اال�صم: الف�صل: املدر�صة:
ت�أليف اأ.د /عف�ف اأبو الفتوح �ص�لح
اأ /كم�ل يون�س كب�صة
اأ� /صريافيم اإلي��س اإ�صكندر
جميع الحقوق محفوظة ال يجور نشر أى جزء من هذا الكتاب أو تصويره أو تخزينه أو تسجيله بأى وسيلة دون موافقة خطية من الناشر.
شركة سقارة للنشر �ش .م .م
الطبعــة األولى 2017/2016 رقم اإليــداع 2016 / 8703 الرقم الدولى 978 - 977 - 706 - 031 - 8
المقدمة بسم ال� ل�ه الرحمن الرحيم يسعدنا ونحن نقدم هذا الكتاب أن نوضح الفلسفة التى تم ىف ضوئها بناء املادة التعليمية ونوجزها فيمايىل:
يشهد عالم اليوم تطو ًرا علميًّا مستم ًرا ،وجيل الغد يلزمه أن يتسلح بأدوات تطور عرص الغد؛ حتى يستطيع ً وانطالقا من هذا املبدأ سعت وزارة الرتبية والتعليم إىل تطوير مناهجها مواكبه االنفجار الهائل يف العلوم املختلفة، عن طريق وضع املتعلم يف موضع املستكشف للحقيقة العلمية باإلضافة إىل تدريب الطالب عىل البحث العلمى يف التفكري؛ لتصبح العقول هى أدوات التفكري العلمى وليست مخازن للحقائق العلمية. ونحن نقدم هذا الكتاب « التفاضل والتكامل» للصف الثالث الثانوى؛ ليكون أداة مساعدة يستنري بها أبناؤنا عىل التفكري العلمى ،ويحفزهم عىل البحث واالستكشاف . وفى �ضوء ما �ضبق روعى فى الكتاب « التفا�ضل والتكامل » مايلى:
تقسيم الكتاب إىل وحدات متكاملة ومرتابطة ،لكل منها مقدمة توضح مخرجات التعلم املستهدفة ومخططٌ تنظيمى يوضح الهدف من تدريسها للطالب لها ،واملصطلحات الواردة بها باللغة العربية واإلنجليزية ،ومقسمة إىل دروس َّ تحت عنوان (سوف تتعلم) .ويبدأ كل درس من دروس كل وحدة بالفكرة األساسية ملحتوى الدرس ،وروعى عرض املادة العلمية من السهل إىل الصعب ،ويتضمن الدرس مجموعة من األنشطة التى تربطه باملواد األخرى والحياة العملية ،والتى تناسب القدرات املختلفة للطالب ،وتراعى الفروق الفردية من خالل بند (اكتشف الخطأ ملعالجة بعض األخطاء الشائعة لدى الطالب) ،وتؤكد عىل العمل التعاونى ،وتتكامل مع املوضوع ،كما يتضمن الكتاب بعض القضايا املرتبطة بالبيئة املحيطة وكيفية معالجتها. كما ُقدِّم ىف كل درس أمثلة تبدأ من السهل إىل الصعب ،وتشمل مستويات التفكري املتنوعة ،مع تدريبات عليها تحت عنوان (حاول أن تحل) ،وينتهى كل درس ببند «تمارين» ،ويشمل مسائل متنوعة ،تتناول املفاهيم واملهارات التى درسها الطالب ىف الدرس. تنتهى كل وحدة بملخص للوحدة ،يتناول املفاهيم والتعليمات الواردة بالوحدة ،وتمارين عامة تشمل مسائل متنوعة عىل املفاهيم واملهارات التى درسها الطالب ىف هذه الوحدة. تُختم وحدات الكتاب باختبار تراكمى ،يقيس بعض املهارات الالزمة لتحقيق مخرجات تعلم الوحدة. ينتهى الكتاب باختبارات عامة ،تشمل بعض املفاهيم واملهارات التي درسها الطالب.
وأخير ًا ..نتمنى أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه خير لأولادنا ،ولمصرنا العزيزة. وال� �له من وراء القصد ،وهو يهدى إلى سواء السبيل
المحتويات الوحدة الأولى
االشتقاق وتطبيقاته
1 -1
اشتقاق الدوال المثلثية.
4
2 -1
االشتقاق الضمنى والبارامترى.
9
3 -1
المشتقات العليا للدالة.
4 -1
معادلتى المماس والعمودى لمنحنى.
5 -1
المعدالت الزمنية المرتبطة.
..................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................
14
..............................................................................................................................................................................
18
................................................................................................................................................................................................................
22
ملخص الوحدة.
.........................................................................................................................................................................................................................................................
29
تماريــن عامة.
........................................................................................................................................................................................................................................................
30
اختبار تراكمي.
..........................................................................................................................................................................................................................................................
33
الوحدة الثانية
تفاضل وتكامل الدوال األسية واللوغاريتمية
1 -2
الدالة األسية ذات األساس الطبيعى ودالة اللوغاريتم الطبيعى.
2 -2
مشتقات الدوال األسية واللوغاريتمية.
3 -2
تكامل الدوال األسية واللوغاريتمية.
.......................................................................................
36
..........................................................................................................................................................................
41
....................................................................................................................................................................................
50
ملخص الوحدة.
.........................................................................................................................................................................................................................................................
56
تماريــن عامة.
........................................................................................................................................................................................................................................................
57
اختبار تراكمي.
..........................................................................................................................................................................................................................................................
59
الوحدة الثالثة
سلوك الدالة ورسم المنحنيات
1 -3
تزايد وتناقص الدوال.
2 -3
القيم العظمى والصغرى ( القيم القصوى ).
3 -3
رسم المنحنيات.
4 -3
تطبيقات على القيم العظمى والصغرى.
.....................................................................................................................................................................................................................................
62
.....................................................................................................................................................
66
......................................................................................................................................................................................................................................................
72
....................................................................................................................................................................
82
ملخص الوحدة.
.........................................................................................................................................................................................................................................................
88
تماريــن عامة.
........................................................................................................................................................................................................................................................
90
اختبار تراكمي.
..........................................................................................................................................................................................................................................................
93
الوحدة الرابعة
التكامل المحدد وتطبيقاته
1 -4
طرق التكامل.
2 -4
تكامل الدوال المثلثية.
106
3 -4
التكامل المحدد.
110
4 -4
المساحات فى المستوى.
117
5 -4
حجوم األجسام الدورانية.
125
ملخص الوحدة.
132
تماريــن عامة.
134
اختبار تراكمي.
136
اختبارات عامة.
138
أجوبة بعض التمارين.
150
...............................................................................................................................................................................................................................................................
96
...............................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................
هتاقيشات لاقتشالا
الوحدة األولى
االشتقاق وتطبيقاته Differentiation and it’s Applications
مقدمة الوحدة فى دراستك السابقة للدوال ،تع َّر َ فت على دوال صريحة فى متغير واحد على الصورة ص = د(س) والعمليات َ بحثت قابلية اشتقاق الدالة المتصلة على مجال ما ،وأمكنك إيجاد المشتقة األولى على هذه الدوال وتركيبها ،كما للدوال الجبرية وبعض الدوال المثلثية. فى هذه الوحدة نستكمل دراسة اشتقاق الدوال المثلثية وتع ُّرف دوال أخرى ال يمكن فصل متغيراتها ،حيث ترتبط المتغيرات بعالقة ضمنية أو بتعريفها من خالل متغير وسيط يعرف بالمتغير البارامترى؛ مما يتطلب دراسة أنماط أخرى لالشتقاق ،مثل االشتقاق الضمنى ،واالشتقاق البارمترى الذى يعتمد على مشتقة دالة الدالة (قاعدة السلسلة) فى اشتقاق الدوال ،كما نبحث وجود مشتقة مشتقة الدالة (المشتقة الثانية للدالة) فى إطار دراسة المشتقات العليا للدالة والتى تفسح المجال لدراسة تطبيقات حياتية متعددة. كما تهتم هذه الوحدة ببعض التطبيقات المهمة لالشتقاق فى مجاالت متعددة للرياضيات والفيزياء واالقتصاد والعلوم البيولوجية من خالل دراسة معادلتى المماس والعمودى على المماس لمنحنى ،والمعدالت الزمنية المرتبطة لتساعدك على نمذجة وحل بعض المشكالت الحياتية التى قد تصادفك.
مخرجات التعلم فى نهاية الوحدة وبعد تنفيذ األنشطة من المتوقع أن يكون الطالب قاد ًرا على أن: يوجد مشتقات الدوال المثلثية قاس ،قتا س ،ظتا س.
يوجد االشتقاق لدوال ضمنية (صريحة ،ضمنية ،بارامترية.)...
يوجد المشتقات العليا (الثانية والثالثة) لدوال مختلفة ويتعرف طريقة التعبير عنها .
يوجد معادلتى المماس والعمودى لمنحنى عند نقطة تقع عليه كتطبيق على االشتقاق. يوجد المعدالت الزمنية المرتبطة متضمنة التطبيقات الفيزيائية. ينمذج ويحل مشكالت حياتية واقتصادية.
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
المصطلحات األساسية Ñاالشتقاق(التفاضل)
Differentiation
Ñالمشتقة األولى Ñدالة مثلثية
Ñمشتقات عليا
First Derivative
Equation of the Tangent
Ñمعادلة العمودى
Implicit function
Ñوسيط (بارامتر)
Slope of the Tangent
Ñمعادلة المماس
Explicit Function
Ñدالة ضمنية
Higher Derivatives
Ñميل المماس
Trigonometric Function
Ñدالة صريحة
Ñاشتقاق ضمنى
Ñاشتقاق بارامترى
Parametric Defferentiation
Equation of the Normal
Ñمعدل
Parameter
Rate
Ñمعدالت مرتبطة
Implicit Defferentiation
دروس الوحدة
Related Rates
األدوات والوسائل
الدرس ( :)1 - 1اشتقاق الدوال المثلثية
Ñآلة حاسبة رسومية
الدرس ( :)2 - 1االشتقاق الضمنى والبارامترى
Ñحاسب آلى مزود ببرامج رسومية ((Geogebra, Graph
الدرس ( :)3 - 1المشتقات العليا للدالة الدرس ( :)4 - 1معادلتى المماس والعمودى لمنحنى الدرس ( :)5 - 1المعدالت الزمنية المرتبطة
مخطط تنظيمى للوحدة
االشتقاق وتطبيقاته مشتقات الدوال المثلثية
االشتقاق
تطبيقات االشتقاق
االشتقاق الضمنى االشتقاق البارامترى
معادلتى المماس والعمودى لمنحنى
معدالت زمنية مرتبطة
المشتقات المتتالية تطبيقات
بيولوجية
فيزيائية
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
هندسية
1-1
ا�شتقاق الدوال المثلثية Derivative of Trigonometric Functions
مقدمة: سبق لك دراسة اشتقاق بعض الدوال المثلثية ،وفى هذا الدرس سنذكرك ببعض المفاهيم األساسية فى االشتقاق لتتعرف مشتقات دوال مثلثية أخرى.
سوف تتعلم إيجاد مشتقة:
Ñد(س) = ظتا س
فكر و
Ñد(س) = قا س
Ñد(س) = قتا س
ناقش
نهــــــا د( + Cهـ) -د( ) Cبشرط أن تعلم أن معدل تغير الدالة د عند النقطة ( ، Cد(= ))C هـ!0 هـ
أيضا مشتق الدالة د عند نفس النقطة ،و ُيرمز له بالرمز تكون النهاية موجودة ،وهو ً
المصطلحات األساسية Ñدالة مثلثية Trigonometric function
Ñمشتقة
Drivative
Ñظتا س
(cot(x
Ñقتا س
(Csc(x
(Sec(x
Ñقا س
د )C ( /ويكون ميل المماس لمنحنى د عند النقطة ( ،Cد( = ))Cد)C( /
من قراءتك البيانية للشكل المقابل ناقش قابلية الدالة د لالشتقاق عند: س = حـ ،س = ، Cس = ب ، س ∈ ] ، Cب[ ،س∈ [ ، Cب]
الحظ أن : ميل المماس معروف لجميع نقط المنحنى باستثناء عند
س = ب ،س = جـ وعلى ذلك فإن :س
ص = د(س)
جـ
ب
-1الدالة د غير متصلة عند س = جـ فهى غير قابلة لالشتقاق عند جـ األدوات المستخدمة Ñآلة حاسبة علمية.
Ñبرامج رسومية للحاسوب.
د(س)
د( /س)
)I ∈ C( C
صفر
جا س (س)E
جتا س
س ن ( ن∈ )I
جتا س (س)E ظا س (س)E
4
نسن1-
جا سقا 2س
ص
C
و
-2الدالة د قابلة لالشتقاق عند س = Cألن د )C( /موجودة -3الدالة د غير قابلة لالشتقاق عند س = ب ألن : المشتقة اليمنى د(/ب ! )+المشتقة اليسرى د(ب)-
-4تكون الدالة د قابلة لالشتقاق على الفترة ] ، Cب[ إذا وجدت مشتقة للدالة عند كل نقطة تنتمى إلى هذه الفترة.
-5تكون الدالة د المعرفة على الفترة المغلقة [ ، Cب] قابلة لالشتقاق إذا وفقط إذا كان + كل من د ، ) C( /د( /ب )-له وجود ،وكانت د قابلة لالشتقاق على الفترة ] ، Cب[
تذكر :قواعد االشتقاق
-1
E
Eس
[ Cد(س)] = Cد (س) I ∈ C ، /
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
1 1
هاقيشات هلا هل هقتقتتا E
[د(س) ! ر(س)] = د( /س) ! ر( /س) -2 E Eس [د(س) * ر(س)] = د(س) :ر( /س) +ر(س) :د( /س) -3 Eس
/ [ د(س) ] = ر(س) :د( /س) - د(س) :ر (س) ،ر (س) ! 0 2
E
-4
Eس
ر(س)
[ ر(س) ]
إذا كانت ص = د(ع) قابلة لالشتقاق بالنسبة إلى ع ،ع = ر (س) قابلة لالشتقاق بالنسبة إلى س ،
فإن ص = د [ر (س)] تكون قابلة لالشتقاق بالنسبة إلى س
Eع Eص Eص * = ويكون : Eس Eع Eس
أى إن :
E
Eس
[ قاعدة السلسلة]
د [ ر(س)] = د [ /ر(س) ] :ر( /س)
إذا كانت د دالة قابلة لالشتقاق بالنسبة إلى س ،ن عد ًدا حقيق ًّيا
فإن :
E
Eس
[د (س) ]ن =
ن [د(س)]ن 1-
أى إن إذا كانت ص = د(س)
* د(/س)
نE 1-ص E فإن Eس (ص)ن = ن ص Eس
تعلم ص
- 1م�شتقة دالة ظل التمام إذا كانت ص = ظتا س حيث س ∈ ، Iس ! ن ، rن ∈ N فإن E :س (ظتا س ) = -قتا 2س E
س
r2
r
r 2
r2
و
r-
الحظ أن :
جتا س E 1 E Eص [ )= ( = Eس Eس جا س Eس ظا س
]
1 جا س * -جا س -جتا س * جتا س = (جا س)2 = ( -جاس)2
ص = ظتا س
= -قتا 2س
ص
- 2م�شتقة دالة القاطع إذا كانت ص = قا س حيث :
فإن:
س∈ ، Iس ! ( 2ن ، r)1 +ن ∈ N
2
E
Eس
س
( قاس ) = قا س ظا س ( تحقق من ذلك) كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
r r2
r 2
و
ص = قا س
r2
r-
5
هتاقيشات لاقتشالا ص
- 3م�شتقة دالة قاطع التمام : إذا كانت ص = قتا س حيث
س∈ ،Iس! ن ، rن∈ N
فإن :
E
Eس
( قتا س) = -قتا س ظتا س تحقق من ذلك
r r2
س
r 2
ص = قتا س
مثال Eص 1أوجد Eس
لكل مما يأتى:
أ ص = 3س 4 + 5ظتا س
ب ص = 3قا س 5 -ظا س - 1ظتا س د ص= + 1ظتا س
ج ص = س 3قتا س الحل
Eص أ = 5 * 3س - ( 4 + 4قتا 2س) = 15س 4 - 4قتا2س Eس
ب Eص Eس ج Eص Eس
= ( 3قا س ظا س) 5 -قا2س = قاس [ 3ظا س 5 -قا س] = 3س 2قتا س +س - ( 3قتا س ظتا س) = س 2قتاس [ - 3س ظتا س]
د Eص ( + 1ظتا س) ( قتا2س) - 1( -ظتاس) ( -قتا2س) = ( + 1ظتا س)2 Eس
2قتا 2س قتا 2س[ + 1ظتا س - 1 +ظتا س] = = ( + 1ظتا س)2 ( + 1ظتا س)2
حاول أن تحل
Eص 1أوجد Eس
إذا كانت ص تساوى:
أ 2جا س 3 -ظتا س
د قتا س ظتا س لكل مما يأتى:
أ ص = قا ( 5س )2 +
ج ص = قتا3 + 1( 2س)2
6
ب جتا س 4 +قا س ه
مثال Eص 2أوجد Eس
و
قا س + 1قا س
ج قا س طا س و - 1قتا س + 1قتا س
ب ص = ظتا ( جتا 3س) د ص = (- 3
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
2ظتا س)3
r2
r-
هاقيشات هلا هل هقتقتتا
1 1
الحل
Eع =5 أ aص = قا ( 5س )2 +بوضع ع = 5س ` 2 + Eس Eص = قا ع طا ع ويكون ص = قا ع حيث Eع Eع Eص Eص [قاعدة السلسلة] * = a Eس Eع Eس Eص = قاع طا ع * 5 = 5قا ( 5س )2 +طا ( 5س )2 + ` Eس حل آخر: E
د[ر(س)] = د[ /ر(س)] * ر( /س)
a Eس Eص = قا( 5س )2 +ظا ( 5س )2 + ` Eس
E
Eس
= 5قا ( 5س )2 +ظا ( 5س )2 +
ب ص = ظتا ( جتا 3س) Eص ` Eس
= -قتا (2جتا 3س)
E
Eس
( 5س )2 +
(جتا 3س)
2
= -قتا ( 2جتا 3س ) * [ -جا 3س * 3 = ]3جا 3س قتا ( جتا 3س)
ج ص = قتا3 + 1 ( 2س)2 Eص ` Eس
= 2قتا (3 + 1س - * )2قتا ( 3 + 1س )2ظتا ( 3 + 1س 6 * )2س 2
= 12 -س ظتا (3 + 1س )2قتا ( 3 + 1س)2
د ص= Eص Eس
( 2 - 3ظتا س)3
2
= 2 - 3( 3ظتا س) -( 2 - * 2قتا س) =
6قتا 2س ( 2 - 3ظتا س)2
حاول أن تحل
2أوجد
Eص Eس
إذا كانت ص تساوى:
أ ظتا ( س)3 + 2
د 3قا 2س 2 +قتا 3س
ب قا س 2 -
ه -قتا 2( 3س )r +
ج جا (قتا 3س)2 1 2 و س قا س
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
7
هتاقيشات لاقتشالا
تمــــاريــن الدرس ()1 – 1 س
�إذ� ك�نت د ،ر ،ق دو�ل ق�بلة لال�ستق�ق ب�لن�سبة �إلى �س� ،أكمل م� ي�أتى: ب��ستخد�م �لقيم �لمعط�ه فى �لجدول �لمق�بل: 1ق (س) = 3د(س) 2 -ر(س) فإن ق= )1( / 2ق (س) = د(س) [ + 5ر (س)] فإن ق= )2( /
3ق (س) = د(س) ÷ [ر (س) ]2 +فإن ق= )1( / فإن ق= )1( /
4ق (س) = د[ر (س)]
5ق (س) = ر [ 3س -د(س)] فإن ق= )2( / 6ق (س) =
�أوجد
Eص Eس
[س + 3ر (س)]2-
فإن ق= )1( /
11ص = ظا ( ظتا س)
13ص = جتا 2س 5 -ظتا 3س 16ص = قا س طا 2س
1ص = 3قا 2 ( 2س )r +
22ص = ( قتا س
+ظتا س)1-
1-
4
1
5
2 2
1
3-
........................................ ........................................ ........................................
14ص = طا 3س -قتا 2س 17
ر( /س)
1
........................................
+ظتا س )2
ص = ظتا 3
د (س) /
........................................
ص = قتا ( 3 - 2س)
11ص = (1
ر(س)
........................................
لكل مم� ي�أتى:
7ص = س 2 - 3قا س
د(س)
2
س
21ص = + 1قتا س ظتا 3س 23ص = 2س 3 +
1 ص = ظتا (- r س
12ص = قتا (2 - rس)
15ص = جا3 2س +قا 2س . 1ص = قتا + 1 ( 2س)2
21ص = س 2ظتا 3س - 1قا س 24ص = + 1قا س
�أجب ع َّم� ي�أتي:
Eص عند س = 1 25إذا كانت ص = ظتا rع ،ع = 3س أوجد Eس 6 Eص 0 = 12 + 26إذا كانت ص = 2 - 5ع ،ع = قا 2س أثبت أن E 3س
27أوجد ميل المماس لمنحنى الدالة د حيث ص = د(س) لكل مما يأتى: أ ص = 2ظتا س 2 +قا س عند س = r 4 عند س = r3 ب ص = 3طا س -قتا 2س 4
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
)
عند س = r 6
2-1
اال�شتقاق ال�شمنى والبارامترى Implicit and Parametric Defferentiation
اال�شتقاق ال�شمنى سبق لك إيجاد مشتقة دالة معرفة بالصورة ص = د(س) وهى دالة صريحة explicit function للمتغير المستقل س حيث تحدد قيمة ص مباشرة متى علم قيمة س مثل : س1+ ... ، ص = جا ( 2س ، )3 +ص = ص = 4س5 - 3س ، 2 +
سوف تتعلم
Implicit Defferentiation
ويكون ص 12 = /س، 5 - 2
ص 2 = /جتا ( 2س ، )3 +ص= /
Ñاالشتقاق الضمنى
Ñاالشتقاق البارامترى
س1-
.......................
أما إذا كانت ص مرتبطة بالمتغير س بمعادلة تحوى س ،ص م ًعا مثل: س + 2ص)2( 0 = 9 - 2 س ص +ص ، )1( 0 = 4 - فكل معادلة تعرف عالقة ضمنية implicit relationبين س ،ص؛ تعبر عن العالقة بين إحداثيي نقطة (س ،ص) واقعة على منحناها البياني.
الحظ أن : -1يمكن كتابة المعادلة س ص +ص 0 = 4 -بالصورة: 4 حيث س ! 1- ` ص= ص ( س 4 = )1 +
المصطلحات األساسية Ñعالقة
Ñدالة صريحة Ñدالة ضمنية
Relation Explicit function Implicit function
Ñوسيط
Parameter
س1+
وفى هذه الحالة تعرف العالقة الضمنية دالة واحدة صريحة.
-2مجموعة النقط (س ،ص) التى (س ،ص) تحقق المعادلة س + 2ص 9 = 2ترسم دائرة مركزها نقطة األصل وطول 3 نصف قطرها 3وحدات ،ومن س اختبار الخط الرأسى نالحظ أن العالقة س + 2ص 9 = 2ال تمثل دالة غير أن ص - 9 = 2س2 ` ص = ! - 9س2 فيمكن أن ِ ف العالقة الضمنية تعر ُ س + 2ص 9 = 2دالتين صريحتين (س ،ص) األولى ص = - 9س2 مجالها [ ]3 ، 3-ومداها [ ]3 ، 0وقابلة س 3 لالشتقاق لكل س ∈ ][3 ، 3-
ص
و
3-
األدوات المستخدمة Ñآلة حاسبة علمية. Scientific calculator
ص
د(س) =
و
- 9س2
3-
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
هتاقيشات لاقتشالا
والثانية :ص = - مجالها [ ]3 ،3-ومداها []0 ،3- 3س 3 و وقابلة لالشتقاق لكل س∈ ][3 ، 3- (س ،ص) فى كثير من المعادالت على الصورة د(س ،ص) = 0يصعب التعبير عن ص بداللة س مباشرة؛ ألن المتغير ص ال يمثل دالة صريحة بالنسبة إلى د(س) = - 9س2 س ،تسمى هذه الدالة غير الصريحة بالدالة الضمنية implicit function عملية اشتقاق الدالة الضمنية (االشتقاق الضمنى) يتطلب اشتقاق Eص Eس أو كل من طرفى المعادلة بالنسبة إلى أحد المتغيرين س أو ص وف ًقا لقاعدة السلسلة لتحصل على Eس Eص على الترتيب. - 9س2
ص
مثال Eص 1أوجد Eس
إذا كان:
ب 3س ص +ص = 2س7 - 2
أ س + 3ص 7 - 2س 5 +ص = 8
الحل
Eص نشتق طرفى أ الحظ أن المعادلة ال تعطى ص صراحة بداللة س ,إليجاد Eس
المعادلة بالنسبة إلى س مع مراعاة أن ص دالة للمتغير س وقابلة لالشتقاق فيكون:
Eص Eص 5+73س2 + 2ص Eس Eس Eص (2ص 3 - 7 = )5 +س2 Eس
=0
3س2
Eص -7 = ` Eس 2ص 5 +
تذكر �أن إذا كانت ص دالة فى س وقابلة لالشتقاق فإن: ( Eص)ن Eس
ب 3 aس ص +ص = 2س 7 - 2باشتقاق طرفى المعادلة بالنسبة إلى س.
Eص E (3س ص ) 2 +ص ` Eس Eس Eص Eص = 2س +ص * 2 + 3ص 3س Eس Eس 2س 3 -ص Eص Eص = ` [3س 2 +ص] = 2س 3 -ص Eس Eس 3س 2 +ص
= 2س
حاول أن تحل
Eص 1أوجد Eس
إذا كان:
أ س 5 - 3س ص +ص4 = 3س
ب س 2ص +ص 2س = 25
مثال Eص 2أوجد Eس
إذا كان:
أ جا 2ص = ص جتا 3س
11
ب ظا 2س +ظتا ص = س ص
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
= ن ص ن 1-
Eص Eس
هتاقيشات هل قنمض هلقاتهالا
1 1
الحل
أ باشتقاق طرفى المعادلة بالنسبة إلى س E
`
Eس
( جا 2ص ) =
E
Eس
( ص جتا 3س)
Eص Eص = ص [ -جا 3س * + ]3جتا 3س [ جتا 2ص * 2 Eس Eس Eص Eص 3ص جا 3س = [ 2جتا 2ص -جتا 3س ] = 3 -ص جا 3س ` Eس Eس جتا 3س 2 -جتا 2ص
]
ب باشتقاق طرفى المعادلة بالنسبة إلى س ( Eطا 2س) +
E
(ظتا ص) =
E
Eس Eس Eص Eص +ص =س 2قا 2 2س -قتا 2ص Eس Eس Eص [ س +قتا2ص] = 2قا 2 2س -ص Eس
حاول أن تحل
Eص 2أوجد Eس
Eس
( س ص)
إذا كان:
Eص 2قا 2 2س -ص = ` 2 Eس س +قتا ص
ب 3ص = جا س جتا 2ص
أ س جتا ص +ص جتا س = 1
Eص
كال من س ،ص مما يجعل حسابها شاقًّا عند الحظ أن :الصيغة النهائية للمشتقة Eس فى االشتقاق الضمنى تحوى ًّ ال لمعرفة قيمة ص المناظرة لها والتى يصعب تحديدها من العالقة الضمنية. إحدى قيم س لحاجتنا أو ً اال�شتقاق البارامترى إذا أمكن التعبير عن كل من اإلحداثى السينى ،واالحداثى الصادى للنقطة (س ،ص) كدالة فى متغير ثالث ن (يسمى الوسيط أو البارامتر) بالمعادلتين: لهما نفس المجال حيث د ،ر س = د(ن) ،ص = ر(ن) معبرا عنه بالصورة البارامترية فإن المعادلتين م ًعا تمثالن معادلة لمنحنى واحد ً
Parametric Defferentiation
تعلم للمنحنى المعطى على الصورة البارامترية س = د(ن) ،ص = ر(ن)
Eس Eص Eن Eص Eص ÷ = * = يكون Eن Eن Eس Eن Eس
حيث د ،ر دالتان قابلتان لالشتقاق بالنسبة إلى ن.
مثال Eص 3أوجد Eس
للمنحنيات اآلتية عند القيم المعطاة:
أ س = 5ن ، 3 +ص = 16ن ، 9 + 2ن = 5
ب س = 3جتا ، i2ص = 4جا r = i ، i 3 4
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
11
هتاقيشات لاقتشالا الحل
Eص Eس = 32ن = ، 5ص = 16ن 9 + 2 أ س = 5ن 3 + Eن Eن Eص 32ن Eن Eص Eص ن = 32 = 5 ويكون = * = ` Eس Eس Eن Eس 5
[ ]
Eس ب س = 3جتا i 2 iE Eص = * 4جتا 12 = 3 * i 3جتا i 3 ص = 4جا i 3 iE ` Eص = Eص * 12 = i Eجتا 2 - = i 3جتا i 3 Eس Eس iE جا i 2 6جا i 2 2جتا r3Eص 4 1= * 2- = عند r = iفإن = 2 س E 4 جا r 2 2 = - * 3جا 6 - = 2 * i 2جا i 2
حاول أن تحل
Eص 3أوجد Eس
للمنحنيات اآلتية عند القيم المعطاة
أ س = ( ن ( )7 +ن ، )2 -ص = ( ن ( )1 + 2ن ، )2 -ن = . 1 ب س = قا ، 1 - i 2ص = طاr3- = i ، i ج س = 3ن ، 2 -ص = 4ن ، 1 +ن = 2 4
تفكير ناقد :أوجد قيمة البارامتر ع التى يكون عندها للمنحنى س = 2ع5 - 3ع 4 - 2ع ، 12 +ص = 2ع + 2ع 4 -مماس أفقى وآخر رأسى. مثال 4أوجد مشتقة ( 4س9 - 3س )5 + 2بالنسبة إلى (3س)7 + 2 الحل
بوضع ص = 4س9 - 3س ، 5 + 2ع = 3س 7 + 2فتكون ص = د(س) ،ع = ر(س) الدالتان د ،ر قابلتان لالشتقاق بالنسبة إلى س باعتبار س بارامتر لكل من المتغيرين ص ،ع ` من االشتقاق البارامترى نجد أن: Eص ص 12 /س 18 - 2س = = / Eس 6س ع
=2س3-
أى أن
E 2 3(Eس )7 +
حاول أن تحل
4باستخدام االشتقاق البارامترى أوجد: أ مشتقة س1 + 2 ب مشتقة + 8س2
ج مشتقة س -جا س
12
بالنسبة إلى س1 - 2 س عند س = 1 بالنسبة إلى س1+
بالنسبة إلى - 1جتا س عند س = r 3
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
[ 4س9 - 3س 2 = ]5 + 2س 3 -
هتاقيشات هل قنمض هلقاتهالا
1 1
تمــــاريــن الدرس ()2 – 1
� اً أول� :أختر �لإج�بة �ل�سحيحة من بين �لإج�ب�ت �لمعط�ة: Eص 1إذا كانت س + 2ص 1 = 2فإن Eس ب 1 أ س ص Eص يساوى: 2إذا كانت س + 2ص 2 = 2س ص فإن Eس
يساوى:
أ 1-
3إذا كانت ص2 - 2 أ
2ص س
س
ب صفر
ج 1
د 2
يساوى: = 0فإن Eس ج ب س
4إذا كان س = 2ن ، 3 + 2ص = ب 3 أ 3 5
Eص
ج س ص
د ص س
4
8
ن3
ب 1- 6
E ص في كل مم� ي�أتى: ث�نياً�� :أوجد Eس
6س4 - 2ص0 = 7 + 2
س 6 + 3س ص = 4ص 3 +
12س جا ص +ص جتا س = 0
ص2
Eص ،ن = 1فإن Eس
ميل المماس للمنحنى س ص 3 = 2عند النقطة (، 3 أ 3-
س
د
ج 2
1
ص3
يساوى:
)1يساوى: ج 1
د 6 د 3 2
3
7س3 + 4ص0 = 2 - 4
س 2 - 2س ص = - 5ص2
13س قتا ص = ص ظتا س
14س 2جا ص -ص 2جا س = 9
ص س 11 + س ص
15جا 2س جتا 2ص = 3 4 E ص للمنحني�ت �لآتية عند �لقيم �لمعط�ة: ث�ل اًث�� :أوجد Eس 16س = 2 - 13ن ،ص = 4ن -2ن ،ن = 4
=1
11س ص +جا ص = 5
17س = جا ، i r 2ص = جتا 1 = i ،ir 2 6
1س = + 5قا ، i 3 2ص = - 1ظا r = i ، i 3 4 1 r 1أوجد ميل المماس للمنحنى جتا rص = 3س 1 +عند النقطة () ، 3 - 4 س1+ بالنسبة إلى 2س 1+عند س = 4 21أوجد مشتقة س1-
21أوجد قيمة البارامتر ن التى عندها يكون للمنحنى س = 2ن5 - 3ن 4 + 2ن ، 9 -ص = 2ن + 2ن 5 - ب مماس أفقى. أ مماس رأسى. كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
13
3-1
الم�شتقات العليا للدالة Higher Derivatives of a Function
سوف تتعلم Ñإيجاد مشتقات ذات رتب أعلى لدالة.
فكر و
ناقش
إذا كانت ص = د(س) حيث ص = س5 + 4س2 - 3س 3 +أوجد مشتقة الدالة د، هل يمكنك تكرار عملية االشتقاق بالنسبة إلى س ؟ لماذا؟ هل تتوقف عملية االشتقاق؟ فسر إجابتك.
تعلم الم�شتقات ذات الرتب العليا المصطلحات األساسية Ñرتبة
Order
Ñمشتقة
Derivative
)(Higher - Order Derivative
Áإذا كانت ص = د(س) حيث د دالة قابلة لالشتقاق بالنسبة إلى س فإن مشتقتها E /ص = د( /س) وتمثل دالة جديدة. األولى ( )First derivativeهى ص = Eس E Eص ) ( Áوإذا كانت المشتقة األولى قابلة لالشتقاق بالنسبة إلى س فإن مشتقتها Eس Eس
تسمى المشتقة الثانية( )Second Derivativeللدالة د وتمثل دالة أخرى 2 E //ص و ُيرمز لها بالرمز ص = Eس2
= د( //س)
Áبتكرار عملية االشتقاق نحصل على المشتقة الثالثة ( )Third Derivativeللدالة د 3 Eص ونرمز لها بالرمز Eس3
األدوات المستخدمة Ñآلة حاسبة علمية. Scientific calculator
... ،وهكذا
بدءا من المشتقة الثانية بالمشتقات العليا ،وتكتب المشتقة من تسمى المشتقات لدالة ً الرتبة ن كما يلى :
(ن) Eن ص ص = Eسن
الحظ أن :
= د(ن) (س)
حيث ن عدد صحيح موجب
2Eص 2تقرأ دال اثنين ص دال س اثنين -1 Eس Eص 2 2Eص aفاألولى تدل على المشتقة الثانية للدالة k، 2 -2يوجد اختالف بين Eس Eس
بينما الثانية تدل على مربع المشتقة األولى. مثال
1أوجد المشتقة الثانية لكل من: أ ص = 2س 3 + 4س 5 -
14
س1+ ب ص= س1-
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
1 1
هقاقيشاا هللقتا لقاهلا
ج ص = جا ( 3س )2 -
د ص = 3س 2 -
الحل
Eص = 8س3 + 3 أ aص = 2س3 + 4س ، 5 -س ∈ ` I Eس
س1+ ب aص= س 1-
،س!1
2 E ،ص = 24س2 Eس2
2 Eص س ( - 1 -س )1 + = = ` (س 2)1 - (س 2)1 - Eس E 2 Eص 4 ، 3س!1 [( 2 -س = ]2 -)1 - = 2 Eس (س )1 - Eس
،س!1
ج aص = جا ( 3س ، )2 -س ∈ I
2 Eص Eص ، )2س 3 ( جتا 3 = ` Eس2 Eس
= 9 -جا ( 3س )2 -
Eص 3 ،س> 2 د aص = 3س ، 2-س 2 G = ` 3 3 س E 3 2س 2- E 2 Eص 19 ،س> 2 [ 3 ( 3س 2 )2- = ] = Eس2 3 Eس 2 (3س 3)2- 4 2
2
حاول أن تحل
1أوجد المشتقة الثالثة لكل من: أ ص = س 2 - 4س5 + 2 ج د(س) = جتا ( 2س )r +
تفكير ناقد :إذا كانت ص =
( 2ن 4)1-
ب ع= د د(س) =
س س1-
جا Cس استكشف نمط االشتقاق المتتالى ،أوجد ص ()25
مثال
2 Eص
Eص Eص k+ 2+ 2 2إذا كانت ص 2 + 2س ص = 8أثبت أن ( :س +ص) Eس Eس Eس الحل
أ aص 2 + 2س ص = ، 8
Eص Eص 2 +س `2ص Eس Eس Eص +ص=0 (س +ص) Eس
2 +ص = 0
= aصفر 2
باشتقاق الطرفين بالنسبة إلى س
بالقسمة على 2
باشتقاق الطرفين بالنسبة إلى س
Eص Eص Eص 2 Eص )+ (+ 1 + 2 ` (س +ص) Eس Eس Eس Eس Eص Eص 2 Eص ) = 2صفر (+ 2+ 2 ويكون (س +ص) Eس Eس Eس
=0
حاول أن تحل
Eص 2 Eص )0 = 1 + 2 (+ 2 2أ إذا كانت س + 2ص 9 = 2أثبت أن :ص Eس E 2س Eص 2 = 2ص ( + 1ص)2 أثبت أن : ب إذا كانت ص = طا س Eس كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
15
هتاقيشات لاقتشالا
معادالت بارامترية مثال 2 Eص 3إذا كانت س = 2ن ، 5 - 3ص= 6ن 1 + 2أوجد Eس
2عند ن = 1
الحل
باشتقاق كل من س ،ص بالنسبة للبارامتر ن
Eص Eس = 6ن ، 2 ` Eن Eن Eن Eص Eص * = a Eس Eن Eس 12ن Eص 2 = 2ن ، 1-ن ! 0 = ` Eس 6ن Eن E 2 Eص [ 2ن2 - = ]1-ن* 2 - = 2 ويكون Eس Eس Eس = ، 4 1 - = 2 1 * 22 -ن ! 0 3ن 6ن ن 2 ` Eص =1- عند ن = 1 Eس2 3
= 12ن
حاول أن تحل
3إذا كانت س = ع2 - 2ع ، 2 Eص 3 Eص أوجد Eس E ، 2س3
ص = ع2
ص
عند ع = 2
ال بيان ًّيا لمنحنيات الدوال د(س)، تفكير ناقد :يبين الشكل المقابل تمثي ً د( /س) ،د( //س) حيث د(س) كثيرة حدود ،حدد منحنى كل دالة. س
ب
جـ
C
نشاط باستخدام البرنامج الرسومى geogebraأو أى برنامج آخر ارسم الدوال التالية ومشتقاتها األولى والثانية وسجل مالحظاتك. 1 ب (Sس) = 4س4 + 2 أ د(س) = س 4 - 3س12 + 2
هل تتوافق مالحظاتك مع قرارك في بند تفكير ناقد؟
16
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
هقاقيشاا هللقتا لقاهلا
1 1
تمــــاريــن الدرس ()3 – 1 1إذا كانت ص = Cس + 3ب س + 2جـ س E +وكانت ارتباطات س ،ص ،ص ، /ص //موضحة بالجدول التالى: أوجد قيم أ ،ب ،جـ E ،الحقيقية ثم أكمل الجدول. س
1 2
�أوجد �لم�ستقة �لث�لثة اً لكال مم� ي�أتى: 2ص = س4 - 5س3 + 3 4ص = جا ( 2س )7 - 6ص = جا س جتا س
ص
8
ص
ص
/
//
28 34
75 2س 3ص= س1+
5ص = جتا ( 3 - rس) 7ص=
2س 5 -
�أجب ع َّم� ي�أتي:
11 11 12 13 14
Eص 2 Eص =3 2+ 2 إذا كان 3س 2 = 5 + 2س ص أثبت أن :س Eس Eس 2 E 3ص = 4 - 2صفر أثبت أن :ص إذا كان س + 2ص4 = 2 Eس 2 Eص 4 + 2ص = 0 إذا كان ص = 3جتا ( 2س )1 +أثبت أن: Eس Eص 2 Eص 4 +سص = 0 2+ 2 إذا كان س ص = جا س جتا س أثبت أن :س Eس Eس Eص 3 Eص 2 +ص = 0 + 3س أثبت أن :س إذا كان ص = س جا س Eس Eس Eص 2 Eص ) = 2ص3 ( 2ص)2 - 2 (+ 2 أثبت أن :ص إذا كان ص = قا س Eس Eس Eع 2 Eص Eص عند س = 2 = س1 - 2 = 2س،3- إذا كان أوجد E :ع2 Eس Eس
15إذا كان س = 3ن ، 1 - 2ص = ن2 + 3 ع1- ع1+ ،ص= 16إذا كان س = ع1- ع1+
17إذا كان س = قا ع ،
ص = ظا ع
2 Eص أوجد E :س2 Eص أوجد: Eس
2 Eص أثبت أن E :س2
عند ن = 4
عند ع = 2 =2
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
17
4-1
معادلتا المما�س والعمودى لمنحنى Equation of the Tangent and the Normal to a Curve
فكر و
سوف تتعلم Ñإيجاد معادلة المماس عند نقطة واقعة على المنحنى.
Ñإيجاد معادلة العمودى لمنحنى عند نقطة واقعة على المنحنى.
المصطلحات األساسية Ñميل المماس
Ñميل العمودى
Ñبرامج رسومية للحاسب.
نقطة على المنحنى Eص Eس ميل المماس
ميل العمودى
معادلة المماس معادلة العمودى
جـ ()4 ،1
تعلم إذا كانت النقطة (Cس ، 1ص )1تقع على منحنى الدالة د حيث ص = د(س) ،م ميل المماس للمنحنى عند هذه النقطة ،فإن : -1معادلة المماس للمنحنى عند النقطة (س ، 1ص) هى : ص -ص = 1م ( س -س )1 -2معادلة العمودى على المنحنى عند النقطة (س ،1ص)1 1( س -س )1 هى :ص -ص= 1
ماس الم
Ñآلة حاسبة علمية.
C
ص = د (س)
مود الع
عند C
األدوات المستخدمة
1
يوضح الشكل المقابل طريقين أ ،ب أحدهما مستقيم واآلخر منحنى متالقيين عند الموقع جـ . ب إذا كان الموقع جـ تمثله النقطة جـ ( )4 ،1فى مستوى إحداثى متعامد ،وكانت معادلة الطريق ب :ص = 2س 3 - 2س ، 5 +هل يمكنك إيجاد معادلة الطريق C؟ هل يمر الطريق Cبالنقطة ( )10 ، 7؟ فسر إجابتك.
