Pensamiento matemático I

Pensamiento

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Pensamiento matemático I

Pensamiento matemático I

PatriciaIbáñezCarrasco

Universidad Tecnológica de Puebla Centro Universitario CIFE

Instituto Latinoamericano para la Comunicación Educativa (ILCE)

Pensamiento matemático I, Primera edición

Patricia Ibáñez Carrasco

Directora Higher Education

Latinoamérica:

Lucía Romo Alanis

Gerente editorial Latinoamérica:

Jesús Mares Chacón

Editor:

Alejandro Nava Alatorre

Coordinador de manufactura:

Rafael Pérez González

Diseño de portada y diseño de interiores:

Punto 5 / Shutterstock.com

Imagen de portada:

Punto 5

Punto 5/Silvia Plata

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Ibáñez Carrasco, Patricia Pensamiento matemático I Primera edición

ISBN: 9786075701523

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Prefacio

El contenido de este libro es la llave a muchas reflexiones, pero también una enorme cantidad de emociones. ¿Has sentido emoción al resolver un problema?

El desarrollo del pensamiento matemático proporciona abundantes posibilidades de mejorar un proyecto de vida y esta obra pone el énfasis en las habilidades que puedan desarrollarse y no tanto en el contenido. Las ramas de la matemática correspondientes a este curso son la probabilidad y la estadística.

¿Qué tan importantes son la probabilidad y la estadística? ¿Sabes que es Big Data ? ¿Sabías qué esta área tiene un enorme futuro en el ámbito laboral?

Seguramente, al final de este curso tendrás tus propias respuestas, pero basta decir que sin la probabilidad y la estadística no existiría el Big Data. Y este término se utiliza para denominar el proceso en el cual se analizan e interpretan enormes cantidades de datos. Desde la playlist que te sugiere tu aplicación de música hasta la posibilidad de predecir la producción de energía renovable están relacionadas con este proceso. ¿Te interesa entender la raíz de este proceso tan relevante para todo lo que sucede a nuestro alrededor?

Progresivamente, conseguirás acercarte a metas de aprendizaje que seguramente valorarás y aprovecharás durante toda tu vida. Aunque, lo más importante es que permitas a tu curiosidad impulsarte a encontrar ese lugar donde tu pensamiento se convierta en un emocionante juego infinito.

CONOCE TU LIBRO

Entrada de unidad. Conocerás las metas y las progresiones de aprendizaje que serán abordadas en la unidad correspondiente.

Encontrarás varias actividades donde tendrás

escribir tus respuestas o realizar tus operaciones.

La evaluación diagnóstica será útil para

Podrás orientarte con los ejemplos.

Las actividades PARA PRACTICAR serán útiles para reforzar tus conocimientos adquiridos y descubrir lo que todavía no tienes claro respecto a algún concepto.

La sección CONEXIÓN puntualiza la interacción con otras áreas del conocimiento, es decir, lo que se denomina transversalidad.

Responder las preguntas de la sección VALORACIÓN te ayudará a valorar lo que has aprendido para aprovecharlo mejor durante tu proceso educativo.

Registrar en la sección PROGRESO lo que consideras que has aprendido, te ayudará a puedes mejorar.

Recuerda que compartir tus valoraciones permitirá que obtengas retroalimentación para entender mejor cómo va tu aprendizaje.

Las progresiones que abordarás durante este semestre son:

1. Discute la importancia de la toma razonada de decisiones, tanto a nivel personal como colectivo, utilizando ejemplos reales o ficticios y de problemáticas complejas que sean significativas para valorar la recolección de datos, su organización y la aleatoriedad.

2. Identifica la incertidumbre como consecuencia de la variabilidad y a través de simulaciones considera la frecuencia con la que un evento aleatorio puede ocurrir con la finalidad de tener más información sobre la probabilidad de que dicho evento suceda.

3. Identifica la equiprobabilidad como una hipótesis que, en caso de que se pueda asumir, facilita el estudio de la probabilidad y observa que cuando se incrementa el número de repeticiones de una simulación, la frecuencia del evento estudiado tiende a su probabilidad teórica.

4. Elige una técnica de conteo (combinaciones, ordenaciones con repetición, ordenaciones sin repetición, etc.) para calcular el número total de casos posibles y casos favorables para eventos simples con la finalidad de hallar su probabilidad y con ello generar una mayor conciencia en la toma de decisiones. Las técnicas de conteo se introducen para entender la probabilidad de eventos aleatorios en los que la expresión explícita de su espacio muestral es poco factible.

5. Observa cómo la probabilidad de un evento puede actualizarse cuando se obtiene más información al respecto y considera eventos excluyentes e independientes para emplearlos en la determinación de probabilidades condicionales. La introducción de la actualización de probabilidades se hace a través de simulaciones y sólo después se aborda el teorema de Bayes.

