6to grado MATEMÁTICAS II Bimestre by abacosoroban

2019 “Año de la lucha contra la corrupción e impunidad” CORPORACIÓN EDUCATIVA

“THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

6to de primaria MATEMÁTICAS Y CIENCIAS II BIMESTRE

PresentaciĂłn La corporaciĂłn educativa â&#x20AC;&#x153;THE HAPPY WORLD OF CHILDRENâ&#x20AC;? consciente de la realidad educativa actual y a la realidad de los niĂąos de la zona donde desempeĂąa sus labores educativas ha elaborado la serie de libros para los niveles INICIAL y PRIMARIA, la cual es una propuesta pedagĂłgica innovadora e integral orientada al desarrollo de las capacidades y actitudes de los niĂąos. La realizaciĂłn de estos textos educativos se ha trabajado con la participaciĂłn de pedagogos y profesionales que han tenido un contacto directo con los niĂąos de la zona y sectores Rurales y urbanos donde las realidades son muy distintas. Estos textos educativos tienen la ÂżQDOLGDG GH PRWLYDU OD SDUWLFLSDFLyQ GH WRGRV ORV DJHQWHV TXH GH XQD u otra manera intervienen en la educaciĂłn: niĂąos, profesores y padre de familia, haciendo de este proceso de enseĂąanza y aprendizaje una WDUHD IiFLO DPHQD RUGHQDGD \ HÂżFD] HQ ELHQ GH ORV QLxRV \ QLxDV

â&#x20AC;&#x153;Los sueĂąos de un niĂąo deben ser guiados con gran motivaciĂłnâ&#x20AC;?

Aritmética

• Numeros decimales • Comparación - aproximaciones - clasificaciòn de num decimales • Generatriz de un número decimal • Adición y sustracción de números decimales •Multiplicación de números decimales • Operaciones combinadas • División de números decimales

6º GRADO

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Números decimales: Valor posicional ¿Cómo se distingue un número decimal? Un número decimal se distingue por las siguientes características: 23 , 4718 , 123 Parte entera

Parte decimal

coma decimal

Valor Posicional Lectura de números decimales.

décimos

centésimos

milésimos

0,0036

Escritura

diezmilésimos

unidades

14,032

decenas

Parte entera Parte decimal

centenas

Número

catorce unidades treinta y dos milésimos 6 treinta y seis diezmilésimos

Observación Si apreciamos un número decimal y lo queremos convertir en fracción, nos damos cuenta de que la cantidad de cifras decimales corresponde a la cantidad de ceros que aparecen en el denominador. Entonces, podemos trabajar de 2 maneras: de decimal a fracción o de fracción a decimal. A este tipo de fracciones se le denomina «fracción decimal». Ejemplos: Z

7, 52 dos cifras decimales

752 100

dos ceros en el denominador

5789 1000

tres ceros en el denominador

= tres cifras decimales

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6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 1

Calcular el doble de la parte entera más el triple de la parte decimal del siguiente número decimal: 315,28

Rpta:

Calcula «m + n + p + q» si: 9735 1000

Calcula el triple de la parte entera menos el doble de la parte decimal, del siguiente número decimal: 78,39

Rpta:

m, npq .

Rpta:

Calcula el número decimal equivalente a 378 . 1000

6º GRADO

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6 Indica el valor posicional que ocupa la cifra 5 en el siguiente número decimal: 138,549

Indica el valor posicional que ocupa la cifra 2 en el siguiente número decimal: 35,4327.

Rpta:

7. Calcula: (a + b + c) – (m + n + p)

9. Dadas las siguienes cifras: 3; 0; 7; 4 y 8, escribe el menor número decimal con una cifra en la parte entera.

Si: 324 100 241 1000

a, bc 0,mnp

10. Escribe el menor número decimal que utilizando las siguientes cifras: 3; 6; 1; 4 y 9 termina en diezmilésimos. Max ha comprado un par de zapatos por S/. 145, 2 camisas a S/. 43 cada una y 3 pantalones a S/. 69 cada uno. ¿Cuánto pagó Max?

8. Dadas los siguientes cifras: 3; 7; 4; 9 y 1 , escribe el mayor número decimal con dos cifras en la parte entera. Luego, da como respuesta la suma de cifras de la parte decimal.

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. Calcula el doble de la parte entera más el triple de la parte decimal del siguiente número decimal: 29,305 a) 931 c) 973 e) 693 b) 871 d) 913

8. Dadas las siguientes cifras: 3; 6; 5; 8 y 1, escribe el mayor número decimal con dos cifras en la parte entera. Da como respuesta la suma de cifras de la parte decimal. a) 11 c) 8 e) 10 b) 12 d) 9

2. Calcula la suma de la parte entera más el cuádruple de la parte decimal del siguiente número decimal: 93,7 a) 141 c) 112 e) 132 b) 121 d) 113

9. Dadas las siguientes cifras: 9; 7; 5; 3 y 1, escribe el menor número decimal que posea tres cifras decimales. a) 13,879 d) 15,379 b) 13,579 e) 13,597 c) 13,759

3. ¿Cómo qué número decimal puede expresarse la fracción 7 ? 25 a) 2,8 c) 0,26 e) 0,28 b) 0,35 d) 0,38

10. Convierte 2,86 a fracción y da como respuesta el numerador. a) 281 c) 143 e) 141 b) 283 d) 144

4. Calcula a u b u c, a) 141 b) 158

378 = a,bc. 100 c) 138 d) 168

e) 128

5. Indica el valor posicional que ocupa la cifra 8 en el siguiente número decimal: 39,7548 a) Diezmilésimos d) Milésimos b) Décimos e) Millonésimos c) Centésimos 6. Indica el valor posicional que ocupa la cifra 1 en el número decimal: 7,314 a) Milésimos d) Décimos b) Centésimos e) Centenas c) Decenas 7. Escribe en números el siguiente decimal: «cuatrocientos veinte enteros setenta y cinco centésimos». a) 240,75 d) 75,420 b) 240,57 e) 420,75 c) 402,75

6º GRADO

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Comparación – Aproximaciones – Clasificación de números decimales Comparación de números decimales

Si dos números decimales tienen diferentes signos, será menor el que tenga signo negativo (por su ubicación en la recta numérica). Ejemplos: –8,75 < 2,39 7,1 > –9,745 Si dos números decimales tienen igual signo, se procederá de la siguiente manera: Y Se iguala el número de decimales de uno de los números con ceros. Y Se elimina la coma decimal. Y Se compara los números como se fueron enteros. Ejemplo: Comparar 43,71 con 42,735 43,710 < 42,735

Aproximaciones por redondeo Para efectuar este procedimiento, primero se ubicará el lugar y el valor del dígito que se redondeá, luego se procederá de la siguiente manera: Z Si el dígito siguiente a la derecha es menor que 5, simplemente se descarta este dìgito y los restantes a la derecha de él. Ejemplo: Redondea 9,32 a décimas. Ubicamos y reconocemos la cifra a redondear: 9, 3 2 Como 2 < 5, eliminamos el 2: 9,32 o 9,3 Z

Si el dígito siguiente a la derecha es mayor o igual a 5, se aumenta el dígito del lugar que se está redondeando en 1 y se descarta los dígitos restantes a la derecha de él. Ejemplo: Redondea 5,68 a décimas. 5, 6 8 Como 8 > 5 aumentamos 6 en una unidad y eliminamos la cifra a la derecha. 5,68 o 5,7

Clasificación de decimales El siguiente esquema grafica la clasificación de los números decimales:

Número decimal

Número decimal exacto Número decimal inexacto

Número decimal periódico puro Número decimal periódico mixto

A. Número decimal exacto Es aquel número que en la parte decimal tiene una cantidad limitada (finita) de cifras. Ejemplos: Y 8,71 Y 33,215 Y –2,7486 B. Número decimal inexacto 1. Número decimal periódico puro: Son aquellos que en toda la parte decimal se aprecia una secuencia notable llamada «periódico», que se repite indefinidamente. Ejemplos: ŏ 0,666... = 0,6 ŏ 0,2727 ... = 0,27 ŏ 2,1313... = 5,13 2. Número decimal periódico mixto: Es aquel número cuyo periódico comienza una o varias cifras después de la coma decimal. Ejemplos: ŏ 4,5323232... = 4,532 ŏ 0,43333... = 0,43

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6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 1 1. Coloca mayor (>), menor (<) o igual (=) según corresponda. 4,55

3,981

0,752

0,725

2,66

2,6

6,13

6,12

6,13

6,12

Rpta:

¿Cuántos decimales inexactos hay en los siguientes números? Y 2,555... Y 0,48 Y 2,15 Y 45,66666... Y 0,69 Y 5,0555...

Rpta:

4 Redondea 12,563 a centésimos.

Coloca mayor (>), menor (<) o igual (=) según corresponda. 0,27

0,29

1,56

156 100

0,71

0,699

Rpta:

6º GRADO

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Calcula la suma de la parte periódica y no periódica del siguiente número decimal: 52,35666...

Rpta:

Calcula la suma de la parte periódica y no periódica del siguiente númer decimal: 89,73535...

Rpta:

7. Luego de redondear a milésimo el número decimal 105,4565623, calcula la suma de la parte entera y la parte decimal.

9. Redondea a milésimos y señala la suma de estos dígitos: Y 5,74697 Y 0,56243 Y 9,66666... Y 18,75

10. Dadas las siguientes cifras: 4; 2; 5 y 7, calcula el mayor decimal periódico. Da como respuesta la suma de cifras de la parte entera.

8. Redondea a centésimas y señala la suma de estos dígitos: Y 0,3478 Y 2,56312 Y 12,3225 Y 0,1555

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. Coloca mayor (>), menor (<) o igual (=) según corresponda. 2,75

2,750

7,666...

8,7

11,032

11,041

a) > ; = ; < b) = ; < ; > c) = ; > ; <

d) = ; = ; > e) = ; < ; <

2. Compara y coloca mayor (>), menor (<) o igual (=) según corresponda. 0,6

0,67

235 100

0,325

0,021 a) < ; > ; = b) < ; < ; < c) > ; < ; >

6. Calcula la suma de la parte decimal periódica y no periódica del siguiente número decimal: 74,936. a) 29

d) 28

b) 45

e) 41

c) 38 7. Luego de redondear a diezmilésimo el número decimal: 35,987654, calcula la suma de la parte entera y la parte decimal. a) 8999 d) 8937 b) 9907 e) 9912 c) 9743

21 1000 d) < ; = ; < e) < ; = ; =

3. Redondea a centésimos el siguiente número decimal: 9,73892 a) 9,75 d) 9,76 b) 9,74 e) 9,72 c) 9,73 4. Calcula la suma de cifras decimales no periódicas de los siguientes números decimales: 23,57 y 23,8666... a) 11 d) 13 b) 9 e) 14 c) 15 5. Calcula la suma de la parte entera y la parte decimal no periódica del siguiente número decimal: 48,393 a) 88

d) 87

b) 91

e) 92

8. Redondea a milésimos los siguientes números decimales y señala la suma de estos dígitos. Z 0,35625 Z 7,666... Z 8,042 Z 15,12543 a) 20 d) 19 b) 16 e) 21 c) 17 9. Redondea a décimos los siguientes números decimales y señala la suma de estos dígitos. Z 13,27 Z 0,456 Z 0,3 Z 728,567 a) 15 d) 19 b) 16 e) 17 c) 18 10. Dadas las siguientes cifras: 1; 2; 7 y 8, calcula el menor decimal periódico mixto con dos cifras en la parte entera. Da como respuesta la suma de la parte entera y la parte decimal no periódica. a) 17 d) 19 b) 21 e) 20 c) 16

c) 78

6º GRADO

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Generatriz de un número decimal Es la fracción que da origen a la expresión decimal; dicha fracción generatriz debe ser irreductible.

A. Generatriz de un número decimal exacto o limitado Escribimos como numerador el número decimal sin la coma decimal; y como denominador, la unidad seguida de ceros como cifras decimales tenga el número decimal. Ejemplos: 378 189 Y 3,78 = = fracción generatriz 100 50 1073 fracción generatriz Y 1,079 = 1000

B. Generatriz de un número decimal periódico puro Escribimos como numerador el número decimal sin la coma decimal, menos la parte entera; y como denominador, tantos nueves como cifras decimales tenga la parte periódica. 136 – 1 135 15 = = fracción generatriz Ejemplo 1: 1,36 = 99 11 99 571 fracción generatriz Ejemplo 2: 0,571 = 999

C. Generatriz de un número decimal periódico mixto Escribimos como numerador el número sin la coma decimal, menos la parte no periódica; y como denominador, tantos nueves como cifras tenga la parte periódica, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica. 2135 – 21 2114 1057 = = Ejemplo 1: 2,135 = 495 990 990 número fracción decimal generatriz

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6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO Calcula la fracción generatriz de 2,35.

Rpta:

4 Calcula la fracción generatriz de 0,245 y da como respuesta su numerador.

Calcula la fracción generatriz de 0,48.

Rpta:

Determina la fracción generatriz de 0,75.

Rpta:

6º GRADO

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6 Relaciona según corresponda. 5,2

217 1000

1,41

123 – 1 99

113 – 11 90 141 1,13 100 235 0,6 100 6 2,35 9 ¿Cuántos decimales exactos hay? 0,217

123 – 21 0,7 99 52 – 5 2,13 90 7 0,52 9 52 1,23 100 ¿Cuántos decimales inexactos hay?

Rpta:

9. Calcula el valor de a u b u c: a,bc =

7. Calcula las fracciones generatrices de 0,37 y 0, 23; luego, suma dichas fracciones.

8. Calcula el valor de m + n: 0,mn =

Relaciona según corresponda.

13 25

10. Calcula a + b + c: 0,abc =

73 111

67 50

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. Calcula la fracción generatriz de 3,08. d) 77 a) 73 25 25 67 b) e) 97 25 25 71 c) 50 2. Calcula la fracción generatriz de 0,85. d) 37 a) 11 50 20 17 b) e) 31 20 50 19 c) 20 3. Determina la fracción generatriz de 4,05. d) 65 a) 71 27 27 31 b) e) 73 18 18 71 c) 18 4. Determina la fracción generatriz de 3,36 e indica el valor del denominador. a) 11 d) 18 b) 27 e) 90 c) 9 5. Relaciona según corresponda. 452 0,007 1000 0,372

0,65

7 999 12,17

0,452

372 100 1217 – 12 65 – 6 99 90 ¿Cuántos decimales son periódicos puros? a) 4 d) 5 b) 1 e) 3 c) 2

6. Relaciona según corresponda. 37 889 99 10 57 – 5 1,666... 9 749 – 7 0,37 990 16 – 1 5,7 9 0,749 88,9 ¿Cuántos decimales inexactos hay? a) 3 d) 5 b) 1 e) 4 c) 2 7. Convierte a fracción generatriz los siguientes números decimales y señala el mayor numerador. Z 2,8 Z 0,63 Z 0,777... Z 0,4111... a) 28 d) 37 b) 14 e) 21 c) 29 8. Calcula el valor de a + b + c: 0,abc = 122 125 a) 22 b) 24 c) 19

d) 21 e) 18

9. Calcula le valor de m u n – p: m,np = 311 50 a) 7 d) 13 b) 9 e) 8 c) 10 10. Calcula la generatriz de p,qr si 0,pqr = 59 111 a) 523 100 b) 533 100 c) 531 100

d) 523 10 e) 531 1000

6º GRADO

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Adición y sustracción de números decimales 1. Adición de números decimales Para sumar números decimales, debemos: Y Escribir dichos números en forma vertical con la coma alineada. Y Completar con ceros, para que todos los números tengan la misma cantidad de cifras decimales. Ejemplo: Efectúa: 0,8345 + 1,5 + 0,34

2. Sustracción de números decimales Para restar números decimales, debemos: Y Escribir dichos números en forma vertical con la coma alineada. Y Completar con cero, para que todos los números tengan la misma cantidad de cifras decimales. Ejemplo: Resta: 4 – 2,674

Nota: Z Recuerda que solo sumamos y respetamos decimales exactos. Z Recuerda que el minuendo es mayor que el sustraendo. Observación: En toda sustracción podemos comprobar el resultado. Así, del ejemplo anterior:

dm – Minuendo

Sustraendo Diferencia

Si la cantidad de cifras decimales son diferentes, no olvides completar con ceros para que todos tengan la misma cantidad de cifras decimales.

1,326 + 2,674 4,000

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APLICA LO COMPRENDIDO Resuelve: 0,325 + 128,7

Rpta:

Determina: 1,23 + 48,007.

Rpta:

Calcula P: P = 32,81 + 2,731 – 0,48

Rpta:

Efectúa: 18,745 – 9,876

6º GRADO

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Calcula a + b + c: +4,8 –7,2 +4,23 6,3 a b c

Calcula m + n + p: +7,8 –5,3 +1,25 2,8 m n p

Rpta:

7. Calcula A + B: A = 2,82 + 123 100 B = 0,29 – 23 100

9. Paolo va a una tienda y compra un polo a S/.19,74 y un pantalón a S/. 78,25. Si paga con un billete de S/.100, ¿cuánto recibe de vuelto?

8. Alejandra fue al mercado y compró 1 kg de arroz a S/.4,72; 1 kg de azúcar a S/.3,95 y un litro de aceite a S/.7,23. Si pagó con un billete de S/.20, ¿cuánto recibió de vuelto?

10. Si una botella de 3 l de capacidad contiene 1,75 l de limonada, ¿cuántos litros de limonada faltan para que la botella esté llena?

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. Resuelve: 0,918 + 136,71 a) 137,48 d) 136,581 b) 135,22 e) 137,628 c) 141,018

8. Leonardo en la hora del recreo se compra una hamburguesa a S/.5,74, una gaseosa a S/.3,20 y una galleta a S/.0,75. Si paga con un billete de S/.10, ¿cuánto recibirá de vuelto? a) S/.1,11 c) S/.1,23 e) S/.0,29 b) S/.0,31 d) S/.0,51

2. Determina: 2,82 + 41,729 a) 44,239 d) 44,549 b) 45,129 e) 46,079 c) 43,19 3. Efectúa: 89,8 – 9,723 a) 78,189 b) 80,27 c) 79,197 4. Calcula m – n m = 378,21 n = 289,358 a) 87,842 b) 86,122 c) 89,725 5. Calcula a + b + c: 3,1 2,3 a a) 37,8 b) 36,7 c) 37,2

d) 79,077 e) 80,077

9. Camila va a una tienda y adquiere una blusa a S/.59,32 y un vestido a S/.87,27. Si paga con un billete de S/.200, ¿cuánto recibirá de vuelto? a) S/.49,11 d) S/.48,31 b) S/.53,41 e) S/.52,61 c) S/.55,25

d) 88,852 e) 87,322

10. Si tengo S/.2435,26 y compro un caballo a S/.1715,45 y una gallina a S/.28,437; ¿cuánto me queda? a) S/.691,373 d) S/.695,23 b) S/.547,9 e) S/.631,383 c) S/.649,71

b d) 31,4 e) 29,8

6. Calcula m + n + p: –17,8 +21,31 –3,2 25,2 a) 61,62 b) 60,48 c) 63,59

d) 63,59 e) 50,41

7. Si Edwin tiene S/.78,64 y se encuentra S/.50, pero luego pierde S/.42,25; ¿cuánto le queda? a) S/.88,67 d) S/.86,19 b) S/.87,8 e) S/.68,79 c) S/.86,39

6º GRADO

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Multiplicación de números decimales 3,472 u 5,8

Disponemos los números en forma vertical como números naturales.

27776 17360 148,300 + 20,1376

Se multiplican como si fueran números naturales.

Adición

52,73 – 9,812 Se contabilizan las cifras decimales de – 52,730 los números que se multiplican y9,812 se traslada la coma decimal en el resultado. 42,918

31,524 179,824

Multiplicación por 10; 100; 1000 Para multiplicar números decimales por 10; 100; 1000; se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros sigan a la unidad; si faltan cifras, se completan con ceros. Ejemplos: 23,46 + 5,3 Z Z Z

0,4375 u 100 23,46 + = 43,75 1,3 u 5,30 1000 = 1300 28,76 2,568 u 10 = 25,68

B. Multiplicación por 10; 100; 1000

A. Multiplicación de números decimales 3, 5 7 4 u 4, 2 4 8 2 9 6

5,5876 u 10 =

0,6395 u 100 =

CORPORACIร N EDUCATIVA โ THE HAPPY WORLD OF CHILDRENโ

APLICA LO COMPRENDIDO 1

Resuelve: 48,5 u 5,6

Rpta:

2 Resuelve: 71,3 u 2,7

Rpta:

Efectรบa: 1,2 u 1,3 u 2,1

Rpta:

Determina A: A = 2,8 u 6,3 + 3,7 u

6ยบ GRADO

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

Determina el perímetro del hexágono regular.

Determina el perímetro del octógono regular.

4,236 cm 2,516 cm

Rpta:

7. Calcula el área del rectángulo.

9. Para cercar un jardín se necesitan 56,4 m de alambre. Si el metro de alambre cuesta S/.2,21, ¿cuánto le falta a Leonardo si en este momento tiene S/.87,60?

2,7 cm 4,31 cm

8. Para cercar un terreno se necesitan 108,7 m de alambre. Si el metro de alambre cuesta S/.5,2, ¿cuánto le falta a Pamercito, si en este momento tiene S/.498,25?

10. El precio de una taza y un plato es S/.5,32 y S/.6,27, respectivamente. Si tengo 8 tazas y 9 platos y deseo completar la docena en ambos utensilios, ¿cuánto tengo que gastar?

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

6º GRADO

PRACTICA EN CASA

1. Resuelve: 39,7 u 4,8 a) 192,46 b) 186,76 c) 191,36

2. Resuelve: 46,4 u 5,9 a) 273,76 b) 296,66 c) 277,66

d) 190,56 e) 190,96

d) 284,66 e) 306,16

3. Opera: 2,87 u 10 + 0,567 u 100 a) 92,4 b) 91,2 c) 81,4

d) 86,2 e) 85,4

4. Si un cuaderno cuesta S/.8,62; ¿cuánto costará media docena? a) S/.68,12 d) S/.50,92 b) S/.52,42 e) S/.50,62 c) S/.51,72

8. Para cercar un pequeño huerto se necesitan 51,8 m de alambre. Si el metro de alambre cuesta S/.4,8, ¿cuánto faltaría si ya se cuenta con S/.200? a) S/.49,44 c) S/.48,64 e) S/.32,24 b) S/.52,14 d) S/.39,24 9. Para instalar un teléfono en una casa se necesitan 62,5 m de cable. Si el metro cuesta S/.12,27, ¿cuánto dinero se necesitará si hasta el momento se tiene S/.548,92? a) S/.219,225 d) S/.217,955 b) S/.221,655 e) S/.220,155 c) S/.217,515 10. Calcula el doble de la parte entera más el triple de la parte decimal del producto total: 325,71 u 2,9 a) 3565 d) 3485 b) 4025 e) 6105 c) 3275

5. Determina el perímetro de pentágono regular:

6,79 cm a) 34,65 cm b) 36,75 cm c) 32,05 cm

d) 33,95 cm e) 40,25 cm

6. Determina el perímetro de un polígono regular de doce lados si la medida de uno de sus lados es 15,4 cm. a) 196,8 cm d) 174,2 cm b) 194,8 cm e) 184,8 cm c) 192,4 cm 7. Si un equipo de fulbito desea adquirir 11 polos a S/.22,5 cada uno, pero tan solo ha reunido S/.198,72; ¿cuánto dinero le falta? a) S/.48,78 d) S/.46,78 b) S/.44,86 e) S/.42,24 c) S/.56,18

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

Operaciones combinadas de adición, sustracción y multiplicación de números decimales

Cuando encontremos ejercicios donde aparecen algunos o todas las operaciones ya estudiadas, surge la siguiente pregunta: ¿Por dónde empezamos a resolver? Z Para resolver estos tipos de ejercicios, se debe tener en cuenta las siguientes prioridades: Z Resolver las operaciones que se encuentran entre signos de colección: Y paréntesis ( ) Y corchetes [ ] Y llaves { } Z Luego, las multiplicaciones de números decimales. Z Finalmente, las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha (poseen el mismo nivel o jerarquía).

Veamos un ejemplo práctico. Calcula: 27,3 + (31,7 u 15,2 – 428,74) Resolución Empezaremos por las operaciones que se encuentran entre paréntesis: 27,3 + (31,7 u 15,2 – 428,74)

Nota: No olvidemos que para las adiciones y sustracciones, es necesario alinear la coma decimal y completar con ceros para operar como si fuesen números naturales.

