‪:‬‬

‫ﻓﺈن‬

‫‪x >1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x −1 > 0‬‬

‫)‬

‫‪x −1 −1 ≥ 0‬‬

‫(‬ ‫‪2‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪x −1 − 2 x −1 +1 ≥ 0‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪−2 x − 1 ≥ − x‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪2‬‬

‫≤ ‪y x −1‬‬

‫)‬

‫‪1‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪× − 2 x −1 ≤ × ( − x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‬

‫)‬

‫‪xy‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن ‪:‬‬ ‫ﻨﺠﻤﻊ طرﻓﻲ اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺘﺎن‬

‫(‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫و‬

‫(‬

‫)‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫≤ ‪x −1‬‬

‫(‬

‫‪y >1‬‬

‫≤ ‪x y −1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x − 1 − 2 x −1 + 1 ≥ 0‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫طرف ﺒطرف ‪:‬‬

‫‪2 xy‬‬ ‫‪2‬‬

‫≤ ‪y x −1 + x y −1‬‬

‫‪y x − 1 + x y − 1 ≤ xy‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪71‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫‪ -‬ﻨرﺴم اﻝداﺌرة ) ‪ ( C1‬اﻝﺘﻲ ﻤرﻜزﻫﺎ‬

‫‪O‬‬

‫وﺸﻌﺎﻋﻬﺎ‬

‫‪OA‬‬

‫‪ -‬ﻨرﺴم اﻝداﺌرة ) ‪ ( C2‬اﻝﺘﻲ ﻤرﻜزﻫﺎ‬

‫‪A‬‬

‫وﺸﻌﺎﻋﻬﺎ‬

‫‪OA‬‬

‫ اﻝداﺌرﺘﺎن ) ‪ ( C1‬و ) ‪ ( C2‬ﺘﺘﻘﺎطﻌﺎن ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺘﻴن‬‫‪ -‬ﻨرﺴم اﻝداﺌرة ) ‪ ( C3‬اﻝﺘﻲ ﻤرﻜزﻫﺎ‬

‫‪C‬‬

‫وﺸﻌﺎﻋﻬﺎ‬

‫‪C‬‬

‫و‬

‫‪B‬‬

‫‪CB‬‬

‫ اﻝداﺌرة ) ‪ ( C3‬ﺘﺘﻘﺎطﻊ ﻤﻊ ) ‪ ( C1‬و ) ‪ ( C2‬ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﻴﺘﻴن‬‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ اﻝﻨﻘطﺔ‬ ‫و اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪H‬‬ ‫‪F‬‬

‫ﻫﻲ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ‬ ‫ﻫﻲ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ‬

‫‪A‬‬

‫‪O‬‬

‫ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬ ‫ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫‪H‬‬

‫و‬

‫‪F‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫ﺤﺴﺎب‬

‫‪S ADC‬‬

‫ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪ADC‬‬

‫‪:‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪72‬‬

‫ا‬

‫ﻤﺘﻘﺎﻴﺴﺎن‬

‫و‬

DEB

DGA

‫إذن اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن‬

‫ا‬:‫ذ‬

 DG = DE   AD = EB  ˆ ˆ  ADG = DEB

:‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

ˆ = DBE ˆ DAG

‫ﻤﺘﺸﺎﻴﻬﺎن‬

‫و‬

DEB

( DC ) ⊥ ( AG ) ‫إذن‬

C

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

: ‫اﻝﻘﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ‬

‫اﻝﻤﺜﻠث‬

DAC

DGA

S ADC =

DA × DG 2 AG 2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

S ADC

S ADC =

64 × 4 2 (16 + 64 )

: ‫أي‬

S ADC =

ˆ = DEB ˆ = 90° DCA

DC × AG = DA × DG

DA2 AG

‫و‬

DC =

‫ﻓﺈن‬

D

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

S ADC =

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

43 × 8 2 ( 4 2 + 82 )

:

: ‫أي‬

S ADC =

S DAG − S DBG = S DAC + S DCG − S BCG − S DCG

: ‫أي‬

DC × AC 2

ADG

‫و‬

: ‫أي‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

‫ﺒﻤﺎ أن اﻝﻤﺜﻠث‬

DA3 × DG 2 ( AD 2 + DG 2 )

512 = 3.2 160

: ‫أي‬

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

S BCG

‫ﺤﺴﺎب‬

S DAG = S DAC + S DCG

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

: ‫ﻨطرح اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺘﺎن طرف ﺒطرف‬

: ‫أي‬

S BCG = S DAC + S DBG − S DAG

DA × DG AG

‫ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث‬

BCG

S DBG = S BCG + S DCG

8×8 4×8 − 2 2

‫وﻤﻨﻪ‬

‫و‬

S ADC =

S BCG = 5 +

‫ﺒﻤﺎ أن‬

DA2 = AC × AG

DA × DG DA2 × AG AG = 2

AG 2 = AD 2 + DG 2

‫أي‬

‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل اﻝﻌﻼﻗﺎت اﻝﻤﺘرﻴﺔ ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث‬

AC = 3

ˆ = DAC ˆ = DBE ˆ  DAG  ˆ = EDB ˆ  ADC

‫ﻓﺈن اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن‬

DAC

‫ا‬

S DAG − S DBG = S DAC − S BCG

: ‫أي‬

DE × DG DA × DG − 2 2

: ‫أي‬

S BCG = 5 +

S BCG = 21

: ‫إذن‬

S BCG = 5 + 32 − 16

: ‫أي‬

: ‫ﺤﺴﺎب ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤظﻠﻠﺔ‬ BCG

‫ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث‬

+ ADC

‫ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث‬

=

‫ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤظﻠﻠﺔ‬

S ADC + S BCG = 3.2 + 21 = 24.2

73

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻣﻦ ﻋﴩ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫‪z‬‬

‫إﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺔ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪y z‬‬ ‫=‬ ‫‪x y‬‬

‫‪x2 − y2 + z 2‬‬ ‫‪= y4‬‬ ‫‪x −2 − y −2 − z −2‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫ﻤﺜﻠث ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪EFG‬‬

‫‪ EF = 8cm‬و ‪EG = 6cm‬‬

‫و ‪FG = 10cm‬‬

‫) ‪ ( C1‬و ) ‪ ( C2‬و ) ‪ ( C3‬ﺜﻼث دواﺌر ﺘوﺠد داﺨل‬ ‫اﻝﻤﺜﻠث‬

‫ﻜﻤﺎ ﻫو ﻤﺒﻴن ﻓﻲ اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ‬

‫‪EFG‬‬

‫ﻤرﻜزﻫﻤﺎﻫﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ‪:‬‬

‫‪M‬‬

‫و‬

‫‪N‬‬

‫و‬

‫‪P‬‬

‫‪ -1‬ﺤدد ﺸﻌﺎع اﻝداﺌرة ) ‪( C2‬‬ ‫‪ -2‬ﺤدد ﺸﻌﺎع اﻝداﺌرة ) ‪( C1‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪z‬‬

‫إﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺔ‬

‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫≥‬ ‫‪y+z x+ y x+z 2‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫ﻋددان ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫)‬

‫‪y2 +1 = 1‬‬

‫‪)( y +‬‬

‫‪x2 + 1‬‬

‫‪(x +‬‬

‫‪x+ y =0‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪74‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

‫ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻣﻦ ﻋﴩ‬% 1 ‫ﲤﺮﻦ‬ z = yt

‫و‬

y = xt

: ‫ﻓﺈن‬

y z = = t : ‫ﻨﻀﻊ‬ x y y z = = t : ‫ﺒﻤﺎ أن‬ x y

z = xt 2

‫و‬

y = xt

: ‫أي‬ : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

2

2

x 2 − ( xt ) + ( xt 2 ) x2 − y 2 + z 2 = x −2 − y −2 − z −2 x −2 − ( xt )−2 − ( xt 2 )−2 x 2 − x 2t 2 + x 2t 4 = −2 x − x −2 t −2 − x −2 t −4 x 2 (1 − t 2 + t 4 ) = −2 x (1 − t −2 − t −4 ) 1− t2 + t4 1 1 1− 2 − 4 t t 4 2 t − t +1 = x4 4 2 t − t +1 t4 4 2 4 4 t − t +1 =xt 4 2 t − t +1 = x2 x2

4

= ( xt ) = y 4

x2 − y2 + z 2 = y4 −2 −2 −2 x −y −z

: ‫إذن‬

2 ‫ﲤﺮﻦ‬ : ( C2 ) ‫ ﺤﺴﺎب ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝداﺌرة‬-1 D

‫ ( ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ‬C2 ) ‫ ( ﻤﻤﺎس ﻝﻠداﺌرة‬EF ) ‫ﺒﻤﺎ أن‬ ( EF ) ⊥ ( DN ) ‫ﻓﺈن‬ D ‫ﻓﻲ‬

75

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ‬

DNF

‫أي اﻝﻤﺜﻠث‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫وﻤﻨﻪ‬

‫‪FN 2 = FD 2 + DN 2‬‬

‫)‬

‫‪FD 2 = FN 2 − DN 2‬‬

‫‪1‬‬

‫(‬

‫ﺒﻤﺎ أن ) ‪ ( GF‬ﻤﻤﺎس ﻝﻠداﺌرة ) ‪ ( C2‬ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪I‬‬

‫ﻓﺈن ) ‪( GF ) ⊥ ( IN‬‬

‫أي اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪INF‬‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫‪I‬‬

‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫وﻤﻨﻪ‬

‫‪FN 2 = FI 2 + IN 2‬‬

‫‪FI 2 = FN 2 − IN 2‬‬

‫وﻨﻌﻠم أن‬ ‫ﻤن‬

‫)‬

‫و‬

‫‪1‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫)‬

‫‪DN = IN‬‬ ‫‪2‬‬

‫و‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪3‬‬

‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬

‫‪FD 2 = FI 2‬‬

‫‪FI = FD‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫)‬

‫‪FI = 8 − DE‬‬

‫‪4‬‬

‫وﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن ‪:‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫و‬

‫(‬

‫(‬ ‫)‬

‫‪GI = 6 − EK‬‬

‫‪5‬‬

‫‪FG 2 = 102 = 100‬‬

‫‪EF 2 + EG 2 = 82 + 6 2 = 64 + 36 = 100‬‬

‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻌﻜﺴﻴﺔ ﻓﺈن اﻝﻤﺜﻠث‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

‫‪ˆ = Eˆ = EDN‬‬ ‫‪ˆ = EKN‬‬ ‫‪ˆ = 90°‬‬ ‫‪DNK‬‬

‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻤن‬

‫‪5‬‬

‫‪DE = EK‬‬

‫و‬

‫‪6‬‬

‫)‬

‫‪6‬‬

‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪:‬‬

‫‪GI = 6 − DE‬‬

‫وﻨﻌﻠم أن ‪:‬‬ ‫‪7‬‬

‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪:‬‬

‫و‬

‫و‬

‫‪8‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪−2 DE + 14 = 10‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪−2 DE = −4‬‬

‫و‬

‫‪DN = IN‬‬

‫ﻓﺈن اﻝرﺒﺎﻋﻲ‬

‫‪DNKE‬‬

‫ﻤرﺒﻊ‬

‫(‬

‫‪FG = FI + GI = 5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪EFG‬‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫‪E‬‬

