Ђ. Дугошија • М. Албијанић • М. Шегрт • МАТЕМАТИКА 7
ЂОРЂЕ ДУГОШИЈА МИЛОЉУБ АЛБИЈАНИЋ МАРКО ШЕГРТ
Готфрид Вилхелм Лајбниц (1646–1716) К. Б. 17215
Анри Поенкаре (1854–1912) www.zavod.co.rs
Рене Декарт (1596–1650)
Михаило Петровић Алас (1868–1943)
МАТЕМАТИКА
7
УЏБЕНИК СА ЗБИРКОМ ЗАДАТАКА ЗА СЕДМИ РАЗРЕД ОСНОВНЕ ШКОЛЕ
ЂОРЂЕ ДУГОШИЈА МИЛОЉУБ АЛБИЈАНИЋ МАРКО ШЕГРТ
МАТЕМАТИКА УЏБЕНИК СА ЗБИРКОМ ЗАДАТАКА ЗА СЕДМИ РАЗРЕД ОСНОВНЕ ШКОЛЕ
ЗАВОД ЗА УЏБЕНИКЕ • БЕОГРАД
naslovna_udzbenik_7r.indd 1
31.1.2020. 23:05:59
РЕЦЕНЗЕНТИ проф. др Милош Арсеновић др Јован Вукмировић Горан Минић УРЕДНИК др ОДГОВОРНИ УРЕДНИК
ГЛАВНИ УРЕДНИК др Милорад Марјановић ЗА ИЗДАВАЧА др Милорад Марјановић, в. д. директора Министар просвете, науке и технолошког развоја Републике Србије, решењем број 650-02-00182/2020-07 од 2. 11. 2020. године, одобрио је овај уџбеник за издавање и употребу у седмом разреду основне школе.
37.016:51(075.2) ДУГОШИЈА, Ђорђе, 1947Математика : уџбеник са збирком задатака за седми разред основне школе / Ђорђе Дугошија, Милољуб Албијанић, Марко Шегрт. - 1. изд. - Београд : Завод за уџбенике, 2021 (Београд : АМД систем). - 242 стр. : илустр. ; 27 cm Тираж 1.500. ISBN 978-86-17-20478-3 1. Албијанић, Милољуб, 1967- [аутор] 2. Шегрт, Марко 1948[аутор] COBISS.SR-ID 29315593
, 2021. Ово дело не сме се умно репродуковати, ни у целини од
naslovna_udzbenik_7r.indd 2
који други начин
31.1.2020. 23:06:04
стр. 3
Садржај Предговор
5
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7.
7
Квадрат рационалног броја . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Решавање једначине x2 = a, a ∈ Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Постојање ирационалних бројева. Корен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Реални бројеви. Реална права . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Децимални запис реалног броја. Приближна вредност. Апсолутна грешка . . 25 Рачунске операције са реалним бројевима . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Функција директне пропорционалности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 2.1. 2.2. 2.3.
46
Питагорина теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Обрнута Питагорина теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Примене Питагорине теореме и Обрнуте Питагорине теореме . . . . . . . . . . . . 52
3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ПРВИ ДЕО 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.
Степен чији је изложилац природан број . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Множење и дељење степена истих основа. Степен степена . . . . . . . . . . . . . . Степен производа и количника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Степен основе 10 чији је изложилац нула или негативан цео број . . . . . . . . . .
4. МНОГОУГАО 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9.
Mногоугао – појам и врсте многоуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Угао – збир углова многоугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дијагонале – број дијагонала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Правилни многоуглови . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Конструкције правилних многоуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Обим и површина многоугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Тежишна дуж троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ортоцентар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сложеније примене ставова подударности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.
74
Алгебарски изрази . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Мономи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Полиноми и операције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Квадрат бинома и разлика квадрата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Растављање полинома на чиниоце . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Разни примери и примене . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75 80 86 93
104 105 110 114 116 123 127 132 136 141
160 161 166 170 176 182 188
3
стр. 4
Садржај
6. КРУГ 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7.
202 Централни и периферијски угао у кругу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Обим круга. Број π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дужина кружног лука . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Површина круга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Површина кружног исечка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Површина кружног прстена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ротација . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. ОБРАДА ПОДАТАКА
4
203 208 212 215 218 221 223
237
стр. 5
Предговор Уџбеник са збирком задатака садржи објашњене основне појмове, детаљно урађене примере и "Задатке за вежбу" и "Разне задатке". Основни појмови описани су на једноставан начин, прате их слике које доприносе бољем визуелном сагледавању проблема и детаљно објашњени примери. Главни појмови и тврђења истакнути су заставицом. Питања у Уџбенику односе се на заставице и подстичу ученика да се враћа на заставице и утврди основне чињенице. Задаци су разврстани по нивоима и означени су на следећи начин: празан квадратић означава задатке који се једноставно решавају, квадратић са осенченом половином означава задатке средњег нивоа, а обојени квадратић означава задатке вишег нивоа за које је потребан већи ниво концентрације и размишљања. Ове ознаке односе се на задатке до следећег квадратића. Математика је предмет који вас учи да употребљавате своју памет. Ако сагледате суштину односа, отвориће вам се читав свет. Све у животу је математика! Наша жеља је да Уџбеник са збирком задатака користе и ученици и наставници. Желимо да сарађујемо да би унапредили Уџбеник на задовољство свих нас. Коментаре, примедбе и сугестије шаљите на мејл: kontakt@zavod.co.rs. Аутори
5
стр. 7
1
Квадрат рационалног броја
Решавање једначине x2 = a, a ∈ Q
Постојање ирационалних бројева. Корен
Реални бројеви. Реална права
Децимални запис реалног броја. Приближна вредност. Апсолутна грешка
Рачунске операције са реалним бројевима
Функција директне пропорционалности
ГЛАВА 1
РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
стр. 8
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
Током досадашњег школовања упознали сте више врста бројева. Полазећи од броја 1, изградили смо најпре скуп природних бројева N = {1, 2, 3, . . .}, који смо нулом допунили до скупа N0 = N ∪ {0}, па смо затим увели негативне целе бројеве и проширили скуп N0 у скуп Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} свих целих бројева. Да бисмо могли да радимо са деловима, увели смо разломке (позитивне рационалне ( бројеве), које)смо допунили негативним рационалним p
бројевима. Добили смо скуп Q =
p ∈ Z, q ∈ N свих рационалних бројева. Овај скуп je q обухватао све до тада уведене бројеве. У наредним лекцијама видеће се да ни овај скуп бројева, мада веома богат, није довољан да се обраде неки природни захтеви, као што је захтев да свака дуж при изабраној јединици мере има дужину. Излаз налазимо у даљем проширењу скупа Q у скуп R реалних бројева, задржавајући при том све законе за које смо утврдили да важе за радње са рационалним бројевима. Како ћемо то урадити, показаћемо у овом поглављу. Слика 1.1
1.1. Квадрат рационалног броја Производ рационалног броја a са самим собом називамо квадрат броја a и пишемо def
a2 = a · a. Запис a2 читамо „a на квадрат”. Разлог за то је геометријска интерпретација: површина квадрата чија страница има дужину a (у датим мерним јединицама) једнака је a2 (у одговарајућим мерним јединицама за површину). Пример 1 Проверите тачност попуњене табеле. a
0
2
−2
a2
0
4
4
1 2 1 4
1 2 1 4
−
3 2 9 4
3 2 9 4
−
0,12
−0,12
0,0144
0,0144
Док сте проверавали тачност табеле, сигурно сте уочили основна својства квадрата рационалних бројева: (i) 02 = 0; (ii) a2 > 0 за a , 0, јер је производ два броја истог знака позитиван број; (iii) за сваки број a важи (−a)2 = (−a)(−a) = a2 . 8
стр. 9
1.1. Квадрат рационалног броја
Пример 2 Израчунајте површину P квадрата чија је страница дужине: а)
2 m; 3
б) 3,5 cm.
Решење 2 2 2 2 2·2 2 4 2 а) P = m = · m2 = m = m ; 3 3 3 3·3 9 б) P = (3, 5 cm)2 = 3, 5 · 3, 5 cm2 = 12, 25 cm2 .
Пример 3 Користећи законе асоцијативности и комутативности за множење рационалних бројева доказујемо да важи: (ab)2 = a2 b2 . Решење (ab)2 = ab · ab = a(ba)b = a(ab)b = aa · bb = a2 b2 . Препуштамо вама да докажете да такође важи: 2 a a2 = 2, b b
b , 0.
Пример 4 Израчунајте: а) 152 · 42 ;
б) 262 : 0,132 ;
в)
6 17
2 2 34 · ; 15
г) (0,35)2 :
2 7 . 4
Решење а) 152 · 42 = (15 · 4)2 = 602 = 3600; б) 262 : 0,132 = (26 : 0,13)2 = (2 : 0,01)2 = 2002 = 40000; 2 2 34 6 6 34 2 2 2 2 16 · = в) = · = · ; 17 15 17 15 1 5 25 2 2 7 4 г) (0,35)2 : = 0,35 · = (0,05 · 4)2 = 0,22 = 0,04. 4 7
Покажимо још нека својства квадрата бројева.
Ако је a > b > 0, онда је a2 > b2 . Множењем страна неједнакости a > b позитивним бројевима a односно b, добијамо a · a > b · a, a · b > b · b. Пошто је ba = ab, добијамо a2 > ba = ab > b2 , што је и требало доказати. 9
стр. 10
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
Такође важи Ако је a < b < 0, онда је a2 > b2 . Из a < b < 0 следи −a > −b > 0, па квадрирањем страна добијамо (−a)2 > (−b)2 , одакле следи a2 > b2 . На основу претходних особина, јасно је да важи следеће: Aко су a и b истог знака и ако је a2 = b2 , онда је a = b. А шта се догађа ако су a и b различитог знака, а имају једнаке квадрате? Не умањујући општост, претпоставимо да је a > 0 > b. Тада је a > 0, −b > 0 и важи 2 a = (−b)2 јер је (−b)2 = b2 . На основу првог доказаног својства, закључујемо да је a = −b. Дакле: Ако су a и b различитог знака, а имају једнаке квадрате, онда је a = −b.
"
Питања Шта је квадрат броја? Која својства има квадрат броја?
Задаци за вежбу 1.
Попуните табелу: a
2
−2
1
2 3
−4,1
−0,6
−3,14 1,41
a2 (−a)2 − a2 3 1 7 Поређајте у растући поредак квадрате бројева , 2 , − . 5 2 6 3. Израчунајте површину квадрата чија је дужина странице: 4 а) cm; б) 0,11 m; в) 2,1 dm. 5 2.
10
−1,73 2,33
стр. 11
1.1. Квадрат рационалног броја
Изразите у облику разломка квадрате бројева; а) −0,15; б) 4,25. 5. Изразите у децималном запису квадрате бројева: 1 1 3 а) ; б) ; в) . 2 5 20 6. Упоредите: а) | − 6|2 и 62 ; б) |a|2 и a2 . 4.
7.
Да ли је 2312 дељивo са 121?
8.
Решите неједначине: а) (−3x)2 ≤ 0; б) −3x2 > 0;
в) −3x2 < 0.
Ако је a < b, да ли је a2 < b2 ? Наведите пример кад ово важи и пример кад ово не важи. 10. Ако је |a| < |b|, да ли је a2 < b2 ? 9.
11.
Ако је a2 < b2 , да ли је |a| < |b|?
Израчунајте на што лакши начин: 2 2 2 2 7 5 3 24 9 2 а) 3, 4 · 2 ; б) · ; в) −4 · : . 6 35 16 4 17 13. За које x израз 3 + (x − 1)2 има најмању вредност? 12.
14.
За које x израз 2 − (2 − x)2 има највећу вредност?
15.
Ако је |a| < b, да ли је a2 < b2 ?
16.
Ако је |a| < −b, да ли је a2 < b2 ?
17.
Да ли је увек a2 ≥ a?
18.
Растављањем на просте факторе утврдите да ли су следећи бројеви 1948 и 2116 квадрати природних бројева.
19.
а) Којим цифрама се могу завршавати квадрати природних бројева? б) Да ли је 1234567 квадрат природног броја?
20.
Докажите да производ два суседна природна броја никад није квадрат природног броја.
21.
За који најмањи природан број n је број 240n потпун квадрат природног броја (природни број који је квадрат природног броја називамо потпун квадрат)?
22.
Докажите да ни за један троцифрен природан број n број 1001n није потпун квадрат природног броја.
23.
а) Докажите да квадрати непарних природних бројева при деоби са 8 дају остатак 1. б) Да ли је 20192019 квадрат природног броја?
11
стр. 12
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1.
2 2 24 5 52 62 · 42 16 · = 2· 2 2 = ; 6 35 49 6 5 ·7 2 2 3 9 9 42 1 1 в) −4 · : = −4 · 2 2 · 2 = − =− . 16 4 4·9 36 4 ·4 9 13. За x =1. б)
a
2
a2
4
(−a)2 −a2
4
−2 1
2 3
−4, 1
−0, 6
−3, 14
1,41
−1, 73
2,33
4
2
7 9
16,81
0,36
9,8596
1,9881
2,9929
5,4289
4
7 2 9
16,81
0,36
9,8596
1,9881
2,9929
5,4289
−4 −4 −2
7 −16, 81 −0, 36 −9, 8596 −1, 9881 −2, 9929 −5, 4289 9
2 2 2 3 7 1 < − < 2 . 5 6 2 16 а) cm2 ; б) 0, 0121 m2 ; в) 4, 41dm2 . 25 289 9 а) ; б) . 400 16 а) 0,25; б) 0,04; в) 0,0225. а) Једнаки су; б) Једнаки су.
2. 3. 4. 5. 6.
7. Јесте јер је 231 дељиво са 11. 8. а) x = 0; б) Нема решења; в) x , 0, x ∈ R. 9. Не увек. −2 < 3 и (−2)2 < 32 али −2 < −1 и (−2)2 > (−1)2 . 10. Јесте. 11. Јесте. 12. a) 3, 42 ·
14. За x =2. 15. Јесте. 16. Јесте.
2 1 1 < . 2 2 18. 1948 = 22 · 487 није потпун квадрат; 2116 = 22 · 232 = 462 . 17. Није.
19. а) Са 0, 1, 4, 9, 6, 5;
б) Није јер се завршава на 7.
20. Он је увек између два суседна квадрата n2 < n(n + 1) < (n + 1)2 . 21. Како је 240n = 42 · 15 · n, најмање n за које је број 240n потпун квадрат је n = 15. 22. 1001n = 7·11·13·n јесте потпун квадрат само ако је n = 7·11·13m2 , m ∈ N , а тада је n ≥ 7·11·13 = 1001. 23. а) (2k + 1)2 = 4k(k + 1) + 1 = 8m + 1 јер 2|k(k + 1);
2 7 7 34 172 7 7 · 2 = 2 · 2 = ; = 2 10 25 17 17 5 17
б) Није! Због 2019 = 8 · 252 + 3 остатак при деоби са 8 је 3 а не 1.
1.2. Решавање једначине x2 = a, a ∈ Q Ако је позната површина a (m2 ) собе облика квадрата, колика је дужина њених страница? Ако je дужинa собе x (m), онда је њена површина једнака x2 (m2 ), па важи x2 = a. Број x је дакле ненегативно решење ове једначине. У даљем ћемо видети како да решимо овакву једначину, тј. како да нађемо скуп свих њених решења. Размотримо конкретан пример. Пример 1 Колике су димензије квадратне собе површине 16 m2 ? Решење Треба решити једначину x2 = 16. Како је 16 = 42 , једначина гласи x2 = 42 . Користећи својства доказана у претходној лекцији, из једнакости квадрата закључујемо да је x = 4 или x = −4. Отуда постављена једначина има скуп решења {4, −4}. Како је x дужина која не може да буде негативна, негативно решење одбацујемо. Дужина собе је 4 m.
12
стр. 13
1.2. Решавање једначине x2 = a, a ∈ Q
Пример 2 Решите једначине: а) x2 = 0;
4 б) x2 = ; 9
в) x2 = −1; г) x2 = 2.
Решење а) На основу својства рационалних бројева: ако је производ два броја једнак нули, онда је бар један од њих једнак нули и зато што је 02 = 0, закључујемо да је број 0 једино решење. 2 2 2 2 2 2 б) Једначина има облик x2 = , одакле следи x ∈ , − и обрнуто. Скуп свих решења је ,− . 3 3 3 3 3 в) Једначина нема ниједно решење! Лева страна једначине за сваки број x има ненегативну вредност, док је на десној страни број −1 мањи од нуле. У овом случају скуп свих решења је празан скуп. г) Метод примењен у задатку б) сада је неприменљив јер нисмо у стању да нађемо рационалан број чији је квадрат 2.
Штавише важи: Рационалан број чији је квадрат једнак 2 не постоји! Уверимо се у то следећим низом закључивања којима се претпоставка да решење постоји доводи до противречности. Изведени доказ приписује се великом античком мислиоцу Аристотелу.
Слика 1.2. Аристотел (384–322. пре н.е., антички филозоф, зачетник логике)
Нула није решење једначине x2 = 2, јер 02 , 2. Ако једначина има неко решење x , 0, онда је и −x такође решење. Зато, ако једначина p има неко решење, онда има и позитивно решење. Потражимо га у облику , при чему су p и q q узајамно прости природни бројеви. Када се тај облик замени у једначину добијамо: p2 = 2 или p2 = 2q2 . q2 Из последње једнакости закључујемо да је p2 паран број, па је такво и p (зато што бројеви p и p2 имају једнак скуп простих фактора). Дакле p = 2k за неки природни број k. Зато је 2k · 2k = 2q2 односно 2k 2 = q2 . Одавде закључујемо да је q такође паран број. Оба броја p и q дељива су са 2, што је супротно претпоставци да су p и q узајамно прости! 13
стр. 14
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
Добијена противречност показује да разматрана једначина нема позитивно, а тиме ни било какво решење у скупу рационалних бројева!
"
Питања Колико решења у скупу рационалних бројева може да има једначина x2 = a? Ако је једно решење једначине x2 = a познато, шта је скуп свих решења?
Задаци за вежбу 1.
Решите једначине у скупу рационалних бројева: а) x2 = 36;
2.
б) x2 = 0, 36;
в) x2 = 1, 21.
Одредите рационалне вредности променљиве x за које је: а) 9 + x2 = 0;
б) 0, 3x2 = 0, 027;
в) 0, 5x2 = 32;
г) −5x2 =
1 . 45
3.
Докажите да бројеви n и n2 за n ∈ N имају исти скуп простих фактора.
4.
Докажите да је x2 = |x|2 .
5.
Докажите да једначине: а) x2 = 3; бројева.
б) x2 = 5;
1 2 в) x2 = ; г) x2 = немају решење у скупу рационалних 2 3
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. Скуп решења је: а) {6, −6}; б) {0, 6, −0, 6}; в) {1, 1, −1, 1}. 2. а) Не постоје; б) x ∈ {0, 3, −0, 3}; в) x ∈ {8, −8}; г) Не постоје. 3. Сваки прост фактор броја n фактор је и броја n2 и обратно. 4. Проверите тачност за x = 0, x > 0 и x < 0.
14
p , (p, q) = 1 неко решење, онда је q 2 2 3p = 2q . У растављању броја p на производ простих фактора појављује се 2, а растављању броја q на производ простих фактора појављује се број 3. Зато p = 2m, q = 3n. Заменом и скраћивањем добијамо 2m2 = 3n2 . Понављањем закључивања добијамо m = 3a, n = 2b па је p = 6a, q = 6b. Ово је супротно претпоставци да су p и q узајамно прости.
5. г) Ако је x =
стр. 15
1.3. Постојање ирационалних бројева. Корен
1.3. Постојање ирационалних бројева. Корен Проблем одређивања позитивног решeња једначине x2 = 2 са геометријског гледишта, своди се на одређивање мерног броја x дужине странице квадрата, чија је површина 2. Да ли такав квадрат уопште постоји? Као што се са следеће слике види, одговор је потврдан. Квадрат склопљен од четири 1 једнакокрака правоугла троугла јединичних катета има очигледно површину 4 · = 2. 2
Слика 1.3
Према тврђењу у претходној лекцији, мерни број дужине странице овог квадрата не може се изразити рационалним бројем! Да бисмо разрешили овај недостатак, послужићемо се старим „триком”, увођењем нових бројева. Њих ћемо назвати ирационални (латински рацио – ratio – означава разум, a ирационални значи тешко доступан разуму). Нови √ број који представља мерни број дужине странице квадрата површине 2 обележавамо са 2 (читамо „корен из 2”). Тај је број ирационалан. Изведени закључак озбиљно је пољуљао грчку математику античког времена, јер Грци тада нису знали за друге бројеве осим за рационалне, а очекивали су да се дужина сваке дужи ипак описује неким бројем. Анализирајмо општији проблем. Интуитивно је јасно да постоји квадратна соба површине a за свако a > 0, тј. да једначина x2 = a, у случају да је a било који позитиван број, увек има позитивно решење, бар у бројевима који представљају мерне бројеве дужина дужи. Да је то тачно, уверићемо се кад будемо обрадили градиво наредних поглавља. √ Мерни број дужине странице квадрата површине a >√0 записујемо у облику a и називамо „корен (или квадратни корен) из a”. Усвајамо и да је 0 = 0. Дакле, √ a је ненегативан број чији је квадрат једнак a.
15
стр. 16
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
Приметите да: √ За a < 0 израз a нема смисла (није дефинисано). √ √ На пример, немају смисла записи −49 и −0, 9. Такође, за свако ненегативно a важи √ ( a)2 = a. √ Другачије речено, a = b ако су испуњена два услова: b ≥ 0 и b2 = a. Корени из позитивних бројева су позитивни и врло често ирационални. Тако на√пример, по рецепту Аристотеловог доказа, може се доказати да су сви квадратни корени n за n ∈ N \{12 , 22 , 32 , 42 , . . .} ирационални! Касније ћемо се уверити да међу бројевима који би требало да представљају мерне бројеве дужина дужи има много више ирационалних него рационалних! Пример 1 √ 9 = 3 јер је 3 ≥ 0 и 32 = 9; √ 0, 49 = 0, 7 јер је 0, 72 = 0, 49 и 0,7≥ 0; r 2 2 2 4 2 4 = јер је ≥ 0 и = ; 9 3 3 3 9 q √ (−5)2 = 25 = 5 = −(−5).
Пример 2 Колико је: √ 2 а) 2 ;
б)
r 2 2 3
;
в)
√ 2 a (a ≥ 0)?
Решење а) 2;
б) 2/3; в) a.
Пример 3 √ Колики је a2 ако је a ∈ Q? Решење
√ √ Приметимо прво да a2 постоји за сваки рационалан број a, јер је a2 ≥ 0. Али a2 није једнак a уколико је a < 0, него је једнак −a, јер је корен по дефиницији ненегативан број. (Ово је најчешћа грешка коју чине
16
стр. 17
1.3. Постојање ирационалних бројева. Корен
неопрезни!) Тачан одговор на постављено питање гласи: ( √ a, a≥0 2 a = . −a, a < 0
Подсећамо вас да смо последњим изразом дефинисали и апсолутну вредност |a| броја a. Зато је
За сваки рационалан број a,
√ a2 = |a|.
Сагласно дефиницији корена важи: √ √ Ако је 0 ≤ a ≤ b, онда је a ≤ b и обрнуто. Образложење је просто: по површини већи квадрат има и дужу страницу и обрнуто. Пример 4 √
r
Који је број већи: 5 или
21 ? 4
Решење r √ 21 21 5< , јер је 5 < . 4 4
Пример 5 √ Ако је a2 ≤ c ≤ b2 , онда је |a| ≤ c ≤ |b| и обрнуто. Решење
√ √ √ √ Кореновањем налазимо a2 ≤ c ≤ b2 , па је |a| ≤ c ≤ |b|. Обрнуто, квадрирањем страна последње √ неједнакости (што је исправно јер су сви бројеви који се у њој појављују ненегативни) добијамо |a|2 ≤ ( c)2 ≤ |b|2 , тј. a2 ≤ c ≤ b2 .
"
Питања Шта је квадратни корен из ненегативног броја? √ Када израз a нема смисла? Која својства има корен? 17
стр. 18
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
√ Колико је a2 ?
Задаци за вежбу 1.
Израчунајте квадратни корен из: а) 1; б) 121; в) 2116; г) 10201.
2.
Израчунајте: √ √ √ √ √ а) 49; б) 81; в) 256; г) 1156 − 841.
3.
Израчунајте калкулатором: √ √ √ а) 5, 29; б) 2, 89; в) 18, 49, па квадрирањем проверите резултат.
4.
Израчунајте: r r 25 144 а) ; б) ; 36 169
r в)
2, 25 . 0, 36
5.
Колике су димензије квадратног плаца површине: а) 324 m2 ; б) 1849 m2 ; в) 156,25 m2 ?
6.
Израчунајте: r r 13 7 а) 1 ; б) 2 . 36 9
Решите једначину у скупу рационалних бројева: а) x2 = 0, 64; б) x2 = 7; в) 25x2 = 121. √ √ 8. Који број у скупу {2, 4, 1, 3, 9} јесте најмањи, а који је највећи? 7.
9.
Израчунајте: √ 2 а) 0, 5 · − 3 ;
√ 2 √ 2 б) 2 6 − − 3 3 .
10.
Одредите вредност променљиве x за коју је: √ √ √ а) x = 4; б) 2 x = 0; в) 3 x − 1 = 0.
11.
Решите једначине: √ √ √ а) x2 = 169; б) 4x2 = 1;
12.
Напишите без корена бројеве: r q √ 2 x 2 2 а) (−2x) ; б) − ; в) − 4x . 2
18
√ √ в) 9x2 = 100.
стр. 19
1.3. Постојање ирационалних бројева. Корен
13.
√ √ Шта је веће: 6 5 или 5 6?
14.
Решите једначине: √ √ а) x2 = 1; б) x2 = −1.
15.
Да ли је 120 метара жице довољно да се огради плац од 10 ари квадратног облика?
Одредите вредност променљиве x за коју је: √ √ а) 5x + 3 = 7; б) 2x − 5 = 0. √ 17. Колико је a2 b2 ако је: а) a, b > 0; б) a > 0, b < 0; в) a < 0, b < 0? 16.
18.
Ако је корен из природног броја рационалан број, докажите да је он природан број.
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. а) 1; б) 11; в) 46; г) 101. 2. а) 7; б) 9; в) 16; г) 5. 3. а) 2,3; б) 1,7; в) 4,3. 4. а) 5/6; б) 12/13; в) 5/2. 5. а) 18 m; б) 43 m; в) 12,5 m. 6. а) 7/6; б) 5/3. 7. а) x ∈ {0, 8, −0, 8}; б) Нема решења; 11 11 в) x ∈ ,− . 5 5 √ √ 8. 3, 9 < 2 < 4, 1. 9. а) 1,5; б) 24 − 27 = −3. 10. а) 16; б) 0; в) 1/9. 11. а) x ∈ {13, −13};
10 10 1 1 , − ; в) x ∈ ,− . 2 2 3 3 |x| 12. а) 2|x|; б) ; в) 4x (само за x ≥ 0). 2 √ √ 13. 6 5 > 5 6 јер је 62 · 5 > 52 · 6. б) x ∈
14. а) x ∈ {1, −1}; б) нема решења.
√ 15. Није довољно. Треба најмање 4 1000 m, што је веће од 120 m. 16. а) 46/5; б) 5/2. 17. а) ab; б) −ab; в) ab. √ p 18. Из n = , (p, q) = 1 следи nq2 = p2 . Ако би q био q већи од 1, имао би прост фактор, који би био и фактор од p, што није. Зато је q = 1.
19
стр. 20
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
1.4. Реални бројеви. Реална права У претходним разредима научили сте како се сваком рационалном броју a може придружити тачка која има координату a на бројевној правој. Сваком позитивном рационалном броју придружена је тачка на позитивном делу бројевне праве, чије је растојање до координатног почетка једнако том броју (при томе је јединица мере дужина јединичне дужи те бројевне праве), а њему супротном (негативном) симетрична тачка у односу на координатни почетак O. Пример 1 На бројевној правој чији је координатни почетак O и јединична дуж OI прикажите раци6 6 оналне тачке чије су координате и − . 5 5 Решење
Слика 1.4 У ту сврху најпре поделимо јединичну дуж OI на пет једнаких делова. То радимо тако што на помоћној полуправој Op одредимо пет тачака A, B, C, D, E таквих да је OA = AB = BC = CD = DE, а затим правама које редом садрже тачке A, B, C, D и које су паралелне страници EI троугла OIE разложимо јединичну дуж OI на пет једнаких делова. Да бисмо доказали да су делови једнаки, снопом паралелних правих разложимо троугао OIE на подударне троуглове (видите слику). Применом УСУ става о подударности образложите подударност добијених троуглова. На крају преостаје да надовежемо шест конструисаних петина јединичне дужи по бројевној правој на обе 6 6 стране од координатног почетка O. Тако долазимо до тражених тачака са координатама , односно − . 5 5
Слика 1.5
На описани начин није свим тачкама бројевне праве придружен рационални број. На пример, тачки на позитивном делу бројевне праве која је удаљена од координатног почетка √ 2 није придружен рационални број. 20
стр. 21
1.4. Реални бројеви. Реална права
Бројеве који представљају мерне бројеве дужина дужи називаћемо позитивни реални бројеви. Свакој тачки на позитивном делу бројевне праве одговара позитиван реалан број – њена координата и обрнуто, сваком реалном позитивном броју одговара тачно једна тачка бројевне праве. Позитивни реални бројеви су или рационални или ирационални. Наслућујемо да на позитивном делу бројевне праве огроман број тачака има ирационалну координату. Осим ирационалних бројева који се појављују при кореновању постоје и многи други за које је много теже доказати да су ирационални. БРОЈ π Пример 2 Јединични круг који додирује реалну осу у координатном почетку, котрља се по њој у позитивном смеру осе без клизања.
Слика 1.6
Највиша тачка круга спушта се први пут на осу у тачки која има координату коју обележавамо са π (грчко слово пи).
Број π је мерни број полуобимa јединичног круга. Број π је ирационалан, али то није лако доказати. Ирационалност броја π доказана је тек крајем 18. века. Приближна вредност броја π на десет децимала је π ≈ 3, 1415926536. Број π се назива и Лудолфов број по холандском математичару Лудолфу ван Цојлену (1540–1610), који је израчунао његових првих 35 декадних цифара. За то је утрошио скоро читав живот, па су му цифре уклесане и у надгробни споменик (слика 1.7). До данас је помоћу суперрачунара израчунато 1,24 трилиона цифара броја π. Осим за тестирање моћи рачунара, овај резултат (за сада) нема већи практичан значај. 21
стр. 22
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
Слика 1.7
НЕГАТИВНИ РЕАЛНИ БРОЈЕВИ Свакој тачки A(a) са позитивном координатом a, у односу на координатни почетак, одговора симетрична тачка на негативном делу бројевне праве. Координата те тачке је реалан број −a („минус a”).
Слика 1.8
Број −a називамо супротан број броја a. Усвајамо и да је: −(−a) = a,
a ∈ R.
Исто правило смо већ примењивали за рационалне тачке, а сада смо га проширили на све тачке бројевне праве. Бројеве придружене негативном делу бројевне праве називамо негативни бројеви.
Позитивни и негативни реални бројеви и нула граде скуп реалних бројева који се најчешће означава словом R. И даље важи да је сваки реалан број или рационалан или ирационалан. 22
стр. 23
1.4. Реални бројеви. Реална права
РЕАЛНА ПРАВА На описани начин: Свака тачка бројевне праве добила је своју координату – неки реалан број и сваком реалном броју одговара на бројевној оси једна једина тачка. Бројевну праву на коју су на овај начин нанесени реални бројеви називаћемо реална права (оса). Тачке које имају рационалну координату називају се рационалне, а оне са ирационалном координатом су ирационалне тачке реалне праве. Растојање тачке A(a), a ∈ R, бројевне праве до координатног почетка O(0) (дужина дужи OA) назива се апсолутна вредност реалног броја a и означава се са |a|. { a, a ≥ 0 |a| = . −a, a < 0 УРЕЂЕЊЕ. ИНТЕРВАЛИ На реалне бројеве природно се проширује уређење које је раније било дефинисано за рационалне бројеве. Нека је дата реална оса на којој је OI јединична дуж. Тада важи: Ако су A(a) и B(b) тачке реалне осе придружене бројевима a и b, онда је a < b ако је A(a) „лево” од B(b), тј. ако оријентисана дуж AB има позитиван смер (исти као оријентисана дуж OI ). Другачије речено: Сваки негативан број мањи је од нуле и од сваког позитивног броја. Од два негативна броја, мањи је онај који има већу апсолутну вредност. Од два позитивна броја, већи је онај који има већу апсолутну вредност.
Пример 3 √ Проверите да ли је − 3 < −1 < 0 < 1/2.
Слика 1.9
23
стр. 24
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
Скуп реалних бројева између два реална броја a и b таквих да је a < b назива се отворени интервал и обележава са (a, b). (a, b) = {x ∈ R | a < x < b} Са [a, b] обележава се затворени интервал реалних бројева: [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}. Са (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b} су дефинисани полуотворени интервали.
"
Питања Шта је реална права? Шта је реалан број? Како се упоређују реални бројеви? Шта су интервали?
Задаци за вежбу 1.
√ √ 2 Представите на реалној правој тачке A(1, 4), B(−1, 5), C 2 , D − 2 , E − . 3 Поређајте по величини њихове координате. Која од ових тачака је најближа координатном почетку?
2.
Нађите растојање међу тачкама M и K координатне праве ако је: √ √ 1 2 a) M(7, 45) и K(1, 15); б) M −5 и K 3 ; в) M 2 и K 3 . 3 3
3.
Која је од тачака C и D координатне праве ближа тачки M ако је: а) C(4, 514), D(−1, 9368), M(1, 304); б) C(−2, 4815), D(11, 454), M(4, 586)?
4.
Одредите целобројни интервал (m, m + 1), m ∈ Z којем припада тачка: √ √ a) B 6 ; б) A − 6 .
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА
16 11
= 9; б) |MK| =
− − 3 3
√ √ в) |MK| = |OK| − |OM| = 3 − 2.
1. Распоред тачака на оси је B − D − E − A − C; −1,
5
< √ √ 2 − 2 < −2/3 < 1, 4 < 2. Најближа је E јер је
−
< 3 √ √ |1, 4| < | 2| = | − 2| < | − 1, 5|.
3. а) C јер је |CM| = 3, 210 < |DM| = 3, 2408; б) D.
2. а) |MK| = 7, 45 − 1, 15 = 6, 3;
4. а) (2, 3); б) (−3, −2).
24
стр. 25
1.5. Децимални запис реалног броја. Приближна вредност. Апсолутна грешка
1.5. Децимални запис реалног броја. Приближна вредност. Апсолутна грешка Погледајмо детаљније како одређујемо реални број који ће бити координата неке тачке на позитивном делу бројевне осе. Другим речима, како одређујемо дужину l дужи чији су крајеви координатни почетак и та тачка (мерено јединичном дужи бројевне осе и њеним деловима десетим, стотим, хиљадитим,…). Најпре одређујемо колико највише јединичних дужи у тој дужи има. Обележимо тај ненегативан цео број са a0 . При томе важи a0 ≤ l < a0 + 1. Ако је l , a0 , неизмерени остатак l −a0 меримо десетим деловима јединичне дужи. Нека таквих делова има највише a1 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. То значи да је a1 a +1 ≤ l < a0 + 1 . 10 10 a Ако једнакост није достигнута, остатак l − a0 + 1 меримо стотим деловима јединичне 10 дужи. Нека њих има највише a2 ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}. Тада је a0 +
a0 +
a a a +1 a1 + 2 ≤ l < a0 + 1 + 2 . 10 100 10 100
Ако једнакост до неког корака поступка није достигнута, мерење се наставља даљим уситњавањем јединице мере за 10 пута, а завршава се ако се у неком кораку достигне једнакост. На тај начин дужина дужи се добија или у облику l = a0 +
ak def a1 + ··· + = a0 , a1 a2 · · · ak 10 1 0···0 |{z} k
или приближно у том облику са грешком највише
1 јединичне дужи. Грешка се све 1 0···0 |{z} k
више смањује и може се учинити мањом од било које дужи (односно од ма ког позитивног броја) са довољним бројем понављања процеса мерења. Замишљамо да се процес мерења може и неограничено продужавати ако никад не стане. Преведено на бројеве, добијамо следећи резултат:
Сваки позитиван реални број l има коначан или бесконачан децимални запис l = a0 , a1 a2 · · · ak · · · .
25
стр. 26
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
Може се доказати да важе следеће тврдње:
p Рационалан број , у случају да су p и q узајамно прости природни бројеви и q > 1 има: q (i) коначан децимални запис, ако именилац q нема простих делиоца другачијих од 2 и 5; (ii) бесконачан и периодичан децимални запис, ако именилац q има простих делиоца различитих од 2 и 5; појавиће се један коначан низ (блок означен заградама) узастопних децималних цифара који ће се стално понављати.
Ирационални бројеви имају бесконачан непериодичан децимални запис.
Пример 1 1 0 5 = 0+ + = 0, 05. Приметите да је 20 = 2 · 2 · 5 и да је запис коначан. 20 10 100
Пример 2 5 = 0, 4166 . . . = 0, 41(6). Цифра 6 се стално понавља. 12 122 = 1, 232323 . . . = 1, (23). Блок 23 се стално понавља. 99
Пример 3 Одредите рационални број који има бесконачан децимални запис: а) 0,(21);
б) 4,3(21).
Решење 21 7 = . 99 33 0, (21) 43 7 1426 713 б) 4, 3(21)=4, 3 + 0, 0(21) = 4, 3 + . Зато је 4, 3(21) = + = = . 10 10 330 330 165
а) Ако је x = 0, (21), онда је 100x = 21 + x, 99x = 21, x =
26
стр. 27
1.5. Децимални запис реалног броја. Приближна вредност. Апсолутна грешка
Пример 4 √ Одредите прве две цифре децималног записа броја 3. Решење Одредимо најпре колико највише целих има тај број, тј. највећи цео број a0 ∈ N0 такав да је √ a0 ≤ 3 < a0 + 1, односно да је a0 2 ≤ 3 < (a0 + 1)2 . Како је 12 < 3 < 22 , добијамо a0 = 1. Одредимо затим прву децималу a1 као највећу декадну цифру за коју је √ 1, a1 ≤ 3 < 1, a1 + 0, 1 односно 1, a1 2 ≤ 3 < (1, a1 + 0, 1)2 . Налазимо a1 = 7 јер је 1, 72 = 2, 89 < 3 < 1, 82 = 3, 24. Другу децималу a2 одредимо као највећу декадну цифру за коју је (1, 7a2 )2 ≤ 3 < (1, 7a2 + 0, 01)2 . √ Налазимо да је a2 = 3 јер је 1, 732 < 3 < 1, 742 . Дакле, 3 ≈ 1, 73 са грешком која не прелази 0,01.
Коришћењем калкулатора или рачунара можемо добити вредност корена унетих бројева са тачношћу на велики број децимала. Техника рада је описана у упутству за употребу таквих уређаја односно програма. Пример 5 На готово сваком бољем калкулатору (на пример оном на рачунару) можете добити приближну вредност корена неког броја укуцавајући најпре тај број а потом позивом опе√ √ рације . Ми смо укуцали број 0, 234567891 и и калкулатор је избацио резултат √ 0, 234567891 ≈ 0, 4843220942719834.
Пример 6 Број 0, 1001000100001 . . . (број нула између јединица расте за по једну) јесте ирационалан јер овај децимални запис није периодичан зато што број узастопних децималних нула превазилази сваку евентуалну дужину блока који би се понављао! ПРИБЛИЖНЕ ВРЕДНОСТИ Како је већина реалних бројева ирационална, за нумерички рад са њима користе се приближне вредности које су најчешће рационални бројеви. При том се наравно прави нека грешка.
27
стр. 28
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
Ако је a реалан број а b његова приближна вредност и A(a) односно B(b) њима припадајуће тачке на бројевној правој, растојање између њих, тј. дужина дужи AB назива се апсолутна грешка апроксимације.
Пример 7 22 = 3, (142857) на: 7 б) три; в) четири децимале.
Заокружите број а) две; Решење
Заокруживање вршите тако да апсолутна грешка коју учините буде што мања. 22 једнака 2, њему је ближи број 3,14 него број 3,15, па га заокружујемо на а) Како је трећа децимала броја 7 3,14. б) Четврта децимала је 8, па 3,143 даје мању апсолутну грешку него 3,142. Зато бирамо 3,143 као заокружену вредност. в) Пета децимала је 5, а иза ње постоје децимале различите од нуле. Зато је заокружење 3,1429.
У општем случају, при заокруживању децималног записа на известан број k децимала гледамо наредну k +1-ву цифру децималног записа. Ако је она мања од 5 за приближну вредност узимамо број који добијамо скраћивањем записа на k децимала. Ако је она већа од 5, овом броју додајемо 0, 0 . . . 01. Ако је она једнака 5, а иза ње нема цифара различитих од нуле, | {z } k
имамо два случаја: (i) ако је k-та цифра парна онда је приближна вредност скраћени запис на k децимала; (ii) ако је k-та цифра непарна, онда се том запису додаје 0, 0 . . . 01. | {z } k
Занимљивости
Архимед (288–212, пре н.е), највећи математичар старог века и један од највећих генија до √ 265 данас) рачунао је да је 3 ≈ са грешком 153 која не прелази 0,000025, а број π је рачунао као 22 . 7
28
стр. 29
1.5. Децимални запис реалног броја. Приближна вредност. Апсолутна грешка
Ако иза цифре 5 има бар једна цифра различита од нуле запису од првих k-децимала додаје се број 0, 0 . . . 01. | {z } k
Ако је b приближна вредност броја a са апсолутном грешком не већом од ∆, онда је b − ∆ ≤ a ≤ b + ∆, тј. a ∈ [b − ∆, b + ∆].
"
Питања Какав децимални запис имају рационални бројеви а какав ирационални? Шта су приближна вредност броја и апсолутна грешка? Како се врши заокруживање броја на неку децималу? Како се дефинише број π?
Задаци за вежбу 1.
Заокружите број 1,15752 на: а) цео број; б) једну, две, три и четири децимале.
2.
Одредите целе бројеве који су између бројева: а) −3, 168 . . . и 2, 734 . . .; б) −5, 106 . . . и −1, 484 . . .; в) −4, 06 . . . и −1, 601 . . .; г) −1, 29 . . . и 0, 11.
Између која два суседна цела броја се налазе бројеви: √ √ √ √ а) 27; б) 40; в) 120; г) 9, 2; √ √ √ √ д) 0, 4; ђ) 15; е) 167; ж) 288? √ 4. Одредите приближно на две децимале 9,99 + 6. 22 223 5. Архимед је проценио да је <π< . Која од граница даје бољу приближну 71 7 вредност за π? 3.
6.
Одредите приближну вредност израза a + b и a − b ако је a = 1, 0539, b = 2, 0610 заокруживањем a и b: а) на десете; б) на стоте; в) на хиљадите.
7.
Одредите количнички запис рационалног броја: 0,12.
8.
Одредите количнички запис рационалног броја: 0,(12).
9.
Оцените апсoлутну грешку ако се разломак
21 1 замени са . 46 2
29
стр. 30
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
10.
Који од следећих бројева су ирационални а који су рационални: 1/6; 0,24; 3,1(52); 0, 717117111 . . . (број јединица између седмица се сваки пут увећава за једну); 2π?
11.
Који од бројева је већи:
2 в) 1 или 1,6668; 3 √ 8 12. Оцените апсолутну грешку ако се 2 замени са . 5 а) 1, (47) или 1,47;
13.
б) −2, (34) или −2, 34;
г) −0, 228 или −
5 ? 22
p Тело које слободно пада са висине h удара у земљу брзином v = 2gh где је m g ≈ 9, 81 2 . Којом брзином ће то тело ударити у земљу ако падне са висине 10 m? s Заокружите резултат на две децимале.
Површина квадрата је 18 cm2 . Одредите његову страницу коришћењем калкулатора са грешком од 0,1 cm. r h 15. Време t (s) за које тело падне са висине h (m) на тло приближно износи t = . 5 Користећи калкулатор израчунајте време пада са висине 175 m. r l 16. Време t (s) једне осцилације клатна рачуна се приближно по формули t = 2π 10 где је l (cm) дужина клатна, а π ≈ 3, 14. Помоћу калкулатора израчунајте t ако је l = 22 cm. 14.
17.
Да ли је број 0,121221222122221…. (цифре су 2 и 1 а број двојки између две јединице расте за по једну) рационалан или ирационалан? Образложите одговор.
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. а) 1; б) 1,2 ; 1,16; 1,158; 1,1575. 2. а) −3, −2, −1, 0, 1, 2; б) −5, −4, −3, −2; в) −4, −3, −2; г) −1, 0. 3. а) 5 и 6; б) 6 и 7; в) 10 и 11; г) 3 и 4; д) 0 и 1; ђ) 3 и 4; е) 12 и √ 13; ж) 16 и 17. 4. 9, 99 + 6 ≈ 12, 44. 22 223 22 5. јер је | − π| > | − π| (користите познате 7 71 7 цифре броја π). 6. а) 3,1; −1, 0; б) 3,11; −1, 01; в) 3,115; −1, 007. 12 3 7. = . 100 25 4 8. . 33
30
9. Мања је од 0,044. 10. Прва три броја су рационални. 11. а) први; б) други; в) други; г) други.
√
8 8 √ 12.
2 −
= − 2 < 1, 60 − 1, 41 = 0, 19. 5 5 13. 14,01 m/s. 14. 4,2 cm. 15. 5,9 s. 16. 9,3 s. 17. Ирационалан је јер је децимални запис непериодичан. Није периодичан јер број међудвојки прерасте било коју дужину евентуалног блока!
стр. 31
1.6. Рачунске операције са реалним бројевима
1.6. Рачунске операције са реалним бројевима САБИРАЊЕ Сабирање рационалних бројева на природан начин проширујемо на сабирање реалних бројева. Знамо да сваком реалном броју a одговара на реалној оси тачка A(a) која има координату a, а тиме и оријентисана дуж OA чији је почетак координатни почетак O, а крај тачка A. Нека је B(b) тачка са координатом b. Ако надовежемо оријентисане дужи OA и OB тако што OB транслацијом померимо да јој почетак буде у тачки A, а крај дође у неку тачку C, онда је a + b координата тачке C.
Слика 1.10
Видимо да је збир два реална броја увек реалан број, а у случају да су бројеви рационални, добијамо исти резултат који смо имали при „старом” сабирању рационалних бројева. Јасно је, такође, да су остала на снази стара правила (закони) a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c, a + 0 = 0 + a = a. СУПРОТАН БРОЈ За сваки број a, постоји број −a, такав да је a + (−a) = 0. Број −a назива се, као што већ знате, супротан број броја a. ОДУЗИМАЊЕ Операцију одузимање дефинишемо као сабирање са супротним бројем: a − b = a + (−b). Приметимо да важи: Збир рационалног и ирационалног броја је ирационалан број. Нека је a рационалан а b ирационалан број и c = a + b. Ако би c било рационално, онда би и b било рационално, јер је b = c − a, а разлика два рационална броја је рационалан број! Дакле, c мора бити ирационално. 31
стр. 32
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
АПСОЛУТНА ВРЕДНОСТ Растојање тачке A(a) од координатног почетка једнако је ( a, a ≥ 0 |a| = −a, a < 0. Растојање тачака A(a) и B(b) (тј. дужина дужи AB) једнако је ( b − a, a ≤ b |a − b| = a − b, a > b. МНОЖЕЊЕ
Производ два реална броја a и b, који oзначавамо са a · b или само ab, одговара мерном броју површине правоугаоника чије странице имају дужине a и b. Овако дефинисано множење је у сагласности са начином на који смо дефинисали „старо” множење рационалних бројева. Такође усвајамо да је a · 0 = 0 · a = 0, a ∈ R а за позитивне бројеве a и b да је (−a)b = −ab (−a)(−b) = ab. Тиме је дефинисано множење за све реалне бројеве. Није никакво чудо да остају на снази и стари закони комутативности, дистрибутивности и множења јединицом ab = ba a(b + c) = ab + ac a · 1 = 1 · a = a. Како за свако a > 0 постоји правоугаоник чија је једна страница дужине a а површина једнака 1, закључујемо да постоји b > 0 такво да је ab = 1. Ако је a < 0, онда је −a > 0, па постоји b > 0 такво да је (−a)b = 1. Но, (−a)b = −(ab) = −(ba) = (−b)a = a(−b), па је a(−b) = 1. Дакле важи: За свако a , 0 постоји b такво да је ab = ba = 1. 1 Број b називамо реципрочна вредност броја a и пишемо b = . a Приметите да нула нема реципрочну вредност (нема правоугаоника површине 1 а да му је једна страница дужине нула (тачка), зар не?). 32
стр. 33
1.6. Рачунске операције са реалним бројевима
ДЕЉЕЊЕ Операцију дељење броја a бројем b који није једнак нули дефинишемо као a 1 a : b = = a· . b b Приметимо да важи следеће: Производ сваког рационалног броја a различитог од нуле и сваког ирационалног броја b јесте ирационалан број. c Заиста, ако би c = ab био рационалан број, онда би и b = био рационалан број, јер је a количник рационалних бројева рационалан број! Уведене операције + и · у сагласности су са уређењем реалних бројева, тј. и даље важе „стари” закони: Ако је a ≤ b и c ∈ R, онда је a + c ≤ b + c. Ако је a ≥ 0, b ≥ 0, онда је ab ≥ 0. Кратак резиме свега што смо добили јесте да све што сте смели да радите са рационалним бројевима смете да радите и са реалним! Пример 1 Докажите да за ненегативне бројеве a и b важи: √ √ √ ab = a · b. Решење
√ √ Ако ставимо x = a, y = b, биће x, y ≥ 0 и x2 = a, y 2 = b. Зато је xy ≥ 0 и (xy)2 = x2 · y 2 = ab, одакле следи тврђење.
