Semana 6 cs(algebra)

2.

SEMANA 6

Indicar el grado del M.C.M. de los polinomios P(x) y Q(x) , donde:

MCD – MCM - FRACCIONES 1.

Halle el MCD de los polinomios P(x) y Q(x).

P(x)  x7  8x6  17x5  9x4  9x3  17x2  8x  1 Q(x)  x5  5x4  x3  x2  5x  1

P(x)= 12x5  8x4  45x3  45x2  8x  12 Q(x)= 2x4  5x3  8x2  17x  6 A) x+1 C) (x-2)(2x-1) E) (2x+3)(2x-1)

A) 3 D) 6

B) (x+1)(x-2) D) 3x+2

Factorizando P (x); el polinomio es recíproco.

Factorizando P(x)

1

-1

8 -45 -12

12

4

-4 -41

-45

8

41 -4

12

-1

4 -12 12

1

17

9

-1

-7

-10

7

10

-1

9

17

8

1

1 -10

-7

-1 0

10

7

1

el polinomio cociente es reciproco también, pero de grado par:

c(x)  12x4  4x3  41x2  4x  12    1  1  c (x)  x2 12  x2  2   4  x    41 x x      1 1 x   p  x2  2  p2  2 x x 2 2 c(x)  x 12p  4p  65

c(x)  6p  13 2p  5



c(x)  6x2  13x  6 2x2  5x  2



8

0

Luego el cociente c(x)



C) 5

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN 12

B) 4 E) 7

P(x)   x  13x  22x  32x  1 x  2 Factorizando Q:

Q(x)  2x4  5x3  8x2  17x  6 Q(x)   x  1 x  2 x  32x  1

 1 1 1    c (x)  x3  x3  3   7  x2  2   10  x   1  x  x  x     Haciendo:

1 1  m  x2  2  m2  2 x x 1 x3  3  m3  3m x x



 P (x)   x  1  x2  3x  1 x2  5x  1 x2  x  1 Factorizando Q(x) similarmente:







Q  x    x  1 x2  5x  1 x2  x  1 Por tanto:









MCM   x  1 x2  5x  1 x2  x  1 x2  3x  1

Por tanto:

MCD(P,Q)   x  1  x  2 RPTA.: B

Gº = 1 + 2 + 2 + 2 = 7

RPTA.: E

3.

Halle el M.C.D. de:

RESOLUCIÓN

A  x   4x4  4ax3  36a2 x2  44a3 x  16a4

Usando el método de Horner:

B  x   6x4  6ax3  18a2 x2  30a3 x  12a4 A) 2  x  a

B) x-a

C)  x  a

D) 2  x  a

2

2

1 2 1 -2

-1

3

2

-4 1

3

Factorizando A por el aspa doble especial:



A  x   4 x4  ax3  9a2 x2  11a3 x  4a4

1

0 m-2=0  m  2

1 1

1

0

1

-2

x2 x2

1 -2



4a2

 3ax  2 ax

n

2 2

1

a2

-2

2

E) x  a²

RESOLUCIÓN

m

-4

n=4

0 n-4=0

Conclusión: m+n=6

Por tanto:

RPTA.: C

A(x)  4  x  4a  x  a

3

Similarmente B  x   6 x4  ax3  2a3x2  5a3x  2a4



x2 x2

5.



2a2 a2

ax

2 ax

Halle el MCD de los polinomios:

P(x)  Xmn  xm  xn  1 Q(x)  m  n xmn1  mxm1  nxm1 Sabiendo que m;n;

B  x   6  x  2a  x  a

m  n



3

Por consiguiente el MCD= 2  x  a

3

RPTA.: D

A) xk  1

B) xm  1

C) xn  1

D) xk 1  1 E) xk 1  1

RESOLUCIÓN 4.

