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JEFFERSON CEVADA | DANIEL ROMÃO DA SILVA

7 MATEMÁTICA

NOS DIAS DE HOJE

7o

MATEMÁTICA

ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS

MATEMÁTICA

NOS DIAS DE HOJE

7o MATEMÁTICA

MANUAL DO PROFESSOR

Jefferson Cevada

Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT). Foi professor e coordenador da rede pública de São Paulo. Editor e elaborador de conteúdos didáticos.

Daniel Romão da Silva

Doutor e Mestre em Educação pela Universidade de São Paulo (USP). Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). Foi coordenador e professor da rede pública e particular de São Paulo. Autor de materiais didáticos.

Matemática nos dias de hoje

© 2022 Editora Sei

Direção editorial

Sandro Aloísio

Produção gráfica

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Equipe M10 Editorial

Coordenação pedagógica

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Coordenação editorial

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Edição

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Conceição Longo

Rui de Melo Neves Neto

Preparação e revisão de textos

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Caroline Ponzi

Thais Sanchez

Marina Bueno

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Coordenação de editoração eletrônica

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Editoração eletrônica

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Iconografia

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Imagens gerais, de projeto gráfico e ilustrações técnicas

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Impressão e acabamento

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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

ISBN 978‑85‑54226‑79‑4 (Aluno)

ISBN 978‑85‑54226‑80‑0 (Professor)

Todos os direitos reservados:

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INTRODUÇÃO

Ensinar e aprender dizem respeito às experiências diversas ao longo da trajetória de uma pessoa, uma comunidade, um povo. É na trajetó ria que se manifestam as diversas experiências enriquecedoras para o ensino e a aprendizagem. Sendo ela um elemento fundamental do processo de transformação, quais seriam, então, seus significados?

Como parte de sua essência, destacamos: trajeto, ou seja, um curso a ser percorrido entre uma paisagem material ou imaterial de determi nado espaço; sequência de acontecimentos, como um tecido temporal entrelaçado de fatos diversos, sejam concretos ou não; esboço de um caminho – a órbita desenhada por algo em movimento. Juntos, esses sentidos se complementam, se mesclam e favorecem a construção de uma metáfora para a relação complexa que é ensinar e aprender Aqueles que se colocaram a caminho perceberam o quanto de es tratégias conhecidas e de originalidade para o imprevisível se fizeram necessários. Assim é como se sente um professor, com os materiais que tem em mãos, diante de sua sala de aula, sujeito à diversidade de tempo de aprendizagem de seus alunos. Conhecer esses elementos e ter aptidão para os imprevistos favorecem a construção de estratégias necessárias à sua própria trajetória. Convide seus pares a compartilhar impressões, reflexões, pontos de vista e possibilidades de adaptações tanto no livro do estudante quanto nas propostas do manual do professor, entre outras ações, todas em favor de ressignificações para o melhor uso do material em suas mãos. Esperamos que esses materiais se tornem um aliado para envolver os alunos em aprendizagens significativas.

# SUMÁRIO

EM FOCO: O LIVRO DO ESTUDANTE, VI

EM FOCO: O MANUAL DO PROFESSOR , VIII

PRONTOS PARA COMEÇAR!, X

TRAJETÓRIA 1 – NORTEADORES: PARA TODOS OS VOLUMES , XIV

1. Visão geral da nossa proposta, XV

Como aproveitar ao máximo os recursos apresentados nesta coleção?, XV

• Check‑in, XV

• Salas de aula e realidades diferentes, XVI

• Estrutura da coleção e a prática docente, XVI

Avaliação: informada × assistida, XVI

• As fases da trajetória de aprendizagens, XVII

• A aprendizagem autorregulada, XVIII

• Ciclos de aprendizagens e ciclos avaliativos, XX

Avaliação diagnóstica, XX

Avaliação de processo ou formativa, XX

Avaliação de resultado, XX

• Avaliação a serviço da aprendizagem, XX

1. Para efeitos de avaliação diagnóstica, usos possíveis, XX

2. Para efeitos de avaliação em processo, usos possíveis, XXII

3. Para efeitos de avaliação de resultados, usos possíveis, XXIV

• Autoavaliação e autoconhecimento como aprendiz, XXVI

Como ajustar a prática docente para melhorar o processo de ensino-aprendizagem?, XXVII

• Check‑in, XXVII

• Identidade do professor, ambientes de aprendizagem e ava liação, XXVIII

• Cenários de proposição, XXVIII

• Avaliação formativa, XXX

Avaliação na prática pedagógica, XXX

Verbos da ação avaliativa, XXXI

Aprendizagem assistida por avaliação, XXXI

3. Articulações entre os materiais, XXXII

Articulações entre objetivos, justificativas desses objetivos, competências e habilidades, XLII

• Trajetória 1 do LE, XLII

• Trajetória 2 do LE, XLV

• Trajetória 3 do LE, XLVIII

• Trajetória 4 do LE, LI

Subsídios para trabalhar a interdisciplinaridade, LIII

Como estabelecer vínculos entre os materiais voltados para o estudante e os que são voltados para o professor?, XXXII

• Check‑in, XXXII

• Vínculo entre a estrutura da obra e as ações docentes vol tadas para a avaliação, XXXIII

• Letramento matemático, XXXIII

A BNCC e o letramento matemático, XXXV

Os processo matemáticos, XXXVI

• Flexibilização curricular da coleção, XXXVIII

Aspectos envolvidos na avaliação, nos problemas e nos exer cícios, XXXVIII

Aspectos envolvidos nas perguntas norteadoras, nos TCTs e na interdisciplinaridade, XXXVIII

• Mapa dos Temas Contemporâneos Transversais na BNCC, XXXIX

• Trajetória 1 do LE, LIII

• Trajetória 2 do LE, LIV

• Trajetória 3 do LE, LV

• Trajetória 4 do LE, LVI

Justificativa e pertinência dos objetivos e propostas de avaliação, LVII

• Trajetória 1 do LE, LVII

• Trajetória 2 do LE, LVIII

• Trajetória 3 do LE, LIX

• Trajetória 4 do LE, LX

BIBLIOGRAFIA, XL

TRAJETÓRIA 2 – ESSENCIAIS: PARA ESTE

VOLUME, XLI

Sugestão de cronograma, LXI

HABILIDADES DE MATEMÁTICA E DE OUTRAS DISCIPLINAS, LXII

• Quadros de habilidades do 7º ano – Matemática, LXII

• Quadros de habilidades do 7º ano – outras disciplinas, LXIV

• Check‑in, XLI

LIGHTSPRING/SHUTTERSTOCK

GOODLUZ/SHUTTERSTOCK

O livro do estudante tem uma estrutura gráfico‑editorial com intencionalidade didática voltada para o processo de mediação da aprendizagem.

ESTRUTURA DA OBRA: MEDIAÇÃO DA APRENDIZAGEM

ALEXANDRE R. / M10

PRÉ-MEDIAÇÃO

Seções especiais para declarar as intenções e os objetivos de aprendizagem, fazer diagnósticos e levantar conhecimentos prévios, ler mapas norteadores, instigar e convidar o aluno a percorrer um novo passeio e se envolver com o conhecimento que está por vir.

PASSEIO 1 NÚMEROS NATURAIS COMO INTERPRETAMOS O MUNDO À NOSSA VOLTA E NOS EXPRESSAMOS POR MEIO DOS NÚMEROS?

de ver as formas no mundo Você gosta de observar a forma dos objetos em lugares diversos?

mil quilômetros quadrados de sua extensão. Texto elaborado com finalidade didática. Informações obtidas em: www.wwf.org.br e https://educacao.uol.com.br. Escreva com algarismos os números destacados no texto, em ordem crescente, utilizando o símbolo de menor (<). 220 < 2 000 2 018 4 617 < 12 028 < 23 102 < 30 000 < 152 706 2. Represente estes números em uma reta numérica: 0 4 0 3 2 2 25 3. Observe as figuras (considere o círculo como o inteiro): Escreva a fração que corresponde às partes pintadas em relação ao todo em cada figura e, em seguida, represente essas frações em uma reta numérica. para doação. Considerando essa

4 4 5. Foi desenhado um plano cartesiano sobre o mapa de certa cidade: 12 11 9

Formas geométricas no design de ambientes. Sabe dar nome, perceber características ou pensar em relações entre algumas figuras geométricas? Veja o que o olhar de Armandinho descobriu:

ALEXANDRE BECK/

pessoa correspond) Se 25% dos livros são de poesia, então há ■ livros de poesia na caixa. 25

Qual das alternativas a correta em cada item? a) O ponto de coordenadas (1, 3) representa um local do mapa: com água área verde b) Um ponto situado em uma área verde do mapa é: 6 0 0 9

Diversidade, quantidade qualidade no mundo ao nosso redor. Ao olhar o mundo ao redor, percebemos uma grande diversidade de objetos, pessoas e seres vivos. Além de serem diversos, também existem em grandes quantidades. Há situações em que nos interessa contar com exatidão essas quantidades e, em outras, gostaríamos somente de ter uma ideia aproximada, ou seja, estimar essas quantidades.

CHECK-IN Observe a imagem e responda: Respostas pessoais. a) Quantas pedras, aproximadamente, existem na imagem? b) Em grupos, elaborem uma estratégia para estimar a quantidade de pedras. Em seguida, compartilhem com a turma. c) É possível organizar as pedras da imagem por cores? Que cores você identifica? Conte ou estime a quantidade de cada uma delas. Compartilhe sua resposta com os colegas.

A Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: Ler, escrever, comparar e ordenar números naturais. Reconhecer o Sistema de Numeração Decimal que prevaleceu no mundo ocidental. Identificar as principais características do Sistema de Numeração Decimal, como valor posicional e função do zero. Compor e decompor números naturais. Localizar números naturais na reta numérica. Fazer estimativas de quantidades. Reconhecer diversos sistemas de numeração de distintos povos e épocas.

ARMANDINHO, VI | MANUAL DO PROFESSOR

quadrilátero.

EM FOCO: O MANUAL DO PROFESSOR

O manual do professor é um livro de múltiplas funcionalidades que impactam diretamente o professor, indiretamente o aluno e, de modo circundante, a comunidade escolar.

O manual do professor tem o caráter de inspirar o professor para a reflexão, a compreensão e a transformação, levando‑o a refletir sobre si mesmo, os conhecimentos, os estudantes e os recursos materiais.

ESTRUTURA DA OBRA × INSPIRAÇÃO PARA O ENSINO

Livro do professor: páginas com teor pedagógico abrangente que antecedem o livro do estudante anotado.

Livro do estudante anotado: livro do estudante em formato reduzido com respostas, orientações e resoluções nas bordas.

Há conteúdos no manual do professor indicados para o trabalho inicial do ano letivo e outros para os trabalhos no decurso do ano letivo.

Trabalhos iniciais do ano letivo

A seção Prontos para começar! – no manual do professor – traz, a cada volume, um diálogo sobre a prática docente e que incentiva a reflexão do professor antes ou durante os primeiros dias do ano letivo. São temas que têm por objetivo favorecer o pla nejamento das unidades didáticas e das aulas, considerando as necessidades reais do contexto local.

#PRONTOSPARACOMEÇAR! 1. O texto a seguir pode ser discutido no momento de trabalho coletivo dos professores. Comece pelo fim Avance do planejamento da unidade para planejamento da aula. Defina objetivo, decida como irá avaliá-lo depois escolha atividades apropriadas para a aula. Quando comecei a lecionar, eu me perguntava enquanto planejava: “O que vou fazer amanhã?”. A pergunta por si só já revelava falhas no meu método de planejamento em pelo menos dois aspectos essenciais – sem contar as minhas respostas algumas vezes dúbias. A primeira falha era que eu estava pensando em uma atividade para as minhas aulas no dia seguinte, e não em um objetivo – que queria que meus alunos soubessem ou fossem capazes de fazer quando a aula tivesse terminado. É muito melhor fazer o contrário e Começar pelo fim – o objetivo. Ao estruturar primeiro um objetivo, você substitui a pergunta: “De que atividades os meus alunos vão participar hoje?” por “O que meus alunos serão capazes de fazer quando minha aula tiver terminado?”. A segunda dessas perguntas é mensurável de uma forma significativa. A primeira não é. O sucesso de uma atividade não determinado pelo fato de você realizá-la ou não os alunos parecerem ter vontade de participar, mas sim se você atingiu um objetivo que possa ser avaliado. Em vez de pensar sobre uma atividade – talvez: “Vamos ler O sol para todos –, estruturar seu objetivo força você se perguntar o que seus alunos vão ganhar com leitura do livro. Eles vão entender e descrever natureza da coragem conforme demonstrado em O sol é para todos? Eles vão entender por que a injustiça algumas vezes prevalece, como mostra o livro O sol para todos O sol é para todos para descrever como autor constrói personagens importantes por meio de suas palavras ações. Em suma, há muitas coisas valiosas que você pode fazer em aula e muitas maneiras de abordar cada uma delas. Sua primeira tarefa escolher lógica mais produtiva: por que você está ensinando esse conteúdo? Qual o resultado que você espera? Como esse resultado se relaciona com o que você vai ensinar amanhã com o que seus alunos precisam para estarem preparados para os anos subsequentes? A segunda falha que minha pergunta revelava tinha ver com o fato de que eu geralmente formulava na noite anterior aula. Além de ser um sinal óbvio de procrastinação, também demonstra que eu estava planejando minhas aulas de forma isolada. Cada aula estava talvez vagamente relacionada com a anterior, porém, não refletia uma progressão intencional no seu propósito. Das duas falhas, esta era na verdade mais censurável. Eu poderia solucionar problema da procrastinação planejando todas as minhas aulas na sexta-feira anterior, por exemplo. Mas até que começasse pensar nas minhas aulas como partes de uma unidade maior, desenvolvendo as ideias com intencionalidade lentamente em direção ao domínio de conceitos maiores, eu estava certo de que estava andando deriva. Na verdade, estaria em melhor situação se planejasse com antecedência todos os meus objetivos (apenas eles) para trimestre e, depois, deixasse o planejamento de cada aula para última hora, do que se tivesse planejado devidamente na semana anterior todo um lote de aulas, porém centradas apenas em atividades. LEMOV, Doug. 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2017.

Trabalhos no decurso do ano letivo

2. avaliação de chegada dos alunos ao novo ano letivo uma etapa fundamental para nortear as práticas subsequentes. avaliação de chegada ajuda a identificar os conhecimentos que os alunos trazem consigo quais são as melhores estratégias para os diferentes perfis de estudantes. Antes de aplicar a avaliação, é de suma importância planejá-la. Um dos itens desse planejamento

A Trajetória 1 traz a visão geral da proposta, reflexões sobre a prática docente, a organização da obra, as possíveis articulações entre o livro do estudante e o manual do professor para todos os volumes.

A Trajetória 2 apresenta os temas essenciais de cada volume, reforçando seus aspectos específicos e as possibilidades de trabalho para os conteúdos que dizem respeito àquele volume.

Desta forma, o manual do professor busca apoiar o trabalho de formação continuada na escola, e o trabalho coletivo, colaborativo e entre pares, na busca por um ensino com mais sentido.

Compartilhamento de estratégias de ensino.

1. No ambiente escolar há diversas oportunidades para os estudantes trabalharem em grupo.

Contudo, induzi‑los a formar grupo para uma atividade não é sinônimo de cooperação, ainda que os integrantes estejam empenhados e tenham um objetivo em comum. Expor ideias novas, ouvir propostas, contra‑argumentar e criar estratégias são exemplos de ações que fazem um grupo ser produtivo e não um grupo “pizza”: cada um fica responsável por uma fatia e, consequentemente, excludentes entre si.

O trabalho em grupo merece esse nome quando uma atividade possibilita que os estudantes se esforcem, cometam erros e reflitam tanto sobre eles quanto sobre os acertos, ou seja, delega autoridade. A segunda característica do trabalho em grupo é que os integrantes do grupo necessitam uns dos outros para fazer a atividade, isto é, que nos processos da atividade deve haver uma relação de interdependência. Há, ainda, uma terceira característica: a natureza da atividade deve estar explícita para o professor e os estudantes, de modo que a atividade tenha intenção didática clara.

Usufruir da própria autoridade, mantendo‑se em uma relação de interdependência orientada por intenção clara, nos leva à metáfora do trabalho cooperativo como que em um grupo de formigas.

LUPAS E LUNETAS

De acordo com essas considerações, que resultados acadêmicos você e seus pares imaginam ser possíveis obter de um grupo de alunos que trabalhem, de fato, de modo cooperativo? Exponham suas opiniões.

Preparando os estudantes para a cooperação

É necessário introduzir novos comportamentos cooperativos em um programa de preparação intencional. O objetivo de tal programa de preparação é a construção de novas regras, concepções coletivas sobre como deve ser a atuação produtiva em situações de grupo. Às vezes as regras são explícitas e escritas, às vezes elas são expectativas ou obrigações de comportamento não verbalizadas.

Quanto um indivíduo começa a sentir que deve se comportar de acordo com essa nova maneira, a regra se tornou internalizada. Regras internalizadas produzem não apenas o comportamento desejado, mas um desejo de reforçar as expectativas sobre o comportamento dos outros no interior do grupo. Em situações de aprendizagem cooperativa, mesmo estudantes muito jovens podem ser vistos aconselhando outros membros do grupo sobre como devem se comportar. Em função do seu papel em sala de aula, os professores têm um extenso poder para estabelecer regras conhecidas e para introduzir outras.

Os alunos precisam entender os objetivos do professor em formar pequenos grupos e por que as habilidades de trabalho em equipe são importantes. De maneira surpreendente, alguns alunos não reconhecem que a vida adulta exige trabalhar com pessoas que não são seus amigos mais próximos. Às vezes sentem que o instrutor está tentando forçá­las a serem amigos de colegas da turma inseridos em seu grupo. Quando lhes é dito que muitas tarefas importantes são realizadas por pequenos grupos de pessoas que não são amigos pessoais, tais como grupos de pesquisa, equipes de bombeiros e de enfermagem ou comitês de construção, eles ainda assim ficam em dúvida.

O conjunto básico de comportamentos necessários inclui, pelo menos, a regra de que cada um contribua e que nenhuma pessoa domine o grupo. Além disso, a discussão exige habilidades de escuta. Existe uma tendência de alguns membros estarem tão preocupados em dizer a sua parte que não escutam o que a outra pessoa acabou de dizer. As pessoas devem não apenas escutar umas às outras, mas precisam aprender a pensar sobre o que a outra pessoa acabou de dizer. A ausência de escuta e reflexão sobre o que os outros disseram resultará em uma discussão desconectada e frequentemente em incapacidade de alcançar o consenso.

Aprender a trabalhar uns com os outros de maneira construtiva é parte do aprendizado escolar dos adolescentes e deve ser incentivado por uma preparação intencionada.

COHEN, Elizabeth G. Planejando em grupo: estratégias para salas de aula heterogêneas. 3. ed. Porto Alegre: Penso, 2017. p. 39‑41, 44.

LUPAS E LUNETAS

Após leitura do texto, reúna‑se com seus pares.

a) Releia a frase: “É necessário introduzir novos comportamentos cooperativos em um programa de preparação intencional”. O que você entende por programa de preparação intencional? Em que medida reconhece esse conceito em suas práticas? Ou, ainda: Como você imagina que seria um programa favorável ao desenvolvimento de aptidões para trabalhos cooperativos? Exponha no grupo suas ideias.

b) Que habilidades, ou aptidões, o texto apresenta como necessárias aos trabalhos em grupo? Essas aptidões são frequentemente identificadas entre os alunos de suas turmas? Comente.

c) Tenha em mãos o volume do 7º ano desta coleção. Escolha uma atividade em grupo. Com base nela, proponha uma forma de desenvolvê‑la em sala de aula por meio de um trabalho cooperativo, em grupos com 4 ou 5 estudantes. Previamente, liste objetivos de aprendizagem mais conceituais e mais comportamentais ou seja, voltados às aptidões para trabalhos cooperativos.

d) Considerando a lista do item anterior (que contempla duas categorias de aprendizagens: conceituais e comportamentais), apresente estratégias didáticas viáveis para o desenvolvimento de ambas. Explicite em que medida o desenvolvimento de uma categoria impacta a outra e vice‑versa.

3. Leia o texto.

Papéis que os alunos podem desempenhar nos grupos de aprendizagem cooperativa

A aprendizagem cooperativa pode oferecer alternativas para o trabalho com turmas heterogêneas.

JOA SOUZA/SHUTTERSTOCK

LIGHTFIELD STUDIOS/SHUTTERSTOCK

Para que se estabeleça condições entre os alunos um clima de cooperação. Devem colocar­se duas condições essenciais: o professor delegar uma margem de autonomia aos alunos na execução de uma tarefa e os alunos serem capazes de exercer essa autonomia.

A atribuição de papéis na aprendizagem cooperativa tem várias vantagens:

• Reduz a probabilidade de alguns alunos adotarem uma atitude passiva ou dominante no grupo;

• Garante que os alunos utilizem as técnicas básicas de grupo e que todos os membros aprendam as práticas exigidas;

• Cria interdependência entre membros do grupo, potencializada quando aos membros são atribuídos papéis complementares e interligados.

Tipos de papéis

• Verificador

Este procura certificar­se de que todos os membros do grupo compreenderam bem a atividade, convidando­os a manifestarem o seu acordo ou desacordo quanto às ideias emitidas e a justificar sua resposta. Verifica se os documentos estão completos e se o grupo satisfez às exigências do trabalho.

• Facilitador

Tem como atribuição orientar a execução da tarefa de seu grupo. Lê as instruções ou reformula­as, se alguém não as compreender bem, e procura certificar­se de que cada aluno desempenhou o papel que lhe fora atribuído, e concede a palavra a todos.

• Harmonizador

Sua ocupação é com a manutenção da atenção dos colegas de grupo na tarefa, procurando prevenir os conflitos. Para conseguir seu intento, recorda as normas que favorecem o respeito e a entreajuda, encorajando os colegas a desempenharem o seu papel, e propõe soluções para regular os conflitos.

Tem como atribuição, ainda, felicitar e encorajar os outros com gestos e/ou palavras que ajudem o grupo a funcionar, apesar das divergências de opiniões.

• Intermediário

Tem a responsabilidade de fazer a ligação entre o grupo e o professor para limitar o deslocamento durante o trabalho da equipe. Consulta cada membro do grupo antes de pedir ajuda ao professor.

• Guardião ou controlador do tempo

Tem a responsabilidade de certificar­se de que o trabalho é terminado a tempo. Sugere ao grupo uma divisão do tempo para cada uma das etapas de realização da atividade.

• Observador

Sua função é observar, anotar e contabilizar os comportamentos observáveis em relação à competência cooperativa ensinada, comunicando as suas observações aos outros membros do grupo, quando do feedback.

CARVALHO, Cicefran Souza de. A aprendizagem cooperativa no ensino da Matemática. Curitiba: Appris, 2019. p. 56‑58.

LUPAS E LUNETAS

a) Após a leitura do texto, destaquem o que mais chama a atenção de vocês.

b) Informar aos estudantes que haverá rodízios de papéis a cada nova atividade é uma precaução para garantir que eles estejam dispostos a aceitar os papéis que vocês atribuírem a cada um deles. Que outras medidas podem mencionar com essa intenção?

c) Que vantagens essa proposta de trabalhar em grupos e com atribuição de papéis traz para atividades com turmas muito grandes (por exemplo, com 45 estudantes ou mais) e heterogêneas?

d) Que instrumentos de avaliação seriam os mais eficientes para as atividades em grupo voltadas às salas de aulas com turmas numerosas e heterogêneas?.

TRAJETÓRIA 1 – NORTEADORES: PARA TODOS OS VOLUMES

1. Visão geral da nossa proposta.

Nesta Trajetória:

2. A prática docente

3. Articulação entre os materiais.

Alunos no pátio de escola pública em Santo Antônio de Jesus, Bahia, Brasil.

Sala de aula de escola municipal de Dias D’Ávila, Bahia, Brasil.

JOA SOUZA/SHUTTERSTOCK

JOA SOUZA/SHUTTERSTOCK

1. VISÃO GERAL DA NOSSA PROPOSTA

A Matemática desenvolve um papel fundamental nas atividades do dia a dia, relacionando diferentes áreas das ciências, tecno logias, artes e outras linguagens.

Os conhecimentos matemáticos estabelecidos pela Base Nacional Comum Curricular (BNCC) são entrelaçados nesta coleção por meio de situações apresentadas em contextos diversos do cotidiano e de outras áreas do conhecimento.

Para conhecer as particularidades desta coleção, seja em relação aos materiais do estudante ou do professor, este manual fa vorece, por meio de explorações gradativas, uma forma de conhecê‑lo por sucessivas aproximações no decorrer do ano letivo, em momentos de horário pedagógico coletivo, por exemplo, também entre duplas, trios ou outras pequenas formações. Assim, os pro fessores podem encontrar as melhores formas de construir parcerias por meio desta obra, desde a exploração inicial deste material até o seu uso efetivo em sala de aula.

Como aproveitar ao máximo os recursos apresentados nesta coleção?

A excelência da aula depende do professor, todavia, vai além das suas ações e dos materiais que ele utiliza: há uma rede complexa de fatores que implica a necessidade de competências diversas a todos os envolvidos.

CHECK‑IN

• De que maneira você utiliza o livro didático em sala de aula?

• Além de constituir um suporte de conteúdos sobre matemática e didática, que outras possibilidades quanto à prática docente você enxerga para o livro didático?

• Considerando a noção de avaliação formativa, de que maneira o livro didático pode subsidiar a prática docente?

de aula e realidades diferentes

Existem diversas maneiras de utilizar os mesmos materiais didáticos, todas elas com possibilidades de desencadear aulas exce lentes. Cada turma é diferente: em algumas os alunos são participativos, em outras, eles necessitam de mais estímulos para a par ticipação; algumas são eficientes em diversidade de assuntos e curiosidades e outras não correm os riscos da curiosidade. Também cada professor excelente é diferente: alguns são enérgicos, outros são brandos; alguns são acadêmicos, outros, mais informais. Cada um utiliza melhor seu repertório de técnicas adequadas a cada um dos diversos momentos da aula.

As salas de aula de alta produtividade estão sempre acolhidas por professores que se esforçam para criar os melhores cenários de aprendizagem, buscando cada vez mais um rigor nas suas ações para o ensino, nas atitudes de aprendizagem de seus alunos e na melhoria das formas de interações entre ele, os alunos e os conhecimentos, para que todos possam ter oportunidades de ampliar seu horizonte acadêmico e aprimorar a própria reflexão crítica no convívio pacífico em sala de aula.

Há diversos caminhos para ensinar os diferentes alunos, cada um com suas potencialidades e seus obstáculos.

Conhecer a fundo os recursos materiais, a diversidade de perfis de alunos, os possíveis obstáculos de cada um, as estratégias mais satisfatórias para a maioria – ou as estratégias específicas para determinado aluno –, identificar modos de estimular aqueles que sempre dizem “eu não sei”, entre outras análises profundas, são parte da rotina diária dos excelentes professores. Um bom início para essas análises profundas é conhecer o material que está em suas mãos.

Estrutura da coleção e a prática docente

Avaliação: informada assistida

Vamos apresentar a estrutura padrão de cada volume por meio do processo avaliativo.

Cada volume é assim composto:

Páginas iniciais: avaliação de chegada

Prontos para começar!

Unidades bimestrais Páginas finais: revisão e exames de larga escala

Trajetória (de 1 a 4)

Retornos e Suplemente sua aprendizagem

Cada Trajetória é dividida em três passeios. Os passeios se inter‑relacionam por meio de uma pergunta norteadora abrangente que desencadeia o contexto central da Trajetória. Essa pergunta abrangente, por sua vez, desencadeia outras três perguntas, uma para cada passeio.

GOLDEN DAYZ/SHUTTERSTOCK

Veja o esquema detalhado da estrutura padrão de uma Trajetória.

A avaliação, que ocorre na interação entre professor e aluno, no decorrer de cada passeio é:

• informada, pois cabe ao professor evidenciar as expectativas de aprendizagem, os propósitos das práticas em sala e a qualidade dos resultados; e cabe ao aluno expor suas primeiras noções, informar a percepção sobre sua própria aprendizagem, os possíveis efeitos das práticas em sala e comunicar os resultados obtidos;

• assistida, pois cabe ao professor observar e analisar os movimentos de aprendizagem do aluno; e cabe a este expor e sinalizar os efeitos de todas as práticas de ensino ofertadas pelo professor.

As fases da trajetória de aprendizagens

Chamamos de trajetória de aprendizagens um conjunto de ações didáticas estruturadas em três fases: chegada, núcleo e desfecho, de modo que cada fase seja, ao mesmo tempo, informada e assistida. As fases de uma trajetória de aprendizagens são nomeadas por: mapa de estudos, percurso e porto de chegada

Quais são as diferentes possibilidades para o professor em suas práticas? E como tirar o melhor proveito do processo avaliativo? Como essas questões podem ser contempladas em uma Trajetória no livro do estudante?

O quadro mostra algumas possibilidades oferecidas pela estrutura de uma Trajetória no livro do estudante, segundo as três fases: o mapa, o percurso e o porto.

Fases de uma trajetória de aprendizagens

QUESTÕES REFLEXIVAS

Da parte do aluno

• Onde estou?

Da parte do professor

• Onde o aluno está?

Mapa de estudos

Check‑in; Arredores; Bússola.

Textos e teorias; Atividades; Lupas e lunetas.

• Para onde vou?

• A que precisarei estar atento para ver corretamente?

O foco do olhar:

• O que vejo e o que não vejo?

• O que preciso ver ainda?

• Do que necessita para se colocar a caminho?

• O que ele tem e o que não tem na bagagem?

• O que o aluno é capaz de ver?

• Do que ele precisa para ver aquilo que ainda não consegue?

Percurso

Porto de chegada

Diálogo em aula por meio das atividades.

Levo na bagagem; Barcos e portos; Vistorias.

A crítica do olhar:

• Como vejo?

• O que fazer para ver melhor?

• Para que vejo?

• Consegui chegar?

• Vi tudo que era para ser visto?

• Como poderia ter visto melhor?

• Por que motivos o aluno aprendeu/não aprendeu?

• Para quais ações ele já está apto e em quais ainda precisa de apoio?

• Sob quais pontos de vista o aluno chegou ao objetivo?

• Como poderia ter navegado melhor?

Ao longo de toda a trajetória de aprendizagens, aluno e professor, em um trabalho complementar de esforços, desenvolvem estra tégias para identificar aquilo que representa um obstáculo na aprendizagem e, juntos, podem verificar formas possíveis de superá‑lo.

LUPAS E LUNETAS

Para esta reflexão, tenha em mãos um volume desta coleção, de sua escolha. Abra uma dupla de páginas que contenha as seções Check-in, Arredores e Bússola

Considere a situação de entrada, as informações, os conteúdos, o contexto, o mapa de vínculos e ênfases, que se encontra na seção Arredores, e a lista dos objetivos, que se encontra na seção Bússola

a) Que estratégias você planejaria para o trabalho com essa dupla de páginas, antes de entrar em sala de aula?

b) Segundo seu olhar, que eficácia o uso dessas páginas proporciona à avaliação informada e assistida?

c) Como você utilizaria essa dupla de páginas em sala de aula, levando em conta as reflexões que você acabou de fazer?

A aprendizagem autorregulada

A estrutura da obra oferece ao aluno oportunidades variadas para que, gradativamente, desenvolva autonomia para monitorar sua aprendizagem, organizar seus conhecimentos, desenvolver estratégias de estudo e autoavaliar‑se.

É possível criar condições em sala que o incentivem a vivenciar experiências de aprendizagem voltadas para reflexões, tanto da ordem cognitiva quanto da metacognitiva.

Cuidar da mente, desenvolver bons hábitos de estudos, monitorar e regular o próprio pensamento são habilidades e atitudes que envolvem a aprendizagem autorregulada.

A principal função de uma estratégia cognitiva é lhe ajudar a alcançar o objetivo de qualquer iniciativa cognitiva em que você esteja envolvido. Em contraste, a principal função de uma estratégia metacognitiva é lhe oferecer informações sobre a iniciativa ou seu progresso nela. Podemos dizer que as estratégias cognitivas são evocadas para fazer o progresso cognitivo, e as estratégias metacognitivas para monitorá­lo. (FLAVELL; MILLER; MILLER, 1999, p. 129)

As pesquisas voltadas para aprendizagem autorregulada, metacognição, autoaprendizagem e outros temas desse campo têm se intensificado nos últimos anos.

Barry Zimmerman e outros pesquisadores apresentaram a perspectiva do aprendizado autorregulado ou self regulated learning (SRL). Nesta visão, o aluno autorregulado é consciente e controla o seu processo de aprendizagem; seleciona os métodos e as estratégias que utiliza, revelando um grande sentido de autoeficácia; e organiza e estrutura quer o seu contexto de estudo quer o trabalho a realizar, identificando as situações em que precisa de ajuda e adaptando as estratégias de aprendizagem aos seus objetivos acadêmicos (ZIMMERMAN, 1986).

Estas são as seções do livro que oferecem oportunidades de desenvolver um trabalho com essas finalidades:

• Bússola: seção que apresenta ao aluno, a cada início de passeio, o que se espera que ele aprenda. Uma vez informado da expec tativa quanto à sua aprendizagem, ele próprio deve ficar atento, no decorrer do passeio, ao que é esperado dele.

• Levo na bagagem: boxe que aparece no fechamento do passeio, que é um momento reflexivo individual do aluno quanto à qua lidade do seu aprendizado. As perguntas estão em acordo com as expectativas de aprendizagem declaradas na seção descrita anteriormente.

• Organize (da seção Barcos e portos): há sempre uma proposta de retomada, por parte do aluno, dos conhecimentos e habilida des explorados no passeio, para que ele possa atribuir significados novos ou reorganizar mentalmente os conteúdos explorados.

EAMESBOT/SHUTTERSTOCK

EAMESBOT/SHUTTERSTOCK

• Vistorias: ao final da Trajetória (que equivale a um bimestre), o aluno tem mais um conjunto de atividades representativas das habi lidades essenciais daquela Trajetória. Ele próprio pode verificar quais habilidades desenvolveu em melhores condições e quais não.

• Dicas de estudos: ao final de cada Trajetória, o aluno é convidado a refletir, descobrir modos de estudar e tentar colocar em prática os bons hábitos de estudo individual.

• Suplemente sua aprendizagem: ao final de cada volume, há uma coletânea de questões de exames de larga escala que pode ser utilizada como instrumento de avaliação (ou autoavaliação, uma vez que há o gabarito disponível para o aluno).

• Retornos: para os alunos que demonstrarem dificuldades de compreensão dos conhecimentos essenciais no decorrer do passeio, ou para alunos que desejarem reforçar seus conhecimentos, há uma síntese dos conteúdos explorados em cada Trajetória. A leitura e a construção dos próprios resumos, esquemas, fichamentos de conteúdos devem ser incentivadas na rotina de estudos dos alunos.

O quadro expõe exemplos de perguntas que podem ser ensinadas aos alunos para exercitarem o pensamento metacognitivo.

Possíveis questões com ênfase nas estratégias metacognitivas

SOBRE OS DESEMPENHOS

Das ferramentas

• Eu sei fazer cálculos mentais?

QUESTÕES

• Aprendo melhor registrando no papel ou só mentalizando as etapas de cálculo?

• Eu sei usar diferentes representações para um mesmo cálculo?

• Sei usar cálculo mental em situações do cotidiano?

Do uso das tarefas

Sobre os efeitos do uso das ferramentas

• Como uso as ideias e as propriedades das operações ao registrar no papel ou mentalizar as etapas da realização de uma conta?

• Eu reconheço as diferentes estratégias de cálculo de uma mesma operação em situações do cotidiano, em uma compra de supermercado, por exemplo?

• O que preciso fazer para aprender a calcular mentalmente?

• Como devo agir na hora de registrar mentalmente uma conta para que cada vez eu possa calcular melhor?

• Como posso eliminar a insegurança e o medo de aprender mais de uma estratégia de cálculo para uma mesma operação?

• Para que devo fazer uso do cálculo mental no cotidiano?

Sobre as finalidades de uso das ferramentas

• Por que aprendo melhor (ou é indiferente) as propriedades das operações ao fazer uma conta “de cabeça”, por exemplo, no supermercado?

• Como escolher a melhor estratégia de cálculo para uma conta em uma situação do cotidiano (em uma compra de supermercado, por exemplo)?

Com base nessas questões em que o próprio aluno refletiu, autorregulou seu pensamento e autoavaliou‑se é, agora, a vez de o professor verificar a qualidade dos desempenhos metacognitivos do aluno:

Verificação dos efeitos dos processos metacognitivos

• Descreva os processos de cálculo em uma situação real em que você utilizou cálculo mental.

• Relate um fato que você aprendeu durante um registro por escrito de um cálculo ou de um processo mental de resolução de uma operação.

• Invente uma conta e escreva pelo menos duas maneiras de determinar seu resultado.

LUPAS E LUNETAS

Escolha uma página que contenha o boxe Levo na bagagem. Considere os conhecimentos, as atitudes e a exploração dos contextos aos quais essa seção se refere para realizar o que se segue.

a) Que orientações você daria para a turma quanto ao momento em que cada aluno for refletir sobre sua aprendizagem? Como você monitoraria e validaria a atitude dos alunos na realização dessa autoavaliação?

b) Que outras questões autoavaliativas você acrescentaria às que estão sugeridas no livro do estudante?

c) Com essa página, escolhida por você, roteirize um caminho de trabalho a ser aplicado em aula, escolhendo sempre uma linguagem clara e sucinta.

Ciclos de aprendizagens e ciclos avaliativos

A prática docente é permeada pela atividade avaliativa em suas diversas modalidades.

Avaliação diagnóstica

É aplicada no início de cada ciclo de aprendizagem. Possibilita a identificação de conceitos, procedimentos, fatos e atitudes que os alunos já têm estabelecidos em momentos anteriores ao novo ciclo prestes a começar. Por meio dos feedbacks dos alunos, é possível captar o alcance do que têm já efetivado para, com essas informações, o professor construir as estratégias das novas aprendizagens. Tem a função de ajuste bilateral, aluno/programa de estudos: seja modificando o programa de estudos para adequá‑lo aos alunos, seja orientando as aprendizagens dos alunos para que percorram com sucesso o programa estabelecido.

Avaliação de processo ou formativa

Dentro da atividade avaliativa está a avaliação de processo, que se traduz como o acompanhamento da aprendizagem, de maneira que seja possível monitorar avanços, dificuldades, possíveis obstáculos que envolvem a aprendizagem dos alunos e fazer interven ções em “tempo real”, oferecendo oportunidades que satisfaçam às necessidades diversas que ocorrerem no decurso do ciclo de aprendizagem. Essa avaliação interfere em toda a atividade de ensino‑aprendizagem. É preciso levantar informações úteis e criar modificações eficazes para a regulação do processo de ensino‑aprendizagem. Tem caráter formativo.

Avaliação de resultado

Esta ocorre ao final de um ciclo de aprendizagem. Sua função é verificar quais aquisições foram feitas ao longo do ciclo de aprendizagem com vistas a expedir ou não um “certificado”, ou seja, tem caráter certificativo. Essa avaliação mensura a eficácia do processo de ensino‑aprendizagem.

Avaliação a serviço da aprendizagem

Ao longo do livro do estudante, é possível verificar possibilidades para o trabalho docente que, por vezes, extrapolam a esfera estrita da Matemática e, por outras, complementam‑na a partir do convite à utilização de diversas maneiras de se expressar mate maticamente: oralmente, artisticamente, ludicamente etc.

Levando em conta as três modalidades de avaliação, apresentamos os potenciais das diversas seções do livro quanto a cada uma dessas modalidades avaliativas:

1. Para efeitos de avaliação diagnóstica, usos possíveis:

Prontos para começar!, Check-in, Arredores, Bússola, Atmosfera

Todas essas seções indicam as possibilidades preparatórias para as ações diagnósticas, ou seja, levantamento de indícios e, em seguida, favorecer a condução influenciada por expectativas de aprendizagem específicas a serem monitoradas mediante as produções dos alunos. Tais produções serão desenvolvidas ao longo do processo de ensino‑aprendizagem. Assim, podem ser utili zadas como levantamento de indícios as seções Prontos para começar!, Check-in e Atmosfera

#PRONTOSPARACOMEÇAR!

1. Leia o texto: O Brasil é um país de dimensões continentais, vinte três mil, cento e dois quilômetros de fronteiras, terrestres e marítimas. Esse tamanho abriga uma biodiversidade de doze mil e vinte oito espécies de animais e quatro mil seiscentos e dezessete espécies de plantas. Um animal símbolo dessa biodiversidade é tamanduá-bandeira, que chega a medir duzentos vinte centímetros

de comprimento e consegue comer até trinta mil formigas em um só dia! Mas precisamos cuidar dos biomas brasileiros que abrigam tal biodiversidade. Entre os anos de o Cerrado, bioma que abriga boa parte dos tamanduás-bandeira, teve uma perda de cento cinquenta e dois mil setecentos e seis quilômetros quadrados de sua Texto elaborado com finalidade didática. Informações obtidas em: www.wwf.org.br e https://educacao.uol.com.br. Acessos em: 17 maio 2022. Escreva com algarismos os números destacados no texto, em ordem crescente, utilizando o símbolo de menor (<). 220 < 2 000 < 2 018 < 4 617 < 12 028 < 23 102 < 30 000 < 152 706

2. Represente estes números em uma reta numérica:

0 3 4 0 3 5 2 2 25

3. Observe as figuras (considere o círculo como o inteiro): Escreva a fração que corresponde às partes pintadas em relação ao todo em cada figura e, em seguida, represente essas frações em uma reta numérica.

4. Em uma caixa há 100 livros destinados para doação. Considerando essa informação, substitua cada ■ pelo número correto: a) Se há 75 livros usados, então ■% dos livros são usados. 75 b) Se a décima parte dos livros é de ficção científica, então ■% dos livros são de ficção científica. 10 c) Sabendo que metade dos livros foi doada por uma única pessoa, as doações dessa pessoa correspondem a ■% do

A seção Prontos para começar! é uma ótima ferramenta para realizar um diagnóstico na chegada dos

nas primeiras aulas do ano letivo.

FREEPIK/ ARTE/ M10

PASSEIO 1 – NÚMEROS DECIMAIS

O QUE OS NÚMEROS INDICAM SOBRE O MEIO AMBIENTE?

Observe este infográfico. Levando em conta os números que aparecem nele, responda às questões.

Os países que geram mais e menos lixo eletrônico (kg por pessoa)

ATMOSFERA

[...]

As “contas” do meio ambiente Nossa civilização, assim como todas as demais que já existiram sobre a Terra, possui forte dependência do meio ambiente. Embora muitas vezes a gente se esqueça disso, os recursos naturais estão presentes nas mais elementares atividades humanas, como comer, beber e respirar. Mesmo nas sociedades mais complexas, essa dependência se mantém. Continuamos a precisar de água e de

energia, por exemplo, que são elementos básicos para quase todas as atividades humanas, especialmente as econômicas. Além de prover nossa subsistência, a natureza nos propicia lazer e prazer estético, cultural e espiritual e é também responsável pela reciclagem dos resíduos gerados pelas ações humanas.

[...] CONTAS econômicas ambientais: o que são? Projeto TEEB regional-local Brasília/DF: Ministério do Meio Ambiente, 2019. Disponível em: www.giz.de/en/downloads_els/Cartilha%20Contas%20Econ%C3%B4micas%20Ambientais_09_05_2019.pdf. Acesso em: 12 jul. 2022.

Água: participação das atividades econômicas no consumo total (em %)

Agricultura, pecuária, produção florestal, pesca

e aquicultura 97,4

Indústrias extrativas 0,1

Indústrias de transformação e construção 1,0

Eletricidade e gás 0,0

Água e esgoto 0,8

Demais atividades 0,1

Participação das famílias no consumo total 0,6 Consumo total 100,0

Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) e a Agência Nacional de Águas (ANA). Contas Econômicas Ambientais da Água Divulgação em 2020, dados de 2017.

1. Lazer, prazer estético, cultural, espiritual e também reciclagem dos resíduos gerados pelas ações humanas.

ATIVIDADES

CHECK-IN

a) Quantos números há nesse infográfico? 10 números.

b) Pense em alguém que pese 28 kg. Considere essa pessoa e imagine o que significa a quantidade de lixo eletrônico que uma pessoa, sozinha, gera na Noruega. Que conclusões você pode propor com essa comparação? Resposta pessoal.

c) Observe os números: 5, 1 2 10%, 50%, 5 10 50. Quais deles você relacionaria ao número 0,5? Converse com os colegas a esse respeito.

c) 1 2 50% e 5 10 pois são os únicos que equivalem ao número 0,5.

238 TRAJETÓRIA 4 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

1. Segundo o texto, atividades elementares como comer, beber e respirar são sinais da nossa forte dependência do meio ambiente. A natureza provê nossa subsistência. Além desses, que outros elementos da atividade humana são também a natureza que nos propicia?

2. Quais são os dois elementos que o texto afirma serem básicos para quase todas as atividades humanas? Água e energia.

Agricultura, pecuária, produção florestal, pesca e aquicultura.

3. Qual atividade econômica é a que mais consome água do total de participação?

4. Quanto consomem, juntas, as indústrias extrativas e as de transformação e construção?

5. A soma de quais duas atividades econômicas resulta em 1,5%?

6. Quem consome mais água: as famílias ou as indústrias de construção?

7. Qual dessas atividades econômicas você acha que deveria economizar mais água?

1,1%. Água e esgoto e demais atividades. As indústrias de construção.

Como acredita que isso seria possível? Apresente uma proposta para que essa atividade econômica citada por você possa economizar água. Respostas pessoais.

As seções Check-in e Atmosfera são adequadas para realizar um diagnóstico dos conhecimentos e atitudes dos alunos quanto à Matemática e aos contextos diversos no início de cada novo passeio – que pode durar de 15 a 20 dias.

Para o monitoramento das expectativas de aprendizagem, são adequadas as seções Arredores e Bússola

BÚSSOLA

Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos:

Reconhecer números decimais em situações cotidianas.

Reconhecer a correspondência entre as representações decimal e fracionária de um mesmo número e estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra.

Compreender a representação de números decimais segundo o sistema de numeração decimal.

Compor e decompor números decimais.

• Comparar e ordenar números decimais, representando-os na reta numérica.

Justificar em charges o efeito de humor, ironia ou crítica pelo uso ambíguo de palavras, expressões ou imagens.

Associar a produção de materiais sintéticos ao desenvolvimento científico e tecnológico, reconhecendo benefícios, mas também avaliando impactos ambientais.

O mapa de vínculos e ênfase apresenta uma possibilidade de conexões entre os diferentes conteúdos matemáticos e, logo abaixo, as expectativas de aprendizagem, que podem ser previamente ajustadas pelo professor, de acordo com seu planejamento.

2. Para efeitos de avaliação em processo, usos possíveis: Atividades, Nuvens, Travessias, Lupas e lunetas e Retornos

A seção Atividades fornece as principais ações cotidianas da sala de aula para o olhar da avaliação mediadora. Nesse momen to, o aluno enfrenta uma tarefa, registra um processo, demonstra o produto de uma atividade e, a partir de então, são expostos os elementos observáveis que passam a ser informações para a avaliação em processo. Essa seção tem um duplo papel na avaliação em processo: avaliar a atividade do aluno (sua postura acadêmica no ato de aprender, que vai além de destrezas mentais com os conhecimentos matemáticos, como sua autoestima e perseverança na busca de soluções) e avaliar o resultado da sua produção ou o seu produto (nesse caso, é possível fazer uma observação indireta do aluno como produtor, levando em conta os traços de seu produto).

20. b) Problema possível: Maria comprou cinco bandejas com seis ovos cada uma. Um ovo ela consumiu. Qual fração de meia-dúzia de ovos ainda restam?

19. Escreva uma fração imprópria e a forma mista de modo que sejam representadas as partes pintadas das figuras em relação a um inteiro:

b) A partir dessa situação, elabore um problema e, depois, troque-o com um colega na hora de resolver.

21. Observe as divisões de cada círculo e de cada maçã.

20. Observe esta imagem, considerando meia-dúzia de ovos como o inteiro:

a) Represente a soma dessas quantidades de ovos por uma fração imprópria e, depois, na forma mista.

a) Se as fatias de cada círculo, a partir do segundo, fossem divididas ao meio, a qual fração do todo cada nova fatia corresponderia?

b) Imagine que as quatro maçãs estivessem divididas, cada uma, em três fatias iguais. Quanto representariam sete fatias em relação ao todo (no caso, uma maçã)?

Represente de duas maneiras diferentes.

c) Elabore uma pergunta em que a resposta seja uma fração imprópria ou uma representação mista. Resposta pessoal.

22. Neste labirinto o sapo só pula sobre uma vitória-régia com fração própria. Escreva no caderno a sequência de frações em que

A seção Atividades favorece a exposição, por parte do aluno, de informações observáveis para a avaliação em processo, demonstrando se de fato ele compreendeu as situações, os conceitos, os fatos e os procedimentos explorados anteriormente.

O boxe Lupas e lunetas propõe reflexões sobre os objetos de conhecimento estudados em relação aos diferentes contextos, matemáticos ou não. Além do apelo ao desenvolvimento de um espírito investigativo por parte dos alunos, a marca desse boxe é justamente convidar o aluno para uma reflexão a respeito de um detalhe ou um olhar amplo sobre um conhecimento de modo imediato, no decurso da aula.

#Um mesmo sinal, diferentes significados

Em situações do cotidiano envolvendo noções de igualdade, essa palavra também pode estar associada à noção de equilíbrio, especialmente em situações com balanças e gangorras. Acompanhe o experimento de Carol, em que ela utiliza pequenos pesos de metal, cuja massa é em gramas, e uma balança de dois pratos.

LUPAS E LUNETAS

a) Ao final, o que Carol verificou? Que a maçã pesa 150 g.

b) Escreva uma sentença que represente a síntese da verificação feita por Carol. Utilize algum símbolo de Matemática nessa sentença. Compartilhe sua escrita com os colegas. Resposta pessoal.

A igualdade na Matemática

Exemplo de boxe Lupas e lunetas no qual o aluno é levado a refletir sobre uma situação que é o fio condutor da explanação da aula.

Observe cada situação e sua correspondente sentença matemática.

Mundos imaginados.

A Matemática é uma produção humana. Ao longo da história, diversos povos, culturas e civilizações elaboraram suas maneiras de interpretar e explicar o mundo a partir de sua própria linguagem matemática. Mais do que somente uma maneira de compreender, a Matemática se constituiu como uma maneira de estar e de agir sobre o mundo.

A coleção considera essencial o enfrentamento e a elaboração de perguntas, sejam elas matemáticas ou não, convidando o aluno a ler, entender e reelaborar as perguntas problematizadoras, como ocorre no boxe da abertura de cada Trajetória:

LUPAS E LUNETAS

Reflita sobre as questões expostas anteriormente e considere-as para elaborar outras perguntas de sua própria autoria.

Publique suas perguntas no mural da sala de aula e aprecie as perguntas dos colegas.

Boxe recorrente, que convida o aluno a reelaborar as questões norteadoras, apresentadas a cada abertura de Trajetória.

A coleção também valoriza o desenvolvimento de habilidades e competências relacionadas ao letramento matemático, ou numeramento: representar, comunicar e argumentar matematicamente. As situações descritas anteriormente contemplam tais habilidades; além disso, é também comum verificar problemas e atividades que convidam os alunos a expor suas ideias, hipóteses, argumentações e justificativas.

Além de esses momentos se constituírem em locais privilegiados para a avaliação formativa, cria‑se também nos alunos o senti mento de pertencimento. Em outras palavras, ao investigar um problema matemático coletivamente, argumentar matematicamente e justificar suas estratégias para a resolução, o aluno toma para si o problema e, a partir de então, não se trata mais de um problema “inventado pelo livro”, mas um problema em que todos se envolvem para resolver.

NUVEN S

Ampliar e reduzir figuras utilizando aplicativos de geometria dinâmica

Ao iniciar o aplicativo, será exibido um plano cartesiano e uma barra de ferramentas com diversas opções. Aqui, utilizaremos a função “novo ponto”.

Agora, ampliaremos essa figura de modo que cada lado tenha o triplo do comprimento dos lados da figura original. Para isso, podemos selecionar um dos pontos da lista. Ao abrir o teclado virtual, digitaremos “× 3”.

TRAVESSIAS

As diversas “facetas” do ângulo São diversos os pintores cubistas. Caso tenha interesse, pesquise na internet as obras de alguns deles, como Pablo Picasso (1881-1973), Juan Gris (1887-1927), Georges Braque (1882-1963) e a brasileira Tarsila do Amaral (1886-1973).

A 1 obra é de Juan Gris, intitulada Retrato de Pablo Picasso, 1912. Óleo sobre tela, 93 cm × 74 cm School of the Art Institute of Chicago. As duas outras imagens são criações artísticas contemporâneas no estilo cubista, utilizando softwares especializados.

Em seguida, marcaremos no plano cartesiano os pontos A B C e D Note que, ao marcarmos os pontos no plano, aparece uma lista com as coordenadas dos pontos.

Faremos isso para cada um dos pontos A B C e D. Veja como ficou a figura final, ampliada com o triplo do tamanho da original:

Assim como as obras cubistas, que chamam a atenção por possibilitar diferentes facetas de um mesmo retrato, o ângulo, essa figura geométrica, também é multifacetado. Ao longo da história da Matemática e, em particular, entre os diferentes livros didáticos, é possível encontrar algumas distintas definições de ângulo.

O mais comum atualmente, por um lado, é que um mesmo material didático de Matemática assuma uma das definições possíveis. Por outro, constatar que há distintas definições contribui para ampliar o campo de significados associado ao conceito de ângulo. Pensar nas consequências que cada definição traz também é uma boa reflexão. Veja cinco possíveis definições de ângulo, vindas de materiais escolares brasileiros ao longo dos tempos.

I. Duas retas distintas que se cortam em um ponto, formando quatro aberturas. Cada abertura recebe o nome de ângulo.

II. Ângulo é cada uma das regiões em que o plano fica dividido por duas retas que têm um único ponto comum.

III. Um ângulo é a figura geométrica formada por duas semirretas com uma extremidade comum.

IV. Ângulo é o nome de cada uma das regiões em que o plano fica dividido por duas de suas retas que tenham um só ponto comum.

Em seguida, utilizaremos a função “Reta (Dois Pontos)” para criarmos os lados do polígono que terá seus vértices nos pontos A B C e D. Para fazer isso, é necessário clicar nos pontos até que todos os lados tenham sido desenhados.

ATIVIDADES

Respostas pessoais.

10. Elabore outras figuras e experimente ampliá-las com um aplicativo de geometria dinâmica. Compartilhe sua produção com os colegas.

11. Como faríamos para reduzir uma figura geométrica utilizando esse aplicativo? Compartilhe com os colegas a sua estratégia.

V. Ângulo é uma rotação que transforma uma semirreta em outra semirreta com a mesma origem.

ATIVIDADES

12. Forme dupla ou trio. Leia as questões para realizar essa investigação. Respostas pessoais.

a) Compare as cinco definições com a definição apresentada na página anterior. A qual delas aquela definição corresponde? Explique.

b) Represente cada uma das cinco definições por meio de um desenho. Você pode utilizar lápis de cor para os casos em que for necessário colorir. Compartilhe com os demais colegas as descobertas que vocês fizeram.

As seções Nuvens e Travessias convidam o aluno a se envolver com variadas situações que promovem o letramento matemático.

Finalmente, como parte necessária aos hábitos de estudo do aluno para revisar, reorganizar e construir novas conexões, há a seção Vistorias, que oferece possibilidades de revisão dos conhecimentos. É uma etapa importante para o aluno resgatar as infor mações da memória de longa duração, manipulá‑las na memória de trabalho e também o inverso, o aprendizado que recém‑chegou à memória de trabalho poder ser levado para a memória de longa duração, sempre que o conteúdo for repassado no mesmo dia.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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RETORNOS TRAJETÓRIA 1

Sistemas de numeração

O sistema de numeração que utilizamos –o indo-arábico – tem como características ter base 10 e ser posicional além da existência do zero

Ao longo da história, outros sistemas de numeração foram substituídos pelo indo-arábico (como os sistemas chinês e egípcio antigos); outros ainda têm alguns usos no cotidiano, como o sistema de numeração romano.

Números naturais

O conjunto dos números naturais é representado pela letra N

N {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Na reta numérica:

Adicionando 1 a um número natural qualquer, obtemos o seu sucessor Subtraindo 1 de um número natural, diferente de 0, obtemos o seu antecessor

Operações com números naturais

A operação de adição está relacionada a diversas ações: juntar, acrescentar, adicionar, totalizar etc.

• Propriedades da adição

I. Pela propriedade comutativa é possível alterar a ordem das parcelas sem que isso altere o resultado.

II. Pela propriedade associativa em uma adição com três ou mais parcelas, é possível associar parcelas para decidir a ordem em que serão realizadas as adições.

III. Pela propriedade do elemento neutro todo número adicionado a zero resulta nele mesmo.

A operação de subtração está relacionada a diversas ações: tirar, subtrair, descontar, perder, completar etc.

A adição e a subtração são operações inversas Por exemplo, se 3 + 5 = 8 então

8 – 5 3 e 8 – 3 5

A operação de multiplicação está relacionada a significados como contagem, adição de parcelas iguais, proporcionalidade, configuração retangular etc.

• Propriedades da multiplicação

I. Pela propriedade comutativa a ordem dos fatores não altera o produto da multiplicação.

II. A propriedade associativa possibilita associar os fatores de uma multiplicação para realizar os cálculos em uma ordem conveniente.

III. Pela propriedade do elemento neutro, o produto da multiplicação de um número natural por um 1 é sempre ele mesmo.

IV. Pela propriedade distributiva podemos relacionar a operação de multiplicação com as operações de adição e subtração. Por exemplo: 3 (2 + 5) 3 2 + 3 5 6 + 15 21

A operação de divisão está relacionada a significados como repartir, agrupar, separar, partilhar etc.

Podemos escrever a divisão como:

Dividendo Resto Divisor Quociente

E a relação fundamental da divisão é: Div dendo Quoc ente × D visor + Resto

Em expressões numéricas envolvendo as quatro operações fundamentais, deve-se respeitar a seguinte ordem para as operações:

• 1 multiplicação e divisão, na ordem em que aparecem;

• 2 adição e subtração, na ordem em que aparecem.

A multiplicação de fatores iguais recebe o nome de potenciação O produto

2 2 2 2 2 por exemplo, pode ser representado por 25

• Qualquer número a diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1: a0 1 para a ≠ 0

• Qualquer número a elevado a 1 é ele mesmo: a = a Sólidos geométricos Sólidos geométricos podem ser classificados em corpos redondos e poliedros Os corpos redondos são sólidos geométricos com superfícies curvas, mas podem ter superfícies planas.

Os poliedros são sólidos geométricos formados somente por superfícies planas.

A superfície dos poliedros é composta de porções de planos. Cada uma dessas porções de superfícies planas é chamada de face do poliedro.

Veja exemplos:

A intersecção de 2 faces de um poliedro é denominada aresta

A intersecção de duas ou mais arestas de um poliedro é denominada vértice Os prismas apresentam duas bases que são polígonos idênticos. Face Vértice

Aresta

As pirâmides têm somente uma base e, externo ao polígono da base, há um único vértice, que é comum a todas as faces laterais triangulares.

A superfície do cubo é composta somente por superfícies planas.

Um metro cúbico (1 m3) corresponde ao volume ocupado por um cubo de arestas com medida 1 m.

A superfície da esfera é composta por uma superfície curva.

A superfície do cilindro é composta por duas

A seção Retornos representa uma oportunidade de revisar, por meio de uma síntese, os conteúdos explorados pelo aluno.

3. Para efeitos de avaliação de resultados, usos possíveis:

303

Levo na bagagem, Barcos e portos, Vistorias e Suplemente sua aprendizagem Todo o processo de avaliação, no contexto escolar, é dotado de uma dimensão de comunicação, ou seja, o professor envia “mensagens” ao aluno pronunciando o modo como ele foi avaliado. A informação deve ser útil e clara de modo que faça sentido na mente do aluno e ele possa reconhecer por quais mudanças devem passar suas posturas durante a aprendizagem e igualmente suas estratégias de estudo em prol do alcance da totalidade da aprendizagem. Especialmente nessa etapa da comunicação de resultados, essa dimensão comunicativa da avaliação ganha um caráter conclusivo.

BARCOS E PORTOS

▶ Organize

Acompanhe o post de Eduarda sobre o modo de ela organizar seus estudos.

Eduarda_Sexto_Ano @Duda_

Eu sempre copio o mapa mental que está no início do passeio. Daí, quando chegamos ao final do passeio, eu pinto de azul o que aprendi bem e de amarelo o que ainda tenho alguma dúvida.

Isso vai me ajudar a enxergar onde estão minhas dificuldades e posso pedir ajuda para o professor, colegas, um adulto que saiba esses conteúdos ou, ainda, fazer pesquisas na internet

Mas sua decomposição está errada. Corrija a decomposição dela e elabore uma justificativa que fundamente a decomposição correta.

▶ Proponha

A pergunta inicial deste passeio é: O que os números indicam sobre o meio ambiente?

Ao longo deste passeio, você identificou diversos números ou índices relacionados a algum fato sobre o meio ambiente. Continue aplicando o que aprendeu. Observe a charge.

Composição e decomposição Comparação de números decimais Reta numérica

Relação entre d, c e m

73 15

Sistema de numeração decima

Milésimos m

Fracionária

Centésimos c Decima

Décimos d

Números decimais Representação de número

a) O que você achou da ideia de Eduarda? Você acredita que isso pode ajudar a organizar seu aprendizado? b) Olhando o esquema de Eduarda, o que você afirmaria sobre a aprendizagem dela?

c) Você sempre toma nota de palavras, termos matemáticos, procedimentos de cálculo, modos de resolver problemas ou algum outro fato matemático que não compreendeu bem para, em seguida, buscar estratégias para superá-los? O que costuma fazer quando não consegue aprender algum conceito?

b) Resposta possível: Ela aprendeu tudo sobre sistema de numeração decimal, mas tem dificuldades com os números decimais.

▶ Elabore Eduarda escreveu no caderno a decomposição de um número decimal.

Pesquise os números relacionados ao meio ambiente em sua cidade. Por exemplo, qual é a quantidade de pneus enviados para o descarte? Quantos são encaminhados aos descartes adequados? Quais locais existem em sua cidade para a reciclagem?

As pessoas sabem dessa informação? Apresente uma proposta que possa melhorar o cenário da qualidade do meio ambiente em sua cidade. Anote os números que você for descobrindo. Escreva-os corretamente. Faça a leitura de cada número corretamente. Destaque aqueles que estão em notação decimal.

Tire fotos da sua produção e poste no mural da sala.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

superfícies planas e uma superfície curva.

VISTORIAS

Você chegou ao final desta Trajetória. Reflita sobre tudo o que aprendeu e verifique a qualidade da sua aprendizagem. Resolva todos os exercícios no caderno.

CHECK-OUT

4. b) Não equivalentes. Sugestões de frações equivalentes a 2 4 : 4 10 6 15 20 50 etc. Sugestões de frações equivalentes a 4 9 : 8 18 12 27 40 90 etc.

1. Tainá e Aisha são nutricionistas que sempre realizam eventos sobre boa alimentação. O evento criado por Tainá ocorre a cada 5 meses e o de Aisha, a cada 8 meses. Os eventos coincidiram em maio de 2022. Quando serão realizados juntos de novo?

Em setembro de 2025.

2. Lúcia está organizando um dia de games para entretenimento com os amigos.

Ela fez uma votação para saber quais são os estilos de games preferidos de cada um.

Games preferidos Esporte

5. Dois bolos, um de morango e outro de laranja, de mesmo tamanho, foram divididos conforme mostram as figuras.

Do bolo de morango foi comida 3 4 Do bolo de laranja foi consumida uma fração equivalente a essa.

2 fatias.

Quantas fatias do bolo de laranja sobraram?

Na atividade 6 a ideia é parte de um todo. Na atividade 7, é fração de uma quantidade.

8. Nas atividades 6 e 7, qual ideia de fração está associada a cada situação?

Menina

Ação

Estratégia

Para organizar os times para as partidas de cada estilo de jogo, determine qual a quantidade máxima de pessoas em um time de modo que todos os times, de todos os estilos de games, tenham a mesma quantidade de membros. 4 pessoas.

3. São dados os números 10, 15 e 25. Com esses números, em dupla, produzam, revisem e editem dois problemas: um de mmc e outro de mdc. Respostas pessoais.

a) Resolvam os problemas e descrevam a estratégia de resolução para cada um deles por meio de um fluxograma.

b) Quais são as regularidades em termos de construção e composição nos textos dos problemas?

4. Verifique se os pares de frações são equivalentes; se não forem, escreva uma fração equivalente para cada uma no par.

a) 21 36 84 144

b) 2 5 4 9

SUPLEMENTE SUA APRENDIZAGEM

Trajetória 1

1. (Enem) Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicional: um conjunto de cordas com nós denominado quipus O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares. Na Figura 1, o quipus representa o número decimal 2 453. Para representar o “zero” em qualquer posição, não se coloca nenhum nó.

Equivalentes.

atendente e anotou o número 13 98207 sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu. De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de

Alternativa b As outras alternativas dispõem as faces numa organização que não é possível a partir da planificação indicada.

6. Rui e Laís compraram uma fazenda em que farão um celeiro usando 1 10 de todo o terreno.

Para a casa principal, vão construir em 2 15 de todo o terreno.

Jovens empreendedores do agronegócio.

a) Determine a fração correspondente à parte de toda a fazenda que será ocupada pelo celeiro e a casa principal.

b) Qual é a diferença entre os tamanhos dos terrenos usados para a casa e para o celeiro?

1 30 de toda a fazenda.

7. Lana recebeu 8 000 reais pela produção anual de seus vídeos. Ela investiu 6 15 desse valor, presenteou seu irmão Fernando com 1 8 e o restante depositou para uma obra de caridade. Determine a quantia que foi para a obra de caridade. R$ 3.800,00.

a) 7 30 de toda a fazenda.

5. (OBMEP) Para montar um cubo, Guilherme recortou um pedaço de cartolina branca e pintou de cinza algumas partes, como na figura.

9. Isabela doou um saco contendo 5 kg de arroz. A instituição vai dividir sacos como esse em outros menores de 1 2 kg e 1 4 kg Determine quantos sacos de cada tipo podem ser feitos a partir de um saco de 5 kg.

10. Calcule as potências: a) 1 2 ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ b) 2 5 ⎛ ⎝ ⎞ ⎠

c) 3 10 ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ d) 9 10 ⎛ ⎝ ⎞ ⎠

11. Lucas faturou R$ 4.000,00 com sua empresa no mês de fevereiro. Em março seu faturamento aumentou 20%.

Disponível em: www.culturaperuana.com.br. Acesso em: 13 dez. 2012.

O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é a) 364.

b) 463. c) 3 064. d) 3 640. e) 4 603.

2. (Enem) João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor).

O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo

a) centena.

b) dezena de milhar.

c) centena de milhar.

d) milhão.

e) centena de milhão.

3. (OBMEP) Cinco dados foram lançados e a soma dos pontos obtidos nas faces de cima foi 19. Em cada um desses dados, a soma dos pontos da face de cima com os pontos da face de baixo é sempre 7. Qual foi a soma dos pontos obtidos nas faces de baixo?

a) 10

b) 12

c) 16

a) b) c)

d) 18 e) 20

4. (Enem) Maria quer inovar sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas, estão as planificações dessas caixas.

Alternativa e Nas outras alternativas há contato entre faces que não podem acontecer a partir da planificação apresentada.

Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?

a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.

b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.

c) Cone, tronco de pirâmide e prisma.

d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.

e) Cilindro, prisma e tronco de cone.

Qual das figuras abaixo representa o cubo construído por Guilherme?

d) e)

6. (FATEC-SP) A figura mostra a planificação de um cubo, que apresenta imagens em suas faces.

a) De quanto foi o aumento do faturamento de Lucas?

b) Quanto foi o faturamento do mês de março?

c) Utilize outro procedimento para resolver esse problema.

O cubo montado a partir dessa planificação é:

7. (OBMEP) Numa reunião da comunidade do bairro, cada uma das 125 pessoas presentes recebeu um número diferente, a partir do número 1 até o 125. Em dado momento, foi feita uma lista das pessoas com número par e das pessoas com número múltiplo de 3, que deveriam participar de um projeto. Algumas pessoas reclamaram, dizendo que o seu nome aparecia duas vezes na lista. Quantas pessoas apareceram duas vezes na lista?

a) 2 b) 6 c) 20

d) 41 e) 62

8. (Enem) A rosa dos ventos é uma figura que representa oito sentidos, que dividem o círculo em partes iguais.

Uma câmera de vigilância está fixada no teto de um shopping e sua lente pode ser direcionada remotamente, através de um controlador, para qualquer sentido. A lente da câmera está apontada inicialmente no sentido Oeste e o seu controlador efetua três mudanças consecutivas, a saber:

1ª mudança: 135 no sentido anti-horário;

2ª mudança: 60 no sentido horário;

3ª mudança: 45o no sentido anti-horário. Após a 3ª mudança, ele é orientado a reposicionar a câmera, com a menor amplitude possível, no sentido Noroeste (NO) devido a um movimento suspeito de um cliente.

As seções Barcos e portos, Vistorias e Suplemente sua aprendizagem oferecem possibilidades para a avaliação de resultados e podem ser utilizadas como atividades cotidianas ou na avaliação em processo, a depender das estratégias docentes.

Outro aspecto importante da avaliação de resultados é o aluno desenvolver, aos poucos, a capacidade de ele próprio reconhecer sua lógica de pensamento equivocada ou procedimentos e regras que ele mesmo criou sem fundamentos com os conhecimentos que foram até então explorados. Ou seja, o processo de autoavaliação é, antes de tudo, uma possibilidade de “abrir os olhos” do próprio aluno para não só enxergar seus equívocos, como também enxergar os modos de superá‑los.

LEVO NA BAGAGEM Recupere em sua memória fatos relacionados às suas experiências de estudos sobre os assuntos deste passeio. Tente relembrar aquilo que mais aprendeu e o que você julga necessário estudar um pouco mais. Considere os seguintes aspectos:

▶ Matemática Você sabe resolver e elaborar problemas com números na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos, com e sem uso de calculadora?

Sabe escrever números utilizando múltiplos de potências de 10?

Você sabe resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, relacionada à ideia de proporcionalidade, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos diversos?

Calcula a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a na forma fracionária, decimal e percentual?

Consegue realizar experimentos sucessivos para determinar a probabilidade de um evento?

Resolve problemas que envolvam a grandeza massa inseridos em contextos diversos?

▶ Outras disciplinas

Geografia Sabe analisar interações com a natureza de diferentes povos ou grupos sociais, observando transformações da biodiversidade local ou do mundo?

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO

Insuficiente Parcialmente suficiente Satisfatório Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Ao aluno é oferecida a oportunidade de atribuir a si mesmo uma qualificação a respeito do resultado dos seus próprios trabalhos escolares, segundo os objetivos que lhe foram declarados desde o início do passeio.

Autoavaliação e autoconhecimento como aprendiz

A autoavaliação, a autoestima e o autocuidado são processos que se mesclam e se entrelaçam no desenvolvimento do autoconhecimento como aprendiz.

Pensar sobre a própria aprendizagem, reconhecer os desafios a serem superados e, ao mesmo tempo, ter noção das conquistas realizadas no decurso escolar são ferramentas importantes a serem desenvolvidas pelos jovens estudantes que, gradativamente, se permitem ao monitoramento das suas aprendizagens e assumem para si as responsabilidades dos hábitos acadêmicos. Desenvolver a autoestima e a perseverança na busca por soluções e conhecer‑se como aprendiz de modo crítico e criativo no ambiente escolar são atitudes cada vez mais valorizadas não somente na escola, como também em toda a sociedade contempo rânea. Por exemplo, tomar consciência sobre aquilo em que possui facilidades para aprender e explorar seu potencial na realização dessas atividades ou, por outro lado, reconhecer as limitações momentâneas e as dificuldades a elas associadas, encorajando‑se a buscar formas de superá‑las, são atitudes que tornam o estudante um cidadão mais consciente das suas competências para a vida em sociedade e o faz reconhecer‑se em um processo constante de desenvolvimento pessoal.

Como ajustar a prática docente para melhorar o processo de ensino‑aprendizagem?

Os alunos aprendem de formas diferentes. Muitos deles sentem mais facilidade ao agir ativamente fazendo coisas, manipulando objetos e interagindo com o espaço e com as pessoas em vez de somente estudar de forma abstrata os assuntos apresentados. Todavia, há diversos momentos no decurso da aprendizagem de um aluno. A história construída da aprendizagem individual é mesclada de estratégias e de diversas experiências, sejam individuais, em grupo, coletivamente, concretamente, abstratamente, afetivamente etc.

Os alunos aprendem de formas diferentes nos diversos momentos das experiências de aprendizagem e o olhar atento do professor e a familiaridade quanto aos materiais disponíveis para o melhor desempenho de suas práticas potencializa a realização de excelen tes aulas. Isso torna a prática docente um exercício cotidiano desafiador mas, ao mesmo tempo, satisfatório pelos bons resultados.

Há diversos modos de acompanhar e monitorar a aprendizagem. Desde as formas de expressões do próprio aluno sobre aquilo que aprende até as formas críticas e investigativas do professor com base na observação da atividade do aluno.

CHECK‑IN

• Você ajusta sua prática docente de modo a contemplar a diversidade de interesses, necessidades e dificuldades dos alunos?

• Como você identifica e registra os conhecimentos prévios dos alunos antes de um novo ciclo de aprendizagens?

• De que modo a compreensão desses conhecimentos prévios ajuda no planejamento de sua ação didática?

• Você deixa as suas intenções de aprendizagem claras para os alunos?

Identidade do professor, ambientes de aprendizagem e avaliação

A identidade do professor é construída a partir de sua própria ação docente. É um processo que se situa no dia a dia, nas inte rações com os alunos, com os colegas e com o próprio objeto de conhecimento que é ensinado. A contínua ação docente interfere no processo de delinear a identidade do professor de tal modo que adaptações e ajustes na ação docente demandam reajustes nos esquemas de reconhecimento da própria identidade. Ao assumir a dinâmica da sala de aula, o professor leva consigo suas experiên cias e um conjunto de esquemas práticos que se torna um meio para mobilizar sua ação, conforme cada uma das necessidades que emergem do ambiente de aprendizagem

O ambiente de aprendizagem escolar é compreendido como um lugar previamente organizado para promover oportunidades de aprendizagem e se constitui de forma única, na medida em que é socialmente construído por estudantes e professores, a partir das interações estabelecidas entre si e com as demais fontes materiais e simbólicas do ambiente. Lugar, nessa conceituação, deve ser entendido em sentido amplo e não reduzido a espaço físico. É o locus do acontecimento, é síntese de múltiplas condições, é o solo, mas, mais ainda, a cultura e a sociedade. (MOREIRA; PEDROSA; PONTELO, 2011).

A avaliação assume um papel fundamental na constituição do ambiente de aprendizagem. É a partir das opções feitas sobre o ato de avaliar que se torna possível a compreensão do que o aluno já sabe e de que maneira se apropriou dos conhecimentos. Mais ainda, é a partir da avaliação que professor e instituição de ensino podem refletir sobre suas práticas e replanejar suas ações caso seja necessário. “Avaliar é informar‑se para julgar. Remediar é ajustar a ação, apoiando‑se no feedback” (HADJI, 2001, p. 123). Observar os diversos modos de aprender nas diferentes situações de aprendizagem é uma das tarefas do professor em sua prá tica docente. Os alunos são diferentes – em seus tempos de aprendizagem, em suas experiências, em suas histórias de vida –, de maneira que os mesmos estímulos geram efeitos diversos no ambiente da sala de aula. Para que todos os alunos tenham chances de aprender, é esperado que a prática docente venha seguida de possibilidades de modificações, situadas em relação a um feedback e encaminhadas em relação ao objetivo.

LUPAS E LUNETAS

Para esta reflexão, aproveite o momento de trabalho coletivo na escola e reúna‑se com outros colegas. Tenham em mãos o livro do estudante deste volume. Escolham uma atividade que, segundo o julgamento do grupo, tenha possibilidade de gerar na aprendizagem dos alunos desempenhos diversos, variando desde alunos que compreenderão com certa facilidade até alunos que demonstrarão dificuldades extremas para realizá‑la.

a) Estipulem qual é a expectativa de aprendizagem com essa atividade, ou seja, aquilo que se espera que o aluno aprenda.

b) Roteirizem um trajeto para a realização dessa atividade em aula, com uma turma real (se possível, especifiquem inclusive o nome da turma).

c) Planejem possibilidades de ajuste na condução da aula no intento de atender a todos os alunos com suas dificuldades específicas. Se for necessário, prevejam atividades preparatórias, atividades complementares, adaptações da mesma atividade alterando a linguagem, o contexto ou a forma de se relacionar (se individual, em grupo, no coletivo) etc.

d) Com o planejamento dos ajustes necessários às diversas demandas de aprendizagem, vocês acreditam que essas intervenções pedagógicas vão favorecer o progresso individual e da turma como um todo?

• Troquem suas impressões e analisem como potencializar o uso do material.

Cenários de proposição

Sabemos que o processo de ensino‑aprendizagem é amplo e complexo. Isso nos leva a buscar meios de aprimorar esse proces so, seja no âmbito da escola, seja da prática docente, mas, especialmente, no âmbito das experiências proporcionadas aos alunos. Nessa busca tomaremos, a nosso favor, a interação entre o professor, os alunos e os conhecimentos como um conjunto chamado de cenários de proposição

As experiências de aprendizagem vivenciadas pelos alunos têm seu contexto a partir de cenários de proposição que, por sua vez, demandam vivências que incentivem a existência de competências que podem ser classificadas deste modo:

CENÁRIO DE PROPOSIÇÃO Criatividade

CARÁTER Emocional‑imaginativo

AÇÃO DOMINANTE Apresentar novas ideias e soluções.

Criticidade

Racional‑científico

Questionar e avaliar ideias e soluções.

Interatividade

Social‑tecnológico

Envolver‑se socialmente em projetos e soluções.

Os cenários de proposição são um conjunto de ações impulsionadas para favorecer a problematização, a inovação e a socia lização em sala de aula. Essas ações articulam três competências essenciais (criticidade, criatividade e interatividade) em quatro dimensões de processos.

CENÁRIO DE PROPOSIÇÃO Criticidade Criatividade Interatividade

CARÁTER Racional‑científico Emocional‑imaginativo

AÇÃO DOMINANTE Questionar e avaliar ideias e soluções.

Observar e descrever experiências.

DIMENSÃO 1:

QUESTIONAMENTO

Selecionar e analisar conhecimentos e informações relevantes.

Estabelecer relações entre conceitos e ideias.

Integrar diferentes perspectivas disciplinares.

Exercitar a curiosidade intelectual.

DIMENSÃO 2:

IMAGINAÇÃO

Buscar e criar ideias.

Experimentar ou ampliar ideias incomuns, arriscadas ou radicais.

Realizar prognóstico de um fato; prever, inferir.

DIMENSÃO 3: AÇÃO

Produzir, criar protótipos de um produto.

Propor uma solução ou uma apresentação de maneira pessoalmente nova.

Apresentar novas ideias e soluções.

Compreender as oportunidades do contexto/cenário e os limites do problema.

Identificar e questionar premissas.

Verificar a precisão de dados, fatos, informações e interpretações.

Analisar lacunas no conhecimento.

Revisar teorias e opiniões estabelecidas e imaginar diferentes perspectivas sobre o problema.

Identificar pontos fortes e fracos de evidências, argumentos, alegações e opiniões.

Social‑tecnológico

Envolver‑se socialmente em projetos e soluções.

Apreciar criticamente diversas formas de interações.

Ter empatia.

Debater e problematizar as práticas de intolerância, discriminação e violência contra indivíduos, grupos sociais ou povos com vistas à tomada de consciência e ao exercício da paz social.

Idealizar soluções mediadoras de conflitos em favor de produzir entendimento mútuo.

Conceber projetos que visam ao acolhimento das diversidades na perspectiva dos direitos humanos e da cultura de paz.

Justificar uma solução ou um produto proposto por meio de critérios/raciocínios lógicos, éticos ou estéticos.

Aderir ao bem comum propondo ações que incentivem o respeito às diferenças entre pessoas e povos.

Construir coletivamente procedimentos e normas de convívio que viabilizem a participação de todos em diferentes espaços.

DIMENSÃO 4: REFLEXÃO

Considerar e avaliar a novidade da solução escolhida e de suas possíveis consequências.

Considerar e avaliar a relevância da solução escolhida e de suas possíveis consequências.

Avaliar e reconhecer a incerteza ou os limites da solução ou posição defendida.

Refletir sobre o possível viés da perspectiva pessoal em comparação com outras perspectivas.

Julgar sua própria aptidão para respeitar regras básicas de convívio social nas interações.

Considerar aspectos relativos à qualidade do convívio social no grupo do qual faz parte em favor de propor superação de conflitos ou melhorias nas socializações.

Quais são os ganhos da prática docente quando transita por diferentes cenários? Uma das respostas está na mudança de pers pectiva, quando professor e alunos se defrontam com questões não previstas ou pouco usuais dentro dos “limites” da Matemática.

Aliás, os limites podem se tornar cada vez mais tênues à medida que mobilizamos conhecimentos por diversos cenários.

De acordo com a Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE):

Embora criatividade e pensamento crítico sejam fundamentais para a inovação e as necessidades do mercado de trabalho, outras competências complementares são igualmente importantes. A estrutura conceitual do projeto diferencia três categorias sobrepostas de “competências para a inovação”:

1) competências técnicas (know‑what [saber o quê] e know‑how [saber como]);

2) competências de criatividade e de pensamento crítico (pensamento crítico, imaginação, criatividade); e

3) competências socioemocionais (persistência, conscienciosidade, autoestima, comunicação, colaboração).

Essas três categorias de competências precisam ser desenvolvidas em conjunto.

INSTITUTO AYRTON SENNA. OCDE (2020). Desenvolvimento da criatividade e do pensamento crítico dos estudantes: o que significa na escola. Tradução Carbajal Traduções. São Paulo: Fundação Santillana, 2020. p. 52.

LUPAS E LUNETAS

Leia esta frase e, se possível, discuta depois com os outros colegas professores. O conhecimento pode ser explorado pelo aluno em diferentes perspectivas, de uma forma crítica e criativa.

a) Procurem no livro do estudante exemplos de atividades que favoreçam o que está dito nessa frase.

b) Como vocês explorariam essa atividade em sala de aula por meio de cenários de proposição? Quais categorias de cenário e de proposição seriam mais enfáticas nessa atividade? Como a aula seria conduzida para obter o melhor proveito?

c) Converse com seus pares a respeito da proposta didática de exploração dessa atividade e tentem implementá‑la nas aulas. Depois, compartilhem como foi a experiência e os resultados em um mural da sala dos professores ou no espaço virtual de troca de informações dos professores.

Avaliação formativa

Avaliação na prática pedagógica

A atividade de avaliação é contínua porque as aprendizagens estão sempre em andamento. No centro da relação ensino ‑aprendizagem estão dois importantes atores: professor e aluno, impactados reciprocamente – o que favorece, de modo contínuo, a reestruturação sociocognitiva.

A avaliação formativa, decorrente da interação entre professor e aluno, propaga estes efeitos: informativa, verificativa e corretiva. Esses efeitos impactam ambos de modos distintos, mas que se complementam.

EFEITOS DA AVALIAÇÃO FORMATIVA PROFESSOR

Informativa

As intenções com a proposta da atividade e as expectativas devem ser informadas antes de efetuar julgamentos.

Por meios indiretos (atividade do aluno) ou diretos (autoavaliação), o aluno comunica seu desempenho.

Verificativa

Por meio da observação da atividade do aluno, o professor será informado dos efeitos reais da ação de ensino e poderá submetê‑la a ajustes.

Por meio de convite à tomada de consciência sobre suas dificuldades, poderá cada vez mais se tornar apto a reconhecer e a corrigir, ele mesmo, seus erros.

Corretiva Professor e aluno, em parceria, corrigem sua ação, modificando seus modos na busca de obter os melhores efeitos.

Verbos da ação avaliativa

Em um cenário de avaliação formativa, o fio condutor das ações essenciais ao professor é composto de, basicamente, um conjunto de seis ou sete verbos:

• Desencadear: situação de ensino, por meio de exercícios, problemas, provas, questões etc.

• Observar: os comportamentos no instante da atividade do aluno;

• Coletar/registrar: informações referentes ao progresso e às dificuldades de aprendizagem;

• Interpretar: os registros desses comportamentos;

• Comunicar: os resultados da análise e apreciação final;

• Remediar: as dificuldades diagnosticadas e analisadas.

O modo como é apresentada a atividade de avaliação não pode ser separado da atividade de ensino. É verdade que a ava liação deve ser tomada como um momento autônomo (caráter de evento), mas será mais útil se, na maior parte do tempo, for concebida como um projeto educativo (caráter de processo).

Aprendizagem assistida por avaliação

O processo de aprendizagem leva, em sua complexa trama, as diversas modalidades de avaliação que, para longe de classificar, estão a serviço de estabelecer, firmar e expandir toda a estrutura de aprendizagem dos alunos. O papel da avaliação – que é o de observar, aferir e julgar – é também o que justifica sua presença no processo de aprendizagem, uma vez que, por meio dela, é pos sível favorecer aos alunos seguirem na progressão do que aprendem.

Avaliar os alunos para fazer com que evoluam melhor (rumo ao êxito), esta é a ideia central do que designamos pela expressão “aprendizagem assistida por avaliação”. Uma avaliação capaz de compreender tanto a situação do aluno quanto de “medir” seu desempenho; capaz de fornecer­lhe indicações esclarecedoras, mais do que oprimi­lo com recriminações; capaz de preparar a operacionalização das ferramentas do êxito, mais do que se resignar a ser apenas um termômetro (até mesmo um instrumento) do fracasso, não seria o mais belo auxiliar, e o primeiro meio, de uma pedagogia enfim eficaz? (HADJI, 2001)

A avaliação permeada no trabalho pedagógico eficaz é composta de redes ou camadas que se entrecortam em momentos diversos, na aula e fora dela, e nem sempre sincronizada entre o grupo de alunos. Por ser assistida, entende‑se que há um trabalho de obser vação e “leitura” quanto às produções do aluno, que exigirá, para ser apreciado, uma interpretação que leve em conta um alinhamento entre o que se espera alcançar, como alcançar e o que fazer se, em dado momento, o aluno não alcançar. Esse alinhamento compõe um código favorável para a análise, a interpretação e o julgamento de ações possíveis na remediação da aprendizagem do aluno.

LUPAS E LUNETAS

Sozinho ou junto com outro professor (de Matemática ou de outra área), escolham uma atividade do livro do estudante. Listem duas ou três dificuldades possíveis de ocorrer no momento da aula envolvendo essa atividade. Para cada uma dessas dificuldades, levem em conta perfis de “alunos possíveis” (alunos do contexto real da escola e que valem a pena ser considerados neste exercício de prática docente). Considerem o modo como cada um aprende, sob quais estímulos eles costumam dar melhores respostas, se têm melhor desempenho individualmente ou em grupo, se só resolvem situações contextualizadas ou não etc. (o ideal para essa reflexão seria ter em mãos o registro do desempenho de dois ou três alunos reais do contexto escolar local).

Considerando essas dificuldades e o perfil desses alunos, proponham decisões favoráveis ao avanço de cada um deles. Criem uma estratégia pedagógica voltada para ações de apoio tanto intelectual quanto de caráter afetivo e que sejam favoráveis à continuidade da aprendizagem de cada um desses alunos.

Ao final, publiquem em um mural, na sala dos professores ou na sala virtual, tanto o exercício do livro do estudante, como as análises, a descrição do perfil dos alunos e as propostas de intervenção pedagógica sugeridas para cada um. O ideal é que, na publicação, os nomes dos alunos não sejam citados, para preservar suas identidades e, em vez disso, o foco sejam as estratégias consideradas e os resultados obtidos.

Aproveite para apreciar as soluções apresentadas pelos outros colegas, em outras situações consideradas por eles.

3. ARTICULAÇÕES ENTRE OS MATERIAIS

Como estabelecer vínculos entre os materiais voltados para o estudante e os que são voltados para o professor?

Concepções artísticas sobre o ato de estabelecer vínculos entre pessoas, objeto e ideias.

CHECK‑IN

• Compare essas duas imagens: a construção de vínculos entre pessoas ou ideias ocorre por acaso? Por tentativa e erro? Por uma busca intencional? O que essas imagens mostram, segundo sua interpretação?

• Como você vê a construção de vínculos entre professor e aluno a partir de diferentes materiais didáticos?

• Em que medida os materiais didáticos favorecem o processo de construção desses vínculos?

• E quanto aos materiais: que vínculos você espera encontrar entre eles próprios no sentido de trazer contribuições para a prática docente?

• Você deixa claro para os alunos as suas intenções de aprendizagem?

Vínculo entre a estrutura da obra e as ações docentes voltadas para a avaliação

As estratégias de ensino e aprendizagem e suas diversas modalidades de avaliação, na etapa do Ensino Fundamental – Anos Finais, da área e do componente de Matemática, podem ser assim representadas:

Ter, de certa forma, a preocupação de informar antes de julgar. Fazer tudo para pôr a avaliação nas mãos do aluno (avaliação em primeira pessoa). Isso não leva a pensar, finalmente, que o momento próprio da avaliação é bastante secundário? Que o essencial é esclarecer, ajudar e remediar? Que, se a avaliação cumulativa é um mal necessário, a avaliação formativa só tem interesse pelo que precede ou pelo que segue o julgamento de avaliação propriamente dito: pela coleta e análise dos dados; por todo o trabalho pedagógico que tem a ambição de permitir ao aluno que progrida (o que será chamado de remediação)? Em última hipótese, a melhor maneira de pôr a avaliação a serviço das aprendizagens não seria, senão fazê­la desaparecer totalmente, pelo menos consagrar­lhe muito menos tempo e energia, para se dedicar ao trabalho pedagógico de facilitação das aprendizagens?

HADJI, Charles. Avaliação desmistificada. Porto Alegre: Artmed, 2001. p. 66.

Assumimos a palavra remediação com triplo sentido:

• Ajuste da ação ao objetivo, ou seja, no sentido de “re‑mediar”, mediar de novo e de outro modo;

• Busca por responsabilidade dupla, entre professor e aluno, na melhoria da aprendizagem.

• Vínculo construído em uma via de mão dupla, envolvendo diagnóstico e ação corretiva eficaz.

Serão apresentadas a seguir algumas noções amplas que se relacionam com o campo da educação, ou da educação matemática, para favorecer a construção de vínculos entre as ofertas de conteúdos no livro do estudante e as possibilidades teóricas norteadoras das ações docentes.

Letramento matemático

O letramento matemático remete ao conceito de letramento, próprio da área de ensino de linguagem. Este, por sua vez, se apresentou como uma resposta à noção de que o aprendizado da língua se resumia à aquisição dos códigos convencionais relacio nados à leitura e à escrita. Nesse sentido, é possível compreender letramento como algo além da alfabetização, estendendo‑se aos contextos de usos da linguagem.

Implícita nesse conceito [de letramento] está a ideia de que a escrita traz consequências sociais, culturais, políticas, econômicas, cognitivas, linguísticas, quer para o grupo social em que seja introduzida, quer para o indivíduo que aprenda a usá­la1.

No ensino de Matemática, a noção de letramento (matemático) também considera a diversidade de usos, de contextos sociais e culturais nos quais a Matemática está inserida. Assim como o termo letramento teve sua origem na palavra inglesa literacy, as pri meiras noções envolvendo o letramento matemático tiveram sua origem na palavra inglesa numeracy. No entanto, a tradução direta do termo para a língua portuguesa – numeramento – enfrentou uma série de críticas, uma vez que podia apontar ao entendimento de que o aprendizado de Matemática se resumiria aos conhecimentos sobre os números e suas operações.

Buscando um conceito mais amplo, o PISA define o conceito de letramento matemático como “a capacidade individual de for mular, empregar e interpretar a Matemática em uma variedade de contextos”.

Dados certo contexto e os contornos e as possibilidades por ele apresentados, são mobilizados variados processos matemáticos, como: formular situações matematicamente, aplicar conceitos, procedimentos e raciocínios matemáticos, avaliar e interpretar re sultados matemáticos, assim como planejar ações a partir de resultados matemáticos. Os conteúdos matemáticos, por sua vez, podem ser entendidos como a sistematização desses processos. São exemplos de conteúdos as ideias de variação e relação, espaço e formas, quantidade etc.

A BNCC parte dessas mesmas concepções para definir letramento matemático: […] competências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente […]. É o letramento matemático que assegura aos alunos reconhecer que os conhecimentos matemáticos são fundamentais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição).

De modo a desenvolver o raciocínio matemático, é necessário mobilizar competências e habilidades relacionadas à representação, comunicação e argumentação. Ou seja, é fundamental que alunos e professores interajam em situações de problemas reais, ex pressem suas ideias, produzam argumentações e justifiquem matematicamente as estratégias além do raciocínio empregado. É justamente na “interação com os pares e com adultos que as crianças vão constituindo um modo próprio de agir, sentir e pensar e vão descobrindo que existem outros modos de vida, pessoas diferentes, com outros pontos de vista”2

Representar Comunicar

Argumentar

• Representar

Aprender Matemática implica também aprender a escrever e se expressar matematicamente. Isso significa conhecer e utilizar símbolos, escrever sentenças matemáticas, gráficos e esquemas, assim como utilizar e manipular diferentes representações para os objetos matemáticos. Por exemplo, compreender que é possível descrever uma função a partir de sua expressão algébrica e a partir do gráfico correspondente.

• Comunicar

O ato de comunicar implica a existência de um interlocutor. Desse modo, o desenvolvimento do raciocínio matemático passa pela relação estabelecida entre os indivíduos. Esse ato revela também uma preocupação com o outro, com aquele que vai receber a mensagem. Assim, ao tornar comunicáveis conhecimentos, estratégias e raciocínios matemáticos, é importante também conhecer o outro e saber articular diferentes maneiras de representação. Nesse sentido, representar e comunicar são duas habilidades que não devem ser tomadas isoladamente.

• Argumentar

O desenvolvimento da habilidade de argumentar pressupõe “a formulação e a testagem de conjecturas, com a apresentação de justificativas, além dos aspectos já citados anteriormente em relação às competências de raciocinar e representar” 3. Assim como representar e comunicar são habilidades inter‑relacionadas, argumentar matematicamente perpassa ambas.

A BNCC e o letramento matemático

As Competências Específicas de Matemática para o Ensino Fundamental propostas pela Base Nacional Comum Curricular (BNCC), cada qual a partir de uma perspectiva, têm como maior objetivo o desenvolvimento do letramento matemático:

1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá­las e avaliá­las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

6. Enfrentar situações­problema em múltiplos contextos, incluindo­se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático­utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas e dados).

7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

O desenvolvimento dessas competências ao longo dos nove anos do Ensino Fundamental é gradual, apesar de as habilidades relacionadas a raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente serem trabalhadas desde o primeiro ano. De modo geral, nos anos iniciais são retomadas as experiências e vivências cotidianas da Educação Infantil, orientando‑se sempre pela ideia de que compreender a Matemática significa a apreensão dos significados dos objetos matemáticos, assim como as suas aplicações. Desse modo, nos anos iniciais são mais nítidas as relações entre os objetos matemáticos e a realidade concreta, assim como com diferentes áreas do conhecimento. Isso não significa que nos anos finais tal relação com a realidade concreta desapareça. Pelo contrário, continua sendo um elemento que motiva a investigação, que proporciona situações‑problema, que confere sentido e sig nificado para processos e conteúdos matemáticos. No entanto, em muitos casos, será a própria Matemática o contexto em que tais

movimentos ocorrem. Nesse sentido, há um mergulho na própria Matemática, um aprofundamento nos conceitos e procedimentos cujos sentido e significado se posicionam dentro da própria Matemática.

Assim, é possível considerar um desenvolvimento horizontal das habilidades e competências, estabelecendo relações com diversas áreas do conhecimento, da própria Matemática e da realidade concreta, mas também momentos de desenvolvimento vertical, no qual se aprofunda em determinado conteúdo matemático. Vale ressaltar que há complexidade nesse tipo de processo, havendo, ao longo desse desenvolvimento vertical, variadas situações de pausa e desenvolvimento horizontal, das quais se apresen tam novas oportunidades para desenvolvimentos verticais e assim por diante.

O diagrama a seguir ilustra como esse movimento pode ocorrer. A título de exemplo, destacam ‑se dois grupos de habilidades da BNCC: o primeiro trata da noção de números inteiros (EF07MA03 e EF07MA04), enquanto o segundo trata da noção de transfor mações geométricas (EF07MA20 e EF07MA21). Nota‑se um desenvolvimento vertical entre as habilidades de cada grupo. Em ambos os casos se explora o conteúdo matemático de modo a aprofundar discussões ou aprender novos detalhes desse conteúdo. É pos sível verificar também que, particularmente no desenvolvimento de habilidades como EF07MA03 e EF07MA21, ocorre também um movimento horizontal ao relacionar objetos matemáticos a diferentes contextos e significados. De modo geral, o desenvolvimento de cada grupo segue de maneira relativamente desconectada entre si. No entanto, é possível verificar como a habilidade EF07MA19 promove, ao mesmo tempo, um avanço vertical em cada grupo, além de os conectar em um movimento horizontal.

(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adições e subtração.

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

Os processos

matemáticos

Os conhecimentos explorados com os alunos fluem de forma planificada por meio de Trajetórias que entrelaçam contextos e recursos matemáticos de modo a contemplar todos os conteúdos previstos na BNCC para o Ensino Fundamental dos anos finais. Os recursos matemáticos são entendidos como os processos de investigação, a construção de modelos e a resolução de problemas

a) Sobre os processos de investigação:

[…] a atividade investigativa em sala de aula constitui­se da observação de uma situação; a partir daí começam a surgir conjecturas que vão sendo testadas. Por meio desses testes, elas poderão ser refutadas e estabelecer novas conjecturas ou, então, quando confirmadas pelos testes, vão sendo melhor definidas. Se validadas através da demonstração, podem adquirir o status de uma propriedade estabelecida pelo método matemático.

VARIZO, Zaíra da Cunha Melo; ROCHA, Luciana Parente; MAGALHÃES, Ana Paula de A. S. A Investigação matemática como es tratégia de ensino e aprendizagem da Matemática. XII Encontro Nacional de Educação Matemática. Educação Matemática na Contemporaneidade: desafios e possibilidades. SBEM, São Paulo, 13 a 15 de julho de 2016.

b) Sobre a construção de modelos:

A criação de modelos matemáticos constitui uma ferramenta importante e adequada ao ensino: a modelagem matemática busca sempre um “retorno” ao problema original, ou seja, responder à realidade, evitando se perder na pura discussão abstrata.

Ao tentar resolver um problema, explicar uma situação da realidade ou tomar ações sobre ela, é preciso mobilizar ferramentas necessárias e adequadas. Em outras palavras, um modelo que explique a situação e forneça os meios para agir sobre ela. No caso

de um modelo matemático, as ferramentas são os símbolos e as relações que representam o objeto ou a situação em questão. Trata‑se de construção mental e abstrata para representar a realidade (ainda que somente uma parte específica). Segundo Bassanezi (2002), “a importância do modelo matemático consiste em se ter uma linguagem concisa que expressa nossas ideias de maneira clara e sem ambiguidades, além de proporcionar um arsenal enorme de resultados (teoremas) que propiciam o uso de métodos computacionais para calcular suas soluções numéricas”.

Entretanto, para o desenvolvimento de atividades de modelagem matemática, é fundamental que sejam criados ambientes de aprendizagem que possibilitem a mobilização dos conhecimentos matemáticos dos alunos, sejam prévios, aprendidos na escola ou em outras experiências, sejam os que estão sendo aprendidos no momento. Nesse sentido, tais ambientes de aprendizagem devem convidar os alunos a “indagar e a investigar, por meio da Matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade”4

c) Sobre a resolução de problemas:

A resolução de problemas se configura em um elemento privilegiado para o desenvolvimento de habilidades relacionadas ao letra mento matemático, estando também associada aos processos de investigação e construção de modelos. Isso porque um problema apresenta certa questão matemática (oriunda de uma situação imaginada ou da própria realidade), cujos métodos ou estratégias de resolução não estão dados explicitamente ou não são reconhecidos imediatamente pelos alunos. Essa é uma das características que diferencia os problemas dos exercícios. No cotidiano da sala de aula é esperado que haja uma mescla entre problemas e exercícios. A resolução de um exercício costuma demandar menos tempo que de um problema. Isso não significa que se deva optar por um ou outro tipo somente, uma vez que cada um tem objetivos pedagógicos diferentes e, de certo modo, complementares. Nesse sentido, a construção de boas situações‑problema deve:

• contemplar conteúdos diversos que necessitem ou estimulem a mobilização não só de conhecimentos matemáticos, como também de outras áreas e de experiências vivenciadas;

• evitar cenários que admitam uma única estratégia de resolução;

• fomentar a interação e a cooperação entre os alunos;

• valorizar o pensamento reflexivo e crítico, tanto sobre o processo de resolução quanto sobre as soluções obtidas. De modo geral, é possível pensar o processo de resolução de problemas segundo as etapas propostas por Polya5:

Compreender o problema.

Estabelecer um plano para resolver o problema. Executar o plano.

Verificar e avaliar a solução.

Cabe ressaltar que, ao longo dessas etapas, é importante conversar com os alunos sobre o processo de resolução de problemas, de modo a refletir sobre a própria experiência e aplicá‑la em outras situações e contextos. É parte desse processo o ato de elaborar problemas, uma vez que o aluno precisa antecipar possíveis estratégias de resolução.

Os processos de investigação, a modelagem e a linguagem matemática e as estratégias de resolução de problemas compõem um campo abrangente e propício para a aprendizagem em Matemática.

4 ROSA, M.; OREY, D. C. A modelagem como um ambiente de aprendizagem para a conversão do conhecimento matemático. Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 261‑290, abr. 2012.

5 POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.

Flexibilização curricular da coleção

Consideramos o currículo uma estrutura dinâmica e em constante construção e transformação. Não é estático ou cristalizado no tempo, mas aberto às experiências e vivências da comunidade escolar, assim como às discussões mais atuais no âmbito das ciências, da cultura e das transformações sociais. Mais ainda, uma educação pensada segundo ideias de interdisciplinaridade e de valorização da diversidade deve considerar o currículo de maneira ampla e flexível, garantindo a participação ativa dos alunos e da comunidade escolar como um todo, o desenvolvimento de projetos interdisciplinares, assim como fomentar a autonomia dos professores para construir um “currículo” adequado às possibilidades e necessidades apresentadas pelo ambiente em que estão inseridos.

Organizamos cada volume em quatro Trajetórias, que, por sua vez, estão subdivididas em três passeios cada uma. Estimamos que a duração média de trabalho com cada passeio seja de três semanas, considerando um ano letivo de aproximadamente 40 semanas. Entretanto, essa é apenas uma sugestão de organização do cronograma, cabendo ao professor adaptá‑lo a seu ritmo e sua realidade. Para além do fator tempo, há diferentes maneiras de “ler e acompanhar o livro”. Se, por um lado, uma leitura mais linear expressa a organização lógica e a visão pedagógica dos autores, foi também objeto do nosso cuidado garantir que você, professor, pudesse se apropriar das referidas lógica e visão e transformá‑las, de modo que expressasse seus próprios valores, o conhecimento dos seus alunos e famílias, as características da instituição escolar e da comunidade em que se inserem. Nesse sentido, apresentaremos algumas sugestões de outras maneiras de “ler e acompanhar o livro” para servir de inspiração ao professor.

Se o projeto didático do professor reforça os aspectos envolvidos na avaliação, nos problemas e nos exercícios, então as maneiras de flexibilizar o currículo proposto serão de um tal modo; se, por outro lado, o projeto do professor reforça os aspectos envolvidos nas perguntas norteadoras, nos TCTs e na interdisciplinaridade, então as maneiras de flexibilizar serão de outra forma.

Aspectos envolvidos na avaliação, nos problemas e nos exercícios

A seção Prontos para começar! inicia cada livro e tem como objetivo realizar uma avaliação diagnóstica. Os problemas apre sentados na seção apontam para habilidades essenciais de cada unidade temática da Matemática, tal qual pressupostas pela BNCC. É interessante que o professor, a partir do próprio conhecimento sobre os alunos e a escola, avalie a pertinência das atividades propostas e realize adequações, caso sejam necessárias.

Após Prontos para começar!, a estrutura do livro – quanto a avaliações, atividades, exercícios e problemas – segue uma lógica na qual, depois da discussão de certos pontos teóricos e da apresentação de exemplos em meio a contextos diversos, abrem‑se seções de Atividades, com caráter de desenvolvimento ou verificação de conhecimentos, apresentando, em muitos casos, contex tos diferentes daqueles utilizados na discussão teórica. Ao longo dessa discussão, estão os boxes Lupas e lunetas, que conduzem o estudante a uma reflexão mais aprofundada sobre algum aspecto matemático, sobre o contexto geral, ou, ainda, propondo uma articulação entre ambos. Caso julgue que os estudantes ainda não estão preparados para desenvolver satisfatoriamente as propostas de Lupas e lunetas, o professor pode antecipar alguns dos problemas e exercícios de Atividades, tanto para servir, neste momento, como diagnóstico, quanto para tirar eventuais dúvidas ou superar dificuldades pontuais. O mesmo pode ocorrer com seções como Travessias, que conduz os alunos por investigações de caráter matemático, e Nuvens, que apresenta possíveis relações entre o contexto, a Matemática e as tecnologias digitais.

Ao final de cada Trajetória, a seção Vistorias (em especial a subseção Check-out) propõe outros problemas e exercícios rela cionados às discussões realizadas, porém, a partir de outros contextos e apresentando diferentes graus de dificuldade e níveis de complexidade dos problemas e exercícios presentes em Atividades. Para finalizar o livro de cada ano, é apresentada também a seção Suplemente sua aprendizagem, com problemas de diversos tipos de exames, desde concursos, macroavaliações até ves tibulares ou vestibulinhos. Tais problemas, de modo geral, têm graus de dificuldade e níveis de complexidade maiores que os até então apresentados aos estudantes. Uma possibilidade de adaptação desses diferentes momentos de resolução de problemas ou desenvolvimento de atividades é justamente incorporar às Atividades os problemas das seções Check-out e Suplemente sua aprendizagem, construindo, dessa maneira, um conjunto mais amplo de exercícios e problemas. Para estruturar esse movimento, sugerimos a análise dos objetivos de aprendizagem apresentados em Bússola e Levo na bagagem

Aspectos envolvidos nas perguntas norteadoras, nos TCTs e na interdisciplinaridade

Cada Trajetória apresenta uma pergunta norteadora, que, por sua vez, se desdobra em outras três, estabelecendo‑se como os fios condutores de cada passeio. Tais perguntas também se articulam com os Temas Contemporâneos Transversais (TCTs) propos tos para cada passeio. Consideramos, ao longo da coleção, o desenvolvimento de um trabalho interdisciplinar no qual, em certos momentos, são os contextos, os TCTs ou as habilidades e competências de outras áreas do conhecimento que dão significado, ou mesmo ressignificam, os conhecimentos matemáticos, enquanto em outros momentos é justamente a Matemática que se apresenta “a serviço” de outras áreas ou do contexto. Esse tipo de conexão é ocasionado não somente pelas perguntas norteadoras no início dos passeios, mas também pelas seções Atmosfera e Check-in, pelas situações apresentadas, pelos temas desenvolvidos nos boxes Lupas e lunetas e, especialmente, pela seção Barcos e portos, que propõe um olhar integrador para as perguntas norteadoras, os TCTs, a Matemática e as demais áreas do conhecimento.

Dessa maneira, a ênfase dada a tais seções pode transformar o caráter das aulas, desde uma situação na qual os contextos apresentam os sentidos e significados para os conhecimentos matemáticos, atividades que se assemelham a projetos ou sequências didáticas, até aquelas em que variados conhecimentos e saberes são mobilizados, sem dissociar qual é a área do conhecimento predominante.

