МАТЕМАТИК А
Министар просвете, науке и технолошког
решењем број 650-02-00182/2020-07 од 2. 11. 2020. године, одобрио је овај уџбеник за
37.016:51(075.2)
ДУГОШИЈА, Ђорђе, 1947Математика : уџбеник са збирком задатака за седми
разред основне школе / Ђорђе Дугошија, Милољуб Албијанић, Марко Шегрт. - 1. изд. - Београд : Завод за уџбенике, 2021 (Београд : АМД систем). - 242 стр. : илустр. ; 27 cm
Тираж 1.500.
ISBN 978-86-17-20478-3
1. Албијанић, Милољуб, 1967- [аутор] 2. Шегрт, Марко 1948[аутор]
COBISS.SR-ID 29315593
2.
1.1.Квадратрационалногброја
1.2.Решавањеједначине
1.4.Реалнибројеви.Реалнаправа
1.5.Децималнизаписреалногброја.Приближнавредност.Апсолутнагрешка
1.6.Рачунскеоперацијесареалнимбројевима
2.1.Питагоринатеорема
2.3.ПрименеПитагоринетеоремеиОбрнутеПитагоринетеореме
3. ЦЕЛИАЛГЕБАРСКИИЗРАЗИ–ПРВИДЕО
3.1.Степенчијијеизложилацприроданброј
3.2.Множењеидељењестепенаистихоснова.Степенстепена
3.3.Степенпроизводаиколичника
3.4.Степеноснове10чијијеизложилацнулаилинегативанцеоброј
4.1.Mногоугао–појамиврстемногоуглова
4.2.Угао–збиругловамногоугла
4.3.Дијагонале–бројдијагонала
4.4.Правилнимногоуглови
4.5.Конструкцијеправилнихмногоуглова
4.6.Обимиповршинамногоугла
4.7.Тежишнадужтроугла
4.8.Ортоцентар
4.9.Сложенијеприменеставоваподударности
6.1.Централниипериферијскиугаоукругу
6.2.Обимкруга.Број
6.3.Дужинакружноглука
6.4.Површинакруга
6.5.Површинакружногисечка
6.6.Површинакружногпрстена
Квадратрационалногброја
Решавањеједначине x2 = a, a ∈ Q
Постојањеирационалнихбројева.Корен
Реалнибројеви.Реалнаправа
Децималнизаписреалногброја.Приближнавредност. Апсолутнагрешка
Рачунскеоперацијесареалнимбројевима
Функцијадиректнепропорционалности
Токомдосадашњегшколовањаупозналистевишеврстабројева.Полазећиодброја1,
0, 1, 2,...}
сморазломке(позитивнерационалнебројеве),којесмодопунилинегативнимрационалним бројевима.Добилисмоскуп Q = p q p ∈ Z,q ∈ N свихрационалнихбројева.Овајскупje обухватаосведотадауведенебројеве.
Унареднимлекцијамавидећеседаниовајскупбројева, мадавеомабогат,ниједовољандасеобраденекиприродни захтеви,каоштојезахтевдасвакадужприизабранојјединици мереимадужину.Излазналазимоудаљемпроширењускупа
ускуп R реалнихбројева,задржавајућипритомсвезаконе закојесмоутврдилидаважезарадњесарационалнимбројевима.Какоћемотоурадити,показаћемоуовомпоглављу.
1.1.Квадратрационалногброја
Производрационалногброја a сасамимсобомназивамо квадратброја a ипишемо a2 def = a · a.
Запис a 2 читамо„a наквадрат”.Разлогзатојегеометријскаинтерпретација:површина квадратачијастраницаимадужину a (удатиммернимјединицама)једнакаје
Пример 1
Проверитетачностпопуњенетабеле.
Такођеважи
Акоје a<b< 0,ондаје a2 >b2 .
Из a <b< 0 следи a> b> 0,паквадрирањемстранадобијамо ( a)2 > ( b)2 ,одакле следи a 2 >b2 .