Slope of the Tangent Slope of the Normal
ناقش
عند C
( Cس ، 1ص)1 جـ
س
ص
ل
و
م
مثال دوال مثلثية 1أوجد معادلتى المماس والعمودى للمنحنى ص = 2س -ظتا س عند النقطة التى تقع على المنحنى وإحداثيها السينى يساوى r 4
الحل
إليجاد نقطة تقع على المنحنى عند س = rنحسب إحداثيها الصادى حيث : ص = 2س -ظتا س
4 ` ص = - r * 2ظتا 1 - r = r 2 4 4
أى إن النقطة ( )1 - r ، rتقع على المنحنى 2 4 ص E = - ( - 2قتا2س) = + 2قتا 2س ميل مماس المنحنى عند أى نقطة = Eس كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
الا ليا هقنااو هللنا ا قمامض
1 1
` عند النقطة ( :)1 - r ، r 4
2
ميل المماس = [ + 2قتا ، 4 = ] r 2ميل العمودى = 1 - 4 4 أى إن :ص = 4س 1 - r - معادلة المماس :ص ( 4 = )1 - r ( -س ) r - 2 4 2 أى إن :ص = 1 -س 9 + 1 - r 16 معادلة العمودى :ص ( 14- = )1 - r ( -س ) r - 4 4 2
حاول أن تحل
1أوجد معادلتى المماس والعمودى للمنحنى ص = + 3قا س عند النقطة التى تقع على المنحنى وإحداثيها السينى يساوى r2 مثال
3
حساب املساحة
2أوجد معادلتى المماس والعمودى للمنحنى س3 + 2س ص +ص0 = 1 + 2 عند النقطة ، )1 ،1 -( Cوإذا قطعا محور السينات فى النقطتين ب ،جـ احسب مساحة المثلث Cب جـ بالوحدات المربعة الحل
مما
سع
دي الع
مو
ند C
Eص Eص 3 +ص 2 +ص ` 2س 3 +س Eس Eس Eص =1 عند النقطة ` )1 ، 1 -( C Eس ميل العمودى = 1 - ` ميل المماس = ، 1
=0
ال
aس3 + 2س ص +ص0 = 1 + 2 النقطة )1 ،1 -( Cتحقق معادلة المنحنى فهى تقع عليه باشتقاق طرفى معادلة المنحنى بالنسبة إلى س إليجاد ميل المماس عند أى نقطة
ص
س
جـ
C
و
ب
أى ص = س 2 + معادلة المماس :ص = 1 -س 1 + أى ص = -س معادلة العمودى :ص ( - = 1 -س )1 + بحل معادلتى المماس والعمودى مع معادلة محور السينات ص = 0إليجاد نقط التقاطع ب ،جـ ` النقطة ب ( ، )0 ،2-النقطة جـ ( )0 ، 0ويكون ب جـ = 2 = )2 -( - 0 مساحة المثلث Cب جـ = 1 = 1 * 2 * 12وحدة مربعة
حاول أن تحل
2أوجد مساحة المثلث المحدود بمحور السينات والمماس والعمودى للمنحنى 3س + 2ص 12 = 2عند النقطة ()3 ، 1 -
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
1
هتاقيشات لاقتشالا
مثال اشتقاق بارامرتى 3المعادلتان البارامتريتان لمنحنى هما س = ن ، 2 + 2ص = ن1 + 3 أوجد معادلتى المماس والعمودى للمنحنى عند ن = 1 الحل
Eص ميل المماس عند أى نقطة = Eس 3ن2 Eس Eص Eن Eص Eص = 32ن = ÷ = * = Eن Eن Eس Eن Eس 2ن عند ن = 1ميل المماس = ، 32ميل العمودى = ` ، 23 -س = ( ، 3 = 2 + 2)1ص = (2 = 1 + 3)1
حيث :
أى إن النقطة ( )2 ، 3تقع على المنحنى ،وعندها يكون :
معادلة المماس ( :ص ( 32 = )2 -س )3 -
معادلة العمودى ( :ص( 23 - = )2 -س )3 -
أى 3س 2 -ص 0 = 5 -
أى 2س 3 +ص 0 = 12 -
حاول أن تحل
3أوجد معادلتى المماس والعمودى للمنحنى س = جتا ، iص = + 2جا iعند r = i 4
تفكير ناقد :إذا كانت النقطة ( )2 ، 1إحدى نقط تقاطع المنحنيين: ص - 2س ، 3 = 2س ص = 2هل يتعامد مماسا المنحنيين عند هذه النقطة؟ فسر إجابتك. مالحظة مهمة :نقول إن المنحنيين ى ، 1ى 2يتقاطعان على التعامد إذا كان المماسان المرسومان لهما من نقطة تقاطعهما متعامدين
ى2
ى1
س
21
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
ص
و
الا ليا هقنااو هللنا ا قمامض
1 1
تمــــاريــن الدرس ()4 – 1 1إذا كانت د ،ر ،ق دوال قابلة لالشتقاق بالنسبة إلى س ،أوجد معادلتى المماس والعمودى لمنحنى الدالة ق فى كل مما يأتى مستع ًينا بالقيم المعطاة فى الجدول التالى: س د(س) ر(س) د( /س) ر( /س) س=3 أ ق(س) = د(س) * ر(س) ، ب ق(س) = د(س) ÷ ر(س) ، ج ق(س) = د[ر(س)] ،
س=7 س=3
1
3
7
2-
7
1
12
6
5
2أوجد معادلتى المماس والعمودى لمنحنى الدالة د حيث ص = د(س) عند قيم س المعطاة: ب ص = 2جتا س -قا س ،س = r أ ص = - 3ظتا2س ،س = r 4
3أوجد معادلتى المماس والعمودى لكل من المنحنيات التالية عند النقط المعطاة: أ س + 2ص52 = 2 ب س 5 + 2س ص +ص7 = 2 ج ص + 1 ( 2س8 = )2
د (جا س +جتا س) ص = جتا 2س
3
عند النقطة ()6 - ، 4
عند النقطة ()1 - ، 1 - عند النقطة ()2 ، 1 -
عند س = r 2
4أوجد معادلتى المماس والعمودى لكل من المنحنيات التالية عند القيم المعطاة: أ س = ن 4 + 2ن ،ص = 2ن2 عند ن = 1 عند r = i ص = طاi ب س = قا، i 6
5إذا كانت النقطة ( )2 - ، 4تنتمى إلى المنحنى س + 2ص 2 - 2ك س 0 = 12 +أوجد قيمة ك ،ثم أوجد معادلة المماس للمنحنى عند هذه النقطة.
6مساحة المثلث :أوجد مساحة المثلث المحدود بمحور السينات والمماس والعمودى عليه للمنحنى س4 + 2ص 20 = 2عند النقطة ()2 ، 2 7تعامد منحنيين :أثبت أن المنحنيين (س + 2)1 -ص( ، 2 = 2س + 2)1 +ص 2 = 2يتقاطعان على التعامد ،ثم أوجد معادالت المماسات لهما عند نقط التقاطع.
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
21
5-1
المعدالت الزمنية المرتبطة Related Rates
فكر و
سوف تتعلم Ñمفهوم المعدالت الزمنية المرتبطة
Ñطرق حل معادالت المعدالت الزمنية المرتبطة
Ñنمذجة وحل مشكالت رياضية وفيزيائية وحياتية
المصطلحات األساسية Ñمعدل
Rate
Ñمعدالت مرتبطة
Related Rates
عند تعرض صفيحة دائرية لمصدر حرارى زم ًنا قدره (ن) ثانية هل يتغير طول نصف قطرها ( )Hبتغير الزمن (ن)؟ هل تتغير مساحة سطح الصفيحة (م) بتغير الزمن(ن)؟ هل تتغير مساحة سطح الصفيحة (م) بتغير طولنصف قطرها ( )H؟ فسر إجابتك.
Ñآله حاسبة علمية.
Ñبرامج رسومية للحاسب
تحديد المتغيرات وتسميتها رسم تخطيطى للمدخالت إيجــاد عـالقــــة االرتبــــــاط اشتقاق العالقة بالنسبة للزمن
التعويض عن القيم إليجاد المعدل المطلوب
22
م H
الحظ أن : - 1المتغيرين م H ،كالهما يتغير بتغير الزمن (دالة فى الزمن) وتربطهما العالقة م = 2H r أى أن :م = د()H - 2اشتقاق طرفى العالقة السابقة بالنسبة للزمن يؤدى إلى معادلة جديدة تربط بين المعدل الزمنى لتغير كل منهما وتعرف بمعادلة المعدالت المرتبطة Eم حيث : Eن
األدوات المستخدمة
ناقش
=د* )H( /
HE
Eن
- 3المعدل الزمنى يكون موج ًبا إذا كان المتغير يتزايد بتزايد الزمن ،ويكون سال ًبا إذا كان المتغير يتناقص بتزايد الزمن.
تعبير شفهى :أى المعدالت التالية يكون موج ًبا؟
(تمدد -انكماش -اقتراب -تباعد -صب -تسرب -انصهار -تراكم -تناقص -تزايد) مثال نفخ البالون 1بالون كُورى عند ملئه بالغاز كان معدل الزيادة فى حجمه r8سم/3ث عندما كان طول نصف القطر 4سم .أوجد فى هذه اللحظة: أ معدل زيادة طول نصف القطر. ب معدل الزيادة فى المساحة السطحية. الحل
بفرض أن حجم البالون (ح) وطول نصف القطر ( ، )Hومساحة سطح البالون (م) دوال قابلة لالشتقاق فى ن.
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
هقلاتا هلمامتا هقدلقاا
أ ح = 3H r 43باشتقاق طرفى المعادلة بالنسبة للزمن Eح HE 2 HE 2 = Hr4 = H3 * r 43 Eن Eن Eن
Eح a Eن
1 1
()1
= r 8سم/3ث 4 = H ،سم بالتعويض فى المعادلة
HE = 18سم/ث ` H E 2)4(r 4 = r 8أى
Eن
Eن
ب م = 2H r 4باشتقاق طرفى المعادلة بالنسبة للزمن Eم Eن
= H2 * r 4
HE
Eن
= Hr 8
HE
()2
Eن
HE = 18سم/ث 4 = H ،سم بالتعويض فى المعادلة a
Eن Eم = r 4 = 18 * 4 * r 8سم/2ث ` Eن
حاول أن تحل
1الحجم :مكعب يتمدد بالحرارة فيزداد طول حرفه بمعدل 0٫02سم/د ،وتزداد مساحة سطحه فى لحظة ما بمعدل 0٫72سم/2د ،أوجد طول حرف المكعب فى هذه اللحظة ومعدل الزيادة فى حجمه حينئذ. مثال
حركة السلم
2يستند سلم طوله 250سم على حائط رأسى ،فإذا انزلق الطرف العلوى للسلم إلى أسفل الحائط بمعدل 10سم/ث عندما يكون الطرف السفلى للسلم على بعد 70سم من الحائط .أوجد: أ معدل انزالق الطرف السفلى للسلم. ب معدل تغير قياس الزاوية بين السلم واألرض. الحل
أ نفرض أن :ص المسافة بين الطرف العلوى للسلم واألرض، س المسافة بين الطرف السفلى للسلم والحائط الرأسى. من نظرية فيثاغورث س + 2ص)1( 2)250( = 2 باشتقاق طرفى المعادلة بالنسبة للزمن ص Eص Eس Eص Eس =- = ` 0 2 +ص 2س س Eن Eن Eن Eن aالطرف العلوى ينزلق أسفل الحائط فإن ص تتناقص Eص = 10 -سم /ث ` Eن
Eص Eن
()2
عند س = 70سم ومن المعادلة ( )1نجد أن :ص = 240سم Eس
250سم Eس Eن
i
ص س
70سم
240 240سم/ث بالتعويض فى المعادلة ( )2ينتج أن E :ن = 7 = 10 - * 7 - 240سم /ث أى إن الطرف السفلى للسلم ينزلق ً مبتعدا عن الحائط بمعدل 7 كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
23
هتاقيشات لاقتشالا
ب نفرض أن i :قياس زاوية ميل السلم على األرض ص جا = i 250
` جتا i E i Eن i E * 70 250 Eن
باشتقاق الطرفين بالنسبة إلى ن
E 1ص = E 250ن = 1 10 - * 250
Eص لكن Eن
= / 10 -ث عند س = 70سم
` / E 17 - = i Eث Eن
أى إن قياس الزاوية يتناقص بمعدل 17زاوية نصف قطريه /ث
حاول أن تحل
2حركة سلم :يرتكز سلم بطرفه األسفل على أرض أفقية وطرفه األعلى على حائط رأسى .إذا انزلق الطرف مبتعدا عن الحائط بمعدل 30سم/ث ،أوجد معدل انزالق الطرف العلوى عندما يكون قياس الزاوية السفلى ً بين السلم واألرض تساوى r 3
تفكير ناقد :انطلق صاروخ كتلته 15ط ًنا وكان ينفث الوقود بمعدل ثابت 200كجم/ث ،ما كتلة الصاروخ بعد 30ثانية من لحظة إطالقه؟ Eس مالحظة مهمة :إذا كانت س :القيمة االبتدائية للمتغير س ( عند ن = ، )0 Eن Eس *ن س قيمة المتغير بعد زمن ن فإن :س = س+ : Eن Eس * ن لتتحقق من صحة إجابتك. فى بند تفكير ناقد السابق استخدم العالقة ك = ك+ : Eن
معدل تغير س بالنسبة للزمن ،
مثال
املساحة
3مثلث قائم الزاوية طوال ضلعى القائمة 12سم 16 ،سم ،فإذا كان طول الضلع األول يتزايد بمعدل 2سم/ث وكان طول الضلع الثانى يتناقص بمعدل 1سم/ث. C أ أوجد معدل تغير مساحة المثلث بعد 2ث ب متى يصبح هذا المثلث مثل ًثا متساوى الساقين؟ ص = 16سم :
الحل
ص
أ نفرض أن س ،ص طوال ضلعى القائمة بعد زمن قدره ن ثانية، م مساحة المثلث حينئذ حيث س ،ص ،م دوال فى الزمن: س ` س = 2 + 12ن ،ص = - 16ن جـ س = 12سم Eس م = 12س * ص = 2 + 12( 12ن) ( - 16ن) : م = ( + 6ن) ( - 16ن) باشتقاق طرفى المعادلة بالنسبة للزمن Eم ` Eن
= ( + 6ن) * - 16( + 1 -ن) = 2 - 10ن سم/2ث
عند ن = 2ث
24
Eن
ب
= 2سم/ث
` معدل تغير مساحة المثلث = 6 = )2( 2 - 10سم/2ث
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
Eص = 1 -سم/ث Eن
هقلاتا هلمامتا هقدلقاا
1 1
` ن = 43ث ب عندما س = ص يكون + 12ن = - 16ن أى أن بعد 43ث يصبح المثلث القائم مثل ًثا متساوى الساقين
حاول أن تحل
3الحجم :جسم معدنى على شكل متوازى مستطيالت ،قاعدته مربعة الشكل ،طول ضلعها يتزايد بمعدل 1سم/د وارتفاعه يتناقص بمعدل 2سم/د .أوجد معدل تزايد حجمه عندما يكون طول ضلع قاعدته 5سم وارتفاعه 20سم ،بعد كم دقيقة يتوقف تغير حجم متوازى المستطيالت عن الزيادة. مثال طول الظل 4يسير رجل طوله 1٫8متر فى خط مستقيم مقتر ًبا من قاعدة عمود إضاءة بمعدل 1٫2متر/ث ،فإذا كان ارتفاع مترا عن سطح األرض أوجد: مصباح عمود اإلضاءة ً 5٫4 أ معدل تغير طول ظل الرجل. ب مترا من عمود اإلضاءة. معدل تغير بعد رأس الرجل عن المصباح عندما يكون الرجل على بعد ً 4٫8 الحل
نمذجة المشكلة :فى الشكل المقابل تمثل Cب عمود اإلضاءة ،النقطة Cالمصباح وتمثل Eهـ الرجل ،والنقطة جـ نهاية ظل الرجل فيكون: بعد الرجل عن قاعدة عمود اإلضاءة. س = هـ ب طول ظل الرجل. ص = هـ جـ ُبعد رأس الرجل عن المصباح. ف = EC اً أوال C 9 a :ب جـ E 9 +هـ جـ
ف
C
ويكون 2ص = س باشتقاق طرفى المعادلة بالنسبة للزمن Eص 1٫2 - = أى Eن 2
Eس Eص = ` 2 Eن Eن ثان اًيا :فى E C 9و القائم الزاوية فى (و)
ف= 2
س2)3٫6( + 2
Eس Eف = 2س 2ف Eن Eن Eف = 1٫2 - * 4٫8 6 Eن
حاول أن تحل
= 0٫6 -متر/ث
جـ
ص
1٫8م
ب جـ 5٫4 ب س+ص = = ` = C ص Eهـ هـ جـ 1٫8
هـ
س
Eس = 1٫2 -م/ث Eن
5٫4م
E
4٫8م
و ب
باشتقاق الطرفين بالنسبة إلى ن عند س = 4٫8م
Eف أى Eن
ف = 6متر
= 0٫96 -متر/ث
4انشاءات :ماسورة مياه طرفاها ، Cب ،وطولها 5أمتار ،تستند بطرفها Cعلى أرض أفقية وبإحدى نقطها E
مبتعدا عن السور بمعدل 54متر/د أوجد معدل هبوط على سور رأسى ارتفاعه 3أمتار .فإذا انزلق الطرف C ً الطرف ب عندما تصل إلى حافة السور. كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
25
هتاقيشات لاقتشالا
مثال
املساحة
5ضلعان فى مثلث يتزايد طول كل منهما بمعدل 0٫1سم/ث ،ويتزايد قياس الزاوية المحصورة بينهما بمعدل E / 15ث .بأى معدل تتغير مساحة المثلث عند اللحظة التى يكون فيها طول كل ضلع من أضالع المثلث 10سم. الحل
نمذجة المشكلة :نفرض أن عند لحظة زمنية ن يكون طول أحد / ضلعى المثلث Cوطول اآلخر ب /وقياس الزاوية المحصورة بينهما جـ W ، Eمساحة المثلث Cب جـ دوال قابلة لالشتقاق في ن / حيث م = C 12ب /جا جـ باشتقاق الطرفين بالنسبة إلى ن / Eم = C 12ب `
/
E
Eن
[جا جـ] 12 +جا جـ
Eن Eم = C 12ب /جتا جـ Eن /
/
E
Eن
/
[ Cب]/
C
/
Eن
Eن
لكن E = C Eب E ، 0٫1 = /جـ = 1 5 Eن Eن Eن
Eجـ = / 1ث Eن 5
C ب / Eب CE = 0٫1سم/ث = Eن Eن /
/
Eجـ Eب +ب] C E / 12 +جا جـ[C /
/
ب
/
Eن
E
جـ
()1
وعندما يكون طول كل ضلع من أضالع المثلث 10سم يكون المثلث متساوى األضالع
فإن c(Xجـ) = ، rجتا جـ = 12بالتعويض فى المعادلة ()1 3
Eم = * 12 + 15 * 12 * 10 * 10 * 12 ` Eن
1 * 10 * 2[ 3 ] 10
2
= 5٫866 - 3 + 5سم/ 2ث 2 2 أى مساحة المثلث تتزايد عند هذه اللحظة بمعدل 5٫866سم /ث
حاول أن تحل
5المساحة C :ب جـ مثلث قائم الزاوية فى جـ ،مساحته ثابتة وتساوى 24سم ،2إذا كان معدل تغير ب /يساوى / 1سم/ث فأوجد معدل تغير كل من )Cc( X ، Cعند اللحظة التى يكون فيها ب /يساوى 8سم.
تفكير ناقد :إذا كان س (قياس زاوية بالتقدير الدائرى) يتزايد بمعدل زمنى ثابت ،فسر لماذا: عند س = 0 أ يتزايد الجيب والظل بنفس المعدل عند س = r ب يتزايد الظل بمعدل 8مرات قدر تزايد الجيب ج يتناقص جيب التمام بمعدل 38مرة قدر تزايد الظل
3 عند س = r 6
مثال الربط بالفيزياء 6فى دائرة كهربية مغلقة ،إذا كان جـ فرق الجهد (ڤولت) ،ت شدة التيار (أمبير) ،م المقاومة (أوم) وتزايد فرق الجهد بمعدل 1ڤولت /ث ،وتناقص شدة التيار بمعدل 12أمبير/ث أوجد معدل المقاومة فى اللحظة التى يكون فيها جـ = 12ڤولت ،ت = 2أمبير.
26
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
1 1
هقلاتا هلمامتا هقدلقاا الحل
+ -جـ
تعلم أن جـ = ت * م باشتقاق الطرفين بالنسبة للزمن Eت Eم Eجـ +م =ت ` Eن Eن Eن Eت Eجـ = 12 -أمبير /ث = 1ڤولت /ث ، a Eن Eن
جـ
م
6 = 12أوم ` عند جـ = 12ڤولت ،ت = 2أمبير فإن :م = ت = 2 ويكون E * 2 = 1م 1 - * 6 + 2 Eن
أى إن معدل المقاومة فى هذه اللحظة 2أوم /ث
Eم ` Eن
= 2أوم /ث
حاول أن تحل
6فى المثال السابق احسب معدل المقاومة إذا كان التيار يتزايد بمعدل 13أمبير /ث.
نشاط
تصميم الطرق :فى الطرق الدائرية والكبارى العلوية نتجنب أثر قوة الطرد المركزية على حركة السيارات بتصميم الطرق لتميل على i المستوى األفقى بزاوية قياسها iنحو الداخل وف ًقا للعالقة HE H ظ = iع 2حيث ( )Eعجلة الجاذبية األرضية( ،ع) سرعة السيارة، ( )Hطول نصف قطر دائرة المنحنى ،أوجد معادلة االرتباط بين معدل تغير سرعة السيارات ومعدل تغير زاوية ميل الطريق .بماذا تنصح قائدى السيارات لتفادي قوة الطرد المركزية.
تمــــاريــن الدرس ()5 – 1
�ختر �لإج�بة �ل�سحيحة من بين �لإج�ب�ت �لمعط�ة:
4 1إذا زاد طول نصف قطر دائرة بمعدل r 4 أ د 8سم/ث ج 18سم/ث ب rسم/ث سم/ث 4 r 2ينصهر مكعب من الثلج محتفظًا بشكله بمعدل 1سم/3ث فإن معدل تغير طول حرف المكعب عندما يكون
سم/ث فإن محيط الدائرة يزيد عند هذه اللحظة بمعدل:
حجمه 8سم 3هو .............................:سم /ث ب 1 أ 1 -
د 1 6
ج 1- 6 12 12 Eص Eس 1 3 2 عند هذه = 2وحدة /ث عند ص = 1 -فإن 3جسم يتحرك على المنحنى ص = س ،إذا كان Eس Eن
اللحظة يساوى .............................وحدة /ث
د 3 2
ج 3 ب 3- أ 3- 4 8 4 1 4إذا كان ميل المماس للمنحنى ص = د(س) عند نقطة ما = 2وكان اإلحداثى السينى لهذه النقطة يتناقص بمعدل
3وحدات /ث فإن معدل تغير إحداثيها الصادى يساوى .............................وحدة /ث ج 1 ب 3- أ 1- 6
2
6
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
د 3 2
27
هتاقيشات لاقتشالا
�أجب عم� ي�أتى:
5تتحرك نقطة على منحنى معادلته س + 2ص 4 - 2س 8 +ص 0 = 6 -فإذا كان معدل تغير إحداثيها السينى بالنسبة للزمن عند النقطة ( )1 ،3يساوى 4وحدات /ث ،أوجد معدل تغير إحداثيها الصادى بالنسبة للزمن ن. 6سقط حجر فى بحيرة ساكنة فتولدت موجة دائرية يتزايد طول نصف قطرها بمعدل 4سم/ث .أوجد معدل تزايد مساحة سطح الموجة فى نهاية ٍ 5 ثوان. 7صفيحة على شكل سداسى منتظم تنكمش بالبرودة ُ ،و ِج َد أن معدل تغير طول ضلعها 0٫1سم/ث ،أوجد معدل التغير فى مساحة الصفيحة عندما يكون طول ضلعها 10سم.
كتلة معلومة من غاز درجة حرارتها ثابتة ،انقص حجمها بمعدل ثابت قدره 2سم/3ث .فإذا كان الضغط يتناسب عكس ًّيا مع الحجم وأن الضغط يعادل 1000ث جم /سم 2عندما يكون الحجم 250سم .3أوجد معدل تغير الضغط بالنسبة للزمن عندما يصبح حجم الغاز 100سم.3
يتسرب غاز من بالون كرى بمعدل 20سم/3ث أوجد معدل تغير طول نصف قطر البالون فى اللحظة التى يكون فيها طول نصف قطره 10سم ،ثم أوجد معدل تغير مساحة السطح الخارجى للبالون فى نفس اللحظة.
11سلم طوله 5أمتار يرتكز بطرفه العلوى على حائط رأسى وبطرفه السفلى على أرض أفقية ،إذا تحرك الطرف مبتعدا عن الحائط بمعدل 4سم/د عندما يكون الطرف العلوى على ارتفاع 4أمتار من األرض ،أوجد السفلى ً معدل انزالق الطرف العلوى للسلم ،ثم أوجد معدل تغير قياس الزاوية بين السلم واألرض عند هذه اللحظة. 11يرتفع بالون رأس ًّيا ألعلى من نقطة Cعلى سطح األرض .وضع جهاز لتتبع حركة البالون عند نقطة ب فى نفس المستوى األفقى للنقطة Cوعلى بعد 200متر منها عند لحظة ما رصد الجهاز زاوية ارتفاع البالون فوجدها rوتتزايد بمعدل / E0٫12د ، 4 أوجد معدل ارتفاع البالون فى هذه اللحظة. مبتعدا عن قاعدة مصباح ارتفاعه 3أمتار بمعدل 1٫2م/ث، 12يسير رجل طوله 180سم ً أوجد معدل تغير طول ظل الرجل .وإذا كان المستقيم المار بأعلى نقطة من رأس الرجل وقمة المصباح يميل على األرض بزاوية قياسها Eiعندما يبعد الرجل عن مترا فأثبت أن س = 65ظتا ، iثم أوجد قاعدة المصباح بمسافة قدرها س ً معدل تغير iعندما يبعد الرجل مسافة 3٫6متر عن قاعدة المصباح.
13مثلث متساوى الساقين طول قاعدته . 3 20إذا كان طول كل من ساقيه يتناقص بمعدل 3سم/ساعة ،فأوجد معدل تناقص مساحة سطح المثلث عند اللحظة التى يكون فيها طول كل من الساقين مساو ًيا لطول القاعدة.
2
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
ملخص الوحدة مشتقات الدوال المثلثية Derivative of trigonometric function
دالة الجيب
الدالة
جا س
جتا س
ظا س
قا2س
دالة جيب التمام
جتا س
دالة ظل التمام
ظتا س
دالة قاطع التمام
قتا س
دالة الظل
دالة القاطع
المشتقة
قا س
-جا س
-قتا 2س
قا س ظا س
-قتا س ظتا س
االشتقاق الضمنى Implicit Defferentiation
اشتقاق العالقة الضمنية د(س ،ص) = 0يتطلب اشتقاق كل من طرفى العالقة بالنسبة ألحد المتغيرين س أو Eص Eس على الترتيب. أو ص وف ًقا لقاعدة السلسلة لنحصل على Eس
االشتقاق البارامترى Parametric Defferentiation
Eص
Eص Eص Eن Eص Eس ÷ = * = المنحنى المعطى على الصورة البارامترية س = د(ن) ،ص = ر(ن) يكون Eس Eن Eس Eن Eن
حيث د ،ر دالتان قابلتان لالشتقاق بالنسبة إلى ن
المشتقات العليا للدالة higher Derivatives of a function
بدءا من المشتقة الثانية إذا كانت ص= د(س) حيث د دالة قابلة لالشتقاق بالنسبة إلى س فتسمى المشتقات ً
3 Eص 2 Eص // بالرمز الثالثة والمشتقة ص أو Eس3 (إن وجدت) بالمشتقات العليا ونرمز لها بالرمز Eس2 (ن) Eنص ن أو د(ن) (س) حيث ن عدد صحيح موجب. والمشتقة النونية بالرمز ص أو Eس معادلتا المماس والعمودى لمنحنى quation of the tangent and the normal to a curve
أو ص
///
إذا كان م ميل المماس لمنحنى ص = د(س) عند النقطة (س ، 1ص )1الواقعة عليه فإن: معادلة المماس للمنحنى عند النقطة (س ، 1ص )1هى :ص -ص = 1م (س -س)1 1 معادلة العمودى للمنحنى عند النقطة (س ، 1ص )1هى :ص -ص( - = 1س -س)1 م
المعدالت الزمنية المرتبطة Related Rates
أيضا تب ًعا لتغير الزمن ن أى إن ص دالة الدالة فى إذا كانت ص = د(س) ،س تتغير تب ًعا لتغير الزمن ن ،فإن ص تتغير ً Eص Eص Eس * = الزمن ن ويكون Eن Eس Eن
وتربط هذه العالقة المعدل الزمنى لتغير س بالمعدل الزمنى لتغير ص.
يكون المعدل موج ًبا إذا كان المتغير يتزايد بتزايد الزمن. يكون المعدل سال ًبا إذا كان المتغير يتناقص بتزايد الزمن.
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
2
تمــــاريــن عـــامـة �ختر �لإج�بة �ل�سحيحة من بين �لإج�ب�ت �لمعط�ة: 1إذا كان ص = 4قا2س فإن ص ) r (/يساوى: 4
ب صفر
أ 8-
ج 2 4
2إذا كان ص = جا 2س جتا 2س فإن ص ) r ( //يساوى: 3 ب صفر أ 4- ج 3 4
د 16
Eس
د 8
يساوى: 3تتحرك نقطة على المنحنى س ص ، 12 = 2عند النقطة ( )2 ، 3يكون Eص ج 1- ب 3- د 3 أ 4- 3 2
4إذا كان ص = 2ن ، 7 + 3ع = ن ، 4 - 2فإن معدل تغير ص بالنسبة إلى ع يساوى: د 12 ج 6 ب 3ن أ 2ن
5يتزايد طول نصف قطر دائرة بمعدل 2سم/د ومساحتها بمعدل r 20سم/2د ،فإن طول نصف قطرها عند هذه اللحظة يساوى .................................... :سم أ 5 د 20 ج 10 ب 5 2
�أجب عم� ي�أتى: Eص 6أوجد Eس
إذا كانت ص تساوى :
أ س +ظتا 2س د 2جتا r( 2س )1 +
2س 5 -جتا ( rس)2
ب 3س +قا 5س ه ظا س ظتا س
7فى الشكل المقابل C :نقطة تتحرك فى المستوى C ،ب مماس للدائرة م عند ب C ،م = س H +حيث Hطول نصف قطر الدائرة: أ أثبت أن س = ( Hقتا )1 - i ب أوجد معدل تغير س بالنسبة إلى iعندما r = i Eص أوجد Eس
فى أبسط صورة لكل من:
أ س 3 - 2ص0 = 9 + 2
6
ب 5س 12 + 2ص0 = 7 - 3
د (س ( + 2)3 -ص 25 = 2)2 +ه س ص +جا س = 5
س3- أ أوجد معدل تغير ( س ( )3 +س )2 -بالنسبة إلى س2+ 2 ،ر(س) = 3س ب إذا كانت د(س) = س1+
أوجد
31
E
Eس
[ ( د %ر ) (س) ] عند س = 2 -
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
ج و قا 2س ظا 2س
ب م
H
س i
C
ج س 2 - 2س ص 2 +ص14 = 2 و جا س جتا ص = 1 2
11
أ إذا كانت ص = 2س 5 +
ب إذا كانت :س ص = جا Cس ج إذا كانت ص = C
2 Eص 3 Eص 3 + Eس2 أثبت أن ( 2س E )5 +س3 Eص 2 Eص 2C +س ص = 0 2+ 2 أثبت أن س Eس Eس 2 Eص Eص 4 +س 3ص = 0 - 2 أثبت أن :س Eس Eس
=0
جتا س + 2ب جا س2
11أوجد معادلتى المماس والعمودى للمنحنيات التالية عند النقط المعطاة: ( )3 ، 3 أ س - 2س ص 2 + 3ص12 = 2 ()r ، r ب س جا 2ص = ص جتا 2س 4
2
12أوجد معادلتى المماس والعمودى للمنحنيات التالية عند القيم المعطاة: أ س = ن 2 + 2ن ، 3 +ص = 2ن 6 - 3ن 1 +عند ن = 0 عند r- = i ب س = قا ، 1 - i 2ص = طاi 4
13أوجد مساحة المثلث المحدود بمحور الصادات ،المما س ،العمودى عليه للمنحنى 4س + 2ص20 = 2 عند النقطة (.)4 - ، 1
14أثبت أن المنحنيين ص9 + 4ص = 6س ،س 2 - 2ص = 3س متقاطعان على التعامد عند نقطة األصل. ص س ن ) ( + 15أثبت أن المنحنى ( ب C
مهما تكن قيمة ن.
ن
) = 2يمس المستقيم
س C
+
ص ب
= 2عند النقطة ( ، Cب)
16إذا تحركت نقطة مادية فى خط مستقيم وكانت العالقة بين المسافة والزمن هى ف = 3ن3 + 3ن4 - 2 حيث ف بالسنتيمترات ،ن بالثوانى .أوجد معدل تغير المسافة بالنسبة للزمن فى نهاية ٍ 3 ثوان.
17بالون كُروي مملوء بالغاز يتسرب منه الغاز بمعدل س سم/3ث ،أثبت أن معدل نقص مساحته فى اللحظة التى 2س سم/2ث. يكون فيها طول نصف قطره Hسم يساوى H
1نقطة تتحرك على المنحنى ص4 = 2س إذا كان معدل تغير إحداثيها السينى بالنسبة للزمن عند النقطة ()4- ،4 يساوى 2وحدة/ث فأوجد معدل تغير إحداثيها الصادى بالنسبة للزمن.
1مستطيل طوله 24سم وعرضه 10سم يتناقص طوله بمعدل 2سم /ث ،بينما يتزايد عرضه بمعدل 1٫5سم/ث، أوجد معدل تغير مساحته بعد مضى ٍ 4 ثوان ،ثم أوجد الزمن الذى تتوقف فيه المساحة عن التزايد .كم تكون مساحة المستطيل حينئذ؟ 21سلم ثابت الطول ينزلق طرفه العلوى على حائط رأسى بمعدل ك وحدة /ث ،أوجد معدل ابتعاد طرفه السفلى عن الحائط عندما يميل السلم على الرأسى بزاوية iحيث قتا . 54 = i 21يتمدد هرم رباعى منتظم من المعدن ارتفاعه يساوى طول ضلع قاعدته فيزداد حجمه بمعدل 1سم/3ث ،إذا كان معدل تزايد كل من ارتفاع الهرم وطول ضلع قاعدته يساوى 0٫01سم/ث فأوجد طول ضلع قاعدته. كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
31
22سلم طوله 2٫6متر يستند بطرفه العلوى على حائط رأسى وبطرفه السفلى على أرض أفقية .إذا كان طرفه مبتعدا عن الحائط بمعدل 4متر/د عندما يكون على بعد 1متر من الحائط .أوجد معدل تحرك السفلى يتحرك ً طرفه العلوى ومعدل تغير قياس زاوية ميل السلم على األرض حينئذ. 23متوازى مستطيالت أبعاده 12 ،4 ،3من السنتيمترات إذا كان معدل تزايد بعده األول 2سم/ث ومعدل تزايد بعده الثانى 1سم/ث ،ومعدل تناقص بعده الثالث 3سم/ث ،فأوجد حجم متوازى المستطيالت فى أى لحظة زمنية ن .ومعدل تغير حجمه فى نهاية 2ثانية . متراُ .يراد تفريغ الخزان من البترول 24خزان بترول على شكل أسطوانة دائرية قائمة طول قطر قاعدتها ً 24 بمعدل 2م/3د ،فما معدل تغير ارتفاع البترول فى الخزان؟ 25ترتفع طائرة عمودية رأس ًّيا ألعلى بمعدل ثابت قدره 42م/د فإذا تم رصد الطائرة من مشاهد على األرض ويبعد 150م عن موقع إقالعها ،فأوجد معدل تغير زاوية ارتفاع نظر المشاهد للطائرة عندما تكون على ارتفاع 150م من سطح األرض. 26فى سباق 100متر ،يجرى العب فى مسار مستقيم باتجاه خط النهاية ،وكانت إحدى كاميرات خط النهاية على مسافة 5أمتار وعمودية على مسار السباق وفى نفس المستوى األفقى للمتسابقين .أوجد معدل تغير الزاوية التى تدور بها الكاميرا لرصد حركة الالعب عندما كان على بعد 5أمتار من نهاية السباق ومعدل اقترابه لنقطة النهاية 10م/ث. Eص
= 2وحدة /ث أوجد معدل التغير 27تتحرك النقطة ( Cس ،ص) على منحنى الدالة ص = س + 3س بحيث Eن فى مساحة المثلث Cو ب حيث (و) نقطة األصل ،النقطة ب ( )6 ، 0فى اللحظة التى يكون فيها اإلحداثى السينى للنقطة المتحركة يساوى .3
لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى
32
www.sec3mathematics.com.eg
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
اختبار تراكمي �ختر �لإج�بة �ل�سحيحة من بين �لإج�ب�ت �لمعط�ة: 1إذا كانت د(س) = ظتا س فإن د ) r ( //تساوى : 4 ب 4 أ 4- 9 9
د 9 2
ج 4
Eص 1 Eس فإن :عند النقطة (،)4 ، 3 - = 2تتحرك نقطة على المنحنى ص - 25 = 2س 2بحيث Eن Eن 2س 3 + ج 1 ب 1 أ 1- د 9 9 4 4
تساوى:
3إذا كان معادلة العمودى للمنحنى ص = د(س) عند النقطة ( )1 ، 1هى س 4 +ص= 5فإن د )1(/تساوى: ب 1- د 4- ج 4 أ 3- 4 4المماس للمنحنى ص = 3س 5 - 2عند النقطة ( )2 - ،1يمر بالنقطة: ج ()4 - ، 2 ب ()1 ، 3 أ ()2 - ، 5
د ()8 - ، 0
�أجب عن �لأ�سئلة �لآتية:
2Eص 3 2 5 إذا كانت س = ن -ن ،ص = ن -ن أوجد Eس2
6المعادلتان البارامتريتان لمنحنى هما س = ن 6 - 2ن ،ص = 8ن 2 -أوجد معادلة المماس للمنحنى عند ن = 6
C 7ب جـ مثلث مساحته م ،النقطة جـ تتحرك على المستقيم ص = 2س ،فإذا كان ( Cل ، )0 ،ب ( ،0ك) حيث ك Eم = ل+ ل ،ك ثابتان موجبان أثبت أن Eس 2 س عند س = 4 - أوجد معدل تغير + 9س 2بالنسبة إلى س1-
أ إذا كان ص = + 4ظتا س -قا 2س ،أوجد معادلة العمودى عند س = r 4
ب ُمثمن منتظم طول ضلعه 10سم ويتزايد بمعدل 0٫2سم/ث أوجد معدل تزايد مساحته.
11سلم طوله 4أمتار يرتكز بأحد طرفيه على حائط رأسى وبطرفه اآلخر على أرض أفقية ،فإذا انزلق الطرف مبتعدا عن الحائط بمعدل 20سم/ث .احسب معدل هبوط الطرف العلوى للسلم عندما المالمس لألرض ً مائال على األرض بزاوية قياسها . r يكون السلم ً 3
إذا لم تستطع اإلجابة عن أحد هذه األسئلة يمكنك االستعانة بالجدول اآلتى: رقم السؤال
1
2
3
4
5
6
7
8
أرجع إلي
3
2
4
4
2
2
2
2
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
أ
4
9
ب
5
10
5
33
������ ������ ������ ������ ������������
الوحدة الثانية
تفاضل وتكامل الدوال األسية واللوغاريتمية The Calculus of Exponential and Logarithmic Functions
مقدمة الوحدة ً نسبة إلى العالم االسكتلندى جون نابيير 1617 - 1550( Johan napierم) فى هذه الوحدة ،نتعرف العدد النيبيرى هـ الذى أدخل مفهوم اللوغاريتمات إلى الرياضيات ،كما يسمى ً أيضا عدد أويلر Eulerتكريمً ا للعالم الذى درسه باستفاضة هو والدوال المرتبطة به واكتشافه للعالقة هـ 0 = 1 + riبين أهم خمسة ثوابت فى الرياضيات والتى تربط بين الدوال المثلثية والدوال األسية واألعداد المركبة. ً أساسا والعدد هـ عدد حقيقى غير نسبى يساوى تقريبًا 2.718281828459له أهمية كبيرة فى الرياضيات ،حيث اتخذ للدالة األسية ذات األساس الطبيعى هـس [) ، ]exp(xودالة اللوغاريتم الطبيعى لو س [) ]ln (xوسوف نتناول فى هذه هـ الوحدة دراسة كل من هذه الدوال ومشتقاتها وكذلك مشتقاتها العكسية (التكامل) مع استخدام البرامج الرسومية لحل مشكالت رياضية وحياتية فى مجاالت مختلفة.
مخرجات التعلم فى نهاية هذه الوحدة وبعد تنفيذ األنشطة فيها ،من المتوقع أن يكون يتعرف بعض خواص اللوغاريتم الطبيعى مثل: قادرا على أن: الطالب ً لو س = ص +هـص = س هـ
يتعرف مفهوم العدد النيبيرى هـ من خالل النهايات 1
نهــــــا + 1( 0س)س = هـ ، س!
نهــــــا
س!∞
س
(1 + 1س ) = هـ
يوجد بعض النهايات التى تؤول إلى العدد هـ ومضاعفاته نهــــــا
س!∞
(1 + 1س )2س =
نهــــــا
س!∞
[(+ 1
) 1س] = 2هـ2
س
يتعرف مفهوم اللوغاريتم الطبيعى لوهـ من خالل النهاية س
نهــــــا 1 - C س! 0س
=
هـ
لو س هـ
=س ،س>0
لوهـ هـ = ، 1لو س = C
لو س هـ
لو C هـ
س
هـس
،ص=، C يوجد مشتقات الدوال األسية ص = ومشتقه الدالة اللوغاريتمية ص = لوهـ س ،ص = لو س
تكامل الدوال ص = هـس
لوC
هـ
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
،لوهـ س
C
المصطلحات األساسية Ñأس
Exponent
Ñقوة
Power
Ñأساس
Ñأسس كسرية Ñنمو أسى
Base Rational Exponents Exponential Growth
Ñتضاؤل أسى Ñدالة أسية
Exponential Decay Exponential Function
Ñمعادلة أسية
Exponential Equation
Ñلوغاريتم
Logarithm
Ñصورة
Form
Ñلوغاريتم معتاد
Common Logarithm
Ñلوغاريتم طبيعى Ñثابت نابيير Ñ
Ñالمشنقة العكسية Ñتكامل
Antiderivative Integration
Ñثابت اختيارى
Ñتكامل غير محدد
Arbitrary constant Indefinite integral
Natural Logarithm Napier`s Constant
تفاضل لوغاريتمى Logarithmic Differentiation
دروس الوحدة
األدوات والوسائل
الدرس ( :)1 - 2الدالة األسية ذات األساس الطبيعى ودالة اللوغاريتم الطبيعى.
Ñآلة حاسبة علمية
الدرس ( :)2 - 2مشتقات الدوال األسية واللوغاريتمية.
Ñبرامج رسومية للحاسوب
الدرس ( :)3 - 2تكامل الدوال األسية واللوغاريتيمة.
مخطط تنظيمى للوحدة الدوال اللوغاريتمية
الدوال األسية العدد هـ
الدالة األسية ذات األساس الطبيعى
تفاضل الدالة تكامل الدالة
دالة اللوغاريتم الطبيعى
تطبيقات
هندسية
فيزيائية
حياتية
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
1-2
الدالة الأ�سية ذات الأ�سا�س الطبيعى ودالة اللوغاريتم الطبيعى Natural Exponential and Logarithmic Functions
استكشف
سوف تتعلم Ñمفهوم العدد النيبرى هـ من خالل النهايات.
Ñإيجاد نهاية دالة تؤدى إلى العدد هـ ومضاعفاته.
تعرف الدالة األسية ذات األساس ُّ Ñ الطبيعى.
Ñمفهوم اللوغاريتم الطبيعى من خالل النهايات.
المصطلحات األساسية
Natural Exponential
Ñدالة اللوغاريتم الطبيعى Natural Logarithmic Functions
ص
حيث س ∈ }1{ - +I ∈ C ، Iوعلمت أن منحناها يمر بالنقط () 1 ، 1-( ، )C ، 1( ، )1 ، 0
س
د (س) = C
C
Áهل جميع منحنيات الدوال األسية تمر بالنقطة ()1 ، 0؟
فسر إجابتك.
مر منحنى الدالة األسية د بالنقطة ( ،)3 ، 1ما قيمة Áإذا َّ األساس C؟ تعريف
Ñالدالة األسية ذات األساس الطبيعى
سبق أن درست الدالة األسية :د (س) = C
س
العدد هـ يعرف العدد هـ من العالقة :هـ = نهــــــا 1 + 1j س` ُ The number e
س!∞
و
س
س
Áارسم منحنى الدالة د حيث د(س) = هـس أى ) f(x) = exp(xمستخد ًما برنامج geogebra أو أى برنامج رسومى آخر .هل تستطيع اكتشاف قيمة تقريبية للعدد هـ؟
األدوات المستخدمة Ñآلة حاسبة علمية.
Ñحاسب آلى مزود ببرامج رسومية. Ñالشبكة العنكبوتية
ابحث عن العدد هـ ورمزه()e
فى الشبكة العنكبوتية لتعرف عنه المزيد.
س
س
استكشف نهــــــا 1 + 1j س ` مستخد ًما حاسبة س!∞
10
Áهل تقترب هذه النهاية من القيمة التقريبية السابق تعينها للعدد هـ؟ ماذا تستنتج؟
100 1000 10000 100000
Áهل نهــــــا 1 + 1j س ` = نهــــــا + 1jس` ؟ س 0 س ∞ !
فسر إجابتك
(2٫25 = 2) 12 + 1
2
الجيب فى إكمال الجدول المقابل.
س
() 1 + 1س س
1 س
!
