Math applacation 2sec sb t1 a by Ybalja

‫ا‬ ‫ل‬ ‫ق‬ ‫سم‬

‫§‪WO°dF∞« dB± W¥¸uNL‬‬ ‫‪rOKF∑∞«Ë WO°d∑∞« …¸«“Ë‬‬ ‫‪V∑J∞« ŸUDÆ‬‬

‫تطبيقات‬

‫ا‬ ‫ل‬ ‫ع‬ ‫لمى‬

‫كتـــاب‬

‫الطـالـــب‬

‫الصف الثانى الثانوى‬ ‫ت�أليف‬ ‫�أ‪ /‬كم�ل يون�س كب�شة‬ ‫�أ‪.‬د‪ /‬نبيل توفيق �ل�شبع‬

‫�أ‪� /‬شري�فيم �إلي��س �إ�شكندر‬

‫‪2016 - 2015‬‬

‫المقدمة‬ ‫بسم ال� ل�ه الرحمن الرحيم‬ ‫يشهد عالم اليوم تطو ًرا علميًّا مستم ًرا ‪ ،‬وجيل الغد يلزمه أن يتسلح بأدوات تطور عصر الغد؛ حتى‬ ‫ً‬ ‫وانطالقا من هذا المبدأ سعت وزارة التربية والتعليم‬ ‫يستطيع مواكبه االنفجار الهائل في العلوم المختلفة‪،‬‬ ‫إلى تطوير مناهجها عن طريق وضع المتعلم في موضع المستكشف للحقيقة العلمية باإلضافة إلى‬ ‫تدريب الطالب على البحث العلمى في التفكير؛ لتصبح العقول هى أدوات التفكير العلمى وليست مخازن‬ ‫للحقائق العلمية‪.‬‬ ‫ونحن نقدم هذا الكتاب « تطبيقات الرياضيات» للصف الثانى الثانوى؛ ليكون أداة مساعدة يستنير‬ ‫بها أبناؤنا على التفكير العلمى‪ ،‬ويحفزهم على البحث واالستكشاف ‪.‬‬ ‫وفى �ضوء ما �ضبق روعى فى الكتاب « تطبيقات الريا�ضيات » مايلى‪:‬‬

‫‪ ‬تقسيم الكتاب إىل ثالثة أجزاء امليكانيكا ‪ -‬الهندسة والقياس ‪ -‬االحتمال‪ ،‬وكل جزء مقسم إىل وحدات متكاملة‬ ‫ومرتابطة‪ ،‬لكل منها مقدمة توضح مخرجات التعلم املستهدفة ومخططٌ تنظيمى لها‪ ،‬واملصطلحات الواردة‬ ‫يوضح الهدف من تدريسها للطالب تحت عنوان (سوف‬ ‫بها باللغة العربية واإلنجليزية‪ ،‬ومقسمة إىل دروس َّ‬ ‫تتعلم)‪ .‬ويبدأ كل درس من دروس كل وحدة بالفكرة األساسية ملحتوى الدرس‪ ،‬وروعى عرض املادة العلمية‬ ‫من السهل إىل الصعب‪ ،‬ويتضمن الدرس مجموعة من األنشطة التى تربطه باملواد األخرى والحياة العملية‪،‬‬ ‫والتى تناسب القدرات املختلفة للطالب‪ ،‬وتراعى الفروق الفردية من خالل بند (اكتشف الخطأ ملعالجة بعض‬ ‫األخطاء الشائعة لدى الطالب)‪ ،‬وتؤكد عىل العمل التعاونى‪ ،‬وتتكامل مع املوضوع‪ ،‬كما يتضمن الكتاب بعض‬ ‫القضايا املرتبطة بالبيئة املحيطة وكيفية معالجتها‪.‬‬ ‫‪ ‬كما ُقدِّم ىف كل درس أمثلة تبدأ من السهل إىل الصعب‪ ،‬وتشمل مستويات التفكري املتنوعة‪ ،‬مع تدريبات‬ ‫عليها تحت عنوان (حاول أن تحل)‪ ،‬وينتهى كل درس ببند «تمارين»‪ ،‬ويشمل مسائل متنوعة‪ ،‬تتناول‬ ‫املفاهيم واملهارات التى درسها الطالب ىف الدرس‪.‬‬ ‫‪ ‬تنتهى كل وحدة بملخص للوحدة‪ ،‬يتناول املفاهيم والتعليمات الواردة بالوحدة‪ ،‬وتمارين عامة تشمل مسائل‬ ‫متنوعة عىل املفاهيم واملهارات التى درسها الطالب ىف هذه الوحدة‪.‬‬ ‫‪ ‬تُختم وحدات الكتاب باختبار تراكمى‪ ،‬يقيس بعض املهارات الالزمة لتحقيق مخرجات تعلم الوحدة‪.‬‬ ‫‪ ‬ينتهى الكتاب باختبارات عامة‪ ،‬تشمل بعض املفاهيم واملهارات التي درسها الطالب خالل الفصل الدراىس‪.‬‬ ‫وأخير ًا ‪..‬نتمنى أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه خير لأولادنا‪ ،‬ولمصرنا العزيزة‪.‬‬ ‫وال� �له من وراء القصد‪ ،‬وهو يهدى إلى سواء السبيل‬

‫المحتويات‬ ‫أوال‪ :‬امليكانيكا‬ ‫مقدمة عن تطور علم الميكانيكا‪.‬‬

‫‪...................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪2‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫‪........................................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪12‬‬

‫‪20‬‬

‫‪...............................................................................................................................................‬‬

‫‪25‬‬

‫‪.......................................................‬‬

‫‪31‬‬

‫‪43‬‬

‫‪45‬‬

‫‪47‬‬

‫االستــاتيكــا‬

‫‪ 1 - 1‬القــوى‪.‬‬

‫‪ 2 - 1‬تحليل القوى‪.‬‬

‫‪ 3 - 1‬محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة‪.‬‬

‫‪ 4 - 1‬اتزان جسيم تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫ملخص الوحدة‪.‬‬ ‫تمارين عامة‬

‫اختبار تراكمى‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫‪................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪52‬‬

‫‪............................................................................................................................................................‬‬

‫‪64‬‬

‫‪73‬‬

‫‪78‬‬

‫‪83‬‬

‫تمارين عامة ‪.‬‬

‫‪86‬‬

‫اختبار تراكمى‬

‫‪88‬‬

‫‪ 1 - 2‬الحركة المستقيمة‪.‬‬

‫الديناميكا‬

‫‪ 2 - 2‬الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة‪.‬‬ ‫‪ 3 - 2‬السقوط الحر‪.‬‬

‫‪ 4 - 2‬قانون الجذب العام‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫ملخص الوحدة‪.‬‬

‫المحتويات‬ ‫ثانيًا‪ :‬الهندسة والقياس‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫‪...........................................................................................................................................................................‬‬

‫‪92‬‬

‫‪98‬‬

‫الهندسة و القياس‬

‫‪ 1 - 3‬المستقيمات والمستويات فى الفراغ‪.‬‬ ‫‪ 2 - 3‬الهرم والمخروط‪.‬‬

‫‪......................................................................................................................................................‬‬

‫‪103‬‬

‫‪...........................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪107‬‬

‫‪112‬‬

‫‪123‬‬

‫‪124‬‬

‫‪126‬‬

‫‪ 3 - 3‬المساحة الكلية لكل من الهرم والمخروط‪.‬‬ ‫‪ 4 - 3‬حجم الهرم والمخروط القائم‪.‬‬ ‫‪ 5 - 3‬معادلة الدائرة‬ ‫َّ‬ ‫ملخص الوحدة‪.‬‬ ‫تمارين عامة ‪.‬‬ ‫اختبار تراكمى‬

‫ً‬ ‫ثالثا‪ :‬االحتمال‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫‪....................................................................................................................................................................................................................................‬‬

‫‪130‬‬

‫‪147‬‬

‫تمارين عامة ‪.‬‬

‫‪149‬‬

‫اختبار تراكمى‬

‫‪152‬‬

‫االحتمال‬

‫‪ 1 - 4‬حساب االحتمال‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫ملخص الوحدة‪.‬‬

‫اختبارات عامة‪.‬‬

‫إجابات بعض التمارين‬

‫‪155‬‬ ‫‪166‬‬

‫الميكانيكا‬ ‫مقدمة عن تطور علم الميكانيكا‬ ‫الميكانيكا بالمفهوم العام هو العلم الذى يقوم بدراسة حركة أو اتزان األجسام المادية‪ ،‬وذلك باستخدام القوانين‬ ‫فمثال هناك قوانين َتسري على دوران األرض حول الشمس وإطالق الصواريخ أو قذيفة المدفع أو‬ ‫الخاصة بها‪ ،‬اً‬ ‫غير ذلك‪ .‬ويقصد بها التغير الذى َيحدث بمرور الزمن لمواضع األجسام المادية فى الفراغ‪ ،‬والتأثير الميكانيكى‬ ‫المتبادل بين األجسام هو التأثير الذى تتغير له حركة هذه األجسام‪ ،‬طب اًقا لتأثيرات القوى المختلفة عليها ‪ ،‬لذلك فإن‬ ‫المسألة األساسية فى الميكانيكا هى دراسة القوانين العامة لحركة واتزان األجسام المادية تحت تأثير القوى عليها‪.‬‬ ‫ويمكن تقسيم الميكانيكا إلى قسمين هما‪:‬‬

‫الإ�ستاتيكا‪1‬‬

‫‪Statics‬‬

‫(علم توازن األجسام) يبحث فى سكون األجسام تحت تأثير مجموعة من المؤثرات ُتسمى القوى ‪ ،‬وتوصف القوى‬ ‫التى ال ُتغير من حالة الجسم بأنها متزنة‪ ،‬ويقال للجسم‪ :‬إنه فى حالة توازن تحت تأثير هذه القوى‪.‬‬ ‫وقد بدأت الدراسة العامة التزان األجسام (اإلستاتيكا) فى العصور القديمة نتيجة لمتطلبات اإلنتاج البسيطة فى هذا الوقت‬ ‫(كالرافعة والبوابة والمستوى المائل وغيرها) وكان لمؤلفات أرشميدس دور مهم فى هذا الوقت لترسيخ علم اإلستاتيكا‪.‬‬ ‫الديناميكا ‪2‬‬

‫‪Dynamics‬‬

‫(علم حركة األجسام) والتى تتضمن قوانين حركة األجسام المادية تحت تأثير القوى ‪ ،‬وتنقسم الديناميكا إلى‪:‬‬ ‫الكينماتيكا ‪ Kinematics‬وهى تبحث فى خصائص الحركة من الوجهة الهندسية (وصف الحركة وص اًفا مجر اًدا دون‬ ‫التعرض للقوى المسببة لها)‪ ،‬والكيناتيكا ‪ Kinetics‬وهى تبحث فى تأثير القوى المسببة أو المغيرة للحركة‪ ،‬وقد‬ ‫تلت الديناميكا فى دراستها اإلستاتيكا بأمد طويل؛ نتيجة النهضة فى مجاالت النقل والتجارة والصناعة واإلنتاج‬ ‫وصناعة األسلحة واالكتشافات الفلكية‪.‬‬

‫وهناك‪:‬‬ ‫ميكانيكا النقطة المادية (أى الجسم الذى يمكن إهمال أبعاده عند بحث حركته أو اتزانه)‪.‬‬ ‫جدا من الجسيمات المترابطة مع بعضها‬ ‫ميكانيكا الجسم الجاسئ ‪( Rigid Body‬أى الجسم المكون من عدد كبير ًّ‬ ‫البعض؛ بحيث إن المسافة بين أي جسيمين منها تكون ثابتة وال تتأثر بأي مؤثر خارجي)‪.‬‬ ‫‪ 1‬سوف ندرس فى هذه الوحدة مفهوم القوة وخواصها ووحدات قياسها وتحليل القوة إلى مركبتين‪ ،‬وإيجاد محصلة عدة قوى متالقية فى نقطة ‪ ،‬ثم‬ ‫دراسة اتزان نقطة مادية تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة‪ ،‬وتطبيقات عليها‪.‬‬ ‫‪ 2‬سوف ندرس فى هذه الوحدة (الكينماتيكا) وهى التى تختص بوصف حركة األجسام دون التعرض للقوى المسببة لها‪ ،‬وتتناول هذه الدراسة حركة‬ ‫األجسام‪ ،‬والظواهر المصاحبة لهذه الحركة‪ ،‬ومسببات الحركة وقوانينها‪ ،‬وتطبيقات على الحركة األفقية والرأسية بعجلة منتظمة‪ ،‬وقانون الجذب‬ ‫العام لنيوتن‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫اكيملكيمل‬

‫ميكانيكا األجسام ذات الكتل المتغيرة (توجد لبعض األنظمة واألجسام َتغيرات َتطرأ عليها تتغ َّير فيها الكتلة‬ ‫بتغير الزمن كأن َينفصل عنها أو يتحد بها ُجسيمات َتنقص أو َتزيد من كتلتها فى أثناء الحركة‪ ،‬ومن هذه األجسام‬ ‫ِ‬ ‫الوقود وغيرها من األنظمة المختلفة)‪.‬‬ ‫الصواريخ النفاثة وعربات المناجم التى َتتغير كتلتها نتيجة استهالك‬ ‫ميكانيكا األجسام القابلة للتشكيل (المرونة ‪ )Elasticity‬هى خاصية األجسام التى لها القدرة على الرجوع إلى شكلها‬ ‫عرض األجسام إلى مؤثرات خارجيةتتغير أشكالها‬ ‫و أبعادها األصلية بعد تشكيلها‪ ،‬أما اللدونة ‪ Plasticity‬وهي عند َت ُّ‬

‫وال تعود إلى حالتها الطبيعية عند زوال المؤثِّر الخارجي‪.‬‬

‫تطور علم الميكانيكا‪:‬‬ ‫الميكانيكا الكال�سيكية‬

‫‪Classical machanics‬‬

‫تعد أقدم فروع الميكانيكا حيث تهتم بدراسة القوى التى تؤثر على األجسام ‪ ،‬كما تهتم بتفسير حركة الكواكب‬ ‫وتساعد كذلك فى العديد من التقنيات الحديثة (الهندسة اإلنشائية والهندسة المدنية والمالحظة الفضائية ‪.)...‬‬

‫ميكانيكا الكم‬

‫‪Quantum mechanics‬‬

‫هي مجموعة من النظريات الفيزيائية التي ظهرت فى القرن العشرين‪ ،‬وذلك لتفسير الظواهر على مستوى الذرة‬ ‫والجسيمات‪ ،‬وقد دمجت بين الخاصية الجسيمية والخاصية الموجية ليظهر مصطلح ازدواجية (الموجة – الجسيم)‬ ‫‪ ،‬وبهذا ُتصبح ميكانيكا الكم مسئولة عن التفسير الفيزيائي على المستوى الذري‪ ،‬لذلك ميكانيكا الكم هي تعميم‬ ‫للفيزياء الكالسيكية إلمكانية تطبيقها على المستويين الذري والعادي‪ ،‬وسبب تسميتها بميكانيكا الكم يعود إلى‬ ‫كمية من الطاقة ُيمكن َتبادلها بين الجسيمات‪،‬‬ ‫أهم ّية الكم فى بنائها (وهو مصطلح فيزيائي يستخدم لوصف أصغر ّ‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫بشكل ُمستمر)‪.‬‬ ‫بشكل متقط ٍع‪ ،‬وليس‬ ‫و ُيستخدم لإلشارة إلى كميات الطاقة المحددة التي َتنبعث‬

‫ميكانيكا الموائع‬

‫‪Fluid Mechanics‬‬

‫أساسا الموائع (السوائل والغازات )‪ ،‬ويدرس هذا التخصص السلوك‬ ‫هى أحد فروع ميكانيكا الكم وهي تدرس اً‬ ‫الفيزيائى لهذه المواد‪ ،‬وتنقسم إلى إستاتيكا الموائع ودراستها فى حالة عدم الحركة وديناميكا الموائع ودراستها فى‬ ‫حالة الحركة‬

‫الميكانيكا الحيوية ‪:Biomechanics‬‬ ‫علم الميكانيكا الحيوية (البيوميكانيك) هو علم دراسة القوانين العامة فى حركة أى كائن حى والتحليل الميكانيكي‬ ‫لحركة األجسام الحية من جميع النواحى ( التشريحية ‪ -‬الفسيولوجية ‪ -‬البدنية ‪ -‬الميكانيكية ‪ ،)...‬والذى يتعامل مع‬ ‫القوة على األجسام الحية سواء كانت فى حالة السكون أو الحركة‪ ،‬ومن أمثلة ذلك ‪ :‬حركة األمعاء‪ ،‬وتدفق الدم‬ ‫فى الشرايين‪ ،‬وانتقال البويضة فى قناة فالوب‪ ،‬وانتقال السوائل فى الحالب من الكلية إلى المثانة‪ ،‬وعملية هضم‬ ‫الطعام وحركته‪ ،‬ومن خالل التحليل الميكانيكي يمكن التوصل إلى حاالت جديدة ومالئمة لتطوير مستوى األداء‪.‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪3‬‬

‫الوحدة األولى‪:‬‬

‫النظرية الن�سبية العامة‬ ‫النظرية النسبية ألينشتاين غ ّيرت الكثير من المفاهيم فيما يتعلق بالمصطلحات األساسية فى الفيزياء‪ :‬المكان‪،‬‬ ‫الزمان الكتلة والطاقة؛ حيث أحدثت نقلة نوعية فى الفيزياء النظرية وفيزياء الفضاء فى القرن العشرين‪.‬‬ ‫بأن كل الحركة نسبية‪ .‬ومفهوم الوقت َتغير من كونه‬ ‫قامت نظرية النسبية بتحويل مفهوم الحركة‪ ،‬حيث نَ َّصت َّ‬ ‫موحدا بعد أن كان يتم التعامل معهما‬ ‫عدا آخر غير مكاني‪ .‬وجعلت الزمان والمكان شي اًئا‬ ‫اً‬ ‫ثاب اًتا ومحد اًدا‪ ،‬إلى كونه ُب اً‬ ‫مدد الزمن مفهو اًما‬ ‫كشيئين مختلفين‪ .‬وجعلت مفهوم الوقت يتوقَّف على سرعة األجسام‪ ،‬وأصبح تقلص البعد و َت ُّ‬ ‫أساس ًّيا لفهم الكون‪.‬وبذلك َتغيرت كل الفيزياء الكالسيكية النيوتونية‪.‬‬ ‫‪General relativity theory‬‬

‫نشاط‬ ‫‪ - 1‬استخدم الشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت) فى البحث عن دور علماء الرياضيات فى تطور علم الميكانيكا‬ ‫وإليك بعض نتائج البحث‪:‬‬ ‫كان للعالم اإلنجليزى إسحق نيوتن ‪ Isaac Newton‬الفضل فى تمهيد الطريق لعلم الميكانيكا الكالسكية عن طريق‬ ‫قوانين الحركة التى فسرت الكثير من الظواهر الطبيعية والفلكية‪ ،‬كما كان للعالم األلماني يوهانز كيبلر ‪johannes‬‬ ‫‪ Kepler‬وجاليليوجاليلي اإليطالى ‪ Galileo Galilei‬دور عظيم فى وضع قوانين تصف حركة الكواكب؛ حيث بينت‬ ‫أيضا حركة الكواكب حول الشمس وفق المنظور الجديد الذي‬ ‫قوانين كيبلر أن هناك قوة تجاذب بينها‪ ،‬وبينت اً‬ ‫يعتمد على مركزية الشمس بشكل أصبحت فيه الحسابات تطابق األرصاد الفلكية إلى درجة كبيرة‪ ،‬وقد ظلت هذه‬ ‫القوانين سائدة منذ القرن السابع عشر حتى ظهور النظرية النسبية التى صاغها أينشاتين ‪ Einstein‬خالل السنوات‬ ‫‪ 1916 - 1905‬وميكانيكا الكم التى اشترك فى صياغتها ماكس بالنك ‪ Max plank‬وهينزبرج ‪ Heyznberg‬وشرودنجر‬ ‫‪ Schrodinger‬وديراك ‪ Dirac‬فى بداية القرن العشرين‪.‬‬ ‫كما ابتكر الدكتور أحمد زويل ‪ Dr. Ahmed Zewail‬نظام تصوير سري اًعا للغاية‪ ،‬يعمل باستخدام الليزر‪ ،‬له القدرة‬ ‫على رصد حركة الجزيئات عند نشوئها وعند التحام بعضها ببعض‪ ،‬وقد سجل أحمد زويل فى قائمة الشرف بالواليات‬ ‫المتحدة األمريكية والتى تضم إلبرت أينشتاين وألكسندر جراهام بيل‪.‬‬ ‫‪http: //ar.wikipedia.org‬‬ ‫ولمزيد من المعلومات ابحث فى الموسوعة الحرة (ويكبيديا) على الموقع‪:‬‬ ‫وحدات القيا�س‪:‬‬ ‫عندما يتقدم أحد الطالب إلى الكليات العسكرية فإنه يقوم بإجراء بعض الفحوصات الطبية مثل قياس الطول‪،‬‬ ‫والوزن ‪ ،‬وضغط الدم‪ ،‬ومعدل ضربات القلب‪ ... ،‬فعملية القياس هى مقارنة مقدار بمقدار آخر من نفس النوع‪،‬‬ ‫وذلك لمعرفة عدد مرات احتواء المقدار األول إلى المقدار الثانى‪ ،‬والنظام المستخدم فى معظم أنحاء العالم هو‬ ‫النظام الدولى للوحدات‪International system of units (SI) .‬‬

‫‪Measuring Units‬‬

‫‪4‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫اكيملكيمل‬

‫ويتضمن هذا النظام الدولى للوحدات )‪ (SI‬سبع وحدات أساسية‪ ،‬وقد ُحددت وحدات هذه الكميات األساسية باستخدام‬ ‫القياس المباشر معتمدة على وحدات معيارية لكل من الطول والزمن والكتلة المحفوظة بدائرة األوزان والمقاييس‬ ‫بفرنسا‪ ،‬أما الوحدات األخرى فيمكن اشتقاقها من الوحدات األساسية‪ ،‬وسنختص فى دراستنا بالكميات اآلتية‪:‬‬

‫ا اً‬ ‫أول‪ :‬الكميات الأ�سا�سية ووحدات قيا�سها فى نظام (‪)SI‬‬ ‫الطول‬

‫الكمية األساسية‬

‫‪ length‬متر‬

‫الكتلة‬

‫الوحدة األساسية‬

‫‪ mass‬كيلو جرام‬

‫الزمن‬

‫‪Fundamental quantities‬‬

‫الرمز‬

‫‪ meter‬م‬

‫‪ kilogram‬كجم‬

‫‪ time‬ثانية‬

‫(‪)m‬‬

‫(‪)kg‬‬

‫(‪)s‬‬

‫‪ second‬ث‬

‫ومن مميزات استخدام وحدات النظام الدولي هو سهولة التحويل بين الوحدات‬

‫اأ�سف اإلى معلوماتك‬ ‫‪ -1‬الفيمتو ثانية‬ ‫الفيمتو ثانية‪ :‬هو جزء من مليون مليار جزء من الثانية‪ ،‬أي (عشرة مرفوعة للقوة (‪ ))15-‬من الثانية والنسبة بين الثانية‬ ‫والفيمتو ثانية هي النسبة بين الثانية و‪ 32‬مليون سنة‪.‬‬ ‫‪Femtosecond‬‬

‫فى عام‪1990‬م َتمكَّن العالم المصرى أحمد زويل من تثبيت اختراعه المعروف بكيمياء الفيمتو‪ ،‬وذلك بعد جهد‬ ‫ٍ‬ ‫مضن مع فريق بحثه القابع فى معهد كاليفورنيا للتقنية امتد منذ عام ‪ ،1979‬وي َتل َّخص اختراعه فى اختراع وحدة‬ ‫وتوصل هذا العالم إلى اكتشافه العلمي باستخدام‬ ‫زمنية تخطَّت حاجز الزمن العادي إلى وحدة زمن الفيمتو ثانية‪،‬‬ ‫َّ‬ ‫نبضات ليزر قصيرة المدى وشعاع جزيئي داخل أمبوب مفرغ ‪ ،‬وكاميرا رقمية ذات مواصفات فريدة‪ ،‬وذلك لتصوير‬ ‫حركة الجزيئات منذ والدتها وقبل التحاقها بباقي الجزيئات األخرى‪ ،‬وأصبح باإلمكان التدخل السريع ومباغتة‬ ‫التفاعالت الكيميائية عند حدوثها باستخدام نبضات الليزر كتليسكوب للمشاهدة‪ ،‬ومتابعة عمليات الهدم والبناء‬ ‫مفتوحا الستخدام هذا االكتشاف العلمي فى مجال الطب‪،‬‬ ‫فى الخلية‪ ،‬وقد جعل هذا العالم العربي العمالق الباب‬ ‫اً‬ ‫وس ِّجلت باسمه مدرسة علمية جديدة ُع ِرفَت باسم كيمياء الفيمتو‪.‬‬ ‫والفيزياء‪ ،‬وأبحاث الفضاء وغيرها الكثير‪ُ ،‬‬

‫‪ -2‬مضاعفات الوحدات‬ ‫الوحدة‬

‫تيرا‬ ‫جيجا‬ ‫ميجا‬ ‫كيلو‬

‫‪tera‬‬ ‫‪giga‬‬ ‫‪mega‬‬ ‫‪kilo‬‬

‫الرمز‬ ‫‪T‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪K‬‬

‫القياس‬ ‫‪1210‬‬ ‫‪910‬‬ ‫‪610‬‬ ‫‪310‬‬

‫كسور الوحدات‬

‫ديسي‬ ‫سنتي‬ ‫مللي‬ ‫ميكرو‬ ‫نانو‬ ‫بيكو‬ ‫فمتو‬

‫الوحدة‬

‫‪deci‬‬ ‫‪centi‬‬ ‫‪milli‬‬ ‫‪micro‬‬ ‫‪nano‬‬ ‫‪pico‬‬ ‫‪femto‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫الرمز‬ ‫‪d‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪f‬‬

‫القياس‬ ‫‪1-10‬‬ ‫‪2-10‬‬ ‫‪3-10‬‬ ‫‪6-10‬‬ ‫‪9-10‬‬ ‫‪12-10‬‬ ‫‪15-10‬‬ ‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪5‬‬

‫الوحدة األولى‪:‬‬

‫وعلى ذلك يمكن تحويل ٍّ‬ ‫كل من الوحدات التالية إلى الوحدات المناظرة لها‪:‬‬ ‫‪ 2٫75 1‬كم إلى م‪.‬‬

‫‪ 635 2‬مم إلى ديسم‪.‬‬

‫‪ 750 3‬كيلو هرتز إلى ميجا هرتز‪.‬‬

‫‪ 1970 4‬جم إلى كجم‪.‬‬ ‫على النحو التالى‪:‬‬

‫= ‪ 2750 = 1000 * 2٫75‬م‬

‫‪ 2٫75 1‬كم‬ ‫‪ 635 2‬مم‬

‫= ‪635‬‬

‫* ‪2 - 10‬‬

‫= ‪ 6٫35‬ديسم‬

‫= ‪1970‬‬

‫* ‪3- 10‬‬

‫= ‪ 1٫97‬كيلو جرام‪.‬‬

‫‪ 750 3‬كيلو هرتز = ‪750‬‬ ‫‪ 1970 4‬جم‬

‫= ‪ 0٫75‬ميجا هرتز‬

‫* ‪3 - 10‬‬

‫تذكر اأن‬ ‫كم = ‪1000‬م‬ ‫م = ‪ 10‬ديسم‬

‫ديسم = ‪ 10‬سم‬ ‫سم = ‪ 10‬مم‬

‫ثانياًا‪ :‬الكميات الم�ستقة ‪Derived quantities‬‬ ‫هل تعلم‬

‫‪ 1‬وحدة قيا�س ال�سرعة‬

‫تعرف السرعة بأنها معدل تغير المسافة بالنسبة للزمن‪.‬‬ ‫وحدة قياس السرعة = وحدة قياس المسافة ÷ وحدة قياس الزمن‬ ‫فإن السرعة تقاس بوحدة‪ :‬متر ‪ /‬ثانية (م‪/‬ث)‪.‬‬

‫‪ 2‬العجلة‬

‫تعرف العجلة بأنها معدل تغير السرعة بالنسبة للزمن ويكون‪:‬‬ ‫مترا ‪ /‬ثانية مربعة (م‪/‬ث‪.)2‬‬ ‫وحدة قياس العجلة ‪ :‬اً‬

‫وعلى ذلك يمكن تحويل ٍّ‬ ‫كل من الوحدات التالية إلى الوحدات المناظرة لها‪:‬‬ ‫‪ 1 1‬كم‪/‬س إلى م‪/‬ث‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ 1‬كم ‪/‬س ‪/‬ث إلى م ‪/‬ث‪2‬‬

‫على النحو التالى‪:‬‬ ‫‪1 1‬كم‪/‬س‬

‫‪6‬‬

‫=‬

‫‪1000 * 1‬م‬ ‫‪ 60*60‬ث‬

‫‪1 2‬كم‪/‬س إلى سم‪ /‬ث‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫كم ‪/‬س‪/‬ث إلى سم‪/‬ث‪2‬‬

‫= ‪5‬‬ ‫‪ 18‬م‪/‬ث‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫الثانية العيارية‪ :‬هى الفترة‬ ‫الزمنية التى تستغرقها ذرة‬ ‫السيزيوم لتتذبذب بمقدار‬ ‫دورة كاملة‪.‬‬

‫لحظ اأن‬ ‫وحدات قياس الكميات‬ ‫المتجهة (السرعة‪ ،‬العجلة‪،‬‬ ‫القوة) تعامل من حيث‬ ‫مقاديرها فقط بصرف النظر‬ ‫عن االتجاه‪.‬‬

‫تذكر اأن‬ ‫اليوم الشمسى المتوسط =‬

‫‪ 24‬ساعة ‪.‬‬

‫الساعة = ‪ 60‬دقيقة‪.‬‬ ‫الدقيقة = ‪ 60‬ثانية‪.‬‬

‫اكيملكيمل‬

‫‪ 1 2‬كم‪/‬س‬

‫=‬

‫‪ 3‬كم ‪/‬س‪/‬ث =‬ ‫‪ 4‬كم‪/‬س‪/‬ث =‬

‫‪100 * 1000 * 1‬سم‬ ‫‪ 60 * 60‬ث‬ ‫‪ 1000‬م‬

‫‪ 60*60‬ث * ث‬ ‫‪100 * 1000‬سم‬

‫‪ 60 * 60‬ث * ث‬

‫‪ 250‬سم‪/‬ث‬ ‫= ‪9‬‬ ‫‪ 5‬م‪/‬ث‪2‬‬

‫= ‪18‬‬

‫‪ 250‬سم‪/‬ث‪2‬‬

‫= ‪9‬‬

‫تدريب‬ ‫كال من الوحدات التالية إلى الوحدات المناظرة لها‪:‬‬ ‫‪ 1‬حول ًّ‬ ‫ب ‪1000‬سم‪/‬ث إلى كم ‪/‬س‬ ‫أ ‪ 72‬كم‪/‬س إلى م‪/‬ث‬

‫‪ 3‬القوة‬

‫ج‬

‫‪ 36‬كم‪/‬س‪/‬ث إلى سم‪/‬ث‪2‬‬

‫‪Force‬‬

‫تعرف القوة بأنها حاصل ضرب الكتلة (ك) فى عجلة الحركة (جـ)‬ ‫فإذا رمزنا للقوة بالرمز (ق) فإن ق = ك * جـ‬

‫وحدات قيا�س مقدار القوة‬

‫الوحدات المطلقة‪ :‬مثل الداين والنيوتن حيث ‪ 1‬نيوتن = ‪ 510‬داين ويعرف النيوتن والداين على النحو التالي‪:‬‬ ‫النيوتن‪ :‬هو مقدار القوة التى إذا أثرت على كتلة تساوى ‪ 1‬كيلو جرام أكسبتها عجلة مقدارها ‪1‬متر‪/‬ث‪2‬‬

‫الداين‪ :‬هو مقدار القوة التى إذا أثرت على كتلة تساوى ‪ 1‬جرام‬

‫أكسبتها عجلة مقدارها ‪ 1‬سم‪/‬ث‪2‬‬

‫الوحدات التثاقلية‪:‬‬

‫مثل‪ :‬ثقل الجرام (ث جم) ‪ ،‬ثقل الكيلو جرام (ث كجم) حيث ‪ 1‬ث كجم = ‪ 310‬ث‪.‬جم‬

‫ويعرف ثقل الكيلو جرام وثقل الجرام على النحو التالى‪:‬‬

‫ثقل الكيلو جرام‪ :‬هو مقدار القوة التى إذا أثرت على كتلة تساوى ‪ 1‬كيلو جرام‬ ‫أكسبتها عجلة مقدار ‪ 9٫8‬متر‪/‬ث‪2‬‬ ‫ثقل الجرام‪ :‬هو مقدار القوة التى إذا أثرت على كتلة تساوى ‪ 1‬جرام أكسبتها عجلة‬ ‫مقدارها ‪ 980‬سم‪/‬ث‪2‬‬

‫وتربط الوحدات التثاقلية بالوحدات المطلقة بالعالقة‪1 :‬ث كجم = ‪ 9٫8‬نيوتن‪،‬‬ ‫‪ 1‬ث جم = ‪ 980‬داين‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫اأ�سف اإلى معلوماتك‬ ‫جميع األجسام (بغض النظر‬ ‫عن كتلتها) تسقط على سطح‬ ‫األرض بتسارع (عجلة)‬ ‫منتظم يقع بين ‪9٫82 ،9٫78‬‬ ‫م‪/‬ث‪ 2‬اعتما ًدا على دائرة‬ ‫العرض ولكننا سنعتبرها ‪9٫8‬‬ ‫م‪/‬ث‪ 2‬لسهولة االستخدام ما‬ ‫لم تُحدد قيم أخرى لها‪.‬‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪7‬‬

‫الوحدة األولى‪:‬‬

‫وعلى ذلك يمكن تحويل ٍّ‬ ‫كل من الوحدات اآلتية إلى الوحدات المناظرة لها‪:‬‬ ‫‪ 3٫14 1‬نيوتن إلى داين‬

‫‪ 710 * 6٫75 2‬داين إلى نيوتن‬

‫على النحو التالى‪:‬‬

‫‪ 3٫14 1‬نيوتن = ‪ 314000 = 510 * 3٫14‬داين‬

‫‪ 710 * 6٫75 2‬داين = ‪ 675 =510 ÷ 710 * 6٫75‬نيوتن‬

‫تدريب‬ ‫كال من الوحدات التالية إلى الوحدات المناظرة لها‪:‬‬ ‫‪ 2‬حول ًّ‬ ‫أ ‪ 17‬ث جم إلى داين‬

‫ب ‪ 1250 * 5٫36‬داين إلى نيوتن‬ ‫ج ‪ 2٫50‬نيوتن إلى داين‬

‫يمكن وضع الكميات المشتقة فى جدول على النحو التالي‪:‬‬

‫‪8‬‬

‫الكمية المشتقة‬

‫عالقتها بالكميات األخرى‬

‫السرعة (ع)(‪)V‬‬

‫المسافة ÷ الزمن‬

‫م‪/‬ث ‪m/s‬‬

‫العجلة (جـ)(‪)a‬‬

‫السرعة ÷ الزمن‬

‫م‪/‬ث‪m/s2 2‬‬

‫القوة (ق)(‪)F‬‬

‫الكتلة * العجلة‬

‫نيوتن ‪N‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫وحدة القياس‬

‫اكيملكيمل‬

‫تحقق من فهمك‬

‫اختر الإجابة ال�سحيحة من بين الإجابات المعطاة‪:‬‬ ‫‪ 1‬تقاس الكتلة بوحدة‪:‬‬ ‫أ الداين‬

‫ب النيوتن‬

‫ج الكيلو جرام‬

‫‪ 2‬من الكميات األساسية فى النظام الدولى‪:‬‬ ‫ب السرعة‬ ‫أ الكتلة‬

‫ج العجلة‬

‫‪ 3‬الملليمتر وحدة تعادل‪:‬‬ ‫أ ‪ 3-10‬متر‬

‫ج ‪ 2-10‬سنتيمتر‬

‫ب ‪ 3-10‬متر مكعب‬

‫د ثقل الكيلو جرام‬ ‫د القوة‬ ‫د ‪ 4-10‬ديسميتر‬

‫اأجب عن الأ�سئلة الآتية‪:‬‬ ‫‪ 4‬ماذا يطلق على القيم التالية‪:‬‬ ‫أ ‪ 2-10‬متر‬

‫ب ‪ 3-10‬متر‬

‫كال ممايأتى إلى متر‪:‬‬ ‫‪ 5‬حول ًّ‬ ‫أ ‪ 63٫4‬سنتيمتر‬

‫ب ‪ 512٫6‬ملليمتر‬

‫ج ‪ 1000‬متر‬ ‫ج ‪ 0٫534‬ديسيمتير‬

‫‪ 6‬تفكير ناقد‪ :‬احسب بوحدة الكيلوجرام كتلة الماء الالزمة لملء وعاء على شكل متوازى مستطيالت طوله‬ ‫علما بأن كثافة الماء تساوى ‪1‬جم‪/‬سم‪ 3‬مقر اًبا الناتج ألقرب عدد‬ ‫‪1٫6‬م وعرضه ‪ 0٫650‬م وارتفاعه ‪ 36‬سنتيمتر‪ ,‬اً‬ ‫صحيح ‪.‬‬ ‫[إرشاد‪ :‬الكتلة = الحجم * الكثافة]‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪9‬‬

‫الوحدة‬

‫األولى‬

‫االستــاتيكــا‬ ‫‪Statics‬‬

‫مقدمة الوحدة‬ ‫يختص علم اإلستاتيكا بحل جميع المشاكل الهندسية المتعلقة بدراسة توازن األجسام المادية‪ ،‬وعمليات تحليل وتحصيل القوى المؤثرة عليها‪،‬‬ ‫والتأثير المتبادل الناشئ عنها ‪ ،‬وتطبيقاته المختلفة فى بناء المنازل والمبانى والجسور وتصميم اآلالت والمحركات‪ .‬وقد كان لنيوتن أبحاث‬ ‫ومؤلفات فى هذا المجال منها كتاب المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية الذى يتكون من ثالثة أجزاء‪ ،‬ويعتبر أساس علم الميكانيكا الكالسيكى‪.‬‬ ‫ومن أقوال نيوتن المشهورة عن نفسه «لست أعلم كيف أبدو للعالم‪ ،‬ولكننى أبدو لنفسى‪ ،‬وكأننى صبى يلعب على شاطئ البحر‪ ،‬ألهو بين الحين‬ ‫والحين بالعثور على حصاة ملساء أو صدفة أجمل من العادة‪ ،‬بينما ينبسط محيط الحقيقة العظيم مغلق األسرار أمامى»‪.‬‬

‫مخرجات التعلم‬ ‫فى نهاية الوحدة‪ ،‬وبعد تنفيذ األنشطة فيها‪ ،‬يتوقع من الطالب أن‪:‬‬ ‫ يتعرف مفهوم القوة ‪ ،‬والقوة كمتجه ‪ ،‬ووحدات قياس مقدار‬ ‫القوة فى ضوء وحدات القياس السابقة‪.‬‬

‫واتجاها (القوتان تؤثران فى‬ ‫مقدارا‬ ‫ يوجد محصلة قوتين‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫نفس النقطة)‪.‬‬

‫ يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين فى اتجاهين معلومين‪.‬‬ ‫ يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين متعامدتين‪.‬‬ ‫ يوجد محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة‪.‬‬

‫‪10‬‬

‫ يبحث اتزان جسيم تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية‬ ‫المتالقية فى نقطة فى الحاالت اآلتية‪:‬‬

‫× إذا اتزنت قوتان مستويتان متالقيتان فى نقطة‪.‬‬ ‫× إذا اتزنت ثالث قوى مستوية متالقية فى نقطة‪.‬‬ ‫× إذا اتزنت عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة‪.‬‬ ‫ يوجد محصلة قوتين هندس ًّيا وجبر ًّيا مستخد ًما تكنولوجيا‬ ‫المعلومات فى صورة أنشطة‪.‬‬

‫ يتعرف تطبيقات ما درسه فى اإلستاتيكا فى مواقف فيزيائية‬ ‫وحياتية‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪ Ñ‬استاتيكا‬

‫‪ Ñ‬تحليل قوة‬

‫‪Statics‬‬

‫‪ Ñ‬قوة‬

‫‪ Ñ‬مركبة قوة‬

‫‪Force‬‬

‫‪ Ñ‬جسم جاسئ‬

‫‪ Ñ‬اتزان جسم جاسئ‬

‫‪Newton‬‬

‫‪ Ñ‬داين‬

‫‪smooth plane‬‬ ‫‪inclined smooth plane‬‬

‫‪ Ñ‬مركز ثقل‬

‫‪Gram weight‬‬

‫‪ Ñ‬خط عمل قوة‬

‫‪Equilibrium of rigid body‬‬

‫‪ Ñ‬مستوى مائل أملس‬

‫‪Kilogram weight‬‬

‫‪ Ñ‬ثقل جرام‬

‫‪lami's rule‬‬

‫‪ Ñ‬مستوى أملس‬

‫‪Dyne‬‬

‫‪ Ñ‬ثقل كيلو جرام‬

‫‪triangle of forces‬‬

‫‪ Ñ‬قاعدة المى‬

‫‪acceleration of gravity‬‬

‫‪ Ñ‬نيوتن‬

‫‪equilibrium of a body‬‬

‫‪ Ñ‬قاعدة مثلث القوى‬

‫‪Gravitation force‬‬

‫‪ Ñ‬عجلة السقوط الحر‬

‫‪force Component‬‬

‫‪ Ñ‬اتزان جسم‬

‫‪Rigid body‬‬

‫‪ Ñ‬قوة التثاقل‬

‫‪Resolving force‬‬

‫‪centre of gravity‬‬

‫‪Line of action of the force‬‬

‫دروس الوحدة‬

‫األدوات والوسائل‬

‫الدرس (‪ :)1 - 1‬القوى‪.‬‬

‫‪ Ñ‬آلة حاسبة علمية‬

‫الدرس (‪ :)2 - 1‬تحليل قوة إلى مركبتين‪.‬‬

‫‪Scientific calculator‬‬

‫‪ Ñ‬برامج رسومية للحاسوب‬

‫الدرس (‪ :)3 - 1‬محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة‬

‫‪Graphical computer programs‬‬

‫الدرس (‪ :)4 - 1‬اتزان جسم جاسئ تحت تأثير مجموعة من‬

‫القوى المستوية المتالقية فى نقطة‪.‬‬

‫مخطط تنظيمى للوحدة‬ ‫االستاتيكا‬ ‫اتزان جسيم تحت تأثير‬

‫القوى‬ ‫مفاهيم‬

‫قوتين‬

‫خواص‬

‫ثالث قوى‬

‫قاعدة مثلث القوى‬

‫عدة قوى‬ ‫قاعدة المى‬

‫تحليل القوى إلى مركبتين متعامدتين‬

‫إيجاد محصلة القوى‬ ‫هندسيًّا‬

‫ووضع س = ‪ ، 0‬ص = ‪0‬‬

‫تحليليًّا‬

‫مضلع القوى‬

‫التحليل فى اتجاهين معلومين‬

‫قوتين‬

‫ثالث قوى‬

‫عدة قوى‬

‫التحليل فى اتجاهين متعامدين‬

‫تطبيقات فيزيائية وحياتية‬ ‫استخدام التكنولوجيا‬

‫‪11‬‬

‫‪1-1‬‬

‫القــوى‬ ‫‪Forces‬‬

‫سوف تتعلم‬

‫ بعض املفاهيم األساسية ىف‬ ‫اإلستاتيكا‪.‬‬ ‫ خواص القوة‬

‫ حمصلة قوتني متالقيتني ىف نقطة‪.‬‬ ‫ إجياد حمصلة قوتني متالقيتني ىف‬ ‫نقطة حتليل ًّيا‪.‬‬

‫تمهيد‪:‬‬ ‫أن اإلستاتيكا هى فرع الميكانيكا الذى يدرس‬ ‫َعلمت َّ‬ ‫القوى وشروط اتزان األجسام المادية التى تؤ ِّثر عليها‬ ‫القوى ‪ ,‬وستكون دراستنا فى هذه الوحدة على اتزان‬ ‫األجسام الجاسئة (‪ )1‬فقط‪.‬‬ ‫ومن دراستك فى المتجهات علمت الفرق بين الكمية‬ ‫القياسية والكمية المتجهة‪.‬‬ ‫القوة‪:‬‬ ‫تتوقف حالة اتزان أو حركة الجسم على طبيعة التأثير‬ ‫الميكانيكى المتبادل بينه وبين األجسام األخرى‪ ،‬أى‬ ‫على حاالت الضغط أو الشد أو التجاذب أو التنافر التى‬ ‫تحدث للجسم نتيجةاً لهذا التأثير‪.‬‬ ‫‪Force‬‬

‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬

‫ حمصلة‬

‫‪Resultant‬‬

‫ جسم جاسئ‬ ‫ قوة التثاقل‬

‫‪Rigid body‬‬ ‫‪Gravitation force‬‬

‫ عجلة السقوط احلر‬

‫‪Acceleration of gravity‬‬

‫ نيوتن‬

‫‪Newton‬‬

‫ داين‬

‫‪Dyne‬‬

‫ ثقل كيلو جرام ‪Kilogram weight‬‬

‫ ثقل جرام‬

‫‪Gram weight‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫ آلة حاسبة علمية‬

‫‪Scientific calculator‬‬

‫ برامج رسومية‬

‫‪Graphical programs‬‬

‫تعريف‪1‬‬

‫ قوة‬

‫‪Force‬‬

‫× تعرف القوة بأنها تأثير أحد االجسام على‬ ‫جسم آخر‪.‬‬

‫خوا�س القوة‪:‬‬

‫تذكر اأن‬ ‫الكمية القياسية ‪Scalor‬‬ ‫تاما بقيمتها‬ ‫تتحدد تحديدً ا ًّ‬ ‫العددية مثل المسافة ‪ ،‬الكتلة ‪،‬‬ ‫الزمن ‪ ،‬المساحة ‪ ،‬الحجم‪...‬‬ ‫الكمية المتجهة ‪Vector‬‬ ‫وتتحدد باتجاهها باإلضافة إلى‬ ‫قيمتها العددية مثل القوة واإلزاحة‬ ‫والسرعة ‪ ،‬والوزن ‪...‬إلخ‪.‬‬

‫اأ�سف اإلى معلوماتك‬ ‫تنقسم األجسام الطبيعية إلى‪:‬‬ ‫ أجسام جاسئة اليتغير شكلها‬‫مهما كانت القوى المؤثرة‬ ‫عليها‪.‬‬ ‫ أجسام قابلة للتشكيل فيتغير‬‫شكلها تحت تأثير القوى‬ ‫مثل السوائل والغازات‬ ‫والمطاط والصلصال ‪...‬إلخ‬

‫يتحدد تأثير القوة على الجسم بالعوامل اآلتية‪:‬‬ ‫أوالً‪ :‬مقدار القوة‪.‬‬ ‫َيتعين مقدار القوة بمقارنتها بوحدة القوى وقد سبق لك‬ ‫دراسة الوحدة األساسية لقياس القوة فى الميكانيكا‬ ‫وهى النيوتن (‪ )N‬أو ثقل الكيلوجرام (‪ )kg.wt‬حيث‪:‬‬ ‫‪ 1‬نيوتن = ‪ 510‬داين‬ ‫‪،‬‬ ‫× ‪ 1‬ث كجم = ‪ 1000‬ث جم‬ ‫× ‪ 1‬ث كجم = ‪ 9٫8‬نيوتن‬

‫( مالم يذكر خالف ذلك) (‪)2‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ 1‬ث جم = ‪ 980‬داين‬

‫‪ -1‬الجسم الجاسئ هو الجسم الذى يحتفظ بشكله دون تشوه إذا وقع تحت تأثير عوامل خارجية‪.‬‬ ‫‪ -2‬قوة التثاقل (أو الوزن) هى مقدار جذب األرض للجسم ‪ ،‬حيث إن األرض تجذب األجسام الساقطة‬ ‫نحوها‪ ،‬وتختلف قيمة عجلة السقوط الحر لألجسام من مكان آلخر على سطح األرض والقيمة التقريبية‬ ‫لها تساوى ‪ 9٫8‬م‪/‬ث‪ 2‬ما لم يذكر خالف ذلك‪ ،‬وسيعرض هذا الموضوع بالتفصيل فى مواضع أخرى‬ ‫فى الميكانيكا‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫اوـققلا ‪1 1‬‬ ‫ثانيا‪ :‬اتجاه القوة‬ ‫يمثل شكل (‪ )1‬المجاور متجه القوة ق و ي ِ‬ ‫مكن‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫َتمثيله بالقطعة المستقيمة الموجهة ‪ C‬ب حيث ‪C‬‬ ‫نقطة البداية‪ ،‬ب نقطة النهاية للقطعة المستقيمة‬ ‫الموجهة‪ ،‬و ُيعبر عن مقدار القوة بمعيار المتجه‬ ‫|| ‪ C‬ب || (طوله) (بمقياس رسم مناسب) ويناظر‬ ‫اتجاه السهم اتجاه القوة ق ‪ ،‬وتسمى زاوية ‪i‬‬ ‫بالزاوية القطبية للمتجه فى مستوى القوة ق‬ ‫و ُتكتب على الصورة القطبية كاآلتى (ق ‪.)i ،‬‬

‫اأ�سف اإلى معلوماتك‬

‫ق‬

‫ص الزاوية القطبية ‪polar angle‬‬ ‫هى الزاوية الموجبة التى‬ ‫يصنعها المتجه مع االتجاه‬ ‫الموجب لمحور السينات‪.‬‬

‫ب‬

‫س‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫‪i‬‬

‫‪C‬‬

‫ق‬

‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬

‫ثال ًثا‪ :‬نقطة تأثير القوة وخط عملها‬ ‫ب‬ ‫فى شكل (‪َ :)1‬تنطبق نقطة ‪ C‬عادة على نقطة تاثير القوة ق ‪ ،‬و ي ِ‬ ‫مك ُن نَ ْقل نقطة‬ ‫شكل (‪)2‬‬ ‫ُ‬ ‫تأثير القوة ق إلى أى نقطة أخرى‪ ،‬بحيث تقع على خط عمل ق دون أن‬ ‫يغير ذلك من تأثيرها على الجسم كما فى شكل (‪ )2‬خط عمل القوة يسمى ‪ C‬ب فى‬ ‫شكل (‪ )1‬بخط عمل القوة ق‬ ‫أن خط عمل القوة هو الخط المستقيم المار بنقطة تأثيرها والموازى التجاهها‪.‬‬ ‫ أى َّ‬ ‫ْ‬ ‫جـ‬

‫مح�سلة قوتين متالقيتين فى نقطة‪:‬‬

‫لكل قوتين مؤثرتين على جسم فى نقطة واحدة‪ ،‬قوة محصلة تؤثر فى نفس‬ ‫النقطة‪ ،‬تقوم بنفس التأثير الذي تقوم به القوتان وتمثل هندس ًّيا بقطر متوازى‬ ‫األضالع المرسوم بهاتين القوتين كضلعين متجاورين فيه‪.‬‬

‫أن‪:‬‬ ‫ففى الشكل المقابل نجد َّ‬

‫‪I‬‬

‫‪:‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫‪C‬‬

‫‪:‬‬

‫ق‪2‬‬

‫الممثل لقطر متوازى األضالع و جـ‬

‫أن‪:‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ُيمثل محصلة القوتين ق‪ ، 1‬ق‪ْ 2‬‬

‫‪I‬‬

‫=‬

‫ق‪ + 1‬ق‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫و‬

‫ق‪1‬‬

‫نشاط‬

‫استخدام برنامج (‪)GeoGebra‬‬ ‫ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬قوتان ُتؤثِّران فى نقطة من جسم جاسئ ‪،‬حيث ق‪ 300 = 1‬نيوتن تعمل فى اتجاه الشرق‪،‬‬ ‫شمال‬ ‫ق‪ 400 =2‬نيوتن وتعمل فى اتجاه ‪ c60‬شمال الغرب‪ .‬أوجد محصلة القوتين‪.‬‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫‪4‬‬ ‫× اختر مقياس رسم مناس اًبا (ليكن ‪ 1‬سم لكل ‪ 100‬نيوتن)‪.‬‬ ‫× ارسم و‪ C‬تمثل القوة ق‪ 1‬حيث || و‪ 3 = || C‬سم فى االتجاه‬ ‫الموجب لمحورالسينات‪.‬‬ ‫× ارسم ‪ C c‬و ب القطبية حيث ‪ C c( X‬و ب) = ‪c120‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫شرق‬

‫‪4‬‬

‫‪C‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0 c120‬‬ ‫‪ 0 1 2‬و ‪4- 3- 2- 1-‬‬

‫غرب‬

‫× ثم ارسم وب تمثل القوة ق‪ 2‬حيث || وب || = ‪ 4‬سم‪.‬‬

‫× أكمل رسم متوازى األضالع و ‪ C‬جـ ب‪.‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪13 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة األولى‪ :‬ااــكققلـيمققل‬

‫× الحظ أن محصلة القوتين ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬ممثلة بالقطعة المستقيمة الموجهة و جـ ‪.‬‬

‫أن ح ‪ 360 = 100 * 3٫6 -‬نيوتن‪.‬‬ ‫أى َّ‬ ‫× حدد باستخدام البرنامج || و جـ || ‪ 3٫6 -‬سم‪ْ .‬‬

‫× الحظ أن و جـ يصنع مع و ‪ C‬زاوية قياسها ‪c73 53 53‬‬ ‫أن محصلة القوتين ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬مقدارها ‪ 360‬نيوتن تقري اًبا وتصنع مع ق‪ 1‬زاوية قياسها ‪.c73 /53 //53‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬ ‫تطبيق عىل النشاط‬ ‫‪//‬‬

‫‪/‬‬

‫‪ 1‬استخدم برنامج (‪ )GeoGebra‬فى إيجاد محصلة القوتين ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬اللتين تؤثران فى نقطة مادية حيث‬ ‫ق‪ 400 = 1‬نيوتن وتعمل فى اتجاه الشرق ‪ ،‬ق‪ 500 = 2‬نيوتن وتعمل فى اتجاه ‪ c80‬شمال الشرق‪.‬‬

‫اإيجاد مح�سلة قوتين متالقيتين فى نقطة تحليل ًّيا‪:‬‬ ‫جـ‬

‫ق‪1‬‬

‫‪C‬‬

‫و‬

‫ق‪1‬‬

‫‪C‬‬

‫تذكر اأن‬

‫ق‪2‬‬

‫‪I‬‬

‫ق‪2‬‬

‫ى‬

‫هـ‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪I‬‬

‫‪The resultant of two force meeting at apoint analytically‬‬

‫هـ‬

‫ى‬

‫قاعدة جيب التمام‪:‬‬

‫فى المثلث ‪ C‬ب جـ يكون‪:‬‬

‫و‬

‫‪C‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫أن ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬قوتان متالقيتان فى نقطة (و) وأن قياس الزاوية بين اتجاهى‬ ‫نفرض َّ‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫القوتين (ى) فإذا كان و ‪ ، C‬و ب تمثالن ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬فإن و جـ تمثل المحصلة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ I‬وبفرض أن هـ هو قياس الزاوية التى تصنعها ‪ I‬مع ق‪ 1‬فإنه كما سبق فى ‪ = C‬ب ‪+‬جـ ‪2-‬ب جـ جتا ‪C‬‬ ‫دراسة قاعدة جيب التمام يمكن إيجاد مقدار واتجاه محصلة القوتين ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬من العالقات‪:‬‬ ‫ب‬

‫‪2‬‬

‫‪ = I‬ق‪ + 1‬ق‪ 2 + 2‬ق‪ 1‬ق‪ 2‬جتا ى ‪ ،‬ظاهـ =‬

‫ق‪ 2‬جا ى‬ ‫ق‪ + 1‬ق‪ 2‬جتا ى‬

‫حيث‪ :‬ق‪ ، 1‬ق‪ I ، 2‬مقادير القوى ق‪ ، 1‬ق‪ I ، 2‬على الترتيب‬ ‫فكر‪ :‬كيف يمكن االستدالل على صحة العالقات السابقة ‪.‬‬ ‫مثال‬

‫ق‬

‫‪ 7‬قوتان مقدارهما ‪ 2 3 ، 3‬نيوتن تؤثران فى نقطة مادية والزاوية بين اتجاهيهما ‪ .c45‬أوجد مقدار محصلتهما‬ ‫وقياس زاوية ميلها مع القوة األولى‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫بوضع‪ :‬ق‪3 = 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪،‬‬

‫‪2‬‬

‫ق‪2 3 = 2‬‬

‫‪ = I a‬ق‪ + 1‬ق‪ 2 + 2‬ق‪ 1‬ق‪ 2‬جتا ى‬

‫` ‪ 2 3 * 3 * 2 + 2) 2 3( + 2)3( = I‬جتا ‪c45‬‬

‫‪ ،‬ى = ‪c45‬‬

‫‪c45‬‬

‫= ‪ 5 3 = 45 = 1 * 2 18 + 18 + 9‬نيوتن‬

‫ق‪ 2‬جا ى‬ ‫‪ a‬ظاهـ =‬ ‫ق‪ + 1‬ق‪ 2‬جتا ى‬

‫‪14‬‬

‫‪2‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫وتن‬ ‫‪3‬ني‬ ‫=‬

‫الحل‬

‫ق‪2‬‬

‫= ‪ 2 3‬نيوتن‬

‫` ظاهـ = ‪ * 2 3‬جا ‪1 = c45‬‬ ‫‪ 2 3 + 3‬جتا ‪2 c45‬‬

‫اوـققلا ‪1 1‬‬ ‫وباستخدام اآللة الحاسبة فإن‪c(X :‬هـ) = ‪c26 33 54‬‬ ‫‪//‬‬

‫‪/‬‬

‫حل آخر للجزء الثانى من المثال ‪:‬‬ ‫الحظ أن‪ :‬فى الشكل المقابل المثلث و ‪ C‬ب يمثل القوتين ق‪ ، 1‬ق‪2‬‬ ‫حيث ‪c‬هـ‪ 1‬هى زاوية ميل خط عمل ق‪ 2‬مع المحصلة ‪، I‬‬ ‫‪c‬هـ‪ 2‬هى زاوية ميل خط عمل ق‪ 1‬مع المحصلة ‪ I‬باستخدام‬ ‫قاعدة جيب الزاوية‪.‬‬

‫ب‬

‫هـ‪1‬‬

‫ق‪2‬‬

‫ى ‪ -c180‬ى‬ ‫‪C‬‬

‫الحظ أن‪ :‬جا (‪ – c180‬ى) = جاى‬ ‫فإن‪ :‬جاق‪1‬هـ = جاق‪2‬هـ =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪I‬‬ ‫هـ‪2‬‬

‫ق‪1‬‬

‫و‬

‫ح‬

‫جا ى حيث ى = هـ‪ + 1‬هـ ‪2‬‬

‫وتستخدم هذه القاعدة إليجاد قياس زاوية ميل المحصلة على أى من ق‪، 1‬‬

‫ق‪2‬‬

‫ففى المثال السابق‪ :‬إليجاد قياس زاوية ميل المحصلة مع ق‪ 1‬نستخدم العالقة‪:‬‬

‫` ‪5 3 = 2 3‬‬ ‫جا ‪45‬‬ ‫جا هـ‪2‬‬ ‫أن جا هـ = ‪ * 2 3‬جا‪c45‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5 3‬‬

‫ق‪2‬‬

‫جا هـ ‪2‬‬

‫ح‬ ‫=‬ ‫جا ى‬

‫ومنها فإن قياس زاوية ميل المحصلة مع ق‪ 1‬تساوى ‪ c26 33 54‬وهو نفس الجواب السابق‪.‬‬ ‫‪//‬‬

‫‪/‬‬

‫مالحظة ‪ :‬يمكن استخدام هذه الطريقة فى حل التمارين‪.‬‬ ‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 2‬قوتان مقدارهما ‪ 6 ، 10‬نيوتن تؤثران فى نقطة مادية‪ ,‬وقياس الزاوية بين اتجاهيهما يساوي ‪ .c60‬أوجد مقدار‬ ‫محصلتهما‪ ،‬وزاوية ميلها على القوة األولى‪.‬‬

‫تفكير ناقد‪ :‬أوجد مقدار واتجاه محصلة القوتين ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬فى الحاالت اآلتية‪:‬‬ ‫‪ -1‬إذا كانت القوتان متعامدتين‪.‬‬

‫‪ -2‬إذا كانت القوتان متساويتين فى المقدار ‪.‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 8‬أوجد مقدار واتجاه المحصلة لكل من ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬فى كل حالة من الحاالت اآلتية‪:‬‬ ‫أ ق‪ 5 = 1‬نيوتن ‪ ،‬ق‪ 12 = 2‬نيوتن وقياس الزاوية بينهما ‪c90‬‬ ‫ب ق‪ = 1‬ق‪ 16 = 2‬نيوتن وقياس الزاوية بينهما ‪c120‬‬ ‫الحل‬

‫لحظ اأن‬ ‫إذا كانت‬

‫أ ‪ a‬ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬متعامدتان أى ‪c(X‬ى) = ‪ c90‬فتكون جا ى = ‪ ، 1‬جتاى = ‪ 0‬فإن ‪= I‬‬ ‫` ‪ = I‬ق‪ + 2 1‬ق‪ ، 2 2‬لذلك فإن‪ 13 = 2)12( + 2)5( = I :‬نيوتن‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫ق‪= 1‬‬ ‫ق‪2‬‬

‫‪ ،‬ظاهـ = ق‪2‬‬ ‫ق‪1‬‬

‫‪+1‬‬

‫ق‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ق‪2‬‬

‫‪15 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة األولى‪ :‬ااــكققلـيمققل‬

‫ويكون اتجاه المحصلة مع ق‪ 1‬هو‪ :‬ظاهـ =‬

‫ق‪2‬‬ ‫ق‪1‬‬

‫ أى أن‪ :‬ظاهـ = ‪12‬‬ ‫ْ َّ‬ ‫‪5‬‬

‫` قياس زاوية ميل المحصلة مع ق‪ 1‬هى ‪c67 22 49‬‬ ‫‪//‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب ‪ = I a‬ق‪ + 1‬ق‪ 2 + 2‬ق‪ 1‬ق‪ 2‬جتا ى‬

‫‪/‬‬

‫ وبالتعويض عن ق‪ = 1‬ق‪16 = 2‬‬

‫` ‪ 16 * 16 * 2 + 2)16( + 2)16( = I‬جتا ‪ 16 = 120‬نيوتن‬ ‫ونالحظ من الشكل المرسوم أن‪ :‬ق‪ = 1‬ق‪ 16 = I = 2‬نيوتن‪ ،‬وأن‬ ‫أن قياس‬ ‫أى َّ‬ ‫المحصلة تنصف الزاوية بين القوتين المتساويتين‪ْ ،‬‬ ‫أى من القوتين = ‪c60‬‬ ‫زاوية ميل المحصلة على ٍّ‬

‫الحظ أن ‪ :‬من هندسة الشكل‪:‬‬ ‫ى ‪I 21‬‬ ‫‪ a‬جتا ‪= 2‬‬ ‫‪X‬‬ ‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫ى‬ ‫` ‪ X 2 = I‬جتا‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 3‬أوجد مقدار واتجاه المحصلة لكل من‬

‫ق‪، 1‬‬

‫‪I‬‬

‫ق‬

‫ى‬

‫ق‬

‫ق‪ 2‬فى كل حالة من الحاالت اآلتية‪:‬‬

‫أ ق‪ 4٫5 = 1‬نيوتن ‪ ،‬ق‪ 6 = 2‬نيوتن وقياس الزاوية بينهما ‪c90‬‬ ‫ب ق = ق = ‪ 12‬نيوتن وقياس الزاوية بينهما ‪c60‬‬ ‫‪1‬‬

‫حاالت خاصة‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ -1‬إذا كانت القوتان لهما نفس خط العمل وفى نفس االتجاه‪:‬‬ ‫× فى هذه الحالة فإن ‪c( X‬ى) = صفر‪ c‬و يكون جتاى = ‪ 1‬وبالتعويض فى‬ ‫أن‪ = I :‬ق‪ + 1‬ق‪ 2‬ويكون اتجاه المحصلة فى‬ ‫قانون إيجاد المحصلة نجد َّ‬ ‫نفس اتجاه القوتين ‪ ،‬وتسمى ‪ I‬فى هذه الحالة بالقيمة العظمى للمحصلة‪.‬‬

‫‪ -2‬إذا كانت القوتان لهما نفس خط العمل‪ ،‬وفى اتجاهين متضادين‪:‬‬ ‫× فى هذه الحالةفإن ‪c( X‬ى) = ‪ c180‬ويكون جتاى = ‪ 1 -‬وبالتعويض فى قانون‬ ‫أن‪| = I :‬ق‪ - 1‬ق‪ |2‬ويكون اتجاه المحصلة َيعمل فى اتجاه‬ ‫إيجاد المحصلة نجد َّ‬ ‫مقدارا ‪ ،‬وتسمى ‪ I‬فى هذه الحالة بالقيمة الصغرى للمحصلة‪.‬‬ ‫القوة األكبر‬ ‫اً‬

‫ق‪1‬‬

‫ق‪2‬‬

‫‪c180‬‬

‫‪:‬‬ ‫‪C‬‬

‫ق‪2‬‬

‫مثال‪ :‬أوجد القيمتين العظمى والصغرى لمحصلة القوتين ‪ 7 ، 4‬نيوتن‪.‬‬ ‫وتعمل فى اتجاه القوتين‪.‬‬ ‫× القيمة العظمى = ‪ 11 = 7 + 4‬نيوتن‬ ‫وتعمل فى اتجاه القوة ‪ 7‬نيوتن‪.‬‬ ‫× القيمة الصغرى = |‪ 3 = |7 – 4‬نيوتن‬ ‫مثال‬ ‫‪ 9‬قوتان مقدارهما ق ‪ 4 ،‬نيوتن تؤثران فى نقطة مادية‪ ،‬وقياس الزاوية بينهما ‪ c120‬فإذا كان مقدار محصلتهما‬ ‫يساوى ‪ 3 4‬نيوتن فأوجد‪ :‬مقدار ق وقياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع ق ‪.‬‬

‫‪16‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫اوـققلا ‪1 1‬‬ ‫الحل‬

‫بالتعويض عن‪ :‬ق‪ = 1‬ق ‪ ،‬ق‪ ، 3 4 = I ، 4 = 2‬ى = ‪c120‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫فى القانون ‪ = 2I :‬ق‪ + 1‬ق‪ 2 + 2‬ق‪ 1‬ق‪ 2‬جتا ى‬ ‫` (‪ = 2) 3 4‬ق‪ * 2 + 2)4( + 2‬ق * ‪ 4‬جتا ‪ c120‬أى أن ‪ = 48 :‬ق‪ 4 - 16 + 2‬ق‬ ‫أن‪( :‬ق ‪( )4 +‬ق – ‪ 0 = )8‬ومنها ق = ‪ 8‬نيوتن‪ ،‬ق = ‪ 4-‬مرفوض‬ ‫أى َّ‬ ‫` ق‪4 – 2‬ق – ‪ْ 0 = 32‬‬ ‫ق‪ 2‬جا ى‬ ‫إليجاد قياس الزاوية بين ق ‪ I ،‬نستخدم القانون‪ :‬ظاهـ =‬ ‫ق‪ + 1‬ق‪ 2‬جتا ى‬ ‫= ‪1‬‬ ‫‪ * 4‬جا ‪120‬‬ ‫` ظاهـ =‬ ‫‪ * 4 + 8‬جتا ‪120‬‬ ‫‪3‬‬

‫أى أن قياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع ق‪c30 = 1‬‬

‫حل آخر للجزء الثاني‪:‬‬ ‫ح‬ ‫إليجاد قياس الزاوية بين ق ‪ I ،‬نستخدم قانون الجيب‪ :‬ق‪= 2‬‬ ‫جا هـ ‪ 2‬جا ى‬ ‫` ‪3 4 = 4‬‬ ‫جا ‪120‬‬ ‫جا هـ ‪2‬‬ ‫ جا هـ = ‪1‬‬ ‫باالختصار والتبسيط‬ ‫‪2 2‬‬

‫أن قياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع ق تساوى ‪c30‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 4‬قوتان مقدارهما ‪ ، 6‬ق ث كجم تؤثران فى نقطة مادية‪ ،‬وقياس الزاوية بينهما ‪ .c135‬أوجد مقدار المحصلة‬ ‫إذا كان خط عمل المحصلة يميل بزاوية قياسها ‪c45‬على خط عمل القوة التى مقدارها ق‪.‬‬

‫تعبير شفهى‪ :‬أوجد محصلة قوتين متساويتين فى المقدار‪ ،‬ولهما نفس خط العمل ويعمالن فى اتجاهين متضادين‪.‬‬

‫تمــــاريــن (‪)1 - 1‬‬

‫اأكمل ماياأتى‪:‬‬

‫‪ 1‬يتحدد تأثير قوة على جسم باآلتى‬

‫‪ 2‬متجه محصلة القوتين ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬يساوى‬

‫‪......................................................................................................................................................................‬‬

‫‪ 3‬القيمة العظمى لمحصلة قوتين مقدارهما ‪ 6 ، 4‬نيوتن متالقيتين فى نقطة يساوى‬

‫‪ 4‬القيمة الصغرى لمحصلة قوتين مقدارهما ‪ 9 ، 5‬نيوتن متالقيتين فى نقطة يساوى‬

‫‪..............................................................‬‬ ‫‪.............................................................‬‬

‫‪ 3 ، 2 5‬نيوتن قوتان فإذا كان قياس الزاوية بينهما ‪ c60‬فإن مقدار محصلتهما يساوى‬

‫‪.......................................................‬‬

‫اختر الإجابة ال�سحيحة من بين الإجابات المعطاة‪:‬‬

‫‪ 6‬مقدار محصلة القوتين ‪ 5 ، 3‬نيوتن وقياس الزاوية بينهما ‪ c60‬تساوى‪.‬‬ ‫ج ‪ 7‬نيوتن‬ ‫ب ‪ 6‬نيوتن‬ ‫أ ‪ 2‬نيوتن‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫د ‪ 8‬نيوتن‬

‫‪17 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة األولى‪ :‬ااــكققلـيمققل‬

‫‪ 7‬قوتان مقدارهما ‪ 4 ، 3‬نيوتن تؤثران فى نقطة مادية ومقدار محصلتهما ‪ 5‬نيوتن فإن قياس الزاوية بينهما تساوى‬ ‫د ‪c90‬‬ ‫ج ‪c60‬‬ ‫ب ‪c45‬‬ ‫أ ‪c30‬‬ ‫كل منهما ‪ 6‬نيوتن ومقدار محصلتهما ‪ 6‬نيوتن فإن قياس الزاوية‬ ‫‪ 8‬قوتان متساويتان متالقيتان فى نقطة‪ ،‬مقدار ٍّ‬ ‫بينهما يساوى‪:‬‬ ‫د ‪c150‬‬ ‫ج ‪c120‬‬ ‫ب ‪c60‬‬ ‫أ ‪c30‬‬ ‫‪ 9‬قوتان متالقيتان فى نقطة مقدارهما ‪ ، 3‬ق نيوتن وقياس الزاوية بينهما ‪ ، c120‬فإذا كانت محصلتهما عمودية‬ ‫على القوة األولى فإن قيمة ق بالنيوتن تساوى‪:‬‬ ‫د ‪6‬‬ ‫ب ‪3‬‬ ‫أ ‪1٫5‬‬ ‫ج ‪3 3‬‬

‫‪ 10‬إذا كانت القوتان ‪ 8 ، 6‬نيوتن متعامدتين فإن جيب زاوية ميل محصلتهما على القوة األولى تساوى‪:‬‬ ‫د ‪4‬‬ ‫ج ‪3‬‬ ‫ب ‪4‬‬ ‫أ ‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫اأجب عن الأ�سئلة الآتية‪:‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 11‬قوتان مقدارهما ‪ 10 ، 5‬نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وتحصران بينهما زاوية قياسها ‪ .c120‬أوجد مقدار‬ ‫المحصلة وقياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع القوة األولى‪.‬‬ ‫‪ 12‬قوتان مقدارهما ‪ 2 3 ، 3‬ث‪.‬كجم ُتؤثِّران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما ‪ c45‬أوجد مقدار واتجاه‬ ‫محصلتهما‪.‬‬

