1.5 Eksponentiell regresjon

EKSEMPEL

LØYSING

Ein matematisk modell beskriv samanhengen mellom to storleikar. I førre delkapittel lærte vi at eksponentiell vekst er når ein storleik endrar seg med ein fast prosent i fleire periodar. Eksponentialfunksjonar følger ei slik utvikling.

Ein eksponentialfunksjon er på forma

f(x) = a ⋅ kx

der a er funksjonsverdien når x = 0 og k er vekstfaktoren.

Med digitale hjelpemiddel kan vi finne eksponentialfunksjonar som passar godt med eit datasett. Å finne funksjonar på denne måten kallar vi eksponentiell regresjon, og funksjonane vi finn, kallar vi eksponentielle modellar.

Det blir stadig fleire eldre i Noreg. Tabellen nedanfor viser antalet personar som var over 100 år i perioden 1990 til 2020. Her er x antal år etter 1990.

Årstal 1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020

x (år)

0 5 10 15 20 25 30 y (antalet personar) 300 414 432 521 636 886 1119

a) Finn ved regresjon den eksponentialfunksjonen som passar best med dataa i tabellen. Teikn grafen i eit koordinatsystem. b) Kor mange prosent årleg auke var det i perioden 1990 til 2020 ifølge modellen? c) I 2012 var 736 personar over 100 år i Noreg.

Korleis passar dette med modellen? d) Når vil det ifølge modellen vere meir enn 1500 personar over 100 år i Noreg?

a) Vi opnar GeoGebra, trykker på øvst til høgre og får fram menyen. Her vel vi Vis og Rekneark. Vi legg inn tala i reknearket som vist her:

Vi markerer tala i tabellen, trykker på knappen og vel Regresjonsanalyse. I nedtrekksmenyen under Regresjonsmodell vel vi Eksponentiell. Da får vi den eksponentialfunksjonen som passar best med tala. Vi rundar av verdiane. Funksjonen som passar best med tala i tabellen, er

fx() = ⋅ 300 ,1 043

x

Deretter overfører vi punkta og grafen til grafikkfeltet ved å trykke på symbolet og velje Kopier til grafikkfeltet. Vi tilpassar koordinatsystemet, set namn på aksane, endrar namnet på funksjonen til f og får fram denne grafen:

15001500 y (antal personar)

10001000

500500

ff

00 x (år etter 1990)

55 1010 1515 2020 2525 3030 3535 4040

b) Funksjonsuttrykket f(x) = 300 ⋅ 1,043x fortel at vekstfaktoren er 1,043. Det svarer til ein gjennomsnittleg auke lik 4,3 % per år.

Antalet personar som er over 100 år, aukar med 4,3 % per år i denne perioden.

c) Antalet personar som er 100 år eller eldre i 2012, finn vi ved å skrive f (22) i CAS.

I 2012 er det 753 personar over 100 år ifølge modellen.

Modellen gir ein verdi som er litt høgare enn verkelegheita dette året.

d) For å finne ut når det er meir enn 1500 personar over 100 år, skriv vi inn likninga f(x) = 1500 og trykker på i CAS.

1990 + 38,5 = 2028,5

Ifølge modellen vil det vere meir enn 1500 personar over 100 år i løpet av 2028 (omtrent 1. juli 2028).

OPPGÅVE 1.50 Tabellen nedanfor viser folketalet y i millionar i Noreg. Her er x antal år etter 1.1.1900.

Årstal 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2010 2020 x (år) 0 20 40 60 80 100 110 120 y (millionar) 2,22 2,62 2,96 3,57 4,08 4,48 4,86 5,36

a) Finn ved regresjon den eksponentialfunksjonen som passar best med tala i tabellen. b) Korleis passar modellen med folketala i tabellen? c) Med kor mange prosent auka folketalet per år ifølge denne modellen? d) Kva blir folketalet i 2050 ut frå denne modellen?

OPPGÅVE 1.51 Tabellen viser folketalet y i millionar i verda frå 1900 og fram til 2020. Her er x antal år etter 1900.