الحظ أن )1يمكن إيجاد قيمة هـ باستخدام حاسبة الجيب بالضغط على المفاتيح =
1
نجد أن هـ 2٫718281828 -ألقرب 9أرقام عشرية
36
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
ln
Shift
" ابدأ
����� ������ ��� �������� ������ ���� ���������� ������
a )2هـ = نهــــــا 1 + 1j س` س!∞
س
بفرض م = 1 س حيث س ! 0 س
()1 فإن م ! 0
` نهــــــا 1 + 1j س ` = نهــــــا ( + 1م) م!0 س!∞
س!∞
أ نهــــــا 1 + 1j س` س!∞
هـ = نهــــــا + 1jس` س!0
1 س
نهايات تؤدى إىل قوى العدد هـ
أوجد: أ نهــــــا 1 + 1j س` الحل
عندما س ! ∞
1 م
أى إن يمكن التعبير عن العدد هـ بالصورة: مثال
2 2
3س
ب نهــــــا 1 + 1j س` س!∞
= نهــــــا [1 + 1j س`
3س
س!∞
]
س 3
س3+
= [ نهــــــا 1 + 1j س` س!∞
]
س 3
=
هـ3
3
ب نهــــــا ` 1 + 1jس = 3+نهــــــا ` 1 + 1jس 1 + 1j س` س س س!∞ س!∞ 3 س = نهــــــا * ` 1 + 1jنهــــــا 1 + 1j س ` = هـ * ( = 3)0 + 1هـ س س!∞ س!∞
حاول أن تحل
أوجد: أ نهــــــا 1 + 1j س` س!∞
15س
ب نهــــــا 1 + 1j س`
س
ب نهــــــا س 2 + ` j س!∞ س 1 -
أوجد: أ نهــــــا 5 + 1j س` س!∞
س!∞
الحل
2س 5 +
س4+
أ بفرض ص = 5 س حيث س ! 0فإن ص ! 0عندما س ! ∞ س
5
` نهــــــا 5 + 1j س ` = نهــــــا ( + 1ص) ص = نهــــــا + 1(jص) ص ` = ص!0 ص!0 س!∞ 1
5
هـ 5
س 3+1-س4+ س 2+س4+ = نهــــــا + 1jس` 1 -3 ` = نهــــــا j ` ب نهــــــا j 1 س 1 س س !∞ س!∞ س!∞
= نهــــــا + 1jس` 1 -3 س!∞
س1-
س4+
5
* نهــــــا + 1jس = ` 1 -3هـ= 5)1( * 3 س!∞
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
37
هـ3
������ ������ ������ ������ ������������ حاول أن تحل
أوجد: أ نهــــــا 3 + 1j س` س!∞ س ج نهــــــا j س!∞ + 1س
س
`
ب نهــــــا 1 - 1j س` س!∞
2س
د نهــــــا 2س 5 + j س!∞ 2س 1 +
س
`
س2+
الحظ :يمكن التعبير عن العدد هـ باستخدام (متسلسلة تايلور) بالصورة : ∞ 1 هـ = = ∞ ...... + 31 + 12 + 11 + 1 ن ن=0
تعلم الدالة الأ�سية ذات الأ�سا�س الطبيعى
هى دالة أسية أساسها هـ ،
Natural Exponential Function
د(س) = هـس
،
ص
س∈I
الحظ أن )1مجال الدالة د حيث د(س) = هـس هو Iومداها ] [ ∞ ,0 )2منحنى الدالة يمر بالنقطة ( ، 1( ، )1 ، 0هـ) )3د(س) = هـس دالة احادية )(One - to - One تقبل وجود دالة عكسية تعرف بدالة اللوغاريتم الطبيعى )4نستخدم الرمز ) exp (xعند رسم الدالة باستخدام أى برنامج رسومى
ص = هـ 3
( ، 1هـ)
2
)1 ،0( 1
س
2
و
1
س!∞
نهــــــا هـس = صفر
س!∞-
Natural Logarithm Function
هى لوغاريتمية أساسها هـ ،د(س) = لو س ، هـ
س ∈ +I
ص
الحظ أن: )1مجال الدالة د حيث د(س) = لو س هو +Iومداها I
)5
2- 1-
نهــــــا هـس = ∞ ،
دالة اللوغاريتم الطبيعى
)2 )3 )4
منحنى الدالة يمر بالنقط (( ، )0 ، 1هـ )1 ، هى دالة عكسية للدالة ص = هـس يستخدم الرمز ) In(xلرسم الدالة باستخدام أى برنامج رسومى للحاسب اآللى. مثل اضغط على المفاتيح التالية: إليجاد قيمة لو ً 10 هـ = " ln 1 0ابدأ نجد أن لو 2٫302585093 = 10ألقرب 9أرقام عشرية. هـ
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
س
ص = هـ
هـ
38
س
3 2
ص = لو س
1
هـ
س
2
1
نهــــــا لو س = ∞ ، س!∞
هـ
نهــــــا لو س= ∞- س!0
هـ
و
2- 1-
ص=
س
2 2
����� ������ ��� �������� ������ ���� ���������� ������
بع�س خوا�س اللوغاريتم الطبيعى اللوغاريتم الطبيعى له نفس خواص اللوغاريتمات السابق دراستها. إذا كان س ∈ ، +Iص ∈ }1{ - +I ∈ C ، Iفإن:
العدد األس أو اللوغاريتم
)1الصورة لو س = ص تكافىء الصورة هـص = س )2هـ
لو س هـ
هـ
=س
لو س = ص
)3لو هـ = 1 هـ
)5لو س =
)4لو = 1صفر هـ
C
لكل س ،ص ∈ , +I
هـ
لو س
لو C هـ
س )7لو هـ ص
)6لو س ص = لو س +لو ص هـ
هـ
هـ
هـ
)8لو سن = ن لو س
هـ
=س
األساس
(خاصية تغيير األساس)
هـ
ن∈I
هـ ص
= لو س -لو ص هـ
هـ
)9لو س * لو هـ = 1 س
هـ
الحظ يمكن استخدام اللوغاريتمات الطبيعية إلجراء الحسابات العديدة بنفس طريقة استخدام اللوغاريتمات جهدا أكبر بكثير ،خاصة أن لو 2٫3026 - 10لذلك يفضل استخدامه فيما يتعلق العادية ،إال أن ذلك يتطلب ً هـ
بالنهايات واالشتقاق وحل المعادالت األسية واللوغاريتمية لألساس هـ
النهايات واللوغاريتم الطبيعى مثال 3أثبت أن نهــــــا C س!0
الحل
س
س = 1لو Cحيث 0 > C هـ
س
()1
فإن ص ! 0 نفرض :ص = ، 1 - Cعند س ! 0 س بأخذ لوغاريتم الطرفين لألساس هـ فيكون + 1 = Cص س ` لو = Cلو ( + 1ص) وباستخدام خاصية لوغاريتم القوة هـ
هـ
` س لو = Cلو ( + 1ص) أى أن :س = هـ
هـ
لو ( + 1ص) هـ
()2
لو C هـ
من ( )2( ، )1ينتج أن:
لو C
س ص 1 * لو = Cنهــــــا نهــــــا Cس = نهــــــا 1 لو + (1 ص) 0 ص 0 س!0 ! ص! هـ ص لو ( + 1ص) هـ هـ
=
هـ
لو C هـ
نهــــــا 0لو ( + 1ص) ص! هـ
1 ص
=
لو C هـ
لو نهــــــا + 1( 0ص) ص هـ
!
1 ص
=
لو C هـ
لو هـ هـ
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
لو C هـ
= نهــــــا
ص!0 لو ( + 1ص) هـ
1 ص
= لو C هـ
39
������ ������ ������ ������ ������������
مالحظة هامة :يستخدم المثال السابق كقاعدة فى حل المسائل ،كما يمكن استخدام النهايات التالية فى حل المسائل: لو ( + 1س)
( )1نهــــــا
C
س!0
حاول أن تحل
= لو هـ
س
( )2نهــــــا
س!0
C
لو ( + 1س) هـ
=1
س
3أثبت أن :نهــــــا ن [ لو (ن - )1 +لو ن] = 1 ن!∞
هـ
هـ
تمــــاريــن 1 - 2
اختر الإجابة ال�صحيحة من بين الإجابات المعطاة: نهــــــا 1 + 1j س` س!∞
أ 1
نهــــــا ( + 1س) س!0
أ 1 3
2س
1 3س
س
يساوى:
نهــــــا س! 1س 1-
ب 1
أ صفر
نهــــــا س 7 + 8 j س!∞ س 3 +
س1+
6نهــــــا ` 1 1 + 1j س+ س!∞
س4+
`
9نهــــــا
س!0
اأوجد النهايات الآتية: نهــــــا 4 + 1j س` س!∞
نهــــــا ( 3 + 1ظا 2س ) س!0
1
ظتا 2س
س!∞
-س
س
س
س
هـ
هـ 1-
7نهــــــا + 1jم` 1 م!∞
1نهــــــا
س!0
`
س
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
مس
لو ( + 1س)2 هـ
2س
1-
نهــــــا 2س 1 - j س!∞ 2س 1 +
د 2لو 3
د
لو (2 + 1س)
نهــــــا هـ
س3+
د هـ 3
1 3
ج هـ
هـ
هـ2
د
ج لو 2 هـ 3
يساوى:
هـ
س!∞
هـ3
ج هـ
هـ
لو س
نهــــــا 1 + 1j س`
ج ه ـ
ب 13لو 2
أ 3لو 2
اأوجد:
ب 2 يساوى : ب
3نهــــــا 1 - 2 س!3 0س هـ
يساوى:
س2
3نهــــــا 1 - C س! 0س لو (3 + 1س)2 هـ 6نهــــــا 2س2 س!0
2-2
م�ستقات الدوال الأ�سية واللوغارتمية Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions
سوف تتعلم
استكشف
س
هـ 1 - باستخدام اآللة الحاسبة أكمل الجدول التالى واستكشف نهــــــا س! 0س س ٫001٫0001- ٫00001- 0 ٫00001 ٫0001 ٫001 س
هـ 1 - س
٫999500
راجع مثال ( )4فى الدرس السابق وتحقق من صحة اكتشافك.
Ñمشتقات الدوال األسية.
Ñمشتقات الدوال اللوغارتمية. Ñالتفاضل اللوغاريتمى.
Ñالمشتقات العليا للدوال األسية واللوغارتمية.
Ñنمذجة المشكالت.
تعلم المصطلحات األساسية
م�ستقة الدالة الأ�سية ذات الأ�سا�س الطبيعى Derivative of Natural Exponential Function س
إذا كانت د(س) = هـ فإن د( /س) = هـ
س+و
و!0 س
س
Ñقاعدة السلسلة
Ñالمشتقة األولى
س
Chain Rule First Derivative
Ñاالشتقاق اللوغاريتمى
من تعريف المشتقة د(س +و) -د(س) د( /س) = نهــــــا و
Ñمشتقة
Derivative
Logarithmic Differentiation
و
هـ = نهــــــا هـ (هـ )1 -` د( /س) = نهــــــا هـ و و و!0 و!0 و س س = هـس * نهــــــا jهـ و = ` 1 -هـ * = 1هـ و!0
أى أن
E
Eس
س
(هـ ) = هـ
س
األدوات المستخدمة
مثال مشتقة الدالة األسية ذات األساس الطبيعى أوجد المشتقة األولى لكل من: س س س 2هـ ج ص= ب ص = س 3هـ أ ص = س3 + 2هـ
س1+
الحل
أ aص = س 3 + 2هـ
ب aص = س 3هـ
س
س
Eص (هـ ) = 2س 3 +هـس = 2س 3 + ` Eس Eس س س E E 3 Eص (س)3 (هـ ) +هـ =س ` Eس Eس Eس س
E
س
س
س
= س 3هـ 3 +س 2هـ = س 2هـ (س )3 + كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
Ñآلة حاسبة علمية
������ ������ ������ ������ ������������ س
2هـ ج aص= س1+
Eص = ` Eس
حاول أن تحل
Eص أوجد Eس
لكل مما يأتى: س
أ ص = 2هـ +جتا 2س
(س )1 +
E Eس
(2هـس) 2 -هـس (س 2)1 +
E
Eس (س 2 )1 +س هـ = (س 2)1 +
س
س
هـ ج ص= طا س
س ب ص = هـ جا س
تفكير ناقد :ما العلقة بين ميل المماس للمنحنى ص = هـس عند أى نقطة عليه واإلحداثى الصادى لهذه النقطة؟
فسر إجابتك
قاعدة ال�صل�صلة إذا كانت ع دالة قابلة للشتقاق بالنسبة إلى س ،د(ع) = هـ
ع E ع Eع (هـ ) = هـ : فإن: Eس Eس
ع
مثال أوجد المشتقة األولى لكل من: أ ص = هـ3س5 + 2
ب
ص = 3هـقا س
ج
ص = (هـ3س -هـ2-س)5
الحل
Eص أ aص = هـ3س5 + 2 ` Eس ص E E ب aص = 3هـقا س = 3هـقا س * Eس (قا س) = 3هـقا س :قاس طا س ` Eس Eص = ( 5هـ3س -هـ2-س)3[ 4هـ3س 2 +هـ2-س] ج aص = (هـ3س -هـ2-س)` 5 Eس
=
هـ3س5 + 2
* E Eس (3س= )5 + 2
6س هـ3س5 + 2
حاول أن تحل
Eص أوجد Eس
أ
لكل مما يأتى:
ب ص= 1 2
ص = 2س +هـ6س
تعلم م�ستقة الدالة الأ�سية للأ�سا�س C
هـ - 7س2
ج
Derivative of Exponential Function to the Base a
إذا كانت د(س) = C
س
س
فإن د( /س) = Cلو C
الحظ أن = Cهـ (من خواص اللوغاريتمات) ` [ = Cهـ س
لوهـ C
س
ويكون E Eس (E E = ) Cس (هـ
س لوهـ C
ص = (هـ2س +هـ2-س)3
) = هـ
س لوهـ C
* لو C = C هـ
س
]
لو Cس هـ
* لو C هـ
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
= هـ
هـ
س لوهـ C
ص
= Cهـ
= Cهـ
لو = Cص لو هـ هـ
هـ
ص = لو C هـ
لو C هـ
2 2
������� ������ ������ ����������
Eع ع ع وبوجه عام فإنE E :س ( C = ) Cلو : C Eس هـ
مثال مشتقه الدالة األسية Eص لكل مما يأتى: 3أوجد Eس
أ ص=6*5
س
ب ص=3
جا س
(3س5 - 2س )2 +
ج ص = هـ
*2
5-س
الحل س Eص ` أ aص=6*5 Eس Eس هـ 2 Eص = (6س 3(3 * )5 -س 5 -س * )2 +لو 3 ب aص = 33س5 - 2س ` 2 + س E هـ جا س جاس 5-س جاس E Eص (5-س) E Eس هـ (5 - 2س) 2 + = هـ ` *2 ج aص = هـ Eس Eس
=5
= هـ
= 2
س
E
جاس
5-س
Eص 3أوجد Eس
أ
ص = 5س2 + 2س
ب
جاس
[5-2 * 5-س لو 5-2 + ]5س [هـ
هـ
جاس
حاول أن تحل
لكل مما يأتى:
س
( 6 * 5 = ) 6لو 6
هـ
5-
[ لو + 2جتا س] هـ
ص = 2قا2س
ج
جتا س]
ص = هـ2س س5 - 2
C
تعلم م�ستقة دالة اللوغاريتم الطبيعى
Derivative of Natural Logarithm Function
1 إذا كانت د(س) = لو س ،س > 0فإن د( /س) = س هـ
الحظ أن الدالة اللوغاريتمية هى دالة عكسية للدالة األسية فإن س = هـص إذا كان ص = لو س هـ
بتفاضل طرفى العلقة ( )1بالنسبة إلى س
Eص 1 = من ( )2( ، )1ينتج أن : Eس س
()1
ص Eص ` = 1هـ Eس
()2
E 1 ( لو س) = أى أن: Eس س هـ
مثال مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعى أوجد المشتقة األولى لكل مما يأتى: ب ص = (2س )3 - 5لو س أ ص = 3س +لو س هـ
هـ
ج ص=
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
لو س 1 - هـ
لو س 1 + هـ
3
������ ������ ������ ������ ������������ الحل
أ aص = 3س +لو س هـ
1 Eص E = E + 3س ( لو س) = + 3 ` Eس س هـ
Eص = (2سE E )3 - 5س ( لو س) ( +لو س) E Eس (2س)3 - 5 ب aص = (2س )3 - 5لو س ` س E هـ هـ هـ 1 = (2س* )3 - 5 س هـ 1 = [(2س10 + )3 - 5س 5لو س] س هـ
10 +س 4لو س
لو س 1 -
ج aص
هـ
لو س 1 + هـ
حاول أن تحل
Eص أوجد Eس
jلو س j - 1 * `1 +لو س 1 * `1 - س س Eص هـ هـ 2 = ` = س ( لو س 2)1 + ( لو س 2)1 + Eس هـ
لكل مما يأتى:
أ ص = 3 - 5لو س هـ
ب ص = س 2لو س
هـ
ج ص=
هـ
2 - 1لو س هـ
لو س هـ
تفكير ناقد :ما العلقة بين ميل المماس للمنحنى ص = لو س عند أى نقطة عليه واإلحداثى السينى لنقطة المماس؟ هـ
فسر إجابتك.
قاعدة ال�صل�صلة Áإذا كانت ع دالة قابلة للشتقاق بالنسبة إلى س ،د(ع) = لو ع هـ
E 1ع Eلو فإن E :س [ هـ ع] = ع E :س
Áإذا كانت س < 0فإن [ E :لو (-س)] = 1 = 1 - * 1 سس Eس هـ 1 E Eس [ لو |س| ] = س هـ
Áوبوجة عام
لكل س ! 0
ع
/
E E ،س [ لو |ع| ] = ع حيث ع دالة قابلة للشتقاق فى س. هـ مثال أوجد
E
Eس
لكل مما يأتى:
أ ص = لو (2س)9 + 3
الحل
هـ
ب ص = س 4لو
هـ
س3
ج لو
هـ
س2
س7+
6س 1 E Eص = )9 (2س+ 3 * = أ aص = لو (2س` )9 + 3 3 3 2س 9 + Eس 2س E 9 +س هـ E E ص E ( لو س + )3لو س3 = س4 ب aص = س 4لو س3 (س)4 ` Eس س E س E هـ هـ هـ كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
������� ������ ������ ����������
2 2
1 = س3 * 3 * 4س + 2لو س هـ 3 3 3 3 = 3س4 + 3س لو س = س [ 4 + 3لو س ] س 4 * 3س3 هـ
هـ
س2 س 14 + (س 2( )7 +س) -س1 * 2 س7+ ج j Eلو = * = ` س2 (س 2)7 + Eس هـ س 7 + س (س )7 +
حاول أن تحل
Eص أوجد Eس
لكل مما يأتى:
أ ص = لو (7س - هـ
ب ص = 2س 2لو
2)3
هـ
س ج ص= لو س
س3
هـ
تعلم م�ستقه الدالة اللوغاريتمية للأ�سا�س C
Derivative of Logarithmic Function to the Base a
1 إذا كانت د(س) = لو س فإن د( /س) = لو س C C
الحظ
هـ
لو س
E Eلو Eس ( Cس) = Eس
Eلو س = 1 : 1 = 1 ] [ س E لو س C لو C هـ
هـ
لو C هـ
هـ
ويكون E Eس ( لو س) = 1لو هـ C
س
هـ
C
من خواص اللوغارتيمات لو س هـ لو س = لو C C هـ
1 Eع : E Eس ( لو ع) = Eس ع لو C C
وبوجه عام
تذكر اأن
لو * Cلو هـ = 1 هـ
هـ
C
م�صتقه الدالة اللوغارتيمية مثال Eص 6أوجد Eس
لكل مما يأتى:
أ ص = لو س
الحل
3
أ aص = لو س 3
ب aص = لو (3س )2 - 5
ج ص = لو (2س -
ب ص = لو (3س )2 - 5
1 Eص 1 * = 1 = ` Eس س س لو 3 لو 3 هـ
Eص 3 = ` Eس (3س )2 -لو 5
هـ
هـ
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
2)3
������ ������ ������ ������ ������������
2*2 Eص 4 = = ج aص = 2لو |2س ` |3 - Eس |2س |3 -لو 10 |2س |3 -لو 10 هـ
حاول أن تحل
هـ
6أوجد ميل المماس لكل من المنحنيات التالية عند قيم س المعطاة: ب ص = 4لو (3س ، )1 +س = 1 أ ص = لو 5س ،س = 2 2
د ص = ( 3لو س) ، 2س = 3
ج ص = لو (2س ، 4)3 - 2س = 1 2
س 7تطبيقات هندسية :إذا كان Cب مماس للمنحنى ص = لو فى النقطة جـ ( ، 1ص) ويقطع محور هـ 2 السينات فى النقطة ،Cومحور الصادات فى النقطة ب أوجد طول Cب الحل
معادلة المماس
إليجاد طول Cب نتبع المخطط المقابل
Cب
ميل المماس عند أى نقطة E :ص = 1 = 1 * 2 * 1 Eس 2س س
ص
C aب يمس المنحنى فى النقطة جـ ( ، 1ص) فإن ص = لو - = 1لو 2أى أن جـ ( - ، 1لو ،)2وعندها س 2 هـ
Eص
هـ
= ،1وتكون معادلة المماس Cب عند جـ هى: Eس ص +لو = 2س 1 - هـ
C aب يقطع محور السينات فى النقطة C
ويقطع محور الصادات فى النقطة ب
ويكون (Cب) + 1( = 2لو 1( + 2)2 هـ
حاول أن تحل
نقط التقاطع ،Cب
هـ
C جـ
س ص = لو ( ) هـ 2
طول
Cب
و
ب
` + 1 ( Cلو ) 0 ، 2 هـ
+لو 2)2 هـ
` ب ( - 1 - ، 0لو )2 هـ
+ 1( 2لو )2
` Cب =
هـ
7إذا كان العمودى للمنحنى ص = لو 2س عند النقطة ، 1( Cلو )2يقطع محور السينات فى النقطة ب أوجد طول هـ هـ Cب ألقرب ثلثة أرقام عشرية.
تطبيقات رياضية
ال�ستقاق اللوغاريتمى يمكن التعبير عن العلقة بين المتغيرات بصورة لوغارتيمية بأخذ اللوغاريتم الطبيعى لطرفيها واستخدام خواص اللوغاريتمات فى تبسيط العلقة قبل إجراء عملية االشتقاق.
Logarithmic Differentiation
مثال Eص 8أوجد Eس
لكل مما يأتى:
أ ص = (س)5 + 3
6
س
ب ص=
[جا س] ظاس
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
2 2
������� ������ ������ ���������� الحل
س
أ aص = (س)5 + 3 ` لو ص = س لو (س)5 + 3 هـ
بأخذ اللوغاريتم الطبيعى لطرفى العالقة باشتقاق طرفى العالقة بالنسبة إلى س
هـ
E 1ص س = لو (س3 * 3 + )5 + 3س 2بضرب الطرفين * ص = (س)5 + 3 ص Eس س 5+ هـ س 3س3 Eص +لو (س])5 + 3 = (س[ )5 + 3 ` 3 Eس س 5+ هـ [جا س]طاس
يأخذ اللوغاريتم الطبيعى لطرفى العالقة باشتقاق الطرفين بالنسبة إلى س
ب aص= لو ص = طا س لو جا س هـ
E 1ص ص Eس
هـ
= طا س * E Eس ( لو جا س) +لو جا س * E Eس (طاس)
1 جا س * = جتا س جا س
هـ
هـ
* جتا س +لو جا س * قا2س هـ
= + 1قا2س لو جا س
Eص ` Eس
حاول أن تحل
Eص 8أوجد Eس
أ ص=
9
هـ
بضرب الطرفين * ص = [جا س]طاس
= [جاس]طاس ( + 1قا2س لو جا س) هـ
لكل مما يأتى
س2س
ب ص=
تحقيق عالقة :إذا كانت ص = هـ -س
الحل
س
aص = هـ -س + 1س -1س
+1س
(جاس)س
ص
س ج ص2 * 3 = 2
- 1س حيث < 1-س < 1أثبت أن - 1( :س )2ص = /س 2ص
بأخذ لوغاريتم الطرفين لألساس هـ
+1س لو -س 1لو لو ` هـ ص = هـ هـ 2 +هـ - 1س لو ص = -س [ 12 +لو ( + 1س) -لو ( - 1س)] هـ هـ هـ
بتفاضل طرفى العلقة بالنسبة إلى س
1ص * ص = 1+ 1 [ 12 + 1-س 1-- 1 -س ] صص = 1 - 1 [ 12 + 1-س1 +-س +2س ] /
/
/ 1 ص + 1س1 + 2= + 1= - 1س2 - 1س2 ص س2 / ص ` ( - 1س )2ص = /س 2ص ص = - 1س2
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
7
������ ������ ������ ������ ������������ حاول أن تحل
9إذا كانت ص = Cهـ
ب س
اثبت أن :س ص ص 2 + //ص ص - /س ص0 = 2/
تمــــاريــن 2 - 2
اختر الإجابة ال�صحيحة من بين الإجابات المعطاة
إذا كانت د(س) = هـ3س فإن د( /س) تساوى: ج 9هـ3س ب 3هـ3س أ هـ3س
إذا كان د(س) = أ -د()2
Cهـس
فإن د )2-( /تساوى: ب -د)2( /
د
ج -د()2-
3هـ2س
د د()2-
3منحنى الدالة د :د(س) = + 1لو (س )2 -هو نفس منحنى الدالة ( S : Sس) = لو س باالنتقال: هـ
ب ()2- ، 1
أ ()2 ، 1
هـ
ج ()1 ، 2-
د ()1 ، 2
النسبة بين ميل مماس المنحنى ص = لو 3س 1 +وميل مماس المنحنى ص = لو 5س 1 +عند س = Cكنسبة ب 3:5
أ 5:3
اأوجد الم�صتقة الأولى لكل من: ص =
8ص= 2
هـ3س5
هـ5س3 - 2
ص = لو
ص =
هـ
هـ
ج 1:1
6ص=
هـس - 2س
9ص = لو (2س )7 -
س2
ص=
س7+
هـ3س
ص=
لوس
هـ
س2
لو س هـ
قاهـس
اأوجد ميل المما�س لكل من المنحنيات التالية عند القيم المعطاة: 7ص= س -
2هـس
8ص = س 3 - 2لو س 9ص= 1 4
8
هـ2س
هـ
2لو سهـ
،س= 1 4
،س=2
،س= 1 2
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
هـ
د لو : 3لو 5 هـ
7ص=
هـ
(3س 2-)1 -
1ص = لو ( 12س + 2س) هـ
3ص = لو
3
(4س 2)9 +
3س س 6ص = 2هـ 5 -لو 5 2
������� ������ ������ ����������
2 2
اأوجد Eص لكل مما ياأتى: Eس
1ص هـس = 3ص = هـ
اأوجد
Eص Eس
هـ3
س لو ص = 58 هـ
هـ س
،
2E
ص = هـ
ص=
س هـ
ص=
سجاس
1 سس
ص لكل مما ياأتى: 2
Eس
6س = هـ2ن ،ص = 7س = 6لو ن ،ص = هـ
ن2
ن3
اأجب عن كل ما ياأتى: 3Eص 2س 8إذا كانت ص = س لو Cفأوجد Eس3 هـ
9إذا كانت هـس =
∞
ن=0
عند س = 4
ن سن (مفكوك تايلور) أثبت أن:
س1 + 2
E
Eس
(هـس) = هـ
س
31إذا كانت ص = س 1 - 2أثبت أن (س )1 - 4ص2 + /س ص = 0
3أوجد قيم س التى يكون عندها مماس المنحنى ص = 9س 8 - 3لو س مواز ًيا لمحور السينات. هـ
3أوجد معادلة العمودى للمنحنى ص = 3هـس عند نقطة واقعه عليه وإحداثيها السينى يساوى 1- 33الربـط بالصناعـة :إذا كان اإلنتـاج اليومـى ألحـد المصـانع خـلل فترة زمنيـة ن (يو ًمـا) يتعيـن بالعلقـة ص = - 1( 400هـ0٫3-ن) وحدة أوجد معدل التغير فى عدد الوحدات المنتجه بالنسبة للزمن فى اليوم العاشر. 3تطبيقات حياتية :إذا كان إنتاج خلية نحل من العسل ُيعطَى بالعلقة :ص = (ن )100 +لو (ن )5 +جرام بداللة عدد هـ األيام ن .أوجد معدل تغير انتاج الخلية عند ن = ، 5ن = ، 15 ن = .20هل يتزايد إنتاج الخلية من العسل أم يتناقص؟
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
9
3-2
تكامل الدوال الأ�سية واللوغاريتمية Integrals of Exponential and Logarithmic Function
Ñتكامل الدوال األسية Ñتطبيقات هندسية. Ñتطبيقات فيزيائية.
المصطلحات األساسية Antiderivative
Ñتكامل
Ñتكامل غير محدد Ñثابت اختيارى
من دراستك السابقة فى التفاضل E [( Xس)] تعلم أن مشتقة الدالة Xبالنسبة Eس س إلى س حيث (Xس) = هـ 5 + د(س) Eس هى (/Xس) = هـس س (/Xس) = هـ = د(س) إذا رمزنا للدالة (/Xس) بالرمز مشتقه الداله د(س) فإننا نستطيع بعملية عكسية (التكامل غير المحدد) إيجاد عدد غير محدد من الدوال األخرى (ت(س) +ث) مشتقة كل منها يساوى د(س) تسمى بمجموعة المشتقات العكسية للدالة د إحداها يساوى (Xس) حيث: د(س) Eس = ت(س) +ث حيث ث ثابت اختيارى استكشف مجموعة المشتقات العكسية لكل من: 1 (Xس) = (Sس) = 8هـس، 4 د(س) = 5هـ5س ،
س المشتقات ت(س) = هـ +ث العكسية ث ثابت للدالة د
واللوغاريتمية.
Ñمشتقة عكسية
س
(Xس) = هـ 5 +
استكشف
سوف تتعلم
عند ث = 5
Integration Indefinite integral Arbitrary constant
س
تعلم التكامل غير المحدد للدالة الأ�سية
Indefinite Integrals of Exponential Function
األدوات المستخدمة Ñآلة حاسبة علمية
Ñبرامج رسومية للحاسب اآللى.
إذا كان ك عد ًدا حقيق ًّيا حيث ك ! 0 فإن :هـس Eس = هـس +ث ،هـك س Eس = 1هـك س +ث ك
مثال أوجد: أ هـ الحل
أ
1
حيث ث ثابت اختيارى
هـ
7س
Eس
7س
Eس = 17هـ
ب 7س
هـ
34 -ص
+ث
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
Eص
ج
2ع
8هـ Eع
����� ������ ������ ������������
ب
3صهـ E 4ص = 1هـ
ج
2ع 2ع 8هـ Eع = 8هـ Eع = 82هـ
34
34 -ص
4هـ+ث= 3 2ع
34 -ص
+ث
2 2
تذكر اأن
+ث = 4هـ
2ع
Cد(س) Eس = Cد(س) Eس
+ث
حاول أن تحل
أوجد أ rهـس Eس
ب
-هـ
5-ع
ج
Eع
6-هـ
0٫2ص
Eص
د
2 3
ن هـE 2 -ن
مثال أوجد كل من التكاملت التالية: هـس +هـ -س
أ
2
الحل
ب
Eس
هـس +هـ -س
3هـس 2 -هـ2س 2هـس
Eس
Eس = 1 2 2 1 س س = ( [ 2هـ Eس +هـ Eس] = ( 12هـس -هـ -س) +ث 3هـس 2 -هـ2س س Eس = E 32س -هـس Eس 2هـ = 32س -هـس +ث
أ
ب
(هـس +هـ -س) Eس
تذكر اأن [د(س) ! (Sس)] Eس = د(س) Eس ! (Sس) Eس
حاول أن تحل
أوجد: أ
هـس +هـ -س س Eس هـ
(س2 + 2هـس) Eس
ب
ج
الحظ أن :إذا كانت د(س) دالة قابلة للشتقاق فإن: هـد(س) :د( /س) Eس = هـد(س) +ث مثال 3
أ
جتا س
جا س هـ
الحل
Eس
أ بوضع د(س) = جتا س جتا س
جا س هـ
ب
4س هـ
س1 + 2
` د( /س) = -جا س جتا س
Eس = -هـ
Eس
جتا س
( -جا س) Eس = -هـ
+ث
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
(س2هـ
+هـ3س) Eس
������ ������ ������ ������ ������������
` د( /س) = 2س ب بوضع د(س) = س1 + 2 4س هـسE 1 + 2س = 2هـس2( 1 + 2س) Eس = 2هـ س + 1 + 2ث حاول أن تحل
3أوجد التكاملت التالية: أ (جتا س هـجاس 3 +سE )2س ب
(س )3 -هـس6 -2س E 5 +س
التكامل غير المحدد للدوال اللوغاريتمية تعلم أن ( Eلو س) = 1 س Eس هـ
Indefinite Integral of Logarithmic Functions
حيث س > ( E ، 0لو -س) = 1 - س Eس هـ
وبوجه عام فإن Eلو |س| = 1 س Eس هـ
حيث س < 0
حيث س ! 0
أى إن الدالة لو |س| حيث س ! 0إحدى المشتقات العكسية للدالة 1 س هـ
E 1س = لو |س| +ث حيث س ! 0
وعلى ذلك فإن:
س
هـ
م�صاعفات الدالة مثال كل من التكاملت التالية: أوجد اًّ أ الحل
أ ب
E 2س
س
7 س لو 3
ب
Eس
هـ
E 1س = 2لو |س| +ث
E 2س = 2 س س 7 7 Eس = لو 3 س لو 3 هـ
هـ
هـ
7 E 1س = س لو 3 هـ
حيث س ! 0 حيث س ! 0
لو |س| +ث هـ
حاول أن تحل
أوجد: أ
لو 3 هـ
س
Eس
ب
4 3س لو 5 هـ
Eس
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
ج
لو
هـ
س2
س لو س هـ
E 3س
����� ������ ������ ������������
2 2
مثال كل من التكاملت اآلتية: أوجد اًّ أ 3jسE ` 5 + 2س
ب
س
الحل
3jسE ` 5 + 2س =
أ
س ( 2هـ E ) +س هـ س
3سE 2س +
(3س 2)1 -
ج
3س
E 5س = س 5 + 3لو |س| +ث
س
س س2 2هـ س +ث ` Eس = 2هـ E 1س 1 -س Eس = 2هـ لو |س| -ب j هـ س هـ 2هـ س هـ (3س 2)1 - 9س6 - 2س 1 + ج Eس = (3س E ) 1 + 2 -س = س E 3س 3س 3س 3س2 2س 13 +لو |س| +ث حيث س ! 0 = 2 هـ هـ
حاول أن تحل
كل من التكاملت اآلتية: أوجد اًّ 6س5 - 2 3س
أ
ب
Eس
س4 - 2
س2 - 2س
ج jس E 2` 3 -س
Eس 1 د(س)
الحظ أن :إذا كانت د دالة قابلة للشتقاق ،د(س) ! 0فإن
س
:د( /س) Eس = لو |د(س)| +ث هـ
مثال كل من التكاملت التالية: 6أوجد اًّ 4 2 + 1س
أ الحل
ب
Eس /
أ 2 + 1( aس) = 2
2س 3 + س3 + 2س 2 -
ج
Eس
ظا س Eس
4 (2 + 1س) Eس = 2لو |2 + 1س| +ث Eس = 2 2 + 1س 2 + 1س هـ /
`
/ ب ( aس3 + 2س 2 = )2 -س 3 +
`
ج
2س 3 + س3 + 2س 2 -
ظا س Eس =
حاول أن تحل
Eس = لو |س3 + 2س + |2 -ث
جا س جتا س
كل من التكاملت اآلتية: 6أوجد اًّ أ
ظتا س Eس
هـ
Eس = -لو | جتا س| +ث = لو |قاس| +ث هـ
ب
س4 - 2 س2 + 2س
هـ
Eس
ج
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
(س E )2 + 2س س6 + 3س 1 +
3
������ ������ ������ ������ ������������
مثال 3س 2 + 7تطبيقات هندسية :منحنى ميل المماس له عند أى نقطة عليه (س ،ص) يساوى س
المنحنى إذا ُعلم أنه يمر بالنقطة (هـ 3 ،هـ )5 +
أوجد معادلة
الحل
بفرض معادلة المنحنى ص = د(س)
3س 2 + Eص = aميل المماس عند أى نقطة = س Eس Eص Eس = ( E ) 2 + 3س `ص = س Eس
` ص = 3س 2 +لو س +ث حيث ث ثابت إختيارى هـ
aالمنحنى يمر بالنقطة (هـ 3 ،هـ )5 +فهى تحقق معادلته أى إن: `ث=3 3هـ ( 3 = 5 +هـ) 2 +لو هـ +ث
معادلة المنحنى ص = د(س) تفاضل
+ث
تكامل
ميل مماس المنحنى Eص = د(/س) Eس
هـ
و تكون معادلة المنحنى هى :ص = 3س 2 +لو س 3 + هـ
حاول أن تحل
1 وكان د(هـ) = 1أوجد د(2هـ) 7ميل المماس لمنحنى الدالة د عند أى نقطة عليه (س ،ص) يساوى 2 2س -هـ
مثال
8تطبيقات فيزيائية :إذا كان معدل التغير فى مساحة سطح صفيحة م (بالسنتيمتر المربع) بالنسبة للزمن Eم = هـ 0٫1-ن وكانت مساحة الصفيحة عند بداية التغير تساوى 80سم،2 ن (بالثانية) يتعيين بالعلقة Eن أوجد مساحة سطح الصفيحة بعد ٍ 10 ثوان. الحل
مساحة سطح الصفيحة م =
Eم Eن = Eن
هـ 0٫1-ن Eن
` م = 10-هـ 0٫1-ن +ث عند بداية التغير ن = ، 0م = ` 80ث = 90 ويكون مساحة سطح الصفيحة فى أى لحظة م = 10 - 90هـ 0٫1-ن ` مساحة سطح الصفيحة = 10 - 90هـ 1-سم2 بعد ٍ 10 ثوان حاول أن تحل
8اذا كان معدل تغير مبيعات أحد المصانع يتناسب عكس اًّيا مع الزمن باألسابيع ،وكانت مبيعات المصنع بعد أسبوعين و 4أسابيع هى على الترتيب 300 ،200وحدة .أوجد مبيعات المصنع بعد 8أسابيع.
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
2 2
����� ������ ������ ������������
تمــــاريــن 3 - 2
اختر الإجابة ال�صحيحة من بين الإجابات المعطاة:
إذا كان د(//س) = [ 12هـس +هـ -س] ،د( ، 1 = )0د 0 = )0( /فإن د(س) تساوى: د د( //س) ج -د( //س) ب د( /س) أ -د( /س) ص) يساوى 4هـ2س
إذا كان ميل المماس لمنحنى عند أى نقطة عليه (س ، ج 2هـ4- ب 4هـ4- أ 4
3
طا i E iتساوى أ -لو |جتا + |iث هـ
4س هـس E 2س تساوى أ 1هـس + 2ث 2
ب -لو جتا + iث
ج لو جتا + iث
د | لو جتا + |iث
ب هـس + 2ث
ج 2هـس + 2ث
د 4هـس + 2ث
هـ
اأوجد اًّ كال من التكامالت الآتية: هـ
8
هـ
4س
Eس
3 - 1س
6
Eس
9
هـ3س 2 +هـ2س 4 + هـس Eس 4س 1- 7 1 3 6
جا س +جتا س جا س -جتا س 1 (س لو س 3س2
هـ
س1 - 3 هـ
8
(3س2 + 2هـ ) Eس 73هـ
3س 4 -
Eس
س1 + 3
جتا س + 1جا س 2س
(س 2)1 +
7
( + 1لو
هـ
س
7 1
Eس
Eس
3 6
Eس
9
س)2
هـ
4 ( س
2هـس (هـس E 2)1 +س 2هـس
هـس E 1 +س
قا 2س ظاس Eس
قا س ظا س قا س 1- س
Eس
-س
-هـ ) Eس
(لوس)2
Eس
3س5 - 2 س5 - 3س 1 +
Eس
4 س لو 3س
س
س س1 + 2
Eس
Eس
هـ
س 2هـ
Eس
Eس
،د( 2 = )0فإن د( )2-تساوى: د 2هـ
Eس
Eس
4هـس +س هـ2س س هـس
Eس
Eس
8تطبيقات هندسية :إذا كان ميل المماس لمنحنى الدالة د عند أى نقطة (س ،ص) يساوى 2هـ د( 1 = )0أوجد د()3
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
1 2 -
س
,
ملخص الوحدة العدد هـ ُي َعرف العدد هـ من العلقة هـ = نهــــــا 1 + 1j س ` ,هـ = نهــــــا + 1jس` س!∞ س !0 س
1 س
الدالة األسية ذات االساس الطبيعى دالة أسية أساسها هـ حيث د(س) = هـس ،س ∈ I دالة اللوغاريتم الطبيعى دالة لوغاريتمية أساسها هـ حيث د(س) = لو س ،س ∈ I هـ
مشتقات الدوال األسية واللوغارتمية الدالة
هـس
هـ
د(س)
س
C لو |س| هـ
لو |د(س)| هـ
مشتقة الدالة
هـس
هـ
د(س)
س
Cلو C
:د( /س)
هـ
1 س 1 د(س) :د( /س)
س∈I
الشرط
د قابله للشتقاق
1!C ، 0>C س!0
د قابله للشتقاق ،د(س) ! 0
تكامل الدوال األسية واللوغاريتمية الدالة
هـس
هـك س
هـد(س)
:د( /س)
1 س : 1د( /س) د(س)
6
تكامل الدالة
هـس +
ث
1هـ ك د(س) +ث هـ كس
+ث
لو |س| +ث هـ
لو |د(س)| +ث هـ
س∈I
الشرط
ك!0
د قابلة للشتقاق
س!0 د قابلة للشتقاق ،د(س) ! 0
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
تمــــاريــن عـــامـة اختر الإجابة ال�صحيحة من بين الإجابات المعطاة:
منحنى الدالة د حيث د(س) = هـس 2 + 3 -هو نفس منحنى ( Sس) = هـس بانتقال: د ()2 ، 3 ج ()2- ، 3 ب ()3- ، 2 أ ()3 ، 2 إذا كان د( /س) = س د(س) ،د( 5- = )3فإن :د )3( //تساوى: د 27 ج 15 ب 40- أ 50- لو س2
Eس تساوى:
هـ
3
لو س هـ
س أ 2 1 E 3س تساوى: س لو س
+ث
هـ
أ 3لو |س| +ث هـ
ب 1 س
ج 2س +ث
+ث
هـ
هـ
اأوجد مجموعة حل كل من المعادلت الآتية: لو (س 2 = )3 - 8لو 2 4س = 1 -لو 50 هـ
هـ
هـ
2 نهــــــا (+ 1 ن ن!∞
)3ن
نهــــــا س!∞ ( ن 1 +
E ص لكل من: اأوجد Eس
ص = 7هـس 3 -
7ص = لو (س)3 + 2 1ص=
اأوجد 3
هـ
هـس
ص=
8ص = س لو
ص = س 2لو
2س 1 - نهــــــا 3س!∞ ( 2س 1 +
6ص=
س2
هـ
هـ
هـ
9ص=
س 2هـ3-
هـس
1 ص= س
هـس
)2س
لو
لو (س)1 + 2
هـ
هـ
هـس
لكل مما ياأتى:
س = هـ2ن
،
س = ن ، 3ص= 4لو ن
ص = هـ3ن
هـ
3E ص لكل مما ياأتى: اأوجد 3
Eس ص = لو س هـ
)ن
هـ3س1 + 2 هـ
هـس 1 +
2Eص Eس2
هـ
ن
د 13لو | لو س| +ث
7هـ5س 20 = 1 + 7 1س = 25
6لو ( س 5 = )7 + 2 9لو هـس = 2لو 3
اأوجد اًّ كال من النهايات التالية:
هـ
ج 13لو |س| +ث
ب 3لو | لو س| +ث هـ
د لو |س| +ث
6
ص = س + 3هـ2س
7ص = س لو س
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
7
سص
سص
)1ص2 = /س -ص هـ 8إذا كان هـس ص = س + 2ص أثبت أن( :س هـ 9إذا كانت س 2ص = Cب لو س أثبت أن :س 2ص5 + //س ص4 + /ص = 0 هـ E ص لكل مما ياأتى: اأوجد Eس س3 + 2 3ص = 3س 31ص = 2س (س )1 + 3
ص = (3 - 1س) جتاس
33
ص = سهـ
س
اأوجد قيم �س التى يكون عندها مما�س المنحنى يوازى محور ال�صينات حيث �س > 0 3ص = س 3لو س
3ص=
هـ
36ص = س 81 - 3لو س هـ
1
38إذا كان س هـ 2 -ص +ص هـ
اأوجد اًّ كال من التكامالت الآتية: 6 + 9س س3 + 2س
39
(
هـ3
س
Eس
+س لو E )3س هـ
س 2 -
Eص = 2أوجد Eس
1
هـ
س2
س +لو 37ص = - 3 هـ 2 4
عند س = 0
لو س هـ
س لو س هـ
3
1
س2
لو
س2
Eس
(س 23 - 3هـس) Eس
3 ( س
4 +هـ2-س) Eس
ظتا 3س Eس
التقاطع مع المحاور :إذا كان مماس المنحنى ص = هـس عند النقطة ( ، 2هـ )2يقطع محور السينات فى النقطة ، Cومحور الصادات فى النقطة ب ،أوجد طول Cب
6معادلتا المماس والعمودى :أوجد معادلتى المماس والعمودى للمنحنى ص = س 18 - 3لو س عند نقطة تقع هـ عليه وإحداثيها السينى يساوى .2 7التناسب العكسى :إذا كان ميل المماس عند أى نقطة (س ،ص) على منحنى الدالة د يتناسب عكس اًّيا مع س وكان ميل المماس يساوى 2عند س = ، 4ص = 2أوجد ص بداللة س. 8التوازى :أوجد قيم س (ألقرب رقمين عشريين) التى يكون عندها مماس المنحنى ص = لمحور السينات.
لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى
8
1
س2
لو س 2مواز ًيا هـ
www.sec3mathematics.com.eg
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
اختبار تراكمي اختر الإجابات ال�صحيحة من بين الإجابات المعطاة: نهــــــا ` 1 + 1j س س!∞
أ 1
م = هـ أ 1
لو 7
2س
تساوى:
ج
ب هـ
فإن م تساوى: ب 1
هـ
هـ
هـ2
د هـ
ج هـ
د 7
ج {}3 ، 2
د z
3مجموعة حل المعادلة لو (س + )3 -لو (س = )2 -لو 6هى: هـ
أ {}5 ، 0
ب {}5
إذا كانت د(س) = س 3 - 2لو 5س هـ
ب 1
أ 1-
هـ
هـ
فإن د )2( /تساوى:
ج 5 2
2-
د 6
اأجب عن الأ�صئلة الآتية: أوجد المشتقة األولى لكل من: أ ص = (س2)1 + 3
ب ص = لو س - 2هـ هـ
2Eص 6إذا كانت ص = هـ3س +س2 : أن أثبت Eس2
كل من التكاملت اآلتية: 7أوجد اًّ أ
2س3 + 2 س
ب
Eس
14س
ج
( 9 = 2 -ص -س)2
Eس
س هـ
ج
س
س2
ص = لو [ هـس] 2 هـ
3 2س لو س هـ
Eس
8إذا كان ميل المماس لمنحنى الدالة د عند أى نقطة عليه (س ،ص) يساوى 2 -7هـس وكان د( لو ، 3 = )2 هـ أوجد د(س). إذا لم تستطع اإلجابة عن أحد هذه األسئلة يمكنك االستعانة بالجدول اآلتى: رقم السؤال
1
2
3
4
5
6
7
8
أرجع إلى
1
1
1
2
2
2
3
3
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
9
����� ������ ����� �������
الوحدة الثالثة
سلوك الدالة ورسم المنحنيات Behavior of the Function and Curve Sketching
مقدمة الوحدة يمكنك من خالل قراءة الشكل البيانى لمنحنى دالة أن تحدد فترات اطراد (تزايد -تناقص -ثبات) كما يمكن معرفة القيم العظمى والقيم الصغرى للدالة والتعرف على بعض خواص الدالة ،كما تستطيع باستخدام البرامج الرسومية للحاسب اآللى رسم الدالة ودراسة سلوكها ...إال أن هذا ليس متاحً ا دائما ،لذلك ستعرف فى هذه الوحدة تقنيات أكبر لرسم منحنى الدالة من خالل حساب التفاضل باستخدام مشتقات الدالة (المشتقة األولى والمشتقة الثانية) لتحديد فترات تزايد أو تناقص الدالة ،وتعيين القيم العظمى والقيم الصغرى المرتبطة بقيم س (القيم العظمى والصغرى المحلية) ،والقيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة متصلة على فترة محددة [ ، Cب] واتجاه تحدب منحنى الدالة (ألعلى أو ألسفل) كما تدرس بعض التطبيقات اليجاد القيم العظمى والصغرى لتساعدك فى نمذجة وحل مشكالت رياضية وفيزيائية وحياتية أخرى.
مخرجات التعلم قادرا على أن: فى نهاية هذه الوحدة وبعد تنفيذ األنشطة فيها ،من المتوقع أن يكون الطالب ً
يستخدم المشتقة األولى لدراسة تزايد وتناقص الدالة القابلة يوجد العالقة بين منحنى الدالة والمشتقة األولى. لالشتقاق. يدرس سلوك دالة من حيث اطراد والقيم العظمى والصغرى من خالل المشتقة األولى.
يحدد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة القابلة لالشتقاق. يرسم المنحنيات لدوال كثيرة الحدود حتى الدرجة الثالثة فقط. يتعرف ويوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة فى فترة مغلقة. يوجد النقط الحرجة والتحدب ألعلى والتحدب ألسفل ٍ لدالة. ونقط االنقالب
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
المصطلحات األساسية Ñدالة متزايدة
Ñدالة متناقصة Ñ
Increasing Function Dereasing Functicn
القيم العظمى والصغرى Maxima and Minima
Ñالقيم القصوى
Extrema
Ñنقطة حرجة
Ñقيمة صغرى محلية Ñقيمة عظمى محلية
Ñقيمة قصوى محلية Ñقيمة قصوى مطلقة
Local Minimum Local Maximum Local Extrema Absalute Extrema
Ñالتحدب
Convexity
Ñتحدب ألعلى
Ñتحدب ألسفل Ñنقطة انقالب
Convex Upward Convex Downward Infection Point
Critical Point
دروس الوحدة
األدوات والوسائل
الدرس ( :)1 - 3تزايد وتناقص الدوال.
Ñآلة حاسبة علمية
الدرس ( :)2 - 3القيم العظمى والصغرى ( القيم القصوى )
Ñبرامج رسومية للحاسب اآللى
الدرس ( :)3 - 3رسم المنحنيات الدرس ( :)4 - 3تطبيقات على القيم العظمى والصغرى
مخطط تنظيمى للوحدة تطبيقات االشتقاق سلوك الدالة
رسم المنحنيات
اختبار المشتقة األولى اختبار المشتقة الثانية
تحدب المنحنى نقط االنقالب
تزايد وتناقص الدوال القيم العظمى والصغرى المحلية القيم العظمى والصغرى المطلقة تطبيقات
هندسية
فيزيائية
حياتية
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
1-3
تزايد وتناق�ص الدوال Increasing and Decreasing Functions
سوف تتعلم
فكر و
Ñاستخدام المشتقة األولى فى
تحديد فترات تزايد أو تناقص دالة.
Ñتطبيقات حياتية على فترات تزايد وتناقص الدالة.
ناقش
توضح األشكال المقابلة منحنيى الدالتين د S ،
حيث د (س) = س2 - 2س ، 1 - ( Sس) = س3 - 3س
Ñدالة متزايدة Ñ
Increasing Function
دالة متناقصة Decreasing Function
األدوات المستخدمة
كرر ما سبق من خطوات لتحديد إشارة ( /Sس) فى فترات التزايد وفترات التناقص للدالة ،Sماذا تستنتج؟ وما نوع الزاوية التى يصنعها مماس المنحنى عند قيم س المختلفة فى فترات التزايد مع االتجاه الموجب لمحور السينات؟
إبحث اشارة د (س) /
د (س) > 0
د (س) < 0
د متزايدة
د متناقصة
/
62
/
2-
ص س
3
2 1
2
(Sس) = س3 - 3س
1
و
1-
1-
2-
2-
تعلم اختبار الم�شتقة الأولى للدوال المطردة First Derivative Test for Monotonic Functions
نظرية
/
2
1-
1-
Áإبحث إشارة د (س) لقيم س المختلفة التى تنتمى لفترة التناقص
/
حل المعادلة د (س) = 0
1و
1
/
بحث اطراد دالة أوجد د (س)
4
3
2
Áأوجد مشتقة الدالة د وابحث إشارة د( /س) لقيم س المختلفة التى تنتمى لفترة التزايد
Ñآلة حاسبة علمية.
Ñبرامج رسومية للحاسب
س
د(س) = س2 - 2س 1 -
Áحدد فترات تزايد أو تناقص الدالة د
المصطلحات األساسية
ص
لتكن د دالة قابلة لالشتقاق على الفترة ] ، Cب [ : -1اذا كان د( /س) > 0لجميع قيم س ∈ ] ، Cب[ فإن د متزايدة على الفترة ] ، Cب [ -2إذا كان د( /س) < 0لجميع قيم س ∈ ] ، Cب [ فإن د متناقصة على الفترة ] ، Cب [
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
3 3
����� ������� �����
مثال تحديد فرتات التزايد والتناقص حدد فترات التزايد وفترات التناقص الدالة د حيث د (س) = س3 - 3س 2 + الحل
aد(س) = س3 - 3س 2 +دالة متصلة وقابلة لالشتقاق على I
` د( /س) = 3س( 3 = 3 - 2س)1 - 2 فيكون( 3 :س( 3 = )1 - 2س ( )1 -س 0 = )1 + بوضع د( /س) = 0 ` د( /س) = 0عندما س = ، 1-س = 1 نبحث إشارة د( /س) فى كل من هذه الفترات كما فى جدول التغيرات المقابل فنجد: د متزايدة علي الفترة ] [ 1- ، ∞ - س ∞∞ 11 د متناقصة على الفترة ] [ 1 ، 1- + 0 - 0 + إشارة د( /س) د متزايدة على الفترة ] [ ∞ ، 1 سلوك د (س) الحظ أن: ص 4 )1عند رسم منحنى الدالة د بأحد البرامج الرسومية (الشكل المقابل) 3 نجد أن سلوك منحنى الدالة يطابق ما تم استنتاجه بجدول التغيرات. 2 د(س) = س3 - 3س 2 + )2المماس للمنحنى يصنع زاوية حادة مع االتجاه الموجب لمحور 1 س السينات فى فترات التزايد وزاوية منفرجة مع االتجاه الموجب 1 2 و 2- 1- 1لمحور السينات فى فترات التناقص. )3قيم س التى تفصل بين فترات التزايد والتناقص للدالة هى القيم التى تكون عندها المشتقة األولى للدالة تساوى صفرا أو غير موجودة ً حاول أن تحل
حدد فترات التزايد وفترات التناقص لكل مما يأتى: أ د (س) = س9 - 3س15 + 2س مثال
س ب (Sس) = س1 + 2
دوال مثلثية
2حدد فترات التزايد وفترات التناقص للدالة د حيث د (س) = س 2 +جا س < 0 ،س < r2 الحل
د متصلة وقابلة لالشتقاق على ] [ r2 ، 0 ` د( /س) = 2 + 1جتا س 0 + بحث إشارة د( /س) ` جتاس = 1 - عندما 2 + 1جتاس = 0 2 ` س = r2أو س = r4 aس ∈ ] [ r2 ، 0 ∞
3
r4 3
r2 3
0 -
∞+
س إشارة د( /س)
سلوك د (س)
3
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
63
����� ������ ����� �������
الحظ أن: عند س = r 2
عند س = r
عند س = r3 2 حاول أن تحل
د( /س) = 0 > 1
د( /س) = 0 < 1- د( /س) = 0 > 1
` د تزايدية على ] [ r2 ، 0 3 ` د متناقصة على ] [ r4 ، r2 3 3 ` د تزايدية على ] [ r2 ، r4 3
2حدد فترات التزايد وفترات التناقص للدالة د حيث د(س) = س 2 -جتا س < 0 ،س < r2
تفكير ناقد :يوضح الشكل المقابل منحنى د( /س) للدالة د حيث د (س) كثيرة الحدود. أ عين فترات التزايد وفترات التناقص للدالة د ب أوجد مجموعة حل المتباينة د( //س) > 0
ص
د (س) س 2
1
هـ
الحل
4-
س -س2
( Sس) قابلة لالشتقاق لكل س ∈+I
∞
- 1(2س)2 2 2س =( /Sس) = س س
بحث إشارة (/Sس) عندما( /Sس) = 0 عند س < 1 عند س > 1
و 3- 2- 1- 13-
3حدد فترات تزايد وفترات تناقص الدالة Sحيث ( Sس) = 2لو
1
2-
مثال
2
-
1 0
+
0
س
إشارة د( /س)
سلوك د (س)
` س = 1أو س = ` ( /Sس) > 0وتكون Sتزايدية على ] [ 1 ، 0 ` ( /Sس) < 0وتكون Sتناقصية على ] [∞ ،1 +I∉1-
حاول أن تحل
3حدد فترات تزايد وفترات تناقص الدالة د حيث د (س) = س -هـس ،وباستخدام برنامج GeoGebraارسم منحنى الدالة د وتحقق من إجابتك.
64
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
����� ������� �����
3 3
تمــــاريــن 1 - 3
حدد فترات تزايد وفترات تن�ق�ص الدالة د فى كل مم� ي�أتى: د (س) = س4 - 2س
4د (س) =
9س -س3
1 د (س) = - 1 س
1د (س) = س +لو س هـ
2د (س) =
(س2)3-
د (س) = س4 + 4س
س2- د (س) = س2+ د (س) = - 3لو
هـ
س2
3د (س) = س6 - 3س5 + 2 6د (س) = ( 3 - 2س)2-
4 3
د (س) = س1- س
2د (س) =
2 - 5هـ2س
اأجب عم� ي�أتى: 3أثبت أن الدالة د حيث د (س) = ظا س -س
متزايدة على الفترة ] [ r ، 0
4حدد فترات التزايد وفترات التناقص للدالة د حيث
4
د(س) = - 1جاس < 0 ،س < r 2
إذا كانت د S ،دالتين قابلتين لالشتقاق ،د(/س) < ( /Sس) لكل س ∈ ، Iفأثبت أن الدالة ع حيث ع (س) = د (س) (S -س) متناقصة لكل س ∈ .I
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
6
1
2-3
القيم العظمى وال�شغرى (القيم الق�شوى) )Maxima and Minima (Extrema
فكر و
سوف تتعلم Ñمفهوم النقطة الحرجة.
Ñمفهوم القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة.
Ñاختبار المشتقة األولى للقيم
العظمى والصغرى المحلية.
Ñإيجاد القيم القصوى لدالة على فترة مغلقة.
المصطلحات األساسية Ñنقطة حرجة
Critical point
Ñقيمة عظمى محلية
يوضح الشكل المقابل منحنى الدالة د المتصلة على [ ، Cب ] -1حدد فترات تزايد وتناقص الدالة د ص ف -2عند س = حـ 1ما قيمة د( /جـ)1؟ ِص ْ ص = د(س) تغير د على الفترة ] ، Cجـ [ 2هل د (جـ )1أكبر قيم د فى هذه الفترة؟ -3عند س = جـ 2ما قيمةد( /جـ)2؟ صف س ب Cو جـ 3جـ2 جـ1 تغير د على الفترة ] جـ ،1جـ ، [ 3هل د (جـ )2أصغر قيم د فى هذه الفترة؟ -4هل يمكن إيجاد قيمة د( /جـ)3؟ فسر إجابتك. صف تغير د على الفترة ]جـ ،2ب [ هل د (جـ )3أكبر قيم د فى هذه الفترة؟
Relative Maximum
Relative Minimum
Ñقيم قصوى مطلقة
Absalute Extrema
Ñآلة حاسبة علمية Ñبرامج رسومية
قيمة صغرى محلية
66
ص
و
تعريف
قيمة عظمى محلية
النقطة الحرجة
Critical Point
للدالة د المتصلة على الفترة ] ، Cب [نقطة حرجة ( جـ ،د (جـ) ) إذا كانت جـ ∈] ، Cب [ ،د( /جـ) = 0أو الدالة د غير قابلة لالشتقاق عند س = جـ.
فى الشكل السابق نستنتج أن: توجد نقط حرجة عند س = جـ ، 1س = جـ 2ألن د(/جـ = )1د(/جـ 0 = )2ويطلق عليها أحيانا نقطة التوقف ،stationary pointكما توجد نقطة أخرى حرجة عند س = جـ 3ألن د متصلة عند س = جـ 3وغير قابلة لالشتقاق (المشتقة اليمنى ! المشتقة اليسرى).
األدوات المستخدمة
س
تعريف
Ñقيمة صغرى محلية
ناقش
القيم العظمى والقيم ال�صغرى المحلية Local Maximum and Local Minimum
إذا كانت د دالة متصلة ،مجالها ف ،جـ ∈ ف فإنه يوجد للدالة د: قيمة عظمى محلية عند س = جـ إذا وجدت فترة مفتوحة ] ، Cب [⊂ ف تحوى جـ بحيث يكون د(س) Hد (حـ) لكل س ∈] ، Cب [ قيمة صغرى محلية عند س = حـ إذا وجدت فترة مفتوحة ] ، Cب [⊂ ف تحوى جـ بحيث يكون د (س) Gد (حـ) لكل س ∈ ] ، Cب [
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
����� ������ �������� ������ �������
3 3
الحظ أن : فى بند فكر وناقش :توجد قيم عظمى محلية عند س = جـ ، 1س = جـ ، 3بينما توجد قيمة صغرى محلية عند س = جـ2 اختبار الم�شتقة الأولى للقيم العظمى وال�شغرى المحلية
First Derivative Test for relative maximum and relative minimum
تعلم إذا كانت (جـ ،د (جـ)) نقطة حرجة للدالة د المتصلة عند جـ ،ووجدت فترة مفتوحة حول جـ بحيث: -1د( /س) > 0عندما س < جـ ،د( /س) < 0عندما س > جـ ،فإن د (جـ) قيمة عظمى محلية -2د( /س) < 0عندما س < جـ ،د( /س) > 0عندما س > جـ ،فإن د (جـ) قيمة صغرى محلية ص
ص
د(/جـ) = 0 د(/س) < 0
س
د (جـ) جـ
د(/س) < 0
د(/س) > 0
د(/س) > 0
د(/جـ) = 0
و
س
د (جـ) قيمة عظمى محلية عند جـ
د (جـ) جـ
و
د (جـ) قيمة صغرى محلية عند حـ
-3إذا لم يحدث تغير فى إشارة د(/س) على جانبى جـ ،فإنه ال يوجد للدالة د قيم عظمى أو صغرى محلية عند جـ..
نظرية
إذا كانت د قابلة لالشتقاق على ] ، Cب [ وكانت للدالة د قيمة عظمى أو صغرى محلية عند جـ ∈ ] ، Cب[ فإن د( /جـ) = 0أو د( /جـ) غير موجودة.
اختب�ر الم�صتقة الأولى مثال إذا كان د (س) = س3 + 3س9 - 2س 7 -أوجد القيم العظمى أو الصغرى المحلية للدالة د الحل
)1تحديد النقط الحرجة :د متصلة وقابلة لالشتقاق ` د( /س) = 3س6 + 2س 9 - = ( 3س2 + 2س ( 3 = )3 -س ( )3 +س )1 - ` س = 3-أو س = 1 عندما د(/س) = 0 لدينا نقطتان حرجتان ( ، 3-د ( ، 1( ، ))3-د ())1 أى النقطتان )12- ، 1( ، )20 ، 3-( :
إبحث حدد النقط #إشارة الحرجة د(/س) + ! - #صغرى محلية
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
- ! + #عظمى محلية
6
����� ������ ����� ������� ∞ 31 + 0 - 0 + 20 12-
∞-
س
)2اختبار المشتقة األولى عند كل نقطة حرجة ويوضحه إشارة د( /س) جدول التغيرات المقابل سلوك د (س) )3فى جوار س = 3-تتغير إشارة د( /س) من موجبة (قبل س = )3-إلى سالبة (بعد س = )3- قيمة عظمى محلية. ` د (20 = )3- وفى جوار س = 1تتغير إشارة د( /س) من سالبة (قبل س = )1إلى موجبة (بعد س = )1 قيمة صغرى محلية. ` د (12- = )1 حاول أن تحل
إذا كان د (س) = 13س9 - 3س ، 3 +أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة د
مثال املشتقة األوىل غري موجودة 2 2أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة د إذا كان د (س) = س 2( 3س )5 - الحل
الدالة د مجالها Iومتصلة لكل س ∈ I
)1تحديد النقط الحرجة: 1 د( /س) = 23س2( 3 -س 2 + )5 -س
ص
2 3
(10س )1 - 2[2س 3 + 5 -س] = = 3 3س 33س
س
س!0
aد متصلة عند س = ، 0د )0( /غير موجودة ` توجد نقطة حرجة هى ( ، 0د ( ))0أى ()0 ، 0 ` س = 1ويوجد عندئذ نقطة حرجة عندما د( /س) = 0 هى ( ، 1د( ))1أى ( )3- ، 1كما يوضحها الشكل المقابل . )2اختبار المشتقة األولى عند كل نقطة حرجة يوضحه جدول تغيرات الدالة المقابل. )3عند س = 0 عند س = 1
توجد قيمة عظمى محلية = 0 توجد قيمة صغرى محلية = 3-
ص = د(س) 3
1
2
3-
1-
غير موجودة
-
+
∞-
تفكير ناقد :هل للدالة د حيث د (س) = س3 + 3س 4-قيم عظمى وصغرى محلية؟ فسر إجابتك.
6
و 1- 13-
حاول أن تحل
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
1
2-
∞ 1 - 0 +
2أثبت أن للدالة د حيث د (س) = 3س 2قيمة صغرى محلية.
2
س
إشارة د( /س)
سلوك د (س)
����� ������ �������� ������ �������
3 3
مثال دوال كرسية 4 مبي ًنا نوعها 3أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة د حيث د(س) = س + س
الحل
مجال د = }0{ - I
س4 - 2 2للدالة نقطتان حرجتان هما ( ،2د(، ))2 )1تحديد النقط الحرجة :د(/س) = 4 - 1س= 2- س
( ،2-د ( ))2-أى (.)4- ، 2-( ، )4 ، 2 )2اختبار المشتقة األولى عند كل نقطة حرجة ∞ + يوضحه جدول تغيرات الدالة المقابل (الحظ استبعاد س = 0من مجال د). )3عند س = 2-توجد قيمة عظمى محلية = 4- وعند س = 2توجد قيمة صغرى محلية = 4
2
-
0
3أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة د حيث د(س) =
تعلم القيم الق�شوى لدالة على فترة مغلقة
4-
4
+
س2
-1س
إشارة د (س) /
سلوك د (س) ص
د
الحظ أن :قد تكون القيمة العظمى المحلية أصغر من القيمة الصغرى المحلية للدالة تكنولوجيا :يبين الشكل المقابل منحنى الدالة د باستخدام أحد البرامج الرسومية ،قارن بين جدول تغيرات الدالة ومنحناها .ماذا تالحظ؟ حاول أن تحل
-
2-∞-
∞-
س
8 6 4 2
س
2 4 6 8
و 8- 6- 4- 2- 2468د
مبي ًنا نوعها
The Absalute Extrema of a Function on a Closed Interval
تعريف القيم الق�صوى :إذا كانت د دالة معرفة على الفترة المغلقة [ ، Cب] وكانت جـ ∈ [ ، Cب] )1د (جـ) هى قيمة صغرى علي الفترة [ ، Cب] عندما يكون د(جـ) Hد(س) لكل س ∈ [ ، Cب] )2د (جـ) هى قيمة عظمى على الفترة [ ، Cب] عندما يكون د(جـ) Gد(س) لكل س ∈ [ ، Cب] Áالقيمة الصغرى والقيمة العظمى لدالة على فترة تسمى القيم القصوى للدالة على هذه الفترة . Áالقيمة القصوى يمكن أن تحدث عند أى نقطة داخل الفترة أو على حدود الفترة وعندما تحدث عند حدود الفترة تسمى نقطة حدية قصوى
نظرية
إذا كانت الدالة د متصلة على الفترة [ ، Cب ] فإن للدالة د قيمة عظمى مطلقة وقيمة صغرى مطلقة على الفترة [ ، Cب]. كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
()5 ،2 عظمى مطلقة
د(س) = س1 + 2
س
صغرى مطلقة
1 2 3 4
ص
5 4 3 2 )1 ،0( 1
و 1-
6
����� ������ ����� �������
إليجاد القيم القصوى المطلقة للدالة د على الفترة المغلقة [ ، Cب] نتبع المخطط المقابل كما يلى: Áاحسب د ( ، )Cد (ب) ،وقيمة الدالة عند كل نقطة حرجة. Áقارن بين القيم السابقة؛ أكبر هذه القيم هو قيمة عظمى مطلقة وأصغرها هو قيمة صغرى مطلقة.
د متصلة على [ ، Cب]
د()C
للدالة نقاط حرجة عند حـ E ، د (جـ)
د (ب)
قارن األصغر قيمة قصوى مطلقة
األكبر قيمة عظمى مطلقة
مثال 4أوجد القيم القصوى المطلقة للدالة د حيث د (س) = س 12 - 3س ، 12 +س ∈ []3 ، 3- الحل
aد (س) = س 12 - 3س ، 12 +س∈ []3 ، 3- ()1 ` د (21 = 12 + )3-(12 - 3)3-( = )3- ()2 ،د (3 = 12 + )3(12 - 3)3( = )3 د( /س) = 3س( 3 = 12 - 2س ( )2 -س )2 - لتحديد النقط الحرجة نضع د( /س) = 0 أو س = ]3 ، 3-[ ∈ 2- ` س = ]3 ، 3-[ ∈ 2 عند س = 2توجد نقطة حرجة ويكون :د (4- = )2 عند س = 2-توجد نقطة حرجة ويكون :د (28 = )2- بمقارنة قيم 4 ، 3 ، 2 ، 1نجد أن: للدالة د قيمة عظمى مطلقة = ، 28قيمة صغرى مطلقة = 4 -
()3 ()4
حاول أن تحل
4أوجد القيم القصوى المطلقة للدالة د أ د (س) =
الحظ أن
10س هـ -س
()5 ،2
عظمى مطلقة
د(س) = س1 + 2
س ∈ [}0{- ]2 ،1-
ليست صغرى مطلقة
س 1 2 3 4
شكل ()1
1
س ∈ [ ]4 ، 0
ص
5 4 3 2 )1 ،0( 1
و
1-
د ()E
4س ب د (س) = س1 + 2
س ∈ []3 ، 1-
ليست عظمى مطلقة د(س) = س1 + 2 س ∈ [[2 ،1-
صغرى مطلقة
س 1 2 3 4
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
شكل ()2
ص
5 4 3 2 عظمى مطلقة )1 ،0( 1
و
1-
3 3
����� ������ �������� ������ �������
تمــــاريــن 2 - 3
حدد القيم العظمى وال�صغرى المحلية (اإن وجدت) للدالة د فى الأ�صك�ل الت�لية وبين نوعه�: س
ص
2
1
و
2
3
2
3
ص 3
2
1
1-
س
1-
2-
س
1
3
2
1
و
1-
ص
3- 2- 1-
3
2
3-
4-
و
1-
1-
2-
3-
1
1
2-
اأوجد القيم العظمى وال�صغرى المحلية (اإن وجدت) للدالة د فى كل مم� ي�أتى مبي ًن� نوعه�: 4د (س) = س3 + 3س2 + 2
6د (س) = 4س -
د (س) = - 3س
1د (س) = س
د (س) = س- 4
س3
2س2
د (س) = 3س- 5
2 3
5س3
د (س) = (س )2 +
4
2 3
4 د (س) = س + س1-
+س2
3 2د (س) = س2-
3د (س) =
4د (س) = هـ س ( - 3س)
د (س) =
6د (س) = س -لو س
4هـ -س2
هـ س +هـ -س
د (س) = 8لو س - هـ
هـ
د (س) = (س )1 -لو س
س2
هـ
اأوجد القيم الق�صوى المطلقة للدالة د على الفترة المعط�ة: د (س) = س3 - 3س ، 1 +س ∈ []1 ، 2- 21د (س) = س ، 1 -س ∈ []5 ، 2 2د(س) = جا س +جتا س ،س ∈ []r2 ، 0 22د (س) = س هـ -س ،س ∈ []2 ، 0
اأجب عم� يلى:
23تفكير ابداعى :أوجد قيم ، Cب ،حـ E ،بحيث يحقق المنحنى د (س) = Cس + 3ب س + 2جـ س E +الشروط التالية م ًعا: ب له نقطة حرجة عند س = 1 أ يمر بنقطة األصل. ج معادلة المماس للمنحني عند النقطة ( ، 2د ( ))2عليه هى 9س +ص = 20 كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
1
3-3
ر�شم المنحنيات Curve Sketching
سوف تتعلم Ñتحديد فترات تحدب منحنى دالة ألعلى وألسفل.
Ñإيجاد نقط االنقالب لمنحنى دالة. Ñاستخدام اختبار المشتقة الثانية
إليجاد القيم العظمى أو الصغرى المحلية.
Ñرسم المنحنيات. المصطلحات األساسية Ñالتحدب
Ñتحدب ألعلى
Ñتحدب ألسفل Ñنقطة انقالب
Convexity Convex upward Convex downward Inflection point
استكشف يبين الشكل المقابل منحنى الدالة د حيث: د(س) = 13س ، 3س∈ I
ص د(س) = 1 3
الحظ أن الدالة د متزايدة على Iلماذا؟
هل يختلف اتجاه تقوس (تحدب) المنحنى فى الفترة ] [ 0 ، ∞-عن اتجاه تحدبه فى الفترة ] [ ∞ ، 0؟ فى الفترة ] [ 0 ، ∞-ما موقع منحنى الدالة بالنسبة إلى جميع مماساته؟ هل يتزايد ميل المماس د( /س) أم يتناقص بزيادة قيم س؟
س
تعريف
Ñآلة حاسبة علمية.
و
فى الفترة ] [∞ ، 0ما موقع منحنى الدالة بالنسبة إلى جميع مماساته؟ هل يتزايد ميل المماس د( /س) أم يتناقص بزيادة قيم س؟ ماذا تستنتج؟ تحدب المنحنيات
األدوات المستخدمة
س3
Convexity of a curves
لتكن د دالة قابلة لالشتقاق على الفترة ] ، Cب [ ،يكون منحنى الدالة د محد ًبا ألسفل إذا كانت د /متزايدة على هذه الفترة ،ومحد ًبا ألعلى إذا كانت د /متناقصة على هذه الفترة. ص
ص
Ñبرامج رسومية للحاسب
ص = د(س)
س
هـ2
هـ1
ص = د(س)
و
المنحنى محدب ألسفل د /متزايدة وتكون مشتقتها موجبة أى د(//س) > 0
س
هـ2
هـ1
و
المنحنى محدب ألعلى د /متناقصة وتكون مشتقتها سالبة أى د(//س)< 0
إذا كان للدالة د مشتقة ثانية غير صفرية فيمكن من خاللها دراسة تزايد وتناقص المشتقة األولى د /وتحديد فترات التحدب ألعلى والتحدب ألسفل لمنحنى الدالة د.
2
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
���� �������
اختبار الم�شتقة الثانية لتحدب المنحنيات
3 3
The Second Derivative Test for Convexity
نظرية
لتكن د دالة قابلة لالشتقاق مرتين على الفترة ] ، Cب[ -1إذا كان د( //س) > 0لجميع قيم س ∈ ] ، Cب[ فإن منحنى د يكون محد ًبا ألسفل على الفترة] ، Cب[ -2إذا كان د( //س) < 0لجميع قيم س ∈ ] ، Cب[ فإن منحنى د يكون محد ًبا ألعلى على الفترة ] ، Cب[
مثال تحديد فرتات تحدب كثريات الحدود إذا كان د (س) = 3 - 2س - 2س 3عين الفترات التى يكون فيها منحنى الدالة د محد ًبا ألعلى ،والفترات التى يكون فيها محد ًبا ألسفل.
الحل
د متصلة وقابلة لالشتقاق لكل س ∈ Iحيث: د( /س) = 6 -س 3 -س ، 2د( //س) = 6 - 6-س = + 1 ( 6 -س) ` س = 1- عندما د( //س) = 0 فترات التحدب :يبين الجدول س ∞∞ 1المقابل إشارة د //وفترات تحدب // + 0إشارة د منحنى الدالة د ألعلى وألسفل، تحدب منحنى د أى إن :منحنى الدالة محدب ألسفل فى الفترة ] [ 1- ، ∞-ومحدب ألعلى فى الفترة ] [∞ ، 1-
ص س
1 2
3 2 1
و 3- 2- 1- 12-
تحدب لأعلى
تحدب لأ�سفل
حاول أن تحل
حدد فترات التحدب ألعلى والتحدب ألسفل لكل من المنحنيات التالية: ب (Sس) = س4 - 4س3 أ د(س) = س4 - 2س 2 +
تكنولوجيا :باستخدام أحد البرامج الرسومية إرسم منحنى الدالتين د S ،حيث (Sس) = 3س ( ،س) = س وحدد فترات التحدب ألعلى والتحدب ألسفل وحقق إجابتك باستخدام اختبار المشتقة الثانية .
2 3
الحظ أن :قد يتغير اتجاه تحدب منحنى الدالة المتصلة من أعلى إلى أسفل أو من أسفل إلى أعلى عند نقطة تنعدم عندها المشتقة الثانية للدالة أو تكون غير موجودة .
تعريف
نقطة النقالب Inflection point
إذا كانت د دالة متصلة على الفترة المفتوحة ] ، Cب[ ،جـ ∈ ] ، Cب[ وكان لمنحنى الدالة مماس عند النقطة (جـ ،د (جـ)) .فإن هذه النقطة تسمى نقطة انقالب لمنحنى الدالة د إذا تغير تحدب منحنى الدالة عند هذه النقطة من محدب ألسفل إلى محدب ألعلى أو من محدب ألعلى إلى محدب ألسفل.
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
3
����� ������ ����� ������� 1
2
جـ
3 جـ
4 جـ جـ
ال توجد نقط انقالب لعدم وجود مماس عند جـ
توجد نقط انقالب للمنحنيات 3 ،2 ، 1لتغير اتجاه تحدب المنحنى ووجود مماس له عند جـ الحظ أن: -1المماس عند نقطة االنقالب يقطع منحنى الدالة ،ألن المنحنى فى إحدى جهتى هذه النقطة يقع تحت المماس ،وفى الجهة األخرى يقع فوق المماس. -2فى الشكل المقابل يوجد لمنحنى الدالة د نقطتى انقالب األولى عند نقطة األصل و ( )0 ،0واألخرى عند النقطة ب ( ،2د(.))2 مثال
التحدب ونقط االنقالب
2إذا كانت د(س) =
س4 - 2
ص
ص = د(س)
20 10
س
3
4
1
2
ب
عندما س < 2-
و
1-
10-
2-
20-
س3 - 3س 2 +عندما س 2 - G
حدد فترات تحدب منحنى د ألعلى وألسفل ،وأوجد نقط االنقالب ومعادلة المماس عندها إن وجد. الحل
-
+
الدالة د متعددة التعريف مجالها ، Iومتصلة عند س = 2-ألن د( = )2-د( = )2-د(0 = )2-
نهــــــا د( + 2-هـ) -د( )2- / د ( = ) 2-هـ -0 هـ ! نهــــــا ( + 2-هـ)0 - 4 - 2 نهــــــا ( -هـ 4- = )4 - = = هـ -0 هـ!0 هـ ! نهــــــا د( + 2-هـ) -د( )2- / + د ( = ) 2-هـ +0 هـ ! نهــــــا ( + 2-هـ) + 2-(3 - 2هـ) 0 - 2 + = هـ -0 هـ !
aد ! )-2-( /د)+2-( /
د( /س) =
د( //س) =
4
نهــــــا ( +هـ 6- 2هـ 9 = ) 9 + = هـ
!0
` الدالة غير قابلة لالشتقاق عند س = 2-
2س
عندما س < 2-
2
عندما س < 2-
6س
عندما س > 2 -
3س3 - 2 عندما س > 2 - غير موجودة عندما س = 2-
[ د ! )-2-( /د])+2-( /
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
3 3
���� �������
يبين الجدول التالى إشارة د //وفترات تحدب منحنى الدالة ألعلى وألسفل. 0
∞
2-
غير موجودة
-
+
∞-
+
ص
س
إشارة د
//
4 3
تحدب منحنى د
فترات التحدب :منحنى د محدب ألسفل فى الفترة ]، [ 2- ، ∞- الفترة ] [ ∞، 0ومحدب ألعلى فى الفترة ][0 ،2- نقط االنقالب
2 1
س
1
2
2- 1-
Áالنقطة ( ، 2-د( ))2-أى ( )0 ، 2-ليست نقطة انقالب لمنحنى د رغم تغير اتجاه تحدبه حولها ،لعدم وجود مماس لمنحنى الدالة عند هذه النقطة (د( /س) غير موجودة) Áالنقطة ( ، 0د( ))0أى ( )2 ،0هى نقطة انقالب لمنحنى د لتغير اتجاه تحدبه حولها ،ويوجد عندها مماس للمنحنى يقطعه فى هذه النقطة ،ميله د(/س) = ،3-ومعادلته هى :ص 3- = 2 -س (كما فى الرسم) حاول أن تحل
2إذا كانت د (س) =
(س
2)3 +
عندما س < 1-
3س - 2س3
عندما س 1- G
حدد فترات التحدب ألعلى والتحدب ألسفل لمنحنى الدالة د ،وأوجد نقط االنقالب ومعادلة مماس المنحنى عندها. ص ص = د( //س) تفكير ناقد :يمثل الشكل المقابل منحنى د( //س) على الفترة ] [5 ،2-للدالة 3 المتصلة د. Áوضح فترات التحدب ألعلى والتحدب ألسفل لمنحنى الدالة د إن وجدت. Áهل توجد نقط انقالب لمنحنى د فى هذه الفترة ؟ فسر إجابتك.
س
5
2 1
3
4
2
1
2- 112-
اختبار الم�شتقة الثانية للقيم العظمى اأو ال�شغرى المحلية
3-
نظرية
لتكن الدالة د قابلة لالشتقاق مرتين على فترة مفتوحة تحوى جـ حيث د( /جـ) = 0 )1إذا كانت د( //جـ) < 0فإن د(جـ) قيمة عظمى محلية. )2إذا كانت د( //جـ) > 0فإن د(جـ) قيمة صغرى محلية. )3إذا كانت د( //جـ) = 0فإن اختبار المشتقة الثانية اليستطيع تحديد نوع النقطة(جـ ،د(جـ)) من حيث كونها عظمى محلية أو صغرى محلية. د( /جـ) = 0
ص
س د( //جـ) < 0 جـ
ص
د (جـ) > 0 //
و
د(جـ) قيمة عظمى محلية
س د( /جـ) = 0 جـ
و
د(جـ) قيمة صغرى محلية كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
����� ������ ����� �������
مثال 3استخدم اختبار المشتقة الثانية فى إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة د حيث : د(س) = س8 - 4س10 + 2 الحل
د(س) كثيرة حدود فهى متصلة ومجالها I
د( //س) = 12س16 - 2 د( /س) = 4س 16 - 3س = 4س (س، )4 - 2 للدالة نقط حرجة عندما د( /س) = 4س (س 0 = )4 - 2أى عند :س = ، 0س = ، 2س = 2- اختبار المشتقة الثانية لوجود قيم عظمى أو صغرى محلية: ` د( 10 = )0قيمة عظمى محلية د0 < 16- = )0( // عند س = 0 ` د( 6- = )2قيمة صغرى محلية د0 > 32 = )2( // عند س = 2 ` د( 6- = )2-قيمة صغرى محلية د0 > 32 = )2-( // عند س = 2- حاول أن تحل
3باستخدام اختبار المشتقة الثانية أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة د حيث د(س) = س3 - 3س9 - 2س وتحقق من صحة إجابتك باستخدام الحاسبة البيانية أو البرامج الرسومية. ر�شم ال�شكل العام لمنحنيات كثيرات الحدود مجال د يستخدم حساب التفاضل فى رسم الشكل العام لمنحنيات الدوال، ويعتمد على تتبع سلوك د(س) للدالة د عندما تتغير قيمة س فى فترة د (س) تماثل الدالة د (س) معينة ،وتمثيل األزواج المرتبة (س ،ص) فى المستوى اإلحداثى التحدب ونقط االتقالب النقط الحرجة المتعامد حيث ص = د(س) وسنقصر دراستنا على رسم الشكل فترات التزايد والتناقص التقاطع مع المحاور العام لمنحنيات الدوال على دوال كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة القيم العظمى والصغرى المحلية فأقل على الصورة د(س) = Cس + 3ب س + 2جـ س E + لرسم الشكل العام لمنحنى الدالة د حيث ص = د(س) نتبع المخطط منحنى الدالة المقابل كما يلى: ال حول نقطة األصل إذا ال بالنسبة لمحور الصادات ،ويكون متماث ً -1إذا كانت د زوجية يكون منحناها متماث ً كانت د فردية. -2دراسة تغيرات الدالة وتحديد فترات التحدب ونقط االنقالب إن وجدت والقيم العظمى والصغرى المحلية إن وجدت. -3إعداد جدول التزايد والتناقص والتحدب لمعرفة الشكل العام للمنحنى ونوع النقط الحرجة. -4إيجاد نقط تقاطع منحنى الدالة مع محورى اإلحداثيات إن امكن ذلك . -5رسم تخطيطى لمنحنى الدالة ويمكن االستعانة ببعض النقط اإلضافية لتحسين الرسم.
Curve Sketching for Polynomials
/
6
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
//
���� �������
3 3
مثال رسم منحنى دالة 4ارسم الشكل العام لمنحنى الدالة د حيث ص = د(س) = س3 - 3س4 + 2 الحل
-1الدالة د كثيرة حدود مجالها ، Iوالدالة ليست زوجية وليست فردية. -2د( /س) = 3س6 - 2س = 3س (س ، )2 -د( //س) = 6س ( 6 = 6 -س )1 - للدالة نقط حرجة عند د(س) = 0أى عند س = ، 0س = 2 وتكون د متزايدة فى الفترة ] [0 ، ∞-والفترة ] [ ∞، 2ومتناقصة فى الفترة ] [2 ،0 د( //س) = 0عند س = 1 د( //س) < 0فى الفترة ] [1 ، ∞-ويكون المنحنى محد ًبا ألعلى فى هذه الفترة، د( //س) > 0فى الفترة ] [ ∞ ، 1ويكون المنحنى محد ًبا ألسفل فى هذه الفترة النقطة ( ، 1د( ))1أى ( )2 ، 1نقطة انقالب. -4نقط التقاطع مع محورى اإلحداثيات )0 ،2( ، )4 ،0( : -3جدول التزايد والتناقص والتحدب ∞ +
2 0
1
0 0
+
0
-
0
2
4
قيمة صغرى محلية
-
نقطة انقالب
∞-
+
س -5الشكل العام لمنحنى الدالة د
إشارة د
3
//
س
تحدب د ص
نقط إضافية ، 1- ( :د( ))1-أى ( )0 ، 1- حاول أن تحل
/
سلوك د
إشارة د
قيمة عظمى محلية
ص
4ارسم الشكل العام لمنحنى الدالة د حيث ص = د(س) =
3
2 1 2
1
2- 112-
( ، 3د( ))3أى ( )4 ، 3
12س -س3
مثال الشكل العام ملنحنى دالة ال عا ًّما لمنحنى الدالة د حيث ص = د(س) إذا علمت مايلى: ارسم شك ً -1د دالة متصلة مجالها [ ، ]7 ، 1د( ، 2- = )1د(4 = )5 -2د ، 0 = )5( /د( /س) > 0عندما س < ، 5د( /س) < 0عندما س > 5 -3د( //س) < 0عندما < 1س < 7
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
����� ������ ����� ������� الحل
من ( :)1نرسم محورى اإلحداثيات المتعامدة النقطتين ( )4 ،5( ، )2- ،1فى المجال [ .]7 ،1
من ( :)2عند س = 5المماس //محور السينات ،ود متزايدة على الفترة ] [5 ،1ومتناقصة على الفترة ] [7 ،5 من ( :)3المنحنى محدب ألعلى على ] [7 ،1
ص
ص
3
3
4
س
2 1 7
6
5
4
3
2
1
4
س
1-
2 1 7
6
5
4
3
2
1
23-
123-
حاول أن تحل
ال عا ًّما لمنحنى الدالة د حيث ص = د(س) إذا علمت ما يلى : ارسم شك ً -2د( /س) > 0عندما س > 0 -1د متصلة مجالها [ ، [∞ ،0د( ، 3 = )4د(1 = )0 -3د( //س) > 0عندما س < ، 4د ، 0 = )4( //د(//س) < 0عندما س > 4
مثال حل معادالت 6إذا كانت النقطة ( )12 ،1هى نقطة انقالب لمنحنى الدالة د حيث د(س) = Cس + 3ب س 2فأوجد قيم ، Cب الحقيقية. الحل
د
aالنقطة ( )12 ، 1نقطة انقالب لمنحنى د ( ، )1د()2( 12 = )1 ` د0 = )1( // ()12 ، 1 د( /س) = C 3س 2 + 2ب س ،د( //س) = C 6س 2 +ب ` ب = C 3 - من ( 2 + C 6 : )1ب = 0 ` 12 = C 3 - Cويكون ، 6- = Cب = 18 من ( + C : )2ب = 12
حاول أن تحل
6إذا كانت النقطة ( )2 ،2هى نقطة انقالب لمنحنى الدالة د حيث د(س) = س C + 3س + 2ب س فأوجد قيم ، C ب الحقيقية.
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
3 3
���� �������
نشاط
ا�صتخدام الح��صبة البي�نية فى ر�صم الدوال.
الستخدام الحاسبة البيانية فى رسم منحنى الدالة د حيث د(س) = س3 - 3س 1 +اتبع الخطوات التالية: -1افتح الحاسبة واضغط MENUثم تحرك باألسهم على الشاشة واختر ،GRAPH اضغط EXEالذى يعد مفتاح اإلدخال لتظهر لك نافذة الكتابة . 2
-2اكتب عند Y1فى نافذة الكتابة الدالة المراد رسمها حيث يستخدم مفتاح لكتابة المتغير Xولذلك اضغط على المفاتيح التالية : 1
+
T, i, X
3
–
3
^
T, i, X
1
" ابدأ
-3لرسم الدالة اضغط EXE " EXEابدأ فتظهر النافذة الرسومية كما بالشكل المقابل. فى النافذة الرسومية لدراسة -4استخدم مفتاح 3 سلوك الدالة وتحديد فترات التحدب إلى أعلى والتحدب إلى أسفل. تكنولوجيا :بعض الدوال يصعب رسم منحناها البيانى .يمكنك باستخدام برنامج geogebraأو أى برنامج رسومى آخر رسم منحنى الدالة ودراسة خواصه.
يوضح الشكل المقابل منحنى الدالة د حيث د(س) =
(س 2)1 +
س1 + 2
د(س) =
،
(س 2)1 +
س1 + 2
ص 3 2
خط مقارب افقى
الحظ: )1النقط الحرجة :للمنحنى نقط حرجة عند س = ، 1-س = 1 عند س = 1-د( 0 = )1-قيمة صغرى محلية ،عند س = 1د( 2 = )1قيمة عظمى محلية. )2فترات التحدب :إلى أعلى، 0] ، [ 3 - ، ∞- ] :
س
1
4
3
2
1
و
4- 3- 2- 1-
، [ 3إلى أسفل[∞ ، 3 ] ، [0 ، 3 -] :
)3نقطة االنقالب :عند س = 3 -يوجد مماس يقطع منحنى د ،عند س = 3يوجد مماس يقطع منحنى د
)4الشكل العام للمنحنى :منحنى الدالة يقترب بطرفيه من المستقيم ص = 1ويعرف بخط التقارب األفقى لمنحنى الدالة ومعادلته ص = Cحيث = C :نهــــــا د(س) = نهــــــا |س|!∞
|س|!∞
(س 2)1 +
س1 + 2
تطبيق :ارسم منحنيى الدالتين بأحد البرامج الرسومية ثم ادرس خواص كل منهما: د(س) =
4س2
س3 + 2
س4 - 2س (Sس) = س4 - 2س 3 +
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
= 1
����� ������ ����� �������
تمــــاريــن 3 - 3 ص
يبين ال�صكل المق�بل منحنى الدالة د حيث �ص = د(�ص) ،اكمل: أ مجال د = ب / د (س) = 0عندما س ∈ ................................... ............................................................................
