1.4 Eksponentiell vekst

I Utforsk prosentvis endring i fleire periodar rekna vi på prisen til ei vare som endra seg fleire gonger. Når ein storleik endrar seg med ein fast prosent fleire gonger, kallar vi det eksponentiell vekst.

I ein kommune bur det 5000 innbyggarar. Kommunen antar at befolkninga vil auke med 2 % per år dei neste 10 åra. Vekstfaktoren er

100 2 102 102 100

% %+ = 10% , = = 2

Etter eitt år er antal innbyggarar

5000 102 ⋅ = , 5100 I byrjinga av det andre året er det 5100 innbyggarar i kommunen. Ved slutten av det andre året har antal innbyggarar vakse til

5100 102 ⋅ = , 5202 Ved slutten av det tredje året er antalet innbyggarar

5202 102 ⋅ ≈ , 5306 Legg merke til at vi også kan rekne ut antalet innbyggarar etter to år slik:

5000 1021⋅ ⋅ , ,025000= ⋅10 , 22 = 5202 På same måte kan vi finne antalet innbyggarar etter tre år slik:

5000 1023 ⋅ ≈ , 5306 Når vi skal finne antalet innbyggarar etter 10 år, er den siste metoden raskast. Da treng vi berre éi utrekning:

5000 10210 ⋅ ≈ , 6095 Når ein storleik endrar seg med same prosent over fleire periodar, bruker vi denne regelen for å finne storleiken etter ei tid:

For ein storleik som veks med ein fast prosent over fleire periodar, er verdien etter n periodar

opphavleg verdi ⋅ (vekstfaktor)

n

Merk at vi også kan bruke denne regelen når ein storleik minkar med ein fast prosent.

EKSEMPEL Mengda av verkestoffet til eit legemiddel i kroppen minkar med 7 % kvar time etter inntaket. Ein pasient får 50 mg av verkestoffet. Kor mykje av verkestoffet er igjen i kroppen etter 12 timar?

Her er den opphavlege verdien 50 mg. Vekstfaktoren ved 7 % nedgang erLØYSING

100 7 93 93 100

% %− = 09% , = = 3

Etter 12 periodar blir mengda verkestoff

50 093 20912 ⋅ = , , 32 ≈ 1 Etter 12 timar er det omtrent 21 mg av verkestoffet igjen i kroppen.

OPPGÅVE 1.40 Mathea kjøper ein elektrisk sparkesykkel til 15 000 kr. Ho antar at verdien minkar med 20 % per år. a) Kor mykje kan Mathea rekne med å selje sykkelen for om 4 år? b) Kor mange prosent har da verdien til sykkelen minka?

OPPGÅVE 1.41 Restauranten Bordets Gleder jobbar for å redusere matsvinnet. I desember 2019 kasta dei 800 kg mat. I 2020 klarte dei å redusere det gjennomsnittlege matsvinnet med 2 % per månad. a) Kva var matsvinnet i desember 2020? b) Kor mange prosent fall matsvinnet med totalt frå desember 2019 til desember 2020?

OPPGÅVE 1.42 a) Ole er svømmer. Han trener 12 timar i veka og har ein plan om å auke treningsmengda med 10 % per år dei neste åra.

Kor mange timar i uka trener Ole om 5 år viss han følger denne planen? b) Mia trener styrke. Ho tar 50 kg i benkpress og har som mål å auke vekta ho klarer å løfte med 5 % per månad i eit halvt år.

Kor mykje tar Mia i benkpress om eit halvt år viss ho når målet sitt? c) Finst det nokon grenser for kor lenge auken i a og b kan fortsette?

Kva må vi eventuelt vite for å bestemme det?

EKSEMPEL

LØYSING

OPPGÅVE 1.43 Ahmed kjøpte eit hus i 2015 for 2,1 millionar kroner. Verdien til huset steig med 5 % kvart år i tre år, før verdien minka med 2 % kvart år dei to åra etterpå. a) Kva var huset verdt i 2020? b) Kor mange prosent auka verdien av huset med frå 2015 til 2020?

Vi kan også bruke formelen

opphavleg verdi ⋅ (vekstfaktor)

n

når vi vil rekne bakover i tid. Da bruker vi negative verdiar for n.

Ei bedrift kuttar plastforbruket med 2 % kvart år i perioden frå 2015 til 2030. I 2020 var det årlege plastforbruket 4,6 tonn. a) Finn eit utrykk for plastforbruket n år etter 2020. b) Kva var plastforbruket i 2015? c) Kor mykje plast vil dei forbruke i 2030?

a) Vekstfaktoren for 2 % nedgang er 0,98, og utgangsverdien i 2020 er 4,6 tonn. Da er plastforbruket i tonn n år etter 2020 gitt ved

4,6 ⋅ 0,98

n

b) 2015 er 5 år før 2020. Derfor set vi inn n = -5.

4,6 ⋅ 0,98-5 = 5,1

Plastforbruket i 2015 var 5,1 tonn.

c) 2030 er 10 år etter 2020. Derfor set vi inn n = 10.

4,6 ⋅ 0,98

10 = 3,8

Plastforbruket i 2030 er 3,8 tonn.

OPPGÅVE 1.44 Victor har 30 000 følgarar på SnikkSnakk. Dei siste åra har antalet følgarar auka med 50 % kvart år. a) Kor mange følgarar hadde Victor for to år sidan? b) Kor mange følgarar hadde han for fem år sidan? c) Viss utviklinga fortset, kor mange år går det før antalet følgarar er over éin million?