SEMANA 4
RESOLUCIÓN
DIVISIBILIDAD COCIENTES NOTABLES FACTORIZACIÓN I 1.
En la base a la identidad:
x
2
y2 z2 x2 y2 z2 mx 2yz
x y zq'x,y,z
¿Cuál será aquel polinomio cuadrático de coeficiente principal 4, capaz de ser divisible por 2x 1 y que al ser evaluado en
Con: x=1 ; y=1; z=-2 evaluando: (1-1+4)(1+1-4)+m….(-2)=0 -8=2mm=-4
RPTA.: E
(2) toma el valor de 5? A) 4x2 4x 3
B) 4x2 4x 3
C) 4x2 4x 3
D) 4x2 4x 2
3.
E) 4x2 4x 2
Busque la relación que debe existir entre “p” y“q” a fin de que el polinomio: P x x3 3px 2q Resulte ser divisible por x a
2
RESOLUCIÓN Sea este Polinomio Px 4x2 ax b : Por condición: 4x2 ax b 2x 1 .q' x
Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5 2a+b = 11 .........................(2) : 5b=-15b=-3
x
2
y2 z2
x
2
de
“m”
-a 2a2 2 1 -2a 3a 3P
R1 0
R1 0
3
3a3 2q a3 0 a3 q
a q 3 2
el
2
Conclusión: P3 q2.
C) 1
-a
P3 Reemplazando en: R1 0
y2 z2 mx2 yz
B) 2 E) -4
a2 3ap -a a2 1 -a (a2 3p) 3ap 2q a3
a2 P a2
RPTA.: A
es divisible por (x+y+z)? A) 4 D) -8
-a
Si: 3a 3P 0
RPTA.: C valor
2q
0 -3P
2
En (2) :2a=-8a=-4 Conclusión: P x 4x2 4x 3
¿Para qué polinomio:
E) P q2
1
Además: 4x2 ax b (x 2)q'' x 5
2.
D) P.q 1
C) P q
Aplicando dos veces ruffini bajo el principio de divisibilidad.
2
De: 2(1)+(2)
B) P 2 q3
RESOLUCIÓN
1 1 4 a b 0 2 2 -a+2b=-2.............................(1)
A) P 3 q2
4.
Determine “abc” sabiendo que el polinomio :
Px a c (b c)x a bx 6x 2x es divisible por x 3 x 2 1 2
3
A) -2 D) -1360
RESOLUCIÓN Al ser divisible indistintamente lo será también por el producto es decir:
4
B) -34 E) 2720
Px (x a)(x b)(x c) q(x)
C) 40
x3 6x2 11x 6 3er grado
RESOLUCIÓN Por Teorema de divisibilidad
x3 6x2 11x 6 x3 a b cx2 ab bc cax abc
Px x 1q'x R1 0
Px x 1q' 'x R2 0
Px x 3q' ' 'x R3 0
De donde: a+b +c =6 ab +bc + cd= 11 abc= 6
Empleando Ruffini ( tres veces) -2 1 -2
(a+b)
(b+c)
-2
-8
a+b-8
+2
-1 1 3
-6 -8 -6
(c+a) a+2b+c-8
Se pide:
(a+b-8) (a+2b+c-81) 2(a+b+c-4) 6 -a-b+2 R1 (a+b-2) b+c-6
-6 -2 -12
P x 1 1 1 x ab bc ca
R2
-36
Uno
(monico)
P x c ab x abc
P x x 1
Evaluando en x=1: R P1 0
a+b-38
RPTA.: A
R3
6.
Si: a+b+c-4=0a+b+c=4 b+c-6=0 b+c=6 a+b-38=0a+b=38 en (1) c=-34 en (2) b=40 Luego: abc=2720.
a
35
RPTA.: E 5.
¿Cuál será aquella división notable que genere al cociente
Si el Polinomio:
a30 a25 ... a5 1 .