ج د( //س) > 0عندما س ∈ د المنحنى محدب ألعلى عندما س ∈
................................ ................................
س
ه للمنحنى نقطة انقالب هى و للدالة قيمة صغرى محلية عند س = ............................... ز للدالة قيمة عظمى مطلقة تساوى ......................................... .............................................................
2 3 4 5
1
8 7 6 5 4 3 2 1 0
4- 3- 2- 1123-
ابحث فترات تحدب الدالة د ثم اأوجد اإحداثي�ت نقط النقالب ( اإن وجدت) لكل مم�ي�أتى: 3د(س) = س3 - 3س1 + 2 د(س) = س8 - 4س16 + 2
6 - 4س 3 -س2
2د (س) = 4د(س) = 15س 6 +س - 2س3 6د(س) = 3
س1 - 2 س4 - 2
6
س3 + 2
د(س) =
س3 - 3س عندما س < 0 4س -س 2عندما س 0 G
1أثبت أن قياس زاوية ميل المماس عند نقطة االنقالب لمنحنى الدالة د حيث د(س) = س يساوى r - 1س2 4
إذا كان لمنحنى الدالة د حيث د(س) = س ( س 2)3 -قيمة عظمى محلية عند س ، 1وقيمة صغرى محلية عند س 2فأثبت أن اإلحداثى السينى لنقطة االنقالب =
س + 1س2
2
2أوجد ، Cب بحيث يكون للمنحنى س 2ص C +ص +ب س 0 = 2نقطة انقالب عند النقطة (.)1- ، 1
ار�صم ال�صكل الع�م لمنحنى الدالة المت�صلة د الذى له الخوا�ص المعط�ة فى كل مم� ي�أتى:
3د( 4 = )0د( ، 4 = )3د( /س) < 0لكل س < ، 2د( /س) > 0لكل س > ، 2د( //س) > 0
4د( = )1د( ، 0 = )5د( /س) < 0لكل س < ، 3د( /س) > 0لكل س > ، 3د( //س) < 0لكل س ! 3
د( 2 = )1-د( ، 4 = )0د( ، 0 = )1د = )1( /د ، 1 = )1-( /د( //س) < 0لكل س < ، 0د( //س) > 0لكل س > 0
6د( ، 4 = )3عند س < 3فإن د( /س) > ، 0د( //س) > 0وعند س > 3فإن د( /س) < ، 0د( //س) > 0
1
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
���� �������
ادر�ص تغيرات الدالة د وار�صم ال�صكل الع�م لمنحن�ه� فى كل مم� ي�أتى: د(س) = س6 - 2س 5 +
د(س) = س3 - 3س3 + 2
2د(س) = 18س 32 - 3س 1 +
23د(س)
= ( - 2س) ( س 2)1+
2د(س) =
س3 - 3س 2عندما س > 0 س2 - 2س عندما س 0 H
د(س) =
- 3س2
21د(س) = 13س - 3س 2 + 22د(س) =
-س (س 2)3 -
24د(س) = 1 8
( س ( )4+س 2)2 -
26د(س) = س |س |4 -
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
3 3
1
تطبيقات على القيم العظمى وال�شغرى
4-3 سوف تتعلم Ñالنمذجة الرياضية
المصطلحات األساسية Ñنمذجة رياضية Mathematical Modeling
األدوات المستخدمة Ñآلة حاسبة علمية Ñبرامج رسومية
Applications of Maxima and Minima
النمذجة الريا�شية إن عملية اتخاذ قرار علمى فى حل أى مشكلة تمر بعدة مراحل تتلخص فى: -1تحديد المشكلة (الهدف واإلمكانات). -2وضع نموذج فكرى أو تصور ألبعاد المشكلة. -3إيجاد نموذج علمى مناسب. المشكلة -4حل النموذج واتخاذ القرار. والنمذجة الرياضية هى صياغة القيود المطلوب والمعطيات مشكلة ما وفق عالقات رياضية يطلق تحديد المجاهيل عليها النموذج الرياضى ،ويتلخص فى المخطط المقابل حيث يتضمن : صياغة النموذج الرياضي -1تحديد المشكلة المطروحة غايتها حل النموذج ومكوناتها (ربح أعظم -تكلفة أقل - تقيم النتائج وتحديد البدائل مساحة أكبر )... -2تحديد مجاهيل المسألة التى يجب إيجاد قيمها للوصول إلى الغاية المطلوبة. -3بيان العالقات بين المجاهيل ( معادالت -متباينات). -4صياغة النموذج الرياضى وهو تمثيل للمشكلة بصورة رياضية قابلة للحل. -5حل النموذج الرياضى وتفسير نتائجه وفق طبيعة المسألة . -6تحديد البدائل المتاحة إذا كان للمسألة أكثر من حل واحد. ويسهم حساب التفاضل فى حل النموذج الرياضى لمعظم مشكالت الحياة العملية حين يكون الهدف هو الحصول على أكبر قيمة أو أصغر قيمة لمتغير ما فى إطار القيم القصوى المحلية والقيم القصوى المطلقة كما فى األمثلة التالية.
Mathematical Modeling
مثال
اختبار املشتقة األوىل
أوجد بعدى مستطيل له أكبر مساحة يمكن رسمه داخل مثلث ،طول قاعدته 16سم وارتفاعه 12سم ،بحيث ينطبق بأحد أضالعه على قاعدة المثلث وتقع رأسا الضلع المقابل على الضلعين اآلخرين للمثلث.
الحل
-1لحساب أكبر مساحة نرسم المسألة تب ًعا للمعطيات والقيود . -2تحديد المتغيرات (المجاهيل) بفرض أن عرض المستطيل = س سم وطوله ص سم ومساحته = م سم2
2
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
������ ��� ����� ������ �������� C
-3العالقات بين المتغيرات (النموذج الرياضى) مساحة المستطيل م = س * ص -4وضع النموذج الرياضى فى متغير واحد إن أمكن - 12س ص E = = C 12 16 Cب ` ص = - 12 ( 43س) ،س ∈[ ]12 ،0 مساحة المستطيل م = 43س ( - 12س) أى إن :م = د(س) = 16س 4 -س2 3
3 3
- 12س E
(من التشابه)
س
()1
ب
هـ جـ
ص 16
()2
-5حل النموذج الرياضى :باشتقاق طرفى العالقة ( )2بالنسبة إلى س ` د( /س) = 8 - 16س ،د( //س) = 8 - 3 3 عند د( /س) = 0
` س = 6 = 3 *816ويكون عندها د( //س) <0
دائما ،فإن هذه النقطة الحرجة تعطى القيمة aم لها نقطة حرجة وحيدة عند س = ، 6والمشتقة الثانية سالبة ً العظمى المطلقة. ` للدالة م قيمة عظمى مطلقة عند س = ، 6ص = 8 = )6 - 12( 83 أى إن :للمستطيل أكبر مساحة عندما يكون بعداه 6سم 8 ،سم
حاول أن تحل
أوجد أكبر مساحة لمثلث متساوى ساقين يمكن رسمه داخل دائرة طول نصف قطرها 12سم.
مثال حساب أقل تكلفة 2يراد بناء صومعة حبوب على شكل أسطوانة رأسية ذات سقف نصف كُروى بحيث تتسع لتخزين r108م 3من الحبوب (بفرض أن تخزين الحبوب يتم فى الجزء األسطوانى فقط دون السقف) ،إذا كانت تكلفة وحدة المساحة من السقف ضعف تكلفة وحدة المساحة من الجدار الجانبى .ما أبعاد الصومعة التى تجعل التكلفة أقل ما يمكن؟ H
الحل
-1لحساب أقل تكلفة نرسم المسألة تب ًعا للمعطيات والقيود.
مترا ،طول نصف قطر -2تحديد المتغيرات :نفرض أن ارتفاع األسطوانة = ع ً مترا وأن تكلفة وحدة المساحة من الجدار = جـ جني ًها فتكون قاعدتها = ً H تكلفة وحدة المساحة من السقف = 2جـ جني ًها والتكاليف الكلية = ك جني ًها.
H ع
H
-3العالقات بين المتغيرات (النمذجة): مساحة السطح األسطوانى = محيط القاعدة * االرتفاع = Hr 2ع وحدة مساحة كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
3
����� ������ ����� �������
مساحة السطح النصف كرى = 12مساحة الكرة = 2Hr2وحدة مساحة التكاليف الكلية ك = Hr 2ع * جـ 2 * 2Hr 2 +جـ = Hr 2جـ (ع )H2 + -4وضع النموذج الرياضى فى متغير واحد: 108 ` 2Hrع = r 108 aحجم الجزء األسطوانى = r 108 أى إن ع = 2H )H2 + 2108 التكاليف الكلية ك = Hr 2جـ ( H ك = د(r 216 = )Hجـ r 4 + 1-Hجـ 2H
-5
حل النموذج :دr 216 - = )H( /جـ r 8 + 2-Hجـ H
3 / 216أى إن (3 = Hنقطة وحيدة) النقط الحرجة = عند د (8 = H ` 0 = )H
اختبار المشتقة الثانية: ` د0 > )3( // aد r432 = )H( //جـ r8 + 3-Hجـ أى إن :عندما يكون طول نصف قطر األسطوانة الرأسية 3أمتار يكون للصومعة أقل تكاليف ،ويكون 108 مترا. ارتفاعها عندئذ ً 12 = 9
حاول أن تحل
مترا مكع ًبا ،وقاعدته مربعة .يراد طالؤه من الداخل بمادة عازلة، 2خزان على شكل صندوق مغلق سعته ً 252 يتكلف القاع 50جني ًها لكل متر مربع ،ويتكلف الغطاء 20جني ًها لكل متر مربع ،كما يتكلف الجوانب 30 جني ًها لكل متر مربع ،أوجد أبعاد الصندوق التى تجعل التكلفة أقل ما يمكن.
مثال تطبيقات حياتية تكزا 3جدار ارتفاعه 2متر ويبعد مترين عن أحد المنازل ،أوجد طول أقصر سلم يصل من األرض إلى المنزل مر ً على الجدار. الحل
-1لحساب أقصر طول للسلم نرسم المسألة تب ًعا للمعطيات والقيود. -2تحديد المتغيرات :نفرض أن: مترا. مترا ،بعد طرف السلم السفلى عن الجدار = س ً مترا ،ارتفاع قمة السلم عن األرض = ص ً طول السلم = ل ً -3نمذجة المسألة: من فيثاغورث :ل ( = 2س + 2)2 +ص2 ()1 ص س2+ = من التشابه: س
2 4 + 2س = 4 + 2س1- `ص= س
ل
()2
إليجاد أقصر طول للسلم يكفى أن تكون ل 2قيمة صغرى
-4حل النموذج باشتقاق طرفى العالقة ( )2( ، )1بالنسبة إلى س. Eص Eص E ، (ل ( 2 = )2س 2 + 1 * )2 +ص ` Eس Eس Eس
4
=
ص 2م
4-
س2
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
س
2متر
3 3
������ ��� ����� ������ ��������
8 E 2س 4 + ( 2 = 24- * aس - 1k )2 + (ل ( 2 = )2س k2 + )2 + ` س Eس س س
عند النقط الحرجة:
E
Eس
(ل = )2صفر
+
1 = 38
a3 2
–
` س = 2-مرفوض أو `س = 2 E (ل )2من -إلى + من اختبار المشتقة األولى للتزايد والتناقص نالحظ تغير إشارة Eس ` عند س = 2تكون ل 2أصغر ما يمكن بالتعويض فى ( ` )2ص = 4 = 4 + 22 * 2 بالتعويض فى ()1 ` ل32 = 2)4( + 2)2 + 2 ( = 2 `ل = 2 4 مترا أى إن :طول أقصر سلم يصل من األرض إلى المنزل يساوى ً 2 4 س
س E
إشارة Eس (ل)2 ل2
حاول أن تحل
3فى مستوى إحداثى متعامد رسم Cب يمر بالنقطة جـ ( )2 ، 3ويقطع محورى اإلحداثيات فى النقطة Cوالنقطة ب ،أثبت أن أصغر مساحة للمثلث أ و ب تساوى 12وحدة مربعة حيث و نقطة األصل (.)0 ،0 مثال القطاع الدائرى 4قطعة معدنية على شكل قطاع دائرى مساحته 16سم 2أوجد طول نصف قطر دائرة القطاع الذى يجعل محيطه أقل ما يمكن ،وما قياس زاويته عنذئذ؟ الحل
بفرض أن طول قوس القطاع ل سم ،طول نصف قطر دائرة القطاع = Hسم ()1 ` محيط القطاع + H 2 = Iل 32 ` ل= aمساحة القطاع = 12ل 16 = H H بالتعويض فى (32 + H 2 = I ` )1 ()2 H باشتقاق طرفى العالقة ( )2بالنسبة إلى H
32 I2E IE ، 2H E 2H - 2 = H E IE =0 عندما HE
=
H
64
3H
=H
I2E
>2 ،4 HE
` عند 4 = Hيكون محيط القطاع أقل ما يمكن E 2 aمساحة القطاع = i H 12
حاول أن تحل
0
i
ل
2 * 16 ` E2 = 4 * 4 = i
4إذا كان محيط قطاع دائرى = 12سم ،أوجد قياس زاوية القطاع الذى يجعل مساحته أكبر ما يمكن. كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
H
����� ������ ����� �������
تمــــاريــن 4 - 3 عددان مجموعهما 30وحاصل ضربهما أكبر ما يمكن ،أوجد العددين.
2عددان صحيحان موجبان مجموعهما ،5ومجموع مكعب أصغرهما وضعف مربع اآلخر أصغر ما يمكن، أوجد العددين. 3أوجد العدد الموجب الذى إذا أضيف إليه معكوسه الضربى كان الناتج أصغر ما يمكن.
مترا. 4أوجد أكبر مساحة من األرض مستطيلة الشكل يمكن أن ُتحاط بسياج طوله ً 120 قطاع دائرى محيطه 30سم ،ومساحته أكبر ما يمكن ،أوجد طول نصف قطر دائرته.
6علبة على هيئة متوازى مستطيالت ،قاعدتها مربعة الشكل .إذا كان مجموع جميع أحرفها يساوى 240سم، فأوجد أبعادها حتى يصير حجمها أكبر ما يمكن. إذا كان طول وتر مثلث قائم الزاوية يساوى 10سم ،فأوجد طول كل من ضلعى القائمة عندما تصبح مساحة المثلث أكبر ما يمكن.
يحده من أحد الجوانب نهر مستقيم .حدد كيفية وضع سياج حول الجوانب األخرى من قطعة حقل مفتوح ُّ أرض مستطيلة من الحقل لإلحاطة بأكبر مساحة ممكنة بواسطة 800متر من السياج ،وما مساحة هذه األرض حينئذ؟ ُت َص ْنع علب أسطوانية الشكل مغلقة لتعبئة المشروبات ،سعة كل منهما ك من وحدات الحجم بأقل قدر من المادة ،أوجد نسبة ارتفاع العلبة (ع) إلى طول نصف قطر قاعدتها (.)H
مترا ،فأوجد أكبر مساحة له. 1ملعب على شكل مستطيل ينتهى بنصفى دائرتين ،إذا كان محيط الملعب ً 420
مثلث قائم الزاوية طول وتره 30سم ،أوجد طول كل من ضلعيه اآلخرين إذا كان طول العمود النازل من رأس الزاوية القائمة على الوتر أكبر ما يمكن.
ُطع من أركانها األربعة مربعات متطابقة، 2قطعة من الورق المقوى على شكل مستطيل ،بعداه 15سم 24 ،سم ،ق َ طول ضلع كل منها س سم ،ثم ثُنيت األجزاء البارزة ألعلى لتكون علبة بدون غطاء .احسب أبعاد العلبة عندما يكون لها أكبر حجم ممكن. 3خزان مفتوح ،قاعدته مربعة ،وجوانبه رأسية ،يسع كمية معينة من الماء .أثبت أن تكاليف طالء الخزان من الداخل بطبقة منتظمة عازلة تكون أقل ما يمكن إذا كان عمقه يساوى نصف طول ضلع قاعدته.
4أوجد أقرب نقطة إلى النقطة ( )5 ،0وتقع على المنحنى ص = 12س. 4 - 2
أوجد أقصر بعد بين المستقيم س 2 -ص 0 = 10 +والمنحنى ص4 = 2س .
6
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
������ ��� ����� ������ ��������
3 3
/
C 6ب جـ مثلث حيث ، Cب /ثابتان .أوجد قياس الزاوية المحصورة بينهما والتى تجعل مساحة المثلث أكبر ما يمكن. ُتعطى شدة التيار ت (باألمبير) فى دائرة للتيار المتردد عند أى لحظة ن (ثانية) بالعالقة ت = 2جتا ن 2 +جا ن، ما أقصى قيمة للتيار فى هذه الدائرة.
5000ن ينمو حجم مزرعة بكتيريا موضوعة فى وسط غذائى طب ًقا للعالقة د(ن) = + 2000 + 100ن
، 2حيث الزمن ن
مقيس بالساعات ،عين القيمة العظمى لحجم المزرعة.
Cب جـ Eمربع طول ضلعه 10سم ،م ∈ ب جـ بحيث ب م = س سم ،ن∈ أوجد قيمة س التى تجعل مساحة C 9م ن أصغر ما يمكن.
جـ E
بحيث جـ ن = 32س .
C 21ب قطر فى دائرة طول نصف قطرها ُ Hرسم مماسان للدائرة عند كل من ، Cب من النقطة هـ على الدائرة رسم مماس آخر للدائرة قطع المماسين السابقين من ، Eجـ على الترتيب .أثبت أن أصغر مساحة لشبه المنحرف Cب جـ Eتساوى 2H2وحدة مربعة.
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
����� ������ ����� �������
ملخص الوحدة
اختبار الم�شتقة الأولى ل�شطراد الدوال: نظرية :لتكن د دالة قابلة لالشتقاق على الفترة ] ، Cب[ : -1اذا كان د( /س) > .لجميع قيم س ∈ ] ، Cب[فإن د متزايدة على ] ، Cب[. -2إذا كان د( /س) < .لجميع القيم س∈ ] ، Cب[ فإن د متناقصة على ] ، Cب[. النقطة الحرجة: للدالة د المتصلة على ] ، Cب[ نقطة حرجة (جـ ،د (جـ)) إذا كانت جـ ∈ ] ، Cب[ ،د(/جـ) = 0أو د(/جـ) غير موجودة. القيم العظمى والقيم ال�شغرى المطلقة (القيم الق�شوى المطلقة): إذا كانت د دالة متصلة مجالها ف ،جـ ∈ ف فإنه يوجد للدالة د: -1قيمة عظمى محلية عند جـ إذا وجدت فترة مقترحة ] ، Cب[ ⊂ ف تحوى جـ بحيث يكون د(س) Hد (حـ) لكل س ∈] ، Cب[. -2قيمة صغرى محلية عند جـ إذا وجدت فترة مفتوحة ] ، Cب [⊂ ف تحوى جـ بحيث يكون د (س) Gد (حـ) لكل س ∈ ] ، Cب[. اختبار الم�شتقة الأولى للقيم العظمى و ال�شغرى المحلية: إذا كانت (جـ ،د (جـ)) نقطة حرجة للدالة د المتصلة عند جـ ،ووجدت فترة مفتوحة حول جـ بحيث: -1د(/س) > 0عندما س < جـ ،د(/س) < 0عندما س > جـ ،فإن د (جـ) قيمة عظمى محلية -2د(/س) < 0عندما س < جـ ،د(/س) > 0عندما س > جـ ،فإن د (جـ) قيمة صغرى محلية نظرية :إذا كانت د قابلة لالشتقاق على ] ، Cب[ وكانت للدالة د قيمة عظمى أو صغرى محلية عند جـ ∈ ] ، Cب[ فإن د(/جـ) = 0 القيم الق�شوى لدالة على فترة مغلقة: نظرية :إذا كانت الدالة د متصلة على الفترة [ ، Cب ] فإن للدالة د قيمة عظمى مطلقة وقيمة صغرى مطلقة على الفترة [ ، Cب]. تحدب المنحنيات لتكن د دالة قابلة لالشتقاق على الفترة ] ، Cب[ ،يكون منحنى الدالة د محد ًبا ألسفل إذا كانت د /متزايدة على هذه الفترة ،ومحد ًبا ألعلى إذا كانت د /متناقصة على هذه الفترة .
اختبار الم�شتقة الثانية لتحدب المنحنيات نظرية :لتكن د دالة قابلة لالشتقاق مرتين على الفترة ] ، Cب[ فإنه: -1إذا كان د(//س) > 0لجميع قيم س ∈ ] ، Cب[ فإن منحنى د يكون محد ًبا ألسفل على الفترة ] ، Cب[. كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
ملخص الوحدة تمــــاريــن عـــامـة
������ ��� ����� ������ ��������
3 3
-2إذا كان د(//س) < 0لجميع قيم س∈ ] ، Cب[ فإن منحنى د يكون محد ًبا ألعلى على الفترة ] ، Cب[.
نقطة النقالب إذا كانت د دالة متصلة على الفترة المفتوحة ] ، Cب[ ،جـ ∈ ] ، Cب[ وكان لمنحنى الدالة مماس عند النقطة (جـ، د (جـ)) .فإن هذه النقطة تسمى نقطة انقالب لمنحنى الدالة د إذا تغير تحدب منحنى الدالة عند هذه النقطة من محدب ألسفل إلى محدب ألعلى أو من محدب ألعلى إلى محدب ألسفل. اختبار الم�شتقة الثانية للقيم العظمى و ال�شغرى المحلية نظرية :ليكن للدالة د مشتقة ثانية على فترة مفتوحة تحوى جـ حيث د(/جـ) = 0 -1إذا كانت د(//جـ) < 0فإن د(جـ) قيمة عظمى محلية. -2إذا كانت د( //جـ) > 0فإن د(جـ) قيمة صغرى محلية. منحنيات كثيرات الحدود لرسم الشكل العام لمنحنى كثيرة الحدود د حيث ص = د(س) نتبع الخطوات التالية: ال بالنسبة لنقطة األصل إذا -1إذا كانت د زوجية يكون منحناها ً متماثال بالنسبة لمحور الصادات ،ويكون متماث ً كانت د فردية. -2دراسة تغيرات الدالة وتحديد فترات التحدب ونقط االنقالب والقيم العظمى و الصغرى المحلية إن وجدت. -3إعداد جدول التزايد والتناقص والتحدب لمعرفة الشكل العام للمنحنى ونوع النقط الحرجة. -4إيجاد نقط تقاطع منحنى الدالة مع محورى اإلحداثيات . -5رسم تخطيطى لمنحنى الدالة ويمكن االستعانة ببعض النقط اإلضافية لتحسين الرسم.
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
ملخص الوحدة تمــــاريــن عـــامـة
����� ������ ����� �������
اختر الإج�بة ال�صحيحة من بين الإج�ب�ت المعط�ة:
إذا كان د ، I# ]4 ،2-[ :د(س) = س3 - 3س فإن عدد النقط الحرجة للدالة د يساوى: د 3 ج 2 ب1 أ 0 2يكون للدالة د قيمة صغرى محلية إذا كانت د(س) تساوى: د -س3 ج س3 ب س1 + 2 أ 2س 1-
3منحنى الدالة د محد ًبا ألسفل فى Iإذا كان د(س) تساوى: د + 3س4 ج - 3س4 ب - 3س3 أ - 3س2 4إذا كان لمنحنى الدالة د نقطة إنقالب عند س = 2حيث د(س) = س + 3ك س 4 + 2فإن قيمة ك تساوى: د 6 ج 3 ب 3- أ 6- يكون للدالة د قيمة عظمى محلية إذا كانت د(س) تساوى: د س2 - 4س2 ج س3 + 3س ب س1 + 3 أ س2 - 2
حدد فترات تزايد وفترات تن�ق�ص الدالة د فى كل مم� ي�أتى: 6د(س) = ( س -
2)3
د(س) = 4 + 5س -
2د(س) = 1 + 1 س
س2
د(س) = 2س- 3
س2
1د(س) = س( 2س )2 - س 3د(س) = س2+
د(س) = (س
د(س) = س- 4
4د(س) =
حدد فترات التحدب لأ�صفل والتحدب لأعلى ونقط النقالب اإن وجدت لكل من: د(س) = ( س -
2)1
د(س) = س12 - 3س 7 +
6د(س) = س- 3
3س2
د(س) = 6س- 3
س4
اأوجد القيم الق�صوى المحلية للدالة د اإن وجدت فى كل مم� ي�أتى: 2د(س) = 6 - 4س -
س2
24د(س) = س8 - 4س8 + 2 س4- 2د(س) = س9 + 2
32د(س) = س]2 ، 1-[ 2 + 4
1
3
4س3
س1-
د(س) = س6 - 3س9 + 2
8 21د(س) = س- 2 س
22د(س) = 2س3 - 3س 23 7 + 2د(س) = س( س - س1 - 2 2د(س) = س1 + 2
2د(س) =
3
(س 2)2 -
اأوجد القيم الق�صوى المطلقة للدالة د فى الفترة المعط�ه لكل مم� ي�أتى: 31د(س) = س]2 ، 0[ 9 - 3
3)4 +
3د(س) = س 12 - 3س 16 +
33د(س) = 2س - 4س1+ 2
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
س3 - 2 26د(س) = س2-
2د(س) = 3س4 - 2
[]5 ، 3- []1 ، 1-
2)2
3 3
������ ��� ����� ������ ��������
عـــامـة تمــــاريــن 3د(س) = 34د(س) = س(س ]4 ، 1-[ )12 - 2
36د(س) =
س3 - 3س 2عندما س 0 H
(س ( )1 -س 2)2 -
[]5 ، 0
[]3 ،3-
س2 - 2س عندما س > 0
ار�صم ال�صكل الع�م لمنحنى الدالة المت�صلة د الذى له الخوا�ص المعط�ة فى كل مم� ي�أتى: 3 3 3 41
د ( ، 3 = )4د ، 0 = )4 ( /د( //س) < 0لجميع قيم س. د ( ، 5 = )2د ، 0 = )2 ( /د( //س) > 0عندما س < ، 2د(//س) < 0عندما س > 2 د ( ، 8 = )3-د( ، 4 = )0د ( ، 0 = )3د(/س) > 0عندما س < 3-وعندما س > ،3 د(//س) < 0عندما س < ، 0د(//س) > 0عندما س > 0 د ( ، 3 = )0د = )2(/د ، 0 = )2-(/د(/س) < 0عندما < 2-س < ، 2د(//س) < 0عندما س < ، 0 د(//س) > 0عندما س >0
ار�صم ال�صكل الع�م لكل من المنحني�ت الت�لية مبي ًن� عليه� القيم الق�صوى المحلية ونقط النقالب اإن وجدت: 42د(س) = س4 - 2س 3 + 44د(س) = 1س4 - 3س 1 + 3 3 46د(س) = 3 + 5س -س3
- 4س2
4د(س) = 43د(س) = س( س 2)3 + 4د(س) = 2س9 - 3س 12 + 2س 2 -
4عين قيم ، Cب جـ E ،للمنحنى ص = Cس + 3ب س + 2جـ س E +بحيث تكون له قيمة عظمى محلية عند ( )6 ، 0وقيمة صغرى محلية عند ( )5 ، 1ثم ارسم المنحنى. مترا يراد تشكيله على هيئة مستطيل .ما هى أبعاد المستطيل التى تجعل المساحة أكبر مايمكن. 4سلك طوله ً 20 4فى الشكل المقابل Cب جـ Eمستطيل :
.
أ أثبت أن الشكل هـ و ز ح متوازى أضالع مساحته م = 2س 16 - 2س 60 + ب أوجد أصغر قيمة ممكنة للمساحة م.
ح
C س
س
هـ
-6س
ز
-6س
ب
E
س و
1قطعة من الورق على شكل قطاع دائرى طول نصف قطر دائرته 15سم .طويت لتشكل سطح مخروط دائرى قائم ارتفاعه ع سم. بين أن حجم المخروط ح سم 3يعطى بالعالقة ح = rع ( - 225ع، )2 3
ثم أوجد أكبر حجم ممكن لهذا المخروط. كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
جـ
- 10س 15سم ع
ملخص الوحدة
����� ������ ����� �������
أوجد ارتفاع اسطوانة دائرية قائمة يمكن وضعها داخل كره مفرغة طول نصف قطرها من الداخل 10سم، عندما تكون المساحة الجانبية لالسطوانة أكبر ما يمكن.
2أثبت أنه لجميع قيم س ∈ ح تتحقق المتباينة س 1 H Cس + 2ب C 2ب
حيث > C
،0ب
>
0
3لتكن جـ نقطة تقاطع المنحنيين ص4 = 2س 4 ،ص = س ،2النقطة C
تقع على المنحنى ص4 = 2س وإحداثيها السينى يساوى ، 2النقطة ب(س ،ص) تقع على المنحنى 4ص = س 2بين النقطتين و ،جـ ،أوجد أكبر مساحة ممكنة للمثلث و Cب
4ص = س2
ص4 = 2س جـ
س
6
5
C
ب
4
ص
3
2
1
و
4خزان مغطى للمياه ،مكون من متوازى مستطيالت ،قاعدته مربعة الشكل ،طول ضلعها 2س وإرتفاعه س ،يعلوه مترا مكع ًبا فاحسب قيمة أسطوانة دائرية قائمة طول قطرها 2س وارتفاعها ص .إذا كان حجم الخزان الكلى ً 27 س التى تجعل مساحة الخزان السطحية أقل ما يمكن.
لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى
2
www.sec3mathematics.com.eg
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
3 3
������ ��� ����� ������ ��������
تراكمي اختبار عـــامـة تمــــاريــن
يبين الشكل المقابل منحنى د( / /س) للدالة د ،أكمل: أ منحنى د محدب ألعلى عندما س ∈ .............................................. ب منحنى د له نقطة انقالب عند س = .............................................. ج إذا كان د = )1-( /د 0 = )5( /فإنه يوجد للدالة د قيمة عظمى محلية عند س = .............................................. د د متناقصة لكل س ∈ ..............................................
2إذا كان د( /س) = Cس +ب حيث 0 < C أ ابحث وجود قيمة قصوى للداله د مبي ًنا نوعها إن وجدت. ب حدد فترات تزايد وتناقص الدالة د عندما ، 2- = Cب = 5
3حدد النقط الحرجة وفترات التزايد والتناقص للدالة د حيث د(س) =
ص
س
4 3
ص = د //س 3
2
2 1
و 2- 1- 1-
1
( 3س2)1 - 2
4إذا كان د(س) = س6 - 3س12 + 2س ،ابحث وجود نقط حرجة للدالة د وحدد فترات التحدب إلى أعلى شكال عا ًّما لمنحنى د وفترات التحدب إلى أسفل ونقط االنقالب إن وجدت ،ثم ارسم ً شكال عا ًّما لمنحنى الدالة د حيث ص = د(س) إذا كان: ارسم ً د متصلة ومجالها [ ، ]5 ، 1-د( = )1د( ، 0 = )3د )2( /غير موجودة، د( /س) > 0عندما س < ،2د( /س) < 0عندما س > ، 2د( //س) > 0عندما س ! 2
6إذا كانت د دالة قابلة لالشتقاق على ،Iد(س) =
2س C + 2س +ب
عندما س 1 G
3س -س2
عندما س < 1
أ أوجد قيم الثابتين ،Cب ب حدد فترات التحدب إلى أعلى والتحدب إلى أسفل ونقط االنقالب إن وجدت.
من مجموعة كل األزواج المرتبة (س ،ص) لألعداد الصحيحة غير السالبة والتى مجموع مسقطيها ، 5أوجد الزوج المرتب الذى يجعل حاصل ضرب مربع المسقط األول ومكعب المسقط الثانى أكبر ما يمكن.
يبين الشكل المقابل منحنى الدالة د ،والمستقيم ل إذا كان المستقيم ب جـ يوازى محور الصادات ويقطع الجزء الموجب لمحور السينات ،والمستقيم ل ومنحنى د فى النقط ب ،جـ E ،على الترتيب فأوجد إحداثي النقطة ب التى تجعل جـ Eأكبر ما يمكن.
ص = 4 + 1س -س2
ص
E
ل
2ص = س 2 + د
س كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
جـ ب
و
3
اقيتطت ددحم اللماكتلا
الوحدة الرابعة
التكامل المحدد وتطبيقاته The Definite Integral and its Applications
مقدمة الوحدة هل رأيت صانع السالل وهو يصنع إحدى سالله؟ إن عملية تجميع الشرائح المتوازية جنبًا إلى جنب يؤدى إلى تكامل سلته .ساعد ذلك إلى محاولة العلماء اكتشاف طرق عامة لتقدير مساحة أى منطقة مستوية بتقسم أي منطقة مستوية إلى مناطق صغيرة جدًّا ثم جمع مساحات هذه المناطق الصغيرة لتقدير المساحة المطلوبة مما ساهم في اكتشاف علم التكامل ورمز لعملية التكامل بالرمز وهو الحرف األول من كلمة Sumوالتي تعني عملية التجميع ،فى هذه الوحدة ستعرف طرق مختلفة لحساب التكامل غير المحدد مثل التكامل بالتعويض والتكامل بالتجزئ إليجاد مجموعة المشتقات العكسية لدالة متصلة على فترة معطاة ثم التعرف على التكامل المحدد من خالل النظرية األساسية فى التفاضل والتكامل التى تربط بين التكامل المحدد والتكامل غير المحدد واستخدام التكامل المحدد فى إيجاد مساحة منطقة مستوية أو حجم جسم دورانى كما تتعرف على بعض التطبيقات االقتصادية للتكامل المحدد واستخدام النمذجة الرياضية فى حل المشكالت الرياضية والحياتية .
مخرجات التعلم بعد دراسة هذه الوحدة ،وتنفيذ األنشطة فيها ،يتوقع من الطالب أن: يتعرف بعض طرق التكامل مثل :التعويض غير المثلثى، C C-د (س) Eس= 0حيث د دالة فردية. التكامل بالتجزىء س هـس Eس يتعرف تكامل الدوال المثلثية وجدول التكامالت األساسية .يستخدم التكامل المحدد فى حل مشكالت تتضمن إيجاد مساحة. يتعرف التكامل المحدد (النظرية األساسية فى التفاضل) يوجد مساحة المنطقة المستوية تحت المنحنى ،فوق محور ويستنتج بعض خواصه. السينات حيث د (س) غير سالبة لجميع قيم س فى المجال C ب باستخدام التكامل المحدد. د (س) Eس ب د (س) Eس = C - يوجد مساحة المنطقة المستوية المحصورة بين منحنيين. C د(س) Eس = 0 يستخدم التكامل المحدد فى حل مشكالت تتضمن إيجاد C ب ب حجم سطح دورانى حول أحد محاور اإلحداثيات. د (س) Eس ك د (س) Eس = ك C C
=
C C C
ب
ب ب
[د (س) ! ( Sس)] Eس
د (س) Eس!
C
جـ
د (س) Eس +ب
ب
( Sس) Eس د (س) Eس = C
جـ
د (س) Eس
C-
C
د(س) Eس = 0 2
C
د (س) Eس حيث د دالة زوجية.
المصطلحات األساسية Ñمشتقة عكسية
Antiderivative
Ñتكامل غير المحدد
Indefinite Integral
Ñتفاضلى
Differential
Ñتكامل بالتعويض
Integration by Substitution
Ñتكامل بالتجزئ
Ñقاعدة
Ñدالة مثلثية
Rule Trigonometric Function
Ñتكامل محدد
Ñالمساحات فى المستوى
Areas in the plane
Ñحجوم األجسام الدورانية Volumes of Revolution solids
Definite Integral
Ñالنظرية األساسية للتفاضل والتكامل Fundamental theorem of calculus
Integration by Parts
دروس الوحدة
األدوات والوسائل
الدرس ( :)1 - 4طرق التكامل.
Ñآلة حاسبة علمية -برامج رسومية للحاسوب.
الدرس ( :)2 - 4تكامل الدوال المثلثية.
Ñالشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت).
الدرس ( :)3 - 4التكامل المحدد. الدرس ( :)4 - 4المساحات فى المستوى. الدرس ( :)5 - 4حجوم األجسام الدورانية.
مخطط تنظيمى للوحدة التكامل التكامل المحدد
التكامل غير المحدد
صيغ التكامل طرق التكامل تعويض
دالة جبرية دالة أسية دالة لوغارتمية دالة مثلثية
تعين ثابت التكامل
خواص التكامل المحدد
النظرية العامة للتكامل
تطبيقات
هندسية
تجزىء
مساحات
حجوم
1-4
طرق التكامل Methods of Inegration
سوف تتعلم
س1+
Ñحساب التكامل بالتجزئ.
كان E :س ت (س) = د (س) لكل س∈ ف
س3+
Ñحساب التكامل بالتعويض.
E
6 5 4
س2- 2
Ñإيجاد تفاضلى دالة.
ص
س2- 2
Ñإيجاد الدالة األصلية لدالة معطاة.
مقدمة سبق وتعرفت على المشتقة العكسية أو التكامل غير المحدد ،وهو عملية عكسية لعملية االشتقاق ،فيقال للدالة ت أنها مشتقة عكسية للدالة د فى فترة ف إذا
و
عند إضافة أى ثابت للمشتقة العكسية ت( ،يعرف بالثابت االختيارى) ُتم َثل المشتقة العكسية عندئذ بمجموعة المنحنيات ص = د(س) +ث التى تختلف 4عن بعضها فى الثابت ث وميل المماس ألى منها متساوى لذلك فهى منحنيات متوازية كما فى الشكل المقابل ،وقد اصطلح على تسمية مجموعة المشتقات العكسية هذه بالتكامل غير المحدد ويرمز به بالرمز :د (س) Eس ويكون: 2
س -
س 4
1- 1- 1 2
2س
Ñالمشتقة العكسة
Antiderivative
Ñالتكامل غير المحدد Indefinite Integral
Ñتفاضلى
Differential
1-
المصطلحات األساسية
د(س) Eس = ت (س) +ث
للتكامل غير المحدد الخوا�ص التالية: إذا كانت د S ،دالتين لهما مشتقتان عكسيتان فى الفترة ف فإن:
-1 األدوات المستخدمة Ñآلة حاسبة علمية.
Ñبرامج رسومية للحاسب.
[د (س) ! ( Sس) ] Eس = د (س) Eس ! ( Sس) Eس
-2ك د (س) Eس = ك د (س) Eس
الحظ أن: س ن Eس=
س ن1+
ن 1+
+ث
حيث ك عدد حقيقى ثابت حيث ن ! ، 1-ث ثابت اختيارى
وعلى ذلك (3س4 + 2س E )5 +س = س2 + 3س5 + 2س +ث
Áعملية إيجاد المشتقات العكسية يتطلب معرفة صور التكامالت القياسية لبعض الدوال ،إال أن التكامالت المطلوب إيجادها قد تظهر بعيدة عن التكامالت القياسية وهو أمر يتطلب التعرف على طرق أخرى للتكامل منها التكامل بالتعويض والتكامل بالتجزىء اعتما ًدا على تفاضلى الدالة.