Наосновупретходнихособина,јасноједаважиследеће:
Aкосу a и b истогзнакаиакоје a2 = b2,ондаје a = b.
А штаседогађаакосу a и b различитогзнака,аимајуједнакеквадрате?
Неумањујућиопштост,претпоставимодаје a> 0 >b.Тадаје a>
a 2 =( b)2 јерје ( b)2 = b2.Наосновупрвогдоказаногсвојства,закључујемодаје a = b. Дакле:
Акосу a и b различитогзнака,аимајуједнакеквадрате,ондаје a = b.
Питања
Штајеквадратброја?Којасвојстваимаквадратброја?
1.6.Рачунскеоперацијесареалнимбројевима
САБИРАЊЕ
Сабирање рационалнихбројеванаприроданначинпроширујемонасабирањереалних бројева.
Знамодасвакомреалномброју a одговаранареалнојоситачка A(a) којаимакоординату a,атимеиоријентисанадуж OA чијијепочетаккоординатнипочетак O,акрајтачка A.
Некаје B(b) тачкасакоординатом b.Аконадовежемооријентисанедужи
што OB транслацијомпомеримодајојпочетакбудеутачки
Видимодајезбирдвареалнабројаувекреаланброј,ауслучајудасубројевирационални,добијамоистирезултаткојисмоималипри„старом”сабирањурационалнихбројева.
Јасноје,такође,дасуосталанасназистараправила(закони)
АПСОЛУТНАВРЕДНОСТ
Растојањетачке A(a)
Растојањетачака A(a) и B(b) (тј.дужинадужи AB)једнакоје
МНОЖЕЊЕ
Производдвареалнаброја a и b,којиoзначавамоса a · b илисамо ab
Овакодефинисаномножењејеусагласностисаначиномнакојисмодефинисали„старо”множењерационалнихбројева.
Такођеусвајамодаје
азапозитивнебројеве a и b даје ( a)b = ab ( a)( b)= ab.
Тимеједефинисаномножењезасвереалнебројеве.
Нијеникаквочудодаостајунасназиистаризаконикомутативности,дистрибутивностиимножењајединицом ab = ba
Какозасвако a> 0 постојиправоугаоникчијајеједнастраницадужине
једнака1,закључујемодапостоји
ДЕЉЕЊЕ
Операцију
Приметимодаважиследеће:
Производсвакограционалногброја
b јестеирационаланброј.
Заиста,акоби c = ab биорационаланброј,ондабии b = c a биорационаланброј,јерје
количникрационалнихбројеварационаланброј!
Уведенеоперације + и · усагласностисусауређењемреалнихбројева,тј.идаљеваже „стари”закони:
Кратакрезимесвегаштосмодобилијестедасвештостесмелидарадитесарационалнимбројевимасметедарадитеисареалним!
Користећирезултатимамо,например,
Пример 1
Бициклиставозиконстантномбрзином v =10 km/h.Коликипутћепрећиза:
а)1час;б)2часа;в)3часа;г) t часова?
Решење
а) Заједанчаспрећиће10километара; б)Задвачасапрећиће 10 · 2=20 километара; в)Затричасапрећиће 10 · 3=30 километара;
г)За t часовапрећиће 10t километара.
Пример 2
За храњењедваканаринцатреба10грамахранедневно.Претпостављајућидасвиканаринциједуистуколичинухранедневно,израчунајтеколикограмахранетребаза:а)пет канаринаца;б)шестканаринаца;в) x канаринацадневно.
Решење
а) Израчунајмонајпреколикограмахранепоједеједанканаринацдневно.Наравно,двапутмањенегодва, дакле5грама.Запетканаринацатребаћедакле 5 · 5=25 грама.
б)Зашестканаринацабићепотребно 5 6=30 грама.
в)За x канаринацатребаће 5x грама.
У
Удругомпримеруколичина y потребнехранеза x канаринаца(уграмима)билаје 5x. Видимодасеуобапримерапојављујудвевеличине.Сапроменомпрвемењасеидруга.
