semanacs 9(algebra)

A) 0 D) 2

SEMANA 9 SISTEMAS DE ECUACIONES 1.

B) 1 E) -2

C) -1

RESOLUCIÓN

¿Qué valores de “K” haría que el sistema

Para infinitas soluciones:

g  0

K  3 x  2K  3 y  24 K  3 x  K  1 y  8

x  0

no acepte solución?

1 1 1

A) 2 D) 3

B) 1 E) 6

C) - 1

g 

1 -1 2

Como:

a2x  b2 y  c2

a1 b1 c   1 a2 b2 c2

2 4 a 1 1 1

RESOLUCIÓN a1x  b1 y  c1

1 -1 1  0  a  4  4   2  8  a  0

1 1 1

 solución

x 

K  3 2K  3    K  3K  1  2K  3K  3 K 3 K 1 K2  2K  3  2K2  3K  9

=0

b 4 1 0 1 1 1 -1 2

K2  5K  6  0 K K

1 -1 2

A + 4 + 2b – (- b + 1) = 0 3b = - 3 b=-1

-6 +1

K  6 K  1  0

a x b = -1

K = 6 K = -1

RPTA.: C

Además:

K  3 24  K 3 8 K3 3 K 3 K  3  3K  9 12  2K 6 K 

3.

x3  4x2  6x  4  0 A) 1 + i D) 3 - i

B) 1 - i E) A y B

C) 3 + i

RESOLUCIÓN

K = -1

RPTA.: C 2.

Señale una raíz de la ecuación:

Divisores

posee infinitas soluciones, indique a x b.

 1,2, 4

T.I.:

evaluando para x = 2

Examine para que valores de a y b el sistema:

xyz0 x  y  2z  1 2 x  4 y  az  b

del

1 X=2

-4 +6 -4 2

1

-4 +4

-2 +2

0

Una raíz es x = 2 Las otras raíces se obtienen al resolver.

x2  2x  2  0  x 

RESOLUCIÓN

2  4 2

x1  1  2i x2  1  2i  S  2 y P  5

RPTA.: E 4.

El conjunto ecuación:

solución

K  4 x  K  3 x es 1; ;  Calcule 3

2

de

 x2  2x  5  0

la

x1  1  2i

3  0

x2  1  2i  S  2 y P  3

el valor de

 x2  2x  3  0

  

Multiplicando:

x

2

A) 1

B) 3

D) 2 3

E) 4 3

C) - 3

 2x



2





 8 x2  2x  15  0

Ecuación resultante:

x2  4 x3  12 x2  16 x  15  0

RESOLUCIÓN Como una raíz es x = 1 K–4+ K-3-3=0 K=5 La ecuación es: x3  2x2  3  0 Por Ruffini:

1 X=1 1

2 1 3

RPTA.: A 6.

una de sus raíces es



3  5i.

A) x4  4 x2  64  0 B) x4  8 x2  16  0

0 -3 3 3 3 0

C) x4  4 x2  16  0 D) x4  16 x2  64  0 E) x4  16 x2  16  0

3  3 i 3 3 x   i;   3 2 2 2 x

Formar la ecuación de cuarto grado de coeficientes racionales si

RESOLUCIÓN x  3  5i

3  3 i 3 3   i;   3 2 2 2   2 3

Elevando al cuadrado.

x2  3  5  2 15 i

x 2 2  2 5 i RPTA.: B 5.

Elevando al cuadrado.

Formar la ecuación de cuarto grado de coeficientes reales; si dos de sus raíces son: 1  2i y

x4  4x2  4   60 x4  4x2  64  0

1  2 i.

A) x4  4x3  12x2  16x  15  0 B) x4  4x3  12x2  16x  15  0 C) x4  4x3  12x2  16x  15  0 D) x4  4x3  12x2  16x  15  0 E) x4  4x3  12x2  16x  15  0

RPTA.: C 7.

