جمهورية م�صر العربية وزارة الرتبية والتعليم قطاع الكتب
الر ياضيات
ت�أليـف أ .عمر فؤاد جاب اهلل د .عصام وصفى روفائيل أد .عفاف أبو الفتوح صاحل أ .سيرافيم الياس اسكندر
أ .محمود ياسر اخلطيب
جميع حقوق الطبع محفوظة لوزارة التربية والتعليم غري م�صرح بتداول هذا الكتاب خارج وزارة الرتبية والتعليم 2014 - 2013
ال�صف الثانى الإعدادى الف�صل الدرا�صى الأول
كتاب الطالب
جلنة التعديل واملراجعة د /عيد عبدالعزيز فتح الباب
د /حممد حمى الدين عبد ال�صالم اأبو رية
(منسق شعبة الرياضيات وخبير مناهج)
(خبير مناهج ومواد تعليمية)
اأ /على عبد الغنى كرمي
اأ /اإميان �صيد رم�صان
(معلم خبير)
(خبير مناهج ومواد تعليمية)
اأ /اأ�صرف على حممد على (معلم خبير) مراجعة لغوية :د /اإ�صماعيل حممد عبد العاطى
اإ�صراف علمى اأ /ح�صني حممود ح�صني م�صت�صار الريا�صيات
اإ�صراف تربوى
اأ.د /حممد رجب ف�صل اهلل م�صت�صار الوزير لتطوير املناهج وامل�صرف العام على مركز تطوير املناهج
ب
ب�سم اهلل الرحمن الرحيم اأبناءنا الأعزاء : يسعدنا أن نقدم لكم كتاب الرياضيات للصف الثانى اإلعدادى ،وقد راعينا أن نجعل من دراستك للرياضيات ً ممتعا ومفيدً ا له تطبيقاته فى حياتكم العملية ، ،وفى دراستكم للمواد عمل ً الدراسية األخرى ،حتى تشعورا بأهمية دراسة الرياضيات وقيمتها وتقدروا ،دور علمائها ،وقد اهتم
هذا الكتاب باألنشطة كعنصر أساسى ،كما حاولنا تقديم المادة العلمية بطريقة مبسطة تساعدكم على
تكوين المعرفة الرياضية ،وفى نفس الوقت تساعدكم على اكتساب أساليب تفكير سليمة تدفعكم
إلى اإلبداع.
وقد روعى فى هذا الكتاب تقسيمه إلى وحدات دراسية ،وكل وحدة إلى دروس ،كما وظفنا
الصور واأللوان لتوضيح المفاهيم الرياضية وخواص األشكال ،مع مراعاة المحصول اللغوى
لكم وما سبق أن تم دراسته فى الصفوف السابقة ،كما راعينا فى مواطن كثيرة تدريبكم على أن تصلوا للمعلومات بأنفسكم لتنمية مهارة التعلم الذاتى لديكم ،كما تم توظيف اآللة الحاسبة
مناسبا داخل المحتوى. والحاسب اآللى كلما كان ذلك ً
نرجو أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه الخير لك ولمصرنا العزيزة.
الموؤلفون
ت
املحتويات الوحدة الأوىل :الأعداد احلقيقية مراجعة 2 .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... الدر�س الأول :الجذر التكعيبى للعدد الن�سبى4 .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .. الدر�س الثانى :مجموعة الأعداد غير الن�سبية َن 7 .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... . الدر�س الثالث :اإيجاد قيمة تقريبية للعدد غير الن�سبى9 .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... . الدر�س الرابع :مجموعة الأعداد الحقيقية ح13... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .. الدر�س اخلام�س :عالقة الترتيب فى ح 15... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. . الدر�س ال�صاد�س :الفترات 17... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. . الدر�س ال�صابع :العمليات على الأعداد الحقيقية 23... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... الدر�س الثامن :العمليات على الجذور التربيعية 28... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... . الدر�س التا�صع :العمليات على الجذور التكعيبية 33... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... . الدر�س العا�صر :تطبيقات على الأعداد الحقيقية 35... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... الدر�س احلادى ع�صر :حل المعادلت والمتباينات من الدرجة الأولى فى متغير واحد فى ح 40... .. .... .. .... .. .... .. .... .
الوحدة الثانية :العالقة بني متغريين الدر�س الأول :العالقة بين متغيرين 44... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... الدر�س الثانى :ميل الخط الم�ستقيم و تطبيقات حياتية 48... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ....
الوحدة الثالثة :الإح�صاء الدر�س الول :جمع البيانات وتنظيمها 54... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .. الدر�س الثاين :الجدول التكرارى المتجمع ال�ساعد والجدول التكرارى المتجمع النازل وتمثيلهما بيان ًّيا 57... .. .... .. .... .. الدر�س الثالث :الو�سط الح�سابى -الو�سيط -المنوال 61... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... ..
ث
الوحدة الرابعة :متو�صطات املثلث و املثلث املت�صاوي ال�صاقني الدر�س الول :متو�سطات المثلث68... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .. الدر�س الثاين :المثلث المت�ساوي ال�ساقين72... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... . الدر�س الثالث :نظريات المثلث المت�ساوي ال�ساقين 74... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .. الدر�س الرابع :نتائج علي نظريات المثلث المت�ساوي ال�ساقين 83... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ....
الوحدة اخلام�صة :التباين الدر�س الأول :التباين 89... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... . الدر�س الثانى :المقارنة بين قيا�سات الزوايا فى المثلث 93... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... الدر�س الثالث :المقارنة بين اأطوال الأ�سالع فى المثلث 97... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ... الدر�س الرابع :متباينة المثلث102. .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ....
ج
الرموز الريا�صية الم�صتخدمة P
مجموعة األعداد الطبيعية
=
عمودى عىل
N
مجموعة األعداد الصحيحة
//
يوازى
K
مجموعة األعداد النسبية
Cب
القطعة املستقيمة Cب
َ K
مجموعة األعداد غير النسبية
Cب
الشعاع Cب
I
مجموعة األعداد الحقيقية
Cب
املستقيم Cب
C
اجلذر الرتبيعى للعدد C
C
c( Xل) قياس زاوية ل
اجلذر التكعيبى للعدد C
~
تشابه
[اأ ،ب]
فترة مغلقة
>
أكرب من
]اأ ،ب[
فترة مفتوحة
#
أكرب من أو يساوى
]اأ ،ب]
فترة نصف مفتوحة (مغلقة)
<
أقل من
[اأ ،ب[
فترة نصف مفتوحة (مغلقة)
$
�أقل من �أو ي�ساوى
[اأ [∞ ،
فترة غير محدودة
3
/
ل()C
تطابق ح
�حتمال وقوع �حلدث C
الوحدة األولى
1 األعداد الحقيقية األعدا ُد الحقيقيَّة
ُ النسبية األعداد
األعدا ُد غري النسبية
األعداد غري َّ الصحيحة
األعداد الصحيحة
األعداد ال َّ طبيعية
األعداد الصحيحة السالبة
الصفر
األعداد َّ الصحيحة املوجبة (أعداد العد)
مراجعة ِّ وناقش فكر ِ مجموعات األعداد
}... ،3 ،2 ،1{ = O
مجموعة أعداد العد :
مجموعة األعداد الطَّبيعية :
= }... ،3 ،2 ،1 ،0{ = Pع ∪ { } 0
}... ،3- ،2- ،1- ،0 ،1 ،2 ،3 ،... { = N
مجموعة األعداد الصحيحة :
مجموعة األعداد الصحيحة الموجبة O = }... ،3 ،2 ،1 { = +N
مجموعة األعداد الصحيحة السالبة }... ،3- ،2- ،1- { = -N
N ∪ } 0 { ∪ +N = N
-
C مجموعة األعداد النسبية ن = { ب ،C :ب ∈ ،Nب ≠ }0
⊂N⊂Pن ُ ُ النسبى: للعدد المطلقة القيمة ِّ ِ | 5 = | 5 - | ، 0 = | 0 | ، 3 = | 3 | ، 7 = | 7- 3 3
إذا كان | 5 = | C
فإن 5± = C
ُ ُ النسبى هى: للعدد القياسية الصورة ِّ ِ
10 * Cن حيث ن ∈ 10 < | C | H 1 ، N 2
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
مث ً ال
العدد 410 * 25.32
0.00053
فى صورته القياسية = 510 * 2.532 فى صورته القياسية = 4-10 * 5.3
النسبى المر َّبع الكامل العدد ُّ ُ
هو العدد الموجب الذى يمكن كتابته على صورة مربع ٍ عدد نسبى ٍّأى (عدد نسبى)2 ُ
ُ
مثل 9 ، 25 ، 4 ، 1 ... ، 2 14 ، 16
العدد النسبى المكعب الكامل ُ
ِ صورة مكعب عدد نسبى أى (عدد نسبى )3 هو العدد النسبى الذى يمكن كتابته على ُ
ُّ
مثل 8 ، 216- ، 27- ، 8 ، 1 ... ، 125
للعدد ِّ الجذر التَّ النسبى المربع الكامل ربيعى ِ ُّ ُ
ِ للعدد النسبى الموجب Cهو العدد الذى مربعه يساوى C التربيعى الجذر ُّ
صفر = صفر كل ٍ جمعى لآلخر وهما نسبى مربع كامل Cله جذران تربيعيان كل منهما معكوس عدد ُّ ّ ٍّ C -، C له جذران تربيعيان هما 4 - ، 4 5 5
ال العدد 16 مث ً 25 التربيعى الموجب للعدد 9وهو 3 9يعنى الجذر َّ
C ب
2
=
| |
C ب أى أن
7-
2
= | 7 = | 7-
الفصل الدراسى األول
3
الدرس األول
الجذر التكعيبى للعدد الن�سبى فكر وناقش
سوف تتعلم © كيفية إيجاد الجذر التَّكعيبى ل��ع� ٍ نسبى باستخدام �دد ٍّ
سبق أن تعلمت أن:
حجم المكعب = طول الحرف * نفسه * نفسه
التَّحليل.
© إي��ج��اد ال��ج��ذر التَّكعيبى نسبى باستخدام اآللة لعدد ٍّ
أكمل
المكعب الذى طول حرفه 7سم يكون حجمه ُ
الحاسبة .
ِّ نفكر هيا
© حل معادالت تشمل إيجاد الجذر التَّكعيبى. © ح� ّ �ل تطبيقات على الجذر التَّكعيبى لعدد نسبى. المصطلحات األساسية
© جذر تكعيبى.
= ......... * ......... * ......... = .........سم3
مكعب حجمه 125سم ،3فما طول حرفه؟ إذا كان لدينا ٌ نبحث عن ثالثة أعداد متساوية حاصل ضربها = 125 ُ يمكن تحليل العدد 125إلى عوامله األولية . 5*5 * 5 = 125 المكعب الذى حجمه 125سم ،3يكون طول حرفه 5سم. ` ُ تسمى 5الجذر التكعيبى للعدد ، 125وتكتب 5 = 125 3
125 25 5 1
5 5 5
التكعيبى للعددِ النسبى Cهو العدد الذى مكعبه يساوى C الجذ ُر ُّ ِّ التكعيبى للعددِ النسبى Cبالرمز للجذر " يرمز ِّ ِ
3
C
3 موجب يكون موجباًا ،اً التكعيبى لعددٍ مثل 5 = 125 نسبى " الجذ ُر ُّ ٍّ ٍ
سالب يكون سالباًا ،اً التكعيبى لعددٍ مثل نسبى " الجذ ُر ُّ ٍّ ٍ
4
"
3
"
3 3
صفر = صفر
C= C
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
3
2- = 8-لماذا؟
الوحدة الأولى ،الدر�س ال�ساد�س المكعب الكامل: النسبى للعدد إليجاد الجذر التَّ كعيبى ِّ ِ ِ ِ
تحليل العدد إلى عوامله األولية. يمكن ُ يمكن استخدا ُم اآللة الحاسبة.
أيضا ،لماذا؟ واحد وهو عد ٌد تكعيبى جذر لحظ اأن العد ُد نسبى ً ٌ النسبى المكعب الكامل له ٌ ٌّ ٌّ ُّ أمثلة 3 3 1استخدم التَّحلي َل إليجاد قيمة كل من ، 216- ، 1000 باستخدام اآللة الحاسبة.
3
3 38 َّ وتحقق من صحة إجاباتك
الحل
2 1000 2 500 2 250 5 125 5 25 5 5 1
2 5
3 10 = 5 * 2 = 1000
216 108 54 27 9 3 1
2 2 2 3 3 3
27 = 3 3 8 8
2
3 27 3 9 3 3 1
3
3 6- = 3 * 2- = 216-
استخدم اآللةَ الحاسبةَ لل َّتحقق من صحة إجابتك باستخدام
3
= 3 38
3
2 8 2 4 2 2 1
3 = 27 8 2
3
3 2 َ ) 22 أوجد طول نصف قطر الكرة التى حجمها 4851سم (7 = r
الحل
حجم الكرة = 4851
نق3
` نق3
` نق
= =
= =
4 3 22 * 4نق3 7 3 9261 = 7 * 3 * 4851 22* 4 8 37 * 33 32 3 3 3 10.5 = 7 *3 3سم 2 rنق3
3 9261 3 3087 3 1029 7 343 7 49 7 7 1
4
حجم ال��ك��رة = r 3 ن��ق 3حيث ن��ق طول نصف قطر ال��ك��رة ،و التقريبية النسبة تسمى rأو ط.
األول الدراسىاألول الفصلالدراسى مطابع روزاليوسف -الفصل
5
تدرب قطر الكرة التى حجمها 113.04سم)3.14 = r( 3 أوجد طو َل ِ مثال حل اًّ كل من المعادالت اآلتية فى ن:
أ س8 = 3
الحل
(س 125 = 3)2 -
أ س8 = 3 س=
3
د (2س 54 = 10 - 3)1 -
ب س8 = 9 + 3
2= 8
` مجموعة الحل = {}2 (س 125 = 3)2 -
س9 - 8 = 3 س1- = 3
س = 1- = 1- 3
د (2س 54 = 10- 3)1 -
س 125 3 = 2 -
2س 64 3 = 1 -
` مجموعة الحل = {}7
2س 4 = 1- 2س = 5 س= 5 2
تدرب َ ِ اآلتية فى ن( :س ( ، 27 = 3)1 +س 27- = 3)1 + المعادالت ح ّل
6
` مجموعة الحل = {}1-
(2س 64 = 3)1 -
س5=2-
س=7
ب س8 = 9 + 3
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
` مجموعة الحل = { } 52
مجموعة الأعداد غير الن�سبية ن
الدرس الثانى
فكر وناقش سبق أن علمت أن :العدد النسبى هو العد ُد الذى يمكن وض ُعه على الصورة C ب :حيث ،N ∈ Cب ∈ ،Nب ≠ 0 فمث ً حل المعادلة 4س25 = 2 ال :عند ِّ فيكون س25 = 2 4 `س=5 ± 2 كال من 52 - ، 52عدد نسبى. ونالحظ اأن اًّ
سوف تتعلم © مجموعة األعداد غير النسبية.
المصطلحات األساسية
© عدد غير نسبى.
C ِ ولكن توجد ٌ كثير من األعداد التى اليمكن وض ُعها على الصورة ب حيث ،N ∈ Cب ∈ ، Nب ≠ 0
فمث ً حل المعادلة س 2 = 2فإننا ال نستطيع إيجاد عدد نسبى مربعه ال :عند ِّ يساوى 2 C العدد غير النسبى هو العدد الذى اليمكن وضعه على الصورة ب حيث ،N ∈ Cب ∈ ، Nب ≠ 0 ِ غير النسبيَّة: ومن أمثلة األعدادِ ِ
أوالً :الجذور التربيعية لألعداد الموجبة التى ليست مربعات كاملة
، 2
مثل:
-، 5
، 6
7
الجذور التكعيبية لألعداد التى ليست مكعبات كاملة ثانيا: ُ ً
مثل:
3
، 4
3
، 2-
3
... ، 11
ً ُ ثالثاِّ : سبة التَّ قريبية r الن
حيث إنه اليمكن إيجاد قيمة مضبوطة ألى من هذه األعداد .لماذا؟ مطابع روزاليوسف -الفصل الدراسى األول
7
ومثل هذه األعداد وغيرها تكون مجموعة تسمى مجموعة األعداد غير النسبية ويرمز لها بالرمز َن .
ن ∩ َن = ∅
ِّ فكر :هل 1- 3عدد غير نسبى ؟لماذا؟ مثال
أكمل باستخدام أحد الرمزين ن أو َن. 3
أ
................... ∈ 8................... ∈ 6
ب
................... ∈ π
................... ∈ 6 14
د و
صفر ∈ ...................
3
ز |
................... ∈ 4-
3-
...................∈ | 5
ح ................... ∈ 5-10* 4.7
ط
3
................... ∈ 9-
ناقش معلمك السابق السابق المثالالمثال معلمكفىفىحلحل ناقش
8
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
اإيجاد قيمة تقريبية للعدد غير الن�سبى
الدرس الثالث
فكر وناقش هل تستطي ُع إيجاد عددين نسبيين ينحص ُر بينهما العد ُد غي ُر النسبى 2 نالحظ اأن 2 ينحصر بين 4 ، 1أى أن 2 < 2 < 1 ُ أى أن + 1 = 2كسر عشرى .