27,3 + (481,84 27,3 +

53,1 80,4

– 428,74)

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 1

Resuelve: 42,8 – 3,7 u 11,2

Rpta:

3 Calcula el valor de E. +3,2 –7,9 6,1

u1,9

Rpta:

Opera: 56,7 + 4,8 u 9,7

4 Efectúa:

Rpta:

(28,967 – 26,741) u 3,6

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

5 Si Roberto compró 3,6 kg de carne de res a S/.22,41 el kg y dos botellas de vino a S/.36,20 cada una, ¿cuánto gastó en la compra?

6 Si doña María va al supermercado y compra 2,8 kg de papas a S/.1,2 el kg y 6 kg de arroz a S/.3,24 el kg, ¿cuánto gastó en dicha compra?

Rpta:

7. Resuelve: 2,8 u 1,3 + 3,6 u 1,2 – 1,9 u 4,5

9. Un carrito cuesta S/.22,6 y una muñeca, S/.29,4. Si doña Rosa decide comprar 6 carritos y 2 muñecas y paga con S/.200, ¿cuánto recibirá de vuelto?

8. Un cuaderno cuesta S/.7,80; un fólder, S/.5,60; y un lapicero, S/.1,20. Si Lucho compra 8 cuadernos, 3 fólderes y 9 lapiceros y paga con S/.100, ¿cuánto recibirá de vuelto?

10. Un comerciante compró 6 docenas de cuadernos a S/.4,80 la unidad. Si los vende recaudando, en total, S/.388,80, ¿cuánto fue su ganancia total? Calcula: 4,27 × 1,9

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA

1. Resuelve: 21,4 – 2,9 6 u ,8 a) 1,272 c) 3,013 b) 1,921 d) 2,082

e) 2,182

2. Opera: 89,3 + 15,6 u 4,6 a) 153,06 d) 147,03 b) 162,16 e) 161,06 c) 142,42 3. Determina A + 2,8: A = 50,83 + 49,71 – 7,5 u 9,5 a) 31,03 d) 32,09 b) 29,78 e) 27,39 c) 41,79 4. En una feria gastronómica, un plato de arroz con pato cuesta S/.29,75. Si se vendieron 11 docenas de platos, ¿cuánto se recaudó? a) S/.3927 d) S/.3817 b) S/.3921,7 e) S/.3815,2 c) S/.2977

8. Una cartuchera cuesta S/.12,28; un plumón, S/.3,22; y un lapicero, S/.1,40. Si Edwin compra 2 cartucheras, 3 plumones y 6 lapiceros y paga con S/.100, ¿cuánto recibirá de vuelto? a) S/.40,52 c) S/.50,62 e) S/.40,42 b) S/.41,38 d) S/.57,38 9. Una calculadora cuesta S/.7,20 y una regla, S/.4,25. Si Pedro decide compran 3 calculadoras y 5 reglas y paga con S/.100, ¿cuánto recibio de vuelto? a) S/.58,16 c) S/.51,75 e) S/.48,25 b) S/.57,15 d) S/.49,18 10. Calcula la suma de cifras de la parte decimal del resultado: (13,9 u 5 – 50,835) u 3,8 + 21,892 a) 17 c) 19 e) 18 b) 16 d) 12

5. Si Víctor compró 4,5 kg de uvas a S/.6,7 el kg y 4,8 de naranjas a S/.1,92 el kg, ¿cuánto gastó en la compra? a) S/.39,716 d) S/.41,16 b) S/.40,216 e) S/.39,366 c) S/.37,266 6. Si doña Justa va al mercado y adquiere 5,6 kg de azúcar a S/.2,8 el kg y 6 botellas de aceite a S/.7,72 cada una, ¿a cuánto asciende su gasto? a) S/.63,25 d) S/.60,85 b) S/.62,50 e) S/.64,28 c) S/.62 7. En una hacienda se va a preparar una riquísima pachamanca, para lo cual compran 6 kg de carne de res a S/.18,25 el kg, 7 kg de pollo a S/.9,20 el kg y 4 kg de carne de chancho a S/.16,22 el kg. ¿Cuánto se invirtió en toda la carne? a) S/.236,28 c) S/.242,18 e) S/.241,08 b) S/.238,78 d) S/.235,68

6º GRADO

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División de números decimales Regla: Para dividir dos decimales que no son homogéneos; es decir, que no tienen el mismo número de cifras decimales; convertimos estos a decimales añadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales. Una vez homogéneos el dividendo y el divisor, se suprimen las comas y se dividen como enteros. Ejemplo: Divide 24,57 y 4,5 Solución Z Completamos con ceros: 24,57 y 4,50 Z Se suprimen las comas: 2457 y 450 2457 450 Z Se dividen como enteros: 2250 5,46 2070 1800 2700 2700 –––– ? 24,57 y 4,5 = 5,46

División de un entero por un decimal o viceversa Se pone coma decimal al entero y se le añaden tantos ceros como cifras decimales tenga el decimal. Una vez homogénos el dividendo y el divisor, se suprimen las comas decimales y se dividen como enteros. Ejemplo: Divide: 21,06 y 9 Solución: Ponemos coma decimal al entero 21,06 y 9,00 y completamos con ceros. Suprimimos las comas decimales: 2106 y 900 2106 900 Se dividen como enteros: 1800 2,34 3060 2700 3600 3600 ––––

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APLICA LO COMPRENDIDO 1

Resuelve:

Rpta:

6,72 y 4,8

Resuelve: 2,89 y 1,7

Rpta:

Opera: 7,28 y 5,

4 Efectúa: 3,36 y 1,5

Rpta:

6º GRADO

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Efectúa: 3,36 y 1,5

Rpta:

7. Resuelve:

Calcula m u n u p: 4,75 = m,np 3,8

Rpta:

9. Si doña Carmen compró 18 litros de leche por S/.31,5, ¿cuánto le costaría comprar 11 litros de leche?

2131 1329 117 + – 1000 100 10

8. Si Eduardo compró 27 m de tela por S/.410,4, ¿cuánto le costaría comprar 19 m de la misma tela?

10. Daniel adquiere un televisor LED Full HD de 46’’ a S/.3908,4 para pagarlos en 12 cuotas fijas. ¿Cuál es el valor de cada cuota?

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA

1. Resuelve: 44,25 y 7,5 a) 3,9 b) 5,7 c) 5,9 2. Opera: 29,52 y 8,2 a) 3,6 b) 4,6 c) 2,36

d) 4,9 e) 4,7

d) 2,6 e) 3,16

3. Efectúa: 1,43 y 1,3 + 3,61 y 1,9 + 2,25 y 1,5 a) 2,95 d) 3,55 b) 3,5 e) 4,5 c) 4,9 4. Calcula:

9. Si Pablo compró 16 kg de uvas por S/.89,6, ¿cuánto le costaría comprar 12 kg? a) S/.68,12 d) S/.77,14 b) S/.66,2 e) S/.71,4 c) S/.67,2 10. ¿Cuántas monedas de S/.0,50 serían equivalentes a S/.394,50? a) 789 d) 692 b) 793 e) 801 c) 816

48 261 u – 12,528 10 100 d) 1 e) 2,23

a) 0,146 b) 0 c) 1,12 5. Calcula a + b + c:

a) 4 b) 5 c) 8

2,8 = a,bc 2,5 d) 3 e) 6

6. Calcula a . b . c 6,75 = a,bc 3 a) 18 b) 36 c) 22

d) 20 e) 25

7. Para pagar una deuda de S/.3664,5 se realiza un fraccionamiento en siete fechas de pago con cuotas iguales; ¿cuál es el valor de cada cuota? a) S/.519,5 d) S/.493,5 b) S/.523,5 e) S/.605,5 c) S/.243,7 8. Si Nicólas compró 39 m de cable por S/.382,2, ¿cuánto pagaría por 18 m de cable? a) S/.175,2 d) S/.184,6 b) S/.176,4 e) S/.183,4 c) S/.166,4

Algebra

• Leyes de exponentes para la radicación I • Radicación II raíz de una división • Radicación III raíz de raíz • Expresiones algebraicas •Reducción de términos semejantes I • Reducción de términos semejantes II • Polinomios I

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6º GRADO

Leyes de exponentes para la radicación I 1. Exponente fraccionario n m

2. Raíz de un producto n

a = an

Ejemplos: Y

20 5

=x =x 13

m13 = m13 = m1 = m 18

n18 = b 2 = b9 n

a n = am

Ejemplos: a 5 = a7

362 = 36 = 6

Y Y

1 2

m = m 1 4

a . b = a.b

Ejemplos: 4 7 4 9 4 x . x = x7 . x9 = 4 x16 = x4 Y

Ejemplos: 5 10 30 5 10 5 30 x y = x . x = x2y6 Y 3 3 3 27 27.125 = Y . 125 = 3.5 = 15 212.34 = 212 . 34 = 26.32 = 64.9 = 576 Y

ab = a . b

16 = 16 = 2

2 . 8 = 2 . 8 = 16 = 2 x . x7 . x10 = x.x7.x10

6º GRADO

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APLICA LO COMPRENDIDO 1 Reduce:

A= x .x.x .

Calcula:

3 x15

Rpta:

Reduce: B =

415 .

415

Rpta:

x4 . x . x4 .

x16

Rpta:

3 24 Reduce: E = x . x . x4

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Calcula: P = 91/2 + (3 u 9)1/3 – 1 6

–1

Rpta:

Calcula: T = 161/2 + (8 u 4)1/5 – 1 3

–1

Rpta:

10 7. Calcula: Q = 54 + 4 – 81/3

8. Reduce: F =

6º GRADO

x .

x5 .

9. Reduce: R =

x4 .

x11 .

10. Calcula: B = 9 . 3 + 49.16 – 16

6º GRADO

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PRACTICA EN CASA 5

1. Reduce: x2 . x . x6 . x12 a) x3 d) x6 2 b) x e) x7 c) x5 2

9. Reduce: a) b7 b) b c) b8

2. Reduce: P = m4 . m . m3 . x20 a) m5 d) m10 b) m6 e) m4 c) m 3. Calcula: Q = a) 0 b) 2 c) 4

2 . 230 d) 6 e) 7

13 4. Reduce: x . x6 . x2 a) x5 d) x3 6 b) x e) x2 c) x4 5. Calcula: A = 81/3 + (16 u 2)1/5 – 1 5 a) 1 d) –3 b) –1 e) 4 c) –2

6. Calcula: a) 1 b) 0 c) 3

H = 271/3 + (32 u 2)1/3 – 1 7 d) 2 e) 5

–1

7. Calcula: P = 46 + 310 – 811/4 a) 21 d) 23 b) 20 e) 24 c) 22 8. Reduce: a) x2 b) x3 c) x5

10. Calcula: 4 4 6 6 M = 8 . 2 + 25.64 – 8 . 8 a) 10 d) 40 b) 20 e) 50 c) 30

11 17 6

T = b2 . b10 . b7 . b9 d) b2 e) b3

E = x . x5 . x8 . x7 d) x e) x4

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6º GRADO

Radicación II: raíz de una división

a =n b b

n n

a b =

a b

36 36 6 49 = 49 = 7

3 9

x3 = 3 12 = 4 y y

50 = 2 = 25 = 5 2

3 40 x

x40 3 40–4 3 36 4 = x = 3 4 = x = x x 3

6º GRADO

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APLICA LO COMPRENDIDO 1

A = 81 + 1 25 5

Rpta:

4 – 9 9 49

Rpta:

16 + 8 3 9

8 2

Rpta:

– 27 + 21

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x25 . y4 y20

Rpta:

6º GRADO

x36 4 y24 . y

Rpta:

7. R = 3

x8 2

x21

9. Calcula:

1 5 5 8. Calcula: A = 3 81 – 2 . 16 + 52 3

32 2

–

3 . 3 9 + 35

10. Calcula el valor de «T + 1». 6 5 128 5 T= 6 + 8. 4 2

6º GRADO

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PRACTICA EN CASA Calcula (ejercicios 1 al 4) 9. Calcula:

1. M = 81 + 3 49 7 a) 1/7 b) 12 c) 12/7

d) 6 e) 5

2. P = 64 + 5 9 3 a) 1/13 b) 1/3 c) 5

a) 5 b) 3 c) 7

d) 2/5 e) 1

+ 8 + 32

2 a) 10 b) 15 c) 4 Reduce (ejercicios 5 al 7):

d) 5 e) 16

20 5. R = 4 x16 . y4 y a) 3x b) 5x c) 5

d) x e) x5

x21 . x8 6 9 x 4 a) x b) x2 c) x10

6. A =

d) 10 e) 10x

11 42 7. T = x . x 4 3 5 2 x x a) x4 b) x c) 10

8. Calcula:

T= a) 2 b) 0 c) 1

d) x10 e) x5

243 4

– 2 . 8 + 32

64 2

– 9 . 3 + 23 d) 8 e) 9

10. Calcula el valor de B + 3. 3 4 81 4 B= 3 + 2 . 8 3 a) 6 d) 2 b) 8 e) 4 c) 10

d) 13/3 e) 2/3

3. C = 36 + 16 25 9 a) 6/15 b) 1/5 c) 38/15 4. F =

d) 11 e) 10

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6º GRADO

Radicación III: raíz de raíz

Raíz de raíz mn

¡Los índices se multiplican!

Ejemplos: Z

5 3 60

2 4

Z Z

3 2

5.3 60

x16 y40 81

2.2

3.2

2.4

x60

x16 y40

= x4 =

x16 y40

= x2y5

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

APLICA LO COMPRENDIDO 1

x A= Reduce:

3 7

x21

B = (x7)2 • x5

x24 .

M= 2

Rpta:

2 C=

x20 .

x36

Rpta:

324

x32

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6 420

– 27

Rpta:

7. C =

1/3

6º GRADO

336 – 811/2

Rpta:

324 +

420 – 70

9. Reduce e indica el exponente final de «a». a10.a6.a4 P=

10. Calcula: 8. Reduce e indica el exponente final. 4 3

5 17 14

x .x .x 2

716 3

+ 23

210

6º GRADO

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PRACTICA EN CASA x20 .

1. A = a) x4 b) x5 c) 6

9. Reduce e indica el exponente final.

3 4

x12 d) x6 e) x

m32 . 2. C = 9 a) m b) 6 c) 9

3 5

3. M = a) x4 b) 4 c) x

S= a) 1 b) 2 c) x

m15 d) m6 e) m3

3 3

10. Resuelve: a) 7 b) 11 c) 2

d) 5 e) x5

Calcula (ejercicios 4 al 7): 3

4. E = a) 8 b) 9 c) 10

412

5. F = a) 2 b) 1 c) 0

236 – 491/2

d) 15 e) 16

3 4

d) 3 e) 4

3 5

6. B = a) 50 b) 55 c) 75 7. Q = a) 10 b) 9 c) 15

360 – 361/2 d) 25 e) 5

230 +

320 – 80 d) 13 e) 16

8. Reduce: B= a) x6 b) 2x c) x5

3 3

x11.x6.x10 x2 d) x e) x4

x10.x9.x21 x9 d) x4 e) 3

3 6 36 2 916 + 19 19 5 d) 17 e) 15

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6º GRADO

Expresiones algebraicas A. Concepto Es un conjunto finito (tiene principio y fin) de constantes (números) y variables (letras) con exponentes racionales y fijos (no pueden ser letras), relacionadas mediante las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Ejemplos: Y 3x2 – 18xy + 7 si es E. A. Y –3a 5 b + 8 – 12a5b2 no es E.A., porque el exponente de «a» es 5 (número irracional). Y 6m6n7/2 – 3 m5n2 + 3mb 2 no es E. A., porque el exponente de m (es una letra). Y 9x + 13xy4 + 17x2y – 3 + ... no es E. A., porque es infinito.

En los siguientes elementos: Y ab8 o el coeficiente es 1. Y –x4y5 o el coeficiente es –1.

D. Términos semejantes (T. S.) Son aquellos términos algebraicos que tienen la misma parte literal, es decir, las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. Ejemplos: 2 5 x o son T. S. Y 6x5; 1 x5; 3 2 Y

7 6

C. Elementos de un término algebraico Exponentes

–32 a b

–9a3b4 ; 2b4 a3 El orden de los factores no altera el producto

Es la unidad mínima de una expresión algebraica, es decir, es cada uno de los sumandos de la E. A. Ejemplos: Y –24 + x2 – 13x2y3 es una E. A. que tiene 3 términos. Y – x2y8 es un término algebraico.

16m n ; –8n m

B. Término algebraico

Coeficiente

Variables Parte literal: Y Exponentes Y Variables

¡Exponentes diferentes! no son T. S. Exponentes iguales si son T. S.

6º GRADO

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APLICA LO COMPRENDIDO 1 A) B) C) D)

3 Escribe 3 términos semejantes a: x6y

Identifica la E. A. 4a3 + 6 – mb 7x2m3 – 3x 5 y2 + 1 13x2y5 + 16xy7 + 13 + ... 6x4 + 7x – 3

Rpta:

Marca las E. A. 17 A) –12xy – 2m3y2 – 5m y2 B) 39x5y6 + 17xy3 – 29xy + ... C) 7x7y2 – 12xy3 + 6 D) 16x2y 16 + 2 5 E) 3xm + 4x3y – 6

Rpta:

Escirbe 2 E. A.

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Elabora un término algebraico cuyas variables son m, n, p; sus exponentes 9; 2; 7 respectivamente y su coeficiente es la mitad de 50 disminuido en el cuadrado de 7.

Elabora un término algebraico cuya parte literal es x8y5n10 y su coeficiente es el cuadrado de la diferencia de 9 y 7.

Rpta:

7. Calcula la suma de coeficientes de la siguiente E. A.: 10x5 + 3x4 – 20x – 9

9. Calcula m + n si son T. S. T1 = 3 xm+8 y12 5 n

T2 = 7 x12 y 6

8. Calcula a + b si son T. S. T1 = 1 xa–3 y8 3 b

T2 = 5 x9 y 2 63 33

10. Calcula: x + a + b si son T. S. x+1 a 15 2 T1 = m n 3 zb–5 2 7 5 12 7 T2 = mn z 2

102 52

6º GRADO

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PRACTICA EN CASA 8. Calcula «a + b» si son T. S. 1 T1 = xa–3y7 4 1 4 b/4 T2 = x y 4 a) 15 c) 20 b) 10 d) 24

1. Marca las E. A. a) 13x6y

+2 2

b) 28x3y4 + 15xy2 – 20xy + ... c) 8x3y5 – 20xay3 + 6 d) 13xm4 – 11 mn6 + 13mn 2 e) –10xy + 4m5n6 – 3m 13 y3

e) 35

9. Calcula «m + c + x» si son T. S. x+5 T1 = – 3 a 2 bc/3 ym–8 2 T2 = 5 b3a4y a) 21 c) 19 e) 10 b) 20 d) 15

2. Escribe 3 expresiones no algebraicas.

3. Escribe 3 términos semejantes a: –a5b2

4. Escribe 2 E. A. de 3 términos. 5. Elabora un término algebraico cuyo coeficiente es el doble de 3 disminuido en 12, sus variables son a, b, c y sus exponentes: 1; 3; 5 respectivamente.

6. Elabora un término algebraico cuyas variables son x, y, m; sus exponentes 6; 7; 3, respectivamente, y su coeficiente es la mitad de 10 disminuido en el cuadrado de 5.

7. Calcula la suma de coeficientes de la E. A. –4a + 7b + 15ab – 1 a) 12 d) 10 b) 7 e) 8 c) 17

10. Calcula «x + a + b» si son T. S. x+3 17 T1 = m 3 na/4zb–3 5 T2 = 5 m3 n2z5 5 a) 12 c) 22 b) 10 d) 7

e) 3

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6º GRADO

Reducción de términos semejantes I Para reducir términos semejantes, debemos de tener en cuenta lo siguiente: Z Solo se reducen términos semejantes: Y 3xy – 8x2y o no se pueden reducir porque no son semejantes. 6 7 Y 5 + 2x y o no se puede reducir porque no son semejantes.

8 11 –8 + 11 3 – 3 + 3 = 3 = 3 xm = 1xm = xm

Si se tienen términos semejantes con coeficientes enteros, se aplica la ley de signos para la (+) y (–). Y –9xy – 13xy o –22xy p –9 –13 se suman y la respuesta lleva el mismo signo. Y

–2ab + 15ab o 13ab p –2 + 15 = +13 se resta y la respuesta lleva el signo del mayor.

3xm – 20xm o –17xm p 3 – 20 = –17 Si se tienen términos semejantes con coeficientes en Q (fracciones), debes tener en cuenta las operaciones con fracciones homogéneas y heterogéneas. Y

8 11 – 3 xm + 3 xm o son fracciones homogéneas

7 3 – 5 ab – 2 ab o los coeficientes son fracciones heterogéneas 3 3 –6 – 35 – 5 – 5 = 10 o MCM (5;2) 41 = – ab 10

Si se tienen términos semejantes, estos se agrupan y se reducen: 2 2 Y –4 + 8x y – 10x y + 20 se agrupa o –4 + 20 + 8x2y – 10x2y +16 + (8 – 10)x2y 16 – 2x2y o ya no se puede reducir

6º GRADO

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APLICA LO COMPRENDIDO 1 A = –29x2y3 + x2y3

3 G = –13a2 + 8a2 – 5a2

Rpta:

2 L = –25a3b4 + a3b4

4 E = –15xy – 10xy + 12xy

Rpta:

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B = –7 + 3y + 18 + 8y – 10 – 10y

Rpta:

7. A = 5x2 + 6x – 9x2 + 8x – x + x2

xy 7xy 3xy 8. Q = – + + 5 2 10

R = –9 + 2x + 13 + 7x – 10 – 12x

Rpta:

9. R = –

10. A =

xy 5xy 9xy + + 3 2 6

2ab 4ab ab + + 6 5 5

6º GRADO

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PRACTICA EN CASA 8. E = – xy + 3xy + 7xy 4 8 2 1 a) xy 8 29 b) xy 8 1 c) xy 4

Reduce (ejercicios del 1 al 10): 1. A = –16x4y3 + x4y3 a) 14x4y3 b) –15x4y3 c) 16xy 2. O = –12x2y3 + x2y3 a) x2y3 b) –10x2y3 c) –11x2y3

d) xy e) xy2

9. M = 5xy – 11xy + xy 2 3 6 5 a) – xy 2 7 b) – xy 3 c) xy

d) –20x2y3 e) x2y4

3. B = –10mn + 4mn – 12 mn a) 19mn d) mn b) –18mn e) 18 c) 20mn

10. A = – xy + 5xy + 11xy 8 2 4 3 53 a) xy c) xy 4 8 1 b) xy d) 2xy 3

4. T = –2x2 + 8x2 + 15x2 – 5x2 a) 19x2 d) 16 2 b) 17x e) 16x2 c) x2 5. N = –2 + 3x + 9 + 8x – 20 – 12x a) x + y b) –12 + x c) –13 – x

d) 2 – x e) 3 – x2

6. P = –10 + 8y + 14 + 5y – 13 – 20y a) 3y b) –6 – 4y c) –8 – 9y

d) –9 – 7y e) 5y

7. Q = x + 3y – 20x + 6y – 2x – 20y a) 5x + y d) –2x – 11y b) 2x + y e) x – y c) x + y

d) xy e) 2xy

d) –

7 xy 9

e) xy2

e) 3xy

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6º GRADO

Reducción de términos semejantes II En esta semana, vamos a reducir términos semejantes, aplicando la propiedad distributiva. Ejemplos: 4 Z 2x(3y – 8) – 8x(y + 4) (–8) (+y) = –32 6xy – 16x – 8xy – 32x 6xy – 8xy – 16x – 32x –2xy – 48x

¡Buscamos términos semejantes! Z

¡Ya no se puede reducir!

