2.
SEMANA 6
Indicar el grado del M.C.M. de los polinomios P(x) y Q(x) , donde:
MCD – MCM - FRACCIONES 1.
Halle el MCD de los polinomios P(x) y Q(x).
P(x) x7 8x6 17x5 9x4 9x3 17x2 8x 1 Q(x) x5 5x4 x3 x2 5x 1
P(x)= 12x5 8x4 45x3 45x2 8x 12 Q(x)= 2x4 5x3 8x2 17x 6 A) x+1 C) (x-2)(2x-1) E) (2x+3)(2x-1)
A) 3 D) 6
B) (x+1)(x-2) D) 3x+2
Factorizando P (x); el polinomio es recíproco.
Factorizando P(x)
1
-1
8 -45 -12
12
4
-4 -41
-45
8
41 -4
12
-1
4 -12 12
1
17
9
-1
-7
-10
7
10
-1
9
17
8
1
1 -10
-7
-1 0
10
7
1
el polinomio cociente es reciproco también, pero de grado par:
c(x) 12x4 4x3 41x2 4x 12 1 1 c (x) x2 12 x2 2 4 x 41 x x 1 1 x p x2 2 p2 2 x x 2 2 c(x) x 12p 4p 65
c(x) 6p 13 2p 5
c(x) 6x2 13x 6 2x2 5x 2
8
0
Luego el cociente c(x)
C) 5
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN 12
B) 4 E) 7
P(x) x 13x 22x 32x 1 x 2 Factorizando Q:
Q(x) 2x4 5x3 8x2 17x 6 Q(x) x 1 x 2 x 32x 1
1 1 1 c (x) x3 x3 3 7 x2 2 10 x 1 x x x Haciendo:
1 1 m x2 2 m2 2 x x 1 x3 3 m3 3m x x
P (x) x 1 x2 3x 1 x2 5x 1 x2 x 1 Factorizando Q(x) similarmente:
Q x x 1 x2 5x 1 x2 x 1 Por tanto:
MCM x 1 x2 5x 1 x2 x 1 x2 3x 1
Por tanto:
MCD(P,Q) x 1 x 2 RPTA.: B
Gº = 1 + 2 + 2 + 2 = 7
RPTA.: E
3.
Halle el M.C.D. de:
RESOLUCIÓN
A x 4x4 4ax3 36a2 x2 44a3 x 16a4
Usando el método de Horner:
B x 6x4 6ax3 18a2 x2 30a3 x 12a4 A) 2 x a
B) x-a
C) x a
D) 2 x a
2
2
1 2 1 -2
-1
3
2
-4 1
3
Factorizando A por el aspa doble especial:
A x 4 x4 ax3 9a2 x2 11a3 x 4a4
1
0 m-2=0 m 2
1 1
1
0
1
-2
x2 x2
1 -2
4a2
3ax 2 ax
n
2 2
1
a2
-2
2
E) x a²
RESOLUCIÓN
m
-4
n=4
0 n-4=0
Conclusión: m+n=6
Por tanto:
RPTA.: C
A(x) 4 x 4a x a
3
Similarmente B x 6 x4 ax3 2a3x2 5a3x 2a4
x2 x2
5.
2a2 a2
ax
2 ax
Halle el MCD de los polinomios:
P(x) Xmn xm xn 1 Q(x) m n xmn1 mxm1 nxm1 Sabiendo que m;n;
B x 6 x 2a x a
m n
3
Por consiguiente el MCD= 2 x a
3
RPTA.: D
A) xk 1
B) xm 1
C) xn 1
D) xk 1 1 E) xk 1 1
RESOLUCIÓN 4.
Sabiendo que el M.C.D. de los polinomios:
A x 2x x 3x m 3
2
x
Q(x) nk n xnk n 1 nk xnk 1 n xnk 1
B) 5 E) 0
Similarmente:
x 2 . Halle “m+n”
A) 4 D) 7
P(x) xnk n xnk xn 1
P(x) xn 1 xnk 1
B x x3 x2 n , es: 2
Consideremos: m=nk Entonces:
Q(x) nk n xnk 1 xn 1 C) 6
Por lo tanto: M.C.D P(x),Q(x) xn 1
RPTA.: C
6.
Sean los polinomios:
7.
P(x) ax4 bx3 a c x2 bx c
Sea D(x) el Mínimo común múltiplo de los polinomios M(x) y N(x) si:
Q(x) 4ax3 4b 5a x2 4c 5b x 5c
A(x)
dividir A(x) entre (x-3n), sabiendo que:
Los cuales verifican:
P(x) Q(x) MCD P Q Calcule: "a b c " A) 27 D) 125
B) 16 E) 9
2
M(x) x4 nx3 7n2 x2 n3x 6n4 N(x) x3 4nx2 n2 x 6n3
C) 64
RESOLUCIÓN
2
4c 4b x 4c.............................(1) Por otro lado polinomios
factorizando
3
Factorizando Q x :
Q(x) 4x 5 ax2 bx c
Por lo tanto: MCD (M,N)= (x-n) (x+2n) MCD (M,N)= x2 nx 2n2
c -1
Se pide el resto de la división:
x2 nx 2n2 R(x) 10n2 x 3n RPTA.: D
Por lo tanto: MCD= ax2 bx c Desarrollamos
8.
