Semana 16 cs(algebra)

SEMANA 16

BINOMIO DE NEWTON Y RADICACIÓN 1.

Halle la suma de valores de “n” que satisfagan la igualdad n! 3 n! 2  3 n! 6 A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

RESOLUCIÓN

n  3!  n2  3n  2n2  3n n  3!  n  1n  2 n n  3 n  3!  n n  1n  2n  3 n  1!n n  1n  2n  3  n n  1n  2n  3 n  1!  1

C) 3

n=1 n=2

 3

RPTA.: A

RESOLUCIÓN Sea n! = z z2  z  6  3z  18 z2  2z  24  0 z  6z  4  0 z=6 n=3 n=3

ó 

4.

720!119! 

z = -4 n  4 no existe

D)

K K

720!  119!

720!

C) 5

5!

 719!

n!!

n!!=120! n!=5! n= 5

C) 14

RPTA.: C 5.

Simplificar: 11 12 P  C38  C84  C59  C10 6  C7  C4 A) C12 8

B) 2 C12 8

D) C13 4

E) C12 5

14  14 28  3 7 3

RESOLUCIÓN

12!1  13  7 

Calcule la suma de valores de “n” n  3 !  n2  3n  2 n2  3n



B) -3 E) 9

n!!

    719!  6!  720  

12! 13! 14!

12! 13! 12! 7 12!1  13  13  14

A) 3 D) - 8

6!

n!!

14 3 7 E) 3



n!!

720! 120! 720!

RPTA.: D 3.

6!

n!!

RESOLUCIÓN K

n!!

B) 4 E) 7

119!x120

B)

28 3

 719!

RESOLUCIÓN

Reducir: 12! 13! 14!

K 12! 13! 12!x7 A) 28

5!

A) 3 D) 6

RPTA.: C 2.

Halle el valor de “n” en:



C) 8

C) C13 5

11 12 P  C38  C84  C59  C10 6  C7  C4 11 12 P  C94  C59  C10 6  C7  C4 10 11 12 P  C10 5  C6  C7  C4 11 12 12 12 P  C11 6  C7  C4  C7  C8 13 P  C13 8  C5

RPTA.: C

6.

19 C26 6 .3C9 26 C19 9 .C6 E= 3

E

Resolver: 19 20 C18  C18 6  C7  C8 E 5 21 C13  C21 8 A) 2

B) 4

1 4

E) 6

D)

C)

1 2

RPTA.: C 9.

A) 2 D) 5

RESOLUCIÓN E

E

18 19 20 C18 5  C6  C7  C8 21 C13  C21 8

19 20 C19 6  C7  C8 21 C21 8  C8



C21 8 2 C21 8

1  2

Si se cumple que Cxy12  C6y5

15 15 16 2C15 8  C8  C7  C8

2.

16 16 16 17 C16 7  C8  C9  C8  C9

3.

17 18 C17 10  C9  C10

4.

18 18 18 19 C18 7  C10  C11  C10  C11

5.

19 20 4C19 11  C11  nC8 20 5C19 11  nC12

5C19 11  n

B) 15 E) 18

2)

RPTA.: B 10. i)

y -1 = 6  y = 7 x + 2 = y + 5  x = 10

ii)

y - 1 = 6  y-1+6 = x+2 = y+5  12 = x + 2 = 12 y=7  x = 10 X +y = 17

iii)

C C

26 20 19 9

C C

A) 1 D) 4

19 9 25 6

C C

C C

; n 12!

1 3 5 7 9 11  64 6!



B) VVF E) FFF

C) VFV

Para el caso (i) (n+1) n - n C) 3

*

RESOLUCIÓN 20 C10  C26  C19 6 9  E  19  25  C9 C5  C25 6 

n 1 1   n1 n n1



RESOLUCIÓN

26 6 19 10

B) 2 E) 5

n+1 - n = n n ; n 

A) VVV D) VFF

Reduzca 20 10 25 5

Respecto a las proposiciones

Indique la razón de verdad

RPTA.: D 8.