–x(x – 6) – (8x – x–2) –x2 + 6x – 8x + x2 –2x

5m(2n – 6m) – 8n(2m) + 10m2 10mn – 30m2 – 16mn + 10m2 10mn – 16mn – 30m2 + 10m2 –6mn – 20m2

6º GRADO

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APLICA LO COMPRENDIDO 1 P = 4(x – 7y) – 6(y – x)

Rpta:

B = 8(3x – 2y) – (3x – 7y)

Rpta:

A = 6(a – 5b) – 2(b – a)

4 Q = –5(–3a + 7b) + 7(a – 4b)

Rpta:

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S = 2x(x – 5y) – 3x(y – 7x)

Rpta:

6º GRADO

O = 3x(x – 4y) – 5x(y – 9x)

Rpta:

7. T = –2a(5b – a) + 4a(3a – b)

9. B = 6x(2y – 3x) – x(3y – 7x) + 4(xy –x2)

8. A = 6x(2x – 7y) – x(4x – 9y) + 3(xy – x2)

10. S = 9 x ( x – 2 y ) + x ( x – y ) – 4 x 2 + 8 y 2

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

PRACTICA EN CASA Reduce las siguientes expresiones: 9. C = 5x(y – 2x) – x(2y – 3x) + 3(xy – x2) 1. P = 3(x – 8y) – 9(y – x) a) 12x – 33y d) x – y b) 14x + 13y e) x + y c) 13x – 23y

b) 4a2 + 10ab c) 10a2 – 17ab – 8b2 d) 3a2 – 16ab e) 5a2 + 10ab

6. K = 3x(x – y) – 2x(y – 3x) a) x2 – 2xy d) 9x2 – 5xy b) 5x2 – 4xy e) 3x2 –4xy c) 8x2 – 6xy 7. P = –2a(5b – a) + 3a(a – 2b) a) 3a2 – 10ab d) 6a2 – 11ab b) 2a2 – 15ab e) 4a2 – 10ab 2 c) 5a – 16ab 8. T = 2m(3n – 8m) – m(5n – 6m) + 5(mn – m2) e) 6mn – 15 m2

e) 6xy – 10x2

a) 7a2 – 11ab

4. R = –3(–a + 3m) + 4(a – 2m) a) 7a – 5m d) 7a – 17m b) 7a – 16m e) 8a – 16m c) a – m 5. S = 4x(x – 3y) – 5x(y – 2x) a) 15x2 – 16xy d) 10x2 – 11xy b) 14x2 – 17xy e) x2 – xy 2 c) 13x – 10xy

b) mn – 7m2

b) 9xy – x3

10. Q = 7a(a – 2b) + a(a – 3b) + 2a2 – 8b2

3. A = 4(2x – 5y) – (4x – 2y) a) 4x – 2y d) 5x + 2y b) x + y e) x – y c) 4x – 18y

d) 6mn

d) 7xy – x2

c) 9xy – 2x2

2. M = 5(m – 3y) + 6(m + y) a) m + y d) 13m – 8y b) 8m – 7y e) 12m – 7y c) 11m – 9y

a) 15mn – 6m2

a) 7xy – x2

c) 7mn – 12m2

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6º GRADO

Polinomios I A. Polinomio

Es una expresión algebraica donde los exponentes de sus variables son números naturales: {0; 1; 2; ...} Ejemplos: 7 4 7 Y 5x – 9xy + 7x o no es polinomio 2 2 Y 3a b + 5ab – 9a o sí es polinomio 5 4 –7 Y 4a – 8b – 3a o no es polinomio

2. Binomio Es aquel polinomio que tiene dos términos. Ejemplos: 2 2 ŏ M(x,y) = 3x – 5y 3 ŏ E(m) = 2 + 3a

B. Notación polinómica Es la forma abreviada que se adopta para expresar un polinomio. Q(a; b; c) = –7a3b4 – 22ab + 10 Variables

Término independiente

6 P(x;y) = – x4y5 5 Q(a) = 7a

3. Trinomio Es aquel polinomio que tiene tres términos. 2 ŏ A(x) = 3x – 7x + 5 2 2 ŏ C(m,n) = –4mn + 8m – n

D. Valor numérico (V. N.) El valor numérico de un polinomio es el resultado que se obtiene al sustituir las variables (letras) por números. Ejemplo: Calcula el valor numérico (V. N.) de P(x) = 3x3 – 5x2 – 6x + 9 para x = –1. Resolución: P(–1) = 3(–1)3 – 5(–1)2 – 6(–1) + 9 P(– 1) = 3(–1) – 5(1) + 6 + 9 P(–1) = –3 – 5 + 15 P(–1) = –8 + 15 P(–1) = 7

Nombre del polinomio Se lee: Polinomio Q de a, b, c Polinomio Q en a, b, c

C. Clasificación Por el número de términos:

1. Monomio Es aquel polinomio que tiene un solo término. Ejemplos:

6º GRADO

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APLICA LO COMPRENDIDO 1

Señala qué expresiones algebraicas son polinomios: A) x–6 B) 3 + x 5 C) m – 6n1/2 4 D) 4xy – 7x2 + 1

Rpta:

Calcula P(3), si: P(x) = 2x2 + 5

Rpta:

Señala qué expresiones algebraicas son polinomios: A) 5 x7 + 9 B) 18x2 + 12xy – 3 C) x 3 – 9xy4 D) 9x – 7

Rpta:

Calcula Q(–3), si: Q(m) = 5m + 6

Rpta:

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Calcula A(2) – A(1), si A(x) = –2x + 3x2 + 2

6º GRADO

Calcula B(3) + B(1), si B(m) = m2 + 2m

Rpta:

7. Calcula B(6) – P(3), si B(a) = 3a – 6 y P(a) = 5 – 3a.

9. Calcula el V. N. de Q, para x = 1; y = –1; z = 2. Si Q(x; y; z) = 3x + y + xy – 5

8. Calcula el V. N. de F, para a = 2, b = –2, c = 1 si F(a, b, c) = 2a + ab + 3c – 6

10. Calcula 2.S(2; –1), si S(a, b) = a2 + b2 + 2

6º GRADO

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PRACTICA EN CASA Calcula (ejercicios 1 al 10).

8. Calcula el valor de R +

1. T = 17 – 4 × 2 a) 0 b) 3

R = 23 × 5 – 22 c) 1 d) 5

e) 4

a) 15 b) 5

2. M = 37 – 7 × 3 a) 3 b) 4 3. J =

a) 10 b) 4 4. N =

c) 3 d) 9

5. S =

19 – 2 × 8 + 15

a) 2 b) 1

c) 3 d) 5

6. A =

21 – 3 × 2 + 13

a) 5 b) 6

c) 8 d) 4

a) 10 b) 5

a) 7 b) 5

c) 3 d) 2

L= a) 12 b) 10 e) 1

e) 4

e) 7

16 + 4 × 5 + 70 c) 9 d) 6

16 , si:

e) 9

10. Resuelve:

e) 1

100 – 2 × 3 c) 9 d) 2

e) 9

M = 32 × 6 – 51

e) 6

+3×8

a) 4 b) 8

7. Si:

c) 6 d) 8

9. Calcula el valor de M + c) 2 d) 7

81 , si:

e) 24

32 × 4 – 22 + 42 – 32 c) 2 e) 9 d) 8

Geometria

• Triángulos prop auxiliares • Teorema de Pitágoras y tria pitagoricos • Cuadriláteros trapecio y trapezoide y sus prop. • Cuadriláteros prop. fundamentales y paralelogramos •Polígono regular, perímetro, lados y ángulo exterior • Circunferencia prop. fundamentales • Circunferencia ángulo central

6º GRADO

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Triángulos: propiedades auxiliares En la figura: B

D x

C B

C D

x=D+E+T

D + E = m + n

Sabías que: Los triángulos tienen propiedades auxiliares.

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6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 1

Calcula el valor de «x». B

D 3 35º x+10º 0º

75º

80º D x+20º

30º C

Rpta:

2 Calcula el valor de «x». 35º

x+10º

Calcula el valor de «x». B

70º

30º 35º

60º

+1 0

4 B

50º D

Rpta:

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

Calcula el valor de «x».

6 D

Calcula el valor de «x».

120º

40º

C 70º

80º

x A

Rpta:

7. Calcula el valor de «x». x+5º

115º

40º

55º

125º

9. Calcula el valor de «x». E

D A

º 30 A

º F 40º C

50º

F 50º

10. Calcula el valor de «x».

8. Calcula el valor de «x». D

B q

B a

D 65º

x C

20 º G x

40º

50º E

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. Calcula el valor de «x». C A 30 x+40º 0º º 3 D

4. Calcula el valor de «x». B x+60º

70º B d) 130º e) 140º

a) 80º b) 90º c) 120º

40º

D 80º

30º

B º

2. Calcula el valor de «x».

b) 20º

e) 50º

5. Calcula el valor de «x». B

30º

a) 30º b) 50º c) 60º

d) 40º

c) 30º

D 2x A

a) 10º

60º

E 60º

d) 70º e) 90º

130º

G 3. Calcula el valor de «x».

d) 70º

b) 50º

e) 80º

c) 60º 6. Calcula el valor de «x». A 40º

x B

a) 40º

40º

C a) 10º

d) 40º

b) 20º

e) 50º

a) 20º b) 30º c) 40º

c) 30º

E 130º d) 50º e) 60º

6º GRADO

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Teorema de Pitágoras y triángulos pitagóricos

Sea el triángulo rectángulo ABC, recto en C. A b

C Catetos: AC, CB Hipotenusa: AB

Teorema de Pitágoras «La suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa». a2 + b2 = c2

Recuerda

3u 4u

10u

17u

15u

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6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 1

Calcula el valor de la hipotenusa. A

3 Calcula el valor de «x». C

Rpta:

13 u

Rpta:

4 Calcula el valor de la hipotenusa. A

2. Calcula el valor de la hipotenusa. A

5u B

Rpta:

12 u

Rpta:

x 18 u

6º GRADO

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Calcula el valor de «x». D

15 u

Calcula el valor de «x». B

7u B

17 m

24 u

Rpta:

7. Calcula x + y. D 6u

B 5u

9. Calcula el valor de «x». A 8u

25 u

B x

10. Calcula «x».

8. Calcula el valor de «x». B

E 3u

D 10 u

10 u

C A

17 u

5u x

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. Calcula la longitud de la hipotenusa. B 2u

5. Calcula el valor de «x». 56 u B

44 u

x A

a) 2 u b) 3 u c) 4 u

d) 5 u e) 6 u

a) 7 u b) 8 u c) 9 u

2. Calcula la longitud de la hipotenusa. x C A 5u

D 6u d) 10 u e) 11 u

6. Calcula «x».

17 u B

11 u

B a) 2 u b) 3 u c) 4 u 3. Calcula el valor de «x». B

a) 6 u b) 7 u c) 8 u

7. Calcula AD.

15 u

a) 12 u b) 13 u c) 14 u

C 3u D d) 15 u e) 16 u

x D d) 5 u e) 5 2 u

a) 2 2 u b) 3 2 u c) 4 u

5u 2u d) 5 u e) 6 u

4. Calcula la longitud de PQ.

a) 2 u b) 3 u c) 4 u

C 3u d) 9 u e) 10 u

d) 5 u e) 6 u

8. Calcula el valor de «x». B 13 u

5u A

E 8u

C x

D a) 6 u b) 7 u c) 8 u

d) 9 u e) 10 u

6º GRADO

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Cuadriláteros: Propiedades fundamentales y paralelogramos Un cuadrilátero es un polígono que tiene 4 lados En la figura: y 4 ángulos; y pueden ser:

Cuadrilátero convexo B

AB = CD BC = AD D

Propiedades

Cuadrilátero no convexo B E

ABCD: Cuadrilátero ABCD. Vértices: A, B, C y D Lados: AB, BC, CD y AD

n A

a + b + q + f = 360º

a A

E x a

Paralelogramo cuyos lados contiguos son desiguales. b B C a z b a q z 90º q A D

C B a b a x b E

b D

O m D

Clasificación de paralelogramos A. Romboide

Propiedad En ambos casos «x» está determinado por bisectrices. b

b D

Se cumple:

2. En todo paralelogramo las diagonales se bisecan, es decir, se cortan en su punto medio. B C m n

Notación:

A Z Z Z

AB//CD y BC//AD f

C q

B. Rombo

x=a+b 2

B l

Paralelogramo Es el cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos entre sí.

l D

AB = BC = CD = AD

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6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 1 Calcula el valor de «x». B a a

3 b

C b

E A

Calcula el valor de « x ». 2 B

100º D

70º

a A

E x

130º

C b D

Rpta:

B a a

60º

C b

x E

Rpta:

Calcula el valor de «x».

110º D

Calcula el valor de «x». C q B q a x a E A

Rpta:

110º

120º D

6º GRADO

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Calcula «x» si ABCD es un romboide. B

C B

Calcula «x» si ABCD es un romboide.

Rpta:

7. Calcula «x», si ABCD es un paralelogramo. C B 3x

9. Si RSTU es un rectángulo, calcula «x». S T 35º P x

135º

10. Si ABCD es un cuadrado, calcula «x». C B

8. Si ABCD es un rectángulo, calcula «x». H B C

E x

x E A

30º

65º

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. Calcula el valor de «x».

5. ABCD es un paralelogramo, calcula el valor de «a». C B 124º

C B a a

x E 85º

105º A a) 60º

d) 90º

b) 70º

e) 100º

a) 10º

d) 14º

b) 12º

e) 16º

c) 13º

c) 80º 2. Calcula el valor de «x».

6. ABCD es un paralelogramo, calcular el valor de «x». H B C

B b b x a a

E 80º

a) 65º

d) 95º

b) 75º

e) 105º

50º

a) 20º

d) 50º

b) 30º

e) 60º

c) 40º

c) 85º

7. ABCD es un paralelogramo, calcula x + y. 3y+20 u C B

3. Calcula «x».

A A

70º

a) 30º

d) 60º

b) 40º

e) 70º

a) 10º

d) 40º

b) 20º

e) 50º

D d) 50º e) 60º

8. Si ABCD es un rectángulo, calcula el valor de «x». B C 20º Px

80 u

a) 20º b) 30º c) 40º

c) 50º 4. Calcula el valor de «x». B 6x

x+ 30

–1

C 110º

A D

a) 40º

d) 70º

b) 50º

e) 80º

c) 60º

c) 30º

6º GRADO

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Cuadriláteros: trapecio, trapezoide y sus propiedades A. Trapecio Es aquel cuadrilátero que tiene solo un par de lados opuestos paralelos a los cuales se denomina bases. En la figura: BC//AD, a + b = 180º, q + w = 180º B T C q b 1. Elementos M N h ŏ Bases: base mayor AD, base menor BC ŏ ŏ ŏ

Laterales o lados no paralelos: AB y CD Mediana: MN Altura: TH (TH = h)

2. Clasificación

3. Propiedades a. Cálculo de la mediana Su longitud es igual a la semisuma de las longitudes de las bases. B b C

Es aquel trapecio cuyos lados laterales son de diferente longitud. C B b q b a w

a + b = 180º

b. Trapecio escaleno

a + b = 180º

Es el trapecio que tiene sus lados laterales congruentes, es decir, de igual longitud. B C b b a a

a. Trapecio isósceles

H A

a + b = 180º q + w = 180º

a+b 2

b. En todo trapecio, el segmento que resulta de unir los puntos medios de las diagonales es parte de la mediana, y su longitud se calcula como la semidiferencia de las longitudes de las bases del trapecio. B b C

c. Trapecio rectángulo Es un trapecio escaleno en el cual uno de los lados laterales es perpendicular a las bases.

P A

x a

Q D

a–b 2

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6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 1

Si ABCD es un trapecio (BC//AD), calcula «w». B C 120º

3w+30º

3 Si ABCD es un trapecio isósceles (AD// BC), calcula «x». B C 2x+10º

Rpta:

50º

Rpta:

2 Del trapecio ABCD (BC//AD), calcula «q». B C 130º

Si ABCD es un trapecio rectángulo (AD// BC), calcula «x». C B 2x–20º

2q+20º A

Rpta:

140º D

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

5 Si ABCD es un trapecio (AD//BC), calcula «x». B 10 u C x+2 u

M A

Si ABCD es un trapecio (BC//AD), calcula «x». B 6u C

24 u

x–3 u

Rpta:

N D

14 u

Rpta:

7. En un trapecio ABCD, AD//BC. Calcula la longitud de la mediana del trapecio si AD = 16 u y BC = 8 u.

9. Si PQRS es un trapecio, (QR//PS), calcula «x». 6u R

Q T P

x+2 u 9u

U S

10 u

10. Si ABCD es un trapecio (AD//BC), calcula «x».

8. Si ABCD es un trapecio (BC//AD), calcula «x». B 3u C P

x–3 u

Q R

D A

x 22u+a

S D

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. En el trapecio ABCD (AD//BC), calcula «x». C B 2x+40º 40º

A a) 40º b) 50º c) 60º

5. Si ABCD es un trapecio (AD//BC), calcula la longitud de su mediana. B x+10 u C

d) 70º e) 80º

2. En el trapecio ABCD (AD//BC), calcula x + y. B

70º

a) 120º b) 130º c) 140º

d) 8 u

b) 6 u

e) 9 u

6. Si ABCD es un trapecio (AD//BC), calcula «x». B 10 u+a C

3. ABCD es un trapecio isósceles (AD//BC), calcula «x». B C

55º

D d) 40º e) 45º

4. Calcula «x» en el trapezoide PQRS. R 2x Q 125º

70º

65º

a) 40º

d) 70º

b) 50º

e) 80º

30 u

a) 5 u

d) 150º e) 160º

a) 25º b) 30º c) 35º

c) 7 u

C 40º y

16 u–a

a) 11 u

d) 14 u

b) 12 u

e) 15 u

c) 13 u 7. En un trapecio ABCD (AD//BC), calcula la longitud de la mediana. AD = 42 m y BC = 24 m. a) 13º

d) 43º

b) 23º

e) 53º

c) 33º 8. En un trapecio ABCD (AD//BC), calcula «x». B 4x C P

S A a) 2 u b) 3 u c) 4 u

c) 60º

Q D

8x d) 5 u e) 6 u

6º GRADO

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Polígono regular, perímetro, lados y ángulos exterior e interior La siguiente figura muestra una representación real de los polígonos.

Piedra de los doce ángulos

b Z

NOMBRE DEL POLÍGONO triángulo

cuadrilátero

pentágono

hexágono

heptágono

octógono

nonágono

decágono

endecágono

dodecágono

pentadecágono

Es aquel polígono cuyos lados tienen la misma longitud. C b b C B D a a B a

D a

A a E Polígono equilátero convexo

NÚMERO DE LADOS 3

A. Polígono equilátero

Los polígonos son figuras geométricas cerradas que se forman al unir consecutivamente tres o más puntos no colineales mediante segmentos de recta, de tal modo que dicha figura limite una región del plano. D C q a B

Los polígonos, según el número de lados que tienen, reciben los siguientes nombres:

b A

Polígono equilátero no convexo

B. Polígono equiángulo

Elementos Vértices: A, B, C, D, E y F Lados: AB, BC, CD, DE, EF, FA

Es aquel polígono cuyos ángulos interiores son de igual medida. D C b Sea «n» el número de lados a a b 180º(n – 2) b a= n E a B a b 360º a b= n b a b F A

Medidas angulares asociadas: Interiores: a, ... b Exteriores: q, ... w

El polígono mostrado tiene 6 lados y 6 vértices. Nº de lados = Nº de vértices

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6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 1

Si el polígono mostrado es regular, calcula la medida de su ángulo interior. B C

A x D

Rpta:

Si el polígono mostrado es regular, calcula la medida de su ángulo interior. C B

A x F

Rpta:

3 Calcula el ángulo interior de un decágono regular

Rpta:

Si el polígono mostrado es regular, calcula el ángulo exterior.

6º GRADO

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6 El ángulo exterior de un polígono regular es 18º, calcula su perímetro si su lado mide 12 u.

5 El ángulo exterior de un polígono regular es 40º, calcula su perímetro si su lado mide 8 u.

Rpta:

7. Calcula el número total de diagonales de un pentadecágono

9. Si los polígonos mostrados son regulares, calcula el perímetro de la región poligonal sombreada. C B D

E H

5m F

8. Si los polígonos mostrados son regulares, calcula el perímetro de la región poligonal sombreada.

10. Si ABCD es un pentágono regular, calcula el valor de «x». B C 3x

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. Si el polígono mostrado es regular, calcula el valor de «x». E D

6. El polígono mostrado es regular, de perímetro 84 u. Calcula «x». C B

A x

B A a) 23º b) 24º c) 25º

5x H d) 26º e) 27º

2. El ángulo exterior de un polígono regular es 24º, calcula su ángulo interior. a) 150º d) 156º b) 152º e) 160º c) 154º 3. El ángulo exterior de un polígono regular es 36º, calcula su perímetro si mide 8 m de lado. a) 60 m d) 90 m b) 70 m e) 100 m c) 80 m 4. Si el polígono mostrado es regular, calcula el valor de «x». C 3x B D

E d) 40º e) 45º

a) 24º b) 30º c) 36º 5. El ángulo exterior de un polígono regular es 90º; calcula su perímetro si su lado mide 5 m. a) 10 m c) 30 m e) 50 m b) 20 m d) 40 m

F c) 14 u d) 16 u

a) 12 u b) 13 u

e) 18 u

7. En los polígonos regulares ABC y BCDE, calcula el valor de «q». B E q A D

a) 120º b) 130º

c) 140º d) 150º

e) 160º

8. Si los polígonos mostrados son regulares, calcula el perímetro de la región poligonal sombreada. C B D

3u F

a) 18 u c) 20 u e) 24 u b) 19 u d) 21 u 9. Si los polígonos mostrados son regulares, calcula el perímetro de la región poligonal sombreada. D E

G A

a) 42 u b) 44 u c) 46 u

H d) 48 u e) 50 u

6º GRADO

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Circunferencia: propiedades fundamentales, Poncelet y Pitot Definición La circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidista de otro punto fijo del plano llamado centro. Se observa la circunferencia, de centro O y radio R.

C A

Se cumple: mAB = mCD

a D

5. Si AB//CD

A a D

Elementos asociados Z Z Z Z Z

4. Si AB = CD a B

Diámetro: AB (AB = 2R) Cuerda: CD Recta tangente: L Punto de tangencia: T Arco: CD Medida del arco: q mCD = q

B a C

Se cumple: m AD = mBC

Teorema de Poncelet La circunferencia está inscrita en el triángulo rectángulo. El radio de la circunferencia recibe el nombre de inradio. A

Propiedades fundamentales

1. Si T es punto de tangencia y O es centro. T L R Se cumple: OT L O

O R C

Teorema de Pitot En un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados. C a B d c

N O

Se cumple: a + b = c + 2R

B M

Longitud de los catetos: a y b Longitud de la hipotenusa: c

2. Si A y B son puntos de tangencia. A a Se cumple: AE = EB E

3. Si OM

Q Se cumple: PN = NQ mPM = mMQ

A Se cumple: a + b = c + d

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6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO Calcula «x», si T es punto de tangencia y O es centro.

3 Calcula «x» si O es centro. A

T O

x+40º

20º

Rpta:

3x B

30º

Si AB = CD, calcula el valor de «x».

Rpta:

30 m

Calcula «x», si T es punto de tangencia y O es centro. T

12 m

M N B 24 u 2x

Rpta:

6º GRADO

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La circunferencia está inscrita en el triángulo rectángulo, calcula el inradio, si O es centro. A

6 La circunferencia está inscrita en el triángulo rectángulo, calcula el inradio, siendo O centro. A

10 m

6m O R C

O R

Rpta:

7. En el gráfico, A, B y C son puntos de tangencia. Calcula «x».

9. Calcula el valor de «x». 15 u

C x+10 u

x Q

35 u

10. Calcula «a», si O es centro y T es punto de tangencia.

8. Calcula el valor de «x». B

16 u

O a

T A

24 u

40º

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. Calcula «x» si T es punto de tangencia y O es centro.

5. La circunferencia está inscrita en el triángulo rectángulo, calcula el inradio si O es centro. A

d) 50º e) 60º

2. Calcula «x» si T es punto de tangencia y O es centro. T O

70º

a) 5º b) 10º c) 15º

O R

T a) 20º b) 30º c) 40º

20 u

16 u

0º x+5

12 u

a) 2 u

d) 6 u

b) 3 u

e) 8 u

c) 4 u 6. La circunferencia está inscrita en el triángulo rectángulo, calcula el inradio si O es centro.

