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JEFFERSON CEVADA | DANIEL ROMÃO DA SILVA GABRIEL GLEICH PRADO

MATEMÁTICA

NOS DIAS DE HOJE

MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS

MANUAL DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

NOS DIAS DE HOJE

MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS

MANUAL DO PROFESSOR

Jefferson Cevada Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT). Foi professor e coordenador da rede pública de São Paulo. Editor e elaborador de conteúdos didáticos. Daniel Romão da Silva Doutor e Mestre em Educação pela Universidade de São Paulo (USP). Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). Foi coordenador e professor da rede pública e particular de São Paulo. Autor de materiais didáticos. Gabriel Gleich Prado Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). Atua como professor da rede Particular de São Paulo. Autor de materiais didáticos.

São Paulo • 1a edição • 2022 São Paulo • 1a edição • 2022

Direção editorial Sandro Aloísio Produção gráfica Reinaldo Correale Giliard Andrade Equipe M10 Editorial Coordenação pedagógica Alessandra Corá Coordenação editorial Fernanda Azevedo Edição Angela Leite Assistência editorial Gabriel Santos Novaes Carolina Tsuda Conceição Longo Rui de Melo Neves Neto Preparação e revisão de textos Brenda Gomes Caroline Ponzi Thais Sanchez Marina Bueno Projeto gráfico de capa e miolo Arte/M10

Coordenação de editoração eletrônica Eduardo Enoki Editoração eletrônica Fanny Sosa Nathalia Scala Ricardo Coelho Iconografia M10 Editorial Licenciamento de texto e imagens Tempo Composto Imagens gerais, de projeto gráfico e ilustrações técnicas Arte/ M10 Shutterstock.com Freepik

Impressão e acabamento Oceano Indústria Gráfica e Editora Ltda. Rua Osasco, 644 – Rod. Anhanguera, km 33 CEP 07750-020 – Cajamar – SP CNPJ: 67.795.906/0001-10 Tel.: (11) 4446-7000 Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada. ISBN 978-85-54226-75-6 (Aluno) ISBN 978-85-54226-76-3 (Professor) Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (eDOC BRASIL, Belo Horizonte/MG) C424m

Cevada, Jefferson. Matemática nos dias de hoje: 9º ano / Jefferson Cevada, Daniel Romão da Silva, Gabriel Gleich Prado. – São Paulo, SP: Editora SEI, 2022. ISBN 978-85-54226-75-6 (Aluno) ISBN 978-85-54226-76-3 (Professor) 1. Matemática – Estudo e ensino. I. Silva, Daniel Romão da. II.Prado, Gabriel Gleich. III. Título. CDD 510.7

Elaborado por Maurício Amormino Júnior – CRB6/2422

INTRODUÇÃO Ensinar e aprender dizem respeito às experiências diversas ao longo da trajetória de uma pessoa, uma comunidade, um povo. É na trajetória que se manifestam as diversas experiências enriquecedoras para o ensino e a aprendizagem. Sendo ela um elemento fundamental do processo de transformação, quais seriam, então, seus significados? Como parte de sua essência, destacamos: trajeto, ou seja, um curso a ser percorrido entre uma paisagem material ou imaterial de determinado espaço; sequência de acontecimentos, como um tecido temporal entrelaçado de fatos diversos, sejam concretos ou não; esboço de um caminho – a órbita desenhada por algo em movimento. Juntos, esses sentidos se complementam, se mesclam e favorecem a construção de uma metáfora para a relação complexa que é ensinar e aprender. Aqueles que se colocaram a caminho perceberam o quanto de estratégias conhecidas e de originalidade para o imprevisível se fizeram necessários. Assim é como se sente um professor, com os materiais que tem em mãos, diante de sua sala de aula, sujeito à diversidade de tempo de aprendizagem de seus alunos. Conhecer esses elementos e ter aptidão para os imprevistos favorecem a construção de estratégias necessárias à sua própria trajetória. Convide seus pares a compartilhar impressões, reflexões, pontos de vista e possibilidades de adaptações tanto no livro do estudante quanto nas propostas do manual do professor, entre outras ações, todas em favor de ressignificações para o melhor uso do material em suas mãos. Esperamos que esses materiais se tornem um aliado para envolver os alunos em aprendizagens significativas.

# SUMÁRIO EM FOCO: O LIVRO DO ESTUDANTE, VI EM FOCO: O MANUAL DO PROFESSOR , VIII PRONTOS PARA COMEÇAR!, X TRAJETÓRIA 1 – NORTEADORES: PARA TODOS OS VOLUMES , XIV

2. A prática docente, XXVII

ESB PROFESSIONAL/ SHUTTERSTOCK

RAWPIXEL.COM/SHUTTERSTOCK

1. Visão geral da nossa proposta, XV

Como aproveitar ao máximo os recursos apresentados nesta coleção?, XV

• Check-in, XV • Salas de aula e realidades diferentes, XVI • Estrutura da coleção e a prática docente, XVI Avaliação: informada × assistida, XVI

• As fases da trajetória de aprendizagens, XVII • A aprendizagem autorregulada, XVIII • Ciclos de aprendizagens e ciclos avaliativos, XX Avaliação diagnóstica, XX Avaliação de processo ou formativa, XX Avaliação de resultado, XX

• Avaliação a serviço da aprendizagem, XX

1. Para efeitos de avaliação diagnóstica, usos possíveis, XX 2. Para efeitos de avaliação em processo, usos possíveis, XXII 3. Para efeitos de avaliação de resultados, usos possíveis, XXIV

• Autoavaliação e autoconhecimento como aprendiz, XXVI

Como ajustar a prática docente para melhorar o processo de ensino-aprendizagem?, XXVII

• Check-in, XXVII • Identidade do professor, ambientes de aprendizagem e avaliação, XXVIII

• Cenários de proposição, XXVIII • Avaliação formativa, XXX

Avaliação na prática pedagógica, XXX Verbos da ação avaliativa, XXXI Aprendizagem assistida por avaliação, XXXI

LIGHTSPRING/SHUTTERSTOCK

3. Articulações entre os materiais, XXXII

Articulações entre objetivos, justificativas desses objetivos, competências e habilidades, XLII

• Trajetória 1 do LE, XLII • Trajetória 2 do LE, XLV • Trajetória 3 do LE, XLVIII • Trajetória 4 do LE, L

Como estabelecer vínculos entre os materiais voltados para o estudante e os que são voltados para o professor?, XXXII

• Check-in, XXXII • Vínculo entre a estrutura da obra e as ações docentes voltadas para a avaliação, XXXIII

Subsídios para trabalhar a interdisciplinaridade, LIII

• Trajetória 1 do LE, LIII • Trajetória 2 do LE, LIV • Trajetória 3 do LE, LV • Trajetória 4 do LE, LV

• Letramento matemático, XXXIII

A BNCC e o letramento matemático, XXXV Os processo matemáticos, XXXVI

• Flexibilização curricular da coleção, XXXVIII

Aspectos envolvidos na avaliação, nos problemas e nos exercícios, XXXVIII Aspectos envolvidos nas perguntas norteadoras, nos TCTs e na interdisciplinaridade, XXXVIII

• Mapa de Temas Contemporâneos Transversais na BNCC, XXXIX

Justificativa e pertinência dos objetivos e propostas de avaliação, LVII

• Trajetória 1 do LE, LVII • Trajetória 2 do LE, LVIII • Trajetória 3 do LE, LIX • Trajetória 4 do LE, LX

BIBLIOGRAFIA, XL Sugestão de cronograma, LXI

FIZKES/SHUTTERSTOCK

TRAJETÓRIA 2 – ESSENCIAIS: PARA ESTE VOLUME, XLI

HABILIDADES DE MATEMÁTICA E DE OUTRAS DISCIPLINAS, LXII • Quadros de habilidades do 9º ano – Matemática, LXII • Quadros de habilidades do 9º ano – outras disciplinas, LXIV

• Check-in, XLI

EM FOCO: O LIVRO DO ESTUDANTE O livro do estudante tem uma estrutura gráfico-editorial com intencionalidade didática voltada para o processo de mediação da aprendizagem.

ALEXANDRE R. / M10

ESTRUTURA DA OBRA: MEDIAÇÃO DA APRENDIZAGEM

PRÉ-MEDIAÇÃO

Seções especiais para declarar as intenções e os objetivos de aprendizagem, fazer diagnósticos e levantar conhecimentos prévios, ler mapas norteadores, instigar e convidar o aluno a percorrer um novo passeio e se envolver com o conhecimento que está por vir.

1 3

Leia o texto:

O Brasil é um país de dimensões continentais, com vinte e três mil, cento e dois quilômetros de fronteiras, terrestres e marítimas. Esse tamanho abriga uma biodiversidade de doze mil e vinte e oito espécies de animais e quatro mil seiscentos e dezessete espécies de plantas. Um animal símbolo dessa biodiversidade é o tamanduá-bandeira, que chega a medir duzentos e vinte centímetros

4 8

4 6

1 2

2 3

PASSEIO 1 – NÚMEROS NATURAIS 1

de comprimento e consegue comer até trinta mil formigas em um só dia! Mas precisamos cuidar dos biomas brasileiros que abrigam tal biodiversidade. Entre os anos de 2000 e 2018, o Cerrado, bioma que abriga boa parte dos tamanduás-bandeira, teve uma perda de cento e cinquenta e dois mil setecentos e seis quilômetros quadrados de sua extensão.

ATMOSFERA ATMOSFER A

ARREDORES

COMO INTERPRETAMOS O MUNDO À NOSSA VOLTA E NOS EXPRESSAMOS POR MEIO DOS NÚMEROS?

Nosso jeito de ver as formas no mundo Você gosta de observar a forma dos objetos em lugares diversos?

Comparação e ordenação

Leitura e escrita

China antiga

Incas

História da numeração Reta numérica

VANITJAN/SHUTTERSTOCK

3. 0

VVVITA/SHUTTERSTOCK

#PRONTOSPARACOMEÇAR!

Roma antiga

NÚMEROS NATURAIS Egito antigo

Texto elaborado com finalidade didática. Informações obtidas em: www.wwf.org.br e https://educacao.uol.com.br. Acessos em: 17 maio 2022.

Escreva com algarismos os números destacados no texto, em ordem crescente, utilizando o símbolo de menor (<). 220 < 2 000 < 2 018 < 4 617 < 12 028 < 23 102 < 30 000 < 152 706 Represente estes números em uma reta numérica:

Observe as figuras (considere o círculo como o inteiro): 1 ; 4 ; 1 ; 2 ; 4 ;

3 5 ; 0,3; ; 1; 2,25 4 2

0,3

3 4

2 6 3 3 8

Escreva a fração que corresponde às partes pintadas em relação ao todo em cada figura e, em seguida, represente essas frações em uma reta numérica. 4.

Em uma caixa há 100 livros destinados para doação. Considerando essa informação, substitua cada ■ pelo número correto: a) Se há 75 livros usados, então ■%

dos livros são usados. 75 b) Se a décima parte dos livros é de ficção científica, então ■% dos livros são de ficção científica. 10 c) Sabendo que metade dos livros foi doada por uma única pessoa, as doações dessa pessoa correspondem a ■% do total de livros. 50 d) Se 25% dos livros são de poesia, então há ■ livros de poesia na caixa. 25 14 |

VI | MANUAL DO PROFESSOR

2 2,25 5 2

Sistemas de numeração

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Povos originários do Brasil

Formas geométricas no design de ambientes.

Foi desenhado um plano cartesiano sobre o mapa de certa cidade: Contagens

Qual das alternativas é a correta em cada item? a) O ponto de coordenadas (1, 3) repre-

senta um local do mapa: com água x terrestre • área verde b) Um ponto situado em uma área verde do mapa é: • (6, 10) • (13, 3) x • (10, 9) • •

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Valor proporcional

SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL Estimativas

Diversidade, quantidade e qualidade no mundo ao nosso redor.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Sabe dar nome, perceber características ou pensar em relações entre algumas figuras geométricas? Veja o que o olhar de Armandinho descobriu:

Base

ALEXANDRE R./M10

Ao olhar o mundo ao redor, percebemos uma grande diversidade de objetos, pessoas e seres vivos. Além de serem diversos, também existem em grandes quantidades. Há situações em que nos interessa contar com exatidão essas quantidades e, em outras, gostaríamos somente de ter uma ideia aproximada, ou seja, estimar essas quantidades.

EF06MA01, EF06MA02 EF67LP23, EF69LP33 EF06HI14 EF69AR34

BECK, Alexandre. Armandinho. Tiras Armandinho. Disponível em: https://tirasarmandinho.tumblr.com/ post/115869048829/tirinha-original. Acesso em: 27 jun. 2022.

BÚSSOLA BÚSSOL A

CHECK-IN

Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: •

Observe a imagem e responda: Respostas pessoais.

•

a) Quantas pedras, aproximadamente, existem na imagem?

•

b) Em grupos, elaborem uma estratégia para estimar a quantidade de pedras. Em

seguida, compartilhem com a turma.

•

Conte ou estime a quantidade de cada uma delas. Compartilhe sua resposta com os colegas.

•

c) É possível organizar as pedras da imagem por cores? Que cores você identifica?

20 | TRAJETÓRIA 1

Função do zero

ARMANDINHO, DE ALEXANDRE BECK/ ACERVO DO CARTUNISTA

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

• •

ATIVIDADES

Ler, escrever, comparar e ordenar números naturais. Reconhecer o Sistema de Numeração Decimal que prevaleceu no mundo ocidental. Identificar as principais características do Sistema de Numeração Decimal, como valor posicional e função do zero. Compor e decompor números naturais. Localizar números naturais na reta numérica. Fazer estimativas de quantidades. Reconhecer diversos sistemas de numeração de distintos povos e épocas.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

1. 2. 3.

21 |

As falas do personagem Armandinho nos primeiros quadrinhos estavam corretas? Por Sim, mas ele ficou confuso porque, ao alterar a posição, ele que o personagem ficou confuso? viu formas diferentes. Um Na primeira imagem, qual figura geométrica plana você consegue identificar? quadrilátero. A fala do pai de Armandinho no último quadrinho pode ter dois sentidos. Um deles é relacionado à própria Matemática. Outro é relacionado à maneira como nos comportamos, agimos e nos relacionamos com o mundo e com os outros. Identifique esses sentidos e compartilhe com os colegas. Respostas pessoais.

70 | TRAJETÓRIA 1

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

INTERMEDIAÇÃO

Páginas e seções pensadas para o aluno ler, refletir, questionar, elaborar, investigar, usar tecnologias da informação, aprender e compartilhar. Oferecem oportunidades variadas de interações e de incentivo às criações propositivas do aluno. Sólidos geométricos no cotidiano

5. Responda no caderno: a) No cubo e na pirâmide de base quadrada.

ARTE/ M10

FRESHPAINT/SHUTTERSTOCK

a) Em quais daqueles sólidos geométricos as bordas são formadas só por linhas retas?

ARTE/ M10

ATIVIDADES

Agora, ampliaremos essa figura de modo que cada lado tenha o triplo do comprimento dos lados da figura original. Para isso, podemos selecionar um dos pontos da lista. Ao abrir o teclado virtual, digitaremos “× 3”. Em seguida, marcaremos no plano cartesiano os pontos A, B, C e D. Note que, ao marcarmos os pontos no plano, aparece uma lista com as coordenadas dos pontos.

BLUE PLANET STUDIO/SHUTTERSTOCK

Elas contornaram as bordas planas e, depois, preencheram colorindo a parte interna.

Ao iniciar o aplicativo, será exibido um plano cartesiano e uma barra de ferramentas com diversas opções. Aqui, utilizaremos a função “novo ponto”.

JAKA SURYANTA/SHUTTERSTOCK

JAMESTEOHART/SHUTTERSTOCK

Esfera

FRESHPAINT/SHUTTERSTOCK

Cone

SABINE HORTEBUSCH/SHUTTERSTOCK

JAVIER G./ M10

Pirâmide de base quadrada

Ampliar e reduzir figuras utilizando aplicativos de geometria dinâmica

Você costuma observar a forma de objetos volumétricos em seu cotidiano?

Veja os registros feitos pelas crianças:

Cubo

NUVENS NUVEN S

Os sólidos geométricos também são conhecidos como formas volumétricas, pois ocupam um volume ou uma porção do espaço.

LUPAS E LUNETAS Todos estão contornando as bordas de suas peças, exceto Gustavo. Por que ele está em dúvida? Comente com os colegas. Resposta pessoal.

ARTE/ M10

Bordas retas e bordas curvas

Faremos isso para cada um dos pontos A, B, C e D. Veja como ficou a figura final, ampliada com o triplo do tamanho da original:

b) Em qual houve borda curva? No cone.

c) As bordas mais o preenchimento de cada uma representam figuras planas. Quantas figuras

planas com somente bordas retas foram obtidas por essas crianças na aula da professora Cleide? 11 figuras planas com bordas retas.

6. Observe a representação de alguns copos. Classifique a borda do perfil lateral de cada um deles em reta ou curva.

Volumes na natureza e nas construções humanas.

Agora, vamos observar com mais detalhes o formato dos diversos sólidos geométricos e também das suas superfícies. ATIVIDADES

ALEXANDRE R./M10

LUPAS E LUNETAS

Respostas pessoais.

Em seguida, utilizaremos a função “Reta (Dois Pontos)” para criarmos os lados do polígono que terá seus vértices nos pontos A, B, C e D. Para fazer isso, é necessário clicar nos pontos até que todos os lados tenham sido desenhados.

Formem pequenos grupos e conversem sobre estes assuntos: Respostas pessoais. a) As formas geométricas que identificamos em nosso cotidiano, na arquitetura, nas construções e até na natureza, em sua maioria, não são com exatidão tal como as figuras geométricas estudadas na Matemática. Você acredita que essa afirmação é verdadeira? Por quê? b) Qual é a sua hipótese: a humanidade escolheu usar essas formas porque eram matematicamente interessantes ou a Matemática as estudou porque eram muito utilizadas no cotidiano? Reta

Reta

Curva

Reta

Curva

74 | TRAJETÓRIA 1

Curva

• Compartilhem com os demais colegas da turma.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

75 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Em expressões numéricas envolvendo as quatro operações fundamentais, deve-se respeitar a seguinte ordem para as operações: • 1o multiplicação e divisão, na ordem em que aparecem; • 2o adição e subtração, na ordem em que aparecem.

As diversas “facetas” do ângulo

TRAJETÓRIA 1 Sistemas de numeração

ROMI49/SHUTTERSTOCK

DELCARMAT/SHUTTERSTOCK

INSTITUTO DE ARTE DE CHICAGO, CHICAGO, EUA

São diversos os pintores cubistas. Caso tenha interesse, pesquise na internet as obras de alguns deles, como Pablo Picasso (1881-1973), Juan Gris (1887-1927), Georges Braque (1882-1963) e a brasileira Tarsila do Amaral (1886-1973).

O sistema de numeração que utilizamos – o indo-arábico – tem como características ter base 10 e ser posicional, além da existência do zero. Ao longo da história, outros sistemas de numeração foram substituídos pelo indo-arábico (como os sistemas chinês e egípcio antigos); outros ainda têm alguns usos no cotidiano,

A 1a obra é de Juan Gris, intitulada Retrato de Pablo Picasso, 1912. Óleo sobre tela, 93 cm × 74 cm. School of the Art Institute of Chicago. As duas outras imagens são criações artísticas contemporâneas no estilo cubista, utilizando softwares especializados.

como o sistema de numeração romano. Números naturais

O conjunto dos números naturais é representado pela letra |N: |N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...} Na reta numérica:

Adicionando 1 a um número natural qualquer, obtemos o seu sucessor.

A adição e a subtração são operações inversas. Por exemplo, se 3 + 5 = 8, então 8 – 5 = 3 e 8 – 3 = 5. A operação de multiplicação está relacionada a significados como contagem, adição de parcelas iguais, proporcionalidade, configuração retangular etc. • Propriedades da multiplicação I. Pela propriedade comutativa, a ordem dos fatores não altera o produto da multiplicação. II. A propriedade associativa possibilita associar os fatores de uma multiplicação para realizar os cálculos em uma ordem conveniente.

Subtraindo 1 de um número natural, dife-

III. Pela propriedade do elemento neutro, o produto da multiplicação de um número natural por um 1 é sempre ele mesmo.

Operações com números naturais

totalizar etc. • Propriedades da adição

I. Pela propriedade comutativa, é possível alterar a ordem das parcelas sem

ATIVIDADES

que isso altere o resultado.

possível associar parcelas para decidir

Dividendo

Divisor

Resto

Quociente

E a relação fundamental da divisão é: Dividendo = Quociente × Divisor + Resto

a ordem em que serão realizadas as adições.

133 |

Os prismas apresentam duas bases que são polígonos idênticos. Face

• Qualquer número a elevado a 1 é ele

mesmo:

a 1 = a. Sólidos geométricos Sólidos geométricos podem ser classificados em corpos redondos e poliedros. Os corpos redondos são sólidos geométricos com superfícies curvas, mas podem ter superfícies planas. Os poliedros são sólidos geométricos formados somente por superfícies planas. A superfície dos poliedros é composta de porções de planos. Cada uma dessas porções de superfícies planas é chamada de face do poliedro.

Vértice

Aresta

As pirâmides têm somente uma base e, externo ao polígono da base, há um único vértice, que é comum a todas as faces laterais triangulares.

Um metro cúbico (1 m3) corresponde ao volume ocupado por um cubo de arestas com medida 1 m.

Veja exemplos:

Podemos escrever a divisão como:

adição com três ou mais parcelas, é

delas aquela definição corresponde? Explique. b) Represente cada uma das cinco definições por meio de um desenho. Você pode utilizar lápis de cor para os casos em que for necessário colorir. • Compartilhe com os demais colegas as descobertas que vocês fizeram.

A intersecção de duas ou mais arestas de um poliedro é denominada vértice.

A operação de divisão está relacionada a significados como repartir, agrupar, separar, partilhar etc.

II. Pela propriedade associativa, em uma

a) Compare as cinco definições com a definição apresentada na página anterior. A qual

A intersecção de 2 faces de um poliedro é denominada aresta.

A multiplicação de fatores iguais recebe o nome de potenciação. O produto 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2, por exemplo, pode ser representado por 25. • Qualquer número a, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1: a0 = 1, para a ≠ 0.

IV. Pela propriedade distributiva, podemos relacionar a operação de multiplicação com as operações de adição e subtração. Por exemplo: 3 ⋅ (2 + 5) = 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 = 6 + 15 = 21

A operação de adição está relacionada a diversas ações: juntar, acrescentar, adicionar,

12. Forme dupla ou trio. Leia as questões para realizar essa investigação. Respostas pessoais.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

rente de 0, obtemos o seu antecessor.

I. Duas retas distintas que se cortam em um ponto, formando quatro aberturas. Cada abertura recebe o nome de ângulo. II. Ângulo é cada uma das regiões em que o plano fica dividido por duas retas que têm um único ponto comum. III. Um ângulo é a figura geométrica formada por duas semirretas com uma extremidade comum. IV. Ângulo é o nome de cada uma das regiões em que o plano fica dividido por duas de suas retas que tenham um só ponto comum. V. Ângulo é uma rotação que transforma uma semirreta em outra semirreta com a mesma origem.

225 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

RETORNOS

TRAVESSIAS

10. Elabore outras figuras e experimente ampliá-las com um aplicativo de geometria dinâmica. Compartilhe sua produção com os colegas. 11. Como faríamos para reduzir uma figura geométrica utilizando esse aplicativo? Compartilhe com os colegas a sua estratégia.

302 | RETORNOS

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

A superfície do cubo é composta somente por superfícies planas.

A superfície da esfera é composta por uma superfície curva.

A superfície do cilindro é composta por duas superfícies planas e uma superfície curva. 303 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

REMEDIAÇÃO

A tomada de decisão não é uma etapa exclusiva do fim de um processo – uma decisão remediadora pode ser tomada a qualquer momento. Essas seções favorecem a autoavaliação do aluno, incentivam-no a se conhecer como aprendiz e oferecem atividades de revisão e de testes para checagem da aprendizagem. BARCOS E PORTOS

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais.

Vamos fazer um mapa visual para ilustrar tudo isso? a) Pesquisem por um mapa de seu bairro ou de sua cidade (pode ser impresso ou

digital).

Recupere em sua memória fatos relacionados às suas experiências de estudos sobre os assuntos deste passeio. Tente relembrar aquilo que mais aprendeu e o que você julga necessário estudar um pouco mais. Considere os seguintes aspectos: ▶ Matemática • Você sabe resolver e elaborar problemas com números na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos, com e sem uso de calculadora?

b) Escolham pontos de interesse: praças, referências etc. TOVOVAN/SHUTTERSTOCK

▶ Organize Respostas pessoais. Neste passeio, você estudou maneiras de localizar, representar e manipular figuras geométricas utilizando malhas quadriculadas, plano cartesiano e aplicativos de geometria dinâmica. Você também aprendeu a calcular o perímetro e a área da superfície de algumas figuras geométricas planas, com ou sem o auxílio de malhas quadriculadas. Os dois principais conceitos abordados neste passeio são: plano cartesiano e ampliação e redução de figuras. Revisite o passeio, em detalhes, e procure palavras-chave que tenham relação direta com um desses dois principais temas. Copie o esquema e complete-o, conectando cada círculo principal com essas palavras-chave.

• Sabe escrever números utilizando múltiplos de potências de 10? • Você sabe resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, relacionada à ideia de proporcionalidade, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos diversos? • Calcula a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a na forma fracionária, decimal e percentual? • Consegue realizar experimentos sucessivos para determinar a probabilidade de um evento? • Resolve problemas que envolvam a grandeza massa inseridos em contextos diversos? ▶ Outras disciplinas Geografia • Sabe analisar interações com a natureza de diferentes povos ou grupos sociais, observando transformações da biodiversidade local ou do mundo?

Ampliação e redução de figuras

Plano cartesiano

Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Parcialmente suficiente

Satisfatório

▶ Elabore Plenamente satisfatório

Você aprendeu a ampliar e a reduzir figuras utilizando malhas quadriculadas, plano cartesiano e aplicativos de geometria dinâmica. Elabore um desenho simples e escolha um desses recursos para ampliar e reduzir esse desenho. Em seguida, proponha que um colega amplie e reduza o seu desenho utilizando algum desses recursos. ▶ Proponha

MATEMÁTICA

SUNDRY STUDIO/SHUTTERSTOCK

Insuficiente

A pergunta inicial deste passeio é: De que modo interagimos com o espaço em casa e na cidade? A cidade é constituída de inúmeros elementos, como parques, prédios, comércio, praças, ruas, avenidas, espaços de lazer etc. Os locais onde moramos, em que convivemos e onde estudamos são parte desse todo.

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

Ilustração de mapa de uma cidade fictícia, com destaque para alguns pontos de referência. c) Em seguida tirem fotos, coletem imagens na internet ou produzam desenhos para

representar esses lugares e ilustrar esses pontos de interesse no mapa.

d) Depois, tirem fotos ou ilustrem os locais que vocês frequentam, convivem, moram

Mapa desenhado à mão, representando a cidade de Pula, na Croácia, com os principais pontos de interesse, incluindo a Arena Pula.

277 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

etc. Coloquem-nos também no mapa.

e) Ao final, exponham o mapa produzido em murais da escola ou da própria sala de aula.