ُ ِ العدد غير النسبى على تمثيل © ّ خط األعداد. © ّ حل معادالت فى َن.
(، 1.69 = 2)1.3( ، 1.44 = 2)1.2( ، 1.21 = 2)1.1 (2.25 = 2)1.5( ، 1.96 = 2)1.4 2.25 < 2 < 1.96 a ` 1.5 < 2 < 1.4 أى أن + 1.4 = 2كسر عشرى أى أن 1.42 < 2 < 1.41
(Cجـ)C( = 2ب)( + 2ب جـ)2
إيجاد قيمة تقري َّبية للعدد غير © ُ النسبى.
ٍ وإليجادِ قيمة تقريبيَّة للعدد ( 2نفحص قي َم األعداد التالية .
َ َ الحاسبة لتأكيد صحة إجابتك. اآللة استخدم تمهيد( :فى الشكل المقابل) المثلث Cب جـ قائم الزواية ىف ب فيكون:
سوف تتعلم
C
وتسمى بنظريه فيثاغورس وستدرس بالتفصيل بمنهج الهندسة ُ النسبى على ِّ العدد غير ِّ خط األعداد تمثيل ِ َ النقطة التى تمثل العدد 2على خ ِّ ط األعداد . كيف نحدِّد
إذا رسمنا المثلث Cب جـ القائم الزاوية فى ب، والمتساوى الساقين بحيث Cب = ب جـ = وحدة طول واحدة فإن ( Cجـ C( = 2ب)( + 2ب جـ)2 = 21 + 21 = 2 ` Cجـ = 2وحدة طول. مطابع روزاليوسف -الفصل الدراسى األول
9
ِ ارسم َّ قوسا يقطع خط بسن الفرجار فى نقطة و ،وبفتحة تساوى طول Cجـ ارسم ً خط األعداد واركز ِّ األعداد على يمين و فى نقطة س ،وهذه النقطة تمثل العدد 2 س
2
2
1
و
سَ
0
2 -1-
2-
س على يسار النقطة و س التى تمثل العدد 2 -حيث َ يمكن بنفس فتحة الفرجار تحديد النقطة َ َ ِّ النقطة التى تمثل العدد + 3 فكر حدد
2على خط األعداد .
نشاط
ارسم المربع و Cب جـ الذى طول ضلعه وحدة طول.
2
1
1-
2وحدة طول.
2-
طول قطره = = 1 + 1 `وب = 2 اركز بالفرجار فى و ،وارسم نصف دائرة طول نصف قطرها = طول و ب = 2 س تمثل 2 - س} ،حيث س تمثل العدد َ ، 2 و ∩ Cنصف الدائرة = {س َ ، ارسم س C // Eب ويقطع جـ ب فى E (و( = 2)Eو س)( + 2س 3 = 2)1( + 2) 2 ( = 2)E `و3 =E ِ بالفرجار فى و وبفتحة تساوى طول و Eارسم نصف دائرة يقطع و Cفى ص ، اركز ` و ص = 3أى أن النقطةَ ص تمثل العدد ، 3والنقطة تمثل العدد 3 - أكمل بنفس الطريقة لتمثيل األعداد ... ، 6 ، 5 ، 4وكذلك ... ، 6 - ، 5 - ، 4 - :
تدرب 1
أوجد :
أ عددين صحيحين متتاليين ينحصر بينهما العدد
10
5
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
الوحدة الأولى ،الدر�س الثالث
2
ب عددين صحيحين متتاليين ينحصر بينهما العدد 12 عددين صحيحين متتاليين ينحصر بينهما العدد 10 3 د عددين صحيحين متتاليين ينحصر بينهما العدد 20- 3 اثبت أن
3ينحصر بين 1.8 ، 1.7 أ أوجد ألقرب جزء من مائة قيمة 11 أوجد ألقرب جزء من عشرة قيمة 2 3 ِ وحدد عليه النقطةَ التى تم ِّثل العد َد غير النسبى 3 ارسم َّ خط األعداد ِّ ِ وحدد عليه النقطة التى تمثل العدد غير النسبى 2 + 1 ارسم َّ خط األعداد ِّ ب
3 4 5 6
3
15ينحصر بين 2.5 ، 2.4
مثال ()1
كل من المعادالت اآلتية فى َن: حل ِّ أوجد مجموعةَ ِّ 43س1 = 2 ب س5 = 3 أ س2 = 2
د 0.001س8- = 3
الحل
أ س2 = 2 `س=2 ± مجموعة الحل = {، 2 - ب س5 = 3 `س = 5 3 مجموعة الحل = { } 5 3 43س1 = 2 ` 43 * 34س1 * 34 = 2 س3 = 2 4 3 3 3 مجموعة الحل = {- =± `س=±= 4 ± 2 4 د 0.001س8- = 3 س8 - = 3 8000 - = 0.001 3 ` س = 8000 - = ∈ 20-ن مجموعة الحل المعادلة فى َن = ∅
} 2
3 2
،
الفصل الدراسى األول
3 2
}
11
مثال ()2 كل من طول ضلع وطول قطر مربع مساحته 7سم. 2 اًّ
أوجد
ِ
الحل طول الضلع س سم فإن المساحة = س * س= س2 إذا كان ُ
س7 = 2 `س=±
7سم
` س=
7سم لماذا؟
إليجادِ طول قطر المربع :استخدم نظريةَ فيثاغورس ل = 2س + 2س 2حيث ل طول قطر المربع ` ل14 = 2 ` ل = 14 ± ` ل = 14سم لماذا؟ مثال ()3
دائرة مساحة سطحها r3سم 2أوجد محيطها. الحل
مساحة سطح الدائرة = rنق2 = rنق2
r3 ` نق3 = 2 نق = 3سم
أو نق = -
محيط الدائرة = r 2نق = * r 2
12
2= 3
3سم (مرفوض) r 3سم.
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
مجموعة الأعداد الحقيقية ح
الدرس الرابع
فكر وناقش ِ األعداد النسب َّية ن ،ووجدنا أن هناك أعدا ًدا أخرى سبق أن درسنا مجموعةَ مثل ... ،r ، 2 3 ، 2وهذه األعدا ُد تكون مجموعة األعداد غير النسبية َن اتحاد المجموعتين نَ ،ن يعطى مجموعةً جديد ًة تسمى مجموعةَ األعداد الحقيقية ،ويرمز لها بالرمز ح.
ح = ن ∪ َن
تأمَّ ل شك َل ڤن المقابل تجد أن:
1ن ∩ َن = ∅ 2أى عدد طبيعى أو صحيح أو نسبى أو غير نسبى هو عدد حقيقى.
ط⊂⊂Nن⊂ح
مجموعة األعداد غير النسبية َن
سوف تتعلم © مجموعة األعداد الحقيقية ح. العالقة بين مجموعات © َ األعداد ط ،N ،نَ ،ن ،ح.
المصطلحات األساسية مجموعة األعداد النسبية ن مجموعة األعداد الصحيحة
© عدد حقيقى.
مجموعة األعداد الطبيعية ط
وكذلك َن ⊂ ح
اً ِّ أمثلة من عندك ألعداد حقيقيَّة بعضها نسبى وبعضها فكر :أعط غير نسبى.
كل ِ حقيقى تمثله نقطةٌ واحد ٌة على ِّ 3 خط األعداد . عدد ُّ ٍّ 0
األعداد حقيقية موجبة
األعداد الحقيقية السالبة
أوالاً :العد ُد صفر تمثله نقطة األصل و. جميع نقط ِّ خط األعداد على يمين و ثانياًا :األعدا ُد الحقيقيةُ الموج ُبة تمثلها ُ جميع نقط ِّ خط األعداد على يسار و ثالثاًا :األعدا ُد الحقيقيةُ السالبة تمثلها ُ
مطابع روزاليوسف -الفصل الدراسى األول
13
:
تدرب
َن
ضع اًّ كل من األعدادِ اآلتية فى مكانها المناسب
1
ن
ط
على شكل ڤن المقابل. 5 ، 0 ، 16 ، 2- 3 ، 79 ، 0.6 ، 5 ، 9 ، 4- ، 12 ِ 2 حدد على ِّ األعداد النقطةَ Cالتى تم ِّثل العدد ، 8- 3والنقطة ب التى تمثل العدد خط ِّ
وأوجد طول Cب . 6
5
4
3
2
0
1
1-
2-
3-
4-
5-
6-
َ ِّ 3 صحة أو خطأ كل من العبارتين: وضح
أ كل عدد طبيعى هو عدد حقيقى موجب.
ب كل عدد صحيح هو عدد حقيقى.
لحظ اأن:
3
1- = 1ألن 1- = 1- * 1- * 1-بينما ∉ 1-ح ألنه اليوجد عدد حقيقى إذا ضرب فى نفسه يعطى .1- األعدا ُد الحقيقيَّة ُ النسبية األعداد
األعداد الصحيحة األعداد الصحيحة السالبة الصفر
األعدا ُد غري النسبية
األعداد غري َّ الصحيحة األعداد ال َّ طبيعية األعداد َّ الصحيحة املوجبة (أعداد العد)
ناقش مع معلمك/معلمتك و زملئك :هل توجد أعدا ٌد غي ُر حقيقية ؟
14
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
9
الدرس الخامس
الترتيب فى ح عالقة ِ فكر وناقش اتجاها معي ًنا كالمبين وحددنا إذا كانت ،Cب نقطتين تنتميان للمستقيم لَّ ، ً بالسهم فإنه يمكن القول إن: النقطة ب تلى النقطة ،Cأى تكون على يمينها. النقطة Cتسبق النقطة ب ،أى تكون على يسارها. وهكذا بالنسبة لجميع نقاط الخط المستقيم ،فإذا علمنا أن كل نقطة من نقط الخط المستقيم تمثل عد ًدا حقيق اًّيا فإننا نقول إن: مجموعة األعداد الحقيقية هى مجموعة مرتبة
خواص الترتيب: ُّ ِ 1إذا كان س ،ص عددين حقيقيين يمثلهما على ِّ األعداد النقطتان خط
،Cب على ال َّترتيب فإنه توجد إحدى الحاالت الثالثة اآلتية: س ص ص س س=ص Cتنطبق على ب
`س = ص
Cتسبق ب
`س < ص
سوف تتعلم © َعالقة الترتيب فى ح.
المصطلحات األساسية © َعالقة ترتيب . © أكبر من . © اصغر من . © تساوى . © ترتيب تصاعدى . © ترتيب تنازلى .
Cتلى ب
`س>ص
2إذا كانت س عد ًدا حقيق اًّيا تمثله النقطةُ Cعلى ِّ خط األعداد ،وكانت و هى نقطة األصل التى تم ِّثل العدد صفر فإنه توجد إحدى الحاالت الثالثة اآلتية:
س=0
Cتنطبق على و
`س = 0
س
0
Cعلى يمين و
0
س
Cعلى يسار و
`س<0 `س > 0 ويقال إن س عدد ويقال إن س عدد حقيقى سالب . حقيقى موجب . مطابع روزاليوسف -الفصل الدراسى األول
15
ح
ح
0
+
أعداد حقيقية موجبة
-
إعداد حقيقية سالبة
ِ األعداد الحقيق َّية الموجبة :ح = { س :س ∈ ح ،س > }0 مجموعةُ + ِ األعداد الحقيق َّية السالبة :ح = { س :س ∈ ح ،س < }0 مجموعة ح = ح ∪ { ∪ }0ح +
ِ = ح ∪ {{ = }0س :س ،0 Gس ∈ ح} األعداد الحقيق َّية غير السالبة لحظ اأن :مجموعةُ + ِ األعداد الحقيق َّية غير الموجبة = ح ∪ {{ = }0س :س ،0 Hس ∈ ح} مجموعةُ مثال ()1 رتِّب األعدا َد اآلتيَة تصاعدياًّا الحل
، 45 - ، 27
، 0 ، 6 ، 20
3
1-
- = 1- = 1- 3 ، 36 = 6 ِ األصغر إلى األكبر 36 ، 27 ، 20 ، 0 ، 1 - ، 45 - التصاعدى من تيب ُّ التر ُ أى 6 ، 27 ، 20 ، 0 ، 1- 3 ، 45 - 1
مثال ( )2من الشكل المقابل : س2
أوجد مجموعة األعداد التى تنتمى إليها س حيث س عدد صحيح س3
س
الحل
من الشكل نالحظ أن :س > 2س > فعند اختيار س عدد صحيح سالب يحقق المتبانية السابقة 27- > 3- > 9 مثل :س = 3-
` مجموعه األعداد التى تنتمى إليها س هى
= { } ....... ، 3- ، 2- ، 1-
اختر س عدد صحيح موجب ،هل تتحقق المتبانية ؟ ناقش معلمك
16
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
س3
الدرس السادس األول
الفترات فكر وناقش الفترة هى مجموعة جزئية من مجموعة األعداد الحقيقية
سوف تتعلم سوف تتعلم
الفترات المحدودة أوالً: ُ
© كيفية إيجاد الجذر التكعيبى © الفترات المحدودة. ل��ع��دد نسبى باستخدام © الفترات غير المحدودة. التحليل © العمليات على الفترات . ©
كال من: إذا كان ، Cب ∈ ح < C ،ب فإننا نعرف اًّ
الفترة المغلقة [ ، Cب]
[ ،Cب] = { س H C :س Hب ،س ∈ ح}
©
أساسية مصطلحات األساسية المصطلحات
[ ،Cب] ⊂ ح وعناصرها ،Cب وجميع األعداد الحقيقية بينهما توضع دائرة مظللة عند كل من النقطتين الممثلتين للعددين ،Cب وتظلل المنطقة بينهما على خط األعداد .
©© فترة محدودة . ©© فترة مغلقة . © فترة مفتوحة . © فترة نصف مفتوحة . © فترة غير محدودة .
الفترة المفتوحة ] ، Cب[
© اتحاد .
] ،Cب [ = { س < C :س < ب ،س ∈ ح}
© تقاطع .
] ، Cب[ ⊂ ح وعناصرها هى جميع األعداد الحقيقية المحصورة بين العددين ، Cب . توضع دائرة مفتوحة (غير مظللة) عند كل من النقطتين الممثلتين للعددين ،Cب وتظلل المنطقة بينهما على ِّ خط األعداد
© فرق . © مكملة .
تدرب الصفة المميزة ثم مثِّل اًّ اكتب اًّ ِ بطريقة ِّ كل منهما كل من [[5 ،3] ،]5 ،3 على خط األعداد. الفصل الدراسى األول
17
الفترات نصف المفتوحة أو (نصف المغلقة) [ ، Cب[
] ، Cب]
[ ، Cب [ = { س H C :س < ب ،س ∈ ح} [ ،Cب[ ⊂ ح عناصرها العدد Cوجميع األعداد المحصورة بين ، Cب .
] ، Cب] = { س < C :س Hب ،س ∈ ح} ] ، Cب] ⊂ ح عناصرها العدد ب وجميع األعداد المحصورة بين ، Cب .