96
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
4 4
لما اقيتطت
ص
التفا�ضالت إذا كانت د دالة قابلة لالشتقاق ،حيث ص = د (س) من تعريف المشتقة: Differentials
(س 9 +س ،ص 9 +ص)
Eص نهــــــا د(س 9 +س) -د(س) نهــــــا 9ص / = = (س) د = 9س!0 Eس س 9س! 9 0س 9ص #د(/س) فإن: ` عندما 9س 0 # 9س 9ص عندما 9س 9 ، 0-س ! 0 د( /س)أى أن: 9س
` 9ص -د( /س)9س
د(/س)
(بالضرب * 9س)
س
9ص
9س
د(س)
9س
(س ،ص)
س
(س 9 +س)
تعريف
لتكن د دالة قابلة لالشتقاق على فترة مفتوحة تحوى س 9 ،س يرمز للتغير فى س حيث 9س ! 0فإن -1تفاضلى ص (ويرمز له بالرمز Eص) = د( /س) 9س -2تفاضلى س ( ويرمز بالرمز Eس) = 9س
على ذلك فإن: Eص = د( /س) Eس إذا كانت ص = س3
وهو دالة فى متغيرين س E ،س فإن E :ص =
مثال تفاضىل الدالة أوجد تفاضلى كل مما يأتى: س أ ص= س1-
ج ص = ع.ل
الحل
3س2
Eس
3Hr 4
ب 3 =I
حيث كل من ع ،ل دالة فى س
1 س = +1 أ E aص = ص E /س ،ص = س1- س1- ` Eص = (س E 2)11--س
= ( + 1س 1-)1 -
` HE 2Hr4 = HE 2H3 * r 43 = I E
ب H E /I = I E a
/ ج E aص = (ع :ل) Eس
الحظ اأن
= (ع :ل + /ل :ع E ) /س
= ع :ل E /س +ل :ع E /س
Eص = عEل+لEع
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
Eل = ل Eس /
Eع = ع Eس /
97
و
اقيتطت ددحم اللماكتلا
حاول أن تحل
أوجد تفاضلى كل من: أ ص = (2س 4)5 +
ب
ع ج ص = ل حيث ع ،ل دوال فى المتغير س
ص = هـ 2س 3 -
أوجد E :ص بداللة س ،ص E ،س
تفكير ناقد :إذا كان س + 2ص25 = 2
التكامالت الأ�ضا�ضية (القيا�ضية) ال توجد طريقة عامة إليجاد تكامل الدوال المختلفة تماثل طرق إيجاد مشتقات هذه الدوال ،إذ ينحصر إيجاد تكامل أى دالة د فى البحث عن دالة تكون مشتقاتها هى الدالة د وهذا يتوقف على مدى استيعابك لمشتقات الدوال األساسية السابق دراستها ،والتى نلخصها فى الجدول التالى:
جدول م�ستقات الدوال االأ�سا�سية والتكامالت القيا�سية المناظرة E
(س ن)= ن س ن 1-
Eس
ن∈I
E
Eس (جا س) = جتا س
2ن 1 + ( Eطا س) = قا2 ! س ، س 2 Eس E
Eس
،rن∈N
(هـس) = هـس
E س س لو (C =) C Eس 1 ( Eلو س = ) هـ Eس س
هـ C
التكامل بالتعوي�ض
جتا س Eس = جا س +ث
1!C ، 0 > C س>0
2ن 1 + 2 قا س Eس = ظا س +ث ،س! 2
هـ س Eس = هـ س +ث
1 CسEس= لوهـC 1 س Eس = لوهـ|س| +ث
Integration by Substitntion
من أهم طرق التكامل إليجاد تكامل حاصل ضرب دالتين على الصورة :د (( Sس)) ( /Sس) Eس
فإذا كانت ع = ( Sس) دالة قابلة لالشتقاق فإن Eع = ( /Sس) Eس
Cس +ث
Áإلجراء عملية التكامل بالتعويض نتبع المخطط المقابل:
،rن∈N
1! C ، 0 > C س!0
اختيار التعويض ع حساب Eع التعويض والتبسيط هل يمكن تكامل الدالة
ويكون:
د (( Sس)) (/Sس) Eس = د (ع) Eع
98
ن 1+
+ث
جا س Eس = -حتا س +ث
E
Eس (جتا س) = -جا س
سن Eس =
سن1+
ن ∈ }1{ - I
حساب التكامل كتابة الناتج بداللة المتغير األصلى
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
ال
اختيار تعويض آخر
لما اقيتطت
مثال أوجد
التكامل بالتعويض
الحل
س4+
ب
س 2( 3س E 5)7 - 4س
أ
4 4
أ بوضع ع = 2س7 - 4
Eس
(س8+ 2س)3
` Eع = 8س E 3س
ع Eع س2( 3س E 5)7 - 4س = 2 ( 18س8 ( 5) 7 - 4س E 3س ) 1 ع E 5ع = 6*8
ب بوضع ع = س8 + 2س س4+
(س8 + 2س)3
Eس
حاول أن تحل
أوجد : أ
مثال أوجد أ
الحل
=1 8 = 1 2( 48س + 6)7 - 4ث
ع + 6ث
` Eع = (2س E )8 +س = ( 2س E )4 +س 1 ع3
= (2 1س E )4+س = 1 ( 2س8 + 2س)2 3 1 ع + 2-ث = 12ع E 3-ع = 2- * 2 1+ 2ث = (4س8+ 2س)
س2
ب
3س (س E 4 )3 + 2س
Eع
Eس
(س5)4 - 3
التكامل بالتعويض ب
س (س E 7)4 +س
أ بوضع ع = س 4 +
س (س E 7)4 +س
(س)5 + 2
س E 1-س
` س = ع E ، 4-س = Eع
= ع( 7ع E )4 -ع = (ع 4 - 8ع E )7ع
(تعويض)
= 18ع 2( 8ع + )9 -ث
(تبسيط)
= 19ع 12 - 9ع + 8ث 1
1
= ( 18س 2( 8)4 +س )1 - كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
(تكامل)
(تعويض عن ع)
99
اقيتطت ددحم اللماكتلا
لتبسيط صورة التكامل
ب بوضع ع = 2س 1-
(س )5+ 2س E 1 -س
` س = ع E ، 1 + 2س = 2ع Eع
(تعويض)
= [(ع * ]5+ 2)1+ 2ع * 2ع Eع
= [ع2 + 4ع2 * ]6+ 2عE 2ع
(تبسيط)
= ( 2ع2 + 6ع6 + 4ع E )2ع
= 17 [ 2ع 25 + 7ع2 + 5ع + ]3ث
(تكامل)
2
= 35ع5[ 3ع 14 + 4ع + ]70 + 2ث 2
3
= ( 35س ( 5[ 2 )1 -س ( 14 + 2)1 -س + ]70 + )1 -ث 2 = ( 35س 5( 3)1-س4 + 2س + )61 +ث
حاول أن تحل
أوجد التكامالت اآلتية:
س (2س E 4)3-س
أ
مثال أوجد : أ
الحل
ب
+1س Eس
ب
س
Eس
س
س
بوضع ع = س2
6س هـسE 2س
6س هـ سE 2س
س = ع ، 1 -س = (ع 2)1 -
`
Eس = ( 2ع E )1-ع
+1س Eس =
ع
(ع 2)1 -
* ( 2ع E )1-ع
1 2
3 2
= 2ع Eع = 23 * 2ع +ث
= + 1( ( 43س ) + 3ث ` Eع = 2س Eس = 3هـ س2( 2س Eس)
= 3هـ ع Eع = 3هـ ع +ث = 3هـ س + 2ث
00
(التعويض عن ع)
التكامل بالتعويض
أ بوضع ع = + 1
ب
س2
3
3س1+
(عامل مشترك)
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
(بالتعويض) (بالتكامل)
(بالتعويض عن ع)
(التعويض والتكامل) (بالتعويض عن ع)
4 4
لما اقيتطت حاول أن تحل
أوجد :
س
أ
مثال أوجد أ الحل
ب
Eس
3 - 1س2
التكامل بالتعويض 5س Eس 3س1 - 2
5س 3س1 - 2
Eس
ب بوضع ع = لو س س
لوهـ
س
=
=
هـ
Eس
Eع = 6س Eس 6سEس 3س1 - 2
5 6
لوهـ س
= 5 6
Eس
1
ع Eع
56لو |ع | +ث = 56لو |3س + |1 - 2ث هـ هـ 1 ` Eع= س Eس 1 لو س ( س Eس) هـ
=
1
= ع E 2ع
3 2
= 23ع +ث
3
= [ 23لو (س)] + 2ث هـ
حاول أن تحل هـ 2س
هـ 2س
س
ب
أ بوضع ع = 3س1 - 2
أوجد : أ
( - 3س) هـ 6س -سE 2س
3+
-1
ب
Eس
(بالتعويض)
1 لو E 2س س( س) هـ
د( /س) Eس =
[د(س)]ن1+
ن1+
د( /س) د(س) ( Eس) = لو |د(س)| +ث
-2
(التكامل والتعويض)
(بالتكامل والتعويض)
تفكير ناقد :باستخدام التكامل بالتعويض أثبت صحة قواعد التكامل التالية: [د (س)]ن
(التعويض)
+ث
هـ
التكامل بالتجزئ إذا كانت ص ،ع دالتين فى المتغير س وقابلتين لإلشتقاق ،فإن:
حيث ن ! 1-
حيث د (س)! 0
Integration by Parts
Eص Eع E ع + ص = ع) (ص Eس Eس Eس
بتكامل الطرفين بالنسبة إلى س E
Eع
Eص
Eس (ص ع) Eس = ص Eس Eس +ع Eس Eس كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
تذكر اأن Eع Eس Eع= Eس Eص Eس Eص= Eس
0
اقيتطت ددحم اللماكتلا
صع =
صEع +
عEص
ص Eع
أى أن :ص Eع = ص ع -ع Eص
تسمى المعادلة السابقة بقاعدة التكامل بالتجزىء ،وتستخدم إليجاد تكامل حاصل ضرب دالتين ليست أحدهما مشتقة لألخرى ،ذلك باختيار مناسب لكل من ص ،ع بحيث يمكن حساب التكامل بالطرف األيسر بطريقة أسهل من حساب التكامل بالطرف األيمن ،وتتبع المخطط المقابل كما يتضح من األمثلة التالية: مثال
ص
Eع Eص
ع
صع
عEص
التكامل بالتجزئ
6أوجد: أ س هـس Eس
ب
الحل
أ اليجاد س هـ س Eس: نفرض أن :ص = س ، ` Eص=Eس
aصEع=صع -عEص
س 2هـ س Eس
Eع = هـ س Eس ع= هـ س Eس = هـ س
` س هـ س Eس = س هـ س -هـ س Eس = س هـ س -هـ س +ث = هـ س (س + )1-ث
مالحظة هامة :إضافة ثابت إلى الدالة ع ال يغير من النتيجة (أثبت ذلك) ب إليجاد س 2هـ س Eس:
Eع = هـ س Eس نفرض أن :ص = س، 2 ع = هـ س Eس = هـ س Eص = 2س Eص = س 2هـ س 2 -س هـ س Eس س 2هـ س Eس = س 2هـ س 2 -س هـ س Eس
حاول أن تحل
6أوجد : أ
0
س هـ 2-س Eس
= س 2هـ س 2 -هـ س (س + )1 -ث = هـ س [س2 - 2س + ] 2+ث ب
س هـس Eس = هـ س (س + )1-ث من C
س 2هـ س E 3 +س
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
لما اقيتطت
الحظ أن: إختيار ص E ،ع يتوقف على: E -1ص أبسط من ص مثال 7أوجد
تكامل بالتجزىء ب
هـ
الحل
أ بفرض أن :
ص = لو س
Eص= 1 س Eس
هـ
هـ
1
Eص= س Eس
هـ
حاول أن تحل
8أوجد:
ع= Eس=س
Eع=سEس 1س2
ع= سEس= 2
1 = 12س 2لو س 12 -س * 2س Eس هـ
= 12س 2لو س 14 -س + 2ث = 12س ( 2لو س + )1 -ث هـ هـ ب ( لو س ÷
لو (س E )1 +س هـ
مثال
الحل
هـ
ص = لو س
س لو س Eس
أ
هـ
= س لو س -س +ث = س ( لو س + )1-ث
ب نفرض أن:
7أوجد :
1
= س لو س -س * س Eس هـ
هـ
س لو س Eس Eع=Eس
هـ
لو س Eس
أ
E -2ع اسهل من التكامل
لو س Eس
أ
4 4
هـ
س )Eس
تكامل بالتجزئ س هـ س
( س 2)1 +
ب
Eس
أ الحظ أن (س 2-)1 +أسهل فى التكامل بوضع ص = س هـ س Eص = (س هـ س +هـس) Eس س هـ س
( س 2)1 +
Eس = -
س هـ س
س1+
-
4س 2 3س1+
Eس
Eع = (س E 2- )1 +س 1س 1+
1ع= س1+
* هـ س (س E )1 +س
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
0
اقيتطت ددحم اللماكتلا س هـ س
=-
+هـ س Eس
س1+
س هـ س +هـ س(س )1 += س 1+
ب بوضع ص = 4س Eص=E4س 4س 2 3س1+
Eس
+ث=
هـس
س1+
Eع = (2س )1 + = 3س (2س )1+
= 3س (2س )1+ 3
2
3
2
3 ع= 2*2
2 3
+ث 1 3-
Eس
(2س )1 +
2
2 3
2( 34س E 4 * 3 )1 +س3*3 2*5
2 3
5
(2س + 3 )1 +ث
= 2( 10س 10[ 3 )1+س 2( 3-س + ])1 +ث = 2( 10س 4( 3 )1 +س + )7-ث
حاول أن تحل
8أوجد : أ
3س 5 + هـ 2س
Eس
تفكير ناقد :هل يمكنك إيجاد
ب 4س 2 3س1+
س 2س3 +
Eس
Eس بطريقة التكامل بالتعويض؟ فسر إجابتك.
بع�ض تطبيقات التكامل غير المحدد إذا علمنا أن الدالة Sتعطى ميل المماس (أو دالة هامش الربح أو معدل تغير دالة) عند أى نقطة على منحنى الدالة د فإنه يمكن أن نعرف الدالة ت من عملية التكامل غير المحدد للدالة Sحيث :د(س) = ( Sس) Eس يالحظ أن هذا التكامل ال يعطى دالة وحيدة إذ يحتوى على ثابت اختيارى يمكن تحديده من البيانات المعطاة. مثال
معادلة منحنى دالة
9إذا كان ميل المماس لمنحنى الدالة د عند أى نقطة (س ،ص) واقعة عليه يعطى بالعالقة ( Sس) = فأوجد معادلة المنحنى إذا كان يمر بالنقطة ( 2 ، 1هـ) . الحل
بفرض أن معادلة منحنى الدالة هى ص = د(س)
` د(س) =
س هـ
س
(س 2)1 +
Eس =
هـ س
س1+
+ث
aمنحني د يمر بالنقطة ( 2 ، 1هـ) فهى تحقق معادلة 7هـ ` ث= 4
0
وتكون د(س) =
هـ س
س 1+
74 +هـ
` د (س) = ( Sس) Eس [من حل مثال ( 9أ ) ]
` 2هـ =
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
هـ
(2)1+ 1
+ث
س هـ س
(س 2)1+
4 4
لما اقيتطت حاول أن تحل
9أوجد معادلة المنحنى المار بالنقطة ( )1 ، 0والذى ميل المماس له عند أى نقطة (س ،ص) واقعة عليه يساوى س س1 + 2
تمــــاريــن 1 - 4
اختر االإجابة ال�سحيحة من بين االإجابات المعطاة
س (س E 5)3 + 2س يساوى 1 أ ( 16س + 6)3 + 2ث ب ( 12س + 6)3 + 2ث
ج ( 14س + 4)3 + 2ث
د ( 18س + 4)3 + 2ث
ج 2( 12س )3+لو س هـ
د س (س )3 +لو س
إذا كان (2س )3 +لو س Eس = ص ع -ع Eص فإن ص ع يساوى أ 2س لو س هـ
هـ
ب (2س )3 +لو س هـ
إذا كان (2س )1-هـ 2س E 3 +س = ص ع -ع Eص فإن ع Eص ج -هـ 2س + 3 +ث ب 12هـ 2س + 3 +ث أ هـ 2س + 3 +ث
با�ستخدام التعوي�ص المنا�سب اأوجد التكامالت االآتية: س (س E 4)2-س
7
س سE 4+س
0
س 3س2 + 2
6
2س1- Eس لو 5س س هـ
9
4س هـ 2س Eس
س2
س( 2س E 3)2 -س
8
(س )1 - 2س E 1 +س س س1 +
Eس
6 9
Eس
7
E 3س ( لو س) س هـ
0
س 3هـ س E 2س
8
هـ
Eس لو س س3 هـ
اأجب عن ما ياأتى:
6
هـ
س( 5س E 4)3 + 2س س1- هـ – س 1 - Eس هـ – س +س 1 لو Eس س س س 2س Eس هـ
لو س E 2س
(س 2)1 +هـ 2س Eس
س( 3سE 5)1 - 2س
هـ
با�ستخدام التجزىء المنا�سب اأوجد التكامالت االآتية: س 3لو س Eس
د 12 -هـ 2س + 3 +ث
سE 1+س
س هـ -سE 2س
Eس
هـ
( لو س) E 2س 7
هـ
س ( لو س) E 2س هـ
8أوجد معادلة المنحنى الذى يمر بالنقطة ،)3 ، 2( Cوميل العمودى عليه عند أى نقطة (س ،ص) هو -3س. 9اذا كان ميل المماس لمنحنى عند نقطة (س ,ص) واقعة عليه هو س س 1 +أوجد معادلة المنحنى عل ًما بأن 11 المنحنى يمر بالنقطة () 15 ، 0 2Eس 0أوجد معادلة المنحنى ص = د (س) إذا كان C = 2س +ب حيث ، Cب ثابتان وللمنحنى نقطة انقالب عند Eس
النقطة ( )2 ، 0وقيمة صغرى محلية عند النقطة ( )0 ، 1ثم أوجد القيمة العظمى المحلية لهذا المنحنى. كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
0
2-4
تكامل الدوال المثلثية Integral of Trigonometric Functions
فكر و
سوف تتعلم Ñقواعد تكامل الدوال المثلثية
ناقش
ينحصر إيجاد تكامل أى دالة فى البحث عن دالة آخرى ت إذا استخرجت مشتقتها E األولى لنتجت الدالة د ،أى :د (س) = Eس ت (س) وعلى ذلك فإن: د (س) Eس = ت (س) +ث حيث ث ثابت اختيارى.
بين أى العالقات التالية صحيحة:
جتا س Eس = جا س +ث
أ ج قا2س Eس = ظا س +ث
المصطلحات األساسية Ñقاعدة
Ñدوال مثلثية
Rule Trigonometric Function
Ñجدول التكامالت
Table of Integrals
ب جا س Eس = جتا س +ث د
قتا 2س Eس = ظتا س +ث
الحظ أن :مقدار استيعابك للمشتقات األولى للدوال المثلثية يساعدك فى إيجاد تكامالت هذه الدول من دراستك السابقة لمشتقات الدوال المثلثية (كما فى تذكر) ،والجدول التالى لقواعد التكامل غير المحدد لبعض الدوال المثلثية ،قارن بين مشتقات الدوال المثلثية واستنتج تكامالتها ثم أكمل الجدول. التكامل غير المحدد
جا س Eس = -جتا س +ث
جتا س Eس = جا س +ث األدوات المستخدمة Ñآلة حاسبة علمية
قا 2س Eس = ظا س +ث
قتا 2س Eس =
قا س ظا س Eس =
قتا س ظتا س Eس =
تذكر اأن E
Eس E
Eس E
Eس E
Eس E
Eس E
Eس
(جا س) = جتا س (جتا س) = -جا س (ظا س) = قا 2س
(ظتا س) = -قتا 2س (قا س) = قا س ظا س (قتا س) = -قتا س ظتا س
تحقق من صحة استنتاجك باستخدام تعريف المشتقة العكسية.
06
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
4 4
ليتطت احا ا دل لاا
مثال
جدول التكامل
أوجد التكامالت التالية: أ (جا س +جتا س) Eس 1 ج E 2س
الحل
أ
ب د
- 1جتا س
قا س (قا س -ظا س) Eس جتا س E 2س - 1جتا س
تذكر اأن
(جا س +جتا س) Eس = جا س Eس +جتا س Eس = -جتا س +جا س +ث
جتا 2س +جا 2س = 1 + 1ظا 2س = قا2س
ب (قا س -ظا س) قا س Eس = قا 2س Eس -قا س ظا س Eس ظتا 2س =1 +قتا 2س = ظا س -قا س +ث 1 1 ج Eس = قتا 2س Eس = -ظتا س +ث Eس= د
- 1جتا 2س جتا س E 2س = - 1جتا س
أ
ج
Eس=
جتا س 1 * جا س جا س
= قتا س ظتا س Eس = -قتا س +ث
حاول أن تحل
أوجد:
جا 2س جتا س جا 2س
(جا س +قا 2س) Eس
ب
قتا س (ظتا س -قتا س) Eس
د
مالحظة هامة: نعلم أن :س ن Eس =
سن 1+
ن1+
()1
+ث
Eس
قا س (جتا2س +ظا س) Eس جتا 2س - 1جا س Eس
،جا س Eس = -جتا س +ث
()2
ولتعميم النتائج السابقة أو جميع الصور القياسية للتكامل نالحظ أنه بإضافة ثابت إلى المتغير المستقل س ال يؤثر على صيغة التكامل ،كماأن ضرب س فى المعامل Cفإن التكامل يحتفظ بصيغته السابقة إال أنه يقسم على هذا المعامل. لذلك نجد أن الصورة السابقة لكل من 2 ، 1هى: ( Cس +ب) ن Eس = ( C
،جا ( Cس +ب) Eس = -
س +ب)ن
(Cن )1 + 1 C
+ث
جتا ( Cس +ب ) +ث
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
07
اقيتطت ددحم اللماكتلا
مثال
الصور القياسية للتكامل
أوجد : أ جا (2س E )5-س ج
2س3+ قتا ( 2
ب
)Eس
د
قا3 - 5( 2س) Eس
قا 2س طا 2س Eس
الحل
أ ب
جا (2س E )5-س = 12 -جتا (2س + )5 -ث قا3 - 5( 2س) Eس= 13 -ظا (3 - 5س) +ث
س3+ قتا 12 ( 2س E ) 32 +س = 2-ظتا ( 2 قا 2س ظا 2س Eس = 12قا 2س +ث
ج د
)+ث
حاول أن تحل
أوجد : أ
ج
ب
(جا 3س -قا2 2س) Eس
[ + 1ظتا3 ( 2س E ])1-س
د
6قا 2س (ظا2س +جتا2 2س) Eس جا 2 ( 2س )3-
- 1جتا ( 2س E )3-س
مثال تطبيقات اذا كان ميل المماس لمنحنى عند أى نقطة عليه (س ،ص) معطى بالعالقة:
Eص علما بأنه يمر بالنقطة ( )1 ، r6 Eس = جا س جتا س ،أوجد معادلة المنحنى ً
الحل
Eص
aميل مماس المنحنى عند أى نقطة E :س = جا س جتا س ` معادلة المنحنى :ص =
Eص
Eس E .س= جا س جتا س Eس
= 2 12جا س جتا س Eس = 12جا 2س Eس
= 12 - * 12جتا 2س +ث = 14 -جتا 2س +ث aالمنحنى يمر بالنقطة ( )1 ، r6 ` فهى تحقق معادلة
14 - =1جتا ( + ) r6 * 2ث
` معادلة المنحنى هى :ص = 1 -جتا 2س 9 + 8 4
08
` ث=9 = 1 +1 8 8
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
تذكر اأن جا 2س = 2جا س جتا س 2 جتا 2س = جتا 2س -جا س = 2 - 1جا2س = 2جتا 2س 1-
4 4
ليتطت احا ا دل لاا حاول أن تحل
أوجد معادلة المنحنى الذى يمر بالنقطة ( )2- ، 1وميله المماس له عند أى نقطة عليه (س ،ص) هو: Eص Eس = r 3جتا rس r 2 -جا rس
تمــــاريــن 2 -4
اختر االإجابة ال�سحيحة من بين االإجابات المعطاة
Eص اذا كانت Eس = قتا 2س ،ص = 2عند س = r4فإن ص تساوى ج - 3-ظتا س ب - 2ظتا س أ - 2 -ظتا س
2جتا2س Eس يساوى أ س 12 +جا2س +ث ج س 1 -جا 2س +ث
ب س 2 +جا 2س +ث د س -جا 2س +ث
2
قا 4س ظا س Eس تساوى أ 15قا5س +ث ج 1ظا 3س +ث 3
(3س )2 +جا س Eس تساوى أ ( 3س )2 +جتا س 3 +جا س +ث ج (3س )1 +جتا س 2 +جا س +ث
اأوجد التكامالت االآتية:
3جتا س Eس
8
جا س جتا س Eس
6 9
جتا 3س جا س Eس
ب 14قا 4س +ث د 1 -ظا 3س +ث 3
ب 3( -س )2 +جتا س 3 +جا س +ث د ( -س )1+جتا س 2 -جا س +ث قتا2( 2س E )3 +س
( + 1ظا2س) جتا 2س Eس
7 0
جا 5س جتا س Eس
( + 3جاس) 5جتا س Eس
( 7جتا2س +جتا س) Eس س
د - 3ظتا س
قا 5س ظا س Eس
8
(جتا س +قا س) E2س
ظا س جتا س Eس
(جا س -جتا س) E 2س
س 2جتا (س E )5 + 3س
6 9
جتا 3س 4 - جتا 2س
Eس
(ظا 2س 2 +جا 2س) E
اأجب عن ما ياأتى
Eص
0إذا كان Eس = - 7جا 2س اوجد ص بداللة س إذا كان ص = 5عند س= 0
2 أوجد معادلة المنحنى الذى يمر بالنقطة ( )9 + 4r ، r2إذا كان ميل المماس له عند أى نقطة (س ،ص) عليه 2 1س يعطى بالعالقة التالية :م = 2س 2 +قا 2
منحنى ميل المماس عند أى نقطة يساوى C -قتا 2س حيث Cثابت فإذا كان المنحنى يمر بالنقطتين ( ، )5 ، r4 ( )1 ، r43أوجد معادلة المنحنى. كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
09
3-4
التكامل المحدد The Definite Integral
سوف تتعلم Ñمفهوم التكامل المحدد.
Ñاستخدام النظرية األساسية فى
فكر و
ناقش
إذا كانت ص = د(س) ،وميل المماس عند أى نقطة (س ،ص) على منحنى الدالة د هو: Eص
Eس = د( /س) = 2س 3 +
التفاضل والتكامل إليجاد التكامل
المحدد.
Ñبعض خواص التكامل المحدد.
المصطلحات األساسية Ñتكامل محدد
هل يمكنك تعيين قيمة محددة لكل من د( ،)3د( ، )5د( - )5د( )3؟ فسر إجابتك.
الحظ أن 1من تعريف التكامل غير المحدد: ص = د( /س) Eس = د (س) +ث
Definite Integral
حيث ث مقدار ثابت إختيارى ال يتوقف على س ومن الضرورى االحتفاظ به ال لجميع الدوال التى معدل تغيرها هو د(س) وعلى فى التكامل حتى يكون شام ً ذلك فإن التكامل غير المحدد الينتج قيمة محددة تناظر قيمة معينة للمتغير س . 2إذا كانت قيمة التكامل عند س = Cهى د( + ) Cث وقيمته عند س = ب هى د(ب) +ث
` الفرق بين قيمتى التكامل عند س = ، Cس = ب
األدوات المستخدمة Ñآلة حاسبة علمية
يساوى د(ب) -د( ) Cوهو قيمة معينة (مهما كانت قيمة المقدار الثابت ث) ويرمز له بالرمز
ب
C
Ñبرامج رسومية
C
د( /س) Eس حيث : ب
د (س) Eس = د(ب) -د ( ) C /
وتعرف هذه الصورة بالتكامل المحدد.
0
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
اقيتطت ددحم
4 4
تعلم النظرية الأ�ضا�ضية فى التفا�ضل
Foundamental Theorem of Calculus
إذا كانت الدالة د متصلة على الفترة [ ، Cب] ،وكانت ت أى مشتقة عكسية للدالة د على نفس الفترة ،فإن: C
ب
د(س) Eس = ت (ب) -ت ( ) C
مالحظات: 1يسمى Cد(س) Eس بالتكامل المحدد ،ويقرأ تكامل د(س) بالنسبة إلى س من Cإلى ب ،وهو عدد حقيقى تتوقف قيمته على: أ الحدان السفلى والعلوى للتكامل المحدد أى على العددين ،Cب على الترتيب. ب قاعدة الدالة د ب
أما رمز المتغير س فيمكن استبداله بأى رمز آخر دون أن يؤثر ذلك على مقدار التكامل ،أى أن: C
ولذلك نكتب أحيانًا
ب
ب
د(س) Eس = C
C
2يعبر عن ت(ب) -ت( ) Cبالصورة
ب
د(ص) Eص = C
د(س) Eس = C
[ت(س)]
ب C
ب
ب
د
د(ع) Eع ......
أو ت(س) |
ب C
3يمكن الحصول على التكامل المحدد بإيجاد التكامل غير المحدد مع إهمال ثابت التكامل (لماذا)؟ ثم التعويض عن المتغير بحدى التكامل. 4تطبق جميع قواعد التكامل غير المحدد وجدول التكامالت القياسية عند إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة متصلة ،فإذا كانت د S ،دالتين متصلتين على الفترة [ ،Cب]
مثال
فإن:
C
C
ب ب
[د(س) ! ( Sس)] Eس = C ك د(س) Eس = ك C
ب
ب
د(س) Eس ! C
د(س) Eس
ب
( Sس) Eس
حيث ك ∈ I
حساب قيمة تكامل محدد
أوجد التكامل المحدد للدالة د من س = 2-إلى س = 4حيث د(س) = 3س2 - 2
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
اقيتطت ددحم اللماكتلا الحل
الدالة د كثيرة الحددود متصلة على I
4 3( 4س E )2 - 2س = [س3 2س] 223 3 = [(])4-( - )2-([ - ])4(2 - )4
`
= I ∈ 60 = 4 - 8 + 8 - 64
حاول أن تحل
أوجد قيمة كل مما يأتى: أ
2
1-
ب
(2س E )3 +س
0
5
3
ج
نE 4+ن
r2
r 2
جتا i E i
نظرية إذا كانت الدالة د متصلة على الفترة [ ،Cب] فإنها تكون قابلة للتكامل على هذه الفترة. تفكير ناقد
ما الفرق بين التكامل المحدد والمتكامل غير المحدد؟ فسر إجابتك. خوا�ض التكامل المحدد
Properties of Definite Integral
إذا كانت د دالة متصلة على [ ،Cب] ،جـ ∈ ] ،Cب [ ،فإن:
1ـ
ب
2ـ
C
3ـ
C
مثال
C
C
د(س) Eس
=C-
د(س) Eس = 0
ب
ب
جـ
د(س) Eس = C
د(س) Eس
د(س) Eس +جـ
حساب قيمة تكامل محدد 3
إذا كانت د دالة متصلة على 1 ،I
الحل
د(س) Eس = 5 ، 6
aد متصلة على ، Iس = 3تجزىء الفترة []5 ،1 `
1
5
ب
د(س) Eس
حاول أن تحل
=1 =1
3
3
د(س) Eس 3 + د(س) Eس 5 -
= 20 = )14-( - 6
إذا كانت د دالة متصلة على ،I
1-
4
5
3
3
د(س) Eس
د(س) = 14-أوجد 1
د(س) Eس
د(س) Eس
د(س) Eس = ،255
2
1-
5
د(س) Eس
خاصية ()3 خاصية ()1
د(س) Eس = 15-فأوجد2 :
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
4
د(س) Eس
4 4
اقيتطت ددحم
مثال
حساب قيمة تكامل محدد 5
أوجد 0
الحل
|س E |3 -س
(-س )3 -عندما س < 3
من تعريف دالة المقياس نجد أن |س = |3 - 5
0
|س E |3 -س = 0 =0
3 3
س3-
5
|س E |3 -س 3 +
5
( - 3س) Eس 3 +
س2
س2
= [3س [ + 03] 2 - 2
,د متصلة عند س = 3
عندما س 3 G
|س E |3 -س (س E )3 -س 3 -س ]5
= (13 = )9 + 9 - 15 - 25 ( + ) 9 - 9 2 2 2 2
أ
2
4-
ب
|س E |1 +س
مثال
3-
3
4
د(س) = |س |3-
3 2
3
1
س
6
5
4
3
2
1
الحظ أن المساحة الملونة تساوى 132وحدة مربعة
حاول أن تحل
أوجد:
ص
|س E |4 - 2س
حساب قيمة تكامل محدد بالتعويض
أوجد قيمة 0
الحل
3
س
س E 3 + 2س
يمكن الحصول على التكامل المحدد بإيجاد المتكامل غير المحدد ً أوال ،ثم التعويض عن المتغير س بحدى التكامل:
ً أوال:
إليجاد س
`
ثان ًيا:
0
س س E 3 + 2س =
س E 3 + 2س
1 2
نضع ع = س3 + 2
س2( 3 + 2س Eس) = 1 2
3 1 = 12ع E 2ع = 23 * 12ع + 2ث
ع Eع
= ( 13س + 3)3 + 2ث 3
س E 3 + 2س
=[ 1 3
3 7 = ] 3)3( - 3)12( [ 13
3 3 (س)3 + 2 ]0
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
` Eع = 2س Eس
(تعويض) (تكامل) (تعويض عن ع)
اقيتطت ددحم اللماكتلا حاول أن تحل
أوجد: أ
0
5
ب
س - 25س E 2س
2-
2س3
س E 3 + 2س
الحظ أن 1ـ يمكن حل مثال 4مباشرة بإيجاد قيم ع المناظرة لقيم حدى المتكامل (س = ، 0س = )3 ع = 12 ` ع = ، 3عند س = 3 عند س = 0 `
2ـ
0
3
س
12
3
1
1 2 2 ع Eس = [ 3ع ]3
1 س3 + 2 Eس = 3 2 = 3 7 = ] 3)3( - 3)12( [ 13
فى بند حاول أن تحل 4ب :د(س) = س3
12
دالة فردية دالة زوجية
س3 + 2
وفى بند حاول أن تحل 3ب :د(س) = |س|4 - 2
للدوال الفردية والدوال الزوجية فى التكامل المحدد الخواص التالية: 1ـ إذا كانت الدالة د متصلة وفردية على الفترة [ ]C ، C-فإن: C-
C
صفرا د(س) Eس = ً
2ـ إذا كانت الدالة د متصلة وزوجية على الفترة [ ]C ، C-فإن: C-
C
د(س) Eس = 0 2
C
د(س) Eس
باستخدام الخواص السابقة تحقق من صحة إجابتك فى حاول أن تحل 4 ،3 مثال أوجد:
التكامل املحدد للدوال الفردية والزوجية
2س3 - 3س أ س(E 1 + 2س) 2-
ب
الحل
3-
3
(س E )1 - 2س
أ د دالة متصلة على I
س3 - 3س (-س)-(3 - 3س) aد(-س) = (-س) - = 1 + 2س - = 1 + 2د(س)
` د دالة فردية ويكون:
2س3 - 3س س = 1 + 2صفر 2-
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
اقيتطت ددحم
4 4
ب د دالة كثيرة الحدود متصلة على I
aد(-س) = (-س) = 1 - 2س = 1 - 2د(س) ` د دالة زوجية ويكون3- :
3
(س E )1 - 2س
حاول أن تحل
=02
= 13 [ 2س - 3س]12 = 6 * 2 = 30
أوجد
3س أ E 2س 3+1س
ب
تفكير ناقد
1
2
إذا كانت د دالة فردية متصلة على الفترة [3 ، ]5 ، 3-
3
(س E )1 - 2س
5
إذا كانت د دالة زوجية متصلة على الفترة [4- ، ]4 ،4- 22 0د(س) Eس = ، 6ما قيمة 4-د(س) Eس ؟
r-
r
( r + 4جتا 2س) Eس 5
د(س) Eس = 9ما قيمة 3- 4
د(س) Eس = 20
د(س) Eس ؟
تمــــاريــن 3 -4 اختر الإجابة ال�ضحيحة من بين الإجابات المعطاة إذا كان 2-
3
أ 28-
5
د(س) Eس = 2- ،12د(س) Eس = 16فإن 3 ج 4 ب 4-
إذا كانت د(س) = |س| ،فإن 2-
2
د(س) Eس يساوى:
ب صفر
أ 1-
اأوجد قيمة كل مما ياأتى: 1-
6 9
4 10
3
س E 3س
0
Eن -8ن
3 1
|س E |1 -س
2جا rع Eع
1
7 0
0 4-
5
د(س) Eس يساوى:
د 28
ج 2
3
(3س E )2 - 2س
2
س(س E 2)3 - 2س
0
س (س E 3)4 +س
د 4
0
8
0
0
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
2س2 3
10
r
4ظا ع قا 2ع Eع
4
0
3
(2س E 2 )1 +س
3
س
3
س E 1 + 3س سE 1+س
(2س 7 -هـس) Eس
اقيتطت ددحم اللماكتلا
اأجب عن ما ياأتى: 5
5
إذا كان 1د(س) Eس = (S 1 ،10س) Eس = 2-احسب قيمة 5 5 أ [ 1د(س) (S +س)] Eس ب [ 1د(س) (S -س)] Eس 4
ج
5
6إذا كان د دالة متصلة على الفترة [ 0 ،]4 ، 4-د(س) Eس = ، 3احسب قيمة 4 4 ج ب أ د(س) Eس ،د فردية [د(س) E ]2 +س 0
7إذا كانت د(س) =
6
4-
2عندما س < 2 س عندما س 2 G
أوجد 0
4-
6
د(س) Eس
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
1
(S 3س) Eس
4
د(س) Eس ،د زوجية
4-4
الم�ضاحات فى الم�ضتوى Areas in the Plane
فكر و
سوف تتعلم
ناقش
Ñالتعرف على المساحة كتكامل
1ـ احسب المساحة الملونة فى كل من األشكال التالية هندس ًيا. ص 5
د(س) = 3
4
د(س) = 12س 2 +
3
س5
4
3
الشكل ()1
4
4 3 2
2
1 2
5
د(س) = 12 – 5س
5
3
2 1
ص
ص
1
1
س
4
3
2
1
الشكل ()2
س
6
5
4
3
2
الشكل ()3
Ñإيجاد المساحة المحددة بمنحنى دالة ومحور السينات على فترة
مغلقة.
Ñإيجاد المساحة المحددة بين منحنيين متقاطعين.
1
المصطلحات األساسية
ب
2ـ لكل من األشكال السابقة احسب Cد(س) Eس حيث د(س) معادلة المنحنى، والمستقيمان س = ، Cس = ب يحدان المنطقة الملونة.
3ـ
محدد.
Ñمساحة
Area
Ñوحدة مربعة
Unite Squared
قارن بين مساحة كل شكل وناتج التكامل المحدد له ،ماذا تستنتج؟
ا اً أول :م�ضاحة منطقة محددة بمنحنى الدالة د ومحور ال�ضينات فى الفترة [ ،Cب] نظرية إذا كانت د دالة متصلة على الفترة [ ،Cب] ،د (س) 0 Gفى هذه الفترة، م مساحة المنطقة المحددة بمنحنى الدالة د ومحور السينات والمستقيمين س = ، Cس = ب فإن: ب م = Cد(س) Eس مثال
املساحة تحت املنحنى
يبين الشكل المقابل منحنى الدالة د حيث د(س) = 4 + 1س -س 2أوجد مساحة المنطقة المحددة بمنحنى الدالة ومحور السينات والمستقيمين س = ،1س = 4
د(س) = 4+ 1س -س2
ص
األدوات المستخدمة Ñآلة حاسبة علمية
Ñبرامج رسومية للحاسب اآللى
5
4 3 2
س
5
4
3
2
1
و
1
1-
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
7
اقيتطت ددحم اللماكتلا الحل
د متصلة على الفترة [ ، ]4 ،1د(س) > 0لكل س ∈ []4 ،1 `م
=1
4
د(س) Eس 2
1س 4 ]3
=1
4
(4 + 1س -س E )2س
] 13 - 2 + 1[ - ] 64 = [ 3 - 32 + 4
= [س 2 +س 3 - 12 = 13 + 3 - 64وحدة مربعة = 3 - 36 1
حاول أن تحل
أوجد مساحة المنطقة المحددة بمنحنى الدالة د ومحور السينات والمستقيمين س = ،1-س = 2حيث د(س) = 3س1 + 2
تفكير ناقد
ص
ص =د(س)
إذا قطع منحنى الدالة د محور السينات عند س = جـ حيث جـ ∈ [ ،Cب] بين كيف يمكن حساب مساحة منطقة فوق محور لسينات ومحددة بمنحنى الدالة د ،وأحد المستقيمين س = ، Cس = ب (المنطقة م)1
م1
س
الحظ أن:
ب
و
جـ
م2
Áإليجاد المساحة يفضل إيجاد أصفار الدالة حتى لو أعطيت حدود التكامل والتى تجزئ مجال الدالة [ ،Cب] إن وجدت إلى فترات جزئية. Áدراسة إشارة الدالة على الفترات الجزئية إن وجدت فإذا كانت: ½ موجبة أى د(س) > 0على الفترة [ ،Cجـ] فإن مC = 1 ½ سالبة أى د(س) < 0على الفترة [جـ ،ب] مثال
فإن م2
جـ
= | جـ
د(س) Eس ب
املساحة فوق محور السينات ومنحنى دالة
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة د :د(س) = السينات.
د(س) Eس|
2س 2 +والمستقيم س = 3وفوق محور
3
الحل
نوجد أصفار الدالة بوضع د(س) = 0
`
3
2س2+
` المساحة المطلوبة م
∞
= 0أى أن :س = 1- = 1- = 1-
3 3
د(س) Eس
+ د(س) > 0
3
1
(2س E 3 )2 +س = [ 2( 2 * 4س )2 + 4
4
= 6 = 3 )32( 38 = ] 0 - 3 8 [ 38وحدات مربعة
8
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
4 3
]3
1-
10
∞-س
د(س) < 0
إشارة د
4 4
داستلت ف داسقلا
حاول أن تحل 4س أوجد مساحة المنطقة المحددة بمنحنى الدالة د :د(س) = س 1 + 2والمستقيم س = 4وتقع فوق محور السينات.
مثال
املساحة بني منحنى ومحور السينات س=3
إذا كانت د I ! ]3 ،∞-] :حيث د(س) = س4 - 3س أوجد مساحة المنطقة المحددة بمنحنى الدالة ومحور السينات وتقع أعلى محور السينات.
س
الحل
نوجد نقط تقاطع منحنى الدالة مع محور السينات (أصفار الدالة)
بدراسة إشارة الدالة د نجد
+
` المساحة م = م + 1م2
= 2-
=
( 0س3
4 +س) Eس 2 +
3
1
2
م1
و 2- 1- 1-
1
34-
د(س) = س4 - 3س
` س = 0أو س = 2أو س = 2-
د(س) 0 Gعلى الفترة [ ]0 ،2-وعلى الفترة []3 ،2
3
2-
د(س) = س4 - 3س = س(س = )4 - 2س (س ( )2 -س )2 +
عندما د(س) = 0
4
2
م2
3
ص
2
0
-
س
2إشارة د
+
(س4 - 3س) Eس
1س2 - 4س 1 [ + 0]2س2 - 4س3 ]2 2 4 24
))4-( - 18 - 81 = (4 (+ ))4-( - 0
121وحدة مربعة = 4
ص
مالحظة هامة لتعيين المساحة بين منحنى الدالة ومحور السينات والمستقيمين س = ، 2- س = 1كما فى الرسم المقابل. نجد أن:
د(س) 0 Gعندما س ∈ [ ،] 0 ,2-د(س) 0 Hعندما س ∈ []1 ,0
` المساحة م
= م + 1م2 0 = ( 2-س4 - 3س) Eس ( 1 0 | +س4 - 3س) Eس |
4
3
2 1
س
3
2
1
م2
م1
و 2- 1- 12-
3-
د(س) = 4- س4 - 3س
= [ 14س2 - 4س 14 | + 2-0]2س2 - 4س|10]2
7 1 23وحدة مربعة. = 4 = | 4 -| + 4 = | 0 - )2 - 4 (| + 4 كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
9
اقيتطت ددحم اللماكتلا حاول أن تحل
أوجد مساحة المنطقة المستوية المحددة بالمنحنى ص = 2 + 3س -س 2ومحور السينات. تفكير ناقد
أوجد مساحة المنطقة المستوية المحددة بالمنحنى ص = 2 + 3س -س 2والمستقيمات س = ،1-س = ، 4ص = 0 مثال
تطبيقات معمارية للمساحة
صمم مهندس مدخل فندق على شكل قوس معادلته ص = ( 12 -س ( )1 -س )7 -حيث س باألمتار فإذا غُطى هذا المدخل بزجاج تكلفة المتر المربع الواحد منه 1500جنيه كم تكون تكلفة الزجاج؟
الحل
نمذجة المسألة: تكاليف زجاج مدخل الفندق = مساحة الزجاج باألمتار المربعة * تكلفة المتر المربع الواحد جنيها ،مساحة الزجاج م متر مربع بفرض أن التكاليف الكلية ك ً 1
` ك = 1500م
إيجاد مساحة الزجاج: محورا للسينات معادلته ص = 0ومعادلة قوس باعتبار المستوى األفقى ً مدخل الفندق ص = د(س) حيث: د(س) = ( 12 -س ( )1 -س )7 -
المساحة م = 1
7
5
4
3
2
1
` عند د(س) = 0فإن :س = 1أو س = 7 لكل س ∈ []7 ،1 فتكون د(س) 0 G ( 12 -س ( )1 -س E )7 -س =
ص
1
س 7
7
( 12 -س4 + 2س E ) 72 -س
= [ 1 -س2 + 3س 7 - 2س] 2 18 = ) 5 -( - 49 = 7 3 3 1 2 6
` ك = 27000 = 18 * 1500
6
5
4
3
2
1
من 2 ، 1
أى أن :تكلفة تغطية مدخل الفندق بالزجاج تساوى 27000جنيه حاول أن تحل
إذا كانت تكلفة تغطية المتر المربع الواحد من أرضية ممرات الفندق بالجرانيت 400جنيه وتم تغطية 5ممرات متطابقة بالجرانيت مساحة كل منها محدودة بمنحنى الدالة د ,والمستقيمين س = ، 0ص = 0 حيث د(س) = 13 - 12س .2أوجد تكلفة تغطية الممرات الخمسة.
0
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
4 4
داستلت ف داسقلا
ثان اًيا :م�ضاحة المنطقة الم�ضتوية المح�ضورة بين منحنيين تعريف
إذا كانت د S ،دالتين متصلتين على الفترة [ ،Cب] ،وكان د(س) ( S Gس) لكل س ∈ [ ،Cب] ،فإن مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين ص = د(س) ،ص = ( Sس) والمستقمين س = ، Cس = ب تعطى بالعالقة ب م = [ Cد(س) ( S -س) ] Eس
فى الشكل المقابل الحظ أن: د S ،متصلتان على الفترة [ ،Cب] د(س) > ( Sس) لكل س ∈ [ ،Cب] إذا كانت المساحة بين منحنى د(س) ومحور السينات = م1 والمساحة بين منحنى (Sس) ومحور السينات = م2 فإن المساحة م بين منحنى د(س) (S ،س) = م - 1م2 أى أن :م =
C
ب
د(س) Eس -
C
ب
( Sس) Eس =
ص 5
ص = د(س)
4
م
ص = (Sس)
س
C
ب
7
2
1
6
5
4
3
2
1
[د(س) (S -س)] Eس
مالحظة هامة :عندما تنحصر منطقة بين منحنيات متقاطعة ،فإن حدود التكامل بالنسبة إلى س هى اإلحداثيات السينية لنقط التقاطع. مثال
3
ص
(ب ،ص)2
( ،Cص)1
مساحة منطقة بني منحنيني متقاطعني
أوجد مساحة المنطقة المحددة بالمنحنى ص = 1س ،والمستقيم ص = 2س 2 -ومحور الصادات
الحل
إليجاد اإلحداثيات السينية لنقط التقاطع نضع ص = 1ص2
س
س=ب
س=C
ص1
=3
س ص
س = 2 -س بتربيع الطرفين أى :س5 - 2س 0 = 4 + س4 - 2س = 4 +س س 1 2 3 4 5 6 ` س = 1أو س = 4 (س ( )1 -س 0 = )4 - ص = 2س 2 - ص ،1 = 1 = 1ص1- = 2 - 1 = 2 عند س = 1 أى أن ص ! 1ص2 ` عند س = 1التوجد نقط تقاطع للمنحنيين ص ،2 = 4 = 1ص2 = 2 - 4 = 2 عند س = 4 ` ص = 1ص2 ` حدا التكامل هما س = ، 4س = ( 0محور الصادات) ومنحن ًيا ص ، 1ص 2متصالن على الفترة []4 ،0 ولتكن س = 2 نأخذ قيمة إختيارية تنتمى إلى الفترة ] [4 ،0 ص , 2 = 1ص0 = 2 - 2 = 2 عند س = 2 كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
2
1
1-
2-
3-
اقيتطت ددحم اللماكتلا
أى أن ص G 1ص 2لكل س ∈ []4 ،0 4 ` مساحة المنطقة = ( 0ص - 1ص E )2س = 0 3
4
3
( س -س E )2 +س
16 1 2 2 2 4 1 2 2 2 16وحدة مربعة = [ 3س 2 -س 2 +س]3 = 8 + 8 - 3 = )4( 2 + )16( 2 - ) 2( 3 = 0
حاول أن تحل
أوجد مساحة المنطقة المحددة بمنحنى الدالتين د S ،حيث: (S ،س) = ( - 3س 2)1 + د(س) = س2 - 2 مثال
تعدد املناطق بني منحنيني متقاطعني
6أوجد مساحة المنطقة المحددة بمنحنى الدالة د ومنحنى الدالة Sحيث د(س) = س3 - 3س(S ،5 + 2س) = س 2 + الحل: ص ½ إليجاد اإلحداثيات السينية لنقط التقاطع: (Sس) = س 26+ 5 نضع د(س) = (Sس) 4 س3 - 3س = 5 + 2س 2 + 3 2 س 3ـ 3س - 2س 0 = 3 + 1 (س3 - 3س( - )2س 0 = )3 - س و 2- 1- 1 2 3 4 س( 2س ( - )3 -س 0 = )3 - (س ( )3 -س ( )1 -س 0 = )1 + د(س) = س3 - 3س5+ 2 ` س = 3أو س = 1أو س = 1- ½ يكون التكامل على الفترتين [ ]3 ،1[ ، ]1 ،1-إليجاد المساحة المطلوبة وهى عبارة عن مساحتين أى: م = م + 1م2 م
= |1- = |1-
1
[د(س) (S -س)] Eس| 1 | +
( 1س3 - 3س2
3
[د(س) (S -س) ] Eس|
- 5 +س E )2 -س| 1 | +
3
(س3 - 3س - 2س E )3 +س|
= | [ 14س - 4س 3ـ 12س3 + 2س] 14 [ | + | 1-1س - 4س 12 - 3س3 + 2س]|31 = | 8 = 4 + 4 = |30 - 26| + |6 + 2-وحدات مربعة
حاول أن تحل
6تقوم شركة إعالنات بإنتاج ملصق لتسويق سلعة ما فإذا كان الملصق على شكل منطقة محددة بمنحنى الدالتين د S ،حيث د(س) = 2س(S ، 2س) = س2 - 4س ،2س مقدرة بالديسيمتر .احسب المساحة الالزمة من الورق الالصق إلنتاج 1000ملصق لهذه السلعة. ½ باستخدام برنامج رسومى ارسم هذا الملصق وابحث أبسط الطرق إليجاد مساحته. كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
4 4
داستلت ف داسقلا
تمــــاريـــن 4 - 4 اكتب التكامل المحدد الذى يعطى المساحة الملونة فى كل مما يأتى واحسب قيمته. ص
ص
ص = 12 + 1س
ص = س2
3
3
1
1
2
س
4
س
4
3
2
1
ص
ص=س
و
س
1
ص
4
س
و
2
3
1
س
2- 1-
ص = -4س2
6
ج
1-
02
(س -س E )2س
د
0
1
1-
س 2- 1-
ص
ج
0
( 1س -س E )3س
د
02
3
2
3
ج 2
2- 1-
2
2 1 2
و
1
2- 1-
ص 2 1
س
2
0مساحة المنطقة المحددة بالمنحنى ص = س 3والمستقيمات ص = ،0س = 2تساوى د 1 ج 2 ب 4 أ 8
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
س2
ص=- 2
( 1س -س E )3س
د 4
و
1
(س -س E )2س
9مساحة المنطقة المحددة بالمستقيمات ص = س ،س = ، 2ص = 0؛ تساوى: أ 1 ب 1 2
4
1
8مساحة المنطقة المحددة بالمنحنى ص = س 3والمستقيم ص = س ،تساوى: أ ب ( 1 2س - 3س) Eس ( 1س - 3س) Eس 1-
1
ص
س
0
و
2
1 1
3
ص = -4س2
2
و
4
2
اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة. 7مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين ص = س ، 2ص = |س| تساوى: 1 0 ب (س -س E )2س (س - 2س) Eس أ 2 1
4
3 2
3
ص=س2+
1 3
2
و 4
2 2
2 ص= س
2
3
1
ص
1
و
2- 1-
اقيتطت ددحم اللماكتلا
فى كل مما يأتى إحسب مساحة المنطقة المستوية المحصورة بين: المنحنى ص = - 5س 2ومحور السينات والمستقيمين س = ، 2-س = 1 المستقيمات :س 2 +ص = ، 9س = ، 1س = ، 3ص = 0
المنحنى ص =
س 4 +والمستقيمات س = ، 0س = ، 5ص = 0
المنحنى ص = 2 - 3س -س 2ومحور السينات المنحنى ص =
4
س2
والمستقيمات س = ، 1س = ، 4ص = 0
6منحنى الدالة د :د(س) = ( - 3س) (س 2)1 -ومحورى االحداثيات حيث د(س) 0 G
7منحنى الدالة د :د(س) = (س ( )1 -س ( )2 -س )3 -والمستقيمين س = ،4ص = 0حيث د(س) 0 G 8منحنى الدالتين د S ،حيث د(س) = 2س( S ، 2س) = 2س 4 +
ص
9باستخدام التكامل المحدد أثبت أن مساحة المثلث الذى طول قاعدته يساوى Cوارتفاعه يساوى ب هى C 12ب 0تفكير إبداعى :فى الشكل المقابل أوجد مساحة المنطقة المحددة بمنحنى الدالة د والمستقيمين ص،1 ص 2حيث: 1 د(س) = س ، 3ص = 1س ،6 +ص 2 - = 2س
8
7
8
6
ص = 1س 6 +
4
1 ص 2 - = 2س
2
س
3
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
2
1
و
7- 6- 5- 4- 3- 2- 1د(س) = س3
5-4
حجوم الأج�ضام الدورانية Volumes of Revolution Solids
فكر و
سوف تتعلم
ناقش
Ñالتعرف على الحجم كتكامل
هل شاهدت صانع الفواخير وهو يحول التراب إلى تحف وأوانى طهى طعام بخلط الطين األسوانى بالماء وتقطيعه ووضعه حول محور يدور؛ فيشكله بأصابعه وأدواته؛ لينتج أجسا ًما ذات أشكال جذابة. بما تسمى هذه األجسام؟ ½ تصمم العبوات البالستيكية لتعبئة المياة الغازية والعصائر والزيوت بأحجام مختلفة وسعات متعددة .كيف يمكن حساب حجمها أو سعتها عند تصميمها؟
محدد.