230 | BARCOS E PORTOS

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

231 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

12. Corpos redondos: bola de futebol, casquinha de sorvete, lata de óleo. Poliedros: caixa de sapatos, lápis sextavado, barraca de camping.

a) Ela gastou R$ 200,00 no supermercado

e R$ 150,00 com um conserto elétrico. Determine quanto sobrou após esses gastos. R$ 650,00.

b) Do que restou, uma parte ela reservou

substituindo o ■ por algum número natural de 1 a 10: Respostas possíveis:

6. Utilize estratégias de decomposição numérica

e as propriedades da adição para determinar as somas: Possíveis respostas: (3 + 7) + 15 = 10 + 15 = 25. a) 3 + 15 + 7 (12 + 8) + (25 + 5) = 20 + 30 = 50. b) 12 + 25 + 5 + 8 c) 13 + 1 + 6 + 7 + 4 + 9 d) 56 + 67 e) 123 + 329

a) 6 < ■ 8

b) ■ < 5 0 c) 3 < ■ < 8 5 d) ■ < 4 < ■ 1 e 9

2. Considere os números:

KRAKENIMAGES.COM/SHUTTERSTOCK

10 001, 9 998, 10 002, 9 990, 10 010, 10 000, 9 999 a) Escreva-os em ordem crescente utilizando o símbolo < (menor). b) Represente os números na reta numérica.

3. Determine:

a) o sucessor de 4. 5

a) 45 1 024

b) 105 100 000 c) 990 1

d) 1731 173

12. Pense nos seguintes objetos: caixa de sapatos,

bola de futebol, casquinha de sorvete, lápis sextavado, lata de óleo e barraca de camping. Quais são objetos com formas de corpos redondos e quais na forma de poliedros?

com uma bermuda, uma camiseta e um chinelo. Ela tem uma bermuda xadrez, uma laranja e uma listrada. Ela também tem uma camiseta vermelha, uma cor de anil, uma amarela, uma lilás e uma cinza. Chinelos, ela tem um preto, um branco, um marrom e um roxo. Determine de quantas maneiras Duda pode se vestir em casa.

Trajetória 1 1. (Enem) Os incas desenvolveram uma maneira

de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicional: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares. Na Figura 1, o quipus representa o número decimal 2 453. Para representar o “zero” em qualquer posição, não se coloca nenhum nó.

3 ⋅ 5 ⋅ 4 = 60. 60 maneiras.

b) o antecessor de 18. 17 c) o sucessor do sucessor de 3. 5 d) o antecessor do antecessor de 101. 99

utilizando adições e multiplicações: a) 472

•

Comente com os colegas como você fez para calcular cada uma dessas operações.

7. Ary dispunha de R$ 1.000,00 para suas des-

4 ⋅ 100 + 7 ⋅ 10 + 2 ⋅ 1

pesas.

b) 6 754 6 ? 1000 + 7 3 100 + 5 3 10 + 4 3 1 c) 10 982 d) 213 454

2 3 100000 + 1 3 10000 ! 3 3 1000 ! 4 3 100 ! 5 3 10 ! 4 3 1

5. Arredonde os números para a dezena ou

a centena exata mais próxima e faça uma estimativa para a soma deles: a) 59 60 Estimativa da soma: b) 101 100 60 + 100 + 30 + 300 + 400 = 890. c) 28 30 d) 299 300 e) 397 400

4. c) 1 3 10000 + 0 3 1000 ! 9 3 100 + 8 3 10 ! 2 3 1 88 | VISTORIAS

atendente e anotou o número 13_98207, sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu. De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de a) centena. b) dezena de milhar. c) centena de milhar. d) milhão. e) centena de milhão.

3. (OBMEP) Cinco dados foram lançados e a

soma dos pontos obtidos nas faces de cima foi 19. Em cada um desses dados, a soma dos pontos da face de cima com os pontos da face de baixo é sempre 7. Qual foi a soma dos pontos obtidos nas faces de baixo? a) 10 d) 18 b) 12 e) 20 c) 16

4. (Enem) Maria quer inovar sua loja de embala-

e) o antecessor do sucessor de 7. 7 f) o sucessor do antecessor de 100. 100

4. Decomponha os números em suas ordens

PROSTOCK-STUDIO/SHUTTERSTOCK

9 899 < 9 998 < 9 999 < 10 000 < 10 001 < 10 002 < 10 010

8. Sempre que está em casa, Duda se veste

SUPLEMENTE SUA APRENDIZAGEM

11. Calcule os resultados das potenciações:

JAVIER G./ M10

CHECK-OUT

1. Complete as desigualdades em seu caderno

para comprar um livro. Mas acabou comprando, com esse dinheiro, um caderno de R$ 25,00 e ainda sobraram R$ 275,00. Quanto ela havia reservado para a compra do livro? R$ 300,00.

ARTE/ M10

Você chegou ao final desta Trajetória. Reflita sobre tudo o que aprendeu e verifique a qualidade da sua aprendizagem. Resolva todos os exercícios no caderno.

JAVIER G./ M10

VISTORIAS

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

gens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas, estão as planificações dessas caixas.

13. Observe o sólido geométrico e responda: Guga: 8 × 7 = 56 ovos; Mário: 6 × 9 = 54 ovos. Logo, Guga comprou mais ovos.

Disponível em: www.culturaperuana.com.br. Acesso em: 13 dez. 2012.

9. Guga comprou uma caixa de ovos dispostos

O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é a) 364. c) 3 064. e) 4 603. b) 463. d) 3 640.

em 8 fileiras de 7 ovos cada e Mário, uma caixa em que os ovos estavam dispostos em 6 fileiras de 9 ovos. Quem comprou mais ovos?

10. Helena tem 4 800 mL de suco para servir aos convidados de sua festa. Calcule quantos copos completamente cheios ela conseguirá servir, sabendo que os copos têm capacidade de: a) 200 mL 24 copos. b) 300 mL 16 copos. c) 400 mL 12 copos.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

2. (Enem) João decidiu contratar os serviços de a) Cada uma de suas faces corresponde a

qual tipo de figura plana? Quadrados e trapézios.

b) Determine quantas faces, vértices e ares-

tas ele tem. 6 faces, 8 vértices e 12 arestas.

89 |

uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações? a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. c) Cone, tronco de pirâmide e prisma. d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. e) Cilindro, prisma e tronco de cone. 313 |

6. c) Possível resposta: (13 + 7) + (6 + 4) + (1 + 9) = 20 + 10 + 10 = 40. 6. d) Possível resposta: 50 + 6 + 60 + 7 = (50 + 60) + (6 + 7) = 110 +13 = 100 + 10 + 10 + 3 = 100 + 20 + 3 = 123. 6. e) Possível resposta: 100 + 20 + 3 + 300 + 20 + 9 = (100 + 300) + (20 + 20) + (9 + 3) = 400 + 40 + 12 = 400 + 40 + 10 + 2 = 400 + 50 + 2 = 452.

VII |

EM FOCO: O MANUAL DO PROFESSOR O manual do professor é um livro de múltiplas funcionalidades que impactam diretamente o professor, indiretamente o aluno e, de modo circundante, a comunidade escolar. O manual do professor tem o caráter de inspirar o professor para a reflexão, a compreensão e a transformação, levando-o a

ALEXANDRE R. / M10

refletir sobre si mesmo, os conhecimentos, os estudantes e os recursos materiais.

ALEXANDRE R. / M10

ESTRUTURA DA OBRA × INSPIRAÇÃO PARA O ENSINO

Livro do professor: páginas com teor pedagógico abrangente que antecedem o livro do estudante anotado. Livro do estudante anotado: livro do estudante em formato reduzido com respostas, orientações e resoluções nas bordas.

Há conteúdos no manual do professor indicados para o trabalho inicial do ano letivo e outros para os trabalhos no decurso do ano letivo. VIII | MANUAL DO PROFESSOR

Trabalhos iniciais do ano letivo

A seção Prontos para começar! – no manual do professor – traz, a cada volume, um diálogo sobre a prática docente e que incentiva a reflexão do professor antes ou durante os primeiros dias do ano letivo. São temas que têm por objetivo favorecer o planejamento das unidades didáticas e das aulas, considerando as necessidades reais do contexto local.

LEMOV, Doug. Aula Nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2017.

JOA SOUZA/SHUTTERSTOCK

Avance do planejamento da unidade para o planejamento da aula. Defina o objetivo, decida como irá avaliá-lo e depois escolha atividades apropriadas para a aula. Quando comecei a lecionar, eu me perguntava enquanto planejava: “O que vou fazer amanhã?”. A pergunta por si só já revelava falhas no meu método de planejamento em pelo menos dois aspectos essenciais – sem contar as minhas respostas algumas vezes dúbias. A primeira falha era que eu estava pensando em uma atividade para as minhas aulas no dia seguinte, e não em um objetivo – o que queria que meus alunos soubessem ou fossem capazes de fazer quando a aula tivesse terminado. É muito melhor fazer o contrário e Começar pelo fim – o objetivo. Ao estruturar primeiro um objetivo, você substitui a pergunta: “De que atividades os meus alunos vão participar hoje?” por “O que meus alunos serão capazes de fazer quando minha aula tiver terminado?”. A segunda dessas perguntas é mensurável de uma forma significativa. A primeira não é. O sucesso de uma atividade não é determinado pelo fato de você realizá-la ou não e os alunos parecerem ter vontade de participar, mas sim se você atingiu um objetivo que possa ser avaliado. Em vez de pensar sobre uma atividade – talvez: “Vamos ler O sol é para todos” –, estruturar seu objetivo força você a se perguntar o que seus alunos vão ganhar com a leitura do livro. Eles vão entender e descrever a natureza da coragem conforme demonstrado em O sol é para todos? Eles vão entender por que a injustiça algumas vezes prevalece, como mostra o livro O sol é para todos? Ou talvez eles usem O sol é para todos para descrever como o autor constrói personagens importantes por meio de suas palavras e ações. Em suma, há muitas coisas valiosas que você pode fazer em aula e muitas maneiras de abordar cada uma delas. Sua primeira tarefa é escolher a lógica mais produtiva: por que você está ensinando esse conteúdo? Qual é o resultado que você espera? Como esse resultado se relaciona com o que você vai ensinar amanhã e com o que seus alunos precisam para estarem preparados para os anos subsequentes? A segunda falha que minha pergunta revelava tinha a ver com o fato de que eu geralmente a formulava na noite anterior à aula. Além de ser um sinal óbvio de procrastinação, também demonstra que eu estava planejando minhas aulas de forma isolada. Cada aula estava talvez vagamente relacionada com a anterior, porém, não refletia uma progressão intencional no seu propósito. Das duas falhas, esta era na verdade a mais censurável. Eu poderia solucionar o problema da procrastinação planejando todas as minhas aulas na sexta-feira anterior, por exemplo. Mas até que começasse a pensar nas minhas aulas como partes de uma unidade maior, desenvolvendo as ideias com intencionalidade e lentamente em direção ao domínio de conceitos maiores, eu estava certo de que estava andando à deriva. Na verdade, estaria em melhor situação se planejasse com antecedência todos os meus objetivos (apenas eles) para o trimestre e, depois, deixasse o planejamento de cada aula para a última hora, do que se tivesse planejado devidamente na semana anterior todo um lote de aulas, porém centradas apenas em atividades.

2. A avaliação de chegada dos alunos ao novo ano letivo é uma etapa fundamental para nortear as práticas subsequentes.

A avaliação de chegada ajuda a identificar os conhecimentos que os alunos trazem consigo e quais são as melhores estratégias para os diferentes perfis de estudantes.

Antes de aplicar a avaliação, é de suma importância planejá-la. Um dos itens desse planejamento é selecionar as questões, orientadas por suas intencionalidades.

LUPAS E LUNETAS Para essa reflexão, se possível, convide outros professores parceiros. A reflexão poderá ser até mais interessante se nem todos forem de Matemática, pois, certamente, trarão contribuições valiosas por seus pontos de vista surpreendentes.

a) O ano letivo está prestes a começar em sua escola. Abra o livro do estudante na seção Prontos para começar!. Avalie

as propostas de atividades que têm foco nas habilidades da BNCC do ano anterior. Juntos, esbocem uma estratégia de como realizar essa avaliação diagnóstica. Essa avaliação está integralmente adequada ao perfil real dos seus alunos? Há necessidade de ajustar algumas questões ou substituir e criar outras? Em que momento, ou em quantas aulas, será possível realizá-la?

b) Como será feito o registro do desempenho dos alunos? Quais instrumentos de registro já estão disponíveis ou precisam

ser elaborados? Quais aspectos qualitativos os registros devem explicitar para as buscas mais eficientes na mediação da aprendizagem?

3. Após a aplicação da avaliação e da checagem das resoluções de todos os alunos, é o momento de fazer os registros dos desempenhos e mapear os diagnósticos. GROUND PICTURE/SHUTTERSTOCK

Comece pelo fim

ARROWSMITH2/SHUTTERSTOCK

1. O texto a seguir pode ser discutido no momento de trabalho coletivo dos professores.

PHASE4STUDIOS/SHUTTERSTOCK

#PRONTOSPARACOMEÇAR!

LUPAS E LUNETAS Após a leitura desse texto, reúna-se com seus pares.

a) Releia a frase: “Cada aula estava talvez vagamente relacionada com a anterior, porém não refletia uma progressão intencional no seu propósito”. O que você entende por progressão intencional? Em que medida você reconhece esse conceito em suas práticas?

b) A progressão pressupõe um ponto de partida, um percurso estratégico e um ponto de chegada. Considerando a lógica do comece pelo fim, como seria o processo de planejar um capítulo (na coleção, o passeio é o capítulo) fluindo como uma progressão? Cite alguns passos que você organizaria para planejar um capítulo segundo essa lógica.

c) As duas falhas no método de planejamento anteriormente cometidas pelo autor também ocorrem no seu cotidiano

escolar? Como você lidaria com essas falhas? O que você achou das novas estratégias do autor após reconhecer essas falhas? Você imagina que as estratégias utilizadas por ele são aplicáveis à sua realidade? Em que medida necessitam ser ajustadas para suas reais necessidades?

Os estudantes têm tempo e caminhos de aprendizagem distintos. Seja individual ou coletivamente, os desempenhos na avaliação de chegada devem ser analisados considerando essa diversidade.

Os mapas construídos a partir da avaliação diagnóstica podem ser variados, desde que seja possível compreender aspectos diversos do desempenho coletivo, também possibilitando cruzar informações com o desempenho individual. Veja um mapa de diagnósticos fictício, feito logo após a correção das atividades da seção Prontos para começar! realizadas pelos alunos de uma turma de 6º ano com 40 alunos. Este é um mapa coletivo.

X | MANUAL DO PROFESSOR

XI |

Trabalhos no decurso do ano letivo

A Trajetória 1 traz a visão geral da proposta, reflexões sobre a prática docente, a organização da obra, as possíveis articulações entre o livro do estudante e o manual do professor para todos os volumes. A Trajetória 2 apresenta os temas essenciais de cada volume, reforçando seus aspectos específicos e as possibilidades de trabalho para os conteúdos que dizem respeito àquele volume. TRAJETÓRIA 2 – ESSENCIAIS: PARA ESTE VOLUME

TRAJETÓRIA 1 – NORTEADORES: PARA TODOS OS VOLUMES

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3. Articulação entre os materiais.

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1. Visão geral da nossa proposta.

Nesta Trajetória: 2. A prática docente.

Alunos no pátio de escola pública em Santo Antônio de Jesus, Bahia, Brasil.

JOA SOUZA/SHUTTERSTOCK

Realizar atividades de resolução de problemas, modelagem, investigações matemáticas e projetos contribui para o desenvolvimento de habilidades e competências, particularmente aquelas relacionadas ao letramento matemático.

CHECK-IN • De que maneira o livro didático oferece suporte ao trabalho docente quanto ao desenvolvimento de habilidades e competências no Ensino Fundamental?

• Como a interdisciplinaridade pode estar aliada ao desenvolvimento de habilidades e competências específicas de Matemática? • Como os Temas Contemporâneos Transversais (TCT) podem apresentar situações propícias para o trabalho interdisciplinar e o desenvolvimento de habilidades e competências específicas de Matemática?

Sala de aula de escola municipal de Dias D’Ávila, Bahia, Brasil.

XIV | MANUAL DO PROFESSOR

40 | MANUAL DO PROFESSOR

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Desta forma, o manual do professor busca apoiar o trabalho de formação continuada na escola, e o trabalho coletivo, colaborativo e entre pares, na busca por um ensino com mais sentido.

Compartilhamento de estratégias de ensino.

IX |

#PRONTOSPARACOMEÇAR! 1. A cada ano chegam às salas de aulas novos estudantes, novos grupos de jovens com seus anseios e suas atitudes. Eles chegam

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envolvendo-se com aqueles que já estavam no ambiente, mesclando suas culturas, acolhendo e promovendo as diferenças. A identidade dos jovens entrelaça-se com as relações construídas no espaço. Tais relações podem ser elementos que auxiliam a observação atenta do professor em sala de aula.

As experiências dos jovens são determinantes para um futuro que marcará sua história enquanto indivíduos únicos e, ainda assim, plurais.

(Re)pensando os territórios: o pedaço, a rua e as culturas juvenis Você já ouviu expressões como “Vamos dar um rolê?”, “Lá no meu pedaço” ou “Essa é a minha quebrada!”? O pedaço ou as quebradas (para usar uma expressão correntemente usada pelos jovens) é uma marca constitutiva da identidade espacial e das redes de relações que se enlaçam nas áreas periféricas pobres da cidade, embora a elas não estejam restritos. Destacamos que o fato de nos atentarmos para as nomeações usadas pelos próprios sujeitos pode contribuir na compreensão das territorialidades juvenis. Para o antropólogo brasileiro José Guilherme Magnani, o pedaço se refere a relações sociais tecidas pelos sujeitos no/com o espaço, transformando-o em um território. No pedaço, há uma espécie de identidade entre os frequentadores do local, o que constitui um ponto de referência comum. O pedaço é um espaço intermediário entre a casa e a rua, onde os colegas, os “chegados”, os “irmãos” ou “manos” se encontram, apresentando outro tipo de sociabilidade, diferente tanto das relações que organizam o plano doméstico, como daquelas presentes no âmbito público e/ou impessoal. Estar no pedaço é estar entre os iguais; é permanecer entre velhos conhecidos – amigos de infância e/ou adolescência, por exemplo – ou junto com sujeitos com os quais se compartilha atributos comuns, interesses, gostos, esperanças. É estar nos entremeios de grupos, seja com irmãos consanguíneos, seja com “irmãos de alma”, exercendo a amizade, a partilha, o conflito, a negociação. Nesses locais, as redes de sociabilidade são tecidas por conversas informais e trocas cotidianas de favores, gentilezas, olhares, comentários. No pedaço, é possível conversar sobre temas diversos, ter momentos de lazer, compartilhar. Ao serem apropriados por certos grupos sociais, um bar, um salão de beleza, uma esquina, uma praça, uma feira, um campo de futebol de várzea, entre tantos outros espaços, passam a ter outros significados para esses sujeitos, que o convertem em seu território, seu pedaço. Você consegue localizar pedaços juvenis na cidade em que vive? LEAL, Álida A. A; LIMA, Gerson D.; REIS, Juliana B dos. Juviva. Módulo 5.2. Territórios e culturas juvenis. Observatório da juventude. Disponível em: http://observatoriodajuventude.ufmg.br/juviva-conteudo/05-02.html#:~:text=Quando%20falamos%20 em%20culturas%20juvenis,vida%20cotidiana%2C%20constituindo%20novas%20territorialidades. X | MANUAL DO PROFESSOR

LUPAS E LUNETAS a) Ao final do texto, há uma pergunta. Levando em conta suas experiências com os jovens, como você responderia a essa pergunta?

b) No cotidiano da sala de aula, como você percebe a manifestação juvenil em relação ao que está dito no trecho “Estar no pedaço é estar entre os iguais”?

c) Sentir-se parte do local em que está inserido e da realidade atual – característica típica dos jovens – é um dado da

realidade que pode estar a favor do bom andamento das aulas ou configurar um obstáculo. Em que medida você percebe essa característica favorável ao bom andamento das aulas? Como você conduz o fluxo da aula considerando a manifestação juvenil?

2. Os Temas Contemporâneos Transversais (TCT) podem ser compreendidos, entre outras muitas possibilidades, como meios para MARISH/SHUTTERSTOCK

aproximar, manter e incentivar a continuidade nos estudos dos jovens.

Ler a realidade, fazer boas reflexões, ter proatividade e demonstrar atitudes adequadas para cada situação torna os jovens melhores construtores da sociedade.

LUPAS E LUNETAS a) Para quais dentre os 15 temas que compõem os TCTs você apresentaria propostas para suas aulas para ensinar conhecimento, habilidades, atitudes e valores pensando no público juvenil? Quais parcerias você poderia estabelecer? Que estratégias de engajamento dos jovens você buscaria?

b) Escolha algum passeio ou alguma Trajetória desta coleção e avalie as possibilidades de desenvolver um trabalho voltado para a participação dos jovens da comunidade escolar e que incentive a criação de propostas críticas e criativas.

3. O texto a seguir é um relato de experiência em sala de aula, resultante de reflexões sobre a prática docente a partir das contribui-

ções da educação emocional no processo de ensino e aprendizagem do componente Matemática. É o relato de duas professoras na cidade de Queimadas (PB) sobre turmas do 9º ano do Ensino Fundamental.

Quando a matemática se emociona A Educação Emocional nos fez escutar mais e observar mais nossos alunos, buscando formas de tornar o encontro com a matemática bem mais tranquilo e prazeroso. A partir daí, passamos a buscar meios para tornar o ensino e aprendizagem desta disciplina uma experiência que pudesse trazer para os alunos [...] sentimento de orgulho e satisfação com o próprio desempenho. [...] Após o curso de Formação em Educação Emocional, passamos a observar e refletir sobre quais as necessidades de nossos alunos para que o encontro com os conteúdos matemáticos se tornasse mais agradável, e dessa forma, desenvolvessem um aprendizado bem mais significativo e prazeroso. Percebemos então, que ao introduzir um novo conteúdo em sala de aula, se o primeiro impacto fosse positivo, ou seja, se os alunos compreendessem bem o conceito inicial, o desenvolvimento da sequência do conteúdo se daria também de forma prazerosa. Mas se os alunos considerassem o conteúdo difícil no primeiro contato, o desenvolvimento poderia ser prejudicado em relação à aprendizagem. Além de um olhar mais afetivo na busca de estratégias para contribuir para o aprendizado de nossos alunos, também passamos a aplicar vivências de Educação Emocional, no intuito de proporcionar bem-estar em sala de aula. [...] XI |

Portanto, ao vivenciar a Educação Emocional em sala de aula, os alunos desenvolvem habilidades socioemocionais, tornando-se mais afetivos e solidários para com os outros e com eles mesmos. A partir daí, há uma transformação no ambiente de sala de aula, gerando bem-estar e favorecendo a aprendizagem. BEZERRA, Adriana da S. V.; ARAÚJO, Aylla Gabriela P. de A. Educação emocional: o ensino e aprendizagem da matemática a partir de um olhar mais afetivo. In: Didática das ciências e da matemática: experiências no ensino superior. Francisco Ronald Feitosa Moraes e Adílio Junior de Souza orgs. - Fortaleza: EdUECE, 2020. Disponível em: http://www.uece.br/eduecewp/wpcontent/uploads/sites/88/2013/07/Did%C3%A1tica-das-ci%C3%AAncias-e-da-matem%C3%A1tica-experi%C3%AAncias-noensino-superior.pdf

LUPAS E LUNETAS a) Segundo as autoras do texto (em um trecho que não foi publicado acima), “buscamos resposta para a pergunta: quais

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as contribuições de uma prática pedagógica sob um olhar mais afetivo a partir da Educação Emocional, tendo em vista proporcionar aos alunos um encontro afetivo positivo com o conhecimento matemático?”. Segundo sua experiência em aulas de Matemática, essa questão proposta pelas autoras é também algo que você julga pertinente em suas aulas? Explique.

A cooperação e a empatia em sala de aula são partes do desenvolvimento social do jovem, despertando-o para a observação de suas próprias posturas e atitudes em relação a si mesmos e ao outro.

b) Como você instigaria a empatia e a cooperação durante as aulas de Matemática?

4. As atividades de rotina da turma e a distribuição de tarefas repetidas, cooperativamente estruturadas, podem trazer para a vivência em sala de aula oportunidade para a aprendizagem cooperativa.

Aprendizagem cooperativa Monero e Gisbert afirmam que o uso da interação entre iguais, isto é, a cooperação, para produzir aprendizagem, requer um cuidadoso planejamento da atividade docente. Conforme citado, para Johnson, Johnson e Holubec existem cinco condições básicas e essenciais que propiciam a cooperação no cerne do grupo: interdependência positiva, responsabilidade individual, interação face a face, habilidades sociais e processamento de grupo. Esses elementos devem ser estruturados a fim de garantir a cooperação. Monero e Gisbert mencionam que a interdependência positiva ocorre quando o sucesso de cada integrante está ligado ao restante do grupo e vice-versa, estipulado por meio de objetivos comuns: o de aprender e o de garantir que os outros membros do grupo aprendam, sendo o reconhecimento coletivo, e os recursos e papéis devem ser divididos igualitariamente. Na interação face a face deve existir a maximização das oportunidades de interação, permitindo dinâmicas interpessoais de ajuda, apoio, animação e reforço entre os membros do grupo, devendo haver limitação na quantidade de componentes. A interdependência positiva cria situação em que os alunos trabalham em conjunto, em pequenos grupos, para maximizar a aprendizagem de todos os membros, partilhando os recursos, dando apoio mútuo e celebrando juntos o sucesso. A interdependência positiva é o núcleo central da aprendizagem cooperativa. Os alunos têm que acreditar que cada um é bem-sucedido se todos forem. (LOPES, J.; SILVA, 2009, p. 15). Johnson, Johnson e Holubec afirmam que, sem interdependência positiva, não há cooperação. Na interdependência positiva, deve-se tentar evitar o principal inconveniente do trabalho em grupo: a falta de responsabilidade individual; para sanar esse problema, é possível recorrer à avaliação individual por meio de escolha aleatória de porta-voz do grupo e relatórios pessoais de trabalho. XII | MANUAL DO PROFESSOR

As habilidades sociais são outra característica da aprendizagem cooperativa e consistem nas habilidades necessárias para a cooperação, devendo ser ensinadas para que possam ser praticadas. São elas: a. comunicação apropriada; b. resolução construtiva de conflitos; c. participação; d. aceitação dos outros. E por último, a autorreflexão em grupo, que consiste na reflexão conjunta, durante determinado período de tempo, sobre o processo de trabalho em função dos objetivos e das relações de trabalho, buscando a tomada conjunta de decisões, de reajustes e de melhorias. Para organizar suas aulas para que os alunos realmente trabalhem cooperativamente, o professor deve saber quais são os elementos básicos que tornam possível a cooperação [...] [...] 1. Ter aulas, programas e cursos atais e organizar de forma cooperativa. 2. Desenvolver classes de aprendizagem cooperativa que se encaixam às suas necessidades e circunstâncias pedagógicas, aos seus próprios currículos, materiais e estudantes. 3. D iagnosticar problemas que alguns alunos podem ter de trabalhar em conjunto e intervir para aumentar a eficácia dos grupos de aprendizagem. CARVALHO, Cicefran Souza de. A aprendizagem cooperativa no ensino da matemática. 1. Ed. Curitiba: Appris, 2019.