تدرب الصفة المميزة ،و مثل اًّ اكتب اًّ كل منهما على خ ِّ ِ بطريقة ِّ ط األعداد. كل من الفترتين []5 ،3] ، [5 ، 3 مثال ()1 ط األعداد اًّ مثِّل بيانياًّا على خ ِّ كل من}4 ،1-{ ،]4 ،1-] ، [4 ،1-] ، ]4 ،1-[ : الحل
[]4 ،1-
]]4 ،1-
4
4
فترة مغلقة
1-
1-
][4 ،1-
{}4 ،1-
فترة نصف مفتوحة
4
فترة مفتوحة
4
مجموعة
1-
1-
نا ِق ْ ش مع معلمك /معلمتك و زمالئك :هل الفترةُ مجموع ٌة منتهي ٌة أم غير ُ منتهي ٍة؟
18
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
الوحدة الأولى ،الدر�س ال�ساد�س
مثال ()2 المجموعات اآلتية ،ومثِّل اًّ اكتب على صور ِة فترة ،اًّ كل منها على خ ِّ ِ ط األعداد: كل من
1
ب { = Mس H 2- :س < ، 3س ∈ ح}
أ { = Mس < 2 :س < ، 5س ∈ ح} { = Mس H 0 :س ،4 Hس ∈ ح}
أ [ 5 ،2 ] = M
د { = Mس < 3- :س ، 1- Hس ∈ ح}
الحل
ب [ 3 ،2- [ = M
د ] 1- ،3- ] = M
] 4 ،0 [ = M
ضع المناسب ∈ أو ∉ لتكون العبارة صحيحة: الرمز َ َ
2
[3 ،1-[ .......... 3
أ
ب [3 ،1-] .......... 2-
]2 ،1[ .......... 2
د
[5 ،0[ .......... 4
ز |[6 ،4[ .......... |5-
3
و
ح [ 1،0]........ 5- 10 * 2.3
[1 ،0] .......... 12
]2 ،1-[ .......... 8-
الحل
أ ∉
ب ∉
∈
∈
و ∉
ز ∈
د
∈
ح ∈
األشكال اآلتية: اكتب الفتر َة التى يعبِّر عنها ك ٌّل من ِ
3 أ ب
3 1
أ []3،0
[[1- ،3-
0 4-
1-
د
الحل
3-
6
0
ب ] ] 1 ،4- د ] [ 6 ،0
الفصل الدراسى األول
19
غير المحدودة الفترات ثانيا: ُ ُ ً
تعلم أن :خط األعداد الحقيق َّية مهما امتد من جهتيه فإنه يوجد أعداد حقيقية موجبة من جهة اليمين وسالبة من جهة اليسار تقع على هذا الخط. الرمز (∞) ويقرأ (النهاية) و هو أكبر من أى ٍ تصوره ∉ ∞ ،ح حقيقى يمكن عدد ُ ٍّ الرمز ( )∞-ويقرأ (سالب النهاية) و هو أصغر من أى ٍ حقيقى يمكن تصوره ∉ ∞- ،ح عدد ُ ٍّ
الرمزان ∞ ∞ - ،التوجد نقط تمثلهما على ِّ خط األعداد الحقيقية ،وهما امتداد لخط األعداد من جهتيه. 0
ُ ِ غير المحدودة التالية: نعرف وإذا كان Cعددً ا حقيق ًّيا فإننا الفترات َ
الفترة [[∞ ، C
الفترة ]]C ، ∞-
[ { = [∞ ،Cس :س ، C Gس ∈ ح}
] { = ]C ، ∞-س :س ، C Hس ∈ ح}
ِ العدد Cوجميع األعداد الحقيق َّية وهى تع ِّبر عن أكبر من .C
وهى تعبر عن العدد Cوجميع األعداد الحقيقية األصغر من .C
اكتب اًّ الصفة المميزة ،ثم مثلهما على خ ِّ ِ بطريقة ِّ ط األعداد. كل من الفترتين []3 ،∞-] ،[∞ ،3 الفترة ][∞ ،C
الفترة ][C ، ∞-
] { = [∞ ،Cس :س > ، Cس ∈ ح}
] { = [C ، ∞-س :س < ، Cس ∈ ح}
وهى تعبر عن ِ جميع األعــداد الحقيقية ِّ األكبر من C
وهى تع ِّبر عن جميع األعــداد الحقيقية األصغر من C
بطريقة الصفة المميزة ،ثم مثلهما على خ ِّ ِ ط األعداد. اكتب الفترتين ][3 ،∞-] ، [∞ ،3
20
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
الوحدة الأولى ،الدر�س ال�ساد�س ِ التعبير عنها على صورة الفترة ][∞ ، ∞- األعداد الحقيق َّية ح يمكن مجموعةُ ُ ِ األعداد الحقيق َّية الموجبة ح[ ∞،0 ] = + مجموعةُ ِ األعداد الحقيق َّية السالبة ح[0 ،∞-] = - مجموعةُ ِ األعداد الحقيق َّية غير السالبة = [ [∞ ،0 مجموعةُ ِ األعداد الحقيق َّية غير الموجبة = ]]0 ، ∞- مجموعةُ
لحظ اأن:
تدرب اكتب على صورة فترة اًّ كل من المجموعات اآلتية ،ومثِّلها على خ ِّ ط األعداد .
1
أ { = Mس :س ، 2 Gس ∈ ح}
ب { = Mس :س < ، 3س ∈ ح}
{ = Mس :س > ، 7-س ∈ ح}
د { = Mس :س ، 8- 3 Hس ∈ ح}
مجموعة جميع األعداد الحقيقية األكبر من | | 3- الحل
أ [ ∞،2 [= M
ب [ 3،∞- ] = M
3
[ ∞،7- ]= M أكمل الحل
7-
ضع الرم َز المناسبَ ∈ أو ∉ أو ⊂ أو ⊄ لتكون العبارة صحيحة:
2 أ
3
5-
[4 ،∞-] ..............
ب [[∞ ،1-] .............. ]2 ، 1
[6- ،∞-] ..............
[∞ ،3] .............. 10 10 * 3 أ ∈
2
ب⊂
د ][∞ ،0] .............. [2 ، 0
الحل
∉
و [[ ∞، 2 [ .............. ]1 ،3- د ⊂
∈ الفصل الدراسى األول
و ⊄
21
الفترات العمليات على ُ ِ
ِ إجراء عمليات مجموعة األعداد الحقيقية ح ،فإنه يمكن مجموعات جزئيةٌ من حيث إن الفترات هى ٌ ُ ِ البيانى للفترات على ِّ خط بالتمثيل االتحاد والتقاطع والفرق والمكملة على الفترات ،ويمكَن االستعانةُ ِّ ويتضح ذلك من األمثلة التالية: األعدا َد ؛ لتحديد وتوضيح ناتج العملية ُ أمثلة ط األعداد اًّ 1إذا كانت [5 ،1[ = N ، ]3 ،2-[ = Mفأوجد مستعيناًا بخ ِّ كل من :
ب N∪M
أ N∩M الحل
أ ]3 ،1[ = [5 ،1[ ∩ ]3 ،2-[ = N ∩ M
ب [5 ،2-[ = [5 ،1[ ∪ ]3 ،2-[ = N ∪ M
4
5
2
3
1- 0
1
2-
ط األعداد اًّ 2إذا كانت م = [ ، [∞ ،2ى = ] [3 ،2-فأوجد مستعيناًا بخ ِّ كل من :
أ م-ى
ب م∩ى
د ى∪ {}3 ،2
م∪ى
َم
الحل
و َى
أ م -ى = [[ ∞ ، 3[ = [ 3 ، 2- ] - [ ∞ ، 2
ب م ∩ ى = [[ 3 ، 2[ = [ 3 ، 2- ] ∩ [ ∞ ، 2
م ∪ ى = [[∞ ، 2-] = [ 3 ، 2- ] ∪ [ ∞ ، 2
د ى ∪ { ]3 ، 2-] = } 3 ،2{ ∪ [ 3 ،2-] = }3 ،2 َم = ][ 2 ،∞-
5
4
3
2
1
و َى = ] [ ∞ ، 3[ ∪ ] 2- ، ∞-
تدرب َ َ ض ْع علمة (✓ ) أمام العبارة َّ وعلمة (✗) أمام العبارة الخطأ: الصحيحة
أ [[5 ، 2-] = }5 ، 2 { - ]5 ، 2-
ب ]]0 ، 1-[ = }0 ، 1-{ ∪ ]3 ، 1- [[5 ، 2[ = }5{ - ]5 ، 2
22
د []3 ،1[ = [4 ،1] ∩ ]3 ، 1-
[]5 ،2-[ = }5 ، 1{ ∪ [5 ، 2-
و [[∞ ،5]= ]5 ، ∞-] - [∞ ، 5
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
1- 0
2-
العمليات على الأعداد الحقيقية
الدرس السابع األول
فكر وناقش الحقيقية األعداد خواص جمع أوالً: ِ َّ ُّ
موضع النقطةَ س التى تمثل العدد 2 + 1على ِّ خط حددنا سبق أن َّ َ ع األعداد ،وحيث إنه ُ ع العددين الحقيقيين 2 ، 1فإن مجمو َ يمثل مجمو َ ِ عددين حقيقيين هو عد ٌد حقيقى . كل ِّ 2 ِ األعداد الحقيقية ح أى أن مجموعةَ مغلقةٌ تحت عمل َّية الجمع .
3
2 +1
1
2
و
االنغالق إذا كانت ∈ Cح ،ب ∈ ح فإن ( + Cب) ∈ ح فمث ً ال :كل من + 1 ، 3 + 2 اإلبدال فمث ً ال+ 2 : الدمج فمث ً ال+ 3( :
+ 2- ، 2
+2 ، 5
3
حقيقى . 3عد ٌد ٌّ
إذا كانت ∈ Cح ،ب ∈ ح فإن + Cب = ب C + = 3
-3 ،2+ 3
3+ 5 -= 5
إذا كانت ∈ Cح ،ب ∈ ح ،جـ ∈ ح فإن ( + Cب) +جـ = ( + Cب +جـ) = + Cب +جـ )5 + 2 ( + 3 = 5 + ) 2 = ) 2 + 5( + 3 =2 +5+3 =2 +8
سوف تتعلم © العمليات على األع���داد الحقيقية . ِ العمليات على األعداد خواص © ُّ الحقيقية .
المصطلحات األساسية © االنغالق . © اإلبدال . © الدمج . © المحايد الجمعى . © المعكوس الجمعى . © المحايد الضربى . © المعكوس الضربى . © توزيع الضرب على الجمع أو الطرح .
خاصية الدمج خاصية اإلبدال خاصية الدمج
الثانىاألول الدراسى الفصل االعدادى الصف الرياضيات -
23 23
إذا كان ∈ Cح فإن C = C + 0 = 0 + C
المحايد الجمعى العنصر الصفر هو ُ ُ
فمث ً ال:
+0=0+ 5
-، 5
= 5
3
4 3 - = ) 4 3 -( + 0 = 0 + 4
وجود معكوس جمعى لكل عدد حقيقى فمث ً ال:
لكل ∈ Cح يوجد ( ∈ )C-ح صفرا حيث ً = C + )C-( = )C-( + C
∈ 3ح ،معكوسه الجمعى ( ∈ ) 3 -ح حيث صفرا. = 3 + ) 3 -( = ) 3 -( + 3 ً تدرب ٍ صحيحة: أكمل لتحص َل على عبار ٍة
1 أ ب
+5=5+ 2
................
= ) 11 -( + 11
+7
................
)................ + ................( + 5 = 3
د المعكوس الجمعى للعدد و
3
8هو ................
المعكوس الجمعى للعدد (- 1 = ) 3 -( + 3
................
- 3( + ) 7
=) 7
ز +7
ح (+ 4
=3- 5
................
) 2
هو ................
................
ط إذا كانت ∈ Cح ،ب ∈ ح فإن - Cب تعنى ناتج جمع العدد Cو ................للعدد ب. ى إذا كانت ∈ Cط ،ب ∈ ن ،جـ ∈ ح فإن ( + Cب +جـ) ∈ ................
2ناقِ ش مع معلمك /معلمتك و زملئك :موضحاً ا بأمثلة:
أ هل عمل َّيةُ الطرح إبدال َّية فى ح؟ ِ الطرح دامجةٌ فى ح؟ ب هل عمل َّيةُ
24 24
االعدادى الثانى الصف الرياضيات - األول الدراسى الفصل مطابع روزاليوسف -
الوحدة الأولى ،الدر�س ال�سابع األعداد الحقيقية: ضرب خواص ثانيا: ِ ُّ ً ِ
االنغالق إذا كانت ∈ Cح ،ب ∈ ح فإن * Cب ∈ ح ِ األعداد الحقيق َّية مغلقةٌ تحت عملية الضرب. مجموعةُ أى أن حاصل ضرب كل عددين حقيقيين هو عدد حقيقى. مث ً ال:
* 5 * 2-
3
5 = 2 2- = 5
* 3 2 اإلبدال مث ً ال:
مث ً ال:
∈ 2ح
3
∈ 5ح
6= 3
∈ح
2
r 23
∈ح
∈ 3ح
3= 2
2
ِ ٍ أعداد حقيقية ، Cب ،جـ يكون ثالثة لكل ِّ ( * Cب) * جـ = ( * Cب * جـ) = * Cب * جـ
* 5( * 2
* )5 * 2 ( = ) 2 =*5
* 2
2*1=1* 5
2= 5
* 5( = 2
2
*) 2
10 = 2 * 5 = 2
لكل ٍ حقيقى Cيكون C = C * 1 = 1 * C عدد ِّ ٍّ
المحايد َّ الضربى العنصر الواحد هو ُ ُ
مث ً ال2 :
= r * 23 10 = 5 * 3
3
لكل عددين حقيقيين ، Cب يكون * Cب = ب * C ِّ
*3=3* 2
الدمج
، ، ،
* 3
= 3
∈ح
5
لكل عدد حقيقى ≠ 0لكل عدد حقيقى ≠ Cصفر ِّ ضربى معكوس وجود ٍ ٍّ يوجد عدد حقيقى 1 C حيث ( 1 = C * 1 = 1 * Cالمحايد الضربى) مث ً الضربى للعدد المعكوس ال: ُ ُّ
لحظ اأن:
3هو
2
2 3
C
حيث
= ، 1 * Cب≠0
* 3
2
2 3
C
=
C ب ب أى أن * C = Cالمعكوس الضربى للعدد ب. ب
2 3
*
1= 3
2
ناقش مع معلمك /معلمتك :هل عملية القسمة إبدالية فى ح؟ هل عملية القسمة دامجة فى ح؟ الفصل الدراسى األول
25
مثال 6 2
اكتب اًّ كل من األعدادِ الحل
15 5، ، 5 2 3
بحيث يكون المقا ُم عدداًا صحيحاً ا.
الحظ أن المحايد الضربى 1يمكن كتابته بالصورة 2 2
6
2
3
2
6 6 = 2 1 2 2 3 5 3 55 = * = 3 3 3 3 5 15 5 3 5 15 15 = = * = 2 5*2 5 5 2 5 2
*
=
=
2 2
أو
=2 3
3 3
أو
5 5
أو ...
تدرب أكمل لتحص َل على عبار ٍة صحيحة:
1 أ
+ 2
+ 2
* 7
= 7
ب *3 د 2
= 5
3* 5
* ............ = 2
* 5
............
= 2
............
............
= 5
............
المحايد الضربى فى ح هو العدد ............
3 و المعكوس الضربى للعدد 2 اكتب اًّ كل من األعدادِ اآلتية بحيث يكون المقا ُم عدداًا صحيحاً ا: 8 15 ب أ 2 3 6 25 6 د 10 2 3 هو ............
2
توزيع الضرب على الجمع
26
ٍ أعداد حقيقية ، Cب ،جـ يكون . ألى ثالثة ( * Cب +جـ) = ( * Cب) * C ( +جـ) = Cب C +جـ ( + Cب) * جـ = ( * Cجـ) ( +ب * جـ) = Cجـ +ب جـ
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
الوحدة الأولى ،الدر�س ال�سابع أمثلة 1اختصر إلى أبسط صورة .
أ 2
الحل
+ 3( 5
(3 - 2
أ 2
5
+ 3( 5
)2
) 5
ب ( + 3( )5 + 2
2=) 5
ب ( + 3( )5 + 2
2+3* 5
6=5*2+ 5
=*3*2 =) 2
+ 3( 2
+3* 2
=
* 5
+ 3( 5 + ) 2 * 2
= 5 + 15 + 2 + 2 3
(3 - 2
=3
= 12 - 49 2أعط تقدي اًرا لناتج (+ 3
2
10 + 5 ) 2
*5+3*5+ 2
8 = 2 5 + 17 + 2
3- * 2 * 2 + 2)2( = 2) 5 = 12 - 4
5
5*9+ 5 5
+ 1( * ) 5
) 2
3-( + 5
5
17 + 2
)2
َّ تحقق من صحة إجابتك باستخدام اآللة الحاسبة. ) 8و
الحل
أوالاً :تقدير
تقدير
` (+ 3
5هو 2
8هو 3
+ 1() 5
` (+ 3 ` (+ 1
2
) 5تقديرها هو 5 = 2 + 3 ) 8تقديرها هو 4 = 3 + 1
) 8تقديرها هو 20 = 4 * 5
ثانياًا :عند استخدا ِم اآللة الحاسبة لحساب (+ 3
+ 1( * ) 5
مقبول. ٌ نجد أن الناتج 20.0459أى أن التقدير
) 8
الفصل الدراسى األول
27
الدرس الثامن
العمليات على الجذور التربيعية ِّ وناقش فكر ِ
َّ تتعلم سوف إجراء العمليات على الجذور © ُ التربيعية .
© ضرب عددين مترافقين.
المصطلحات األساسية
إذا كان ، Cب عددين حقيقيين غير سالبين فإن : أوالً:
فمث ً ال= 3 * 2 : = 10 * 2 = 5 * 15
*Cب =
© جذر تربيعى . © عدد ان مترافقان .
* Cب =
6 = 3*2 20 = 10 * 2 75 = 5 * 15 * ب
C
فمث ً ال* 4 = 5 * 4 = 20 : * 25 = 3 * 25 = 75 ثانيا: ً فمث ً ال:
C
ب 5 9
16 3 ً ثالثا:
= = =
C
ب
1 = 5 3 9
16 = 3
ً 18 فمثال: 2 84 = 7
= 18 2
2= 5 5= 3
5
3
حيث ب ≠ 0
ب C C * = ب ب ب =
28 28
Cب
5 4 * 3
=
Cب
ب
4 = 3 3 3
3
ب≠0
3= 9
= 3 * 4 = 12 = 84 7
الثانىاألول الدراسى الفصل مطابع روزاليوسف االعدادى الصف -الرياضيات
* 4
2= 3
3
أمثلة
- 32
ِ ألبسط صور ٍة 1اختصر الحل
- 32
1 2
6 + 72
1 2
6 + 72
= * 6 + 2 * 36 - 2 * 16 * 16
=
- 2
=6- 2 4 ، 1- 5ص = + 2
2إذا كان س = 2
5
* 36
3+ 2
1 2
1 2
*6+ 2
= 2
2
*
2 2
أوجد قيمة المقدار س + 2ص2
الحل
2( = 2)1 - 5
س2( = 2
=4-5*4
ص+ 2( = 2
4 - 2) 5
4 - 21 = 1 + 5
4 + 4 = 2) 5
5
4+9=5+ 5
4+9+ 5
س+ 2ص4 - 21 = 2
1+ 5
30 = 5
5
تدرب 1ضع اًّ كل ممايأتى على صورة Cب حيث ، Cب عددان صحيحان ،ب أصغر قيمة ممكنة : أ د
28
ب
1000
75
و 1 3
72 2
54
162
2اختصر إلى أبسط صورة:
أ 3 * 18 2 د
+ 50
8
2
ب
10 2 * 5
- 20
45
28 2 * 7 3 و
الفصل الدراسى األول
300 - 18 5 + 27
29
الوحدة الأولى ،الدر�س الثامن َ أوجد قيمة كل من س +ص ،س * ص فى الحاالت اآلتية:
2
أ س=+3
ب س=
، 5ص=-1
- 3
، 2ص=
5
س= ، 2 3 - 5ص = 3 - 5
+ 3 2
2
العددان المترافقان إذا كان ، Cب عددين نسبيين موجبين
كال من العددين ( + Cب ) - C ( ،ب ) هو مرافق للعدد اآلخر . فإن اًّ
ويكون مجموعهما = 2
C
= ضعف الحد األول
وحاصل ضربهما = ( + Cب ) * ( - Cب ) = ( ( - 2) Cب ) - C = 2ب = مربع الحد األول -مربع الحد الثانى
ُ نسبى عدد دائما ضرب العددين المترافقين هو حاصل ٌ ٌّ ِ ً
ٍ صورة ،وذلك حقيقى مقامه على الصورة ( ± Cب ) فيجب وض ُعه فى أبسط إذا كان لدينا عد ٌد ٌّ ِ البسط والمقا ِم فى مرافق المقام . بضرب تد َّرب أكمل أ
+ 5
2
مرافقه ( ) ...............وحاصل ضربهما = ...............