A 25 u

d) 20º e) 30º B

3. Calcula «x» si O es centro. M A B 26 m 2x

20 u R C

15 u

a) 5 u

d) 10 u

b) 6 u

e) 12 u

c) 8 u

O 7. Si A y B son puntos de tangencia y ACDE es un cuadrado, calcula «x». a) 11 m b) 12 m c) 13 m

d) 14 m e) 15 m

x+6

u C

4. Calcula «x» si OA y OB son tangentes a la circunferencia. A 2 +1 m x O 10 m B a) 2 m d) 5 m b) 3 m e) 6 m c) 4 m

A 2x

D E

a) 4 u b) 5 u c) 6 u

d) 7 u e) 8 u

6º GRADO

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Circunferencia: ángulo central, inscrito y sus propiedades

Ángulo central Es aquel ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia. A O: centro AB: Arco a O a OA, OB: radios Tenemos: B m AOB = mAB

También existen otros ángulos en la circunferencia, veamos:

Ángulo interior Es aquel ángulo que está formado por dos rectas secantes que se intersecan en el interior de una circunferencia. A C a

Es aquel ángulo cuyo vértice se encuentra en un punto de la circunferencia y está formado por dos cuerdas. A 2a

Ángulo inscrito

a P

APB: ángulo inscrito mAB = 2m APB

a+b

Ángulo exterior Es aquel ángulo formado por dos rectas secantes que se intersectan en el exterior de la circunferencia. A C a–b b a x P x=

Importante

Recuerda

Medida de la circunferencia = 360º

R B

a + b = 180º

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6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 1 Calcula el valor de «x» si O es centro.

3 Calcula el valor de «x» si O es centro. A

A O 4x

x+20º

O 70º

Rpta:

Calcula el valor de «x».

70º A

Rpta:

Calcula el valor de «x». A

C x

100º

60º

40º B

Rpta:

3x C

6º GRADO

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Calcula el valor de «x».

6 Calcula el valor de «x».

A 60º

50º

C x

120º

Rpta:

7. Calcula el valor de «x». A

9. Calcula el valor de «x». Q

90º

30º

130º A x O

10. Calcula «x», si A y B son puntos de tangencia.

8. Calcula «x» si O es centro. A x

20º

A O

50º C

70º

x B

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. Calcula el valor de «x», si O es centro. A

5. Calcula el valor de «x». x A

P 60º

B a) 45º b) 55º

c) 60º d) 70º

C 80º D d) 50º e) 60º

e) 90º

2. Calcula el valor de «x», si O es centro. B 70º x C A O

a) 20º b) 30º c) 40º

6. Calcula el valor de «x». A x

a) 80º b) 90º

c) 100º d) 110º

e) 85º

a) 110º b) 115º c) 120º

d) 125º e) 130º

8. Calcula el valor de «x». A

40º

a) 30º b) 35º c) 40º

55º A

4. Calcula el valor de «x» si O es centro. A

d) 100º e) 110º

7. Calcula el valor de «x» si mPA = mQA. P Q

C c) 65º d) 75º

a) 70º b) 80º c) 90º

150º P

30º B

e) 120º

3. Calcula el valor de «x». 130º A

a) 45º b) 55º

d) 45º e) 50º B a) 100º b) 110º c) 120º

70º C D d) 130º e) 140º

R.Matematico • Odenamiento lineal • Odenamiento Circular • Cuadro de decisiones • Distribuciones numéricas •Distribuciones grafica • Analogías numericas • Conteo de cubos

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6º GRADO

Ordenamiento lineal Concepto En este tema, cada problemas nos brinda una lista de datos o información. Los datos se deben considerar directa o indirectamente, tratando de ordenarlos adecuadamente en diagramas (rectas, flechas, dibujos de edificios o de los asientos). El esquema que decidas usar no modificará tus respuestas, todo depende de que ubiques correctamente los puntos de referencias.

1. Ordenamiento lineal horizontal Es cuando los datos deben ser ordenados en sentido horizontal. Ejemplos: Y Los asientos del cine Y La fila para ingresar al salón Y El orden de llegada en una carrera Observa el esquema en cada caso: Y ¿Quién o quiénes están a la derecha de M?

Izquierda

Derecha

A la derecha de M están E, G y H Y ¿Quién está dos lugares a la izquierda de E?

Izquierda A

Derecha F

H Dos lugares a la izquierda de E está

F. Y ¿Quiénes están adyacentes a G?

Izquierda A

Derecha F

H Adyacentes a G están E y H.

2. Ordenamiento lineal vertical Es cuando los datos deben ser ordenados en sentido vertical. Ejemplos: Y Los habitantes por piso de un edificio

6º GRADO

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APLICA LO COMPRENDIDO Antonio, Juan, Luis y Carlos viven en 4 casas contiguas. Antonio vive a la derecha de Luis, Juan no vive a la izquierda de Carlos y Antonio vive entre Juan y Luis.

En un viaje de excursión, cuatro amigos escalan una montaña. Arturo está más arriba que Paulo y este está sobre Fernando. Además se sabe que Walter está más abajo que todos.

1. ¿Quién está escalando en 3er lugar?

4. ¿Quién vive, con certeza, a la derecha de Antonio?

5. ¿Quién vive a la derecha de todos? 2. ¿Quién está más arriba que todos?

6. ¿Cuántos ordenamientos hay?

3. En una reunión social, se observa que Julia es más alta que Juana, Carmen es más baja que Enma y más alta que Rebeca, y Enma más baja que Juana. ¿Quién es la más baja?

7. Cuatro familias viven en 4 casas contiguas. Los Arce viven al lado de los Peralta, pero no al lado de los Carranza. Si los Carranza no viven al lado de los Domínguez, ¿quiénes son los vecinos inmediatos de los Domínguez?

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6º GRADO

En un edificio de 6 pisos están instaladas 5 empresas diferentes: Mercantil, Gestión, Comercial, Pedidos y Recursos S.A. Se sabe que cada uno está en un piso diferente y el 4to piso está desocupado. Además, Pedidos está adyacente a Mercantil y a Comercial, y Recursos S.A. no está en el último piso.

9. ¿Qué empresa está tres pisos arriba de Pedidos?

8. ¿Cuál de las siguientes proposiciones podemos afirmar con certeza? I. Gestión no está en el 5to piso. II. Mercantil no está en el 3er piso. III. Comercial está más arriba que Mercantil. IV. Pedidos está más arriba que Mercantil. V. Recursos S.A. no está en el 5to piso.

10. Miguel, Arturo, Luis, Isidro y Carlos son invitados a una fiesta. Si Arturo ingresó anterior a Isidro y Carlos, Luis ingresó inmediatamente después de Arturo, y Carlos posterior a Isidro, pero Miguel ya había saludado antes de los cuatro; ¿quién ingresó en tercer lugar?

6º GRADO

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PRACTICA EN CASA Se sabe que un libro de psicología más caro que uno de inglés; uno de matemáticas más caro que uno de historia pero más barato que uno de psicología.

Manuel es mayor que Pedro y Carlos es menor que Oscar, pero este y Manuel tienen la misma edad. Además, Carlos es menor que Pedro.

1. ¿Cuál es el libro más caro? a) El de matemáticas b) El de psicología c) El de historia d) El de inglés e) No se puede determinar

8. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. Manuel es menor que Carlos. II. Manuel es mayor que Carlos. III. Pedro es menor que Oscar. IV. Pedro es mayor que Oscar.

2. ¿Cuál es el libro más barato? a) El de matemáticas b) El de psicología c) El de historia d) El de inglés e) No se puede determinar

a) I y IV b) IV c) II d) II y III e)II y III

José, Román, Paco y Carlos viven en 4 casas contiguas. José vive a la derecha de Paco, Román no vive a la izquierda de Carlos y José vive entre Román y Paco. 3. ¿Quién vive, con certeza, a la derecha de José? a) Paco c) José e) Paco b) Román d) Román 4. ¿Quién vive al este de todos? a) Luis c) José e) Paco b) Carlos d) Román En un examen de Raz. Matemático, los alumnos A, B, C, D y G obtuvieron el siguiente puntaje: A obtuvo menos puntos que B, C menos puntos que D, A más puntaje que G y C el mismo puntaje que B. 5. ¿Quién obtuvo mejor puntaje? a) G b) A c) D d) B e) C 6. ¿Quién obtuvo el mayor puntaje? a) A b) D c) E d) B e) C 7. Si D obtuvo 20, y los puntajes se diferencian por uno, ¿cuál es el puntaje de A? a) 16 c) 12 e) 20 b) 19 d) 18

9. ¿Quién es el menor de todos? a) Pedro b) Oscar c) Luis d) Carlos e) Manuel 10. ¿Quién es el mayor de todos? a) Pedro b) Oscar c) C y D d) Carlos e) Manuel

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6º GRADO

Ordenamiento circular En este tema, los datos de cada problema nos permiten formar ordenamiento de personas que están en una ronda, que se sientan alrededor de una mesa circular, que se sientan alrededor de una fogata o situaciones similares. Además, se considera que están todos distribuidos simétricamente. Las observaciones de los esquemas se realizarán tomando a uno de los participantes como punto de referencia.

1. Ordenamiento circular con cantidad par de lugares La persona que está frente a alguien, delimita en izquierda de su derecha. Siempre existen personas sentadas una frente a otra. A A

Z Z

P x

B Z Z

Frente a W está P Frente a S está F

A la derecha de C están A, W y S. A la izquierda de C están F, P y B.

Además, se observa lo siguiente: Y Junto y a la izquierda de X está S. Y Adyacentes a P están B y F

2. Ordenamiento circular con cantidad impar de lugares No existen personas sentadas una frente a otra. Para delimitar la izquierda de la derecha de una persona dividiremos en dos grupos iguales al resto de las personas. Así, quedará un grupo de la derecha y otro a la izquierda.

F P

S X Z Z

A la derecha de F están W y S. A la izquierda de F están P y X.

6º GRADO

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APLICA LO COMPRENDIDO 1. Observa los siguientes gráficos y responde. a) A C G E F

2. Observa el siguiente gráfico y responde. D

L J 3. En una mesa circular de 6 asientos, distribuidos simétricamente, se sientan seis amigos A, B, C, D, E y F. Se sabe lo siguiente: A se sienta junto y a la derecha de D. B se sienta frente a D. E se sienta junto a B. F está entre B y A. a) ¿Quién está junto y a la izquierda de B? b) ¿Quién está dos lugares a la izquierda de E?

¿Quién está junto y a la derecha de R? c)

R W

A T

B F

¿Quiénes están junto a W? d)

A T

Z R

a) ¿Quién está al frente de G? b) ¿Quién o quiénes están a la derecha de H? c) ¿Quiénes están junto a D?

M T

¿Quién está al frente de B? b)

D B

¿Quiénes están a la izquierda de L?

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4. Andrés, Beto, Carlos, Denis, Emilio y Federico se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos simétricamente distribuidos. Se sabe lo siguiente: Frente a Carlos está Denis. Andrés se sienta junto y a la izquierda de Beto. Andrés está junto a Carlos. Federico está frente a Beto. a) ¿Quién está frente a Beto? b) ¿Quiénes están a la derecha de Andrés?

5. Alrededor de una mesa circular se sientan simétricamente 6 amigas (A, B, C, D, E y F) para almorzar. Si se sabe que A se sienta junto y a la derecha de B y también frente a C, D no se sienta junto a B, y E no se sienta junto a C; ¿dónde se sienta F?

6º GRADO

8. Ocho amigos se sientan alrededor de una mesa circular con ocho asientos distribuidos simétricamente. Se sabe lo siguiente: Y Fabio y Gloria se sientan juntos. Y Domeniko no se sienta junto a Betty ni a su izquierda. Y Ariana se sienta a la derecha de Betty y a la izquierda de Elena. Y César no se sienta junto a Elena ni a Gloria. Y Humberto llegó tarde a la reunión. Y Amigos del mismo sexo no se sientan juntos. Con seguridad, ¿quién se sienta junto a Héctor?

9. Del enunciado anterior, si Fabio se sienta frente a César, ¿quiénes están adyacentes a E?

6. Del ejercicio anterior, ¿quién está tres lugares a la derecha de D?

7. Observa el siguiente gráfico y responde: Fa

Sol Mi

a) Si se enumera en sentido horario desde La, ¿quién ocupa el cuarto lugar? b) Si se enumera en sentido antihorario empezando en Do, ¿quién ocupa el tercer lugar?

10. Juan, Luis, Pedro y Carlos se sientan alrededor de una mesa circular con cuatro sillas distribuidas simétricamente. Se sabe lo siguiente: Y Los cuatro usan polos de diferente color (azul, rojo, verde y blanco). Y Juan está frente al que usa polo rojo. Y Pedro no se sienta junto a Juan. Y Carlos, el de polo azul y el de polo verde viven en la misma calle. ¿Quién está frente a Luis y de qué color es su polo?

6º GRADO

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PRACTICA EN CASA 4. En una mesa redonda se ubican 8 jugadores: Aida, Liz, Sam, Leo, Teo, Mía, Luz y Pía. Se sabe que Aida está al frente de Liz. Liz está a la derecha de Pía, Sam se ubica entre Luz y Pía. Leo está junto y a la derecha de Liz. Teo entre Aida y Mía. Determina las proposiciones verdaderas. I. Aida está a la izquierda de Teo. II. Aida está junto y a la izquierda de Luz. III. Sam está al lado de Mía. a) Solo I d) I y II b) Solo II e) II y III c) Solo III

Observa los gráficos y responde. 1.

S B

¿Quién está frente a F? ¿Quién está junto y a la derecha de A? a) A - T d) F - A b) R - J e) B - A c) H - S 2.

H G

¿Quiénes están adyacentes a C? ¿Quién está tres lugares a la izquierda de D? a) G y H - C d) B y C - E b) A y F - A e) D y C - E c) B y B - E 3. Juan, Alicia, Martha y Julio juegan a las cartas en una mesa redonda. Alicia está a la derecha de Julio; Martha no está junto a Alicia. Indica las proposiciones verdadera: I. Juan está a la derecha de Alicia. II. Martha está a la izquierda de Juan. III. Julio está frente a Juan. IV. Alicia está frente a Martha. a) VVVV d) VFFF b) VFVV e) FFFF c) VFFV

5. Cinco turistas (alemán, inglés, francés, japonés y argentino) están sentados alrededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente. Se sabe lo siguiente: Z El alemán se sienta junto al argentino y al japonés. Z Frente al japonés se encuentra un asiento vacío. Z Junto al asiento vacío no se sienta el inglés. Z El argentino está a la izquierda del asiento vacío. Se puede afirmar: a) El alemán se sienta junto al francés. b) El inglés y el japonés no se sientan juntos. c) El argentino se sienta frente al asiento vacío. d) El argentino se sienta junto al asiento vacío. e) El inglés y el argentino se sientan juntos. 6. Luis, Daniel, Susan, Ana, Paola y Pamela se sentaron alrededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe lo siguiente: Z Luis se sienta junto y a la derecha de Daniel, y frente a Susan. Z Ana no se sienta junto a Daniel. Z Paola no se sienta junto a Susan. ¿Dónde se sienta Pamela? a) Entre Susan y Paola d) Frente a Paola b) Frente a Ana e) Frente a Luis c) Entre Daniel y Susan

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6º GRADO

Cuadro de decisiones Cuadro de decisiones

Si se sabe que Ana es menor. 15

Estos problemas se resuelven construyendo cuadros o tablas donde los datos se relacionan, ello permite descartar posibilidades existentes, hasta llegar a la solución final.

Ana Betty Carla

1. Tabla de doble entrada

Betty acaba de cumplir la mayoría de edad.

Las tablas de doble entrada se emplean para relacionar dos tipos de datos, por ejemplo, el nombre de la persona con su edad respectiva.

Ana

Ejemplo:

Betty

Si los nombres de las personas son Ana, Betty y Carla y las edades (sin un orden en particular) son 15; 17 y 18 construimos la siguiente tabla.

Carla

9 8

Finalmente, queda de la siguiente manera:

Ana

Betty

Betty Carla

Carla

9 8

2. Tabla corta

Recuerda

Se emplea cuando hay que relacionar tres o más tipos de datos. En este tipo de tablas solo se ubican datos fijos. Tantas columnas como personas intervengan

Una persona solo puede tener una edad.

Tantas filas como rubros hay

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

APLICA LO COMPRENDIDO 1 Cuatro amigos, Gustavo, Alberto, César y Roberto, practican un deporte diferente cada uno: I. Gustavo quisiera jugar tenis en lugar de fútbol.

II. Alberto le pide prestadas las paletas de frontón a Roberto. III. César nunca fue buen nadador. ¿Qué deporte practica César?

Luis, Juan, Javier y Pedro, tiene difrentes ocupaciones: Y Luis y el profesor están enojados con Pedro. Y Juan es amigo del albañil. Y El periodista es amigo de Pedro. Y El sastre es muy amigo de Javier y del albañil. Y Luis desde muy joven es periodista. ¿Quién es el sastre?

Determina: (3 Δ 1) Δ (2 Δ 1)

Rpta:

4 Alex, Rommel, Eddy y Giorgio viven en cuatro distritos diferentes: Y Rommel no viven en Jesús María, pero Giorgio vive en Pueblo Libre. Y Alex va a Jesus María a visitar a Eddy. Y A Rommel le gustaría vivir en San Isidro. ¿Dónde vive Alex y quién vive en San Borja?

2 Mily, Pili, Lenin y Ely terminaron sus estudios de medicina, ingeniería, matemáticas y derecho. Se sabe lo siguiente Y Mily no estudia medicina. Y Pili hubiera estudiado derecho si Lenin hubiera estudiado ingeniería. Y Ely quiere empezar a estudiar matemáticas. Y Lenin hubiera estudiado medicina si Pili no lo hubiera hecho. Y Mily estudiaba derecho pero se trasladó

Rpta:

100

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

Jorge, Elizabeth y Nancy estudian en tres universidades A, B y C. Ellos estudian ingenería, periodismo y turismo. Jorge estudia en B. El periodista y Nancy visitan al que estudia en B. Elizabeth no está en C. El que está en B no estudia turismo. ¿Qué estudia Nancy y en qué universidad?

Rpta:

7. Ana, Bertha, Carlos y Diana, tienen diferentes ocupaciones: periodista, medico, kinesiólogo y matemático, y viven en las ciudades M; Y; Z y W. Se sabe lo siguiente: Y Carlos no viven en M ni en Y. Y Ana viven en W. Y Diana es kinesióloga. Y El periodista nunca ha emigrado de Z. Y El médico vive en M. ¿Qué profesión tiene Ana?

6º GRADO

6 Del enunciado anterior, ¿quién es periodista?

Rpta:

9. Del enunciado anterior, ¿quién viven en Magdalena?

10. Un obrero, un empleado y un estudiante comentan que cada uno toma una determinada marca de gaseosa: Y Yo tomo A dice el obrero a Jose.

Arturo, Bruno, Carlos y Dante viven en los siguientes distritos: Barranco, Lima, Magdalena y San Borja, pero no necesariamente en ese orden. Cada uno tiene una ocupación diferente: dibujante, electricista, periodista y vendedor. Además se sabe lo siguiente: Z Arturo no es vendedor ni viven en Lima. Z El periodista viven en Barranco. Z Carlos es dibujante. Z El electricista vive en Lima y es muy amigo de Dante.

Y Luis dice que la gaseosa que no hace doler

el estómago es B.

Y El empleado dice: «mi enamorada y yo to-

mamos C porque es mejor».

Y La tercera persona se llama Mario.

¿Cómo se llama el estudiante y qué gaseosa toma?

8. ¿Quién viven en Barranco?

101

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

PRACTICA EN CASA 1. Luchito, Jorgito y Lalito tiene una mascota cada uno (perro, gato y mono). Si Jorgito le dice al que tiene el gato que el otro tiene un perro, y Lolita le dice al que tiene el perro, que debería vacunarlo contra la rabia; ¿quién tiene el gato? a) Jorge d) Toño b) Lalito e) Rosa c) Luisito 2. Manuel, Pedro y Josué son profesores de distintos cursos: Álgebra, Geometría y Aritmética, aunque no necesariamente en ese orden. Se sabe lo siguiente: Z Josué enseña Geometría. Z Pedro no enseña Aritmética. ¿Qué curso enseña Manuel? a) Aritmética b) Álgebra c) Geometría d) RM e) No se puede determinar 3. Un estudiante, un empleado y un obrero comentan que cada uno de ellos tiene preferencia por un equipo de fútbol (AL, SC, U) Z Yo soy hincha de AL, dice el empleado. Z El equipo por el cual salta de alegría el estudiante es SC. ¿De que equipo es el obrero? a) SC c) AL e) UM b) U d) SB 4. Ernesto, Henry y Arturo son tres amigos y viven en distritos diferentes. Determina quién vive en Surco si se sabe lo siguiente: Z A Ernesto le gustaría vivir en Surco. Z Henry y el que viven en Miraflores juegan tenis todos los domingos. Z Arturo vive en Jesús María. a) Arturo d) Carlos b) Ernesto e) Tomás c) Henry

5. Durante una cena se ubican en una misma mesa cuatro personas, cuyas edades son 12; 24; 36; y 48 años. De la conversación que tienen se puede deducir lo siguiente: I. La edad del menor más la de Luis igualan a la de Omar. II. El mayor tiene el doble de la edad de Marco. ¿Cuánto suman las edades de Jorge y Omar? a) 48 c) 36 e) 84 b) 72 d) 60 6. Raúl, Carlos, Pedro y Bruno tienen diferentes ocupaciones y se sabe lo siguiente: Z Raúl y el gasfítero son amigos del mecánico. Z Carlos es amigo del mecánico. Z El comerciante es famila de Bruno. Z El pintor es muy amigo de Pedro y del mecánico. Z Raúl es comerciante. ¿Cuál es la ocupación de Carlos? a) Mecánico b) Pintor c) Gasfitero

d) Comerciante e) Faltan datos

7. Antonio, Camilo y Pedro tienen dos ocupaciones cada uno; tornero, cestero, armero, pescador, flautista y guardián. Además, se sabe lo siguiente: Z El tornero y el guardián fueron compañeros de clase en la escuela. Z El armero vendió al cestero una daga con empuñadura plateada. Z El tornero solía visitar en su taller al armero. Z Camilo practicaba fútbol con el pescador. Z Pedro asistió con Camilo y el armero al cine. ¿Qué ocupaciones tiene Camilo?

102

a) Guardián y cestero b) Flautista y armero c) Pescador y tornero d) Flautista y guardián e) Armero y pescador

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

6º GRADO

Distribuciones numéricas Resolución Primera fila: 5 + 42 = 21 Segunda fila: 8 + 32 = 17 Tercera fila: 9 + x2 = 45

Concepto Las distribuciones numéricas son arreglos de números en forma de filas y columnas. Estos números sirven para deducir una ley o regla que permita calcular el número incógnita. La forma en que los números se relacionan no tiene un orden en particular, puede ser de forma horizontal o vertical. Además, no necesariamente uno de ellos es el resultado de operar a los otros.

Entonces: 9 + x2 = 45 x2 = 36 En los naturales, el único número al cuadrado que da 36 es el seis x = 6.

Posibles casos: 1. Los números se relacionan por una operación de resultado constante. Calcular el valor de «x». 8 2 5 9 1 5 7 x 4 Resolución Horizontalmente se cumple lo siguiente: 8 + 2 + 5 = 15 9 + 1 + 5 = 15 Entonces: 7 + x + 4 = 15 x=4

3. Uno de los números es la suma de cifras de los otros. Calcula el valor de «x». 15 14 11 21 32 13 9 10 x Resolución Primera columna: (1 + 5) + (2 + 1) = 9 Segunda columa: (1 + 4) + (3 + 2) = 910 Tercera columna: (1 + 1) + (1 + 3) = x x=6

Recuerda

2. Uno de los números es el resultado de operar a los otros. Calcula el valor de «x». 5 4 21 8 3 17 9 x 45

Estas no son las únicas formas de calcular el valor faltante en una distribución numérica.