Користећи резултат имамо, на пример, √ √ √ √ √ 12 = 4 · 3 = 4 · 3 = 2 3, √ √ √ √ √ 1200 = 100 · 4 · 3 = 20 3. Пример 2 Докажите да за a ≥ 0, b > 0 важи:
r
√ a a =√ . b b
Решење Препуштамо доказ читaоцу.
33
стр. 34
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
Пример употребе: r √ √ √ √ √ √ √ 288 288 2·2·2·2·2·3·3 42 · 2 · 32 4 · 2 · 3 12 2 = = √ = √ . =√ = √ √ √ 125 125 5·5·5 5 5 5 5 52 · 5 Пример 3 ( √ a, a ≥ 0 2 a = |a| = , за сваки реалан број a. −a, a < 0
Пример 4 Докажите да за реалне бројеве a и b важи: ако је a2 = b2 , онда је a = b или a = −b. Решење
√ √ Из a2 = b2 следи a2 = b2 , па је |a| = |b|. Одавде одмах следи тврђење.
Пример 5 Докажите да је
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
користећи особине операција сабирања и множења реалних бројева. Решење Применом закона за сабирање и множење добијамо (a + b)2 = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b = a2 + ba + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 .
Пример 6 Докажите да је
(a − b)(a + b) = a2 − b2 ,
користећи особине операција сабирања и множења реалних бројева. Решење Множењем уз примену закона дистрибутивности добија се: (a − b)(a + b) = (a − b)a + (a − b)b = a2 − ba + ab − b2 = a2 − b2 .
34
стр. 35
1.6. Рачунске операције са реалним бројевима
Пример 7 Решити једначину x2 = a, a ≥ 0 у скупу реалних бројева. Решење
Скуп решења је
√
√ x2 − ( a)2 = 0 √ √ (x − a)(x + a) = 0 √ √ x = a или x = − a √ √ x ∈ a, − a
√ a, − a .
Приметимо да за a < 0 једначина x2 = a нема реалних решења (јер је за свако x ∈ R, x2 ≥ 0), а за a = 0 једино решење је 0.
"
Питања Како се дефинишу основне операције са реалним бројевима? Који закони важе за рад са реалним бројевима?
Задаци за вежбу 1.
Израчунајте:
r 1 1 а) 12 · 3; б) 12 : 3; в) 2 · 3 . 2 5 √ √ √ 2. Проверите да ли је 0, 392 : 0, 8 = 0, 49 = 0, 7. √ √ √ 3. Проверите да ли је 7 + 28 − 63 = 0. √
√
√
√
r
Решите једначину: x2 = 242. √ 363 5. Упростите запис √ . 484 4.
√ √ √ Израчунајте помоћу калкулатора 0, 9, 23, 54 и 11211 и заокружите добијену вредност на две децимале. √ √ √ 7. Да ли је 4, 9 · 10 − 10 0, 36 = 1? √ √ √ 8. Решите једначину: x + 2 = 3. q √ √ 9. Докажите да је 4 − 2 3 = 3 − 1. 6.
35
стр. 36
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
10.
Упростите: r √ 2 а) 1− 2 ;
r б)
√
5−3
2
− 3.
√ √ √ √ 1 5 11. Докажите да је 3( 15 − √ ) − 5(3 + ) = −2. 5 3 √ √ 5−2 12. Проверите да је √ = 9 − 4 5. 5+2 √ √ √ 6+ 5 13. Да ли је √ √ = 11 + 2 30? 6− 5 14.
Да ли је: q √ √ √ √ а) 2 + 3 > 5; б) 3 + 3 < 2?
Решите једначине: √ √ 2x 15 = ; б) x2 = 3; в) ( x)2 = 4. а) 15 2x q √ 16. Решите једначину: 5 4x + 1 + 1 = 4. 15.
Решите неједначине: √ √ √ а) 1 + x < 0; б) 1 − x < 0; в) 1 − x > 0. √ 18. Решите једначину 25 − x2 = 3. 17.
19.
√ √ √ √ √ √ √ Који од следећих бројева је рационалан број: 11, 2 · 8, 2 + 3, 2 − 3?
4 4 Који од следећих бројева има бесконачан непериодичан децимални запис: , , 5 9 3 3 √ ,√ ? 2 5 √ √ √ 21. Ако су a и b рационални бројеви докажите да је a2 + b2 ≤ a2 + b2 . √ √ √ 22. Нађите најмање природно n за које су сви бројеви n, n + 1, . . . , n + 9 ирационални. 20.
36
стр. 37
1.6. Рачунске операције са реалним бројевима
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА √ 1. а) 6; б) 2; в) 2 2. 2. Јесте. √ √ √ √ √ √ √ 3. 7+ 28− 63 = 7+2 7−3 7 = (1+2−3)· 7 = 0. √ √ √ √ 4. x ∈ 242, − 242 = 11 2, −11 2 . r √ 3 3 = . 5. 4 2 √ √ √ 6. 0, 9 ≈ 0, 95, 23, 54 ≈ 4, 85; 11211 ≈ 105, 88. √ √ 7. Лева страна је једнака 49 − 36 = 7 − 6 = 1. √ √ √ √ √ 8. x = ( 3 − 2)2 = 3 − 2 3 · 2 + 2 = 5 − 2 6. √ 2 √ √ 9. 3 − 1 = 3 − 2 3 + 1 = 4 − 2 3. √ √ 10. а) 2 − 1; б) − 5. 11. Измножите и средите леву страну једнакости. 12. Упутство: помножите стране једнакости са имениоцем на левој страни. 13. Упутство: помножите стране једнакости са имениоцем на левој страни.
14. а) Квадрирањем се своди на испитивање да ли је √ 2+2 6+3 > 5, што је √ тачно. б) Квадрирањем се своди на неједнакост 3 + 3 < 4 која није тачна. 15 15 152 ,− ; б) x ∈ {3, −3}; в) 4. 15. а) x2 = 2 , x ∈ 2 2 2 √ √ 16. 5 4x + 1 + 1 = 16, 4x + 1 = 3, 4x + 1 = 9, x = 2. 17. а) Нема решења; б) x > 1; в) 0 ≤ x < 1. 18. x ∈ {4, −4}. √ √ √ 19. 2 · 8 = 16 = 4. Остали бројеви су ирационални. 20. Они који су ирационални а то су последња два. 21. Своди се на a2 + b2 ≤ (|a| + |b|)2 = a2 + b2 + 2|a||b|. 22. Ниједан од бројева n, n + 1, . . . , n + 9 не сме бити квадрат природног бројa. Одредимо најмање k ∈ N за које постоји n ∈ N такво да је k 2 < n < n + 1 < · · · < n + 9 < (k + 1)2 . Из (k + 1)2 − k 2 > 10 добијамо k = 5, па је n = 52 + 1 = 26.
37
стр. 38
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
1.7. Функција директне пропорционалности Пример 1 Бициклиста вози константном брзином v = 10 km/h. Колики пут ће прећи за: а) 1 час;
б) 2 часа;
в) 3 часа;
г) t часова?
Решење а) За један час прећи ће 10 километара; б) За два часа прећи ће 10 · 2 = 20 километара; в) За три часа прећи ће 10 · 3 = 30 километара; г) За t часова прећи ће 10t километара.
Пример 2 За храњење два канаринца треба 10 грама хране дневно. Претпостављајући да сви канаринци једу исту количину хране дневно, израчунајте колико грама хране треба за: а) пет канаринаца; б) шест канаринаца; в) x канаринаца дневно. Решење а) Израчунајмо најпре колико грама хране поједе један канаринац дневно. Наравно, двапут мање него два, дакле 5 грама. За пет канаринаца требаће дакле 5 · 5 = 25 грама. б) За шест канаринаца биће потребно 5 · 6 = 30 грама. в) За x канаринаца требаће 5x грама.
У првом примеру пређени пут s за време t јесте s = 10t. У другом примеру количина y потребне хране за x канаринаца (у грамима) била је 5x. Видимо да се у оба примера појављују две величине. Са променом прве мења се и друга. Кад прва узме вредност x, друга узима вредност y по закону y = kx, при чему је k ∈ R\{0} (у првом примеру k = 10, а у другом k = 5). За две величине чије су одговарајуће вредности везане законом y = kx, k , 0 кажемо да су директно пропорционалне. Константа k назива се коефицијент пропорционалности. 1 Из y = kx следи x = y, па закључујемо да је и прва величина директно пропорционална k другој. ГРАФИК ЗАВИСНОСТИ Зависност величина у претходним примерима могли бисмо да прикажемо графички, представљајући парове одговарајућих вредности као тачке у координатној равни. 38
стр. 39
1.7. Функција директне пропорционалности
У првом примеру време t може да узима ненегативне реалне вредности. На пример, за сат и по бициклиста ће прећи 10 · 1, 5 = 15 километара, за два сата и шест минута ће прећи 1 21 10 · 2 = 10 · = 21 километар итд. 10 10 Скуп свих одговарајућих тачака (t, s) где је s = 10t, t ≥ 0 јесте график G зависности пређеног пута s за време t, што записујемо у облику G = {(t, s) | s = 10t, t ≥ 0}. Ако сте добро нацртали одговарајуће тачке, приметићете да све припадају једној правој која пролази кроз координатни почетак. Проверите да све тачке (0, 0), (1, 10), (1,5, 15), (2, 20), (2,1, 21), (3, 30) припадају истој правој! График зависности у првом примеру представља полуправу у координатној равни са крајем (0, 0).
Слика 1.11
У случају канаринаца график зависности y = 5x јесте скуп појединачних тачака јер x ∈ {0, 1, 2, . . .}. И сада је график део једне праве која пролази кроз координатни почетак!
Слика 1.12
Наслућујемо: График зависности директне пропорционалности y = kx, k , 0 увек је део праве која пролази кроз координатни почетак. 39
стр. 40
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
То ћемо и доказати у наредном поглављу. Пример 3 У табелама су дате одговарајуће вредности две величине. Да ли су те величине директно пропорционалне? Ако јесу, колики је коефицијент пропорционалности? а)
x y
−2 −6
3 9
4 12
б)
x y
−1 2
2 −4
3 −6
5 10
Решење −6 9 12 = = . Коефицијент пропорционалности је k = 3. −2 3 4 2 −4 −6 10 = = , . б) Нису јер −1 2 3 2
а) Јесу јер је
Пример 4 Да ли су следеће набројане величине директно пропорционалне? Ако јесу, напишите закон зависности. а) Ниво воде h у акумулацији који константно опада за k центиметара на сат са временом t; б) број превезених путника y у x авиона који примају по 300 путника и возе пуни; в) број радника r и време t за које они одраде посао. Решење а) h = H − kt, H је ниво акумулације у тренутку t = 0. Зависност није директна пропорционалност, али је величина y = h − H = −kt директно пропорционална времену. б) y = 300x. Величине су директно пропорционалне. a в) t = (a је време потребно једном раднику да уради посао, r је број радника, t је време за које ће они да r ураде посао). Зависност није директна пропорционалност.
Пропорције Нека су величине x и y директно пропорционалне, y = kx за неку константу k , 0. Тада за било које парове одговарајућих вредности (x1 , y1 ) и (x2 , y2 ) за које је x1 x2 , 0 важи пропорција y1 y2 = . x1 x2 y Провера је врло лака јер из y = kx следи k = за све одговарајуће парове вредности за x које је x , 0. 40
стр. 41
1.7. Функција директне пропорционалности
Из пропорције важи и обрнуто.
y1 y2 = следи y1 x2 = y2 x1 (основно правило пропорције). За x1 x2 , 0 x1 x2
Пример 5 Два брата треба да поделе 32400 динара у размери 5 : 4. Колико треба сваки да добије? Решење Ако први добије x други треба да добије 32400 − x и важи x : (32400 − x) = 5 : 4. Одавде је 4x = 5(32400 − x), 4x = 5 · 32400 − 5x, 9x = 5 · 32400, x = 5 · 3600 = 18000.
Продужена пропорција Кажемо да је низ бројева a1 , a2 , . . . , an пропорционалан низу бројева b1 , b2 , . . . , bn различитим од нуле, што означавамо: a1 : a2 : · · · : an = b1 : b2 : · · · : bn ако је a a1 a2 = = ··· = n . b1 b2 bn Ово називамо продужена пропорција. За n = 2 то је обична пропорција. Пример 6 Три брата хоће да поделе 30 динара у размери 1 : 2 : 3. Колико треба сваки да добије? Решење Ако први треба да добије x, други y, трећи z динара, важи x : y : z = 1 : 2 : 3 и x + y + z = 30. Да бисмо y x z одредили непознате вредности, ставимо = = = k. Биће x = k, y = 2k, z = 3k, па је k + 2k + 3k = 30, 1 2 3 одакле налазимо да је k = 5. Следи x = 5, y = 10, z = 15.
Пример 7 Дато је a : b = 5 : 3 и b : c = 4 : 7. Колико је a : b : c? Решење b c a b = , а из друге = . Како је NZS(3, 4) = 12, у циљу довођења на исти именилац 5 3 4 7 разломака са бројиоцем b, проширимо имениоце прве пропорције са 4, а друге са три па добијамо a b b c = , = . 20 12 12 21 a b c Одавде добијамо = = , па је 20 12 21 a : b : c = 20 : 12 : 21. Из прве пропорције је
41
стр. 42
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
"
Питања Кад су две величине директно пропорционалне? Шта је коефицијент пропорционалности? Која својства има график зависности две пропорционалне величине? Шта је продужена пропорција?
Задаци за вежбу 1.
Пера прочита 108 страна књиге за три дана. Одредите зависност броја прочитаних страна y од броја дана читања x. Колики је коефицијент пропорционалности? За колико дана ће Пера прочитати целу књигу која има 180 страна?
У састав смеше улазе супстанце a, b и c у размери 4 : 15 : 6. Колико процената смеше чине те супстанце? a b c d e 3. Одредите a, b, c, d, e ако је = = = = , a + 2b + 3c + 4d + 5e = 55. 1 2 3 4 5 1 1 4. Одредите x, y, z ако је x : y : z = 0, 1 : : и x + y + z = 1. 2 3
2.
Одредите бројеве x, y, z чији је збир један, директно пропорционалне бројевима 1 2 1 , , . 10 5 3 5 6. Одредите бројеве a, b, c, d чији је збир 5 и a : b : c : d = 2 : 3 : : 5. 2 5.
Одредите a, b, c ако је a : b : c = 2 : 7 : 5 и 2a + 5b − 2c = 58. 2 3 3 1 8. Одредите a, b, c, d ако је a = b = c = d и a + b + c + d = 123. 3 3 5 2 7.
9.
Ако је a : b = α : β, b : c = γ : δ докажите да је a : b : c = αγ : βγ : βδ.
10.
Решите једначине: а) 2 : x : 5 = y : 3 : 6;
11.
б) 2 : x : 3 : y = z : 2 : 5 : 3.
Одредите a : b : c : d ако је a : b = 2 : 3, c : d = 4 : 5, d : a = 1 : 2.
7a − 2b 2 10a − b = , колико је ? 5a + 4b 15 5a + b 2a + 3 6a + 6 3a − 2b 13. Ako je = , колико је ? 3b + 4 9b + 8 5a + b 12.
42
Ако је
стр. 43
1.7. Функција директне пропорционалности
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. y = 36x, k = 36. За пет дана. 2. 16%, 60%, 24%. 3. a = k, b = 2k, c = 3k, d = 4k, e = 5k. Заменом у дату једнакост добија се k = 1. 15 5 3 ,y= ,z= . 4. x = 28 28 14 3 12 2 5. x = ,y= ,z= . 25 25 5 5 6. Из a : b : c : d = 2 : 3 : : 5, следи a = 2k, b = 3k, 2 5 c = k, d = 5k. Заменом у a + b + c + d = 5, добија2 2 мо једначину по k. Решавањем добијамо k = , па је 5 4 6 a = , b = , c = 1, d = 2. 5 5 7. a = 4, b = 14, c = 10. 8. a = 54, b = 27, c = 30, d = 12. αγ γ α α γ c. Стога је a : b : c = 9. b = c, a = b = · c = δ β β δ βδ αγ γ : : 1 = αγ : βγ : βδ. βδ δ
2 x 5 = = . Одгоy 3 6 5 12 6 9 10 вор: x = , y = ; б) x = , y = , z = . 2 5 5 5 3 1 4 2 3 11. d = a, c = d = a, b = a. Зато је a : b : c : d = 1 : 2 5 5 2 3 2 1 : : = 10 : 15 : 4 : 5. 2 5 2 Коришћена је особина проширивања односа. 10. а) Напишите једначину у облику
12. Коришћењем основног правила пропорција добија2 мо 105a − 30b = 10a + 8b, одакле следи a = b. Зато 5 2 10a − b 10 · 5 b − b = = 1. је 2 5a + b 5· b+b 5 11 . 13. 53
43
стр. 44
1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ
Разни задаци
1.
Да ли има смисла израз: q q √ √ 5 − 3; б) 4 − 12. а)
За које вредности променљиве x имају смисла изрази: √ √ а) 2x; б) −x. 3. Која од датих тачака A и B је ближа координатном почетку? r r √ √ 7 13 а) A 15, 21 , B − 16 ; б) A 2 , B − 1 . 9 36 2.
Израчунајте вредност израза: √ !2 √ 2 √ 2 √ 2 3 а) 7 ; б) − 26 ; в) 0, 5 · − 8 ; г) √ . 6 q √ 5. Решите једначину 5 4x + 1 + 6 = 4. √ 6. Решите једначину 169 − x2 = 12. 4.
√ 4−3 6 7. Израчунајте помоћу калкулатора приближну вредност израза √ на две деци6−1 мале.
8.
9. 10.
11.
12.
13.
44
Израчунајте помоћу калкулатора приближну вредност израза на две децимале. √ 1 2 3 5+3 3 а) √ ; б) √ √ ; в) √ . √ ; г) √ 5−2 5− 3 10 − 7 3+2 √ √ √ 1 Докажите да су бројеви 2− 3 и 2+ 3 реципрочни, а 2 6−5 и √ супротни. 2 6+5 Докажите једнакост q q √ √ 7+4 3· 7−4 3 = 1 Израчунајте вредност датих израза. 1 5 5 1 а) √ − √ ; б) √ + √ . 11 − 2 30 11 + 2 30 3+2 2 3−2 2 При слободном паду достигнута брзина v у тренутку t износи v = gt, где је m g = 9, 81 2 . Да ли је брзина директно пропорционална времену пада? После колиs ко секунди се достигне брзина 100 km/h? а) Ако су a2 , b2 , ab рационални бројеви и a , b, да ли су a и b рационални бројеви? б) Ако су a2 , b2 , a + b рационални бројеви и a , −b, да ли су a и b рационални бројеви?
стр. 45
1.7. Функција директне пропорционалности
Да ли је рационална или ирационална вредност израза? 1 1 1 1 а) √ − √ ; б) √ − √ . 3 3−4 3 3+4 5−2 6 5+2 6 15. Наведите два ирационална броја између 10 и 10,1. ak a + a + · · · + an 16. Нека је = k, k = 1, 2, . . . , n. Израчунајте 1 2 . bk b1 + 2b2 + · · · + nbn 17. Пас појури лисицу која је од њега на растојању 30 m. Пас скаче по 2 m, а лисица по 1 m. Док пас двапут скочи лисица скочи трипут. На ком растојању ће пас ухватити лисицу? 14.
18.
Из језера је мрежом извађено 225 риба, које су обележене и враћене у језеро. После неког времена поново је бачена мрежа и уловљено је 108 риба међу којима је било 15 обележених. На основу ове информације процените број риба у језеру.
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. а) Нема. б) Има. 2. а) x ≥ 0; б) x ≤ 0. 3. а) A; б) B. 4. а) 7; б) 26; в) 4; г)
3 . 4 x ∈ {5, −5}. −2, 31. 1 а) √ ≈ 4, 24; 5−2 2 б) √ √ ≈ 3, 97. 5− 3 √ √ √ 1 а) 2− 3 2+ 3 = 4−3 = 1; б) 2 6−5+ √ = 2 6+5 24 − 25 + 1 = 0. √ 2 6+5 Упутство: измножите. Упутство: свести на заједнички именилац. km m 27, 8 Јесте. 100 = 27, (7) , за ≈ 3s. h s 9, 81
5. x = 6. 7. 8.
9.
10. 11. 12.
1 . 2
√ √ 13. а) Не морају бити. Контрапример: a = 2, b = 8; a2 − b2 б) Јесу. Из a − b = следи да је и a − b рациa+b (a + b) + (a − b) (a + b) − (a − b) онално, а из a = ,b= 2 2 да су такви и a и b. 14. а) Рационална је; б) Ирационална је. 1 1 1 < 10 + √ < 10 + = 10, 1. 15. 10 < 10 + √ 10 102 101 16. Вредност израза је 1. 17. Док пас пређе 4 m лисица пређе 3 m. Зато се брзине пса v и лисице w односе као 4 : 3. Нека је t време за које ће пас да ухвати лисицу. Тада важи vt = 30 30 + wt. Одавде је t = , па је пређени пут пса v−w v 4 30 30 · 30v 3 = 120 метара. vt = = v w = 4 v−w −1 −1 w 3 x = 18. Ако је x процењени број риба у језеру, онда је 225 108 . Одатле је x = 1620. 15
45
стр. 46
2
ГЛАВА 2
ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА
Питагорина теорема
Обрнута Питагорина теорема
Примене Питагорине теореме и Обрнуте Питагорине теореме
стр. 47
2.1. Питагорина теорема
У шестом разреду утврдили смо да се од три дужи дужина a, b и c (неких мерних јединица) може образовати троугао ако је најдужа међу њима краћа од збира друге две. Природно се поставља питање каква веза постоји међу дужинама страница троугла ако је он правоугли, оштроугли или тупоугли и обратно, да ли се на основу дужина страница може утврдити његов тип. У овом поглављу сазнаћете да је одговор на оба питања потврдан и да тип троугла зависи од квадрата дужина његових страница!
2.1. Питагорина теорема Пре више хиљада година Египћани су знали да је троугао формиран од страница дужина 3, 4 и 5 неких мерних јединица правоугли и користили га као приручно средство за одређивање правог угла при грађењу пирамида. Зато се и данас овај троугао назива египатски. Задатак. Направите египатски троугао од канапа везивањем чворова на једнаком растојању и затезањем канапа.
Слика 2.1. Да ли је угао прав? Проверавање помоћу египатског троугла.
Ако се над страницама египатског троугла конструишу квадрати, квадрат над најдужом страницом чине 25 јединичних квадрата, а квaдрате над краћим страницама чине 9 и 16 јединичних квадрата, те важи 32 + 42 = 52 , тј. површина квадрата над хипотенузом једнака је збиру површина квадрата над катетама.
Слика 2.2
Да је површина квадрата над хипотенузом неких правоуглих троуглова једнака збиру површина квадрата над њиховим катетама, знало се пар хиљада година раније у Месопотамији, Индији и Кини. Ипак, доказ тог својства за сваки правоугли троугао приписан је античком мислиоцу и математичару Питагори, па је по њему то тврђење и названо. 47
стр. 48
2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА
Слика 2.3. Питагора са Самоса (570. пре н. е. – 510. пре н. е.) „Све је у бројевима”
Питагорина теорема За сваки правоугли троугао важи да је збир површина квадрата над катетама једнак површини квадрата над хипотенузом. Постоји на стотине разних доказа ове теореме (погледајте на интернету). Овде смо изабрали можда најпростији доказ за који не треба текст, јер слика све каже. На слици 2.4 приказано је како се прекрајањем (резањем и састављањем) од два (слепљена) квадрата дужина страница a и b саставља квадрат дужине странице c једнаке хипотенузи правоуглог троугла чије су катете дужина a и b. Погледајте слику и уверите се сами! Доње обојене троуглове преместите према слици да добијете велики квадрат!
Слика 2.4
Ако су a, b и c мерни бројеви дужина катета и хипотенузе правоуглог троугла, онда је алгебарска форма Питагорине теореме дата једнакошћу a2 + b2 = c2 . Исказ се налази и у стиховима: „Квадрат над хипотенузом, То зна свако дете, Једнак је збиру квадрата над обе катете.” Бранислав Нушић, Аутобиографија 48
стр. 49
2.1. Питагорина теорема
Уверите се да је следећим сликама 2.5 дат такође прост доказ Питагорине теореме (Баскарa, 12 век).
Слика 2.5
На првој слици, квадрат c × c разложен је на четири правоугла троугла са катетама a и b, b > a и хипотенузом c и квадрат (b − a) × (b − a). Делови су препаковани (друга слика) да граде дисјунктну унију слепљених квадрата a × a и b × b. Пример 1 Израчунајте дужину c хипотенузе правоуглог троугла који има дужине катета у изабраној јединици мере. √ √ а) 12 и 5; б) 3 и 13. Решење √ а) c = 122 + 52 = 13;
б) c =
q√ √ √ √ ( 3)2 + ( 13)2 = 3 + 13 = 16 = 4.
Пример 2 √ √ Дате су дужине хипотенузе c = 15 и катете b = 6 правоуглог троугла (у изабрaној мерној јединици). Колика је дужина друге катете? Решење √ √ √ a = c2 − b2 = 15 − 6 = 9 = 3.
"
Питања Како гласи Питагорина теорема?
49
стр. 50
2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА
Задаци за вежбу
У равни папира леже три квадрата који се могу померати. Како се само померањем може утврдити да ли је збир површина два мања квадрата већи, мањи или једнак површини највећег од њих? 4 2. Једна катета правоуглог троугла једнака је хипотенузе. Докажите да је друга кате5 3 та једнака хипотенузе. 5 3. Одредите непознате дужине x и y на датим сликама: 1.
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. Упутство. Два мања квадрата довести у положај да им је једно теме заједничко, а странице да буду катете неког правоуглог троугла. Затим пробати да ли се дужина странице највећег квадрата може поклопити са његовом хипотенузом.
2 2 3 4 + = 1. 5 5 p p 3. а) x = a2 − h2 , y =√ b2 − h2 ; б) x = 11; в) x = 5, y = 16; г) x = 6, y = 145. 2.
2.2. Обрнута Питагорина теорема Нека је ABC троугао чије странице имају дужине a, b, c. Ако је <) C прав по Питагориној теореми важи c2 = a2 + b2 . А да ли важи и обрнуто, да ли из ове једнакости следи да је <) C прав? Општије, да ли се из односа c2 и a2 + b2 може закључити какав је угао <) C? Да то расправимо, докажимо следеће тврђење: Нека је ABC троугао чије странице имају дужине a, b, c. Ако је < ) C туп, онда је c2 > 2 2 2 2 2 a + b , а ако је оштар, онда је c < a + b . 50
стр. 51
2.2. Обрнута Питагорина теорема
Нека је D подножје нормале из A на праву BC (сл. 2.6). Како је <) C туп, добија се распоред B − C − D.
Слика 2.6
Слика 2.7
Применом Питагорине теореме на правоугле троуглове ABD и ACD (сл. 2.6), добијамо c = BD 2 + AD 2 = (a + CD)2 + AD 2 = a2 + 2a · CD + CD 2 + AD 2 = a2 + 2a · CD + b2 > a2 + b2 . Тиме је први део тврђења доказан. У случају да је <) C оштар и c ≤ a или c ≤ b, вреди c2 ≤ a2 или c2 ≤ b2 . У оба случаја је 2 c < a2 + b2 . Ако је c > a и c > b, тачка D је између тачака B и C (сл. 2.7), па је c2 = BD 2 + AD 2 = (a − CD)2 + AD 2 = a2 − 2a · CD + CD 2 + AD 2 2
= a2 − 2a · CD + b2 < a2 + b2 . Тиме је и други део теореме доказан. Сада је очевидно да важи Обрнута Питагорина теорема. Ако за дужине a, b и c страница неког троугла важи c2 = a2 +b2 , тај троугао је правоугли са правим углом < ) C. Разлог: <) C не може бити ни туп ни оштар. Такође је јасно да важи следеће: Ако је c2 < a2 + b2 , онда је < ) C оштар. Ако је c2 > a2 + b2 , онда је < ) C туп. Препуштамо вама да се уверите због чега важе дата тврђења. Пример 1 Да ли је троугао са страницама дужина 11, 12, 16 правоугли, оштроугли или тупоугли? Решење Како је 162 = 256 < 122 + 112 = 144 + 121 = 265 троугао је оштроугли (јер му је највећи угао оштар).
51
стр. 52
2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА
Пример 2 Докажите да је троугао са страницама дужина a = 2uv, b = u 2 − v 2 , c = u 2 + v 2 , u > v правоугли. Решење Да бисмо доказали да је троугао правоугли, на основу Обрнуте Питагорине теореме, довољно је проверити да важи a2 + b2 = c2 , тј. да је (2uv)2 + (u 2 − v 2 )2 = (u 2 + v 2 )2 . У ово се уверавамо квадрирањем и коришћењем дистрибутивног закона за реалне бројеве и одговарајућим сабирањем. Ако су u и v природни бројеви, овим формулама добијамо читаву фамилију правоуглих троуглова са целобројним дужинама страница. Димензије неких од тих троуглова приказане су у табели. u 2 3 3 4 4 4
"
v 1 1 2 1 2 3
a 4 6 12 8 16 24
b 3 8 5 15 12 7
c 5 10 13 17 20 25
Питања Који однос важи међу страницама троугла ако је неки његов угао туп, прав или оштар? Како гласи Обрнута Питагорина теорема?
2.3. Примене Питагорине теореме и Обрнуте Питагорине теореме Питагорина теорема је једна од најважнијих теорема елементарне математике, јер има велике практичне примене и бројне последице. Приказаћемо најважније примене Питагорине теореме. Оне се углавном састоје од израчунавањa дужинских елемената разних геометријских фигура. Примена Питагорине теореме на конструкцију неких дужи Претпоставимо да је изабрана јединица за мерење дужи. Уместо да кажемо да је a мерни број дужине неке дужи у тој изабраној јединици мере, казаћемо једноставно да је a дужина те дужи. Слична примедба се односи и на површине. 52
стр. 53
2.3. Примене Питагорине теореме и Обрнуте Питагорине теореме
Пример 1 Конструишите дуж дужине: √ √ √ а) 5; б) 15; в) a, где је a , 1 дужина дате дужи. Решење
√ а) Како је 5 = 12 + 22 , 5 је дужина хипотенузе правоуглог троугла са катетама дужина 1 и 2. б) Како је 15 = 82 −72 , конструисаћемо правоугли троугао чија је једна катета дужине 7, а хипотенуза дужине 8.
√ p √ По Питагориној теореми дужина друге катете је 82 − 72 = (8 − 7)(8 + 7) = 15. в) Идеју решења из б) користимо да решимо овај општи задатак. Како је !2 a+1 2 |a − 1| , a= − 2 2 a+1 |a − 1| конструисаћемо прво дужи дужина m = иk= , а затим правоугли троугао са катетом дужине k 2 2 √ √ и хипотенузом дужине m. Његова друга катета има дужину l = m2 − k 2 = a.
Приметимо да је последњом конструкцијом конструисана страница квадрата површине a. Тиме је доказано да једначина x2 = a има позитивно решење за свако позитивно a.
Задаци за вежбу
√ √ √ Конструишите дужи дужина 5, 6, 7. q √ 2. 2. Конструишите дуж дужине !2 !2 √ a−b a+b 3. Користећи − = ab конструишите дуж дужине ab; a и b су дате 2 2 дужи. √ √ √ 4. Конструишите дуж дужи дужине x = a2 + b2 , a затим y = x2 − c2 = a2 + b2 − c2 ; a, b, c су дате дужи. 1.
53
стр. 54
2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. Користите да је
√
√
5 = 22 + 12 , 6 = ( 5)2 + 1, 7 = ( 6)2 + 1. 2. Конструишите редом дужи дужина √ √ q √ 2+1 2−1 ,y= , z = x2 − y 2 . 2, x = 2 2
3. Прво конструишите дужи дужина a + b и |a − b|. p 2 2 4. Прво конструишите p дуж дужине x = a + b , а затим дуж дужине x2 − c2 .
Примене Питагорине теореме на правоугаоник, квадрат и једнакокраки правоугли троугао Пример 2 Одредите дужину дијагонале правоугаоника чије су странице дужина a и b. Решење Дијагонала правоугаоника дели правоугаоник на два правоугла троугла којима је она хипотенуза, а катете су суседне странице правоугаоника.
√ 2 2 2 2 2 Према Питагориној теореми √ дијагонале√d задовољава једнакост d = a + b , па је d = a + b . √ дужина На пример, за a = 2, b = 2 3 је d = 4 + 4 · 3 = 16 = 4. Ако је a = b, правоугаоник је квадрат странице a,
па је његова дијагонала једнака
√ √ √ √ d = 2a2 = 2 a2 = a 2.
Пример 3 Колика је дужина a странице једнакокраког правоуглог троугла чија је хипотенуза d = 2 cm? Решење
√ Описани једнакокраки правоугли троугао је половина квадрата странице a и дијагонале d. Из d = a 2 следи √ d 2 d a= √ = . 2 2 √ Одавде, у конкретном случају стављањем да је d = 2 cm налазимо a = 2 cm.
54
стр. 55
2.3. Примене Питагорине теореме и Обрнуте Питагорине теореме
Пример 4 Ако је дијагонала правоугаоника d = 17 cm, а једна страница a = 15 cm, колика је дужина b друге странице? Решење Из d 2 = a2 + b2 следи b2 = d 2 − a2 , па је √ √ p √ b = d 2 − a2 = 172 − 152 = (17 − 15)(17 + 15) = 2 · 32 = 8 cm.
Задаци за вежбу 1.
Израчунајте дужине страница правоугаоника које се односе као 3 : 4, а дужина његове дијагонале је 50 cm.
2.
Два правоугаоника имају једну страницу једнаку. Докажите да већи од њих има и дужу дијагоналу и обратно.
3.
Површина правоугаоника је 60 m2 , а дијагонала је 13 m. Израчунајте обим правоугаоника. Докажите додатно да је a = 12, b = 5 или a = 5, b = 12 користећи да је (a − b)2 = 72 .
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. a = 3k, b = 4k; d = b = 40.
p a2 + b2 ; 5k = 50; k = 10, a = 30,
2. Нека су странице већег правоуганика дужина A и b, a дијагонале D, а мањи правоугаоник има стра-
ницеpчије су дужине a и b, a дијагонале d. Тада је p D = A2 + b2 > a2 + b2 = d. 3. a2 + b2 = 169, ab = 60; (a + b)2 = 172 ; O = 2(a + b) = 34 m.
55
стр. 56
2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА
Примена Питагорине теореме на једнакокраки и једнакостранични троугао и на делтоид Пример 5 Одредите висине и површину једнакокраког троугла основице a и крака b. Решење Висина која одговара основици полови једнакокраки троугао.
Применом Питагорине теореме на једну половину троугла добијамо 2 a 2 2 b =h + . 2 Одавде је r 2 a h = b2 − . 2 Висину e која одговара краку налазимо из везе be = ah = 2P , где је P површина троугла. Добијамо r a2 ah a = b2 − . e= b b 4 Површина троугла је r ah a a2 P= = b2 − . 2 2 4
Пример 6 Одредите дужину висине и површину једнакостраничног троугла странице a.
Решење Ставимо b = a у претходне формуле. Добијамо r r 2 a a2 a √ h = a2 − = 3 = 3, 4 4 2
56
P=
a a√ a2 √ · 3= 3. 2 2 4
стр. 57
2.3. Примене Питагорине теореме и Обрнуте Питагорине теореме Приметимо да висина једнакостраничног троугла полови тај троугао на два правоугла троугла са угловима од 60◦ и 30◦ код којих је хипотенуза двапут дужа од једне катете. Докажимо да је последњи услов довољан да правоугли троугао има углове од 60◦ и 30◦ .
Ако је код правоуглог троугла хипотенуза двапут дужа од једне катете, онда је угао који оне граде једнак 60◦ . Пресликајмо симетријом преко друге катете овај троугао. Добиће се њему подударан троугао, дакле правоугли са истом дужином хипотенузе. Унија троугла и његове симетричне слике јесте једнакостранични троугао, јер је и трећа његова страница једнака хипотенузи полазног троугла. Углови овог троугла су по 60◦ . Тиме је тврђење доказано. Важе и тврђења на основу којих можемо препознати угао од 30◦ или 60◦ . √ 3 Ако је код правоуглог троугла једна катета пута краћа од хипотенузе, онда је угао 2 који оне граде једнак 30◦ . Следи из претходног тврђења, јер је друга катета по Питагориној теореми једнака половини хипотенузе.
Ако је код правоуглог троугла једна катета оштри углови једнаки 30◦ и 60◦ .
√ 3 пута дужа од друге катете, онда су му
Докажите сами ово тврђење.
57
стр. 58
2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА
Пример 7 Израчунајте непознате елементе делтоида на сликама а) и б).
Решење Дијагоналу која припада симетрали делтоида називаћемо симетрална дијагонала. а) x = y. Дијагонале делтоида су нормалне и симетрална полови другу. Делтоид је настао слепљивањем √ једнакостраничног троугла странице 2 и два правоугла једнакокрака троугла странице 1. Отуда је x = 2 = y. √ 2√ Дужина симетралне дијагонале је 3 + 1 = 3 + 1 а краће 1 + 1 = 2. Четврти угао делтоида је 90◦ . 2 б) Делтоид је настао кад је √ од једнакостраничног троугла странице 4 изрезан правоугли једнакокраки троугао √ хипотенузе 4. Отуда x = 2 2 = y. Непознати угао делтоида је 60◦ − 45◦ = 15◦ , а дијагонала је 2 3 − 2.
Задаци за вежбу 1.
У једнакокраком троуглу краци су дужине 10 cm а основица је 12 cm. Колике су висине?
Висина једнакокраког троугла која одговара основици је 8 cm а друга висина је 9,6 cm. Колики је обим? √ 3. Висина једнакостраничног троугла је 3 cm. Колика је површина? 2.
4. 5.
58
Колика је висина једнакостраничног троугла површине P ? √ √ Делтоид има странице дужина a = 18 cm и b = 80 cm и дијагоналу која није симетрална, d = 8 cm. Колика је дужина друге дијагонале и површина тог делтоида?
6.
Делтоид има странице дужина a = 10 cm и b = 17 cm и симетралну дијагоналу 21 cm. Колика је дужина друге дијагонале и површина тог делтоида?
7.
Израчунајте непознати елемент x приказан на сликама. a) б) в)
стр. 59
2.3. Примене Питагорине теореме и Обрнуте Питагорине теореме
г)
е)
8.
д)
ђ)
ж)
У једнакокраком троуглу краци су дужине 10 cm, а висина која одговара краку је 9,6 cm. Колика је основица?
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. 8 cm и 9,6 cm. 2. Крак је 10 cm, основица 12 cm, а обим 32 cm. 2h a2 √ 4h2 √ h2 √ 3. a = √ ; P = 3= 3 = √ = 3 cm2 . 4 3·4 3 3 q √ 4. h = P 3. √ √ 5. d = (8 + 2) cm, P = (32 + 4 2) cm2 .
б)
√ x√ 3 = 3, x = 2 2
6. Ако несиметрална дијагонала дели симетралну дијагоналу на одсечке дужина x и y и има дужину 2z вреди x + y = 21, x2 + z2 = 172 , y 2 + z2 = 102 . Одузимањем по странама последње две једнакости добија се (x − y)(x + y) = 189, па је x − y = 9, x = 15, y = 6, z = 8. Дужина несиметралне дијагонале је 21 cm, а површина делтоида је P = (x + y)z = 168 cm2 .
в) x = 60◦
7. а) 2P = 12 · 8 = x · 10, x = 9, 6
г) x = 120◦
59
стр. 60
2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА √ д) x = 2 17
√ е) x = 3
ж) x2 − 82 =
2 y , x · 9, 6 = y · 8, x = 10, y = 12 2
√ ђ) x = 2 3
2 2 a a a 2 8. ah = 96, +h2 = 100, + h = 196, h − = 2
2 2
a a 4, + h = 14, − h
= 2, (a, h) ∈ {(12, 8), (16, 6)}. 2 2
Примена Питагорине теореме на паралелограм и ромб Пример 8 Одредите дијагонале паралелограма коме су познате дужине страница a и b и висине h која одговара основици a. Решење Спустимо висину h из темена које одговара оштром углу паралелограма на праву која садржи основицу a и са c означимо растојање њеног подножја до темена (види слику 2.8).
Слика 2.8 Применом Питагорине теореме на добијени правоугли троугао добијамо b 2 = h2 + c 2 , одакле налазимо да је √ c = b2 − h2 .
60
стр. 61
2.3. Примене Питагорине теореме и Обрнуте Питагорине теореме
Дијагонала d је хипотенуза правоуглог троугла чије катете имају дужине h и a + c. Отуда је q d = h2 + (a + c)2 . Друга дијагонала e је хипотенуза правоуглог троугла са катетама дужина |a − c| и h. Применом Питагорине теореме добијамо да је q e=
h2 + (a − c)2 .
Када је a = b паралелограм постаје ромб. Како су дијагонале ортогоналне и полове се, добијамо да је код ромба !2 2 e d + = a2 , односно d 2 + e2 = 4a2 . 2 2
Пример 9 Колика је површина ромба странице a = 13 cm и дијагонале d = 24 cm? Решење
√ Користећи изведену везу налазимо да је друга дијагонала e = 4a2 − d 2 = 10 cm. Површина ромба је de = 120 cm2 . P= 2
Задаци за вежбу 1.
Дијагонала ромба је дужине 16 cm а обим 40 cm. Колика му је висина?
Ромб има страницу 20 cm и дијагоналу 32 cm. Израчунајте дужину друге дијагонале. 3. Ромб странице 25 cm има висину 24 cm. Колике су дужине дијагонала? 2.
4.
Једна дијагонала ромба је 40 cm а однос друге дијагонале и странице је 6 : 5. Одредите дужину странице и висину тог ромба.
5.
Однос дужина дијагонала ромба странице 50 cm је 3 : 4. Колика му је висина?
Ромб има страницу 10 cm и дијагоналу 12 cm. Колика је површина ромба? √ 7. Ромб има страницу 4 cm и дијагоналу 2 14 cm. Колика је површина ромба?
6.
8.
На сликама су паралелограми чији су неки елементи и њихови односи познати. Израчунајте обојене непознате елементе означене са x, y, z. б) в) г) a)
61
стр. 62
2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА
д)
ђ)
е)
ж)
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА p 16 · 12 1. a = 10, d = 2 102 − 82 = 12, 10h = ,h = 2 9, 6 cm. 2. 24 cm. 3. 30 и 40 cm. !2 d 4. d : a = 6 : 5, + 202 = a2 ; d = 30, a = 25, 2 h = 24 cm. 5. d = 60, e = 80, h = 48 cm. 6. Друга дијагонала је 16 cm а површина 96 квадратних центиметара. √ √ 7. Друга дијагонала је 2 2 cm а површина 4 7 cm2 . √ 8. a) z p = 9, x2 = (25 + 9)2 + 122 = 1300, x = 10 13, y = 162 + 122 = 20
√ y = 1201, x = 30, d = 40; z = 7.
д) d1 = 60, d2 = 80, x = 48.
ђ) x = 25, y = 15.
√ б) x = 14, c = 4, y = 592.
!2
√ √ √ + ( 14)2 = 16, d = 2 2, x = 7.
е)
d 2
ж)
2 x + 62 = 102 , x = 16. 2
в) 10 · x = 16 · 6, x = 9, 6
г)
62
!2 2 p x d d = 252 , x · = 25 · 24, y = 252 + 242 , + 2 2 2
стр. 63
2.3. Примене Питагорине теореме и Обрнуте Питагорине теореме
Примена Питагорине теореме на трапез У циљу израчунавања елемената трапеза, најчешће спуштамо једну или две висине из крајева једне основице на супротну основицу, па на формиране правоугле троуглове примењујемо Питагорину теорему.
Пример 10 Дат је правоугли трапез чије основице имају дужине a и b а крак c. Одредите дужине e и f дијагонала и други крак d (види слику 2.9).
Слика 2.9 Решење Крак c је уједно и висина трапеза. Из одговарајућих правоуглих троуглова налазимо e2 = a2 +c2 , f 2 = b2 +c2 , q √ √ d 2 = h2 + (a − b)2 = c2 + (a − b)2 па је e = a2 + c2 , f = b2 + c2 , d = c2 + (a − b)2 .
Пример 11 Одредите висину и дијагонале једнакокраког трапеза чије су основице дужина a и b, a > b а крак дужине c.
Слика 2.10 Решење Спустимо обе висине из крајева основице b на основицу a. Тиме се она разлаже на две дужи дужине дуж дужине b. Применом Питагорине теореме на добијени правоугли троугао са катетама h и тенузом c, налазимо s !2 !2 a − b a−b 2 2 2 и одатле h = c − . c =h + 2 2
a−b и 2
a−b и хипо2
63
стр. 64
2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА a−b a+b = . Отуда Дијагонала d је хипотенуза правоуглог троугла са катетама h и b + 2 2 s s !2 !2 !2 √ a+b a−b a+b d = h2 + = c2 − + = c2 + ab. 2 2 2
Пример 12 √ Израчунајте√обим трапеза и дужину дијагонала ако је позната дужина основице b = 10 3, крака c = 6 3 а углови на основици a су 60◦ и 150◦ .
Слика 2.11 Решење Спустимо обе висине из темена основице на другу основицу. c√ Из правоуглог троугла са хипотенузом c и оштрим углом од 60◦ налазимо дужину висине h = 3 = 9 као 2 √ c ◦ ◦ ◦ и друге катете = 3 3. Из правоуглог троугла хипотенузе d и оштрог угла 180 − 150 = 30 налазимо 2 √ √ √ d = 2h = 18 и дела √ √ √ основице b дужине 9√ 3. Други део основице b има дужину b − 9 3 = 3, а основица је a = 3 3+ 3 = 4 3. Обим трапеза је 20 3+18. Дијагонале трапеза су хипотенузе одговарајућих правоуглих троуглова те имају дужине q √ q√ √ √ (13 3)2 + 92 = 588 и ( 3)2 + 92 = 84.
Задаци за вежбу 1.
На сликама су правоугли трапези. Израчунајте непознате елементе. a)
64
б)
в)
стр. 65
2.3. Примене Питагорине теореме и Обрнуте Питагорине теореме
г)
е)
д)
ђ)
ж)
з)
и)
2.
Израчунајте непознате елементе датих трапеза.
3.
На сликама су једнакокраки трапези. Израчунајте непознате елементе. a)
б)
г)
в)
д)
65
стр. 66
2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА
ђ)
е)
ж)
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. a) x = 8.
66
√ д) x + y = 30, (y − x)2 = 132 − 122 , y − x = 25, 35 25 y= ,x= . 2 2
б) x = 5.
p ђ) x + y = 26, y − x = 202 − 122 , x = 5, y = 21.
в) x = 45◦ .
е) y = 4, x = 3, z = 7.
г) x2 +82 = y 2 , x = 3k, y = 5k, 9k 2 +64 = 25k 2 , k = 2, x = 6, y = 10.
p √ √ ж) y = 13, x = 132 − 52 = 8 · 18 = 16 · 9 = 4·3 = 12.
стр. 67
2.3. Примене Питагорине теореме и Обрнуте Питагорине теореме
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА з) y = 10, x = 8.
г) x = 60◦ , y = 120◦ .
и) y = 15, x = 12.
д) x = 10, y = 8.
√ 2. a) x = 2, y = 6; б) x = 4 − 3.
p √ √ ђ) x = 13, y = 132 − 52 = 8 · 18 = 9 · 16 = 12.
3. a) x2 = 42 + y 2 , x = 5k, y = 3k, 25k 2 = 16 + 9k 2 , k = 1, x = 5, y = 3.
б) x2 + z2 = 252 , z = 4k, x = 3k, 9k 2 + 16k 2 = 252 , k 2 = 25, k = 5, x = 15, z = 20. 25 − y p 2 25h = 15 · 20, h = 12, = x − h2 = 9, y = 7. 2
в) x = 15, y = 7, z = 25.
е) x = 5, y = 4.
ж) h ·
9 + 21 120 = 120, h = = 8, x = 10. 2 15
67
стр. 68
2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА
Растојање тачака у координатној равни Подсетимо се да је растојање тачака A(a) и B(b) на координатној правој једнако |AB| = |b − a|. Израчунајмо сада колико је растојање |AB| тачака A(a1 , a2 ) и B(b1 , b2 ) у координатној равни. Ако је дуж AB паралелна оси Ox, тј. a2 = b2 , онда је |AB| једнако растојању управних пројекција на x-осу, тј. растојању тачака (a1 , 0) и (b1 , 0), па је |AB| = |b1 − a1 |. Аналогно, ако је a1 = b1 , биће |AB| = |b2 − a2 |. Уколико дуж AB није паралелна ниједној оси, она је хипотенуза правоуглог троугла ABC, где је C(a1 , b2 ).
Слика 2.12
Катете тог троугла имају дужине |BC| = |b1 −a1 |, |AC| = |b2 −a2 |, па је према Питагориној теореми q p p 2 2 2 2 |AB| = |BC| + |AC| = |b1 − a1 | + |b2 − a2 | = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 . Пример 13 Растојање тачака A(2, 3) и B(5, 1) једнако је q √ √ |AB| = (5 − 2)2 + (1 − 3)2 = 32 + 22 = 13.
Пример 14 Докажите да је ∆OAB правоугли. Израчунајте му обим и површину.
68
стр. 69
2.3. Примене Питагорине теореме и Обрнуте Питагорине теореме
Решење Докажимо да је <) O прав користећи Обрнуту Питагорину теорему. Рачунамо: |OA|2 = 62 + 32 = 45, |OB|2 = (−4)2 + 82 = 80, |AB|2 = (−4 − 6)2 + (8 − 3)2 = 125. Дакле, |AB|2 = |OA|2 + |OB|2 , одакле следи закључак да је угао код темена O прав, па имамо да је онда обим ∆OAB једнак √ √ √ √ |OA| + |AB| + |OB| = 3 5 + 5 5 + 4 5 = 12 5, а површина је P (OAB) =
√ 1 1 √ |OA| · |OB| = · 3 5 · 4 5 = 6 · 5 = 30. 2 2
Пример 15 Нека је A(−2, 1) и нека је M(x, y) произвољна тачка координатне равни xOy чије координате задовољавају једнакост y = 2x. Докажите да је <) AOM прав. Решење На основу Обрнуте Питагорине теореме, довољно је проверити да важи |MA|2 = |MO|2 + |AO|2 . Имамо 2 |MA|2 = x − (−2) + (2x − 1)2 = (x + 2)(x + 2) + (2x − 1)(2x − 1)
(*)
= x2 + 2x + 2x + 4 + 4x2 − 2x − 2x + 1 = 5x2 + 5, |MO|2 = x2 + (2x)2 = 5x2 , |AO|2 = (−2)2 + 12 = 5. Једнакост (*) је тачна. Тиме је тврђење доказано. На основу овог резултата може се закључити да је скуп тачака у координатној равни чије координате задовољавају једнакост y = 2x права линија која садржи координатни почетак.
