Semana 4 cs(algebra)

SEMANA 4

RESOLUCIÓN

DIVISIBILIDAD COCIENTES NOTABLES FACTORIZACIÓN I 1.

En la base a la identidad:

x

2





 y2  z2 x2  y2  z2  mx 2yz 

x  y  zq'x,y,z

¿Cuál será aquel polinomio cuadrático de coeficiente principal 4, capaz de ser divisible por 2x  1 y que al ser evaluado en

Con: x=1 ; y=1; z=-2 evaluando: (1-1+4)(1+1-4)+m….(-2)=0 -8=2mm=-4

RPTA.: E

(2) toma el valor de 5?

A) 4x2  4x  3

B) 4x2  4x  3

C) 4x2  4x  3

D) 4x2  4x  2

3.

E) 4x2  4x  2

Busque la relación que debe existir entre “p” y“q” a fin de que el polinomio: P x  x3  3px  2q Resulte ser divisible por x  a

2

RESOLUCIÓN Sea este Polinomio Px  4x2  ax  b : Por condición: 4x2  ax  b  2x  1 .q' x 

Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5 2a+b =  11 .........................(2) : 5b=-15b=-3

x

2

 y2  z2

 x

2

de

“m”

-a 2a2 2 1 -2a 3a  3P

R1  0

R1  0

 

3

3a3  2q  a3  0  a3  q

a    q 3 2

el

2

Conclusión: P3  q2.



C) 1

-a

 P3 Reemplazando en: R1  0 

 y2  z2  mx2 yz

B) 2 E) -4

 a2  3ap -a a2 1 -a (a2  3p) 3ap  2q  a3

a2  P  a2

RPTA.: A

es divisible por (x+y+z)?

A) 4 D) -8

-a

Si: 3a  3P  0

RPTA.: C valor

2q

0 -3P

2

En (2) :2a=-8a=-4 Conclusión: P x  4x2  4x  3

¿Para qué polinomio:

E) P  q2

1

Además: 4x2  ax  b  (x  2)q'' x  5

2.

D) P.q  1

C) P  q

Aplicando dos veces ruffini bajo el principio de divisibilidad.

2

De: 2(1)+(2)

B) P 2  q3

RESOLUCIÓN

 1   1  4  a  b  0  2   2  -a+2b=-2.............................(1)



A) P 3  q2

4.

Determine “abc” sabiendo que el polinomio :

Px  a  c  (b  c)x  a  bx  6x  2x es divisible por x  3 x 2  1 2

3



A) -2 D) -1360

RESOLUCIÓN Al ser divisible indistintamente lo será también por el producto es decir:

4



B) -34 E) 2720

Px   (x  a)(x  b)(x  c) q(x)

C) 40

x3  6x2  11x  6 3er grado

RESOLUCIÓN Por Teorema de divisibilidad

x3  6x2  11x  6  x3  a  b  cx2  ab  bc  cax  abc

Px   x  1q'x   R1  0

Px   x  1q' 'x   R2  0

Px   x  3q' ' 'x   R3  0

De donde: a+b +c =6 ab +bc + cd= 11 abc= 6

Empleando Ruffini ( tres veces) -2 1 -2

(a+b)

(b+c)

-2

-8

a+b-8

+2

-1 1 3

-6 -8 -6

(c+a) a+2b+c-8

Se pide:

(a+b-8) (a+2b+c-81) 2(a+b+c-4) 6 -a-b+2 R1 (a+b-2) b+c-6

-6 -2 -12

P x  1 1  1 x    ab bc ca  

R2

-36

Uno

(monico)



P x  c  ab x   abc 



P x  x 1

Evaluando en x=1: R  P1  0

a+b-38

RPTA.: A

R3

6.

Si: a+b+c-4=0a+b+c=4 b+c-6=0 b+c=6 a+b-38=0a+b=38 en (1) c=-34 en (2) b=40 Luego: abc=2720.

a

35

RPTA.: E 5.

¿Cuál será aquella división notable que genere al cociente

Si el Polinomio:



 a30  a25  ...  a5  1 .