+ 3 2
2
مرافقه ( ) ...............وحاصل ضربهما = ...............
ب -5
3
30
مرافقه ( ) ...............وحاصل ضربهما = ...............
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
أمثلة 8 3 -2 ،ص 1إذا كانت س = 3 - 5 3 +2 اكتب اًّ كل من س ،ص بحيث يكون المقام عدداًا نسبياًّا ثم أوجد س +ص الحل
س=
8 3 - 5
=
8 3 - 5
( 8 = ) 3 2
3 3
+ 5 + 5
*
+ 5 ( 8 = ( ) 3 ( - 2) 5 = 3 4+ 5 4 3 -2 3 -2 * ص = = 3 -2 3 +2 3 -2 3 +2 2) 3 (-2 = 4 - 7 = 3 + 3 4-4 = 3 4 1
+ 5 3- 5
) 3
3
7+ 5
س +ص = 4 = 3 4 - 7 + 3 4 + 5 4
4 2إذا كانت س = 3 - 7 َ قيمة ك ٍّل من المقدارين أثبت أن س ،ص عددان مترافقان ،ثم أوجد
،ص=
3
- 7
س2 - 2س ص +ص( ، 2س -ص) 2ماذا تلحظ؟
الحل
س=
ص=
4 3 - 7 3 - 7
*
( 4 = 3 + 7 + 7
3
+ 7 3- 7
` س ،ص عددان مترافقان
س2 - 2س ص +ص+ 7 ( = 2
( 2 - 2) 3
+ 7
=) 3
- 7 () 3
+ 7
3
- 7 (+) 3
= ()3 + 21 2 - 7( + )3 - 7( 2 - )3 + 21 2 + 7
= 21 2 - 10 + 8 - 21 2 + 10
(س -
ص)2
= 12
= [( + 7
- 7 (-) 3
3
)]2
الفصل الدراسى األول
31
3
)2
الوحدة الأولى ،الدر�س الثامن =[ + 7
- 3
= 12 = 3 * 4
+ 7
ويالحظ اأن س2 - 2س ص +ص( = 2س - 3
2( = 2] 3
3
)2
ص)2
السابق احسب اًّ كل من المثال فى ِ ِ
ب (س -ص)
أ (س +ص)
(س +ص) (س -ص)
د
س - 2ص2
الحل 7
س= أ فإن س +ص = ب س-ص= 7 = 7 (س +ص) (س
3
، 3 +ص= - 7 7 2= 3 - 7 + 3 + 7 ) 3 - 7 ( - 3 + 3 2= 3 + 7 - 3 + ص) = 3 2 * 7 2= 21 4 3
د س - 2ص- 7 ( - 2) 3 + 7 ( = 2 = ( ) 3 + 21 2 - 7( - 3 + 21 2 + 7 = 3 - 21 2 + 7 - 3 + 21 2 + 7 = 21 4
نالحظ اأن (س +ص) (س
32
)2
-ص) = س - 2ص2
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
ماذا تلحظ
الدرس التاسع
العمليات على الجذور التكعيبية ِّ وناقش فكر ِ
سوف تتعلم العمليات على الجذور © ُ التكعيبية.
المصطلحات األساسية © الجذر التكعيبى.
عددين حقيقيين ، Cب: ألى ِ 3
1 فمث ً ال:
3
3
* 5
3 * Cب =
3
10 3 = 2 * 5 3 = 2 3
= 4- 3 * 3 3 ألى عددين حقيقيين ، Cب: 3
2
12- 3 = 4- * 3
*Cب =
3
3 * Cب
3 فمث ً ال* 8 3 = 5 * 8 = 40 3 : 3 * 64- 3 = 2 * 64- = 128- 3
3
3
C
3ب
ً 12 3 = فمثال: 33 4 فمث ً ال:
3
=
3
ب = C
3 3
3
5
2= 5 2 3 4- = 2
ب حيث ب ≠ ،C ،0ب ∈ ح C
= 12 3
3
3
*Cب
3 3
4 C
3ب
حيث ب ≠ ،C ،0ب ∈ ح
33 3 3 = 2 2
ِّ كال من البسط والمقام فى فكر إذا ضربنا اًّ أبسط صورة. الفصل الدراسى األول
3
الناتج فى ، 4فأوجد َ
33
أمثلة ِ ألبسط صورة: 1اختصر
أ 8 + 54 3
3
15+ 4
3
15+ 4
الحل
أ 8 + 54 3
ب 6 - 24 3
2إذا كانت س =
3
3
3
3
8 = 13 9 = 3
ب 6 - 24 3
16
2 1 = 2 * 8 3 5 + 2 * 4 3 8 + 2 * 27 3 2- 3 * 8 3 *5+ = 8 + 2 3 * 27 3 3 8 3 = 2 3 * 2 * 5 + 2 - *8+ 2 33
16
=3
3 3
3
4- 2
3
2
10 + 2
،1 +ص =
3
3
1-
( س +ص)3
ب
الحل
أ ( س +ص)= 3
(
= (2
3 3
- 3 3
1+
3 ب ( س -ص)- 1+ 3 ( = 3 = (8 = 3)2
34
3
9= 2
3
2
125 3 3 3 * 8 3 = 125 3 * 68 6 - 24 8 15 - 3 3 2 = 52 * 6 - 3 3 * 8
فأوجدقيمة كل من : أ
3
13 89
)3 3
+
3
( س -ص)3
- 3
3 )1 -
= 24 = 3 * 8 3
3)1+
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
3
2
الدرس العاشر
تطبيقات على الأعداد الحقيقية فكر وناقش
سوف تتعلم © حل تطبيقات على الجذور التربيعية والتكعيبية
الدائرة محيط الدائرة = r 2نق وحدة طولية. مساحة الدائرة = rنق 2وحدة مربعة
المصطلحات األساسية © دائرة.
حيث نق طول نصف قطر الدائرة( r ،النسبة التقريبية)
© متوازى المستطيالت.
أمثلة
© مكعب. © أسطوانة دائرية قائمة. © كرة.
نق
1
الحل
2 أوجد ) 22 محيط دائرة مساحتها 38.5سم (7 = r
مساحة الدائرة = rنق2
22 = 38.5نق ` 2نق49 = 7 * 38.5 = 2 22 4 7 49 ` نق = 3.5 = 72 = 4سم
ِ ِ المقابل الدائرة م مرسومة داخل الشكل 2فى المربع Cب جـ ،Eفإذا كانت مساحة الجزء الملون باللون األصفر 10 5سم2 7 22 أوجد محيط هذا الجزء () 7 = r الحل
طول نصف قطر الدائرة = نق . نفرض أن َ ` طول ضلع المربع = 2نق الفصل الدراسى األول
35
مساحة الجزء باللون األصفر = مساحة المستطيل Cهـ و - Eمساحة نصف الدائرة 5 22 * 1نق22نق * نق = 10 2 7 7 = 2نق 11 - 2نق 3 = 2نق2 75 7 7 7 ` نق ` 25 = 2نق = 5سم محيط الجزء باللون األصفر = ( Cهـ E + E C +و) 12 +محيط الدائرة = ( 1 + ) 5 + 10 + 5 35 57 = 5 * 22سم * 2 * 2 7 تدرب
طول نصف قطرها ،ثم أوجد محيطها ألقرب ٍ ح 1دائر ٌة مساحتها r 64سم .2أوجد َ عدد صحي ٍ (.)3.14 = r الشكل المقابل C :ب قطر نصف الدائرة فإذا كانت 2فى ِ مساحة هذه المنطقة 12.32سم 2أوجد محيط الشكل. الشكل المقابل :دائرتان متحدتان فى المركز م 3فى ِ طول نصفى قطريهما 3سم 5 ،سم. أوجد مساحةَ الجزء الملون بداللة .r
متوازى المستطيالت
مجسم جميع أوجهه الستة مستطيلة الشكل، هو ٌ وكل وجهين متقابلين متطابقان إذا كانت أطوال أحرفه س ،ص ،ع فإن: المساحة الجانبية = محيط القاعدة * االرتفاع
المساحة الجانبية = ( 2س +ص) * ع
وحدة مربعة
المساحة الكلية = ( 2س ص +ص ع +س ع )
وحدة مربعة
حجم متوازى المستطيالت = س * ص * ع
وحدة مكعبة
ُ ُ الكلية = المساحة الجانبية * 2 +مساحة القاعدة المساحة حجم متوازى المستطيلت = مساحة القاعدة * االرتفاع
36
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
الوحدة الأولى ،الدر�س العا�سر حالة خاصة :المكعب
هو متوازى مستطيالت أطوال أحرفه متساوية.
إذا كان طول حرفه = ل وحدة طول فإن مساحة كل وجه = ل 2وحدة مربعة مساحته الكلية = 6ل 2وحدة مربعة
مساحته الجانبية = 4ل 2وحدة مربعة حجم المكعب = ل 3وحدة مكعبة
مثال أوجد
الكلية لمكعب حجمه 125سم3 َ َ المساحة
ٍ
الحل حجم المكعب = ل3
` = 125ل3
المساحة الكلية = 6ل150 = 2)5( * 6 = 2سم2
` ل = 5 = 125 3سم
تدرب
1متوازى مستطيالت قاعدته مربعة الشكل فإذا كان حجمه 720سم 3وارتفاعه 5سم أوجد مساحته الكلية.
2أيهما أكبر حجماً ا :مكعب مساحته الكلية 294سم 2أم متوازى مستطيالت أبعاده 5 ، 2 5 ، 2 7سم. 3قطعة من الورق المقوى مستطيلة الشكل بعداها 15 ،25سم قطع من كل ركن من أركانها األربعة مربع طول ضلعه 4سم.
25سم
4سم
15سم
حوضا على شكل متوازى ثم طويت األجزاء البارزة لتكون ً
مستطيالت ،أوجد حجمه ومساحته الكلية.
الفصل الدراسى األول
37
األسطوان ُة الدائر َّي ُة القائم ُة
مجسم له قاعدتان متوازيتان ومتطابقتان كل منهما عبارة عن هى ٌ ٍ سطح منحن يسمى سطح األسطوانة. الجانبى فهو السطح دائرة ،أما سطح ٌ ُ ُّ إذا كانت مَ ،م مركزى قاعدتى األسطوانة فإن م َم هو ارتفاع األسطوانة. نق
هيا نفكر إذا كانت ∈ Cالدائرة م ،ب ∈ الدائرة َم C،ب //م م و قطعنا سطح األسطوانة الجانبى عند Cب ح المستطيل Cب ب السطح فإننا وبسطنا هذا ُ نحصل على سط ِ َ ويكون Cب = ارتفاع األسطوانة = C ،محيط قاعدة األسطوانة.
مساحة المستطيل Cب ب = المساحة الجانبيةُ لألسطوانة. وحدة مربعة المساحة الجانبية لألسطوانة = محيط القاعدة * االرتفاع = r 2نق ع المساحة الكلية لألسطوانة = المساحة الجانبية +مجموع مساحتى القاعدتين = r 2نق ع r 2 +نق2 وحدة مربعة ُ وحدة مربعة مساحة القاعدة * االرتفاع = rنق 2ع حجم األسطوانة =
ب
مثال
ٍ ٍ ِ ِ دائرية أسطوانة شكل مستطيل Cب جـ ، Eفيه Cب =10سم ،ب جـ =44سم ،طويت على شكل الورق على قطعةٌ من ٍ .) 22 قائمة،بحيث ُ ينطبق Cب على Eجـ أوجدحجماألسطوانةالناتجة(7 = r الحل
محيط قاعدة األسطوانة = 44سم. r 2نق = 44 22نق = 44 7 *2 ` نق = 7سم حجم األسطوانة = rنق 2ع = 1540 = 10 * 2)7( * 22سم3 7
38
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
44سم 10سم
الوحدة الأولى ،الدر�س العا�سر تدرب
حجمها ومساحتها 1أسطوانةٌ دائريةٌ قائمةُ ،طول نصف قطر قاعدتها 14سم ،وارتفاعها 20سم .أوجد َ الكلية. 2أسطوانةٌ دائريةٌ قائمةٌ حجمها 7536سم ، 3وارتفاعها 24سم أوجد مساحتها الكلية ()3.14 = r حجما :أسطوانةٌ دائريةٌ قائمةٌ طول نصف قطر قاعدتها 7سم وارتفاعها 10سم ،أم مكعب 3أيهما أكبر ً طول حرفه 11سم.
الكرة
مجسم سطحه منحنى جميع نقاط سطحه على أبعاد متساوية (نق) من نقطة ثابتة داخله (مركز هى ٌ الكرة).
إذا قطعت الكرة بمستوى مار بمركزها فإن المقطع َدائر ٌة مركزها هو مركز الكرة ،وطول نصف قطرها هو طول نصف قطر الكرة نق. حجم الكرة = 4 3 مساحة سطح الكرة = r 4نق2 rنق3
وحدة مكعبة. وحدة مربعة.
مثال كرة حجمها r 562.5سم 3أوجد مساحة سطحها الحل
حجم الكرة = 4 3 r * 4 = r 562.5نق3 3 3 ` نق421.875 = 4 * 562.5 = 3 rنق3
3
نق = 7.5 = 421.875سم
مساحة سطح الكرة = r 4نقr225 = 2)7.5( r * 4 = 2
سم2
تدرب َ ) 22 أوجد الحج َم ومساحة السطح لكرة طول قطرها 4.2سم (7 = r الفصل الدراسى األول
39
الدرس الحادى عشر
حل المعادلت والمتباينات من الدرجة الأولى فى متغير واحد فى ح
فكر وناقش سوف تتعلم © حل المعادلة من الدرجة األولى فى متغير واحد. © حل المتباينات من الدرجة األولى فى متغير واحد.
متغير واحد فى ح المعادالت من الدرجة األولى فى أوالً:حل ِ ٍ
نعلم اأن المعادلة 3س 4 = 2 -تسمى معادلة من الدرجة األولى
حيث أن س المتغير (المجهول) ولحل هذه المعادلة فى ح 3س4=2- 3س =6 3 * 13س = 6 * 13 ` س=2
المصطلحات األساسية © المعادلة. © الدرجة المعادلة. © المتباينة. © الدرجة المتباينة. © حل المعادلة.
بإضافة 2إلى طرفى المعادلة ويمكن الضرب فى المعكوس الضربى لمعامل س
أى أن مجموعة الحل = { } 2
1- 0 1 2 3 4 5
ويمثل الحل على خط األعداد كما بالشكل المقابل
© حل المتباينة.
أمثلة أوجد فى ح مجموع حل المعادلة
1
الحل على خط األعداد.
3س 2 = 1 -ومثل
الحل
3س2=1-
`س =
3 * 3 3 3
`
`س=
مجموعة الحل هى { } 3
الحل على ِّ خط األعداد ويمثل ُّ كما بالشكل المقابل.
40
3س=3
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
∈ 3ح 2 4
3
2
1
1 0
1-
َ مجموعة ح ِّل المعادلة س + أوجد فى ح
2
، 1 = 2ومثل الح َّل على خ ِّ ط األعداد.
الحل
`س=∈ 2 -1ح س1= 2 + الحل على ِّ خط األعداد كما بالشكل المقابل. ويمثل ّ
2- 1- 0 1 2 3
تدرب 1
اآلتية ومثِّل الح َّل على خ ِّ ِ ِ ط األعداد. المعادالت أوجد فى ح مجموعة الح ِّل لك ٍّل من
أ 5س 1 = 6 +
د س0=5+
2س4=3-
ب 2س3=4+
2س1=1-
5
و س=1-
ِّ الحل على واحد فى ح وتمثيل متغير ثانيا :حل المتباينات من الدرجة األولى فى ٍ ً ٍ ِّ خط األعداد.
لحل المتباينة فى ح وتكتب مجموعة الحل على صورة فترة: الخواص التاليةُ تستخدم ِّ ُّ إذا كانت ، Cب ،جـ أعداداًا حقيقيَّة وكان < Cب فإن: + C 1جـ < ب +جـ.