É primordial que o professor saiba onde quer chegar quando estrutura a sua sala com a metodologia de aprendizagem cooperativa, tendo planejamento e diagnóstico prévios de seus estudantes, principalmente com a consciência de saber se um grupo é ou não cooperativo.

LUPAS E LUNETAS a) Tal como propõe o texto, e levando em consideração a realidade da sala de aula, você julga possível desenvolver trabalhos com os estudantes de maneira cooperativa? Em quais aspectos faria ajustes para que se adequassem à sua realidade?

b) Escolha atividades de algum volume desta coleção que, segundo as orientações apontadas pelo autor do texto anterior,

da atualidade é definido pelos usos das tecnologias digitais caracterizadas pelas plataformas midiáticas pela popularização de smartphones e aplicativos de mensagens. O fenômeno da conectividade e a dependência das tecnologias de comunicação trouxe novas maneiras de expressão dos jovens nas culturas juvenis.

SPEEDKINGZ/SHUTTERSTOCK

5. É consenso que o cenário sociocultural

PROSTOCK-STUDIO/SHUTTERSTOCK

são viáveis para o trabalho cooperativo em sala de aula. Descreva como você faria para desenvolver essas atividades considerando o perfil do público juvenil de suas turmas.

As culturas juvenis são constantemente impactadas pelos diferentes modos de viver em meio às aprendizagens sociais e culturais, ambas influenciadas pelas tecnologias digitais.

LUPAS E LUNETAS a) Quais desafios as novas formas de inter-relações juvenis, influenciadas pelas tecnologias digitais, trouxeram à vivência em sala de aula?

b) O que sua experiência tem mostrado na relação predisposição para a aprendizagem × tecnologias digitais da comunicação?

c) Ao longo da coleção, observe este ícone. Selecione, dentre as opções de recursos digitais desse material, aqueles que, segundo a predisposição para a aprendizagem de seus alunos, trarão os melhores estímulos para iniciar ou ampliar os conteúdos apresentados na sala de aula. Aponte maneiras de utilizar esses recursos durante as aulas e compartilhe suas ideias com seus pares. . XIII |

TRAJETÓRIA 1 – NORTEADORES: PARA TODOS OS VOLUMES 1. Visão geral da nossa proposta.

Nesta Trajetória: 2. A prática docente. JOA SOUZA/SHUTTERSTOCK

3. Articulação entre os materiais.

JOA SOUZA/SHUTTERSTOCK

Alunos no pátio de escola pública em Santo Antônio de Jesus, Bahia, Brasil.

Sala de aula de escola municipal de Dias D’Ávila, Bahia, Brasil.

XIV | MANUAL DO PROFESSOR

1. VISÃO GERAL DA NOSSA PROPOSTA A Matemática desenvolve um papel fundamental nas atividades do dia a dia, relacionando diferentes áreas das ciências, tecnologias, artes e outras linguagens. Os conhecimentos matemáticos estabelecidos pela Base Nacional Comum Curricular (BNCC) são entrelaçados nesta coleção por meio de situações apresentadas em contextos diversos do cotidiano e de outras áreas do conhecimento. Para conhecer as particularidades desta coleção, seja em relação aos materiais do estudante ou do professor, este manual favorece, por meio de explorações gradativas, uma forma de conhecê-lo por sucessivas aproximações no decorrer do ano letivo, em momentos de horário pedagógico coletivo, por exemplo, também entre duplas, trios ou outras pequenas formações. Assim, os professores podem encontrar as melhores formas de construir parcerias por meio desta obra, desde a exploração inicial deste material até o seu uso efetivo em sala de aula.

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Como aproveitar ao máximo os recursos apresentados nesta coleção?

A excelência da aula depende do professor, todavia, vai além das suas ações e dos materiais que ele utiliza: há uma rede complexa de fatores que implica a necessidade de competências diversas a todos os envolvidos.

CHECK-IN • De que maneira você utiliza o livro didático em sala de aula? • Além de constituir um suporte de conteúdos sobre matemática e didática, que outras possibilidades quanto à prática docente você enxerga para o livro didático?

• Considerando a noção de avaliação formativa, de que maneira o livro didático pode subsidiar a prática docente?

XV |

Salas de aula e realidades diferentes

GOLDEN DAYZ/SHUTTERSTOCK

Existem diversas maneiras de utilizar os mesmos materiais didáticos, todas elas com possibilidades de desencadear aulas excelentes. Cada turma é diferente: em algumas os alunos são participativos, em outras, eles necessitam de mais estímulos para a participação; algumas são eficientes em diversidade de assuntos e curiosidades e outras não correm os riscos da curiosidade. Também cada professor excelente é diferente: alguns são enérgicos, outros são brandos; alguns são acadêmicos, outros, mais informais. Cada um utiliza melhor seu repertório de técnicas adequadas a cada um dos diversos momentos da aula. As salas de aula de alta produtividade estão sempre acolhidas por professores que se esforçam para criar os melhores cenários de aprendizagem, buscando cada vez mais um rigor nas suas ações para o ensino, nas atitudes de aprendizagem de seus alunos e na melhoria das formas de interações entre ele, os alunos e os conhecimentos, para que todos possam ter oportunidades de ampliar seu horizonte acadêmico e aprimorar a própria reflexão crítica no convívio pacífico em sala de aula.

Há diversos caminhos para ensinar os diferentes alunos, cada um com suas potencialidades e seus obstáculos.

Conhecer a fundo os recursos materiais, a diversidade de perfis de alunos, os possíveis obstáculos de cada um, as estratégias mais satisfatórias para a maioria – ou as estratégias específicas para determinado aluno –, identificar modos de estimular aqueles que sempre dizem “eu não sei”, entre outras análises profundas, são parte da rotina diária dos excelentes professores. Um bom início para essas análises profundas é conhecer o material que está em suas mãos. Estrutura da coleção e a prática docente

Avaliação: informada

assistida

Vamos apresentar a estrutura padrão de cada volume por meio do processo avaliativo. Cada volume é assim composto:

Páginas iniciais: avaliação de chegada

Unidades bimestrais

Páginas finais: revisão e exames de larga escala

Prontos para começar!

Trajetória (de 1 a 4)

Retornos e Suplemente sua aprendizagem

ALEXANDRE R. / M10

Cada Trajetória é dividida em três passeios. Os passeios se inter-relacionam por meio de uma pergunta norteadora abrangente que desencadeia o contexto central da Trajetória. Essa pergunta abrangente, por sua vez, desencadeia outras três perguntas, uma para cada passeio.

XVI | MANUAL DO PROFESSOR

ALEXANDRE R. / M10

Veja o esquema detalhado da estrutura padrão de uma Trajetória.

A avaliação, que ocorre na interação entre professor e aluno, no decorrer de cada passeio é:

• informada, pois cabe ao professor evidenciar as expectativas de aprendizagem, os propósitos das práticas em sala e a qualidade

dos resultados; e cabe ao aluno expor suas primeiras noções, informar a percepção sobre sua própria aprendizagem, os possíveis efeitos das práticas em sala e comunicar os resultados obtidos; • assistida, pois cabe ao professor observar e analisar os movimentos de aprendizagem do aluno; e cabe a este expor e sinalizar os efeitos de todas as práticas de ensino ofertadas pelo professor. As fases da trajetória de aprendizagens

Chamamos de trajetória de aprendizagens um conjunto de ações didáticas estruturadas em três fases: chegada, núcleo e desfecho, de modo que cada fase seja, ao mesmo tempo, informada e assistida. As fases de uma trajetória de aprendizagens são nomeadas por: mapa de estudos, percurso e porto de chegada. Quais são as diferentes possibilidades para o professor em suas práticas? E como tirar o melhor proveito do processo avaliativo? Como essas questões podem ser contempladas em uma Trajetória no livro do estudante? O quadro mostra algumas possibilidades oferecidas pela estrutura de uma Trajetória no livro do estudante, segundo as três fases: o mapa, o percurso e o porto.

Fases de uma trajetória de aprendizagens FASE

TRAJETÓRIA Check-in;

Mapa de estudos

QUESTÕES REFLEXIVAS

ESTRUTURA DE UMA

Arredores;

Da parte do aluno • Onde estou? • Para onde vou?

Da parte do professor • Onde o aluno está? • Do que necessita para se colocar a caminho?

Bússola.

• A que precisarei estar atento para ver corretamente?

Textos e teorias;

O foco do olhar:

• O que o aluno é capaz de ver?

Atividades;

• O que vejo e o que não vejo?

Lupas e lunetas.

• O que preciso ver ainda?

• Do que ele precisa para ver aquilo que ainda não consegue?

Percurso

A crítica do olhar: Diálogo em aula por meio das atividades.

• Como vejo? • O que fazer para ver melhor? • Para que vejo?

Levo na bagagem; Porto de chegada Barcos e portos; Vistorias.

• Consegui chegar? • Vi tudo que era para ser visto? • Como poderia ter visto melhor?

• O que ele tem e o que não tem na bagagem?

• Por que motivos o aluno aprendeu/não aprendeu? • Para quais ações ele já está apto e em quais ainda precisa de apoio? • Sob quais pontos de vista o aluno chegou ao objetivo? • Como poderia ter navegado melhor? XVII |

Ao longo de toda a trajetória de aprendizagens, aluno e professor, em um trabalho complementar de esforços, desenvolvem estratégias para identificar aquilo que representa um obstáculo na aprendizagem e, juntos, podem verificar formas possíveis de superá-lo.

LUPAS E LUNETAS Para esta reflexão, tenha em mãos um volume desta coleção, de sua escolha. Abra uma dupla de páginas que contenha as seções Check-in, Arredores e Bússola. Considere a situação de entrada, as informações, os conteúdos, o contexto, o mapa de vínculos e ênfases, que se encontra na seção Arredores, e a lista dos objetivos, que se encontra na seção Bússola.

Que estratégias você planejaria para o trabalho com essa dupla de páginas, antes de entrar em sala de aula?

Segundo seu olhar, que eficácia o uso dessas páginas proporciona à avaliação informada e assistida?

Como você utilizaria essa dupla de páginas em sala de aula, levando em conta as reflexões que você acabou de fazer?

A estrutura da obra oferece ao aluno oportunidades variadas para que, gradativamente, desenvolva autonomia para monitorar sua aprendizagem, organizar seus conhecimentos, desenvolver estratégias de estudo e autoavaliar-se. É possível criar condições em sala que o incentivem a vivenciar experiências de aprendizagem voltadas para reflexões, tanto da ordem cognitiva quanto da metacognitiva.

Cuidar da mente, desenvolver bons hábitos de estudos, monitorar e regular o próprio pensamento são habilidades e atitudes que envolvem a aprendizagem autorregulada.

A principal função de uma estratégia cognitiva é lhe ajudar a alcançar o objetivo de qualquer iniciativa cognitiva em que você esteja envolvido. Em contraste, a principal função de uma estratégia metacognitiva é lhe oferecer informações sobre a iniciativa ou seu progresso nela. Podemos dizer que as estratégias cognitivas são evocadas para fazer o progresso cognitivo, e as estratégias metacognitivas para monitorá-lo. (FLAVELL; MILLER; MILLER, 1999, p. 129) As pesquisas voltadas para aprendizagem autorregulada, metacognição, autoaprendizagem e outros temas desse campo têm se intensificado nos últimos anos.

Barry Zimmerman e outros pesquisadores apresentaram a perspectiva do aprendizado autorregulado ou selfregulated learning (SRL). Nesta visão, o aluno autorregulado é consciente e controla o seu processo de aprendizagem; seleciona os métodos e as estratégias que utiliza, revelando um grande sentido de autoeficácia; e organiza e estrutura quer o seu contexto de estudo quer o trabalho a realizar, identificando as situações em que precisa de ajuda e adaptando as estratégias de aprendizagem aos seus objetivos acadêmicos (ZIMMERMAN, 1986). Estas são as seções do livro que oferecem oportunidades de desenvolver um trabalho com essas finalidades:

• Bússola: seção que apresenta ao aluno, a cada início de passeio, o que se espera que ele aprenda. Uma vez informado da expectativa quanto à sua aprendizagem, ele próprio deve ficar atento, no decorrer do passeio, ao que é esperado dele.

• Levo na bagagem: boxe que aparece no fechamento do passeio, que é um momento reflexivo individual do aluno quanto à qua-

lidade do seu aprendizado. As perguntas estão em acordo com as expectativas de aprendizagem declaradas na seção descrita anteriormente. • Organize (da seção Barcos e portos): há sempre uma proposta de retomada, por parte do aluno, dos conhecimentos e habilidades explorados no passeio, para que ele possa atribuir significados novos ou reorganizar mentalmente os conteúdos explorados. XVIII | MANUAL DO PROFESSOR

EAMESBOT/SHUTTERSTOCK

A aprendizagem autorregulada

• Vistorias: ao final da Trajetória (que equivale a um bimestre), o aluno tem mais um conjunto de atividades representativas das habilidades essenciais daquela Trajetória. Ele próprio pode verificar quais habilidades desenvolveu em melhores condições e quais não.

• Dicas de estudos: ao final de cada Trajetória, o aluno é convidado a refletir, descobrir modos de estudar e tentar colocar em prática os bons hábitos de estudo individual.

• Suplemente sua aprendizagem: ao final de cada volume, há uma coletânea de questões de exames de larga escala que pode ser utilizada como instrumento de avaliação (ou autoavaliação, uma vez que há o gabarito disponível para o aluno).

• Retornos: para os alunos que demonstrarem dificuldades de compreensão dos conhecimentos essenciais no decorrer do passeio,

ou para alunos que desejarem reforçar seus conhecimentos, há uma síntese dos conteúdos explorados em cada Trajetória. A leitura e a construção dos próprios resumos, esquemas, fichamentos de conteúdos devem ser incentivadas na rotina de estudos dos alunos. O quadro expõe exemplos de perguntas que podem ser ensinadas aos alunos para exercitarem o pensamento metacognitivo.

Possíveis questões com ênfase nas estratégias metacognitivas SOBRE OS

QUESTÕES

DESEMPENHOS Das ferramentas

• Eu sei fazer cálculos mentais? • Aprendo melhor registrando no papel ou só mentalizando as etapas de cálculo? • Eu sei usar diferentes representações para um mesmo cálculo? • Sei usar cálculo mental em situações do cotidiano?

Do uso das tarefas

• Como uso as ideias e as propriedades das operações ao registrar no papel ou mentalizar as etapas da realização de uma conta? • Eu reconheço as diferentes estratégias de cálculo de uma mesma operação em situações do cotidiano, em uma compra de supermercado, por exemplo? • O que preciso fazer para aprender a calcular mentalmente?

Sobre os efeitos • Como devo agir na hora de registrar mentalmente uma conta para que cada vez eu possa calcular melhor? do uso das ferramentas • Como posso eliminar a insegurança e o medo de aprender mais de uma estratégia de cálculo para uma mesma operação? Sobre as finalidades de uso das ferramentas

• Para que devo fazer uso do cálculo mental no cotidiano? • Por que aprendo melhor (ou é indiferente) as propriedades das operações ao fazer uma conta “de cabeça”, por exemplo, no supermercado? • Como escolher a melhor estratégia de cálculo para uma conta em uma situação do cotidiano (em uma compra de supermercado, por exemplo)?

Com base nessas questões em que o próprio aluno refletiu, autorregulou seu pensamento e autoavaliou-se é, agora, a vez de o professor verificar a qualidade dos desempenhos metacognitivos do aluno:

Verificação dos efeitos dos processos metacognitivos

• Descreva os processos de cálculo em uma situação real em que você utilizou cálculo mental. • Relate um fato que você aprendeu durante um registro por escrito de um cálculo ou de um processo mental de resolução de uma operação. • Invente uma conta e escreva pelo menos duas maneiras de determinar seu resultado.

LUPAS E LUNETAS Escolha uma página que contenha o boxe Levo na bagagem. Considere os conhecimentos, as atitudes e a exploração dos contextos aos quais essa seção se refere para realizar o que se segue.

a) Que orientações você daria para a turma quanto ao momento em que cada aluno for refletir sobre sua aprendizagem? Como você monitoraria e validaria a atitude dos alunos na realização dessa autoavaliação?

b) Que outras questões autoavaliativas você acrescentaria às que estão sugeridas no livro do estudante? c) Com essa página, escolhida por você, roteirize um caminho de trabalho a ser aplicado em aula, escolhendo sempre uma linguagem clara e sucinta.

XIX |

Ciclos de aprendizagens e ciclos avaliativos

ALEXANDRE R. / M10

A prática docente é permeada pela atividade avaliativa em suas diversas modalidades.

Avaliação diagnóstica É aplicada no início de cada ciclo de aprendizagem. Possibilita a identificação de conceitos, procedimentos, fatos e atitudes que os alunos já têm estabelecidos em momentos anteriores ao novo ciclo prestes a começar. Por meio dos feedbacks dos alunos, é possível captar o alcance do que têm já efetivado para, com essas informações, o professor construir as estratégias das novas aprendizagens. Tem a função de ajuste bilateral, aluno/programa de estudos: seja modificando o programa de estudos para adequá-lo aos alunos, seja orientando as aprendizagens dos alunos para que percorram com sucesso o programa estabelecido. Avaliação de processo ou formativa Dentro da atividade avaliativa está a avaliação de processo, que se traduz como o acompanhamento da aprendizagem, de maneira que seja possível monitorar avanços, dificuldades, possíveis obstáculos que envolvem a aprendizagem dos alunos e fazer intervenções em “tempo real”, oferecendo oportunidades que satisfaçam às necessidades diversas que ocorrerem no decurso do ciclo de aprendizagem. Essa avaliação interfere em toda a atividade de ensino-aprendizagem. É preciso levantar informações úteis e criar modificações eficazes para a regulação do processo de ensino-aprendizagem. Tem caráter formativo. Avaliação de resultado Esta ocorre ao final de um ciclo de aprendizagem. Sua função é verificar quais aquisições foram feitas ao longo do ciclo de aprendizagem com vistas a expedir ou não um “certificado”, ou seja, tem caráter certificativo. Essa avaliação mensura a eficácia do processo de ensino-aprendizagem. Avaliação a serviço da aprendizagem

Ao longo do livro do estudante, é possível verificar possibilidades para o trabalho docente que, por vezes, extrapolam a esfera estrita da Matemática e, por outras, complementam-na a partir do convite à utilização de diversas maneiras de se expressar matematicamente: oralmente, artisticamente, ludicamente etc. Levando em conta as três modalidades de avaliação, apresentamos os potenciais das diversas seções do livro quanto a cada uma dessas modalidades avaliativas:

1. Para efeitos de avaliação diagnóstica, usos possíveis: Prontos para começar!, Check-in, Arredores, Bússola, Atmosfera. Todas essas seções indicam as possibilidades preparatórias para as ações diagnósticas, ou seja, levantamento de indícios e, em seguida, favorecer a condução influenciada por expectativas de aprendizagem específicas a serem monitoradas mediante as produções dos alunos. Tais produções serão desenvolvidas ao longo do processo de ensino-aprendizagem. Assim, podem ser utilizadas como levantamento de indícios as seções Prontos para começar!, Check-in e Atmosfera.

4 8

4 6

1 2

2 3

Texto elaborado com finalidade didática. Informações obtidas em: www.wwf.org.br e https://educacao.uol.com.br. Acessos em: 17 maio 2022.

Escreva com algarismos os números destacados no texto, em ordem crescente, utilizando o símbolo de menor (<). 220 < 2 000 < 2 018 < 4 617 < 12 028 < 23 102 < 30 000 < 152 706 2.

Represente estes números em uma reta numérica:

Observe as figuras (considere o círculo como o inteiro): 1 ; 4 ; 1 ; 2 ; 4 ;

3 5 ; 0,3; ; 1; 2,25 4 2

0,3

3 4

2 6 3 3 8

Escreva a fração que corresponde às partes pintadas em relação ao todo em cada figura e, em seguida, represente essas frações em uma reta numérica. 4.

Em uma caixa há 100 livros destinados para doação. Considerando essa informação, substitua cada ■ pelo número correto: a) Se há 75 livros usados, então ■%

dos livros são usados. 75 b) Se a décima parte dos livros é de

ficção científica, então ■% dos livros são de ficção científica. 10 c) Sabendo que metade dos livros foi doada por uma única pessoa, as doações dessa pessoa correspondem a ■% do total de livros. 50 d) Se 25% dos livros são de poesia, então há ■ livros de poesia na caixa. 25 14 |

2 2,25 5 2

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Um cientista fotografou, a cada 10 minutos, o termômetro com a temperatura da substância que estava pesquisando:

100 oC 90 oC 80 oC 70 oC 60 oC 50 oC 40 oC 30 oC 20 oC 10 oC

a) Reproduza e complete a tabela que

Qual das alternativas é a correta em cada item? a) O ponto de coordenadas (1, 3) repre-

senta um local do mapa: • com água x • terrestre • área verde b) Um ponto situado em uma área verde do mapa é: • (6, 10) • (13, 3) x • (10, 9)

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

7. b) Temperatura da substância 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

0 min 10 min 20 min 30 min 40 min

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

A – II; B – I; C – IV; D – III.

Temperatura da substância 3

Foi desenhado um plano cartesiano sobre o mapa de certa cidade: ALEXANDRE R./M10

Associe cada sólido geométrico à planificação de sua superfície:

Temperatura (oC)

1 3

Leia o texto:

representa a temperatura, em °C, a cada 10 minutos de experiência, partindo do momento 0 min:

III

20 30 40 Tempo (min)

No depósito de uma fábrica, um funcionário trabalha organizando as caixas. ICONIC BESTIARY/SHUTTERSTOCK

3. 0

ARTE/ M10

#PRONTOSPARACOMEÇAR!

Foram empilhadas várias caixas em formato de cubo com 1 m de aresta:

Temperatura da substância Tempo (min)

50 70

Temperatura (oC) b) Elabore um gráfico de linhas que

represente a temperatura, em °C, a cada 10 minutos de experiência. c) Supondo que o aumento de temperatura siga esse mesmo padrão, qual seria a temperatura no tempo 50 min? 110 °C. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

16 caixas.

a) Quantas caixas foram empilhadas? b) Se o volume de cada cubo é

1 m3, qual é o volume total do empilhamento? 16 m3.

c) Se 1 000 L correspondem a 1 m3,

qual seria a capacidade em litros?

16 000 L.

15 |

A seção Prontos para começar! é uma ótima ferramenta para realizar um diagnóstico na chegada dos alunos, nas primeiras aulas do ano letivo.

XX | MANUAL DO PROFESSOR

PASSEIO 1 – NÚMEROS DECIMAIS

ATMOSFERA [...]

O QUE OS NÚMEROS INDICAM SOBRE O MEIO AMBIENTE?

As “contas” do meio ambiente

Observe este infográfico. Levando em conta os números que aparecem nele, responda às questões.

Nossa civilização, assim como todas as demais que já existiram sobre a Terra, possui forte dependência do meio ambiente. Embora muitas vezes a gente se esqueça disso, os recursos naturais estão presentes nas mais elementares atividades humanas, como comer, beber e respirar. Mesmo nas sociedades mais complexas, essa dependência se mantém. Continuamos a precisar de água e de

FREEPIK/ ARTE/ M10

Os países que geram mais e menos lixo eletrônico (kg por pessoa)

energia, por exemplo, que são elementos básicos para quase todas as atividades humanas, especialmente as econômicas. Além de prover nossa subsistência, a natureza nos propicia lazer e prazer estético, cultural e espiritual e é também responsável pela reciclagem dos resíduos gerados pelas ações humanas. [...]

CONTAS econômicas ambientais: o que são? Projeto TEEB regional-local. Brasília/DF: Ministério do Meio Ambiente, 2019. Disponível em: www.giz.de/en/downloads_els/Cartilha%20Contas%20Econ%C3%B4micas%20Ambientais_09_05_2019.pdf. Acesso em: 12 jul. 2022.

ALEXANDRE R./M10

Água: participação das atividades econômicas no consumo total (em %) Agricultura, pecuária, produção florestal, pesca e aquicultura

97,4

Indústrias extrativas

0,1

Indústrias de transformação e construção

1,0

Eletricidade e gás

0,0

Água e esgoto

0,8

Demais atividades

0,1

Participação das famílias no consumo total

0,6

Consumo total

100,0

Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) e a Agência Nacional de Águas (ANA). Contas Econômicas Ambientais da Água. Divulgação em 2020, dados de 2017.

ATIVIDADES

CHECK-IN a) Quantos números há nesse infográfico? 10 números.

b) Pense em alguém que pese 28 kg. Considere essa pessoa e imagine o que significa

a quantidade de lixo eletrônico que uma pessoa, sozinha, gera na Noruega. Que conclusões você pode propor com essa comparação? Resposta pessoal. 1 5 , , c) Observe os números: 5, 2 10%, 50%, 10 50. Quais deles você relacionaria ao número 0,5? Converse com os colegas a esse respeito. 1

3. 4. 5. 6. 7.

c) 2 50% e 10 pois são os únicos que equivalem ao número 0,5. 238 | TRAJETÓRIA 4

1. Lazer, prazer estético, cultural, espiritual e também reciclagem dos resíduos gerados pelas ações humanas.

Segundo o texto, atividades elementares como comer, beber e respirar são sinais da nossa forte dependência do meio ambiente. A natureza provê nossa subsistência. Além desses, que outros elementos da atividade humana são também a natureza que nos propicia? Quais são os dois elementos que o texto afirma serem básicos para quase todas as atividades humanas? Água e energia. Agricultura, pecuária, produção florestal, pesca e aquicultura. Qual atividade econômica é a que mais consome água do total de participação? Quanto consomem, juntas, as indústrias extrativas e as de transformação e construção? 1,1%. A soma de quais duas atividades econômicas resulta em 1,5%? Água e esgoto e demais atividades. Quem consome mais água: as famílias ou as indústrias de construção? As indústrias de construção. Qual dessas atividades econômicas você acha que deveria economizar mais água? Como acredita que isso seria possível? Apresente uma proposta para que essa atividade econômica citada por você possa economizar água. Respostas pessoais.

258 | TRAJETÓRIA 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

As seções Check-in e Atmosfera são adequadas para realizar um diagnóstico dos conhecimentos e atitudes dos alunos quanto à Matemática e aos contextos diversos no início de cada novo passeio – que pode durar de 15 a 20 dias.

Para o monitoramento das expectativas de aprendizagem, são adequadas as seções Arredores e Bússola.

ARREDORES Composição e decomposição

Relação entre d, c e m

Décimos d

Centésimos c

Milésimos m

NÚMEROS DECIMAIS

Representação de número

Decimal

Fracionária

SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

Comparação de números decimais

Reta numérica

EF06MA01, EF06MA02, EF06MA08 EF69LP05 EF06CI04

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: • •

• • • • •

Reconhecer números decimais em situações cotidianas. Reconhecer a correspondência entre as representações decimal e fracionária de um mesmo número e estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra. Compreender a representação de números decimais segundo o sistema de numeração decimal. Compor e decompor números decimais. Comparar e ordenar números decimais, representando-os na reta numérica. Justificar em charges o efeito de humor, ironia ou crítica pelo uso ambíguo de palavras, expressões ou imagens. Associar a produção de materiais sintéticos ao desenvolvimento científico e tecnológico, reconhecendo benefícios, mas também avaliando impactos ambientais.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

239 |

O mapa de vínculos e ênfase apresenta uma possibilidade de conexões entre os diferentes conteúdos matemáticos e, logo abaixo, as expectativas de aprendizagem, que podem ser previamente ajustadas pelo professor, de acordo com seu planejamento.