Кадпрваузмевредност x,другаузимавредност y позакону y = kx,
причемује k ∈ R\{0} (упрвомпримеру k =10,аудругом k =5).
За двевеличинечијесуодговарајућевредностивезанезаконом
k називасекоефицијентпропорционалности.
Из y = kx
Упрвомпримерувреме
Скупсвиходговарајућихтачака
Акостедобронацрталиодговарајућетачке,приметићетедасвеприпадајуједнојправој којапролазикрозкоординатнипочетак.
Проверитедасветачке (0, 0), (1, 10), (1,5, 15), (2, 20), (2,1, 21), (3, 30) припадајуистој правој!
Графикзависностиупрвомпримерупредстављаполуправуукоординатнојравниса крајем (0, 0).
Питагоринатеорема
ОбрнутаПитагоринатеорема
ПрименеПитагоринетеоремеиОбрнутеПитагорине теореме
Природносепостављапитањекаквавезапостојимеђудужинамастраницатроуглаако
2.1.Питагоринатеорема
ПревишехиљадагодинаЕгипћанисузналидајетроугаоформиранодстраницадужина
вањеправогуглаприграђењупирамида.Затосеиданасовајтроугаоназива египатски
Задатак.Направитеегипатскитроугаоодканапавезивањемчворованаједнакомрастојањуизатезањемканапа.
Слика 2.1.Далијеугаоправ?Проверавањепомоћуегипатскогтроугла.
Акосенадстраницамаегипатскогтроуглаконструишуквадрати,квадратнаднајдужомстраницомчине25јединичнихквадрата,аквaдратенадкраћимстраницамачине9и16 јединичнихквадрата,теважи
Слика 2.3.ПитагорасаСамоса(570.прен.е.–510.прен.е.)„Свејеубројевима”
Питагоринатеорема
Засвакиправоуглитроугаоважидајезбирповршинаквадратанадкатетамаједнак површиниквадратанадхипотенузом.
Постојинастотинеразнихдоказаоветеореме(погледајтенаинтернету).Овдесмоизабралиможданајпростијидоказзакојинетребатекст,јерсликасвекаже.
Наслици2.4приказанојекакосепрекрајањем(резањемисастављањем)оддва(слепљена)квадратадужинастраница a и b састављаквадратдужинестранице c једнакехипотенузиправоуглогтроуглачијесукатетедужина
КакогласиПитагоринатеорема?
Заводзауџбенике
Степенчијијеизложилацприроданброј
Множењеидељењестепенаистихоснова.Степен степена
Степенпроизводаиколичника
Степеноснове10чијијеизложилацнулаилинегативан цеоброј
Занимљивости
Рубиковуилимагичнукоцкуизумеојемађарскипроналазач, вајарипрофесорЕрнеРубик.Овакоцкасесастојиод27једнакихкоцки,авидесеобојенестране(подеветуистојбоји).
Изгледрешенекоцкејетакавдајесвакаодшестстранакојечине коцкуразличитебоје.
3.1.Степенчијијеизложилацприроданброј
Упозналистесесаосновнимоперацијамаприродних,целих,рационалнихиреалних бројева.Једнаодњихјемножење.Например,
Пример 9
Безрачунањаупоредитестепене a 4 и a5 акоје:
а) a = 10;б) x =0;в) a =0, 1;г) a =15.
Решење
а) ( 10)4 > ( 10)5 , јерје ( 10)4 =104 позитиванброја ( 10)5 = 105 негативанброј; б) 04 =05,јерсуобестранеједнакости0; в) (0, 1)4 > (0, 1)5,јерје (0, 1)5 =(0
г) 154 < 155,јерје 155 =154 · 15
У употребиједецимални(илидекадни)бројнисистем.Онкористидесетцифара:0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9.Основаовогбројногсистемаје10.
Вредностцифреузаписубројаудекадномбројномсистемузависиодтецифреињене позиције.Погледајтеследећипример.
Уопште,важиследеће:
наследећиначин:
Питања
Штајестепенброја
1. Израчунајте: а) 13;б) ( 5)2;в) 34;г) ( 3)5;д) 02;ђ) ( 1)7;е) 105;ж) ( 10)5 .