Sabiendo que el M.C.D. de los polinomios:

A  x   2x  x  3x  m 3

2

x





Q(x)  nk  n xnk  n 1  nk xnk 1  n xnk 1



B) 5 E) 0



Similarmente:

 x  2 . Halle “m+n”

A) 4 D) 7

P(x)  xnk n  xnk  xn  1

P(x)  xn  1 xnk  1

B  x   x3  x2  n , es: 2

Consideremos: m=nk Entonces:





Q(x)  nk  n xnk 1 xn  1 C) 6

Por lo tanto: M.C.D P(x),Q(x)  xn  1

RPTA.: C

6.

Sean los polinomios:

7.

P(x)  ax4  bx3   a  c  x2  bx  c

Sea D(x) el Mínimo común múltiplo de los polinomios M(x) y N(x) si:

Q(x)  4ax3  4b  5a x2  4c  5b  x  5c

A(x) 

dividir A(x) entre (x-3n), sabiendo que:

Los cuales verifican:

P(x)  Q(x)  MCD P  Q Calcule: "a  b  c " A) 27 D) 125

B) 16 E) 9

2

M(x)  x4  nx3  7n2 x2  n3x  6n4 N(x)  x3  4nx2  n2 x  6n3

C) 64

RESOLUCIÓN

2

  4c  4b  x  4c.............................(1) Por otro lado polinomios

factorizando

3







Factorizando Q  x  :



Q(x)  4x  5 ax2  bx  c

Por lo tanto: MCD (M,N)= (x-n) (x+2n) MCD (M,N)= x2  nx  2n2

c -1

Se pide el resto de la división:

x2  nx  2n2  R(x)  10n2 x  3n RPTA.: D



Por lo tanto: MCD= ax2  bx  c Desarrollamos



8.

  2ac  b  x

MCD  ax2  bx  c 2

MCD

2

 a2 x4  2abx3

2

2

2bcx  c ...............................(2) Comparando coeficientes de 1 y +2 a=1; b=4; c=4 a+b+c=9

RPTA.: E

Si

la

fracción

4x2  2x  3 se 2x2  x  1

transforma en otra equivalente

2

2



E) 12n2

N(x)   x  n  x  2n  x  3n

2

bx ax2 2 ox x 2 P(x)  ax  bx  c x2  1

D) 10 n2

C) 6n2

M(x)   x  n  x  3n  x  2n  x  n

los

P(x)  ax  bx   a  c  x  bx  c 4

B) 6n2

Como D(x) es MCM entonces A (x) representa MCD (M.N).

Factorizando los polinomios obtenemos.

ax  b  4a x   4b  4a  c  x  3

A) 0

RESOLUCIÓN

Sumando P(x)  Q  x  se obtiene: 4

M(x).N(x) Halle el resto de D(x)

A 

B C  donde A,B,C son x  1 2x  1

constantes

reales.

Calcule:

A   3  B  C   A) -1

B) 1

1 D) 3

5 E) 3

C) 3

Desarrollando comparando obtiene: A=1; B= -2;

RESOLUCIÓN Dividendo: 4x2  2x  3 5 2 2 2 2x  x  1 2x  x  1

5 2x  1  x  1

 2

Descomponiendo parciales

RPTA.: D

por

fracciones

10.

Halle: A + B + C

5 10 ; c 3 3 A  2 5 10  3  B  C   3  3  3  1   RPTA.: A

A= 2 ; B=

A) 1 D) 8

RPTA.: C

 x  1

2

A) 2 D) -1

11.

B) -5 E) 0

Descomponiendo parciales:

C) 1

4x3  x2  3x  2 x  x  1

2

x2  x  1

2



Halle el grado del MCM de los polinomios P y Q. Donde:

fracciones

P(x)  x3  5x2  2x  8 Q(x)  2x2  mx  4 ;

A B C D  2   x x x  1  x  12

Ax  x  1  B(x  1)  Cx  x  1  Dx 2



en

Si la fracción se descompone en fracciones parciales de la forma:

x2  1 A Bx  C   2 3 2 x  3x  3x  2 x  2 x  x  1

RESOLUCIÓN

4x3  x2  3x  2



Comparando coeficientes se tiene A=2 A B 5 B=3 A  2B  C  9 C=1 A  2C  4  A+B+C=6

Halle: A+B+C+D

2



C) 6

5x  9x  4  A x2  x  1  Bx  C   x  2

4x3  x2  3x  2 x

B) 5 E) -5

RESOLUCIÓN

2

Sabiendo que A,B,C y D son los numeradores de las fracciones parciales en que puede ser descompuesta la siguiente fracción: 2

Sabiendo que la fracción se transforma en otra equivalente.