2إذا كانت جـ > 0فإن * Cجـ < ب * جـ. 3إذا كان جـ < 0فإن * Cجـ > ب * جـ.
خاصية اإلضافة. خاصية الضرب فى عددٍ موجب. حقيقى ٍّ ٍ خاصية الضرب فى عدد حقيقى سالب.
أمثلة أوجد مجموعة حل المتباينة 2س 5 G 1 -فى ح ومثل الحل بيانياًّا.
1
الحل
بإضافة 1إلى طرفى المتباينة تصبح 2س 6 G بضرب طرفى المتباينة فى ( )0 > 12س 3 G ` مجموعة الحل فى ح هى [[∞ ، 3 ويمثلها الشعاع باللون األخضر على خط األعداد.
5
الفصل الدراسى األول
4
3
2
41
1
0
َ مجموعة ح ِّل المتباينة 3 - 5س > ،11ومثِّل الح َّل بيانياًّا. أوجد فى ح
2
الحل
بإضافة ( )5-إلى طرفى المتباينة فيكون 3-س > 6 بضرب طرفى المتباينة فى ( ) 13 -ينتج أن: ` س < 2- أى أن مجموعة الحل فى ح هى ][2- ، ∞ -
ويمثلها الجزء باللون األخضر على خط األعداد
3
الحل
1
0
أوجد فى ح مجموعة حل المتباينة 2 H 3-س 5 < 1-ومثل الحل بيان اًّيا
بإضافة ( )1إلى حدود المتباينة 2 H 1 + 3-س 1 + 5 < 1 + 1- أى 2 H 2-س < ،6وبضرب حدود المتباينة فى ( )0 > 12 H 1س < 33 ` مجموعة الحل فى ح هى [[3 ،1- ويمثلها على ِّ الجزء باللون األخضر. خط األعداد ُ حل المتباينة فى ط؟ فى مثال 3ما مجموعةُ ِّ حل المتباينة فى N؟ ما مجموعةُ ِّ 4
4- 3- 2- 1-
2
1
0
2- 1-
أوجد فى ح مجموعة حل المتباينة 2س 5 H 3 +س 2 < 3 +س 9 +ومثل الحل بيانيا : الحل
2س5 H 3 +س 2< 3 +س 9+بإضافة (2-س) 3 H 3س 9 < 3 +بإضافة ()3- يضرب حدود المتباينة 1 3 H 0س <6 3 H 0س <2 مجموعة الحل فى ح هى [[2 ، 0
42
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
2
1
0
1-
الوحدة الثانية ،الدر�س االول
44
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
الوحدة الثانية ،الدر�س االول
الفصل الدراسى األول
45
الوحدة الثانية ،الدر�س االأول
46
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
الوحدة الثانية ،الدر�س االول
الفصل الدراسى األول
47
48
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
مطابع روزاليوسف -الفصل الدراسى األول
49
الوحدة الثانية ،الدر�س الثاني
50
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
الفصل الدراسى األول
51
الحل
إحداثى ن = ( ) 6 ، 3 ميل م ن =
2-6 7-3
4 = 1- = 4-
نا ِق ْ ش معلمك فى حل رقم
52
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
الوحدة الثالثة
3
اإلحصاء
لوحدة الث ا ل ا ثة
الدرس األول
جمع البيانات وتنظيمها ِّ وناقش فكر ِ
سوف تتعلم © كيفية جمع البيانات وتنظيمها فى ج��داول تكرارية ذات مجموعات.
المصطلحات األساسية © جمع البيانات. © تنظيم البيانات. © جدول تكرارى ذو
إذا بحثت ظاهر َة التكدُّس المرورى وطرق عالجه:
مصادرك للحصول على البيانات؟ � ما ُ ِ البيانات حول جمع � كيف يمكنك ُ هذه الظاهرة؟ الطرق اإلحصائيةُ التى سوف � ما ُ ِ لتحليل البيانات؟ تستخدمها تستطيع تفسير النتائج التى توصلت إليها؟ � هل ُ � ما مقترحا ُتك لعالج هذه الظاهرة وتحقيق السيولة المرور َّية؟
جمع البيانات
مجموعات.
عمل تعاونى تعاون مع زمالئك فى جمع البيانات من مصادرها بتوزيع األدوار:
محل الدراسة أ المجموعة األولى :اجمع بيانات ابتدائية عن الظاهرة َّ عن طريق استبيان تدور أسئلته حول (وسيلة المواصالت المستخدمة فى التنقل – حالة الطرق – زمن التكدس المرورى – وجود إشارات استرشادية على الطرق – التواجد األمنى).
محل الدراسة من ب المجموعة الثانية :اجمع بيانات ثانوية عن الظاهرة َّ النشرات المرورية – اإلنترنت – مصادر اإلعالم. المجموعة الثالثة :الحظ أى الطرق أكثر ازدحا ًما ،وسلوك قائدى السيارات والتزامهم بقوانين المرور ،ومدى التزام المشاة بآداب الطريق ،وعبور الطرق من المناطق المعدة لعبور المشاة.
54
الرياضيات -الصف الثانى اإلعدادى
تنظيم وتحليل البيانات ُ ٍ تكرارى لوسيلة المواصالت التى يستخدمها زمالؤك. جدول تعاون مع زمالئك فى إعداد ٍّ
وسيلة المواصالت مترو حافلة سيارة خاصة تاكسى دراجة سيرا على األقدام المجموع ً .......... ..........
التكرار
................
..........
..........
..........
..........
حدِّد الوسيلة األكثر استخدامً ا (المنوال) ِ التكدس المرورى؟ لماذا؟ ظاهرة تساعد فى عالج 1هل هذه الوسيلةُ مناسبةٌ ؟ هل ُّ ُ 2ما مقترحا ُتك لعالج هذه الظاهرة فى ضوء ماتوصلت إليه من نتائج؟
البيانات وعر�ضها فى جداول تكرار َّية تنظيم ُ ِ مثال فيمايلى بيان بالدرجات التى حصل عليها 30طالبًا فى إحدى االختبارات
7 2 5
10 9 14
7 11 19
4 12 3
5 11 9
8 9 14
6 15 3
7 12 13
13 13 8
12 9 17
تكوين الجدول التكرارى ذى المجموعات لهذه البيانات . المطلوب: ُ الحل
لتكوين الجدول التكرارى ذى المجموعات نتبع الخطوات التالية: أوالً :نوجد أكبر قيمة لهذه البيانات و أصغر قيمة لها؟
باعتبار مجموعة البيانات السابقة هى M فإن{ = M :س H 2 :س}19 H أى أن :قيم Mتبدأمن 2وتنتهى عند 19 أى أن :المدى = أكبر قيمة -أصغر قيمة = 17 = 2 – 19 تجزأ المجموعة Mإلى عدد من المجموعات الجزئية و المتساوية المدى وليكن 6مجموعات. ثانيًاَّ : 17تقترب من 3 ∴ مدى المجموعة = 6 المجموعات الجزئية كالتالى. ثالثًا :تصبح ُ الفصل الدراسى األول
55
الوحدة الثالثة ،الدر�س االول
–2 –5
المجموعة األولى المجموعة الثانية
–8 – 11
المجموعة الثالثة المجموعة الرابعة
وهكذا
الحظ اأن - 2معناها مجموعة البيانات األكبر من أو تساوى 2واألقل من 5وهكذا. رابعً ا :تسجل البيانات فى الجدول التالى: المجموعة
التكرار
العالمات
-2
4
-5
6
-8
7
- 11
8
- 14
3
- 17
2
30
المجموع
ً خامسا :يحذف عمود العالمات من الجدول فنحصل على الجدول التكرارى ذى المجموعات ،ويمكن كتابته رأس ًّيا أو أفق ًّيا والصورة األفقية للجدول هى كاآلتى: المجموعة التكرار
56
-2 4
-5 6
-8 7
- 11 8
الرياضيات -الصف الثانى اإلعدادى
- 14 3
- 17 2
المجموع 30
لوحدة الث ا ل ا ثة
الجدول التكرارى المتجمع ال�صاعد والجدول
الدرس الثانى
التكرارى المتجمع النازل وتمثيلهما بيان ًّيا ِّ وناقش فكر ِ
سوف تتعلم © كيفية تكوين ٍّ كل من الجدول
ُ الجدول التَّ بيانيا كرارى المتجمع الصاعد وتمثيله أوالً: ُّ ًّ مثال
التكرارى المتجمع الصاعد والنازل. © التمثيل البيانى ٍّ لكل من الجدول التكرارى المتجمع الصاعد ِّ والنازل.
المصطلحات األساسية © توزيع تكرارى.
التكرارى ألطوال 100تلميذ بالسنتيمترات فى التوزيع يبين الجدول اآلتى َ َّ إحدى المدارس: (مجموعات) الطول بالسنتيمتر عدد التالميذ
-145 -140 -135 -130 -125 -120 -115 8
12
19
23
18
© جدول تكرارى.
(التكرار)
© ج���دول ت��ك��رارى متجمع
1ما عد ُد التالميذ الذين تقل أطوالهم عن 115سم؟ 2ما عد ُد التالميذ الذين تقل أطوالهم عن 135سم؟ 3ما عد ُد التالميذ الذين تقل أطوالهم عن 145سم؟
© منحنى تكرارى متجمع نازل.
الحل
صاعد. © جدول تكرارى متجمع نازل. © منحنى ت��ك��رارى متجمع صاعد.
13
7
المجموع
100
كوِّن الجدو َل التكرارىَّ المتجم َع الصاعد لهذه البيانات ومثله بيانيًّا هل يوجد تالميذ تقل أطوالهم عن 115سم؟ ال
هل يوجد تالميذ تقل أطوالهم عن 135سم؟ وما عددهم؟ نعم 62 ،تلميذًا.
كيف توجد عدد التالميذ الذين تقل أطوالهم عن 145سم؟ نجمع عدد التالميذ فى مجموعات الطول األقل من المجموعة 145
ٍ الجدول َ بطريقة أكثر سهولة نكون و اآلن لإلجابة عن التساؤالت السابقة الصاعد ،وذلك كالتالى: المتجمع التكرارى َ َّ َ مطابع روزاليوسف -الفصل الدراسى األول
57
الحدود العليا
التكرار المتجمع
جدول التكرار المتجمع الصاعد
للمجموعات
الصاعد
الحدود العليا للمجموعات التكرار المتجمع الصاعد
أقل من 120
= = = = = = =
أقل من 115 أقل من 125 أقل من 130 أقل من 135 أقل من 140 أقل من 145 أقل من 150
8 + 0 12 + 8 19 + 20 23 + 39 18 + 62 13 + 80 7 + 93
0 8 20 39 62 80 93 100
أقل من 115
صفر
أقل من 125
20
أقل من 120
أى
8
39
أقل من 130
62
أقل من 135
80
أقل من 140
93
أقل من 145
100
أقل من 150
ِ المتجمع ّ الصاعد بيانيًّا: ولتمثيل الجداول التكرارىِّ ِ
ِ الرأسى لل َّتكرار المتجمع الصاعد. والمحور للمجموعات األفقى 1نخصص المحور َ َّ َّ ِ للتكرار الكلى المتجمع الصاعد عدد المحور مقياسا للرسم على المحور الرأسى بحيث يتسع 2نختار ً ُ عناصر المجموعة. المتجمع الصاعد لكل مجموعة ونرسم الخط البيانى لها بالتتابع. التكرار 3نمثل َ َ التكرار المتجمع الصاعد المنحنى التكرارى المتجمع الصاعد
المجموعات 115 120 125 130 135 140 145 150
58
الرياضيات -الصف الثانى اإلعدادى
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
الوحدة الثالثة ،الدر�س الثاني
ُ بيانيا : المتجمع النازل وتمثيله التكرارى الجدول ثانيا ُ ُّ ًّ ً
من التوزيع التكرارى السابق ،والذى يبين أطوال 100طالب بالسنتيمترات فى إحدى المدارس. أوجد :عدد التالميذ الذين أطوالهم 150سم فأكثر. عدد التالميذ الذين أطوالهم 140سم فأكثر. عدد التالميذ الذين أطوالهم 125سم فأكثر. كون الجدول التكرارى المتجمع النازل ،ثم مثله بيان ًّيا. ِّ الحل
اليوجد تالميذ أطوالهم 150سم فأكثر. عدد التالميذ الذين أطوالهم 140سم فأكثر هو 20 = 13 + 7طال ًبا عدد التالميذ الذين أطوالهم 125سم فأكثر هو أكمل.......... = .......... + .......... + .......... + .......... + 19 : لإلجابة عن هذه التساؤالت بصورة أكثر سهولة نكون الجدول التكرارى المتجمع النازل كاآلتى: الحدود السفلى
التكرار المتجمع
جدول التكرار المتجمع النازل
للمجموعات
النازل
الحدود السفلى للمجموعات التكرار المتجمع الصاعد
115فأكثر 120فأكثر 125فأكثر 130فأكثر 135فأكثر 140فأكثر 145فأكثر 150فأكثر
8 + 92 12 + 80 19 + 61 23 + 38 18 + 20 13 + 7 7 + 0
= = = = = = =
100 92 80 61 38 20 7 0
115فأكثر
100
125فأكثر
80
92
120فأكثر
61
130فأكثر
38
135فأكثر
20
140فأكثر
7
145فأكثر 150فأكثر
الفصل الدراسى األول
صفر
59
ولتمثيل هذا الجدول بيان ًّيا نتبع نفس خطوات تمثيل الجدول التكرارى المتجمع الصاعد ،وذلك لنحصل على التمثيل البيانى التالى: التكرار المتجمع النازل المنحنى التكرارى المتجمع النازل
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
المجموعات
115 120 125 130 135 140 145 150
تدرب
الجدول اآلتى يمثل التوزيع التكرارى ألعمار 50عامال بأحد المطابع : المجموعات التكرار
- 20 6
- 25 7
- 30 10
- 35 .......
المطلوب:
- 40 9
- 45 3
- 50 5
أ أكمل الجدول. ب ارسم فى شكل واحد المنحنى التكرارى المتجمع الصاعد والمنحنى التكرارى المتجمع النازل لهذا التوزيع. جـ من الرسم أوجد : أوال :عدد العمال الذين أعمارهم أكبر من 35سنة. ثانيا :عدد العمال الذين أعمارهم أصغر من 45سنة. نا ِق ْ ش معلمك فى الحل
60
الرياضيات -الصف الثانى اإلعدادى
لوحدة الث ا ل ا ثة
الو�صط الح�صابى -الو�صيط - المنوال
الدرس الثالث
فكر وناقش ُ الحسابى الوسط أوالً: ُّ
درست كيفية إيجاد الوسط الحسابى لمجموعة من القيم وعلمت أن: سبق أن َ جمموع قيم املفردات الوسط الحسابى = عدد هذه املفردات
سوف تتعلم © كيفية إيجاد الوسط الحسابى ٍ ت��ك��رارى ذى ج���دول م��ن ٍّ مجموعات © كيفية ح��س��اب الوسيط ٍ ج���دول ت��ك��رارى ذى م��ن
فمث ً ال :إذا كان أعمار 5تالميذ هى 17 ،14 ،16 ،15 ،13سنة فإن:
مجموعات .
17 +14 +16 +15+13 الوسط الحسابى ألعمارهم = 5 15 = 75سنة = 5
ح��س��اب
© كيفية
م��ن ج���دول ت��ك��رارى ذى مجموعات.
الحظ اأن17 + 14+ 16+ 15 + 13 = 5 * 15 :
المصطلحات األساسية
ُ ُ ً تداوال ،وهو أبسط المتوسطات جمي ًعا ،وأكثرها الحسابى :هو الوسط ُ لكل مفردة من مفردات المجموعة لكان مجموع هذه القيمة التى لو أعطيت ِّ القيم الجديدة هو نفس مجموع القيم األصلية ،ويمكن حسابه بجمع قيم المفردات كلها ثم نقسم على عدد المفردات.
© وسط حسابى. © وسيط. © مدرج تكرارى. © منوال .
إيجاد الوسط الحسابى لبيانات من جداول تكرارية ذات مجموعات: ُ
كيف يمكن إيجاد الوسط الحسابى للتوزيع التكرارى اآلتى: المجموعات التكرار
- 10 10
- 20 20
- 30 25
المنوال
- 40 30
- 50 15
المجموع 100
الحظ :إليجاد الوسط الحسابى لتوزيع تكرارى ذى مجموعات نتبع الخطوات التالية:
مطابع روزاليوسف -الفصل الدراسى األول
61
1نحدِّد مراك َز المجموعات:
مركز المجموعة األولى = . 15 = 20 + 10مركز المجموعة الثانية = ... 25 = 30 + 20وهكذا 2 2 نظرا ألن مدى المجموعات الجزئية متساو ،وكل منها = 10 و ً الحد األعلى للمجموعة األخيرة = 60فيكون: نعتبر َّ 60 + 50 مركزها = 2
2نكون الجدو َل الرأسى اآلتى:
= 55
المجموعة مركز المجموعة التكرار مركزالمجموعة * التكرار
- 10 - 20 - 30 - 40 - 50
المجموع 3الوس ُ الحسابى = ط ُّ
م
ك
15 25 35 45 55
10 20 25 30 15 100
جمموع (ك * م)
*
م
ك
150 500 875 1350 825 3700
مجموع ك
37 = 3700 = 100 تدرب
ُ الحسابى لدرجات تلميذ فى الخمسة أشهر األولى هى 23.8فما الدرجة التى يجب أن الوسط 1إذا كان ُّ يحصل عليها فى الشهر السادس ليكون الوسط الحسابى لدرجاته 24درجة؟ ً طفال بالكيلوجرامات. 2فيما يلى التوزيع التكرارى ألوزان 30 الوزن بالكيلو جرام التكرار
-6 2
- 30 - 26 -22 - 18 - 14 - 10املجموع
3
....