‫‪ 13‬قوتان مقدارهما ‪ 8 ، 15‬ث‪ .‬كجم تؤثران فى نقطة مادية ‪ ،‬إذا كان مقدار محصلتهما ‪ 13‬ث‪ .‬كجم‪ .‬فأوجد قياس‬ ‫الزاوية بين هاتين القوتين‪.‬‬ ‫‪ 14‬قوتان مقدارهما ‪ ، 8‬ق نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما ‪ ، c120‬فإذا كان مقدار محصلتهما‬ ‫ق ‪ 3‬نيوتن فأوجد مقدار ق‪.‬‬ ‫‪ 15‬قوتان مقدارهما ‪ ، 4‬ق نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما ‪ c135‬فإذا كان اتجاه محصلتهما يميل‬ ‫بزاوية ‪ c45‬على ق‪ .‬أوجد مقدار ق‪.‬‬ ‫‪ 16‬قوتان مقدارهما ‪ ، 4‬ق نيوتن ُتؤثِّران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما ‪ ، c120‬إذا كانت محصلتهما عمودية‬ ‫على القوة األولى‪ .‬أوجد مقدار ق‪.‬‬

‫‪ 17‬قوتان مقدارهما ق ‪ ،‬ق ‪ 3‬نيوتن تؤثران فى نقطة مادية فإذا كان مقدار محصلتهما يساوى ‪2‬ق نيوتن‪ .‬فأوجد‬ ‫قياس الزاوية بين هاتين القوتين‪.‬‬ ‫‪ 18‬قوتان مقدارهما ‪ 15 ، 12‬نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وجيب تمام الزاوية بينهما يساوى ‪ 45-‬أوجد مقدار‬ ‫محصلتهما وقياس زاوية ميلها على القوة األولى‪.‬‬

‫كل منهما ق ث‪.‬كجم َتحصران بينهما زاوية قياسها ‪ c120‬وإذا تضاعفت القوتان‬ ‫‪ 19‬قوتان متساويتان مقدار ٍّ‬

‫‪18‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫اوـققلا ‪1 1‬‬ ‫وأصبح قياس الزاوية بينهما ‪ c60‬زادت محصلتهما بمقدار ‪ 11‬ث‪.‬كجم عن الحالة األولى‪ .‬أوجد مقدار ق‪.‬‬

‫‪ 20‬قوتان مقدارهما ‪ ، 12‬ق ث‪.‬كجم تؤثران فى نقطة ‪ ،‬تعمل األولى فى اتجاه الشرق‪ ،‬وتعمل الثانية فى اتجاه ‪c60‬‬ ‫أن خط عمل المحصلة يؤثر فى اتجاه ‪ c30‬جنوب‬ ‫جنوب الغرب‪ .‬أوجد مقدار ق ومقدار المحصلة إذا ُعلِ َم َّ‬ ‫الشرق‪.‬‬

‫‪ 21‬ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬قوتان تؤثران فى نقطة مادية‪ ،‬وتحصران بينهما زاوية قياسها ‪ c120‬ومقدار محصلتهما ‪ 19‬نيوتن‪.‬‬ ‫وإذا أصبح قياس الزاوية بينهما ‪ c60‬فإن مقدار المحصلة يساوى ‪ 7‬نيوتن‪ .‬أوجد قيمة كل من ق‪ ، 1‬ق‪.2‬‬ ‫‪ 22‬قوتان مقدارهما ق ‪2 ،‬ق ث‪.‬كجم تؤثران فى نقطة ما ‪ ،‬إذا ُض ِ‬ ‫ف مقدار الثانية وزيد مقدار األولى‬ ‫وع َ‬ ‫‪ 15‬ث‪.‬كجم ال يتغير اتجاه محصلتها‪ .‬أوجد مقدار ق‪.‬‬ ‫تفكير إبداعى‪:‬‬

‫‪ 23‬قوتان متساويتان فى المقدار ومتالقيتان فى نقطة ومقدار محصلتهما يساوى ‪ 12‬ث‪.‬كجم‪ .‬وإذا عكس اتجاه‬ ‫إحداهما فإن مقدار المحصلة يساوى ‪ 6‬ث‪.‬كجم‪ .‬أوجد مقدار كل من القوتين‪.‬‬

‫‪ 24‬قوتان مقدارهما ك ‪ ،‬ق ومقدار محصلتهما ‪2‬ك إذا كان قياس الزاوية بينهما هـ ‪ ،‬وإذا تغير قياس الزاوية‬ ‫وأصبحت ( ‪ – c180‬هـ) فإن مقدار محصلتهما ينقص إلى النصف‪ .‬أوجد النسبة بين ك ‪ ،‬ق‪.‬‬ ‫‪ 25‬ق ‪2 ،‬ق قوتان تؤثران فى نقطة مادية وتحصران بينهما زاوية قياسها ى ومقدار محصلتهما يساوى‬

‫‪ 5‬ق (م ‪ )1 +‬وإذا أصبح قياس الزاوية بينهما (‪ – c90‬ى) فإن مقدار المحصلة يساوى ‪ 5‬ق (م ‪.)1 -‬‬

‫م‪2-‬‬ ‫أثبت أن ظا ى =‬ ‫م‪2+‬‬

‫نشاط‬

‫‪ 2X ، 1X‬قوتان متالقيتان فى نقطة ومقدار محصلتها ‪ I‬نيوتن ‪ ،‬إذا عكس اتجاه ‪ 2X‬فإن المحصلة تصبح‬ ‫‪ 3 I‬نيوتن وفى اتجاه عمودى على المحصلة األولى‪ .‬أوجد قياس الزاوية بين القوتين‪.‬‬ ‫‪ -1‬اعتبر أن قياس الزاوية بين القوتين ى وزاوية ميل المحصلة مع ‪ 1X‬قياسها هـ‪.‬‬ ‫‪ -2‬أوجد ظا هـ ثم أوجد ظا (‪ - 90‬هـ) عند عكس اتجاه ‪2X‬‬

‫أن ‪ = 2X = 1X‬ق من الخطوة السابقة‪.‬‬ ‫‪ -3‬أثبت َّ‬

‫‪ -4‬أوجد باستخدام قانون مقدار المحصلة محصلة القوتين ‪ 2X ،1X‬قبل وبعد عكس اتجاه ‪.2X‬‬

‫أن جتا ى = ‪ 12 -‬إليجاد قياس الزاوية بين القوتين؟ استنتج ذلك من العالقات السابقة‪.‬‬ ‫‪ -5‬هل يمكنك استنتاج َّ‬ ‫‪ -6‬هل لديك طرق أخرى للحل؟ اذكر إحدى هذه الطرق‪.‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪19 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪2-1‬‬ ‫سوف تتعلم‬

‫ حتليل قوة ىف اجتاهني معلومني‪.‬‬

‫ حتليل قوة ىف اجتاهني متعامدين‪.‬‬

‫تحليل القوى‬ ‫‪Forces resolution‬‬

‫تمهيد‪:‬‬ ‫إن تحليل قوة معلومة إلى ِع َّدة مركبات بوجه عام يعنى إيجاد مجموعة مؤلَّفة من ِع َّدة‬ ‫َّ‬ ‫قوى ‪ ،‬تكون القوة المعلومة هى ُمحصلتها‪ ،‬وسنقتصر على دراسة تحليل قوة فى‬ ‫اتجاهين معلومين‪.‬‬ ‫تحليل قوة فى اتجاهين معلومين‬ ‫‪Resolution of a force into two components‬‬

‫يبين شكل (‪ :)1‬متجه المحصلة ‪ I‬المراد تحليلها‬ ‫إلى مركبتين فى االتجاهين و ‪ ، C‬و ب واللتين تصنعان‬ ‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬

‫ مركبة قوة‬

‫ مثلث قوى‬ ‫ مركز ثقل‬

‫‪force Component‬‬ ‫‪triangle of forces‬‬ ‫‪centre of gravity‬‬

‫ب‬

‫جـ‬ ‫‪I‬‬

‫زاويتين قياسيهما هـ‪ ، 1‬هـ‪ 2‬على الترتيب مع ‪I‬‬ ‫ولتكن المركبتان هما‪ :‬ق‪ ، 1‬ق‪2‬‬

‫يبين شكل (‪ :)2‬مثلث القوى مع مالحظة أن‬ ‫‪ C‬جـ = وب‬

‫(من خواص متوازى األضالع)‬ ‫وبتطبيق قاعدة الجيب نجد أن‪:‬‬

‫‪C‬‬

‫ه‬

‫ق‪1‬‬

‫هـ‪1‬‬

‫ق‪2‬‬

‫ـ‪2‬‬

‫و‬

‫شكل (‪)1‬‬ ‫جـ‬

‫هـ‪2‬‬

‫‪I‬‬

‫ق‪2‬‬

‫هـ‪ + 1‬هـ‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫ح‬ ‫× جاق‪1‬هـ = جاق‪2‬هـ =‬ ‫جا (هـ‪ + 1‬هـ‪)2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ق‪1‬‬

‫هـ‪1‬‬

‫و‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫× (الحظ أن ‪ :‬جا [‪ ( - c180‬هـ‪ + 1‬هـ ‪ = ] ) 2‬جا ( هـ ‪ + 1‬هـ ‪)2‬‬ ‫مثال‬ ‫األدوات والوسائل‬

‫ آلة حاسبة علمية‬

‫ برامج رسومية للحاسوب‬

‫‪ 1‬حلِّل قوة مقدارها ‪ 12‬نيوتن إلى مركبتين تميالن على اتجاه القوة بزاويتين ‪، c60‬‬ ‫‪ c45‬فى اتجاهين مختلفين منها مقر اًبا الناتج ألربعة أرقام عشرية‪.‬‬ ‫الحل‬

‫بتطبيق قاعدة الجيب‪:‬‬

‫‪12‬‬ ‫ق‬ ‫ق‬ ‫‪= 2 = 1‬‬ ‫جا ‪ c45‬جا ‪ c60‬جا ‪c105‬‬ ‫ق‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫` ق‪ = 1‬جا ‪* c45‬‬ ‫ ‪ 8٫7846 -‬نيوتن‬ ‫جا ‪c105‬‬

‫‪20‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫‪I‬‬

‫ق‪2‬‬

‫‪c45‬‬ ‫‪c60‬‬

‫وقيا اوـلا ‪1 1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ ق‪ = 2‬جا ‪* c60‬‬ ‫جا ‪c105‬‬ ‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫ ‪ 10٫7589 -‬نيوتن‬

‫‪ 1‬حلل قوة مقدارها ‪ 36‬نيوتن إلى مركبتين تميالن على اتجاه القوة بزاويتين قياسيهما ‪c45 ، c30‬فى اتجاهين‬ ‫مختلفين منها‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫تطبيقات حياتية‬ ‫‪ 2‬مصباح وزنه ‪ 20‬نيوتن معلق بحبلين معدنيين ‪ C‬جـ ‪،‬‬ ‫ب جـ يميالن على األفقى بزاويتين متساويتين قياس‬ ‫كل منهما ‪.c5‬‬ ‫× حلل وزن المصباح فى االتجاهين ‪ C‬جـ ‪ ،‬ب جـ مقر اًبا‬ ‫الناتج ألقرب نيوتن‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪c5‬‬

‫ب‬

‫‪c5‬‬

‫جـ‬

‫و‪2‬‬

‫و‪1‬‬

‫‪c85 c85‬‬

‫و‬

‫الحل‬

‫نُم ِّثل قوة الوزن (‪ 20‬نيوتن) بمتجه يعمل رأس ًّيا ألسفل نقطة بدايته هى النقطة جـ‪.‬‬ ‫ُنحلِّل متجه الوزن فى اتجاهى الحبلين المعدنيين كما يلى‪:‬‬

‫‪20‬‬

‫‪20‬‬ ‫و‪2‬‬ ‫و‪1‬‬ ‫أى أن‪:‬‬ ‫جا ‪ = c85‬جا ‪ = c85‬جا ‪ْ c170‬‬ ‫ و‪ = 1‬و‪ × 20 = 2‬جا ‪ c85‬ومن ذلك تكون‪:‬‬ ‫جا ‪c170‬‬

‫ و‪ = 1‬و‪ 115 - 114٫73713 = 2‬نيوتن‪.‬‬

‫تفكير ناقد‪ :‬ماذا َيحدث لمقدار مركبة الوزن فى اتجاهى الحبلين المعدنيين إذا نقص قياس زاويته مع األفقى عن‬ ‫فسر إجابتك‪.‬‬ ‫‪c5‬؟ وماذا تتوقع لمقدار مركبة الوزن عندما ُيصبح الحبل المعدنى أفق ًّيا؟ ِّ‬ ‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 2‬الشكل المقابل‪:‬‬ ‫حلِّل القوة الرأسية ‪120‬ث‪.‬جم إلى مركبتين إحداهما فى‬ ‫االتجاه األفقي‪ ،‬واألخرى فى اتجاه يصنع مع خط عمل القوة‬ ‫زاوية قياسها ‪.c48‬‬ ‫تحليل قوة فى اتجاهين متعامدين‬

‫ق‪1‬‬

‫الرأسي‬

‫جـ‬

‫‪C‬‬ ‫ق‪2‬‬

‫‪c48‬‬

‫‪120‬‬

‫‪Resolution of a force into two perpendicular components‬‬

‫إذا أثرت القوة ‪ I‬فى نقطة مادية (و) كما فى الشكل المجاور‪ ،‬وكانت‬ ‫مركبتيهما المتعامدتين ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬حيث اتجاه ق‪ 1‬يميل على اتجاه‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪ I‬بزاوية قياسها هـ ‪ ،‬فإن متوازى األضالع يؤول فى هذه الحالة إلى‬

‫المستطيل ‪C‬جـ ب و ‪ ،‬وبتطبيق قانون الجيب على المثلث و‪ C‬جـ فإن‪:‬‬

‫‪I‬‬

‫‪C‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫ب‬

‫ق‪1‬‬

‫‪c90‬‬

‫ق‪2‬‬

‫‪ -‬هـ‬

‫هـ‬

‫و‬

‫‪21 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة األولى‪ :‬ااــكققلـيمققل‬ ‫ح‬ ‫ق‪1‬‬ ‫= ق‪= 2‬‬ ‫×‬ ‫جا هـ‬ ‫جا ‪90‬‬ ‫جا (‪ - 90‬هـ)‬

‫أن‪:‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ ْ‬

‫ق‪1‬‬

‫جتا هـ‬

‫أن‪:‬‬ ‫ومن ذلك نسنتنتج َّ‬ ‫× ق‪( 1‬مقدار المركبة فى اتجاه معلوم) = ‪ I‬جتا هـ‬

‫=‬

‫ق‪2‬‬

‫جا هـ‬

‫=ح‬

‫× ق‪( 2‬مقدار المركبة فى االتجاه العمودى على االتجاه المعلوم) = ‪ I‬جا هـ‬ ‫مثال‬

‫‪18‬‬

‫‪ 3‬حلل قوة مقدارها ‪ 18‬نيوتن فى اتجاهين متعامدين‪ ،‬إحداهما يصنع مع‬ ‫القوة زاوية قياسها ‪60‬‬

‫ق‪2‬‬

‫ني‬ ‫وتن‬

‫الحل‬

‫ق‪ 18 = 1‬جتا ‪ 9 = 12 * 18 = c60‬نيوتن‬ ‫ق‪ 18 = 2‬جا ‪ 3 9 = 32 * 18 = 60‬نيوتن‪.‬‬

‫‪c60‬‬

‫ق‪1‬‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪َ 3‬حلِّل قوة مقدارها ‪ 2 6‬نيوتن والتى تعمل فى اتجاه الشمال الشرقى إلى مركبتين إحداهما فى اتجاه الشرق‬ ‫واألخرى فى اتجاه الشمال‪.‬‬ ‫الم�ستوى المائل‬

‫‪Inclined Plane‬‬

‫هو سطح يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ حيث ‪ < 0‬هـ < ‪ ، r2‬وخط أكبر ميل للمستوى هو الخط فى‬

‫المستوى المائل العمودى على خط تقاطع‬ ‫هذا المستوى مع المستوى األفقى والموضح‬ ‫بالشكل باللون األزرق ويكون‬ ‫ع‬

‫جاهـ = ف حيث‪:‬‬

‫‪C‬‬

‫ع‬

‫ع تمثل ُبعد النقطة ‪ C‬عن المستوى األفقى‪،‬‬ ‫ف تمثل ُبعد النقطة ‪ C‬عن خط تقاطع‬ ‫المستوى المائل مع المستوى األفقى‪.‬‬

‫ع‬

‫ف‬

‫ف‬ ‫هـ‬

‫هـ‬

‫مثال‬ ‫‪ 4‬وضع جسم مقدار وزنه ‪ 6‬نيوتن على مستوى مائل أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها‪.c30‬‬ ‫أوجد مركبتى وزن الجسم فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى واالتجاه العمودى عليه‪.‬‬ ‫الحل‬

‫الشكل المقابل يبين وزن الجسم ‪ 6‬نيوتن‪ ،‬ويؤثر رأس ًّيا إلى أسفل‪ ،‬مركبة‬ ‫وزن الجسم ق‪ 1‬تعمل فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى وألسفل‪،‬‬ ‫والمركبة األخرى ق‪ 2‬وتعمل فى االتجاه العمودى للمستوى وألسفل‪.‬‬

‫‪22‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫‪c30‬‬ ‫‪c30‬‬ ‫ق‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫ق‪1‬‬

‫وقيا اوـلا ‪1 1‬‬ ‫مركبة وزن الجسم فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ( ق‪.) 1‬‬ ‫حيث ق‪ 6 = 1‬جا هـ‬ ‫= ‪ 6‬جا ‪ 3 = 12 * 6 = c30‬نيوتن‬ ‫مركبة وزن الجسم فى االتجاه العمودى على المستوى ( ق‪) 2‬‬ ‫حيث ق‪ 6 = 2‬جتا هـ‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪ 6‬جتا‪ 3 3 = 2 * 6 = c30‬نيوتن‬ ‫تعبير شفهى‪ :‬هل مقدار كل من مركبتى القوة ق أقل من مقدار القوة ق نفسها؟‬

‫اأ�سف اإلى معلوماتك‬ ‫مركز ثقل الجسم الجاسئ‬ ‫دائما‬ ‫هى النقطة التى يمر بها ً‬ ‫الخط الرأسى المار بنقطة التعليق‬ ‫عندما يعلق الجسم من أى نقطة‬ ‫عليه فعلى سبيل المثال‪.‬‬ ‫(‪ )1‬مركز ثقل جسم كروى‬ ‫منتظم ومتجانس هى النقطة‬ ‫التى يقع فيها المركز الهندسى‬ ‫لهذا الجسم‪.‬‬ ‫(‪ )2‬مركز ثقل قضيب منتظم‬ ‫السمك والكثافة هو منتصف‬ ‫هذا القضيب‪.‬‬

‫فسر إجابتك‪.‬‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 4‬جسم جاسئ مقدار وزنه ‪ 36‬نيوتن موضوع على مستو يميل على األفقى بزاوية‬ ‫قياسها ‪ .c60‬أوجد مركبتى الوزن فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ألسفل‬ ‫واالتجاه العمودى عليه‪.‬‬

‫تمــــاريــن (‪)2 - 1‬‬

‫اأكمل ماياأتى‪:‬‬

‫‪ 1‬قوة مقدارها ‪ 6‬نيوتن تعمل فى اتجاه الشمال تم تحليلها إلى مركبتين متعامدتين فإن مركبتها فى اتجاه الشرق‬ ‫ُتساوى ‪ ...............................‬نيوتن‪.‬‬

‫‪ 2‬قوة مقدارها ‪ 2 4‬نيوتن تعمل فى اتجاه الشرق تم تحليلها إلى مركبتين متعامدتين فإن مركبتها فى اتجاه‬ ‫الشمال الشرقى تساوى ‪ ...............................‬نيوتن‪.‬‬ ‫ق‪2‬‬

‫‪ 3‬فى شكل (‪:)1‬‬ ‫أ إذا حلَّلت القوة ‪ I‬إلى مركبتين ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬اللتين تصنعان معها‬ ‫زاويتين قياسيهما ‪ c45 ، c30‬من جهتيها وكان || ‪ 12 = || I‬نيوتن ‪،‬‬ ‫فإن‪ :‬ق‪ ............................................... = 1‬نيوتن ‪ ،‬ق‪ ............................................... = 2‬نيوتن‪.‬‬

‫‪ 4‬فى شكل (‪:)2‬‬ ‫أ إذا حللت القوة ‪ I‬إلى مركبتين ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬اللتين تصنعان‬ ‫معها زاويتين قياساهما ‪ c90 ، c45‬من كلتا جهتيها وكان‬ ‫||‬

‫‪I‬‬

‫|| = ‪ 18‬نيوتن ‪ ،‬فإن‪ :‬ق‪ ............ = 1‬نيوتن ‪ ،‬ق‪ ............ = 2‬نيوتن‬

‫‪c45‬‬ ‫‪c30‬‬

‫‪I‬‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫ق‪1‬‬

‫ق‪2‬‬

‫‪I‬‬

‫ق‪1‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪c45‬‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫‪23 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة األولى‪ :‬ااــكققلـيمققل‬

‫‪ 5‬فى شكل (‪:)3‬‬

‫ق‪2‬‬

‫أ إذا حلَّلت القوة ق إلى مركبتين متعامدتين ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬وكان متجه القوة‬

‫ق‬

‫ق ينصف الزاوية بين اتجاهى ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬وكان || ق || = ‪ 2 6‬ث‬

‫كجم فإن‪ || :‬ق‪ ................................................= || 1‬ث كجم ‪،‬‬

‫ق‪1‬‬

‫ || ق‪ ................................................= || 2‬ث كجم‪.‬‬

‫‪ 6‬فى شكل (‪:)4‬‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫ق‪2‬‬

‫أ قوة مقدارها ‪ 2 12‬نيوتن تعمل فى اتجاه ‪ c30‬شمال الغرب‪.‬‬

‫× مقدار مركبة القوة فى اتجاه الغرب =‪ ..................................................‬نيوتن‪.‬‬

‫‪ 2 12‬نيوتن‬

‫‪c30‬‬

‫× مقدار مركبة القوة فى اتجاه الشمال =‪ ...............................................‬نيوتن‪.‬‬

‫شكل (‪)4‬‬

‫ق‪1‬‬

‫‪ 7‬قوة مقدارها ‪ 600‬ث جم تؤثِّر فى نقطة مادية‪ .‬أوجد مركبتيها فى اتجاهين يصنعان معها زاويتين قياسيهما ‪،c30‬‬ ‫‪.c45‬‬ ‫ِ‬ ‫‪ 8‬قوة مقدارها ‪ 120‬نيوتن َتعمل فى اتجاه الشمال الشرقى‪ .‬أوجد مركبتيها فى اتجاه الشرق واتجاه الشمال‪.‬‬

‫‪ 9‬حلِّل قوة أفقية مقدارها ‪ 160‬ث جم فى اتجاهين متعامدين‪ ،‬أحدهما يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ c30‬إلى أعلى‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫اتجاه الجنوب‪ .‬أوجد مركبتيها فى اتجاهى ‪ c60‬شرق الجنوب‪ ،‬واألخرى فى‬ ‫‪ 10‬قوة مقدارها ‪ 18‬نيوتن َتعمل فى‬ ‫اتجاه ‪ c30‬غرب الجنوب‪.‬‬ ‫‪ 11‬جسم جاسئ وزنه ‪ 42‬نيوتن موضوع على مستو َيميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ .c60‬أوجد مركبتى وزن هذا‬ ‫الجسم فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى واالتجاه العمودى عليه‪.‬‬ ‫تفكير إبداعى‪:‬‬

‫‪ 12‬مستوى مائل طوله ‪ 130‬سم وارتفاعه ‪ 50‬سم وضع عليه جسم جاسئ وزنه ‪ 390‬ث جم‪ .‬أوجد مركبتى الوزن فى‬ ‫اتجاه خط أكبر ميل للمستوى واالتجاه العمودى عليه‪.‬‬ ‫ب‬

‫الربط بالمالحة البحرية‪:‬‬

‫‪ 13‬يراد سحب بارجة بواسطة قاطرتين ب ‪ ،‬جـ تتصالن بحبلين مثبتين فى‬ ‫ُخطاف فى نقطة ‪ C‬من البارجة وقياس الزاوية بينهما ‪ ،c75‬فإذا كان زاوية‬ ‫ميل أحد الحبلين على ‪ E C‬يساوى ‪ c45‬وكانت محصلة القوى المبذولة‬ ‫لسحب البارجة تساوى ‪ 5000‬نيوتن وتعمل فى اتجاه ‪ . E C‬أوجد الشد فى‬ ‫كل من الحبلين ‪.‬‬

‫‪24‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫‪ 5000‬نيوتن ‪c45‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪c30‬‬

‫جـ‬

‫‪C‬‬

‫‪3-1‬‬

‫مح�سلة عدة قوى م�ستوية متالقية فى نقطة‬ ‫‪The resultant of coplanar forces meeting at a point‬‬

‫فكر و‬

‫ناقش‬

‫سوف تتعلم‬

‫سبق أن درست إيجاد محصلة قوتين مؤثِّرتين على جسم جاسئ فى نقطة واحدة‪ ،‬حيث‬ ‫ُمثلت هندس ًّيا بقطر متوازى األضالع المرسوم بهاتين القوتين كضلعين متجاورين فيه‪.‬‬ ‫فهل يمكنك إيجاد محصلة ِع َّدة قوى مستوية متالقية فى نقطة واحدة هندس ًّيا؟‬

‫ حمصلة عدة قوى مستوية متالقية‬ ‫ىف نقطة هندسية‪.‬‬ ‫ حمصلة عدة قوى مستوية‬ ‫متالقية ىف نقطة حتليل ًّيا‪.‬‬

‫تعلم‬ ‫مح�سلة عدة قوى م�ستوية متالقية فى نقطة هند�س ًّيا‪:‬‬ ‫إذا أثرت مجموعة القوى ق‪ ، 1‬ق‪ ، 2‬ق‪، .... ، 3‬‬ ‫فى نقطة مادية كما فى شكل (‪)1‬‬ ‫فباستخدام مقياس رسم مناسب‬ ‫نرسم المتجه و ‪ C‬الذى يمثل‬ ‫ثم نرسم ‪ C‬ب الذى يمثل‬

‫ثم نرسم ب جـ الذى يمثل ق‪ 3‬وهكذا‪.....‬‬ ‫برسم ‪ E‬هـ ‪.‬‬

‫‪= I‬‬ ‫ويسمى هذا المضلع بمضلع القوى ومن‬ ‫السهل مالحظة أن تكوين مضلَّع قوى ما‬ ‫هو إال تطبيق لقاعدة مثلث قوى عدة مرات‬ ‫متتالية‪.‬‬ ‫ق‪1‬‬

‫‪+‬‬

‫ق‪2‬‬

‫ق‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫ق‪3‬‬

‫قن‬

‫ب‬

‫ق‪3‬‬

‫جـ‬

‫ متجه وحدة‪.‬‬

‫‪Unit vector‬‬

‫ق‪1‬‬ ‫و‬

‫‪E‬‬

‫ق‬

‫ مركبة جربية‪.‬‬

‫ق‪2‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪K‬‬

‫ حمصلة‪.‬‬

‫‪Resultant‬‬

‫‪Algebraic component‬‬

‫‪I‬‬

‫وذلك‬

‫المتجه و هـ الذى يعمل فى االتجاه الدورى‬ ‫المضاد ُيم ِّثل محصلة القوى المعطاة‪ ،‬حيث‪:‬‬ ‫‪ +‬ق‪+ ... + 3‬‬

‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬

‫‪K‬‬

‫ق‪2‬‬

‫حتى نصل إلى نهاية المتجه‬

‫ق‪1‬‬

‫ق‪2‬‬

‫ق‪1‬‬

‫قن‬

‫هـ‬

‫‪I‬‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫األدوات والوسائل‬

‫ آلة حاسبة علمية ‪.‬‬

‫‪Scientific calculator‬‬

‫ برامج رسومية للحاسوب‪.‬‬

‫‪25 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة األولى‪ :‬ااــكققلـيمققل‬

‫نشاط‬

‫استخدام برنامج (‪)GeoGebra‬‬ ‫ق‪ ، 1‬ق‪ ، 2‬ق‪ ، 3‬ق‪ 4‬أربع قوى مستوية تؤثر فى نقطة من جسم جاسئ ‪ ،‬حيث ق‪ 400 = 1‬نيوتن وتعمل‬ ‫فى اتجاه الشرق ‪ ،‬ق‪ 300 = 2‬نيوتن وتعمل فى اتجاه الشمال ‪ ،‬ق‪ 500 = 3‬نيوتن وتعمل فى اتجاه الشمال الغربى ‪،‬‬ ‫ق‪ 200 = 4‬نيوتن وتعمل بزاوية قياسها ‪ c30‬جنوب الغرب‪ .‬أوجد محصلة هذه القوى‪.‬‬ ‫‪ 1‬ارسم القطع المستقيمة الموجهة التى ُتم ِّثل القوى بمقياس رسم ‪100 :1‬‬ ‫‪ 2‬ارسم من نقطة األصل المتجه ‪ C‬ب الذي طوله ‪ 4‬وحدات فى اتجاه الشرق‪.‬‬ ‫‪ 3‬ارسم من نقطة ب المتجه ب جـ الذي طوله ‪ 3‬وحدات فى اتجاه الشمال‪.‬‬

‫شمال‬

‫‪ 4‬ارسم من نقطة جـ المتجه جـ ‪ E‬الذي طوله ‪ 5‬وحدات فى اتجاه‬ ‫الشمال الغربى‪.‬‬

‫‪E‬‬

‫‪ 5‬ارسم من ‪ E‬المتجه ‪ E‬هـ الذي طوله ‪ 2‬وحدة فى اتجاه ‪c30‬‬ ‫جنوب الغرب‪.‬‬ ‫الحظ المتجه ‪ C‬هـ بما تسميه؟‬ ‫من الرسم السابق نجد أن‪:‬‬ ‫شرق‬

‫‪c30‬‬

‫هـ‬ ‫جـ ‪c45‬‬

‫ب‬

‫|| ‪ C‬هـ || = ‪ 5٫68‬وحدة طول‪.‬‬ ‫مقدار المحصلة = ‪ 568 = 100 * 5٫68‬نيوتن‪ ،‬وتصنع المحصلة‬ ‫مع الشرق زاوية قياسها ‪c103‬تقري اًبا‪.‬‬

‫المحصلة‬ ‫غرب‬

‫‪c102٫89‬‬ ‫‪C‬‬

‫مح�سلة عدة قوى م�ستوية متالقية فى نقطة تحليل ًّيا‬

‫‪The resultant of coplanar forces meeting at apoint analytically‬‬

‫إذا أثرت القوى ق‪ ، 1‬ق‪ ، 2‬ق‪ ، .....، 3‬قن المستوية والمتالقية فى نقطة وفى نظام إحداثى متعامد‪ ،‬وكانت‬ ‫تصنع الزوايا القطبية التى قياساتها هـ‪ ، 1‬هـ‪ ، 2‬هـ‪ ، ......... ، 3‬هـن وكانت‬ ‫و س ‪ ،‬و ص فإن‪ = I :‬ق‪ + 1‬ق‪ + 2‬ق‪+ ..... + 3‬‬

‫‪M‬‬

‫قن‬

‫‪،‬‬

‫‪N‬‬

‫هما متجها الوحدة فى اتجاه‬ ‫ص‬

‫وبتحليل كل قوة فى اتجاهى و س ‪ ،‬و ص المتعامدين فإن‪:‬‬ ‫‪I‬‬

‫= (ق‪ 1‬جتا هـ‪ ، 1‬ق‪ 1‬جا هـ‪)1‬‬

‫ق‪1‬‬

‫‪( +‬ق‪ 2‬جتا هـ‪ ، 2‬ق‪ 2‬جا هـ‪) 2‬‬

‫س‬

‫ ‪( + ................. +‬قن جتا هـن ‪ ،‬قن جا هـن)‬ ‫‪I‬‬

‫= (ق‪ 1‬جتا هـ‪ + 1‬ق‪ 2‬جتا هـ‪ + ....... + 2‬قن جتا هـن)‬ ‫‪( +‬ق‪ 1‬جا هـ‪ + 1‬ق‪ 2‬جا هـ‪ + ....... + 2‬قن جا هـن)‬

‫‪I‬‬

‫‪26‬‬

‫=(‬

‫ن‬

‫‪1=S‬‬

‫ق‪S‬جتاهـ‪)S‬‬

‫‪M‬‬

‫‪(+‬‬

‫ن‬

‫‪1=S‬‬

‫ق‪ S‬جا هـ‪)S‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫هـ‬

‫‪M‬‬

‫هـ‪2‬‬

‫‪N‬‬

‫س‬

‫هـم‬

‫هـ‬

‫‪K‬‬

‫ق‬

‫‪K‬‬

‫‪N‬‬

‫ق‪2‬‬

‫ص‬

‫ق‪3‬‬

‫ةطـقم ف ة قلا‬

‫ـكلتم كوقيم ع كـحم ‪1 1‬‬

‫ن‬

‫ق‪S‬جتاهـ‪ S‬بالمجموع الجبرى لمركبات القوى‬ ‫× يسمى المقدار‪:‬‬ ‫‪1=S‬‬ ‫فى اتجاه و س ويرمز له بالرمز س‪.‬‬

‫اأ�سف اإلى معلوماتك‬ ‫يسمى الرمز‬

‫ن‬

‫(سيجما)‬

‫برمز التجميع والعبارة‬

‫× يسمى المقدار‪:‬‬ ‫ق‪S‬جاهـ‪ S‬بالمجموع الجبرى لمركبات القوى فى‬ ‫‪1=S‬‬ ‫اتجاه و ص ويرمز له بالرمز ص‪.‬‬

‫ن‬

‫‪1=S‬‬

‫عنصرا بدأ من‬ ‫مجموع ن‬ ‫ً‬ ‫العنصر األول‪.‬‬

‫ومن ذلك نكتب ‪ = I‬س ‪ + M‬ص‬ ‫وتكون ح معيار المحصلة ‪ ،‬هـ هى قياس الزاوية القطبية لها‬ ‫‪N‬‬

‫ص‬ ‫أن‪ = I :‬س‪ + 2‬ص‪ ، 2‬ظا هـ =‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬ ‫س‬

‫مثال‬

‫‪ 1‬أربع قوى مستوية تؤثر فى نقطة مادية‪ ،‬األولى مقدارها ‪ 4‬نيوتن وتؤثر فى اتجاه الشرق‪ ،‬والثانية مقدارها ‪2‬‬ ‫نيوتن وتؤثر فى اتجاه ‪ c60‬شمال الشرق‪ ،‬والثالثة مقدارها ‪ 5‬نيوتن وتؤثر فى اتجاه ‪ c60‬شمال الغرب والرابعة ‪3‬‬ ‫‪ 3‬نيوتن وتؤثر فى اتجاه ‪ c60‬غرب الجنوب‪ .‬أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى‪.‬‬ ‫الحل‬

‫القوى ‪ 3 3 ، 5 ، 2 ، 4‬نيوتن قياس زواياها القطبية هى ‪ c210 ، c120 ، c60 ، c0‬على الترتيب نوجد المجموع‬ ‫الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه و س‬ ‫ص‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫س = ‪ 4‬جتا‪ 2 + c0‬جتا ‪ 5 + c60‬جتا ‪ 3 3 + c120‬جتا ‪c210‬‬ ‫‪3‬‬

‫ = ‪2 - = 92 - 52 - 1 + 4 = 2 * 3 3 - 12 * 5 - 12 * 2 + 4‬‬

‫ص = ‪ 4‬جا‪ 2 + c0‬جا ‪ 5 + c60‬جا ‪ 3 3 + c120‬جا‪c210‬‬

‫س‬

‫ = ‪1 * 3 3 - 3 * 5 + 3 * 2 + 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ = ‪3 2 = 3 32 - 3 52 + 3‬‬

‫`‬

‫‪I‬‬

‫‪4‬‬

‫‪c60 c60‬‬ ‫و‬ ‫‪c30‬‬

‫‪3 3‬‬ ‫ص‬

‫= ‪ 2 -‬س ‪ 3 2 +‬ص ويكون ‪ = I‬س‪ + 2‬ص‪ 4 = 16 = 12 + 4 = 2‬نيوتن‬

‫‪3‬‬ ‫ظا هـ = ص = ‪3 - = 2- 2‬‬ ‫س‬ ‫‪ a‬س<‪ ،0‬ص>‪0‬‬

‫س‬

‫ص‬

‫ ‬

‫‪I‬‬ ‫هـ‬

‫` هـ = ‪ c120‬‬

‫أن مقدار محصلة القوى ُيساوى ‪ 4‬نيوتن‪ ،‬وتصنع زاوية قطبية قياسها ‪c120‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬

‫س‬

‫و‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 1‬تؤثِّر القوى المستوية التى مقاديرها ‪ 40 , 3 30 ، 20 ، 10‬نيوتن فى نقطة‪ ،‬بحيث كانت الزاوية بين اتجاهى‬ ‫القوتين األولى والثانية ‪ c60‬وبين اتجاهى القوتين الثانية والثالثة ‪ c90‬وبين اتجاهى القوتين الثالثة والرابعة‬ ‫‪ .c150‬أوجد مقدار واتجاه المحصلة‪.‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪27 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة األولى‪ :‬ااــكققلـيمققل‬

‫مثال‬ ‫‪ C 2‬ب جـ ‪ E‬هـ و شكل سداسى منتظم تؤثر القوى التى مقاديرها ‪ 4 ، 3 2 ، 8 ، 3 4 ، 2‬ث كجم فى نقطة ‪ C‬فى‬ ‫االتجاهات ‪ C‬ب ‪ C ،‬جـ ‪ C ، E C ،‬هـ ‪ C ،‬و على الترتيب‪ .‬أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى‪.‬‬ ‫الحل‬

‫باعتبار ‪ C‬ب هو اتجاه القوة األولى فتكون الزوايا القطبية للقوى هى‪ c120 ، c90 ، c60 ، c30 ، c0 :‬على‬ ‫ص‬ ‫الترتيب‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫هـ‬ ‫` س = ‪ 2‬جتا ‪ 3 4 + c0‬جتا ‪ 8 + c30‬جتا ‪ 3 2 + c60‬جتا ‪ 4 + c90‬جتا ‪c120‬‬ ‫= ‪1 *4-0* 3 2+ 1 *8+ 3 * 3 4+2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ 10 = 2 - 4 + 6 + 2‬نيوتن‬

‫جـ‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫ = ‪ 3 10 = 3 2 + 3 2 + 3 4 + 3 2‬نيوتن‬

‫`‬

‫‪10 = I‬‬

‫‪c30‬‬ ‫‪c30‬‬

‫ب‬

‫‪2‬‬

‫ظا هـ = ص = ‪3 = 3 10‬‬

‫‪a‬س>‪ ،0‬ص>‪0‬‬

‫‪c30‬‬

‫‪C‬‬

‫‪N‬‬

‫` ‪ = I‬س‪ + 2‬ص‪ 20 = 2)3 10( + 2)10( = 2‬نيوتن‬ ‫س‬

‫‪4‬‬

‫‪c3‬‬

‫س‬

‫ = ‪3 * 4 + 3 2 + 3 * 8 + 1 * 3 4 + 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪3 4‬‬

‫و‬

‫‪0‬‬

‫ ص = ‪ 2‬جا ‪ 3 4 + c0‬جا ‪ 8 + c30‬جا ‪c60‬‬ ‫ ‪ 3 2 +‬جا ‪ 4 + c90‬جا ‪c120‬‬

‫‪3 10 +‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3 2‬‬

‫‪10‬‬

‫أن المحصلة تعمل فى اتجاه‬ ‫أي َّ‬ ‫ْ‬

‫ص‬

‫‪I‬‬

‫` ‪c(X‬هـ) = ‪c60‬‬

‫هـ‬

‫س‬

‫و‬

‫‪EC‬‬

‫تمــــاريــن (‪)3 - 1‬‬

‫اأكمل ماياأتى‪:‬‬ ‫‪ 1‬إذا كانت القوى ق‪ ، M 2 = 1‬ق‪2 - M = 2‬‬ ‫مقدار محصلة القوى = ‪ .........................................‬واتجاهها = ‪.........................................‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪ 2‬إذا كانت القوى ق‪2 = 1‬‬ ‫فإن‪ , ......................................... = C :‬ب = ‪.........................................‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪ ،‬ق‪C = 2‬‬

‫‪ 3‬إذا كان ق‪3 = 1‬‬ ‫فإن‪ , ......................................... = C :‬ب = ‪.........................................‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪28‬‬

‫‪2-‬‬

‫‪M‬‬

‫‪2-‬‬

‫‪N‬‬

‫‪ ،‬ق‪4 = 2‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪-‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫‪M‬‬

‫‪N‬‬

‫‪ ،‬ق‪6 = 3‬‬

‫‪N‬‬

‫‪،‬‬

‫‪I‬‬

‫‪8-‬‬

‫‪N‬‬

‫‪ ،‬ق‪4 = 3‬‬

‫‪M‬‬

‫فإن‪:‬‬ ‫=‪C2‬‬

‫‪-‬ب‬

‫‪M‬‬

‫‪N‬‬

‫‪،‬‬

‫‪3 -‬ب‬

‫‪N‬‬

‫‪I‬‬

‫=‪6‬‬

‫‪M‬‬

‫‪4-‬‬

‫‪N‬‬

‫ةطـقم ف ة قلا‬

‫ـكلتم كوقيم ع كـحم ‪1 1‬‬

‫‪ 4‬أوجد مقدار واتجاه محصلة القوى المبينة فى كل شكل من األشكال اآلتية‪:‬‬ ‫ص‬

‫‪2 4‬‬

‫س ‪4‬‬

‫ص‬

‫‪2‬‬

‫‪c45‬‬

‫‪3 4‬‬

‫و‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫س‬

‫‪c30‬‬

‫و‬

‫‪c45‬‬

‫س‬

‫‪3 2‬‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫ص‬

‫‪2‬‬

‫‪2 3‬‬ ‫س‬

‫ص‬

‫‪3 4‬‬ ‫‪c60‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3 3‬‬

‫ص‬

‫ص‬ ‫‪E‬‬

‫جـ‬

‫‪4‬‬

‫‪3 6‬‬

‫ب‬

‫‪c30‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ 8‬سم‬ ‫‪5‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪ 6‬سم‬

‫‪c60‬‬

‫‪c120‬‬ ‫‪4‬‬

‫مثلث متساوى الساقين‬

‫شكل (‪)4‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪c30‬‬

‫جـ‬

‫‪4‬‬

‫س‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪3 4‬‬

‫هـ‬

‫‪3 2‬‬

‫و‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪10‬‬

‫‪C‬‬

‫مستطيل بعداه ‪6‬سم ‪8 ،‬سم‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫ب‬

‫‪8‬‬

‫سداسى منتظم‬ ‫شكل (‪)6‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ 5‬أثرت القوى ‪ 12 ، 3 9 ، 6 ، 3‬ث كجم فى نقطة مادية‪ ،‬وكان قياس الزاوية بين األولى والثانية ‪ c60‬وبين‬ ‫الثانية والثالثة ‪ c90‬وبين الثالثة والرابعة ‪ .c150‬أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى‪.‬‬ ‫‪ 6‬ثالث قوى مقاديرها ‪ 30 ، 20 ، 10‬نيوتن تؤثِّر فى نقطة مادية‪ ،‬األولى نحو الشرق‪ ،‬والثانية تصنع زاوية ‪c30‬‬ ‫غرب الشمال‪ ،‬والثالثة تصنع ‪ c60‬جنوب الغرب‪ .‬أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى‪.‬‬

‫‪ 7‬أربع قوى مقاديرها ‪ 40 ، 3 30 ، 20 ، 10‬ث جم تؤثِّر فى نقطة مادية‪ ،‬األولى تؤثر فى اتجاه الشرق‪ ،‬والثانية‬ ‫ٍ‬ ‫اتجاه يصنع ‪c60‬‬ ‫تؤثر فى اتجاه ‪ c60‬شمال الشرق‪ ،‬والثالثة تؤثِّر فى اتجاه ‪ c30‬شمال الغرب‪ ،‬والرابعة تؤثِّر فى‬ ‫جنوب الشرق‪ .‬أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى‪.‬‬ ‫‪ C 8‬ب جـ مثلث متساوى األضالع ‪ ،‬م نقطة َتالقى متوسطاته أثرت القوى التى مقاديرها ‪ 25 ، 20 ، 15‬نيوتن فى‬ ‫نقطة مادية فى االتجاهات م جـ ‪ ،‬م ب ‪ ،‬م ‪ . C‬أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى‪.‬‬

‫‪ C 9‬ب جـ ‪ E‬مربع طول ضلعه ‪12‬سم ‪ ،‬هـ ∈ ب جـ بحيث ب هـ = ‪5‬سم‪ .‬أثرت قوى مقاديرها ‪، 2 4 ، 13 ، 2‬‬ ‫‪9‬ث جم فى االتجاهات ‪ C‬ب ‪ C ،‬هـ ‪ ،‬جـ ‪ E C ، C‬على الترتيب‪ .‬أوجد محصلة هذه القوى‪.‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪29 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة األولى‪ :‬ااــكققلـيمققل‬

‫‪ 10‬من بيانات الشكل ‪ .‬أوجد مقدار واتجاه المحصلة ‪.‬‬ ‫‪120‬‬ ‫نيوتن‬

‫أ‬

‫‪80‬‬ ‫نيوتن‬

‫‪c30‬‬ ‫‪c40‬‬

‫‪150‬‬ ‫نيوتن‬

‫ب‬

‫‪c35‬‬

‫‪ 100‬نيوتن‬

‫‪c35‬‬

‫‪ 200‬نيوتن‬

‫‪c30‬‬

‫‪ 150‬نيوتن‬

‫‪ 11‬إذا كانت ق‪ ، N 3 + M 5 = 1‬ق‪ ، N 6 + M C = 2‬ق‪ + M 14- = 3‬ب‬ ‫ومتالقية فى نقطة وكانت المحصلة ‪ .)c135 ، 2 10( = I‬أوجد قيمتي ‪ ، C‬ب‪.‬‬

‫‪N‬‬

‫ثالث قوى مستوية‬ ‫ص‬

‫‪2 3‬‬

‫‪ 12‬فى الشكل المقابل‪ :‬إذا كان مقدار محصلة القوى تساوى ‪2 3‬‬

‫نيوتن‪ ،‬فأوجد قيمة ق‪ ،‬قياس الزاوية بين خط عمل المحصلة‬ ‫وخط عمل القوة األولى ‪.‬‬

‫‪c45‬‬

‫س ق‬

‫‪c30‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪ 13‬فى الشكل المقابل ‪ :‬إذا كانت محصلة القوى تساوى ‪ 20‬ث كجم‪،‬‬ ‫وتعمل فى اتجاه ‪ E C‬أوجد قيمتى ق ‪ ،‬ك ‪.‬‬

‫جـ‬

‫ك‬

‫‪C‬‬ ‫ص‬

‫‪2‬ك‬

‫هـ‬ ‫هـ‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫و‬

‫‪3 2‬‬

‫‪X4‬‬

‫‪ 14‬الشكل المقابل‪ :‬يبين أربع قوى مستوية ومتالقية فى نقطة (و) فى‬ ‫االتجاهات الموضحة حيث جا هـ = ‪ ، 45‬وكانت محصلة هذه القوى‬ ‫تساوى ‪ 2 8‬نيوتن وتصنع زاوية قياسها ‪ c135‬مع و س‬ ‫أوجد قيمتى ‪ ، X‬ك‪.‬‬

‫ص‬ ‫هـ‬

‫ق‬

‫س‬

‫‪30‬‬

‫‪3 2‬‬

‫ب‬

‫تفكير إبداعى‪:‬‬

‫‪3 2‬‬

‫س‬ ‫ك‬

‫هـ‬

‫و هـ‬

‫س‬

‫‪X2‬‬ ‫ص‬

‫‪4-1‬‬

‫اتزان ج�سيم تحت تاأثير مجموعة من القوى‬ ‫الم�ستوية المتالقية فى نقطة‬ ‫‪Equilibrium of a particle under the action of coplanar forces meeting at a point‬‬

‫إذا أثرت قوتان أو أكثر فى جسم جاسئ‪ ،‬ولم يتغير وضع الجسم قيل إن هاتين القوتين‬ ‫أو هذه القوى متزنة‪ ،‬وأن الجسم متزن ‪ ،‬ويعد أبسط أنواع االتزان هوالناتج عن تأثير‬ ‫قوتين فى جسم جاسئ‪.‬‬

‫سوف تتعلم‬

‫ اتزان جسم حتت تأثري قوتني‪.‬‬

‫ اتزان جسم حتت تأثري ثالث‬ ‫قوى مستوية ومتالقية ىف نقطة‪.‬‬

‫اتزان ج�سم جا�سئ تحت تاأثير قوتين‬

‫ قاعدة مثلث القوى‪.‬‬ ‫ قاعدة المى‪.‬‬

‫‪Equilibrium of a rigid body under the action of two forces‬‬

‫ نظرية القوى الثالث‪.‬‬

‫وزن الجسم ‪ 20‬ث كجم‬ ‫الشد فى الخيط‬ ‫شكل (‪)2‬‬

‫جسما وزنه ‪ 20‬ث كجم على كفة ملساء‬ ‫‪ -1‬ضع‬ ‫اً‬ ‫لميزان ضغط أفقى‪ ،‬والحظ قراءة الميزان‬ ‫ٍ‬ ‫حينئذ‪ .‬كما فى الشكل (‪.)1‬‬ ‫‪ -2‬اطلب من زميلك أن يربط نفس الجسم‬ ‫بخيط خفيف أملس‪ ،‬ويربط نهاية الخيط‬ ‫فى ُخطاف ميزان زنبركى‪ ،‬ويالحظ قراءة‬ ‫الميزان فى وضع السكون‪.‬‬ ‫‪ -3‬قارن بين النتائج فى كل من التجربتين‪ ،‬ماذا تالحظ؟‬ ‫نالحظ أن‪:‬‬ ‫× كل من قوتى رد الفعل ‪ S‬فى التجربة األولى‬ ‫وقوة الشد فى الخيط ش فى التجربة الثانية‬ ‫تساوى ‪ 20‬ث كجم وهو وزن الجسم‪.‬‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫عمل تعاونى‬

‫رد فعل الميزان‬

‫ اتزان جمموعة من القوى‬ ‫املستوية املتالقية ىف نقطة‪.‬‬

‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬

‫ قاعدة مثلث القوى‪.‬‬

‫‪Triangle of forces rule‬‬

‫وزن الجسم ‪ 20‬ث كجم‬ ‫‪ 20 = S‬ث كجم ش = ‪ 20‬ث كجم‬

‫و = ‪ 20‬ث كجم‬

‫ قاعدة المى‪.‬‬

‫‪Lami`s rule‬‬

‫ مضلع القوى‪Polygon of forces .‬‬

‫و = ‪ 20‬ث كجم‬

‫تعلم‬ ‫�سروط اتزان ج�سم ج��سئ تحت ت�أثير قوتين‬

‫يتزن الج�سم الجا�سئ تحت تاأثير قوتين فقط اإذا كانت القوتان‪:‬‬ ‫‪ -1‬متساويتين فى المقدار‪.‬‬ ‫‪ -2‬متضادتين فى االتجاه‪.‬‬ ‫‪ -3‬خطى عملهما على استقامة واحدة‪.‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫األدوات والوسائل‬

‫ آلة حاسبة علمية‬

‫‪Scientific calculator‬‬

‫ برامج رسومية للحاسوب‪.‬‬

‫‪31 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة األولى‪ :‬ااــكققلـيمققل‬

‫مثال‬ ‫‪ 3‬إذا كانت القوة التى مقدارها ق تتزن مع قوتان مقدارهما ‪ 3 ، 5‬نيوتن واللتان‬ ‫تحصران بينهما زاوية قياسها ‪ c60‬فأوجد قيمة ق؟‬

‫‪X‬‬

‫‪c60‬‬

‫الحل‬

‫نوجد محصلة القوتين ‪ 3 ، 5‬نيوتن من القانون‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ = I‬ق‪ + 1‬ق‪ 2 + 2‬ق‪ 1‬ق‪ 2‬جتا ى ` ‪ 3 * 5 * 2 + 9 + 25 = I‬جتا ‪c60‬‬ ‫` ‪ 7 = 49 = 15 + 9 + 25 = I‬نيوتن‬ ‫‪ a‬القوة (ق) ومحصلة القوتان ‪ 3 ، 5‬نيوتن فى حالة اتزان‪ ` .‬ق = ‪ 7‬نيوتن‬

‫‪3‬‬ ‫نيوتن‬

‫‪5‬‬ ‫نيوتن‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 1‬إذا كانت القوة التى مقدارها ق تتزن مع القوتين المتعامدتين التى مقدار كل منها ‪ 12 ، 5‬نيوتن فأوجد قيمة ق‪.‬‬

‫نقل نقطة تاأثير القوة اإلى اأى نقطة على خط عملها‬

‫نشاط‬

‫جـ‬

‫‪C‬‬

‫‪1C‬‬

‫‪2C‬‬

‫ب‪ 2‬ب‪ 1‬ب‬

‫‪E‬‬

‫‪ 1‬أحضر األدوات اآلتية‪:‬‬ ‫قرصا رقي اًقا من المعدن ‪ -‬خيطاًا ‪ -‬ميزاناًا مائ ًّيا ‪ -‬مسطرة‪.‬‬ ‫ميزاناًا زنبرك ًّيا ‪ -‬اً‬ ‫‪ 2‬اضبط النضد أفق ًّيا باستخدام الميزان المائى‪.‬‬

‫‪ 3‬صل القرص بخيطين عند الثقبين ‪ ، C‬ب ثم اربط الطرفين اآلخرين للخيطين بميزان الزنبرك‪.‬‬

‫‪ 4‬ثبت حلقة أحد الميزانين فى مسمار مثبت فى النضد عند نقطة (جـ) واجذب الميزان اآلخر ثم ثبته عند نقطة‬ ‫(‪ )E‬فى مسمار آخر يبعد عن المسمار األول بحيث يكون الخيطان مشدودين كما بالشكل ‪.‬‬ ‫‪ 5‬أوجد مقدار الشد المؤثر فى الخيط وسجل النتائج‪.‬‬

‫‪ 6‬غير موضع تثبيت طرف الخيط من النقطة ‪ ،C‬إلى النقاط ‪ ... ،2C ،1C‬وكذلك تغيير الطرف اآلخر للخيط من‬ ‫النقطة ب إلى النقاط ب‪ ،1‬ب‪ ... ،2‬والحظ قراءة ميزان الزنبرك فى كل حالة وسجل النتائج ‪ -‬ماذا تالحظ؟‬

‫نالحظ أنه عند حدوث التوازن تتساوى القراءتان تما اًما ‪.‬‬

‫من النشاط السابق نستنتج أن ‪:‬‬

‫إذا اتزن جسم جاسئ تحت تأثير قوتين‪ ،‬فإنه يمكن نقل نقطة تأثير أى من القوتين إلى‬ ‫نقطة أخرى على خط عملها دون أن يؤثر ذلك فى اتزان الجسم‪.‬‬

‫‪32‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫اـىا ي ـيت وا ـلوتس لالفم ا اوـلا اك ـكلتم اككوقيم ع كـحم ‪1 1‬‬ ‫مثال‬

‫‪ 3‬نيوتن‬

‫‪ 5‬نيوتن‬

‫‪ 1‬القوى ‪ 4 ،5 ،3‬نيوتن متوازنة كما فى الشكل المقابل‪.‬‬ ‫أوجد قياس الزاوية بين القوتين ‪ 5 ،3‬نيوتن‪.‬‬

‫ى‬

‫الحل‬

‫‪ Ö‬مجموعة القوى متزنة‪.‬‬ ‫` محصلة القوتين ‪ 5 ،3‬نيوتن تتزن مع القوة ‪ 4‬نيوتن‬ ‫ويفرض أن قياس الزاوية بين القوتين ‪ 5 ،3‬نيوتن ى فإن ‪:‬‬ ‫‪2X 1X2 + 22X + 21X = 2 I‬جتا ى‬ ‫بالتعويض عن ‪5 = 2X ، 3 = 1X ، 4 = I :‬‬ ‫‪ 30‬جتا ى = ‪18-‬‬ ‫‪ 5 *3 * 2 + 25 + 9 = 16‬جتا ى‬ ‫أى أن جتا ى = ‪3-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪c126 َ 52 11‬‬ ‫` ق(‪c‬ى) = ‪49 - c180‬اً ‪ = c53 َ7‬اً‬

‫‪C‬‬

‫ب‬ ‫‪ 4‬نيوتن‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 2‬إذا كانت القوى ‪ 13 ،8 ،7‬نيوتن متوازنة فأوجد قياس الزاوية بين القوتين األولى والثانية‪.‬‬

‫اتزان ج�سم جا�سئ تحت تاأثير ثالث قوى م�ستوية ومتالقية فى نقطة‬

‫‪Equilibrium of arigid body under the action of three coplanar forces meeting at apoint‬‬

‫سبق أن درست شروط اتزان جسم جاسئ تحت تأثير قوتين ‪ ،‬وسوف ندرس توازن ثالث قوى تقع خطوط عملها‬ ‫فى مستوى واحد وتتالقى فى نقطة واحدة ‪ ،‬وهذه القوى إما أن تؤثر فى نقطة مادية (أوجسيم ) أو تؤثر على جسم‬ ‫بحيث تتالقى خطوط عملها فى نقطة واحدة‪.‬‬

‫تعلم‬ ‫إذا أمكن تمثيل ثالث قوى مستوية متالقية فى نقطة بأضالع مثلث مأخوذة فى‬ ‫ترتيب دورى واحد فإن هذه القوى تكون متزنة‪.‬‬ ‫ففى الشكل المقابل ‪:‬‬ ‫لكى تتزن القوى الثالث يجب أن تكون مقاديرها تصلح ألن تكون أطوال‬ ‫أضالع مثلث ‪.‬‬

‫ق‪1‬‬ ‫ق‪2‬‬

‫تعبير شفهى ‪:‬‬

‫بين أ ًّيا من القوى التى لها المقادير اآلتية يمكن أن تكون متزنة ؟ فسر إجابتك‪.‬‬ ‫ق‪3‬‬ ‫على اعتبار أن القوى تؤثر فى نقطة واحدة و فى اتجاهات مختلفة‪.‬‬ ‫ج ‪ 6 ،10 ،4‬نيوتن‪.‬‬ ‫ب ‪ 7 ،5 ،3‬نيوتن‬ ‫أ ‪ 9 ،5 ،3‬نيوتن‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪33 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة األولى‪ :‬ااــكققلـيمققل‬

‫قاعدة مثلث القوى‬ ‫شكل (‪ :)1‬يمثل القوتان ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬تؤثران على جسم جاسئ‬ ‫‪Triangle of forces‬‬

‫جـ‬

‫ب‬ ‫ق‬

‫‪1‬‬

‫ تعمالن فى و ‪ ، C‬و ب‬

‫وتكون محصلة هاتين القوتين هي ( ق‪ + 1‬ق‪ ) 2‬والتى تعمل فى‬

‫‪C‬‬

‫القطر و جـ من متوازى األضالع و ‪ C‬جـ ب‪.‬‬

‫ق‪1‬‬

‫ق‪ 3‬تساوى ( ق‪ + 1‬ق‪ ) 2‬فى المقدار وتضادهها فى االتجاه‬

‫أن‪ :‬ق‪ + 1‬ق‪ + 2‬ق‪0 = 3‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬

‫تحقق من فهمك‬ ‫ق‪2 = 1‬‬

‫‪M‬‬

‫‪-‬‬

‫‪N‬‬

‫‪ ،‬ق‪= 2‬‬

‫ق‬

‫‪2‬‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫و‬

‫ق‪3‬‬

‫‪ Ñ‬ق‪ , 1‬ق‪ , 2‬ق‪ 3‬مجموعة متزنة‪.‬‬

‫بين أن مجموعة القوى ق‪ ، 1‬ق‪ ، 2‬ق‪ 3‬مجموعة متزنة حيث ‪:‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪+‬‬

‫ق‪2‬‬

‫‪3+‬‬

‫‪N‬‬

‫‪ ،‬ق‪3 - = 3‬‬

‫‪M‬‬

‫شكل (‪ :)2‬يمثل مثلث القوى للمجموعة المتزنة ق‪ , 1‬ق‪, 2‬‬

‫‪2-‬‬

‫جـ‬

‫‪N‬‬

‫ق‪3‬‬

‫حيث إن أطوال أضالع المثلث تكون متناسبة مع مقادير القوى المتناظرة‪.‬‬

‫أن‪ :‬ق‪ = 1‬ق‪ = 2‬ق‪3‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬ ‫جـ و‬ ‫‪ C‬جـ‬ ‫و‪C‬‬

‫ق‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫ق‪1‬‬

‫ق‪3‬‬

‫و‬

‫أى أن‪ :‬إذا اتزنت ثالث قوى متالقية فى نقطة‪ ،‬ورسم مثلث أضالعه توازى خطوط عمل القوى‪ ،‬فإن أطوال‬ ‫أضالع المثلث تكون متناسبة مع مقادير القوى المناظرة‪.‬‬ ‫فكر‪ :‬استخدم قاعدة الجيب إلثبات قاعدة مثلث القوى‪.‬‬ ‫مثال‬

‫‪ُ 2‬عل َِّق ثُقل مقداره ‪ 12‬نيوتن فى أحد طرفى خيط خفيف طوله ‪130‬سم‪ ،‬والطرف اآلخر للخيط مثبت فى نقطة‬ ‫على حائط رأسي‪ ،‬جذب الجسم بتأثير قوة أفقية حتى اتزن وهو على بعد ‪50‬سم من الحائط‪ .‬أوجد مقدار كل‬ ‫من القوة والشد فى الخيط‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫الحل‬

‫الثقل متزن تحت تاأثير القوى الثالث‪:‬‬

‫× قوة الوزن (‪ 12‬نيوتن) وتعمل رأس ًّيا ألسفل‪.‬‬ ‫× القوة األفقية ق‪.‬‬ ‫× الشد فى الخيط ش ويعمل فى ب‪C‬‬ ‫نوجد طول ‪ C‬جـ من فيثاغورث‪.‬‬

‫‪ C‬جـ = (‪ 120 = 2)50( - 2)130‬سم‬ ‫المثلث ب ‪ C‬جـ مثلث القوى‪:‬‬ ‫ق‬ ‫ش = ‪= 12‬‬ ‫‪50 120 130‬‬

‫ش = ‪ 13‬نيوتن ‪ ،‬ق = ‪ 5‬نيوتن‬

‫‪34‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫ش‬ ‫ش‬ ‫‪ 130‬سم‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫‪ 120‬سم‬

‫‪12‬‬

‫‪X‬‬

‫‪ 50‬سم‬

‫جـ‬

‫‪X‬‬

‫ب‬ ‫‪12‬‬

‫جـ‬

‫اـىا ي ـيت وا ـلوتس لالفم ا اوـلا اك ـكلتم اككوقيم ع كـحم ‪1 1‬‬ ‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 3‬علق ثقل مقداره ‪ 16‬نيوتن فى أحد طرفى خيط خفيف طوله ‪50‬سم‪ ،‬مثبت طرفه اآلخر فى نقطة فى سقف الحجرة‬ ‫أُزيح الثقل بقوة أفقية‪ ،‬حتى اتزن وهو على بعد ‪40‬سم من السقف ‪ ،‬أوجد مقدار القوة األفقية والشد فى الخيط‪.‬‬ ‫‪lami' s theorem‬‬

‫قاعدة لمى‬

‫إذا أثرت القوى ق‪ , 1‬ق‪ , 2‬ق‪ 3‬فى نقطة مادية كما فى الشكل (‪ )1‬وكانت متزنه فإنه ُيمكن َتمثيلُها بأضالع‬ ‫المثلث مأخوذة فى ترتيب دوري واحد كما فى الشكل (‪)2‬‬ ‫ق‪2‬‬

‫هـ‪3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪2X‬‬

‫هـ‪1‬‬

‫‪1X‬‬

‫جـ‬

‫‪3X‬‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫هـ‪2‬‬

‫هـ‪3‬‬ ‫‪1X‬‬

‫ب‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫هـ‪2‬‬

‫هـ‪1‬‬

‫‪3X‬‬

‫باستخدام قاعدة الجيب نجد أن‪:‬‬

‫ب جـ‬ ‫‪C‬ب‬ ‫جـ ‪C‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫جا (‪ - 180‬هـ‪ )1‬جا (‪ - 180‬هـ‪ )2‬جا (‪ - 180‬هـ‪)3‬‬

‫أن‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬

‫ق‪ = 1‬ق‪ = 2‬ق‪3‬‬ ‫جا هـ‪3‬‬ ‫جا هـ‪2‬‬ ‫جا هـ‪1‬‬

‫إذا أتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى مستوية متالقية فى نقطة فإن مقدار كل قوة يتناسب مع جيب الزاوية‬ ‫المحصورة بين القوتين األخرتين‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 3‬ثالث قوى مقاديرها ‪ ، 60‬ق ‪ ،‬ك نيوتن متزنة ومتالقية فى نقطة فإذا كان قياس الزاوية بين القوتين األولى‬ ‫‪60‬‬ ‫والثانية ‪ c120‬وبين الثانية والثالثة ‪ .c90‬فأوجد مقدار كل من ق ‪ ،‬ك‪.‬‬ ‫الحل‬

‫المجموعة متزنة تحت تاأثير القوى الثالث الآتية‪:‬‬

‫‪c120‬‬

‫القوة ‪ 60‬نيوتن ‪ ،‬القوة ق نيوتن ‪ ،‬القوة ك نيوتن بتطبيق قاعدة المى‪:‬‬

‫ك‬ ‫ق‬ ‫‪60‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫جا ‪ c90‬جا ‪ c150‬جا ‪c120‬‬ ‫‪2 = 60‬ق = ‪2‬ك‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫أن‪ :‬ق = ‪ 30‬نيوتن ‪ ،‬ك = ‪ 3 30‬نيوتن‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬

‫‪ 4‬فى الشكل المقابل ثقل مقداره ‪ 10‬نيوتن معلق بخيطين يميل األول على‬ ‫األفقى بزاوية قياسها ‪ c30‬ويميل اآلخر على األفقى بزاوية قياسها ‪.c40‬‬ ‫أوجد ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬فى حالة االتزان‪.‬‬

‫‪c150‬‬ ‫‪X‬‬

‫ني‬

‫‪ 1X‬ني‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫وتن‬

‫ك‬

‫وتن‬

‫‪2X‬‬

‫‪c40‬‬

‫‪c30‬‬

‫‪ 10‬نيوتن‬

‫‪35 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة األولى‪ :‬ااــكققلـيمققل‬

‫‪2S‬‬

‫قاعدة‪:‬‬

‫إذا اتزن جسم جاسئ تحت تأثير ثالث قوى غير متوازية ومستوية‬ ‫فإن خطوط عمل هذه القوى تتالقى فى نقطة واحدة‪.‬‬ ‫مثال توضيحى‪ :‬إذا اتزن قضيب منتظم السمك والكثافة وزنه (و) على‬ ‫حائط رأسى أملس وأرض أفقية خشنة فإن‪:‬‬ ‫× مركز ثقل وزن القضيب يعمل فى منتصفه واتجاهه رأس ًّيا ألسفل‪.‬‬

‫‪E‬‬

‫‪1S‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫× رد فعل الحائط الرأسي (‪ )1S‬يكون عمود ًّيا على الحائط ويعمل‬ ‫فى اتجاه ب ‪. E‬‬

‫‪C‬‬

‫و‬

‫× رد فعل األرض األفقية الخشنة (‪ )2S‬غير محدد االتجاه ولتحديد‬ ‫اتجاهه نرسم ‪ E C‬الذى يمر بالنقطة ‪( E‬نقطة تالقى خطى عمل و ‪ ) 1S ،‬كما فى الشكل‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 4‬كرة معدنية منتظمة ملساء وزنها ‪ 1٫5‬ث كجم وطول نصف قطرها ‪25‬سم ‪ ،‬ربطت من إحدى نقط سطحها‬ ‫ب بخيط طوله ‪25‬سم ومربوط طرفه اآلخر ‪ C‬من نقطة فى حائط رأسى أملس فاتزنت الكرة وهى مستندة على‬ ‫الحائط‪ .‬أوجد مقدار الشد فى الخيط ومقدار رد فعل الحائط‪.‬‬ ‫تذكر اأن‬ ‫الحل‬

‫مركز ثقل الكرة المتجانسة يقع‬ ‫فى مركزها الهندسي‪.‬‬

‫الكرة متزنة تحت تاأثير القوى الثالث‪:‬‬

‫× وزن الكرة ‪ 1٫5‬ث كجم ويؤثر رأس ًّيا ألسفل‪.‬‬

‫× رد فعل الحائط على الكرة (‪ )S‬ويؤثر عند نقطة تماس الكرة مع الحائط‪ ،‬ويعمل فى اتجاه عمودى على الحائط‬ ‫مارا بالمركز (م)‪.‬‬ ‫ًّ‬ ‫ش‬

‫× الشد فى الخيط (ش) ويعمل فى اتجاه ب ‪ C‬ويمر‬ ‫بالمركز (م) نقطة تالقى قوتي وزن الكرة ورد فعل‬ ‫الحائط‪(.‬نظرية)‬ ‫المثلث م ‪ C‬جـ هو مثلث القوى‪ ،‬حيث‬ ‫م ‪50 = 25 + 25 = C‬سم‬ ‫ومن نظرية فيثاغورث‪ C :‬جـ = (‪2)25( - 2)50‬‬ ‫= ‪ 3 25‬سم‬ ‫وبتطبيق قاعدة مثلث القوى‪:‬‬ ‫ش = ‪S = 1٫5‬‬ ‫‪25 3 25 50‬‬

‫أن‪ :‬ش = ‪ 3‬ث كجم ‪ 32 = S ،‬ث كجم‪.‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬

‫‪36‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫‪C‬‬

‫ب‬ ‫ش‬

‫‪C‬‬

‫‪S‬‬

‫م‬

‫‪ 50‬سم‬

‫م‬

‫‪S‬‬

‫‪ 25‬سم‬

‫جـ‬

‫‪1٫5‬‬

‫جـ‬

‫اـىا ي ـيت وا ـلوتس لالفم ا اوـلا اك ـكلتم اككوقيم ع كـحم ‪1 1‬‬ ‫فكر‪ :‬هل يمكنك حل المسألة السابقة بطرق أخرى؟ اذكر هذه الطرق ثم حل المسألة بإحدى هذه الطرق‪.‬‬ ‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 5‬كرة منتظمة ملساء وزنها ‪ 100‬ث جم وطول نصف قطرها ‪30‬سم معلقة من نقطة على سطحها بأحد طرفى‬ ‫كال‬ ‫خيط خفيف طوله ‪20‬سم‪ ،‬ومثبت طرفه اآلخر فى نقطة من حائط رأسى أملس‪ .‬أوجد فى وضع التوازن ًّ‬ ‫من الشد فى الخيط ورد فعل الحائط‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 5‬علق قضيب منتظم طوله ‪100‬سم ووزنه ‪ 30‬نيوتن من طرفيه بحبلين ثبت طرفاهما فى ُخطّاف ‪ ،‬فإذا كان‬ ‫الحبالن متعامدين‪ ،‬وطول أحدهما ‪50‬سم‪ .‬فأوجد مقدار الشد فى كل من الحبلين عندما يكون القضيب معل اًقا‬ ‫حرا مطل اًقا وفى حالة اتزان‪.‬‬ ‫تعلي اًقا ًّ‬ ‫ش‪2‬‬ ‫ش‪1‬‬ ‫الحل‬

‫وزنه ‪ 30‬نيوتن‪ ،‬ويعمل رأس ًّيا ألسفل ويؤثر عند منتصفه ‪ ،‬الشد‬ ‫فى الحبلين ش‪ ، 1‬ش‪ 2‬ويعمالن فى االتجاهين ‪ C‬جـ ‪ ،‬ب جـ على‬ ‫الترتيب ويتقاطعان على التعامد عند نقطة جـ‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪0‬‬

‫الق�سيب متزن تحت تاأثير القوى الثالث‪:‬‬

‫‪c60‬‬

‫‪c3‬‬

‫‪50‬‬

‫سم‬

‫‪ 50‬سم‬

‫‪E‬‬

‫‪ a‬جـ ‪ E‬مرسومة من رأس القائمة إلى منتصف الوتر‬

‫‪ 30‬نيوتن‬

‫` جـ ‪ C 12 = E‬ب = ‪50‬سم‬

‫‪ 50‬سم‬

‫ب‬

‫اأ�سف اإلى معلوماتك‬

‫` ‪ C‬جـ ‪ E‬مثلث متساوى األضالع‬

‫إذا مر خيط على بكرة ملساء‪،‬‬ ‫وكان الخيط مشدو ًدا فإن‬ ‫الشدين على جانبى البكرة‬ ‫متساوى‪.‬‬