103

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

APLICA LO COMPRENDIDO 1

Calcula el valor de «x». 9 6 3 3 2 8

3 1 10 x

3 8 2

Rpta:

Determina el valor de «x». 9 13 7

11 20 x

Rpta:

¿Qué número falta? 7 15 13 8 20 23

4 6 x 14

Calcula el valor de «x». 9 11 10

Rpta:

104

8 4 6

4 6 5

7 7 x

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5 Calcula el número que falta. 15 7 64 13 9 16 32 x 25

4 1 7 6

13 37 11 x

Rpta:

7. Determina el valor de «x». 7 9 10 24 6 20 9 x 8

8. ¿Qué número falta? 4 2 8 1 8 x

¿Qué número falta? 3 6 2 5

Rpta:

6º GRADO

2 2 4

9. Calcula el valor de «x». 6 10 7

4 3 3

10. ¿Qué número falta? 4 7 6 4 16 1 8 4

105

2 3 2 2

14 8 8 x

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

PRACTICA EN CASA 1. Calcula el valor de «x». 6 2 9 8 15 2 a) 8 c) 3 b) 9 d) 1

7. ¿Qué número falta? 6 8 2 7 5 x

12 3 x e) 12

2. Determina el valor de «x». 2 6 8 a) 9 b) 10

4 8 10 c) 11 d) 13

a) 8 b) 19

a) 7 b) 6

1 1 2

38 10 16

c) 2 d) 4

e) 6

8. ¿Qué número falta? 6 10 x

6 4 10

e) 12 a) 9 b) 13

3. Calcula el valor de «x». 4 3 6

10 4 4

7 5 x

c) 11 d) 10

e) 12

9. Calcula el valor de «x».

9 x 14

c) 5 d) 4

5 3 8

14 20 16

e) 9 a) 10 b) 12

4. Determina el valor de «x».

25 11 21

12 4 x

c) 13 d) 14

e) 15

10. ¿Qué número falta? 3 7 12 a) 6 b) 7

9 5 x c) 8 d) 9

15 6 1

9 15 13 16

e) 10 a) 7 b) 18

5. ¿Qué número falta? 2 7 5 a) 29 b) 50

3 2 4

7 51 x

c) 24 d) 35

e) 41

6. Calcula el valor de «m». 5 7 3 a) 3 b) 5

8 12 4 c) 7 d) 4

12 18 m e) 6

106

3 2 1 2 c) 15 d) 13

10 14 7 x

17 16 6 19 e) 14

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6º GRADO

Distribuciones gráficas En una distribución gráfica, los números que se van a relacionar están dentro de una o varias figuras. Es así que la figura constituye un elemento adicional que se debe analizar para resolver el ejercicio propuesto. Al igual que en el tema anterior, debemos buscar la ley de formación. Ejemplos: 1. Calcula el valor de x + y. 5 4 1 16 Resolución: Primer triángulo: Segundo triángulo: Tercero triángulo:

5–1=4 42 = 16 12 – 5 = 7 72 = 49 21 – 13 = 8 82 = 64 x = 8 y = 64

2. Calcula el valor de «x».

21 x 13 y

x + y = 72

3 Resolución: Primera figura: Segunda figura: Tercera figura: Cuarta figura:

12 7 5 49

3 . 5 + 2 = 17 2.1+6=8 4 . 4 + 3 = 19 1.5+4=x x=9

3. Determina el número que falta. 12 6

16 2

? 3

Resolución: 12

– En el primer gráfico: (6 – 2) u 3 = 12 En el segundo gráfico: (8 – 3) u 3 = 15 En el tercer gráfico: (9 – 3) u 3 = 18

u3 –

107

u3 –

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

APLICA LO COMPRENDIDO 1 1. Determina el número que falta. 30

a) 16 b) 4

c) 7 d) 15

Calcula el número que falta.

12 48

e) 14

6 3

18 ?

a) 36 96 b) 48

Rpta:

)

d) 63

Rpta:

¿Qué número falta?

c) 72

12 6

4 Determina el número que falta. 15

a) 15

8 c) 14

b) 17

d) 18

1 4 5 9

? 3

9 3 e) 19

a) 10 b) 13

Rpta:

108

2 3 1 7 c) 15 d) 18

5 2 8 e) 20

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

Calcula el número que falta.

Determina el número que falta. 12 9

a) 10 b) 12

6º GRADO

23 25 c) 13 d) 14

31 x e) 16

22 6

8 a) 4 b) 5

c) 6 d) 7

e) 8

Rpta:

7. ¿Qué número debe colocarse en el signo de interrogación?

9. ¿Qué número falta?

36 17 11 a) 16 b) 17

25 22 17 c) 18 d) 25

84 14 12

9 21 ? e) 12

a) 11 b) 4

8. Calcula el valor de y – x. 11

a) 16 b) 35

9 81

49 c) 25 d) 29

81 18 9 c) 15 d) 9

88 x 11 e) 16

10. Calcula el número que falta. 5

e) 33

3 10

a) 11 b) 12

109

4 13

c) 9 d) 14

4 x

e) 15

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

PRACTICA EN CASA 1. ¿Qué número falta? 7

6. Calcula el número que falta. 56

a) 21 b) 14

c) 12 d) 17

e) 15

a) 15 b) 12

4 9 c) 21 d) 35

3 e) 42

2. ¿Qué número falta? 7. Determina el número que falta. 13 17 21

14 16 18

a) 32 b) 28

24 x 20

c) 19 d) 40

e) 41

3. Determina el valor de «x». 18

a) 23 b) 20

8 c) 19 d) 28

2 6 e) 17

a) 18 b) 3

a) 12 b) 13

3 10 c) 19 d) 15

2 8

4 x

c) 7 d) 40

27 9

a) 485 b) 430

e) 19

125

1 25 5

1 49 7

c) 216 d) 343

e) 483

3 e) 16

9. Calcula el valor de «x». 2

5. Calcula el valor de «x».

3 36

5 4

4 5

2 7

3 2

64 6

a) 5 b) 6

8. Calcula el número que falta.

4. ¿Qué número falta?

c) 7 d) 8

a) 7 b) 10

16 e) 9

110

c) 13 d) 11

e) 14

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6º GRADO

Analogías numéricas Este tipo de analogía es un arreglo númerico de por lo menos tres filas y tres columnas, en el que cada número de la columna central es el resultado de realizar operaciones con los números extremos de la fila a la cual pertenecen. Por ello, los números medios siempre van entre paréntesis, características que a su vez diferencia a las analogías, de las distribuciones numéricas. En realidad no existe un método absoluto para resolver una analogía numérica (lo mismo sucede con las distribuciones), ya que las relaciones existentes entre sus extremos pueden ser diversas; en consecuencia, escogeremos como regla de formación a aquella que sea la más simple. Ejemplos:

Resolución: 8 u 4 – 2 = 30 7 u 6 – 2 = 40 9 u 7 – 2 = x x = 61 2. 3 7 4

25 32 x

4 5 13

Resolución: En la primera fila: 32 + 42 = 25 En la segunda fila: 7 2 + 52 = 32 En la tercera fila: 42 + 13 2= x 29 = z

Calcula el valor de «x» en cada caso: 1. 8 (30) 4 7 (40) 6 9 (x) 7

111

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

APLICA LO COMPRENDIDO 1 Determina el valor de «x». 91 111 41 a) 14 b) 15 c) 12

(13) (29) (x) d) e)

3 Calcula el valor de «x». 78 289 103 11 10

15 19 21 a) 6 b) 46 c) 8

Rpta:

6 7 15

d) 10 e) 16

Rpta:

2 Determina el valor de «x». 37 39 79 a) 6 b) 5 c) 8

(36) (43) (x)

(5) (6) (x)

Determina el valor «x». 26 38 21

12 3 15 a) 20 b) 9 c) 28

d) 11 e) 7

Rpta:

112

(10) (15) (x)

14 22 15

d) 18 e) 30

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

Calcula el número que falta. 6 7 8 a) 39 b) 73 c) 37

(27) (32) (x)

Calcula el valor de «x».

2 3 5

5 6 7 a) 128 b) 10 c) 91

d) 43 e) 47

Rpta:

6º GRADO

(23) (19) (x)

5 7 11

d) 27 e) 15

Rpta:

7. Calcula el valor del número que falta. 23 (15) 21 15 (18) 12 13 (x) 24 a) 18 d) 21 b) 19 e)22 c) 24

9. Calcula el valor de «x». 2 (44) 4 (68) 3 (x) a) 52 d) b) 44 e) c) 56

6 2 5 49 14

8. Calcula el valor de «x». 4 (24) 2 (31) 3 (x) a) 128 b) 134 c) d) 149 e)

10. Determina el valor de «x». 12 (6) 16 (12) 20 (x) a) 12 d) b) 16 e) c) 18

2 3 4 30 20

2 3 5 132 124

113

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

PRACTICA EN CASA 1. Determinar el valor de «x». 12 (3) 3 28 (2) 24 30 (x) 14 a) 16 d) 12 b) 2 e) 1 c) 4

7. ¿Que número falta? 16 1 25

843 751 664

751 190 553 d) 3 e) 2

9. Calcula el valor de «x». 3 (12) 7 (63) 9 (x)

4. ¿Qué número falta? 124 (12) 131 241 (10) 111 532 (x) 420 a) 10 d) 16 b) 12 e) 18 c) 14 5. Calcula el número que falta. 3 (19) 5 12 (42) 3 5 (x) 7 a) 49 d) 29 b) 17 e) 47 c) 29

6 13 12

a) 36 d) 42 b) 48 e) 78 c) 96 10. Determina el valor de «x». 5 3 8

(60) (45) (x)

15 12 5

a) 20 b) 25

d) 39 e) 40

c) 30 10.

6. Calcula el valor de «x».

a) 98 b) 10 c) 7

(2) (3) (x)

a) 6 b) 5 c) 4

3. Determina el número que falta. 9 (45) 81 8 (36) 64 10 (x) 40 a) 10 d) 20 b) 15 e) 35 c) 25

(45) (20) (x) d) e)

3 7 2 d) 15 e) 12

a) 9 b) 2 c) 7 8. Determina el número que falta.

2. Calcula el valor de «x». 15 (6) 21 12 (9) 37 19 (x) 45 a) 8 d) 5 b) 11 e) 6 c) 12

5 2 3 3 2 5

(7) (8) (x)

5 7 11 6 1

114

a) 15

c) 12

b) 13

d) 10

e) 8

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6º GRADO

Conteo de cubos En los ejercicios que trabajaremos debemos identificar la cantidad de cubos simples que forman el sólido mostrado. Recuerda que un cubo es un sólido formado por 6 caras iguales, estás caras son siempre cuadrados 6 1 5

Tiene 6 caras

4 Para determinar el número de cubos simples de un sólido analizaremos piso por piso o las caras totales.

Cara frontal En la cara frontal hay 10 cubos Como son tres caras iguales entonces: 10 u 3 = 30 En total hay 30 cubitos simples.

Recuerda Para que un cubo esté en un piso superior debe tener otros cubos que lo sostengan

115

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

APLICA LO COMPRENDIDO 1 1.

Determina el total de cubos simples (Preguntas del 1 – 7).

P1 P2 P3

Rpta:

116

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Rpta:

En cada caso, determina las cantidades de cubos simples que hacen falta para formar un cubo compacto. 8. 10.

117

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

PRACTICA EN CASA Calcula la cantidad de cubos simples. 1.

a) 15 b) 12

c) 20 d) 24

e) 19

a) 25 b) 22

c) 18 d) 28

e) 15

a) 58 b) 46

c) 40 d) 44

e) 54

a) 12 b) 18

c) 17 d) 19

e) 21

Determina la cantidad de cubos simples que hacen falta para formar un cubo compacto.

8. a) 15 b) 31

c) 28 d) 27

e) 19

a) 30 b) 42

c) 62 d) 34

e) 48

a) 2 b) 10

c) 15 d) 16

e) 9

a) 174 b) 204

c) 169 d) 186

e) 202

9. 4.

a) 18 b) 31

c) 28 d) 27

e) 19 10.

Calcula la cantidad de cubos simples. 5.

a) 14 b) 18

c) 15 d) 23

e) 22

118

Fisica • Vectores I • Vectores II • La fuerza • Diagrama de cuerpo Libre • Primera condición de equilibrio • Dinamica • Trabajo mecánico

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

Vectores I 80 m/s

¿Cómo podemos representar la velocidad de un avión?

¿Qué es un vector?

Podemos representarla mediante una flecha, que indicará que la dirección de la velocidad es hacia la derecha. A esta flecha se le llama «vector».

Los vectores son segmentos de recta orientados, que se emplean para representar la dirección de las magnitudes vectoriales, como las siguientes:

Velocidad

Aceleración

¿Sabías que...? Cuando el guepardo va a la captura de su presa, toma una dirección y puede alcanzar una rapidez de 110 km/h.

120

Fuerza

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 3. 3 Calcula el módulo y la dirección del vector B.

11. ¿Cuál es la dirección de un vector?

B 10m 30º

Rpta:

22. El módulo del _______________.

Rpta:

vector

representa:

4 Calcula el módulo y la dirección del vector 4. A. A 1m 1m 1m 1m 40º

Rpta:

121

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

Calcula la dirección y el módulo del vector M.

Calcula el módulo y la dirección del vector N . N

5m 4m

130º

150º

Rpta:

9. Calcula la dirección del vector.

7. Calcula la dirección del vector H . H

70º

120º

8. Calcula la dirección de A .

10. Calcula el módulo del vector M.

4m M

30º

122

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. La __________ es el ángulo formado por el vector y la línea horizontal. a) flecha

d) unidad

b) medida

e) secuencia

6. Calcula el módulo y la dirección del vector N . 6m 6m

c) dirección a) 35 m y 12º b) 12 m y 35º c) 12 m y 145º

2. El __________ nos representa el tamaño del vector. a) módulo

d) guepardo

b) cuerpo

e) horizonte

d) 6 m y 145º e) 12 m y 45º

7. Calcula el módulo del vector. 1,5m 0,5m 2,5m 3,5m

c) ángulo 3. Calcula el módulo y la dirección. a) 8 m b) 7 m

12 m 25º

145º

c) 4 m d) 1 m

e) 6 m

8. Calcula la dirección del vector M.

a) 12 m y 30º

d) 12 m y 25º

b) 2 m y 20º

e) 6 m y 25º

c) 12 m y 50º

a) 130º b) 140º

4. Calcula el módulo.

55º c) 160º d) 122º

e) 125º

9. Calcula la dirección del vector.

5m 2m 1m a) 5 m

d) 8 m

b) 2 m

e) 1 m

140º a) 120º b) 40º c) 60º

c) 7 m 5. Calcula la dirección y el módulo del vector.

d) 140º e) 45º

10. Calcula el módulo: 5cm a) 170º y 6 m b) 170º y 5 cm c) 180º y 5 cm

2u 3u 3u 2u 1u

170º d) 5º y 170º cm e) 8º y 180º cm

a) 8u b) 11u c) 14u

123

d) 16u e) 18u

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

Vectores II Tipos de vectores Ahora estudiaremos los diferentes tipos de vectores.

A. Coplanares

D. Opuestos

Son aquellos que están contenidos en un mismo plano.

Son aquellos que tienen igual módulo pero direcciones contrarias. C

–C

Plano

E. Concurrentes

B. Colineales

Vectores cuyas líneas de acción concurren en un solo punto.

Son los vectores que están en una misma línea de acción. Línea de acción C A B

C. Paralelos Son aquellos que se encuentran en líneas paralelas, nunca se intersectarán. A

O: punto de concurrencia

a. Si dos vectores van hacia una misma dirección, se suman. A B R=A+B b. Si dos vectores van en direcciones contrarias, se restan. A B R=A–B

124

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 1

¿Come se denominan los vectores que concurren en un solo punto?

Rpta:

Calcula el módulo del vector resultante.

Rpta:

¿Cómo se llama a los vectores que pertenecen a un solo plano?

Calcula el módulo del vector resultante. 8u

Rpta:

125

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

6 Calcula el vector resultante.

Calcula el módulo del vector resultante. 6u

10u

Rpta:

7. ¿Cómo se llaman los vectores que tienen líneas de acción paralelas?

9. Calcula el módulo del vector resultante. 10u 2u 4u 6u

10. Calcula el módulo del vector resultante. 10u

8. Calcula el módulo del vector resultante. 1u 12u 6u 3u

14u 5u

10u

126

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. Vectores que concurren en un solo punto. a) Colineales d) Opuestos b) Concurrentes e) N. A. c) Iguales 2. Vectores de igual módulo pero de direcciones opuestas. a) Iguales d) Opuestos b) Paralelos e) Concurrentes c) Consecutivos 3. Calcula el módulo del vector resultante.

8. Calcula el módulo del vector resultante.

10u 1u 6u a) 11 u

d) 20 u

b) 14 u

e) 19 u

c) 17 u 9. Calcula el módulo del vector resultante. 15u

6u 3u a) 0 b) 14 u c) 4 u

20u 1u d) 2 u e) 1 u

4. Calcula el módulo del vector resultante. 10u 2u

b) 24 u

e) 6 u

b) 0

e) 98 u

e) 20 u

b) Concurrentes c) Iguales d) Opuestos e) Paralelos

7. Calcula el módulo del vector resultante. 100u 98u d) 2 u

b) 11 u

a) Coplanares

c) 19 u

a) 100 u

d) 14 u

10. ¿Cómo se denominan los vectores contenidos en un mismo plano?

a) 0 b) 14 u c) 12 u 5. Calcula el módulo del vector resultante. 13u 2u 10u a) 13 u d) 1 u b) 14 u e) 0 c) 18 u 6. Calcula el módulo del vector resultante. 6u 6u 6u 6u d) 15 u

a) 17 u c) 10 u

12u d) 10 u e) 11 u

a) 12 u

12u

c) 11 u

127

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

Fuerza Recuerda

¿Qué es? Es una magnitud física vectorial que nos da una descripción caulitativa entre dos cuerpos. En Física, toda interacción se mide a partir de una fuerza.

En el SI (Sistema Internacional), toda fuerza se mide en newton, (N).

Principales Fuerzas 1. Fuerza gravitatoria (FG), también llamada peso, es aquella fuerza con que la Tierra atrae a todos los cuerpos. La FG siempre se dibuja con un vector hacia abajo. FG FG FG = m u g m : masa (kg) g: aceleración de la gravedad = 10 m/s2 2. Fuerza normal o reacción normal (RN): Se genera entre las superficies de dos cuerpos en contacto. RN

RN La RN Siempre forma 90º con la superficie.

3. Fuerza de tensión (T): Se presenta en cuerdas, pitas, sogas, cables, etc. T

La T siempre se dibuja saliendo del cuerpo que se está analizando. 4. Fuerza de rozamiento (Fr): Fuerza que surge cuando se trata de mover un cuerpo sobre una superficie áspera. fr fr

128

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APLICA LO COMPRENDIDO Calcula la fuerza de gravedad de un gatito de 3 kg.

Rpta:

Calcula la fuerza de gravedad de una persona de 60 kg.

Rpta:

3 Grafica la fuerza de gravedad.

Rpta:

129

Grafica la fuerza de tensión.

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

Grafica el peso de la esfera.

Grafica el peso del bloque.

Rpta:

7. Grafica la Fr.

9. ¿Cuál es la fuerza que se genera en superficies o cuerpos en contacto?

8. ¿Cuál es la fuerza que se genera en cuerdas?

10. Según el SI, la fuerza se mide en ____________ .

130

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. Calcula el peso de un perrito de masa 5 kg. a) 60 N d) 70 N b) 80 N e) 50 N c) 40 N

9. Es la fuerza que se genera sobre una superficie áspera. a) Fuerza de tensión. b) Fuerza de reacción. c) Fuerza de rozamiento.

2. Calcula el peso de una pelota de 2 kg. a) 20 N d) 40 N b) 10 N e) 80 N c) 30 N

d) Fuerza de gravedad. e) Fuerza normal. 10. Calcula el peso del bloque.

3. Grafica el peso del bloque.

20 kg

4. Grafica la tensión.

a) 20 N

d) 200 N

b) 2 N

e) 100 N

c) 40 N

5. Grafica el peso de la esfera.

6. Grafica la reacción normal del bloque.

7. En el SI, la masa se mide en: _______________. a) kg d) m b) N e) m/s c) m/s2 8. ¿Cuál es la fuerza que actúa en todos los cuerpos? a) Fuerza de tensión. b) Fuerza de reacción. c) Fuerza de rozamiento. d) Fuerza de gravedad. e) Fuerza normal.

131

6º GRADO

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Diagrama de cuerpo libre (DCL) Recuerda El diagrama de cuerpo libre (DCL) es el gráfico de todas las fuerzas que actúan en un determinado cuerpo.

Las fuerzas que vas a graficar, son las fuerzas que hemos estudiado. • La fuerza de gravedad o peso (Fg, P) • La fuerza de reacción normal (RN) • La fuerza de tensión (T) • La fuerza de rozamiento (Fr) P

Nota: Para que exista el equilibrio en un cuerpo, es necesario saber graficar bien el DCL. ... ¿qué es el equilibrio? EQUILIBRIO

V=0

V = Constante

Equilibrio estático

Equilibrio cinético

132

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6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 1

Realiza el DCL en los siguientes casos.

Bloque:

1. Esfera: F

Rpta:

Bloque:

Rpta:

Esfera:

rugoso

Rpta:

133

6º GRADO

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Bloque:

6 Bloque:

Rpta:

7. Esfera:

9. Esfera:

8. Bloque: 10. En el SI, la fuerza de tensión se mide en _________.

134

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. Realiza el DCL del bloque. qu

5. Calcula el DCL del bloque.

2. Realiza el DCL de la esfera.

6. Calcula el DCL de la esfera.

3. Realiza el DCL del bloque.

a) b)

7. Calcula el DCL del bloque.

d) e) c)

c) 4. Calcula el DCL del bloque.

8. Calcula el DCL de la esfera.

135

6º GRADO

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Primera condición de equilibrio Esta es una condición que se cumple cuando un cuerpo está en equilibrio: «Todo cuerpo que está en reposo o se mueve con velocidad constante, encuentra en equilibrio».

Interacción

Ampliamos la imagen

A esta interacción se le conoce como «ley de acción y reacción» o tercera ley de Newton.

La primera condición de equilibrio nos dice: ¦F(o) = ¦F(m)

Recuerda

¦F(n) = ¦F(p)

Existen tres leyes de Newton.

136

La suma de fuerzas que van a la derecha es igual a la suma de fuerzas que van a la izquierda. La suma de fuerzas que van hacia arriba es igual a la suma de fuerzas que van hacia abajo.

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6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 11. Si el bloque está en equilibrio, calcula F. 800N

40N

Rpta:

Calcula F si el bloque está en reposo. 300N

Rpta:

20N

Rpta:

3 Calcula F si hay equilibrio.

Calcula F si hay equilibrio. 30N 20N

Rpta:

137

F 60N

6º GRADO

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Calcula F si hay equilibrio. 100N

6 F F

Calcula F si hay equilibrio. 2F

F 30N

Rpta:

7. Calcula 2F para el equilibrio. 20N F 80N

9. Calcula F para el equilibrio. F 40N

8. Calcula F para que el sistema esté en equilibrio. 12N 18N 24N F

10. En el SI, toda fuerza se mide en _

138

F 3F

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. Calcula F para el equilibrio. 700N 2F a) 350 N b) 700 N c) 100 N

80N d) 80 N e) 50 N

d) 400 N e) 200 N

2. Calcula F para el equilibrio. 2F a) 30 N b) 40 N c) 15 N

a) 20 N b) 40 N c) 60 N 8. Calcula F para el equilibrio. 10N 40N

30N

a) 5 N b) 20 N c) 60 N

d) 5 N e) 25 N

d) 10 N e) 30 N

40N d) 40N e) 100N

20N a) 20 N d) 60 N b) 3 N e) 30 N c) 23 N 10. Calcula F para el equilibrio.

4. Calcula la reacción. 60N

30N

a) 60 N d) 10 N b) 40 N e) 80 N c) 30 N 5. Calcula F para el equilibrio. 20N 10N a) 30 N b) 20 N c) 10 N

a) 10 N

d) 2 N

b) 20 N

e) 30 N

c) 5 N 10. Calcula la masa «m». 20 m/s2

d) 5 N e) 25 N

6. Calcula 2F para el equilibrio. 5N a) 2,5 N b) 6,5 N c) 2 N

3F 2F

9. Calcula la tensión.

3. Calcula la tensión.

a) 30N b) 60N c) 50N

180 N

200 N

2F a) 5 kg b) 4 kg

d) 5 N e) 7 N

7. Calcula F para el equilibrio.

139

c) 3 kg d) 1 kg

e) 2 kg

6º GRADO

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Dinámica En el momento que el niño da un golpe a la caja, esta se moverá hasta detenerse. ¿Pero qué es lo que hace que esta caja realice un movimiento con aceleración? La fuerza que el niño le da a la caja es la que hace que esta se mueva.