XXI |

2. Para efeitos de avaliação em processo, usos possíveis: Atividades, Nuvens, Travessias, Lupas e lunetas e Retornos. A seção Atividades fornece as principais ações cotidianas da sala de aula para o olhar da avaliação mediadora. Nesse momento, o aluno enfrenta uma tarefa, registra um processo, demonstra o produto de uma atividade e, a partir de então, são expostos os elementos observáveis que passam a ser informações para a avaliação em processo. Essa seção tem um duplo papel na avaliação em processo: avaliar a atividade do aluno (sua postura acadêmica no ato de aprender, que vai além de destrezas mentais com os conhecimentos matemáticos, como sua autoestima e perseverança na busca de soluções) e avaliar o resultado da sua produção ou o seu produto (nesse caso, é possível fazer uma observação indireta do aluno como produtor, levando em conta os traços de seu produto).

ATIVIDADES

20. b) Problema possível: Maria comprou cinco bandejas com seis ovos cada uma. Um ovo ela consumiu. Qual fração de meia-dúzia de ovos ainda restam?

19. Escreva uma fração imprópria e a forma mista

b) A partir dessa situação, elabore um pro-

9 1 =2 4 4

21. Observe as divisões de cada círculo e de

20. Observe esta imagem, considerando meia-

1 1 1 segundo, fossem divididas ao meio, a qual , , . 4 6 8 fração do todo cada nova fatia corres-

blema e, depois, troque-o com um colega na hora de resolver.

de modo que sejam representadas as partes pintadas das figuras em relação a um inteiro:

cada maçã.

CHEKYRAVAA/SHUTTERSTOCK

7 1 = 2 b) 3 3

7 1 c) =1 6 6 a) Se as fatias de cada círculo, a partir do

-dúzia de ovos como o inteiro:

ponderia?

ERMAK OKSANA/ SHUTTERSTOCK

b) Imagine que as quatro maçãs estivessem

7 1 ou 2 . divididas, cada uma, em três fatias iguais. 3 3 Quanto representariam sete fatias em

relação ao todo (no caso, uma maçã)? Represente de duas maneiras diferentes.

a) Represente a soma dessas quantidades de

c) Elabore uma pergunta em que a resposta

ovos por uma fração imprópria e, depois, na forma mista. 29 e 4 5 ! 29 6

seja uma fração imprópria ou uma representação mista. Resposta pessoal.

22. Neste labirinto o sapo só pula sobre uma vitória-régia com fração própria. Escreva no caderno a IGDEEVA ALENA/SHUTTERSTOCK

sequência de frações em que ele vai percorrer até chegar à flor.

5 2

8 3 11 6

6 11 7 9

9 7

7 3

17 2

10 7 3 5

3 2

3 5

12 13

13 12

2 3

9 4 31 21

5 6 4 3

21 31

190 | TRAJETÓRIA 3

4 9 3 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

A seção Atividades favorece a exposição, por parte do aluno, de informações observáveis para a avaliação em processo, demonstrando se de fato ele compreendeu as situações, os conceitos, os fatos e os procedimentos explorados anteriormente.

O boxe Lupas e lunetas propõe reflexões sobre os objetos de conhecimento estudados em relação aos diferentes contextos, matemáticos ou não. Além do apelo ao desenvolvimento de um espírito investigativo por parte dos alunos, a marca desse boxe é justamente convidar o aluno para uma reflexão a respeito de um detalhe ou um olhar amplo sobre um conhecimento de modo imediato, no decurso da aula. #Um mesmo sinal, diferentes significados Em situações do cotidiano envolvendo noções de igualdade, essa palavra também pode estar associada à noção de equilíbrio, especialmente em situações com balanças e gangorras. Acompanhe o experimento de Carol, em que ela utiliza pequenos pesos de metal, cuja massa

JAVIER G./ M10

é em gramas, e uma balança de dois pratos.

LUPAS E LUNETAS a) Ao final, o que Carol verificou? Que a maçã pesa 150 g. b) Escreva uma sentença que represente a síntese da verificação feita por Carol. Utilize algum símbolo de Matemática nessa sentença. Compartilhe sua escrita com os colegas. Resposta pessoal.

A igualdade na Matemática situação e a sua correspondente sentença Exemplo de boxe Lupas e lunetas no qual o Observe alunocada é levado refletir sobre umamatemática. situação que é o fio condutor da explanação da aula. I.

XXII | MANUAL DO PROFESSOR

II.

III.

Mundos imaginados.

A Matemática é uma produção humana. Ao longo da história, diversos povos, culturas e civilizações elaboraram suas maneiras de interpretar e explicar o mundo a partir de sua própria A coleção considera essencial o enfrentamento e a elaboração de perguntas, sejam elas matemáticas ou não, convidando o aluno linguagem matemática. Mais do que somente uma maneira de compreender, a Matemática se a ler, entender e reelaborar as perguntas problematizadoras, como ocorre no boxe da abertura de cada Trajetória: constituiu como uma maneira de estar e de agir sobre o mundo.

LUPAS E LUNETAS Reflita sobre as questões expostas anteriormente e considere-as para elaborar outras perguntas de sua própria autoria. Publique suas perguntas no mural da sala de aula e aprecie as perguntas dos colegas.

19 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Boxe recorrente, que convida o aluno a reelaborar as questões norteadoras, apresentadas a cada abertura de Trajetória.

A coleção também valoriza o desenvolvimento de habilidades e competências relacionadas ao letramento matemático, ou numeramento: representar, comunicar e argumentar matematicamente. As situações descritas anteriormente contemplam tais habilidades; além disso, é também comum verificar problemas e atividades que convidam os alunos a expor suas ideias, hipóteses, argumentações e justificativas. Além de esses momentos se constituírem em locais privilegiados para a avaliação formativa, cria-se também nos alunos o sentimento de pertencimento. Em outras palavras, ao investigar um problema matemático coletivamente, argumentar matematicamente e justificar suas estratégias para a resolução, o aluno toma para si o problema e, a partir de então, não se trata mais de um problema “inventado pelo livro”, mas um problema em que todos se envolvem para resolver. TRAVESSIAS

ARTE/ M10 ARTE/ M10

Em seguida, marcaremos no plano cartesiano os pontos A, B, C e D. Note que, ao marcarmos os pontos no plano, aparece uma lista com as coordenadas dos pontos.

ARTE/ M10

Faremos isso para cada um dos pontos A, B, C e D. Veja como ficou a figura final, ampliada com o triplo do tamanho da original:

ATIVIDADES

Respostas pessoais.

Ao iniciar o aplicativo, será exibido um plano cartesiano e uma barra de ferramentas com diversas opções. Aqui, utilizaremos a função “novo ponto”.

As diversas “facetas” do ângulo

DELCARMAT/SHUTTERSTOCK

Ampliar e reduzir figuras utilizando aplicativos de geometria dinâmica

INSTITUTO DE ARTE DE CHICAGO, CHICAGO, EUA

ARTE/ M10

NUVENS NUVEN S

Assim como as obras cubistas, que chamam a atenção por possibilitar diferentes facetas de um mesmo retrato, o ângulo, essa figura geométrica, também é multifacetado. Ao longo da história da Matemática e, em particular, entre os diferentes livros didáticos, é possível encontrar algumas distintas definições de ângulo. O mais comum atualmente, por um lado, é que um mesmo material didático de Matemática assuma uma das definições possíveis. Por outro, constatar que há distintas definições contribui para ampliar o campo de significados associado ao conceito de ângulo. Pensar nas consequências que cada definição traz também é uma boa reflexão. Veja cinco possíveis definições de ângulo, vindas de materiais escolares brasileiros ao longo dos tempos. I. Duas retas distintas que se cortam em um ponto, formando quatro aberturas. Cada abertura recebe o nome de ângulo. II. Ângulo é cada uma das regiões em que o plano fica dividido por duas retas que têm um único ponto comum. III. Um ângulo é a figura geométrica formada por duas semirretas com uma extremidade comum. IV. Ângulo é o nome de cada uma das regiões em que o plano fica dividido por duas de suas retas que tenham um só ponto comum. V. Ângulo é uma rotação que transforma uma semirreta em outra semirreta com a mesma origem.

ATIVIDADES

12. Forme dupla ou trio. Leia as questões para realizar essa investigação. Respostas pessoais. a) Compare as cinco definições com a definição apresentada na página anterior. A qual

delas aquela definição corresponde? Explique.

b) Represente cada uma das cinco definições por meio de um desenho. Você pode •

utilizar lápis de cor para os casos em que for necessário colorir. Compartilhe com os demais colegas as descobertas que vocês fizeram.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

133 |

As seções Nuvens e Travessias convidam o aluno a se envolver com variadas situações que promovem o letramento matemático.

Finalmente, como parte necessária aos hábitos de estudo do aluno para revisar, reorganizar e construir novas conexões, há a seção Vistorias, que oferece possibilidades de revisão dos conhecimentos. É uma etapa importante para o aluno resgatar as informações da memória de longa duração, manipulá-las na memória de trabalho e também o inverso, o aprendizado que recém‑chegou à memória de trabalho poder ser levado para a memória de longa duração, sempre que o conteúdo for repassado no mesmo dia. XXIII |

RETORNOS

TRAJETÓRIA 1 Sistemas de numeração O sistema de numeração que utilizamos – o indo-arábico – tem como características ter base 10 e ser posicional, além da existência do zero. Ao longo da história, outros sistemas de numeração foram substituídos pelo indo-arábico (como os sistemas chinês e egípcio antigos); outros ainda têm alguns usos no cotidiano, como o sistema de numeração romano. Números naturais O conjunto dos números naturais é representado pela letra |N: |N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...} Na reta numérica:

Adicionando 1 a um número natural qualquer, obtemos o seu sucessor.

III. Pela propriedade do elemento neutro, todo número adicionado a zero resulta nele mesmo. A operação de subtração está relacionada a diversas ações: tirar, subtrair, descontar, perder, completar etc. A adição e a subtração são operações inversas. Por exemplo, se 3 + 5 = 8, então 8 – 5 = 3 e 8 – 3 = 5. A operação de multiplicação está relacionada a significados como contagem, adição de parcelas iguais, proporcionalidade, configuração retangular etc. • Propriedades da multiplicação I. Pela propriedade comutativa, a ordem dos fatores não altera o produto da multiplicação. II. A propriedade associativa possibilita associar os fatores de uma multiplicação para realizar os cálculos em uma ordem conveniente.

Subtraindo 1 de um número natural, dife-

III. Pela propriedade do elemento neutro, o produto da multiplicação de um número natural por um 1 é sempre ele mesmo.

rente de 0, obtemos o seu antecessor. Operações com números naturais

IV. Pela propriedade distributiva, podemos relacionar a operação de multiplicação com as operações de adição e subtração. Por exemplo: 3 ⋅ (2 + 5) = 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 = 6 + 15 = 21

A operação de adição está relacionada a diversas ações: juntar, acrescentar, adicionar, totalizar etc. • Propriedades da adição

I. Pela propriedade comutativa, é possível alterar a ordem das parcelas sem que isso altere o resultado.

A intersecção de 2 faces de um poliedro é denominada aresta. A intersecção de duas ou mais arestas de um poliedro é denominada vértice. Os prismas apresentam duas bases que são polígonos idênticos. Face

mesmo:

Vértice

Aresta

As pirâmides têm somente uma base e, externo ao polígono da base, há um único vértice, que é comum a todas as faces laterais triangulares.

Um metro cúbico (1 m3) corresponde ao volume ocupado por um cubo de arestas com medida 1 m.

Veja exemplos:

A operação de divisão está relacionada a significados como repartir, agrupar, separar, partilhar etc. Podemos escrever a divisão como:

II. Pela propriedade associativa, em uma adição com três ou mais parcelas, é possível associar parcelas para decidir

Dividendo

Divisor

Resto

Quociente

E a relação fundamental da divisão é: Dividendo = Quociente × Divisor + Resto

a ordem em que serão realizadas as adições. 302 | RETORNOS

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

A superfície do cubo é composta somente por superfícies planas.

A superfície da esfera é composta por uma superfície curva.

A superfície do cilindro é composta por duas superfícies planas e uma superfície curva. 303 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

A seção Retornos representa uma oportunidade de revisar, por meio de uma síntese, os conteúdos explorados pelo aluno.

3. Para efeitos de avaliação de resultados, usos possíveis: Levo na bagagem, Barcos e portos, Vistorias e Suplemente sua aprendizagem. Todo o processo de avaliação, no contexto escolar, é dotado de uma dimensão de comunicação, ou seja, o professor envia “mensagens” ao aluno pronunciando o modo como ele foi avaliado. A informação deve ser útil e clara de modo que faça sentido na mente do aluno e ele possa reconhecer por quais mudanças devem passar suas posturas durante a aprendizagem e igualmente suas estratégias de estudo em prol do alcance da totalidade da aprendizagem. Especialmente nessa etapa da comunicação de resultados, essa dimensão comunicativa da avaliação ganha um caráter conclusivo.

BARCOS E PORTOS

Mas sua decomposição está errada. Corrija a decomposição dela e elabore uma justificativa que fundamente a decomposição correta. ▶ Proponha

▶ Organize Respostas pessoais. Acompanhe o post de Eduarda sobre o modo de ela organizar seus estudos. Eduarda_Sexto_Ano

@Duda_

963,929 = 9 ⋅ 102 + 6 ⋅ 101 + 3 ⋅ 100 + 9 ⋅

1 1 1 +2 ⋅ +9 ⋅ 101 102 103

A pergunta inicial deste passeio é: O que os números indicam sobre o meio ambiente? Ao longo deste passeio, você identificou diversos números ou índices relacionados a algum fato sobre o meio ambiente. Continue aplicando o que aprendeu. Observe a charge.

Composição e decomposição

Sistema de numeração decimal

Comparação de números decimais

POUL CARLSEN/SHUTTERSTOCK

Eu sempre copio o mapa mental que está no início do passeio. Daí, quando chegamos ao final do passeio, eu pinto de azul o que aprendi bem e de amarelo o que ainda tenho alguma dúvida. Isso vai me ajudar a enxergar onde estão minhas dificuldades e posso pedir ajuda para o professor, colegas, um adulto que saiba esses conteúdos ou, ainda, fazer pesquisas na internet. Reta numérica

Milésimos m Fracionária Relação entre d, c e m

Centésimos c

Números decimais

Representação de número Decimal

Décimos d 73

a) O que você achou da ideia de Eduarda? Você acredita que isso pode ajudar a or-

ganizar seu aprendizado?

b) Olhando o esquema de Eduarda, o que você afirmaria sobre a aprendizagem dela?

c) Você sempre toma nota de palavras, termos matemáticos, procedimentos de cálculo,

modos de resolver problemas ou algum outro fato matemático que não compreendeu bem para, em seguida, buscar estratégias para superá-los? O que costuma fazer quando não consegue aprender algum conceito?

b) Resposta possível: Ela aprendeu tudo sobre sistema de numeração decimal, mas tem difi-

▶ Elabore culdades com os números decimais.

Eduarda escreveu no caderno a decomposição de um número decimal. 963,929 = 9 ∙ 102 + 6 ∙ 101 + 3 ∙ 100 + 9 ∙ 254 | BARCOS E PORTOS

XXIV | MANUAL DO PROFESSOR

1 1 1 +2∙ +9∙ 102 101 100 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Pesquise os números relacionados ao meio ambiente em sua cidade. Por exemplo, qual é a quantidade de pneus enviados para o descarte? Quantos são encaminhados aos descartes adequados? Quais locais existem em sua cidade para a reciclagem? As pessoas sabem dessa informação? Apresente uma proposta que possa melhorar o cenário da qualidade do meio ambiente em sua cidade. Anote os números que você for descobrindo. Escreva-os corretamente. Faça a leitura de cada número corretamente. Destaque aqueles que estão em notação decimal. Tire fotos da sua produção e poste no mural da sala. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

255 |

Justificativa: 963,929 = 900 + 60 + 3 + 0,9 + 0,02 + 0,009 9 2 9 + + = 9 ! 100 + 6 ! 10 + 3 ! 1 + 10 100 1000 " 9 ! 102 + 6 ! 101 + 3 ! 100 +

9 2 9 + 2 + 3 101 10 10

9. Sacos de

VISTORIAS

Ela fez uma votação para saber quais são os estilos de games preferidos de cada um.

Games preferidos

6. Rui e Laís compraram uma fazenda em que

Esporte

de 2025.

1 de todo o terreno. 10 2 Para a casa principal, vão construir em de 15 todo o terreno.

Menina JAVIER G./M10

3 Do bolo de morango foi comida 4 . Do bolo de laranja foi consumida uma fração equivalente a essa. 2 fatias. Quantas fatias do bolo de laranja sobraram?

ARTE/ M10

JAVIER G./M10

realizam eventos sobre boa alimentação. O evento criado por Tainá ocorre a cada 5 meses e o de Aisha, a cada 8 meses. Os eventos coincidiram em maio de 2022. Quando serão realizados juntos de novo? Em setembro

farão um celeiro usando

Ação

Para organizar os times para as partidas de cada estilo de jogo, determine qual a quantidade máxima de pessoas em um time de modo que todos os times, de todos os estilos de games, tenham a mesma quantidade de membros. 4 pessoas.

M_AGENCY/SHUTTERSTOCK

Estratégia

2. Lúcia está organizando um dia de games JAVIER G./M10

para entretenimento com os amigos.

4. Verifique se os pares de frações são equivalentes; se não forem, escreva uma fração equivalente para cada uma no par. 21 84 a) 36 , 144 Equivalentes. 2 4 b) 5 , 9

70 | VISTORIAS

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

SUPLEMENTE SUA APRENDIZAGEM

1. (Enem) Os incas desenvolveram uma maneira

ARTE/ M10

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

⎛ 2⎞ b) ⎝ 5 ⎠

1 16 4 25

⎛ 3⎞

81 10000

⎛ 9⎞ d) ⎝ 10 ⎠

81 100

c) ⎝ 10 ⎠

no mês de fevereiro. Em março seu faturamento aumentou 20%.

Jovens empreendedores do agronegócio. a) Determine a fração correspondente à parte

de toda a fazenda que será ocupada pelo celeiro e a casa principal. b) Qual é a diferença entre os tamanhos

dos terrenos usados para a casa e para o celeiro? 1 de toda a fazenda. 30

7. Lana recebeu 8 000 reais pela produção

6 anual de seus vídeos. Ela investiu desse 15 valor, presenteou seu irmão Fernando com 1 e o restante depositou para uma obra de 8 caridade. Determine a quantia que foi para a obra de caridade. R$ 3.800,00.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

7 de toda a fazenda. 30 3 0

Alternativa b. As outras alternaatendente e anotou o número 13_98207, tivas dispõem sendo que o espaço vazio é o do algarismo as faces numa organização que que João não entendeu. não é possível a De acordo com essas informações, a posição partir da planifiocupada pelo algarismo que falta nocação número indicada.

de protocolo é a de a) centena. b) dezena de milhar. c) centena de milhar. d) milhão. e) centena de milhão.

recortou um pedaço de cartolina branca e pintou de cinza algumas partes, como na figura.

a) De quanto foi o aumento do faturamento

de Lucas? 20% de 4000 = 800. O aumento foi de R$ 800,00.

b) Quanto foi o faturamento do mês de

março? 4000 + 20% de 4000 = 4000 + 800 = 4800. O faturamento de março foi R$ 4.800,00. c) Utilize outro procedimento para resolver esse problema. 4000 ⋅ 120% = 4800 71 |

7. (OBMEP) Numa reunião da comunidade do bairro, cada uma das 125 pessoas presentes recebeu um número diferente, a partir do número 1 até o 125. Em dado momento, foi feita uma lista das pessoas com número par e das pessoas com número múltiplo de 3, que deveriam participar de um projeto. Algumas pessoas reclamaram, dizendo que o seu nome aparecia duas vezes na lista. Quantas pessoas apareceram duas vezes na lista?

Qual das figuras abaixo representa o cubo construído por Guilherme?

a) 2

d) 41

b) 6

e) 62

c) 20

8. (Enem) A rosa dos ventos é uma figura que a)

3. (OBMEP) Cinco dados foram lançados e a

representa oito sentidos, que dividem o círculo em partes iguais.

6. (FATEC-SP) A figura mostra a planificação

de um cubo, que apresenta imagens em suas faces. ARTE/ M10

Uma câmera de vigilância está fixada no

que não podem acontecer a partir da planificação apresentada.

teto de um shopping e sua lente pode ser direcionada remotamente, através de um controlador, para qualquer sentido. A lente O cubo montado a partir dessa planificação é:

ARTE/ M10

2. (Enem) João decidiu contratar os serviços de

⎛ 1⎞

11. Lucas faturou R$ 4.000,00 com sua empresa

gens e decidiu vender caixas comAlternativa diferentese. Nas outras alternaformatos. Nas imagens apresentadas, estão tivas há contaas planificações dessas caixas. to entre faces

O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é a) 364. c) 3 064. e) 4 603. b) 463. d) 3 640.

quantos sacos de cada tipo podem ser feitos a partir de um saco de 5 kg.

Trajetória 2

4. (Enem) Maria quer inovar sua loja de embala-

Disponível em: www.culturaperuana.com.br. Acesso em: 13 dez. 2012.

A instituição vai dividir sacos como esse em 1 1 kg. Determine outros menores de kg e 2 4

a) ⎝ 2 ⎠

5. (OBMEP) Para montar um cubo, Guilherme

Trajetória 1

associada a cada situação?

9. Isabela doou um saco contendo 5 kg de arroz.

10. Calcule as potências:

3. São dados os números 10, 15 e 25. Com esses

números, em dupla, produzam, revisem e editem dois problemas: um de mmc e outro de mdc. Respostas pessoais. a) Resolvam os problemas e descrevam a estratégia de resolução para cada um deles por meio de um fluxograma. b) Quais são as regularidades em termos de construção e composição nos textos dos problemas?

Na atividade 6 a ideia é parte de um todo. Na atividade 7, é fração de uma quantidade.

8. Nas atividades 6 e 7, qual ideia de fração está

JAVIER G./M10

1. Tainá e Aisha são nutricionistas que sempre

2 4 6 20 : , , etc. 4 10 15 50

ARTE/ M10

4 8 12 40 , , etc. Sugestões de frações equivalentes a : 9 18 27 90

ANADOLU_DIZGI/SHUTTERSTOCK

4. b) Não equivalentes. Sugestões de frações equivalentes a

MENTALMIND/SHUTTERSTOCK

ranja, de mesmo tamanho, foram divididos conforme mostram as figuras.

Você chegou ao final desta Trajetória. Reflita sobre tudo o que aprendeu e verifique a qualidade da sua aprendizagem. Resolva todos os exercícios no caderno.

CHECK-OUT

1 1 1 1 kg: 5 ÷ = 10 sacos; sacos de kg: 5 ÷ = 20 sacos. 2 2 4 4

5. Dois bolos, um de morango e outro de la-

da câmera está apontada inicialmente no sentido Oeste e o seu controlador efetua três mudanças consecutivas, a saber: •

1ª mudança: 135o no sentido anti-horário;

•

2ª mudança: 60o no sentido horário;

•

3ª mudança: 45o no sentido anti-horário.

Após a 3ª mudança, ele é orientado a reposicionar a câmera, com a menor amplitude possível, no sentido Noroeste (NO) devido

314 | REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

a um movimento suspeito de um cliente. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

As seções Barcos e portos, Vistorias e Suplemente sua aprendizagem oferecem possibilidades para a avaliação de resultados e podem ser utilizadas como atividades cotidianas ou na avaliação em processo, a depender das estratégias docentes.

XXV |

Outro aspecto importante da avaliação de resultados é o aluno desenvolver, aos poucos, a capacidade de ele próprio reconhecer sua lógica de pensamento equivocada ou procedimentos e regras que ele mesmo criou sem fundamentos com os conhecimentos que foram até então explorados. Ou seja, o processo de autoavaliação é, antes de tudo, uma possibilidade de “abrir os olhos” do próprio aluno para não só enxergar seus equívocos, como também enxergar os modos de superá-los. LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Recupere em sua memória fatos relacionados às suas experiências de estudos sobre os assuntos deste passeio. Tente relembrar aquilo que mais aprendeu e o que você julga necessário estudar um pouco mais. Considere os seguintes aspectos: ▶ Matemática • Você sabe resolver e elaborar problemas com números na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos, com e sem uso de calculadora? • Sabe escrever números utilizando múltiplos de potências de 10? • Você sabe resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, relacionada à ideia de proporcionalidade, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos diversos? • Calcula a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a na forma fracionária, decimal e percentual? • Consegue realizar experimentos sucessivos para determinar a probabilidade de um evento? • Resolve problemas que envolvam a grandeza massa inseridos em contextos diversos? ▶ Outras disciplinas Geografia • Sabe analisar interações com a natureza de diferentes povos ou grupos sociais, observando transformações da biodiversidade local ou do mundo? Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

277 |

Ao aluno é oferecida a oportunidade de atribuir a si mesmo uma qualificação a respeito do resultado dos seus próprios trabalhos escolares, segundo os objetivos que lhe foram declarados desde o início do passeio.

CRYSTAL EYE STUDIO/SHUTTERSTOCK

SENNTABI/SHUTTERSTOCK

Autoavaliação e autoconhecimento como aprendiz

A autoavaliação, a autoestima e o autocuidado são processos que se mesclam e se entrelaçam no desenvolvimento do autoconhecimento como aprendiz.

Pensar sobre a própria aprendizagem, reconhecer os desafios a serem superados e, ao mesmo tempo, ter noção das conquistas realizadas no decurso escolar são ferramentas importantes a serem desenvolvidas pelos jovens estudantes que, gradativamente, se permitem ao monitoramento das suas aprendizagens e assumem para si as responsabilidades dos hábitos acadêmicos. Desenvolver a autoestima e a perseverança na busca por soluções e conhecer-se como aprendiz de modo crítico e criativo no ambiente escolar são atitudes cada vez mais valorizadas não somente na escola, como também em toda a sociedade contemporânea. Por exemplo, tomar consciência sobre aquilo em que possui facilidades para aprender e explorar seu potencial na realização dessas atividades ou, por outro lado, reconhecer as limitações momentâneas e as dificuldades a elas associadas, encorajando-se a buscar formas de superá-las, são atitudes que tornam o estudante um cidadão mais consciente das suas competências para a vida em sociedade e o faz reconhecer-se em um processo constante de desenvolvimento pessoal. XXVI | MANUAL DO PROFESSOR

2. A PRÁTICA DOCENTE Como ajustar a prática docente para melhorar o processo de ensino-aprendizagem?

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Os alunos aprendem de formas diferentes. Muitos deles sentem mais facilidade ao agir ativamente fazendo coisas, manipulando objetos e interagindo com o espaço e com as pessoas em vez de somente estudar de forma abstrata os assuntos apresentados. Todavia, há diversos momentos no decurso da aprendizagem de um aluno. A história construída da aprendizagem individual é mesclada de estratégias e de diversas experiências, sejam individuais, em grupo, coletivamente, concretamente, abstratamente, afetivamente etc. Os alunos aprendem de formas diferentes nos diversos momentos das experiências de aprendizagem e o olhar atento do professor e a familiaridade quanto aos materiais disponíveis para o melhor desempenho de suas práticas potencializa a realização de excelentes aulas. Isso torna a prática docente um exercício cotidiano desafiador mas, ao mesmo tempo, satisfatório pelos bons resultados.