Задаци за вежбу 1.
Израчунајте растојање тачака A(−1, 2) и B(2, 6).
2.
Дате су тачке A(−1, 3) и B(4, 2) у координатној равни. Да ли је <) AOB оштар, прав или туп?
3.
а) Докажите да је ABCD трапез.
б) Израчунајте обим тог трапеза.
69
стр. 70
2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА
в) Израчунајте површину тог трапеза.
г) Израчунајте висину тог трапеза.
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. 5.
Проверите да су троуглови EOG и GOF правоугли (према Обрнутој Питагориној теореми), из чега следи да су тачке E, O и F на истој правој. Уверите се да су четвороуглови OADE и OFBC паралелограми, из чега следи да је OE∥AD и OE∥CB, па је AD∥CB. p √ √ √ б) |AD| = 5, |AB| = 42 + 22 = 20 = 2 5, p √ √ |BC| = 62 + 32 = 45 = 3 5; √ |CD| = 4. Обим је 6 5 + 4.
2. Оштар јер је |AB|2 < |AO|2 + |BO|2 . 3. а) Изаберимо тачке E(−2, 1); F(6, −3) и G(2, 4).
в) P = P (DAGC) + P (ABG), G(2, 4). P = 4·2+ г) h =
1 · 4 · 4 = 16, 2
√ 32 2P 8 5 = √ = . |AD| + |BC| 4 5 5
Разни задаци
1.
Израчунајте непознате елементе на сликама. a) б)
г)
2.
в)
д)
Под√којим углом се секу дијагонале правоугаоника чије странице имају дужине a и a 3?
Три угла делтоида имају 120◦ , 90◦ и 60◦ , а дужа дијагонала има дужину 20 cm. Израчунајте обим и површину тог делтоида. 4. Докажите да су тачке O(0, 0), A(4, 3), B(3, 6), C(0, 5) у координатној равни темена делтоида и одредите обим и површину тог делтоида. 5. Израчунајте дијагонале ромба чија страница има дужину a, а његов оштар угао има: 3.
70
стр. 71
2.3. Примене Питагорине теореме и Обрнуте Питагорине теореме
а) 30◦ ; 6.
б) 45◦ .
Докажите да је дужина h висине која одговара хипотенузи правоуглог троугла једнака квадратном корену из производа дужина одсечака на које та висина дели хипотенузу.
Ако три позитивна броја a, b, c чине Питагорину тројку, тј. важи c2 = a2 + b2 , да ли постоји троугао са дужинама страница a, b, c? 8. Нека су a, b, c дужине страница троугла. Докажите дате једнакости: √ !2 a 3 a 2 2 а) c = b − + = a2 + b2 − ab, ако је γ = 60◦ ; 2 2 !2 !2 √ a a 2 б) c = b − √ + √ = a2 + b2 − 2ab, ако је γ = 45◦ ; 2 √ 2 2 2 2 в) c = a + b − 3ab, ако је γ = 30◦ ; г) c2 = a2 + b2 + ab, ако је γ = 120◦ ; √ д) c2 = a2 + b2 + 2ab, ако је γ = 135◦ . 7.
9.
Нека су a, b, c дужине страница троугла чија висина h дели c на одсечке дужина x и y.
Докажите да је:
p 4a2 c2 − (a2 + c2 − b2 )2 a2 − b2 a2 + c2 − b2 ; б) x = ; в) h = ; а) x − y = c 2c 2c 1p г) P = (b + c − a)(a + c − b)(a + b − c)(a + b + c) Херонов образац. 4 10. Странице паралелограма имају дужине 15 cm и 25 cm и висину која одговара другој од њих, од 12 cm. Колике су му дијагонале? 11.
Дијагонале паралелограма имају дужине 30 cm и 26 cm, а висина је 24 cm. Колике су странице?
12.
Нека је у координатној равни O(0, 0), A(5, 0), B(6, 2), C(2, 4). Докажите да је OABC правоугли трапез и израчунајте његову површину.
71
стр. 72
2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА p 1. a) x = 82 + 62 = 10.
б) x = 21
в) x2 + y 2 = 252 , x2 − z2 = 92 , y 2 − z2 = 162 , x = 15, y = 20, z = 12.
3. Четврти угао има 90◦ јер је збир свих углова 360◦ . Ако је a дужина суседних страница које граде √ угао a a 3√ ◦ од 120 , онда су дужине дијагонала + 3= 2 2 √ a√ 2a и 2 3 = a 3. Прва од њих је дужа. Из 2a = 2 20 cm добијамо a = 10 cm. Обим делтоида је√2a + √ √ 2a · a 3 = 2a 3 = (20 + 20 3) cm, а површина је 2 √ 2 100 3 cm . √ 4. |OA| =√|OC| = 5, |AB| = |BC| = 10.√Обим је √ 10 + 2 10. Дијагонале су |OB| = 3 5 и |AC| = 2 5, 1 површина је P = |OB||AC| = 15. 2 q q √ √ 5. а) d = a 2 + 3, e = a 2 − 3; q q √ √ б) d = a 2 + 2, e = a 2 − 2. 6. Обележимо дужине одсечака са p и q, дужине катета са a и b и хипотенузе са c. Према Питагориној теореми важи a2 = h2 + p2 , b2 = h2 + q2 , c2 = a2 + b2 . Како је c = p + q добијамо (p + q)2 = 2h2 + p2 + q2 и √ сређивањем да је h2 = pq, тј. h = pq. p 7. Да, јер је c ≥ a, c ≥ b и c = a2 + b2 < a + b. 8. a)
г) x = 6, y = 8.
√ !2 a 2 a 3 2 c = b− + = a2 + b2 − ab; 2
2
б) д) x = 90◦ .
2. 60◦ .
72
!2 !2 √ a a c2 = b − √ + √ = a2 + b2 − 2ab; 2 2 в), г) и д) се решевају слично као а) и б).
стр. 73
2.3. Примене Питагорине теореме и Обрнуте Питагорине теореме
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 9. a)
a2 −b2 h2 +x2 −h2 −y 2 (x −y)(x+y) = = = x − y. c c c
б) Када се сабере по странама једнакост под а) са c = x + y, добија се x, а одузимањем y. p в) h = a2 − x2 . г) P =
1 ch. 2
√ 10. 10 3 cm и 20 cm.
11. Означимо са c дужину од подножја висине до темена. Тада важи: 302 = a2 +b2 +2ac, 262 = √ a2 +b2 −2ac, 2 2 2 24 = b − c , a = 14 cm, c = 4 cm, b = 4 37 cm. √ √ √ 12. |OC| = 2 5, |BC| = 2 5, |OB| = 40. Како је |OB|2 = |OC|2 +|BC|2 , по Обрнутој Питагориној теореми је <) BCO прав. Слично утврђујемо да је |AC|2 = |AB|2 + |BC|2 , па је <) ABC такође прав. Зато је OABC правоугли трапез.√Његова √ површина је |AB| + |OC| 5+2 5 √ , тј. |BC| = · 2 5 = 15. P= 2 2
73
стр. 74
3
ГЛАВА 3
ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ПРВИ ДЕО
Степен чији је изложилац природан број
Множење и дељење степена истих основа. Степен степена
Степен производа и количника
Степен основе 10 чији је изложилац нула или негативан цео број
стр. 75
3.1. Степен чији је изложилац природан број
Занимљивости Рубикову или магичну коцку изумео је мађарски проналазач, вајар и професор Ерне Рубик. Ова коцка се састоји од 27 једнаких коцки, а виде се обојене стране (по девет у истој боји). Изглед решене коцке је такав да је свака од шест страна које чине коцку различите боје.
3.1. Степен чији је изложилац природан број Упознали сте се са основним операцијама природних, целих, рационалних и реалних бројева. Једна од њих је множење. На пример, 3 · 3 = 9, 9 · 3 = 27, 27 · 3 = 81. Пример 1 Квадрат странице 3 јединичне дужине садржи 3 · 3 = 9 једнаких квадрата, што видите на слици 3.1.
Слика 3.1. Квадрат
Слика 3.2. Рубикова коцка
Пример 2 Рубикова коцка садржи 3 · 3 · 3 јединичне коцке, што видите на слици 3.2. Производ 3 · 3 = 32 чита се „три на квадрат”, а производ 3 · 3 · 3 = 33 чита се „три на трећи”, или „три на куб”. Аналогно пишете 3 · 3 · 3 · 3 = 34 „три на четврти” | {z } 4 - пута
3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35 | {z }
„три на пети”.
5 - пута
75
стр. 76
3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ПРВИ ДЕО
Уопште, за број a важи: a · a = a2 , a · a · a = a3 , a · a · a · a = a4 , .. . a · a · a · · · · · a = an | {z } n пута
где је n природни број већи од 1.
Степен броја a са изложиоцем 1 једнак је a и пише се a1 = a. Степен броја a са природним изложиоцем n већим од 1 је производ n чинилаца броја a, и пише се: an = a · a · a · · · · · a | {z } n пута
У изразу an број a је основа степена, a број n је изложилац степена. Пример 3 Пет на четврти је
54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625.
Пример 4 Израчунајте (−1)1 , (−1)2 , (−1)3 , (−1)4 и (−1)5 . Решење (−1)1 = −1, (−1)2 = (−1)(−1) = 1, (−1)3 = (−1)(−1)(−1) = −1, (−1)4 = (−1)(−1)(−1)(−1) = 1, (−1)5 = (−1)(−1)(−1)(−1)(−1) = −1.
Шта сте приметили у примеру 4? Број −1 на непаран изложилац једнак је −1, а број −1 на паран изложилац једнак је 1. 76
стр. 77
3.1. Степен чији је изложилац природан број
Пример 5 Израчунајте (−7)2 , (−7)3 , (−7)4 , 43 , (−4)3 , 44 и (−4)4 . Решење (−7)2 = (−7)(−7) = 49, (−7)3 = (−7)(−7)(−7) = −343, (−7)4 = (−7)(−7)(−7)(−7) = 2401 43 = 4 · 4 · 4 = 64, (−4)3 = (−4)(−4)(−4) = −64, 44 = 4 · 4 · 4 · 4 = 256, (−4)4 = (−4)(−4)(−4)(−4) = 256.
Пример 6 Израчунајте
3 4 2 2 и − . 5 3
Решење 3 2 2 2 2 8 = · · = , 5 5 5 5 125
−
2 3
4
2 2 2 2 16 = − − − − = . 3 3 3 3 81
Пример 7 Израчунајте: а) 03 ;
б) 103 ; в) (0, 2)3 ;
г) (−0, 2)4 .
Решење а) 03 = 0 · 0 · 0 = 0; б) 103 = 10 · 10 · 10 = 1 000; в) (0, 2)3 = 0, 2 · 0, 2 · 0, 2 = 0, 008; г) (−0, 2)4 = (−0, 2)(−0, 2)(−0, 2)(−0, 2) = 0, 0016.
Пример 8 Представите производ у облику степена а) 12 · 12 · 12 · 12 · 12;
б)
1 1 1 · · ···· · ; 7 7 7 | {z }
в) x · x · x;
г)
p p p p · · · , q , 0. q q q q
10-пута
Решење а) 12 · 12 · 12 · 12 · 12 = 125 ;
б)
10 1 1 1 1 · · ···· · = ; 7 7 7 7 | {z }
в) x · x · x = x3 ;
г)
p p p p p · · · = q q q q q
!4 .
10-пута
77
стр. 78
3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ПРВИ ДЕО
Пример 9 Без рачунања упоредите степене a4 и a5 ако је: а) a = −10;
б) x = 0; в) a = 0, 1; г) a = 15.
Решење а) (−10)4 > (−10)5 , јер је (−10)4 = 104 позитиван број а (−10)5 = −105 негативан број; б) 04 = 05 , јер су обе стране једнакости 0; в) (0, 1)4 > (0, 1)5 , јер је (0, 1)5 = (0, 1)4 · 0, 1 < (0, 1)4 , јер степен (0, 1)4 множите бројем мањим од 1; г) 154 < 155 , јер је 155 = 154 · 15.
У употреби је децимални (или декадни) бројни систем. Он користи десет цифара: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Основа овог бројног система је 10. Вредност цифре у запису броја у декадном бројном систему зависи од те цифре и њене позиције. Погледајте следећи пример. Пример 10 Број 12583 је скраћени запис за: 12583 = 1 · 104 + 2 · 103 + 5 · 102 + 8 · 10 + 3. Уопште, важи следеће: Сваки број a = an an−1 an−2 · · · a2 a1 a0 чије су позиционе цифре a0 , a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , 9} може се представити у облику збира декадних јединица на следећи начин: a = an · 10n + an−1 10n−1 + · · · + a2 102 + a1 · 10 + a0
Занимљивости Бројевни системи су начини записивања бројева. Они могу бити непозициони и позициони. Одлика непозиционих бројевних система јесте да вредност цифре не зависи од позиције у броју. Пример непозиционог бројевног система су римски записи бројева. Симболи
I
V
X
L
C
D
M
Вредност
1
5
10
50
100
500
1000
У римском запису броја III цифра I има увек исту вредност: 1, а вредност броја добија се сабирањем вредности свих цифара. У римским записима бројева IV и VI, цифра I опет има исту вредност: 1, само што се вредност првог броја добија одузимањем 1 од броја 5, а вредност другог броја сабирањем прве и друге цифре. Код рачунања вредности правило одузимања се примењује када мања цифра по вредности претходи већој. 78
стр. 79
3.1. Степен чији је изложилац природан број
"
Питања Шта је степен броја a са природним изложиоцем n? Напишите број a у облику збира декадних јединица.
Задаци за вежбу 1.
Израчунајте: а) 13 ;
б) (−5)2 ; в) 34 ;
г) (−3)5 ;
д) 02 ;
ђ) (−1)7 ; е) 105 ; ж) (−10)5 .
Израчунајте: 4 3 4 2 5 1 3 1 2 3 7 3 а) ; б) − ; в) − ; г) − ; д) ; ђ) − . 2 2 5 3 4 11 3. Израчунајте површину квадрата чија је страница: 1 а) 5 cm; б) dm; в) 0,3 m; г) 1,6 dm. 2 4. Запишите производ у облику степена: а) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2; б) x · x · x · x; в) y · y · y · y · y; г) 0, 3 · 0, 3 · 0, 3; x x x x x x x x x 1 1 1 1 1 1 д) · · · · · ; ђ) · · · · · · · · , y , 0. 4 4 4 4 4 4 y y y y y y y y y 2.
5.
6.
Колико је: а) (−1)26 ; б) (−1)27 ; в) (−1)625 ;
г) (−1)1024 ;
д) (−1)2019 ; ђ) (−1)2020 ?
Запишите производ у облику степена 1 1 1 а) 3 · 3 · · · · · 3; б) x · x · · · · · x; в) · · · · · · . | {z } | {z } 5 5 5 | {z } 12 пута 27 пута 9 пута
7.
Израчунајте: а) (0, 1)3 ; б) (0, 1)4 ; в) (0, 2)3 ; г) (0, 2)4 ; д) (−0, 2)5 ; ђ) (0, 3)3 ; е) (−0, 3)4 ; ж) (0, 4)2 ; з) (−0, 4)3 ; и) (0, 5)4 .
Без рачунања упоредите бројеве a7 и a8 где је: 1 1 а) a = −0, 4; б) a = 0, 4; в) a = ; г) a = − ; д) a = 5; ђ) a = −5. 5 5 9. Број 21357 представите у позиционом декадном бројевном систему. 8.
10.
Дате бројеве представите у позиционом декадном бројевном систему а) 123; б) 4518; в) 21374; г) 87502; д) 802500; ђ) 10000056. 79
стр. 80
3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ПРВИ ДЕО
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. а) 1;
б) 25;
в) 81;
г) −243; д) 0;
д) −0, 00032; ђ) 0,027; з) −0, 064;
ђ) −1; e) 100000. 1 27 1 4 а) ; б) − ; в) ; г) ; 16 8 625 9 243 343 д) ; ђ) − . 1024 1331 1 а) 25 cm2 ; б) dm2 ; в) 0,09 m2 ; г) 2,56 dm2 . 4 7 4 а) 2 ; б) x ; в) y 5 ; г) (0, 3)3 ; !9 6 1 x д) ; ђ) . 4 y а) 1; б) −1; в) −1; г) 1; д) −1; ђ) 1. 9 1 а) 327 ; б) x12 ; в) . 5 а) 0,001; б) 0,0001; в) 0,008; г) 0,0016;
2.
3. 4.
5. 6. 7.
e) 0,0081;
ж) 0,16;
и) 0,0625.
8. а) (−0, 4)7 < (−0, 4)8 ; б) (0, 4)7 > (0, 4)8 ; 7 8 7 8 1 1 1 1 в) > ; г) − < − ; 5 5 5 5 д) 57 < 58 ;
ђ) (−5)7 < (−5)8 .
9. 21357 = 2 · 104 + 1 · 103 + 3 · 102 + 5 · 10 + 7. 10. а) 123 = 1 · 102 + 2 · 10 + 3; б) 4518 = 4 · 103 + 5 · 102 + 1 · 10 + 8; в) 21374 = 2 · 104 + 1 · 103 + 3 · 102 + 7 · 10 + 4; г) 87502 = 8 · 104 + 7 · 103 + 5 · 102 + 2; д) 802500 = 8 · 105 + 2 · 103 + 5 · 102 ; ђ) 10000056 = 1 · 107 + 5 · 10 + 6.
3.2. Множење и дељење степена истих основа. Степен степена На следећем примеру видећете како се рачуна производ два степена истих основа. Пример 1 Израчунајте производ a3 · a4 . Решење a3 · a4 =
a·a·a |{z}
· a·a·a·a | {z }
3 чиниоца
4 чиниоца 7
= a·a·a·a·a·a·a = a . | {z } 7 чинилаца
На основу претходног примера закључујете да је a3 · a4 = a3+4 = a7 . Уопште, за број a и природне бројеве m и n, важи: m n a · a = a · a · ... · a · a · a · ... · a | {z } | {z } m пута
= a · a · ... · a | {z } m + n пута m+n
=a 80
.
n пута
стр. 81
3.2. Множење и дељење степена истих основа. Степен степена
Дакле, закључујете да важи: За сваки број a и природне бројеве m и n важи: am · an = am+n . Пример 2 Упростите израз 25 · 23 . Решење 25 · 23 = 25+3 = 28 = 256
Пример 3 Упростите израз (−3)3 · (−3). Решење (−3)3 · (−3) = (−3)3 (−3)1 = (−3)4 = 81.
У следећем примеру видећете како се рачуна количник два степена истих основа. Пример 4 Израчунајте количник a9 : a5 , a , 0. Решење a9 a5 a4 = 5 = a4 , a5 a или према особини производа степена истих основа можете написати a9−5 · a5 = a9 односно a9 : a5 = a9−5 . У сваком случају закључујете да је a9 = a9−5 . a5
У општем случају за m > n важи am−n · an = am ,
односно
am = am−n . n a
Због тога важи: За сваки број a , 0 и природне бројеве m и n за које је m > n важи am = am−n . an 81
стр. 82
3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ПРВИ ДЕО
Пример 5 x25 Упростите израз 20 . x Решење x25 = x25−20 = x5 . x20
Пример 6 Израчунајте: ak · al · am . Решење ak · al · am = (ak · al ) · am = ak+l · am = a(k+l)+m = ak+l+m
На основу претходног примера закључујете да више пута можете применити правило о множењу степена истих основа. Пример 7 Израчунајте: x1 · x2 · x3 · x4 . Решење x1 · x2 · x3 · x4 = x1+2+3+4 = x10 .
Пример 8 Упростите дате изразе: а)
m20 , m , 0; m8 · m8
б)
108 · 106 ; 102 · 105 · 107
в)
Решење а)
m20 m20 m20 = 8+8 = 16 = m20−16 = m4 . 8 8 m ·m m m
б)
108 · 106 108+6 1014 = = = 1. 102 · 105 · 107 102+5+7 1014
в)
52 · 5 · 510 52+1+10 513 = = 11 = 513−11 = 52 = 25. 53 · 58 53+8 5
г)
c12 · c5 · c6 c12+5+6 c23 = = = c23−22 = c1 = c. c3 · c10 · c9 c3+10+9 c22
82
52 · 5 · 510 ; 53 · 58
г)
c12 · c5 · c6 , c , 0. c3 · c10 · c9
стр. 83
3.2. Множење и дељење степена истих основа. Степен степена
Изрази са степенима у којима су операције множење и дељење могу имати и коефицијенте, па је њихово упрошћавање нешто сложеније.
Пример 9 Упростите дате изразе: 2
а) 9x · (−4x );
32x4 y 5 −33x15 z4 , x , 0, z , 0. б) (−4a ) · (−5a); в) , x , 0, y , 0; г) −8x3 y 3 −11x14 z3 2
Решење а) 9x · (−4x2 ) = 9 · (−4) · x · x2
б) (−4a2 ) · (−5a) = (−4)(−5)a2 · a
= −36 · x1+2 3
= −36 · x . −33x15 z4 −33 15−14 4−3 г) = ·x ·z = 3xz −11x14 z3 −11
= 20 · a2+1
в)
32x4 y 5 32 4−3 5−3 ·x ·y = −8x3 y 3 −8
3
= 20a .
= −4 · xy 2 .
Сада ћете решавати пример у коме се појављује степен степена.
Пример 10 Упростите (a2 )4 . Решење Овај израз ћете посматрати као да је основа a2 а изложилац је 4. На основу тога може се записати: (a2 )4 = a2 · a2 · a2 · a2 | {z } 4 пута
=a
2+2+2+2
= a2·4 = a8
Уопштено посматрано, за сваки број a и природне бројеве m и n важи (am )n = am · am · . . . · am | {z } n пута n пута
z }| { = am+m+···+m = am·n На основу претходног разматрања закључује се да: 83
стр. 84
3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ПРВИ ДЕО
За сваки број a и природне бројеве m и n важи (am )n = am·n .
Пример 11 Упростите израз (a5 )2 . Решење (a5 )2 = a5·2 = a10 .
Пример 12 Упростите дате изразе: а) (a4 )3 · (a8 )2 ; б) (x7 )6 · (x3 )3 ;
в)
(m2 )n , m , 0; m
г)
37 · (32 )3 . 312
Решење а) (a4 )3 · (a8 )2 = a4·3 · a8·2 = a12 · a16 = a12+16 = a28 ; б) (x7 )6 · (x3 )3 = x7·6 · x3·3 = x42 · x9 = x42+9 = x51 ; (m2 )n m2·n в) = = m2n−1 ; m m 37 · (32 )3 37 · 32·3 37 · 36 37+6 313 г) = = 12 = 12 = 12 = 313−12 = 3. 312 312 3 3 3
Пример 13 Упростите израз
28 − 43 . 27 − 2 · 42
Решење 28 − (22 )3 28 − 43 28 − 26 28 − 26 22 · 26 − 26 4 · 26 − 26 3 · 26 26 = = = = = = = = 26−5 = 2. 27 − 2 · 42 27 − 2 · (22 )2 27 − 2 · 24 27 − 25 22 · 25 − 25 4 · 25 − 25 3 · 25 25
"
Питања Како се множе степени истих основа? Како се деле степени истих основа? Како се степенује степен?
84
стр. 85
3.2. Множење и дељење степена истих основа. Степен степена
Задаци за вежбу 1.
Израчунајте: а) 32 · 33 ; б) 43 · 4;
в) (−2)5 · (−2)3 ; г)
54 ; 53
д)
712 . 710
Упростите дате изразе: а) (n4 )3 ; б) (b5 )2 ; в) 0, 3(x2 )7 ; г) −(a6 )2 . 3. Упростите дате изразе: а) a · (a2 )3 ; б) x2 x5 (x2 )5 ; в) (y 10 y 2 )3 ; г) (p4 · p)5 . 2.
4.
5.
Израчунајте: 36 · (33 )5 24 · 26 · 23 ; а) ; б) 25 · 27 (33 )4 · 37
в)
43 · (24 )3 . 45
Израчунајте: (−5)2 · (−36) · 517 48 · 37 · (−3)2 · 33 ; б) ; −9 · 518 6 · 23 · 34 · (−3)6 3 1 1 1 18 17 − · − · 1 1 2 2 2 : ; г) 2 2 . в) 17 17 1 1 · − 2 2 Шта је веће A или B, где је: 3 2 1 1 1 − · · − 1 3 3 3 A = 2 5 2 , B = − ? 2 1 1 1 3· − · − · − 3 3 3 m У степену a датог производа одредите m како би једнакост била тачна: а) am · (a2 )3 = a10 ; б) (a4 )2 · am = a18 . Без рачунања одредите цифру јединицу датог израза: а) 174 + 167 − 125 ; б) 355 − 235 + 244 . Да ли су дата тврђења тачна? а) Вредност израза 245 − 275 + 226 дељива је са 5. б) Вредност израза 1253 + 264 − 394 дељива је са 10. Маса Земље једнака је 6 · 1024 kg, а маса Сунца 2 · 1030 kg. Колико пута је маса Земље мања од масе Сунца? (Напомена: масе Земље и Сунца узете су у приближним вредностима!) Израчунајте: 35 · (3 · 715 − 19 · 714 ) 5 · 232 − 4 · 230 25 · 522 − 2 · 521 ; б) ; в) . а) 2510 416 716 + 3 · 715 а)
6.
7.
8.
9.
10.
11.
85
стр. 86
3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ПРВИ ДЕО
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. а) 35 = 243; б) 44 = 256; в) (−2)8 = 28 = 256; г) 5; д) 72 = 49.
6. A > B јер је A позитиван број, а B негативан број, што се може утврдити и без рачунања.
2. а) n12 ;
7. а) m = 4;
3. а) a7 ; 4. а) 2;
б) b10 ; б) x17 ;
б) 9;
в) 0, 3 · x14 ; в) y 36 ;
г) −a12 .
8. а) 5;
г) p25 .
9. а) Тврђење није тачно. б) Тврђење је тачно. 1 10. Маса Земље је · 106 пута мања од масе Сунца. 3 11. а) 790; б) 4; в) 1.
в) 28 = 256.
5. а) 4 · 5 = 20;
б) 9;
в)
1 ; 17
г)
б) m = 10.
б) 8.
1 . 2
3.3. Степен производа и количника На следећем примеру видећете како се степен производа (ab)3 претвара (или трансформише) у други облик. Пример 1 Израз (ab)3 претворите у други облик. Решење (ab)3 = (ab) · (ab) · (ab) | {z } 3 пута
= (a · a · a) · (b · b · b) |{z} | {z } 3 пута 3
3 пута
3
= a ·b .
У општем случају, слично поступамо: (ab)n = (ab) · (ab) · · · · · (ab) | {z } n пута
= (a · a · . . . · a) · (b · b · . . . · b) | {z } | {z } n
n пута n
n пута
= a ·b .
На основу ових разматрања, закључујете:
За све бројеве a и b и сваки природни број n важи: (ab)n = an bn . 86
стр. 87
3.3. Степен производа и количника
Пример 2 Упростите израз (x2 y 3 )4 . Решење (x2 y 3 )4 = (x2 )4 · (y 3 )4 = x8 y 12
Приликом степеновања производа различитих основа у том производу може бити више чинилаца. Тада производ у основи треба погодно груписати, што ћете видети на следећем примеру. Пример 3 Степенујте производ (xyz)n . Решење n (xyz)n = (xy)z = (xy)n zn = xn y n zn .
Пример 4 Извршите степеновање у изразу (−2xy 2 )3 . Решење (−2xy 2 )3 = (−2)3 · x3 (y 2 )3 = −8 · x3 y 6 .
Пример 5 Како се степенује број −1? Решење (−1)1 = −1 (−1)2 = 1 (−1)3 = −1 (−1)4 = 1 (−1)5 = −1 (−1)6 = 1 .. . и тако даље!
87
стр. 88
3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ПРВИ ДЕО
Шта сте закључили?
a) −1 на непаран изложилац је −1 и, б) −1 на паран изложилац је 1.
Занимљивости Како се означава непаран, а како паран број? Нека је n природни број (n ∈ N). Погледајмо следећу табелу n 2n − 1 2n 1 1 2 2 3 4 3 5 6 4 7 8 5 9 10 .. .. .. . . . Шта закључујете? У колони испод броја 2n − 1 су непарни бројеви, а у колони испод 2n су парни бројеви. Сада је потпуно јасно: (1) непарне бројеве обележавате са 2n − 1, n ∈ N (2) парне бројеве обележавате са 2n, n ∈ N. Сада је кристално јасно да важи: (−1)2n−1 = −1, и (−1)2n = 1. Посматрајте следећи једноставан пример. Пример 6 Израчунајте: а) (−2)3 ;
б) (−2)4 ;
в) (−2)5 ;
г) (−2)6 .
Решење Користећи особину степеновања броја −1 добијате: 3 а) (−2)3 = (−1) · 2 = (−1)3 · 23 = −23 = −8; б) (−2)4 = (−1)4 · 24 = 16; в) (−2)5 = (−1)5 · 25 = −32; г) (−2)6 = (−1)6 · 26 = 64.
У наредном примеру одређиваћете вредности израза који имају различите рачунске операције. 88
стр. 89
3.3. Степен производа и количника
Пример 7 Упоредите дате изразе са бројем 0. а) (−67)3 + 673 ; б) (−67)5 − 675 ; г) (−67)5 − (−67)2 ;
в) (−67)2 − 67;
д) (−67)12 + (−67)13 .
Решење а) (−67)3 + 673 = −673 + 673 = 0; б) (−67)5 − 675 = −675 − 675 < 0; в) (−67)2 − 67 = 672 − 67 > 0; г) (−67)5 − (−67)2 = −675 − 672 < 0; д) (−67)12 + (−67)13 = 6712 − 6713 < 0.
Пример 8 3 a Степенујте , b , 0. b 3 пута
z}|{ 3 a a a a a · a · a a3 = · · = = , b b b b b · b · b b3 | {z } | {z } 3 пута
3 пута
3 a a3 = 3. b b Уопштено, за b , 0 важи
односно
n a a a a = · · ... · b b b b | {z } n пута n пута
z }| { a · a · ... · a = b · b · ... · b | {z } n пута
=
an bn
.
Закључујете да важи: За све бројеве a и b, b , 0 и сваки природан број n важи: n an a = n. b b 89
стр. 90
3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ПРВИ ДЕО
Пример 9 2 3 Упростите израз − , x , 0. x
Решење
−
2 x
3
= (−1)3 ·
3 2 23 8 = − 3 = − 3. x x x
Пример 10 Израчунајте 0, 55 · 205 . Решење 0, 55 · 205 = (0, 5 · 20)5 = 105 = 100 000.
Пример 11 Упростите дате изразе: 3 2 2 а) − (−x)2 ; б) − (−x)3 ; в) − (−x)3 . Решење 3 а) − (−x)2 = (−x2 )3 = −x6 ; 2 2 б) − (−x)3 = − (−x3 ) = (x3 )2 = x6 ; 2 в) − (−x)3 = −((−x3 ))2 = −x6 .
Пример 12 Израчунајте: 103 52 · 24 1 100 . а) ; б) 2 · 4 2 10 Решење 52 · 24 52 · 24 52 · 24 52 52 1 1 = = 4 4= 4= 2 2= 2= ; 4 4 25 5 ·5 5 10 (5 · 2) 5 ·2 5 103 1 1 2100 1 1 б) 2100 · = 2100 · 103 = 100 3 = 3 = . 2 8 2 2 ·2 2
а)
90
стр. 91
3.3. Степен производа и количника
Пример 13 (125 · 49)3 Израчунајте . 356 Решење (125 · 49)3 (53 · 72 )3 (53 )3 · (72 )3 59 · 76 = = = 6 6 = 53 = 125. 356 (5 · 7)6 56 · 76 5 ·7
Пример 14 Упростите дате изразе: а)
9 · (−a2 c3 )3 (−2a2 b5 )2 , a , 0, c , 0; б) , a , 0, b , 0. (−3a3 c2 )3 (−3a2 b2 )3
Решење
"
а)
9 · (−a2 c3 )3 9(−a6 c9 ) −9 a6 c6 c3 1 c3 = = · = · . 3 2 3 3 9 6 −27 a6 a3 c6 3 a3 (−3a c ) −3 a c
б)
(−2a2 b5 )2 4 · a4 b10 4 a4 b6 · b4 4 b4 = =− · 4 2 6 =− . 2 2 3 6 6 27 a a b 27 a2 (−3a b ) −27 · a b
Питања Напишите формуле за степен производа и степен количника.
Задаци за вежбу 1.
Упростите дате изразе: а) (x2 y)3 (−x);
2.
б) 2y(−4y)2 ;
в) (−b)3 · 5ab;
г) (−2m3 )2 · 5mn.
Упростите дате изразе: (−2a2 x5 )2 −81b6 z3 а) , b , 0, z , 0; б) , a , 0, x , 0. (−4a2 x2 )3 (−3b2 z)4
Израчунајте: 43 · 38 273 · 255 а) ; б) . 67 158 137 · 53 · 34 4. Израчунајте . 136 · 5 · 34 3.
91
стр. 92
3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ПРВИ ДЕО
Упростите дате изразе:
5.
6 2 3y 3y 5x 5 5x 7 а) (−2, 5a)3 · (−2, 5a)5 ; б) − − ; в) : ; 6 6 4 4 Израчунајте: 43 (−24 )2 8 · 33 113 · 42 612 · 412 а) ; б) ; в) ; г) ; 2 · 32 112 · 4 211 312 · 812
6.
Израчунајте:
7.
40
а) 0, 25
42
11
·4 ;
б) (−0, 125)
11
·8 ;
д)
410 · 310 154 ; ђ) . 210 · 610 34 · 52 · 25
17 17 4 5 в) · ; 5 4
8.
Израчунајте: 3 3 2 4 4 35 6 3 14 3 а) · · 1 ; б) · · (2, 5)3 ; 48 7 5 15 7 !4 5 7 !3 6 5 5 53 2 3 74 3 · в) 2 · · ; г) · . 5 5 7 7 6 152
9.
Упоредите дате вредности: а) 310 · 58 и 159 ; б) 618 и 230 · 316 ; в) 8110 и 220 · 520 ;
10.
11.
12.
Шта је веће? а) 520 или 5510 ;
б) 3315 или 330 ;
г) (−0, 2)5 · 55 .
г) 4910 и 230 · 330 .
в) 1030 или 101010 ; г) 100015 или 10010 .
За које вредности x је тачна једнакост? а) 2x+4 = 64; б) 2x · 23 = 64; в) (2x )3 = 64; г) 103x+1 = 10 000; д) 10x · 10x+1 = 100 000; Израчунајте:
г) (2a)5 : (2a)3 .
ђ) (10x+1 )2 = 1 000 000.
(4 · 322 + 7 · 321 ) · 57 . (19 · 274 )2
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. а) −x7 y 3 ; б) 32y 3 ; x4 1 . 2. а) − 2 ; б) − b z 16a2 3. а) 1,5; б) 75. 4. 325. 5. а) (−2, 5a)8 = (2, 5a)8 ;
3y в) 4 6. а) 12; 7. а) 16; 5 8. а) ; 8
92
4 ;
в) −5ab4 ;
г) 20m7 n.
9. а) 310 58 < 159 = 39 · 59 ; б) 218 · 318 = 618 < 230 · 316 ; в) 8110 = (92 )10 = 920 < 1020 = (2 · 5)20 = 220 · 520 ;
12 5x 12 5x б) − = ; 6 6
г) (2a)2 .
б) 44; в) 8; г) 1; д) 1; б) −1; в) 1; г) −1. 2 1 7 б) ; в) ; г) . 5 24 3
ђ) 1.
г) 4910 < (216)10 = (63 )10 = 630 = (2 · 3)30 = 230 · 330 . 10. а) 520 < 5510 ; б) 3315 > 330 ; г) 100015 > 10010 . 11. а) x = 2; ђ) x = 2. 12.
1 . 9
б) x = 3; в) x = 2;
в) 1030 < 101010 ; г) x = 1;
д) x = 2;
стр. 93
3.4. Степен основе 10 чији је изложилац нула или негативан цео број
3.4. Степен основе 10 чији је изложилац нула или негативан цео број Упознали сте се са дељењем степена истих основа, односно да је: am = am−n (m > n; m, n ∈ N; a , 0). an За a = 10, важи: 10m = 10m−n (m > n; m, n ∈ N). 10n Пример 1 Израчунајте
101 . 101
Решење Ништа лакше:
101 10 = 1. = 101 10
Ако би важило правило
10m = 10m−n и за m = n, јасно је да мора бити 10n
100 = 1. Шта би било да је m < n? Пример 2 Израчунајте
101 . 102
Решење Ништа лакше:
101 10 1 = = . 102 10 · 10 10
10m = 10m−n , где је m = 1, а n = 2, добијате 10n 101 = 101−2 = 10−1 . 102 Ако наведено правило важи, онда је: 1 . 10−1 = 10 На сличан начин добијамо 1 1 1 10−2 = 2 , 10−3 = 3 , 10−4 = 4 итд. 10 10 10 Ако примените правило
93
стр. 94
3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ПРВИ ДЕО
За негативан цео број −n важи 10−n =
1 . 10n
На основу претходних дефиниција важе следеће особине.
За целе бројеве m и n важи: 10m · 10n = 10m+n , 10m = 10m−n , n 10 (10m )n = 10mn .
Пример 3 Израчунајте: а) 105 · 10−3 ;
б) 10−8 · 105 ; в) 10−2 · 10−3 ; г) (10−1 )2 ; д) (10−3 )−2 ; ђ)
10−3 . 10−5
Решење а) 105 · 10−3 = 105+(−3) = 105−3 = 102 = 100; 1 1 б) 10−8 · 105 = 10(−8)+5 = 10−8+5 = 10−3 = 3 = = 0, 001; 1000 10 1 1 в) 10−2 · 10−3 = 10(−2)+(−3) = 10−2−3 = 10−5 = 5 = = 0, 00001; 100 000 10 1 1 г) (10−1 )2 = 10(−1)·2 = 10−2 = 2 = = 0, 01; 100 10 −3 −2 (−3)(−2) 6 д) (10 ) = 10 = 10 = 1 000 000; 10−3 ђ) −5 = 10(−3)−(−5) = 10−3+5 = 102 = 100. 10
Степен са целим изложиоцем користићете за запис великих и малих бројева у стандардном облику са основом 10.
Стандардни облик позитивног реалног броја је запис a · 10n , где је 1 ≤ a < 10 и n цео број.
94
стр. 95
3.4. Степен основе 10 чији је изложилац нула или негативан цео број
Пример 4 Масу планете Земље и масу атома водоника записујете у стандардном облику: 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg = 5, 98 · 1024 kg; 0, 000 000 000 000 000 000 000 000 00167 kg = 1, 67 · 10−27 kg.
Пример 5 Колико је пута маса Земље већа од масе Месеца? Израчунајте приближно ако је познато да је маса Земље 5, 98 · 1024 kg, а маса Месеца 7, 35 · 1022 kg. Решење Њихов однос је 5, 98 · 1024 5, 98 1024 · = ≈ 0, 8 · 102 = 80. 7, 35 · 1022 7, 35 1022 Маса Земље је приближно 80 пута већа од масе Месеца.
Пример 6 Следеће бројеве запишите у децималном облику. а) 10−1 ; б) 10−2 ;
в) 10−3 .
Решење 1 = 0, 1; 10 1 1 б) 10−2 = 2 = = 0, 01; 100 10 1 1 = 0, 001. в) 10−3 = 3 = 1000 10
а) 10−1 =
Ове записе можете наставити и даље. Примећујете да је број децималних места у децималном запису броја 10−n једнак n, па је 10−n = 0, 00 . . . 01 | {z } n цифара
Ово нам омогућава да сваки децимални број запишемо на следећи начин: Децимални број облика a = am am−1 . . . a1 a0 , b1 b2 . . . bn код кога позиционе цифре a0 , a1 , . . . am , b1 , b2 , . . . , bn припадају скупу {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, може се представити у облику збира декадних јединица на следећи начин: a = am 10m + am−1 10m−1 + · · · + a1 101 + a0 100 + b1 10−1 + b2 10−2 + · · · + bn 10−n 95
стр. 96
3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ПРВИ ДЕО
Пример 7 Децимални број 523,48 представите у облику збира декадних јединица. Решење 523, 48 = 5 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100 + 4 · 10−1 + 8 · 10−2 .
Пример 8 Број у облику збира декадних јединица напишите у облику децималног записа. 7 · 101 + 2 · 100 + 2 · 10−1 + 3 · 10−2 + 4 · 10−3 . Решење 7 · 101 + 2 · 100 + 2 · 10−1 + 3 · 10−2 + 4 · 10−3 = 72, 234.
"
Питања Напишите особине степеновања са основом 10. Како гласи стандардни облик реалног броја? Напишите произвољни децимални број а онда га запишите у облику збира декадних јединица.
Задаци за вежбу 1.
Израчунајте: а) 10−3 · 104 ;
2.
б)
в)
10 10−2 ; ; г) 10 103
д)
102 . 10−1
(10−2 )−2 · (10−2 )3 . (10−1 )5 · (10−1 )−1
3.
Дате бројеве запишите у облику степена са основом 10: а) 100; б) 10; в) 1; г) 0,1; д) 0,01; ђ) 0,001; е) 0,0001; ж) 0,00001; з) 0,000001.
4.
Дате бројеве запишите у стандардном облику: а) 69 000; б) 256 000; в) 50 200 000; г) 18 000 000 000; д) 15,7;
5.
96
Израчунајте: 10−5 (102 )3 а) ; 103 · 10−1
б) 10−5 · 104 ;
Запишите у стандардном облику бројеве: а) 0,0064; б) 0,00231; в) 0,0000022; г) 0,000000425; д) 0,000000018; ђ) 0,0005003.
ђ) 401,37.
стр. 97
3.4. Степен основе 10 чији је изложилац нула или негативан цео број
6.
Представите дате бројеве у облику збира декадних јединица. а) 19,237; б) 526,403; в) 0,8214; г) 0,21356; д) 0,02633; ђ) 0,005021.
7.
Број задат у облику збира декадних јединица напишите као декадни број: а) 2 · 104 + 5 · 103 + 102 + 3 · 100 ; б) 5 · 102 + 4 · 101 + 5 · 10−1 + 4 · 10−2 ; в) 8 · 103 + 6 · 102 + 1 · 101 + 2 · 100 + 2 · 10−1 + 5 · 10−2 + 1 · 10−3 ; г) 5 · 100 + 1 · 10−1 + 4 · 10−2 + 6 · 10−3 + 2 · 10−4 ; д) 3 · 102 + 2 · 100 + 1 · 10−1 + 4 · 10−3 .
8.
Представите дате величине у декадном запису. а) Дужина екватора Земље је 4 · 104 km. б) Оптички микроскоп омогућава сагледавање објеката величине до 2, 5 · 10−8 cm. в) Дијаметар молекула воде је 2, 8 · 10−7 mm.
9. 10.
Нанометар је милијардити део метра, односно 1 nm = 10−9 m. Изразите 1 nm у km, cm и mm. Упростите дате изразе и резултате напишите у декадном запису. а) (1, 8 · 103 ) · (2 · 104 ); б) (2, 1 · 10−5 ) · (6 · 107 ); в) (3 · 106 ) · (6, 4 · 10−10 ); 6, 6 · 105 5, 6 · 10−2 6 · 10−8 1, 9 · 10−5 −3 −1 г) (5·10 )·(3, 2·10 ); д) ; ђ) ; е) ; ж) . 1, 1 · 107 7 · 103 3, 8 · 10−3 1, 2 · 10−4
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. а) 10;
б) 10−1 =
1 = 0, 1; 10
в) 10−2 =
1 = 0, 01; 102
1 = 0, 001; д) 103 = 1000. 103 1 2. а) 10−1 = = 0, 1; б) 102 = 100. 10 3. а) 102 ; б) 101 ; в) 100 ; г) 10−1 ; д) 10−2 ; г) 10−3 =
ђ) 10−3 ; е) 10−4 ; ж) 10−5 ; з) 10−6 . 4. а) 6, 9 · 104 ; б) 2, 56 · 105 ; в) 5, 02 · 107 ; г) 1, 8 · 1010 ; д) 1, 57 · 101 ; ђ) 4, 0137 · 102 . 5. а) 6, 4 · 10−3 ; б) 2, 31 · 10−3 ; в) 2, 2 · 10−6 ; г) 4, 25 · 10−7 ; д) 1, 8 · 10−8 ; ђ) 5, 003 · 10−4 . 6. а) 1 · 101 + 9 · 100 + 2 · 10−1 + 3 · 10−2 + 7 · 10−3 ; б) 5 · 102 + 2 · 101 + 6 · 100 + 4 · 10−1 + 3 · 10−3 ;
в) 8 · 10−1 + 2 · 10−2 + 1 · 10−3 + 4 · 10−4 ; г) 2 · 10−1 + 1 · 10−2 + 3 · 10−3 + 5 · 10−4 + 6 · 10−5 ; д) 2 · 10−2 + 6 · 10−3 + 3 · 10−4 + 3 · 10−5 ; ђ) 5 · 10−3 + 2 · 10−5 + 1 · 10−6 . 7. а) 25103;
б) 540,54;
г) 5,1462;
д) 32,104.
8. а) 40000 km;
в) 8612,251;
б) 0,000000025 cm;
в) 0,00000028 mm.
9. а) 1 nm = 10−9 m = 10−9 · 103 mm = 10−6 mm; б) 1 nm = 10−9 m = 10−9 · 102 cm = 10−7 cm; в) 1 nm = 10−9 m = 10−9 · 10−3 km = 10−12 km. 10. а) 36 000 000; б) 1260; д) 0,06;
ђ) 0,000008;
в) 0,00192;
e) 0,0005;
г) 0,0016;
ж) 0,005.
97
стр. 98
3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ПРВИ ДЕО
Разни задаци
1.
Напишите производ у облику степена.
2 2 2 в) − · − · − ; 3 3 3
а) 10 · 10 · 10; б) (−4) · (−4) · (−4) · (−4)·; 3 3 3 3 3 г) − · − · − · − · − ; д) x · x · x · x · x · x · x · x · x · x·; 5 5 5 5 5
ђ) x · · · · · x. | {z } k пута
2.
Израчунајте: а) 73 ; б) (−4)3 ;
3.
4. 5.
6.
7.
8.
9.
10.
98
в) 35 ; г) (0, 1)4 ;
6 1 д) (0, 02)2 ; ђ) − ; е) (−0, 9)3 ; 2
ж) (−1, 5)3 .
25 24 ; 1 ; 0,0004 представите у облику квадрата. 169 25 1 17 б) Бројеве 64; −216; 0,008; − ; 4 представите у облику степена. 64 27 Напишите дате бројеве у облику збира декадних јединица: а) 375; б) 23; в) 10 483; г) 254 220 788; д) 50 025. Следеће бројеве запишите у стандардном облику. а) 152 000; б) 704 000 000; в) 345 000 000; г) 500 000; д) 25,5; ђ) 423,3; е) 4321; ж) 0,0012; з) 0,00015; и) 0,00987; ј) 0,000005; к) 0, 000 000 025 Напишите у облику степена: а) a2 · a3 ; б) x3 · x · x4 ; в) y · y · y 2 · y 2 · y 5 ; г) p10 · p20 ; д) i · i 2 · i 3 · i 4 . Напишите у облику степена: а) 23 · 16; б) 64 · 24 ; в) 729 · 35 ; г) 49 · 711 ; д) 6 · 64 · 1296; ђ) 5 · (−3)3 · 53 · (−3)5 · 511 ; е) (−4)25 · 88 ; 1 ж) 0, 000001; з) − ; и) 1 000 000. 32 Напишите у облику степена: b13 · b x10 · x3 а) a7 : a5 ; б) h100 : h99 , h , 0; в) 5 4 , x , 0; г) 10 2 , b , 0; b ·b x ·x 2n+1 2n+2 x x , x , 0; e) , x , 0. д) xn : x, x , 0; ђ) x x2 Израчунајте: (−0, 3)5 315 0, 612 ; б) ; в) . а) (−0, 3)3 35 · 36 0, 64 · 0, 67 Упростите дате изразе. 4 а) (a5 )4 ; б) (x2 )3 ; в) a10 · (a3 · a4 )2 ; (t 5 )2 (t 12 )3 3 3 2 2 , t , 0; ђ) b : (b ) · (b4 )5 , b , 0. г) (a3 )4 · (a4 )3 ; д) (t 2 )10 а) Бројеве 0,81; 0,16; 144;
стр. 99
3.4. Степен основе 10 чији је изложилац нула или негативан цео број
11.
12.
13.
14.
15. 16.
17. 18.
19.
20.
21. 22.
23.