‫` ‪ Cc(X‬جـ ‪c(X ، c60 = )E‬ب جـ ‪c30 = )E‬‬

‫بتطبيق قاعدة لمى‪:‬‬

‫‪30‬‬ ‫ش‬ ‫ش‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪= 1‬‬ ‫جا ‪ c150‬جا ‪ c120‬جا ‪c90‬‬

‫جـ‬

‫ومنها ش‪ 15 = 1‬نيوتن ‪ ،‬ش‪ 3 15 = 2‬نيوتن‬

‫فكر‪ :‬استخدم طرق أخرى لحل المسألة السابقة‪.‬‬

‫ش‪2‬‬

‫ش‬

‫‪ 6‬فى الشكل المقابل‪ :‬ثقل مقداره ك معلق فى طرف خيط‬ ‫وينتهى طرف الخيط بخيطين يمران على بكرتين ملساوتين‬ ‫عند ب ‪ ،‬جـ ويحمالن ثقلين مقدار كل منهما ‪ 20 ، 30‬ث جم‪.‬‬ ‫أوجد مقدار الثقل ك ‪ ،‬قياس زاوية هـ فى وضع االتزان‬

‫جـ‬

‫ش‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫مثال‬

‫‪ 20‬ث كجم‬ ‫األفقي‬

‫هـ‬

‫‪c60‬‬

‫ب‬ ‫ش‪1‬‬ ‫‪ 30‬ث كجم‬

‫‪C‬‬

‫ك ث كجم‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪37 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة األولى‪ :‬ااــكققلـيمققل‬ ‫الحل‬

‫لحظ اأن‬

‫فى الشكل السابق‪ :‬نفرض أن ش‪ ، 1‬ش‪ 2‬هما الشدان فى الخيطين‬ ‫ويعمالن فى اتجاهى ‪ C‬ب ‪ C ،‬جـ‬

‫بكرة‬ ‫ملساء‬

‫البكرتان ملساوتان لذلك فإن‪ :‬ش‪ 30 = 1‬ث كجم ‪ ،‬ش‪20 = 2‬ث كجم‬

‫الجسم الذى ثقله ك متزن تحت تأثير القوى الثالث‪:‬‬ ‫وزن الجسم ك ث كجم والشد فى الخيطين ش‪، 1‬‬

‫بتطبيق قاعدة لمى‪:‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫=‬ ‫جا (‪ + c90‬هـ) جا (‪)c90 + c60‬‬ ‫‪30‬‬

‫=‬

‫ك‬

‫ش‬

‫ٍ‬ ‫متساو فى طرفي الخيط‪.‬‬ ‫الشد‬

‫ش‪2‬‬

‫ك‬

‫جا [‪( - c180‬هـ ‪])c60 +‬‬

‫ وبالتبسيط‬ ‫تذكر اأن‬

‫جتا هـ = ‪= 40‬‬ ‫جا (هـ ‪)c60 +‬‬

‫جا(‪ + c90‬هـ) = جتا هـ‬

‫أن جتا هـ = ‪ 34‬أي أن ‪c( X‬هـ) = ‪c41 24 35‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬ ‫‪//‬‬

‫‪/‬‬

‫جا (‪ - c180‬هـ) = جا هـ‬

‫ك = ‪ * 40‬جا (‪)c60 + c41 24 5‬‬ ‫‪//‬‬

‫ش‬

‫‪/‬‬

‫أن ك ‪ 39٫2107 -‬ث كجم‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 6‬أزيحت كرة بندول وزنها ‪600‬ث جم؛ حتى صار الخيط يصنع زاوية قياسها ‪ c30‬مع الرأس تحت تأثير قوة‬ ‫على الكرة فى اتجاه عمودى على الخيط‪ .‬أوجد مقدار القوة ومقدار الشد فى الخيط‪.‬‬

‫اتزان ج�سم تحت تاأثير مجموعة من القوى الم�ستوية والمتالقية فى نقطة‬

‫نشاط‬ ‫م�سلع القوى‪:‬‬

‫‪Polygon of forces‬‬

‫با�ستخدام برنامج (‪:)Geo Gebra‬‬

‫مثل القوى التى مقاديرها ‪ 100 ، 300 ، 100 ، 400‬داين والتى تعمل بزوايا قطبية قياساتها كاآلتى‪، c120 ، c0 :‬‬ ‫‪ c240 ، c180‬على الترتيب‪ .‬ماذا تالحظ؟‬

‫نالحظ ان‪:‬‬ ‫× نقطة نهاية خط عمل القوة األخيرة ينطبق على نقطة بداية‬ ‫خط عمل القوة األولى فى مضلع القوى الموضح بالشكل‪.‬‬

‫تكون مضلع القوى المقفل و ‪ C‬ب جـ‪.‬‬ ‫ْ‬ ‫أى أنَّه قد َّ‬ ‫أن‪:‬‬ ‫نستنتج من هذا النشاط َّ‬

‫‪ c180‬ب‬ ‫‪c120‬‬

‫س‬

‫ص‬ ‫‪300‬‬

‫‪100‬‬

‫‪C‬‬

‫جـ ‪c240‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪400‬‬

‫و‬

‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫مجموعة من القوى المستوية والمتالقية فى نقطة هو أن ُتم ِّثل هذه القوى بأضالع‬ ‫التزان‬ ‫الشرط الالزم والكافى‬ ‫مضلع مقفل مأخوذة فى اتجاه دورى واحد‪.‬‬

‫‪38‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫اـىا ي ـيت وا ـلوتس لالفم ا اوـلا اك ـكلتم اككوقيم ع كـحم ‪1 1‬‬ ‫الطريقة التحليلية لدرا�سة اتزان مجموعة من القوى الم�ستوية المتالقية فى نقطة‪.‬‬ ‫فى النشاط السابق يمكن إيجاد المركبتين السينية والصادية لمجموعة القوى كاآلتى‪:‬‬ ‫س = ‪ 400‬جتا‪ 100 + c0‬جتا ‪ 300 + c120‬جتا ‪ 100 + c180‬جتا ‪c240‬‬ ‫ = ‪ = 12 * 100 - 300 - 12 * 100 - 400‬صفر‬ ‫ص = ‪ 400‬جا‪ 100 + c0‬جا ‪ 300 + c120‬جا ‪ 100 + c180‬جا ‪c240‬‬ ‫ = ‪ = 3 50 - 0 + 3 50 + 0‬صفر‬

‫نستنتج من ذلك أنه لكى تكون مجموعة القوى المستوية والمتالقية فى نقطة متزنه يجب أن تكون‪:‬‬ ‫× المجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه و س = صفر‬ ‫× المجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه و ص = صفر‬ ‫أن س = صفر ‪ ،‬ص = صفر‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬

‫ويمكن التعبير عن شرط توازن مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة كما يأتى ‪ :‬إذا اتزن جسم تحت‬ ‫تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة فإن المجموع الجبرى للمركبات الجبرية لهذه القوى فى كل‬ ‫صفرا‪.‬‬ ‫من اتجاهين متعامدين يساوى اً‬ ‫مثال‬

‫‪ 1‬إذا كانت ق‪ ، N 3 - M 5 = 1‬ق‪ ، N 2 + M 7 - = 2‬ق‪+ M 2 = 3‬‬

‫‪N‬‬

‫ق‪ ، 1‬ق‪ ، 2‬ق‪ 3‬متوازنة‪.‬‬

‫فأثبت أن مجموعة القوى‬

‫الحل‬

‫‪ = I a‬ق‪ + 1‬ق‪+ 2‬‬

‫`‬

‫‪I‬‬

‫= (‪)2 + 7 - 5‬‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪M‬‬

‫ق‪3‬‬

‫‪)1 + 2 + 3 - ( +‬‬

‫‪N3- M‬‬

‫‪ 7‬إذا كانت القوى ق‪4 = 1‬‬ ‫ومتزنة فأوجد قيمة كل من ‪ ، C‬ب‪.‬‬

‫‪N‬‬

‫= ‪0‬‬

‫‪ ،‬ق‪C - = 2‬‬

‫‪M‬‬

‫أن مجموعة القوى متزنة‪.‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ ْ‬ ‫‪2-‬‬

‫‪N‬‬

‫‪،‬‬

‫ق‪M 6 - = 3‬‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬ ‫‪4‬‬

‫مثال‬

‫جـ‬

‫‪+‬ب‬

‫‪N‬‬

‫متالقية فى نقطة‬

‫‪12‬‬

‫من الشكل المقابل نجد أن القوى ‪ 5 4 ، 2 12 ، 20 ، 16‬نيوتن‬

‫‪2‬‬

‫الحل‬

‫‪5‬‬

‫‪ 2‬الشكل المقابل‪ :‬يمثل القوى ‪ 5 4 ، 2 12 ، 20 ، 16‬نيوتن ‪،‬والتى توثر‬ ‫فى المربع ‪ C‬ب جـ ‪ E‬فى االتجاهات ‪ C‬ب ‪ ، E C ،‬جـ ‪ ، C‬هـ ‪ C‬على‬ ‫أن مجموعة القوى متزنة‪.‬‬ ‫الترتيب حيث هـ منتصف جـ ‪ .E‬أثبت َّ‬

‫ب‬

‫‪16‬‬

‫‪20‬‬

‫‪C‬‬

‫زواياها القطبية هي‪)i + c180( ، c225 ، c90 ، c0 :‬‬

‫` س = ‪ 16‬جتا ‪20 + c0‬جتا ‪c90‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪39 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة األولى‪ :‬ااــكققلـيمققل‬

‫ ‪ 2 12 +‬جتا ‪ 5 4 + c225‬جتا (‪)i + c180‬‬ ‫= ‪ * 5 4 - 1 * 2 12 - 0 + 16‬جتا ‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ = 1 * 5 4 - 12 - 16‬صفر‬ ‫‪5‬‬

‫ ص = ‪ 16‬جا ‪20 + c0‬جا ‪ 2 12 + c90‬جا ‪c225‬‬

‫ص‬

‫هـ‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫‪20‬‬

‫ ‪ 5 4 +‬جا (‪)i + c180‬‬

‫= ‪ 5 4 - 1 * 2 12 - 20 + 0‬جا ‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س‬ ‫= ‪ = 2 * 5 4 - 12 - 20‬صفر‬ ‫‪5‬‬

‫جتا (‪ - = )i + c180‬جتا ‪i‬‬

‫‪c225‬‬ ‫ب‬

‫‪16‬‬

‫‪i + c180‬‬

‫‪i‬‬

‫‪C‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪i + c180‬‬

‫‪5 4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2-‬‬

‫‪5‬‬

‫س‬

‫‪12‬‬

‫ س = صفر ‪ ،‬ص = صفر‬ ‫` المجموعة متزنة‪.‬‬

‫لحظ اأن‬

‫ص‬

‫حاول أنْ تحل‬

‫‪C‬‬

‫‪ 8‬الشكل المقابل‪ :‬يمثل القوى التى مقاديرها ق ‪ ، 5 ،‬ك ‪10 6 ،‬‬

‫نيوتن والمتزنة‪ ،‬والتى تؤثر فى المستطيل ‪ C‬ب جـ ‪ E‬فى االتجاهات‬ ‫جـ ب ‪ ،‬جـ ‪ ، C‬جـ ‪ , E‬هـ جـ حيث ‪ C‬ب = ‪6‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪8‬سم ‪،‬‬ ‫‪ C‬هـ = ‪6‬سم‪ .‬أوجد قيمة ق ‪ ،‬ك‪.‬‬

‫‪ 6‬سم‬ ‫‪5‬‬

‫هـ‬

‫‪ 6‬سم‬

‫‪E‬‬

‫ك‬ ‫‪6‬‬

‫ب‬

‫‪10‬‬ ‫جـ‬

‫‪ 8‬سم‬

‫‪X‬‬

‫تمــــاريــن (‪)4 - 1‬‬

‫اأكمل ماياأتى‪:‬‬ ‫‪ 1‬الشرط الالزم والكافى التزان مجموعة من القوى المستوية والمتالقية فى نقطة هو أن تمثل هندس ًّيا بـ‬

‫‪ 2‬شرط اتزان مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة هى أن تكون ‪، ...........................‬‬ ‫‪ 3‬إذا كانت ق‪ + M 4 = 1‬ب‬ ‫‪ ، .................................................... = C‬ب =‬

‫‪N‬‬

‫‪ ،‬ق‪7 - = 2‬‬

‫‪M‬‬

‫‪....................................................‬‬

‫‪2-‬‬

‫‪N‬‬

‫‪ ،‬ق‪C = 3‬‬

‫‪M‬‬

‫‪3-‬‬

‫‪N‬‬

‫‪................‬‬

‫‪...........................‬‬

‫متزنة فإن‪:‬‬

‫‪ 4‬إذا كانت القوة التى مقدارها ق متزنة مع قوتين متعامدتين مقدارهما ‪ 4 ، 3‬نيوتن فإن مقدار ق =‬

‫‪...................................‬‬

‫‪ 5‬إذا ُمثلت ثالث قوى مستوية ومتزنة ومأخوذة فى اتجاه دورى واحد بأضالع مثلث فإن أطوال أضالع المثلث‬ ‫تكون متناسبة مع ‪....................................................................................................................................................‬‬

‫‪40‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫اـىا ي ـيت وا ـلوتس لالفم ا اوـلا اك ـكلتم اككوقيم ع كـحم ‪1 1‬‬ ‫‪ 6‬إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى مستوية ومتالقية فى نقطة فإن مقدار كل قوة يتناسب مع‬ ‫‪ 7‬إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى غير متوازية ومستوية فإن خطوط عمل‬ ‫هذه القوى ‪.............................................................................................................................................................‬‬ ‫‪ 8‬ثالث قوى متساوية فى المقدار ومتالقية فى نقطة ومتزنة فإن قياس الزاوية بين‬ ‫أى قوتين يساوي ‪.................................................................................................................................................‬‬

‫‪...................................‬‬

‫ش‪2‬‬

‫ش‪1‬‬

‫‪c120‬‬

‫‪ 9‬فى الشكل المقابل‪ :‬مجموعة القوى متزنة ومتالقية فى نقطة‬ ‫ش‪ ................................ = 1‬نيوتن ‪ ،‬ش‪................................ = 2‬نيوتن‪.‬‬

‫‪ 6‬نيوتن‬

‫‪ 10‬يمثل كل شكل من األشكال اآلتية مجموعة من القوى المستوية المتزنة والمتالقية فى نقطة‪ .‬أوجد القيمة‬ ‫المجهولة سواء كانت قوة أو قياس زاوية‪:‬‬ ‫ش‪2‬‬

‫ش‪1‬‬

‫‪X‬‬

‫‪c150‬‬

‫ك‬ ‫‪ 40‬سم‬

‫‪c120‬‬

‫‪ 60‬نيوتن‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫‪X‬‬

‫‪ 12‬نيوتن‬

‫ك‬

‫‪ 20‬سم‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪ 100‬نيوتن‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ 150‬سم‬ ‫ش‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪12‬‬

‫ش‪2‬‬

‫‪ 90‬سم‬

‫سم‬

‫ش‬

‫هـ هـ‬

‫حلقة ملساء‬ ‫‪ 30‬نيوتن‬

‫شكل (‪)4‬‬

‫‪ 40‬ث جم‬

‫ش‪1‬‬

‫‪3 8‬‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫ب نشاط‪ :‬استخدم برنامج (‪ )Geo gebra‬لتمثيل هذه القوى بمضلع قوى مقفل‬ ‫باستخدام مقياس رسم مناسب‪.‬‬

‫ش‪2‬‬

‫هـ‬

‫‪8‬‬

‫و‬

‫شكل (‪)6‬‬

‫‪ 11‬يمثل الشكل المقابل أرب اًعا من القوى المستوية والمتالقية فى نقطة و‪.‬‬ ‫أ أثبت تحليل ًّيا أن مجموعة القوى متزنة ‪.‬‬

‫‪c30‬‬

‫‪400‬‬ ‫‪300‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪c30‬‬

‫و‬ ‫‪c30‬‬

‫‪173٫2‬‬

‫‪200‬‬

‫‪41 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة األولى‪ :‬ااــكققلـيمققل‬

‫‪ 12‬علق ثقل مقدار وزنه ‪ 60‬ث جم من أحد طرفى خيط طوله ‪28‬سم‪ ،‬مثبت طرفه اآلخر فى نقطة فى سقف‬ ‫حجرة‪ ،‬أثرت على الجسم قوة فاتزن الجسم وهو على بعد ‪14‬سم رأس ًّيا أسفل السقف ‪ ،‬فإذا كانت القوة فى‬ ‫وضع االتزان عمودية على الخيط فأوجد مقدار كل من القوة والشد فى الخيط‪.‬‬ ‫‪ 13‬علق ثقل مقداره ‪ 200‬ث جم بخيطين طوالهما ‪60‬سم ‪80 ،‬سم من نقطتين على خط أفقى واحد البعد بينهما‬ ‫‪100‬سم‪ .‬أوجد مقدار الشد فى كل من الخيطين‪.‬‬ ‫‪ 14‬علق جسيم وزنه ‪ 200‬ث جم بواسطة خيطين خفيفين يميل أحدهما على الرأسى بزاوية قياسها هـ ويميل‬ ‫الخيط اآلخر على الرأسى بزاوية قياسها ‪ ، c30‬فإذا كان مقدار الشد فى الخيط األول يساوى ‪ 100‬ث جم‪.‬‬ ‫فأوجد هـ ومقدار الشد فى الخيط الثاني‪.‬‬

‫‪ 15‬وضع جسم وزنه ‪ 800‬ث جم على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ حيث جا هـ = ‪ 0٫6‬وحفظ‬ ‫الجسم فى حالة توازن بواسطة قوة أفقية أوجد مقدار هذه القوة ورد فعل المستوى على الجسم‪.‬‬

‫‪ 16‬وضع جسم وزنه (و) نيوتن على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ c30‬وحفظ الجسم فى حالة‬ ‫توازن بتأثير قوة مقدارها ‪ 36‬نيوتن تعمل فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ألعلى‪ .‬احسب مقدار وزن الجسم‬ ‫ومقدار رد فعل المستوى‪.‬‬

‫‪ 17‬كرة معدنية ملساء وزنها ‪ 3‬نيوتن مستقرة بين حائط رأسى أملس ومستوى أملس يميل على الحائط الرأسى‬ ‫بزاوية قياسها ‪ .c30‬أوجد الضغط على كل من الحائط الرأسى والمستوى المائل‪.‬‬ ‫‪ 18‬علق قضيب منتظم طوله ‪50‬سم ووزنه ‪ 20‬نيوتن من طرفيه بواسطة خيطين ثبت طرفاهما فى نقطة واحدة‪ .‬فإذا‬ ‫كان طوال الخيطين ‪30‬سم ‪40 ،‬سم على الترتيب فأوجد الشد فى كل من الخيطين‪.‬‬ ‫‪ 19‬خمس قوى مستوية مقاديرها ق ‪ ، 2 5 ، 2 4 ، 6 ،‬ك ث كجم متزنة وتؤثر فى نقطة مادية فى اتجاهات‬ ‫الشرق والشمال والشمال الغربى والجنوب الغربى والجنوب على الترتيب‪ .‬أوجد مقدار كل من ق ‪ ،‬ك‪.‬‬

‫‪ 20‬أثرت القوى المستوية ‪ ، 4 ، 5‬ق ‪ ، 3 ،‬ك ‪ 7 ،‬ث كجم فى نقطة مادية والزاوية بين كل قوتين متتاليتين منها‬ ‫‪ .c60‬أوجد مقدار كل من ق ‪ ،‬ك حتى تكون المجموعة فى حالة اتزان‪.‬‬ ‫تفكير إبداعى‪:‬‬

‫‪ 21‬فى الشكل المقابل جسم وزنه ‪ 6‬ث كجم موضوع على مستوى‬ ‫أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ 30‬وحفظ توازنه بواسطة‬ ‫قوة شد ش مقدارها ‪ 3 2‬ث كجم تعمل فى خيط مثبت أحد طرفيه‬ ‫بالجسم واآلخر فى حائط رأسى‪ .‬أوجد قياس الزاوية التى يصنعها‬ ‫الخيط مع المستوى ومقدار رد فعل المستوى على الجسم‪.‬‬

‫‪42‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫ثك‬

‫جم‬

‫‪S‬‬

‫‪c30‬‬ ‫‪ 6‬ث كجم‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫ملخ�س الوحدة‬ ‫وحدات القياس فى النظام الدولى للوحدات (‪)SI‬‬

‫الطول‬ ‫المتر (م)‬

‫الكمية األساسية‬ ‫الوحدة األساسية‬ ‫الكميات المشتقة ‪:‬‬

‫الوحدة‬

‫العالقة بالوحدة األساسية‬

‫ق�ط� اول� ة ‪1 1‬‬ ‫الزمن‬ ‫الثانية (ث)‬

‫الكتلة‬ ‫الكيلو جرام (كجم)‬

‫السرعة (ع)‬

‫العجلة (جـ)‬

‫القوة (ق)‬

‫م‪/‬ث‬

‫م‪/‬ث‪2‬‬

‫نيوتن‬

‫القياس‬

‫ع‬ ‫جـ =‬ ‫ن‬

‫ف‬ ‫ع=‬ ‫ن‬

‫ق = ك *جـ‬

‫بعض التحويالت للكميات المشتقة ‪:‬‬

‫× ‪1‬كم‪/‬س= ‪ 5‬م‪/‬ث ‪ 1 ،‬كم‪/‬س = ‪ 250‬سم ‪/‬ث ‪ ،‬م‪/‬ث = ‪ 18‬كم‪/‬س ‪ ،‬سم‪/‬ث = ‪9‬‬ ‫‪ 250‬كم‪/‬س‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪18‬‬

‫× النيوتن = ‪ c10‬داين ‪ ،‬الداين = ‪ 5-10‬نيوتن ‪ 1 ،‬ث كجم = ‪ 9٫8‬نيوتن‪ 1 ،‬ث جم = ‪ 980‬داين‪.‬‬

‫اإلستاتيكا‪ :‬هى علم دراسة سكون األجسام تحت تأثير مجموعة من القوى‪.‬‬ ‫الجسم الجاسئ‪ :‬هو الجسم الذى يحتفظ بشكله دون تشوه إذا وقع تحت تأثير عوامل خارجية ‪.‬‬ ‫القوة‪ :‬تعرف القوة بأنها تأثير أحد األجسام على جسم آخر‪.‬‬ ‫خواص القوة‪ :‬يتحدد تأثير القوة على الجسم بالعوامل اآلتية‪:‬‬ ‫‪ -3‬نقطة التأثير‪.‬‬ ‫‪ -2‬االتجاه‪.‬‬ ‫‪ -1‬المقدار‪.‬‬

‫× إذا كانت ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬قوتان يحصران بينهما زاوية قياسها ى وكانت محصلتها ‪ I‬وتميل على ق‪ 1‬بزاوية‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ق‪ 2‬جا ى‬ ‫قياسها هـ فإن‪ = I :‬ق‪ + 1‬ق‪ 2 + 2‬ق‪ 1‬ق‪ 2‬جتا ى ظا هـ =‬

‫ أو باستخدام قاعدة الجيب‪ :‬ق‪ = 1‬ق‪2‬‬ ‫=‬ ‫جا هـ‪ 1‬جا هـ‪ 2‬جا ى‬ ‫× القيمة العظمى لمحصلة القوتين ق‪ ، 1‬ق‪ = 2‬ق‪ + 1‬ق‪ 2‬وتعمل فى نفس اتجاهيهما‪.‬‬

‫‪I‬‬

‫ق‪ + 1‬ق‪ 2‬جتا ى‬

‫× القيمة الصغرى لمحصلة القوتين ق‪ ، 1‬ق‪| = 2‬ق‪ - 1‬ق‪ |2‬وتعمل فى اتجاه القوة الكبرى‪.‬‬ ‫× إذا كانت ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬مركبتى القوة‬ ‫‪I‬‬ ‫جاق‪1‬هـ = جاق‪2‬هـ =‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪I‬‬

‫‪ ،‬يصنعان مع‬

‫‪I‬‬

‫زاويتين هـ‪ ، 1‬هـ‪ 2‬على الترتيب فإن‪:‬‬

‫جا (هـ‪ + 1‬هـ‪)2‬‬

‫× إذا كانت ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬مركبتى القوة ‪ I‬المتعامدتين والتى تميل فيها خط عمل ‪ I‬مع خط عمل‬ ‫بزاوية قياسها هـ فإن ق‪ I = 1‬جتا هـ ‪ ،‬ق‪ I = 2‬جا هـ‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫ق‪1‬‬

‫‪43 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة األولى‪ :‬ااــكققلـيمققل‬

‫تمثيال بأطوال أضالع مضلع مأخوذة فى‬ ‫× مضلع القوى‪ :‬إذا ُمثلت مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة اً‬ ‫ترتيب دورى واحد فإن مقدار محصلة هذه القوى تساوي طول الضلع الذى يقفل هذا المضلع فى االتجاه الدورى‬ ‫المضاد‪.‬‬

‫× إذا أثرت عدة قوى مستوية ومتالقية فى نقطة (فى نظام إحداثى متعامد) وكان المجموع الجبرى لمركبات هذه‬ ‫ص حيث هـ هى قياس زاوية‬ ‫القوى فى اتجاهين متعامدين هما س ‪ ،‬ص فإن‪ = I:‬س‪ + 2‬ص‪ ، 2‬ظا هـ =‬ ‫س‬ ‫ميل المحصلة مع س‪.‬‬ ‫تمثيال تا ًّما بأطوال مضلع قوى مقفل كانت هذه المجموعة متزنة‪.‬‬ ‫× إذا ُمثلت مجموعة من القوى المستوية‬ ‫اً‬

‫× تكون مجموعة القوى المستوية المتالقية فى نقطة متزنة إذا كان‪:‬‬ ‫‪ )1‬المجموع الجبرى لمركبات القوي فى اتجاه وس = صفر ‪.‬‬ ‫‪ )2‬والمجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه وص = صفر‪.‬‬

‫× اتزان جسم تحت تأثير قوتين‪ :‬هو أن تكون القوتان‪ :‬متساويتين فى المقدار ‪ ،‬متضادتين فى االتجاه ‪ ،‬خطا‬ ‫عملها على استقامة واحدة‪.‬‬

‫× نقل نقطة تأثير القوة‪ :‬إذا أثرت قوة على جسم جاسئ فإنه يمكن نقل نقطة تأثيرها إلى أى موضع من الجسم على‬ ‫خط العمل دون أن يؤدى ذلك إلى تغيير تأثيرها على الجسم‪.‬‬

‫× اتزان جسم تحت تأثير ثالث قوى‪ :‬إذا أمكن تمثيل قوى متالقية فى نقطة بأضالع مثلث مأخوذة فى ترتيب دورى‬ ‫واحد فإن هذه القوى تكون متزنة‪.‬‬

‫× قاعدة مثلث القوى‪ :‬إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى متالقية فى نقطة‪ ،‬ورسم مثلث أضالعه توازى خطوط‬ ‫عمل هذه القوى وفى اتجاه دورى واحد فإن أطوال أضالع المثلث تكون متناسبة مع مقادير القوى المناظرة‪.‬‬

‫× قاعدة المى‪ :‬إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى متالقية فى نقطة فإن مقدار كل قوة يتناسب مع جيب الزاوية‬ ‫المحصورة بين القوتين األخريين‪.‬‬

‫تمثيال تا ًّما بأطوال مضلع قوى مقفل كانت هذه المجموعة متزنة‪.‬‬ ‫× إذا ُمثلت مجموعة من القوى المستوية‬ ‫اً‬

‫‪44‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫متلرتا فل م‪1 1‬‬ ‫تمارين عامة (الوحدة األولى)‬

‫اأكمل ما ياأتى‪:‬‬ ‫‪ 1‬قوتان مقدارهما ‪ ، 4‬ق داين وقياس الزاوية بينهما ∈ ]‪ ،[r ،0‬محصلتها تنصف الزاوية بينهما فإن ق = ‪ .....‬داين‪.‬‬ ‫‪ 2‬قوتان تؤثران فى نقطة مادية مقدارهما ‪ 8 ، 5‬نيوتن فإن أكبر قيمة للمحصلة = ‪ ...........................................‬نيوتن ‪ ،‬أصغر‬ ‫قيمة للمحصلة = ‪ ..................................‬نيوتن‪.‬‬ ‫‪ 3‬إذا وضع جسم وزنه (و) على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ فإن مركبة وزنه فى اتجاه‬ ‫المستوى تساوى ‪..................................................‬‬

‫‪ 4‬إذا اتزنت القوة ق مع قوتين متعامدتين مقدارهما ‪ 8 ، 6‬ث كجم فإن مقدار القوة ق يساوى ‪ .....................‬ث كجم‪.‬‬ ‫‪ 5‬إذا كانت القوى ق‪C = 1‬‬

‫‪ ، .............................. = C‬ب =‬

‫‪M‬‬

‫‪6-‬‬

‫‪ ،‬ق‪3 - = 2‬‬

‫‪N‬‬

‫‪..............................‬‬

‫‪M‬‬

‫‪4+‬‬

‫‪N‬‬

‫‪ ،‬ق‪9 = 3‬‬

‫‪M‬‬

‫‪+‬ب‬

‫‪N‬‬

‫متزنة فإن‬

‫‪ 6‬كل شكل مما يأتى مكون من ثالث قوى متزنة ومتالقية فى نقطة‪ .‬أكمل ما يأتى‪:‬‬ ‫ك‬

‫‪X‬‬

‫‪2 4‬‬

‫‪c135‬‬

‫‪X‬‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫ك‬

‫ق=‬ ‫ك = ‪........................‬‬

‫‪........................‬‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫ق=‬ ‫ك = ‪........................‬‬

‫‪........................‬‬

‫‪ C 7‬ب قضيب متزن تحت تأثير ثالث قوى مستوية كما هو موضح فى كل شكل‪ .‬أكمل‪:‬‬ ‫ب‬

‫‪C‬‬

‫ش‬

‫‪ 8‬سم‬

‫‪ 6‬سم‬

‫‪S‬‬ ‫‪E‬‬

‫ش‪2‬‬

‫جـ‬ ‫‪ 4‬ث جم‬

‫أ ش‪ ........................... = 1‬ث جم‪.‬‬ ‫د ش‪ ........................... = 2‬ث جم‪.‬‬

‫ب‬

‫‪ 20‬سم‬

‫ش‬

‫‪ 20‬ث جم‬

‫ب ش = ‪ ...........................‬ث جم‪.‬‬

‫ه ‪ ............................... = S‬ث جم‪.‬‬

‫جـ‬

‫‪0‬‬

‫‪ 5‬سم‬

‫‪ 120‬سم‬

‫‪ 30‬سم‬ ‫‪ 20‬سم‬

‫جـ‬

‫‪ 8‬سم‬ ‫‪12‬‬

‫‪6‬‬

‫‪ 6‬سم‬

‫ش‬

‫‪65‬‬

‫ش‪1‬‬

‫‪C‬‬

‫‪65‬‬

‫‪C‬‬

‫سم‬

‫ش‪2‬‬

‫سم‬

‫ب‬

‫‪ 39‬ث جم‬

‫ج ش‪ ........................... = 1‬ث جم‪.‬‬ ‫و ش = ‪ ...........................‬ث جم‪.‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪1‬‬

‫‪45 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة األولى‪ :‬ااــكققلـيمققل‬

‫‪ 8‬إذا كانت ‪ I‬هى محصلة القوتين ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬اللذين يحصران بينهما زاوية قياسها ى وكان قياس زاوية‬ ‫ميل المحصلة على ق‪ 1‬يساوى هـ فأوجد‪:‬‬ ‫أ مقدار ‪ ، I‬عندما ق‪ 8 = 1‬نيوتن ‪ ،‬ق‪ 15 = 2‬نيوتن ‪ ،‬ى = ‪.c90‬‬ ‫ب مقدار ‪ I‬وقياس زاوية هـ عندما ق‪ = 1‬ق‪ 60 = 2‬داين ‪ ،‬ى = ‪c60‬‬ ‫ج مقدار ‪ I‬وقياس زاوية هـ عندما ق‪ 6 = 1‬نيوتن ‪ ،‬ق‪ 3 = 2‬نيوتن والمحصلة عمودية على ق‪.2‬‬ ‫د مقدار ‪ I‬وقياس زاوية ى إذا كان ق‪ 3 3 = 1‬نيوتن ‪ ،‬ق‪ 6 = 2‬نيوتن والمحصلة عمودية على ق‪.1‬‬ ‫ه قيمة ق‪ 1‬عندما ‪ 12 = I‬نيوتن ‪ ،‬ق‪ 3 12 = 2‬نيوتن ‪ ،‬ى = ‪c150‬‬

‫‪ 9‬أوجد مقدار المحصلة وزاوية ميلها مع محور السينات فى كل شكل من األشكال اآلتية‪:‬‬ ‫ص‬

‫‪2 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س‬

‫ص‬

‫‪16‬‬

‫‪c45‬‬

‫‪c30‬‬

‫و‬

‫‪3‬‬

‫‪c60‬‬ ‫‪ c60‬و‬

‫س‬

‫ص‬

‫‪3 2‬‬

‫‪3 12‬‬

‫‪c30‬‬

‫س‬

‫‪c60‬‬

‫‪3‬‬

‫‪c30‬‬

‫ص‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪ 10‬أوجد مقدار كل من ق ‪ ،‬ك بحيث تصبح كل مجموعة مما يأتى متزنة‪.‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪25‬‬

‫‪c120‬‬

‫ك‬ ‫ب‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪X‬‬

‫‪2‬‬

‫ك‬ ‫‪ 6‬سم‬

‫جـ‬

‫ب ‪X‬‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫‪3 4‬‬

‫‪12‬‬

‫و‬ ‫ك‬

‫‪C‬‬

‫‪ 8‬سم‬

‫‪ 11‬أثرت قوة ق عند نقطة جـ مقدارها ‪ 500‬نيوتن‪،‬‬ ‫وتصنع مع األفقى زاوية قياسها ‪ c60‬وربط حبالن عند‬ ‫جـ مثبتان عند ‪ ، C‬ب ويصنعان مع األفقى زاويتين‬ ‫قياسيهما ‪ c25 ،c45‬على الترتيب ‪ .‬أوجد فى وضع‬ ‫االتزان الشد فى أجزاء الخيطين ألقرب نيوتن ‪.‬‬

‫‪46‬‬

‫‪E‬‬

‫‪3 2‬‬

‫‪3 6‬‬

‫جـ‬

‫‪8‬‬

‫هـ‬

‫‪E‬‬

‫‪ 6‬سم‬

‫جـ ‪ 2‬سم‬

‫س‬

‫‪3 3‬‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫‪36‬‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪2 3‬‬

‫ص‬

‫‪C‬‬

‫شكل (‪)3‬‬ ‫ب‬

‫‪c25‬‬

‫‪c45‬‬

‫جـ‬

‫‪c60‬‬

‫ق‬

‫‪C‬‬

‫اخكبلر ـراكا‬

‫‪ 12‬أثرت قوة أفقية ق عند جـ مقدارها ‪ 500‬نيوتن من نقطة فى حبل ثبت طرفاه‬ ‫عند النقطتين ‪ ،C‬ب من حائط رأسى‪ ،‬أوجد الشد فى كل من الحبلين ألقرب‬ ‫نيوتن‪.‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪C‬‬

‫جـ‬

‫ق‬

‫‪c50‬‬

‫‪c30‬‬

‫ب‬

‫اختبار تراكمى‬

‫اأ�سئلة ذات اإجابات ق�سيرة‪:‬‬ ‫‪ 1‬اكمل مايأتى‪:‬‬

‫أ الكمية القياسية يلزم لتعريفها تعري اًفا تا ًّما معرفة‬ ‫ما معرفة ‪.................................................. ، .................................................. .‬‬ ‫ب الكمية المتجهة يلزم لتعريفها تعري اًفا تا ًّ‬ ‫‪..................................................‬‬

‫ج القطعة المستقيمة الموجهة هى قطعة مستقيمة لها‬

‫‪،‬‬

‫د تتكافأ القطعتان المستقيمتان الموجهتان إذا كان لهما‬

‫‪..................................................‬‬

‫هى‬

‫‪..................................................‬‬

‫ه الصورة القطبية للمتجه م = ‪3‬‬

‫‪M‬‬

‫‪4+‬‬

‫‪N‬‬

‫‪،‬‬

‫‪................................................ ................................................ ................................................‬‬

‫و المتجه الذى يعبر عن قوة مقدارها ‪ 20‬ث كجم فى اتجاه ‪ c30‬جنوب الشرق يكتب على الصورة اإلحداثية‬ ‫كاآلتى ‪.................................................‬‬

‫‪ 2‬فى الشكل المقابل ‪ C :‬ب جـ ‪ E‬متوازى أضالع م نقطة تالقى قطريه‪ .‬أكمل‪:‬‬ ‫أ ‪ C‬ب ‪ +‬ب ج = ‪..................................................‬‬ ‫ب ‪E + CE‬ج =‬

‫‪.................................................‬‬

‫‪C‬م ‪ +‬جم =‬

‫‪.................................................‬‬

‫ج‬

‫د ‪C‬ب ‪ 2 +‬بم=‬ ‫ه ‪C‬ب ‪C -‬م =‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫م‬

‫‪.................................................‬‬

‫ب‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫جـ‬

‫‪47 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة األولى‪ :‬ااــكققلـيمققل‬

‫‪ 3‬اكتب بداللة متجه الوحدة ى محصلة القوى الموضحة بكل شكل‪:‬‬ ‫‪ 30‬نيوتن‬

‫ى‬

‫‪ 20‬ث كجم‬

‫‪ 12‬نيوتن‬

‫‪ 80‬ث جم‬

‫ى‬

‫‪ 25‬ث كجم‬

‫‪ 30‬ث جم‬

‫‪ 4‬فى كل ممايأتى القوتان ق‪ ، 1‬ق‪ 2‬تؤثران فى نقطة مادية ‪ ،‬وضح مقدار واتجاه محصلة كل قوتين منها ‪.‬‬ ‫أ ق‪ 15 =1‬نيوتن فى اتجاه الشرق ‪ ،‬ق‪ 40 = 2‬نيوتن فى اتجاه الغرب‪.‬‬ ‫ب ق‪ 34 = 1‬ث جم فى اتجاه الشمال الشرقى ‪ ،‬ق‪ 34 = 2‬ث جم فى اتجاه الجنوب الغربى‪.‬‬ ‫ج ق‪ 50 = 1‬داين تعمل فى اتجاه غرب الشمال‪ ،‬ق‪ 50 = 2‬داين تعمل فى اتجاه ‪ c30‬جنوب الشرق ‪.‬‬ ‫د ق‪ 30 = 1‬نيوتن تعمل فى اتجاه ‪ c20‬شرق الشمال‪ ،‬ق‪ 30 = 2‬نيوتن تعمل فى اتجاه ‪ c70‬شمال الشرق ‪.‬‬

‫‪ 5‬ق‪5 - M 7 = 1‬‬ ‫قيمتى ‪ ، C‬ب إذا كانت‪:‬‬

‫‪M‬‬

‫‪3+‬‬

‫أ محصلة مجموعة القوى تساوى ‪4‬‬

‫‪M‬‬

‫‪N‬‬

‫اأ�سئلة ذات اإجابات طويلة‬

‫‪ ،‬ق‪C = 2‬‬

‫‪N‬‬

‫‪7-‬‬

‫‪ ،‬ق‪4- = 3‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪M‬‬

‫‪ ( +‬ب ‪)3 -‬‬

‫‪N‬‬

‫تؤثر فى نقطة مادية أوجد‬

‫ب مجموعة القوى متزنة‬

‫‪ 6‬قوتان مقدارهما ‪ 8 ، 3 8‬نيوتن توثران فى نقطة مادية وتحصران بينهما زاوية قياسها ‪ .c150‬أوجد مقدار‬ ‫محصلتهما وقياس الزاوية التى تصنعها مع القوة األولى‪.‬‬

‫‪ 7‬قوتان مقدارهما ‪ 16 ، 30‬نيوتن تؤثران فى نقطة مادية ‪ ،‬إذا كان مقدار محصلتهما ‪ 26‬نيوتن‪ .‬أوجد قياس‬ ‫الزاوية بين هاتين القوتين‪.‬‬ ‫‪ 8‬قوتان مقدارهما ‪ ، 2‬ق نيوتن وقياس الزاوية بينهما ‪ c120‬أوجد ق عندما‪:‬‬ ‫ب اتجاه المحصلة عمودى على القوة الثانية‪.‬‬ ‫أ مقدار المحصلة يساوى ق‪.‬‬ ‫ج المحصلة تنصف الزاوية بين القوتين‪.‬‬ ‫‪َ 9‬حلِّل قوة مقدارها ‪ 60‬إلى قوتين متساويتين فى المقدار وقياس الزاوية بين اتجاهيهما ‪.c60‬‬

‫أن‬ ‫‪ 10‬أوجد مقدار المركبتين المتعامدتين‪ ،‬لوزن جسم موضوع على مستوى أفقي ومقداره ‪ 80‬نيوتن إذا ُعلِ َم َّ‬ ‫إحداهما تميل على األفقى بزاوية قياسها ‪ c30‬إلى أسفل‪.‬‬

‫‪ 11‬ثالث قوى مقاديرها ‪2‬ق ‪4 ،‬ق ‪6 ،‬ق نيوتن تؤثر فى نقطة مادية فى اتجاهات موازية ألضالع مثلث متساوى‬ ‫األضالع مأخوذة فى ترتيب دورى واحد‪ ،‬أوجد مقدار واتجاه المحصلة‪.‬‬

‫‪48‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫اخكبلر ـراكا‪1 1‬‬ ‫‪ C 12‬ب جـ ‪ E‬مستطيل فيه ‪ C‬ب = ‪8‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪6‬سم ‪ ،‬و ∈ جـ ‪ E‬بحيث و ‪6 = E‬سم‪ .‬أثرت قوى مقاديرها ‪،20 ، 6‬‬ ‫‪ 2 ، 3 13‬نيوتن فى ‪ C‬ب ‪ ،‬جـ ‪ C ، C‬و ‪ E C ،‬على الترتيب‪ .‬أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى‪.‬‬ ‫‪ 13‬علق ثقل مقداره ‪ 80‬ث جم فى طرف خيط مثبت طرفه اآلخر فى حائط رأسى‪ ،‬أزيح الثقل بقوة عمودية على‬ ‫مائال على الحائط بزاوية قياسها ‪ .c30‬أوجد فى وضع االتزان مقدار القوة‪ ،‬وكذلك‬ ‫الخيط حتى أصبح الخيط اً‬ ‫الشد فى الخيط‪.‬‬

‫‪ 14‬وضع ثقل قدره ‪ 20‬ث كجم على مستو مائل أملس يميل على األفقى بزاوية ى‪ ،‬حيث جتا ى = ‪ 45‬ومنع من‬ ‫االنزالق بتأثير قوة أفقية مقدارها (ق) أوجد ق وكذلك رد فعل المستوى‪.‬‬ ‫‪ 15‬قضيب منتظم يرتكز بطرفيه على مستويين أملسين مائلين يصنعان مع األفقى زاويتين قياساهما ‪.c30 ، c60‬‬ ‫أوجد قياس الزاوية التى يصنعها القضيب مع األفقى فى وضع االتزان ‪ ،‬وإذا كان مقدار وزن القضيب يساوى‬ ‫‪ 24‬نيوتن‪ .‬عين مقدار رد الفعل لكل من المستويين‪.‬‬

‫‪ 16‬الشكل المقابل يبين ثقل مقداره ‪ 200‬نيوتن معلق‬ ‫رأس ًّيا من نقطة جـ ومثبت بواسطة حبلين ب جـ ‪،‬‬ ‫‪ C‬جـ يصنعان مع األفقى زاويتين قياسيهما‪c60، c20‬‬ ‫فإذا كانت المجموعة متزنة ‪ ،‬أوجد الشد فى كل‬ ‫من الحبلين ألقرب نيوتن‪.‬‬

‫ب‬

‫‪c20‬‬

‫‪C‬‬

‫‪c60‬‬

‫جـ‬ ‫‪200‬‬

‫‪ 17‬الربط بالمالحة البحرية‪ :‬يجرى إنقاذ بحار باستخدام‬ ‫كرسى القبطان وذلك بتعليقه فى بكرة يمر عليها‬ ‫حبالن ‪ C‬ب ‪ C ،‬جـ كما فى الشكل المجاور فإذا كان‬ ‫قياسا زاويتى‪ b ، a‬مع األفقى ‪ c15 ، c25‬على‬ ‫الترتيب وكان الشد فى الخيط ‪ C‬ب يساوى ‪ 80‬نيوتن ‪.‬‬ ‫فأوجد وزنى البحار والكرسى م اًعا ‪ ،‬وكذلك الشد فى‬ ‫الخيط ‪ C‬جـ فى وضع االتزان‪.‬‬

‫جـ‬

‫‪b‬‬

‫ب‬

‫‪a‬‬

‫‪C‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪9‬‬

‫المتجهات ‪1‬ث‬

‫الدرس (‪2 )1‬ث‬

‫الدرس (‪2 )2‬ث‬

‫الدرس (‪2 )3‬ث‬

‫الدرس (‪2 )4‬ث‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫الدرس (‪2 )4‬ث‬

‫ارجع إلى‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫‪17 16 15 14 13 12 11 10‬‬ ‫الدرس (‪2 )4‬ث‬

‫إذا لم تستطع حل‬ ‫السؤال رقم‬

‫‪1‬‬ ‫المتجهات ‪1‬ث‬

‫إن لم تستطع اإلجابة على هذه األسئلة يمكنك االستعانة‬ ‫بالجدول التالى ‪:‬‬

‫‪49 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة‬

‫الثانية‬

‫الديناميكا‬ ‫‪Dynamics‬‬

‫مقدمة الوحدة‬ ‫يختص علم الديناميكا بدراسة حركة األجسام والقوى المسببة لهذه الحركة حيث ينقسم إلى الكينماتيكا والكيناتيكا وسوف نقتصر فى هذه‬ ‫الوحدة على دراسة الكينماتيكا ‪ kinematics‬ذلك العلم الذى يصف حركة األجسام دون األخذ فى االعتبار للقوى المؤثرة عليها‪ ،‬وجدير بالذكر‬ ‫أن الكينماتيكا لها أهميتها التطبيقية فى حياتنا العملية مثل حساب خسوف الشمس وكسوف القمر قبل حدوثهما ‪ -‬إمكانية توجيه قذيفة إلى‬ ‫هدف ما بدقة كافية ‪ -‬تحديد مسار مركبة فضائية أو قمر صناعى وتحديد نقطة نزوله على األرض‪ -‬تصميم جميع اآلالت الميكانيكية‪ ،‬ومن هنا‬ ‫سنتناول فى هذه الوحدة دراسة حركة األجسام والظواهر المصاحبة لهذه الحركة ومسبباتها‪.‬‬

‫مخرجات التعلم‬ ‫بعد دراسة هذه الوحدة و تنفيذ األنشطة فيها‪ ،‬يتوقع من الطالب أن‪:‬‬ ‫تعرف مفهوم الجسيم على أنه نقطة افتراضية‪.‬‬ ‫ َي َّ‬

‫ يتفهم المقصود بالحركة االنتقالية لجسيم من موضع آلخر‪.‬‬

‫ يتعرف الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة ‪ -‬وحدات‬ ‫قياس العجلة ع = ع‪ + 0‬جـ ن ‪ ،‬ف = ع‪ 0‬ن ‪ 12 +‬جـ ن‪، 2‬‬ ‫ع‪ = 2‬ع ‪2 + 20‬جـ ف‬

‫ يدرك أن الحركة االنتقالية تحدث إذا كانت جميع نقاط‬ ‫الجسم تتحرك فى خطوط موازية لبعضها فى أثناء الحركة‪.‬‬

‫ يتعرف الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية‪.‬‬

‫ يتعرف مفهوم السرعة المنتظمة (متجه السرعة ‪ -‬الحركة‬ ‫المنتظمة ‪ -‬متجه السرعة المتوسطة ‪ -‬متجه السرعة‬ ‫اللحظية‪ -‬السرعة النسبية ‪ -‬وحدات قياس السرعة)‪.‬‬

‫ يتعرف قوانين الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية‬ ‫فى حالة صعود الجسم أو هبوطه‪.‬‬

‫ يميز بين اإلزاحة والمسافة‪.‬‬

‫ يتعرف تطبيقات على قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة‬ ‫المنتظمة‪.‬‬

‫ يميز بين مفهومى متجه السرعة المتوسطة (‪ ،)Average velocity‬يتعرف الجاذبية األرضية (قانون نيوتن للجذب العام )‪ .‬ثابت‬ ‫ومقدار السرعة المتوسطة(‪ )Average speed‬فى حالة الحركة‬ ‫الجذب العام‪.‬‬ ‫الخطية فى اتجاه متجه ثابت‪.‬‬ ‫ يتعرف التمثيل البياني لمنحنى اإلزاحة مع الزمن ‪ ،‬منحنى‬ ‫ يطبق مفاهيم السرعة ‪ ،‬السرعة النسبية والعجلة فى نمذجة‬ ‫مواقف فيزيائية وحياتية تشمل‪( :‬حركة الصواريخ ‪ -‬حركة يستخدم اآللة الحاسبة البيانية فى تمثيل العالقة بين اإلزاحة‬ ‫الطيران ‪ -‬األقمار الصناعية ) فى صورة أنشطة ‪.‬‬ ‫مع الزمن والسرعة مع الزمن فى صورة أنشطة‪.‬‬ ‫ يتعرف مفهوم السرعة النسبية‪.‬‬ ‫السرعة مع الزمن‪.‬‬

‫‪50‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪ Ñ‬حركة مستقيمة‬

‫‪Rectilinear Motion‬‬

‫‪ Ñ‬مسافة‬

‫‪Distance‬‬

‫‪ Ñ‬متجه سرعة‬

‫‪Vector Velocity‬‬

‫‪ Ñ‬السرعة المتوسطة‬

‫‪Average Velocity‬‬

‫‪ Ñ‬مقدار السرعة المتوسطة‬

‫‪Average Speed‬‬

‫‪ Ñ‬السرعة النسبية‬

‫‪Relative Velocity‬‬

‫‪ Ñ‬حركة رأسية‬

‫‪Vertical Motion‬‬

‫‪ Ñ‬جذب عام‬

‫‪ Ñ‬إزاحة‬

‫‪Displacement‬‬

‫‪ Ñ‬سرعة منتظمة‬

‫‪Uniform Velocity‬‬

‫‪ Ñ‬سرعة لحظية‬

‫‪Instantaneous Velocity‬‬

‫‪ Ñ‬متجه موضع‬

‫‪Position Vector‬‬

‫‪ Ñ‬عجلة منتظمة‬

‫‪Uniform Acceleration‬‬

‫‪ Ñ‬سقوط حر‬

‫‪Free fall‬‬

‫‪ Ñ‬جاذبية أرضية‬

‫‪Gravity‬‬

‫‪Universal Gravitation‬‬

‫األدوات والوسائل‬ ‫‪ Ñ‬آلة حاسبة علمية‬

‫‪Scientific calculator‬‬

‫‪ Ñ‬آلة حاسبة رسومية‬

‫‪ Ñ‬برامج رسومية للحاسوب‬

‫‪Graphical programs‬‬

‫‪Graphical calculator‬‬

‫دروس الوحدة‬ ‫الدرس (‪ :)1 - 2‬الحركة المستقيمة‪.‬‬

‫الدرس (‪ :)3 - 2‬الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية‪.‬‬

‫الدرس (‪ :)2 - 2‬الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة‪.‬‬

‫الدرس (‪ :)4 - 2‬قانون الجذب العام لنيوتن ‪.‬‬

‫مخطط تنظيمى للوحدة‬ ‫الديناميكا‬ ‫مفا هيم أساسية‬ ‫متجه الموضع‬

‫متجه اإلزاحة‬

‫تمثيالت بيانية‬ ‫متجه العجلة‬

‫متجه السرعة‬

‫المسافة‬

‫منحنى اإلزاحة ‪ -‬الزمن‬

‫وحدات القياس‬

‫الزمن‬

‫المسافة‬

‫الحركة ذات العجلة المنتظمة‬

‫السرعة‬

‫العجلة‬

‫حركة متسارعة‬

‫السرعة المتوسطة‬

‫حركة تقصيرية‬ ‫قوانين الحركة‬

‫الحركة المستقيمة‬ ‫السرعة اللحظية‬

‫منحنى السرعة ‪ -‬الزمن‬

‫السرعة النسبية‬

‫الحركة األفقية‬

‫الحركة الرأسية‬

‫قانون الجذب العام لنيوتن‬

‫مقدار‬ ‫السرعة المتوسطة‬

‫ثابت الجذب العام‬

‫نمذجة مواقف فيزيائية وحياتية‬ ‫حركة الصواريخ‬

‫حركة الطيران‬

‫األقمار الصناعية‬

‫‪51‬‬

‫‪1-2‬‬ ‫سوف تتعلم‬

‫ العالقة بني متجه املوضع ومتجه‬ ‫اإلزاحة‪.‬‬ ‫ الرسعة املتوسطة‪.‬‬ ‫ الرسعة اللحظية‪.‬‬ ‫ الرسعة النسبية‪.‬‬

‫الحركة الم�ستقيمة‬ ‫‪Rectilinear motion‬‬

‫تقديم‪:‬‬ ‫سبق أن تعرفت على بعض أنظمة القياس إلى أن تم اعتماد النظام العشرى الذي ابتكره‬ ‫الفرنسيون عام ‪1790‬م ‪ ،‬واستمر حتى جاء النظام العالمي الموحد ‪ SI‬وهو مشتق من‬ ‫الكلمة ‪ International System Of Units‬ويتشكل هذا النظام من الكميات األساسية‬ ‫فى علم الميكانيكا ( الكتلة ‪ ،‬الطول ‪ ،‬الزمن )‪ ،‬وكذلك من الوحدات المشتقة التى‬ ‫تتشكل كحاصل ضرب قوى الوحدات األساسية وف ًقا لبعض العالقات الجبرية‬ ‫(كالسرعة ‪ ،‬العجلة ‪ ،‬القوة)‪.‬‬ ‫الحركة‬

‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬

‫ حركة مستقيمة‬

‫‪Rectilinear Motion‬‬

‫ نظام مرتى‬

‫‪IS‬‬

‫ متجه إزاحة‬

‫‪Displacement Vector‬‬

‫ متجه موضع‬ ‫ متجه رسعة‬

‫ حركة منتظمة‪.‬‬

‫‪Position Vector‬‬ ‫‪Velocity Vector‬‬ ‫‪Uniform motion‬‬

‫ رسعة متوسطة ‪Average Velocity‬‬

‫رسعة حلظية‬

‫‪Instantaneous Velocity‬‬

‫ الرسعة النسبية ‪Relative Velocity‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫ ورق مربعات‪.‬‬

‫ آلة حاسبة علمية ‪.‬‬

‫ برامج رسومية للحاسوب‪.‬‬

‫‪Motion‬‬

‫ال�سكون والحركة ‪:‬‬

‫عندما يغير جسم ما موقعه بالنسبة لجسم آخر بمرور الزمن فإنه يقال إن الجسم األول‬ ‫فى حالة حركة بالنسبة للجسم الثانى‪ ،‬أما إذا كان موقع الجسمين النسبى اليتغير‬ ‫كال منهما يكون فى حالة سكون بالنسبة لآلخر‪.‬‬ ‫بمرور الزمن فإن اًّ‬ ‫فالسكون أو الحركة مفهومان نسبيان‪ ،‬فاألشجار والمنازل ساكنة ولكنها تبدو فى‬ ‫حالة حركة بالنسبة لقطار يتحرك بسرعة ما‪.‬‬

‫الحركة واأنواعها‬ ‫فمثال‪ :‬كرة‬ ‫هناك أنواع عديدة للحركة كالحركة االنتقالية‪ ،‬والدورانية‪ ،‬واالهتزازية‪ً ،‬‬ ‫القدم المقذوفة تنتقل من موضع إلى موضع آخر‪ ،‬وقد تدور حول نفسها فهى إذن‬ ‫تتحرك حركة انتقالية وأخرى دورانية فى الوقت نفسه‪ ،‬بينما نجد أن قطرات الماء‬ ‫المتساقط تتحرك حركة انتقالية وفى الوقت نفسه تكون فى حالة حركة اهتزازية‬ ‫وسوف نقوم بدراسة الحركة االنتقالية بصورة منفردة‪ ،‬ويتم ذلك بافتراض حركة جسم‬ ‫ٍ‬ ‫متناه فى الصغر يسمى الجسيم‪ ،‬ويعامل الجسيم كنقطة هندسية من دون أبعاد تماش ًيا‬ ‫للتعقيدات النظرية الناتجة عن الحركة الدورانية أو االهتزازية والتى سنسجلها فى‬ ‫هذه الدراسة ‪.‬‬ ‫‪Motion and its Types‬‬

‫نقطة النهاية‬

‫‪52‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫نقطة البداية‬

‫ليقتا لا ةكرحلا ‪2 2‬‬ ‫الحركة االنتقالية‬ ‫الحركة االنتقالية يتحرك فيها الجسم بين نقطتين‪ ،‬تسمى األولى نقطة البداية والثانية نقطة النهاية ومن أمثلتها‬ ‫حركة جسم فى خط مستقيم‪.‬‬ ‫‪Translational Motion‬‬

‫الم�سافة‬ ‫إذا تحرك قطار من مدينة القاهرة إلى مدينة المنصورة‪ ،‬فإنه سوف يقطع مسافة قدرها ‪ 126‬كم‪ ،‬وتعتبر المسافة‬ ‫كمية قياسية إذ يجب معرفة مقدارها فقط‪ ،‬فإذا كان مقدار المسافة بين المدينتين ‪126‬كم فإن الرقم ‪ 126‬يمثل‬ ‫القيمة العددية ‪( ،‬كم) هى وحدة قياس المسافة‪.‬‬ ‫‪Distance‬‬

‫متجه االإزاحة‬ ‫هو المتجه الذى تمثله القطعة المستقيمة الموجهة ‪ C‬ب‬ ‫التى نقطة بدايتها (‪ )C‬ونقطة نهايتها (ب) ويرمز لمتجه‬ ‫اإلزاحة ‪ C‬ب بالرمز ف ‪ ،‬ويرمز لمعيار متجه اإلزاحة‬ ‫بالرمز || ‪ C‬ب || وهو ال يساوى بالضرورة طول المسار‬ ‫الذى قطعه الجسيم فى أثناء الحركة‪.‬‬ ‫‪Displacement vector‬‬

‫المسار‬

‫نقطة البداية‬

‫ب‬

‫ف‬

‫‪C‬‬

‫نقطة النهاية‬

‫متجه المو�سع‬ ‫هو المتجه الذى تنطبق نقطة بدايته مع موضع المشاهد (و) ونقطة نهايته‬ ‫مع موضع الجسيم‪ ،‬ويرمز له بالرمز ‪ S‬حيث ‪ = S‬س ‪ + M‬ص ‪N‬‬

‫موضع الجسم‬

‫‪Position vector‬‬

‫‪ N ، M‬متجها وحدة متعامدين ‪.‬‬

‫(س‪ ،‬ص)‬

‫س‬

‫ص‬

‫‪S‬‬ ‫س‬

‫و س‬ ‫ص‬

‫موضع المشاهد‬

‫العالقة بين متجه المو�سع ومتجه االإزاحة‪:‬‬ ‫‪Relation between position vector and displacement vector‬‬

‫إذا كانت (و) هى موضع المشاهد‪(C ،‬س‪ ،1‬ص‪ ، )1‬ب (س‪ ،2‬ص‪ )2‬هما‬ ‫موضعا الجسيم عند لحظتين متتاليتين فإن ‪ C‬ب هو متجه اإلزاحة للجسيم‬ ‫وليكن ف ‪.‬‬ ‫فإذا رمزنا لمتجه الموضع عند اللحظة ن بالرمز ‪ ، 0S‬متجه الموضع عند‬ ‫اللحظة (ن ‪ +‬هـ) بالرمز ‪ S‬فإن‪:‬‬

‫ف = ‪– S‬‬

‫‪0S‬‬

‫ف = ( س‪ + M 2‬ص‪( - ) N 2‬س‪ + M 1‬ص‪) N 1‬‬

‫ = ( س‪ – 2‬س‪( + M )1‬ص‪ – 2‬ص‪ || ، N )1‬ف || =‬

‫` ف = || ف || ى ‪ ،‬ى متجه وحدة فى اتجاه ف‬

‫ص‬

‫ب‬ ‫‪S‬‬

‫‪C‬‬

‫س‬

‫‪0S‬‬

‫موضع المشاهد‬

‫(س‪ – 2‬س‪1‬‬

‫)‪2‬‬

‫‪(+‬ص‪ – 2‬ص‪1‬‬

‫و س‬ ‫ص‬ ‫)‪2‬‬

‫(اتجاه الحركة)‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪53 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬لاكيملنحدل‬

‫مثال‬ ‫ال ‪ .‬احسب المسافة واإلزاحة التى قطعها العداء ‪.‬‬ ‫مترا شما ً‬ ‫‪ 1‬تحرك ّ‬ ‫مترا شرقًا‪ ،‬ثم تحرك بعد ذلك ‪ً 60‬‬ ‫عداء ‪ً 80‬‬ ‫ماذا تالحظ ؟‬ ‫جـ‬

‫الحل‬

‫المسافة الكلية التى قطعها العداء هو مجموع المسافتين من ‪ C‬إلى‬ ‫ب ثم من ب إلى جـ‪.‬‬ ‫المسافة = ‪ C‬ب ‪ +‬ب جـ = ‪ 140 = 60+ 80‬م‬ ‫اإلزاحة ممثلة بالقطعة المستقيمة الموجهة ‪C‬جـ‬ ‫من فيثاغورث ‪:‬‬

‫‪ 60‬م‬

‫‪ 80‬م‬

‫ب‬

‫(‪2)60( + 2)80‬‬ ‫‪ 60‬ومنها هـ = ‪c36 52 12‬‬ ‫ ‪ C‬جـ =‬ ‫= ‪ , 100 = 10000‬طا هـ = ‪80‬‬ ‫أى أن مقدار اإلزاحة = ‪ 100‬م وتعمل فى اتجاه ‪ c36 52 12‬شمال الشرق‪.‬‬ ‫‪//‬‬

‫‪//‬‬

‫شرق‬

‫هـ‬

‫شمال‬ ‫‪C‬‬

‫غرب‬

‫‪/‬‬

‫نالحظ أن‪:‬‬ ‫½ المسافة المقطوعة كمية قياسية (تتحدد بمعلومية مقدارها فقط) بينما اإلزاحة كمية متجهة (تتحدد بمعلومية‬ ‫المقدار واالتجاه)‪.‬‬ ‫½ معيار متجه اإلزاحة ‪ H‬المسافة المقطوعة‪.‬‬ ‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 1‬تحرك راكب دراجة ‪ 6‬كم غر ًبا‪ ،‬ثم تحرك بعد ذلك ‪ 8‬كم بزاوية قياسها ‪c 60‬جنوب الغرب ‪ ،‬احسب المسافة‬ ‫و اإلزاحة التي قطعها راكب الدراجة‬ ‫‪...‬‬

‫جدارا ارتفاعه ‪ 3‬أمتار‪ ،‬ثم تعود إلى نفس نقطة البداية‪ ،‬أوجد المسافة المقطوعة‬ ‫‪ 2‬تفكير ناقد‪ :‬عندما تصعد نملة‬ ‫ً‬ ‫واإلزاحة المقطوعة‪.‬‬ ‫مثال‬

‫‪ 2‬يتحرك جسيم بحيث كان متجه موضعه ‪ S‬يعطى كدالة فى الزمن بداللة متجهى الوحدة األساسيين‬ ‫‪ N ، M‬بالعالقة‪( S :‬ن) = (‪3‬ن ‪4( + M )2 +‬ن ‪ N )1-‬أوجد معيار متجه اإلزاحة حتى اللحظة ن = ‪4‬‬ ‫الحل‬

‫‪، N - M 2 = )0( S‬‬

‫` ف = ‪)0( S - )4( S‬‬

‫‪N 15 + M 14 = N )1- 4 * 4( + M ) 2+ 4 * 3 ( = )4( S‬‬

‫ = (‪N 16 + M 12 = N )1 + 15( + M )2 - 14‬‬

‫‪ || ،‬ف || =‬

‫‪54‬‬

‫‪256 + 144‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫‪ ,‬ف = ‪ 20‬وحدة طول‬

‫ليقتا لا ةكرحلا ‪2 2‬‬ ‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 3‬فى المثال السابق ‪ :‬أوجد معيار متجه اإلزاحة من ن = ‪ 1‬إلى ن = ‪.3‬‬

‫نشاط‬

‫منحنى (الم�سافة ‪ -‬الزمن)‪:‬‬

‫لعداء‬ ‫الجدول التالى يبين العالقة بين الزمن بالثوانى والمسافة باألمتار َّ‬ ‫صفر‬ ‫صفر‬

‫الزمن بالثانية‬ ‫المسافة بالمتر‬

‫‪4‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪50‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪ 1‬فى ورقة الرسم البيانى حدد الزمن على محور السينات والمسافة على محور الصادات ‪.‬‬ ‫‪َ 2‬م ِّثل بيان اًّيا مواقع إحداثيات النقاط المبينة فى الجدول‪.‬‬

‫‪ 3‬استخدم المسطرة فى رسم أفضل خط مستقيم يمر بأغلب النقاط الموقعة فى الرسم‪.‬‬

‫‪ 4‬باستخدام الخط البياني الذي يبين العالقة بين المسافة والزمن فى األزمنة المبينة بالجدول‪ ،‬هل يمكنك إيجاد‬ ‫كل من ‪:‬‬ ‫أ المسافة التى يقطعها العداء بعد مضى ‪ 3‬ثوان؟‬

‫ب‬ ‫مترا؟‬ ‫الزمن الذى يستغرقه العداء فى قطع مسافة ‪ً 45‬‬

‫‪ 5‬هل يمكنك إيجاد ميل الخط البياني المبين لنوع حركة العداء؟ وضح ذلك‪.‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫الزمن (ن) بالثانية‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫المسافة (ف) بالمتر‬

‫‪40‬‬

‫‪1‬‬

‫ال�سرعة‬ ‫إذا تسابق عداءان فى فترة زمنية محددة فإن العداء الذى يقطع مسافة أطول يكون‬ ‫أسرع من العداء الذى يقطع مسافة أقل‪ ،‬ويمكن قياس السرعة بالمسافة المقطوعة‬ ‫خالل فترة زمنية محددة دون تحديد اتجاه حركتها ؛ فالعداد الموجود أمام سائق‬ ‫السيارة يحدد مقدار سرعة السيارة فقط دون تحديد اتجاه مسار هذه السيارة ‪.‬‬ ‫‪Speed‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫تذكر اأن‬ ‫‪1‬كم ‪ /‬س = ‪5‬‬ ‫‪ 18‬م ‪ /‬ث‬

‫‪ 18‬كم ‪ /‬س‬ ‫‪1‬م ‪ /‬ث = ‪5‬‬

‫‪55 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬لاكيملنحدل‬ ‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪4‬‬

‫أ حول ‪90‬كم ‪ /‬س إلى م ‪ /‬ث‬

‫‪ 5‬أكمل الجدول اآلتي‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫* ‪18‬‬

‫‪18‬كم ‪ /‬س‬ ‫‪5‬م‪/‬ث‬

‫‪54‬كم ‪ /‬س‬ ‫‪...‬م ‪ /‬ث‬

‫ب حول ‪15‬م ‪ /‬ث إلى كم ‪ /‬س‬ ‫‪90‬كم ‪ /‬س‬ ‫‪...‬م ‪ /‬ث‬

‫‪....‬كم ‪ /‬س‬ ‫‪20‬م ‪ /‬ث‬

‫‪...‬كم ‪ /‬س‬ ‫‪30‬م ‪ /‬ث‬

‫‪180‬كم ‪ /‬س‬ ‫‪...‬م ‪ /‬ث‬

‫* ‪18‬‬ ‫‪5‬‬

‫متجه ال�سرعة‬ ‫متجه سرعة جسيم هو المتجه الذى معياره يساوى قيمة السرعة وينطبق اتجاهه على اتجاه الحركة‪.‬‬ ‫‪Velocity vector‬‬

‫تعبير شفهى‪:‬‬

‫‪ -1‬قارن بين السرعة ‪ ،‬متجه السرعة من حيث ‪:‬‬ ‫ب نوع الكمية (قياسية أو متجهة) ‪.‬‬ ‫أ التعريف‪.‬‬

‫ال�سرعة المنتظمة‪ :‬وال�سرعة المتغيرة‬

‫‪Uniform Volocity and variable Velocity‬‬

‫الحركة المنتظمة‪ :‬هى الحالة التى يكون فيها كل من معيار واتجاه متجه السرعة ثاب ًتا‬ ‫وهنا نورد مالحظتين هامتين على الحركة المنتظمة‪.‬‬ ‫‪ - 1‬ثبات اتجاه متجه السرعة ‪ :‬وهذا يعنى ان الجسم يتحرك فى اتجاه ثابت‪.‬‬ ‫‪ - 2‬ثبات معيار متجه السرعة ‪ :‬وهذا يعنى ان الجسم يقطع في اتجاه حركته مسافات متساوية خالل فترات زمنية‬ ‫متساوية‪.‬‬

‫الحركة المتغيرة‪ :‬إذا لم تكن الحركة منتظمة فإننا نسميها متغيرة‪ .‬والحركة المتغيرة يتغير فيها متجه سرعة الجسم‬ ‫فى المقدار أو االتجاه أو كليهما من لحظة إلى أخرى‪.‬‬ ‫ال�سرعة المتو�سطة‬ ‫إذا قامت سيارة برحلة من مدينة القاهرة إلى مدينة الغردقة فإن المسافة بين المدينتين طب ًقا لمسار السيارة يبلغ‬ ‫‪510‬كم‪ ،‬فإذا كانت السيارة تتحرك بسرعات متفاوتة بين المدينتين‪ ،‬وكان الزمن الكلى لتلك الرحلة ‪ 6‬ساعات فإنه‬ ‫لحساب السرعة المتوسطة للسيارة خالل هذه الرحلة نجد أن‪:‬‬ ‫‪average speed‬‬

‫المسافة الكلية‬ ‫‪ 85 = 510‬كم ‪ /‬س‬ ‫السرعة المتوسطة ع م = الزمن الكلى = ‪6‬‬

‫وعليه فإن ‪:‬‬ ‫السرعة المتوسطة هى المسافة الكلية المقطوعة خالل الرحلة ‪ ،‬مقسو ًما على الزمن الكلي الذي استغرقته الرحلة‪.‬‬

‫‪56‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫ليقتا لا ةكرحلا ‪2 2‬‬ ‫متجه ال�سرعة المتو�سطة‬ ‫إذا تحرك جسيم وتواجد عند لحظتين زمنيتين ن‪ ، 1‬ن‪ 2‬عند الموضعين ‪ ، C‬ب‬ ‫على الترتيب وكان ف هو متجه اإلزاحة فى الفترة الزمنية (ن‪ - 2‬ن‪ )1‬فإن ع م‬ ‫يعرف بمتجه السرعة المتوسطة لهذا الجسيم خالل تلك الفترة الزمنية ويكون‪:‬‬ ‫‪S - 2S‬‬ ‫ف‬ ‫‪= 1‬‬ ‫عم =‬ ‫ن‪ - 2‬ن‪1‬‬ ‫ن‪ - 2‬ن‪1‬‬ ‫مثال‬ ‫‪Vector of the average velocity‬‬

‫ف‬

‫ب‬ ‫‪2S‬‬

‫ف‬

‫‪C‬‬

‫ن‬

‫‪1S‬‬

‫الحل‬

‫أ‬

‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10‬‬

‫الزمن (ن) بالثانية‬

‫نوجد متجه السرعة المتوسطة باستخدام نقطتين على الخط البياني‪.‬‬ ‫عم =‬

‫ب عم =‬

‫‪ 40‬ى‬

‫‪10‬‬

‫‪60 + 100‬‬

‫حاول أنْ تحل‬

‫و‬

‫= ‪ 4‬ى ومعيارها ‪ 4‬م‪/‬ث‬

‫‪ 16 = 10‬م‪/‬ث‬ ‫المسافة (ف) بالمتر‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫رسما بيان اًّيا لمنحنى (المسافة ‪ -‬الزمن) لفأر يهرب من قط‪.‬‬ ‫‪ 6‬يبين الشكل التالى ً‬ ‫أعد رسم هذا الشكل إذا هرب الفأر من القط بضعف سرعته‪.‬‬ ‫مثال‬

‫‪100‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬

‫المسافة (ف) بالمتر‬

‫‪ 3‬يبين الشكل المقابل العالقة بين المسافة والزمن لحركة راكب دراجة ‪ ،‬فى‬ ‫خط مستقيم من نقطة( و) أوجد‪:‬‬ ‫ب السرعة المتوسطة‪.‬‬ ‫أ متجه السرعة المتوسطة‪.‬‬