Ñاستخدام التكامل المحدد فى إيجاد الحجوم.
Ñإيجاد حجم دورانى ناتج عند دوران منطقة محددة بمنحنيين.
المصطلحات األساسية Ñمحور الدوران
Ñمجسم دورانى
Axis of Revolution Solid of Revolution
المج�ضم الدورانى ينشأ المجسم الدورانى من دوران منطقة مستوية دورة كاملة حول مستقيم ثابت فى مستويها يسمى «محور الدوران». توضح األشكال التالية أمثلة لمجسمات دورانية ترسمها المساحة م عند دورانها دورة كاملة حول المستقيم ل Solid of Revolution
م
مخروط قائم
ل
األدوات المستخدمة
ل
م
أسطوانة قائمة
م
كرة
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
ل
Ñآلة حاسبة علمية . Ñبرامج رسومية.
اقيتطت ددحم اللماكتلا
الحجم الدورانى
Volumes of Revolution
ا اً أوال :حجم الج�سم النا�سئ من دوران منطقة م�ستوية حول محور نظرية
إذا كانت د دالة متصلة على الفترة [ ،Cب] ،د(س) 0 Gلكل س ∈ [ ،Cب] فإن حجم الجسم الناشئ من دوران المساحة المحددة بالمنحنى ص = د(س) ومحور السينات والمستقيمين س = ، Cس= ب ب دورة كاملة حول محور السينات هو :ح = [ C rد(س)] E 2س مثال
دوران حول محور السينات
أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المستوية المحددة بمنحنى الدالة د ومحور السينات والمستقيمين س = ،1-س = 1 علما بأن د(س) = س1 + 2 دورة كاملة محور السينات ً الحل: الدالة د كثيرة الحدود متصلة على الفترة [،]1 ،1- د(س) 0 Gلكل س ∈ [ ،Cب] بفرض أن حجم الجسم الناشئ من الدوران = ح `ح=r
=r
11-
1
1
ص د(س) = س1 + 2
س
1
و 1-
(س E 2)1 + 2س
(س2 + 4س E )1 + 2س
2 5 1 1 3 r 56وحدة مكعبة = 5 [ rس 3 +س +س] 15 = 1-
حاول أن تحل
أوجد حجم الجسم الناشء من دوران المنطقة المستوية المحددة بمنحنى الدالة د ومحور السينات والمستقيمين علما بأن د(س) = س ما اسم المجسم الناشئ؟ بين كيف س = ، 0س = 3دورة كاملة حول محور السينات ً نتحقق هندس ًّيا من صحة إجابتك. مثال
تطبيقات الحجوم
باستخدام التكامل أثبت أن حجم المخروط الدائرى القائم يساوى 2H r3ع حيث Hطول نصف قطر قاعدته ,ع ارتفاعه. الحل: ينتج المخروط الدائرى القائم عن دوران مثلث قائم H الزاوية بحيث يقع أحد ضلعى القائمة على محور السينات i دورة كاملة حول محور السينات. ع
6
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
4 4
ل�ل� ���است� احا� �اا
نوجد العالقة بين س ،ص = د(س) ص
طا = iس ()1 ب
aح=Cr
` ص = س ظا = iد(س)
2 [د(س) ] Eس = 0 r
4
س 2طا E i 2س
ص = د(س)
ع = [ r3س 3طا r3 = 0] i 2ع 3طا)2( i 2
ص H من ( )1طا = iس = ع 2H 2 ` طا = iع2
بالتعويض فى ()2
حاول أن تحل
ص
س
ع
ع
2H ` ح = r3ع * 2ع 2H r3 = 3ع
باستخدام التكامل أثبت أن: 3H r 4
حجم الكرة = 3
تذكر اأن
( Hطول نصف قطر الكرة)
معادلة الدائرة التى مركزها نقطة األصل ( )0 ،0وطول نصف قطرها ( )Hهى: س + 2ص2H = 2
أ ب حجم األسطوانة الدائرية القائمة = 2H rع ( Hطول نصف قطر قاعدة األسطوانة ،ع ارتفاعها) مثال
دوران حول محور السينات
أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ب ثابتان ،دورة كاملة حول محور السينات.
الحل: aالدوران حول محور السينات
حدود التكامل: ص=0 ح = C- r
Cب- 1( 2
2 س ) Eس = r 2ب2
C
س3 2 = r 2ب [س 2 3 - C = r 43بC 2
C
2
ب2
` ص = 2ب- 1( 2
` س2C = 2
2
س2
+
ص2
0
) r 2 = 0Cب]C 13 - C[ 2
- 1( C
س2
C
2
= 1ومحور السينات ،حيث ،C س2
C
2
)
أى أن س = , C -س = C
)Eس
(لماذا؟)
وحدة مكعبة.
حاول أن تحل
أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ص = 2س -س 2ومحور السينات ،دورة كاملة حول محور السينات. كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
7
اقيتطت ددحم اللماكتلا
مالحظة هامة إذا كان دوران المنطقة المستوية حول محور السينات فإن: والمستقمين س = ، Cس = ب ب ص E 2س ح=Cr إذا كان دوران المنطقة المستوية حول محور الصادات فإن: والمستقمين ص = جـ ،ص = E E ح = rجـ س E 2ص مثال
س
ص س
ص E جـ
ب
C
ح = rجـ
E
س E 2ص
ح = C rب ص E 2س
دوران حول محور الصادات
أوجد حجم الجسم الناشئ عن دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ص = س 1 + 2ومحور الصادات والمستقيم ص = 5دورات كاملة حول محور الصادات.
الحل: aص = س 1 + 2والدوران حول محور الصادات ` س = 2ص 1 - ص=1 عند س = 0 ص=،1ص=5 حدود التكامل ح = rجـ
Eس2
Eص=1r
5
(ص E )1 -ص
= [ ( rص r8 = )0 - 16( r = 15]2)1 - 2 2
ص
ص = س1 + 2 وحدة مكعبة
س
5 4 3
2 1
حاول أن تحل
أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ص = س 2ومحور الصادات والمستقيمين ص = ،0ص = 6دورات كاملة حول محور الصادات. ثان اًيا :حجم الج�ضم النا�ضئ من دوران منطقة محددة بمنحنيين نظرية
8
إذا كانت د S ،دالتين متصلتين على الفترة [ ،Cب] ،د(س) , 0 Gهـ (س) 0 Gلكل س ∈ [ ،Cب]، فإن حجم الجسم الدورانى ح الناتج عن دوران المنطقة المحددة بالمنحنيين والمستقيمين س = ، C س = ب دورة كاملة حول محور السينات هو: ب ح = [ C rد(س)( S - 2س) E ] 2س
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
4 4
ل�ل� ���است� احا� �اا
الحظ أن 1ـ إذا دارت المنطقة المحددة بالمنحنيين المتقاطعين ص = 1د(س)،
ص1
ص( S = 2س) حيث ص G 1ص 2لكل س ∈ [ ،Cب]
وهى المنطقة الملونة بالشكل المقابل ،دورة كاملة حول محور السينات فإن اإلحداثيين السينيين لنقطتى تقاطع المنحنيين هما حدود التكامل ،C ب حيث < Cب ويكون حجم الجسم الناشئ ح هو: ح=Cr
ب
أى :ح = C r
[(ص - 21ص E )22س ب
2 ص E 1س C r -
ب
ح = rجـ
E
E 2 س E 1ص r -جـ أى :ح = rجـ
ص2
س
س=C
س=ب
ص E 22س
2ـ إذا دارت المنطقة المحددة بالمنحنيين المتقاطعين س = 1د(ص) ،س( S = 2ص) حيث س G 1س2 لكل ص ∈ [جـ ]E ،دورة كاملة حول محور الصادات فإن اإلحداثيات الصاديين لنقطتى التقاطع هما حدود التكامل جـ E ،حيث جـ < Eويكون [(س - 21س E )22ص
ص
E
س E 22ص
ص ص=د
س2 س1
ص = جـ
س
و
مثال دوران منطقة محددة بمنحنيني حول محور السينات أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ص = س2 والمستقيم ص = 2س دورة كاملة حول محور السينات.
الحل:
بفرض ص = 1س ، 2ص 2 = 2س إليجاد نقط التقاطع نضع ص = 1ص2 ` س = 0أو س = 2 aص G 2ص 1لكل س ∈ [ ]2 ، 0كما هو واضح من الشكل ` ح=r
C
ب 2
ص 6 5 ص = 2س
(ص - 22ص E )12س
= 2( 0 rس)( - 2س E 2)2س 2 (4س - 2س E )4س ` ح=r 2 5 1 3 4 = 3[ rس 5 -س ] 0
س
3
3 2
ص = 2س
2
4
1 1
1-
= 2 * r 32 = ) 32 - 32 ( r r1564 = 15وحدة مكعبة 5 3 كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
9
و
اقيتطت ددحم اللماكتلا حاول أن تحل
أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنيين ص = س ،ص = س 2دورة كاملة حول محور السينات. مثال
دوران منطقة محددة بمنحنيني حول محور الصادات
6أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ص = - 4س ،2والمستقيم 2س +ص = 4دورة كاملة حول محور الصادات. الحل:
aالدوران حول محور الصادات ` س - 4 = 21ص ،س- 2( = 22 عند نقط التقاطع س = 1س2 - 4ص = (- 2
ص )2
2
ص (ص 0 = )4 -
2 ويكون س > 1س2 E
2
ص
ص )2
2
س -4 = 21ص
ص2
1
ص=،0ص=4
2 2 (س - 1س E )2ص = 0 r
ح = rجـ 2 = ( 4 rص -ص ) د ص = 1 [ r 0 2 4
r 83 = ] 16وحدة مكعبة = 3 - 8[ r
4
ص- 2
3
2
` - 4ص = صفر لكل س ∈ []4 ،0
4
ص )2 س- 2( = 22 2
س
و
ص
[( - 4ص) E ]2) 2 + 2( -ص
3 ص ]4
12
0
حاول أن تحل
6أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنيين 2ص = س ،2ص = س دورة كاملة حول محور الصادات.
تمــــاريـــن 5 - 4
اختر االإجابة ال�سحيحة من بين االإجابات المعطاة: حجم الجسم الناشىء من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ص = 2س ،ص = ، 0س = 1دورة كاملة حول محور السينات يساوى د r2 ج r ب0 أ r- 1
حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ص = س والمستقيمين ص = ،1ص = 2ومحور الصادات دورة كاملة حول محور الصادات يساوى ب r أ r د r2 ج r 4
0
2
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
ل�ل� ���است� احا� �اا
4 4
حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ص = س 2والمستقيم ص = 1 دورة كاملة حول محور الصادات يساوى د r2 ج r1 ب r1 أ r 2
4
2
- 4( 2- rس E )2س ،هو حجم أ كرة طول نصف قطرها 4وحدات ج كرة طول نصف قطرها 2وحدة
ب مخروط دائرى قائم ارتفاعه 4وحدات د أسطوانة دائرية قائمة ارتفاعها 4وحدات
اأوجد حجم الج�سم النا�سئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنيات والم�ستقيمات المعطاة دورة كاملة حول محور ال�سينات فى كل مما ياأتى: 6ص=-3س،س=،0ص=0
ص= س،س=،3ص=0 1
8ص = |س| ،س = ، 2-س = ، 4ص = 0
7ص = س ،س = ،1س = ، 4ص = 0
اأوجد حجم الج�سم النا�سئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنيات والم�ستقيمات المعطاة دورة كاملة حول محور ال�سادات فى كل مما ياأتى: 0ص = س ، 2س = ، 0ص = ، 0ص = 8
9ص=س،ص=،1س=0
ص = -4س ، 2س = ، 0ص = 0
س 2 +ص = ، 0س = ، 0ص = ، 0ص = 3
ص = س ، 3س = 0ص = ، 0ص = 8
اأجب عن كل مما ياأتى:
أوجد حجم الجسم الناشئ عن دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ص - 4 = 2س والمستقيم س = 0عندما تدور هذه المنطقة دورة كاملة. ثان ًيا :حول محور الصادات أوال :حول محور السينات 4
أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ص = س والمستقيم س +ص = 5دورة كاملة حول محور السينات. 6تفكير إبداعى :إذا كانت النقط ، )0 ،2-(Cب( ، )5 ،1جـ ( )0 ،4رؤوس المثلث Cب جـ فأوجد حجم الجسم الناشىء عن دوران المثلث Cب جـ دورة كاملة حول محور السينات.
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
ملخص الوحدة
اقيتطت ددحم اللماكتلا
تفاضلى الدالة :إذا كانت د دالة قابلة لالشتقاق على فترة مفتوحة تحوى س ،ص = د(س) فإن: Eص = َد (س) Eس حيث Eص تفاضلى ص E ،س تفاضلى س.
التكامل بالتعويض :إحدى طرق إيجاد تكامل حاصل ضرب دالتين وبه يحول التكامل المعطى إلى تكامل قياس معروف ،فإذا كانت ع = ( Sس) دالة قابلة لالشتقاق فإن: د(( Sس)) ( َSس) Eس = د(ع) Eع
التكامل بالتجزئ :إحدى طرق إيجاد تكامل حاصل ضرب دالتين ليست أحدهما مشتقة لألخرى ،فإذا كانت فإن :ص Eع = ص ع -ع Eص ص ،ع دالتين قابلتين لالشتقاق على فترة ف
جدول التكامل االأ�سا�سية (القيا�سية) سن 1 +
سن Eس = ن + 1 +ث
ن ∈ }1{ - I
قا س طا س Eس = قا س +ث 2ن 1 + س! ،r 2ن∈N
جا س Eس = -جتا س +ث
قتا ظتا س Eس = -قتا س +ث س!ن،rن∈N
جتا س Eس = -جا س +ث
هـس Eس = هـس +ث
قا 2س Eس = طا س +ث س! 2
2ن 1 +
،rن∈N
قتا 2س Eس = -ظتا س +ث س !ن ، rن ∈ N
س E Cس = C C1س +ث
لو
هـ
1 س
Eس = لو | س | +ث هـ
1!C،0>C س!1
½ إضافة الثابت (ب) إلى المتغير المستقل ال يؤثر على صيغة التكامل.
½ عند ضرب المتغير س بالمعامل ( ) Cيحتفظ التكامل بصيغته السابقة إال أنه يقسم على هذا المعامل. التكامل المحدد: نظرية:
إذا كانت الدالة د متصلة على الفترة [ , Cب] وكانت ت أى مشتقة عكسية للدالة د على نفس الفترة، ب فإن Cد(س) Eس = ت (ب) -ت ( ) C
خواص المتكامل المحدد: ب
C
د(س) Eس = C -
ب
د(س) Eس
C C
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
د(س) Eس = 0
ل�ل� ���است� احا� �اا
C CC-
ب
د(س) Eس = C
C
د(س) Eس = 0
C
د(س) Eس = 0 2
جـ
C
د(س) Eس +جـ
د(س) Eس
ب
د(س) Eس
(د دالة فردية)
4 4
لكل جـ ∈ [ ، Cب]
(د دالة زوجية)
Áمساحة منطقة محددة بمنحنى الدالة المتصلة د على الفترة [ ،Cب] والمستقيمين س = ، Cس = ب حيث د(س) 0 Gهى :م = C
ب
د(س) Eس
Áمساحة منطقة محددة بمنحنى الدالتين د S ،المتصلتين على الفترة [ ، Cب] والمستقيمين س = ، Cس = ب حيث د(س) ( S Gس) >
0هى :م = C
ب
[د(س) -د( E ])Sس
الحجوم الدورانية:
ينشأ المجسم الدورانى من دوان منطقة مستوية دورة كاملة حول خط مستقيم يسمى محور الدوران.
Áحجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بمنحنى الدالة د المتصلة على الفترة [ ،Cب] ومحور السينات والمستقيمين س = ، Cس = ب دورة كاملة حول محور السينات حيث د(س) 0 Gهو ب ح = [ C rد(س)] E 2س Áحجم الجسم الناشىء من دوران المنطقة المحددة بمنحنى الدالتين د S ،المتصلتين على الفترة [ ،Cب] والمستقيمين س = ، Cس = ب دورة كاملة حول محور السينات حيث د(س) ( S Gس) > 0هو : ب ح = ([ C rد(س))( S( - 2س)) E ] 2س
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
اقيتطت ددحم اللماكتلا
تمــــاريــن عـــامـة
اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة: إذا كان د(س) = (3س E )5 -2س وكان د( ، 3 = )2فإن د()2- د 12 ج 7 ب 3- أ 6- ص E 1 إذا كان Eس = س +س ،ص = 12عند س = ،1عندما س = هـ فإن ص تساوى: ب هـ1 - 2 2
ج هـ1 + 2 4
أ هـ - 2هـ ظا 2س Eس يساوى ج قا 4س +ث ب ظا س +س +ث أ ظا س -س +ث 5 5 إذا كان 2د(س) Eس = ،4فإن 3[ 2د(س) E ]1 -س يساوى
هـ2
1+ 2
د
د 13ظا 3س +ث
د 8- ج 12 ب 11 أ 9 حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى د(س) = س 2ومحور السينات والمستقيمين س = ,2-س = 2دورة واحدة حول محور السينات يساوى ج r 64 ب r 32 أ r 16 د r4 5
5
أوجد تفاضلى كل من: 6ص = 3س1 - 2
7ص=
ص = هـ5-س
9
0
5
(2س 5)3 +
ص = هـ س3 + 2س
هـ
هـ
عبر عن كل مما يأتى باستخدام تكامل واحد 7
0 2
8
س
ص = هـ حتا 2س
ع = ( لو 2) 10
ع = لو (س)1 + 2 5
ص = (س 3) 1 +
ع = لو ظتا (3س )1 -
س
0
س E 2س 2- +س E 2س 2 6 كEس 3+كEس
هـ
6 8
أجب عن ما يأتى: 4 د(س) Eس = 2 ،5 9إذا كان 2
4
4
4-
0
(Sس) Eس = 3-فأوجد: ب
أ 3 2د(س) Eس 4 ج 3 [ 2د(س) (S 2 -س)] Eس
د
4 2
1-
2
(S 2س) Eس 4 [ (S3س) 4 +س] Eس
0إذا كان َد(س) = 6س َ ، 4 -د ( ، 2 = )1د( 4- = ) 0فأوجد د(س)
أوجد التكامالت المحددة التالية: 4 1 ( 2س E ) 2 + 2س س
1
- 6 3س4 2س2
Eس
1-
س6+ سE 6+س Eس4- 5 4 2س E 2س 4 +س E 2س
4س1- Eس 1 س 1-
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
ل�ل� ���است� احا� �اا 1س8+ 3 1-س 2 +
Eس
4-
4
- 16س E 2س
6
باستخدام التعويض المناسب أوجد التكامالت اآلتية: Eس 8 7س (س E 3)5 -س س ( + 1س )3 0
قا 4س طاس Eس
6
هـ
- 4س E 2س
س قا( 2س E )2 + 2س هـ 2س +س
س هـ س E 3 + 2س
باستخدام التجزىء المناسب أوجد التكامالت اآلتية: س 4لو س Eس 3س 2س E 3 +س
أجب عن يلي:
9
0
2
4 4
هـ 2س +س E 2س 1
2
4س هـ 2س Eس
أوجد مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين ص = 2 + 7س -س ، 2ص = (س 2)1 -
7أوجد مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين ص = - 9س ،2ص = س 1 + 2والمستقيمين س = ،0س = 3
8أوجد مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين ص = - 9س ، 2ص = س 1 + 2ومحور السينات والمستقيمين س = ،0س = 3 1 9أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ص = س 1 -والمستتقيمين س = ، 2 س = 4ومحور السينات دورة كاملة حول. ب محور الصادات أ محور السينات 0أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ص = 2س ومحور السينات والمماس للمنحنى عند النقطة ( )2 ،2الواقعة عليه عندما تدور هذه المنطقة دورة كاملة حول محور السينات.
لمزيد من األنشطه والتدريبات زيارة الموقع االلكترونى
www.sec3mathematics.com.eg
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
اقيتطت ددحم اللماكتلا
اختبار تراكمي
اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات اآلتية: ( - 4قتا س ظتا س) Eس يساوى:
ب 4س +قتا س +ث د 4س +ظتا س +ث
أ 4س -قتا س +ث ج 4س -ظتا س +ث هـ س
هـ س E 3 -س يساوى:
أ ( 12 -هـ س + )3 -ث
ب -لو |هـس + |3 -ث هـ
ج لو |هـس + |3 -ث 0
2
هـ
(| - 2س|) Eس يساوى:
أ 4
د 12لو |هـس + |3 -ث هـ
ب2
مساحة المنطقة المحددة بالمنحنى ص = يساوى. ....................... : ب4 أ 2 إذا كان 1
3
أ 12-
د(س) Eس = 3 ، 5
1
ج 1 - 4س2
(Sس) = ،7فإن 1
ب 7-
3
د صفر
ومحور السينات مقدرة بالوحدات المربعة
ج r2
د r4
( 4د(س) (S +س) E )3 +س يساوى: د 19 ج 12 2
6حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بين المنحنى ص = س والمستقيمات س = ،1س = ،4 مقدرا بالوحدات المكعبة يساوى. ....................... : ص = 0دورة كاملة حول محور السينات ً ب r أ r د r3 ج r2 2
3
اجب عن ما يأتى:
7أوجد التكامالت اآلتية: أ
س3+ س6 + 2س Eس
ب
8إذا كانت د(س) = (س 2( )1 +س4 + 2س E )1 -س ،د(1 = )2- 9أوجد التكامالت اآلتية: أ طا س قا 3س Eس
6
ب
س2
سE 3-س
فأوجد د()3
+ 1جا س جتا س Eس
كتاب الرياضيات العامة -القسم األدبى -الصف الثانى الثانوى
4 4
ل�ل� ���است� احا� �اا
0أوجد التكامالت اآلتية:
ب
س 2لو س E 2س
أ
هـ
أوجد قيمة كل من ما يأتى: أ
3-
إذا كان 2
3 (2س 3 - 5جا r6س) Eس 5
د(س) Eس = 5 ، 8
2
ب
(Sس) Eس = 3
س هـ
2-
2
2س2
E 1-س
س| 2 - 3( 2س|) Eس
احسب قيمة 2
5
(د(س) (S2 +س) E )5 -س
أوجد بالوحدات المربعة مساحة المنطقة المحددة بمنحنى د(س) = (س 3)2 -ومحور السينات فى الفترة []4 ،2 يوضح الشكل المقابل المنطقة المحددة بالمنحنيين ص2 = 1س ، ص 12 = 2س 2أوجد:
1 2
ص = 2
مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين ص ،1ص2
أ ب حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنيين ص ،ص 2دورة كاملة حول محور السينات.
ص
ص2 =1س
س
و
إذا لم تستطع اإلجابة على أحد هذه األسئلة يمكنك االستعانة إلى الجدول اآلتى: 1
2
3
4
5
6
7
8
9
ارجع اإلى الدر�ص 2
1
3
4
3
5
1
مهارات
2
رقم ال�سوؤال
س2
14 13 12 11 10 1
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
3
3
4
5
7
اقيتطت ددحم اللماكتلا
اختبارات عامة الختبار الأول
اأو اً ل :اأجب عن ال�ضوؤال الآتى:
إختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاه 3Eص
-1أى الدوال التالية تحقق العالقة Eس = 3ص أ ص = ( 1س 4)1 + 12 ج ص = هـ س
ب ص = حا س
د
س ص= س1-
-2إذا زاد طول نصف قطر دائرة بمعدل 1سم/ث ،فإن محيط الدائرة يزداد بمعدل ....................................سم/ث r أ 2 ج د r2 r ب 2 r
-3منحنى الدالة د حيث د (س) = س3 - 3س 2+ 2محدب ألعلى عندما س ∈ ج ][3،1 ب ][ 1 ، ∞ - أ ][0،∞- ( 2 r-2 -4حا س +حتا س) E ،س يساوى ب 2 أ 4
د ][∞،1
r
-5
إذا كانت د دالة متصلة على 3 ،I
يساوى أ صفر
ب 1
5
ج صفر
2د(س) Eس = 3 ، 8
4
ج 3
د r 3د (س) Eس = 9فإن4
5
5د(س) Eس
د 5
-6مساحة المنطقة المحددة بالمنحنى ص = - 16س 2ومحور السينات مقدرة بالوحدات المربعة تساوى د r4 ج r8 ب r 12 أ r 16 ثان اًيا :اأجب عن ثالثة اأ�ضئلة فقط مماياأتى :
أ أوجد :حا س حتا 3س Eس Eص ب إذا كان هـ س ص -س + 2ص ، 0 = 3أوجد Eس عند س = 0
أ أوجد معادلة المماس للمنحنى س 3- 2س ص -ص 0 = 3 + 2عند النقطة ()4 ،1- ب مثلث قائم الزاوية ،فى لحظة ما كان طوال ضلعى القائمة 6سم 30 ،سم ،فإذا كان طول الضلع األول
يتزايد بمعدل 13سم/د ،وطول الضلع الثانى يتناقص بمعدل 1سم/د أوجد: - 1معدل التزايد فى مساحة المثلث بعد 3دقائق - 2الزمن الذى بعده يتوقف تزايد مساحة المثلث
أ حدد فترات التزايد وفترات التناقص للدالة د حيث د (س) = س 2 +حا س <0 ،س < r 2
ب رسم مستطيل بحيث تقع رأسان متجاوران منه على المنحنى ص = س12 - 2والرأسان اآلخران على المنحنى ص = - 12س 2إحسب أكبر مساحة لهذا المستطيل.
8
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
4 4
ل�ل� ���است� احا� �اا
أ أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحيين ص = 4 س ،ص = (س 2)3 -دورة كاملة حول محور السينات ب ارسم الشكل العام لمنحنى الدالة د الذى يحقق الخواص اآلتية:
َد (س) < .لكل س ! 2 َد (س) > 0لكل س > 2
د ( = )1د ( ، 0 = )5د (3- = )2 َد (س) < 0لكل س < ، 2
الختبار الثانى اأو اً ل :اأجب عن ال�ضوؤال الآتى:
إختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة
-1معادلة المماس لمنحنى الدالة د حيث د (س) = هـ 2س 1+عند النقطة ( )1 ، 1-2هى: د 2ص= 3س1 + ج ص=2س3- أ 2ص=س 1+ب ص=2س2+ -2إذا كان ص = 4ن ، 4 + 3ع = 3ن 2 - 2فإن معدل تغير ع بالنسبة إلى ص يساوى: ج 1 د 4 ب 2 أ 2ن 2ن -3أكبر قيمة للمقدار 8س -س 2حيث س ∈ Iهى ج 32 ب 16 أ 8
د 64
-4إذا كان ميل المماس لمنحنى الدالة د عند أى نقطة عليه يساوى س 2 -1وكان المنحنى يمر بالنقطة ()0 ،3 فإن د (هـ )2+ 2تساوى ب 3 أ 2
ج لو 2
-5إذا كانت د دالة متصلة على ، I ب 8 أ 2
-6
1
2
هـ
أ r
6
2
ب r3 2
س 1 +والمستقيمات ص = ، 0س = ، 1-س = 1
ج r2
ثان اًيا :اأجب عن ثالثة اأ�ضئلة فقط مماياأتى :
أوجد
س ( 2س E 3)1 -س ،
أ ب أوجد معدل تغير + 16س2
هـ
د (س) Eس = 6 9د(س) Eس = 7-فإن 1د(س) Eس تساوى: د 63- ج 16
حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحدده بالمنحنى ص =
يساوى
د لو 3
د
r5 2
س هـ 2-س Eس
بالنسبة إلى سس 2-عند س = 3- كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
9
اقيتطت ددحم اللماكتلا Eص أ إذا كان س حتا ص +ص حتا س = 1فأوجد Eس
ب أوجد القيم القصوى المطلقه للدالة د فى الفترة [ ]1 ، 1-حيث د (س) = 2س 6 + 3س5 + 2 2س +س2
أ إذا كانت د (س) =
-1 ب أ ب
عندما
2س -س2
س<0
عندما
س 0 Gأوجد:
3
1- -2د(س) Eس القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة د يتزايد حجم مكعب بانتظام بحيث يظل محتفظًا بشكله بمعدل 27سم/3د ،أوجد معدل الزيادة فى مساحة أوجهه عند اللحظةالتى يكون فيها طول حرفه 3سم. أوجد مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين ص = س ، 2ص = 6س -س 2بالوحدات المربعة اذا كان للدالة د حيث د(س) = س C + 3س + 2ب س نقطة إنقالب عند ( )2 ،2فأوجد قيمتى الثابتين ، Cب ثم إرسم الشكل العام لمنحنى الدالة.
الختبار الثالث اأو اً ل :اأجب عن ال�ضوؤال الآتى:
إختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاه -1ميل المماس لمنحنى الدائرة س + 2ص 25 = 2عند س = 3يساوى ج 5 ب 3- أ 4-
د
-2إذا كان د (س) = س ، 2 -فإن د )3( ///يساوى ب 12 - أ 36 -
د 4
3
س
4
12
ج 6
Eص -3إذا كانت Eس = قتا 2س ،ص = 2عند س = ، r4فإن ص تساوى
أ + 2( -ظتا س)
-4
إذا كان 2
أ 18-
4
ب + 3( -ظتا س)
د (س) Eس = 4 ، 7 ب 8-
2
ج -2ظتا س
( Sس) Eس= ، 2فإن 2 ج 10
4
4 3
د -3ظتا س
[ 2د(س) ( S 3 -س) E ]5 -س يساوى: د 14
-5مساحة المنطقة المحددة بالمستقيمات ص = 2س ،3-ص = س ،1 +س = 2تساوى ج 9 د 6 ب 3 أ 2
-6
2 حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنيين ص = ظا ، iو ص = قا iوالمستقيمين س = ، rس = r 3 6
دورة كاملة حول محورالسينات مقدرا بالوحدات المكعبة يساوى : ج r2 ب r أ r 6
0
3
5
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
د r2
ل�ل� ���است� احا� �اا
4 4
ثان اًيا :اأجب عن ثالثة ا�ضئلة فقط مماياأتى :
أ أوجد مشتقة ص بالنسبة إلى س حيث :ص = س 2لوهـ س 3 ب إذا كانت د (س) = (س 2) 4-فأوجد فترات التحدب إلى أعلى وإلى أسفل ونقط االنقالب (إن وجدت) لمنحنى الدالة د أوجد
-2
أ -1 ب أوجد القيم القصوى المطلقة للدالة د حيث د (س) = س 4 - 4س 3على الفترة []4 ،0 س (س E 3)5 -س
4س هـ 2س
Eس
أ إذا كان حجم الجسم الدورانى الناشئ عن دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ص = س 3والمستقيميين س = ،0ص = 1دورة كاملة حول محور السينات يعادل حجم سلك اسطوانى الشكل طوله 42وحدة فما طول نصف قطر السلك . ب يتناقص الضلعان المتساويان فى مثلث متساوى الساقين ذو قاعدة ثابتة طولها ل سم بمعدل 3سم/د ،ما هو معدل تناقص المساحة عندما يصبح المثلث مثل ًثا متساوى األضالع س -ص = ، 0ص = 4س -س2
أ أوجد مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين ب ارسم الشكل العام لمنحنى الدالة المتصلة د الذى له الخواص التالية: -1د (3 = )0
-3د( /س) > 0عندما < 2-س < 2
-2د = )2( /د0 = )2-( /
-4د( //س) < 0عندما س > ، 0د( //س) > 0عندما س < .0
الختبار الرابع اأو اً ل :اأجب عن ال�ضوؤال الآتى:
إختر االجابة الصحيحة من بين االجابات المعطاه
-1 -2
3س5- 3Eص اذا كان ص = س 2 -فإن عند س = E ، 1س3
أ 12-
أ ج
ب 6-
قا 3س طا س Eس يساوى: 14قا 4س +ث
12طا 2س +ث
يساوى: ج 6
د 12
ب 13قا 3س +ث
د 12 -طا 2س +ث
-3العمودى للدائرة س + 2ص 12 = 2عند أى نقطة عليها يمر بالنقطة ج ()0 ،0 ب ()1 ،1 أ ()3 ، 2 كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
د ( )2- ،2-
اقيتطت ددحم اللماكتلا
-4منحنى الدالة د حيث د (س) = (س )2 -هـ س يكون محد ًبا ألسفل على الفترة: د ][∞،- ج ][ 2 ، 0 ب ] [ 2 ، 1- أ ][∞ ، ∞ - 3
3 1- -5س |س E |4 -س يساوى ب 20- أ 27-
-6
1 عند دوران المنطقة المحددة بالمنحنى س = ص
ج 20
د 27
H 1 ،ص 4 Hومحور الصادات ،دورة كاملة حول
مقدرا بالوحدات المكعبة يساوى: محور الصادات فإن حجم الجسم الناشئ ً ج r 2لو 2 د r 23لو3 ب r 2 3 أ r 23 هـ
ثان اًيا :اأجب عن ثالثة اأ�ضئلة فقط مماياأتى: س1- أ أوجد3( :س 4 - 2هـ2س) Eس، س3+ 2 Eص Eص ) 2ظا ص = 4حتا 2س قا ص (- 2 ب إذا كان حا ص +حتا 2س = 0فأثبت أن: Eس Eس
Eس
أ
اذا كان 1 4
1
4
د (س) Eس = ،7
4
1
[د (س) (S 2 +س) E ] 4-س
(Sس) Eس = 3إحسب قيمة
ب اذا كان منحنى الدالة د حيث د (س) = Cس + 3ب س + 2جـ س E +له قيمة عظمى محلية عند ( )4 ،2وله نقطة إنقالب عند ( )2 ،1أوجد معادلة المنحنى
أ أوجد مساحة المنطقة المحددة بالمنحنى س +ص = 1والمستقيمين س = ، 0ص = 0 ب ارسم منحنى الدالة المتصلة د الذى يحقق الخواص التالية د ( 2 = )4د (،4 = )3
د (0 = )2
د( /س) < 0عندما س > 4أو س < ،2
د( //س) < 0عندما س > ، 3د(//س) > 0عندما س < 3
4 س ،ص = - 5س دورة أ أثبت أن حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنيين ص =
واحدة حول محور السينات يساوى r9من الوحدات المكعبة
ب اذا كانت ح مساحة الجزء المحصور بين دائرتين متحدى المركز طوال نصفا قطريهما
نق ،1نق2
حيث نق > 2نق ، 1أوجد معدل تغير ح بالنسبة للزمن فى اللحظة التى يكون فيها نق 10 = 2سم ،
نق6 = 1سم ،إذا علم أن عند هذه اللحظة نق 1يتزايد بمعدل 0٫3سم/ث ،نق 2يتناقص بمعدل 0٫2سم/ث.
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
4 4
ل�ل� ���است� احا� �اا
الختبار اخلام�ض اأو اً ل :اأجب عن ال�ضوؤال الآتى:
يوضح الشكل المقابل منحنى د( /س) للدالة د حيث د (س) = Cس + 3ب س ، C ، 2ب ثابتان أكمل:
ص 4
أ الدالة د متناقصة لكل س ∈ ب لمنحنى د نقط حرجة عند س ∈ ...................................... ......................................
ج منحنى د محدب ألعلى على الفترة
2
......................................
د توجد قيمة صغرى محلية للدالة د عند س =
هـ د (= )1
3
......................................
......................................
س
1 4
3
2
1
و
و مساحة المنطقة المحددة بمنحنى الدالة د ،والمستقيمين س = ، 2ص = 0بالوحدات المربعة يساوى...................................... :
ثان اًيا :اأجب عن ثالثة اأ�ضئلة فقط مماياأتى:
أ أوجد: 2س5+ Eس - 1قتا 2 ب للدالة د حيث د(س) = س 6 - 3س 9 + 2س 1-
-2
5س E 2س 3س 1-
-1عين فترات التزايد والتناقص للدالة د -2أوجد القيم القصوى المطلقة للدالة د فى الفترة []2 ، 0
أ اذا كان د (س) = + 4ظتا س -قا 2س أوجد معادلة العمودى لمنحنى الدالة د عند نقطة تقع على المنحنى وإحداثيها السينى يساوى r 4 ب خزان فارغ سعته 10أمتار مكعبه يصب فيه الماء تدريج ًيا بمعدل ( 2ن )3 +متر مكعب /دقيقة حيث ن الزمن بالدقائق ،أوجد الزمن الالزم المتالء الخزان أ أوجد :نهــــــا 2 iس ` 1 + س!∞ 2س 1-
2س
ب يراد تصمم ملصق مستطيل الشكل يحوى 800سم 2من المادة المطبوعة بحيث يكون عرض كل من الهامشين العلوى والسفلى 10سم ،وكل من الهامشين الجانبيين 5سم ،ما بعدا الملصق اللذان يجعالن مساحته أصغر ما يمكن أ أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ص = - 4س 2والجزأين الموجبين من محورى االحداثيات دوره كاملة حول محور السينات. ب اذا كان د (س) = س C + 3س + 2ب س 4 +حيث ، Cب ثابتان أوجد قيمتى ، Cب إذا كان للدالة د قيمة صغرى محلية عند س = 2ونقطة إنقالب عند س = 1ثم إرسم شكال عا ًما لمنحنى الدالة د ً كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
اقيتطت ددحم اللماكتلا
الختبار ال�ضاد�ض اأو اً ل :اأجب عن ال�ضوؤال الآتى:
فى كل من العبارات التالية إختر الحرف (أ) إذا كانت العبارة صحيحة والحرف ب إذا كانت العبارة خطأ. ( أ ) (ب) - 1القيمة العظمى المحلية للدالة اكبر من القيمة الصغرى المحلية لها -2 -3 -4
-5
ن (ن2)1+
ن معدل تغير ن 3 + 2بالنسبة إلى 2 1+ ن ن 3+ 2Eص 1إذا كان ص -س = 2فإن E :س= 2 س س (7س 2)4 - س 4- + 7ث E 6س= (2س ) 2- (س ) 2- Eص إذا كانت ص = س لو س -س فإن E :س = لو س هـ هـ
هو:
- 6إذا كانت ( ،Cد( ))Cنقطة إنقالب لمنحنى الدالة المتصلة د فإن :د = )C(//صفر
( أ ) (ب) ( أ ) (ب) ( أ ) (ب) ( أ ) (ب) ( أ ) (ب)
ثان اًيا :اأجب عن ثالثة اأ�ضئلة فقط مما ياأتى:
أوجد : أ
7س3
5 - 2س4
( 3هـ 5 -س r + س )Eس
Eس،
3Eص ب إذا كانت ص = Cهـ س 1+ 2أثبت أن : Eس3
= 4س ص ( 2 + 3س)2
أ أوجد :ظتا س قتا 3س Eس ب إذا كانت ف بعد النقطة ( )0 ،1عن النقطة ( س ،ص) الواقعة على المنحنى ص = س فأوجد إحداثيى النقطة ( س ،ص) التى تكون عندها ف أصغر مايمكن . أ عين القيم القصوى المطلقة للدالة د حيث د(س) = |س| (س )4-فى الفترة []3 ،1-
ب إذا كان ميل المماس للمنحنى ص = د(س) عند أى نقطة عليه يساوى 6س + 2ب س وكان د(، 5 = )0 د( ، 3- = )2أوجد قيمة الثابت ب ثم ارسم الشكل العام لمنحنى الدالة د. أ أوجد معدل تغير لو ( + 9س )3بالنسبة إلى س 3 + 2عند س = 1 هـ
ب إذا كانت ، )3 ،0 ( Cب ( ، )4 ، 1جـ ( ، )0 ،2أوجد باستخدام التكامل : أوال :مساحة سطح المثلث Cب جـ . ثان ًيا :حجم الجسم الناشئ من دوران المثلث Cو جـ دورة كاملة حول محور الصادات .