‫وﻤﻨﻪ‬

‫‪Eˆ = 90°‬‬

‫‪ˆ = 360 − EDN‬‬ ‫‪ˆ − EKN‬‬ ‫‪ˆ − Eˆ = 360° − 90° − 90° − 90° = 90°‬‬ ‫‪DNK‬‬

‫ﺒﻤﺎ أن‬

‫ﻤن‬

‫(‬

‫)‬

‫‪8‬‬

‫)‬

‫‪7‬‬

‫(‬

‫(‬

‫‪FI + GI = 8 − DE + 6 − DE = 10‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪76‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬ ‫‪4‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪2‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫= ‪DE‬‬

‫‪ -2‬ﺤﺴﺎب ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝداﺌرة ) ‪: ( C1‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫‪FND‬‬

‫‪D‬‬

‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن ‪:‬‬ ‫أي ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪FN 2 = ( FE − DE ) + DN 2‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪FN 2 = ( 8 − 2 ) + 2 2‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪FN 2 = 36 + 4 = 40‬‬

‫‪2‬‬

‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬

‫‪FN = 2 10‬‬

‫ﻨﻌﺘﺒر اﻝﻨﻘطﺔ‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

‫‪FN 2 = DF 2 + DN 2‬‬

‫‪J‬‬

‫اﻝﻤﺴﻘط اﻝﻌﻤودي ﻝﻠﻨﻘطﺔ‬

‫‪ˆ = 360° − 90° − 90° − 90° = 90°‬‬ ‫‪ˆ = 360 − MJD‬‬ ‫‪ˆ − JDC‬‬ ‫‪ˆ − DCM‬‬ ‫‪CMJ‬‬

‫ﺒﻤﺎ أن‬

‫‪ˆ = 90°‬‬ ‫‪ˆ = MJD‬‬ ‫‪ˆ = JDC‬‬ ‫‪ˆ = DCM‬‬ ‫‪CMJ‬‬

‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬

‫‪CM = JD‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪NJ = DN − DJ = 2 − CM‬‬

‫ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪FDN‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫و‬

‫‪MN = CM + 2‬‬

‫‪ˆ + FDN‬‬ ‫‪ˆ + FND‬‬ ‫‪ˆ = 180°‬‬ ‫‪DFN‬‬

‫‪ˆ = 180° − 90° − FND‬‬ ‫‪ˆ = 90° − FND‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪DFN‬‬ ‫‪MNJ‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫)‬

‫‪9‬‬

‫(‬

‫‪ˆ + MJN‬‬ ‫‪ˆ + MNJ‬‬ ‫‪ˆ = 180°‬‬ ‫‪NMJ‬‬

‫‪ˆ = 180° − MJN‬‬ ‫‪ˆ − MNJ‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪NMJ‬‬ ‫‪ˆ = 180° − 90° − FND‬‬ ‫‪ˆ = 90° − FND‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪NMJ‬‬

‫و‬

‫‪10‬‬

‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪:‬‬

‫)‬

‫‪10‬‬

‫(‬

‫‪ˆ = NMJ‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪DFN‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪ˆ = sin NMJ‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪sin DFN‬‬

‫اي ‪:‬‬

‫‪DN‬‬ ‫‪NJ‬‬ ‫=‬ ‫‪FN NM‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 − CM‬‬ ‫=‬ ‫‪2 10 CM + 2‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪2CM + 4 = 4 10 − 2 10CM‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫ﻓﺈن اﻝرﺒﺎﻋﻲ‬

‫‪CMJD‬‬

‫ﻤﺴﺘطﻴل‬

‫‪ˆ = 180° − FDN‬‬ ‫‪ˆ − FND‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪DFN‬‬

‫ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫ﻤن‬

‫‪M‬‬

‫ﻋﻠﻰ ) ‪( DN‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪77‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

2CM + 2 10CM = 4 10 − 4

(

) (

2CM 1 + 10 = 2 2 10 − 2 CM =

)

2 10 − 2 1 + 10

‫ا‬

: ‫أي‬ : ‫أي‬ : ‫إذن‬

3 ‫ﲤﺮﻦ‬ 2

2

 x+ y  − 1 ≥ 0   y+z 

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

: ‫ ﻴﻌﻨﻲ‬ x + y  − 2 x + y + 1 ≥ 0 y+z  y+z   x + y 2  1 1 x+ y × + 1 ≥ ×2 x + y   y + z   x+ y y+z   y+z y+z

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x+ y 1 1 x+ y ×2 + ≥ y+ z x+ y y+z x+ y y+z y+z

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

2

 x+ y x+ y   +1 ≥ 2 y+z  y+z

( (

2

(

) 3

)

1

x+ y y+ z + ≥2 y+ z x+ y

)

x+z y+z + ≥2 : y+z x+z x+ y x+ z + ≥2 x+ z x+ y

: ‫طرف ﺒطرف‬

3

‫و‬

2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

: ‫إذن‬

‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن‬ ‫و‬ ‫و‬

1

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬

x+ y y+ z x+ z y+ z x+ y x+ z + + + + + ≥ 2+2+2 y+ z x+ y y+ z x+ z x+ z x+ y  x+ y x+ z   y+ z x+ z   y+ z x+ y + + +  + +  ≥ 2 + 2 + 2 : ‫أي‬  y+ z y+ z  x+ y x+ y  x+ z x+ z  2x + y + z 2z + x + y 2 y + x + z + + ≥ 6 : ‫أي‬ y+z x+ y x+z 2x y+z 2z x + y 2y x+ z + + + + + ≥ 6 : ‫أي‬ y+ z y+ z x+ y x+ y x+ z x+ z 2x 2z 2y 2x 2z 2y + + + 3 ≥ 6 : ‫أي‬ +1+ +1+ + 1 ≥ 6 : ‫أي‬ y+z x+ y x+z y+z x+ y x+z  x 1  x z y  1 z y  × 2 + + + +  ≥ × 3 : ‫ أي‬2   ≥ 6 − 3 : ‫أي‬ 2  y+ z x+ y x+ z 2  y+z x+ y x+z x z y 3 + + ≥ : ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬ y+ z x+ y x+ z 2

78

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

4 ‫ﲤﺮﻦ‬

( x + x + 1)( y + x +1 × ( x + x + 1 )( y + x +1 x − ( x + 1) ×( y + x − x +1 2

x− x−

) : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ + 1 ) = 1 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

y2 +1 = 1

2

2

y2

2

2

2

2

)

x2 − x2 −1 2

x − x +1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

y2 + 1 = 1

2

( −( y +

) : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ +1) = 1 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

× y + y2 +1 = 1 y2

x − x2 + 1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

− y − y2 + 1 = x − x2 + 1

(

1

)

(x +

(

)(

(

)( y + y− +1) × y−

x2 + 1

x + x2 + 1 y + y 2

(x +

)

y2 −

x2 + 1 ×

(

y2 +1 = 1

)

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

y2 +1

=1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

=1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

=1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

y2 +1

y2 +1

)

2

y − y2 +1

)

x + x2 + 1 ×

y2 − y2 −1 y − y2 +1

(

− x + x2 + 1 y − y2 +1

) = 1 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

− x − x2 + 1 = y − y 2 + 1

( 2( x + y) =

x2 + 1 −

y2 +1 +

y2 +1 −

x2 + 1

2

)

: ‫إذن‬

x + y = x2 + 1 − y 2 + 1

y2 + 1 − x2 + 1

x+ y =

: ‫طرف ﺒطرف‬

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

2

‫و‬

1

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﺴﺎوﻴﺘﺎن‬

2( x + y) = 0 x+ y =0

79

: ‫إذن‬ : ‫أي‬

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺘﺎﺳﻊ ﻋﴩ‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪3 9 4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ ≥ 13‬‬ ‫‪x 2y z‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪x + 2 y + 3 z ≥ 20‬‬

‫‪x+ y+ z+‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫ﻤﻌﻴن ﻤرﻜزﻩ‬

‫‪EGDF‬‬

‫وﻤﺴﺎﺤﺘﻪ‬

‫‪S = 10cm 2‬‬

‫ﻤﺤﻴطﻪ‬

‫‪A‬‬

‫‪P = 2 41cm‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﻫو ﻤﺒﻴن ﻓﻲ اﻝﺸﻜل‬

‫ﺠﺎﻨﺒﻪ‪.‬‬ ‫اﻝداﺌرة ) ‪ ( C1‬ﻫﻲ ﻤﻤﺎﺴﺔ ﻷﻀﻼع اﻝﻤﻌﻴن‬ ‫اﺤﺴب ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝداﺌرة ) ‪( C1‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤﻨﻌدﻤﺔ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪= y 2 + x2 + z 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1 1 1‬‬ ‫‪+ + =0‬‬ ‫‪x y z‬‬

‫)‪( y + x + z‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫اﺤﺴب‬

‫ﻋددان ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪x≠ y‬‬

‫و‬

‫‪x 2 = 2016 + y‬‬

‫و‬

‫‪y 2 = 2016 + x‬‬

‫‪xy‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪80‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

‫ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺘﺎﺳﻊ ﻋﴩ‬% 1 ‫ﲤﺮﻦ‬ : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ x+ y+ z+

(

1

)

3 9 4 4x 2 y 4z 3 9 4 + + = + + + + + x 2y z 4 2 4 x 2y z 3x + x y + y 3z + z 3 9 4 = + + + + + 4 2 4 x 2y z 3x x y y 3 z z 3 9 4 = + + + + + + + + 4 4 2 2 4 4 x 2y z

x+ y+ z+

3 9 4  3x 3   y 9   z 4  x + 2 y + 3z + + = + + + + + + 4 x 2y z  4 x   2 2y   4 z 

: ‫إذن‬

2

 3x 3 +   ≥ 0 4 x   2

3

(

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

3x 3x 3 3 +2 × + ≥0 4 4 x x

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

3x 3 3x 3 + ≥2 × : ‫إذن‬ 4 x 4 x y 9 y 9 : ‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن‬ + ≥2 × 2 2y 2 2y

)

4

2

 3x  3x 3  3 × +   + 2  ≥0 4 x  x   4 

(

(

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

)

2

)

z 4 z 4 + ≥2 × 4 z 4 z

: ‫طرف ﺒطرف‬

‫و‬

4‫ و‬3

‫و‬

2

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬

y 3x 3 9 3z 4  3x 3   y 9   z 4  × +2 × +2 × + +  ≥ 2  + + + 4 x 2 2y 4 z  4 x   2 2y   4 z  =2

y 3x 3 9 z 4 × +2 × +2 × 4 2 2y x 4 z

3 3 = 2× + 2× + 2 2 2 ( 5 )  3x + 3  +  y + 9  +  z + 4  ≥ 8  4 x   2 2y   4 z 

81

: ‫وﻤﻨﻪ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫وﻨﻌﻠم أن ‪:‬‬ ‫ﻤن‬

‫‪1‬‬

‫و‬

‫)‬

‫‪x + 2 y + 3 z ≥ 20‬‬

‫و‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫(‬

‫‪6‬‬

‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪:‬‬

‫‪3 9 4  3x 3   y 9   z 4  x y 3z‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ =  + + +‬‬ ‫‪+ + + + + ≥8+‬‬ ‫‪x 2y z  4 x   2 2y   4 z  4 2 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 9 4‬‬ ‫‪x+ y+ z+ +‬‬ ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪+ ≥ 13 :‬‬ ‫‪x 2y z‬‬

‫‪x+ y+ z+‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪P = 4 × EG = 2 41‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪2 41‬‬ ‫‪41‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫)‬

‫‪S EGDF‬‬

‫إذن ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒر‬

‫= ‪EG‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪S EGDF = × ED × FG = 10‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ :‬ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻌﻴن‬