Segunda ley de Newton Isaac Newton se percató de que la aceleración que impartimos a un objeto no solamente dependía de la fuerza aplicada, sino también de la masa del objeto.

a m

Nota:

FR a=m

La fuerza resultante (Fr) se calcula como lo estudiamos en el Tema 2, cuando sumábamos o restábamos vectores.

a: módulo de la aceleración (m/ s2) m: masa (kg)

140

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6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 1

6 kg

Calcula la aceleración.

Calcula la aceleración. a FR = 30 N

Rpta:

80 N

5 kg

Rpta:

2 Calcula la aceleración.

Calcula la fuerza.

F = 30 N

2 m/s2

3 kg 8 kg

Rpta:

141

6º GRADO

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Calcula la aceleración. 10N

6 a

Calcula la aceleración. a

40N

10 kg

20N

Rpta:

5 kg

60N

Rpta:

7. Calcula la aceleración. 9N

8. Calcula la fuerza.

9. Calcula la fuerza. 3 m/s2

1 kg 2 kg

6 kg

10. En el SI, la unidad de la aceleración es :

a = 5m/s2 8 kg

142

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. Calcula el módulo de la aceleración. a 80N 4 kg a) 10 m/s2 b) 20 m/s2 c) 45 m/s2

d) 70 m/s2 e) 100 m/s2

2. Calcula el módulo de la aceleración. a 20N 60N 20 kg a) 2 m/s2 b) 4 m/s2 c) 6 m/s2

d) 8 m/s2 e) 10 m/s2

3. Calcula F.

7. Calcula el módulo de la aceleración del bloque. a 2N 22N 5 kg

a) 12 N b) 36 N

c) 24 N d) 32 N

4. Calcula F.

e) 16 N

a = 5m/s2 F

d) 14 m/s2

b) 2 m/s2

e) 18 m/s2

c) 1 m/s2 8. En el SI, la unidad de la aceleración es ___________. a) m/s b) km c) m

a = 3m/s2 8 kg

a) 4 m/s2

d) N e) m/s2

9. ¿Cuál es la unidad de la masa en el SI? a) m/s d) m b) kg e) cm c) N 10. Calcula la aceleración del bloque.

6 kg

a) 20 N c) 22 N b) 40 N d) 30 N 5. Calcula la masa del bloque. a

e) 42 N

6 kg

a) 2 m/s2 b) 4 m/s2 c) 5 m/s2

45N

9 kg a) 5 kg

d) 6 kg

b) 2 kg

e) 11 kg

c) 3 kg 6. Calcula la masa del bloque. a = 10m/s2 70N

m a) 6 kg

d) 5 kg

b) 2 kg

e) 7 kg

c) 4 kg

143

20N 10N

d) 12 m/s2 e) 10 m/s2

6º GRADO

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Trabajo mecánico En las imágenes que se muestran, debemos aprender a diferenciar entre el trabajo mecánico y el trabajo cotidiano. Z En la imagen de la izquierda, se observa a una persona realizando un esfuerzo físico, a esto se le denomina «trabajo cotidiano». Z La imagen de la derecha, observamos a un niño empujando una mesa, la cual cambia de posición; a esto se le denomina «trabajo mecánico». Entonces, ¿qué es el trabajo mecánico? El trabajo mecánico (W) es una cantidad escalar que consiste en la transferencia de movimiento a un cuerpo.

Recuerda Si no hay desplazamiento, no hay trabajo mecánico (W). ¿Cómo se calcula el trabajo mecánico? F

WAoB= F u d F

d donde: F: fuerza(N) d: distancia (m) W: trabajo mecánico (J)

Nota: En el SI, el trabajo mecánico (W) se mide en joules (J).

A. Trabajo mecánico positivo

C. Trabajo mecánico nulo Cuando la dirección del bloque y la fuerza forman un ángulo de 90 grados, entonces no hay trabajo; el trabajo es nulo. F

Cuando el bloque y la fuerza van a la misma dirección, el trabajo es positivo. F d

B. Trabajo mecánico negativo Cuando el bloque y la fuerza tienen direcciones contrarias, el trabajo es negativo. F

d Nota: Trabajo neto = trabajo total

144

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6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 1. 1 Calcula el trabajo que realiza el bloque.

3 Calcula el trabajo mecánico. 30N

12N 5m

Rpta:

2 Calcula el trabajo mecánico del bloque.

4 Calcula el trabajo del bloque.

10N

6N 8m

Rpta:

145

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

Calcula el trabajo neto.

20N

Calcula el trabajo neto.

30N

50N

80N 2m

Rpta:

9. Si W = 90 J, calcula la distancia.

7. Calcula el trabajo.

30N

30N d

8. Si W = 70 J, calcula la distancia.

10. Calcula el trabajo mecánico.

10N

146

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. Calcula el trabajo mecánico. 5N

a) –10 J b) 80 J c) 10 J

7. Calcula el trabajo neto. 60N

10N

2m d) –80 J e) 40 J

1m d) –40 J e) –30 J

a) 50 J b) –50 J c) 40 J 8. Calcula el trabajo.

2. Calcula el trabajo del bloque. 12N

a) 15 J b) –15 J c) 22 J

20N

3m d) –36 J e) 18 J

9. Calcula la distancia.

3. Calcula la distancia si W = 25 J. 5N

d d) 5 m e) 6 m

a) 2 m b) 3 m c) 4 m

3m c) 18 J d) –18J

a) 9 J b) –9 J

e) 20 J

10. Calcula el trabajo neto.

4. Calcula la distancia si W= 80 J. 20N

20N

d d) 8 m e) 10 m

a) 100 J b) –100 J c) 50 J

a) 4 m b) 2 m c) 1 m 5. En el SI, el trabajo mecánico se mide en __________. a) J c) m/s e) m/s2 b) N d) Pa 6. Calcula el trabajo neto. 14m

a) 35 J b) –35 J

6m d) 420 J e) 150 J

a) –120 J b) 100 J c) 120 J

6m c) –36 J d) 36 J

20N

e) 20 J

147

30N 2m d) –50 J e) 20 J

Quimica • atomo I filosofos griegoslas proteínas • atomo II modelos atómicoslas vitaminas • atomo III núclidos • Configuración electrónica • Símbolos quimicos • Tabla periodica - historia • Tabla periodica actual - estructura

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6º GRADO

Átomo I: filósofos griegos Concepciones filosóficas Los griegos de la Antigüedad querían entender el porqué de las cosas, como por ejemplo, por qué se mueven los cuerpos. Se cuestionaban todo y su gran pensamiento los llevó a entender de qué forma se producían los fenómenos naturales, al tratar de explicar las propiedades de lo material que nos rodea. Dentro del grupo de estos filósofos griegos, los que pasaremos a estudiar se destacaron porque trataron el tema del origen de la materia.

B. Demócrito (370 a.C.)

A. Leucipo (460 a.C.)

Discípulo de Leucipo, sostenía y afirmaba que la materia estaba formada por partículas pequeñas, indivisibles e indestructibles, muy compactas, a las que llamó «átomos».

Filósofo que afirmaba que la materia no era continua (sino discontinua) y que estaba formada por partículas muy abiertas e indivisibles.

C. Empédocles (450 a.C.) Filósofo griego, sostenía que el universo estaba formado por cuatro elementos: tierra, agua, aire y fuego.

Agua Aire

Fuego Tierra

D. Aristóteles (380 a.C.) Discípulo de Platón, desarrolló las ideas de Empédocles y se opuso a las ideas de Leucipo y Demócrito. Describrió los cuatro elementos como la combinación de propiedades fundamentales de la materia: sequedad, humedad, calor y frío. Agua frío

humedad Tierra

Aire sequedad

calor Fuego

149

6º GRADO

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APLICA LO COMPRENDIDO 1. Filósofo griego que utilizó por primera vez la palabra átomo.

2. Según Demócrito, la palabra átomo significa ____________.

3. ¿Cuáles son los cuatro elementos que forman el universo según Empédocles?

7. ¿Qué filósofo se opuso a las ideas de Leucipo y Demócrito?

8. ¿Qué significa la palabra, átomo de origen griego?

9. Átomo es una palabra de origen ___________.

10. Menciona los cuatro filósofos griegos estudiados en clase. Y

4. ¿Qué filósofo griego afirmaba que la materia no era continua, sino discontinua?

5. Filósofo que descubrió las propiedades fundamentales de la materia: sequedad, humedad, calor y frío.

6. ¿Cuáles son las cuatro propiedades fundamentales de la materia establecida por Aristóteles?

150

Y Y Y

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. Demócrito sostenía que la materia estaba formada por partículas pequeñas, indivisibles e indestructibles, llamadas _______________. a) molécula d) corteza b) partículas e) fuego c) átomo 2. Filósofo griego que utilizó por primera vez de la palabra átomo. a) Leucipo d) Demócrito b) Platón e) Empédocles c) Aristóteles 3. Empédocles sostuvo que la materia estaba formada por cuatro elementos, los cuales son _________. a) calor, agua, humedad y frío b) aire, tierra, fuego y agua c) frío, calor, agua y tierra d) fuego, aire, agua y sol e) sequedad, humedad, frío y calor

7. Los elementos: agua, aire, fuego y tierra, fueron descubiertos por ______________________. a) Leucipo d) Platón b) Empédocles e) Demócrito c) Aristóteles 8. ¿Qué palabra de origen griego tiene como significado «sin división»? a) Agua

d) Fuego

b) Átomo

e) Sequedad

c) Molécula 9. El átomo es la parte más pequeña del ________. a) agua

d) lápiz

b) aire

e) todas las anteriores

c) cuaderno 10. Los griegos querían entender _____________. a) el origen del agua b) el origen del hombre c) el origen de los dioses

4. Aristóteles fue discípulo de Platón y desarrolló las ideas de _____________. a) Empédocles d) Demócrito b) Leucipo e) Bohr c) Thomson 5. Aristóteles descubrió las 4 propiedades fundamentales de la materia: sequedad, humedad, calor y ____________. a) hambre d) fuego b) sol e) tierra c) frío

d) el origen del sistema solar e) el porqué de las cosas

6. País de donde proviene la palabra átomo: a) Japón d) China b) Grecia e) Roma c) Bolivia

151

6º GRADO

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Átomo II: modelos atómicos Modelos atómicos Los átomos, debido a su tamaño, no pueden observarse directamente, sino que, para conocer su estructura, hay que referirse a un modelo. Un modelo no es la realidad, no es el átomo mismo. Un modelo atómico es una ilustración que hacen los científicos para explicar la naturaleza o el comportamiento de las partículas fundamentales que están ordenadas y que constituyen al átomo. El modelo actual que tenemos del átomo ha sido consecuencia de las investigaciones y experimentos de una diversidad de científicos, entre los que destacan: Dalton, Thomson, Rutherford, y Bohr.

A. Concepciones científicas John Dalton Describe el átomo como una «esfera maciza, compacta, indestructible, indivisible e invisible». Es considerado el Padre de la Teoría Atómica Moderna.

Joseph Thomson Propuso el modelo del «budín con pasas» ya que para él, los electrones estaban incrustados en el átomo positivo. Z Descubrió los electrones.

Ernest Rutherford Propone su modelo atómico llamado «sistema planetario solar en miniatura», y sostiene que los electrones giran alrededor del núcleo. Z Descubrió los protones y el núcleo atómico.

Niels Bohr Propone que el átomo presenta niveles estacionarios de energía, por donde giran los electrones.

152

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6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 1. Científico que propuso el primer modelo atómico:

8. Partícula subatómica con carga eléctrica positiva:

2. ¿Cómo se le considera hasta la actualidad al científico John Dalton?

9. ¿Dónde se encuentran ubicados los electrones?

3. Científico que descubrió a los protones (p+).

10. ¿Qué científico descubrió los neutrones?

4. ¿Cómo se le conoce al modelo atómico de Thomson?

5. ¿Qué científico descubrió las partículas subatómicas con carga negativa, ubicadas en la nube electrónica?

6. ¿Qué científico propuso un modelo atómico conocido como «Budín de pasas»?

7. ¿Cómo se le conoce al modelo atómico de Rutherford?

153

6º GRADO

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8. ¿Qué palabra de origen griego tiene como significado «sin división»? a) Agua

d) Fuego

b) Átomo

e) Sequedad

c) Molécula 9. El átomo es la parte más pequeña del ________. a) agua

d) lápiz

b) aire

e) todas las anteriores

c) cuaderno 10. Los griegos querían entender _____________.

3. Empédocles sostuvo que la materia estaba formada por cuatro elementos, los cuales son _________. a) calor, agua, humedad y frío b) aire, tierra, fuego y agua c) frío, calor, agua y tierra d) fuego, aire, agua y sol e) sequedad, humedad, frío y calor 4. Aristóteles fue discípulo de Platón y desarrolló las ideas de _____________. a) Empédocles d) Demócrito b) Leucipo e) Bohr c) Thomson 5. Aristóteles descubrió las 4 propiedades fundamentales de la materia: sequedad, humedad, calor y ____________. a) hambre d) fuego b) sol e) tierra c) frío 6. País de donde proviene la palabra átomo: a) Japón d) China b) Grecia e) Roma c) Bolivia 7. Los elementos: agua, aire, fuego y tierra, fueron descubiertos por ______________________. a) Leucipo d) Platón b) Empédocles e) Demócrito c) Aristóteles

154

a) el origen del agua b) el origen del hombre c) el origen de los dioses d) el origen del sistema solar e) el porqué de las cosas

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6º GRADO

Átomo III: núclidos ¿Qué son los núclidos? Un núclido es aquella especie nuclear que tiene un valor específico para el número de protones (número atómico), Z, y para el número de neutrones, nº. También podemos decir que núclido es la representación simbólica del núcleo de un átomo.

A. Núcleo atómico

En todo átomo neutro se cumple lo siguiente:

La teoría atómica actual establece que el átomo está formado por dos partes: el núcleo, donde se concentra la mayor parte de su masa, y por una región de espacio exterior, que es la nube electrónica, donde se encuentran los electrones, moviéndose a grandes velocidades, en órbitas no definidas.

Z = #p+ = #e–

D. ¿Qué es el número de masa? También es conocido como número másico, y su símbolo es (A). Indica la suma del número de protones y el número de neutrones.

B. ¿Qué es el núcleo atómico?

A = #p+ = #nº

Parte central del átomo donde se encuentran los protones y neutrones. Protones

Rutherford

Neutrones

nº

Chadwick

nº = A – Z

E. ¿Cómo se representa el número atómico y el número de masa en un átomo? Número másico (A)

Ne 10

C. ¿Qué es el número atómico? También es conocido como carga nuclear y su símbolo es (Z). Indica el número de protones presentes en el núcleo atómico.

Símbolo químico

Número atómico (Z)

Ejercicios de aplicación Completa los siguientes cuadros con la información correcta. 40 Ca 20

A = _________________

p+ = _________________

Z = _________________

e– = _________________

58 Fe 26

A = _________________

p+ = _________________

Z = _________________

e– = _________________

155

nº = _________________

6º GRADO

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APLICA LO COMPRENDIDO 1. ¿Qué partículas subatómicas se encuentran en el núcleo atómico?

8. ¿Con qué otro nombre se le conoce al número de masa (A)?

2. ¿En qué parte del átomo se concentra la mayor cantidad de energía?

9. Calcula el número de masa (A) si Z = 35 y n = 18.

3. El número de masa se representa mediante la letra ______________. 10. Calcula el número de los neutrones (nº) si A = 19 y Z = 9. 4. ¿Qué partícula subatómica no presenta carga nuclear?

5. ¿Qué es un átomo neutro?

6. ¿Con qué otro nombre se le conoce al número atómico (Z)?

7. Calcula el número de neutrones (nº) de un átomo si Z = 27 y A = 58.

156

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6º GRADO

PRACTICA EN CASA 1. ¿En qué parte del átomo se encuentran los protones y los neutrones? a) Nube electrónica b) Carga nuclear c) Núcleo atómico d) Zona extranuclear e) a y d 2. El número másico representa la cantidad de protones y _______________. a) electrones d) quark b) positrones e) neutrinos c) neutrones 3. ¿Cuántos electrones tiene un átomo neutro si su Z = 24 y A = 52? a) 76 d) 24 b) 52 e) 48 c) 28

8. Calcula A si Z = 15 y nº = 16. a) 21 d) 30 b) 13 e) 31 c) 28 9. Calcula el número de masa (A) si Z = 20 y n = 20. a) 13 d) 18 b) 7 e) 40 c) 10 10. Calcula z si A = 48 y n = 26. a) 12 b) 17 c) 22 d) 31 e) 42

4. Si el elemento plata tiene A = 108 y Z = 47, ¿cuántos electrones, protones y neutrones, respectivamente, tiene? a) 108 - 47 - 47 d) 61 - 47 - 61 b) 61 - 47 - 47 e) 60 - 34 - 45 c) 47 - 47 - 61 5. En el átomo neutro del aluminio 13Al27, calcula el # de neutrones. a) 13 d) 27 b) 14 e) 16 c) 12 6. La carga nuclear de un átomo se representa con la letra ___________. a) Z d) N b) G e) H c) A 7. Si un elemento tiene A = 238 y Z = 92, determina el número de protones que existe en su núcleo. a) 238 e) Faltan datos b) 92 c) 146 d) 330

157

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Configuración electrónica ¿Qué es la configuración electrónica?

Es la distribución de electrones en los niveles, subniveles y orbitales, bajo principios naturales y experimentales.

Diagrama de Moeller Forma práctica para realizar la distribución electrónica por niveles y subniveles de energía. ía También se le denomina «regla del serrucho».

Niveles de energía (n) Son regiones grandes o capas del átomo donde se localizan los electrones. Los niveles son de siete tipos. Q O P N K L M

3 4

Capas

Nivel

Subniveles de energía (l) Son regiones más pequeñas, más angostas, donde se localizan los electrones. Los subniveles son de cuatro tipos. Subnivel

Símbolo

Cantidad de e–

Sharp

Principal

Difuso

Fundamental

158

¡No olvides! Dentro de cada subnivel encontramos orbitales, en los cuales están presentes los electrones. orbital

... ... ... ...

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APLICA LO COMPRENDIDO 1. ¿Qué son los niveles de energía?

8. ¿Cómo se representan los niveles de energía?

2. ¿Cuántos niveles o capas puede presentar un átomo?

9. ¿Con qué letra se representa al nivel 5 de energía?

3. ¿Cuántos electrones, como máximo, pueden encontrarse en el subnivel principal (p)?

10. Realiza la configuración electrónica del sodio (Na), con Z = 11.

4. ¿Qué nombre recibe el subnivel «d»?

5. ¿Qué es configuración electrónica?

6. ¿Cuántos subniveles de energía puede haber en un átomo?

7. Realiza la configuración electrónica del carbono (C), con Z = 6.

159

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PRACTICA EN CASA 1. Son regiones grandes, ubicadas en la nube electrónica. a) Subnivel d) Reempe b) Orbital e) Núcleo c) Nivel 2. A los niveles de energía se les representa por números ___________. a) 1, 2, 3, 6, 7, 8 b) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 c) 0, 1, 2, 3, 6, 9 d) 2, 4, 6, 8, 10 e) 0, 1, 2, 3, 4 3. Si se habla de la capa P nos referimos al nivel ___________. a) 2 d) 7 b) 4 e) 8 c) 6

8. ¿Cuántas capas o niveles presenta un átomo? a) 2

d) 7

b) 4

e) 8

c) 6 9. El nivel de energía 3 representa a la capa ________. a) L b) K c) M d) P e) Q 10. ¿Cuál es la cantidad de electrones para el 7N en su última capa?

4. ¿Cuál es la CE para el magnesio con 12 electrones? a) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 b) 1s2 2s2 2p6 c) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 d) 1s2 2s2 2p6 3s2 e) 1s2 2s2 2p6 3p6 4s2 5. Configuración electrónica es distribuir a los electrones en niveles y _________ de energía. a) orbitales d) columnas b) subniveles e) corteza c) capas 6. ¿Cuántos electrones como máximo puede tener el subnivel f? a) 2 d) 10 b) 6 e) 14 c) 4 7. Si se habla de la capa L se refiere al nivel ________. a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

160

a) 2

d) 6

b) 3

e) 7

c) 5

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Símbolos químicos Oro

Hierro Cobre Plata

Vidrio

Sal

Arena Jabón

Algunos símbolos de la alquimia

¿SABÍAS QUÉ? El hombre, con el transcurrir del tiempo, fue descubriendo los diferentes elementos químicos, por ello surgió la necesidad de representarlos mediante símbolos. Z Los alquimistas fueron los primeros en idear una simbología. Z Dalton creó símbolos para poder representar las reacciones químicas que estudiaba. Z Berzelius inventó un sistema de representación muy simple, el cual emplea letras para representar a un elemento químico. Berzelius planteó una simbología usada hasta hoy

John Dalton

hidrógeno fósforo G oro

nitrógeno azufre sosa

carbón cobre C potasio

oxígeno plomo L aluminio

Jhon Dalton creó sus propios elementos

¿Qué es un símbolo químico? Es la representación literal de un elemento químico. Los símbolos de los elementos se escriben tomando la letra inicial mayúscula del nombre griego, latino o alemán de donde provienen, seguida de la segunda, tercera o última letra escrita con minúscula. Ca

¡No olvides! Z Berzelius es considerado el padre de los símbolos químicos. Z Si el símbolo es una sola letra, esta se escribe en mayúscula. Z Si el símbolo son dos letras; la primera se escribe en mayúscula y la segunda, en minúsculas.

161

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APLICA LO COMPRENDIDO 1. ¿Qué científico es considerado el padre de la simbología química?

2. Jacobo Berzelius inventó un sistema de representación, basado en _______.

3. Escribe el símbolo de los siguientes elementos químicos: aluminio, calcio y sodio.

8. ¿Cuál es el elemento químico conocido como generador de agua?

9. ¿A qué elementos corresponden los siguientes símbolos químicos: C, H, O, N?

10. El elemento _________________.

4. Elemento químico en honor a Mendeleiev.

5. Aurum es el nombre en latín del elemento _________.

6. ¿Cuál es el símbolo químico del elemento?

7. ¿Qué científico creó símbolos para representar las reacciones químicas?

162

xenón

significa

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PRACTICA EN CASA 1. ¿Qué científico utilizó letras como símbolos químicos? a) Dalton d) Berzelius b) Alquimistas e) Rutherford c) Thomson 2. Según Berzelius, el símbolo quimico del hierro es ____________. a) Al d) Ne b) Fe e) Ba c) He 3. El símbolo químico Au corresponde al elemento ____________. a) Plata d) Oro b) Cobre e) Mercurio c) Litio

8. ¿Cuál es el símbolo del hidrógeno?

b) Luna

e) Luz

b) G

e) N

9. ¿Cómo se llamaban aquellos hombres que en la Edad Media buscaban la piedra filosofal y el elixer de la vida? a) Filósofos b) Alquimistas c) Sacerdotes d) Príncipes e) Reyes 10. Señala el símbolo del elemento químico en honor a Francia: a) Eu

d) Md

b) Pb

e) Fr

c) Es

5. El elemento radio, significa ____________. d) Extranjero

d) C

c) H

4. El símbolo químico C corresponde al elemento _____________. a) Calcio d) Cobre b) Carbono e) Cobalto c) Cesio a) Rayo

a) O

c) Tierra 6. El elemento químico rutherfodio es en honor al científico ____________. a) Mendeleiev b) Thomson c) Aristóteles d) Rutherford e) Bohr 7. ¿Cuál es el símbolo del elemento químico plata? a) Au d) Ag b) Hg e) Al c) Ah

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Tabla periódica - Historia Introducción Durante el siglo XIX se conocieron más de 20 elementos químicos, y, a medida que fueron descubriendo muchos más, eran evidentes las semejanzas entre algunos de ellos; entonces surge la necesidad de ordenarlos. Dicho ordenamiento se desarrolló sobre la base de características y propiedades que presentaban los elementos. Mendeleiev es considerado el padre de la tabla periódica, porque fue el primero en elaborar un modelo en filas y columnas.