5x2  9x  4 A Bx  C   2 3 2 x  3x  3x  2 x  2 x  x  1

Por tanto:

9.

C=3; D=-4

Por lo tanto: A+B+C+D= -2

5 10 3 2  3 x  1   2x  1



y luego coeficientes se

2

2

x2  x  1

m  9(A  B  C)

2

A) 4 D) 3

B) 2 E) 5

C) 3

2

RESOLUCIÓN Desarrollando fracciones parciales

x2  1   A  B x2   A  2B  C  x  A  2C A  B  1 , A+ 2B + C = 0, A + 2C = 1

2 B , 3 2 A + B + C = 3 A



5 , 3

C

Si x=-1A=

3 2

Si x=-5C=

5 2

A+B+C=1=m

Entonces:

1 3

P(x)  x3  6x2  11x  6 Q(x)  x3  2x2  x  2

Por lo tanto: m= 6

Factorizando se tiene

Factorizando P (x) y Q(x)

Q(x)   x  1  x  2  x  1

P(x)   x  3  x  1  x  2

P(x)   x  1  x  2  x  4 Q(x)  2  x  1  x  2



MCM P,Q  =  x  1 x  2 x  3 x  1 Grado =4

MCM = 2  x  1  x  4  x  2  x  2

RPTA.: B

Grado =3

RPTA.: A 12.

Al descomponer la expresión en fracciones parciales se tiene los numeradores A, B y C:

x2  5 x3  8x2  17x  10

13.

Si: a,b,c, son números diferentes y:

P(x) x x x     xd (x  a) (x  b)(x  c) x  a x  b x  c Calcule:

a2 b2 c2   p(a) p(b) p(c)

Luego se dan los polinomios:

P(x)  x3  m  5 x2  11x  6 Q(x)  x3  m  1 x2  x  m  3

P(x)  x  x  a x  b   x  b x  c    x  ax  c  +x-d C) 5

RESOLUCIÓN Descomponiendo parciales se tiene:

fracciones

x2  5 A B C     x  1 x  2 x  5 x  1 x  2 x  5 x2  5  A  x  2 x  5  B(x  1)  x  5  C  x  1 x  2 Si x= -2B=-3

C) 0

Desarrollando se tiene:

Halle el grado del MCM B) 4 E) 3

B) -1 E) 2

RESOLUCIÓN

siendo : m= A + B + C

A) 2 D) 6

A) -2 D) 1

Evaluando:

p(a)  a(a  b)(a  c) p(b)  b(b  a)(b  c) p(c)  c(c  a)(c  b) reemplazando en M:

a2 b2 c2 M   a  a  b  a  c  b b  ab  c  c(c  a)(c  b) M=0

RPTA.: C

14.

Indicar la respuesta luego de simplificar:

correcta,

1 1 a2  1   b2 c2 a2 1 1 b2  1   c2 a2 b2

1x 1  3x 1  1x  1  3   1  3x  E  1x   1  1  3x   13   1  x  1  3  1  3x      1

A) 1 D) 3x

B) x E) -1

Entonces reemplazando en la expresión: c2  1 a2  1 b2  1 1 1 1 2 2 2 c a b   2c2  1 2a2  1 2b2  1

C) 2x



RESOLUCIÓN Desarrollando tiene:

el

numerador

se

16.