A)

a36  1 a1

C)

a40  1 a5  1

B)

a40  1 a5  1

Px   x3  6x 2  11x  6;es

RESOLUCIÓN

divisible por: (x-a), (x-b) y (x-c) indistintamente.

Por principio teórico de signo y variación de exponente de 5 en 5, es la B.

RPTA.: B

¿Cuál será el residuo de:

Px  1

xa b

1

1

b c

A) 0 C) ab + bc + ca D) ab + cb + ca

1

1

c a B)1 D) 1

1

?

7.

Encuentre

10

9



el

valor

 1  999

A) 1000001 C) 1001001 E) 1

B) 1010101 D) 0

de:

RESOLUCIÓN

T10  x10

Acondicionando el divisor:

 

3 3

   10 

109  1 10  1   103 3 3 10  1 10  1

2

3 1

x10 .x50 .x100  x236

T50  x50

1

T100  x100 x3160  x236

De donde:

 1001001

RPTA.: C

3  160  236 3  396   132

Luego: # términos=132+1=133 8.

división

x 30  y m ; consta de 10 xn  y2

términos.

Determine el valor de: mn A) 60 D) 600

C) 320

B) 8000 E) 8

Por condición: 30 m   10 n 2

A) x 2y9

B) x6 y324

C) x36 y360

D) 0

314

Si la división indicada es notable, debe cumplir que: P 432  3 P 2 P  3.432

n=3 m=20

Se desea conocer de cuántos términos está constituido el 

x 1 sabiendo que x 1 T10 T50 T100   x236

cociente de :

B) 133 E) 131

C) 132

RESOLUCIÓN

P2  3.33.24  P  32.22  36 Luego:

   y     y 

x3 x36  y432  x3  y36 x3

12

1

36

12



1

antepenúltimo

 

Tk

36

T1  T2  ...  T10  T11  T12

Tantep  T10  x3

x  1  x1  x2  x3  ...xk  ...  1 x 1 T3

genera un cociente notable.

Averigüe al término antepenúltimo

RESOLUCIÓN

RPTA.: B

T2

x P  y 432 x3  yP

Si la división indicada:

E) x y

Luego: 20³ = 8000

A) 396 D) 236

10.

6

RESOLUCIÓN

9.

RPTA.: B

Sabiendo que el cociente de la

1210

y  36

101

 x6 y324

RPTA.: B

11.

Después de dividir el cociente de

RESOLUCIÓN

x6n1  1 ; n  N . Entre x  1; se x 1

Asociando:

Qa,b   1  b  c  bc  a1  b  c  bc

obtiene un nuevo cociente que al ser

dividido

por

x

2



Extrayendo factor común

 x 1

Qa,b   1  b  c  bc1  a

obtendremos como residuo.

A) 0 D) x-1

B) -x E) 1

Qa,b   1  b  c1  b1  a Qa,b  1  c  1  b 1  a

C) x+1

Constante

RPTA.: B

RESOLUCIÓN Efectuando la división notable

13.

x6n  1  x6n1  x6n2  x6n3  x2  x  1 x 1 Luego en: x6n1  x6n2  x6n3  ...  x2  x  1 x 1 Aplicando Ruffini

Px   Xn2  xn  x3  x 2  x  1;n  N. A) 1 D) n

1 -1

-1 1

0

B) 2 C) 3 E) ninguno

RESOLUCIÓN

Existen “6n” términos

1

¿Cuántos factores primos binómicos admite el polinomio;

Asociando de 2 en 2:

Px   xn.x 2  xn  x3  x 2  x  1

1 ... 1 1 1 0 -1 -1 1 0 ... 0 1 0

Px  xn (x2  1)  x(x2  1)  (x2  1) … …...... ….....





Px   (x2  1) xn  x  1



Existen “6n-1” términos

RPTA.: B

qx  x6n2  x6n4  x6n6  ...  x4  x2  1

Finalmente en:



2

14.



q x  x  x  1

Según el teorema del residuo Si: x2  x  1   x   Que al evaluarlo en este valor R  q     2  1  0

RPTA.: A Factor Primo de: Q a,b   1+b+c+a(1+b+c+bc)+bc será: A) 1+c D) 1+bc

Uno de los divisores de:

a2  b2  c2  d2  2ad  bc Será:

A) a-b+c-d C) a-b-c + d E) a-b-c-d

Asociando convenientemente a2  b2  c2  d2  2ad  2bc a =

a

2

 

C) 1+ab



 2ad  d2  b2  2bc  c2 =

a  d  b  c   a  d  b  c  a  d  b  c 2

B) 1+b E) 1+abc

B) a+b-c+d D) a+b+c-d

RESOLUCIÓN

Cero 12.