2. Израчунајте:
3. Израчунајтеповршинуквадратачијајестраница: а)5cm;б) 1 2 dm; в)0,3m;г)1,6dm.
4. Запишитепроизводуобликустепена:
,
5. Коликоје: а) ( 1)26;б) ( 1)27;в) ( 1)625;г) ( 1)1024;д) ( 1)2019;ђ) ( 1)2020?
6. Запишитепроизводуобликустепена а) 3 · 3 ····· 3 27пута ;б) x · x
7. Израчунајте: а) (0, 1)3;б) (0, 1)4;в) (0, 2)3;г) (0, 2)4;д) ( 0, 2)5 ; ђ) (0, 3)3;е) ( 0, 3)4;ж) (0, 4)
Mногоугао–појамиврстемногоуглова
Угао–збиругловамногоугла
Дијагонале–бројдијагонала
Правилнимногоуглови
Конструкцијеправилнихмногоуглова
Обимиповршинамногоугла
Тежишнадужтроугла Ортоцентар
4.1.Mногоугао–појамиврстемногоуглова
Некасу A1,A2,A3,...,An (n ≥ 3) тачкеједнеравнитакведаникојетриузастопнене припадајуједнојправој.Унијадужи A1A2,A2A3,A3A4,...AnAn+1,јестеизломљеналинија (сл.4.1,напримеродшестдужи).Акоје An+1 = A1 (тј.акосепочетнаикрајњатачкатогниза тачакапоклапају)изломљеналинијајезатворена(сл.4.2).Акодужи A1A2, A2A3, A3A4,…,
осимкрајеванемајудругихзаједничкихтачакаитачке
вој,затворенулинијуназивамомногоугаона(полигонална)линија
Тачке
странице темногоугаонелиније.
Многоугаоналинијаделипреосталискуптачакаравнинадвадисјунктнаскупа(уну-
Многоугаојеунијаједнемногоугаонелинијеињенеунутрашњеобласти(сл.4.5),односнодеоравниограниченмногоугаономлинијом.
Зависноодбројатемена–страницаразликујемо:троугао,четвороугао,петоугао,итд.
Пример 1
Датјемногоугао ABCDEFG (сл.4.6).Странице AB и BC сусуседне,астранице AB и DE сунесуседнестранице.Темена C и D сусуседнатемена,атемена A и F сунесуседнатемена.
Пример 2
Наслици4.7јемногоугао ABCDEF.
Слика 4.6
Слика 4.7
Далисустранице:а) AF и BC;б) CD и DE суседнеидалисутеменав) A и D;г) E и F
суседна?
Решење
а) не;б)да;в)не;г)да
Пример 3
Коликостраница,аколикотеменаимадатимногоугао(сл.4.8)?
Заводзауџбенике
Слика 4.8
Решење
Многоугаонаслициимаосамстраницаиосамтемена.
Пример 4
Странице
Пример 5
Којиодмногоуглова(сл.4.12)јеконвексанакојинеконвексан?
Слика 4.12
Решење
Троугао,четвороугаоиседмоугаосуконвексни,апетоугаоишестоугаосунеконвексни.
Ми ћемодаљеразматратисамоконвекснемногоуглове,осимуслучајевимакадтоније неопходно.
Напоредниугаоуглаконвексногмногоугланазивасеспољашниугаомногоугла.
Наслици4.13приказанјеспољашњиугаомногоугла.
Некаједатмногоугао
Заправиланмногоугаоважи: On = n · a (a јестраницаправилногмногоугла)
Пример 1
Израчунајтеобим: а)троуглачијесустранице a =5, 8 cm, b =6, 2 cmи c =7 cm;
б)правоуглогтроуглакодкогасукатета a =9 cmихипотенуза c =15 cm.
Решење
а) O = 19 cm; б) b = √225 81 =12 cm, O =36 cm.
Пример
2
Обимромбаје22cm.Израчунајтестраницуромба.