6. Selecciona una problemática o situación de interés, con la finalidad de recolectar información y datos de f uentes confiables e identifica las variables relevantes para su estudio.

7. Analiza datos categóricos y cuantitativos de alguna problemática o situación de interés para el estudia ntado, a través de algunas de sus representaciones gráficas más sencillas como las gráficas de barras (variables cualitativas) o gráficos de puntos e histogramas (variables cuantitativas).

8. Analiza cómo se relacionan entre sí dos o más variables categóricas a través del estudio de alguna problemática o fenómeno de interés para el estudiantado, con la finalidad de identificar si dichas variables son independientes.

9. Analiza dos o más variables cuantitativas a través del estudio de alguna problemática o fenómenos de interés para el estudiantado, con la finalidad de identificar si existe correlación entre dichas variables.

10. Cuestiona afirmaciones estadísticas y gráficas, considerando valores atípicos (en el caso de variables cuantitativas) y la posibilidad de que existan factores o variables de confusión.

11. Identifica, ante la imposibilidad de estudiar la totalidad de una población, la opción de extraer información de ésta a través del empleo de técnicas de muestreo, en particular, valora la importancia de la aleatoriedad al momento de tomar una muestra.

12. Valora las ventajas y limitaciones de los estudios observacionales y los compara con el diseño de experimentos, a través de la revisión de algunos ejemplos tomados de diversas fuentes.

13. Describe un fenómeno, problemática o situación de interés para el estudiantado utilizando las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) y de dispersión (desviación estándar, varianza, rango intercuartil, etc.) adecuadas al contexto y valora que tipo de conclusiones puede extraer a partir de dicha información.

14. Explica un evento aleatorio cuyo comportamiento puede describirse a través del estudio de la distribución normal y calcula la probabilidad de que dicho evento suceda.

15. Valora la posibilidad de hacer inferencias a partir de la revisión de algunas propiedades de distribuciones y del sentido de la estadística inferencial con la finalidad de modelar y entender algunos fenómenos.

Introducción

Nuestra vida es un constante desafío en el que debemos solucionar diversas situaciones. ¿Cómo pueden serte útiles las matemáticas y específicamente lo que aprenderás durante este semestre?

La probabilidad y la estadística están presentes en cualquier situación en la que no exista certeza de sus posibles resultados. La estadística permite, a partir de datos, obtener conclusiones e incluso predecir resultados con cierta confiabilidad. Por otro lado, la probabilidad es una manera de medir la incertidumbre de los resultados.

La probabilidad y la estadística han acompañado al ser humano a través de la historia; antiguas civilizaciones como los sumerios, utilizaron huesos de animales que tallaban para jugar a lanzarlos, esperando que cayeran en una posición específica de las cuatro probables. Mucho tiempo después, los romanos practicaban el juego con dados.

A mediados del siglo XIX, Gregor Mendel inició el estudio de lo que actualmente conocemos como genética y publicó su obra La matemática de la Herencia , en la que vincula la teoría de la probabilidad a las ciencias naturales. Con ello marcó pauta para tratar de comprender lo que en ocasiones la intuición nos indica que va a suceder o sucede de manera errónea, por lo que la Teoría de Probabilidad se utiliza en áreas como la demografía, la medicina, la biología, las comunicaciones, la informática, la economía, las finanzas, la climatología, la física, etc.

La probabilidad propone modelos para tratar de comprender los fenómenos aleatorios, como aquellos que se pueden predecir con certeza y sus consecuencias lógicas. En cambio, la estadística nos ofrece métodos y técnicas que permiten entender los datos a partir de modelos, como recabar información, clasificarla, resumirla, encontrar irregularidades y analizar los datos para inferir a partir de ellos, con la finalidad de contribuir a la toma de decisiones y, en su caso, formular predicciones.

Esperamos que disfrutes este trayecto de tu vida y tu aprendizaje

Unidad 1

Recolección de información

• En esta unidad vas a discutir la importancia de tomar decisiones a través de pasos que te lleven a decidir de forma adecuada.

Metas de aprendizaje

• Observa y obtiene información de una situación o fenómeno (natural o social) para establecer estrategias o formas de visualización que ayuden a explicarlo.

• Esquematizarás situaciones para su solución mediante el uso de datos numéricos, representación simbólica y conceptos matemáticos para dar

• Ejecuta cálculos y algoritmos para resolver problemas matemáticos y de otras áreas de conocimiento.

• Desarrolla la percepción y la intuición para generar una hipótesis inicial ante situaciones que requieren explicación.