Há diversos modos de acompanhar e monitorar a aprendizagem. Desde as formas de expressões do próprio aluno sobre aquilo que aprende até as formas críticas e investigativas do professor com base na observação da atividade do aluno.

CHECK-IN • • • •

Você ajusta sua prática docente de modo a contemplar a diversidade de interesses, necessidades e dificuldades dos alunos? Como você identifica e registra os conhecimentos prévios dos alunos antes de um novo ciclo de aprendizagens? De que modo a compreensão desses conhecimentos prévios ajuda no planejamento de sua ação didática? Você deixa as suas intenções de aprendizagem claras para os alunos?

XXVII |

Identidade do professor, ambientes de aprendizagem e avaliação

A identidade do professor é construída a partir de sua própria ação docente. É um processo que se situa no dia a dia, nas interações com os alunos, com os colegas e com o próprio objeto de conhecimento que é ensinado. A contínua ação docente interfere no processo de delinear a identidade do professor de tal modo que adaptações e ajustes na ação docente demandam reajustes nos esquemas de reconhecimento da própria identidade. Ao assumir a dinâmica da sala de aula, o professor leva consigo suas experiências e um conjunto de esquemas práticos que se torna um meio para mobilizar sua ação, conforme cada uma das necessidades que emergem do ambiente de aprendizagem.

O ambiente de aprendizagem escolar é compreendido como um lugar previamente organizado para promover oportunidades de aprendizagem e se constitui de forma única, na medida em que é socialmente construído por estudantes e professores, a partir das interações estabelecidas entre si e com as demais fontes materiais e simbólicas do ambiente. Lugar, nessa conceituação, deve ser entendido em sentido amplo e não reduzido a espaço físico. É o locus do acontecimento, é síntese de múltiplas condições, é o solo, mas, mais ainda, a cultura e a sociedade. (MOREIRA; PEDROSA; PONTELO, 2011). A avaliação assume um papel fundamental na constituição do ambiente de aprendizagem. É a partir das opções feitas sobre o ato de avaliar que se torna possível a compreensão do que o aluno já sabe e de que maneira se apropriou dos conhecimentos. Mais ainda, é a partir da avaliação que professor e instituição de ensino podem refletir sobre suas práticas e replanejar suas ações caso seja necessário. “Avaliar é informar-se para julgar. Remediar é ajustar a ação, apoiando-se no feedback” (HADJI, 2001, p. 123). Observar os diversos modos de aprender nas diferentes situações de aprendizagem é uma das tarefas do professor em sua prática docente. Os alunos são diferentes – em seus tempos de aprendizagem, em suas experiências, em suas histórias de vida –, de maneira que os mesmos estímulos geram efeitos diversos no ambiente da sala de aula. Para que todos os alunos tenham chances de aprender, é esperado que a prática docente venha seguida de possibilidades de modificações, situadas em relação a um feedback e encaminhadas em relação ao objetivo.

LUPAS E LUNETAS Para esta reflexão, aproveite o momento de trabalho coletivo na escola e reúna-se com outros colegas. Tenham em mãos o livro do estudante deste volume. Escolham uma atividade que, segundo o julgamento do grupo, tenha possibilidade de gerar na aprendizagem dos alunos desempenhos diversos, variando desde alunos que compreenderão com certa facilidade até alunos que demonstrarão dificuldades extremas para realizá-la.

a) Estipulem qual é a expectativa de aprendizagem com essa atividade, ou seja, aquilo que se espera que o aluno aprenda. b) Roteirizem um trajeto para a realização dessa atividade em aula, com uma turma real (se possível, especifiquem inclusive o nome da turma).

c) Planejem possibilidades de ajuste na condução da aula no intento de atender a todos os alunos com suas dificuldades

específicas. Se for necessário, prevejam atividades preparatórias, atividades complementares, adaptações da mesma atividade alterando a linguagem, o contexto ou a forma de se relacionar (se individual, em grupo, no coletivo) etc.

d) Com o planejamento dos ajustes necessários às diversas demandas de aprendizagem, vocês acreditam que essas intervenções pedagógicas vão favorecer o progresso individual e da turma como um todo?

•

Troquem suas impressões e analisem como potencializar o uso do material.

Cenários de proposição

Sabemos que o processo de ensino-aprendizagem é amplo e complexo. Isso nos leva a buscar meios de aprimorar esse processo, seja no âmbito da escola, seja da prática docente, mas, especialmente, no âmbito das experiências proporcionadas aos alunos. Nessa busca tomaremos, a nosso favor, a interação entre o professor, os alunos e os conhecimentos como um conjunto chamado de cenários de proposição. As experiências de aprendizagem vivenciadas pelos alunos têm seu contexto a partir de cenários de proposição que, por sua vez, demandam vivências que incentivem a existência de competências que podem ser classificadas deste modo:

CENÁRIO DE PROPOSIÇÃO

Criatividade

Criticidade

Interatividade

CARÁTER

Emocional-imaginativo

Racional-científico

Social-tecnológico

AÇÃO DOMINANTE

Apresentar novas ideias e soluções.

Questionar e avaliar ideias e soluções.

Envolver-se socialmente em projetos e soluções.

XXVIII | MANUAL DO PROFESSOR

Os cenários de proposição são um conjunto de ações impulsionadas para favorecer a problematização, a inovação e a socialização em sala de aula. Essas ações articulam três competências essenciais (criticidade, criatividade e interatividade) em quatro dimensões de processos.

CENÁRIO DE PROPOSIÇÃO CARÁTER

AÇÃO DOMINANTE

DIMENSÃO 1:

Criticidade

Emocional-imaginativo

Social-tecnológico

Questionar e avaliar ideias e soluções.

Apresentar novas ideias e soluções.

Envolver-se socialmente em projetos e soluções.

Observar e descrever experiências.

Compreender as oportunidades do contexto/cenário e os limites do problema.

Apreciar criticamente diversas formas de interações.

Selecionar e analisar conhecimentos e informações relevantes. conceitos e ideias.

Integrar diferentes perspectivas disciplinares.

IMAGINAÇÃO

AÇÃO

DIMENSÃO 4: REFLEXÃO

Identificar e questionar premissas. Verificar a precisão de dados, fatos, informações e interpretações. Analisar lacunas no conhecimento.

Buscar e criar ideias.

Revisar teorias e opiniões estabelecidas e imaginar diferentes perspectivas sobre o problema.

Experimentar ou ampliar ideias incomuns, arriscadas ou radicais.

Identificar pontos fortes e fracos de evidências, argumentos, alegações e opiniões.

Exercitar a curiosidade intelectual.

Realizar prognóstico de um fato; prever, inferir.

DIMENSÃO 3:

Interatividade

Racional-científico

QUESTIONAMENTO Estabelecer relações entre

DIMENSÃO 2:

Criatividade

Produzir, criar protótipos de um produto. Propor uma solução ou uma apresentação de maneira pessoalmente nova.

Considerar e avaliar a novidade da solução escolhida e de suas possíveis consequências.

Justificar uma solução ou um produto proposto por meio de critérios/raciocínios lógicos, éticos ou estéticos.

Avaliar e reconhecer a incerteza ou os limites da solução ou posição defendida.

Refletir sobre o possível viés Considerar e avaliar a relevância da perspectiva pessoal em da solução escolhida e de suas comparação com outras possíveis consequências. perspectivas.

Ter empatia. Debater e problematizar as práticas de intolerância, discriminação e violência contra indivíduos, grupos sociais ou povos com vistas à tomada de consciência e ao exercício da paz social.

Idealizar soluções mediadoras de conflitos em favor de produzir entendimento mútuo. Conceber projetos que visam ao acolhimento das diversidades na perspectiva dos direitos humanos e da cultura de paz.

Aderir ao bem comum propondo ações que incentivem o respeito às diferenças entre pessoas e povos. Construir coletivamente procedimentos e normas de convívio que viabilizem a participação de todos em diferentes espaços.

Julgar sua própria aptidão para respeitar regras básicas de convívio social nas interações. Considerar aspectos relativos à qualidade do convívio social no grupo do qual faz parte em favor de propor superação de conflitos ou melhorias nas socializações.

Quais são os ganhos da prática docente quando transita por diferentes cenários? Uma das respostas está na mudança de perspectiva, quando professor e alunos se defrontam com questões não previstas ou pouco usuais dentro dos “limites” da Matemática. Aliás, os limites podem se tornar cada vez mais tênues à medida que mobilizamos conhecimentos por diversos cenários. XXIX |

De acordo com a Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE):

Embora criatividade e pensamento crítico sejam fundamentais para a inovação e as necessidades do mercado de trabalho, outras competências complementares são igualmente importantes. A estrutura conceitual do projeto diferencia três categorias sobrepostas de “competências para a inovação”: 1) competências técnicas (know-what [saber o quê] e know-how [saber como]); 2) competências de criatividade e de pensamento crítico (pensamento crítico, imaginação, criatividade); e 3) competências socioemocionais (persistência, conscienciosidade, autoestima, comunicação, colaboração). Essas três categorias de competências precisam ser desenvolvidas em conjunto. INSTITUTO AYRTON SENNA. OCDE (2020). Desenvolvimento da criatividade e do pensamento crítico dos estudantes: o que significa na escola. Tradução Carbajal Traduções. São Paulo: Fundação Santillana, 2020. p. 52.

LUPAS E LUNETAS Leia esta frase e, se possível, discuta depois com os outros colegas professores. O conhecimento pode ser explorado pelo aluno em diferentes perspectivas, de uma forma crítica e criativa.

a) Procurem no livro do estudante exemplos de atividades que favoreçam o que está dito nessa frase. b) Como vocês explorariam essa atividade em sala de aula por meio de cenários de proposição? Quais categorias de cenário e de proposição seriam mais enfáticas nessa atividade? Como a aula seria conduzida para obter o melhor proveito?

c) Converse com seus pares a respeito da proposta didática de exploração dessa atividade e tentem implementá-la nas

aulas. Depois, compartilhem como foi a experiência e os resultados em um mural da sala dos professores ou no espaço virtual de troca de informações dos professores.

Avaliação formativa

Avaliação na prática pedagógica

ALEXANDRE R. / M10

A atividade de avaliação é contínua porque as aprendizagens estão sempre em andamento. No centro da relação ensino-aprendizagem estão dois importantes atores: professor e aluno, impactados reciprocamente – o que favorece, de modo contínuo, a reestruturação sociocognitiva.

A avaliação formativa, decorrente da interação entre professor e aluno, propaga estes efeitos: informativa, verificativa e corretiva. Esses efeitos impactam ambos de modos distintos, mas que se complementam.

EFEITOS DA AVALIAÇÃO

PROFESSOR

ALUNO

Informativa

As intenções com a proposta da atividade e as expectativas devem ser informadas antes de efetuar julgamentos.

Por meios indiretos (atividade do aluno) ou diretos (autoavaliação), o aluno comunica seu desempenho.

Verificativa

Por meio da observação da atividade do aluno, o professor será informado dos efeitos reais da ação de ensino e poderá submetê-la a ajustes.

Por meio de convite à tomada de consciência sobre suas dificuldades, poderá cada vez mais se tornar apto a reconhecer e a corrigir, ele mesmo, seus erros.

Corretiva

Professor e aluno, em parceria, corrigem sua ação, modificando seus modos na busca de obter os melhores efeitos.

FORMATIVA

XXX | MANUAL DO PROFESSOR

Em um cenário de avaliação formativa, o fio condutor das ações essenciais ao professor é composto de, basicamente, um conjunto de seis ou sete verbos: • Desencadear: situação de ensino, por meio de exercícios, problemas, provas, questões etc. • Observar: os comportamentos no instante da atividade do aluno; • Coletar/registrar: informações referentes ao progresso e às dificuldades de aprendizagem; • Interpretar: os registros desses comportamentos; • Comunicar: os resultados da análise e apreciação final; • Remediar: as dificuldades diagnosticadas e analisadas. O modo como é apresentada a atividade de avaliação não pode ser separado da atividade de ensino. É verdade que a avaliação deve ser tomada como um momento autônomo (caráter de evento), mas será mais útil se, na maior parte do tempo, for concebida como um projeto educativo (caráter de processo).

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Verbos da ação avaliativa

Aprendizagem assistida por avaliação O processo de aprendizagem leva, em sua complexa trama, as diversas modalidades de avaliação que, para longe de classificar, estão a serviço de estabelecer, firmar e expandir toda a estrutura de aprendizagem dos alunos. O papel da avaliação – que é o de observar, aferir e julgar – é também o que justifica sua presença no processo de aprendizagem, uma vez que, por meio dela, é possível favorecer aos alunos seguirem na progressão do que aprendem.

Avaliar os alunos para fazer com que evoluam melhor (rumo ao êxito), esta é a ideia central do que designamos pela expressão “aprendizagem assistida por avaliação”. Uma avaliação capaz de compreender tanto a situação do aluno quanto de “medir” seu desempenho; capaz de fornecer-lhe indicações esclarecedoras, mais do que oprimi-lo com recriminações; capaz de preparar a operacionalização das ferramentas do êxito, mais do que se resignar a ser apenas um termômetro (até mesmo um instrumento) do fracasso, não seria o mais belo auxiliar, e o primeiro meio, de uma pedagogia enfim eficaz? (HADJI, 2001) A avaliação permeada no trabalho pedagógico eficaz é composta de redes ou camadas que se entrecortam em momentos diversos, na aula e fora dela, e nem sempre sincronizada entre o grupo de alunos. Por ser assistida, entende-se que há um trabalho de observação e “leitura” quanto às produções do aluno, que exigirá, para ser apreciado, uma interpretação que leve em conta um alinhamento entre o que se espera alcançar, como alcançar e o que fazer se, em dado momento, o aluno não alcançar. Esse alinhamento compõe um código favorável para a análise, a interpretação e o julgamento de ações possíveis na remediação da aprendizagem do aluno.

LUPAS E LUNETAS Sozinho ou junto com outro professor (de Matemática ou de outra área), escolham uma atividade do livro do estudante. Listem duas ou três dificuldades possíveis de ocorrer no momento da aula envolvendo essa atividade. Para cada uma dessas dificuldades, levem em conta perfis de “alunos possíveis” (alunos do contexto real da escola e que valem a pena ser considerados neste exercício de prática docente). Considerem o modo como cada um aprende, sob quais estímulos eles costumam dar melhores respostas, se têm melhor desempenho individualmente ou em grupo, se só resolvem situações contextualizadas ou não etc. (o ideal para essa reflexão seria ter em mãos o registro do desempenho de dois ou três alunos reais do contexto escolar local). Considerando essas dificuldades e o perfil desses alunos, proponham decisões favoráveis ao avanço de cada um deles. Criem uma estratégia pedagógica voltada para ações de apoio tanto intelectual quanto de caráter afetivo e que sejam favoráveis à continuidade da aprendizagem de cada um desses alunos. Ao final, publiquem em um mural, na sala dos professores ou na sala virtual, tanto o exercício do livro do estudante, como as análises, a descrição do perfil dos alunos e as propostas de intervenção pedagógica sugeridas para cada um. O ideal é que, na publicação, os nomes dos alunos não sejam citados, para preservar suas identidades e, em vez disso, o foco sejam as estratégias consideradas e os resultados obtidos. Aproveite para apreciar as soluções apresentadas pelos outros colegas, em outras situações consideradas por eles.

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3. ARTICULAÇÕES ENTRE OS MATERIAIS

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Como estabelecer vínculos entre os materiais voltados para o estudante e os que são voltados para o professor?

Concepções artísticas sobre o ato de estabelecer vínculos entre pessoas, objeto e ideias.

CHECK-IN • Compare essas duas imagens: a construção de vínculos entre pessoas ou ideias ocorre por acaso? Por tentativa e erro? Por uma busca intencional? O que essas imagens mostram, segundo sua interpretação?

• Como você vê a construção de vínculos entre professor e aluno a partir de diferentes materiais didáticos? • Em que medida os materiais didáticos favorecem o processo de construção desses vínculos? • E quanto aos materiais: que vínculos você espera encontrar entre eles próprios no sentido de trazer contribuições para a prática docente?

• Você deixa claro para os alunos as suas intenções de aprendizagem? XXXII | MANUAL DO PROFESSOR

Vínculo entre a estrutura da obra e as ações docentes voltadas para a avaliação

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As estratégias de ensino e aprendizagem e suas diversas modalidades de avaliação, na etapa do Ensino Fundamental – Anos Finais, da área e do componente de Matemática, podem ser assim representadas:

Ter, de certa forma, a preocupação de informar antes de julgar. Fazer tudo para pôr a avaliação nas mãos do aluno (avaliação em primeira pessoa). Isso não leva a pensar, finalmente, que o momento próprio da avaliação é bastante secundário? Que o essencial é esclarecer, ajudar e remediar? Que, se a avaliação cumulativa é um mal necessário, a avaliação formativa só tem interesse pelo que precede ou pelo que segue o julgamento de avaliação propriamente dito: pela coleta e análise dos dados; por todo o trabalho pedagógico que tem a ambição de permitir ao aluno que progrida (o que será chamado de remediação)? Em última hipótese, a melhor maneira de pôr a avaliação a serviço das aprendizagens não seria, senão fazê-la desaparecer totalmente, pelo menos consagrar-lhe muito menos tempo e energia, para se dedicar ao trabalho pedagógico de facilitação das aprendizagens? HADJI, Charles. Avaliação desmistificada. Porto Alegre: Artmed, 2001. p. 66.

Assumimos a palavra remediação com triplo sentido:

• Ajuste da ação ao objetivo, ou seja, no sentido de “re-mediar”, mediar de novo e de outro modo; • Busca por responsabilidade dupla, entre professor e aluno, na melhoria da aprendizagem. • Vínculo construído em uma via de mão dupla, envolvendo diagnóstico e ação corretiva eficaz. Serão apresentadas a seguir algumas noções amplas que se relacionam com o campo da educação, ou da educação matemática, para favorecer a construção de vínculos entre as ofertas de conteúdos no livro do estudante e as possibilidades teóricas norteadoras das ações docentes. Letramento matemático

O letramento matemático remete ao conceito de letramento, próprio da área de ensino de linguagem. Este, por sua vez, se apresentou como uma resposta à noção de que o aprendizado da língua se resumia à aquisição dos códigos convencionais relacionados à leitura e à escrita. Nesse sentido, é possível compreender letramento como algo além da alfabetização, estendendo-se aos contextos de usos da linguagem. XXXIII |

Implícita nesse conceito [de letramento] está a ideia de que a escrita traz consequências sociais, culturais, políticas, econômicas, cognitivas, linguísticas, quer para o grupo social em que seja introduzida, quer para o indivíduo que aprenda a usá-la1. No ensino de Matemática, a noção de letramento (matemático) também considera a diversidade de usos, de contextos sociais e culturais nos quais a Matemática está inserida. Assim como o termo letramento teve sua origem na palavra inglesa literacy, as primeiras noções envolvendo o letramento matemático tiveram sua origem na palavra inglesa numeracy. No entanto, a tradução direta do termo para a língua portuguesa – numeramento – enfrentou uma série de críticas, uma vez que podia apontar ao entendimento de que o aprendizado de Matemática se resumiria aos conhecimentos sobre os números e suas operações. Buscando um conceito mais amplo, o PISA define o conceito de letramento matemático como “a capacidade individual de formular, empregar e interpretar a Matemática em uma variedade de contextos”. Dados certo contexto e os contornos e as possibilidades por ele apresentados, são mobilizados variados processos matemáticos, como: formular situações matematicamente, aplicar conceitos, procedimentos e raciocínios matemáticos, avaliar e interpretar resultados matemáticos, assim como planejar ações a partir de resultados matemáticos. Os conteúdos matemáticos, por sua vez, podem ser entendidos como a sistematização desses processos. São exemplos de conteúdos as ideias de variação e relação, espaço e formas, quantidade etc. A BNCC parte dessas mesmas concepções para definir letramento matemático:

[…] competências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente […]. É o letramento matemático que assegura aos alunos reconhecer que os conhecimentos matemáticos são fundamentais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição).

ALEXANDRE R. / M10

De modo a desenvolver o raciocínio matemático, é necessário mobilizar competências e habilidades relacionadas à representação, comunicação e argumentação. Ou seja, é fundamental que alunos e professores interajam em situações de problemas reais, expressem suas ideias, produzam argumentações e justifiquem matematicamente as estratégias além do raciocínio empregado. É justamente na “interação com os pares e com adultos que as crianças vão constituindo um modo próprio de agir, sentir e pensar e vão descobrindo que existem outros modos de vida, pessoas diferentes, com outros pontos de vista”2.

B a

Representar

Comunicar

Raciocínio matemático

SOARES, M. Letramento: um tema em três gêneros. São Paulo: Autêntica, 1999. p. 17.

Base Nacional Comum Curricular.

XXXIV | MANUAL DO PROFESSOR

Argumentar

• Representar

Aprender Matemática implica também aprender a escrever e se expressar matematicamente. Isso significa conhecer e utilizar símbolos, escrever sentenças matemáticas, gráficos e esquemas, assim como utilizar e manipular diferentes representações para os objetos matemáticos. Por exemplo, compreender que é possível descrever uma função a partir de sua expressão algébrica e a partir do gráfico correspondente. • Comunicar O ato de comunicar implica a existência de um interlocutor. Desse modo, o desenvolvimento do raciocínio matemático passa pela relação estabelecida entre os indivíduos. Esse ato revela também uma preocupação com o outro, com aquele que vai receber a mensagem. Assim, ao tornar comunicáveis conhecimentos, estratégias e raciocínios matemáticos, é importante também conhecer o outro e saber articular diferentes maneiras de representação. Nesse sentido, representar e comunicar são duas habilidades que não devem ser tomadas isoladamente. • Argumentar O desenvolvimento da habilidade de argumentar pressupõe “a formulação e a testagem de conjecturas, com a apresentação de justificativas, além dos aspectos já citados anteriormente em relação às competências de raciocinar e representar”3. Assim como representar e comunicar são habilidades inter-relacionadas, argumentar matematicamente perpassa ambas. A BNCC e o letramento matemático As Competências Específicas de Matemática para o Ensino Fundamental propostas pela Base Nacional Comum Curricular (BNCC), cada qual a partir de uma perspectiva, têm como maior objetivo o desenvolvimento do letramento matemático:

1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas e dados). 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. O desenvolvimento dessas competências ao longo dos nove anos do Ensino Fundamental é gradual, apesar de as habilidades relacionadas a raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente serem trabalhadas desde o primeiro ano. De modo geral, nos anos iniciais são retomadas as experiências e vivências cotidianas da Educação Infantil, orientando-se sempre pela ideia de que compreender a Matemática significa a apreensão dos significados dos objetos matemáticos, assim como as suas aplicações. Desse modo, nos anos iniciais são mais nítidas as relações entre os objetos matemáticos e a realidade concreta, assim como com diferentes áreas do conhecimento. Isso não significa que nos anos finais tal relação com a realidade concreta desapareça. Pelo contrário, continua sendo um elemento que motiva a investigação, que proporciona situações-problema, que confere sentido e significado para processos e conteúdos matemáticos. No entanto, em muitos casos, será a própria Matemática o contexto em que tais

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movimentos ocorrem. Nesse sentido, há um mergulho na própria Matemática, um aprofundamento nos conceitos e procedimentos cujos sentido e significado se posicionam dentro da própria Matemática. Assim, é possível considerar um desenvolvimento horizontal das habilidades e competências, estabelecendo relações com diversas áreas do conhecimento, da própria Matemática e da realidade concreta, mas também momentos de desenvolvimento vertical, no qual se aprofunda em determinado conteúdo matemático. Vale ressaltar que há complexidade nesse tipo de processo, havendo, ao longo desse desenvolvimento vertical, variadas situações de pausa e desenvolvimento horizontal, das quais se apresentam novas oportunidades para desenvolvimentos verticais e assim por diante. O diagrama a seguir ilustra como esse movimento pode ocorrer. A título de exemplo, destacam-se dois grupos de habilidades da BNCC: o primeiro trata da noção de números inteiros (EF07MA03 e EF07MA04), enquanto o segundo trata da noção de transformações geométricas (EF07MA20 e EF07MA21). Nota-se um desenvolvimento vertical entre as habilidades de cada grupo. Em ambos os casos se explora o conteúdo matemático de modo a aprofundar discussões ou aprender novos detalhes desse conteúdo. É possível verificar também que, particularmente no desenvolvimento de habilidades como EF07MA03 e EF07MA21, ocorre também um movimento horizontal ao relacionar objetos matemáticos a diferentes contextos e significados. De modo geral, o desenvolvimento de cada grupo segue de maneira relativamente desconectada entre si. No entanto, é possível verificar como a habilidade EF07MA19 promove, ao mesmo tempo, um avanço vertical em cada grupo, além de os conectar em um movimento horizontal.

(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adições e subtração.

(EF07MA21) Reconhecer e construir ﬁguras obtidas por simetrias de translação, rotação e reﬂexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de ﬁguras em relação aos eixos e à origem.

(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

Os processos matemáticos Os conhecimentos explorados com os alunos fluem de forma planificada por meio de Trajetórias que entrelaçam contextos e recursos matemáticos de modo a contemplar todos os conteúdos previstos na BNCC para o Ensino Fundamental dos anos finais. Os recursos matemáticos são entendidos como os processos de investigação, a construção de modelos e a resolução de problemas. a) Sobre os processos de investigação:

[…] a atividade investigativa em sala de aula constitui-se da observação de uma situação; a partir daí começam a surgir conjecturas que vão sendo testadas. Por meio desses testes, elas poderão ser refutadas e estabelecer novas conjecturas ou, então, quando confirmadas pelos testes, vão sendo melhor definidas. Se validadas através da demonstração, podem adquirir o status de uma propriedade estabelecida pelo método matemático. VARIZO, Zaíra da Cunha Melo; ROCHA, Luciana Parente; MAGALHÃES, Ana Paula de A. S. A Investigação matemática como estratégia de ensino e aprendizagem da Matemática. XII Encontro Nacional de Educação Matemática. Educação Matemática na Contemporaneidade: desafios e possibilidades. SBEM, São Paulo, 13 a 15 de julho de 2016.

b) Sobre a construção de modelos:

A criação de modelos matemáticos constitui uma ferramenta importante e adequada ao ensino: a modelagem matemática busca sempre um “retorno” ao problema original, ou seja, responder à realidade, evitando se perder na pura discussão abstrata. Ao tentar resolver um problema, explicar uma situação da realidade ou tomar ações sobre ela, é preciso mobilizar ferramentas necessárias e adequadas. Em outras palavras, um modelo que explique a situação e forneça os meios para agir sobre ela. No caso XXXVI | MANUAL DO PROFESSOR

Compreender o problema.

Estabelecer um plano para resolver o problema.