Antecedentes de la tabla periódica actual 1. Tràadas de Döbereiner Y Y

Los elementos se agrupan de 3 en 3 (tríadas), según el orden creciente de sus pesos atómicos. Los elementos que pertenecen a una tríada poseen propiedades químicas semejantes. Ejemplo: Tríada Li Na K PA(Na) = 7 + 39 = 23 PA 7 x 39 2

¡HAZLO TÚ! Calcula «x» en la siguiente tríada:

a) 79

Tríada

128

b) 80

c) 81

d) 82

e) 90

2. Octavas de Newlands Y

Los elementos se agrupan de 7 en 7, conocidos como octavas, según el orden creciente de sus pesos atómicos. Y El octavo elemento repite las propiedades del primero. Ejemplos: 1.a serie

2.a serie

ELEMENTO

164

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3. Tabla periódica de Mendeleiev Y

Mendeleiev agrupó los elementos en filas y columnas, de manera que los elementos que presentaban propiedades comunes estaban en una misma columna. Trabajó según el orden creciente de sus pesos atómicos.

4. Tabla periódica actual Y

165

Experimentando con los rayos X, Henry Moseley estableció que los números atómicos (Z) determinan las propiedades de los elementos químicos. Basándose en esta ley, Alfred Werner diseñó la tabla periódica moderna, donde los elementos se ordenan en forma creciente según su número atómico (Z).

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APLICA LO COMPRENDIDO 1. ¿Científico que descubrió las propiedades de los elementos en función del Z creciente?

8. Científico ruso considerado el padre de la tabla periódica:

2. ¿A través de qué experimento, Moseley ordena los elementos en función a su Z?

9. Mendeleiev ordenó los elementos químicos en función de su ______________.

3. Las octavas de Newlands ordena los elementos químicos de __________.

10. La tabla periódica actual está formada por filas y ____________.

4. ¿Quién ordenó por primera vez una tabla periódica en filas y columnas?

5. ¿Quién diseñó la tabla periódica moderna?

6. Alfred Werner ordenó los elementos químicos de acuerdo con su ______________.

7. Ordenó los elementos químicos de 3 en 3, estableciendo una ley de tríada.

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PRACTICA EN CASA 1. Las octavas de Newlands ordena los elementos químicos de _______________. a) 3 en 3 d) 7 en 7 b) 8 en 8 e) 5 en 5 c) 6 en 6 2. ¿Qué descubrió Moseley a partir del experimento con los rayos X? a) Peso atómico b) Número de masa c) Ley periódica de los elementos d) Gases e) Metales 3. Ordenó a los elementos químicos de tres en tres, estableciendo una Ley de triadas: a) Newlands b) Proust c) Moseley d) Döbereiner e) Stewar

8. Mendeleiev es considerado como ___________. a) creador de las triadas b) creador de los rayos X c) padre de la tabla periódica moderna d) padre de la tabla periódica e) creador del número atómico 9. Mendeleiev ordenó los elementos químicos en __________ y __________. a) números - letras b) filas - columnas c) letras - dibujos d) símbolos - colores e) número atómico 10. Fue quien diseñó la Ley de las octavas _______. a) Döbereiner b) Newlands c) Meyer d) James Werner e) Mendeleiev

4. No es un gas noble: a) 2He d) 35Br b) 10Ne e) 54Xe c) 18Ar 5. Alfred Werner ordenó los elementos en funcion a su _____________. a) peso atómico b) grupo c) periodo d) número atómico e) familia 6. ¿Qué diseñó Werner? a) Tabla periódica b) Tabla periódica actual c) Grupos y periodos d) Triadas e) Octavas 7. ¿Qué elemento no es del segundo periodo? a) 5B b) 9F c) 6C d) 10Ne e) 11K

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Tabla periódica actual Estructura Descripción pc de la tabla pe periódica actual

Z Z Z Z

Los elementos están ordenados según el número atómico (Z) creciente. Presenta 7 filas horizontales llamadas periodos. Presentan 8 grupos A y 8 grupos B, a los cuales se les conoce con el nombre de «familia». Presentan 18 columnas verticales llamadas «grupos».

Ejercicios de aplicación Indica los grupos en el siguiente esquema y escribe los símbolos químicos de los primeros elementos de cada grupo. VIIIA IA IIA

IIIA IVA VA VIA VIIA

IIIB IVB VB VIB VIIB

VIIIB

IB IIB

168

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Principales familias GRUPOS A ELEMENTOS REPRESENTATIVOS IA

FAMILIA Metales alcalinos (Li, Na, K, Rb, Cs, Fr)

IIA

Metales alcalinos térreos (Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra)

IIIA

Boroides o térreos (B, Al, Ga, In, Tl)

IVA

Carbonoides (C, Si, Ge, Sn, Pb)

Nitrogenoides (N, P, As, Sb, Bi)

VIA

Anfígenos o calcógenos (O, S, Se, Te, Po)

VIIA

Halógenos (F, Cl, Br, I, At)

GRUPOS B ELEMENTOS DE TRANSICIÓN

FAMILIA

Metales de acuñación

IIB

Elementos puente

IIIB

Familia del escandio

IVB

Familia del titanio

Familia de vanadio

VIB

Familia del cromo

VIIB

Familia del manganeso

169

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APLICA LO COMPRENDIDO 1. Científico que diseño la tabla periódica actual:

8. ¿Cuál es el nombre de la familia IVA?

2. Los elementos químicos, según Werner, están ordenados de acuerdo con ____________.

9. ¿El carbono es un metal, un no metal o un gas noble?

3. La tabla periódica actual consta de 18 columnas verticales llamadas ___________.

10. La familia de los alcalinos térreos pertenecen al grupo __________.

4. Los elementos del grupo A son llamados __________.

5. ¿Cómo son llamados los elementos del grupo B?

6. ¿Cuál es el nombre de la familia del grupo VIB?

7. ¿Cuántas columnas forman el grupo A?

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PRACTICA EN CASA 1. ¿Qué diseñó el científico Alfred Werner? a) Enlaces químicos b) Tabla numérica c) Tabla periódica actual d) Grupos y periodos e) Columnas y filas 2. Los elementos en la tabla periódica actual se encuentran ordenados en forma creciente a su _________. a) número de masa b) número atómico c) peso atómico d) estado de oxidación e) símbolo químico 3. Señala el símbolo del calcio, magnesio y potasio. a) K - C - N b) Hg - Na - Li c) Ca - Mg - K d) Ni - K - H e) H - Mg - Na 4. La tabla periódica actual presenta ________ filas y _______ columnas. a) 6 - 16 b) 5 - 20 c) 7 - 18 d) 10 - 7 e) 17 - 18 5. Los elementos de transición corresponden al grupo __________. a) Z d) B b) A e) T c) K 6. ¿Cuál es el nombre de la familia VIIIA? a) Carbonoides b) Alcalinos térreos c) Calcógenos d) Gases nobles e) Alcalinos

b) nitrogenoides c) alcalinos d) gases nobles e) carbonoides 8. El elemento carbono (C) que pertenece al grupo IVA, forma parte de la familia de los ________. a) nitrogenoides b) carbonoides c) halógenos d) anfígenos e) gases nobles 9. El elemento carbono (C) pertenece al grupo __________. a) IIA d) IA b) VA e) IVA c) VIA 10. Los elementos He - Ne - Ar corresponden a la familia de los __________. a) alcalinos b) gases nobles c) carbonoides d) calcógenos e) alcalinos térreos

7. Los elementos, litio (Li) y potasio (K) pertenecen al grupo IA, por lo tanto, pertenecen a la familia de los __________. a) alcalinos térreos

171

Biología • lípidos, grasas, aceites • Las proteínas • Los datos de la vida • Las vitaminas • El combustible de los organismos • Seres vivos o inertes • Las enfermedades

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Lípidos, grasas, aceites... ¿Es lo mismo? En épocas donde la temperatura es baja, es decir hace frío, las personas tienden a comer hamburguesas, frituras, chocolates, nueces y otros alimentos en que abundan las grasas. ¿Por qué?... porque necesitan aumentar el calor de su cuerpo. Existen lípidos en el aceite que mamá usa para freír las papas, en las almendras y nueces; hay lípidos debajo de la piel y zonas de tu cuerpo inimaginables.

El maní contiene un lípido muy importante llamado Omega 3, que impide que engordemos.

Entonces, ¿qué son los lípidos?

Los aceites vegetales son de origen vegetal

Los osos polares contienen hasta 10 centímetros de grasa debajo de la piel.

Los lípidos son biomoléculas ternarias, formadas por carbono (C), hidrógeno (H) y oxígeno (O).

1. Propiedades de los lípidos Solubilidad: Los lípidos pueden disolverse en cloroformo y éter, pero no pueden disolverse en agua.

2. Importancia biológica de los lípidos

Estructural: Forma la parte física del cuerpo, por ejemplo en la membrana celular.

Reserva: Se almacena debajo de la piel para utilizarlo como energía.

173

Aislante térmico: Favorece a los animales para soportar el frío.

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A. Simples: Aquí pertenecen los triglicéridos y las ceras.

3. Clasificación de los lípidos

B. Complejos: Aquí pertenecen los fosfolípidos. C. Derivados: Aquí pertenecen el colesterol, las hormonas sexuales y las vitaminas A, D, E y K .

A. Triglicérido También son llamados grasas, son los que están formados por moléculas de tres ácidos grasos y una molécula de glicerol. Los triglicéridos se encuentran dentro de los aceites, mantequilla y sebo. Esto es grasoso, … entonces todo lo que es grasoso tiene lípidos!!!

Sebo unido a la carne

Aceite de oliva Mantequilla

B. Ceras Por ejemplo: la lanolina que se encuentran en el pelo de las ovejas y el palmitato de miricilo que se encuentra en los nidos de las abejas.

El pelo de las ovejas, muy apreciado en épocas de invierno

Las abejas cubren sus nidos con cera.

C. Fosfolípidos Se encuentran formando la estructura de las membranas de todas las células. Contienen ácidos grasos unidos al glicerol y fósforo.

La membrana que cubre a las células tiene doble capa de fosfolípidos.

D. Colesterol Se encuentran formando la membrana celular. También están las vitaminas A, D, E, K y las hormonas sexuales (estrógenos y testosterona) que le dan las características sexuales a la mujer y al varón.

Las mujeres y varones se diferencia fácilmente porque su desarrollo está influenciada por las hormonas sexuales.

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6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 1. Es un lípido simple: a) Colesterol b) Fosfolípido c) Estrógenos

d) Carbono e) Triglicérido

2. Los triglicéridos están formados por _________ y una molécula de glicerol. a) tres ácidos grasos d) tres carbonos b) dos ácidos grasos e) tres ceras c) un ácido graso 3. Es un alimento donde abundan los triglicéridos: a) Pan d) Aceites b) Fideos e) Queso c) Golosinas

9. Cuando un lípido se une fácilmente con el cloroformo, ¿qué propiedad se observa del lípido? a) Tenacidad d) Solubilidad b) Ductibilidad e) Maleabilidad c) Extensión 10. Para formar un fosfolípido se unen las siguientes moléculas: a) Fósforo, glucosa y carbono b) Fósforo, oxígeno y glicerol c) Fósforo, ácidos grasos y glicerol d) Fósforo, aceite y oxígeno e) Ácidos grasos, glicerol y palta.

4. Son los tres bioelementos que siempre forman a los lípidos: a) Nitrógeno – Carbono – Helio b) Carbono – Fósforo – Oxígeno c) Carbono – Hidrógeno – Oxígeno d) Carbono – Magnesio – Hidrógeno e) Carbono – Manganeso – Hierro 5. Es una función que tienen los lípidos en el organismo: a) Proveer energía b) Proveer minerales c) Proveer proteínas d) Proveer células e) Proveer agua 6. ______ es una cera que se encuentra en la lana de las ovejas. a) El carbono d) La lanolina b) El nitrógeno e) El hidrógeno c) El(la) oxígeno 7. Es un lípido complejo: a) Triglicéridos d) Fosfolípidos b) Ceras e) Mantequilla c) Vitamina A 8. Es un alimento donde abundan los lípidos: a) Agua d) Caramelo b) Carbono e) Cereal c) Mantequilla

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6º GRADO

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Las proteínas, ¿para crecer fuertes y sanos? Las proteínas son, frecuentemente biomoléculas orgánicas muy grandes formadas por los siguientes bioelementos: carbono, oxígeno, hidrógeno y nitrógeno y muy a menudo azufre y fósforo. De hecho las proteínas son polímeros de unas unidades más sencillas denominadas aminoácidos. Estos aminoácidos se unen mediante un enlace muy especial llamado enlace peptídico.

BIOELEMENTOS (CHON)

AMINOÁCIDOS (ALANINA)

LÉXICO POLÍMERO: Varias partes (aminoácidos)

PROTEÍNA (QUERATINA)

Esta es la secuencia para formar proteínas

Existen 20 aminoácidos distintos que poseen la propiedad de unirse con otros, formándose largas cadenas que pueden llegar a contener varios miles de ellos.

Así como las letras del alfabeto pueden formar palabras, los aminoácidos, al unirse, pueden formar proteínas.

Dado que los 20 aminoácidos pueden repetirse y combinarse de todas las formas inimaginables, el número de proteínas diferentes posibles es prácticamente infinitos.

Los aminoácidos se clasifican en esenciales y no esenciales. Los primeros no pueden ser elaborados por el organismo vivo, por eso necesitamos consumirlos de los alimentos; mientras que los segundos pueden ser elaborados por el organismo sin ningún problema.

Algunos alimentos donde abundan proteínas.

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6º GRADO

¿Qué función cumplen las proteínas? a) Estructural: Forman la arquitectura de las células. Por ejemplo: el colágeno que forma la piel, la queratina que crece sobre la piel en forma de pelos y uñas.

c) Contracción: Aquí están la miosina y la actina, que se encuentran en los músculos y permiten su contracción, generando movimiento.

b) Transporte: Es el caso de la hemoglobina, que se encuentra en los glóbulos rojos, y transporta el oxígeno en los vertebrados. Otro ejemplo es la hemocianina, que transporta el oxígeno en los invertebrados.

d) Defensa:

e) Reserva:

Actúan como anticuerpos que combaten los microbios y sustancias patógenas que quieren invadir nuestro organismo.

Sirven para acumular y producir energía. Por ejemplo, la caseína de la leche.

Virus siendo atacado por anticuerpos

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6º GRADO

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APLICA LO COMPRENDIDO 1. Es una proteína: a) Aceite b) Grasa c) Hemoglobina

d) Fosfolípido e) Manteca

2. La hemoglobina es _____________ de los vertebrados. a) una grasa d) un mineral b) una proteína e) un azúcar c) un catalizador 3. Los aminoácidos _________. a) lípidos b) glúcidos c) proteínas

unen

para

formar

d) minerales e) enlaces

4. Los aminoácidos se unen a través de un enlace llamado ______________. a) éster b) iónico c) peptídico d) puentes de hidrógeno e) covalente

8. La miosina y la actina son __________ que desempeñan la función de ______________ a) proteínas – contracción b) lípidos – contracción c) proteínas – de defensa del organismo d) lípidos – construcción e) proteínas – construcción 9. La queratina es una proteína que desempeña la función ____________. a) Catalizadora d) De reserva b) Defensiva e) De transporte c) Estructural 10. La ___________ es una proteína de reserva. a) hemoglobina d) colágeno b) caseína e) anticuerpo c) hemocianina

5. Los aminoácidos esenciales son aquellos que el organismo _________________. a) puede fabricar b) no puede fabricar c) están en las frutas d) están en el agua e) puede eliminar 6. Los aminoácidos son en total _______. a) 15 c) 18 e) 20 b) 16 d) 19 7. Los anticuerpos son ________ que desempeñan la función de_________. a) proteínas – transporte b) proteínas – catalizar c) proteínas – defensa d) proteínas – estructural e) proteínas – contracción

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6º GRADO

Un dúo dinámico: los ácidos nucleicos Desde siempre se ha sabido que el descendiente de un ser vivo de una especie va a pertenecer a esa misma especie; así pues el descendientes de una perro será siempre perro. De la misma manera, de la semilla de un algarrobo se originará otro algarrobo. Por eso se dice que los hijos heredan las características externas e internas de sus padres (progenitores); esta herencia de los rasgos que definen a los seres vivos reciben el nombre de herencia biológica.

Estas características biológicas permiten que haya biodiversidad, es decir que no seamos idénticos, aun para los gemelos; pues no tienen las mismas huellas digitales.

Así, en el pasado siglo XX se logró el descubrimiento de los ácidos nucleicos que contienen la información hereditaria, es decir los rasgos biológicos (color de cabello, forma del rostro, tamaño de los ojos, temperamento, etc.), en unidades llamadas genes.

Nucleótido En esta representación gráfica de un nucleótido se encuentran los cinco bioelementos: el fósforo están en el fosfato; el carbono, hidrógeno y oxígeno están en la pentosa; y el carbono, hidrógeno, oxígeno y nitrógeno está en la base nitrogenada.

LÉXICO: GEN: Es el fragmento de ADN que lleva la información necesaria para que la célula fabrique una proteína determinada.

Los ácidos nucleicos son macromoléculas constituídas por los siguientes bioelementos: carbono, hidrógeno, nitrógeno, oxígeno y fósforo (P), y a veces contiene azufre (S); que a la vez forman unidades básica llamadas nucleótidos. FOSFATO

BASE PENTOSA

NITROGENADA

(Azúcar) Estructura de un nucleótido: fosfato, el azúcar (pentosa) y la base nitrogenada.

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6º GRADO

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No puedes obviar esto… Un nucleótido se une a otro nucleótido mediante un enlace llamado FOSFODIÉSTER.

Para saber más… Si los genes que forman el cuerpo humano fueran letras, ocuparían 220 guías telefónicas de 1.000 páginas cada una.

Tipos de ácidos nucleicos: 1. El ácido desoxirribonucleico (ADN o DNA) El ADN es una macromolécula que se encuentra en los núcleos de todas las células eucariotas y en el citoplasma de las células procariotas. En el ADN están grabadas las instrucciones necesarias para la construcción de un individuo completo.

La estructura del ADN fue descrita por James Watson y Francis Crick en 1953. El ADN tiene la forma de doble hélice y está constituído por dos cadenas de nucleótidos que están enrrollados alrededor de un eje imaginario.

El ADN trasmite la información genética.

2. El ácido ribonucleico (ARN o RNA) Es una macromolécula más sencilla formada por una cadena de nucleótidos, es el encargado de trasladar la información genética contenida en el ADN, hacia el citoplasma, en donde se fabricarán las proteínas.

Mientras que el ADN contiene la información genética (recetario) el ARN utiliza esa información para elaborar las proteínas del individuo como si fuera el cocinero.

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6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 1. Son los cinco bioelementos que contienen los ácidos nucleicos: a) CHONF d) CHONP b) FKCaSP e) CHONFe c) CNSCaP 2. ¿Por qué se dice que los ácidos nucleicos son macromoléculas pentanarias? a) Porque tienen tres componentes: fosfato, pentosa y base nitrogenada. b) Porque el ADN tiene doble cadena de nucleótidos. c) Porque están constituidos por cinco bioelementos. d) Porque transmiten la herencia. e) Porque es heredable. 3. ¿Qué es un nucleótido? a) Son bioelementos de los ácidos nucleicos. b) Son las unidades básicas que forman los ácidos nucleicos. c) Son los ácidos nucleicos. d) Son genes. e) Son componentes del núcleo de la célula. 4. ¿Cuáles son las siglas del ácido desoxirribonucleico y del ácido ribonucleico? a) ANP - ARN d) ADN – ARN b) DRA - ADN e) DNA – DRA c) ADN - DNA 5. En 1953 el ADN fue descrito por James _________ y Francis __________. a) Franklin – Wilkins b) Crick – Franklin c) Watson – Franklin d) Wilkins – Watson e) Watson – Crick 6. El ARN tiene la función de _________________. a) trasmitir la información genética b) contener los genes c) contener a los cromosomas d) sintetizar (fabricar) proteínas e) formar células

7. Los nucleótidos se unen por medio de un enlace ______________. a) iónico b) covalente c) electrovalente d) polar e) fosfodiéster 8. Los nucleótidos son las unidades básicas para formar ácidos nucleicos sea ADN o ARN. ¿Cuáles son los componentes de un nucleótido? a) fosfato – pentosa – base nitrogenada b) fosfato – azufre – base nitrogenada c) fosfato – fosforo – ribosa d) fosfato – pentosa – bioelementos e) fosfato – pentosa – desoxirribosa 9. ¿Qué contiene el ADN? a) La información para crear un nuevo individuo b) La capacidad de formar proteínas c) Ribosa d) Los planos para construir una casa e) Aminoácidos 10. Un gen es _____________. a) un cromosoma b) un enlace c) un fragmento de ADN d) un ciclo e) una molécula inorgánica

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Las vitaminas: componentes de la buena salud Historia del capitán Cook Los antiguos griegos y los cruzados de la Edad Media nos hablan del escorbuto, atribuyéndolo a algo perjudicial para la salud. Tal vez la primera descripción del escorbuto es la de Sebastián Vizcaíno, que en 1602 hizo su viaje de exploración a la costa oeste de California. Cuando casi la totalidad de su tripulación estaba próxima a sucumbir llegaron a la isla de Mazatlán, y allí en nueve días, recobraron todos la salud y las fuerzas, la curación fue posible gracias al consejo de los indígenas, quienes les recomendaron que comieran una «frutita». El capitán Cook, explorador y comerciante inglés fue uno de los primeros que reconoció el valor de los alimentos frescos como protección contra el escorbuto. En el viaje que emprendió por el sur del océano Pacífico y Atlántico, no apareció el escorbuto en la tripulación, aunque el viaje duró tres años. Cook atribuyó este suceso al uso de dichas frutas frescas y vegetales. Las observaciones de muchos investigadores probaron que esta enfermedad solo podía evitarse comiendo alimentos que contenían la llamada vitamina antiescorbútica.

Son sustancias orgánicas esenciales para el mantenimiento de las funciones metabólicas normales, sin embargo, no son producidas por el organismo, por eso deben obtenerse de los alimentos.

Las vitaminas se clasifican en dos grupos: Liposolubles (se disuelven en grasas) como son las vitaminas A, D, E y K. Z Hidrosolubles (se disuelven en agua) Vitamina C y Complejo B. Z

Notita: A la falta de vitaminas se le llama AVITAMINOSIS.

Vitamina A: Se encuentra en la leche, la mantequilla, la yema de huevo, los aceites de hígado de bacalao y la zanahoria. La falta de esta vitamina produce ceguera nocturna.

182

Vitamina D: La encontramos en la leche y sus derivados, la yema de huevo, los aceites de hígado de bacalao y en los rayos ultravioleta. La falta de esta vitamina produce raquitismo, enfermedad en que los huesos se ponen blandos y se encorvan.

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APLICA LO COMPRENDIDO 1. Característica que tienen las vitaminas liposolubles: a) Se disuelven en agua b) Se disuelven en lípidos c) Son inorgánicas d) Todas contienen agua e) Son de color blanco

7. Aparte de los alimentos, ¿qué otra fuente natural produce en nuestros cuerpos vitamina D? a) El agua de mar b) El frío de la sierra c) El agua del río de la selva d) Los rayos solares e) La radiación del eclipse

2. Vitaminas que se disuelven en lípidos: a) A, E, C b) A, D, C y B c) C y B d) B y E e) A,D, E y K

8. El escorbuto es una enfermedad producida por la falta de vitamina ____ pero se puede curar consumiendo _____ a) A - limón b) C - naranja c) D - limón d) E - limón e) B - naranja

3. La vitamina A previene _____________. a) el escorbuto b) el raquitismo c) la anemia d) la esterilidad e) la ceguera nocturna 4

La vitamina D previene una enfermedad llamada _______________. a) anemia b) escorbuto c) pelagra d) ceguera e) raquitismo

9. La vitamina _______ previene las hemorragias. a) K b) A c) B d) C e) E

5. Es un alimento que contiene vitaminas A y E: a) Naranja y zapallo b) Leche y chocolate c) Naranja y tomate d) Leche y yema de huevo e) Aceite de maíz y helado 6. ¿Qué le ocurre a los huesos en el raquitismo? a) Se vuelven polvo b) Se perforan c) Se fracturan d) Se ablandan y encorvan e) Se deforman y se rompen

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El combustible de los organismos: los alimentos Como no me gusta la leche, mi mami me da café.

¡Ahora sí! haré mi dieta. Solo comeré lechuga.

¡¡Mi abu dice que los niños gorditos son sanos!!

Estoy feliz, me parezco a...

¡Ya hijo! si no quieres comer las menestras, entonces come estas galletas, pero come algo.

Cuantas historias basadas en mitos sobre la alimentación: ¿Debo dejar de comer para estar delgado? ¿Debo hacer la dieta de la toronja para no engordar? ¿Debo ser delgada como esa chica para ser perfecta? Si a mi hijo no le gusta algo, le doy lo que me pida.