‫و‬

‫‪1 2 3 4 5 6‬‬

‫حساب الرسعة املتوسطة ومتجه الرسعة املتوسطة‬

‫الزمن (ن) بالثانية‬

‫‪ 4‬قطع راكب دراجة ‪30‬كم على طريق مستقيم بسرعة ‪18‬كم ‪ /‬س‪ ،‬ثم عاد على‬ ‫نفس الطريق فقطع ‪20‬كم فى االتجاه المضاد بسرعة ‪15‬كم ‪ /‬س أوجد متجه سرعته المتوسطة خالل الرحلة كلها‪،‬‬ ‫ثم أوجد سرعته المتوسطة خالل الرحلة كلها‪.‬‬ ‫الحل‬

‫إذا بدأ راكب الدراجة الحركة من الموضع ‪ C‬إلى الموضع ب فى‬ ‫المرحلة األولى‪ ،‬ثم عاد من ب إلى جـ فى المرحلة الثانية وبفرض‬ ‫أن ى هو متجه الوحدة فى اتجاه ‪ C‬ب ‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫ف‬ ‫‪ 53 = 30‬ساعة‪،‬‬ ‫زمن المرحلة األولى = ع أى ن‪18 = 1‬‬

‫‪ 30‬كم‬

‫جـ‬

‫ب‬ ‫‪ 20‬كم‬

‫ى‬

‫‪C‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ 43 = 20‬ساعة‪.‬‬ ‫زمن المرحلة الثانية ن‪15 = 2‬‬

‫الزمن الكلى للرحلة = ‪ 3 = 93 = 43 + 53‬ساعات‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪57 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬لاكيملنحدل‬

‫اإلزاحة ف = ‪ 30‬ى ‪ 20 -‬ى = ‪ 10‬ى‬

‫ع ‪ 10‬ى‬ ‫` م =‬

‫‪ a‬ع = ف‬ ‫م‬

‫‪3‬‬

‫ن‬

‫= ‪ 3 13‬ى‬

‫أن متجه السرعة المتوسطة له نفس اتجاه ى أى فى اتجاه ‪ C‬ب ومعياره يساوى ‪ 3 13‬كم ‪ /‬س‪.‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬ ‫السرعة المتوسطة = المسافة الكلية = ‪20 + 30‬‬ ‫‪ 50‬كم‪/‬س‬ ‫= ‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الزمن الكلى‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 7‬قطع راكب دراجة مسافة ‪ 25‬كم على طريق مستقيم بسرعة ‪15‬كم ‪ /‬س‪ ،‬ثم قطع مسافة ‪7‬كم فى نفس االتجاه‬ ‫بسرعة ‪7‬كم ‪ /‬س‪ .‬أوجد متجه السرعة المتوسطة خالل الرحلة كلها‪ ،‬سرعته المتوسطة خالل الرحلة كلها‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 5‬تواجد جسيم عند لحظتين زمنيتين ‪ 7 ،3‬ثوان عند الموضعين ‪ ، )2 ، 5( C‬ب (‪ )10 ، 9‬على الترتيب‪ ،‬أوجد متجه‬ ‫السرعة المتوسطة للجسيم خالل هذه الفترة الزمنية‪ ،‬ثم أوجد معيار واتجاه هذه السرعة المتوسطة‪.‬‬ ‫الحل‬

‫ب‬

‫الشكل المقابل يمثل‪:‬‬ ‫متجه الموضع االبتدائى و ‪، ) 1S ( C‬‬

‫‪2S‬‬

‫ف‬

‫متجه الموضع النهائى و ب ( ‪، ) 2S‬‬

‫متجه اإلزاحة ‪ C‬ب ( ف )‬

‫حيث‪ :‬ف = ‪- 2S‬‬

‫ص‬

‫س‬

‫‪1S‬‬

‫‪C‬‬

‫‪1S‬‬

‫‪2 4 6 8 10‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫و‬

‫ ف = (‪)2 ، 5( - )10 ، 9‬‬ ‫ ف = (‪)8 ، 4‬‬

‫‪ a‬عم =‬ ‫`‬

‫عم‬

‫ف‬

‫ن‪ - 2‬ن‪1‬‬

‫= (‪) N 8 + M 4( )3 1- 7‬‬

‫ ع م = ‪( N 2 + M‬الصورة المتجهة للسرعة المتوسطة)‬ ‫ || ع م || =‬

‫(‪2)2( + 2)1‬‬

‫= ‪ 5‬وحدة سرعة‬

‫وتصنع زاوية قطبية مع و س ظلها ‪ 2‬أي ‪. c63 26 6‬‬ ‫‪//‬‬

‫‪/‬‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫تواجد جسيم عند لحظتين زمنيتين ‪ 8 ،3‬ثوان عند الموضعين‪ ، )2 ،7(C‬ب (‪ )6 ،4‬على الترتيب أوجد متجه‬ ‫السرعة المتوسطة للجسيم خالل هذه الفترة الزمنية‪ ،‬ثم أوجد معيار واتجاه هذه السرعة‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫ليقتا لا ةكرحلا ‪2 2‬‬ ‫متجه ال�سرعة اللحظية‬ ‫فى الشكل المقابل‬ ‫‪ a‬عم =‬

‫ف‬

‫ن‪ - 2‬ن‪1‬‬

‫‪Instantaneous Velocity‬‬

‫‪- 2S‬‬ ‫ن‬ ‫ن‪1 - 2‬‬

‫‪1S‬‬

‫=‬

‫ف‬

‫جدا تتوسطها اللحظة ن فإن متجه‬ ‫وإذا كانت الفترة الزمنية (ن‪ - 2‬ن‪ )1‬صغيرة ً‬ ‫السرعة فى هذه الحالة يعرف بمتجه السرعة اللحظية عند اللحظة ن ويرمز لها‬ ‫بالرمز ع‬

‫فكر و‬

‫‪1C‬‬

‫‪2C‬‬

‫‪1S‬‬ ‫‪2S‬‬

‫و‬

‫ناقش‬

‫ال�سرعة الن�سبية‬ ‫ماذا تالحظ؟‬ ‫½ إذا جلست فى قطار يتحرك وأنت تشاهد من النافذة أعمدة اإلنارة واألشجار على جانب الطريق‪.‬‬ ‫½ إذا ركبت سيارة تتحرك بسرعة فى اتجاه ما‪ ،‬وأنت تشاهد السيارات األخرى التى تتحرك فى نفس اتجاه سيارتك‪.‬‬ ‫½ إذا كانت السيارات األخرى تتحرك عكس اتجاه سيارتك‪.‬‬ ‫‪Relative velocity‬‬

‫نالحظ مما سبق أن الحركة مفهوم نسبى يختلف من مشاهد آلخر فى موضع آخر‪ ،‬وفى جميع الحاالت فإن المشاهد‬ ‫يرصد حركات األجسام األخرى باعتباره ساك ًنا حتى ولو كان غير ذلك‪ ،‬فيرى هذه األجسام تتحرك بسرعات ليست‬ ‫هى السرعات الفعلية لها‪ ،‬ولكنها سرعات نسبية‪.‬‬ ‫مفهوم ال�سرعة الن�سبية‪:‬‬ ‫السرعة النسبية لجسيم (ب) بالنسبة لجسيم آخر ( ‪ ) C‬هى السرعة التى يبدو أن الجسيم (ب ) يتحرك بها لو اعتبرنا‬ ‫الجسيم (‪ )C‬فى حالة سكون‪.‬‬ ‫متجه ال�سرعة الن�سبية‪:‬‬ ‫باعتبار أن ع ‪ ، C‬ع ب هما متجها سرعة لجسمين ‪ ، C‬ب بالنسبة‬ ‫للمشاهد (و) وأن ع ب‪ C‬هو متجه سرعة ب بالنسبة إلى ‪.C‬‬

‫بإضافة (‪ -‬ع ‪ ) C‬إلى كل من المتجهين ع ‪ ، C‬ع ب للجسمين‪، C‬‬

‫ب حيث يصبح ‪ C‬ساك ًنا ويصبح متجه سرعة ب بالنسبة إلى ‪ C‬هى‬ ‫(عب‬

‫أن‪ :‬ع‬ ‫أى َّ‬ ‫‪ -‬ع‪ْ ) C‬‬

‫تفكير ناقد‪ :‬إذا كان ع‬

‫العالقة بين ع ب‪، C‬‬

‫ع ‪C‬ب‬

‫ب‪C‬‬

‫=‬

‫عب‬

‫‪ -‬ع‬

‫ع‬

‫ب‪C‬‬

‫‪-‬ع‬

‫ع‬‫‪C‬‬

‫عب‬

‫‪C‬‬

‫ع‬

‫و‬

‫‪C‬‬

‫المشاهد‬

‫هو متجه سرعة ب بالنسبة إلى ‪ ، C‬ع ‪C‬ب متجه سرعة ‪ C‬بالنسبة إلى سرعة ب فاكتب‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪59 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬لاكيملنحدل‬

‫مثال‬ ‫‪ 6‬تتحرك سيارة على طريق مستقيم بسرعة ‪80‬كم‪/‬س‪ .‬فإذا تحركت فى نفس اللحظة على نفس الطريق دراجة‬ ‫بخارية بسرعة ‪50‬كم ‪ /‬س‪ .‬أوجد السرعة النسبية للدراجة البخارية بالنسبة للسيارة عندما تكون‪:‬‬ ‫أ الدراجة تتحرك فى نفس اتجاه حركة السيارة‪.‬‬ ‫ب الدراجة تتحرك عكس اتجاه حركة السيارة‪.‬‬ ‫ى‬

‫الحل‬

‫نرمز للسيارة بالرمز ‪ C‬وللدراجة بالرمز ب وبفرض أن ى‬

‫‪ 80‬كم ‪ /‬س‬

‫متجه وحدة فى اتجاه حركة السيارة‪.‬‬

‫السيارة‬ ‫‪C‬‬

‫‪ 50‬كم ‪ /‬س‬

‫الدراجة‬ ‫ب‬

‫أ عندما تتحرك الدراجة فى نفس اتجاه حركة السيارة تكون‪:‬‬ ‫عب‬

‫= ‪ 50‬ى ‪ ،‬ع ‪ 80 = C‬ى ‪ ،‬سرعة الدراجة بالنسبة للسيارة ع ب‪ = C‬؟‬

‫‪ a‬ع ب‪= C‬‬

‫عب‬

‫‪ -‬ع ‪ ` C‬ع ب‪ 50 = C‬ى ‪ 80 -‬ى = ‪ 30 -‬ى‬

‫أن الدراجة تبدو لراكب السيارة وكأنها متحركة مبتعدة عن السيارة بسرعة مقدارها ‪30‬كم ‪ /‬س فى‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬ ‫عكس اتجاه ى ‪.‬‬

‫ب عندما تتحرك الدراجة فى عكس اتجاه السيارة‪:‬‬ ‫ع ب =‪ 50 -‬ى ‪ ،‬ع ‪ 80 = C‬ى ‪،‬‬

‫‪ a‬ع ب‪= C‬‬

‫عب‬

‫‪ -‬ع‬

‫‪C‬‬

‫` ع ب‪ 50 - = C‬ى ‪ 80 -‬ى = ‪ 130 -‬ى‬

‫الدراجة‬ ‫ب‬

‫ى‬ ‫‪ 50‬كم ‪ /‬س‬

‫‪ 80‬كم ‪ /‬س‬

‫السيارة‬ ‫‪C‬‬

‫أن الدراجة تبدو لراكب السيارة وكأنها متحركة نحوه بسرعة ‪ 130‬كم‪ /‬س‪.‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 9‬تتحرك سيارة على طريق مستقيم بسرعة ‪ 72‬كم‪ /‬س‪ .‬فإذا تحركت على الطريق نفسه دراجة بخارية بسرعة‬ ‫‪ 28‬كم ‪ /‬س‪ .‬فأوجد السرعه النسبية للدراجة البخارية بالنسبة للسيارة عندما‪:‬‬ ‫أ الدراجة تتحرك فى نفس اتجاه حركة السيارة‪.‬‬ ‫ب الدراجة تتحرك فى عكس اتجاه حركة السيارة‪.‬‬ ‫مثال‬

‫‪ 7‬تتحرك باخرة فى مسار مستقيم نحو ميناء‪ ،‬ولما صارت على مسافة ‪100‬كم منه مرت فوقها طائرة حراسة فى‬ ‫االتجاه المضاد بسرعة ‪ 250‬كم ‪ /‬س‪ ،‬ورصدت حركة الباخرة‪ ،‬فبدت لها متحركة بسرعة ‪ 300‬كم ‪ /‬س‪،‬‬ ‫احسب الزمن الذى يمضى من لحظة الرصد حتى وصول الباخرة إلى الميناء‪.‬‬

‫‪60‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫ليقتا لا ةكرحلا ‪2 2‬‬ ‫الحل‬

‫نرمز للباخرة بالرمز ب وللطائرة بالرمز ‪ C‬ونفرض أن‬ ‫ى متجه وحدة له نفس اتجاه حركة الطائرة‪.‬‬ ‫وأن السرعة الفعلية‬ ‫لحركة الطائرة )‪.‬‬

‫للباخرة ع ب‬

‫(فى اتجاه مضاد‬

‫` ع ‪ 250 = C‬ى ‪ ،‬ع ب‪ 300 - = C‬ى‬

‫‪ a‬ع ب‪= C‬‬

‫أن‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬

‫عب‬

‫‪ -‬ع‬

‫‪C‬‬

‫= ‪ 50 -‬ى‬

‫` ‪ 300 -‬ى =‬

‫عب‬

‫ى‬ ‫الباخرة‬ ‫ب‬

‫‪ 250‬كم ‪ /‬س‬

‫الطائرة‬ ‫‪C‬‬

‫عب‬

‫‪ 250 -‬ى‬

‫أن السرعة الفعلية للباخرة مقدارها ‪50‬كم ‪ /‬س وتعمل فى االتجاه المضاد لحركة الطائرة‪.‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬ ‫‪ a‬ف = ع ن‬

‫أن ن = ‪ 2‬ساعة‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬

‫` ‪ 50 = 100‬ن‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 10‬تتحرك سيارة رادار لمراقبة السرعة على الطريق الصحراوى بسرعة ‪40‬كم ‪ /‬س‪ ،‬راقبت هذه السيارة حركة‬ ‫سيارة نقل قادمة فى االتجاه المضاد‪ ،‬فبدت وكأنها تتحرك بسرعة ‪120‬كم ‪ /‬س فما هى السرعة الفعلية لسيارة‬ ‫النقل؟‬

‫تمــــاريــن (‪)1 - 2‬‬

‫اأكمل ماياأتى‪:‬‬

‫‪20 1‬م ‪ /‬ث = ‪ ......................‬كم ‪ /‬س‬

‫‪ 90 2‬كم ‪ /‬س = ‪ ......................‬م ‪ /‬ث‬

‫‪ 4‬إذا كان ع ‪ ، M 15 = C‬ع ب = ‪ M 22‬فإن عب‪= C‬‬

‫‪......................‬‬

‫‪ 3‬تتحرك سيارة بسرعة منتظمة مقدارها ‪ 72‬كم ‪ /‬س لمدة ربع ساعة فإن المسافة المقطوعة = ‪ ......................‬كم‪.‬‬ ‫‪ 5‬إذا كان ع‪C‬ب = ‪ 65‬ى ‪ ،‬ع ‪ 50 = C‬ى فإن عب =‬

‫‪......................‬‬

‫‪ 6‬يتحرك راكب دراجة ‪ C‬على طريق مستقيم بسرعة ‪15‬كم ‪ /‬س ويتحرك فى نفس االتجاه راكب آخر ب‬ ‫بسرعة ‪12‬كم ‪ /‬س فإن سرعة ب بالنسبة إلى ‪ C‬تساوى ‪ ......................‬كم ‪ /‬س‪.‬‬

‫اختر الإجابة ال�سحيحة من بين الإجابات المعطاة‪:‬‬

‫‪ 7‬إذا تحركت سيارة بسرعة منتظمة مقدارها ‪ 75‬كم ‪ /‬س لمدة ‪ 20‬دقيقة فإن المسافة المقطوعة بـ كم تساوى‪:‬‬ ‫د ‪30‬‬ ‫ج ‪25‬‬ ‫ب ‪20‬‬ ‫أ ‪15‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪61 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬لاكيملنحدل‬

‫الزمن بالساعة الذي تستغرقه سيارة تتحرك بسرعة منتظمة ‪ 20‬متر ‪ /‬ث فى قطع مسافة ‪180‬كم يساوى‪:‬‬ ‫د ‪3‬‬ ‫ج ‪2 12‬‬ ‫ب ‪2-‬‬ ‫أ ‪1 12‬‬

‫‪ 9‬إذا كان ع‪C‬ب = ‪ ، M 15‬ع ‪ M 35 = C‬فإن عب تساوى‪:‬‬ ‫أ ‪M 50 -‬‬

‫ب ‪M 20 -‬‬

‫ج ‪M 20‬‬

‫د ‪M 50‬‬

‫‪ 10‬إذا كان متجه موضع جسيم يتحرك فى خط مستقيم من نقطة و يعطى كدالة فى الزمن ن (ثانية) بالعالقة‪:‬‬ ‫‪ 2( = S‬ن‪ )3 + 2‬ى فإن معيار متجه اإلزاحة ف بعد ‪ 2‬ثانية حيث معيار ‪ S‬بالمتر يساوى‪:‬‬ ‫ج ‪ 8‬متر‬ ‫ب ‪ 6‬متر‬ ‫أ ‪ 4‬متر‬ ‫د ‪ 11‬متر‬

‫‪ 11‬الربط بالفلك‪ :‬إذا كان الضوء يصل من الشمس إلى األرض فى ‪ 8٫3‬دقيقة‪ ،‬وكان بعد األرض عن الشمس‬ ‫‪ 1110* 1٫494‬متر فأوجد سرعة الضوء‪.‬‬ ‫‪ 12‬تحركت سيارتان فى وقت واحد من بنها متجهتان إلى القاهرة بسرعة ثابتة لكل منهما‪ ،‬فإذا كانت سرعة األولى‬ ‫‪70‬كم‪/‬س‪ ،‬وسرعة الثانية ‪ 84‬كم‪/‬س ‪ .‬ما الزمن الذى سينتظره قائد السيارة الثانية حتى يلحق به قائد السيارة‬ ‫األولى فى نهاية الرحلة التى يبلغ طولها ‪49‬كم؟‬ ‫مستقيما طوله ف متر‪ ،‬فاستغرق عبوره بالكامل من‬ ‫مترا نف ًقا‬ ‫ً‬ ‫‪ 13‬دخل قطار طوله ‪ً 150‬‬ ‫النفق فى زمن قدره ‪ 15‬ثانية‪ ،‬أوجد طول النفق إذا كانت سرعة القطار منتظمة‬ ‫وتساوى ‪ 90‬كم ‪ /‬س‪.‬‬

‫‪ 14‬قطع راكب دراجة ‪30‬كم على طريق مستقيم بسرعة ‪ 15‬كم ‪ /‬س ثم عاد فقطع ‪10‬كم فى االتجاه المعاكس‬ ‫بسرعة ‪10‬كم ‪ /‬س‪ ،‬أوجد متجه سرعته المتوسطة خالل الرحلة كلها‪.‬‬

‫‪ 15‬سار رجل على طريق مستقيم فقطع ‪ 800‬متر بسرعة ‪9‬كم ‪ /‬س ‪ ،‬وقطع مسافة مساوية لها فى نفس االتجاه‬ ‫بسرعة ‪ 4٫5‬كم ‪ /‬س‪ ،‬أوجد السرعة المتوسطة للرجل خالل الرحلة كلها‪.‬‬

‫‪ 16‬مدينتان ‪، C‬ب على الطريق الساحلى المسافة بينهما ‪120‬كم‪ ،‬تحركت سيارة من المدينة ‪ C‬متجهة إلى المدينة ب‬ ‫بسرعة منتظمة ‪88‬كم ‪ /‬س‪ ،‬وفى نفس اللحظة قامت سيارة أخرى من المدينة ب متجهة إلى المدينة ‪ C‬بسرعة‬ ‫منتظمة ‪ 72‬كم ‪ /‬س أوجد متى وأين تتقابل السيارتان؟‬ ‫‪ 17‬تتحرك سيارة ‪ C‬على طريق مستقيم بسرعة منتظمة ‪ 60‬كم ‪ /‬س وتتحرك سيارة ب على نفس الطريق بسرعة‬ ‫منتظمة ‪ 90‬كم ‪ /‬س‪ .‬أوجد سرعة السيارة ‪ C‬بالنسبة للسيارة ب إذا كانت‪:‬‬ ‫أ السيارتان تتحركان فى اتجاهين متضادين‪.‬‬ ‫ب السيارتان تتحركان فى اتجاه واحد‪.‬‬

‫‪ 1‬قامت سيارة شرطة متحركة بسرعة منتظمة على طريق أفقى بقياس السرعة النسبية لشاحنة تتحرك أمامها‬ ‫وفى نفس االتجاه فوجدتها ‪60‬كم ‪ /‬س‪ ،‬ولما زيدت سرعة سيارة الشرطة إلى الضعف‪ ،‬وأعادت القياس فبدت‬ ‫الشاحنة وكأنها ساكنة‪ .‬أوجد السرعة الفعلية لكل من سيارة الشرطة والشاحنة‪.‬‬

‫‪62‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫ليقتا لا ةكرحلا ‪2 2‬‬ ‫نشاط (‪)1‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬

‫المسافة بالكيلومتر‬

‫‪ 19‬يمثل الشكل المقابل العالقة بين المسافة بالكيلو متر والزمن‬ ‫بالساعة لمسار دراجة بخارية تتحرك بين مدينتين‪ .‬أجب عما‬ ‫يلى ‪:‬‬ ‫أ أوجد السرعة المتوسطة للدراجة فى أثناء الذهاب؟‬ ‫ب أوجد السرعة المتوسطة للدراجة فى أثناء العودة؟‬ ‫ج ما داللة القطعة المستقيمة األفقية فى الشكل؟‬ ‫‪ 20‬تحركت دراجة بخارية بسرعة منتظمة فوجد أنها بعد دقيقة‬ ‫صفر‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8‬‬ ‫الزمن بالساعة‬ ‫واحدة أصبحت على بعد ‪ 2‬كم من نقطة ‪ ،C‬وبعد ‪ 3‬دقائق‬ ‫شكال بيان اًّيا يمثل العالقة بين المسافة والزمن لهذه الدراجة ومن‬ ‫أصبحت على بعد ‪5‬كم من نفس النقطة‪ .‬ارسم‬ ‫ً‬ ‫الرسم‪:‬‬ ‫أ أوجد سرعة الدراجة‪.‬‬ ‫ب اكتب العالقة الرياضية بين الزمن (ن) والمسافة (ف)‪.‬‬

‫أح‬ ‫مد‬

‫‪10 20 30 40 50 60 70 80‬‬

‫د أوجد سرعة عمرو‪.‬‬ ‫صباحا فمتى يصل إلى القرية األخرى؟‬ ‫ه إذا بدأ عمرو التحرك الساعة ‪30‬ق‪9:‬س‬ ‫ً‬

‫المسافة بالكيلومتر‬

‫ع‬

‫‪ 21‬يوضح الشكل المقابل مسار حركة كل من أحمد وعمرو فى‬ ‫قطع المسافة بين قريتين‪ ،‬أحدهما فى القرية األولى‪ ،‬واآلخر فى‬ ‫القرية الثانية‪.‬‬ ‫فسر إجابتك‪.‬‬ ‫أ هل بدأ أحمد وعمرو الحركة فى توقيت واحد؟ ِّ‬ ‫ب بعد كم دقيقة التقى أحمد وعمرو؟‬ ‫ج ما الزمن الذى استغرقه أحمد فى قطع المسافة؟‬

‫مرو‬

‫نشاط (‪)2‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫صفر‬

‫الزمن بالدقيقة‬

‫‪ 22‬إذا كان متجه موضع جسيم ‪ S‬يتحرك فى خط مستقيم من نقطة و يعطى كدالة فى الزمن ن بالعالقة‪:‬‬ ‫‪( = S‬ن‪3 + 2‬ن ‪ M )2 -‬حيث ‪ M‬متجه وحدة ثابت‪ .‬أوجد متجه اإلزاحة بعد ‪ 4‬ثوان‪.‬‬

‫‪ 23‬تواجد جسيم عند لحظتين زمنيتين مقدارهما ‪ 8 ،3‬ثوان عند الموضعين ‪ ، )3 ،4(C‬ب (‪ )9 ، 12‬على الترتيب‪.‬‬ ‫أوجد متجه السرعة المتوسطة للجسيم خالل هذه الفترة الزمنية‪ ،‬ثم أوجد معيار واتجاه هذه السرعة المتوسطة‪.‬‬ ‫‪ 24‬تفكير إبداعى‪ :‬يتحرك رجل على كوبرى ‪ C‬ب ‪ ،‬وعندما قطع ‪ 38‬طول الكوبرى من جهة ‪ C‬سمع صوت صفير‬ ‫قطار يتحرك خلفه بسرعة منتظمة مقدارها ‪60‬كم‪ /‬س نحو نقطة ‪C‬فإذا تحرك الرجل نحو القطار فإن القطار‬ ‫سيصدمه عند نقطة ‪C‬مباشرة أوجد أقل سرعة منتظمة يتحرك بها الرجل قبل أن يصدمه القطار مباشرة عند نقطة‬ ‫ب‪.‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪63 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪2-2‬‬ ‫سوف تتعلم‬

‫ التسارع‪.‬‬

‫ منحنى الرسعة ‪ -‬الزمن‪.‬‬ ‫ احلركة منتظمة التغري‪.‬‬

‫ العالقة بني الرسعة ‪ -‬الزمن‪.‬‬ ‫ العالقة بني املسافة ‪ -‬الزمن‪.‬‬

‫ العالقة بني الرسعة ‪ -‬املسافة‪.‬‬

‫الحركة منتظمة التغير فى خط م�ستقيم‬ ‫‪Rectilinear motion with Uniform accelerated‬‬ ‫تمهيد‪:‬‬ ‫قليال‬ ‫سبق أن درست الحركة المنتظمة فى خط مستقيم‪ ،‬ومن المالحظ أن عد ًدا ً‬ ‫من األجسام يتحرك بهذه الطريقة لوقت طويل‪ ،‬فمن المالحظ أن كل سيارة يوجد‬ ‫بها ثالث أدوات تتحكم فى سرعتها‪ ،‬وهى دواسة الوقود ودواسة الفرامل‪ ،‬ثم عجلة‬ ‫القيادة التى تتحكم فى اتجاه حركتها‪ ،‬كذلك نالحظ التغير فى سرعة األجسام فى‬ ‫أثناء سقوطها وفى أثناء قذفها إلى أعلى‪.‬‬

‫تعلم‬ ‫تعريف‬

‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬

‫ تسارع‬

‫‪Acceleration‬‬

‫ حركة منتظمة التغري‬

‫‪Uniform variable motion‬‬

‫ عجلة منتظمة‬

‫‪Uniform acceleration‬‬

‫ تقصري منتظم‬

‫‪Uniform deceleration‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫ ورق مربعات‬

‫ آلة حاسبة علمية‬

‫ برامج رسومية للحاسوب‬

‫‪1‬‬

‫الحركةمنتظمةالتغيرفىخطمستقيم (‪:)Rectilinemvariablemotion-nonvariablemotion‬‬ ‫هى الحركة التى يحدث فيها تغير مقدار السرعة بانتظام بمرور الزمن‪،‬‬ ‫ويسمى بالتسارع (العجلة) حيث‪:‬‬

‫السرعة النهائية ‪ -‬السرعة االبتدائية‬ ‫العجلة (جـ) =‬ ‫الزمن‬

‫ووحدات قياسه = م ‪ /‬ث‪ 2‬أو سم ‪ /‬ث‪ 2‬أو كم ‪ /‬س‪2‬‬

‫كما يالحظ أن‪:‬‬ ‫إذا كان التغير فى السرعة عند لحظة زمنية محددة فيسمى التسارع اللحظي‪.‬‬ ‫منحنى (ال�سرعة ‪ -‬الزمن)‬ ‫يرتبط مفهوم التسارع بتغير السرعة فإذا ازدادت قيمة السرعة مع الزمن نقول‪ :‬إن‬ ‫الحركة متسارعة‪ ،‬ويكون التسارع (العجلة) موج ًبا (باعتبار السرعة موجبة) كما‬ ‫فى شكل (‪.)1‬‬ ‫وإذا تناقص مقدار السرعة مع الزمن فنقول‪ :‬إن الحركة تقصيرية‪ ،‬ويكون التسارع‬ ‫(العجلة) سال ًبا كما فى شكل (‪.)2‬‬ ‫وإذا بقيت السرعة ثابتة مع الزمن نقول‪ :‬إن الحركة منتظمة‪.‬‬ ‫‪Velocity-Time curve‬‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫الزمن بالثانية‬

‫‪64‬‬

‫السرعة م‪/‬ث‬

‫‪2 4 6 8‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫الزمن بالثانية‬

‫السرعة م‪/‬ث‬

‫‪80‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪20‬‬

‫ليقتا نمكىلا لاكلا ةم تن ن ةكرحا ‪2 2‬‬ ‫الحركة منتظمة التغير‪:‬‬ ‫واتجاها‬ ‫مقدارا‬ ‫يقال إن الجسيم يتحرك حركة منتظمة التغير أو بتسارع (عجلة) منتظم إذا كان متجه العجلة ثاب ًتا‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫لجميع األزمنة‪.‬‬ ‫تعبير شفهى‪ :‬ماذا تعنى كل من العبارات اآلتية‪:‬‬ ‫أ مقدار سرعة جسيم يزداد فى أثناء حركته زيادة منتظمة بمعدل ‪4‬م ‪ /‬ث‪.2‬‬ ‫ب مقدار سرعة جسيم يتناقص فى أثناء حركته تناقص منتظم بمعدل ‪24‬كم ‪ /‬س‪.2‬‬

‫‪Uniformly accelerated motion‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 1‬إذا تغيرت بانتظام سرعة سيارة تتحرك فى خط مستقيم من ‪50‬كم ‪ /‬س إلى ‪ 68‬كم ‪ /‬س خالل عشر ثوان‪،‬‬ ‫وتحركت سيارة نقل من السكون؛ حتى أصبحت سرعتها ‪18‬كم ‪ /‬س خالل هذه المدة‪ .‬أيهما يتحرك بتسارع‬ ‫أكبر ؟ فسر إجابتك‪.‬‬ ‫الحل‬

‫كال من السيارة ‪ ،‬سيارة النقل قد حدث لهما زيادة فى السرعة بمقدار ‪18‬كم ‪ /‬س‬ ‫يتضح من بيانات المسألة أن اًّ‬ ‫( أى ‪5‬م ‪ /‬ث) خالل فترة زمنية قدرها ‪ 10‬ثوان؛ لذلك يكون التسارع متساو ًيا لكل منهما ‪.‬‬ ‫أن التسارع الذى تتحرك به كل منهما هو‪:‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬

‫التغير فى السرعة‬ ‫‪ a‬جـ = الفترة الزمنية = ‪2 10‬‬ ‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 1 = 5‬م ‪ /‬ث‪2‬‬

‫‪ 1‬إذا تغيرت بانتظام سرعة سيارة (‪ )C‬تتحرك فى خط مستقيم من ‪24‬كم ‪ /‬س إلى ‪ 36‬كم ‪ /‬س خالل ‪ 5‬ثوان‪،‬‬ ‫وتغيرت بانتظام سرعة سيارة (ب) تتحرك فى نفس الخط المستقيم من ‪12‬كم ‪ /‬س إلى ‪30‬كم ‪ /‬س خالل نفس‬ ‫فسر إجابتك‪.‬‬ ‫المدة الزمنية‪ .‬أيهما يتحرك بتسارع أكبر ؟ ِّ‬

‫معادالت الحركة منتظمة التغير في خط م�ستقيم‬ ‫توجد ثالث معادالت أساسية تربط بين القياسات الجبرية لمتجهات االزاحة ‪ ،‬والسرعة‪ ،‬والعجلة‪ ،‬والزمن فى حالة‬ ‫الحركة بتسارع منتظم وهى‪:‬‬ ‫‪Equations of the uniform variable motion‬‬

‫ا اً‬ ‫أول‪ :‬العالقة بين ال�سرعة والزمن‪:‬‬

‫إذا تحرك جسيم فى خط مستقيم بمتجه سرعة ابتدائية ع‪ 0‬ومتجه عجلة ثابتة جـ وأصبح متجه سرعته ع‬

‫بعد فترة زمنية (ن) فإن‪:‬‬ ‫جـ =‬

‫ع ‪-‬‬ ‫ن‬

‫ع‪0‬‬

‫أن‪:‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬

‫بأخذ القياس الجبري تكون‪.‬‬

‫ع = ع‪ + 0‬جـ ن‬ ‫ع = ع‪ + 0‬جـ ن‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪65 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬لاكيملنحدل‬

‫الحظ أن‪:‬‬ ‫½ العالقة تربط بين أربعة مجاهيل يمكن إيجاد إحداها بمعلومية الثالثة اآلخرين‪.‬‬ ‫½ إذا بدأ الجسم حركته من سكون فإن ع‪ 0 = 0‬وتكون ع = جـ ن‬

‫أن الجسم يتحرك بسرعة منتظمة‪.‬‬ ‫أى َّ‬ ‫½ إذا كان جـ = ‪ 0‬فإن ع = ع‪ْ 0‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 2‬بدأ جسيم حركته فى اتجاه ثابت بسرعة ‪9‬سم ‪ /‬ث وبعجلة منتظمة قدرها ‪3‬سم ‪ /‬ث‪ 2‬تعمل فى نفس اتجاه‬ ‫السرعة االبتدائية‪ .‬أوجد‪:‬‬ ‫أ سرعة الجسيم بعد ‪ 5‬ثوان من بدء الحركة‪.‬‬ ‫ب الزمن الذى يمضى من بدء الحركة حتى تصبح سرعته ‪ 54‬سم ‪ /‬ث‪.‬‬ ‫الحل‬

‫أ نفرض أن االتجاه الموجب هو اتجاه حركة الجسيم‪.‬‬ ‫من بيانات المسألة‪ :‬ع‪9 = 0‬سم ‪ /‬ث ‪ ،‬جـ = ‪3‬سم ‪ /‬ث‪ ، 2‬ن = ‪ 5‬ثوان‪.‬‬ ‫` ع = ‪ 24‬سم ‪ /‬ث‪.‬‬ ‫‪a‬ع = ع‪ + 0‬جـ ن `ع = ‪5 * 3 + 9‬‬ ‫` ن = ‪ 15‬ثانية‪.‬‬ ‫ب ‪a‬ع = ع‪ + 0‬جـ ن ` ‪ 3 + 9 = 54‬ن‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 2‬بدأ جسيم حركته فى اتجاه ثابت بسرعة ‪20‬سم ‪ /‬ث وبعجلة منتظمة ‪5‬سم ‪ /‬ث‪ 2‬تعمل فى نفس اتجاه متجه‬ ‫السرعة االبتدائية‪ .‬أوجد‪:‬‬ ‫أ سرعته فى نهاية دقيقة واحدة من بدء الحركة‪.‬‬ ‫ب الزمن الذى يمضى من بدء الحركة حتى تصبح سرعته ‪18‬كم ‪ /‬س‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 3‬يتحرك جسيم فى خط مستقيم فتغيرت سرعته من ‪ 54‬كم ‪ /‬س الى ‪ 3‬م ‪ /‬ث فى زمن قدره نصف دقيقة‪ .‬أوجد‬ ‫فسر إجابتك‪.‬‬ ‫مقدار عجلة الحركة‪ .‬هل يمكن لهذا الجسيم أن يسكن لحظ اًّيا؟ ِّ‬ ‫الحل‬

‫لتحويل سرعة الجسم من كم‪/‬س إلى م‪/‬ث ‪ 54 :‬كم ‪ /‬س = ‪5 * 54‬‬ ‫‪ 15 = 18‬م ‪ /‬ث‬ ‫"من بيانات المسألة" ع‪ 15 = 0‬م ‪ /‬ث ‪ ،‬ع = ‪3‬م ‪ /‬ث ‪ ،‬ن = ‪ 30‬ثانية ‪.‬‬ ‫` ‪ 30 + 15 = 3‬جـ‬ ‫‪a‬ع = ع‪ + 0‬جـ ن‬ ‫` جـ = ‪ 0٫4 -‬م ‪ /‬ث‪2‬‬ ‫أن‪ 30 :‬جـ = ‪12 -‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬ ‫‪ a‬جـ < ‪ 0‬يمكن لهذا الجسيم أن يسكن لحظ اًّيا؛ ألنه يتحرك حركة تقصيرية‪.‬‬

‫‪66‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫ليقتا نمكىلا لاكلا ةم تن ن ةكرحا ‪2 2‬‬ ‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 3‬تتحرك سيارة فى خط مستقيم فتناقصت سرعتها من ‪ 63‬كم ‪ /‬س إلى ‪ 36‬كم ‪ /‬س فى زمن قدره نصف دقيقة‪.‬‬ ‫أوجد العجلة التى تتحرك بها السيارة والزمن الذى يمضى بعد ذلك؛ حتى تسكن لحظ اًّيا‪.‬‬

‫ثانياًا‪ :‬العالقة بين الم�سافة والزمن‬

‫‪The relation between displacement and time‬‬

‫ ف = ع‪ 0‬ن ‪ 12 +‬ن (ع‪ + 0‬جـ ن ‪ -‬ع‪)0‬‬ ‫ف = ع ن ‪ 1 +‬جـ ن‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫السرعة (م‪/‬ث)‬

‫المساحة تحت منحنى (السرعة ‪ -‬الزمن) تساوى إزاحة الجسم‪.‬‬ ‫فى الشكل المقابل الجسم يتحرك بعجلة منتظمة مبتد ًئا بسرعة‬ ‫ابتدائية ع‪ 0‬وبعد زمن ن ثانية أصبحت سرعته النهائية ع‬ ‫المساحة تحت المنحنى يمكن حسابها عن طريق تقسيمها إلى‬ ‫مستطيل ومثلث‪.‬‬ ‫المساحة (ف) = مساحة المستطيل ‪ +‬مساحة المثلث‬ ‫ = ع‪0‬ن ‪ 12 +‬ن (ع ‪ -‬ع‪)0‬‬

‫ع‬

‫ع‪0‬‬

‫ن‬

‫‪0‬‬

‫الزمن بالثانية‬

‫(وذلك بالتعويض من القانون األول‪ :‬ع = ع‪ + 0‬جـ ن)‬

‫‪2‬‬

‫حيث ف ‪ ،‬ع ‪ ،‬جـ هى القياسات الجبرية لإلزاحة والسرعة والعجلة‪.‬‬

‫تعبير شفهى‪:‬‬

‫‪ -1‬اكتب صيغة قانون (المسافة ‪ -‬الزمن) عندما يبدأ الجسم حركته من سكون‪.‬‬ ‫‪ -2‬اكتب صيغة القانون السابق عندما جـ = ‪ ، 0‬وبم تفسر نوع الحركة فى هذه الحالة؟‬ ‫مثال‬ ‫‪ 4‬سيارة تتحرك بسرعة ‪90‬كم ‪ /‬س ‪ ،‬ضغط السائق على‬ ‫دواسة الفرامل‪ ،‬بحيث تناقصت السرعة بمعدل ثابت‬ ‫حتى توقفت السيارة بعد مرور ‪ 5‬ثوان‪ .‬احسب‪:‬‬ ‫ع‬ ‫أ عجلة السيارة خالل تناقص السرعة‪.‬‬ ‫ب المسافة التى قطعتها السيارة؛ حتى توقفت حركتها تما ًما‪.‬‬

‫اتجاه الحركة‬

‫لحظ اأن‬

‫ع‪0‬‬

‫عندما يقف الجسم فإن ع = ‪0‬‬

‫الحل‬ ‫‪5‬‬ ‫أ لتحويل السرعة من كم‪/‬س إلى متر ‪ /‬ث ‪90 :‬كم ‪ /‬س = ‪ 25 = 18 * 90‬م ‪ /‬ث‬

‫بالتطبيق فى القانون‪ :‬ع = ع‪ + 0‬جـ ن حيث ع‪ 25 = 0‬م ‪ /‬ث ‪ ،‬ع = ‪ ، 0‬ن = ‪ 5‬ثوان‬

‫` ‪ 5 + 25 = 0‬جـ‬

‫أى أن جـ = ‪ 5 -‬م ‪ /‬ث‪2‬‬

‫ْ َّ‬

‫أن السيارة تتحرك بتقصير منتظم مقداره ‪5‬م ‪ /‬ث‪.2‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪67 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬لاكيملنحدل‬

‫ب‬

‫‪ a‬ف = ع ن ‪ 1 +‬جـ ن‪2‬‬ ‫‪2 0‬‬

‫بالتعويض عن ‪ :‬ع‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫مترا‪.‬‬ ‫` ف = ‪ً 62٫5 = 25 * )5 -( 2 + 5 * 25‬‬

‫= ‪25‬م‪/‬ث‪ ،‬ن = ‪5‬ث ‪ ،‬جـ = ‪5 -‬م‪/‬ن‪2‬‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 4‬قذفت كرة صغيرة بسرعة ‪20‬م‪/‬ث أفق اًّيا‪ ،‬فتحركت فى خط مستقيم حركة تقصيرية بعجلة منتظمة ‪ 12‬م‪/‬ث‪.2‬‬ ‫عين موضع الكرة‪ ،‬وسرعتها بعد مرور ‪ 2‬ثانية من بدء الحركة‪.‬‬

‫ثال اًثا‪ :‬العالقة بين ال�سرعة والإزاحة‬ ‫نعلم أن‪ :‬ع = ع‪ + 0‬جـ ن (‪)1‬‬

‫‪The relation between the displacement and velocity‬‬

‫ف = ع ن ‪ 1 +‬جـ ن‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫(‪)2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بتربيع المعادلة األولى‪ :‬ع = ع‪2 + 0‬ع‪0‬‬ ‫` ع‪ = 2‬ع‪ 2 + 2‬جـ (ع‪ 0‬ن ‪ 12 +‬جـ ن‪ )2‬بالتعويض من المعادلة (‪ )2‬عن قيمة ف‬ ‫‪0‬‬ ‫جـ ن ‪ +‬جـ ‪ 2‬ن‪2‬‬

‫ع‪ = 2‬ع‪ 2 + 2‬جـ ف‬ ‫‪0‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 5‬أطلقت رصاصة بسرعة ‪200‬م‪/‬ث فى اتجاه عمودى على حائط رأسى سمكه ‪14‬سم‪ ،‬فخرجت منه بسرعة‬ ‫‪150‬م‪/‬ث‪ .‬أوجد مقدار العجلة التقصيرية ‪ ،‬وإذا أطلقت الرصاصة بنفس السرعة على حائط رأسى آخر له‬ ‫علما بأن العجلة التى تتحرك بها الرصاصة واحدة‬ ‫نفس المقاومة‪ ،‬فأوجد المسافة التى تغوصها حتى تسكن‪ً ،‬‬ ‫فى الحالتين‪.‬‬ ‫الحل‬

‫جـ‬

‫نفرض أن االتجاه الموجب هو اتجاه حركة‬ ‫الرصاصة‪.‬‬ ‫الحالة األولى‪ :‬ع‪200 = 0‬م ‪ /‬ث‪ ،‬ع = ‪ 150‬م ‪ /‬ث ‪ ،‬ف = ‪ 0٫14‬م‬ ‫‪ a‬ع‪ = 2‬ع‪ 2 + 2‬جـ ف ` (‪ * 2 + 2)200( = 2)150‬جـ * ‪0٫14‬‬ ‫‪0‬‬ ‫وبالتبسيط‪ :‬جـ = ‪ 62500 -‬م ‪ /‬ث‪2‬‬ ‫الحالة الثانية‪:‬‬ ‫جـ‬ ‫جـ = ‪ 62500 -‬م ‪ /‬ث‪2‬‬ ‫ع‪200 = 0‬م ‪ /‬ث ‪ ،‬ع = ‪0‬‬ ‫ف‬ ‫ع=‪0‬‬ ‫` ‪ 62500 * 2 - 2)200( = 0‬ف‬ ‫‪ a‬ع‪ = 2‬ع‪ 2 + 2‬جـ ف‬ ‫‪0‬‬ ‫أن الرصاصة تغوص فى الحائط مسافة ‪ 32‬سم حتى تسكن‪.‬‬ ‫` ف = ‪ 0٫32‬متر‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬ ‫ع = ‪ 150‬م‪/‬ث‬

‫‪ 14‬سم‬

‫ع‪ 200 = 0‬م‪/‬ث‬

‫ع‪ 20 = 0‬م‪/‬ث‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫مترا‪ .‬أوجد المسافة التى‬ ‫‪ 5‬نقصت سرعة سيارة بانتظام من ‪45‬كم ‪ /‬س إلى ‪18‬كم ‪ /‬س بعد أن قطعت مسافة ‪ً 625‬‬ ‫تقطعها بعد ذلك حتى تسكن‪.‬‬

‫‪ 6‬أطلقت رصاصة أفق اًّيا على كتلة خشبية بسرعة ‪100‬م ‪ /‬ث فغاصت فيها مسافة ‪50‬سم‪ .‬أوجد العجلة التى تتحرك‬

‫‪6‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫ليقتا نمكىلا لاكلا ةم تن ن ةكرحا ‪2 2‬‬ ‫بها الرصاصة إذا علم أن العجلة منتظمة ‪ ،‬وإذا تم إطالقها على كتلة خشبية أخرى مماثلة لألولى سمكها ‪18‬سم‪.‬‬ ‫فما هى السرعة التى تخرج بها الرصاصة من الكتلة الخشبية؟‬ ‫مثال‬

‫الرسعة املتوسطة خالل الثانية النونية‪:‬‬

‫‪The average velocity within nth second‬‬

‫‪ 6‬بدأ جسيم حركته فى اتجاه ثابت بسرعة ‪10‬سم‪/‬ث وعجلة منتظمة ‪4‬سم‪/‬ث‪ 2‬فى اتجاه سرعته ‪ .‬احسب‪:‬‬ ‫ال‪ :‬المسافة التى يكون الجسيم قد قطعها خالل الثانية الخامسة فقط‪.‬‬ ‫أو ً‬ ‫ثان ًيا‪ :‬المسافة التى يكون الجسيم قد قطعها خالل الثانيتين الثامنة والتاسعة م ًعا‪.‬‬ ‫الحل‬

‫نعتبر االتجاه‬ ‫` ع‪ 10 = 0‬سم‪/‬ث‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫ع‪/‬‬ ‫م‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫ع‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫الموجب هو اتجاه السرعة‬ ‫و‬ ‫‪ ،‬جـ = ‪4‬سم‪/‬ث‪2‬‬

‫المتوسطة عم خالل الثانية‬ ‫أوالً‪ :‬نوجد السرعة‬ ‫الخامسة = السرعة فى منتصف هذه الفترة الزمنية أى تساوى السرعة بعد ‪ 4 12‬ثانية‪.‬‬ ‫` ع م =‪28 = 4 12 * 4 + 10‬سم‪/‬ث‪.‬‬ ‫‪ a‬ع م = ع ‪ + 0‬جـ ن‬ ‫المسافة المقطوعة فى الثانية الخامسة = السرعة المتوسطة * الزمن = ‪ 28 = 1 * 28‬سم‪.‬‬ ‫ثان ًيا‪ :‬نوجد السرعة المتوسطة ع‪/‬م خالل الثانيتين الثامنة والتاسعة = السرعة فى منتصف الفترة الزمنية أى تساوى‬ ‫السرعة بعد مضى ‪ 8‬ثوان من بدء الحركة ‪.‬‬ ‫` ع‪/‬م = ‪ 42 = 8 * 4 + 10‬سم‪/‬ث‬ ‫‪ a‬ع‪/‬م = ع ‪ + 0‬جـ ن‬ ‫المسافة المقطوعة فى الثانيتين الثامنة والتاسعة = السرعة المتوسطة * الزمن = ‪ 84 = 2 * 42‬سم‬ ‫م‬

‫فكر‪:‬‬

‫حاول حل المثال السابق بطرق أخرى‪.‬‬ ‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 7‬بدأ جسيم حركته فى اتجاه ثابت بسرعة ‪30‬سم ‪ /‬ث‪ ،‬وعجلة منتظمة ‪6‬سم ‪ /‬ث‪ 2‬فى نفس اتجاه سرعته‪ .‬احسب‪:‬‬ ‫أ المسافة المقطوعة بعد ‪ 5‬ثوان من بدء الحركة‪.‬‬ ‫ب المسافة المقطوعة فى الثانية الخامسة فقط‪.‬‬

‫تحرك جسيم بسرعة ابتدائية ما فى اتجاه ثابت وبعجلة منتظمة‪ ،‬فإذا قطع فى الثانية الثالثة من حركته مسافة‬ ‫مترا‪ .‬احسب العجلة التى تحرك بها الجسيم‬ ‫‪20‬مترا ‪ ،‬ثم قطع فى الثانيتين الخامسة والسادسة م ًعا مسافة ‪ً 60‬‬ ‫ً‬ ‫وسرعته االبتدائية‪.‬‬ ‫‪ 9‬يتحرك مترو األنفاق فى خط مستقيم بين محطتين ‪ ، C‬ب المسافة بينهما ‪ 700‬متر‪ ،‬حيث يبدأ من المحطة ‪C‬‬ ‫من السكون بعجلة منتظمة ‪2‬م‪/‬ث‪ 2‬لمدة ‪ 10‬ثوان‪ ،‬ثم يسير بعد ذلك بسرعة منتظمة فترة من الزمن‪ ،‬ثم يقطع‬ ‫مترا األخيرة من حركته بتقصير منتظم؛ حتى يقف فى المحطة ب‪ .‬أوجد الزمن الذى يستغرقه فى‬ ‫مسافة ‪ً 60‬‬ ‫قطع المسافة بين المحطتين‪.‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪69 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬لاكيملنحدل‬

‫مثال‬

‫تطبيقات عىل قوانني الحركة بعجلة منتظمة‬

‫‪ 7‬تتحرك سيارة بسرعة منتظمة ‪72‬كم ‪ /‬س‪ .‬مرت بسيارة شرطة ساكنة فبدأت سيارة الشرطة فى متابعتها بعد ‪10‬‬ ‫ثوان من مرورها متحركة بعجلة منتظمة مسافة ‪ 100‬متر حتى بلغت سرعتها ‪90‬كم ‪ /‬س ‪ ،‬ثم سارت بهذه‬ ‫السرعة حتى لحقت بالسيارة األولى‪ .‬أوجد الزمن الذى استغرقته عملية المطاردة منذ لحظة تحرك سيارة الشرطة‬ ‫والمسافة التى قطعتها هذه السيارة‪.‬‬ ‫سرعة منتظمة ‪ 72‬كم‪/‬س‬

‫الحل‬

‫‪ 10‬ثانية‬

‫نعتبر االتجاه الموجب هو اتجاه الحركة‪ ،‬وأن‬ ‫سيارة الشرطة كانت ساكنة عند نقطة و ‪ ،‬ثم‬ ‫سرعة منتظمة‬ ‫ع‪ 100 0 = 0‬متر أ‬ ‫ع = ‪90‬كم ‪ /‬س‬ ‫قطعت مسافة ‪ 100‬متر‪ ،‬حتى وصلت إلى ‪ C‬حيث‬ ‫و‬ ‫‪ K‬ثانية‬ ‫أصبحت سرعتها ‪90‬كم ‪ /‬س ثم سارت بها بانتظام‬ ‫حتى لحقت بالسيارة األولى عند ب‪.‬‬ ‫‪ 72‬كم‪/‬س = ‪ 20 = 5 * 72‬متر‪/‬ث ‪90 ،‬كم‪/‬س = ‪5 * 90‬‬ ‫‪ 25 = 18‬متر‪/‬ث‬ ‫‪18‬‬ ‫و‬

‫بالنسبة لسيارة الشرطة فى الفترة من و‬

‫أ‬

‫ع‪ , 0 = 0‬ع = ‪ 25‬م ‪ /‬ث ‪ ،‬ف = ‪ 100‬متر‬

‫‪ 25‬م ‪ /‬ث‪2‬‬

‫‪ * 2 = 25 * 25‬حـ * ‪ ` 100‬حـ = ‪8‬‬ ‫‪ 25‬ن‬ ‫ع =ع ‪ +‬حـ ن‬ ‫` ‪8 = 25‬‬ ‫‪0‬‬

‫هـ‬

‫ي‬

‫‪ K‬ثانية‬

‫ب‬ ‫ب‬

‫ع‪= 2‬ع‪ 2 + 2‬حـ ف‬ ‫‪0‬‬

‫` ن=‪ٍ 8‬‬ ‫ثوان‬

‫` المسافة التي تتحركها سيارة الشرطة بسرعة منتظمة = ‪( 25‬ن ‪ )8 -‬متر‬

‫‪ ،‬تكون السيارة المطاردة قطعت المسافة و ب فى زمن قدره = (ن ‪ )10 +‬ثانية‬ ‫‪ ،‬تكون سيارة الشرطة قطعت نفس المسافة و ب فى زمن قدره = ن ثانية‬

‫` ‪ ( 20‬ن ‪ ( 25 + 100 = )10 +‬ن ‪ )8 -‬أى أن ن = ‪ 60‬ثانية‬ ‫المسافة المقطوعة = ‪ 1400 = 70 * 20‬متر‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 10‬تتحرك سيارة بسرعة ‪ 54‬كم‪/‬س‪ ،‬مرت على سيارة شرطة ساكنة فبدأت سيارة الشرطة فى متابعتها بعد ‪ 30‬ثانية‬ ‫من مرورها متحركة بعجلة منتظمة مسافة ‪ 200‬متر؛ حتى بلغت سرعتها ‪ 72‬كم‪/‬س ثم سارت بهذه السرعة‬ ‫حتى لحقت بالسيارة األولى‪ .‬أوجد الزمن الذي استغرقته عملية المطاردة من لحظة تحرك سيارة الشرطة و‬ ‫المسافة التي قطعتها هذه السيارة‪.‬‬

‫‪70‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫ليقتا نمكىلا لاكلا ةم تن ن ةكرحا ‪2 2‬‬ ‫تمــــاريــن (‪)2 - 2‬‬ ‫‪ 1‬أكمل مايأتى‪:‬‬ ‫أ يتحرك جسيم فى خط مستقيم من السكون بعجلة منتظمة مقدارها ‪4‬م ‪ /‬ث‪ 2‬فإن سرعته بعد ‪ 6‬ثوان من‬ ‫بدء الحركة = ‪ ..........................‬م ‪ /‬ث‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب المسافة التى يقطعها جسيم يتحرك فى اتجاه ثابت من السكون بعجلة مقدارها ‪5‬سم ‪ /‬ث فى زمن قدره‬ ‫‪ 4‬ثوان = ‪ ..........................‬سم‪.‬‬ ‫كته = ‪..........‬‬ ‫ج السرعة المتوسطة لجسيم يتحرك بسرعة ابتدائية ع‪ 0‬وعجلة منتظمة جـ خالل الثانية السادسة من حر‬ ‫د السرعة المتوسطة لجسيم يتحرك بسرعة ابتدائية ع‪ 0‬وعجلة منتظمة جـ خالل الثوانى السابعة والثامنة‬ ‫والتاسعة = ‪..........................‬‬ ‫مترا فى الثوانى األربع األولى من‬ ‫ه يتحرك جسيم من السكون فى خط مستقيم بعجلة منتظمة فقطع ‪ً 24‬‬ ‫حركته ‪ ،‬فإن مقدار عجلته =‬ ‫و بدأ جسيم حركته من السكون فى خط مستقيم بعجلة منتظمة مقدارها ‪2‬سم ‪ /‬ث‪ 2‬فقطع مسافة ‪25‬سم ‪،‬‬ ‫فإن سرعته فى نهاية تلك المسافة = ‪ ..........................‬سم ‪ /‬ث‪.‬‬ ‫‪..........................‬‬

‫‪ 2‬انطلقت سيارة من السكون بتسارع مقداره ‪4‬م ‪ /‬ث‪ .2‬ما المسافة التى تقطعها السيارة عندما تصبح سرعتها ‪24‬م ‪ /‬ث؟‬

‫‪ 3‬تسير سيارة سباق فى الحلبة بسرعة ‪44‬م ‪ /‬ث ثم تناقصت سرعتها بمعدل ثابت‪ ،‬حتى أصبحت ‪22‬م ‪ /‬ث خالل‬ ‫‪ 11‬ثانية‪ .‬أوجد المسافة التى قطعتها السيارة خالل هذا الزمن‪.‬‬ ‫‪ 4‬يتحرك جسم فى خط مستقيم بعجلة منتظمة فزادت سرعته من ‪15‬م ‪ /‬ث إلى ‪25‬م ‪ /‬ث بعد أن قطع مسافة ‪125‬‬ ‫مترا ‪ ،‬أوجد الزمن الالزم لذلك‪.‬‬ ‫ً‬

‫‪ 5‬يتحرك راكب دراجة بعجلة منتظمة حتى صارت سرعته ‪ 7٫5‬م ‪ /‬ث خالل ‪ 4٫5‬ثانية‪ .‬فإذا كانت إزاحة‬ ‫مترا‪ .‬أوجد السرعة االبتدائية للدراجة‪.‬‬ ‫الدراجة خالل فترة التسارع تساوى ‪ً 19‬‬ ‫‪ 6‬يتدرب كريم على ركوب الدراجة‪ ،‬يدفعه والده فيكتسب تسار ًعا ثاب ًتا مقداره ‪ 12‬م ‪ /‬ث‪ 2‬لمدة ‪ 6‬ثوان‪ ،‬وبعد ذلك يقود‬ ‫أرضا‪ .‬أوجد مقدار المسافة التى يقطعها‬ ‫كريم الدراجة بمفرده بالسرعة التى اكتسبها لمدة ‪ 6‬ثوان أخرى قبل أن يسقط ً‬ ‫كريم‪.‬‬

‫منحدرا بعجلة ثابتة مقدارها ‪2‬م ‪ /‬ث‪ 2‬وعندما وصل إلى قاعدة التل بلغت‬ ‫‪ 7‬هبط راكب دراجة من قمة تل‬ ‫ً‬ ‫سرعته ‪18‬م ‪ /‬ث ثم استخدم الفرامل؛ حتى يحافظ على هذه السرعة لمدة دقيقة واحدة‪ .‬أوجد المسافة الكلية‬ ‫التى قطعها راكب الدراجة‪.‬‬ ‫طفال يمر فى الشارع ‪ ،‬فإذا كان الزمن الالزم‬ ‫قائد سيارة يتحرك بسرعة ثابتة مقدارها ‪24‬م ‪ /‬ث ‪ ،‬شاهد فجأة ً‬ ‫الستجابة الفرامل هو ‪ 12‬ثانية ثم تحركت السيارة بتقصير منتظم مقداره ‪9٫6‬م ‪ /‬ث‪ 2‬حتى وقفت‪ .‬أوجد المسافة‬ ‫الكلية التى تحركتها السيارة قبل أن تقف مباشرة‪.‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪71 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬لاكيملنحدل‬

‫‪ 9‬بدأ جسم حركته من السكون فى خط مستقيم أفقى بعجلة منتظمة مقدارها ‪4‬سم ‪ /‬ث‪ 2‬لمدة ‪ 30‬ثانية‪ ،‬ثم تحرك‬ ‫بالسرعة التى اكتسبها لمدة ‪ 40‬ثانية أخرى فى نفس االتجاه‪ .‬أوجد مقدار سرعته المتوسطة‪.‬‬

‫مترا خالل الثانية الرابعة من‬ ‫‪ 10‬يتحرك جسم فى خط مستقيم بعجلة منتظمة على مستوى أفقى أملس فقطع ‪ً 26‬‬ ‫مترا خالل الثانية التاسعة‪ ،‬أوجد سرعته االبتدائية ومقدار عجلته‪.‬‬ ‫بدء الحركة ‪ً 56 ،‬‬

‫‪ 11‬س ‪ ،‬ص نقطتان على طريق مستقيم أفقى بدأت سيارة ‪ C‬الحركة من س نحو ص من السكون وبعجلة منتظمة‬ ‫‪10‬م ‪ /‬ث‪ 2‬وفى نفس اللحظة كانت تتحرك سيارة أخرى ب من ص نحو س بسرعة منتظمة مقدارها ‪ 54‬كم ‪ /‬س ‪،‬‬ ‫فإذا كانت السرعة النسبية للسيارة ‪ C‬بالنسبة للسيارة ب لحظة التقائهما تساوى ‪ 162‬كم ‪ /‬س‪ .‬أوجد الزمن الذى‬ ‫تأخذه كل من السيارتين من لحظة تحركهما م ًعا حتى لحظة التقائهما‪.‬‬

‫نشاط‬ ‫‪60‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬

‫السرعة (م‪/‬ث)‬

‫‪ 12‬الشكل المقابل يمثل منحنى (السرعة ‪ -‬الزمن) لجسم‬ ‫بدأ التحرك بسرعة ابتدائية مقدارها ‪10‬م ‪ /‬ث وحتى‬ ‫سكن بعد زمن قدره ‪ 110‬ثانية‪ .‬أوجد‪:‬‬ ‫أ عجلة التسارع‪.‬‬ ‫ب مقدار التقصير المنتظم للجسم حتى يسكن‪.‬‬ ‫ج المسافة الكلية التى تحركها الجسم‪.‬‬

‫‪70‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110‬‬ ‫الزمن بالثانية‬

‫تفكير إبداعى‪:‬‬

‫‪ 13‬مصعد ساكن بقاع منجم ‪ ،‬أخذ المصعد فى االرتفاع بعجلة مقدارها ‪120‬سم‪/‬ث‪ 2‬مسافة ‪540‬سم‪ ،‬ثم بسرعة‬ ‫منتظمة مسافة ‪ 360‬سم‪ ،‬ثم بتقصير منتظم مسافة ‪720‬سم؛ حتى سكن عند فوهة المنجم‪ .‬احسب الزمن الذى‬ ‫استغرقه المصعد فى الصعود من قاع المنجم إلى فوهته‪.‬‬

‫تفكير إبداعى‪:‬‬

‫السرعة‬

‫‪ 14‬الشكل المقابل يمثل منحنى (السرعة ‪ -‬الزمن) لحركة سيارتين‬ ‫س ‪ ،‬ص أوجد الزمن الذى تتقابل فيه السيارتان (فسر إجابتك)‪.‬‬

‫(س)‬

‫(‬ ‫الزمن‬

‫‪72‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫ص)‬

‫‪40‬‬

‫‪30‬‬

‫‪20‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫ال�سقوط الحر‬ ‫‪Free Fall‬‬

‫تمهيد‬ ‫ما الذى يحدث عندما تسقط برتقالة من شجرة؟‬ ‫½ تتحرك البرتقالة من سكون ‪ ،‬ثم تكتسب سرعة فى أثناء سقوطها سقوطًا‬ ‫حرا نتيجة تأثير جاذبية األرض عليها فبعد ‪ 1‬ثانية ستكون سرعتها ‪ 9٫8‬م‪/‬ث‬ ‫اًّ‬ ‫ألسفل‪ ،‬وبعد ثانية أخرى ستصبح سرعتها ‪ 19٫6‬م‪/‬ث ألسفل وهكذا‪...‬‬

‫الحظ أن‪ :‬سرعة البرتقالة تتناسب طرد اًّيا مع الزمن‪.‬‬

‫حرا (مع إهمال مقاومة الهواء) يساوى‬ ‫إن التسارع الذى تسقط به األجسام سقوطًا اًّ‬ ‫‪ 9٫8‬م‪/‬ث‪ 2‬تقري ًبا ويرمز له بالرمز (‪ )E‬ويختلف باختالف خط العرض فيقل عند‬ ‫قليال كلما اتجهنا نحو القطبين ‪ ،‬ويعتبر التسارع موج ًبا أو سال ًبا‬ ‫خط االستواء ويزداد ً‬ ‫حسب النظام اإلحداثي الذي يتم اتخاذه ‪ ،‬فإذا كان الجسيم ساقطًا أو مقذوفًا نحو‬ ‫سطح األرض فنعتبر (‪ ، )E‬موجبة ‪ ،‬أما إذا كان مقذوفًا إلى أعلى فتعتبر (‪ )E‬سالبة‪.‬‬ ‫قوانين الحركة الراأ�سية لالأج�سام‪:‬‬ ‫تخضع الحركة الرأسية لنفس قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة مع‬ ‫حرا ً‬ ‫بدال من‬ ‫استخدام الرمز (‪ )E‬الدالة على التسارع الذى تسقط به األجسام سقو ًطا ًّ‬ ‫الرمز (جـ) وبذلك تأخذ القوانين الصورة اآلتية‪:‬‬

‫‪3-2‬‬ ‫سوف تتعلم‬

‫ قوانني احلركة الرأسية‪.‬‬

‫ دراسة حركة األجسام الساقطة‬ ‫أو املقذوفة ألسفل‪.‬‬ ‫ دراسة حركة األجسام املقذوفة‬ ‫ألعىل‪.‬‬

‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬

‫ سقوط حر‬

‫‪Free fall‬‬

‫ عجلة اجلاذبية األرضية‬

‫‪Acceleration of gravity‬‬

‫ع = ع‪ E + 0‬ن ‪ ،‬ف = ع‪ 0‬ن ‪ E 12 +‬ن‪ ، 2‬ع‪ = 2‬ع‪E2 + 2‬ف‬ ‫حيث ع‪ ، E ،‬ف هى القياسات الجبرية لمتجهات السرعة والعجلة واالزاحة‬

‫ولذلك عند تطبيق القوانين بالصورة السابقة يجب مراعاة ع ‪ ،‬ع‪ ، E ، 0‬ف‬ ‫تب ًعا لما يأتى‪.‬‬

‫ا اً‬ ‫أول‪ :‬اإذا كان الج�سم اً‬ ‫�ساقطا اأو مقذو اًفا نحو �سطح الأر�ض‬

‫يعتبر االتجاه الموجب هو االتجاه الرأسى إلى أسفل فتكون كل من‬ ‫ع‪ ، 0‬ع ‪ ، E ،‬ف موجبة‪.‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫ آلة حاسبة علمية‪.‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 1‬أسقط عامل بناء قطعة خرسانية من سقالة (منصة) عالية‪.‬‬ ‫أ ما سرعة قطعة البناء بعد نصف ثانية؟‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪73 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬لاكيملنحدل‬ ‫ب ما المسافة التى تقطعها كتلة البناء خالل هذا الزمن؟‬

‫الحل‬

‫أ صيغة القانون‪ :‬ع = ع ‪ E +‬ن‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بالتعويض عن ع = ‪ 9٫8 = E ، 0‬م‪/‬ث‪ ، 2‬ن = ‪ 2‬ثانية‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ ع = ‪ 4٫9 = 12 * 9٫8 + 0‬م‪/‬ث‬ ‫ب صيغة القانون‪ :‬ف = ع ن ‪ E 1 +‬ن‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫بالتعويض عن ع = ‪ 9٫8 = E ، 0‬م‪/‬ث‪ ، 2‬ن = ‪ 12‬ثانية‪.‬‬ ‫‪0‬‬

‫ ف = ‪9 = 1 * 9٫8 * 1 + 0‬‬ ‫‪ 1 40‬متر‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 1‬سقطت تفاحة من شجرة‪ ،‬وبعد ثانية واحدة ارتطمت باألرض‪.‬‬ ‫أ احسب سرعة التفاحة لحظة ارتطامها بسطح األرض ‪ ،‬ثم احسب السرعة المتوسطة خالل زمن سقوطها‪.‬‬ ‫ب ما ُبعد التفاحة عن سطح األرض لحظة بداية سقوطها؟‬

‫ثانياًا‪ :‬اإذا كان الج�سم مقذو اًفا اإلى اأعلى‬

‫ع=‪0‬‬

‫نشاط‬

‫‪+‬‬

‫حركة الهبوط‬

‫حركة الصعود‬

‫قذفت كرة رأس اًّيا إلى أعلى بسرعة ابتدائية مقدارها ‪19٫6‬م‪/‬ث‪،2‬‬ ‫باعتبار أن االتجاه الرأسى ألعلى هو االتجاه الموجب فتكون‬ ‫السرعة االبتدائية موجبة تب ًعا لذلك ‪ ،‬أما التسارع فيكون سال ًبا ‪-‬‬ ‫لماذا؟‬ ‫½ استخدم برنامج (‪ )geogebra‬فى رسم العالقة بين (السرعة‪-‬‬ ‫الزمن) حيث ع = ‪9٫8 - 19٫6‬ن عندما ن ∈ [‪ ]4 ، 0‬‬ ‫ماذا تالحظ؟‬

‫االتجاه الموجب‬

‫½ استخدم نفس البرنامج فى رسم العالقة بين (المسافة ‪ -‬الزمن)‪:‬‬ ‫حيث ف = ‪ 19٫6‬ن ‪ 4٫9 -‬ن‪ , 2‬ماذا تالحظ؟‬

‫الزمن بالثانية‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5-‬‬

‫‪10‬‬‫‪15‬‬‫‪20-‬‬

‫‪74‬‬

‫شكل (‪)1‬‬ ‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫‪19٫6‬‬

‫المسافة بالمتر‬

‫منحنى‬ ‫السرعة ‪ -‬الزمن‬

‫السرعة (م‪/‬ث)‬

‫‪20‬‬

‫‪15‬‬

‫منحنى أقصي ارتفاع‬ ‫المسافة ‪ -‬الزمن‬

‫الزمن بالثانية‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫سحلا طوقسلا ‪2 2‬‬ ‫نالحظ من الشكل البيانى أن‪:‬‬ ‫½ سرعة الجسم فى أثناء الصعود تكون موجبة‪ ،‬وفى أثناء الهبوط تكون سالبة‪.‬‬

‫ً‬ ‫فمثال‪ :‬عندما ن ∈ [‪ [2 ، 0‬نالحظ أن سرعة ع > ‪ ، 0‬عندما ن ∈ ]‪ ]4 ، 2‬فان ع < ‪0‬‬

‫صفرا‪.‬‬ ‫½ سرعة الجسم عند أقصى ارتفاع تساوى ً‬

‫لحظ اأن‬

‫½ زمن الصعود للجسم يساوى زمن الهبوط‪.‬‬

‫½ مقدار سرعة الجسم التى يعود بها إلى نقطة القذف تساوى مقدار سرعة‬ ‫القذف بإشارة مخالفة‪.‬‬

‫زمن أقصى ارتفاع =‬ ‫‪2‬‬ ‫ع‬ ‫‪0‬‬

‫ع‪0‬‬

‫‪E‬‬

‫أقصى ارتفاع =‬ ‫‪E2‬‬

‫½ إزاحة الجسم خالل فترة زمنية ما ليست بالضرورة أن تكون مساوية للمسافة التى قطعها الجسم خالل هذه الفترة‪.‬‬ ‫تفكير ناقد‪:‬‬

‫‪ -1‬إذا قذف جسم رأس اًّيا ألعلى بسرعة ابتدائية (ع‪ )0‬فبلغت سرعته النهائية (ع) فى زمن قدره (ن) فأوجد‪.‬‬ ‫أ زمن وصول الجسم إلى أقصى ارتفاع‪.‬‬ ‫ب مسافة أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 2‬قذف جسيم رأس اًّيا إلى أعلى بسرعة ‪49‬م‪/‬ث‪ .‬أوجد زمن وصوله إلى أقصى ارتفاع والمسافة التى وصل إليها‪.‬‬ ‫الحل‬

‫باعتبار أن االتجاه الرأسى ألعلى هو االتجاه الموجب فإن ‪:‬‬ ‫ع = ‪49‬م‪/‬ث ‪ 9٫8- = E ،‬م‪/‬ث‪ ، 2‬ع = ‪( 0‬عند أقصى ارتفاع)‬ ‫‪0‬‬

‫أ إليجاد زمن أقصى ارتفاع‪:‬‬ ‫‪ a‬ع = ع ‪ E +‬ن ` ‪ 9٫8 - 49 = 0‬ن‪.‬‬ ‫‪0‬‬

‫فكر‪:‬‬

‫ب إليجاد مسافة أقصى ارتفاع‪:‬‬ ‫‪ a‬ع‪ = 2‬ع‪E 2 + 2‬ف ` ‪ * 9٫8 * 2 - 2)49( = 0‬ف‬ ‫‪0‬‬

‫` ن = ‪5‬ثوان‪.‬‬ ‫مترا‬ ‫` ف = ‪ً 122٫5‬‬

‫‪ -1‬هل يمكنك استخدام قوانين أخرى إليجاد مسافة أقصى ارتفاع؟ ِّ‬ ‫وضح ذلك‪.‬‬ ‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 2‬قذف جسيم رأس اًّيا إلى أعلى بسرعة ‪ 39٫2‬م‪/‬ث‪ .‬أوجد زمن أقصى ارتفاع والمسافة التى وصل إليها‪.‬‬ ‫مثال‬