2ac b x
MCD ax2 bx c 2
MCD
2
a2 x4 2abx3
2
2
2bcx c ...............................(2) Comparando coeficientes de 1 y +2 a=1; b=4; c=4 a+b+c=9
RPTA.: E
Si
la
fracción
4x2 2x 3 se 2x2 x 1
transforma en otra equivalente
2
2
E) 12n2
N(x) x n x 2n x 3n
2
bx ax2 2 ox x 2 P(x) ax bx c x2 1
D) 10 n2
C) 6n2
M(x) x n x 3n x 2n x n
los
P(x) ax bx a c x bx c 4
B) 6n2
Como D(x) es MCM entonces A (x) representa MCD (M.N). Factorizando los polinomios obtenemos.
ax b 4a x 4b 4a c x 3
A) 0
RESOLUCIÓN
Sumando P(x) Q x se obtiene: 4
M(x).N(x) Halle el resto de D(x)
A
B C donde A,B,C son x 1 2x 1
constantes
reales.
Calcule:
A 3 B C A) -1
B) 1
1 D) 3
5 E) 3
C) 3
Desarrollando comparando obtiene: A=1; B= -2;
RESOLUCIÓN Dividendo: 4x2 2x 3 5 2 2 2 2x x 1 2x x 1
5 2x 1 x 1
2
Descomponiendo parciales
RPTA.: D
por
fracciones
10.
Halle: A + B + C
5 10 ; c 3 3 A 2 5 10 3 B C 3 3 3 1 RPTA.: A
A= 2 ; B=
A) 1 D) 8
RPTA.: C
x 1
2
A) 2 D) -1
11.
B) -5 E) 0
Descomponiendo parciales:
C) 1
4x3 x2 3x 2 x x 1
2
x2 x 1
2
Halle el grado del MCM de los polinomios P y Q. Donde:
fracciones
P(x) x3 5x2 2x 8 Q(x) 2x2 mx 4 ;
A B C D 2 x x x 1 x 12
Ax x 1 B(x 1) Cx x 1 Dx 2
en
Si la fracción se descompone en fracciones parciales de la forma:
x2 1 A Bx C 2 3 2 x 3x 3x 2 x 2 x x 1
RESOLUCIÓN
4x3 x2 3x 2
Comparando coeficientes se tiene A=2 A B 5 B=3 A 2B C 9 C=1 A 2C 4 A+B+C=6
Halle: A+B+C+D
2
C) 6
5x 9x 4 A x2 x 1 Bx C x 2
4x3 x2 3x 2 x
B) 5 E) -5
RESOLUCIÓN
2
Sabiendo que A,B,C y D son los numeradores de las fracciones parciales en que puede ser descompuesta la siguiente fracción: 2
Sabiendo que la fracción se transforma en otra equivalente.
5x2 9x 4 A Bx C 2 3 2 x 3x 3x 2 x 2 x x 1
Por tanto:
9.
C=3; D=-4
Por lo tanto: A+B+C+D= -2
5 10 3 2 3 x 1 2x 1
y luego coeficientes se
2
2
x2 x 1
m 9(A B C)
2
A) 4 D) 3
B) 2 E) 5
C) 3
2
RESOLUCIÓN Desarrollando fracciones parciales
x2 1 A B x2 A 2B C x A 2C A B 1 , A+ 2B + C = 0, A + 2C = 1
2 B , 3 2 A + B + C = 3 A
5 , 3
C
Si x=-1A=
3 2
Si x=-5C=
5 2
A+B+C=1=m
Entonces:
1 3
P(x) x3 6x2 11x 6 Q(x) x3 2x2 x 2
Por lo tanto: m= 6
Factorizando se tiene
Factorizando P (x) y Q(x)
Q(x) x 1 x 2 x 1
P(x) x 3 x 1 x 2
P(x) x 1 x 2 x 4 Q(x) 2 x 1 x 2
MCM P,Q = x 1 x 2 x 3 x 1 Grado =4
MCM = 2 x 1 x 4 x 2 x 2
RPTA.: B
Grado =3
RPTA.: A 12.
Al descomponer la expresión en fracciones parciales se tiene los numeradores A, B y C:
x2 5 x3 8x2 17x 10
13.