Решење a = 5, 5 cm.
Пример 3
Израчунајтеобимшестоуглачијесустранице:
e =7, 4 cmи f =5 cm.
Решење
O = 32 cm.
Пример
4
Израчунајтеобимправилногмногоуглакодкојегјепознатбројстраница
a: а) n =4, a =3 1 2 cm; б) n =8, a =5, 2 cm;в) n =7, a =5 3 14 cm.
Решење
Пример 5
Израчунајтестраницуправилногшестоуглачијијеобим
Решење
Израчунавањеповршинемногоугласводисенаразлагањеилидопуњавањепознатим фигурама.
Пример 6
Одредитеповршинупетоугла ABCDE (слика4.41).
Слика 4.41
Решење
Акосупознатимернибројевиовихдужилакосеизрачунаповршина.
Пример 7
Одредитеповршинушестоугла ABCDEF (слика4.42).
Решење
Пример 8
Израчунајтеповршинумногоугла(сл.4.43),гдеје
судатеуцентиметрима).
Свакиправилнимногоугаосеможеразложитинакарактеристичнетроуглове.Површинаправилногмногоугла,тадајеједнаказбируповршинатихкарактеристичнихтроуглова.Какосусвикарактеристичнитроугловиподударни,аимаих
многоуглаједнака
Покажитедајеповршинаправилногшестоугла
Решење
Једнакостраничнитроугаостранице
страничногтроуглаје:
Заводзауџбенике
Алгебарскиизрази
Мономи
Полиномииоперације
Квадратбиномаиразликаквадрата
Растављањеполиноманачиниоце
Разнипримериипримене
Занимљивости
У својојкњизи„Општааритметика”,из1707.годинезнаменитиенглескиматематичар ИсакЊутн(1642–1727)написаоје:„Изразисеправепомоћубројевакаоуобичнојаритметициилипомоћусловакаоуалгебри.Обасузасновананаједнакимпринципима,и водекаистомциљу,причемуаритметикакапосебномипојединачномаалгебрака општем”.
Називаритметикапотичеодгрчкеречи arithmos,штозначи број.
Запискојисесастојиодбројева,знаковааритметичкихоперацијаизаграданазивасе бројевниизраз.
Реалнибројјебројевниизраз.
Вредност
рачунскихоперацијаирадњи.
Пример 1 Израчунајтевредностбројевногизраза:
Заводзауџбенике
Пример 2
Коликоје
Решење
Пример 3
Коликоје25%од360kg?
Решење
Двадесетпетпроценатаод360kgједнакојеизразу
Акоунекомбројевномизразупостојидељењесабројем0,тајизразнемасмисла.
Израз
Запискојисесастојиодбројева,слова,знаковааритметичкихоперацијаизаграданази-
Вредносталгебарскогизразадобијасекадауместопроменљивихнапишемоконкретне бројевеиизрачунамовредносттогбројевногизраза.
Пример 9
Израчунајтевредностизраза
1. Израчунајтеследећебројевнеизразе:
2. Напишитевредностибројевногизразаакоонимасмисла. а) A =(2, 31+13, 64):(5 2, 25)
3. Израчунајтевредностбројевногизраза:
A =(
4. Површинаправоугаоникаје27m2,аједнањеговастраницаје9m.Коликаједијагоналаправоугаоника?
5. Дијагоналаправоугаоникаје 6√5 m,аједнањеговаивицаје6m.Израчунајтеповршинуправоугаоника.
6. Израчунајтевредностизраза:
7. Израчунајте: а)50%од63m;б)33%од3000km;в)75%од600t;г)
8. Израчунајтевредностизраза:
1. а) 31;б) 5 16 ; в) 2 5
2. а) 5,8;б)Изразнемасмисла; в)Изразнемасмисла;г)7,73.
3. а)187,5;б)0,014.
4. 3√10 m.
5. 72 m2
6. а) 10 29 ; б)1;в) 225 49
7. а) 31,5m;б)990km;в)450t;г)6kg.