‫مترا أسفل‬ ‫‪ 3‬قذف جسم رأس اًّيا إلى أعلى بسرعة ‪16‬م‪/‬ث‪ .‬أوجد الزمن الذى يأخذه الجسم؛ حتى يصل إلى ‪ً 330‬‬ ‫نقطة القذف‪.‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪75 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬لاكيملنحدل‬ ‫الحل‬

‫ع = ‪16‬م‪/‬ث ألنها نفس اتجاه القذف‪.‬‬

‫ع‬

‫‪0‬‬

‫‪ 9٫8 - = E‬ألنها عكس اتجاه عملية الجاذبية األرضية‪.‬‬

‫‪0‬‬

‫ف = ‪ 330 -‬ألنها أسفل نقطة القذف‪.‬‬

‫ف = ع ن ‪ E 1 +‬ن‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪16 = 330 -‬ن ‪9٫8 * 12 -‬ن‪ 2‬بالتبسيط ‪49‬ن‪16 - 2‬ن ‪0 = 330 -‬‬

‫بالتحليل المقدار الثالثى‪( :‬ن ‪49( )10 -‬ن ‪0 = )330 +‬‬

‫ن = ‪ ، 10‬ن = ‪330 -‬‬ ‫‪49‬‬ ‫فكر‪:‬‬

‫االتجاه الموجب‬

‫نعتبر االتجاه الرأسى إلى أعلى هو االتجاه الموجب‬

‫أقصى ارتفاع‬

‫نقطة القذف‬ ‫ف سالبة‬

‫(مرفوض)‬

‫وضح ذلك‪.‬‬ ‫‪ -1‬هل توجد لديك حلول أخرى؟ ِّ‬ ‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 3‬قذفت كرة صغيرة رأس اًّيا إلى أعلى من نافذة أحد المنازل‪ ،‬وشوهدت الكرة وهى هابطة أمام النافذة بعد ‪ 3‬ثوان‬ ‫من قذفها ‪ ،‬ثم وصلت إلى سطح األرض بعد ‪4‬ثوان من لحظة القذف‪ .‬أوجد ارتفاع هذه النافذة عن سطح األرض‪.‬‬

‫تمــــاريــن (‪)3 - 2‬‬ ‫‪ 1‬طفل ُيسقط كرة من نافذة ترتفع ‪3٫6‬م عن الرصيف‪ .‬ما سرعتها لحظة مالمستها الرصيف؟‬ ‫‪ 2‬سقطت كرة رأس اًّيا إلى أسفل‪ .‬ما سرعتها بعد ‪ 6‬ثوان من لحظة سقوطها؟‬

‫‪ 3‬سقط جسم رأس اًّيا ألسفل من ارتفاع ‪490‬م عن سطح األرض أوجد‪:‬‬ ‫أ زمن الوصول إلى سطح األرض‪.‬‬ ‫ب سرعته بعد ‪ 5‬ثوان من بدء الحركة‪.‬‬

‫‪ 4‬سقطت كرة من المطاط من ارتفاع ‪ 10‬أمتار‪ ،‬فاصطدمت باألرض وارتدت رأس اًّيا إلى أعلى مسافة ‪2 12‬متر‪.‬‬ ‫احسب سرعة الكرة قبل وبعد اصطدامها باألرض مباشرة‪.‬‬ ‫‪ 5‬يتدرب طالب على ركل كرة القدم رأس اًّيا إلى أعلى فى الهواء‪ ،‬ثم تعود الكرة أثر كل ركلة فتصدم بقدمه‪ ،‬فإذا‬ ‫استغرقت الكرة من لحظة ركلها وحتى اصطدامها بقدمه ‪ 0٫3‬ثانية‪ .‬أوجد ‪:‬‬ ‫أ السرعة االبتدائية‪.‬‬ ‫ب االرتفاع الذى وصلت إليه الكرة بعد أن ركلها الطالب‪.‬‬

‫‪76‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫سحلا طوقسلا ‪2 2‬‬ ‫‪ 6‬من أعلى تل ارتفاعه ‪ 9٫8‬أمتار قذف جسم رأس اًّيا إلى أعلى بسرعة ‪ 4٫9‬م‪/‬ث أوجد‪:‬‬ ‫أ سرعة الجسم عند لحظة وصوله إلى أسفل التل‪.‬‬ ‫ب الزمن الذى استغرقه للوصول إلى أسفل التل‪.‬‬ ‫‪ 7‬قُذف حجر فى بئر بسرعة ‪ 4‬م‪/‬ث رأس اًّيا ألسفل فوصل إلى قاع البئر بعد ‪ 2‬ثانية‪ .‬أوجد‪:‬‬ ‫أ عمق البئر‪.‬‬ ‫ب سرعة الحجر عند تصادمه بقاع البئر‪.‬‬ ‫قذف جسيم رأس اًّيا إلى أعلى بسرعة ‪ 14‬م‪/‬ث من نقطة على ارتفاع ‪350‬م عن سطح األرض‪ .‬أوجد الزمن الذى‬ ‫يأخذه الجسم؛ حتى يصل إلى سطح األرض‪.‬‬ ‫‪ 9‬قذفت كرة رأس اًّيا إلى أعلى من نافذة فوصلت إليها بعد ‪ 4‬ثوان من لحظة القذف ووصلت إلى سطح األرض بعد‬ ‫‪ 5‬ثوان من لحظة القذف‪ .‬أوجد‬ ‫أ سرعة قذف الكرة‪.‬‬ ‫ب أقصى ارتفاع وصلت إليه الكرة من نقطة القذف‪.‬‬ ‫ج ارتفاع النافذة عن سطح األرض‪.‬‬ ‫مترا قذف جسم رأس اًّيا ألعلى بسرعة ‪ 8٫4‬م‪/‬ث‪ .‬أوجد ‪:‬‬ ‫‪ 10‬من قمة برج ارتفاعه ‪ً 80٫5‬‬ ‫أ أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم من نقطة القذف‪.‬‬ ‫ب الزمن الذى يستغرقه الجسم وهو هابط حتى تصبح سرعته ‪11٫2‬م‪/‬ث‪.‬‬ ‫ج زمن وصول الجسم إلى نقطة القذف‪.‬‬ ‫د زمن وصول الجسم إلى سطح األرض‪.‬‬

‫‪ 11‬من أعلى تل ارتفاعه ‪140‬م قذفت كرة رأس اًّيا إلى أعلى ‪ ،‬فوجد أنها قطعت فى الثانية الثالثة مسافة ‪ 10٫5‬أمتار‪.‬‬ ‫أوجد‪:‬‬ ‫أ السرعة التى قذفت بها الكرة‪.‬‬ ‫ب أقصى ارتفاع وصلت إليه الكرة‪.‬‬

‫ج الزمن الذى استغرقته الكرة فى الوصول إلى سطح األرض‪.‬‬

‫تفكير ابداعى‪:‬‬

‫مترا من سطح األرض‪ ،‬وفى نفس اللحظة قذف جسم آخر رأس اًّيا ألعلى من سطح‬ ‫‪ 12‬سقط جسم من ارتفاع ‪ً 60‬‬ ‫األرض بسرعة ‪20‬م ‪ /‬ث فتقابل الجسمان بعد فترة زمنية‪ .‬أوجد هذا الزمن‪ ،‬ثم أوجد المسافة التى قطعها كل‬ ‫من الجسمين خالل هذه الفترة الزمنية‪ ،‬ثم اذكر هل الجسمان لحظة التقابل متحركان فى اتجاهين متضادين أم‬ ‫فى نفس االتجاه؟‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪77 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪4-2‬‬

‫قانون الجذب العام‬ ‫‪Universal gravitation law‬‬

‫فكر و‬

‫سوف تتعلم‬

‫ قانون اجلذب لنيوتن‪.‬‬

‫ تعريف ثابت اجلذب العام‪.‬‬

‫ املقارنة بني عجلتى اجلاذبية عىل‬ ‫سطحى كوكبني‪.‬‬

‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬

‫ جذب عام‬

‫‪Universal gravitation‬‬

‫ ثابت اجلذب العام‬

‫‪Gravitational constant‬‬

‫ قوة اجلذب‪.‬‬

‫‪Attraction force‬‬

‫ناقش‬

‫مسارا‬ ‫ماذا يحدث لحركة القمر لو فَقدت األرض قوة جاذبيتها للقمر؟ بالتأكيد سيسلك‬ ‫اًّ‬ ‫آخر ً‬ ‫بدال من أن يكون مساره شبه دائرى حول األرض‪.‬‬ ‫لقد أدرك نيوتن أن القوى المسئولة عن جاذبية األرض للقمر وجاذبية الشمس‬ ‫للكواكب إنما هى حالة خاصة من الجذب العام بين األجسام‪.‬‬ ‫وسوف تتعرف اآلن على قانون الجذب العام لنيوتن الذى نشره فى بحثه الرياضى‬ ‫مبادئ الفلسفة الطبيعية عام ‪1687‬م حيث ذكر نيوتن أن‪:‬‬ ‫كل األجسام فى الكون تتجاذب مع األجسام األخرى بتأثير قوة مباشرة تتناسب‬ ‫طرد اًّيا مع كتلتها وعكس اًّيا مع مربع المسافة بين مركزيهما‪.‬‬ ‫فإذا كان لدينا كتلتان ك‪ ، 1‬ك‪ 2‬وتفصل بين مركزيهما مسافة ف فإن مقدار قوة الجذب‬ ‫بينهما تعطى بالعالقة‪:‬‬

‫‪=X‬ث*‬

‫ك‪ 1‬ك‪2‬‬ ‫ف‪2‬‬

‫حيث‬

‫ك‪ ، 1‬ك‪ 2‬مقاستان بالكيلوجرام ‪ ،‬ف مقاسة بالمتر ‪ ،‬ث هو ثابت الجذب العام‪.‬‬ ‫تعريف ثابت الجذب العام‪:‬‬ ‫هو قوة الجذب المتبادلة بين كتلتين‪ ،‬مقدار كل منهما ‪ 1‬كيلو جرام‪ ،‬والمسافة بين‬ ‫مركزيهما ‪ 1‬متر ويساوى تقري ًبا ‪ 11 - 10 * 6٫67‬نيوتن ‪ .‬متر‪ / 2‬كجم‪.2‬‬ ‫‪gravitational constant‬‬

‫تعبير شفهى‪:‬‬

‫‪ -1‬اذكر العوامل التى تتوقف عليها قوة التجاذب بين جسمين‪.‬‬

‫فكر‪:‬‬ ‫األدوات والوسائل‬

‫ آلة حاسبة علمية‬

‫‪Scientific calculator‬‬

‫ماذا يحدث لقوة الجذب المتبادلة بين جسمين إذا ازدادت المسافة بينهما؟‬

‫‪-1‬‬ ‫‪ -2‬لماذا ال تظهر قوى التجاذب المادى بين األجرام السماوية بوضوح؟‬ ‫مثال‬

‫‪ 1‬كرتان كتلة األولى ‪ 5٫2‬كجم وكتلة الثانية ‪ 0٫25‬كجم‪ ،‬وضعت الكرتان‪ ،‬بحيث‬ ‫علما بأن‬ ‫كانت المسافة بين مركزيهما ‪50‬سم‪ .‬احسب قوة التجاذب بينهما ‪ً ،‬‬ ‫ثابت الجذب العام يساوى ‪ 11 - 10 * 6٫67‬نيوتن ‪ .‬م‪ / 2‬كجم‪.2‬‬

‫‪7‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫االط قسجلاقسحناق ‪2 2‬‬ ‫الحل‬

‫ك‪ 5٫2 = 1‬كجم ‪ ،‬ك‪ 0٫25 = 2‬كجم ‪ ،‬ف = ‪ 12‬م ‪،‬‬ ‫ك‪ 1‬ك‪2‬‬ ‫ف‪2‬‬

‫‪=Xa‬ث*‬

‫`‪=X‬‬

‫ث = ‪ 11 - 10 * 6٫67‬نيوتن‪.‬م‪ / 2‬كجم‪2‬‬

‫‪11 - 10 * 6٫67 * 0٫25 * 5٫2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫جدا)‪.‬‬ ‫‪ 10 - 10 * 3٫4684 = X‬نيوتن (وهى قوة صغيرة اًّ‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 1‬إذا علمت أن كتلة األرض ‪ 24 10 * 6‬كجم وكتلة القمر ‪ 22 10 * 7‬والمسافة بين مركزيهما ‪ 6 10 * 3‬متر وثابت‬ ‫الجذب العام ‪ 11 - 10 * 6٫67‬نيوتن ‪ .‬م‪ / 2‬كجم‪ .2‬أوجد قوة جذب األرض للقمر‪.‬‬ ‫مثال‬

‫‪ 2‬قمر صناعى كتلته ك كجم يدور على ارتفاع ‪ 440‬كم من سطح األرض التى كتلتها ‪ 24 10 * 6‬كجم ونصف‬ ‫علما بأن ثابت الجذب العام يساوى ‪ 11 - 10 * 6٫67‬نيوتن‪.‬م‪ / 2‬كجم‪،2‬‬ ‫قطرها ‪ 6360‬كم أوجد ك ألقرب كجم ً‬ ‫قوة جذب األرض للقمر هى ‪ 17310‬نيوتن‪.‬‬ ‫الحل‬

‫ك‪ = 1‬ك ‪ ،‬ك‪ ، 2410 * 6 = 2‬ف = (‪ 1000 * )440 + 6360‬م وبالتعويض فى القانون‪ :‬ق = ث *‬ ‫‪11 - 10 * 6٫67 = 17310‬‬

‫أن‪ :‬ك =‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫×‬

‫‪6‬‬

‫ك * ‪24 10 * 6‬‬

‫* (‪2)1000 * 6800‬‬

‫‪2)1000 * 6800( * 17310‬‬

‫‪24 10 * 6 * 11 - 10 * 6٫67‬‬ ‫‪0‬‬

‫×‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫×‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪−‬‬

‫‪χ‬‬

‫=‬

‫(‬

‫‪0‬‬

‫ك‪ 1‬ك‪2‬‬ ‫ف‪2‬‬

‫ك = ‪ 2000 - 2000٫035982‬كجم‬ ‫‪8‬‬

‫)‬

‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫×‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫×‬

‫‪7‬‬ ‫‪χ‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪7‬‬ ‫)‬

‫÷‬

‫‪1‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪χ2‬‬

‫‪0‬‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪2‬‬

‫قمر صناعى كتلته ‪ 1500‬كجم يدور على ارتفاع ‪ 540‬كم من سطح األرض التى كتلتها ‪24 10 * 6‬‬

‫كجم ونصف قطرها ‪ 6360‬كم‪.‬‬ ‫أوجد قوة جذب األرض للقمر بالنيوتن علما بأن ثابت الجذب العام يساوى ‪ 11 - 10 * 6٫67‬نيوتن ‪ .‬م‪ / 2‬كجم‪2‬‬ ‫ً‬

‫مثال‬ ‫حساب كتلة األرض‬ ‫علما بأن طول نصف قطر‬ ‫‪ 3‬احسب كتلة األرض بوحدة كجم بفرض أن‬ ‫جسما كتلته ‪ 1‬كجم وضع فوق سطحها‪ً .‬‬ ‫ً‬ ‫األرض ‪ 6360‬كم‪ ،‬ث = ‪ 11 - 10 * 6٫67‬نيوتن ‪ .‬م‪ / 2‬كجم‪2‬‬ ‫الحل‬

‫ ‬

‫قوة جذب األرض للجسم = ك ‪( E‬حيث ك = ‪1‬كجم ‪ 9٫8 = E ،‬م ‪ /‬ث‪)2‬‬ ‫‪ 9٫8 = 9٫8 * 1 = X‬نيوتن‪.‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪79 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬لاكيملنحدل‬ ‫نصف قطر األرض = ‪ 1000 * 6360‬متر ‪ ،‬ث = ‪ 11 - 10 * 6٫67‬نيوتن ‪ .‬م‪ / 2‬كجم‪2‬‬

‫بتطبيق قانون الجذب العام‪ = X :‬ث *‬

‫‪* 11 -10 * 6٫67 = 9٫8‬‬

‫كتلة األرض (ك) =‬

‫‪ * 1‬ك لألرض‬

‫ك‪ 1‬ك‪2‬‬ ‫ف‪2‬‬

‫اأ�سف اإلى معلوماتك‬

‫(‪2)1000 * 6360‬‬

‫‪2)1000 * 6360( * 9٫8‬‬ ‫‪11 - 10 * 6٫67‬‬

‫‪ 2410 * 6 -‬كجم‬

‫قوة جذب األرض لجسم كتلته‬ ‫ك كجم = ك ‪ 9٫8 = E‬ك‬

‫تفكير ناقد‪ :‬هل تتغير كتلة األرض فى المثال السابق إذا كانت كتلة الجسم الموضوع فوق سطحها يساوى‬ ‫فسر ذلك‪.‬‬ ‫‪ 1000‬كجم؟ ِّ‬ ‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 3‬احسب نصف قطر األرض بفرض أن جس ًما كتلته ‪ 1‬كجم وضع فوق سطحها عل ًما بأن كتلة األرض تساوى‬ ‫‪ 24 10 * 6‬كجم وثابت الجذب العام يساوى ‪ 11 - 10 * 6٫67‬نيوتن ‪ .‬م‪ / 2‬كجم‪2‬‬ ‫مثال‬ ‫تعيين عجلة الجاذبية األرضية (‪)E‬‬ ‫‪2‬‬ ‫علما بأن كتلة األرض‬ ‫‪ 4‬احسب عجلة الجاذبية األرضية بوحدة م ‪ /‬ث لجسم كتلة ‪1‬كجم وضع فوق سطحها‪ً .‬‬ ‫تساوى ‪ 24 10 * 6‬كجم‪ ،‬نصف قطر األرض يساوى ‪6360‬كم‬ ‫الحل‬

‫`‪E*1=X‬‬ ‫‪ a‬قوة جذب األرض للجسم = ك ‪ E‬‬ ‫‪24 10 * 6 * 1‬‬ ‫` ‪11 - 10 * 6٫67 = E‬‬ ‫‪ = X a‬ث * ك‪ 1‬ك‪2‬‬ ‫* (‪2)1000 * 6360‬‬ ‫ف‪2‬‬ ‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪-E‬‬

‫أن ‪E = X‬‬ ‫أى َّ‬ ‫ْ‬

‫‪ 9٫89379‬م ‪ /‬ث‪2‬‬

‫‪ 4‬فى المثال السابق احسب عجلة الجاذبية األرضية بوحدة م‪/‬ث‪ 2‬إذا كانت كتلة الجسم الموضوع على سطحها‬ ‫‪100‬كجم ‪ -‬ماذا تالحظ؟‬

‫نشاط‬ ‫المقارنة بين عجلتى الجاذبية على �سطحى كوكبين‪:‬‬ ‫إذا كانت ‪ 2E ، 1E‬عجلتا الجاذبية لكوكبين كتلتيهما بالكجم ‪ ،‬ك‪ ، 1‬ك‪ 2H ، 1H ، 2‬نصفى قطريهما بالمتر على الترتيب‪.‬‬ ‫فيمكن استنتاج العالقة اآلتية‪:‬‬

‫‪= 1EE‬‬ ‫‪2‬‬

‫ك‪1‬‬ ‫ك‪2‬‬

‫*‬

‫ ‪2‬‬ ‫‪H‬‬ ‫ ‪2‬‬ ‫ ‪2‬‬ ‫‪H‬‬ ‫ ‪1‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 5‬إذا كانت كتلة األرض قدر كتلة القمر ‪ 81‬مرة وقطراهما ‪ 12756‬كم ‪ 3476 ،‬كم على الترتيب فإذا كانت عجلة‬ ‫الجاذبية األرضية ‪ 9٫8‬م ‪ /‬ث‪ 2‬فكم يكون تسارع الجاذبية على سطح القمر؟‬

‫‪0‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫االط قسجلاقسحناق ‪2 2‬‬ ‫الحل‬ ‫ ‬

‫نفرض أن كتلة القمر ك كجم فتكون كتلة األرض = ‪ 81‬ك كجم‬ ‫‪ 6378 = 1H‬كم ‪ 1738 = 2H ،‬كم ‪ 9٫8 = 1E ،‬م ‪ /‬ث‪ = 2E ، 2‬؟‬ ‫‪E‬‬

‫ك‪1‬‬

‫‪=1 a‬‬ ‫ك‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2E‬‬ ‫وبالتبسيط‪:‬‬

‫*‬

‫ ‪2‬‬ ‫‪H‬‬ ‫ ‪2‬‬ ‫ ‪2‬‬ ‫‪H‬‬ ‫ ‪1‬‬

‫‪ 80‬ك‬ ‫‪9٫8‬‬ ‫(‬ ‫*‬ ‫=‬ ‫`‬ ‫‪6378‬‬ ‫‪2E‬‬

‫ك‬

‫‪2) 1738‬‬

‫` ‪ E‬للقمر ‪ 1٫63 -‬م ‪ /‬ث‪2‬‬

‫أن تحل‬ ‫حاول ْ‬

‫‪ 5‬إذا علمت أن كتلة األرض ‪ 24 10 * 5٫97‬كجم ونصف قطرها ‪ 6 10 * 6٫34‬م وكتلة القمر ‪ 22 10 * 7٫36‬ونصف‬ ‫قطره ‪ 6 10 * 1٫74‬م فأوجد النسبة بين الجاذبية على سطح القمر إلى سطح األرض‪.‬‬

‫تمــــاريــن الدرس الرابع‬ ‫تنبيه‪ :‬اعتبر ثابت الجذب العام لنيوتن‪ :‬ث = ‪ 11 - 10 * 6٫67‬نيوتن‪.‬متر‪ / 2‬كجم‪2‬‬

‫‪ 1‬ماذا يحدث لوزنك كلما ابتعدت أكثر عن سطح األرض؟‬

‫‪ 2‬لماذا ال تظهر قوة الجاذبية بين األجسام التى نشاهدها يوم اًّيا؟‬ ‫‪ 3‬ماذا يحدث لقوة الجذب العام بين جسمين عند مضاعفة المسافة بين مركزيهما؟‬ ‫مدارا ممك ًنا لكوكب ما؟‬ ‫أى من المدارات الموضحة بالشكل التالى ُيعتبر ً‬ ‫‪ٌّ 4‬‬

‫‪ 5‬اختيار من متعدد‪ :‬كوكب لديه قمران متساويا الكتلة‪ ،‬القمر األول فى مدار دائرى نصف قطره ‪ ،H‬القمر‬ ‫الثانى فى مدار دائرى نصف قطره ‪ .H2‬إن مقدار قوة الجاذبية التى يؤثر بها الكوكب على القمر الثانى هى‪:‬‬ ‫أ أكبر أربع مرات من القوة المؤثرة على القمر األول‪.‬‬ ‫ب أكبر مرتين من القوة المؤثرة على القمر األول‪ .‬ج تساوى القوة المؤثرة على القمر األول‪.‬‬ ‫ه ربع القوة المؤثرة على القمر األول‪.‬‬ ‫د نصف القوة المؤثرة على القمر األول‪.‬‬ ‫‪ 6‬فى الشكل المقابل‪:‬‬ ‫إذا كان البعد بين مركزى كرتين ‪2‬م وكانت كتلة‬ ‫إحداهما ‪ 0٫8‬كجم‪ ،‬وكتلة األخرى ‪ 0٫6‬كجم فما‬ ‫قوة التجاذب بينهما؟‬

‫‪ 2‬متر‬ ‫‪ 0٫6‬كجم‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪ 0٫8‬كجم‬

‫‪1 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬لاكيملنحدل‬ ‫‪ 7‬كرتان متماثلتان كتلة كل منهما ‪ 6٫8‬كجم والبعد بين مركزيهما ‪ 21٫8‬سم‪ ،‬ما قوة التجاذب بينهما؟‬

‫احسب قوة التجاذب بين جسمين كتلتيهما ‪ 10‬كجم ‪ 15 ،‬كجم والمسافة بينهما ‪ 2‬أمتار‪.‬‬ ‫‪ 9‬قمر صناعى كتلته ‪ 2000‬كجم يدور على ارتفاع ‪ 440‬كم من سطح األرض التى كتلتها ‪ 2410 * 6‬كجم ‪ .‬أوجد‬ ‫قوة جذب األرض للقمر عل ًما بأن نصف قطر األرض ‪ 6360‬كم‪.‬‬ ‫‪ 10‬إذا كانت عجلة الجاذبية األرضية (‪ )E‬هى ‪ 10‬م ‪ /‬ث‪ 2‬ونصف قطر األرض يساوى ‪ 6 10 * 6٫36‬متر ‪ .‬احسب‬ ‫كتلة األرض‪.‬‬ ‫‪ 11‬احسب قوة التجاذب المتبادلة بين الشمس واألرض إذا علمت أن األرض تسير فى مدار شبه دائرى حول‬ ‫الشمس وأن كتلة األرض تساوى ‪ 24 10 * 6‬كجم‪ ،‬وكتلة الشمس تساوى ‪ 29 10 * 9‬كجم‪ ،‬والمسافة بين‬ ‫مركزيهما تساوى ‪ 11 10 * 1٫5‬متر‪.‬‬ ‫‪ 12‬إذا علمت أن كتلة األرض تساوى ‪ 24 10 * 5٫97‬كجم ونصف قطرها ‪ 6 10 * 6٫34‬متر وكتلة القمر تساوى‬

‫‪ 22 10 * 7٫36‬كجم فأوجد طول نصف قطر القمر إذا كانت الجاذبية على سطح األرض ستة أمثالها على سطح‬ ‫القمر‪.‬‬

‫‪ 13‬إذا علمت أن كتلة األرض ‪ 24 10 * 6٫06‬كجم ونصف قطرها ‪ 6 10 * 6٫36‬متر فأوجد شدة مجال الجاذبية‬ ‫األرضية ‪.‬‬ ‫‪ 14‬كوكب كتلته مساوية ثالث مرات كتلة األرض‪ ،‬وقطره يساوى ثالث مرات قدر قطر األرض‪ .‬احسب النسبة‬ ‫بين عجلة الجاذبية على سطح هذا الكوكب وسطح األرض‪.‬‬ ‫‪ 15‬أوجد قوة الجذب العام بين كوكبين كتلة األول ‪ 2 * 2110‬طن وكتلة الثاني = ‪ 4 * 2510‬طن‪ ،‬والمسافة بين مركزيهما‬ ‫‪2 * 610‬كم‪.‬‬ ‫‪ 16‬وضعت قطعة من الحديد على بعد ‪50‬سم من أخرى من النيكل كتلتها ‪ 25‬كجم فكانت قوى التجاذب بينهما‬ ‫‪ 6 * 8 - 10‬نيوتن ‪ ،‬فكم تكون كتلة الكرة الحديد مقر ًبا الناتج ألقرب عدد صحيح؟‬ ‫مترا وكتلتها ك كجم‪.‬‬ ‫متراعن سطح األرض التي طول نصف قطرها نق ً‬ ‫‪ 17‬جسم كتلته َك كجم يقع على ارتفاع ف ً‬ ‫أوجد مقدار قوة الجاذبية التي تؤثر على هذا الجسم‪.‬‬

‫‪ 1‬الربط بالفضاء‪ :‬محطة فضائية دولية وزنها على سطح األرض ‪ 421997٫6‬نيوتن‪ .‬أوجد وزنها عندما تكون فى‬ ‫المدار الخارجي على ارتفاع ‪ 350‬كم من سطح األرض عل ًما بأن طول نصف قطر األرض يساوي ‪ 310*6٫37‬كم‬ ‫و كتلتها ‪ 2410*5٫6‬كجم‪( .‬إرشاد ‪ :‬القوة بالنيوتن = الكتلة بكجم * عجلة الجاذبية األرضية ‪ 9٫8‬م‪/‬ث‪)2‬‬

‫‪2‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫��قسحط�� ‬

‫ملخ�ص الوحدة‬ ‫المسار‬

‫متجه اإلزاحة‬

‫هو المتجه الذى تمثله القطعة المستقيمة الموجهة ‪ C‬ب التى نقطة‬ ‫بدايتها (‪ )C‬ونقطة نهايتها (ب) ويرمز لمتجه اإلزاحة ‪ C‬ب بالرمز‬ ‫ف ‪ ،‬ويرمز لمعيار متجه اإلزاحة بالرمز || ‪ C‬ب ||‬

‫نقطة البداية‬

‫ب‬

‫ف‬

‫‪C‬‬

‫نقطة النهاية‬

‫متجه الموضع‬

‫هو المتجه الذى تنطبق بدايته مع موضع المشاهد (و) ونقطة نهايته مع موضع الجسيم ويرمز له بالرمز ‪S‬‬

‫العالقة بين متجه الموضع ومتجه اإلزحة‪:‬‬

‫ف = ‪- S‬‬

‫‪0S‬‬

‫متجه السرعة‬

‫متجه سرعة جسيم هو المتجه الذى معياره يساوى قيمة السرعة وينطبق اتجاهه على اتجاه الحركة‪.‬‬

‫الحركة المنتظمة‬

‫أن‪ :‬الجسيم يتحرك فى اتجاه ثابت‪ ،‬حيث‬ ‫أى َّ‬ ‫هى الحالة التى يكون فيها كل من معيار واتجاه متجه السرعة ثاب ًتا‪ْ ،‬‬ ‫يقطع مسافات متساوية خالل فترات زمنية متساوية‪.‬‬ ‫وتكون العالقة بين القياسيين الجبريين للمتجهين ف ‪ ،‬ع فى الحركة المنتظمة هى‪ :‬ف = ع ن‬ ‫متجه السرعة المتوسطة‬

‫إذا تحرك جسيم عند لحظتين زمنيتين ن‪ ، 1‬ن‪ 2‬عند الموضعين ‪ ، C‬ب على الترتيب وكان ف هو متجه اإلزاحة فى‬ ‫الفترة الزمنية (ن‪ - 2‬ن‪ )1‬فإن ع م يعرف بمتجه السرعة المتوسطة لهذا الجسيم خالل تلك الفترة الزمنية ويكون‪:‬‬ ‫ف‬ ‫‪S - 2S‬‬ ‫‪= 1‬‬ ‫عم =‬ ‫ن ‪ - 2‬ن‪1‬‬ ‫ن ‪ - 2‬ن‪1‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪3 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬لاكيملنحدل‬

‫السرعة اللحظية‪:‬‬

‫إذا تحرك جسيم بسرعة متغيرة من خالل منحنى المسافة ‪ -‬الزمن فإن ميل المماس عند نقطة ما على المنحنى عند‬ ‫لحظة زمنية يعرف بالسرعة اللحظية‪.‬‬ ‫السرعة النسبية‪:‬‬

‫السرعة النسبية لجسيم (ب) بالنسبة لجسيم آخر (‪ )C‬هى السرعة التى يبدو أن الجسيم (ب) يتحرك بها لو اعتبرنا‬ ‫الجسيم (‪ )C‬فى حالة سكون‪ ،‬باعتبار أن ع ‪ ، C‬ع ب هما متجها سرعة لجسمين ‪ ،C‬ب وأن متجه سرعة ب بالنسبة‬ ‫‪ C‬هى ع ب‪ C‬فإن‬

‫ع‬

‫ب‪C‬‬

‫= عب ‪ -‬ع‬

‫‪C‬‬

‫الحركة منتظمة التغير‪:‬‬

‫هى الحركة التى يحدث فيها تغير قيمة السرعة بمرور الزمن و يسمى بالتسارع (العجلة) ووحدة قياسه هى م ‪ /‬ث‪.2‬‬

‫العجلة (جـ) =‬

‫السرعة النهائية ‪ -‬السرعة االبتدائية‬

‫الزمن‬

‫الحركة منتظمة التغير‪:‬‬

‫واتجاها‬ ‫مقدارا‬ ‫يقال إن الجسيم يتحرك حركة منتظمة التغير أو بتسارع (عجلة) منتظم إذا كان متجه العجلة ثاب ًتا‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫لجميع األزمنة‪.‬‬

‫إذا تحرك جسيم فى خط مستقيم بسرعة ابتدائية (ع) وعجلة ثابتة (جـ) وأصبحت سرعته (ع) بعد فترة زمنية (ن)‬ ‫قطع خاللها مسافة (ف) فإن‪:‬‬ ‫½ العالقة بين السرعة والزمن‪:‬‬

‫½ العالقة بين المسافة والزمن‪:‬‬

‫½ العالقة بين السرعة والمسافة‪:‬‬

‫ع = ع‪ + 0‬جـ ن‬

‫ف = ع ن ‪ 1 +‬جـ ن‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫ع‪ = 2‬ع‪2 + 2 0‬جـ ف‬

‫ويالحظ أن هذه العالقات تربط بين أربعة مجاهيل يمكن إيجاد إحداهما بمعلومية الثالثة اآلخرين‪.‬‬ ‫½ المساحة تحت منحنى السرعة ‪ -‬الزمن تساوى إزاحة الجسم المتحرك‪.‬‬

‫½ السرعة المتوسطة لجسيم خالل فترة زمنية ما تساوى سرعته اللحظية فى منتصف هذه الفترة‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫��قسحط�� ‬

‫قوانين الحركة الرأسية لألجسام‪:‬‬

‫تخضع قوانين الحركة الرأسية لنفس قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة مع استخدام الرمز (‪ )E‬الدالة‬ ‫حرا ً‬ ‫بدال من الرمز (جـ) وبذلك تأخذ القوانين الصورة اآلتية‪:‬‬ ‫على التسارع الذى يسقط به األجسام سقو ًطا ًّ‬ ‫ع = ع‪ E + 0‬ن ‪ ،‬ف = ع‪ 0‬ن ‪ E 12 +‬ن‪ ، 2‬ع‪ = 2‬ع‪E2 + 2‬ف‬

‫إذا قذف جسم رأس اًّيا إلى أعلى تحت تأثير الجاذبية األرضية وعاد إلى نقطة القذف فإن‪:‬‬ ‫½ سرعة الجسم فى أثناء الصعود تكون موجبة وفى أثناء الهبوط تكون سالبة‪.‬‬

‫صفرا‪.‬‬ ‫½ سرعة الجسم عند أقصى ارتفاع تساوى ً‬

‫½ زمن الصعود للجسم يساوى زمن الهبوط‪.‬‬ ‫½ زمن أقصى ارتفاع (ن) =‬

‫ع‪0‬‬

‫‪E‬‬

‫½ أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم (ف) =‬

‫‪2‬‬ ‫ع‬ ‫‪0‬‬

‫‪E2‬‬

‫½ مقدار سرعة الجسم التى يعود بها إلى نقطة القذف تساوى مقدار سرعة القذف بإشارة مخالفة‪.‬‬

‫½ إزاحة الجسم خالل فترة زمنية ما ليست بالضرورة أن تكون مساوية للمسافة التى قطعها الجسم خالل‬ ‫هذه الفترة‪.‬‬ ‫قانون الجذب العام لنيوتن‬

‫إذا كان المسافة (ف) بين كتلتين ك ‪ ،‬ك فإن مقدار قوة الجذب بينهما (‪ )X‬تعطى بالعالقة ‪ = X :‬ث * ك‪ 1‬ك‪2‬‬ ‫ف‪2‬‬ ‫‪2 1‬‬

‫حيث ك‪ ، 1‬ك‪ 2‬مقاستان بالكيلو جرام ‪ ،‬ف بالمتر‪.‬‬ ‫ثابت الجذب العام‪:‬‬

‫هو قوة الجذب المتبادلة بين كتلتين مقدار كل منها ‪1‬كجم والمسافة بين مركزيها ‪ 1‬متر ويساوى تقري ًبا‬ ‫‪ 11- 10 * 6٫67‬نيوتن ‪ .‬متر‪/2‬كجم‪2‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪5 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬لاكيملنحدل‬

‫تمارين عامة (الوحدة الثانية)‬

‫اأكمل ما ياأتي‪:‬‬ ‫‪ 1‬إذا كان ع‪ 7 = C‬س ‪ ،‬عب = ‪ 3-‬س فإن ع‪C‬ب =‬

‫‪..............................‬‬

‫‪ 2‬إذا كان عحـ‪ 70 = E‬ى ‪ ،‬عحـ = ‪ 50‬ى فإن ع‪= E‬‬

‫‪..............................‬‬

‫‪ 3‬إذا تحركت سيارتان ‪ ، C‬ب بالسرعتين ‪65‬كم‪/‬س ‪ 75 ،‬كم‪/‬س فإن‬ ‫أ ع‪C‬ب = ‪ ..............................‬إذا كانتا فى اتجاه واحد‪.‬‬ ‫ب ع‪C‬ب = ‪ ..............................‬إذا كانتا فى اتجاهين متضادين‪.‬‬

‫‪ 4‬بدأت سيارة الحركة من سكون بعجلة منتظمة ‪20‬سم‪/‬ث لمدة ‪ 10‬ثوان‪.‬‬ ‫أ السرعة النهائية للسيارة = ‪ ..............................‬م‪/‬ث‪.‬‬ ‫ب المسافة المقطوعة خالل تلك الفترة = ‪ ..............................‬متر‪.‬‬ ‫‪ 5‬بدأ جسم حركته بسرعة ‪72‬كم‪/‬س بعجلة تقصيرية ‪2‬م‪/‬ث‪.2‬‬ ‫أ الزمن الذي يستغرقه الجسم حتى يقف = ‪ ..............................‬ثانية‪.‬‬ ‫ب المسافة المقطوعة خالل تلك الفترة = ‪ ..............................‬متر‪.‬‬

‫مترا‪.‬‬ ‫‪ 6‬استخدمت سيارة فراملها فتوقفت خالل ‪ 10‬ثوان بعد أن قطعت ‪ً 25‬‬ ‫أ عجلة الحركة فى أثناء استخدام الفرامل = ‪ ..............................‬م‪/‬ث‪.2‬‬ ‫ب سرعة السيارة عند بدء استخدام الفرامل = ‪ ..............................‬م‪/‬ث‪.‬‬ ‫‪ 7‬سقط جسم من قمة برج رأسي فوصل إلى سطح األرض بعد ‪ 5‬ثوان‪:‬‬ ‫أ سرعة الجسم عند وصوله إلى سطح األرض = ‪ ..............................‬م‪/‬ث‪.‬‬ ‫ب ارتفاع البرج = ‪ ..............................‬متر‪.‬‬

‫قذف جسم رأس اًّيا ألعلى من نقطة على سطح األرض فعاد إليها بعد ‪ 4‬ثوان‪:‬‬ ‫أ سرعة قذف الجسم = ‪ ..............................‬م‪/‬ث‪.‬‬ ‫ب أقصى ارتفاع وصل إليه الجسم = ‪ ..............................‬متر‪.‬‬

‫مترا قذف جسم ألعلى بسرعة ‪7‬م‪/‬ث‪:‬‬ ‫‪ 9‬من قمة برج ارتفاعه ‪ً 20‬‬ ‫أ سرعة الوصول إلى سطح األرض = ‪ ..............................‬م‪/‬ث‪.‬‬ ‫ب زمن الوصول إلى سطح األرض = ‪ ..............................‬ثانية‪.‬‬

‫‪ 10‬كوكب كتلته مساوية ثالث مرات كتلة األرض‪ ،‬وقطره يساوي ثالث مرات قدر قطر األرض‪ ،‬فإن النسبة بين‬ ‫عجلة الجاذبية على سطح الكوكب إلى سطح األرض كنسبة ‪.................. : ..................‬‬

‫‪6‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫متارينقعا�ةق(سحط�� قسحثالية)‬

‫‪ 11‬يتحرك جسم فى خط مستقيم مسافة ‪100‬م بسرعة ‪5‬م‪/‬ث‪ ،‬ثم تحرك بسرعة ‪8‬م‪/‬ث فى نفس االتجاه لمدة‬ ‫‪10‬ثوان‪ ،‬أوجد السرعة المتوسطة خالل الرحلة كلها‪.‬‬

‫‪ 12‬يتحرك جسمان ‪ ، C‬ب فى خط مستقيم فى االتجاه ب ‪ C‬بالسرعتين ‪ 1000‬م‪/‬د‪120 ،‬كم‪/‬س فإذا كانت المسافة‬ ‫بينهما ‪30‬كم‪ .‬أوجد متى وأين يلتقيان؟‬ ‫‪ 13‬قامت سيارة (‪ )C‬تتحرك على طريق مستقيم بقياس السرعة النسبية لسيارة (ب) قادمة فى االتجاه المضاد‬ ‫فوجدتها ‪130‬كم‪/‬س‪ ،‬ولما ضاعفت السيارة (‪ )C‬سرعتها وأعادت القياس وجدت أن سرعة السيارة (ب)‬ ‫أصبحت ‪180‬كم‪/‬س أوجد السرعة الفعلية لكل من السيارتين‪.‬‬ ‫‪ 14‬سيارة لمراقبة السرعة على الطرق السريعة تسير بسرعة ‪30‬كم‪/‬س راقبت حركة شاحنة نقل قادمة فى االتجاه‬ ‫المضاد فبدت وكأنها تتحرك بسرعة ‪110‬كم‪/‬س أوجد السرعة الفعلية للشاحنة‪.‬‬

‫‪ 15‬تحرك جسم فى خط مستقيم بسرعة ‪7‬م‪/‬ث وبعجلة منتظمة ‪4‬م‪/‬ث‪ .2‬أوجد سرعته والمسافة التي يقطعها خالل ‪ 6‬ثوان‪.‬‬ ‫‪ 16‬بدأ جسم حركته من سكون فى خط مستقيم بعجلة منتظمة ‪20‬كم‪/‬ث‪ 2‬وعندما أصبحت سرعته ‪8‬م‪/‬ث تحرك‬ ‫بتقصير منتظم حتى سكن بعد ‪ 112‬ثانية من بداية الحركة‪ .‬احسب العجلة التقصيرية والمسافة الكلية‪.‬‬ ‫‪ 17‬تحرك جسم من سكون فقطع ‪150‬م حتى أصبحت سرعته ‪54‬كم‪/‬س فإذا انقطعت العجلة عندئذ وسار‬ ‫بالسرعة التي اكتسبها مسافة ‪ 300‬متر‪ ،‬ثم تحرك بعد ذلك بتقصير منتظم قدره ‪ 32‬م‪/‬ث‪ 2‬حتى سكن‪ .‬احسب‬ ‫السرعة المتوسطة خالل الرحلة كلها‪.‬‬ ‫مترا فى الثوان‬ ‫مترا فى الثوان األربع األولى ثم قطع مسافة ‪ً 92‬‬ ‫‪ 1‬يتحرك جسم فى خط مستقيم بعجلة منتظمة فقطع ‪ً 52‬‬ ‫األربع التالية لها‪ .‬احسب عجلة الحركة والسرعة االبتدائية والمسافة المقطوعة خالل ‪ 10‬ثوان األولى من حركته‪.‬‬

‫‪ 19‬إذا كان ‪ S‬متجه موضع جسيم يتحرك فى خط مستقيم من نقطة و يتحدد بالعالقة ‪3( = S‬ن‪ )3 - 2‬ى‬

‫فأوجد متجه اإلزاحة بعد ‪ 4‬ثوان من بدء الحركة‪.‬‬ ‫مترا‪ .‬أوجد‪:‬‬ ‫‪ 20‬سقط جسم من ارتفاع ف عند سطح األرض فقطع فى الثانية األخيرة من حركته ‪ً 34٫3‬‬ ‫ب االرتفاع الذي سقط منه الجسم‪.‬‬ ‫أ سرعة وصول الجسم إلى سطح األرض‪.‬‬

‫مترا من سطح األرض‪ .‬أوجد‪:‬‬ ‫‪ 21‬قذف جسم رأس اًّيا إلى أعلى بسرعة ‪14‬م‪/‬ث من نقطة على ارتفاع ‪ً 350‬‬ ‫أ الزمن الذي يأخذه الجسم حتى يصل إلى سطح األرض‪.‬‬ ‫ب المسافة الكلية التي قطعها الجسم حتى وصوله لسطح األرض‪.‬‬

‫‪ 22‬وضعت كرة من الحديد على بعد ‪40‬سم من كرة أخرى من النيكل كتلتها ‪50‬كجم فكانت قوة‬ ‫التجاذب بينهما ‪ 8 10 * 12‬نيوتن فكم تكون كتلة كرة الحديد إذا علمت أن ثابت الجذب العام‬ ‫يساوي ‪ 11 10 * 6٫67‬نيوتن ‪ .‬م‪/2‬كجم‪2‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪7 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬لاكيملنحدل‬

‫اختبار تراكمي‬

‫اختياربين متعدد‬

‫‪ 1‬قوتان مقدارايهما ‪ 8٫16‬نيوتن تؤثران فى نقطة مادية أوجد‪:‬‬ ‫أ مقدار أكبر محصلة لهما‪.‬‬ ‫ب مقدار أصغر محصلة لهما‪.‬‬

‫ج مقدار واتجاه محصلتهما عندما يكون قياس الزاوية بينهما ‪.c120‬‬

‫‪ 2‬القوى ‪ 8 ، 2 2 ، 2 5 ، 12‬ث جم تؤثر فى نقطة مادية نحو الشرق ‪ ،‬الشمال الغربي والجنوبي الغربي‬ ‫والجنوب على الترتيب‪ .‬أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى‪.‬‬

‫‪ 3‬علق جسم وزنه (و) نيوتن بواسطة خيطين يميالن على الرأس بزاوتين قياسيهما هـ‪ c30 ،c‬فاتزن الجسم عندما‬ ‫كان مقدار الشد فى الخيط األول ‪ 12‬نيوتن ‪ ،‬مقدار الشد فى الخيط الثاني ‪ 3 12‬نيوتن ‪ .‬أوجد هـ‪ c‬و مقدار‬ ‫الوزن و‪.‬‬

‫‪ 4‬جسموزنه‪90‬ثكجمموضوععلىمستوىيميلعلىاألفقيبزاويةقياسها‪.c30‬حفظالجسمفىحالةتوازنبواسطةقوة‬ ‫ق تؤثر على الجسم إلى أعلى فى اتجاه يميل على المستوى بزاوية قياسها ‪ .c30‬أوجد مقدار ق ورد فعل المستوى‪.‬‬

‫‪ 5‬قضيب منتظم ‪ C‬ب يتصل طرف ‪ C‬بمفصل مثبت فى حائط رأسي‪ .‬اثرت فى الطرف اآلخر ب قوة أفقية فاتزن‬ ‫القضيب عندما كان يميل على الحائط بزاوية قياسها ‪ ،c45‬فإذا كان وزن القضيب ‪4‬ث كجم و يؤثر فى‬ ‫منتصفه ‪ .‬أوجد مقدار القوة و رد فعل المفصل على القضيب‪.‬‬ ‫‪ 6‬تتحرك سيارة شرطة (‪ )C‬على طريق مستقيم بسرعة ‪25‬كم‪/‬س‪ .‬شاهدت سيارة أخرى (ب) تتحرك على نفس‬ ‫الطريق بسرعة ‪75‬كم‪/‬س‪ .‬أوجد سرعة السيارة (ب) بالنسبة للسيارة (‪ )C‬عندما‪:‬‬ ‫أ السيارتان تتحركان فى نفس االتجاه‪.‬‬ ‫ب السيارة (ب) تتحرك فى اتجاه مضاد للسيارة (‪.)C‬‬ ‫‪ 7‬يتحرك جسيم فى خط مستقيم بعجلة منتظمة مقدارها ‪5‬سم‪/‬ث‪ ، 2‬وفى نفس اتجاه السرعة االبتدائية لهذا‬ ‫الجسيم وقدرها ‪40‬سم‪/‬ث‪ .‬أوجد‪:‬‬ ‫أ سرعة الجسم وإزاحته فى نهاية ‪ 24‬ثانية من بدء الحركة‪.‬‬ ‫ب‬ ‫مترا من البداية‪.‬‬ ‫سرعة الجسم بعد أن قطع مسافة ‪ً 56‬‬

‫تتحرك سيارة فى طريق مستقيم بتقصير منتظم مقداره ‪ 14‬سم‪/‬ث‪ ، 2‬فتوقفت عن الحركة بعد مرور ‪ 20‬ثانية‬ ‫من لحظة البداية‪ .‬أوجد‪:‬‬ ‫أ مقدار سرعتها االبتدائية‪.‬‬ ‫ب المسافة التي قطعتها خالل نصف دقيقة‪.‬‬ ‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫سختبارقتاسكمي‬

‫ج المسافة التي قطعتها حتى سكنت‪.‬‬

‫‪ 9‬سقط جسم رأس اًّيا إلى أسفل من ارتفاع ما نحو أرض رخوة فغاص فيها مسافة ‪14‬سم قبل أن يسكن فإذا كان‬ ‫الجسم يتحرك داخل األرض بتقصير منتظم مقداره ‪63‬م‪/‬ث‪ 2‬فما هو االرتفاع الذي سقط منه الجسيم‪.‬‬

‫‪ 10‬قذف جسيم من قمة برج رأس اًّيا إلى أعلى بسرعة مقدارها ‪ 24٫5‬م‪/‬ث فوصل إلى سطح األرض بعد ‪ 8‬ثوان‪.‬‬ ‫أوجد‪:‬‬ ‫أ ارتفاع البرج‪.‬‬ ‫ب أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم عن سطح األرض‪.‬‬ ‫ج المسافة التي يقطعها الجسم خالل هذه المدة‪.‬‬

‫‪ 11‬أى من األشكال اآلتية تمثل حركة جسم بسرعة منتظمة‬ ‫المسافة‬

‫الزمن‬

‫المسافة‬

‫الزمن‬

‫شكل (‪)1‬‬

‫المسافة‬

‫الزمن‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ 12‬تتساقط قطرات الزيت من إحدى السيارات المتحركة من اليسار إلى اليمين كما بالشكل‬ ‫بمالحظة قطرات الزيت فإن السيارة تتحرك‪:‬‬ ‫‪ - 2‬بعجلة موجبة‪.‬‬ ‫‪ - 1‬بسرعة منتظمة‪.‬‬

‫‪ - 3‬بعجلة سالبة‪.‬‬

‫إن لم تستطع اإلجابة على أحد هذه األسئلة يمكنك األستعانة بالجدول التالي ‪:‬‬

‫‪ - 4‬بعجلة سالبة ثم سرعة منتظمة‪.‬‬

‫إذا لم تستطع حل‬ ‫السؤال رقم‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪11‬‬

‫‪12‬‬

‫‪13‬‬

‫ارجع إلى‬

‫‪80‬‬

‫‪16‬‬

‫‪26‬‬

‫‪34‬‬

‫‪37‬‬

‫‪60‬‬

‫‪66‬‬

‫‪70‬‬

‫‪76‬‬

‫‪77‬‬

‫‪56‬‬

‫‪66‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪9 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة‬

‫الثالثة‬

‫الهندسة و القياس‬

‫‪Geometry and Measurement‬‬

‫مقدمة الوحدة‬ ‫نشأت الهندسة فى بدايتها مرتبطة بالناحية العملية‪ ،‬فاستخدمها قدماء المصريين فى تحديد مساحات األراضى وبناء األهرامات والمعابد‬ ‫فأوجدوا مساحات بعض األشكال وحجوم بعض المجسمات‪ .‬وعندما زار طاليس (‪ 546 - 640‬ق‪.‬م) اإلسكندرية راقت له طرق المصريين فى‬ ‫قياس األرض وأطلق عليها كلمة ‪ Geo-metron‬المأخوذة عن اللغة اليونانية والمكونة من كلمتى ‪ Geo‬وتعنى األرض‪ metron ،‬وتعنى قياس‬ ‫واهتم بدراسة الهندسة على أنها تعبيرات صريحة مجردة خاضعة للبرهان‪.‬‬ ‫تطورت الهندسة على يد اإلغريق (طاليس ‪ -‬فيثاغورث‪ -‬إقليدس) بظهور سلسلة من النظريات المبنية على بضع مسلمات وتعاريف مرتبة فى‬ ‫نظام منطقى دقيق ضمنه إقليدس فى كتابه األصول المكون من ‪ 13‬جزءًا‪ ،‬واستمرت اإلسكندرية منارة المعرفة إلى أن جاء العرب‪ ،‬وحفظوا‬ ‫ذلك التراث بترجمته إلى اللغة العربية وأضافوا إليه إضافات كثيرة ونقلوه إلى أوربا فى القرن الثانى عشر‪.‬‬ ‫فى القرن السادس عشر بدأ عصر النهضة فى الرياضيات وميالد علوم جديدة فقدم ديكارت (‪ )1650-1596‬أسس الهندسة التحليلية وقام‬ ‫بتمثيل المعادالت بأشكال بيانية وهندسية والتعبير عن األشكال بمعادالت‪ ،‬واستخلص معادلة الدائرة س‪ + 2‬ص‪ = 2‬نق‪ 2‬كما توصل أويلر ‪Euler‬‬ ‫إلى وجود عالقة بين عدد األوجه وعدد الرؤوس وعدد األحرف ألى مجسم قاعدته منطقة مضلعة وهى‪:‬‬ ‫عدد األوجه ‪ +‬عدد الرؤوس = عدد األحرف ‪.2 +‬‬

‫مخرجات التعلم‬ ‫بعد دراسة هذه الوحدة وتنفذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن‪:‬‬ ‫ يوجد معادلة الدائرة بداللة إحداثيات كل من مركزها‪ ،‬وطول‬ ‫ ُيعرف النقطة والمستقيم والمستوى فى الفراغ‪.‬‬ ‫نصف قطرها‪.‬‬ ‫ يتعرف بعض المجسمات (الهرم ‪ -‬الهرم المنتظم ‪ -‬الهرم‬ ‫ يستنتج الصورة العامة لمعادلة الدائرة‪.‬‬ ‫القائم ‪ -‬المخروط ‪ -‬المخروط القائم) ‪ ،‬وخواص كل منها‪.‬‬

‫ يستنتج المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل من الهرم‬ ‫القائم ‪ -‬المخروط القائم‪.‬‬

‫ يستنتج حجم كل من الهرم القائم ‪ -‬المخروط القائم‪.‬‬

‫‪90‬‬

‫ يعين إحداثيات كل من مركز الدائرة‪ ،‬وطول نصف قطرها‬ ‫بمعلومية الصورة العامة لمعادلة الدائرة‪.‬‬ ‫ ينمذج مواقف رياضية باستخدام قوانين الهندسة‪.‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪ Ñ‬النقطة‬

‫‪The point‬‬

‫‪ Ñ‬المستقيم‬

‫‪Straight line‬‬

‫‪ Ñ‬المستوى‬

‫‪plane‬‬

‫‪ Ñ‬الفراغ‬

‫‪Space‬‬

‫‪ Ñ‬رأس‬

‫‪Vertex‬‬

‫‪ Ñ‬قاعدة‬

‫‪Base‬‬

‫‪ Ñ‬محور‬

‫‪Axis‬‬

‫‪ Ñ‬دائرة‬

‫‪Circle‬‬

‫‪ Ñ‬مركز‬

‫‪Center‬‬

‫‪ Ñ‬نصف قطر‬

‫‪Radius‬‬

‫‪ Ñ‬قطر‬

‫‪Diameter‬‬

‫‪ Ñ‬هرم‬

‫‪Pyramid‬‬

‫‪ Ñ‬مخروط‬

‫‪ Ñ‬شبكة هرم‬

‫‪Lateral face‬‬

‫‪ Ñ‬حرف جانبى‬

‫‪Lateral edge‬‬

‫‪ Ñ‬ارتفاع‬

‫‪Net of a pyramid‬‬

‫‪ Ñ‬مخروط دائرى قائم‬

‫‪Cone‬‬

‫‪ Ñ‬وجه جانبى‬

‫‪Right circular cone‬‬

‫‪ Ñ‬مساحة جانبية‬

‫‪Lateral area‬‬

‫‪ Ñ‬مساحة كلية (سطحية)‬

‫‪Height‬‬

‫‪ Ñ‬ارتفاع جانبى‬ ‫‪ Ñ‬هرم منتظم‬

‫‪ Ñ‬هرم قائم‬

‫‪Right pyramid‬‬

‫‪Surface area‬‬

‫‪Slant height‬‬ ‫‪Regular pyramid‬‬

‫األدوات والوسائل‬ ‫‪ Ñ‬أدوات هندسية‬

‫‪ Ñ‬برامج رسومية للحاسوب‬

‫‪ Ñ‬آلة حاسبة علمية‬

‫دروس الوحدة‬ ‫الدرس (‪ :)1 - 3‬المستقيمات والمستوى‬

‫الدرس (‪ :)4 - 3‬حجم الهرم والمخروط‬

‫الدرس (‪ :)2 - 3‬الهرم والمخروط‪.‬‬

‫الدرس (‪ :)5 - 3‬معادلة الدائرة‪.‬‬

‫الدرس (‪ :)3 - 3‬المساحة الجانبية والمساحة الكلية للهرم والمخروط‪.‬‬

‫مخطط تنظيمى للوحدة‬ ‫المستقيمات والمستويات‬ ‫مفاهيم ومسلمات‬

‫أشكال ثالثية األبعاد (المجسمات)‬ ‫المخروط‬

‫الهرم‬

‫المساحة السطحية‬ ‫(الكلية)‬ ‫المستقيمات‬ ‫والمستويات فى الفراغ‬ ‫عالقة مستقيم‬ ‫بمستقيم‬

‫أشكال ثنائية البعد‬ ‫الدائرة‬

‫المضلعات‬ ‫القطاع الدائرى‬

‫الحجم‬

‫تطبيقات حياتية‬

‫معادلة الدائرة‬

‫عالقة مستقيم‬ ‫بمستوى‬ ‫عالقة مستوى‬ ‫بمستوي أخر‬

‫‪91‬‬

‫‪1-3‬‬

‫الم�ستقيمات والم�ستويات فى الفراغ‬ ‫‪The lines and the planes in a space‬‬

‫فكر و‬

‫سوف تتعلم‬

‫ مفاهيم ومسلامت هندسية‬

‫ العالقة بني مستقيمني ىف الفراغ‬ ‫ العالقة بني مستقيم ومستوى‬ ‫ىف الفراغ‬ ‫ األوضاع املختلفة ملستويني‪.‬‬

‫ناقش‬

‫سبق أن درست بعض المفاهيم الرياضية حول كل من النقطة‪ ،‬والمستقيم‪ ،‬والمستوى‬ ‫فهل يمكنك اإلجابة عن األسئلة اآلتية‪:‬‬ ‫½ بِ َم تمثل مدينتك على خريطة جمهورية مصر العربية؟‬ ‫½ كم عدد النقاط التى تكفى لرسم خط مستقيم؟‬

‫½ ماذا يمثل لك كل من‪ :‬أرضية الفصل الدراسى ‪ -‬سطح المنضدة ‪ -‬سطح الحائط‪.‬‬

‫½ ماذا يمثل لك كل من‪ :‬سطح الكرة ‪ -‬سطح قبة المسجد ‪ -‬سطح أسطوانة الغاز‪.‬‬ ‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬

‫ النقطة‬

‫ املستقيم‬

‫‪Point‬‬ ‫‪Straight line‬‬

‫ املستوى‬ ‫ الفراغ‬

‫‪Plane‬‬ ‫‪Space‬‬

‫نشاط‬

‫ارسم نقطتين مختلفتين على ورق مقواة مثل ‪ ، C‬ب‪.‬‬ ‫استخدم المسطرة؛ لتصل النقطتين ‪ ،C‬ب ومدهما على نفس االستقامة‪.‬‬ ‫مستقيما آخر يمر بنفس النقطتين ‪ ،C‬ب هل يمكنك ذلك؟‬ ‫حاول أن ترسم‬ ‫ً‬ ‫ماذا نستنتج من هذا النشاط؟‬

‫نشاط‬

‫األدوات والوسائل‬

‫ آلة حاسبة علمية‬

‫ برامج رسومية للحاسوب‬ ‫ أدوات هندسية‬

‫‪92‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫ارسم ثالث نقاط ‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ ليست على‬ ‫استقامة واحدة كما فى الشكل الجانبي‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫ضع قطعة من الورق المقوى على شكل‬ ‫مستطيل بحيث ينطبق أحد أبعادها على ‪ C‬ب‬ ‫حرك مستوى الورقة؛ لتدور حول ‪ C‬ب حتى ينطبق على النقطة جـ‪.‬‬ ‫½ كم وض ًعا تنطبق فيه النقطة جـ على مستوى الورقة خالل دوران الورقة دورة كاملة؟‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫لوتسما ىو الوتسملاو‬

‫ام لتسملا ‪3 3‬‬

‫مسلمات هندسية‪:‬‬

‫تحديدا تا ًّما إذا علم عليه نقطتان مختلفتان‪.‬‬ ‫½ يتحدد الخط المستقيم‬ ‫ً‬ ‫تحديدا تا ًّما بإحدى الحاالت اآلتية‪:‬‬ ‫½ يتحدد المستوى‬ ‫ً‬ ‫ب‬

‫جـ‬

‫د‬

‫‪C‬‬

‫‪M‬‬

‫‪C‬‬

‫ثالث نقط ليست‬ ‫على استقامة واحدة‬

‫ب‬

‫‪M‬‬

‫مستقيم ونقطة‬ ‫التنتمى إليه‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫‪M‬‬

‫مستقيمان متقاطعان‬

‫د‬

‫‪M‬‬

‫مستقيمان متوازيان‬

‫½ أى نقطة فى الفراغ يمر بها عدد النهائى من المستويات‪.‬‬ ‫المستوى ‪ :Plane‬هو سطح الحدود له بحيث إن المستقيم المار بأى نقطتين‬ ‫فيه يقع بأكمله على ذلك السطح‪ .‬ففى الشكل الجانبي يرمز للمستوى بالرمز ‪M‬‬ ‫أو ‪ N‬أو ع أو‪ ..‬أو يرمز له بثالثة أحرف على األقل مثل ‪ C‬ب جـ ‪ ....،‬وهو بال‬ ‫حدود من جميع جهاته ويمثل على شكل مثلث أو مربع أو مستطيل أو متوازى‬ ‫أضالع أو دائرة أو‪...‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪M‬‬ ‫ج‬

‫ب‬

‫الفراغ (الفضاء) ‪ :Space‬هو مجموعة غير منتهية من النقاط‪ ،‬وهو الذى يحتوى جميع األشكال والمستويات‬ ‫والمجسمات محل الدراسة‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 1‬تأمل الشكل المقابل‪ ،‬ثم أجب عن األسئلة اآلتية‪:‬‬

‫أ اكتب ثالثة مستقيمات تمر بالنقطة ‪.C‬‬ ‫ب اكتب المستقيمات التى تمر بالنقطتين ‪ ، C‬ب م ًعا‪.‬‬ ‫ج اكتب ثالثة مستويات تمر بالنقطة ‪.C‬‬

‫َ‬ ‫‪E‬‬

‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫جـ‬

‫‪/‬‬

‫ب‬

‫‪/‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫د اكتب ثالثة مستويات تمر بالنقطتين ‪ ، C‬ب م ًعا‪.‬‬

‫جـ‬

‫الحل‬

‫أ ‪C‬ب ‪، CC ،‬‬ ‫ب ‪ C ،‬ب جـ ‪ C ،‬‬ ‫‪EE‬‬ ‫ج ‪C‬ب َ‬

‫ب‬

‫‪/‬‬

‫‪EC‬‬

‫َ‬

‫‪C‬ب‬

‫د ‪ C‬ب َب‪ C ,‬ب جـ ‪ C ،‬ب ج َـ ‪َE‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪93 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬لت��س� ا لتا و� ‬ ‫م‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 1‬تأمل الشكل المقابل ثم أجب عن األسئلة اآلتية‪:‬‬

‫أ كم عدد المستقيمات بالشكل؟ اذكر المستقيمات التى تمر بنقطة‪.C‬‬ ‫ب كم عدد المستويات بالشكل؟ اذكر ثالثة منها تمر بالنقطة‪.C‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫العالقة بين م�ستقيمين فى الفراغ‬

‫ب‬

‫تأمل األشكال اآلتية ثم أكمل‪:‬‬

‫جـ‬

‫ل‪1‬‬ ‫ل‪1‬‬ ‫ل‪2‬‬

‫ل‪1‬‬

‫ل‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪M‬‬

‫(‪)1‬‬

‫ل‪2‬‬

‫(‪)2‬‬

‫‪M‬‬

‫(‪)3‬‬

‫‪ -1‬المستقيمان المتقاطعان‪ :‬هما مستقيمان يقعان فى نفس ‪ .......................‬ويشتركان فى‬ ‫‪ -2‬المستقيمان المتوازيان‪ :‬هما مستقيمان يقعان فى نفس ‪ .......................‬واليشتركان فى ‪.......................‬‬ ‫‪ -3‬المستقيمان المتخالفان‪ :‬هما مستقيمان اليمكن أن يحتويهما ‪.......................‬‬ ‫‪.......................‬‬

‫تفكير ناقد‪ :‬المستقيمان المتخالفان غير متقاطعين وغير متوازيين‪ .‬فسر ذلك‪.‬‬

‫العالقة بين م�ستقيم وم�ستوى فى الفراغ‬ ‫تأمل األشكال اآلتية ثم أكمل‪:‬‬

‫ل‬ ‫ل‬

‫ل‬

‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫ب‬

‫(‪)1‬‬

‫‪M‬‬

‫½ المستقيم مواز للمستوى كما فى شكل‬

‫½ المستقيم قاطع للمستوى كما فى شكل‬

‫(‪)2‬‬ ‫‪.......................‬‬ ‫‪.......................‬‬

‫½ المستقيم محتوى فى المستوى كما فى شكل‬

‫‪94‬‬

‫‪.......................‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫‪M‬‬

‫(‪)3‬‬

‫‪M‬‬

‫لوتسما ىو الوتسملاو‬

‫ام لتسملا ‪3 3‬‬

‫الأو�ساع المختلفة لم�ستويين‬ ‫تأمل األشكال اآلتية ثم أكمل‪:‬‬

‫‪C‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M‬‬

‫ب‬

‫‪N‬‬

‫(‪)1‬‬

‫½ المستويان متوازيان كما فى الشكل‬

‫½ المستويان منطبقان كما فى الشكل‬

‫‪N‬‬

‫‪N‬‬ ‫(‪)2‬‬

‫(‪)3‬‬

‫‪....................‬‬

‫½ المستويان متقاطعان كما فى الشكل‬

‫‪....................‬‬

‫مثال‬ ‫م‬

‫‪ 2‬تأمل الشكل المقابل ثم أكمل مايأتى‪:‬‬

‫أ المستوى م ‪ C‬ب ∩ المستوى م ب جـ =‬ ‫ب‬ ‫المستوى م ب جـ ∩ المستوى ‪ C‬ب جـ = ‪...............‬‬

‫‪...................‬‬

‫ج م ب ∩ المستوى ‪ C‬ب جـ =‬ ‫د‬

‫م جـ ∩ ‪ C‬ب =‬

‫‪.......................‬‬

‫جـ‬

‫‪C‬‬

‫‪...............‬‬

‫ه المستوى م ‪ C‬ب ∩ المستوى م ب جـ ∩ المستوى م ‪ C‬جـ =‬

‫‪.......................‬‬

‫ب‬

‫الحل‬

‫ب ب جـ‬

‫أ مب‬

‫ج { ب}‬

‫د ‪ z‬ألنهما مستقيمان متخالفان‬

‫ه {م}‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ 2‬تأمل الشكل المقابل ثم أكمل مايأتى‪:‬‬

‫أ المستوى ‪ C‬ب ب ‪ ∩ C‬المستوى ب جـ جـ ب =‬ ‫ب‬ ‫المستوى ‪ C‬ب جـ ∩ المستوى ‪ C‬ب جـ = ‪.......................‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫ج‬

‫‪ C‬جـ ∩ ‪ C‬جـ =‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫‪.......................‬‬

‫د ب ب ∩ المستوى ‪ C‬ب جـ =‬

‫جـ‬

‫‪/‬‬

‫‪.......................‬‬

‫‪/‬‬

‫‪.......................‬‬

‫ب‬

‫‪/‬‬

‫جـ‬

‫‪C‬‬

‫ب‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪95 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬لت��س� ا لتا و� ‬

‫تمـــاريــن (‪)1 - 3‬‬ ‫أكمل مايأتى‪:‬‬

‫‪ 1‬إذا كان المستقيم ل ‪ //‬المستوى ‪ ، M‬فإن ل∩ ‪....................... = M‬‬ ‫‪ 2‬إذا كان المستقيم ل ⊃ المستوى ‪ M‬فإن ل ∩ ‪....................... = M‬‬

‫‪ 3‬إذا كان المستقيم ل‪ // 1‬المستقيم ل‪ 2‬فإن ل‪ ∩ 1‬ل‪....................... = 2‬‬

‫‪ 4‬إذا كان ‪ N ، M‬مستويان حيث ‪ z = N ∩M‬فإن ‪N ............M‬‬

‫‪ 5‬المستقيمان المتخالفان هما مستقيمان ليسا ‪ .......................‬أو ‪.......................‬‬

‫اذكر عدد المستويات التى تمر بكل من‪:‬‬ ‫أ نقطة واحدة معلومة‪.‬‬ ‫ج ثالث نقط على استقامة واحدة‪.‬‬ ‫ه أربع نقط ليست فى مستوى واحد‬

‫ب نقطتين مختلفتين ‪.‬‬ ‫د ثالث نقط ليست على استقامة واحدة‪.‬‬ ‫ل‬

‫تأمل الشكل المقابل ثم أكمل باستخدام أحد الرموز ( ∈ أو ∉ أو ⊃ أو ⊄)‬ ‫ب ‪M ............ C‬‬ ‫أ ل ‪M ............‬‬ ‫د ب جـ ‪N ............‬‬ ‫ج جـ ‪N ............‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫فى الشكل المقابل‪:‬‬ ‫‪ N ، M‬مستويان متقاطعان فى المستقيم ل ‪ ∈ C ،‬ل ‪ ،‬ب ∈‪ ، M‬ب ∉‪، N‬‬ ‫جـ∈ ‪ ، N‬جـ∉ ‪ M‬أكمل مايأتى‪:‬‬

‫‪C‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M‬‬

‫ل‬

‫ب‬

‫أ المستوى ‪ ∩ M‬المستوى ‪ C‬ب جـ =‬ ‫ب‬ ‫المستوى ‪ ∩ N‬المستوى ‪ C‬ب جـ = ‪...........................‬‬ ‫ج‬ ‫المستوى ‪ ∩ M‬المستوى ‪∩ N‬المستوى ‪ C‬ب جـ = ‪...........................‬‬ ‫‪...........................‬‬

‫جـ‬ ‫‪N‬‬

‫‪ 9‬تأمل الشكل المقابل ثم أكمل مايأتى‪:‬‬ ‫أ المستوى ‪ C‬ب جـ ‪ // E‬المستوى ‪...........................‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ب ‪ //‬المستوى ‪...........................‬‬ ‫ب المستوى ب جـ ج َـ َ‬ ‫َ‬ ‫ب ‪∩ C‬المستوى ‪ C‬ب جـ ‪........................... = E‬‬ ‫ج المستوى‪ C‬ب َ‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ ‪........................... = َE‬‬ ‫د المستوى ‪ C‬ب َب ‪ ∩ َC‬المستوى ‪ E‬جـ َ‬ ‫ه المستوى ‪ E‬جـ جـ ‪ ∩َE‬المستوى ‪ C‬ب جـ ‪ ∩ E‬المستوى ‪َ E C‬‬ ‫‪............ = C E‬‬ ‫َ‬ ‫َ‬

‫‪9‬‬

‫‪M‬‬

‫‪/‬‬

‫‪E‬‬

‫‪/‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪/‬‬

‫جـ‬

‫‪/‬‬

‫‪E‬‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫لوتسما ىو الوتسملاو‬

‫ام لتسملا ‪3 3‬‬

‫‪ 10‬ضع عالمة (�) أمام العبارة الصحيحة و عالمة (�) أمام العبارات الخاطئةفيما يلي بفرض أن ل‪ ، 1‬ل‪ 2‬مستقيمان‪،‬‬ ‫‪ N،M‬مستويان‪:‬‬ ‫أ إذا كان ل‪ ∩ 1‬ل‪ z =2‬فإن ل‪ // 1‬ل‪ 2‬أو ل‪ ، 1‬ل‪ 2‬متخالفان‬

‫ج إذا كان ل‪ = M ∩ 2‬ل‪ 2‬فإن‬

‫ب إذا كان ل‪ z = M ∩ 1‬فإن ل‪M // 1‬‬

‫د إذا كان ل‪ N ⊃ 2‬فإن ل‪z = N ∩ 2‬‬

‫و إذا كان ‪ N = M‬فإن ‪ N ، M‬منطبقان‬

‫ه إذا كان ‪ z = N ∩ M‬فإن‬

‫ل‪M ⊃ 2‬‬

‫‪N // M‬‬

‫اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي‪:‬‬

‫‪ 11‬أى أربع نقط ليست فى مستوى واحد تعين لنا‪:‬‬ ‫ب ثالث مستويات‬ ‫أ مستويان‬ ‫‪ 12‬إذا اشترك مستويان فى نقطتين ‪ ، C‬ب فإنهما‪:‬‬ ‫أ متطابقان‬ ‫ج متقاطعان فى مستقيم ٍ‬ ‫مواز ‪ C‬ب‬