En el polinomio cúbico

P(x)  x3  x  1 Se observa que

P  a  P b   P  c   0

Calcule el valor numérico de



P a3  b3  c3  ab  ac  bc  abc



A) - 17 D) - 28

B) - 11 E) - 29

C) - 21

A) nn D) n2

RESOLUCIÓN

 x  i  x  i  x2  1  x  2i  x  2i  x2  4

x3  x  1  x3   a  b  c  x2 

  ab  ac  bc  x  abc

. . .

a  b  c  0  a3  b3  c3  3abc ab + ac + bc = + 1 abc = -1  3 abc = - 3

 x  ni  x  ni  x2  n2

P  3  29

T.I  1 2 ... n

P  3  1  1  P  3  27  3  1

T.I  1 4 ... n2 2

RPTA.: E Calcule el valor de (a + b) en la ecuación: 2 x4  x3  3 x2  a x  b  0 ; {a;b}  Si se sabe que una de sus raíces es: 1 + 2 i A) 31 D) 38

B) 34 E) 39

T.I 

10.

2

C) 35

2

3

2

5

a = 19 ; a + b = 34

3

0



2

Señale el valor de “a” en la ecuación: si se sabe que la suma de sus raíces excede al producto de las mismas en una unidad.

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

Suma=

b

2 6a ; Producto= 2a  7 2a  7

Ecuación:

2 6a   1 ; operando 2a  7 2a  7 a–4=2a–7 3=a

0

b = 15

RPTA.: B Halle el término independiente de una ecuación de grado mínimo de coeficientes reales, si se sabe que su conjunto solución es

i;  i; 2i;  2i;.......; ni;  ni

C) 3

RESOLUCIÒN

4 - 10 10 - 25 6 - 15

-5

9.

1

a

n

2 a  7 x7  2 x6  5x2  a  6  0

x1 = 1 + 2i x2 = 1 2i  x1.x2 = 2; x1.x1 = 5  x²  2x + 5 = 0 Por Horner:

1



RPTA.: E

RESOLUCIÒN





Obsérvese que:

x3  x  1   x  a  x  b   x  c 

8.

C) n

2

RESOLUCIÓN

Se cumple que



B) n2 E)  n

RPTA.: C 11.

No es solución de la ecuación:

10 10     x  x  1  x  x  1  48 ; es    A) -1 D) 4

B) 2 E) A ó D

C) -5

También:

RESOLUCIÓN 10  z  z2  1  48 x z  7 10 10 Si: x   x 7  7 x x x2  7x  10  0 ; x2  7x  10  0

 1    2 

x

RPTA.: C 13.

Resolver: La ecuación

 x  5  x  7  x  4  x  6  504

(x  2) (x  5) = 0 ; (x+2)(x+5) = 0

y halle la suma de los cuadrados de las raíces negativas.

x=5 ó x=2

A) 53 D) 62

x=-2 ó x=-5

Halle la relación entre coeficientes de la ecuación:

B) 57 E) 64

C) 61

RESOLUCIÒN

RPTA.: E 12.

100 b2   9b2  100 ac 9 ac

Multiplicando convenientemente

 x  5 x  4  x  7 x  6   504 x2  x  20 x2  x  42  504

los



ax4  b x2  c  0





Haciendo x2  x  z

para que sus raíces reales estén en progresión aritmética.

z  20 z  42  504

z2  62 z  336  0

A) 4b2  49 ac

z  56 z  6  0

B) 8b2  49 ac

Regresando a la variable original.

C) 9b2  100 ac

x

2

2

D) 16b  100 ac

 x  56

 x

 x  56  0

ó

x = -2

2



 x  8   x  7   x  3  x  2   0

E) 25b2  100 ac

x  7



RESOLUCIÓN

 7

2

  2  53 2

RPTA.: A

                  3 



(x + 3) (x+)(x)(x3) = 0

x

2

 92

 x

2



 2  0

Equivalencia resultante

b c x  10  x  9   x  x2  a a 2 b b 10 2    100 4  2 ...  1  a a b c 10 2    9  4  ...  2  a a 4

2

2

4

4

14.

Resolver:

x3  y3  35 xy 5

2;3 c.s  3;2 c.s  1;2 ; 2;3 c.s  2;3 ; 3;2 c.s  3;2 ; 1;2

A) c.s  B) C) D) E)

RESOLUCIÓN x3  y3  35 ;

x  y x

2

2

x+ y = 5



 xy  y  35 2





2y  2y  Si x   5y2  7    17 3  3  y  3

x =5–y

5 x2  xy  y2  35



 4   3  0

16.