1. Discute la importancia de la toma razonada de decisiones, tanto a nivel personal como colectivo, para valorar la recolección de datos, su organización y la aleatoriedad.

2.

variabilidad y a través de simulaciones considera la frecuencia con la que un evento aleatorio puede

3.

sobre la probabilidad de que dicho evento suceda.

que, en caso de que se pueda asumir, facilita el estudio de la probabilidad y obser va que cuando se incrementa el número de repeticiones de una simulación, la frecuencia del evento estudiado tiende a su probabilidad teórica.

Diagnóstico

Desarrolla la siguiente actividad.

1. Lee con atención.

Al planear la compra de una motocicleta hay varios factores a considerar, tales como la marca, el color, el tamaño del motor, las dimensiones, la seguridad, el costo de refacciones, el mantenimiento, etc. En algunos casos recurrirás a los consejos de personas cercanas a ti, como tus familiares y amigos, pero también te conviene considerar las opiniones de los vendedores y organizar toda esta información para tomar la decisión más adecuada.

2. Imagina que comprarás una motocicleta. Usa la tabla para recopilar la información.

NombreMarcaColorPrecioMotorCostos refacciones

3. Comenta con tu compañero de al lado esta situación y determina qué criterios considerarías para realizar la compra.

4. Comparte tus ideas en sesión plenaria.

Lleva a cabo lo que se indica.

1. Ingresa a la página del IMSS en la que se muestra la calculadora de complicación COVID-19.

https://www.imss.gob.mx/covid-19/calculadora-complicaciones

2. Selecciona las características de tu edad, sexo, situación de peso actual y padecimientos. Anota los factores de riesgo y el color del nivel de riesgo en tu cuaderno.

3. 4.

5. Compara los resultados y explica por qué varían conforme a la edad y el peso. Anota tus conclusiones en tu cuaderno.

Discute en plenaria en qué situaciones tomas decisiones que te hacen cambiar tu ritmo de vida, ¿crees que se presentan en éstos los conceptos de probabilidad y de estadística?

1. ¿Qué entiendes por estadística?

2. ¿En qué situaciones de tu vida has usado la estadística?

3. ¿Cuál es la diferencia entre población y muestra?

4. ¿Has calculado alguna vez el promedio o media?

5. ¿Qué crees que sea la moda de una muestra?

6. ¿Qué entiendes por probabilidad?

7. ¿Qué entiendes por evento?

Activación

Introducción

Daniel miraba desde la ventana cómo lo que había empezado como una llovizna, en pocos minutos se había convertido en la primera lluvia fuerte del año, y con mucho pesar exclamó: ¿por qué a mí? Siempre que traigo paraguas no llueve y hoy que salí sin él, harto de cargar en vano, ¡el diluvio! ¡El mundo me odia!

Así como Daniel, que decidió no llevar su paraguas el día que llovió, todos realizamos de manera cotidiana la toma de decisiones. Resulta ser tan frecuente que, en ocasiones ni siquiera nos damos cuenta de que lo estamos haciendo. Por ejemplo, qué ropa utilizarás para salir el sábado, qué película verás, o si vale la pena salir con impermeable o paraguas un día nublado, etcétera.

La toma de decisiones es el proceso por el cual una persona o grupo de personas debe elegir entra varias opciones y en muchas ocasiones resulta ser un proceso en el cual se requiere de una acción en concreto.

Lo que va sucediendo en el terreno familiar y personal también se proyecta y abarca otras dimensiones con mucha o poca relevancia, desde nuestro entorno inmediato hasta el exterior, estas decisiones dependen de factores difíciles de predecir con un grado de precisión y casi siempre recurrimos a algún criterio para asignarle una probabilidad de que se verifiquen.

Y aunque a veces la probabilidad “nos falle”, como a Alejandro, el contar con métodos y técnicas que nos permitan calcular la probabilidad de que sucedan ciertos fenómenos naturales, como el tiempo que tardarán las lluvias, si sucederán o no las inundaciones, sequías, heladas, etc. o fenómenos sociales, como las epidemias, los resultados de una votación, los índices de la bolsa o índices de crecimiento, ayuda a salvaguardar la vida humana y mejorar la calidad de vida; aunque las medidas tomadas no nos garantice el 100 % de efectividad.

Por lo tanto, en esta primera unidad aprenderás los conceptos básicos relacionados con la probabilidad, tales como experimento aleatorio, espacio muestral, evento simple, entre otros.

Progresión 1

Desarrollo

Se emplean técnicas estadísticas en casi todas las fases de la vida. Se diseñan encuestas para recabar los primeros informes en un día de elecciones y pronosticar el resultado de una elección. Se hacen muestreos de consumidores para obtener información para predecir preferencias de productos. Médicos investigadores realizan experimentos para determinar el efecto de diversos medicamentos y condiciones ambientales controladas en seres humanos para inferir el tratamiento adecuado para varias enfermedades. Los ingenieros muestrean la característica de calidad de un producto y diversas variables de procesos controlables para identificar variables clave relacionadas con la calidad de un producto.