‫ج اربع مستويات‬

‫د ال تعين مستو‬

‫ب متقاطعان فى ‪ C‬ب‬

‫‪ C 13‬ب توازي المستوى ‪ M‬إذا كان‬ ‫أ ‪C‬ب ∩ ‪z = M‬‬ ‫ج ‪ ، C‬ب على بعدين مختلفين من المستوى ‪M‬‬

‫د يشتركان فى نقطة ثالثة ال تقع على ‪ C‬ب‬

‫ب ‪ ، C‬ب تقعان فى جهتين مختلفتين من ‪M‬‬

‫د‬

‫‪C‬ب ∩ ‪z = M‬‬

‫‪ 14‬المستقيمان ل‪ ، 1‬ل‪ 2‬متوازيان إذا كان‬ ‫ب ل‪ ∪ 1‬ل‪ 2‬يقعان من مستوى واحد‬ ‫أ ل ‪ ∩ 1‬ل ‪z =2‬‬ ‫ج إذا كان ل‪ ∩ 1‬ل‪ ، z =2‬ل‪ ، 1‬ل‪ 2‬يجمعهما مستوى واحد‪.‬‬ ‫د إذا كان ل‪ ∩ 1‬ل‪ ، z =2‬ل‪ ، 1‬ل‪ 2‬ال يجمعهما مستوى واحد‪.‬‬ ‫‪ 15‬يكون المستقيمان متخالفين إذا كانا‬ ‫أ غير متوازيين‪.‬‬ ‫ج اليجمعهما مستوى واحد‪.‬‬

‫ب غير منطبقين‪.‬‬ ‫د يقعان فى مستوى واحد‪.‬‬

‫تفكير ابداعى‬

‫‪ 1‬بين بالرسم أنه إذا تقاطعت ثالثة مستويات مثنى مثنى فإن مستقيمات تقاطعها إما أن تتوازى أو تتالقى فى‬ ‫نقطة واحدة‪:‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2-3‬‬

‫الهرم والمخروط‬ ‫‪Pyramid and Cone‬‬

‫سوف تتعلم‬

‫ خواص بعض املجسامت‬ ‫اهلرم‪ -‬اهلرم املنتظم ‪ -‬اهلرم القائم‬ ‫ املخروط ‪ -‬املخروط القائم‪.‬‬‫ مفهوم شبكة املجسم واستنتاج‬ ‫خواص املجسم من شبكته ‪-‬‬ ‫رسم شبكة جمسم‪.‬‬

‫ نمذجة و حل مشكالت رياضية‬ ‫و حياتية باستخدام خواص اهلرم‬ ‫و املخروط القائم‪.‬‬

‫تصنع العديد من العبوات بطى ورق الكرتون‬ ‫المسطح إلى أشكال ثالثية البعد لتعبئة‬ ‫منتجات المصانع قبل تسويقها فتشغل‬ ‫حيزا من الفراغ ‪ ،‬مثل المكعب ‪ ،‬متوازى‬ ‫ً‬ ‫المستطيالت ‪... ،‬‬

‫رأس‬

‫رأسا له؟‬ ‫½ كم وج ًها للمكعب؟ وكم ً‬

‫½ كم حرفًا لمتوازى المستطيالت؟‬

‫وجه‬

‫½ هل جميع أوجه المكعب متطابقة؟‬

‫فسرإجابتك‪.‬‬

‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬

‫ هرم‬

‫‪Pyramid‬‬

‫ خمروط‬

‫‪Cone‬‬

‫ وجه جانبى‬

‫‪Lateral face‬‬

‫ حرف جانبى‬

‫‪Lateral edge‬‬

‫ ارتفاع‬

‫‪Height‬‬

‫ ارتفاع جانبى‬ ‫ هرم منتظم‬

‫‪Slant hieght‬‬ ‫‪Regular pyramid‬‬

‫ هرم قائم‬

‫‪Right pyramid‬‬

‫ شبكة‬

‫‪Net‬‬

‫ خمروط دائرى قائم‬

‫‪Right circular cone‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫ أدوات هندسية‬

‫ آلة حاسبة علمية‬ ‫ برامج رسومية‬

‫‪9‬‬

‫حرف‬

‫نسمى الشكل الذى يمكن طيه لتكوين مجسم‬ ‫بشبكة المجسم‪ ،‬ومنها نستنتج خواص المجسم‪.‬‬ ‫يبين الشكل المقابل شبكة أسطوانة دائرية‬ ‫قائمة ‪ ،‬الحظ‪:‬‬

‫‪ 10‬سم‬

‫‪ - 1‬قاعدتى األسطوانة متطابقتين‪ ،‬وكل منهما‬ ‫على شكل دائرة‪.‬‬ ‫‪ - 2‬السطح الجانبى لألسطوانة قبل طيه هو‬ ‫مستطيل بعداه ‪44‬سم ‪10 ،‬سم فيكون‬ ‫ارتفاع األسطوانة ‪10‬سم‪.‬‬ ‫ما طول نصف قطر قاعدة األسطوانة؟‬

‫فكر‪:‬‬

‫هل يمكنك معرفة اسم المجسم الذى يمكن تكوينه من‬ ‫طى الشبكة المقابلة؟ استنتج بعض خواصه‪.‬‬ ‫هل يمكن رسم أكثر من شبكة للمجسم الواحد؟‬ ‫فسر إجابتك‪.‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫‪ 44‬سم‬

‫رخهلال مرهلا ‪3 3‬‬ ‫الهرم‬ ‫هرما ثالث ًّيا أو رباع ًّيا‬ ‫هو مجسم له قاعدة واحدة‪ ،‬وجميع أوجهه األخرى مثلثات تشترك فى رأس واحدة ويسمى ً‬ ‫م‬ ‫أو خماس ًّيا‪ ...‬حسب عدد أضالع مضلع قاعدته‪.‬‬ ‫‪Pyramid‬‬

‫الحظ‪ :‬فى الشكل المقابل م ‪ C‬ب جـ ‪ E‬هـ هرم خماسى ‪ ،‬رأسه م وقاعدته‬ ‫المضلع ‪ C‬ب جـ ‪ E‬هـ ‪ ،‬أوجهه الجانبية ‪ Lateral faces‬سطوح المثلثات م ‪ C‬ب‪،‬‬ ‫‪C‬‬ ‫م ب جـ ‪ ،‬م جـ ‪ ، E‬م ‪ E‬هـ ‪ ،‬م هـ ‪ ، C‬وأحرفه الجانبية ‪ Lateral edges‬م ‪، C‬‬ ‫س‬ ‫م ب ‪ ،‬م جـ ‪ ،‬م ‪ , E‬م هـ ‪.‬‬ ‫ارتفاع الهرم ‪( height‬م ن) هو بعد رأس الهرم عن مستوى قاعدته‪.‬‬ ‫االرتفاع الجانبى ‪( Slant height‬م س) هو بعد رأس الهرم عن أحد أضالع قاعدته‪.‬‬ ‫تعريف‬

‫الهرم المنتظم‬

‫هـ‬ ‫‪E‬‬

‫ن‬ ‫جـ‬

‫ب‬

‫‪Regular pyramid‬‬

‫هو الهرم الذى قاعدته مضلع منتظم مركزه موقع العمود المرسوم من رأس الهرم عليها‪.‬‬

‫خوا�ص الهرم المنتظم‬

‫تذكر اأن‬

‫‪ - 1‬أحرفه الجانبية متساوية الطول‪.‬‬ ‫‪ - 2‬أوجهه الجانبية سطوح مثلثات متساوية الساقين ومتطابقة ‪.‬‬ ‫‪ - 3‬االرتفاعات الجانبية متساوية‪.‬‬

‫المضلع المنتظم هو مضلع‬ ‫أضالعه متساوية الطول وزواياه‬ ‫متساوية القياس مركزه هو مركز‬ ‫الدائرة المرسومة داخله أو‬ ‫خارجه‪.‬‬

‫مالحظة هامة‪:‬‬

‫المستقيم العمودى من رأس الهرم على مستوى قاعدته يكون عمود ًّيا على أى‬ ‫مستقيم فيها‪.‬‬ ‫ففى الشكل المقابل إذا كان م ن عمودى على مستوى القاعدة فإن‪:‬‬ ‫م ن = ‪ C‬جـ ‪ ،‬م ن =‬

‫ب‪E‬‬

‫م‬

‫‪ ،‬م ن = ن س‬

‫ويكون المثلث م س ن قائم الزاوية فى ن‪.‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 1‬م ‪ C‬ب جـ ‪ E‬هرم رباعى منتظم طول ضلع قاعدته يساوى ‪10‬سم‪ ،‬وارتفاعه‬ ‫‪12‬سم ‪ ،‬أوجد ارتفاعه الجانبى ‪.‬‬

‫س‬

‫ن‬ ‫جـ‬

‫ب‬ ‫م‬

‫الحل‬

‫‪ a‬الهرم رباعى منتظم ` م ن = المستوى ‪C‬ب جـ ‪E‬‬

‫ حيث ن نقطة تقاطع قطرى المربع‪C‬ب جـ ‪ ، E‬م ن = ‪12‬سم‬

‫‪E‬‬

‫ بفرض س منتصف ب جـ ` م س = ب جـ (لماذا؟)‬ ‫ ويكون م س ارتفاع جانبى للهرم المنتظم‪.‬‬

‫ن‬ ‫‪C‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫س‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪99 W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬لت��س� ا لتا و� ‬ ‫م‬

‫فى ‪ E 9‬ب جـ ‪ :‬ن منتصف ‪ E‬ب ‪ ،‬س منتصف ب جـ‬

‫` ن س = ‪E 12‬جـ = ‪5 = 10 * 12‬سم‬ ‫‪ a‬م ن = المستوى ‪C‬ب جـ ‪E‬‬

‫‪ 12‬سم‬

‫` ‪ 9‬م ن س قائم الزاوية فى ن‬

‫ن‬ ‫‪10‬‬

‫ ويكون‪( :‬م س)‪( = 2‬م ن)‪( + 2‬ن س)‪169 = 2)5( + 2)12( = 2‬‬

‫‪ 5‬سم‬

‫س‬

‫‪10‬‬

‫‪13‬‬

‫` االرتفاع الجانبى للهرم = ‪13‬سم‬ ‫ ويوضح الشكل المقابل إحدى شبكات الهرم م ‪ C‬ب جـ ‪.E‬‬

‫‪13‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪10‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪13‬‬

‫‪ 1‬م ‪ C‬ب جـ ‪ E‬هرم رباعى منتظم ارتفاعه ‪20‬سم‪ ،‬وارتفاعه الجانبى ‪25‬سم‪ .‬أوجد طول ضلع قاعدة الهرم‪.‬‬ ‫الهرم القائم‬ ‫قائما إذا كان موقع العمود المرسوم من رأس الهرم على قاعدته يمر بمركزها الهندسى‪.‬‬ ‫يكون الهرم ً‬ ‫‪Right pyramid‬‬

‫فكر‪:‬‬

‫‪ - 1‬هل الهرم المنتظم هو هرم قائم؟ فسر إجابتك‪.‬‬ ‫‪ - 2‬هل االرتفاعات الجانبية للهرم القائم متساوية؟‬

‫هرما ثالث ًّيا منتظم الوجوه؛ إذا كانت جميع أوجهه مثلثات متساوية‬ ‫مالحظة هامة‪ :‬يسمى الهرم الثالثى المنتظم‪ً ،‬‬ ‫األضالع‪ ،‬ويكون أى منها قاعدة له‪.‬‬ ‫المخروط‬ ‫هو مجسم له قاعدة واحدة على شكل منحنى مغلق ورأس واحدة ‪،‬‬ ‫ويتكون سطحه الجانبى من جميع القطع المستقيمة المرسومة من‬ ‫رأسه إلى منحنى قاعدته‪ ،‬والتى يعرف كل منها براسم المخروط‪.‬‬ ‫‪Cone‬‬

‫م‬

‫رأس المخروط‬

‫راسم المخروط‬

‫المخروط الدائرى القائم‬ ‫هو الجسم الذى ينشأ من دوران مثلث قائم الزاوية دورة كاملة حول أحد ضلعى القائمة كمحور‪.‬‬

‫القاعدة‬

‫‪Right circular cone‬‬

‫خوا�ص المخروط الدائرى القائم‪.‬‬

‫قائما‪ ،‬ناشئ من دوران المثلث‬ ‫يوضح الشكل المقابل مخروطًا دائر ًّيا ً‬ ‫القائم الزاوية فى ب دورة كاملة حول ‪ C‬ب كمحور فنجد‪:‬‬

‫‪ C -1‬جـ راسم المخروط ‪ C ،‬رأس المخروط ‪ ،‬النقطة جـ ترسم أثناء‬ ‫الدوران دائرة مركزها نقطة ب وطول نصف قطرها يساوى طول‬ ‫ب جـ وسطح الدائرة هو قاعدة المخروط‪.‬‬

‫رأس المخروط‬

‫‪C‬‬

‫راسم المخروط‬ ‫محور المخروط‬ ‫ب‬

‫قاعدة المخروط‬

‫‪100‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫جـ‬

‫نصف قطر دائرة المخروط‬

‫رخهلال مرهلا ‪3 3‬‬ ‫‪ C -2‬ب محور المخروط عمودى على مستوى القاعدة ‪ ،‬ارتفاع المخروط يساوى طول ‪ C‬ب ‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 2‬مخروط دائرى قائم‪ ،‬طول راسمه ‪17‬سم‪ ،‬وارتفاعه ‪15‬سم‪ ،‬أوجد طول نصف قطر دائرته‪.‬‬ ‫الحل‬

‫باعتبار طول الراسم = ل ‪ ،‬ارتفاع المخروط = ع ‪،‬‬ ‫طول نصف قطر دائرة المخروط = ‪H‬‬ ‫‪ = 2H a‬ل‪ - 2‬ع‪2‬‬ ‫` ‪64 = 2)15( - 2)17( = 2H‬‬ ‫` ‪ 8 = H‬سم‬

‫ل‬

‫ع‬

‫‪H‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 2‬أوجد بداللة ‪ r‬محيط ومساحة قاعدة مخروط دائرى قائم ارتفاعه ‪ 24‬سم وطول راسمه ‪26‬سم‪.‬‬

‫فكر‪ C :‬ب جـ مثلث ‪C ،‬ب = ‪C‬جـ ‪E ،‬منتصف ب جـ ‪ .‬إذا دار المثلث ‪ C‬ب جـ نصف دورة كاملة حول‬ ‫هل ينشأ مخروط دائرى قائم؟ فسر إجابتك‪.‬‬ ‫�شبكة المخروط القائم‪:‬‬ ‫يمكن طى شبكة المخروط القائم؛ لتكوين عبوات‬ ‫مخروطية الشكل كما فى الشكل المقابل حيث‪:‬‬ ‫‪ C - 1‬ب = ‪C‬جـ = ل (طول راسم المخروط)‪.‬‬

‫راسم المخروط‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫السطح الجانبي‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪ - 3‬ارتفاع المخروط = طول ‪ C‬ن ‪.‬‬

‫رأس المخروط‬

‫‪C‬‬

‫‪ - 2‬القطاع الدائرى ‪C‬ب جـ يمثل السطح الجانبى‬ ‫للمخروط ‪ ،‬طول ب جـ = ‪H r 2‬‬ ‫ (‪ H‬طول نصف قطر قاعدة المخروط)‪.‬‬

‫‪EC‬‬

‫ب‬

‫كمحور‪.‬‬

‫ن‬ ‫ب ‪ /‬جـ‬

‫جـ‬

‫ن‬

‫‪E‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 3‬يوضح الشكل المقابل شبكة مخروط قائم‪،‬‬ ‫‪) 22‬‬ ‫مستع ًينا بالبيانات المعطاة‪ ،‬أوجد ارتفاعه‪7 = r( .‬‬ ‫الحل‬

‫من شبكة المخروط نالحظ أن‪:‬‬ ‫طول راسم المخروط = طول م ‪21 = C‬سم‬ ‫محيط قاعدة المخروط = طول ‪ C‬ب = ‪44‬سم‪.‬‬ ‫طول نصف قطر قاعدة المخروط = طول جـ ن = ‪.H‬‬

‫م‬

‫‪ 21‬سم‬

‫جـ‬

‫‪ 21‬سم‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫‪ 4‬سم‬ ‫‪4‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫ن‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪101‬‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬لت��س� ا لتا و� ‬

‫عند طى شبكة المخروط نحصل على الشكل المقابل فيكون‪:‬‬ ‫ارتفاع المخروط = طول م ن = ع‬ ‫‪ 44 = H * 22‬أى أن ‪ 7 = H‬سم‬ ‫‪44 = H r 2 a‬‬ ‫`‪7 *2‬‬ ‫‪ a‬ع‪ = 2‬ل‪2H - 2‬‬ ‫` ع‪ 28 * 14 = 2)7( - 2)21( = 2‬أى أن ع = ‪ 2 14‬سم‬ ‫` ارتفاع المخروط الدائرى القائم = ‪ 2 14‬سم‪.‬‬

‫م‬ ‫ع‬ ‫ن‬

‫جـ‬ ‫‪H‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 3‬فى الشبكة السابقة للمخروط القائم‪ ،‬إذا كان م ‪41 = C‬سم ‪ ،‬طول ‪ C‬ب = ‪ r 18‬سم أوجد ارتفاع المخروط‪.‬‬

‫تفكير ناقد‪ :‬هل العبارة التالية صحيحة‪" :‬ارتفاع المخروط القائم‬

‫>‬

‫طول راسمه"؟ فسر إجابتك‪.‬‬

‫تمـــاريــن (‪)2 - 3‬‬ ‫‪ 1‬فى الهرم الخماسى المنتظم‪:‬‬ ‫ب ما عدد األوجه‪.‬‬ ‫أ ما عدد أوجهه الجانبية‪.‬‬ ‫د ما عدد أحرفه‪.‬‬ ‫ج ما عدد أحرف الجانبية‪.‬‬ ‫ه للهرم رأس واحدة خالف رؤوس القاعدة‪ .‬ما عدد جميع رؤوس الهرم الخماسى؟ هل تحقق إجابتك عالقة‬ ‫أويلر ألى مجسم قاعدته منطقة مضلعه‪" .‬عدد األوجه ‪ +‬عدد الرؤوس= عدد األحرف ‪"2 +‬‬ ‫‪ 2‬فى الهرم المنتظم ‪ ،‬رتب األطوال التالية من األصغر إلى األكبر‬ ‫ب ارتفاع الهرم‪.‬‬ ‫أ طول الحرف الجانبى‪.‬‬ ‫ج االرتفاع الجانبى‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫‪0‬‬

‫‪00‬‬

‫‪ 4‬الربط بالجوالة‪ :‬خيمة على شكل مخروط دائرى قائم ارتفاعها ‪160‬سم‬ ‫ومحيط قاعدتها ‪753٫6‬سم احسب طول راسم مخروط الخيمة‪.‬‬

‫سم‬ ‫‪1‬‬

‫‪ 3‬هندسة مدنية‪ :‬يوضح الشكل المقابل خزان مياه على شكل هرم رباعى منتظم مستعي ًنا‬ ‫كال من ارتفاع الوجه الجانبى وارتفاع الخزان ‪.‬‬ ‫بالبيانات المعطاة أوجد ًّ‬

‫سم‬

‫‪ 100‬سم‬

‫‪ 160‬سم‬

‫‪ 5‬الربط بالسياحة‪ :‬هرم الجيزة األكبر (هرم خوفو) طول ضلع قاعدته‬ ‫مترا‪ ،‬أوجد ارتفاع الهرم‪.‬‬ ‫مترا‪ ،‬وارتفاعه الجانبى ‪ً 186‬‬ ‫‪ً 232‬‬

‫الربط بالصناعة‪ :‬تغلف األلبان المثلجة فى مخروط دائرى قائم بطى قطعة من‬ ‫الورق العازل للحرارة على شكل قطاع دائرى طول نصف قطر دائرته ‪12‬سم‬ ‫‪2‬‬ ‫ومساحته ‪150‬سم بحيث يتالمس نصفا قطرى دائرته ‪ C‬ب ‪ C ،‬جـ ‪ .‬أوجد ارتفاع ب‬ ‫المخروط‪[ .‬تذكر‪ :‬مساحة القطاع = ‪ 12‬طول قوسه * طول نصف قطر دائرته]‪.‬‬

‫‪102‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫جـ‬ ‫‪ 150‬سم‪2‬‬

‫‪ 12‬سم‬

‫‪C‬‬

‫الم�شاحة الكلية لكل من الهرم والمخروط‬ ‫‪Surface area of pyramids and cones‬‬ ‫سبق أن تعلمت خواص الهرم والمخروط الدائرى القائم‪ ،‬وقمت باستنتاج بعضها‬ ‫من خالل شبكة كل منهما‪ .‬هل يمكنك حساب المساحة الجانبية والمساحة الكلية‬ ‫(السطحية) لكل من الهرم المنتظم والمخروط الدائرى القائم من شبكتيهما؟ فسر‬ ‫إجابتك‪.‬‬ ‫الم�شاحة الكلية للهرم المنتظم‬ ‫منتظما‪ ،‬وإحدى شبكاته‪.‬‬ ‫يوضح الشكل التالى هر ًما رباع ًّيا‬ ‫ً‬

‫ل‬

‫س‬

‫ل‬

‫‪3-3‬‬ ‫سوف تتعلم‬

‫ إجياد املساحة اجلانبية واملساحة‬ ‫الكلية (السطحية( لكل من‬ ‫اهلرم املنتظم واملخروط القائم‪.‬‬

‫ نمذجة وحل مشكالت رياضية‬ ‫وحياتية تتضمن املساحة‬ ‫السطحية لكل من اهلرم‬ ‫واملخروط القائم‪.‬‬

‫ل‬

‫س‬

‫الحظ أن‪ :‬األوجه الجانبية مثلثات متساوية الساقين ومتطابقة االرتفاعات الجانبية‬ ‫متساوية وكل منها = ل‬ ‫قاعدة الهرم مضلع منتظم طول ضلعه = س ويكون‪:‬‬ ‫المساحة الجانبية للهرم = مجموع مساحات أوجهه الجانبية‬ ‫ = ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ = ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ = ‪ 12‬محيط قاعدة الهرم * االرتفاع الجانبى‪.‬‬ ‫المساحة الكلية للهرم = المساحة الجانبية له ‪ +‬مساحة قاعدته‪.‬‬

‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬

‫ املساحة اجلانبية‬ ‫(‪Lateral surface area (L.S.A‬‬ ‫ املساحة الكلية (السطحية(‬ ‫(‪Total surface area (T.S.A‬‬

‫س * ل ‪ 12 +‬س * ل ‪ 12 +‬س * ل ‪ 12 +‬س * ل‬ ‫(س ‪ +‬س ‪ +‬س ‪ +‬س) ل‬

‫تعلم‬ ‫المساحة الجانبية للهرم المنتظم = ‪ 12‬محيط قاعدته * ارتفاعه الجانبى‪.‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫ آله حاسبة علمية ‪ -‬برامج‬ ‫رسومية للحاسوب‬

‫المساحة الكلية للهرم = مساحته الجانبية ‪ +‬مساحة قاعدته‪.‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪103‬‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬لت��س� ا لتا و� ‬

‫مثال‬

‫‪ 10‬سم‬

‫‪ 1‬باستخدام الشبكة التى أمامك‪ .‬صف المجسم وأوجد مساحته الكلية‪.‬‬

‫‪ 10‬سم‬

‫الحل‬

‫‪13‬‬

‫الشبكة لهرم رباعى منتظم‪.‬‬ ‫قاعدته مربعة الشكل طول ضلعها ‪10‬سم ‪ ،‬طول حرفه الجانبى = ‪13‬سم‪.‬‬ ‫‪ a‬الوجه الجانبى م ‪ C‬ب مثلث متساوى الساقين ‪ ،‬م هـ ارتفاع جانبى‪.‬‬ ‫` هـ منتصف ‪ C‬ب أى أن ‪ C‬هـ = ‪5‬سم‬ ‫فى ‪ 9‬م هـ ‪ C‬القائم الزاوية فى هـ نجد أن (م هـ)‪C( = 2‬م)‪C( - 2‬هـ)‪2‬‬ ‫(م هـ)‪144 = 2)5( - 2)13( = 2‬‬ ‫` م هـ = ‪12‬سم‬ ‫‪ a‬المساحة الجانبية للهرم المنتظم = ‪ 12‬محيط القاعدة * االرتفاع الجانبى‬ ‫` المساحة الجانبية = ‪ 240 = 12 * )4 * 10( * 1‬سم‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ a‬مساحة قاعدة الهرم = (‪100 = 2)10‬سم‪2‬‬ ‫` المساحة الكلية للهرم = ‪340 = 100 + 240‬سم‪2‬‬

‫سم‬

‫م‬ ‫‪ 13‬سم‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫هـ‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪ 18‬سم‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 1‬باستخدام الشبكة التى أمامك صف المجسم وأوجد مساحته الكلية‪.‬‬ ‫‪ 18‬سم‬

‫الم�شاحة الكلية للمخروط القائم‬ ‫من شبكة المخروط القائم فى الشكل المقابل‬

‫مساحة القطاع ‪ C‬ب جـ = ‪ C 12‬ب * طول ب جـ‬

‫ = ‪ 12‬ل * محيط قاعدة المخروط‬ ‫ = ‪ 12‬ل * ‪ r = H r 2‬ل ‪H‬‬ ‫ = المساحة الجانبية للمخروط القائم‬ ‫المساحة الكلية للمخروط = المساحة الجانبية له ‪ +‬مساحة قاعدته‬

‫ب‬

‫ل‬

‫تعلم‬

‫‪C‬‬ ‫ل‬

‫جـ‬ ‫‪E‬‬

‫‪H‬‬

‫تذكر اأن‬

‫المساحة الجانبية للمخروط القائم =‬

‫‪r‬ل‪H‬‬

‫المساحة الكلية للمخروط القائم = ‪ r‬ل ‪( H r = 2H r + H‬ل ‪)H +‬‬

‫حيث ل طول راسمه ‪ H ،‬طول نصف قطر دائرته‪.‬‬

‫‪104‬‬

‫‪ 18‬سم‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫القطاع الدائرى هـ ‪ = E‬ل‬ ‫محيط القطاع = ‪ 2‬نق‪+‬ل‬

‫نق‬

‫مساحة القطاع = ‪ 1‬ل ‪H‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ 1‬هـ ‪2H E‬‬ ‫‪2‬‬

‫مخملا ا ر لا ار لال ا رخهلال مرهلا ‪3 3‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 2‬أوجد المساحة الجانبية لمخروط قائم طول نصف قطر قاعدته ‪15‬سم ‪ ،‬وارتفاعه ‪20‬سم‪.‬‬ ‫الحل‬

‫إليجاد طول راسم المخروط ل‬ ‫‪ a‬ل‪625 = 2)15( + 2)20( = 2‬‬ ‫` ل = ‪25‬سم‬ ‫‪ a‬المساحة الجانبية للمخروط القائم = ‪ r‬ل ‪15 = H ، H‬سم‬ ‫` المساحة الجانبية للمخروط القائم = ‪ r 375 = r 15 * 25‬سم‪2‬‬

‫ل‬

‫‪ 20‬سم‬

‫‪ 15‬سم‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 2‬أوجد المساحة الكلية لمخروط قائم طول راسمه ‪17‬سم وارتفاعه ‪15‬سم‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪80‬‬

‫‪ 3‬مالحة بحرية‪ :‬يوضح الشكل المقابل عالمة إرشادية (شمندورة) لتحديد المجرى‬ ‫المالحى‪ ،‬وهى على هيئة مخروطين قائمين لهما قاعدة مشتركة‪.‬‬ ‫علما بأن تكاليف المتر المربع‬ ‫أوجد تكاليف طالئه بمادة مقاومة لعوامل التعرية‪ً ،‬‬ ‫الواحد منها ‪ 300‬جنيه‪.‬‬

‫سم‬

‫‪ 50‬سم‬

‫الحل‬

‫‪ 120‬سم‬

‫مساحة سطح العالمة اإلرشادية = المساحة الجانبية للمخروط األول‬ ‫ ‪ +‬المساحة الجانبية للمخروط الثانى‪.‬‬ ‫المخروط األول‪ :‬ل = ‪80‬سم ‪50 = H ،‬سم‬ ‫` المساحة الجانبية = ‪r80 * 50‬‬ ‫ = ‪ r4000‬سم‪2‬‬

‫المخروط الثانى‪ :‬ع = ‪120‬سم‪ 50 = H،‬سم ` ل‪130 = 2)50(+ 2)120( = 2‬سم‬ ‫` المساحة الجانبية = ‪r130 * 50‬‬ ‫ = ‪ r 6500‬سم‪2‬‬ ‫مساحة سطح العالمة اإلرشادية = (‪ r 10500 = r)6500 + 4000‬سم‪2‬‬ ‫ ‪ 3٫299 -‬متر مربع‬ ‫تكاليف الطالء = ‪ 989٫7 = 300 * 3٫299‬جني ًها‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 3‬غطاء مصباح على شكل مخروط قائم محيط دائرته ‪88‬سم وارتفاعه ‪20‬سم‪،‬‬ ‫احسب مساحته ألقرب سنتيمتر مربع‪.‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪105‬‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬لت��س� ا لتا و� ‬ ‫‪C‬‬

‫تمـــاريــن (‪)3 - 3‬‬ ‫‪ 1‬الشكل المقابل يمثل هرم ثالثى ‪ ،N ، M ،‬ع ثالث مستويات أكمل مايأتى ‪:‬‬ ‫أ ‪ ........................... = N ∩ M‬ب‬ ‫‪ ∩M‬ع = ‪...........................‬‬ ‫ ‬

‫ج ‪ ∩ N‬ع =‬

‫هـ ب جـ‬

‫‪..................................‬‬

‫‪........................‬‬

‫د ‪C‬ب ∩ ‪=M‬‬

‫‪ ، M‬ب جـ‬

‫و ‪ ∩ N ∩ M‬ع =‬

‫‪........................‬‬

‫‪M‬‬

‫‪...........................‬‬

‫ع‬

‫ب‬

‫‪..............................‬‬

‫جـ‬

‫‪N‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪ 2‬أوجد المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل هرم منتظم حسب البيانات المعطاة‪.‬‬ ‫ج‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫‪ 10‬سم‬

‫‪ 6‬سم‬

‫‪ 15‬سم‬

‫‪ 24‬سم‬

‫‪ 12‬سم‬

‫‪ 20‬سم‬

‫‪ 3‬أوجد المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل مخروط قائم حسب البيانات المعطاة‪.‬‬ ‫ج‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫‪ 12‬سم‬

‫‪ 21‬سم‬

‫‪ 6‬سم‬

‫‪ 9‬سم‬

‫‪ 13‬سم‬

‫‪ 4‬هرم سداسى منتظم طول ضلع قاعدته ‪12‬سم وارتفاعه الجانبى ‪ 3 10‬سم‪ .‬أوجد‪:‬‬ ‫ب مساحته الكلية‬ ‫أ مساحته الجانبية‬ ‫‪ 5‬الربط بالصناعة‪ :‬تصنع عبوات منتجات أحد المصانع من الورق المقوى‬ ‫بطى شبكة المجسم المقابلة‪.‬‬

‫‪ 15‬سم‬

‫‪ 10‬سم‬

‫‪ 13‬سم‬

‫أ أوجد مساحة الورق المقوى المستخدم إلنتاج ‪ 1000‬عبوة‪.‬‬ ‫ب احسب تكاليف الورق المقوى المستخدم إذا كان تكلفة المتر المربع الواحد منه ‪ 15‬جني ًها‪.‬‬

‫طويت قطعة من الورق المقوى على شكل قطاع دائرى طول نصف قطر دائرته ‪36‬سم وقياس زاويته ‪c210‬‬ ‫قائما‪ .‬أوجد ارتفاع المخروط‪.‬‬ ‫لتصنع مخروطًا دائر ًّيا ً‬ ‫(مساحة القطاع = ‪ 2H 12‬هـ ‪ H ، E‬طول نصف قطر دائرة القطاع ‪ ،‬هـ ‪ E‬قياس زاويته المركزية بالراديان)‪.‬‬ ‫أوجد طول نصف قطر دائرة مخروط قائم‪ ،‬إذا كان طول راسمه ‪15‬سم‪ ،‬ومساحته الكلية ‪ r154‬سم‪.2‬‬

‫‪10‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫حجم الهرم والمخروط القائم‬ ‫‪Volumes of pyramids and cones‬‬

‫فكر و‬

‫ناقش‬

‫‪4-3‬‬ ‫سوف تتعلم‬

‫سبق أن تعلمت كيفية حساب حجم المنشور القائم‬ ‫وحجم األسطوانة الدائرية القائمة‪.‬‬

‫ إجياد حجم اهلرم املنتظم‪.‬‬

‫ إجياد حجم املخروط القائم‬

‫ نمذجة وحل مشكالت رياضية‬ ‫وحياتية تتضمن حجم كل من‬ ‫اهلرم املنتظم واملخروط القائم‪.‬‬

‫هل تستطيع تقدير حجم الهرم بداللة حجم المنشور‬ ‫القائم الذى له نفس مساحة قاعدته ونفس ارتفاعه؟‬ ‫هل تستطيع تقدير حجم المخروط القائم بداللة حجم‬ ‫أسطوانة لها نفس مساحة قاعدته ونفس ارتفاعه؟‬

‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬

‫نشاط‬

‫ رأس‬

‫ قاعدة‬

‫المقارنة بين حجمى هرم ومنشور لهما نفس مساحة القاعدة ونفس االرتفاع‪.‬‬

‫‪ -1‬ارسم على ورق مقوى شبكتى الهرم والمنشور‬ ‫الموضحتين فى الرسم أمامك‪.‬‬ ‫‪ -2‬اقطع واطو كل شبكة؛ لتصنع نموذجين أحدهما‬ ‫السطح الجانبى لهرم رباعى‪ ،‬والثانى منشور قائم‬ ‫مفتوح من أعلى‪.‬‬

‫‪ -3‬امأل الهرم بحبات األرز أو الرمل‪ ،‬وأفرغه فى‬ ‫المنشور‪ ،‬كرر ذلك حتى يمتلئ المنشور تما ًما‪.‬‬

‫الحظ أن المحتويات (حبات األرز أو الرمل) التى تلزمك‬ ‫لملئ المنشور سوف تمأل تما ًما ثالثة أهرامات‪.‬‬

‫‪ 4‬سم‬

‫‪ 6‬سم‬

‫‪Base‬‬

‫ وجه‬

‫‪Face‬‬

‫ حمور‬

‫ نصف قطر‬

‫‪ 4‬سم‬ ‫‪ 6‬سم‬

‫‪Vertex‬‬

‫‪ 4‬سم‬

‫ حجم‬

‫‪Axis‬‬ ‫‪Radius‬‬ ‫‪Volume‬‬

‫‪ 4‬سم‬ ‫‪ 5‬سم‬ ‫‪ 5‬سم‬

‫‪ 6‬سم‬

‫األدوات والوسائل‬

‫‪ 5‬سم‬

‫ آلة حاسبة علمية ‪ -‬برامج‬ ‫رسومية للحاسوب‬

‫‪ 5‬سم‬

‫أى أن حجم الهرم = ‪ 13‬حجم المنشور الذى له نفس مساحة قاعدة الهرم (ق)‬ ‫ونفس ارتفاع الهرم (ع)‪.‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪10‬‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬لت��س� ا لتا و� ‬

‫حجم الهرم‬

‫‪Volume of a Pyramid‬‬

‫تعلم‬ ‫حجم الهرم يساوى ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته فى ارتفاعه‪.‬‬

‫ع‬

‫أى أن‪ :‬حجم الهرم = ‪ 13‬ق * ع‬

‫ق‬

‫حيث (ق) مساحة القاعدة ‪( ،‬ع) ارتفاع الهرم‪.‬‬ ‫مثال‬

‫‪ 1‬احسب حجم هرم رباعى منتظم طول ضلع قاعدته ‪18‬سم‪ ،‬وارتفاعه الجانبى ‪15‬سم‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪ 15‬سم‬

‫ع‬

‫أوالً‪ :‬حساب مساحة قاعدة الهرم (ق)‬ ‫‪ a‬الهرم رباعى منتظم ` قاعدته مربعة الشكل‬ ‫ مساحة قاعدة الهرم (ق) = ‪ 324 = 18 * 18‬سم‪2‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫تذكر اأن‬ ‫‪15‬‬

‫سم‬

‫ثان ًيا‪ :‬حساب ارتفاع الهرم (ع)‬ ‫‪ a‬ع‪ 2)15( = 2)9( + 2‬فيثاغورث‬ ‫` ع‪ ، 144 = 2)9( - 2)15( = 2‬ع = ‪ 12‬سم‬ ‫‪ a‬حجم الهرم = ‪ 13‬ق * ع‬ ‫` حجم الهرم = ‪1296 = 12 * 324 * 1‬سم‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ 18‬سم‬

‫ع‬

‫‪ 9‬سم‬

‫‪ 1‬أوجد حجم الهرم المنتظم الموضح بالشكل مستخد ًما البيانات المعطاة‪.‬‬ ‫ج‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫‪ 21‬سم‬ ‫‪ 10‬سم‬

‫‪ 8‬سم‬

‫فكر‪ :‬عند المقارنة بين حجمى مخروط دائرى قائم‬ ‫وأسطوانة قائمة لهما نفس مساحة القاعدة ونفس االرتفاع‬ ‫نجد أن‪:‬‬ ‫حجم المخروط = ‪ 13‬حجم األسطوانة‪.‬‬

‫كيف تفسر ذلك رياض ًّيا؟‬

‫‪10‬‬

‫‪ 14‬سم‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫مساحة سطح مضلع منتظم‬ ‫عدد أضالعه ن‪ ،‬وطول ضلعه‬ ‫س تساوى‬ ‫ن س‪ 2‬ظتا ‪r‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪ 15‬سم‬

‫ن‬

‫‪ 17‬سم‬

‫ااحا رخهلال مرهلاا ر لجح ‪3 3‬‬ ‫حجم المخروط‬

‫‪Volume of a cone‬‬

‫تعلم‬

‫ع‬

‫حجم المخروط يساوى ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته فى ارتفاعه‬ ‫أى أن‪ :‬حجم المخروط = ‪ 2H r 13‬ع‬ ‫حيث (نق) طول نصف قطر دائرة المخروط ‪( ،‬ع) ارتفاع المخروط‬

‫‪H‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 9‬سم‬

‫سم‬ ‫‪1‬‬

‫‪ 14‬سم‬

‫‪3‬‬

‫‪ 2‬أوجد حجم المخروط القائم الموضح بالشكل مستخد ًما البيانات المعطاة‪.‬‬ ‫ب‬ ‫ج‬ ‫أ‬ ‫‪ 24‬سم‬ ‫‪ 26‬سم‬

‫‪ 5‬سم‬

‫مثال‬ ‫‪ 2‬الربط بالفيزياء‪ :‬سبيكة من الذهب الخالص على هيئة مخروط قائم ارتفاعه ‪4٫2‬سم‪ ،‬وطول نصف قطر دائرته‬ ‫‪1٫5‬سم‪ .‬أوجد كثافة الذهب إذا كان كتلة السبيكة ‪191‬جم‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪ a‬حجم المخروط = ‪ 2H r 13‬ع ‪1٫5 = H ،‬سم ‪ ،‬ع = ‪4٫2‬سم‬ ‫` حجم الذهب فى السبيكة = ‪= )4٫2( 2)1٫5( r3‬‬ ‫الكتلة‬ ‫‪ a‬الكثافة =‬ ‫الحجم‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 9٫896‬سم‪3‬‬

‫` كثافة الذهب = ‪191‬‬ ‫‪19٫3 - 9٫896‬‬

‫جم‪/‬سم‪3‬‬

‫‪ 3‬قطعة من الشيكوالتة على هيئة مخروط قائم حجمه ‪r 27‬سم‪ 3‬ومحيط قاعدته ‪r 6‬سم أوجد ارتفاعه‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 3‬الربط بالصناعة‪ :‬هرم خماسى منتظم من النحاس‪ ,‬طول ضلع قاعدته ‪10‬سم‪ ،‬وارتفاعه ‪42‬سم‪ ،‬صهر وحول إلى‬ ‫مخروط دائرى قائم‪ ،‬طول نصف قطر قاعدته ‪15‬سم‪ .‬فإذا علم أن ‪ ٪10‬من النحاس ف ُِق َد أثناء عمليتى الصهر‬ ‫والتحويل‪ ،‬أوجد ارتفاع المخروط ألقرب رقم عشرى واحد‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪ a‬مساحة الخماسى المنتظم = ‪ 5‬س‪ 2‬ظتا ‪r‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫` مساحة قاعدة الهرم = ‪ 10 * 10 * 5‬ظتا ‪172 - 125 = c36‬سم‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ظا ‪c36‬‬

‫حيث س طول ضلعه‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪109‬‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬لت��س� ا لتا و� ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2408 = 42 * 172‬سم‪3‬‬ ‫‪ a‬حجم الهرم = ‪ 3‬مساحة القاعدة * االرتفاع = ‪3‬‬ ‫` حجم النحاس فى المخروط = ‪2167٫2 = 2408 * 90‬سم‪3‬‬ ‫‪100‬‬

‫ ‬ ‫‪ 2)15( r‬ع = ‪ 2167٫2‬حيث ع ارتفاع المخروط القائم‬ ‫‪3‬‬

‫‪3 * 2167٫2‬‬ ‫`ع=‬ ‫‪r225‬‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪9٫2 -‬سم‬

‫وح ِّول إلى مخروط دائرى قائم ارتفاعه ‪21‬سم‪ ،‬أوجد طول نصف‬ ‫‪ 4‬مكعب من الشمع طول حرفه ‪20‬سم ُصهر ُ‬ ‫قطر قاعدة المخروط إذا علم أن ‪ ٪12‬من الشمع فقد أثناء عمليتى الصهر والتحويل‪.‬‬

‫مالحظة هامة‪ :‬تقدر سعة حاوية بحجم السائل الذى تحتويه‪ ،‬ولحساب سعتها‬ ‫تستخدم نفس قوانين حساب الحجوم‪ ،‬ووحدة قياس السعة هى اللتر‪.‬‬ ‫‪ 1‬لتر = ‪ 1000‬ملليلتر = ‪1000‬سم‪ =3‬ديسم‪3‬‬

‫تذكر اأن‬ ‫السعة هى حجم الفراغ‬ ‫الداخلى ألى جسم أجوف‬

‫مثال‬ ‫ع‬

‫‪ 4‬الربط بالكيمياء‪ :‬دورق مخروطى الشكل سعته ‪ 154‬مل‪ .‬ارتفاعه ‪12‬سم‬ ‫‪. ) 22‬‬ ‫أوجد طول نصف قطر قاعدته (‪7 - r‬‬ ‫الحل‬

‫‪154‬سم‪3‬‬

‫سعة الدورق = حجم المخروط القائم =‬ ‫‪49 = 2H ` 154 = 12 * 2H * 22 * 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫` ‪3٫5 = H‬سم‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ ، C 5‬ب كأسان للشراب‪ .‬أيهما سعته أكبر؟‬

‫أوجد الفرق بين سعتيهما‪.‬‬

‫‪110‬‬

‫‪H‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫‪ 5‬سم‬ ‫‪ 11‬سم‬

‫‪ 11‬سم‬ ‫‪ 5‬سم‬

‫ااحا رخهلال مرهلاا ر لجح ‪3 3‬‬ ‫تمـــاريــن (‪)4 - 3‬‬ ‫‪ 1‬أوجد حجم هرم رباعى منتظم طول ضلع قاعدته ‪20‬سم وارتفاعه ‪36‬سم‪.‬‬

‫‪ 2‬احسب ألقرب رقم عشرى واحد‪ ،‬حجم هرم خماسى منتظم طول ضلع قاعدته ‪40‬سم وارتفاعه ‪10‬سم‪.‬‬ ‫‪ 3‬هرم رباعى منتظم ارتفاعه ‪9‬سم‪ ،‬وحجمه ‪300‬سم‪ .3‬أوجد طول ضلع قاعدته‪.‬‬

‫‪ 4‬هرم رباعى منتظم مساحة قاعدته ‪700‬سم‪ ،2‬وارتفاعه الجانبى ‪20‬سم أوجد حجمه‪.‬‬

‫‪ 5‬أيهما أكبر حج ًما؟ مخروط قائم طول نصف قطر قاعدته ‪15‬سم وارتفاعه ‪20‬سم ‪ ،‬أم هرم رباعى منتظم ارتفاعه‬ ‫‪40‬سم ومحيط قاعدته ‪48‬سم‪.‬‬ ‫أوجد حجم مخروط قائم‪ ،‬محيط قاعدته ‪44‬سم وارتفاعه ‪25‬سم‪.‬‬

‫أوجد حجم مخروط قائم‪ ،‬مساحته الجانبية ‪220‬سم وطول راسمه ‪14‬سم‪.‬‬

‫حجما‪.‬‬ ‫حجما إلى األكبر‬ ‫رتب المجسمات التالية من األصغر‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫‪ 13‬سم‬

‫ج‬

‫‪ 10‬سم‬

‫‪ 8‬سم‬

‫‪ 17‬سم‬ ‫‪ 17‬سم‬

‫‪ 9‬سم‬

‫‪ 14‬سم‬

‫‪ 9‬الربط بالسياحة‪ :‬صنع نموذج للهرم األكبر من سبيكة معدنية كثافتها ‪3٫2‬جم‪/‬سم‪ .3‬إذا كان طول ضلع قاعدة‬ ‫النموذج ‪11٫5‬سم وارتفاعه ‪7‬سم ‪ ،‬فاحسب كتلته ألقرب رقم عشرى واحد‪.‬‬

‫‪ 10‬الربط بالفيزياء‪ :‬إناء أسطوانى الشكل به ماء‪ ،‬غمر فيه جسم معدنى على شكل مخروط قائم‪ ،‬ارتفاعه ‪12‬سم وطول‬ ‫كامال ‪ ،‬فارتفع سطح الماء فى اإلناء بمقدار ‪1‬سم‪ .‬أوجد طول قطر قاعدة اإلناء‪.‬‬ ‫غمرا ً‬ ‫نصف قطر قاعدته ‪2‬سم ً‬ ‫‪ 11‬هندسة مدنية‪ :‬صهريج مياه على شكل مخروط قائم‪ ،‬حجمه ‪ r 32‬م‪ 3‬وارتفاعه ‪6‬م‪.‬‬ ‫أوجد طول نصف قطر قاعدته ومساحته الكلية‪.‬‬

‫‪6‬م‬

‫‪ 12‬يوضح الشكل المقابل مستوى إحداثى متعامد‪ ،‬احسب بداللة ‪r‬‬

‫حجم الجسم الناشئ عند دوران المثلث ‪ C‬ب و ‪ ،‬دورة كاملة حول‪:‬‬ ‫أ محور السينات ‪.‬‬ ‫ب محور الصادات‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫س‬

‫ب‬

‫‪ 13‬تفكير إبداعي‪ :‬مخروط دائرى‪ ،‬قائم حجمه ‪100‬سم‪ .3‬أوجد حجمه عندما‪:‬‬ ‫أ يتضاعف ارتفاعه‪ .‬ب يتضاعف طول نصف قطره‪.‬‬ ‫ج يتضاعف ارتفاعه وطول نصف قطره‪ .‬ماذا تستنتج؟ فسر إجابتك‪.‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫ص‬ ‫‪2‬‬

‫و‬

‫‪2-‬‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪111‬‬

‫‪5-3‬‬ ‫سوف تتعلم‬

‫ كتابة معادلة الدائرة بداللة‬ ‫إحداثيى مركزها وطول نصف‬ ‫قطرها‪.‬‬ ‫ الصورة العامة ملعادلة الدائرة‪.‬‬

‫ تعني إحداثيى مركز دائرة وطول‬ ‫نصف قطرها‪ .‬من الصورة‬ ‫العامة ملعادلة الدائرة‪.‬‬ ‫ نمذجة وحل مشكالت حياتية‬ ‫تتضمن معادلة الدائرة‪.‬‬

‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬

‫ دائرة‬

‫‪Circle‬‬

‫ مركز‬

‫‪Center‬‬

‫ نصف قطر‬

‫‪Radius‬‬

‫ قطر‬

‫ مستوى إحداثى‬

‫‪Diameter‬‬

‫‪Cartesian plane‬‬

‫ معادلة‬

‫ صورة عامة‬

‫‪Equation‬‬ ‫‪General Form‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫ آلة حاسبة علمية‬ ‫ ورق مربعات‬

‫معادلة الدائرة‬ ‫‪Equation of a circle‬‬

‫تمهيد‬

‫علمت أن الدائرة هى مجموعة نقط المستوى التى تكون على نفس البعد الثابت من‬ ‫نقطة ثابتة فى المستوى‪.‬‬ ‫‪S‬‬

‫تسمى النقطة الثابتة مركز الدائرة ويرمز لها عادة بالرمز م‬ ‫‪ ،‬كما يسمى البعد الثابت طول نصف قطر الدائرة ويرمز‬ ‫له بالرمز ‪ H‬كما يرمز للدائرة عادة بالرمز د‪.‬‬

‫‪H‬‬ ‫م‬

‫معادلة الدائرة‪:‬‬ ‫معادلة الدائرة هى عالقة بين اإلحداثى السينى واإلحداثى الصادى ألى نقطة تنتمى‬ ‫للدائرة‪ ،‬وكل زوج مرتب (س ‪ ،‬ص) يحقق هذه العالقة (المعادلة) يمثل نقطة تنتمى‬ ‫إلى هذه الدائرة‪.‬‬ ‫فى مستوى إحداثى متعامد‬ ‫إذا كانت النقطة ‪( S‬س ‪ ،‬ص) تنتمى‬ ‫لدائرة د طول نصف قطرها يساوى‬ ‫‪ 4‬وحدات ومركزها النقطة م (‪ )1 ، 2‬فإن‪:‬‬ ‫م‪4 = H = S‬‬

‫وبتطبيق قانون البعد بين نقطتين تكون‪:‬‬ ‫(س ‪( + 2)2 -‬ص ‪2)4( = 2)1 -‬‬ ‫` (س ‪( + 2)2 -‬ص ‪16 = 2 )1 -‬‬ ‫هى معادلة الدائرة د‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫ص‬

‫‪( S‬س‪ ،‬ص)‬

‫د‬

‫‪H‬‬

‫م (‪)1 ،2‬‬

‫و‬

‫س‬

‫‪/‬‬

‫ص‬

‫‪/‬‬

‫تذكر اأن‬ ‫البعد بين النقطتين‬ ‫(س‪ ،1‬ص‪( ،)1‬س‪ ،2‬ص‪)2‬‬ ‫=‬

‫‪112‬‬

‫د‬

‫(س‪-2‬س‪1‬‬

‫)‪2‬‬

‫‪( +‬ص‪ - 2‬ص‪1‬‬

‫)‪2‬‬

‫لرلار ا رل جهم ‪3 3‬‬ ‫تعلم‬ ‫د‬

‫‪( S‬س‪ ،‬ص)‬

‫معادلة الدائرة‬ ‫(بداللة إحداثيى مركزها وطول نصف قطرها)‬ ‫ص ‪ -‬هـ‬ ‫فى مستوى إحداثى متعامد‪:‬‬ ‫إذا كانت النقطة ‪( S‬س ‪ ،‬ص) تنتمى إلى دائرة د مركزها النقطة‬ ‫(‪ ، E‬هـ) وطول نصف قطرها يساوى ‪ H‬من الوحدات‪ ،‬فإن معادلة‬ ‫س‬ ‫الدائرة د هى‪:‬‬ ‫(س ‪( + 2)E -‬ص ‪ -‬هـ)‪2H = 2‬‬ ‫‪The equation of a circle‬‬

‫ص‬

‫‪H‬‬

‫م (‪ ،E‬هـ)‬ ‫و‬ ‫س‪E-‬‬

‫س‬

‫‪/‬‬

‫ص‬

‫‪/‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 1‬اكتب معادلة الدائرة د مركزها النقطة م (‪ ،)2 ، 5‬وطول نصف قطرها يساوى ‪ 6‬وحدات‪.‬‬ ‫الحل‬

‫بفرض أن النقطة ‪( S‬س ‪ ،‬ص) ∈ الدائرة د‬

‫‪ a‬مركز الدائرة م(‪ ، )2 ، 5‬طول نصف قطر الدائرة = ‪ 6‬وحدات‬ ‫` ‪ ، 5 = E‬هـ = ‪6 = H ، 2‬‬ ‫وتكون معادلة الدائرة هى (س ‪( + 2)5 -‬ص ‪ 2)6( = 2)2 -‬أى‪( :‬س ‪( + 2)5 -‬ص ‪36 = 2)2 -‬‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 1‬اكتب معادلة الدائرة إذا كان مركزها‪:‬‬ ‫أ م (‪ ، )3- ، 4‬وطول نصف قطرها يساوى ‪ 5‬وحدات‪.‬‬ ‫ب م (‪ ، )1- ، 7‬وطول قطرها يساوى ‪ 8‬وحدات‪.‬‬ ‫ج م (‪ ، )0 ، 2‬وطول قطرها يساوى ‪ 28‬من الوحدات‪.‬‬ ‫د م (‪ ، )5- ، 0‬وتمر بالنقطة ‪)9- ، 2-(C‬‬ ‫ه نقطة األصل وطول نصف قطرها يساوى ‪ H‬من الوحدات‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 2‬يبين الشكل المقابل الدائرتين د‪ ، 1‬د‪ 2‬أثبت أن الدائرتين متطابقتان‬ ‫ثم أوجد معادلة كل منهما‪.‬‬ ‫الحل‬

‫تتطابق الدائرتان إذا تساوى طوال نصفى قطريهما‪.‬‬ ‫الدائرة د‪ :1‬مركزها (‪ )0 ، 0‬وطول نصف قطرها ‪ 2 = 1H‬وحدة‪.‬‬ ‫الدائرة د‪ :2‬مركزها (‪ )2 ، 5‬وطول نصف قطرها ‪ 2 = 2H‬وحدة‬ ‫` الدائرتان متطابقتان‬ ‫‪2 = 2H = 1H a‬‬

‫ص‬

‫د‬

‫‪2‬‬

‫س ‪6‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫د‬

‫و‬

‫‪1‬‬

‫س‬

‫‪/‬‬

‫ص‬

‫‪/‬‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪113‬‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬لت��س� ا لتا و� ‬

‫ وتكون‪ :‬معادلة د‪ 1‬س‪ + 2‬ص‪، 4 = 2‬‬ ‫الحظ‪ :‬الدائرة د‪ 2‬هى صورة الدائرة د‪ 1‬باالنتقال (‪)2 ، 5‬‬

‫ معادلة د‪( 2‬س ‪( + 2)5 -‬ص ‪4 = 2)2 -‬‬ ‫تذكر اأن‬

‫تفكير ناقد‪ :‬إذا كانت الدائرة د‪ 3‬هى صورة الدائرة د‪ 1‬باالنتقال (‪)3 ، 4-‬‬

‫صورة النقطة (‪ ، E‬هـ) باالنتقال‬

‫فاكتب معادلة الدائرة د‪.3‬‬

‫( م‪ ،‬ن) هى ( ‪+E‬م ‪ ،‬هـ ‪ +‬ن)‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪2‬‬

‫أ اكتب معادلة كل دائرة فى الشكل التالى‬ ‫‪-‬‬

‫د‬

‫‪3‬‬

‫د‬

‫‪2‬‬

‫د‬

‫‪4‬‬

‫د‬

‫‪1‬‬

‫س‬ ‫‪14‬‬

‫‪12‬‬

‫‪10‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫ص‬

‫‪6‬‬

‫د‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫و‬

‫‪2-‬‬

‫‪4-‬‬

‫‪2-‬‬

‫‪8-‬‬

‫‪6-‬‬

‫‪10-‬‬

‫‪12-‬‬

‫‪14-‬س‬

‫‪/‬‬

‫‪ 4-‬ص‬

‫‪/‬‬

‫ب أى الدوائر السابقة متطابقة؟ فسر إجابتك‪.‬‬

‫فكر‪ :‬أين تقع النقطة (س‪ ،1‬ص‪ )1‬بالنسبة للدائرة د‪ ( :‬س‪( + 2)E -‬ص ‪ -‬هـ)‪ 2H= 2‬إذا كان‪:‬‬ ‫ب (س ‪( + 2)E -‬ص ‪ -‬هـ)‪2‬‬ ‫أ ( س ‪( + 2)E -‬ص ‪-‬هـ)‪2H > 2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫< ‪2H‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 3‬بين أن النقطة (‪ )1- ، 4‬هى إحدى نقط الدائرة د التى معادلتها‪( :‬س ‪( + 2)3 -‬ص ‪37 = 2)5 -‬‬ ‫الحل‬

‫بالتعويض بإحداثيي النقطة (‪ )1- ، 4‬فى الطرف األيمن لمعادلة الدائرة‪.‬‬ ‫` (‪ = 37 = 36 + 1 = 2)5 - 1-( + 2)3 - 4‬الطرف األيسر‬ ‫` النقطة (‪ )1- ، 4‬تنتمى إلى الدائرة د‬ ‫الحظ أن‪ :‬للنقطة (س‪ ،1‬ص‪ )1‬فى مستوى الدائرة‬ ‫إذا كان (س‪( + 2)3 - 1‬ص‪ 37 > 2)5 - 1‬فإن النقطة (س‪ ، 1‬ص‪ )1‬تقع خارج الدائرة د‪.‬‬ ‫وإذا كان (س‪( + 2)3 - 1‬ص‪ 37 < 2)5 - 1‬فإن النقطة (س‪ ، 1‬ص‪ )1‬تقع داخل الدائرة د‪.‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 3‬بين أى النقط التالية تنتمى إلى الدائرة د التى معادلتها‪( :‬س ‪( + 2)6 -‬ص ‪ ،25 = 2)1 +‬ثم حدد موضع النقط‬ ‫األخرى بالنسبة إلى الدائرة د حيث‪:‬‬ ‫‪ ، )3 ، 9(C‬ب(‪ ، )5 ، 7‬جـ(‪)3- ، 2(E ، )3 ، 3‬‬

‫‪114‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫لرلار ا رل جهم ‪3 3‬‬ ‫تذكر اأن‬

‫مثال‬

‫إحداثى منتصف المسافة‬ ‫بين النقطتين (س‪ ،1‬ص‪)1‬‬

‫‪ 4‬اكتب معادلة الدائرة التى قطرها ‪ C‬ب حيث ‪ ، )7- ، 2(C‬ب(‪)5 ، 6‬‬ ‫الحل‬

‫بفرض أن النقطة م(‪ ، E‬هـ) مركز للدائرة التى قطرها ‪ C‬ب ‪ ،‬فتكون النقطة‬ ‫م منتصف ‪ C‬ب‬ ‫` احداثيا م‪ ، 4 = 6 +2 2 = E :‬هـ = ‪1- = 5 +2 7-‬‬ ‫‪ C( = 2H ،‬م)‪2])7-( - 1-[ + 2)2 - 4( = 2‬‬

‫(س‪ ،2‬ص‪( = )2‬‬ ‫ص‪ +1‬ص‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫ب (‪)5 ،6‬‬

‫= (‪40 = 2)6( + 2)2‬‬ ‫وتكون معادلة الدائرة هى‪( :‬س ‪[ + 2)4 -‬ص ‪40 = 2])1-( -‬‬ ‫أى (س ‪( + 2)4 -‬ص ‪40 = 2)1 +‬‬

‫فكر‪:‬‬

‫س‪ + 1‬س‪2‬‬

‫‪،‬‬

‫م‬

‫هل تحقق النقطة (‪ )5 ، 6‬معادلة الدائرة؟ لماذا؟‬

‫هل تنتمى النقطة (‪ )7- ، 6‬للدائرة السابقة فسر إجابتك‪.‬‬

‫(‪ ،E‬هـ)‬

‫‪)7- ،2( C‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 4‬اكتب معادلة الدائرة إذا كان‪:‬‬ ‫أ مركزها النقطة م (‪ ،)7 ، 2-‬وتمر بالنقطة ‪)10 ، 2( C‬‬ ‫ب مركزها النقطة م (‪ ،)4 ، 5‬وتمس المستقيم س = ‪2‬‬ ‫ج مركزها م يقع فى الربع األول من المستوى اإلحداثى‪ ،‬وطول نصف قطرها يساوى ‪ 3‬وحدات‪،‬‬ ‫والمستقيمان س = ‪ ، 1‬ص = ‪ 2‬مماسان لها‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 5‬أوجد إحداثيى المركز‪ ،‬وطول نصف قطر كل من الدائرتين‪:‬‬ ‫ب (س ‪ + 2)1 +‬ص‪16 = 2‬‬ ‫أ (س ‪( + 2)2 -‬ص ‪17 = 2)3 +‬‬ ‫الحل‬

‫نعلم أن معادلة الدائرة بداللة إحداثيى المركز (‪ ، E‬هـ) وطول نصف قطرها ‪ H‬هى‪:‬‬ ‫(س ‪( + 2)E -‬ص ‪ -‬هـ)‪2H = 2‬‬ ‫بمقارنة كل مقدار جبرى فى المعادلة بنظيره فى المعادالت المعطاة نجد‪:‬‬ ‫` ‪2 = E‬‬ ‫أ س ‪ = E -‬س ‪2 -‬‬ ‫` هـ = ‪3-‬‬ ‫ص ‪ -‬هـ = ص ‪3 +‬‬ ‫‪17 = 2H‬‬ ‫` ‪17 = H‬‬ ‫فيكون مركز الدائرة النقطة (‪ )3- ، 2‬وطول نصف قطرها يساوى ‪ 17‬وحدة‪.‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪115‬‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬لت��س� ا لتا و� ‬

‫` ‪1- = E‬‬ ‫ب س ‪=E -‬س‪1+‬‬ ‫` هـ = ‪0‬‬ ‫ص ‪ -‬هـ = ص‬ ‫`‪4=H‬‬ ‫ ‪16 = 2H‬‬ ‫` مركز الدائرة النقطة (‪ )0 ، 1-‬وطول نصف قطرها يساوى ‪ 4‬وحدات‪.‬‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 5‬أى من الدوائر المعطاة يمثل دائرة مركزها (‪ )4- ، 3‬وطول نصف قطرها ‪ 3‬وحدات‪.‬‬ ‫ب (س ‪( + 2)3 +‬ص ‪9 = 2)4 -‬‬ ‫أ (س ‪( + 2)3 -‬ص ‪9 = 2)4 -‬‬ ‫د (س ‪( + 2)3 +‬ص ‪9 = 2)4 +‬‬ ‫ج (س ‪( + 2)3 -‬ص ‪9 = 2)4 +‬‬ ‫أوجد إحداثى المركز وطول نصف القطر لكل من الدوائر اآلتية‪-:‬‬ ‫ب س‪( + 2‬ص ‪9 = 2)4 +‬‬ ‫أ (س ‪( + 2)3 -‬ص ‪15 = 2)5 +‬‬ ‫ج (س ‪( + 2)1 +‬ص ‪3 = 2)7 +‬‬ ‫د (س ‪ - 13 = 2)1 +‬ص‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫تعلم‬ ‫ال�شورة العامة لمعادلة الدائرة‬ ‫علمت أن معادلة الدائرة التى مركزها (‪ ، E‬هـ) وطول نصف قطرها يساوى ‪ H‬من الوحدات‪:‬‬ ‫هى‪( :‬س ‪( + 2)E -‬ص ‪ -‬هـ)‪2H = 2‬‬ ‫بفك األقواس‬ ‫(‪)1‬‬ ‫` س‪ + 2‬ص‪ E 2 - 2‬س ‪2 -‬هـ ص ‪ + 2E +‬هـ‪ = 2H - 2‬صفر‬ ‫ثوابت ` المقدار ‪ + 2E‬هـ‪ = 2H - 2‬جـ حيث (جـ مقدار ثابت)‬ ‫‪ ، E a‬هـ ‪H ،‬‬ ‫ بوضع ل = ‪ ، E -‬ك = ‪-‬هـ ‪ ،‬جـ = ‪ + 2E‬هـ‪2H - 2‬‬

‫‪General form of the equation of a circle‬‬

‫تصبح المعادلة (‪ )1‬على الصورة‬

‫س‪ + 2‬ص‪2 + 2‬ل س ‪2 +‬ك ص ‪ +‬جـ = ‪0‬‬

‫وتسمى بالصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها (‪-‬ل ‪- ،‬ك) وطول نصف قطرها يساوى ‪ H‬حيث‬ ‫‪ = H‬ل‪ + 2‬ك‪- 2‬جـ ‪ ،‬ل‪ + 2‬ك‪ - 2‬جـ > ‪0‬‬ ‫مثال‬ ‫أوجد الصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها (‪ )3- ، 6‬وطول نصف قطرها يساوى ‪ 5‬وحدات‪.‬‬ ‫الحل‬

‫‪ a‬مركز الدائرة (‪-‬ل ‪- ،‬ك) فى الصورة العامة لمعادلة الدائرة‬ ‫‪ ،‬مركز الدائرة (‪ )3- ، 6‬معطى‬ ‫` ل = ‪ ، 6-‬ك = ‪3‬‬ ‫‪ , 5 = H a‬جـ = ل‪ + 2‬ك‪2H - 2‬‬ ‫` جـ = (‪20 = 2)5( - 2)3( + 2)6-‬‬

‫‪11‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫لرلار ا رل جهم ‪3 3‬‬ ‫وتكون الصورة العامة لمعادلة الدائرة هى‪ :‬س‪ + 2‬ص‪12 - 2‬س ‪6 +‬ص ‪ = 20 +‬صفر‪.‬‬ ‫يمكن التحقق من صحة الحل باستخدام معادلة الدائرة‪( :‬س ‪( + 2)6 -‬ص ‪ 25 = 2)3 +‬ثم تبسيطها ومقارنة النتائج‬ ‫حاول أن تحل‬

‫اكتب الصورة العامة لمعادلة الدائرة إذا كان‪:‬‬ ‫أ مركزها النقطة م (‪ ،)5 ، 2-‬وطول نصف قطرها يساوى ‪ 57‬وحدة‪.‬‬ ‫ب مركزها النقطة ن (‪ ،)3- ، 5‬وتمر بالنقطة ب (‪.)1 ، 2‬‬ ‫مثال‬

‫اكتب الصورة العامة لمعادلة دائرة إذا كانت النقطتان ‪ , )2 ، 4(C‬ب(‪ )3- ، 1-‬طرفى قطر فيه‪.‬‬ ‫الحل‬

‫بفرض ان النقطة م (‪-‬ل ‪- ،‬ك) مركز للدائرة التى قطرها ‪ C‬ب‬

‫` م منتصف ‪ C‬ب ويكون إحداثيا النقطة م هما ( ‪) 3 2- 2 ، 1 2- 4‬‬ ‫أى ل = ‪3-‬‬ ‫` ‪-‬ل = ‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)2 ،4( C‬‬ ‫أى ك = ‪1‬‬ ‫ ‪ -‬ك = ‪1-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ بالتعويض عن ل ‪ ،‬ك فى الصورة العامة لمعادلة الدائرة‬ ‫س‬ ‫م (‪-‬ل‪- ،‬ك)‬ ‫ س‪ + 2‬ص‪2 + 2‬ل س ‪ 2 +‬ك ص ‪ +‬جـ = ‪0‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫` س‪ + 2‬ص‪3 - 2‬س ‪ +‬ص ‪ +‬جـ = ‪0‬‬ ‫‪ a‬الدائرة تمر بالنقطة ‪ )2 ، 4(C‬فهى تحقق معادلتها‬ ‫` (‪ + 2 + )4(3 - 2)2( + 2)4‬جـ = ‪ 0‬أى جـ = ‪10-‬‬ ‫ بالتعويض فى المعادلة (‪)1‬‬ ‫` الصورة العامة لمعادلة الدائرة هى‪ :‬س‪ + 2‬ص‪3 - 2‬س ‪ +‬ص ‪ = 10 -‬صفر‬

‫ص‬

‫و‬

‫س‬

‫‪/‬‬

‫ص‬

‫‪/‬‬

‫ب (‪)3- ،1-‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫إذا كانت النقط ‪ ، )2- ، 3(C‬ب (‪ ، )8 ، 3‬جـ (‪ )0 ، 1-‬تنتمى إلى دائرة واحدة‪ .‬فأثبت أن ‪ C‬ب قطر فيها‪ ،‬ثم‬ ‫اكتب الصورة العامة لمعادلتها‪.‬‬

‫مالحظة هامة‬

‫نستنتج أن‬

‫من الصورة العامة لمعادلة الدائرة س‪ + 2‬ص‪2 + 2‬ل س ‪ 2 +‬ك ص ‪ +‬جـ = ‪0‬‬ ‫ً‬ ‫أوال‪ :‬المعادلة من الدرجة الثانية فى س ‪ ،‬ص‬ ‫ثان ًيا‪ :‬معامل س‪ = 2‬معامل ص‪ = 2‬الوحدة‬ ‫ثال ًثا‪ :‬خالية من الحد الذى يحتوى س ص أى معامل س ص = ‪0‬‬ ‫ولكى تمثل معادلة من الدرجة الثانية فى س ‪ ،‬ص دائرة يلزم تحقق الشروط الثالثة السابقة‬ ‫وأن يكون ل‪ + 2‬ك‪ - 2‬جـ > ‪0‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪11‬‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬لت��س� ا لتا و� ‬

‫تعلم‬ ‫تعيين اإحداثيي مركز دائرة وطول ن�شف قطرها‬ ‫لتعيين إحداثيى مركز دائرة وطول نصف قطرها من الصورة العامة لمعادلتها‪:‬‬ ‫‪ -1‬تحقق ً‬ ‫أوال من وضع المعادلة فى الصورة العامة حيث معامل س‪ = 2‬معامل ص‪ = 2‬الوحدة‬ ‫‪ -2‬احداثيا المركز (‪-‬ل ‪- ،‬ك)‬

‫ أى ‪ - j‬معامل س ‪ - ،‬معامل ص `‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ -3‬طول نصف قطر الدائرة يساوى ‪ H‬حيث ‪ = H‬ل‪ + 2‬ك‪ - 2‬جـ ‪ ،‬ل‪ + 2‬ك‪ - 2‬جـ > ‪0‬‬ ‫مثال‬ ‫أى المعادالت اآلتية تمثل دائرة؟ وإذا كانت معادلة دائرة أوجد مركزها وطول نصف قطرها‪.‬‬ ‫ب س‪ + 2‬ص‪4 + 2‬س ‪0 = 25 +‬‬ ‫أ ‪3‬س‪2 + 2‬ص‪6 + 2‬س ‪8 -‬ص ‪0 = 10 -‬‬ ‫د ‪4‬س‪4 + 2‬ص‪49 = 2‬‬ ‫ج ‪2‬س‪2 + 2‬ص‪12 - 2‬س ‪8 +‬ص ‪0 = 30 -‬‬ ‫هـ س‪ + 2‬ص‪ 2 +2‬س ص ‪ = 3 +‬صفر‬ ‫الحل‬

‫أ‬ ‫ب‬

‫ج‬

‫د‬

‫هـ‬

‫معامل س‪ ! 2‬معامل ص‪2‬‬ ‫` المعادلة ليست لدائرة‬ ‫معامل س‪ = 2‬معامل ص‪ = 2‬الوحدة ‪ ،‬المعادلة خالية من الحد المحتوى على س ص‬ ‫ل = ‪ ، 2 = 42‬ك = ‪ ، 0 = 02‬جـ = ‪25‬‬ ‫` المعادلة ليست لدائرة‬ ‫` ل‪ + 2‬ك‪ - 2‬جـ = (‪0 < 25 - 2)0( + 2)2‬‬ ‫بقسمة طرفى المعادلة على ‪ ` 2‬س‪ + 2‬ص‪6 - 2‬س ‪4 +‬ص ‪0 = 15 -‬‬ ‫` معامل س‪ = 2‬معامل ص‪ = 2‬الوحدة ‪ ،‬المعادلة خالية من الحد المحتوى على س ص‬ ‫ ل = ‪ ، 3-‬ك = ‪ ، 2‬جـ = ‪15-‬‬ ‫` ل‪ + 2‬ك‪ - 2‬جـ = (‪0 > 28 = )15-( - 2)2( + 2)3-‬‬ ‫` المعادلة لدائرة مركزها (‪ 7 2 = 28 = H ، )2- ، 3‬وحدة‬ ‫` س‪ + 2‬ص‪49 = 2‬‬ ‫بقسمة طرفى المعادلة على ‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫` معامل س‪ = 2‬معامل ص‪ = 2‬الوحدة ‪ ،‬المعادلة خالية من الحد المحتوى على س ص‬ ‫ ل = ‪ ، 0‬ك = ‪ ، 0‬جـ = ‪49‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪49‬‬ ‫` المعادلة لدائرة مركزها نقطة األصل ‪ 2 = 4 = H ،‬وحدة‬ ‫‪0 > 49‬‬ ‫` ل ‪ +‬ك ‪ -‬جـ = ‪4‬‬ ‫المعادلة تحتوى على س ص ` المعادلة ليست دائرة‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 9‬أى المعادالت اآلتية تمثل دائرة؟ وإذا كانت معادلة دائرة‪ ،‬أوجد مركزها وطول نصف قطرها‪.‬‬ ‫ب س‪ + 2‬ص‪4 + 2‬س ‪2 -‬ص = ‪0‬‬ ‫أ س‪ + 2‬ص‪6 - 2‬س ‪4 +‬ص ‪0 = 17 +‬‬ ‫د س‪ + 2‬ص‪2 - 2‬س ص ‪0 = 6 -‬‬ ‫ج ‪2‬س‪2 + 2‬ص‪4 - 2‬س ‪0 = 39 +‬‬