20 11 C19  n  3 12

C) 16

RESOLUCIÓN 1)

C) 4

1.

Halle x + y A) 13 D) 17

B) 3 E) 6

RESOLUCIÓN

RPTA.: C 7.

Determine el valor de “n” , si 18 17 16 15 20 cumple 4C19 11  C7  C10  C7  2C8  n C8

*

=n

n  1  1  n(n)

Para el caso (ii) n 1 1   n  1 n n n  1 n n n2  n n2 n1 n1 0 = 2 ( falso) Para el caso (iii)

Operando el segundo miembro 12!

12  11  10  9  8  7  6  64 6 64 6

a'  720 a''  1

RPTA.: C 11.

n2 1 1 n2

El equivalente de:

A) n  1

B) n n  1

C) n n  1

D) n +1

2

13.





 n n  2  n4  2n3  n2  2n  1

n 2n2 n2

n n

n n2

n 1 1  n  n 11  n  n

n

 n  1  1  n2  n  1  1  n2  n

2



2

Ahora reemplazando en:



2

Determine la suma de todos aquellos valores de “n” que verifiquen la igualdad: n! n! 321  80 5n! 9 A) 5 D) 8

B) 6 E) 9

C) 7



2 6

4

8



4

36

 83  512

RPTA.: C 14.

Halle el valor del termino central 10

x y del desarrollo de    y x

A) 64 D) 512

B) 128 E)1 024

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN

Hagamos que: a = n! a  a  321  80 5a  9

tcentral = t  111 

a2  721a  720  0 a - 720 a -1

C) 512

Exponentes: 4  5 4  6 5 4  4 1  5  30  36 4

2

RPTA.: B 12.

B) 256 E) 64

Procesando por partes para el radicando: 9 9 8 7 9 8 7   8 7  8 7  8 7 7 1  8

-1 -1

n

2

2 3

RESOLUCIÓN

Luego: 2

4  5  6

 9 4  7  8 

A) 8 D) 1 024

n n2  1

2

El valor de:   

 1 n n….  1  1  1  n  2 n….

2

n3  0

RPTA.: C

Procesando el radicando

3

n! = 6!

n1  6

RESOLUCIÓN

n

n2  1

En consecuencia: n1  n2  n3  7

E) n



Regresando el cambio n! = 720 n!=1 

C) 265

#t =10+1=11  

2

 

tk 1  Ckn  a

nk

5

T51

b

k

;k  0,1,2,.....n 5

x y C     y x 10 5

10  9  8  7  6 12 3 4 5 T51  4  9  7

14

 1   x    T1  T2  .....T9  T10  T11........T15 x  Séptimo lugar

T51

T6  256

RPTA.: C

RPTA.: C 15.

Halle el grado absoluto del término 16 en la expansión de



P  x, y   x3  2y2

A) 20 D) 45

n

17.



25

B) 25 E) 60

C) 35

A) 49 D) 45

RESOLUCIÓN Tk 1  Cnk  a

b

nk

k

   2y  10

25 T151  C15 x3

n

RPTA.: E En el desarrollo de la expresión 14

 1  x   ; existe un termino que x  contiene a x 2 . El termino que ocupa este termino contado a partir del extremo final es:

B) 8 E) 5

C) 7

n7

Analicemos un término genérico (Lugar K+1), en: 14

 1  x   = T1  T2  .....  TK1  .......T15 x 

7n  8 n  6  48  n # términos = 49

k

TK 1  C

14 k

x

TK 1   1

k

  12   x   

14 k

C

14k 

x

k 2

Por condición: 3 3k 14  k  2  12  2 2 k=8 En consecuencia:

n7

n n n   n  n        n  6 6 8   8  n  7 7 8  1 1 n    n  6 n  7 6 8 n  7 7 6    

RESOLUCIÓN

14 K

C)47

n  Si:  x  y   T1  T2  .....T7  T8  .....Tn1 8  Averigüemos a los términos deseados n6 n6 n  n  T7  T6  1  Cn6  x  y6  Cn   xexp y6 8  8  Coef. n7 n7 n  n  T8  T71  Cn7  x  y7  CN7   xexp y7 8  8  Por condición: n 6 n7 n  n  Cn6    Cn7   8  8 