‫‪EGDF‬‬

‫(‬

‫‪1‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪ED × FG = 10 × 2 = 20‬‬

‫ﻨﻘطﺔ اﻝﺘﻤﺎس ﺒﻴن اﻝداﺌرة ) ‪( C1‬‬

‫‪H‬‬

‫واﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ‪( EF‬‬

‫إذن ‪( EF ) ⊥ ( AH ) :‬‬

‫أي ‪ [ AH ] :‬ارﺘﻔﺎع ﻓﻲ‬

‫اﻝﻤﺜﻠث ‪EAF‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪AH × EF = AE × AF‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪AE × AF‬‬ ‫‪EF‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪ED × FG‬‬ ‫‪2 41‬‬

‫ﻤن‬

‫‪1‬‬

‫و‬

‫‪2‬‬

‫) ﻋﻼﻗﺔ ﻤﺘرﻴﺔ (‬

‫أي ‪:‬‬

‫= ‪AH‬‬

‫= ‪AH‬‬

‫)‬

‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪:‬‬

‫ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝداﺌرة ) ‪: ( C1‬‬

‫اﻝﻘﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫‪A‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ED FG‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AH = 2‬‬ ‫‪EF‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪ED × FG‬‬ ‫= ‪AH‬‬ ‫‪41‬‬ ‫×‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪20‬‬ ‫‪2 41‬‬

‫= ‪AH‬‬

‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪41 10 41‬‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫‪41‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪41‬‬

‫= ‪AH‬‬

‫‪S( C1 ) = π × AH 2‬‬

‫‪2‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬

‫‪ 10 41 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 3.14 × ‬‬ ‫‪ = 7.65cm‬‬ ‫‪ 41 ‬‬

‫) ‪S( C1‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪82‬‬

‫ا‬

xyz xyz xyz + + =0 x y z

‫ا‬:‫ذ‬

1 1 1 + + = 0 : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ x y z 1 1 1 xyz ×  + +  = xyz × 0 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ x y z

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

yz + xz = − xy

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

− xy +z z

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

( y + x + z)

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

y+x=

2

− xy z

 − xy  = + z  z 

( y + x + z)

(

2

2

2  − xy   xy    =   = ( y + x)  z   z 

)

2

 xy  =   − 2 xy + z 2  z 

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

= ( y + x ) − 2 xy + z 2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

= y 2 + 2 xy + x 2 − 2 xy + z 2

: ‫ﻴﻌﻲ‬

( y + x + z) ( y + x + z)

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

2

2

2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

yz + xz + xy = 0

z ( y + x ) = − xy y+ x+ z =

‫ا‬

2

2

( y + x + z)

2

= y 2 + x2 + z 2

: ‫إذن‬

4 ‫ﲤﺮﻦ‬ x 2 = 2016 + y

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

x 2 − y 2 = 2016 + y − 2016 − x

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

y 2 = 2016 + x

‫و‬

( x − y )( x + y ) = − ( x − y ) : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ −( x − y) x+ y = = −1 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ( x≠ y) x− y

( x + y)

2

= ( −1)

2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x 2 + 2 xy + y 2 = 1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

y + 2016 + 2 xy + x + 2016 = 1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

( x + y ) + 2032 + 2 xy = 1 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

(

x + y = −1

)

−1 + 2032 + 2 xy = 1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

2 xy = −2030

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

xy = −2015

83

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﻌﴩون‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪z‬‬

‫‪x+ y+ z =3‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫≥‬ ‫‪y+z x+z x+ y 2‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪99 + 100‬‬

‫اﺤﺴب‬

‫‪+‬‬ ‫‪99‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪98 +‬‬

‫‪+ LL +‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3+‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2+ 3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1+‬‬

‫=‪A‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪ u- 1‬و‬

‫‪v‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫) ‪≤ 3 ( u 2 + v 2 + w2‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪x‬‬

‫و‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪y‬‬

‫و‬

‫‪w‬‬

‫و‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫‪2‬‬

‫)‪( u + v + w‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪6x +1 + 6 y +1 + 6z +1 ≤ 3 3‬‬

‫‪x + y + z =1‬‬

‫) اﺴﺘﻌﻤل اﻝﺴؤال‬

‫‪1‬‬

‫(‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪ABC‬‬

‫ﻤﺜﻠث ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫و ‪BC = 15cm‬‬

‫اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪O‬‬

‫و‬

‫‪AB = 13cm‬‬

‫‪AC = 14cm‬‬

‫ﻫﻲ ﻤرﻜز اﻝداﺌرة‬

‫اﻝﻤﺤﺎطﺔ ﺒﺎﻝﻤﺜﻠث‬ ‫اﻝﺘﻲ ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ‬

‫‪ABC‬‬

‫‪R‬‬

‫اﺤﺴب ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤظﻠﻠﺔ‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪84‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫‪%‬ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﻌﴩون‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪x −1 ≥ 0‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫( )‬ ‫)‬ ‫‪x + 1) × ( − x − 2 ) ≤ 0‬‬

‫( )‬ ‫‪(x −2‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪−x x + 3 x − 2 ≤ 0‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪x (3 − x ) ≤ 2‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫)‬

‫(‬ ‫(‬

‫‪x −1 × − x − 2 ≤ 0 × − x − 2‬‬

‫‪( ) × 12‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫≥‬ ‫) ‪x (3 − x‬‬

‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن ‪:‬‬ ‫و‬ ‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬ ‫أي ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫و‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫×‬

‫) (‬ ‫‪x‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫≥‬ ‫‪x+ z 2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫≥‬ ‫‪x+ y 2‬‬

‫و‬

‫‪3‬‬

‫)‬

‫‪− x x − 2 x + 2x + 4 x − x − 2 ≤ 0‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪3‬‬

‫(‬

‫‪− x −2≤0‬‬

‫(‬

‫طرف ﺒطرف ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≥‬ ‫‪x (3 − x ) 2‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≥‬ ‫‪y+z 2‬‬

‫)‬

‫‪1‬‬

‫(‬

‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x y z‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪≥ + +‬‬ ‫‪y+ z x+ z x+ y 2 2 2‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x+ y+ z‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫≥‬ ‫‪y+ z x+ z x+ y‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫≥‬ ‫‪y+ z x+ z x+ y 2‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫ﻨﻀرب ﻓﻲ اﻝﻤراﻓق‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+LL+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1+ 2 2 + 3 3 + 4‬‬ ‫‪98 + 99 99 + 100‬‬ ‫‪1 1− 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2− 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3− 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪98 − 99‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪99 − 100‬‬ ‫×‬ ‫‪+‬‬ ‫×‬ ‫‪+‬‬ ‫×‬ ‫‪+LL+‬‬ ‫×‬ ‫‪+‬‬ ‫×‬ ‫‪1+ 2 1− 2 2 + 3 2 − 3 3 + 4 3 − 34‬‬ ‫‪98 + 99 98 − 99 99 + 100 99 − 100‬‬

‫=‪A‬‬ ‫=‬

‫‪1− 2 2 − 3 3 − 4‬‬ ‫‪98 − 99 99 − 100‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+LL+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1− 2‬‬ ‫‪2 −3‬‬ ‫‪3− 4‬‬ ‫‪98−99‬‬ ‫‪99 −100‬‬ ‫‪1− 2 2 − 3 3 − 4‬‬ ‫‪98 − 99 99 − 100‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−LL−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫=‬

‫‪=−1+ 2 − 2 + 3 − 3 + 4 −LL− 98 + 99 − 99 + 100‬‬ ‫‪=−1+ 100 =−1+10 = 9‬‬ ‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪85‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

3 ‫ﲤﺮﻦ‬ 3 ( u 2 + v 2 + w2 ) − ( u + v + w )

: ‫ ﻝﻨﺤدد إﺸﺎرة اﻝﻔرق‬-1

2

‫ﻝﻨﺤدد إﺸﺎرة اﻝﻔرق‬ : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ 2

3 ( u 2 + v 2 + w2 ) − ( u + v + w ) = 3u 2 + 3v 2 + 3w2 − ( ( u + v ) + w )

2

2

= 3u 2 + 3v 2 + 3w2 − ( u + v ) − 2 × ( u + v ) × w − w2 = 3u 2 + 3v 2 + 3w2 − u 2 − 2uv − v 2 − 2uw − 2vw − w2 = 2u 2 + 2v 2 + 2w2 − 2uv − 2uw − 2vw = u 2 − 2uv + v 2 + u 2 − 2uw + w2 + v 2 − 2vw + w2 2

2

2

= ( u − v ) + (u − w) + ( v − w) ≥ 0

( u + v + w) w = 6z + 1

(

6x +1 + 6 y +1 + 6z +1

( (

‫و‬

x + y + z =1

)

)

v = 6 y +1 2

≤ 3 ( u 2 + v 2 + w2 )

u = 6x +1

≤ 3 ( 6 x + 1 + 6 y + 1 + 6 z + 1)

6x +1 + 6 y +1 + 6z +1

(

‫و‬

2

)

2

(

: ‫ ﻨﻀﻊ‬-2

: 1 ‫ﺤﺴب اﻝﺴؤال‬

≤ 3 ( 6 ( x + y + z ) + 3)

6x +1 + 6 y +1 + 6z +1

)

2

: ‫إذن‬

≤ 3 ( 6 × 1 + 3) = 27

6x +1 + 6 y + 1 + 6z +1

)

2

≤ 27

6x + 1 + 6 y +1 + 6z +1 ≤ 3 3

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

4 ‫ﲤﺮﻦ‬

86

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ذ‪:‬ا‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪ADB‬‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫‪D‬‬

‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن ‪:‬‬ ‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬

‫)‬

‫‪AD 2 = AB 2 − DB 2‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪ADC‬‬

‫‪AB 2 = AD 2 + DB 2‬‬

‫(‬

‫‪1‬‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫‪D‬‬

‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن ‪:‬‬ ‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻤن‬

‫‪1‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫)‬

‫‪AD 2 = AC 2 − DC 2‬‬

‫و‬

‫‪2‬‬

‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ان ‪:‬‬

‫‪AC 2 = AD 2 + DC 2‬‬

‫(‬

‫‪2‬‬

‫‪AD 2 = AB 2 − DB 2 = AC 2 − DC 2‬‬

‫أي ‪( DB − DC )( DB + DC ) = AB 2 − AC 2 :‬‬

‫‪DB 2 − DC 2 = AB 2 − AC 2‬‬

‫أي ‪ ( DB − DC ) AC = AB 2 − AC 2 :‬أي ‪( DB − DC ) ×15 = 132 − 142 :‬‬

‫اي ‪:‬‬

‫‪169 − 196‬‬ ‫‪15‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫= ‪DB − DC‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪BD + DC = 15‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪BD + ( DB + 1,8 ) = 15‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪AD 2 = AB 2 − DB 2‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AD = 11, 2‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪S ABC = S AOB + SOBC + S AOC‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪13 × R 15 × R 14 × R‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪DB − DC = −1,8‬‬

‫‪2 BD = 15 − 1,8‬‬

‫‪AD 2 = 132 − 6.62‬‬

‫= ‪84‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪DC = DB + 1,8‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪BD = 6, 6‬‬

‫‪AD = 169 − 43,56‬‬

‫‪ 13 15 14 ‬‬ ‫‪84 = R  + + ‬‬ ‫‪2 2 2‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪84 = R × 21‬‬

‫‪R = 4cm‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪ :‬ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤظﻠﻠﺔ‬