Todas las células del cuerpo están en un proceso de continuo desgaste; por ello debe ser reparado, construido, fortalecido y protegido. En estos procesos participan sin dudar los alimentos.

La nutrición es la ciencia que trata sobre la composición de los alimentos, y sobre la manera en la que el organismo utiliza los nutrientes contenidos en la dieta.

Cuando el colágeno pierde su contenido de agua es que envejecemos, esta es una muestra de lo que ocurre cuando los componentes de nuestras células se gastan.

Además… La nutrición también se ocupa de los cambios de alimentos que la persona requiere debido a alguna enfermedad o situación que ocurra en su organismo, como también debido a los excesos o deficiencias de nutrientes.

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Los alimentos cumplen tres funciones muy importantes:

a. Constructores: Los alimentos constructores son aquellos que contienen como nutrientes las proteínas. Estos alimentos construyen y reparan tejidos y órganos. Ejemplo: carnes, leche y derivados, kiwicha, quinua, garbanzos, entre otros.

b. Energéticos: Son útiles para desarrollar funciones normales, como la respiración, y para llevar a cabo las actividades diarias, como correr y escribir. Los alimentos energéticos son los que contienen glúcidos (tubérculos, pastas, panes, tortas y dulces) y lípidos (aceites, palta, maní, almendras y aceitunas).

c. Reguladores: Son los que se necesitan en mínima cantidad y son necesarios para mantener la buena salud. Un alimento es regulador cuando contiene vitaminas y minerales.

Alimentos transgénicos Un transgénico u Organismo Modificado Genéticamente es un alimento que ha sido creado artificialmente, manipulando sus genes. Entre los alimentos que se han detectado que son 100% OGM están la soya y avena.

Problemas en la nutrición a. Anorexia Una persona anoréxica tiene la creencia de que está subida de peso. Por ello, prefiere no comer y pasar hambre con tal de bajar de peso. Esta enfermedad se inicia generalmente en la adolescencia. Las personas con anorexia sufren mucho y, si no son tratadas a tiempo, podrían en morir. b. Bulimia Una persona bulímica es aquella que no puede dominar la necesidad e ingerir grandes cantidades de alimento. Luego de consumirlos, le invade un gran temor a engordar y se provoca el vómito. c. Desnutrición: Se caracteriza por la carencia de nutrientes. d. Obesidad: Se caracteriza por un exceso de alimentos.

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6º GRADO

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PRACTICA EN CASA 1. La carne, ______ y la kiwicha contienen proteínas. a) la manzana b) los garbanzos c) el plátano d) el tocino e) la gaseosa

7. El _____ es un alimento que contiene en mayor proporciones glúcidos. a) pescado b) sodio c) agua d) pollo e) pan

2. Las _______ son alimentos energéticos. a) papas b) calabazas c) ensaladas d) sales e) vitaminas

8. Los ___________ mantienen la salud. a) chizitos b) minerales c) proteínas d) glúcidos e) lípidos

3. Es una función que tienen los alimentos constructores: a) Saltar b) Patinar c) Miccionar d) Reparar tejidos dañados e) Correr

9. ____________ son nutrientes. a) Carnes, lácteos y sales b) Tubérculos, pastas y panes c) Potasio, vitamina y frejoles d) Proteínas, glúcidos, lípidos, vitaminas y minerales e) Minerales, frutas, pescado y aceitunas

4. Es una tarea que cumplen los alimentos energéticos: a) Crecimiento del cuerpo b) Mantenernos saludables c) Evitar enfermedades d) Saltar e) Construir órganos

10. Señale el alimento que tiene un alto contenido de energía: a) Carne b) Mantequilla c) Agua d) Toronja e) Leche

5. Es una tarea que cumplen los alimentos reguladores: a) Mantener la salud b) Aumentar de tamaño c) Construir componentes de la célula d) Construir tejidos desgastados e) Darnos energía 6. La leche es un alimento y contiene mayor proporción de __________. a) vitaminas b) glúcidos c) proteínas d) lípidos e) minerales

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¿Seres vivos e inertes? Muchas veces nuestras computadoras son atacadas por virus cuando ponemos un USB o bajamos un programa, infectado por un virus; esto produce problemas y podrían impedirnos acceder a alguna información. Así también cuando un virus ingresa al ser vivo, sea cual sea, produce en el cuerpo signos y síntomas que lo debilitan; y podrían causarle la muerte. Sabemos que los seres vivos están formados por células. Las células son unidades que tienen vida, es decir se alimentan, respiran, eliminan sustancias que no necesitan, se relaciona con el medio que las rodean, se reproducen; y muchas funciones más. Pero no podemos decir lo mismo de los virus, pues no están considerados como seres vivos sino como seres inertes, pues no son capaces de realizar funciones. Sin embargo, son capaces de REPLICARSE, para ello necesitan obligatoriamente, invadir las células de los organismos vivos, de esta manera, producen enfermedades.

¿Qué son los virus? Asociaciones supramoleculares, porque formados por proteínas y ácidos nucleicos.

están

A. Los virus son tan pequeños que solo pueden observarse en microscopios muy avanzados. B. Los virus son muy sencillos. Están formados por dos partes. Tienen una cubierta exterior que los rodea llamada CAPSIDE, la cual está constituida por proteínas. Además, encerrado en el interior de la cápside está el ADN o el ARN que viene a ser el material genético del virus, el cual contiene las instrucciones necesarias para fabricar nuevos virus iguales por medio del proceso de replicación. C. Los virus tienen formas muy diversas. Algunos tienen forma de un diamante, es decir son ICOSAÉDRICOS, otros tienen forma de tubo y toman el nombre de cilíndricos; y otros adoptan la forma de los dos anteriores por lo que su apariencia es la de un cohete con cabeza y cola, estos se llaman COMPLEJOS. Icosaédricos

Cilíndricos

Complejos

Ej. VIH

Ej. Mosaico del tabaco

Ej. Bacteriófago

187

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APLICA LO COMPRENDIDO 4. Los virus tienen una cápside, en ella se encuentra encerrado ______________. a) el material genético b) la cabeza c) la cola d) los filamentos e) la enfermedad 5

10. Señala la proposición verdadera sobre los virus a) Producen alimentos b) Tienen cabeza, tronco y extremidades c) Se reproducen d) Están formados por proteínas y ácido nucleico e) Son seres vivos

¿Para qué sirve la cápside? a) Para proteger la cola del virus. b) Para proteger la cabeza del virus. c) Para proteger los virus que se forman. d) Para encerrar a las células infectadas. e) Para almacenar el material genético.

6. ¿Cuál es el material genético del virus? a) La vitamina b) Sal mineral c) Proteína d) Glúcido e) Ácido nucleico 7. ¿Qué ácidos nucleicos puede tener un virus? a) ADN y ARN b) ADN o ARN c) Solamente ADN d) Solamente ARN e) A veces los dos ácidos nucleicos 8. Señala la forma que no corresponde a los virus: ___________. a) Icosaédrica b) Cilíndrica c) Compleja d) Icosaédrica y cilíndrica e) Rectangular 9. ¿Cómo se llama la multiplicación de un virus? a) Reproducción b) Replicación c) Condensación d) Esporulación e) Gemación

188

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6º GRADO

Las enfermedades: una situación que no quisieramos padecer La enfermedad es la alteración de la salud. La salud es el equilibrio biopsicosocial del organismo. BIO: Cuerpo sano

PSICO: Mente sana

SOCIAL: Buena relación con el entorno.

Las enfermedades tienen etapas. INCUBACIÓN Cuando ingresa el agente patógeno y se presenta los primeros síntomas y signos de la infección.

DESARROLLO Cuando se presenta los signos y síntomas propios de la enfermedad.

CONVALECENCIA Cuando el paciente se recupera. Cuando un paciente no llega a está etapa, fallece.

Las enfermedades pueden ser de dos tipos: A. Infecciosas: Cuando son causadas por agentes patógenos, estos pueden ser bacterias (tuberculosis), hongos (pie de atleta), protozoarios (malaria) y virus (sarampión), inclusive toxinas. B. No infecciosas: Pueden ser degenerativas (osteoporosis); neoplásicas (cáncer); y traumáticas (fracturas de huesos).

189

6º GRADO

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Enfermedades infecciosas producidas por bacterias Algunas enfermedades producidas por bacterias son el cólera, la tuberculosis, la fiebre tifoidea, la sífilis. A. Fiebre tifoidea: Producida por la bacteria Salmonella typhy, es un bacilo que se encuentra en los alimentos contaminados. La persona tiene fiebre, malestar general y dolores, la diarrea comienza entre la segunda y la a tercera semana de la enfermedad. Esta enfermedad se previene evitando ingerir alimentos sospechosos de contaminación y la eliminación de insectos y otros animales que contaminan los alimentos.

B. El cólera: Producido por la bacteria Vibrio cholerae, es una bacteria vibrión móvil que se encuentra en los reservorios de agua potable. La persona que padece de cólera tiene los ojos y mejillas hundidos, calambres abdominales, diarrea y vómito. Esta enfermedad se previene desinfectando y protegiendo las fuentes de agua potable. C. Tuberculosis: Producida por la bacteria Mycobacterium tuberculosis, la infección se produce por gotitas de saliva. La persona con tuberculosis presenta fatiga, debilidad, pérdida de peso, fiebre, tos con flema por más de 15 días y daño al pulmón. Para prevenir esta enfermedad las personas deben vacunarse con la vacuna BCG, alimentarse adecuadamente y erradicar la tuberculosis del ganado vacuno. D. La sífilis: Es producida por la bacteria Treponema pallidum. Es una infección de transmisión sexual debido a que las personas cambian de parejas constantemente y no cuidan su cuerpo. La enfermedad se presenta con un chancro o lesión en los genitales del hombre y de la mujer, luego problemas en el sistema nervioso central y cardiovascular. Además, si la mujer queda embarazada, el recién nacido presentará problemas cardiovasculares, en los huesos, dientes, nariz, etc; inclusive la misma enfermedad produce los abortos.

¿Qué hay de las vacunas? El término vacuna deriva del latín vacca y quien lo utilizó por primera vez fue el inglés Edward Jenner luego de que realizara largos estudios sobre el cow- pox (viruela de las vacas). Las vacunas son preparados de antígenos que busca producir anticuerpos para que el organismo pueda defenderse.

190

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6º GRADO

APLICA LO COMPRENDIDO 1. Es un agente infeccioso: a) Cólera b) Tifoidea c) Bacteria d) Tuberculosis e) Osteoporosis 2. Los agentes ____________. a) Catarro b) Enfermedades c) Gracturas d) Cáncer e) Alimentos

7. Es un problema que presenta la persona que sufre sífilis: a) Hinchazón del abdomen b) Lesión en los genitales c) Ojos hundidos d) Fiebre muy alta e) Adelgazamiento

infecciosos

producen

9. Es un signo del cólera: a) Calambres en la pierna b) Calambres en el abdomen c) Calambres en la cabeza d) Calambres en los ojos e) Calambres en el hombro

3. Es una enfermedad infecciosa: a) Fractura b) Cáncer al estómago c) Cáncer al pulmón d) Fiebre tifoidea e) Osteoporosis 4. El Mycobacterium ________. a) tifoidea b) sífilis c) cólera d) tuberculosis e) fractura

tuberculosis

8. El Vibrio cholerae produce _________. a) osteoporosis b) la cólera c) el cólera d) fractura e) tuberculosis

produce

10. Agente que produce la fiebre tifoidea: a) Mycobacterium tuberculosis b) Bacilo de Koch c) Vibrio cholerae d) Treponema pallidum e) Salmonella typhy

5. Es un signo de la persona que padece tuberculosis: a) Dolor en los ojos b) Dolor en las uñas c) Pérdida de peso d) Pulmón quebradizo e) Angustia 6. El Treponema pallidum produce _____________. a) raquitismo b) tuberculosis c) tifoidea d) sífilis e) cólera

191

Trigonometría

• Razón trigonométrica Coseno • Operaciones combinadas III • Operaciones combinadas IV • Razón trigonométrica Tangente • Operaciones combinadas V • Operaciones combinadas VI

CORPORACIĂ&#x201C;N EDUCATIVA â&#x20AC;&#x153;THE HAPPY WORLD OF CHILDRENâ&#x20AC;?

6Âş GRADO

RazĂłn trigonomĂŠtrica Coseno RazĂłn trigonomĂŠtrica

CosD Es el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa

Coseno de â&#x20AC;&#x153;Dâ&#x20AC;? (CosD) C

usa ten o p Hi

D Cateto Adyacente a â&#x20AC;&#x153;Dâ&#x20AC;?

CosD

Cateto Opuesto a "D" B

Ejemplo 1: Calcula CosD C 5u A

ResoluciĂłn:

Ejemplo 2: Calcula CosE C E u 3 1 5u

12u ResoluciĂłn:

4 CosD= 4u = 5 5u

CosE=5u = 5 13u 13

Luego CosD

Luego CosE

Trabajando en clase 1. Del siguiente grĂĄfico, calcula CosD .

25 A

Cateto Adyacente a â&#x20AC;&#x153;Dâ&#x20AC;? Hipotenusa

D 24u

C 7u B

193

6ยบ GRADO

CORPORACIร N EDUCATIVA โ THE HAPPY WORLD OF CHILDRENโ

2. Del siguiente grรกfico, calcula CosD .

u 53 A

5. Del siguiente grรกfico, calcula CosE .

61 28u

u 41 A

7. Del siguiente grรกfico, calcula CosE .

4. Del siguiente grรกfico, calcula CosD .

u 29 A

D 21u

35u

C 12u

A 40u

u 37

60u

6. Del siguiente grรกfico, calcula CosD .

3. Del siguiente grรกfico, calcula CosE .

C 11u

45u

20u A

194

D 15u

C 8u B

CORPORACIร N EDUCATIVA โ THE HAPPY WORLD OF CHILDRENโ

8. Del siguiente grรกfico, calcula CosE .

85 A

9. Del siguiente grรกfico, calcula CosD .

13u

84u

6ยบ GRADO

C 8u

15u

Actividad domiciliaria 1. Del siguiente grรกfico, calcula CosD .

89 A

D 77u

21u

3. Del siguiente grรกfico, calcula CosE .

20u

97 A

5. Del siguiente grรกfico, calcula CosE .

80u

39u

2. Del siguiente grรกfico, calcula CosD .

4. Del siguiente grรกfico, calcula CosD .

C 65u

72u

6. Del siguiente grรกfico, calcula CosD

36u A

195

D 55u

C 48u B

6ยบ GRADO

CORPORACIร N EDUCATIVA โ THE HAPPY WORLD OF CHILDRENโ

Operaciones combinadas III Ejemplo 1: Calcula 3CosD

Resoluciรณn: 15 15u CosD= 17u = 17

17u A

Luego 3CosD

8u B

15u

Resoluciรณn:

Ejemplo 2: Calcula 2CosE C E u 1 4 9u A

9 CosE= 9u = 41 41u Luego 2CosE

40u

Trabajando en clase 1. Del siguiente grรกfico, calcula 3CosD .

29 A

D 21u

C 20u B

196

CORPORACIร N EDUCATIVA โ THE HAPPY WORLD OF CHILDRENโ

2. Del siguiente grรกfico, calcula 4CosD .

53 A

45u

D 40u

24u

85 A

60u

3. Del siguiente grรกfico, calcula 5CosE .

11u

C 7u

4. Del siguiente grรกfico, calcula 7CosD .

3. Del siguiente grรกfico, calcula 5CosE .

2. Del siguiente grรกfico, calcula 4CosD .

28u

6ยบ GRADO

C 13u

84u

4. Del siguiente grรกfico, calcula 7CosD .

17 9u A

197

D 15u

C 8u B

6ยบ GRADO

CORPORACIร N EDUCATIVA โ THE HAPPY WORLD OF CHILDRENโ

9. Del siguiente grรกfico, calcula 5CosenD /5.

8. Del siguiente grรกfico, calcula 3CosE .

1 D

u 37

15u

12u

35u

Actividad domiciliaria 4. Del siguiente grรกfico, calcula 3CosD .

1. Del siguiente grรกfico, calcula 3CosD .

97 A

u 29 65u

72u

5u A

D 4u

C 48u

55u

6. Del siguiente grรกfico, calcula 4CosD

3. Del siguiente grรกfico, calcula 3CosE .

21u

u 73

80u

C 39u

20u

5. Del siguiente grรกfico, calcula 4CosE .

2. Del siguiente grรกfico, calcula 2CosD .

u 89

u 85 3u A

198

D 77u

C 36u B

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6º GRADO

Operaciones combinadas IV Ejemplo 1: Calcula 4CosD C 85u A

Resolución: 77 CosD= 77u = 85 85u

36u

Luego 4CosD

77u

Ejemplo 2: Calcula 3CosE C E u 29 20u A

Resolución: 20 CosE= 20u = 29 29u Luego 3CosE

21u

Trabajando en clase 1. Del siguiente gráfico, calcula 3CosD .

u 17 A

D 15u

C 8u B

199

6º GRADO

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2. Del siguiente gráfico, calcula 4CosD .

11u

5. Del siguiente gráfico, calcula 5CosE .

60u

u 25 A

D 35u

C 13u B

84u

7. Del siguiente gráfico, calcula 7CosE .

4. Del siguiente gráfico, calcula 4CosD .

24u

21u

u 85 A

u 37

C 7u

20u

6. Del siguiente gráfico, calcula 3CosD .

3. Del siguiente gráfico, calcula 7CosE .

12u A

200

D 15u

C 8u B

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

8. Del siguiente gráfico, calcula 4Cos .

41 A

9. Del siguiente gráfico, calcula 5CosD .

u 53

40u

28u

C 9u

6º GRADO

45u

Actividad domiciliaria 1. Del siguiente gráfico, calcula 3CosD .

97 A

3. Del siguiente gráfico, calcula 5CosE .

5u D 4u

39u

77u

21u

5. Del siguiente gráfico, calcula 4CosE

36u

C 20u

72u

65u

2. Del siguiente gráfico, calcula 3CosD .

4. Del siguiente gráfico, calcula 4CosD .

80u

6. Del siguiente gráfico, calcula 7CosD

3u A

201

D 55u

C 48u B

6Âş GRADO

CORPORACIĂ&#x201C;N EDUCATIVA â&#x20AC;&#x153;THE HAPPY WORLD OF CHILDRENâ&#x20AC;?

RazĂłn trigonomĂŠtrica Tangente

RazĂłn trigonomĂŠtrica

TgD Es el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa

Tangente de â&#x20AC;&#x153;Dâ&#x20AC;? (TgD) C

sa nu e t po Hi

Cateto Opuesto a "D"

D Cateto Adyacente a â&#x20AC;&#x153;Dâ&#x20AC;?

Ejemplo 2: Calcula TgE C E u 3 1 5u

5u D

ResoluciĂłn:

12u ResoluciĂłn:

3 TgD= 3u = 4 4u

TgE = 12u = 12 5u 5

Luego TgD

Luego TgE

Trabajando en clase 1. Del siguiente grĂĄfico, calcula tgD .

u 53 A

Cateto Opuesto a â&#x20AC;&#x153;Dâ&#x20AC;? Cateto Adyacente a â&#x20AC;&#x153;Dâ&#x20AC;?

Ejemplo 1: Calcula TgD C

TgD

D 45u

C 28u B

202

CORPORACIร N EDUCATIVA โ THE HAPPY WORLD OF CHILDRENโ

2. Del siguiente grรกfico, calcula tgD .

u 17

3. Del siguiente grรกfico, calcula tgE .

u 61

D 84u

40u

u 29 A

4. Del siguiente grรกfico, calcula tgD .

60u

6. Del siguiente grรกfico, calcula tgD .

11u

15u

5. Del siguiente grรกfico, calcula tgE .

6ยบ GRADO

C 20u

21u

7. Del siguiente grรกfico, calcula tgE .

13u A

203

D 15u

C 8u B

6ยบ GRADO

CORPORACIร N EDUCATIVA โ THE HAPPY WORLD OF CHILDRENโ

9. Del siguiente grรกfico, calcula tgD .

8. Del siguiente grรกfico, calcula tgE .

u 25 A

24u

C 12u

35u

Actividad domiciliaria 4. Del siguiente grรกfico, calcula CosD .

1. Del siguiente grรกfico, calcula tgD .

97 48u

55u

2 A

D 80u

C 3u

6. Del siguiente grรกfico, calcula tgD

3. Del siguiente grรกfico, calcula tgE .

u 89

72u

21u

C 20u

65u

5. Del siguiente grรกfico, calcula tgE .

2. Del siguiente grรกfico, calcula tgD .

39u A

204

D 77u

C 36u B

CORPORACIร N EDUCATIVA โ THE HAPPY WORLD OF CHILDRENโ

Operaciones combinadas V

Ejemplo 1: Calcula 3TgD C 17u A

Resoluciรณn: 8 TgD= 8u = 15 15u Luego 3TgD

8u B

15u

Resoluciรณn:

Ejemplo 2: Calcula 2TgE C E u 1 4 9u A

40 TgE= 40u = 9 9u Luego 2TgE

40u

Trabajando en clase 1. Del siguiente grรกfico, calcula 4tgD .

37 A

D 35u

C 12u B

205

6ยบ GRADO

CORPORACIร N EDUCATIVA โ THE HAPPY WORLD OF CHILDRENโ

2. Del siguiente grรกfico, calcula 3tgD .

53 A

D 84u

D 24u

4. Del siguiente grรกfico, calcula 5tgD .

60u

3. Del siguiente grรกfico, calcula 7tgE .

11u

45u

28u

3. Del siguiente grรกfico, calcula 7tgE .

2. Del siguiente grรกfico, calcula 3tgD .

C 12u

35u

4. Del siguiente grรกfico, calcula 5tgD .

13u A

206

D 40u

C 9u B

CORPORACIร N EDUCATIVA โ THE HAPPY WORLD OF CHILDRENโ

8. Del siguiente grรกfico, calcula 5tgE .

u 17

9. Del siguiente grรกfico, calcula 7tgD /3.

C 20u

15u

6ยบ GRADO

21u

Actividad domiciliaria 1. Del siguiente grรกfico, calcula 5tgD .

u 85 A

2. Del siguiente grรกfico, calcula 5tgD .

D 4u

21u

3. Del siguiente grรกfico, calcula 7tgE

20u

89 A

72u

5. Del siguiente grรกfico, calcula 7tgE .

65u

77u

u 29

36u

4. Del siguiente grรกfico, calcula 6tgD .

C 39u

80u

6. Del siguiente grรกfico, calcula 5tgD

3u A

207

D 55u

C 48u B

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

Operaciones combinadas VI Ejemplo 1: Calcula 4TgD C 85u A

Resolución: 36 TgD= 36u = 77 77u

36u

Luego 4TgD

77u

Ejemplo 2: Calcula 3TgE C E u 9 2 20u A

Resolución: 21 TgE= 21u = 20 20u Luego 3TgE

21u

Trabajando en clase 1. Del siguiente gráfico, calcula 3tgD .

17 A

D 15u

C 8u B

208

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

2. Del siguiente gráfico, calcula 5tgD .

u 25

3. Del siguiente gráfico, calcula 5tgE .

u 37

D 60u

C 13u B

84u

6. Del siguiente gráfico, calcula 3tgD .

41 A

35u

4. Del siguiente gráfico, calcula 2tgD .

12u

u 61

u 85

24u

5. Del siguiente gráfico, calcula 7tgE .

6º GRADO

C 9u

40u

7. Del siguiente gráfico, calcula 6tgE .

u 17

11u A

209

D 15u

C 8u B

6º GRADO

CORPORACIÓN EDUCATIVA “THE HAPPY WORLD OF CHILDREN”

9. Del siguiente gráfico, calcula 7tgD .

8. Del siguiente gráfico, calcula 4tgE .

u 53 A

28u

D 45u

20u

21u

Actividad domiciliaria 4. Del siguiente gráfico, calcula 5tgD .

1. Del siguiente gráfico, calcula 3tgD .

85 A

u 29 A

77u

39u

80u

D 55u

C 65u

72u

6. Del siguiente gráfico, calcula 7tgD

3. Del siguiente gráfico, calcula 6tgE .

u 73

21u

5. Del siguiente gráfico, calcula 7tgE

2. Del siguiente gráfico, calcula 5tgD .

20u

36u

48u A

210

D 4u

C 3u B