Запишите у облику степена са основом 3: а) 813 ; б) 274 ; в) 27 · 81 · 243; г) 729 · 910 · 313 ; д) 2187 · 3 · 93 ; ђ) 95 · 27 · 729; e) (93 )3 . Израчунајте: (52 )4 · 25 (72 )10 · 493 25 · (23 )4 311 · 274 ; б) ; в) ; г) . а) 213 59 (33 )5 · 93 495 · 715 Израчунајте: 77 · 84 1511 1020 · 22 · 25 310 · 210 ; б) ; в) ; г) . а) 69 146 · 43 95 · 15 · 255 49 · 104 · 1256 Представите у облику степена при чему су n, x, t и a различити од нуле: (−a)3 b3 8m3 0, 0016 x6 16x8 ; в) а) ; б) ; г) 4 ; д) . 125 27n3 −0, 027a3 x4 t !5 5 5 m n k Упростите израз · · при чему су n, m и k различити од нуле. n k m Упростите дате изразе ако су s, t, x, y, z и a различити од нуле: 3 (2x5 y 7 z6 )4 s7 · t 8 1 2 3 b а) ; б) · (a b) · ; в) . a (st)7 a3 (2x6 y 9 z8 )3 zn · z15−n · z2 · z5+m , z , 0. z3 · z17+m Упоредите по величини следеће бројеве: а) (−25)3 и 0; б) (−3, 77)3 и (−3, 77)2 ; в) (−1, 2)12 и (−1, 2)19 . Израчунајте: 10 · 10 000 000 000 000 · 1020 63 · 2 · 1024 · 3 · 59049 а) 3 . ; б) 10 · 100 000 · 10 000 000 · 1018 614 Следеће бројеве запишите у стандардном облику: а) 27, 5 · 103 ; б) 238 · 10−4 ; в) 0, 63 · 108 ; г) 300 · 10−3 ; д) 0, 25 · 10−2 ; ђ) 0, 69 · 10−2 . Дате бројеве запишите у облику збира декадних јединица. а) 23,45; б) 0,00001372; в) 0,2807; г) 432,1234. Израчунајте: а) (1, 2 · 105 ) · (5 · 10−3 ); б) (4 · 1012 ) · (2, 5 · 10−7 ); в) (3, 6 · 102 ) : (9 · 10−3 ); г) (5 · 10−4 ) : (2, 5 · 10−5 ). Израчунајте: а) 1250 : 0, 625; б) 0, 00016 · 625000; 1, 25 · 10−12 · 4 · 103 2 · 105 · 7, 2 · 10−3 ; г) . в) 1, 8 · 102 10−11 Упростите израз
99
стр. 100
3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ПРВИ ДЕО
Упоредите по величини следеће бројеве: а) (−2, 4)2 и 0; б) (−10)7 и (−5)4 ; в) (−17)6 и 176 ; г) 0 и (−2, 8)3 ; д) (−3)18 и −318 ; ђ) (−50)5 и (−51)5 . 25. Упоредите са бројем 0 следеће изразе: 2100 ; (−2)100 ; −2100 ; −(−2)100 . 26. Упоредите по величини следеће изразе: а) (−11)14 · (−11)13 и (−11)16 ; б) 530 и 920 ; в) (−12)19 и (−12)15 ; г) 163 и 652 . 27. Упростите дате изразе: а) −x · x2 ; б) (−x)2 · x; в) −x · (−x)2 ; г) (−x) · (−x)2 · (−x); д) (−a)2 · a3 ; ђ) −a2 · a3 ; е) a2 · (−a)3 ; ж) −a2 · (−a)3 ; 9 3 з) (−a5 )2 ; и) (−a3 )3 ; ј) (−a4 )7 · (−a2 )6 ; к) (−a6 )5 ; л) (−a12 )2 . 24.
Дате изразе представите у облику степена. а) 34 + 34 + 34 ; б) 2n · 2n ; в) 2n + 2n ; г) 35 + 35 + 35 ; д) 4k + 4k + 4k + 4k . 29. Представите у облику степена са основом 5 следеће изразе: 2 а) (625)4 ; б) (125)3 . 28.
30.
Представите у облику степена са основом −5 следеће изразе: 3 а) 6255 ; б) (−25)2 .
Запишите у облику степена са изложиоцем 3 изразе: а) 8a12 b18 c21 ; б) 0, 001x30 y 45 . 32. Израчунајте: 15 1 5 3 8 10 а) 514 · 0, 212 ; б) −1 · ; в) 105 · 0, 17 ; г) 1, 914 · . 3 4 19 33. Упоредите по величини вредности датих израза. а) (−5)31 (−5) и (−5)33 ; б) (−2)15 (−2)2 и (−2)16 ; в) (−3)8 (−3)7 и (−3)17 ; г) (−8)3 (−8)9 и (−8)13 . 31.
Запишите израз 336 у облику степена са основом: а) 33 ; б) 312 ; в) 9; г) 81. 35. За које n важи једнакост? а) 21, 34 · 10n = 213, 4 · 1012 ; б) 3, 456 · 105 = 0, 003456 · 10n ; в) 0, 123 · 10n = 123 · 10−8 ; г) 5, 034 · 10−2 = 503, 4 · 10n ; д) 7, 89 · 103 = 0, 00789 · 10n ; ђ) 0, 0000065 · 10n = 0, 0065 · 10−3 ; e) 4, 321 · 10−5 = 0, 004321 · 10n . 36. Упоредите вредности датих израза. а) 2300 и 3200 ; б) 418 и 189 ; в) 2720 и 1130 ; г) 310 · 58 и 159 ; д) 1040 и 1000110 ; ђ) 1244 и 512 ; е) 812 и 596 ; ж) 614 и 216 · 312 . 34.
100
стр. 101
3.4. Степен основе 10 чији је изложилац нула или негативан цео број
37.
38. 39.
40.
41.
42.
43.
44.
Којом цифром се завршавају следећи бројеви (n ∈ N)? а) 4100 ; б) 34n ; в) 4n ; г) 3n ; д) 92n ; ђ) 74n ; e) 72n . За које природне бројеве n и m важе неједнакости? а) 8 < 3n < 85; б) 0, 07 < 0, 4m < 0, 5. Докажите да је израз: а) 178 + 19 дељив са 10; б) 6464 − 1 дељив са 5; в) 34n + 14 (n ∈ N) дељив са 5; г) 440 − 1 дељив са 5. Поређајте по величине следеће изразе: а) 0,3; (0, 3)2 ; (0, 3)3 ; б) −0, 4; (−0, 4)2 ; (−0, 4)3 . Дате изразе упоредите са бројем 0. а) (−4)7 (−12)9 ; б) (−5)6 (−17)11 ; в) (−14)4 (−25)11 ; г) (−7)9 · 06 . Упростите изразе: (32n+1 )7 · 81n 52n (5n+1 · 54 )6 а) 5 ; б) . 3 · (3n−1 )8 53n+10 Израчунајте: (0, 12)3 · (0, 001728)2 0, 2 · 0, 0016 · 0, 000064 ; б) а) . 0, 04 · 0, 0000128 (0, 0144)4 Дати су бројеви a = 42, 38, b = 0, 0001276 и c = 1250000. Израчунајте a · b, a · c и a : c и резултат напишите у стандардном облику.
45.
Земља се креће око Сунца брзином 3 · 104 m/s. Зa које време Земља при кретању око Сунца пређе пут 8, 2944 · 1011 m?
46.
Докажите да је израз 10200 + 2 дељив са 3. Докажите да је израз 9n − 1 дељив са 10 за сваки парни број n. Напишите дате бројеве у облику степена са изложиоцем већим од 1 и најмањом, по апсолутној вредности, рационалном основом. 8 . а) 10 000; б) −32; в) 0,125; г) −0, 00001; д) − 343 Упоредите са нулом следеће изразе: а) A = (−2)13 · (−3)15 · (−4)16 ; б) B = (−5)17 · (−6)18 · (−7)19 . Колико у 100 km има метара, центиметара и милиметара? Одговор запишите у облику степена са основом 10. Брзина светлости у вакууму је v = 300 000 km/s. а) Запишите ту величину у стандардном облику. б) Колика је брзина светлости изражена у јединици m/s? Напишите у стандардном облику.
47. 48.
49.
50. 51.
52.
Колико у 1 m2 има дециметара квадратних, центиметара квадратних и милиметара квадратних?
53.
Збир 625 + 625 + · · · + 625 једнак је 5101 . Колико сабирака има у датом збиру?
101
стр. 102
3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ПРВИ ДЕО
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. а) 103 ;
3 2 б) (−4)4 ; в) − ; 3
18. а) (−25)3 < 0;
5 3 г) − ; д) x10 ; ђ) xk . 5 2. а) 343; б) −64; в) 243; г) 0,0001; e) −0, 729; ж) −3, 375. 2 2 5 7 3. а) 0, 92 ; 0, 42 ; 122 ; ; ; (0, 02)2 ; 13 5 3 3 1 5 б) 43 ; (−6)3 ; (0, 2)3 ; − ; . 4 3 4. а) 3 · 102 + 7 · 101 + 5 · 100 ; б) 2 · 101 + 3; д) 0,0004;
ђ) 0,015625;
б) (−3, 77)3 < (−3, 77)2 ;
в) (−1, 2)12 > (−1, 2)19 . 19. a) 10;
б) 1.
20. а) 2, 75 · 104 ;
б) 2, 38 · 10−2 ; в) 6, 3 · 107 ;
г) 3 · 10−1 ; д) 2, 5 · 10−3 ; ђ) 6, 9 · 10−3 .
21. а) 23, 45 = 2 · 101 + 3 · 100 + 4 · 10−1 + 5 · 10−2 ; б) 0, 00001372 = 1·10−5 +3·10−6 +7·10−7 +2·10−8 ; в) 0, 2807 = 2 · 10−1 + 8 · 10−2 + 7 · 10−4 ; г) 432, 1234 = 4 · 102 + 3 · 101 + 2 · 100 + 1 · 10−1 + 2 · 10−2 + 3 · 10−3 + 4 · 10−4 . 22. а) 6 · 102 = 600; б) 106 = 1 000 000;
в) 1 · 104 + 4 · 102 + 8 · 101 + 3;
в) 0, 4 · 105 = 40000;
г) 2 · 108 + 5 · 107 + 4 · 106 + 2 · 105 + 2 · 104 + 7 · 102 + 8 · 101 + 8;
23. а) 2000;
д) 5 · 104 + 2 · 101 + 5 · 100 .
24. а) (−2, 4)2 > 0; б) (−10)7 < (−5)4 ; в) (−17)6 = 176 ;
5. а) 1, 52·105 ;
б) 7, 04·108 ;
в) 3, 45·108 ; г) 5·105 ;
б) 100;
г) 20.
в) 8;
г) 500.
г) 0 > (−2, 8)3 ; д) (−3)18 > −318 ; ђ) (−50)5 > (−51)5 .
ђ) 4, 233 · 102 ;
е) 4, 321 · 103 ;
25. 2100 > 0;
ж) 1, 2 · 10−3 ; з) 1, 5 · 10−4 ;
и) 9, 87 · 10−3 ;
26. а) (−11)14 · (−11)13 = (−11)27 = −1127 < 1116 = (−11)16 ;
д) 2, 55 · 10;
ј) 5 · 10−6 ; к) 2, 5 · 10−8 . 6. а) a5 ; б) x8 ;
в) y 11 ;
7. а) 27 ; б) 210 ;
г) p30 ; д) i 10 .
в) 311 ;
г) 713 ; д) 69 ;
ђ) (−3)8 · 515 = 38 · 515 ; е) (−2)74 ; 5 1 ; и) 106 . ж) 10−6 ; з) − 2 8. а) a2 ; б) h; в) x4 ; г) b2 ; д) xn−1 ;
ђ) x2n ; e) x2n .
9. а) (−0, 3)2 = 0, 32 = 0, 09; б) 34 = 81; в) 0, 6. 10. а) a20 ;
б) x24 ;
в) a24 ;
11. а) 312 ;
б) 312 ;
в) 312 ;
г) 339 ; д) 314 ; ђ) 319 ; 12. а) 24 = 16;
б) 5;
г) a24 ; д) t 26 ; ђ) b14 . e) 318 .
в) 32 = 9; г) 7.
13. а) 6; б) 7; в) 1; г) 1. !3 2m 3 0, 2 4 x2 ; 14. а) ; б) ; в) 3n x 5 !4 !3 2x2 b г) ; д) . t 0, 3 15. 1. 16. а) t; 17. z2 .
102
б) b4 ;
в) 2x2 · y.
(−2)100 > 0; −2100 < 0;
−(−2)100 < 0.
б) 530 = (53 )10 = 12510 > 8110 = (92 )10 = 920 ; в) (−12)19 = −1219 < −1215 = (−12)15 ; г) 163 = (42 )3 = (43 )2 = 642 < 652 . 27. а) −x3 ; ђ) −a5 ;
б) x3 ; в) −x3 ; е) −a5 ;
г) x4 ;
ж) a5 ; з) a10 ;
и) −a9 ; ј) −a40 ; к) −a270 ; 28. а) 3 · 34 = 35 ;
д) a5 ;
л) a72 .
б) 2n+n = 22n или (2n )2 = 22n ;
в) 2n + 2n = 2 · 2n = 2n+1 ; г) 35 + 35 + 35 = 3 · 35 = 36 ; д) 4k + 4k + 4k + 4k = 4 · 4k = 4k+1 . 29. а) 516 ; б) 518 . 30. а) (−5)20 ; б) (−5)12 . 31. а) (2a4 b6 c7 )3 ;
б) (0, 1x10 y 15 )3 . 3 3 27 32. а) 52 = 25; б) − =− ; 4 64 1 10 в) 10−2 = = 0, 01; г) . 100 19 33. а) (−5)32 = 532 > −533 ; б) (−2)17 < (−2)16 ; в) (−3)15 > (−3)17 ; г) (−8)12 > (−8)13 . 34. а) (33 )12 ; б) (312 )3 ; в) (32 )18 = 918 ; г) (34 )9 = 819 .
стр. 103
3.4. Степен основе 10 чији је изложилац нула или негативан цео број
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 35. а) n = 13; б) n = 8; д) n = 6;
ђ) n = 0;
в) n = −5;
г) n = −4;
e) n = −2.
36. а) 2300 < 3200 ; б) 418 < 189 (236 < 29 · 99 , 227 < 99 ,
89 < 99 );
в) 2720 < 1130 ; г) 310 · 58 = 3 · (39 · 58 ) < 5 · (39 · 58 ); д) 1000110 > 1000010 = (104 )10 = 1040 ; ђ) 1244 < 1254 = (53 )4 = 512 ; e) 812 > 596 ; 37. а) 6; д) 1;
б) 1;
ж) 614 > 216 · 312 . в) 4 или 6;
38. а) n = 2, 3 или 4; б) m = 1 или 2. 39. Упутство: а) степен 178 завршава се бројем 1; б) степен 6464 завршава се бројем 6; в) на основу претходног, 34n завршава се бројем 1; г) 440 завршава се бројем 6. 40. а) 0, 3 > (0, 3)2 > (0, 3)3 ; б) −0, 4 < (−0, 4)3 < (−0, 4)2 . 41. а) (−4)7 (−12)9 > 0; б) (−5)6 (−17)11 < 0; в) (−14)4 (−25)11 < 0; г) (−7)9 · 06 = 0. 43. а) 0, 04;
47. Ако је n паран број, онда се степен 9n може представити на следећи начин: n = 2, n = 4, .. . n = 2k,
92 = 9 · 9 94 = (9 · 9) · (9 · 9) 92k = (9 · 9) · · · · · (9 ·9) | {z } k пута
г) 1 или 3 или 7 или 9;
ђ) 1 или 9.
42. а) 310(n+1) ;
46. Запис израза 10200 састоји се од једне цифре 1 и две стотине цифара 0, и када том броју додамо цифру јединицу 2 онда је збир свих цифара израза 10200 +2 једнак 3, па је тај израз дељив са 3.
б) 55(n+4) .
б) 0, 12.
44. a · b = 5, 407688 · 10−3 ; a · c = 5, 2975 · 107 ; a : c = 3, 3904 · 10−5 . 45. 2, 7648 · 107 s = 4, 608 · 105 min = 7, 68 · 103 h = 320 дана.
Сваки од ових производа завршава са бројем 1; па кад од тога одузмемо број 1 добија се последња цифра 0. Израз је дељив са 10. 3 2 . 48. а) 104 ; б) (−2)5 ; в) 0, 53 ; г) (−0, 1)5 ; д) − 7 49. а) A > 0; б) B > 0. 50. 100 km = 102 km
.
= 102 · 103 m = 105 m = 105 · 102 cm = 107 cm = 107 · 10 mm = 108 mm 51. V = 300 000 km/s а) V = 3 · 105 km/s;
б) V = 3 · 108 m/s.
52. 1 m2 = (10 dm)2 = 102 dm2 = 100 dm2 = 102 · (10 cm)2 = 104 cm2 = 10 000 cm2 = 104 · (10 mm)2 = 106 mm2 = 1 000 000 mm2 53. Таквих сабирака има 597 .
103
стр. 104
4
ГЛАВА 4
МНОГОУГАО
Mногоугао – појам и врсте многоуглова
Угао – збир углова многоугла
Дијагонале – број дијагонала
Правилни многоуглови
Конструкције правилних многоуглова
Обим и површина многоугла
Тежишна дуж троугла
Ортоцентар
Сложеније примене ставова подударности
стр. 105
4.1. Mногоугао – појам и врсте многоуглова
4.1. Mногоугао – појам и врсте многоуглова Нека су A1 , A2 , A3 , . . . , An (n ≥ 3) тачке једне равни такве да никоје три узастопне не припадају једној правој. Унија дужи A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 , . . . An An+1 , јесте изломљена линија (сл. 4.1, на пример од шест дужи). Ако је An+1 = A1 (тј. ако се почетна и крајња тачка тог низа тачака поклапају) изломљена линија је затворена (сл. 4.2). Ако дужи A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 ,…,An A1 , осим крајева немају других заједничких тачака и тачке An , A1 , A2 не припадају једној правој, затворену линију називамо многоугаона (полигонална) линија A1 A2 A3 . . . An (слика 4.3). Тачке A1 , A2 , A3 , . . . , An јесу темена те многоугаоне линије, а дужи A1 A2 , A2 A3 ,…, An A1 јесу странице те многоугаоне линије.
Слика 4.1
Слика 4.2
Слика 4.3
Многоугаона линија дели преостали скуп тачака равни на два дисјунктна скупа (унутрашњу и спољашњу област које немају заједничких тачака) (слика 4.4б). Тачка унутрашње области има особину да полуправа из ње сече многоугаону линију непаран број пута (слика 4.4а)
Слика 4.4
Слика 4.5
Многоугао је унија једне многоугаоне линије и њене унутрашње области (сл. 4.5), односно део равни ограничен многоугаоном линијом. Зависно од броја темена – страница разликујемо: троугао, четвороугао, петоугао, итд. Многоугао са n (n ≥ 3) темена назива се n-тоугао. Тачке A1 , A2 , . . . , An су темена многоугла. Дужи A1 A2 , A2 A3 , . . . , An A1 називају се странице многоугла. Странице које имају само једну заједничку тачку су суседне странице (на пример A1 A2 , A2 A3 теме A2 је заједничко), а које немају заједничких тачака су несуседне странице. Темена која припадају истој страници су суседна темена, док су она која не припадају истој страници несуседна темена. Темена многоуглова често се означавају и словима A, B, C, D, E… 105
стр. 106
4. МНОГОУГАО
Пример 1 Дат је многоугао ABCDEFG (сл. 4.6). Странице AB и BC су суседне, а странице AB и DE су несуседне странице. Темена C и D су суседна темена, а темена A и F су несуседна темена.
Слика 4.6
Пример 2 На слици 4.7 је многоугао ABCDEF.
Слика 4.7
Да ли су странице: а) AF и BC; б) CD и DE суседне и да ли су темена в) A и D; г) E и F суседна? Решење а) не; б) да; в) не; г) да
Пример 3 Колико страница, а колико темена има дати многоугао (сл. 4.8)?
Слика 4.8 Решење Многоугао на слици има осам страница и осам темена.
106
стр. 107
4.1. Mногоугао – појам и врсте многоуглова
Када спојимо два несуседна темена добија се дуж коју зовемо дијагонала многоугла. Пример 4 Нацртане су све дијагонале петоугла (сл. 4.9).
Слика 4.9
Странице AB и BC јесу суседне странице многоугла (сл. 4.10) и одређују угаону линију ABC. Ова угаона линија одређује два угла а тачно један угао има особину да у његовој области постоји бар једна тачка T таква да дуж BT , без тачке B, припада унутрашњој области датог многоугла. Тај угао се назива угао многоугла.
Слика 4.10
Многоугао је конвексан ако свака дуж, чије крајње тачке су било које тачке многоугла, припада многоуглу (сл. 4.11а), а у супротном многоугао је неконвексан (сл. 4.11б).
Слика 4.11
107
стр. 108
4. МНОГОУГАО
Пример 5 Који од многоуглова (сл. 4.12) је конвексан а који неконвексан?
Слика 4.12 Решење Троугао, четвороугао и седмоугао су конвексни, а петоугао и шестоугао су неконвексни.
Ми ћемо даље разматрати само конвексне многоуглове, осим у случајевима кад то није неопходно. Напоредни угао угла конвексног многоугла назива се спољашни угао многоугла. На слици 4.13 приказан је спољашњи угао многоугла.
Слика 4.13
Пример 6 Нацртајте и обележите све углове и спољашње углове датог петоугла (сл. 4.14).
Слика 4.14
108
стр. 109
4.1. Mногоугао – појам и врсте многоуглова
"
Питања Шта је многоугао? Шта је страница многоугла, а шта су суседне странице многоугла? Шта је теме многоугла, а шта су суседна темена многоугла? Шта је конвексан многоугао, а шта је неконвексан многоугао? Шта је дијагонала многоугла? Шта је угао многоугла, а шта је спољашњи угао конвексног многоугла?
Задаци за вежбу 1.
На слици 4.15 нацртане су равне фигуре. Које од тих фигура су многоуглови?
Слика 4.15 2.
На слици 4.16 је шестоугао ABCDEF.
Слика 4.16
3. 4. 5. 6. 7. 8.
а) Kojа темена су суседна темену D? б) Које странице су суседне страници DE? Колико најмање страница може имати многоугао? Нацртајте два шестоугла: а) конвексан; б) неконвексан. Обележите им темена. Нацртајте седмоугао који има два пара паралелних страница. Нацртајте многоугао из чијих темена се може конструисати само по једна дијагонала. Нацртајте седмоугао и конструишите све дијагонале. Нацртајте и обележите све углове и све спољашње углове шестоугла. 109
стр. 110
4. МНОГОУГАО
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. Друга, трећа и пета фигура јесу многоуглови.
6.
2. а) C и E; б) EF и CD. 3. Три. 7. 4.
8. 5.
4.2. Угао – збир углова многоугла Поновимо: – збир углова троугла је 180◦ . – збир углова четвороугла је 360◦ . Пример 1 Израчунајте збир углова датог шестоугла (сл. 4.17).
Слика 4.17 Решење Из темена A конструисане су дијагонале: AC, AD и AE. Ове три дијагонале деле многоугао на четири троугла: △ABC, △ACD, △ADE и △AEF. Збир углова шестоугла се добије када се саберу углови ових троуглова, то јест 4 · 180◦ = 720◦ . Збир углова шестоугла је 720◦ .
Из сваког темена многоугла могу се конструисати n − 3 дијагонале. Ове дијагонале деле многоугао на n − 2 троугла. Према томе 110
стр. 111
4.2. Угао – збир углова многоугла
Збир углова многоугла са n страна израчунава се по формули: Sn = (n − 2) · 180◦
Пример 2 У ком многоуглу је збир углова 540◦ ? Решење (n − 2) · 180◦ = 540◦ . Решење ове једначине је 5. У питању је петоугао.
Пример 3 Обележите спољашње углове петоугла датог на слици 4.18, а затим израчунајте збир његових спољашњих углова.
Слика 4.18 Решење Спољашњи углови су: α1′ , α2′ , α3′ , α4′ , α5′ . Збир спољашњих углова је: α1′ + α2′ + α3′ + α4′ + α5′ = 180◦ − α1 + 180◦ − α2 + 180◦ − α3 + 180◦ − α4 + 180◦ − α5
= 5 · 180◦ − (α1 + α2 + α3 + α4 + α5 ) = 900◦ − 540◦ = 360◦ . Збир спољашњих углова петоугла је 360◦ .
Пример 4 Израчунајте збир свих спољашњих углова десетоугла. Решење ′ Опет ће збир спољашњих углова бити S10 = 360◦ . Уопште, за сваки многоугао биће: Sn + Sn′ = n · 180◦
Sn′ = n · 180◦ − Sn , а како је већ познато да је Sn = (n − 2) · 180◦ , то је Sn′ = n · 180◦ − (n − 2) · 180◦ = n · 180◦ − n · 180◦ + 360◦
Sn′ = 360◦ Збир спољашњих углова сваког конвексног многоугла је 360◦ . Приметимо да збир спољашњих углова многоугла не зависи од броја страница.
111
стр. 112
4. МНОГОУГАО
Пример 5 Колико страница има многоугао ако сваки његов спољашњи угао има 60◦ ? Решење n · 60◦ = 360◦ . Многоугао има 6 страница.
"
Питања Шта је угао многоугла? Шта је спољашњи угао многоугла? Како се израчунава збир свих углова многоугла? Колики је збир свих спољашњих углова многоугла?
Задаци за вежбу 1.
Израчунајте непознате углове датих многоуглова (сл. 4.19):
Слика 4.19 2.
Израчунајте спољашње углове датих многоуглова (сл. 4.20).
Слика 4.20
112
стр. 113
4.2. Угао – збир углова многоугла
3.
4. 5.
Израчунајте збир свих углова датих многоуглова: а) седмоугла; б) једанаестоугла; в) двадесетоугла. Да ли постоји петоугао са угловима 115◦ , 113◦ , 109◦ , 114◦ , 107◦ ? Два угла неког петоугла A1 A2 A3 A4 A5 су једнака. Трећи угао је α3 = 85◦ . Четврти угао је за 15◦ већи од трећег, а пети угао је за 10◦ мањи од трећег. Израчунајте углове петоугла.
6.
Колико је збир свих углова осамнаестоугла већи од збира свих углова петнаестоугла?
7.
За колико пута је збир свих углова једанаестоугла већи од збира свих углова петоугла?
8.
Који многоугао има збир свих углова: а) Sn = 900◦ ; б) Sn = 1980◦ ; в) Sn = 4140◦ ?
9.
Одредите многоугао чији је збир свих углова једнак збиру свих спољашњих углова.
10.
Ако се број свих страница многоугла повећа за 10, за колико степени ће се повећати збир свих углова многоугла?
11.
Колики је збир углова морске звезде на слици 4.21?
Слика 4.21
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. а) <) BAC = < ) ABC = 70◦ ; б) < ) BCD = 30◦ , <) ABC = < ) ADC = 150◦ ; в) α = 115◦ . ′ ′ 2. а) α = γ = 135◦ , β ′ = δ′ = 45◦ ; б) γ ′ = 130◦ ; в) α1′ = β1′ = 115◦ , α ′ = β ′ = 80◦ . Остали спољашњи углови се једноставно рачунају – допуном до 180 степени. 3. а) 900◦ ; б) 1620◦ ; в) 3240◦ . 4. Не.
5. α4 = 100◦ , α5 = 75◦ , α1 = α2 = 140◦ . 6. За 540◦ . 7. Три пута. 8. а) седмоугао; б) тринаестоугао; в) двадесетпетоугао. 9. Код свих четвороуглова. 10. Збир углова ће се повећати за 1800◦ . 11. S = 360◦ + 4 · 180◦ = 1080◦ .
113
стр. 114
4. МНОГОУГАО
4.3. Дијагонале – број дијагонала Дуж чије су крајње тачке два несуседна темена многоугла назива се дијагонала многоугла. Пример 1 На слици 4.22, конструисане су све дијагонале петоугла ABCDE.
Слика 4.22
Колико укупно има дијагонала? Решење Из сваког темена су конструисане две дијагонале. То даје 5 · 2 дијагонале. Како се притом свака дијагонала бројала два пута (на пример исте су дијагонале AC и CA), укупан број дијагонала је 5. 5 · (5 − 3) =5 2
Кад је у питању многоугао са n темена, тада се број дијагонала израчунава на следећи начин. Из сваког од n темена могу се конструисати n − 3 дијагонале. Укупан број нацртаних дијагонала је n · (n − 3) дијагонале. Свака дијагонала је урачуната два пута, па се због тога укупан број свих дијагонала дели са 2. Број свих дијагонала многоугла је: Dn =
n · (n − 3) . 2
Пример 2 Проверите формулу за: троугао, четвороугао и петоугао. Пример 3 Израчунајте број дијагонала једанаестоугла. Решење D11 =
114
11 · (11 − 3) = 44. Број дијагонала је 44. 2
стр. 115
4.3. Дијагонале – број дијагонала
"
Питања Колико дијагонала се може конструисати из сваког темена многоугла? Колико дијагонала има n-тоугао?
Задаци за вежбу 1.
2.
3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
а) Који многоугао нема дијагоналу? б) Код којег многоугла се из сваког темена може конструисати само једна дијагонала? Одредите број дијагонала које се могу конструисати из једног темена многоугла, ако је број страница: а) n = 7; б) n = 15. Колико страница има многоугао ако се из сваког његовог темена може нацртати: а) 8 дијагонала; б) 12 дијагонала? Да ли постоји многоугао чији је број дијагонала једнак броју страница? Да ли постоји многоугао код којег је број дијагонала једнак 20? Који је то многоугао? Колико страница има многоугао код којег је број дијагонала осам пута већи од броја страница? Да ли постоји многоугао који има: а) 17; б) 30; в) 77 дијагонала? Колико дијагонала имају многоуглови ако је број страница: а) n = 13; б) n = 18; в) n = 21? Који многоугао има: а) Dn = 152; б) Dn = 230; в) Dn = 405 дијагонала? За колико је број дијагонала дванаестоугла већи од броја дијагонала осмоугла? Колико дијагонала шестоугла ABCDEF има бар један крај у скупу {A, B, C}?
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. 2. 3. 4. 5.
а) троугао; б) четвороугао. а) 4; б) 12. n = 11; б) n = 15. Да, то је петоугао. Да, осмоугао. n(n − 3) 6. = 8n, n(n − 3) = 16n, n = 19. 2 7. а) Не; б)не; в) да. 8. а) 65; б) 135; в) 189.
n(n − 3) = 152, следи да је n = 19. Ако је 2 n(n − 3) 19 · 16 n < 19 следи < < 152, а ако је n > 19 2 2 n(n − 3) 19 · 16 > > 152. На крају само број следи 2 2 19 задовољава услов задатка; б) n = 23; в) n = 30
9. а) n = 19,
10. За 34. 11. Осам дијагонала.
115
стр. 116
4. МНОГОУГАО
4.4. Правилни многоуглови Многоугао који има све странице једнаке и све углове једнаке назива се правилан многоугао.
Пример 1 На слици 4.23 су приказани: једнакостраничан троугао △ABC, квадрат ABCD, правилан шестоугао ABCDEF.
Слика 4.23
Пример 2 Које од следећих тврђења је тачно? а) Многоугао је правилан ако су му једнаке све странице (осим у случају троугла) (сл. 4.24). б) Многоугао је правилан ако су му једнаки сви углови (сл. 4.25).
Слика 4.24
Слика 4.25
в) Многоугао је правилан ако су му све странице једнакe и сви углови једнаки. Решење Тачно је тврђење под в).
116
стр. 117
4.4. Правилни многоуглови
Угао правилног многоугла се израчунава тако што се збир свих углова подели бројем темена или страница многоугла (у ознаци n). Sn (n − 2) · 180◦ αn = = (n је број темена или страница) n n
Спољашњи угао код правилног многоугла се израчунава тако што се 360◦ подели са n. 360◦ αn′ = , (n је број темена или страница) n Пример 3 Израчунајте: а) угао и б) спољашњи угао правилног дванаестоугла. Решење а) S12 = (12 − 2) · 180◦ = 1800◦ , α = 360◦ = 30◦ . б) α ′ = 12
1800◦ = 150◦ ; 12
Пример 4 Израчунајте број страница правилног многоугла чији спољашњи угао има 45◦ . Решење 360◦ = 45◦ , следи n = 360◦ : 45 = 8. Број страница је 8. n
Пример 5 Докажите да су подударни сви троуглови, чије једно теме је центар описане кружне линије, а друга два темена су суседна темена правилног многоугла (слика 4.26)
Слика 4.26 Решење Темена правилног многоугла A1 , A2 , A3 , . . . , An припадају кружној линији, па је OA1 = OA2 = OA3 = · · · = OAn . Како је A1 A2 = A2 A3 = · · · = An A1 , подударни су троуглови △A1 OA2 △A2 OA3 · · · △An OA1 .
117
стр. 118
4. МНОГОУГАО
Поновимо: Код правилног троугла и четвороугла центри уписане и описане кружне линије се поклапају (сл. 4.27).
Слика 4.27
Пример 6 Око сваког правилног многоугла може се описати кружница и у њега се може уписати кружница. Доказати да се код правилног многоугла центри уписане и описане кружне линије поклапају (сл. 4.28).
Слика 4.28 Решење Нека је тачка O центар описане кружнице. Конструишите симетрале OM1 , OM2 , OM3 , . . . , OMn редом углова <) A1 OA2 , <) A2 OA3 , . . . , <) An OA1 . Троуглови A1 OM1 и троугао A2 OM1 јесу подударни, јер имају једну заједничку страницу ОМ1 и једнаке углове налегле на ту страницу (УСУ). Из подударности ових троуглова следи да су странице OA1 , OA2 једнаке. Слично показујемо и да су троуглови △M2 OA2 △M2 OA3 . . . △Mn OA1 и да је OA2 = OA3 = OA4 = · · · = OAn . Из подударности троуглова △A1 OA2 и △A2 OA3 (ССС) следи да је OM1 = OM2 (висине подударних троуглова које одговарају страницама наспрам темена O). Слично из подударности осталих троуглова △A2 OA3 △A3 OA4 · · · △An OA1 следи једнакост дужи OM2 = OM3 = · · · = OMn Тачке M1 , M2 , M3 , . . . , Mn припадају кружној линији чији је центар исто тачка O – у овом случају центар уписане кружне линије. У решењу овог примера пошло се од тога да је O центар описане кружнице и доказано је да је та иста тачка O центар уписане кружнице. Ова тачка назива се и центар правилног многоугла.
118
стр. 119
4.4. Правилни многоуглови
Пример 7 Нацртан је правилан шестоугао, а нацртане су и његове описана и уписана кружна линија (сл. 4.29).
Слика 4.29
Једнакокраки троугао чија је основица страница, а наспрамно теме центар правилног многоугла, назива се карактеристичан троугао. Угао наспрам основице карактеристичног троугла је централни угао правилног многоугла и једнак је 360◦ , n је број страница многоугла. φn = n
Пример 8 Докажите да су заједничке тачке правилног шестоугла и у њега уписане кружнице темена правилног многоугла.
Слика 4.30 Решење На слици 4.30 је правилан шестоугао A1 A2 . . . A6 . Троуглови: △M1 A2 M2 , △M2 A3 M3 , . . . , △M6 A1 M1 су међусобно подударни према правилу (СУС). Из подударности троуглова следи M1 M2 = M2 M3 = · · · M6 M1 , а за углове важи: <) M1 M2 M3 = <) M2 M3 M4 = · · · = <) M6 M1 M2 (видети пример 5). Шестоугао M1 M2 . . . M6 је правилан.
119
стр. 120
4. МНОГОУГАО
Правилни троугао (једнакостранични троугао) и правилни четвороугао (квадрат) су осносиметричне фигуре. Пример 9 Правилан троугао има три осе симетрије, а правилан четвороугао четири осе симетрије (сл. 4.31).
Слика 4.31
Код правилног троугла осе симетрије садрже теме и средиште наспрамне странице. Код правилног четвороугла осе симетрије садрже несуседна темена (две), а друге две садрже средишта наспрамних страница. Правилни многоуглови су осносиметричне фигуре, а број оса симетрија једнак је броју страница. Кад се ради о правилним многоугловима (n-то угловима) који имају паран број страниn , а другу половину ца, осе симетрије су праве које садрже средине наспрамних страница 2 n чине симетрале наспрамних углова . Укупно има n оса симетрије. 2 Кад је реч о правилним n-тоугловима са непарним бројем страница, осе симетрије су праве које садрже теме многоугла и средиште наспрамне странице. Укупно има n (колико и темена) оса симетрије. Пример 10 Нацртане су осе симетрије код правилног: петоугла, шестоугла, деветоугла и осмоугла (сл. 4.32).
Слика 4.32
120
стр. 121
4.4. Правилни многоуглови
"
Питања Да ли правилан многоугао, јесте многоугао који има једнаке странице? Да ли правилан многоугао, јесте многоугао који има једнаке углове? Шта је правилан многоугао? Шта је центар правилног многоугла? Шта је карактeристичан троугао правилног многоугла? Шта је централни угао код правилног многоугла и како се израчунава? Шта је оса симетрије код правилног петоугла? Шта је оса симетрије код правилног осмоугла? Колико има оса симетрије правилан n-тоугао са непарним бројем страница? Колико има оса симетрије правилан n-тоугао са парним бројем страница? Како се израчунава угао, а како спољашњи угао правилног многоугла?
Задаци за вежбу 1.
Колико правилан многоугао има страница ако је централни угао: а) φ = 18◦ ;
б) φ = 45◦ ;
в) φ = 60◦ ?
2.
Израчунајте: угао, спољашњи угао и централни угао: а) правилног троугла и б) правилног четвороугла.
3.
Израчунајте централни угао правилног многоугла ако је број страница: а) n = 4; б) n = 9; в) n = 10; г) n = 30.
4.
Збир углова правилног многоугла једнак је: а) 540◦ ; б) 1800◦ ; в) 3240◦ . Израчунајте угао многоугла, спољашњи угао многоугла и централни угао многоугла.
5.
Одредите број страница правилног многоугла чији је збир углова два пута већи од збира спољашњих углова.
6.
Колико степени има угао правилног многоугла чији је број оса симетрије 24?
7.
Који правилан многоугао има најмањи угао, а истовремено и највећи спољашњи угао?
8.
Покажите да угао одређен са две узастопне осе симетрије (AA1 и DD1 ) правилног петоугла има 36◦ .
121
стр. 122
4. МНОГОУГАО
9.
Докажите да је централни угао карактеристичног троугла правилног многоугла једнак спољашњем углу многоугла.
10.
Нацртајте приближно правилан: а) петоугао, б) десетоугао, в) деветоугао чији је полупречник описане кружнице 3 cm.
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. a) n = 20; б) n = 8; в) n = 6. 2. а) α = 60◦ , α ′ = 120◦ , φ = 120◦ ; б) α = 90◦ , α ′ = 90◦ , φ = 90◦ . 3. а) φ = 90◦ ; б) φ = 40◦ ; в) φ = 36◦ ; г) φ = 12◦ . 4. а) Један унутрашњи угао је 108◦ , спољашњи угао је 72◦ , а централни угао је 72◦ . б) Један унутрашњи угао је 150◦ , спољашњи угао је 30◦ , а централни угао је 30◦ . в) Један унутрашњи угао је 162◦ , спољашњи угао је 18◦ , а централни угао је 18◦ . 5. n = 6. 6. Број оса симетрије је паран број, па је n = 24, α = 165◦ . 7. Правилан троугао 1 1 ) AOB = · 72◦ = 36◦ (слика) 8. <) AOD1 = < 2 2
122
9. Како је n · φ = n · α ′ , онда је φ = α ′ . 10.
стр. 123
4.5. Конструкције правилних многоуглова
4.5. Конструкције правилних многоуглова Поновимо! У претходним разредима упознали сте се са конструкцијама правилног троугла и правилног четвороугла. Приликом конструкције правилних многоуглова најчешће се користи конструкција карактеристичног троугла. Конструкције правилних многоуглова дате странице a састоје се од четири дела (четири корака): 1) анализа; 2) конструкција са описом; 3) доказ; 4) дискусија.
Пример 1 Конструишите правилан шестоугао странице a. Решење 1) Анализа Анализира се карактеристичан троугао правилног шестоугла (слика 4.33).
Слика 4.33
Слика 4.34
Карактеристичан троугао правилног шестоугла је једнакостраничан троугао, па је страница троугла полупречник описане кружне линије. 2) Конструкција (сл. 4.34) Конструише се кружна линија полупречника R = a (K(O, R = a)). Затим се на кружној линији одреди теме A1 . На кружној линији конструишите тачке A2 , A3 , . . . , A6 , тако да је A1 A2 = A2 A3 = · · · = A5 A6 = a. Добијен је шестоугао A1 A2 · · · A6 3) Доказ На основу конструкције, карактеристичан троугао A1 A2 O је једнакостраничан и онда на основу подударности троуглова: △A1 A2 O △A2 A3 O △A3 A4 O △A4 A5 O △A5 A6 O △A6 A1 O следи: A1 A2 = A2 A3 = A3 A4 = A4 A5 = A5 A6 = A6 A1 = a и OA1 = OA2 = OA3 = OA4 = OA5 = OA6 = a, а за углове важи: <) A1 = <) A2 = <) A3 = <) A4 = <) A5 = <) A6 = 120◦ (2 · 60◦ ). Овим је доказано да је конструисани шестоугао A1 A2 A3 A4 A5 A6 правилан. 4) Дискусија За дату страницу a увек је могуће конструисати само један једнакостраничан троугао (у нашем задатку карактеристичан троугао), а тиме и само један правилан шестоугао. Задатак има само једно решење.
123
стр. 124
4. МНОГОУГАО
Пример 2 Конструишите правилан осмоугао, ако је позната: а) страница a правилног осмоугла, б) полупречник описане кружнице R правилног осмоугла, в) полупречник уписане кружнице r правилног осмоугла. Решење а) Означимо са O центар описане кружнице. Најпре треба конструисати карактеристичан троугао OA1 A2 135◦ странице A1 A2 = a и са налеглим угловима <) OA1 A2 = <) OA2 A1 = 67◦ 30′ = (сл. 4.35), а затим опи2 сати кружну линију полупречника R = OA1 и конструишите редом тачке A3 , A4 , . . . , A8 тако да је A1 A2 = A2 A3 = · · · = A7 A8 . Добијен је осмоугао A1 A2 . . . A8 . Доказ да је осмоугао правилан и дискусија изводе се као у претходном примеру.
Слика 4.35
Слика 4.36
Слика 4.37
б) Најпре треба конструисати кружницу полупречника R, а затим правама пун угао чије теме је тачка O, поделити на осам једнаких централних углова. Тачке пресека A1 , A2 , A3 , . . . , A8 правих и кружнице јесу темена осмоугла. Доказ да је осмоугао правилан и дискусија изводе се као у претходном примеру (сл. 4.36). в) Најпре конструишемо кружну линију полупречника r, а затим правама (које су у овом случају осе симетрије правилног осмоугла) пун угао чије теме је тачка O, поделимо на осам једнаких централних углова (слика 4.37). У пресечним тачкама M1 , M2 , . . . , M8 правих и кружнице конструисати тангенте на кружну линију. Пресечне тачке A1 , A2 , A3 , . . . , A8 тангенти су темена осмоугла. Доказ да је осмоугао правилан и дискусија изводе се као у претходном примеру.
Пример 3 Конструисати правилан дванаестоугао, ако је позната: а) страница a правилног дванаестоугла; б) полупречник описане кружнице R правилног дванаестоугла; в) полупречник уписане кружнице правилног дванаестоугла r. Решење а) Најпре конструишемо карактеристичан троугао OA1 A2 странице A1 A2 = a и са налеглим угловима < ) OA1 A2 = <) OA2 A1 = 75◦ , а затим опишемо кружну линију са центром у тачки O и полупречником R = OA1 . Отвором шестара дужине A1 A2 одредимо на кружној линији редом тачке A3 , A4 , . . . , A12 . Тачке A1 , A2 , A3 , . . . , A12 јесу темена дванаестоугла (слика 4.38). Доказ и дискусију изводимо као у примеру 1. б) Најпре конструишемо кружну линију полупречника R, а затим правама пун угао чије теме је тачка O поделимо на дванаест једнаких централних углова. Тачке пресека правих A1 A7 , A2 A8 , . . . и кружне линије
124
стр. 125
4.5. Конструкције правилних многоуглова
су темена дванаестоугла (слика 4.39). Доказ и дискусију изведите сами на основу Примера 1. Други начин: користите конструкцију карактеристичног троугла правилног дванаестоугла.
Слика 4.38
Слика 4.39
Слика 4.40
в) Најпре конструишемо кружну линију полупречника r, а затим правама (које су у овом случају осе симетрија правилног дванаестоугла) пун угао чије теме је тачка O поделимо на дванаест једнаких централних углова. У пресечним тачкама M1 , M2 , . . . , M12 (као у Примеру 2) правих и кружне линије конструишемо тангенте. Пресечне тачке A1 , A2 , A3 , . . . , A12 тангенти јесу темена правилног дванаестоугла. Доказ и дискусија изводе се као у примеру 1. Други начин: користите конструкцију карактеристичног троугла правилног дванаестоугла.
"
Питања Да ли је могуће конструисати било који правилан многоугао ако је позната само страница? Да ли је могуће конструисати било који правилни многоугао ако је познат само полупречник описане кружне линије? Да ли је могуће конструисати било који правилан многоугао ако је познат само полупречник уписане кружне линије? Да ли су заједничке тачке правилног многоугла и у њега уписане кружне линије темена правилног многоугла?
Задаци за вежбу 1.
Конструишите правилан троугао чија је страница a = 4 cm.
2.
Конструишите правилан четвороугао чија је страница a = 3 cm.
3.
Конструишите правилан шестоугао чија је страница a = 3 cm.
4.
Конструишите правилан дванаестоугао код којег је полупречник описане кружне линије R = 4 cm.
5.
Конструишите правилан осмоугао ако пречник уписане кружне линије има дужину 5 cm.
125
стр. 126
4. МНОГОУГАО
6.
Нацртајте правилан десетоугао уз коришћење угломера, a = 1, 5 cm.
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. Конструише се угао < ) BAC = 60◦ , па се на краке тог угла наноси страница дужине a = 4 cm. Добиће се тачке B и C, које су заједно са тачком A темена троугла. Доказ и дискусија се раде као у шестом разреду.
2. Треба конструисати угао < ) BAD = 90◦ , па на кракове тог угла нанети страницу дужине a = 3 cm. Добиће се тачке B и D. Затим конструисати кружне линије са центрима B и D и полупречника r = 3 cm. Пресек те две кружне линије је тачка C. Добија се четвороугао ABCD. Доказ и дискусија се раде као у шестом разреду.
4. Треба конструисати кружну линију K(O, r = 4 cm), а затим пун угао са теменом у тачки O поделити на дванаест једнаких делова (углова). Краци тих углова имају дванаест заједничких тачака са кружном линијом која су и темена многоугла. Доказ и дискусија се изводе као у примеру 1.
5. Конструише се кружна линија K(O, r = 5 cm), а затим се пун угао подели на осам једнаких углова. Краци тих углова и кружна линија имају осам заједничких тачака. У тим заједничким тачкама треба конструисати тангенте на кружну линију. Заједничке тачке A1 , A2 , . . . , A8 тих тангенти су темена многоугла. Доказ и дискусију извести као у примеру 1.
3. Конструише се кружна линија K(O, r = 3 cm). На кружној линији произвољно се одабере тачка A1 . Истим отвором шестара од 3 cm од тачке A1 на кружној линији одреде се тачке A2 , A3 , . . . , A6 , тако да је A1 A2 = A2 A3 = · · · = A6 A1 . Доказ и дискусију извести као у примеру 1.
6. (Употребити угломер) Треба нацртати карактеристичан троугао △A1 A2 O чија је страница a = 1, 5 cm и налегли углови од 72◦ . Из тачке O треба нацртати кружну линију K(O, R = OA1 ), а од тачке A2 на кружној линији одредити тачке A3 , A4 A5 , A6 тако да су дужине дужи A1 A2 = A2 A3 = · · · = A6 A1 .
126
стр. 127
4.6. Обим и површина многоугла
4.6. Обим и површина многоугла Нека је дат многоугао A1 A2 A 3 . . . A n . Збир дужина његових
страница,
O = A1 A2 + A2 A3 + · · · + An A1
назива се обим многоугла. За правилан многоугао важи: On = n · a (a је страница правилног многоугла) Пример 1 Израчунајте обим: а) троугла чије су странице a = 5, 8 cm, b = 6, 2 cm и c = 7 cm; б) правоуглог троугла код кога су катета a = 9 cm и хипотенуза c = 15 cm. Решење а) O =√ 19 cm; б) b = 225 − 81 = 12 cm, O = 36 cm.
Пример 2 Обим ромба је 22 cm. Израчунајте страницу ромба. Решење a = 5, 5 cm.
Пример 3 Израчунајте обим шестоугла чије су странице: a = 4, 3 cm, b = 5, 6 cm, c = 3, 7 cm, d = 6 cm, e = 7, 4 cm и f = 5 cm. Решење O = 32 cm.
Пример 4 Израчунајте обим правилног многоугла код којег је познат број страница n и дужина странице a: 1 а) n = 4, a = 3 cm; 2
б) n = 8, a = 5, 2 cm;
в) n = 7, a = 5
3 cm. 14
Решење а) O = 4 · 3
1 = 14 cm; 2
б) O = 41, 6 cm;
в) O =
73 cm. 2
127
стр. 128
4. МНОГОУГАО
Пример 5 Израчунајте страницу правилног шестоугла чији је обим O = 73, 8 cm. Решење O = 6a; 6a = 73, 8; a = 12, 3 cm. Страница правилног шестоугла је 12,3 cm.
Израчунавање површине многоугла своди се на разлагање или допуњавање познатим фигурама.
Пример 6 Одредите површину петоугла ABCDE (слика 4.41).
Слика 4.41 Решење 1 1 1 1 AC · h1 + AC · h2 + AD · h3 = (AC · h1 + AC · h2 + AD · h3 ) 2 2 2 2 Ако су познати мерни бројеви ових дужи лако се израчуна површина. P=
Пример 7 Одредите површину шестоугла ABCDEF (слика 4.42).
Слика 4.42 Решење 1 1 1 1 1 1 AA1 · FA1 + (D1 E + A1 F) · A1 D1 + DD1 · ED1 + AB1 · BB1 + (BB1 + CC1 ) · B1 C1 + C1 D · CC1 2 2 2 2 2 2 И овде важи: ако су познате дужине ових дужи лако се израчунава површина. P=
128
стр. 129
4.6. Обим и површина многоугла
Пример 8 Израчунајте површину многоугла (сл. 4.43), где је EC∥AB и DF нормално на AB (димензије су дате у центиметрима).