‫=‬

‫ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪− ABC‬‬

‫ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝداﺌرة‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪× AD × BC − π R 2 = ×11, 2 × 15 − 3,14 × 42‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 84 − 50, 24‬‬ ‫‪= 33, 76cm 2‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤظﻠﻠﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪33, 76cm 2‬‬

‫‪87‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﻮا‪%‬ﺪ واﻟﻌﴩون‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪x >1‬‬

‫و‬

‫‪y >1‬‬

‫و‬

‫‪z >1‬‬

‫‪1 1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪xyz + + + > y + x + z +‬‬ ‫‪z x y‬‬ ‫‪xyz‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒر اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬ ‫)∆( ‪( D) / /‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪A + B + D = 360°‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫و‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪z‬‬

‫ﻫﻲ أطوال أﻀﻼع ﻤﺜﻠث‬

‫‪< 4 xz‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪( x + z − y‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدم ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫أﺤﺴب ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪=7‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪x2 +‬‬

‫‪x+‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪88‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

‫ﺪ واﻟﻌﴩون‬%‫ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﻮا‬% 1 ‫ﲤﺮﻦ‬ − y < −1

: ‫ﻓﺈن‬

y >1

1 > −1 y

: ‫وﻤﻨﻪ‬

1 > −1 y 1 x− >0 y

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

−

 1 x +  −  > 1 + ( −1)  y

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x >1

( (

2

)

(

3

)

1 >0 z 1 z− >0 x y−

1

‫و‬ )

: ‫ﺒﻤﺎ أن‬

−

: ‫إذن‬

: ‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن‬ ‫و‬

 1  1  1  x −  y −   z −  > 0 : ‫ طرف ﺒطرف‬3 ‫ و‬2 ‫ و‬1 ‫ﻨطرب اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬ y  z  x   x 1  1 1 1 1 1 xyz − y − x + − z + + − > 0 : ‫ أي‬ xy − − 1 +  z −  > 0 : ‫أي‬ z x y xyz z yz   x  1 1 1  xyz + + + −  y + x + z + z x y  1 1 1 xyz + + + > y + x + z + z x y

1   > 0 : ‫أي‬ xyz  1 : ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬ xyz

2 ‫ﲤﺮﻦ‬

89

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ﺒﻤﺎأن ) ∆ ( ‪ ( D ) / /‬و ) ‪ ( K‬ﻗﺎطﻊ ﻝﻬﻤﺎ‬ ‫ﻓﺈن‬

‫'‪S = A‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪S = A ' = 180° − A‬‬

‫و‬

‫‪B ' = 180° − B‬‬

‫و‬

‫‪D ' = 180° − D‬‬

‫وﻨﻌﻠم أن ﻤﺠﻤوع زواﻴﺎ ﻤﺜﻠث‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

‫ﺘﺴﺎوي ‪180°‬‬

‫‪S+ B '+ D ' = 180°‬‬ ‫‪180° − A + 180° − B + 180° − D = 180° :‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪A + B + D = 180° + 180° + 180° − 180°‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬

‫‪A + B + D = 360°‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫ﻝﻨﺤدد إﺸﺎرة اﻝﻔرق ‪: ( x + z − y )2 − 4 xz‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪− 4 xz = ( ( x + z ) − y ) − 4 xz‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪( x + z − y‬‬

‫‪2‬‬

‫‪= ( x + z ) − 2 × ( x + z ) × y + y 2 − 4 xz‬‬ ‫‪= x 2 + 2 xz + z 2 − 2 xy + 2 yz + y 2 − 4 xz‬‬ ‫) ‪= x 2 + z 2 + y 2 − 2 ( xy + yz + xz‬‬

‫و‬

‫و‬

‫ﻫﻲ أطوال أﻀﻼع ﻤﺜﻠث‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪x+ y > z‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪z ×( x + y) > z × z‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪y‬‬

‫‪z‬‬

‫) ﻤﺘﻘﺎوﺜﺔ ﻤﺜﻠﺜﻴﺔ (‬

‫‪xz + yz > z 2‬‬

‫)‬

‫‪1‬‬

‫)‬ ‫(‬

‫وﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪yz + xy > y 2‬‬

‫و‬ ‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬

‫‪1‬‬

‫و‬

‫‪2‬‬

‫‪z>0‬‬

‫(‬

‫‪xy + xz > x 2‬‬

‫و‬

‫‪3‬‬

‫)‬ ‫)‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪3‬‬

‫(‬

‫طرف ﺒطرف ‪:‬‬ ‫‪xz + yz + yz + xy + xy + xz > z 2 + y 2 + x 2‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪2 ( xy + yz + xz ) > x 2 + y 2 + z 2‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪90‬‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫أي ‪:‬‬

‫ا‬

‫‪− 4 xz = x 2 + z 2 + y 2 − 2 ( xy + yz + xz ) ≤ 0‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪< 4 xz‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪( x + z − y‬‬

‫)‪(x + z − y‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫ﻨﻀﻊ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y = x+‬‬ ‫‪ = x+2+ x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y2 − 2 = x +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪)  x ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( y 2 − 2 ) = x 2 + 2 + x12 = 7 + 2 = 9‬‬

‫‪y= x+‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪( y − 2 ) − 9 = 0 :‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪( y − 2 + 3)( y − 2 − 3) = 0 :‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪( y + 1)( y − 5 ) = 0 :‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪y2 + 1 = 0‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪y 2 = −1‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫أو‬

‫‪y2 − 5 = 0‬‬

‫اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ ﻝﻴس ﻝﻬﺎ ﺤل‬

‫‪( y − 5 )( y + 5 ) = 0‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪y− 5 =0‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫أو‬

‫‪y= 5‬‬

‫وﻨﻌﻠم أن‬ ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪>0‬‬ ‫‪x‬‬

‫أو‬

‫‪y+ 5 =0‬‬

‫‪y=− 5‬‬

‫‪y= x+‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪= 5‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪y= x+‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪91‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﱐ واﻟﻌﴩون‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪x >1‬‬

‫‪2x2 + 2‬‬ ‫‪20‬‬

‫و‬

‫=‪x‬‬

‫‪14 x + 1 = x 2‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒر اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬ ‫‪CDEF‬‬

‫ﻤرﺒﻊ طول ﻀﻠﻌﻪ ﻴﺴﺎوي‬

‫‪2cm‬‬

‫)' ‪ ( C‬داﺌرة ﻤرﻜزﻫﺎ‬

‫‪O‬‬

‫ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ‬

‫‪1cm‬‬

‫) ‪ ( C‬داﺌرة ﻤرﻜزﻫﺎ‬

‫'‪O‬‬

‫ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ‬

‫‪r‬‬

‫ﺒﻴن أن‬

‫‪r = 3− 2 2‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫و‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪x+ y+z ≠0‬‬

‫و‬

‫‪x2‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪z2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪y+ z x+ z x+ y‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪y+z x+z x+ y‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪ EFG‬ﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ ‪E‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪EF 3 + EG 3 < FG 3 :‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪92‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

‫ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﱐ واﻟﻌﴩون‬% 1 ‫ﲤﺮﻦ‬ x

2

( =

2 x2 + 2

)

202

200 x 2 = x 4 + 2 x 2 + 1

2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x2 =

 2x2 + 2  x =   20   2 ( x 4 + 2 x 2 + 1) 2

2x2 + 2 20

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

2x4 + 4x2 + 2 400

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

196 x 2 + 4 x 2 = x 4 + 2 x 2 + 1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

2 × 200

196 x 2 = x 4 − 2 x 2 + 1

2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

14 x = x 2 − 1

x=

x2 =

: ‫( ﻴﻌﻨﻲ‬14 x )2 = ( x 2 − 1) : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ 2

14 x + 1 = x 2

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

2 ‫ﲤﺮﻦ‬ x2 y2 z2 + + =0 y+ z x+ z x+ y x2 y2 z2 + + + ( x + y + z) = 0 + ( x + y + z) y+z x+z x+ y

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

 x2   y2   z2  + x + + y + z  = ( x + y + z)    +  y+z   x+ z   x+ y  2 2 2 x + x ( y + z) y + y ( x + z) z + z ( x + y) + + = (x + y + z) y+z x+z x + yz x( x + y + z) y( x + y + z) z ( x + y + z) + + = ( x + y + z) y+z x+ z x+ y  x y z  + + ( x + y + z)  = (x + y + z)  y+ z x+ z x+ y

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

 x 1 y z  1 × x+ y+z  + + × x+ y+ z = x+ y+ z  y+z x+z x+ y x+ y+z x y z + + =1 : y+z x+z x+ y

(

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

)

(

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

)

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

3 ‫ﲤﺮﻦ‬ OO ' = OL + LO '

‫و‬

KO ' = JD − r OK = 1 − r 93

‫و‬

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

OK = OJ − KJ OO ' = 1 + r

‫و‬

: ‫إذن‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫و‬

KO ' = 1 − r

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

K

‫ا‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث‬

OKO '

: ‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن‬ OO '2 = OK 2 + O'K 2

(1 + r )

2

2

= (1 − r ) + (1 − r )

(1 + r )

2

= 2 (1 − r )

1 + r = 2 (1 − r )

: ‫أي‬

(

)

r 1+ 2 = 2 −1

: ‫أي‬

2

: ‫أي‬

2

: ‫أي‬

2

1 + r = 2 (1 − r )

: ‫أي‬

: ‫أي‬

r + 2r = 2 − 1

: ‫اي‬ r=

(

)

2

2 −1 1− 2 − 2 −1 × = 1− 2 1+ 2 1− 2

r = 2 − 2 2 +1 = 3 − 2 2

=

(

)

2

2 −1

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

4 ‫ﲤﺮﻦ‬ E ‫ ﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬EFG ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

EF 2 + EG 2 = FG 2 : ‫إذن‬ EF 3 + EG 3 − FG 3 < 0 : ‫ﻝﻨﺒﻴن أن‬

EF 3 + EG 3 − FG 3 = EF 2 × EF + EG 2 × EG − FG 2 × FG = EF 2 × EF + EG 2 × EG − ( EF 2 + EG 2 ) × FG = EF 2 × EF + EG 2 × EG − EF 2 × FG − EG 2 × FG = EF 2 × ( EF − FG ) + EG 2 × ( EG − FG ) < 0

( EG < FG ‫ و‬EF < FG ‫) ﻷن‬ EF 3 + EG 3 < FG 3 :

94

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻟﺚ واﻟﻌﴩون‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدم )‬

‫‪x≠0‬‬

‫( ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪x +1 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x + x + x + x + x + x + 1 29‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫‪a‬‬

‫و‬

‫‪b‬‬

‫و‬

‫‪c‬‬

‫‪ -1‬ﺒﻴن أن‬ ‫‪ -2‬ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫أطوال أﻀﻼع ﻤﺜﻠث‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪<2‬‬ ‫‪b+c c+a a+b‬‬ ‫‪a+b−c + b+c−a ≤ 2 b‬‬

‫‪ -3‬اﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪:‬‬

‫‪a +b−c + b+c −a + a +c −b ≤ a + b + c‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺔ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪xyz‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪xy + yz + zx‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫<‬ ‫‪2+ x 2+ y 2+ z 2‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫اﺤﺴب‬

‫ﻋددان ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﻏﻴر ﻤﻨﻌدﻤﺎن ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪x 2 − xy + y 2 1‬‬ ‫=‬ ‫‪x 2 + xy + y 2 3‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪95‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

