SECCIONES CONICAS
CIRCUNFERENCIA E HIPERBOLA
CIRCUNFERENCIA
Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia a un punto fijo llamado centro, siempre es constante.
CIRCUNFERENCIA
GEOMETRIA
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
Las formas de expresar la ecuación de una circunferencia son las siguientes:
EN
Esta ecuación se obtiene al desarrollar los binomios e igualar a cero la ecuación ordinaria.
GEOMETRIA
ECUACIÓN
SU FORMA GENERAL x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 A = C
Hallar el centro y radio de la ecuación x 2 + y2 − 6x + 4y − 36 = 0
1. ordenar terminos 2. al valor numerico dividir entre dos y elevar al cuadrado 3. completar TCP 4. Factorizar
5. los números resultantes de la factorización se multiplican por (-) y nos da el valor del centro y al radio sacarle raiz
GEOMETRIA
EJERCICIO C/ SOLUCIÓN C r x 2 + y2 − 6x + 4y − 36 = 0 x 2 − 6x y2 + 4y = 36 6 / 2 = 3 32 = 9 4 / 2 = 2 22 = 4 x 2 − 6x + 9 y2 + 4y + 4 = 36 + 9 + 4 (x − 3)2 + ( y + 2)2 = 49 (x − h)2 + ( y − k)2 = r 2 c(− 3,2) r 2 = 49 r = 7
ECUACIÓN EN SU FORMA ORDINARIA
GEOMETRIA
r 2 = (x − h)2 + ( y − k)2 C (h,k) P(x, y) r C = centro (h,k) P = punto cualquiera (x,y) r = radio circunferencia con centro en el punto C (h, k) y radio r
(centro fuera del origen)
FORMULA
Hallar la ecuación de la circunferencia cuando � =
−
� � = 5 GEOMETRIA EJERCICIO C/ SOLUCIÓN C r (x − h)2 + ( y − k)2 = r 2 (x − (− 7))2 + ( y − 3)2 = 52 (x + 7)2 + ( y − 3)2 = 25 x 2 + 14x + 49 + ( y − 3)2 = 25 x 2 + 14x + 49 + y2 − 6y + 9 = 25 x 2 + y2 + 14x − 6y + 49 + 9 = 25 x 2 + y2 + 14x − 6y + 58 − 25 = 0 x 2 + y2 + 14x − 6y + 33 = 0 x 2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ECUACION GENERAL. DE LA CIRCUNFERENCIA
(
7, 3)
ECUACIÓN EN SU FORMA CANONICA (centro en el origen)
GEOMETRIA FORMULA r 2 = x 2 + y2 C (0,0) P(x, y) r C = centro P = punto cualquiera r = radio
C/ SOLUCIÓN
Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio =4
x 2 + y2 = r 2 x 2 + y2 = 42 x 2 + y2 = 16 x 2 + y2 − 16 = 0
GEOMETRIA
EJERCICIO
C
ANALISIS DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
• Si r es positivo la circunferencia es real. • Si r es negativo la circunferencia es imaginaria. • Si r es igual a cero entonces representa un punto.
GEOMETRIA
PARABOLA
Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de tal manera que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y una recta fija, llamada directriz.
GEOMETRIA
PARABOLA
V= vertice f = foco d = directriz LR = lado recto P = parámetro (distancia del vértice al foco o directriz)
GEOMETRIA
PARTES V f d LR P
EC. DE LA PARABOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN
FORMULA
SOBRE EL EJE X
Sea una parábola con vértice en el origen, foco F(p, 0) donde p es el parámetro y su directriz x = –p. Se toma un punto P(x, y) que cumpla con la condición de que la distancia al foco y a la directriz sea la misma, es decir:
Su foco está sobre el eje X y son cóncavas hacia la derecha o a la izquierda.
Cancavidad Si p > 0 entonces la parábola abre hacia la derecha. Si p < 0 entonces la parábola abre hacia la izquierda.
GEOMETRIA
EC. DE LA PARABOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN
FORMULA
SOBRE EL EJE Y
Si el foco está sobre el eje Y, F(0, p) donde p es el par.metro y su directriz la recta y = –p y v.rtice en el origen, al aplicar la defi nici.n el resultado es el siguiente:
Su foco est. sobre el eje Y, son c.ncavas hacia arriba o hacia abajo. Concavidad
Si p > 0 entonces la par.bola es cóncava hacia arriba.
Si p < 0 entonces la par.bola es cóncava hacia abajo.
GEOMETRIA
EJERCICIO C/ SOLUCIÓN
Hallar la ecuación general de la parábola que pasa por el origen y graficar a partir de: V (0,0) F (-6,0)
NOTA: para graficar LR se divide entre 2
L R = | 4p | L R = | 4(6) | L R = | 24 | y 2 = − 4px ECUACION y 2 = − 4(6)x y 2 = − 24x
F V
x = − 6 x + 6 = 0
d
GEOMETRIA
EC. DE LA PARABOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN
FORMULA
PARALELO A EL EJE X
En forma an.loga para una par.bola con v.rtice fuera del origen en (h, k), coordenadas del foco en F(h, k + p) y directriz en la recta y = k – p, se obtiene: (x – h)2 = 4p(y – k)
Su eje es paralelo al eje X y es cóncava hacia la derecha o izquierda. Concavidad
Si p > 0 entonces la par.bola es c.ncava hacia la derecha.
Si p < 0 entonces la par.bola es c.ncava hacia la izquierda.
GEOMETRIA
EC. DE LA PARABOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN
FORMULA
PARALELO A EL EJE Y
Su eje es paralelo al eje Y, y es c.ncava hacia arriba o abajo.
Concavidad
Si p > 0 entonces la par.bola es c.ncava hacia arriba.
Si p < 0 entonces la par.bola es c.ncava hacia abajo.
GEOMETRIA
Hallar la ecuación general de la parábola y construir su curva en cada caso V(2,3) F(5, 3) EJERCICIO C/ SOLUCIÓN ECUACION F V d P = 3 ( y − k)2 = 4P(x − h) V(2,3) ( y − 3)2 = 4(3)(x − 2) y2 − 6y + 9 = 12(x − 2) y2 − 6y + 9 = 12x − 24 y2 − 12x − 6y + 9 + 24 = 0 y2 − 12x − 6y + 33 = 0 y2 + Dx + Ey + F = 0 ECUACION GENERAL DE LA PARABOLA x 2 + Dx + Ey + F = 0
BIBLIOGRAFIA
MATEMATICAS SIMPLIFICADAS (4.a ed.). (2015). PEARSON/ CONAMAT.
GEOMETRIA