Un ejemplo concreto que puso en evidencia la importancia de la estadística y de la probabilidad en nuestras vidas fue la reciente pandemia ocasionada por el virus sarscov-2, en la que podemos apreciar lo siguiente: por un lado, que no tenemos la certeza de lo que pueda ocurrir, es decir, que el seguir las medidas de higiene no garantizan el no contagio, pero sí disminuyen la probabilidad de este. Y por otro, que las matemáticas nos ayudan a tomar decisiones, que aunque no garantizan el 100 % de efectividad, sí nos dan la mayor posibilidad de éxito, que es a lo más que como especie, que pertenece a la naturaleza y sus leyes, podemos aspirar.

Otro ejemplo concreto es la vacunación. Seguramente escuchaste sobre las probabilidades de cada vacuna para prevenir que la enfermedad se agravara y claro que a la hora de vacunarse uno querría utilizar la de mayor probabilidad, y aunque hubo quienes aseguraban que las vacunas no servían de mucho, los datos muestran lo contrario.

Pero hay otros ejemplos, como los sismos, que actualemente nos han sorprendido porque se han repetido en fechas, sin embargo esto es más común de lo que parece y saberlo ayuda, entre otras cosas, a evitar pensamientos conspiranoicos o pseudocientíficos, que aunque pueden ser atractivos, en la toma de decisiones en realidad no aportan demasiado.

Ahora, para poder utilizar una herramienta tan fuerte como la probabilidad es necesario saber cómo funciona, es por eso que a partir de ahora conocerás los elementos básicos de ésta.

1. Lean en equipos la siguiente situación.

• mayor aceptación entre los estudiantes para garantizar la venta de boletos.

2. Elaboren una encuesta que les ayude a tener una rifa exitosa, por supuesto preguntarán acerca del objeto, pero también hay que considerar el precio de los boletos y la cantidad de ellos. Anoten las preguntas en las líneas.

3. Realicen la encuesta en su escuela, analicen la información y anoten sus conclusiones en las líneas.

4. Lean lo siguiente y respondan.

Supongan que el comité organizador decidió que los boletos de la rifa estarán numerados con tres cifras, con la restricción de que ninguno puede iniciar en 0, es decir que los números 071 y 098, por ejemplo, no están disponibles.

Para llevar a cabo la rifa fabricaron tres urnas con pelotitas numeradas del 1 al 9, en la primera, y del 0 al 9 en la segunda y en la tercera. Cada integrante del comité organizador sacará una pelotita y así formarán un número. Responde, ¿cuál es el número del boleto número 1?

Tema 1. Experimentos aleatorios y experimentos deterministas

ACTIVIDAD

1. Considera las siguientes situaciones y determina en cuáles puedes saber qué ocurrirá y en cuáles no tienes certeza.

• ¿Qué ocurre con una botella de PET si la pongo al fuego?

• ¿Siempre que suelte un objeto caerá al piso?

• Si lanzo un volado, ¿puedo saber qué obtendré?

• El boleto que compré para la rifa, ¿resultará ganador?

Los experimentos pueden clasificarse en deterministas y aleatorios. Los deterministas son aquellos de los que tienes la certeza de que cada que lo repitas el resultado será el mismo, como saber que el PET de una botella de agua se quemará si la pones al fuego o que si lanzas un objeto o lo sueltas este caerá. Por el contrario, los experimentos aleatorios son aquellos en los que no puedes predecir su resultado, como saber de qué lado caerá una moneda al lanzarla o saber si tu boleto de la rifa será el ganador, y satisfacen las siguientes condiciones:

Todos los resultados posibles son conocidos.

Antes de realizar el experimento el resultado es desconocido.

Es posible repetir el experimento en condiciones ideales.

Otros ejemplos de experimentos aleatorios son los siguientes:

1. Lanzamiento de tres monedas hasta obtener dos caras.

2. Sea un lote de 60 artículos que tiene 10 defectuosos. Entonces, se define el proceso de seleccionar los artículos sin reemplazo y anotar los resultados hasta obtener el último defectuoso.