Caso o professor deseje, é possível enriquecer a experiência dos estudantes aprofundando as discussões sobre as perguntas norteadoras e os TCTs, trazendo convidados ou professores de outras áreas, novos textos, fotografias, vídeos, realizando visitas, passeios de campo etc. Dessa maneira, considere utilizar boxes e seções em diferentes momentos, à luz das alterações pensadas

para as aulas. A seção Barcos e portos, por exemplo, foi idealizada para fechar os passeios, porém muitas delas contêm elementos e discussões que podem ser trazidos para outros momentos do desenvolvimento dos passeios Da mesma maneira, os textos de Atmosfera foram pensados de modo a ambientar os estudantes no início do passeio. Entretanto, o professor tem a liberdade de substituí‑los ou pensar em outras opções, como a apresentação de um vídeo, utilizando o texto em outra ocasião.

Como anunciado anteriormente, as sugestões feitas não são únicas: visam apenas inspirar os professores a considerar “outras leituras” para os livros da coleção, de modo a exercer sua autonomia docente e adaptar as ideias apresentadas às diferentes reali dades em que atuam, ampliando o escopo do trabalho dos autores. Esperamos que este material possa auxiliar o trabalho docente, sendo subsídio e inspiração para os professores.

Mapa dos Temas Contemporâneos Transversais na BNCC

Nesta coleção, os Temas Contemporâneos Transversais (TCTs) são referenciados pelos contextos apresentados nas diversas si tuações didáticas propostas ao longo de cada volume. As perguntas motivadoras, em grande parte, servem de gatilho para propiciar reflexões, ampliar a visão de mundo do aluno e, ao mesmo tempo, atender as demandas sociais contemporâneas.

Na BNCC, os TCTs totalizam quinze temas, distribuídos em seis macroáreas, conforme mostra esta imagem:

MEIO AMBIENTE

Educação Ambiental Educação para o Consumo

CIÊNCIA E TECNOLOGIA

Ciência e Tecnologia

MULTICULTURALISMO

Diversidade Cultural Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

Temas Contemporâneos

Transversais na BNCC

ECONOMIA

Trabalho

Educação Financeira

Educação Fiscal

SAÚDE

Saúde

Educação Alimentar e Nutricional

CIDADANIA E CIVISMO

Vida Familiar e Social Educação para o Trânsito Educação em Direitos Humanos Direitos da Criança e do Adolescente Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

Fonte: BRASIL. Disponível em: https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://basenacionalcomum.mec.gov. br/images/implementacao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf&ved=2ahUKEwjik46_m4P6AhX7ppUCHWngCskQF noECAkQAQ&usg=AOvVaw3cfX9DlW6gGGB2GIXLzRqH. Acesso em: 7. set. 2022

BIBLIOGRAFIA

CARVALHO, Cicefran S. de. A aprendizagem cooperativa no ensino da Matemática Curitiba: Appris, 2019. Relato de uma experiência pedagógica focada na metodologia da aprendizagem cooperativa em uma cidade do Ceará, com o intuito de motivar e inspirar professores a aproveitar elementos dessa metodologia em sua sala de aula.

COHEN, Elizabeth G.; LOTAN, Rachel A. Planejando o trabalho em grupo: estratégias para salas de aula heterogêneas. 3. ed. Porto Alegre: Penso, 2017. O livro contém pesquisas e resultados mais recentes sobre a estratégia do trabalho em grupo na sala de aula, com o objetivo de alcançar uma dinâmica equilibrada e adequada para a aprendizagem de todos os alunos.

HADJI, Charles. Avaliação desmistificada. Porto Alegre: Artmed, 2001. Uma visita aos últimos 30 anos do ensino e as análises, pesquisas e debates sobre o tópico polêmico da avaliação, com o objetivo de fornecer ao docente todos os elementos para implementar um sistema mais justo e adequado em sua sala de aula.

HOFFMANN, Jussara. Avaliação mediadora 35. ed. Porto Alegre: Mediação, 2019. A avaliação mediadora é um instrumento poderoso para legitimar o professor como aquele que encaminha a aprendizagem de forma mais orgânica e fluida. Neste livro, tal prática é aprofundada para tanto.

HOFFMANN, Jussara. O jogo do contrário em avaliação 10. ed. Porto Alegre: Mediação, 2018. E se a melhor avaliação possível fosse exatamente o contrário do que é praticado nas salas de aula até hoje? É o que propõe a autora, com exemplos e ideias que certamente levarão o docente a repensar suas práticas.

LEMOV, Doug. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. 2. ed. Porto Alegre: Penso, 2018. Uma coletânea de diferentes e inusitados relatos de professores em sala de aula por todo o globo, com técnicas e estratégias diferenciadas para aprimorar a experiência em sala de aula.

MOREIRA, Adelson F.; PEDROSA, José Geraldo; PONTELO, Ivan. O conceito de atividade e suas possibilidades na interpretação de práticas educativas. Ensaio: pesquisa em educação em ciências. v. 13, n. 3, p. 13‑29. Belo Horizonte: UFMG, 2011. Elaborações sobre a prática escolar com diálogos entre novas ideias e reflexões sobre o que já é proposto e consolidado por autores como Vygotsky e Leontiev.

SCHÖN, Donald A. Educando o profissional reflexivo: um novo design para o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artmed, 2000. Livro com a proposta de trazer uma formação profissional diferenciada para o leitor, focando na “reflexão‑na‑ação”, baseando o ensino muito mais na ação do que no modelo clássico de ouvir e ver.

VILLAS BOAS, Benigna M. de F. (org.). Avaliação: interações com o trabalho pedagógico. Campinas: Papirus, 2017. Análise da avaliação como estratégia que ocorre em três camadas diferentes do ambiente da educação: em todas as ações da escola, especificamente na sala de aula, e no diálogo entre cursos de licenciatura e o ensino básico.

VILLAS BOAS, Benigna M. de F. Portfólio, avaliação e trabalho pedagógico 8. ed. Campinas: Papirus, 2012. A utilização do portfólio como método avaliativo é muito presente em algumas disciplinas e cursos superiores, mas subaproveitado em outros casos. Ao explorar todos os pontos positivos do portfólio, o autor convida o leitor a refletir sobre a possibilidade da inclusão do método em suas avaliações.

ZABALA, Antoni; ARNAU, Laia. Como aprender e ensinar competências. Porto Alegre: Artmed, 2010. A BNCC trouxe à tona a discussão sobre as habilidades e competências, e essa discussão fortaleceu e engrandeceu muito o ensino em geral. Mas... como ensinar as competências?

ZASLAVSKY, Alexandre. Ação pedagógica, ação comunicativa e didática. Conjectura: filosofia e educação. v. 22, n. 1, p. 69‑81. jan./ abr. Caxias do Sul: EDUCS, 2017. Artigo da revista Conjectura, que traz uma reflexão aprofundada sobre o papel da comunicação na didática.

TRAJETÓRIA 2 – ESSENCIAIS: PARA ESTE VOLUME

O uso de tecnologias digitais nas aulas de Matemática pode não somente apresentar diferentes significados para o conhecimento, mas também abrir novas possibilidades em termos de estratégias de resolução de problemas, assim como de comunicação e expressão.

CHECK‑IN

• Você utiliza tecnologias digitais em suas aulas? De que maneira?

• Em algumas ocasiões, as experiências pessoais, os significados atribuídos e o uso de tecnologias digitais podem ser diferentes para professores e estudantes. Como você lida com essas situações em sala de aula?

ARTICULAÇÕES ENTRE OBJETIVOS, JUSTIFICATIVAS DESSES OBJETIVOS, COMPETÊNCIAS E HABILIDADES

A BNCC se articula em torno de habilidades, competências gerais e competências específicas. Entretanto, cabem aos sistemas ou redes de ensino e instituições escolares as decisões que objetivem a adequação de tais habilidades e competências às realidades locais, aos contextos e características dos estudantes e suas famílias. Parte dessas decisões se referem às “formas de organização interdisciplinar dos componentes curriculares” (BNCC, 2018, p. 16).

Na concepção desta obra são consideradas fundamentais as concepções de pedagogia denominadas competências e habilidades, assim como de interdisciplinaridade. Consideramos que uma competência se constitui pelos conhecimentos, atitudes e habilidades mobilizados. Nesse sentido, é importante considerar que os conhecimentos não são estáticos (ou acabados), mas algo em constante condição de revisão, avaliação e aprendizado. As habilidades, por sua vez, se situam no âmbito da utilização dos conhecimentos para resolver problemas, desenvolver estratégias, lidar com situações, agir sobre essas etc. Por fim, as atitudes se enquadrariam no âmbito das maneiras de se posicionar nas diversas situações de mobilização dos conhecimentos e habilidades. Já a concepção de interdisciplinaridade pode ser entendida pela proposição de variadas disciplinas mobilizadas simultanea mente, com relações claras entre si. Tais relações pressupõem a existência de coordenação e organização entre si, bem como a decisão sobre qual disciplina terá mais ou menos peso dentro de tal organização.

Ambas as concepções se articulam, por sua vez, com o desenvolvimento do letramento matemático ao longo dos anos do Ensino Fundamental, uma vez que a ideia de letramento matemático considera a diversidade de usos, de contextos sociais e culturais nas quais a Matemática está inserida. Segundo a BNCC, o letramento matemático se refere justamente a:

[…] competências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente […]. É o letramento matemático que assegura aos alunos reconhecer que os conhecimentos matemáticos são fundamentais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição).

(BNCC, 2018, p. 266)

É possível verificar que as competências gerais propostas pela BNCC para a Educação Básica se traduzem nas diferentes Competências Específicas de Matemática que, por sua vez, se desdobram em habilidades de diversas áreas: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas e Probabilidade e Estatística

Apresentaremos, a seguir, dentro da concepção da obra, como se articulam os principais objetivos de aprendizagem, as com petências e as habilidades.

Trajetória 1 do LE

Competência geral

8. Conhecer‑se, apreciar‑se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo‑se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

Habilidades

EF07MA01, EF07MA06 e EF07MA07.

Objetivos

PASSEIO 1

Competência específica

2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

• Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo.

• Determinar máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum de dois ou mais números.

• Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas – que têm a mesma estrutura – podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

• Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.

Articulações e justificativas

De modo a retomar e aprofundar conhecimentos relacionados aos números naturais, como as noções de múltiplo e divisor, são apresentadas diversas situações‑problema em diferentes contextos. Tais situações criam oportunidades para o desenvolvimento de estratégias de resolução de problemas, o teste de hipóteses, a discussão dos resultados e maneiras de se expressar ou se comunicar matematicamente. Ao criar um ambiente saudável de trocas e discussões com foco em conhecimentos matemáticos, proporciona‑se outro significado para as atividades matemáticas, contribuindo para o desenvolvimento, por exemplo, da autoestima do estudante. Em certa instância, compreender suas dificuldades e potencialidades, assim como reconhecê‑las nos colegas com empatia, possibilita trabalhar a própria saúde emocional, assim como a dos colegas. PASSEIO

2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

Habilidades

EF07MA08, EF07MA09, EF07MA11 e EF07MA12.

Objetivos

• Compreender diversas ideias sobre as frações: parte do todo, resultado de divisão, fração de quantidade e razão.

• Identificar e obter frações equivalentes.

• Efetuar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo frações.

• Resolver problemas envolvendo operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com frações.

• Compreender a potenciação envolvendo frações.

Articulações e justificativas

Objetos de conhecimento como “frações” possuem a capacidade de mobilizar diversos conhecimentos dos estudantes, uma vez que a eles podem ser atribuídos diferentes significados e interpretações, maneiras de representação e utilização em diversos contextos, estabelecendo relações não somente com outras áreas de conhecimento, como também com questões cotidianas. Nessa complexidade de relações, apresentam‑se aos estudantes possibilidades de investigar matematicamente e resolver problemas utilizando diferentes estratégias.

Esse tipo de trabalho se torna mais potente e interessante ao estudante quando desenvolvido de forma cooperativa, de modo a buscar conjuntamente as soluções dos problemas.

10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Habilidades

EF07MA02, EF07MA05 e EF07MA34.

Objetivos

• Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora em contextos diversos.

• Resolver um mesmo problema utilizando diferentes procedimentos.

• Reconhecer fenômenos determinísticos e fenômenos aleatórios.

• Realizar (ou simular) experimentos aleatórios que envolvem cálculo (ou estimativas) de probabilidades.

Articulações e justificativas

O reconhecimento de fenômenos determinísticos e aleatórios é fundamental para o desenvolvimento de habilidades relacionadas à Probabilidade e Estatística, uma vez que garante sentido a noções como “chance de ocorrer certo evento”. Nota‑se também que se agregam outros significados às ideias de fração e porcentagem, de maneira a responder quão provável ou não é a ocorrência de certo evento. Nesse tipo de atividade, é importante que os estudantes tenham a oportunidade de realizar ou simular experimentos aleatórios. Por um lado, ao discutir coletivamente a sua elaboração e execução, os estudantes podem verificar se realmente se apropriaram dos conceitos em jogo, tirar suas dúvidas e aprender com os colegas. Por outro, é possível analisar os resultados dos experimentos aleatórios e tomar decisões com base na chance de ocorrência de determinado evento. Ao passo que tais decisões são inicialmente baseadas em situações mais simples, é possível extrapolar a discussão no âmbito da tomada de decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

Competência geral

1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.

PASSEIO 1

Competência específica

1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

Habilidades

EF07MA03, EF07MA04 e EF07MA29.

Objetivos

• Reconhecer números inteiros negativos em diferentes contextos e situações‑problema.

• Resolver problemas envolvendo números inteiros e diferentes grandezas e medidas.

• Compreender a composição do conjunto dos números inteiros.

• Realizar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo números inteiros em diferentes contextos e situações‑problema.

• Calcular o resultado de uma potenciação quando a base é um número negativo.

Articulações e justificativas

Ao apresentar os números inteiros negativos para os estudantes, deve‑se partir de situações contextualizadas de modo a mobilizar suas referências e conhecimentos prévios. Isso porque trata‑se de uma apresentação “formal” ou “escolarizada”, uma vez que os números negativos possivelmente já fazem parte do cotidiano de vários estudantes. Nesse sentido, é interessante que o estudante compreenda como a humanidade vai desenvolvendo a Matemática e novos conjuntos numéricos tornam‑se necessários ao longo da história. Isso ajuda o estudante a compreender que a Matemática é, de fato, uma produção humana, valorizando os conhecimentos historicamente construídos. Esse movimento de compreensão e sistematização dos números inteiros ocorre conjuntamente com a exploração de propriedades, operações e resolução de problemas envolvendo números inteiros negativos.

Competência geral Competência específica

3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico‑cultural.

4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá‑las e avaliá‑las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

Habilidades

EF07MA13, EF07MA14, EF07MA15, EF07MA16 e EF07MA17.

Objetivos

• Interpretar e representar matematicamente uma situação‑problema do cotidiano.

• Utilizar expressões algébricas para interpretar e resolver problemas cotidianos.

• Identificar e construir sequências numéricas e não numéricas.

• Identificar e utilizar leis de formação em sequências recursivas ou não recursivas.

• Compreender a noção de proporcionalidade direta e inversa.

Articulações e justificativas

Diversas áreas da Matemática podem ser interpretadas como modos de compreender e agir sobre a natureza e o entorno. No entanto, a álgebra proporciona possibilidades bastante interessantes, uma vez que a partir dela busca‑se não somente modelar ou “matematizar” uma situação específica, mas também obter uma solução geral que possa ser aplicada a outras situações e contextos. Tal característica promove maior compreensão dos conteúdos matemáticos envolvidos e um olhar mais amplo para diferentes contextos. Ao trabalhar no coletivo para descrever algebricamente uma dada situação, é necessário argumentar com base em fundamentos matemáticos e expressar suas ideias e hipóteses, ao mesmo tempo em que se respeitam ideias e argumentações dos demais, obtendo um consenso. Do contato com diversos colegas em diferentes situações e contextos, espera‑se que os estudantes possam valorizar e fruir as muitas manifestações artísticas e culturais.

Competência geral

PASSEIO 3

9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo‑se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

Habilidades

EF07MA22, EF07MA23, EF07MA27, EF07MA28 e EF07MA33.

Objetivos

• Medir ângulos com transferidor.

Competência específica

7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

• Construir circunferências, utilizando compasso, para fazer composições artísticas.

• Resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

• Reconhecer relações entre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal e calcular medidas de ângulos considerando essas relações.

• Estabelecer o número como a razão entre a medida do comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas.

• Estabelecer relações entre ângulos internos e ângulos externos de polígonos.

• Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, para resolver problemas vinculados à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

• Descrever por escrito etapas da construção de um polígono regular.

Articulações e justificativas

A Matemática é uma produção humana, fruto das necessidades e desafios impostos pelo entorno, pelos diferentes contextos e momentos da história. É fruto da criatividade humana e da curiosidade em buscar explicações para o mundo. A geometria, por sua vez, se inscreve nesse âmbito, estando em muitos casos relacionada às expressões artísticas e manifestações culturais de variados povos e culturas. Nesse sentido, é possível desenvolver atividades envolvendo geometria que utilizem referências das artes e da arquitetura. Ao propor atividades coletivas, é possível colocar em jogo os diferentes contextos pessoais de cada estudante, assim como seus olhares sobre as referências “dos outros”. Esse tipo de atividade privilegia a valorização da diversidade. Ao trazer essa bagagem de experiências pessoais para a discussão de questões socialmente relevantes, amplia‑se tal olhar agregando novos significados e possibilidades de atuação tanto para conteúdos de geometria quanto para os contextos nos quais estes se situam.

4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual‑motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

4. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

6. Enfrentar situações‑problema em múltiplos contextos, incluindo‑se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático‑utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

Habilidades

EF07MA10, EF07MA11, EF07MA12 e EF07MA29.

Objetivos

• Reconhecer números racionais em diferentes contextos e situações‑problema.

• Resolver problemas envolvendo números racionais.

• Compreender a composição do conjunto dos números racionais.

• Realizar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo números racionais em diferentes contextos e situações‑problema.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

Articulações e justificativas

Descrever matematicamente situações, reais ou imaginadas, utilizando números racionais, implica no conhecimento, por parte dos estudantes, de diferentes maneiras de registar e operar com números naturais, frações, números decimais e números negativos. Essa variedade de registros, bem como de estratégias de resolução de problemas, proporciona ao estudante sistematizar e ressignificar operações e propriedades dos conjuntos numéricos. Ações como comunicar‑se e expressar‑se matematicamente crescem, dessa maneira, em complexidade, uma vez que se apresentam mais possibilidades para representar, registrar e operar com os números. Ao trabalhar de modo cooperativo com os colegas, os estudantes precisam mobilizar os próprios conhecimentos, formas de registro e estratégias de resolução de problemas, ao passo que comunicam aos pares as opções feitas e tentam compreender as dos demais.

Competências gerais Competências específicas

4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá‑las e avaliá‑las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

6. Enfrentar situações problema em múltiplos contextos, incluindo se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

Habilidades

EF07MA13 e EF07MA18.

Objetivos

• Compreender a diferença entre variável e incógnita.

• Resolver problemas do cotidiano utilizando equações.

• Utilizar diferentes estratégias para resolver equações.

Articulações e justificativas

Ao modelar algebricamente situações cotidianas, sejam elas reais ou imaginadas, os estudantes realizam um exercício de generalização, de saída do “concreto” em direção ao “abstrato”. Ao descrever determinada situação com uma equação, busca‑se encontrar o valor desconhecido, ou seja, a incógnita. A partir dos significados da igualdade, é possível desenvolver técnicas ou procedimentos para obter tal valor e, de certa maneira, agir sobre a situação apresentada. Uma maneira de explorar possíveis soluções para equações é justamente pelo uso de calculadoras ou planilhas eletrônicas. Assim, é possível não somente aprimorar as estratégias de resolução, como também compreender a diferença entre variável e incógnita. Esse tipo de discussão favorece o desenvolvimento de um olhar sistemático das situações cotidianas, bem como a avaliação crítica sobre resultados e conclusões obtidos.

Competências gerais

4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual‑motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

Competências específicas

5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

6. Enfrentar situações‑problema em múltiplos contextos, incluindo‑se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático‑utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

Habilidades

EF07MA19, EF07MA20 e EF07MA21.

Objetivos

• Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão.

• Reconhecer e representar figuras simétricas no plano cartesiano.

• Realizar transformações geométricas em pontos e polígonos no plano cartesiano pela multiplicação de suas coordenadas por números inteiros.

Articulações e justificativas

A noção de simetria é bastante presente no dia a dia. Mesmo que não seja de maneira sistematizada, o estudante pode reconhecer simetrias em objetos, na arte, na arquitetura, na natureza etc. e, então, partindo dessas referências, o estudo de simetrias ganha sentido. É fundamental, entretanto, que o estudante possa não somente reconhecer e saber justificar a existência de eixos de simetria ou de figuras simétricas, como também produzir figuras simétricas de diferentes tipos. Isso possibilita o uso de diferentes linguagens e maneiras de expressar as informações.

7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

Habilidades

EF07MA24, EF07MA25 e EF07MA26.

Objetivos

• Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações.

• Construir triângulos usando régua e compasso.

• Reconhecer a condição de existência de um triângulo.

2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

• Reconhecer que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

• Descrever por escrito o processo de construção de um triângulo qualquer, dadas as medidas de seus lados.

Articulações e justificativas

A geometria está presente em diversas situações cotidianas, em manifestações artísticas, na arquitetura e na engenharia. Observar de maneira sistemática elementos geométricos permite não somente reconhecer neles a presença de modelos de variadas figuras geométricas, como também compreender as intenções subjacentes a seus usos, por exemplo, reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos. Nesse sentido, busca‑se investigar tais questões matematicamente, bem como promover um olhar crítico a respeito da atuação da humanidade sobre o entorno e a natureza. PASSEIO 2 Competência

6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar‑se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.

Habilidades

EF07MA30, EF07MA31 e EF07MA32.

Objetivos

4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá‑las e avaliá‑las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

• Reconhecer as unidades de medida de volume usuais como metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico.

• Resolver e elaborar problemas de cálculo de volume.

• Calcular áreas das superfícies de quadriláteros e triângulos.

• Compor e decompor figuras planas utilizando equivalência entre áreas.

• Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de superfícies de figuras planas.

Articulações e justificativas

Estratégias para o cálculo de áreas das superfícies de figuras planas e do volume de sólidos geométricos podem ser identificadas ao longo da História da Matemática por diferentes povos e culturas. Nesse sentido é interessante colocar os estudantes em contato com diferentes estratégias para o cálculo de áreas, utilizando diversos materiais, assim como tecnologias digitais. Recursos como decomposição de figuras em quadrados, triângulos etc. contribuem para a construção da própria noção de área da superfície, assim como apresentam a ideia de unidade de medida de superfície. Situações similares podem ser realizadas no cálculo do volume de blocos retangulares.

PASSEIO 3

6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar‑se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.

Habilidades

EF07MA35, EF07MA36 e EF07MA37.

Objetivos

7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

• Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social.

• Interpretar dados de uma pesquisa e comunicá‑los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos.

• Interpretar e analisar dados apresentados em gráficos de setores.

• Compreender o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa.

Articulações e justificativas

Enquanto outras áreas da Matemática permitem compreender e agir sobre o mundo a partir de sua observação sistemática, da identificação de padrões etc., a Estatística apresenta, entre outras possibilidades, o que pensam determinados grupos de pessoas, quais suas opiniões sobre determinados temas etc. Isso permite um outro olhar sobre questões cotidianas, especialmente aquelas de urgência ou relevância social. A partir de uma pesquisa estatística, por exemplo, é possível compreender o que pensam as pessoas envolvidas em determinada situação, tirar conclusões e planejar ações baseadas em princípios éticos e democráticos. No entanto, não é somente sobre pesquisas de opinião que o trabalho pedagógico envolvendo Estatística deve se fixar. É importante explorar, por exemplo, maneiras de descrever uma população ou características inerentes a certa situação‑problema. Espera ‑se que o estudante, ao tomar contato com tamanha diversidade de opiniões, ideias, elementos etc., possa se sensibilizar, valorizando diferentes saberes e vivências culturais.

LUPAS E LUNETAS

Ao longo do Livro do Estudante, são oferecidas variadas oportunidades para se trabalhar habilidades e competências a partir do uso de tecnologias digitais, especialmente em seções como Nuvens. Retome algumas dessas situações no Livro do Estudante. Compartilhe com colegas e discutam as possibilidades de articular as habilidades e competências apresentadas anteriormente também com o uso de tecnologias digitais.

SUBSÍDIOS PARA TRABALHAR A INTERDISCIPLINARIDADE

Os quadros explicitam as possibilidades de trabalho com outras disciplinas.

TRAJETÓRIA 1 DO LE

TCT: Diversidade Cultural, Vida Familiar e Social

Quadro de interdisciplinaridade DISCIPLINA HABILIDADE JUSTIFICATIVA

(EF69LP36) Produzir, revisar e editar textos voltados para a divulgação do conhecimento e de dados e resultados de pesquisas, tais como artigos de divulgação científica, verbete de enciclopédia, infográfico, infográfico animado, podcast ou vlog científico, relato de experimento, relatório, relatório multimidiático de campo, dentre outros, considerando o contexto de produção e as regularidades dos gêneros em termos de suas construções composicionais e estilos.

(EF69LP13) Engajar‑se e contribuir com a busca de conclusões comuns relativas a problemas, temas ou questões polêmicas de interesse da turma e/ou de relevância social.

Saber expressar ideias matemáticas e se comunicar matematicamente são habilidades fundamentais para o desenvolvimento do letramento matemático. Nesse sentido, existem variadas possibilidades que podem ser apresentadas nas aulas de Matemática, por exemplo: produção de verbetes ou textos informativos, infográficos, esquemas, mapas conceituais etc. Para cada um deles, é possível pensar maneiras para apresentá‑los, desde textos escritos no caderno ou em cartazes até animações, websites etc. Entretanto, independentemente da opção realizada, é necessário construir um repertório para os estudantes, ou seja, apresentar e discutir uma boa diversidade de exemplos, sejam eles oriundos da própria Matemática, sejam de outras áreas do conhecimento.

Saber argumentar matematicamente é um aspecto importante para o desenvolvimento do letramento matemático, assim como para o aprendizado de Matemática nos anos seguintes de escolaridade e ao longo da vida. Então, é possível não somente tratar a argumentação em um âmbito puramente matemático, como na discussão de estratégias de resolução de problemas, mas também utilizar argumentos matemáticos em debates que envolvam outros contextos. Por exemplo, utilizar dados estatísticos para sustentar ou refutar determinado ponto de vista. Ao desenvolver uma atividade de debate regrado, é importante esclarecer aos estudantes que o objetivo é produzir argumentações convincentes de modo a defender uma ideia ou de contra‑argumentar as ideias de outros participantes. Além da pesquisa necessária para aprender mais sobre o tema e construir bons argumentos, os estudantes precisam aprender regras de participação em um debate regrado, por exemplo, reconhecer e respeitar turnos de fala.

(EF67LP03) Comparar informações sobre um mesmo fato divulgadas em diferentes veículos e mídias, analisando e avaliando a confiabilidade.

Enquanto o combate às fake news ou a informações equivocadas é uma habilidade fundamental atualmente, é também necessário saber distinguir como diferentes veículos de notícia podem apresentar a mesma informação, porém com interpretações diferentes. Por exemplo, “52% dos entrevistados disseram estar bastante otimistas” e “quase metade dos entrevistados estão pessimistas”. Nesse sentido, é importante apresentar aos alunos notícias ou artigos sobre um mesmo tema, porém sob perspectivas diferentes.

Língua Portuguesa

TRAJETÓRIA 2 DO LE

TCT: Educação Ambiental, Diversidade Cultural, Educação em Direitos Humanos

Quadro de interdisciplinaridade

DISCIPLINA HABILIDADE

(EF07CI07) Caracterizar os principais ecossistemas brasileiros quanto à paisagem, à quantidade de água, ao tipo de solo, à disponibilidade de luz solar, à temperatura etc., correlacionando essas características à flora e fauna específicas.

Ciências

(EF07GE03) Selecionar argumentos que reconheçam as territorialidades dos povos indígenas originários, das comunidades remanescentes de quilombos, de povos das florestas e do cerrado, de ribeirinhos e caiçaras, entre outros grupos sociais do campo e da cidade, como direitos legais dessas comunidades.

Geografia

(EF07GE07) Analisar a influência e o papel das redes de transporte e comunicação na configuração do território brasileiro.

JUSTIFICATIVA

O estudo dos ecossistemas brasileiros pode definir o contexto para se trabalhar diferentes unidades temáticas. Por exemplo: Medidas (ao trabalhar distâncias territoriais, características físicas de animais e vegetações, amplitude térmica etc.); Números (ler e registrar números em diferentes tipos de representação, utilizar números negativos em casos pontuais de temperatura, resolução de problemas envolvendo medidas e dados dentro do contexto em jogo); Estatística (ler, analisar e elaborar relatórios, textos técnicos ou midiáticos com dados expressos em tabelas, gráficos ou inseridos no próprio texto). Nesse sentido, é possível notar que um trabalho conjunto com a disciplina de Ciências é bastante interessante, uma vez que a própria discussão com foco na Matemática pode ajudar na compreensão e no aprofundamento dos conceitos científicos apresentados, ampliando inclusive as possibilidades de argumentação e justificativa para as ideias ou hipóteses dos estudantes sobre o tema.

O tema pode proporcionar aberturas para se trabalhar uma diversidade de conteúdos matemáticos, como geometria dos padrões na arte dos povos originários; cálculo de distâncias, análise de mapas e trajetos considerando o território brasileiro; leitura, análise e obtenção de dados estatísticos etc. Entretanto, apesar de a habilidade ser bastante ampla e complexa, a discussão de tais elementos nas aulas de Matemática permite dar visibilidade a diferentes aspectos da cultura dos povos originários e oferecer elementos para construir argumentações (baseadas em dados estatísticos ou quantitativos) que sustentam discussões sobre a territorialidade dos povos originários.

O assunto, nas aulas de Matemática, pode ser introduzido a partir de situações‑problema envolvendo variadas unidades temáticas, desde a álgebra (modelagem de situações cotidianas com expressões algébricas ou equações, problemas envolvendo proporcionalidade etc.), até medidas e geometria (ao considerar trajetos e distâncias territoriais). Tais discussões, por sua vez, podem ser utilizadas para compor argumentos matemáticos que justifiquem ou elucidem como certas opções de transporte podem ser mais ou menos vantajosas em termos de integração territorial ou, ainda, se tais opções são interessantes em termos de sustentabilidade e cuidados com o meio ambiente.

TCT: Ciência e Tecnologia, Vida Familiar e Social, Diversidade Cultural

Quadro de interdisciplinaridade

DISCIPLINA HABILIDADE

(EF69LP32) Selecionar informações e dados relevantes de fontes diversas (impressas, digitais, orais etc.), avaliando a qualidade e a utilidade dessas fontes, e organizar, esquematicamente, com ajuda do professor, as informações necessárias (sem excedê‑las) com ou sem apoio de ferramentas digitais, em quadros, tabelas ou gráficos.

JUSTIFICATIVA

Nas aulas de Matemática, em muitos casos, os textos figuram como suporte para os dados necessários para a resolução de um problema ou para a contextualização de uma discussão. Nesse sentido, espera‑se do estudante uma leitura mais analítica, focada na obtenção de dados relevantes ou adequados. Dessa maneira, é interessante problematizar um pouco mais as situações de leitura de texto, considerando as fontes, a maneira como as informações estão apresentadas e discutir a sua qualidade, independentemente de “resolverem o problema matemático proposto”. Por exemplo, se um texto diz que certa pessoa adulta tem 10 kg e outra 8 kg de massa corporal, matematicamente podemos responder a questões como a massa total dessas pessoas (18 kg) ou a sua diferença (2 kg). Porém, tais informações são corretas? Qual é a qualidade dessas informações?

Língua Portuguesa

(EF67LP12) Produzir resenhas críticas, vlogs, vídeos, podcasts variados e produções e gêneros próprios das culturas juvenis (algumas possibilidades: fanzines, fanclipes, e‑zines, gameplay, detonado etc.), que apresentem/ descrevam e/ou avaliem produções culturais (livro, filme, série, game, canção, disco, videoclipe etc.) ou evento (show, sarau, slam etc.), tendo em vista o contexto de produção dado, as características do gênero, os recursos das mídias envolvidas e a textualização adequada dos textos e/ou produções.

Nas aulas de Matemática é interessante apresentar diferentes produções culturais ou eventos, sejam eles relacionados a assuntos matemáticos, sejam aos contextos trabalhados. Independentemente das opções realizadas, deve‑se evitar que tal atividade se figure tão somente como um “acessório” para as aulas de Matemática. Se, por um lado, é possível promover uma discussão sobre os conteúdos apresentados, por outro, é interessante posicionar os estudantes para analisar tais produções como um objeto em si. No caso de um vídeo, por exemplo, será que as opções de fotografia, de trilha sonora, de posicionamento da câmera etc. influenciaram positivamente ou negativamente no tratamento dado ao tema específico do vídeo? A partir desse tipo de discussão, é possível convidar os estudantes a produzir resenhas críticas, vlogs, vídeos, podcasts etc. para analisar ou comentar tais produções. Nesse caso, sempre que possível, deve ‑se pontuar a relevância ou adequação da produção em relação ao assunto tratado.

Arte

(EF69AR04) Analisar os elementos constitutivos das artes visuais (ponto, linha, forma, direção, cor, tom, escala, dimensão, espaço, movimento etc.) na apreciação de diferentes produções artísticas.

A análise de elementos constitutivos das artes visuais como ponto, linha, forma, direção, escala, dimensão, espaço está intimamente ligada a noções de geometria. No caso do trabalho com simetrias, é possível explorar diferentes produções artísticas considerando, por exemplo, o “movimento” de certa figura ao ser rotacionada ou sofrer uma translação; a permanência da forma em relação a um eixo de reflexão etc. Tais elementos podem ser observados tanto em desenhos, pinturas e gravuras, quanto na fotografia ou na arquitetura.

TRAJETÓRIA 4 DO LE

TCT: Educação Ambiental, Educação para o Consumo, Ciência e Tecnologia

Quadro de interdisciplinaridade

(EF67LP18) Identificar o objeto da reclamação e/ou da solicitação e sua sustentação, explicação ou justificativa, de forma a poder analisar a pertinência da solicitação ou justificação.

É possível compreender o entorno e o contexto em que estamos situados a partir de um olhar matemático, considerando as formas, o espaço, as grandezas, quantificando as coisas etc. Mas é possível considerar também maneiras de atuar ativa e criticamente sobre essa realidade tomando como ponto de partida conclusões baseadas nesses aspectos. Uma possibilidade de promover esse tipo de atitude nos estudantes é, por exemplo, elaborar uma carta que apresente uma solicitação ou reclamação sobre algum tema de relevância para os estudantes. No caso, é importante que os argumentos apresentados contemplem conclusões ou observações que se fundamentem na Matemática. Por exemplo, dados estatísticos, esquemas e desenhos com medições sobre uma área, expressões algébricas que modelem certa situação etc.

Ciências

(EF07CI05) Discutir o uso de diferentes tipos de combustível e máquinas térmicas ao longo do tempo, para avaliar avanços, questões econômicas e problemas socioambientais causados pela produção e uso desses materiais e máquinas.

(EF07CI08) Avaliar como os impactos provocados por catástrofes naturais ou mudanças nos componentes físicos, biológicos ou sociais de um ecossistema afetam suas populações, podendo ameaçar ou provocar a extinção de espécies, alteração de hábitos, migração etc.

LUPAS E LUNETAS

Atualmente, discute‑se muito sobre como nossos modelos atuais de desenvolvimento, produção de energia, de alimentos, dos hábitos de consumo etc. impactam a natureza e o meio ambiente. Mais que uma discussão na esfera de políticas públicas ou ações governamentais, há uma crescente demanda pelo posicionamento ativo dos jovens sobre tais aspectos, seja realizando campanhas de conscientização, seja produzindo conteúdos para a internet, ou, ainda, participando ativamente em ações de coleta seletiva, limpeza de rios e margens etc. A Matemática, especialmente no campo da Estatística, pode apresentar uma série de ferramentas para analisar, tratar e organizar dados relativos a essas questões. Da mesma maneira, deve‑se utilizar gráficos e tabelas, por exemplo, para expressar e ajudar a comunicar as conclusões obtidas e sustentar os pontos de vista dos estudantes.

Os quadros anteriores apresentam sugestões de possíveis articulações entre habilidades de outras disciplinas e as da Matemática, assim como com alguns TCTs. As tecnologias digitais, por sua vez, podem ser utilizadas paralelamente em várias dessas situações. Converse com os colegas sobre possibilidades de inserir o uso de tecnologias digitais nas atividades de sala de aula de modo a enriquecer as sugestões de articulação propostas.

JUSTIFICATIVA E PERTINÊNCIA DE OBJETIVOS E PROPOSTAS DE AVALIAÇÃO

TRAJETÓRIA 1 DO LE

O 7º ano do Ensino Fundamental inicia com a retomada de alguns conceitos já explorados em anos anteriores, como a noção de múltiplos e divisores, assim como a análise de diferentes estratégias de resolução de problemas. A noção de fração é retomada discutindo seus diferentes significados, a obtenção de frações equivalentes, as operações com frações e, por fim, a potenciação cuja base é um número racional em forma fracionária. Por último, explora‑se a área de probabilidade discutindo a diferença entre fenômenos determinísticos e aleatórios, culminando na ideia de experimento aleatório e na probabilidade como a chance de ocor rência de um evento.

Quadro: objetivos e avaliações

Ao longo da Trajetória são propostas atividades individuais e coletivas, situações de reflexão, de investigação e de utilização de tecnologias digitais. Utilize‑as para acompanhar a aprendizagem dos estudantes durante a Trajetória. Sugerimos utilizar a seção Vistorias para avaliar a aprendizagem ao final da Trajetória, assim como o boxe Levo na bagagem ao fim de cada Passeio para promover momentos de autoavaliação. A ficha favorece o registro e o monitoramento da aprendizagem para cada objetivo durante e ao final da Trajetória.

I. Ficha de monitoramento da aprendizagem – individual

Nome do(a) estudante: ________________ Turma: _______

Objetivos

Durante a Trajetória Ao fim da Trajetória

O(a) estudante está apto(a) a... S N P S N P

Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo.

Determinar máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum de dois ou mais números.

Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas – que têm a mesma estrutura – podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.

Compreender diversas ideias sobre as frações: parte do todo, resultado de divisão, fração de quantidade e razão.

Identificar e obter frações equivalentes.

Efetuar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo frações.

Resolver problemas envolvendo operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com frações.

Compreender a potenciação envolvendo frações.

Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora em contextos diversos.

Resolver um mesmo problema utilizando diferentes procedimentos.

Reconhecer fenômenos determinísticos e fenômenos aleatórios.

Realizar (ou simular) experimentos aleatórios que envolvem cálculo (ou estimativas) de probabilidades.

Legenda: Sim (S), Não (N), Parcialmente (P)

TRAJETÓRIA 2 DO LE

Nesta Trajetória é apresentado o conjunto dos Números Inteiros, partindo de situações cotidianas em que aparecem números negativos. São exploradas formas de representação, inclusive na reta numérica, propriedades e operações, bem como a potenciação quando a base é um número negativo. Na sequência, exploram‑se conteúdos relacionados à álgebra, pela modelagem de situações ‑problema utilizando expressões algébricas, identificação de padrões e regularidades em sequências numéricas e não numéricas, e situações envolvendo proporcionalidade direta e inversa. A geometria encerra a Trajetória discutindo ângulos e polígonos regulares utilizando ladrilhamentos, assim como situações diversas de construções utilizando régua e compasso (circunferências, mediatriz, polígonos inscritos etc.). Nesse contexto, abrem‑se discussões sobre elementos e propriedades da circunferência (por exemplo, apresentando o número como a razão entre a medida do comprimento de uma circunferência e seu diâmetro).

Quadro: objetivos e avaliações

Ao longo da Trajetória são propostas atividades individuais e coletivas, situações de reflexão, de investigação e de utilização de tecnologias digitais. Utilize‑as para acompanhar a aprendizagem dos estudantes durante a Trajetória. Sugerimos utilizar a seção Vistorias para avaliar a aprendizagem ao final da Trajetória, assim como o boxe Levo na bagagem ao fim de cada Passeio para promover momentos de autoavaliação. A ficha favorece o registro e o monitoramento da aprendizagem para cada objetivo durante e ao fim da Trajetória.

I. Ficha de monitoramento da aprendizagem – individual

Nome do(a) estudante: ________________ Turma: _______

Objetivos

O(a) estudante está apto(a) a...

Reconhecer números inteiros negativos em diferentes contextos e situações‑problema.

Resolver problemas envolvendo números inteiros e diferentes grandezas e medidas.

Compreender a composição do conjunto dos números inteiros.

Realizar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo números inteiros em diferentes contextos e situações‑problema.

Calcular o resultado de uma potenciação quando a base é um número negativo.

Interpretar e representar matematicamente uma situação‑problema do cotidiano. Utilizar expressões algébricas para interpretar e resolver problemas cotidianos.

Identificar e construir sequências numéricas e não numéricas.

Identificar e utilizar leis de formação em sequências recursivas ou não recursivas.

Compreender a noção de proporcionalidade direta e inversa.

Medir ângulos com transferidor.

Construir circunferências, utilizando compasso, para fazer composições artísticas.

Resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

Reconhecer relações entre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal e calcular medidas de ângulos considerando essas relações.

Estabelecer o número como a razão entre a medida do comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas.

Estabelecer relações entre ângulos internos e ângulos externos de polígonos.

Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, para resolver problemas vinculados à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

Descrever por escrito etapas da construção de um polígono regular.

Legenda: Sim (S), Não (N), Parcialmente (P)

Durante a Trajetória

Ao fim da Trajetória

S N P S N P

TRAJETÓRIA 3 DO LE

O conjunto dos Números Racionais é apresentado nesta Trajetória de modo a agregar outros conjuntos numéricos já explorados anteriormente (Naturais e Inteiros), discutindo diferentes maneiras de representação de números nas formas fracionária e decimal. Nessa discussão são exploradas as operações a partir de situações‑problema situadas em diversos contextos. A unidade temática álgebra é explorada a partir da utilização de equações para resolver problemas cotidianos. O tema simetrias é retomado, porém com um aprofundamento em relação aos anos anteriores, ao tratar rotações, translações e reflexões no plano cartesiano, realizando, inclusive, transformações geométricas a partir da multiplicação de coordenadas por números negativos.

Quadro: objetivos e avaliações

Ao longo da Trajetória são propostas atividades individuais e coletivas, situações de reflexão, de investigação e de utilização de tecnologias digitais. Utilize‑as para acompanhar a aprendizagem dos estudantes durante a Trajetória. Sugerimos utilizar a seção Vistorias para avaliar a aprendizagem ao final da Trajetória, assim como o boxe Levo na bagagem ao fim de cada Passeio para promover momentos de autoavaliação. A ficha favorece o registro e o monitoramento da aprendizagem para cada objetivo durante e ao fim da Trajetória.

I. Ficha de monitoramento da aprendizagem – individual

Nome do(a) estudante: ________________ Turma: _______

Objetivos

Durante a Trajetória Ao fim da Trajetória O(a) estudante está apto(a) a... S N P S N P

Reconhecer números racionais em diferentes contextos e situações ‑problemas.

Resolver problemas envolvendo números racionais.

Compreender a composição do conjunto dos números racionais.

Realizar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo números racionais em diferentes contextos e situações‑problema.

Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

Compreender a diferença entre variável e incógnita.

Resolver problemas do cotidiano utilizando equações.

Utilizar diferentes estratégias para resolver equações.

Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão.

Reconhecer e representar figuras simétricas no plano cartesiano.

Realizar transformações geométricas em pontos e polígonos no plano cartesiano pela multiplicação de suas coordenadas por números inteiros.

Legenda: Sim (S), Não (N), Parcialmente (P)

TRAJETÓRIA 4 DO LE

Esta Trajetória inicia problematizando a rigidez geométrica dos triângulos, bem como suas aplicações na arquitetura e na engenha ria. Tais discussões se desdobram para a exploração das características e propriedades dos triângulos, bem como de procedimentos para a sua construção utilizando régua e compasso. Em seguida, são explorados temas como o cálculo de áreas das superfícies e volumes, além do reconhecimento de suas respectivas unidades de medida. A Trajetória se encerra com a unidade temática Probabilidade e Estatística ao promover uma série de atividades cujo objetivo é planejar e realizar uma pesquisa envolvendo tema socialmente relevante. Nesse caso específico, o tema é o cuidado com o meio ambiente pelas gerações atuais, de modo a promover um melhor futuro.

Quadro: objetivos e avaliações

Ao longo da Trajetória são propostas atividades individuais e coletivas, situações de reflexão, de investigação e de utilização de tecnologias digitais. Utilize‑as para acompanhar a aprendizagem dos estudantes durante a Trajetória. Sugerimos utilizar a seção Vistorias para avaliar a aprendizagem ao final da Trajetória, assim como o boxe Levo na bagagem ao fim de cada Passeio para promover momentos de autoavaliação. A ficha favorece o registro e o monitoramento da aprendizagem para cada objetivo durante e ao fim da Trajetória.

I. Ficha de monitoramento da aprendizagem – individual

Nome do(a) estudante: ________________ Turma: _______

Objetivos Durante a Trajetória Ao fim da Trajetória

O(a) estudante está apto(a) a... S N P S N P

Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações.

Construir triângulos usando régua e compasso.

Reconhecer a condição de existência de um triângulo.

Reconhecer que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

Descrever por escrito o processo de construção de um triângulo qualquer, dadas as medidas de seus lados.

Reconhecer as unidades de medida de volume usuais como metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico.

Resolver e elaborar problemas de cálculo de volume.

Calcular áreas das superfícies de quadriláteros e triângulos.

Compor e decompor figuras planas utilizando equivalência entre áreas.

Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de superfícies de figuras planas.

Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social.

Interpretar dados de uma pesquisa e comunicá‑los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos.

Interpretar e analisar dados apresentados em gráficos de setores.

Compreender o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa.

Legenda: Sim (S), Não (N), Parcialmente (P)

SUGESTÃO DE CRONOGRAMA

Segue uma sugestão de cronograma baseada na estrutura de Trajetórias e Passeios apresentada neste livro. Entretanto, é impor tante ressaltar que você pode adaptar este cronograma de acordo com a realidade e o contexto escolar.

PERÍODO TRAJETÓRIA PASSEIO

1. MÚLTIPLOS E DIVISORES

1º

Bimestre 1

2. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

2º Bimestre 2

3. PORCENTAGEM E PROBABILIDADE

1. NÚMEROS INTEIROS

2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

3. CIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONO

1. NÚMEROS RACIONAIS NAS FORMAS FRACIONÁRIA E DECIMAL

Bimestre 3

2. EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º. GRAU

3. SIMETRIA E PLANO CARTESIANO

1. TRIÂNGULOS

Bimestre 4

2. ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME

3. PESQUISA AMOSTRAL, MÉDIA E GRÁFICO DE SETORES

3º

4º

HABILIDADES DE MATEMÁTICA E DE OUTRAS DISCIPLINAS

Estas são as competências e habilidades presentes neste volume.

QUADRO DE HABILIDADES DO 7O ANO

Matemática

NÚMEROS

(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.

(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.

(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.

(EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2 3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.

(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.

(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

GEOMETRIA

(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o

(EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.

(EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

(EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

GRANDEZAS E MEDIDAS

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

C

A B

(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.

(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

(EF07MA33) Estabelecer o número p como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

As propostas do material do aluno oferecem oportunidades para o trabalho em parceria com professores de outras disciplinas. O quadro a seguir apresenta as habilidades que, em algum momento, foram tocadas.

Outras disciplinas

LÍNGUA PORTUGUESA

(EF69LP13) Engajar-se e contribuir com a busca de conclusões comuns relativas a problemas, temas ou questões polêmicas de interesse da turma e/ou de relevância social.

(EF69LP32) Selecionar informações e dados relevantes de fontes diversas (impressas, digitais, orais etc.), avaliando a qualidade e a utilidade dessas fontes, e organizar, esquematicamente, com ajuda do professor, as informações necessárias (sem excedê-las) com ou sem apoio de ferramentas digitais, em quadros, tabelas ou gráficos.

(EF69LP36) Produzir, revisar e editar textos voltados para a divulgação do conhecimento e de dados e resultados de pesquisas, tais como artigos de divulgação científica, verbete de enciclopédia, infográfico, infográfico animado, podcast ou vlog científico, relato de experimento, relatório, relatório multimidiático de campo, dentre outros, considerando o contexto de produção e as regularidades dos gêneros em termos de suas construções composicionais e estilos.

(EF67LP03) Comparar informações sobre um mesmo fato divulgadas em diferentes veículos e mídias, analisando e avaliando a confiabilidade.

(EF67LP12) Produzir resenhas críticas, vlogs, vídeos, podcasts variados e produções e gêneros próprios das culturas juvenis (algumas possibilidades: fanzines, fanclipes, e-zines, gameplay, detonado etc.), que apresentem/descrevam e/ ou avaliem produções culturais (livro, filme, série, game, canção, disco, videoclipe etc.) ou evento (show, sarau, slams etc.), tendo em vista o contexto de produção dado, as características do gênero, os recursos das mídias envolvidas e a textualização adequada dos textos e/ou produções.

(EF67LP18) Identificar o objeto da reclamação e/ou da solicitação e sua sustentação, explicação ou justificativa, de forma a poder analisar a pertinência da solicitação ou justificação.

CIÊNCIAS

(EF07CI05) Discutir o uso de diferentes tipos de combustível e máquinas térmicas ao longo do tempo, para avaliar avanços, questões econômicas e problemas socioambientais causados pela produção e uso desses materiais e máquinas.

(EF07CI07) Caracterizar os principais ecossistemas brasileiros quanto à paisagem, à quantidade de água, ao tipo de solo, à disponibilidade de luz solar, à temperatura etc., correlacionando essas características à flora e fauna específicas.

(EF07CI08) Avaliar como os impactos provocados por catástrofes naturais ou mudanças nos componentes físicos, biológicos ou sociais de um ecossistema afetam suas populações, podendo ameaçar ou provocar a extinção de espécies, alteração de hábitos, migração etc.

GEOGRAFIA

(EF07GE03) Selecionar argumentos que reconheçam as territorialidades dos povos indígenas originários, das comunidades remanescentes de quilombos, de povos das florestas e do cerrado, de ribeirinhos e caiçaras, entre outros grupos sociais do campo e da cidade, como direitos legais dessas comunidades.

(EF07GE07) Analisar a influência e o papel das redes de transporte e comunicação na configuração do território brasileiro.

ARTE

(EF69AR04) Analisar os elementos constitutivos das artes visuais (ponto, linha, forma, direção, cor, tom, escala, dimensão, espaço, movimento etc.) na apreciação de diferentes produções artísticas.

MATEMÁTICA

NOS DIAS DE HOJE

Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT). Foi professor e coordenador da rede pública de São Paulo. Editor e elaborador de conteúdos didáticos.

Doutor e Mestre em Educação pela Universidade de São Paulo (USP). Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). Foi coordenador e professor da rede pública e particular de São Paulo. Autor de materiais didáticos.

São Paulo • 1a edição • 2022

Jefferson Cevada

Daniel Romão da Silva

Matemática nos dias de hoje

© 2022 Editora Sei

Direção editorial

Sandro Aloísio

Produção gráfica

Reinaldo Correale

Giliard Andrade

Equipe M10 Editorial

Coordenação pedagógica

Alessandra Corá

Coordenação editorial

Fernanda Azevedo

Edição

Angela Leite

Assistência editorial

Gabriel Santos Novaes

Preparação e revisão de textos

Brenda Gomes

Caroline Ponzi

Thais Sanchez

Marina Bueno

Projeto gráfico de capa e miolo

Arte/M10

Coordenação de editoração eletrônica

Eduardo Enoki

Editoração eletrônica

Fanny Sosa

Nathalia Scala

Ricardo Coelho

Iconografia

M10 Editorial

Licenciamento de texto e imagens

Tempo Composto

Imagens gerais, de projeto gráfico e ilustrações técnicas

Arte/ M10

Shutterstock.com

Freepik

Impressão e acabamento

Oceano Indústria Gráfica e Editora Ltda.

Rua Osasco, 644 – Rod. Anhanguera, km 33

CEP 07750-020 – Cajamar – SP

CNPJ: 67.795.906/0001-10

Tel.: (11) 4446-7000

Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

ISBN 978-85-54226-79-4 (Aluno)

ISBN 978-85-54226-80-0 (Professor)

Todos os direitos reservados:

Editora Sei

Av. Profa. Ida Kolb, 551 – Jardim das Laranjeiras

São Paulo – SP

CEP: 02518-050

Fone: 55 11 3855-2100

www.editorasei.com.br contato@editorasei.com.br

APRESENTAÇÃO

Como você se reconhece, em seu dia a dia, com mais frequência:

• muito interativo?

Sabia que, em qualquer desses casos, você pode exercitar seu talento – e desenvolver outros – por meio de qualquer conhecimento, inclusive matemático? Tudo depende das suas ideias e do que você tem para propor aos que estão em seu entorno.

Este livro vai convidá-lo a expor ideias por meio de ferramentas conhecidas por você e incentivá-lo a buscar outras que podem ser novas para você, em atividades que o levarão a questionar, imaginar, analisar e elaborar situações diversas.

• muito criativo?

Você vai mobilizar conhecimentos, atitudes, afetos e talentos essenciais para formar a pessoa que você vem se tornando. O pensamento matemático, sua linguagem própria, seus objetos de conhecimento, seus processos e produtos no cotidiano escolar geram oportunidades únicas para que você possa apresentar propostas críticas, criativas e de caráter interativo.

• muito crítico?

Envolva-se nessa jornada que, certamente, pode ser percorrida do seu jeito, mas sem perder de vista as contribuições da Matemática para a sua formação e as possibilidades que ela oferece para transformar o pensamento e os modos de conviver.

Venha conosco diversificar seu modo de pensar e de apresentar suas propostas!

Os autores

PRONTOS PARA COMEÇAR!

Seja bem-vindo ao novo ano escolar! Comece mostrando o que você já sabe. Leia e resolva sozinho algumas questões do ano anterior.

TRAJETÓRIA

Que tal começar uma Trajetória com perguntas instigantes? Fazer boas perguntas é uma maneira de iniciar novos caminhos.

PASSEIO

Cada Trajetória é composta de três passeios. Cada passeio é norteado por uma pergunta. Inicie seu passeio resgatando os conhecimentos que você já tem, matemáticos ou não, sobre o tema da pergunta. Depois, consulte o mapa mental e os objetivos esperados para o passeio.

CHECK -IN

Reflita sobre o tema interdisciplinar do passeio e resgate conhecimentos de Matemática.

ATMOSFERA

Entre no clima! O passeio já começou. Envolva-se com as primeiras reflexões junto aos colegas.

TRAVESSIAS

Investigar, resolver problemas, modelar, atravessar outros conhecimentos: adquira novas ferramentas para prosseguir em seu passeio.

NUVENS

Alcance ferramentas do mundo tecnológico digital e também do pensamento computacional.

Seu livro está organizado em quatro TRAJETÓRIAS, uma para cada bimestre. Cada Trajetória é composta de três PASSEIOS.

LUPAS E LUNETAS

Para “enxergar” melhor – de perto ou de longe –, venha refletir sobre questões que detalham ou que ampliam os temas explorados na página.

LEVO NA BAGAGEM

Pausa para reorganizar conhecimentos e checar se, de fato, os objetivos declarados no início do passeio vieram para sua bagagem.

BARCOS E PORTOS

Selo que indica Encontro com outras disciplinas.

Conclua o seu passeio: organize seus conhecimentos, elabore uma questão e proponha ideias – de modo crítico, criativo e interativo – relacionadas à pergunta norteadora que abriu seu passeio.

VISTORIAS

Depois de três passeios, é hora de encerrar a Trajetória! Resolva exercícios essenciais da Trajetória para verificar quais conhecimentos você adquiriu. Prossiga interagindo com os conhecimentos e desenvolvendo cada vez mais autonomia para monitorar sua própria aprendizagem.

RETORNOS

Aqui, você tem acesso rápido aos principais objetos matemáticos explorados ao longo de cada Trajetória para que possa ir ao encontro da síntese do que aprendeu. Use ao máximo os recursos que o livro oferece para superar todos os obstáculos da sua aprendizagem.

SUPLEMENTE SUA APRENDIZAGEM

Ao final do livro, você encontra questões de concursos organizadas por Trajetória para você continuar aprimorando sua aprendizagem.

PASSEIO 2

Operações com frações 32

Algumas ideias sobre frações • Adição e subtração de frações • Multiplicação de frações • Divisão de frações • Potenciação envolvendo frações

BARCOS E PORTOS E VISTORIAS

Expressões algébricas 94

Descrevendo situações matematicamente • Expressões algébricas • Noção de sequência • Sequências e expressões algébricas

• Razão e proporção • Proporção direta • Proporção inversa

PASSEIO 3

Porcentagem e probabilidade 52

Porcentagem como razão • Porcentagem: acréscimos • Porcentagem: decréscimos • Fenômenos determinísticos ou aleatórios • Chances iguais ou diferentes • Resultados equiprováveis e não equiprováveis • Espaço amostral e evento • Cálculo de probabilidade

Circunferência e polígono 116

Ângulos • Relações entre ângulos

• Ângulos em feixe de retas • Ângulos em polígonos • Polígonos congruentes e polígonos regulares

• A circunferência • Cálculo do perímetro da circunferência • Um “pedaço” da história do número pi

• Construção de polígono regular inscrito na circunferência

Passeio 1 30

Produzir uma rotina alimentar para melhorar a qualidade da alimentação.

Passeio 2 50

Refletir sobre a qualidade da alimentação.

Passeio 3 68

Propor ações que favoreçam modos de lidar com a alimentação e a saúde.

Vistorias 70

Passeio 1 92

Elaborar mural coletivo com características climáticas de cada região do Brasil.

Passeio 2 114

Apresentar um lugar que gostaria de visitar.

Passeio 3 142

Compartilhar arte dos povos icoaraciense e marajoara.

Vistorias 144

Equações polinomiais de 1o grau 166

Expressões algébricas e variáveis • Equações e incógnitas • Equações polinomiais de 1o grau • Estratégias para resolver equações

Simetria e plano cartesiano 184

Identificando simetrias • Composição de simetrias • Simetrias no plano cartesiano

Passeio 1 165

Refletir sobre os principais usos das tecnologias digitais.

Passeio 2 183

Fazer um review em formato de vídeo ou texto.

Passeio 3 202

Organizar uma mostra artística de simetrias.

Vistorias 203

Área da superfície e volume 222

Composição com cubos • A grandeza volume e o metro cúbico • Composição e decomposição de figuras • Áreas das superfícies do quadrado e do retângulo • Áreas das superfícies do paralelogramo, triângulo e losango • Áreas: composição com duas ou mais figuras

Pesquisa amostral, média e gráfico de setores 240 O que é pesquisa estatística?

• Elementos de uma pesquisa estatística • Frequência absoluta e frequência relativa • Gráfico de setores • Diferentes gráficos para diferentes situações • Média aritmética

Passeio 1 220

Escrever um manifesto defendendo construções sustentáveis.

Passeio 2 238

Divulgar dados sobre estuários.

Passeio 3 257

Propor ações que melhorem o meio ambiente.

Vistorias 258

A META E O MOTIVO COMO SINALIZADORES DO ENSINO E DA APRENDIZAGEM

A cada volume desta coleção, as Competências gerais da Educação Básica são exploradas por meio de temas diversos do cotidiano, das tecnologias, das ciências, da história etc. Cada competência, de modo geral, sinaliza o que se espera que o aluno mobilize (conhecimentos, habilidades, atitudes e valores), de maneira que haja um para que correspondente, ou seja, há uma justificativa voltada para as demandas da vida cotidiana, do convívio social, do exercício da cidadania e do mundo do trabalho e consumo.

As Competências gerais inter-relacionam-se e desdobram-se ao longo de toda a Educação Básica; sendo assim, o conjunto composto por sua totalidade é retomado, ampliado, complementado a cada nova oportunidade, fluindo por meio de diferentes situações, no tratamento didático proposto a cada volume.

Nestas duas páginas o aluno conhecerá as expectativas de aprendizagens amplas e complexas apresentadas de tal modo que se aproximam, a cada ano, das intenções declaradas nas Competências gerais da BNCC. Observe que a meta (o quê) a ser alcançada está didática e visualmente separada do motivo (para quê) que justifica alcançá-la. Tanto a meta como o motivo se ajustam a cada ano escolar segundo os conteúdos e os contextos de cada volume.

COMPETÊNCIAS GERAIS DA EDUCAÇÃO BÁSICA

1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.

2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à

1

#O QUÊ ?

Conhecimento: utilizar conhecimentos construídos sobre o mundo físico...

2

Pensamento científico, crítico e criativo: recorrer à reflexão e à análise crítica...

3

Repertório cultural: valorizar as diversas manifestações culturais, especialmente as relacionadas ao transporte, das locais às mundiais, das reais às imaginárias...

4

Comunicação: utilizar diferentes linguagens – especialmente a oral –, bem como conhecimentos de Matemática e de linguagens...

5

Cultura digital: compreender e utilizar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma significativa e reflexiva nas práticas sociais...

abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.

6

Projeto de vida: apropriar-se de conhecimentos que lhe possibilitem entender as experiências de cidadania e civismo...

7 Argumentação: argumentar com base em fatos...

8

Autoconhecimento e autocuidado: compreender-se na diversidade humana...

9

Empatia, cooperação e cidadania: exercitar a empatia, a cooperação e a prevenção de conflitos...

10

Responsabilidade e cidadania: agir coletivamente com responsabilidade, com base em princípios éticos e inclusivos...

Propostas críticas

Propostas criativas

Propostas interativas

4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas

# PARA QUÊ?

propostas de ampliação de ideias a respeito da produção de novos sentidos aos elementos digitais do cotidiano.

5

...para produção artística ao se expressar e aplicar conhecimentos matemáticos, resolver problemas e exercer autoria na vida pessoal e coletiva.

práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.

7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo- se na

diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

10.Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

Prontos para começar!, 14 TRAJETÓRIA

1

Como é nossa relação com a alimentação?, 16

Passeio 1: Múltiplos e divisores, 18

• Check-in, 32

• Arredores e Bússola, 33

• Atmosfera: Dieta ultraprocessada bagunça totalmente o seu apetite, 34

• Algumas ideias sobre frações, 35

• Adição e subtração de frações, 40

• Multiplicação de frações, 42

• Divisão de frações, 44

• Travessias: Frações inversas, 47

• Potenciação envolvendo frações, 48

• Levo na bagagem, 49

• Barcos e portos, 50

Passeio 3: Porcentagem e probabilidade, 52

• Check-in, 18

• Arredores e Bússola, 19

• Atmosfera: O ato de comer e a comensalidade, 20

• Múltiplos e divisores, 21

• Travessias: Números figurados: primos e compostos, 22

• Mínimo múltiplo comum, 23

• Máximo divisor comum, 24

• Estruturas de resolução de problemas, 26

• Levo na bagagem, 29

• Barcos e portos, 30

Passeio 2: Operações com frações, 32

• Check-in, 52

• Arredores e Bússola, 53

• Atmosfera: Beleza ou magreza?, 54

• Porcentagem como razão, 55

• Porcentagem: acréscimos, 56

• Porcentagem: decréscimos, 58

• Nuvens: Porcentagem e redução de gastos na educação financeira, 60

• Fenômenos determinísticos ou aleatórios, 61

• Chances iguais ou diferentes, 62

• Resultados equiprováveis e não equiprováveis, 62

• Travessias: Lançamentos de uma tampinha plástica, 64

• Espaço amostral e evento, 65

• Cálculo de probabilidade, 66

• Levo na bagagem, 67

• Barcos e portos, 68

• Vistorias, 70

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TRAJETÓRIA 2

O que aprendemos viajando e conhecendo diversos lugares?, 74

Passeio 1: Números inteiros, 76

• Check-in, 76

• Arredores e Bússola, 77

• Atmosfera: Adeus, bússola salvadora: como seria se o campo magnético da Terra sumisse, 78

• Números negativos em diferentes contextos, 79

• O conjunto dos números inteiros, 80

• Adição e subtração de números inteiros, 84

• Multiplicação de números inteiros, 85

• Expressões algébricas, 98

• Travessias: As propriedades das operações aplicadas às expressões algébricas, 101

• Noção de sequência, 102

• Sequências e expressões algébricas, 104

• Razão e proporção, 109

• Proporção direta, 110

• Proporção inversa, 112

• Levo na bagagem, 113

• Barcos e portos, 114

Passeio 3: Circunferência e polígono, 116

• Check-in, 94

• Arredores e Bússola, 95

• Atmosfera: Meios de transporte ao redor do mundo, 96

• Descrevendo situações matematicamente, 97

• Check-in, 116

• Arredores e Bússola, 117

• Atmosfera: O que é matematizar?, 118

• Ângulos, 119

• Relações entre ângulos, 123

• Ângulos em feixe de retas, 125

• Nuvens: Investigação sobre feixes de retas paralelas cortadas por uma transversal, 126

• Ângulos em polígonos, 127

• Polígonos congruentes e polígonos regulares, 128

• Travessias: Mosaicos e ladrilhamentos, 130

• A circunferência, 131

• Travessias: Um quociente muito “famoso”, 134

• Cálculo do perímetro da circunferência, 136

• Um “pedaço” da história do número pi, 138

• Construção de polígono regular inscrito na circunferência, 139

• Levo na bagagem, 141

• Barcos e portos, 142

• Vistorias, 144

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TRAJETÓRIA 3

Há limites para o uso das tecnologias digitais?, 148

Passeio 1: Números racionais nas formas fracionária e decimal, 150

• Check-in, 166

• Arredores e Bússola, 167

• Atmosfera: O computador é o novo arco e flecha, 168

• Expressões algébricas e variáveis, 169

• Equações e incógnitas, 170

• Equações polinomiais de 1o grau, 172

• Estratégias para resolver equações, 174

• Travessias: A quantidade de soluções de uma equação, 181

• Levo na bagagem, 182

• Barcos e portos, 183

Passeio 3: Simetria e plano cartesiano, 184

• Check-in, 150

• Arredores e Bússola, 151

• Atmosfera: O que é ética no mundo digital e por que é importante?, 152

• Representações de um número racional, 153

• Conjunto dos números racionais, 154

• Adição e subtração de números racionais, 155

• Travessias: Módulo de um número, 157

• Multiplicação de números racionais, 158

• Divisão de números racionais, 160

• Travessias: Polegada e precisão na medição, 162

• Erros e incertezas em medições, 163

• Levo na bagagem, 164

• Barcos e portos, 165

Passeio 2: Equações polinomiais de 1o grau, 166

• Check-in, 184

• Arredores e Bússola, 185

• Atmosfera: Simetria na fotografia, 186

• Identificando simetrias, 187

• Composição de simetrias, 195

• Nuvens: Simetria e manipulação simples em imagens, 198

• Simetrias no plano cartesiano, 199

• Travessias: Multiplicação das coordenadas dos vértices de um polígono por números inteiros, 201

• Levo na bagagem, 201

• Barcos e portos, 202

• Vistorias, 203

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Este quadro apresenta o código alfanumérico das habilidades do 6o ano exploradas nesta proposta de Avaliação Diagnóstica

TRAJETÓRIA 4

Como os humanos pensam no equilíbrio com o meio ambiente?,

206

Passeio 1: Triângulos, 208

• Composição com cubos, 225

• A grandeza volume e o metro cúbico, 226

• Composição e decomposição de figuras, 229

• Áreas das superfícies do quadrado e do retângulo, 230

• Áreas das superfícies do paralelogramo, triângulo e losango, 233

• Áreas: composição com duas ou mais figuras, 236

• Levo na bagagem, 237

• Barcos e portos, 238

Passeio 3: Pesquisa amostral, média e gráfico

• Check-in, 208

• Arredores e Bússola, 209

• Atmosfera: O que torna uma construção sustentável? Entenda os critérios, 210

• Lados e ângulos de um triângulo, 211

• A rigidez dos triângulos, 212

• Travessias: Com quaisquer três lados se constrói um triângulo?, 215

• Construção de triângulos, 217

• Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo, 217

• Levo na bagagem, 219

• Barcos e portos, 220

Passeio 2: Área da superfície e volume, 222

• Check-in, 240

• Arredores e Bússola, 241

• Atmosfera: A voz da juventude no combate às mudanças climáticas, 242

• O que é pesquisa estatística?, 243

• Elementos de uma pesquisa estatística, 244

• Frequência absoluta e frequência relativa, 246

• Gráfico de setores, 248

• Nuvens: Gráficos de setores em planilhas eletrônicas, 251

• Diferentes gráficos para diferentes situações, 252

• Média aritmética, 254

• Levo na bagagem, 256

• Barcos e portos, 257

• Vistorias, 258

Retornos, 262

• Check-in, 222

• Arredores e Bússola, 223

• Atmosfera: Saiba como proteger os mananciais e também os estuários, 224

Quadro de habilidades do 7º ano, 280 Suplemente sua aprendizagem, 283

Leituras para o aluno, 294

Referências bibliográficas, 295

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1. A atividade inicia avaliando a habilidade de ordenação de números naturais e, em um segundo momento, avalia a disposição dos números na reta numérica. Observe a compreensão de “estar entre” e se os alunos apresentam apenas números naturais como possibilidades de resposta.

2. Pela decomposição dos números em suas ordens ou em parcelas que facilitem o cálculo mental (como a soma 10, por exemplo) os estudantes mostram o quanto compreendem do próprio algoritmo da adição.

3. Uma possível solução:

• 30% de R$ 1.500,00:

0,30 R$ 1 500,00 = = R$ 450,00

• 15% de R$ 1.500,00

0,15 ⋅ R$ 1 500,00 = R$ 225,00 Retirando-se essa quantia

2. b) Possível resposta: (10 + 7 + 20 + 8) + (10 + 3 + 10 + 2) = (30 + 15) + (20

1. Substitua cada por um número e, depois, represente-os em uma reta numérica: Resposta possível: 8, 11, 16.

6 << 10 << 15 <

2. Utilize estratégias de decomposição numérica e propriedades da adição para realizar estas adições:

a) 5 + 18 + 7 b) 17 + 28 + 13 + 12

3. Ary dispunha de R$ 1.500,00 para as despesas. Ela gastou 30% no supermercado e 15% com vestuário. Determine quanto lhe sobrou após esses gastos. R$ 825,00.

4. Juan tem de servir 10 000 mL de isotônico aos atletas do seu time. Calcule quantas garrafas ele encherá sabendo que cada garrafa tem capacidade de 400 mL. 25 garrafas.

5. Calcule o resultado:

a) 45 + 105 = b) 35 + 990 + 8111 =

equipes de igual tamanho, com mais de um estudante por equipe e com pelo menos duas equipes. Quais são as possibilidades de quantidades de alunos em cada equipe, de modo que todas tenham a mesma quantidade?

10. Escreva um algoritmo para verificar se um número é divisível por 5. Depois, represente esse algoritmo na forma de fluxograma. Respostas pessoais.

11. Observe a trajetória indicada no mapa de um GPS e as mudanças de direção associadas aos ângulos numerados de 1 a 5.

4. Faz-se a divisão de 10 000 mL de isotônico em garrafas de 400 mL:

10 000 400 –800 2000 –2000

25 Ele encherá 25 garrafas.

5. Verifique a compreensão dos estudantes sobre a potenciação como uma multiplicação de fatores iguais e se realizam primeiro o cálculo das potências e, depois, as adições dos resultados. Verifique também a compreensão das potências com expoentes 0 e 1.

6. Lembre os estudantes das regularidades presentes nas relações entre o número de arestas, faces e vértices com o polígono da base do sólido. Para descrever as planificações das superfícies é esperado que diferenciem as formas das faces laterais do prisma e da pirâmide.

6. Determine o número de faces, arestas e vértices de um prisma e de uma pirâmide, ambos tendo um hexágono como base. Descreva como serão as planificações desses sólidos.

7. Usando o menor cubo como unidade, determine o volume de cada sólido.

12

8. Bruno e Caio iniciaram uma corrida em uma pista de atletismo, largando na mesma direção. Bruno faz uma volta em 7 minutos; e Caio, em 4 minutos. Depois de quantos minutos eles voltam a se encontrar? 28 minutos.

9. 120 estudantes de uma escola se dividiram igualmente em 4 grupos para realizar boas ações, sendo cada grupo responsável por uma. O grupo de coleta de lixo decidiu se dividir em

a) Sem medir, classifique cada um dos cinco ângulos, conforme suas medidas, em: maior do que 90o, menor do que 90o e igual a 90o.

b) Agora utilize um transferidor e determine a medida exata de cada ângulo. 150o, 90o, 30o, 30o, 90o

12. A partir da igualdade 3x + 8 = 17:

a) Qual número você adicionaria, ou subtrairia, aos dois membros dessa igualdade para obter uma nova sentença equivalente a essa de forma que o membro esquerdo tenha apenas um termo algébrico envolvendo x? –8

b) Após efetuar corretamente a operação do item anterior, por qual número você multiplicaria, ou dividiria, os membros da igualdade resultante do item a, para isolar x? +3

c) Determine o valor de x para que a igualdade seja verdadeira. x = 3

• Múltiplos de 7 (Bruno): 7, 14, 21, 28. Voltam a se encontrar após 28 min da largada.

9. São 120 colegas divididos igualmente em 4 grupos, ou seja, com 30 alunos em cada. As possibilidades são:

e

8. É possível que os alunos listem os múltiplos naturais não nulos de cada número até encontrarem o primeiro múltiplo comum entre eles.

• Múltiplos de 4 (Caio): 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28;

cubinhos; 7 cubinhos; 6 cubinhos.

6. Prisma: 8 faces, 18 arestas, 12 vértices; pirâmide: 7 faces, 12 arestas, 7 vértices. Resposta pessoal.

9. As possibilidades são: 2, 3, 5, 6, 10 ou 15 integrantes por grupo em cada sala.

ARTE/ M10

a) Maior, igual, menor, menor, igual.

13. Desenhe todos os tipos de polígonos que você conhece. Respostas pessoais.

a) Nomeie cada polígono, indicando o número de lados de cada um.

b) Classifique os triângulos quanto aos ângulos.

c) Classifique os quadriláteros.

14. Escreva a fração correspondente a cada situação.

a) Em um grupo de 500 pessoas, 80 possuem carro.

b) Lena fez 300 pastéis e, até agora, vendeu 63.

c) Uma fazenda de 8 500 m 2 tem 500 m2 de plantação de soja.

d) Comprei 40 kg de farinha e já utilizei 10 kg.

15. Escreva os pares ordenados correspondentes aos vértices do polígono

e, depois, reproduza-o fazendo uma ampliação que dobre seu tamanho. Calcule também a área de sua superfície, tomando a área do menor quadrado da malha como unidade.

(2, 1), (3, 2), (6, 2), (6, 3), (1, 8), (1, 3), (2, 2). Área de 17,5

12 34 56 78 910 eixo Ox

16. Desenhe o polígono cujos vértices são

A (0, 0), B (4, 0), C (5, 2), D (2, 5), E (–1, 2).

17. Escreva frações na forma decimal e formas decimais como frações:

a) 1,89

b) 5 8

c) 10,25 d) 3 1 103 e) 26 44

18. Substitua cada por um dos sinais +, –, ×, ÷ para que as igualdades sejam verdadeiras. a) 40,25 = 3,75 b) 40,25 = 4,25

19. Observe o dado dodecaédrico. No lançamento, o número considerado é o que sair na face do topo. Dado dodecaédrico.

Responda às questões (represente cada resposta na forma fracionária, decimal e de porcentagem).

a) Qual é a probabilidade de sortear o número 1?

b) Qual é a probabilidade de sortear um número par?

c) Qual é a probabilidade de sortear o número zero? 0 ou 0%.

d) Qual é a probabilidade de sortear um divisor de 4?

20. Leia o passo a passo para realizar uma pesquisa de opinião:

Passo 1. Elabore uma questão de seu interesse. Pode ser de contexto ambiental, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, dentre outros. Envie essa questão para seus contatos.

Passo 2. Colete as respostas de, no mínimo, 20 respondentes.

Passo 3. Disponha os dados em uma tabela. Utilize uma planilha eletrônica para construir um gráfico com esses dados.

Passo 4. Poste seu gráfico para todos os seus respondentes.

Passo 5. Faça algumas análises considerando os dados do gráfico ou da tabela. Por exemplo, características envolvendo a maior frequência e a menor frequência.

Passo 6. Elabore um parágrafo sinalizando suas conclusões e apontando para a necessidade de novas pesquisas, para novas descobertas que julgar de seu interesse ou do interesse dos respondentes.

Faça um planejamento, preparando os materiais e recursos que forem necessários para a pesquisa. Resposta pessoal.

c) Paralelogramo, retângulo, losango, quadrado, trapézio ou quadrilátero qualquer (nenhum dos anteriores).

14.Observe se os estudantes compreendem a representação da relação parte-todo (ou razão) por meio de uma fração e se simplificam corretamente as frações.

15. Os vértices são: (2, 1); (3, 2); (6, 2); (6, 3); (1, 8); (1, 3); (2, 2).

17. Retome as diferentes formas de representação de um número racional, por exemplo no item a : 1,89 = 189 100 = 189% No item c , podemos ter: 10,25 = 1 025 100 = 41 4 = 10 1 4

18.A comparação dos resultados pode dar “pistas” sobre as operações, nos itens a, b e c . Mas o item d pode mostrar que nem sempre, porque o resultado deu um valor maior, estávamos adicionando ou multiplicando.

11. Para resolver problemas que envolvem abertura angular, o estudante deve saber diferenciar visualmente os ângulos agudo, reto e obtuso.

12. Considerando a equação 3x + 8 = 17:

a) Subtraem-se 8 unidades dos dois membros da igualdade:

3x + 8 –8 = 17 – 8

3x = 9

b) Dividem-se os dois membros da igualdade por 3:

3 x

3 = 9 3

x = 3

c) Encontra-se x = 3 como sendo a solução da equação.

13.

a) É esperado que os alunos apresentem a nomenclatura até uma certa quantidade de lados e descrevam o padrão de nomeação.

b) É possível que classifiquem cada triângulo em equilátero, isósceles ou escaleno.

19.Retome as diferentes formas de representação de um número racional, o conceito de frações equivalentes, a simplificação de frações e o símbolo de porcentagem; por exemplo no item d :

0,25 = 25%

PANORAMA DA TRAJETÓRIA

Competências gerais: 2, 8, 10

Competências específicas: 3, 8

Habilidades de Matemática:

EF07MA01, EF07MA02, EF07MA05, EF07MA06, EF07MA07, EF07MA08, EF07MA09, EF07MA11, EF07MA12, EF07MA34

Habilidades de outras

disciplinas:

Língua Portuguesa:

EF69LP13, EF69LP36, EF67LP03

Temas Contemporâneos

Transversais:

Educação Alimentar e Nutricional

Vida Familiar e Social Saúde

Sugestão de atividade

Por ser Trajetória deste ano, sugerimos que reúna os estudantes para uma conversa sobre curiosidades científicas e os modos de realizar as investigações em busca de possíveis respostas – ou novas questões para essas “curiosidades”, pois nem sempre uma investigação leva a um resultado único e fechado. Há diversas metodologias para a investigação científica e não se pode dizer que uma seja mais correta do que outra. Importa para aquela investigação, segundo a sua problematização específica, que a metodologia seja adequada às intenções e às necessidades daquilo que se espera descobrir.

Apresente aos estudantes a pergunta motivadora desta Trajetória, que é: Como é nossa relação com a alimentação?

De modo bastante sucinto vamos apresentar uma possibilidade de metodologia de investigação, dividida em 5 etapas, lembrando que essas etapas não são excludentes e que suas ações não se encerram em si mesmas, mas são abertas a reavaliações, ajustes, retrocessos, avanços, desafios e, por vezes, até uma reformulação da pergunta motivadora.

16 | MANUAL DO PROFESSOR

1. Problematização e levantamento de hipóteses

A pergunta motivadora, proposta na abertura da Trajetória, é uma possível questão para o processo de investigação sobre os hábitos de alimentação e cuidados com a saúde. Tal como está formulada, essa questão pode ser reescrita reforçando outro aspecto da alimentação e da saúde, desde que esteja em comum acordo com a turma; nesse caso, essa nova pergunta passará a ser a que de fato deve se lançar em um processo de investigação.

Para facilitar a compreensão sobre a pergunta

COMO É NOSSA RELAÇÃO COM A ALIMENTAÇÃO?

• O que é partilhar refeições com amigos e familiares?

• O que e quanto comemos?

• Como entendemos a relação saúde, beleza e alimentação?

motivadora, os estudantes podem “decompô-la” em outras “menores”. Observe que na abertura há sugestão de três outras questões relacionadas à primeira.

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HEAD OVER HEELS/SHUTTERSTOCK SHUTTERSTOCK/

Você já ouviu a frase “você é o que você come”? Não é apenas um ditado popular: pode nos levar a refletir sobre os múltiplos impactos da alimentação na nossa vida.

CONTEÚDOS DA TRAJETÓRIA

Passeio 1:

Múltiplos e divisores

• Números primos e números compostos

• Mínimo múltiplo comum

• Máximo divisor comum

• Algoritmos e fluxogramas

• Estrutura de problemas

Passeio 2:

Operações com frações

• Ideias de frações

• Frações equivalentes e Simplificação

• Operações com frações

Passeio 3:

Porcentagem e probabilidade

• Porcentagem: acréscimos e decréscimos

• Espaço amostral

• Cálculo de probabilidades

LUPAS E LUNETAS

Com base na conversa sobre alimentação, os estudantes podem elaborar perguntas como:

• Quais alimentos são importantes para a saúde?

• Que tipos de alimento nos dão energia para a prática de esportes?

Dividir momentos especiais de refeição com amigos e familiares não é só na hora de comer!

LUPAS E LUNETAS

Reflita sobre as questões propostas até agora e considere-as para elaborar outras perguntas de sua própria autoria.

Publique suas perguntas no mural da sala e aprecie as perguntas dos colegas. Respostas pessoais.

nosso paladar gosta e não naquilo de que nosso corpo necessita.

Auxilie os estudantes a formular hipóteses. Anote todas na lousa, incentivando-os a avaliar quais delas acreditam ser mais próximas da verdade. Serão essas as hipóteses que eles verificarão nas próximas etapas.

2. Atividades investigativas

Este é o momento de realizar atividades de verificação das hipóteses, por meio de diferentes propostas: levantamento de dados por questionários, entrevistas, observação do comportamento de grupos, pesquisas em livros e na internet, todas sob orientação do professor.

• Quais alimentos não são indicados para uma dieta saudável?

• Como posso fazer para o momento de preparar a refeição ser coletivo e agradável?

Os estudantes também podem elaborar muitas outras perguntas para colocar no mural da sala de aula.

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LIGHTSPRING/SHUTTERSTOCK

Habilidade (EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

Alertamos para o fato de que as pesquisas em livros e na internet é meio para levantamento de dados e aprimoramento dos conhecimentos sobre aquilo que se deseja descobrir, mas não serve como fonte para dar resposta à pergunta elaborada por eles (ou às apresentadas no livro).

3. Conclusões

Nesta etapa, você reúne os resultados que os estudantes trouxeram de suas pesquisas de campo, entrevistas ou outros métodos. É preciso comparar os resultados dos diferentes grupos. Neste momento, faça um trabalho de mediação entre os possíveis pontos de vista, conforme as conclusões que cada grupo trouxer.

4. Sistematização e registros

Os estudantes devem ter feito os registros de cada etapa anterior, podendo ser individuais, especialmente fatos curiosos de observação e descobertas pessoais, como “minha família só toma refrigerante em alguns fins de semana: como isso impacta positivamente na saúde da minha família?”. Podem, também, ser registros coletivos, do grupo de que participam ou da turma toda, especialmente os consensos entre os diferentes grupos. E, por fim, há o registro do professor. Aos registros escritos do professor podem ser acrescentados registros em fotos, áudios ou filmagens.

5. Divulgação

As experiências no processo investigativo e os desafios para obter resultados devem ser estruturados em sínteses e comunicados em uma feira ou exposição, em grupos que

O QUE É PARTILHAR REFEIÇÕES COM AMIGOS E FAMILIARES?

À mesa, partilhamos mais do que alimentos: partilhamos alegria e muito afeto. Aromas, sabores, texturas, risadas: tudo compõe esse momento ímpar dos vínculos de afeto.

CHECK-IN

Essa é a família Oliveira em um almoço especial, na casa dos avós. Vamos acompanhar a refeição deles?

Responda:

a) Sabendo que cada adulto come duas porções pequenas de filé de frango e cada criança come uma porção, quantas porções são necessárias? 10 porções.

b) Será servida uma jarra com 1 260 mL de suco de laranja. Quanto devemos despejar em cada copo para que todos bebam do suco igualmente? 210 mL.

c) Para a sobremesa, será servida uma tábua de frutas com 24 morangos, 6 bananas, 12 uvas e 18 cubinhos de manga. Para que todos comam porções iguais de frutas, qual quantidade de cada uma devemos servir para cada membro da família Oliveira? 4 morangos, 1 banana, 2 uvas e 3 cubinhos de manga.

mesclam a presença de estudantes da escola ou de outras escolas, pais, funcionários, moradores do entorno etc., presencial ou virtualmente.

CHECK-IN

A leitura e discussão desse tema permite que o estudante se envolva com os Temas Contemporâneos Transversais TCTs Educação Alimentar e Nutricional e Vida Familiar e Social, para que compreenda a dinâmica social cotidiana e associe tais elementos ao processo de construção de conhecimento e resolução de problemas.

a) A imagem tem 6 pessoas, 4 adultos que consomem duas porções de filé de frango cada um, ou seja, 8 porções; e também há duas crianças

18 | TRAJETÓRIA 1 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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BÚSSOLA

Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos:

• Resolver e elaborar problemas com números naturais envolvendo as noções de divisor e de múltiplo.

• Determinar máximo divisor comum (mdc) ou mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou mais números.

• Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas – que têm a mesma estrutura – podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

• Representar, por meio de um fluxograma, os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.

• Produzir, revisar e editar textos voltados para a formação do conhecimento, como enunciados de problemas, considerando as regularidades do gênero em termos de suas construções composicionais e estilos.

Sugestão de leitura

A seção de abertura apresenta discussões sobre educação alimentar; leia mais sobre esse tema no artigo: SANTOS, Lygia A. S. Educação alimentar e nutricional no contexto da promoção de práticas alimentares saudáveis. Revista de Nutrição , v. 18, n. 5, p. 681-692, 2005. Disponível em: https://www.scielo.br/j/rn/a/vkThZ86JfcHGzHDDSThHPsc/?format=pdf&lang=pt. Acesso em: 7 set. 2022.

que consomem uma porção cada, totalizando (8 + 2) = 10 porções.

b) Para dividir igualmente 1 260 mL de suco, temos: 1260 ÷ 6 = 210, ou seja, 210 mL.

c) N a divisão das frutas, temos: 24 ÷ 6=4 morangos; 6 ÷ 6=1 banana; 12 ÷ 6 = 2 uvas; 18 ÷ 6 = 3 cubinhos de manga. As questões apresentadas podem ser resolvidas coletivamente, de modo que sejam feitas novas perguntas que direcionem o estudante a compreender o que são múltiplos e divisores.

Mínimo múltiplo comum (mmc) Máximo divisor comum (mdc)

EF07MA01, EF07MA06, EF07MA07 EF69LP36

Habilidade

(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos. Encontro com outras disciplinas

(EF69LP36) Produzir, revisar e editar textos voltados para a divulgação do conhecimento e de dados e resultados de pesquisas, tais como artigos de divulgação científica, verbete de enciclopédia, infográfico, infográfico animado, podcast ou vlog científico, relato de experimento, relatório, relatório multimidiático de campo, dentre outros, considerando o contexto de produção e as regularidades dos gêneros em termos de suas construções composicionais e estilos.

Atividade 1

Com a leitura do texto, os estudantes podem perceber que comer bem está relacionado a comer com regularidade e atenção, em ambientes apropriados e acompanhado. A boa alimentação também se relaciona a conhecer os alimentos e seus preparos.

Atividade 2

Sugira aos estudantes que discutam coletivamente suas práticas alimentares e como isso afeta a qualidade referente aos bons hábitos alimentares com suas famílias. Faça perguntas sobre os horários das refeições; em quais refeições não conseguem comer bem; quem participa das compras, do preparo dos alimentos e da organização

O ato de comer e a comensalidade

Trataremos da comensalidade.

Três orientações básicas são apresentadas: comer com regularidade e com atenção; comer em ambientes apropriados; e comer em companhia. [...]

Comer com regularidade e com atenção. Procure fazer suas refeições diárias em horários semelhantes. Evite “beliscar” nos intervalos entre as refeições. Coma sempre devagar e desfrute o que está comendo, sem se envolver em outra atividade. [...]

Comer em ambientes apropriados. Procure comer sempre em locais limpos, confortáveis e tranquilos e onde não haja estímulos para o consumo de quantidades ilimitadas de alimentos. [...]

Comer em companhia. Sempre que possível, prefira comer em companhia, com familiares, amigos ou colegas de trabalho ou escola. Procure compartilhar também as atividades domésticas que antecedem ou sucedem o consumo das refeições.

Seres humanos são seres sociais e o hábito de comer em companhia está impregnado em nossa história, assim como a divisão da responsabilidade por encontrar ou adquirir, preparar e cozinhar alimentos. Compartilhar o comer e as atividades envolvidas neste ato é um modo simples e profundo de criar e desenvolver relações entre pessoas. Dessa forma, comer é parte natural da vida social. [...]

O ato de comer fica melhor se partilhado com família e amigos. Além disso, envolver a família no planejamento, na preparação e na limpeza do espaço e utensílios de cozinha é parte da aquisição de bons hábitos de comensalidade.

A participação de toda a família nas atividades de planejar as refeições, adquirir, preparar e servir os alimentos e cuidar da limpeza dos utensílios utilizados propicia momentos adicionais de convívio entre entes queridos. O envolvimento de crianças e adolescentes na compra de alimentos e no preparo de refeições permite que eles conheçam novos alimentos e novas formas de prepará-los e que saibam mais sobre de onde eles vêm e como são produzidos. A aquisição de bons hábitos de alimentação e a valorização do compartilhamento de responsabilidades são outros benefícios do envolvimento de crianças e adolescentes com as atividades relacionadas à preparação de refeições.

BRASIL. Ministério da Saúde. Guia alimentar para a população brasileira

2. ed. Brasília: Ministério da Saúde, 2014.

ATIVIDADES

1. Quais são as três orientações básicas da comensalidade, segundo o texto? Da leitura desse texto, o que você entendeu por “comensalidade”?

2. Você cumpre todas as recomendações apresentadas no texto? Explique.

3. Imagine que você fosse planejar a rotina familiar das refeições de um dia, montando um cardápio saudável e pensando nas refeições que serão compartilhadas.

Comer com regularidade e atenção, comer em ambientes apropriados, comer em companhia. É esperado que os alunos respondam “comer com qualidade”. Resposta pessoal. Respostas pessoais.

a) Quantas refeições você imaginou fazer? Detalhe o horário de cada uma.

b) Quais refeições planejou com a família? E com os amigos?

4. Pesquise mais sobre a comensalidade, junte todos da classe e façam um vlog apresentando esse tema para as outras turmas da sua escola. Resposta pessoal.

e limpeza após o preparo; e, em quais momentos a família consegue se reunir para comer.

Atividade 4

Pode-se sugerir que a turma crie um vídeo explicando como planejar um cardápio para a semana, incluindo as compras de mercado necessárias para executá-lo. Além disso, podem refletir sobre como o planejamento pode auxiliar na comensalidade.

20 | TRAJETÓRIA 1 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

FIZKES/SHUTTERSTOCK

#Múltiplos e divisores

Lucas e Pedro são influenciadores em redes sociais. Veja seus posts.

6. Sim, poderia acontecer e podemos afirmar que 236 é múltiplo de 4, pois o número formado pelos dois últimos algarismos é divisível por 4.

YAPANDA /SHUTTERSTOCK

O post de Lucas rendeu 435 curtidas. O post de Pedro teve 236 curtidas.

LUPAS E LUNETAS

Respostas pessoais.

a) Qual é a sua hipótese para a causa da diferença de curtidas entre o post de Lucas e o de Pedro? Explique.

b) Em sua opinião, qual comida parece ser mais saudável? Como você faria para saber, de fato, qual dessas comidas é mais saudável? Explique.

c) Como você avalia as relações que você tem com pessoas que o acompanham nas refeições e as que o acompanham nas redes sociais?

ATIVIDADES

b) Resposta possível: seria necessário ler a descrição detalhada das fotos postadas pelos influencers para saber a qualidade e procedência de todos os ingredientes que compõem cada um desses alimentos.

5. A quantidade de curtidas de Lucas é divisível por 2? Isso garante que, separando as curtidas desse post em dois grupos, é possível que as quantidades de curtidas em cada grupo sejam iguais? Explique.

Não. Não é possível, pois 435 não é par, ou seja, não é divisível por 2.

6. Pedro tem entre seus seguidores quatro grupos diferentes; ele quer investigar a quantidade de curtidas de cada grupo. Poderia acontecer de as quatro quantidades de curtidas serem iguais?

Podemos afirmar que 236 é múltiplo de 4? Explique

7. Encontre todos os divisores de 435 e de 236.

Divisores de 435: 1, 3, 5, 15, 29, 87, 145, 435. Divisores de 236: 1, 2, 4, 59, 118, 236. 8. Pedro visitou um restaurante mexicano e fez este post

a) Para quantas pessoas é possível dividir igualmente os tacos, mantendo cada um deles inteiros?

b) Se fosse necessário dobrar ou triplicar a quantidade de tacos, quantos tacos haveria? O que essas quantidades representam da quantidade inicial?

16 e 24 tacos. Representam o dobro e o triplo da quantidade inicial.

Atividade 7

Pelos critérios de divisibilidade, 435 é divisível por 3 e 5. Para relacionar todos os divisores naturais de 435, podemos organizar as multiplicações que resultam em 435:

1 435 = 3 145 = 5 87 = 15 29 =

1 435 = 3 145 = 5 87 = 15 29 = 435 ou seja, os divisores de 435 são:

1, 3, 5, 15, 29, 87, 145 e 435. Usando o mesmo critério, 236 é divisível por 2 e por 4, e as multiplicações que resultam em 236 são:

1 236 = 2 118 = 4 59 ou seja, os divisores de 236 são

1, 2, 4, 59, 118 e 236.

Atividade 8

a) Os divisores de 8 são 1, 2, 4 e 8, mas, supondo que a divisão deva acontecer entre duas ou mais pessoas, há 8 tacos que podem ser divididos por 2, 4 ou 8 pessoas.

b) O dobro e o triplo são obtidos multiplicando por 2 e por 3, respectivamente. Assim, 2 8 = 16 e 3 ⋅ 8 = 24, ou seja, 16 é o dobro de 8 e 24 é seu triplo.

LUPAS E LUNETAS

Apresente as duas situações de postagem feitas por Lucas e Pedro, discutindo a ideia de alcance que uma publicação pode render em redes sociais. Converse sobre como os estudantes compreendem esse alcance, relacionando o público, o conteúdo da postagem, a legenda e as palavras-chave que têm como objetivo chamar a atenção de um maior número de seguidores. Atualmente, há alimentos preparados com ingredientes alternativos, porém, para avaliar se a comida é saudável, precisamos conhecer mais sobre a origem e o preparo do alimento.

Atividade 5

Os números divisíveis por 2 terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8. As curtidas de Lucas foram 435, que, por não ser par, não é divisível por 2.

Atividade 6

21 |

Habilidade

(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

Travessias

Proponha a formação de grupos de modo que os estudantes possam investigar e discutir o modelo encontrado por Carol na internet, que retrata o modo como os integrantes da escola pitagórica representavam números primos e números compostos.

O objetivo é que os estudantes associem a ideia da representação desses números compostos em linhas e colunas ao produto de fatores naturais primos e associem a representação dos números primos e associem a representação àqueles que só podem ser organizados na forma retangular, com um dos lados igual a 1 e o outro igual ao próprio número.

Atividade 9

Ressalte que números primos são os que apresentam apenas dois divisores distintos: o 1 e o próprio número. Números compostos apresentam mais de dois divisores distintos. Dos números figurados representados, são:

• Números compostos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16.

• Números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13.

Atividade 10

As representações retangulares não são únicas, dependendo dos divisores dos números. Por exemplo, 18 por ser representada por 2 9 ou 3 6

Atividade 12

Resposta possível: as representações retangulares não são únicas.

TRAVESSIAS

Números figurados: primos e compostos Carol gosta de pesquisar curiosidades sobre Matemática. Veja o que ela encontrou ontem em uma pesquisa na internet.

Ela descobriu que esse era um modo de os integrantes da escola pitagórica, que existiu na Grécia antiga, representarem números primos e números compostos. Esse modo é conhecido atualmente como números figurados, que são grupos de pontos organizados em determinada configuração geométrica. Existem outras formas de representar números naturais, organizando-os em grupos de pontos.

11. Espera-se que os alunos expliquem que os números primos estão representados em somente uma coluna e os números compostos em duas ou mais colunas idênticas, lembrando uma organização retangular.

ATIVIDADES

Respostas pessoais.

9. Pesquise e escreva no caderno o que são números compostos e números primos.

10. Observe a sequência de números figurados e busque regularidades. Usando os números figurados, continue a representação até 25.

11. Você encontrou algum padrão na configuração dos pontos correspondentes aos números primos? E aos números compostos? Escreva uma hipótese a respeito dessas configurações.

12. Um exemplo de número composto é o 250. Veja como Carol e seu amigo Davi fizeram para escrever esse número decomposto em fatores primos:

Utilize você também um modo próprio para decompor estes números em fatores primos: a) 234

d) 121

e) 242

Atividade 11

É esperado que os estudantes percebam que os números primos apenas podem ser organizados em linha/coluna, na forma retangular, com um dos lados igual a 1 e o outro igual ao próprio número. A representação dos números compostos tem o número de colunas igual ao primeiro divisor, que é um número primo. Os alunos ainda podem perceber os números quadrados perfeitos como resultado da multiplicação de dois números iguais.

Múltiplos comuns e divisores comuns

Veja os perfis de Lucas e de Pedro:

Lucas e Pedro são muito amigos e têm 400 seguidores em comum. A meta é que eles multipliquem seus seguidores a cada ano.

ATIVIDADES

Habilidade (EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

13. Quais números dividem tanto a quantidade de seguidores de Lucas quanto a de Pedro? Para descobrir, decomponha os números em fatores primos.

14. Determine os divisores comuns de 123 e 96.

14. Divisores de 123: 1, 3, 41, 123; divisores de 96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96. Divisores comuns de 123 e 96: 1 e 3. 515 = 5 103; 525 = 3 52 7 Cinco e um são os únicos números que dividem 515 e 525.

15. Lucas e Pedro fizeram posts na segunda-feira. Lucas posta fotos a cada 4 dias e Pedro a cada 3.

a) Liste as sequências dos 16 primeiros múltiplos de 3 e dos 12 primeiros múltiplos de 4, não nulos.

b) Observando essas sequências de múltiplos, a cada quantos dias Lucas e Pedro farão posts simultaneamente?

Observando os múltiplos comuns das duas sequências (12, 24, 36, 48), é possível concluir que os posts serão feitos simultaneamente a cada 12 dias.

16. Determine os 3 primeiros múltiplos comuns, não nulos, de:

b) Múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56... Múltiplos de 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54

O primeiro múltiplo não nulo em comum de 2 e 9 é 18; assim, a sequência continua com os múltiplos de 18: 18, 36, 54. Os estudantes podem também procurar pelos primeiros múltiplos de 9 que são pares.

a) 5 e 10 10, 20, 30

b) 2 e 9 18, 36, 54 c) 4 e 9 36, 72, 108 d) 7 e 21 21, 42, 63 e) 5 e 6 30, 60, 90

15. a) Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48. Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48.

#Mínimo múltiplo comum

Uma empresa de alimentos naturais opera com três máquinas na distribuição dos seus alimentos. A máquina A precisa de revisão a cada 10 dias, a máquina B precisa de revisão a cada 15 dias e a máquina C precisa de revisão a cada 6 dias. Qual será a próxima revisão simultânea das três máquinas?

Podemos analisar as sequências que mostram a quantidade de dias a partir do dia 0, em que foi feita a manutenção nas três máquinas:

• Máquina A: 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100...

• Máquina B: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105...

• Máquina C: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96...

Os múltiplos comuns às três sequências são 0, 30, 60, 90... O menor número diferente de zero dessa lista é 30, que é o mínimo múltiplo comum de 10, 15 e 6, e indicamos assim: mmc (10, 15, 6) = 30

Atividade 14

Para identificar os divisores comuns de 123 e 96, instrua os estudantes a escrever todos os divisores naturais de 123 e 96 e, em seguida, identificar aqueles que são comuns.

Atividade 15

Observe com os estudantes que zero é múltiplo de qualquer número natural, mas, devido ao contexto, ele não foi considerado nesta resolução:

• os múltiplos de 3 (não nulos) são: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48;

• os múltiplos de 4 (não nulos) são: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48.

As postagens acontecerão simultaneamente a cada 12 dias a partir da primeira publicação.

Atividade 16

Considerando os múltiplos não nulos, teremos:

a) Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35... Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40...

O primeiro múltiplo não nulo em comum de 5 e 10 é 10; assim, a sequência continua com os múltiplos de 10: 10, 20, 30.

c) Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36

Múltiplos de 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 , 81, 90, 99, 108

O primeiro múltiplo não nulo em comum de 4 e 9 é 36, assim a sequência continua com os múltiplos de 36: 36, 72, 108.

d) Múltiplos de 7: 7, 14, 21, 28 ...

Múltiplos de 21: 21, 42, 63, 84...

O primeiro múltiplo comum não nulo de 7 e 21 é 21, com isso, os próximos serão múltiplos de 21: 21, 42 e 63.

e) Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...

Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36...

O primeiro múltiplo comum não nulo de 5 e 6 é 30; com isso, os próximos serão múltiplos de 30: 30, 60 e 90.

Habilidade (EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

Atividade 17

Os estudantes podem identificar os múltiplos comuns usando estratégias diferentes.

A seguir, um exemplo de estratégia para o item a:

• escrever os múltiplos dos números 4, 5 e 6, circular os que são em comum e identificar o menor entre eles;

• calcular o mmc entre 4 e 5, que é 20, e identificar o menor de seus múltiplos que também é múltiplo de 6.

Atividade 18

Destaque aos estudantes que serão determinados os múltiplos comuns de 8, 12 e 16, sendo que mmc (8, 12, 16) = 48

Assim, juntos, os irmãos farão uma visita à avó 48 dias depois do dia 1o de março, ou seja, no dia 18 de abril.

Além disso, é possível investigar formas de contagem dos dias, dividindo-se 48 por 7 e identificando-se que o dia de encontro se dará após 6 semanas e 6 dias.

LUPAS E LUNETAS

Proponha a realização de uma refeição coletiva que envolva todos os estudantes da turma. A refeição pode ser um piquenique com divisão de responsabilidades e contemplando as restrições alimentares de todos: um grupo deverá levar pratos salgados; outro, pratos doces; outro, as bebidas; e um último fará a organização e limpeza do espaço.

A divisão deve ser realizada de forma igualitária e com a maior quantidade de pessoas

O mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou mais números naturais é o menor número natural, diferente de zero, que é múltiplo comum desses números.

A próxima revisão simultânea das três máquinas será 30 dias a partir do dia 0, em que as manutenções coincidiram.

ATIVIDADES

17. Determine o mínimo múltiplo comum dos números:

a) 4, 5, 6 60

b) 11, 5, 4 220

c) 8, 7, 9 504

d) 4, 10, 6 60

e) 20, 10, 6 60

18. Jacó, Jessé e José são irmãos. Eles visitam a avó sempre no mesmo horário, obedecendo à mesma rotina: Jacó visita a avó a cada 8 dias; Jessé, a cada 12 dias; e José, a cada 16 dias. Os três estiveram juntos na casa dela no dia 1 de março. Em que dia ocorrerá a próxima visita dos três juntos? No dia 18 de abril.

#Máximo divisor comum

Luna vai fazer um almoço e convidar seus familiares para visitá-la. Combinou que cada um ajudará em uma parte do preparo da refeição. Os mais velhos farão o prato principal: uma lasanha que rende 30 porções; e os jovens farão a sobremesa: um doce de pêssego que rende 36 porções.

Pratos do almoço em família na casa de Luna.

Sabendo que as porções serão divididas igualmente pela quantidade de pessoas que estarão presentes, veja as possibilidades de convidados que Luna poderá receber:

• Modos de dividir igualmente o prato principal: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

• Modos de dividir igualmente a sobremesa: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Note que, para o prato principal, as possibilidades são os divisores de 30 e, para a sobremesa, as possibilidades são os divisores de 36.

É possível utilizar divisores comuns para descobrir quantas pessoas Luna pode convidar, de modo que tanto o prato principal quanto a sobremesa sejam divididos igualmente. Qual é o número máximo de convidados que Luna pode receber? 6 convidados.

24 | TRAJETÓRIA 1 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

possível por grupo, conforme o número de estudantes que ficarão responsáveis por cada uma das tarefas. Ao final da divisão, questione se foi possível dividir os grupos com a mesma quantidade de estudantes em cada um e quais foram as dificuldades enfrentadas.

Atividade 19

Para determinar os divisores, os estudantes podem fazer uma relação com os fatores que resultam no número que estão observando.

= { 1, 2, 4, 7, 14, 28}

b) 35 = 5 ⋅ 7

D(35) = { 1, 5, 7, 35}

66 = 2 33 = 3 22 = 6 11

D(65) = { 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66}

PIXEL-SHOT/SHUTTERSTOCK SWEET MARSHMALLOW/SHUTTERSTOCK

LUPAS E LUNETAS

Respostas pessoais.

a) Você já ajudou a preparar uma refeição em família?

b) E já ajudou com a organização e limpeza do espaço após uma refeição? Reflita sobre suas atitudes no compartilhamento das responsabilidades após uma refeição.

c) Proponha para sua turma, junto do professor, uma refeição em que todos possam ajudar nas diversas etapas de preparo, limpeza do espaço e utensílios.

Cálculo do máximo divisor comum

O maior divisor comum de uma coleção de números é chamado de máximo divisor comum. Por exemplo, vamos encontrar o máximo divisor comum de 84 e 112. Começamos listando os divisores naturais de cada um:

• Divisores de 84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.

• Divisores de 112: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, 112.

Em seguida, selecionamos os divisores comuns observando os números que se repetem nas duas listas.

• Divisores comuns de 84 e 112: 1, 2, 4, 7, 14, 28.

O máximo divisor comum será o maior número dessa lista. O máximo divisor comum de 84 e 112 é 28:

mdc (84, 112) = 28

O máximo divisor comum (mdc) de dois ou mais números naturais é o maior número natural que é divisor comum desses números.

ATIVIDADES

19. Para cada item, liste os divisores de cada dupla de números e, em seguida, destaque seus divisores comuns.

a) 28 e 18

b) 35 e 66

c) 80 e 45

d) 75 e 120

a) Divisores de 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28; divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18; divisores comuns de 28 e 18: 1, 2.

b) Divisores de 35: 1, 5, 7, 35; divisores de 66: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66; divisores comuns de 35 e 66: 1.

20. Para o show de talentos da escola, foram organizadas apresentações de 4 gêneros musicais: pop com 12 grupos participantes, rap com 15, funk com 18 e rock com 9. Para organizar os intervalos entre as apresentações, determine o maior divisor comum das apresentações de cada gênero.

21. Determine o mdc dos números em cada item.

a) 14, 15 1

b) 18, 22 2

c) 36, 45, 54 9

d) 110, 121 11

19. c) Divisores de 80: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80; divisores de 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45; divisores comuns de 80 e 45: 1, 5.

19. d) Divisores de 75: 1, 3, 5, 15, 25, 75; divisores de 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120; divisores comuns de 75 e 120: 1, 3, 5, 15.

22. Uma pessoa foi à feira ao ar livre e de lá trouxe 32 castanhas-de-caju e 24 frutas secas. Ela vai dividir em porções para comer esses alimentos diariamente. Sem deixar sobrar castanhas ou frutas secas, qual é o número máximo de dias em que poderão ser divididos esses alimentos? 8 dias.

20. Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12; divisores de 15: 1, 3, 5, 15; divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18; divisores de 9: 1, 3, 9; mdc (12, 15, 18, 9) = 3 Três grupos participantes de cada gênero.

Habilidade (EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

O 3 é o mdc, pois é o único fator primo divisor dos quatro valores simultaneamente.

Atividade 21

a) Pela decomposição, temos que os divisores de 14 são 1, 2, 7; os divisores de 15 são 1, 3, 5, 15. Apenas o número 1 é divisor comum, mdc (14, 15) = 1 Os números 14 e 15 são primos entre si.

b) Pela decomposição, temos que os divisores de 18 são 1, 2, 3, 6, 9, 18; os divisores de 22 são 1, 2, 11, 22. Apenas os números 1 e 2 são divisores comuns, mdc (18, 22) = 2

c) Pela decomposição, temos que os divisores de 36 são 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; de 45 são 1, 3, 5, 9, 15, 45; e 54 são 1, 2, 3, 6, 9 , 18, 27, 54. Os divisores comuns são: 1, 3 e 9 e o maior deles é 9, mdc (36, 45, 54) = 9

Atividade 20

Sugira a possibilidade de resolver a atividade realizando a decomposição simultânea dos valores apresentados. Essa é uma alternativa para encontrar o mdc, caso o estudante tenha encontrado dificuldade.

d) Pela decomposição, temos que os divisores de 110 são 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110; de 121 são 1, 11, 121. Apenas os números 1 e 11 são divisores comuns; mdc (110, 121) = 11

Atividade 22

Realizando a decomposição, tem-se que os divisores de 32 são 1, 2, 4, 8, 16, 32; os divisores de 24 são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Então os divisores comuns são: 1, 2, 4, 8, sendo o maior deles o 8.

Habilidades

(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.

Nas atividades de resolução de problemas, a compreensão do enunciado é necessária para que o estudante relacione a situação proposta com outras que resolveu anteriormente. Com isso, ao explorar a resolução de problemas com os estudantes, é importante apresentar outras situações que possam ser resolvidas por mdc para que eles percebam em quais delas usamos o cálculo do máximo divisor comum.

Atividade 23

Considere este algoritmo para a resolução de problemas envolvendo mmc.

• Passo 1: Identifique os números naturais envolvidos no problema.

• Passo 2: Decomponha esses números naturais simultaneamente, utilizando-se da técnica da fatoração.

• Passo 3: Realize a multiplicação desses fatores primos. O resultado obtido é o mmc.

#Estruturas de resolução de problemas

Problemas de mmc

Há alguns problemas que, embora sendo diferentes entre si, têm uma mesma estrutura, possibilitando resoluções com procedimentos iguais.

Vamos acompanhar em detalhes a resolução de um problema de mmc.

Situação-problema

Dois ônibus, A e B, passam pelo ponto central de uma cidade: o primeiro, a cada 8 min e o segundo, a cada 12 min. Os dois passaram juntos nesse ponto às 6 h. Decorridos quantos minutos os dois voltarão a se encontrar novamente nesse mesmo ponto?

Compreender a pergunta e os dados do problema

Sabemos que os dois ônibus passaram juntos no ponto central às 6 h, que um passa de 8 em 8 min e o outro passa de 12 em 12 min. Precisamos descobrir qual será o próximo horário em que os dois ônibus vão estar lado a lado novamente nesse ponto.

Reconhecer a sequência de múltiplos que corresponde a cada elemento periódico do problema

Uma maneira de resolver esse problema é listar os intervalos de tempo em que os dois ônibus passam pelo ponto central:

• Intervalos de tempo do ônibus A: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56...

• Intervalos de tempo do ônibus B: 0, 12, 24, 36, 48, 60...

Identificar os múltiplos comuns às duas sequências Faremos a comparação entre os elementos das duas sequências e destacaremos os que são comuns.

A: múltiplos de 8 → 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80

B: múltiplos de 12 → 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 Selecionaremos somente os múltiplos comuns e vamos compor uma nova sequência: Números múltiplos comuns de 8 e 12 → 0, 24, 48, 72 Identificaremos o menor múltiplo, diferente de zero, da nova sequência.

O menor número não nulo é o 24. Indicamos assim: mmc (8, 12) = 24

O próximo horário em que os dois ônibus vão estar lado a lado novamente no ponto central da cidade é 6h24min.

ATIVIDADES

23. Para produzir uma embalagem de shampoo, uma máquina gasta 25 minutos enquanto outra máquina, para produzir uma embalagem de condicionador, gasta 35 minutos. Após quanto tempo, no mínimo, elas terminam, simultaneamente, a produção de ambas as embalagens?

a) Resolva o problema. mmc (25, 35) = 175 Após 175 minutos ou 2 horas e 55 minutos.

b) Escreva um algoritmo (descrição de uma tarefa a ser realizada passo a passo) para o procedimento geral da resolução de um problema com mmc. Respostas pessoais.

Identifique os números naturais envolvidos no problema.

Realize a fatoração simultânea desses números.

Multiplique esses fatores primos para obter o mmc

Início

Problemas de mdc

Há alguns problemas que, embora sendo diferentes entre si, têm uma mesma estrutura, possibilitando resoluções com procedimentos iguais.

Já analisamos o processo de resolução de problemas de mmc. Vamos agora acompanhar em detalhes a resolução de um problema de mdc.

Situação-problema

Um evento de arte na Escola Bela contempla três especialidades: dança (D), com 30 integrantes; música (M), com 24; e teatro (T), com 36. As especialidades serão divididas em grupos. Qual é a quantidade máxima de integrantes em um grupo de artistas tal que todos os grupos, nas 3 especialidades, tenham o mesmo número de artistas?

Habilidades

(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.

Compreender a pergunta e os dados do problema

Sabemos que todos os grupos devem ter o mesmo número de artistas e que as especialidades têm a seguinte quantidade de artistas integrantes: D → 30; M → 24; T → 36

Precisamos descobrir qual quantidade máxima de artistas pode haver em cada grupo. Reconhecer a sequência de divisores correspondente a cada categoria do problema Os integrantes, por categorias (as especialidades artísticas), devem ser divididos em grupos. Sendo assim, listamos as quantidades possíveis de integrantes por categoria, ou seja, os divisores de cada categoria:

• Categoria D: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

• Categoria M: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

• Categoria T: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Identificar os divisores comuns às três categorias

Faremos a comparação entre os elementos das três sequências e destacaremos os que são comuns.

• D: divisores de 30 → 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

• M: divisores de 24 →

• T: divisões de 36 →

Sugestão de atividade

1. Para organizar uma festa infantil, a mãe de Laura precisa garantir que cada mesa tenha exatamente 8 brigadeiros, 12 beijinhos e 20 salgadinhos disponíveis para os convidados.

a) Se ela comprar uma mesma quantidade de cada item, igual ao mmc de 8, 12 e 20, qual quantidade máxima de mesas ela consegue montar?

Sendo 120 o mmc (8, 12, 20), se a mãe de Laura comprar quantidades iguais de cada item

(120 brigadeiros, 120 beijinhos e 120 salgadinhos), poderão ser servidas 15 porções de brigadeiro, 10 de beijinhos e 6 de salgadinhos. Nesse caso, a festa poderá ter até 6 mesas e sobrariam porções de beijinhos e de brigadeiros.

b) Se, após as compras, a mãe de Laura redistribuir os itens em cestinhas com a mesma quantidade de cada tipo, quantos brigadeiros, beijinhos e salgadinhos irão em cada cestinha?

Para determinar o mdc (8, 12, 20), os estudantes podem resolver o problema da seguinte maneira:

Sendo assim, o mdc é:

2 ⋅ 2 = 4 e cada cestinha pode ter 4 unidades de cada item.

2. João recebe de seu avô 8 moedas de 25 centavos, 12 moedas de 50 centavos e 20 moedas de 1 real. Sabendo que o menino dividirá as moedas em saquinhos e cada saquinho tem a mesma quantidade de moedas de cada valor, qual o máximo de saquinhos que podem ser formados?

Sendo o mdc(8, 12, 20) igual a 4, são 4 saquinhos no máximo e, em cada saquinho, deve-se ter 2 moedas de 25 centavos, 3 moedas de 50 centavos e 5 moedas de 1 real.

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Habilidades

(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas. Encontro com outras disciplinas

(EF69LP36) Produzir, revisar e editar textos voltados para a divulgação do conhecimento e de dados e resultados de pesquisas, tais como artigos de divulgação científica, verbete de enciclopédia, infográfico, infográfico animado, podcast ou vlog científico, relato de experimento, relatório, relatório multimidiático de campo, dentre outros, considerando o contexto de produção e as regularidades dos gêneros em termos de suas construções composicionais e estilos.

Atividade 24

Existem diversas maneiras de construir um fluxograma que apresente os passos de resolução do problema. Uma das possibilidades é apresentada a seguir:

Selecionaremos somente os divisores comuns e comporemos uma nova sequência. Números divisores comuns a 24, 30 e 36 → 1, 2, 3, 6

Identificaremos o maior divisor da nova sequência.

O maior número é o 6. Indicamos assim: mdc mdc (30, 24, 36) = 6

A quantidade máxima de integrantes em um grupo de artistas de qualquer especialidade é 6.

ATIVIDADES

24. a) Divisores comuns de 36 e 32: 1, 2, 4. Ou seja, o maior número de dias é 4, com grupos de 9 pessoas em cada um para preparar a refeição e 8 pessoas em cada grupo para fazer a limpeza.

24. Helena é a coordenadora do projeto Cozinha na escola para jovens. Nessa etapa inicial, os jovens puderam escolher de qual atividade participar. Veja a quantidade de inscritos por atividade:

Início

Ela vai dividir os participantes de cada atividade igualmente, formando equipes compostas pelas duas frentes, que irão trabalhar juntas durante o dia.

a) Considerando uma equipe diferente por dia, qual é o maior número de dias seguidos sem repetição de equipes?

b) Elabore um fluxograma que represente as etapas de resolução de problemas que tenham essa mesma estrutura. Resposta pessoal.

25. Rafa e Nina correm em uma pista partindo juntas de um mesmo ponto e na mesma direção, no mesmo instante.

Rafa completa uma volta em 54 segundos, enquanto Nina completa uma volta em 45 segundos.

a) Qual é o primeiro instante em que Rafa e Nina passarão juntas novamente pelo ponto de partida? mmc (54, 45) = 270 O instante será 270 segundos depois do início da corrida.

b) Quantas voltas Nina terá dado nesse instante? E Rafa?

26. Dois jovens irmãos, Alana e Alex, moradores em uma república de estudantes participam dos preparativos da refeição. Ela, a cada 4 dias, prepara a refeição; ele, a cada 3 dias, lava as louças. No dia 3 de maio os dois estiveram juntos na cozinha, cada um na sua atividade. Qual é o próximo dia desse mês em que os irmãos participarão juntos das atividades na cozinha?

27. Junte-se a um colega para esta atividade. São dados os números 8, 15 e 20. Com esses números produzam, revisem e editem dois textos na forma de problemas: um de mmc e outro de mdc.

a) Entreguem os problemas de vocês para outra dupla resolver.

b) O que vocês observaram na estratégia de resolução?

c) Exponham os problemas de vocês no mural da sala. O que vocês observaram de regularidades em termos de construção composicional e estilos nos textos dos problemas? Conversem com a turma sobre isso.

Identifique a quantidade de jovens que devem “preparar refeição” e “limpar cozinha e utensílios”.

Identifique todos os divisores naturais dos números que representam as quantidade de jovens identificados anteriormente. Fim

Identifique o maior divisor comum que representa o número de dias.

Nina terá dado 6 voltas e Rafa terá dado 5 voltas.

mmc (3, 4) = 12. Dia 15 de maio. Respostas pessoais.

28 | TRAJETÓRIA 1 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LEVO NA BAGAGEM

Respostas pessoais.

Consulte todas as suas produções até agora neste passeio e avalie seu aprendizado.

▶ Matemática

• Você sabe resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo?

• Sabe determinar o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais?

• Reconhece que as resoluções de um grupo de problemas – que têm a mesma estrutura – podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos?

• Sabe representar por meio de um fluxograma os passos necessários para resolver um grupo de problemas?

▶ Outras disciplinas

Língua Portuguesa

• É capaz de produzir, revisar e editar textos voltados para formação do conhecimento, tais como enunciados de problemas, considerando as regularidades do gênero em termos de suas construções composicionais e estilos?

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO

Insuficiente Parcialmente suficiente Satisfatório Plenamente satisfatório

LEVO NA BAGAGEM

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre o próprio aprendizado enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, classificarão seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas que estão presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

Atividade 27

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

A realização desta atividade contribui para o desenvolvimento da capacidade de elaborar problemas, prevista na habilidade EF07MA01, e também para o desenvolvimento parcial da habilidade de Língua Portuguesa EF69LP36 no processo de construção de um texto que envolva a divulgação do conhecimento relativo à modelagem de uma situação problema por meio do mmc e do mdc dos números 8, 15 e 20. É importante destacar que a atividade por si só não é suficiente para contemplar toda a habilidade.

Para construir os problemas, os estudantes podem refletir sobre os diferentes contextos apresentados na trajetória e levantar outros que abordem a ideia de divisão, repartição e multiplicidade..

Atividade 25

a) Para determinar o mmc (45, 54), podemos realizar a decomposição simultânea:

a) Como 270 ÷ 54 = 5 e 270 ÷ 45 = 6, Nina terá dado 6 voltas, e Rafa, 5 voltas nesse tempo.

Atividade 26

Após 270 segundos, ou 4 minutos e 30 segundos, as corredoras passam juntas pelo ponto de partida.

Observando os múltiplos não nulos de 3: 3, 6, 9, 12, 15... e os múltiplos não nulos de 4: 4, 8, 12, 16..., os estudantes podem perceber que 12 é comum nas duas listas. Assim, após 12 dias os irmãos se encontrarão para realizar as tarefas. Sabendo que estavam juntos no dia 3, se encontrarão novamente em 15 de maio.

BARCOS E PORTOS

Organize

Solicite aos alunos que retomem coletivamente a seção Arredores e identifiquem as palavras-chave que aparecem no esquema e as que não aparecem, mas que são abordadas nesta seção. Na sequência, solicite que escrevam uma frase que sintetize o significado matemático de cada palavra e como esta é abordada, sempre citando exemplos. Caso o estudante apresente dificuldades, proponha a construção de um mapa mental dos conteúdos e suas características. Proponha, agora em duplas, que os estudantes troquem seus esboços de mapas mentais, de modo que um complete o do outro com aquilo que ainda falta, explicando o significado do que foi completado. Por fim, solicite que destroquem os esboços e mapas mentais e discutam os resultados.

Elabore

Para que os estudantes elaborem novos problemas que possam ser resolvidos pelo cálculo de mmc, leia outros exemplos que sirvam de inspiração; podem ser problemas como:

a) Uma escola de dança tem 3 turmas com 15, 18 e 21 estudantes. Para realizar uma coreografia, é necessário dividir os estudantes de cada turma em grupos. Considerando que todos os grupos, independentemente da turma, devem ter o mesmo número de estudantes, qual é o maior número de estudantes que cada grupo pode ter?

Cada grupo deve ter 3 estudantes, pois o mmc (15, 18, 21) é 3.

b) Gustavo está com sinusite. De 6 em 6 horas, ele toma um antibiótico e de 8 em 8 horas faz inalação. Se ao meio-dia ele iniciou o tratamento – tomou o comprimido e fez inalação –, então

▶ Organize

Respostas pessoais.

Agora que você percorreu todo este passeio, organize uma lista composta por palavras-chave de todos os conhecimentos que foram apresentados nele. Comece consultando o mapa que está na seção Arredores. Depois, procure por outras palavras que não apareceram nele, mas que ocorreram ao longo do passeio. Escreva uma frase que sintetize o significado matemático de cada palavra. Você pode incrementar apresentando exemplos. As palavras de que você não se lembrar de cabeça, devem ficar em branco.

a) Após descrever os significados de cada uma das palavras-chave de que você se lembrou, troque sua lista com a de outro colega, assim um completa a do outro com aquilo que ainda falta e explica para o outro o significado completado.

b) Depois de preenchida por vocês dois, destroquem as listas e, caso alguma palavra tenha retornado sem a descrição correspondente, juntos, retomem esse conhecimento consultando este livro ou outras fontes e estudem-no juntos – um auxiliando o outro nos esclarecimentos.

▶ Elabore

Suzana estava estudando os conteúdos de múltiplos e divisores quando encontrou este problema e sua resolução.

Hanna e Joaquim estão correndo em uma pista. Os dois partem da largada na mesma direção e no mesmo instante. Hanna completa uma volta em 36 segundos, enquanto Joaquim demora 52 segundos. Sabendo que o tempo para completar uma volta não se altera para nenhum dos dois, em qual instante os dois se encontrarão novamente lado a lado?

Decompondo simultaneamente os dois números dados no problema em fatores primos, encontramos o resultado:

×

× 13 = 468

Assim, a resposta é: Hanna e Joaquim se encontram novamente após 468 segundos (ou 7 minutos e 48 segundos) decorridos da largada.

a) Explique para um colega o que você entendeu desse processo de resolução.

b) Pesquise mais sobre esse processo e discorra sobre para quais problemas ele é mais prático de ser utilizado.

c) Elabore um problema e resolva-o por esse método.

em qual horário ele voltará a fazer os 2 procedimentos simultaneamente?

Após 24 horas, ao meio-dia do dia seguinte, pois o mmc (6, 8) = 24

c) Em uma empresa, a equipe de segurança é treinada a cada 3 anos e a equipe responsável pelo cuidado com o meio ambiente recebe treinamento a cada 4 anos. Se em 2022 ambas receberam treinamento, então em que ano os treinamentos das duas equipes voltarão a coincidir?

Sabendo que mmc (3, 4) = 12, em 12 anos as duas equipes receberão treinamento no mesmo ano, ou seja, em 2034.

A pergunta inicial deste passeio é: O que é partilhar refeições com amigos e familiares?

1. Você é capaz de se autoconhecer e cuidar de si mesmo nos diferentes momentos da relação social com a refeição? Pense e reflita individualmente, considerando estas questões:

a) Para você a alimentação é importante somente na hora de comer?

b) Você se mostra disposto a ir ao mercado buscar e escolher alimentos, ajudar a guardar e preparar os alimentos, participar da limpeza dos utensílios e organização do espaço da refeição?

c) Você faz essas atividades apenas se algum adulto lhe pedir ou você tem iniciativa própria?

2. Observe a sequência de imagens.

Escreva um algoritmo que represente os diferentes momentos de uma refeição.

3. Coletivamente idealizem um passo a passo da preparação de uma refeição com sua turma. Separem em duas, três ou mais funções que cada grupo ficará encarregado de cuidar. Cada aluno tem o direito de escolher em qual função deseja participar. Com esses dados organize grupos para cada função de maneira que a cada dia tenha um grupo diferente para trabalhar em todas as funções. Qual é o número máximo de dias em que haverá sempre uma equipe diferente trabalhando?

Proponha

O objetivo das atividades desta seção é abordar o autoconhecimento e o autocuidado, ou seja, conhecer-se e observar a si mesmo em situações de comensalidade, para reconhecer suas atitudes e emoções com autocrítica e avaliar a capacidade de lidar com elas.

Pode-se discutir como a ideia de dividir etapas da preparação e, posteriormente, as refeições pode tornar as responsabilidades menos pesadas e o processo mais prazeroso.

O uso do algoritmo para identificar os passos pode auxiliar a entender todos os aspectos envolvidos no preparo das refeições e promover uma reflexão sobre todas as responsabilidades de quem prepara um alimento.

Por fim, a discussão sobre a divisão de tarefas também pode envolver debates sobre quais tarefas são equivalentes, quais são possíveis de se executar por crianças, entre outras.

I.

II.

III.

IV.

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PROSTOCK-STUDIO/SHUTTERSTOCK

HANANEKO_STUDIO/SHUTTERSTOCK

PIKSELSTOCK/SHUTTERSTOCK

Encontro com outras disciplinas

(EF69LP13) Engajar-se e contribuir com a busca de conclusões comuns relativas a problemas, temas ou questões polêmicas de interesse da turma e/ou de relevância social.

CHECK-IN

A leitura e a discussão desse tema permitem que o estudante se envolva com os TCTs Educação Alimentar e Nutricional e Saúde, para que compreenda a importância de um processo de alimentação saudável.

É possível conversar com os estudantes sobre hábitos alimentares, seu impacto na saúde e no bem-estar. Sugerimos utilizar o “Guia Alimentar para a População Brasileira”, de 2014, como fonte de pesquisa, especialmente sobre as classificações dos tipos de processamento de alimentos, bem como a importância do guia alimentar.

Os alimentos in natura –frutas, legumes, verduras, grãos etc. – não recebem adição de produtos como conservantes; os processados – pães, legumes em conserva etc. – apresentam alguns ingredientes adicionados para sua conservação, por exemplo, o milho minimamente processado.

CHECK-IN

O QUE E QUANTO COMEMOS?

Alimento e processamento

As imagens representam alimentos organizados de acordo com o tipo de processamento empregado em sua produção: in natura, processado e ultraprocessado.

a) Você consegue identificar as diferenças entre cada tipo de processamento nos alimentos da figura?

b) O esquema gráfico indica que devemos priorizar em nossa alimentação os alimentos in natura, moderando a ingestão dos demais. Explique o porquê dessa sugestão, considerando que ela visa promover uma alimentação mais saudável.

c) Relembre um dia típico em sua semana. Considerando as três categorias de alimentos, que fração da sua refeição nesse dia corresponde a cada uma dessas categorias?

d) Que propostas você e seus colegas podem apresentar para que a alimentação de vocês possa ser cada vez mais saudável?

Respostas pessoais.

32 | TRAJETÓRIA 1 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

SHUTTERSTOCK/ ARTE M10

Quantidade

Simplificação

Frações equivalentes

FRAÇÃO

Significados

Quociente

BÚSSOLA

Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos:

• Compreender diversas ideias sobre as frações: parte de todo, resultado de divisão, fração de quantidade e razão.

• Identificar e obter frações equivalentes.

• Efetuar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo frações.

• Resolver problemas envolvendo operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com frações.

• Compreender a potenciação envolvendo frações.

• Contribuir com a busca de conclusões comuns relativas a questões de relevância social.

EF07MA08, EF07MA09, EF07MA11, EF07MA12 EF69LP13

Encontro com outras disciplinas

(EF69LP13) Engajar-se e contribuir com a busca de conclusões comuns relativas a problemas, temas ou questões polêmicas de interesse da turma e/ou de relevância social.

Após a leitura do texto, elabore perguntas sobre a rotina alimentar dos estudantes quanto à ingestão de alimentos minimamente processados e ultraindustrializados, apresentando – para melhor compreensão –uma tabela com as informações nutricionais de alimentos que se encaixam nessas classificações. O objetivo é chamar a atenção dos estudantes para que compreendam as diferentes composições de cada tipo de alimento e como uma rotina alimentar desbalanceada pode ser prejudicial a qualquer pessoa, já que a maior parte dessas calorias é proveniente de açúcares e gorduras. Esta atividade trabalha a habilidade de Língua Portuguesa EF69LP13 e propicia tornar o estudante um cidadão crítico.

Atividade 1

Os alimentos in natura incluem peixe fresco, legumes, verduras, frutas. Os alimentos minimamente processados passam pelos processos de limpeza, remoção de partes não comestíveis, fracionamento, moagem, secagem, fermentação, pasteurização, refrigeração ou congelamento. Alguns alimentos minimamente processados são carnes, grãos, farinhas, leite. Os alimentos processados recebem a adição de ingredientes para sua conservação, como peixes e legumes enlatados, frutas em calda etc. Os produtos ultraprocessados são produzidos com proteína de soja e de leite, extrato de carnes, gordura vegetal hidrogenada, xarope de frutose, espessantes, emulsificantes, corantes, aromatizantes, realçadores de sabor e vários outros tipos de aditivos para que tenham cheiro e sabor da comida. Exemplos desses alimentos

Dieta ultraprocessada bagunça totalmente o seu apetite

Espigas de milho orgânicas, procedentes de pequenos produtores. Biscoitos salgados, crocantes, ultraprocessados e com sabor de milho.

Estudo confirma pela primeira vez que comida industrializada leva a comer em excesso.

Vinte pacientes do Instituto Nacional de Saúde dos EUA participaram de um dos estudos mais interessantes sobre o consumo de comida ultraprocessada já feitos. Por 15 dias, essas pessoas foram divididas em dois grupos. O primeiro recebia três grandes refeições diárias feitas apenas de alimentos minimamente processados. Eles podiam comer o tanto quisessem a cada refeição, por no máximo 60 minutos.

O segundo grupo recebia um prato contendo estritamente o mesmo número de calorias diárias e a mesma proporção de gorduras, proteínas e carboidratos. Mas dessa vez, a refeição era inteira composta de alimentos ultraindustrializados.

Novamente, eles podiam comer o quanto desejassem, durante o intervalo de uma hora.

Ao fim das duas semanas, as dietas eram invertidas entre os grupos, que comiam o novo cardápio por mais 15 dias.

A pesquisa foi a primeira a mostrar, de fato, que a comida ultraprocessada pode causar diretamente alterações no apetite e na ingestão de calorias. O mesmo paciente que, normalmente, se sentia satisfeito com o consumo de 2 600 kcal diárias quando estava na dieta pouco processada passava a comer 500 kcal a mais por dia para se sentir satisfeito comendo alimentos ultraprocessados. A maior parte dessas calorias, é claro, vinha de açúcares e gorduras – a ingestão de proteína permanecia a mesma.

LEONARDI, Ana Carolina. Dieta ultraprocessada bagunça totalmente o seu apetite. Superinteressante, 11 jul. 2019. Disponível em: https://super.abril.com.br/saude/dieta-ultraprocessada-bagunca-totalmente-o-seu-apetite. Acesso em: 28 abr. 2022.

ATIVIDADES

3. Alimentos ultraprocessados alteram o apetite normal de uma pessoa, fazendo-a comer mais – portanto, ingerir mais calorias – do que o necessário para se saciar sem o consumo desses alimentos.

1. O texto cita alimentos ultraprocessados e alimentos minimamente processados. Você sabe o que isso quer dizer? Pesquise mais sobre esse assunto na internet e compartilhe com os demais colegas. Resposta pessoal.

2. Explique, com suas palavras, o experimento relatado no texto. Resposta pessoal.

3. Segundo o texto, quais foram as conclusões desse experimento?

4. Reflita sobre sua própria alimentação. A sua dieta é composta mais por qual tipo de alimento: minimamente processado ou ultraprocessado? Resposta pessoal.

5. Reflita agora com os colegas e busquem uma maneira de fazer suas refeições de modo mais saudável. Respostas pessoais.

são: salgadinhos, lasanha congelada, macarrão instantâneo, empanado de frango, refrigerantes, suco em pó.

Atividade 2

O experimento observou dois grupos de 10 pessoas, cada um por um período de 15 dias. O primeiro recebeu 3 refeições com alimentos minimamente processados, e as pessoas podiam comer o quanto quisessem pelo período de 1 hora. O segundo recebia a mesma quantidade de calorias divididas

proporcionalmente em proteínas, gorduras e carboidratos, e as pessoas também podiam comer o quanto quisessem por 1 hora. Depois de 15 dias, os grupos trocaram o tipo de alimento consumido.

Atividade 3

Segundo a pesquisa, o alimento ultraprocessado pode causar diretamente alterações no apetite e na ingestão de calorias. A mesma pessoa aumenta o consumo de alimento quando troca a dieta pouco processada pela ultraprocessada.

34 | TRAJETÓRIA 1 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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#Algumas ideias sobre frações

As frações estão presentes em diversas situações da nossa vida. Observe algumas delas:

Receita de vitamina de mamão

Dividir uma salada em quatro partes iguais

Habilidade (EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

LUPAS E LUNETAS

Uma parte de mamão para 3 partes de leite. A quarta parte de uma salada.

Representar uma divisão utilizando fração

12 ÷ 3 ou 12 3

12 dividido por 3.

Fração de uma quantidade

de 100 maçãs 1 4

Um quarto de 100 maçãs.

Cada uma dessas situações pode ser expressa matematicamente utilizando frações:

• A razão entre as quantidades de mamão e leite é 1 3

• A quarta parte de uma salada é 1 4 da salada.

• 12 dividido por 3 é 12 3 = 4

• 1 4 de 100 maçãs são 100 4 maçãs ou 25 maçãs.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais.

Elabore uma situação semelhante a cada uma das apresentadas utilizando a fração 2 5

• Leia as produções dos colegas e avalie as escolhas que fizeram.

Parte do todo

Cláudia dividiu um bolo em 12 fatias iguais:

Dizemos, então, que cada fatia é 1 12 (lê-se um doze avos) do bolo todo.

Atividade 4

Incentive os estudantes a listar os alimentos que consomem diariamente e classificar quais são minimamente processados ou ultraprocessados. Com essas informações, eles podem conversar sobre possíveis mudanças alimentares que pretendam adotar em suas vidas.

Atividade 5

Incentive os estudantes a recorrer à reflexão e à análise crítica para propor soluções conforme os

conhecimentos de diferentes áreas e de maneira pessoalmente nova. Caso seja necessário, proponha um tempo para que eles possam fazer uma pesquisa a respeito de alimentação e de nutrição e, com base nas informações obtidas, montar uma lista de alimentos que não fazem parte da rotina alimentar deles – e que sejam acessíveis na região onde vivem –, mas que tenham um valor nutritivo de grande importância.

Oriente os estudantes a relacionar situações de seu cotidiano em que se possa utilizar a fração 2 5 . Caso tenham dificuldade, cite alguns exemplos que envolvam fração como uma quantidade que resulta de uma divisão (quociente), uma razão entre grandezas, um operador ou uma parte do todo. Alguns exemplos que podem ser usados como inspiração para os estudantes são: escolher duas de um total de cinco brincadeiras; lavar duas de cinco camisas; colocar 200 mL de suco concentrado e completar com água para fazer 500 mL de suco.

Habilidade (EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

LUPAS E LUNETAS

Para vivenciar a situação, trabalhe com um material manipulável que possa representar a situação descrita. Mostre o processo de divisão de um todo em 12 partes iguais de modo que cada parte corresponda a um doze avos do bolo todo. Depois, mostre a fração que corresponde às fatias de bolo que Cláudia comeu e aquela que corresponde à metade do bolo.

Neste momento, aproveite para comentar a ideia de fração equivalente com os estudantes, avaliando o conhecimento prévio deles. Como o bolo está dividido em 12 fatias e Cláudia come duas fatias, a fração do que ela comeu é 2 12 , o mesmo que 1 6 A representação de metade do bolo pode ser feita de modos diferentes: 6 12 ou 3 6 etc.

Atividade 7

O mês de janeiro tem 31 dias, dos quais 7 foram de férias, o que equivale a 7 31 dias de férias no mês.

LUPAS E LUNETAS

Debata com os estudantes o fato de Cláudia ter comido a mesma quantia da semana anterior, pois 2 fatias de um total de 12 fatias 2 12 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ equivalem a 1

fatia de um total de 6 fatias 1 6 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ de bolos idênticos (considerando que os dois bolos tenham o mesmo tamanho).

LUPAS E LUNETAS

Depois do almoço, na sobremesa, ela comeu duas fatias do bolo.

a) Escreva uma fração que represente quanto do bolo ela comeu.

b) Escreva uma fração que corresponda à metade desse bolo.

6. Atletismo: 2 4 ; vôlei e tênis: 1 4 cada um.

ATIVIDADES

6. O professor de Educação Física dividiu a quadra em quatro partes iguais: duas partes serão utilizadas para atletismo, uma parte para vôlei e uma parte para tênis. Represente com frações a parte que cada esporte ocupará de toda a quadra.

2 12

6 12 ou 1 2

7. Os últimos dias de férias de Ana estão marcados no calendário, no mês de janeiro:

Professor

Frações equivalentes

A qual parte de todo o mês de janeiro correspondem os dias de férias de Ana? Represente utilizando uma fração. 7 31

Na semana seguinte, Cláudia fez um bolo idêntico, porém o dividiu em 6 fatias iguais. Nesta nova partição, cada fatia equivale a 1 6 (lê-se um sexto) do todo.

Veja a representação:

No bolo da semana anterior, cada fatia equivalia a 1 12 do bolo todo. No bolo desta semana, cada fatia equivale a 1 6 do bolo inteiro.

LUPAS E LUNETAS Resposta pessoal.

Na semana anterior, Cláudia comeu duas fatias do bolo e, na seguinte, comeu uma fatia do novo bolo. Podemos dizer que ela comeu mais, menos ou igual à semana anterior? Justifique sua resposta e compartilhe com os colegas.

LUPAS E LUNETAS

Oriente os estudantes no processo de identificação do máximo divisor comum entre o numerador e o denominador das frações e, na sequência, peça a eles que as classifiquem em irredutíveis ou não irredutíveis. Solicite às duplas ou aos trios de estudantes que proponham novos exemplos para que sejam discutidos.

Atividade 8

Se, ao multiplicarmos numerador e denominador por um mesmo valor, obtivermos a outra fração, então ela é equivalente à primeira:

a)

b)

c)

d)

de Educação Física fazendo anotações.

WAVEBREAKMEDIA/SHUTTERSTOCK

Uma mesma figura foi dividida, respectivamente, em duas, quatro e oito partes iguais:

Assim, quando dividimos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número (maior que 1), fazemos uma simplificação da fração original.

Em cada caso, a relação entre as partes pintadas e o total de partes é o mesmo: representam sempre a metade da figura. Assim, podemos dizer que:

1 2 = 2 4 = 4 8

Dizemos também que essas frações são equivalentes, pois representam a mesma parte do todo, isto é, assumem o mesmo valor em relação à unidade.

Note que, se multiplicarmos numeradores e denominadores de certa fração por um mesmo número maior que um, obteremos frações equivalentes a ela.

Por exemplo, as frações 3 4 e 30 40 são equivalentes:

Por exemplo, considere a fração 2 12 Para realizar a simplificação dessa fração, podemos dividir o numerador e o denominador por um divisor comum a 2 e 12:

2 12 = 2 12 ÷ 2 ÷ 2 = 1 6

Note que não é possível simplificar mais a fração 1 6; quando não podemos fazer mais nenhuma simplificação em uma fração, dizemos que ela é uma fração irredutível

LUPAS E LUNETAS

Dizemos que uma fração é irredutível quando o máximo divisor comum (mdc) entre o numerador e o denominador é igual a 1.

Em duplas ou trios, calculem o máximo divisor comum entre o numerador e o denominador das frações e decidam se elas são ou não irredutíveis.

Habilidade (EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

Quando o numerador é múltiplo do denominador, temos uma fração aparente e um número natural:

e) 27 3 = 9

A fração 27 3 é equivalente a 9, pois 27 ÷ 3 = 9

3

4 = 3 4 × 10 × 10 = 30 40

Se dividirmos os numeradores e denominadores de certa fração por um mesmo número não nulo, também obteremos frações equivalentes:

30 40 = 30 40 ÷ 10 ÷ 10 = 3 4

a) 5 45

b) 3 11

c) 14 2

d) 27 36

mdc (5, 45) = 5, nao irredutível mdc (3, 11) = 1, irredutível mdc (14, 2) = 2, nao irredutível mdc (27, 36) = 9, nao irredutível

Atividade 10

ATIVIDADES

8. Verifique se os pares de frações são equivalentes; se não forem, escreva uma fração equivalente para cada uma no par.

10. Determine o número que substitui o ■ em cada caso a seguir, sabendo que as frações são equivalentes.

Oriente os estudantes a refletirem sobre as operações utilizadas na obtenção de frações equivalentes, multiplicando-se ou dividindo-se tanto o numerador quanto o denominador pela mesma quantidade.

a) 18 ÷ 6 24 ÷ 6 = 3 4

b) 2 8 = 10 ÷ 5 40 ÷ 5

c) 2 1,5 10 1,5 = 3 15

9. Compare as frações de um mesmo inteiro, substituindo o ■ por um dos sinais: <, = ou >.

11. Está representada a seguir uma reta numérica com a indicação dos números 0, 1 e

d) 7 5 = 42 ÷ 6 30 ÷ 6

Atividade 11

Atividade 9

Quando os denominadores são iguais, a comparação é realizada pelos numeradores. A maior fração tem o maior numerador:

a) 1 3 < 2 3

b) 3 4 > 2 4

Para comparar frações com denominadores diferentes, solicite aos estudantes que representem as frações na reta numérica ou determinem frações

equivalentes de mesmo denominador:

c) 1 5 < 2 9 porque 9 45 < 10 45

d)

Habilidade (EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

LUPAS E LUNETAS

Após a leitura da explicação e a realização da situação proposta no livro, solicite aos estudantes que criem outros exemplos que representem a divisão de uma quantidade em partes iguais, na forma de fração imprópria ou própria. Alguns exemplos podem servir de inspiração para os estudantes:

a) A divisão em partes iguais de 8 camisetas entre 2 irmãos pode ser representada por 8 2 , , de modo que cada um receberá 4 camisetas;

b) Usar 5 4 de um tablete de manteiga em uma receita;

c) Vencer 3 5 das partidas de futebol que jogou.

Atividade 12

Nesta situação-problema, a fração pode ser obtida por lembrancinhas pessoas = 75 25 Essa divisão indica que cada convidado receberá 3 lembrancinhas.

Atividade 13

Converse com os estudantes sobre a necessidade de simplificar numerador e denominador no caso de frações irredutíveis.

a) 15 6 = 15 6 ÷ 3 ÷ 3 = 5 2

b) 108 8 = 108 8 ÷ 4 ÷ 4 = 27 2

c) 56 21 = 56 21 ÷ 7 ÷ 7 = 8 3

d) 120 18 = 120 18 ÷ 6 ÷ 6 = 20 3

Resultado da divisão

Isa preparou 27 docinhos de morango para receber 9 amigos para o lanche da tarde. Ao dividir 27 docinhos igualmente entre 9 pessoas, o quociente dessa divisão pode ser representado pela fração 27 9

Logo, a fração 27 9 pode ser entendida também como uma representação fracionária do número 3: 27 9 = 3, pois 27 ÷ 9 = 3

ATIVIDADES

LUPAS E LUNETAS

Respostas pessoais.

Junto com um colega, elabore situações que apresentem uma fração como quociente (resultado de uma divisão), utilizando:

a) uma fração aparente, ou seja, que represente um número natural.

b) uma fração imprópria, ou seja, em que o numerador seja maior ou igual ao denominador (escolha uma fração diferente do item anterior).

c) uma fração própria (aquela em que o numerador é menor que o denominador).

12. Túlio e Rachel prepararam 75 lembrancinhas diferentes para presentear os convidados de um evento. Nesse evento, compareceram 25 pessoas. Escreva a fração que representa a divisão das lembrancinhas para as pessoas que compareceram.

13. Represente cada divisão por uma fração irredutível.

a) 15 ÷ 6

b) 108 ÷ 8

Operador

= 3 lembrancinhas por pessoa.

c) 56 ÷ 21

d) 120 ÷ 18

Luís consome uma média diária de 2 700 quilocalorias. Para equilibrar melhor sua alimentação, ele seguiu orientações de um nutricionista e o valor de sua média diária de quilocalorias passou a ser 2 3 das consumidas anteriormente.

A imagem representa as 2 700 quilocalorias diárias consumidas por Luís, divididas em três partes iguais.

• 2 700 : 3 = 900:

Portanto, podemos afirmar que 1 3 de 2 700 é 900.

Como em sua nova dieta Luís consome 2 3 de 2 700, então:

Concluímos que 2 3 de 2 700 equivale a 1 800 quilocalorias:

Assim, 2 3 de 2 700 pode ser escrito também como uma operação de multiplicação:

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais.

Elabore uma situação-problema que envolva a ideia de fração de uma quantidade. Troque de problema com um colega e resolva o dele.

ATIVIDADES

14. Naomi tem um salário de R$ 2.100,00. Todo mês, ela deposita 1 10 do salário para uma instituição de caridade e gasta 2 7 com alimentação.

a) Quanto Naomi gasta mensalmente com essas duas despesas?

b) Quanto sobra? Gasto mensal: 210 + 600 = 810 reais

Sobram: 2 100 – 810 = 1 290 reais

Razão

Igor e Daniel vão fazer suco de limão para se refrescar no verão.

Veja a receita que eles usaram.

15. Calcule as frações das quantidades:

a) 1 4 de 100 25

b) 7 8 de 32 28

c) 1 6 de 36 6

d) 1 100 de 100 1

Note que há 1 litro de água para 5 limões. Nesse caso, dizemos que a razão das quantidades de água e limão é de 1 para 5.

Essa razão pode ser assim expressa:

1 para 5, 1 : 5 ou pela fração 1 5

Se quisermos dobrar essa receita, utilizaremos 2 litros de água e 10 limões. Agora, podemos expressar essa outra razão pela fração 2 10

Note que 2 10 e 1 5 são frações equivalentes:

Ou seja, a razão nas duas situações se manteve.

O texto está relacionado com o TCT Educação Alimentar e Nutricional, de modo a promover o consumo sustentável e, principalmente, a alimentação saudável.

LUPAS E LUNETAS

Neste momento, espera-se que os estudantes criem situações-problema em que se faça uso da fração de uma quantidade para determinar uma parte do todo: a fração entendida como um operador. Caso haja dificuldade na construção dos

Habilidades

(EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2 3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

distribuir uma renda fictícia em despesas fundamentais, como alimentação, aluguel, contas de energia elétrica e água, internet, remédios, entre outras. Compare coletivamente os resultados, discutindo criticamente os gastos apontados pelos estudantes como mais importantes ou aqueles que necessitam de uma parte maior da renda familiar.

o procedimento proposto:

|

problemas, apresente alguns exemplos que tenham conexão com o cotidiano deles.

Atividade 14

No processo de resolução, oriente os estudantes na determinação das frações referentes às quantidades destinadas à instituição de caridade e à alimentação, chamando a atenção para o fato de que essas frações apresentam denominadores diferentes, ou seja, são partes diferentes do todo.

Na sequência, sugira uma atividade sobre renda familiar, em que os estudantes precisem

b) Como o salário é de R$ 2.100,00, depois de utilizar o dinheiro para a caridade e a alimentação, sobram R$ 1.290,00, pois 2 100 – 810 = 1 290

Atividade 15

Veja exemplos de como calcular as respostas em cada item:

100

100

Habilidades

(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração

2

3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

LUPAS E LUNETAS

Caso os estudantes tenham dificuldade em compreender o conceito de razão, proponha uma atividade investigativa, pedindo que pesquisem receitas de doces ou salgados de que gostem e levem para a sala de aula. Em grupos, solicite aos estudantes que se organizem de modo a escolher uma receita de doce ou salgado que gostariam de fazer, de modo que a porção possa ser suficiente para todos os estudantes da turma. Trabalhe aqui a ideia de que a razão entre os ingredientes é sempre constante, mesmo que seja necessário aumentar a receita original algumas vezes. Caso os estudantes tenham apoio de seus familiares para cozinhar, sugira que preparem a receita e levem o prato doce ou salgado escolhido para um lanche comunitário.

a) Para fazer 1 L de limonada, usamos 5 limões e 1 L de água; para fazer o dobro, precisamos do dobro de limões e de água, 2 5 = 10, 10 limões e 2 L de água.

b) A razão para duas receitas é água lima ! o = 2 10 = 1 5 (as frações são equivalentes).

c) Colocar a mesma quantidade de limões a cada litro de água mantém a proporção entre essas grandezas, de modo que as frações 1 5 , 2 10 , 3 15 etc. são equivalentes.

LUPAS E LUNETAS

a) 10 limões, 2 litros de água.

a) Quantos limões são necessários para fazer duas receitas de limonada? E quantos litros de água?

b) Qual é a razão de água e limão para duas receitas?

c) Compare a razão da receita original e a razão para duas receitas. O que você pode dizer sobre a relação entre as duas?

São equivalentes: correspondem à mesma razão entre litros de água e quantidade de limões.

ATIVIDADES

16. Jamile e Gustavo estão fazendo salada de frutas para uma reunião com seus amigos da igreja. Serão usados 5 maçãs, 8 morangos, 3 laranjas, 2 kiwis e 1 manga. Represente as razões entre as quantidades de frutas na salada utilizando frações:

a) Maçãs e morangos b) Kiwis e laranjas c) Manga e kiwis

17. Se fosse necessário dobrar as quantidades de cada tipo de fruta, as razões que você calculou seriam diferentes?

As razões seriam expressas por frações diferentes, porém equivalentes. As razões se manteriam e seriam usadas estas quantidades: 10 maçãs, 16 morangos, 6 laranjas, 4 kiwis e 2 mangas nas

em cada item.

#Adição e subtração de frações

Ao produzir uma receita, uma pessoa colocou 1 4 do leite pedido na lista de ingredientes em uma tigela. Após misturar com outros ingredientes, ela adicionou 1 2 do leite total da receita. Desse modo, podemos descrever as partes de leite já acrescentadas, em relação ao total necessário, como:

1 4 + 1 2

Representando o total de leite solicitado na receita por uma figura, temos:

Para facilitar, podemos dividir em quatro partes iguais a figura em que representamos 1 2 :

Assim, calculamos:

De maneira geral, podemos escrever:

Para adicionar frações de mesmo denominador, adicionamos os numeradores e mantemos o denominador.

Se os denominadores forem diferentes, é preciso antes obter frações equivalentes que tenham um denominador em comum para realizar essa operação.

Atividade 16

As razões podem ser organizadas do seguinte modo:

a) mac,a ! morango = 5 8

b) kiwi laranja = 2 3

c) manga kiwi = 1 2

Atividade 17

Ao dobrar as quantidades de cada tipo de fruta, as razões entre cada uma delas permanece a mesma, pois todas as frutas tiveram as quantidades dobradas.

a) mac , a morango = 5 2 8 2 = 10 16

b) kiwi laranja = 2 2 3 2 = 4 6

c) manga kiwi =

= 2

Exemplos: •

Vamos considerar novamente a situação da produção da receita.

Após separar 3 5 do total de farinha de trigo pedido na receita, essa pessoa notou um erro e precisou devolver 1 5 do total de farinha de trigo previsto na lista de ingredientes para a embalagem original.

Em relação ao total, podemos descrever as partes de farinha que restaram como: 3 5 –1 5 Representando com figuras, temos:

Habilidade (EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

Atividade 18

Os estudantes precisam perceber que há dois tipos de adição de frações: com mesmo denominador (a e c) com denominadores diferentes (b, d, e e f

Para subtrair frações, é possível seguir um procedimento similar ao da adição.

Para subtrair frações de mesmo denominador, subtraímos os numeradores e mantemos o denominador.

Se os denominadores forem diferentes, é preciso antes obter frações equivalentes que tenham um denominador em comum para realizar essa operação.

Exemplos:

11 25

19. Beto e Cacá compraram um terreno. 2 5 dele serão destinados à construção de uma oficina e 2 7 serão utilizados para um galpão. O restante será destinado à criação de um depósito de carros. Determine a fração correspondente à parte total do terreno destinada à oficina e ao

Atividade 19

Oriente os estudantes no processo de resolução, identificando primeiramente um denominador comum entre as frações que representam a área destinada à construção da oficina e a área destinada à construção do galpão, para que, em seguida, possa ser realizada a adição. Como os denominadores 5 e 7 são números primos, o denominador comum será 35

Habilidades

(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

LUPAS E LUNETAS

Retome as discussões a respeito das frações de uma quantidade como sendo uma multiplicação de uma fração por um número inteiro. Apresente alguns exemplos de cálculo envolvendo as frações de uma quantidade e solicite aos estudantes que criem exemplos, explicando o passo a passo da resolução.

Questione os estudantes sobre expressões como “metade da metade do chocolate”, “metade de um quarto de tanque de combustível”, “um terço de meia jarra” etc.

#Multiplicação de frações

Adilson decidiu comer, todas as manhãs, meia xícara de granola. Ao longo de uma semana, ele terá comido esta quantidade de xícaras de granola:

Lembrando que uma adição de parcelas iguais pode ser escrita como uma multiplicação, então:

Adilson terá comido 3 xícaras e meia de granola nessa semana.

Observe outros exemplos:

LUPAS E LUNETAS

Quando estudamos a ideia de fração de quantidade, representamos, por exemplo,

de 2 700 pela expressão 2 3 2 700 Converse com seus colegas sobre as relações que vocês podem estabelecer entre essas ideias e a noção de multiplicação de frações. Respostas pessoais.

Uma dieta balanceada precisa contemplar alimentos diversos, como carboidratos, proteínas, gorduras, vitaminas, minerais e fibras. Pensando nesse fato, uma família organizou seu cardápio diário da seguinte maneira: duas partes serão compostas por vitaminas, minerais e fibras; uma parte por carboidratos; e uma por proteínas.

Se 1 3 das vitaminas, fibras e minerais corresponde a verduras, que fração da dieta total corresponde às verduras?

Para resolver essa questão, precisamos calcular a quanto corresponde 1 3 de 2 4 , ou seja:

1 3 2 4

Para calcular o produto da multiplicação de frações, multiplicamos, respectivamente, os numeradores e os denominadores das frações.

Calculando o produto entre duas frações

Vamos então verificar como encontrar o resultado de 1 3 multiplicado por

Habilidades

(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

Portanto, as verduras correspondem a

12 ou

6 da dieta dessa família. Observe outros exemplos de como calcular os produtos:

LUPAS E LUNETAS

A figura está dividida em 8 partes iguais. Portanto, cada parte corresponde a 1 8 do total.

(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

Atividade 21

Diferentes representações podem ser usadas para exemplificar as operações, como esquemas, desenhos ou dobras em folhas de papel.

Se dividirmos essa figura pela metade, obteremos:

Agora, cada parte corresponde a 1 16 do total. Podemos dizer que a metade da oitava parte da figura corresponde a um dezesseis avos:

Atividade 22

A atividade pode ser realizada coletivamente: os estudantes expõem as respostas oralmente, discutindo as estratégias de resolução entre si e utilizando diferentes representações figurais ou concretas, e, depois, as registram.

22. Mona ganhou 1 200 reais de prêmio em uma loteria. Deu de presente para seu filho Léo

quantia e, para sua filha Liza, 2 5. Calcule a quantia que cada filho ganhou.

200

Para calcular 1 3 de 1 200, multiplicamos: 1 3 1 200 =

Espera-se que os estudantes compreendam o produto entre duas frações a partir do exemplo apresentado. Chame a atenção para o fato de o produto de duas frações ser obtido fazendo o produto dos numeradores dividido pelo produto dos denominadores.

Atividade 20

Converse com os estudantes sobre escrever a fração do resultado na forma irredutível.

= 400; para calcular 2 5 de 1 200, multiplicamos: 2 5 1 200 = 2 400 5 = 480 Assim, Liza recebeu R$ 480,00, e Léo recebeu R$ 400,00.

200

Habilidades

(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

LUPAS E LUNETAS

Para realizar as reflexões propostas sobre as figuras, você pode reproduzi-las em EVA e fazer as partições solicitadas conforme o exemplo. Nas partições seguintes que serão solicitadas, é necessário que cada nova peça da figura apresente as mesmas dimensões, exemplificando a ideia de divisão em partes iguais.

Evidencie que os desenhos podem ser divididos de diferentes maneiras. Por exemplo, ao repartir o retângulo em 9 partes, os traços podem ser feitos horizontalmente ou verticalmente. Mesmo assim, as frações que representam as partes são as mesmas.

a) O círculo está dividido em 2 partes iguais e cada uma é representada por 1 2 ; o retângulo está dividido em 3 partes iguais, cada uma corresponde a 1 3

b) O círculo está dividido em 6 partes iguais e cada uma corresponde a 1 6 ; o retângulo está dividido em 9 partes iguais, cada uma corresponde a 1 9 . Repartições possíveis.

#Divisão de frações

Divisão de fração por um número natural

Duda decidiu guardar 1 3 do bolo para compartilhar com Lila, que ainda não havia chegado à festa.

c) O círculo está dividido em 12 partes iguais e cada uma equivale a 1 12 ; o retângulo está dividido em 18 partes iguais, cada uma corresponde a 1 18 Repartições possíveis.

Se essa fatia de bolo foi dividida ao meio pelas amigas, que fração do bolo cada uma comeu?

Considerando o bolo dividido em 3 partes iguais e, depois, dividindo cada parte ao meio, concluímos que cada amiga comeu 1 6 do bolo: Assim, podemos escrever:

Note que podemos escrever essa situação também como:

Podemos concluir que “dividir por 2” é equivalente a “multiplicar por

Observe outros exemplos:

LUPAS E LUNETAS

Cada uma das figuras corresponde a um inteiro e estão divididas em partes iguais:

a) Escreva uma fração que represente cada parte em relação ao todo.

b) Desenhe as figuras em seu caderno e divida cada uma igualmente por 3. Que fração representa cada parte em relação ao todo agora?

c) A partir do item anterior, divida cada figura igualmente por 2. Que fração representa cada parte em relação ao todo agora?

d) Expresse as divisões realizadas das frações por 2 e 3 utilizando o símbolo de ÷.

A unidade está dividida em 3 partes iguais e cada fração está dividida por 3 e 2, consecutivamente:

d) A unidade está dividida em 2 partes iguais e cada fração está dividida por 3 e 2, consecutivamente:

Divisão de um número natural por fração

Nas situações anteriores obtivemos “partes das partes”, ou seja, dividimos uma fração por um número natural diferente de 0.

Mas como podemos interpretar, por exemplo, a operação a seguir?

3 ÷ 1 4

Nesse caso, interpretar a situação como “repartir 3 inteiros em partes iguais a 1 4 do mesmo inteiro” parece confuso, certo?

No entanto, podemos interpretar essa divisão pensando na ideia de “quanto cabe”: quantas vezes 1 4 cabe em 3?

Para responder a essa questão, considere um inteiro dividido em 4 partes iguais. Vamos juntar partes que correspondam a 1 4 do inteiro até obtermos 3 inteiros:

Habilidades

(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

O estudante precisa compreender a divisão por uma fração pensando na ideia de quantas vezes cabe da divisão. Para isso pode utilizar outros exemplos, como: quantas vezes

1

2 cabe em 3, 4 ou 5 unidades?

Quantas vezes 1 3 cabe em 3, 4 ou 5 unidades?

Peça aos estudantes que representem as situações por figuras ou usem material manipulável para auxiliar na compreensão desse conceito.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidades

(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

Para que os estudantes compreendam a divisão com fração como dividendo e como divisor, continuaremos usando a ideia de “quantas vezes cabe?”. Mas como saber se as frações têm denominadores diferentes?

Peça que façam as representações das frações e, depois, que as transformem em frações equivalentes de mesmo denominador. Peça para observarem outros exemplos, como a divisão

1 4 ÷ 1 8 : quantas vezes 1 8 cabe em 1 4 ? Fazendo a figura, perceberão que cabe 2 vezes ou

Divisão de fração por fração

E se considerarmos uma operação como esta: 2 5 ÷ 1 4 ??

Podemos realizar um raciocínio similar ao feito anteriormente para calcular “quantas vezes 1 4 cabe em 2 5 ” ”.

Vamos considerar um retângulo que represente o “todo” e desenhar duas repartições diferentes: em 5 e em 4 partes iguais:

Dessa maneira, cada coluna na primeira figura corresponde a 1 5 do todo e cada linha da segunda figura corresponde a 1 4 do todo.

Precisamos, então, calcular quantas vezes a linha que corresponde a 1 4 do todo cabe dentro das colunas que correspondem a 2 5 do todo.

1

4 ÷ 1 8 = 2 Continue com outros exemplos: 3 4 ÷ 1 8 , quantas vezes 1 8 cabe em 3 4 ?? Fazendo a figura, perceberão que cabe 6 vezes; assim, 3 4 ÷ 1 8 = 6 Agora use exemplos com o quociente fracionário: 1 8 ÷ 1 4 , quantas vezes 1 4 cabe em 1 8 ?

Pode usar a figura representada em papel sulfite e dobrar 1 4 ao meio para que percebam que apenas metade de 1 4 sobrepõe

1 8 , ou seja, 1 8 ÷ 1 4 = 1 2

Note que, reorganizando as partes, uma linha completa que corresponde a 1 4 já coube nas colunas que correspondem a 2 5 , mas ainda restam três partes a completar:

Como a linha que corresponde a 1 4 foi dividida em cinco partes iguais, então são necessários 3 5 dela para completar o que resta nas colunas. Assim, nas colunas que representam 2 5, couberam uma linha completa mais 3 5 da linha que corresponde a

4 , ou seja,

TRAVESSIA S

Frações inversas

Se uma fração é diferente de zero (ou seja, numerador diferente de zero), podemos obter uma fração denominada fração inversa, invertendo seu numerador e denominador.

Por exemplo:

natural, por exemplo 1 5 ÷ 2, concluímos que “dividir por 2 é equivalente a multiplicar por 1 2 ” ”. Assim, 1 5 ÷ 2 = 1 5 1 2 = 1 10

Habilidades

(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

5

8 é a fração inversa de 8 5 e 8 5 é a fração inversa de 5 8

• Obtenha a fração inversa de:

a) 4 8 b) 10 99

8 4 = 2 99 10

Considerando que uma fração pode ser interpretada como o resultado de uma divisão e que todo número quando dividido por 1 resulta nele mesmo, então podemos representar, por exemplo, o número 64 pela fração 64

1

• Converse com os colegas sobre esse fato e se podemos afirmar que todo número inteiro pode ser escrito em forma de fração com denominador igual a 1.

Resposta pessoal.

• Considerando ainda essa discussão, obtenha a fração inversa de 54 e de 1 13 .

1 54 , 13

Ao dividir um número em representação fracionária por um número

23. Calcule os quocientes:

• Em duplas ou trios, discutam: podemos afirmar que dividir por um número natural diferente de 0 significa multiplicar por seu inverso? Veja a estratégia para calcular as divisões:

(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

• Em duplas ou trios, utilizem esses resultados para elaborar uma regra geral para efetuar uma divisão de frações.

• Utilize a regra elaborada e resolva as divisões:

Resposta possível do item III: a divisão de frações é dada pelo produto entre a primeira e

24. Lalau comprou sacos contendo 1 2 kg de café. Ele vai dividir esses sacos em outros menores de 1 8 kg e 1 16 kg. Determine quantos sacos menores de cada tipo podem ser feitos a partir de um saco de 1 2 kg. .

Travessias

No estudo das frações inversas , mostre que, multiplicando duas frações inversas, o produto é 1. Apresente alguns exemplos como:

1 2 2 = 1 2 2 1 = 2 2 = 1 Os estudantes estudaram anteriormente que um número natural pode ser representado por uma fração com a ideia de quociente, então reconhecem, por exemplo, 2 = 2 1 Seguindo a discussão proposta nesta seção, os estudantes conseguirão descrever um modo prático de resolver as divisões entre frações.

Para que os estudantes se convençam, incentive-os a explorar separadamente os dois métodos, isto é, determinar “quantas vezes cabe” e aplicar a regra elaborada. Em seguida, devem comparar os resultados para verificarem a igualdade.

Atividade 23

Veja a resolução desta atividade.

Atividade 24

Faça a leitura coletiva do texto e solicite aos estudantes que observem como obter a fração inversa: uma inversão de posição entre numerador e denominador. Organize os estudantes em duplas ou trios para que discutam a divisão como a multiplicação de um número natural pelo seu inverso, de modo que eles possam formular uma regra geral para efetuar uma divisão de frações. Caso encontrem dificuldade, apresente exemplos e faça a discussão da regra coletivamente.

Oriente os estudantes no processo de determinação da quantidade de sacos de café

= 4, ou seja, o conteúdo de 1 2 kg de café pode ser distribuído em 4 sacos com 1 8 kg de café, assim como

conteúdo de 1 2 kg de café pode ser distribuído em 8 sacos com 1 16 kg de café. Apresente outros exemplos se julgar necessário.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidades

(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

LUPAS E LUNETAS

Observe com os estudantes o processo de determinação da potência de uma fração. Em duplas ou trios, solicite que escrevam a igualdade e, em seguida, que expressem verbalmente a estratégia utilizada. Observando o cálculo

#Potenciação envolvendo frações

Vamos relembrar a ideia de potenciação?

Considere uma multiplicação de fatores iguais, por exemplo:

Podemos representar essa multiplicação como uma potenciação:

Chamamos de base o número que será multiplicado e de expoente a quantidade de vezes que ele é multiplicado:

Lemos como “potência de base três com expoente cinco” ou simplesmente “três elevado à quinta potência”.

Considere uma potenciação cuja base seja um número em representação fracionária:

Atividade 25

Observe a resolução desta atividade:

25. Calcule as potências:

26. Pegue uma folha de papel e corte-a ao meio. Repita esse processo mais 4 vezes. Determine a fração da folha que corresponde ao pedaço que restou.

27. Veja o cálculo efetuado por Gilson.

metade, teremos:

As dobras da folha podem ser semelhantes às da imagem abaixo:

a) Analise a resolução e explique o erro cometido por ele.

b) Resolva corretamente.

Atividade 27

Discuta outros erros possíveis e comuns, como a potenciação apenas do numerador.

a) Os estudantes podem perceber que o erro foi multiplicar a base pelo expoente: 2 3 no numerador e 3 3 no denominador. O correto é repetir a base como fator na multiplicação a quantidade de vezes indicada no expoente.

b) Veja como pode ser a resolução:

O erro foi ter multiplicado a base pelo expoente, em cada potência.

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais.

Consulte, em seu caderno, os trabalhos que você desenvolveu, suas anotações de estudos e reflita sobre o que aprendeu até agora neste passeio.

▶ Matemática

• Compreende diversas ideias sobre as frações: parte do todo, quociente, fração de quantidade e razão?

• Consegue identificar e obter frações equivalentes?

• Sabe efetuar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo frações?

• Consegue resolver problemas envolvendo operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com frações?

• Compreende a ideia de potenciação envolvendo frações?

▶ Outras disciplinas

Língua Portuguesa

• Contribui com os colegas na busca de conclusões comuns relativas a questões de relevância social?

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO

Insuficiente Parcialmente suficiente Satisfatório Plenamente satisfatório

LEVO NA BAGAGEM

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre o próprio aprendizado enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, classificarão seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas que estão presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

Organize

Solicite aos estudantes que retomem, em duplas, o mapa mental da seção Arredores e identifiquem como os conteúdos estão interligados. Na sequência, solicite que copiem o mapa e, folheando o caderno, numerem os conteúdos na ordem em que apareceram. Oriente as duplas a discutir cada conteúdo, abordando possíveis dúvidas. Coletivamente, as duplas devem apresentar suas dúvidas para serem debatidas pela turma.

Elabore

Para elaborar problemas que usem as quatro operações com essas frações, apresente situações que possam servir de inspiração para os estudantes. Observe alguns exemplos:

a) Cláudio estava com 2 5 do tanque com combustível e decidiu colocar mais: o equivalente a 1 2 do tanque. Com quanto ficou de combustível?

2 5 + 1 2 = 9 10 do tanque.

b) Márcia precisa de 2 5 L de leite para uma receita e tem

1

2 L. Essa quantidade é suficiente? Quanto faltará ou sobrará?

Sobrará 1 2 –2 5 = 1 10 L

c) Jonas está montando um quebra-cabeça. Se ele montar 2 5 das peças por dia, em 2 dias ele terá montado mais ou menos 1 2 do quebra-cabeça?

2 2 5 = 4 5 > 1 2 do quebra-cabeça.

d) Mariana tem uma tigela em que cabe 2 5 kg de farinha. Ela usa essa tigela como medida, mas o bolo que está fazendo leva 1 2 kg de farinha. Quantas vezes ela vai usar essa tigela cheia ou parte dela?

▶ Organize

Respostas pessoais.

Neste passeio, você aprendeu diversas operações com frações. Faça um mapa que organize os procedimentos possíveis para o cálculo das diversas operações e suas características. Apresente exemplos de cada caso.

Rian, um aluno do 7o ano, já começou a montar o mapa dele com a primeira descrição de um procedimento de cálculo e um exemplo correspondente:

ADIÇÃO SUBTRAÇÃO

Com denominadores iguais

adiciona os numeradores e conserva o denominador

3 9 1 9 4 9 +=

Com denominadores diferentes

Com denominadores iguais

Com denominadores diferentes

MULTIPLICAÇÃO DIVISÃO

De um número natural por uma fração

De uma fração por uma fração

De uma fração por um número natural

De um número natural por uma fração

De uma fração por uma fração

POTENCIAÇÃO

Você pode utilizar o mapa de Rian e completá-lo ou fazer o seu próprio mapa de processos de cálculo. Aproveite e faça registros de cálculo mental e estratégias curiosas que você sempre usa ou que aprendeu com alguém recentemente.

▶ Elabore

Para esta atividade, forme dupla ou trio.

Considere estas duas frações: 1 2 e 2 5 Utilizando-as, elabore quatro problemas diferentes: um de adição, um de subtração, um de multiplicação e um de divisão. Escreva, revise, dê para um dos colegas editar e, por fim, resolvam os problemas juntos. Desta vez, revisem e editem também as resoluções e, só então, exponham no mural da sala.

|

1 2 ÷ 2 5 = 5 4 = 1 1 4 tigela. Mariana vai usar uma tigela cheia e mais 1 4 da tigela com farinha nesse bolo.

50

BARCOS E PORTOS NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

A pergunta inicial deste passeio é: O que e quanto comemos?

Essa pergunta motivou os alunos de uma escola a montar um mural.

Encontro com outras disciplinas

(EF69LP13) Engajar-se e contribuir com a busca de conclusões comuns relativas a problemas, temas ou questões polêmicas de interesse da turma e/ou de relevância social.

Proponha

a) Coletivamente, montem um mural parecido.

b) Cada um deve investigar as propriedades de um dos alimentos que foram expostos no mural. Deve apresentar para os colegas os benefícios, se for um alimento que devemos comer sempre, ou seus efeitos maléficos, se forem alimentos que devem ser ingeridos de vez em quando.

c) Em que ocasiões vocês comeriam os alimentos “Comer sempre!”?

d) Juntos, analisem qual fração do total de alimentos no mural corresponde àqueles que devemos comer sempre e qual corresponde aos que devemos comer raramente. Determinem também a fração dos que são ricos em fibras ou dos que são ricos em proteínas, por exemplo.

e) Reflitam juntos, pesquisem, consultem especialistas da área e proponham uma rotina alimentar que sirva de solução para melhorar a qualidade da alimentação e nutrição de todos da turma e de suas famílias. Se preferirem, na proposta de rotina alimentar, criem um cardápio semanal levando em conta como se alimentar bem e de modo saudável, principalmente nos dias em que vocês ficam muitas horas fora de casa. Escolham lanches ou almoços saudáveis evitando, por exemplo, frituras e sobremesas ricas em gorduras.

Organize a turma em grupos com até quatro estudantes para a realização da atividade de construção dos murais sobre os alimentos que se pode comer sempre e os que se deve comer raramente. Após a montagem, proponha uma exposição dos murais para que os grupos possam ver as produções de seus colegas. Espera-se que isso possa gerar um debate sobre quais alimentos são considerados saudáveis e quais não são pelos grupos de estudantes. Tais discussões estão atreladas ao TCT Educação Alimentar e Nutricional

A ideia do comer sempre ou não comer também pode ser associada a restrições alimentares, como alergias, intolerâncias ou escolhas pessoais, promovendo também a empatia e a diversidade.

ALEXANDRE R./M10

Habilidade (EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

CHECK-IN

A leitura e discussão desse tema permite que o estudante se envolva com os TCTs Educação Alimentar e Nutricional e Saúde e Educação para Valorização do Multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais brasileiras, para que compreenda e discuta criticamente os padrões impostos como aceitos pela sociedade, abordando aspectos críticos da ideia de beleza e como valorizar o multiculturalismo presente no brasileiro. Observando a imagem, os estudantes poderão apontar como diferenças a cor de pele, cabelo e olhos, formato de rosto, idade etc. e relacionar com o padrão de beleza estabelecido socialmente. As questões apresentadas podem ser debatidas coletivamente com criticidade, de modo que sejam feitas novas perguntas que direcionem o estudante a se inteirar dos TCTs a serem discutidos nesta seção.

Sugestão de leitura

A seção de abertura apresenta discussões sobre a relação saúde, beleza e alimentação. Os estudantes podem ler mais sobre esses temas no artigo: GARCIA, Rosa W. D. Representações sociais da alimentação e saúde e suas repercussões no comportamento alimentar. Physis: revista de saúde coletiva, v. 7, p. 51-68, 1997. Disponível em: https://www. scielosp.org/pdf/physis/1997. v7n2/51-68/pt>. Acesso em: 2 maio 2022.

COMO ENTENDEMOS A RELAÇÃO SAÚDE, BELEZA E ALIMENTAÇÃO?

A beleza é geralmente associada ao corpo magro. O padrão de beleza difundido pela mídia, especialmente voltado para o público-alvo jovem, acaba criando insatisfações dos adolescentes com os próprios corpos.

CHECK-IN

Resposta pessoal.

a) A imagem mostra 5 garotas. Segundo sua opinião, elas são muito parecidas ou são diferentes? Todas estão dentro de um mesmo padrão de beleza? Comente.

b) Quantas dessas jovens têm olhos escuros? Represente essa quantidade por uma fração.

BÚSSOLA

Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos:

• Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora em contextos diversos.

• Resolver um mesmo problema utilizando diferentes procedimentos.

• Reconhecer fenômenos determinísticos e fenômenos aleatórios.

• Realizar (ou simular) experimentos aleatórios que envolvem cálculo (ou estimativas) de probabilidades.

• Comparar informações sobre um mesmo fato divulgadas em diferentes mídias, analisando e avaliando a confiabilidade.

determinístico

Fenômeno aleatório

Não equiprovável Equiprovável Razão Cálculo de probabilidades

Espaço amostral

EF07MA02, EF07MA05, EF07MA34 EF67LP03

Encontro com outras disciplinas

(EF67LP03) Comparar informações sobre um mesmo fato divulgadas em diferentes veículos e mídias, analisando e avaliando a confiabilidade.

Atividade 1

Proponha uma leitura crítica das imagens apresentadas, discutindo os padrões de beleza apresentados na obra original de Sandro Botticelli e na representação contemporânea por software de manipulação de imagens. Aborde as semelhanças e as diferenças e como a sociedade contemporânea idealiza a beleza por meio de padrões estéticos.

Sugira que, coletivamente, os estudantes relacionem o texto apresentado com as imagens anteriores, destacando quais aspectos os conectam. Aproveite para abordar os TCTs Educação Alimentar e Nutricional e Saúde para construir criticamente uma visão sobre o que é uma pessoa saudável do ponto de vista alimentar e se isso está necessariamente ligado a algum padrão estético.

ATMOSFER A

Beleza ou magreza?

ATIVIDADES

1.

[...]

Conforme se pode verificar nas pinturas da época, os períodos anteriores ao século XIX traziam um padrão que retratava corpos volumosos e rotundos. Nessa época “a gordura foi sinônimo de saúde, beleza e sedução” (Andrade, 2003, p. 126). O excesso de peso era típico dos abastados e

nobres, da classe dominante, já que o viver deles era abastecido do melhor alimento da época e se afastava de qualquer atividade física desgastante. Para a plebe, restava o trabalho braçal extenuante e a limitação na disponibilidade de comida. Ser obeso ou estar acima do peso estava associado ao poder, financeiro ou político. [...]

FREITAS, Clara Maria Silveira Monteiro de et al. O padrão de beleza corporal sobre o corpo feminino mediante o IMC. Rev. Bras. Educ. Fís. Esporte, São Paulo, v. 24, n. 3, jul./set. 2010, p.389-404. Disponível em: www.scielo.br/j/ rbefe/a/rMpVx4jWKSSJmm9zsGT6fjh/?format=pdf&lang=pt. Acesso em: 28 abr. 2022.

Pesquisa: quatro em cada 100 mulheres se acham bonitas

OLIVEIRA, Pâmela. Pesquisa: quatro em cada 100 mulheres se acham bonitas. Terra Notícias. Disponível em: www.terra.com.br/vida-e-estilo/beleza/pesquisa-quatro-em-cada-100-mulheres-se-acham-bonitas,f358430f5de27310VgnCLD100000bbcceb0aRCRD.html. Acesso em: 28 abr. 2022.

a) O trecho de texto confirma qual das imagens anteriores? Explique.

A imagem “O nascimento de Vênus”.

b) Segundo a manchete, em um grupo aleatório com 50 mulheres, é provável que quantas se achem bonitas?

Duas mulheres.

O nascimento de Vênus (1483), de Sandro Botticelli, têmpera sobre tela, 1,72 m × 2,78 m, e uma representação contemporânea de deusa grega feita em um software de manipulação de imagens.

Leia o trecho de um texto e, depois, a manchete destacada.

54 | TRAJETÓRIA 1 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

#Porcentagem como razão

A Consolidação das Leis do Trabalho (CLT) dispõe que o valor de benefícios para alimentação e refeição não exceda a remuneração do empregado em 20%.

Qual é o valor máximo que um funcionário recebe como vale-alimentação, sabendo que seu salário é de R$ 1.500,00?

Calcular 20% de uma quantidade qualquer é o mesmo que calcular 1 5 dessa quantidade. Isso porque podemos entender 20% como a razão entre 20 e 100: 20 ! 100 ou 20 100 = 2 10 = 1 5

Porcentagem é uma razão que tem o 2o termo igual a 100.

Assim, calculamos 1 5 de 1 500, ou seja, 1 5 1 500 = 300

O valor máximo que esse funcionário recebe como vale-alimentação é R$ 300,00.

ATIVIDADES

2. Calcule mentalmente:

a) 40% de 1 500 600

b) 50% de 1 500 750

c) 90% de 1 500 1 350

3. Represente cada índice percentual por uma fração:

Determinando um índice percentual

4. Considere a sentença: 90 em cada 100 alunos dessa turma apreciam alimentação saudável.

Calcule quantos alunos apreciam alimentação saudável supondo que essa turma tenha:

a) 100 alunos 90

b) 10 alunos 9

c) 150 alunos 135

d) 20 alunos 18

Uma escola organizou uma confraternização com seus funcionários. Cada setor contabilizou a quantidade de funcionários que confirmaram presença no evento e uma planilha foi feita para organizar os dados:

Habilidade (EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

Atividade 4

Chame a atenção da turma para o fato de que a razão entre os estudantes que apreciam alimentação saudável e o total de alunos é uma constante, 90% ou 90 100 , porém a quantidade de estudantes na turma pode ser diferente, como nos casos:

Festa de confraternização.

Atividade 2

Para o cálculo mental, uma das estratégias que os estudantes podem usar é calcular 10% e multiplicar pelo número necessário para atingir a porcentagem desejada: para calcular 30% de um valor, calculamos 10% dele e multiplicamos o resultado por 3.

Veja exemplos de estratégias para o cálculo mental de porcentagens:

=

Sugestão de atividade

Para desenvolver a organização de um conjunto de dados por meio de uma tabela, explore os recursos digitais como uma ferramenta auxiliadora no processo de ensino-aprendizagem.

Proponha novas atividades investigativas em que os estudantes necessitem organizar um conjunto de dados sob a forma percentual em uma tabela.

Habilidade

Para transformar a razão entre o setor da diretoria e o total de confirmados da forma fracionária para porcentagem, é necessário escrever a fração inicial como uma fração equivalente com denominador igual a 100:

2 50 ×2 ×2 = 4 100 = 4%

calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

Atividade 5

Acompanhe os exemplos de cálculos:

a) Diretoria: 2 50 = 2 2 50 2 = 4 100 = 4%

b) Secretaria: 5 50 = 5 2 50 2 = 10 100 = 10%

c) Coordenação: 4 50 = 4 2 50 2 = 8 100 = 8%

d) Professores: 24 50 = 24 2 50 ⋅ 2 = 48 100 = 48%

e) Limpeza: 15 50 = 15 2 50 2 = 30 100 = 30%

Atividade 6 12 ⋅ 4 25 4 = 48 100 = 48%

Atividade 7

Este é um modo de resolução da atividade:

a) 12% = 12 100 = 12 ÷ 4 100 ÷ 4 = 3 25

b) 35% = 35 100 = 35 ÷ 5 100 ÷ 5 = 7 20

c) 60% = 60 100 = 60 ÷ 20 100 ÷ 20 = 3 5

d) 120% = 120 100 = 120 ÷ 20 100 ÷ 20 = 6 5

ATIVIDADES

2 confirmados dentre 50 é a relação e 4% é o índice percentual correspondente.

63 0

5. Realize o processo de transformação de razão na forma fracionária para porcentagem dos outros setores da escola. Quanto dá a soma de todas as porcentagens? 10%; 8%; 48%; 30%. 100%.

6. Luca tem 25 vídeos publicados em uma rede social. Desses, 12 são coreografias. Qual é o índice percentual correspondente às coreografias? 48%.

7. Determine a fração irredutível correspondente a cada índice percentual:

a) 12%

b) 35%

#Porcentagem: acréscimos

c) 60%

d) 120%

Em muitas situações do cotidiano usamos porcentagens para indicar acréscimos ou aumentos de valores ou quantidades.

Situação 1

Raul pesava 75 kg antes da pandemia. Passado um ano, ainda no decorrer da pandemia, ele calculou e descobriu que estava 8% mais pesado. A massa corporal de Raul aumentou, mas passou a ser quanto?

Resolução

Primeiro calculamos a porcentagem do acréscimo de massa corporal. Depois, adicionamos esse acréscimo à massa corporal anterior e descobrimos o valor da massa aumentada.

8% de 75 kg é calculado por: 8 100 × 75 kg = 6 kg

A massa aumentada é 75 kg + 6 kg = 81 kg, ou seja, a nova massa corporal de Raul é 81 kg.

Situação 2

Renata, uma adolescente de 12 anos, foi acompanhada por um nutricionista do posto de saúde do seu bairro: ela estava com 27,75 kg. Depois de um tempo, cumprindo corretamente a prescrição médica, ela passou a pesar 36,63 kg.

Qual é o índice que representa o acréscimo à sua massa corporal?

LUPAS E LUNETAS

Acompanhe as duplas ou trios de estudantes no processo de discussão sobre as diferenças e semelhanças entre o cálculo da porcentagem de um total e o índice percentual. Caso os estudantes tenham dificuldades, apresente novas situações, como aquelas que envolvem taxa de crescimento de ações em uma bolsa de valores ou valorização de um imóvel. Esses exemplos contribuem para a discussão do TCT Educação Financeira

Atividade 8

a) São 12 parcelas de R$ 310,00 (12 310 = 3 720), que totalizam R$ 3.720,00.

b) A diferença (3 720 – 3 000 = 720) entre os valores a prazo e à vista é de R$ 720,00.

c) O percentual de juros é calculado por 720

3 000 = 72 300 = 24 100 = 24%

(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e

Resolução

A massa corporal anterior será a referência, ou seja, o todo (100%). Vamos descobrir qual é o índice da massa atual em relação à nova. É esperado que o índice seja maior do que 100%, pois a nova massa inclui a anterior:

36,63 : 27,75 = 1,32 = 132 100 = 132%

Descobrimos que a massa atual corresponde a 132% da anterior. Para saber qual índice representa apenas o acréscimo, calculamos:

132% – 100% = 32%

Portanto, Renata teve um aumento de 32% em sua massa corporal.

LUPAS E LUNETAS

Na situação 1, o que se desejava era a porcentagem para, então, determinar o valor final e, na situação 2, o índice percentual.

Forme dupla ou trio. Compare o enunciado dos dois problemas: identifique os dados e a pergunta em ambos.

Em qual deles o que se desejava descobrir era o resultado da porcentagem do total e em qual o que se desejava era o índice percentual?

• Comente outras diferenças e semelhanças que você julgar relevantes nessa comparação das duas situações. Respostas pessoais.

ATIVIDADES

8. Arthur viu esta promoção na internet.

a) Qual é o valor total do pagamento a prazo?

b) Qual é a diferença entre o pagamento à vista e o a prazo? R$ 720,00

c) Qual é o índice percentual dos juros cobrados a prazo?

9. A empresa de Luana vai realizar o reajuste dos salários com um aumento de 12%. O salário de Luana é R$ 2.200,00.

a) Quanto será o aumento do salário de Luana?

b) Qual será o valor do salário dela com reajuste?

10. Fernanda faz docinhos para vender. Veja a tabela de preços de cada tipo de docinho que ela faz.

Com a virada de temporada, ela reajustou os valores, aumentado o preço do brigadeiro em 10%, do beijinho em 5%, do doce de leite em pó em 4% e do de castanha de caju em 15%.

a) Calcule os preços atualizados de cada doce após o aumento.

b) Qual foi o doce que teve o maior aumento, em reais? a)

Habilidade

(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros. Encontro com outras disciplinas

(EF67LP03) Comparar informações sobre um mesmo fato divulgadas em diferentes veículos e mídias, analisando e avaliando a confiabilidade.

Atividade 9

Na resolução desta situação-problema, temos:

a) Com o aumento de 12%, temos:

12 100 2 200 = 12 2 200 100 = 264 reais reais

b) O salário de R$ 2.200,00 acrescido de R$ 264,00 resulta em R$ 2.464,00.

Atividade 10

Veja um modo de organizar a resolução da atividade na tabela de modelo.

Habilidade (EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

Atividade 11

As vendas de R$ 4.500,00 com a comissão de 10% (4 500 ÷ 10) 10% (4 500 ÷ 10) resultam em R$ 450,00. Com o salário de R$ 1.500,00 e a comissão de R$ 450,00 (1 500 + 450 = 1 950) , Otávio receberá R$ 1.950,00.

Atividade 12

Como o vencimento do boleto é em 19/9, serão cobrados juros de 0,25% por dia até o pagamento. O período de 20/9 a 1/10 consiste em 12 dias, que correspondem a 12 0,25% = 3% de juros nesse período.

O boleto é de R$ 824,00; sabendo que 1% corresponde a 8,24, 3% equivale a R$ 24,72 (3 ⋅ 8,24) Ao adicionar o valor do boleto e os juros, temos R$ 824,00 + R$ 24,72 = R$ 848,72

$ 24,72 = R$ 848,72

LUPAS E LUNETAS

Discuta com os estudantes o TCT Educação Alimentar e Nutricional, explorando os diferentes modos de preparo de um alimento. Na primeira situação, o alimento é preparado no cozimento a vapor, livre de qualquer gordura. Na segunda, foi utilizada uma frigideira tradicional, em que se faz uso de óleo e gordura para fritar determinado alimento. Ressalte que uma alimentação saudável depende também do modo como o alimento é preparado.

Atividade 13

Os estudantes podem se inspirar em situações reais em que se aplica um desconto percentual sobre o valor total de

11. Otávio é vendedor e seu salário é de R$ 1.500,00 fixos. Se ultrapassa R$ 1.000,00 em vendas, ele recebe uma comissão de 10% em cima das suas vendas. Esse mês ele vendeu R$ 4.500,00. Qual será o salário de Otávio acrescido da comissão de vendas que ele vai receber?

Comissão de vendas: 10% de 4 500 = 450 O salário acrescido da comissão será R$ 1.950,00.

12. Qual será o valor deste boleto bancário se ele for pago no dia 1 de outubro de 2024?

824,00 + 12 0,25% 824 = R$ 848,72

#Porcentagem: decréscimos

Assim como em situações de acréscimos, as porcentagens estão presentes nas situações de decréscimos e descontos.

Situação 1

André viu este anúncio em uma loja:

Se André comprar essa vaporeira à vista, quanto ele vai pagar?

Resolução

Primeiro calculamos a porcentagem do desconto (ou decréscimo) no valor da mercadoria. Depois, subtraímos esse decréscimo do valor anunciado.

15% de 25,80 é calculado assim:

15 100 × 25,80 = 15 100 × 2 580 100 = 38 700 10 000 = 3,87

O preço com desconto é: 25,80 – 3,87 = 21,93, ou seja, o preço da vaporeira com desconto é R$ 21,93.

um produto. Discuta as práticas relacionadas à negociação e quão comum é os comerciantes oferecem descontos a seus clientes quando uma compra é realizada à vista.

O desconto de 15% significa que Raquel pagará 85% (100% – 15%) de R$ 600,00 (valor de sua compra). Como 85 100 600 = 85 600 100 = 51 000 100 = 510, Raquel pagará R$ 510,00 pela compra.

Situação 2

Veja este outro anúncio:

Qual é a taxa (ou índice) de desconto nessa promoção?

O preço sem o desconto, R$ 39,90, será a referência, ou seja, o todo (100%). Quanto ao preço com desconto, R$ 31,92, vamos descobrir a que índice percentual ele corresponde do todo. É esperado que o índice seja menor do que 100%, pois o preço com o desconto é menor do que o preço sem o desconto.

31,92 : 39,90 = 0,8 = 0,80 = 80 100 = 80%

Descobrimos que o preço com desconto corresponde a 80% do preço “cheio”. Portanto, para saber qual é o índice percentual que representa o desconto, calculamos:

100% – 80% = 20%

Portanto, a taxa de desconto na fritadeira foi 20%.

Atividade 14

A diferença entre os valores do curso sem e com o desconto é de 780 – 624 = 156 O desconto de R$ 156,00 no total R$ 780,00 corresponde a: 156 780 = 0,2 = 0,20 = 20 100 = 20% Como 10% de R$ 780,00 equivale a R$ 78,00 e R$ 156,00 é o dobro de R$ 78,00, os estudantes podem também concluir que R$ 156,00 corresponde a 20% de desconto.

58 | TRAJETÓRIA 1 NÃO

LUPAS E LUNETAS

Qual dos dois anúncios vende produtos que podem favorecer uma melhor alimentação? Por meio de qual desses dois você iria apreciar receber um prato para sua refeição? • Comente com os colegas.

Respostas pessoais.

ATIVIDADES

13. Raquel comprou roupas pela internet, no valor de R$ 600,00, pela primeira vez em uma determinada loja. Ela tinha um cupom de desconto de 15% para clientes em 1ª compra. Qual será o valor total que Raquel terá que pagar pela compra? R$ 510,00

14. Qual é a taxa de desconto de uma promoção que oferece um curso de R$ 780,00 por R$ 624,00, caso o interessado pague com um mês de antecedência? 20%

15. Uma mercadoria que custava R$ 320,00 foi vendida com 8% de desconto. Quais das sequências de teclas correspondem ao cálculo do valor final a pagar? Indique oralmente e explique para uma colega o que você entendeu.

d) 75% de R$ 280,00

R$ 210,00

e) 15% de R$ 220,00 R$ 33,00

f) 35% de R$ 320,00 R$ 112,00

17. Acompanhe o processo de cálculo feito por Noah, ao determinar um novo valor após um acréscimo percentual, e por Ayla, ao calcular um novo valor após um desconto percentual. Utilize uma calculadora e realize os cálculos do modo como fizeram esses estudantes.

Habilidades

(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos. Encontro com outras disciplinas

a) Calcule o valor acrescido de 15% em cada um destes valores: R$ 20,00; R$ 35,00; R$ 50,00; R$ 65,00; R$ 80,00; R$ 95,00.

b) Calcule o valor descontado de 15% em cada um dos valores: R$ 20,00; R$ 35,00; R$ 50,00; R$ 65,00; R$ 80,00; R$ 95,00.

(EF67LP03) Comparar informações sobre um mesmo fato divulgadas em diferentes veículos e mídias, analisando e avaliando a confiabilidade.

16. Veja o quadro a seguir, que mostra algumas porcentagens e frações equivalentes e um cálculo feito por Davi utilizando essas frações.

Use frações equivalentes para calcular:

a) 10% de R$ 170,00

b) 20% de R$ 85,00

c) 25% de R$ 140,00

Alternativa a. R$ 17,00 R$ 17,00 R$ 35,00

c) Que regularidades você percebe na sequência dos valores acrescidos do item a? E na sequência dos valores descontados do item b? Respostas pessoais.

18. Uma loja fez uma promoção de 25% em todo o seu estoque. Calcule o valor de cada peça depois do desconto.

Boné: R$ 22,50; calça: R$ 67,50; blusão: R$ 120,00.

Boné R$ 30,00 Calça R$ 90,00 Blusão R$ 160,00 Resolva de duas ou mais maneiras diferentes.

• Compartilhe com os colegas suas resoluções.

19. Junto com um colega, elaborem duas situações que envolvam porcentagem – uma de acréscimo e outra de decréscimo – e que façam parte do seu cotidiano. Dê para outros colegas resolverem.

Resposta

Atividade 15

Converse com a turma sobre o cálculo de porcentagem feito em uma calculadora. Por exemplo, para calcular um acréscimo de 5% em um montante de 300, digitamos as teclas: 3 0 0 + 5 % =

com o desconto de 8% sobre 320,

17

Os valores solicitados nos itens aumentam regularmente em 15 reais, caso os alunos não percebam espontaneamente esse fato, questione-os sobre isso. Só então peça para responderem o item a e o item b organizando os cálculos em uma tabela semelhante a esta:

Antes de buscar regularidades nos valores com acréscimos e decréscimos peça para buscarem regularidade no resultado da porcentagem de cada valor, para que notem que os resultados aumentam regularmente em 2,25 reais.

(comentários das atividades 17, 18 e 19 na página seguinte)

R$ 68,00; R$ 80,75. 59 |

Habilidade (EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

É esperado que notem a seguintes regularidade:

A sequência dos valores iniciais aumenta em 15 reais a cada termo enquanto a sequência das porcentagens aumenta em 2,25 reais a cada termo. Assim, a sequência dos valores com os acréscimos aumenta regularmente sujeita à soma desses dois valores, ou seja, 17,25 (15 + 2,25) a cada termo.

Da mesma forma a sequência dos valores com os decréscimos aumenta regularmente sujeita à diferença desses dois valores, ou seja, 12,75 (15 – 2,25) a cada termo.

Atividade 18

Um desconto de 25% é o mesmo que um desconto de 1 4 do valor, assim os descontos podem ser obtidos pelos cálculos:

• Boné:

30

NUVENS

Porcentagem e redução de gastos na educação financeira

Organizar e se planejar financeiramente é importante para controlar os gastos e aumentar o patrimônio ao longo do tempo. Usar uma planilha eletrônica é uma ótima opção.

Pensando nisso, Edmundo está revendo suas despesas mensais para fazer uma reserva de emergência. Ele reduziu seus gastos em 10% em cada valor e vai alterar os valores na planilha, além de incluir a reserva de emergência na sua contabilização. A reserva de emergência será constituída pelos valores reduzidos de cada gasto.

Para calcular os novos valores na planilha, ele começa com o sinal de igual, indicando para o software que vai fazer uma fórmula matemática; seleciona o valor que deseja alterar e usa a porcentagem referenciando o mesmo valor. O asterisco (*) nas planilhas é utilizado como sinal da multiplicação.

21. Conta de luz: R$ 90,00; conta de água: R$ 54,00; gás: R$ 108,00; alimentação: R$ 540,00; lazer: R$ 270,00; estudos: R$ 90,00.

ATIVIDADES

20. Calcule as reduções de cada gasto.

Conta de luz: R$ 10,00; conta de água: R$ 6,00; gás: R$ 12,00; alimentação: R$ 60,00; lazer: R$ 30,00; estudos: R$ 10,00.

21. Utilizando um editor de planilhas, replique a planilha feita por Edmundo e, com a ferramenta de preenchimento automático, complete os valores dos gastos mensais revistos, com exceção da reserva de emergência.

22. Crie uma fórmula no editor de planilhas para preencher a célula do valor da reserva de emergência.

30 ÷ 4 = 7,50

7,50 = 22,50

O boné custará R$ 22,50.

• Calça:

90

90 ÷ 4 = 22,50

22,50 = 67,50

A calça custará R$ 67,50.

• Blusão:

160 ÷ 4 = 40

160 – 40 = 120

O blusão custará R$ 120,00

Atividade 19

Solicite aos estudantes que, em duplas, façam o levantamento sobre a evolução do preço de dois determinados tipos de produtos em um período relativo aos últimos 6 meses, utilizando-se de ferramentas digitais, como sites e aplicativos comparadores de preço. Discuta coletivamente os produtos

pesquisados e a evolução dos preços, apontando um caso em que se teve um aumento percentual e um segundo em que se teve um decréscimo percentual.

#Fenômenos determinísticos ou aleatórios

Ao nosso redor ocorrem diversos fatos que podemos diferenciar quanto à previsibilidade dos resultados a serem obtidos.

Observe as situações:

Antes mesmo de colocarmos uma chaleira com água no fogo sabemos com certeza que, depois de alguns minutos, a água vai ferver. Também podemos saber com antecedência que uma fruta, depois de colhida e deixada em temperatura ambiente, se não for consumida a tempo, vai estragar.

Por outro lado, não temos a certeza da quantidade de laranjas que podem ser colhidas antes de realizar a colheita. Tampouco é possível prever a quantidade exata de sementes dentro de uma melancia.

As duas primeiras situações geram resultados antecipadamente sabidos, ou seja, cada um ao seu modo, quando reproduzidos diversas vezes sob as mesmas condições, gera resultados que são sempre os mesmos.

Já as duas últimas situações, ainda que reproduzidas repetidas vezes, sob as mesmas condições, não nos permitem prever, com certeza absoluta, com base no passado, um resultado do futuro.

Situações com características de previsibilidade, como as duas primeiras, são chamadas de fenômenos determinísticos

E situações com características de imprevisibilidade são chamadas de fenômenos aleatórios

Atividades 20, 21 e 22

Utilizando o modelo de planilha do professor Edmundo, resolva as atividades expondo aos estudantes a sequência de passos para a construção da planilha eletrônica e como preenchê-la. Ao final, verifique se os valores encontrados eram os esperados.

Habilidade (EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

NUVENS

Faça a leitura coletiva do texto com a turma e proponha a construção de uma tabela em uma planilha eletrônica, em horário extraclasse. Na aula seguinte, lembre-os de compartilhar as experiências e construções que realizaram, retratando as dificuldades e os acertos.

Converse um pouco mais sobre fenômenos aleatórios, como lançamento de dados, moedas, girar a roleta, e explore como os estudantes analisam as frases seguintes e as classificam em: certamente, provável, pouco provável ou impossível

• No lançamento de um dado sair um número par. (provável)

• No lançamento de um dado sair o número 1. (pouco provável)

• No lançamento de um dado sair o número 8. (impossível)

• No lançamento de um dado sair um número entre 1 e 7. (certamente)

Destaque, em contrapartida, que, embora hajam fenômenos que não podem ser previstos com absoluta certeza, utilizamos o método científico e a estatística para fazer certas previsões. Por exemplo, um agricultor pode usar informações de colheitas passadas para ter uma estimativa de quantas toneladas de laranja poderão ser colhidas.

61 | NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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Habilidade (EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

LUPAS E LUNETAS

Após os estudantes lerem os boxes anteriores, proponha uma discussão coletiva sobre eventos probabilísticos envolvendo certezas e incertezas no cotidiano. Ressalte a importância de uma tomada de decisão, já que ela pode interferir em possíveis decisões futuras. O simples fato de o estudante levantar-se cedo e ir ou não para a escola é um evento que pode alterar completamente as demais decisões que serão tomadas ao longo de seu dia.

Você pode evidenciar palavras e expressões associadas à probabilidade e muito utilizadas coloquialmente, como “chance” e “risco”.

Atividade 23

Explore com os estudantes os casos de eventos certos e incertos.

No item a, tem-se um evento incerto, já que não é possível prever com exatidão a quantidade de gols que podem ou não acontecer em uma partida de futebol.

No item b , tem-se uma situação de incerteza da meteorologia, cujo objetivo é fazer previsões sobre as condições climáticas em um intervalo de tempo de alguns dias.

No item c, tem-se uma situação de certeza, já que é possível conhecer com antecedência as datas de aniversário dos estudantes de uma sala de aula.

Por fim, no item d, tem-se um evento certo também, já que os feriados são quase sempre datas fixas que se repetem ao longo de todos os anos.

#Chances iguais ou diferentes

Há situações do nosso cotidiano em que fazemos escolhas. Acompanhe a história de Antunes.

Na maioria das vezes, Antunes come fruta após a refeição. Mas hoje ele quis variar, até porque a temperatura era de 30 oC. Por outro lado, quando ele pede sorvete, nunca toma na casquinha. E quanto aos sabores, ele gosta igualmente dos dois.

Essa história é uma mescla de situações envolvendo certeza e incerteza. As incertezas, nos momentos que antecedem uma tomada de decisão, podem ser superadas ou reduzidas, a fim de que possamos evitar surpresas.

LUPAS E LUNETAS

No cotidiano, o que ocorre com mais frequência: situações em que nossa escolha é indiferente (ou seja, todas as opções têm a mesma chance de escolha) ou casos em que algumas opções têm mais chances do que outras? Respostas pessoais.

ATIVIDADES

23. Reflita com os colegas a respeito das questões: Respostas pessoais.

a) É possível saber, assim que começa uma partida de futebol, quantos gols acontecerão? Por quê?

b) É possível saber, com certeza, se daqui a 30 dias vai chover?

c) É possível saber, com certeza, quantos alunos da sua sala completam anos hoje?

d) É possível saber quantos feriados haverá no ano seguinte?

#Resultados equiprováveis e não equiprováveis

Na história de Antunes aconteceram três momentos de tomada de decisão:

1ª decisão: fruta ou sorvete? 2ª decisão: copo ou casquinha? 3ª decisão: creme ou chocolate?

Sugestão de filme

O homem que mudou o jogo (Moneyball, 2011)

No filme, acompanhamos Billy Beane (personagem vivido por Brad Pitt), um gerente de um time de baseball. Para montar um time competitivo, ele utiliza modelagens estatísticas e outras estratégias de análise.

Nas opções feitas por ele, nem todas tinham a mesma chance de serem escolhidas. O esquema mostra como se agrupam as categorias de fenômenos, considerando exemplos da história de Antunes.

Habilidade

(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

Atividade 25

Antunes escolhe ao acaso um dos sabores de sorvete: joga uma moeda e tira cara ou coroa. Assim, ambos os sabores têm chances iguais de serem escolhidos e chamamos essas opções de equiprováveis

Por outro lado, ele escolhe com muito mais frequência fruta do que sorvete após a refeição, ou seja, o resultado “fruta” tem muito mais chance na hora dessa decisão do que o resultado “sorvete”. Nesse caso, essas opções são não equiprováveis

Finalmente, se o sorvete dele ficar no copo, sobre a mesa, à temperatura ambiente de 30 oC, temos certeza de que vai derreter!

ATIVIDADES

24. Classifique cada situação em determinística (D) ou aleatória (A).

a) Sorteio do lado do campo em um jogo de futebol. A

b) Intervalo de tempo mínimo para cozinhar um ovo. D

c) Valor do troco para uma cédula de R$ 50,00 dada em pagamento de uma compra de R$ 45,00

d) Número de bebês que vão nascer em sua cidade neste ano. A

e) A distância da porta da sua casa até a porta da sua sala de aula. D

25. Suponha que você tivesse de tomar quatro decisões para uma refeição completa de seu almoço. Em quais decisões os resultados são, para você, equiprováveis e em quais são não equiprováveis? 1ª decisão 2ª decisão 3ª decisão 4ª decisão

Salada de folhas Salada de legumes Arroz, feijão e bife

Macarronada com coxa de frango Suco de frutas Chá gelado Gelatina Pudim

• Compartilhe com os colegas. Ouça atentamente a classificação dos colegas e a explicação deles do porquê de cada chance. Respostas pessoais.

26. Imagine que uma pessoa precise tomar 3 decisões todos os dias para sua sobremesa no restaurante da empresa: fruta ou gelatina? Se escolher fruta: mamão ou banana? Com ou sem granola? Se escolher gelatina: morango ou limão? Com ou sem creme? Represente em uma tabela cada uma das possibilidades para essas três decisões. Quantas e quais possibilidades você encontrou?

• Compartilhe com os colegas.

Organize os estudantes em duplas e solicite que discutam as quatro decisões que devem ser tomadas. Oriente-os a organizar essas informações e a realizar o confronto, abordando quais aspectos tornam tal processo de decisão (nas quatro situações) ser equiprovável ou não equiprovável. Chame a atenção para o fato de a escolha estar associada a preferências individuais.

Pode-se associar a diferença entre as situações à ideia de “pesos”, isto é, quando há uma predileção por um lado da decisão, essa opção tem um “peso” maior, logo, a probabilidade de escolha seria não equiprovável. Por outro lado, em situações em que não há predileção, o “peso” das opções é o mesmo, portanto, equiprováveis.

Atividade 26

Solicite aos estudantes que construam, além da tabela, um diagrama de árvore, representando todas as possibilidades envolvidas no processo de tomada de decisão. Observe-o no esquema:

Com granola Sem granola Mamão

Atividade 24

a) O sorteio do lado do campo de jogo de futebol não é previsível – situação aleatória.

b) Um ovo está cozido após 4 a 12 minutos – situação determinística.

c) O troco é de R$ 5,00 – situação determinística

d) O nascimento de bebês não é previsível – situação aleatória.

e) Essa medida é constante – situação determinística.

Fruta Gelatina

Com granola Sem granola Com creme Sem creme Com creme Sem creme

Habilidade

Travessias

Faça a leitura coletiva da seção Travessias e, em seguida, organize a turma em grupos de até 5 estudantes. A atividade seguinte complementa essa leitura.

Atividade 27

Oriente os estudantes a construir uma tabela como a do exemplo. O índice percentual deve ser calculado utilizando a frequência relativa. A frequência relativa é a razão entre a quantidade de ocorrências de um resultado e a quantidade de ocorrências de todos os resultados.

É esperado que os alunos obtenham resultados semelhantes nos lançamentos, já que as tampinhas são todas do mesmo tipo.

Uma possível investigação pós experimento é solicitar que utilizem tampinhas em outros formatos para observar quais são os impactos da alteração das formas das tampinhas.

Para criar uma conjectura é possível observar, por exemplo a medida do comprimento da altura da tampinha:

“Quanto maior a altura da tampinha, maior será a probabilidade dela cair de lado.”

Após realizarem o experimento peça que validem suas hipóteses com os resultados obtidos.

TRAVESSIAS

Lançamentos de uma tampinha plástica

Forme um grupo com no máximo 5 integrantes. Vocês vão precisar de uma tampinha de refrigerante e de uma planilha para anotações (como a da imagem). Lance-a para cima e observe em que posição ela cairá: Lançamento (número) 1 2 3

Posição

Observação: todos os grupos da sala devem utilizar uma tampinha da mesma marca de refrigerante ou de água. Todas devem ser idênticas. Escolha tampinhas bem cilíndricas. Evite as que lembram um tronco de cone.

ATIVIDADES

27. Siga as etapas desta investigação, realizando o que está descrito em cada etapa.

I. Exploração e formulação de questões

Cada grupo deve lançar a tampinha 60 vezes. Após cada lançamento, façam o registro do resultado na planilha. Antes do primeiro lançamento, elaborem perguntas sobre a ocorrência dos resultados e sobre outras curiosidades. Uma boa pergunta que vocês podem fazer é: será que as três posições vão gerar resultados equiprováveis após os 60 lançamentos?

II. Organização dos dados e formulação de conjecturas

Ao final dos 60 lançamentos, observem a planilha. Observando-a, é possível responder a algumas das questões que vocês formularam na etapa anterior?

Contem as ocorrências para cada um dos resultados: “C”, “B” e “L”. Depois, representem os resultados por meio de uma taxa percentual. Considerem esses dados e formulem conjecturas (sentenças que indicam relações entre os fatos observados, com potencial de serem verdadeiras).

III. Realização de testes e refinamento das conjecturas

• Caso alguma das conjecturas “indique” que é necessário fazer ajustes (no modo de lançar a tampinha, na superfície utilizada como anteparo à tampinha etc.), altere aquilo que for necessário e tome nota do que houve de modificação. Se for preciso, recalculem os índices percentuais.

• Feito tudo o que era necessário de ajustes, agora vocês vão atualizar a taxa percentual, que leva em conta cada um dos três resultados anotados em cada grupo, gerando uma soma coletiva. Comparem as taxas percentuais de antes e depois da reunião coletiva dos dados. Essa mudança confirma ou contradiz as conjecturas elaboradas por vocês?

IV. Justificação das conjecturas e avaliação do raciocínio Coletivamente, elaborem argumentos que justifiquem as sentenças criadas com base nessa experimentação. Por exemplo, se houve um resultado que é o mais raro dos três, qual seria o fato que justifica isso? Analisem também as características do objeto arremessado (no caso a tampinha de refrigerante ou água): ele é simétrico? A distribuição da massa ao longo do formato é homogênea? Há uma parte que é mais fina e outra que é mais grossa?

Tomem nota dos argumentos e das justificativas e publiquem todas elas no mural da sala. Ao fim, listem tudo o que vocês aprenderam com esse experimento. Respostas pessoais.

Lançamentos de uma tampinha plástica

(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

#Espaço amostral e evento

Leia o texto:

No Brasil, não há estatísticas oficiais, porém, a prevalência parece se assemelhar à literatura internacional, que mostra cerca de 8% das crianças com até dois anos de idade e 2% dos adultos sofrendo algum tipo de alergia alimentar.

Mais de 170 alimentos são considerados potencialmente alergênicos, apesar de uma pequena parcela deles ser responsável por um maior número de reações: leite, ovo, soja, trigo, amendoim, castanhas, peixes e frutos do mar.

[...]

ALERGIA alimentar é o tema central da Semana Mundial. Associação Brasileira de Alergia e Imunologia (ASBAI), 27 mar. 2019. Disponível em: https://asbai.org.br/alergia-alimentar-e-o-tema-central-da-semana-mundial/#:~:text=No%20Brasil%2C%20n%C3%A3o%20h%C3%A1%20estat%C3%ADsticas,algum%20tipo%20de%20alergia%20 alimentar. Acesso em: 29 abr. 2022.

Habilidade

(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

Encontro com outras disciplinas

(EF67LP03) Comparar informações sobre um mesmo fato divulgadas em diferentes veículos e mídias, analisando e avaliando a confiabilidade.

LUPAS E LUNETAS

LUPAS E LUNETAS

Forme uma dupla ou um trio e juntos pesquisem notícias sobre alergia alimentar Respostas pessoais. Os índices informados na notícia apresentada sofreram alterações nos dias atuais?

Analisem as diferentes informações em relação às notícias encontradas por vocês, buscando avaliar se são confiáveis.

A notícia nos informa que cerca de 8% das crianças de até 2 anos sofrem com algum tipo de alergia alimentar. Você saberia dizer qual a chance de um bebê de sua família ou próximo da sua vizinhança ser uma dessas crianças?

Por falar em chance, o número total das crianças no Brasil é o espaço amostral, enquanto o número que corresponde aos 8% é o evento

O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento ou fenômeno aleatório.

O evento é um subconjunto qualquer do espaço amostral.

O texto do boxe Lupas e lunetas apresenta um assunto de saúde que pode fazer parte do cotidiano dos estudantes e/ou seus familiares. Realize a pesquisa proposta com a intenção de desenvolver o senso crítico, para que possam identificar quais notícias são confiáveis ou não. Esta atividade desenvolve a habilidade de Língua Portuguesa EF67LP03. Com ela, os estudantes podem pesquisar, entre as notícias selecionadas, quais são baseadas em informações verdadeiras e quais são fake news

Você tem alguma alergia alimentar?

65 | NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

BEATS1/SHUTTERSTOCK

Habilidade

(EF07MA34)

#Cálculo de probabilidade

Vamos agora observar situações que envolvem espaços amostrais equiprováveis.

Um espaço amostral é equiprovável quando todos os elementos do conjunto (os resultados possíveis) têm chances iguais de ocorrer.

São exemplos de espaço amostral equiprovável:

• Os resultados dos lançamentos de uma moeda não viciada (ou moeda “honesta”).

Atividade 28

Neste experimento aleatório, podemos determinar:

a) Todos os resultados possíveis são os números de 1 a 15; assim, o espaço amostral é {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.

b) O evento “parar em um número par”, nesse experimento, é {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.

c) O evento “parar em um múltiplo de 3” é {3, 6, 9, 12, 15}.

Atividade 29

Oriente os estudantes a primeiramente identificar o espaço amostral como sendo aquele que contém todos os números da roleta {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.

No prosseguimento da atividade, será necessário retomar as discussões a respeito do critério paridade (número par ou ímpar) e múltiplos. Aproveite esse momento para abordar possíveis dúvidas anteriores.

a) Números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13}

Probabilidade de sair número

primo: 6 15 = 2 5 = 40%

b) Múltiplos de 5: {5, 10, 15}

Probabilidade de sair múlti-

plo de 5: 3 15 = 1 5 = 20%

c) Par em setor cinza: {2, 12}

Probabilidade de sair par em setor cinza: 2 15 = 13,3%

d) Setor azul ou laranja: 6 possibilidades: 6 15 = 2 5 = 40%

e) Não há setor rosa: a probabilidade é nula.