‫‪11‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫لرلار ا رل جهم ‪3 3‬‬ ‫تفكير ناقد‪ :‬هل الدائرتان د‪ :1‬س‪ + 2‬ص‪10 - 2‬س ‪8 -‬ص ‪0 = 16 +‬‬ ‫د‪ :2‬س‪ + 2‬ص‪14 + 2‬س ‪ 10 +‬ص ‪ 0 = 26 -‬متماستان من الخارج؟ فسر إجابتك‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫نمذجة مواقف رياضية وحياتية‬ ‫‪ 9‬الربط بالصناعة‪ :‬يوضح الشكل المقابل بكرة ‪ C‬فى آلة تمس‬ ‫محورى اإلحداثيات‪ ،‬تدور بواسطة سير‪ ،‬يمر على بكرة‬ ‫صغيرة ب معادلة دائرتها‪ :‬س‪ + 2‬ص‪14 + 2‬س ‪ 0 = 45 +‬أوجد‪:‬‬ ‫أ معادلة دائرة البكرة ‪ C‬إذا كان طول نصف قطرها‬ ‫يساوى ‪ 5‬وحدات‪.‬‬ ‫ب البعد بين مركزى البكرتين إذا كان كل وحدة من‬ ‫المستوى اإلحداثى تمثل ‪6‬سم‪.‬‬

‫ص‬

‫‪C‬‬ ‫س‬

‫و‬

‫س‬

‫‪/‬‬

‫ب‬

‫ص‬

‫‪/‬‬

‫الحل‬

‫أ ‪ a‬البكرة ‪ C‬تمس محورى اإلحداثيات ‪ ،‬وطول نصف قطرها يساوى ‪ 5‬وحدات‪.‬‬ ‫أى ل = ‪ ، 5-‬ك = ‪5-‬‬ ‫` مركز دائرتها النقطة م(‪)5 ، 5‬‬ ‫‪ a‬جـ = ل‪ + 2‬ك‪2H - 2‬‬ ‫` جـ = (‪25 = 2)5( - 2)5-( + 2)5-‬‬ ‫وتكون معادلتها‪ :‬س‪ + 2‬ص‪10 - 2‬س ‪10 -‬ص ‪ = 25 +‬صفر‬

‫ب ‪ a‬معادلة دائرة البكرة ب‪ :‬س‪ + 2‬ص‪14 + 2‬س ‪0 = 45 +‬‬ ‫` ل = ‪ 7‬ك = ‪ 0‬جـ = ‪2 = 45 - 49 = H 45‬‬ ‫ ويكون مركزها النقطة ن (‪ )0 ، 7-‬وطول نصف قطرها يساوى ‪ 2‬وحدة‬ ‫` البعد بين مركزى البكرتين = م ن = (‪ 13 = 2)5( + 2)7 + 5‬وحدة‬ ‫‪ a‬كل وحدة فى المستوى اإلحداثى ثمثل ‪6‬سم‬ ‫` البعد بين البكرتين = ‪78 = 6 * 13‬سم‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 10‬الربط بالطرق‪ :‬يوضح الشكل المقابل مقط ًعا رأس ًّيا فى أحد األنفاق‬ ‫الدائرية لمرور السيارات معادلة دائرته‪:‬‬ ‫س‪ + 2‬ص‪4 - 2‬س ‪6 -‬ص ‪ C ، 0 = 12 -‬ب قطر فيها‪.‬‬ ‫أوجد أقصى ارتفاع للنفق إذا كانت وحدة األطوال فى المستوى‬ ‫اإلحداثى تمثل ‪70‬سم‪.‬‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 10‬الربط بالهندسة‪ :‬أوجد ألقرب سنتيمتر مربع مساحة سطح شكل خماسى منتظم تمر برؤوسه الدائرة‪:‬‬ ‫س‪ + 2‬ص‪6 + 2‬س ‪12 -‬ص ‪ 0 = 5 +‬عل ًما بأن كل وحدة فى المستوى اإلحداثى تمثل ‪5‬سم‪.‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪119‬‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬لت��س� ا لتا و� ‬ ‫الحل‬

‫بفرض أن م مركز الدائرة المارة برؤوس الخماسى المنتظم ‪ C‬ب جـ ‪ E‬هـ فيكون‪:‬‬ ‫‪ C‬ب = ب جـ = جـ ‪ E = E‬هـ = ‪ C‬هـ (وهى أوتار فى الدائرة م)‬ ‫‪c72 = c360‬‬ ‫جـ‬ ‫م‬ ‫هـ‬ ‫` ‪ Cc(X‬م ب) = ‪c(X‬ب م جـ) = ‪5 = .......‬‬ ‫ويالحظ تقسيم الشكل ‪ C‬ب جـ ‪ E‬هـ إلى ‪ 5‬مثلثات متطابقة‬ ‫أى أن مساحة الخماسى المنتظم = ‪ * 5‬مساحة ‪ 9‬م ‪ C‬ب‬ ‫= ‪ 12 * 5‬م ‪ * C‬م ب جا ‪c72‬‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫ (‪)1‬‬ ‫= ‪ 2H 52‬جا ‪c72‬‬ ‫من معادلة الدائرة‪ :‬ل = ‪ 3‬ك = ‪ 6-‬جـ = ‪5‬‬ ‫` ‪ 40 = 5 - 36 + 9 = 2H‬وبالتعويض فى (‪)1‬‬ ‫‪ = 2H a‬ل‪ + 2‬ك‪ - 2‬جـ‬ ‫تذكر اأن‬ ‫` مساحة الخماسى المنتظم = ‪ )40( 52‬جا ‪ 95٫10565 = c72‬وحد مربعة‬ ‫مساحة اي مضلع منتظم =‬ ‫‪ a‬كل وحدة طول فى المستوى اإلحداثى تمثل ‪5‬سم‬ ‫‪ 2H K‬جا ‪360‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪2‬‬ ‫` الوحدة المربعة فى المستوى اإلحداثى تمثل مساحة قدرها (‪25 = 2)5‬سم‪2‬‬ ‫حيث ‪ H‬نصف قطر الدائرة‬ ‫ وتكون مساحة الخماسى المنتظم = ‪ 2378 - 25 * 95٫10565‬سم‪2‬‬ ‫المار برؤوسه‪ K ،‬عدد أضالع‬ ‫‪E‬‬

‫المضلع‪.‬‬

‫تمـــاريـــن (‪)5 - 3‬‬ ‫اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة‪:‬‬ ‫‪ 1‬النقطة (‪ )0 ، 2‬تقع على‬ ‫أ محور السينات‬

‫ب محور الصادات‬

‫ج المستقيم ص = ‪2‬س‬

‫د الدائرة س‪ + 2‬ص‪9 = 2‬‬

‫‪ 2‬إذا كانت ‪ ، )7- ، 3(C‬ب(‪ )5 ، 3-‬فإن إحداثيى النقطة التى تنصف ‪ C‬ب هما‬ ‫ج (‪)1- ، 0‬‬ ‫ب (‪)0 ، 1‬‬ ‫أ (‪)1 ، 0‬‬

‫د (‪)0 ، 1-‬‬

‫‪ 3‬المسافة بين النقطتين (‪ )2- ، 10( ، )4 ، 2‬تساوى‬ ‫ب ‪10‬‬ ‫أ ‪9‬‬

‫د ‪6‬‬

‫ج ‪10 3‬‬

‫‪ 4‬الدائرة س‪ + 2‬ص‪ 25 = 2‬مركزها (‪ )0 ، 0‬وتمر بالنقطة‬ ‫ج (‪)0 ، 25‬‬ ‫ب (‪)0 ، 5‬‬ ‫أ (‪)4 ، 1‬‬

‫د (‪)1 ، 5‬‬

‫‪ 5‬معادلة الدائرة التى مركزها (‪ )5- ، 3‬وطول نصف قطرها يساوى ‪ 7‬وحدات هى‪-:‬‬ ‫ب (س ‪( + 2)3 +‬ص ‪49 = 2)5 -‬‬ ‫أ (س ‪( + 2)3 -‬ص ‪49 = 2)5 -‬‬ ‫د (س ‪( + 2)3 -‬ص ‪49 = 2)5 +‬‬ ‫ج (س ‪( + 2)3 +‬ص ‪49 = 2)5 -‬‬

‫‪120‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫لرلار ا رل جهم ‪3 3‬‬ ‫محيط الدائرة التى معادلتها س‪ + 2‬ص‪8 = 2‬‬ ‫ب ‪r 64‬‬ ‫أ ‪r8‬‬

‫ج ‪r2 2‬‬

‫اكتب معادلة الدائرة التى مركزها م وطول نصف قطرها ‪ H‬إذا كان‪:‬‬ ‫ب م(‪4 = H ، ) 0 ، 0‬‬ ‫أ م ( ‪5 = H ، )3 ،2‬‬ ‫ج م (‪6 = H ، )0 ،3‬‬ ‫د م(‪7 = H ، )5- ، 4‬‬ ‫و م(‪3 = H ، )3- ، 4-‬‬ ‫ه م (‪3 2 = H ، )1- ،0‬‬ ‫اكتب معادلة الدائرة التى يمثلها الرسم المعطى‬ ‫ص‬

‫أ‬

‫‪2‬‬

‫ب‬

‫‪4‬‬

‫س‬

‫‪2‬‬

‫س‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫س‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2-‬‬

‫‪3‬‬

‫س‬

‫‪3-‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫ص‬

‫د‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫ج‬

‫ه‬

‫ص‬

‫‪4-‬‬

‫ص‬

‫س‬

‫د ‪r2 4‬‬

‫‪2‬‬

‫ص‬

‫‪4-‬‬

‫و‬

‫‪8-‬‬

‫‪4-‬‬

‫‪3 6‬‬

‫‪8-‬‬

‫‪ 9‬أوجد معادلة الدائرة إذا كان‪:‬‬

‫أ مركزها النقطة م (‪ ،)5- ، 7‬وتمر بالنقطة ‪.)2 ، 3(C‬‬ ‫ب ‪ C‬ب قطر فى الدائرة حيث ‪ ، )4- ، 6(C‬ب(‪.)2 ، 0‬‬ ‫ج مركزها النقطة (‪ ،)3- ، 5‬وتمس محور السينات‪.‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪121‬‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬لت��س� ا لتا و� ‬

‫‪ 10‬أوجد إحداثيى المركز‪ ،‬وطول نصف القطر لكل من الدوائر اآلتية‪:‬‬ ‫ب (س ‪( + 2)3 +‬ص ‪49 = 2)5 -‬‬ ‫أ س‪ + 2‬ص‪27 = 2‬‬ ‫د س‪( + 2‬ص ‪24 = 2)7 +‬‬ ‫ج (س ‪ + 2)2 -‬ص‪16 = 2‬‬

‫‪ 11‬اكتب الصورة العامة لمعادلة الدائرة فى الحاالت اآلتية‪:‬‬ ‫ب مركزها م (‪ ،)0 ، 0‬وتمر بالنقطة ‪)3 ، 1-( C‬‬ ‫أ مركزها م(‪ ،)1 ، 3‬وطول قطرها يساوى ‪.8‬‬ ‫د ‪ C‬ب قطر فيها حيث ‪ ، )7- ، 3(C‬ب(‪)1 ، 5‬‬ ‫ج مركزها م (‪ ،)0 ، 5-‬وتمر بالنقطة ب (‪)4 ، 3‬‬ ‫‪ 12‬أوجد إحداثيى المركز‪ ،‬وطول نصف القطر لكل من الدوائر اآلتية‬ ‫ب س‪ + 2‬ص‪2 + 2‬س = ‪8‬‬ ‫أ س‪ + 2‬ص‪4 - 2‬س ‪6 +‬ص ‪0 = 12 -‬‬ ‫د س‪ + 2‬ص‪8 - 2‬س = ‪12‬‬ ‫ج س‪ + 2‬ص‪6 - 2‬س ‪10 +‬ص = ‪0‬‬ ‫‪ 13‬بين أى دائرتين مما يلى متطابقتان‬ ‫أ س‪ + 2‬ص‪2 - 2‬س ‪4 +‬ص ‪0 = 3 -‬‬ ‫ب س‪ + 2‬ص‪14 - 2‬س ‪0 = 37 +‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫س‪ + 2‬ص‪6 + 2‬س ‪0 = 11 -‬‬ ‫س‪ + 2‬ص‪10 + 2‬س ‪0 = 13 +‬‬

‫‪ 14‬بين أى المعادالت اآلتية لدائرة ‪ ،‬ثم أوجد مركزها وطول نصف قطرها‪:‬‬ ‫ب س‪2 + 2‬ص‪6 + 2‬س ‪5 -‬ص = ‪0‬‬ ‫أ س‪+ 2‬ص‪8 + 2‬س ‪16 -‬ص ‪0 = 1-‬‬ ‫د س‪ + 2‬ص‪2 + 2‬س ص ‪0 = 12 -‬‬ ‫ج ‪ 14‬س‪ 14 + 2‬ص‪ + 2‬س ‪0 = 8 -‬‬ ‫و ‪2‬س‪2 + 2‬ص‪3 + 2‬ص ‪0 = 8 -‬‬ ‫ه س‪ + 2‬ص‪2 - 2‬س ‪4 +‬ص ‪0 = 7 +‬‬

‫‪ 15‬المالحة البحرية‪ :‬يقع رادار عند الموقع ‪ )9- ، 7(C‬ويغطى منطقة دائرية طول نصف قطرها يساوى ‪ 30‬وحدة‬ ‫طول‪ .‬اكتب معادلة الدائرة التى تحدد مجال عمل الرادار فى المستوى اإلحداثى‪ .‬هل يمكن للرادار رصد‬ ‫سفينة فى الموقع ب (‪)30- ، 25‬؟ فسر إجابتك‪.‬‬

‫‪ 1‬التصميم المعمارى‪ :‬صمم مهندس معمارى مبنى قاعدته على شكل ثمانى منتظم‪ ،‬تمر رؤوسه بالدائرة‬ ‫س‪ + 2‬ص‪4 - 2‬س ‪12 +‬ص ‪ 0 = 60 -‬احسب مساحة قاعدة المبنى ألقرب وحدة مربعة‪.‬‬ ‫ص‬

‫‪ 1‬الصناعة‪ :‬يبين الشكل المقابل ترسين فى آلة مركزيهما يقعا على مستقيم يوازى‬ ‫محور الصادات وأقصى بعد بين حافتيهما ‪ 10‬وحدات‪ .‬أوجد معادلة الترس األصغر‬ ‫علما بأن معادلة الترس األكبر هى‪ :‬س‪ + 2‬ص‪10 - 2‬س ‪8 -‬ص ‪0 = 32 +‬‬ ‫ً‬

‫‪10‬‬

‫س‬

‫‪ 1‬تفكير ابداعى‪ :‬أوجد معادلة الدائرة التى تمر بالنقطتين ‪ ، )3 ، 1(C‬ب(‪ )4- ، 2‬ويقع مركزها على محور‬ ‫السينات‪.‬‬

‫‪122‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫للر��ا ر�الم‬

‫ملخ�ص الوحدة‬ ‫مفاهيم ومسلمات‬

‫المستقيم‪ :‬أى نقطتين فى الفراغ يمر بهما مستقيم وحيد‪.‬‬

‫المستوى هو سطح ال حدود له‪ ،‬بحيث إن المستقيم المار بأى نقطتين فيه يقع بأكمله على ذلك السطح‪.‬‬

‫الفراغ هو مجموعة غير منتهية من النقاط‪ ،‬ويحتوى جميع األشكال والمستويات والمجسمات‪ ،‬ويحتوى الفراغ‬ ‫على األقل أربع نقاط مختلفة غير مستوية‪.‬‬ ‫العالقة بين مستقيمين مختلفين فى الفراغ ‪ )1‬متقاطعان‪ :‬إذا تقاطعا فى نقطة واحدة‪ )2 .‬متوازيان ‪ :‬إذا وقعا فى‬ ‫مستوى واحد ولم يتقاطعا‪ )3 .‬متخالفان‪ :‬ال يجمعهما مستوى واحد (غير متقاطعين وغير متوازيين)‪.‬‬ ‫العالقة بين مستقيم ومستوى فى الفراغ‪ )1 :‬المستقيم يقطع المستوى فى نقطة‪ )2 .‬المستقيم يقع بتمامه فى المستوى‪.‬‬

‫‪ )3‬المستقيم اليشترك مع المستوى فى أى نقطة وفى هذه الحالة يكون المستوى والمستقيم متوازيان‪.‬‬

‫العالقة بين مستويين مختلفين فى الفراغ‪ )1 :‬يتقاطعان فى خط مستقيم‪ )2 .‬المستويان متوازيان‪ )3 .‬المستويان منطبقان‬

‫شكال ثالثي األبعاد‪.‬‬ ‫شبكة الجسم هى شكل ذو بعدين يمكن طيه؛ ليكون‬ ‫ً‬ ‫الهرم هو مجسم له قاعدة واحدة وجميع أوجهه األخرى مثلثات تشترك‬ ‫فى رأس واحدة‪ .‬ويسمى الهرم حسب عدد أضالع مضلع قاعدته فيكون‬ ‫هر ًما ثالث ًيا أو رباع ًّيا أو خماس ًّيا‪ ..‬وهكذا‪.‬‬

‫ارتفاع‬ ‫جانبى‬

‫ارتفاع الهرم (ع)‬

‫الهرم المنتظم هرم قاعدته مضلع منتظم مركزه موقع العمود المرسوم من‬ ‫رأس الهرم عليها فنجد‪:‬‬ ‫½ أحرفه الجانبية متساوية فى الطول‪.‬‬ ‫½ أوجهه الجانبية سطوح مثلثات متساوية الساقين ومتطابقة‪.‬‬ ‫½ االرتفاعات الجانبية متساوية‬

‫قاعدة‬

‫الهرم القائم يكون الهرم قائ ًما إذا وفقط إذا كان موقع العمود المرسوم من رأس الهرم على قاعدته يمر بمركزها الهندسي‪.‬‬

‫المخروط الدائري القائم هو الجسم الذى ينشأ من دوران مثلث قائم الزاوية حول أحد ضلعى القائمة دورة كاملة‪.‬‬ ‫المساحة الجانبية للهرم = ‪ 12‬محيط قاعدته * ارتفاعه الجانبى‪.‬‬ ‫المساحة الكلية للهرم = مساحته الجانبية ‪ +‬مساحة قاعدته‪.‬‬

‫المساحة الجانبية للمخروط القائم =‪ r‬ل‪ H‬حيث ل طول راسمه ‪ H ،‬طول نصف قطر قاعدته‪.‬‬ ‫المساحة الكلية للمخروط القائم = ‪ r‬ل‪ ( H r= 2H r+ H‬ل ‪.) H+‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪123‬‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬لت��س� ا لتا و� ‬

‫حجم الهرم يساوى ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته * ارتفاعه‪.‬‬

‫حجم المخروط يساوى ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته * ارتفاعه‪.‬‬

‫الدائرة‪ :‬هى مجموعة نقط المستوى التى تكون على نفس البعد الثابت من نقطة ثابتة فى المستوى‪.‬‬

‫معادلة الدائرة ‪ :‬معادلة الدائرة التى مركزها النقطة (‪ ،E‬هـ) وطول نصف قطرها يساوى‪ H‬هى‪ ( :‬س ‪( + 2)E-‬ص ‪ -‬هـ)‪2H= 2‬‬

‫الصورة العامة لمعادلة الدائرة‪ :‬الصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها النقطة (‪-‬ل ‪- ،‬ك) وطول نصف قطرها يساوى ‪H‬‬

‫هى‪ :‬س‪+ 2‬ص‪ 2 + 2‬ل س ‪ 2 +‬ك ص ‪ +‬جـ = صفر‬

‫حيث‪= H‬‬

‫ل‪ + 2‬ك‪ -2‬جـ‬

‫‪ ،‬ل‪ + 2‬ك‪ - 2‬جـ >‪0‬‬

‫لتعيين إحداثى مركز دائرة وطول نصف قطرها من الصورة العامة لمعادلتها‬

‫ال من وضع المعادلة فى الصورة العامة حيث‪ :‬معامل س‪ = 2‬معامل ص‪ = 2‬الوحدة‬ ‫½ تحقق أو ً‬ ‫ معامل س ‪-‬‬‫معامل ص )‬ ‫‪،‬‬ ‫½ إحداثيا المركز (‪-‬ل ‪ - ،‬ك) أى (‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫½ طول نصف قطر الدائرة يتعين من العالقة ‪ = H‬ل‪ + 2‬ك‪ - 2‬جـ ‪ ،‬حيث ل‪ + 2‬ك‪ - 2‬جـ > ‪0‬‬

‫تمارين عامة (الوحدة الثالثة)‬ ‫أكمل كل ممايأتى‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪9‬‬

‫تحديدا تا ًّما إذا علم عليه ‪.......................................................................................................................................................‬‬ ‫يتحدد المستقيم‬ ‫ً‬ ‫المستقيمان المتخالفان اليمكن أن يحتويهما ‪..............................................................................................................................................‬‬ ‫يكون المستويان منطبقان إذا اشتركا فى ‪..........................................................................................................................................................‬‬ ‫األوجه الجانبية فى الهرم المنتظم ‪...............................................................................................................................................................................‬‬ ‫االرتفاعات الجانبية فى الهرم المنتظم ‪...................................................................................................................................................................‬‬ ‫ارتفاع المخروط القائم‪ .................................................‬طول راسمه‬ ‫حجم الهرم = ‪.................................................... * ..................................................‬‬ ‫طول نصف قطر الدائرة س‪ + 2‬ص‪ 0 = 18 - 2‬يساوى ‪........................................................................................................................‬‬ ‫معادلة الدائرة التى مركزها النقطة (‪ )3 ، 2‬وطول نصف قطرها ‪ 4‬وحدات هى ‪.............................................‬‬

‫اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة مستعينًا بالشكل المقابل‪:‬‬ ‫‪ 10‬المستقيمان المتخالفان‪:‬‬ ‫أ اليتقاطعان‪.‬‬ ‫ج اليتوازيان‪.‬‬ ‫‪11‬‬

‫ب اليتعامدان‪.‬‬ ‫د اليتقاطعان واليتوازيان‪.‬‬

‫المساحة الجانبية للمخروط القائم تساوى ‪ ............................‬سم‪2‬‬

‫أ ‪60‬‬

‫‪124‬‬

‫ب ‪r 60‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫ج ‪48‬‬

‫‪ 8‬سم‬

‫‪ 6‬سم‬

‫د ‪r48‬‬

‫متلري اعلل ا( ر�الما رثلرث )‬

‫‪12‬‬

‫المساحة الكلية للهرم المنتظم تساوى ‪ ......................................‬سم‪2‬‬

‫ب ‪240‬‬ ‫أ ‪360‬‬ ‫‪ 13‬حجم الهرم يساوى ‪ ......................................‬سم‪3‬‬ ‫ب ‪96‬‬ ‫أ ‪64‬‬

‫‪ 14‬النسبة بين حجم الهرم إلى حجم المخروط تساوى‪:‬‬ ‫ب ‪r :4‬‬ ‫أ ‪3 :r‬‬

‫ج ‪384‬‬

‫د ‪432‬‬

‫ج ‪480‬‬

‫د ‪384‬‬

‫‪......................................‬‬

‫أجب عن األسئلة اآلتية‪:‬‬

‫ج ‪4:r‬‬

‫د ‪r:3‬‬

‫‪ 15‬هرم منتظم حجمه ‪12‬سم‪ 3‬ومساحة قاعدته ‪4‬سم‪ .2‬احسب ارتفاعه‪.‬‬

‫‪ 1‬هرم رباعى منتظم حجمه ‪400‬سم‪ 3‬وارتفاعه ‪12‬سم‪ .‬احسب مساحته الجانبية‪.‬‬

‫‪ 1‬مخروط دائرى قائم حجمه ‪r 96‬سم‪ .3‬أوجد طول نصف قطر قاعدته إذا كان ارتفاعه ‪8‬سم‪.‬‬

‫‪ 1‬أوجد ألقرب رقم عشرى واحد المساحة الكلية لمخروط قائم طول قطر قاعدته ‪10‬سم وارتفاعه ‪12‬سم‪.‬‬

‫‪ 19‬هرم رباعى قائم قاعدته معين طوال قطريه ‪12‬سم‪8 ،‬سم وارتفاعه ‪ 10‬سم‪ .‬أوجد حجمه‪.‬‬ ‫‪ 20‬اكتب معادلة الدائرة إذا كان‪:‬‬

‫أ مركزها م(‪ )5 ، 3‬وطول نصف قطرها ‪ 4‬وحدات‪.‬‬ ‫ب مركزها م (‪ )0 ، 2-‬وطول قطرها ‪ 9‬وحدات‪.‬‬

‫ج مركزها م (‪ )9 ، 0‬وتمر بالنقطة (‪)6 ، 4‬‬ ‫د ‪ C‬ب قطر فى الدائرة حيث ‪ ، )2- ، 5( C‬ب (‪)10 ، 1‬‬

‫‪ 21‬اكتب الصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها ( ‪ )12- ،5‬وتمر بنقطة األصل‪.‬‬ ‫‪ 22‬أوجد مركز وطول نصف قطر كل دائرة ممايلى‪:‬‬ ‫أ (س ‪( + 2)3 -‬ص ‪27 = 2)5 +‬‬ ‫ج س‪ + 2‬ص‪ 2 - 2‬س ‪ 6 +‬ص ‪0 = 6 -‬‬

‫ب (س ‪ + 2)4 +‬ص‪9 = 2‬‬ ‫د ‪2‬س‪2 + 2‬ص‪10 - 2‬ص ‪0 = 7 -‬‬

‫‪ 23‬تخطيط المدن‪ :‬فى رسم إلحدى المدن على مستوى إحداثى متعامد كل وحدة فيه تمثل ‪ 5‬أمتار‪ ،‬وجد أن‬ ‫الدائرة‪ :‬س‪ + 2‬ص‪6 - 2‬س ‪8 +‬ص ‪ 0 = 11 +‬تحدد أحد ميادينها‪ ،‬أوجد ألقرب متر مربع مساحة هذا الميدان‪.‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪125‬‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬لت��س� ا لتا و� ‬ ‫‪ 6‬سم‬

‫‪ 24‬الصناعة‪ :‬تقوم خطوط إنتاج مصنع آيس كريم بإنتاج نوعين‬ ‫‪ ، C‬ب الموضحين بالشكل المقابل‪ ،‬أى النوعين أكبر حج ًما‪ .‬هل‬ ‫يتغير حجم النموذج ‪ C‬بتغير ارتفاعى المخروطين المتالصقين‬ ‫على أن يظل مجموع االرتفاعين ثاب ًتا؟ فسر إجابتك‪.‬‬

‫‪ 4.3‬سم‬ ‫‪ 5.5‬سم‬

‫‪C‬‬

‫‪ 15‬سم‬

‫ب‬

‫‪ 12‬سم‬

‫‪ 25‬السياحة‪ :‬اهتمت فرنسا باآلثار المصرية القديمة فنقلت بعضها إلى باريس؛ لتعرض فى متاحفها‪ .‬كما أنشأت‬ ‫ال رئيس ًّيا لمتحف اللوفر بباريس‪ .‬إذا علمت أن‬ ‫هر ًما من الزجاج الشفاف مشاب ًها للهرم األكبر؛ ليكون مدخ ً‬ ‫مترا ‪ ،‬فأوجد مساحة الزجاج المستخدم فى بنائه ألقرب متر مربع‪.‬‬ ‫ارتفاعه ‪ 21٫6‬متر وطول ضلع قاعدته ‪ً 35‬‬

‫اختبار تراكمي‬

‫‪.‬‬

‫اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة‪:‬‬ ‫‪ 1‬جميع الحاالت اآلتية تعين مستوى ماعدا‪:‬‬ ‫أ مستقيم ونقطة التنتمى إليه‪.‬‬ ‫ج مستقيمين متقاطعين‪.‬‬

‫‪ 2‬المساحة الكلية (السطحية) للمخروط القائم تساوى‪:‬‬ ‫ب ‪2H r‬ع‬ ‫أ ‪Hr‬ل‬ ‫ج ‪ + H( Hr‬ل)‬

‫ب مستقيمين متوازيين وغير منطبقين‪.‬‬ ‫د مستقيمين متخالفين‪.‬‬

‫ع‬

‫‪3‬‬

‫د‬ ‫‪H( H r‬ع ‪3 +‬ل)‬ ‫‪3‬‬

‫‪H‬‬

‫‪ 3‬هرم رباعى منتظم محيط قاعدته ‪36‬سم‪ ،‬وارتفاعه ‪10‬سم فإن حجمه يساوي‪.....‬سم‪2‬‬ ‫د ‪270‬‬ ‫ج ‪360‬‬ ‫ب ‪180‬‬ ‫أ ‪810‬‬ ‫‪ 4‬الدائرة (س ‪ + 2)2 +‬ص‪2 + 2‬ص = ‪ 0‬مركزها النقطة‪:‬‬ ‫ج (‪)1- ، 2‬‬ ‫ب (‪)1- ، 2-‬‬ ‫أ (‪)2 ، 2‬‬ ‫‪ 5‬أى الشبكات التالية التصنع هر ًما رباع ًّيا منتظ ًما عند طيها‪.‬‬ ‫ج‬ ‫ب‬ ‫أ‬

‫‪12‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫د (‪)2 ، 4-‬‬ ‫د‬

‫ل‬

‫ختبلراته كمي‬

‫اأ�سئلة ذات اإجابات ق�سيرة‬

‫كم مستقي ًما يمكن رسمه فى كل حالة من الحاالت اآلتية‪:‬‬ ‫ب ثالث نقاط ليست على استقامة واحدة‪.‬‬ ‫أ نقطتان مختلفتان‪.‬‬ ‫ج مستويان متقاطعان‪ .‬د أربع نقاط فى الفراغ‪ ،‬التقع أى ثالث منها على استقامة واحدة ‪.‬‬

‫اذكر عدد المستويات التى يمكن أن تمر بكل ممايأتى‪:‬‬ ‫ج ثالث نقاط ليست على استقامة واحدة‪.‬‬ ‫ب نقطتين معلومتين‪.‬‬ ‫أ نقطة معلومة‪.‬‬ ‫أوجد حجم كل مجسم ممايأتى ألقرب سنتيمتر مكعب‪.‬‬ ‫ب‬ ‫ج‬ ‫أ‬ ‫سم‬

‫‪ 17‬سم‬

‫‪20‬‬

‫‪ 18‬سم‬

‫‪ 12‬سم‬

‫‪16‬‬ ‫سم‬

‫‪ 16‬سم‬

‫‪ 6‬سم‬

‫‪ 9‬أوجد معادلة دائرة مركزها النقطة (‪ )7- ،2‬وتمر بالنقطة (‪.)3 ،1‬‬

‫‪ 10‬أى الدائرتين اآلتيتين متطابقتان؟ فسر إجابتك‪.‬‬ ‫أ س‪ + 2‬ص‪4 + 2‬س ‪2 -‬ص ‪ ، 0 = 5 -‬س‪ + 2‬ص‪6 + 2‬س ‪0 = 4 -‬‬ ‫ب س‪ + 2‬ص‪4 - 2‬س ‪8 +‬ص = ‪ ، 0‬س‪ + 2‬ص‪12 + 2‬ص ‪0 = +‬‬

‫اأ�سئلة ذات اإجابات طويلة‪:‬‬

‫‪ 11‬احسب ألقرب رقم عشرى واحد حجم هرم خماسى منتظم‪ ،‬طول ضلع مضلع قاعدته ‪16‬سم‪ ،‬وارتفاعه ‪12‬سم‪.‬‬ ‫‪ 12‬قطاع دائرى م ‪ C‬ب طول نصف قطر دائرته ‪18‬سم وقياس زاويته المركزية ‪c 60‬طوى ولصق نصفا قطره؛‬ ‫ليكون أكبر مساحة جانبية لمخروط قائم‪ .‬أوجد حجم هذا المخروط‪.‬‬ ‫ص‬

‫‪ 13‬فى الشكل المقابل‪ :‬النقط م ‪ ،‬ن ‪ ،‬ع تقع على محور السينات‬ ‫لمستوى إحداثى متعامد‪ ،‬ن نقطة األصل‪ .‬إذا كان م‪ ،‬ن‪ ،‬ع‬ ‫مراكز ثالث دوائر أطوال أنصاف أقطارها هى ‪ 6 ،9 ،5‬من‬ ‫الوحدات على الترتيب‪ ،‬جـ ‪ 2 = E‬م ‪ 4 = C‬وحدات‪ .‬أوجد‬ ‫الصورة العامة لمعادلة كل من الدوائر الثالث‪.‬‬

‫س‬

‫م‬

‫ب‬

‫‪C‬‬

‫ن‬

‫جـ‬

‫‪E‬‬

‫ع‬

‫‪ 14‬رصد طيار فى لحظة ما واديين يلتقيان فى نقطة‪ ،‬ويمر فوقهما شارع اليمر بنقطة تالقيها‪ .‬م ِّثل هذا المشهد‬ ‫بالرسم‪ ،‬ثم حدد عدد المستويات المتكونة‪.‬‬ ‫هل تحتاج إلى مساعدة إضافية‪:‬‬ ‫إذا لم تستطع حل‬ ‫السؤال رقم‬ ‫ارجع إلى‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3 -3 4 - 3 4 - 3 3 - 3 1- 3 4 - 3 3 - 3 2- 3‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫مهارات عامة‬

‫‪4-3‬‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪12‬‬

‫الوحدة‬

‫الرابعة‬

‫االحتمال‬

‫‪Probability‬‬

‫مقدمة الوحدة‬ ‫تمتد جذور علم االحتمال إلى عصر النهضة من خالل دراسة العلماء لعلم الفلك وألعاب الحظ ومحاوالت فهم وتحليل ظهور عناصر من بين مجموعة‬ ‫كبيرة من العناصر األخرى والتى قام بها جيروالمو كاردانو(‪ )Gerolamo Cardano‬فى القرن السادس عشر‪ ،‬و بيير دي فيرما‪،)Pierr de Fermat( ،‬‬ ‫وبليز باسكال (‪ )Blaise Pascal‬واللذان عاشا خالل القرن السابع عشر‪.‬‬ ‫وفى سياق تطور علم االحتمال وتقدمه‪ ،‬وإنطالقا من القرن التاسع عشر ظهرت تعاريف عدة لالحتمال‪ ،‬منها ما هو بسيط‪ ،‬ويعتمد على اإلدراك‬ ‫الحسى‪ ،‬ومنها ما يعتمد على التجربة وفكرة التكرار النسبى للحدث المراد اختياره من خالل تكرار التجربة عددا كبيرا من المرات تحت شروط‬ ‫ثابته‪ .‬فاالحتمال مقياس إلمكانية وقوع حادث (‪ )Event‬معين‬ ‫ً‬ ‫انطالقا من القرن التاسع عشر اكتشفت نظرية االحتماالت التى تعتبر المساعد األكبر للعمل اإلحصائى‪ ،‬ويعتبر العالم لبالس(‪ )Laplace‬أحد‬ ‫و‬

‫مؤسسيها‪ ،‬كذلك العالم أدولف كوتيليت (‪ )Adolph Quteelet‬الذي قدم أول عمل احصائى بطريقة علمية سنة ‪ 1853‬وابتدا ًء من ذلك الوقت بدأ‬ ‫اإلحصاء واالحتمال يبرز كعلم له فائدته‪ ،‬وقيمته الكبيرة فى مختلف المجاالت‪ ،‬كذلك فى البحوث العلمية فى كافة المجاالت ‪ ،‬بل تعدى ذلك إلى‬ ‫إعطاء حسابات صحيحة يعتمد عليها فى التنبؤ فى قضايا مستقبلية ‪ .‬وفى هذه الوحدة نتناول بعض المفاهيم والتعاريف األساسية فى االحتمال‬ ‫وكيفية حسابه‪.‬‬

‫مخرجات التعلم‬ ‫بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن‪:‬‬ ‫ يتعرف مفهوم التجربة العشوائية‪.‬‬ ‫ يتعرف مفهوم فضاء العينة‪.‬‬

‫ يتعرف العمليات على األحداث مثل (االتحاد ‪ -‬التقاطع ‪-‬‬ ‫الفرق ‪ -‬اإلكمال)‪.‬‬

‫ يكتب فضاء العينة لبعض التجارب العشوائية‪.‬‬

‫ يتعرف مفهوم االحتمال‪.‬‬

‫ يتعرف مفهوم األحداث المتنافية‪.‬‬

‫ يحل مشكالت حياتية باستخدام قوانين االحتمال‪.‬‬

‫ يتعرف مفهوم الحدث ‪ -‬الحدث البسيط ‪ -‬الحدث المؤكد يستخدم مسلمات االحتمال في حساب احتمال وقوع حد‪.‬‬ ‫ الحدث المستحيل‪.‬‬‫ يحل مسائل تطبيقية باستخدام مسلمات االحتمال‪.‬‬

‫‪128‬‬

‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪ Ñ‬إحصاء‬

‫‪Statistics‬‬

‫‪ Ñ‬احتمال‬

‫‪Probability‬‬

‫‪ Ñ‬تجربة عشوائية‬

‫‪Random Experiment‬‬

‫‪ Ñ‬فضاء العينة ‪ -‬فضاء النواتج‬

‫‪Sample space‬‬

‫‪ Ñ‬قطعة نقود‬

‫‪Coin‬‬

‫‪ Ñ‬حجر نرد‬

‫‪Die‬‬

‫‪ Ñ‬حدث‬

‫‪ Ñ‬حدث بسيط (أولى)‬

‫‪ Ñ‬حدث مركب‬

‫‪Simple Event‬‬ ‫‪Compound Event‬‬

‫‪ Ñ‬حدث مؤكد‬

‫‪Certain Event‬‬

‫‪ Ñ‬حدث مستحيل‬

‫‪Impossible Event‬‬

‫‪ Ñ‬العمليات على األحداث‬ ‫‪ Ñ‬أحداث متنافية‬

‫‪Operation on the Events‬‬ ‫‪Mutually Exclusive Events‬‬

‫‪Event‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫دروس الوحدة‬

‫‪ Ñ‬آلة حاسبة علمية‬

‫الدرس (‪ :)1 - 4‬حساب االحتمال‪.‬‬

‫‪Scientific calculator‬‬

‫‪ Ñ‬آلة حاسبة رسومية‬

‫‪Graphical calculator‬‬

‫‪ Ñ‬برامج رسومية للحاسوب‬

‫‪Graphical programs‬‬

‫مخطط تنظيمى للوحدة‬

‫االحتمال‬ ‫تجارب عشوائية‬

‫مسلمات االحتمال‬

‫فضاء العينة‬

‫قوانين االحتمال‬

‫الحدث‬ ‫مؤكد مستحيل محتمل‬

‫العمليات على األحداث‬ ‫أحداث متنافية‬

‫تقاطع‬

‫اتحاد‬

‫اكمال‬

‫فرق‬

‫قانونا ري مورجان‬

‫تطبيقات حياتية وحل مشكالت‬

‫‪129‬‬

‫‪1-4‬‬ ‫سوف تتعلم‬

‫ مفهوم التجربة العشوائية وفضاء‬ ‫العينة‪.‬‬ ‫ مفهوم احلدث ‪ -‬احلدث البسيط‬ ‫ احلدث املؤكد ‪ -‬احلدث‬‫املستحيل ‪.‬‬ ‫ العمليات عىل األحداث‪:‬‬ ‫االحتاد ‪ -‬التقاطع ‪ -‬الفرق ‪-‬‬ ‫اإلكامل‪.‬‬ ‫ األحداث املتنافية ‪.‬‬

‫ قانونا دي مورجان‪.‬‬ ‫ مفهوم االحتامل‬

‫ حساب االحتامل‬

‫ مسلامت االحتامل وتطبيقات‬ ‫حياتية عىل االحتامل‬ ‫المصطلحات األساسي ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّة‬

‫ جتربة عشوائية‬

‫ح�ساب �الحتمال‬ ‫‪Calculating Probability‬‬ ‫مقدمة ‪:‬‬ ‫سبق أن درست المفاهيم األساسية لالحتمال بصورة مبسطة‪ ،‬وفى هذا الدرس سوف‬ ‫تستكمل دراسة هذه المفاهيم والعمليات على األحداث فى حساب إحتمال وقوع‬ ‫حدث ما من خالل أمثلة وتطبيقات حياتية متنوعة‪.‬‬ ‫م�سطلحات ومفاهيم �أ�سا�سية‬

‫تعلم‬ ‫التجربة العشوائية ‪xperimentE Random :‬‬ ‫هى كل تجربة يمكن معرفة جميع النواتج الممكنة لها قبل إجرائها‪ ،‬ولكن النستطيع‬ ‫أن نحدد أ ًّيا من هذه النواتج سوف يتحقق عند إجرائها‪.‬‬ ‫مثال‬

‫‪ 1‬ب ِّين أ ًّيا من التجارب التالية تجربة عشوائية ؟‬

‫أ‬ ‫ب‬

‫‪random experiment‬‬

‫ فضاء العينة‬

‫‪sample space‬‬

‫ حدث‬

‫‪event‬‬

‫ حدث بسيط‬

‫‪simple event‬‬

‫ حدث مؤكد‬

‫ج‬ ‫د‬

‫‪certain event‬‬

‫ حدث مستحيل‬

‫‪impossible event‬‬

‫ أحداث متنافية‬ ‫ االحتامل‬

‫‪probability‬‬

‫ مسلامت االحتامل‬

‫‪probability axioms‬‬

‫األدوات والوسائل‬

‫آلة حاسبة‪.‬‬

‫إلقاء حجر نرد منتظم ومالحظة العدد الظاهر على الوجه العلوى‪.‬‬ ‫سحبت كرة ملونة من كيس به مجموعة من الكرات الملونة( دون أن نعرف‬ ‫ألوانها ) ومالحظة لون الكرة المسحوبة‪.‬‬ ‫إلقاء قطعة نقود معدنية ومالحظة ما يظهر على الوجه العلوى‪.‬‬ ‫سحب كرة من كيس به أربع كرات متماثلة فى الحجم والوزن‪ ،‬األولى‬ ‫بيضاء‪ ،‬الثانية سوداء‪ ،‬الثالثة حمراء‪ ،‬الرابعة خضراء‪ ،‬ومالحظة لون الكرة‬ ‫المسحوبة‪.‬‬

‫الحل‬

‫‪mutually exclusive events‬‬

‫التجارب (أ) ‪( ،‬جـ)‪( ،‬د) هى تجارب عشوائية؛ ألنه يمكن معرفة جميع نواتج‬ ‫كل منها قبل إجرائها ولكن النستطيع أن نحدد أ ًّيا من هذه النواتج سوف يقع عند‬ ‫إجراء التجربة‪.‬‬ ‫بينما تجربة (ب) هى تجربة غير عشوائية؛ ألنه اليمكن تحديد ناتج التجربة‬ ‫قبل إجرائها‪.‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 1‬ب ِّين أ ًّيا من التجارب اآلتية هى تجربة عشوائية ‪:‬‬

‫‪130‬‬

‫‪Basic terms and concepts‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫امسح لا باسح‬

‫‪4 4‬‬

‫أ إلقاء قطعة نقود مرتين متتاليتين ومالحظة تتابع الصور والكتابات‪.‬‬ ‫ب سحب بطاقة مرقمة من حقيبة تحتوى على مجموعة من البطاقات المرقمة (دون أن نعرف أرقامها)‬ ‫ومالحظة رقم البطاقة المسحوبة‪.‬‬ ‫ج سحب بطاقة واحدة من حقيبة بها ‪ 20‬بطاقة متماثلة مرقمة من ‪ 1‬إلى ‪ 20‬ومالحظة العدد الذى يظهر على البطاقة المسحوبة‪.‬‬

‫تعلم‬ ‫تعريف‬

‫ف�ساء �لعينة (ف�ساء �لنو�تج) ‪:‬‬ ‫½ فضاء العينة لتجربة عشوائية هو مجموعة كل النواتج الممكنة لهذه التجربة‪ ،‬ويرمز له بالرمز (ف)‬

‫مالحظة‪:‬‬

‫(‪Sample space (outcomes space‬‬

‫½ يرمز لعدد عناصر فضاء العينة ف بالرمز ن (ف) ‪.‬‬

‫½ يكون فضاء العينة منتهيا إذا كان عدد عناصره محدودا‪ ،‬أو غير ٍ‬ ‫منته إذا كان عدد‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫عناصره غير محدود ‪ ،‬وسندرس فقط فضاء النواتج المنتهي‪.‬‬

‫ف�شاء العينة لبع�ض التجارب الع�شوائية ال�شهيرة ‪:‬‬ ‫ص‬

‫ك‬

‫�أو ً‬ ‫ال‪� :‬إلقاء قطعة نقود ‪:‬‬ ‫‪ -1‬فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرة واحدة‬ ‫ومالحظة الوجه الظاهر هو‪ :‬ف = { ص‪ ،‬ك}‬ ‫نواتج الرمية األولى‬ ‫حيث ص ترمز للصورة ‪ ،‬ك ترمز للكتابة‬ ‫ك‬ ‫ص‬ ‫ويكون ‪ :‬ن(ف) = ‪2‬‬ ‫ص‬ ‫ك‬ ‫ص‬ ‫‪ -2‬فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرتين متتاليتين‬ ‫ك‬ ‫ومالحظة تتابع الصور والكتابات هو‪:‬‬ ‫ف = { (ص‪ ،‬ص)‪( ،‬ص‪ ،‬ك)‪( ،‬ك‪ ،‬ص)‪( ،‬ك‪ ،‬ك)}‬ ‫نواتج الرمية الثانية‬ ‫نواتج الرمية األولى‬ ‫ويكون ‪ :‬ن (ف) = ‪22 = 4 = 2 * 2‬‬ ‫ص‬ ‫ك‬ ‫ص‬ ‫ك‬ ‫‪ -3‬فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود ثالث مرات‬ ‫ص‬ ‫ص‬ ‫متتالية ومالحظة تتابع الصور والكتابات (يمكن‬ ‫ك‬ ‫ك‬ ‫الحصول عليه من الشجرة البيانية المقابلة هو‪:‬‬ ‫ك‬ ‫ص‬ ‫ص‬ ‫ك‬ ‫ك‬ ‫ص‬ ‫ف = { (ص ‪ ،‬ص ‪ ،‬ص) ‪ ( ،‬ك ‪ ،‬ك ‪ ،‬ك ) ‪،‬‬ ‫(ص ‪ ،‬ص ‪ ،‬ك ) ‪ ( ،‬ك ‪ ،‬ك ‪ ،‬ص ) ‪،‬‬ ‫نواتج‬ ‫نواتج‬ ‫نواتج‬ ‫ (ص ‪ ،‬ك ‪ ،‬ص ) ‪( ،‬ك ‪ ،‬ص ‪ ،‬ك ) ‪،‬‬ ‫الرمية‬ ‫الرمية‬ ‫الرمية‬ ‫ (ص ‪ ،‬ك ‪ ،‬ص ) ‪( ،‬ك ‪ ،‬ص ‪ ،‬ص)}‬ ‫الثانية‬ ‫الثالثة‬ ‫األولى‬ ‫ويكون ‪ :‬ن(ف) = ‪32 = 8 = 2 * 2 * 2‬‬ ‫الحظ من األمثلة السابقة‬ ‫م‬ ‫‪ ( -2‬ص‪ ،‬ك) ! ( ك‪ ،‬ص) لماذا؟‬ ‫‪ -1‬عند رمى قطعة نقود م من المرات المتتالية يكون ن (ف) = ‪2‬‬ ‫‪Tossing a coin‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪131‬‬

‫الوحدة الرابعة‪ :‬لا باسح‬

‫‪ -3‬فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعتى نقود متمايزتين (مختلفتين فى الشكل أو الحجم)‬ ‫م ًعا هو نفس فضاء العينة عند إلقاء قطعة نقود واحدة مرتين متتاليتين‪ ،‬ويكون كل‬ ‫ناتج من نواتج التجربة على الشكل الزوج المرتب‪:‬‬ ‫( وجه القطعة األولى ‪ ،‬وجه القطعة الثانية )‪.‬‬ ‫ثانيًا ‪� :‬إلقاء حجر نرد ‪:‬‬ ‫‪ -1‬فضاء العينة لتجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة ومالحظة العدد الذى يظهر على‬ ‫الوجه العلوى هو ‪:‬‬ ‫ف = { ‪ } 6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1‬ويكون ‪ :‬ن (ف) = ‪6‬‬

‫‪Tossing a die‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1 3‬‬

‫‪ -2‬فضاء العينة لتجربة إلقاء حجر نرد مرتين متتاليتين ومالحظة العدد الذى يظهر‬ ‫فى كل مرة على الوجه العلوى هو مجموعة األزواج المرتبة التى مسقطها األول‬ ‫هو ناتج الرمية األولى‪ ،‬ومسقطها الثانى هو ناتج الرمية الثانية أى أن‪:‬‬ ‫ف = { (س‪ ،‬ص) ‪ :‬س∈ { ‪ ,}6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1‬ص∈ { ‪ }}6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1‬واألشكال التالية توضح ذلك ‪.‬‬ ‫ب صورة هندسية ‪:‬‬

‫أ صورة جدولية ‪:‬‬

‫الرمية‬ ‫الثانية‬

‫األولى‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫(‪)1 ،1‬‬ ‫(‪)1 ،2‬‬ ‫(‪)1 ،3‬‬ ‫(‪)1 ،4‬‬ ‫(‪)1 ،5‬‬ ‫(‪)1 ،6‬‬

‫(‪)2 ،1‬‬ ‫(‪)2 ،2‬‬ ‫(‪)2 ،3‬‬ ‫(‪)2 ،4‬‬ ‫(‪)2 ،5‬‬ ‫(‪)2 ،6‬‬

‫(‪)3 ،1‬‬ ‫(‪)3 ،2‬‬ ‫(‪)3 ،3‬‬ ‫(‪)3 ،4‬‬ ‫(‪)3 ،5‬‬ ‫(‪)3 ،6‬‬

‫(‪)4 ،1‬‬ ‫(‪)4 ،2‬‬ ‫(‪)4 ،3‬‬ ‫(‪)4 ،4‬‬ ‫(‪)4 ،5‬‬ ‫(‪)4 ،6‬‬

‫(‪)5 ،1‬‬ ‫(‪)5 ،2‬‬ ‫(‪)5 ،3‬‬ ‫(‪)5 ،4‬‬ ‫(‪)5 ،5‬‬ ‫(‪)5 ،6‬‬

‫(‪)6 ،1‬‬ ‫(‪)6 ،2‬‬ ‫(‪)6 ،3‬‬ ‫(‪)6 ،4‬‬ ‫(‪)6 ،5‬‬ ‫(‪)6 ،6‬‬

‫‪65‬‬

‫ج الشجرة البيانية‬

‫‪21‬‬

‫‪43‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫‪1‬‬

‫نواتج الرمية األولى‬

‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1 2 3 4 5 6‬‬

‫الرمية األولى‬

‫‪65‬‬

‫‪321‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪654‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪32‬‬

‫‪4‬‬

‫‪65‬‬

‫‪654 3‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪321‬‬

‫‪ -2‬ف = { ‪} ،6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1 { * }6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1‬‬ ‫‪ -3‬فضاء العينة لتجربة إلقاء حجرى نرد‬ ‫متمايزين فى آن واحد (م ًعا)‪ ,‬هو نفس‬ ‫فضاء العينة لتجربة إلقاء حجر نرد واحد‬ ‫مرتين متتاليتين‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪654‬‬

‫‪ -1‬ن (ف) = ‪26 = 36 = 6 * 6‬‬

‫‪21‬‬

‫‪43‬‬

‫الحظ أن‪:‬‬

‫‪132‬‬

‫الرمية الثانية‬

‫نواتج الرمية الثانية‬

‫امسح لا باسح‬

‫‪4 4‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 2‬كيس به ثالث كرات متماثلة األولى حمراء‪ ،‬والثانية بيضاء‪ ،‬والثالثة صفراء ‪ .‬اكتب فضاء العينة إذا سحبت‬ ‫كرتان الواحدة بعد اآلخرى مع إعادة الكرة المسحوبة قبل سحب الكرة الثانية ( مع اإلحالل ) ومالحظة تتابع‬ ‫األلوان‪.‬‬ ‫الحل‬

‫نرمز إلى الكرة الحمراء بالرمز (ح) والكرة البيضاء بالرمز (ب) والكرة‬ ‫الصفراء بالرمز (ص)‪:‬‬

‫السحبة األولى السحبة الثانية‬

‫أوالً‪ :‬عندما تعاد الكرة المسحوبة إلى الكيس قبل السحبة الثانية‬ ‫تصبح كل كرة من الكرات الثالث لها فرصة الظهور فى‬ ‫السحبة الثانية‪ ،‬ويصبح من الممكن أن تسحب نفس الكرة‬ ‫مرة ثانية‪ ،‬ويوضح الشكل المقابل الشجرة البيانية لفضاء‬ ‫العينة حيث ن (ف) = ‪9 = 23‬‬ ‫ف = { (ح‪ ،‬ح) ‪ ( ،‬ح‪ ،‬ب) ‪( ،‬ح‪ ،‬ص) ‪( ،‬ب ‪ ،‬ح) ‪ ( ،‬ب ‪ ،‬ب) ‪( ،‬ب‪ ،‬ص) ‪،‬‬ ‫(ص ‪ ،‬ح) ‪( ،‬ص ‪ ،‬ب) ‪( ،‬ص‪ ،‬ص) }‬

‫ح‬ ‫ب‬ ‫ص‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 2‬صندوق به ثالث كرات متماثلة ومرقمة من ‪ 1‬إلى ‪ُ 3‬س ِح َبت كرتان الواحدة بعد‬ ‫األخرى مع اإلحالل ومالحظة رقم الكرة ‪ .‬اكتب فضاء العينة وبين عدد عناصره‪.‬‬

‫تعلم‬ ‫تعريف‬

‫�لحدث‬ ‫½ الحدث هو أى مجموعة جزئية من فضاء العينة ‪.‬‬

‫تعريف‬ ‫تعريف‬

‫�لحدث �لب�سيط (�لحدث �الأولى )‬ ‫واحدا فقط‪.‬‬ ‫عنصرا‬ ‫½ هو مجموعة جزئية من فضاء العينة تحتوى‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫�لحدث �لموؤكد ‪:‬‬ ‫هو الحدث الذى عناصره هى عناصر فضاء العينة ف‬ ‫وهو حدث مؤكد الوقوع في كل مرة تجرى فيها التجربة‬

‫�لحدث �لم�ستحيل‬ ‫هو الحدث الخالى من أى عنصر ويرمز له بالرمز ‪z‬‬ ‫وهو حدث مستحيل أى يقع في أى مرة تجرى فيها التجربة‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫ح‬ ‫ب‬ ‫ص‬ ‫ح‬ ‫ب‬ ‫ص‬ ‫ح‬ ‫ب‬ ‫ص‬

‫ف‬

‫(ح‪ ،‬ح)‬

‫( ح‪ ،‬ب)‬

‫(ح‪ ،‬ص)‬ ‫(ب ‪ ،‬ح)‬

‫( ب ‪ ،‬ب)‬ ‫(ب‪ ،‬ص)‬ ‫(ص ‪ ،‬ح)‬

‫(ص ‪ ،‬ب)‬

‫(ص‪ ،‬ص)‬

‫اأ�شف اإلى معلوماتك‬ ‫إذا سحبت الكرة دون إحالل‪،‬‬ ‫فهذا يعنى عدم إعادة الكرة إلى‬ ‫الكيس بعد سحبها‪ ،‬وبذلك لن‬ ‫يكون هناك فرص لظهورها فى‬ ‫السحبة الثانية‪.‬‬ ‫‪The event‬‬

‫‪The simple event‬‬

‫‪The certain event‬‬

‫‪The impossible event‬‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪133‬‬

‫الوحدة الرابعة‪ :‬لا باسح‬

‫مثال‬ ‫‪ 3‬عند إلقاء قطعة نقود عدة مرات تتوقف التجربة عند ظهور صورة أو ‪ 3‬كتابات ‪.‬‬ ‫اكتب فضاء النواتج ف‪ ،‬ثم عين األحداث اآلتية‪:‬‬ ‫ج "حدث ظهور كتابتين على األقل"‬ ‫‪" C‬حدث ظهور صورة على األكثر"‬ ‫د "حدث ظهور صورتين على األقل"‬ ‫ب "حدث ظهور صورة على األقل"‬ ‫الحل‬

‫من الرسم نجد أن‬ ‫ف = {ص ‪( ،‬ك ‪ ،‬ص)‪(،‬ك ‪ ،‬ك ‪ ،‬ص)‪(،‬ك ‪ ،‬ك ‪ ،‬ك)}‬ ‫‪{ = C‬ص‪(،‬ك ‪ ،‬ص)‪(،‬ك ‪ ،‬ك ‪ ،‬ص)‪(،‬ك ‪ ،‬ك ‪ ،‬ك)} = ف‬ ‫ب = {ص‪(،‬ك ‪ ،‬ص)‪(،‬ك ‪ ،‬ك ‪ ،‬ص)}‬ ‫ج = {(ك ‪ ،‬ك ‪ ،‬ص) ‪( ،‬ك ‪ ،‬ك ‪ ،‬ك)}‬ ‫د = { } = ‪ z‬الحدث المستحيل‬

‫ص‬ ‫ك‬

‫ص‬

‫ك‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 3‬عند إلقاء قطعة نقود عدة مرات تتوقف التجربة عند ظهور صورتين أو كتابتين‪.‬‬ ‫اكتب فضاء النواتج ثم عين األحداث اآلتية‪:‬‬ ‫ج "حدث ظهور كتابة على األكثر"‬ ‫‪" C‬حدث ظهور صورة على األقل"‬ ‫ب "حدث ظهور كتابتين على األكثر"‬ ‫�لعمليات على �الأحد�ث‬

‫‪Operation of the events‬‬

‫تعلم‬

‫اأوالً‪ :‬التقاطع‬

‫‪Intersection‬‬

‫تقاطع الحدثين ‪ ، C‬ب هو الحدث ‪ ∩ C‬ب الذى يحوى كل عناصر فضاء العينة التى‬ ‫تنتمى إلى ‪ ،C‬ب م ًعا ويعنى وقوع ‪ C‬و ب (وقوع الحدثين م ًعا)‬

‫ثانيًا ‪ :‬االتحاد‪:‬‬

‫‪C‬‬

‫‪Union‬‬

‫اتحاد الحدثين ‪ ،C‬ب هو الحدث ‪ ∪ C‬ب الذى يحوى كل عناصر فضاء‬ ‫العينة التى تنتمى إلى ‪ C‬أو ب أو كليهما م ًعا ويعنى وقوع ‪ C‬أو ب‬ ‫(وقوع أحدهما على األقل)‬

‫‪134‬‬

‫ف‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫‪C‬‬

‫‪ ∩C‬ب‬

‫‪ ∪C‬ب‬

‫ب‬ ‫ف‬

‫ب‬

‫امسح لا باسح‬

‫ثالثًا ‪ :‬االإكمال‬

‫‪4 4‬‬ ‫ف‬

‫‪Completion‬‬

‫الحدث ‪ C‬يسمى الحدث المكمل للحدث ‪ ، C‬لذلك ‪ C‬يحوى كل عناصر فضاء‬ ‫العينة التى التنتمى إلى الحدث ‪ ، C‬ويعنى عدم وقوع الحدث ‪. C‬‬ ‫الحظ ‪ = C ∪ C :‬ف ‪z = C ∩ C ،‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫‪/‬‬

‫رابعًا‪ :‬الفرق‬

‫‪C‬‬

‫‪Difference‬‬

‫ف‬

‫أيضا‬ ‫الحدث ‪ - C‬ب يحوى كل عناصر الفضاء التى تنتمى إلى ‪ ،C‬وال تنتمى إلى ب وهى ً‬ ‫نفس عناصر ‪ ∩ C‬ب‬ ‫ويعنى وقوع ‪ C‬وعدم وقوع ب (وقوع ‪ C‬فقط)‬ ‫‪-C‬ب=‪∩C‬ب =‪∩C(-C‬ب)‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫خام�شا‪ :‬قانونا دى مورجان‬ ‫ً‬

‫ف‬

‫إذا كان ‪ ، C‬ب حدثين من ف فإن ‪:‬‬

‫ً‬ ‫(أوال) ‪ ∩ C‬ب = (‪ ∪ C‬ب )‬ ‫وتعنى حدث (عدم وقوع أى من الحدثين) أو (عدم وقوع ‪ C‬وعدم وقوع ب)‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫ب‬

‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫(ثان ًيا ) ‪ ∪ C‬ب = (‪ ∩ C‬ب )‬ ‫و تعني حدث "عدم وقوع الحدثين م ًعا" أو حدث "وقوع أحد الحدثين على األكثر‪".‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫ف‬ ‫ب‬

‫‪C‬‬

‫تعلم‬ ‫�الأحد�ث �لمتنافية‬ ‫يقال لحدثين ‪ ، C‬ب أنهما متنافيان إذا كان وقوع أحدهما ينفى (يمنع) وقوع اآلخر‪.‬‬ ‫ال‪-1 :‬إذا كان ‪ "C‬حدث النجاح فى امتحان ما" ‪ ،‬ب" حدث الرسوب فى نفس االمتحان" فإن وقوع أحدهما‬ ‫فمث ً‬ ‫ينفى وقوع اآلخر‪.‬‬ ‫‪ -2‬فى تجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة ومالحظة العدد الظاهر على الوجه العلوى فإن‬ ‫ف = { ‪}6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1‬‬ ‫أى ‪}5 ،3 ،1 { = C :‬‬ ‫إذا كان ‪ C‬حدث ظهور عدد فردى‬ ‫أى ‪ :‬ب = { ‪}6 ،4 ،3‬‬ ‫ب حدث ظهور عدد زوجى‬ ‫فإن ‪ ∩ C‬ب = ‪ z‬أى وقوع أحدهما ينفى وقوع اآلخر ‪.‬‬

‫‪Mutually exclusive events‬‬

‫تعريف‬

‫½ يقال‪ :‬إن الحدثين ‪ , C‬ب متنافيان إذا كان ‪ ∩ C‬ب =‪z‬‬

‫½ يقال لعدة أحداث أنها متنافية إذًا وفقط إذا كانت متنافية مثنى مثنى‪.‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪135‬‬

‫الوحدة الرابعة‪ :‬لا باسح‬

‫الحظ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬إذا كان ‪ ∩ C‬ب = ‪ z‬فإن ‪ ، C‬ب حدثان متنافيان‪.‬‬ ‫وإذا كانت ‪ ، C‬ب ‪ ،‬ج ثالثة أحداث من ف وكان ‪ ∩ C :‬ب = ‪ ، z‬ب ∩ ج = ‪ ، z‬ج ∩ ‪z = C‬‬ ‫فإن‪ ، C :‬ب‪ ،‬ج أحداث متنافية والعكس صحيح‪.‬‬ ‫‪ -2‬األحداث البسيطة (األولية) فى أى تجربة عشوائية تكون متنافية‪.‬‬ ‫‪ -3‬أى حدث ‪ C‬ومكمله ‪ C‬هما حدثان متنافيان‪.‬‬ ‫‪/‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 4‬فى تجربة إلقاء حجرى نرد متمايزين ومالحظة العددين الظاهرين على الوجهين العلويين لها‪.‬‬ ‫كال من الحدثين اآلتيين‪.‬‬ ‫أوالً‪ :‬مثل فضاء العينة هندس ًّيا واكتب ًّ‬

‫الحدث ب " ظهور عددين مجموعهما ‪."7‬‬

‫الحدث ‪ " C‬ظهور نفس العدد على الوجهين"‬ ‫ثان ًيا ‪ :‬هل الحدثان ‪ ، C‬ب متنافيان ؟ فسر إجابتك ‪.‬‬

‫الحل‬

‫أوالً ‪ :‬عناصر فضاء العينة لهذه التجربة هى أزواج مرتبة عددها = ‪36 = 26‬‬ ‫الشكل المقابل هو التمثيل الهندسى لفضاء العينة؛ حيث كل عنصر‬ ‫من عناصر فضاء العينة يمثل بنقطة كما فى الشكل ‪.‬‬ ‫‪} )6 ،6( ، )5 ،5( ، )4 ،4( ،)3 ،3( ،)2 ،2( ،)1 ،1({ = C‬‬ ‫ب = { ( ‪} )6 ،1( ، )5 ،2( ، )4 ،3( ، )3 ،4( ،)2 ،5( ، )1 ،6‬‬ ‫ثان ًيا‪ ∩ C a:‬ب =‪z‬‬

‫` ‪ ، C‬ب حدثان متنافيان‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪1 2 3 4 5 6‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫كال من الحدثين اآلتيين ‪:‬‬ ‫‪ 4‬فى المثال السابق اكتب ًّ‬ ‫ج حدث " ظهور عددين مجموعهما يساوى ‪"5‬‬ ‫هل الحدثان ج‪ ،‬د متنافيان ؟ فسر إجابتك‪.‬‬ ‫�الحتمال‬

‫د حدث " ظهور عددين أحدهما ضعف اآلخر"‬

‫‪Propability‬‬

‫تعلم‬ ‫ح�ساب �الحتمال ‪:‬‬ ‫إذا كان ف فضاء النواتج لتجربة عشوائية ما‪ ،‬جميع نواتجها (األحداث األولية) متساوية اإلمكانات‪ ،‬فإن احتمال وقوع‬ ‫أى حدث ‪ ⊃ C‬ف يرمز له بالرمز ل (‪ )C‬حيث ‪:‬‬ ‫ل (‪ = )C‬ن (‪= ) C‬‬ ‫ن (ف)‬

‫‪136‬‬

‫عدد النواتج التى تؤدى إلى وقوع الحدث ‪C‬‬

‫عدد جميع النواتج الممكنة‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫امسح لا باسح‬

‫‪4 4‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 5‬سحبت كرة عشوائ ًّيا من صندوق به ‪ 10‬كرات متماثلة منها ‪ 5‬كرات بيضاء‪ ،‬كرتان لونهما أحمر ‪ ،‬الباقى باللون‬ ‫األخضر ‪ ،‬احسب احتمال األحداث اآلتية‪:‬‬ ‫أ حدث أن تكون الكرة المسحوبة حمراء‪.‬‬ ‫ب حدث أن تكون الكرة المسحوبة حمراء أو خضراء‪.‬‬ ‫ج حدث أن تكون الكرة ليست خضراء‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫الحمراء‬ ‫الكرات‬ ‫عدد‬ ‫= ‪2‬‬ ‫‪0٫2 = 10‬‬ ‫احتمال أن تكون الكرة المسحوبة حمراء = ل (‪= )C‬‬ ‫عدد جميع الكرات‬

‫احتمال أن تكون الكرة المسحوبة حمراء أو خضراء =‬

‫عدد الكرات الحمراء ‪ +‬عدد الكرات الخضراء‬ ‫عدد جميع النواتج الممكنة‬

‫= ‪5 = 3+2‬‬ ‫‪0٫5 = 10‬‬ ‫‪10‬‬

‫احتمال أن تكون الكرة ليست خضراء = ل(ج)‬ ‫= احتمال أن تكون الكرة حمراء أو بيضاء = ‪+ 2‬‬ ‫‪0٫7 = 510‬‬ ‫فكر‪ :‬هل يمكن الحصول على ل (ج) بطريقة أخرى؟ وضح ذلك‪.‬‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 5‬فى المثال السابق احسب االحتماالت اآلتية ‪:‬‬ ‫د حدث أن تكون الكرة المسحوبة حمراء أو بيضاء‪.‬‬ ‫هـ حدث أن تكون الكرة المسحوبة حمراء أو بيضاء أو خضراء ‪.‬‬

‫تعلم‬ ‫م�سلمات �الحتمال‬

‫‪Axioms of probability‬‬

‫‪ -1‬لكل حدث ‪ ⊃ C‬ف يوجد عدد حقيقى يسمى احتمال الحدث ‪ C‬يرمز له بالرمز ل(‪)C‬‬ ‫‪ H 0‬ل (‪1 H )C‬‬ ‫حيث ‪:‬‬ ‫‪ -2‬ل (ف) = ‪1‬‬

‫‪ -3‬إذا كان ‪ ⊃ C‬ف‪ ،‬ب ⊃ ف‬ ‫وكان ‪ ، C‬ب حدثين متنافيين فإن ‪ :‬ل (‪ ∪ C‬ب) = ل(‪ + )C‬ل (ب)‬

‫‪C‬‬

‫ف‬ ‫ب‬

‫من المسلمات السابقة نالحظ ‪:‬‬ ‫المسلمة األولى تعنى احتمال وقوع أى حدث هو عدد حقيقى ينتمى للفترة [‪]1 ،0‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪137‬‬

‫الوحدة الرابعة‪ :‬لا باسح‬

‫المسلمة الثانية تعنى أن احتمال وقوع الحدث المؤكد = ‪1‬‬ ‫يمكن تعميم المسلمة الثالثة إلى أى عدد محدود من األحداث المتنافية‬ ‫ل(‪C ∪ ... ∪ 3C ∪ 2C ∪ 1C‬ن) = ل(‪ + )1C‬ل(‪+)2C‬ل(‪ +... + )3C‬ل(‪C‬ن)‬ ‫حيث ‪C، ... ، 3C ،2C ،1C‬ن أحداث متنافية‬ ‫نتائج هامة‬ ‫(‪ )1‬ل (‪0 = ) z‬‬ ‫(‪ )2‬ل (‪ - 1 = ) C‬ل(‪)C‬‬ ‫(‪ )3‬ل ( ‪- C‬ب) = ل(‪ - )C‬ل ( ‪ ∩ C‬ب )‬ ‫(‪ )4‬ل(‪∪ C‬ب) = ل(‪ + )C‬ل (ب) ‪ -‬ل (‪ ∩ C‬ب)‬

‫اأ�شف اإلى معلوماتك‬

‫‪/‬‬

‫إذ كان ‪ ⊃ C‬ب‬

‫فإن ل(‪ H )C‬ل(ب)‬

‫مثال‬ ‫‪ 6‬إذا كان ‪ ، C‬ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية حيث ‪:‬‬ ‫ل(‪ ، 38 = )C‬ل(ب) = ‪ ، 34‬ل ( ‪ ∩ C‬ب) = ‪ 14‬احسب ‪:‬‬ ‫ج ل (‪ - C‬ب)‬ ‫ب ل( ‪) C‬‬ ‫أ ل (‪ ∪ C‬ب)‬

‫د ل (‪ ∩ C‬ب )‬

‫‪/‬‬

‫الحل‬

‫= ‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫أ ل ( ‪ ∪ C‬ب) = ل(‪ + )C‬ل (ب) ‪ -‬ل ( ‪∩ C‬ب)‬ ‫ب ل (‪ - 1 = ) C‬ل (‪)C‬‬ ‫‪/‬‬

‫ج ل ( ‪ - C‬ب) = ل (‪ - )C‬ل ( ‪ ∩ C‬ب)‬ ‫د ل ( ‪ ∩ C‬ب ) = ل ( ‪ ∪ C‬ب ) = ‪ - 1‬ل ( ‪ ∪ C‬ب)‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫=‪1‬‬

‫= ‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫=‪1‬‬

‫‪/‬‬

‫‪7 = 1 - 3 +‬‬ ‫‪8 4 4‬‬ ‫ ‪5 = 3‬‬‫‪8 8‬‬ ‫ ‪1 = 1‬‬‫‪8 4‬‬ ‫ ‪1 = 7‬‬‫‪8 8‬‬

‫‪ 6‬فى المثال السابق احسب االحتماالت اآلتية ‪:‬‬ ‫ب ل(ب ‪)C -‬‬ ‫أ ل (ب )‬

‫ج ل ( ‪∪ C‬ب )‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫مثال‬ ‫‪ 7‬إذا كان ‪ ، C‬ب حدثين من فضاء تجربة عشوائية ف وكان ل(‪ ، 58 = )C‬ل (ب) = ‪ ، 12‬ل ( ‪- C‬ب) = ‪ 38‬فأوجد ‪:‬‬ ‫د ل ( ‪ ∪ C‬ب)‬ ‫ج ل ( ‪ ∩ C‬ب)‬ ‫ب ل( ‪ ∪ C‬ب)‬ ‫أ ل ( ‪ ∩ C‬ب)‬ ‫‪/‬‬