أكمل الجدول ثم أوجد الوسط الحسابى لهذا التوزيع.
62
8
الرياضيات -الصف الثانى اإلعدادى
6
4
2
30
الوحدة الثالثة الدر�س الثالث ثانيا :الوسيط ً
هو القيمةُ التى تتوسط مجموعةَ المفردات بعد ترتيبها تصاعد ًّيا أو تنازل ًّيا بحيث يكون عد ُد القيم األصغر منها مساو يا ِ لعدد القيم األكبر منها. ًّ بيانيا: تكرارى ذى المجموعات لتوزيع إيجاد الوسيط ٍّ ٍ ُ ًّ
نرسم المنحنى ال َّتكرارى المتجمع له. المتجمع التكرارى الجدول َ 1ننشأ َ الصاعد أو النازل ،ثم ُ َ َّ مجموع التكرارات
. 2نحدِّد ترتيب الوسيط = 2 3 نحدد النقطة Cعلى المحور الرأسى(التكرار) والتى تم ِّثل ترتيب الوسيط. ِّ 4 مستقيما أفق ًّيا من نقطة Cفيقطع المنحنى فى نقطة نرسم منها عمو ًدا على المحور األفقى ؛ ليقطعه نرسم ُ ً فى نقطة تمثل الوسيط. مثال 1 التوزي ُع التكرارىُّ اآلتى يبين درجات 60طالبًا فى أحد االختبارات
المجموعات -2 التكرار
6
-6 9
-26 -22 -18 -14 -10المجموع
12
15
10
5
3
60
َ الصاعد. أوجد الوسيط لهذا التوزيع مستخد ًما جدول ال َّتكرار المتجمع ّ الحل
المتجمع الصاعد. التكرارى الجدول َ 1ننشئ َ َّ
60 2نوجد ترتيب الوسيط = 20
المتجمع الصاعد ومن الرسم نوجد الوسيط. 3نرسم المنحنى ال َّتكرارى َ الحدود العليا للمجموعات التكرار المتجمع الصاعد
أقل من 2 أقل من 6 أقل من 10 أقل من 14 أقل من 18 أقل من 22 أقل من 26 أقل من 30
صفر 6 15 27 42 52 57 60
= 30 التكرار المتجمع الصاعد
C المجموعات
6 10 14 18 22 26 30
من الرسم الوسيط = 14.8من الدرجة الفصل الدراسى األول
63
2
60 50 40 30 20 10
ِّ فكر هل يمكنك إيجا ُد الوسيط باستخدام الجدول التكرارى المتجمع النازل؟
هل تختلف قيمة الوسيط فى هذه الحالة.
مثال 2 التوزي ُع التكرارى اآلتى يبين األجر اليومى لعدد 100عامل فى أحد المصانع. األجر بالجنيه (المجموعات) - 40 - 35 - 30 - 25 - 20 - 15المجموع
10
عدد العمال (التكرار)
15
22
25
20
8
100
المطلوب:
1رسم المنحنيين المتجمع الصاعد والنازل لهذا التوزيع م ًعا. 2هل يمكن إيجا ُد األجر الوسيط من هذا المنحنى؟ الحل
الحدود العليا للمجموعات التكرار المتجمع
أقل من 15
صفر
أقل من 25
25
أقل من 20 أقل من 30 أقل من 35 أقل من 40 أقل من 45
الحدود السفلى للمجموعات التكرار المتجمع
10 47 72 92
100
15فأكثر
100
25فأكثر
75
20فأكثر 30فأكثر 35فأكثر 40فأكثر 45فأكثر
90 53 28 8
صفر
الحظ اأن: يتقاطع مع المنحنى ال َّتكرارى المتجمع النازل فى نقطة واحدة هى المتجمع الصا ُعد المنحنى التكرارى ُ ُ نقطة م .
64
الرياضيات -الصف الثانى اإلعدادى
الوحدة الثالثة الدر�س الثالث اإلحداثى الرأىس لنقطة م
= 50
التك رار 100 90
= 100 2
= ترتيب الوسيط
80 70 60 50 40 30 20 10
ٍ لنقطة م يعين الوسيط األفقى اإلحداثى ∴ ُّ ُّ
كل 10مم من المحور األفقى تمثل 5جنيهات أكمل 2مم تمثل ....... األجر الوسيط = * 2 + 30 31 = 510جني ًها. تدرب
المجموعات 15 20 25 30 35 40 45
ارسم منحنى التَّكرار المتجمع النازل للتوزيع التكرارى التالى ثم أوجد قيمة الوسيط. المجموعات التكرار
-5 4
- 10 6
- 15 10
- 20 17
- 25 10
- 30المجموع
3
50
ً ثالثا :المنوال
تتكرر أكثر من غيرها من القيم. األكثر شيو ًعا فى مجموعة المفردات أى القيمة التى هو القيمةُ َّ ُ مثال الجدو ُل اآلتى يبين التَّوزي َع التكرارىَّ لدرجات 40تلميذًا فى أحد االختبارات. المجموعات التكرار
المنوال لهذا ال َّتوزيع بيان ًّيا. َ أوجد
-2 3
-6 5
-14 -10 10 8
-26 -22 -18 2 5 7
الحل
ِ التكرارى ،وذلك كاآلتى: المدرج يمكن إيجا ُد المنوال لهذا التوزيع بيان ًّيا باستخدام ِّ
أوالً :ارسم المدرج التكرارىَّ
ِ كل 1نرسم محورين متعامدين أحدهما أفق ًّيا لتمثيل المجموعات ،واآلخر رأس ًّيا لتمثيل تكرار ِّ مجموعة.
الفصل الدراسى األول
65
2 3 4 5 6
ِ نقسم المحور األفقى إلى ٍ ٍ ِ لتمثيل المجموعات. مناسب المتساوية بمقياس رس ٍم عدد من األقسام َ َّ نقسم المحور الرأسى إلى ٍ ٍ ِ ٍ تكرار تمثيل أكبر بمقياس رس ٍم عدد من األقسا ِم المتساوية مناسب بحيث يمكن ُ َ َّ فىالمجموعات. مستطيال قاعدته هى المجموعة ( )-2وارتفاعه يساوى التكرار (.)3 نرسم ً ال ثان ًيا مالص ًقا للمستطيل األول قاعدته هى المجموعة ( )-6وارتفاعه يساوى التكرار (.)5 نرسم مستطي ً نكرر رسم باقى المستطيالت المتالصقة حتى آخر مجموعة (.)-26 ِّ
ثانيًا :إيجاد المنوال من المدرج التكرارى: إليجاد المنوال من المدرج التَّكرارى نالح ُ ظ أن
تكرارا هى المجموعة ()- 14 المجموعة األكثر ً وتسمى المجموعة المنوالية .لماذا؟
ُ القيمة المنوالية؟ من الرسم ما
E
المجموعات
6 10 14 18 22 26 30
نا ِق ْ ش معلمك فى الحل
66
8 7 6 5 4 3 2 1
المنوال
نحدد نقطة تقاطع ، E Cب جـ من الرسم ،ونسقط ِّ منها عمو ًدا على المحور األفقى يحدد القيمة المتوالية للتوزيع.
ب
C جـ
التك رار 10 9
الرياضيات -الصف الثانى اإلعدادى
2
الوحدة الرابعة
4
متوسطات المثلث والمثلث المتساوي الساقيين
لوحدة الر ا ب ع ا
الدرس األول
ة
متو�سطات المثلث ِّ وناقش فكر ِ
َّ تتعلم سوف © متوسطات المثلث © المثلث الثالثينى الستينى.
المصطلحات األساسية © متوسط للمثلث. © مثلث ثالثينى ستينى
متوسط المثلث هو القطعة المستقيمة المرسومة من رأس المثلث الى منتصف الضلع المقابل لهذا الرأس.
فى C bب جـ E a :منتصف ب جـ فيكون E Cمتوسط للمثلث
ماعدد متوسطات أى مثلث؟ -ارسم المتوسطات فى كل من المثلثات التالية:
نظرية ()1 جميعا فى نقطة واحدة متوسطات المثلث تتقاطع ً
فى C bب جـ :إذا كانت Eمنتصف ب جـ ، هـ منتصف Cجـ ،و منتصف Cب . فإن ، E C :ب هـ ،جـ و تتقاطع فى نقطة واحدة. تدرب فى الشكل المقابل:
Cب جـ مثلث فيه س منتصف ب جـ ،
ص منتصف Cب C ،س ∩ جـ ص = {ن}.
68
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
1ارسم ب ن ليقطع Cجـ فى ع, أوجد بالقياس طول Cع ،طول جـ ع . هل Cع = جـ ع؟ فسر إجابتك؟ 2قس األطوال ثم أكمل: نس
.......
.......
نص
.......
.......
نع
.......
= = ....... ، = = ، = = ن ....... ....... Cن جـ ....... .......ن ب
....... .......
إذا كانت قياساتك دقيقة فإن ن س = ، 1ن ص = ، 1ن ع = 1 2ن جـ 2نب 2 نC نظرية ()2
نقطة تقاطع متوسطات المثلث تقسم ك ً ال منها بنسبة 2 : 1من جهة القاعدة أو بنسبة 1 : 2من جهة الرأس
تدرب أكمل 2
1
م هـ = 3سم ،م جـ = 8سم م ، ...... = Cم ...... = E م هـ = C ......هـ ،م جـ = ......جـ E
ل ع = 15سم ،ص م = 18سم ،س ص = 20سم ن ل = ، ......ن ص = ...... محيط bن ل ص = ......
حقيقة E Cمتوسط فى C bب جـ ،م ∈ . E C إذا كان C :م = 2م E فإن:
م تكون نقطة تقاطع متوسطات المثلث Cب جـ . الفصل الدراسى األول
69
و
مثال ()1 ىف الشكل املقابل:
Cب جـ Eمتوازى أضالع تقاطع قطراه فى م، هـ∈ Eم حيث Eهـ = 2هـ م،
رسم جـ هـ فقطع E Cىف و. أثبت أن C :و = و E البرهان :فى
Cب جـ E
`م منتصف Cجـ
C aجـ ∩ ب{ = Eم} فى C E bجـ aم منتصف Cجـ
aهـ∈ Eم E ،هـ = 2هـ م ` هـ نقطة تقاطع متوسطات المثلث aهـ ∈ جـ و
` Eم متوسط للمثلث
` جـ و متوسط للمثلث ،و منتصف E C
نظرية ()3 طول متوسط المثلث القائم الزاوية الخارج من رأس القائمة يساوى نصف طول وتر هذا المثلث
المعطيات C :ب جـ مثلث فيه c( Xب) = °90 ب Eمتوسط ىف C bب جـ
المطلوب :إثبات أن :ب C 12 = Eجـ نرسم ب Eونأخذ نقطة هـ ∈ ب Eبحيث ب E = Eهـ العمل:
البرهان:
aالشكل Cب جـ هـ فيه Cجـ ،ب هـ ينصف كل منهام اآلخر `الشكل Cب جـ هـ متوازى أضالع c( X aب) = °90
70
` الشكل Cب جـ هـ مستطيل
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
الوحدة الرابعة الدر�س الأول ` ب هـ = Cجـ
aب 12 = Eب هـ
` ب C 12 = Eجـ
عكس نظرية 3
وهو المطلوب
إذا كان طول متوسط المثلث المرسوم من أحد رؤوسه يساوى نصف طول الضلع المقابل لهذا الرأس فإن زاوية هذا الرأس تكون قائمة
المعطيات C :ب جـ مثلث ،ب Eمتوسط E = CE ،ب = Eجـ المطلوب :إثبات أن C c( Xب جـ) = °90 نرسم ب Eونأخذ نقطة هـ ∈ ب Eبحيث ب E = Eهـ العمل: البرهان:
1
1
aب 2 = Eب هـ = C 2جـ ` ب هـ = Cجـ
aالشكل Cب جـ هـ فيه Cجـ ،ب هـ متساويان فى الطول وينصف كل منهما اآلخر `الشكل Cب جـ هـ مستطيل ` C c( Xب جـ) = °90
وهو المطلوب
نتيجة
طول الضلع المقابل لزاوية قياسها °30فى المثلث القائم الزاوية يساوى نصف طول الوتر
تذكر أن فى المثلث Cب جـ إذا كانت Eمنتصف Cب ، هـ منتصف Cجـ فإن E 1هـ = 12ب جـ E 2هـ //ب جـ
الفصل الدراسى األول
71
لوحدة الر ا ب ع ا
الدرس الثانى
ة
المثلث المت�ساوى ال�ساقين ِّ وناقش فكر ِ
سوف تتعلم ِ المثلث المتساوى �واص © خ� ُّ الساقين. تصنيفات المثلث المتساوى © ُ الساقين.
ِ ِ أطوال أضالعها إلى ثالثة أنواع: المثلثات تص َّنف حسب علمت أن مثلث مختلف األضالع
مثلث متساوى الساقين مثلث متساوى األضالع (متطابق الضلعين)
(متطابق األضالع)
المصطلحات األساسية © مثلث متساوى الساقين. © مثلث متساوى األضالع. © مثلث مختلف األضالع.
Cب ≠ ب جـ Cب ≠ Cجـ ب جـ ≠ Cجـ
Cب = Cجـ
Cب = Cجـ = ب جـ
فى َّ الشكل المقابل:
لحظ اأن :الضلعين Cب C ،جـ متطابقان (متساويان فى الطول). لذلك يسمى المثلث Cب جـ بالمثلث المتساوى الساقين ساق ساق وتسمى النقطة Cرأس المثلث، ب جـ قاعدته والزاويتان ب ،جـ زاويتا قاعدة المثلث قاعدة
72
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
َّ ث المتساوى الساقين خواص المثل ِ ُّ ٍ مثلث متساوى الساقين: فى أىِّ
مانوع كل من زاويتى القاعدة؟ (حادة -قائمة -منفرجة) مانوع زاوية الرأس؟ مثال
نا ِق ْ ش مع معلمك فى الحل
الفصل الدراسى األول
73
لوحدة الر ا ب ع ا
الدرس الثالث
ُ نظريات ال�ساقين المث َّل ِث المت�ساوى ّ
ة
ِّ وناقش فكر ِ َّ تتعلم سوف العالقة بين زاويتى القاعدة © َ ف��ى
المثلث
المتساوى
الساقين. © العالقة بين قياسات زاويا المث َّلث المتساوى األضالع. ِّ الضلعين �ع��الق��ة بين © ال� َ ال��م��ق��اب��ل��ي��ن ل��زاوي��ت��ي��ن متساويتين فى مثلث. © إذا تطابقت زوايا مثلث فإنه يكون متساوى األضالع.
المصطلحات األساسية © مثلث متساوى الساقين. © زاويتا القاعدة.
هل توجد عَ ٌ قياس زاويتى القاعدة فى المثلث المتساوى الساقين؟ القة بين ِ
للتعرف على ذلك قم بالنشاط التالى: ُّ نشاط
باستخدام الفرجار
ٍ مثلثات متساوية الساقين 1ارسم عدة يوضح ذلك الرسم المقابل كما ِّ حيث Cب = Cجـ .
2 أوجد باستخدام المنقلة قياس كل من زاويتى القاعدة C cب جـ C c ،جـ ب .
3 سجل البيانات التى حصلت عليها فى جدول كاآلتى ،وقارن بين القياسات ِّ كل حالة. فى ِّ
رقم المثلث C c( Xب جـ) C c( Xجـ ب) 1 2 3
4احفظ نشاطَك فى ملف اإلنجاز نظرية ()1
زاويتا القاعدة فى المثلث المتساوى الساقين متطابقتان
المعطيات C :ب جـ مثلث فيه Cب C /جـ
المطلوب :إثبات ان cب c/جـ
74
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
:نرسم = E Cب جـ
العمل
البرهان :المثلثان E Cب E C ،جـ قائما الزاوية فيهما Cب C /جـ
(معطى)
E C ` E C bب E C b /جـ وينتج من ال َّتطابق أن cب c /جـ
(ضلع مشترك) (وتر و ضلع) وهو المطلوب
تدرب األشكال اآلتية أوجد قيمَ ة الرمز المستخدم فى قياس الزاوية: 1فى ك ٍّل من ِ ب
أ 50
o
ن
o
س
o
ص
o
س = .........
o
54
80
و .
م
س74 o
ل
ص
ع
o
o
س = ، .....ص = ، .....ع = .....
ز
ن = ...... o
o
o
42
ص = .........
د
40
o
س
o
هـ = ......
ع
o
65 o
ل
ل = ، ......ع = .....
ل = ، ......م = .....
ح
o
o
ل
o
120
هـ
o
o
ص
س = ، .....ص = .....
o
o
35
ص
o
ع
o
ص = ، .....ل = ، .....ع = .....