‫ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻟﺚ واﻟﻌﴩون‬% 1 ‫ﲤﺮﻦ‬ : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ x3 = x 6 + x 5 + x 4 + x3 + x 2 + x + 1

x3

1 1 1   x3  x 3 + x 2 + x + 1 + + 2 + 3  x x x   1 = 1  1   1   1 +  x +  +  x 2 + 2  +  x3 + 3  x  x   x  

: 1 1 x+ x

=

1 3

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x 1  x x+  x 

=

1 3

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x+

1 x

x 1 = x +1 3

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

1 =3 x

: ‫إذن‬

2

x+

: 1 x +2+ 2 = 9 x 2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

2

1  2 x+  =3 x  

:

1 ‫ﻝﻨﺤدد ﻗﻴﻤﺔ‬ x2 1 x + = 3 : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ x 1 x 2 + 2 = 7 : ‫إذن‬ x

x2 +

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

1 ‫ﻝﻨﺤدد ﻗﻴﻤﺔ‬ x3 1 1  2 ‫ ﻴﻌﻨﻲ‬ x + 1   x + 2  = 3 × 7 x + = 3 : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ x x  x   1 1 x3 + 3 = 18 : ‫ إذن‬x3 + 3 + 3 = 21 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ x x

:

1  1 x3 +  + x  + 3 = 21 x  x

‫ﻝﻨﺤدد ﻗﻴﻤﺔ‬

x3 +

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ 96

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

x3 = x 6 + x 5 + x 4 + x3 + x 2 + x + 1

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

1

1  1   1  1 +  x +  +  x2 + 2  +  x3 + 3  x  x   x   1 = 1 + 3 + 7 + 18 x3 1 = 6 5 4 3 2 x + x + x + x + x + x + 1 29

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

2 ‫ﲤﺮﻦ‬ : ‫ ﻝدﻴﻨﺎ‬-1 a b c 2a 2b 2c + + = + + b + c c + a a + b 2 (b + c ) 2 ( c + a ) 2 ( a + b ) =

2a 2b 2c + + (b + c ) + (b + c ) ( c + a ) + ( c + a ) ( a + b ) + ( a + b)

‫أطوال أﻀﻼع ﻤﺜﻠث‬ b + c + (b + c ) > a + b + c

‫و‬

c

‫و‬

‫و‬

b

‫و‬

a

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

b+c > a

‫و‬

c+a >b

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

c + a + (c + a) > b + c + a

‫و‬

a + b + ( a + b) > c + a + b

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

a+b > c

1 1 < b + c + (b + c) a + b + c

‫و‬

1 1 < c + a + (c + a) b + c + a

‫و‬

1 1 < a + b + ( a + b) c + a + b

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

2a 2a < b + c + (b + c) a + b + c

‫و‬

2b 2b < c + a + (c + a) b + c + a

‫و‬

2c 2c < a + b + ( a + b) c + a + b

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫إذن‬

a b c 2a 2b 2c + + = + + b + c c + a a + b (b + c ) + (b + c ) ( c + a ) + (c + a ) ( a + b ) + ( a + b ) <

b+c−a > 0

‫و‬

c+ a −b > 0

‫و‬

(

)

2 a+b+c 2a 2b 2c + + = =2 a+b+c b+c+a c+a+b a+b+c

a+b−c > 0

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

z =b+c−a >0

b+c > a

‫و‬

c+a >b

y = c + a −b > 0 y + z = 2c

x+ z = 2 b

‫و‬

‫و‬

‫و‬

‫و‬

‫و‬

: ‫ ﻝدﻴﻨﺎ‬-2

a+b > c

x = a+b−c > 0

x + z = 2b

‫و‬

x + y = 2a

a+b−c + b+c−a = x + z x + z ≤ 2 x+z

2( x + z) −

97

(

x+ z

)

2

= 2x + 2z − x − 2 x z − z = x − 2 x z + z =

(

x− z

)

: ‫ﻨﻀﻊ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫إذن‬

: ‫ﻝﻨﺒﻴن أن‬

2

≥0

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫)‬ ‫)‪z‬‬

‫‪x+ z‬‬ ‫‪x+‬‬

‫(‬ ‫(‬

‫≥ )‪2( x + z‬‬ ‫≥ )‪2(x + z‬‬

‫‪x + z ≤ 2 x+z‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬

‫‪a+b−c + b+c−a ≤ 2 b‬‬

‫‪ -3‬ﺤﺴب اﻝﺴؤال اﻝﺴﺎﺒق ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫وﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن ‪:‬‬ ‫و‬

‫‪a+b−c + b+c−a ≤ 2 b‬‬

‫‪b+c −a + c + a−b ≤ 2 c‬‬

‫‪c +a −b + a +b−c ≤ 2 a‬‬

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬

‫و‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫و‬

‫‪3‬‬

‫)‬

‫)‬

‫‪3‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫طرف ﺒطرف ‪:‬‬

‫‪2 a+b−c +2 b+c−a +2 c +a −b ≤ 2 b + 2 c + 2 a‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫)‬

‫‪b+ c+ a‬‬

‫( )‬

‫‪a +b−c + b+c −a + c+a −b ≤ 2‬‬

‫(‬

‫‪2‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪a + b − c + b + c − a + a + c − b ≤ a + b + c :‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫إذن ‪:‬‬

‫‪xyz‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪xy + yz + zx 1‬‬ ‫=‬ ‫‪xyz‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪yz‬‬ ‫‪zx 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪xyz xyz xyz 2‬‬ ‫‪1 1 1 1‬‬ ‫= ‪+ +‬‬ ‫) ‪1‬‬ ‫‪z x y 2‬‬ ‫= ‪xy + yz + zx‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪2>0‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪2> x−x‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪2+ x > x‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫‪2+ x x‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن ‪:‬‬ ‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬

‫‪2‬‬

‫و‬

‫‪3‬‬

‫(‬

‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و‬ ‫‪( 3 ) 1 <1‬‬ ‫<‬ ‫‪2+ z z‬‬ ‫‪2+ y y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪< + +‬‬ ‫‪ 4‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪:‬‬ ‫‪2+ x 2+ y 2+ z x y z‬‬

‫)‬

‫و‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪4‬‬

‫(‬

‫‪98‬‬

‫ا‬ 1 1 1 1 + + < 2+ x 2+ y 2+ z 2

‫ا‬:‫ذ‬

: ‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬

‫و‬

5

1

‫ا‬

‫ﻤن‬

4 ‫ﲤﺮﻦ‬ x 2 − xy + y 2 1 = : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ x 2 + xy + y 2 3 x y xy ×  − 1 +  x 1 y = : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ x y 3 xy ×  + 1 +  x y x y −1+ y x 1 = : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ x y 3 +1+ y x x k= : ‫ﻨﻀﻊ‬ y 1 k −1+ k = 1 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ 1 3 k +1+ k 2 k − k +1 1 k = : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ 2 k + k +1 3 k 2 k − k +1 k 1 × 2 = : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ k + k +1 3 k k2 − k +1 1 = k 2 + k +1 3 k 2 + k + 1 = 3k 2 − 3k + 3 2k 2 − 4k + 2 = 0

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

k 2 − 2k + 1 = 0

k −1 = 0

2 ( k 2 − 2k + 1) = 0

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

( k − 1)

2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

=0

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

k =1

: ‫إذن‬

x =1 y

99

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

3k 2 − 3k + 3 − k 2 − k − 1 = 0

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺮاﺑﻊ واﻟﻌﴩون‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪x + y + z = 1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x + y + z = 3‬‬ ‫‪ x3 + y3 + z 3 = 5‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫= ‪xyz‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫‪X = 12 − 22 + 32 − 42 + ..... + 992 − 100 2‬‬

‫‪Y = 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 99 + 100‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪X +Y = 0‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒر اﻝﺸﻜل أﺴﻔﻠﻪ ﺒﺤﻴث ‪ :‬اﻝدواﺌر‬

‫) ‪C1 ( M , a‬‬

‫واﻝﻤﺴﺘﻘﻴم ) ∆ ( ﻤﻤﺎس ﻝﻠدواﺌر اﻝﺜﻼﺜﺔ ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫و‬

‫) ‪C2 ( N , c‬‬

‫و‬

‫) ‪C3 ( P, b‬‬

‫ﻤﺘﻤﺎﺴﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﺎ‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪a‬‬

‫و‬

‫‪b‬‬

‫و‬

‫‪c‬‬

‫أطوال أﻀﻼع ﻤﺜﻠث ‪ .‬ﺒﻴن أن ‪( a + b − c )( a + c − b )( b + c − a ) ≤ abc‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪100‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

‫ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺮاﺑﻊ واﻟﻌﴩون‬% 1 ‫ﲤﺮﻦ‬ x + y + z =1

(x + y + z)

3

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

= 13

2 ( x + y + z ) × ( x + y + z ) = 1 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

+ y 2 + z 2 + 2 xy + 2 xz + 2 yz ) × ( x + y + z ) = 1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x3 + y 3 + z 3 + 3 x 2 y + 3 x 2 z + 3 y 2 x + 3 y 2 z + 3 z 2 x + 3 z 2 y + 6 xyz = 1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x3 + y 3 + z 3 + 3 x 2 ( y + z ) + 3 y 2 ( x + z ) + 3z 2 ( x + y ) + 6 xyz = 1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

(x

x + z = 1− y

(

‫و‬

2

y + z = 1− x

‫و‬

x + y = 1− z

: ‫ﻓﺈن‬

x + y + z =1

: ‫ﺒﻤﺎ أن‬

x3 + y 3 + z 3 + 3x 2 (1 − x ) + 3 y 2 (1 − y ) + 3z 2 (1 − z ) + 6 xyz = 1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x3 + y 3 + z 3 + 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 − 3 x 3 − 3 y 3 − 3 z 3 + 6 xyz = 1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x 3 + y 3 + z 3 + 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 3 ( x 3 + y 3 + z 3 ) + 6 xyz = 1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x3 + y 3 + z 3 = 5

‫و‬

x2 + y 2 + z 2 = 3

)

5 + 3 × 3 − 3 × 5 + 6 xyz = 1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

−1 + 6 xyz = 1

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

xyz =

2 1 = 6 3

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

2 ‫ﲤﺮﻦ‬ X + Y = (12 − 22 + 32 − 42 + ..... + 992 − 1002 ) + (1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 99 + 100 ) = (1 + 1) + ( 2 − 22 ) + ( 3 + 32 ) + ( 4 − 42 ) + ... + ( 99 + 992 ) + (100 − 1002 ) = 2 + ( 2 × (1 − 2 ) ) + ( 3 × (1 + 3) ) + ( 4 × (1 − 4 ) ) + ... + ( 99 × (1 + 99 ) ) + (100 × (1 − 100 ) ) = 2 + ( 2 × ( −1) ) + ( 3 × ( 4 ) ) + ( 4 × ( −3) ) + ... + ( 99 × (100 ) ) + (100 × ( −99 ) ) = 2 − 2 + 12 − 12 + ... + 9900 − 9900 =0

101

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

‫‪MAN‬‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫‪A‬‬

‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن ‪:‬‬ ‫أي ‪:‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪AN 2 = MN 2 − MA2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أي ‪( a + c ) − ( a − c ) :‬‬

‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫و ﻝدﻴﻨﺎ‬

‫)‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫‪2‬‬

‫) ‪AN 2 = ( a + c ) − ( a − c‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫= ‪AN‬‬

‫‪AN = 4ac = 2 ac‬‬

‫‪NDP‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أي ‪( c + b ) − ( b − c ) :‬‬

‫‪D‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫و ﻝدﻴﻨﺎ‬

‫‪MFP‬‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪NP 2 = ND 2 + DP 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪ND 2 = ( c + b ) − ( b − c‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫= ‪ND‬‬