Espaço amostral: {cara, coroa} Evento “sair coroa”: {coroa}

A probabilidade de “sair coroa” é: número de resultados favoráveis número de resultados possíveis 1 2 ou 50%.

• Os resultados dos sorteios de bolas numeradas de 1 a 75 em um jogo.

Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, , 74, 75}

Evento ocorrer um número menor do que 11 : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A probabilidade de ocorrer um “número menor do que 11”: número de resultados favoráveis número de resultados possíveis 10 75 2 15 ou ou aproximadamente 13,33%

A probabilidade de um evento ocorrer é um número que mede a chance de esse evento ocorrer e é assim calculada: probabilidade de ocorrencia do evento = número de resultados favoráveis número de resultados possíveis

ATIVIDADES

28. Uma roleta com setores circulares de mesmo tamanho vai ser girada.

29. Considere a mesma roleta apresentada e calcule a probabilidade de, após ser girada, parar em um setor que tem:

a) um número primo;

b) um múltiplo de 5;

c) um número par em um setor cinza;

d) um setor azul ou laranja;

e) um setor rosa. 0 ou 0%

{1,

{2,

Determine os conjuntos:

a) O espaço amostral desse experimento.

b) O evento “parar em um número par”.

c) O evento “parar em um múltiplo de 3”.

30. Na véspera de um feriado prolongado vieram para a aula da professora Marta os alunos Ana, Érika, Igor, Otto, Ulisses, Bento, Caio, Dalva, Davi, Flávia, Gabriely e Helena. A professora vai sortear, ao acaso, o assistente do dia.

Qual é a probabilidade (na forma fracionária e na forma percentual) de o aluno sorteado:

66 | TRAJETÓRIA 1 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ARTE/ M10

Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

a) ter a letra inicial do nome com uma vogal?

b) ter a letra inicial com uma consoante?

c) ter D como letra inicial?

d) ter 4 letras no nome?

31. Observe a urna contendo bolas idênticas, exceto pelas cores. Uma pessoa vai tirar, ao acaso, uma bola dessa urna sem ver.

30. a) 5 12 = 41,6%

b) 7 12 = 58,3%

c) 2 12 = 16,6%

d) 4 12 = 33,3%

LEVO NA BAGAGEM

Respostas pessoais.

Faça um cálculo mental e responda: qual é a probabilidade, em taxa percentual, de, nessa retirada, sair uma bola da cor:

a) verde?

b) azul?

c) branca?

d) cinza?

a) 5 10 = 50 100 = 50%

b) 4 10 = 40 100 = 40%

Habilidade

c) 0 10 = 0 100 = 0%

d) 1 10 = 10 100 = 10%

32. Imagine que hoje haveria um sorteio em sua sala e apenas um aluno fosse escolhido. Para esse sorteio utilizariam a lista de nomes de todos os alunos da sala. Estime a probabilidade de ser um aluno que hoje está ausente Respostas pessoais.

Consulte todas as suas produções até agora neste passeio. Avalie seu aprendizado sobre:

▶ Matemática

• Você resolve e elabora problemas que envolvam porcentagens, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora em contextos diversos?

• Consegue resolver um mesmo problema utilizando diferentes procedimentos?

• Reconhece fenômenos determinísticos e fenômenos aleatórios?

• Realiza (ou simula) experimentos aleatórios que envolvem cálculo (ou estimativas) de probabilidades?

▶ Outras disciplinas

Língua Portuguesa

• Compara informações sobre um mesmo fato divulgadas em diferentes mídias, analisando e avaliando a confiabilidade?

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO

Insuficiente Parcialmente suficiente Satisfatório Plenamente satisfatório

(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

Atividade 32

Organize coletivamente os estudantes, escrevendo o nome de todos em um pequeno pedaço de papel e colocando dentro de uma urna (ou uma caixa). Solicite a estudante que retire aleatoriamente um papel e estime a probabilidade de esse ser seu próprio nome. Repita tal experimento diversas vezes, sempre devolvendo o nome retirado para a urna.

LEVO NA BAGAGEM

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre seu próprio aprendizado, enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, classificarão seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas que estão presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

Atividade 30

As iniciais dos nomes dos 12 estudantes são:

A, B, C, Da, Di, E, F, G, H, I, O, U

a) A probabilidade de ser vogal: 5 12 = 41,6%

b) A probabilidade de ser consoante: 7 12 = 58,3%

c) A probabilidade de ter D como letra inicial: 2 12 = 16,6%

d) A probabilidade de ter 4 letras no nome: 4 12 = 33,3%

Atividade 31

A caixa tem 10 bolas no total, sendo:

a) 5 bolas verdes, a probabilidade de sair bola verde: 5 10 = 50%;

b) 4 bolas azuis, a probabilidade de sair bola azul: 4 10 = 40%;

c) nenhuma bola branca: probabilidade nula de sair bola branca;

d) uma bola cinza, a probabilidade de sair bola cinza: 1 10 = 10%

Encontro com outras disciplinas (EF67LP03) Comparar informações sobre um mesmo fato divulgadas em diferentes veículos e mídias, analisando e avaliando a confiabilidade.

BARCOS E PORTOS

Solicite aos estudantes que retomem as discussões apresentadas no mapa mental da seção Arredores e identifiquem como os assuntos estão interligados. Solicite que façam uma lista com os conteúdos que aprenderam e outra com as dificuldades. Organize a socialização dessa lista, assim como a discussão em duplas sobre os significados de cada termo.

Proponha

O objetivo desta atividade é despertar no estudante, por meio de um movimento que parte do individual reflexivo e vai para o coletivo propositivo, um senso de responsabilidade e cidadania. Nesse sentido, os estudantes podem tomar consciência dos padrões de beleza impostos pela mídia e assumir para si um posicionamento crítico e libertador, rejeitando aquilo que não contribui para uma vida saudável, física e mental. Igualmente, cabe ao estudante a responsabilidade de evitar se tornar um defensor de padrões opressores da autoimagem de cada pessoa. Assim, espera-se que, ao fim desta atividade, o estudante tenha possibilidade de agir individual e coletivamente com responsabilidade, a partir de princípios éticos e inclusivos para buscar soluções de aspectos consensuais na discussão de determinados padrões sociais.

▶ Organize

Respostas pessoais.

Recupere os conhecimentos que você desenvolveu ao longo deste passeio – se possível também de passeios anteriores e até anos anteriores! Revise e organize suas ideias quanto às formas de representar uma mesma situação envolvida por diversos significados de frações como razão, quociente, índice etc.

Razão Forma fracionária Forma decimal Forma percentual

4 para 10 0,4 40% 4 10

Escolha uma situação deste passeio e represente-a de quatro modos diferentes, conforme mostra o esquema apresentado. Compartilhe com os colegas qual foi a situação que você escolheu e como ficaram suas diversas representações.

▶ Elabore

Crie duas situações: uma de contexto financeiro e comercial e outra do contexto aleatório probabilístico. Represente essas duas situações, cada uma delas, de quatro maneiras diferentes: por meio de uma razão, de uma notação fracionária, uma representação decimal e, por fim, na forma de índice percentual.

▶ Proponha

A pergunta inicial deste passeio é: Como entendemos a relação saúde, beleza e alimentação?

1. Leia estas duas notícias:

Endocrinologistas alertam que ser magro não é sinônimo de saúde

Para ser considerada magra e saudável, uma pessoa deve simplesmente ter o Índice de Massa Corpórea – IMC, entre 18,5 e 24,9, de acordo com a Organização Mundial de Saúde.

Por décadas, a indústria da moda impôs uma beleza física baseada na magreza extrema. Esse fator criou uma tendência mundial de associar um corpo magro à saúde e bem-estar. Porém ter o corpo magro não é espelho de uma pessoa 100% saudável.

Adolescentes de ambos os sexos exageram nas dietas e nas atividades físicas não por uma questão de saúde, mas pela busca dos padrões de beleza divulgados pela mídia.

ENDOCRINOLOGISTAS alertam que ser magro não é sinônimo de saúde. Associação Beneficente Síria (HCOR). Disponível em: https://www.hcor.com.br/imprensa/noticias/endocrinologistasalertam-que-ser-magro-nao-e-sinonimo-de-saude/#:~:text=Ajuste%20de%20Contraste -,Endocrinologistas%20alertam%20que%20ser%20magro%20n%C3%A3o%20%C3%A9%20sin% C3%B4nimo%20de%20sa%C3%BAde,a%20Organiza%C3%A7%C3%A3o%20Mundial%20de% 20Sa%C3%BAde. Acesso em: 9 ago. 2022.

de crianças e jovens com obesidade no mundo

maior probabilidade de obesidade na vida adulta

de crianças e adolescentes com excesso de peso no Brasil No Brasil, uma em cada três crianças estão com excesso de peso (sobrepeso ou obesidade)

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

A propaganda de alimentos não saudáveis direcionadas ao público infantojuvenil é um dos fatores que interferem na construção dos hábitos da boa alimentação, aumentando o número de jovens com sobrepeso.

OBESIDADE infantojuvenil. Associação Desiderata. Disponível em: https://desiderata.org.br/area/obesidade-infantojuvenil/?gclid=Cj0KCQjw_4-SBhCgARIsAAlegrXsxhhBlVMoOOUEeIsrrM6Nln2rKdhR2qJPYkf1L6tNRdikm4to_qoaApHPEALw_wcB. Acesso em: 29 abr. 2022.

d) 75%. Resposta pessoal.

a) Transcreva em seu caderno as informações que envolvem frações, porcentagens e probabilidades.

100%; 1 3 ; 30%

Complementam-se.

b) Compare essas duas notícias. Elas se contradizem ou se complementam?

c) De quando essas notícias foram publicadas até o momento, houve mudanças no cenário mundial ou brasileiro? Pesquise por esse mesmo tema e verifique o que houve de alterações, especialmente quanto aos dados numéricos. Resposta pessoal.

d) Um cálculo genético informou para Ariel uma probabilidade de 15% de vir a ser um adulto obeso. Porém, seus hábitos alimentares e seu estilo de vida sedentário podem aumentar essa probabilidade em 5 vezes. Qual é a nova probabilidade para o padrão da massa corporal de Ariel? Que sugestões você daria para essa adolescente?

e) Coletivamente proponha ações viáveis para a turma que favoreçam modos totalmente novos de lidar com a alimentação e a saúde, rompendo com as imposições dos padrões sociais de beleza e valorizando a diversidade de biotipos e de características étnicas. Resposta pessoal.

Procure o posto de saúde próximo da escola, proponha a um representante que participe de uma roda de conversa com os estudantes sobre a obesidade infantojuvenil e combine data, horário e organização com a gestão escolar. Prepare os estudantes para esse momento diferenciado, para que eles conheçam um pouco desse assunto: leiam notícias sobre a Obesidade e peça que elaborem perguntas antecipadamente. Questione se algum estudante tem alguém na família que faz tratamento médico controlando o peso e convide-o para esse momento (certifique-se de que a pessoa fique confortável com a exposição). Conhecer pessoas com diferentes papéis relacionados a esse tema contribui para ampliar as relações sociais e afetivas dos estudantes e permite que façam reflexões críticas relacionadas com a própria vivência. Coloque no mural da escola algumas fotos e um texto narrando esse momento de discussão com as principais conclusões dos estudantes.

METODEJ/SHUTTERSTOCK

VISTORIAS

Habilidades

EF07MA01, EF07MA02, EF07MA05, EF07MA06, EF07MA07, EF07MA08, EF07MA09, EF07MA11, EF07MA12, EF07MA34

Atividade 1

Se o evento de Tainá ocorre a cada 5 meses e o de Aisha, a cada 8 meses, então calcula-se o mmc entre 5 e 8 e conclui-se que os dois eventos coincidirão após 40 meses, ou 3 anos (36 meses) e 4 meses após maio de 2022, o que resulta em setembro de 2025.

Atividade 2

É necessário determinar o máximo divisor comum entre os que preferem esportes (36), ação (16) e estratégia (32). Listando os divisores de cada um, temos:

• D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} 4, 6, 9, 12, 18, 36}

• D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}

• D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32} Verifica-se então que o maior divisor comum entre 36, 16 e 32 é 4.

Atividade 3

Esta atividade pode ser realizada previamente ou como um trabalho; é esperado que os estudantes mostrem a compreensão da noção de mmc e de mdc. Dito isso, são focos avaliativos desta atividade o pensamento computacional e o raciocínio investigativo.

Atividade 4

a) 84 144 = 21 36 4 4 ,, logo são equivalentes.

b) 4 é o dobro de 2, mas 9 não é o dobro de 5. Assim, 2 5 e 4 9 não são equivalentes. Exemplos de frações equivalentes a cada uma: 2 5 = 40 100 e 4 9 = 40 90

VISTORIAS

Você chegou ao final desta Trajetória. Reflita sobre tudo o que aprendeu e verifique a qualidade da sua aprendizagem. Resolva todos os exercícios no caderno.

CHECK-OUT

,

,

50 etc. Sugestões de frações equivalentes a 4 9 → 8 18 , 12 27 , 40 90 etc.

4. b) Não equivalentes. Sugestões de frações equivalentes a

1. Tainá e Aisha são nutricionistas que sempre realizam eventos sobre boa alimentação. O evento criado por Tainá ocorre a cada 5 meses e o de Aisha, a cada 8 meses. Os eventos coincidiram em maio de 2022. Quando serão realizados juntos de novo?

Em setembro de 2025.

Ela fez uma votação para saber quais são os estilos de games preferidos de cada um.

Games preferidos

Esporte

Menina

Ação

Estratégia

Para organizar os times para as partidas de cada estilo de jogo, determine qual a quantidade máxima de pessoas em um time de modo que todos os times, de todos os estilos de games, tenham a mesma quantidade de membros. 4 pessoas.

2. Lúcia está organizando um dia de games para entretenimento com os amigos.

3. São dados os números 10, 15 e 25. Com esses números, em dupla, produzam, revisem e editem dois problemas: um de mmc e outro de mdc. Respostas pessoais.

a) Resolvam os problemas e descrevam a estratégia de resolução para cada um deles por meio de um fluxograma.

b) Quais são as regularidades em termos de construção e composição nos textos dos problemas?

4. Verifique se os pares de frações são equivalentes; se não forem, escreva uma fração equivalente para cada uma no par.

a) 21 36 , 84 144

Equivalentes.

b) 2 5 , 4 9 Não equivalentes.

70 | VISTORIAS NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

5. Dois bolos, um de morango e outro de laranja, de mesmo tamanho, foram divididos conforme mostram as figuras.

Habilidades

EF07MA01, EF07MA02, EF07MA05, EF07MA06, EF07MA07, EF07MA08, EF07MA09, EF07MA11, EF07MA12, EF07MA34

Foram comidos 3 4 do bolo de morango. Do bolo de laranja foi consumida uma parte equivalente a essa mesma fração. Quantas fatias do bolo de laranja sobraram?

2 fatias.

6. Rui e Gabrielle compraram uma fazenda em que farão um celeiro usando 1 10 de todo o terreno. Para a casa principal, vão construir em 2 15 de todo o terreno.

Na atividade 6 a ideia é parte de um todo. Na atividade 7, é fração de uma quantidade.

8. Nas atividades 6 e 7, qual ideia de fração está associada a cada situação?

9. Isabela doou um saco contendo 5 kg de arroz. A instituição vai dividir sacos como esse em outros menores de 1 2 kg e 1 4 kg Determine quantos sacos de cada tipo podem ser feitos a partir de um saco de 5 kg.

10. Calcule as potências:

Jovens empreendedores do agronegócio.

a) Determine a fração correspondente à parte de toda a fazenda que será ocupada pelo celeiro e a casa principal.

b) Qual é a diferença entre os tamanhos dos terrenos usados para a casa e para o celeiro?

1 10 de toda a fazenda.

7. Lana recebeu 8 000 reais pela produção anual de seus vídeos. Ela investiu 6 15 desse valor, presenteou seu irmão Fernando com 1 8 e o restante depositou para uma obra de caridade. Determine a quantia que foi para a obra de caridade. R$ 3.800,00.

6. a) 7 30 de toda a fazenda.

11. Lucas faturou R$ 4.000,00 com sua empresa no mês de fevereiro. Em março seu faturamento aumentou 20%.

o valor que vai para caridade: 6 15 8 000 = 3 200 e 1 8 8 000 = 6 15 8 000 = 3 200 e 1 8 8 000 = 1 000 Assim, o restante é de 8 000 – 3 200 – 1 000 = 3 800 reais 8 000 – 3 200 – 1 000 = 3 800 reais

Em um momento pós-avaliativo verifique se alguns estudantes notaram que 6 15 poderia ser simplificado para 2 5

Atividade 8

Os estudantes aqui exercitam a reflexão sobre o tipo de raciocínio usado para resolver os problemas envolvendo frações.

Atividade 9

Dividimos 5 por 1 2 e por 1 4 :

=

2 = 10 sacos

• 5 ÷ 1 4 = 5 4 = 20 sacos É interessante que os estudantes percebam que um quarto é metade de um meio, o que resulta no dobro de sacos.

a) De quanto foi o aumento do faturamento de Lucas?

b) Quanto foi o faturamento do mês de março?

c) Utilize outro procedimento para resolver esse problema.

Atividade 5

Sobrou 1 4 do bolo de morango, o que equivale a 2 8 do bolo de laranja. Com isso, deduzimos que foram comidas 6 fatias e sobraram 2 fatias do bolo de laranja.

Atividade 6

a) Para encontrar a fração correspondente, adicionamos as partes do celeiro e da casa:

b) A diferença é determinada por subtração: 2 15 –1 10 = 4 30 –3 30 = 3 30

Atividade 7

O exercício pode ser resolvido calculando-se a fração que irá para a caridade 1 –6 15 –1 8 = 57 120 e, depois, calculando o valor correspondente: 57 120 8 000 = 3 800 reais

10 = 81 10 000 d) 9 10 9 10 = 81 100

Atividade 11

a) Calculando 20% de 4 000: 20 100 4 000 = 800 O aumento foi de 800 reais.

b) Adicionando 4 000 + 800 = 4 800 4 000 + 800 = 4 800 reais de faturamento em março.

c) Há outros modos de calcular a porcentagem: também é possível calcular diretamente 120% de 4 000.

Ou pode ser resolvido calculando o valor de cada fração apresentada, para só então determinar

Habilidades Matemáticas

EF07MA01, EF07MA02, EF07MA05, EF07MA06, EF07MA07, EF07MA08, EF07MA09, EF07MA11, EF07MA12, EF07MA34

Atividade 12

a) Calculamos 5% de 24 horas, isto é, 5 100 24 = 120 100 horas. Para transformar em minutos, multiplicamos por 60, encontrando 72 minutos, que equivale a 1 hora e 12 minutos. Como a pergunta pede apenas por hora, também é possível responder 120 100 hh ou 1,2 hora.

b) 3 horas correspondem a 3 24 ou 1 8 do dia. Dividindo 100% por 8, encontramos 12,5%.

Atividade 13

Há duas estratégias para chegar à resposta: calculando o desconto de 20% e subtraindo-o de 1 000 reais ou calculando 80% do preço inicial diretamente. Ambas chegam à resposta de 800 reais.

Atividade 14

a) D

b) A

c) A

d) D

Atividade 15

A face 4 é uma de 6 faces possíveis, o que nos dá a probabilidade de 1 6 ou 16,6% No caso dos primos, as respostas possíveis são 2, 3, 5, isto é, 3 de 6 casos, dando uma probabilidade de 1 2 ou 50%. Ao relembrar os números primos, o estudante também vê uma situação em que os casos favoráveis precisam ser contados para encontrar uma resposta diferente.

12. Observe essas duas famílias passeando no parque.

Considerando o dia de 24 horas, responda às perguntas.

a) Fábio e Samuel gastam 5% do seu dia para passear no parque com Simba, todos os dias. Quantas horas dura o passeio?

b) Eduardo e Ava dedicam 3 horas do dia para passear no parque com os filhos, a cada fim de semana. Qual o índice porcentual que corresponde ao tempo do passeio deles em relação ao dia inteiro? 12,5%

13. Felícia vende bijuterias pela internet. Com as promoções de fim de ano, ela disponibilizou um cupom de 20% de desconto para compras no valor de R$ 1.000,00 ou mais. Qual valor Felícia receberá por uma venda de exatamente R$ 1.000,00? R$ 800,00

14. Classifique cada situação em determinística (D) ou aleatória (A).

a) Desconto declarado em uma compra com pagamento à vista. D

b) Quantidade de sementes de ipê que vão germinar após o plantio. A

c) Quantidade de perdas de lajotas a serem colocadas em um piso. A

d) Hora do próximo comprimido a ser ingerido conforme prescrição médica. D

15. Ao lançar um dado honesto de seis faces, qual é a probabilidade de sair, na face voltada para cima, o número 4? E qual é a probabilidade de sair, na face voltada para cima, um número primo?

MARCO MARTINS/SHUTTERSTOCK

DE OLHO NA BÚSSOLA

Após resolver os exercícios da seção Check-out, verifique se você aprendeu a:

Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo.

Determinar máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum de dois ou mais números.

Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas – que têm a mesma estrutura – podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.

um

Considerando

seu

suficiente, parcialmente suficiente, satisfatório, plenamente satisfatório?

Prossiga ▶

Continue estudando! Retome esta Trajetória buscando, com professores e colegas, alternativas para superar os obstáculos de sua aprendizagem. Estude a seção Retornos e resolva novos exercícios referentes à Trajetória 1 que estão na seção Suplemente sua aprendizagem, ao final do livro.

DICAS DE ESTUDO

Conheça sua melhor forma de aprender! Nem todo mundo aprende do mesmo modo. Há aqueles que precisam de movimento ou tocar naquilo que vão estudar (esses são os sinestésicos); outros precisam ouvir com clareza uma explicação, um áudio, uma música ou podcast (são os auditivos); e, por fim, há os que precisam visualizar fotos, ilustrações, gráficos, para compreender melhor um conhecimento (esses são os visuais). Procure observar quais desses estímulos (ou alguma combinação deles) contribuem melhor para sua aprendizagem e busque estratégias para tirar o melhor proveito.

Respostas pessoais.

TRAJETÓRIA 2

PANORAMA DA TRAJETÓRIA

Competências gerais: 1, 3, 9

Competências específicas: 1, 4, 7

Habilidades de Matemática:

EF07MA03, EF07MA04, EF07MA13, EF07MA14, EF07MA15, EF07MA16, EF07MA17, EF07MA22, EF07MA23, EF07MA27, EF07MA28, EF07MA29, EF07MA33

Habilidades de outras

disciplinas:

Ciências: EF07CI07

Geografia: EF07GE03, EF07GE07.

Temas Contemporâneos

Transversais:

Educação Ambiental

Diversidade Cultural

Educação para o Trânsito

Educação em Direitos

Humanos

Sugestão de atividade

A pergunta desta Trajetória, O que aprendemos viajando e conhecendo diversos lugares?, propicia uma exploração de conhecimento de forma lúdica, uma vez que há duas palavras nessa pergunta que podem ser lidas no sentido literal, mas podem (e devem) ser exploradas nos sentidos metafóricos: viajar e conhecer. Em relação à primeira, leve em consideração que, embora a palavra viajar possa assumir seu sentido literal (os estudantes podem relatar suas experiências reais em viagens que, porventura, tenham realizado), espera-se que o sentido da palavra seja explorado de modo amplo e figurado, desde viajar navegando virtualmente em sites ou aplicativos até viagens narradas em documentários ou reportagens.

Os números inteiros, as razões e proporções, os ângulos, as circunferências e os polígonos regulares – temas matemáticos a serem estudados nesta Trajetória – podem ser explorados por meio de contextos para além da realidade imediata, do espaço geográfico familiar ou da cultura na qual o estudante vive mergulhado. Para números

inteiros, por exemplo, as noções de baixíssimas temperaturas, aquelas com valores negativos, para os estudantes da maior parte do território nacional, podem ser compreendidas somente pelo estudo de lugares ou paisagens distantes daqueles em que habitam.

A ampliação da visão e das possibilidades de leitura de mundo, mesmo que o estudante já disponha de um olhar crítico sobre o seu entorno, pode ocorrer gradativamente por meio da exploração de outros contextos, outras paisagens, outras culturas.

O QUE APRENDEMOS VIAJANDO E CONHECENDO DIVERSOS LUGARES?

• Por que é importante conhecer lugares diferentes?

• Como podemos viajar para conhecer diferentes lugares?

• Por que os espaços urbanos são diferentes?

Ao se posicionar frente a diferentes informações e conhecimentos matemáticos em contextos distintos daqueles típicos do seu entorno ou de sua cultura, oestudante se apropria do novo e confronta-o com as experiências que já teve e com sua atual leitura de mundo, valorizando o que de positivo há em seus conhecimentos anteriores, agregando aquilo que contribui para ampliar determinadas noções, até então restritas ao seu contexto particular. No processo de exploração dos conhecimentos desta Trajetória, sempre que oportuno, formule

74 | Trajetória 2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

JOA SOUZA/SHUTTERSTOCK

TRAVEL MANIA/SHUTTERSTOCK STUNNINGART/SHUTTERSTOCK

Vinicunca ou Montanha das Sete Cores, Peru. Cidade de Purmamarca, noroeste da Argentina. Cataratas do Iguaçu, Paraná, Brasil. Comunidade de Santa Marta, zona sul do Rio de Janeiro, Brasil.

O mundo apresenta uma quantidade gigantesca de paisagens e lugares únicos. São climas, ambientes, temperaturas e também muitas culturas e pessoas diferentes a descobrir. Por isso, viajar é uma experiência tão importante e enriquecedora para a vida.

LUPAS E LUNETAS

Respostas pessoais.

Reflita sobre as questões propostas anteriormente e considere-as para elaborar outras perguntas de sua própria autoria.

Publique suas perguntas no mural da sala de aula e aprecie as perguntas elaboradas pelos colegas.

de resoluções de problemas, pois estudantes podem fazer conexões entre situações diversas e problemas resolvidos anteriormente.

CONTEÚDOS DA TRAJETÓRIA

Passeio 1 – Números inteiros

• Números negativos

• Comparação entre números Inteiros e reta numérica

• Módulo

• Adição e subtração

• Multiplicação e divisão

• Potenciação

• Temperatura, comprimento e Sistema monetário

Passeio 2 – Expressões algébricas

• Expressões equivalentes e propriedades das operações

• Expressando sequências algebricamente

• Razão e proporção

• Proporção direta e proporção inversa

Passeio 3 – Circunferência e polígono

• Ângulos

• Relações entre ângulos

• Ângulos em feixes de retas

• Polígonos

• Circunferência

LUPAS E LUNETAS

Converse sobre as questões iniciais desta Trajetória e proponha que elaborem outras questões, incentive que verbalizem suas experiências para, a partir delas, criarem perguntas. Oriente-os sobre a organização e a exposição das questões na sala de aula.

com os estudantes questões que favoreçam essas comparações de experiências com o entorno imediato e com as do “mundo distante”. Perguntelhes, por exemplo:

• Qual é a menor temperatura que você se lembra ter enfrentado?

• Como você imagina que seria experimentar uma temperatura de, por exemplo, –5 oC?

• Que sensações térmicas você imagina que teria no Cerrado, na Caatinga ou nos Pampas sulinos?

• Quais atrações turísticas seriam as mais rentáveis aqui na nossa região e que pudessem ser

tão divulgadas como os balões da Capadócia, na Turquia?

• Que construções circulares, antigas ou atuais, podemos encontrar em nossa região, tal como como as construções histórias do Peru, de Portugal ou da Inglaterra, apresentadas no livro? Fazer comparações entre “aquilo distante” e “aquilo de perto” certamente ultrapassará o olhar matemático sobre diversas situações, tornando o aprendizado cada vez mais rico.

Além disso, aumentar a bagagem cultural e ampliar os contextos pode auxiliar nas estratégias

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Encontro com outras disciplinas (EF07CI07) Caracterizar os principais ecossistemas brasileiros quanto à paisagem, à quantidade de água, ao tipo de solo, à disponibilidade de luz solar, à temperatura etc., correlacionando essas características à flora e fauna específicas.

CHECK-IN

A imagem sugere conversarem sobre os caminhos que podem ser escolhidos para uma viagem, mas também propõe uma “imagem” sobre as decisões da vida em si. Proponha aos estudantes que verbalizem como compreendem essas escolhas e em quais situações precisam decidir seguir um caminho, talvez abrindo mão de outro.

POR QUE É IMPORTANTE CONHECER LUGARES DIFERENTES?

CHECK-IN

A imagem sugere que em nossos caminhos, trajetos e viagens muitas vezes precisamos decidir por caminhos diferentes, às vezes, até opostos. Respostas pessoais.

a) Você já visitou lugares diferentes de onde você vive (bairros, cidades, estados ou até mesmo países)?

b) Como você imagina que sejam esses lugares que estão indicados nas placas? Descreva a temperatura, a altitude, a disponibilidade de água e outros atributos.

c) Você já visitou lugares com características bastante opostas entre si? Por exemplo, um lugar muito frio e outro muito quente?

• Compartilhe essas experiências com os colegas.

Estar orientado garante uma viagem segura.

BÚSSOLA

Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos:

• Reconhecer números negativos em diferentes contextos e situações-problema.

• Resolver problemas envolvendo números inteiros e diferentes grandezas e medidas.

• Compreender a composição do conjunto dos números inteiros.

• Realizar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo números inteiros em diferentes contextos e situações-problema.

• Calcular o resultado de uma potenciação quando a base é um número inteiro negativo.

• Identificar diferentes ecossistemas quanto à paisagem e à temperatura.

ATMOSFERA

Há diferentes aplicativos de localização com GPS (Global Positioning System) disponíveis em celular. Uma sugestão de leitura sobre esse assunto é: Derivando a matemática: como funciona o sistema de posicionamento global (GPS), que explica como os satélites podem identificar a posição de algo ou alguém. Neste site há também o desenho animado direcionado aos estudantes, chamado: A mágica do GPS - professor Albert e a ciência da natureza Disponível em: http://www.ime. unicamp.br/~apmat/o-sistema -gps/. Acesso em: 30 maio 2022.

Atividades 1 a 3

As discussões decorrem com base na leitura do texto apresentado. Elabore questões para que compartilhem suas experiências com o uso de um aplicativo de geolocalização, considerando que muitos estudantes já usam para saber quanto tempo falta para a chegada de alguém, para acompanhar o treino de corrida ou bicicleta de um amigo, para casos de emergência.

Atividade 1

Os GPS são comumente utilizados para se orientar em um local desconhecido, onde é necessário traçar uma rota para ir de uma posição inicial até uma posição final.

Atividade 2

A bússola é um instrumento de localização e orientação de acordo com o campo magnético terrestre, gerado em função da composição interna do planeta.

Atividade 3

O campo magnético terrestre é dividido em dois polos, sendo que o polo norte magnético coincide com o polo sul geográfico e o polo sul magnético coincide com o polo norte geográfico.

Adeus, bússola salvadora: como seria se o campo magnético da Terra sumisse?

Você já pegou uma bússola na mão? Se sim, sabe que ela parece um artefato mágico: a agulha do dispositivo sempre apontará na mesma direção, tirando situações muito específicas.

A “culpa” disso é do campo magnético da Terra, que gera influências que vão muito além do simples alinhar de uma agulha magnetizada. Ele funciona como uma bolha protetora, defendendo a Terra da radiação solar. Agora, como seria se esse campo invertesse ou, até mesmo, não existisse?

Certamente muitas coisas mudariam e, em casos extremos, teríamos grandes problemas.

[...]

A Terra possui um campo magnético que é gerado em seu núcleo, uma massa de alta temperatura composta majoritariamente de ferro e níquel. Esse núcleo é composto de duas camadas, uma externa, líquida, e uma interna, sólida.

A massa metálica líquida se movimenta ao redor da sólida e gera, por um efeito de dínamo, o campo magnético terrestre.

Além desse campo magnético gerado internamente pelo planeta, há outro, gerado externamente pela interação de partículas vindas do espaço, especialmente do Sol. [...]

A presença desse campo gera alguns efeitos, sendo que o mais facilmente experimentado pelos humanos é quando usamos uma bússola. E você não precisa ser um marinheiro ou embarcar numa expedição por um local inóspito para isso: basta usar o GPS do seu celular, que funciona conjugado

com uma bússola interna do aparelho que indica para qual lado você está indo.

Apesar de não usarem uma bússola ou outro sistema tecnológico, animais possuem magnetorreceptores (ou seja, receptores de campo magnético), especialmente aqueles que migram de tempos em tempos.

Com isso, eles são capazes de se orientar levando em conta o campo magnético terrestre. [...]

Sem o campo magnético, além de não termos referenciais para nos orientarmos de maneira rápida na superfície, enfrentaríamos outros problemas. Alguns animais, por exemplo, teriam dificuldades para se localizar e procurar locais para reprodução e migração, o que impactaria a cadeia alimentar e evolução de várias espécies.

LARA, Rodrigo. Adeus, bússola salvadora: como seria se o campo magnético da Terra sumisse? UOL, 6 jul. 2021. Disponível em: www.uol.com.br/tilt/noticias/redacao/2021/07/06/defesa-esburacada-o-que-aconteceria-se-o -campo-magnetico-da-terra-sumisse.htm. Acesso em: 2 maio 2022.

ATIVIDADES

Respostas pessoais.

1. O texto cita a bússola e o GPS (Sistema de Posicionamento Global, do inglês Global Positioning System) como maneiras de se localizar e locomover pelo planeta. Você já utilizou alguma dessas ferramentas? Compartilhe sua experiência com a turma.

2. Conforme o texto, explique a relação entre as bússolas e o campo magnético do planeta.

3. Qualquer ímã tem dois polos magnéticos, um positivo e outro negativo. O planeta Terra também tem polos magnéticos positivos e negativos. Pesquise sobre esse assunto e compartilhe com os colegas.

Esquema visual de bússola com globo terrestre.

78 | TRAJETÓRIA 2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

#Números negativos em diferentes contextos

Uma pessoa fez uma viagem para um local onde o inverno é bem rigoroso. Seu GPS mostra que o local em que ela está tem coordenadas de latitude –54o e longitude –68o

Ela comprou tickets para seus passeios no local e notou que, no recibo, constava o valor –430,00 na moeda local. Na manhã do dia de um dos passeios, percebeu que o termômetro marcava a temperatura de –10 oC

Venda: Visita turística

Total ($): – 430,00

Latitude: –54° S

Longitude: –68° O

Habilidades

(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.

Os números apresentados na situação são números inteiros negativos

LUPAS E LUNETAS

Você já percebeu números negativos representados em situações cotidianas?

Compartilhe com os colegas situações em que podemos encontrar números negativos e quais são as interpretações possíveis para eles. Respostas pessoais.

Podemos interpretar aqueles números como “temperaturas abaixo de zero”, “latitudes ao sul da linha do equador”, “longitudes a oeste do Meridiano de Greenwich” ou uma “dívida em dinheiro”.

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

LUPAS E LUNETAS

Os números inteiros negativos fazem parte do cotidiano, espera-se que os estudantes citem situações como:

• medidas de temperatura;

• altitude e profundidade com relação ao nível do mar;

• crédito e débito;

• indicação de andares em elevadores;

• tara de balança.

Essa discussão permite ao estudante estabelecer relações entre os conteúdos estudados na escola e a vida real.

Nos números inteiros negativos, o sinal de “ –” indica que os valores estão abaixo ou à esquerda de uma referência considerada como o zero, conforme a medida.

Você pode trabalhar os conceitos de longitude, latitude e Meridiano de Greenwich utilizando globos e mapas do Brasil e do mundo. Um tópico que pode ser associado à ideia de número negativo é o fuso horário. Para isso pergunte-lhes se sabem o que significa “horário de Brasília”

Habilidade (EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.

LUPAS E LUNETAS

Mesmo que de maneira intuitiva, é importante destacar aos estudantes que o zero funciona como o centro de simetria entre os números positivos e os números negativos. Essas relações serão exploradas nos tópicos seguintes a partir da reta numérica e da noção de oposto.

conjunto dos números inteiros

Os números naturais tiveram sua origem nas atividades humanas de contagem ao longo da história.

O conjunto dos números naturais é representado pelo símbolo |N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 } : |N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 }

Representando os números naturais em uma reta numérica:

Os números inteiros negativos surgiram na história associados à operação de subtração, ou seja, quantidades que eram subtraídas de outras ou quando “faltavam” quantidades em outras situações. No entanto, somente a partir dos séculos XVIII e XIX é que eles começaram a ser entendidos propriamente como números.

Os números negativos também podem ser representados na reta numérica:

Observando a reta numérica, podemos verificar que, enquanto os números naturais podem ser obtidos adicionando 1 sucessivamente, a partir do zero, os números negativos são obtidos subtraindo 1 sucessivamente:

Podemos verificar também que o ponto da reta correspondente ao número zero demarca a reta numérica como se fosse um espelho: posicionando os números negativos de um lado e os números positivos, de outro.

O zero passa a ser, além da indicação de ausência de quantidade, uma referência – a origem da reta numérica orientada.

LUPAS E LUNETAS

Partindo do 0 da reta numérica, determine o número que obtemos quando:

a) nos deslocamos três unidades à esquerda do zero; –3

b) nos deslocamos três unidades à direita do zero. 3

• Agora, considere os números –10 e 10 Quantas unidades há na reta entre 10 e 0? E entre –10 e 0? Compartilhe com os colegas a estratégia que você utilizou. 9, em ambos os casos.

Na reta numérica, os pontos que têm a mesma distância em relação ao ponto que corresponde ao zero são chamados de simétricos ou opostos

80 | TRAJETÓRIA 2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Dizemos que os pares de números –8 e 8 e –3 e 3, por exemplo, são opostos. Podemos também dizer que:

–8 é o oposto de 8 ou 8 é o oposto de –8

–3 é o simétrico de 3 ou 3 é o simétrico de –3

Reunindo o número 0, os números naturais e seus opostos, obtemos o conjunto dos números inteiros, representado pelo símbolo ! = { –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 } : ! = { –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 }

LUPAS E LUNETAS

Respostas pessoais.

Deu-se o nome de conjunto de inteiros para, na época, diferenciar esses números dos fracionários. A letra Z é utilizada como símbolo para representar o conjunto dos números inteiros pelo fato de o matemático alemão Ernest Zermelo (1871-1955) usá-la em seu trabalhos recorrentes sobre números inteiros, pois a palavra alemã Zahl significa número

• Converse com os colegas sobre essas informações e pesquisem mais sobre o assunto.

ATIVIDADES

4. Em um prédio, o andar que fica no nível da rua é chamado de térreo. Os andares que ficam abaixo do térreo são chamados de subsolos. Geralmente o térreo é identificado pelo numeral 0 (zero), os andares acima do térreo por inteiros positivos e os andares do subsolo por inteiros negativos.

A figura representa um prédio, com seus andares superiores, os andares no subsolo e o térreo, que fica ao nível da rua.

Determine e represente por um número inteiro:

a) Partindo do térreo, se uma pessoa subir quatro andares, em que andar terá chegado? 4o andar.

b) Partindo do térreo, se uma pessoa descer dois andares, em que andar terá chegado?

c) Quantos andares se desloca alguém que sai do andar –3 e chega ao andar 3?

d) Partindo do andar 7 e descendo 8 andares, em qual andar uma pessoa terá chegado? –1

e) A partir do térreo há quantos andares superiores? 8 andares.

f) Há quantos subsolos? 3 andares.

g) Quantos andares há ao todo? 12 andares.

h) Expresse os números de cada andar na reta numérica.

5. Determine o oposto de:

a) 3 –3

b) –10 10

c) –8 8

d) 100 –100

6. Represente na reta numérica os números inteiros: –3, 6, –2, 0, 5

Habilidade (EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.

LUPAS E LUNETAS

Aproveite o momento de socialização da pesquisa para conversar sobre a História da Matemática e a origem dos números.

Atividades 4 a 6

Oriente os estudantes a usar a reta numérica como um instrumento que facilita a verificação dos deslocamentos e a identificação dos opostos.

Habilidade (EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.

Sugestão de atividade Leia para os alunos este texto:

Na antiguidade, os matemáticos chineses lidavam com os números em termos de sobras e faltas. Eles faziam contas em tabuleiros, onde representavam os excessos com palitos vermelhos e as faltas com palitos pretos.

Na Índia, o matemático Brahmagupta, nascido no ano 598 d.C., dizia que os números podiam ser compreendidos como pertences ou dívidas.

Mas como não havia sinais próprios para fazer operações com esses números, que eram chamados de absurdos, ainda não eram considerados verdadeiros números.

CÂNDIDA, Sílvia A. O ensino dos números inteiros por meio da história da matemática. Cadernos PDE: os desafios da escola pública paranaense na perspectiva do professor PDE. Cornélio

Procópio: UENP, 2013. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/ producoes_pde/2013/2013_ uenp_mat_pdp_silvia_aparecida_candida.pdf. Acesso em: 2 set. 2022

Após a leitura, escreva na lousa estas atividades:

1. Vamos representar números como os chineses de antigamente. Compare os dois grupos de palitos em cada item e destaque aquele que representa o maior número.

Comparação entre números inteiros

Ao viajar, muitas pessoas buscam realizar atividades esportivas diferentes como mergulho ou escalada. Os amigos Luca e Beto viajaram juntos e decidiram experimentar esses esportes. No primeiro dia, cada um praticou um esporte; no segundo dia, ambos fizeram escalada; e, no terceiro, ambos fizeram mergulho:

1o dia

2o dia

3o dia

Para medir altitudes, utiliza-se o nível do mar como ponto de origem ou referência. Se um local está acima do nível do mar, sua altitude é positiva e se está abaixo do nível do mar, sua altitude é negativa

Podemos dizer que:

• no 1o dia, a menor altitude foi atingida por Beto: –16 m A maior foi atingida por Luca: 20 m.

• no 2o dia, a menor altitude foi atingida por Beto: 12 m. A maior foi atingida por Luca: 30 m.

• no 3o dia, a menor altitude foi atingida por Luca: –18 m A maior foi atingida por Beto: –10 m

Vamos representar esses valores em retas numéricas:

• Dia 1

• Dia 2

• Dia 3

Portanto, podemos concluir que:

• –16 < 20

2. Agora vamos representar números com as ideias utilizadas pelos indianos de antigamente.

a) Um indiano A tinha 3 pertences e um indiano B tinha 4 dívidas. Qual desses valores é o positivo?

b) Um indiano C tinha 6 pertences e um indiano D tinha 8 dívidas. Qual desses valores representa o menor número?

3. Represente todas as situações mencionadas nas atividades anteriores utilizando a notação de números inteiros dos dias de hoje.

LUPAS E LUNETAS

Em duplas ou trios, verifiquem se as afirmações são verdadeiras:

• Partindo do zero na reta numérica, quanto mais nos deslocamos para o sentido dos números inteiros negativos, menores são os números.

• Partindo do zero na reta numérica, quanto mais nos deslocamos para o sentido dos números inteiros positivos, maiores são os números. As afirmações são verdadeiras.

Módulo de um número inteiro

Você sabia que o ponto mais alto da superfície terrestre é o Pico do Everest e o ponto mais profundo dos relevos oceânicos é a Fossa das Marianas?

O Pico do Everest encontra-se a 8 848 m acima do nível do mar e a Fossa das Marianas se encontra a 10 911 m abaixo do nível do mar.

Habilidades

(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

LUPAS E LUNETAS

Assim, podemos escrever a altitude do Pico do Everest como 8 848 m e a da Fossa das Marianas como –10 911 m

Como podemos identificar a maior altitude? Por um lado, comparando as medidas, em metros, sabemos que:

10 911 metros > 8 848 metros

Por outro lado, representando os números na reta numérica, concluímos que –10 911 < 8 848:

Isso ocorre porque, no contexto das distâncias ao nível do mar do Pico do Everest e da Fossa das Marianas, por exemplo, comparamos os valores absolutos, em metros. Ou seja, se pensarmos na reta numérica, comparamos a distância entre os pontos que correspondem aos números –10 911 e 8 848 e o ponto associado ao 0. E a medida dessa distância é um número positivo.

A distância entre o ponto da reta numérica que corresponde a um número e o ponto associado ao 0 é denominada módulo ou valor absoluto desse número.

|

Aponte que a construção da reta numérica considera o zero como origem ou referência e ela tem sua orientação no sentido dos números positivos: na reta numérica, os números aumentam da esquerda para a direita. Nas atividades futuras de comparação, oriente os estudantes a, primeiramente, localizar os números na reta numérica.

83

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ALEXANDRE R./M10

Habilidades

(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.

(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

LUPAS E LUNETAS

Espera-se que os estudantes reconheçam que o zero é “neutro” e não tem sinal, sendo a origem da reta numérica.

Atividades 7 e 8

Oriente os estudantes a localizar os valores na reta numérica para compará-los. Chame a atenção para a relação de ordem entre os negativos, associando os números a contextos como temperatura ou altitude.

Atividade 7

a) 5 > –7

b) –12 < –9

c) –7 > –8

d) –23 < –21

Atividade 8

a) 2 = 2

b) –4 = 4

c) –15 = 15

d) 71 = 71

e) –23 = 23

Representamos o módulo de um número pelo símbolo “| |”:

| –10 911 | = 10 911

O módulo de –10 911 é 10 911 ! " $

| 8 848 | = 8 848

O módulo de 8 848 é 8 848 ! " $

Por ser interpretado como uma distância, o módulo de um número diferente de zero, positivo ou negativo, é sempre um número positivo.

Veja outros exemplos:

• –5 = 5

• 12 = 12

LUPAS E LUNETAS Resposta pessoal.

Em duplas ou trios, utilize a reta numérica e o conceito de módulo de um número para justificar que: 0 = 0

ATIVIDADES

7. Compare os números inteiros e substitua cada ■ por um dos sinais < ou >:

8. Determine:

#Adição e subtração de números inteiros

As temperaturas variam ao longo do dia, dependendo do lugar, da estação do ano ou de outras condições. Um grupo de amigos que moram em diferentes partes do mundo estão conversando sobre a variação de temperatura em suas regiões:

Paulo_esportista

@paulo_jogador

A temperatura estava em 10 oC, subiu 6 oC e depois caiu 2 oC.

101 3

José @ze_mundo

Meu termômetro marcava 5 oC e depois caiu 7 oC.

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

Converse com os estudantes sobre as variações de temperatura durante um mesmo dia ou durante alguma estação do ano. É perceptível que, durante o período noturno, as temperaturas tendem a ser mais baixas, enquanto, durante o período diurno, as temperaturas tendem a ser mais elevadas. A utilização de casacos para a proteção do frio é fundamental para a manutenção da temperatura corporal, porém muitos brasileiros e brasileiras em situação de vulnerabilidade passam frio.

A campanha do agasalho, realizada por diversas instituições, inclusive dentro do ambiente escolar, é uma campanha de caráter social que tem como objetivo arrecadar cobertores e roupas de frio que não são mais utilizadas para doar a pessoas em situação de vulnerabilidade. Pergunte aos estudantes se eles e suas famílias já participaram de alguma campanha semelhante e incentive-os a participar, sempre que possível. A intenção é sensibilizar a comunidade sobre projetos sociais e a importante contribuição de todos os membros da comunidade.

Podemos expressar matematicamente essas situações com o auxílio de uma reta numérica:

Habilidades

(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

Atividade 9

Sugira aos estudantes que, após resolverem esta atividade, criem contextos em que o cálculo tenha significado.

a) 12 + 6 = 18

b) 13 – 9 = 4

c) –5 + 14 = 9

ATIVIDADES

9. Calcule o resultado das operações. Se necessário, utilize uma reta numérica para auxiliar os cálculos.

a) 12 + 6 18

b) 13 – 9 4

c) –5 + 14 9

d) 6 – 21 –15

e) –3 – 22 –25

f) 12 + 4 – 7 9

g) –5 + 7 – 9 –7

h) 12 – 8 – 5 –1

i) –5 – 6 – 7 –18

10. Renê tinha R$ 1.400,00 em sua conta no banco. Emprestou R$ 500,00 para sua irmã e gastou R$ 1.200,00 em um reparo em sua residência. Qual é o saldo final de sua conta, em reais?

#Multiplicação de números inteiros

Em alguns lagos ou represas é bastante comum serem instalados medidores para verificar o nível da água. Se o nível estiver muito alto, pode sinalizar um possível transbordamento e, se estiver muito baixo, pode indicar um período de seca ou escassez de água.

Em certo lago foi instalado um medidor. Quando a água está no nível considerado normal, a escala do medidor está em 0. Se o nível da água desce abaixo da marca zero, a escala indica valores negativos; se o nível sobe acima da marca zero, indica valores positivos.

d) 6 – 21 = –15

e) –3 – 22 = –25

f) 12 + 4 – 7 = 9

g) –5 + 7 – 9 = –7

h) 12 – 8 – 5 = –1

i) –5 – 6 – 7 = –18

Atividade 10

Contextos relacionados a saldo bancário na adição e subtração de inteiros podem auxiliar a compreensão das operações. Na resolução de problemas organizem uma lista ou tabela para simplificar as respostas. Adicionando o valor emprestado à sua irmã mais a quantia gasta no reparo de sua residência, os gastos totais de Renê foram iguais a 500 + 1 200 = 1 700, ou seja, R$ 1.700,00. Se ele possuía R$ 1.400,00 de saldo em sua conta no banco, seu saldo agora será 1 400 – 1 700 = 300, ou seja, um saldo negativo de R$ 300,00.

–300 reais

Habilidades

(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

LUPAS E LUNETAS

O uso da reta numérica com o movimento saída, deslocamento e chegada favorece a compreensão sobre o sinal nas adições entre inteiros. Proponha atividades complementares com esses conceitos, tais como:

• Saída: +7

Deslocamento: +3

Chegada: (+10)

• Saída: –5

Deslocamento: +3

Chegada: (–2)

• Saída: +2

Deslocamento: –6

Chegada: (–4)

• Saída: (–7)

Deslocamento: +3

Chegada: –4

• Saída: (+7)

Deslocamento: –5

Chegada: +2

Nestes casos, o símbolo indica a informação faltante que deve ser descoberta pelo estudante.

Uma pessoa verificou que o nível da água desceu uma unidade na escala do medidor a cada dia, por quatro dias consecutivos.

Medidor de nível de água em represa.

Podemos interpretar cada unidade que decresce como “menos uma unidade” em relação ao nível inicial. Ou seja, nesse contexto, podemos interpretar a informação “desceu uma unidade” pelo número “–1”

Adicionando cada decréscimo, temos:

LUPAS E LUNETAS

(–1) desceu 1 unidade

! + (–1) desceu 1 un dade

! + (–1) desceu 1 unidade

! + (–1) desceu 1 un dade

! = (–4) desceu 4 unidades

!

No exemplo, não foram especificados os níveis inicial e final. Então, calcule:

a) o número na escala que representa o nível final, sabendo que o nível inicial era 0. –4

b) o número na escala que representa o nível final, sabendo que o nível inicial era 3. –1

c) o número na escala que representa o nível final, sabendo que o nível inicial era –1 –5

d) o número na escala que representa o nível inicial, sabendo que o nível final era –7 –3

Note que a expressão numérica representa uma adição de parcelas iguais e, por esse motivo, pode ser escrita como uma multiplicação:

(–1) + (–1) + (–1) + (–1) quatro vezes ! " $ = 4 (–1)

Da situação-problema anterior, concluímos também que:

(–1) + (–1) + (–1) + (–1) = –4

Portanto,

4 (–1) = –4

Ao escrever “+ (–1)” estamos adicionando unidades negativas, ou seja, estamos subtraindo. Veja na reta numérica:

Multiplicação de inteiros e a reta numérica

Ao analisar a reta numérica, percebemos que, ao multiplicar 4 por (–1), obtemos o seu oposto, ou seja, –4

O mesmo ocorre com outros números positivos, por exemplo o 2.

Sempre que multiplicarmos um número por (–1), obteremos o seu oposto.

Se multiplicarmos um número negativo por (–1), também obteremos o seu oposto, que será um número positivo.

Nos exemplos anteriores:

• O oposto de –4 é 4

• O oposto de –2 é 2

Desse modo, podemos dizer que:

(–1) ⋅ (–4)

o oposto de –4 ! " $ = 4 é gual a 4 !

(–1) (–2)

o oposto de –2 ! " $ = 2 é gua a 2 !

Propriedades da multiplicação e estratégias de cálculo

Conheça algumas estratégias para calcular o produto de multiplicações envolvendo números inteiros:

• (–6) ⋅ 2

Já vimos que podemos escrever –6 como (–1) 6 Assim, (–6) 2 = (–1) 6 2

Utilizando a propriedade associativa, podemos calcular primeiro o produto 6 ⋅ 2, , ou seja:

(–6) 2 = (–1) 6 2 = (–1) 12 6 2 !

Portanto, (–6) 2 = –12

Lembrando que, pela propriedade comutativa:

(–6) 2 = 2 (–6) = –12

• (–4) (–10)

Primeiro, podemos escrever –4 como (–1) 4 e –10 como (–1) 10 Assim, (–4) (–10) = (–1) 4 (–1) 10

Utilizando as propriedades comutativa e associativa, temos:

(–1) 4 (–1) 10 = (–1) (–1) 4 10 = (–1) (–1) 40 Por fim,

(–1) (–1) 40 o oposto de 40 é –40 ! " $ = (–1) (–40)

Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

Habilidade

LUPAS E LUNETAS

A multiplicação entre inteiros é justificada pelo uso das propriedades associativa e comutativa, depois de apresentar a adição de parcelas negativas. Outra estratégia é dispor a adição de inteiros em uma tabela; mostre a multiplicação entre os inteiros positivos, pois os estudantes conhecem o resultado (naturais):

3 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3

+1 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3

+2 –6 –4 –2 0 +2 +4 +6

+3 –9 –6 –3 0 +3 +6 +9

Depois complete linha a linha, mostrando que (da direita para a esquerda), na multiplicação por 1, os valores diminuem uma unidade; na multiplicação por 2, diminuem duas unidades; e, na multiplicação por 3, três unidades.

Use a mesma estratégia com os fatores negativos:

3 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3

–1 0 –1 –2 –3

–2 0 –2 –4 –6

–3 0 –3 –6 –9

Apresente que (da direita para a esquerda), na multiplicação por – 1, os valores aumentam uma unidade; na multiplicação por – 2, aumentam duas unidades; e, na multiplicação, por – 3, três unidades.

3 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3

–1 +3 +2 +1 0 –1 –2 –3

–2 +6 +4 +2 0 –2 –4 –6

–3 +9 +6 +3 0 –3 –6 –9

Atividades 11 e 12

Proponha aos estudantes que justifiquem o resultado; faça as intervenções necessárias e aplique a atividade

LUPAS E LUNETAS

Revise as multiplicações entre números inteiros exploradas até aqui. Em duplas ou trios, verifiquem a validade das afirmações:

a) Quando um dos fatores é positivo e o outro é negativo, o resultado da multiplicação é um número negativo. Válida.

b) Quando ambos os fatores são negativos, o resultado da multiplicação é um número positivo. Válida.

ATIVIDADES

11. Calcule o resultado das operações. Se necessário, utilize uma reta numérica para auxiliar os cálculos.

a) (–4) 5 –20 b) 18 (–10) –180 c) (–11) (–2) 22

12. Observe a estratégia para calcular (–2) 107:

Podemos escrever 107 como 100 + 7, deste modo: (–2) 107 = (–2) (100 + 7)

Utilizando a propriedade distributiva:

(–2) 100 + (–2) 7 =

–200 + (–14) = –200 – 14 = –214

Utilize a propriedade distributiva para calcular:

a) (–5) (2 + 11) –65 b) (–10) (7 – 4) –30 c) 8 (–4 – 3) –56

#Divisão de números inteiros

Quatro amigos estão viajando juntos e decidiram repartir igualmente as despesas. O valor total da hospedagem ficou em R$ 1.600,00. Portanto, cada amigo deverá pagar:

R$ 1 600,00 ÷ 4 = R$ 400,00

Na perspectiva desse grupo de amigos, eles possuem uma dívida de R$ 1.600,00, o que pode ser interpretado como – R$ 1 600, 00 Da mesma maneira, a dívida pessoal de R$ 400,00 de cada amigo pode ser interpretada como – R$ 400,00 Assim, a operação pode ser escrita como:

–R$ 1 600,00 ÷ 4 = –R$ 400,00

Como a multiplicação e a divisão são operações inversas, podemos escrever:

Se –1 600 ÷ 4 = –400, então 4 (–400) = –1 600 Assim, relações similares às verificadas para a operação de multiplicação com números inteiros podem ser consideradas na divisão.

Observe alguns exemplos:

• Quando um dos termos é positivo e o outro é negativo, o resultado da divisão é um número negativo:

12 ÷ (–4) = –3, pois (–4) (–3) = +12

–90 ÷ 10 = –9, pois (–9) 10 = –90

• Quando ambos os termos são negativos, o quociente é um número positivo.

–24 ÷ (–2) = 12, pois (–2) 12 = –24

88 | TRAJETÓRIA 2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

complementar. É possível que cometam erros relacionados à adição ou multiplicação; apresente exemplos de adição e multiplicação para que conheçam as diferenças e avaliem corretamente os sinais.

Atividade 11

a) (–4) 5 = –20

b) 18 (–10) = –180

c) (–11) (–2) = 22

Atividade 12

a)

b)

(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

TRAVESSIAS

Inverso de um número negativo

Poderíamos interpretar a situação anterior também da seguinte maneira: “cada amigo deverá pagar a quarta parte da dívida total”. Ou seja, cada amigo deverá pagar:

1 4 (–1 600)

Utilizando as propriedades da multiplicação e a ideia de multiplicação de frações, podemos escrever:

E se o divisor fosse um número negativo? Veja um exemplo:

• 25 ÷ (–5)

Representando essa divisão por uma fração:

Mas, como dividir por um número é equivalente a multiplicar por seu inverso, podemos escrever:

E se o divisor e o dividendo forem números negativos?

Em duplas ou trios, obtenham o resultado de:

• (–54) ÷ (–6) ATIVIDADES

13. Calcule os quocientes:

14. Luana está prestes a embarcar. Copie o esquema no caderno, realize os cálculos e descubra qual é o número do ônibus.

Habilidade

(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

TRAVESSIAS

Retome a divisão como operação inversa da multiplicação. Cite alguns exemplos com números naturais; depois, proponha situações com números de sinais contrários e com dividendo e divisor negativos. Avalie em conjunto o resultado das operações.

Atividade 13

Os estudantes podem usar a regra prática para avaliar o sinal do quociente:

• quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é positivo;

• quando têm sinais diferentes, o quociente é negativo.

a) –42 ÷ 7 = –6

b) 126 ÷ (–6) = –21

c) –560 ÷ (–8) = 70

d) 507 ÷ (–13) = –39

Atividade 14 +3 + 4 = +7

– 1 = +6

÷ (–2) = –3

– 5 = –8 –8 (+2) = –16 –16 ÷ (+4) = –4

÷ (+2) = +3

– 15 = –12 –12 ⋅ (–3) = 36

O número do ônibus é 36.

Habilidade (EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

LUPAS E LUNETAS

Espera-se que os estudantes consigam apresentar exemplos que comprovem que nas potências de base negativa:

• com expoente par o resultado é positivo;

• com expoente ímpar o resultado é negativo.

Atividade 15

A discussão do boxe anterior contribui para a realização desta atividade. Caso considere adequado, apresente outros exemplos.

a) (–4)3 = (–4) (–4) (–4) = –64 –4) (–4) = –64

b) (–7)4 = (–7) (–7) (–7) (–7) = 2 401 (–7) (–7) = 2 401

c) (–5)2 = (–5) (–5) = 25

d) (–2)3 = (–2) (–2) (–2) = –8

e) (–21)1 = –21

f) (–333)0 = 1

Atividade 16

Avalie a compreensão dos estudantes sobre as operações de potenciação (multiplicações de fatores iguais) e multiplicação (adição de parcelas iguais), nesta atividade que envolve as três operações (potenciação, multiplicação e adição).

#Potenciação de números inteiros

Uma multiplicação de fatores iguais pode ser escrita como uma potenciação. Por exemplo:

54 = 5 5 5 5

! " $ = 625

o 5 é mult pl cado 4 vezes

Nesse caso, 5 é a base, 4 é o expoente e 625 é a potência Mas o que acontece se a base da potenciação for um número negativo?

Por exemplo:

Podemos escrever:

(–10)3 = (–10) (–10) (–10) o –10 é mult pl cado 3 vezes ! " $

(–1) 10 (–1) 10 (–1) 10 = (–1) (–1) (–1) 10 10 10 =

= (–1) (–1) (–1) 1 000 = (–1) (–1) (–1 000) = (–1) 1 000 = –1 000

Portanto:

Veja outro exemplo:

Portanto:

(–10)3 = –1 000

(–3)4 = (–3) (–3) (–3) (–3) = (–1) (–1) (–1) (–1) 3 3 3 3 = 81

(–3)4 = 81

LUPAS E LUNETAS

Respostas pessoais.

Nos exemplos anteriores, as bases eram números negativos. Porém, o resultado da potenciação foi positivo em um caso e negativo no outro: (–10)3 = –1 000 e (–3)4 = 81

Note que, na potenciação cujo expoente é um número ímpar, o resultado foi negativo e na potenciação cujo expoente é um número par, o resultado foi positivo.

Em duplas ou trios, investiguem esse fato e compartilhem suas conclusões com o restante da turma.

ATIVIDADES

15. Calcule as potências:

a) (–4)3 –64

b) (–7)4 2 401

c) (–5)2 25

16. Copie e calcule.

a) (–1)2 ! (–1)3 ! (–1)4 +1

b) (–1)2 ! (–1)3 ! (–1)4 ! (–1)5 0

c) (–1)2 ! (–1)3 ! (–1)4 ! (–1)5 ! (–1)6 +1

d) (–1)2 ! (–1)3 ! (–1)4 ! (–1)5 ! (–1)6 ! (–1)7 0

d) (–2)3 –8

e) (–21)1 –21

f) (–333)0 1

90 | TRAJETÓRIA 2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LEVO NA BAGAGEM

Respostas pessoais.

Consulte seu caderno, os trabalhos que você desenvolveu, suas anotações de estudos e reflita sobre o que aprendeu até agora neste passeio.

▶ Matemática

• Reconhece números negativos em diferentes contextos e situações-problema?

• Consegue resolver problemas envolvendo números inteiros e diferentes grandezas e medidas?

• Compreende a composição do conjunto dos números inteiros e que ele inclui os números naturais?

• Sabe realizar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo números inteiros em diferentes contextos e situações-problema?

• Sabe calcular o resultado de uma potenciação quando a base é um número inteiro negativo?

▶ Outras disciplinas

Ciências

• Consegue identificar diferentes ecossistemas quanto à paisagem e à temperatura?

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO

Insuficiente Parcialmente suficiente Satisfatório Plenamente satisfatório

LEVO NA BAGAGEM

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre o próprio aprendizado, enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, classificarão seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas que estão presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

BARCOS E PORTOS

Organize

Retome a questão inicial do passeio: Por que é importante conhecer lugares diferentes? Comente que essas viagens podem acontecer por meio de recursos como livros, filmes, internet para conhecerem outros lugares ou culturas diferentes. Incentive os estudantes a verbalizar os pontos que consideraram marcantes na discussão da questão norteadora do passeio.

Associe com o conhecimento novo proposto no passeio: o conjunto dos números inteiros e suas operações.

Elabore

Oriente os estudantes a observar e identificar quais são as principais grandezas e unidades de medida utilizadas em seus cotidianos. Na elaboração das situações-problema, cite desde problemas simples, como descobrir a variação de temperatura entre a máxima e a mínima durante um dia, até situações complexas das ciências, como determinar temperaturas extremamente baixas, próximas ao chamado zero absoluto.

Proponha

Nesta atividade, os estudantes podem fazer comparações com o resultado de sua pesquisa e seu cotidiano. Proponha que apontem os componentes físico-naturais e a biodiversidade dos locais selecionados para que incluam o Tema Contemporâneo Transversal (TCT) Educação Ambiental na discussão, assim poderão fazer reflexões críticas sobre o meio ambiente.

Você pode sugerir que eles pesquisem sobre a variação das temperaturas máximas e mínimas ao longo dos anos, para discutir assuntos como o aquecimento global e como ele afeta diferentes locais.

▶ Organize

Respostas pessoais.

Neste passeio, você identificou números inteiros negativos em uma variedade de situações-problema e contextos. Dessa maneira, explorou o conjunto numérico dos inteiros assim como suas operações e propriedades. Releia o passeio e faça um resumo das principais características e propriedades relacionadas ao conjunto dos números inteiros.

▶ Elabore

As seguintes grandezas e medidas foram exploradas neste passeio e relacionadas a problemas envolvendo números inteiros: comprimento, temperatura e quantias do sistema monetário. Elabore situações-problema diferentes utilizando essas grandezas como contexto e envolvendo números inteiros. A seguir, compartilhe com um colega e tente resolver as situações apresentadas por ele. Após essa etapa, compartilhem com os demais colegas da turma as situações que vocês julgaram mais interessantes.

▶ Proponha

A pergunta inicial deste passeio é: Por que é importante conhecer lugares diferentes?

Ao longo do passeio você foi conduzido por situações relacionadas a viajar e conhecer lugares diferentes, resolvendo problemas matemáticos envolvendo certas características desses lugares, como a temperatura.

No Brasil, existem diferentes domínios morfoclimáticos, que podem ser entendidos como a combinação de elementos como clima, vegetação e relevo. Observe-os a seguir.

• Florestas tropicais

Encontro com outras disciplinas (EF07CI07) Caracterizar os principais ecossistemas brasileiros quanto à paisagem, à quantidade de água, ao tipo de solo, à disponibilidade de luz solar, à temperatura etc., correlacionando essas características à flora e fauna específicas.

• Campos Sulinos

• Matas de Araucária

a) Cada um desses domínios tem características próprias. Em pequenos grupos, pesquisem mais sobre eles.

b) Observando um mapa do Brasil, em qual desses domínios se situa a região em que você mora? Você identifica algumas das características pesquisadas em seu cotidiano?

c) Uma das características desses domínios é a temperatura. Em pequenos grupos, pesquisem sobre as maiores e as menores temperaturas registradas em cada domínio.

d) Identifiquem as coordenadas geográficas do município (ou proximidades) em que essas temperaturas foram registradas.

e) A partir de todos os dados coletados, elaborem um mural coletivo com as características de cada região.

Convide o professor de Ciências para, juntos, executarem uma proposta de trabalho sobre os principais ecossistemas brasileiros. Não temos aqui a pretensão de desenvolver na totalidade uma das habilidades de Ciências EF07CI07, mas parte dela será contemplada nesta proposta. De maneira geral, pode-se dizer que os biomas são grandes espaços geográficos que compartilham das mesmas características físicas, biológicas e climáticas, abrigando um grande número de espécies de plantas e animais. Os principais biomas predominantes no Brasil são as florestas tropicais, o cerrado, a caatinga, os campos sulinos e as matas de araucárias. A partir disso, proponha aos estudantes que pesquisem as características dos biomas brasileiros, levando-se em consideração a fauna, a flora, as características físicas, morfológicas e climáticas. Em um momento seguinte, oriente os estudantes a se dividir em grupos (de quatro ou cinco estudantes), para a elaboração de um mural coletivo com as características de cada região.

LUCIANO QUEIROZ/SHUTTERSTOCK

KLEBER CORDEIRO/SHUTTERSTOCK ALEX RODRIGO BRONDANI/SHUTTERSTOCK

CAIO PEDERNEIRAS/SHUTTERSTOCK

Encontro com outras disciplinas

(EF07GE07) Analisar a influência e o papel das redes de transporte e comunicação na configuração do território brasileiro.

CHECK-IN

Organize uma roda de conversa com os estudantes e proponha que observem a imagem:

• O que são os símbolos vermelhos?

• E o que representam o avião, os caminhões e o navio?

• E o que são pontos unidos por segmentos sobre o mapa?

Este passeio apresenta o estudo de expressões algébricas em contextos como os meios de transporte, o transporte de cargas e pessoas por animais, passeios de balões, entre outros, e permeia os TCTs Diversidade Cultural e Educação para o Trânsito

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

Converse com os estudantes sobre os diferentes meios de transporte conhecidos por eles. Durante a discussão, os estudantes poderão comentar sobre bicicleta, trem, charrete, submarino, moto e até mesmo oturismo espacial com foguete. Espera-se que percebam que cada meio de transporte é adequado para determinada distância e para as características do trajeto. Um passeio de bicicleta é mais adequado para distâncias menores em região plana; apesar de ser usada por esportistas, no cotidiano não é adequada para chegar no alto de uma montanha, por exemplo.

Discuta a importância de utilizar com maior frequência transportes mais ecológicos e sustentáveis, na busca da diminuição da queima de combustível fóssil. Pergunte aos estudantes se eles pensam nessas questões e procuram utilizar desses transportes mais ecológicos e sustentáveis em

COMO PODEMOS VIAJAR PARA CONHECER DIFERENTES LUGARES?

Exemplos variados de meios de transporte, por terra, mar e ar.

CHECK-IN

A imagem apresenta diferentes meios de transporte, seja para pessoas, seja para produtos. Estas questões abordam o tema. Respostas pessoais.

a) Você já utilizou alguns desses meios de transporte para viajar? Compartilhe com os colegas.

b) Quais outros meios de transporte você conhece e não estão representados na imagem? Você já utilizou alguns deles?

c) Será que todos os meios de transporte discutidos anteriormente são adequados para qualquer tipo de viagem? Por exemplo, é adequado utilizar um avião para se locomover até um município vizinho? Reflita e compartilhe as respostas com os colegas.

seus cotidianos. Aponte como alternativas o uso da bicicleta, dos carros elétricos, do transporte público e, especialmente, da caminhada como uma forma de se locomover e se manter saudável.

Além disso, medidas de desestímulo ao uso de transportes individuais motorizados podem combater o excesso de veículos nas vias, melhorando questões de planejamento urbano. Sendo assim, escolher alternativas de transporte contribui para uma sociedade melhor.

BÚSSOLA

Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos:

• Compreender a ideia de variável para descrever situações matematicamente.

• Reconhecer se duas expressões algébricas são equivalentes.

• Expressar algebricamente regularidades encontradas em sequências.

• Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo, quando possível, que este conceito está também presente nas artes.

• Utilizar sentenças algébricas para expressar relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas grandezas.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa entre duas grandezas.

• Analisar e compreender a influência e o papel das redes de transporte e comunicação na configuração do território brasileiro.

Inversamente proporcional Diretamente proporcional

Lei de formação

EF07MA13, EF07MA14, EF07MA15, EF07MA16, EF07MA17 EF07GE07

Encontro com outras disciplinas

(EF07GE07) Analisar a influência e o papel das redes de transporte e comunicação na configuração do território brasileiro.

ATMOSFERA

Os meios de transporte utilizados em Camboja, África e Alemanha são um aspecto da cultura desses locais relacionado ao TCT Educação para o Trânsito. Assim, os estudantes podem também analisar com criticidade a influência e o papel das redes de transporte brasileiras.

Convide o professor de Geografia para, juntos, executarem uma proposta de trabalho sobre a influência e o papel das redes de transporte e comunicação na configuração do território brasileiro. Não temos aqui a pretensão de desenvolver na totalidade uma das habilidades de Geografia EF07GE07, mas parte dela será contemplada nesta proposta. O desenvolvimento econômico e dos meios de transporte está diretamente conectado, de modo que os lugares necessitam estar conectados por vias e ter infraestrutura de transporte para poderem participar dos fluxos relacionados ao mundo globalizado. Questione os estudantes sobre o significado da multimodalidade dos transportes. Permita que eles façam suposições ou compartilhem suas experiências a respeito do tema. Na sequência, solicite que façam um levantamento sobre os principais tipos de transporte (rodovias, ferrovias, aerovias, hidrovias ou dutovias) presentes em sua cidade ou estado, destacando a eficiência (ou não) desses meios de transporte.

ATMOSFERA

Meios de transporte ao redor do mundo

Locomover-se entre os mais diversos lugares é uma necessidade humana. Diferentes regiões do mundo e culturas desenvolveram meios de transporte que se adequavam às suas necessidades e respondiam aos desafios locais. Veja alguns tipos de meios de transporte pouco conhecidos.

• Nori, o trem de bambu

É um meio de transporte encontrado no Camboja. Trata-se de uma plataforma feita de bambu com um pequeno motor na traseira. O Nori carrega as pessoas sobre trilhos. Por isso, é também conhecido como o “trem de bambu”.

• Mokoro

O mokoro é um tipo de canoa muito usado na Botswana, principalmente na região do Delta do Okavango, na África. Os canoeiros utilizam longas hastes de madeira para fazer a canoa deslizar por regiões alagadas e pantanosas.

• Schwebebahn

O Schwebebahn é uma espécie de trem, mas, em vez de andar sobre os trilhos, ele anda pendurado neles. É um transporte encontrado na cidade de Wuppertal, na Alemanha.

ATIVIDADES

1. Você já conhecia algum desses meios de transporte? Compartilhe com os colegas. Respostas pessoais.

2. E os países ou cidades que o texto cita? Pesquise mais sobre esses locais e compartilhe com os colegas.

3. Você conhece meios de transporte parecidos com esses? Explique quais são as semelhanças e as diferenças.

Atividades 1 a 3

Organize como deseja que os estudantes realizem as pesquisas na internet, considerando que alguns sites acessados podem estar em língua estrangeira. Auxilie-os a identificar informações em português sobre os locais e sobre os meios de transporte, evidenciando seus usos pela população local. Compare-os com diferentes tipos de transportes conhecidos pelos estudantes, do Brasil, refletindo sobre os aspectos positivos e negativos de cada um.

#Descrevendo situações matematicamente

Um grupo de amigos está organizando uma viagem de quatro dias de carro. Eles pensam em seguir sempre a mesma estratégia: durante a tarde dirigem o dobro de quilômetros que dirigiram durante a manhã, e à noite, descansam.

Supondo que eles decidam dirigir 50 km todas as manhãs, podemos representar o total de quilômetros pela expressão numérica:

Habilidade

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

Como em cada um dos quatro dias a distância percorrida é a mesma, a expressão pode também ser representada por:

4 quatro d as de viagem

! ( 50 distanc a percorrida pela manha

LUPAS E LUNETAS

! + 2 50 distanc a percorr da a tarde

! " $ )

Resolvendo essa expressão, concluímos que o grupo de amigos percorreu 4 150 = 600 km durante a viagem.

Seguindo a mesma estratégia, ou seja, dirigir à tarde o dobro da distância percorrida pela manhã, vamos calcular qual distância eles teriam percorrido se tivessem dirigido 20 km todas as manhãs?

Perceba que não precisamos escrever novamente a primeira expressão numérica. Basta substituir o valor 50 por 20 na segunda expressão numérica:

4 quatro d as de viagem

! ( 20 distanc a percorr da pela manha

As expressões numéricas foram estudadas em anos anteriores; espera-se que os estudantes consigam contextualizar uma situação-problema que possa ser resolvida por uma expressão numérica.

! + 2 20 d stancia percorr da a tarde

! " $ )

Portanto, eles teriam percorrido 4 60 = 240 km durante a viagem.

Pensando sobre essas expressões, um dos amigos elaborou o esquema: 4 · (+ 2 ·)

Assim, sempre que eles escolhessem uma distância a ser percorrida nas manhãs, bastaria substituir os ■ por essa distância. Outro amigo notou que os valores representados pelos ■ são sempre iguais. Assim, eles poderiam considerar = 3 + 2

Portanto, o esquema também poderia ser escrito como: ) ou, ainda, 12 4 · (3

Eles verificaram que, com essa nova forma de escrever a expressão, é possível obter os mesmos valores calculados anteriormente:

• Percorrendo 50 km toda manhã:

Substituindo o ■ por 50 em , 12 , temos 12 50 = 600 km

• Viajando 20 km toda manhã:

Substituindo o ■ por 20 em , 12 , temos 12 20 = 240 km

LUPAS E LUNETAS

Em duplas ou trios, elaborem situações que possam ser descritas ou interpretadas como expressões numéricas. Em seguida, compartilhem com o restante da turma. Respostas pessoais.

Você pode sugerir contextos associados ao tema do passeio, como meios de transporte e viagens, e pedir que os estudantes pensem em situações do cotidiano envolvendo esse tema. Como grandezas consideradas, pode-se pensar em distâncias, valores monetários, massa (de bagagens) etc.

#Expressões algébricas

Podemos descrever situações cotidianas utilizando expressões numéricas, por exemplo:

• O preço de uma passagem de trem é R$ 5,00. O valor de três passagens pode ser expresso por 3 ⋅ 5 = 15;

• As temperaturas em certo dia subiram 5 oC pela manhã, depois 2 oC pela tarde e caíram 8 oC na madrugada. A variação de temperatura pode ser expressa por 5 + 2 – 8 = – 1 ;

• Um avião, com capacidade para 410 passageiros, partiu com três quintos de sua capacidade.

O número de passageiros nesse voo pode ser calculado por 3 5 410

Há casos, porém, em que alguns valores podem variar. Por exemplo, viajando pela região do Aconcágua, na Argentina, uma pessoa verificou que, principalmente em locais mais remotos, o uso de mulas para transporte de pessoas e cargas ainda é bastante comum.

Em uma trilha, uma das mulas está carregando uma pessoa e duas sacolas. Cada sacola recebe sempre a mesma quantidade de massa, em quilogramas. A massa total que essa mula irá carregar depende da massa corporal da pessoa e de quantos quilogramas de massa serão colocados em suas sacolas. Sabe-se que a pessoa tem massa corporal de 54 kg

Na tabela, observe a massa total, em kg, que essa mula irá carregar ao se depositar em cada sacola 3 kg, 10 kg ou 12 kg.

Mulas de carga na região do Aconcágua, na Argentina.

Massa correspondente a:

Note que a massa da pessoa e a quantidade de sacolas são sempre as mesmas, ou seja, se mantêm constantes. O que varia nesse caso é a massa que se deposita em cada sacola.

Na tabela, foram escritas três expressões numéricas diferentes para calcular o total de massa. Porém, se representarmos esse “valor que varia” utilizando um símbolo ou uma letra, podemos escrever uma única expressão matemática que represente tanto os valores constantes quanto os que variam. Vamos utilizar a letra x para indicar a massa em cada sacola:

5 4 + 2 x

Assim, dependendo do valor escolhido para x, obteremos um valor numérico diferente para essa expressão:

• Se x = 1, substituímos x por 1 na expressão e calculamos as operações:

EZEQUIEL LAPRIDA/SHUTTERSTOCK

Habilidade (EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

Expressões matemáticas envolvendo letras, números e os sinais das operações são denominadas expressões algébricas

A letra ou o símbolo que representa o que pode assumir diferentes valores é denominada variável

Veja outras situações que podem ser descritas por expressões algébricas:

• O triplo de um número pode ser representado por 3 x ;

Note que, nos casos de multiplicação entre um número e a letra que representa uma variável, não é obrigatório escrever o símbolo de multiplicação. Assim, a expressão 3 x pode ser escrita simplesmente como 3x

• A décima parte de certa quantidade pode ser representada por xx 1 10 ou x 10 ; ou 10 x

• A diferença entre 23 e um número pode ser representada por 23 – x ;

• Certo número elevado à quarta potência é representado por x4

LUPAS E LUNETAS

Nos exemplos, utilizamos a letra x para representar variáveis nas expressões algébricas. Porém, isso não é uma regra. Apesar de ser comum utilizar as letras finais do alfabeto, como x, y, z, você pode utilizar qualquer letra para representar as variáveis.

Represente as expressões algébricas apresentadas utilizando outras letras. Compartilhe suas respostas com os colegas. Respostas pessoais.

Em uma expressão algébrica, quando substituímos a variável por determinado valor, obtemos o valor numérico da expressão algébrica

Por exemplo, considere a expressão algébrica, na qual z é uma variável: 10 + 3 z 2

Seu valor numérico quando z = 9 é: 10 + 3 9 2 = 10 + 27 2 = 37 2 = 18 1 2

ATIVIDADES

4. Descreva as operações por uma expressão algébrica:

c) 3 + x 3

a) O dobro de um número. 2x

b) 5 diminuído de um número.

5. Determine o valor numérico de:

a) 4t + 2, para t = 5 22

Habilidade

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

Atividade 4

Seja x um número inteiro, a expressão será:

a) 2x

b) 5 – x

c) 3 + x 3

d) x 2 – x

e) 3 x + x 3

f) x + 1

g) x – 1

Atividade 5

a) Para t = 5, tem-se: 4 5 + 2 = 22

b) Para u = 6, tem-se: 5 – 3 6 = –13

c) Para w = –1, tem-se: (–1)2 + 1 = 2

d) Para g = 3, tem-se: 3 3 + 3 3 + 2 = 12

e) Para d = 0, tem-se: 3 – 3 2 = 0

c) 3 adicionado à terça parte de um número.

d) O quadrado de um número diminuído dele mesmo.

5 – x x 2 – x

e) O triplo de um número adicionado ao cubo do mesmo número.

3 x + x 3

f) O sucessor de um número.

g) O antecessor de um número.

x + 1 x – 1

b) 5 – 3u , para u = 6 –13

c) w 2 + 1, para w = –1 2

d) 3g + g 3 + 2, para g = 3 12

e) d – 3 2 , para d = 3 0

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LUPAS E LUNETAS

Proponha algumas frases aos estudantes para que expressem coletivamente a forma algébrica e vice-versa. Conforme o contexto, outras letras podem ser mais fáceis de associar com o que representam, como representar distância por d ou tempo por t, temperatura por T, massa por m etc.

Apresente as expressões para o dobro de um número (2x) e o quadrado de um número (x2) associando a x + x e a x x , respectivamente.

Sugira alguns valores para que substituam a variável em uma mesma expressão algébrica e percebam que ela pode assumir valores diferentes.

Atividades 4 e 5

Espera-se que o estudante compreenda a relação entre a linguagem natural e a algébrica. Além das operações dadas, você pode propor a cada estudante que escreva uma frase em linguagem natural para que um colega a apresente na linguagem algébrica e vice-versa.

Habilidade (EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

LUPAS E LUNETAS

Espera-se que os estudantes usem situações do próprio cotidiano para contextualizar uma expressão algébrica; caso considere adequado, proponha que usem preço, distância ou tempo para as expressões nas situações-problema.

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

Inicie uma conversa perguntado aos estudantes se eles gostam de balões, como aqueles apresentados, da região da Capadócia, na Turquia. Os balões são intrigantes pela sua simplicidade e eficiência, servindo até mesmo como um instrumento de transporte, apesar de atualmente serem utilizados no turismo. Ressalte que esses balões são feitos propriamente para o transporte de pessoas são conduzidos por um profissional treinado e autorizado a realizar voos.

Já a prática de construir e soltar balões caseiros, feitos muitas vezes com armações em arame e preenchidos com folhas de seda, é considerada crime de acordo com o artigo 42 da Lei no 9.605, de 12 de fevereiro de 1998: “Fabricar, vender, transportar ou soltar balões que possam provocar incêndios nas florestas e demais formas de vegetação, em áreas urbanas ou qualquer tipo de assentamento humano: Pena – detenção de um a três anos ou multa, ou ambas as penas cumulativamente”. Tal ato é extremamente perigoso, porque coloca em risco as aeronaves, dificultando ou até inviabilizando a navegação aérea e, muitas vezes, causando incêndio em regiões de matas ou até mesmo em áreas urbanas. A

Expressões algébricas equivalentes e propriedades das operações

A região da Capadócia, na Turquia, é famosa por seus passeios de balões. Existem momentos do dia nos quais o céu fica repleto de balões coloridos transportando turistas.

Balões nos céus da Capadócia, na Turquia.

Suponha que esses balões saiam de dois locais diferentes, no momento em que já havia seis balões no céu. Partiram alguns balões do primeiro local e o triplo dessa quantidade do segundo local.

Considerando a variável x para representar o número de balões que partiu do primeiro local, descrevemos a quantidade total de balões no céu, naquele momento, pela expressão algébrica:

essa expressão:

Podemos afirmar que todas essas expressões são equivalentes, pois apresentam o mesmo valor numérico ao se escolher um valor específico para x. Por exemplo, seja x = 10:

LUPAS E LUNETAS

Mesmo que matematicamente essas expressões sejam equivalentes, é interessante notar que seu significado na resolução ou interpretação da situação-problema inicial pode mudar. Por exemplo, podemos interpretar a expressão 6 + 2x + 2x como “havia 6 balões no céu e sabe-se que, de cada local, saíram algumas duplas de balões”

Em pequenos grupos, analisem as expressões exemplificadas e elaborem situações que possam ser representadas por elas. Vocês podem escolher outros contextos. Respostas pessoais.

conscientização da população é tão fundamental quanto seu engajamento contra essa irregularidade, que pode ser extremamente prejudicial ao meio ambiente.

100 | TRAJETÓRIA 2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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TRAVESSIAS

As propriedades das operações aplicadas às expressões algébricas

Você já estudou algumas propriedades da adição e da multiplicação envolvendo números naturais e números inteiros. Vamos investigar como essas propriedades podem ser aplicadas às expressões algébricas?

Cada propriedade será apresentada a partir de exemplos. Em cada caso, escolha um valor para a variável e obtenha os valores numéricos das expressões algébricas. Utilize esses dados para verificar a validade das propriedades. Ao final, compartilhe com os colegas as suas soluções e estratégias.

Habilidade (EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

Travessias

Faça a leitura coletiva do texto e complemente com outros exemplos de aplicação das propriedades da adição e da multiplicação. Ressalte o papel das expressões algébricas na generalização de resultados, como nas propriedades das operações.

As propriedades da adição e da multiplicação de números naturais podem ser aplicadas às expressões algébricas.

• Propriedade comutativa da adição

(x + 4) + (2x – 3) = (2x – 3) + (x + 4)

• Propriedade associativa da adição

(x + 4) + (2x – 3) = (x + 2x ) + (4 – 3)

• Elemento neutro da adição

x + 0 = x

• Existência do oposto

O oposto de x é –x , sendo que x + (–x ) = x – x = 0.

• Propriedade comutativa da multiplicação

x 5 = 5 x

• Propriedade associativa da multiplicação

3 (x + 1) x ( ) = (3x ) (x + 1) = x (x + 1) 3 ( )

• Elemento neutro da multiplicação

x 1 = x

• A propriedade distributiva da multiplicação aplicada à adição

a) x (4 + 3) = 4x + 3x

b) 9(2x – 1) = 9 2x – 9

• Existência do inverso multiplicativo

Se x é diferente de 0, então o inverso de x é representado pela fração 1 x Assim,

x 1 x = 1 101 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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Habilidade (EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.

LUPAS E LUNETAS

Compreendendo que o quociente deve ser diferente de zero, espera-se que o estudante determine mentalmente a condição de existência.

Atividades 6 e 7

Solicite aos estudantes que escrevam a expressão algébrica sem o uso dos parênteses. Converse com eles sobre o agrupamento de termos semelhantes e aponte que o coeficiente é 1 nos casos em que a variável não é precedida de um número explícito.

Atividade 6

a) Para que as expressões sejam equivalentes, a igualdade deve ser verificada: ( p –

As expressões são equivalentes.

b) Para que as expressões sejam equivalentes, a igualdade deve ser verificada:

h + (4 – h) = h – h + 4 = 4 ≠ 2h + 4 – h) = h – h + 4 = 4 ≠ 2h + 4

As expressões não são equivalentes.

c) Para que as expressões sejam equivalentes, a igualdade deve ser verificada:

LUPAS E LUNETAS

Existem expressões algébricas representadas em forma de fração, como 1 x . São chamadas de expressões algébricas fracionárias ou frações algébricas. Lembrando que o denominador de uma fração não pode ser 0, nos casos em que houver variáveis no denominador, precisamos impor condições para que isso não aconteça e a operação possa ser realizada. Veja um exemplo de fração algébrica:

3

4 – y

Note que se y for igual a 4, então 4 – y = 4 – 4 = 0 e a subtração pode ser realizada. Mas isso resultaria em 3 0 ,, que não pode ocorrer (a divisão não pode ser realizada). Assim, a condição de existência dessa fração algébrica é que y seja diferente de 0: y ≠ 0

Defina a condição de existência destas frações algébricas:

a) 1 2 – y

b) 1 10 + y y ≠ 2 y ≠ –10

ATIVIDADES

6. Verifique se as expressões em cada item são equivalentes:

a) 2 p – 10 e ( p – 5) + ( p – 5) São equivalentes.

b) h + (4 – h) e 2h + 4 Não são equivalentes.

c) (3k – 2) + (2k – 3) e (4k – 1) + (k – 4)

d) 1 – 3 – u + 3u e 2u – 1 + 3

7. Utilizando a propriedade distributiva, encontre uma expressão algébrica equivalente a:

a) 3(a + 2)

#Noção de sequência

b) t (4 – 2t )

A África é um continente muito grande: são 54 países e cerca de 490 etnias diferentes. Com esses números é possível imaginar também quão diversa são as culturas do continente africano. Uma das marcas dessas culturas, presente em várias regiões, é o uso de tecidos e estampas bastante coloridas, com diversos padrões e regularidades.

Estampa com diversos padrões e regularidades.

Em uma viagem pelo continente africano, Nailah observou uma artesã elaborando uma estampa em tecido com um padrão interessante:

(3k – 2) + (2k – 3) = 3k + 2k – 2 – 3 = 5k – 5

(2k – 3) = 3k + 2k – 2 – 3 = 5k – 5

(4k – 1) + (k – 4) = 4k + k – 1 – 4 = 5k – 5 + (k – 4) = 4k + k – 1 – 4 = 5k – 5

As expressões são equivalentes.

d) Para que as expressões sejam equivalentes, a igualdade deve ser verificada: 1 – 3 – u + 3u = 2u + 1 – 3 = 2u – 2 2u – 1 + 3 = 2u + 2

As expressões não são equivalentes.

Atividade 7

a) 3(a + 2) = 3a + 6

b) t (4 – 2t ) = 4t – 2t 2

102 | TRAJETÓRIA 2 NÃO ESCREVA NO

A artesã repete a figura inicial em diferentes orientações, de modo a formar sempre uma nova composição.

Observando a sequência de figuras em cada composição, notamos que:

• na primeira composição há 1 figura;

• na segunda, há 2 figuras;

• na terceira, há 3 figuras;

• na quarta, há 4 figuras; e assim por diante.

Seguindo esse padrão e supondo que a artesã chegue até a centésima composição, então ela terá 100 figuras!

Podemos representar as quantidades de figuras em cada composição da seguinte maneira:

(1, 2, 3, 4)

Dizemos que essa é a sequência da quantidade de imagens presentes em cada nova composição dessa artesã.

Vamos considerar agora a forma da figura inicial como sendo um triângulo. Desse modo, podemos dizer que essa figura tem 3 lados. A sequência do número de lados dos triângulos presentes em cada nova composição é:

(3, 6, 9, 12)

De modo geral, na Matemática, dizemos que:

Uma sequência é um conjunto de elementos dispostos em uma determinada ordem.

Veja outros exemplos de sequências:

• sequência dos números naturais: (0, 1, 2, 3, 4 )

• sequência dos números inteiros menores que 0: ( –4, –3, –2, –1)

• sequência dos números naturais ímpares: (1, 3, 5, 7 )

• sequência das potências de 2: (20 , 21 , 22 , 23 )

Dizemos que sequências desse tipo são numéricas

Mas é possível escrever sequências diversas:

• sequência das cores do arco-íris a partir do violeta: (violeta, anil, azul, verde, amarelo, laranja, vermelho)

• sequência dos planetas do sistema solar a partir do Sol: (Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno)

• sequência dos dias da semana a partir do domingo: (domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado)

A ordem é fundamental para uma sequência. Por exemplo, se escrevermos as sequências dos números pares entre 1 e 10 em ordem crescente e em ordem decrescente, obteremos as sequências, respectivamente:

(2, 4, 6, 8, 10) e (10, 8, 6, 4, 2)

Note que, apesar de terem os mesmos elementos (são conjuntos iguais), as sequências são diferentes, pois seus elementos estão ordenados de maneira diferente.

Habilidade (EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.

Estava o rato em seu lugar

Veio o gato lhe fazer mal

O gato no rato, o rato na aranha

A aranha na mosca, a mosca na velha e a velha a fiar

Estava o gato em seu lugar

Veio o cachorro lhe fazer mal

O cachorro no gato, o gato no rato

O rato na aranha, a aranha na mosca

A mosca na velha e a velha a fiar

[...]

Estava a mulher em seu lugar

Veio a morte lhe fazer mal

A morte na mulher, a mulher no homem

O homem no boi, o boi na água

A água no fogo, o fogo no pau, o pau no cachorro

O cachorro no gato, o gato no rato

O rato na aranha, a aranha na mosca

Sugestão de atividade

A noção de sequência recorrente também está presente na tradição popular. Há diversas parlendas consideradas como “acumulativas”. Se julgar oportuno, proponha aos estudantes leitura da seguinte parlenda:

Estava a velha em seu lugar

Veio a mosca lhe fazer mal

A mosca na velha e a velha a fiar

Estava a mosca em seu lugar

Veio a aranha lhe fazer mal

A aranha na mosca, a mosca na velha e a velha fiar

Estava a aranha em seu lugar

Veio o rato lhe fazer mal

O rato na aranha, a aranha na mosca

A mosca na velha e a velha a fiar

A mosca na velha e a velha a fiar

Da tradição popular.

Habilidade

(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.

LUPAS E LUNETAS

A sequência dos números primos é um exemplo de sequência infinita, e a sequência dos números naturais entre 0 e 1 000 é um exemplo de sequência finita. Espera-se que os estudantes apresentem respostas envolvendo os conjuntos numéricos ou um modo formal de expressar, mas podem usar situações do cotidiano, como os números da chamada, para exemplificar uma sequência finita.

Atividade 8

Retome com os estudantes alguns conceitos como: números pares, ímpares, primos e múltiplos; lembre-os de que os múltiplos de 6 são ao mesmo tempo múltiplos de 2 (pares) e de 3.

a) (0, 2, 4, 6, 8 ...)

b) (0, 5, 10, 15, 20, 25)

c) (2, 3, 5, 7, 11)

d) (–6, –5, –4, –3, –2, –1)

e) (6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60)

LUPAS E LUNETAS

Quando uma sequência tem um número finito de termos, ela é denominada sequência finita. Por exemplo, a sequência dos números inteiros pares entre –10 e 10: (–10, –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8, 10)

Quando tem infinitos termos, a sequência é denominada sequência infinita. Por exemplo, a sequência de todos os números naturais pares: (0, 2, 4, 6, 8, 10 ) Note que, nesse caso, usamos o símbolo “...” para indicar que ela é infinita.

Dê um exemplo de uma sequência finita e uma infinita. Compartilhe com os colegas. Resposta pessoal.

ATIVIDADES

8. Escreva a sequência dos:

a) números naturais pares;

(0, 2, 4, 6, 8...)

b) seis primeiros múltiplos naturais de 5 começando em 0;

c) cinco primeiros números primos;

(2, 3, 5, 7, 11)

d) números inteiros negativos maiores que –7;

(0, 5, 10, 15, 20, 25)

(–6, –5, –4, –3, –2, –1)

e) dez primeiros números positivos pares múltiplos de 3 (você reconhece que números são esses?)

(6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60)

#Sequências e expressões algébricas

Certa cidade está expandindo seu sistema de transporte ferroviário. Após concluir as obras da estação central, começaram a ser construídos os trechos de trilhos para os trens.

Em janeiro, só havia a estação central construída. Ao final de cada mês que se seguiu, foram acrescidos mais dois trechos de trilhos:

Profissionais executando a construção de linha férrea.

Expansão do sistema de transporte ferroviário

MÊS JANEIRO FEVEREIRO MARÇO ABRIL

Trechos concluídos 0 2 4 6

As obras ainda vão continuar indefinidamente seguindo sempre esse mesmo padrão de construção. Podemos representar a quantidade de trechos de trilho concluídos a cada mês como uma sequência numérica: (0, 2, 4, 6 )

Como a cada mês são construídos 2 trechos de trilho, então podemos prever o total de trechos de trilhos finalizados nos meses seguintes:

Expansão do sistema de transporte ferroviário

LUPAS E LUNETAS

Imagine agora que as obras serão concluídas ao final do mês de dezembro.

Habilidade

(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.

LUPAS E LUNETAS

Neste texto apresenta-se uma situação-problema representada por uma sequência numérica. Espera-se que o estudante compreenda e identifique a regularidade, que é um aumento de 2 unidades ao mês. Esta é uma sequência, como apresentada, recursiva; a identificação, notação e lei de formação serão abordadas adiante.

a) Complete uma tabela como esta, com o total de trechos concluídos ao final de cada mês até dezembro:

Expansão do sistema de transporte ferroviário

b) Escreva o total de trechos concluídos ao final de cada mês, entre janeiro e dezembro, como uma sequência finita. (0,

Habilidades

(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.

(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

LUPAS E LUNETAS

Há muitas possibilidades de resposta para esta atividade, entre elas podem ser citados o número de chamada dos estudantes da primeira fileira, na ordem em que estão sentados (do 1o ao último), ou os dias (do mês) de aniversário dos membros de uma família, do mais velho ao mais novo (note que uma sequência é um conjunto ordenado).

Estudando sequências algebricamente

Você já estudou, em anos anteriores, diversas sequências de números e de figuras.

Agora vamos estudar como se comportam, algebricamente, as sequências.

Chamamos cada um dos elementos de uma sequência de termo da sequência. Utilizamos letras minúsculas para representá-los, por exemplo, a letra a. Porém, como podemos representar a posição de cada elemento na sequência?

Uma solução encontrada para isso é adicionar um número à letra:

a1 1 termo ! , a2 2 termo ! , a3 3 termo ! ( )

Esse número é denominado índice

No caso da sequência da situação-problema dos trilhos de trem, temos que:

• 1o termo: a1 = 0;

• 2o termo: a2 = 2;

• 3o termo: a3 = 4;

• 4o termo: a4 = 6;

Podemos expressar a regra que utilizamos para obter esses termos como: “o total de trechos construídos ao fim de certo mês corresponde ao total do mês anterior mais dois”.

Denominamos regras como essa, que indicam como cada termo pode ser obtido, por lei de formação da sequência

Toda sequência obtida a partir de uma lei de formação que recorre ao valor de um ou mais termos anteriores para determinar o seguinte é denominada recursiva

Caso não haja uma lei de formação que descreva a sequência dessa forma, ela é denominada não recursiva

LUPAS E LUNETAS Resposta pessoal.

Imagine uma sequência formada pelos resultados de um sorteio:

(16, 60, 7, 35 )

Como os números são obtidos ao acaso, não existe sequer uma lei de formação. Portanto, trata-se de uma sequência não recursiva.

Em duplas ou trios, elabore uma sequência não recursiva e justifique o porquê.

• Compartilhe suas respostas e estratégias com os demais colegas.

106 | TRAJETÓRIA 2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Assim, vamos escrever a lei de formação da sequência obtida na situação-problema:

• 1o termo: a1 = 0;

• 2o termo: a2 = a1 + 2 = 0 + 2 = 2;

• 3o termo: a3 = a2 + 2 = 2 + 2 = 4;

• 4o termo: a4 = a3 + 2 = 4 + 2 = 6;

Podemos escrever essa regra de maneira mais geral, ou seja, de modo que sirva para qualquer termo. Para isso, vamos representar o índice também por uma letra, por exemplo, n: a n com n assumindo valores como 1, 2, 3, 4...

• 1o termo: a1 , temos n = 1;

• 2o termo: a2 , temos n = 2;

• 3o termo: a3 , temos n = 3 ;

Note que, dessa maneira, podemos considerar n também como uma variável.

LUPAS E LUNETAS Resposta pessoal.

Retome a noção de variável e converse com os colegas sobre essa última afirmação. Justifiquem essa afirmação com suas palavras.

Para descrever a lei de formação, vamos antes aprender a representar algebricamente o sucessor e o antecessor de n (n sendo um número natural não nulo):

• o sucessor de n é n + 1 Por exemplo, se n = 1, então seu sucessor é 1 + 1 = 2;

• o antecessor de n é n – 1 Por exemplo, se n = 2, então seu antecessor é 2 – 1 = 1 Como estamos iniciando os índices a partir do 1 (e eles indicam a posição do termo na sequência), não podemos utilizar o antecessor de n = 1, pois 1 – 1 = 0, e não existe posição zero. Toda posição se inicia em 1 (ou primeiro).

LUPAS E LUNETAS

Considere a sequência:

2, 4, 6, 8, 10, 12 )

Escreva os valores dos termos:

a) a1 0

b) a5 8

c) a n +1 , se n = 3 6

d) a n–1 , se n = 7 10

Assim, a lei de formação da sequência:

pode ser escrita como:

LUPAS E LUNETAS

Esta atividade aborda como registrar a posição e o valor de um termo da sequência, incluindo o sucessor e antecessor (quando houver).

De modo similar, apresente a sequência de números naturais ímpares e relacione cada termo

com sua posição, explorando o sucessor e o antecessor na sequência.

Uma maneira de o estudante visualizar a relação entre a posição e o valor do termo é construir um quadro e, oralmente, propor questões para localizarem os termos, seus sucessores e antecessores (quando houver).

Habilidade

(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

LUPAS E LUNETAS

Amplie esta atividade propondo aos estudantes que verbalizem outras situações contextualizadas para usar uma variável e, coletivamente, analisem se a situação-problema e a expressão algébrica estão adequadas. Contribua com expressões sobre o preço do cinema ou o salário de um vendedor comissionado (valor fixo mais comissão), a distância percorrida em relação ao tempo para uma velocidade constante etc.

Habilidades

(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

Atividade 10

Apresente a quantidade de quadradinhos dos termos desta sequência geométrica: 1, 4, 9, 16..., e diga que são números chamados de quadrados perfeitos.

a)

b) O quarto termo da sequência é escrito como 42 = 16

Atividade 11

a) a1 = 2 ∙ 1 – 1 = 1

a2 = 2 ∙ 2 – 1=3

a3 = 2 ∙ 3 – 1 = 5

a4 = 2 ∙ 4 – 1 =7

b) a1 = 2(1 + 1) – 3=1

a2 = 2(2 + 1) – 3 =3

a3 = 2(3 + 1) – 3 = 5

a4 = 2(4 + 1) – 3 =7

d)

a100 = 2 ⋅ 100 – 1 = 200 – 1 = 199 ou

ou

a100 = 2 (100 + 1) – 3 = 199

e) Como não precisamos recorrer ao termo anterior para determinar o seguinte, a sequência não é recursiva.

Atividade 12

Construa um quadro para tempos (em minutos) de conversa, a partir de 0, e valor a pagar:

Equivalência entre sequências

Considere esta lei de formação de uma sequência:

a n = 3 a n– 1 , sendo a1 = 1 e n = 2, 3, 4

Desse modo:

• 1o termo: a1 = 1;

Assim, obtemos a sequência: (1, 3, 9, 27 )

Assim, obtemos a sequência: (1, 3, 9, 27 )

Considere agora outra lei de formação de uma sequência:

ATIVIDADES

9. Considere a sequência (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 ) Escreva os termos:

a) a1 3

b) a5 15

c) a n–1 , quando n = 4 9

d) a n+1 , quando n = 5 18

10. Observe a sequência dada pelas figuras:

Note que, apesar de apresentarem leis de formação escritas de maneiras diferentes, ambas as sequências apresentam os mesmos termos e seguindo a mesma ordem. Dizemos que as sequências são equivalentes

a) Desenhe a próxima figura da sequência.

b) Considerando a quantidade dos menores quadradinhos que compõem cada figura, o 1o termo da sequência pode ser descrito como 12 = 1, o 2o termo como 2 2 = 4 e o 3o como 3 2 = 9 Escreva numericamente o quarto termo.

42 = 16

11. Uma sequência é dada pela lei de formação:

a n = 2n – 1

a) Escreva os quatro primeiros termos dessa sequência. (1, 3, 5, 7)

b) Faça o mesmo para a sequência a n = 2(n + 1) – 3 (1, 3, 5, 7)

c) Compare as sequências obtidas nos itens anteriores. Pode-se dizer que existe uma

Sim. 199

equivalência entre as duas sequências?

d) Qual é o centésimo termo dessa sequência?

e) Considerando o item anterior e a lei de formação dessa sequência, responda: a sequência é recursiva?

12. Uma companhia telefônica cobra um valor fixo de R$ 20,00 por mês mais R$ 0,45 por minuto falado. Determine:

11. e) Como não precisamos recorrer ao termo anterior para determinar o seguinte, a sequência é não recursiva. ct = 20 + 0,45t

a) Uma expressão algébrica para o valor da conta após t minutos de conversa.

b) O valor da conta após 5 minutos de uso.

c) O valor da conta após 10 minutos de uso.

d) O valor da conta de uma pessoa que consumiu 100 minutos em determinado mês

b) R$ 22,25 c) R$ 24,50 d) R$ 65,00

13. Observe as figuras:

a) Desenhe a próxima figura da sequência.

b) Escreva o número de quadradinhos da 5a figura. 11 quadradinhos.

c) Escreva um algoritmo que possa gerar essa sequência.

Resposta possível: (quadrados na vertical + quadrados na horizontal): n + 1 + n = 2n + 1

b) Para t = 5, a expressão será:

ct = 20 + 0,45 5 ⇒ ct = R$ 22,25

ct = 20 + 0,45 5 ⇒ ct = R$ 22,25

c) Para t = 10, a expressão será:

ct = 20 + 0,45 10 ⇒ ct = R$ 24,50

ct = 20 + 0,45 10 ⇒ ct = R$ 24,50

d) Para t = 100, a expressão será:

ct = 20 + 0,45 100 ⇒ ct = R$ 65,00

NO SEU

a) Sendo t o tempo de conversa ao telefone, o valor cobrado pela companhia telefônica será dado pela expressão ct = 20 + 0,45

ct = 20 + 0,45 100 ⇒ ct = R$ 65,00

t

Note que, nessa sequência, da maneira como foi representada e apenas para coincidir com os

108

#Razão e proporção

Em vários lugares, os rios são a principal via pela qual as pessoas se locomovem. Barcos, lanchas, canoas, entre outros, são alguns dos meios de transporte mais utilizados.

Em estados brasileiros como Pará e Amazonas, esse meio de locomoção é bastante popular graças aos rios Negro e Amazonas e seus afluentes.

Considere que uma lancha consegue percorrer, em uma hora, 30 km de rio. Podemos interpretar essa relação entre tempo e distância como uma razão entre essas grandezas. Nesse caso, a razão é “um para trinta”, ou seja, uma hora para percorrer trinta quilômetros. Podemos representar essa razão como: 1 : 30 ou 1 30 ou 1 : 30 ou 1 30

Veja outros exemplos de razões e algumas possíveis interpretações para elas:

• Em certa embarcação há 3 passageiros a cada

• Um em cada três moradores de certa região utiliza embarcações para se locomover

→ 1 : 3 ou 1 3

• Minha embarcação gasta 13 L de combustível por hora

Algebricamente, podemos dizer que:

Sejam dois números inteiros a e b, com b ≠ 0, então o quociente entre a e b é denominado razão entre a e b Escrevemos a : b ou a b Lemos “a está para b”.

Habilidade (EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

Chamamos de proporção a igualdade entre razões.

ATIVIDADES

14. Escreva uma razão que represente cada situação:

a) Em uma receita de bolo, usamos 3 ovos para cada 2 xícaras de farinha.

b) Cada 1 litro de suco concentrado de caju deve ser diluído em 5 litros de água

c) O latão é uma liga metálica de 35% de cobre e 65% de zinco

d) Em uma turma de 40 estudantes, 27 são moças

15. Substitua cada ■ por números ou pela razão que falta: Exemplos de respostas possíveis:

a) Se 4 está para 5, então podemos escrever a razão ■.

b) Se ■ está para ■, então podemos escrever a razão 6 10 6; 10

c) Se ■ está para 5, então podemos escrever a razão 5 Resposta pessoal.

d) Se 12 está para ■, então podemos escrever a razão

Resposta pessoal, com o quadradinho

Atividades 14 e 15 Aproveite a resolução destas atividades para destacar que, nas razões, a ordem de leitura das grandezas determina o modo de expressá-la. Relacione uma situação contextualizada com a notação a : b ou a b ,. Por exemplo: Em uma prova houve 8 acertos e 12 erros, a razão entre acertos e erros é 8 12 , e a razão entre erros e acertos é 12 8 Também comente as razões que expressam uma relação parte-todo, como entre 27 meninas para o total de 40 estudantes.