الفصل الدراسى األول
75
o
الشكل المقابل Cب جـ مثلث متساوى الساقين فيه Cب = Cجـ 2فى ِ
∈ E ،°40 = )C c( Xجـ ب ،هـ ∈ ب جـ
o
40
أوجد C c( Xب جـ)
أوالً:
ثانيًا:
اثبت أن C cب C c / Eجـ هـ
َ ِّ ُ متساوية القياس؟ القياس تكون مكمالت الزوايا المتساوية فى فكر هل ِ نتيجة ً ُ متطابقة المثلث متساوى األضالع فإن زواياه الثالثة تكون إذا كان قياس ٍّ كل منها °60 ويكون ُ مثال ()1 فى َّ الشكل المقابل C :ب جـ مثلث متساوى األضالع.
∈ Eب جـ بحيث ب جـ = جـ . E اثبت أن ب E C = C
المعطيات C :ب = ب جـ = جـ = Cجـ ∈ E ، Eب جـ المطلوب :إثبات أن :ب E C = C البرهان C b a :ب جـ متساوى األضالع .
` C c( Xجـ ب) = c( Xب Cجـ) = c( Xب) = °60 ∈ E aب جـ
فى C bجـ E
` cب جـ Cخارجة عن C bجـ E
c( Xب جـ c( X = )Cجـ c( X + )E Cجـ °60 = )C E
aجـ = Cجـ E
` c( Xجـ c( X = )E Cجـ )C E
من ( )2( ،)1ينتج أنc( X :جـ c( X =) E Cجـ °30 = )C E
76
نتيجة
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
()1
()2
الوحدة الرابعة الدر�س الثالث c( X aب c( X = )E Cب Cجـ) c( X +جـ )E C ` c( Xب °90 = °30 + °60 = )E C ` بE C = C وهو المطلوب
قياس أى زاوية خارجة للمثلث يساوى مجموع قياسى الزاويتين الداخلتين عدا المجاورة لحظ اأن: ُ لها.
مثال
2فى الشكل المقابل C :ب = ،E Cب جـ = جـ E اثبت أن C cب جـ E C c /جـ
المعطيات C :ب = ،E Cب جـ = جـ E
المطلوب :إثبات أن C cب جـ E C c /جـ
البرهان :فى C bب E C aب = E C
` C c( Xب E C c(X = )Eب)
()1
فى bجـ ب E
aجـ ب = جـ E
` c( Xجـ ب c(X = )Eجـ Eب)
()2
بجمع ( )2( ، )1ينتج أن:
C c( Xب c(X + )Eجـ ب E C c( X = )Eب) c(X +جـ Eب) ` C c( Xب جـ) = E C c( Xجـ) C c،ب جـ E C c /جـ
وهو المطلوب.
الفصل الدراسى األول
77
تدرب َ قيمة الرمز المستخدم لقياس الزاوية: األشكال اآلتية أوجد فى ك ٍّل من ِ 1
2
ص
o
ص
50
o
ص
o
س
س
o
o
س = ، .....ص = .....
س = ، .....ص = .....
// E C 4ب جـ
30
o
س
o
3
o
س = ، .....ص = .....
C 5هـ //ب جـ
C 6هـ منصف cجـE C
ص
o
o
25 س
س
o
o
س
o
o
63
o
40 س = ، .....ص = .....
س = .....
س = .....
نشاط ارسم المثلث Cب جـ فيه ب جـ = 7سم c( X ،ب) = c( Xجـ) = °50ثم قس طول كل من Cب C ،جـ ،كرر النشاط باختيار قياسات أخرى لطول ب جـ وقياس زاويتى ب ،جـ و أكمل الجدول:
رقم المثلث 1 2 3 4
ب جـ 7سم .......... .......... ..........
c( Xب) c ( Xجـ) °50 °50
1هل طول Cب = طول Cجـ ؟
.......... .......... ..........
تفسير هذه النتائج هندس ًّيا؟ 3كيف يمكنك ُ
78
.......... .......... ..........
Cب
.......... .......... .......... ..........
2هل Cب C /جـ ؟
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
Cجـ
.......... .......... .......... ..........
الوحدة الرابعة الدر�س الثالث نظرية ()2 الضلعين المقابلين لهاتين الزاويتين يكونان مثلث فإن إذا تطابقت زاويتان فى ٍ ِ متطابقين ،ويكون المثلث متساوى الساقين.
المعطيات C b:ب جـ فيه cب c /جـ المطلوب :إثبات أن Cب C /جـ :ننصف cب Cجـ بالمنصف E Cيقطع ب جـ فى E العمل البرهان c a :ب c /جـ ` c( Xب) = c( Xجـ) E C aينصف cب Cجـ ` c( Xب c( X = )E Cجـ )E C ع قياسات زوايا المثلث الداخلة = ° 180 aمجمو ُ ` E C c( Xب) = E C c( Xجـ) ` المثلثانE Cب E C ،جـ فيهما E Cضلع مشترك c( Xب c( X = )E Cجـ )E C E C c( Xب) = E C c( Xجـ) ` E C bب E C b /جـ وينتج من التطابق أن Cب C /جـ ويكون C bب جـ متساوى الساقين.
نتيجة إذا تطابقت زوايا مثلث فإنه يكون متساوى األضالع. فى َّ الشكل المقابل Cب جـ مثلث متساوى الساقين فيه: Cب = Cجـ c( X ،ب Cجـ) = °60
أكمل C c( Xب جـ) = C c( Xجـ ب) = أى أن....... / ........ c / ...... c : ` C bب جـ هو مثلث .................................
o
60 .........
الفصل الدراسى األول
79
لحظ اأن :المثلث المتساوى الساقين الذى قياس إحدى زواياه °60يكون متساوى األضالع.
تدرب ِ اآلتية اكتب أضالع المثلث المتساوية فى الطول كما فى المثال : 1 فى ك ٍّل من األشكال 2
1
36
o
o
72
3
o
o
42
42
o
50
Cب = Cجـ 4
o
57
........... = ...........
65
........... = ...........
6
5 o
140
o
70
o
102 o
102
66
........... = ...........
7
........... = ...........
8
........... = ...........
9
o
2 10
o
102
........... = ...........
80
........... = ...........
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
o
........... = ...........
o
الوحدة الرابعة الدر�س الثالث 11
10 (ع )40 +
o
(2ع)
o
o
(2ص )10 +
12 o
3س
o
30
o
(3ص )20 - (3ع )10 -
40
o
o
(س )50 +
o
........... = ...........
........... = ...........
........... = ...........
أمثلة 1فى َّ الشكل المقابل C :ب جـ مثلث فيه Cب = Cجـ ،س ص //ب جـ
اثبت أن C bس ص متساوى الساقين. المعطيات C :ب = Cجـ ،س ص //ب جـ . المطلوب :إثبات أن Cس = Cص البرهان :فى C bب جـ C aب = Cجـ ()1 ` C c( Xب جـ) = Cc(Xجـ ب) aس ص //ب جـ C ،ب قاطع لهما ` C c( Xس ص) = Cc (Xب جـ) بالتناظر ()2
بالمثل aس ص //ب جـ C ،جـ قاطع لهما ` C c( Xص س) = Cc(Xجـ ب) بالتناظر ()3
من ( )3( ،)2( ،)1ينتج أن:
C c( Xس ص) = Cc( Xص س) فى C bس ص C c( X aس ص) = Cc( Xص س) `Cس=Cص أى أن المثلث Cس ص متساوى الساقين
وهو المطلوب
ِّ فكر هل يمك ُن استنتاجُ أن س ب = ص جـ؟ فسر إجابتك.
الفصل الدراسى األول
81
2فى الشكل المقابل:
Cب جـ مثلث قائم الزاوية فى ب c( X ،جـ) = ،°30 C ∈ Eجـ بحيث Eب = Eجـ
o
30
اثبت أن C bب Eمتساوى األضالع.
المعطيات C c( X :ب جـ) = c( X ، °90جـ) = E ، °30ب = Eجـ
المطلوب :إثبات أن Cب = ب E C = E
البرهان :فى E bب جـ
E aب = Eجـ
` E c( Xب جـ ) = c( Xجـ) = °30 فى C bب جـ
C c( X aب جـ) = E c( X ، °90ب جـ) = °30
` c( Xب °60 = °30 - °90= )E C
()1
E C c aب خارجة عن bب Eجـ
` E C c( Xب) = E c( Xب جـ) E c( X +جـ ب) E C c( Xب) = °60 = °30 + °30
فى C bب E
()2
aمجموع قياسات زوايا bالداخلة = °180
`C c( Xب °60 = )°60 + °60( - °180 = )E
()3
من ( C c( X ` )3( ،)2( ،)1ب E C c( X = )Eب) = )C c( X
أى أن C cب E C c / Eب C c /
` المثلث Cب Eمتساوى األضالع أى أن
82
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
Cب = ب .E C = E
لوحدة الر ا ب ع ا
الدرس الرابع
ة
نتائج على نظريات المثلث المت�ساوى ال�ساقين ِّ وناقش فكر ِ
سوف تتعلم ِ نظريات المثلث نتائج على © ُ المتساوى الساقين.
المصطلحات األساسية © مثلث متساوى الساقين. © منصف زاوية الرأس. © منصف قاعدة المثلث. © محور تماثل القطعة المستقيمة.
نتيجة ()1 المثلث المتساوى الساقين المرسوم من متوس ُط ِ ِّ الرأس ينصف زاوية الرأس ويكون عمود ًيا على القاعدة فى َّ الشكل المقابل
C bب جـ فيه Cب = Cجـ
E C ،متوسط فيه فإن E C :ينصف cب Cجـ
= E C ،ب جـ
لحظ اأن E C b :ب E C b /جـ لماذا؟ نتيجة ()2
ُ منصف زاويةِ الرأس فى المثلث المتساوى ُ ويكون عمود ًيا عليها. ينصف القاعدة الساقين ُ فى الشكل المقابل:
C bب جـ فيه Cب = Cجـ ، E Cينصف cب Cجـ
فإن Eمنتصف ب جـ = E C ،ب جـ لحظ اأن E C bب E C b /جـ لماذا؟
مطابع روزاليوسف -الفصل الدراسى األول
83
نتيجة ()3
المستقيم المرسوم من رأس المثلث المتساوى الساقين عمود ًّيا ُ ُ على القاعدةِ ينصف ك ًّ ال من القاعدة وزاويةالرأس. فى َّ الشكل المقابل:
C bب جـ فيه Cب = Cجـ = E C ،ب جـ
فإن Eتنصف ب جـ c( X ،ب c( X = )E Cجـ )E C
لحظ اأن E C bب E C b /جـ لماذا؟ ِّ فكر فى َّ الشكل المقابل:
Cب جـ Eشكل رباعى جميع أضالعه متساوية فى الطول. هذا الشكل يسمى معني ،قطراه Cجـ ،ب E
يتقاطعان ىف نقطة م.
لحظ اأن C b :ب b / Eجـ ب Eلماذا؟ ` C c( Xب c( X = )Eجـ ب )E
فى C bب جـ C ،ب = ب جـ ،ب م ينصف C cب جـ
` ب م = ، .............م منتصف Cجـ
في bب C ، E Cب = C ، E Cم = ب E
` Cم ينصف ، ............. cم منتصف ب E هل قطرا المعين متعامدان؟
هل قطرا المعين ينصف كل منهما اآلخر؟
سجل إجابتك . هل قطر المعين ينصف زاويتى الرأس الواصل بينهما؟ ِّ
84
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
الوحدة الرابعة الدر�س الرابع
محاور ال َّتماثل ُ للمثلث المتساوى الساقين التماثل محور أوالً: ِ ُ ِ محور تماثل المثلث المتساوى الساقين هو املستقي ُم املرسوم من رأسه عموديًّا على قاعدته. فى الشكل المقابل:
C bب جـ فيه Cب = Cجـ = E C ،ب جـ فإن E Cهو محور تماثل للمثلث Cب جـ المتساوى الساقين. ناقش:
ِ للمثلث المتساوى الساقين أكث ُر من محور تماثل؟ هل يوج ُد محاور التماثل فى المثلث المتساوى األضالع؟ كم عد ُد ِ ِ ِ المختلف األضالع محاو ُر تماثل؟ للمثلث هل توجد
ثانيا :محور تماثل القطعة المستقيمة: ً
يسمى المستقيم العمودى على قطعة مستقيمة من منتصفها محور تماثل لهذه القطعة المستقيمة ولالختصار يسمى محور القطعة المستقيمة.
فى َّ الشكل المقابل:
إذا كانت Eمنتصف Cب ،المستقيم ل = Cب حيث ∈ Eل فإن المستقيم ل هو محور Cب
خا�ص َّية هامة
ٍ نقطة على محور تماثل القطعة المستقيمة تكون على بعدين متساويين من طرفيها. أى ُّ
لحظ اأن: 1إذا كانت جـ ∈ ل فإن Cجـ = ب جـ 2إذا كان هـ = Cهـ ب فإن هـ ∈ ل لماذا؟
الفصل الدراسى األول
85
مثال 10سم
1فى َّ الشكل المقابل
Cب = Cجـ = 10سم ،هـ ب = هـ جـ Cهـ ∩ ب جـ = {}E فإذا كان ب جـ = 6سم ،أوجد طول كل من جـ E C ، E المعطيات C :ب = Cجـ ،هـ ب = هـ جـ المطلوب :إيجاد جـ E C ،E ` Cتقع على محور ب جـ البرهان C a :ب = Cجـ ` هـ تقع على محور ب جـ aهـ ب = هـ جـ ` Cهـ هو محور ب جـ
ويكون Eمنتصف ب جـ = E C ،ب جـ E aمنتصف ب جـ ،ب جـ = 6سم ` جـ 3 = Eسم = E C aب جـ ` فى E C bجـ القائم الزاوية فى E ( C( = 2)E Cجـ)( - 2جـ 2)E (9 - 100 = 2)E C ` 91 = E Cسم
2فى َّ الشكل المقابل
Cب جـ مثلث فيه Cب = Cجـ، = E Cب جـ c( X ،ب ،°25 = )E C
ب جـ = 4سم أوجد
أ C E c(Xجـ )
الحل
o
25
ب طول Eجـ
المعطيات C :ب = Cجـ = E C ،ب جـ c( X ،ب ، °25 = )E Cب جـ = 4سم المطلوب C E c( X :جـ) ،طول Eجـ .
86
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
الوحدة الرابعة الدر�س الرابع البرهان :فى C bب جـ
C aب = Cجـ = E C ،ب جـ
` E Cينصف القاعدة ب جـ وينصف cب Cجـ
o
25
` C E c( Xجـ) = C E c( Xب) = ،°25 Eجـ = 12ب جـ = 2 = 42سم. تدرب 1فى َّ الشكل المقابل
سص=سل ،عص=عل ،لم=صم
أثبت أن س ،م ،ع على استقامة واحدة.
2فى الشكل المقابل:
ب = Eجـ هـ
C c( Xب جـ) = C c( Xجـ ب) c( X = )E c( Xهـ) = °90
برهن أن C E c( X :ب) = c( Xجـ Cهـ)
3فى َّ الشكل المقابل:
Cب = Cجـ E ،هـ C //ب Eو C //جـ
اثبتً : أوال E :هـ = Eو
ثانيًا c( X :ب Cجـ) = c( Xهـ Eو)
مطابع روزاليوسف -الفصل الدراسى األول
87
الوحدة الخامسة
5
التباين
الدرس األول
سة
ا
وحدة ال خام ل
�لتباين
ِّ وناقش فكر ِ سوف تتعلم © مفهوم التباين. مسلمات التباين. © ُ
المصطلحات األساسية © تباين © مسلمة © أكبر من > © أصغر من < © يساوى =
مفهوم التَّ باين ُ
جميع تالميذ فصلك لهم نفس الطول؟ 1هل ُ
اختالف بين ِ قياس الزاوية الحا َّدة والزاوية القائمة والزاوية 2هل هناك ٌ المنفرجة؟
ماذا يعنى هذا االختالف؟
الحظ �أن: ٍ اختالف فى أطوال التالميذ ،وفى قياسات الزوايا، التباين يعنى وجو َد ويع ِّبر عنه ب َعالقة التباين ،والتى تستخدم للمقارنة بين عددين مختلفين. أمثلة 1
إذا كانت Cc :ب جـ حادة فإن Cc( X :ب جـ) < .°90
2ىف الشكل املقابل C :ب جـ مثلث فيه Cب = 4سم ،ب جـ = 3.5سم،
4سم
Cجـ = 2.4سم
فإن C :ب > ب جـ ،ب جـ > Cجـ
3.5سم
أى أن Cب > ب جـ > Cجـ
الفصل الدراسى األول
89
2.4سم
تدرب
فى الشكل المقابل أوجد C c( X :جـ ب) C c( X ،جـ ،)E E C c( Xهـ) ثم أكمل باستخدام > أو <:
°25
°15
E C c( Xهـ) c( X .........جـ )E C E C c( Xجـ) C c( X .........جـ ب) C c( Xجـ C c( X ......... )Eب جـ)
°70
C c( Xجـ E C c( X ......... )Eهـ)
ِ العالقات السابقة تسمى متباينات. الحظ �أن :جمي ُع
ُ م�سلمات التباين س
ألىِّ ثالثة أعداد س ،ص ،ع:
1إذا كان :س > ص فإن:
س+ع>ص+ع
س
سع>صع
+
2ص
ع=1 2
ع=2
5إذا كان :س > ص > C ،ب س>C+ص+ب
90
ع
ع
ص -ع 1ص 2
2س
4إذا كان :س > ص ،ص > ع فإن :س > ع فإن:
-
1س 2
3إذا كان :س > ص ،ع عددًا موجبًا
ص
ع
س
2إذا كان :س > ص فإن :س -ع > ص -ع
فإن:
+
ص
س
س
+
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
ص
C
ع
ص +ب
ٍ ِ زاوية داخلة ماعدا المجاورة لها. تذكر �أن :قياس أى زاوية خارجة للمثلث أكبر من قياس أىِّ تدرب
1فى الشكل المقابل :أى من الزوايا التالية لها أكبر قياس؟ 4c ، أ 3c ، 1c ب 4c 2c د 7c
، ، ،
8c 3c 8 c
، ، ،
9c 7c
10 c
8 3
2 1
7 4 65
9
10
2
2فى الشكل المقابل عين:
أ جميع الزوايا التى قياسها أقل من )1c( X ب جميع الزوايا التى قياسها أكبر من )6 c( X جميع الزوايا التى قياسها أقل من )4 c( X
4
1
3
6
7
8
ِ قياسات زوايا المثلث Cب جـ تصاعديًّا ،قياسات زوايا المثلث س ص ع تنازليًّا. 3رتِّب
°110
°30
).... c( X < ).... c( X < ).... c( X
°80
°115
).... c( X > ).... c( X > ).... c( X
4فى َّ الشكل المقابل :جـ ∈ Cب C ∈ E ،ب فإذا كان C :ب > جـ E Cجـ ......ب E فإن: الفصل الدراسى األول
91
مثال فى الشكل المقابل:
C c( Xجـ ب) > C c( Xب جـ ) E ،ب = Eجـ اثبت أن C c( X :جـ C c( X > ) Eب )E
المعطيات C c( X :جـ ب )> C c( Xب جـ ) E ،ب = Eجـ
المطلوب:
إثبات أن C c( X :جـ C c( X > )Eب )E
البرهان E a :ب = Eجـ
` E c( Xجـ ب ) = E c( Xب جـ)
` بطرح ( )1من ( )2ينتج أن:
` C c( Xجـ C c( X > )Eب )E
()1
C c( X aجـ ب ) > C c( Xب جـ)
()2
C c( Xجـ ب ) E c( X -جـ ب) > C c( Xب جـ) E c( X -ب جـ)
92
وهو المطلوب
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
الدرس الثانى
سة
ا
وحدة ال خام ل
المقارنة بين قيا�سات الزوايا فى المثلث
ِّ وناقش فكر ِ سوف تتعلم © المقارنة بين قياسات الزوايا فى المثلث.
