3 minute read
1.1.3 Relatieve frequentie
1.1.2.5 Combinaties
Definities: combinaties van m elementen zijn de groepen van n elementen die men kan vormen met die m elementen, waarbij de groepen enkel verschillen door de samenstelling. Voorbeeld: elementen a, b, c ; groepen van 2 elementen Combinaties ab, bc, ac
Algemeen: Cn m ! !( )! n m n V m P n m n
Voorbeeld 1: hoeveel producten van 5 verschillende factoren kan men vormen met de cijfers van 1 tot 9?
5 9C 126
1.1.2.6 Herhalingscombinaties
Definitie: herhalingscombinaties van m elementen zijn de groepen van n elementen die men kan vormen met de m elementen, en waarin elk element tot n maal toe mag voorkomen, en de groepen verschillen enkel door de samenstelling.
Voorbeeld: elementen a, b, c; groepen van 2 elementen herhalingscombinaties: ab, bc, ac, aa, bb, cc
Algemeen:
1 n n ( 1)( 2)...( 1)
m m n !
C C m m m m n n Voorbeeld: hoeveel producten van 3 factoren kan men vormen met de cijfers 1 tot 9?
3 9C 9 * 10 * 11 165 2.3
1.1.3 Relatieve frequentie
1.1.3.1 Toevallige veranderlijke
De meeste verschijnselen zijn beïnvloed door zo talrijke factoren, dat het niet mogelijk is deze factoren volledig in aanmerking te nemen ten einde het verloop van de verschijnselen precies te voorspellen. Een welbepaalde waarneming is daardoor niet exact reproduceerbaar, maar herhaling ervan leidt tot een ietwat verschillende uitkomst. De waarnemingen vertonen z.g. “toevallige” variaties. Iedereen waarnemingsgrootheid waarvan de waarde op een dergelijke wijze varieert noemt men een toevallige veranderlijke. Voorbeeld: een hoekmeting hangt af van de opstelling, belstand, richtnauwkeurigheid, afleesnauwkeurigheid,…
1.1.3.2 absolute en relatieve frequentie
Nemen we een reeks van n waarnemingen. We kunnen dan nagaan hoeveel waarnemingen uit de reeks een zekere eigenschap A hebben, nl. n A. Dan is n A de absolute frequentie van A, terwijl f(A)= n A/n de relatieve frequentie is van A in die reeks van n waarnemingen. Bij iedere reeks van n waarnemingen die men beschouwt zal men een verschillende waarde krijgen voor de absolute frequentie alsook voor de relatieve frequentie. De beide grootheden n A en f(A) zijn voorbeelden van toevallige veranderlijken. Verschillende reeksen van telkens n waarnemingen leveren waarden op voor de relatieve frequentie f (A) die we voorstellen door f1, f2,….
Deze waarden van de relatieve frequentie zullen weinig van elkaar verschillen als n voldoende groot is. Als we ze uitzetten op een as, dan zijn deze waarden gegroepeerd rond een ‘ophopingspunt’. De spreiding rond deze waarde zal kleiner zijn voor grotere n waarden. Niettegenstaande het feit dat de enkelvoudige waarneming van een grootheid niet reproduceerbaar is, tonen dergelijke proeven dat een voldoend grote reeks waarnemingen een kenmerkende eigenschap vertoont die wel reproduceerbaar is, die m.a.w. constant blijft. Deze constante, waarvoor de relatieve frequenties als experimentele waarden te beschouwen zijn, is de waarschijnlijkheid of probabiliteit van het verschijnsel A, symbool P(A). Voorbeeld: een klassiek voorbeeld betreft het aantal afgekeurde voorwerpen bij een industriële productie. De tabel geeft het aantal verworpen producten bij 10 reeksen van 25, 10 reeksen van 250 en 10 reeksen van 2500 voorwerpen, alsook de corresponderende percentages of relatieve frequenties van afkeuring. Men ziet duidelijk het effect van het vermeerderen van het aantal waarnemingen, nl. de grotere stabiliteit van de relatieve frequentie.
n=2500 12 7,80% 157 6,28% 14 5,6 152 6,08 17 6,6 157 6,28 11 4,4 136 5,44 22 8,8 152 6,08 9 3,6 135 5,4 15 6 143 5,72 14 5,6 160 6,4 21 8,4 149 5,96 8 3,2 153 6,12