Слика 4.43 Решење PABCDE = P△AFE + P BCEF + P△CDE = 8 cm2 + 32 cm2 + 24 cm2 = 64 cm2
Сваки правилни многоугао се може разложити на карактеристичне троуглове. Површина правилног многоугла, тада је једнака збиру површина тих карактеристичних троуглова. Како су сви карактеристични троуглови подударни, а има их n, то је површина правилног многоугла једнака 1 n · an · hn On · hn Pn = n · an · hn = = 2 2 2 (Pn – површина, an – страница, hn – висина карактеристичног троугла). Пример 9 Покажите да је површина правилног шестоугла 3 √ P6 = a2 3 (a је страница шестоугла). 2 Решење Једнакостранични троугао странице a је карактеристичан троугао правилног шестоугла. Површина једнако1 √ страничног троугла је: P = a2 3. С обзиром на то да има шест карактеристичних троуглова, то је површина 4 правилног шестоугла: √ 1 √ 3 P = 6 · a2 3 = · a2 3. 4 2
"
Питања Како се израчунава обим многоугла? Како се израчунава обим правилног многоугла? Како се израчунава површина многоугла? Како се израчунава површина правилног многоугла?
129
стр. 130
4. МНОГОУГАО
Задаци за вежбу 1. 2. 3.
4. 5. 6.
Израчунати обим једнакокраког троугла ако је основица a = 12 cm и висина hc = 8 cm. Израчунати обим петоугла ако су му странице: a = 5, 3 cm; b = 4, 8 cm; c = 7, 7 cm; d = 6 cm и e = 8, 2 cm. Израчунати дужину странице правилног многоугла ако је познат број страница n и обим многоугла: а) n = 8, O = 32 cm; б) n = 6, O = 103, 2 cm; в) n = 17, O = 73, 1 cm. √ Површина једнакостраничног троугла је 4 3 cm2 . Израчунати обим троугла. √ Нека је кружна линија пречника 2r = 6 3 cm уписана у правилан шестоугао. Израчунајте обим и површину тог шестоугла. Израчунати обим и површину многоугла (сл. 4.44), ако су углови код темена A, C и E прави и <) B = <) D. Остале димензије су дате на слици у cm.
Слика 4.44 7.
8. 9. 10.
11.
12.
130
Око правилног осмоугла је описана кружна линија полупречника R = 10 cm и у њему уписана кружна линија полупречника r = 8 cm. Израчунајте обим и површину осмоугла. Израчунајте обим и површину правилног шестоугла чија је краћа дијагонала √ d = 8 3 cm. У исту кружну линију полупречника 8 cm уписани су правилни шестоугао и правилни дванаестоугао. Одредите однос њихових површина. Нека је дат једнакостраничан троугао ABC странице a = 4 cm. Са спољне стране троугла над страницама конструисани су квадрати. Темена тих квадрата, која нису темена датог троугла, јесу темена шестоугла. Да ли је добијени шестоугао правилан? Израчунајте обим и површину шестоугла. Нека је дат правоугаоник ABCD, чије су странице AB = 26 cm и BC = 12 cm. На страницама AB и CD одређене су тачке M и N на страници AB (AM = BN = 8 cm) и тачке P и R на страници CD (CP = DR = 8 cm). На страницама AD и BC одређене су тачке S и T (BS = CS = AT = DT = 6 cm). Да ли је добијени шестоугао правилан? Израчунајте обим и површину шестоугла. У правоугли троугао ABC код кога је <) A = 90◦ , <) B = 30◦ , |AC| = 15 cm уписан је правилан шестоугао тако да му два темена припадају катети AC, друга два темена
стр. 131
4.6. Обим и површина многоугла
припадају хипотенузи BC, а једно теме припада катети AB. Израчунајте површину делова троугла ABC који се добијају када се из њега изреже тај шестоугао. РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
O = 32 cm. O = 32 cm. а) a = 4 cm; б) a = 17, 2 cm; в) a = 4, 3 cm. O = 12 cm. √ O = 36 cm, √ P = 54 3 cm2 . O = 2(7 + 4 2) cm, P = 39 cm2 O√= 96 cm, P = 384 cm2 . √ √ a 3 = 4 3, a = 8 cm, O = 48 cm, P = 96 3 cm2 8. 2 (види слику).
√ 8·4 9. P6 = 96 3 cm2 , P12 = 12 · = 192 cm2 , √ √2 P12 : P6 = 192 : 96 3 = 2 : 3 (види слику) (P6 , P12 -површине шестоугла A1 A2 . . . A6 и дванаестоугла A1 B1 A2 B2 . . . A6 B6 ).
Напомена: Једнакокраки троуглови са висином која одговара основици разлажу се на две половине једнакостраничног троугла. 8·6 11. P6 = P4 − 4 · P△ = 26 · 12 − 4 · = 216 cm2 , 2 O = 6 · 10 = 60 cm (види слику, P4 - површина правоугаоника)
√ 225 √ 1 302 3 · = 12. P△ (ABC) = 3 cm2 (полови2 4 2 на површине једнакостраничног троугла странице 30 cm). < ) CRQ = 60◦ (спољашњи угао правилног шестоугла)
√ √ 42 3 = 16(3 + 3) cm2 , 10. Не. P6 = 3 · 16 + 4 4 √ √ O = 3 · 4 + 3 · 4 3 = 12(1 + 3) (види слику)
△CRQ је једнакостраничан. Површина троугла AMS једнака је половини површине троугла SRQ (< ) AMS = 30◦ , < ) ASM = 60◦ ). Ако обележимо a CR = a, тада је AC = a + a + = 15, a = 6 cm. Доби2 √ √ 62 3 1 је се: P1 (△CRQ) = = 9 3, P2 (△AMS) = P1 , 4 2 √ P3 (MN P QRS) = 6 · P√1 = 54 3, P4 (BP N M) = P − P1 − P2 − P3 = 45 3 cm2 (види слику)
131
стр. 132
4. МНОГОУГАО
4.7. Тежишна дуж троугла Поновимо! У претходним годинама сте научили шта је троугао, врсте троуглова, неке конструкције троуглова, шта је описана и шта је уписана кружна линија (и њихови центри), да израчунате површину троуглова, векторе, сабирате и одузимате векторе… У наредном излагању упознаћете појмове: тежишна дуж и тежиште троугла. Дуж чије су крајње тачке теме троугла и средиште наспрамне странице назива се тежишна дуж. Уобичајено је да, у зависности којој страници одговара тежишна дуж, тежишне дужи обележавамо са ta , tb , tc . Пример 1 На слици 4.45 приказане су тежишне дужи AA1 , BB1 и CC1 троугла ABC.
Слика 4.45
Пример 2 Тежишна дуж чије су крајње тачке средиште хипотенузе и наспрамно теме правоуглог троугла, једнака је половини хипотенузе. Докажите ову тврдњу (сл. 4.46).
Слика 4.46 Решење Нека је AA1 тежишна дуж која спаја теме A са средиштем A1 хипотенузе BC правоуглог троугла ABC и нека је B1 средиште странице AC. Тада је A1 B1 средња линија троугла ABC, па je и симетрала странице AC. Из чињенице да је A1 B1 симетрала странице AC следи да је A1 C = A1 A.
132
стр. 133
4.7. Тежишна дуж троугла
Тежишне дужи троугла секу се у једној тачки, коју зовемо тежиште троугла. У следећем примеру доказаћемо ово тврђење. Пример 3 Тежишне дужи троугла секу се у једној тачки, коју зовемо тежиште троугла. Тежиште дели тежишне дужи у односу 2 : 1 (односно растојање тежишта од темена два пута је веће од растојања тежишта до средишта наспрамне странице). Докажите ову тврдњу (сл. 4.47а и 4.47б).
Слика 4.47 Решење Нека су AA1 и BB1 тежишне дужи троугла ABC које се секу у тачки T и нека су тачке A2 и B2 средишта дужи 1 редом AT и BT . Тада је: A1 B1 = A2 B2 = AB (ове дужи су средње линије троуглова ABC и ABT ). 2 Важи <) B1 A1 T = <) B2 A2 T и <) A1 B1 T = <) A2 B2 T па је △A1 B1 T △A2 B2 T . Из подударности следи једнакост одговарајућих страница A1 T = A2 T и B1 T = B2 T . Како је AA2 = A2 T и BB2 = B2 T тада је AT = 2A1 T и BT = 2B1 T . Ове једнакости важе за пресек било које две тежишне дужи. Преостаје доказ да се тежишне дужи секу у једној тачки T . Претпоставимо супротно, трећа тежишна дуж CC1 сече тежишну дуж AA1 у на пример некој тачки M, која је различита од тачке T . Овде је врло важно приметити да тачке A, M, T , A1 припадају једној правој AA1 и да 2 2 на истој правој постоје две различите тачке M и T такве да је: AM = AA1 и AT = AA1 што је немогуће. 3 3 Према томе тачке M и T се поклапају, односно све три тежишне дужи секу се у једној тачки T , која се назива тежиште троугла.
Пример 4 Да ли тежиште увек припада троуглу? Решење Да. Тежишне дужи увек припадају троуглу, а самим тим и тежиште.
133
стр. 134
4. МНОГОУГАО
Пример 5 −−→ −−−→ −−→ Нека су AA1 , BB1 , CC1 тежишне дужи △ABC. Тада је AA 1 + BB 1 + CC 1 = ⃗0 (сл. 4.48).
Слика 4.48 Решење −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−−→ −−→ −−→ AA 1 = AB + BA 1 , BB 1 = BC + CB 1 , CC 1 = CA + AC 1 . Сабирањем ових вектора добије се −−→ −−−→ −−→ −−→ −−→ 1 −−→ −−→ −−→ −−→ AA 1 + BB 1 + CC 1 = AB + BC + CA + ( AB + BC + CA ) = ⃗0 2
"
Питања Шта је тежишна дуж? У ком односу тежиште дели било коју тежишну дуж? Шта је тежиште троугла? Може ли тежиште припадати страници троугла?
Задаци за вежбу
Растојања два темена троугла ABC од од праве која садржи тежишну дуж конструисану из трећег темена су једнака. Докажите ову тврдњу. 2. Користећи пример 3 (о тежишним дужима), поделите задату дуж на три једнака дела. 3. Тежишне дужи које одговарају краковима једнакокраког троугла једнаке су међу собом. Докажите ову тврдњу. 4. Израчунајте дужину тежишне дужи CC1 △ABC, ако је обим △ABC једнак 56 cm, а обим △AC1 C једнак 41 cm и обим △C1 BC једнак 42 cm. 5. Тачке A1 , B1 , C1 су средишта страница редом BC, CA, AB троугла ABC, а тачка T је тежиште троугла. Докажите и да је тачка T тежиште △A1 B1 C1 . 6. Збир две тежишне дужи већи је од треће тежишне дужи, а разлика две тежишне дужи мања је од треће тежишне дужи. Докажите ову тврдњу. 1.
134
стр. 135
4.7. Тежишна дуж троугла
7.
Нека су AA1 , BB1 , CC1 тежишне дужи △ABC и нека је тачка T тежиште троугла. −−→ −−→ −−−→ Докажите да је AT + BT + CT = ⃗0.
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1.
Сабирањем по странама, из AC1 + C1 C + CA = 40, C1 B + BC + CC1 = 42 добијамо AB + BC + CA + 2CC1 = 82, па је 56+2CC1 = 82, односно CC1 = 13. 5.
Нека је CC1 тежишна дуж конструисана из тачке C. Одстојање тачке A од тежишне дужи CC1 је дуж AD, а одстојање тачке B од тежишне дужи CC1 је дуж BE. <) ADC1 = < ) BEC1 = 90◦ и < ) AC1 D = < ) BC1 E – унакрсни углови. Следи < ) DAC1 = < ) EBC1 . Како је AC1 = BC1 то су △ADC1 △BEC1 (УСУ). Из подударности ових троуглова следи AD = BE. 2. Конструишите троугао тако да је једна тежишна дуж једнака датој дужи AB, а затим одредимо тежиште. (видети пример 3, сл. 4.47а). 3.
A1 B = AB1 , < ) ABC = <) BAC, △ABA1 △ABB1 . Из подударности ових троуглова следи AA1 = BB1 . 4.
Тачка T је тежиште троугла △ABC. Нека је тачка D заједничка тачка правих A1 B1 , CC1 . Докажимо да је D средиште дужи A1 B1 користећи да је A1 средиште странице BC и A1 D паралелно са BC1 , због чега се D поклапа са средиштем дужи CC1 . A1 D = 1 1 BC = AC1 = B1 D, AC1 = BC1 . Сличан посту2 1 2 пак се примењује и на остале странице △A1 B1 C1 па су A1 M и B1 N тежишне дужи △A1 B1 C1 . Тежишне дужи C1 D, A1 M, B1 N секу се у тачки T , па је тачка T тежиште △A1 B1 C1 . 6. Тачке A1 , B1 и C1 су редом средишта страница BC, CA и AB троугла ABC. Користећи пример 5, знамо −−→ −−→ −−−→ да важи једнакост AA 1 + BB 1 + CC 1 = 0, одакле се закључује да постоји троугао чије су странице једнаке тежишним дужима ta , tb , tc . За странице троугла важи да је, свака тежишна дуж већа од разлике остале две тежишне дужи, а мања од збира остале две тежишне дужи. −−→ 2 −−→ −−→ 2 −−→ −−−→ 2 −−−→ 7. Како је: AT = AA 1 , BT = BB 1 , CT = CC 1 3 3 3 −−→ −−→ −−−→ и користећи пример 5, следи AT + BT + CT = −−−→ 2 −−→ −−→ ( AA 1 + BB 1 + CC 1 ) = ⃗0. 3
135
стр. 136
4. МНОГОУГАО
4.8. Ортоцентар Поновимо Шта је тежиште троугла? Шта је висина троугла? Пример 1 Нацртајте △ABC, а затим конструишите висине датог троугла (сл. 4.49). Висине се, у зависности од тога којој страници одговарају, обележавају са: ha , hb , hc .
Слика 4.49
Пример 2 Праве којима припадају висине троугла секу се у једној тачки. Докажите ово тврђење (сл. 4.50).
Слика 4.50 Решење Нека су AA1 , BB1 , CC1 висине троугла ABC и нека су A′ B′ , B′ C ′ , A′ C ′ странице троугла A′ B′ C ′ које садрже темена A, B, C троугла ABC, а паралелне правим AB, BC, AC. Троуглови △AA′ B и △ABC су подударни (УСУ), па је A′ B = AC. Слично из подударности △BB′ C и △ABC је B′ B = AC па следи A′ B = BB′ = AC. Како је BB1 ⊥AC, и AC ∥ A′ B′ , тада је BB1 ⊥A′ B′ , односно BB1 је симетрала странице A′ B′ троугла △A′ B′ C ′ . На исти начин се доказује и да су праве AA1 и CC1 симетрале страница A′ C ′ и B′ C ′ △A′ B′ C ′ . Одраније је познато да се симетрале страница секу у једној тачки.
Пресечна тачка правих које садрже висине назива се ортоцентар. 136
стр. 137
4.8. Ортоцентар
Пример 3 Може ли се теме неког троугла поклапати са ортоцентром? Решење Да, теме правоуглог троугла.
Пример 4 На слици 4.51а) ортоцентар H не припада △ABC, а на слици 4.51б) ортоцентар H припада △ABC.
Слика 4.51
Код сваког тупоуглог троугла ортоцентар се налази ван троугла, а код оштроуглог троугла, унутар троугла.
Пример 5 Докажите да су висине код једнакостраничног троугла △ABC међусобно једнаке (сл. 4.52).
Слика 4.52 Решење Нека су тачке A1 и B1 подножја висина на страницама BC и AC. Троуглови ABA1 и BAB1 су правоугли и подударни (УСУ). Па је AA1 = BB1 . Слично из подударности △ABA1 и △CBC1 следи AA1 = CC1 , па је AA1 = BB1 = CC1 , што је требало и доказати.
137
стр. 138
4. МНОГОУГАО
Пример 6 Постоје ли троуглови код којих средишта све три висине припадају једној правој?
Слика 4.53 Решење Код оштроуглих и тупоуглих троуглова средишта висина су темена неког троугла, видети на сликама 4.53а и 4.53б. У правоуглом троуглу средња линија која спаја средишта катета M и N пресеца висину у тачки P која је средиште висине конструисане на хипотенузу. Дуж MN је средња линија правоуглог троугла △ABC али и средња линија троугла △ABA1 (тачка A1 је подножје висине конструисане из темена A на хипотенузу) па је тачка P средиште висине AA1 (сл. 4.53в).
Пример 7 Нека је тачка O ортоцентар △ABC и нека је CO = AB. Израчунајте угао троугла код темена C (сл. 4.51).
Слика 4.54 Решење Дужи AA1 и CC1 су висине △ABC. Треба обратити пажњу на троуглове △A1 CO и △ABA1 . Троуглови △ABA1 и △BCC1 су правоугли (прав угао код темена A1 и C1 ). Оштри углови <) BAA1 и <) BCC1 су једнаки (углови са нормалним крацима). Како је услов задатка CO = AB тада следи △ABA1 △COA1 , па је AA1 = A1 C. На основу изложеног следи да је △AA1 C једнакокрак и правоугли, односно да је <) ACB = 45◦ .
138
стр. 139
4.8. Ортоцентар
"
Питања Шта је висина троугла? Шта је ортоцентар троугла? Да ли ортоцентар увек припада троуглу?
Задаци за вежбу 1.
Дужина странице једнакостраничног троугла △ABC је AB = 36 cm. Израчунати обим и површину датог троугла.
2.
Нацртајте троугао тако да ортоцентар не припада троуглу.
3.
Ако су AA1 и BB1 висине △ABC, тада је <) B1 BC = <) A1 AC. Докажите ову тврдњу.
4.
Троугао је једнакокрак ако има две једнаке висине. Докажите ову тврдњу.
5.
Дужина основице AB једнакокраког троугла △ABC је 16 cm, а дужина висине конструисане на ту ивицу је 6 cm. Израчунајте обим троугла.
6.
Нека је тачка O ортоцентар △ABC. Тада су <) AOB, <) BOC и <) AOC суплементни угловима <) ACB, <) BAC и <) ABC. Докажите.
7.
У једнакокраком троуглу дужина основице AB = 30 cm и дужина висине CC1 = 20 cm. Израчунајте висину AA1 која је конструисана на крак BC.
Нека је AA1 тежишна дуж △ABC. BC 1) Ако је AA1 = , тада је <) BAC = 90◦ . 2 BC 2) Ако је AA1 > , тада је <) BAC оштар. 2 BC 3) Ако је AA1 < , тада је угао <) BAC туп. Докажите ову тврдњу. 2 9. У правоуглом троуглу висина AA2 конструисана на хипотенузу и тежишна дуж AA1 конструисана на хипотенузу граде са ближим катетама једнаке углове. Докажите ову тврдњу. √ 10. Над висином једнакостраничног троугла △ABC странице a = 6 3 конструисан је квадрат. Израчунајте површину оног дела квадрата који је ван датог троугла. 8.
11.
Нека је права p нормална на страницу AB, а q права нормална на страницу AC троугла △ABC. Одредите угао између правих p и q ако је <) ABC = 30◦ , <) ACB = 40◦ . 139
стр. 140
4. МНОГОУГАО
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА √ 1. O = 108 cm, P = 324 3 cm2 . 2.
8.
1) Дуж AA1 је тежишна дуж троугла △ABC и ако је BC AA1 = , тада то важи само ако је △ABC правоу2 гли. Како је AA1 = BA1 = CA1 следи < ) ACB = < ) CAA1 , < ) ABC = < ) BAA1 . С обзиром да је < ) ACB + <) ABC + <) CAA1 + <) BAA1 = 180◦ следи 2<) CAA1 + 2<) BAA1 = 180◦ односно < ) CAA1 + < ) BAA1 = 90◦ или < ) BAC = 90◦ .
3.
<) CAA1 = < ) CBB1 – углови са нормалним крацима. 4.
Користећи однос страница и углова троугла непосредно следе тврђења под 2) и 3). 9.
Како је AA1 = BB1 то су троуглови △ABA1 △BAB1 (ССУ). Из подударности ових троуглова следи да је < ) ABC = <) BAC, а из подударности троуглова △ACC1 △BCC1 (УСУ) следи AC = BC. 5. O = 36 cm. 6.
< ) BAA1 = <) ABA1 . Троугао △ABC је правоугли па је: < ) ABC + < ) ACB = 90◦ , <) ACB + < ) CAA2 = 90◦ . ◦ Одавде следи <) ABC + 90 − <) CAA2 = 90◦ , односно < ) ABC = < ) CAA2 = < ) BAA1 10.
<) ABB1 = <) ACC1 , < ) BAA1 = < ) BCC1 (углови са нормалним крацима). Користећи ова тврђења и <) BAA1 + < ) ABB1 = < ) ACB добија се < ) AOB + <) ACB = 180◦ . Слично се доказује и за друге парове суплементних углова.
hc = 9 cm, P (CBMN ) = 81 −
7. 11.
√ BC = 625 = 25 cm, P△ (ABC) = 300 cm2 = BC · AA1 , AA1 = 24 cm. 2
140
< ) pMq = 70◦ .
√ ! 27 √ 3 3 = 27 3 − cm2 . 2 2
стр. 141
4.9. Сложеније примене ставова подударности
4.9. Сложеније примене ставова подударности Поновите! Шта је центар кружне линије уписане у троуглу? Шта је центар кружне линије описане око троугла? Шта је тежиште троугла? Шта је ортоцентар троугла? Обновите ставове подударности троуглова. Пример 1 Докажите да су троуглови △ABC и △A1 B1 C1 подударни ако су им једнаке странице AB и A1 B1 , углови <) ACD и <) A1 C1 D1 и висине CD и C1 D1 (слика 4.55).
Слика 4.55 Решење <) ACD = <) A1 C1 D1 и CD = C1 D1 . △ACD и △A1 C1 D1 су правоугли, па је △ACD △A1 C1 D1 (УСУ). Из подударности тих троуглова следи: AC = A1 C1 и <) CAD = <) C1 A1 D1 . Како је AB = A1 B1 , следи △ABC △A1 B1 C1 .
Пример 2 Докажите да су △ABC и △A1 B1 C1 подударни ако су им једнаке странице AB = A1 B1 , AC = A1 C1 и тежишне дужи CD = C1 D1 (сл. 4.56).
Слика 4.56 Решење 1 1 AB = A1 B1 и CD = C1 D1 тада је △ADC △A1 D1 C1 . Из 2 2 подударности ових троуглова следи <) CAD = <) C1 A1 D1 . Из AB = A1 B1 , AC = A1 C1 , <) BAC = <) B1 A1 C1 следи да је △ABC △A1 B1 C1 . Ако је AB = A1 B1 , AC = A1 C1 , AD = A1 D1 =
141
стр. 142
4. МНОГОУГАО
Пример 3 Конструишите троугао △ABC ако су дати страница AC, висина CA2 и тежишна дуж CA1 . Решење Анализа: (слика 4.57) Претпоставимо да је задатак решен и да је △ABC тражени троугао.
Слика 4.58
Слика 4.57
Троугао △AA2 C је правоугли. Познате су висина и хипотенуза па је потребно прво конструисати правоугли троугао △AA2 C, а затим коришћењем тежишне дужи добије се треће теме B. Конструкција (сл. 4.58). Конструисати две паралелне праве p и p1 на растојању које је једнако CA2 . На правој p одредити тачку M и на правој p1 тачку C тако да је MC = CA2 . Затим конструисати кружну линију са центром у тачки C чији је полупречник једнак дужини странице AC (k(C, r = AC)). Пресек праве p и кружне линије је тачка A. Пресек кружне линије k1 (C, r = CA1 ) и праве p је тачка A1 . Дуж AB = 2AA1 . Конструисан је троугао △ABC. Доказ. Како је CA2 ⊥AB, тада је CA2 висина △ABC. Тачка A1 је средиште странице AB а CA1 је тежишна дуж конструисана из темена C на страницу AB. Следи да је △ABC тражени троугао. Дискусија. Ако је CA1 < CA2 , задатак нема решења. Ако је CA1 = CA2 , задатак има једно решење а ако је CA1 > CA2 , задатак има два решења.
Пример 4 Конструишите једнакокраки троугао △ABC ако је дат полупречник R описане кружне линије и угао β при врху троугла (сл. 4.59).
Слика 4.59 Решење Најпре треба конструисати кружну линију датог полупречника са центром O. Конструишите један њен пречник CC1 . Затим конструишите углове <) ACC1 и <) BCC1 једнаке половини датог угла са разних страна праве CC1 . Тачке A и B су пресечне тачке кракова ових углова и кружне линије. Једнакост дужи AC и BC следи из подударности троуглова △AOC и △BOC. Доказ и дискусију урадите за вежбу.
142
стр. 143
4.9. Сложеније примене ставова подударности
Пример 5 Нека су дате три праве p, q, r, које су у једној равни. Конструишите ромб ABCD тако да његова дијагонала AC има дату дужину d и припада правој q, а друга два темена, B и D, припадају правама r и p.
Слика 4.60 Решење Анализа. Нека је ромб ABCD решење задатка. Тачке B и D су две тачке симетричне у односу на праву q (дијагоналу AC). Ако тачка D припада правој p, тачка B мора припадати правој p′ која је симетрична правој p у односу на праву q. Конструкција.
Слика 4.61 ′
Конструисати праву p симетричну правој p у односу на праву q. Права p′ сече праву r у тачки B. На правој p одредити тачку D која је симетрична тачки B у односу на праву q. Права BD сече праву q у тачки O. Са обе 1 стране тачке O пренети OA = OC = d, па је ABCD тражени ромб. 2 Доказ. По конструкцији је OA = OC, OB = OD, BD⊥AC па је AB = BC = CD = DA. Дискусија. Ако се праве p′ и r секу у тачки изван праве q, задатак има једно решење, ако се праве p′ и r секу на правој q или ако је p′ ∥ r, p , r, задатак нема решења. Ако је p′ = r, задатак има бесконачно много решења.
Задаци за вежбу 1.
Нека је дат једнакокраки троугао △ABC (AB основица) и нека су тачке M и N пресечне тачке тежишних дужи и страница BC и AC. Докажите да су △AMC и △BCN подударни.
2.
Доказати да су троуглови △ABC и △A1 B1 C1 подударни ако су им једнаке странице AB = A1 B1 , тежишне дужи CD = C1 D1 и висине CH = C1 H1 . (тачке D, D1 и H, H1 су подножја тежишних дужи и висина на правој AB).
143
стр. 144
4. МНОГОУГАО
3.
Нека је △ABC једнакокрак. На правој AC дата је тачка M тако да је C − A − M и AM < AC. Ако је тачка N на страници BC таква да је AM = BN , доказати да страница AB полови дуж MN .
4.
Израчунати углове правоуглог троугла ако је хипотенуза два пута већа од катете.
5.
Нека је дат ромб ABCD и нека су из темена тупих углова конструисане висине ромба. Те висине деле једна другу на одсечке чије се дужине односе 1 : 2. Израчунати углове ромба.
6.
Дате су две једнаке дужи AB и CD у равни π. Конструисати тачку O у равни π такву да је троугао △ABO подударан троуглу △DOC.
7.
Конструисати троугао △ABC, ако су познате странице AB и AC и тежишна дуж CC1 .
8.
Нека је дат троугао △ABC. Симетрале угла код темена C и спољашњег угла код истог темена, у пресеку са правом AB одређују једнакокраки троугао △CC1 C2 . Израчунати углове <) ABC и <) BAC троугла △ABC, ако је <) ACB = 40◦ .
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1.
3.
1 AC, AC = BC, <) ACM = < ) BCN . 2 △AMC △BN C (СУС).
CM = CN =
Нека је права N D паралелнa је на правој AB). Угао < ) BDN гао △BDN једнакокрак и BN гао △AMP △N DP па је MP доказати.
2.
правој AC (тачка D = <) DBN па је троу= DN = AM. Троу= P N што је требало
4. Троуглови △CDH и △C1 D1 H1 су правоугли и како је CD = C1 D1 , CH = C1 H1 , тада је △CDH △C1 D1 H1 (ССУ). Из подударности троуглова следи <) HDC = < ) H1 D1 C1 , а због суплементности углова следи да је и < ) BDC = < ) B1 D1 C1 . Троуглови △BDC △B1 D1 C1 (СУС), а из подударности следи да је BC = B1 C1 , <) DBC = < ) D1 B1 C1 а још је из услова задатка AB = A1 B1 , па је △ABC △A1 B1 C1 (СУС).
144
На правој AB одредити тачку D тако да је AB = AD. Троуглови △ABC и △ADC су подударни, па је BC = DC. Троугао △DBC једнакостраничан, тада је < ) ABC = 60◦ и < ) ACB = 30◦ .
стр. 145
4.9. Сложеније примене ставова подударности
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 5.
7.
Троуглови △AMD и △ABN су правоугли и подударни (УСУ). Из подударности ових троуглова следи BN = DM и још је DP : P M = 2 : 1, па је < ) DP N = 60◦ , < ) P DN = 30◦ (видети претходни задатак). На основу овога следи < ) BAD = 60◦ и < ) ABC = 120◦ . 6.
Конструише се права AB и средиште C1 дужи AB. Затим се конструишу кружне линије k1 (A, r = AC) и k2 (C1 , r = CC1 ). Пресек кружних линија је треће теме троугла △ABC. 8.
Конструисати симетрале s1 , s2 дужи редом BC и AD. Тачка O је пресечна тачка симетрала. Тада је BO = CO, AO = DO. Како је AB = CD, BO = CO, AO = DO тада је △ABO △CDO.
Угао < ) C1 CC2 = 90◦ (180◦ : 2). С обзиром да је CC1 = CC2 тада је <) CC2 C1 = 45◦ и < ) ABC = 45◦ − ◦ ◦ ◦ 20 = 25 . На крају је <) BAC = 180 − 40◦ − 25◦ = 115◦ .
Разни задаци
1.
Колико страница и темена има многоугао на слици?
2.
Обележите темена и углове многоугла на слици.
3.
Обележите углове и њима напоредне (спољашње) углове многоугла на слици.
145
стр. 146
4. МНОГОУГАО
4.
Има ли угао код темена C многоугла ABCDEF свој напоредни (спољашњи) угао?
5.
Одредите суседна темена темену A4 .
6.
Који од многоуглова на слици је конвексан, а који неконвексан?
7.
Израчунајте збир углова петнаестоугла.
8.
Ако тачка D припада троуглу ABC, доказати да бар један од углова <) ADB, <) ADC и <) BDC није мањи од 120◦ .
9.
Да ли постоје многоуглови чији је збир углова: а) 2880◦ ; б) 2300◦ ; в) 7200◦ ?
10.
Колико степени има угао α шестоугла? Видети слику.
11.
Збир свих углова четрнаестоугла је три пута већи од збира углова шестоугла. Докажите ово тврђење.
Колико страница има многоугао ако сваки његов спољашњи угао има 36◦ ? 13. Дијагонале конструисане из једног темена многоугла деле многоугао на троуглове. За колико је број свих тих троуглова мањи од броја страница код сваког многоугла? 12.
14.
146
Колико страница има многоугао ако му је број дијагонала мањи од броја страница?
стр. 147
4.9. Сложеније примене ставова подударности
15.
Колико укупно дијагонала има многоугао ако се из једног темена може конструисати а) 6 дијагонала; б) 10; в) 40 дијагонала?
16.
Број дијагонала многоугла је: а) Dn = 54; б) Dn = 90; в) Dn = 135, одредити број страница многоугла.
Да ли постоји многоугао са: а) 67 дијагонала; б) 78 дијагонала; в) 299 дијагонала? 18. Израчунајте збир углова правилног многоугла ако му је број страница: а) n = 18; б) n = 22; в) n = 32. 17.
19.
Одредити број страница правилног многоугла ако спољашњи угао има 40◦ .
20.
Да ли спољашњи угао правилног многоугла може износити 130◦ ?
Израчунати збир углова правилног многоугла, ако спољашњи угао има: а) 24◦ ; б) 30◦ ; в) 45◦ . 22. Израчунати централни угао правилног многоугла ако је број страница: а) n = 8; б) n = 9; в)n = 30. 21.
23.
Израчунати број страница многоугла, ако је спољашњи угао једнак углу многоугла.
24.
Колико оса симетрије има правилан многоугао, чији број страница је 17?
Може ли многоугао који није правилан да буде и осносиметричан? 26. Конструишите правилан троугао △ABC ако је: а) дужина странице a = 3 cm; б) дужина полупречника описане кружне линије R = 4 cm; в) дужина полупречника уписане кружне линије r = 2 cm. 25.
27.
Конструишите правилан четвороугао ABCD, ако је а) дужина странице a = 4 cm; б) дужина полупречника описане кружне линије R = 4 cm; в) дужина полупречника уписане кружне линије r = 2, 5 cm.
28.
Конструишите правилан шестоугао ABCDEF, ако је: а) дужина странице a = 2, 5 cm; б) дужина полупречника описане кружне линије R = 2, 5cm; в) дужина полупречника уписане кружне линије 2 cm.
Ако су све три тежишне дужи једног троугла једнаке одговарајућим тежишним дужима другог троугла, докажите да су ти троуглови подударни. 30. Ако се број страница многоугла повећа за 8, за колико ће се повећати збир углова?
29.
Ако се број страница многоугла повећа три пута, збир углова многоугла се повећа за 2520◦ . Који је то многоугао? 32. Израчунајте број страница многоугла ако је број његових дијагонала седам пута већи од броја његових страница. 31.
147
стр. 148
4. МНОГОУГАО
33.
Ако се број страница многоугла повећа три пута, број дијагонала се повећа 12 пута. О ком многоуглу је реч?
34.
Ако угао између полупречника описане и уписане кружне линије (који припадају једном карактеристичном троуглу) правилног многоугла износи 22◦ 30′ израчунати: а) број страница; б) угао; в) број дијагонала многоугла.
35.
Колико највише степени може да има централни угао правилног многоугла?
36.
Колико степени има угао правилног многоугла, чији је број оса симетрије 36?
Конструишите правилан дванаестоугао A1 A2 A3 . . . A12 , тако да је: а) дужина пречника описаног круга 2R = 5 cm; б) дужина странице a = 2 cm; в) дужина полупречника уписане кружне линије r = 3 cm. 38. Конструишите правилан осмоугао A1 A2 A3 . . . A8 , тако да је: а) дужина пречника описане кружне линије 2R = 6 cm; б) дужина странице a = 2 cm; в) дужина полупречника уписане кружне линије r = 2, 5 cm. 37.
39.
Ливада у облику шестоугла ABCDEF са страницама AB = 20 m, BC = 15 m, CD = 28 m, DE = 12 m, EF = 17 m и FA = 23 m, треба да се огради двоструким редом бодљикаве жице. Колико жице ће бити потребно?
40.
Обим многоугла на слици је O = 130 cm. Израчунајте a.
41.
Измерите оно што је потребно па израчунајте обим многоуглова на слици а) и б).
148
стр. 149
4.9. Сложеније примене ставова подударности
42.
Разлика обима два многоугла на слици је 26 cm. Израчунајте обим и површину многоуглова.
Правилан многоугао има 65 дијагонала, а његов обим је O = 91 cm, израчунати дужину странице многоугла. 44. Обим правилног седмоугла је O = 70 cm. Израчунајте обим правилног седмоугла чија страница ће бити дужа за 40%. 43.
45.
Израчунати обим правилног многоугла чија страница има дужину a = 8 cm, а збир углова износи 3600◦ .
46.
Израчунајте обим и површину њиве, облика многоугла на слици. (Димензије су дате у метрима.)
47.
Нека је ABCD правоугаоник чије дужине страница су a = 10 cm и b = 6 cm. Над страницом a конструисан је једнакокраки троугао △DCP тако да удаљеност тачке P од странице CD износи 4 cm. Израчунајте обим и површину тако добијеног многоугла.
48.
Израчунајте обим и површину правилног шестоугла код којег је полупречник упи√ сане кружне линије r = 3 3 cm.
149
стр. 150
4. МНОГОУГАО
49.
Израчунајте обим √ и површину правилног шестоугла код којег дужина краће дијагонале износи 8 3 cm.
50.
У кружну линију чији је полупречник 6 cm, уписан је и описан правилни шестоугао. Одредите однос њихових површина.
Правилан многоугао има 54 дијагонале. Израчунајте површину тог многоугла ако му је полупречник описане кружне линије R = 4 cm. 52. Два троугла △ABC и △A1 B1 C1 подударна су ако су им једнаке по две странице и тежишна дуж која одговара једној од тих страница. Докажите ову тврдњу. 51.
53.
Израчунајте обим и површину шестоугла који је састављен од два подударна једнакокрака трапеза слепљена по краћој основици ако су дужине основица трапеза 40 cm и 28 cm а дужина висине 8 cm.
Конструишите трапез ABCD када су дати: основица AB = 5 cm, кракови AD = 3 cm и BC = 3, 5 cm а висина h = 2, 5 cm. 55. Конструишите трапез: основице су AB = 6 cm, CD = 3 cm, угао < ) BAD = 75◦ и висина h = 2, 5 cm. 54.
56.
Конструишите једнакокраки трапез ABCD. Дати су: краћа основица CD = b, крак AD = c и дијагонала AC = d.
57.
Конструишите једнакокраки трапез ABCD. Дати су: дужа основица AB = a, углови <) BAC = α, <) ABC = β и висина h.
58.
Конструишите једнакокраки трапез ABCD. Дати су: дужа основица AB = a, дијагонала AC = d, висина h.
Конструишите делтоид ABCD када су дати: дијагонала AC и две неједнаке странице AB = a, AD = b. 60. Конструишите делтоид ABCD. Дати су: краћа дијагонала AC = c, дужа дијагонала BD = d и једна страница AD = b. 59.
61.
Нека су узастопни природни непарни бројеви дужине страница седмоугла, чији је обим једнак 91. Израчунајте дужине страница тог седмоугла.
Правилан петнаестоугао и правилан десетоугао имају једнаку страницу a = 6 cm. За колико треба смањити дужину странице правилног петнаестоугла да би им обими били једнаки? 63. Нека је ABCDEF правилан шестоугао чија je дужина странице a = 4 cm. Праве BC и DE се секу у тачки M, а праве AB и EF секу се у тачки N . Израчунајте обим и површину четвороугла BMEN . 62.
64.
65.
150
Ако се код ромба, чија је дужина странице a и дужина висине h, страница a повећа за 10%, за колико процената треба смањити висину h да би површина остала непромењена? Нека је △ABC правоугли троугао (<) BAC = 90◦ ) чије су катете AB = a и AC = b. Над страницама троугла са спољне стране конструисани су квадрати ABMN , CBP Q и ACRS. Израчунајте површину шестоугла MN P QRS у зависности од a и b.
стр. 151
4.9. Сложеније примене ставова подударности
Збир тежишних дужи троугла мањи је од обима троугла. Доказати. 3 67. Збир тежишних дужи троугла већи је од обима троугла. Докажите ову тврдњу. 4 68. Докажите да је свака тежишна дуж мања од полуобима троугла. 69. Свака тежишна дуж је мања од полузбира суседних страница. Докажите ову тврдњу. 66.
Нека је дат правоугли троугао △ABC. Из темена правог угла конструисана је тежишна дуж AA1 и висина AD. Тачка D је средиште дужи A1 C. Израчунајте углове троугла. BC + AC − AB < CA1 . 71. У △ABC конструишите тежишну дуж CA1 . Докажите да је 2 72. Два троугла су подударна ако су им једнаке странице a и b и тежишна дуж tc . Докажите. 73. Тежишна дуж конструисана из темена C на основицу AB једнакокраког троугла △ABC истовремено је: висина конструисана из темена C на AB, симетрала угла <) ACB и симетрала основице AB. Докажите. 70.
74.
Да ли постоји △ABC чије су дужине висина 1, 2, 3?
75.
Колико су удаљена темена A и C од дијагонале BD правоугаоника ABCD, ако је AB = 24 cm, а BC = 18 cm?
76.
Нека је тачка H ортоцентар оштроуглог троугла △ABC и нека су тачке D, E, F и G редом средишта дужи BH, CH, AC и AB. Докажите да је четвороугао DEFG правоугаоник.
77.
Дат је једнакостраничан троугао △ABC чија је страница a. Страница a је тачком P подељена у односу 2 : 1 и из те тачке конструисане су нормале на друге две странице. Одредите обим тако добијеног четвороугла.
78.
Докажите да је збир висина троугла мањи од његовог обима.
79.
Нека је дат једнакокраки △ABC. Ако основица AB и висина AA1 образују угао једнак трећини <) BAC, онда је основица AB jeднака одсечку CH висине CC1 , где је H ортоцентар △ABC. Докажите.
80.
Једнакокраким троугловима △ABC и △A1 B1 C1 висине су hc = hc1 (конструисане на основицу) и ha = ha1 . Докажите да су троуглови △A1 B1 C1 и △ABC подударни.
Тежишне дужи које одговарају краковима једнакокраког троугла узајамно су нор3 малне. Докажите да је висина која одговара основици једнака основице. 2 82. Ако је H ортоцентар троугла △ABC, онда су углови < ) AHB, <) AHC и <) BHC суплементни угловима <) ACB, <) ABC и <) BAC. Докажите. 81.
83.
Троуглови △ABC и △A1 B1 C1 подударни су ако су им једнаке странице AB = A1 B1 , висине hc = hc1 и угао α = α1 .
84.
Нека је дат △ABC и нека су тачке M и N подножја висина из темена C и B и нека је тачка A1 средиште странице BC. Докажите једнакост дужи MA1 и N A1 .
151
стр. 152
4. МНОГОУГАО
85.
Израчунајте оштре углове правоуглог троугла (<) C = 90◦ ). Угао између симетрале 1 правог угла и тежишне дужи конструисане из темена C једнак је тупог угла којег 5 заклапају симетрале оштрих углова овог троугла.
У једнакокраком трапезу дијагонале су симетрале углова на већој основици. Основице су 18 cm и 9 cm. Израчунајте обим и површину трапеза. 87. Дат је правоугли △ABC (прав угао је код темена C). Висина и тежишна дуж из темена C секу се под углом од 18◦ 24′ . Израчунајте углове правоуглог троугла.
86.
Докажите да је трапез са једнаким дијагоналама једнакокрак. 89. Докажите да су два трапеза подударна ако су све четири странице једног једнаке одговарајућим страницама другог трапеза. 90. Дат је једнакокраки трапез ABCD. Тачке M и N су тежишта троуглова △ABD и △ABC. Докажите да је DM = CN . 88.
152
стр. 153
4.9. Сложеније примене ставова подударности
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. Многоугао има шест страница и шест темена. 4. Нема – угао многоугла код темена C има више од 180◦ . 5. Суседна темена су A3 и A5 .
26. а) Конструише се дуж AB (AB = 3 cm), а затим и кружне линије k1 (A, r = 3 cm), k2 (B, r = 3 cm). Треће теме C је пресек кружних линија. Доказ и дискусију урадите самостално за вежбу.
6. а) неконвексан, б) конвексан. 7. S15 = 2340◦ . 8. Ако би сви углови < ) ADB, < ) BDC, <) ADC били мањи од 120◦ , тада би збир тих углова био мањи од 360◦ , што није тачно. 9. Да, не, да. 10. α = 134◦ . 11. S14 = 2160◦ = 3 · 720◦ = 3 · S6 . 12. n = 10. 13. Зa 2. 14. {3, 4}.
б) Конструише се кружна линија k(O, R = 4 cm). Пун угао поделите на три једнака угла (сваки по 120◦ ). Краци тих углова секу кружну линију у три тачке A, B, C – три темена троугла. Доказ и дискусију урадите самостално за вежбу.
15. а) n = 9, D9 = 27; б) n = 13, D13 = 65; в) n = 43, D43 = 860. 16. а) n = 12; б) n = 15; в) n = 18. 17. а) не, б) не, в) да. 18. а) S18 = 2880◦ ; б) S22 = 3600◦ ; в) S32 = 5400◦ . 19. n = 9. 20. Не може (збир свих спољашњих углова био би већи од 360◦ ). 21. а) S15 = 2340◦ ; б) S12 = 1800◦ ; в) S8 = 1080◦ . 22. а) φ = 45◦ ; б) φ = 40◦ ; в) φ = 12◦ . 23. n = 4. 24. Има 17 оса симетрије. 25. Да, многоугао који није правилан може да буде осносиметричан; на слици је приказан један од примера.
в) На слици означи тачку D у којој је конструисана тангента на кружницу. Означи да је она нормална на полупречник Конструише се кружна линија K(O, r = 2 cm), а затим и дуж OD (тачка D припада кружној линији). У тачки D конструисати тангенту AB. Затим у тачкама A и B конструисати углове од по 60◦ . Пресек кракова тих углова је треће теме C троугла △ABC. Доказ и дискусију урадите самостално за вежбу.
153
стр. 154
4. МНОГОУГАО
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 27. а) Конструисати дуж AB = 4 cm. У тачкама A и B конструисати углове од по 90◦ (позната конструкција) кружне линије k1 (A, r = AB) и k2 (B, R = AB). Кружне линије секу кракове углова у тачкама D и C – теменима четвороугла. Доказ и дискусију урадите сами.
б) Конструисати кружну линију k(O, R = 4 cm). Пун угао правама поделити на четири једнака угла од по 90◦ . Тачке пресека A, B, C, D кракова угла и кружне линије су четири темена правилног четвороугла. Доказ и дискусију урадите самостално за вежбу.
Четвороуглови AMBT и A1 M1 B1 T1 су паралелограми јер им се дијагонале полове. Одавде је AM = 2 2 BT = BF = A1 M1 = B1 T1 = B1 F1 следи поду3 3 дарност: △AMT △A1 M1 T1 (ССС) и из поду1 дарности троуглова следи AD = AB = A1 D1 = 2 1 A B , то јест AB = A1 B1 . 2 1 1 На сличан начин се доказује и подударност △BGT и △B1 G1 T1 и да је BC = B1 C1 . Одавде следи да су троуглови DBC и D1 B1 C1 подударни, па је < )B = < ) B1 , па је △ABC △A1 B1 C1 . 30. Збир углова ће се повећати за 8 · 180◦ = 1440◦ . 31. (n − 2) · 180◦ + 2520◦ = (3n − 2) · 180◦ , n = 7. 32. n = 17. 33. n = 9. 34. а) n = 8; б) α = 135◦ ; в) D8 = 20. 35. φ = 120◦ . 36. α = 170◦ . 37. Упутство: користити објашњену конструкцију дванаестоугла. 38. Упутство: користити објашњену конструкцију осмоугла. 39. Потребно је 230 метара жице.
в) Доказ и дискусију урадите самостално за вежбу.
40. a = 5. 41. а) O = 19 cm; б) O = 12, 5 cm. 42. а) O = 84 cm, P = 188 cm2 ; б) O = 58 cm, P = 104 cm2 . 43. a = 7 cm. 44. O = 98 cm. 45. O = 176 cm.
28. Упутство: користити објашњену конструкцију шестоугла. 29.
√ 46. O = 10(26 + 5 2) m ≈ 330, 5 m, P = 4850 m2 . √ 47. O = 2(11 + 41) cm, P = 80 cm2 . √ 48. O = 36 cm, P = 54 3 cm2 . 49.
Нека су AE, CD, BF, A1 E1 , C1 D1 , B1 F1 тежишне дужи и нека је тачка T тежиште троугла △ABC и T1 тежиште троугла △A1 B1 C1 . Продужимо тежишне дужи CD, C1 D1 , AE, A1 E1 и на њима одредимо тачке M, M1 , G, G1 тако да је CT = T M, C1 T1 = T1 M1 , AT = T G, A1 T1 = T1 G1 .
154
За правоугли троугао △ABM важи: < ) ABM = 60◦ , √ AM = √ 4 3. Тада је страница a = 8 cm. O = 48 cm, P = 96 3 cm2 .
стр. 155
4.9. Сложеније примене ставова подударности
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 50. Po : Pu = 4 : 3 (Po , Pu – површине описане кружне линије и уписане кружне линије). 51. n = 12, P = 48 cm2 . 52.
56. Конструишу се △ADC и △DBC, (AC = BD). Доказ и дискусију урадите самостално. 57. Конструише се права AB и њој паралелна права p на растојању h, а затим и углови са теменима <) A = α и < ) B = β. Кракови ових углова секу праву p у тачкам D и C. Доказ и дискусију урадите сами. 58. Конструисати праву AB и њој паралелну праву l на растојању h итд.
AB = A1 B1 , BC = B1 C1 , AM = A1 M1 . Троуглови ABM и A1 B1 M1 су подударни (ССС). Из подударности троуглова следи < ) ABM = <) A1 B1 M1 па је на крају: △ABC △A1 B1 C1 (СУС). 53.
59. Конструишу се две нормалне праве p и l које се секу у тачки S. На правој l се одреди дуж AC, AS = SC, а затим кружна линија K1 (A, r = AD) сече праву p у тачки D, а кружна линија K2 (A, r = AB) сече праву p у тачки B. Доказ и дискусију урадите сами.
O = 120 cm, P = 544 cm2 . 54. Конструишемо праву AB и њој паралелну праву l на растојању h = 2, 5 cm. У тачкама A и B конструкцијом кружних линија K1 (A, r = 3 cm) и K2 (B, r = 3, 5 cm) добиће се пресечне тачке D и C кружних линија и праве l. Добијени четвороугао ABCD је трапез. Доказ и дискусију урадите сами.
55. Конструише се права p која је паралелна правој AB на растојању h = 2, 5 cm. У тачки A конструише се угао од 75◦ . Други крак овог угла сече праву p у тачки D, а затим се на њој одреди тачка C (CD = 3 cm). Четвороугао ABCD је трапез. Доказ и дискусију урадите сами.
60. Конструишу се две нормалне праве p и l, које се секу у тачки S. На правој l се конструише краћа дијагонала AC (AS = CS) а затим кружна линија K(A, r = AD) која сече праву p у тачки D. Из тачке D се на правој p одреди тачка B (BD = d). Добијени четвороугао је делтоид. Доказ и дискусију урадите сами.
61. Дужине страница су: 7, 9, 11, . . . , 19.
155
стр. 156
4. МНОГОУГАО
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 62. Страницу петнаестоугла треба смањити за 2 cm.
67.
63.