Si se verifica que: 2  a  b  2ab   a  b  a  1 b  1

ab  a  2 ba  b  2  b 1 a1

E

y el denominador :

8 2  6x

A) 1 D) 4

reemplazando y simplificando

E

2

2

2

ab 

Simplificar:

1 1 1 1 1 1  2 1  2 1  2 1 2 2 2 a b  b 2c  c 2a 2c2  1 2a  1 2b  1

D)

E

a b c 2 2

De la condición se tiene:

1 1 c2  1   a2 b2 c2

b  a  1  2

2a 2b  a1 b 1

2

2a 2b 2 2    a1 b 1 b 1 a1

E=4

RPTA.: D

E) abc

RESOLUCIÓN



Entonces reemplazando en E

B) 1 2

a b  1  2

de la ecuación se tiene:

Si:  ab   bc    ac    abc 

C) a2  b2  c2

C) 3

b 1 a1 2 2 E  a b b 1 a1

RPTA.: B

A) 0

B) 2 E) 5

RESOLUCIÓN

8x 2  6x E x 8 2  6x

2

RPTA.: B

Simplificar:

8x 2  6x

15.

1 1 1  2  2 1 2 c a b

17.

Simplificar la siguiente expresión y halle:

a c

 a  a  c    a3  c3   c 1 c . . 1   2 2  2 2  c   a  ac  c   a b  bc   a  c 2 c 1  c   a bc A) 1 D) -2

B) 2 E) 3

C) -1

RESOLUCIÓN



 a  a  c     a  c  a2  ac  c2  . 2 2  a  ac  c   b  a  c   a  c    c  c2  a bc a  a  c  c2  a  c . b a  c  a  c c 2 c  c2  a bc



abc c2  a  c







cb  a  c  c  c  a



2

Desarrollando:

  

c 1  . 1  1   a  c c    2 19.

2

p2x2  2m2xy  m2y2 toma un valor constante k. k  0 , para todo valor de x,y; xy  0 , Halle:

a2  b2  p2  m2 en términos de a2  b2  p2  m2 k.

2

a 2 ac a  2 c

A)

B)

C) k+1

RESOLUCIÓN

      x 1 x 1   2    2 1 1 1 x 1 x  2 x 1 1 1  x   x 1 x 1  x 1 x 1

ax  by 

2



 k p2x2  2m2xy  m2y2





a x  2abxy  b y  k p x  2m xy  m y 2 2

2 2

2 2

2

2 2

Comparando coeficientes:

a2  kp2 ; b2  km2; ab  km2 Entonces reemplazando en:

a2  b2  p2  m2 kp2  km2  p2  m2  a2  b2  p2  m2 kp2  km2  p2  m2

Se obtiene: A) 1

B) x2  x  1

C) x2  x  1

D) x4  x2  1

RESOLUCIÓN

k2  1 k2  1 E) k2  1

k 1 k 1

D) k-1

Al reducir la expresión:

E) x4  x2  1

Sabiendo que la fracción:

 ax  by 

RPTA.: D 18.

    2x2 x 1 x 1    x  1 x  1  x4  1    x 1 x 1   x2 x2   x2 x2  2x2  2  2  4  x  1 x  1 x  1  2x2  2x2  1  4  4  x  1 x  1 RPTA.: A



 

 

m2  p2 k  1 a2  b2  p2  m2  a2  b2  p2  m2 m2  p2 k  1

a2  b2  p2  m2 k  1  a2  b2  p2  m2 k  1 RPTA.: A 20.

Simplificar:

ax  ax  1  ax  2  ax  3  1

1  ax  1  2ax  1  3ax   a4x4 a x a  2x a E) x

ax  1 ax  2

A)

B)

D) 1

C)

xa x  2a

RESOLUCIÓN Haciendo: ax=m

m m  1 m  2 m  3  1

1  m 1  2m 1  3m  m4 Agrupando:

m

2

2m

2





 3m m2  3  2  1



 3m  1 3m  1  m4

Factorizando:

m m

2 2

  3m  1  3m  1

2 2

1 RPTA.: D