Executar o plano.

Veriﬁcar e avaliar a solução.

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de um modelo matemático, as ferramentas são os símbolos e as relações que representam o objeto ou a situação em questão. Trata-se de construção mental e abstrata para representar a realidade (ainda que somente uma parte específica). Segundo Bassanezi (2002), “a importância do modelo matemático consiste em se ter uma linguagem concisa que expressa nossas ideias de maneira clara e sem ambiguidades, além de proporcionar um arsenal enorme de resultados (teoremas) que propiciam o uso de métodos computacionais para calcular suas soluções numéricas”. Entretanto, para o desenvolvimento de atividades de modelagem matemática, é fundamental que sejam criados ambientes de aprendizagem que possibilitem a mobilização dos conhecimentos matemáticos dos alunos, sejam prévios, aprendidos na escola ou em outras experiências, sejam os que estão sendo aprendidos no momento. Nesse sentido, tais ambientes de aprendizagem devem convidar os alunos a “indagar e a investigar, por meio da Matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade”4 . c) Sobre a resolução de problemas: A resolução de problemas se configura em um elemento privilegiado para o desenvolvimento de habilidades relacionadas ao letramento matemático, estando também associada aos processos de investigação e construção de modelos. Isso porque um problema apresenta certa questão matemática (oriunda de uma situação imaginada ou da própria realidade), cujos métodos ou estratégias de resolução não estão dados explicitamente ou não são reconhecidos imediatamente pelos alunos. Essa é uma das características que diferencia os problemas dos exercícios. No cotidiano da sala de aula é esperado que haja uma mescla entre problemas e exercícios. A resolução de um exercício costuma demandar menos tempo que de um problema. Isso não significa que se deva optar por um ou outro tipo somente, uma vez que cada um tem objetivos pedagógicos diferentes e, de certo modo, complementares. Nesse sentido, a construção de boas situações-problema deve: • contemplar conteúdos diversos que necessitem ou estimulem a mobilização não só de conhecimentos matemáticos, como também de outras áreas e de experiências vivenciadas; • evitar cenários que admitam uma única estratégia de resolução; • fomentar a interação e a cooperação entre os alunos; • valorizar o pensamento reflexivo e crítico, tanto sobre o processo de resolução quanto sobre as soluções obtidas. De modo geral, é possível pensar o processo de resolução de problemas segundo as etapas propostas por Polya5:

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Cabe ressaltar que, ao longo dessas etapas, é importante conversar com os alunos sobre o processo de resolução de problemas, de modo a refletir sobre a própria experiência e aplicá-la em outras situações e contextos. É parte desse processo o ato de elaborar problemas, uma vez que o aluno precisa antecipar possíveis estratégias de resolução.

Os processos de investigação, a modelagem e a linguagem matemática e as estratégias de resolução de problemas compõem um campo abrangente e propício para a aprendizagem em Matemática.

ROSA, M.; OREY, D. C. A modelagem como um ambiente de aprendizagem para a conversão do conhecimento matemático. Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 261-290, abr. 2012.

POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006. XXXVII |

Flexibilização curricular da coleção

Consideramos o currículo uma estrutura dinâmica e em constante construção e transformação. Não é estático ou cristalizado no tempo, mas aberto às experiências e vivências da comunidade escolar, assim como às discussões mais atuais no âmbito das ciências, da cultura e das transformações sociais. Mais ainda, uma educação pensada segundo ideias de interdisciplinaridade e de valorização da diversidade deve considerar o currículo de maneira ampla e flexível, garantindo a participação ativa dos alunos e da comunidade escolar como um todo, o desenvolvimento de projetos interdisciplinares, assim como fomentar a autonomia dos professores para construir um “currículo” adequado às possibilidades e necessidades apresentadas pelo ambiente em que estão inseridos. Organizamos cada volume em quatro Trajetórias, que, por sua vez, estão subdivididas em três passeios cada uma. Estimamos que a duração média de trabalho com cada passeio seja de três semanas, considerando um ano letivo de aproximadamente 40 semanas. Entretanto, essa é apenas uma sugestão de organização do cronograma, cabendo ao professor adaptá-lo a seu ritmo e sua realidade. Para além do fator tempo, há diferentes maneiras de “ler e acompanhar o livro”. Se, por um lado, uma leitura mais linear expressa a organização lógica e a visão pedagógica dos autores, foi também objeto do nosso cuidado garantir que você, professor, pudesse se apropriar das referidas lógica e visão e transformá-las, de modo que expressasse seus próprios valores, o conhecimento dos seus alunos e famílias, as características da instituição escolar e da comunidade em que se inserem. Nesse sentido, apresentaremos algumas sugestões de outras maneiras de “ler e acompanhar o livro” para servir de inspiração ao professor. Se o projeto didático do professor reforça os aspectos envolvidos na avaliação, nos problemas e nos exercícios, então as maneiras de flexibilizar o currículo proposto serão de um tal modo; se, por outro lado, o projeto do professor reforça os aspectos envolvidos nas perguntas norteadoras, nos TCTs e na interdisciplinaridade, então as maneiras de flexibilizar serão de outra forma. Aspectos envolvidos na avaliação, nos problemas e nos exercícios A seção Prontos para começar! inicia cada livro e tem como objetivo realizar uma avaliação diagnóstica. Os problemas apresentados na seção apontam para habilidades essenciais de cada unidade temática da Matemática, tal qual pressupostas pela BNCC. É interessante que o professor, a partir do próprio conhecimento sobre os alunos e a escola, avalie a pertinência das atividades propostas e realize adequações, caso sejam necessárias. Após Prontos para começar!, a estrutura do livro – quanto a avaliações, atividades, exercícios e problemas – segue uma lógica na qual, depois da discussão de certos pontos teóricos e da apresentação de exemplos em meio a contextos diversos, abrem-se seções de Atividades, com caráter de desenvolvimento ou verificação de conhecimentos, apresentando, em muitos casos, contextos diferentes daqueles utilizados na discussão teórica. Ao longo dessa discussão, estão os boxes Lupas e lunetas, que conduzem o estudante a uma reflexão mais aprofundada sobre algum aspecto matemático, sobre o contexto geral, ou, ainda, propondo uma articulação entre ambos. Caso julgue que os estudantes ainda não estão preparados para desenvolver satisfatoriamente as propostas de Lupas e lunetas, o professor pode antecipar alguns dos problemas e exercícios de Atividades, tanto para servir, neste momento, como diagnóstico, quanto para tirar eventuais dúvidas ou superar dificuldades pontuais. O mesmo pode ocorrer com seções como Travessias, que conduz os alunos por investigações de caráter matemático, e Nuvens, que apresenta possíveis relações entre o contexto, a Matemática e as tecnologias digitais. Ao final de cada Trajetória, a seção Vistorias (em especial a subseção Check-out) propõe outros problemas e exercícios relacionados às discussões realizadas, porém, a partir de outros contextos e apresentando diferentes graus de dificuldade e níveis de complexidade dos problemas e exercícios presentes em Atividades. Para finalizar o livro de cada ano, é apresentada também a seção Suplemente sua aprendizagem, com problemas de diversos tipos de exames, desde concursos, macroavaliações até vestibulares ou vestibulinhos. Tais problemas, de modo geral, têm graus de dificuldade e níveis de complexidade maiores que os até então apresentados aos estudantes. Uma possibilidade de adaptação desses diferentes momentos de resolução de problemas ou desenvolvimento de atividades é justamente incorporar às Atividades os problemas das seções Check-out e Suplemente sua aprendizagem, construindo, dessa maneira, um conjunto mais amplo de exercícios e problemas. Para estruturar esse movimento, sugerimos a análise dos objetivos de aprendizagem apresentados em Bússola e Levo na bagagem. Aspectos envolvidos nas perguntas norteadoras, nos TCTs e na interdisciplinaridade Cada Trajetória apresenta uma pergunta norteadora, que, por sua vez, se desdobra em outras três, estabelecendo-se como os fios condutores de cada passeio. Tais perguntas também se articulam com os Temas Contemporâneos Transversais (TCTs) propostos para cada passeio. Consideramos, ao longo da coleção, o desenvolvimento de um trabalho interdisciplinar no qual, em certos momentos, são os contextos, os TCTs ou as habilidades e competências de outras áreas do conhecimento que dão significado, ou mesmo ressignificam, os conhecimentos matemáticos, enquanto em outros momentos é justamente a Matemática que se apresenta “a serviço” de outras áreas ou do contexto. Esse tipo de conexão é ocasionado não somente pelas perguntas norteadoras no início dos passeios, mas também pelas seções Atmosfera e Check-in, pelas situações apresentadas, pelos temas desenvolvidos nos boxes Lupas e lunetas e, especialmente, pela seção Barcos e portos, que propõe um olhar integrador para as perguntas norteadoras, os TCTs, a Matemática e as demais áreas do conhecimento. Dessa maneira, a ênfase dada a tais seções pode transformar o caráter das aulas, desde uma situação na qual os contextos apresentam os sentidos e significados para os conhecimentos matemáticos, atividades que se assemelham a projetos ou sequências didáticas, até aquelas em que variados conhecimentos e saberes são mobilizados, sem dissociar qual é a área do conhecimento predominante. Caso o professor deseje, é possível enriquecer a experiência dos estudantes aprofundando as discussões sobre as perguntas norteadoras e os TCTs, trazendo convidados ou professores de outras áreas, novos textos, fotografias, vídeos, realizando visitas, passeios de campo etc. Dessa maneira, considere utilizar boxes e seções em diferentes momentos, à luz das alterações pensadas XXXVIII | MANUAL DO PROFESSOR

para as aulas. A seção Barcos e portos, por exemplo, foi idealizada para fechar os passeios, porém muitas delas contêm elementos e discussões que podem ser trazidos para outros momentos do desenvolvimento dos passeios. Da mesma maneira, os textos de Atmosfera foram pensados de modo a ambientar os estudantes no início do passeio. Entretanto, o professor tem a liberdade de substituí-los ou pensar em outras opções, como a apresentação de um vídeo, utilizando o texto em outra ocasião. Como anunciado anteriormente, as sugestões feitas não são únicas: visam apenas inspirar os professores a considerar “outras leituras” para os livros da coleção, de modo a exercer sua autonomia docente e adaptar as ideias apresentadas às diferentes realidades em que atuam, ampliando o escopo do trabalho dos autores. Esperamos que este material possa auxiliar o trabalho docente, sendo subsídio e inspiração para os professores. Mapa de Temas Contemporâneos Transversais na BNCC

ARTE M10

Nesta coleção, os Temas Contemporâneos Transversais (TCTs) são referenciados pelos contextos apresentados nas diversas situações didáticas propostas ao longo de cada volume. As perguntas motivadoras, em grande parte, servem de gatilho para propiciar reflexões, ampliar a visão de mundo do aluno e, ao mesmo tempo, atender as demandas sociais contemporâneas. Na BNCC, os TCTs totalizam quinze temas, distribuídos em seis macroáreas, conforme mostra esta imagem:

MEIO AMBIENTE Educação Ambiental Educação para o Consumo

CIÊNCIA E TECNOLOGIA

Trabalho

Ciência e Tecnologia

MULTICULTURALISMO

Educação Financeira

Temas Contemporâneos Transversais na BNCC

Diversidade Cultural Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

ECONOMIA

Educação Fiscal

SAÚDE Saúde Educação Alimentar e Nutricional

CIDADANIA E CIVISMO Vida Familiar e Social Educação para o Trânsito Educação em Direitos Humanos Direitos da Criança e do Adolescente Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

Fonte: BRASIL. Disponível em: https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://basenacionalcomum.mec.gov. br/images/implementacao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf&ved=2ahUKEwjik46_m4P6AhX7ppUCHWngCskQFnoECAkQAQ&usg=AOvVaw3cfX9DlW6gGGB2GIXLzRqH. Acesso em: 7. set. 2022

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BIBLIOGRAFIA CARVALHO, Cicefran S. de. A aprendizagem cooperativa no ensino da Matemática. Curitiba: Appris, 2019. Relato de uma experiência pedagógica focada na metodologia da aprendizagem cooperativa em uma cidade do Ceará, com o intuito de motivar e inspirar professores a aproveitar elementos dessa metodologia em sua sala de aula. COHEN, Elizabeth G.; LOTAN, Rachel A. Planejando o trabalho em grupo: estratégias para salas de aula heterogêneas. 3. ed. Porto Alegre: Penso, 2017. O livro contém pesquisas e resultados mais recentes sobre a estratégia do trabalho em grupo na sala de aula, com o objetivo de alcançar uma dinâmica equilibrada e adequada para a aprendizagem de todos os alunos. HADJI, Charles. Avaliação desmistificada. Porto Alegre: Artmed, 2001. Uma visita aos últimos 30 anos do ensino e as análises, pesquisas e debates sobre o tópico polêmico da avaliação, com o objetivo de fornecer ao docente todos os elementos para implementar um sistema mais justo e adequado em sua sala de aula. HOFFMANN, Jussara. Avaliação mediadora. 35. ed. Porto Alegre: Mediação, 2019. A avaliação mediadora é um instrumento poderoso para legitimar o professor como aquele que encaminha a aprendizagem de forma mais orgânica e fluida. Neste livro, tal prática é aprofundada para tanto. HOFFMANN, Jussara. O jogo do contrário em avaliação. 10. ed. Porto Alegre: Mediação, 2018. E se a melhor avaliação possível fosse exatamente o contrário do que é praticado nas salas de aula até hoje? É o que propõe a autora, com exemplos e ideias que certamente levarão o docente a repensar suas práticas. LEMOV, Doug. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. 2. ed. Porto Alegre: Penso, 2018. Uma coletânea de diferentes e inusitados relatos de professores em sala de aula por todo o globo, com técnicas e estratégias diferenciadas para aprimorar a experiência em sala de aula. MOREIRA, Adelson F.; PEDROSA, José Geraldo; PONTELO, Ivan. O conceito de atividade e suas possibilidades na interpretação de práticas educativas. Ensaio: pesquisa em educação em ciências. v. 13, n. 3, p. 13-29. Belo Horizonte: UFMG, 2011. Elaborações sobre a prática escolar com diálogos entre novas ideias e reflexões sobre o que já é proposto e consolidado por autores como Vygotsky e Leontiev. SCHÖN, Donald A. Educando o profissional reflexivo: um novo design para o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artmed, 2000. Livro com a proposta de trazer uma formação profissional diferenciada para o leitor, focando na “reflexão-na-ação”, baseando o ensino muito mais na ação do que no modelo clássico de ouvir e ver. VILLAS BOAS, Benigna M. de F. (org.). Avaliação: interações com o trabalho pedagógico. Campinas: Papirus, 2017. Análise da avaliação como estratégia que ocorre em três camadas diferentes do ambiente da educação: em todas as ações da escola, especificamente na sala de aula, e no diálogo entre cursos de licenciatura e o ensino básico. VILLAS BOAS, Benigna M. de F. Portfólio, avaliação e trabalho pedagógico. 8. ed. Campinas: Papirus, 2012. A utilização do portfólio como método avaliativo é muito presente em algumas disciplinas e cursos superiores, mas subaproveitado em outros casos. Ao explorar todos os pontos positivos do portfólio, o autor convida o leitor a refletir sobre a possibilidade da inclusão do método em suas avaliações. ZABALA, Antoni; ARNAU, Laia. Como aprender e ensinar competências. Porto Alegre: Artmed, 2010. A BNCC trouxe à tona a discussão sobre as habilidades e competências, e essa discussão fortaleceu e engrandeceu muito o ensino em geral. Mas... como ensinar as competências? ZASLAVSKY, Alexandre. Ação pedagógica, ação comunicativa e didática. Conjectura: filosofia e educação. v. 22, n. 1, p. 69-81. jan./ abr. Caxias do Sul: EDUCS, 2017. Artigo da revista Conjectura, que traz uma reflexão aprofundada sobre o papel da comunicação na didática.

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TRAJETÓRIA 2 – ESSENCIAIS: PARA ESTE VOLUME

A participação ativa do jovem na sociedade envolve sua capacidade de observar o mundo de maneira crítica e sensível, buscando e propondo soluções para problemas do entorno ou que lhe sejam significativos.

CHECK-IN • Para ler o mundo de maneira crítica e sensível, o jovem precisa estar consciente dos desafios, dos problemas e das questões que surgem em seu cotidiano. Como a escola pode promover essa maneira de ler o mundo?

• Saber propor soluções para problemas diversos é uma habilidade que deve ser trabalhada ao longo dos anos de escolarização. De que modo as aulas de Matemática podem contribuir para o desenvolvimento dessa habilidade?

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ARTICULAÇÕES ENTRE OBJETIVOS, JUSTIFICATIVAS DESSES OBJETIVOS, COMPETÊNCIAS E HABILIDADES A BNCC articula-se em torno de habilidades e de competências gerais e específicas. Entretanto, cabem aos sistemas ou redes de ensino e às instituições escolares as decisões que objetivem a adequação de tais habilidades e competências às realidades locais, aos contextos e às características dos estudantes e suas famílias. Parte dessas decisões se referem às “formas de organização interdisciplinar dos componentes curriculares” (BNCC, 2018, p. 16). Na elaboração desta obra, foram consideradas fundamentais as concepções de pedagogia por competências e habilidades, assim como as de interdisciplinaridade. Consideramos que uma competência se constitui de conhecimentos, atitudes e habilidades mobilizados. Nesse sentido, é importante lembrar que os conhecimentos não são estáticos (ou findáveis), mas algo em constante condição de revisão, avaliação e aprendizado. As habilidades, por sua vez, estão situadas no âmbito da utilização dos conhecimentos para resolver problemas, desenvolver estratégias, lidar com situações, agir sobre essas etc. Por fim, as atitudes se enquadrariam no contexto das maneiras de se posicionar nas diversas situações de mobilização dos conhecimentos e das habilidades. Já a concepção de interdisciplinaridade pode ser entendida como proposição de variadas disciplinas mobilizadas simultaneamente e com relações claras entre si. Tais relações pressupõem a existência de coordenação e organização de umas entre as outras, bem como a decisão sobre qual disciplina terá mais ou menos peso dentro de tal organização. Ambas as concepções se articulam, por sua vez, com o desenvolvimento do letramento matemático ao longo dos anos do Ensino Fundamental, uma vez que a ideia de letramento matemático considera a diversidade de usos e de contextos sociais e culturais nos quais a Matemática está inserida. Segundo a BNCC, o letramento matemático refere-se justamente a:

É possível verificar que as competências gerais propostas pela BNCC para a Educação Básica se traduzem nas diferentes Competências Específicas de Matemática, que se desdobram em habilidades de diversas áreas: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística. Apresentaremos, a seguir, dentro da concepção da obra, como se articulam os principais objetivos de aprendizagem e suas competências e habilidades. Trajetória 1 do LE

PASSEIO 1 Competência geral 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.

Competência específica 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

Habilidades EF09MA01 e EF09MA02.

Objetivos • Reconhecer que existem segmentos de reta cuja medida do comprimento corresponde a um número não racional. • Diferenciar os conjuntos numéricos, reconhecendo as características dos elementos de cada um. • Reconhecer um número irracional – em sua representação decimal, infinita e não periódica – como um número real.

XLII | MANUAL DO PROFESSOR

Articulações e justificativas O reconhecimento da existência e das possíveis representações de números irracionais representa para o estudante uma espécie de “fechamento” dos estudos sobre conjuntos numéricos iniciados nos anos iniciais do Ensino Fundamental. A necessidade de outros conjuntos numéricos voltará a aparecer somente no Ensino Médio, com a exploração dos números complexos. Esse movimento exploratório dos conjuntos numéricos proporciona ao estudante a compreensão de que a Matemática é uma construção humana, ampliando-se e revisitando-se de acordo com as necessidades e os contextos que surgem. Os números reais passam cada vez mais a se apresentar em diversas situações, não somente no âmbito da Matemática, mas no de outras disciplinas. Nesse sentido, é possível considerar situações-problema que envolvam diferentes unidades temáticas da Matemática e de outras áreas do conhecimento (especialmente as Ciências), assim como contextos que permitam abordar questões de urgência social ou que sejam significativas para o estudante.

PASSEIO 2 Competência geral 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

Competências específicas 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

Habilidades EF09MA02, EF09MA03 e EF09MA04.

Objetivos • Calcular o valor de uma potência com expoente racional. • Efetuar operações com potências e raízes de diferentes expoentes e índices, fazendo as adaptações necessárias para a realização do cálculo. • Conhecer e aplicar as propriedades da potenciação no contexto dos números reais. • Escrever e analisar números em notação científica, fazendo arredondamentos quando necessário.

Articulações e justificativas A utilização de números reais em diferentes situações-problema e contextos possibilita ao estudante compreender melhor as propriedades e operações fundamentais desse conjunto numérico. A noção de notação cientifica se apresenta como uma maneira tanto de explorar diferentes situações envolvendo números muito grandes ou muito pequenos quanto de aprofundar o tema potenciação. Nesse sentido, é realizada também uma reflexão sobre as relações entre potências com expoente fracionário e a radiciação. Espera-se que o estudante possa refletir sobre situações-problema, de modo a atuar no mundo segundo ideias que promovam a garantia dos direitos humanos, a consciência socioambiental etc.

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PASSEIO 3 Competência geral

Competência específica

6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.

4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

Habilidades EF09MA04, EF09MA05, EF09MA06 e EF09MA08.

Objetivos • Resolver problemas envolvendo porcentagens nos mais variados contextos. • Analisar situações financeiras para tomar as melhores decisões diante de várias possibilidades. • Analisar sequências numéricas, reconhecendo padrões e determinando os próximos termos. • Calcular e resolver situações envolvendo juros compostos.

Articulações e justificativas A noção de proporcionalidade entre duas grandezas pode ser explorada em diferentes contextos, especialmente em unidades temáticas como grandezas e medidas. No entanto, é também interessante aproximar tais discussões do tema da educação financeira. Nesse sentido, é possível explorar noções como porcentagem, percentuais sucessivos, taxas percentuais etc., assim como considerar situações-problema que podem ser modeladas a partir da relação de dependência entre variáveis, explorando, inclusive, representações gráficas das relações funcionais entre essas variáveis. Ao abordar esses temas, discuta com os estudantes como a Matemática pode ser utilizada segundo uma perspectiva crítica de modo que eles não somente compreendam e analisem criticamente questões relacionadas a finanças e economia no cotidiano, como também ajam sobre elas, propondo soluções para questões pessoais, familiares e das próprias comunidades.

XLIV | MANUAL DO PROFESSOR

Trajetória 2 do LE

PASSEIO 1 Competências gerais

Competências específicas

8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e no desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos, consensuais ou não, na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Habilidades EF09MA07 e EF09MA08.

Objetivos • Reconhecer a proporcionalidade entre duas grandezas, seja direta, seja inversa, seja não proporcional, elaborando e resolvendo problemas envolvendo tais grandezas. • Resolver problemas que envolvam duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade ou densidade demográfica. • Reconhecer e calcular a taxa de variação média de uma grandeza com base em uma razão ou um gráfico, incluindo os mais variados contextos. • Dividir proporcionalmente em duas ou mais partes uma grandeza.

Articulações e justificativas Ao trabalhar com diferentes grandezas e contextos, torna-se possível explorar e conferir sentido e significado a noções como razão e proporção. Associar esses conceitos à ideia de taxa de variação média, por exemplo, permite estabelecer relações com diferentes contextos, especialmente de Ciências. Da mesma maneira, ao estudar a razão entre duas grandezas, como o número de pessoas por unidade de superfície, é possível discutir questões de ordem social, urbanismo, cultura etc. Dessa maneira, espera-se que o estudante desenvolva um olhar sensível e a empatia com relação ao outro e à diversidade. Ao trabalhar coletivamente a partir desses temas, ele também pode refletir sobre si mesmo em um movimento de autocrítica, assim como reconhecer as potencialidades dos colegas, respeitando suas ideias e maneiras de pensar.

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PASSEIO 2 Competência geral

Competência específica

4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visualmotora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

Habilidade EF09MA09.

Objetivos • Escrever equações de 2º grau dos mais variados tipos, de acordo com uma situação-problema dada. • Resolver equações de 2º grau, completas e incompletas, associadas aos mais variados contextos. • Analisar o discriminante de uma equação de 2º grau, determinando o número de soluções reais e seu conjunto solução.

Articulações e justificativas O tema expressões algébricas e polinômios já foi estudado nos anos anteriores, assim como equações de 1º e 2º graus. No entanto, neste momento da escolarização, espera-se dos estudantes o desenvolvimento de habilidades relacionadas à própria escrita algébrica. A partir da manipulação de expressões algébricas e polinômios, é possível desenvolver estratégias tanto para modelar situações-problema do cotidiano quanto para obter as soluções de uma equação. Ao longo desse estudo, os estudantes precisam mobilizar diferentes estratégias de resolução de problemas, mas também maneiras de representar, expressar e comunicar matematicamente suas ideias.

XLVI | MANUAL DO PROFESSOR

PASSEIO 3 Competência geral

Competências específicas

Habilidade EF09MA06.

Objetivos • Reconhecer uma relação entre duas variáveis, incluindo relações de dependência. • Reconhecer e escrever funções, analisando qual variável é dependente de qual e determinando o domínio e a imagem. • Analisar e resolver situações-problema envolvendo funções afim e quadráticas. • Construir e analisar gráficos de funções de 1º e 2º graus de uma variável.

Articulações e justificativas Ao longo dos anos do Ensino Fundamental, foram realizadas diversas discussões envolvendo relações entre grandezas, ora incógnitas, ora variáveis. Neste momento, abre-se uma oportunidade para discutir as diferenças entre essas situações, pontuando especialmente a noção de variável. A partir dessa discussão, é possível explorar, inseridas em contextos, relações entre variáveis de modo a abordar o conceito de função. Os contextos, por sua vez, podem abordar temas de urgência social e de relevância para os estudantes, de modo que as conclusões obtidas e as propostas de ação ou soluções imaginadas para tais questões sejam baseadas em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários. Ao longo das atividades, espera-se que os estudantes possam interagir de maneira cooperativa e solidária, exercitando a empatia, o respeito pelas diferenças e a valorização da diversidade de ideias e maneiras de pensar.

XLVII |

Trajetória 3 do LE

PASSEIO 1 Competências gerais

Competência específica

2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural. Habilidades EF09MA10, EF09MA12 e EF09MA14.

Objetivos • Reconhecer e utilizar as relações entre ângulos formados por uma reta transversal a um feixe de retas paralelas. • Calcular e compreender a utilização de ângulos complementares e ângulos suplementares nas mais diversas figuras. • Reconhecer triângulos semelhantes por meio da análise da razão de medidas de lados e ângulos congruentes. • Identificar e calcular razões e proporções de segmentos entre triângulos semelhantes. Articulações e justificativas Ao trabalhar relações entre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, o estudante pode explorar diferentes conceitos de geometria, como ponto, reta, ângulo, paralelismo etc. Tal exploração pode ocorrer tanto no plano da percepção e identificação intuitiva desses conceitos quanto no âmbito da demonstração de relações, identificação e uso de propriedades, assim como a partir de construções geométricas. Seja a partir dos resultados obtidos, seja dos procedimentos e estratégias empregados anteriormente, os estudantes são apresentados a assuntos como semelhança de triângulos e os teoremas de Tales e de Pitágoras. Dessa maneira, o estudante mobilizará não somente diferentes conhecimentos sobre geometria, mas de outras áreas da Matemática, como medidas e noções de razão e proporção. Em grande parte, mas não restrito a isso, os estudantes poderão experimentar contextos relacionados a diferentes práticas e expressões artísticas e culturais, ampliando seus repertórios pessoais ao mesmo tempo que exercitam a curiosidade intelectual na busca por soluções e estratégias de resolução dos problemas apresentados.