Ако је T тежиште троугла △ABC тада је AT + BT > AB, AT + CT > AC, BT + CT > BC. Сабирањем ових неједнакости добија се 2(AT + BT + CT ) > a + b + c, 2 2 2 а како је AT = ta , BT = tb , CT = tc добија се 3 3 3 3 ta + tb + tc > (a + b + c). 4
Троуглови △AFN и △CDM су подударни (троуглови су једнакостранични). Четвороугао BMEN је ромб и чини га 8 подударних једнакостраничних √ троуглова, па је O = 32 cm, P = 32 3 cm2 . 64. Висина се смањи приближно 9, 1%.
68.
65.
Код троуглова △ACC1 и △BCC1 важи CC1 < AC + AC1 , CC1 < BC + BC1 . Сабирањем ових неједнакости добија се 2CC1 < AB + BC + AC, 1 (A − C1 − B) или CC1 < (AB + BC + AC) 2 69.
Квадрат над хипотенузом BC може се разложити као на слици (видети доказ Питагорине теореме). Одавде следи да троуглови ∆ABC, ∆AMS, ∆RCQ и ab ∆BN P имају једнаке површине . Тражена повр2 шина шестоугла једнака је збиру њихових површина и површина квадрата конструисаних над страницама ∆ABC. P = 2(a2 + b2 + a · b).
На правој CC1 одредимо тачку D (C − C1 − D) тако да је CC1 = C1 D. Из подударности троуглова △ACC1 △BDC1 (СУС) следи AC = BD, па је CD < BC + BD = BC + AC.
66.
70.
Нека су A1 , B1 , C1 средишта страница троугла, а a, b, c странице троугла △ABC. Нека тачка D припада правој AA1 , A − A1 − D тако да је AA1 = A1 D. Тада је BD = AC = b и у △ABD је AD < AB + BD b+c a+c то јест 2ta < b + c, ta < , слично је tb < и 2 2 a+b b+c a+c a+b tc < , одакле је ta + tb + tc < + + 2 2 2 2 или ta + tb + tc < a + b + c.
156
Нека је AA1 тежишна дуж правоуглог троугла △ABC, тада је AA1 = BA1 = CA1 . Ако је AD симетрала странице A1 C (AD⊥A1 C) тада је AC = CA1 , па је △AA1 C једнакостраничан и < ) ACB = 60◦ , ◦ < ) ABC = 30 .
стр. 157
4.9. Сложеније примене ставова подударности
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 71.
Из троуглова △AA1 C, △BCA1 следи да је редом AB AB CA1 > AC − , CA1 > BC − . Сабирањем ових 2 2 1 неједнакости добија се CA1 > (AC + BC − AB). 2
74. Претпоставимо да постоји на пример за ha = 1, hb = a·1 b·2 c·3 2, hc = 3, тада је P = = = , односно 2 2 2 3 a a a = b = c. Странице троугла су a, , . Збир две 2 2 2 3 a a 5a странице + = мањи је од a – треће странице. 2 3 6 Овакав троугао не постоји. 75.
72. △ABD и △BCD су подударни. BD · AM 30 · AM 30 · CN P△ (ABD) = = = . Из 2 2 2 последњих једнакости следи AM = CN и како је BD = 30 cm, то је AM = CN = 14, 4 cm. Троуглови
76.
Нека је распоред тачака C − D − M, C1 − D1 − M1 и tc = CD = DM, tc1 = C1 D1 = D1 M1 . Како је △BCD △AMD по правилу СУС, биће AM = BC. Слично, A1 M1 = B1 C1 . Троуглови ACM и A1 C1 M1 су подударни по правилу ССС те имају једнаке одговарајуће тежишне дужи AD = A1 D1 . Зато је AB = 2AD = 2A1 D1 = A1 B1 . Следи △ABC △A1 B1 C1 по правилу ССС.
Нека су AM и BN висине троугла △ABC које се секу у тачки H и нека су тачке G, D, E, F средишта страница редом AB, BH, CH, AC. Дужи FG, ED су средње линије троуглова △ABC и △BCH па 1 је FG = ED = BC. Слично и за дужи GD и FE 2 које су средње линије троуглова △ABH и △AHC 1 важи GD = FE = AH, (GD ∥ FE ∥ AH). Према 2 томе четвороугао GDEF је паралелограм. Страница FE ∥ AM и AM⊥BC па је FE⊥FG и FE⊥DE, а одавде следи да је четвороугао GDEF правоугаоник.
73.
77. Нека је CC1 тежишна дуж једнакокраког троугла △ABC у којем су једнаке странице AC = BC. Ако је AC1 = BC1 тада је △AC1 C △BCC1 . Из подударности ових троуглова следи < ) ACC1 = < ) BCC1 па је права CC1 симетрала угла <) ACB, а исто тако је и < ) AC1 C = < ) BC1 C = 90◦ (два напоредна угла). Према томе дуж CC1 је и висина троугла. Како је <) AC1 C = 90◦ и AC1 = BC1 то је права CC1 симетрала странице AB.
O=
√ a (3 + 3). 2
157
стр. 158
4. МНОГОУГАО
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА У троуглу ABT <) BT A = 90◦ . Права CC1 је симетрала дужи AB па је троугао ABT једнакокраки правоугли где је <) BAT = <) ABT = 45◦ . Троуглови AC1 T и BC1 T су једнакокраки правоугли па је AC1 = 2 1 C1 B = C1 T = CC1 . Одавде је AB = CC1 , одно3 3 3 сно CC1 = AB. 2
78. Како је ha < c, hb < a, hc < b, тада је ha + hb + hc < a + b + c. 79.
82.
α α ,α+ = 90◦ , α = 67◦ 30′ , γ = 45◦ , 3 3 2 <) A1 AC = 67◦ 30′ · = 45◦ = γ. Одавде следи CA1 = 3 AA1 , < ) HCA1 = < ) BAA1 (углови са нормалним крацима), па је △A1 HC △ABA1 (УСУ) односно CH = AB. <) BAA1 =
< ) BAA1 = < ) BCC1 = α, < ) ABB1 = < ) ACC1 = β, < ) AHB = 180◦ − (α + β) па су < ) AHB и <) ACB суплементни. Слично се доказује и за остала тврђења.
80. 83.
CD = C1 D1 , AE = A1 E1 , DF⊥BC, D1 F1 ⊥B1 C1 , 1 DF = AE = D1 F1 . На основу претходног следи 2 △DFC △D1 F1 C1 , односно < ) BCD = < ) B1 C1 D1 и <) ABC = <) A1 B1 C1 , △DBC △D1 B1 C1 . На крају је △ABC △A1 B1 C1 .
α = α1 , hc = hc1 , < ) ACD = <) A1 C1 D1 , △ADC △A1 D1 C1 (УСУ). Из подударности ових троуглова следи AC = A1 C1 . На крају је △ABC △A1 B1 C1 (СУС). 84.
81.
Тачка A1 је средиште хипотенузе правоуглог троугла △MBC па је A1 M = A1 B, а из правоуглог троугла △N BC следи A1 N = A1 B и на крају A1 M = A1 N .
158
стр. 159
4.9. Сложеније примене ставова подударности
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА △ACC1 △BDD1 , AC1 = BD1 , < ) BAC = < ) ABD, AD1 = BC1 . На крају је △ADD1 △BCC1 (СУС) и AD = BC.
85.
89. CE симетрала угла < ) ACB, CD тежишна дуж. CD = α β AD = BD, < ) AOB = 180◦ − − = 180◦ − 45◦ = 2 2 1 135◦ , < ) DCE = · 135◦ = 27◦ , α = 72◦ , β = 18◦ 5 √ 243 3 86. O = 45 cm, P = cm2 . 4 87.
CC ′ ∥ AD, C1 C1′ ∥ A1 D1 . Паралелограми AC ′ CD и A1 C1′ C1 D1 су подударни. Како је BC ′ = AB − AC ′ = B1 C1′ = A1 B1 − A1 C1′ и △C ′ BC △C1′ B1 C1 следи подударност трапеза. 90.
α = 54◦ 12′ , β = 35◦ 48′ . 88. 2 Како je △ABD △BAC, то је DP = CP , DM = DP , 3 2 CN = CP , DM = CN . 3
159
стр. 160
5
ГЛАВА 5
ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
Алгебарски изрази
Мономи
Полиноми и операције
Квадрат бинома и разлика квадрата
Растављање полинома на чиниоце
Разни примери и примене
стр. 161
5.1. Алгебарски изрази
5.1. Алгебарски изрази Занимљивости У својој књизи „Општа аритметика”, из 1707. године знаменити енглески математичар Исак Њутн (1642–1727) написао је: „Изрази се праве помоћу бројева као у обичној аритметици или помоћу слова као у алгебри. Оба су заснована на једнаким принципима, и воде ка истом циљу, при чему аритметика ка посебном и појединачном а алгебра ка општем”.
Назив аритметика потиче од грчке речи arithmos, што значи број.
Запис који се састоји од бројева, знакова аритметичких операција и заграда назива се бројевни израз. Реални број је бројевни израз.
Вредност бројевног израза је реални број који се добија после обављања наведених рачунских операција и радњи.
Пример 1 Израчунајте вредност бројевног израза: 3 1 4 11 3 ·3 −4 : 2 2 3 · 2 3 11 . а) (39 − 15) : 23 + ; б) 15 14 2 3−7 8 + 1, 5 3 Решење 3 · 22 3·4 а) (39 − 15) : 23 + = 24 : 8 + = 3−3 = 0 3−7 −4 11 56 45 13 11 11 3 1 4 3 ·3 −4 : 2 12 − · − · 15 14 3 11 15 14 3 26 6 = 1. б) = = 2 1 3 4 8 + 1, 5 10 8 +1 3 6 6 6
161
стр. 162
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
Пример 2
2 1
2
Колико је
3
−
−2
? 5 5 Решење
2
2 2
3 2
−
−2 1
= 17 − 11 = 6 = 36 = 1, 44.
5 5
5 5 5 25
Пример 3 Колико је 25% од 360 kg? Решење Двадесет пет процената од 360 kg једнако је изразу Одговор: 90 kg.
25 25 · 360, чија је вредност · 360 = 90. 100 100
Ако у неком бројевном изразу постоји дељење са бројем 0, тај израз нема смисла.
Пример 4 Израз 0, 37 −
3, 1 + 0, 172 нема смисла јер је 1, 5 + (2 − 5) : 2 = 0. 1, 5 + (2 − 5) : 2
Запис који се састоји од бројева, слова, знакова аритметичких операција и заграда назива се алгебарски израз. Слово или број је алгебарски израз.
Пример 5 Струг (машина за обраду метала) прави два дела у минуту. Направљено је k делова, а укупно је потребно да се направи 340 делова. Колико дуго је радио струг за израду преосталих делова? Решење Преостали број делова које струг треба да направи је 340 − k. 340 − k Пошто струг прави два дела у минуту, преостало је минута. 2 340 − k Израз представља алгебарски израз. 2
162
стр. 163
5.1. Алгебарски изрази
Пример 6 Алгебарски изрази су, на пример: a+b ; 2 x+y , x − 1 , 0, односно x , 1; б) x−1
а)
в) x2 + 2x + 1.
Слово у алгебарском изразу које може имати различите бројевне вредности јесте променљива.
Пример 7 3 . a−2 Променљива a у датом изразу може да буде сваки реалан број различит од 2. Израз са променљивом a (a , 2) јесте на пример
3 3 3 чија је вредност = = 1. 5−2 5−2 3 1 3 За вредност променљиве a = 1 , постаје аритметички израз и има вредност = −4, 5. 1 3 1 −2 3
На пример, за a = 5, дати израз постаје бројевни израз
Вредност алгебарског израза добија се када уместо променљивих напишемо конкретне бројеве и израчунамо вредност тог бројевног израза.
Пример 8 Које вредности може да има променљива k у изразу
340 − k из примера 5? 2
Решење Из услова задатка, јасно је да је k цео број k ≥ 0 и k ≤ 340, што се обједињено може написати 0 ≤ k ≤ 340.
163
стр. 164
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
Пример 9 Израчунајте вредност израза A =
4(a − 2b) за a = 2 и b = −3. 3a + b
Решење
Означимо са A
a=2 вредност израза A за a = 2 и b = −3, па је b=−3
4(a − 2b)
4(2 − 2 · (−3)) 4(2 + 6) 32 2 = = A
= = = 10 .
a=2 3a + b a=2 3·2−3 6−3 3 3 b=−3
b=−3
Задаци за вежбу 1.
Израчунајте следеће бројевне изразе: 2 3 4 4 1 3 7 2 2 2 а) −3 · −9 ; б) : −2 ; в) − − : − . 3 10 8 5 5 5 5
2.
Напишите вредности бројевног израза ако он има смисла. а) A = (2, 31 + 13, 64) : (5 − 2, 25); б) B = (12, 8 + 3, 2)2 : (9 − 2 · 4, 5); 23 − 4 2 · 52 − 44 в) C = 3, 5 + ; г) D = 4, 73 + . 5 − (3, 783 + 1, 217) 6 + (4, 7 − 8, 7)
3.
Израчунајте вредност бројевног израза: а) A = (−4, 8 : 0, 02 + 232, 5) : (−0, 04) · (32 − 23 ); б) B = −0, 35 · (12, 64 : 4 − 3, 2) · (72 − 3 · 42 ).
Површина правоугаоника је 27 m2 , а једна његова страница је 9 m. Колика је дијагонала правоугаоника? √ 5. Дијагонала правоугаоника је 6 5 m, а једна његова ивица је 6 m. Израчунајте површину правоугаоника. 4.
6.
Израчунајте вредност израза: 1 1 ; б) а) ; | − 2, 85| + |0, 05| (| − 0, 37| + |0, 63|)7
7.
Израчунајте: а) 50% од 63 m;
8.
164
б) 33% од 3000 km;
3
2
2
в)
−4
−
2
. 7 7
в) 75% од 600 t;
2 г) 2 % од 270 kg. 9
Израчунајте вредност израза: а) |a| − |b| + |c| − |d|, ако је a = −2, b = 3, c = −8 и d = −7; б) −|x| + |y| − |z| + |w|, ако је x = −3, y = 3, z = −8 и w = −7.
стр. 165
5.1. Алгебарски изрази
9.
Има ли смисла бројевни израз, који се добија из алгебарског израза 3t − 5 A= , за: 3 · 2t − 0, 25 · 24t а) t = 2; б) t = −1?
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. а) 31; 2. а) 5,8;
2 5 ; в) − . 16 5 б) Израз нема смисла;
б) −
в) Израз нема смисла; 3. а) 187,5; б) 0,014. √ 4. 3 10 m. 5. 72 m2 .
г) 7,73.
225 10 ; б) 1; в) . 29 49 7. а) 31,5 m; б) 990 km; в) 450 t; 6. а)
8. а) 0;
г) 6 kg.
б) −1.
9. а) Именилац израза A је 3·2t −0, 25·24t = 6t −6t = 0 па израз A нема смисла ни за једно t. б) Слично као под а).
165
стр. 166
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
5.2. Мономи Приликом решавања задатака из степеновања упознали сте, на пример, израз облика 1, 6 · 25 · 32 Ако у овом бројевном изразу, уместо бројева 2 и 3 напишемо променљиве x и y добије се алгебарски израз 1, 6 · x5 · y 2 . Моном је производ реалног броја и степена једне променљиве или више променљивих са природним изложиоцем. Реални број је моном.
Пример 1 Следећи изрази су мономи: а) 2;
б) ax;
в) xy 2 ;
г) 5x2 y 3 ; д) 17a3 y 2 (−4)bz2 az2 .
Упростити моном значи извршити множење реалних бројева у производу (ако их има више) и извршити множење степена истих основа. Тако се добија стандардни облик монома. Пример 2 Упростите моном (или га доведите на стандардни облик) A = 17a3 y 2 (−4)bz5 az3 . Решење A = 17 · (−4) · a3 · a · b · y 2 · z5 · z3 = −68 · a4 · b · y 2 · z8
Реални број у стандардном облику монома назива се коефицијент монома.
Пример 3 Коефицијенти монома (−21)xy 2 z3 ,
1 4 ab , 21
abc су бројеви −21,
1 и 1. 21
Два монома су једнака ако су у њиховим производима реални бројеви једнаки и сви степени променљивих једнаки. 166
стр. 167
5.2. Мономи
Пример 4 Следећи мономи су једнаки: а) a · 3 · bc = 3abc; б) 17a3 y 2 (−4)bz5 az2 = −68a4 by 2 z7 .
Слични мономи су мономи у стандардном облику који су једнаки или су различити само по њиховим коефицијентима.
Пример 5 а) Мономи 3x2 yz5 ,
−5x2 yz5 ,
6 2 5 x yz су слични. 5
1 б) Мономи x2 , −x2 , x2 , 2x2 су слични. 2 Пример 6 4 7 Упростите израз A = ab2 − ab2 + 4ab2 − ab2 . 3 2 Решење Пошто у овом збиру учествују слични мономи они се могу сабирати, па је 4 7 1 1 5 A= − + 4 − 1 ab2 = + ab2 = ab2 . 3 2 3 2 6
Моном који у свом производу садржи број 0 је нула моном. На пример, 3·x ·k 2 ·0·m = 0. Ако моном који је различит од нуле садржи променљиве, његов степен је збир изложилаца степена свих тих променљивих. Моном кога чини само реални број који није нула има степен 0. Степен нула монома не постоји.
Пример 7 Одредите степене следећих монома: 2 а) − a2 bc3 ; 3
б) 3xy; в) 7x2 y 3 z4 ;
г) 1, 25;
д) 0.
Решење
а) Пошто је степен монома једнак збиру изложилаца степена променљивих, у овом случају је 2 + 1 + 3 = 6. Степен монома је 6.
167
стр. 168
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
б) Степен монома је 1 + 1 = 2. в) Степен монома је 2 + 3 + 4 = 9. г) Степен монома је 0. д) Степен овог монома не постоји (није дефинисан).
Задаци за вежбу 1.
Упростите мономе (записати мономе у стандардном облику): 3 1 а) · 252 ; б) x4 x2 x3 ; 5 1 4 6 2 2 3 1 в) (−3)a (−2)b b ; г) 0, 5x y x3 ; д) −6ab a2 b3 . 4 2
2.
Упростити мономе: 1 4 2 5 2 4 2 1 а) 3 · 3 · ; б) t · t · t ; в) (−4)a xy ax3 ; 81 8 1 1 2 3 2 г) 2m n (−3)m; д) −4xy − yz; ђ) −7xy 2 x2 y; 8 21 1 е) −0, 4xy − xz; ж) 3, 2a · 0, 25ab. 2
3.
Одредите степен монома: 25 4 8 10 а) 2, 5a4 b2 c6 ; б) ·x y z ; 49 в) 52 xyz; г) mnk; д) 0 · ab.
4.
Упростите мономе: а) −3a(−1, 2)kct 4 pk 3 t 4 (−5)p5 c; б) 0, 5x(−7)yk 4 · 2t 2 x3 bm2 a3 (−3)xka.
5.
Одредите коефицијент и степен датих монома: 1 2 а) 21x2 − y 2 − x4 yzx; 3 7 1 2 3 б) −1 ab · 2a3 h · 0 −4 a2 b; 3 2 3 3 2 в) 0, 002a b z (−100)abz3 .
6.
Израчунајте вредност монома: 2 а) x3 x за x = −3; 3 б) 4xyz · 0, 25y 2 x3 z4 за x = −1, y = −1, z = −2; в) 5abc · 0, 2c2 b3 a4 за a = −2, b = −1, c = −1.
168
стр. 169
5.2. Мономи
7.
Упростите изразе: 2 3 3 2 2 121 2 3 2 а) − xyz x y z ; б) abc − a b c ; 16 124 3 11 1 2 в) −4 x3 yp4 −1 xy 4 p . 3 2
8.
Израчунајте вредност израза: 3 1 а) xy (x2 yz) за x = 3, y = −7 и z = − ; 81 7 1 3 1 1 б) − x · 0 · (−9y) за x = −1 и y = − . 27 3 9
9.
Степенујте дате мономе: 1 3 2 5 1 5 2 4 1 2 2 3 2 5 3 а) − a · b ; б) 0, 2x y ; в) − m n ; г) − x y z ; д) (0, 1ab2 )5 . 2 3 2
10.
Представите израз у облику квадрата или куба монома: 1 21 27 а) 49x2 y 2 ; б) m n ; в) 1, 69a8 b6 ; г) −0, 001a12 b12 ; д) 0, 027x15 y 36 . 125
11.
Упростите изразе. Одредити коефицијент и степен добијеног монома: 2 2 1 2 а) (6xy) x (−4y 5 )3 ; 6 3 4 1 1 б) (2ay 2 )2 (−3a3 y)3 − ay ; в) (0, 2xy 2 )3 (−4x2 yz)4 − y 2 z2 . 3 4
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. а) 5;
б) x9 ; в) 6a4 b6 n2 ; г)
1 5 3 x y ; д) −3a3 b4 . 8
1 в) − · a3 x4 y; г) −6m3 n3 ; 2 1 1 3 3 1 4 3 д) · xy z; ђ) − · x y ; е) x2 yz; ж) a2 b. 2 3 5 5 3. а) 12; б) 22; в) 3; г) 3; д) Не постоји. 2. а) 9;
б) t 11 ;
4. а) −18ac2 k 4 p6 t 8 ;
б) 21a4 bk 5 m2 x5 y.
5. а) Коефицијент је 2, а степен је 11. б) Коефицијент је 0, а степен не постоји. в) Коефицијент је −0, 2, а степен је 13.
2
6. а) x4
= 54; б) x4 y 3 z5
x=−1 = 32; 3 x=−3 y=−1
a=−2 = 32.
в) a5 b4 c3
b=−1 c=−1
z=−2
1 11 7. а) − x4 y 3 z3 ; б) − a3 b4 c2 ; 8 62 3 3 2
8. а) x y z x=3 = −7; б) 0. 7 y=−7
в) 7 · x4 y 5 p5 .
1 z=− 81
1 20 8 1 6 15 1 15 10 a b ; б) x y ; в) − m n ; 16 125 243 1 г) − x6 y 6 z3 ; д) 0, 00001a5 · b10 . 8 3 1 10. а) (7xy)2 ; б) m7 n9 ; в) (1, 3a4 b3 )2 ; 5 9. а)
г) (−0, 1a4 b4 )3 ;
д) (0, 3x5 y 12 )3 .
11. а) −64x6 y 17 , коефицијент је −64, а степен је 23; б) 4a14 y 10 , коефицијент је 4, а степен је 24; в)
1 11 18 12 1 x y z , коефицијент је , а степен је 41. 125 125
169
стр. 170
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
5.3. Полиноми и операције Полином је збир монома.
Пример 1 Следећи алгебарски изрази су примери полинома: а) kx + n; б) ax2 + bx + c; ђ) x2 y 2 − 2xyz + z2 ;
в) ax + by;
е) 5mn − 25n2 ;
г) x2 + y 2 ; ж) s4 − 1;
д) a2 + 2ab + b2 ;
з) 10;
и) 0.
Моном је полином. Број 0 је нула полином. Мономи у полиному су чланови полинома. Полиноми имају следеће особине: Чланови полинома могу да замене места. У полиному се слични мономи могу сабирати.
Пример 2 Пример комутативности
2x2 y + 3xy 2 = 3xy 2 + 2x2 y
Пример 3 Упростите полином a4 + (−a)2 + 0. Решење a4 + (−a)2 + 0 = a4 + a2 .
Пример 4 Упростите полиноме: a) x2 + xy − xy + y 2 ; б) a3 − 2a2 b + 2ab2 − a2 b + ab2 − b3 . Решење a) x2 + xy − xy + y 2 = x2 + y 2 б) a3 − 2a2 b + 2ab2 − a2 b + ab2 − b3 = a3 − 2a2 b − a2 b + 2ab2 + ab2 − b3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 .
170
стр. 171
5.3. Полиноми и операције
Полином је сређен (или у стандардном облику) ако нема сабирака који су слични мономи. Полином у сређеном облику са два члана назива се и бином, а са три члана трином. Сваки полином може се трансформисати у сређени облик.
Пример 5 Упростите полином (средите полином или га сведите на стандардни облик): а) 5mx − 2ay 2 + 17mx + 15 − ay 2 − 8 + 5mx; б) 17abx3 − 5b2 x + abx3 + 8ax + 5bx + 5b2 x − 19ax + 3; в) A = 5a · (−0, 2) · bc2 + c · (−0, 25) · a · 4bc − 0, 3ab3 · 0c. Решење а) 5mx − 2ay 2 + 17mx + 15 − ay 2 − 8 + 5mx = 27mx − 3ay 2 + 7. б) 17abx3 − 5b2 x + abx3 + 8ax + 5bx + 5b2 x − 19ax + 3 = 18abx3 − 11ax + 5bx + 3. в) A = −abc2 − abc2 = −2abc2 .
Пример 6 Упростите полиноме: а) 2a · a + a · 3a + a2 ;
б) 2x2 · 3xy − 4x · 5x2 · y;
в) y 2 · 2x − 3x2 · 2y + 2xy · 2y − xy · (−4x).
Решење а) 2aa + a · 3a + a2 = 2a2 + 3a2 + a2 = 6a2 ; б) 2x2 · 3xy − 4 · x · 5 · x2 y = 6x3 y − 20x3 y = −14x3 y; в) y 2 · 2x − 3x2 · 2y + 2xy · 2y − xy · (−4x) = 2xy 2 − 6x2 y + 4xy 2 + 4x2 y = 6xy 2 − 2x2 y.
Степен полинома је највећи степен монома у његовом збиру записаном у стандардном облику. Напомена. Степен нула полинома није дефинисан. За степен полинома P може се користити ознака stP . 171
стр. 172
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
Пример 7 1 Одредите степен полинома P = 2x4 − xy 2 + z. 3 Решење 1 Дати полином састоји се од три монома у збиру и то: 2x4 , − xy 2 и z. 3 Степени ових монома, тим редом, су 4, 3 и 1. Према томе, степен полинома P је 4.
Пример 8 Напишите полином у стандардном облику и одредите његов степен: а) A = 6a3 − 8b2 a3 + b2 a3 + 12a3 b2 + 2a3 ; б) B = x5 − 7y 2 + 3xyx4 + 2x − 1. Решење а) A = 8a3 + 5b2 a3 . Степен полинома A је stA = 5. б) B = 3x5 y + x5 − 7y 2 + 2x − 1, stB = 6.
Ако у полиному променљиве заменимо конкретним бројевима, онда, као и код алгебарског израза, добијамо вредност тог полинома.
Пример 9 Израчунајте вредност полинома A = 8a4 − 5a3 b2 за a = 2 и b = 3. Решење
A
a=2 = 8 · 24 − 5 · 23 · 32 = 8 · 16 − 5 · 8 · 9 = 128 − 360 = −232. b=3
Полином супротан полиному A је полином −A, код кога сви чланови имају супротан знак.
Пример 10 Полином супротан полиному A = x2 + 3x − 4 је полином −A = −(x2 + 3x − 4) = −x2 − 3x + 4
172
стр. 173
5.3. Полиноми и операције
Збир два слична монома је њима сличан моном чији је коефицијент једнак збиру коефицијената сабирака (применом дистрибутивног закона). Збир два полинома A и B, у ознаци A + B, је полином. Добијени збир средите тако што саберете сличне мономе. Разлика полинома A и B је полином A − B = A + (−B).
Пример 11 Нађите збир и разлику полинома A и B где је: A = 2x3 − x2 + 3x − 1, B = −7x2 − 5x + 4. Решење A + B = 2x3 − x2 + 3x − 1 + (−7x2 − 5x + 4). = 2x3 − x2 + 3x − 1 − 7x2 − 5x + 4 = 2x3 − 8x2 − 2x + 3 A − B = 2x3 − x2 + 3x − 1 − (−7x2 − 5x + 4) = 2x3 − x2 + 3x − 1 + 7x2 + 5x − 4 = 2x3 + 6x2 + 8x − 5.
Као што сте видели у примеру 11, правила која сте научили за сабирање и одузимање важе и овде. Подсетите се једноставних крилатица. Пред заградом више, заграда се брише! Пред заградом мање, у загради мењање! Два полинома се множе по дистрибутивном закону: сваки сабирак једног полинома множи се са сабирком другог полинома и добијени мономи се саберу.
Пример 12 Помножите полиноме: а) (x2 − 3x + 4) · (2x − 1);
б) (xy 2 + 3a2 ) · (3xy + a3 ).
Решење а) (x2 − 3x + 4) · (2x − 1) = 2x3 − x2 − 6x2 + 3x + 8x − 4 = 2x3 − 7x2 + 11x − 4. б) (xy 2 + 3a2 ) · (3xy + a3 ) = 3x2 y 3 + a3 xy 2 + 9a2 xy + 3a5
173
стр. 174
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
Пример 13 Упростите изразе: а) a − (b − (a + b) − a);
б) (x + 2)(x + 3) − (x − 1)(x − 6).
Решење а) a − (b − (a + b) − a) = a − (b − a − b − a) = a − (−2a) = a + 2a = 3a. б) (x+2)(x+3)−(x−1)(x−6) = x2 +3x+2x+6−(x2 −6x−x+6) = x2 +5x+6−(x2 −7x+6) = x2 +5x+6−x2 +7x−6 = 12x.
Задаци за вежбу 1.
Упростите полиноме: а) 9a − 3b + 5a − 7b − 8a; б) 41x + 15y − 40x − 16y; в) a − 2x + a + 11x − 2a.
2.
Упростите полиноме: 1 2 1 а) 1, 1x − 2, 7y + 0, 8x − x + 3y; б) x + y − 2x + 1 y; в) xyz − 2x2 y + 2x − 3x. 3 5 4
3.
Напишите дате полиноме у сређеном облику и одредите њихове степене: а) 5a3 − 7ax3 − 2ax3 − a3 x − ax3 ; б) y 2 2x − 3x2 · 2y + 2xy · 2y − xy · (−4x).
4.
Напишите дате полиноме у сређеном облику и одредите њихове степене: а) 2a2 bc2 − a2 bc + 6a2 bc; б) 19x2 yz + 12xyz2 − 13x2 yz − xyz2 + 2x2 yz + 3xyz2 ; в) 12x2 − 20a2 + 8x2 − a2 + 10a2 − 4x2 .
5.
Нађите вредности полинома: а) A = −2, 1a2 b + 4a + 1, 1a2 b − 3a за a = 4 и b = 9; б) P = 1, 3x2 − 21xy 2 + 11xy 2 − (−0, 7)x2 за x = 2 и y = 3.
6.
Нађите збир и разлику полинома A и B. а) A = 2x − 1, B = x + 1; б) A = c, B = −a − c; в) A = x2 − 4x + 3, B = x2 − 5x − 2; 5 1 2 1 г) A = − a − , B = − a − ; 6 4 3 6 3 1 1 5 д) A = − b − a , B = − b + a; 6 4 2 8 4 2 2 2 ђ) A = 3x − 2x b + 4x y − 2xy 3 , B = −3x4 + 6x2 b − 7x2 y 2 + 3xy 3 .
7.
Помножите, а затим средите дате полиноме: а) (−8y 2 − 4ay + a2 )(−5ay); б) (6x − 2a)(4a − 3x); в) (9m2 − 3)(2m2 + 1); г) (x − 1)(x + 1); д) (2b − 3)(3b − 2); ђ) (−7y 2 − 4x2 )(−x2 + 2y 2 ).
174
стр. 175
5.3. Полиноми и операције
8.
Упростите изразе: а) x(x−2y)−y(5−2x); б) (a+2)(a−1)−(a+1)(a−2);
9.
10.
Упростите изразе: 1 3 1 1 2 2 3 а) a − 2b a + ab + 4b − a − 8b ; 2 4 8
в) (4−x)(2−x)−(x+2)(1−x).
1 б) (a + b + c)(a + b − c) − ab. 2
Упростите изразе: а) ab(c − d) − cd(a − b) − ac(b − d) − bd(c − a); б) (a2 − 4a + 4)(a2 + 4a + 4) − a2 (a2 − 8); в) (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1); г) (a3 b − b2 )(a2 − 2b)(a − 3b) + 3a2 b2 (a3 − 2ab − b) + 2b2 (a4 − ab + 3b2 ).
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. а) 6a − 10b; б) x − y; в) 9x. 2 13 2. а) 0, 9x +0, 3y; б) −1 x +1 y; в) xyz −2x2 y −x. 3 20 3. а) 5a3 − 10ax3 − a3 x, а његов степен је 4; б) 6xy 2 − 2x2 y, а његов степен је 3. 4. а) 2a2 bc2 + 5a2 bc, а степен је 5; б) 8x2 yz + 14xyz2 , а степен је 4; в) 16x2 − 11a2 , а степен је 2.
5. а) A = −a2 b + a, A
a=4 = −140; b=9
б) P = 2x2 − 10xy 2 , P
x=2 = −172. y=3
6. а) A + B = 3x, A − B = x − 2; б) A + B = −a, A − B = a + 2c; в) A + B = 2x2 − 9x + 1, A − B = x + 5;
3 5 1 1 г) A + B = − a − , A−B = − a− ; 2 12 6 12 4 7 1 5 д) A + B = − b + a, A − B = − b + a; 3 8 3 8 ђ) A + B = 4x2 b − 3x2 y 2 + xy 3 , A − B = 6x4 − 8x2 b + 11x2 y 2 − 5xy 3 . 7. а) 40ay 3 + 20a2 y 2 − 5a3 y; б) 24ax − 18x2 − 8a2 + 6ax = −8a2 + 30ax − 18x2 ; в) 18m4 + 3m2 − 3; г) x2 − 1; д) 6b2 − 13b + 6; ђ) 4x4 − x2 y 2 − 14y 4 . 8. а) x2 − 5y; б) 2a; в) 2x2 − 5x + 6. 1 9. а) 0; б) (a2 + b2 − c2 ). 2 10. а) 0;
б) 16;
в) x8 − 1;
г) a6 b − a3 b2 .
175
стр. 176
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
5.4. Квадрат бинома и разлика квадрата Ако имате производ (a + b)(a + b) или (a − b)(a − b) извршићете „пешке” множење помоћу дистрибутивног закона или, једноставно речено, помножићете сваки са сваким, па ћете добити: (a + b) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 ; (a − b) · (a − b) = a2 − ab − ba + b2 = a2 − 2ab + b2 . Геометријски, ове формуле могу једноставно да се докажу преко збира површина квадрата и правоугаоника, где је a > 0, b > 0 и a > b.
Слика 5.1. Квадрат површине (a + b)2
Слика 5.2. Квадрат површине a2
Ако су у формулама (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , и (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 променљиве a и b мономи или полиноми A и B, онда уопште важи: (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 (квадрат збира), (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2 (квадрат разлике), где су A и B бројеви, променљиве, полиноми и други алгебарски изрази.
Пример 1 Израчунајте на једноставан начин, без коришћења рачунара, бројевне изразе: а) 512 ;
б) 492 .
Решење а) 512 = (50 + 1)2 = 502 + 2 · 50 · 1 + 12 = 2500 + 100 + 1 = 2601 б) 492 = (50 − 1)2 = 502 − 2 · 50 · 1 + 12 = 2500 − 100 + 1 = 2401
176
стр. 177
5.4. Квадрат бинома и разлика квадрата
Пример 2 Одредите квадрат збира: 2
а) (2x + 1) ;
2
б) (3x + 4y) ;
2 1 в) + a ; г) (m + n)2 . 2
Решење а) (2x + 1)2 = (2x)2 + 2 · (2x) · 1 + 12 = 4x2 + 4x + 1 (примена квадрата збира) б) Ако је у формули (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 , A = 3x и B = 4y, онда је (3x + 4y)2 = (3x)2 + 2 · 3x · 4y + (4y)2 = 9x2 + 24xy + 16y 2 ; 2 2 1 1 1 1 +a = + 2 · · a + a2 = + a + a2 ; в) 2 2 2 4 г) (m + n)2 = m2 + 2mn + n2 .
Пример 3 Израчунајте на најлакши начин: а) 992 ;
б) 9982 .
Решење а) Како је 99 = 100 − 1 онда је 992 = (100 − 1)2 = 1002 − 2 · 100 · 1 + 12 = 10000 − 200 + 1 = 9801. б) 9982 = (1000 − 2)2 = 10002 − 2 · 1000 · 2 + 22 = 1 000 000 − 4000 + 4 = 996 004
Пример 4 Одредите квадрат разлике: 1 3 1 4 2 а) (x − 1) ; б) (4 − 3y) ; в) x − y . 2 3 2
2
Решење Применом формуле за квадрат разлике добијате да је: а) (x − 1)2 = x2 − 2x + 1; б) (4 − 3y)2 = 42 − 2 · 4 · 3y + (3y)2 = 16 − 24y + 9y 2 ; 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 в) x3 − y 4 = x3 − 2 · x3 · y 4 + y 4 = x6 − x3 y 4 + y 8 . 2 3 2 2 3 3 4 3 9
Пример 5 Израчунајте вредност израза применом формула за квадрат збира или квадрат разлике. а) 1072 ; б) 932 . Решење а) 1072 = (100 + 7)2 = 1002 + 2 · 100 · 7 + 72 = 10000 + 1400 + 49 = 11449 б) 932 = (100 − 7)2 = 1002 − 2 · 100 · 7 + 72 = 10 000 − 1400 + 49 = 8600 + 49 = 8649
177
стр. 178
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
Пример 6 Упростите изразе: а) 3(4x − 2)2 − 2(−3x − 1)2 ;
б) (a − 1)2 − 2(a − 1)(a + 3) + (a + 3)2 .
Решење а) 3(4x − 2)2 − 2(−3x − 1)2 = = 3 · (4x)2 − 2 · 4x · 2 + 22 − 2 (−3x)2 − 2(−3x) · 1 + 12 = 3(16x2 − 16x + 4) − 2(9x2 + 6x + 1) = 48x2 − 48x + 12 − 18x2 − 12x − 2 = 30x2 − 60x + 10; б) (a − 1)2 − 2(a − 1)(a + 3) + (a + 3)2 = = a2 − 2a + 1 − 2(a2 + 2a − 3) + a2 + 6a + 9 = 16.
Пример 7 Докажите једнакости: а) (a − b)2 = (b − a)2 ; б) (a + b)2 = (−a − b)2 ; в) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. Решење
2 а) (a − b)2 = − (b − a)
(јер је a − b = −(b − a))
= (−1)2 (b − a)2 = (b − a)2 ; б) (a + b)2 = (−1)2 (a + b)2 2 = (−1)(a + b) = (−a − b)2 ; 2 в) (a + b + c)2 = (a + b) + c
(групишемо на два сабирка)
= (a + b)2 + 2(a + b) · c + c2 2
(квадрат збира)
2
= a + 2ab + b + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
Ако помножите (a − b) · (a + b), добија се (a − b) · (a + b) = a2 + ab − ab − b2 = a2 − b2 . 178
стр. 179
5.4. Квадрат бинома и разлика квадрата
А ако стране једнакости замене места, онда добијамо a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Разлика квадрата је формула A2 − B 2 = (A − B)(A + B) где су A и B реални бројеви или алгебарски изрази.
Пример 8 Користећи разлику квадрата израчунајте: 2 2 1 3 2 2 2 2 − 6 . а) 75 − 25 ; б) 23, 4 − 23, 3 ; в) 7 4 4 Решење а) 752 − 252 = (75 − 25)(75 + 25)
разлика квадрата
= 50 · 100 = 5000. б) 23, 42 − 23, 32 = (23, 4 − 23, 3)(23, 4 + 23, 3) = 0, 1 · 46, 7 = 4, 67. 2 2 2 2 3 1 31 25 31 25 31 25 в) 7 − 6 = − = − · + 4 4 4 4 4 4 4 4 6 56 3 = · = · 14 = 21. 4 4 2
Пример 9 Геометријски се разлика квадрата a2 − b2 = (a − b)(a + b) може изразити преко површине где је a > 0, b > 0, a > b.
Слика 5.3. Разлика квадрата
„Слика говори више од речи!” 179
стр. 180
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
Пример 10 Помоћу разлике квадрата израчунајте производ: а) 71 · 69;
б) 498 · 502; в) 10, 2 · 9, 8.
Решење Овде се користи формула A2 − B2 = (A − B)(A + B), па је: а) 71 · 69 = (70 + 1)(70 − 1) = 702 − 12 = 4900 − 1 = 4899 б) 498 · 502 = (500 − 2)(500 + 2) = 5002 − 22 = 250000 − 4 = 249996 в) 10, 2 · 9, 8 = (10 + 0, 2)(10 − 0, 2) = 102 − (0, 2)2 = 100 − 0, 04 = 99, 96.
Пример 11 Напишите у облику производа: а) x2 − 1;
б) 4 − y 2 ;
в) x2 − 4y 2 ;
г) 49 − 25a2 ; д) (−a − b)(a − b).
Решење а) x2 − 1 = (x − 1)(x + 1); б) 4 − y 2 = 22 − y 2 = (2 − y)(2 + y); в) x2 − 4y 2 = x2 − (2y)2 = (x − 2y)(x + 2y); г) 49 − 25a2 = 72 − (5a)2 = (7 − 5a)(7 + 5a); д) (−a − b)(a − b) = −(a + b)(a − b) = −(a2 − b2 ) = b2 − a2 .
Пример 12 Израчунајте вредност израза A = (−a − 3)(3 − a) + (−5 − a)(a − 5) за a = 25000. Решење Прво ћемо средити израз A, A = (−a − 3)(−a + 3) + (−5 − a)(−5 + a) = (−a)2 − 32 + (−5)2 − a2 = a2 − 9 + 25 − a2 = 16 Као што се види израз A има вредност 16 за било које a. Или, прецизније, израз A у сређеном облику не садржи променљиву a већ је A = 16.
Задаци за вежбу 1.
Напишите дате изразе у облику квадрата збира или квадрата разлике: а) x2 − 2x + 1; б) x2 + 4x + 4; в) 4x2 + 4x + 1; г) 25a2 + 30ab + 9b2 ; д) 64a2 − 112ab + 49b2 .
2.
3.
180
Израчунајте: а) 1022 − 408 + 4;
б) 982 + 392 + 4.
Напишите дате изразе у облику квадрата збира или квадрата разлике: а) x4 − 2kx2 + k 2 ; б) 16m2 − 8mp + p2 ; в) 0, 64x2 y 2 + 0, 64xyz + 0, 16c2 .
стр. 181
5.4. Квадрат бинома и разлика квадрата
4.
Израчунајте: 1012 .
5.
Израчунајте производ: а) 5, 01 · 4, 99; б) 24, 8 · 25, 2.
6.
Упоредите бројевне изразе: а) 1932 и 192 · 194; б) 268 и 267 · 269.
7.
Напишите у облику производа: 225 25 2 а) x2 − 64; б) − a ; в) a2 b2 − 81c2 . 256 36
8.
Упростите изразе: а) (x + 7)2 − 2(x + 7)(x − 5) + (x − 5)2 ; б) (2a − 3)2 + 2(2a − 3)(2a + 3) + (2a + 3)2 .
9.
10.
Средите изразе: а) 16a2 + (−7 − 4a)(−7 + 4a);
б) 34x2 − (3x − 5)(3x + 5).
Израчунајте вредност израза: 1 а) (4a + 8)(8 − 4a) − (−5a + 2)(2 + 5a) за a = ; 2
1 б) (3x + 7y)(3x − 7y) − (3x + 7y)2 + 98y 2 за x = , y = −3. 3
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. а) (x − 1)2 ; б) (x + 2)2 ; в) (2x + 1)2 ; г) (5a + 3b)2 ; д) (8a − 7b)2 . 2. а) 1022 − 2 · 102 · 2 + 4 = (102 − 2)2 = 1002 = 10000; б) (98 + 2)2 = 1002 = 10000. 3. а) (x2 − k)2 ; б) (4m − p)2 ; в) 0, 16 · (4x2 y 2 + 4xyz + z2 ) = 0, 16 · (2xy + z)2 . 4. 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2 · 100 + 1 = 10201. 5. а) (5 + 0, 01)(5 − 0, 01) = 52 − 0, 012 = 25 − 0, 0001 = 24, 9999; б) 624,96.
6. а) 1932 > 192 · 194 = (193 − 1)(193 + 1) = 1932 − 1; б) 268 > 267 · 269. 15 5 15 5 − a + a . 7. а) (x − 8)(x + 8); б) 16 6 16 6 в) (ab − 9c)(ab + 9c). 2 8. а) (x + 7) − (x − 5) = 122 = 144; 2 б) (2a − 3) + (2a + 3) = (4a)2 = 16a2 . 9. а) 49; б) 25x2 + 25. 249 10. а) ; б) 42. 4
181
стр. 182
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
5.5. Растављање полинома на чиниоце Као што сте видели, прилично је једноставно множити два сређена полинома. Како је са супротним процесом – растављањем полинома на производ? Дистрибутивни закон се користи често, тј. a(b + c) = ab + ac, али може и у другом „смеру”: ab + ac = a(b + c) Погледајте следећи пример: Пример 1 Раставите полином ax + ay + 3a2 b на чиниоце (факторе). Решење Није тешко да приметите да је a заједнички фактор, па је ax + ay + 3a2 b = a(x + y + 3ab). Полином x + y + 3ab не може се раставити на производ полинома. Растављање је овим завршено.
Пример 2 Раставите полином на чиниоце 5x3 y 4 z + 6x2 y 3 z. Решење У сабирцима полинома имате x3 и x2 . Заједнички фактор је израз x2 , јер је то највећи степен од x, који се садржи у оба сабирка датог полинома. Слично, y 3 је највећи степен од y који се садржи у датом полиному. Највећи степен од z који се садржи у полиному јесте z. Бројеви 5 и 6 немају заједничке чиниоце. Дакле, заједнички фактор (и то највећи заједнички) је x2 y 2 z. Због тога је тражени резултат следећи: 5x3 y 4 z + 6x2 y 3 z = x2 y 3 z(5xy + 6).
Полином AB + AC раставља се коришћењем дистрибутивног закона AB + AC = A(B + C).
Пример 3 Раставите на чиниоце: а) 9x3 − 21x4 ; б) a3 b5 − ab4 ; в) x(a − b) + y(a − b); 182
стр. 183
5.5. Растављање полинома на чиниоце
г) m2 (y − 2) − n(2 − y); д) 14a(a − b) − 7b(b − a)2 . Решење а) 9x3 − 21x4 = 3x3 (3 − 7x); б) a3 b5 − ab4 = ab4 (a2 b − 1); в) x(a − b) + y(a − b) = (a − b)(x + y); г) m2 (y − 2) − n(2 − y) = m2 (y − 2) + n(y − 2) = (y − 2)(m2 + n); д) 14a(a − b) − 7b(b − a)2 = 14a(a − b) − 7b(a − b)2 (јер је (a − b)2 = (b − a)2 ) = 7(a − b) 2a − b(a − b) = 7(a − b)(2a − ab + b2 ).
Већ сте увежбали квадрат бинома: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(квадрат збира)
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(квадрат разлике), као и
разлику квадрата (a − b)(a + b) = a2 − b2 . Ове формуле често су у употреби и називају се формуле скраћеног множења. Све ове формуле можете користити за растављање полинома на чиниоце.
Полиноми облика A2 + 2AB + B 2 , A2 − 2AB + B 2 и A2 − B 2 растављају се на чиниоце на следећи начин: A2 + 2AB + B 2 = (A + B)2 (квадрат збира), A2 − 2AB + B 2 = (A − B)2
(квадрат разлике) и
A2 − B 2 = (A − B)(A + B) (разлика квадрата).
Пример 4 Раставите полиноме на чиниоце: а) 9x2 − 25; б) x2 + 6x + 9; в) 4x2 − 4x + 1. Решење а) Применом разлике квадрата добијате: 9x2 − 25 = (3x)2 − 52 = (3x − 5)(3x + 5). б) Применом квадрата збира је: x2 + 6x + 9 = x2 + 2x · 3 + 32 = (x + 3)2 . в) Применом квадрата разлике је: 4x2 − 4x + 1 = (2x)2 − 2 · (2x) · 1 + 12 = (2x − 1)2 .
183
стр. 184
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
Пример 5 Раставите полиноме: а) 4x2 − 12x + 9; б) 25a4 + 10a2 y 2 + y 4 ; в) 16m2 n2 − 40mnk + 25k 2 ; 1 г) x2 + x + . 4 Решење а) 4x2 − 12x + 9 = (2x)2 − 2 · (2x) · 3 + 32 = (2x − 3)2 ; б) 25a4 + 10a2 y 2 + y 4 = (5a2 )2 + 2 · (5a2 ) · y 2 + (y 2 )2 = (5a2 + y 2 )2 ; в) 16m2 n2 − 40mnk + 25k 2 = (4mn)2 − 2 · (4mn) · 5k + (5k)2 = (4mn − 5k)2 ; 2 1 1 1 2 1 = x+ . г) x2 + x + = x2 + 2 · x · + 4 2 2 2
Пример 6 Раставите полиноме на чиниоце: а) x4 − 1;
б) a4 − 256; в) (a + b)2 − 100;
г) (a2 + b2 )2 − 4a2 b2 ; д) (a − 2c)2 − a2 . Решење а) x4 − 1 = (x2 )2 − 12 2
(разлика квадрата)
2
= (x − 1)(x + 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1); б) a4 − 256 = (a2 )2 − 162 = (a2 − 16)(a2 + 16) = (a − 4)(a + 4)(a2 + 16); в) (a + b) − 100 = (a + b)2 − 102 2
= (a + b − 10)(a + b + 10); г) (a + b ) − 4a b = (a2 + b2 )2 − (2ab)2 (разлика квадрата) 2
2 2
2 2
= (a2 +b2 −2ab)(a2 +b2 +2ab) 2
(примените формуле за квадрат разлике и квадрат збира)
2
= (a − b) (a + b) . д) (a − 2c)2 − a2 = (a − 2c − a)(a − 2c + a) (разлика квадрата) = (−2c)(2a − 2c) („пред заградом мање у загради мењање”) = 2c(2c − 2a) (дистрибутивност) = 4c(c − a).
184
стр. 185
5.5. Растављање полинома на чиниоце
Пример 7 Раставите полином 8x5 y 2 + 8x4 y 2 + 2x3 y 2 . Решење 8x5 y 2 + 8x4 y 2 + 2x3 y 2 = 2x3 y 2 (4x2 + 4x + 1) = 2x3 y 2 (2x + 1)2 . Као што сте видели, прво смо уочили заједнички фактор и употребили дистрибутивни закон а затим применили формулу за квадрат бинома.