PARA PRACTICAR

1. Escribe si se trata de un experimento aleatorio y una si no lo es.

Experimento

Lanzar una moneda y observar si cae águila o sol

Salir de casa con un paraguas y observar que llueve

Trazar un triángulo y sumar las medidas de sus ángulos interiores

Tapar una vela con un frasco

Ir a la tienda y que no tengan cambio

Abrir un libro en una página al azar y que esté la palabra “probabilidad”

2. Observa tu entorno y escribe cuatro experimentos deterministas y cuatro aleatorios.

Tema 2. Espacio muestral y su cardinalidad

1. Considera la rifa que se hará en tu escuela y determina la cantidad de boletos que se imprimirán. Haz tus operaciones en el espacio en blanco.

Como ya se dijo con anterioridad, en un experimento aleatorio todos los posibles resultados son conocidos y al conjunto de estos le llamaremos espacio muestral y nos referiremos a él con una E (e mayúscula). Además, al número de posibles resultados le llamaremos cardinalidad del espacio muestral. También, a cada elemento del espacio muestral lo llamaremos evento simple.

Por ejemplo, cuando consideramos el lanzamiento de una moneda al aire el espacio muestral es E = {sol, aguila}, y su cardinalidad es 2, y si lanzamos un dado de seis caras el espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y su cardinalidad es 6.

Ejemplo 1

El experimento aleatorio será lanzar tres veces una moneda al aire y registrar el resultado. Encontrar el espacio muestral y determinar cuántos elementos tiene.

Solución

Un método para hallar el espacio muestral de un experimento aleatorio es mediante un diagrama de árbol, como se muestra a a continuación: si llamas S al evento “sol” y A al evento “Aguila”, entonces en cada lanzamiento tendremos dos opciones:

Primer lanzamiento

Segundo lanzamiento

Tercer lanzamiento

Observa que con este esquema obtienes tienes todas las posibles combinaciones en las que pueden resultar los tres lanzamientos, es decir que el espacio muestral es:

E = {SSS, SSA, SAS, SAA, ASS, ASA, AAS, AAA}.

El espacio muestral tiene ocho elementos.

Puedes usar un método similar para determinar cuántos boletos se venderán en la rifa.

Ejemplo 2

Considera una caja con cuatro pelotas verdes y dos pelotas rojas y el experimento aleatorio de extraer dos pelotas, sin reemplazo, es decir que una vez que extrajiste la primera, esta no regresa a la caja y observar el color de las pelotas extraídas.

Encontrar el espacio muestral y decir cuántos elementos tiene.

Solución

Puedes registrar todas las posibles combinaciones en la siguiente tabla.

Nombrando como V el extraer la pelota verde y R el extraer la pelota roja, entonces el espacio muestral es:

E ={VV, VR, RV, RR}.

El espacio muestral consta de cuatro elementos.

ACTIVIDAD

1. ¿Consideran que la probabilidad de cualquiera de estos eventos, obtener dos pelotas verdes, que la primera sea verde y la segunda sea roja, que la primera sea roja y la segunda verde o que ambas sean rojas, es la misma?

2.

3. Si se tratara de un juego y ganaras solo si ambas pelotas son rojas, ¿crees que tienes una posibilidad alta de ganar?

Ejemplo 3

Determina cuáles y cuántos números de 2 dígitos se pueden formar con los números {1, 2, 3, 4}.

Solución -

mente representa los resultados de la siguiente manera.

Con ello podemos ver que los posibles resultados son:

E = {11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44}.

y al realizar el conteo vemos que son 16 posibilidades.

Como ejercicio extra, determina cuántos números de cuatro dígitos puedes formar con los dígitos del 1 al 9 y comenta en grupo lo siguiente: ¿cuántos nips de tarjetas de banco hay y cuántas tarjetas crees que haya en México? Considerando esta información, ¿crees que haya nips repetidos?

¿Cuál es la probabilidad de que un ladrón le atine al nip de una tarjeta? Y ya que estamos en este tema, no olvides que para tu seguridad no uses fechas de nacimiento o fechas fáciles de ubicar.

Ejemplo 4

Un técnico médico registra el tipo sanguíneo y factor Rh de una persona. Determina el espacio muestral.

Solución

Una forma alternativa para exhibir los posibles resultados es usando una tabla de probabilidad, como se muestra a continuación.

Tipo sanguíneo

Factor Rh ABABO

Negativo A -B -AB -O -

Positivo A +B +AB +O +

Tipo sanguíneoFactor RhResultado

PARA PRACTICAR

1. Determina el espacio muestral de cada experimento aleatorio y escribe cuántos elementos tiene.

a) Lanzar una moneda y un dado.

E =

Cardinalidad =

b) Lanzar un dado rojo y uno azul.

Cardinalidad =

c) Lanzar dos dados indistinguibles.

Cardinalidad =

d) Extraer dos bolas sin remplazo de una urna con 2 rojas y 2 negras.

Cardinalidad =

e) Extraer dos bolas con remplazo de una urna con 2 rojas y 2 negras.