‫‪ND = 4cb = 2 cb‬‬

‫‪a 2 + 2ac + c 2 − a 2 + 2ac − c 2‬‬

‫= ‪AN‬‬

‫(‬

‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن ‪:‬‬ ‫‪ND 2 = NP 2 − DP 2‬‬

‫‪MN 2 = MA2 + AN 2‬‬

‫‪c 2 + 2cb + b 2 − c 2 + 2cb − b 2‬‬

‫= ‪ND‬‬

‫(‬

‫‪F‬‬

‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن ‪:‬‬ ‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪MP 2 = MF 2 + PF 2‬‬

‫‪102‬‬

‫ا‬ 2

MF 2 = ( a + b ) − ( b − a ) MF =

: ‫أي‬

2

: ‫أي‬

a 2 + 2ab + b 2 − b 2 + 2ab − a 2

( (

4

2 ab = 2 ac + 2 cb

)

)

‫ا‬

: ‫أي‬

MF 2 = MP 2 − PF 2

2 2 ( a + b ) − ( b − a ) : ‫أي‬

MF =

3

‫ا‬:‫ذ‬

MF = 4ab = 2 ab

: ‫وﻤﻨﻪ‬

MF = AD = AN + ND

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

: ‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬

‫و‬

4

3

‫و‬

2

‫و‬

1

‫ﻤن‬

1 1 × 2 ab = × 2 ac + 2 cb : ‫أي‬ 2 abc 2 abc 1 1 1 : ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬ = + c b a

(

)

4 ‫ﲤﺮﻦ‬ ‫أطوال أﻀﻼع ﻤﺜﻠث‬ b+c > a

‫و‬

b+c−a > 0 z = c + a −b > 0

2 xy ≤ x + y

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

‫و‬

‫و‬

c+a >b

c+ a−b > 0

‫و‬

‫و‬

‫و‬

b

a

a+b−c > 0

x − 2 xy + y ≥ 0

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

(

2

)

(

3

)

x+ y x+z y+z : ‫ﺒطرف‬ × × 2 2 2 x+ y x+z y+z : ‫أي‬ xyz ≤ × × 2 2 2

1

(

x− y

)

xy ≤

x+ z : 2 y+z ‫و‬ yz ≤ 2 xz ≤

‫طرف‬

‫و‬

3

( xyz )

2

≤

2

)

‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

a+b > c

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

y = b + c − a > 0‫ و‬x = a +b −c > 0

(

xy × xz × yz ≤

‫و‬

c

: ‫ﻨﻀﻊ‬

2

≥0

x+ y 2

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ : ‫إذن‬

‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن‬

‫و‬

1

‫ﻨﻀرب اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬

x+ y x+ z y+ z × × 2 2 2

: ‫أي‬ : ‫أي‬

( a + b − c )( b + c − a )( a + c − b ) ≤

a +b− c +b+ c − a a+ b − c +a+ c − b b +c− a + a +c− b × × 2 2 2 2b 2 a 2c : ‫أي‬ ( a + b − c )( b + c − a )( a + c − b ) ≤ × × 2 2 2

( a + b − c )( b + c − a )( a + c − b ) ≤ abc : ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

103

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﳋﺎﻣﺲ واﻟﻌﴩون‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ‬

‫ﺒﻴن أن ‪( x + y )( x + z )( y + z ) ≥ 8 xyz :‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫ﻨﻌطﻲ ‪:‬‬

‫‪13 + 23 + .... + 143 + 153 = 14400‬‬

‫أﺤﺴب‬

‫‪23 + 43 + 63.... + 283 + 303‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫اﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻴﺘﻘﺎطﻌﺎن ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ‬ ‫وﻤﻤﺎﺴﺎن ﻝﻠدواﺌر‬ ‫واﻝداﺌرﺘﺎن‬

‫‪C1‬‬

‫واﻝداﺌرﺘﺎن‬

‫‪C3‬‬

‫اﺤﺴب‬

‫‪r‬‬

‫) ‪C1 ( J ,30‬‬

‫و‬ ‫و‬

‫‪C2‬‬

‫و‬

‫) ‪C2 ( H ,18‬‬

‫و‬

‫‪O‬‬ ‫) ‪C3 ( I , r‬‬

‫ﻤﺘﻤﺎﺴﺘﺎن‬

‫‪C2‬‬

‫ﺸﻌﺎع اﻝداﺌرة‬

‫ﻤﺘﻤﺎﺴﺘﺎن‬ ‫‪C3‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪2016 × 2015 × 2014 × 2013 + 1 4058209‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪104‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫‪%‬ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﳋﺎﻣﺲ واﻟﻌﴩون‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪−2 x× y ≥0‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪x + y − 2 xy ≥ 0‬‬

‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬

‫)‬

‫‪x + y ≥ 2 xy‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪x + z ≥ 2 xz‬‬

‫ﻨﻀرب اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x− y‬‬

‫(‬

‫و‬ ‫و‬

‫‪2‬‬

‫)‪) = ( x) +( y‬‬

‫‪y + z ≥ 2 yz‬‬

‫و‬

‫‪3‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪3‬‬

‫(‬

‫طرف ﺒطرف ‪:‬‬

‫‪xy × 2 xz × 2 yz‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪) ×( z ) ×( y‬‬

‫‪x‬‬

‫(‬

‫‪( x + y )( x + z )( y + z ) ≥ 2‬‬

‫( ‪( x + y )( x + z )( y + z ) ≥ 8‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪( x + y )( x + z )( y + z ) ≥ 8 xyz :‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪23 + 43 + 63.... + 283 + 303‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪23 = ( 2 ×1) = 23 ×13‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪43 = ( 2 × 2 ) = 23 × 23‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪63 = ( 2 ×1) = 23 ×13‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪283 = (14 × 2 ) = 143 × 23‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪303 = (15 × 2 ) = 153 × 23‬‬

‫إذن ‪:‬‬ ‫‪23 + 43 + 63.... + 283 + 303 = 23 ×13 + 23 × 23 + 23 × 33 + .... + 143 × 23 + 153 × 23‬‬ ‫) ‪= 23 (13 + 23 + .... + 143 + 153‬‬ ‫‪= 8 ×14400‬‬ ‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪105‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

3 ‫ﲤﺮﻦ‬ ‫ ( و ) ∆ ( ﻤﻤﺎﺴﺎن ﻝﻠدواﺌر‬D ) ‫ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن‬ L

‫و‬

A

‫ ( ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ ﻓﻲ‬C3 ) ‫ ( و‬C2 ) ‫ ( و‬C1 ) E

‫و‬

( IE ) ⊥ ( ∆ ) ‫ ( و‬HL ) ⊥ ( ∆ ) ‫ ( و‬JA) ⊥ ( ∆ ) : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ˆ = sin HOL ˆ = sin JOA ˆ sin IOE

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

IE HL JA = = OI OH OJ

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

r 18 30 = = OM + r OM + 2r + 18 OM + 2r + 2 ×18 + 30

r 18 30 = = OM + r OM + 2r + 18 OM + 2r + 66 r 18 : ‫ ﻝدﻴﻨﺎ‬1 ‫اﻝﻨﺘﻴﺠﺔ‬ = OM + r OM + 2r + 18

‫ﺤﺴب‬

r × OM + 2r 2 + 18r = 18 × OM + 18r

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

2r 2 = 18 × OM − r × OM

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

2r 2 = OM (18 − r )

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

(

1

18 30 = OM + 2r + 18 OM + 2r + 66

)

OM =

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

1

2r 2 18 − r

: ‫إذن‬

‫ﺤﺴب اﻝﻨﺘﻴﺠﺔ‬

18 × OM + 36r + 1188 = 30 × OM + 60r + 540

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

30 × OM − 18 × OM + 60r − 36r = 1188 − 540

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

(

2

)

12 × OM + 24r = 648

 2r 2  12 ×   + 24r = 648  18 − r 

106

: ‫إذن‬

: ‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬

2

: ‫إذن‬ ‫و‬

1

‫ﻤن‬

24r 2 + 432r − 24r 2 = 648 18 − r

: ‫أي‬

432r = 11664 − 648r

: ‫أي‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

1080r = 11664 r=

11664 = 10,8 1080

‫ا‬

: ‫أي‬

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

4 ‫ﲤﺮﻦ‬ x = 2013 2016 × 2015 × 2014 × 2013 + 1 = 4

=

=

: ‫ﻨﻀﻊ‬

( x + 3) × ( x + 2 ) × ( x + 1) × x + 1 4

x × ( x + 3 ) × ( x + 2 ) × ( x + 1) + 1 4

(x

2

+ 3x ) × ( x 2 + 3x + 2 ) + 1 4 t = x2 + 3x

2016 × 2015 × 2014 × 2013 + 1 = 4 = = =

(x

2

: ‫ﻨﻀﻊ‬

+ 3x ) × ( x 2 + 3x + 2 ) + 1 4

t × (t + 2) + 1 4 t 2 + 2t + 1 4

( t + 1)

2

4

t +1 2 x 2 + 3x + 1 = 2 20132 + 3 × 2013 + 1 = 2 4052169 + 6039 + 1 4058209 = = 2 2 =

107

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎدس واﻟﻌﴩون‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫‪ x‬و‬

‫ددان‬

‫‪y‬‬

‫ن أن ‪:‬‬

‫ن و‬

‫ن ط‬

‫‪ x y‬‬ ‫‪x2 y 2‬‬ ‫‪3 + 2 + 2 ≥ 2 + ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ y x‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫‪a‬‬

‫و‬

‫‪b‬‬

‫و‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫و‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪x≤ y‬‬

‫‪x ax + by y‬‬ ‫≤‬ ‫≤‬ ‫‪y ay + bx x‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪x‬‬

‫أﺤﺴب‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﻋددان ﺤﻘﻴﻘﻴﺎن ﻤوﺠﺒﺎن ﺒﺤﻴث ‪:‬‬

‫‪x − y = 16 2‬‬

‫و‬

‫‪xy = 224‬‬

‫‪x+ y‬‬

‫‪ -2‬اﺤﺴب ‪:‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ + +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4 28 70 130 208 304 418 550 700‬‬

‫=‪S‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫اﺤﺴب ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤﻀﻠﻠﺔ‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪108‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

‫ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎدس واﻟﻌﴩون‬% 1 ‫ﲤﺮﻦ‬ : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬  x y  x2 y 2  x y x2 y2 3 + 2 + 2 − 2 +  = 2 + 2 + 2 − 2  +  +1 y x x  y x y  y x 2

 x y  x y =  +  − 2 +  +1  y x  y x 2

x y  =  + − 1 ≥ 0 y x 

3+

 x y x2 y2 + 2 ≥ 2 +  2 y x  y x

: ‫إذن‬

2 ‫ﲤﺮﻦ‬

(

ay > 0

‫و‬

bx > 0

)

x≤ y

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

x2 ≤ y2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

( ay ) × x2 ≤ ( ay ) × y 2 ‫ ( و‬bx ) × x 2 ≤ ( bx ) × y 2 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ bx3 ≤ bxy 2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

bx3 + ( ax 2 y ) ≤ bxy 2 + ( ax 2 y )

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

‫و‬

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

ayx 2 ≤ ay 3 ayx 2 + ( bxy 2 ) ≤ ay 3 + ( bxy 2 )

‫و‬

xy ( ax + by ) ≤ y 2 ( ay + bx )

‫و‬

x 2 ( bx + ay ) ≤ xy ( by + ax )