Px  (x  1)(x  1) xn  x  1

2

RPTA.: A

15.

¿Cuál será el divisor trinomio del polinomio en variables: m,n,p. m3 n  P   n3 P  m  P3 m  n ?

Extrayendo el factor común M  x, y    x  y  1  x2  xy  y2  x  y  1 

A) m-n-P C) m-n+P E) mn+nP+Pn

17.

B) m+n-P D) m+n+P

RPTA.: C



en

el

n  P…...... n  Pn n  P …......

 np  P

E) a2  b2  ab  3a  b  9

2

RESOLUCIÓN



R a  a3  b3   3  3ab 3 3

(n-P) m3  n2P  nP2  mn²  mnP  mP2   (n-P) mm2  n2   nPm  n  P2 m  n  (m+n)(m-n)



(n  P) m  n m2  mn  nP  P2   m  Pm… P)  n(m… P  (n  P)m  n (n  P)m  nm  Pm  n  P RPTA.: D 16.

Corresponde a la identidad Gaussiana, que proviene de:



2



3



 a  b  c a  b  9  ab  3a  b RPTA.: D

18.

2

2

Cuántos divisores Polinomio:

El Polinomio:

Mx, y  x  y  3xy1  x  y  1



 a  b   3 a2  b2   3  ab  a 3   3b





de:

D) a2  b2  ab  3a  b  9



2

racional

3

A) a+b+3 B) a-b+3 C) ab-3(a+b)

m3 n  P  nP n2  p2  m(n3  p3)  …......

primo

R a  a  b  9ab  27 ; será:

m3 n  P  n3P  n3m  P3m  P3n 

Asociando:

factor 3

RESOLUCIÓN Mediante la distribución segundo y tercer término:

Un



admitirá

el



Px;y   a2bx4  b3  a3 x2y4  ab2y8

Será divisible por: A) x  xy  y  x  y  1 2

2

B) x2  xy  y2  x  y  1 C) x 2  xy  y 2  x  y  1

RESOLUCIÓN Asociando convenientemente

Mx, y  x  y  1  3xyx  y  1

A) 8 D) 4

B) 7 E) 3

C) 15

RESOLUCIÓN Empleando el aspa simple:





Px,y   a2bx4  b3  a3 x2.y4  ab2y8 a2x2

 b2y4

bx2

ay4

3

Diferencia de cubos 2 M  x, y    x  y  1   x  y    x  y   1    -3xy(x+y-1)





Px,y   a2x2  b2y4 bx2  ay4









Px,y   ax  by2 ax  by2 bx2  ay4



Nº divisores: (1+1)(1+1)(1+1)

RPTA.: A 19.

Halle la suma de los elementos de aquellos Polinomios irreductibles que se desprenden de:







Qx, y,z   z4  2 x2y2 z2  x2  y2 A) 4x D) 2(x-y)

B) 4y E) 2(x+y)



2

C) 4z

RESOLUCIÓN Mediante un aspa simple







Q  z4  2 x2  y2 z2  x2  y2

2

2

z2

 x  y 

2

z2



 x  y 





Q  z2  x  y z2  x  y 2

2



Qx,y,z   z  x  yz  x  yz  x  yz  x  y

Sumando estos elementos =4z

RPTA.: C 20.

Un divisor del Polinomio: Px,y  2x 2x  7y   3y(5y  12)  48x

será: A) 3x-4y D) 2x-3x

B) 4x-3y C)2x-3y E) 2x-5y+12

RESOLUCIÓN Buscando la forma de un aspa doble:

Px,y   8x2  14xy  15y2  48x  36y  0

4x 2x

-3y 5y

0 12

Px,y   4x  3y2x  5y  12 RPTA.: B