Cardinalidad = f) Lanzar dos veces un dado y sumar los números.

Cardinalidad =

2. Considera los experimentos a y b y comenten en grupo si son el mismo o en qué se diferencian. Además, si la cantidad de eventos en el espacio muestral no es la misma, ¿es más probable que en el primer experimento caiga dos veces 6 que en el experimento b? Anoten sus conclusiones en las líneas.

3. Considera los experimentos d y e y comenten en grupo en qué afecta que sea con reemplazo o sin reemplazo.

Progresión 2

Tema 3. Eventos simples y eventos compuestos

ACTIVIDAD

1.

las características mencionadas.

a) Inicia con 1.

b) Termina con 9.

c) El número de en medio es 5.

d) Inicia con 3, el segundo dígito es múltiplo de 3 y el último dígito es 8.

e) Sus primeros dígitos son 23 y es múltiplo de 10.

f) Inicia con 2 y cada dígito es el doble del anterior.

Como se mencionó anteriormente, a cada posibilidad en la que ocurre un experimento aleatorio se le llama evento simple, por ejemplo, en el caso de la rifa un evento simple es cada uno de los números, como en los incisos e y f: en el inciso e, el único número que satisface esas condiciones es el 230 y en el inciso f, es el 248, mientras que en el resto hay más de un número que satisface esas condiciones. A esos eventos se les llama eventos compuestos.

Los eventos se denotan con letras mayúsculas seguida de dos puntos, cuando los defines, y cuando hablas en términos de conjuntos, es decir, que los describes con llaves, se coloca un =.

Ejemplo 1

Si el experimento consiste en lanzar un dado su espacio muestral, como ya sabes, es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Un evento simple será:

A: obtener un 3 y otro puede ser B: obtener un 5, es decir que los eventos son:

A = {3} y B = {5}.

Ejemplo 2

Si el experimento es lanzar una moneda tres veces ya sabes que su espacio muestral será

E={SSS, SSA, SAS, SAA, ASS, ASA, AAS, AAA},

y cada posibilidad será un evento simple, por ejemplo:

A: los tres lanzamientos son águila.

A= {AAA}

B: los tres lanzamientos son sol.

B = {SSS}

C: el primer lanzamiento es águila, el segundo sol y el tercero águila, nuevamente.

C = {ASA}

Ejemplo 3

Considera el ejemplo 2 de este tema. Un evento compuesto será:

A: el primer lanzamiento es sol.

Observa que sus posibles resultados son cuatro: SSS, SAS, SSA, SAA, es decir:

A = {SSS, SAS, SSA, SAA}.

O bien:

B: El segundo lanzamiento es sol.

B = {SSS, SSA, ASS, ASA}

PARA PRACTICAR

1. Determina los elementos de cada evento y escribe si es simple o compuesto.

a) Experimento: lanzar dos volados.

A: El primer lanzamiento es sol.

A =

B: El segundo lanzamiento es águila.

B = C: Ambos son águila.

C =

b) Experimento: lanzar dos veces un dado.

A: El primer lanzamiento es un número par.

A =

B: El segundo lanzamiento es 6.

B =

C: La suma de ambos números es 12.

C = 2. Lee y responde.

De un grupo de 5 personas se seleccionarán a tres para formar un comité para organizar un viaje escolar.

a) ¿De cuántas formas se puede integrar este comité? Escribe el espacio muestral.

b) Si dos de estas personas, nombrémoslas P3 y p5 se caen mal, ¿en cuántos eventos simples coinciden?

c) ¿Crees que es altamente probable que estas personas deban colaborar juntas? Explica.

Progresión 3

Tema 4. Conjuntos

1. Lleva a cabo lo siguiente, considerando la rifa que se llevará a cabo en tu escuela.

a) Utiliza la siguiente criba para determinar los múltiplos de 3 y los múltiplos de 5 entre 100 y 199.

b) Escribe los 10 primeros números que conforman cada evento.

A: Se obtiene un número que es múltiplo de 3.

B: Se obtiene un número que es múltiplo de 5.

d) Completa el diagrama siguiente colocando los números repetidos en el espacio que tienen en común los óvalos y colocando en el resto de los conjuntos los números no repetidos.

e) Responde lo que se pide.

• Calcula cuántos elementos tiene el evento A y cuántos tiene el evento B. Haz tus operaciones en el esapcio en blanco.

Cardinalidad de A =

Cardinalidad de B =

Calcula cuántos números hay en la intersección de los eventos A y B.

• Si una persona compra los múltiplos de 3 entre 100 y 199 y otra persona compra los múltiplos de 5 entre 200 y 299, ¿quién crees que tenga más probabilidad de ganar? Explica.