A)
a36 1 a1
C)
a40 1 a5 1
B)
a40 1 a5 1
Px x3 6x 2 11x 6;es
RESOLUCIÓN
divisible por: (x-a), (x-b) y (x-c) indistintamente.
Por principio teórico de signo y variación de exponente de 5 en 5, es la B.
RPTA.: B
¿Cuál será el residuo de:
Px 1
xa b
1
1
b c
A) 0 C) ab + bc + ca D) ab + cb + ca
1
1
c a B)1 D) 1
1
?
7.
Encuentre
10
9
el
valor
1 999
A) 1000001 C) 1001001 E) 1
B) 1010101 D) 0
de:
RESOLUCIÓN
T10 x10
Acondicionando el divisor:
3 3
10
109 1 10 1 103 3 3 10 1 10 1
2
3 1
x10 .x50 .x100 x236
T50 x50
1
T100 x100 x3160 x236
De donde:
1001001
RPTA.: C
3 160 236 3 396 132
Luego: # términos=132+1=133 8.
división
x 30 y m ; consta de 10 xn y2
términos. Determine el valor de: mn A) 60 D) 600
C) 320
B) 8000 E) 8
Por condición: 30 m 10 n 2
A) x 2y9
B) x6 y324
C) x36 y360
D) 0
314
Si la división indicada es notable, debe cumplir que: P 432 3 P 2 P 3.432
n=3 m=20
Se desea conocer de cuántos términos está constituido el
x 1 sabiendo que x 1 T10 T50 T100 x236
cociente de :
B) 133 E) 131
C) 132
RESOLUCIÓN
P2 3.33.24 P 32.22 36 Luego:
y y
x3 x36 y432 x3 y36 x3
12
1
36
12
1
antepenúltimo
Tk
36
T1 T2 ... T10 T11 T12
Tantep T10 x3
x 1 x1 x2 x3 ...xk ... 1 x 1 T3
genera un cociente notable. Averigüe al término antepenúltimo
RESOLUCIÓN
RPTA.: B
T2
x P y 432 x3 yP
Si la división indicada:
E) x y
Luego: 20³ = 8000
A) 396 D) 236
10.
6
RESOLUCIÓN
9.
RPTA.: B
Sabiendo que el cociente de la
1210
y 36
101
x6 y324
RPTA.: B
11.
Después de dividir el cociente de
RESOLUCIÓN
x6n1 1 ; n N . Entre x 1; se x 1
Asociando:
Qa,b 1 b c bc a1 b c bc
obtiene un nuevo cociente que al ser
dividido
por
x
2
Extrayendo factor común
x 1
Qa,b 1 b c bc1 a
obtendremos como residuo. A) 0 D) x-1
B) -x E) 1
Qa,b 1 b c1 b1 a Qa,b 1 c 1 b 1 a
C) x+1
Constante
RPTA.: B
RESOLUCIÓN Efectuando la división notable
13.
x6n 1 x6n1 x6n2 x6n3 x2 x 1 x 1 Luego en: x6n1 x6n2 x6n3 ... x2 x 1 x 1 Aplicando Ruffini
Px Xn2 xn x3 x 2 x 1;n N. A) 1 D) n
1 -1
-1 1
0
B) 2 C) 3 E) ninguno
RESOLUCIÓN
Existen “6n” términos
1
¿Cuántos factores primos binómicos admite el polinomio;
Asociando de 2 en 2:
Px xn.x 2 xn x3 x 2 x 1
1 ... 1 1 1 0 -1 -1 1 0 ... 0 1 0
Px xn (x2 1) x(x2 1) (x2 1) … …...... ….....