PASSEIO 2 Competência geral 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. XLVIII | MANUAL DO PROFESSOR

Competência específica 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

Habilidades EF09MA12 e EF09MA13. Objetivos • Reconhecer a desigualdade triangular e utilizá-la na análise de triângulos. • Saber demonstrar e utilizar as relações métricas em um triângulo retângulo usando a semelhança de triângulos. • Compreender e utilizar o teorema de Pitágoras para resolver situações envolvendo triângulos retângulos. • Resolver problemas que envolvam proporcionalidade e o teorema de Pitágoras em retas paralelas cortadas por secantes. Articulações e justificativas Explorar a geometria a partir da manipulação livre, por exemplo, de figuras planas ou espaciais, permite que se reconheçam diversas propriedades e características. Entretanto, deve-se partir de situações dessa natureza para desenvolver um raciocínio geométrico voltado a utilizar tais propriedades e características para justificar ou demonstrar, nesse caso, as relações métricas no triângulo retângulo ou identificar as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes. Esse tipo de atividade possibilita o desenvolvimento do raciocínio lógico em um aspecto amplo, além de exercitar a curiosidade intelectual.

PASSEIO 3 Competência geral

Competência específica

3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.

Habilidades EF09MA11 e EF09MA15.

Objetivos • Reconhecer, calcular, medir e relacionar os arcos e ângulos de uma circunferência. • Reconhecer as relações métricas em uma circunferência, utilizando-as para resolver problemas. • Utilizar softwares de geometria dinâmica para construir polígonos regulares, circunferências e seus arcos. • Descrever e executar a construção de polígonos regulares.

Articulações e justificativas O estudo da circunferência apresenta relações entre ângulos inscritos, ângulos centrais e arcos da circunferência, utilizando como recurso, sempre que possível, construções geométricas. Tal estudo abre espaço justamente para a apresentação de procedimentos de construção de diferentes polígonos, seja utilizando régua e compasso, seja utilizando softwares de geometria dinâmica. A partir da observação de produções artísticas e culturais diversas, é possível verificar como elementos de geometria podem ser utilizados de maneiras diversas. Do próprio conhecimento sobre construções geométricas, espera-se do estudante também a criação de obras artísticas.

XLIX |

Trajetória 4 do LE

PASSEIO 1 Competências gerais

Competência específica

5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

Habilidades EF09MA16 e EF09MA17.

Objetivos • Determinar o ponto médio e calcular o comprimento de um segmento localizado no plano cartesiano. • Calcular a medida do perímetro e da área da superfície de figuras planas no plano cartesiano conhecendo-se seus vértices e suas coordenadas. • Visualizar figuras espaciais e suas projeções ortogonais, sendo capaz de desenhá-las em perspectiva.

Articulações e justificativas A resolução de problemas envolvendo medidas de segmentos de reta, perímetro e área da superfície de figuras planas recebe aqui um tratamento mais analítico ao utilizar o plano cartesiano. Nesse sentido, é necessário mobilizar tanto conhecimentos relacionados às coordenadas cartesianas e a representação no plano cartesiano, quanto aqueles relacionados mais diretamente à geometria plana, como o teorema de Pitágoras. Outro assunto que pode ser ressignificado é o reconhecimento de vistas ortogonais de figuras espaciais. Ao longo do Ensino Fundamental, o estudante explorou as figuras planas que correspondem às faces de figuras espaciais. Ao associar esse conhecimento ao desenho de objetos em perspectiva, estabelece-se um outro olhar sobre a própria geometria. As tecnologias digitais dão uma importante contribuição para esse assunto, seja ao fornecer ferramentas para a manipulação e construção de figuras geométricas espaciais ou planas, seja para ampliar as possibilidades de obter diferentes referencias e de comunicar ou expressar as próprias produções.

L | MANUAL DO PROFESSOR

PASSEIO 2 Competência geral

Competência específica

1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.

Habilidades EF09MA18 e EF09MA19.

Objetivos • Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas. • Escolher a unidade de medida apropriada para uma grandeza. • Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas. • Reconhecer a planificação da superfície de prismas e de cilindros, calculando seus volumes quando as medidas apropriadas forem fornecidas.

Articulações e justificativas Discutir unidades para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas é uma oportunidade tanto para aprofundar os conhecimentos sobre números e suas representações, utilizando notação científica, por exemplo, quanto para estabelecer relações com outras áreas do conhecimento, especialmente o componente curricular de Ciências. Inserida no próprio contexto de grandezas e medidas, são discutidos problemas que envolvem o cálculo de medidas de volume de prismas e cilindros retos. Nesse sentido, parte-se de noções intuitivas, chegando à utilização de expressões algébricas e equações para o cálculo dessas medidas. A partir desse processo de investigação, é possível compreender elementos que caracterizam a Matemática como uma produção humana, construída historicamente por diferentes povos e culturas.

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PASSEIO 3 Competência geral

Competência específica

Habilidades EF09MA20, EF09MA21, EF09MA22 e EF09MA23.

Objetivos • Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e eventos dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos. • Analisar gráficos, se atentando aos elementos, e identificando possíveis erros que possam comprometer a leitura. • Construir gráficos, com ou sem software digital, organizando os dados de maneira adequada. • Utilizar medidas de tendência central para auxiliar na leitura de dados. • Planejar, executar e analisar uma pesquisa com objetivos de descrever uma situação por meio de dados.

Articulações e justificativas O assunto probabilidade é abordado a partir da observação de experimentos aleatórios, considerando eventos dependentes e eventos independentes. Além de contribuir para a consolidação de conteúdos como princípio multiplicativo, porcentagem, frações etc., seu estudo possibilita ao estudante olhar para questões cotidianas considerando as possibilidades de ocorrência de eventos. É justamente a partir da avaliação quantitativa dessas chances que o estudante pode tomar decisões e agir sobre o ambiente em que está situado. Nesse sentido, é possível considerar questões sobre o cotidiano do estudante ou sobre temas que lhe sejam relevantes a partir da estatística, do tratamento de dados, do planejamento e execução de pesquisas amostrais etc. Uma vez realizada uma pesquisa e obtidas as conclusões, é importante torná-las comunicáveis, utilizando gráficos, tabelas, infográficos, textos explicativos, ilustrações etc.

LUPAS E LUNETAS As articulações entre habilidades e competências levantadas anteriormente apresentam diferentes possibilidades para desenvolver habilidades relacionadas à leitura crítica e sensível do mundo, bem como do posicionamento dos estudantes de modo a propor soluções para problemas identificados. Considerando esse cenário, assim como a leitura do livro do estudante, converse com os colegas sobre essas e outras possibilidades para desenvolver tais habilidades.

LII | MANUAL DO PROFESSOR

SUBSÍDIOS PARA TRABALHAR A INTERDISCIPLINARIDADE Os quadros explicitam as possibilidades de trabalho com outras disciplinas.

TRAJETÓRIA 1 DO LE TCTs: Educação Ambiental; Vida Familiar e Social e Educação Financeira

Quadro de interdisciplinaridade DISCIPLINA

Geografia

HABILIDADE

JUSTIFICATIVA

(EF09GE02) Analisar a atuação das corporações internacionais e das organizações econômicas mundiais na vida da população em relação ao consumo, à cultura e à mobilidade.

Ao discutir o tema da sustentabilidade, abordam-se diferentes aspectos, desde os sociais aos econômicos, até os ambientais. Nesse sentido, abre-se uma diversidade de possibilidades de discussão. De modo geral, é interessante não somente utilizar o contexto das discussões em Geografia para conferir sentido à Matemática, mas utilizar conhecimentos matemáticos como modo de embasar justificativas e argumentações para propor ações ou imaginar soluções acerca dos problemas discutidos. Mesmo a estatística sendo uma área que potencialmente apresenta muitos recursos para esse tipo de discussão, outras áreas também podem ser igualmente valiosas. É possível utilizar diferentes representações numéricas para refletir sobre grandes populações, volume da produção agropecuária etc. Ou a razão entre diferentes grandezas para discutir, por exemplo, a noção de densidade demográfica. No âmbito da sustentabilidade econômica e financeira, é possível utilizar noções como porcentagens, juros, proporções etc.

(EF09GE12) Relacionar o processo de urbanização às transformações da produção agropecuária, à expansão do desemprego estrutural e ao papel crescente do capital financeiro em diferentes países, com destaque para o Brasil. (EF09GE13) Analisar a importância da produção agropecuária na sociedade urbano-industrial ante o problema da desigualdade mundial de acesso aos recursos alimentares e à matéria-prima.

LIII |

TRAJETÓRIA 2 DO LE TCTs: Educação Alimentar e Nutricional; Vida Familiar e Social e Ciência e Tecnologia.

Quadro de interdisciplinaridade DISCIPLINA

Geografia

Língua Portuguesa

História

LIV | MANUAL DO PROFESSOR

HABILIDADE

JUSTIFICATIVA

(EF09GE13) Analisar a importância da produção agropecuária na sociedade urbano-industrial ante o problema da desigualdade mundial de acesso aos recursos alimentares e à matéria-prima.

O assunto matemático de razões e proporções possibilita uma ampla diversidade de inter-relações com outras áreas do conhecimento. No caso da Geografia, uma dessas possibilidades reside na análise de indicadores sociais, de características de populações, da produção agropecuária etc. Em parte, a Matemática pode proporcionar argumentos quantitativos – por exemplo, calcular a densidade demográfica para compreender melhor as características de regiões ou países. Associados a esse dado, é possível apresentar outros de modo a compor um cenário mais amplo – por exemplo, indicadores sobre fome, desigualdade, produção de alimentos, IDH, renda per capita etc.

(EF69LP03) Identificar, em notícias, o fato central, suas principais circunstâncias e eventuais decorrências; em reportagens e fotorreportagens o fato ou a temática retratada e a perspectiva de abordagem, em entrevistas os principais temas/subtemas abordados, explicações dadas ou teses defendidas em relação a esses subtemas; em tirinhas, memes, charge, a crítica, ironia ou humor presente.

Modelar situações cotidianas de relevância para o estudante ou para a comunidade de modo mais geral é uma habilidade fundamental para o desenvolvimento do letramento matemático e para a capacidade de atuar criticamente no mundo. Em parte, essas situações podem ser disparadas a partir da análise de textos, fotos, charges, tirinhas, vídeos, podcasts etc. Nesse sentido, é importante que os estudantes possam não somente identificar os diferentes pontos de vistas presentes nesses materiais, mas refletir sobre eles de maneira crítica.

(EF09HI36) Identificar e discutir as diversidades identitárias e seus significados históricos no início do século XXI, combatendo qualquer forma de preconceito e violência.

Em Matemática, são exploradas diferentes maneiras de relação entre grandezas, propriedades, objetos matemáticos etc. A relação de dependência entre variáveis é uma delas. Ainda que situada no plano da abstração ou das ideias, é possível explorar a noção de relação “fora do contexto matemático”, considerando, por exemplo, relacionamentos interpessoais, maneiras de situar-se na sociedade, as relações com o espaço e a cidade e os modos de dialogar com os outros e de perceber-se no mundo.

TRAJETÓRIA 3 DO LE TCT: Ciência e Tecnologia

Quadro de interdisciplinaridade DISCIPLINA

Arte

HABILIDADE

JUSTIFICATIVA

(EF69AR31) Relacionar as práticas artísticas às diferentes dimensões da vida social, cultural, política, histórica, econômica, estética e ética.

Ao trabalhar conteúdos de geometria como ângulos, paralelismo, noção de semelhança etc. é interessante tomar como ponto de partida diferentes práticas artísticas, desde desenhos, pinturas e esculturas até obras arquitetônicas. Dessa maneira, é possível considerar como certas propriedades e características matemáticas se apresentam nas expressões ou práticas artísticas. Em muitos casos, é possível utilizar tecnologias digitais para realizar também o movimento de produção artística. Em softwares de geometria Dinâmica, por exemplo, podemos explorar construções geométricas e propriedades ao mesmo tempo em que se leva em conta como atribuir a tais produções aspectos relacionados à própria arte.

(EF69AR35) Identificar e manipular diferentes tecnologias e recursos digitais para acessar, apreciar, produzir, registrar e compartilhar práticas e repertórios artísticos, de modo reflexivo, ético e responsável.

TRAJETÓRIA 4 DO LE TCTs: Cidadania e Civismo, Ciência e Tecnologia e Trabalho

Quadro de interdisciplinaridade DISCIPLINA

HABILIDADE

JUSTIFICATIVA

Geografia

(EF09GE05) Analisar fatos e situações para compreender a integração mundial (econômica, política e cultural), comparando as diferentes interpretações: globalização e mundialização.

É possível discutir a noção de globalização segundo a ótica da “redução das distâncias globais” em virtude do desenvolvimento das tecnologias da comunicação e dos transportes. Nesse sentido, é possível explorar mapas e distâncias globais, seja no âmbito do tema grandezas e medidas, seja com relação a um tratamento analítico da geometria no plano cartesiano. Por outro lado, é interessante analisar também os impactos da globalização, especialmente para os países considerados periféricos, apresentando dados estatísticos e indicadores sociais diversos.

(EF09HI32) Analisar mudanças e permanências associadas ao processo de globalização, considerando os argumentos dos movimentos críticos às políticas globais. História

Desse modo, é interessante também avaliar as mudanças mundiais rumo ao cenário globalizado, identificando cronologicamente momentos chave para a geopolítica mundial ou considerando como determinadas “paisagens” e cenários se modificaram ao longo dos anos.

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DISCIPLINA

HABILIDADE

JUSTIFICATIVA O estudo em estatística envolve especialmente a busca por referências reais, em relatórios oficiais, pesquisas de agências e textos presentes na mídia de modo geral. Nesse sentido, é fundamental que o estudante possa analisar criticamente as informações que lhe são apresentadas de modo a verificar se não se tratam de fake news ou mesmo informações equivocadas, como possíveis interpretações que podem ser elaboradas a partir de um mesmo grupo de dados.

Língua Portuguesa

(EF69LP06) Produzir e publicar notícias, fotodenúncias, fotorreportagens, reportagens, reportagens multimidiáticas, infográficos, podcasts noticiosos, entrevistas, cartas de leitor, comentários, artigos de opinião de interesse local ou global, textos de apresentação e apreciação de produção cultural – resenhas e outros próprios das formas de expressão das culturas juvenis, tais como vlogs e podcasts culturais, gameplay, detonado etc.– e cartazes, anúncios, propagandas, spots, jingles de campanhas sociais, dentre outros em várias mídias, vivenciando de forma significativa o papel de repórter, de comentador, de analista, de crítico, de editor ou articulista, de booktuber, de vlogger (vlogueiro) etc., como forma de compreender as condições de produção que envolvem a circulação desses textos e poder participar e vislumbrar possibilidades de participação nas práticas de linguagem do campo jornalístico e do campo midiático de forma ética e responsável, levando-se em consideração o contexto da Web 2.0, que amplia a possibilidade de circulação desses textos e “funde” os papéis de leitor e autor, de consumidor e produtor.

LUPAS E LUNETAS O 9º ano do Ensino Fundamental representa para os estudantes tanto um momento de fechamento de um ciclo quanto de projeção para o início do próximo. É possível olhar para trás e recuperar as experiências e a bagagem acumulada nos últimos anos, bem como projetar como podem auxiliar nas experiências que virão. Converse com os colegas sobre maneiras de acolher os estudantes nesse processo reflexivo, especialmente para situá-los como protagonistas de seu próprio processo formativo e imaginar como podem se tornar indivíduos atuantes que proponham ideias e soluções visando ao bem-estar da sociedade.

LVI | MANUAL DO PROFESSOR

JUSTIFICATIVA E PERTINÊNCIA DOS OBJETIVOS E PROPOSTAS DE AVALIAÇÃO TRAJETÓRIA 1 DO LE A Trajetória propõe a consolidação do estudo sobre conjuntos numéricos realizado, de certa maneira, ao longo de todo o Ensino Fundamental. O reconhecimento e a representação de números irracionais vêm complementar os conhecimentos dos estudantes sobre números racionais, formando o conjunto dos números reais, sobre o qual grande parte das atividades do 9o_ ano se basearão. São retomadas propriedades e operações, incluindo potenciação e radiciação. Ao final, são trabalhados conteúdos relacionados à noção de porcentagem associada a educação financeira. Quadro: objetivos e avaliações Ao longo da Trajetória, são propostas atividades individuais e coletivas, situações de reflexão, de investigação e de utilização de tecnologias digitais. Utilize-as para acompanhar a aprendizagem dos estudantes durante a Trajetória. Sugerimos utilizar a seção Vistorias para avaliar a aprendizagem ao final da Trajetória, assim como o boxe Levo na bagagem ao fim de cada passeio para promover momentos de autoavaliação. A ficha favorece o registro e o monitoramento da aprendizagem para cada objetivo durante a Trajetória e no fim dela.

I. Ficha de monitoramento da aprendizagem – individual Nome do(a) estudante: ________________ Turma: _______ Objetivos O(a) estudante está apto(a) a...

Durante a Trajetória Ao fim da Trajetória S

Reconhecer que existem segmentos de reta cuja medida do comprimento corresponde a um número não racional. Diferenciar os conjuntos numéricos, reconhecendo as características dos elementos de cada um. Reconhecer um número irracional – inclusive em sua representação decimal infinita e não periódica – como um número real. Calcular o valor de uma potência com expoente racional. Efetuar operações com potências e raízes de diferentes expoentes e índices, fazendo as adaptações necessárias para a efetuação do cálculo. Conhecer e aplicar as propriedades da potenciação no contexto dos números reais. Escrever e analisar números em notação científica, fazendo arredondamentos quando necessário. Resolver problemas envolvendo porcentagens nos mais variados contextos. Analisar situações financeiras para tomar as melhores decisões diante de várias possibilidades. Analisar sequências numéricas, reconhecendo padrões e determinando os próximos termos. Calcular e resolver situações envolvendo juros compostos. Legenda: Sim (S), Não (N), Parcialmente (P).

LVII |

TRAJETÓRIA 2 DO LE Nessa Trajetória, são explorados os conceitos de razão e proporção (direta e inversa) a partir de diversas situações-problema envolvendo diferentes grandezas. O estudo da álgebra prossegue para a discussão sobre expressões algébricas, polinômios e equações de 2º grau (completas e incompletas). Por fim, são estudadas relações entre duas variáveis, incluindo relações de dependência, chegando ao conceito de função, bem como suas representações algébrica e gráfica. Quadro: objetivos e avaliações Ao longo da Trajetória, são propostas atividades individuais e coletivas, situações de reflexão, de investigação e de utilização de tecnologias digitais. Utilize-as para acompanhar a aprendizagem dos estudantes durante a Trajetória. Sugerimos utilizar a seção Vistorias para avaliar a aprendizagem ao final da Trajetória, assim como o boxe Levo na bagagem ao fim de cada passeio para promover momentos de autoavaliação. A ficha favorece o registro e o monitoramento da aprendizagem para cada objetivo durante a Trajetória e no fim dela.

I. Ficha de monitoramento da aprendizagem – individual Nome do(a) estudante: ________________ Turma: _______ Objetivos O(a) estudante está apto(a) a... Reconhecer a proporcionalidade entre duas grandezas, seja direta, seja inversa, seja não proporcional, elaborando e resolvendo problemas envolvendo tais grandezas. Resolver problemas que envolvam duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade ou densidade demográfica. Reconhecer e calcular a taxa de variação média de uma grandeza com base em uma razão ou gráfico, incluindo os mais variados contextos. Dividir proporcionalmente em duas ou mais partes uma grandeza. Reconhecer polinômios no formato de produto notável, sabendo fatorá-los corretamente, assim como desenvolver os produtos notáveis. Escrever equações de 2º grau dos mais variados tipos de acordo com uma situação-problema dada. Resolver equações de 2º grau, completas e incompletas, associadas aos mais variados contextos. Analisar o discriminante de uma equação de 2º grau, determinando o número de soluções reais e seu conjunto solução. Reconhecer uma relação entre duas variáveis, incluindo relações de dependência. Reconhecer e escrever funções, analisando qual variável é dependente de qual, e determinando o domínio e a imagem. Analisar e resolver situações problema envolvendo funções afim e quadráticas. Construir e analisar gráficos de funções de 1º e 2º graus de uma variável. Legenda: Sim (S), Não (N), Parcialmente (P).

LVIII | MANUAL DO PROFESSOR

Durante a Trajetória S

Ao fim da Trajetória S

TRAJETÓRIA 3 DO LE Essa Trajetória apresenta essencialmente discussões relacionadas à geometria. A partir da identificação das relações entre ângulos formados por uma reta transversal a um feixe de retas paralelas discute-se semelhança de triângulos. Tais conhecimentos fundamentam as discussões que ocorrem na sequência, especialmente referentes às relações métricas no triângulo retângulo, como o teorema de Pitágoras. A última parte da Trajetória trata do estudo da circunferência e do círculo, associando arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos e utilizando esses conhecimentos para a construção de polígonos. Quadro: objetivos e avaliações Ao longo da Trajetória, são propostas atividades individuais e coletivas, situações de reflexão, de investigação e de uso de tecnologias digitais. Utilize-as para acompanhar a aprendizagem dos estudantes durante a Trajetória. Sugerimos aplicar a seção Vistorias para avaliar a aprendizagem ao final da Trajetória, assim como o boxe Levo na bagagem ao final de cada passeio para promover momentos de autoavaliação. A ficha favorece o registro e o monitoramento da aprendizagem para cada objetivo durante a Trajetória e no fim dela.

I. Ficha de monitoramento da aprendizagem – individual Nome do(a) estudante: ________________ Turma: _______ Objetivos O(a) estudante está apto(a) a...

Durante a Trajetória S

Ao fim da Trajetória S

Reconhecer e utilizar as relações entre ângulos formados por uma reta transversal a um feixe de retas paralelas. Calcular e compreender a utilização de ângulos complementares e ângulos suplementares nas mais diversas figuras. Reconhecer triângulos semelhantes por meio da análise da razão de medidas de lados e ângulos congruentes. Identificar e calcular razões e proporções de segmentos entre triângulos semelhantes. Reconhecer a desigualdade triangular e utilizá-la na análise de triângulos. Saber demonstrar e utilizar as relações métricas em um triângulo retângulo usando a semelhança de triângulos. Compreender e utilizar o teorema de Pitágoras para resolver situações envolvendo triângulos retângulos. Resolver problemas que envolvam proporcionalidade e o teorema de Pitágoras em retas paralelas cortadas por secantes. Reconhecer, calcular, medir e relacionar os arcos e ângulos de uma circunferência. Reconhecer as relações métricas em uma circunferência, utilizando-as para resolver problemas. Utilizar softwares de geometria dinâmica para construir polígonos regulares, circunferências e seus arcos. Descrever e executar a construção de polígonos regulares. Legenda: Sim (S), Não (N), Parcialmente (P).

LIX |

TRAJETÓRIA 4 DO LE O início da Trajetória caracteriza-se por um tratamento mais analítico dado a conhecimentos relacionados à geometria e às medidas, no sentido de calcular comprimento de segmentos, perímetros e áreas de superfícies de figuras representadas no plano cartesiano. São também abordadas questões relativas a medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, assim como projeções ortogonais de figuras espaciais. A Trajetória se encerra com discussões focadas na unidade temática Probabilidade e estatística, retomando e aprofundando a ideia de probabilidade e apresentando etapas para o desenvolvimento de pesquisas estatísticas. Quadro: objetivos e avaliações Ao longo da Trajetória, são propostas atividades individuais e coletivas, situações de reflexão, de investigação e de utilização de tecnologias digitais. Utilize-as para acompanhar a aprendizagem dos estudantes durante a Trajetória. Sugerimos utilizar a seção Vistorias para avaliar a aprendizagem ao final da Trajetória, assim como o boxe Levo na bagagem ao final de cada passeio para promover momentos de autoavaliação. A ficha favorece o registro e o monitoramento da aprendizagem para cada objetivo durante a Trajetória e no fim dela.

I. Ficha de monitoramento da aprendizagem – individual Nome do(a) estudante: ________________ Turma: _______ Objetivos O(a) estudante está apto(a) a... Determinar o ponto médio e calcular o comprimento de um segmento localizado no plano cartesiano. Calcular a medida do perímetro e área da superfície de figuras planas no plano cartesiano conhecendo-se seus vértices e suas coordenadas. Visualizar figuras espaciais e suas projeções ortogonais, sendo capaz de desenhá-las em perspectiva. Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas. Escolher a unidade de medida apropriada para uma grandeza. Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas. Reconhecer a planificação da superfície de prismas e de cilindros, calculando o volume deles quando as medidas apropriadas forem fornecidas. Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e eventos dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos. Analisar gráficos, se atentando aos elementos, e identificando possíveis erros que possam comprometer a leitura. Construir gráficos, com ou sem software digital, organizando os dados de maneira adequada. Utilizar medidas de tendência central para auxiliar na leitura de dados. Planejar, executar e analisar uma pesquisa com objetivos de descrever uma situação por meio de dados. Legenda: Sim (S), Não (N), Parcialmente (P).

LX | MANUAL DO PROFESSOR

Durante a Trajetória S

Ao fim da Trajetória S

SUGESTÃO DE CRONOGRAMA Segue uma sugestão de cronograma baseada na estrutura de Trajetórias e passeios apresentada neste livro. Entretanto, é importante ressaltar que o(a) professor(a) pode adaptar este cronograma de acordo com sua realidade e o contexto escolar.

PERÍODO

TRAJETÓRIA

PASSEIO

1. Conjuntos numéricos

1º bimestre

2. Operações com potências e raízes

3. Sequências e porcentagens

1. Razão e proporção

2º bimestre

2. Produtos notáveis e equações polinomiais do 2o grau

3. A ideia de função

1. Feixe de retas paralelas e teorema de Tales

3º bimestre

2. Relações métricas em triângulos

3. Circunferências, arcos e polígonos regulares

1. Plano cartesiano e vistas ortogonais

4º bimestre

2. Grandezas e medidas

3. Probabilidade e estatística

LXI |

O modo como uma pergunta é formulada pode influenciar muito o resultado obtido.

• usar o tipo de gráfico inapropriado para

a situação, para confundir a leitura; • usar a estética de forma não intuitiva; gráfico ou pesquisa para que ele pareça dar • manipular as respostas, colocando mais HABILIDADES DE MATEMÁTICA E DE OUTRAS DISCIPLINAS informações diferentes da realidade. As que respostas positivas do que negativas, Estas sãoestudamos as habilidades presentes neste volume. por exemplo. foram: Há algumas maneiras de se manipular um

QUADRO DE HABILIDADES DO 9O ANO

Matemática NÚMEROS (EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade). (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica. (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários. (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações. (EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira. r2

ÁLGEBRA

(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis. (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica. (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas. (EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2o grau.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

QVASIMODO ART/SHUTTERSTOCK

290 | QUADRO DE HABILIDADES

LXII | MANUAL DO PROFESSOR

GEOMETRIA (EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica. (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes. (EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos. (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes. (EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares. (EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano. (EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva. GRANDEZAS E MEDIDAS (EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros. (EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas. C A

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos. (EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros. (EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

QVASIMODO ART/SHUTTERSTOCK

(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

291 |

LXIII |

As propostas do material do aluno oferecem oportunidades para o trabalho em parceria com professores de outras disciplinas. O quadro a seguir apresenta as habilidades que, em algum momento, foram tocadas.