Resolver:

x2  xy  y2  7

5  y 

2

 y 5  y   y2  7

RPTA.: C x2  y2  180 1 1 1   x y 4

3y2  15y  18  0 y2  5y  6  0

y  3 x  2

y  2 x 3

e indicar como respuesta la suma de todos los valores posibles de “x”

c.s  2;33;2

RPTA.: D 15.

Resolver:

A) 7 D) 4

5y2  7x2  17 5xy  6x2  6

RESOLUCIÓN

C) 28

Haciendo x    v  y    v

  v

2

e indicar como respuesta la suma de todos los valores de “y” A) 7 D) -7

B) 8 E) -4

B) 14 E)  1

    v   180 2

2  v2  90

C) 0

xy 1  xy 4 4  v    v     v     v 

RESOLUCIÓN 5y2  7x2  17 5xy  6x2  6 30y2  42x2  102 85 xy  102x2  102

90  2  v2

30y  85xy  60x  0

0  2  4  45   9  v  3

6y2  17xy  12x2  0

  5  v   65

2

3y 2y

8  2  v2

0  2 2  8  90

2

3y 4 2y -3x x 3 -4x x

2

3y  3y   5 y2  7    17 Si x  4  4  y  4

9;3;9; 3  5; 65  5; 65  C.S.  12;66;12 ;  5  65; 5  65 

C.S.;v  

 5 

 65    5 

65;  5  65



x  12  6  5 

65



x 8 RPTA.: B

17.

Resolver:

RESOLUCIÓN

x  3xy  2y  3 2

2

Haciendo x2  2x  a

x2  5xy  6y2  15

 a  1

2





según esto halle (a + b + c + d).

x

2

B) 1 E) -2

C) 2



S

5x2  15xy  10y2  15

x2  5 xy  6 y2  15 4x2  10xy  4y2  0 2 x2  5 xy  2y2  0 y  y = - 2x 2x x x 2y  y=  2

19.

3  x   4  x  2 2 3  x   4  x  3

7

B) 6 E) 3

C) 5

Haciendo:

3x  a 4x b

2

x  x  x  x2  5x     6     15 2  2  2

2x  5x  3x  15(2) 0  30 C.S.  1; 2 ;  1;2 ;

a3  b3 Luego: 2  ab a  b2 a3  b3  a3  ab2  a2b  b3 0  ab b  a

Luego a + b + c + d = 0

RPTA.: A

Halle la suma de las raíces de la ecuación:

x  2x  2 x  2x  2  1 2

C) 3

+

7=a+b

2

B) 2 E) 4

Al resolver:

RESOLUCIÓN

Si x  1  y  2   1;2

A) 1 D) -4



 a1 4  4 a0 1

A) 7 D) 4

Si x  1  y  2  1; 2

2



 6 x2  2 x  7  0

indicar como respuesta la diferencia de los cuadrados de sus raíces.

x 1

18.

2

3

2





RPTA.: E

Si y = - 2x  x2  3x  2x   2  2x   3

2

 2x

x4  4x³  2x² + 12x  7 = 0

x2  3xy  2y2  3 x (-5)

2

2

x4  4 x3  4x2  6 x2  12 x  7  0

RESOLUCIÓN

Si y 



a2  2a  1  4a  8 a2  6a  7  0

Se obtuvo: C.S.=  a;b   c;d ,

A) 0 D) 3



 2 a2



b  a  0  ab  0 70 3  x   4  x   0 x  3 x  4  C.S.  4;3

 4

2

  3  7 2

RPTA.: A

20.

Halle el valor de “x” , sabiendo que es un número entero positivo de:

5x x  34 x3  296 A) 4 D) 16

B) 11 E) 17

C) 31

RESOLUCIÓN 5 x3  34 x3  296 



x3  a 5a2  3a  296  0  a  8  a  7, 4

haciendo

4



x3  8

 

x3  23

4

4

4

x3  7, 8 

x = 16

RPTA.: D