Årstal

1900 1950 2000 2020 x (år) 0 50 100 120 y (millionar) 1650 2500 6070 7800

a) Finn den eksponentialfunksjonen som passar best til tala. b) Kor mange prosent årleg auke var det i perioden ut frå dette? c) I 1975 var befolkninga i verda 4,068 milliardar.

Korleis passar det med denne modellen? d) Ifølge ein prognose frå FN vil folketalet i 2050 vere 9,4 milliardar.

Korleis passar modellen med den prognosen?

OPPGÅVE 1.52 Tabellen nedanfor viser andelen nordmenn som brukte internett dagleg i åra 2000–2006.

Årstal 2000 2002 2004 2006 x (år) 0 2 4 6 Andel 27 35 44 60

a) Finn ved regresjon den eksponentialfunksjonen som passar best til tala. b) Kor mange prosent årleg auke var det i andelen internettbrukarar i denne perioden? c) Når brukte halvparten av befolkninga i Noreg internett på dagleg basis? d) I 2010 brukte 77 % av nordmenn internett dagleg.

Korleis stemmer dette med modellen?

EKSEMPEL

LØYSING I eksempelet på side 24 laga vi ein eksponentiell modell som beskreiv antal eldre i Noreg. Modellen gav ein fast prosentvis auke. Da er vekstfaktoren k større enn 1. Slike modellar veks kraftig når x blir stor.

Når vekstfaktoren er eit desimaltal mellom 0 og 1, gir modellen ein fast prosentvis nedgang.

Radioaktive stoff sender ut radioaktiv stråling. Litt av det radioaktive stoffet blir samtidig omdanna til eit anna stoff. Vi har 100 g av eit radioaktivt stoff, og vi veit at 12 % av dette stoffet blir omdanna kvart år. a) Bruk opplysningane i oppgåva, og bestem ein eksponentiell modell som beskriv utviklinga av mengda radioaktivt stoff. b) Teikn grafen til eksponentialfunksjonen. Kva skjer med mengda etter lang tid?

a) Stoffmengda er i utgangpunktet 100 g og endrar seg med ein fast prosent.

Vekstfaktoren ved 12 % nedgang er 1 - 0,12 = 0,88. Da kan vi beskrive stoffmengda M(x) når x er tida i år, med denne eksponentielle modellen:

M(x) = 100 ⋅ 0,88x

b) Vi bruker GeoGebra til å teikne grafen til M. Han ser slik ut:

100100 y (stoffmengde i gram)

MM

8080

6060

4040

2020

00 x (år)

55 1010 1515 2020 2525 3030

Vi ser at mengda nærmar seg 0 når x blir stor.

Etter lang tid vil det ikkje vere noko radioaktivt stoff igjen.

På førre side såg vi eit eksempel på ein eksponentialfunksjon på forma f(x) = a ⋅ kx der k er mellom 0 og 1. Vi ser at grafen til f nærmar seg x-aksen mot høgre. Når x blir stor, nærmar funksjonsverdien seg 0. Det gjeld alle slike eksponentialfunksjonar.

OPPGÅVE 1.53 Vi kan måle stråling frå eit radioaktivt materiale med ein geigerteljar. La T(x) vere talet geigerteljaren viser etter x minutt. Tabellen viser strålinga frå ein bariumisotop.

x (min) 0,5 2,0 3,5 5,0 6,5 8,0 T(x) 2897 2005 1321 992 625 425

a) Bruk regresjon til å vise at den eksponentialfunksjonen som passar best med tala frå tabellen, er

T(x) = 3322 ⋅ 0,775

x

b) Kor mange prosent minkar strålinga med kvart minutt? c) Bruk modellen til å finne strålinga etter ti minutt. d) Kor lang tid går det før strålinga er halvert?

OPPGÅVE 1.54 I 1950 var 8 % av alle nordmenn 67 år eller eldre. I perioden frå 1950 til 2020 har andelen i gjennomsnitt auka med 0,9 % per år. a) Vis at andelen i 2000 var 12,5 %. b) Lag ein modell som beskriv andelen personar som er 67 år eller eldre x år etter 2000. c) I 2020 var andelen 15 %. Korleis passar det med modellen? d) Statistisk sentralbyrå (SSB) anslår at andelen i 2050 vil vere 24 %.

Korleis passar det med modellen?