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
ل�ل� ���است� احا� �اا
4 4
الختبار ال�ضابع ا اً أول :اأجب عن ال�ضوؤال الآتى :
فى كل من العبارات التالية إختر الحرف (أ) إذا كانت العبارة صحيحة والحرف ب إذا كانت العبارة خطأ. Eص ص = - 1إذا كانت ص3 = 2س 7 - 2فإن: Eس 3س
- 2للدالة د :د(س) = س3 - 3س 1 +نقطة إنقالب هى )1 ،0 ( : E
E - 3س [ ظتا ( جتا 3س)] = 3جا 3س قتا( 2جتا 3س) -4 -5
-6
( - 1جتا س) 4جا س Eس = + 1 ( 15 -جتا س ) + 5ث
نهــــــا ) 5 + 1iس = هـ 5
س!∞ س2 2هـ س ( س +هـ ) Eس = 2هـ لو |س| -هـ +ث هـ س
( أ ) (ب) ( أ ) (ب) ( أ ) (ب) ( أ ) (ب) ( أ ) (ب) ( أ ) (ب)
ثان اًيا :اأجب عن ثالثة اأ�ضئلة فقط مما ياأتى:
أوجد : أ س جا س Eس 1 1- ،س + 4س E 2س ب أوجد معادلة المماس للمنحنى ص = لو ( 2 - 2جتاس ) عند النقطة التى تقع عليه وإحداثيها السينى هـ يساوى . r4 أ عين فترات التحدب ألعلى وفترات التحدب ألسفل ونقط االنقالب (إن وجدت) لمنحنى الدالة د حيث د(س) = (س 3 + 4)1 - ب متوازى مستطيالت من المعدن قاعدته علي شكل مربع ،فإذا تزايد طول ضلع القاعدة بمعدل /0٫4ث وتناقص االرتفاع بمعدل 0٫5سم /ث ،أوجد معدل تغير الحجم عندما يكون طول ضلع القاعدة 6سم واألرتفاع 5سم. إذا كانت د(س) = 0
3
س
س E 1+س
أ ب ملعب على شكل مستطيل ينتهى ضلعان متقابالن منه بنصفى دائرة خارج المستطيل طول قطرها مساو ًيا مترا فأثبت أن مساحة سطح الملعب تكون اكبر ما يمكن لطول هذا الضلع .إذا كان محيط الملعب ً 400 عندما يكون الملعب على شكل دائرة وأوجد طول نصف قطرها . أ إذا كانت د(س) = س3 - 3س 3 +أوجد : أوال :القيم القصوى المطلقة للدالة د فى الفترة [ ]2 ،0 ثان ًيا :مساحة المنطقة المحددة بمنحنى الدالة د والمستقيمات س = ، 0س = ، 2ص = 0
ب أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى س ص = 2والمستقيمان س = ، 1س =2 كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
اقيتطت ددحم اللماكتلا
الختبار الثامن ا اً أول :اأجب عن ال�ضوؤال الآتى :
اكمل مايأتى:
Eص
أ إذا كان س 3ص 1 = 2فإن E [ :س ]ص == 1
ب E Eس [ 7هـ قاس ] =
...............................................
...............................................
ج للدالة د :د(س) = س3 - 3س 1-نقطة انقالب هى : د إذا كانت د متصلة على الفترة [ ]7 ، 2فإن :
2
7
...............................................
د(س) Eس 7 +
4
د(س) Eس =
...............................................
ه مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين ص = س ، 2ص = 4س تساوى ...............................................وحدة مربعة و إذا كانت ص = س 2لو
هـ
س C
3Eص
0 ! C ،فإن E [ :س] 3س ==4
...............................................
ثان اًيا :اأجب عن ثالثة اأ�ضئلة فقط مما ياأتى:
أوجد: أ أوجد :
(س 27- 3)3+ س
Eس
،
س 2هـ -س
Eس
ب أوجد معادلة المماس لمنحنى الدالة د حيث د(س) = 2ظا3س عند النقطة التى تقع على منحنى الدالة د وإحداثيها السينى يساوى r 4 ص أ
اوجد 0
5
| س E |2 -س
ع(س) = د //س
ب يوضح الشكل المقابل منحنيا الدالتين ، Sع حيث : (Sس) = د( /س) ،ع(س) = د( //س) ، د دالة كثيرة حدود فى المتغير س. علما بأنه يمر ارسم الشكل العام لمنحنى د ً بالنقطتين ( )4 ،1( ، )0 ،1-
ر(س) = د /س
س
4 3
2 1
4
3
2
1
و
أ عين القيم القصوى المطلقة للدالة د فى الفترة [ ]2 ،0حيث د(س) = 3 ب قضيب طوله 5أمتار مثبت بمفصل فى األرض عند أحد طرفيه ،فإذا رفع طرفه اآلخر رأس ًيا إلى أعلى بواسطة ونش بمعدل 1متر/دقيقة أوجد معدل تناقص طول مسقط القضيب على األرض عندما يكون ارتفاع هذا الطرف 3أمتار. أ رسم فى نصف دائرة شبه منحرف قاعدته هى قطر نصف الدائرة ،عين قياس زاوية قاعدة شبه المنحرف بحيث تكون مساحته اكبر مايمكن. -4س2
6
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
4 4
ل�ل� ���است� احا� �اا
ب إذا كانت م المنطقة المحددة بالمنحنى س ص = + 4س 2والمستقيمات س = ، 1س = ، 4ص = 0أوجد : ً أوال :مساحة المنطقة م بالوحدات المربعة ألقرب وحدة . ثان ًيا :حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة م دورة كاملة حول محور السينات .
الختبار التا�ضع اأو اً ل :اأجب عن ال�ضوؤال الآتى:
إختر االجابة الصحيحة من بين االجابات المعطاه -1إذا كان س = 2ن ، 7 + 2ص = 3 8
أ
ب 3 4
Eص ،ن = 1فإن: Eس
ن3
يساوى :
ج 2
-2منحنى الدالة د محد ًبا ألسفل على Iإذا كان د(س) يساوى : ج - 2س4 ب + 2س3 أ - 2س2
د 6 د
+ 2س4
-3إذا كان لمنحنى الدالة د :د(س) = س + 3ك س ، 4 + 2ك∈ Iنقطة انقالب عند س = ، 2فإن ك تساوى : د 9 ج 6 ب 3- أ 6- 3
1- ، I
-4إذاكانت د دالة متصلة على تساوى: ب 18 أ 4-
-5
1-
ج 18-
| 3س E | 1-س يساوى:
أ 6-
ب 0
أ 1
ب 2
د(س) Eس = 5، 7
3د(س) Eس = 11-
فإن 1-:
5د(س) Eس
د 77
ج 4
د 8
ج 4
د 8
-6مساحة المنطقة المحددة بالمنحنى ص = س 3والمستقيمين ص = ، 0س = 2تساوى : ثان اًيا :اأجب عن ثالثة اأ�ضئلة فقط مما ياأتى:
أ أوجد:
3س س1-2
Eس
،
9س 2هـ 3س Eس
ب أوجد قياس الزاوية الموجبة التى يصنعها مماس المنحنى ص = 3س 2مع االتجاه الموجب لمحور السينات عند س = 8ألقرب دقيقة . أ إذا كان جا س = س ص أثبت أن :س ( 2ص +ص 2 + )//جتا س = 2ص ب إذا كان للمنحنى ص = 2س3 + 3س4 + 2س 5 +مماسان متوازيان أحدهما يمس المنحنى عند النقطة ( ، )2 ،1-أوجد معادلة المماس اآلخر. كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
7
اقيتطت ددحم اللماكتلا
أ يرتفع بالون رأس ًيا ألعلى بمعدل ثابت قدره 28متر /دقيقة ،فإذا تم رصد البالون من مشاهد على األرض مترا عن موقع إطالق البالون ،أوجد معدل تغير زاوية ارتفاع نظر المشاهد له عندما يكون يبعد ً 200 مترا. البالون على أرتفاع ً 200 ب إذا كان ميل المماس لمنحنى الدالة د عند أى نقطة (س،ص) على المنحنى هو ( 3س )1- 2أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية لمنحنى الدالة د ونقط االنقالب إن وجدت ،عل ًما بأن المنحنى يمر بالنقطة ( ، )1- ،2-ثم ارسم شكال عا ًما لهذا المنحنى.
المستقيم Cب يقطع منحنى الدالة د فى النقطة جـ (س ،ص) حيث س > ،)2 ،0 ( C ،0ب ( ، )4 ،6 9 د(س) = س ،أوجد : أ معادلة المستقيم Cب ب إحداثيى النقطة جـ ج معادلة العمودى على منحنى د عند النقطة جـ ،وأثبت أنه يمر بنقطة األصل و د حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالعمودى وجـ ومنحنى الدالة د والمستقيم س = 6دورة كاملة حول محور السينات.
الختبار العا�ضر ا اً أول :اأجب عن ال�ضوؤال الآتى:
أكمل مايأتى : أ
1 نهــــــا ( + 1 س س!∞
) س= 3+
...............................................
E ب Eس ( 2 - 5ظتا س ) = 3 2 3 ج إذا كان للدالة د :د(س) =ك س 9 +س نقطة انقالب عند س = 1-فإن :ك = ............................................... ...............................................
د
1-
4( 3س6 - 3س E )5 + 2س =
...............................................
ه إذا كانت د دالة متصلة على الفترة [ ]4 ، 1فإن
1
4
د(س) Eس 4 +
1د(س) Eس =
...............................................
و مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين ص = س ،1 + 4ص = 2س 2تساوى ...............................................وحدة مربعة
ثان اًيا :اأجب عن ثالثة اأ�ضئلة فقط مما ياأتى:
أ أوجد:
ظا ( 3س E )1 +س
،
( - 1س3( )2س -سE 5)3س
ب إذا كانت المعادلتان البارامتريتان للدالة د حيث ص = د(س) هما: س = 2ن ، 3 + 3ص = ن 4أوجد عند ن = 1كل من : 2 Eص ال :معادلة مماس منحنى الدالة د أو ً ثان ًيا E :س2
8
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
4 4
ل�ل� ���است� احا� �اا
موضحا نقط االنقالب إن وجدت. أ ابحث تحدب منحنى الدالة د حيث د(س) = |س|1- 3 ً
ب
إذا كان 2-
2-
3
د(س) Eس = 5 ، 9
3 [ 5د(س) 6 -س ] Eس
3
د(س) Eس = ، 4أوجد قيمة
أ أوجد مساحة المنطقة المستوية المحصورة بين المنحنيين ص +س ، 6 = 2ص 2 +س . 0 = 3 -
ب إناء على هيئة اسطوانة دائرية قائمة ارتفاعها من الداخل 9سم وطول نصف القطر الداخلى لقاعدته 6سم .وضع داخله ساق معدنية طولها 16سم ،فإذا كان معدل انزالق الساق مبتعدة عن حافة االسطوانة 2سم/ث ،أوجد معدل انزالق الساق على قاعدة االسطوانة عندما تصل إلى نهاية قاعدتها. أ إذا كان معدل تغير ميل المماس لمنحنى عند أى نقطة عليه (س ،ص) هو 2 - 1 ( 6س) وكان للمنحنى نقطة حرجة عند س = 1وللدالة قيمة صغرى محلية تساوى . 4 ال :أوجد معادلة العمودى للمنحنى عند س = 1- أو ً موضحا القيم العظمى والصغرى ونقط االنقالب إن وجدت ال عا ًما للمنحنى ثان ًيا :ارسم شك ً ً
ب أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المستوية المحصورة بالمنحنيات :ص = س ، 1 + 3ص = ،0 س = ،0س = 1دورة كاملة حول محور السينات.
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
9
إجابات بعض تمارين
اقيتطت ددحم اللماكتلا
الوحدة االأولى حلول تمارين الدر�ص ()1-1
0
3 8 1027 6
18 16 10 3 7س 2 - 2قا س ظا س 3 8قتا (3 - 2س) ظتا (3 - 2س)
1 19 س) س 2قتا-r ( 2
- 0قتا2س قا( 2ظتا س) 2قتا2س (+1ظتاس) 2قتا (2-rس) ظتا (2-rس) 2جا 2س 15 +قتا3 2س 3قا3 2س 2 +قتا 2س ظتا 2س 3جا 6س 2 +قا2س ظا س 2 6قاس قا2 2س +ظا 2س قا س ظا س 7
3 2س
ظتا 2س قتا 2س
4- 8س قتا + 1( 2س )2ظتا ( + 1س)2 12 9قا2( 2س )r +ظا (2س )r + قتا س ظتا س- 0 + 1 2قتا س
2س ظتا 3س 3 -س 2قتا3 2س قتا س قتا س +ظتا س
7
2(3س )3 +قتا 3 2س * 2ظتا 3س ( 2س 2)3 + 2قاس ظا س r ( + 1قاس)2 4 أ
2-
ب
تمارين الدر�ص ()2-1 جـ أ
3
جـ ب
6
E 7 ص = -س = ( 1- Eس 3ص 3 3ص E 8 ص =1 Eس
0
2
د
س )3
9
Eص س = Eس 4ص Eص = (3 -س2 + 2ص) 3( 2س )2- Eس
6 8
ص2-س 2س-ص = = 2ص-س س2-ص ص= س+جتاص = ص جا س -جا ص س جتا ص +جتا س ص قتا 2س +قتا ص = ظتا س +س قتا ص ظتا ص ص 2جتا س 2 -س جا ص = س 2جتا ص 2 -ص جاس
Eص Eس Eص Eس Eص Eس Eص Eس Eص Eس E ص = ظتا 2س ظتا 2ص Eس Eص Eص = 127 - 3 -= r E 7س = -ظا 3 8 Eس Eص = 1 ) 23 -( 0 )3-( 9 Eس 2 مماسا رأس ًيا عندما ن = 23أو أ يكون للمنحنى ً
عندما ن = 1
ب يكون للمنحنى مماسا أفقيا عندما ن = 1 - ً ً 4
تمارين الدر�ص ()3-1
، 1 = Cب = ، 11جـ = 23- = E ، 19 ص = ، 67ص44 = / 12 /// ص60= ///س24-2 ص = (س4)1+ ص8- = ///جتا (2س)7- ص 27- = ///جا (3-rس) 3 7ص= /// 6ص4- = ///جتا2س 5 2 27
تمارين الدر�ص ()4 - 1
1 48
(2س )5 - 1- 6 9
أ معادلة المماس :س +ص 0 = 10 - ،معادلة العمودى :س -ص 0 = 4 + ب 12س -ص 0 = 86 - س 12 +ص 0 = 17 + جـ 12س -ص 0 = 38 - س 12 +ص 0 = 21 + أ ص ( 4 = 2 -س ) r4 - ص ( 14 - = 2 -س ) r4 -
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
ل�ل� ���است� احا� �اا ب
أ ب جـ د
جـ Eص = 2r 10 + 2س جا ( rس)2
ص ( 3 3- = 1 +س ) r3 - 1
ص=1+
( س ) r3 -
3 3
3س 2 +ص = 0 2س 3 -ص 0 = 26 - س-ص=0 س+ص0=2+ 2س+ص=0 س2-ص0=5+ ص= ، 0س= r 2
أ 2س 3 -ص 3 0 = 4-س 2 +ص 0 = 19 - ب 2س-ص( 3 0= 3 -س2+ص)=4 ص0=2+ ك=4 8٫5 6وحدة مربعة 7عند النقطة : )1 ،0 ( Cس -ص 0 = 1 + ،س +ص 0 = 1- عند النقطة ب ( : )1- ،0س +ص 0 = 1 + ،س -ص 0 = 1-
تمارين ()5 - 1 د
ب
ب
C
E ص = 0٫8-وحدة/ث Eن
Eس د E ص = r 2-جا r( 2س )1 + Eس هـ E ص = صفر Eس و E ص = 2قا 2س (2قا2 2س )1 - Eس Eس 7 = H 3 2- iE ب Eص 5-س 8أ Eص س Eس = 18ص2 Eس = 3ص جـ Eص س -ص د Eص = -3س 2ص Eس = س- س E ص2+ هـ Eص = -ص +جتا س س Eس و E ص = ظتا س ظتا ص Eس 9أ Eص = 2( 1س ( )1 +س 2)2 + Eس 5 Eص 6- ب ` Eس = 25 أ ب
EE 6من = r160سم/2ث
EE 7من = 3 3-سم /2ث
أ
E 8 ص = 50ث جم/سم/2ث Eن
ب
E 1- = Hسم /ث ` EEمن = 4-سم/ 2ث ` 9 Eن r 20
3- 0سم /د
48متر /د
` EEن / 0٫01- = iد E
60-سم / 2ساعة
اإجابات التمارين العامة د
6
ب أ
ب
جـ
جـ
E ص = 2 - 1قتا2 2س Eس E ص= Eس
3
1
3س2
4 4
ب
5 +قا 5س ظا 5س
س 9 - 3ص 0 = 24 +
3 3س +ص 0 = 12 - 2س -ص = 0 4س 8 +ص 0 = r5 - 3س +ص 0 = 10 - س 2 +ص 0 = 1 +
1وحدة مربعة
99 6سم/ث 9
س 3 -ص = 0
8-سم/ 2ث
34 0ك وحدة /ث 53 -متر /د
12سم/3ث / 0٫14د E
3 7 14وحدة مربعة /ث كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
2س -ص 0 = 3 -
1- 8وحدة /ث
83ث
10سم
784سم2
3
E ` EEن / 53 - = iد 1 r72 -م /د
/ 1- 6ث E
اقيتطت ددحم اللماكتلا
حل االختبار التراكمى جـ
C
6ن6 - 2ن 2 + (2 - 1ن)3
9
ب
د
س
6
6س 3 -ص 0 = 48 + أ
جـ
هـس * هـهـ
20 8
7
س 6 -ص 0 = r4 - 18 +
8
3 3 20 - 0سم /ث د
هـ
2 9
2لو أ
ب
هـ
ب
7
هـ 3
د
د
3(2- 7س 2-)1 -لو 3 هـ
8
هـ4
6
3 2
هـ 4
هـ 1-
15س 4هـ3س5
ب
هـس
1 0
تمارين ()2 - 2
* 1ن2
3 1 2
هـ
3ن ( - 1ن) * 2هـ4ن * 1ن2 9
12٫8جم /يوم 8جم /يوم
جـ
6هـ
3ن2 2هـ2ن
( - 1لو س)
هـ س 3 +ص -هـ 9 -هـ = 0
19٫3سم/ 2ث
الوحدة الثانية تمارين 1 - 2
1س 2-
س
1-
جـ
د
14هـ4س +ث
8 0
1
2 2 9س 7 - س 14 + س [ 2 + 1لو س] س (س )7 + هـ 4س 9 +8لو هـ 3 لو هـ 3 هـ3س [ لو س -س ـ (لو س)] 2 (2س )1 + س (س )2 +
0
هـس قا هـس طا هـس
6 6هـ3س 5 - س -لو هـ 1٫57 - 7 2 5 8 2٫64- 9 2
Eص 58 -ص = س2 Eس
E 0 ص =-ص Eس
س جا س [جاسس +جتا س لو س] هـ
8٫7جم /يوم
جـ
4 7لو |س| +هـ-س +ث
5س هـ 5( 2س)3 - 2
8
س= 2 3
120 هـ3
تمارين 3-2
(2س )1 -هـس - 2س
6
هـ س هـ * 1 -هـ س هـ
6 7 8 0
هـ
1 -هـ3-1س +ث
أ
جـ
6س2 + 3هـس +ث 7هـ3س + 4-ث
9 9
3 ( 23هـس + 3)1+ث 12هـ2س 2 +هـس 4 -هـ-س +ث 3 2لو (هـس + )1+ث 13هـ س + 1 +ث هـ 2 12لو ( س + )1+ث 14لو | 4س + |1 -ث هـ هـ لو | ظا س| +ث هـ لو | جا س -جتا س | +ث هـ لو | + 1جا س | +ث 9لو | قا س + |1 -ث هـ هـ لو | لو س| +ث هـ هـ 2 2لو | س + |1+س + 1+ث هـ 3 3 لو |س + |1-ث ( 13لو س ) +ث هـ هـ 3 لو |س 5 -س + | 1+ث هـ
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
ل�ل� ���است� احا� �اا
4لو |س| +هـ س +ث
هـ 4 6لو | لو 3س | +ث 7 هـ هـ
8د (4٫11- )3
8
+1( 13لو س) + 3ث هـ
د
م.ح = {}103
6م .ح = {}25
هـ
3لو |س| 2 -هـ2-س +ث
هـ 3لو |س| 12 +س 2لو + 3ث
هـ6
هـ1-
هـ2-
6
Eص = 2س Eس س3+2
E 0 ص= س
E
= 3س2 2
E ص= 2 س
E
3Eص
7 0
8
2س هـ 3-
Eص = + 2لو س2
Eس
هـ
7٫456-وحدة طول
3 6س-ص 0 = 1٫52 -س 3 +ص 0 = 15٫44 - 7ص = 8لو |س| 8 -لو 2 + 4 هـ
جـ
6
س3
3Eص
Eس 3Eص = 1 - س3 س 2لو 10 E هـ E ص = 2س [( +1س )1+لو ]2 س E هـ E
س3
3ن6
= 8 +6هـ2س
2
E هـ [جا س لو (3 - 1س) 3 +جتاس ] (3-1س)جتا س3-1س هـ س Eص = هـس ( + 1لو س ) سهـ Eس س هـ 1 س = هـ س= 3هـ
7س=
ب ص' = 2 س 14 -هـ جـ ص = ( 2س 1 - س)
7
أ
2
8
س 3 + 2لو |س| +ث
هـ س ب 2-هـ + -ث جـ
E ص = 3س [ 2+سس 2 + 3+س لو س] س
ب
جـ
14س
2Eص = 4- س2 E
3
د
أ ص' = 6س( 2س)1+3
صفر
4هـن
هـ
8س ∈ { }1٫65 - ، 1٫65
2
= 2 3
6س= 3
هـ
اجابات االختبار التراكمى
هـ
(هـس)1+
2
14س 23 - 4هـس +ث
هـ
12ظتا 2س -لو | جا س| +ث
7هـس
س 2س + 1+لو (س])1+2 9هـ [ س2 هـس
د
0م.ح = {}1٫654
6س هـ3س1 + 2
7
هـ
8م.ح = {}1٫91
9م.ح = {}2٫197
هـ
هـ
جـ
7م.ح = {}0٫399
3 9لو |س3 + 2س| +ث
2 0لو |س| +ث
اإجابات التمارين العامة أ
Eص = هـ1- هـ Eس
4 4
32لو | لو س| +ث هـ هـ
د(س) = ( 7س - 1+لو 2 - )2هـس
الوحدة الثالثة تمارين ()1-3
هـ
د متناقصة على ] [2 ،∞ -د متزايدة على ] [∞ ، 2 د متناقصة على ] [3 ،∞ -د متزايدة على ] [∞ ،3 د متزايدة على ] [0 ،∞ -د متناقصة على ] [4 ، 0 د متزايدة على ] [ ∞ ، 4
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
اقيتطت ددحم اللماكتلا
6 7 8 9 0
د متناقصة على ][ 3 -،∞ - د متزايدة على ] [ 3 ، 3 - د متناقصة على ] [ ∞ ، 3 د متناقصة على ][1- ،∞ - د متزايدة على ] [∞ ، 1- د متزايدة على ][2 ،∞ - د متناقصة على ] [∞ ، 2 د متزايدة على ][0 ،∞ - د متزايدة على ] [∞ ، 0 د متزايدة على ][2- ،∞ - متزايدة على ] [∞ ، 2- د متزايدة على ] ، [2 ،1متناقصة على ] [∞ ، 2 د متزايدة على ] [ ∞، 0 د متزايدة على ][0 ،∞ - د متناقصة على ] [∞ ، 0 د متناقصة على ] [ ∞ ،∞ - د(س) متزايدة على الفترة] [ r4 ، 0 د متناقصة على ] [ r2 ، 0 ،متزايدة على ] [r 32 ، r2 ،متناقصة على ] [r 2 ،r 32
تمارين2-3
د( 0 = )0قيمة عظمي محلية د( 4- = )2قيمة صغرى محلية د( 2- = )1-قيمة عظمى محلية د( 2 = )1قيمة صغرى محلية قيمة عظمى محلية د(0= )0 د( 1-= )1قيمة صغرى محلية د( 6 = )2-عظمى محلية ،د( 2 = )0صغرى محلية د( 1- = )1-صغرى محلية ،د( 0 = )0عظمى محلية د( 1- = )1صغرى محلية 6د( 16- = ) 2-صغرى محلية 3 3 3 16 عظمى محلية د( = ) 2 3 3 3
7 8 9 0
6 7
د( 2 = )1-عظمى محلية ،د( 2- = )1صغرى محلية د( 3 = )0عظمى محلية د( 0 = )2-قيمة صغرى محلية د( 3 = )2قيمة صغرى محلية د( 3- = )1-قيمة عظمى محلية د( 5 = )3قيمة صغرى محلية ال توجد قيم عظمى أو صغرى محلية د( 4 = )0قيمة عظمى محلية د( = )2هـ 2قيمة عظمى محلية د( 2 = )0قيمة صغرى محلية د( 1 = )1قيمة صغرى محلية د( 8 = )2لو 1٫55-4-قيمة عظمى محلية هـ
8د( 0 = )1قيمة صغرى محلية 9للدالة قيمة عظمى مطلقة =،3 قيمة صغرى مطلقة = 1- 0للدالة قيمة عظمى مطلقة = ، 2 قيمة صغرى مطلقة = 1 للدالة قيمة عظمى مطلقة = ، 2 قيمة صغرى مطلقة = 2 - للدالة قيمة عظمى مطلقة 0٫37 - وقيمة صغرى مطلقة = 0 ، 1 = Cب = ، 9-جـ = 0 = E ، 15
تمارين 3-3
أ [ ]5 ،4-ب { }2،2-جـ ][5 ، 0 د ] [0 ،4-هـ ( )0 ، 0و 2ز 8 المنحنى محدب ألعلى لكل س∈I ال توجد نقط انقالب التحدب :ألعلى على ][1 ،∞ - السفل على ] )1-،1( ، [∞ ، 1نقطة إنقالب التحدب :ألعلى على ]،[∞ ، 2 السفل على ] )46 ،2( ، [2 ،∞ -نقطة إنقالب.
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
ل�ل� ���است� احا� �اا 2التحدب :ألعلى على ] [ 2 ، 3 3
ص 4
6
3
2ألسفل على ] [∞ ، 2 ] ، [ 3 ،∞ -
2
3
6
7
8
9 0
2 64 2) 64 نقط االنقالب9 ، 3 ( ، ) 9 ، 3 ( : التحدب :ألعلى على ][0 ،1- ألسفل على ] [∞،1] ، [ 1- ،∞- نقط االنقالب) 32 ،1( ، ) 32 ،1-( : التحدب :ألعلى على ] [2 ،2- السفل على ] [∞ ،2] ، [2- ،∞ - ال توجد نقط انقالب التحدب :ألسفل على ] [4 ،∞ - ألعلى على ] [∞، 4 ال توجد نقط إنقالب لعدم وجود مماس للمنحنى عند نقطة ()4،4 التحدب :ألعلى على ] [∞،0] ، [ 0 ،∞- ال توجد نقط إنقالب = iظاr = )1( 1- 4
، 3=Cب =4
ص 4 3 2 1
س4
ص 2 1 س5
4
3
2
و 1-
1
23-
ص 4 3
2 1
س2
1
و 1-
1-
3
2
4 4
1
و
1 س4
7
8
9
0
3
2
1
و
( )5 ، 0مع محور الصادات ( )0 ، 5( ، )0 ،1مع محور السينات. د( 4- = )3صغرى محلية ( )3 ، 0مع محور الصادات ( )0 ، 3 -( ، )0 ، 3مع محور السينات. د( 3 = )0عظمى محلية نقط األنقالب)1،1( : د( 3 = )0عظمى محلية د( 1- = )2صغرى محلية نقط إضافية )3 ،3( ، )1- ،1-( : نقط األنقالب)2 ، 0( : د( 43 = )1صغرى محلية د( 83 = )1-عظمى محلية نقط إضافية)4- ، 3-( ، )8 ، 3( : نقط االنقالب)1 ، 0( : د( 1- = )2صغرى محلية د( 3 = )2-عظمى محلية نقط إضافية)1 ، 4-( ، )3 ، 4( : نقط االنقالب)2- ، 2( : د( 4- = )1صغرى محلية د( 0 = )3عظمى محلية التقاطع مع المحاور :المنحنى يمر بنقطة األصل نقط إضافية)4- ، 4( : نقط االنقالب )2 ، 0( : د( 4 = )1عظمى محلية د( 0 = )1-صغرى محلية نقط التقاطع مع المحاور: ( )0 ، 1-( ، )0 ، 2مع السينات )2 ، 0( ،مع الصادات نقط إضافية)4 ،2-( : نقط انقالب)2 ، 0( : د( 0 = )2صغرى محلية د( 0 = )2-عظمى محلية التقاطع مع المحاور )2 ، 0( :مع الصادات ( )0 ، 2( ، )0 ،4-مع السينات.
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
اقيتطت ددحم اللماكتلا
نقط االنقالب )2- ، 1( :فقط د( 4- = )2صغرى محلية نقط إضافية)3 ، 1-( : 6د( 4 = )0عظمى محلية و ال توجد نقط انقالب نقط إضافية = ()5 ، 5
تمارين 4-3
()1
3،2 15 ، 15 7٫5 = Hسم 900متر مربع. 20 ،20 ، 20 6من السنتيمترات. 2 5 7سم 2 5 ،سم ع 2= H 9 80000 8متر مربع 44100
2 15 ، 2 15سم r 0متر مربع أبعاد العلبة 18 ،9 ، 3من السنتيمترات 56وحدة طول ()4- ، 4( ، )4 ، 4 2 2 7أمبير c90 6 10سم 2250 8 9س= 3
حل التمارين العامة 6 7 8 9 0
6
د أ د ب جـ د متناقصة على ] [ 3 ،∞ -متزايدة على ] [ ∞ ، 3 د متزايدة على ] [∞ ، 12 ] ، [ 0 ،∞ - متناقصة على ] [ 12 ، 0 د متزايدة على ] [∞ ،∞ - د متزايدة على ] [2 ،∞ -متناقصة على ] [∞ ، 2 د متزايدة على ] [∞ ، 43 ] ، [ 0 ،∞ - متناقصة على ] [ 43 ، 0 د متناقصة على ] [3 ،∞ -متزايدة على ][∞ ،3 د متناقصة على ] [∞، 0] ، [ 0∞ - د(س)= س س 2د متزايدة على ][∞ ،2- ] ،[ 2- ،∞ - د متزايدة على ] [∞ ، 1] ، [1 ،∞ - تحدب ألسفل لكل س ∈ I تحدب ألعلى على ] [1 ،∞ - وألسفل على ] )2- ، 1(،[ ∞، 1نقطة انقالب
6
7 8
9 0
تحدب ألعلى على ][2 ،∞ - ألسفل على ] )7- ، 2( [∞ ، 2نقطة إنقالب تحدب ألعلى على ] [∞ ، 3 ] ، [ 0 ،∞ - تحدب ألسفل على ][3 ، 0 نقط االنقالب)81 ، 3( ، )0 ، 0( : تحدب ألسفل على ] [∞ ،2] ، [ 0 ،∞ - وألعلى على ] ، [2 ، 0نقط األنقالب)0 ،2( : تحدب ألعلى على ] [0،∞-وألسفل على ] [∞ ، 0 نقط االنقالب)7 ،0( : د( 13 = )3-قيمة عظمى محلية د( 7 = )0قيمة عظمى محلية د()0 د( 6 = )1قيمة صغرى محلية. 2 32قيمة عظمى محلية د( 27 = ) 3 د( 0 = )2قيمة صغرى محلية د( 8- = )2-قيمة صغرى محلية د( 8 = )0قيمة عظمى محلية د( 8- = )2قيمة صغرى محلية
د( 1- = )0قيمة صغري محلية. 6د غير متصلة عند س = 2 د( 2 = )1قيمة عظمى محلية د( 6 = )3قيمة صغرى محلية
7د( 12 - = )1-قيمة صغرى محلية د(1 = )9 18قيمة عظمى محلية. 8د ( 0 = )2قيمة صغرى محلية. 1٫6- 9قيمة صغرى محلية 0للدالة قيمة صغرى مطلقة = 9- وقيمة عظمى مطلقة = 18 القيمة الصغرى المطلقة = 0 القيمة العظمى المطلقة = 81 القيمة الصغرى مطلقة = 2 القيمة العظمى مطلقة = 18
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
4 4
ل�ل� ���است� احا� �اا
القيمة العظمى المطلقة = 2 القيمة الصغرى المطلقة = 7 8 قيمة عظمى مطلقة = ، 16 قيمة صغرى مطلقة = 6- 36قيمة عظمى مطلقة 4- ،قيمة صغرى مطلقة 54- 6قيمة صغرى مطلقة 3 ،قيمة عظمى مطلقة 7
ص 4 3 2
د(س)
س
5
4
3
2
2 س4
3
2
8
1
و 4- 3- 2- 1-
1
ص 4
3 2
د(س) س4
3
2
1 و 1-
1
ص
و 1- 1-
ص 7
4 3
1 1
ص 5
2 س 2
1
1
و 4- 3- 2- 1- 12-
6
3-
5
د(س)
4-
4 3 2 1 س4
3
2
1
و 1- 1-
ص
ص 8
9
7 6 5
س
4 3
د(س)
2 س4
3
2
1
1
و 4- 3- 2- 1-
ص 7
ص 5
0
6 5
د(س)
4
4
3
س4
3
2
1
3
2
2
و 4- 3- 2- 1-
و 1- 1-
1
1
س4
3
2
1
2-
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
7
اقيتطت ددحم اللماكتلا
6
الوحدة الرابعة تمارين 1- 4
ص 7
د(س)
6 5
ب
4 3 1 س4
7 8 9 0
2
3
و 2- 1-
` ، 6 = Eجـ = ، 2 = C ` 0ب = 3- بعدى المستطيل هما 5متر 5 ،متر ب 28وحدة مربعة 3سم3 r 250 = I 2 10سم 3 2
2وحدة مربعة
حل االختبار التراكمى أ د أ
] [ ∞، 2ب س = 2 ] [∞ ،5 ] ، [1- ، ∞-
عند س =
بC
جـ
3
مترا ً 2
6 7 8 9 0
هـ
( 23س ) 5 +س + 1 -ث 1 3 ( 15س2 + 2س 2 ) 2+س + 1 -ث 12هـ -س + 2ث -لو | هـ -س +س| +ث
توجد قيمة عظمى محلية
ص 3
6 7
9
س4
هـ
هـ
( 2س )1-هـ 2س +ث
2س 1 + 4هـ2س +ث1 16س 4 ( 4لو س + )1-ث
و 1-
هـ
6أ ، 3- = Cب = 3 ب التحدب :ألعلى على ][1 ،∞- ألسفل على ] [∞ ، 1التوجد نقطة انقالب )0 ، 74 ( 8 )3 ، 2( 7
8
2 ( 14لو س) + 4ث هـ هـ
( 12 0س )1- 2هـ س + 2ث
1 3
هـ
( 1لو 5س ) + 2ث
8لو | لو س | ث
2 2
30 1 ( 30س 5 [ 4)2-س4 + 2س + ] 2 +ث 1 ( 84س6 ( 6 )1- 2س + )1 + 2ث 3 2 ( 15س 3( 2 )4 +س + ) 8 -ث 5 2 ( 35س 5 ( 2 )1 +س + ) 9 -ث 1 ( 70س5 ( 5)3+ 2س5 - 4س + )3+ 2ث 16لو ( 3س + )2+ 2ث هـ
س -لو |س + |1+ث
س=5
ب د متزايدة على ] [ 52 ، ∞- متناقصة على ] [∞ ، 52 ( )0 ،1( ، )1 ،0( ، )0 ،1-نقط حرجه فترات التزايد [∞ ،1] ، [0 ،1-] : فترات التناقص [1 ،0 ] ، [1- ، ∞- ] : النقطة الحرجة )8 ،2 ( : تحدب ألعلى على ][2 ،∞- تحدب ألسفل ] [∞ ،2نقطة االنقالب )8 ،2( :
1
د
1 ( س 5 ( 5 )2 -س + )2 +ث
2 1
ب
س ( لو س + )2- 2ث هـ
ت = س [( لو س) 2 - 2لو س + ]2+ث 1
هـ
س ( + 1لو س ) +ث6
هـ2س
هـ
هـ
2[ 4س2+ 2س + ]1+ث
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
4 4
ل�ل� ���است� احا� �اا
14 7س (2[ 2لو س) 2- 2لو س + ]1+ث هـ
8ص = لو |س 3+ |3- هـ
2
6
هـ
تمارين 4 - 4
5 14وحدة مربعة 2لو 3وحدة مربعة
9ص = ( 15س3( )1+س 1+ )2- 0ص = س3- 3س 2+ د( 4 = )1-قيمة عظمى محلية
6 7 9 0
7 8 9 0
ب
د
جـ 16
14 3 7
3 9
112 5 1 2 أ
8
20 ) 2 -1(4 6 4٫43 - 8 4)4( 1 - 0 5 4 r
ب
12
جـ
7 - 16هـ3
6
3وحدة مربعة 6وحدة مربعة
هـ
أ د 3جا س +ث 12ظتا ( 2س + )3 +ث 14 - 8جتا 2س +ث جتا س +ثس+ث س 12 +جتا 2س +ث 16جا6س +ث 14جتا 4س +ث 13جا ( س + )5 + 3ث + 3 ( 16جا س) + 6ث 6جا س 4 -ظا س +ث 15قا 5س +ث 12س 14 +جا 2س +جا س +ث 52س 14 +جا 2س +ظا س +ث ظا س 12 -جا 2س +ث 2ص = 14 + 9س +جتا 2س ص = س + 8 + 2ظا س 2 ص = 2ظتا س 3 +
تمارين 3 - 4
أ
20 7
3 2
تمارين 2- 4
11
ب
صفر
جـ
ب
22
6
16 3 6وحدة مربعة
92وحدة مربعة 8د 7جـ 12وحدة مربعة
0ب 9جـ 7وحدة مربعة
38
10 23وحدة مربعة 2٫25 6وحدة مربعة 9 8وحدات مربعة
3وحدة مربعة 3وحدة مربعة 2٫5 7وحدة مربعة 22 0وحدة مربعة
تمارين 5 - 4
جـ ب r 9 6وحدة مكعبة r 24 8وحدة مكعبة
ب د r 9وحدة مكعبة 34 7وحدة مكعبة
r3 9وحدة مكعبة 8وحدة مكعبة r 36وحدة مكعبة ً أوال r8 :وحدة مكعبة r 512وحدة مكعبة ثان ًيا15 : r 9وحدة مكعبة r50 6وحدة مكعبة r32 0وحدة مكعبة 96 5وحدة مكعبة
التمارين العامة
د جـ 6 6س Eس جـ 3 2 ( 5 7س E 2 )3+س 1
أ
أ
1
( 3 8س +س ) - 1 ( 3س )Eس 5 - 9هـ 5-س Eس 2 ( 0س )3+هـ 2س3 + 2س Eس 2س Eس س1 + 2
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
10 2س لو س Eس هـ
9
اقيتطت ددحم اللماكتلا
3ظا ( 3س )1-قتا 3 ( 2س E )1-س4 5س2 6 س E 6 +س س E 425 6 2 4- 8س Eس 3 7ك Eس د 15 جـ 9 9أ 15ب 6 227 0س2 - 3س3 + 2س 4 - 12 46 5
23 73 3 1 4 ( 20 7س 4 ( )5 -س + )5+ث r 6 1 + 2ث 12 9ظا ( س + )2+ 2ث - 8 ( +1س ) 12هـ س + 3 + 2ث 14 0قا4س +ث 12لو ( هـ 2س +س + )2ث هـ 3 2 ( 35س 2 ( )1-س + )3+ث 1 25س 5 [ 5لو س + ]1-ث
r8
هـ
هـ 2س [ 2س + ]1-ث
6
64
8
22
3وحدة مربعة
7
3وحدة مربعة
7
أ
ب
106 8 9 0
جـ 6د
60
ب
ب 2 قا 3س +ث 3 س [3لو س + ] 23 - 2ث
أ صفر 13-
1 جـ
ب
3 ب
2 ب
5 د
4 ب
أ 1 -جتا 4س +ث ب 1 3 4 أ 14س 5 +ص 0 = 6 -
ب أ ب أ ب
6
جـ
2سم/د 6 ,دقيقة
د متناقصة على ] [ r34 ، r32
د متزايدة على ] [r 2 ، r34 ] ، [ r32 ،0 64وحدة مربعة 27 5وحدة مكعبة ص 2
46
5
س
1
3
4
1
2
و
1-
1-
23-
االختبار الثانى
جـ
س 6 + 2س +ث 2 5 ( 35س 12 + 2س ( ) 24 +س )3 -
أ 1 3 أ 1 3 هـ 2 ب 14هـ 2س + 1-ث
االختبار االأول
6
االختبار التراكمى
اإجابات االختبارات
3وحدة مربعة
9أ r 23وحدة مربعة ب + 2[ r2لو ]3وحدة مكعبة هـ r34 0وحدة مكعبة ب د
أ
43وحدة مربعة
ب
r 2٫4وحدة مكعبة
3 2
+ث
( +1جاس) + 3ث
صفر 4وحدة مربعة
1 ب أ ب
1
2 جـ
3 ب
4 أ
2 ( 80س 8( 4)1 -س + )1 +ث 14 -هـ 2 -س [ 2س ]1 +
' ص جا س -جتا ص أ ص = جتا س -س جا ص
ب أ ب
5 جـ
6 جـ
صغرى مطلقة = ، 5عظمى مطلقة = 13 د ( 1 - = )1 -قيمة صغرى محلية 2د( 1 = )1قيمة عظمى محلية 3 36سم/2د
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
4 4
ل�ل� ���است� احا� �اا
9وحدات مربعة
أ
ب
االختبار الثالث 1 ب
2 ب أ
ب
3 د
أ = ، 6 -ب = 9 5 أ
4 جـ
ب أ ب
ب
4
2
س ( + 1لو س)2 هـ المنحنى محدب ألعلى على ] [4 ، ∞ - ] [ ∞ ، 4والتوجد نقط انقالب
س
ب
أ
و
جـ
أ
و
2-
أ
س=0
د(2 = )1
هـ
2ظتا س + 5 +2ث 56لو |3س + |1 - 2ثهـ د متناقصة على ] ، [3 ، 1 متزايدة على ] [ ∞،3] ،[1 ،∞ - ( )1-قيمة صغرى مطلقة )3( ،قيمة عظمى مطلقة
أ
ب
r 256وحدة مكعبة 15 أ = ، 3 -ب = 0
ب
2دقيقة
30سم 60 ،سم
االختبار ال�ساد�ص: 3
جـ
4 د
س 2 - 3هـ2س +ث ( 23س )3 -س + 3 +ث 11 -
جـ
أ هـ 2 -
االختبار الرابع
ب
] [∞ ، 1
أ س 6 -ص 0 = r4 - 18 + ب
ب
و
س∈ ] ، [0 ، ∞-س∈ ] [∞ ، 2
4وحدات مربعة
ب
3
1
2
r7٫6سم/2ث
ب
أ ص
2
5
س∈ { }2 ،0
د
92وحدة مربعة
س
4
3
1
االختبار الخام�ص
17 = Hوحدة طول ل 3سم / 2د
2
ص
6 أ
أ 1 4 ( 20س ( )5 +س + 4)5 -ث (2س )1 -هـ 2س +ث ب قيمة عظمى مطلقة = ، 0 قيمة صغرى مطلقة = 27 - أ
أ
16وحدة مربعة
5
جـ
ب د(س) = 3س - 2س3
6
جـ
1
ب
2 أ
3 أ
4
ب
5 أ
أ 7 - 20 هـ 5س لو | r+س| +ث 35 - ،هـ هـ ب ( ، 12 أ = 13 -قتا 3س +ث
لو | 5 - 2س + |4ث
كتاب الطالب -الصف الثالث الثانوى
6
ب
) 1 2
6
اقيتطت ددحم اللماكتلا أ ب
أ r 3
قيمة عظمى مطلقة = 0 وقيمة صغرى مطلقة = 5 - ب = 12-
3 أ 20 ب 52وحدة مربعة r 4 ,وحدة مكعبة
االختبار ال�سابع : 1
2
ب
3
أ
أ ب أ ب
ب
ب
200 = H مترا ً
أ 3- 2
هـ أ ب
( )0 ،0 32وحدة مربعة 3
ب
6
ب 7قا س ظا س هـ قاس 4 د 2د(س) د س
و 1 2
13س 92 + 3س + 27 + 2ث هـ -س [ س2 + 2س + ]2 +ث 12س -ص 0 = r 3 - 2 +
أ 13 3 أ
r
أوالً :القيمة العظمى المطلقة = 5 القيمة الصغرى المطلقة = 1 ثان ًيا 4 :وحدات مربعة r 2وحدة مكعبة
االختبار الثامن جـ
ب
أ
ب
س جتا س +جا س +ث )1 - 2 2( 23 ،ص=سr - 4 المنحنى محدب السفل لكل س∈ I والتوجد نقط انقالب 6سم/3ث
أ 116 15 أ
أ
4
5
6
القيمة العظمى المطلقة = 6 والقيمة الصغرى المطلقة = 1 34 -م/د
االختبار التا�سع: 2
1
د
أ
أ
ب اوالً 13 :وحدة مربعة ثان ًيا r57 :وحدة مكعبة
3 أ
32لو |س+| 1- 2ث
4
ب
6
5
جـ
جـ
هـ
هـ 3س [3س2- 2س + ] 23 +ث ب c18 '26 ب ص = 4س 5 + أ ب
أ جـ
= 7 / 100د د( 8 = )1 -قيمة عظمى محلية ،د( 4 = )1قيمة صغرى محلية )6 ،0( ،نقطة إنقالب ص = 13س 2 +ب ( )3 ،3 د r 45وحدة مكعبة ص=س 2 E
االختبار العا�سر : أ جـ أ
ب أ
ب أ أ ب
ب 6قتا 2س ( 2- 5ظتا س)2
هـ هـ صفر 3د 16 - 13 -لو |جتا ( 3س + |)1 +ث
و 16 15
هـ
1 3 ( 18س -س + 5)3ث
أوالً 2 :س 3 -ص 0 = 7 - تحدب ألعلى على ] [0 ،0 تحدب ألسفل على ] [ ∞،1 ] ، [0 ،∞- ( )1 ،0نقطة إنقالب ب = 48 - 32وحدات مربعة ب 52سم/ث 3 أوالً :ص = 1 ( 12س 9 + )1 + ثان ًيا ) 32 ، 12 ( :نقطة انقالب r 23وحدة مكعبة 14
كتاب الرياضيات البحتة -التفاضل والتكامل
ثان ًيا:
1 9
ô° û H
1 7 2
http://elearning.moe.gov.eg