За растављање полинома на факторе често се користи тзв. идеја груписања. Пример 8 Раставите полином ax + by + bx + ay. Решење Ако је потребно да раставите полином ax + by + bx + ay, онда приметите да први и четврти сабирак имају заједнички фактор a, а остала два заједнички фактор b. Зато претходно групишите сабирке на следећи начин: ax + by + bx + ay = (ax + ay) + (by + bx). Затим извлачите заједничке факторе из прве и друге групе сабирака. Тако добијате (ax + ay) + (by + bx) = a(x + y) + b(y + x). Сада примећујете да је x + y заједнички фактор, јер су x + y и y + x једнаки. Дакле, a(x + y) + b(y + x) = (a + b)(x + y). На овај начин, полазни полином је растављен: ax + by + bx + ay = (a + b)(x + y).
Шта мислите како је састављен овај задатак? Пошли смо од (a+b)(x+y). Помножили смо та два полинома. Резултат је ax+ay+bx+by. Затим смо, да би проблем био „компликованији”, променили редослед сабирака и дошли до полинома (∗). Проблем који смо решавали гласи овакo: Раставите полином ax + by + bx + ay. (∗) Метода груписања садржи вишеструку примену дистрибутивног закона. За домаћи задатак, ради вежбе, саставите сами сличан пример користећи израз (x + a)(y + b + c). За растављање полинома често се комбиновано користе поступци које смо навели. Пример 9 Раставите полином a2 − m4 n6 + b2 − 2ab. Решење Груписањем првог, четвртог и трећег члана добијате: a2 − m4 n6 + b2 − 2ab = a2 − 2ab + b2 − m4 n6 = (a − b)2 − (m2 n3 )2 = (a − b − m2 n3 )(a − b + m2 n3 ).
Напомена. Као што сте видели прво је извршено погодно груписање, затим је примењена формула за квадрат разлике и на крају је примењена разлика квадрата. 185
стр. 186
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
Пример 10 Раставите полином x2 − 5x + 6. Решење Сада ће доћи до изражаја ваша способност груписања или растављања средњег члана у погодни облик. У овом случају: −5x = x − 6x, па је x2 − 5x − 6 = x2 + x − 6x − 6 = x(x + 1) − 6(x + 1) = (x + 1)(x − 6).
Задаци за вежбу 1.
Раставите на чиниоце: а) 8a − 16; б) 25xy + 15y; в) 9ab + 18bc.
2.
Нађите вредност израза: а) 23 · 729 + 23 · 271; б) 4, 99 · 147 − 4, 99 · 21 − 4, 99 · 26.
3.
Раставите на чиниоце: а) x3 + x2 − 5x; б) 4a7 − 11a3 ; в) x4 b3 + x2 b2 .
4.
Раставите на чиниоце: а) x(a − b) + y(a − b); б) (y − 2) + b(y − 2); в) 2a(b + x) − 4x(b + x); г) 7x(a + b − c) − 4y(a + b − c) + z(a + b − c).
5.
Запишите у облику квадрата бинома: а) x2 − 2xy + y 2 ; б) a2 + 4a + 4; в) x2 + 6x + 9; г) a2 − 10a + 25; д) 4x2 − 4x + 1; ђ) 9a2 + 6a + 1.
6.
Запишите у облику производа: а) a2 − 64; б) 9a2 − 4; в) 25x2 − 1;
7.
г) 100a2 − 0, 25b2 .
Раставитe на чиниоце: а) a2 bc + ab2 c + abc2 ; б) x2 y 2 z3 − x2 y 3 z2 + x3 y 2 z2 ; 1 1 1 в) a2 b3 + a3 b2 + a3 b3 . 9 6 12
8.
Раставитe на чиниоце: а) ac − ad + bc − bd; б) xy + xz + y + z; в) x2 + xy − xz − yz; г) b3 − 3b2 + 2b − 6; д) m2 − mn + am − an; ђ) a3 + 5a2 + 5a + 25.
9.
Раставитe на чиниоце:
186
стр. 187
5.5. Растављање полинома на чиниоце
а) (a + b)x − (a + b)y; б) (ma − mb) + (a − b); в) 3x − 6y − (2y − x); г) mx − 2m − 2a + ax. 10.
Раставите полиноме: а) (a + b)2 − c2 ; б) (x − y)2 − (x + y)2 ; в) (a + b)2 + 2(a + b) + 1; г) (x − 2y)2 + 4(x − 2y) + 4.
11.
Раставите полиноме: а) 9a2 − 6a(a + 1) + (a + 1)2 ; б) (4x − y)2 − (y − 4x) − (20x − 5y).
12.
Раставите полиноме: а) 5(2a + b)2 − 20c2 ; б) a2 − b2 − a + b; в) mn2 − m − n3 + n; г) 3a2 − 24a + 48; д) 98 − 84x + 18x2 ; ђ) a2 − b2 + a − b.
13.
Раставите полиноме: а) a2 − 2ab + b2 − p2 ; б) 1 − 25a2 + 10ab − b2 ; в) y 2 − x2 − 12x − 36; г) (a + b)(a2 − ab + b2 ) + 3ab(a + b).
14.
Раставите полиноме: а) x2 − 2x − 3; б) x2 + 3x − 10; в) x2 + 4x − 5; г) x2 − 5x + 6; д) x2 − 11x + 10.
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. 2. 3. 4.
а) 8(a − 2); б) 5y(5x + 3); в) 9b(a + 2c). а) 23000; б) 499. а) x(x2 + x − 5); б) a3 (4a4 − 11); в) x2 b2 (x2 b + 1). а) (x + y)(a − b); б) (y − 2)(1 + b); в) 2(a − 2x)(b + x); г) (7x − 4y + z)(a + b − c).
9. а) (a + b)(x − y); б) (m + 1)(a − b); в) 3(x − 2y) + x − 2y = 4(x − 2y); г) (m + a)(x − 2). 10. а) (a + b − c)(a + b + c); б) (−2y)(2x) = −4xy; в) (a + b + 1)2 ; г) (x − 2y + 2)2 .
5. а) (x − y)2 ; б) (a + 2)2 ; в) (x + 3)2 ;
11. а) (2a − 1)2 ; б) (4x − y)(4x − y − 4).
г) (a − 5)2 ; д) (2x − 1)62; ђ) (3a + 1)2 . 6. а) (a − 8)(a + 8); б) (3a − 2)(3a + 2); в) (5x − 1)(5x + 1); г) (10a − 0, 5b)(10a + 0, 5b).
12. а) 5(2a + b − 2c)(2a + b + 2c); б) (a + b − 1)(a − b);
7. а) abc(a + b + c); б) x2 y 2 zz (z − y + x); 1 1 1 1 в) · a2 b2 b + a + ab . 3 3 2 4 8. а) (a + b)(c − d); б) (x + 1)(y + z); в) (x − z)(x + y); г) (b2 + 2)(b − 3); д) (m + a)(m − n); ђ) (a2 + 5)(a + 5).
в) (m − n)(n − 1)(n + 1); г) 3(a − 4)2 ; д) 2(7 − 3x)2 ; ђ) (a + b + 1)(a − b). 13. а) (a − b − p)(a − b + p); б) (1 − 5a + b)(1 + 5a − b); в) (y − x − 6)(y + x + 6); г) (a + b)3 . 14. а) (x + 1)(x − 3); б) (x − 2)(x + 5); в) (x − 1)(x + 5); г) (x − 2)(x − 3); д) (x − 1)(x − 10).
187
стр. 188
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
5.6. Разни примери и примене У овом поглављу разматрају се цели алгебарски изрази. Централна тема су полиноми. Често сте били у прилици да сабирате и множите полиноме, да их сређујете. Наравно, предмет интересовања је и растављање полинома на производ простих чинилаца. Све ове операције претварају дате изразе из једног облика у други. Нека су A и B изрази. Једнакост A = B назива се идентитет ако се за све вредности променљивих за које изрази A и B имају смисла, добија тачна бројевна једнакост. Код операција са полиномима, приликом коришћења дистрибутивног закона, сабирања и множења полинома, почетни и трансформисани полиноми су идентични. Пример 1 Следеће једнакости су идентитети: а) ax − ay = a(x − y); б) m2 − n2 = (m − n)(m + n); в) (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 . До сада су одређене једнакости називане формулама. То је уобичајен назив када имамо одређену зависност међу променљивим. Пример 2 Примери формула: а) s = v · t (Дужина пута, где је v брзина, а t време.) б) P = ab (Површина правоугаоника, где су a и b странице); p в) b = · a (p % броја a). 100
Формула је запис одређеног тврђења у облику једнакости два израза.
Пример 3 Следећи идентитети су формуле: a(b + c) = ab + ac, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , 188
(a + b) · c = ac + bc, (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ,
стр. 189
5.6. Разни примери и примене
a2 − b2 = (a − b)(a + b).
Пример 4 Ако је a > 0, b > 0 и a > b, онда дистрибутивни закон можемо представити геометријски на следећи начин:
Слика 5.4. Дистрибутивни закон a(b + c) = ab + ac
Растављање на чиниоце погодно је приликом рачунања, што можете видети у следећим примерима. Пример 5 Израчунајте вредност израза: а) A = 2c2 − 2cb − 5c + 5b за c = 4, 125 и b = −5, 875; б) B = 100a2 + 40ab + 4b2 за a = −8 и b = −10; в) C = 3, 932 + 2 · 3, 93 · 6, 07 + 6, 072 . Решење а) A = 2c2 − 2cb − 5c + 5b = 2c(c − b) − 5(c − b)
= (2c − 5) · (c − b) A
c=4,125 = (2 · 4, 125 − 5) · 4, 125 − (−5, 875) = 3, 25 · 10 = 32, 5. b=−5,875
б) B = 100a2 + 40ab + 4b2 = 4(25a2 + 10ab + b2 ) 2
= 4 · (5a + b) B
a=−8 = 4 · (5 · (−8) − 10)2 = 4 · (−50)2 = 4 · 2500 = 10000. b=−10
в) C = (3, 93 + 6, 07)2 = 102 = 100.
Растављање на чиниоце можете применити приликом решавања једначина. 189
стр. 190
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
Шта је једначина? Шта су решења једначине? Једнакост која садржи непознату назива се једначина. Решење једначине је вредност непознате за коју, се заменом у једначину, добије тачна једнакост. Решити једначину значи одредити скуп свих њених решења. Пример 6 Решитe једначине: а) 3x − 6 = 0; б) (2x + 1) · (x − 1) = 0. Решење а) Већ сте се срели са линеарном једначином облика ax + b = 0, a , 0. У овом случају једначина 3x − 6 = 0 једноставно се решава 3(x − 2) = 0. Пошто је 3 , 0, онда мора бити x − 2 = 0, односно x = 2. Број 2 је решење дате једначине. б) A · B = 0 ако и само ако је A = 0 или B = 0. 1 Према томе (2x + 1) · (x − 1) = 0 ако и само ако је 2x + 1 = 0 или x − 1 = 0, односно x = − или x = 1. 2 1 Скуп решења дате једначине је − , 1 . 2
Пример 7 Решите једначине: а) (6x + 2)2 + 7x = 4(3x − 1)2 + 55; б) (2x − 1)2 − (2 − x)2 − 14x = (5 − 2x)2 − (x − 3)2 − 19; в) (x − 1)2 + (x + 1)2 + 16x + 4 = (x − 2)2 + (x + 3)2 + 14x − 3. Решење Ако квадрирате биноме на левој и десној страни и извршите множење и сабирање добићете низ корака: а) (6x + 2)2 + 7x = 4(3x − 1)2 + 55 36x2 + 24x + 4 + 7x = 4(9x2 − 6x + 1) + 55 36x2 + 31x + 4 = 36x2 − 24x + 4 + 55 55x = 55 x=1 Једино решење је број 1. б) (2x − 1)2 − (2 − x)2 − 14x = (5 − 2x)2 − (x − 3)2 − 19 4x2 − 4x + 1 − (4 − 4x + x2 ) − 14x = 25 − 20x + 4x2 − (x2 − 6x + 9) − 19 3x2 − 14x − 3 = 3x2 − 14x − 3 0·x = 0 Сваки реалан број x је решење дате једначине, тј. x ∈ R.
190
стр. 191
5.6. Разни примери и примене
в)
(x − 1)2 + (x + 1)2 + 16x + 4 = (x − 2)2 + (x + 3)2 + 14x − 3 x2 − 2x + 1 + x2 + 2x + 1 + 16x + 4 = x2 − 4x + 4 + x2 + 6x + 9 + 14x − 3 16x + 6 = 16x + 10 0x = 4
0=4 Немогуће! Ова једначина нема решења.
Пример 8 Решите једначине: 2 а) x2 + 9x = 0; б) x2 − 2x = 0; в) 0, 5t 2 − 3t = 0; г) 8x + x2 = 0. 9 Решење Растављањем полинома на чиниоце добићете једнакост облика a · b = 0, која је еквивалентна са a = 0 или b = 0. а) x2 + 9x = 0 x(x + 9) = 0 x=0
је еквивалентно са или
x + 9 = 0,
тј.
x = 0 или x = −9. Скуп решења дате једначине је {−9, 0}. б) x2 − 2x = 0, x(x − 2) = 0 x=0
је еквивалентно са или
x − 2 = 0,
тј.
x = 0 или x = 2. Скуп решења дате једначине је {0, 2}. в) 0, 5t 2 − 3t = 0 t(0, 5t − 3) = 0,
односно
t=0
или
0, 5t − 3 = 0,
t=0
или
t−6 = 0
t = 0 или t = 6. Скуп решења дате једначине је {0, 6}. 2 г) 8x + x2 = 0 9 2 2 x 8 + x = 0, тј. x = 0 или 8 + x = 0, 9 9 x = 0 или x = −36. Скуп решења дате једначине је {−36, 0}.
Пример 9 Решити једначине: а) x2 − 25 = 0; б) y 2 − 0, 81 = 0;
в) 9 − x2 = 0; 191
стр. 192
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
г) 0, 16x2 − 9 = 0;
д) x2 = 81; ђ) 3x2 = −27.
Решење Коришћењем разлике квадрата добићете једнакости облика a · b = 0. а) x2 − 25 = 0, (x − 5)(x + 5) = 0, x−5 = 0
или
x + 5 = 0,
x = 5 или x = −5. Скуп решења дате једначине је {−5, 5}. б) y 2 − 0, 81 = 0, (y − 0, 9)(y + 0, 9) = 0, y − 0, 9 = 0
или y + 0, 9 = 0,
y = 0, 9 или y = −0, 9, па је скуп решења једначине {−0, 9; 0, 9}. в) 9 − x2 = 0 (3 − x)(3 + x) = 0, 3−x = 0
или
3 + x = 0,
x = 3 или x = −3, па је скуп решења {−3, 3}.
15 15 г) Проверите сами да је скуп решења − , . 2 2 д) {−9, 9}. ђ) Пажња! Ова једначина нема решења, јер је лева страна једнакости 3x2 ≥ 0, а десна странa −27 < 0.
Пример 10 Решите дате једначине. а) 16x2 − 72x + 81 = 0;
б) 16x4 − 72x2 + 81 = 0; в) 0, 5625x2 + 0, 6x + 0, 16 = 0.
Решење Коришћењем формуле за квадрат бинома добићете (a + b)2 = 0, одакле је a + b = 0. а) 16x2 − 72x + 81 = 0, (4x − 9)2 = 0, 4x − 9 = 0, 9 x= , 4 б) 16x4 − 72x2 + 81 = 0
па је скуп решења
9 . 4
(4x2 − 9)2 = 0, 4x2 − 9 = 0
(разлика квадрата),
(2x − 3)(2x + 3) = 0, 2x − 3 = 0 или 2x + 3 = 0, 3 3 x= или x = − , 2 2 3 3 па је скуп решења − , . 2 2
192
стр. 193
5.6. Разни примери и примене в) (0, 75x + 0, 4)2 = 0 0, 75x + 0, 4 = 0, x=−
4 40 8 0, 4 =− =− =− . 0, 75 7, 5 75 15
Пример 11 Коришћењем разних метода растављања на чиниоце, решите једначине: а) 3x4 − 27x2 = 0;
б) x2 − 2x − 24 = 0.
Решење а) 3x4 − 27x2 = 0, 3x2 · (x2 − 9) = 0, x2 = 0
или
x2 − 9 = 0,
x=0
или
(x − 3)(x + 3) = 0,
x = 0 или x = 3 Скуп решења је {−3, 0, 3}. б) x2 − 2x − 24 = 0,
или
x = −3.
x2 − 6x + 4x − 24 = 0, x(x − 6) + 4(x − 6) = 0 (x − 6)(x + 4) = 0 x−6 = 0
или
x + 4 = 0,
x=6
или
x = −4,
па је скуп решења {−4, 6}.
Напомена. Примери који следе намењени су ученицима који желе да знају више. Пример 12 Докажите да је за свако x испуњена неједнакост: а) x2 + 6x + 9 ≥ 0;
б) x2 + 4x + 4, 1 > 0.
Решење а) Пошто је x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 , и како важи (x + 3)2 ≥ 0 за свако x ∈ R, онда је и x2 + 6x + 9 ≥ 0 за свако x ∈ R. б) x2 + 4x + 4, 1 = x2 + 4x + 4 + 0, 1 = (x + 2)2 + 0, 1. Како је (x + 2)2 ≥ 0 за свако x ∈ R, онда мора бити (x + 2)2 + 0, 1 > 0 за свако x ∈ R, тј. x2 + 4x + 4, 1 > 0 за свако x ∈ R.
До сада сте видели како уз коришћење разних метода растављања полинома можете да решите неке једначине. Поставља се питање: може ли квадратни трином увек да се растави на чиниоце? Одговор је: не може! 193
стр. 194
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
Посматрајте квадратни трином x2 + px + q. Следећи поступак формирања потпуног квадрата (центрирања) помаже да разумете овај одговор. Коришћењем формуле (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 добија се 2 2 p p p x2 + px + q = x2 + 2x · + − +q 2 2 2 p 2 p 2 = x+ − + q. 2 2 2 p У зависности од знака израза − + q можете даље наставити поступак или не. 2 2 p ◦ + q < 0 поступак се наставља коришћењем разлике квадрата. 1 Ако је − 2 2 p ◦ 2 Ако је − + q = 0 растављање је завршено јер је добијен квадрат бинома или тзв. 2 потпун квадрат. 2 p 3◦ Ако је − + q > 0, даље растављање није могуће. 2 Пример 13 За дате квадратне триноме формирајте потпуне квадрате и раставите триноме на чиниоце уколико је то могуће: а) x2 + 4x − 5;
б) x2 + 8x + 16;
в) x2 + 4x + 5.
Решење а) x2 + 4x − 5 = x2 + 2 · x · 2 + 22 − 22 − 5 = (x + 2)2 − 4 − 5 = (x + 2)2 − 9 = (x + 2)2 − 32 = (x + 2 − 3)(x + 2 + 3) = (x − 1)(x + 5). Приметићете како се „пакује” потпун квадрат ако упоредите A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 x2 + 2x · 2 + 22 = (x + 2)2 . б) x2 + 8x + 16 = x2 + 2x · 4 + 42 = (x + 4)2 . в) x2 + 4x + 5 = x2 + 2 · x · 2 + 22 + 1 = (x + 2)2 + 1. Растављање није могуће! Можете да закључите да је (x + 2)2 + 1 > 0, односно x2 + 4x + 5 > 0, за свако x ∈ R.
194
стр. 195
5.6. Разни примери и примене
Задаци за вежбу 1.
Израчунајте на најлакши начин: а) (a − 3)(a + 3) − a(a + 4) за a = 0, 25; б) (3x − 4)2 − (3x − 4y)(3x + 4y) за x =
1 1 иy= . 2 4
2.
Израчунајте вредност израза: а) m(y − 2) + n(2 − y) за m = 1, 8; n = 3, 8; y = 1, 6; б) a(8 − b) − c(b − 8) за a = 1, 29; b = 8, 61; c = 2, 71.
3.
Израчунајте: а) 7, 92 − 2, 12 ;
б) 23, 52 − 13, 52 ; в) 2, 572 − 2 · 2, 57 · 1, 57 + 1, 572 .
4.
Решите дате једначине. а) 7x2 = 0; б) 2x2 = 50; в) 64 − x2 = 0; г) x2 − 26x + 169 = 0; д) 5x2 + 30x + 45 = 0.
5.
Дате идентитетe а) (a + b)c = ac + bc; б) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 , представите геометријски ако је a > 0, b > 0 и a > b.
6.
Решите дате једначине. а) x2 + 2x − 8 = 0; б) 9x2 − 9x − 4 = 0; в) 25x2 − 1 = 0; г) 9x2 − 6x + 1 = 0; д) x2 − 6x + 8 = 0; ђ) x2 − 12x + 35 = 0.
7.
Дате изразе напишите у облику квадрата бинома: а) (a + b)2 − 4ab; б) (a − b)2 + 4ab; в) (x + 2y)2 − 8xy;
г) (x − 3y)2 + 12xy.
8.
Решите једначине: а) (2x − 1)2 − x(2x − 1) = 0; б) (x − 2)(x + 2) − (x + 2)(x − 1) = 0; в) (x − 3)(2x + 3) − (3 − x)(x + 1) = 0.
9.
Одредите скуп решења једначине (4x + 3)2 − (4x + 3) = 0.
10.
Коришћењем квадрата бинома и разлике квадрата раставите на чиниоце: а) x2 − 3x − 4; б) x2 + x − 12; в) x2 − x − 12.
11.
Докажите да је: а) x2 + x + 1 > 0;
б) x2 − x + 1 > 0;
в) 4x2 + 12x + 11 > 0.
195
стр. 196
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. 2. 3. 4.
а) −10; б) 5. а) 0,8 б) −2, 44. а) 58; б) 370; в) 1. а) x = 0; б) x = −5 или 5; в) x = −8 или x = 8;
г) x = 13; д) x = −3. 5. a)
б)
1 4 6. Скупови решења су: а) {−4, 2}; б) − , ; 3 3 1 1 1 в) − , ; г) ; д) {2, 4}; ђ) {5, 7}. 5 5 3 7. а) (a − b)2 ; б) (a + b)2 ; в) (x − 2y)2 ; г) (x + 3y)2 . 4 1 8. а) x = или x = 1; б) x = −2; в) x = − или x = 3. 2 3 3 1 9. − , − . 4 2 10. а) (x − 4)(x + 1); б) (x − 3)(x + 4); в) (x − 4)(x + 3). 11. Користите квадрат биниома: 1 2 3 а) x2 + x + 1 = x + + > 0; 2 4 2 1 3 б) x2 − x + 1 = x − + > 0; 2 4 3 2 в) 4x2 + 12x + 11 = 4 x + + 2 > 0. 2
Разни задаци
Израчунајте вредност израза: (9y)3 (2x)4 (2a)3 (2a)2 2 1 а) за x = − ; б) за a = −0, 1; в) за y = . 2 2 2 5 3 3 (4x) (4a) (3y ) 2. Запишите мономе у сређеном облику и одредите њихов степен: 4 2 3 6 а) A = px (−1)p x ; б) B = − xy 2 (0, 3)2 zx4 . 3 3. Саберите мономе и одредите степен монома: а) −aba2 + 7a2 ba + a3 b; б) 7a2 + (−3a2 ) + (−4a2 ).
1.
Дате изразе напишите у облику сређеног полинома: а) 5 − 7a − (8 − 6a) + (5 + a); б) x2 − 3x + 2 − (−2x − 3); в) 7a − 3b − (5a + 3b) − (a − 5b); г) (3xy 2 + 7x2 y) − (2xy 2 − 6x2 y); 5 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 д) x y − ab − a b − 1 − a b − x y + ab − . 2 3 6 3 12 4 5. Упростите изразе: 1 3 2 · (−3x)3 ; б) (−2x3 y 2 )3 · (−2y 2 )3 . а) − xy 3 4.
196
стр. 197
5.6. Разни примери и примене
6.
Израчунајте вредност полинома: а) 5x6 − 3x2 + 7 − 2x6 − 3x6 + 4x2 за x = −10; б) 4a2 b − ab2 − 3a2 b + ab2 − ab + 6 за a = −3, b = 2.
Упростите дате изразе. а) 2x(x − y) − y(y − 2x); б) 2p(1 − p − 3p2 ) − 3p(2 − p − 2p2 ); в) (3x + a)(2x − a); г) (5x − y)(y − 5x); д) (x2 − xy + y 2 ) · (x − y). 8. Упростите полиноме и одредите њихов степен: а) A = (7 − 2x − x2 ) − (x − 2)(x + 3); б) B = x3 − (x2 − 3x)(x + 3); в) C = (x + y)(x2 − xy + y 2 ); г) D = (xy 2 + 3a2 )(3xy + a3 ); д) E = (x − 2)(x − 3) − (x2 − 5x + 5). 7.
9.
Решите једначине: а) (x − 2)(x − 3) = x(x + 1); б) x2 − (x + 4)(x + 6) = −30; в) (x − 1)(x − 3) = (x − 2)(x − 4).
Квадрирајте дате биноме. а) (m + n)2 ; б) (2x − 1)2 ; в) (1 − 2y)2 ; г) (a − x)2 ; 1 2 д) (3a − 2b)2 ; ђ) (ab + 2)2 ; е) 2m + n ; ж) (x2 + 3)2 . 2 11. Напишите у облику квадрата бинома: а) a2 + 2a + 1; б) x2 − 2x + 1; в) y 2 + 10y + 25; г) 4 − 20c + 25c2 ; д) a2 − 6ab + 9b2 ; ђ) 4x2 + 4xy + y 2 ; е) 81z2 − 18az + a2 ; ж) 9n2 + 12mn + 4m2 ; з) a2 b2 + 2ab + 1; и) x4 − 2x2 + 1; ј) y 6 + 2y 3 + 1; к) a4 − 2a2 b + b2 .
10.
Раставите дате полиноме а) 2x + 2; б) am − bm; в) a2 b + ab2 ; г) 4x − 16x2 ; д) 3ax + 12x; ђ) a(x − 1) + b(x − 1); е) x2 − 9; ж) 2x2 − 18; з) 4 − a2 ; и) 4x2 − 25y 2 ; ј) 4x2 − 1; к) 9m2 − 4n2 . 13. Израчунајте: а) a(b − c) + b(c − a) − c(b − a), за a = 100, b = 1000 и c = 10 000; б) (x2 − 4x + 4)(x2 + 4x + 4) − x2 (x2 − 8), за x = 99; в) (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1) − x8 , за x = 1000; г) (a − 2)(a + 2)(a2 + 4)(a4 + 16), за a = 4. 12.
14.
Упростите: 2
2
2
2
2
2
2
а) 12, 5x + y − 8x − 5y − − 10x + (5, 5x − 6y ) ; 2 3 3 2 3 2 3 б) 0, 6ab + 2a + b − 3ab − (a + 2, 4ab − b ) .
197
стр. 198
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
15.
Уместо слова X и Y напишите мономе да једнакост буде испуњена. а) (a + X) = Y + 2ab + b2 ; б) (2x + Y ) = 4x2 − 4xy + y 2 ; в) (X + 3m)2 = 4n2 + 12mn + 9m2 ; г) (X + Y )2 = 9p2 + 30pq + 25q2 ; д) (X − Y )2 = X 2 − 4xY + 1.
16.
Упростите дате изразе. а) (m − n)(n + m) − (m − n)2 + 2n2 ; б) (x − y)2 − (x + y)(y − x) + 2xy; в) (a + 1)2 − 2(a + 1) + 1; г) −(2 + x)2 + 2(1 + x)2 − 2(1 − x)(x + 1); д) (x + y)2 − (x − y)2 ; ђ) (m − n)2 − (m + n)2 ; е) (m − n)2 + 2n(m − n) + n2 ; ж) (4x + 3)2 − (4x + 1)2 .
17.
Напишите у облику сређеног полинома: а) (1 + x)(1 − x)(1 + x2 ); б) (a − 1)(1 + a)(a2 + 1); в) (m + n)(n − m)(m2 + n2 ); г) (a − b)(a − b)(a + b)(a + b).
Напишите у облику сређеног полинома: а) (x + y + z)(x + y − z); б) (x − y + z)(x − y − z); в) (x − y + z)(x + y + z); г) (−x − y − z)(x − y − z); д) (a + b + c)(a + b − c). 19. Напишите у облику сређеног полинома: а) (1 + x6 )(1 − x3 )(x3 + 1); б) (m − n)(m2 + n2 )(n + m). 18.
20.
Раставите дате полиноме. а) 3x + 3y − (ax + ay); б) (ax − ay) − (bx − by); в) (3x − 6y) − (2y − x); г) 2ax − bx + 2(b − 2a); д) mx − 2m − 2a + ax.
21.
Решите следеће једначине. а) x(x − 3) + x(2x − 1) = 3x(x − 2) − 3; б) 3 + 2x(3x − 4) = 4x(2x + 5) − 2x(x − 1); в) x(x + 1)(x − 10) = (x − 1)(x − 3)(x − 5); г) (x − 1)(x − 4)(x + 7) = x(x + 1)2 .
Решите следеће једначине. а) (x + 3)2 = x2 + 33; б) x2 − (x − 5)2 = 10; в) (x + 12)2 = x(x + 8); г) (x − 3)(x + 1) = (x − 2)2 . 23. Докажите једнакости: а) (a − 1)2 + 2(a − 1) + 1 = a2 ; б) (1 − a)2 + 2a(1 − a) + a2 = 1; в) (x + 1)2 − 4(x + 1) + 4 = (x − 1)2 ; г) (x + y)2 − 2(x + y)(x − y) + (x − y)2 = 4y 2 . 24. Раставите полиноме: а) nm2 + mn + n2 ; б) −m3 − m2 n − mn2 ; в) ax2 + a2 x − ax; г) 10xy 2 − 35x3 y 3 ; д) 3a3 m + 9a2 m − 6am2 . 22.
25.
Раставите полиноме: а) (x + 1) + x(x + 1); б) y(a − y) − y 2 (a − y); в) m2 (n + 1) + 2m(n + 1); г) a(a − 1) − (a − 1); д) x(y − z) + 3(z − y); ђ) x(x − 4) − 5(4 − x).
26.
Раставите на чиниоце: а) ax − bx + ay − by; б) 2a − 2b + 2c − 3ab + 3b2 − 3bc; в) a3 − 3a2 − a + 3.
198
стр. 199
5.6. Разни примери и примене
27. 28. 29.
Раставите на чиниоце: а) ax − a + bx − b + cx − c;
б) 2a2 − a + 2ab − b − 2ac + c.
Раставите полиноме: а) x2 − 4x + 3; б) x2 − 6x + 8;
в) x2 + x − 6; г) x2 − 12x + 35.
Решите дате једначине. а) 16x2 − (4x − 5)2 = 15; б) 64x2 − (3 − 8x)2 = 87; в) −5x(x − 3) + 5(x − 1)2 = −20; г) (2x − 3)2 − (2x + 3)2 = 12.
Докажите једнакости: а) (a − b)2 = (b − a)2 ; б) (−a − b)2 = (a + b)2 ; в) (−a − b)(a + b) = −(a + b)2 ; г) (a − b)3 = −(b − a)3 . 31. Раставите полиноме: а) 6x2 + x − 2; б) 4 − 7x − 15x2 ; в) −2x2 − 23x + 12; г) 1 − 7x + 10x2 . 30.
32.
Покажите да за све x ∈ R важи: а) x2 + 6x + 10 > 0; г) −x2 + 2x − 6 < 0;
1 > 0; в) x2 − 3x + 3 > 0; 2 д) x2 − 30x + 226 > 0.
б) x2 + x +
33.
Докажите формуле: а) (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ; б) (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 ; в) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ); г) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ).
34.
Ако је a + b + c = 0, онда је a(bc − 1) + b(ac − 1) + c(ab − 1) = 3abc. Докажите.
35.
Ако је ab + ac + bc = 0, докажите да је a(a − b) + b(b − c) + c(c − a) = a2 + b2 + c2 .
Обим правоугаоника је 14 а површина 12. Колика је дијагонала? 37. Колике су странице правоугаоника ако је дијагонала дужа од њих за 1 cm односно 2 cm?
36.
38.
Израчунајте непознате елементе на сликама. а) б)
в)
39.
1 Докажите да су праве y = kx, k , 0 и y = − x ортогоналне. k
199
стр. 200
5. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ – ДРУГИ ДЕО
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 4 ; б) −0, 002; в) 6561. 9 2. а) A = −p4 ·x8 , st A = 12; б) B = −0, 12x5 y 2 z, st B = 8. 1. а)
3. а) 7a3 b, степен монома је 4; б) 0, степен овог монома није дефинисан. 4. а) 2; б) x2 − x + 5; в) a − b; г) 13x2 y + xy 2 ; 11 2 3 3 5 a b − ab − . д) x2 y 2 − 6 6 4 4 5. а) 3x5 y 6 ; б) 64x9 y 12 . 6. а) 107; б) 30. 7. а) 2x2 − y 2 ; б) p2 − 4p; в) 6x2 − ax − a2 ; г) −25x2 + 10xy − y 2 ; д) x3 − 2x2 y + 2xy 2 − y 3 . 8. а) A = −2x2 − 3x + 13, stA = 2; б) B = 9x, stB = 1; в) C = x3 + y 3 , stC = 3; г) D = 3x2 y 3 + a3 xy 2 + 9a2 xy + 3a5 , stD = 6; д) E = 1, stE = 0. 3 9. а) x = 1; б) x = ; в) x = 2, 5. 5 10. а) m2 + 2mn + n2 ; б) 4x2 − 4x + 1; в) 1 − 4y + 4y 2 ; г) a2 − 2ax + x2 ; д) 9a2 − 12ab + 4b2 ; 1 ђ) a2 b2 +4ab +4; e) 4m2 +2nm+ n2 ; ж) x4 +6x2 +9. 4 11. а) (a + 1)2 ; б) (x − 1)2 ; в) (y + 5)2 ; г) (2 − 5c)2 ; д) (a − 3b)2 ; ђ) (2x + y)2 ; е) (9z − a)2 ; ж) (3n + 2m)2 ; з) (ab + 1)2 ; и) (x2 − 1)2 ; ј) (y 3 + 1)2 ; к) (a2 − b)2 . 12. а) 2(x + 1); б) (a − b)m; в) ab(a + b); г) 4x(1 − 4x); д) 3x(a + 4); ђ) (x − 1)(a + b); е) (x − 3)(x + 3); ж) 2(x − 3)(x + 3); з) (2 − a)(2 + a); и) (2x − 5y)(2x + 5y); ј) (2x − 1)(2x + 1); к) (3m − 2n)(3m + 2n). 13. а) 0; б) 16; в) −1; г) 256 · 255 = 65 280. 14. а) 0; б) 3a3 . 15. а) X = b, Y = a2 ; б) Y = y; в) X = 2n; г) X = 3p; Y = 5q; д) X = 2x, Y = 1. 16. а) 2mn; б) 2x2 ; в) a2 ; г) −x2 − 4; д) 4xy; ђ) −4mn; е) m2 ; ж) 8(2x + 1) = 16x + 8. 17. а) 1 − x4 ; б) a4 − 1; в) n4 − m4 ; г) (a2 − b2 )2 = a4 − 2a2 b2 + b4 .
200
18. а) x2 + 2xy + y 2 − z2 ; б) x2 − 2xy + y 2 − z2 ; в) x2 − y 2 + 2xz + z2 ; г) −x2 + y 2 + 2yz + z2 ; д) a2 + 2ab + b2 − c2 . 19. а) 1 − x12 ; б) m4 − n4 . 20. а) (x + y)(3 − a); б) (a − b)(x − y); в) 3(x − 2y) + x − 2y = 4(x − 2y); г) (x − 2)(2a − b); д) (m + a)(x − 2). 3 1 5 7 21. а) x = − ; б) x = ; в) x = ; г) x = . 2 10 11 8 7 7 22. а) x = 4; б) x = ; в) x = −9; г) x = . 2 2 2 2 23. Упутство: а) (a − 1) + 1 ; б) (1 − a) + a = 12 = 1; 2 в) (x + 1) − 2 = (x − 1)2 ; 2 г) (x + y) − (x − y) = (2y)2 = 4y 2 . 24. а) n(m2 + m + n); б) −m(m2 + mn + n2 ); в) ax(x + a − 1); г) 5xy 2 (2y − 7x2 y); д) 3am(a2 + 3a − 2m). 25. а) (x + 1)2 ; б) y(1 − y)(a − y); в) m(m + 2)(n + 1); г) (a − 1)2 ; д) (x − 3)(y − z); ђ) (x + 5)(x − 4). 26. а) (a − b)(x + y); б) (a − b + c)(2 − 3b); в) a3 − 3a2 − a + 3 = a2 (a − 3) − (a − 3) = (a − 3)(a2 − 1) = (a − 3)(a − 1)(a + 1). 27. а) (x − 1)(a + b + c); б) (a + b − c)(2a − 1). 28. а) x2 − 4x + 3 = x2 − 3x − x + 3 = x(x − 3) − (x − 3) = (x − 3)(x − 1). Овај задатак може се решити и на други начин (помоћу квадрата бинома): x2 − 4x + 3 = x2 − 4x + 4 − 1 = (x − 2)2 − 1 = (x − 2 − 1)(x − 2 + 1) = (x − 3)(x − 1). б) (x − 2)(x − 4); в) (x − 2)(x + 3); г) (x − 5)(x − 7).
стр. 201
5.6. Разни примери и примене
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1 29. а) x = 1; б) x = 2; в) x = −5; г) x = − . 2 30. а) Пошто је a − b = −(b − a), онда је h i2 (a − b)2 = − (b − a) 2 = (−1)(b − a) = (−1)2 (b − a)2 = (b − a)2 . 2 б) (−a − b)2 = − (a + b) = (a + b)2 ; в) (−a − b)(a + b) = −(a + b)(a + b) = −(a + b)2 ; 3 г) (a − b)3 = − (b − a) 3 = (−1)(b − a)
34. a(bc−1)+b(ac−1)+c(ab−1) = abc−a+bac−b+cab−c = 3abc. 35. После множења и замене датог услова добија се тражена једнакост. p 36. 2(a + b) = 14, ab = 12. d = a2 + b 2 = q p √ (a + b)2 − 2ab = 72 − 24 = 25 = 5. 37. a2 + b2 = d 2 , a = d − 1, b = d − 2. Замењено даје (d − 1)2 + (d − 2)2 = d 2 или d 2 − 6d + 5 = 0, (d − 5)(d − 1) = 0, d = 5 јер је d > 1. ( 2 x = 82 + y 2 = 6 2 + z 2 38. а) y + z = 14 z2 − y 2 = 28, (z − y)(z + y) = 28, z − y = 2, z = 8, y = 6, x = 10.
= (−1)3 (b − a)3 = (−1)(b − a)3 = −(b − a)3 . 31. а) (2x − 1)(3x + 2); б) (1 − 3x)(4 + 5x); в) (x + 12)(1 − 2x); г) (1 − 2x)(1 − 5x). 32. а) x2 + 6x + 10 = (x + 3)2 + 1 > 0; 1 1 2 1 б) x2 + x + = x + + > 0; 2 2 4 2 3 3 + > 0; в) x2 − 3x + 3 = x − 2 4
б) x = 11
г) −x2 + 2x + 6 = −x2 + 2x − 1 − 5 = −(x − 1)2 − 5 < 0; д) x2 − 30x + 226 = (x − 15)2 + 1 > 0. 33. (a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2 )(a + b) = a3 + a2 b + 2a2 b + 2ab2 + b2 a + b3
2 y − x2 = 4 2 в) x − x2 = 64 z = 2y
√ √ 4y 2 −√y 2 = 60, y 2 = 20m y = 20 = 2 5, x = 4, z = 4 5.
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 , a3 + b3 = a3 + a2 b − a2 b + b3 = a2 (a + b) − b(a2 − b2 ) = a2 (a + b) − b(a − b)(a + b) = (a + b) a2 − b(a − b) = (a + b)(a2 − ab + b2 ). Слично се доказују и остале две формуле.
39. Довољно је проверити да је a2 + b2 = c2 , при чему је √ √ a2 = p2 + ( pq)2 , b2 = q2 + ( pq)2 , c2 = (p + q)2 = p2 + 2pq + q2 .
201
стр. 204
6
ГЛАВА 6
КРУГ
Централни и периферијски угао у кругу
Обим круга. Број π
Дужина кружног лука
Површина круга
Површина кружног исечка
Површина кружног прстена
Ротација
стр. 203
6.1. Централни и периферијски угао у кругу
6.1. Централни и периферијски угао у кругу Поновимо! Нека су дате две различите тачке A и B на кружнoј линији k(O, r). Дуж AB се назива тетива кружне линије, а дужина нормале OD, која је конструисана из тачке O на тетиву, зове се централно растoјање тетиве од центра кружне линије. Угао <) AOB назива се централни угао, а <) ACB периферијски угао где је тачка C било која тачка на кружној линији. Ако је c садржан у централном или периферијском углу, за угао кажемо и да је над луком AB. c лук AB
Слика 6.1
Слика 6.2
У зависности од тога да ли је растојање неке праве од центра кружне линије веће, једнако или мање од полупречника те кружне линије, права и кружна линија немају заједничких тачака, имају једну или две заједничке тачке. Права која са кружном линијом има две заједничке тачке назива се сечица. Права која са кружном линијом има једну једину заједничку тачку назива се тангента. Периферијски угао неке кружне линије једнак је половини централног угла над истим луком. Разликујемо три случаја: 1. случај (слика 6.3). Центар кружне линије k(O, r) припада једном краку периферијског угла.
Слика 6.3
Слика 6.4
Слика 6.5
Централни угао <) AOB је спољашњи угао једнакокраког троугла △AOM (<) AMB = <) MAO), па је
<) AOB = <) AMB + <) MAO = 2 · <) AMB, 203
стр. 204
6. КРУГ
1 то јест <) AMB = <) AOB. 2 2. случај (сл. 6.4). Центар кружне линије је у периферијском углу. 1 1 Конструишемо пречник CD. Према претходном је <) ACD = <) AOD и <) BCD = <) BOD 2 2 1 и након сабирања ових једнакости добија се <) ACB = <) AOB. 2 3. случај (сл. 6.5). Центар кружне линије је ван периферијског угла. 1 1 Конструишемо пречник MN . Угао <) N MB = <) N OB и <) N MA = <) AON . Тада се, 2 2 1 одузимањем друге једнакости од прве, добија <) AMB = <) AOB. 2 На основу претходног следећа тврђења су тачна: Периферијски углови над истим луком неке кружне линије једнаки су. Периферијски углови над полукружном линијом (кажемо и над пречником) су прави. Једнаким централним угловима једне кружне линије припадају једнаки лукови и једнаке тетиве. Већим централним угловима једне кружне линије припадају већи лукови и веће тетиве.
Пример 1 Конструишите централни и периферијски угао над истим луком кружне линије k(O, r = 3 cm), ако је центар кружне линије ван периферијског угла. Решење Слика 6.6.
Слика 6.6
204
стр. 205
6.1. Централни и периферијски угао у кругу
Пример 2 Израчунајте: а) централни угао ако је периферијски угао над истим луком једне кружне линије k(O, r) од 32◦ 43′ 28′′ ; б) периферијски угао ако је централни угао над истим луком једне кружне линије k(O, r) од 111◦ 17′ 26′′ . Решење а) 65◦ 26′ 56′′ ;
б) 55◦ 38′ 43′′
Пример 3 Ако је периферијски угао <) AMB = 30◦ круга K(O, r), докажите да је троугао △ABO једнакостраничан (слика 6.7).
Слика 6.7 Решење <) AOB = 60◦ и OA = OB.
Пример 4 Израчунајте централни угао који одговара тетиви круга K(O, r), чија је дужина једнака: а) пречнику 2r;
б) полупречнику r.
Решење а) 180◦ ; б) 60◦ .
205
стр. 206
6. КРУГ
Пример 5 Нека је дата кружна линија k(O, r) и тетива AB те кружне линије. Полупречници OA, OB деле пун угао у размери 3 : 5. Под којим углом се види тетива AB из било које тачке кружне линије која је различита од тачака A и B? Решење Када се пун угао подели у размери 3 : 5 делови су једнаки 135◦ и 225◦ . Разликоваћемо два случаја: 1) aко је тачка из које се гледа, са исте стране праве AB као и центар кружне линије, угао је једнак 67◦ 30′ (централни угао је од 135◦ = 3 · 45◦ ) (слика 6.8);
Слика 6.8
Слика 6.9
2) ако је тачка гледања са супротне стране праве AB од центра кружне линије, угао је једнак 112◦ 30′ (централни угао је од 225◦ = 5 · 45◦ ) (слика 6.9).
"
Питања Шта је тетива? Шта је централни, а шта је периферијски угао? Како гласи однос централног и периферијског угла? Да ли су једнаки периферијски углови једне кружне линије над истим луком? Колико степени има периферијски угао над пречником једне кружне линије?
Задаци за вежбу 1.
Нека је дат круг K(O, r) и тачка A ван круга. Конструишите из тачке A тангенте на круг. Тачке B и C су додирне тачке тангенти и круга. Докажите да је AB = AC.
Докажите да два пута већем централном углу једног круга не одговара два пута већа тетива. 5 3. Израчунајте периферијски угао коме одговара централни угао једнак пуног 12 угла. 2.
206
стр. 207
6.1. Централни и периферијски угао у кругу
4.
Ако је периферијски угао <) ACB круга K(O, r), <) ACB = 30◦ , који део пуног угла одговара централном углу над истом тетивом?
5.
Под којим углом се види тетива AB из било које тачке кружне линије изузев тачака A и B, ако тетива дели кружну линију у размери 1 : 8?
6.
Полупречницима OA, OB, OC пун круг кружне линије k(O, r) подељен је у размери 3 : 4 : 5. Израчунати углове троугла △ABC.
7.
Конструисати кружну линију k(O, r). Полупречници OR, OS, OT деле пун угао у размери 4 : 3 : 2. У тачкама R, S и T конструисане су тангенте на кружну линију. Тангенте се секу у тачкама A, B и C. Израчунати углове △ABC.
8.
9.
Око правоуглог троугла △ABC описана је кружна линија чији је <) ACB = 40◦ . Под којим углом из центра кружне линије се виде катете? Дат је правоугли троугао △ABC. Докажите да је центар описане кружне линије средиште његове хипотенузе.
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. O1 је средиште OA. Конструише се кружна линија OA ). Пресечне тачке кружних линија k и k1 (O1 , r = 2 k1 су тачке B и C. Праве AB и AC су тангенте конструисане из тачке A на кружну линију k.
4.
Централни угао је 60◦ , па му одговара
1 пуног угла. 6
5.
Углови < ) ABO и < ) ACO су прави и једнаки (<) ABO = <) ACO = 90◦ ). Како је OB = OC и страница OA заједничка, углови < ) ABO и < ) ACO су прави и једнаки (< ) ABO = < ) ACO = 90◦ ), то je △ABO △ACO, а самим тим и AB = AC. 2.
<) AOC = 2< ) AOB. Збир тетива AB и BC већи је од тетиве AC (особине троугла). 5 3. Централни угао је · 360◦ = 150◦ . Према тoме 12 ◦ периферијски угао је 75 .
Централни углови који одговарају тетиви AB имају 40◦ и 320◦ . Одговарајући периферијски углови су од 20◦ и од 160◦ , а то су углови под којима се види тетива из било које тачке кружне линије. 6.
Централни углови су < ) AOB = 90◦ , < ) BOC = 120◦ , 1 < ) AOC = 150◦ . Углови △ABC су: < ) BAC = < ) BOC = 2 ◦ ◦ ◦ 60 , < ) ABC = 75 , < ) ACB = 45 .
207
стр. 208
6. КРУГ
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА Катета AC се види под углом од 100◦ , а катета AB под углом од 80◦ .
7. 9.
Централни углови < ) ROS, < ) SOT и < ) T OR предста4 3 2 вљају редом , , пуног угла. < ) ROS = 160◦ , 9 9 9 ◦ ◦ <) SOT = 120 , < ) T OR = 80 , <) BAC = 360◦ − 2 · 90◦ − 160◦ = 20◦ , < ) ABC = 60◦ , ◦ <) ACB = 100 .
< ) BAC = 90◦ . Нека је тачка O центар кружне линије, тада је OA = OB = OC и B − O − C, јер је централни угао < ) BOC опружен.
8.
6.2. Обим круга. Број π Знамо да свакој дужи припада реалан број, који називамо дужина дужи. Знамо да се дужина дужи одређује мерењем једном другом дужи. Знамо да сваком многоуглу припада обим многоугла, који се добија када се саберу дужине његових страница. Поставља се питање: Да ли свакој кружној линији припада један реалан број који би представљао обим? На ово питање следи одговор: Нека је дат круг K(O, r). Уписаћемо и описаћемо правилне многоуглове у круг K. Повећавањем броја страница многоуглова дужина обима многоуглова се приближава дужини обима круга. За неки велики број n страница многоуглова, дужина обима круга ће бити приближно једнака дужини обима уписаног или описаног многоугла. Даље се може приметити да је дужина обима круга K најмањи од свих бројева који су већи или једнаки дужини обима било којег конвексног многоугла уписаног у том кругу K. За налажење обима круга важно је следеће тврђење: Дужине двају обима кругова сразмерне су дужинама полупречника тих кругова. Ово због тежине доказа, нећемо доказивати. O O Можемо писати: O : O1 = r : r1 , тј. = 1 . Закључујемо да је однос дужине обима круга r r1 и дужине његовог пречника увек сталан. Овај константан однос обележавамо грчким словом π. То је ирационалан број коме је приближна вредност на првих пет децимала π ≈ 3, 14159. 208
стр. 209
6.2. Обим круга. Број π
Слика 6.10
Aкo je r дужина полупречника круга K(S, r), обим тог круга O одређен је формулом: O = 2rπ.