Atividade 14

a) A razão é 3 2 ou 3 : 2

b) A razão é 1 5 ou 1 : 5

c) A razão é 35 65 ou 35 : 65

d) A razão é 27 40 ou 27 : 40

Atividade 15

a) Se 4 está para 5, então podemos escrever a razão 4 : 5 = 4 5

b) Se 6 está para 10, então podemos escrever a razão 6 10 Nos itens c e d, solicite aos estudantes diversos exemplos em contextos variados. minutos de conversa, haveria um termo zero (R$ 20,00). Formalmente, sequências são funções de domínio N*.

Atividade 13

a)

a) Escrevendo a sequência que expressa a quantidade de quadradinhos (3, 5, 7, 9, 11, 13…), a 5a figura deve ter 11 quadradinhos.

b) Respostas possíveis:

• Não recursivo: (quadrados na vertical + quadrados na horizontal): (n + 1) + n = 2n + 1 Recursivo: (acrescentar mais um quadradinho na vertical e mais um na horizontal a partir da 1a figura dada).

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

LUPAS E LUNETAS

Utilize o tema velocidade para introduzir o TCT Educação para o Trânsito. Um dos fatores que contribui para mortes e lesões em decorrência de acidentes de trânsito é o excesso de velocidade. Converse com os estudantes sobre a velocidade nas principais vias públicas da região onde estão localizados, ressaltando que o trânsito é um espaço coletivo regido por regras que visam à mobilidade urbana com segurança.

Sugestão de leitura

Caso tenha interesse em aprofundar a discussão sobre o TCT Educação para o Trânsito, o documento “Plano Nacional de Redução de Mortes e Lesões no Trânsito 2021” apresenta planos de ação que podem servir como material de pesquisa. Eles estão subdivididos em 6 pilares:

1. Gestão da segurança no trânsito;

2. Vias seguras;

3. Segurança veicular;

4. Educação para o trânsito;

5. Atendimento às vítimas;

6. Normatização e fiscalização. SECRETARIA NACIONAL DE TRÂNSITO. Pnatrans – Plano Nacional de Redução de Mortes e Lesões no Trânsito 2021 Disponível em: https://www.gov. br/infraestrutura/pt-br/assuntos/transito/arquivos-senatran/ Anexo_I_pnatrans.pdf. Acesso em: 3 maio 2022.

Atividade 16

Para que realizem a atividade com autonomia, sugira que façam uma lista que relacione o tamanho do episódio e o tempo de download:

#Proporção direta

Em centros urbanos, onde as distâncias entre lugares costumam ser mais longas e o número de pessoas também é muito grande, é fundamental uma oferta maior de meios de transporte.

Adilson anotou o tempo médio, em minutos, que leva para se deslocar de carro por determinadas distâncias, em metros, em sua cidade quando há muito trânsito:

Trecho com ipês-amarelos na avenida Anhanguera em Goiânia, Goiás. Brasil, 2 de setembro de 2021.

Note que, quanto maior a distância a ser percorrida, maior o tempo que se leva para percorrê-la. Por exemplo, sabendo que Adilson percorre 300 metros a cada 5 minutos, então, para percorrer 3 000 metros, ele levará 50 minutos:

300 5 310 310 = 3 000 50

Perceba que também podemos dizer que, quanto menor a distância a ser percorrida, menor o tempo que se leva para percorrê-la. Por exemplo, para Adilson percorrer 60 metros, ele levará 1 minuto:

300 5 410 410 = 60 1

Dadas duas grandezas, quando o aumento em uma grandeza ocasiona um aumento proporcional na outra grandeza, dizemos que essas grandezas são diretamente proporcionais

O mesmo vale para o caso em que a diminuição em uma grandeza ocasiona uma diminuição proporcional na outra grandeza.

LUPAS E LUNETAS

Essa razão entre a distância percorrida e o tempo que se levou para percorrê-la é a velocidade Nesse caso, dizemos que a velocidade foi de 60 metros por minuto. Podemos escrever também 60 m/min

A partir dessa noção, reflita sobre o significado de algumas unidades de medida de velocidade com as quais, provavelmente, você já teve contato:

a) km/h (quilômetros por hora);

b) m/s (metros por segundo). Respostas pessoais.

Tamanho (MB) – Tempo (s)

300 – 45

600 – 90

900 – 135

a) A razão é de 300 45 = 20 3 MB /s

b) Mantendo a razão, para se realizar um download de 900 MB, leva-se um tempo de 135 segundos ou 2 minutos e 15 segundos.

Para baixar o triplo do conteúdo precisamos do triplo do tempo.

c) Em 270 segundos, pode-se determinar uma constante de proporcionalidade: 270 45 = 6, portanto, tem-se 6 300 = 1 800 MB Em 6 vezes o tempo, baixamos 6 vezes mais conteúdo.

Considerando a lista inicial sugerida, os estudantes também podem perceber que 270 é o dobro de 135 e calcular o tamanho do episódio descobrindo o dobro de 900, 1 800.

110 | TRAJETÓRIA 2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ATIVIDADES

16. Lucas vai fazer o download dos episódios de um documentário. Cada episódio tem 300 MB e seu download demora 45 segundos.

Habilidade (EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

a) Qual é a razão entre o tamanho do episódio e o tempo de download?

300 45 MB/s ou 20 3 MB/s

b) Quanto tempo Lucas demorará para realizar o download de 900 MB, mantendo a razão inicial?

c) Quantos MB serão feitos de download em 270 segundos, mantendo a razão inicial? 1 800 MB.

b) 135 segundos = 2 minutos e 15 segundos.

17. Ulisses pratica natação e montou tabelas de dois treinos diferentes com o tempo de treino e a distância percorrida:

a) Como a quantia guardada todo mês é constante, pode-se escrever uma sequência com os valores economizados mês a mês (120, 240, 360, 480). Desse modo, no quarto mês elas terão economizado R$ 480,00.

a) Sendo m o número de meses e e o valor economizado, a expressão é e = 120 ⋅ m

b) Substituindo e = 2 500, tem-se:

2 500 = 120 m ⇒ m = 2 500 120 ⇒ m ≅

2 500 = 120 m ⇒ m =

Qual dos dois treinos de Ulisses relacionam o tempo e a distância de forma diretamente proporcional? Expresse matematicamente.

O treino

18. Elisa e Catarina estão economizando para comprar um computador novo. A cada mês elas guardam R$ 120,00.

a) No quarto mês, quanto elas já terão economizado? R$ 480,00.

b) Expresse matematicamente a relação entre os meses decorridos e as economias de Elisa e Catarina. e = 120 × mm (e: valor economizado; m: meses)

c) Sabendo que o computador custa R$ 2.500,00, por quantos meses será necessário economizar?

19. Flávia está fazendo colares para presentear as amigas. Para um colar, a cada duas miçangas azuis, ela coloca 3 vermelhas.

a) Expresse matematicamente a relação entre as miçangas azuis e as vermelhas.

b) Quantas miçangas vermelhas terá um colar que tem 24 miçangas azuis?

36 miçangas vermelhas.

Atividade 17

Proponha aos estudantes que utilizem uma calculadora para agilizar os cálculos e peça que explorem as relações entre tempo e distância nos 2 treinos.

Em ambos os treinos, em relação ao primeiro registro de tempo (5 s), os demais valores duplicam (10 s), triplicam (15 s) e quadruplicam (20 s). Um modo de apresentar a proporcionalidade é duplicar, triplicar e quadruplicar o primeiro valor de distância (6,25 m), o que corresponde a 12,5 m

2 500 120 ⇒ m ≅ 21 meses

Atividade 19

a) A razão entre as quantidades de miçangas azuis (a) e de vermelhas (v) é a v = 2 3

b) Para manter a razão 2 3 ,, um colar que possui 24 miçangas azuis deve ter 36 miçangas vermelhas.

Espera-se que os estudantes compreendam os conceitos de razão e proporção e usem a proporcionalidade para calcular a quantidade de miçangas vermelhas. Podem usar frações equivalentes e a operação inversa para esse cálculo, pois se 2 azuis 3 vermelhas = 24 azuis x vermelhas e 24 ÷ 2 = 12, temos 3 ÷ 12 = 36 e, então, x = 36 (2 ⋅ 6,25); 18,75 m (3 6,25); 25 m (4 ⋅ 6,25) Esses valores são encontrados no treino 1.

Atividade 18

Retome o conceito de variável e proponha aos estudantes que escrevam a expressão algébrica que representa a economia em relação à quantidade de meses. Complemente com outros problemas que possam ser representados por uma expressão algébrica.

Habilidade

(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

LUPAS E LUNETAS

Para que compreendam a proporcionalidade inversa, proponha aos estudantes que utilizem uma tabela de velocidade e tempo e multipliquem os valores das grandezas, por exemplo:

#Proporção inversa

Uma pessoa de certa cidade pode fazer o trajeto até a escola, que é de 3 quilômetros, por três meios: a pé, de bicicleta e de ônibus.

• A pé, ela se desloca com velocidade de 3 km/h e demora 60 minutos para chegar.

• De bicicleta, ela se desloca com velocidade de 6 km/h e demora 30 minutos para chegar.

• De ônibus, ela se desloca com velocidade de 30 km/h e demora 6 minutos para chegar.

×2 ×5

VELOCIDADE (km/h) 3 6 30

TEMPO (min) 60 30 6 ÷2 ÷5

Observe que, nesse caso, quanto maior a velocidade de deslocamento dessa pessoa, menor é o tempo que ela leva para realizar esse trajeto. Ou, ainda, quanto menor a velocidade dessa pessoa, maior é o tempo que ela leva para realizar esse trajeto.

Dadas duas grandezas, quando o aumento em uma grandeza ocasiona uma diminuição proporcional na outra grandeza, dizemos que essas grandezas são inversamente proporcionais

O mesmo vale para o caso em que a diminuição em uma grandeza ocasiona o aumento proporcional em outra grandeza.

LUPAS E LUNETAS

Respostas pessoais.

Em dupla, pesquisem e listem situações que envolvam grandezas inversamente proporcionais. Com as situações listadas, elabore um problema e troque com sua dupla para resolver.

Na proporcionalidade inversa, a multiplicação das grandezas resulta em uma constante (no exemplo, a distância a ser percorrida).

Atividades 20 e 21

Caso considere adequado, sugira a construção da relação entre as grandezas coletivamente, para que os estudantes participem verbalmente e proponham expressões algébricas. Na resolução dos problemas verifique se compreenderam o enunciado e retome as várias estratégias possíveis, tais como usar a expressão algébrica, fazer lista ou quadro ou efetuar cálculo mental.

Atividade 20

a) A razão entre a velocidade (v) e o tempo (t) é dada por v = 80 t

b) Quando v = 80 km/h, tem-

80

ATIVIDADES

20. Bárbara visita seus pais três vezes por semana. O trajeto de sua casa até a casa de seus pais é de 80 km. Durante os dias úteis, há muito trânsito; sua velocidade média é 40 km/h e ela demora 2 horas. Aos sábados, com menos trânsito, sua velocidade é 60 km/h e o tempo do trajeto é 1 hora e 20 minutos.

a) Expresse matematicamente a relação entre a velocidade e o tempo.

v = 80 t

b) Aos domingos a estrada está livre e a velocidade de Bárbara é de 80 km/h. Em quanto tempo ela fará esse trajeto? 1 hora.

21. João tem um restaurante que prepara marmitas saudáveis. Com 3 funcionários, ele produz 1 200 marmitas em 15 dias.

Atividade 21

80 = 80 t ⇒ t = 80 80 ⇒ t = 1 hora

= 1 hora

a) Com 9 funcionários, em quantos dias serão produzidas 1 200 marmitas? 5 dias.

b) Expresse matematicamente a relação entre funcionários e dias.

c) Se as 1 200 marmitas foram feitas em 9 dias, quantos funcionários João tem contratados?

b) f = 45 d , sendo f: funcionários, d: dias 5 funcionários.

a) Com o triplo de funcionários, João produzirá a mesma quantidade de marmitas (1 200) na terça parte do tempo, ou seja, em 5 dias.

b) Sendo f a quantidade de funcionários e d a quantidade de dias, tem-se a expressão f = 45 d

c) Se as 1 200 marmitas foram feitas em 9 dias, João tinha um total de f = 45 9 = 5 funcionários.

112 | TRAJETÓRIA 2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LEVO NA BAGAGEM

Respostas pessoais.

Consulte seu caderno, os trabalhos que você desenvolveu, suas anotações de estudos e reflita sobre o que aprendeu até agora neste passeio.

▶ Matemática

• Compreende a ideia de variável para descrever situações matematicamente?

• Reconhece se duas expressões algébricas são equivalentes?

• Expressa algebricamente regularidades encontradas em sequências?

• Classifica sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo, quando possível, que este conceito está também presente nas artes?

• Utiliza sentenças algébricas para expressar relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas grandezas?

• Resolve e elabora problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa entre duas grandezas?

▶ Outras disciplinas

Geografia

• Analisa e compreende a influência e o papel das redes de transporte e comunicação na configuração do território brasileiro?

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, avalie como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO

Insuficiente Parcialmente suficiente Satisfatório Plenamente satisfatório

LEVO NA BAGAGEM

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre o próprio aprendizado, enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, classificarão seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas que estão presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

BARCOS E PORTOS

Organize

Solicite aos estudantes que retornem à seção Arredores para observarem o mapa com os conceitos trabalhados neste passeio e elaborarem um resumo com exemplos de situações cotidianas envolvendo esses conceitos.

Elabore

Oriente o processo de pesquisa e escrita de um texto científico em que se aborde o conceito matemático de recursividade utilizando-se, por exemplo, do efeito Droste, que é um efeito produzido por uma imagem que aparece dentro dela própria, no lugar em que uma imagem semelhante deveria aparecer de forma realística.

BARCOS E PORTOS

▶ Organize

Respostas pessoais.

Neste passeio, você explorou diversos temas relacionados ao conhecimento algébrico, como expressões algébricas, sequências e proporcionalidade. Releia este passeio e faça um resumo das principais ideias e conceitos, exemplificando cada um com situações cotidianas.

▶ Elabore

Uma das ideias exploradas neste passeio foi a de recursividade. Essa ideia está presente, por exemplo, nas artes.

Mão que desenha mão. Arte feita com recurso digital. Releitura de Drawing hands (1948), de Escher.

Na imagem, uma mão desenha uma mão, que desenha uma mão, que desenha uma mão, e assim por diante. Pesquise, na internet ou em livros, mais exemplos da ideia de recursividade na arte. Uma sugestão é pesquisar o denominado Efeito Droste:

Um laptop, uma maçã e um par de óculos em uma tela em infinitas repetições.

Após selecionar as imagens em sua pesquisa, elabore um texto que explique a recursividade presente. Compartilhe com os colegas.

114 | BARCOS E PORTOS NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

OLGA DONCHUK/SHUTTERSTOCK

IRYNA KUZNETSOVA/SHUTTERSTOCK

▶Proponha

A pergunta inicial deste passeio é: Como podemos viajar para conhecer diferentes lugares?

Ao longo do passeio, você esteve em contato com diversas situações-problema que tinham como contexto não somente a ideia de viajar e conhecer novos lugares, como também as maneiras para nos deslocarmos nesses lugares.

Infelizmente, não é sempre que temos a oportunidade de realizar tantas viagens! Porém, existem maneiras de viajar sem sair de casa. A principal delas é a imaginação! Podemos ler um livro, ver fotos, assistir a filmes, ouvir músicas, jogar games eletrônicos etc. Todos eles nos ajudam a viajar “nas asas da imaginação” para lugares reais ou imaginados!

Proponha

Ao longo deste passeio, para responder à questão Como podemos viajar para conhecer diferentes lugares? conversamos sobre conhecer novos lugares e diversos meios de transporte utilizados. Agora vamos viajar com a imaginação. A proposta é confeccionar um cartaz sobre um lugar hipotético ou real e retratar nele as pessoas, o espaço, a natureza etc. Organize como a turma deseja expor esses cartazes.

Ler, brincar, projetar o futuro e explorar a natureza também são modos de viajar “nas asas” da imaginação.

a) Em grupos, imaginem um lugar que vocês gostariam de visitar. Esse lugar pode ser real ou inventado! Pensem em como são as paisagens, as pessoas, a língua etc. Lembre-se de dar atenção também aos meios de transporte necessários para chegar até lá ou para realizar passeios no lugar.

b) Elaborem um cartaz com desenhos, palavras, fotos etc. que comuniquem o maior número de detalhes possível sobre o lugar que vocês escolheram ou inventaram.

c) Com a ajuda do cartaz, apresentem o lugar para os demais colegas e convide-os a embarcar na sua viagem pela imaginação.

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LASSEDESIGNEN/SHUTTERSTOCK

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Encontro com outras disciplinas

(EF07GE03) Selecionar argumentos que reconheçam as territorialidades dos povos indígenas originários, das comunidades remanescentes de quilombos, de povos das florestas e do cerrado, de ribeirinhos e caiçaras, entre outros grupos sociais do campo e da cidade, como direitos legais dessas comunidades.

CHECK-IN

Organize uma roda de leitura para os estudantes observarem as imagens e as diferentes culturas presentes nelas. Com as diversas características observadas, eles poderão estabelecer reflexões críticas sobre as diferenças culturais. As fotos apresentam locais cujas características físicas da natureza (mar, solo, clima) e culturais das pessoas são muito diferentes. Solicite aos estudantes que realizem uma pesquisa sobre os lugares apresentados nas imagens.

POR QUE OS ESPAÇOS URBANOS SÃO DIFERENTES?

no deserto do Thar, noroeste da Índia. Indígenas Pataxó durante disputas em jogos indígenas na aldeia Coroa Vermelha, na cidade de Santa Cruz Cabrália, Bahia, Brasil (19 abr. 2009).

CHECK-IN

Os lugares são diferentes não apenas pelos elementos da natureza como vegetação, clima e relevo, mas especialmente pelas relações de seus habitantes com os outros, com os modos de conhecer, de explorar e de transformar a natureza.

Respostas pessoais.

a) Como você imagina que as pessoas dessas regiões mostradas nas imagens se relacionam com o lugar em que vivem?

b) Será que elas utilizam conhecimentos de Geometria em seu cotidiano?

• Escolha um desses povos, pesquise e compartilhe suas descobertas.

Crianças nômades do mar, do povo Bajau, na ilha de Dinawan, Sabah, Malásia (20 jun. 2019). Pastor de ovelhas do povo Massai, no Quênia, no continente africano (29 jan. 2015). Tradicional aldeia inuit localizada na Baía de Melville, no extremo norte da Groenlândia Ocidental. Beduínos

116 | TRAJETÓRIA 2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

JOA

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BÚSSOLA

Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos:

• Medir ângulos com transferidor.

• Construir circunferências, utilizando compasso, para fazer composições artísticas.

• Resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

• Reconhecer relações entre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal e calcular medidas de ângulos considerando essas relações.

• Estabelecer aproximações do número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas.

• Estabelecer relações entre as medidas de ângulos internos e externos de polígonos.

• Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, para resolver problemas vinculados à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

• Descrever etapas da construção de um polígono regular.

• Reconhecer as territorialidades e saberes dos diversos povos (originários do Brasil, povos do Cerrado, grupos sociais do campo e da cidade etc.) promovendo o respeito e a valorização dessas comunidades.

EF07MA22, EF07MA23, EF07MA27, EF07MA28, EF07MA33 EF07GE03

Habilidade

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

Encontro com outras disciplinas

(EF07GE03) Selecionar argumentos que reconheçam as territorialidades dos povos indígenas originários, das comunidades remanescentes de quilombos, de povos das florestas e do cerrado, de ribeirinhos e caiçaras, entre outros grupos sociais do campo e da cidade, como direitos legais dessas comunidades.

ATMOSFERA

Convide o professor de Geografia para, juntos, executarem uma proposta de trabalho sobre a territorialidade de diferentes povos e seus direitos legais. Não temos aqui a pretensão de desenvolver na totalidade uma das habilidades de Geografia EF07GE03, mas parte dela será contemplada nesta proposta. Conhecer as diferentes formas de o ser humano se relacionar entre si e com a natureza propicia a valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

O Decreto 6.040, de 7 de fevereiro de 2007, que reconheceu a existência de povos e comunidades tradicionais, entre os quais estão os ribeirinhos, busca um modo de assegurar a esses povos o direito de existir da sua forma, econômica e socialmente.

O que é matematizar?

Cada grupo cultural tem suas formas de matematizar. Não há como ignorar isso e não respeitar essas particularidades quando ao ingresso da criança na escola. Nesse momento, todo o passado cultural da criança deve ser respeitado. Isso não

só lhe dará uma certa dignidade cultural ao ver suas origens culturais sendo aceitas por seu mestre e desse modo saber que esse respeito se estende também à sua família e à sua cultura.

D'AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática, 5. ed., São Paulo: Ática, 1998. p. 17.

Uma matemática das ações simples

[...]

O que caracteriza a busca pelo conhecimento das pessoas da zona rural é o modo de como elas desenvolvem o trabalho na terra, o cuidado que têm com a natureza, a organização das atividades que produzem feitas por meio da mão de obra, é a partir de ações simples, que conseguem desenvolver uma matemática rudimentar. E é esta matemática

que queremos resgatar dos alunos, no qual saibam relacionar a importância do contexto sociocultural com a matemática escolar, que consigam perceber que ela não é vivenciada só através de fórmulas e cálculos, mas por meio de experiências próprias que vivenciaram no ambiente familiar.

Deyse Gomes da; MULLER, Hofélia Madalena Pozzobon. Aprendizagem matemática rural e etnomatemática: visualização e compreensão de novos diálogos. Universidade

Agricultor brasileiro registrando, com smartphone, imagens dos grãos de café para análises agronômicas via internet. Família de agricultores em plantação de beterraba e outros hortifrútis, Apiaí, São Paulo, Brasil.

ATIVIDADES

Respostas pessoais.

1. Você conhece alguma família que vive do trabalho no campo? Conte para os colegas o que sabe sobre a Matemática que essas pessoas usam.

2. Se fosse para “localizar”, em algum detalhe dessas duas fotos, ideias de ângulo, quais você apontaria?

Organize uma roda para conversarem sobre a Matemática usada em contextos mais específicos: pode ser na agricultura familiar, nas vendas informais, nas aldeias indígenas. Esse modo de realizar os cálculos, diferente da Matemática escolarizada, vem da vivência, das experiências práticas. Solicite aos estudantes que realizem pesquisas relacionadas a elementos etnomatemáticos locais de diferentes comunidades e compartilhem entre si esses conhecimentos.

Atividades 1 e 2

Proponha aos estudantes que compartilhem suas experiências relacionadas à vida no campo, o que retrata a Diversidade Cultural (TCT) na qual estão inseridos.

Algumas das possibilidades de respostas podem ser: xadrez da camisa, quinas do celular, telhados da casa, cruzamentos entre os caminhos da horta.

FONSECA,

Estadual de Goiás (UEG) Campus Posse. p. 4.

118 | TRAJETÓRIA 2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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BRASTOCK/SHUTTERSTOCK

#Ângulos

Para peneirar o café, o corpo necessita estar em uma “composição” rica em ângulos de tal modo que o trabalho seja executado com eficiência. Se algum ângulo “ficar fora da abertura correta”, o café corre risco de cair da peneira.

Habilidade (EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

Atividades 3 e 4

na colheita de café, no momento de peneirar os grãos. Apucarana, Paraná, Brasil, 23

Uma figura geométrica que reúne duas semirretas de mesma origem e a região do plano limitada por elas é chamada de ângulo

O ponto O é o vértice do ângulo. As semirretas OA " e OB " são os lados do ângulo. Indicamos esse ângulo por: AOB ou BOA ou simplesmente O O ângulo AOB é uma das duas regiões do plano α limitadas pelas semirretas

ATIVIDADES

3. Observe a foto da família na praia e, no caderno, faça um esquema dos corpos das pessoas dessa imagem, localizando os ângulos, como foi feito com a imagem do agricultor.

4. No desenho que você fez, determine pontos como o vértice e outros pertencentes aos segmentos desenhados e nomeie cada ângulo na figura.

Família passeando na praia.

Os estudantes podem mencionar o ângulo de inclinação dos braços do pai formado pelos braços e o tronco ou o ângulo formado pelo corpo e o chão ou a inclinação das cabeças do pai e da mãe observando a criança, entre outros. Oriente os estudantes a não desenharem no livro.

Agricultor trabalhando

de julho de 2021.

DENIS MOSKVINOV/SHUTTERSTOCK

Habilidade (EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

Atividades 5 a 7

O estudante precisa ter o ângulo reto como referência para determinar ângulos agudos ou ângulos obtusos. Para isso pode cortar um canto da folha de sulfite para comparar.

Atividade 5

Considere os ângulos retos em verde, os agudos em vermelho e os obtusos em roxo.

Medidas de ângulos

O ângulo W O ! U foi medido com o auxílio de um transferidor.

Lendo a marcação, na escala interna, pela qual passa a semirreta OW " , vemos que a medida da abertura desse ângulo é de 60o, ou seja: m(W O ! U ) = 60o

O ângulo W O ! U é agudo, pois sua medida está entre 0o e 90o

Ângulo reto 90o Ângulo raso 180o Ângulo de uma volta completa 360o

ATIVIDADES

Atividade 6

Um ângulo de uma volta completa pode ser representado por um círculo: 360o

Um ângulo nulo equivale a duas semirretas coincidentes (não houve giro ou abertura), conforme a representação: 0o

Atividade 7

Oriente os estudantes a identificar diferentes ideias de ângulo – região do plano, giro, inclinação – nas imagens que pesquisarem.

Ângulo nulo 0o

5. Reproduza os polígonos e use cores diferentes para destacar ângulos internos retos; menores do que um ângulo reto (agudos); e maiores do que um reto, mas menores do que um raso (obtusos).

6. Componha um ângulo de uma volta completa e descreva um ângulo nulo.

7. Pesquise imagens e monte um mural representando cada um dos ângulos que você estudou.

Construção e transporte de ângulos

A Ilha de Marajó produz cerâmicas: uma herança do trabalho indígena dos povos que habitavam a ilha há mais de 1 600 anos. É considerada a mais antiga arte cerâmica do Brasil e uma das mais antigas da América.

Um admirador da arte marajoara vai reproduzir, em uma grande folha de papel, uma estampa inspirada em uma peça de cerâmica.

Respostas pessoais. 120 |

Na reprodução, há um ângulo a ser construído que mede 30o

Cerâmica Marajoara. Foto de uma barraca de palha encontrada em uma praia localizada na ilha de Marajó, Pará, Brasil.

Veja os algoritmos (descrição passo a passo) da construção do ângulo sobre a folha de papel e, depois, do transporte desse ângulo para outra superfície na qual ele vai representar sua inspiração da estampa marajoara.

CONSTRUÇÃO DO ÂNGULO

1. Construir, usando uma régua, uma reta t e destacar sobre ela um ponto O

2. Colocar o transferidor sobre a reta t, posicionando o centro do transferidor sobre o ponto O e, na marca de 30o, indicar o ponto P

3. Traçar a semirreta que parte de O e passa pelo ponto P

Habilidade (EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

e Etnologia da USP (SP), Museu Universitário Professor Oswaldo Rodrigues Cabral (SC) e também no Museu Americano de História Natural, em Nova York (EUA). A preservação dessas peças tem importância na valorização da diversidade de culturas dos povos que habitaram o Brasil.

TRANSPORTE DO ÂNGULO

1. Traçar, com a ponta-seca em O, um arco de circunferência passando por P e Q

2. Reproduzir esse mesmo arco com a ponta-seca

R

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

Faça um levantamento inicial sobre o conhecimento dos estudantes referente à cerâmica Marajoara: se eles já a conhecem ou tiveram contato alguma vez com ela. Muitos aspectos da cultura, história e arte do Brasil estão ligados à colonização dos portugueses e espanhóis no país. Mas existem produções artísticas que não tiveram (muita) influência de fora, como as produções indígenas e uma delas é a cerâmica Marajoara, produzida na Ilha de Marajó, no estado do Pará.

A cerâmica Marajoara surgiu com os indígenas que ocupavam a região de Marajó entre os anos 400 e 1 400, antes mesmo da invasão portuguesa. Essa cerâmica apresenta como característica o zoomorfismo, que é a representação de animais em formas humanas, representações femininas e antropomórficas atribuídas a divindades.

Peças históricas podem ser encontradas em museus locais e internacionais. São eles: Museu Paraense Emílio Goeldi (PA), Museu do Marajó (PA), Museu Histórico Nacional (RJ), Museu de Arqueologia

no ponto inicial U (vértice do ângulo transportado) para determinar o ponto

3. Traçar, com centro em R, um arco com a medida do segmento PQ para obter S

4. Traçar o segmento US

Assim, a medida de PO ! Q é igual à de RU ! S

Habilidades

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

Atividade 8

Pode-se observar ângulos retos formados no encontro dos pilares com as sacadas de cada uma das casas, assim como os ângulos formados entre as paredes. Já nos telhados, observa-se a formação de ângulos agudos.

Atividade 9

Podem ser destacados os ângulos agudos congruentes na “seta” ou no “asterisco”; os ângulos retos em um quarto de círculo ou nos quadrados; os ângulos rasos em meio círculo; entre outros. Oriente os estudantes a não desenhar no livro.

Ângulos congruentes

O esquema mostra dois ângulos, T UV e W E S que são congruentes

Vitral de uma mesquita, na Indonésia.

Quando dois ângulos ou duas figuras geométricas são congruentes, podemos transportar uma sobre a outra e verificar que a figura transportada coincide exatamente com a outra, em todos os pontos e ângulos.

Dois ângulos com medidas iguais são chamados de ângulos congruentes Indicamos a congruência entre eles por este sinal ≡

ATIVIDADES

Respostas pessoais.

8. Observe as imagens e descreva, por meio de texto argumentativo, os ângulos congruentes em cada uma.

Composições geométricas nas construções.

9. Utilize tecnologia para reproduzir digitalmente ou em papel esta composição de figuras e destaque com cores os ângulos congruentes.

Formas simples em um padrão geométrico abstrato.

#Relações entre ângulos

Vamos analisar o detalhe que destaca as regiões de três ângulos conforme o esquema de cores: amarelo, cinza e azul.

Habilidades

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

Parede revestida com pastilha em templo na Tailândia.

Ângulos adjacentes

Os ângulos AO ! B e BO ! C têm em comum apenas um de seus lados: a semirreta OB " Além disso, qualquer ponto X interno a AO ! B não é interno a BO ! C; analogamente, qualquer ponto Y interno a BO ! C não é interno a AO ! B Esses dois ângulos são adjacentes.

Dois ângulos com um lado comum e sem pontos internos comuns são chamados de ângulos adjacentes

Observação: os ângulos AO ! B e AO ! C têm em comum o lado OA " , mas não são adjacentes, pois todos os pontos da região cinza são comuns aos dois ângulos.

m(AO ! C ) = m(AO ! B ) + m(BO ! C)

Ângulos complementares ou suplementares

Considere os ângulos:

LUPAS E LUNETAS

Utilize um transferidor para determinar as medidas solicitadas.

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

LUPAS E LUNETAS

Este é um estudo exploratório para que o estudante calcule a soma das medidas dos ângulos e determine quais ângulos são complementares e quais são suplementares, entre os apresentados na figura. Oriente-os no uso do transferidor.

a) Determine a medida de CO ! A Em seguida, obtenha, separadamente, as medidas de CO ! M e de MO ! A Que relação você pode estabelecer entre as medidas desses três ângulos?

b) Determine a medida de MO ! B Em seguida, meça, separadamente, MO ! C e C O ! B Que relação você pode estabelecer entre as medidas desses três ângulos?

a) m(CO ! A) = m(CO ! M ) + m(MO ! A) = 90o m(MO ! B ) = m(MO ! C ) + m(CO ! B ) = 180o

Dois ângulos são chamados de ângulos complementares se a soma de suas medidas é igual a 90o

Dois ângulos são chamados de ângulos suplementares se a soma de suas medidas é igual a 180o

Habilidade

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

LUPAS E LUNETAS

Espera-se que os estudantes verifiquem que os ângulos, um oposto ao outro pelo vértice, obtidos no cruzamento dos dois segmentos de reta (representados pelos dois vincos no papel) têm a mesma abertura, ou seja, são ângulos congruentes. Incentive os estudantes a efetuar essa verificação para os dois pares de ângulos opostos.

Também incentive-os a compartilhar os resultados com os colegas, verificando que a conclusão se mantém, independentemente de como foram feitas as dobras nos passos 1 e 3.

Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.)

Vamos observar os ângulos formados por duas retas concorrentes. Será que os ângulos destacados em mesma cor têm também mesma medida? Como você faria para descobrir isso?

LUPAS E LUNETAS

Utilize uma folha de papel A4 para esta exploração. Proceda conforme mostra o passo a passo.

Ao sobrepor um “ângulo” ao seu oposto pelo vértice, o que você percebeu? Apresente suas conclusões aos colegas. Resposta pessoal.

Dois ângulos são opostos pelo vértice (o.p.v.) se os lados de um são semirretas opostas aos lados do outro.

Você fez um experimento prático para confirmar uma hipótese a respeito das medidas dos ângulos opostos pelo vértice. Saiba que esse é um fato que pode ser demonstrado por raciocínio matemático.

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Demonstração

a + x = 180o (I)

b + x = 180o (II)

(I) = (II)

a + x = 180o (I)

b + x = 180o (II)

(I) = (II)

a + x = b + x

a + x – x = b + x – x

a + 0 = b + 0

a = b

a + x = b + x

Observação: o ângulo a ! tem medida a, ou seja: m( a ) = a

a + x – x = b + x – x

124 | TRAJETÓRIA 2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

a + 0 = b + 0

a = b

Atividade 10

Nesta atividade, os estudantes perceberão que:

a) O ângulo g ! mede 50o, pois é oposto pelo vértice ao ângulo de 50o Como os ângulos u ! e 50o são suplementares, temos:

50o + u = 180o

u = 180o

u = 130o

50o

b) O ângulo g ! mede 135o, pois é oposto pelo vértice ao ângulo de 135o Como os ângulos u ! e g ! são suplementares, temos:

135o + u = 180o

u = 180o – 135o

u = 45o

1. Dobrar vincando bem.

2. Desdobrar. 3. Fazer uma segunda dobra cruzando a primeira. Vincar bem.

4. Desdobrar. 5. Destacar um “ângulo” e sobrepô-lo ao seu oposto pelo ponto de interseção dos vincos.

ATIVIDADES

10. Em cada item, determine a medida dos ângulos u e g

11. Determine o valor de x e as medidas dos ângulos opostos pelo vértice.

x = 25o ; ângulos vermelhos: 65o; ângulos azuis: 115o

Habilidades

a) b)

u = 130o e g = 50o u = 45o e g = 135o

#Ângulos em feixe de retas

Observe a foto do vitral.

As duas ripas de madeira estão representadas pelas retas paralelas r e s. Uma das linhas pretas do vitral está representada pela reta transversal t

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

Vitral na fachada de uma estufa em Washington, EUA, 24 de outubro de 2014.

As retas paralelas determinam, com a transversal, oito ângulos.

Vamos formar pares com esses ângulos, analisar a posição relativa entre eles e as relações entre suas medidas. Cada par de ângulos pode ser classificado em: correspondentes, alternos internos, alternos externos, colaterais internos e colaterais externos

Ângulos correspondentes Ângulos alternos

a e v, b e w

Internos Externos

c e x, d e z b e z

ATIVIDADES

Ângulos colaterais

Assim, um dos ângulos (em vermelho) pode ser calculado por 25o + 2 x = 15o + 50o = 65o e o outro (em azul), por 180o – 65o = 115o 180o – 65o = 115o

Outra possibilidade seria os estudantes resolverem pensando em operações inversas e em equilíbrio (como em uma balança):

a e x d e w

b e v c e z a e w d e x

c e v

Internos Externos Pares de ângulos congruentes Pares de ângulos suplementares

12. Para cada feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal, determine as medidas k e z

Atividade 12

Os estudantes perceberão que, usando os conceitos de ângulos opostos pelo vértice e de ângulos suplementares, conseguem calcular as medidas de todos os ângulos. Reproduza o esquema:

Atividade 11

Os estudantes podem resolver este exercício por tentativa e erro, organizando as informações em um quadro.

Então, escreva as relações entre as medi

das dos ângulos indicados:

CAROL ANN MOSSA/SHUTTERSTOCK

Habilidades

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

NUVENS

Se for possível, utilize um software de Geometria Dinâmica na sala de informática; projete o monitor que estiver usando em um telão ou TV para que os estudantes acompanhem o passo a passo. Verifique quais estudantes têm habilidade com esse recurso e solicite a eles que auxiliem os demais. Essa construção será utilizada na próxima atividade.

Atividade 13

Relembrando a construção do Lupas e lunetas anterior, solicite que, movimentando a reta, observem a medida dos ângulos opostos pelo vértice – que são sempre congruentes – e a soma das medidas dos ângulos colaterais – sempre igual a 180o (suplementares).

NUVEN S

Investigação sobre feixes de retas paralelas cortadas por uma transversal

Existem diversos softwares de Matemática dinâmica gratuitos. Procure um e utilize-o para favorecer suas investigações sobre feixes de retas paralelas cortadas por uma transversal.

1o passo: criar retas paralelas

Utilize a ferramenta reta ( ) e selecione dois pontos A e B no plano; em seguida, utilize a ferramenta reta paralela ( ) e selecione a reta AB criada e um ponto C fora dela. Assim, teremos duas retas que são paralelas.

2 o passo: traçar uma reta transversal Selecione novamente a ferramenta reta ( ) e selecione dois pontos em uma direção diferente da direção das retas paralelas.

3o passo: selecionar pontos para a determinação de ângulos

Utilizando a ferramenta ponto ( ), selecione as intersecções entre as retas e um ponto em cada lado das divisões feitas.

4o passo: determinar os ângulos Utilizando a ferramenta ângulo ( ), selecione três a três os pontos criados para formar os ângulos de acordo com a nomenclatura estudada.

ATIVIDADES

Respostas pessoais.

13. Utilizando a ferramenta mover ( ), movimente as retas e os pontos, investigue como essas movimentações interferem nos ângulos e registre suas conclusões.

126 | TRAJETÓRIA 2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

#Ângulos em polígonos

As moradias são diferentes em muitos lugares. As condições climáticas, aspectos econômicos e culturais são as principais causas da diversidade dos modos de ocupar o espaço com a habitação.

Habilidade

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

Moradia situada no Parque Nacional de North Lwanga, em Zâmbia, África Oriental.

LUPAS E LUNETAS

Como são as moradias no lugar onde você vive? De onde vêm os materiais? São locais ou trazidos de longe? Você já viu moradias como essa da foto? Converse com os colegas. Respostas pessoais.

Observe o polígono ABCDE como representação da fachada da moradia da foto.

Os ângulos internos de um polígono são formados por dois lados consecutivos do polígono.

Os ângulos externos do polígono são formados por um lado do polígono e pelo prolongamento do lado consecutivo a ele.

Elementos do polígono

Do polígono ABCDE, vamos destacar os elementos:

• Ângulos internos: al , bl ! , cl , dl ! , e

• Ângulos externos: a e

! , b e

! , c e

! , d e

!

! , e e

• Vértices: A, B, C, D, E

• Lados: AB, BC , CD, DE , EA

• Vértices consecutivos: por exemplo, A e B são dois vértices consecutivos, pois são extremidades de um mesmo lado desse polígono.

• Lados consecutivos: por exemplo, AB e BC , pois têm um vértice comum.

O nome de cada polígono é dado conforme o número de lados (ou de vértices ou de ângulos internos). O polígono representado anteriormente é um pentágono, pois tem 5 lados (5 vértices e 5 ângulos internos). Nomeamos: pentágono ABCDE

LUPAS E LUNETAS

Incentive os estudantes a refletir sobre o espaço habitado. Proponha reflexões sobre como as construções podem preservar ou destruir o espaço; quais aspectos do espaço habitado são de concepções globais e quais são de concepções locais; quais são impostas pelas condições geográficas e quais pelos padrões sociais ou pelas matrizes culturais.

Inicie uma conversa com os estudantes a partir da seguinte pergunta: será que as moradias são construídas de uma mesma maneira em todos os lugares do mundo? É interessante que, neste primeiro momento, eles exponham suas ideias de como são as casas nos lugares mais distintos.

Em sequência, organize-os em duplas e proponha a cada um que faça uma descrição de como é sua casa: se tem quarto, banheiro, sala, cozinha e outros cômodos, de que material ela é feita. Depois, os membros de cada dupla devem comparar as descrições, buscando elementos comuns e distintos. Lance a seguinte pergunta: os membros das duplas encontraram mais elementos em comum ou elementos divergentes? Se essa comparação fosse feita com um estudante que vive em outro país, será que a quantidade de elementos divergentes seria maior? Cite quais elementos as duplas acreditam que seriam diferentes.

|

É importante explorar as diferentes formas culturais presentes, desde o modo de se vestir até a estrutura e arquitetura de uma moradia, de maneira que essa exploração seja respeitosa e livre de julgamentos.

ALBERTO LOYO/SHUTTERSTOCK

Habilidade (EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

Atividade 14

Ressalte que, para registrar os ângulos externos, é preciso fazer o prolongamento dos segmentos de reta – lados dos polígonos – no mesmo sentido (horário ou anti-horário). C

Relação entre os ângulos internos e externos de um polígono Considere um polígono de n lados.

Vértice A1 → i 1 + e1 = 180o

Vértice A2 → i2 + e2 = 180o

Vértice A3 → i3 + e3 = 180o ! !

Vértice A n → i n + e n = 180o

Em um mesmo vértice, os ângulos internos e externos do polígono são sempre adjacentes e suplementares. Esse fato pode ser assim enunciado:

Em um polígono, a medida de um ângulo interno adicionada à medida do ângulo externo adjacente a ele é igual a 180o

ATIVIDADES

14. Reproduza os polígonos nomeando os vértices, destacando os ângulos internos e os externos.

Respostas pessoais.

#Polígonos congruentes e polígonos regulares

Polígonos congruentes

Dois polígonos em posições diferentes podem ser “gêmeos”? O que você imagina que são dois polígonos congruentes?

PAVELSHYNKAROU/SHUTTERSTOCK

LUPAS E LUNETAS

! com

,

2

! e assim por diante. Compartilhe suas conclusões com os colegas. Respostas pessoais.

Dois polígonos são congruentes quando a medida de seus lados e de seus ângulos correspondentes são iguais, ou seja, quando os lados correspondentes e também os ângulos correspondentes são congruentes.

Polígonos regulares

Observe os revestimentos das paredes e a estampa do tecido.

Decoração minimalista de parede lateral em uma sala de espera de consultório. Revestimento de parede com cacos de azulejos. Estampa de tecido com motivos étnicos e tribais.

Em ambos os revestimentos e na estampa do tecido, podemos ter a ideia de polígonos, embora nem todos sejam regulares.

Um polígono regular é aquele em que todos os seus lados são congruentes e todos os seus ângulos são congruentes.

Observe estes exemplos: Polígonos regulares. Polígonos não regulares.

ATIVIDADES

15. Considere as imagens e compare as duas composições com os revestimentos da sala de consultório. Compartilhe suas conclusões com os colegas. Respostas pessoais.

16. Utilizando régua e transferidor, desenhe dois polígonos não regulares (com número maior do que 4 lados) que sejam congruentes, mas em posições diferentes. Construção pessoal.

17. Desenhe um polígono regular com todos os seus ângulos internos agudos. Compare seu desenho com o dos colegas: o que aconteceu? Construção pessoal.

assim por diante. Depois, utilize um transferidor e faça a comparação das medidas de A 1 129 | NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LUPAS E LUNETAS

Após a verificação de que os polígonos são congruentes, incentive os estudantes a fazer uma simulação mental girando o polígono A em um quarto de volta (aproximadamente) no sentido horário para obter o polígono B. É parte do desenvolvimento do raciocínio geométrico simular movimentos de rotação e outros movimentos mentalmente.

Atividade 15

Incentive os estudantes a comparar a composição triangular da decoração minimalista com a composição triangular dos cacos de azulejos. Espera-se que os estudantes percebam que, no primeiro caso, todos os triângulos são regulares; enquanto no segundo caso, os triângulos não são regulares.

Depois, proponha que comparem o revestimento hexagonal da decoração minimalista com a composição hexagonal da estampa étnica. Espera-se

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

que percebam que a primeira é composta de hexágonos regulares, enquanto a segunda, de hexágonos não regulares.

Atividade 16

Proponha aos estudantes que exponham seus desenhos no mural e verifiquem a diversidade das produções dos colegas. Incentive-os a simular, mentalmente, o giro ou deslocamento de um polígono em relação ao seu correspondente congruente, para cada produção exposta no mural.

Atividade 17

129 |

VIVEK PAYGUDE/SHUTTERSTOCK

FLOVIE/SHUTTERSTOCK

Habilidade

Habilidade

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

Travessias

Se considerar adequado, faça uma reprodução ampliada da imagem e proponha aos estudantes que recortem um dos ladrilhos e sobreponham à figura para efeito de comparação. Os estudantes provavelmente perceberão que todos os ladrilhos são iguais.

Atividade 18

a) A pavimentação II. Discuta cada frase coletivamente para observarem que na pavimentação I há dois modelos de polígonos, por isso não são congruentes.

b) A pavimentação I, pois os ladrilhos deveriam ser polígonos congruentes.

Atividade 19

Uma possibilidade é fornecer a malha pontilhada triangular para que os estudantes façam a construção do ladrilhamento com os triângulos regulares (equiláteros), quadrados e hexágonos regulares.

Atividade 20

Proponha que os estudantes circulem em torno de um vértice, para que percebam que as medidas dos ângulos internos somam 360o. Observe que 60o, 90o e 120o (ângulos internos daqueles polígonos regulares) são divisores de 360o

TRAVESSIAS

Mosaicos e ladrilhamentos

Há diversos tipos de ladrilhamentos (também conhecido como pavimentação, tesselação ou mosaico) compostos por um, dois ou três tipos de ladrilhos. Veja um mosaico conhecido como pavimentação do Cairo:

Quantos tipos de ladrilhos diferentes há nesse mosaico?

Agora, observe estes polígonos regulares.

Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono

Heptágono Octógono Eneágono Decágono Com qual(is) dele(s) você imagina ser possível construir um mosaico inteiramente composto por uma só peça que se repete?

Essa tesselação aparece frequentemente nas ruas do Cairo, no Egito.

ATIVIDADES

Vamos fazer essa investigação? Forme dupla ou trio.

18. Para descobrir a resposta da questão proposta, é preciso considerar estas condições:

• Os ladrilhos são polígonos regulares.

• A intersecção de dois polígonos em ladrilhamentos é sempre um lado ou um vértice ou vazia.

• O tipo de cada vértice é sempre o mesmo, isto é, a distribuição ao redor de cada vértice é sempre a mesma.

• Os ladrilhos são polígonos congruentes.

a) Qual dois exemplos de pavimentação cumpre as quatro condições? (I) (II)

A pavimentação (II).

b) A pavimentação (I). Os ladrilhos são polígonos congruentes.

b) Qual dessas pavimentações não cumpriu as 4 condições? Qual condição falhou?

19. O primeiro item da questão anterior já lhe mostrou uma solução. Há ainda outras soluções. Encontre as demais soluções de pavimentação que cumprem integralmente as quatro condições.

• Apresente a solução para os colegas. Como vocês fizeram para descobrir essas soluções?

Respostas pessoais.

20. Quanto aos ângulos internos dos polígonos utilizados nesses mosaicos, o que vocês puderam observar? Respostas pessoais.

130 | TRAJETÓRIA 2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Os babilônios – assim chamados os diversos povos que, durante 3 000 anos, ocuparam sucessivamente a Mesopotâmia, cujo território hoje corresponde, aproximadamente, ao do Iraque

tinham conhecimentos de astronomia, pois faziam observações da esfera celeste. Também faziam uso das relações que envolviam a circunferência em situações práticas. Seus conhecimentos de Geometria eram estreitamente ligados às medições.

Habilidade

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes. Encontro com outras disciplinas

Cena da cidade dos babilônios, em representação livre.

A circunferência, objeto de estudo da Geometria, já era conhecida por distintos povos em diferentes épocas.

(EF07GE03) Selecionar argumentos que reconheçam as territorialidades dos povos indígenas originários, das comunidades remanescentes de quilombos, de povos das florestas e do cerrado, de ribeirinhos e caiçaras, entre outros grupos sociais do campo e da cidade, como direitos legais dessas comunidades.

Vista aérea de Moray, um complexo de depressões circulares em Cuzco, no Peru, construído pelo povo inca há mais de 1 000 anos. Círculo de Pedra Dromberg, com 9,3 m de diâmetro, construído há mais de 3 000 anos, no Condado de Cork, Irlanda. Vista aérea do sítio arqueológico do Castro do Monte Padrão, Monte Córdova, em Portugal, com construções que datam de quase 3 000 anos. Vista aérea de Stonehenge, formação de círculos concêntricos de enormes pedras pesando por volta de 50 toneladas, construído há mais de 4 500 anos, no condado de Wiltshire, Inglaterra.

O conhecimento sobre a circunferência, e outros objetos da Geometria, desses povos antigos não era organizado conforme as representações, a linguagem e a lógica dos dias de hoje. O conhecimento de Geometria era voltado para uma ação prática ou, quando registrado, eram enunciados de problemas, regras e processos de resoluções desses problemas.

Nos dias atuais, os conhecimentos continuam tendo finalidades práticas, mas também podem (e devem) ser registrados e divulgados de modo formal.

NICHOLAS GREY/SHUTTERSTOCK

Habilidade (EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

Atividade 21

Provavelmente os estudantes usarão uma linguagem informal para descrever cada figura. Apresente a definição de cada uma delas:

• A circunferência é a reunião de todos os pontos do plano que estão a uma distância de O igual à medida de comprimento do segmento r

• O círculo é a reunião de todos os pontos do plano que estão a uma distância de O menor ou igual à medida de comprimento do segmento r

• A esfera é a reunião de todos os pontos do espaço que estão a uma distância de O menor ou igual à medida de comprimento do segmento r

Atividade 22

Para que localizem o significado de cada segmento de reta destacado na circunferência, proponha aos estudantes que pesquisem por circunferência e que encontrem as palavras: diâmetro, raio, corda, arco e centro da circunferência.

Amarela: centro; verde: raio; vermelha: arco; laranja: corda; azul: diâmetro.

LUPAS E LUNETAS

Utilize o compasso de madeira para fazer a construção na lousa a fim de que os estudantes acompanhem o passo a passo simultaneamente. Oriente-os em suas construções no uso dos instrumentos de desenho.

Veja uma apresentação da circunferência por meio de uma linguagem matemática formal.

Dados um ponto O e um segmento de reta r, a circunferência é a reunião de todos os pontos de um plano que estão a uma distância de O igual à medida de comprimento do segmento r

Observação: às vezes, quando necessário para facilitar a nomenclatura, chamamos de raio tanto a medida do comprimento do segmento quanto o próprio segmento.

ATIVIDADES

21. Observe a imagem e descreva, com suas palavras, as diferenças entre as figuras. Respostas pessoais.

22. Pesquise e nomeie os elementos da circunferência que estão nas cores: amarela, vermelha, azul, verde e laranja.

Amarela: centro; verde: raio; vermelha: arco; laranja: corda; azul: diâmetro.

Construção de circunferência

Você sabe construir uma circunferência com um compasso, dado um segmento de reta AB? Você seria capaz de descrever esse processo em três passos?

LUPAS E LUNETAS

Considere o segmento de reta AB dado.

Agora, acompanhe o passo a passo da construção de uma circunferência usando um compasso.

Construa uma circunferência cujo raio seja AB dado. Construção de circunferência de raio de medida AB dada.

ATIVIDADES

23. Que ideia de circunferências ou círculos essas imagens lhe dão? Descreva como estão posicionadas umas em relação às outras, em cada imagem. Respostas pessoais.

Habilidade (EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

Formas circulares no cotidiano.

24. Inspire-se nesta imagem e, utilizando um compasso, crie uma composição formada somente por arcos de circunferências. Construção pessoal.

Atividades 23 e 24 Nestas atividades que relacionam a construção artística com os círculos ou circunferências, há algumas com o mesmo centro (concêntricas), outras que são tangentes e ainda algumas que se sobrepõem de modo que as circunferências têm dois pontos em comum (secantes).

Textura em cores diversas composta por linhas suavemente curvas.

25. Tauã está organizando uma brincadeira em que todos devem ficar à mesma distância de uma bandeira, pois o objetivo é que toquem o mastro o mais rápido possível. Ela criou três modelos de campo de jogo.

O campo em forma de circunferência, pois os jogadores estão posicionados a uma mesma distância do mastro (centro da circunferência).

Atividade 25 Espera-se que os estudantes percebam que o raio da circunferência propicia a mesma distância entre os jogadores. O campo correto para um jogo mais equilibrado é o que possui o formato de uma circunferência, porque todos os jogadores estarão a uma mesma distância do centro (raio).

Qual desses três é o campo “correto” para um jogo mais equilibrado?

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KAROL MORAES/SHUTTERSTOCK

YARBSONTAN NIONADR/SHUTTERSTOCK

Habilidades

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

(EF07MA33) Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

TRAVESSIAS

Fale sobre diferentes usos dos círculos e das rodas no cotidiano, como nos transportes.

Atividade 26

Esta atividade procura explorar a determinação do número π , por meio de um método prático. O perímetro da circunferência é expresso por: P = Dπ , ou seja, P D = π Durante a discussão pergunte: dado um círculo de perímetro P e diâmetro D, que número é obtido de P : D? Esse número é igual para qualquer círculo ou circunferência? Se necessário, proponha arredondamentos no valor aproximado de π

TRAVESSIAS

Um quociente muito “famoso”

Que todos os círculos são parecidos é algo fácil de perceber. Que seus dois elementos “mais compridos” são seu perímetro e seu diâmetro também é fácil ver. O que, então, poderíamos investigar sobre o círculo ou a circunferência?

Observação: chamamos de perímetro do círculo o comprimento da circunferência – a “borda” do círculo –, e de diâmetro o segmento de reta com extremidades na circunferência que passa pelo centro e mede o dobro do raio.

ATIVIDADES

26. Junte-se com um ou dois colegas e realize o que está descrito em cada etapa.

I. Exploração e formulação de questões

a) Um ou dois dias antes desta atividade, meça o perímetro (P) e o diâmetro (D) de pelo menos 3 objetos circulares em sua casa. Se possível, escolha um bem grande, um médio e um pequeno. Anote as medidas em uma planilha.

Observação: realize as medições com muito rigor, buscando a melhor precisão possível, de preferência utilizando uma ordem após a vírgula, tanto para o perímetro quanto para o diâmetro.

Roda de bicicleta, bambolê listrado, volante de carro.

Medindo o comprimento da circunferência usando um barbante e uma régua.

Medindo o diâmetro utilizando uma régua.

| TRAJETÓRIA 2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

BERGAMONT/SHUTTERSTOCK; STANISLAUV/SHUTTERSTOCK; GARGANTIOPA/SHUTTERSTOCK

Anotando em uma planilha como essa os resultados obtidos.

b) Agora, juntos, utilizem uma calculadora e calculem, considerando até 5 casas decimais, o quociente P : D, ou seja, P D . Criem uma 4a coluna na planilha nomeada de P : D e registrem, nessa coluna, os resultados obtidos com a calculadora (ou com o próprio software).

c) Observem os resultados obtidos. Considerando esses resultados, que perguntas vocês poderiam formular? O que chama a atenção de vocês nesses resultados? Exponham no mural da sala a planilha e as perguntas a respeito dos fatos curiosos que vocês observaram. Respostas pessoais.

II. Organização dos dados e formulação de conjecturas

a) O mural da sala está completo. Observe todas as planilhas e as diferentes perguntas. Agora, considerando que há um volume maior de dados gerados pela sala e exposto no mural, as perguntas que vocês fizeram continuam válidas ou gostariam de fazer ajustes em algumas delas? Respostas pessoais.

b) Considerando o que você e seus colegas do grupo observaram no mural, elaborem uma afirmação que, a partir de agora, será a conjectura do seu grupo

III. Realização de testes e refinamento das conjecturas

O número que vocês encontraram (e que registraram na forma decimal com até 5 casas decimais) é, na verdade, um número com infinitas casas decimais sem período de repetição. É preciso levar em consideração que as medições feitas por vocês, por mais rigorosas que tenham sido, ainda assim são aproximações de uma medida que, matematicamente, diz respeito a um comprimento cuja representação é um decimal infinito. Sendo assim, é impossível na prática, com os instrumentos utilizados por vocês, obter a medida “verdadeira” de cada comprimento aferido.

A demonstração a respeito desse número – chamado de pi e representado pela letra grega π – não será possível neste momento do nosso estudo. Todavia, importa que vocês tenham compreendido o processo de investigação e suas limitações na experiência prática.

IV. Justificação das conjecturas e avaliação do raciocínio

Dentro do seu grupo, elaborem um texto explicando o processo de investigação, destacando:

a) como fizeram para coletar as medidas;

b) como analisaram os resultados do próprio grupo e da sala no mural coletivo;

c) como elaboraram, editaram e criticaram as perguntas feitas por vocês mesmos e as que foram feitas pelos outros grupos;

d) quais dificuldades tiveram;

e) que soluções encontraram para superar as dificuldades;

f) e, finalmente, que conhecimentos vocês obtiveram e a que resultados chegaram. Se vocês quiserem, façam uma pesquisa sobre a história do número pi e incrementem o texto com algum fato curioso que envolva a história da Matemática.

Ao final, formem uma roda de conversa e leiam o texto do seu grupo.

Respostas pessoais. 135 |

Habilidades

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

(EF07MA33) Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

As conjecturas mais esperadas nessa investigação dizem respeito aos seguintes fatos:

• Deve haver um número resultante da divisão do perímetro pelo comprimento do diâmetro, que é o mesmo para todas as circunferências ou círculos.

• É possível que exista uma constante k tal que se dois círculos (ou circunferências) em que o diâmetro do primeiro é k vezes o diâmetro do segundo, então o perímetro do primeiro é também k vezes o perímetro do segundo (essa conjectura afirma que todos os círculos são semelhantes e que a razão de semelhança é uma tal constante k).

Respostas pessoais.

Habilidades

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

(EF07MA33) Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

Atividades 27 e 28

Explore a utilização da calculadora nestas atividades ou deixe os resultados expressos em função de π Retome as etapas de resolução de problemas e lembre os estudantes de que podem fazer esboços como estratégia de resolução do problema.

#Cálculo do perímetro da circunferência

Nos diferentes lugares do mundo os povos fazem usos da Matemática e dos conhecimentos acumulados por diversas gerações. Nem toda matemática é formal e registrada por métodos científicos. Há a matemática da vida prática, passada de geração em geração e que, muitas vezes, tem possibilitado intervenções no meio natural.

O comprimento da circunferência, por exemplo, ao longo dos séculos, foi sendo estudado motivado, em grande parte, por problemas práticos do cotidiano de cada povo, de cada época.

Nos experimentos que você fez anteriormente pode analisar a relação:

Aplicando a operação inversa, obtemos:

P : D = π

P = πD

Sabemos que a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio, ou seja, D = 2r Com isso, podemos escrever:

P = π 2 r ou P = 2πr

Para efeitos de cálculo, por aproximação, vamos considerar o número pi com somente duas casas decimais, ou seja, π ≅ 3,14

ATIVIDADES

27. Lucas precisa construir um cilindro para um trabalho da escola; o raio da base desse cilindro vai ser de 4 cm. Qual é o comprimento aproximado da face lateral que esse cilindro precisa ter?

Considerando π = 3,14, temos:

28. Uma cabana em formato de cone tem 2 m diâmetro no piso e altura igual à metade do comprimento do piso. Qual é a altura dessa cabana?

Interior das tradicionais casas de colmeia de Harran, com utensílios domésticos turcos antigos, na cidade de Sanliurfa, Turquia, março de 2021. Vista panorâmica das casas cônicas tradicionais de Harran, que são construções de tijolos e revestimentos de barro, cobertas com telhados.

29. Uma artesã faz velas em três tamanhos diferentes e usa lâminas de cera, em formato retangular, antes de colocá-las na embalagem de tamanho único.

Habilidades

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

Artesã finalizando velas aromáticas enroladas com lâminas de cera de abelha nas cores cinza e amarela.

Sabendo que o comprimento da lâmina de cera é o mesmo da lateral da vela, qual é o comprimento total de lâmina usado em cada pacote de velas?

30. Descreva por meio de um texto quais ângulos nesta composição são retos, quais são suplementares e quais são complementares.

(EF07MA33) Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

Na próxima embalagem, cada uma das velas possui um diâmetro igual a 2 cm.

31. Retorne à seção Travessias sobre “Mosaicos e ladrilhamentos” para fazer essa atividade. Observe exemplos de tesselação que verificam as 3 primeiras condições.

Sendo 16 velas, o comprimento da lâmina é C = 16 2 π = 32π ≅ 10 C = 16 2 π = 32π ≅ 100,48 cm

Atividade 30

Incluindo essas duas, existem 11 tesselações que verificam as três primeiras condições. Com seus colegas, busque por pelo menos uma delas.

a) Exponha no mural da sala o mosaico que vocês descobriram.

b) Escreva um texto relatando como foi o processo de busca e quais fatos matemáticos vocês utilizaram. Respostas pessoais.

Retome, se necessário, as definições de ângulo reto (90o), ângulos complementares (suas medidas somam 90o) e ângulos suplementares (suas medidas somam 180o).

Atividade 31

Oriente a pesquisa sobre mosaicos e ladrilhamentos, de modo que os estudantes verifiquem outras possibilidades com mais de um tipo de polígono.

Sugestão de leitura

Atividade 29

Considere a embalagem que contém uma vela de diâmetro igual a 8 cm.

um diâmetro igual a 4 cm.

Sendo quatro velas, o comprimento da lâmina é

Para saber mais sobre ladrilhamento do plano acesse: https://matemateca.ime.usp.br/ acervo/ladrilhamentos.html ou http://clubes.obmep.org.br/blog/ wp-content/uploads/2015/10/ monografia2.pdf (acesso em: 13 ago. 2022).

Na próxima embalagem, cada uma das velas possui

Habilidade (EF07MA33) Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

LUPAS E LUNETAS

Valores aproximados encontrados por Arquimedes:

22 7 ≅ 3,142857 e 223 71 ≅ 3,140845

3,142857 e 223 71 ≅ 3,140845

Valor aproximado do π: 3,141592

#Um “pedaço” da história do número pi

A história do número π é complexa e repleta de pensadores que se dedicaram a estudá-lo no decorrer da história da Matemática. Leia um trecho dessa longa história.

Ironicamente, as primeiras investigações acerca de pi foram feitas antes que o zero tivesse sido inventado. Já conhecemos um dos primeiros e mais notáveis pesquisadores de pi: Arquimedes (que, como você talvez se lembre, nasceu na Sicília, 300 anos após Pitágoras e pouco antes da morte de Euclides).

[...]

Arquimedes decidiu usar polígonos (formas feitas de lados retos) para se aproximar dos círculos. Desenhou um polígono fora do círculo e um dentro

dele, e depois calculou qual era a razão entre o perímetro (circunferência) e o diâmetro para ambos os polígonos. Como a forma exterior era maior e a interior menor, ele sabia que o verdadeiro valor de pi situava-se entre as duas razões.

Como exemplo simples, imagine que usamos polígonos de apenas 4 lados (quadrados). Se o lado do maior quadrado for D, seu perímetro deve ser 4D, e obviamente o diâmetro de um lado a outro é também D. A primeira razão é portanto 4D D , que é 4.

: uma história ilustrada da Matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 2009. p. 141-142.

A figura a seguir nos ajuda a calcular o perímetro do quadrado menor:

Perímetro do quadrado menor: D 2 ! D 2 ! D 2 ! D 2 " 4D 2 ( 2 é um número que não se pode representar por um número racional na forma p q Por ora, basta que você saiba que esse número vale, aproximadamente, 1,414213.)

Assim, a segunda razão será:

4D 2 D = 4 2 ≅ 4 1,414213 ≅ 2,828428

A ideia deve ser repetida, mas agora usando polígonos regulares com quantidade de lados que se aproximam cada vez mais da forma do círculo.

Arquimedes utilizou esse raciocínio até chegar a um polígono de 96 lados e, com isso, descobriu que pi estava entre 22 7 e 223 71

LUPAS E LUNETAS

Valores, aproximados, encontrados por Arquimedes: 3,142857 e 3,140845. Valor de pi até seis casas decimais: 3,141592.

Junte-se a um colega e usem calculadoras para descobrir o valor na forma decimal, até seis casas decimais, dos dois números racionais descobertos por Arquimedes. Compare esses dois números com o valor de pi até seis casas decimais.

BENTLEY, Peter. O livro dos números

138 | TRAJETÓRIA 2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

#Construção de polígono regular inscrito na circunferência

A Matemática influencia muitas criações arquitetônicas.

Cube houses ou Casas Cubo. Conjunto de casas inovadoras projetadas pelo arquiteto Piet Blom, em Rotterdam, Holanda, 21 de abril de 2018.

As faces de um cubo são polígonos regulares. Os polígonos regulares são utilizados em diferentes contextos, por exemplo, em pavimentações.

Vamos aprender a construir um quadrado utilizando régua e compasso. Antes, porém, vamos aprender a traçar uma reta perpendicular a um segmento de reta, passando exatamente em seu ponto médio. Essa reta é chamada de mediatriz.

O ponto médio de um segmento de reta é o ponto que separa o segmento em duas porções com iguais medidas de comprimento. A mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular ao segmento passando pelo seu ponto médio.

Construção de uma mediatriz

Acompanhe os passos desta construção:

Passo 1

Desenhar um segmento de reta e nomear suas extremidades A e B

Passo 2

Posicionar a ponta-seca do compasso em A, com uma abertura um pouco maior do que a metade da medida do segmento. Com essa abertura, traçar um semicírculo acima e outro abaixo do segmento.

Passo 3

Manter a mesma abertura do compasso e posicionar a ponta-seca em B. Traçar outros semicírculos que “cruzam” os anteriores e nomear os pontos de intersecção C e D

Passo 4

Usar a régua e traçar uma reta por C e D Essa reta traçada é a mediatriz do segmento.

Habilidade

(EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

139 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

CLA78/SHUTTERSTOCK

Habilidade (EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

Atividades 32 a 34

Estas atividades utilizam o pensamento computacional para que os estudantes, usando um fluxograma, representem as etapas da construção de uma mediatriz. Caso considere adequado, faça a construção do quadrado inscrito na circunferência simultaneamente com os estudantes.

Atividade 32

Início

Desenhar um segmento de reta e nomear suas extremidades A e B

Posicionar a ponta seca do compasso em A, com uma abertura um pouco maior do que a metade da medida do segmento. Com essa abertura, traçar um semicírculo acima e outro abaixo do segmento

Com a mesma abertura do compasso, posicionar a ponta seca em B Traçar outros semicírculos que “cruzam” os anteriores e nomear os pontos da interseção C e D

Usar a régua e traçar uma reta por C e D

Fim

Atividade 33

Início

Marcar um ponto C no papel. Posicionar a ponta seca em C e, com raio qualquer, desenhar a circunferência.

Traçar com a régua um diâmetro e marcar os pontos A e B

Construção de um quadrado inscrito na circunferência

Acompanhe os passos desta construção:

Passo 1

Marcar um ponto C no papel. Posicionar a ponta-seca em C e, com raio qualquer, desenhar a circunferência.

ATIVIDADES

Passo 2

Traçar com a régua um diâmetro e marcar os pontos A e B

Passo 3

Traçar dois arcos acima da circunferência para obter o ponto D (procedimento semelhante ao da mediatriz).

Passo 4

Traçar a reta que passa por D e C e que corta a circunferência em dois pontos: E e F

Passo 5

Traçar segmentos de reta, AE, EB, BF, FA, que são os lados do quadrado.

32. Represente o procedimento de traçar uma mediatriz por meio de um fluxograma.

33. Utilizando o procedimento de traçar uma mediatriz e o procedimento de desenhar um quadrado inscrito na circunferência, desenhe um octógono regular inscrito na circunferência

34. É dado o segmento AB:

Acompanhe a sequência de imagens que mostra a construção de um quadrado, conhecida a medida de seu lado. Depois, descreva por escrito e por meio de um fluxograma o processo de construção desse quadrado. Respostas pessoais.

Traçar dois arcos acima da circunferência para obter o ponto D (procedimento semelhante ao da mediatriz).

Traçar a reta que passa por D e C e que corta a circunferência em dois pontos: E e F

Traçar os segmentos de reta AE, EB, BF, FA, que são os lados do quadrado Fim

Para desenhar o octógono a partir do quadrado inscrito na circunferência, basta traçar a mediatrizes dos lados do quadrado.

LEVO NA BAGAGEM

Respostas pessoais.

Consulte todas as suas produções até agora neste passeio. Avalie seu aprendizado sobre:

▶ Matemática

• Você sabe medir ângulos com transferidor?

• Sabe construir circunferências, utilizando compasso, para fazer composições artísticas?

• Resolve problemas que envolvam objetos equidistantes de um mesmo ponto?

• Reconhece relações entre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal e calcula medidas de ângulos considerando essas relações?

• Reconhece o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro para resolver problemas?

• Estabelece relações entre as medidas de ângulos internos e ângulos externos de polígonos?

• Calcula medidas de ângulos internos de polígonos regulares para resolver problemas vinculados à construção de mosaicos e de ladrilhamentos?

• Descreve por escrito etapas da construção de um polígono regular?

▶ Outras disciplinas

Geografia

• Reconhece as territorialidades e saberes dos diversos povos (originários do Brasil, povos do Cerrado, grupos sociais do campo e da cidade etc.), promovendo o respeito e a valorização dessas comunidades?

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO

Insuficiente Parcialmente suficiente Satisfatório Plenamente satisfatório

centro em B, nomeando-os C e D.

VI. Ligue os pontos A, B, C e D, e a figura obtida será um quadrado.

LEVO NA BAGAGEM

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre o próprio aprendizado, enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, classificarão seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas que estão presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

MATEMÁTICA OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

I

Atividade 34

Esta atividade utiliza o pensamento computacional para que os estudantes, usando um fluxograma, representem as etapas da construção do quadrado dadas pelas imagens:

I. Coloque a ponta seca do compasso sobre o ponto A e, com uma mesma abertura, marque os pontos P1 e P2

I. Trace um arco de circunferência com a ponta seca sobre os pontos P 1 e P 2, de mesma abertura.

III. Do encontro dos dois arcos, trace uma reta que seja perpendicular a AB pelo ponto A

IV. Coloque a ponta seca do compasso sobre o ponto B e, com uma mesma abertura, marque outros dois pontos P1 e P2. Trace um arco de circunferência com a ponta seca sobre os pontos P1 e P2, de mesma abertura. Do encontro dos dois arcos, trace uma reta que seja perpendicular a AB pelo ponto B

V. Trace dois arcos de mesma abertura do segmento AB, um com centro em A e outro com

Encontro com outras disciplinas (EF07GE03) Selecionar argumentos que reconheçam as territorialidades dos povos indígenas originários, das comunidades remanescentes de quilombos, de povos das florestas e do cerrado, de ribeirinhos e caiçaras, entre outros grupos sociais do campo e da cidade, como direitos legais dessas comunidades.

BARCOS E PORTOS

Organize

Proponha aos estudantes que organizem no quadro as palavras-chaves referentes às definições de ângulo, círculo e circunferência, feixe de retas, polígonos e ladrilhamentos.

Elabore

Após os estudantes produzirem, editarem, resolverem, ilustrarem as produções, reúna as situações-problema criadas em uma lista de atividades coletivas.

▶ Organize

Respostas pessoais.

Copie este quadro em uma folha de papel A3.

CONCEITOS ÂNGULOS CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA

Palavras-chave

FEIXE DE RETAS POLÍGONOS E LADRILHAMENTOS

a) Complete esse quadro com o máximo de palavras que você puder resgatar deste passeio. Para cada palavra-chave, escreva um exemplo que contemple seu significado.

b) Troque sua folha com outro colega. Analise o conjunto de palavras-chave e exemplos que ele citou. Acrescente as que você sentiu falta e comente com ele.

c) Ao final, pegue sua folha de volta e contorne de vermelho os conceitos sobre os quais você ainda se sente inseguro quanto à aprendizagem.

▶ Elabore

Escolha uma ou duas palavras que você circulou em vermelho na atividade anterior. Com cada uma dessas palavras, elabore uma situação-problema.

Consulte outras fontes (outros livros escolares, sites, vídeos, entreviste algum adulto que saiba esse assunto etc.) para que você possa elaborar e resolver com clareza e segurança cada uma dessas situações.

▶ Proponha

A pergunta inicial deste passeio é: Por que os espaços urbanos são diferentes? Observe estes padrões geométricos utilizados nas artes ceramistas em dois locais distintos, mas dentro do mesmo estado brasileiro.

Geometria na arte icoaraciense.

Geometria na arte marajoara.

Leia uma descrição concisa sobre o lugar onde são produzidas essas cerâmicas.

Biblioteca Pública Avertano Rocha, no distrito de Icoaraci, aberta à visitação com diversas atividades culturais e de educação ambiental

Icoaraci é um dos oito distritos em que se divide o município de Belém, capital do estado do Pará, no Brasil. Distante aproximadamente 20 km do Centro da capital estadual, possui aproximadamente 200 000 habitantes, de acordo com o IBGE.

A Ilha de Marajó é uma ilha costeira do tipo fluviomarítima situada na Área de Proteção Ambiental do arquipélago do Marajó, no estado do Pará, na região norte do Brasil. Considerada a maior ilha fluviomarítima do planeta, tem 533 397 habitantes (2015/IBGE).

ICOROCACI; Ilha de Marajó. Wikipedia, [s. l.] [s. d.]. Disponível em: www.wikipedia.org. Acesso em: 14 abr. 2022.

Essas manifestações artísticas não nasceram com a intenção de comunicar um pensamento matemático. O nosso olhar, escolarizado, é que capta regularidades, fatos geométricos, relações entre ângulos e entre retas etc. Os lugares são muito diferentes e são distinguidos por suas produções locais (sejam artísticas, industriais, sociais, intelectuais etc.).

Cada grupo social tem suas próprias características e estratégias para resolver seus problemas e produzir conhecimento, sejam eles de caráter prático ou teórico.

Considerando isso, junte-se com dois ou três colegas para refletir:

a) Que conhecimentos de Geometria vocês identificam nos dois padrões apresentados? Descrevam-nos.

b) O conhecimento de Matemática do povo do campo, dos povos originários do Brasil e de muitos outros grupos sociais nem sempre é estruturado como a matemática que herdamos dos povos europeus (a matemática escolar que aprendemos hoje é muito mais voltada para essa matemática de origem greco-romana). Quando vocês descobrem que alguém ou algum povo faz uma conta ou um esquema geométrico diferente do que aprenderam na escola, como recebem esse conhecimento?

c) Todo indivíduo tem direito de expressão e de difundir ideias e informações. Você sabe como o povo icoaraciense e o povo marajoara difundem a arte ceramista que produzem? Pesquise e compartilhe com os colegas.

Encontro com outras disciplinas (EF07GE03) Selecionar argumentos que reconheçam as territorialidades dos povos indígenas originários, das comunidades remanescentes de quilombos, de povos das florestas e do cerrado, de ribeirinhos e caiçaras, entre outros grupos sociais do campo e da cidade, como direitos legais dessas comunidades.

Proponha

Neste momento vamos retornar à questão inicial, Por que os espaços urbanos são diferentes?, para complementar as discussões realizadas na seção Atmosfera sobre a etnomatemática. Proponha aos estudantes que observem as artes ceramistas para desenvolver as discussões sugeridas nesta seção.

O objetivo é envolver os estudantes no debate e na problematização sobre o TCT Educação em Direitos Humanos, pensando no artigo 19 da Declaração Universal dos Direitos Humanos: “Todo indivíduo tem direito à liberdade de opinião e de expressão, o que implica o direito de não ser inquietado pelas suas opiniões e o de procurar, receber e difundir, sem consideração de fronteiras, informações e ideias por qualquer meio de expressão.” Questione o que pensam sobre a relação dos conhecimentos de Matemática com seus aspectos culturais: é possível promover os diferentes saberes de distintos grupos sociais?

Com essa discussão, esperamos que os estudantes não tenham práticas de intolerância, discriminação ou violência contra indivíduos, grupos sociais ou povos com vistas à tomada de consciência e ao exercício da paz social.

Cerâmicas típicas marajoaras, arte indígena da amazônia brasileira, norte do Brasil.

VISTORIAS

Habilidades

EF07MA03, EF07MA04, EF07MA13, EF07MA14, EF07MA15, EF07MA16, EF07MA17, EF07MA22, EF07MA23, EF07MA27, EF07MA28, EF07MA29, EF07MA33

Atividade 1

Esta atividade avalia a compreensão do estudante a respeito da propriedade do elemento oposto e também da aplicação do módulo de um número.

Atividade 2

É necessário determinar a ordem entre os números em cada item. Lembre os estudantes de que é possível organizar os números na reta numérica para verificar seus resultados. Mas notar que um número negativo é menor do que zero e do que qualquer positivo e que as relações de ordem entre os negativos são “invertidas” pode facilitar as comparações.

Atividade 3

Esta atividade pode ser realizada utilizando a propriedade associativa da adição, permitindo diversas formas de agrupamento para a resolução. Adicionar todos os inteiros positivos e todos os inteiros negativos separadamente é uma das opções. a)

b)

+ (–4)] – 1 = 3 – 1 = 2

c) [–3 – 4] – (–5) = –7 + 5 = –2

d) (5 + 3) + [2 + (–14)] = 8 + (–12) = –4

[2 + (–14)] = 8 + (–12) = –4

Você chegou ao final da Trajetória. Reflita sobre tudo o que aprendeu e verifique a qualidade da sua aprendizagem. Resolva todos os exercícios no caderno.

CHECK-OUT

1. Determine o oposto e o módulo de:

7. Determine as potências:

a) (–4)3 –64

b) (–7)2 49

2. Substitua cada

por

3. Calcule:

4. Lucas recebeu um salário de R$ 1.600,00. Com 25% dessa quantia, ele pagou livros para sua faculdade. Ele ainda vai pagar R$ 1.300,00 em necessidades básicas. Qual será o saldo final de sua conta, em reais?

–R$ 100,00.

5. Flávia devia R$ 5.000,00 a um banco e ainda tinha uma dívida de R$ 3.000,00 no cartão de crédito de outro banco. Ela vendeu o seu carro por R$ 10.000,00 para quitar suas dívidas. Qual era o saldo inicial de Flávia e qual será o seu saldo após quitar suas dívidas?

–R$ 8 000,00; R$ 2 000,00

6. Efetue:

a) (–12) (–6) 72

b) (–3) (–4) 5 60

c) (–2) (–5) (–10) 4

d) (–72) ÷ 9

e) 84 ÷ (–12)

f) (–125) ÷ (–5) 25

e) (5 – 2) – 2 – 2 + 4 = (3 – 2) – 2 + 4 = (1 – 2) + 4 = (–1) + 4 = 3

2 – 2 + 4 = (3 – 2) – 2 + 4 = (1 – 2) + 4 = (–1) + 4 = 3

2) – 2 + 4 = (1 – 2) + 4 = (–1) + 4 = 3

Atividade 4

Ao resolver este problema calculando 25% de 1 600, que resulta em 400, elaboramos uma expressão numérica para traduzir o enunciado matematicamente:

(1 500 – 400)

25% de desconto ! " $ –

1 300 = 1 200 –

1 300 = –100

Assim, chegamos ao saldo final negativo: –R$ 100,00.

Atividade 5

Primeiro adicionamos as dívidas de Flávia.

–5 000 + (–3 000) = –8 000

Depois, adicionamos os R$ 10.000,00 da venda do carro:

(–8 000) + 10 000 = + 2 000

c) (–101)1 –101

d) (–76)0 1

8. Escreva uma expressão algébrica para cada situação envolvendo um número arbitrário e determine o valor numérico quando essa variável vale 2:

a) O dobro de um número adicionado a 3.

b) A diferença entre 10 e o triplo do número.

c) A diferença entre o número e sua metade.

d) O sucessor do quadrado do número.

9. Quais das expressões são equivalentes?

a) 2( y – 2) e y + y – 4 Equivalentes.

b) 3(2 + x ) e 5 + 3x Não equivalentes.

c) u + 4(u – 1) e –2 – 2 + u + 4u

d) p – 5p e 4p Não equivalentes.

10. Considere a sequência dos sucessores dos múltiplos positivos de 4:

a) Escreva os 5 primeiros termos dessa sequência.

b) Determine a1 5

c) Escreva a3 e a5 13; 21

d) Qual é o valor de a n–1 , quando n = 7? 25

e) Expresse algebricamente essa sequência

11. Observe as figuras:

Desenhe a próxima figura dessa sequência. Quantos quadradinhos escuros ela tem?

O saldo inicial era de –R$ 8 000 e o final, de R$ 2.000,00.

Atividade 6

Nos itens b e c, as propriedades associativa e comutativa podem ser utilizadas para agrupar os fatores de diferentes maneiras. Resoluções possíveis:

a) 72

b) [(–3) (–4)] 5 = +12 5 = 60

c) [(–2) (–5)] [(–10) 4] = +10 (–40) = –400

a) –8

Figura 1. Figura 2. Figura 3.

12. a) Grandezas diretamente proporcionais: quantidade de doces e valor recebido com a venda. R$ 144,00.

12. Para cada um dos itens, verifique se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais e determine o que é perguntado.

a) Marlene vende doces. Ela cobra R$ 12,00 por cada dezena de quindins. Quanto ela ganhará se vender 120 quindins?

b) Um grupo de 8 artesãs consegue produzir 400 vasos de barro em 20 dias. Se contratarem mais 8 artesãs com mesmo rendimento de trabalho, em quantos dias produzirão os mesmos 400 vasos?

13. Meça cada ângulo e classifique-o em agudo, reto ou obtuso

15. Ana, Bento e Caio moram à mesma distância da escola, mas estão em pontos diferentes de um mesmo bairro. Respostas pessoais.

a) Faça um desenho e situe um amigo em relação à escola e uns em relação aos outros.

b) Descreva, em um algoritmo, o processo dessa construção.

16. Indique as medidas dos ângulos que estão no entorno de cada ponto destacado nos mosaicos.

12. b) Grandezas inversamente proporcionais: quantidade de artesãs e dias para produzir 400 vasos. 10 dias. 40o, agudo; 96o, obtuso; 119o, obtuso; 90o, reto; 38o, agudo.

Habilidades

EF07MA03, EF07MA04, EF07MA13, EF07MA14, EF07MA15, EF07MA16, EF07MA17, EF07MA22, EF07MA23, EF07MA27, EF07MA28, EF07MA29, EF07MA33.

a) 2 y – 4 = 2y – 4; equivalentes.

b) 6 + 3x ≠ 5 + 3x ; não equivalentes.

c) u + 4u – 4 = 5u – 4; equivalentes.

d) –4p ≠ 4p; não equivalentes.

Atividade 10

14. Observe uma obra de arte e o esquema que a representa:

Construções pessoais.

Paul Klee. Senecio. Óleo sobre tela, 40 cm × 38 cm, 1922. Museu das Belas Artes de Basileia, Basileia, Suíça.

Em uma folha de papel A4, faça um esquema parecido, porém utilizando apenas circunferências e arcos de circunferências. Ao final, pinte seu desenho como preferir.

16. A: 120o, 90o, 60o, 90o; B: 90o, 60o, 90o, 60o, 60o; C: 120o, 60o, 120o, 60o; D: 120o, 60o, 60o, 60o, 60o; E: 60o, 90o, 210o

17. Determine os valores de d e j nos itens.

A sequência dos múltiplos positivos de 4 é (4, 8, 12, 16, 20…)

a) Os 5 primeiros termos da sequência dos sucessores dos múltiplos positivos de 4 são (5, 9, 13, 17, 21).

b) a1 = 5

c) a3 = 13; a5 = 21

d) Quando n = 7 temos a n

+ 4 = 21 + 4 = 25

e) É esperado que os estudantes expressem algebricamente essa sequência:

Atividade 11

18. Lucas deu 4 voltas em uma pista circular de raio 16 metros. Qual foi a distância percorrida por Lucas?

b) – 7

c) 25

Atividade 7

a) (–4)(–4)(–4) = (+16)(–4) = –64

b) (–7)(–7) = +49

c) –101

d) 1

Atividade 8

A escolha da letra para representar a variável

é livre.

a) 2a + 3; quando a = 2, a expressão vale 7.

b) 10 – 3n; quando n = 2 a expressão vale 4.

c) t –t 2 ; quando t = 2 a expressão vale 1.

d) x 2 + 1; quando x = 2 a expressão vale 5.

Atividade 9

Aqui trabalhamos a capacidade de o estudante reconhecer se duas expressões algébricas são ou não equivalentes, utilizando a propriedade distributiva.

São 25 quadradinhos escuros. A sequência de quadrados escuros na figura é dada por a n = a n–1 + 4(n – 1), embora nesse caso seja possível contar um a um também.

Atividade 12

a) Grandezas diretamente proporcionais: quantidade de doces e valor recebido com a venda. Se cada dezena é vendida por 12 reais e temos 12 dezenas para obter 120 quindins, então multiplicamos 12 × 12 = R$ 144,00

b) Grandezas inversamente proporcionais: quantidade de artesãs e dias para produzir 400 vasos. Se dobramos a quantidade de artesãs para a produção, sem alterar a quantidade de vasos, o tempo demorado será a metade do original: 10 dias.

Atividade 13

A classificação dos ângulos pode ocorrer por estimativa antes da medida, como modo de incentivar a percepção visual dos estudantes acerca dos ângulos.

Atividade 14

As construções são pessoais. Ao utilizar a Geometria em uma construção artística pessoal, o estudante percebe a conexão interdisciplinar entre as áreas, além de praticar suas habilidades de Desenho Geométrico. Se possível, peça aos estudantes que compartilhem suas criações.

Atividade 15

Aqui a criatividade do estudante é explorada, além de sua capacidade lógica e de raciocínio com a criação do algoritmo. A noção de circunferência como lugar geométrico de pontos equidistantes de um mesmo centro (no caso do exercício, a escola) também é resgatada.

Atividade 16

Após as medições, resgate as medidas dos ângulos internos dos polígonos regulares que foram encontradas pelos estudantes ao longo do exercício.

Atividade 17

a) Os ângulos da imagem são colaterais externos e, portanto, suplementares; suas medidas somam 180o: 90o – 5d + 23d = 180o , do qual encontramos d = 5o

DE OLHO NA BÚSSOLA

Após resolver os exercícios da seção Check-out, verifique se você aprendeu a: OBJETIVOS

números negativos em diferentes contextos e situações-problema.

Considerando os

que resolveu, como você julga seu desempenho: insuficiente, parcialmente suficiente, satisfatório, plenamente satisfatório?

Prossiga ▶

Continue estudando! Retome esta Trajetória buscando, com professores e colegas, alternativas para superar os obstáculos de sua aprendizagem. Estude a seção Retornos e resolva novos exercícios referentes à Trajetória 2 que estão na seção Suplemente sua aprendizagem, ao final do livro. 146

b) 30o e 90 + 12d são suplementares e, portanto, suas medidas somam 180o 30o + 90 + 12d = 180o , do qual encontramos d = 5o

Além disso, 30o e 4j são alternos externos (congruentes) e, portanto, 4 j = 30o , do qual encontramos j = 7,5o

Atividade 18

Aqui os resultados podem variar dependendo da aproximação utilizada para o número π

Ao utilizarmos 3,14 como valor aproximado, encontramos a distância percorrida por Lucas de, aproximadamente:

| VISTORIAS NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

DICAS DE ESTUDO

Diversifique seus materiais de estudo: não fique somente no caderno. Procure estudar em mais de um livro ao mesmo tempo. Também busque por vídeos, notícias científicas, artigos de diferentes fontes. Descubra quais fontes são as mais confiáveis e as que mais o agradam. Ser independente e responsável com os estudos requer que você aprenda a tornar sua aprendizagem cada vez mais prazerosa. Além de variar as fontes de informação e modos de registrar, você pode também diversificar o modo de interação com o conhecimento.

Adolescente em aula on-line fazendo registros no caderno. Jovens, acompanhadas de profissional de ciências, realizando estudo do meio, coletando amostras de água e registrando as informações. Estudantes acompanhados de profissional em arte, em visita a uma galeria de arte contemporânea. Mãos de adolescente em laboratório de Matemática e Ciências realizando experimentos com um sistema envolvendo engrenagens.

Tente imaginar maneiras diversas de aprender. Esteja sempre atento para as fontes dos conhecimentos novos (aulas, livros, vídeos, estudos do meio, visitas a museus e teatros, atividades esportivas etc.); seus modos de assimilar (vendo, ouvindo, tocando) e as formas de registrar (escrevendo, desenhando, fazendo mapas e esquemas, gravando, filmando). Você se torna um aprendiz melhor quando desenvolve autoconhecimento crítico a respeito da sua própria aprendizagem. Esforce-se para aprender, mas também para aprender como você aprende! E bom proveito!

147 | NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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PHOTODIEM/SHUTTERSTOCK

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TRAJETÓRIA 3

PANORAMA DA TRAJETÓRIA

Competências gerais: 4, 5

Competências específicas: 4, 5, 6

Habilidades de Matemática:

EF07MA10, EF07MA11, EF07MA12, EF07MA13, EF07MA18, EF07MA19, EF07MA20, EF07MA21,

EF07MA29

Habilidades de outras

disciplinas:

Língua Portuguesa: EF67LP12, EF69LP32

Arte: EF69AR04

Temas Contemporâneos

Transversais:

Ciência e Tecnologia

Diversidade Cultural

Vamos iniciar mais uma trajetória e dessa vez a pergunta motivadora é: Há limites para ouso das tecnologias digitais?

Essa pergunta, com alto teor de juízo crítico, favorece a exploração de conhecimentos, de atitudes e valores que, por vezes, podem aparentar como opostos entre si ou posicionados em extremos. As tecnologias digitais em si não podem, de imediato, ser rotuladas como benéficas ou maléficas: em relação a quê?

Tampouco podem ser consideradas como o que faltava para a superação das limitações humanas. O uso das tecnologias sim, esse pode ser questionado, valorado e analisado do ponto de vista das atitudes e dos comportamentos das pessoas.

Ao percorrerem um caminho exploratório nesse tema, os alunos vão mobilizar suas capacidades críticas e criativas, pois, ao mesmo tempo, essa pergunta propicia a ampliação de algumas noções, como uma porta aberta para muitas possibilidades (as finalidades dos usos das tecnologias, por exemplo), e tenta restringir ou circunscrever outras noções, como um ambiente delimitado ou um conjunto de elementos circunscrito de valores (os limites ou a ética no uso das tecnologias, por exemplo).

Essa é uma oportunidade

HÁ LIMITES PARA O USO DAS TECNOLOGIAS DIGITAIS?

• Que usos fazemos das tecnologias digitais?

• Como as tecnologias digitais estão presentes em diferentes espaços e culturas?

• Qual é a relação da arte com a tecnologia?

para os alunos exercitarem o potencial “dual” da capacidade crítica e criativa, que é: ora pensamento convergente, ora pensamento divergente

AJONE/SHUTTERSTOCK

148 | Trajetória 3 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Esquema de pensamento criativo baseado nas ideias de Guiford

Grupo de amigos e as novas formas de interações sociais.

CONTEÚDOS DA TRAJETÓRIA

Passeio 1 – Números racionais nas formas fracionária e decimal

• Representação fracionária

• Representação decimal

• Reta numérica

• Operações com números decimais

Passeio 2 – Equações polinomiais de 1o grau

• Propriedades da igualdade

• Variável e incógnita

• Equações polinomiais do 1o grau

Passeio 3 – Simetria e plano cartesiano

• Plano cartesiano

• Simetrias

• Reflexão, rotação e translação

• Composição de simetrias

As redes sociais influenciam as preferências das pessoas por meio da difusão de ideias, produtos, imagens, comportamentos etc.

LUPAS E LUNETAS

Reflita sobre as questões expostas na página anterior e considere-as para elaborar outras perguntas de sua própria autoria.

• Publique suas perguntas no mural da sala de aula e aprecie as perguntas dos colegas.

E em que consistem esses dois pensamentos? […] o pensamento convergente consiste na capacidade de propor soluções em que predominam a lógica e a objetividade, embasando-se em experiências e conhecimentos, em direção à resposta que se apresenta como a mais adequada. Já o pensamento divergente representa a capacidade mental de explorar soluções que

sejam diferentes e inovadoras, ou seja, com alto grau de originalidade, predominando a intuição nesse tipo de pensamento.

WARTHA, Edson J.; SANTOS, Edson J. S. dos. Pensamento científico, crítico e criativo: entendendo campos teóricos e perseguindo suas interações. Poiésis. v. 14, n. 26, p. 325-346, jul./dez. Tubarão: Unisul, 2020.

Respostas pessoais.

AKHENATON IMAGES/SHUTTERSTOCK

GOODSTUDIO /SHUTTERSTOCK

Habilidade (EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica. Encontro com outras disciplinas (EF69LP32) Selecionar informações e dados relevantes de fontes diversas (impressas, digitais, orais etc.), avaliando a qualidade e a utilidade dessas fontes, e organizar, esquematicamente, com ajuda do professor, as informações necessárias (sem excedê-las) com ou sem apoio de ferramentas digitais, em quadros, tabelas ou gráficos.

Convide o professor de Língua Portuguesa para, juntos, executarem uma proposta de trabalho sobre a utilização de mapas conceituais como ferramenta de estudo. Não temos aqui a pretensão de desenvolver na totalidade uma das habilidades de Língua Portuguesa EF69LP32, mas parte dela será contemplada nesta proposta. Comece questionando os estudantes, utilizando-se das perguntas norteadoras:

• O que é um resumo?

• Vocês costumam fazer resumo?

• Quais ferramentas podem ser utilizadas na construção de um resumo?

Apresente o gênero mapa conceitual como representações gráficas que possibilitam a ordenação e o sequenciamento hierarquizado dos conteúdos, sendo formado por linguagem verbal e não verbal. O objetivo de um mapa conceitual é ser um resumo das ideias gerais e das específicas de determinado texto ou conteúdo e de como essas ideias estão hierarquizadas e conectadas.

A partir disso, proponha aos estudantes que construam um mapa conceitual que relacione as tecnologias digitais utilizadas em seus cotidianos, suas

PASSEIO 1 – NÚMEROS RACIONAIS NAS FORMAS FRACIONÁRIA E DECIMAL

QUE USOS FAZEMOS DAS TECNOLOGIAS DIGITAIS?

Aula on-line ao vivo. Representação de um monitor com a professora centralizada no topo e diversos alunos acompanhando atentamente a aula.

As aulas on-line ao vivo passaram a ser de extrema importância no período da pandemia. O formato foi muito utilizado em todo o território brasileiro graças às plataformas e ferramentas digitais. As aulas eram, geralmente, realizadas nos mesmos horários em que aconteceriam os encontros presenciais.

CHECK-IN

a) A imagem representa uma janela de videoconferência. Que fração da “janela” corresponde ao espaço ocupado por um aluno?

b) Que fração da “janela” corresponde ao espaço ocupado pela professora?

c) Reflita sobre seu dia a dia. Como você utiliza as tecnologias digitais? Resposta pessoal.

d) Nas aulas on-line, os vídeos gravados pelos professores têm sido assistidos em velocidade 2 vezes mais rápida pelos alunos. Pesquise na internet, com um colega, sobre esse assunto em diferentes fontes. Depois compare as diferentes informações. Compartilhe suas descobertas. Resposta pessoal.

finalidades e como elas estão conectadas. Para a construção dos mapas conceituais, podem ser utilizados aplicativos disponíveis na rede.

Compare os mapas conceituais construídos e discuta criticamente os elementos comuns e os divergentes, de modo a traçar um perfil dos estudantes sobre a utilização das tecnologias digitais.

CHECK-IN

A imagem apresentada no início da seção e as perguntas permitem uma discussão entre os estudantes sobre os processos de comunicação

e relações interpessoais com uso da tecnologia. Solicite a eles que enumerem as principais tecnologias de seus cotidianos, justificando a importância da utilização e a finalidade de cada uma.

Oriente-os na identificação da fração que corresponde ao lugar que cada participante ocupa na tela da videoconferência, direcionando-os para as discussões sobre números racionais na forma fracionária e na decimal.

150 | TRAJETÓRIA 3 NÃO

BÚSSOLA

Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos:

• Reconhecer números racionais em diferentes contextos e situações-problema.

• Resolver problemas envolvendo números racionais.

• Compreender a composição do conjunto dos números racionais.

• Realizar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo números racionais em diferentes contextos e situações-problema.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas em contextos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

• Selecionar informações relevantes de fontes diversas, avaliando a qualidade e a utilidade dessas fontes, e organizar esquematicamente as informações necessárias em quadros ou tabelas.

A sequência didática apresentada é aquela sugerida pelos autores, porém pode ser alterada e adaptada de acordo com as necessidades e dificuldades que forem surgindo ao longo do passeio. Por exemplo, os temas relacionados à porcentagem podem ser abordados após o professor apresentar as operações de multiplicação e divisão com números racionais, em conjunto com erros e incertezas em medições.

Números inteiros

Medidas e números racionais

Adição

Reta numérica

EF07MA10, EF07MA11, EF07MA12, EF07MA29 EF69LP32

Encontro com outras disciplinas (EF69LP32) Selecionar informações e dados relevantes de fontes diversas (impressas, digitais, orais etc.), avaliando a qualidade e a utilidade dessas fontes, e organizar, esquematicamente, com ajuda do professor, as informações necessárias (sem excedê-las) com ou sem apoio de ferramentas digitais, em quadros, tabelas ou gráficos.

Convide o professor de Língua Portuguesa para, juntos, executarem uma proposta de trabalho sobre a utilização de fontes éticas e confiáveis em uma pesquisa digital.

Comece uma discussão sobre o tema com os estudantes a partir das perguntas:

• Alguma pessoa o ajuda na realização de pesquisas em sites, jornais ou revistas?

• Quais sites você costuma acessar para ler notícias? Você acredita que eles sejam confiáveis?

Explique que muitos sites não são confiáveis nem recomendáveis, pois podem apresentar informações que não sejam verídicas ou de cuja autoria não se tenha certeza. Nem todo site, blog, podcast ou afim considera o fator ético no momento de propagar uma informação, o que pode levar o leitor a ser enganado.

Proponha aos estudantes que realizem uma busca sobre sites e plataformas considerados éticos e seguros na transmissão de informações, por exemplo, sites de revistas científicas. Escolha um dia para que todos exponham suas pesquisas, compartilhando as descobertas sobre tais sites e plataformas considerados confiáveis e seguros.

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

Convide os estudantes a participar de uma atividade de

ATMOSFERA

O que é ética no mundo digital e por que é importante?

O mundo digital está causando uma série de transformações não apenas na forma de realizar as tarefas do dia a dia, mas também nos pensamentos e nas percepções. Conforme novas tecnologias vão sendo desenvolvidas, novas discussões vão surgindo, principalmente com relação aos aspectos éticos e morais.

Essas discussões se referem, principalmente, às noções de ética digital, mais precisamente sobre o que é esse termo e qual deve ser a sua atuação na sociedade e no espaço virtual.

[...]

Ética é um conjunto de princípios morais que guiam os indivíduos ou um grupo da sociedade. Em se tratando da internet, ética no mundo digital é o que atua para manter dignidade, segurança, privacidade e outros valores no ambiente virtual, seguindo tanto os valores morais quanto as legislações a respeito do assunto. Ou seja, a ética digital está presente na atuação das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) na sociedade atual.

[...]

Segundo o sociólogo Zygmunt Bauman, a tecnologia fez com que as pessoas deixassem de ter consciência dos efeitos de suas ações, que agora podem tomar um rumo globalizado. Isso trouxe uma série de novos desafios e questões ético-sociais.

Podemos citar como exemplo a privacidade. Sem leis, as empresas poderiam acessar, compartilhar e

vender todos os tipos de dados, desde preferências de compra até informações e arquivos pessoais.

Outros perigos são os crimes digitais: ofensas, bullying e ameaças em geral, crime de falsa identidade, estelionato, violação de sistemas de segurança, divulgação de fotos e dados, violação de propriedade intelectual, entre outros.

[...]

Os benefícios trazidos com a eficiência da comunicação, a redução de custos para funções e transações do dia a dia, o envio de informações personalizadas e a acessibilidade são diversos e devem continuar crescendo.

Mas, para que isso aconteça, também existem alguns efeitos negativos, como manipulação de mercados, volatilidade, seleção de informações, desfavorecimento de pequenas empresas, entre outros.

A ética no ambiente digital (por mais que tenhamos regulamentações) não é exigida por lei; ou seja, depende de como cada empresa ou indivíduo atua nesse meio. No momento, é preciso que cada pessoa tenha consciência de seus atos e do relacionamento que está criando com as empresas com as quais interage. Conhecer mais sobre como essas organizações percebem e agem em relação à moral, atentar-se para o que compartilha on-line e principalmente estudar e discutir sobre ética digital são atitudes de extrema importância.

O QUE é ética no mundo digital e por que é importante? Blog Mackenzie. Disponível em: https://blog.mackenzie. br/mercado-carreira/mercado-de-trabalho/nocoes-de-etica-no-mundo-digital-2. Acesso em: 3 maio 2022.

ATIVIDADES

1. Quais são os novos desafios e questões ético-sociais que surgiram com a tecnologia?

2. Liste os benefícios e malefícios da comunicação pelo mundo digital.

3. Descreva com suas palavras o que é ética digital e qual é a sua importância.

4. Pesquise com outros dois colegas outros textos sobre a ética digital. Avaliem a qualidade e a utilidade dessas fontes e organizem esquematicamente, em quadros ou tabelas, as informações mais relevantes entre as diferentes fontes.

cunho investigativo sobre a ética digital em alguns aplicativos (apps). Inicialmente, converse com eles sobre as autorizações que são solicitadas pelos aplicativos para acessar informações do usuário e que analisam desde o tempo de uso no app, interesses em sites e até a localização do usuário em tempo real. Tais autorizações fazem parte de um contrato virtual que o usuário assina ao permitir que aquele app seja executado em um aparelho celular ou computador. Uma empresa considerada ética e transparente, tende a apresentar aos seus usuários informações quanto aos dados que serão

coletados e se esses dados são ou não disponibilizados para terceiros.

O objetivo da atividade investigativa, é que os estudantes, em grupos, avaliem diferentes aplicativos que são utilizados no cotidiano, levando-se em consideração a ética digital. Os produtos dessa pesquisa serão parte de um relatório sobre a transparência do aplicativo quanto as informações coletadas no mesmo. Ao final, cada grupo deverá avaliar o aplicativo e recomendar ou não a utilização dele quanto a sua segurança digital.

Você também pode abordar a ética do ponto de

Respostas pessoais.

152 | TRAJETÓRIA 3 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

#Representações de um número racional

Leia o texto sobre o acesso à internet no Brasil:

Em 2019, a Internet era utilizada em mais de 80% dos domicílios brasileiros. Constatou-se também que quase 96% das pessoas com 10 anos

ou mais de idade utiliza a internet principalmente para o envio e recebimento de mensagens de texto, voz ou imagens por aplicativos.

USO de internet, televisão e celular no Brasil. IBGE Educa. Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/jovens/materias-especiais/20787-uso-de-internet-televisao-e-celular-no-brasil.html (adaptado). Acesso em: 3 ago. 2022.

Podemos reescrever essas informações de diversas maneiras:

8

dos domicílios brasileiros te ! m acesso a ` internet

utilizam a internet para o envio e recebimento de mensagens

Outro dado interessante nos diz que, em países da América Latina, a velocidade média da internet subiu de 131,28 Mbps (megabytes por segundo) para 235,79 Mbps

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais.

Considere os dados apresentados e reflita sobre as questões:

a) Você tem acesso à internet em seu domicílio? E seus familiares e amigos?

b) De que maneira você acessa a internet? Por exemplo, por celular, tablet, computador etc.?

c) Para que você mais utiliza a internet?

d) Você sabe a sua velocidade de internet? Pesquise os valores, em Mbps, citados.

ATIVIDADES

5. Segundo o texto, 96% das pessoas com 10 anos ou mais de idade utilizam a internet para receber e enviar mensagens.

a) Escreva uma fração que represente essa porcentagem.

96 100 ou 24 25

b) Escreva a representação decimal dessa porcentagem. 0,96

c) Escreva como se lê esse número em sua representação decimal. Noventa e seis centésimos.

6. Segundo o texto, 80% dos brasileiros têm acesso à internet. Escreva uma fração diferente de 80 100 que represente essa porcentagem. Possíveis respostas: 4 5 , 8 10 , 40 50 , 20 25 etc

7. O texto apresenta informações sobre a velocidade média da internet na América Latina.

a) Quais são as velocidades médias da internet antes e depois do aumento?

b) Escreva esses valores utilizando a representação fracionária.

a) Antes era 131,28 Mbps e depois 235,79 Mbps.

vista do bullying on-line (o chamado cyberbullying), muitas vezes permitido porque as plataformas promovem um suposto anonimato. O que muitas pessoas não sabem é que as interações cibernéticas também estão sujeitas ao Código Penal Brasileiro, podendo ser tipificadas, por exemplo, no artigo 138 do Decreto‑Lei nº 2.848.

LUPAS E LUNETAS

Proponha aos estudantes que façam um levantamento de dados sobre o acesso domiciliar à internet, utilizando-se das perguntas norteadoras:

Você possui acesso à internet?

Em quais dispositivos você acessa a internet? Você considera a qualidade de sua internet boa, média ou ruim?

A partir das respostas, discuta criticamente a acessibilidade digital do grupo.

Habilidade

(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.

Atividade 5

a) A porcentagem 96% pode ser representada por 96 100 ou, de forma simplificada, como 24 25

b) Na forma decimal, 96% pode ser representado por 0,96.

c) Noventa e seis centésimos.

Atividade 7

a) Antes do aumento, a velocidade média era de 131,28 Mbps. Depois do aumento, a velocidade passou a ser de 235,79 Mbps.

b) Na forma fracionária, esses valores podem ser escritos como 13 128 100 e 23 579 100 Se julgar oportuno, solicite aos estudantes uma pesquisa sobre o impacto do 5G na velocidade de navegação e download na internet.

Embora ainda não se tenha apresentado a comparação de números racionais na reta numérica, o contexto da internet pode ser de conhecimento de muitos estudantes. Sendo assim, você pode explorar os entendimentos dos estudantes sobre a velocidade da internet e identificar se eles já sabem que a velocidade média na América aumentou, isto é, que 235,79 é maior do que 131,28.

Habilidade (EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.

LUPAS E LUNETAS

O objetivo desta seção é que o estudante tenha a capacidade de compreender o significado de uma fração de denominador 1 e, consequentemente, a inclusão do conjunto dos números inteiros no conjunto dos números racionais. O denominador pode ser compreendido como a quantidade de partes em que o todo é dividido. Apresente o esquema:

• A fração 1 4 representa uma parte de um inteiro dividido em 4 partes iguais.

#Conjunto dos números racionais

O conjunto dos números racionais inclui todos os números que podem ser escritos como uma razão, ou seja, em representação fracionária, sendo o numerador um número inteiro e o denominador, um número inteiro diferente de zero.

Dizendo de outro modo, os números racionais podem ser representados por:

• Frações próprias, ou seja, aquelas cujo denominador é menor que o numerador. Exemplos:

2 10 , 3 4 , 13 25 etc

• Frações impróprias, ou seja, aquelas cujo denominador é maior ou igual ao numerador. Exemplos:

15 4 , 9 2 , 87 11 etc

• Frações aparentes, ou seja, as frações que representam números inteiros. Exemplos:

Os números naturais são números racionais que podem ser representados por uma fração aparente.

E os números negativos? Como dissemos que os números racionais também contemplam frações cujos numeradores ou denominadores sejam números inteiros, então números como estes também são racionais:

• A fração 1 3 representa uma parte de um mesmo inteiro, só que dividido em 3 partes iguais.

• A fração 1 2 representa uma parte do mesmo inteiro, só que dividido em duas partes iguais.

• Logo, a fração 1 1 deve representar o mesmo inteiro, mas apenas com uma parte, que é o próprio inteiro.