8. а)0;б) 1
9. а)Именилацизраза A је
паизраз A немасмисланизаједно t. б)Сличнокаопода).
5.4.Квадратбиномаиразликаквадрата
Акоиматепроизвод (a + b)(a + b) или (a b)(a b) извршићете„пешке”множењепомоћудистрибутивногзаконаили,једноставноречено,помножићете свакисасваким,паћете добити: (a + b) · (a + b)= a 2 + ab + ba
Геометријски,овеформулемогуједноставнодаседокажупрекозбираповршинаквадратаиправоугаоника,гдеје a> 0, b> 0 и a>b.
Слика 5.1.Квадратповршине (a + b)2
Акосууформулама (a + b)2 =
Слика 5.2.Квадратповршине a 2
променљиве a и b мономиилиполиноми A и B,ондауопштеважи: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (квадратзбира), (A − B)2 = A2 − 2AB + B2 (квадратразлике), гдесу A и B бројеви,променљиве,полиномиидругиалгебарскиизрази.
Пример 1
Пример 2
Одредитеквадратзбира:
Пример 3
Израчунајтенанајлакшиначин:
Пример 4
Одредитеквадратразлике:
Пример 6
Упроститеизразе:
Докажитеједнакости: а) (a b)2 =(b a)2 ; б) (a + b)2 =( a b)2 ; в) (a + b + c)2 = a 2 + b2 + c2 +2ab +2ac +2bc.
Решење
а) (a b)2 = (b a) 2 (јер је a b = (b a)) =( 1)2(b a)2 =(b a)2 ;
б) (a + b)2 = ( 1)2(a + b)2 = ( 1)(a + b) 2 =( a b)2 ;
в) (a + b + c)2 = (a + b)+ c 2 (групишемонадвасабирка) =(a + b)2 +2(a + b) · c + c2 (квадратзбира) = a 2 +2ab + b2 +2ac +2bc + c2 = a 2 + b2 + c2 +2ab +2ac +2bc.
Заводзауџбенике
Акопомножите (a b) · (a + b),добијасе (a b) (a + b)= a 2 + ab ab b2 = a 2 b2 .
Аакостранеједнакостизаменеместа,ондадобијамо
Разликаквадратајеформула
гдесу A и B реалнибројевиилиалгебарскиизрази.
Пример 8
Користећиразликуквадратаизрачунајте:
Пример 9
Геометријскисеразликаквадрата
Централни ипериферијскиугаоукругу
Обимкруга.Број π
Дужинакружноглука
Површинакруга
Површинакружногисечка
Површинакружногпрстена
Ротација
Поновимо!
Некасудатедверазличитетачке
зовесецентралнорастoјањететивеодцентракружнелиније.Угао < ) AOB називасецентралниугао,а <
тачкуназивасе тангента
Периферијскиугаонекекружнелинијеједнакјеполовиницентралногугланадистим луком.
Разликујемотрислучаја:
1.случај(слика6.3).Центаркружнелиније k(O,r) припадаједномкракупериферијског угла.
тојест < ) AMB = 1 2 < ) AOB.
2.случај(сл.6.4).Центаркружнелинијејеупериферијскомуглу. Конструишемопречник CD.Премапретходномје
инаконсабирањаовихједнакостидобијасе < ) ACB = 1 2 < ) AOB.
3.случај(сл.6.5).Центаркружнелинијејеванпериферијскогугла. Конструишемопречник MN .Угао < ) NMB = 1 2 < )
одузимањемдругеједнакостиодпрве,добија
Наосновупретходногследећатврђењасутачна:
Периферијскиугловинадистимлукомнекекружнелинијеједнакису.
Периферијскиугловинадполукружномлинијом(кажемоинадпречником)суправи.
Једнакимцентралнимугловимаједнекружнелинијеприпадајуједнакилуковииједнаке тетиве.
Већимцентралнимугловимаједнекружнелинијеприпадајувећилуковиивећететиве.