Una herramienta para tratar algunos problemas de probabilidad clásica es mediante diagramas de Venn y tratando a los eventos aleatorios como conjuntos. De esta manera podemos visualizar eventos formados a partir de otros y facilitar la comprensión del cálculo de la probabilidad clásica o algunos de los resultados fundamentales de esta.

Ejemplo 1

Sea el experimento aleatorio de lanzar dos veces una moneda al aire.

E = {(a, a), (s, a), (a, s), (s, s)}

A: El primer lanzamiento es sol y el segundo es águila.

B: El primer lanzamiento es sol.

C: El segundo lanzamiento es águila.

Observa que A = B C y en diagrama de Venn se viasualiza así:

(a, s) (s, s)

Ejemplo 2

Sea el experimento aleatorio de lanzar un dado dos veces.

E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

Y los eventos:

A: La suma de los puntos es un número par.

A = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3,), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}

B: La suma de los números es múltiplo de 3.

B = {(1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (3, 6), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 4), (6, 3), (6, 6)}

C: El primer número es menor que el segundo.

C = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)}

A B = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 6)}

B C = {(1, 2), (1, 5), (2, 4), (3, 6), (4, 5)}

A C = {(1, 3), (1, 5), (2, 4), (2, 6), (3, 5), (4, 6)}

A B C = { (1, 5), (2, 4)}

El diagrama de Venn se ve como el siguiente:

1. En cada ejemplo dibuja el diagrama de Venn que representa los eventos.

a) Experimento: lanzar dos volados.

A: El primer lanzamiento es sol.

B: El segundo lanzamiento es águila.

C: Ambos son águila.

b) Experimento: lanzar dos veces un dado.

A: El primer lanzamiento es un número par.

B: El segundo lanzamiento es 6.

C: La suma de ambos números es 12.

D: La suma de los números es par.

Tema 5. Probabilidad frecuencial y probabilidad clásica

ACTIVIDAD

1. Lee y responde.

Por error, el día de la rifa el comité colocó dos bolitas con el número 2 en la segunda urna y tres con el número 5 en la tercera. ¿Hay números que tendrán más probabilidad de salir? ¿Crees que será una rifa justa? Explica.

La probabilidad frecuencial es la que puedes observar en la realidad, es decir, al repetir el mismo experimento varias veces, y se define como el cociente entre el número de veces que ha ocurrido un resultado con el total de experimentos realizados.

Ejemplo 1

Se lanza un volado 100 veces, ¿cuál será la probabilidad de que caiga un sol y cuál la de que caiga águila?

La probabilidad frecuencial de que ocurra un sol se calcula de la siguiente manera:

Número de soles

Número de volados = 60 100 = 0.6

Según lo anterior, pareciera que es más probable que ocurra un sol que un águila, así que si estás jugando con tus amigos te convendría apostar por los soles.

La probabilidad clásica, es la que se define como el número de casos favorables entre el número de casos totales y para determinarla es necesario conocer las cardinalidades de los eventos y del espacio muestral.

P(A) = Casos favorables de A Casos totales

Ejemplo 1

Retomando el ejemplo del experimento de los volados, la probabilidad de que ocurra un sol es la siguiente:

P (Sol) = 1 2 = 0.5

Entonces, si tienes una moneda y lanzas muchos volados, por ejemplo mil, y observas que ocurrieron 490 soles y 510 águilas podrías concluir que tu moneda está balanceada, es decir que la probabilidad de que ocurra uno u otro resultado es básicamente del 50 %, pero si observas que de 1 000 volados 300 son soles y 700 son águilas, entonces muy probablemente alguien está haciendo trampa.

Un “problema” con la realidad es que no podemos determinarla con precisión, como ya se ha dicho anteriormente, sin embargo sí hay mecanismos para deducir algunos resultados, como el de la moneda.

Ejemplo 3

Un juego consiste en lanzar un dado dos veces. Si tú obtienes una suma par tú ganas, si obtienes una suma impar pierdes. ¿Es un juego justo?

Le llamamos juego justo cuando la probabilidad de ganar es exactamente la misma para todos los participantes.

Solución

El espacio muestral ya sabes que tiene 36 elementos y que el evento “La suma de los puntos es par” tiene 18 elementos y el evento “La suma de los

puntos es impar” también tiene 18 elementos, de hecho es complementario al anterior, es decir que no hay intersección.

Por lo tanto la probabilidad para ambos casos es de 0.5, es decir que sí es un juego justo.

PARA PRACTICAR

1. Reúnete con un compañero y hagan el experimento de los 100 volados. Anoten sus resultados en una tabla y escriban sus conclusiones respecto a la moneda que usaron.