LUPAS E LUNETAS Resposta pessoal.

Considere que uma fração pode ser interpretada como o resultado de uma divisão – um quociente – e que todo número quando dividido por 1 resulta nele mesmo, então podemos representar, por exemplo, 34 pela fração 34 1

Converse com os colegas sobre esse fato e se podemos afirmar que todo número inteiro pode ser escrito em forma de fração com denominador igual a 1.

Assim, podemos dizer que o conjunto dos números racionais (representado por Q) inclui o conjunto dos números inteiros que, por sua vez, inclui o conjunto dos números naturais, pois todos esses números podem ser escritos em forma de fração ou razão.

Exemplos:

Podemos escrever 34 1 como 34 1 1 , isto é, 34 inteiros. Logo, 34 1 = 34 . Podemos concluir que todo número inteiro pode ser escrito na forma de uma fração com denominador igual a 1.

LUPAS E LUNETAS

Para obter a representação decimal da fração 87 11 , o estudante pode utilizar uma calculadora ou realizar a divisão pelo método da chave, de modo que:

Observe que o quociente da divisão será uma dízima periódica (7,90), sendo o período igual a 90. Lembre os estudantes de que todo número expresso por uma dízima periódica é racional, ou seja, pode ser escrito na forma de uma razão ou fração (fração geratriz da dízima).

LUPAS E LUNETAS

A representação fracionária pode ser interpretada como o resultado de uma divisão entre numerador e denominador, por exemplo:

3 4 = 3 ÷ 4 = 0,25 –11 2 = –11 ÷ 2 = –5,50

Isso implica que os números escritos em representação decimal também são números racionais. Em duplas, resolvam as atividades:

a) Obtenha a representação decimal do número 87 11 Utilize uma calculadora se necessário.

b) A partir desse exemplo e da definição de números racionais que fizemos, explique por que uma dízima periódica é um número racional. Compartilhe com os colegas. Resposta pessoal.

Podemos representar os números racionais na reta numérica:

ATIVIDADES

8. Escreva os números racionais a seguir em representação

9. Represente na reta numérica os números racionais:

10. No caderno, substitua cada por um dos símbolos

11. Escreva números racionais que completem corretamente as desigualdades:

#Adição e subtração de números racionais

Uma pessoa está organizando os arquivos de seu computador. Ela identificou que tem 3,243 Gigabytes em vídeos e 0,52 Gigabytes em fotos. Ao todo, os arquivos de fotos e vídeos em seu computador correspondem, em Gigabytes, a:

= 3,763

O resultado dessa operação pode ser obtido utilizando o algoritmo da adição:

Habilidade (EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.

(todo positivo é maior que um negativo).

Atividade 11 Não há uma única resposta para cada um dos itens. Por exemplo: 2,1 < 2,3 < 2,5 ou 2,2 < 2,3 < 2,4 são possíveis respostas, assim como –1 2 < –1 4 < –1 8

a) Resposta possível: 2 < 2,3 < 3

b) Resposta possível: –1 < –1 4 < 0

Atividade 8

Na forma decimal, os números racionais podem ser assim representados:

10

4 = 2,5; 2 5 = 0,4; –3 8 = –0,375; 15 5 = 3;

12 5 = –2,4; 1 3 = 0,333 ;

Atividade 9

11 9 = –1,222 ; –14 7 = –2

Uma das formas de posicionar os números na reta é efetuar a divisão da fração e obter sua

representação decimal. Por exemplo, 1 4 = 0,25 Pode-se ainda escrevê-las na forma mista, se for o caso, como em 6 4 = 1 2 4 = 1 1 2

Atividades 10 e 11

Explore com os estudantes o significado dos sinais de < (menor que), = (igual) ou > (maior que) como sendo os símbolos de comparação entre dois números. Desenvolva a ideia de representação de um número racional na reta numérica.

Habilidade

(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

Atividade 12

Uma estratégia possível para trabalhar operações de adição e subtração com números negativos e justificar algebricamente o raciocínio apresentado é utilizar as propriedades das operações. Por exemplo, para o item a, temos: – 2,3 + 1,5 =  (– 1) ∙ 2,3 + (– 1) ∙ (– 1,5) =  ( 1) ∙ (2,3 – 1,5) = (– 1) ∙ 0,8 =  0,8

a) –2,3 + 1,5 = –0,8

b) 3,4 – (–2,55) = 3,4 + 2,55 = 5,95 – (–2,55) = 3,4 + 2,55 = 5,95

c) –3,2 – 4,9 = –8,1

d) 1,25 – 3,7 = –2,45

Atividade 13

a) Exemplo de resposta: Martino estava devendo R$ 14,75 para seu pai e agora ele pediu emprestado R$ 5,10 para seu irmão. Quanto Martino deve, no total, agora?

b) Exemplo de resposta: Bianca tinha um saldo negativo de R$ 20,15 na conta corrente e depositou R$ 30,00. Determine qual é o saldo atual de sua conta.

Essa pessoa verificou que possui 98,46 Gigabytes de espaço ocupado na memória do computador. Se deletar (jogar na lixeira) um total de 10,705 Gigabytes, seu computador terá esta quantidade de espaço livre, em Gigabytes: 98,46 – 10,705 = 87,755

Pelo algoritmo da subtração:

Existem situações em que é necessário lidar com números negativos em representação decimal.

Situação 2

Uma pessoa possui R$ 508,14 em sua conta bancária. Se ela comprar um aparelho eletrônico que custa R$ 711,55, que quantia ficará em sua conta? Podemos representar essa quantia por: 508,14 – 711,55

Subtrair 711,55 de 508,14 pode ser interpretado como partir de 508,14 e se deslocar 711,55 para a esquerda na reta numérica:

Calcular 508,14 – 711,55 significa obter a diferença entre 711,55 e 508,14, lembrando que, como 508,14 é menor que 711,55, essa diferença é um número negativo.

ATIVIDADES

12. Calcule:

13. Em duplas ou trios, observem as expressões numéricas e proponham enunciados

Assim, na conta bancária dessa pessoa haverá um saldo negativo de R$ 203,41, ou seja, –R$ 203,41

Considere agora que, com essa quantia na conta bancária, essa pessoa vai gastar mais R$ 34,90, que quantia ficará em sua conta?

Podemos calcular assim:

–203,41 – (+ 34,90) = –203,41 – 34,90

Representando na reta numérica:

Nesse caso, calcular –203,41 – 34,90 significa adicionar duas quantidades negativas, portanto, obter uma quantidade negativa:

Assim, na conta bancária dessa pessoa haverá um saldo negativo de R$ 238,31 ou –R$ 238,31

de situações-problema que possam ser resolvidas por elas:

Respostas pessoais.

a) –14,75 – 5,10 = –19,85

b) –20,15 + 30 = 9,85

TRAJETÓRIA 3 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

TRAVESSIA S

Módulo de um número

Vamos considerar dois números inteiros quaisquer A e B na reta numérica. A distância entre cada um desses pontos e a origem da reta numérica é dada por um módulo e representada por A e B , respectivamente. O módulo é sempre um valor positivo.

14. a) A corresponde ao tamanho de ambos os segmentos. B corresponde ao tamanho de ambos os segmentos.

ATIVIDADES

14. Considerando as condições dadas acima, investigue a respeito dos módulos de A e B, conforme a seguir.

a) Interpretando geometricamente, que relação podemos estabelecer entre A e o tamanho dos segmentos definidos pelos pontos correspondentes a – A e 0 e pelos pontos correspondentes a A e 0? E quanto a B em relação ao tamanho dos segmentos definidos pelos pontos correspondentes a – B e 0 e B e 0?

b) A partir dessas considerações, veja como interpretar algumas operações envolvendo adição e subtração entre os números representados pelos pontos correspondentes a A e B.

C é o resultado das operações:

c) Resolva as seguintes operações:

Habilidade (EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.

TRAVESSIAS

os resultados, peça para eles representarem as resoluções utilizando a reta numérica, como no modelo.

Habilidade (EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

#Multiplicação de números racionais

Um computador tem 14,345 Gb de memória ocupada por arquivos e aplicativos. Após serem instalados outros arquivos, verificou-se que o espaço de memória ocupado nesse computador triplicou.

Para calcular quantos Gigabytes de memória estão ocupados agora, podemos realizar a operação:

É possível realizar essa operação utilizando o algoritmo da multiplicação:

Perceba que, como 3 é um número inteiro e 14,345 tem três casas decimais, então o produto tem três ordens decimais (ou casas decimais).

No caso de ambos os fatores serem números não inteiros em representação decimal, utilizamos uma estratégia semelhante. Por exemplo:

LUPAS E LUNETAS

Para justificar a quantidade de ordens decimais após a vírgula, observa-se a multiplicação de 5,26 por 12,432 na forma fracionária:

100 12 432 1 000 = 526 12 432 100 ⋅ 1 000 = 6 539 232 100 000

Sendo 100 000 = 10 10 10 10 10, estamos dividindo o numerador 6 539 232 reiteradas vezes (cinco vezes) por 10. A cada divisão por 10, desloca-se a vírgula uma ordem decimal para a esquerda.

Acompanhe os exemplos:

• 2 500,0 10 = 250,00 = 250

• 2 500,0 100 = 25,00 = 25

• 2 500,0 1 000 = 2,500 = 2,5

Assim, ao dividir 6 539 232 por 10 cinco vezes, tem-se a vírgula deslocada em cinco ordens decimais para a esquerda, sendo o resultado na forma decimal igual a 65,39232.

Calculando 526 12 432 pelo algoritmo da multiplicação:

Assim, 6 539 232 100 000 = 65,39232 = 65,39232.

É possível aplicar diretamente o algoritmo da multiplicação. Utiliza-se um processo semelhante ao da operação de multiplicação com números naturais:

Habilidades

(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

Porém, como 12,432 tem três casas decimais e 5,26 tem duas casas decimais, então o seu produto tem cinco casas decimais

LUPAS E LUNETAS Resposta pessoal.

Por que isso ocorre? Utilize as estratégias envolvendo representações fracionárias como argumento para explicar esse fato.

ATIVIDADES

15. Calcule os produtos:

a) 27,3 × 1,2 32,76

b) 1,9 × 0,52 0,988

c) 0,021 × 3,02 0,06342

d) 21,03 × 0,012 0,25236

16. Terê vai colocar piso frio na sala de estar de dimensões 7,65 m por 9,55 m. Sabendo que o metro quadrado do piso frio custa R$ 35,00, calcule quanto custará o piso necessário.

Aproximadamente R$ 2.557, 01.

17. Lembrando que:

• o produto de dois números negativos é um número positivo;

• o produto de um número negativo por um positivo é um número negativo. Resolva as multiplicações:

a) –2,31 × 4 –9,24

b) 3,2 × (–0,15) –0,48

c) –0,42 × (–0,7) 0,294

d) –51,1 × (–1,1) × (–2) –112,42

Atividade 16

Terê deve primeiramente determinar a área da superfície de sua sala, cuja forma retangular é de 9,55 m de comprimento por 7,65 m de largura. Sendo a área do retângulo o produto comprimento × largura, a área será de 9,55 7,65 = 73,0575 m2 Se o preço do m2 é de R$ 35,00, o custo total será dado por 73,0575 ⋅ 35 = 2 557,0125 ou R$ 2.557,01.

159 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

#Divisão de números racionais

Uma família criou uma nuvem virtual com 115 Gigabytes de capacidade para armazenar seus arquivos. Essa capacidade foi dividida igualmente entre os 4 membros da família.

Utilizaremos o algoritmo da divisão para calcular a parte de cada um, em Gigabytes:

Um dos filhos decidiu dividir sua parte de 28,75 Gb em duas partes iguais: uma para armazenar seus textos e outra para suas fotos.

Veja uma estratégia para calcular a capacidade de cada parte, em Gigabytes

Vamos considerar que 28,75 = 2 875 100 ; assim, temos:

Lembrando que podemos interpretar a divisão por um número como a multiplicação por seu inverso:

concluímos que:

Utilizando o algoritmo da divisão:

A capacidade de cada parte será 14,375 Gb.

Em seguida, esse filho gostaria de saber qual é o maior número de arquivos de 2,5 Gb que caberiam em 14,375 Gb. Para calcular quantas vezes 2,5 cabe em 14,375, precisamos efetuar a divisão

Habilidade (EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

No contexto do problema, podemos concluir que o maior número de arquivos de 2,5 Gb que cabe dentro de 14,375 Gb é 5.

LUPAS E LUNETAS

A situação-problema utiliza o Gigabyte como medida para o tamanho dos arquivos. O Gigabyte é considerado uma unidade de medida de informação. O termo “giga” tem origem na língua grega e significa “gigante”. Matematicamente, utilizamos o termo “giga” para representar uma quantidade de 1 000 000 000, ou 109. Em outras palavras, Gigabyte significa cerca de um bilhão de bytes! Mas você sabe o que é um byte?

Os computadores funcionam tomando pequenas decisões baseadas em respostas “sim” ou “não”. A quantidade de informação contida em uma dessas respostas equivale a 1 bit. O termo bit vem da abreviação de binary digit (dígito binário, em inglês). Os dígitos binários são 0 e 1, ou seja, o 0 é um bit que corresponde ao não e o 1 é outro bit, que corresponde ao sim. Juntando-se os bits ou 8 respostas “sim” ou “não”, ou seja, 8 bits, obtemos 1 byte

b) 1 byte corresponde a 1 1 000 000 000 de 1 Gigabyte

1 bit corresponde a 1 8 000 000 000 de 1 Gigabyte

Habilidades

(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

Atividade 18

Resolvendo a divisão pelo algoritmo, tem-se:

Responda às questões em duplas ou trios:

a) Que fração de um byte corresponde a 1 bit? 1 bit corresponde a 1 8 de 1 byte.

b) Considerando os dados apresentados, que fração de 1 Gigabyte corresponde a 1 byte? E a 1 bit?

• Compartilhe as estratégias com os demais colegas.

ATIVIDADES

18. Calcule os quocientes:

a) 21,3 ÷ 1,5 14,2

b) 1,44 ÷ 12 0,12

19. Eric tem R$ 38,25 na carteira e vai ao supermercado comprar caixas de suco que custam R$ 2,55 a unidade. Determine a quantidade máxima de caixas que ele poderá comprar 15 caixas.

20. Lembrando que:

• o quociente de dois números negativos é um número positivo;

• o quociente de um número negativo e um positivo é um número negativo. Resolva as divisões:

a) –58,5 ÷ 1,3

b) 15,12 ÷ (–4,2)

–3,6

c) (–0,184) ÷ (–0,23)

d) (–4,536) ÷ (–0,36)

2 1 31 5 – 1 5 6 3 – 6 0 3 0 0 – 3 0 1 4, 2

1 4 4 01 2 0 0 – 1 2 0 0 2 4 0 0 – 2 4 0 0 0 0, 1 2

Atividade 19

LUPAS E LUNETAS

A rigor, devido à base binária, 1 kilobyte (kB) equivale a 1 024 bytes; 1 megabyte (MB) equivale a 1 024 kB; 1 gigabyte (GB) equivale a 1 024 MB, então 1 GB corresponde a cerca de 1 000 000 000 bytes.

Chame a atenção do estudante para o fato

de um bit ser 1 8 do byte , que por sua vez é

1

bit se tem

000 000 000

1

161 |

Habilidades

(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

TRAVESSIAS

Atividade 21

a) A diagonal da tela do monitor será calculada por 32 2,54 = 81,28 cm Já o comprimento da tela do celular será calculado por 6,2 2,54 = 15,748 cm

b) Se três grãos de cevada alinhados possuem um comprimento de 2,54 cm, o comprimento de cada grão será de 2,54 ÷ 3 = 0,846 cm

c) Comparando as dimensões das telas em polegadas, tem-se 32 ÷ 6,2 ≅ 5,16

Ou seja, o comprimento da diagonal da tela do monitor é mais de 5 vezes a tela do celular.

d), e) e f):

Proponha a formação de grupos, de modo que os estudantes possam investigar e discutir a unidade de medida de comprimento polegada. Na obtenção “da sua polegada”, instigue-os a discutir a necessidade de uma padronização das unidades para evitar possíveis erros na hora de comparar medidas. Solicite, então, aos estudantes de diferentes grupos que realizem a medida de diversos objetos utilizando-se “da polegada” de cada grupo, ou seja, do valor médio encontrado por cada grupo para a polegada.

Você também pode propor uma reflexão sobre a diferença

TRAVESSIAS

Polegada e precisão na medição

Uma unidade de medida bastante comum para falar sobre tamanho de telas é a polegada. Ouvimos sobre essa unidade de medida quando falamos de aparelhos de TV, celulares, tablets, monitores de computador etc.

A polegada é representada pelo símbolo (") após o número. Nos exemplos, as telas têm tamanho de 32 e 6,2 polegadas:

ATIVIDADES

21. A polegada é uma unidade de medida que tem sua origem na utilização do próprio corpo para medir: corresponde à largura do dedo polegar. Após muitos anos de uso, no século XIV, o rei da Inglaterra padronizou uma série de medidas. A polegada foi então apresentada como o comprimento de “três grãos de cevada alinhados lado a lado”. Oficialmente, uma polegada equivale a 2,54 cm.

a) Calcule o comprimento da diagonal das telas apresentadas em centímetros.

b) Considerando as informações apresentadas, calcule, em centímetros, o comprimento de um grão de cevada.

c) Considerando as informações apresentadas, quantas vezes o comprimento da diagonal da tela do monitor é maior que o comprimento da diagonal da tela do celular? Compartilhe com os colegas a estratégia que você utilizou. Mais de 5 vezes.

• Vamos investigar um pouco mais sobre medidas?

d) Em grupos, utilizem uma régua para medir a largura do seu polegar, ou seja, obter a medida “da sua polegada”. Procurem ser o mais precisos possível e anotem os valores em uma tabela. Nos registros, utilizem uma casa decimal, ao menos.

e) Agora, vamos calcular um “valor médio” para as medidas obtidas por seu grupo. Para tanto:

Respostas condicionadas aos resultados das investigações.

I. Adicionem todas as medidas obtidas.

II. Dividam a soma pelo número de participantes do grupo.

III. Comparem esse “valor médio” da medida da largura dos polegares com suas medidas individuais. É maior, menor ou igual? Converse sobre isso com os colegas.

IV. Compartilhem o valor médio do seu grupo com os demais colegas.

f) Escolham a tela de um aparelho eletrônico qualquer (computador, tablet, celular, televisão etc.) e meçam o comprimento de sua diagonal utilizando como medida o valor médio da polegada do seu grupo. Compartilhem suas estratégias e comparem com as medições feitas pelos demais grupos.

entre a média da polegada encontrada na sala e o valor de 2,54 cm, conjecturando sobre variáveis como a idade dos alunos da sala e o tamanho da polegada de um adulto. Considerando a ideia de unidades de medida como padrões para medições, discuta sobre a necessidade de se estabelecer o valor de 2,54 cm como padrão para a polegada, em vez de utilizar a própria polegada para medir o tamanho de uma televisão, por exemplo, considerando as diferenças obtidas entre as medidas obtidas no item f e as medidas estabelecidas pelos fabricantes.

81,28 cm; 15,748 cm.

0 846 cm

#Erros e incertezas em medições

Ao realizar uma medição em situações cotidianas, por melhor que seja o cuidado com o equipamento, com os procedimentos de medição e com a observação atenta das características do objeto a ser medido, ainda assim os resultados podem ser afetados por erros. Essa “falta de perfeição” na medição é chamada, atualmente, de incerteza. A palavra erro foi utilizada por muito tempo com esse mesmo significado. Atualmente a palavra “erro” é reservada para indicar a diferença entre o valor obtido na medição e o valor verdadeiro.

A noção de valor verdadeiro é concebida como o valor que poderíamos encontrar em uma medição ideal, feita em condições perfeitas, com instrumentos perfeitos e manipulados por operadores tecnicamente perfeitos. Esse valor, que existe no mundo abstrato e idealizado, vai permitir o conceito de erro absoluto e erro relativo

O erro absoluto é a diferença algébrica (pode ter sinal “+” ou “-”) entre o valor obtido na medição e o valor verdadeiro:

(erro absoluto) = (valor medido) – (valor verdadeiro)

Exemplo: uma peça mecânica produzida em larga escala tem sua massa ideal esperada de 1 kg. Sabendo que ela foi medida duas vezes, resultando 998 g na primeira vez e 1 001 g na segunda vez, determine o erro em cada caso.

No primeiro caso, temos: (erro absoluto) = 0,98 – 1 = – 0,02, ou seja, erro absoluto de – 0,02 kg.

No segundo caso, temos: (erro absoluto) = 1,01 – 1 = 0,01, ou seja, erro absoluto de +0,01 kg.

Algumas vezes é mais útil conhecermos o valor relativo do erro de uma medição, indicado da seguinte maneira:

(Erro relativo) = (Erro absoluto) (Valor verdadeiro)

Exemplo: uma peça A que tem valor verdadeiro de 100 g (ou 0,1 kg) teve um erro absoluto de 0,01 kg. Uma peça B que tem valor verdadeiro de 1 kg teve um erro absoluto de 0,01 kg.

Isso nos mostra que um erro de 0,01 kg em 100 g é mais grosseiro do que um erro de 0,01 kg em 1 kg. Dito de outra maneira: um erro de 10 g na medida de uma massa de 100 g representa uma baixa precisão; um erro de 10 g na medida de uma massa de 1 000 g representa uma boa precisão.

(Erro relativo de A) = 0,01 0,1 = 0,1 ou 10% (erro grande! Baixa precisão.)

(Erro relativo de B) = 0,01 1 = 0,01 ou 1% (erro pequeno! Alta precisão.)

LUPAS E LUNETAS

Um marceneiro cortou ripas de dois tamanhos: de 2 m e de 20 cm de comprimento.

Ele mediu a primeira e obteve 2,05 m. Mediu a segunda e obteve 20,1 cm.

a) Qual foi o erro absoluto na medição de cada ripa? Na primeira: 0,05 m; na segunda: 0,1 cm.

b) Qual foi o erro relativo na medição de cada ripa? Na primeira: 2,5%; na segunda: 0,5%.

c) Em qual medição de ripa houve a melhor precisão?

Houve melhor precisão na medição da segunda ripa.

d) Elabore uma pergunta envolvendo essa situação. Resposta pessoal.

Habilidades

(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

LUPAS E LUNETAS

Discuta o conceito de erro de uma medida com os estudantes, considerando que sempre existe uma margem de erro, ainda que mínimo, em todo instrumento utilizado para fazer medições. Além disso, aponte para o fato de que o operador do instrumento também pode cometer erros que geram sempre uma discrepância entre o valor esperado e aquele encontrado. Proponha uma investigação em que diferentes estudantes possam realizar a medição das dimensões (comprimento, largura ou altura) de um objeto e façam a comparação entre os valores encontrados. Depois, solicite que apontem possíveis falhas do operador do instrumento ou do próprio instrumento. Discuta também sobre como uma precisão maior pode ser necessária, dependendo da situação. Pergunte em quais situações eles acham que um erro relativo de 2,5% pode ser muito relevante.

LEVO NA BAGAGEM

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre o próprio aprendizado, enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, classificarão seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas que estão presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

LEVO NA BAGAGEM

Respostas pessoais.

Consulte, em seu caderno, os trabalhos que você desenvolveu, suas anotações de estudos e reflita sobre o que aprendeu até agora neste passeio.

▶ Matemática

• Consegue reconhecer números racionais em diferentes contextos e situações-problema?

• Sabe resolver problemas envolvendo números racionais?

• Compreende a composição do conjunto dos números racionais?

• Consegue realizar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo números racionais em diferentes contextos e situações-problema?

• Resolve e elabora problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada?

▶ Outras disciplinas

Língua Portuguesa

• Consegue selecionar informações relevantes de fontes diversas, avaliando a qualidade e a utilidade dessas fontes, e organizá-las esquematicamente em quadros ou tabelas?

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO

Insuficiente Parcialmente suficiente Satisfatório Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

▶ Organize

Neste passeio, você explorou o conjunto dos números racionais, identificando suas características, propriedades, operações e diversos contextos em que podem ser reconhecidos. Elabore um resumo considerando as diferentes maneiras de representar números racionais e de que modo resolver operações com eles.

▶ Elabore

Existe uma diversidade de situações envolvendo números racionais. Eles podem aparecer em diferentes representações em uma mesma situação. Por exemplo:

b) Tais situações-problema podem ser:

• Se Carol juntar duas cordas, uma que mede metade de um metro e outra que mede 3,5 metros, qual será o comprimento total?

• De um rolo de tecido que possui 2,5 metros serão retirados 4 9 de seu total. Quanto restará de tecido?

• Um menino combinou com sua mãe que após o almoço sua sobremesa será 40% de 3 5 de um pudim que sobrou. Qual é a fração do pudim que cabe ao menino?

Para efetuar esse cálculo, uma estratégia é representar ambas as parcelas da mesma maneira:

• Em um problema de Matemática, uma quantia de 4 3 será dividida por oito décimos. Qual é o resultado dessa divisão?

Proponha

a) Elabore três expressões similares, envolvendo as quatro operações, de modo que haja diferentes representações para números racionais.

b) Crie situações-problema que possam ser resolvidas a partir de cada uma das expressões anteriores. Compartilhe com os colegas.

▶ Proponha

A pergunta inicial deste passeio é: Que usos fazemos das tecnologias digitais? Reflita sobre seu dia a dia. Quais são os principais usos que você faz das tecnologias digitais?

Alguns dos principais benefícios de tecnologias digitais são utilizá-las para se expressar por meio de diferentes linguagens, compartilhar informações e experiências.

Você considera que, em seus usos das tecnologias digitais, esses benefícios estão presentes?

A partir dessas reflexões, proponha uma roda de conversa com os colegas: falem sobre como vocês podem ampliar esses benefícios em seu cotidiano e como conscientizar ou estimular outras pessoas a fazer o mesmo.

BARCOS E PORTOS

Organize

Coletivamente, retome o mapa mental apresentado na seção Arredores e discuta item por item do conteúdo, identificando possíveis dúvidas. Solicite aos estudantes que elaborem um resumo considerando as diferentes maneiras de representar números racionais e o modo de resolver operações com

Retome a discussão inicial deste passeio sobre Que usos fazemos das tecnologias digitais? , debatendo com os estudantes, de forma crítica, o papel das tecnologias digitais na comunicação e na formação dos indivíduos, sempre reforçando a importância da ética digital.

Respostas pessoais.

Habilidade

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

Encontro com outras disciplinas

(EF67LP12) Produzir resenhas críticas, vlogs, vídeos, podcasts variados e produções e gêneros próprios das culturas juvenis (algumas possibilidades: fanzines, fanclipes, e-zines, gameplay, detonado etc.), que apresentem/ descrevam e/ou avaliem produções culturais (livro, filme, série, game, canção, disco, videoclipe etc.) ou evento (show, sarau, slam etc.), tendo em vista o contexto de produção dado, as características do gênero, os recursos das mídias envolvidas e a textualização adequada dos textos e/ou produções.

CHECK-IN

Organize os estudantes em uma roda de conversa e proponha uma discussão sobre a pergunta: todos utilizam as tecnologias digitais e possuem acesso à internet da mesma maneira? Tais discussões propiciam uma troca de experiências sobre as vivências relacionadas às tecnologias digitais e à sua acessibilidade.

a) Para a resolução de um problema que pode ser representado pela expressão algébrica 3 x + 1, oriente-os sobre o significado da variável x na expressão, diferenciando-a da incógnita x A variável representa diferentes valores que x pode assumir em uma expressão. Considere o caso em que x representa o

COMO AS TECNOLOGIAS DIGITAIS ESTÃO PRESENTES EM DIFERENTES ESPAÇOS E CULTURAS?

CHECK-IN

Diferentes pessoas fazem diversos usos das tecnologias digitais de modo a responder às suas visões de mundo, projetos de vida e ao contexto proporcionado pelo espaço e pela cultura. Ajudar a resolver problemas de Matemática e falar sobre literatura são exemplos de boa utilização das tecnologias. Também podemos resolver problemas, compreender situações ou comunicar as conclusões obtidas na Matemática.

a) Considere a expressão algébrica: 3x + 1

• Utilizando uma calculadora, atribua valores a x e obtenha valores numéricos dessa expressão.

• Compartilhe com os colegas, explicando como você realizou os cálculos

b) O jovem na ilustração faz resenhas de livros juvenis clássicos. Você já leu o livro que ele está mostrando? Em caso afirmativo, elabore uma resenha. Em caso contrário, escolha um livro juvenil que você leu e publique a resenha dele em sua rede social.

número de telespectadores em uma live; a expressão 3 x + 1 pode retratar uma escala de alcance dessa live. Assim, quando x = 10 telespectadores, o alcance da live nesta escala é 3 10 + 1 = 31 Quando x = 100 telespectadores, o alcance da live nesta escala é de 3 100 + 1 = 301

Já uma incógnita representa um valor desconhecido: se o alcance nessa escala for 901, qual é o número x de telespectadores da live? Nesse caso, resolvendo a equação 3 x + 1 = 901 em que x é a incógnita, temos x = 300 telespectadores.

b) Convide o professor de Língua Portuguesa para, juntos, executarem uma proposta de trabalho sobre a construção de uma resenha literária. Não temos aqui a pretensão de desenvolver na totalidade uma das habilidades de Língua Portuguesa EF67LP12, mas parte dela será contemplada nesta proposta.

Uma resenha pode ser definida como um tipo de texto usado para descrever e analisar outra produção textual. Todos os livros, de modo geral, podem ser resenhados. É recorrente haver uma confusão entre os conceitos de resenha e resumo

Jovem influenciador de literatura incentivando a leitura de livros juvenis clássicos.

Respostas pessoais.

166 | TRAJETÓRIA 3 NÃO ESCREVA

BÚSSOLA

Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos:

• Compreender a diferença entre variável e incógnita.

• Resolver problemas do cotidiano utilizando equações.

• Utilizar diferentes estratégias para resolver equações polinomiais de 1º grau.

• Identificar a presença de valores sociais, culturais e humanos e de diferentes visões de mundo em diferentes situações.

• Produzir resenhas críticas ou reviews que apresentem/descrevam produções culturais variadas tendo em vista o contexto de produção.

A sequência didática apresentada é aquela sugerida pelos autores, porém pode ser alterada e adaptada de acordo com as necessidades e dificuldades que forem surgindo ao longo do passeio.

Por exemplo, as temáticas relacionadas a equações polinomiais e incógnitas podem se abordadas antes da ideia de variável e expressão algébrica.

Enquanto o resumo é um gênero textual em que se retira de um texto original apenas as informações mais relevantes, a resenha mescla o resumo com trechos descritivos ou analíticos, acrescentando informações novas ao texto originalmente resenhado. Proponha aos estudantes, em grupos, a elaboração de uma resenha sobre o livro apresentado ou algum outro livro juvenil já lido por eles. Essas resenhas devem ser apresentadas na forma de um vlog (blog na forma de vídeo) ou podcast.

EF07MA13, EF07MA18 EF67LP12

Encontro com outras disciplinas

(EF67LP12) Produzir resenhas críticas, vlogs, vídeos, podcasts variados e produções e gêneros próprios das culturas juvenis (algumas possibilidades: fanzines, fanclipes, e-zines, gameplay, detonado etc.), que apresentem/ descrevam e/ou avaliem produções culturais (livro, filme, série, game, canção, disco, videoclipe etc.) ou evento (show, sarau, slam etc.), tendo em vista o contexto de produção dado, as características do gênero, os recursos das mídias envolvidas e a textualização adequada dos textos e/ou produções.

Convide novamente o professor de Língua Portuguesa para, juntos, executarem uma proposta de trabalho sobre a construção desta outra resenha crítica. Não temos aqui a pretensão de desenvolver na totalidade uma das habilidades de Língua Portuguesa EF67LP12, mas parte dela será contemplada nesta proposta.

A resenha crítica é um gênero textual que descreve e correlaciona informações de uma obra ou assunto na qual há espaço para que o autor apresente teses sobre o tema abordado.

Toda resenha possui como características fundamentais a objetividade, a concisão e o uso da norma-padrão da língua.

Proponha aos estudantes que escrevam uma resenha crítica sobre o texto “O computador é o novo arco e flecha”, abordando a utilização, cada vez maior, da internet e dos aparelhos digitais por diferentes povos e culturas.

ATMOSFERA

O computador é o novo arco e flecha

Este texto foi escrito por uma pessoa indígena. Leia o que ela pensa.

O arco e flecha é um instrumento de defesa, de caça... Hoje em dia, um computador com acesso à Internet também pode ser utilizado pelos índios como um instrumento de defesa e de caça. Nós, índios, já estamos usando o computador como ferramenta de buscar soluções. O computador nos serve para escrever projetos ou cartas que nos auxiliam para encontrar melhorias na saúde, educação, sustentabilidade e tudo que se refere à nossa sobrevivência e desenvolvimento, servindo como um arco e flecha.

Quando nós índios pensamos em fazer uma caçada, nós nos preparamos estudando todas as possibilidades: o clima, o terreno, a época do ano... Preparamos nossas flechas, fazemos nossas orações e saímos em grupo... Hoje em dia, também nos reunimos em grupo e através do computador e da Internet nós estudamos todas as possibilidades: os órgãos do governo e seus editais e suas leis, as agências de cooperação, os financiadores, os programas, os patrocínios de empresas, o mundo das parcerias... Preparamos nossos projetos e saímos com o objetivo de concretizar nossa caçada.

Quando um projeto é pensado, projetado, elaborado, encaminhado e captado, é igual à caçada tradicional. O que é preciso para ser um bom caçador? Precisa aprender com os mais ágeis caçadores e principalmente praticar muito. É bom estudar os hábitos dos animais: onde comem, onde bebem,

onde vivem... É importante saber imitar os animais para atraí-los. É importante farejar, tastejar para capturar as caças. É muito importante também o domínio do arco e flecha, para atingir a caça. O que é preciso para ser um bom caçador eletrônico?

Precisa aprender um pouco de informática com aqueles que já sabem sem se importar com a tribo digital que a outra pessoa pertença. Dedicar horas à prática no computador é fundamental. Praticando se aprende. Muito do que sabemos hoje temos aprendido praticando... Sozinhos. Com a Internet nós podemos estudar “os hábitos” das agências, das secretarias, dos órgãos, das empresas... Onde se localizam, quais são as suas missões, quais suas formas de proceder (editais, chamadas, patrocínios, apoios, parcerias...).

É importante saber “imitar”, saber ajustar nossos projetos aos perfis daqueles que a gente quer atrair, sejam eles financiadores ou parceiros... É importante procurar, pesquisar, navegar na Internet para assim saber melhor como “capturar”.

O computador é muito rápido. Ele vai longe e pode atravessar o oceano em segundos. A luta para buscar as soluções dos problemas exige um grupo de pessoas articuladas e planejamento.

Um arco e flecha pendurado na parede é decorativo, não caça nem defende. Vamos usar nossos computadores, estiquemos nossos arcos e lancemos nossas flechas digitais!

KARIRI-XACÓ, Nhenety. Arco digital: uma rede para aprender a pescar. Maceió: Ministério da Cultura/Instituto Oi Futuro, 2007. Disponível em: www.thydewa.org/downloads/arco.pdf. Acesso em: 10 ago. 2022.

ATIVIDADES

1. Para as pessoas indígenas, qual é a função do arco e flecha no seu cotidiano? Respostas pessoais.

2. Como a internet apoia as pesssoas indígenas a desenvolverem seus projetos?

3. Qual é a função predominante da internet e dos aparelhos digitais no seu cotidiano?

4. Escreva uma resenha crítica sobre esse texto e publique-a na rede social de sua preferência. 168 | TRAJETÓRIA 3 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividades 1 a 4

Solicite aos estudantes que se organizem em grupos para responder às questões propostas.

Oriente-os a debater o papel dos aparelhos digitais e da internet como ferramentas de estudo e trabalho, solicitando que apresentem situações cotidianas em que ambos são utilizados. Cite como exemplo uma simples pesquisa que pode ser realizada nas plataformas de busca, que apresentam respostas (nem sempre corretas) sobre as mais diversas questões relacionadas ao mundo físico.

#Expressões algébricas e variáveis

Um agricultor possui uma horta em um terreno de formato retangular de largura 15 m e comprimento 20 m.

Ele associou-se a uma cooperativa digital, os negócios cresceram e ele ampliou a horta em uma certa medida na largura e o dobro dessa medida no comprimento.

Vamos representar o aumento da largura do terreno retangular da horta por x e do comprimento por 2x

Habilidade

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c , fazendo uso das propriedades da igualdade.

LUPAS E LUNETAS

Esse agricultor pretende cercar o terreno com arame. Uma estratégia para decidir o comprimento, em metros, necessário para cercar todo o terreno é obter o perímetro do retângulo que representa esse terreno.

Lembrando que o perímetro pode ser calculado pela adição das medidas de todos os lados desse retângulo, podemos verificar que:

• antes da ampliação, o perímetro era:

15 m + 15 m + 20 m + 20 m = 70 m

• depois da ampliação, o perímetro passou a ser:

15

Adicionando as parcelas que correspondem a valores numéricos e as que correspondem a variáveis, temos:

Note que representamos o cálculo do perímetro, antes da ampliação, por uma expressão numérica. Após a ampliação, representamos o perímetro por uma expressão algébrica, pois incorporamos à expressão numérica a variável x

Não sabemos de quantos metros foi a ampliação do terreno, ou seja, dependendo do valor que atribuirmos a x, teremos um valor diferente para o perímetro. Por exemplo: se x = 5, então

6x + 70 = 6 5 + 70 = 100 m

LUPAS E LUNETAS

Resposta pessoal.

Considerando isoladamente aquela expressão algébrica, não há problema se x = 0 ou x < 0 Porém, em termos do contexto da situação-problema, esses valores podem não fazer sentido. Você saberia dizer o porquê?

169

169 |

Habilidades

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

Para explorar de modo mais detalhado a diferença entre incógnita e variável, proponha aos alunos o roteiro que segue.

Escreva na lousa o seguinte:

6x + 70 ! " $ assim que o agricultor ampliou a horta

6x + 70 = 130 ! " $ depois de ter utilizado o aplicativo de geolocalização e mapas digitais

Pergunte qual é a diferença entre essas duas sentenças.

O mais provável é que os estudantes observem que na segunda sentença há uma igualdade.

Então, questione: na primeira sentença, x pode ser 20? E, sendo 20, quanto medirá o perímetro da horta ampliada? Além disso, x poderia ser 30? E 40?

Quantos valores vocês acham que é possível atribuir a x nesta sentença?

É esperado que os alunos percebam que o valor de x está livre para assumir qualquer valor positivo maior que zero, já que x diz respeito à medida de um comprimento; isso é o mesmo que admitir infinitos valores para x

Em seguida, pergunte: na segunda sentença, o que acontece se substituirmos x por 20? Além disso, x poderia ser 30? E 40?

Quantos valores vocês acham que é possível atribuir a x nesta sentença?

#Equações e incógnitas

Utilizando um aplicativo de geolocalização e mapas digitais, esse agricultor obteve uma imagem aérea de seu terreno após a ampliação e verificou que o perímetro do retângulo que o representa é 130 m. Podemos escrever: 6x + 70 = 130

Ao acrescentar essa informação, obtemos uma equação. Matematicamente, podemos dizer que uma equação é uma igualdade entre expressões matemáticas. Cada uma dessas expressões corresponde a um membro da equação:

Ao considerar somente a expressão 6x + 70, poderíamos atribuir diversos valores para a variável x. Ao escrever a equação 6x + 70 = 130, precisamos verificar qual valor de x torna a igualdade verdadeira. Por exemplo, se x = 1 :

Assim, chegamos a uma igualdade que não é verdadeira.

Precisamos, então, determinar qual valor para x torna a equação 6x + 70 = 130 verdadeira. Note que, no caso de uma equação, a letra x não mais corresponde a uma variável, mas sim a um valor desconhecido, que queremos saber. Em outras palavras, x é uma incógnita Resolver uma equação, ou seja, obter uma solução para a equação, significa obter o valor (ou valores) para x que torne a igualdade verdadeira. A solução de uma equação também é denominada raiz dessa equação.

Para resolver a equação 6x + 70 = 130, podemos considerar as perguntas:

Que número adicionado a 70 resulta em 130? 60

6 multiplicado por qual número resulta em 60? 10

Portanto, a solução dessa equação é x = 10 Veja: 6 10 + 70 = 60 + 70 = 130

Ou seja, x = 10 torna a equação 6x + 70 = 130 verdadeira.

LUPAS E LUNETAS

Respostas pessoais.

Considere as sentenças matemáticas:

I. 42y + 1 = 139

II. 91y + 23y + 121

Em qual delas a letra y representa uma variável e em qual representa uma incógnita? I. Incógnita. II. Variável.

Igualdade e a noção de equilíbrio

Podemos interpretar uma igualdade como um equilíbrio:

Nas situações 1 e 3, não há equilíbrio entre as massas em cada prato da balança. A massa total em um prato é maior ou menor do que no outro prato.

170 | TRAJETÓRIA 3 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

É esperado que eles compreendam que há, para essa sentença, apenas um valor que pode ser atribuído a x Finalize reforçando com os alunos que embora a letra x seja a mesma em ambas as sentenças, o significado difere quanto a ser um valor livre ou dependente de uma condição. Nesse caso, a condição imposta à segunda sentença era de que o resultado final da primeira expressão fosse 130.

LUPAS E LUNETAS

Como a letra y está dependente de uma condição na sentença I, logo, ela tem o significado de incógnita.

Na segunda sentença, a letra y está livre para assumir diversos valores, logo, tem o significado de variável.

Já na situação 2, os pratos estão em equilíbrio, ou seja, a massa total em cada prato é igual. Para manter esse equilíbrio ou igualdade, sempre que se alterarem as massas de um dos pratos, devem-se alterar as massas no outro prato da mesma maneira.

• Há equilíbrio. Ao adicionar um peso somente em um lado, perde-se o equilíbrio. Ao adicionar um peso do outro lado, retoma-se o equilíbrio.

Habilidade

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

• Há equilíbrio. Ao retirar um peso somente em um lado, perde-se o equilíbrio. Ao retirar um peso do outro lado, retoma-se o equilíbrio.

LUPAS E LUNETAS

• Há equilíbrio. Ao triplicar os pesos somente em um lado, perde-se o equilíbrio. Ao triplicar os pesos do outro lado, retoma-se o equilíbrio.

Conduza os estudantes nesta discussão coletiva sobre a ideia de a equação ser um balanceamento entre os termos apresentados nos dois membros da igualdade, ou seja, uma sentença matemática fechada será verdadeira se, e somente se, a igualdade for verificada.

• Há equilíbrio. Ao considerar a metade dos pesos em um lado, perde-se o equilíbrio. Ao ter a metade dos pesos do outro lado, retoma-se o equilíbrio.

Considere como exemplo a equação x + 2 = 5, que apresenta somente um valor de x que a torna verdadeira (x = 3) Para qualquer outro valor (x ≠ 3), a sentença matemática é considerada falsa. Conclui-se então que quando x = 3, a igualdade fica 3 + 2 = 5 → 5 = 5, sendo assim uma sentença verdadeira.

LUPAS E LUNETAS

Respostas pessoais.

Entre os anos 813 e 833, o matemático persa Al-Khwarizmi escreveu uma obra cujo título, em língua árabe, é al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala. Podemos traduzir como “Livro compêndio sobre cálculo por restauração e balanceamento”. A palavra “álgebra” veio de um termo do nome dessa obra: al-jabr

Essa obra tornou-se fundamental na história da Matemática ao tratar de uma série de fundamentos da álgebra, especialmente no estudo das equações.

Em grupos, conversem sobre possíveis relações entre o título da obra e o assunto das equações.

Habilidade

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

Atividade 5

Sendo os pesos vermelhos representados por x, em cada item tem-se as equações:

ATIVIDADES

5. Sabendo que o peso amarelo tem 50 g e o peso azul, 100 g, determine a massa do peso vermelho em cada item:

a) 200 g

c) 100 g

b) 150 g

d) 125 g

#Equações polinomiais de 1o grau

As redes sociais ajudam as pessoas não somente a se expressar e se comunicar com amigos, como também a mobilizar pessoas para resolver problemas comuns. Diversas comunidades realizam campanhas para discutir esses problemas e propor soluções.

Sophia_com_ph

@Sophia_7ano

Tinha alguns contatos em minha rede social. Consegui 75 novos contatos. Agora tenho 190 contatos.

32 1

Teo_sem_h @teodoro_7ano

Havia algumas pessoas em minha campanha na internet. Após uma semana dobrei essa quantidade, mas depois perdi dez seguidores. Agora tenho 50 pessoas engajadas na campanha.

26

Note que é possível resolver cada item retirando pesos iguais ou equivalentes de ambos os pratos da balança – sem nem mesmo escrever formalmente as equações a princípio –, o que leva a uma atribuição de significados às operações inversas realizadas nos dois membros da igualdade quando resolvemos as equações.

Por exemplo, no item a, retirando-se um peso amarelo de cada lado da balança, é possível observar que um peso vermelho é equivalente a dois azuis.

LUPAS E LUNETAS

Instrua os estudantes a identificar a forma de uma equação do 1o grau, dada por ax + b = c, com a ≠ 0 e sendo a, b e c coeficientes numéricos.

! + 75 consegui setenta e cinco novos contatos

! " $ = 190 tenho cento e noventa contatos

!

2x dobre a quantidade de seguidores

! – 10 perdi dez seguidores

Desejamos saber quantas pessoas ou contatos havia na rede no início de cada situação. Para isso, podemos descrever cada uma das situações por uma equação: y tinha alguns contatos

! " $ = 50 fique com cinquenta segu dores

Equações que podem ser reduzidas à forma ax + b = c, com a ≠ 0, são denominadas equações de 1o grau

LUPAS E LUNETAS

a) Sim. Em y + 75 = 190, temos que a = 1, b = 75 e c = 190

Em 2x – 10 = 50, temos que a = 2, b = –10 e c = 50

Em duplas ou trios, respondam:

!

b) Se a pudesse ser 0, não haveria incógnita na equação, não sendo uma equação, mas uma expressão numérica.

a) Considere as equações anteriores: elas são equações de 1o grau? Justifique.

b) Por que, ao descrever a forma geral da equação de 1o grau, diz-se que a ≠ 0?

c) Elabore um situação-problema que possa ser descrita por uma equação de 1o grau. Compartilhe com os demais colegas. Resposta pessoal.

Como podemos resolver essas equações? Ou seja, como obter um valor para as incógnitas x e y que torne cada equação verdadeira?

Uma estratégia é manipular cada membro da equação, lembrando sempre de manter a relação de igualdade (ou o equilíbrio, no caso das balanças). Após esse processo, desejamos concluir que “x é igual a...” ou que “y é igual a...”. Veja uma estratégia de resolução.

• Dada a equação:

y + 75 = 190

Precisamos “isolar a incógnita” em um dos membros da equação para determinar seu valor. Se subtrairmos 75 do 1o membro da equação, teremos: y + 75 – 75, portanto, isolando a incógnita. Mas, para isso, precisamos subtrair 75 também do 2o membro:

Habilidade

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

y + 75 – 75

0 ! " $ = 190 – 75 115 ! " $

(Subtraindo o mesmo valor de ambos os membros, a relação de igualdade se mantém.) Assim, obtemos a solução da equação:

y = 115

Inicialmente, havia 115 contatos naquela rede social.

• Dada a equação:

2 x – 10 = 50

Para isolar 2x em um dos membros, vamos adicionar 10 a ambos os membros, mantendo a relação de igualdade:

2 x – 10 + 10 0 ! " $ = 50 + 10 60 ! " $

Atividade 6

a) Sendo x o total de pessoas presentes no grupo inicialmente, a expressão que determina a quantidade de pessoas será x – 10 = 21

b) Resolvendo a equação, tem-se:

Assim:

2 x = 60

Para isolar x, podemos dividir cada membro por 2:

Então, obtemos a solução da equação:

2 x

2 = 60 2

x = 30

Havia 30 pessoas na campanha da internet.

ATIVIDADES

6. Havia algumas pessoas em um grupo de aplicativo de mensagens. Saíram 10 pessoas e o grupo ficou com 21 pessoas.

a) Escreva uma equação que represente essa situação-problema.

x

b) Quantas pessoas havia nesse grupo no início?

10 = 21 31 pessoas.

7. Uma pessoa vai vender dois aparelhos de TV pelo mesmo preço, a fim de juntar o dinheiro para comprar uma máquina de lavar. Ela já tem R$ 700,00. Sabendo que a máquina de lavar custa R$ 2.500,00, qual deve ser o preço de cada aparelho de TV para ela obter exatamente o valor da máquina de lavar? R$ 900,00.

Inicialmente

31 pessoas no grupo.

Atividade 7

Nesta atividade, oriente o estudante a adotar o preço da televisão como sendo a incógnita x. Para a escrita e a resolução da equação, temos: 2 x + 700 = 2 500

Adicionando –700 aos dois membros da equação:

2 x + 700 –700 = 2 500 – 700

2x = 1 800 Dividindo se os dois membros da equação por 2, tem-se:

2 x

2 = 1 800 2 x = 900

Assim, cada televisão tem o preço de R$ 900,00.

Habilidade (EF07MA18)

#Estratégias para resolver equações

Os castanheiros são um povo tradicional brasileiro que habita principalmente a região da Floresta Amazônica. São comunidades que vivem da coleta ou extração de castanhas. Das castanheiras caem os “ouriços”, que podem conter entre 12 e 20 sementes.

Castanheiro mostrando castanhas-do-pará e ouriço.

Uma pessoa coletou 5 “ouriços” de castanhas. Ao abri-los, perdeu 4 castanhas. Outra pessoa coletou 4 “ouriços” e encontrou mais 10 castanhas no solo da floresta. Observando as quantidades finais de castanhas de cada um, essas pessoas verificaram que tinham a mesma quantidade. Supondo que os “ouriços” tinham a mesma quantidade de castanhas, vamos descobrir quantas castanhas havia em cada “ouriço”?

Escrevemos a expressão que representa a quantidade de castanhas de cada pessoa:

Como as quantidades finais de castanhas dessas pessoas são as mesmas, então:

Para resolver essa equação, temos de isolar a incógnita em um dos membros. Optamos por isolar no 1o membro. Então, vamos adicionar –4 x a ambos os membros:

Em seguida, podemos adicionar 4 a ambos os membros:

Portanto:

Ou seja, supondo que os “ouriços” possuíam a mesma quantidade x de castanhas, cada “ouriço” continha 14 castanhas.

174 | TRAJETÓRIA 3 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

PARALAXIS/SHUTTERSTOCK

Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

LUPAS E LUNETAS

Nessa estratégia, optamos por isolar a incógnita no 1o membro da equação. No entanto, é possível resolver isolando a incógnita também no 2o membro.

• Adicionando –5x a cada membro:

• Adicionando 4 a ambos os membros:

• Adicionando –14 a ambos os membros:

• Multiplicando ambos os membros por –1 : (–1) (–14) = (–x ) (–1)

Portanto:

14 = x

a) Em duplas ou trios, analisem o passo a passo dessa estratégia. Respostas pessoais.

b) A solução da equação foi representada por 14 = x Essa representação é equivalente a x = 14 ? Justifique. Compartilhe com os colegas a sua resposta.

Sim. A igualdade tem propriedade simétrica, ou seja, a sentença se mantém verdadeira lendo da esquerda para a direita e vice-versa.

ATIVIDADES

8. Obtenha as soluções das equações:

9. Obtenha as soluções destas outras equações:

Habilidade

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

b) 6 + y = 10 c) 21 = 6 + x d) 30 = 15 – t x = 16 y = 4 x = 15 t = –15

a) x – 4 = 12

a) 6x –

Outras situações-problema

Uma comunidade está calculando os custos para contratar um serviço de internet. Uma das opções oferecidas consiste em 5 parcelas iguais de certo valor, mais uma taxa de instalação de R$ 30,00. Se o custo total é de R$ 109,00, qual é o valor da parcela?

Descrevendo a situação por uma equação: 5x

Veja como obter uma solução para essa equação:

• Adicionando –30 a ambos os membros:

5x + 30

• Dividindo ambos os membros por 5: 5 x

Portanto, cada parcela tem o valor de: 79 ÷ 5 = 15,80, ou seja, R$ 15,80

LUPAS E LUNETAS

Com os estudantes em duplas ou trios, oriente-os no processo de isolar a incógnita abordando as duas estratégias (isolar a incógnita no 1o membro – à esquerda da igualdade – e isolar a incógnita no 2o membro – à direita da igualdade), provando que o resultado encontrado é o mesmo. Sendo assim, não existe uma diferenciação entre as resoluções, pois x = 14 é equivalente a 14 = x

Habilidade

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

LUPAS E LUNETAS

Como o resultado da equação é uma representação monetária, a melhor representação é na forma decimal. Observe que

= 15

15 80 100 = 15,80

= 15 8 10 = 15 80 100 = 15,80

Atividade 10

Oriente os estudantes na resolução das equações em que

Note que chegar a x = 79 5 já basta em termos de obtenção de uma solução para a equação. Porém, é importante lembrar que um dos objetivos ao modelar matematicamente uma situação do cotidiano é, além de resolver um problema, comunicar os resultados e as conclusões obtidos de maneira adequada. Nesse sentido, converse com os colegas sobre o porquê, nesse exemplo, de termos dado a resposta com números na forma decimal em vez da fracionária.

Inicialmente, a décima parte dos moradores da comunidade concordaram em obter esse plano. Desses, porém, 7 pessoas mudaram de ideia. Se, no total, 25 pessoas concordam em obter esse plano, quantas pessoas há na comunidade?

Escrevendo uma equação para descrever a situação:

Adicionando 7 a ambos os membros da equação:

Multiplicando ambos os membros por 10:

Portanto, x = 320 Há 320 pessoas nessa comunidade.

ATIVIDADES

10. Obtenha a solução das equações:

a) 7x – 14 = 42

b) y 2 + 5 = 13

11. Utilize equações para solucionar as charadas:

c) 10 – 3z = 1

d) 1 –t 4 = –7

a) Pensei em um número, dobrei seu valor, adicionei 4 e obtive 12. Em que número pensei? 4

b) Agora pensei em um número, o dividi por 3, subtraí 2 e obtive 7. Determine o número em que pensei. 27

12. Lima comprou um disco rígido e 3 mouses. Ele pagou R$ 440,00 no disco e o total deu R$ 620,00. Determine o valor, em reais, de cada mouse R$ 60,00.

13. Américo tem um computador com dois discos rígidos. Ele utilizou um quinto da memória do primeiro e 10 GB da memória do segundo, totalizando 110 GB de memória total utilizada. Calcule a memória total do primeiro disco rígido. 500 GB.

Atividade 12

Sendo o preço de cada mouse representado por x, tem-se a equação:

Atividade 13

Oriente os estudantes a identificar a memória do primeiro disco rígido como sendo a incógnita x

| TRAJETÓRIA 3 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Equações com números em representação fracionária

Cada vez mais a internet deixa de estar restrita somente a computadores, celulares etc., estando presente em coisas que podemos vestir (como óculos e relógios) e também que utilizamos em casa (TVs, eletrodomésticos, lâmpadas etc.). É o que se tem chamado de internet das coisas!

Habilidade

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

LUPAS E LUNETAS

Pergunte aos estudantes se eles possuem algum dispositivo inteligente em suas casas. Solicite que compartilhem como é a experiência com esses dispositivos, indicando pontos positivos e negativos.

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais.

Você já conhecia esses objetos “inteligentes” e a ideia de internet das coisas?

Converse com os colegas sobre essa ideia. Imaginem pontos positivos e negativos do uso cada vez maior desse tipo de objeto.

Uma pessoa decidiu instalar lâmpadas “inteligentes” em sua casa: ligadas à internet e acionadas pelo celular! Ela já tinha algumas lâmpadas desse tipo e instalou outras quatro. Sabendo que a terça parte dessas lâmpadas inteligentes foi instalada na sala e isso corresponde a 6 lâmpadas no total, quantas lâmpadas inteligentes essa pessoa tinha no início?

Escrevendo uma equação em x – quantidade de lâmpadas inteligentes que ela já possuía –para descrever essa situação:

A internet das coisas tem transformado o mundo, trazendo mais facilidade e comodidade para a realização de tarefas. O termo surgiu há mais de 20 anos, criado por Kevin Ashton, um cientista da computação. O primeiro dispositivo doméstico inteligente, porém, foi criado antes do termo, em 1 990. Tratava se de uma torradeira que podia ser ligada pela internet. A partir desse momento, o processo de automatização das coisas por meio de uma rede que viabiliza a troca de informações tornou-se crescente e até comum atualmente.

Vamos obter uma solução para essa equação:

que faz acender a lâmpada pelo celular.

| NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Apresente aos estudantes alguns dispositivos inteligentes que são utilizados como gadgets no dia a dia das pessoas, a fim de se tornar uma ferramenta facilitadora. São exemplos os smartwatch (relógios inteligentes), as centrais de comando inteligente ou até mesmo as lâmpadas smart (lâmpadas inteligentes que podem ser comandadas por voz). Na

Jovem

Conceito de internet das coisas: jovem mulher usando smartphone na cozinha. Ela controla seus aparelhos com IOT (do inglês, internet of things – internet das coisas). Gráficos mostram a visualização da digitalização de dispositivos eletrônicos domésticos conectados.

usando o aplicativo doméstico

ASLYSUN/SHUTTERSTOCK

GORODENKOFF/SHUTTERSTOCK

A memória do primeiro disco rígido era igual a 500 GB.

Habilidade (EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

Note que o estudante já resolveu equações com frações em atividades anteriores, porém, aqui, o tema está sendo desenvolvido formalmente.

• Multiplicando ambos os membros por 3:

• Adicionando –4 a ambos os membros:

Portanto, essa pessoa tinha 14 lâmpadas inteligentes instaladas.

Existem muitas situações nas quais é necessário resolver equações envolvendo números em representação fracionária. Veja mais alguns exemplos.

tenham um denominador comum:

Como não há um contexto associado, podemos responder na forma fracionária:

• Primeiramente, vamos obter frações equivalentes

comum:

• Adicionando –10x a ambos os membros:

LUPAS E LUNETAS

Note que, em vários momentos da resolução dessa equação, foi possível antecipar que x = 0, inclusive na própria equação inicial!

Em duplas ou trios, identifique esses momentos e explique por que seria possível verificar que x = 0

• Compartilhe suas respostas e estratégias com os demais colegas.

Operações inversas e resolução de equações

Sabemos que a adição e a subtração são operações inversas. Isso significa que, dados números racionais a, b e c, se a + b = c, então c – b = a e c – a = b

Como a multiplicação e a divisão são operações inversas, sabemos também que se a, b e c são racionais, com a e b diferentes de 0, se a b = c, então c ÷ b = a e c ÷ a = b

Lembramos também que 0 é o elemento neutro da adição e da subtração (a + 0 = a e a

e 1 é o elemento neutro da multiplicação e da divisão (a 1 = a e a ÷ 1 = a )

Veja como podemos utilizar essas informações para resolver equações.

Exemplo 1

• Como a subtração é a operação inversa da adição, então:

10

• Como a divisão é a operação inversa da

Exemplo 2

• Como a adição é a operação inversa da subtração, então:

0 = a )

Habilidade (EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

LUPAS E LUNETAS

Chame a atenção dos estudantes para o fato de que na equação inicial x 5 + x 2 = x 3 todos os numeradores são dependentes de x. No caso desta equação, ela tem a chamada solução trivial, isto é, x = 0 Tal fato pode ser verificado de imediato substituindo a incógnita por 0, de modo que 0 5 + 0 2 = 0 3 ⇒ 0 = 0, o que torna a sentença fechada verdadeira.

Note que expressões do tipo x 2 + x 2 = x 4 não são equações polinomiais de primeiro grau, pois, ao rearranjar os termos, obtemos uma equação do tipo ax + b = c com a = 0.

Habilidade (EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

LUPAS E LUNETAS

É importante notar que as estratégias são idênticas, mas, nessa última apresentada, a operação inversa no 1o membro é feita mentalmente porque resulta em 0 (elemento neutro da adição e da subtração) ou em 1 (elemento neutro da multiplicação e da divisão) e temos um processo que parece ser mais simples, como se realizássemos a operação inversa apenas no 2o membro.

Atividade 14

Utilizando-se

• Sendo a divisão a operação inversa da multiplicação, então:

Exemplo 3

4 5

• Substituindo essas frações por frações equivalentes com mesmo denominador, temos:

• Multiplicando por 10 ambos os membros, porque a multiplicação é a operação inversa da divisão, temos: 5x + 5 = 6x + 8

Observe que, se multiplicássemos – logo na 1a equação dada – o segundo membro por 2 e o primeiro por 5, teríamos esta expressão equivalente à última obtida: 5 ⋅ (x + 1) = 2 ⋅ (3x + 4)

• Como a subtração é a operação inversa da adição, então: 5x

6x = 8 – 5 ⇒

x = 3

• Lembrando que – x = (–1) ⋅ x e, como a divisão é a operação inversa da multiplicação, então: – x = 3 ⇒ x = 3 –1 ⇒ x = –3

Em pequenos grupos, compare essa estratégia, utilizando a noção de operação inversa, com as outras estratégias de resolução de equações usadas anteriormente.

Com suas próprias palavras, elabore uma explicação para o funcionamento da estratégia utilizando operações inversas a partir das demais estratégias estudadas.

Grupo de estudantes desenvolvendo trabalho em grupo, na análise de diferentes estratégias para resolução de problemas.

ATIVIDADES

14. Obtenha o valor de x nas equações utilizando a noção de operações inversas.

x + 2 = 9

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais.

TRAVESSIAS

A quantidade de soluções de uma equação

Vimos que resolver uma equação significa obter um valor para a incógnita que torne a igualdade verdadeira. Existem situações em que há infinitas soluções ou mesmo em que não há solução!

ATIVIDADES

b) Nenhuma solução nos números naturais, pois o número que torna essa igualdade verdadeira é o número –1 2, que é racional.

15. Vamos investigar algumas dessas situações:

• Considere a equação: 0 x = 0

a) Que valores de x tornam essa igualdade verdadeira?

Qualquer valor torna a igualdade verdadeira.

b) Essa equação tem uma solução, infinitas soluções ou nenhuma solução? Justifique sua resposta e compartilhe com os colegas.

• Seja a equação: 0 x = 5

a) Que valores de x tornam essa igualdade verdadeira?

A equação 0 x = 0 tem infinitas soluções porque qualquer número multiplicado por zero resulta em zero. Nenhum valor de x torna a igualdade verdadeira.

b) Essa equação tem uma solução, infinitas soluções ou nenhuma solução? Justifique sua resposta e compartilhe com os colegas.

• Considere agora a equação: 2x = –1, sabendo que x é um número natural.

a) Que valores de x tornam essa igualdade verdadeira?

Nenhuma solução, porque nenhum número multiplicado por zero resulta em 5. Nenhum valor de x natural torna essa igualdade verdadeira.

b) Essa equação tem uma solução, infinitas soluções ou nenhuma solução? Justifique sua resposta e compartilhe com os colegas.

• As equações que você estudou neste passeio tinham apenas uma incógnita. Porém, é possível pensar em equações com mais de uma incógnita. Considere a equação: x + y = 3, com x e y números naturais. O par x = 1 e y = 2 é uma solução dessa equação, pois 1 + 2 = 3

a) Essa solução não é única. Identifique outros valores de x e y que tornem a igualdade verdadeira.

b) Considere agora que x e y são números inteiros. Identifique valores de x e y que tornem a igualdade verdadeira.

c) No caso de x e y serem números naturais, o que se pode dizer da quantidade de soluções dessa equação? É finita.

d) O que acontece com a quantidade de soluções se x e y forem números racionais? Justifique sua resposta e compartilhe com os colegas.

Habilidade (EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

x + y = 3 com x e y números naturais, diversas soluções naturais (pares ordenados) podem ser verificadas.

Atividade 15

• 0 x = 0

Diversos registros algébricos, geométricos, científicos, entre outros, representando modelos (matemáticos, científicos, linguísticos etc.) desenvolvidos para a resolução de problemas.

TRAVESSIAS

Auxilie primeiramente os estudantes na identificação da solução da equação 0 x = 0 Para qualquer valor de x, quando substituído na equação, o resultado será nulo, pois qualquer número multiplicado por zero resulta em zero. A equação tem infinitas soluções.

Já para a equação 0 x = 5 é impossível apresentar alguma solução, porque qualquer número multiplicado por zero deve resultar em zero, e não em um resultado diferente de zero. Assim, dizemos que a equação não apresenta solução.

Essas discussões são fundamentais para o estudante compreender que nem sempre uma equação apresenta um conjunto solução. Por exemplo, para 2 x = –1, sendo x um número natural em algum contexto, a solução não existe no conjunto dos números naturais, apenas no conjunto dos números racionais x =

No caso de equações do 1o grau com mais de uma incógnita, o conjunto solução pode apresentar infinitas soluções (pares ordenados) que satisfazem determinada relação de igualdade. No exemplo

15. segundo bullet b) A equação 0 x = 5 não tem nenhuma solução porque qualquer número multiplicado por zero resulta em zero.

Essa equação possui infinitas soluções, pois qualquer valor de x torna a sentença 0 x = 0 verdadeira.

• 0 x = 5

15. terceiro bullet b) No conjunto dos números naturais, lução para essa equação. A solução é o número –1 2

Essa equação não possui nenhuma solução, pois, para qualquer valor de x, a sentença 0 x = 5 será falsa.

• 2 x = –1

A

da equação será

, que se trata de um número racional. A equação não possui nenhuma solução natural.

• x + y = 3

a) Possíveis respostas: x = 0 e y = 3, x = 0 e y = 3, e x = 3 e y = 0 ou x = 2 e y = 1

b) x = 4 e y = –1, x = –1 e y = 4 ou x = –2 e y = 5, entre outras.

c) Sendo x e y números naturais, a quantidade de soluções será finita.

d) Sendo x e y números racionais, a quantidade de soluções será infinita.

LEVO NA BAGAGEM

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre o próprio aprendizado, enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, classificarão seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas que estão presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

LEVO NA BAGAGEM

Respostas pessoais.

Consulte, em seu caderno, os trabalhos que você desenvolveu, suas anotações de estudos e reflita sobre o que você aprendeu até agora neste passeio.

▶ Matemática

• Compreende a diferença entre variável e incógnita?

• Consegue resolver problemas do cotidiano utilizando equações?

• Sabe utilizar diferentes estratégias para resolver equações de 1º grau?

▶ Outras disciplinas

Língua Portuguesa

• Consegue produzir resenhas críticas ou reviews que apresentem/descrevam produções culturais variadas tendo em vista o contexto de produção?

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO

Insuficiente Parcialmente suficiente Satisfatório Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

BARCOS E PORTOS

Organize

Em conjunto com os estudantes, retome o mapa mental da seção Arredores e proponha a eles que registrem por escrito a compreensão dos significados de variável e incógnita e como isso se relaciona com uma equação do 1o grau.

Elabore

Se julgar adequado, reúna as produções da turma e apresente como uma lista de revisão em outra ocasião.

Proponha

Retome a discussão inicial deste passeio a partir da pergunta norteadora Como as tecnologias digitais estão presentes em diferentes espaços e culturas?, instruindo os estudantes a realizar uma pesquisa ampla em diversos espaços,

▶Organize

Respostas pessoais.

Neste passeio, você explorou a noção de equação e diversas estratégias de resolução. Escolha uma ou mais equações exploradas em cada exemplo ou situação-problema e resolva-as, buscando explicar, com suas próprias palavras, cada passo da resolução.

▶Elabore

Elabore situações-problema que possam ser resolvidas utilizando equações. Para isso, leve em consideração os diferentes tipos de equações e estratégias explorados neste passeio. Em grupos, compartilhem entre si as situações-problema elaboradas e escolham uma de cada tipo para produzir uma seleção de situações-problema do grupo. Em seguida, compartilhem com os demais colegas, explicando as situações e propondo possíveis estratégias de resolução.

▶ Proponha

A pergunta inicial deste passeio é:

Como as tecnologias digitais estão presentes em diferentes espaços e culturas? Pesquise na internet produções de diferentes pessoas. Se possível, de diversos espaços, grupos sociais ou culturas. Essas produções podem ser bastante variadas, desde vídeos, lives, textos ou demais produções artísticas. Após selecionar essa produção, você irá produzir uma review (resenha, resumo) desse conteúdo. Para isso:

a) Pesquise um pouco mais sobre o tema abordado na produção, assim como sobre a pessoa responsável por ela.

b) Pesquise por reviews relacionadas a esse tema ou outros temas na internet (podem ser vídeos, textos, infográficos etc.).

c) Opte por uma maneira de produzir a review (texto, vídeo etc.).

d) Produza sua review e compartilhe com os colegas!

Proponha aos estudantes que façam uma review de diferentes produções artísticas (vídeos, lives, textos, livros, músicas, filmes etc.). Essa review deverá ser apresentada na forma de um reels (vídeo curto de até 60 segundos, comum em redes sociais). Explore a criatividade e o poder de síntese dos estudantes.

|

com diferentes grupos sociais ou culturais sobre o tema. Ao final, solicite a eles que produzam uma review do tema Essas discussões contribuem para uma maior abrangência do Tema Contemporâneo

Transversal (TCT) Ciência e Tecnologia

Convide o professor de Língua Portuguesa para, juntos, executarem uma proposta de trabalho sobre uma review. Não temos aqui a pretensão de desenvolver na totalidade uma das habilidades de Língua Portuguesa EF67LP12, mas parte dela será contemplada nesta proposta.

183 |

Habilidade

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

CHECK-IN

O texto e a imagem apresentados permitem que os estudantes conversem sobre o formato dos flocos de neve e identifiquem um padrão de simetria neles. Solicite que façam uma representação da forma de um floco de neve, utilizando EVA (ou algum outro material) na cor branca ou ainda usando dobras e recortes em folhas de sulfite, como na imagem:

QUAL É A RELAÇÃO DA ARTE COM A TECNOLOGIA?

Kirigami: a arte japonesa de cortar papel dobrado.

CHECK-IN

A neve é formada por cristais, conhecidos também como flocos de neve. Cada floco, individualmente, é uma pequena obra de arte da natureza, apresentando interessantes formas geométricas e padrões. Usando câmeras de fotografia, microscópios e computadores, conseguimos visualizar essas micro-obras artísticas.

As primeiras fotos de um floco de neve foram tiradas há quase um século, pelo fotógrafo estadunidense Wilson Bentley (1865-1931). Apelidado carinhosamente de Wilson “Floco de Neve” Bentley, seu interesse e tentativas de fotografar um floco de neve se iniciaram ainda em sua juventude, com uma antiga máquina fotográfica e um microscópio que havia ganhado de sua mãe.

a) Em duplas ou trios, pesquisem na internet fotos de flocos ou cristais de neve. Compartilhem com os demais colegas.

b) Que formas geométricas ou padrões vocês conseguem identificar? Respostas pessoais.

Ilustração realista (simulação) de flocos de neve e foto de flocos de neve reais.

BÚSSOLA

Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos:

• Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão.

• Reconhecer e representar figuras simétricas no plano cartesiano.

• Realizar transformações geométricas em pontos e polígonos no plano cartesiano pela multiplicação de suas coordenadas por números inteiros.

• Analisar os elementos constitutivos das artes visuais (ponto, linha, forma, direção, cor, tom, escala, dimensão, espaço, movimento etc.) na apreciação de diferentes produções artísticas.

EF07MA19, EF07MA20, EF07MA21 EF69AR04

Habilidade (EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

Encontro com outras disciplinas

(EF69AR04) Analisar os elementos constitutivos das artes visuais (ponto, linha, forma, direção, cor, tom, escala, dimensão, espaço, movimento etc.) na apreciação de diferentes produções artísticas.

ATMOSFERA

Convide o professor de Arte para, juntos, executarem uma proposta de trabalho sobre simetria. Não temos aqui a pretensão de desenvolver na totalidade uma das habilidades de Arte EF69AR04, mas parte dela será contemplada nesta proposta.

Explore com os estudantes os elementos das artes visuais que são também comumente utilizados na Matemática, como os pontos e as linhas. Apresente e discuta o movimento artístico Cubismo, cuja principal característica é o tratamento geométrico das formas da natureza. Nesse estilo artístico, predominam as linhas retas, modeladas basicamente por cubos e cilindros, dada a geometrização de formas e volumes.

Em conjunto com os estudantes, proponha uma atividade de desenho de observação na qual deverão escolher um ambiente, na própria escola, para ser retratado. Estimule-os a descrever os espaços ali presentes, de modo que possam descobrir manifestações artísticas que não tinham percebido até então. Em

Simetria na fotografia

Sabe quando você vê uma imagem que integra tão bem os elementos que a compõem que parece que eles foram ajustados milimetricamente em suas posições? Esse é um efeito causado pela aplicação da simetria na fotografia. Essa técnica consegue realçar ainda mais a beleza da foto, dando um toque bastante artístico. Se quer saber como aplicá-la, confira alguns exemplos para se inspirar e, depois, fazer um teste com sua câmera!

[...]

Uma imagem simétrica diz respeito à harmonia produzida pelas linhas que fazem parte dessa

composição. Assim, tanto a altura, quanto a largura e o comprimento, assim como os ângulos, devem ser analisados para conseguir gerar esse efeito.

Quando se fala de simetria na fotografia, é muito importante estudar essas linhas e as principais maneiras de utilizá-las em seus cliques. [...] Um ponto interessante a ser considerado é que a simetria é um conceito matemático, no campo da geometria. Porém, quando bem compreendido, pode facilmente ser aplicado ao mundo da fotografia.

[...]

Respostas pessoais.

ATIVIDADES

1. Você já conhecia a ideia de simetria? Compartilhe com os colegas o que sabe sobre oassunto.

2. Segundo o texto, “uma imagem simétrica diz respeito à harmonia produzida pelas linhas que fazem parte dessa composição”. O que você entende por harmonia em uma imagem? Utilize as imagens para auxiliar na sua resposta.

seguida, em seus desenhos, eles devem buscar por padrões de simetria e representar os eixos de simetria por reflexão. Ao final da atividade, exponha os desenhos e discuta quais espaços foram representados e quais padrões de simetria foram identificados.

Atividades 1 e 2

Instigue os estudantes a compartilhar seus conhecimentos prévios sobre simetria e discuta a ideia de harmonia. Se julgar adequado, compare o conceito de harmonia presente em imagens com aquele presente na música.

SIMETRIA na fotografia — 3 exemplos para se inspirar. Instituto Mutu. Disponível em: www.mutu.com.br/m/blog/61b7baa064f9f83dcd3bafc2/simetria-na-fotografia-3-exemplos-para-se-inspirar. Acesso em: 3 maio 2022.

186 | TRAJETÓRIA 3 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

VOVA SHEVCHUK/SHUTTERSTOCK

BRIAN MAUDSLEY/SHUTTERSTOCK

GRAFXART/SHUTTERSTOCK

#Identificando simetrias

Observando o mundo que nos cerca, identificamos muitas formas, padrões e regularidades. Eles estão presentes na natureza e nas produções culturais de diversos povos. Nessa observação, é comum nos depararmos com ideias como equilíbrio e harmonia:

Habilidade

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

LUPAS E LUNETAS

Em duplas ou trios, conversem sobre as imagens e identifiquem quais de seus elementos permitem associá-las a noções de equilíbrio ou harmonia. Respostas pessoais.

De modo a explicar essas noções de equilíbrio e harmonia, podemos criar modelos matemáticos simplificando, por exemplo, as formas das imagens para figuras geométricas planas:

Curva de Koch (ou curva do floco de neve).

Imagens que lembram as fractais são muito utilizadas na arquitetura e urbanismo de diversas culturas. Tal padrão é encontrado, por exemplo, em tecidos, esculturas, máscaras, ícones e cosmologias religiosas africanas.

Ao traçar retas como essas, observamos que as partes das figuras por elas divididas têm os mesmos formatos e medidas, como se estivessem refletidas em um espelho. Dizemos que figuras desse tipo são simétricas

As retas que determinam essas simetrias são chamadas de eixos de simetria. Nessas figuras, cada ponto de um dos lados do eixo de simetria tem um ponto simétrico do outro lado, que mantém a distância dos demais pontos e também do próprio eixo de simetria.

LUPAS E LUNETAS

Oriente os estudantes, em duplas ou trios, a identificar os padrões de simetria de translação, rotação ou reflexão. É interessante apresentar aqui outras imagens em que possam ser identificados diferentes padrões de simetria.

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

Na Matemática, sequência é uma sucessão, um conjunto ordenado de números, figuras geométricas ou outros elementos que são os chamados termos

da sequência. Em uma sequência, os termos são apresentados em certa ordem, seguindo ou não uma regularidade (um padrão).

Fractais são figuras geométricas que representam de maneira interessante a ideia de sequência e de recursividade. Um fractal pode ser obtido inicialmente por um segmento de reta, que é dividido em partes iguais indefinidamente. Usando um programa de computador, podemos criar figuras complexas e atraentes, em que cada parte é semelhante à figura como um todo (autossimilaridade).

Cobertor fractal.

Para se informar mais sobre opadrão de fractais na cultura africana, consulte o material disponível em: https://www. matematicaefacil.com. br /2016/07/matematica -continente-africano-fractais. html. Acesso em: 15 ago. 2022.

KEDOFOTO/SHUTTERSTOCK

LIFECOLLECTIONPHOTOGRAPHY/SHUTTERSTOCK

ARTE/ M10

Habilidade (EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

Atividades 3 e 4

Oriente os estudantes a identificar os eixos de simetria como sendo retas que dividam cada figura em duas partes idênticas. Para uma atividade complementar, apresente dobraduras que, por vezes, utilizam-se da simetria de reflexão, como os origamis ou os kirigamis

Atividade 3 a) b) c)

No plano, há diversos tipos de transformações que preservam as medidas e produzem figuras simétricas a si mesmas ou a outras. Vamos estudar cada uma delas.

Simetria de reflexão

Quando uma simetria ocorre em relação a uma reta (eixo de simetria), dizemos que essa simetria é de reflexão ou axial

Algumas figuras como esta têm apenas um eixo de simetria:

188 | MANUAL DO PROFESSOR

Outras figuras têm mais de um eixo de simetria:

Se existir pelo menos um eixo de simetria, ou seja, uma reta que divida a figura em duas partes idênticas, dizemos que essa figura é simétrica por reflexão

ATIVIDADES

3. Identifique os eixos de simetria das figuras geométricas:

a) b) c)

4. Sobre as malhas quadriculadas foram desenhadas algumas imagens e eixos de simetria. Reproduza as figuras em malhas quadriculadas e complete-as de modo a produzir figuras simétricas por reflexão.

e

e b)

e c) 188 | TRAJETÓRIA 3 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

a) e b) e

Nair fotografou uma placa de rua e notou que ela não apresentava nenhum eixo de simetria, ou seja, não era simétrica.

Habilidade (EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

LUPAS E LUNETAS

A figura poligonal plana de mesma forma que a placa – um octógono – apresenta eixos de simetria, mas se considerarmos a placa como um todo, incluindo a palavra “PARE”, não podemos considerar que a figura seja simétrica.

Observe estas placas, incluindo as letras e os símbolos em seu interior. Elas têm eixos de simetria?

e e Sim. É possível traçar eixos de simetria nessas imagens:

• Compartilhe sua resposta e as estratégias que você utilizou com os colegas.

Utilizando um programa de computador para editar as suas fotos, Nair estabeleceu um eixo de simetria fora da imagem da placa e produziu uma imagem simétrica à original, como se fosse um espelho:

LUPAS E LUNETAS

As duas placas apresentadas possuem um eixo de simetria de reflexão vertical. Oriente os estudantes a identificar que se dobrarem essas figuras verticalmente exatamente ao meio, cada uma das partes se sobrepõe à outra:

Placa de sinalização de trânsito e seu “reflexo” em espelho imaginário.

Assim, é possível perceber que mesmo que uma imagem não seja simétrica, ainda assim é possível obter uma imagem simétrica a ela por reflexão

Habilidade (EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

Atividade 5

Além de manter as proporções, reforce que os pontos correspondentes da figura original e de sua imagem simétrica por reflexão devem ter a mesma distância ao eixo de simetria.

Aplicando a simetria de reflexão, obtém-se: a) e b) e c) e

Atividade 6

a) Para identificar o eixo de simetria, escolha dois pontos pertencentes a uma mesma parte da figura, conforme o exemplo:

ATIVIDADES

5. Reproduza as imagens em uma malha quadriculada. Desenhe imagens simétricas por reflexão considerando o eixo de simetria e dado.

a) b) c)

6. As duplas de figuras são simétricas por reflexão. Reproduza as imagens em uma malha quadriculada e desenhe seus eixos de simetria:

5.

O eixo de simetria deverá ser traçado de modo que ele seja a mediatriz do segmento de reta AB

a)

e b) e

e

7. Utilizando uma malha quadriculada, elabore um desenho e estabeleça um eixo de simetria. Proponha que os colegas obtenham uma imagem simétrica por reflexão axial de seu desenho.

Resposta pessoal.

Simetria de rotação

É possível obter imagens simétricas girando, ou rotacionando, uma imagem em torno de um ponto, de acordo com determinado ângulo e sentido Trata-se da simetria de rotação ou simetria central Considere a imagem e um ponto C. Giramos essa imagem 60o no sentido horário (dos ponteiros do relógio analógico), mantendo fixo o ponto C

A imagem final tem a mesma forma e medidas da imagem original, estando apenas rotacionada, ou seja, as imagens são simétricas por rotação

190 | TRAJETÓRIA 3 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LUPAS E LUNETAS

Para produzirmos simetrias por rotação, é sempre importante definirmos:

• o ponto em torno do qual a imagem será rotacionada (o ponto pode ser interno ou externo à imagem);

• o ângulo segundo o qual a imagem será rotacionada (maior que 0o e menor que 360o, não inclusos esses valores);

• o sentido da rotação (horário ou anti-horário).

A partir dessas informações, em duplas ou trios, elabore um desenho e obtenha uma imagem dele por uma simetria de rotação.

• Compartilhe com os demais colegas, destacando aqueles três tópicos. Resposta pessoal.

ATIVIDADES

8. Deseja-se obter um ponto simétrico ao ponto A, por rotação em torno do ponto C, de um ângulo de 45o no sentido anti-horário.

Acompanhe a seguinte estratégia:

Habilidade (EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

LUPAS E LUNETAS

imagem

por rotação Figura original

imagem

Primeiro, traça-se uma reta suporte r, passando pelos pontos C e A. Apoia-se um transferidor sobre essa reta, tendo o ponto C no centro do transferidor. Em seguida, traça-se outra reta suporte s passando por C e com inclinação de 45o. O ponto simétrico A' estará nessa reta s. Para determinar o local exato, basta medir a distância entre os pontos C e A e marcar na reta s a partir de C

Considere agora os pontos A e C e obtenha pontos simétricos a A, por rotação em torno de C, de:

Respostas pessoais. ARTE/ M10

a) 30o no sentido anti-horário.

b) 60o no sentido horário.

Sugestões de resposta:

• Considerando um triângulo equilátero e eixos de simetria na própria figura:

a c b

• Considerando uma figura qualquer e desenhando a sua imagem por reflexão axial:

Considerando dois pontos A e C quaisquer no plano, temos estes exemplos de resposta:

de 75o em sentido horário em torno de P

Habilidade (EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

LUPAS E LUNETAS

Considere o eixo de simetria de reflexão:

Figuras simétricas por rotação

Se rotacionarmos uma figura em torno de seu centro em qualquer direção, segundo determinado ângulo (entre 0o e 360o, não incluindo essas medidas) e a figura resultante coincidir com a original, então dizemos que essa figura é simétrica por rotação

Estas figuras são simétricas por rotação:

Atividade 9

a) Possui simetria por rotação, conforme a imagem:

No entanto, esta outra figura não é simétrica por rotação, qualquer que seja o ângulo:

b) Não possui simetria por rotação.

c) Não possui simetria por rotação.

d) Possui simetria por rotação, conforme a imagem:

LUPAS E LUNETAS

Mesmo essa figura não sendo simétrica por rotação, ela é simétrica por reflexão. Mostre que essa afirmação é verdadeira.

• Compartilhe sua resposta com os colegas. Respostas pessoais.

ATIVIDADES

9. Identifique quais das figuras apresentam simetria por rotação:

Simetria de translação

Outra maneira de produzir figuras simétricas é pela translação Esse tipo de simetria ocorre pelo deslocamento de figuras com mesmas formas e medidas em determinado sentido, direção e distância

Habilidade (EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

Nessas imagens, desenvolvidas na criação de estampas digitais em uma indústria têxtil, a figura simétrica foi deslocada por uma distância d em diferentes direções (horizontal, vertical e inclinada) e sentidos (da esquerda para a direita, de cima para baixo etc.).

Essas figuras são simétricas por translação, ou seja, apesar do deslocamento, mantêm a forma e as medidas. Para que ocorra simetria por translação, todos os pontos da figura original precisam ser deslocados segundo a mesma distância, direção e sentido.

Habilidade

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

LUPAS E LUNETAS

a) 6 unidades de distância.

b) Direção horizontal e sentido da esquerda para a direita. Pergunte de quantos quadrados foi o deslocamento da figura para a esquerda e para cima.

c) Sugestão de resposta:

LUPAS E LUNETAS

Note que, apesar de as setas na imagem só indicarem a translação dos vértices do triângulo, cada ponto de seus lados e de sua superfície foi transladado segundo a mesma distância, direção e sentido.

a) Considerando o lado do menor quadradinho da malha como unidade de medida, a que distância da figura original estão os pontos da figura simétrica a ela? 6 unidades.

b) Como você descreveria a direção e o sentido dessa translação? Resposta pessoal.

c) As setas na imagem ajudam a indicar também a distância (pelo tamanho ocupado na malha quadriculada), além da direção e do sentido da translação. Reproduza em uma malha quadriculada um triângulo parecido com o da imagem. Em seguida, desenhe um triângulo simétrico a ele por translação, considerando a distância, a direção e o sentido indicados por esta seta:

Atividade 10

Comente que a distância indicada é entre os pontos correspondentes, não a distância entre os pontos mais próximos de cada figura.

a) Escolha como pontos de referência os vértices da figura. Translade os 8 quadradinhos na direção horizontal, para a esquerda. Após marcar os vértices transladados, ligue-os formando a imagem simétrica em relação à original.

Imagem por translação Original

b) Escolha como pontos de referência os vértices da figura. Translade os 5 quadradinhos

• Compartilhe suas estratégias e sua resposta com os colegas.

ATIVIDADES

10. Reproduza as figuras em uma malha quadriculada e desenhe figuras simétricas a elas por translação, considerando o sentido, a direção e a distância dadas.

a) Distância de 8 quadradinhos da malha na direção horizontal, para a esquerda.

Imagem por translação Original

b) Distância de 5 quadradinhos da malha na direção vertical, para baixo.

Original Imagem por translação

11. Reproduza a figura em uma malha quadriculada e desenhe uma figura simétrica a ela por translação, considerando distância, direção e sentido indicados pela seta.

Resposta possível:

Original

Imagem por translação

12. Observe o par de figuras A e B:

A figura B foi deslocada em relação à figura A segundo determinado sentido, direção e distância. Porém, as figuras não são simétricas por translação. Explique por quê.

12. Sugestão de resposta: translações apenas deslocam figuras, não modificam suas dimensões nem as rotacionam. A figura B está “deitada” em relação à figura A, além disso, o tamanho da seta está modificado, indicando que não foi uma translação que originou B a partir de A.

194 | TRAJETÓRIA 3 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

na direção vertical, sentido para baixo. Após marcar os vértices transladados, ligue-os formando a imagem simétrica em relação à original.

Original

Imagem por translação

Atividade 11

Escolha como pontos de referência os vértices da figura. Translade os em 3 quadradinhos na direção horizontal, sentido para a direita, e 3 quadradinhos na vertical, sentido para cima. Após marcar os vértices transladados, ligue-os formando a imagem simétrica em relação à original.

#Composição de simetrias

É possível associar vários tipos de simetrias de modo a compor, por exemplo, imagens artísticas bastante interessantes. Vejamos algumas possibilidades.

Associar várias simetrias por reflexão

Raquel produz adesivos para decoração e começou um novo projeto a partir da seguinte figura:

Habilidade

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

Ela criou uma imagem por simetria de reflexão em relação ao eixo de simetria e1:

E continuou refletindo seguidas vezes as imagens produzidas, obtendo este resultado:

E que tal agora refletir todo esse conjunto em relação a um eixo de simetria horizontal? Foi o que ela fez. Veja só como ficou a faixa adesiva:

Atividade 12

A figura B, além de ter sofrido um deslocamento em relação à figura A, foi rotacionada e suas dimensões foram alteradas. Sendo assim, elas não são simétricas por translação, nem por rotação.

Imagem por translação Original

Habilidade (EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

Associar simetrias de rotação e reflexão

João é designer gráfico e está trabalhando em um projeto de comunicação visual para uma empresa de energia eólica. Ao iniciar o projeto, a primeira coisa que lhe veio à mente foram os cata-ventos de papel que fazia na infância.

No desenvolvimento do projeto, ele começou com a figura:

E criou figuras simétricas por rotação girando 90o em torno do ponto C em sentido anti-horário, uma vez e outra vez e mais uma vez:

Cata-vento de papel.

Depois, refletindo todo o conjunto em relação ao eixo de simetria e1 e, na sequência, refletindo essa imagem em relação a e2, ele obteve a figura:

Habilidade (EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

Associar simetrias de reflexão e translação

Agora, ele está em um novo projeto para uma fábrica de pranchas de surf e iniciou com esta imagem:

Em seguida, fez uma reflexão em relação ao eixo e e uma translação:

Fazendo uma translação dessa nova figura resultante, João obteve:

Foi só ajustar com criatividade e o logotipo da marca ficou pronto:

Habilidade

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

NUVENS

Atividade 13

a) Chame a atenção dos estudantes para as simetrias aplicadas pelo software nas imagens: simetria de rotação em torno de um ponto fixo e simetria de reflexão ou composições delas.

b) Mostre que, para aplicar uma simetria de translação, será necessário realizar um deslocamento da imagem utilizando o cursor do mouse

c) Utilizando um software , é possível realizar uma reflexão seguida de uma translação. Observe o exemplo: Imagem original

NUVENS

Simetria e manipulação simples em imagens Muitos aplicativos e softwares têm ferramentas relacionadas à produção de simetrias, mesmo que algumas de suas nomenclaturas não mostrem isso explicitamente. Independentemente de serem editores de textos, de apresentações ou de imagens, é comum encontrarmos estes botões:

Veja o que ocorre ao aplicarmos cada uma dessas funcionalidades à imagem original:

ATIVIDADES

13. Leia e realize estas atividades. Respostas pessoais.

a) Explique o que ocorreu com as imagens utilizando seus conhecimentos sobre simetrias.

b) As simetrias por translação não estão contempladas nessas funcionalidades. Como você produziria uma translação usando somente o mouse ou o teclado?

c) Utilize algum aplicativo ou software que tenha essas funcionalidades ou similares para produzir imagens como as exploradas neste tópico. Compartilhe com seus colegas.

Imagem original.

198 | TRAJETÓRIA 3 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

#Simetrias no plano cartesiano

Observe a figura representada no plano cartesiano:

Note que o retângulo ABCD é simétrico por reflexão tanto em relação ao eixo das abscissas (Ox) quanto ao eixo das ordenadas (Oy). Dessa maneira, os pontos A e B são simétricos por reflexão em relação ao eixo das ordenadas, assim como os pontos D e C. Os pontos A e D são também simétricos por reflexão em relação ao eixo das abscissas, assim como os pontos B e C

De modo geral, temos que os pontos localizados no 1o e no 4o quadrantes têm pontos simétricos por reflexão em relação ao eixo das ordenadas no 2o e 3o quadrantes, respectivamente.

Da mesma maneira, os pontos localizados no 1o e 2o quadrantes têm pontos simétricos por reflexão em relação ao eixo das abscissas no 4o e 3o quadrantes, respectivamente.

Habilidade (EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

Habilidade

LUPAS E LUNETAS

O conceito de simetria na reta numérica já foi abordado quando se estudou o conjunto dos números inteiros (! ), que é a união do conjunto dos números naturais (! ) com todos os seus opostos (simétricos).

Considere o exemplo:

LUPAS E LUNETAS

A própria reta numérica tem características de simetria: os pontos que representam cada número e seu oposto são simétricos em relação ao ponto que representa o número 0.

Converse com seus colegas sobre essa afirmação e verifique sua veracidade utilizando exemplos na própria reta numérica. Respostas pessoais.

Considerando x > 0 e y > 0, pela constatação da simetria da própria reta numérica em relação ao ponto que representa o zero, podemos verificar que:

• nos pontos simétricos por reflexão em relação ao eixo das ordenadas, as abscissas dos pontos são números opostos, enquanto as ordenadas dos pontos são iguais;

• nos pontos simétricos por reflexão em relação ao eixo das abscissas, as ordenadas dos pontos são números opostos, enquanto as abscissas dos pontos são iguais.

Os pontos da reta numérica correspondentes ao número 3 (A) e ao seu oposto –3 (A' ) são simétricos por reflexão em relação à origem O da reta numérica, pois ambos estão a 3 unidades de distância do marco zero.

Atividade 14

Aplicando a simetria de reflexão, tem-se:

ATIVIDADES

14. Desenhe um plano cartesiano e construa um quadrado cujos vértices sejam pontos pertencentes ao 1o quadrante. Em seguida, desenhe uma figura simétrica por reflexão ao quadrado desenhado:

a) no 2o quadrante;

b) no 4o quadrante.

• Compartilhe sua resolução com os colegas. Respostas pessoais.

TRAVESSIAS

Atividade 15

Desenhando no plano cartesiano o polígono de vértices A(3, 5), B(–3, 4), C(–2, –3) e D(5, –1) B(–3, 4), C(–2, –3) e D(5, –1) e realizando as transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices pelos números solicitados nos itens, tem-se as figuras:

a) São simétricos em relação ao eixo das ordenadas, sendo os novos vértices A' (–3, 5), B' (3, 4), C' (2, –3) e D' (–5, –1)

(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

TRAVESSIAS

Multiplicação das coordenadas dos vértices de um polígono por números inteiros

c) Há simetria em relação à origem do plano cartesiano (0, 0).

15. Desenhe um plano cartesiano e, nele, um polígono cujos vértices são os pontos

A (3, 5), B (–3, 4), C (–2, –3) e D (5, –1) Agora investigue as questões:

a) Multiplique as abscissas de cada vértice por –1 Marque os pontos resultantes no plano e desenhe o novo polígono. Em termos de simetrias, o que se pode dizer desses pontos em relação aos originais? São simétricos em relação ao eixo das ordenadas.

b) Multiplique as ordenadas de cada ponto por –1. Marque os pontos resultantes no plano e desenhe o novo polígono. Em termos de simetrias, o que se pode dizer desses pontos em relação aos originais? São simétricos em relação ao eixo das abscissas.

c) Multiplique as ordenadas e as abscissas de cada vértice por –1 Marque os pontos resultantes no plano e desenhe o novo polígono. É possível identificar algum tipo de composição de simetrias entre esses pontos e os originais? Explique.

d) Multiplique as ordenadas e as abscissas de cada ponto por 2. Marque os pontos resultantes no plano e desenhe o novo polígono. Esse polígono é simétrico em relação ao original? Explique. Não, porque as medidas dos lados não foram preservadas.

LEVO NA BAGAGEM

Respostas pessoais.

Consulte, em seu caderno, os trabalhos que você desenvolveu, suas anotações de estudos e reflita sobre o que aprendeu até agora neste passeio.

▶ Matemática

• Sabe reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de reflexão, rotação e translação?

• Consegue reconhecer e representar figuras simétricas no plano cartesiano?

• Consegue realizar transformações geométricas em pontos e polígonos no plano cartesiano pela multiplicação de suas coordenadas por números inteiros?

▶ Outras disciplinas

Arte

• Consegue analisar os elementos constitutivos das artes visuais (ponto, linha, forma, direção, dimensão, movimento etc.) na apreciação de diferentes produções artísticas?

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO

Insuficiente Parcialmente suficiente Satisfatório Plenamente satisfatório

Habilidade (EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

d) Não, porque as medidas dos lados não foram preservadas. Os novos vértices serão

MATEMÁTICA OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

b) São simétricos em relação ao eixo das abscissas, sendo os novos vértices A" (3, –5), B" (–3, –4), C" (–2, 3) e D" (5, 1) A" (3, –5), B" (–3, –4), C" (–2, 3) e D" (5,

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre o próprio aprendizado, enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, classificarão seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas que estão presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

1)

c) Há simetria em relação à origem do plano cartesiano (0, 0), sendo os novos vértices A' (–3, –5), B' (3, –4), C' (2, 3) e D' (–5, 1)

Encontro com outras disciplinas (EF69AR04) Analisar os elementos constitutivos das artes visuais (ponto, linha, forma, direção, cor, tom, escala, dimensão, espaço, movimento etc.) na apreciação de diferentes produções artísticas.

BARCOS E PORTOS

Organize

Retorne ao mapa mental da seção Arredores e solicite aos estudantes que, coletivamente, façam uma lista dos conteúdos que aprenderam e outra das dificuldades relacionadas às simetrias de translação, rotação e reflexão, assim como às simetrias no plano cartesiano e às transformações geométricas aplicadas a pontos e polígonos no plano cartesiano. Utilize as imagens coletadas pelos estudantes para esclarecer as questões que surgirem.

Elabore

Acompanhe os estudantes em suas produções e compartilhem o trabalho da turma para além do mural físico.

Proponha

Retome a discussão inicial deste passeio sobre Qual é a relação da arte com a tecnologia?, debatendo com os estudantes as possibilidades artísticas relacionadas ao uso de tecnologias digitais na construção de imagens por simetria. Proponha a criação de uma produção artística digital que expresse algum tipo de simetria ou uma composição de vários tipos de simetria e realize uma “mostra” das produções realizadas pela turma.

▶ Organize

Neste passeio, você explorou diversas simetrias: reflexão, rotação e translação. Elabore um resumo esquemático de todos os tipos de simetrias estudados. Busque por fotos ou imagens que mostrem como esses conceitos matemáticos podem também estar relacionados à arte, à arquitetura ou até mesmo à natureza.

▶ Elabore

Coletivamente, elaborem um mural agrupando diversas referências de fotos, imagens e desenhos que expressem certo tipo de simetria. A partir dessas referências, elaborem também suas próprias produções artísticas que expressem cada um dos tipos de simetria apresentados. Incorporem essas produções ao mural.

▶ Proponha

A pergunta inicial deste passeio é: Qual é a relação da arte com a tecnologia?

Existem variadas formas de produzir arte a partir de tecnologia. Quando falamos em tecnologia, geralmente pensamos nas tecnologias “mais atuais”. Porém, ao longo da história, a humanidade sempre buscou tecnologias que facilitassem ou que proporcionassem novas maneiras de se expressar artisticamente.

• Pesquise por temas como história da fotografia e história da gravura. Converse com seus colegas sobre o que você descobriu e quais elementos dessa história ainda estão presentes ou serviram de inspiração para as “novas tecnologias” utilizadas na arte.

Neste passeio, você estudou especificamente a noção de simetria e como ela pode ser identificada em variadas maneiras de se expressar artisticamente.

• Utilizando computador, celular ou tablet, crie uma produção artística que expresse algum tipo de simetria, ou mesmo uma composição de vários tipos de simetria.

• Coletivamente, organize uma “mostra” das produções realizadas pela turma.

Atividade 2

a) Verdadeiro. Podemos escrever números naturais como uma fração com denominador 1.

b) Falso. Por exemplo, 0,5 é racional, mas não é natural.

c) Verdadeiro. Podemos escrever números inteiros como uma fração com denominador 1.

d

) Falso. Por exemplo, 0,5 é racional, mas não é inteiro.

Atividade 3

a) Sendo 4% do vinagre composto de ácido acético, esse percentual corresponde a 4 100 1 500 = 60 mL Assim, 60 mL são de ácido acético, enquanto 1 440 mL são de água.

b) Para uma solução de 1 000 mL de vinagre, serão necessários 4 100 1 000 = 40 mL de ácido acético. Sendo assim, o volume que falta é 40 – 22,8 = 17,2 mL de ácido acético.

Com computador, celular ou tablet, o que importa é a cooperação, presencial ou on-line

Respostas pessoais.

Você chegou ao final da Trajetória. Reflita sobre tudo o que aprendeu e verifique a qualidade da sua aprendizagem. Resolva todos os exercícios no caderno.

CHECK-OUT

1. Leia a afirmação:

2.b) Falso. c) Verdadeiro. d) Falso

“25% dos jovens de determinada comunidade não têm acesso à internet em casa.”

a) Reescreva essa afirmação utilizando a forma fracionária.

VISTORIAS

Habilidades

EF07MA10, EF07MA11, EF07MA12, EF07MA13, EF07MA18,

b) Represente 25% como um número na forma decimal. 0,25

2. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas:

25 100 ou 1 4 Verdadeiro.

a) Todo número natural é um número racional

b) Todo número racional é um número natural.

c) Todo número inteiro é um número racional.

d) Todo número racional é um número inteiro.

6. Almir precisa de 500 kg de creme de leite fresco para sua produção mensal de manteiga. Sobraram 143 kg do mês anterior. Determine a massa de creme que ele deve obter para ter o necessário para produzir a manteiga neste mês. 357 kg.

7. Escreva uma equação que descreva matematicamente cada situação e resolva.

a) Leomar comprou um mouse, um teclado de R$ 120,00 e pagou R$ 225,00 no total. Determine o preço do mouse

3. O vinagre de cozinha é uma solução composta de uma substância chamada ácido acético e água, de modo que 4% do volume total da solução seja de ácido e o restante de água.

a) Determine os volumes de ácido acético e de água presentes em 1 500 mL de vinagre.

b) Para se fazer uma solução de 1 000 mL de vinagre, um químico dispõe de 960 mL de água e 22,8 mL de ácido acético. Determine quanto falta para se obter a quantidade certa de ácido acético que deve compor essa solução. 17,2 mL.

4. Resolva as expressões numéricas e elabore o enunciado de um problema que possa ser resolvido por elas.

3. a) 60 mL de ácido acético e 1 440 mL de água. 0,05 ou 5 100

a) 2 5 – 0,35 b) –0,2 + 1 2

5. Considere as sentenças matemáticas:

I. 3x + 4

II. 3x + 4 = 5

Em qual delas a letra x representa uma variável e em qual representa uma incógnita?

I) Variável. II) Incógnita.

Atividade 4

b) Uma caixa-d’água de 1 000 litros sofreu um vazamento, restando 583 litros. Quantos litros vazaram da caixa-d’água?

c) Maria e seus dois filhos de mesma massa se pesaram juntos em uma balança. Ela pesa 52 kg, seus filhos pesam o mesmo peso entre si e todos juntos pesam 112 kg. Qual é a massa de cada um dos filhos?

d) Laurita despejou o conteúdo de uma jarra de 2 000 mL em três copos idênticos e restaram 1 100 mL na jarra. Determine o volume, em mL, de cada copo.

8. Resolva as equações em

9. Identifique os eixos de simetria das figuras geométricas:

Há

a) Considere uma piscina de 1 000 L, em que apenas 2 5 da capacidade está preenchida por água. Se retirarmos trinta e cinco centésimos da capacidade total, qual será a fração da capacidade total que sobrará?

2 5 – 0,35 = 2 5 –35 100 = 40 100 –35 100 = 5 100

b) Considere uma temperatura de –0,2 oC Se, até o fim da manhã, a temperatura subir meio grau, de quanto será a temperatura ao meio-dia?

Atividade 5

I. A letra x representa uma variável, pois ela pode assumir qualquer valor.

II. A letra x representa uma incógnita, pois ela representa um valor desconhecido e, nesse caso, um único valor (equação de 1o grau).

Ver comentário da atividade 8 na página seguinte.

Atividade 10

a) Reflexão e rotação.

b) Translação.

Atividade 11

a) Para obter o simétrico em relação ao eixo das abscissas, deve-se multiplicar a ordenada de cada vértice por –1 Sendo assim, os novos vértices são A' (0, 0), B' (1, –2) e C' (2, 0) ), B' (1, –2) e C' (2, 0)

b) Para obter o triângulo ampliado (note que não temos simetria aqui), deve-se multiplicar cada coordenada de cada vértice por 2. Sendo assim, os novos vértices são

A" (0, 0), B" (2, 4) e C" (4, 0)

0 -1 -2 C C B B A" = A' = A B 1 1 2 2 4 4 3 3 204 | MANUAL DO PROFESSOR

10. Identifique o tipo de simetria presente em cada figura:

a) Reflexão e rotação.

b) Translação.

DE OLHO NA BÚSSOLA

11. a) A’ (0, 0), B’ (1, –2) e C ’ (2, 0)

11. Represente no plano cartesiano o triângulo cujos vértices são os pontos A (0, 0), B (1, 2) e C (2, 0).

a) Considerando o eixo das abscissas como eixo de simetria, obtenha as coordenadas do triângulo simétrico ao desenhado em relação ao eixo Ox

b) Obtenha as coordenadas do triângulo obtido ao multiplicar as coordenadas do triângulo ABC por 2.

Após resolver os exercícios da seção Check-out, você pôde checar se de fato aprendeu a:

OBJETIVOS EXERCÍCIOS

Reconhecer números racionais em diferentes contextos e situações-problema.

Resolver problemas envolvendo

1

multiplicação de suas coordenadas por números inteiros. 11

Respostas pessoais. Atividade 8 a) x 3 – 4 = 8 ⇒ x 3 – 4 + 4 = 8 + 4 ⇒ x 3 = 12 ⇒ 3 x 3 = 3 12 ⇒ x = 36 x 3 – 4 + 4 = 8 + 4 ⇒ x 3 = 12 ⇒ 3 ⋅ x 3 = 3 ⋅ 12 ⇒ x = 36 ⇒ x 3 = 12 ⇒ 3 x 3 = 3 12 ⇒ x = 36 b) 2 –x 5 = 1 ⇒ 2 –x 5 + x 5 = 1 + x 5 ⇒ 2 – 1 = 1 + x 5 – 1 ⇒ 1 = x 5 ⇒ 5 ⋅ 1 = 5 ⋅ x 5 ⇒ 5 = x –x 5 + x 5 = 1 + x 5 ⇒ 2 – 1 = 1 + x 5 – 1 ⇒ 1 = x 5 ⇒ 5 1 = 5 x 5 ⇒ 5 = x ⇒ 2 – 1 = 1 + x 5 – 1 ⇒ 1 = x 5 ⇒ 5 1 = 5 x 5 ⇒ 5 = x ⇒ 1 = x 5 ⇒ 5 1 = 5 x 5 ⇒ 5 = x c) 5 + x 10 = –2 ⇒ 5 + x 10 – 5 = –2 – 5 ⇒ x 10 = –7 ⇒ 10 x 10 = 10 (–7) ⇒ x = –70 x 10 = –2 ⇒ 5 + x 10 – 5 = –2 – 5 ⇒ x 10 = –7 ⇒ 10 x 10 = 10 (–7) ⇒ x = –70 = –2 – 5 ⇒ x 10 = –7 ⇒ 10 x 10 = 10 (–7) ⇒ x = –70 ⇒ 10 x 10 = 10 (–7) ⇒ x = –70 d) –x 4 – 1 = –3 ⇒ –x 4 – 1 + x 4 = –3 + x 4 ⇒ –1 + 3 = –3 + x 4 + 3 ⇒ 2 = x 4 ⇒ 4 2 = 4 x 4 ⇒ 8 = x – 1 = –3 ⇒ –x 4 – 1 + x 4 = –3 + x 4 ⇒ –1 + 3 = –3 + x 4 + 3 ⇒ 2 = x 4 ⇒ 4 2 = 4 x 4 ⇒ 8 = x = –3 + x 4 ⇒ –1 + 3 = –3 + x 4 + 3 ⇒ 2 = x 4 ⇒ 4 2 = 4 x 4 ⇒ 8 = x + x 4 + 3 ⇒ 2 = x 4 ⇒ 4 2 = 4 x 4 ⇒ 8 = x ⇒ 4 ⋅ 2 = 4 ⋅ x 4 ⇒ 8 = x

Considerando os exercícios que você resolveu, como você julga seu desempenho: insuficiente, parcialmente suficiente, satisfatório, plenamente satisfatório?