Занимљивости Мало занимљивости из историје која је везана за израчунавање броја π. Kao симбол за број π узето је прво слово грчке речи περιφερεια што значи периферија. Овај симбол је 1706. године увео енглески математичар Вилијам Џоун. У једном свом раду из 1736. симбол π за тај број прихватио је и швајцарски математичар Леонард Ојлер. Немачки математичар Фердинанд Линдеман доказао је да је број π ирационалан број. Приближну вредност броја π одређивали су још математичари древних времена. Из чувеног Рајдновог папируса, који датира из средине XVII века пре нове ере, сазнајемо да су већ древни Египћани одређивали приближну вредност броја π, узимајући 2 256 16 = = 3, 16049 . . . Старогрчки математичар Архимед налази да је да је π ≈ 9 81 10 1 3 < π < 3 то јест 3, 14085 < π < 3, 14286. У другој половини петог века н.е. кине71 7 355 ски математичар Чунгџи налази да је симбол π ≈ ≈ 3, 141593. Његова вредност 113 заокругљена на шест децимала. После низа математичара који су се бавили израчунавањем броја π, године 1615. холандски математичар Лудолф ван Цојлен израчунао је вредност броја π на 32 децимале, па се у литератури број π назива Лудолфовим бројем.
Пример 1 Израчунајте обим кружне линије ако је: а) r = 11 cm;
б) r = 4, 5 cm.
Узмимо π ≈ 3, 14. Решење а) O ≈ 69, 08 cm; б) O ≈ 28, 26 cm.
209
стр. 210
6. КРУГ
Пример 2 Израчунајте полупречник ако је познат обим круга (Узети π ≈ 3, 14): а) O = 31, 4 cm;
б) O = 62, 8 cm.
Решење а) r ≈ 5 cm; б) r ≈ 10 cm.
Пример 3 Израчунајте разлику дужина кружних линија, ако је разлика полупречника 5 cm. Решење r1 − r2 = 5 cm, O1 = 2r1 π, O2 = 2r2 π, O1 − O2 = 2π(r1 − r2 ) = 10π cm.
Пример 4 Колико обртаја ће направити трамвајски точак полупречника 40 cm на растојању од 163,28 m? Узети π ≈ 3, 14. Решење Обим точка приближно једнак је 251,2 cm. Точак ће направити (16328 : 251, 2 = 65) 65 обртаја.
Пример 5 Израчунајте обим кружне линије описане око правоуглог троугла чије су катете a = 6 cm и b = 8 cm (π ≈ 3, 14). Решење r = 5 cm, O ≈ 31, 4 cm.
Пример 6 Столар је направио округли сто полупречника 75 cm. За сваку особу која ће седети треба да се одвоји лук дужине 78,5 cm. Колико особа може сести за тај сто? Рачунати са π ≈ 3, 14. Решење Шест особа.
210
стр. 211
6.2. Обим круга. Број π
"
Питања Да ли је однос обима сваке кружне линије и њеног пречника сталан и колики је тај однос? Од чега зависи обим кружне линије?
Задаци за вежбу
У свим задацима рачунати са π ≈ 3, 14. Израчунајте обим кружне линије чији је полупречник: а) r = 7, 5 cm; б) r = 12 cm; в) r = 20 cm. 2. Израчунајте полупречник кружне линије чији је обим кружне линије: а) O = 40, 82 cm; б) O = 94, 2 cm; в) O = 138, 16 cm.
1.
3.
Нека је обим једног круга 20π cm. Колики ће бити обим круга чији је полупречник: а) три пута већи; б) за 10 cm већи?
4.
Колики пут на часовнику пређе врх минутне казаљке дужине 7 cm за 5 часова?
5.
Ако се жица дужине 130 cm савије у кружну линију, колики ће бити пречник те кружне линије?
Сваки точак неких кола обрне се 50 пута на стази од 157 m. Колики су полупречници тих точкова? 7. Колико ће се пута обрнути точак полупречника r = 30 cm, на путу од 942 m?
6.
8.
Израчунајте обим круга уписаног у ромб чије су дужине дијагонала 12 cm и 16 cm.
9.
Израчунајте полупречник уписане и описане кружне линије код једнакостранич√ ног троугла чија је површина P = 12 3 cm2 .
10.
Израчунајте обим кружне линије описане око правоугаоника чије су странице 4 cm и 3 cm.
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. a) O ≈ 47, 1 cm; б) O ≈ 75, 36 cm; в) O ≈ 125, 6 cm. 2. а) r ≈ 6, 5 cm; б) r ≈ 15 cm; в) r ≈ 22 cm. 3. а) O = 60π cm; б) O = 40π cm. 22 4. O ≈ · 2 · 7 = 44 cm. За пет часова врх казаљке 7 описаће 220 cm. O 5. O = 130 cm, 2r = , 2r ≈ 41 cm. 3, 14 157 O 1 6. O ≈ = 3, 14 m, r = ≈ m = 50 cm. 50 2π 2 7. Приближно 500 пута..
8. a = 10 cm, 2r = 9, 6 cm, O ≈ 30, 144 cm. 9. h = 6 cm, R = 4 cm, r = 2 cm (R, r – полупречници описане и уписане кружне линије). 10. r = 2, 5 cm, O = 5π cm.
211
стр. 212
6. КРУГ
6.3. Дужина кружног лука Знамо, кружни лук је део кружне линије. Дужина кружног лука се израчунава овако: c на слици 6.11) кружне линије. Сваком централном углу припада одређен лук (AB
Слика 6.11
У општем случају Било којем централном углу од α степени припада лук дужине rπ l= ·α 180
Пример 1 Израчунајте дужину кружног лука чији је полупречник r = 5 cm и одговарајући централни угао (π ≈ 3, 14): а) α = 18◦ ; б) α = 36◦ . Решење а) l ≈ 1, 57 cm; б) l ≈ 3, 14 cm.
Пример 2 Израчунајте полупречник кружне линије чији лук, дужине l = 31, 4 cm, припада централном углу α = 30◦ (π ≈ 3, 14). Решење r=
180 · 31, 4 ≈ 360, r ≈ 360 cm. 3, 14 · 30
212
стр. 213
6.3. Дужина кружног лука
Пример 3 Колики је централни угао кружне линије чији је полупречник 9 cm, а припадни лук дужине l = 23, 55 cm (π ≈ 3, 14)? Решење α=
180◦ · 23, 55 ≈ 150◦ , α ≈ 150◦ . 3, 14 · 9
Пример 4 √ Око правоуглог троугла △ABC, чија катета је 4 3 cm и хипотенуза 8 cm, описана је кружна c AC, c BC. c линија. Израчунајте дужину лукова AB, Решење Углови троугла су од 30◦ , 60◦ , 90◦ , r = 4 cm, а тражени лукови AB, AC, BC су редом
8π 4π cm, cm, 4π cm. 3 3
Пример 5 Под којим углом се види лук дужине 8π cm из центра кружне линије k(O, r = 32 cm)? Решење α=
"
8π · 180◦ = 45◦ . 32π
Питања Да ли сваком централном углу припада одговарајући лук једне кружне линије?
Задаци за вежбу 1.
Израчунајте полупречник кружне линије ако је: а) α = 45◦ и l = π cm; б) α = 200◦ , l = 31, 4 cm; в) l = 6, 28, α = 180◦ .
2.
Израчунајте централни угао α ако је: 1 а) r = 4 cm, l = π cm; 2 б) l = 12, 56 cm, r = 12 cm; в) l = 2π, r = 1, 2 cm. 213
стр. 214
6. КРУГ
3.
Израчунајте дужину кружног лука ако је: а) α = 90◦ , r = 8 cm; б) α = 20◦ , r = 6 cm; в) α = 40◦ , r = 13, 5 cm.
4.
У квадрат странице a = 6 cm, уписана је кружна линија. Израчунајте дужину кружног лука између било које две узастопне додирне тачке кружне линије и страница квадрата.
5.
У кружну линију k(O, r = 7 cm) уписан је правилан шестоугао. Израчунајте дужину лука над било којом страницом шестоугла.
6.
Израчунајте дужину лукова двеју концентричних кружних линија,чији су полупречници 9 cm и 6 cm, који припадају истом централном углу од 45◦ . Који су делови кружних линија ови лукови?
7.
8.
9.
Дужина лука који припада централном углу од 144◦ кружне линије k(O, r = 9 cm), једнака је дужини друге кружне линије. Израчунајте полупречник друге кружне линије. Једнакостраничном троуглу △ABC уписана је и описана кружна линија. Тачке M, N и P су додирне тачке уписане кружне линије и страница троугла. Колико је пута c већа од дужине лука MN d? дужина лука AB Географска ширина Београда је приближно α = 44◦ . Полупречник Земље је 6370 km. Израчунати приближну удаљеност Београда од екватора.
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. a) r = 4 cm; б) r = 9 cm; в) r = 2 cm.
8. R =
√ √ a 3 a 3 c d (слика) ,r= , AB = 2MN 3 6
2. а) α = 22◦ 30′ ; б) α = 60◦ ; в) α = 300◦ . 3. а) l = 4π cm; б) l =
2 π cm; в) l = 3π cm. 3
4. r = 3 cm, α = 90◦ , l = 5. l =
3 π cm. 2
7 π cm. 3
9 3 6. l1 = π cm, l2 = π cm. То су осми делови. 4 2 7. r = 3, 6 cm.
214
9. Удаљеност Београда од екватора је дужина лука чији је централни угао приближно од 44◦ . 6370π · 44 l = ≈ 4889, 33. Приближна удаљеност 180 Београда од екватора је ≈ 4889, 33 km.
стр. 215
6.4. Површина круга
6.4. Површина круга У градиву из претходних година дефинисана је кружна линија и дефинисан је круг. Ипак, како год посматрали круг, можемо закључити: сваки круг је ограничена потпуно одређена равна површ. Свакој одређеној равној површи припада број који показује колико једнаких квадратних површи чине ту површ. Тај број се назива површина круга. Закључимо: Сваком кругу припада површина. Проблем је: како се одређује површина круга?
Слика 6.12
Прво се може констатовати да површина круга зависи од полупречника и да се она може израчунати само помоћу дужине полупречника. С обзиром на ту констатацију, треба поделити круг на велики број једнаких делова – исечака. Ређањем тих исечака (слика 6.12) у одређени низ добиће се фигуре које ће се по облику све више приближавати површи као што је правоугаоник са повећањем броја исечака. Закључујемо да је површина круга приближно једнака правоугаонику који је из круга настао ређањем исечака. Из слике видимо да је једна страница правоугаоника једнака полуобиму круга, а друга страница једнака полупречнику круга. Према томе: 1 1 P = O · r = 2rπ · r = r 2 π, P = r 2 π. 2 2
Површина круга полупречника r је P = r2π
Пример 1 Израчунајте површину круга ако је: а) r = 3, 4 cm; б) r = 7 cm; в) 11,3 cm. Решење а) P = 11, 56π cm2 ;
б) P = 49π cm2 ;
в) P = 127, 69π cm2 .
215
стр. 216
6. КРУГ
Пример 2 Ако је обим круга (π ≈ 3, 14): а) 314 cm;
б) 12,56 m,
колика му је површина? Решење а) r ≈ 50 cm, P ≈ 2500π cm2 ;
б) r ≈ 2 m, P ≈ 4π m2 .
Пример 3 Израчунајте обим круга ако је површина: а) P = 49π cm2 ; б) P = 169π cm2 ;
в) P = 4, 84π cm2 .
Решење а) O = 14π cm; б) O = 26π cm; в) O = 4, 4π cm.
Пример 4 Квадрат и круг имају једнаке обиме: O = 15, 7 cm. За колико cm2 се разликују њихове површине (π ≈ 3, 14)? Решење r ≈ 2, 5 cm, a = 3, 925 cm. Површина круга је приближно 19,625 cm2 , а површина квадрата је P = 15, 405625 cm2 , Po − P ≈ 4, 219375 cm2 .
"
Питања Да ли површина круга зависи од полупречника? Како се израчунава површина круга?
Задаци за вежбу 1.
Израчунајте површину круга (π ≈ 3, 14) ако је: а) r = 5 cm; б) 2r = 12 cm; в) O = 16π cm.
2.
Обим једног круга је O = 14π cm. Израчунајте површину другог круга чији је полупречник за 3 cm дужи од полупречника датог круга.
3.
Нека су дате површине кругова: P1 = 121π cm2 и P2 = 81π cm2 . За колико се разликују обими кругова?
216
стр. 217
6.4. Површина круга
4.
Једнакостраничном троуглу странице a = 9 cm уписан је и описан круг. За колико пута је површина описаног круга већа од површине уписаног круга?
5.
Странице правоугаоника су 4 cm и 3 cm. Израчунајте површину описаног круга око правоугаоника.
6.
Од табле лима површине 150 cm×110 cm треба исећи кружну површину пречника 100 cm. Изразите у процентима површину отпада лима.
7.
Правоугаонику страница a = 8 cm, b = 6 cm је описана кружна линија. Израчунајте површину дела круга (π ≈ 3, 14) који не припада правоугаонику.
8.
Полупречник круга је за 5 cm дужи од централног растојања тетиве AB = 30 cm тог круга. Израчунајте површину круга.
9.
Правоугаоник чије се странице односе као a : b = 4 : 1 и круг чији је полупречник r = 8 cm имају једнаке површине. Израчунајте разлику њихових обима.
10.
Израчунајте обим квадрата ако је површина њему уписаног круга (π ≈ 3, 14) једнака P = 28, 26 cm2 .
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. a) P = 25π ≈ 78, 5 cm2 ; б) P = 36π cm2 ;
8.
в) P = 64π cm2 . 2. r = 10 cm, P = 100π cm2 . 3. O1 − O2 = 22π − 18π = 4π cm. √ 3√ 27 4. R = 3 3, r = 3, P1 = 27π cm2 , P2 = π cm2 , 2 4 P1 : P2 = 4. Четири пута. 5. R = 2, 5 cm, P = 6, 25π cm2 . 6. Површина лима је 16500 cm2 . Површина дела лима који је кружног облика је 7850 cm2 . Површина отпада је 8650 cm2 , а то је у процентима приближно 52,42%. 7. P⃝ ≈ 78, 5 cm2 , P = 48 cm2 , P⃝ − P ≈ 30, 5 cm2 (P⃝ , P ) – површине круга и правоугаоника).
d = 20 cm, r = 25 cm, P = 625π cm2 . √ √ 9. a : b = 4 : 1, a = 4b, b = 4 π cm, a = 16 π cm, O⃝ = √ √ 16π cm, O1 = 40 π cm, O1 −O⃝ = 4(10 π−4π) cm O1 – обим правоугаоника. 10. r 2 π ≈ 28, 26 cm2 , r ≈ 3 cm, a ≈ 6 cm, O ≈ 24 cm.
217
стр. 218
6. КРУГ
6.5. Површина кружног исечка Кружни исечак је део круга ограничен са два полупречника и њима захваћеним кружним луком (слика 6.13).
Слика 6.13
Површина кружног исечка се израчунава на следећи начин. Кружни исечак коме припада централни угао од 1◦ има површину која је 360 пута мања од површине круга: r 2π P= . 360
За било који централни угао од α степени површина кружног исечка износи: r2π P = ·α 360 Када је познат лук исечка површина кружног исечка је: rπα rπα · r 1 1 l= , P= = ·l ·r P = · l · r, 2 180 180 · 2 2 Пример 1 Израчунајте површину кружног исечка (π ≈ 3, 14) за: а) r = 4 cm и α = 30◦ ;
б) r = 6 cm и α = 45◦ .
Решење а) P ≈ 4, 19 cm2 ; б) P ≈ 14, 13 cm2 .
Пример 2 Израчунајте површину кружног исечка када је позната дужина кружног лука l = 5, 3 cm и полупречник r = 8 cm. Решење P = 21, 2 cm2 .
218
стр. 219
6.5. Површина кружног исечка
Пример 3 Површина кружног исечка круга K(O, r = 12 cm) је P = 12, 4π cm2 . Израчунајте припадајући централни угао. Решење α = 31◦ .
Пример 4 Израчунајте припадајући лук l кружног исечка ако је површина кружног исечка P = 24, 5π cm2 и α = 45◦ . Решење r = 14 cm, l =
"
7 π cm. 2
Питања Шта је кружни исечак? Да ли код израчунавања површине кружног исечка треба да су познати полупречник и централни угао који припадају исечку или лук који припада исечку и полупречник?
Задаци за вежбу 1.
Израчунајте површину кружних исечака за: r1 = 2 cm, α1 = 45◦ и r2 = 4 cm, α2 = 45◦ , па упоредите добијене површине.
2.
Полупречник круга је r = 10 cm. Израчунајте површину кружног исечка који је: 3 7 4 а) ; б) ; в) површине круга. 4 8 5
3.
Нека су дати обим круга O = 24π cm и површина кружног исечка P = 12π cm2 . Израчунајте обим кружног исечка.
4.
Нека је дат комад шперплоче облика правоуглог троугла чије су катете a = 12 cm, b = 9 cm. Из тог комада изрезан је део облика четвртине круга (на слици).
219
стр. 220
6. КРУГ
Који проценат материјала је отпао? 5.
Израчунајте површине осенчених фигура на сликама. Странице троугла и квадрата су по 4 cm.
6.
Израчунајте површину: а) осенчене фигуре (на слици) код које је страница правилног шестоугла 2 cm; б) целокупне фигуре на слици, код које је страница једнакостраничног троугла 1 cm.
7.
Израчунајте површине целокупних фигура на сликама. Страница правилног шестоугла је 1 cm, а квдрата 2 cm.
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА π cm2 , P2 = 2π cm2 , P2 > P1 . За исти централ2 ни угао већа је она површина чији је полупречник дужи. 2. a) P = 75π cm2 ; б) P = 87, 5π cm2 ; в) P = 80π cm2 . 3. r = 12 cm, α = 30◦ , l = 2π cm, O = 2(12 + π) cm. 1. P1 =
4. P△ = 54 cm2 , Pi ≈ 40, 7 cm2 , P = P△ −Pi ≈ 13, 3 cm2 ≈ 24, 6% отпатка. √ 2 2 5. а) P√ △ = 4 3 cm , 3Pi = 2π cm , P = P△ − 3Pi = 2 2(2 3−π) cm , (P△ , Pi , P – површине редом троугла, исечка и осенченог дела).
220
б) P = 4(4 − π) cm2 . √ 6. a) P = 2(3 3 − π) cm2 . 1 √ 5π 3+ cm2 . 4 2 √ 3 7. а) P = 3 + π cm2 . 2 б) P =
б) P = (4 + 3π) cm2 .
стр. 221
6.6. Површина кружног прстена
6.6. Површина кружног прстена Део равни ограничен са две концентричне кружне линије назива се кружни прстен (слика 6.14).
Слика 6.14
Нека су r1 и r2 (r1 > r2 ) дужине полупречника концентричних кружних линија k1 (O, r1 ) и k2 (O, r2 ). Површина која је ограничена овим кружним линијама је: P = P1 − P2 = r12 π − r22 π = (r12 − r22 )π, па је, према томе, површина кружног прстена P = (r12 − r22 ) · π (r1 > r2 ) Пример 1 Дужине полупречника концентричних кружних линија су 5 cm и 3 cm. Израчунајте површину кружног прстена (слика 6.15).
Слика 6.15 Решење P = 52 π − 32 π = 16π, P = 16π cm2 .
Пример 2 Израчунајте површину кружног прстена ако су обими кругова: O1 = 18π cm и O2 = 14π cm. Решење r1 = 9 cm, r2 = 7 cm, P = 32π cm2 .
221
стр. 222
6. КРУГ
Пример 3 Стаза има облик кружног прстена. Израчунати површину стазе ако су полупречници кругова 14 m и 11 m. Решење P = 75π m2 .
"
Питања Шта је кружни прстен? Како се израчунава површина кружног прстена?
Задаци за вежбу 1.
Израчунајте површине кружног прстена ако су дужине полупречника: а) 20 cm и 15 cm; б) 1,8 m и 1,3 m.
2.
Израчунајте површину кружног прстена (π ≈ 3, 14) ако су обими кругова: а) O1 = 94, 2 cm, O2 = 62, 8 cm; б) O1 = 188, 4 cm, O2 = 125, 6 cm.
3.
Око округлог рибњака, чији је обим 94,2 m, треба начинити стазу широку 3 m. Колика је површина те стазе (π ≈ 3, 14)?
4.
У парку око травњака кружног облика пречника 40 m, бетонирана је кружна стаза ширине 8 m. Израчунајте површину стазе.
5.
Једнакостраничном троуглу странице a = 8 cm је уписана и описана кружна линија. Израчунајте површину ограничену овим кружним линијама.
6.
Квадрату странице a = 12 cm уписана је и описана кружна линија. Израчунајте површину ограничену овим кружним линијама.
7.
Површина кружног прстена је 324π cm2 , а обим већег круга је 60π cm. Израчунајте обим кружног прстена.
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. 2. 3. 4.
а) P = 175π cm2 ; б) P = 1, 55π m2 . а) P ≈ 125π cm2 ; б) P ≈ 500π cm2 . P ≈ 99π m2 . P = 384π cm2 .
222
5. P = 16π cm2 . 6. P = 36π cm2 . 7. O = 108π cm.
стр. 223
6.7. Ротација
6.7. Ротација Поновимо! Полуправа са почетном тачком O је скуп чији су елементи тачка O и све тачке неке праве које су са исте стране у односу на тачку O. Угаона линија pOq је унија две полуправе Op и Oq (тачка O је заједничка почетна тачка). Угао <) pOq је унија угаоне линије pOq и једне од угаоних области одређених овом угаоном линијом.
Ротација око тачке Нека тачка O и известан угао α са теменом у тачки O припадају равни π. Ако за сваку тачку T равни π постоји тачно једна тачка T1 равни π таква да је <) T OT1 = α и да су дужи OT и OT1 једнаке (OT = OT1 ) тада то кретање зовемо ротација око тачке за известан угао у ознаци ρα (T ) = T1 (слика 6.16), ρ је грчко слово „ро”.
Слика 6.16
Слика 6.17
Очигледно је да то кретање у равни око тачке може да буде у два различита смера, (слика 6.17), од којих се један сматра позитивним, а други негативним. Договорено је да се за позитиван смер ротације око тачке узме онај смер који је супротан смеру кретања казаљке на часовнику. Важно: Ротација око тачке чува растојања међу тачкама и колинеарност тачака. Показаћемо то тврђење на ротацији дужи око неке тачке за известан угао. Дуж A1 B1 која се добије ротирањем дужи AB око тачке O за неки угао α у позитивном смеру једнака је дужи AB. Доказаћемо ово тврђење. Код доказа разликујемо два случаја. 1) Тачка O припада правој AB (дуж AB је ма која дуж равни π) (слика 6.18). OB = OB1 , OA = OA1 , одузимањем ових једнакости добије се (OB − OA = OB1 − OA1 ), AB = A1 B1 (слика 6.18a). OA = OA1 , OB = OB1 сабирањем ових једнакости добије се AB = A1 B1 (OA + OB = OA1 + OB1 ). (слика 6.18б). 2) Тачка O не припада правој AB (слика 6.19). 223
стр. 224
6. КРУГ
Слика 6.18
Слика 6.19
Како је OA = OA1 , OB = OB1 , <) AOA1 = <) BOB1 па је <) AOB = <) A1 OB1 . Одатле следи да је △ABO △A1 B1 O и AB = A1 B1 . Нека тачка C припада дужи AB и нека је A − C − B. Тада је AB = AC + BC. Како је тачка C1 добијена ротацијом за угао α тачке C то је A1 B1 = A1 C1 + B1 C1 односно A1 − C1 − B1 . То важи само онда када тачка C1 припада правој A1 B1 . Овим је показано да ротација чува колинеарност (слика 6.20).
Слика 6.20
Пример 1 Ротирајте неку тачку M око дате тачке O за дати угао α (слика 6.21).
Слика 6.21
224
стр. 225
6.7. Ротација
Пример 2 Ротирајте дату дуж MN око дате тачке O за дати угао α (слика 6.22).
Слика 6.22
Пример 3 Ротирајте круг K(O, r) око дате тачке P за дати угао α (слика 6.23). Решење Ротира се центар круга, а онда конструише круг истог полупречника.
Слика 6.23
Пример 4 Ротирајте дату праву p око тачке O за дати угао α (слика 6.24).
Слика 6.24 Решење Одаберемо на правој p произвољно две тачке M, N , па их ротирамо око тачке O за дати угао α. После тога конструишемо праву M1 N1 . Или, што је чешће, конструишемо нормалу из тачке O на праву p. Нормала и
225
стр. 226
6. КРУГ права p имају заједничку тачку T . Затим ротирамо дуж OT за задати угао и на крају конструишемо праву p1 нормалну на дуж OT1 .
Слика 6.25
Пример 5 У координатном систему xOy дата је тачка A(3, 3). Ротирајте тачку A за угао α = 45◦ . Центар ротације је координатни почетак.
Слика 6.26
"
Питања Шта је потребно да би се неке фигуре ротирале? Шта је ротација око тачке? Шта је позитиван смер, а шта негативан смер ротације? Шта чува ротација?
226
стр. 227
6.7. Ротација
Задаци за вежбу 1.
Ротирајте дуж AB = 3 cm око тачке O (одаберите произвољно) за угао α = 75◦ .
2.
Ротирајте праву p око произвољне тачке O која не припада правој p за угао α = 180◦ . Доказати да је права p1 паралелна правој p.
3.
Ротирајте △ABC, ако је центар ротације ван троугла (троугао изабрати произвољно), за угао α = 30◦ .
4.
Ротирајте △ABC, ако је центар ротације теме A, за угао α = 60◦ .
5.
Конструишите квадрат чија два темена A и B припадају двема датим правима a и b, а дата тачка O је центар квадрата.
6.
У координатном систему xOy дата је тачка M(3, 2). Ротирајте тачку M око координатног почетка за α = 90◦ .
7.
У координатном систему xOy дата је дуж AB, A(2, 2), B(3, 3). Ротирајте дуж AB око тачке O за угао од α = 45◦ .
8.
9.
10.
У координатном систему xOy, око тачке O за угао α = 90◦ ротирајте △ABC (A(3, 2), B(4, 5), C(2, 4)). У равни π дате су тачке A и B и угао ротације α = 30◦ . Конструишите центар ротације тако да се тачка A1 , добијена ротацијом тачке A за угао α, поклапа са тачком B. Дате су праве p и q и тачка O ван њих. Конструишите кружну линију са центром у тачки O која сече праве p и q у тачкама M и N тако да је угао <) MON = 45◦ .
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1.
углови троуглова су једнаки, а самим тим су и праве p и p1 паралелне. 3.
2.
4.
Тачке A и B припадају правој p, а њихове слике добијене ротацијом A1 , B1 правој p1 . Троуглови △ABO и △A1 B1 O су подударни. Према томе одговарајући
227
стр. 228
6. КРУГ
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 5. Упутство: ротирајте праву b за угао од 90◦ око тачке O.
8.
9. Упутство: конструишите једнакокраки троугао △ABO, чији је угао α код темена O
6. 10. Упутство: ротирајте праву q за 45◦ . p ∩ q1 = M. Затим се конструише k(O, OM). k(O, OM) ∩ q = N .
7.
Напомена. N се добија ротацијом тачке M за 45◦ у супротном смеру.
Разни задаци
1.
Колики је <) ACB (слика 6.27)?
Слика 6.27 2.
228
Који део кружне линије одговара централном углу од:
стр. 229
6.7. Ротација
а) 30◦ ; б) 45◦ ;
в) 60◦ ?
Који део кружне линије одговара централном углу од: а) 90◦ ; б) 120◦ ; в) 180◦ ; г) 270◦ ? 4. Конструишите кружну линију k(O, r) и на њој периферијске углове од: а) 30◦ ; б) 45◦ ; в) 120◦ ; г) 200◦ . 3.
5.
Израчунајте централне углове круга K(O, r), ако су периферијски углови од: а) 43◦ 15′ ; б) 74◦ 52′ ; в) 125◦ 30′ .
Израчунајте периферијске углове круга K(O, r), ако су централни углови од: а) 135◦ 20′ ; б) 207◦ ; в) 324◦ 50′ . 7. Израчунајте површину круга ако је: а) r = 3 cm; б) r = 4, 2 cm; в) r = 9, 1 cm.
6.
8.
Израчунајте површину кружног исечка ако су дати полупречник и централни угао: а) r = 4 cm, α = 60◦ ; б) r = 6 cm, α = 120◦ ; в) r = 8 cm, α = 45◦ .
9.
Израчунајте површину кружног прстена ако су полупречници концентричних кругова: а) r1 = 12 cm, r2 = 7 cm; б) r1 = 22 cm, r2 = 20 cm; в) r1 = 1, 8 cm, r2 = 1, 4 cm.
10.
Ако се две кружне линије k1 (O1 , r1 ) и k2 (O2 , r2 ) додирују у тачки C и ако једна заједничка тангента t1 додирује кружне линије редом у тачкама A и B тада је угао <) ACB прав. Докажите ову тврдњу.
Нека је дуж AB тетива круга K(O, r) и нека је у тачки B конструисана тангента t. Докажите да је угао између тетиве AB и тангенте једнак једном од периферијских углова над тетивом AB. 12. Израчунајте дужину кружне линије: а) k(O, r = 4 cm); б) k(O, r = 5, 7 cm); в) k(O, r = 11, 7 cm). 11.
13.
Израчунајте полупречник кружне линије ако је дужина кружне линије: а) O = 25, 4π; б) O = 35, 7π cm; в) O = 46, 9π cm.
14.
Полупречник кружне линије је 7 cm. Колики је полупречник кружне линије чија је дужина двапут већа?
15.
Израчунајте дужину кружне линије описане око: а) једнакостраничног троугла чија је висина 9 cm; б) квадрата дијагонале 8 cm; в) правилног шестоугла странице 6 cm.
16.
Израчунајте дужину кружне линије уписане у: а) квадрат, странице 7 cm; б) ромб, висине 5 cm.
Делтоид чије су странице a = 12 cm и b = 16 cm уписан је у круг. Израчунајте разлику обима круга и обима делтоида. 18. Полупречник кружне стазе хиподрома дугачак је 100 m. Колико метара прелази у минуту тркачки коњ који ту стазу пређе 5 пута за 20 минута? 17.
229
стр. 230
6. КРУГ
19.
Бачвар треба да од 30 дуга (део бачве) направи бачву чија дужина пречника код чепа износи 90 cm. Израчунајте дужину обима бачве код чепа.
20.
Однос полупречника две кружне линије је r1 : r2 = m. Доказати да је и однос њихових обима исто једнако m.
Дужина кружне линије описане око једнакостраничног троугла је два пута већа од дужине кружне линије уписане у тај троугао. Доказати. 22. Нека је дата кружна линија k(O, r = 20 cm). Израчунајте дужину кружног лука коме припада централни угао од: а) 10◦ ; б) 13◦ ; в) 99◦ ; г) 137◦ . 21.
23.
Израчунајте: а) централни угао α, ако је r = 6 cm, l = 7, 85 cm; б) дужину кружног лука l, ако је r = 6 cm, α = 30◦ ; в) полупречник r, ако је l = 15, 7 cm, α = 30◦ ; г) дужину кружног лука l, ако је O = 37, 68 cm, α = 30◦ . (Централни угао обележен је са α, одговарајући лук са l, полупречник са r, дужина кружне линије са O.)
24.
Под којим се углом из центра кружне линије види његов лук l = 24 cm када је полупречник кружне линије r = 18 cm (узети за π приближно 3)?
Нека је дата кружна линија k(O, r = 5 cm). Одредитe однос O : l ако је: а) централни угао 45◦ (који одговара луку l); б) централни угао од 30◦ ; в) централни угао од 105◦ . 26. Површина круга над хипотенузом правоуглог троугла једнака је збиру површина кругова над катетама. Докажите. 25.
27.
28.
230
Дат је правоугли троугао чија је хипотенуза 16 cm и један угао α = 30◦ . Израчунати површину осенченог дела правоуглог троугла ако је полупречник лука једнак половини краће катете (видети слику).
Нека је дат правоугли троугао чије катете су 12 cm и 9 cm. Полупречник кружног лука је једнак висини која је конструисана на хипотенузу. Израчунајте површину
стр. 231
6.7. Ротација
осенченог дела троугла (видети слику).
29.
30. 31. 32. 33.
Дуж MN = 10 cm је тетива већег од два круга, а тангента мањег круга. Израчунати површину прстена ограничену тим круговима.
Ротирајте тачку A око дате тачке O за угао од α = 45◦ . Ротирајте дуж MN око дате тачке O за угао од α = 60◦ , ако тачка O: а) Припада правој MN ; б) не припада правој MN . Ротирајте квадрат странице a = 4 cm око тачке O (тачка је ван квадрата) за угао α = 30◦ . Ротирајте круг K(S, r = 3 cm) око тачке O која је у кругу (O , S) за угао α = 60◦ .
34.
Дате су праве p и q и тачка O ван њих. Конструишите кружну линију са центром у O која сече дате праве у тачкама M и N , тако да је угао <) MON = 60◦ .
35.
Размера полупречника два круга је 5 : 2. Израчунајте размеру њихових површина.
36.
Израчунајте обим и површину кружног исечка ако је дат полупречник и одговарајући лук: а) r = 5 cm, l = 2π cm; б) r = 9 cm, l = 6π cm; в) r = 4, 5 cm, l = 3π cm.
37.
Нека је дат правоугли троугао △ABC и нека је AB > AC. Над катетом као над преч AB која хипотенузу BC преником AB конструисана је кружна линија k O, r = 2 сеца у тачки M. У тачки M конструишите тангенту t која са катетом AC има заједничку тачку N . Доказати да је AN = CN .
Нека су A, B, C три различите тачке једне равни које не припадају једној правој. Кругови чији су пречници дужи AB и BC секу се у тачки D. Докажите да тачка D припада правој AC. 39. Нека је у круг K(O, r) уписан четвороугао ABCD. Докажите < ) A + <) C = <) B + <) D. 38.
40.
Велика казаљка једног часовника дугачка је 3 cm, а мала 1,5 cm. Колико пута већи пут пређе врх велике казаљке од врха мале казаљке за 1 час?
231
стр. 232
6. КРУГ
Кружна линија k(O, r) уписана је у ромб странице a = 12 cm и угла α = 60◦ . Израчунајте дужине кружних лукова одређених додирним тачкама M, N , P кружне линије и ромба. 42. Кружна линија k(O, r = 2 cm) уписана је у правоугли троугао. Израчунајте дужине кружних лукова одређених додирним тачкама M, N и P кружне линије и троугла. 41.
43.
Израчунајте обим осенчене фигуре (странице квадрата су 4 cm):
44.
Да ли ће више светлости улазити кроз округли прозор полупречника 8 cm или кроз два округла прозора полупречника 4 cm?
На комаду лима у облику правоугаоника, дужине 90 cm и ширине 40 cm, избушено је 10 кружних рупа полупречника 6 cm. Колико је лима преостало? 46. Колики је полупречник круга чији се обим и површина могу изразити истим бројем? 45.
47.
Ако је површина квадрата 100 cm2 , израчунајте површину уписаног круга.
48.
Ако је висина једнакокраког трапеза 24 cm и ако се центар описане кружне линије налази се на дужој основици полупречника 30 cm, израчунајте површину трапеза.
49.
Површина круга полупречника 12 cm једнака је површини ромба чија је краћа дијагонала једнака пречнику круга. Израчунајте дужину друге дијагонале.
50.
У ромбу је уписан круг. Ако се дијагонале ромба односе као 4 : 3, одредити однос површине ромба и уписаног круга.
51.
Над пречником AB описан је полукруг. Тачка C дели полукруг у размери 1 : 2. Израчунајте однос површина полукруга и △ABC.
232
стр. 233
6.7. Ротација
52.
Израчунајте површину и обим осенченог дела квадрата чија је страница a = 12 cm.
Квадрату странице a = 6 cm уписана је и описана кружна линија. Израчунајте површину ограничену овим кружним линијама. 54. У парку је око споменика урађен травњак кружног облика. Полупречници већег и мањег круга имају дужине r1 = 30 m, r2 = 15 m. Израчунајте површину травњака. 53.
55.
Од комада храста чији је нормални пресек кружног облика обима O = 0, 8 m издељан је стуб, исто тако кружног пресека, обима O1 = 0, 4π m. Израчунајте површину нормалног пресека стабла и стуба која је отпала.
56.
Површина кружног прстена је PP = 24π cm2 . Мањи круг има обим O = 10π cm. Израчунати обим прстена.
57.
Конструишите једнакостраничан троугао △ABC коме је дато теме A, а темена B и C припадају датим правим a и b.
58.
У координатном систему xOy ротирајте тачку A(4, 3) око кординатног почетка за угао од 90◦ .
У координатном систему xOy ротирајте дуж AB, где су A(2, 1) и B(4, 4), око координатног почетка за угао од 45◦ . 60. У координатном систему xOy дат је квадрат ABCD, где су A(2, 1), B(5, 1), C(5, 4) и D(2, 4). Ротирајте квадрат око координатног почетка за угао од 90◦ . 59.
233
стр. 234
6. КРУГ
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. <) ACB = 30◦ . 360◦ 1 2. а) 30◦ = , датом централном углу одговара 12 12 1 1 кружне линије. б) кружне линије. в) кружне 8 6 линије. 1 1 3 1 3. а) ; б) ; в) ; г) . 4 3 2 4 4. г) Периферијски угао мора бити мањи од 180◦ . 5. а) 86◦ 30′ ; б) 149◦ 44′ ; в) 251◦ . 6. а) 67◦ 40′ ; б) 103◦ 30′ ; в) 162◦ 25′ . 7. а) P = 9π cm2 ; б) P = 17, 64π cm2 ; в) P = 82, 81π cm2 . 8 8. а) Pi = π cm2 ; б)Pi = 12π cm2 ; в) Pi = 8π cm2 . 3 9. а) Pp = 144π − 49π = 95π cm2 ; б) Pp = 84π cm2 ; в) Pp = 1, 28π cm2 . 10. Конструише се тангента t2 у заједничкој тачки C. Тангента t2 сече тангенту t1 у тачки O. OA = OC = OB (једнакост ових дужи произилази из једнакости одсечака тангенти конструисаних из једне тачке ван кружне линије на кружну линију). Тачке A, B, C припадају кружној линији чији је пречник дуж AB, а центар тачка O. Према томе је < ) ACB = 90◦ (угао над пречником), (види слику).
12. а) O = 8π cm; б) O = 11, 4 cm; в) O = 23, 4 cm. 13. а) r = 12, 7 cm; б) r = 17, 85 cm; в) r = 23, 45 cm. 14. r = 14 cm. 15. а) O = 12π cm; б) O = 8π cm; в) O = 12π cm 16. а) O = 7π cm; б) O = 5π cm. 17. < ) BAD је периферијски и, прав је, (пречник кружне линије је дијагонала BD). Дијагонала BD = 20 cm. Дужина кружне линије је O = 20π cm, а обим делтоида је 56 cm. Разлика обима је: Ok − Od = 4(5π − 14) cm. 18. Дужина стазе је 628 m. За један минут коњ пређе (3140 : 20 = 157), 157 m. 19. Дужина обима бачве код чепа је 282,6 cm. O1 2r1 π r1 20. = . = O2 2r2 π r2 r 2 21. 1 = r2 1
13 137 10 π cm; б) π cm; в) 11π cm; г) π cm. 9 9 9 23. а) α = 75◦ ; б) l = π cm; в) r = 30 cm; г) l = 3, 14 cm. 22. а)
24. Угао под којим се види лук је од 80◦ . 25. а) 8 : 1; б) 12 : 1; в) 24 : 7.
11.
Ако тачка C припада тангенти t, тада је < ) CBO = 90◦ . < ) BOD + < ) DBO = 90◦ = <) DBO + < ) CBD, а из 1 ове једнакости следи <) CBD = < ) BOD = <) AOB. 2
234
26. Површина круга конструисаног над хипотенузом је c2 π. Како је c2 = a2 + b2 (Питагорина теорема) и 4 замењујући уместо c2 десну страну једнакости доби(a2 + b2 ) c2 a2 b2 ће се π = π = π + π. 4 4 4 4 √ 8·8 3 27. Површина осенченог дела троугла је P = − 2 2 √ √ 4 π = 32 3 − 4π = 4(8 3 − π) cm2 . 4
стр. 235
6.7. Ротација
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 28. Површина осенченог дела троугла је P = 54 cm2 − 7, 22 π cm2 = (54 − 12, 96π) cm2 . 4 MN 2 29. Pp = π = 25π cm2 . 2 30. 31, 32, 33. За решавање ових задатака видети примере 1, 2, 3 на стрници у лекцији Ротација. 34.
39.
Угао < ) A је периферијски угао над централним углом [ а угао < < ) BOD коме одговара лук BCD, ) C је периферијски угао над централним углом < ) BOD коме [ Збир ова два централна угла је одговара лук BAD. ◦ 360 па је <) A + < ) B = 180◦ . На сличан начин је и < )B + < ) D = 180◦ и на крају је < )A + < )C = < ) B + <) D. Конструише се права p1 која је добијена ротацијом праве p око тачке O за угао од 60◦ . Права p1 сече праву q у тачки M. Кружна линија k(O, r = OM) сече праву p у тачки N . 35. Размера површина је 25 : 4. 36. а) Pi = 5π cm2 , O = 2(5 + π) cm; б) Pi = 27π cm2 , O = 6(3 + π) cm; в) Pi = 6, 75 cm2 , O = 3(3 + π) cm. 37. Обележимо са α угао < ) ABC, а са β угао < ) ACB. <) AMB = < ) AMC = < ) OMN = 90◦ . Како је угао <) OAM = β, то је < ) AMN = < ) MAN = α и < ) CMN = β. Из ових једнакости углова следи AN = MN = CN (троуглови △AMN и △MN C су једнакокраки) (слика)
40. 24 пута. √ √ √ d = 3 3 · π · 120 = 2 3π, 41. r = 3 3 cm, MP 180 √ √ √ d = 2 3π cm, Pd d = 3 3π cm MP N = 3π cm, MN (слика).
d ≈ 3, 14 cm, MN d ≈ 5, 23 cm. 42. Pd N ≈ 4, 18 cm, MP 43. а) O = 4π cm; б) O = 6π cm. 38. Углови ADB и CDB су прави (< ) ADB = < ) CDB = 90◦ ), а како су то два напоредна угла (њихов збир је 180◦ ), тачка D припада правој AC, (слика).
44. P = 64 cm2 , 2P1 = 32 cm2 , P > P1 (P , P1 су површине кругова чији су полупречници 8 cm и 4 cm). 45. Преостало је приближно 2469,6 cm2 лима. 46. r = 2. 47. P = 25π cm2 . 48. Мања основица је CD = 36 cm, а површина трапеза је P = 1152 cm2
235
стр. 236
6. КРУГ
РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА d 49. P⃝ = 144π ≈ 452, 16 cm2 , 24 · ≈ 452, 16, d ≈ 2 37, 68 cm. ! d d 36 2 50. P = 6t 2 cm2 , 1 = 2 = t , P⃝ = t π cm2 , 4 3 25 P : P⃝ = 25 : 6π. √ √ r 3 r2 , P 1 : P△ = π : 3. 51. P 1 = π, P△ = r · 2 2 ⃝ ⃝ 2 2 √ 52. P = 72 cm2 , O = (48 − 12 2 + 6π) cm. 53. P = 9π cm2 .
58.
59.
54. P = 675π m2 . 55. r = 0, 4 m, r1 = 0, 2 m, P = 0, 42 π − 0, 22 π = 0, 16π − 0, 04π = 0, 12π, P ≈ 0, 38 m2 . 56. O = 24π cm. 57. 60.
Око тачке A треба ротирати праву a за 60◦ . Добиће се права a1 која сече праву b у тачки B. Кружна линија k(O, r = AB) сече праву a у тачки C.
236
стр. 237
7
ГЛАВА 7
ОБРАДА ПОДАТАКА
стр. 238
Обрада података
У свакодневном животу срећемо се са великим бројем података па се намеће питање њиховe обраде. Често се обрађује само део посматраног скупа тзв. узорак, који се бира тако да што боље репрезентује цео скуп. На основу информација добијених из узорка извлаче се неке корисне информације. Математичка дисциплина која се бави оваквом обрадом података назива се статистика. Ти немаш кола, он има двоја Једна су онда просечно твоја. Арсен Дедић Пре обраде подаци се сређују. Ако се ради о нумеричким подацима, они се уређују по величини најчешће у растућем поретку и одређује учесталост (фреквенција) сваког од њих. Добијена расподела се приказује табелом, која садржи вредности података и њихову учесталост. Учесталост се може изразити и у процентима чиме се добија табела процентуалне расподеле.
Пример 1 У разреду има 34 ученика. Њихове оцене из математике су следеће: има 4 петицe (у процентима 11,76%), 10 четворки (29,42%), 18 тројки (52,94%) и 2 двојке (5,88%). Уређени табеларни приказ расподеле вредности ових података изгледа овако: Оцена
1
2
3
4
5
Учесталост математика
0
2
18
10
4
Процентуална расподела (заокружено на целе проценте) изгледа овако: Оцена
1
2
3
4
5
Учесталост математика у %
0
6
53
29
12
Расподела оцена може се и графички приказати, стубичним или кружним дијаграмом. Начин конструисања дијаграма описали смо у шестом разреду. 238
стр. 239
Обрада података
Стубични прикази расподеле оцена из математике и процентуалне расподеле су:
Слика 7.1
Кружни дијаграм оцена из математике добијамо када круг разбијемо на четири исечка који одговарају оценама 2, 3, 4, 5. Одговарајући централни углови имају 6 · 3, 6 = 21, 6; 53 · 3, 6 = 190, 8; 29 · 3, 6 = 104, 4 и 12 · 3, 6 = 43, 2 степени. Пример 2 Претпоставимо да је позната и расподела оцена из физике. оцена
1
2
3
4
5
учесталост
1
2
14
12
5
Можете ли да на основу ових података одговорите на следећа питања: А) Којa је најчешћа оцена из математике (користе се подаци из Примера 1), а која из физике? Б) Из којег предмета су ученици остварили бољи успех?
Вредност податка у узорку у којем се достиже максимум учесталости назива се мод. Средња (просечна) вредност узорка је количник збира вредности свих података и броја података. Сада је лако одговорити на прво питање, које се може преформулисати као тражење мода. Најчешћа оцена из математике је добар (3). Дакле, мод оцена из математике је 3. Мод оцена из физике је такође 3. Да бисмо одговорили на друго питање, упоредимо просечне остварене оцене из математике и физике. 239
стр. 240
Обрада података
Просечну (средњу) оцену (аритметичку средину оцена) из математике добијамо када збир свих добијених оцена поделимо са бројем ученика. Биће то 4 · 5 + 10 · 4 + 18 · 3 + 2 · 2 118 = . 34 34 Просечна оцена из физике је 5 · 5 + 12 · 4 + 14 · 3 + 2 · 2 + 1 · 1 120 = . 34 34 Како је просечна оцена из физике већа од просечне оцене из математике, закључујемо да је успех из физике бољи него успех из математике. Пример 3 На основу анкете састављена је следећа таблица која показује расподелу ученика по дужини времена које проводе гледајући телевизију. Време, час
Учесталост
0,5
12
1,5
24
2,5
8
3,5
5
Одредите мод и средњу вредност. Решење Мод је 1,5. Средња вредност је 0, 5 1, 5 2, 5 3, 5 · 12 + · 24 + ·8+ ·5 2 2 2 2 ≈ 1, 62. 49
Медијана Претпоставимо да узорак има нумеричке вредности и да су оне исписане редом по величини у растућем поретку.
Под медијаном узорка подразумевамо вредност средишњег члана у добијеном низу ако узорак има непаран број чланова или аритметичку средину два централна члана у добијеном низу, ако узорак има паран број чланова. Медијана раздваја доњу половину уређеног узорка од горње половине, па се назива и централна вредност. 240
стр. 241
Обрада података
Одредимо медијану у примеру 1. Половина од броја оцена је 17. Када би исписали све оцене из математике уређене редом по величини седамнаеста по реду била би оцена 3 а осамнаеста такође 3. Отуда је медијана оцена из математике број (3 + 3)/2 = 3. На сличан начин закључујемо да је медијанa оцена из физике број (3 + 4)/2 = 3, 5 (јер је седамнаеста по реду у припадном низу вредности оцена 3, а осамнаеста 4). Будући да је медијана оцена из физике већа од медијане оценa из математике, и по овој карактеристици је успех из физике бољи него, из математике. Задаци за вежбу 1.
Датом табелом приказана је просечна температура по месецима. Месец Просечна температура ◦ C
I
II
III IV V VI VII VIII IX X
−16 −10 −6
4
8
16
22
19
10
6
XI
XII
−3 −11
Одредите просечну годишњу температуру. 2.
Следећом табелом је приказана потрошња струје по месецима. Месец Потрошња струје, kW
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
110
100
110
85
70
65
10
70
90
100
100
105
Одредите просечну годишњу потрошњу и медијану. 3.
Направите анкету са циљем прикупљања одговора на питање: „Како у већини случајева проводите слободно време?“ Могућ садржај анкете: 1. играм се напољу; 2. бавим се спортом; 3. читам; 4. гледам телевизију; 5. седим за компјутером. Представите добијене податке табеларно и нацртајте стубични дијаграм.
4.
Направите анкету са циљем одређивања најпопуларнијег предмета. На анкетном листићу напишите предмете 1. математика; 2. физика; 3. хемија; 4. српски језик и књижевност; 5. биологија;
241
стр. 242
Обрада података
6. физичко и здравствено васпитање; 7. историја. Дозволите да свако заокружи до два броја испред предмета који му се свиђају. Представите добијене податке табеларно, стубичним и кружним дијаграмом. РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА 1. 3,25.
242
2. Просечна потрошња је приближно 84,58 квч. Медијана је 95 квч.
др Ђорђе Дугошија Марко Шегрт м задатака за седми разред основне школе Прво издање, 2021. година Издавач Београд, венац 5 www.zavod.co.rs Ликовни уредник мр Тијана Павлов Графички уредник Александар Радовановић Лектура Ирена Канкараш Компјутерска Жељко Хрчек 30,5 штампарских Формат: 20,5 × 26,5 цм Тираж: 1 500 примерака Рукопис предат у штампу децембра 2020. године. Штампање завршено јануара 2021. године. Штампа АМД систем, Београд
naslovna_udzbenik_7r.indd 3
31.1.2020. 23:05:40