Конструишитецентралниипериферијскиугаонадистимлукомкружнелиније
2
Израчунајте:
а)централниугаоакојепериферијскиугаонадистимлукомједнекружнелиније k(O,r) од 32◦43′28′′ ;
б)периферијскиугаоакојецентралниугаонадистимлукомједнекружнелиније k(O,r) од 111◦17′26′′ . Решење а) 65◦26′56′′;б) 55
Пример 5
Некаједатакружналинија k(O,r) итетива AB текружнелиније.Полупречници OA, OB делепунугаоуразмери 3:5. Подкојимугломсевидитетива AB избилокојетачкекружне линијекојајеразличитаодтачака A и B?
Решење
Кадасепунугаоподелиуразмери 3:5 деловисуједнаки 135◦ и 225◦ .
Разликоваћемодваслучаја:1)aкојетачкаизкојесегледа,саистестранеправе AB каоицентаркружне линије,угаојеједнак 67◦30′ (централниугаојеод 135◦ =3 45◦)(слика6.8);
Слика 6.9
Слика 6.8
2)акојетачкагледањасасупротнестранеправе AB одцентракружнелиније,угаојеједнак 112◦30′ (централниугаојеод 225◦ =5 45◦)(слика6.9).
Питања
Штајететива?
Штајецентрални,аштајепериферијскиугао?
Какогласиодносцентралногипериферијскогугла?
Далисуједнакипериферијскиугловиједнекружнелинијенадистимлуком?
Коликостепениимапериферијскиугаонадпречникомједнекружнелиније?
1.
2.
3.
У свакодневномживотусрећемосесавеликимбројемподатакапасенамећепитање њиховeобраде.Честосеобрађујесамодеопосматраногскупатзв. узорак,којисебиратако даштобољерепрезентујецеоскуп.Наосновуинформацијадобијенихизузоркаизвлачесе
статистика
Тинемашкола,онимадвоја
Једнасуондапросечнотвоја.
АрсенДедић
Преобрадеподацисесређују.Акосерадионумеричкимподацима,онисеуређујупо величининајчешћеурастућемпореткуиодређујеучесталост(фреквенција)свакогодњих.
Добијенарасподеласеприказујетабелом,којасадрживредностиподатакаињиховуучесталост.
Учесталостсеможеизразитииупроцентимачимеседобија табелапроцентуалнерасподеле.
У разредуима34ученика.Њиховеоценеизматематикесуследеће:има4петицe(упроцентима11,76%),10четворки(29,42%),18тројки(52,94%)и2двојке(5,88%).Уређенитабеларниприказрасподелевредностиовихподатакаизгледаовако:
Стубичниприказирасподелеоценаизматематикеипроцентуалнерасподелесу:
Кружнидијаграмоценаизматематикедобијамокадакругразбијемоначетириисечка
6 3, 6=21, 6; 53 · 3, 6=190, 8; 29 · 3, 6=104, 4
Претпоставимодајепознатаирасподелаоценаизфизике.
Можетелиданаосновуовихподатакаодговоритенаследећапитања:
А)Којaјенајчешћаоценаизматематике(користесеподациизПримера1),акојаизфизике?
Б)Изкојегпредметасуученициостварилибољиуспех?
Вредностподаткауузоркуукојемседостижемаксимумучесталостиназивасемод. Средња(просечна)вредностузоркајеколичникзбиравредностисвихподатакаиброја
Најчешћаоценаизматематикеједобар(3).Дакле,модоценаизматематикеје3.
Просечну(средњу)оцену(аритметичкусрединуоцена
Наосновуанкетесастављенајеследећатаблицакојапоказујерасподелуученикаподужини
Средњавредностје
седми разред основне школе Прво издање, 2021. година
Издавач
Београд, венац 5 www.zavod.co.rs
уредник
Лектура Ирена Канкараш Компјутерска Жељко Хрчек
30,5 штампарских
Формат: 20,5 × 26,5 цм
Тираж: 1 500 примерака Рукопис предат у штампу децембра 2020. године.
завршено јануара 2021. године.
Штампа АМД систем, Београд
(1596–1650)