Prossiga ▶

Livre-se de todas as distrações e desenvolva o hábito de concentrar-se. Mesmo que você goste dos entretenimentos oferecidos pelas plataformas de streaming, das mensagens dos aplicativos, dos joguinhos eletrônicos, o melhor a fazer é fechá-los das janelas do seu navegador. Eles podem ser gatilhos para sua ansiedade e podem levá-lo à distração. Você vai desviar o foco daquilo que é o mais importante para o momento: o seu aprendizado?

Estudantes concentrados em seus estudos.

Uma ou duas horas com ótima qualidade de concentração trarão benefícios à sua aprendizagem no presente e mais ainda no futuro. Se a cada nova notificação você tiver de interromper seus estudos, é provável que o rendimento de sua aprendizagem, nesse dia, continue estacionado. Procure resistir e, a cada dia, vá observando qual foi o seu grau de concentração: é desejável que você mesmo perceba uma evolução!

Além disso, é de grande importância você se direcionar para a realização de algum objetivo, como quem deseja alcançar uma “linha de chegada”. Imagine que sua linha de chegada seja, por exemplo, revisar todo o conteúdo do dia anterior ou, ainda, resolver 10 exercícios sobre os temas apresentados pelo professor na aula passada. Essa é uma forma de manter-se focado em busca de atingir o objetivo e, consequentemente, melhorar sua motivação e sua forma de aprender.

A metáfora da linha de chegada nos estudos favorece a ideia de meta clara e possível a cada dia.

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TRAJETÓRIA 4

PANORAMA DA TRAJETÓRIA

Competências gerais: 6, 7

Competências específicas: 2, 4, 7

Habilidades de Matemática: EF07MA24, EF07MA25, EF07MA26, EF07MA30, EF07MA31, EF07MA32, EF07MA35, EF07MA36, EF07MA37

Habilidades de outras

disciplinas:

Língua Portuguesa: EF67LP18

Ciências: EF07CI05, EF07CI08

Temas Contemporâneos

Transversais:

Educação Ambiental

Ciência e Tecnologia

Educação para o Consumo

Nesta Trajetória, teremos os triângulos no contexto das construções civis, as áreas e volumes no contexto dos espaços verdes e, por fim, as pesquisas estatísticas no contexto da preservação do ambiente. Todos esses conteúdos permeados pela pergunta motivadora, que é: Como os humanos pensam no equilíbrio com o meio ambiente?

A natureza da pergunta já remete a uma possibilidade de investigação com caráter de pesquisa estatística. Assim, peça que os estudantes se organizem em grupos e busquem percorrer, ao longo da Trajetória, as etapas de uma pesquisa.

1. Problematização e levantamento de hipóteses

Em uma roda de conversa, valide com os alunos a pergunta motivadora (mais ampla) e suas três perguntas relacionadas: vocês desejam reformular essas perguntas, mantendo a temática do meio ambiente? Qual será a população pesquisada? Vamos entrevistar os alunos da nossa escola, de outras escolas, as pessoas do bairro, ou nossos familiares? Vamos enviar formulários por meios digitais?

É importante que, nessa etapa da problematização, haja clareza dos objetivos que pretendem alcançar. É importante que as perguntas da pesquisa façam sentido para os alunos e que as

respostas possibilitem diversas conexões entre diferentes conhecimentos de diferentes disciplinas.

Proponha, para cada pergunta, o levantamento de hipóteses. Deixe-as em destaque, para que eles possam eleger as hipóteses que eles acreditam que têm mais chances de ser verdadeiras.

Embora essa etapa inicial seja indicada como de levantamento de hipóteses, durante todo o decurso da pesquisa, outras perguntas ou outras hipóteses podem ser levantadas pelos alunos e, eventualmente, algumas delas podem mudar o curso das investigações.

COMO OS HUMANOS PENSAM NO EQUILÍBRIO COM O MEIO AMBIENTE?

• De que modo as construções podem ser sustentáveis?

• Como preservar as áreas verdes e os mananciais?

• Quais propostas hoje podem melhorar o ambiente amanhã?

2.Atividades investigativas

Com os alunos organizados em grupos, proponha que elaborem as estratégias e planejem recursos para verificar as hipóteses levantadas. Depois, incentive que cada grupo compartilhe o que pensou. As melhores e as mais viáveis estratégias devem ser valorizadas e adaptadas para cada grupo.

3.Conclusões

Depois de alguns dias executando o que foi planejado, e, antes de encerrar a Trajetória, cada grupo deve expor suas conclusões, ou seja, as principais descobertas e resultados obtidos quanto

206 | Trajetória 4 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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Estruturas metálicas que imitam árvores, equipadas com tecnologias ambientais, em Cingapura. Pôr do Sol sobre as árvores na Floresta Amazônica, Amazonas, Brasil.

As supertrees são árvores artificiais de até 50 metros de altura. Elas garantem a conservação de plantas e ainda coletam água da chuva. No Brasil, temos a Floresta Amazônica, totalmente natural, mas que necessita ser preservada.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais.

Pesquise quais ações são realizadas na sua escola sobre sustentabilidade. Depois, converse com os colegas e, juntos, pensem a respeito dos impactos que as ações têm no ambiente onde vivem. Façam um mural com ideias para novas ações sustentáveis para afixar na sala de aula.

divulgação dos resultados e, em comum acordo, escolham a melhor forma de fazer a divulgação dos trabalhos.

CONTEÚDOS DA TRAJETÓRIA

Passeio 1 – Triângulos

• Condição de existência

• Soma das medidas dos ângulos internos

• Relação entre lados e ângulos

• Rigidez do triângulo

• Algoritmo para construção de triângulo

Passeio 2 – Área da Superfície e Volume

• Volume

• Blocos retangulares

• Unidades de medida

• Composição e decomposição de figuras

• Área da superfície

• Figuras planas

• Triângulos e quadriláteros

Passeio 3 – Pesquisa amostral, Média e Gráfico de Setores

• Amostras e variáveis

• Gráficos e Tabelas

• Frequência absoluta e Frequência relativa

• Média aritmética e Amplitude

LUPAS E LUNETAS

Os estudantes poderão refletir e observar os hábitos relacionados à sustentabilidade na escola, tais como: usar copos reutilizáveis, separar os materiais recicláveis dos orgânicos, recolher as pilhas usadas para o descarte correto, diminuir o desperdício de alimentos, água e energia elétrica. Partindo dessas atitudes poderão apontar outras que considerem relevantes para a produção do mural.

às construções civis sustentáveis, à preservação de mananciais ou às propostas de melhorias do ambiente pensadas para um futuro melhor.

Forme uma roda de conversa e conduza o debate, visando reunir as diversas descobertas, os diferentes resultados e buscando valorizar os diferentes pontos de vistas. Avalie o quanto a discussão sobre as divergências pode contribuir para ampliar os conhecimentos dos alunos.

4. Sistematização e registros

Verifique os registros individuais, sejam textos escritos, gráficos, opiniões, esquemas, desenhos etc.

Esse é o momento de valorizar a produção individual, as particularidades, os potenciais e a subjetividade de cada aluno. Esse momento também é propício para redirecionar o aprendizado individual, uma vez que é possível verificar a maneira como o aluno está compreendendo esse processo e quais conhecimento tem assimilado nessa investigação. Realize também o registro coletivo, aquele que explicita os avanços da turma e os obstáculos comuns.

5. Divulgação

Ao fim da investigação, quando encerrarem a Trajetória, reúna o material necessário para a

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Habilidade (EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.

CHECK-IN

A abertura desta seção proporciona ao estudante o envolvimento e a discussão sobre os Temas Contemporâneos Transversais (TCT) Educação Ambiental e Ciência e Tecnologia, na compreensão sobre a consciência socioambiental e o consumo responsável, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. As imagens apresentadas no início da seção servem de ponto de partida para discutir com os estudantes as construções consideradas ecologicamente responsáveis e sustentáveis, a partir da utilização de madeira de reflorestamento. Orienteos na identificação das formas associadas às treliças, que são triângulos utilizados na construção civil devido à sua rigidez geométrica.

Dicas de estudo

Converse com os estudantes sobre sua organização de estudos; aproveite o momento e direcione a turma para realizar a atividade proposta em “Dicas de Estudo”, na última página desta Trajetória. Podem aproveitar para redirecionar suas atitudes relativas ao próprio aprendizado.

DE QUE MODO AS CONSTRUÇÕES PODEM SER SUSTENTÁVEIS?

Enorme estrutura, construída com madeira de reflorestamento que se funde a um bloco de concreto, para futuras instalações de armazém. Arranha-céu futurista, com jardim florestal vertical, proposta de arquitetura sustentável, em Milão, Itália. Foto de 15 de junho de 2019.

CHECK-IN

Respostas pessoais.

a) Os reflorestamentos em larga escala iniciaram-se nos anos 1960. A madeira de eucalipto era usada apenas para móveis, treliças ou andaimes. Atualmente ela é tratada e reforçada em processo de secagem para evitar que o material encolha, entorte ou se quebre, sendo viável também para construções. Ambas as imagens mostram relações de dependência humana com as florestas. Como você interpreta essa dependência em cada foto?

b) A quais figuras geométricas você pode associar alguns detalhes da estrutura da madeira? Como são os ângulos nessas figuras?

Sugestão de leitura

A seção apresenta discussões sobre construções sustentáveis; leia mais sobre esses temas na notícia Construções sustentáveis: o que são e projetos que aderem à tendência, de Yeska Coelho. Disponível em: https://casacor.abril.com. br/especiais/construcoes-sustentaveis/. Acesso em: 22 maio 2022.

GONCHAROVAIA/SHUTTERSTOCK

BÚSSOLA

Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos:

• Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações.

• Construir triângulos usando régua e compasso.

• Reconhecer a condição de existência de um triângulo.

• Reconhecer que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o.

• Descrever por escrito o processo de construção de um triângulo qualquer, dadas as medidas de seus lados.

• Identificar o objeto de uma solicitação ou reivindicação e sua sustentação (ou justificativa), de modo que seja possível analisar a pertinência da solicitação.

TRIÂNGULOS ÂNGULOS

Soma das medidas dos ângulos internos

Condição de existência

Rigidez do triângulo Relação

ângulos

Construção de triângulo Algoritmo

Demonstração de propriedade

EF07MA24, EF07MA25, EF07MA26 EF67LP18

Encontro com outras disciplinas

(EF67LP18) Identificar o objeto da reclamação e/ou da solicitação e sua sustentação, explicação ou justificativa, de forma a poder analisar a pertinência da solicitação ou justificação.

ATMOSFERA

Atividade 1

Realize a leitura do texto coletivamente com os estudantes, apontando os efeitos colaterais da construção civil quanto à utilização de recursos ambientais e aos impactos ambientais. Chame a atenção para os aspectos relacionados à construção sustentável e proponha aos estudantes que, em pequenos grupos, realizem a pesquisa e apresentação sobre construções sustentáveis, em que sejam explorados a arquitetura inteligente, a eficiência energética, a gestão da água, o uso ecológico de materiais e o controle de resíduos advindos dessas construções. Por fim, sugira que comparem essas construções com as consideradas tradicionais.

Atividade 2

Com o resultado da pesquisa sobre o significado dos cinco critérios propostos na seção Atmosfera, faça um tour pela escola junto com os estudantes, a fim de analisar os critérios de uma construção sustentável que podem ou não estar presentes ali. Ao final, debata os resultados e as observações realizadas pelos estudantes.

ATMOSFERA

O que torna uma construção sustentável? Entenda os critérios.

Você sabia que a construção é o setor de atividades humanas que mais consome recursos naturais e causa impacto ambiental? Quem diz isso é o próprio Conselho Internacional de Construção.

É por isso que a sustentabilidade tem se tornado uma preocupação cada vez maior em construções de todos os tipos.

Mas você talvez se pergunte:

O que torna uma construção sustentável, afinal de contas? De forma geral, podemos citar alguns critérios que são importantes:

• Arquitetura inteligente

• Eficiência energética

• Gestão da água

• Uso de materiais

• Controle de resíduos

Casa construída com fardos de palha, sustentados por moldura de madeira, que fornecem alto nível de isolamento térmico para clima quente ou frio. Vista interior de uma casa construída com blocos de palha.

LIMA, Tomás. 10 construções sustentáveis que você precisa conhecer. Blog Sienge, 25 fev. 2019. Disponível em: www.sienge.com.br/blog/10-construcoes-sustentaveis. Acesso em: 4 ago. 2022. (Adaptado.)

ATIVIDADES

1. Junto com um colega, faça uma pesquisa e descubra o que significa cada um dos cinco critérios mencionados no texto, que indicam se uma construção é sustentável. Compartilhe com a turma suas descobertas.

2. Segundo esses critérios, avalie se sua escola é uma construção sustentável. Caso não seja, escreva, com seu colega, um parágrafo reivindicando – na medida do que cabe à comunidade – melhorias para que sua escola esteja o mais próximo possível dos critérios de sustentabilidade. Respostas pessoais.

210 | TRAJETÓRIA 4 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ALEKSANDAR KARANOV/SHUTTERSTOCK

ALEKSANDAR KARANOV/ SHUTTERSTOCK

#Lados e ângulos de um triângulo

Um artesão construiu um painel de madeira com texturas em composição de diversos triângulos. Dois deles foram destacados: △ AEI e △BCD

Habilidade (EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.

Vamos fazer a comparação das medidas dos lados com as medidas dos ângulos em cada triângulo:

Em um triângulo, ao maior lado, opõe-se o maior ângulo; ao menor lado, opõe-se o menor ângulo

Antes de iniciar a leitura deste texto, peça aos estudantes que representem alguns triângulos no caderno (equilátero, isósceles e escaleno). Oriente que observem os lados e os ângulos e verbalizem se percebem alguma relação entre as medidas de abertura dos ângulos e as medidas de comprimento dos lados. Faça perguntas para que os estudantes concluam que ao ângulo de maior medida de abertura opõe-se o lado de maior medida de comprimento e ao lado de menor medida de comprimento opõe-se o ângulo de menor medida de abertura. Se houver dois ângulos congruentes, a eles se oporão lados congruentes ou, se houver lados congruentes, a eles se oporão ângulos congruentes.

Em um triângulo, ao maior ângulo, opõe-se o maior lado; ao menor ângulo, opõe-se o menor lado e, se existirem dois ângulos iguais, os lados opostos a eles serão iguais.

Habilidade (EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.

Atividade 3

Observando o triângulo podemos perceber que os lados medem 3, 4 e 6 cm e os ângulos opostos são x, z e y, respectivamente, com isso concluímos que x < z < y

Atividade 4

Destaque que ao maior lado opõe-se o maior ângulo (opõe-se o ângulo de maior medida), ao lado intermediário opõe-se o ângulo intermediário (de medida intermediária) e ao menor lado opõe-se o menor ângulo (o ângulo de menor medida).

Atividade 5

Nesta atividade, são informadas as medidas de 3 ângulos para que os estudantes construam os triângulos em cada item. Antes da construção, pergunte se os triângulos construídos serão congruentes. Espera-se que os estudantes verbalizem que os triângulos serão semelhantes, pois poderão ter lados de tamanhos diferentes.

Utilize conceitos de congruência e semelhança informais, porque os critérios ainda não foram estudados. Recorra à possibilidade de sobreposição ou não dos triângulos por transformações geométricas, sejam simetrias (reflexão, rotação e translação) ou homotetias (ampliação e redução).

ATIVIDADES

3. Observe o triângulo e escreva as medidas dos três ângulos em ordem crescente.

4. Observe os triângulos e, em cada item, indique qual é o maior e qual é o menor lado.

a)

5. Utilize um transferidor e desenhe um triângulo, conforme solicitado em cada item. Depois, compare suas respostas com as de outros colegas.

a) △MNP , com med(P " ) = 120o e med(M ! ) = med(N " ) = 30o

b) △RST , com med(R ) = 90o , med(S) = 55o e med(T ) = 35o

#A rigidez dos triângulos

De todos os polígonos, os triângulos têm uma propriedade especial e, devido a essa propriedade, o triângulo é utilizado frequentemente pela construção civil.

Observe estes modelos de treliças – estruturas feitas de material resistente, como aço, alumínio ou madeira – usadas em diferentes aplicações, desde suportes de plantas até estruturas de pontes:

Maior lado: BC; menor lado: BA Maior lado: JL; menor lado: LK

Até mesmo com macarrão é possível construir estruturas muito rígidas devido a essa propriedade dos triângulos. Existem concursos escolares em que se testa a rigidez e resistência de pontes com estrutura de macarrão.

Habilidade (EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.

Atividade 6

Um protótipo de ponte de espaguete em 3D. Estudantes de um curso de engenharia testam resistência da ponte construída com espaguete para determinar seu ponto de ruptura em uma competição para escolher a ponte mais forte.

Os alunos de uma escola pública construíram, com palitos coloridos de sorvete e percevejos, figuras que lembram polígonos diversos. Eles observaram o seguinte: todos os polígonos eram articuláveis, exceto os triângulos.

Rigidez geométrica dos triângulos é a propriedade que os triângulos têm de não se deformarem, o que não acontece com os demais polígonos.

ATIVIDADES

Experimento com palitos coloridos de sorvete e percevejos. Se você fizer esse experimento em sala de aula, manipule os percevejos somente sob a supervisão de um adulto.

7.a) No triângulo não houve alteração, pois o triângulo é rígido. No quadrilátero houve alteração, de modo que a distância entre os vértices opostos sob força vai ficar cada vez menor e a abertura dos ângulos pressionados, cada vez maior.

6. Junte-se a dois ou três colegas e tentem entender por que somente estruturas compostas por triângulos não se deformam. Mesmo que vocês não tenham conseguido estabelecer nenhuma conclusão, registrem as perguntas curiosas que surgiram no grupo quanto a esse fato.

Respostas pessoais.

7. Luiz fez um experimento com palitos de sorvete e tachinhas.

Antes Força

Depois Antes Depois Força

a) Compare o “antes” e o “depois” de exercer força em um dos vértices das figuras. Com o triângulo, houve alteração? Com o quadrilátero, houve alteração? Descreva a alteração.

b) Qual é o nome do quadrilátero mostrado no “antes”? E qual é o nome dele mostrado no “depois”? Antes: quadrado; depois: losango.

A rigidez vem do fato de que um triângulo fica determinado pelas medidas de seus três lados, enquanto polígonos de quatro ou mais lados não ficam determinados somente pelas medidas de seus lados (com 4 segmentos de reta de medidas definidas é possível determinar diversos quadriláteros). Essa exploração tem um caráter de despertar a curiosidade intelectual, sem a pretensão de estabelecer resultados. As condições de existência de um triângulo serão exploradas no próximo tópico.

Atividade 7

Esta atividade também pode ser realizada usando canudinhos com barbante passado por dentro deles e, amarrando-os, ou palitos de pirulito unidos por garrote. Pergunte aos estudantes se nos quadriláteros as medidas dos lados, ângulos ou diagonais foram alteradas ao manipular o material; espera-se que percebam que as medidas dos lados permanecem as mesmas, mas as dos ângulos e das diagonais foram alteradas. O uso do material manipulável é uma ferramenta que torna a compreensão sobre a rigidez do triângulo e sua importância nas construções arquitetônicas mais significativa.

Habilidade

(EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.

Encontro com outras disciplinas

(EF67LP18) Identificar o objeto da reclamação e/ou da solicitação e sua sustentação, explicação ou justificativa, de forma a poder analisar a pertinência da solicitação ou justificação.

Atividade 8

Considerando as discussões sobre rigidez geométrica, uma resposta possível é a instalação Wind pavilion, na Letônia, pois a estrutura é composta, quase em sua totalidade, de retângulos e quadrados vazados, exceto algumas portas fechadas que suportam toda a estrutura da instalação, desprovida de elementos triangulares.

Tanto na instalação da Hungria quanto na do Túnel de Luz, os triângulos supostamente conferem rigidez e estabilidade às estruturas.

LUPAS E LUNETAS

Explore esta seção em conjunto com o professor de Língua Portuguesa, no processo de elaboração de uma carta aberta (seguindo toda a sua estrutura), sobre instalações nos espaços públicos. Para inspiração dos estudantes, procure organizar em conjunto com a equipe de gestão escolar uma visita guiada a possíveis instalações artísticas e arquitetônicas de sua cidade. Caso não seja possível a visita presencial, explore as visitas virtuais, disponíveis em diversas plataformas.

8. As instalações são manifestações artísticas contemporâneas compostas por diversos materiais e situadas no ambiente urbano; podem ter caráter efêmero ou ser desmontadas e recriadas em outro local.

Instalação artística a céu aberto em um festival de Budapeste, Hungria. Instalação que lembra um cubo de madeira, chamada de Wind pavilion, feita de portas e janelas antigas em uma praia, Liepaja, Letônia. Instalação Túnel de luz, que consiste em vários portões triangulares iluminados por lâmpadas do tipo led brilhantes e coloridas que refletem sobre as pessoas, fazendo-as parecer alienígenas.

Os triângulos e outros polígonos estão presentes na arte. Observando essas instalações, qual delas parece que vai desmoronar? Por quê? Resposta pessoal.

LUPAS E LUNETAS

O que você e seus colegas pensam sobre as instalações nos espaços públicos? Escrevam uma carta aberta informando a importância da arte nos espaços públicos (uma carta aberta é um tipo de texto voltado para um grande público, opinando a fim de convencer as pessoas sobre um assunto ou fazer uma reinvindicação).

Pesquise o formato de uma carta aberta, por exemplo, quanto à sua estrutura (título, introdução, desenvolvimento, conclusão, despedida, assinatura, local e data) e outras informações necessárias. Vocês podem trabalhar junto com os professores de Língua Portuguesa. Depois, publiquem a carta de vocês no mural da sala de aula.

Sugestão de leitura

A seção apresenta discussões sobre rigidez triangular; leia mais sobre esses temas no artigo: NEVES, Evandro Marques das. Rigidez dos triângulos. 2014. 58 f. Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, 2014. Disponível em: http://hdl.handle.net/11449/115775. Acesso em 15 ago. 2022.

Respostas pessoais.

| TRAJETÓRIA 4

TRAVESSIAS

9. b) A medida do comprimento dos canudos menores, ao serem conectados linearmente, é maior do que o comprimento do canudo maior ou, dito de modo equivalente: o comprimento do canudo maior é menor do que a soma dos comprimentos dos canudos menores.

Com quaisquer três lados se constrói um triângulo?

Para esta atividade, proceda conforme as instruções:

Material e local: 2 canudos de plástico (ou 2 fios retos de espaguete), uma tesoura de pontas arredondadas, fita adesiva transparente. Realize esse experimento na sala de aula, sob supervisão do professor.

Participantes: 3 alunos.

Objetivo: investigar sob que condições três segmentos quaisquer determinam um triângulo.

Procedimentos: nesta primeira etapa, vocês vão realizar três testes:

• 1o teste: pegar dois canudos, cortar um deles para obter dois pedaços (não é necessário ser no meio); o segundo canudo fica inteiro.

Depois, com a fita adesiva, unir suas pontas de modo a formar um triângulo.

• 2o teste: cortar em duas partes um dos canudos menores do teste anterior, desprezar uma das partes e com as três que ficam formar um triângulo.

• 3o teste: pegar os três canudos menores dos testes anteriores e unir suas pontas, formando um triângulo.

Anotem o que ocorreu em cada teste.

Verifiquem o que ocorreu nos demais grupos em cada teste. Respostas pessoais.

Habilidade (EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o.

TRAVESSIAS

Atividade 9

ATIVIDADES

Canudos de plástico e de papel.

9. a) No 1o e 2o testes foi impossível unir as pontas dos canudos para obter triângulos, pois a medida total dos comprimentos dos dois canudos menores era igual ou menor do que o comprimento do canudo maior.

9. Com os participantes de seu grupo, resgatem os fatos observados nos três testes e respondam:

a) O que chamou a atenção de vocês no 1o e no 2o teste? Que relação entre os comprimentos dos três canudos vocês podem estabelecer?

b) E no 3º teste? Quando vocês juntaram linearmente os dois canudos menores, comparando com o comprimento do maior dos três, o que vocês observaram? O que podem afirmar quanto a isso?

10. Desconsiderando agora o experimento com canudos (ou espaguetes) e considerando segmentos de reta com propósito de formar um triângulo, enunciem um resultado que seja verdadeiro e esteja de acordo com os experimentos feitos por vocês. Dito de outro modo: escrevam um enunciado que determine as condições necessárias para que exista um triângulo quando são conhecidas as medidas de seus lados.

Só é possível construir um triângulo se a medida do comprimento de cada lado for menor do que a soma das medidas dos comprimentos dos outros dois lados.

Organize grupos de até três estudantes e conduza esta atividade investigativa, analisando a formação de triângulos sob a condição de existência. É importante que os estudantes escolham medidas aleatórias e distintas para o comprimento dos canudos, a fim de que, no final da investigação, cada grupo encontre diferentes medidas de lados. Ao final, solicite um relatório simples em que os estudantes possam registrar as medidas encontradas em cada uma das etapas e uma conclusão final. Utilize este quadro como exemplo de registro:

TESTE 1o 2o 3o

LADO 1

LADO 2

LADO 3

FORMA TRIÂNGULO?

Atividade 10

Proponha aos estudantes que reflitam sobre: se a medida do maior dos lados for menor do que a soma das medidas dos outros dois lados, será possível construir o triângulo sem mais nenhuma condição satisfeita?

MATKUB2499/SHUTTERSTOCK ERMAK OKSANA/ SHUTTERSTOCK

Habilidade (EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o

Atividade 11

a) O lado IJ opõe-se ao ângulo de maior medida (101o), então é o maior lado. O lado HI opõe-se ao ângulo de menor medida (34o), então é o menor lado.

b) Os lados do triângulo medem 3; 3,5 e 4 cm. O menor ângulo é T ! , o oposto ao menor lado, ou seja, oposto ao lado que mede 3 cm. O lado intermediário tem 3,5 cm, e o ângulo intermediário U ! é oposto a esse lado. O maior ângulo R ! é oposto ao maior lado, com 4 cm.

Atividade 12

Qualquer ângulo agudo é menor que 90o, consequentemente o ângulo reto é o maior dos três ângulos e oposto ao maior lado (hipotenusa).

Atividade 13

Ao verificar a condição de existência, os estudantes perceberão que nos itens a e d há medidas com as quais se podem construir triângulos, pois temos

7 < 3 + 5, 3 < 7 + 5 e 5 < 7 + 3;

7 < 4 + 4 e 4 < 7 + 4. Nos itens b e c, 7 > 3 + 3 e 7 = 4 + 3, então não é possível construir triângulos com essas medidas.

Atividade 14

Ao verificar se a soma das medidas de dois lados é maior que o comprimento do terceiro lado, aponte os triângulos que não podem ser formados, como o item a, pelas medidas 1, 2 e 3 m, e o item d, pelas medidas

3, 3 e 6 m. Caso alguns estudantes apresentem dificuldade em compreender essa condição, peça que construam com régua

A condição de existência dos triângulos

Em experimentos anteriores, você descobriu que não se constrói um triângulo com quaisquer três segmentos de medidas dadas. É necessário que as medidas dos três segmentos tenham uma tal relação entre si. Essa relação é conhecida como condição de existência dos triângulos

O que foi enunciado na seção anterior pode ser, também, representado assim:

11. a) IJ (oposto a H ! , que é o ângulo de maior); HI (oposto a J ! que é o ângulo de menor medida).

ATIVIDADES

11. Leia cada pergunta e, sem construir nenhuma figura, responda no caderno.

a) É dado um triângulo HIJ , em que m(H ! ) =  101o , m( I ! ) = 45o e m( J ! ) = 34o Qual é o lado de maior medida de comprimento desse triângulo? Qual é o lado de menor medida de comprimento?

b) É dado um triângulo RTU, de modo que RT = 3,5 cm, TU = 4 cm e UR = 3 cm. Qual é o ângulo de maior medida de abertura desse triângulo? Qual é o ângulo de menor medida?

12. Um triângulo tem dois ângulos agudos e um ângulo reto. Qual é o lado de maior medida de comprimento desse triângulo?

O lado que é oposto ao ângulo reto.

13. Em cada item são dadas as medidas de três segmentos. Use régua e compasso e, por meio da tentativa de construir triângulos, descubra em quais casos essa construção é possível.

11. b) R ! (oposto a TU, que é o lado de maior medida de); T ! (oposto a UR, que é o lado de menor medida).

a) 7 cm, 3 cm, 5 cm. É possível.

b) 7 cm, 3 cm, 3 cm. É impossível.

c) 7 cm, 4 cm, 3 cm. É impossível.

d) 7 cm, 4 cm, 4 cm. É possível.

14. Leia cada uma das condições dadas e verifique em qual delas é possível existir um triângulo. No caso de condições impossíveis, justifique.

a) Lados com medidas de comprimento de 1 m, 2 m e 3 m. Não é possível, pois 3 = 2 + 1.

b) Lados com medidas de comprimento de 2 m, 2 m e 3 m. É possível.

c) Lados com medidas de comprimento de 3 m, 3 m e 3 m. É possível.

d) Lados com medidas de comprimento de 3 m, 3 m e 6 m.

Não é possível, pois 6 = 3 + 3.

15. São dados triângulos com lados que têm medidas de comprimento em números naturais. Descubra quais são as possibilidades de medidas de comprimento do terceiro lado, sabendo que as medidas dos outros lados são:

a) 2 cm e 4 cm.

b) 3 cm e 4 cm

c) 2 cm e 2 cm

d) 4 cm e 6 cm

e compasso os triângulos, porém usando o centímetro como unidade de medida de comprimento.

Atividade 15

Instigue os estudantes a observar que o outro lado não pode ter o mesmo valor da soma das medidas dos lados conhecidos; caso o valor escolhido seja maior que essa soma, também não atende a condição de existência.

a) 2 + 4 = 6 e os valores menores que 6 são: 1, 2, 3, 4 ou 5.

Como 1 + 2 < 4 e 2 + 2 = 4, esses valores não são válidos, ou seja: são válidos: 3, 4 ou 5 cm.

b) 3 + 4 = 7 e os valores menores que 7 são: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Como 1 + 3 = 4, são válidos 2, 3, 4, 5 ou 6 cm.

c) 2 + 2 = 4 e os valores menores que 4 são: 1, 2 e 3 cm são válidos.

d) 4 + 6 = 10 e os valores menores que 10 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9.

Como 1 + 4 < 6 e 2 + 4 = 6, os valores válidos são: 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 cm.

#Construção de triângulos

Consultando a internet, um estudante encontrou o seguinte fluxograma:

Habilidade

(EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

LUPAS E LUNETAS

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais.

O que esse fluxograma descreve?

Escolha medidas para três segmentos quaisquer e cumpra cada etapa que ele propõe.

• Compare sua solução com a de outros colegas.

ATIVIDADES

16. Observe as etapas de construção de um triângulo equilátero.

Descreva por escrito e, depois, na forma de um fluxograma o passo a passo da construção desse triângulo. Digitalize seu fluxograma e exponha-o no mural virtual da sala. Respostas pessoais.

#Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo

Suellen aproveitou as aulas de Geometria e fez um experimento: ela desenhou um triângulo e, em seguida, destacou em cores diferentes cada um de seus três ângulos. Depois, ela reproduziu outros dois triângulos congruentes ao primeiro.

Atividade 16

• Algoritmo descritivo:

1. Trace uma reta r e destaque sobre ela o ponto A

2. Meça a abertura do compasso, usando uma régua, em 5 cm. Coloque a ponta-seca do compasso sobre o ponto A e trace um arco sobre a reta r. Nomeie de B o ponto em que o arco corta a reta r

3. Com abertura de 5 cm, coloque a ponta-seca no ponto B e trace o arco sobre a reta r. Repita

o procedimento no ponto A. Nomeie de C o ponto de encontro dos dois arcos.

4. Trace os segmentos de reta AC e BC e obtenha o △ABC com medidas de lados iguais a 5 cm.

• Fluxograma: Fim

Início Construa uma reta suporte (reta r). Tome um ponto A da reta

Trace os segmentos de reta AC e BC e obtenha o ∆ABC com medidas de lados iguais a 5 cm.

O fluxograma apresentado descreve, por escrito, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados. Esta seção permite explorar a construção geométrica de triângulos com a utilização de régua e compasso. Tais construções são importantes para o desenvolvimento das habilidades motoras dos estudantes.

Nomeie de C o ponto de encontro dos dois arcos.

Coloque a ponta-seca do compasso sobre o ponto A e trace um arco sobre a reta r Chame esse novo ponto de B

Com abertura de 5 cm, coloque a ponta-seca no ponto B e trace o arco sobre a reta r Repita o procedimento para o ponto A.

Habilidade

(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o.

LUPAS E LUNETAS

Para a realização desta atividade, construa os triângulos em EVA, colorindo cada um dos ângulos com canetas hidrocores coloridas. É importante que os três triângulos sejam idênticos (congruentes), então oriente os estudantes nesse processo para que não haja nenhuma imprecisão na hora de encaixar os triângulos. Ao final, verifique que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a um ângulo raso, ou seja, 180o

Veja o encaixe que ela fez com três triângulos congruentes:

Ela imagina que a relação que percebeu pode ser uma propriedade dos triângulos.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais.

Faça como Suellen: desenhe um triângulo (diferente do dela). Destaque cada ângulo com uma cor e, depois, construa outros dois triângulos congruentes a esse. Disponha os três triângulos de modo que sejam “encaixados”, tal como feito por Suellen.

• Compare sua produção com as de outros colegas: o que você observa? Que propriedade é essa dos triângulos? Enuncie-a.

Demonstração: propriedade dos ângulos internos de um triângulo

O fato que você explorou fazendo experimentos com recortes de papel pode ser demonstrado matematicamente.

A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180o

Demonstração

Vamos considerar um triângulo ABC qualquer. Pelo ponto A sabemos que passa uma única reta r paralela a CB ! " As retas r e CB ! " determinam um feixe de paralelas cortadas por duas transversais: CA ! " e BA ! "

Notamos que:

• m(C A ! B ) = ai ( a ! ngulo interno do △ ABC )

• m(R A ! C ) = ci ( a ! ngulos alternos internos )

• m(SA ! B ) = b ( a ! ngulos alternos internos )

Vemos que R A ! S é um ângulo raso (R, A e S estão em r), logo: ci + ai + bi = 180o

Portanto, m(CA ! B ) + m(AB ! C ) + m(BC ! A) = 180o Fica então demonstrada a propriedade enunciada.

218 | TRAJETÓRIA 4 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 19

Sendo a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo igual a 180o, tem-se:

ATIVIDADES

17. Considere o △ ABC Se m( A ! ) = 55o e m( B ) = 75o , quanto vale m(C ! )?

18. Em um △GHI , a medida do ângulo H ! é o triplo da medida do ângulo G ! , e a medida do ângulo I ! é o quíntuplo da medida do ângulo G ! Determine a medida de cada ângulo.

19. Determine o valor de x em cada item:

LEVO NA BAGAGEM

Respostas pessoais.

Consulte todas as suas produções até agora neste passeio e avalie seu aprendizado sobre:

▶ Matemática

• Você reconhece a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações?

• Sabe construir triângulos usando régua e compasso?

• É capaz de reconhecer a condição de existência de um triângulo?

• Reconhece que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o?

• Descreve por escrito o processo de construção de um triângulo qualquer, dadas as medidas de seus lados?

▶ Outras disciplinas

Língua Portuguesa

• Identifica o objeto de uma solicitação ou reivindicação e sua sustentação (ou justificativa), de modo a ser possível analisar a pertinência da solicitação?

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO

Insuficiente Parcialmente suficiente Satisfatório Plenamente satisfatório

Habilidade

(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o.

Atividade 17

Os estudantes podem resolver de modos diferentes, algumas possibilidades são:

• 55o + 75o = 130o e 180o – 130o = 50o 55o + 75o = 130o e 180o – 130o = 50o ou

• 55o + 75o + x = 180o

130o + x = 180o

x = 180o – 130o

x = 50o

Atividade 18

Considerando que a soma das medidas dos ângulos é 180o, temos:

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

x + 3x + 5x = 180o

9x = 180o x = 20o Com isso, 3 x = 3 20o = 60o e 5x =

3 x = 3 20o = 60o e 5x = 5 20o = 100o As medidas dos ângulos são 20o, 60o e 100o

LEVO NA BAGAGEM

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo as questões propostas, os estudantes reflitam sobre seu próprio aprendizado enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, classificarão seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas que estavam presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

BARCOS E PORTOS

Organize

Oriente os estudantes na construção de um resumo, que pode ser um mapa mental ilustrado, relacionando os conceitos matemáticos abordados neste passeio.

Elabore

Os estudantes podem fazer maquetes usando palitos de sorvete ou pirulito e outros materiais que considerem adequados para construir uma estrutura de proteção de árvores em miniatura. Oriente-os sobre os desenhos das vistas.

Proponha

O objetivo desta atividade é envolver os estudantes em uma análise mais cuidadosa do entorno, seja nas proximidades da escola, no bairro onde moram ou na cidade como um todo. Incentive-os a pesquisar cada um dos cinco critérios (Arquitetura inteligente, Eficiência energética, Gestão da água, Uso de materiais, Controle de resíduos) que indicam o quanto uma construção é sustentável. Os estudantes necessitam conhecer com mais profundidade o conceito de cada um desses critérios para poder avaliar com mais rigor algumas construções (as principais delas) do entorno. Depois, a partir dessas descobertas dos estudantes, proponha que produzam uma carta de reivindicação (carta aberta) solicitando uma tomada de consciência da população quanto à concepção, gestão e transformação dos espaços construídos.

Observe a qualidade das propostas inovadoras dos estudantes voltadas para a questão ambiental e o quanto eles demonstram preocupação em buscar cuidar de si mesmos, dos outros e do planeta.

Organize as informações sobre sustentabilidade conforme a atividade descrita no boxe Convívio e bem-estar social em que usamos como exemplo: “avaliar a redução do consumo de água pelo uso de arejadores

BARCOS E PORTOS

▶ Organize

Respostas pessoais.

Raul está fazendo uma lista de fatos que envolvem os triângulos. Leia o primeiro fato que ele escreveu e o desenho que fez ilustrando esse fato:

Ao maior lado, opõe-se o maior ângulo.

Assim como Raul, faça você também uma lista com todos os fatos envolvendo os triângulos que foram estudados neste passeio. Ilustre cada fato com um desenho. Compartilhe sua lista com os colegas.

▶ Elabore

Imagine que você é um engenheiro responsável pelas árvores do bairro. Crie uma estrutura de proteção para as árvores plantadas nas calçadas. Veja alguns modelos triangulares:

Elabore um modelo triangular de estrutura protetora para árvores em calçadas públicas. Utilize régua e compasso e faça os desenhos necessários (com anotações sobre as medidas reais) para dar o máximo de clareza sobre sua proposta. Faça os desenhos em várias vistas: de cima, de frente etc.

ou redutores de pressão”. Deixe essas informações registradas na lousa e peça aos estudantes que, em duplas, escolham a quem desejam convencer de que o uso de arejadores e redutores de pressão é uma boa opção para a redução do consumo de água. Esta atividade se relaciona com a habilidade de Língua Portuguesa EF67LP18

Algumas sugestões são a própria família, o diretor da escola, a administração pública ou o síndico, no caso dos estudantes que moram em condomínios. Entre os argumentos, poderão utilizar os

resultados de suas descobertas e o conhecimento que têm sobre Meio Ambiente e Sustentabilidade.

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

A água é um recurso importante para a sobrevivência humana, e os estudantes podem pensar estratégias para a redução do consumo ou o desperdício. Com essa intenção, as construções sustentáveis contam com o aproveitamento de água pluvial, uso de bacias sanitárias com dispositivos economizadores de água, arejadores e reguladores

Apresente seus desenhos para a turma.

▶ Proponha

A pergunta inicial deste passeio é:

De que modo as construções podem ser sustentáveis?

Junte-se em grupo composto por 5 ou 6 integrantes. Observe as construções do seu bairro ou cidade e, levando em conta os critérios que indicam se uma construção é sustentável (arquitetura inteligente, eficiência energética, gestão da água, uso de materiais, controle de resíduos), emitam um parecer sobre em quais desses quesitos a maioria das construções observadas (as que já existem e as que estão sendo construídas) poderiam melhorar.

Uma sugestão é que vocês busquem exemplos de construções que possam ser criticadas em relação a critérios de sustentabilidade. Pode ser uma barragem, um elevado, um conjunto habitacional etc.

Escrevam um manifesto ou carta aberta solicitando, por parte dos construtores, proprietários de construções, empreendedores e população em geral, uma tomada de consciência quanto aos quesitos necessários para que uma construção seja sustentável. No desenvolvimento da carta é importante que estejam presentes pelo menos estes dois elementos: argumentos com base em fatos observados por vocês no entorno e uma maneira totalmente nova de pensar em melhorias na gestão das construções em favor de serem mais sustentáveis.

Exponham a carta no mural da sala de aula e, finalmente, avaliem a possibilidade de distribuir essa carta aberta em espaços de circulação pública.

Encontro com outras disciplinas

(EF67LP18) Identificar o objeto da reclamação e/ou da solicitação e sua sustentação, explicação ou justificativa, de forma a poder analisar a pertinência da solicitação ou justificação.

um ano se todas as residências tiverem os arejadores. Essas informações podem ser utilizadas para a escrita de um texto como atividade indicada de Encontro com outras disciplinas

de pressão em chuveiros, torneiras de lavatório e pia, além de outros recursos para uma melhor gestão da água.

Escolha com a turma um desses sistemas e avaliem a quantidade de água economizada. Por exemplo: no caso dos arejadores e redutores de pressão, verifique uma torneira da escola que possa ter esses objetos acoplados. Peça aos estudantes que sugiram como medir a vazão dessa torneira, possivelmente usarão um balde com volume conhecido e observarão o tempo necessário para enchê-lo, de modo que consigam calcular a vazão.

Depois, coloquem o arejador e o redutor de pressão e calculem novamente a vazão. Os estudantes poderão usar o conhecimento sobre porcentagem para verificar a razão entre a vazão “sem” e “com” arejadores e avaliar qual a porcentagem de água que seria economizada. Utilize uma conta de água para verificar com os estudantes qual é a quantidade de água em m3 economizada em um mês com a redução estimada. Com essa informação, calcule a redução de água em um ano. Verifique a quantidade de habitantes na sua cidade e estime o número de residências e a economia de água em

ALEXANDRE R./M10

Habilidade (EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

Encontro com outras disciplinas (EF07CI08) Avaliar como os impactos provocados por catástrofes naturais ou mudanças nos componentes físicos, biológicos ou sociais de um ecossistema afetam suas populações, podendo ameaçar ou provocar a extinção de espécies, alteração de hábitos, migração etc.

CHECK-IN

As discussões deste tema permitem que o estudante se envolva com os TCT Educação Ambiental e Educação para o Consumo, para que compreendam a importância de preservar áreas verdes sob uma visão ecologicamente correta.

A partir da imagem apresentada no início desta seção e da questão norteadora sobre os cuidados relacionados a áreas verdes e mananciais, explore o TCT Educação Ambiental apresentando aos estudantes os cuidados que se deve ter em um ambiente assim, valorizando a sua importância para a fauna e flora locais.

Para a segunda pergunta proposta nesta seção, ressalte que uma piscina olímpica tem, no mínimo, 2 500 m3 de volume, pois suas dimensões são 25 m × 50 m , com 2 m ou 3 m de profundidade. Logo, serão necessários 5 000 minutos para que essa cascata encha a piscina. Esse tempo equivale a cerca de 83 horas, que correspondem a, aproximadamente, 3,5 dias (menos de uma semana). Para que consigam estimar esse valor, os estudantes precisam

COMO PRESERVAR AS ÁREAS VERDES E OS MANANCIAIS?

CHECK-IN

Respostas pessoais.

a) As cachoeiras e cascatas são parte do patrimônio natural. São admiradas por sua beleza e movimento. Que cuidados você reconhece ser necessário ao visitar uma cachoeira ou cascata?

b) Imagine que essa cascata pode encher uma caixa-d’água de 1 000 litros (1 m3) em 2 minutos. Faça uma estimativa: essa cascata pode encher uma piscina olímpica em:

• menos de uma hora?

• menos de um dia?

• menos de uma semana? Compare sua estimativa com a dos colegas.

ter uma ideia do significado de 1 m3; oriente-os a construir um cubo com canudinhos de jornal de 1 m de aresta.

Também é possível comparar com a medida do volume da sala de aula, sabendo as medidas de seu comprimento, largura e altura.

Sugestão de leitura

A abertura apresenta discussões sobre preservação de áreas verdes e mananciais; leia mais sobre esses temas no artigo: ALVIM, Angélica T.B. Políticas

ambientais e urbanas em áreas de mananciais: interfaces e conflitos. Cadernos Metrópoles, n. 19, 2008. Disponível em: https://revistas.pucsp.br/ metropole/article/view/8714. Acesso em: 22 maio 2022.

Cachoeira em floresta preservada, com rochas cobertas de musgos. Ambiente em equilíbrio natural.

BÚSSOLA

Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos:

• Reconhecer as unidades de medida de volume usuais como metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico.

• Resolver e elaborar problemas de cálculo de volume.

• Calcular áreas das superfícies de quadriláteros e triângulos.

• Compor e decompor figuras planas utilizando equivalência entre áreas das superfícies.

• Resolver e elaborar problemas de cálculo de áreas das superfícies de figuras planas.

• Avaliar como os impactos provocados por mudanças nos componentes físicos e sociais do espaço urbano afetam suas populações, podendo levar a alterações de hábitos, migrações etc.

ÁREA DA SUPERFÍCIE

Figuras planas

Composição e decomposição de figuras

Unidades de medida

Resolução de problemas

cm³, dm³, m³

cm2, dm2, m2, dam2

Blocos retangulares

Quadriláteros e triângulos

EF07MA30, EF07MA31, EF07MA32 EF07CI08

Habilidade

(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

Encontro com outras disciplinas (EF07CI08) Avaliar como os impactos provocados por catástrofes naturais ou mudanças nos componentes físicos, biológicos ou sociais de um ecossistema afetam suas populações, podendo ameaçar ou provocar a extinção de espécies, alteração de hábitos, migração etc.

ATMOSFERA

Proponha uma leitura crítica do texto em conjunto com os estudantes e, na sequência, um debate cujo tema norteador seja “A água como fonte da vida e a preservação dos mananciais”. A discussão de tal tema abrange o TCT Educação Ambiental, no processo de conscientização sobre as ações humanas que impactam diretamente na qualidade da água dos mananciais e por que tais atitudes devem ser repensadas.

Atividade 1

Espera-se que os estudantes compreendam que os mananciais podem ser protegidos com o fim das queimadas, da extração ilegal de madeira, do desmatamento, das práticas agrícolas agressivas ao meio ambiente e da poluição industrial.

Atividade 2

Como consequência de não proteger os mananciais ocorrerá falta de água para o abastecimento humano (beber, cozinhar, higiene pessoal etc.), para a produção industrial (roupas, produtos de higiene etc.) e agrícola (alimentos etc.). Provoque a

Saiba como proteger os mananciais e também os estuários

Todas as fontes de água, subterrâneas ou superficiais, são consideradas um manancial: rios, represas, lagos e lençóis freáticos. A preservação dos mananciais, portanto, é fundamental para a vida da sociedade moderna, já que esses reservatórios representam uma importantíssima fonte de abastecimento para o consumo da população e para o uso na agricultura e indústria.

Além disso, a proteção dos mananciais ajuda na preservação dos estuários — um ecossistema de transição entre o rio e o mar que abriga importantes espécies de animais e vegetais, contribuindo diretamente para o equilíbrio da natureza. É de

“responsabilidade” de um estuário, por exemplo, manter a fauna bentônica que processa sedimentos marinhos.

Como proteger os mananciais?

Existem diversas maneiras de proteger os mananciais. Entre elas, vale destacar o fim das queimadas, da extração ilegal de madeira, do desmatamento, das práticas agrícolas agressivas ao meio ambiente e da poluição industrial. De modo geral, todas as ações humanas que impactam diretamente na qualidade da água dos mananciais devem ser repensadas.

[...]

Fragmaq, 28 abr. 2016. Disponível em: www.fragmaq. com.br/blog/saiba-proteger-mananciais-e-tambem-estuarios. Acesso em: 5 maio 2022.

ATIVIDADES

1. Segundo o texto, quais são os modos de proteger os mananciais?

2. Que mudanças podem ocorrer na sociedade moderna em consequência das atitudes humanas de não proteção aos mananciais? Cite pelo menos um exemplo.

3. Estime o volume de água que há no copo mostrado na imagem: 20 cm3, 200 cm3 ou 20

1. O fim das queimadas, da extração ilegal de madeira, do desmatamento, das práticas agrícolas agressivas ao meio ambiente e da poluição industrial.

discussão sobre como seria a vida nessas condições e quais atitudes poderiam ser tomadas em busca da sobrevivência.

Além disso, segundo o texto, a proteção dos mananciais ajuda na preservação dos ecossistemas, isto é, o cuidado abrange a natureza como um todo.

Atividade 3

Esta atividade promove a habilidade de estimar capacidades e volumes a partir da comparação entre unidades de volume e capacidade. Explore com os estudantes essas relações, de modo que:

• 1 m3 contém 1 000 L,

• 1 dm3 contém 1 L,

• 1 cm3 contém 1 mL,

• 1 L contém 1 000 mL.

Comparando os volumes e as capacidades, tem-se:

• 20 cm3 = 20 mL,

• 200 cm3 = 200 mL ,

• 20 m3 = 20 000

L = 20 000 000 mL

Sendo assim, o provável volume de água no copo é de 200 cm3, ou seja, 200 mL.

SAIBA como proteger mananciais e também os estuários.

Copo com água fresca em ambiente natural e abundante em água.

m3? 200 cm3

2. A escassez severa das fontes de abastecimento para o consumo da população pode gerar migração e até extinção de uma população ou a busca por alternativas artificiais com o risco de custos elevados economicamente.

224 | TRAJETÓRIA 4 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ARTTIM/SHUTTERSTOCK

#Composição com cubos

Imagine um cubinho de gelo medindo 1 cm de aresta.

É fácil saber quanto de água haverá no copo, mesmo depois de os gelos derreterem.

LUPAS E LUNETAS

Considere os esquemas para refletir.

a) Quantos cubinhos de gelo estão empilhados? 200 cubinhos.

b) Qual é o volume de apenas um cubinho? 1 cm3

c) Considerando o empilhamento de cubinhos de gelo, qual é o volume de água que há nele? 200 cm3

d) Estando todos esses cubinhos dentro do copo, ao derreterem, que volume de água haverá no copo?

e) Depois de derretidos os cubinhos de gelo, esse método de cálculo do volume não seria mais possível. Converse com os colegas sobre como seria possível calcular o volume de água no copo.

Respostas pessoais.

ATIVIDADES

4. Qual destas duas composições representadas tem maior volume?

Se cada cubinho tem 1 cm3, qual é o volume de cada composição?

5. Calcule o volume de cada figura (use uma estratégia sem riscar o livro).

• Compartilhe com os colegas como você fez para calcular.

Habilidade (EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

comparação, por exemplo, com outro recipiente medidor com escala em mL ou L e convertida a medida para cm3

Atividade 4

Nesta atividade, os estudantes podem contar os cubos um a um ou por camadas, sendo que no empilhamento A há 12 + 5 + 1 = 18 cubos e no empilhamento B há 12 + 3 + 2 = 17  cubos. O empilhamento A tem o maior volume.

Atividade 5

Nesta atividade, direcione os estudantes na determinação dos volumes dos blocos retangulares utilizando-se da decomposição de figuras geométricas espaciais (em vários blocos). Destaque as escalas representadas na figura, pois cada marcação equivale a 1 cm de comprimento. Sendo assim, as dimensões são:

• A: comprimento de 4 cm, altura de 3 cm e largura de 1 cm.

• B: comprimento de 4 cm, altura de 2 cm e largura de 3 cm.

• C: comprimento de 3 cm, altura de 3 cm e largura de 3 cm.

Os volumes serão:

• A = 4 cm 3 cm 1 cm = 12 cm3

A = 4 cm 3 cm 1 cm = 12 cm3

• B = 4 cm 2 cm 3 cm = 24 cm3

LUPAS E LUNETAS

Espera-se que os estudantes reconheçam que o método levará em conta o formato do copo, nesse caso, cilíndrico. É importante destacar que os líquidos são amorfos, ou seja, eles não possuem uma forma definida, já que essa será moldada pelo recipiente em que esteja contido. Além disso, é sabido que a água expande ao congelar. Sendo assim, quando o gelo derreter, ocupará um volume ligeiramente menor de espaço na forma de água.

a) Os cubos empilhados são 4 × 5 × 10, ou seja, 200 cubinhos.

B = 4 cm ⋅ 2 cm ⋅ 3 cm = 24 cm3

• C = 3 cm 3 cm 3 cm = 27 cm3

b) Cada cubo tem aresta de 1 cm, seu volume é de 1 cm3

C = 3 cm 3 cm 3 cm = 27 cm3

c) Os cubos são de água em estado sólido com volume de 200 cm3

d) Os cubos são de gelo; ao derreter, a água ocupará aproximadamente 200 cm3 ou haverá 200 mL de água no copo.

e) Estando a água em estado líquido, seria mensurada a capacidade do recipiente por

Habilidade (EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

LUPAS E LUNETAS

Oriente os estudantes a realizar uma busca, utilizando-se do dicionário, físico ou digital, dos novos termos apresentados a eles. Destaque o Sistema Internacional (SI) de unidades como sendo o padrão adotado para unidades de medidas diversas.

#A grandeza volume e o metro cúbico

Leia o texto.

Volume

A palavra Volume deriva do latim volūmen, e descreve a quantidade de espaço que ocupa ou pode ser ocupado por qualquer entidade ‘mensurável’. Geralmente é medido em metros cúbicos (m3) ou litros (L).

O metro cúbico (m3) é a unidade padrão de volume no Sistema internacional de unidades (SI). As unidades derivadas do metro cúbico são: quilômetros cúbicos (km3), hectômetros cúbicos (hm3), decâmetros cúbicos (dam3), decímetros cúbicos (dm3), centímetros cúbicos (cm3), milímetros cúbicos (mm3)

Uma das unidades de volume mais utilizadas é o litro

O conceito de volume permite referir-se ao conteúdo de algo. Por isso, refere-se à magnitude (ou grandeza) física que expressa a extensão de um corpo em três dimensões (comprimento, largura e altura). Sendo que 1 m3 corresponde ao espaço ocupado por um cubo de 1 m de aresta. Assim, podemos encontrar o volume multiplicando altura, largura e comprimento desse cubo.

VOLUME. Ipem. Disponível em: www.ipem.sp.gov.br/conversor/pages/volume/volume.html. Acesso em: 4 ago. 2022.

LUPAS E LUNETAS

Forme dupla ou trio. Após lerem o texto, procurem no dicionário todas as palavras de que vocês não souberam o significado.

• Compartilhe com os colegas os significados de algumas das palavras novas que aprenderam.

Desde a antiguidade, os humanos usam diversas unidades de medida: o palmo, a braça, o pé, entre outras unidades, para medir a grandeza comprimento. No entanto, essas unidades variavam muito dependendo dos costumes locais.

Para medir volume existiam, por exemplo, o barril, o galão, a ânfora e outros que também variavam pela arbitrariedade da definição da unidade padrão. Isso tornava pouco práticas as relações comerciais entre diferentes comunidades com seus próprios sistemas de medida.

Ânforas gregas antigas: jarras para vinho e azeite.

Foi um processo muito longo (decorrente das grandes navegações e do comércio entre diferentes povos e nações) até chegar a um sistema que, nos dias de hoje, é quase 100% empregado no mundo inteiro. O Sistema Internacional de Unidades (SI) foi criado em 1960 e estabeleceu as grandezas universais para serem utilizadas mundialmente.

Com o SI, a unidade de medida de volume padronizada mundialmente é o metro cúbico, representada pelo símbolo: m3

Observação: m3 é um símbolo, não é uma abreviatura nem uma sigla. Não deve ser escrito em maiúsculas, nem tem ponto. Estas notações são todas incorretas: mt3, M3, m3.

Respostas pessoais. 226 | TRAJETÓRIA 4 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

OLGACHERNYAK /SHUTTERSTOCK

Veja a relação de 1 m3 com o volume de um bloco retangular:

Cubo padrão de 1 m3 Empilhamento de cubos de 1 m3:

• 4 cubos na altura

• 2 cubos na profundidade

• 5 cubos no comprimento

Bloco retangular com:

4 m × 2 m × 5 m =

= (4 2 5) m3 = 40 m3

O volume de um bloco retangular é o produto das medidas de suas três dimensões: altura, largura e comprimento.

ATIVIDADES

6. Um jogo eletrônico usa esta configuração cúbica em sua apresentação visual:

Habilidade (EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

Atividade 6

Como 1 dm corresponde a 10 cm, 1 dm3 corresponde ao volume de um cubo com 10 cm de aresta.

Instrua os estudantes a identificar os volumes de cada um dos elementos do jogo a partir da decomposição de figuras geométricas espaciais em cubos idênticos. Sendo assim, tem-se:

• Figura A: 3 blocos, ou seja, 3 dm3 de volume.

Considere a informação do volume de um cubo dado em decímetros cúbicos (1 dm3) e calcule o volume destes outros elementos do jogo:

7. Os alunos da professora Matilde criaram caixas para reciclar materiais.

a) Qual é o volume de cada caixa?

b) Qual caixa tem a terça parte do volume de outra?

c) Qual caixa comporta 90% do volume de outra?

d) Qual caixa tem a metade do volume de outra?

Plástico: 90 000 cm3; metal: 30 000 cm3; vidro: 27 000 cm3; papel: 45 000 cm3 A caixa de reciclar metal tem a terça parte do volume da caixa de reciclar plástico. A caixa de reciclar vidro comporta 90% do volume da caixa de reciclar metal.

A caixa de reciclar papel tem a metade do volume da caixa de reciclar plástico.

• Figura B: 5 blocos (2 + 2 + 1), ou seja, 5 dm3 de volume.

• Figura C: 6 blocos (3 + 3), ou seja, 6 dm3 de volume.

• Figura D: 3 blocos, ou seja, 3 dm3 de volume.

• Figura E: 14 blocos (7 + 7), ou seja, 14 dm3 de volume.

• Figura F: 8 blocos (2 + 2 + 4), ou seja, 8 dm3 de volume.

Atividade 7

a) Plástico: (50 45 40) cm3 = 90 000 c (50 ⋅ 45 ⋅ 40) cm3 = 90 000 cm3

Metal: (40 25 30) cm3 = 30 000 (40 25 30) cm3 = 30 000 cm3

Vidro: (30 30 30) cm3 = 27 000 c (30 30 30) cm3 = 27 000 cm3

Papel: (30 50 30) cm3 = 45 000 (30 50 30) cm3 = 45 000 cm3

b) A caixa para metal tem a terça parte do volume da caixa para reciclar plástico: 30 000 90 000 = 1 3

c) A caixa para vidro tem 90% do volume da caixa para reciclar metal: 27 000 30 000 = 0,9

d) O volume da caixa para papel corresponde a 50% do volume da caixa para reciclar plástico: 45 000 90 000 = 0,5

PHOENIX 1319/ SHUTTERSTOCK

Habilidade (EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

Atividade 8

Nesta atividade, espera-se que os estudantes reconheçam as representações das relações entre o m3 e seus submúltiplos:

1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3

e 1 dm3 = 1 000 cm3

Atividade 9

a) 1o cubo: (1 1 1) m3 = 1 m3

2o cubo: (2 ⋅ 2 ⋅ 2) m3 = 8 m3

3o cubo: (3 3 3) m3 = 27 m3

b) 6o cubo: (6 6 6) m3 = 216 m3

10o cubo: (10 ⋅ 10 ⋅ 10) m3 = 1 000 m3

c) Cubo com aresta de medida a: (a a a ) m3 = a 3 m3

d) a 3 = 125 m3 , sabendo que 125 3 = 5, a aresta mede 5 m.

Atividade 10

Exemplo de resposta: Uma caixa de bombons possui a forma de um cubo, sendo seu volume igual a 512 cm3. Determine a medida da aresta dessa caixa. Nesse caso, a solução é 8 cm, pois 8 cm ( ) 3 = 512 cm3

8. Considere o esquema:

Quantos dm3 correspondem a 1 m3? E quantos cm3 correspondem a 1 m3? E, por último, quantos cm3 correspondem a 1 dm3?

• Compartilhe suas respostas com os colegas e o professor.

9. Considere a sequência.

a) Calcule o volume dos três primeiros cubos da sequência. 1 m3; 8 m3; 27 m3

b) Qual será o volume do 6o cubo dessa sequência? E do 10o cubo? 216 m3; 1 000 m3

c) Qual é o volume do cubo de aresta com medida a m? a3 m3

d) Faça um cálculo mental e diga quanto mede a aresta a de um cubo que tenha volume de 125 m3, ou seja, a3 = 125 m3 5 m.

10. Elabore um problema em que seja necessário descobrir a medida da aresta de um cubo, uma vez conhecido o seu volume. Resposta pessoal.

11. Um aquário contém água na altura do nível conforme mostra a figura 1. Um bloco em forma de cubo foi colocado dentro do aquário e o nível subiu, conforme a figura 2.

Qual é a medida da aresta desse cubo? 20 cm.

Atividade 11

O volume de água no aquário (figura 1) pode ser calculado por 40 cm 50 cm 18 cm = 36 000 cm3 40 cm 50 cm 18 cm = 36 000 cm3

O volume total (água mais o cubo cinza) no aquário (figura 2) pode ser calculado por 40 cm 50 cm 22 cm = 44 000 cm3

Logo, o volume do bloco cinza corresponde ao volume de água deslocada e é: 44 000 - 36 000 = 8 000 cm3

Cabe aos estudantes, considerando as experiências nas atividades anteriores, formular conjecturas a respeito de qual será o número a, tal que a a a = 8 000 Espera-se que percebam que a = 20, ou seja, a aresta do cubo cinza mede 20 cm. Observe que também é possível obter o volume de água deslocada considerando-se apenas a diferença nas alturas, 22 – 18 = 4 cm. Para isso, calcula-se: 40 cm ∙ 50 cm ∙ 4 cm = 8 000 cm3

44 000 - 36 000 = 8 000 cm3

#Composição e decomposição de figuras

Uma das maneiras de proteger os mananciais é evitar o desmatamento. A imagem mostra uma situação de desmatamento. Vamos usar um modelo matemático – fazendo uso de uma malha quadriculada – para calcular as duas áreas representadas na foto: a verde e a desflorestada.

Habilidades

(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.

(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

Vista aérea de desmatamento em parte pertencente ao Pantanal, Mato Grosso do Sul, Brasil.

Abstraindo ainda mais, vamos usar cores distintas para representar cada área. Observe que há quadrados mesclados com as duas cores.

Os quadrados mesclados podem ser decompostos e compostos de outra maneira.

Assim, há uma relação de equivalência entre as áreas, conforme mostra o esquema:

Podemos chegar a estas conclusões:

• na foto há 16 quadrados com área desmatada;

• há 8 quadrados com área verde.

Observe ainda que a medida do lado de cada quadrado é de 1 dam (1 decâmetro):

1 dam × 1 dam = 1 dam2

Ou seja, a área da superfície de cada um dos quadrados na malha é de 1 dam2 (1 decâmetro quadrado).

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

Faça um estudo sobre o desmatamento: consulte o material disponibilizado pelo INPE (Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais) e converse com os estudantes sobre a importância de manter as florestas para a conservação dos mananciais, produção de oxigênio pela fotossíntese e regulação do clima. Fale também sobre quais os principais motivos para que ocorra o desmatamento, pode ser para uso do solo na pecuária, agricultura, mineração, extração de madeira, hidrelétricas, queimadas

etc. e apresente informações sobre a definição de desmatamento ilegal.

Como um gesto simbólico, faça com os estudantes o plantio de uma árvore: verifique um local adequado na escola, peça uma muda de árvore para a Secretaria de Meio Ambiente de sua cidade e, com o auxílio da gestão escolar, organize os materiais necessários, além de escolher (pode ser por sorteio) o estudante que fará o plantio. Para facilitar, deixe a cova preparada um dia antes e verifique se a largura e a profundidade são adequadas para a muda escolhida.

Oriente o estudante sobre como fazer o plantio: não esqueça de pedir para retirar o saquinho que está no torrão; não enterrar a base do tronco; depois de colocar a muda na cova, preencher com terra úmida cuidadosamente e apertar a terra com firmeza para evitar bolhas de ar; manter uma coroa no entorno da árvore com uma camada de composto ou folhas secas; manter o solo úmido, mas não encharcado. Um dos estudantes pode ler algo relacionado ao meio ambiente como um encerramento da atividade. No decorrer da atividade, faça fotos e exponha no mural da escola, contando sobre as discussões e o plantio simbólico de uma árvore como uma representação de que os estudantes reconhecem a importância da preservação do meio ambiente.

Siga as orientações técnicas da secretaria para definir o local do plantio e a espécie adequada.

Habilidades

(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.

(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

LUPAS E LUNETAS

Como sugestão. pode apresentar com o auxílio de uma trena quanto é 1 m, para que os estudantes identifiquem que a medida de comprimento de 1 decâmetro equivale a 10 metros e, assim, a medida de área da superfície de cada quadrado de lado 1 dam é 1 dam2. A partir dessa medida, pode-se estimar as áreas verde e desmatada pela contagem da quantidade de quadrados que compõem cada uma dessas áreas. Espera-se que os estudantes reconheçam que:

a) 1 decâmetro equivale a 10 metros.

b) A foto apresenta 6 quadrados completos e dois que, por composição, perfazem a área de 8 dam2

c) A foto apresenta 14 quadrados completos e dois que, por composição, completam a área de 16 dam2

d) Se a unidade de comprimento fosse m, a unidade de superfície seria m2

Atividade 12

Na figura I, temos 20 quadradinhos inteiros e 8 metades (20 + 4 = 24); como cada quadradinho corresponde a 1 m2, a área é 24 m2

Na figura II, temos 14 quadradinhos inteiros e 9 metades e por composição 1 quadradinho (15 + 4,5 = 19,5), a área é de 19,5 m2

Na figura III, por decomposição, metade da área 32 m2 é colorida, a área corresponde a 16 m2

LUPAS E LUNETAS

Junte-se a um colega e respondam:

a) A quanto equivale 1 decâmetro, em metros? 1 decâmetro equivale a 10 metros.

b) Qual é a área verde, em dam2, mostrada na foto? 8 dam2

c) Qual é a área desmatada, em dam2, na foto? 16 dam2

d) Se cada quadrado dessa malha tivesse 1 m de lado, quais seriam as medidas das áreas verde e da desmatada? 8 m2 e 16 m2

ATIVIDADES

12. Componha e decomponha (mentalmente) as figuras em cada malha e determine a medida da área da superfície de cada figura em cores. (I) 24 m2; (II) 19,5 m2; (III) 16 m2; (IV) 17,75 m2

13. Considerando a imagem, elabore um problema. Utilize em seu problema a palavra “aproximadamente”. Resposta pessoal.

#Áreas das superfícies do quadrado e do retângulo

As figuras poligonais mais básicas para o cálculo de área da superfície são o quadrado e o retângulo.

Área da superfície do quadrado

Esta sequência representa vários quadrados com medidas de lado, em metros, variando em números naturais até chegar a um quadrado qualquer, cujo lado mede ℓ metros.

Na figura IV, temos 12 quadradinhos inteiros e 10 metades e 3 quartas partes (12 + 5 + 0,75 = 17,75), a área é de 17,75 m2

Atividade 13

Uma possível proposta de problema seria: Qual é a diferença, aproximada, entre a área verde e a área do lago?

LUPAS E LUNETAS

Forme uma dupla para juntos investigarem e elaborarem as respostas.

a) Qual é a área da superfície, em m2, dos cinco primeiros quadrados? Represente a área da superfície de cada quadrado, primeiramente, por uma multiplicação, depois por uma potenciação e, por último, o resultado final.

b) Qual é a área da superfície do quadrado de lado ℓ?

c) Qual seria uma regra para o cálculo da área A q de um quadrado com medida ℓ de lado? Responda verbalmente. A área A q de um quadrado que mede ℓ de lado é dada por A q = ℓ 2

d) Que observação sistemática você poderia fazer associando a sequência de figuras geométricas e a sequência de potências? Respostas pessoais.

Área da superfície do retângulo

Sobre esta malha quadriculada há vários retângulos dispostos de modo aleatório.

Habilidades

(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.

(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

LUPAS E LUNETAS

a) A sequência é:

(1 1) m2 = 12 m2 = 1 m2 (2 2) m2 = 22 m2 = 4 m2

É possível determinar a área da superfície contando os quadradinhos, mas também é possível representar cada área por meio de uma multiplicação de dois números: um indicando a medida da largura e outro a medida do comprimento dos retângulos.

LUPAS E LUNETAS

Forme uma dupla para juntos investigarem e elaborarem as respostas.

a) Ordene da menor para a maior área. Represente a área da superfície de cada retângulo, primeiramente por uma multiplicação de dois números e, só depois, pelo resultado final.

b) Qual é a área do retângulo?

c) Qual é a área de cada retângulo? Use uma calculadora.

d) Qual seria uma regra para o cálculo da área A r de um retângulo que mede a de largura e b de comprimento? Responda verbalmente.

Resolução:

Há, ao todo, na malha 32,5 quadradinhos de lado 10 m. Se contarmos os quadradinhos sobre a água do lago, podemos descobrir que há, aproximadamente, 10,5 quadradinhos. Ao realizarmos a contagem dos quadradinhos sobre a vegetação (a estrada foi desprezada, ou seja, considerada como parte da vegetação), podemos descobrir que há, aproximadamente, 22 quadradinhos.

11,5 quadradinhos que correspondem a 1 150 m2 ou 11,5 dam2. Portanto, a diferença entre a área verde e a área do lago é de, aproximadamente, 1 150 m2 ou 11,5 dam2

(3 3) m2 = 32 m2 = 9 m2

(4 4) m2 = 42 m2 = 16 m2 (5 5) m2 = 52 m2 = 25 m2

b) Ao considerar a medida do lado “ l ”, temos: A = (l l ) m2 = l 2m2

c) Observando a atividade anterior, espera-se que o estudante verbalize que a área de um quadrado corresponde à multiplicação das medidas de seus lados ou o quadrado da medida do lado, ou seja, A q = l 2

d) As áreas das superfícies dos quadrados cujos lados estão em uma sequência, variando conforme os números naturais não nulos, correspondem ao quadrado de cada número natural de 1 a n, ou seja, a sequência de áreas corresponde à sequência dos quadrados: 12, 22, 32, 42, 52 n2

LUPAS E LUNETAS

As áreas das superfícies de retângulos podem ser determinadas a partir do produto de seu comprimento (a) pela sua respectiva largura (b). Sendo assim, ao realizar esta atividade o estudante pode concluir que a expressão matemática da área do retângulo é A r = comprimento largura = a b

A r = comprimento largura = a b

Habilidade (EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

Atividade 14

Decompondo e compondo as figuras na forma de quadrados e retângulos, tem-se:

ATIVIDADES

14. Faça composições e decomposições em cada figura e, depois, calcule a área da superfície de cada uma, levando em conta o que você aprendeu sobre a área do quadrado.

m2; 3 m2; 2 m2

16.

15. Calcule a área do terreno representado pelo retângulo pontilhado branco sabendo que o menor lado mede 120 metros e que o maior mede o triplo desse. 43 200 m2

b) 39,25 m2

Atividade 15

Sabendo que as dimensões do retângulo são 120 m e 360 m (o triplo do outro lado), a área corresponde a 120 m 360 m = 43 200 m2

Atividade 16

Atividade 17

O paralelepípedo tem dimensões 13 cm, 4 cm e 3 cm. Para calcular a área total da superfície, observando a planificação, temos:

Uma possibilidade é, usando a decomposição, calcular: a) 3 8 + (8 - 2,5) 2 = 24 + 11 = 35 m2

= 24 + 11 = 35 m2 b) (5,5

+ (3,5 1) = 35,75 + 3,5 = 39,25 m2

= 35,75 + 3,5 = 39,25 m2

Terreno, em fazenda, destinado à agricultura orgânica.

Calcule a área de cada planta baixa. a) 35 m2

17. Calcule a área total da superfície desse paralelepípedo 206 cm2

#Áreas

das superfícies do paralelogramo, triângulo e

losango

Considerando as áreas das superfícies do quadrado e do retângulo, podemos deduzir as áreas das superfícies de outros quadriláteros

Área da superfície do paralelogramo

Considere um paralelogramo em que são conhecidas as medidas de um de seus lados (b) e a altura (h) relativa a ele.

Podemos fazer uma decomposição e uma composição.

A área da superfície de um paralelogramo (Ap) que tem conhecidas a medida de um lado b e a medida da altura h relativa a ele é dada por:

A p = b h

Área da superfície do triângulo

Vamos considerar um triângulo qualquer de base b. Para calcular a área da superfície desse triângulo, vamos traçar duas retas de modo a obter um paralelogramo:

Habilidade (EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.

As imagens mostram como acontece a decomposição das figuras em outras de áreas já determinadas (quadrados e retângulos), para que os estudantes compreendam o uso das fórmulas de cálculo de área da superfície.

Uma sugestão de atividade é observar a sequência de decomposição e composição proposta nesta página e reproduzi-la em papel, para que os estudantes percebam no paralelogramo que o triângulo recortado foi colado em outra posição, formando um retângulo cujo comprimento e cuja largura correspondem à base e à altura do paralelogramo. O mesmo pode ser feito usando triângulos de diferentes formatos, utilizando uma composição de dois triângulos congruentes para formar um paralelogramo, para que os estudantes reconheçam que as áreas dos triângulos equivalem à metade da área desse quadrilátero.

Observe que:

• a altura do paralelogramo relativa ao seu lado b é a altura do triângulo relativa à sua base b;

• um dos lados do triângulo é a diagonal do paralelogramo que é também lado comum aos dois triângulos idênticos;

• a área da superfície do paralelogramo é b h;

• para calcular a área da superfície do triângulo, basta calcular a metade da área do paralelogramo que tem mesma base e mesma altura do triângulo, ou seja: b h 2

A área da superfície de um triângulo (AT) que tem conhecidas a medida de sua base b e a medida da sua altura h relativa a ela é dada por:

AT = b h 2

Habilidades

(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.

(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

LUPAS E LUNETAS

a) Sabendo que a medida dos catetos é 40 cm, a área de um triângulo retângulo será:

A = 402 2 = 1 600 2 = 800 cm2

b) Considerando que a janela tem 8 triângulos, a área total será 8 800 = 6 400 cm2

c) O lado da janela mede 2 40 = 80 cm, então podemos calcular a área do quadrado por A = 802 = 6 400 cm2

A = 802 = 6 400 cm2

Atividade 18

Um modo de realizar o registro é:

• Área do quadrado:

A = l 2 = 3,52 = 12,25 m2 , sendo l a medida do lado.

• Área do retângulo:

A = a ⋅ b = 3 ⋅ 5,5 = 16,5 m2 , sendo a e b a largura e o comprimento.

• Área do paralelogramo:

A = b h = 4,3 2,1 = 9,03 m2 , = 4,3 ⋅ 2,1 = 9,03 m2 , sendo b a medida da base e h a medida da altura.

Observação

Em todo triângulo retângulo, os catetos (que são os dois lados menores) podem ser considerados tanto como base quanto como altura. Além disso, se um cateto for considerado como base, então o outro será a altura correspondente, e vice-versa.

LUPAS E LUNETAS

É possível identificar nesta janela diversos triângulos retângulos com catetos de mesma medida.

Moldura de janela quadrada em madeira branca dividida em triângulos.

a) Sabendo que o cateto mede 40 cm, calcule a área de um desses triângulos.

b) Considerando a área desse triângulo, estime a área total ocupada por essa janela.

c) De que outro modo você estimaria essa área? Compartilhe com os colegas.

Área da superfície do losango

Considere um losango do qual são conhecidas as medidas de sua diagonal maior D e de sua diagonal menor d. Podemos fazer uma decomposição e uma composição:

Note que:

• é possível traçar duas retas paralelas à diagonal maior e duas retas paralelas à diagonal menor, cada reta passando por um dos vértices do losango;

• as medidas dos lados do retângulo obtido são as mesmas das diagonais do losango;

• a medida da área da superfície branca e a da área da superfície amarela no retângulo são equivalentes;

• a área da superfície desse retângulo: é D d ;

• para calcular a área da superfície do losango, basta calcular a metade da área do retângulo

que tem por medidas de lado as mesmas medidas das diagonais do losango, ou seja: D d 2

A área da superfície de um losango (AL) que tem conhecidas a medida de sua diagonal maior D e a medida de sua diagonal menor d é dada por:

AL = D d 2

• Área do triângulo retângulo: A = b h 2 = 4,7 3,6 2 = 8,46 m2 , A = b h

= 4,7 3,6

= 8,46 m2 , sendo b a medida da base e h a medida da altura.

• Área do triângulo:

A = b h 2 = 2,5 4,8 2 = 6 m2 , sendo b a medida da base e h a medida da altura.

• Área do losango: A = D d

Atividade 19

Os estudantes podem resolver de modos diferentes; por exemplo:

• A área da superfície dividida pela largura resulta na altura: 1,80 m2 ÷ 2 m = 0,90 m;

= 7,6

Atividade 20

= 11,4 m2

• Usando uma equação de 1o grau, em que x é a altura, temos:

Sabemos que o perímetro do retângulo é o dobro da soma das medidas a e b de dois lados consecutivos: 2 (a + b) = 20

800 cm2

6 400 cm2 Resposta possível: calculando a área do quadrado: 80 cm x 80 cm.

SHAWN HAMILTON/ SHUTTERSTOCK

ATIVIDADES

18. Calcule a área da superfície de cada figura.

12,25 m2; 16,5 m2; 9,03 m2; 8,46 m2; 6 m2; 11,4 m2

As diagonais do losango menor medem 50 e 60 cm. As diagonais do losango maior medem, cada uma, 30 cm a mais do que as do losango menor.

Qual é a área do tecido azul, em m2? 0,21 m2

22. Observe a figura que indica a área do menor quadrado. Calcule a área do retângulo inteiro.

12 m2

23. Em horário de pico (ou hora do rush), o vagão do metrô de uma cidade chega a comportar 6 pessoas por metro quadrado.

(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

3 600 – 1 500 = 2 100 cm2 ou 0,21 m2 3 600 – 1 500 = 2 100 cm2 ou 0,21 m2

Atividade 22

A figura possui 7 quadrados completos e 10 metades (7 + 5), ou seja, 12 m2

19. Para envelopar uma vidraça retangular de 2 m de largura, serão utilizados 1,80 m2 de um adesivo próprio para envelopamento. Determine a altura dessa janela. 0,90 m.

20. Um retângulo de dimensões inteiras tem 20 cm de perímetro. Sua área é de 24 cm2 Quais são as medidas dos lados desse retângulo?

4 cm e 6 cm.

21. Uma toalha de mesa, feita com retalhos de duas cores, tem o formato de dois losangos de mesmo centro, conforme mostra a figura.

Pessoas viajando em metrô na hora do rush

a) Sabendo que há 324 pessoas em um vagão no horário de pico, qual é a área desse vagão?

b) Sabendo que a largura de cada vagão é de 3 m, quanto mede o comprimento desse vagão?

c) Sabendo que na composição do metrô há 6 vagões e supondo que estejam igualmente lotados com 6 pessoas por m2 , quantas pessoas a composição inteira transporta?

Atividade 23

a) Podemos verificar quantos grupos de 6 pessoas podem ser formados por 324 pessoas: 324 ÷ 6 = 54 Como cada grupo de 6 pessoas ocupa 1 m2, a área do vagão é de 54 m2

b) A área dividida pela largura resulta no comprimento do vagão: 54 ÷ 3 = 18, ou seja, o comprimento do vagão é de 18 m.

c) Como em um vagão há 324 pessoas, em 6 vagões com a mesma quantidade de pessoas cada um haverá 324 6, ou seja, 1 944 pessoas.

Logo, a + b = 10, com medidas a e b pertencentes aos naturais.

As possíveis soluções, em centímetros, são: 1 e 9; 2 e 8; 3 e 7; 4 e 6; 5 e 5.

Sabemos também que a área da superfície do retângulo é o produto da medida de dois lados consecutivos:

a b = 24

As possíveis soluções, em centímetros quadrados, são: 1 e 24; 2 e 12; 3 e 8; 4 e 6.

|

é 4 cm e 6 cm. Logo, essas são as medidas dos lados do retângulo.

Atividade 21

Área da superfície do losango menor: 50 60 2 = 1 500 cm2

Área da superfície do losango maior: 80 90 2 = 3 600 cm2

Atividade 24

Comente sobre objetos que lembrem o formato do paralelogramo ou do losango (desprezando a altura ou a espessura). Apresente situações do cotidiano que tenham tenham essas figuras como referência, por exemplo a construção de uma pipa.

235 |

MATEJ KASTELIC/ SHUTTERSTOCK

Habilidade

Habilidade

(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

Encontro com outras disciplinas

(EF07CI08) Avaliar como os impactos provocados por catástrofes naturais ou mudanças nos componentes físicos, biológicos ou sociais de um ecossistema afetam suas populações, podendo ameaçar ou provocar a extinção de espécies, alteração de hábitos, migração etc.

LUPAS E LUNETAS

a) Podemos calcular as áreas das superfícies do quadrado, do retângulo e do triângulo.

• Quadrado:

20 × 20 = 400 m2

• Retângulo: 5 × 20 = 100 m2

• Triângulo:

10 20 2 = 200 2 = 100 m2

Adicionando as áreas

400 + 100 + 100 = 600, temos que a área verde do parque tem 600 m2

b) Como cada estudante limpará 5 m 2 e a área é de 600 m2 , 600 ÷ 5 = 120, ou seja, 120 estudantes limparão o parque.

c) Uma área de 5 m2 pode ser compreendida como sendo uma retângulo que possui 5 m de comprimento por 1 m. Tal área é normalmente equivalente ou menor do que a área de um quarto convencional, o que não caracteriza uma área tão grande assim. Para mostrar isso aos estudantes, demarque tal área no chão do pátio de sua escola utilizando fita adesiva.

#Áreas: composição com duas ou mais figuras

Há um parque em frente à escola Leais Habitantes. Houve um evento para a comunidade do entorno no fim de semana e, na segunda-feira, o parque amanheceu assim:

Vista de cima do parque e esquema com as medidas de extensões do parque.

Os alunos da escola se reuniram para fazer a limpeza do parque.

LUPAS E LUNETAS

Forme dupla para resolver este problema.

a) Quanto mede a área verde desse parque? 600 m2

• Observe como outras duplas fizeram para resolver.

b) Imagine que cada aluno da escola Leais Habitantes vai ser responsável pela limpeza de 5 m2 da área verde do parque. Quantos alunos serão necessários para limpar o parque? 120 alunos.

c) Você acha que é muita gente para limpar esse parque ou poderia ser um número menor? 5 m2 é muita superfície a ser limpa? Se possível, meça 5 m2 no pátio da escola para visualizar o tamanho real. Respostas pessoais.

d) Você acha justo os alunos da escola fazerem esse mutirão? Que outras alternativas você teria a propor? Respostas pessoais.

e) Quais impactos no espaço urbano a sujeira do parque poderia trazer para a população do entorno? Que hábitos devem ser alterados nessa população? Respostas pessoais.

d) Discuta com os estudantes a ideia do mutirão para limpeza do parque, mas também proponha a eles que pensem em construir um programa de conscientização sobre a preservação de áreas verdes por meio de uma campanha de divulgação na escola ou até mesmo na comunidade.

e) Os impactos urbanos da sujeira no parque que podem ser citados pelos estudantes são: mau cheiro, degradação visual do espaço, o local ser propício ao desenvolvimento de animais peçonhentos ou de roedores etc. Sugira aos estudantes que apontem quais mudanças de hábito podem sugerir a essa população.

Vista oblíqua do parque.

236 | TRAJETÓRIA 4 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ATIVIDADES

25. Um terreno tem o seguinte formato conforme as medidas indicadas.

26. Uma costureira tem este pedaço de tecido:

Habilidade (EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

Calcule a área da superfície desse terreno.

576 m2

LEVO NA BAGAGEM

Respostas pessoais.

Qual é a área disponível para a costureira aproveitar esse retalho de tecido? 9 dm2

Consulte todas as suas produções até agora neste passeio e avalie seu aprendizado sobre:

▶ Matemática

• Reconhece as unidades de medida de volume usuais como metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico?

• Resolve e elabora problemas de cálculo de volume?

• Calcula áreas das superfícies de quadriláteros e triângulos?

• Compõe e decompõe figuras planas utilizando equivalência entre as áreas das superfícies?

• Resolve e elabora problemas de cálculo de áreas das superfícies de figuras planas?

▶ Outras disciplinas

Ciências da Natureza

• Avalia como os impactos gerados por mudanças nos componentes físicos e sociais do espaço urbano afetam suas populações, podendo provocar alterações de hábitos, migrações etc.?

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO

Insuficiente Parcialmente suficiente Satisfatório Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

Atividades 25 e 26

Peça aos estudantes que copiem a figura no caderno ou em malha quadriculada para decompor a imagem. Caso perceba que alguns estudantes apresentam dificuldade, solicite que façam a decomposição coletivamente na lousa.

Destaque que existem muitas formas de se decompor as figuras. Se possível, peça aos estudantes que decomponham as imagens de duas formas diferentes, pelo menos, para verificar que o resultado final da área é o mesmo.

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre o próprio aprendizado, enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, classificarão seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas que estão presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

BARCOS E PORTOS

Organize

Proponha aos estudantes que, em duplas, construam um texto narrando situações de medições e de cálculo de medidas envolvendo volume e área de superfície, utilizando, se necessário, composição e decomposição. Sugira a eles que explorem situações associadas a seus cotidianos, em que se faça uso das unidades de medida: cm3, dm3, m3, dam3, cm2, dm2, m2. Algumas sugestões que podem inspirar os estudantes são as medidas relacionadas à construção civil, como colocação de revestimentos, compra de areia ou descarte de entulhos, vazão de água em situações de tratamento ou desperdício.

Elabore

Acompanhe as propostas de calçadas das turmas orientando desde as medidas (área da superfície, relação entre áreas verdes e piso) até a disposição de mobiliário urbano (segurança, limpeza).

Oriente-os que devem seguir as leis de mobilidade urbana.

BARCOS E PORTOS

▶ Organize

Respostas pessoais.

Forme dupla e, juntos, escrevam um texto narrando situações de medições e de cálculo de medidas envolvendo volume e área da superfície. Procurem fazer com que, em seu texto, surjam as unidades de medida: dm3, cm3, m3, dam3, cm2, dm2, m2. Descrevam também em seu texto uma situação de decomposição de uma figura qualquer em quadrados ou triângulos que facilite o cálculo da área de sua superfície. Depois dê o texto para outra dupla ler e fazer melhorias. Finalize o texto, acatando as sugestões de melhorias dos colegas.

▶ Elabore

Forme grupo com dois ou três colegas. Vocês devem elaborar uma proposta de calçada em que possa haver diferentes formas de mobilidade urbana sustentável. Levem em conta quantas pessoas cabem por unidade de superfície em cada modalidade, incluindo espaços para áreas verdes.

Calçadas para mobilidade urbana diversificada.

Apresentem as suas propostas para a turma.

A pergunta inicial deste passeio é: Como preservar as áreas verdes e os mananciais? Forme uma dupla para estas atividades.

a) Observe o infográfico.

Influência das marés

Compare as informações desse infográfico com as informações de outra fonte de consulta que explique sobre estuários (sugestão: HIDRELÉTRICAS e esgoto são as maiores ameaças a estuários no Brasil. CBH São Francisco. Disponível em: https://2017. cbhsaofrancisco.org.br/2017/hidreletricas-e-esgoto-sao-as-maiores-ameacas-a-estuarios-no-brasil. Acesso em: 4 ago. 2022).

b) Procure saber quais são as maiores ameaças aos estuários.

c) Pesquise qual é o estuário mais próximo da sua localização. Ou, ainda, descubra para qual estuário vai o rio mais próximo de onde você mora. O que você pode fazer para melhorar os impactos negativos sobre esse seu rio?

d) Calcule a área da superfície desse estuário destino do seu rio e compare-a com a dimensão do espaço do entorno que depende totalmente dele.

e) Busque o máximo de informações a respeito do estuário que você está pesquisando e liste algumas atitudes que pode passar a ter a partir de agora (sejam de ações sustentáveis, seja de uma consciência crítica e de responsabilidade) e inclua essas atitudes como parte do seu projeto de futuro, com interesse que deve ser mantido. Exponham no mural da sala o que vocês descobriram e que atitudes planejam ter, de agora para o futuro, que possam contribuir, de modo direto ou indireto, com a preservação das áreas verdes e dos mananciais.

Encontro com outras disciplinas

(EF07CI08) Avaliar como os impactos provocados por catástrofes naturais ou mudanças nos componentes físicos, biológicos ou sociais de um ecossistema afetam suas populações, podendo ameaçar ou provocar a extinção de espécies, alteração de hábitos, migração etc.

Proponha

Incentive os estudantes a verificar a precisão de dados, fatos, informações e interpretações que constam em duas ou mais fontes de consulta. Proponha que comparem as informações oriundas das diferentes fontes e verifiquem se elas se complementam, se confirmam ou se contradizem. Faça a leitura da reportagem Hidrelétricas e esgoto são as maiores ameaças aos estuários no Brasil e provoque uma discussão sobre a interferência da ação humana sobre os ecossistemas. Destaque do texto como a especulação imobiliária pode prejudicar os estuários, quais as consequências em diminuir o fluxo do rio pelas hidrelétricas e consequências relacionadas com o descarte de esgoto, dejetos ou rejeitos industriais. Essa discussão está relacionada à parte da habilidade de Ciências EF07CI08. Para explorar com mais profundidade esse assunto, proponha uma parceria com o professor de Ciências, que pode sugerir outras leituras e questionamentos relacionados à interferência da ação humana no ecossistema de estuários ou outros que podem pesquisar. Um dos objetivos desta atividade é incentivar o estudante a se apropriar de conhecimentos que lhe possibilitem entender as experiências de cidadania e civismo, para fazer escolhas alinhadas ao seu projeto de futuro, com autocrítica e autonomia.

239 | NÃO ESCREVA NO SEU

Encontro com outras disciplinas

(EF07CI05) Discutir o uso de diferentes tipos de combustível e máquinas térmicas ao longo do tempo, para avaliar avanços, questões econômicas e problemas socioambientais causados pela produção e uso desses materiais e máquinas.

CHECK-IN

A abertura deste passeio desenvolve em conjunto os TCT Educação Ambiental e Educação para o Consumo , nas discussões sobre as novas propostas ambientais relacionadas a um processo de conscientização ambiental e consumo responsável para as próximas gerações.

As imagens apresentadas no início da seção servem de ponto de partida para discutir com os estudantes como as mudanças climáticas, desmatamento, poluição dos oceanos etc. estão afetando o nosso planeta e quais os impactos que todas essas mudanças podem causar para as futuras gerações. Solicite aos estudantes que se mobilizem para realizar uma campanha sobre a preservação do planeta Terra em sua escola, propondo medidas de divulgação ecológicas sobre tal tema.

PASSEIO 3 – PESQUISA AMOSTRAL, MÉDIA E GRÁFICO DE SETORES

QUAIS PROPOSTAS HOJE PODEM MELHORAR O AMBIENTE AMANHÃ?

240 | MANUAL DO PROFESSOR

Respostas pessoais. VECTORMINE /SHUTTERSTOCK

Todos são responsáveis pelo planeta.

CHECK-IN

a) Reflita sobre a questão: que planeta as gerações anteriores estão entregando para as mais jovens? E que planeta essas entregarão para as futuras gerações?

BÚSSOLA

Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos:

• Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social.

• Interpretar dados de uma pesquisa e comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos.

• Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores.

• Compreender o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa.

• Avaliar problemas socioambientais causados pela produção desenfreada de gases, como o gás carbônico, por indústrias e pessoas.

EF07MA35, EF07MA36, EF07MA37 EF07CI05

Encontro com outras disciplinas (EF07CI05) Discutir o uso de diferentes tipos de combustível e máquinas térmicas ao longo do tempo, para avaliar avanços, questões econômicas e problemas socioambientais causados pela produção e uso desses materiais e máquinas.

ATMOSFERA

Discuta de forma crítica com os estudantes os efeitos e as consequências que as mudanças climáticas podem causar, segundo dados da OMS, e como essas consequências afetam a todos diretamente. Pergunte se os estudantes conhecem o movimento #FridaysForFuture que mobilizou crianças e jovens do mundo todo em prol de uma única causa: as mudanças climáticas.

Atividade 1

Segundo o texto, de 2030 a 2050 as mudanças climáticas poderão provocar 25 mil mortes por ano devido a doenças infecciosas e pulmonares decorrentes da alta concentração de CO2; também ocorrerão ondas de calor devido ao aquecimento global e escassez de alimentos devido a períodos de seca ou chuva prolongados.

Atividade 2

O movimento #FridaysFor Future iniciou-se em agosto de 2018 em decorrência das manifestações de jovens como Greta Thunberg, que, aos 16 anos, protestava em frente ao parlamento sueco mostrando que as decisões políticas relacionadas às mudanças climáticas são importantes. A atitude dela mobilizou jovens e crianças a se empenhar acerca desse tema.

Atividade 3

Nesta atividade, busque estratégias que mobilizem os estudantes a fim de discutir, debater e buscar soluções para

A voz da juventude no combate às mudanças climáticas

Concepção artística feita por jovens que defendem causas como: “salve nosso planeta e floresta”, “restaure e proteja a natureza”, “evite o aquecimento global” etc.

De acordo com a Organização Mundial da Saúde (OMS), entre 2030 e 2050, os efeitos das mudanças climáticas poderão provocar 25 mil mortes por ano. Dentre os efeitos, estão as doenças infecciosas e as pulmonares devido à poluição e alta concentração de CO2 na atmosfera, as ondas de calor que são consequência do aquecimento global e a falta de alimentos, causada por períodos de seca ou chuva prolongada [...].

As mudanças climáticas vêm ameaçando o futuro do meio ambiente, e quem vai sentir na pele esse impacto são as futuras gerações. Um estudo da Market Analysis em parceria com a WIN Américas aponta que 7 a cada 10 crianças entre 3 e 13 anos de idade estão interessadas em proteger o meio ambiente. Nesse contexto, cada vez mais, as crianças e os jovens estão se conscientizando da importância que eles têm nesse processo.

O movimento #FridaysForFuture [em português, “sextas-feiras pelo futuro”] mobilizou crianças e jovens do mundo todo em prol de uma única causa: as mudanças climáticas. A greve global pelo clima começou, em agosto de 2018, com a jovem sueca de 16 anos, Greta Thunberg [...].

Ao protestar em frente ao parlamento sueco, Greta demonstrou a importância dos processos políticos na tomada de decisão sobre as mudanças climáticas, cobrando ações concretas e dando voz à juventude. A sociedade civil exerce um papel crucial nesses processos, pois somos responsáveis por eleger aqueles que nos representam nos parlamentos e fiscalizar suas ações. [...]

O movimento de Greta tem em seu cerne a participação ativa dos jovens nas decisões políticas de um planeta que está sendo severamente atingido por alterações climáticas. [...]

A VOZ da juventude no combate às mudanças climáticas. Ideação, 21 jun. 2019. Disponível em: https://blogs.iadb. org/brasil/pt-br/a-voz-da-juventude-no-combate-as-mudancas-climaticas. Acesso em: 5 maio 2022.

ATIVIDADES

1. Doenças infecciosas e pulmonares por causa da poluição e da alta concentração de CO2 na atmosfera, ondas de calor que são consequência do aquecimento global e falta de alimentos, causada por períodos de seca ou chuva prolongada.

1. Segundo o texto, quais são alguns dos efeitos que as mudanças climáticas podem provocar?

2. O que é o movimento #FridaysForFuture?

2. É um movimento internacional de jovens e crianças cujo objetivo é protestar por ações dos governos para evitar as mudanças climáticas.

3. Converse com os colegas: de que maneira os jovens podem se mobilizar hoje para melhorar o planeta e o meio ambiente do futuro? Resposta pessoal.

problemas ambientais na esfera local (em sua escola ou cidade), mostrando sempre a importância das pequenas atitudes cotidianas como ferramenta de conscientização coletiva.

#O que é pesquisa estatística?

Em 2020, a UNESCO (Organização das Nações Unidas para a Educação) realizou uma pesquisa mundial com a pergunta: quais os desafios que mais lhe preocupam para uma sociedade pacífica em 2030?

Um questionário foi disponibilizado on-line e cerca de 15 000 pessoas de todo o mundo puderam participar. Cada pessoa poderia escolher até 4 preocupações para 2030. As mais apontadas pelos participantes foram “mudança climática e perda da biodiversidade”, “violência e conflitos”, “discriminação e desigualdade” e “falta de comida, água e moradia”. A preocupação com as mudanças climáticas e perda da biodiversidade apareceu nas respostas de 67% dos participantes.

LUPAS E LUNETAS

A pesquisa propôs as seguintes preocupações ou desafios para 2030: “mudança climática e perda da biodiversidade”, “violência e conflitos”, “discriminação e desigualdade”, “falta de comida, água e moradia”, “saúde e doenças”, “desinformação e liberdade de expressão”, “desemprego e falta de oportunidades”, “migração e mobilidade”, “inteligência artificial e novas tecnologias” e “tradições e cultura em risco”. Se você estivesse participando da pesquisa agora, quais seriam as suas quatro respostas? Compartilhe com os colegas. Respostas pessoais.

Pesquisas desse tipo são denominadas pesquisas estatísticas. Seu objetivo é coletar e organizar dados de modo a compreender um determinado problema, fazer previsões e tomar decisões a partir de dados numéricos. De maneira geral, as pesquisas estatísticas seguem as etapas:

Habilidade

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

LUPAS E LUNETAS

Realize uma pesquisa estatística com os estudantes, de modo que eles tenham que responder ao questionário. Para a pesquisa estatística sobre preocupações ou desafios para 2030, escolha exatamente quatro itens entre estas opções:

• mudança climática e perda da biodiversidade;

Podemos dizer que o objetivo desse “método estatístico” é transformar dados em informação

• violência e conflitos;

• discriminação e desigualdade;

• falta de alimento, água e moradia;

• saúde e doenças;

• desinformação e liberdade de expressão;

• desemprego e falta de oportunidades;

• migração e mobilidade;

• inteligência artificial e novas tecnologias;

Ao coletar os dados, muitas vezes eles estão desordenados e pouco nos ajudam na compreensão do problema pesquisado. Conforme vamos organizando, analisando e interpretando os dados, chegamos a conclusões. Em outras palavras, produzimos informação.

• tradições e cultura em risco. Ao final da coleta das informações, organize os dados em uma tabela de frequências e discuta com os estudantes quais são os principais desafios apontados por eles.

SHUTTERSTOCK/M10

Habilidade (EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

LUPAS E LUNETAS

Segundo informações do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE):

O Censo Demográfico tem por objetivo contar os habitantes do território nacional, identificar suas características e revelar como vivem os brasileiros, produzindo informações imprescindíveis para a definição de políticas públicas e a tomada de decisões de investimentos da iniciativa privada ou de qualquer nível de governo. E também constituem a única fonte de referência sobre a situação de vida da população nos municípios e em seus recortes internos, como distritos, bairros e localidades, rurais ou urbanas, cujas realidades dependem de seus resultados para serem conhecidas e terem seus dados atualizados.

Disponível em: https://ces.ibge.gov.br/ apresentacao/portarias/200 -comite-de-estatisticas -sociais/base-de-dados/ 1146-censo-demografico.html.

Acesso em: 16 ago. 2022.

#Elementos de uma pesquisa estatística

A pesquisa realizada pela UNESCO utilizou dados para produzir informações e chegar a conclusões a respeito das preocupações das pessoas do mundo sobre um futuro pacífico.

No entanto, a pesquisa contou com 15 000 entrevistados, enquanto o mundo possui cerca de 8 bilhões de pessoas. Isso porque realizar uma pesquisa com todas as pessoas do mundo é algo extremamente difícil de ocorrer, talvez impossível! Por esse motivo, foi escolhido um grupo menor de pessoas, porém, de modo que representassem a população mundial.

Em Estatística, chamamos de população estatística o conjunto de todos os elementos de uma pesquisa.

Chamamos de amostra um subconjunto da população.

Cada um dos elementos de uma pesquisa estatística é denominado indivíduo ou objeto da pesquisa.

Nesse caso, a população estatística seria a própria população mundial, ou seja, as cerca de 8 bilhões de pessoas no mundo, enquanto as 15 000 pessoas que participaram da pesquisa constituem uma amostra. Cada um desses participantes seria o indivíduo ou objeto da pesquisa.

Quando uma pesquisa considera toda a população estatística, dizemos que ela é uma pesquisa censitária ou um censo Quando considera somente uma amostra, ela é uma pesquisa amostral ou pesquisa por amostragem

LUPAS E LUNETAS

O censo demográfico é geralmente realizado por governantes dos países para compreender melhor os dados de seus habitantes e pensar em estratégias e políticas públicas de interesse de seu povo.

A palavra “estatística” tem sua origem no termo alemão statistik, utilizado inicialmente para designar a coleta, organização e análise de dados relativos ao Estado.

No Brasil, o primeiro censo foi realizado no ano de 1872. Atualmente, o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) é o órgão responsável pela realização do censo demográfico.

Pesquise sobre o censo demográfico no Brasil e compartilhe os resultados com os colegas.

As pesquisas estatísticas geralmente têm um objetivo principal que pode ser expresso pela pergunta ou questão de pesquisa. No exemplo da pesquisa da UNESCO, a pergunta foi “Quais os desafios que mais lhe preocupam para uma sociedade pacífica em 2030?”.

Porém, existem outras perguntas secundárias que nos ajudam a compreender melhor o problema e responder à questão da pesquisa. Por exemplo, qual é a idade dos indivíduos da pesquisa?

Atividade 4

Nesta atividade, explore com os estudantes as ideias de variável e população, diferenciando uma pesquisa amostral de uma pesquisa censitária Nesta situação-problema, a variável é o “número de seguidores” e os valores para essa variável podem ser quaisquer números naturais. Ao entrevistar os estudantes do 7o ano, a amostra da pesquisa são os estudantes do 7o ano B, com 36 indivíduos; caso fosse censitária, a pesquisa teria 892 indivíduos.

Respostas pessoais.

Após coletar, organizar e analisar os dados relativos a essa pergunta, foram obtidas as informações:

Habilidade

Fonte: Adaptado de UNESCO. Pesquisa pública “O mundo em 2030”.

A “idade” é uma característica interessante a saber sobre os indivíduos da pesquisa. A partir dessa característica podemos verificar, por exemplo, que mais da metade dos indivíduos tinham idade abaixo de 35 anos. Desses, apenas 2% tinham menos de 15 anos de idade.

Em Estatística, chamamos essa característica de interesse da pesquisa de variável, podendo assumir diferentes valores.

Nesse caso, a idade é uma das variáveis da pesquisa, assumindo como valores a idade de cada indivíduo. Por exemplo: 13 anos, 49 anos, 65 anos etc. Como esses valores representam quantidades, dizemos que “idade” é uma variável quantitativa

Considere agora uma pergunta como “você se preocupa com o meio ambiente”? Nesse caso, as respostas poderiam ser “Sim” ou “Não”. Assim, não expressam valores numéricos, mas uma qualidade. Dizemos então que “preocupação com o meio ambiente” é uma variável qualitativa

ATIVIDADES

4. Uma escola com 892 alunos quer elaborar uma pesquisa estatística com a pergunta: quantos seguidores você tem em suas redes sociais? Vão ser entrevistados somente os 36 alunos do 7o ano B da escola.

a) A partir da pergunta, qual é a variável dessa pesquisa? Número de seguidores.

b) Escreva três valores possíveis para essa variável. Sugestão: 10, 2 000 e 1 489.

c) Considerando o grupo de todos os alunos dessa escola como população estatística, qual é a amostra dessa pesquisa? Quantos indivíduos essa amostra tem?

d) Considerando somente o universo dessa escola, se a pesquisa fosse do tipo censitária, quantos seriam os indivíduos dessa pesquisa? 892 indivíduos.

c) Amostra é o grupo de alunos do 7o ano B, que possui 36 indivíduos.

LUPAS E LUNETAS

Em grupos, pensem em um tema relacionado ao cuidado com o meio ambiente que vocês gostariam de investigar ou compreender melhor. Elaborem uma pergunta para saber o que os demais colegas pensam sobre esse tema. Pensem também nas possíveis respostas que podem ser dadas. Respostas pessoais.

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

Encontro com outras disciplinas

(EF07CI05) Discutir o uso de diferentes tipos de combustível e máquinas térmicas ao longo do tempo, para avaliar avanços, questões econômicas e problemas socioambientais causados pela produção e uso desses materiais e máquinas.

LUPAS E LUNETAS

Explore aqui com os estudantes a construção de uma pesquisa estatística, que pode ser organizada conforme as etapas propostas:

No planejamento devem ser escolhidos o tema e a população a ser investigada; nesse caso, será uma pesquisa censitária. Para a coleta de dados, organize formulários que possam ser respondidos pelo estudante. Para um melhor direcionamento das respostas, acrescente modelos de resposta que devem ser escolhidos pelos estudantes. Após a execução dessa pequena pesquisa estatística, organize os dados em uma tabela, com os diferentes tipos de resposta e a quantidade de vezes que cada um foi selecionado. Apresente esses dados aos estudantes e discuta com eles os resultados.

| NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade (EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

Muitas pessoas se preocupam com o meio ambiente, mas é necessário que todos tenham atitudes efetivas que contribuam para a sua preservação e a redução dos efeitos climáticos decorrentes do aquecimento global. Além das atitudes individuais dos seres humanos, as ações relacionadas à produção industrial e à agropecuária interferem no meio ambiente, por isso é preciso constantemente implementar processos que minimizem as possíveis contaminações ambientais.

Converse com os estudantes sobre essas questões e peça que, observando os resultados da pesquisa, proponham atitudes que possam ser implementadas na rotina como um modo de contribuir com o meio ambiente. Tais atitudes podem estar relacionadas ao descarte adequado de materiais orgânicos e recicláveis, à redução no consumo de água e energia elétrica, à utilização de transportes que não emitam poluentes etc. Apresente algumas sugestões, como usar garrafa de água reutilizável, evitando o uso de copo descartável, realizar alguns trajetos de bicicleta ou a pé, entre outras propostas dos estudantes. Elaborem um cartaz com as propostas e coloquem na sala de aula.

#Frequência absoluta e frequência relativa

Segundo um estudo realizado, se o mundo seguir como está hoje, em 50 anos uma em cada 3 espécies de planta ou animal deixará de existir.

Preocupados com essa questão, um

de

elaboraram uma pergunta, entrevistaram colegas de escola, vizinhos e familiares e anotaram as respostas:

Fonte: anotações do grupo. Podemos associar a essa questão a variável “preocupação com a natureza”. Essa, por sua vez, assume como possíveis valores: nenhuma preocupação, pouca preocupação e muita preocupação.

Fonte: Adaptado de UNESCO. Pesquisa pública “O mundo em 2030”.

grupo

jovens decidiu realizar uma pesquisa. Eles

Em seguida, esse grupo organizou os dados na tabela:

Fonte: anotações do grupo. Analisando essa tabela, podemos dizer que o total de respostas obtidas na questão foi igual a 2 + 6 + 15 = 23 Dizemos também que a frequência absoluta do valor “nenhuma preocupação” é igual a 2; que a frequência absoluta do valor “pouca preocupação” é igual a 6; e que a frequência absoluta do valor “muita preocupação” é igual a 15.

Da tabela de frequências absolutas podemos concluir também que:

• 2 dentre as 23 respostas correspondem a “nenhuma preocupação com a natureza”, ou seja, 2 23 possuem “nenhuma preocupação com a natureza”;

• 6 respostas dentre as 23 são de “pouca preocupação com a natureza”, ou seja, 6 23 possuem “pouca preocupação com a natureza”;

• 15 dentre as 23 respostas correspondem a “muita preocupação com a natureza”, ou seja, 15 23 possuem “muita preocupação com a natureza”.