G.A = 30+30=60

A) 9 D) 6

B) 48 E) 44

RESOLUCIÓN

15

2

25 30 30 T16  215 C15 x y

16.

n  En el desarrollo de  x  y  los 8  coeficientes de los términos de lugar séptimo y octavo son iguales. Entonces el número de términos que presentará será:

RPTA.: A 18.

Averigüe al termino central central 8 x 8 al expansionar:    8 x A) 80 D) 60

B) 70 E) 50

C) 60

van disminuyendo de 6 en 6 unidades y el décimo tercero resulta independiente de x.

Indique al término independiente.

RESOLUCIÓN En el desarrollo de esta expresión existen 9 términos entonces el central estará ocupado por el quinto.

8 4 4  8 8 x TCnetral  T5  T4  1  C4      8  x

A) 10  9  8 C) 10  13  14 E) 10  11  12

8 7 6 5  70 4 3 2

TCentralC84 

RESOLUCIÓN Por condición:

RPTA.: B 19.

En el desarrollo de

1  x 

43

n 12

TIndependiente  T121  C

x  m

T13  C x

Será Independiente  mn-16m=0  m(n-16)=0 De donde: m=0 v n = 16 16 n Luego: TIndependiente  C12  C16 12  12 4 16 15 14 13 12  14 13 10 12 4 3 2 1

RESOLUCIÓN 43 2r

2r

43 r 1

T2r 1  C r ; Tr 2  Tr 1 1  C

r

r 1

Según condición 43 43 C2r  Cr431  C2r  Cr431(r 1) 2r=r+1 r= 1

En base es esto los términos ocupan los lugares: Cuando r  1  T3  T3 Para

r  14  T29  T16 (esto

permite

decir

que

21.

Extrae la raíz cuadrada de: 4x6  13x4  22x3  12x5  8x  25x2  16 3x3  2x2  x  4 5x2  7x  2 2x3  3x2  x  4 4x2  8x  2 x4  2x3  x2  x  1

RESOLUCIÓN 4x6  13x4  22x3  12x5  8x  25x2  16

nos

T2  2 )

es

primero.

RPTA.: C 20.

RPTA.: C

A) B) C) D) E)

2r=42-r 3r=42 r=14

12

m   3  x   

n 12

B) 16 y28 D) 16 y 27

Admitimos que en: 43 1  k   T1  T2  ....  T2r 1  ....Tr 2  ....  t44

n12

mn - 16m

los

coeficientes de los términos de los lugares “2x+1” y “r+2” son iguales ¿De qué términos estamos hablando?

A) 14 y 29 C) 16 y 26 E) 18 y 30

B) 10  3  2 D) 11  12  13

Si los exponentes de “x” en los  1 términos del desarrollo  xm  m  x3 

n

   

4 -12 13 -22 -4 -12 13 12 9 4 - 22 -4 6 -16 16

25 -8 16 2 -3 1 -4 (4 -3)(-3) (4 -6 1)(1) (4 -6 2 -4)(-4) 25 -1 24 -8 16 24 8 -16

2x3  3x2  x  4

RPTA.: C

22.

Calcule “a x b” si el resto de

x  1

4

 4x  1  2 x  15x  2 3

1

Es equivalente a: (ax+b) A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

A)

7

B)

D)

2 1

E)

RESOLUCIÓN

C) 3

E  6  2 10  2 8  2 7



RESOLUCIÓN

 x  1

4

 4  x  1  2x3  15x  2



Si: x + 1=a 2x2  4x  11x  2 2 x2  2x  1  11 x  1  1

4 -4

-2 -4 -6 6

1

-11 12 +1

RPTA.: D

2

25.