Si: a,b,c, son números diferentes y:
P(x) x x x xd (x a) (x b)(x c) x a x b x c Calcule:
a2 b2 c2 p(a) p(b) p(c)
Luego se dan los polinomios:
P(x) x3 m 5 x2 11x 6 Q(x) x3 m 1 x2 x m 3
P(x) x x a x b x b x c x ax c +x-d C) 5
RESOLUCIÓN Descomponiendo parciales se tiene:
fracciones
x2 5 A B C x 1 x 2 x 5 x 1 x 2 x 5 x2 5 A x 2 x 5 B(x 1) x 5 C x 1 x 2 Si x= -2B=-3
C) 0
Desarrollando se tiene:
Halle el grado del MCM B) 4 E) 3
B) -1 E) 2
RESOLUCIÓN
siendo : m= A + B + C
A) 2 D) 6
A) -2 D) 1
Evaluando:
p(a) a(a b)(a c) p(b) b(b a)(b c) p(c) c(c a)(c b) reemplazando en M:
a2 b2 c2 M a a b a c b b ab c c(c a)(c b) M=0
RPTA.: C
14.
Indicar la respuesta luego de simplificar:
correcta,
1 1 a2 1 b2 c2 a2 1 1 b2 1 c2 a2 b2
1x 1 3x 1 1x 1 3 1 3x E 1x 1 1 3x 13 1 x 1 3 1 3x 1
A) 1 D) 3x
B) x E) -1
Entonces reemplazando en la expresión: c2 1 a2 1 b2 1 1 1 1 2 2 2 c a b 2c2 1 2a2 1 2b2 1
C) 2x
RESOLUCIÓN Desarrollando tiene:
el
numerador
se
16.
Si se verifica que: 2 a b 2ab a b a 1 b 1
ab a 2 ba b 2 b 1 a1
E
y el denominador :
8 2 6x
A) 1 D) 4
reemplazando y simplificando
E
2
2
2
ab
Simplificar:
1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 a b b 2c c 2a 2c2 1 2a 1 2b 1
D)
E
a b c 2 2
De la condición se tiene:
1 1 c2 1 a2 b2 c2
b a 1 2
2a 2b a1 b 1
2
2a 2b 2 2 a1 b 1 b 1 a1
E=4
RPTA.: D
E) abc
RESOLUCIÓN
Entonces reemplazando en E
B) 1 2
a b 1 2
de la ecuación se tiene:
Si: ab bc ac abc
C) a2 b2 c2
C) 3
b 1 a1 2 2 E a b b 1 a1
RPTA.: B
A) 0
B) 2 E) 5
RESOLUCIÓN
8x 2 6x E x 8 2 6x
2
RPTA.: B
Simplificar:
8x 2 6x
15.
1 1 1 2 2 1 2 c a b
17.
Simplificar la siguiente expresión y halle:
a c
a a c a3 c3 c 1 c . . 1 2 2 2 2 c a ac c a b bc a c 2 c 1 c a bc A) 1 D) -2
B) 2 E) 3
C) -1
RESOLUCIÓN
a a c a c a2 ac c2 . 2 2 a ac c b a c a c c c2 a bc a a c c2 a c . b a c a c c 2 c c2 a bc
abc c2 a c
cb a c c c a
2
Desarrollando:
c 1 . 1 1 a c c 2 19.
2
p2x2 2m2xy m2y2 toma un valor constante k. k 0 , para todo valor de x,y; xy 0 , Halle:
a2 b2 p2 m2 en términos de a2 b2 p2 m2 k.
2
a 2 ac a 2 c
A)
B)
C) k+1
RESOLUCIÓN
x 1 x 1 2 2 1 1 1 x 1 x 2 x 1 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1
ax by
2
k p2x2 2m2xy m2y2
a x 2abxy b y k p x 2m xy m y 2 2
2 2
2 2
2
2 2
Comparando coeficientes:
a2 kp2 ; b2 km2; ab km2 Entonces reemplazando en:
a2 b2 p2 m2 kp2 km2 p2 m2 a2 b2 p2 m2 kp2 km2 p2 m2
Se obtiene: A) 1
B) x2 x 1
C) x2 x 1
D) x4 x2 1
RESOLUCIÓN
k2 1 k2 1 E) k2 1
k 1 k 1
D) k-1
Al reducir la expresión:
E) x4 x2 1
Sabiendo que la fracción:
ax by
RPTA.: D 18.
2x2 x 1 x 1 x 1 x 1 x4 1 x 1 x 1 x2 x2 x2 x2 2x2 2 2 4 x 1 x 1 x 1 2x2 2x2 1 4 4 x 1 x 1 RPTA.: A
m2 p2 k 1 a2 b2 p2 m2 a2 b2 p2 m2 m2 p2 k 1
a2 b2 p2 m2 k 1 a2 b2 p2 m2 k 1 RPTA.: A 20.
Simplificar:
ax ax 1 ax 2 ax 3 1
1 ax 1 2ax 1 3ax a4x4 a x a 2x a E) x
ax 1 ax 2
A)
B)
D) 1
C)
xa x 2a
RESOLUCIÓN Haciendo: ax=m
m m 1 m 2 m 3 1
1 m 1 2m 1 3m m4 Agrupando:
m
2
2m
2
3m m2 3 2 1
3m 1 3m 1 m4
Factorizando:
m m
2 2
3m 1 3m 1
2 2
1 RPTA.: D