2 23 = 2 ÷ 23 ≅ aprox madamente 0,09 = 9%

Lembrando que

6 23 = 6 ÷ 23 ≅ aproximadamente 0,26 = 26%

15 23 = 15 ÷ 23 ≅ aproximadamente 0,65 = 65%

Esses valores representam as ocorrências de cada valor assumido pela variável relativamente ao total de ocorrências. Em outras palavras, representam as frequências relativas dos valores dessa variável:

Habilidade (EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

Analise a situação-problema coletivamente e proponha analisar uma pesquisa similar com as informações obtidas pela turma, por exemplo:

• Qual meio de transporte utilizam para chegar à escola? Nenhum, caminha até a escola; bicicleta; carro ou transporte escolar.

Organize um quadro para registrar a frequência absoluta e a frequência relativa. Explique que as quantidades em cada item são chamadas de frequências absolutas. Depois, peça aos estudantes que calculem a frequência de cada valor em relação à quantidade dos estudantes da turma que participaram da pesquisa usando calculadora. Aponte que a frequência relativa pode ser indicada nas formas de razão, fração, decimal ou porcentagem.

Essas tabelas, contendo informações como os valores das variáveis, suas frequências absolutas ou relativas são denominadas tabelas de frequências

Habilidade

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

Atividade 5

a) A variável está indicada no título da tabela: População das Regiões Geográficas do Brasil.

b) As duas regiões menos populosas têm as menores frequências absolutas, sendo Centro-Oeste 16 707 336 e Norte 18 906 962.

c) As duas regiões mais populosas têm as maiores frequências relativas, sendo a região Sudeste 42,02% (89 632 912 ÷ 213 317 639) e a região Nordeste 27,03% (57 667 842 ÷ 213 317 639)

Atividade 6

Para determinar as frequências que faltam, sabendo que o total é de 20 estudantes, proceda com os cálculos:

• Para o intervalo de 3 a 4, a frequência relativa será: 3 20 = 0,15 ou 15%.

• Para o intervalo de 7 a 8, a frequência absoluta será: 30 100 20 = 6

• Para o intervalo de 9 a 10, tem-se que a frequência absoluta é dada pelo total menos as demais frequências, ou seja, 20 – 5 – 3 – 4 – 6 = 2

Em termos percentuais, tem-se a frequência relativa: 2 20 = 1 10 = 0,1 = 0,10 = 10 100 = 10%

= 0,10 = 10 100 = 10%

Ao final, a tabela será:

5. A tabela tem as frequências absolutas e as frequências relativas da população de cada região do Brasil. Observe-a e responda:

c) Quais são as regiões e respectivas frequências relativas das duas regiões mais populosas?

Sudeste: 42,02%; nordeste: 27,03%.

6. A tabela apresenta os resultados de uma pesquisa sobre as notas do 5o ano A de uma escola.

Notas do 5º ano A

0 a 2 5 25%

3 a 4 3 ?

5 a 6 4 20%

7 a 8 ? 30%

a) População das regiões geográficas do Brasil.

Fonte: LISTA de unidades federativas do Brasil por população Wikipedia, [s. d.]. Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_unidades_ federativas_do_Brasil_por_popula%C3%A7%C3%A3o. Acesso em: 5 maio 2022.

a) Qual é a variável em questão?

b) Quais são as regiões e respectivas frequências absolutas das duas regiões menos populosas?

Centro-Oeste: 16 707 336; norte: 18 906 962.

LUPAS E LUNETAS

9 a 10 ??

Total 20 100%

Fonte: autor. Determine as frequências que faltam.

6, 2, 15%, 10%.

Em grupos, retomem a pergunta elaborada anteriormente: o quanto você se preocupa com a natureza? Entrevistem os demais colegas e registrem as suas respostas. Desta vez, peça para eles darem uma nota de 1 a 10, sendo que 1 corresponde a não se importa nada até chegar a 10, que corresponde a se importa muito

A partir desses dados, construam uma tabela de frequências. Utilizem uma planilha eletrônica para auxiliar nessa tarefa. Respostas pessoais.

#Gráfico de setores

Vimos anteriormente que cerca de 15 000 pessoas ao redor do mundo responderam ao questionário “Quais os desafios que mais lhe preocupam para uma sociedade pacífica em 2030?”. 248 | TRAJETÓRIA 4 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LUPAS E LUNETAS

Após a realização da pesquisa, registre os dados em uma planilha eletrônica utilizando-se da frequência absoluta e da relativa. Caso considere adequado, as notas podem variar de 1 a 5, pois com menos respostas a frequência para cada nota será maior.

Essas pessoas responderam ao questionário em diversas línguas. O gráfico de setores mostra a distribuição, em porcentagem, da diversidade de línguas dessas 15 000 pessoas:

Quais os desafios que mais lhe preocupam para uma sociedade pacífica em 2030?

(Idiomas das respostas)

Esses dados podem ser representados em uma tabela de frequências:

Quais os desafios que mais lhe preocupam para uma sociedade pacífica em 2030?

(Idiomas das respostas)

Habilidade (EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

Existem vários tipos de gráficos que devem ser usados de acordo com a sua adequação. Selecione algumas notícias que transmitam informações usando gráficos de colunas, barras, linhas ou setores. Indague os estudantes sobre:

• Quais tipos de gráficos poderiam representar o resultado das pesquisas que fizeram anteriormente?

• O gráfico de setores pode ser usado em qualquer situação? Incentive os estudantes a verbalizar suas justificativas.

Habilidade (EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

LUPAS E LUNETAS

a) Para determinar o ângulo central relativo a um percentual de 20%, tem-se:

100% – 360o

20% ÷ 5 ÷ 5 –72o

Sendo assim, 20% corresponde a um ângulo central de 72o

b) Para determinar a porcentagem relativa a um ângulo central de 3,6o, tem-se:

100% – 360o

1% ÷ 100 ÷ 100 –3,6o

Sendo assim, 3,6o corresponde a uma porcentagem de 1%.

No gráfico de setores, conhecido popularmente como “gráfico de pizza”, cada setor ou “fatia” corresponde a um valor assumido pela variável e, além disso, sua área é proporcional à frequência relativa desse valor.

LUPAS E LUNETAS

Considere f a frequência relativa de certo valor, dada em porcentagem maior que 0, e a a medida do ângulo central do setor correspondente a essa frequência no gráfico. Então, a está para f assim como 360o está para 100%, ou seja, a f = 360 100

Desse modo, calcule:

a) O valor, em graus, do ângulo central de um setor no gráfico que corresponde a uma frequência de 20%. 72o

b) O valor, em porcentagem, da frequência relativa de um valor que ocupa um setor cujo ângulo central é 3,6o 1%

NUVENS

Gráficos de setores em planilhas eletrônicas

As planilhas eletrônicas são ferramentas fundamentais em pesquisas estatísticas. A tabela de frequências representa as quantidades, em kg, de materiais recicláveis coletados em um mutirão de limpeza em certo parque:

Habilidade

(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

NUVENS

Atividade 7

ATIVIDADES

7. Para construir um gráfico de setores a partir desses dados, podemos primeiro selecionar todo o conjunto de dados na planilha:

gráfico gráfico de setores ou de pizza”:

Esta atividade contribui para que o estudante utilize ferramentas computacionais para organizar a tabela, efetuar os cálculos e construir os gráficos e pode ser realizada na sala de informática da escola. Explorando o software, conforme a orientação das atividades, os estudantes perceberão as diferentes maneiras de colocar título, legenda, fundo ou grade, entre outros inúmeros recursos.

a) Note que o gráfico elaborado calcula automaticamente as frequências relativas de cada valor. Em uma planilha eletrônica, construa uma tabela similar: mantenha as quatro categorias, altere os valores das quantidades em kg, utilizando números de, no máximo, três algarismos. Depois, siga as etapas apresentadas e obtenha um gráfico de setores. Respostas pessoais.

b) Explore as possibilidades de customização e de apresentação dos dados e aplique-as no gráfico que você criou. Compartilhe com os colegas.

Habilidade

(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

LUPAS E LUNETAS

Sobre a pesquisa estatística mencionada, organize aqueles dados coletados em uma tabela com frequências absolutas e relativas e exponha esses dados em um gráfico de setores, conforme exemplo:

LUPAS E LUNETAS

Construa um gráfico de setores a partir da tabela de frequências elaborada para a entrevista realizada com seus colegas sobre as preocupações ou desafios para 2030. Respostas pessoais.

#Diferentes gráficos para diferentes situações

O efeito estufa é um fenômeno natural do planeta Terra que ocorre pela concentração de gases na atmosfera. É graças a esse efeito que a temperatura é adequada para a existência de vida no planeta. Porém, a produção desenfreada de gases como o gás carbônico pela indústria e pessoas no planeta tem acelerado esse efeito e causado outros fenômenos prejudiciais, como o aquecimento global.

De modo a medir e controlar as emissões de gases do efeito estufa, foi elaborada a metodologia denominada “pegada de carbono”. A partir dela, podemos observar quanto de gases de efeito estufa produzimos cotidianamente, desde os alimentos que consumimos até nossas opções de transporte e assim por diante.

Pensando em conscientizar os moradores de sua comunidade, um grupo de amigos elaborou uma campanha que se desdobrou em três iniciativas: realizar a coleta seletiva de lixo; reduzir a utilização de automóveis; e consumir alimentos orgânicos ou menos processados.

A tabela de frequências mostra o número de moradores que aderiram a cada uma das iniciativas e o percentual associado a cada uma delas:

Sua pegada de carbono

Fonte:

FLEXD DESIGN /SHUTTERSTOCK

A partir desses dados, eles elaboraram um gráfico de setores e um gráfico de colunas:

Sua pegada de carbono

Fonte: pesquisa do grupo de amigos.

Sua pegada de carbono

Fonte: pesquisa do grupo de amigos.

Em uma pesquisa estatística, os gráficos podem auxiliar tanto na análise dos dados e do problema investigado quanto na comunicação desses dados. Dessa maneira, diferentes gráficos podem ter diferentes propósitos.

Nesse caso, ambos os gráficos ajudam a comparar os valores assumidos pela variável. Porém, no gráfico de setores, podemos observar mais rapidamente a distribuição das porcentagens desses valores. Já no gráfico de colunas, pode ser mais fácil responder, por exemplo, “quais iniciativas obtiveram maior ou menor adesão?”.

LUPAS E LUNETAS

Diferentes gráficos podem ser utilizados para elaborar um relatório e analisar ou comunicar os resultados de uma pesquisa.

Em grupos, pesquisem mais sobre o assunto “pegada de carbono” e escrevam um texto que:

• comunique o problema que motivou a pesquisa desse grupo de amigos;

• apresente os resultados da pesquisa utilizando os gráficos produzidos;

• interprete os resultados apresentados nos gráficos;

• proponha ações para ampliar a adesão dos moradores às iniciativas. Respostas pessoais.

Habilidade

(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

LUPAS E LUNETAS

Instrua os estudantes na construção de um texto científico em que são apresentados os dados referentes ao assunto “pegada de carbono”, sempre fazendo uma análise crítica desses dados.

Realizar a coleta seletiva, reduzir o uso de automóvel ou consumir alimentos menos processados são atitudes simples que podem ser adotadas pelas pessoas. Questione quais dessas atitudes os estudantes realizam e quais acreditam que poderão implementar.

| NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

#Média aritmética

Um dos efeitos negativos do aquecimento global é o degelo das calotas polares. Além de prejudicar a vida de diversas espécies de animais e plantas, o degelo tem feito o nível dos oceanos subir, em média, 3 milímetros por ano.

A tabela apresenta as anotações realizadas por um pesquisador sobre o quanto subiu o nível do oceano em sua localidade, ao longo de cinco anos:

Nível do oceano

Fonte: dados fictícios. Apesar da informação de que o nível dos oceanos sobe 3 milímetros por ano, somente no ano de 2022 pode ser verificado esse exato valor. Isso porque se falou em termos de “média”.

Em Estatística, chamamos de média aritmética a soma dos valores de uma variável dividida pelo número de valores.

Nesse exemplo, podemos calcular a média aritmética por:

A média aritmética indica que, se os valores fossem todos iguais, seriam iguais a 3 mm. Observe que 2 mm é o menor valor e 4 mm é o maior valor.

A diferença entre o maior valor e o menor valor é denominada amplitude desse conjunto de dados.

Nesse caso, a amplitude pode ser calculada por 4 – 2 = 2 mm Ela mede o tamanho do intervalo em que se distribuem os valores obtidos.

Veja outros exemplos:

• Seja o conjunto de dados: {2; 5; 6; 10}, a média aritmética desse conjunto de dados pode ser calculada por 2 + 5 + 6 + 10 4 = 23 4 = 5,75 5,75 e a amplitude é 10 – 2 = 8

• Seja o conjunto de dados: {10,98; 43,6; 21,41; 157,3; 15,01; 62,5}, a média aritmética desse conjunto de dados pode ser calculada por 10,98 + 43,6 + 21,41 + 157,3 + 15,01 + 62,5 6 = 310,8 6 = 51,8 e a amplitude é 157,3 – 10,98 = 146,32

Sugestão de atividade

Peça aos estudantes que façam aviõezinhos de papel e anotem seu nome na asa. Organize a turma em grupos e atribua a cada um deles algumas responsabilidades: marcar com giz onde o avião aterrissou, medir a distância de voo, anotar a distância de cada um, limpar as marcas de giz no chão. Leve-os à quadra, posicione-os atrás da linha de fundo do campo de futsal para que todos arremessem seus aviões simultaneamente. Com

os dados coletados, calculem a média aritmética dos alcances com o auxílio de uma calculadora.

254 | TRAJETÓRIA 4 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

A ideia de média aritmética nos ajuda a obter informações que representem um conjunto maior de dados. Isso pode ser útil caso desejemos obter uma referência numérica para realizar boas estimativas ou como base para propor soluções a um problema ou elaborar um plano de ação em determinada situação.

Por exemplo, sabe-se que a altura média de determinada população é 1,65 m. Assim, ao se projetar uma casa, ajustam-se as suas dimensões e de seu mobiliário considerando essa altura média para os moradores. Apesar de essa solução funcionar para a maioria das pessoas dessa população, é possível que para pessoas muito mais altas ou muito mais baixas que a média essa solução não seja a melhor.

Vejamos alguns cuidados que devemos ter ao interpretar médias aritméticas. Imagine que ao medir a elevação do nível dos oceanos no ano de 2025 o pesquisador obteve como medida 65 mm. Assim, a média de elevação do nível do oceano entre 2020 e 2025 pode ser calculada por:

2 + 4 + 3 + 2,5 + 3,5 + 65 6 = 80 6 ≅ aproximadamente 13,3 mm

Note como a média aumentou em relação ao cálculo anterior (3 mm). Existem diversos fatores que podem ter influenciado a medida de 65 mm: desastres naturais, desastres provocados por humanos, erros de medição, falhas em instrumentos de medição etc.

Entretanto, independentemente desses fatores, é importante perceber que a média 13,3 mm não corresponde a um retrato dos eventos observados ao longo dos anos. Se observarmos a amplitude desse conjunto de dados, ou seja, 65 – 2 = 63 mm, podemos perceber como 65 mm está “distante” dos valores obtidos nos anos entre 2020 e 2024.

LUPAS E LUNETAS

Assim como valores muito mais altos que os demais dados de um certo conjunto podem provocar distorções na interpretação da média aritmética, o mesmo pode ocorrer com valores muito mais baixos que os demais dados.

Em duplas ou trios, elaborem uma situação na qual um valor muito baixo pode provocar uma distorção na interpretação da média aritmética.

• Compartilhe com os demais colegas. Respostas pessoais.

ATIVIDADES

8. Calcule a média aritmética e a amplitude para os seguintes conjuntos de dados:

a) {1; 4; 4; 5; 8} 4,4; 7

b) {1; 2; 3} 2; 2

c) {0; 1 000} 500; 1 000

d) {0,5; 7,3; 9,2; 11} 7; 10,5

9. Substitua o por um número natural conforme o que for solicitado:

a) Para que a média aritmética dos valores {3; 3; 3; ; 3} seja 3. 3

b) {1; 5; ; 13; 17}, de modo que a média aritmética seja 9. 9

c) {1,5; 2; 0,5; ; 6} para que a amplitude seja 9,5. 10

d) A amplitude de ; 1 2 ; 1 4 ; 1 3 ; 0; 1 8 seja 1. 1

LUPAS E LUNETAS

Converse com os estudantes sobre valores muito acima/muito abaixo dos demais dados encontrados e o que pode ter ocorrido na obtenção, registro ou reprodução desses dados, desde erros nas medições a erros na anotação ou na transcrição para uma planilha eletrônica, por exemplo. Retomem a atividade com os aviõezinhos de papel sugerida anteriormente (se foi realizada) e investiguem se ocorreram valores discrepantes.

Atividade 8

A média aritmética e a amplitude podem ser calculadas com o auxílio da calculadora:

Habilidade (EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

Atividade 9

a) Como os valores são iguais e a média aritmética é o mesmo valor, o estudante perceberá que não há necessidade de cálculos para completar o valor com 3.

b) Como são 5 dados informados e a média é 9, a soma dos dados deve ser 45 (9 5) Como 1 + 5 + 13 + 17 = 36, o valor desconhecido é 9 (45 – 36) Observe que, estando esse conjunto ordenado como uma sequência aritmética, a média aritmética dos termos equidistantes é 9: 1 + 17 2 = 5 + 13 2 = 9

c) Para que a amplitude seja 9,5, como o maior valor é desconhecido, consideraremos o menor valor, que é 0,5. Com a soma entre a amplitude e o menor valor, descobrimos o maior valor: 9,5 + 0,5 = 10

d) Como o menor valor é zero, para que a amplitude seja um, o maior valor deve ser 1, pois 1 – 0 = 1

Habilidade

(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

LUPAS E LUNETAS

Explore outras informações para calcular a média aritmética, tais como: o tempo que levam no caminho para a escola, o número de horas de sono diárias, o tempo dedicado ao esporte ou estudo, entre outras possibilidades.

LEVO NA BAGAGEM

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre o próprio aprendizado, enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, classificarão seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas que estão presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

LUPAS E LUNETAS

Respostas pessoais.

Retome a tabela de frequências das notas, elaborada durante a entrevista realizada com seus colegas.

a) Obtenha a média aritmética dos valores das variáveis.

b) Elabore um texto que utilize a média aritmética para explicar o conjunto de dados.

LEVO NA BAGAGEM

Respostas pessoais.

Consulte, em seu caderno, os trabalhos que você desenvolveu, suas anotações de estudos e reflita sobre o que aprendeu até agora neste passeio.

▶ Matemática

• Consegue planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social?

• Sabe interpretar dados de uma pesquisa e comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos?

• Interpreta e analisa dados apresentados em gráfico de setores?

• Compreende o significado de média aritmética como indicador da tendência de uma pesquisa?

▶ Outras disciplinas

Ciências

• Consegue avaliar problemas socioambientais causados pela produção desenfreada de gases, como o gás carbônico, por indústrias e pessoas?

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO

Insuficiente Parcialmente suficiente Satisfatório Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

▶ Organize

Respostas pessoais.

Neste passeio, você explorou temas relacionados à Estatística: desde a elaboração de uma pesquisa estatística até a análise e representação dos dados em tabelas e gráficos, como o de setores. Você também estudou que o método estatístico tem algumas etapas. Faça um resumo dos principais conceitos e ideias estudados utilizando essas etapas como um guia.

▶ Elabore

Além dos conhecimentos estatísticos, você também explorou temas relacionados ao meio ambiente, cuidados com o planeta e as possibilidades dos jovens em preparar um futuro melhor. Vamos colocar isso em prática?

Em grupos, elaborem uma pesquisa estatística sobre algum tema relacionado ao cuidado com o planeta ou o meio ambiente, mas que também tenha relações com a comunidade onde vocês vivem ou a sua escola. Para pensar em um tema de pesquisa, façam uma roda de conversa com os colegas e reflitam sobre problemas ou questões de suas realidades próximas, relacionadas ao tema deste passeio.

Utilizem o esquema como um guia ou roteiro para sua pesquisa:

Definir o problema. Planejar Coletar dados.

Verificar os dados coletados. Organizar os dados. Apresentar os dados. Analisar os dados.

Ao final, escrevam um texto que resuma todos os dados levantados, organizando-os em tabelas e gráficos e comunicando as principais conclusões que vocês obtiveram.

▶ Proponha

A pergunta inicial deste passeio é:

Quais propostas hoje podem melhorar o ambiente amanhã?

A partir dos estudos e reflexões ao longo do passeio e da pesquisa estatística realizada anteriormente, você acredita que consegue responder a essa pergunta? Converse com os colegas e elaborem possíveis respostas.

Identifiquem quais das propostas são possíveis de serem realizadas por você e seus colegas. Pensem em pequenas ações que contribuam para essa proposta, organizem grupos e divulguem as suas ações!

BARCOS E PORTOS

Organize

Os estudantes vivenciaram a realização da pesquisa de opinião e o tratamento dos dados: relembre com eles as etapas realizadas para o resumo, peça que observem o livro ou o caderno como auxílio, para não deixarem informações importantes sem registro.

Elabore

Nesta pesquisa construa as perguntas e possibilidades de respostas coletivamente, indague os estudantes sobre como planejam se organizar para que consigam coletar, registrar e analisar os dados com mais facilidade.

Proponha

Retome sempre a pergunta norteadora do passeio como propósito do trabalho realizado.

VISTORIAS

Habilidades

EF07MA24, EF07MA25, EF07MA26, EF07MA30, EF07MA31, EF07MA32, EF07MA35, EF07MA36, EF07MA37.

Atividade 1

Espera-se que os estudantes identifiquem que os triângulos (B e E) são as únicas figuras rígidas.

Atividade 2

Espera-se que percebam que não é possível construir um triângulo com tais medidas, pois não atende a condição de existência: a soma das medidas dos lados 1 m e 5 m é menor que 7 m.

Atividade 3

Lembrando que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o, os estudantes podem calcular o valor de x usando o conhecimento sobre equação de 1o grau.

a)

x = 180 – (90 + 35)

x = 180 – 125

x = 55

b)

x + 2x + 9x + 30 = 180 12x = 180

c)

30

x = 150 ÷ 12

x = 12,5

x + 10 + x + 50 + x – 30 = 180

3x + 30 = 180

3x = 180 – 30

3x = 150

x = 50

Atividade 4

Você chegou ao final da Trajetória. Reflita sobre tudo o que aprendeu e verifique a qualidade da sua aprendizagem. Resolva todos os exercícios no caderno.

CHECK-OUT

1. Quais das estruturas compostas por palitos e tachinhas representam uma estrutura rígida?

B e E.

AB C DE F

2. É possível existir um triângulo em que os lados meçam 1 m, 7 m e 5 m? Explique.

3. Calcule o valor de x (em graus) em cada item.

Com a régua, traçar RS com 4 cm de comprimento.

5. Observe a imagem de alguns elementos de um jogo eletrônico. Se cada cubo tem 1 cm3, calcule o volume da figura que representa uma plataforma de terra e o volume da figura que representa uma árvore.

Plataforma de terra: 33 cm3; árvore: 8 cm3

6. Calcule o volume de cada figura.

1 dm 1 dm 1 dm

a)

A 24 dm3

b) 1 cm

B 1 cm 1 cm 45 cm3

2. Não existe esse triângulo, pois a medida do maior lado (7 m) é menor do que a soma das medidas dos outros dois (1 + 5 = 6 m). 12,5o ou 12o30' 50o

4. Construa, com régua e compasso, um triângulo RTS cujas medidas dos lados são: med ( RS ) = 4 cm, med ( ST ) = 2 cm, med ( RT ) = 3 cm Descreva, por escrito, um algoritmo para a construção desse triângulo. Respostas pessoais.

c) 1 m 1 m 1 m

C 18 m3

Observação: as medidas das figuras não estão em escala.

7. Falta somente 1 3 do volume de uma piscina com 4 metros de comprimento, 3 metros de largura e 1,5 metro de profundidade para que ela fique cheia.

Fixar o compasso, com uma abertura de 3 cm, na extremidade R e traçar um arco de circunferência.

Fixar o compasso, com uma abertura de 2 cm, na extremidade S e traçar um novo arco de circunferência.

Marcar o ponto T na intersecção dos dois arcos. Unir S com T para obter ST e unir R com T para obter RT

258 | VISTORIAS NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

a) Qual é o volume de água que falta para encher essa piscina? 6 m3

b) Que área a piscina ocupa no jardim dessa casa? 12 m2

c) Altere algum dado desse problema para obter um novo problema. Dê para um colega resolver

Respostas pessoais.

8. Use composição e decomposição e calcule a área da superfície de cada figura.

7 m2; (II) 12 m2; (III) 11 m2; (IV) 7,5 m2

a) Calcule a área dessa casa. 57,5 m2

b) Crie uma informação a mais sobre essa planta e, com essa informação, escreva um problema. Dê seu problema para um colega editar e resolver. Respostas pessoais.

11. As etapas de uma pesquisa estatística estão listadas, porém fora de ordem. Escreva-as na ordem correta.

• Coletar os dados

• Verificar os dados coletados

• Analisar os dados

• Definir o problema

• Planejar

• Apresentar os dados

• Organizar os dados

(III)(IV)

9. Determine o valor da área da superfície de cada figura. (I) 4,5 m2; (II) 5 m2; (III) 5,7 m2

1. Definir o problema;

2. Planejar; 3. Coletar os dados; 4. Verificar os dados coletados;

5. Organizar os dados;

6. Apresentar os dados;

7. Analisar os dados.

12. Uma pesquisa foi feita com 30 adolescentes de 12 a 15 anos em uma escola. Veja os dados coletados que representam as idades:

Habilidades

EF07MA24, EF07MA25, EF07MA26, EF07MA30, EF07MA31, EF07MA32, EF07MA35, EF07MA36, EF07MA37

a) Como falta a terça parte para completar a piscina com o volume total de 18 m3, faltam 6 m3

b) As dimensões da largura e comprimento da piscina são 3 m e 4 m, respectivamente e a área do jardim ocupada pela piscina é de 12 m2

c) Conhecendo os cálculos de área da superfície e volume poderão elaborar novos problemas.

Atividade 8

Espera-se que os estudantes calculem as áreas das superfícies de quadriláteros e triângulos.

10. Observe a planta de uma residência.

a) Construa a tabela de frequências com três colunas: Idade, Frequência absoluta e Frequência relativa.

b) Qual idade apresenta a maior frequência? Essa idade corresponde a que índice percentual do total de alunos? 13 anos. 40%.

c) Qual idade tem a menor frequência? Essa idade corresponde a que índice percentual do total de alunos? 15 anos. 10%.

d) Construa um gráfico de setores que represente esses dados.

e) Dentre esses 30 alunos foram escolhidos 6 para uma pesquisa mais aprofundada sobre seus hábitos escolares. Estas são as idades dos escolhidos: 12, 12, 13, 14, 15,

15. Qual é a idade média dos alunos escolhidos para essa nova pesquisa? 13,5 anos.

A figura I tem 6 quadradinhos e duas metades, ou seja, 7 m2

A figura II tem 9 quadradinhos e 3 quadradinhos que podem ser observados por composição, ou seja, 12 m2

A figura III tem 8 quadradinhos, 4 metades (duas unidades) e 4 quartas partes (uma unidade), ou seja, 11 m2

A figura IV tem 6 quadradinhos, duas metades (uma unidade) e duas quartas partes (0,5 unidade), ou seja, 7,5 m2

Atividade 9

Conhecendo o cálculo de área da superfície de triângulos e de quadriláteros (losango e paralelogramo), teremos os cálculos: •

Atividade 5

É preciso avaliar a dimensão dos lados da plataforma de terra, mas os quadrados que faltam auxiliam na percepção de que um lado tem 6 cm3 e o outro também tem 6 cm3 O volume corresponde a 33 cm3 (6 × 6 – 3)

Enquanto o tronco da árvore tem 2 cm3 e a copa, 6 cm3, totalizando 8 cm3

Atividade 6

Com esta questão podem reconhecer as diferentes unidades de medida de volume (dm3, cm3,

m3). As marcações na figura auxiliam a identificar as dimensões (que não estão em escala):

a) V = 4 3 2 = 24 dm3

b) V = 3 5 3 = 45 cm3

c) V = 2 3 3 = 18 m3

Atividade 7

Para resolver problemas envolvendo o cálculo de volume o estudante identificará as dimensões da piscina e, multiplicando-as, calculará o volume do bloco retangular: V = 4 3 1,5 = 18 m3

Ver comentários das atividades 10 a 12 na página seguinte.

Atividade 10

No cálculo de área dessa planta, as dimensões externas são: (5 + 2) m e (4,5 + 5) m, que resultam em uma área de 66,5 m2 da qual uma área de 2 ⋅ 4,5 = 9 m2 não faz parte da casa. Assim, 66,5 – 9 = 57,5 m2

Essa questão também contempla a habilidade de elaborar problemas que envolvam o cálculo de área de uma superfície.

Atividade 11

Considerando que os estudantes realizaram todas as etapas de uma pesquisa de opinião, eles organizarão as etapas de uma pesquisa na seguinte ordem:

1. definir o problema;

2. planejar;

3. coletar os dados;

4. verificar os dados coletados;

5. organizar os dados;

6. apresentar os dados;

7. analisar os dados.

Atividade 12

Analisando os dados fornecidos pela situação-problema, teremos a tabela:

ADOLESCENTES

b) A maior frequência está em 13 anos, pois são 12 adolescentes, ou seja, 40%.

c) A menor frequência está em 15 anos, pois são 3 adolescentes, ou seja, 10%.

d)

13. Veja o infográfico apresentado pelo Ministério do Esporte na pesquisa “A prática de esportes no Brasil”.

c) Resposta pessoal.

Sedentarismo

28,5%

25,6%

Sedentários

45,9%

Sedentáriosepraticantes–númerogeral Sedentarismo por gênero

Praticantes de atividade física

Praticantes de esportes

41,2% 50,4%

a) O gráfico que menciona e relaciona sedentários, praticantes de atividade física e praticantes de esporte.

Fonte: Ministério do Esporte, 2013.

a) Qual dos dois gráficos apresentados é chamado de gráfico de setores?

b) A qual grupo corresponde o maior índice percentual no gráfico de setores? Eles representam mais da metade da população, ou seja, a maioria?

Sedentários; não, eles representam 45,9% da população.

c) Analise o gráfico de setores e escreva um texto sintetizando a informação que ele traz.

d) Sabendo que a amostra da pesquisa foi ponderada para 146 748 000 pessoas, calcule aproximadamente quantos são os sedentários e quantos praticam esportes nessa projeção.

nessa projeção.

DE OLHO NA BÚSSOLA

Após resolver os exercícios da seção Check-out, verifique se você aprendeu a:

por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos.

Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores.

Compreender o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa.

e) A média aritmética das idades é calculada pela soma das idades de todos os adolescentes dividida pela quantidade de adolescentes (nessa situação são 6 pessoas):

Atividade 13

Lendo as informações desta questão, os estudantes poderão interpretar os gráficos de cada situação.

a) O gráfico de setores é representado por um círculo; nesta questão, o gráfico “Sedentários e praticantes – número geral” é de setores.

b) O maior percentual é 45,9% de sedentários. Como 45,9% é menor do que 50% mais 1, os sedentários não são a maioria da população.

Considerando os exercícios que você resolveu, como julga seu desempenho: insuficiente, parcialmente suficiente, satisfatório, plenamente satisfatório?

Prossiga ▶

Continue estudando! Retome esta Trajetória buscando, com professores e colegas, alternativas para superar os obstáculos de sua aprendizagem. Estude a seção Retornos e resolva novos exercícios referentes à Trajetória 4 que estão na seção Suplemente sua aprendizagem, ao final do livro.

DICAS DE ESTUDO

“Pesquise” sobre como você aprende. O método investigativo de Estatística pode ser uma ferramenta para você se autoconhecer quanto ao seu modo de aprender. Você pode seguir, mais ou menos, as etapas da pesquisa:

1. Qual é o seu problema com a aprendizagem?

2. Planeje ações em favor de superar esse(s) problema(s).

3. Colete informações sobre os modos como melhor aprende e aplique-os aos conteúdos em que está com dificuldades ou utilize uma estratégia totalmente nova para você.

4. Verifique se essa estratégia funciona.

5. Organize o que descobriu sobre essas estratégias e sobre os efeitos positivos que elas trouxeram.

6. Registre as conclusões.

7. Analise o quanto todo esse esforço foi proveitoso!

Assim, seguindo um método orientado para resultados visíveis sobre o que está aprendendo, você pode se tornar muito mais engajado, motivado especialmente pelas etapas dos registros das suas conclusões e da autocrítica avaliativa dos resultados alcançados.

Invista nessa metodologia, adquira conhecimentos de forma mais abrangente e desenvolva sua autonomia nos estudos!

Dicas de estudo

O estudo percorre todo o processo de ensino-aprendizagem dos estudantes. Em diversos outros momentos, pudemos avaliar o desempenho a cada conceito trabalhado. Novamente aproveitamos esta reflexão para analisar quais estratégias eles usaram para organizar o tempo e a rotina de estudos, seguindo a atividade proposta. Motive-os a replanejar, se necessário, suas atitudes para um melhor desempenho no futuro.

seus estudos com etapas sequenciadas e claras.

c) O gráfico mostra que, das pessoas entrevistadas, 45,9% são sedentárias, 25,5% são praticantes de esportes e 28,5% são praticantes de atividades físicas. Apesar de o maior percentual ser de sedentários, 54,1% dos entrevistados não são sedentários.

d) A frequência relativa dos sedentários é 45,9%, que, de um total de 146 748 000, corresponde a 67 357 332 pessoas (146748000 ⋅ 0,459).

146 748 000, corresponde a 37 567 488 pessoas (146748000 0,256).

Trace um caminho para

Respostas pessoais.

RETORNOS

Suplemente sua aprendizagem

As seções Retornos e Suplemente sua aprendizagem têm o objetivo de contribuir com o aprendizado e a autonomia do estudante.

Esta obra foi organizada em quatro trajetórias, mas, nesta etapa, os estudantes são convidados a percorrer outra trilha diante das atividades exploradas nas aulas.

A proposta inicial – em Retornos – é revisitar os conteúdos principais discutidos em cada Trajetória com a leitura de um novo texto explicativo, mais enxuto, visto que ocorreu uma abordagem aprofundada anteriormente. Com base nessa leitura, o estudante pode usar diferentes estratégias para retomar os conteúdos em que percebeu a necessidade de aprimoramento ou aprofundamento, como: observar seus registros, elencar possíveis dúvidas e selecionar outros materiais de estudo.

Com a expectativa de verificação de seu próprio desempenho, os estudantes podem responder às questões selecionadas – em Suplemente sua aprendizagem – e fazer uma autoavaliação conforme o resultado alcançado.

Essa trilha pode ser percorrida ao final de cada Trajetória ou ao final do conjunto das quatro trajetórias. Ambas as propostas enriquecem o processo de ensino e aprendizagem de Matemática e contribuem para ele.

TRAJETÓRIA 1

Múltiplos e divisores

Um número natural é múltiplo de outro se existir um terceiro número natural que, ao ser multiplicado pelo segundo, vai resultar no primeiro.

Um número natural (não nulo) é divisor de outro se dividindo o segundo pelo primeiro obtivermos resto zero, ou seja, se a divisão for exata.

Dados dois (ou mais) números, chamamos de múltiplos comuns os números que são, ao mesmo tempo, múltiplos dos dois (ou mais) números dados.

Dados dois (ou mais) números, chamamos de divisores comuns os números que são, ao mesmo tempo, divisores dos dois (ou mais) números dados.

O mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou mais números naturais é o menor número diferente de zero que é múltiplo comum desses números.

O máximo divisor comum (mdc) de dois ou mais números naturais é o maior número que é divisor comum desses números.

A resolução de um problema qualquer de Matemática pode ser organizada em etapas:

Processo de resolução de problemas em quatro etapas

INÍCIO FIM

Compreender o enunciado.

Identifique a pergunta e os dados do problema.

Leia o problema quantas vezes for necessário. Compartilhe sua resolução.

Construir um plano. Executar o plano. Rever a resolução.

Identifique os conteúdos matemáticos envolvidos e as estratégias possíveis.

Organize cada etapa da estratégia, sem “pular” etapas e sem pressa

Verifique se a solução é razoável e revise cada passo da resolução, fazendo ajustes necessários.

Operações com frações Duas ou mais frações equivalentes representam a mesma parte do todo. As frações equivalentes são escritas de modos diferentes, porém com mesmo valor em relação à unidade ou ao todo considerado.

Uma fração é irredutível quando não há mais nenhum número, diferente de 1, que divida, ao mesmo tempo, o numerador e o denominador no processo de simplificação.

Na adição e subtração com frações de denominadores iguais, conservamos o denominador e adicionamos/subtraímos os numeradores.

Na adição e subtração com frações de denominadores diferentes é preciso recorrer às frações equivalentes que tenham denominadores comuns.

Exemplos: 5 6 + 3 4 = 10 12 + 9 12 = 19 12 e 8 2 –3 5 = 40 10 –6 10 = 34 10

Na multiplicação de duas (ou mais) frações, o produto será representado por uma fração em que o numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores.

Exemplo: 5 6 3 4 = 15 24

Uma fração é inversa de outra quando o produto das duas resulta em 1.

Exemplo: 2 3 é a fração inversa de 3 2 , pois 2 3 3 2 = 6 6 = 1.

Na divisão de frações, conserve a primeira, multiplicando-a pela inversa da segunda. Observe que a divisão de frações recai no caso de multiplicação de frações.

Exemplo: 1 5 : 3 2 = 1 5 2 3 = 2 15

Na potenciação de uma fração, basta elevar o numerador ao expoente e elevar o denominador a esse mesmo expoente.

Exemplo: 2 5 ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ 3 = 23 53 = 8 125

Porcentagem

Razão é uma relação entre dois valores numéricos associados à mesma grandeza ou a grandezas distintas. Algebricamente esses dois valores podem ser representados assim: a : b ou a b ou a : b ou a b (lê-se: a está para b).

Observação: a é chamado de 1o termo, b é chamado de 2o termo da razão.

Exemplo: uma concha de arroz cru para três conchas de arroz cozido → 1 3

Porcentagem é a razão que tem o 2o termo igual a 100. Índice percentual é diferente de porcentagem

Os três números básicos de um problema de porcentagem:

Referência ao todo

O índice percentual O resultado da porcentagem sobre o todo

Exemplo: em uma sala de aula com 30 alunos, 20% reside em bairros afastados, ou seja, 6 alunos moram em bairros afastados. Exemplo

30 20% 6

Acréscimo: o todo 1 a porcentagem (sob um dado índice).

Exemplo: acréscimo de 10% sobre R$ 30,00 (10% de 30 é igual a 3); 30 + 3 = 33.

Decréscimo: o todo – a porcentagem (sob um dado índice).

Exemplo: decréscimo de 10% sobre R$ 30,00 (10% de 30 é igual a 3); 30 – 3 = 27.

Probabilidade

Os fenômenos podem ser determinísticos ou aleatórios

263 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

• Exemplos:

a. Tenho duas opções: comprar um produto que custa 100 reais a prazo ou com 10% de desconto à vista. Se escolher pagar agora, ele me custará 90 reais. Fenômeno determinístico, pois tenho certeza do que vai acontecer caso eu escolha a opção à vista.

Pessoa analisando produtos em loja de calçados para realizar compra.

b. Tenho duas opções: comprar um bilhete em um jogo que custa 100 moedas do jogo, com chance de ganhar outras 100 caso minha cartela seja sorteada, ou guardar essas 100 moedas na carteira do jogo. Se escolher comprar o bilhete, corro o risco de gastar as moedas e não receber o prêmio. Fenômeno aleatório, pois não tenho a certeza do que vai acontecer caso eu escolha a opção de participar do sorteio.

Pessoas jogando.

Um evento é equiprovável quando todos os possíveis resultados têm a mesma chance de ocorrer. Em caso contrário, quando cada resultado tem uma chance diferente, o evento é não equiprovável

Exemplos:

a. Lançar um dado não viciado é um evento equiprovável, pois cada face tem a mesma chance de sair voltada para cima.

b. Arremessar um cilindro sólido é um evento não equiprovável, pois nem todas as posições em que ele pode ficar, após o arremesso, têm a mesma chance.

A probabilidade de um evento ocorrer é um número que mede a chance de esse evento ocorrer:

probabilidade de ocorre ! ncia do evento = número de resultados favoráveis número de resultados possíveis

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Exemplo: no lançamento de uma moeda, o espaço amostral é um conjunto com dois elementos: {cara, coroa}.

A probabilidade de sair um desses dois resultados é dada por:

1 : 2 == 0,5 = 50% número de resultados favoráveis

1 2

número de resultados possíveis

A probabilidade de ocorrer um evento (P(E)) é sempre um número maior ou igual a zero e menor ou igual a um.

0 ≤ P(E ) ≤ 1

TRAJETÓRIA 2

Números inteiros

No conjunto dos números inteiros não há o menor número, tampouco há o maior número. O símbolo para o conjunto dos números inteiros é !

Foco em detalhe de documentos que geram relatórios de faturamento de uma empresa, contendo números positivos e números negativos.

Dois números inteiros são opostos ou simétricos se, localizados na reta numérica, estão ambos à mesma distância do ponto correspondente à origem da reta: o número zero.

Exemplos:

• 6 é o simétrico de –6 ou, ainda, 6 é oposto a –6.

• –2 é o número oposto de 2 ou, ainda, –2 é simétrico de 2.

–6 –2 02 6

Na comparação de números inteiros vale:

• partindo do zero na reta numérica, quanto mais nos deslocamos para o sentido dos números negativos, menores são os números.

• partindo do zero na reta numérica, quanto mais nos deslocamos para o sentido dos números positivos, maiores são os números.

265 |

! = {... –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4...}

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Exemplos:

–16 é menor do que –12;

–12 é menor do que 0; 0 é menor do que 20;

20 é menor do que 36;

–16 é menor do que +16

A distância entre o ponto da reta numérica que representa um número inteiro e o ponto que representa o 0 é denominada módulo ou valor absoluto desse número inteiro.

–5 = +5 = +5

Observação: os números positivos podem ser representados com ou sem o sinal 1

Na adição ou subtração de números inteiros, temos:

• sinais iguais: adicione os módulos e conserve o sinal.

Exemplos: +5 + 3 = +8 ou –5 – 3 = –8

• sinais diferentes: calcule a diferença dos módulos e conserve o sinal do número que tem o maior módulo.

Exemplos: +5 – 3 = +2 ou –5 + 3 = –2

Dados cúbicos com números vermelhos e azuis indicando números negativos e números positivos de um jogo de tabuleiro. O cálculo da pontuação considera as operações com números inteiros.

Na multiplicação de números inteiros, temos:

• quando um dos fatores é positivo e o outro é negativo, o produto é um número negativo.

Exemplos:

(–4) (+6) = –24 ou (+4) (–6) = –24

• quando ambos os fatores são negativos ou ambos são positivos, o produto é um número positivo.

Exemplos:

(–4) (–6) = +24 ou (+4) (+6) = +24

Observação: essa mesma regra dos sinais da multiplicação vale para a divisão de números inteiros

Exemplos:

(–36) : (+4) = –9 ou (+36) : (–4) = –9

(–36) : (–4) = +9 ou (+36) : (+4) = +9

Na potenciação com números inteiros (bases e expoentes inteiros), vale o seguinte:

• base negativa: se o expoente é um número ímpar, o resultado é negativo; se o expoente é um número par, o resultado é positivo;

• base positiva: o resultado é sempre positivo.

266 | RETORNOS NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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Expressões algébricas

Utilizamos as letras do alfabeto latino para representar um valor desconhecido (incógnita) ou um subconjunto de valores que variam dentro de um determinado conjunto numérico (variável) em uma situação que pode ser representada por uma expressão algébrica

Exemplos:

a. Para trocar os pneus de um veículo, um comercial de pneus anuncia que a loja cobra 100 reais fixos mais 20 reais para cada pneu trocado. Essa situação pode ser assim representada: 100 + 20p, em que p é um número natural, representando a quantidade de pneus. p é uma variável e pode assumir mais de um valor

Mecânico trocando pneu do carro em oficina de reparação de automóveis.

b. Nesse mesmo comercial de pneus, aparece uma pessoa que pagou 180 reais na troca dos pneus de seu carro, ou seja: 100 + 20p = 180 p é um valor desconhecido (incógnita) e assume um único valor; nesse caso, p = 4, pois: 100 + 20 4 = 180

Quatro novos pneus para troca imediata em centro de serviços de reparo de automóveis.

As expressões algébricas fracionárias ou frações algébricas são expressões algébricas representadas em forma de fração. Lembre-se de que o denominador de uma fração não pode ser 0. Sempre que houver variáveis no denominador, vamos impor essa condição ao denominador para descobrir qual é a restrição de valores para a variável que consta nele.

Exemplo: 5 4 y – 12

Nesse caso, o denominador não pode ser zero, ou seja: 4y – 12 ≠ 0 Queremos descobrir qual valor y não pode assumir. Vamos então supor que 4y – 12 seja zero. Queremos determinar qual número multiplicado por 4 e subtraído de 12 vai dar zero. Como 4y sendo diminuído de 12 unidades resta zero, então 4y vale 12. Sendo assim, y é um tal número que multiplicado por 4

267 |

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gera 12 como produto. Logo, y vale 3. Acabamos de descobrir o valor que torna 4y – 12 igual a zero. Portanto, impomos que, na fração algébrica 5 4y – 12 , y seja diferente de 3, ou seja, y ≠ 3 Dizemos que a condição de existência dessa fração algébrica é y ≠ 3

Sequências

Sequência, ou sucessão, é um conjunto de elementos dispostos em uma determinada ordem. As sequências numéricas podem ser finitas ou infinitas, e ainda podem ser crescentes, decrescentes ou nenhuma das duas.

Exemplos:

a. Finita e crescente: (0, 2, 4, 6, 8, 10).

b. Infinita e crescente: (0, 2, 4, 6, 8, 10...).

c. Finita e decrescente: (–11, –13, –15, –17)

d. Infinita e decrescente: (–10, –11, –12, –13, –14 )

Chamamos cada um dos elementos de uma sequência de termo da sequência

Dada uma sequência, quando podemos obter cada um de seus termos por uma regra, a essa regra chamamos de lei de formação da sequência

Denominamos sequência recursiva aquela sequência em que podemos expressar cada um de seus termos por uma regra que envolve os termos anteriores, ou seja, cada termo é obtido a partir de termos anteriores.

Razão e proporção

Sejam dois números inteiros a e b, com b ≠ 0, então o quociente entre a e b é denominado razão entre a e b. Escrevemos a : b ou a b ou a : b ou a b Lemos “a está para b”.

Dadas duas grandezas, quando o aumento em uma grandeza ocasiona um aumento proporcional na outra grandeza, dizemos que são grandezas diretamente proporcionais. O mesmo vale para o caso em que a diminuição em uma grandeza ocasiona uma diminuição proporcional na outra grandeza.

Exemplo: a quantidade de pães e o preço total a ser pago pelos pães são duas grandezas diretamente proporcionais porque o aumento de uma implica o aumento proporcional da outra, ou a diminuição de uma indica a diminuição proporcional da outra.

Pai e filha descontraídos em padaria. A quantidade de massa do pão e o valor a ser pago são grandezas diretamente proporcionais.

268 | RETORNOS NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Dadas duas grandezas, quando o aumento em uma grandeza ocasiona uma diminuição proporcional na outra grandeza, dizemos que essas grandezas são inversamente proporcionais. O mesmo vale para o caso em que a diminuição em uma grandeza ocasiona o aumento proporcional na outra grandeza.

Exemplo: a velocidade desenvolvida em um percurso e o tempo gasto nesse percurso são duas grandezas inversamente proporcionais porque o aumento de uma implica diminuição proporcional da outra, ou a diminuição de uma indica o aumento proporcional da outra.

Pessoas com capacete andando de bicicleta em baixa velocidade. A velocidade e a duração do tempo na trajetória são grandezas inversamente proporcionais.

Ângulos

Uma figura geométrica plana que reúne duas semirretas de mesma origem e a região limitada por elas é chamada de ângulo

• Procedimento para medir um ângulo com transferidor:

I. Posicione o centro da base do transferidor sobre o vértice do ângulo.

II. Ajuste o transferidor para que o ponto que indica 0o esteja sobre um dos lados do ângulo.

III. O outro lado do ângulo apontará para a sua medida.

Dois ângulos com medidas iguais de abertura são chamados de ângulos congruentes Indicamos a congruência entre eles por este sinal: ≡

Os ângulos CA ! B e ED ! F são congruentes (CAB ≡ EDF), pois m(CA ! B) = m(ED ! F ) = 60o

Dois ângulos são chamados de ângulos complementares se a soma de suas medidas é igual a 90o

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

269 |

Dois ângulos são chamados de ângulos suplementares se a soma de suas medidas é igual a 180o

Exemplos:

BOC e COA são suplementares e RPS e SPT são complementares.

Dois ângulos são opostos pelo vértice (o.p.v.) se os lados de um são semirretas opostas aos lados do outro.

Os ângulos a ! e c ! são opostos pelo vértice.

Um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal determina diversos ângulos. Veja a relação entre as medidas de alguns deles:

• a ! e v ! são ângulos correspondentes, portanto, m( a ! ) = m(v ! );

• c ! e v ! são ângulos alternos internos, portanto, m( c ! ) = m(v ! );

• a ! e x ! são ângulos alternos externos, portanto, m( a ) = m( x );

• b ! e v são ângulos colaterais internos, portanto, m( b ! ) + m(v ) = 180o ;

• a ! e w ! são ângulos colaterais externos, portanto, m( a ) + m(w ) = 180o

Linhas separatórias em estacionamento de um parque. A disposição das linhas lembra linhas paralelas cortadas por transversal.

270 | RETORNOS NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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Polígonos

Os ângulos internos de um polígono são formados por dois lados consecutivos desse polígono.

Os ângulos externos de um polígono são formados por um lado desse polígono e pelo prolongamento do lado consecutivo a ele.

Em um mesmo vértice, os ângulos internos e externos do polígono são sempre adjacentes e suplementares e vale a seguinte relação:

ai + a e = 180o

Dois polígonos são congruentes quando a medida de seus lados e de seus ângulos correspondentes são iguais, ou seja, quando os lados correspondentes e também os ângulos correspondentes são congruentes.

Um polígono regular é aquele em que todos os seus lados são congruentes e todos os seus ângulos são congruentes.

A figura mostra alguns polígonos regulares:

Triângulo equilátero, quadrado, pentágono regular, heptágono regular, hexágono regular, octógono regular, dodecágono regular.

Veja dois tipos de tesselação (ou ladrilhamento).

Ladrilhamento com polígonos regulares. Ladrilhamento com polígonos irregulares.

Circunferência

As figuras representam três “objetos” matemáticos diferentes, mas que têm relação entre si.

A medida do diâmetro de uma circunferência é o dobro da medida do raio, ou seja, D = 2r

O perímetro P de uma circunferência de raio r é dado por:

P = π 2 r ou P = 2πr

Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então os segmentos de retas consecutivos com extremidades nos pontos de divisão formam um polígono regular no interior da circunferência.

Circunferências divididas, igualmente, em 3, 4, 5 e 6 arcos congruentes. Os polígonos regulares obtidos foram: triângulo equilátero, quadrado, pentágono regular e hexágono regular.

TRAJETÓRIA 3

Números racionais nas formas fracionária e decimal

É possível representar números racionais na forma decimal e na forma fracionária. Veja exemplos:

1,2; –8 3 ; 585,935; 5 6 ; 42,003; 11,37

Os números racionais podem ter a forma de:

• Fração própria. Exemplos: 1 5 , 6 8 , –17 36

• Fração imprópria. Exemplos: 30 8 , 7 2 , –97 17

• Fração aparente. Exemplos: 20 2 10 ! , 12 6 2 ! , –10 000 100 –100 ! " $

O sistema de numeração decimal é posicional, ou seja, o valor do algarismo depende da posição que ele ocupa na escrita do número. Assim, podemos afirmar que:

• 1 décimo (0,1) equivale a 10 centésimos (0,10);

• 1 décimo (0,1) equivale a 100 milésimos (0,100);

• 1 centésimo (0,01) equivale 10 milésimos (0,010).

O número decimal 2,345 pode ser assim decomposto em suas ordens: 2 1 + 3 0,1 + 4 0,01 + 5 0,001

O número 2,09 é menor do que 2,9. Vamos fazer aproximações considerando a potência de 10 mais próxima.

• 2,09 = 2 + 0,09 O número 0,09 está próximo de 0,1. Logo, o número 2,09 pode ser aproximado para 2,1;

• 2,9 = 2 + 0,9 O número 0,9 está próximo de 1. Logo, o número 2,9 pode ser aproximado para 3;

• 2,1 é menor do que 3;

• 2,09 é menor do que 2,9.

272 | RETORNOS NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Operações com decimais

Na adição e na subtração com números racionais na forma decimal é possível aplicar os algoritmos convencionais.

No algoritmo da adição/subtração de números racionais na forma decimal, a vírgula de um número deve ficar debaixo da vírgula do outro, ou seja, as ordens correspondentes devem estar uma abaixo da outra, como na adição de números naturais.

Veja

1 3 = 0,333333333... 1 3 = 0,333333333... (As reticências indicam que o algarismo 3 vai sempre se repetir, ao infinito.)

Observe o resultado das potências de base 0,1

(0,1)1 = 0,1

(0,1)2 = 0,01

(0,1)3 = 0,001

(0,1)4 = 0,0001

A quantidade de ordens decimais é igual ao expoente na potência de base 0,1.

Equações de 1o grau

Uma equação é uma igualdade entre expressões matemáticas

Cada expressão corresponde a um membro da equação.

Exemplo: 8x + 90 1 o membro ! " $ = 5x + 300 2 o membro ! " $

Podemos resolver uma equação utilizando as operações matemáticas inversas para isolar a incógnita:

8x + 90 – 5x – 90 = –5x + 5x + 300 – 90

8x – 5x + 0 = 0 + 210

3x = 210

3x ÷ 3 = 210 ÷ 3 x = 70

Assim, x = 70 é a solução que torna a igualdade verdadeira.

Simetria e plano cartesiano

Dizemos que há simetria de reflexão quando todos os pontos de uma figura são simétricos em relação a uma reta, denominada eixo de simetria

Exemplo:

Figura original Imagem por reflexão em e

Figura original Imagem por reflexão em e

Figura simétrica por reflexão e simetria de reflexão de uma figura em relação ao eixo e

Figura

plana de borboleta que remete à ideia de simetria de reflexão, dada pelo eixo de simetria imaginário que divide a figura verticalmente.

274 | RETORNOS NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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Dizemos que há simetria de rotação entre duas figuras quando uma pode ser obtida rotacionando a outra de um determinado ângulo e em um sentido

Exemplo:

Simetria de rotação de 25o no sentido horário.

Efeito caleidoscópio com simetria rotacional. Criação artística com flores do gênero botânico Pericallis.

Dizemos que há simetria de translação entre duas figuras quando uma pode ser obtida deslocando a outra com um determinado sentido, direção e distância

Exemplo:

Simetria de translação de uma distância d, na direção e sentido indicados.

Efeito de repetição continuada em criação artística com rodelas de laranja e limão. Esse padrão dado pela simetria de translação transmite uma sensação de previsibilidade à composição artística e, ao mesmo tempo, dá sensação de movimento. 275 | NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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De modo geral, temos que os pontos localizados no 1o e 4o quadrantes possuem pontos simétricos por reflexão em relação ao eixo das ordenadas nos 2o e 3o quadrantes, respectivamente.

Da mesma maneira, os pontos localizados no 1o e 2o quadrantes possuem pontos simétricos por reflexão em relação ao eixo das abscissas nos 4o e 3o quadrantes, respectivamente.

TRAJETÓRIA 4

Triângulos

Em um triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo, e ao menor lado opõe-se o menor ângulo.

maior ângulo

maior lado

Rigidez geométrica dos triângulos é a propriedade que os triângulos têm de não se deformarem, o que não acontece com os demais polígonos.

Força exercida sobre um dos vértices: Rigidez ou deformação:

276 | RETORNOS NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

A rigidez do triângulo é uma propriedade geométrica aplicada em estruturas diversas, como pontes, brinquedos de playground, móveis e decoração.

Para que a construção de um triângulo seja possível, é preciso que a soma das medidas de dois lados seja maior do que a medida do terceiro lado. Ou seja, levando em conta três segmentos de reta com medias a, b e c, a construção do triângulo será possível se:

b + c > a

a + c > b

a + b > c

Essa é a condição de existência de um triângulo, também conhecida como desigualdade triangular

Satisfaz a condição a b

Não satisfaz a condição

c b

c a

A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180o

Área da superfície e volume

O metro cúbico (m3) é a unidade padrão de volume no Sistema Internacional de Unidades (SI).

As unidades de medida de volume derivadas do metro cúbico são: quilômetro cúbico (km3) hectômetro cúbico (hm3) decâmetro cúbico (dam3) metro cúbico (m3) decímetro cúbico (dm3) centímetro cúbico (cm3) milímetro cúbico (mm3) 1

1 000 000 000

1 000 000 000

O volume de um bloco retangular é o produto das medidas de suas três dimensões: altura, comprimento e largura.

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As áreas das superfícies de algumas figuras planas podem ser determinadas conforme indicado a seguir:

Quadrado: AQ = ℓ 2 Retângulo: AR = a b

h d D

Triângulo: AT = b h 2 Losango: AT = D d 2

Pesquisa amostral

Paralelogramo: AP = b h

O método de pesquisa estatística é descrito conforme o fluxograma:

Definir o problema. Planejar Coletar dados.

Verificar os dados coletados. Organizar os dados. Apresentar os dados. Analisar os dados.

Observação: esse é um método possível, mas há outros modelos, com menos ou mais alterações em relação ao apresentado.

Em Estatística, chamamos de população estatística o conjunto de todos os elementos de uma pesquisa. Chamamos de amostra um subconjunto da população. Cada um dos elementos de uma pesquisa estatística é denominado indivíduo ou objeto da pesquisa.

Indivíduo

População Amostra

O objetivo de uma pesquisa estatística pode ser “traduzido” em forma de pergunta: a questão de pesquisa

Exemplo: “Quanto pesam os alunos do 7o ano dessa escola?”

Essa pergunta tem variabilidade na resposta. Já com uma pergunta do tipo: “Quanto pesa a professora Maria?” não haverá variabilidade, portanto, essa não é uma pergunta estatística.

A entrevista, realizada por meio de um formulário, é uma maneira de coletar dados para uma pesquisa estatística.

Cada item do formulário, ao final da pesquisa, está associado a um conjunto de valores (ou resultados possíveis) que é chamado de variável

Uma variável pode ser do tipo quantitativa ou qualitativa

• Se for quantitativa, pode ser do tipo discreta ou contínua.

• Se for qualitativa, pode ser do tipo nominal ou ordinal.

278 | RETORNOS NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Exemplos:

Escolaridade é uma variável qualitativa ordinal.

Quantidade de irmãos é uma variável quantitativa discreta.

Em uma pesquisa estatística, a frequência absoluta é a quantidade de vezes que um mesmo valor de uma variável se repetiu, ou seja, o número de vezes que uma mesma resposta apareceu em um conjunto de dados.

Denomina-se frequência relativa o resultado obtido da divisão entre a frequência absoluta e a quantidade de elementos da amostra. Geralmente é apresentada na forma de índice percentual.

As planilhas eletrônicas são programas de computador que facilitam a realização de cálculos e a apresentação de dados. Também são uma excelente ferramenta na construção de gráficos.

A finalidade do relatório de pesquisa estatística é comunicar os processos desenvolvidos e os resultados obtidos em uma investigação para o leitor ou público-alvo para o qual a pesquisa foi desenvolvida.

Gráficos e média estatística

No gráfico de setores, também conhecido popularmente como “gráfico de pizza”, cada setor ou “fatia” corresponde a um valor assumido pela variável e, além disso, sua área é proporcional à frequência relativa desse valor.

Note que a soma dos percentuais em cada gráfico é 100%.

Diversos outros gráficos podem ser utilizados ao elaborar um relatório para analisar ou comunicar os resultados de uma pesquisa.

Gráficos de “rosca”, de colunas, de linhas e de barras.

Chamamos de média aritmética a soma dos valores de uma variável dividida pelo número de valores.

Exemplo:

Observação: 2 mm é o menor valor e 4 mm é o maior valor nesse exemplo. A diferença entre esses valores é denominada amplitude desse conjunto de dados. Nesse caso, a amplitude pode ser calculada por 4 – 2 = 2 mm

Matemática

NÚMEROS

(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.

(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.

(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.

(EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2 3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.

(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

r2 ÁLGEBRA

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.

(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c fazendo uso das propriedades da igualdade.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

280 | QUADRO DE HABILIDADES

GEOMETRIA

(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o

(EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.

(EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

(EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

GRANDEZAS E MEDIDAS

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.

(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

(EF07MA33) Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica. A B

C PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

281 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LÍNGUA PORTUGUESA

(EF69LP13) Engajar-se e contribuir com a busca de conclusões comuns relativas a problemas, temas ou questões polêmicas de interesse da turma e/ou de relevância social.

(EF69LP32) Selecionar informações e dados relevantes de fontes diversas (impressas, digitais, orais etc.), avaliando a qualidade e a utilidade dessas fontes, e organizar, esquematicamente, com ajuda do professor, as informações necessárias (sem excedê-las) com ou sem apoio de ferramentas digitais, em quadros, tabelas ou gráficos.

(EF69LP36) Produzir, revisar e editar textos voltados para a divulgação do conhecimento e de dados e resultados de pesquisas, tais como artigos de divulgação científica, verbete de enciclopédia, infográfico, infográfico animado, podcast ou vlog científico, relato de experimento, relatório, relatório multimidiático de campo, dentre outros, considerando o contexto de produção e as regularidades dos gêneros em termos de suas construções composicionais e estilos.

(EF67LP03) Comparar informações sobre um mesmo fato divulgadas em diferentes veículos e mídias, analisando e avaliando a confiabilidade.

(EF67LP12) Produzir resenhas críticas, vlogs, vídeos, podcasts variados e produções e gêneros próprios das culturas juvenis (algumas possibilidades: fanzines, fanclipes, e-zines, gameplay, detonado etc.), que apresentem/descrevam e/ ou avaliem produções culturais (livro, filme, série, game, canção, disco, videoclipe etc.) ou evento (show, sarau, slams etc.), tendo em vista o contexto de produção dado, as características do gênero, os recursos das mídias envolvidas e a textualização adequada dos textos e/ou produções.

(EF67LP18) Identificar o objeto da reclamação e/ou da solicitação e sua sustentação, explicação ou justificativa, de forma a poder analisar a pertinência da solicitação ou justificação.

CIÊNCIAS

(EF07CI05) Discutir o uso de diferentes tipos de combustível e máquinas térmicas ao longo do tempo, para avaliar avanços, questões econômicas e problemas socioambientais causados pela produção e uso desses materiais e máquinas.

(EF07CI07) Caracterizar os principais ecossistemas brasileiros quanto à paisagem, à quantidade de água, ao tipo de solo, à disponibilidade de luz solar, à temperatura etc., correlacionando essas características à flora e fauna específicas.

(EF07CI08) Avaliar como os impactos provocados por catástrofes naturais ou mudanças nos componentes físicos, biológicos ou sociais de um ecossistema afetam suas populações, podendo ameaçar ou provocar a extinção de espécies, alteração de hábitos, migração etc.

GEOGRAFIA

(EF07GE03) Selecionar argumentos que reconheçam as territorialidades dos povos indígenas originários, das comunidades remanescentes de quilombos, de povos das florestas e do cerrado, de ribeirinhos e caiçaras, entre outros grupos sociais do campo e da cidade, como direitos legais dessas comunidades.

(EF07GE07) Analisar a influência e o papel das redes de transporte e comunicação na configuração do território brasileiro.

ARTE

(EF69AR04) Analisar os elementos constitutivos das artes visuais (ponto, linha, forma, direção, cor, tom, escala, dimensão, espaço, movimento etc.) na apreciação de diferentes produções artísticas.

282 | QUADRO DE HABILIDADES

Trajetória 1

1. Para dividir esse material em pacotinhos com o mesmo número de itens e na maior quantidade possível, devemos calcular o m.d.c. entre 140, 120 e 148.

máximo de itens por pacotinho será

Trajetória 1

1. (PMSC1201/001) Um escritório comprou os seguintes itens: 140 marcadores de texto, 120 corretivos e 148 blocos de rascunho e dividiu esse material em pacotinhos, cada um deles contendo um só tipo de material, porém todos com o mesmo número de itens e na maior quantidade possível. Sabendo-se que todos os itens foram utilizados, então o número total de pacotinhos feitos foi:

a) 74.

b) 88.

c) 96.

d) 102.

e) 112.

2. (Enem) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em peças de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m. Atendendo ao pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir:

a) 105 peças.

b) 120 peças.

c) 210 peças.

d) 243 peças.

e) 420 peças.

3. (CMF) Da rodoviária da cidade de Alegrelândia, saem ônibus de 75 em 75 minutos para a cidade de Vila Feliz e de 2 em 2 horas com destino à cidade de Boa Esperança. Em um determinado dia, às 8 horas da manhã, dois ônibus saem juntos, um para cada cidade. Qual é a diferença entre o número de viagens realizadas para Vila Feliz e para Boa Esperança até o próximo horário em que dois ônibus sairão juntos novamente da rodoviária de Alegrelândia, um para cada cidade?

a) 3.

b) 5.

c) 6.

d) 8.

e) 9.

4. (Fuvest – SP) No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a “piscar” simultaneamente?

a) 12

b) 10

c) 20

d) 15

e) 30

5. (AOCP) Observando a seguinte figura, é correto afirmar que a fração irredutível que representa a parte pintada dessa figura é igual a

Eles se encontraram após 600 minutos. Para encontrar a diferença, basta contar os múltiplos de 75 e de 120 até chegar a 600.

Assim, 9 – 6 = 3  viagens a mais fará o ônibus que vai para Vila Feliz.

Alternativa a

4. Se aprimeira torre “pisca” 15 vezes por minuto, sabendo que 1 minuto equivale a 60 segundos, podemos fazer 60 : 15 = 4 Então, as luzes da primeira piscam de 4 em 4 segundos. Equivalentemente, os cálculos para a segunda torre são 60 : 10 = 6, o que nos indica que as luzes da 2a torre piscam de 6 em 6 segundos. Como m m c (4, 6) = 12, as torres piscaram juntas a cada 12 segundos.

Alternativa A.

5. São 9 partes pintadas –esse será o numerador da fração – e 12 partes ao todo – esse será o denominador.

Portanto, 9 12 Para encontrar a fração irredutível, basta simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 3:

Para calcular a quantidade de pacotinhos, devemos fazer:

• 140 ÷ 4 = 35 pacotinhos

• 120 ÷ 4 = 30 pacotinhos

• 148 ÷ 4 = 37 pacotinhos

Portanto, o número total de pacotinhos será

35 + 30 + 37 = 102

Alternativa d

2. Encontrando o m.d.c. entre os números 540, 810 e 1 080, temos 270. Assim, o comprimento de cada peça deverá ser divisor de 270 cm. Logo,

11 12

cada peça terá 135 cm, pois deve ter o maior tamanho, porém menor que 200 cm. Então, a quantidade de peças obtidas é:

3. Primeiro converteremos 2 h para 120 min. Agora, vamos encontrar os múltiplos:

9÷3

12 ÷3 = 3 4 Alternativa b

20 100

10

6. Ao despejar o conteúdo da caneca A (pequena) e da B (média) cheias na caneca C (grande), será ocupado

5 8 + 3 5 5 8 = 5 8 + 3 8 = 1 da capacidade da caneca C, ou seja, ela ficará totalmente cheia, sem transbordar. De forma ilustrativa, dividindo a caneca C em 8 partes iguais, a figura mostra que 5 dessas partes correspondem à capacidade da caneca B, e as outras 3, à capacidade da caneca A.

6. (OBMEP) Janaína tem três canecas, uma pequena, uma média e uma grande. Com a caneca pequena cheia, ela enche 3 5 da caneca média. Com a caneca média cheia, ela enche 5 8 da caneca grande. Janaína enche as canecas pequena e média e despeja tudo na caneca grande. O que vai acontecer com a caneca grande?

8. (ENEM) O quadro representa os gastos mensais, em real, de uma família com internet, mensalidade escolar e mesada do filho.

INTERNET MENSALIDADE ESCOLAR MESADA DO FILHO

120 700 400

No início do ano, a internet e a mensalidade escolar tiveram acréscimos, respectivamente, de 20% e 10%. Necessitando manter o valor da despesa mensal total com os itens citados, a família reduzirá a mesada do filho. Qual será a porcentagem da redução da mesada?

Alternativa d

7. Como ele começou a trabalhar em 1o de setembro, nesse ano ele trabalhará 4 meses. Então, a fração de um salário que Frederico receberá é:

4 12 ⋅ 1 800 = 600

Portanto, ele receberá R$ 600,00 de 13o salário.

Alternativa b

8. Temos que o total de gastos mensais será

120 + 700 + 1 220 reais

Como houve um acréscimo de 20% na internet e 10% na mensalidade escolar, temos:

a) Ela ficará preenchida em 7 8 de sua capacidade.

b) Ela ficará preenchida em 8 13 de sua capacidade.

c) Ela ficará preenchida em 5 8 de sua capacidade.

d) Ela ficará totalmente cheia, sem transbordar.

e) Ela vai transbordar.

7. (IADES) No Brasil, os trabalhadores regidos pela Consolidação das Leis do Trabalho (CLT) geralmente recebem, por ano, além do salário mensal, um salário a mais, o 13o. Se a pessoa trabalhar apenas uma fração do ano, o 13o será a mesma fração do salário mensal. Considere hipoteticamente que Frederico recebe R$ 1.800,00 de salário mensal e que, neste ano, começou a trabalhar em 1o de setembro. Caso ele não seja despedido e também não haja reajustes salariais, qual será o valor do 13o?

• Internet: 120 + 20 100 120 = 120 + 24 = 144 reais

120 = 120 + 24 = 144 reais

• Mensalidade escolar:

700 + 10 100 700 = 700 + 70 = 770 reais

00 700 = 700 + 70 = 770 reais

Para manter o total de 1 220, a mesada deverá ser:

144 + 770 + x = 1 220

x + 914 = 1 220

x = 1 220 – 914

x = 306

a) R$ 900,00.

b) R$ 600,00.

c) R$ 450,00.

d) R$ 300,00.

e) R$ 150,00.

Como 400 – 360 = 94 reais e 94 400 = 0,235 = 23,5%, a porcentagem de redução da mesada será 23,5%.

Alternativa b

9. Analisamos os gráficos e percebemos que a quantidade de embalagens recicladas para produção de malhas é de:

30% 37,8% 282 kton ≅ 32 kton

Alternativa c

a) 15,0

b) 23,5 c) 30,0 d) 70,0 e) 76,5

9. (Enem) O polímero de PET (Politereftalato de Etileno) é um dos plásticos mais reciclados em todo o mundo devido à sua extensa gama de aplicações, entre elas, fibras têxteis, tapetes, embalagens, filmes e cordas. Os gráficos mostram o destino do PET reciclado no Brasil, sendo que, no ano de 2010, o total de PET reciclado foi de 282 kton (quilotoneladas).

PET reciclado — 2010 (usos finais)

Usos finais têxteis

Disponível em: www.abipet.org.br. Acesso em: 12 jul. 2012 (adaptado).

Caneca C

10.Do gráfico, temos:

De acordo com os gráficos, a quantidade de embalagens PET recicladas destinadas à produção de tecidos e malhas, em kton, é mais aproximada de

a) 16,0.

b) 22,9. c) 32,0. d) 84,6. e) 106,6.

10. (ENEM) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico:

A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012?

a) 1 20

b) 3 242

c)

• Produto A

Número de compradores

total: 10 + 30 + 60 = 100

Probabilidade de ser sorteado um comprador de fevereiro: P1 = 30 100

• Produto B

Número de compradores

total: 20 + 20 + 80 = 120

Probabilidade de ser sorteado um comprador de fevereiro: P2 = 20 120

A probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012 é:

Trajetória 2

11. (CRM-MS)

Trajetória 2

Após sensação térmica de

4 oC, Mato Grosso do Sul tem previsão de 40 °C nesta segunda Temperaturas voltaram a subir após frio histórico no estado.

Internet: https://www. midiamax.com.br (com adaptações).

Considerando‐se apenas as temperaturas exibidas na manchete acima, é correto afirmar que, no Mato Grosso do Sul, ocorreu uma variação de temperatura (diferença entre a maior e a menor) de

a) 36 oC.

b) 40 oC.

c) 42 oC.

d) 44 oC.

e) 46 oC.

12. (FUNCAB) Na matemática, os números inteiros podem ser trabalhados de várias formas para que o aluno entenda o mundo a sua volta. Os

alunos usam dinheiro para compra e venda e logo terão contas bancárias e utilizarão extratos e notas com saldos positivos e negativos. Uma professora utiliza, para ilustrar suas aulas, um modelo de extrato bancário e com ele trabalha operações com números inteiros.

11. Como a maior temperatura foi 40 oC e a menor foi –4 oC, então a diferença será: 40 – (–4) = 44 oC

Alternativa d

12. Uma das estratégias de resolução é adicionar, na ordem em que aparecem, os valores considerando o sinal. Assim:

do período.

Alternativa c

Os alunos observaram o extrato e utilizando operações com números inteiros

13. Como a temperatura caiu o triplo, temos:

12 – 3 12 = 12 – 36 = –24

Portanto, a temperatura é de 24 graus negativos.

Alternativa d

14.–6 oC é uma temperatura muito fria, muito longe de ser uma temperatura que permita vestir roupas mais leves.

Alternativa c

15. O módulo de –6 é 6 e o simétrico de –6 também é 6. Alternativa e

16.Avaliando as afirmações:

I. Correta: (–2) (+1) (–3) – (21 ÷ 7) = 3 (+1) (–3) – (21 ÷ 7) = 3 que é um número inteiro positivo.

II. Correta: O número 4 5 = 0,8 é um número racional não inteiro.

III. Correta: 25 é um número inteiro positivo (número natural).

Portanto I, II e III são verdadeiras.

Alternativa a

17. Uma das estratégias para resolver essa questão é adicionar todos os números positivos e, em seguida, adicionar todos os negativos e calcular a diferença:

• 840 + 60 = 900, soma dos números positivos;

• 120 + 380 + 240 + 180 = 920, soma dos números negativos.

Logo, 900 – 920 = –20

Portanto, o saldo de Luiz ao final do dia será de –R$ 20,00

Alternativa a

18. Como 17 – 3 = 14 e 20 – 16 = 4,

3 = 14 e 20 – 16 = 4, a conta com o borrão é a mesma que 14 = 4 +.

O número que adicionado a 4 dá 14 é o 10. Logo, o número escondido pelo borrão é o 10.

Alternativa a

determinaram o saldo do período. O valor correto do saldo do período encontrado por eles foi:

a) R$ 320,00

b) R$ 302,00

c) R$ 32,00

d) R$ 30,00

e) R$ 12,00

13. (IPAD) Após uma nevasca sofrida por toda Gravatá, a temperatura, que era de 12 graus centígrados, caiu o triplo. Então, a temperatura nesse momento era de:

a) 12 graus.

b) 12 graus negativos.

c) 24 graus.

d) 24 graus negativos.

e) 0 grau.

14. (FUMARC) Hoje, o Serviço de Meteorologia afirmou que, em Maria da Fé, a temperatura está a –6 oC Carlos disse que irá aproveitar o tempo e dar um passeio com uma roupa mais leve. Ele está certo? Por quê?

a) Carlos está certo, porque essa temperatura é temperada.

b) Carlos está certo, porque essa temperatura é muito agradável.

c) Carlos está errado, porque essa temperatura é muito fria.

d) Carlos está errado, porque essa temperatura é muito quente.

15. (VUNESP) Pode-se afirmar que o simétrico e o módulo de –6 são, respectivamente:

a) 6 e –6

b) –6 e 6

c) 6 e 1 6

d) –1 6 e 6

e) 6 e 6.

16. (PUC-PR) Considerando o conjunto dos números inteiros ! = { –2, –1, 0, 1, 2, }, analise as afirmações a seguir:

I. (–2) (+1) (–3) – 21: 7 é um número inteiro positivo.

II. O número 4 5 não é um número inteiro.

III. 25 é um número inteiro positivo.

a) I, II e III são verdadeiras.

b) I e III são verdadeiras.

c) II e III são verdadeiras.

d) I e II são verdadeiras.

e) I, II e III são falsas.

17. (IPAD) O quadro abaixo mostra o extrato bancário de Luiz no dia 2 de agosto:

Qual o saldo de Luiz, em reais, ao final desse dia?

a) –20,00

b) –40,00

c) –60,00

d) –80,00

e) –120,00

18. (OBMEP) Qual é o número que está escondido pelo borrão?

17 – 3 = 20 – 16 +

a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

19. (UNIFRA) O décimo sexto elemento da sequência abaixo tem uma quantidade de cubos igual a

a) 75o, 75o e 65o

b) 65o, 75o e 65o

c) 75o, 65o e 65o

d) 65o, 65o e 75o

e) 65o, 75o e 75o

22. (UEPB) As retas paralelas r e s são cortadas pela reta t como mostra a figura abaixo. A medida do ângulo b é:

21. O ângulo BC ! A mede 40o, pois é suplementar ao ângulo

75

a) 73.

b) 74.

c) 75.

d) 76.

e) 77.

20. (OBMEP) Observe a sequência de figuras abaixo, todas elas com a forma da letra Y. Seguindo este padrão, quantas bolinhas terá a 15a figura?

a) 120o

b) 100o

c) 140o

d) 130o

e) 110o

23. (AMAUAC) Analise a circunferência a seguir:

(Dado: considere π = 3,14)

a) 35

b) 47

c) 50

d) 52

e) 60

21. (Mackenzie)

Na figura acima, CE é paralelo a BA, a medida do ângulo BC ! D é igual a 140o e a medida do ângulo BA ! C é 75o. Então, os ângulos x, y e z medem, respectivamente,

Assinale a alternativa que representa corretamente o seu perímetro:

a) 50,24 cm

b) 25,12 cm

c) 20,15 cm

d) 16,14 cm

e) 12,56 cm

24. (FUNDATEC) Se o comprimento de uma circunferência é 36π , então a medida do raio dessa circunferência é:

a) 36.

b) 18.

c) 9.

d) 3.

e) 1.

19.Como no primeiro empilhamento há 1 cubinho, o segundo tem 6 cubinhos e o terceiro tem 11 cubinhos, é possível perceber que a sequência está aumentando de 5 em 5.

Assim, podemos calcular 5 15 e adicionar com o 1o elemento para termos o 16o elemento.

Portanto, 1 + 5 15 = 76 cubinhos.

Alternativa d

Então, no triângulo ABC , temos:

x + 75o + 40o = 180o → x = 65o Como CE//BA, temos y = 75o , pois são ângulos alternos internos. Assim, 75o + z = 140o , por serem opostos pelo vértice, e z = 65o

Alternativa b

22. Considerando os ângulos alternos internos:

3 x + 2x = 100o

5 x = 100o x = 20o

Como β é um ângulo externo de um triângulo, então β = 2x + 80o , ou seja, β = 40o + 80o = 120o Alternativa a

23.O perímetro da circunferência é seu comprimento:

P = 2πr = 2 3,14 4 = 25,12

Portanto, o perímetro dessa circunferência é 25,12 cm. Alternativa b

24.P = 2πr ⇒ 36π = 2πr ⇒ r = 18

P = 2πr ⇒ 36π = 2πr ⇒ r = 18 Alternativa b

20.A figura 1 é formada por 5 bolinhas em formato de Y e, a partir dela, quando passamos de uma figura para a seguinte, a próxima figura tem 3 bolinhas acrescidas, sendo uma em cada ponta do Y. Logo, a 15a figura terá 5 + 3 ⋅ 14 = 47  bolinhas. Alternativa b

Trajetória 3

25.Temos:

I. Correta, pois 2,4 + 6,2 = 8,6

II. Correta, pois

5,7 ÷ 3,1 ≅ 1,83

III. Correta, pois 2,2 2 = 4,4

IV. Incorreta, pois

6,2 + 5,7 + 4,4 = 16,3 e não 15,3, como está enunciado.

Alternativa d

26.Representando as informações do problema por meio de uma equação:

k 5 = k 50 + 22,5

k 5 –k 50 = 22,5

10k – k 50 = 22,5

9k = 22,5 50

k = 1 125 9 = 125

Portanto, o valor do algarismo das dezenas do número k é 2.

Alternativa b

27.Considerando x o comprimento original da peça e que, após ser lavada, a peça perdeu um décimo do seu comprimento x: x – 0,1x = 36 0,9x = 36 x = 36 0,9 x = 40

Alternativa c

Trajetória 3

25. (UFPB-PB) Um hospital será construído no período de 2013 a 2015 com recursos do Governo Federal e do Governo Estadual, no valor total de 24 milhões de reais a serem pagos durante os três anos. A tabela a seguir mostra os valores repassados (em milhões de reais):

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

27. (UECE) Uma peça de tecido, após a lavagem, perdeu 1 10 de seu comprimento e este ficou medindo 36 metros. Nestas condições, o comprimento, em m, da peça antes da lavagem era igual a:

a) 44.

b) 42.

c) 40.

d) 38.

Com base nessas informações, são feitas as seguintes afirmativas:

I. No ano de 2013, o valor total a ser repassado será de 8,6 milhões de reais.

II. No ano de 2014, a razão entre os valores repassados pelo Governo Federal e os valores repassados pelo Governo Estadual será de aproximadamente 1,83.

III. No ano de 2015, o valor repassado pelo Governo Federal corresponderá ao dobro do valor repassado pelo Governo Estadual.

IV. Durante os três anos, o Governo Federal repassará um total de 15,3 milhões de reais.

Estão corretas apenas as afirmativas:

a) I e II

b) II e IV

c) I e III

d) I, II e III

e) I e IV

26. (Colégio Naval) Na divisão exata do número k por 50, uma pessoa, distraidamente, dividiu por 5, esquecendo o zero e, dessa forma, encontrou um valor 22,5 unidades maior que o esperado. Qual o valor do algarismo das dezenas do número k?

28.Iniciamos observando que Joãozinho fez 4 furos na folha desdobrada, uma vez que, após as duas dobras, o local escolhido para furar tem 4 camadas de papel. A figura mostra a posição dos furos após cada desdobra. Observamos ainda que, após uma desdobra, para cada furo, obtemos dois furos: um na mesma posição e outro em posição simétrica considerando como eixo a linha de desdobra.

28. (OBMEP) Joãozinho fez duas dobras em uma folha de papel quadrada, ambas passando pelo centro da folha, como indicado na Figura 1 e na Figura 2. Depois ele fez um furo na folha dobrada, como indicado na Figura 3.

Qual das figuras abaixo representa a folha desdobrada?

a)

b)

d) e)

c)

Dentre as figuras das alternativas, apenas a primeira tem essas simetrias. Vejamos com mais detalhes: na folha desdobrada, notamos que os vincos deixados pelas duas dobras feitas têm este aspecto:

29. (ENEM) Uma família resolveu comprar um imóvel num bairro cujas ruas estão representadas na figura. As ruas com nomes de letras são paralelas entre si e perpendiculares às ruas identificadas com números. Todos os quarteirões são quadrados, com as mesmas medidas, e todas as ruas têm a mesma largura, permitindo caminhar somente nas direções vertical e horizontal. Desconsidere a largura das ruas.

(Enem) Alunos de um curso de engenharia desenvolveram um robô “anfíbio” que executa saltos somente nas direções norte, sul, leste e oeste. Um dos alunos representou a posição inicial desse robô, no plano cartesiano, pela letra P, na ilustração.

29.Como o local de trabalho da mãe e o consultório do pai se localizam na rua E, o imóvel deverá ser localizado na rua 4, que é a mediatriz dos pontos correspondentes e deixa os caminhos com a mesma distância por simetria.

A família pretende que esse imóvel tenha a mesma distância de percurso até o local de trabalho da mãe, localizado na rua 6 com a rua E, o consultório do pai, na rua 2 com a rua E, e a escola das crianças, na rua 4 com a rua A.

Com base nesses dados, o imóvel que atende as pretensões da família deverá ser localizado no encontro das ruas:

a) 3 e C

b) 4 e C

c) 4 e D

d) 4 e E

e) 5 e C

Trajetória 4

31. (IMT) Uma lâmina deve ser confeccionada com a forma apresentada na figura, em que ED é paralelo a BC , BA ! E igual a 80o e AB ! C igual a 35o

A direção norte-sul é a mesma do eixo y, sendo que o sentido norte é o sentido de crescimento de y, e a direção leste-oeste é a mesma do eixo x, sendo que o sentido leste é o sentido de crescimento de x Em seguida, esse aluno deu os seguintes comandos de movimentação para o robô: 4 norte, 2 leste e 3 sul, nos quais os coeficientes numéricos representam o número de saltos do robô nas direções correspondentes, e cada salto corresponde a uma unidade do plano cartesiano.

Depois de realizar os comandos dados pelo aluno, a posição do robô, no plano cartesiano, será

A distância do consultório até a escola é de 6 quarteirões, logo, o imóvel deverá ser localizado a 3 quarteirões de cada. Se partirmos da escola e andarmos 3 quarteirões na rua 4, chegaremos à rua D. Por isso, o imóvel deverá ser localizado no encontro das ruas 4 e D. Alternativa c

30.O robô inicialmente está na posição (–1, 1) Ele andou 4 na direção norte, 2 na direção leste e 3 na direção sul: 4 unidades para cima e 3 para baixo (4 – 3 = 1) e, então, uma unidade para cima. Isso significa que o valor em y (ao final) aumentou em 1 unidade, ficando 2.

Segundo

vinco Primeiro

b) (0; 3). c) (1; 2). d) (1; 4). e) (2; 1).

a) (0; 2).

Simétricos com relação ao segundo vinco

Simétricos com relação ao primeiro vinco

Simétricos com relação ao segundo vinco

Simétricos com relação ao primeiro vinco

E se ele anda 2 pra leste (2 para a direita), ele está aumentando o valor de x Então, o valor que era –1 aumentou duas unidades (–1 + 2 = 1), o que equivale ao valor final em x Logo, temos x = 1 e y = 2 ou o ponto (1, 2).

Alternativa c

Trajetória 4

31.Se prolongarmos o segmento ED até tocar no segmento AB, vamos encontrar o ponto F

289 |

32. A parte vermelha é formada por um quadradinho mais 4 metades de quadradinhos. Essas 4 metades juntas têm a mesma área que a de 2 quadradinhos.

Assim, a área total da parte vermelha é igual à área de 1 + 2 = 3  quadradinhos. Como essa área é de 6 cm2, cada quadradinho tem área de 2 cm2

O quadrado inteiro é formado por 9 quadradinhos. Assim, a área em azul equivale à área de 9 – 3 = 6  quadradinhos, que é igual a 9 ⋅ 2 = 12 cm2

Alternativa b

33.A área do triângulo amarelo é 2 × 8 2 = 8 cm2 Logo, a área do triângulo azul é 4 cm 2 . Como o quadrado tem área 64 cm 2 , o quadrilátero rosa tem área 64 – 8 – 4 = 52 cm2

Alternativa c

34.Observe que a figura é formada por quadradinhos inteiros, em verde, por metades de 1 quadradinho, assinaladas em azul, e por metades de retângulos formados por 2 quadradinhos, assinalados em vermelho.

A medida do ângulo AE ! D, é

a) 120o

b) 90o

c) 115o

d) 65o

e) 45o

32. (OBMEP) O quadrado abaixo está dividido em nove quadradinhos iguais. A área pintada de vermelho mede 6 cm2. Quanto mede a área pintada de azul?

34. (OBMEP) A área da figura azul é igual à soma das áreas de quantos quadradinhos do quadriculado?

a) 12

b) 22

c) 32

a) 10 cm2

b) 12 cm2

c) 14 cm2

d) 16 cm2

e) 18 cm2

33. (OBMEP) O quadrado abaixo está dividido em dois triângulos e um quadrilátero. O triângulo amarelo tem o dobro da área do triângulo azul. Qual é a área do quadrilátero rosa?

d) 64

e) 100

35. (ENEM) Minecraft é um jogo virtual que pode auxiliar no desenvolvimento de conhecimentos relacionados a espaço e forma. É possível criar casas, edifícios, monumentos e até naves espaciais, tudo em escala real, através do empilhamento de cubinhos. Um jogador deseja construir um cubo com dimensões 4 × 4 × 4 Ele já empilhou alguns dos cubinhos necessários, conforme a figura.

Cada uma dessas áreas vale

1, 1 2 e 1 da área de um quadradinho, respectivamente.

Logo, a área total da figura equivale a:

12 + 4 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

a) 36 cm2

b) 48 cm2

c) 52 cm2

d) 56 cm2

e) 60 cm2

35.Observe a figura:

+ 8 1 = 22 quadradinhos

+ 8 1 = 22 quadradinhos

Alternativa b

A peça que se encaixa é a do item a Alternativa a

Os cubinhos que ainda faltam empilhar para finalizar a construção do cubo, juntos, formam uma peça única, capaz de completar a tarefa.

O formato da peça capaz de completar o cubo 4 × 4 × 4 é

Jovens em atividade entre 15 e 29 anos (%)

a)

b)

d) e)

c)

36. (OBMEP) João formou um cubo 5 × 5 × 5 usando cubinhos menores numerados, sendo que cada cubinho recebeu um número diferente dos demais. O cubo foi montado de tal modo que a soma dos números em qualquer bloco de 5 cubinhos alinhados lado a lado fosse sempre a mesma. A soma dos números de todos os cubinhos é 7 875. Qual é a soma dos números dos cubinhos de uma face qualquer do cubo?

De acordo com as informações dadas, o número de jovens entrevistados que trabalha é

a) 114 708.

b) 164 076.

c) 213 444.

d) 284 592.

e) 291 582.

38. (Enem) O gerente de uma loja de cosméticos colocou à venda cinco diferentes tipos de perfume, tendo em estoque na loja as mesmas quantidades de cada um deles. O setor de controle de estoque encaminhou ao gerente registros gráficos descrevendo os preços unitários de cada perfume, em real, e a quantidade vendida de cada um deles, em percentual, ocorrida no mês de novembro.

a) 315

b) 1 575

c) 2 875

d) 5 625

e) 7 875

37. (Enem) A Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (Pnad) é uma pesquisa feita anualmente pelo IBGE, exceto nos anos em que há Censo. Em um ano, foram entrevistados 363 mil jovens para fazer um levantamento sobre suas atividades profissionais e/ou acadêmicas. Os resultados da pesquisa estão indicados no gráfico.

36.Uma fatia qualquer do cubo é formada por 25 cubinhos, sendo 5 blocos de 5 cubinhos alinhados lado a lado. Como a soma dos números em qualquer bloco de 5 cubinhos alinhados lado a lado é a mesma, segue que a soma dos números dos 25 cubinhos de uma fatia qualquer do cubo também é a mesma. Sendo o cubo formado por 5 fatias, essa soma é igual a um quinto de 7 875, ou seja, 1 575.

Finalizando, uma face qualquer do cubo também é uma fatia do cubo e, portanto, a soma dos números em uma face qualquer do cubo é 1 575.

Alternativa b

37.Pela pesquisa, o total percentual de pessoas que trabalham é de 13,6% + 45,2% = 58,8% 13,6% + 45,2% = 58,8% Assim, temos um total de 363000 58,8% = 363000 363000 58,8% = 363000 0,588 = 213444 jovens.

Alternativa c

DISPONÍVEL EM: HTTP://NOTICIAS.UOL.COM.BR. ACESSO EM: 20 AGO. 2014.

Preço do perfume por unidade (R$)

38.Vamos supor uma quantidade de 100 unidades para cada perfume. Assim, por meio das porcentagens dadas no gráfico de setores, calcularemos a quantidade vendida de cada perfume:

• Perfume I: 13% 100 = 13 perfumes vendidos.

• Perfume II: 10% 100 = 10 perfumes vendidos.

• Perfume III: 16% ⋅ 100 = 16 perfumes vendidos.

• Perfume IV: 29% 100 = 29 perfumes vendidos.

• Perfume IV: 32% 100 = 32 perfumes vendidos.

Agora, basta calcular a receita gerada pela venda desses perfumes. Multiplicaremos a quantidade de perfumes vendidos pelo preço do respectivo perfume (gráfico de colunas):

• Perfume I: 13 200 = 2 600 reais arrecadados.

• Perfume II: 10 ⋅ 170 = 1 700 reais arrecadados.

• Perfume III: 16 150 = 2 400 reais arrecadados.

• Perfume IV: 29 100 = 2 900 reais arrecadados.

• Perfume V: 32 ⋅ 80 = 2 560 reais arrecadados.

Dessa maneira, o perfume que mais arrecadou foi o IV. Alternativa d

39.A quantidade dos que possuem telefone celular no Sudeste é 56% 14 900 = 8 344 % 14 900 = 8 344

Porcentagem da quantidade vendida de cada perfume

40. (Enem) Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme gráfico, da chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados.

Ranking do desmatamento em km2

Dados a chegada do final de ano e o aumento das vendas, a gerência pretende aumentar a quantidade estocada do perfume do tipo que gerou a maior arrecadação em espécie, em real, no mês de novembro.

Nessas condições, qual o tipo de perfume que deverá ter maior reposição no estoque?

a) I

b) II

c) III

d) IV e) V

39. (Enem) Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios.

Estudantes que possuem telefone móvel celular com idade de 10 anos ou mais

DISPONÍVEL EM: WWW.FOLHAONLINE.COM.BR. ACESSO EM: 30 ABR. 2010 (ADAPTADO). Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento médio por estado em 2009 está entre

a) 100 km2 e 900 km2

b) 1 000 km2 e 2 700 km2

c) 2 800 km2 e 3 200 km2

d) 3 300 km2 e 4 000 km2

e) 4 100 km2 e 5 800 km2

41. (Enem) Em uma fábrica de refrigerantes, é necessário que se faça periodicamente o controle no processo de engarrafamento para evitar que sejam envasadas garrafas fora da especificação do volume escrito no rótulo. Diariamente, durante 60 dias, foram anotadas as quantidades de garrafas fora dessas especificações. O resultado está apresentado no quadro. QUANTIDADE DE GARRAFAS FORA

Fonte: IBGE. Disponível em: http//www.ibge.gov. br. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado). Supondo-se que, no Sudeste, 14 900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam telefone móvel celular?

A média diária de garrafas fora das especificações no período considerado é

a) 5 513

b) 6 556 c) 7 450 d) 8 344 e) 9 536

b) 0,2. c) 1,5. d) 2,0. e) 3,0.

a) 0,1.

42. (OBMEP) A figura mostra um quadrado com suas diagonais e segmentos que unem os pontos médios de seus lados. A área em preto corresponde a que fração da área do quadrado?

44. (OBMEP) A turma de Carlos organizou uma rifa. O gráfico mostra quantos alunos compraram um mesmo número de bilhetes; por exemplo, sete alunos compraram três bilhetes cada um. Quantos bilhetes foram comprados?

Cada triângulo branco corresponde a 1 16  do quadrado maior. Como temos quatro triângulos brancos, a área branca da figura corresponde a 4 ⋅ 1 16 = 1 4  do quadrado maior. Daí, a área sombreada corresponde a 1 –1 4 = 3 4  do quadrado maior. Alternativa c

a) 1 3

b) 2 3

c) 3 4 d) 3 8

e) 9 16

43. (OBMEP) O gráfico mostra a temperatura média e a precipitação de chuva em Quixajuba em cada um dos meses do ano passado. Qual das afirmativas abaixo está correta?

a) 56

b) 68

c) 71

d) 89

e) 100

45. (OBMEP) A estrada que passa pelas cidades de Quixajuba e Paraqui tem 350 quilômetros. No quilômetro 70 dessa estrada há uma placa indicando Quixajuba a 92 km. No quilômetro 290 há uma placa indicando Paraqui a 87 km. Qual é a distância entre Quixajuba e Paraqui?

43. A única afirmação coerente com o gráfico é: “Os dois meses mais frios foram também os de menor precipitação”. Alternativa c

44.Basta multiplicar a quantidade de bilhetes comprados com mesmo número pela respectiva quantidade de alunos:

45.Primeiro calculamos em que ponto da estrada se encontram as cidades:

• Quixajuba: 70 + 92 = 162;

a) De outubro para novembro, aumentaram tanto a precipitação quanto a temperatura.

b) Os dois meses mais quentes foram também os de maior precipitação.

c) Os dois meses mais frios foram também os de menor precipitação.

d) O mês menos chuvoso foi também o mais frio.

e) O mês mais chuvoso foi também o mais quente.

Agora, observe que o triângulo branco ABD e o triângulo sombreado BCD têm a mesma

a

• Paraqui: 290 – 87 = 203 Basta agora verificar a diferença entre a posição das duas cidades na estrada: 203 – 162 = 41 As cidades estão a 41 km de distância uma da outra.

Alternativa b

42. Observe que os segmentos que unem os pontos médios dos lados dividem o quadrado maior em quatro quadrados menores e que as diagonais dividem cada quadrado menor em quatro triângulos menores. A área de cada um desses triângulos menores é igual a 1 16  do quadrado maior.

área, pois têm

mesma base a e mesma altura em relação a essa base.

Leituras para o aluno

91 truques matemáticos legais, de Anna Claybourne

Já pensou conseguir criar um código que ninguém consegue entender, a menos que você explique o segredo por trás dele?

Este é um dos vários truques que podemos aprender com este fantástico livro de truques matemáticos.

Almanaque das curiosidades matemáticas, de Ian Stewart

Sabe qual é o menor número de pessoas para quem você precisa perguntar a data de aniversário até encontrar duas com a mesma data? Bem menor do que você imagina! Estas e outras curiosidades matemáticas são explicadas neste livro, que nos mostra como a Matemática está presente de forma divertida em nosso dia a dia.

Alex no país dos números, por Alex Bellos

Como podemos realizar uma conta com muitos dígitos de forma rápida e sem sofrimento? E o que isso tem a ver com ir até um cassino para tentar enriquecer com estatísticas malucas? Como as tribos indígenas da Amazônia resolvem problemas aritméticos? Um passeio por diversas culturas e as diferentes caras da Matemática ao redor do mundo.

Flatland – O mundo plano, por Edwin A. Abbott

Um universo de duas dimensões, no qual não há a profundidade de nossa realidade tridimensional, é habitado por muitas formas geométricas. Até que um quadrado vive uma experiência que muda todas as suas concepções de vida e o faz questionar tudo que aprendeu sobre sua realidade. Como isso irá se desenrolar?

Sou péssimo em Matemática: como desvendar os mistérios dos números com histórias fascinantes e dicas infalíveis, por Rafael Procópio

Cansado de ver tantas fórmulas sem sentido na Matemática? E se houvesse uma forma de viver tudo isso de um jeito mais divertido, dinâmico e que não fosse tão entediante? Após a leitura deste livro, ninguém dirá que é péssimo em Matemática.

Número: a linguagem da ciência, por Tobias Dantzig

Uma excelente leitura para conhecer a história da Matemática e seus percalços. Quando foi que surgiu o número negativo? Todos os povos conheciam a ideia de infinito?

Referências bibliográficas

ALERGIA alimentar é o tema central da Semana Mundial. Associação Brasileira de Alergia e Imunologia, 27 mar. 2019. Disponível em: https://asbai.org.br/alergia-alimentar-e-o-tema-central-da-semana-mundial/#:~:-text=No%20Brasil%2C%20n%C3%A3o%20h%C3%A1%20estat%C3%ADsticas,algum%20tipo%20de%20alergia%20alimentar. Acesso em: 9 ago. 2022. Texto sobre alergia alimentar com dados e estatísticas relevantes, descrevendo como o tema foi tratado de forma central na Semana Mundial de Alergia e Imunologia em 2019.

A VOZ da juventude no combate às mudanças climáticas. IDEAÇÃO, 21 jun. 2019. Disponível em: https://blogs.iadb.org/brasil/ pt-br/a-voz-da-juventude-no-combate-as-mudancas-climaticas. Acesso em: 10 ago. 2022.

Texto sobre as mudanças climáticas, suas ameaças e os movimentos que os jovens têm feito para protestar contra seus riscos.

BENTLEY, Peter. O livro dos números: uma história ilustrada da Matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 2009. Investigações acerca do número pi e seu valor aproximado ao longo da história da humanidade.

BRASIL. Ministério do Esporte. A prática de esporte no Brasil. Disponível em: http://arquivo.esporte.gov.br/diesporte/2.html. Acesso em: 9 ago. 2022.

Pesquisa apresentando dados e estatísticas a respeito da prática esportiva no Brasil.

BRASIL. Ministério da Saúde. Guia alimentar para a população brasileira. 2. ed. Brasília: Ministério da Saúde, 2014. Guia com sugestões de hábitos saudáveis e positivos para a alimentação para a sociedade, incluindo três orientações básicas.

D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática. 5. ed. São Paulo: Ática, 1998. Obra que define o matematizar.

ENDOCRINOLOGISTAS alertam que ser magro não é sinônimo de saúde. Associação Beneficente Síria. Disponível em: www. hcor.com.br/imprensa/noticias/endocrinologistas-alertam-que-ser-magro-nao-e-sinonimo-de-saude/#:~:text=Ajuste%20de%20Contraste-,Endocrinologistas%20alertam%20que%20ser%20magro%20n%C3%A3o%20%C3%A9%20 sin%C3%B4nimo%20de%20sa%C3%BAde,a%20Organiza%C3%A7%C3%A3o%20Mundial%20de%20Sa%C3%BAde.

Acesso em: 9 ago. 2022.

Texto sobre o risco de se acreditar que magreza é sinônimo de saúde.

FONSECA, Deyse Gomes da; MULLER, Hofélia Madalena Pozzobon. Aprendizagem matemática rural e etnomatemática: visualização e compreensão de novos diálogos. Universidade Estadual de Goiás (UEG) Campus Posse.

Texto sobre a importância da Matemática no contexto cotidiano, em especial as necessidades que ela supre no contexto rural e regional, e como isso pode ser resgatado na educação.

FREITAS, Clara Maria Silveira Monteiro de et al. O padrão de beleza corporal sobre o corpo feminino mediante o IMC. Rev. Bras. Educ. Fís. Esporte, São Paulo, v. 24, n. 3, jul./set. 2010, p.389-404. Disponível em: www.scielo.br/j/rbefe/a/rMpVx4jWKSSJmm9zsGT6fjh/?format=pdf&lang=pt. Acesso em: 10 ago. 2022.

Texto retratando uma época em que corpos volumosos e rotundos eram o padrão de beleza da sociedade.

HIDRELÉTRICAS e esgoto são as maiores ameaças a estuários no Brasil. CBH São Francisco. Disponível em: https://2017. cbhsaofrancisco.org.br/2017/hidreletricas-e-esgoto-sao-as-maiores-ameacas-a-estuarios-no-brasil/. Acesso em: 10 ago. 2022.

Reportagem denunciando as ameaças aos estuários no Brasil, citando as hidrelétricas e esgotos como maiores ameaças.

ICOROCACI; Ilha de Marajó. Wikipedia, [s. l.] [s. d.]. Disponível em: www.wikipedia.org. Acesso em: 9 ago. 2022. Descrição técnica do município de Icoracaci, localizado no estado do Pará, Brasil.

KARIRI-XACÓ, Nhenety. Arco digital: uma rede para aprender a pescar. Maceió: Ministério da Cultura/Instituto Oi Futuro, 2007. Texto de um indígena comparando as realidades de seu povo com a tecnologia, por meio da comparação de um computador a um arco e flecha.

LARA, Rodrigo. Adeus, bússola salvadora: como seria se o campo magnético da Terra sumisse? Tilt UOL, 6 jul. 2021. Disponível em: https://www.uol.com.br/tilt/noticias/redacao/2021/07/06/defesa-esburacada-o-que-aconteceria-se-o-campo-magnetico-da-terra-sumisse.htm. Acesso em: 3 ago. 2022.

Texto explicando a importância do campo magnético da Terra para instrumentos tecnológicos e para os seres vivos que se orientam através dele.

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NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LEONARDI, Ana Carolina. Dieta ultraprocessada bagunça totalmente o seu apetite. Superinteressante, 11 jul. 2019. Disponível em: https://super.abril.com.br/saude/dieta-ultraprocessada-bagunca-totalmente-o-seu-apetite. Acesso em: 9 ago. 2022. Reportagem explicando os riscos dos alimentos ultraprocessados para a saúde alimentar confirmados por um estudo realizado nos EUA.

LIMA, Tomás. 10 construções sustentáveis que você precisa conhecer. Blog Sienge, 25 fev. 2019. Disponível em: www.sienge. com.br/blog/10-construcoes-sustentaveis. Acesso em: 10 ago. 2022. (Adaptado). Trecho que explicita alguns critérios necessários para se classificar uma construção como sustentável, com imagens de exemplos.

LISTA de unidades federativas do Brasil por população. Wikipedia, [s. l.] [s. d.]. Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/ Lista_de_unidades_federativas_do_Brasil_por_popula%C3%A7%C3%A3o. Acesso em: 10 ago. 2022.

Página contendo a lista de unidades federativas do Brasil e suas populações.

OBESIDADE infantojuvenil. Associação Desiderata. Disponível em: https://desiderata.org.br/area/obesida=-de-infantojuvenil/?gclidCj0KCQjw_4-SBhCgARIsAAlegrXsxhhBlVMoOOUEeIsrrM6Nln2rKdhR2qJPYkf1L6tNRdikm-4to_qoaApHPEALw_wcB. Acesso em: 9 ago. 2022.

Sítio com estatísticas sobre a obesidade infantojuvenil e as principais recomendações para se evitar ou reverter um possível quadro de obesidade em crianças e adolescentes.

OLIVEIRA, Pâmela. Pesquisa: quatro em cada 100 mulheres se acham bonitas. Terra Notícias. Disponível em: www. terra.com.br/vida-e-estilo/beleza/pesquisa-quatro-em-cada-100-mulheres-se-acham-bonitas,f358430f5de27310Vg nCLD100000bbcceb0aRCRD.html. Acesso em: 28 abr. 2022.

Manchete de notícia retratando a proporção de mulheres que se acham bonitas.

O QUE é ética no mundo digital e por que é importante? Blog Mackenzie. Disponível em: https://blog.mackenzie.br/mercado-carreira/mercado-de-trabalho/nocoes-de-etica-no-mundo-digital-2. Acesso em: 9 ago. 2022.

Texto sobre a importância da ética no mundo digital e os perigos que a falta dela pode trazer à sociedade, incluindo bullying e outros crimes digitais.

PESQUISA pública “O mundo em 2030”. UNESCO, 31 dez. 2020. Disponível em: https://pt.unesco.org/news/pesquisapublica-o-mundo-em-2030-mudanca-climatica-e-perda-da-biodiversidade-sao-longe-maiores#:~:text=Data-, Pesquisa%20p%C3%BAblica%20%22O%20mundo%20em%202030%22%3A%20mudan%C3%A7a%20clim%C3% A1tica%20e,s%C3%A3o%20as%20solu%C3%A7%C3%B5es%20mais%20importantes&text=Est%C3%A3o%20aqui%20 os%20resultados%20da,maio%20a%20setembro%20deste%20ano. Aceso em: 10 ago. 2022.

Pesquisa realizada pela UNESCO sobre a situação do mundo em 2030.

SAIBA como proteger mananciais e também os estuários. Fragmaq, 28 abr. 2016. Disponível em: www.fragmaq.com.br/blog/ saiba-proteger-mananciais-e-tambem-estuarios. Acesso em: 10 ago. 2022.

Explicação sobre a importância das fontes de água para a sociedade e como protegê-las, em especial os mananciais. SIMETRIA na fotografia – 3 exemplos para se inspirar. Instituto Mutu. Disponível em: www.mutu.com.br/m/blog/61b7baa064f9f83dcd3bafc2/simetria-na-fotografia-3-exemplos-para-se-inspirar. Acesso em: 10 ago. 2022.

Texto sobre a utilização da simetria na fotografia, as impressões geradas e detalhes a se atentar durante sua utilização. USO de internet, televisão e celular no Brasil. IBGE Educa. Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/jovens/materias-especiais/20787-uso-de-internet-televisao-e-celular-no-brasil.html (adaptado). Acesso em: 9 ago. 2022.

Trecho curto sobre a utilização da internet no Brasil e suas estatísticas. VOLUME. Ipem. Disponível em: www.ipem.sp.gov.br/conversor/pages/volume/volume.html. Acesso em: 9 ago. 2022. Definição de volume, sua etimologia, unidades de medida e conceito geral.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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