1 1 1 1 × xy ( ax + by ) ≤ 2 × y 2 ( ay + bx ) ‫ و‬2 × x 2 ( bx + ay ) ≤ 2 × xy ( by + ax ) : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ 2 y y x x x y × ( ax + by ) ≤ ( ay + bx ) ‫ و‬bx + ay ≤ × ( by + ax ) : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ y x y  1  1 × ‫ و‬1 ≥ x ×  1  : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ≥ x  ax + by  ay + bx bx + ay y  by + ax  y ax + by ≥ ‫ و‬ax + by ≥ x : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ x ay + bx bx + ay y x ax + by y ≤ ≤ : ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬ y ay + bx x

3 ‫ﲤﺮﻦ‬ 109

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

x − y = 16 2

( x − y)

(

1

) (

x 2 − 2 xy + y 2 + 4 × xy = 512 + 896

2

(

‫ا‬

: ‫ ﻝدﻴﻨﺎ‬-1

= 16 2

)

2

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x 2 − 2 xy + y 2 = 256 × 2 = 512

: ‫إذن‬

xy = 224

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

2

)

4 × xy = 4 × 224 = 896

: ‫طرف ﺒطرف‬

2

‫و‬

1

:‫إذن‬

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺴﺎوﻴﺘﺎن‬

x 2 + 2 xy + y 2 = 1408

( x + y)

2

= 1408

x + y = 1408 = 2 352

: ‫أي‬ : ‫أي‬

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬ -2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 S= + + + + + + + + 1×4 4×7 7×10 10×13 13×16 16×19 19×22 22×25 25×28 1 4−1 1 7−4 1 10−7 1 13−10 1 16−13 1 19−16 1 22−19 1 25−22 1 28−25 = × + × + × + × + × + × + × + × + × 3 1×4 3 4×7 3 7×10 3 10×13 3 13×16 3 16×19 3 19×22 3 22×25 3 25×28 1  1 1  1 1 1  1 1  1  1 1  1  1 1  1  1 1  1  1 1  1  1 1  1  1 1  = ×1− + × − + × − + × − + × − + × − + × − + × − + × −  3  4 3  4 7 3  7 10 3 10 13 3 13 16 3 16 19 3 19 22 3  22 25 3  25 28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  = 1− + − + − + − + − + − + − + − + −  3 4 4 7 7 10 10 13 13 16 16 19 19 22 22 25 25 28 1 1  = 1−  3 28 1 27 = × 3 28 1 9× 3 = × 3 28 9 = 28

4 ‫ﲤﺮﻦ‬ π × 22 4

π × 12 2

110

=

π 2

:

2

=π

: ‫ ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﺸﻜل‬-

‫ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻨﺼف اﻝداﺌرة اﻝﺘﻲ ﻗطرﻫﺎ ﻴﺴﺎوي‬https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ا‬

‫‪ -‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻨﺼف اﻝداﺌرﺘﻴن اﻝﺘﻲ ﻗطراﻫﻤﺎ ﻴﺴﺎوﻴﺎن‬

‫‪2‬‬

‫‪2π‬‬ ‫‪=π‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪:‬‬

‫=‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫ ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﺸﻜل اﻝﺒﻴﻀﺎوي ‪:‬‬‫‪ 2 π × 12 ‬‬ ‫‪ π‬‬ ‫‪1 − 2 1 −‬‬ ‫‪ = 1 − 2 1 − ‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 −π‬‬ ‫‪= 1−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π −2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤﻀﻠﻠﺔ ‪:‬‬‫ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤﻀﻠﻠﺔ = ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﺸﻜل‪) -‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻨﺼف اﻝداﺌرﺘﻴن ‪ -‬ﻤﺴﺎﺤﺔ‬ ‫اﻝﺸﻜل اﻝﺒﻴﻀﺎوي (‬

‫ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤﻀﻠﻠﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪π − 2  2 −π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π − π −‬‬ ‫‪cm 2‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 −π‬‬ ‫‪cm 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪111‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎﺑﻊ واﻟﻌﴩون‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﻴﻤﺜل ﺼﻬرﻴﺞ ﻴﺤﺘوي ﻋﻠﻰ ﺤﻨﻔﻴﺘﻴن ﻝﻤﺌﻪ ﺒﺎﻝﻤﺎء‬ ‫اﻝﺤﻨﻔﻴﺔ اﻷوﻝﻰ ﺘﻤﻸ اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﻓﻲ ﺴﺎﻋﺘﺎن‬ ‫واﻝﺤﻨﻔﻴﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ ﺘﻤﻸ اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﻓﻲ‬

‫‪3‬‬

‫ﺴﺎﻋﺎت‬

‫إذا ﻓﺘﺤﻨﺎ اﻝﺤﻨﻔﻴﺘﻴن ﻓﻲ ﻨﻔس اﻝوﻗت ﻓﻜم ﺴﻴﺴﺘﻐرق‬ ‫ﻤن اﻝوﻗت ﺤﺘﻰ ﻴﻤﺘﻸ اﻝﺼﻬرﻴﺞ‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪z‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1 1 1 ‬‬ ‫‪+ 2‬‬ ‫‪+ 2‬‬ ‫‪≤  + + ‬‬ ‫‪x + yz y + xz z + xy 2  yz xz xy ‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪ABCD‬‬

‫ﻤﺴﺘطﻴل ﻤﺴﺎﺤﺘﻪ‬

‫ﺤدد ﻤﺤﻴط اﻝﻤﺴﺘطﻴل‬

‫‪S = 30cm 2‬‬

‫و طول ﻗطرﻩ‬

‫‪BD = 65‬‬

‫‪P‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫ﻓﻲ اﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ‪:‬‬ ‫واﻝﻤﺜﻠﺜﺎن‬

‫‪BAD‬‬

‫و‬

‫‪ABC‬‬ ‫‪ACE‬‬

‫اﻝﻸﻀﻼع ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ‬ ‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫ﻤﺜﻠث‬ ‫ﻤﺘﺴﺎوﻴﺎ‬ ‫ﻓﻲ ‪ D‬و ‪E‬‬

‫‪DC = BE‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪112‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺴﺎﺑﻊ واﻟﻌﴩون‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫ﻨﻀﻊ ‪:‬‬

‫‪V‬‬

‫‪ :‬ﺤﺠم اﻝﺼﻬرﻴﺞ‬

‫‪S1‬‬

‫‪ :‬ﺼﺒﻴب اﻝﺤﻨﻔﻴﺔ اﻷوﻝﻰ‬

‫‪S2‬‬

‫‪ :‬ﺼﺒﻴب اﻝﺤﻨﻔﻴﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ‬

‫‪t‬‬

‫‪ :‬اﻝﻤدة اﻝزﻤﻨﻴﺔ ﺤﺘﻰ ﻴﻤﺘﻸ اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﺒواﺴطﺔ اﻝﺤﻨﻔﻴﺘﻴن ﻤﻌﺎ‬

‫ ﻋﻨد ﻤﻸ اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﺒﺎﻝﺤﻨﻔﻴﺔ اﻷوﻝﻰ ﻓﺈن ﺤﺠم اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﻫو ‪:‬‬‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪V‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪S1‬‬

‫ ﻋﻨد ﻤﻸ اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﺒﺎﻝﺤﻨﻔﻴﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ ﻓﺈن ﺤﺠم اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﻫو ‪:‬‬‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪V‬‬ ‫‪3‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪V‬‬ ‫‪S1 + S 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪V = S2 × 3‬‬

‫= ‪S2‬‬

‫ ﻋﻨد ﻤﻸ اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﺒﺎﻝﺤﻨﻔﻴﺘﻴن ﻤﻌﺎ ﻓﺈن ﺤﺠم اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﻫو ‪:‬‬‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪V = S1 × 2‬‬

‫‪V‬‬ ‫‪6‬‬ ‫× ‪=V‬‬ ‫‪5V‬‬ ‫‪5V‬‬ ‫‪6‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫=‪t‬‬

‫=‬

‫‪V‬‬ ‫‪V V‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 3‬‬

‫‪V = ( S1 + S2 ) × t‬‬

‫=‪t‬‬

‫=‪t‬‬

‫اﻝﻤدة اﻝزﻤﻨﻴﺔ ﻝﻤﻸ اﻝﺼﻬرﻴﺞ ﺒواﺴطﺔ اﻝﺤﻨﻔﻴﺘﻴن ﻤﻌﺎ ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪1h12 m in‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪≥0‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪x 2 − 2 x yz + yz ≥ 0‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪yz‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫×‬ ‫‪x + yz 2 x yz‬‬ ‫‪yz‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪yz‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫‪x + yz 2 xyz‬‬

‫)‬

‫‪yz‬‬

‫‪(x −‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪x 2 + yz ≥ 2 x yz‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫‪x + yz 2 x yz‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫)‬

‫‪1‬‬

‫(‬

‫‪1‬‬ ‫‪xz‬‬ ‫≤‬ ‫‪y + xz 2 xyz‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪113‬‬

‫ا‬

(

3

yz xy 1 1 1 xz + 2 + 2 ≤ + + x + yz y + xz z + xy 2 xyz 2 xyz 2 xyz 4

)

‫ و‬2‫و‬

3

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬

1 1 1 1  yz + xz + xy  + 2 + 2 ≤   x + yz y + xz z + xy 2  xyz 

(

xy + xz + yz ≤

1

: ‫وﻤﻨﻪ‬

2

( (

6

)

(

7

)

x+ y x+ z y+ z + + 2 2 2

5

x+ z ≥ xz 2 y+z ≥ yz 2

: ‫طرف ﺒطرف‬

7

)

1 1 1 1  yz + xz + xy  + + ≤   ≤ x 2 + yz y 2 + xz z 2 + xy 2  xyz 

2

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

≥0

x − 2 xy + y ≥ 0

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x + y ≥ 2 xy

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

x+ y ≥ xy 2

: ‫إذن‬

)

: ‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن‬ ‫و‬

‫ و‬6‫و‬

5

xy + xz + yz ≤ 8

)

x− y

xy + xz + yz ≤

(

‫ا‬

‫و‬

2

: ‫طرف ﺒطرف‬

2

(

xy 1 ≤ z + xy 2 xyz

)

‫ا‬:‫ذ‬

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬

2x + 2 y + 2z 2 2 ( x + y + z)

: ‫اي‬

2

: ‫وﻤﻨﻪ‬

xy + xz + yz ≤ x + y + z 1 x+ y+z   2  xyz 

: ‫اي‬

: ‫ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬8 ‫و‬

y 1 1 1 1 x z + 2 + 2 ≤  + + x + yz y + xz z + xy 2  x yz x y z xy z 1 1 1 1 1 1 1  + 2 + 2 ≤  + +  : 2 x + yz y + xz z + xy 2  yz xz xy  2

4

   

‫ﻤن‬

: ‫أي‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

3 ‫ﲤﺮﻦ‬ B

AB 2 + AD 2 = BD 2

(

114

‫ﻤﺜﻠث ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

ABD

‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

: ‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن‬ 1

)

AB 2 + AD 2 =

(

2

= 65

: ‫وﻤﻨﻪ‬

S = 30cm 2

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

65

)

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

(

2

‫ا‬

AB × AD = 30

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

2 × AB × AD = 2 × 30

: ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

)

: ‫إذن‬

2 × AB × AD = 60

: ‫طرف ﺒطرف‬

AB 2 + AD 2 + 2 × AB × AD = 65 + 60 = 125

‫ا‬:‫ذ‬

2

‫و‬

1

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺘﻴن‬

( AB + AD )