المصطلحات األساسية © زاوية . © قياس زاوية. © أكبر زاوية فى مثلث . © أصغر زاوية فى مثلث . © أكبر ضلع فى مثلث . © أصغر ضلع فى مثلث .
نشاط
1فى الشكل المقابل C :ب جـ مثلث متساوى الساقين فيه Cب = Cجـ
© عند طى المثلث بحيث ينطبق الرأس ب على الرأس جـ، ماذا تالحظ على قياس الزاويتين ب ،جـ المقابلتين للضلعين Cجـ C ،ب المتساويين فى الطول؟
© عند طى المثلث بحيث ينطبق الرأسين ،Cجـ ،ماذا تالحظ على قياس الزاويتين المقابلتين للضلعين ب جـ C ،ب المختلفين فى الطول؟ © هل اختالف طوال ضلعين فى المثلث يؤدى إلى اختالف قياسا الزاويتين المقابلتين لهما؟ 2ارسم المثلث Cب جـ مختلف األضالع.
© إطوى المثلث بحيث ينطبق الرأس Cعلى الرأس ب ماذا تالحظ على قياس الزاويتين ،C
ب المقابلتين للضلعين ب جـ ،
Cجـ المختلفين فى الطول؟ © كرر هذا العمل بحيث ينطبق الرأس ب على الرأس جـ ماذا تالحظ؟ © هل يوجد فى هذا المثلث زوايا متساوية فى القياس؟ مطابع روزاليوسف -الفصل الدراسى األول
93
الحظ �أن :إذا اختلفت أطوال أضالع المثلث تختلف قياسات زواياه المقابلة لهذه األضالع. نشاط
ارسم المثلث Cب جـ مختلف األضالع ثم قس أطوال أضالعه الثالثة ،وقياسات زواياه المناظرة ثم
أكمل الجدول التالى:
أطوال األضالع
قياسات الزوايا المقابلة
Cب = ..........سم
c( Xجـ) = ° ..........
جـ .......... = Cسم
c( Xب) = ° ..........
ب جـ = ..........سم
° .......... = )C c( X
ماذا تالحظ؟ نظرية ()3 إذا اختلف طوال ضلعين فى مثلث فأكبرهما فى الطول يقابله زاوية أكبر فى القياس من قياس الزاوية المقابلة لآلخر.
المعطيات C △ :ب جـ فيه Cب > Cجـ المطلوب :إثبات أن C c( X :جـ ب ) > C c( Xب جـ)
نأخذ C ∈ Eب بحيث C = E Cجـ العمل: البرهان C △ :جـ Eفيه C = E Cجـ ∴ C c( Xجـ E C c( X = ) Eجـ) ∵ E C cجـ خارجة عن △ ب Eجـ
∴ E C c( Xجـ) > c( Xب) من ( )2( ،)1نستنتج أن C c( Xجـ c( X > ) Eب)
()1 ()2
فيكون C c( Xجـ ب) > Cc( Xجـ )E وهو المطلوب. ∴ C c( Xجـ ب) > C c( Xب جـ )
94
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
تدرب فى كل من األشكال التالية اكمل باستخدام (>)< ، 1
2
5.4سم
4سم
4.2سم
3
6سم
5سم
5.6سم
6.2سم
7سم
8سم 2سم
c( X ...... )C c( Xب) c( Xع) c( X ......ص) c( Xب Cجـ) c( X ....ب جـ )C c( X ...... )C c( Xجـ) c( Xس) c( X ......ص) C E c( Xجـ) E c( X .....جـ )C c( Xب) c( X ......جـ) c( Xع) c( X ......س) c( Xب c( X ..... )E Cب جـ )E
الحظ �أن:
قياس أكبر زاوية فى المثلث > °60
قياس أصغر زاوية فى المثلث < °60لماذا؟ مثال
فى الشكل المقابل:
Cب جـ مثلث فيه Cب > ب جـ > جـ C برهن أن c( X :جـ) > c( X > )C c( Xب)
المعطيات C :ب > ب جـ > جـ C المطلوب :إثبات أن c( Xجـ) > c( X > )C c( Xب ) البرهان :فى△ Cب جـ
C aب > ب جـ
aب جـ > جـ C
` c( Xجـ) > )C c( X ` c( X > )C c( Xب)
من ( )2( ،)1وباستخدام مسلمات التباين ينتج أن: c( Xجـ )> c( X > )C c( Xب)
الفصل الدراسى األول
()1 ()2
95
ال يقابل أكبر زوايا المثلث فى القياس تذكر �أن :أكبر أضالع المثلث طو ً ال يقابل أصغر زوايا المثلث فى القياس. وأصغر أضالع المثلث طو ً مثال فى َّ الشكل المقابل:
Cب جـ مثلث ،ب م ينصف C cب جـ ،جـ م ينصف C cجـ ب
فإذا كان :م جـ > م ب برهن أن C c( X :ب جـ ) > C c( Xجـ ب)
المعطيات :ب م ينصف C cب جـ ،جـ مينصف C cجـ ب
،م جـ > م ب .
المطلوب :إثبات أن C c( Xب جـ) > C c( Xجـ ب) البرهان :فى△ م ب جـ
aم جـ > م ب فى △ Cب جـ
` c( Xم ب جـ) > c( Xم جـ ب)
aب م ينصف C cب جـ
aجـ م ينصف C cجـ ب
` c( Xم ب جـ) = C c( X 12ب جـ) ` c( Xم جـ ب) = C c( X 1جـ ب) 2
()1 ()2 ()3
` من ( C c( X 12 :)3( ،)2( ،)1ب جـ) > C c( X 12جـ ب) من مسلمات التباين
` C c( Xب جـ) > C c( Xجـ ب)
96
وهو المطلوب
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
س
ة
ال
المقارنة بين اأطوال الأ�سالع فى المثلث
وحدة الخام
الدرس الثالث
فكر وناقش
©
© © ©
نشاط 1فى الشكل المقابل C :ب جـ مثلث زواياه مختلفة فى القياس. اطو المثلث بحيث ينطبق الــرأس C على الرأس ب .ماذا تالحظ على طولى الضلعين ب جـ C ،جـ المقابلين ِّ للزاويتين ،Cب المختلفتين فى القياس؟ كرر هذا العمل بحيث ينطبق الرأس ب على الرأس جـ ،ماذا تالحظ؟ عندما ينطبق الرأس جـ علي الرأس ،Cماذا تالحظ؟ هل يوجد فى هذا المثلث أضالع متساوية فى الطول؟
الحظ �أن :إذا اختلفت قياسات زوايا المثلث تختلف أطوال أضالعه المقابلة لهذه الزوايا.
سوف تتعلم © المقارنة بين أطوال األضالع فى مثلث.
المصطلحات األساسية © أطول ضلع في مثلث. © أصغر ضلع فى مثلث. © أكبر زاوية فى مثلث. © أصغر زاوية فى مثلث. © قطعة مستقيمة عمودية.
نشاط 2ارسم المثلث Cب جـ بحيث تكون زواياه مختلفة فى القياس ،ثم قس أطوال األضالع المقابلة وأكمل الجدول اآلتى: قياسات الزوايا
)C c(X
c(Xب)
c(Xجـ)
ماذا تالحظ؟
= °..... = °..... = °.....
أطوال األضالع المقابلة له
ب جـ = .....سم
جـ ..... = Cسم Cب = .....سم
أكبر ضلع فى الطول؟ وأصغر زاوية © هل أكبر زاوية فى القياس يقابلها ُ فى القياس يقابلها أصغر ضلع فى الطول؟ ِ أطوال أضالع المثلث تصاعد ًّيا أو تنازل ًّيا تب ًعا لقياسات تيب © هل يمكن تر ُ الزوايا المقابلة لها؟ مطابع روزاليوسف -الفصل الدراسى األول
97
نظرية ()4 ٌ ضلع أكبر القياس يقابلها إذا اختلف قياسا زاويتين فى مثلث فأكبرهما فى ِ فى الطول من الذى يقابل األخرى .
المعطيات C △ :ب جـ فيه c( Xجـ) > c( Xب)
المطلوب :إثبات أن C :ب > Cجـ
البرهان C a :ب C ،جـ قطع مستقيمة
` يجب أن تتحقق إحدى الحاالت التالية: ( C )2ب = Cجـ
( C )1ب < Cجـ
إذا لم تكن Cب > Cجـ
فإما Cب = Cجـ
أو
إذا كان Cب = Cجـ
( C )3ب > Cجـ
Cب < Cجـ
فإن
c( Xجـ) = c( Xب)
فإن
c( Xجـ) < c( Xب) حسب النظرية السابقة
وهذا يخالف المعطيات حيث إن c( Xجـ) > c( Xب)
وإذا كان Cب < Cجـ
وهذا يخالف المعطيات حيث أن c( Xجـ) > c( Xب)
` جيب أن يكون Cب > Cجـ
98
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
وهو المطلوب
الوحدة الخام�سة الدر�س الثالث
تدرب
فى األشكال التالية أكمل باستخدام > أو < أو =
1
2
°70
°30
°75
Cب Cب 3
°40
س ص ......س ع
C ......جـ
ص ع ......س ص
......ب جـ
ص ع ......س ع
Cجـ ......ب جـ
4
°30
°120
°35
25
°
°30
Cجـ ........ب جـ
°55
ب جـ C ........ب
ب جـ E ........ب
جـ ........ Eجـ C
جـ C ........ Eجـ
جـ E C ........ E
Cجـ ........ب E
°115
C ........ E Cهـ
مطابع روزاليوسف -الفصل الدراسى األول
99
نتائج
نتيجة ()1 الوتر هو أطول أضالع المثلث. المثلث القائم الزاويةِ يكون فى ِ ُ
فى الشكل المقابل C △ :ب جـ قائم الزاوية فى ب. ` c( Xب) > )C c( X C c aحادة
caجـ حادة
فيكون Cجـ > ب جـ ` c( Xب) > c( Xجـ) فيكون Cجـ > Cب
ِ الضلع المقابل للزاوية المنفرجة هو أكبر أضالع المثلث ً طوال. الحظ �أن فى المثلث المنفرجِ الزاوية ّ هيا نفكر ّ
Cجـ > Cب لماذا؟ C > E Cب لماذا؟ Cهـ > Cب لماذا؟ هل طول ضلع القائمة فى المثلث القائم الزاوية أصغر من طول الوتر .لماذا؟
100
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
نتيجة ()2 ُ خارج مستقيم نقطة طول القطعةِ المستقيمة العمود َّية المرسومة من ٍ َ معلوم إلى هذا المستقيم أصغر من طول أى قطعة مستقيمة مرسومة من هذه النقطة إلى المستقيم المعلوم.
ٍ طول القطعة المستقيمة العمودية المرسومة من النقطة إلى نقطة عن مستقي ٍم معلوم هو ُ عد أى تعريفُ :ب ُ المستقيم المعلوم. مثال
°75
فى َّ الشكل المقابل C :ب جـ مثلث ،هـ ∈ ب C // Eب جـ c( X ،جـ °35 = )E C C C E c( Xهـ) = °75
°35
برهن أن C :جـ > Cب
//ب جـc( X ،هـ C E c( X ،°75 = )E Cجـ) = °35
المعطياتE C : المطلوب :إثبات أن Cجـ > Cب
البرهان // E C a :ب جـ C ،ب قاطع لهما ` c( Xب ) = c( Xهـ °75 = )E C
` Cc( Xجـ ب) = C E c( Xجـ )= °35
// E C aب جـ C ،جـ قاطع هلام
من ( )2( ، )1يكون:
ىف املثلث Cب جـ
C c( Xب جـ) = ، °75
بالتبادل ()2
C c( Xجـ ب) = °35
أى أن C c( Xب جـ) > C c( Xجـ ب) ` Cجـ > Cب
بالتناظر ()1
وهو املطلوب
مطابع روزاليوسف -الفصل الدراسى األول
101
متباينة المثلث
س
ة
ال
وحدة الخام
الدرس الرابع
فكر وناقش سوف تتعلم
نشاط
باستخدام المسطرة المدرجة والفرجارِ ، حاو ْل رسم المثلث Cب جـ حيث: C 1ب = 4سم ،ب جـ = 5سم C ،جـ = 6سم C 2ب = 6سم ، C 3ب = 9سم ، C 4ب = 8سم ،
ب جـ = 3سم ، ب جـ = 4سم ، ب جـ = 3سم ،
Cجـ = 2سم Cجـ = 3سم Cجـ = 5سم
© متباينة المثلث.
ٍ ع طولى أى ضلعين فى مثلث أكبر من حقيقة :فى أى مثلث يكون مجمو ُ طول الضلع الثالث.
أى أن :فى أى مثلث Cب جـ يكون:
Cب +ب جـ > Cجـ ب جـ +جـ C > Cب Cب C +جـ > ب جـ
فمث ً أطوال أضالع مثلث؛ ألن مجموع َ تكون ال :األعداد 9 ،3 ،5التصلح أن َ
أصغر عددين = 9 < 8 ، 8 = 5 + 3والتحقق متباينة المثلث. مثال
8.5سم
فى المثلث Cب جـ إذا كان Cب = 10سم،
ب جـ = 8.5سم أوجد الفترة التى ينتمى إليها طول الضلع Cجـ.
102
المصطلحات األساسية © متباينة.
ِ الحاالت السابقة أمكنك رسم المثلث ،وماذا تستنتج؟ فى أىٍّ من
© متباينة المثلث.
10سم
الرياضيات -الصف الثانى االعدادى
الوحدة الخام�سة الدر�س الرابع الحل
` Cجـ < 18.5
Cجـ < Cب +ب جـ متباينة المثلث لكن Cجـ +ب جـ > Cب ()2 ` Cجـ > 1.5 Cجـ > Cب -ب جـ من ( C > 18.5 )2( ،)1جـ > 1.5 ` Cجـ ∈ ][18.5 ، 1.5 ()1
تدرب أوجد الفتر َة التى ينتمى إليها طو ُل الض ِّلع الثالث لك ٍّل من المثلثات التالية إذا كان طوال ِّ الضلعين اآلخرين هما: أ
6سم9 ،سم ب 5سم12 ،سم
7سم15 ،سم د 2.9سم 3.2 ،سم الحل
aم منتصف Cجـ
` Eم متوسط للمثلث
أ aمتبانيه الملث تنص على :مجموع طولى أى ضلعين فى مثلث أكبر من طول الضلع الثالث ` الفترة التى ينتمى إليها طول الضلع الثالث = ][15 ، 3 الحظ :ال يمكن اختيار طول الضلع الثالث = 3سم (لماذا) ال يمكن اختيار طول الضلع الثالث = 15سم ( لماذا) نا ِق ْ ش معلمك إلستكمال حلول (ب) ( ،جـ ) ( ،د )
الفصل الدراسى األول
103