2. Determinen las probabilidades clásicas considerando la rifa de la escuela de los siguientes eventos.

a) Inicia con 1.

b) Termina con 9.

c) El número de en medio es 5.

d) Inicia con 3, el segundo dígito es múltiplo de 3 y el último dígito es 8.

e) Sus primeros dígitos son 23 y es múltiplo de 10.

f) Inicia con 2 y cada dígito es el doble del anterior.

Valoración

1. En una pizzería se tienen tres tipos diferentes de bases: tradicional, con especias y al sartén, los ingredientes son de cuatro tipos: hawaiana, de queso o normal.

• Realiza una representación en la que muestres las distintas formas que se puede elaborar una pizza.

• Comenta con tus compañeros y haz una lista con las preferencias que tengan para mostrar cuál de ellas es más probable que se consuma en clase y responde las preguntas.

a)

b) ¿Qué considerarías para tener un mejor producto y más económico?

2. Lee con atención.

Tu escuela cuenta con las especialidades en: Laboratorista Clínico, Laboratorista Químico y Enfermería General.

Siendo de primer semestre debes escoger una especialidad, la cual comenzarás a cursar a partir del segundo semestre, debes de tener en cuenta que al término de tu Bachillerato puedes tener cuatro opciones: continuar con una licenciatura afín a tu especialidad, titularte como técnico de la especialidad seleccionada, continuar con una licenciatura que no sea afín a tu especialidad o dejar los estudios.

vas a tomar con éstos aspectos, escribe porqué la consideras así y porqué es importante para ti.

3. Determina los espacios muestrales de los siguientes experimentos aleatorios.

a) Lanzar una moneda cuatro veces.

b) Lanzar un dado y una moneda simultáneamente.

c) Lanzar un dado dos veces.

d) Lanzar dos dados indistinguibles.

4. una moneda dos veces.

5. Describe dos eventos compuestos del experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda y un dado.

6. En un experimento que consiste en hacer rodar dos dados disntinguibles entre sí, se registra la suma de los puntos obtenidos.

a) Escribe el espacio muestral.

b)juntos que determinan su ocurrencia.

A = la suma de los dados es igual a 2.

B = la suma de los dados es igual a 1.

C = la suma de los dados es un número primo.

D = la suma de los dados es un número entre 2 y 10.

E = la suma de los dados es menor o igual a 12.

1. que va a llevar como es un vestido, zapatos y diadema. La vendedora le muestra 4 colores distintos de vestidos (azul, rojo, negro y rosa), 3 tipos de zapatos (zapatillas, sandalias de tacón, de plataforma) y dos tipos de diademas (brillantes, dorado). Determina cuántos tipos de cambios se pueden realizar.

2. Los siguientes alumnos han manifestado su interés por participar en el comité estudiantil: Andrés, Jaime, Martha, Fernanda y Mario. Realiza una tabla con los nombres que se pueden proponer para los distintos tipos de puestos elegibles: presidente, tesorero y secretario.

3. Realiza un diagrama de árbol en el que se observen las opciones que tiene Marina para variar su vestimenta cotidiana: 6 pantalones, 8 blusas, 5 pares de zapatos y 4 estilos de accesorios.

4. Antonio comienza el año con un programa intensivo de ejercitación y para ello se propone realizar dos actividades diarias, en la semana sabe que puede correr o irse en bicicleta a la escuela, y en las tardes puede jugar, futbol, basquetbol, tenis y voleibol. Determina las posibilidades en las que puede realizar las dos actividades diarias.

5. Si se extrae una carta roja (corazón o diamante) de una baraja inglesa tradicional completa, ¿cuántos elementos tendrá el espacio muestral de este experimento?

6. La siguiente tabla de frecuencias muestra los días que ha llovido durante el mes de marzo, ¿cuál es la probabilidad frecuencial de que llueva el día 21?

1 No2 No3 No4 No5 No6 No7 No8 No9 No10 No

11 No12 Sí12 Sí 14 No15 Sí16 Sí17 No18 No19 No20 No

Progreso

Valora lo que has aprendido poniendo una en el porcentaje de comprensión que tienes de cada aspecto.

Aspecto Al 100%Entre 80% y 90%Entre 60 y 79%Debo repasarlo

Comprendo las ventajas del ordenamiento de datos.

Puedo esquematizar situaciones con un lenguaje matemático.

Aplico mi intuición para generar una hipótesis inicial ante situaciones que requieren explicación.

Comparte tu valoración con un compañero, platiquen acerca de la comprensión que cada uno tiene de los aspectos mencionados y entre ambos definan las respuestas a las siguientes preguntas.

1. ¿Les parece que lo que han aprendido puede contribuir a que resuelvan conflictos de su entorno con mayor precisión?

2. Ejemplifiquen con una situación conflictiva de su entorno.