2

: ‫وﻤﻨﻪ‬

= 125

: ‫أي‬

AB + AD = 125 = 5 5 P = 2 × ( AB + AD ) = 2 × 5 5 = 10 5cm

: ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

4 ‫ﲤﺮﻦ‬

( ‫ﻤﺘﺴﺎوي اﻷﻀﻼع‬

ACE

( ‫ﻤﺘﺴﺎوي اﻷﻀﻼع‬

‫ﻷن اﻝﻤﺜﻠث‬

BAD

)

ˆ = BAC ˆ + CAE ˆ = BAC ˆ + 60° BAE

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬

ˆ = 60° ) ‫ ﻷن اﻝﻤﺜﻠث‬BAD

ˆ = CAB ˆ + BAD ˆ = CAB ˆ + 60° CAD

‫و‬

ˆ = 60° CAE

ˆ = CAD ˆ BAE

‫ﻤﺘﻘﺎﻴﺴﺎن‬

CAD

‫و‬

BAE

‫ اﻝﻤﺜﻠﺜﺎن‬: ‫ﻓﺈن‬

ˆ = CAD ˆ  BAE   AE = AC  AB = AD 

DC = BE

115

: ‫إذن‬

: ‫ﺒﻤﺎ أن‬ : ‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻣﻦ واﻟﻌﴩون‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒراﻝﺸﻜل ﺠﺎﻨﺒﻪ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬ ‫اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫ﻫﻲ ﻤرﻜز ﻤﺸﺘرك ﻝﻠداﺌرة‬

‫‪O‬‬

‫) ‪ ( C1‬اﻝﺘﻲ ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ‬ ‫ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ‬

‫‪r‬‬

‫واﻝداﺌرة ) ‪ ( C2‬اﻝﺘﻲ‬

‫‪ ( DE ) .‬ﻫو ﻤﻤﺎس ﻝﻠداﺌرة‬

‫‪R‬‬

‫) ‪ ( C1‬و ‪DE = 7cm‬‬

‫اﺤﺴب‬

‫ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤﻀﻠﻠﺔ‬

‫‪S‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫ﻋددﻴن ﺤﻘﻴﻘﻴﻴن ﺒﺤﻴث ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫‪x + y =1‬‬

‫≤ ‪xy‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪y‬‬

‫و‬

‫‪z‬‬

‫‪ -1‬ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻤوﺠﺒﺔ ﻗطﻌﺎ‬ ‫‪− 1) ≤ xy‬‬

‫‪ -2‬اﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(y‬‬

‫‪− 1) +‬‬

‫‪xy + yz + xz‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫≤ )‪− 1‬‬

‫‪(x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(z‬‬

‫‪− 1) +‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(y‬‬

‫‪− 1) +‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(x‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪a‬‬

‫اﺤﺴب‬

‫ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤوﺠب ﻗطﻌﺎ ﺒﺤﻴث ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a2‬‬

‫‪a2 +‬‬

‫‪ -2‬ﺒﻴن أن ‪:‬‬

‫و‬

‫‪1‬‬ ‫‪a3‬‬

‫‪a3 +‬‬

‫و‬

‫‪1‬‬ ‫‪a6‬‬

‫‪a6 +‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪a+‬‬

‫و‬

‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪a+‬‬

‫‪5555552 − 3333332 = 444444‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪116‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫‪%‬ﻞ ٔوﳌﺒﻴﺎد اﻟﺜﺎﻣﻦ واﻟﻌﴩون‬ ‫ﲤﺮﻦ ‪1‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ ) ‪ ( DE‬ﻫو ﻤﻤﺎس ﻝﻠداﺌرة ) ‪ ( C1‬ﻓﻲ اﻝﻨﻘطﺔ‬

‫‪F‬‬

‫إذن ) ‪( OF ) ⊥ ( DE‬‬

‫ﺒﻤﺎ أن ) ‪ ( OF ) ⊥ ( DE‬و‬ ‫وﻤﻨﻪ ‪:‬‬

‫‪DE 7‬‬ ‫‪= = 3cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻝدﻴﻨﺎ اﻝﻤﺜﻠث‬

‫‪OFE‬‬

‫‪OE = OD = R‬‬

‫ﻓﺈن ) ‪ ( OF‬واﺴط اﻝﻘطﻌﺔ ] ‪[ DE‬‬

‫= ‪FD = FE‬‬

‫ﻗﺎﺌم اﻝزاوﻴﺔ ﻓﻲ‬

‫‪F‬‬

‫ﺤﺴب ﻤﺒرﻫﻨﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏورس اﻝﻤﺒﺎﺸرة إذن ‪:‬‬ ‫أي ‪:‬‬

‫‪R 2 = r 2 + 3,52‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪R 2 − r 2 = 12.25cm‬‬

‫)‬

‫ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﻨطﻘﺔ اﻝﻤﻀﻠﻠﺔ )‬

‫‪OE 2 = OF 2 + FE 2‬‬

‫‪1‬‬

‫(‬

‫‪S‬‬

‫( = ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝداﺌرة ) ‪ - ( C2‬ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝداﺌرة ) ‪( C1‬‬ ‫) ‪S = π R2 − π r 2 = π ( R2 − r 2‬‬

‫ﻤن‬

‫‪1‬‬

‫و‬

‫‪2‬‬

‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪:‬‬

‫‪S = π ( R 2 − r 2 ) = 3,14 × 12, 25 = 38, 465cm 2‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪117‬‬

‫ا‬

‫ا‬

‫ذ‪:‬ا‬

‫ﲤﺮﻦ ‪2‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪ ( x + y )2 = 12 :‬ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪x + y =1‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪x 2 + 2 xy + y 2 − 4 xy = 1 − 4 xy‬‬

‫‪x 2 + 2 xy + y 2 = 1‬‬ ‫‪x 2 − 2 xy + y 2 = 1 − 4 xy‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪= 1 − 4 xy‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪(x − y‬‬

‫) ﻨﻌﻠم أن ‪( ( x − y )2 ≥ 0 :‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪1 − 4 xy ≥ 0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪1 ≥ 4 xy‬‬

‫≤ ‪xy‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪3‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫‪− 1)( y 2 − 1) + 1 ≥ 0‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪( x − 1)( y − 1) + 1 ≥ 0 :‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪( x − 1)( y − 1) + 1 ≥ 0 :‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ‪( x − 1)( y − 1) ≤ x y :‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬ ‫إذن ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪) ≤x y‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪− 1) ≤ xy‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(y‬‬

‫)‪− 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(y‬‬

‫‪− 1) +‬‬

‫(‬

‫‪(x‬‬

‫‪− 1)( y 2 − 1) + 2‬‬

‫‪x2 y 2 − x2 − y 2 + 1 + 2‬‬ ‫‪x2 − 1 + y2 − 1 + 2‬‬

‫‪− 1) +‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(x‬‬

‫(‬

‫‪2‬‬

‫ﻴﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪≤ x2 y 2‬‬

‫‪− 1) +‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﺘﻔﺎوﺘﺎت‬

‫‪1‬‬

‫و‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫‪(x‬‬ ‫)‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫(‬

‫طرف ﺒطرف ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪:‬‬

‫(‬

‫(‬

‫)‬

‫‪( z − 1) + ( x − 1) + ( z − 1) ≤ xy + yz + xz‬‬ ‫أي ‪2 ( x − 1) + 2 ( y − 1) + 2 ( z − 1) ≤ xy + yz + xz :‬‬ ‫أي ‪( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ) ≤ 12 × ( xy + yz + xz ) :‬‬ ‫‪xy + yz + xz‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪(x‬‬

‫‪ -2‬ﺤﺴب اﻝﺴؤال ‪ 1‬ﻝدﻴﻨﺎ ‪( y − 1) ≤ xy :‬‬ ‫ﺒﻨﻔس اﻝطرﻴﻘﺔ ﻨﺒﻴن أن ‪( y −1) + ( z − 1) ≤ yz :‬‬ ‫و ‪( x − 1) + ( z − 1) ≤ xz‬‬ ‫و‬

‫)‬

‫)‪( y 2 − 1‬‬

‫‪( x2 − 1) +‬‬

‫≤ )‪− 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(z‬‬

‫‪− 1) +‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(y‬‬

‫‪− 1) +‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(y‬‬

‫‪− 1) +‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(x‬‬

‫‪− 1) +‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(y‬‬

‫‪− 1) +‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪1‬‬ ‫‪×2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(x‬‬

‫ﲤﺮﻦ ‪4‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﺤﺴﺎب‬

‫‪1‬‬ ‫‪a2‬‬

‫‪a2 +‬‬

‫‪https://sites.google.com/site/stitmath‬‬

‫‪118‬‬

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

a+

1 =2 a

2

1  2 a +  = 2 a 

‫ا‬

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ : ‫ﺒﻌﻨﻲ‬

2

1 1 a 2 + 2 × a × +   = 4 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ a a 1 a 2 + 2 + 2 = 4 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ a 1 a 2 + 2 = 2 : ‫إذن‬ a 1 a 3 + 3 ‫ ﺤﺴﺎب‬a 1  2 1    a +  a + 2  = 2 × 2 : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ a  a   1 1 1 1 a × a 2 + a × 2 + × a 2 + × 2 = 4 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ a a a a 1 1 a 3 + + a + 3 = 4 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ a a 1 a 3 + 2 + 3 = 4 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ a 1 a 3 + 3 = 2 : ‫إذن‬ a 1 a 6 + 6 ‫ ﺤﺴﺎب‬a 1 a 2 + 2 = 2 : ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ a 2

 2 1  2 a + 2  = 2 : a   2

( a ) + 2 × a × a12 +  a12  = 4 : 1 a4 + 2 + 4 = 4 : a 1 a4 + 4 = 2 : a  4 1  2 1   a + 4  a + 2  = 2× 2 : a  a   1 1 1 1 a4 × a2 + a4 × 2 + 4 × a2 + 4 × 2 = 4 : a a a a 1 1 a6 + 2 + a2 + 6 = 4 : a a 2 2

119

2

‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫إذن‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ‬

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

1 = 4 : ‫ﻴﻌﻨﻲ‬ a6 1 a 6 + 6 = 2 : ‫إذن‬ a 1 a+ ‫ ﺤﺴﺎب‬a

a6 + 2 +

: ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ 2

1    a+  = a 

1  1  a + 2× a × +  a  a 1 = a+2+ a = 2+2

( )

2

2

=4 a+

1 =2 a

: ‫إذن‬ -2

2

2

5555552 − 3333332 = (111111× 5 ) − (111111× 3) = 1111112 × 52 − 1111112 × 32 = 1111112 × ( 52 − 32 ) = 1111112 × ( 25 − 9 ) = 1111112 ×16 = 1111112 × 42 2

= (111111× 4 ) = 4444442

120

https://sites.google.com/site/stitmath

‫ا‬

‫ا‬:‫ذ‬

‫ا‬

‫ﻠﺘﻮاﺻﻞ‬9 abderrahimstit@gmail.com

: ‫اﻟﱪﻳﺪ اﻻٕﻟﻜﱰوﱐ‬

https://sites.google.com/site/stitmath : ‫اﳌﻮﻗﻊ اﻻٕﻟﻜﱰوﱐ‬ : ‫ﺒﻮك‬Q‫ﺴ‬R‫ﲆ اﻟﻔﺎ‬T ‫ﺔ‬U‫اﻟﺼﻔ‬ https://www.facebook.com/profile.php?id=100009542156143

121

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