-3) (-3)

A) 1 D) 7

11 -9 2

E  12  2 35  8  7  11  2 30  7  2 6

E 7 5

19  4 21  7  12  29  2 28 B) x+2 E) x+5

C) x+3





6 1

RPTA.: E

A) 7 D) 5

RESOLUCIÓN



7 1  6  5 

Calcule:  P  

Calcule:



E=0 26.

 5  24 

6  4 3 1 8

B) 8 E) 6

1

   

2

C) 9

RESOLUCIÓN

19  4 21  7  12  29  2 28

19  2 84  7  12 





28  1

12+7 12x7 12  7  7  12  2 7  1  1

RPTA.: A 24.

C) 3

E  12  140  8  28  11  2 30  7  2 6

RPTA.: C

A) x+1 D) x+4

B) 2 E) 0

RESOLUCIÓN

R = a + 2 R= x + 1 + 2 R= x + 3  ax + b A=1,b=3

23.

Reducir

12  140  8  28  11  2 30  7  2 6

(2 2) (2) (2 4



E  6 2 7 1  8 2 7  2 1



a4  4a3  2a2  11a  11 -1



7 1

E  6  2 10  2 7  2  6  2 8  2 7

3



C) 7  1

2 2 1

Reducir:

E  6  2 10  2 8  2 7

 P  

 6  4 3 1 8 

 P  

6  4  3  1  8 

 P  

P   

 

2

1    5  24    



2

1  3  2     



2

 52 6 6  4  3  3  2     6  4  3  6   1

6 4 3

2

   

2

P=7

K  5 7 





7 1  2

RPTA.: A 27.

Simplificar:

29.

3x  1  3x  1 2 3x  9 x 2  1 5x



RPTA.: B

2x 1  2x 1



2 2x  4x 2 1



9x 1  4x2 1 C) x 2

2

P

2x  1  2x  1



2

2 3x  9x  1

2 2x  4x  1

3x  1  3x  1 3x  1  3x  1



3x  1  3x  1 2





5x

2

P

5x  a  b  2



2x  1  2x  1

2

5x



2

2

2

P

9x  1 4x2  1  a b

2x  1  2x  1

 

2

2

2x  1  2x  1



5 a  b 5

B) 2 E) 5

 K 

K K

K

  7  3  7 

 13  7  5  7  

 13 

7  5

 13  7  3 

Si:

C) 3

RESOLUCIÓN

4

32  10 7  8  2 7

3



6 3 2



4 3



6 2



4 3 6 2



6 3 2 



4

A)

3 2

B) 2  3

C)

3 1 2 3

D)

3 1

3

10  108  A  B

3

10  108  A  B



3

(+)

10  108  3 10  108



3

 2A 

3

20  6  2A  8A3 10  6A  4A3 10  4A3  6A  A  1

 A  3  A  3  

3 7

 5  7 3  7 

7 



3 2 6 3



8  48

RESOLUCIÓN

RPTA.: D

A) 1 D) 4

6 3

5  24

10  108

E)

4

3 2

48



Transformar a radicales simples: 3

3x  a  2x  b  a  b  5x

 3 7

9  72

6



RPTA.: A 30.

2

Efectuar:   K   13  7  5  7   

18

P  2 3  6 3 2 2 3 3 2  6  0

6x  9x  1  2 4x  2 4x  1   ab 2 2

28.

48



RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN 3x  1  3x  1

6



9  72 5  24 8  48 A) 0 B) 1 C) 3 D) 2 E) 4

2

B) 2x E) 3x

18

P

2

A) -x D) 5x

Reducir:

3

10  108  3 10  108

A2  B  2 1-B=-2B=3



3

10  108  1  3

RPTA.: D