Px (x2 1) xn x 1
Existen “6n-1” términos
RPTA.: B
qx x6n2 x6n4 x6n6 ... x4 x2 1
Finalmente en:
2
14.
q x x x 1
Según el teorema del residuo Si: x2 x 1 x Que al evaluarlo en este valor R q 2 1 0
RPTA.: A Factor Primo de: Q a,b 1+b+c+a(1+b+c+bc)+bc será: A) 1+c D) 1+bc
Uno de los divisores de:
a2 b2 c2 d2 2ad bc Será:
A) a-b+c-d C) a-b-c + d E) a-b-c-d
Asociando convenientemente a2 b2 c2 d2 2ad 2bc a =
a
2
C) 1+ab
2ad d2 b2 2bc c2 =
a d b c a d b c a d b c 2
B) 1+b E) 1+abc
B) a+b-c+d D) a+b+c-d
RESOLUCIÓN
Cero 12.
Px (x 1)(x 1) xn x 1
2
RPTA.: A
15.
¿Cuál será el divisor trinomio del polinomio en variables: m,n,p. m3 n P n3 P m P3 m n ?
Extrayendo el factor común M x, y x y 1 x2 xy y2 x y 1
A) m-n-P C) m-n+P E) mn+nP+Pn
17.
B) m+n-P D) m+n+P
RPTA.: C
en
el
n P…...... n Pn n P …......
np P
E) a2 b2 ab 3a b 9
2
RESOLUCIÓN
R a a3 b3 3 3ab 3 3
(n-P) m3 n2P nP2 mn² mnP mP2 (n-P) mm2 n2 nPm n P2 m n (m+n)(m-n)
(n P) m n m2 mn nP P2 m Pm… P) n(m… P (n P)m n (n P)m nm Pm n P RPTA.: D 16.
Corresponde a la identidad Gaussiana, que proviene de:
2
3
a b c a b 9 ab 3a b RPTA.: D
18.
2
2
Cuántos divisores Polinomio:
El Polinomio:
Mx, y x y 3xy1 x y 1
a b 3 a2 b2 3 ab a 3 3b
de:
D) a2 b2 ab 3a b 9
2
racional
3
A) a+b+3 B) a-b+3 C) ab-3(a+b)
m3 n P nP n2 p2 m(n3 p3) …......
primo
R a a b 9ab 27 ; será:
m3 n P n3P n3m P3m P3n
Asociando:
factor 3
RESOLUCIÓN Mediante la distribución segundo y tercer término:
Un
admitirá
el
Px;y a2bx4 b3 a3 x2y4 ab2y8
Será divisible por: A) x xy y x y 1 2
2
B) x2 xy y2 x y 1 C) x 2 xy y 2 x y 1
RESOLUCIÓN Asociando convenientemente
Mx, y x y 1 3xyx y 1
A) 8 D) 4
B) 7 E) 3
C) 15
RESOLUCIÓN Empleando el aspa simple:
Px,y a2bx4 b3 a3 x2.y4 ab2y8 a2x2
b2y4
bx2
ay4
3
Diferencia de cubos 2 M x, y x y 1 x y x y 1 -3xy(x+y-1)
Px,y a2x2 b2y4 bx2 ay4
Px,y ax by2 ax by2 bx2 ay4
Nº divisores: (1+1)(1+1)(1+1)
RPTA.: A 19.
Halle la suma de los elementos de aquellos Polinomios irreductibles que se desprenden de:
Qx, y,z z4 2 x2y2 z2 x2 y2 A) 4x D) 2(x-y)
B) 4y E) 2(x+y)
2
C) 4z
RESOLUCIÓN Mediante un aspa simple
Q z4 2 x2 y2 z2 x2 y2
2
2
z2
x y
2
z2
x y
Q z2 x y z2 x y 2
2
Qx,y,z z x yz x yz x yz x y
Sumando estos elementos =4z
RPTA.: C 20.
Un divisor del Polinomio: Px,y 2x 2x 7y 3y(5y 12) 48x
será: A) 3x-4y D) 2x-3x
B) 4x-3y C)2x-3y E) 2x-5y+12
RESOLUCIÓN Buscando la forma de un aspa doble:
Px,y 8x2 14xy 15y2 48x 36y 0
4x 2x
-3y 5y
0 12
Px,y 4x 3y2x 5y 12 RPTA.: B