‫الحل‬

‫أ ل ( ‪ ∩ C‬ب) = ل (‪ - ) C‬ل ( ‪- C‬ب) = ‪1 = 2 = 3 - 5‬‬ ‫‪4 8 8 8‬‬ ‫ب ل( ‪ ∪ C‬ب) = ل (‪ + )C‬ل(ب) ‪ -‬ل (‪ ∩ C‬ب) = ‪7 = 1 - 1 + 5‬‬ ‫‪8 4 2 8‬‬ ‫ج ل ( ‪ ∩ C‬ب ) = ل ( ‪ ∪ C‬ب) = ‪ - 1‬ل(‪ ∪ C‬ب) = ‪1 = 7 - 1‬‬ ‫‪8 8‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫د ل ( ‪ ∪ C‬ب) = ل (‪ ∩ C‬ب ) =‪ - 1‬ل (‪ ∩ C‬ب ) = ‪ - 1‬ل ( ‪ - C‬ب)‬ ‫=‪5 = 3 -1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪138‬‬

‫‪/‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫‪/‬‬

‫امسح لا باسح‬

‫‪4 4‬‬

‫فكر ‪ :‬هل يمكنك إيجاد ل ( ‪ ∪ C‬ب) بطريقة أخرى ؟ وضح ذلك‬ ‫‪/‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 7‬فى المثال السابق أوجد ‪:‬‬ ‫أ ل (‪) C‬‬ ‫‪/‬‬

‫مثال‬

‫ب ل ( ‪ ∪ C‬ب)‬ ‫‪/‬‬

‫ج ل ( ب ∩ ‪)C‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫‪ 8‬إذا كان ‪ ، C‬ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية ف‪ ،‬وكان ل( ‪ 1 = ) C‬ل( ‪ ، )C‬ل(ب) = ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ،‬ل ( ‪ ∪ C‬ب ) = ‪ 58‬فأوجد ‪:‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫أ احتمال وقوع أحد الحدثين على األقل‪.‬‬ ‫ج احتمال وقوع الحدث ب فقط‪.‬‬

‫ب احتمال وقوع أحد الحدثين على األكثر‪.‬‬ ‫د احتمال وقوع أحد الحدثين فقط‪.‬‬

‫الحل‬ ‫` ل ( ‪ ∩ C‬ب) = ‪3‬‬ ‫` ل ( ‪ ∩ C‬ب) =‪ - 1‬ل (‪ ∩ C‬ب) = ‪5‬‬ ‫‪ a‬ل ( ‪ ∪ C‬ب) = ‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫` ل( ‪3 = )C‬‬ ‫` ‪ - 1‬ل ( ‪ 13 = )C‬ل( ‪ 43 ` )C‬ل( ‪1 = ) C‬‬ ‫‪ a‬ل ( ‪ 13 = ) C‬ل( ‪)C‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أ احتمال وقوع أحد الحدثين على األقل = ل ( ‪ ∪ C‬ب) = ل (‪ + )C‬ل(ب) ‪ -‬ل ( ‪ ∩ C‬ب) = ‪7 = 3 - 1 + 3‬‬ ‫‪8 8 2 4‬‬ ‫ب احتمال وقوع أحد الحدثين على األكثر=ل ( ‪ ∩ C‬ب) = ل ( ‪ ∪ C‬ب ) = ‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ج احتمال وقوع الحدث ب فقط= ل (ب ‪ = )C -‬ل(ب) ‪ -‬ل ( ‪ ∩ C‬ب) = ‪1 = 3 - 1‬‬ ‫‪8 8 2‬‬ ‫د احتمال وقوع أحد الحدثين فقط = ل ( ‪ ∪ C‬ب) ‪ -‬ل ( ‪ ∩ C‬ب) = ‪1 = 3 - 7‬‬ ‫‪2 8 8‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫فكر ‪ :‬هل يمكنك إيجاد احتمال وقوع أحد الحدثين فقط بطريقة أخرى؟ وضح ذلك‪.‬‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 8‬إذا كان ‪ ، C‬ب حدثين من فضاء العينة لتجربة عشوائية وكان ل (‪ ، 0٫8 = )C‬ل(ب) = ‪ ، 0٫6‬ل (‪ ∪ C‬ب) = ‪0٫1‬‬ ‫فاحسب احتمال األحداث اآلتية ‪:‬‬ ‫ب حدث" وقوع ‪ C‬فقط"‬ ‫أ حدث "وقوع أحد الحدثين على األقل"‬ ‫د حدث " وقوع أحد الحدثين على األكثر"‬ ‫ج حدث " وقوع أحد الحدثين فقط"‬ ‫‪/‬‬

‫مثال‬ ‫‪ ، C 9‬ب حدثان من فضاء عينة لتجربة عشوائية ‪ ،‬حيث ‪:‬‬ ‫ل (ب) = ‪ 3‬ل (‪ ، )C‬ل (‪ ∪ C‬ب )= ‪ 0٫72‬أوجد ل (‪ ، )C‬ل (ب)‬ ‫ً‬ ‫أوال‪ :‬إذا كان ‪ ، C‬ب حدثين متنافيين ‪.‬‬ ‫ثان ًيا‪:‬إذا كان ‪ ⊃ C‬ب‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪139‬‬

‫الوحدة الرابعة‪ :‬لا باسح‬

‫ف‬

‫الحل‬

‫ ` ل (ب) = ‪ 3‬س‬ ‫بفرض أن ل (‪ = )C‬س‬ ‫ً‬ ‫أوال‪ ، C a :‬ب حدثان متنافيان‪.‬‬ ‫` ل ( ‪ ∪ C‬ب ) = ل (‪ + )C‬ل (ب) فيكون ‪ 3 = 0٫72 :‬س ‪ +‬س‬ ‫ ` س = ‪ ،0٫18‬ل (‪ ، 0٫18 = )C‬ل (ب) = ‪0٫54‬‬

‫‪C‬‬

‫ف‬

‫ثان ًيا‪ ⊃ C a :‬ب‬ ‫ ` ‪ ∪ C‬ب = ب‬ ‫ ل ( ‪ ∪ C‬ب ) = ل (ب) = ‪3‬س = ‪0٫72‬‬ ‫` ل (‪ ، 0٫24 = )C‬ل (ب) = ‪0٫72‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ ، C 9‬ب حدثان من فضاء عينة لتجربة عشوائية ‪ ،‬حيث ‪:‬‬ ‫ل(ب) = ‪ ، 15‬ل ( ‪ ∪ C‬ب) = ‪ 13‬أوجد ل (‪)C‬‬ ‫أ إذا كان ‪ ، C‬ب حدثين متنافيين‪.‬‬

‫ب‬

‫ب إذا كان ب ⊃ ‪C‬‬

‫تفكير ناقد‪:‬‬

‫بين كيف يمكن حساب ل (‪ )C‬إذا كان‪ ⊃ C‬ف ‪ ،‬ف فضاء عينة لتجربة عشوائية ‪ ،‬إذا كان‪ :‬ل (‪3 = ) C‬‬ ‫ِّ‬ ‫ل (‪7 )C‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ل (‪ 2 ) C‬ل (ب )‬ ‫= ‪, 52‬‬ ‫=‪، 3‬‬ ‫‪ 10‬إذا كان ف فضاء عينة لتجربة عشوائية حيث ف = { ‪ ، C‬ب ‪ ،‬ج} ‪ ،‬وكان‬ ‫ل (ب )‬ ‫ل (‪)C‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫أوجد ل(ج)‬ ‫مثال‬

‫‪ 10‬الربط بالبيئة المدرسية‪ :‬إذا كان احتمال نجاح طالب فى امتحان الفيزياء يساوى ‪ ،0٫85‬واحتمال نجاحه فى‬ ‫امتحان الرياضيات ‪ 0٫9‬واحتمال نجاحه فى االمتحانين م ًعا ‪ 0٫8‬أوجد احتمال ‪:‬‬ ‫ب نجاح الطالب فى امتحان الرياضيات فقط‪.‬‬ ‫أ نجاح الطالب فى أحد االمتحانين على األقل‪.‬‬ ‫ج عدم نجاح الطالب فى االمتحانين م ًعا‪.‬‬ ‫الحل‬

‫ليكن ‪ C‬حدث نجاح الطالب فى امتحان الفيزياء ‪ ،‬ب حدث نجاح الطالب فى الرياضيات‬ ‫فيكون ‪ :‬ل (‪ ، 0٫85 = )C‬ل (ب) = ‪ ، 0٫9‬ل (‪ ∩ C‬ب ) = ‪0٫8‬‬ ‫أ احتمال نجاح الطالب فى أحد االمتحانين على األقل = ل (‪ ∪ C‬ب )‬ ‫` ل (‪ ∪ C‬ب)= ل ( ‪ + )C‬ل (ب) ‪ -‬ل ( ‪ ∩ C‬ب) = ‪0٫95 = 0٫8 - 0٫9 + 0٫85‬‬

‫ب احتمال نجاح الطالب فى امتحان الرياضيات فقط يعنى احتمال نجاحه فى امتحان الرياضيات وعدم‬ ‫نجاحه فى امتحان الفيزياء أى ل ( ب ‪) C -‬‬

‫‪140‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫امسح لا باسح‬

‫‪4 4‬‬

‫` ل ( ب‪ = ) C -‬ل (ب) ‪ -‬ل (ب ∩ ‪0٫1 = 0٫8 - 0٫9 = )C‬‬

‫ج حدث عدم نجاح الطالب فى االمتحانين م ًعا = (‪ ∩ C‬ب ) وهو حدث مكمل للحدث (‪ ∩ C‬ب )‬ ‫` ل(‪ ∩ C‬ب) =‪ - 1‬ل (‪ ∩ C‬ب ) = ‪0٫2 = 0٫8 - 1‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫تطبيقات حياتية‪:‬‬ ‫حاول أن تحل‬

‫‪ 11‬للحصول على وظيفة فى إحدى الشركات يتقدم الشخص الختبارين ‪ ،‬أحدهما نظرى‪ ،‬واآلخر عملى‪ ،‬إذا‬ ‫كان احتمال النجاح فى االختبار النظرى ‪ 0٫75‬واحتمال نجاحه فى االختبار العملى ‪ 0٫6‬واحتمال النجاح فى‬ ‫االختبارين م ًعا ‪ 0٫5‬فإذا تقدم شخص ما للحصول على هذه الوظيفة ألول مرة أوجد احتمال ‪:‬‬ ‫ب نجاحه فى أحد االختبارين على األقل ‪.‬‬ ‫أ نجاحه فى االختبار النظرى فقط‪.‬‬

‫تفكير ناقد‪:‬‬

‫الربط بالرياضة‪ :‬صرح مدرب أحد الفرق الرياضية أثناء لقاء صحفى معه بأن احتمال فوز فريقه فى مباراة الذهاب‬ ‫‪ ، 0٫7‬واحتمال فوز فريقه فى مباراة اإلياب ‪ ، 0٫9‬وأن احتمال فوزه فى المبارتين م ًعا ‪ 0٫5‬هل يتفق ما صرح به‬ ‫مدرب الفريق مع مفهوم االحتمال ؟ فسر إجابتك‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫‪ 11‬ألقى حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين‪ ،‬ولوحظ العدد الظاهر على الوجه العلوى فى كل مرة ‪ ،‬احسب احتمال‪:‬‬ ‫أوالً‪ :‬أ حدث أن يكون "مجموع العددين الظاهرين أقل من أو يساوى ‪"4‬‬ ‫ثان ًيا‪ :‬ب حدث أن يكون " أحد العددين ضعف اآلخر"‬ ‫ثال ًثا‪ :‬ج حدث أن يكون "الفرق المطلق للعددين يساوى ‪"2‬‬ ‫راب ًعا‪ :‬د حدث أن يكون " مجموع العددين أكبر من ‪" 12‬‬ ‫الحل‬

‫ن(ف) = ‪36‬‬

‫أوالً‪ ` } )1 ،3( ،)2 ،2( ،)1 ،2( ،)3 ،1( ، )2 ، 1( ،)1 ،1({ = C :‬ن (‪،6 = )C‬‬ ‫ثان ًيا‪ :‬ب = { (‪})3 ،6( ، )6 ،3( ،)2 ،4( ،)4 ،2( ،)1 ،2( ،)2 ،1‬‬

‫` ن (ب) = ‪6‬‬

‫ثال ًثا‪ :‬ج = {(‪})4 ،6( ، )6 ،4( ، )3 ،5( ،)5 ،3( ،)2 ،4( ،)4 ،2( ،)1 ،3( ،)3 ،1‬‬ ‫راب ًعا‪ :‬حيث إنه اليمكن أن يظهر عددان مجموعهما أكبر من ‪،12‬‬

‫` ل ( ‪1 = 6 = )C‬‬ ‫‪6 36‬‬ ‫`ل (ب) = ‪1 = 6‬‬ ‫‪6 36‬‬ ‫` ل(ج) = ‪2 = 8‬‬ ‫‪9 36‬‬

‫` د =‪ ، z‬ل (د) = صفر‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 12‬فى المثال السابق احسب احتمال األحداث اآلتية ‪:‬‬ ‫أوالً‪ :‬أ حدث " العددان الظاهران متساويان "‬ ‫ثان ًيا‪ :‬ب حدث " العدد فى الرمية األولى فردي وفى الرمية الثانية زوجي"‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪141‬‬

‫الوحدة الرابعة‪ :‬لا باسح‬

‫مثال‬ ‫‪ 12‬ألقيت قطعة نقود منتظمة ثالث مرات متتالية‪ ،‬ولوحظ تتابع الصور والكتابات احسب احتماالت األحداث اآلتية ‪:‬‬ ‫ص‬ ‫أوالً‪ C :‬حدث ظهور صورة واحدة فقط‪.‬‬ ‫ص‬ ‫ثان ًيا‪ :‬ب حدث ظهور صورتين على األقل‪.‬‬ ‫ك‬ ‫ص‬ ‫ثال ًثا‪ :‬ج حدث ظهور صورتين بالضبط‪.‬‬ ‫ص‬ ‫ك‬

‫الحل‬

‫ف = { ( ص‪ ،‬ص‪ ،‬ص)‪( ،‬ص‪ ،‬ص‪ ،‬ك)‪( ،‬ص‪ ،‬ك‪ ،‬ص)‪( ،‬ص‪ ،‬ك‪ ،‬ك) ‪،‬‬ ‫(ك‪ ،‬ص‪ ،‬ص)‪( ،‬ك‪ ،‬ص‪ ،‬ك) ‪( ،‬ك‪ ،‬ك‪ ،‬ص)‪( ،‬ك‪ ،‬ك‪ ،‬ك)}‪،‬‬ ‫ن (ف) = ‪8‬‬ ‫أوالً‪ C a :‬حدث ظهور صورة واحدة فقط ‪.‬‬ ‫ ` ‪( { = C‬ص‪ ،‬ك‪ ،‬ك) ‪( ،‬ك‪ ،‬ص‪ ،‬ك)‪( ،‬ك‪ ،‬ك‪ ،‬ص)} ‪،‬‬ ‫ ‪ a‬ن(‪ ` 3 = )C‬ل (‪3 = )C‬‬ ‫‪8‬‬

‫ص‬ ‫ك‬

‫ك‬

‫ك‬ ‫ص‬ ‫ك‬ ‫ص‬ ‫ك‬

‫ثان ًيا ‪ a :‬ب حدث ظهور صورتين على األقل‪ ،‬أى إما صورتان أو ثالث صور‬ ‫ ` ب = { ( ص‪ ،‬ص‪ ،‬ك) ‪( ،‬ص‪ ،‬ك‪ ،‬ص)‪( ،‬ك‪ ،‬ص‪ ،‬ص)‪( ،‬ص‪ ،‬ص‪ ،‬ص)}‬ ‫` ل (ب) = ‪1 = 4‬‬ ‫ ‪ a‬ن (ب) = ‪4‬‬ ‫‪2 8‬‬

‫ثال ًثا‪ a :‬ج حدث ظهور صورتين بالضبط‬

‫` ج = { (ص‪ ،‬ص‪ ،‬ك)‪ ( ،‬ص‪ ،‬ك‪ ،‬ص)‪( ،‬ك‪ ،‬ص‪ ،‬ص)} ‪ a‬ن (ج) = ‪3‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫` ل (ج) = ‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪ 13‬فى المثال السابق احسب االحتماالت اآلتية ‪:‬‬ ‫أوالً ‪ C :‬حدث ظهورنفس الوجه في الرميات الثالث ثان ًيا ‪ :‬ب حدث ظهور صورة على األكثر‪.‬‬ ‫راب ًعا‪ :‬د حدث ظهور كتابة على األقل‪.‬‬ ‫ثال ًثا‪ :‬ج حدث ظهور عدد فردى من الصور‬ ‫خامسا‪ :‬هـ حدث ظهور عدد من الصور يساوى نفس العدد من الكتابات‪.‬‬ ‫ً‬ ‫مثال‬ ‫‪ 13‬االرتباط بالمجتمع‪ :‬فى أحد المؤتمرات حضر ‪ 200‬شخص من جنسيات مختلفة‪ ،‬وبياناتهم موضحة بالجدول التالى ‪:‬‬ ‫رجل‬

‫امرأة‬

‫المجموع‬

‫‪142‬‬

‫يتحدث العربية‬

‫يتحدث اإلنجليزية‬

‫يتحدث الفرنسية‬

‫المجموع‬

‫‪45‬‬

‫‪30‬‬

‫‪5‬‬

‫‪80‬‬

‫‪50‬‬

‫‪95‬‬

‫‪45‬‬

‫‪75‬‬ ‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫‪25‬‬

‫‪30‬‬

‫‪120‬‬ ‫‪200‬‬

‫امسح لا باسح‬

‫‪4 4‬‬

‫إذا اختير أحد الحاضرين عشوائ ًّيا فأوجد احتمال أن يكون هذا الشخص المختار‪:‬‬ ‫ب رجل يتحدث اإلنجليزية‪.‬‬ ‫أ امرأة تتحدث العربية‪.‬‬ ‫د يتحدث العربية واإلنجليزية‪.‬‬ ‫ج يتحدث العربية أو الفرنسية‪.‬‬ ‫ه امرأة ال تتحدث اإلنجليزية و ال يتحدث العربية‪.‬‬ ‫الحل‬

‫أ‬ ‫ب‬ ‫ج‬ ‫د‬ ‫ه‬

‫احتمال أن يكون المختار " امرأة تتحدث العربية " = ‪45‬‬ ‫‪0٫225 = 200‬‬ ‫احتمال أن يكون المختار "رجل يتحدث اإلنجليزية" = ‪45‬‬ ‫‪0٫225 = 200‬‬ ‫احتمال أن يكون المختار "يتحدث العربية أو الفرنسية" = ‪+ 95‬‬ ‫‪0٫625 = 30200‬‬ ‫احتمال أن يكون المختار "يتحدث العربية واإلنجليزية" = ل (‪ = )z‬صفر‬ ‫‪5‬‬ ‫احتمال أن يكون المختار "امرأة ال تتحدث اإلنجليزية و ال تتحدث العربية" = ‪0٫025 = 200‬‬

‫حاول أن تحل‬

‫‪ 14‬فى المثال السابق احسب احتمال أن يكون الشخص المختار‪:‬‬ ‫ب يتحدث األلمانية‪.‬‬ ‫أ ال يتحدث اإلنجليزية‪.‬‬ ‫د رجل يتحدث العربية أو امرأة تتحدث اإلنجليزية‪.‬‬ ‫ج إمرأة تتحدث الفرنسية أو اإلنجليزية‪.‬‬

‫تمــــاريــن (‪)1 - 4‬‬ ‫‪ 1‬يرغب طالب فى شراء حقيبة ويمكنه اختيارها من ثالثة أنواع بأحد حجمين‪ ،‬وقد يكون لون الحقيبة أسود‬ ‫أو ُبن ًّيا ‪ ،‬م ِّثل فضاء العينة فى هذا الموقف بالشجرة البيانية‪.‬‬ ‫‪ 2‬فى تجربة إلقاء قطعة نقود ثم حجر نرد ومالحظة ما يظهر على وجهيهما العلويين‪.‬‬ ‫كال من األحداث اآلتية‪.‬‬ ‫أ اكتب فضاء العينة المرتبطة بهذه التجربة ثم عين ًّ‬ ‫½ الحدث ‪« C‬ظهور صورة وعدد فردى»‪.‬‬ ‫½ الحدث ج «ظهور عدد أولى أكبر من ‪.»2‬‬

‫½ الحدث ب «ظهور كتابة وعدد زوجى»‪.‬‬ ‫½ الحدث د «ظهور عدد يقبل القسمة على ‪.»3‬‬

‫‪ 3‬فى تجربة إلقاء حجر نرد مرتين متتاليتين ومالحظة العدد الظاهر على الوجه العلوى‪.‬‬ ‫كال من األحداث التالية‪:‬‬ ‫عين ًّ‬ ‫½ الحدث ‪« C‬ظهور عددين متساويين»‪.‬‬ ‫½ الحدث ج «ظهور عددين مجموعهما ‪.»13‬‬

‫½ الحدث ب «ظهور عددين مجموعهما ‪.»9‬‬ ‫½ الحدث د «ظهور العدد ‪ 3‬مرة واحدة على األقل»‪.‬‬

‫‪ 4‬من مجموعة األرقام {‪ }4 ،3 ،2 ،1‬كون عد ًدا من رقمين مختلفين‪ .‬مثل فضاء النواتج ف بشكل شجرة‪ ،‬ثم اكتب‬ ‫ف وع ِّين منها األحداث اآلتية ‪:‬‬ ‫½ ب حدث أن يكون رقم العشرات فرد ًّيا‪.‬‬ ‫½ أ حدث أن يكون رقم اآلحاد فرد ًّيا ‪.‬‬ ‫½ ج حدث أن يكون كال الرقمين فرد ًّيا‪.‬‬

‫½ د حدث أن يكون رقم اآلحاد أو رقم العشرات فرد ًّيا‪.‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪143‬‬

‫الوحدة الرابعة‪ :‬لا باسح‬

‫‪ 5‬حقيبة بها ‪ 2‬بطاقة متماثلة ومرقمة من ‪ 1‬إلى ‪ 20‬سحبت بطاقة واحدة عشوائ ًّيا ولوحظ العدد المسجل على‬ ‫البطاقة المسحوبة اكتب األحداث اآلتية ‪:‬‬ ‫ب حدث " العدد المسجل عامل من عوامل ‪"12‬‬ ‫أ حدث " العدد المسجل زوجى وأكبر من ‪"10‬‬ ‫ج حدث " العدد المسجل فردى ويقبل القسمة على ‪ "3‬د حدث " العدد المسجل مضاعف للعددين ‪" 5 ،2‬‬ ‫هـ حدث " العدد المسجل أولى"‬ ‫و حدث " العدد المسجل يحقق المتباينة ‪5‬س ‪" 17 H 3 -‬‬ ‫‪ 6‬سحبت بطاقتان الواحدة بعد األخرى من بين ‪ 8‬بطاقات متماثلة ومرقمة من ‪ 1‬إلى ‪ 8‬مع إعادة البطاقة المسحوبة‬ ‫ال قبل سحب البطاقة الثانية ‪ ،‬ما عدد عناصر فضاء العينة ؟ وإذا كان ‪:‬‬ ‫أو ً‬ ‫أ حدث " العدد فى السحبة الثانية ثالثة أمثال العدد فى السحبة األولى"‬ ‫ب حدث " مجموع العددين أكبر من ‪"13‬‬ ‫كال من ‪، C‬ب هل ‪ ، C‬ب حدثان متنافيان ؟ فسر ذلك‪.‬‬ ‫اكتب ًّ‬

‫‪ 7‬فى تجربة إلقاء قطعة نقود ثالث مرات متتالية ومالحظة تتابع الصور والكتابات م ِّثل فضاء النواتج بشكل‬ ‫شجرى‪ ،‬ثم ع ِّين األحداث اآلتية ‪:‬‬ ‫ب حدث " ظهور كتابتين على األكثر"‬ ‫أ حدث " ظهور كتابتين على األقل"‬ ‫د حدث " عدم ظهور صورة فى الرميات الثالث "‬ ‫ج حدث " ظهور صورة فى الرمية األولى"‬

‫‪ 8‬ألقيت قطعة نقود ثم حجر نرد ومالحظة الوجه العلوى لقطعة النقود والعدد الظاهر على الوجه العلوى لحجر‬ ‫النرد‪ ،‬م ِّثل فضاء العينة بشكل شجرى ثم أوجد األحداث اآلتية ‪:‬‬ ‫ب حدث " ظهور صورة وعدد فردى"‬ ‫أ حدث " ظهور كتابة وعدد زوجى"‬ ‫د حدث " وقوع الحدث أ فقط "‬ ‫ج حدث " عدم وقوع أ أو عدم وقوع ب"‬ ‫هـ حدث " وقوع الحدث أ ووقوع الحدث ب"‬ ‫اختر اإلجابة الصحيحة من اإلجابات المعطاة ‪:‬‬ ‫‪ 9‬إذا ألقى حجر نرد منتظم مرة واحدة‪ ،‬فإن احتمال الحصول على عدد فردى أقل من ‪ 5‬هو‪:‬‬ ‫د ‪1‬‬ ‫ج ‪1‬‬ ‫ب ‪1‬‬ ‫أ ‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪15‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 10‬فى تجربة إلقاء حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين‪ ،‬فإن احتمال الحصول على عدد زوجى فى الرمية األولى وعدد‬ ‫أولى فى الرمية الثانية هو ‪:‬‬ ‫د ‪1‬‬ ‫ج ‪1‬‬ ‫ب ‪1‬‬ ‫أ ‪1‬‬ ‫‪ 11‬إذا سحبت كرة عشوائ ًّيا من صندوق به ‪ 3‬كرات بيضاء ‪ 5 ،‬كرات حمراء ‪ 7 ،‬كرات خضراء فإن‪:‬‬ ‫احتمال أن تكون الكرة المسحوبة بيضاء أو خضراء هو ‪:‬‬ ‫د ‪1‬‬ ‫ج ‪7‬‬ ‫ب ‪2‬‬ ‫أ ‪1‬‬

‫‪144‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫‪4 4‬‬

‫امسح لا باسح‬

‫‪ 12‬يحتوى صندوق على تسع بطاقات متماثلة تحمل األرقام من ‪ 1‬إلى ‪ 9‬اختيرت بطاقة عشوائ ًّيا‪ ،‬فإن احتمال أن‬ ‫تحمل البطاقة المسحوبة رقم يقسم العدد ‪ 9‬أو رق ًما فرد ًّيا هو ‪:‬‬ ‫د ‪5‬‬ ‫ج ‪1‬‬ ‫ب ‪7‬‬ ‫أ ‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪ 13‬إذا كان ‪ ، C‬ب حدثين من ف فضاء النواتج لتجربة عشوائية‪ ،‬وكان ب⊃ ‪ ، C‬ل (‪2 = )C‬ل(ب) = ‪ 0٫6‬فإن ل (‪- C‬ب)‬ ‫يساوى‪:‬‬ ‫د ‪0٫2‬‬ ‫ج ‪0٫4‬‬ ‫ب ‪0٫3‬‬ ‫أ ‪0٫6‬‬ ‫‪ 14‬ألقى حجر نرد منتظم كتب على أوجهه األعداد ‪ 13 ،12 ،11 ،10 ،9 ،8‬ولوحظ العدد على الوجه العلوي‪:‬‬ ‫أ احسب احتمال كل من األحداث التالية‪:‬‬

‫½ ب "حدث ظهور عدد أولى‪".‬‬

‫½ ‪" C‬حدث ظهور عدد فردى‪".‬‬

‫½ ج"حدث ظهور عدد زوجى‪".‬‬

‫½ هـ "حدث ظهور عدد مكون من رقمين‪".‬‬

‫½ د "حدث ظهور عدد أكبر من ‪".12‬‬

‫½ و "حدث ظهور عدد مكون من رقم واحد‪".‬‬

‫ب احسب‪ :‬ل(‪ ∪ C‬ج) ‪ ،‬ل(هـ ∪ و) ‪ ، ،‬ل(ب ∩ د)‪.‬‬

‫‪ 15‬إذا كان ف = {‪ ، C‬ب‪ ،‬ج‪ ،‬د} فضاء عينة لتجربة عشوائية‪ ،‬أوجد‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ل(‪ ، )C‬ل(ب) ‪ ،‬إذا كان ل (‪ 3 = )C‬ل(ب)‪ ،‬ل(ج) = ل(د) = ‪18‬‬

‫‪ 16‬إذا كان ‪ ،C‬ب حدثين متنافيين من فضاء عينة لتجربة عشوائية‪ ،‬وكان‪:‬‬ ‫ل (‪ ∪ C‬ب) = ‪ ،0٫6‬ل (‪ - C‬ب) = ‪ 0٫25‬أحسب ل(‪ ،)C‬ل(ب)‪.‬‬

‫‪ 17‬إذا كان ‪ ،C‬ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية‪ ،‬وكان ل(‪ ، 13 = )C‬ل(ب) = ‪ ، 38‬ل(‪ ∩ C‬ب) = ‪ 14‬أوجد‪:‬‬ ‫د ل(‪ ∩ C‬ب )‬ ‫ج ل(‪ - C‬ب)‬ ‫ب ل(‪ ∪ C‬ب)‬ ‫أ ل(‪) C‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫‪ 18‬إذا كان ‪ ،C‬ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية‪ ،‬حيث‪:‬‬ ‫ل(‪ ، 0٫4 = )C‬ل(ب ) = ‪3‬ل(ب) ‪ ،‬ل(‪ ∩ C‬ب) = ‪ 0٫2‬احسب احتمال‪:‬‬ ‫ج وقوع ‪ C‬وعدم وقوع ب‪.‬‬ ‫ب وقوع ‪ C‬أو ب‪.‬‬ ‫أ وقوع ‪ C‬فقط‪.‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪ 19‬صندوق به كرات متماثلة وملونه منها ‪ 4‬حمراء‪ 6 ،‬زرقاء‪ 5 ،‬صفراء‪ ،‬سحبت منه كرة واحدة عشوائ ًّيا‪ .‬احسب‬ ‫احتمال أن تكون الكرة المسحوبة‪:‬‬ ‫ج ليست زرقاء‪ .‬د ليست حمراء وال صفراء‪.‬‬ ‫ب زرقاء أو صفراء‪.‬‬ ‫أ حمراء‪.‬‬ ‫‪ 20‬مجموعة بطاقات متماثلة ومرقمة من ‪ 1‬إلى ‪ 30‬سحبت منها بطاقة واحدة عشوائ ًّيا ولوحظ العدد المدون عليها‪.‬‬ ‫احسب احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة تحمل‪:‬‬ ‫ب عد ًدا يقبل القسمة على ‪5‬‬ ‫أ عد ًدا يقبل القسمة على ‪3‬‬ ‫د عد ًدا يقبل القسمة على ‪ 3‬أو ‪5‬‬ ‫ج عد ًدا يقبل القسمة على ‪ 3‬و ‪5‬‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪145‬‬

‫الوحدة الرابعة‪ :‬لا باسح‬

‫‪ 21‬ألقيت ثالث قطع نقود متمايزة مرة واحدة‪ .‬احسب احتمال كل من األحداث التالية‪:‬‬ ‫½ ‪ C‬حدث ظهور صورة واحدة أو صورتين‪.‬‬

‫½ ج حدث ظهور صورة على األكثر‪.‬‬

‫½ ب حدث ظهور صورة واحدة على األقل‪.‬‬

‫½ د حدث ظهور كتابتين متتاليتين على األقل‪.‬‬

‫‪ 22‬فى تجربة إلقاء حجر نرد مرتين ومالحظة العدد الذى يظهر على الوجه العلوى فى كل مرة‪ ،‬احسب احتمال‬ ‫كل من األحداث التالية‪:‬‬ ‫½ حدث ظهور العدد ‪ 4‬فى الرمية األولى‪.‬‬

‫½ حدث مجموع العددين فى الرميتين يساوى ‪8‬‬

‫½ حدث مجموع العددين فى الرميتين أقل من أو يساوي ‪5‬‬

‫شخصا‪ ،‬منهم يشجع‬ ‫شخصا شملهم استطالع للرأى‪ ،‬وجد أن ‪40‬‬ ‫‪ 23‬الربط بالر ياضة ‪ :‬عينة عشوائية تتكون من ‪60‬‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫شخصا يشجع نادى النجمة‪ ،‬وأن ‪ 8‬أشخاص اليشجعون أ ًّيا من الناديين‪.‬‬ ‫نادى الهالل‪ ،‬و‪28‬‬ ‫ً‬ ‫إذا اختير شخص عشوائ ًّيا من أفراد العينة‪ ،‬فما احتمال أن يكون الشخص المختار من مشجعى‪:‬‬ ‫ب الناديين م ًعا‪.‬‬ ‫أ أحد الناديين على األقل‪.‬‬ ‫د أحد الناديين فقط‪.‬‬ ‫ج نادى الهالل فقط‪.‬‬

‫‪ 24‬فى تجربة إلقاء قطعة نقود ثم حجر نرد منتظم ومالحظة الوجه الظاهر لقطعة النقود والعدد الظاهر على‬ ‫الوجه العلوى لحجر النرد‪ ،‬إذا كان ‪ C‬هو حدث ظهور صورة وعدد أولى ‪ ،‬ب حدث ظهور عدد زوجى ‪ .‬احسب‬ ‫كال من األحداث اآلتية ‪:‬‬ ‫كل من الحدثين ‪ ، C‬ب ثم احسب احتمال ًّ‬ ‫احتمال وقوع ٍّ‬ ‫ب وقوع الحدثين م ًعا‬ ‫أ وقوع أحد الحدثين على األقل‬ ‫د وقوع أحد من الحدثين فقط‬ ‫ج وقوع ب فقط‬

‫‪ 25‬سحبت بطاقة واحدة عشوائ ًّيا من ‪ 50‬بطاقة متماثلة‪ ،‬ومرقمة من ‪ 1‬إلى ‪ ،50‬احسب احتمال أن يكون العدد على‬ ‫البطاقة المسحوبة‪:‬‬ ‫ب مرب ًعا كامال‬ ‫أ مضاع ًفا للعدد ‪7‬‬ ‫كامال‪ ،‬وليس مضاع ًفا للعدد ‪7‬‬ ‫د ليس مرب ًعا‬ ‫ال‬ ‫ً‬ ‫ج مضاعف للعدد ‪ 7‬ومرب ًعا كام ً‬ ‫‪ 26‬إذا كان ‪ ،C‬ب حدثين من فضاء نواتج لتجربة عشوائية ف‪ ،‬ل(ب) = ‪ 45‬ل (‪ ، )C‬ل (‪- C‬ب) = ‪0٫24‬‬ ‫ل (ب∩ ‪ 0٫15 = ) C‬أوجد ‪ :‬ل ( ‪ ،) C‬ل (ب)‪ ،‬ل (‪ ∪ C‬ب)‪ ،‬ل (‪ ∪ C‬ب )‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫‪ 27‬كتب طارق ‪ 75‬خطا ًبا على اآللة الكاتبة‪ ،‬فوجد أن ‪ ٪60‬منها بال أخطاء ‪ ،‬وكتب زياد ‪ 25‬خطا ًبا أخرى‪ ،‬فوجد‬ ‫أن ‪ ٪80‬منها بال أخطاء‪ ،‬فإذا اختير خطاب عشوائ ًّيا مما تم كتابته بواسطة طارق وزياد‪ ،‬فأوجد احتمال أن‬ ‫يكون هذا الخطاب ‪:‬‬ ‫ب زياد هو الذى كتب الخطاب‪.‬‬ ‫أ بال أخطاء ‪.‬‬ ‫د طارق قد أخطأ فى كتابته ‪.‬‬ ‫ج زياد لم يخطئ فى كتابته‪.‬‬ ‫‪ 28‬إذا كان ‪ ،C‬ب حدثين من فضاء عينة ف‪ ،‬ل( ‪ ، 0٫6 = ) C‬ل(ب) = ‪ ،0٫8‬ل (‪ ∪َ C‬بَ) = ‪ 0٫5‬فاحسب ل(‪ ∩َ C‬ب)‬

‫‪146‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫�� ل�� ‬

‫‪4 4‬‬

‫ملخ�ص �لوحدة‬ ‫‪ 1‬التجربة العشوائية ‪ :‬هى كل تجربة يمكن معرفة جميع النواتج الممكنة لها قبل إجرائها‪ ،‬ولكن النستطيع أن‬ ‫نحدد أ ًّيا من هذه النواتج سوف يتحقق عند إجرائها‪.‬‬

‫‪ 2‬فضاء العينة (فضاء النواتج)‪ :‬فضاء العينة لتجربة عشوائية هو مجموعة كل النواتج الممكنة لهذه التجربة‬ ‫ويرمز له بالرمز ف‪.‬‬ ‫‪ 3‬الحدث ‪ :‬هو مجموعة جزئية من فضاء العينة‪.‬‬

‫واحدا فقط‪.‬‬ ‫عنصرا‬ ‫‪ 4‬الحدث بسيط (أولى)‪ :‬هو مجموعة جزئية من فضاء العينة تحوى‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫‪ 5‬الحدث المؤكد ‪ :‬هو الحدث الذى عناصره هى عناصر فضاء العينة ف‪.‬‬

‫‪ 6‬الحدث المستحيل‪ :‬هو الحدث الخالى من أى عنصر ويرمز له بالرمز ‪.z‬‬ ‫‪ 7‬العمليات على األحداث‪ :‬التقاطع ‪ -‬االتحاد ‪ -‬اإلكمال ‪ -‬الفرق‪.‬‬ ‫‪ 8‬األحداث المتنافية‬

‫يقال إن الحدثين ‪ ،C‬ب متنافيان إذا كان ‪ ∩ C‬ب = ‪.z‬‬ ‫½ يقال لعدة أحداث أنها متنافية إذا كانت وفقط إذا كانت متنافية مثنى مثنى‪.‬‬

‫‪ 9‬حساب االحتمال‬

‫½ إذا كان ف فضاء النواتج لتجربة عشوائية ما ‪ ،‬واألحداث األولية التى تحويها متساوية اإلمكانات‪.‬‬ ‫½ فإن احتمال وقوع أى حدث ‪ ⊃ C‬ف يرمز له بالرمز ل(‪ )C‬حيث ل(‪ = )C‬ن(‪)C‬‬ ‫ن(ف)‬

‫‪ 10‬مسلمات االحتمال‬

‫½ لكل حدث ‪ ⊃ C‬ف يوجد عدد حقيقى يسمى احتمال الحدث ‪ C‬يرمز له بالرمز ل حيث ‪ H 0 :‬ل(‪1 H )C‬‬

‫½ ل(ف) = ‪1‬‬

‫½ إذا كان ‪ ⊃ C‬ف‪ ،‬ب ⊃ ف وكان ‪ ،C‬ب حدثين متنافيين فإن‪:‬‬

‫ل(‪ ∪ C‬ب) = ل(‪ + )C‬ل(ب)‬

‫‪ 11‬إذا كان ‪C ∪.... ∪3C∪2C∪1C‬ن=ف حيث ‪C ، ...،2C ،2C ،1C‬ن جميعها أحداث متنافية‬ ‫فإن ل(‪ + )1C‬ل(‪ + )2C‬ل(‪ + ... + )3C‬ل(‪C‬ن) =‪1‬‬

‫‪ 12‬ل(‪0 = )z‬‬

‫‪ 12‬إذا كان ‪ ⊃ C‬ف حيث ف فضاء نواتج لتجربة عشوائية فإن ل(‪ - 1 = ) C‬ل(‪)C‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪ 13‬ألى حدثين أ ‪ ،‬ب من ف فضاء نواتج لتجربة عشوائية فإن‬ ‫ب ل(‪- C‬ب) = ل(‪ - )C‬ل (‪ ∩ C‬ب )‬ ‫أ ل (‪ ∪ C‬ب ) = ل(‪ + )C‬ل(ب) ‪ -‬ل (‪ ∩ C‬ب )‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪147‬‬

‫الوحدة الرابعة‪ :‬لا باسح‬

‫‪ 14‬األحداث بالصورة اللفظية وتمثيلها بشكل ڤن‪ ،‬واحتماالتها‪:‬‬ ‫الحدث فى صورة لفظية‬

‫احتمال وقوع الحدث‬

‫تمثيل الحدث بشكل ڤن‬ ‫ف‬

‫عدم وقوع الحدث ‪C‬‬

‫ل(‪ - 1 = ) C‬ل(‪)C‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫ف‬

‫وقوع ‪ C‬أو ب (وقوع أحدهما‬

‫على األقل)‬

‫‪C‬‬ ‫‪ ∪C‬ب‬

‫وقوع ‪ C‬و ب (وقوعهما م ًعا)‬

‫‪C‬‬ ‫‪ ∩C‬ب‬

‫وقوع الحدث ‪ C‬فقط‬

‫ل(‪ ∪ C‬ب) = ل(‪ + )C‬ل(ب) ‪ -‬ل( ‪ ∩ C‬ب)‬

‫ب‬ ‫ف‬

‫ل(‪ ∩ C‬ب) = ل(‪ + )C‬ل(ب) ‪ -‬ل(‪ ∪ C‬ب)‬

‫ب‬ ‫ف‬

‫ل(‪ - C‬ب) = ل(‪ - )C‬ل( ‪ ∩ C‬ب) = ل( ‪ ∩ C‬ب )‬ ‫‪/‬‬

‫(وقوع ‪ C‬وعدم وقوع ب)‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪- C‬ب = ‪ ∩C‬ب = ‪ ∩ C ( - C‬ب )‬ ‫‪/‬‬

‫ف‬

‫وقوع أحدهما فقط‬

‫(وقوع ‪ C‬فقط أو وقوع ب فقط)‬

‫ل(( ‪ - C‬ب) ∪ (ب ‪))C -‬‬

‫ = ل( ‪ - C‬ب) ‪ +‬ل( ب ‪) C -‬‬

‫ب‬

‫‪C‬‬ ‫( ‪ - C‬ب) ∪ (ب ‪)C -‬‬

‫ = ل( ‪ ∪ C‬ب) ‪ -‬ل( ‪ ∩ C‬ب)‬

‫ف‬

‫عدم وقوع أى من الحدثين‬

‫ل( ‪ ∪ C‬ب) = ل(‪ ∩ C‬ب ) = ‪ - 1‬ل (‪ ∪ C‬ب)‬ ‫‪/‬‬

‫(عدم وقوع ‪ C‬وعدم وقوع ب)‬

‫ب‬

‫‪C‬‬ ‫(‪ ∪ C‬ب) = ‪ ∩ C‬ب‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫ف‬

‫عدم وقوع الحدثين م ًعا‬

‫(عدم وقوع ‪ C‬أو عدم وقوع ب)‬

‫أو (وقوع أحدهما على األكثر)‬

‫ل(‪ ∩ C‬ب) = ل(‪ ∪ C‬ب ) = ‪ - 1‬ل(‪ ∩ C‬ب)‬ ‫‪/‬‬

‫ب‬

‫‪C‬‬ ‫(‪ ∩ C‬ب) = ‪ ∪ C‬ب‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫ف‬

‫عدم وقوع ‪ C‬فقط‬

‫(وقوع ب أو عدم وقوع ‪)C‬‬

‫‪148‬‬

‫ل( ‪ - C‬ب) = ‪ - 1‬ل(‪ - C‬ب) = ل (ب ∪ ‪) C‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫( ‪ - C‬ب) = ب ∪ ‪C‬‬ ‫‪/‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫ = ل (‪ + ) C‬ل (‪ ∩ C‬ب)‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫�� ل�� ‬

‫‪4 4‬‬

‫تمارين عامة (الوحدة الرابعة)‬

‫اختر االإجابة ال�شحيحة من االإجابات المعطاة‪:‬‬

‫فى تجربة إلقاء حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين فإن ‪:‬‬

‫‪ 1‬احتمال الحصول على العدد ‪ 5‬فى الرمية األولى والعدد ‪ 6‬فى الرمية الثانية هو‪:‬‬ ‫ج ‪1‬‬ ‫ب ‪1‬‬ ‫أ ‪1‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪24‬‬

‫د ‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪ 2‬احتمال الحصول على العدد ‪ 5‬فى إحدى الرميتين والعدد ‪ 6‬فى الرمية األخرى هو‪:‬‬ ‫د ‪1‬‬ ‫ج ‪5‬‬ ‫ب ‪1‬‬ ‫أ ‪1‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪6‬‬

‫‪36‬‬

‫‪5‬‬

‫‪36‬‬

‫‪6‬‬

‫‪18‬‬

‫‪ 3‬احتمال الحصول على عددين متساويين فى الرميتين هو‪:‬‬ ‫ج ‪1‬‬ ‫ب ‪1‬‬ ‫أ ‪1‬‬

‫د ‪1‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪ ، C‬ب حدثان من ف فضاء عينة لتجربة عشوائية ‪ ،‬اختر الحدث الذى يعبر عن الجزء المظلل بشكل ڤن المقابل‪:‬‬ ‫ف‬ ‫ب ‪ ∪ C‬ب‬ ‫‪ 4‬أ ف ‪ ∪ C ( -‬ب)‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫د (‪ ∩ C‬ب )‬ ‫ج ف ‪ ∪ C( -‬ب )‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫‪ 5‬أ ‪ ∩ C‬ب‬ ‫ج (‪ ∪ C‬ب)‬

‫‪/‬‬

‫ب ‪ ∪ C‬ب‬

‫‪/‬‬

‫د ‪ ∪ C‬ب‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫‪ 6‬أ (‪ ∪ C‬ب) ‪ ∩ C(-‬ب)‬ ‫ج ف ‪ ∪ C( -‬ب)‬ ‫‪/‬‬

‫‪ 7‬أ ف ‪ ∩ C( -‬ب)‬ ‫ج (‪ - C‬ب) ∪(ب ‪) C -‬‬

‫ف‬

‫‪/‬‬

‫ب ف ‪ ∩ C(-‬ب )‬

‫‪C‬‬

‫ف‬

‫‪/‬‬

‫د ف ‪ ∩ C( -‬ب )‬

‫ب ‪ ∩ C‬ب‬ ‫‪/‬‬

‫ب‬

‫‪C‬‬ ‫ف‬

‫‪/‬‬

‫د ف ‪ ∪ C( -‬ب )‬

‫‪/‬‬

‫‪C‬‬

‫ب‬

‫‪ 8‬كون من أرقام العدد ‪ 4321‬أعداد‪ ،‬كل منها يتكون من رقمين مختلفين ‪ .‬مثل فضاء النواتج بشكل شجرة بيانية‪،‬‬ ‫ثم اكتب فضاء النواتج واألحداث اآلتية ‪:‬‬ ‫أ حدث " مجموعة األعداد األولية "‪.‬‬ ‫ب حدث " مجموعة األعداد التى تقبل القسمة على ‪."3‬‬ ‫ج حدث " مجموعة األعداد التى تقبل القسمة على ‪ 3‬و ‪."5‬‬ ‫د حدث" مجموعة األعداد التى بها اآلحاد ضعف العشرات"‪.‬‬ ‫‪ 9‬فى تجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة‪ ،‬ومالحظة العدد الظاهر على الوجه العلوى‪ ،‬احسب احتمال أن يكون‬ ‫العدد الظاهر ‪:‬‬ ‫ج فرد ًّيا يقبل القسمة على ‪3‬‬ ‫ب من عوامل ‪6‬‬ ‫أ أول ًّيا‬ ‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪149‬‬

‫الوحدة الرابعة‪ :‬لا باسح‬

‫متسرين عس�ة (ل�� ل�رلبعة)‬

‫‪ 10‬إذا كان ‪ ،C‬ب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية‪.‬‬ ‫أكمل لتكون العبارة صحيحة فيما يأتى‪:‬‬ ‫أ إذا كان ‪ ،C‬ب حدثين متنافيين‪:‬‬ ‫½ ‪∩C‬ب=‬

‫½ ‪-C‬ب=‬

‫‪.............................................‬‬

‫ب إذا كان ب ⊃ ‪ C‬فإن‪:‬‬ ‫½ (‪ ∩ C‬ب) =‬

‫‪............................................‬‬

‫½ ‪∪C‬ب=‬

‫‪.................................‬‬

‫‪........................................‬‬

‫ج إذا كان ل(‪ ، 0٫3 = )C‬ل(ب) = ‪ ، 0٫5‬ل (‪ ∩ C‬ب) = ‪ 0٫1‬فإن‪:‬‬ ‫½ ل(‪ ∪ C‬ب) =‬

‫½ ل(ب ‪= )C -‬‬

‫‪................................‬‬

‫‪.................................‬‬

‫د إذا كان ‪ ∩ C‬ب = ‪ ، z‬ل(‪ ،0٫7 = ) C‬ل(ب ) = ‪ 0٫4‬فإن‪:‬‬ ‫‪/‬‬

‫½ ل(‪ ∪ C‬ب) =‬

‫‪.................................‬‬

‫½ ب‪=C-‬‬ ‫½ ب‪=C-‬‬

‫‪......................................................‬‬

‫‪.....................................................‬‬

‫½ ل(‪ ∩ C‬ب ) =‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫‪.................................‬‬

‫‪/‬‬

‫½ ل(‪ ∩ C‬ب) =‬

‫‪.................................‬‬

‫½ ل(‪ - C‬ب) =‬

‫‪.................................‬‬

‫‪ 11‬إذا كان ‪ ،C‬ب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية‪ ،‬وكان ‪ ⊃ C‬ب ‪ ،‬ل(‪ ، 12 = )C‬احتمال وقوع ب فقط‬ ‫يساوي ‪ .0٫2‬احسب احتمال عدم وقوع ب‪.‬‬

‫‪ 12‬إذا كان ‪ ،C‬ب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية‪ ،‬ل دالة احتمال معرفة على ف‪ ،‬وكان‬ ‫ل(‪ ، ، 1 = )C‬ل(ب) = س‪ ،‬ل(‪ ∪ C‬ب)‪1 = /‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أ أوجد قيمة س إذا كان‪:‬‬

‫½ ‪ ،C‬ب حدثان متنافيان‪.‬‬

‫ب إذا كانت س = ‪ 14‬فأوجد ل(‪ ∩ C‬ب)‪.‬‬

‫½ ‪ ⊃ C‬ب‪.‬‬

‫تعبيرا رمز ًّيا لكل من األحداث اآلتية‪ ،‬ومثلها‬ ‫‪ 13‬إذا كان ‪ ،C‬ب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية‪ ،‬أعط‬ ‫ً‬ ‫بشكل ڤن‪:‬‬ ‫أ عدم وقوع الحدث ‪.C‬‬ ‫ج وقوع الحدث ب فقط‪.‬‬

‫ه عدم وقوع الحدثين م ًعا‪.‬‬

‫ب وقوع أى الحدثين ‪ C‬أو ب‪.‬‬ ‫د وقوع ‪ C‬أو عدم وقوع ب‪.‬‬ ‫و وقوع أحدهما فقط‪.‬‬

‫‪ 14‬فى تجربة إلقاء قطعة نقود منتظمة ثالث مرات متتالية‪ ،‬ومالحظة تتابع الصور والكتابات‪ ،‬م ِّثل فضاء العينة‬ ‫لهذه التجربة بالشجرة البيانية‪ ،‬ثم احسب احتمال كل من األحداث التالية‪:‬‬ ‫أ الحدث ‪« C‬ظهور صورتين فقط»‪.‬‬ ‫ج الحدث ج «ظهور كتابة واحدة على األكثر»‪.‬‬

‫الثالث»‪.‬‬

‫‪150‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫ب الحدث ب «ظهور صورتين على األكثر»‪.‬‬

‫د الحدث د «ظهور نفس الوجه فى الرميات‬

‫�� ل�� ‬

‫‪4 4‬‬

‫‪ 15‬فى تجربة إلقاء حجر نرد مرتين متتاليتين ومالحظة العدد الذى يظهر على الوجه العلوى‪.‬‬ ‫كال من األحداث اآلتية‪:‬‬ ‫شكال هندس ًّيا يمثل فضاء العينة ف‬ ‫أ ارسم‬ ‫موضحا عليه ًّ‬ ‫ً‬ ‫ً‬

‫½ الحدث ‪« C‬الحصول على عددين مجموعهم فردى وأكبر من ‪.»6‬‬

‫½ الحدث ب «الحصول على عددين أحدهما ‪ 2‬ومجموعها ‪.»5 H‬‬

‫½ الحدث ج «الحصول على عددين متساويين»‪.‬‬ ‫ب أى األحداث ‪ ،C‬ب‪ ،‬ج متنافية مثنى مثنى؟‬

‫ج احسب كل من ‪ :‬ل(‪ ∪ C‬ب) ‪ ،‬ل(ب ∩ ج) ‪ ،‬ل(‪ ∪ C‬ج) ‪ ،‬ل(ب ‪ -‬ج)‪.‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪ 16‬خمس بطاقات متماثلة مرقمة من ‪ 2‬إلى ‪ 6‬سحبت بطاقتان الواحدة بعد اآلخرى مع اإلحالل‪ ،‬ومالحظة الرقم‬ ‫المسجل عليها لتكوين جميع األعداد الممكنة ذات الرقمين‪ .‬أوجد احتمال‪:‬‬ ‫أ أن يكون رقم األحاد عد ًدا أول ًّيا‪.‬‬

‫ب أن يكون رقم العشرات عد ًدا فرد ًّيا‪.‬‬

‫ج أن يكون رقم األحاد عد ًدا أول ًّيا أو رقم العشرات عد ًدا فرد ًّيا‪.‬‬

‫صحف‪:‬‬

‫شخصا يقرؤن الصحيفة ‪ 24 ،C‬يقرؤن الصحيفة ب‪ 9 ،‬أشخاص يقرؤن‬ ‫شخصا‪ ،‬وجد أن ‪27‬‬ ‫‪ 17‬فى عينة من ‪50‬‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫الصحيفتين م ًعا‪ .‬اختير شخص واحد من هذه العينة عشوائ ًّيا‪ .‬أوجد احتمال أن يقرأ الشخص المختار‪.‬‬ ‫ب إحدى الصحيفتين على األقل‪.‬‬

‫أ الصحيفة ‪ C‬فقط‪.‬‬

‫سياحة‪:‬‬

‫‪ 18‬فى أحد عروض مشروع الصوت والضوء‬ ‫بالهرم حضر ‪ 200‬شخص من جنسيات مختلفة‬ ‫بيانهم موضح بالجدول اآلتى ‪ ،‬فإذا اختير‬ ‫أحد الحاضرين عشوائ ًّيا عن طريق بطاقات‬ ‫الدخول الخاصة بهم لمنحه جائزة تذكارية‪.‬‬ ‫أوجد احتمال أن يكون الشخص المختار‬ ‫أ‬ ‫رجال أوروب ًّيا‪.‬‬ ‫ً‬ ‫ج سيدة‪.‬‬

‫عربى‬

‫أوروبى‬

‫أمريكى‬

‫المجموع‬

‫‪23‬‬

‫‪63‬‬

‫‪20‬‬

‫‪106‬‬

‫رجل‬

‫‪32‬‬

‫المجموع‬

‫‪55‬‬

‫سيدة‬

‫‪47‬‬

‫‪110‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪35‬‬

‫‪94‬‬

‫‪200‬‬

‫ب سيدة أمريكية‪.‬‬

‫د ذو جنسية عربية أو أوروبية‪.‬‬

‫‪ 19‬إذا كان ف = {‪ ،C‬ب‪ ،‬ج}‪ ،‬فضاء عينة لتجربة عشوائية ما‪ ،‬وكان‪:‬‬ ‫ل( ‪ ، ) C‬ل(ب) ‪ ،‬ل (ج)‬ ‫‪20‬ل( ‪15 = ) C‬ل(ب) = ‪12‬ل(ج) فأوجد‪:‬‬ ‫َ‬

‫َ‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪151‬‬

‫الوحدة الرابعة‪ :‬لا باسح‬

‫اختبار تراكمى‬

‫اأكمل ما ياأتى‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫عند إلقاء حجر نرد منتظم مرة واحدة‪ ،‬ومالحظة العدد الظاهر على الوجه العلوى فإن فضاء النواتج ف =‬ ‫عند إلقاء قطعة نقود معدنية مرتين متتاليتين‪ ،‬ومالحظة الوجه العلوى‪ ،‬فإن حدث ظهور صورة على األكثر = ‪......................‬‬ ‫عند إلقاء حجر نرد منتظم ثم قطعة نقود ومالحظة الوجه العلوى لكل منهما فإن حدث ظهور عدد أولى = ‪..........................‬‬ ‫عند إلقاء حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين ومالحظة الوجه العلوى فى كل مرة‪ ،‬فإن حدث " مجموع العددين‬ ‫الظاهرين يساوى ‪.......................... = "5‬‬ ‫عند سحب بطاقة من ‪ 20‬بطاقة متماثلة ومرقمة من ‪ 1‬إلى ‪ 20‬ومالحظة العدد الظاهر على البطاقة فإن حدث‬ ‫« العدد الظاهر يقبل القسمة على ‪..........................= " 3‬‬ ‫عند إلقاء قطعة نقود ثالث مرات متتاليات ومالحظة تتابع الصور والكتابات‪ ،‬فإن حدث "ظهور صورتين‬ ‫بالضبط" = ‪........................................‬‬ ‫‪..........................‬‬

‫‪ 7‬إذا كان ‪ ⊃C‬ف حيث ف فضاء النواتج لتجربة عشوائية ‪ ،‬وكان ل(‪ 3 = ) C‬ل(‪ )C‬فأوجد ل(‪. ) C‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫‪ 8‬صندوق به ‪ 20‬بطاقة متماثلة‪ ،‬ومرقمة من ‪ 1‬إلى ‪ 20‬سحبت منه بطاقة واحدة عشوائ ًّيا‪ ،‬أوجد احتمال أن يكون‬ ‫العدد المكتوب على البطاقة المسحوبة ‪:‬‬ ‫أ يقبل القسمة على ‪6‬‬

‫ب أول ًّيا أكبر من ‪10‬‬

‫ج من عوامل العدد ‪12‬‬

‫أ ل ( ‪ ∩ C‬ب)‬

‫ب ل ( ‪ ∩ C‬ب)‬

‫ج ل ( ‪ ∪ C‬ب)‬

‫‪ 9‬إذا كان ‪ ، C‬ب حدثين من ف فضاء عينة لتجربة عشوائية‪ ،‬ل ( ‪ ∪ C‬ب) = ‪ ، 0٫85‬ل(‪ ، 0٫75 = )C‬ل( ب ) = ‪0٫6‬‬ ‫أوجد‪:‬‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫‪ 10‬إذا كان ‪ ، C‬ب حدثين من ف فضاء عينة لتجربة عشوائية‪ ،‬فإذا كان ل ( ‪ 23 = ) C‬ل(ب) ‪ ،‬واحتمال حدث وقوع‬ ‫أحدهما على األكثر يساوى ‪ ، 0٫75‬احتمال حدث "وقوع أحدهما على األقل" يساوى ‪ 0٫6‬فأوجد احتمال‬ ‫األحداث اآلتية‪:‬‬ ‫ج وقوع ب أو عدم وقوع ‪.C‬‬ ‫ب وقوع أحد الحدثين فقط‪.‬‬ ‫أ احتمال وقوعهما م ًعا‪.‬‬ ‫‪ 11‬إذا كان ‪ ، C‬ب حدثين من ف فضاء عينة لتجربة عشوائية‪ ،‬فإذا كان ل (‪ 35 = ) C‬ل(‪ ∪ C‬ب)= ‪ 0٫45‬فأوجد ل (ب)‬ ‫فى الحاالت االتية ‪:‬‬ ‫‪/‬‬

‫أ ‪ ،C‬ب حدثان متنافيان‬

‫ب ‪⊃C‬ب‬

‫ج ل(ب ‪0٫2 = )C -‬‬

‫سائحا من فرنسا‪،‬‬ ‫سائحا من إيطاليا‪14 ،‬‬ ‫سائحا من روسيا‪17 ،‬‬ ‫‪ 12‬الربط بالسياحة‪ :‬فوج سياحى مكون من ‪19‬‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫اختير أحدهم عشوائ ًّيا‪ ،‬احسب احتمال أن يكون السائح‪:‬‬

‫‪152‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫‪4 4‬‬

‫�� ل�� ‬

‫ب ليس من فرنسا‪.‬‬ ‫د من هولندا‪.‬‬

‫أ من روسيا أو من فرنسا‪.‬‬ ‫ج من أوروبا‪.‬‬

‫‪ 13‬الربط بالبيئة المدرسية ‪ :‬فى احتفال المدرسة بتكريم أوائل طالبها‪ ،‬إذا كان احتمال حضور المحافظ ‪،0٫8‬‬ ‫واحتمال حضور مدير عام التعليم ‪ 0٫9‬واحتمال حضورهما م ًعا ‪ 0٫75‬أوجد‪:‬‬ ‫ب احتمال حضور أحدهما على األقل‪.‬‬ ‫أ احتمال حضور المحافظ فقط‪.‬‬ ‫ج احتمال عدم حضورهما م ًعا‪.‬‬ ‫‪ ،C 14‬ب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية ف‪.‬‬ ‫فإذا كان ل(‪ ،0٫6 = )C‬ل(ب ) = ‪ ، 0٫3‬ل(‪ ∪ C‬ب) = ‪ ،0٫9‬أوجد احتمال كل من األحداث اآلتية‪:‬‬ ‫ج وقوع ‪ C‬فقط أو ب فقط‬ ‫ب وقوع ‪ C‬وعدم وقوع ب‬ ‫أ وقوع ‪ C‬و ب‬ ‫‪/‬‬

‫‪ 15‬إذا كان ف فضاء النواتج لتجربة عشوائية حيث ف= {‪ ،C‬ب‪ ،‬جـ}‬ ‫ل(جـ )‬ ‫وكان ل(‪7 = )/C‬‬ ‫فأوجد‬ ‫)‬ ‫ل(ب‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫(ب)‬ ‫ل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ل(‪3 )C‬‬ ‫ل(جـ )‬ ‫‪/‬‬

‫‪/‬‬

‫‪ 16‬إذا كان ‪ ،C‬ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية وكان‪:‬‬ ‫ل(‪ ، 0٫6 = )C‬ل(ب) = ‪ ، 0٫5‬ل ( ‪ ∪ C‬ب ) = ‪ 0٫7‬فأوجد احتمال كل مما يأتي‪:‬‬ ‫ً‬ ‫ثان ًيا‪ :‬وقوع حدث ‪ C‬فقط‬ ‫أوال‪ :‬وقوع الحدثين ‪ ،C‬م ًعا‬ ‫‪/‬‬

‫ثال ًثا‪ :‬وقوع أحد الحدثين على األقل‬

‫‪/‬‬

‫راب ًعا‪ :‬وقوع أحد الحدثين فقط‬

‫شخصا موزعين كما هو موضح بالجدول التالي‪ ،‬اختير أحد المتقدمين عشوائ ًّيا‪،‬‬ ‫‪ 17‬تقدم لوظيفة بأحد البنوك ‪50‬‬ ‫ً‬ ‫أوجد احتمال أن يكون الشخص المختار‪:‬‬

‫ً‬ ‫أوال‪ :‬أنثى‪.‬‬

‫ثان ًيا‪ :‬من ذوى المؤهالت المتوسطة‪.‬‬

‫ثال ًثا‪ :‬ذكر من المؤهالت العليا‪.‬‬

‫راب ًعا‪ :‬أنثى أو من ذوى المؤهالت العليا‪.‬‬

‫الجنس‬

‫مؤهالت‬ ‫عليا‬

‫مؤهالت‬ ‫متوسطة‬

‫المجموع‬

‫ذكر‬

‫‪16‬‬

‫‪14‬‬

‫‪30‬‬

‫أنثى‬

‫‪12‬‬

‫‪8‬‬

‫‪20‬‬

‫المجموع‬

‫‪28‬‬

‫‪22‬‬

‫‪50‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪153‬‬

‫الوحدة الرابعة‪ :‬لا باسح‬

‫اختبارات عامة‬

‫‪154‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬

‫لخببسرلت عس�ة‬

‫تطبيقات الرياضيات‬

‫االختبار األول‬ ‫�أجب عن �الأ�سئلة �لتالية‪:‬‬

‫السؤال األول‪ :‬اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة‪:‬‬ ‫‪ 1‬قوتان متالقيتان فى نقطة مقدارهما ‪ 3‬ق‪ 2 ،‬ق ومقدار محصلتهما ‪5‬ق‪ ،‬فيكون قياس الزاوية بينهما‪:‬‬ ‫د ‪180‬‬ ‫ج ‪20‬‬ ‫ب ‪60‬‬ ‫أ صفر‬

‫‪ 2‬إذا تحركت سيارة بسرعة منتظمة مقدارها ‪90‬كم‪/‬س لمدة ‪ 30‬دقيقة‪ ،‬فإن المسافة المقطوعة خالل هذه الفترة‬ ‫بوحدة الكيلو متر تساوى‪:‬‬ ‫أ ‪3‬‬ ‫د ‪162‬‬ ‫ج ‪45‬‬ ‫ب ‪2٫7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 3‬جميع الحاالت اآلتية تعين مستوى ما عدا‪:‬‬ ‫أ مستقي ًما ونقطة ال تنتمى إليه‬ ‫ج مستقيمين متقاطعين‬

‫ب مستقيمين متوازيين مختلفين‬ ‫د مستقيمين متخالفين‬

‫‪ 4‬إذا ألقيت قطعة نقود منتظمة مرة واحدة على سطح أفقى‪ ،‬ولوحظ الوجه العلوى فإن احتمال عدم ظهور الصورة يساوى‪:‬‬ ‫ج ‪1‬‬ ‫ب ‪1‬‬ ‫د ‪1‬‬ ‫أ صفر‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫السؤال الثانى‪:‬‬ ‫‪ 1‬إذا كان ‪ + M 14- = 3X ، N 6 + M C = 2X ، N 3 + M 5 = 1X‬ب ‪ N‬ثالث قوى‬ ‫مستوية ومتالقية فى نقطة وكانت المحصلة ح = ( ‪ )r 34 ، 2 10‬فأوجد قيمتى أ ‪ ،‬ب‪.‬‬

‫‪ 2‬وضع جسم وزنه ‪ 300‬ث‪.‬جم على مستو مائل أملس يميل على األفقى بزاوية ظلها ‪ 1‬ومنع من االنزالق بواسطة‬ ‫‪3‬‬ ‫قوة تصنع مع اتجاه خط أكبر ميل للمستوى زاوية قياسها ‪ c30‬إلى أعلى‪ ،‬أوجد مقدار القوة ومقدار رد فعل المستوى‪.‬‬

‫السؤال الثالث‪:‬‬ ‫‪ 1‬قطع راكب دراجة على طريق مستقيم مسافة ‪37٫5‬كم بسرعة ‪ 25‬كم ‪/‬س ثم قطع ‪ 18‬كم بسرعة ‪12‬كم‪/‬س‬ ‫أوجد معيار متجه السرعة المتوسطة خالل الرحلة كلها إذا كانت ‪:‬‬ ‫ب اإلزاحتان فى اتجاهين متضادين‪.‬‬ ‫أ اإلزاحتان فى اتجاه واحد‬ ‫‪ 2‬بدأ جسم حركته فى خط مستقيم بعجلة منتظمة ‪5‬سم‪/‬ث‪ 2‬وبسرعة ابتدائية ‪20‬سم‪/‬ث فى عكس اتجاه العجلة‬ ‫أوجد سرعته وازاحته بعد ‪:‬‬ ‫ج ‪ٍ 6‬‬ ‫أ ‪ٍ 3‬‬ ‫ب ‪ٍ 4‬‬ ‫د ‪ٍ 9‬‬ ‫ثوان‬ ‫ثوان‬ ‫ثوان‬ ‫ثوان‬

‫السؤال الرابع‪:‬‬

‫‪ 1‬إذا كان ‪ ، C‬ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية وكان ل(‪ ، 14 = )C‬ل (ب) = ‪ ، 23‬ل (‪ ∩ C‬ب) = ‪ 16‬فاحسب‬ ‫ً‬ ‫أوال‪ :‬ل (‪ ∪ C‬ب) ثان ًيا‪ :‬ل (‪ ∪ C‬ب )‬ ‫‪/‬‬

‫‪ 2‬أوجد الصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها (‪ )1 - ،2‬وطول نصف قطرها ‪3‬سم‪.‬‬

‫كتاب الطالب ‪ -‬الصف الثانى الثانوى‬

‫‪W´U∂DK∞ g¥Ë¸œ ¸«œ‬‬

‫‪155‬‬

‫لخببسرلت عس�ة‬

‫تطبيقات الرياضيات‬

‫االختبار الثانى‬ ‫�أجب عن �الأ�سئلة �الآتية‪:‬‬

‫السؤال األول‪ :‬اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة‪:‬‬ ‫‪ 1‬إذا اختير حرف عشوائي من حروف المجموعة ف={ ‪ ، C‬ب‪ ،‬جـ ‪ ،‬د‪ ،‬هـ ‪ ،‬و ‪ ،‬ر ‪ ،‬ك‪ ،‬م ‪ ،‬ع} فإن احتمال أن‬ ‫يكون هذا الحرف هو أحد حروف كلمة مبروك هو‬ ‫د ‪2‬‬ ‫ج ‪1‬‬ ‫ب ‪1‬‬ ‫أ ‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬النقطة التى تقع على الدائرة (س ‪ + )2-‬ص = ‪13‬‬ ‫د (‪)3 ،4‬‬ ‫ج (‪)5 ،2‬‬ ‫ب ( ‪)2- ،3‬‬ ‫أ (‪)3 ،2‬‬ ‫‪ 3‬قوتان متالقيتان فى نقطة مقدارهما ‪ 3 ،5‬نيوتن وقياس الزاوية بينهما ‪ c60‬فإن مقدار محصلتهما ح يساوى‬ ‫د ‪5‬‬ ‫ج ‪8‬‬ ‫ب ‪7‬‬ ‫أ ‪2‬‬ ‫‪ 180 4‬مترا ‪ /‬ساعة ‪/‬ث = ‪ ...........................‬سم ‪/‬ث‪2‬‬ ‫ً‬ ‫أ ‪1‬‬ ‫ج‬ ‫ب‬ ‫د ‪300‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫السؤال الثانى‪:‬‬

‫‪ 1‬مكعب من الشمع طول حرفه ‪30‬سم حول إلى مخروط دائرى قائم ارتفاعه ‪ 45‬سم‪ ،‬أوجد طول نصف قطر‬ ‫قاعدة المخروط إذا علم أن ‪ ٪8‬من الشمع قد فقد أثناء عمليتى الصهر والتحويل‪.‬‬ ‫‪ ،C 2‬ب حدثان من فضاء عينة لتجربة عشوائية حيث ل(‪ ، 38 = /)C‬ل(‪ ∪ C‬ب) = ‪ 34‬فأوجد ل(ب) فى كل من‬ ‫الحالتين‬ ‫ب ل( ‪ ∩ C‬ب) = ‪1‬‬ ‫أ ‪ ، C‬ب حدثان متنافيان‬ ‫‪8‬‬

‫السؤال الثالث‪:‬‬ ‫حرا بواسطة خيطين‪ ،‬ثُبت طرفاهما فى‬ ‫‪ 1‬قضيب منتظم طوله ‪100‬سم ووزنه ‪150‬ث‪.‬جم ُعلِّق من طرفيه تعلي ًقا ًّ‬ ‫نقطة واحدة‪ ،‬فإذا كان طوال الخيطين ‪ 80‬سم‪60 ،‬سم فأوجد مقدار الشد فى كل منهما‪.‬‬ ‫‪ C 2‬ب جـ ‪ E‬هـ و سداسى منتظم أثرت قوى مقاديرها ‪ 3 4 ،5 ، 3 6 ،8‬نيوتن فى ‪ C‬ب ‪ C ،‬جـ ‪،‬‬ ‫الترتيب‪ .‬أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى‪.‬‬

‫‪EC‬‬

‫‪ C ،‬هـ على‬

‫السؤال الرابع‪:‬‬ ‫مترا‪ ،‬أوجد الزمن الذى‬ ‫‪ 1‬نقصت سرعة سيارة بانتظام من ‪ 66‬م‪/‬ث إلى ‪ 79٫2‬كم‪/‬س خالل قطعها مسافة ‪ً 66‬‬ ‫قطعت فيه السيارة هذه المسافة‪ ،‬ثم أوجد المسافة التى تقطعها بعد ذلك حتى تسكن‪.‬‬ ‫ُذف جسم رأس ًّيا ألعلى من نقطة على سطح األرض فعاد إليها بعد ‪ٍ 10‬‬ ‫ثوان من لحظة القذف أوجد‪:‬‬ ‫‪ 2‬ق َ‬ ‫ب أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم‪.‬‬ ‫أ السرعة االبتدائية‬

‫‪156‬‬

‫تطبيقات الرياضيات ‪ -‬علمى‬