OUTRAS DISCIPLINAS

LÍNGUA PORTUGUESA (EF69LP03) Identificar, em notícias, o fato central, suas principais circunstâncias e eventuais decorrências; em reportagens e fotorreportagens o fato ou a temática retratada e a perspectiva de abordagem, em entrevistas os principais temas/subtemas abordados, explicações dadas ou teses defendidas em relação a esses subtemas; em tirinhas, memes, charge, a crítica, ironia ou humor presente. (EF69LP06) Produzir e publicar notícias, foto denúncias, fotorreportagens, reportagens, reportagens multimidiáticas, infográficos, podcasts noticiosos, entrevistas, cartas de leitor, comentários, artigos de opinião de interesse local ou global, textos de apresentação e apreciação de produção cultural – resenhas e outros próprios das formas de expressão das culturas juvenis, tais como vlogs e podcasts culturais, gameplay, detonado etc.– e cartazes, anúncios, propagandas, spots, jingles de campanhas sociais, dentre outros em várias mídias, vivenciando de forma significativa o papel de repórter, de comentador, de analista, de crítico, de editor ou articulista, de booktuber, de vlogger (vlogueiro) etc., como forma de compreender as condições de produção que envolvem a circulação desses textos e poder participar e vislumbrar possibilidades de participação nas práticas de linguagem do campo jornalístico e do campo midiático de forma ética e responsável, levando-se em consideração o contexto da Web 2.0, que amplia a possibilidade de circulação desses textos e “funde” os papéis de leitor e autor, de consumidor e produtor. GEOGRAFIA (EF09GE02) Analisar a atuação das corporações internacionais e das organizações econômicas mundiais na vida da população em relação ao consumo, à cultura e à mobilidade. (EF09GE05) Analisar fatos e situações para compreender a integração mundial (econômica, política e cultural), comparando as diferentes interpretações: globalização e mundialização. (EF09GE12) Relacionar o processo de urbanização às transformações da produção agropecuária, à expansão do desemprego estrutural e ao papel crescente do capital financeiro em diferentes países, com destaque para o Brasil. (EF09GE13) Analisar a importância da produção agropecuária na sociedade urbano-industrial ante o problema da desigualdade mundial de acesso aos recursos alimentares e à matéria-prima. ARTE (EF69AR31) Relacionar as práticas artísticas às diferentes dimensões da vida social, cultural, política, histórica, econômica, estética e ética. (EF69AR35) Identificar e manipular diferentes tecnologias e recursos digitais para acessar, apreciar, produzir, registrar e compartilhar práticas e repertórios artísticos, de modo reflexivo, ético e responsável. HISTÓRIA (EF09HI32) Analisar mudanças e permanências associadas ao processo de globalização, considerando os argumentos dos movimentos críticos às políticas globais. (EF09HI36) Identificar e discutir as diversidades identitárias e seus significados históricos no início do século XXI, combatendo qualquer forma de preconceito e violência.

292 | QUADRO DE HABILIDADES

LXIV | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL

NOS DIAS DE HOJE

ANOS FINAIS

Jefferson Cevada Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT). Foi professor e coordenador da rede pública de São Paulo. Editor e elaborador de conteúdos didáticos. Daniel Romão da Silva Doutor e Mestre em Educação pela Universidade de São Paulo (USP). Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). Foi coordenador e professor da rede pública e particular de São Paulo. Autor de materiais didáticos. Gabriel Gleich Prado Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). Atua como professor da rede particular de São Paulo. Autor de materiais didáticos.

São Paulo • 1a edição • 2022

Direção editorial Sandro Aloísio Produção gráfica Reinaldo Correale Giliard Andrade Equipe M10 Editorial Coordenação pedagógica Alessandra Corá Coordenação editorial Fernanda Azevedo

Coordenação de editoração eletrônica Eduardo Enoki

Edição Angela Leite

Editoração eletrônica Fanny Sosa Nathalia Scala Ricardo Coelho

Assistência editorial Gabriel Santos Novaes

Iconografia M10 Editorial

Preparação e revisão de textos Brenda Gomes Caroline Ponzi Thais Sanchez Marina Bueno

Licenciamento de texto e imagens Tempo Composto

Projeto gráfico de capa e miolo Arte/M10

Imagens gerais, de projeto gráfico e ilustrações técnicas Arte/ M10 Shutterstock.com Freepik

2 | MANUAL DO PROFESSOR

1. Matemática – Estudo e ensino. I. Silva, Daniel Romão da. II.Prado, Gabriel Gleich. III. Título. CDD 510.7 Elaborado por Maurício Amormino Júnior – CRB6/2422

APRESENTAÇÃO Como você se reconhece, em seu dia a dia, com mais frequência: • muito interativo?

Sabia que, em qualquer desses casos, você pode exercitar seu talento – e desenvolver outros – por meio de qualquer conhecimento, inclusive matemático? Tudo depende das suas

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ideias e do que você tem para propor aos que estão em seu entorno. Este livro vai convidá-lo a expor ideias por meio de ferramentas conhecidas por você e incentivá-lo a buscar outras que podem ser novas para você, em atividades que o levarão a questionar, imaginar, analisar e elaborar situações diversas. • muito criativo?

Você vai mobilizar conhecimentos, atitu-

FREEPIK

des, afetos e talentos essenciais para formar a pessoa que você vem se tornando. O pensamento matemático, sua linguagem própria, seus objetos de conhecimento, seus processos e produtos no cotidiano escolar geram oportunidades únicas para que você possa apresentar propostas críticas, criativas e de caráter interativo. • muito crítico?

Envolva-se nessa jornada que, certamente, pode ser percorrida do seu jeito, mas sem perder de vista as contribuições da Matemática para a sua formação e as possibilidades que

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ela oferece para transformar o pensamento e os modos de conviver. Venha conosco diversificar seu modo de pensar e de apresentar suas propostas! Os autores

#CONHEÇASEU #CONHEÇA SEULIVRO LIVRO NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

PRONTOS PARA COMEÇAR! Seja bem-vindo ao novo ano escolar! Comece mostrando o que você já sabe. Leia e resolva sozinho algumas questões do ano anterior.

TRAJETÓRIA Que tal começar uma Trajetória com perguntas instigantes? Fazer boas perguntas é uma maneira de iniciar novos caminhos.

PASSEIO Cada Trajetória é composta de três passeios. Cada passeio é norteado por uma pergunta. Inicie seu passeio resgatando os conhecimentos que você já tem, matemáticos ou não, sobre o tema da pergunta. Depois, consulte o mapa mental e os objetivos esperados para o passeio.

CHECK-IN Reflita sobre o tema interdisciplinar do passeio e resgate conhecimentos de Matemática.

ATMOSFERA Entre no clima! O passeio já começou. Envolva-se com as primeiras reflexões junto aos colegas.

4 | MANUAL DO PROFESSOR

TRAVESSIAS Investigar, resolver problemas, modelar, atravessar outros conhecimentos: adquira novas ferramentas para prosseguir em seu passeio.

NUVENS Alcance ferramentas do mundo tecnológico digital e também do pensamento computacional.

Seu livro está organizado em quatro TRAJETÓRIAS, uma para cada bimestre. Cada Trajetória é composta de três PASSEIOS.

LUPAS E LUNETAS Para “enxergar” melhor – de perto ou de longe –, venha refletir sobre questões que detalham ou que ampliam os temas explorados na página.

Selo que indica Encontro com outras disciplinas.

LEVO NA BAGAGEM Pausa para reorganizar conhecimentos e checar se, de fato, os objetivos declarados no início do passeio vieram para sua bagagem.

BARCOS E PORTOS Conclua o seu passeio: organize seus conhecimentos, elabore uma questão e proponha ideias – de modo crítico, criativo e interativo – relacionadas à pergunta norteadora que abriu seu passeio.

VISTORIAS Depois de três passeios, é hora de encerrar a Trajetória! Resolva exercícios essenciais da Trajetória para verificar quais conhecimentos você adquiriu. Prossiga interagindo com os conhecimentos e desenvolvendo cada vez mais autonomia para monitorar sua própria aprendizagem.

RETORNOS Aqui, você tem acesso rápido aos principais objetos matemáticos explorados ao longo de cada Trajetória para que possa ir ao encontro da síntese do que aprendeu. Use ao máximo os recursos que o livro oferece para superar todos os obstáculos da sua aprendizagem.

SUPLEMENTE SUA APRENDIZAGEM Ao final do livro, você encontra questões de concursos organizadas por Trajetória para você continuar aprimorando sua aprendizagem.

BÚSSOLA

PASSEIO 1

Quais são os tipos de sustentabilidade? 16 O que é sustentabilidade ambiental? 18 O que é sustentabilidade social? 32 O que é sustentabilidade financeira? 50

Passeio 1 19 EF09MA01, EF09MA02 Passeio 2 33 EF09MA02, EF09MA03, EF09MA04 Passeio 3 51 EF09MA04, EF09MA05, EF09MA06, EF09MA08

Conjuntos numéricos 18 Números: evolução da escrita, contagem e ábacos • Conjuntos numéricos • Números irracionais • O conjunto dos números reais

TRAJETÓRIA 2

Como as diversas relações interferem em nossas vidas? 70 Em que situações nos envolvemos com ideias de proporcionalidade? 72 Como relacionamos valores, ideias e números? 90 Como as relações podem impactar nossa vida? 116

Passeio 1 73 EF09MA07, EF09MA08 Passeio 2 91 EF09MA09 Passeio 3 117 EF09MA06

Razão e proporção 72 Proporcionalidade • Regra de três • Taxa de variação média • Divisão em partes proporcionais

TRAJETÓRIA 3

Onde podemos reconhecer forma, proporção e padrões? 136 Como reconhecer a ideia de semelhança em situações do cotidiano? 138 Qual é a importância da forma na comunicação, arte e tecnologia? 156 Como reconhecer ideias de regularidade e criatividade no cotidiano? 176

Passeio 1 139 EF09MA10, EF09MA12, EF09MA14 Passeio 2 157 EF09MA12, EF09MA13, EF09MA14 Passeio 3 177 EF09MA11, EF09MA15

Feixe de retas paralelas e teorema de Tales 138 Postulados • Posições relativas entre duas retas no plano • Ângulos • Retas paralelas cortadas por transversais • Figuras geométricas semelhantes • Feixe de paralelas e o teorema de Tales

Como refletir sobre as questões locais e globais? 204 Como uma nova perspectiva amplia nosso ponto de vista? 206 De que modo a ciência auxilia na expressão e comunicação humanas? 228 Como avaliar dados e evitar a desinformação? 248

Passeio 1 207 EF09MA16, EF09MA17 Passeio 2 229 EF09MA18, EF09MA19 Passeio 3 249 EF09MA20, EF09MA21, EF09MA22, EF09MA23

Plano cartesiano e vistas ortogonais 206 Plano cartesiano • Perímetro • Área da superfície • Projeções e sombras • Desenho em perspectiva, ponto de fuga e linha do horizonte

TRAJETÓRIA 1

TEMAS

TRAJETÓRIA 4

#MAPADE #MAPA DECONTEÚDOS CONTEÚDOS – 9 o ANO

6 | MANUAL DO PROFESSOR

BARCOS E PORTOS E

PASSEIO 2

PASSEIO 3

Operações com potências e raízes 32 Potenciação com expoente natural • Potências com expoentes inteiros • Notação científica • Potências com expoentes racionais: radiciação • Operações com raízes

Sequências e porcentagens 50 Matemática e sustentabilidade financeira • Porcentagem • Matemática financeira • Matemática financeira no dia a dia • Sequências

Passeio 1 30 Propor ideias para organizar ou inovar os pensamentos dos jovens. Passeio 2 48 Pesquisa sobre desemprego. Passeio 3 66 Análise de gastos e propostas de economia. Vistorias 68

Produtos notáveis e equações polinomiais do 2º grau 90 A linguagem matemática • A álgebra e as fórmulas • Fórmulas • Produtos notáveis • Fatoração de polinômios • Problemas envolvendo equações polinomiais do 2o grau

A ideia de função 116 Relações na vida e na Matemática • A ideia de função • Representação gráfica de uma função • Função afim, f(x) = ax + b, com a ≠ 0

Passeio 1 88 Proposta que resolva uma situação por meio da proporcionalidade. Passeio 2 114 Debate sobre a Matemática. Passeio 3 130 Proposta para discussão sobre cyberbullying. Vistorias 132

Relações métricas em triângulos 156 Triângulos e seus lados • Semelhança de triângulos • Os pitagóricos • Teorema de Pitágoras • Relações métricas no triângulo retângulo

Circunferências, arcos e polígonos regulares 176 Circunferências • Arcos e ângulos de uma circunferência • Relações métricas na circunferência • Construção de polígonos regulares • Cálculo da medida do ângulo interno de um polígono regular • Fluxogramas

Passeio 1 154 Refletir sobre novas formas de realizar as mesmas atividades. Passeio 2 174 Usar as redes sociais para refletir e discutir propostas para problemas coletivos. Passeio 3 198 Usar a criatividade para melhorar um ambiente coletivo. Vistorias 200

Grandezas e medidas 228 Sistema Internacional de Unidades (SI) • Volume • Prismas • Cilindro reto

Probabilidade e Estatística 248 Probabilidade: qual é a chance? • Probabilidade • A linguagem visual • Gráficos • Medidas de tendência central • Escolhendo o gráfico apropriado • Construindo um gráfico • Pesquisas

Passeio 1 226 Refletir sobre pontos positivos e negativos da globalização. Passeio 2 246 Propor ações que usem a globalização para facilitar a cooperação dos países. Passeio 3 274 Realizar uma pesquisa para encontrar problemas em um ambiente coletivo. Vistorias 276

VISTORIAS

PÁGINAS FINAIS Retornos 280

Quadro de habilidades do 9o ano 290

Suplemente sua aprendizagem 293

Leituras para o aluno 302

Referências bibliográficas 302

#OQUÊ #O QUÊ? ? 1

6 Conhecimento: valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo social, cultural e digital...

Projeto de vida: valorizar a diversidade de saberes e apropriar-se de conhecimentos...

2 Pensamento científico, crítico e criativo: exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade...

Argumentação: argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis...

8 Autoconhecimento e autocuidado: conhecer-se e compreender-se na diversidade humana...

3 Repertório cultural: valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais...

4 Comunicação: utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital...

5 Cultura digital: compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética...

8 | MANUAL DO PROFESSOR

9 Empatia, cooperação e cidadania: exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos...

10. Responsabilidade e cidadania: cidadania agir, debater e problematizar com responsabilidade e flexibilidade...

Propostas críticas Propostas criativas Propostas interativas

# PARA PARAQUÊ? QUÊ? 1 ...para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.

2 ...para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

3 ...para integrar conhecimentos e compreender o mundo em que vivemos.

...para fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania com consciência crítica.

7 ...para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns.

8 ...para propor inovações que interfiram em suas emoções e nas dos outros, com autocrítica.

9 ...para produzir entendimento mútuo.

10 ...para tomar decisões com base em princípios éticos que levem em conta as práticas de tolerância com indivíduos, grupos sociais ou povos.

...para se expressar e partilhar informações e sentimentos que levem ao entendimento mútuo.

5 ...para se comunicar, acessar e disseminar informações e resolver problemas na vida pessoal e coletiva.

#Sumário

Prontos para começar!, 14

• Check-in, 32

• Arredores e Bússola, 33

• Atmosfera: O que é sustentabilidade

social?, 34

• Potenciação com expoente natural, 35

TRAJETÓRIA 1

• Potências com expoentes inteiros, 37

• Travessias: Expoente zero e expoente inteiro

qualquer, 38

• Notação científica, 39

Quais são os tipos de sustentabilidade?, 16

• Potências com expoentes racionais:

radiciação, 41

• Nuvens: Potências e raízes com uso de

Passeio 1: Conjuntos numéricos, 18

software, 43

PETERI/SHUTTERSTOCK

• Operações com raízes, 44 • Levo na bagagem, 47 • Barcos e portos, 48

• Check-in, 18

• Arredores e Bússola, 19

• Atmosfera: Educação para o desenvolvi-

mento sustentável, 20

SEVENNINE_79/SHUTTERSTOCK

Passeio 3: Sequências e porcentagens, 50

• Números: evolução da escrita, contagem

e ábacos, 21

• Conjuntos numéricos, 22 • Números irracionais, 23 • Travessias: O número

2 , 24

• O conjunto dos números reais, 28 • Levo na bagagem, 29 • Barcos e portos, 30

CHAYANUPHOL/SHUTTERSTOCK

Passeio 2: Operações com potências e raízes, 32

• Check-in, 50

• Arredores e Bússola, 51

• Atmosfera: Origem do dinheiro, 52

• Matemática e sustentabilidade financeira, 53 • Porcentagem, 54

• Matemática financeira, 56

• Matemática financeira no dia a dia, 59 • Sequências, 61

• Travessias: O número de Euler, 64 • Levo na bagagem, 65 • Barcos e portos, 66 • Vistorias, 68

10 | MANUAL DO PROFESSOR

• Check-in, 90 • Arredores e Bússola, 91 • Atmosfera: As palavras e as coisas, 92

TRAJETÓRIA 2

• A linguagem matemática, 93 • A álgebra e as fórmulas, 94 • Fórmulas, 95

Como as diversas relações interferem em nossas vidas?, 70

• Produtos notáveis, 96 • Travessias: Uma das utilidades do produto

notável, 100

Passeio 1: Razão e proporção, 72

• Problemas envolvendo equações polino-

miais do 2o grau, 103 • Levo na bagagem, 113 • Barcos e portos, 114 Passeio 3: A ideia de função, 116 ANTON VIERIETIN/ SHUTTERSTOCK

ALPHASPIRIT.IT/SHUTTERSTOCK

• Fatoração de polinômios, 101

• Check-in, 72

• Arredores e Bússola, 73

• Atmosfera: Os benefícios das tarefas

domésticas para crianças, 74 • Proporcionalidade, 75 • Regra de três, 78 • Taxa de variação média, 82 • Divisão em partes proporcionais, 85 • Levo na bagagem, 87 • Barcos e portos, 88

• Check-in, 116

Passeio 2: Produtos notáveis e equações polinomiais do 2o grau, 90

• Arredores e Bússola, 117 • Atmosfera: As redes sociais e seus impactos 3RDTIMELUCKYSTUDIO/SHUTTERSTOCK

nas relações pessoais, 118 • Relações na vida e na Matemática, 119 • A ideia de função, 122 • Representação gráfica de uma função, 125

• Função afim, f (x) = ax + b, com a ≠ 0, 126 • Levo na bagagem, 129 • Barcos e portos, 130 • Vistorias, 132

11 |

Veja as resoluções das atividades da seção Prontos para começar! da página 14.

1. a) Utilize o exercício para re-

tomar o conceito de fração geratriz de uma dízima periódica. 4 19 5 0,4 = ; 0,19 = ; 0,05 = . 9 99 99 Assim, temos: 4 19 25 – 9 99 = 99 = 25 = 5 5 5 5 99 99

• Check-in, 156

• Arredores e Bússola, 157

TRAJETÓRIA 3

conteúdo digital, 158

• Triângulos e seus lados, 159

• Travessias: Construção de triângulo conhe-

cidas as medidas dos três lados, 160

Onde podemos reconhecer forma, proporção e padrões?, 136

• Semelhança de triângulos, 162 • Os pitagóricos, 165

Passeio 1: Feixe de retas paralelas e teorema de Tales, 138

gulo, 170

OLESIA BILKEI/SHUTTERSTOCK

• Barcos e portos, 174

Passeio 3: Circunferências, arcos e polígonos regulares, 176

–1

RESPIRO/SHUTTERSTOCK

–2

• Relações métricas no triângulo retân• Levo na bagagem, 173

–1 ⎡ ⎛ 1 ÷ 1⎞ ⎤ • Check-in, 138 1 ⎤ + 4]–1 = e Bússola, 139 ⎟ ⎥ = •[35 ÷ (–5) ⎥ = ⎢35 + ⎜ 1 Arredores ⎜ ⎟ 39 ⎥ ⎢ ⎦ ⎝ 22 ⎠ ⎦ • Atmosfera: As confluências entre arte, ciência ⎣ –1 e tecnologia, 140 –1 ⎡ ⎛ 1 ÷ 1⎞ ⎤ 1 ⎤ • Postulados, 141 ⎟ ⎥ = [35 + 4]–1 = )–1 ⎥ = ⎢35 + ⎜ 1 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥ 39 ⎢ ⎦ • Posições relativas entre duas retas no 2 ⎣ ⎦ plano, 142 2. Calculando a razão entre as • Ângulos, 143 duas distâncias: a da Terra • Retas paralelas cortadas por transversais, 145 até Plutão e a da Terra até o • Figuras geométricas semelhantes, 146 Sol, temos: • Nuvens: O formato das imagens e das 9 4,28 ⋅ 10 telas, 148 = 2,853 ⋅ 10 ≅ 28,53 1,5 ⋅ 108 • Feixe de paralelas e o teorema de Tales, 149 Consideramos apenas via• Travessias: O teorema de Tales, 150 gens completas. Então, são • Levo na bagagem, 153 necessárias 29 viagens. • Barcos e portos, 154 3. Como a sala possui formaPasseio 2: Relações métricas em triângulos, 156 to cúbico, o piso é quadrado e as medidas dos lados da sala (arestas do cubo) são: 3,24 = 1,8 m. O volume é igual a: 1,83 = 5,832 m3 . 4. As possibilidades são: 3 p ⋅ 10 r ⋅ 4 q ⋅ 2 m = 240 possibilidades de sanduíches

⎡ ⎛ 1⎞ 1 ⎢(47 – 12) + ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎣

• Teorema de Pitágoras, 166

• Check-in, 176

• Arredores e Bússola, 177

• Atmosfera: Arte e geometria, 178 • Circunferências, 179

• Travessias: Modelagem matemática com

circunferência e tangente, 182

• Arcos e ângulos de uma circunferência, 183 • Nuvens: Ângulo inscrito, 185

• Relações métricas na circunferência, 185

• Nuvens: Potência de ponto em relação a

uma circunferência, 186

• Construção de polígonos regulares, 188

• Nuvens: Investigação sobre polígonos: soma

das medidas dos ângulos internos, 192

• Cálculo da medida do ângulo interno de

um polígono regular, 193

• Fluxogramas, 194

• Levo na bagagem, 197 • Barcos e portos, 198 • Vistorias, 200

2 m = 240 possibilidades de sanduíches

5. Ambos estão na mesma fi-

leira, então a probabilidade de terem sua fileira escolhi1 da, entre as 6, é 6 . Como há 8 cadeiras em cada fileira, caso sua fileira seja escolhi2 da, eles terão 8 de chance

de um dos dois ser escolhido. A probabilidade considerando as duas etapas é: 1 2 2 1 ⋅ = = 6 8 48 24

6. a) Dada a lei de formação

an = 3an–1 – 5; n > 1 e a1 = 10, temos: a2 = 3 ⋅ 10 – 5 = 25; a3 = 3 ⋅ 25 – 5 = 70; a4 = 3 ⋅ 70 – 5 = 205.

12 | MANUAL DO PROFESSOR

A sequência até n = 4 é: (10, 25, 70, 205).

LUMYAI L SWEET/SHUTTERSTOCK

b) Retome o conceito de po-

tências e, se necessário, comente que uma potência de expoente negativo pode ser escrita como uma fração com numerador igual a 1 e denominador igual a mesma potência, porém de expoente positivo.

• Atmosfera: A democratização da edição de

–6 ⋅ 34 ⋅ 3 + 3 ⋅ 33 ⋅ 34 + 8 ⋅ 32 ⋅ 3 –6 ⋅ 34 ⋅ 3 + 3 ⋅ 33 ⋅ 34 + 8 ⋅ 32 ⋅ 32 – 4 ⋅ 3 ⋅ 35 = 2 835 • x = 0, y = 20:

–6 ⋅ 04 ⋅ 20 + 3 ⋅ 03 ⋅ 204 + 8 ⋅ 02 ⋅

–6 ⋅ 0 ⋅ 20 + 3 ⋅ 0 ⋅ 20 + 8 ⋅ 02 ⋅ 202 – 4 ⋅ 0 ⋅ 205 = 0 Portanto, o caso II, • Sistema Internacional de Unidades (SI), 231 P ⋅ Q = 2 835, tem o maior • Travessias: Ano-luz e metro, 234 valor para P ⋅ Q. • Volume, 238 8. • Prismas, 239 a) 5x – 2y = z, sendo x a quan• Cilindro reto, 240 tidade de alvos azuis acerta• Nuvens: Polígono inscrito na circunferência, dos, y a quantidade de alvos 242 vermelhos acertados e z o • Levo na bagagem, 245 total de pontos. • Barcos e portos, 246 b) x e y podem ser números Passeio 3: Probabilidade e Estatística, 248 naturais apenas, por serem a quantidade de alvos. z pode ser um número inteiro, pois a pontuação final do jogador pode ser negativa também. 9. • Check-in, 248 • Arredores e Bússola, 249 ⎧3x – y = 4 a) ⎨ • Atmosfera: Pesquisas falsas e estatísticas ⎩ x + 2y = 6 mentirosas enganam; tome cuidado ao Como x = 6 – 2y: usá-las, 250 3 ⋅ (6 – 2y ) – y = 4 • Probabilidade: qual é a chance?, 251 18 – 6y – y = 4 • Probabilidade, 252

TRAJETÓRIA 4 Como refletir sobre as questões locais e globais?, 204

WENPEI/SHUTTERSTOCK

Passeio 1: Plano cartesiano e vistas ortogonais, 206

• Check-in, 206

• Arredores e Bússola, 207

• Atmosfera: A globalização aproximou as

nações e os mercados, 208

• Plano cartesiano, 209 • Perímetro, 213

• Gráficos, 256

• Área da superfície, 216

y =2

• Medidas de tendência central, 258

• Projeções e sombras, 219

Então, x = 6 – 2 ⋅ 2 = 2. ⎧–10x + 4y = 20 b) ⎨ ⎩ 2x – y = –5

• Escolhendo o gráfico apropriado, 259

• Desenho em perspectiva, ponto de fuga e

• Construindo um gráfico, 262

linha do horizonte, 224 • Levo na bagagem, 225 • Barcos e portos, 226

• Nuvens: Construir gráfico com software

editor de planilhas, 263

• Pesquisas, 264

Passeio 2: Grandezas e medidas, 228

• Nuvens: Planejar pesquisa com formulário SUNNY STUDIO/SHUTTERSTOCK

–7y = –14

• A linguagem visual, 255

• Nuvens: Perímetro e software, 215

• Check-in, 228

GORODENKOFF/SHUTTERSTOCK

on-line, 268

• Levo na bagagem, 273 • Barcos e portos, 274

Como 2x = –5 + y → x = –5 + y 2x = –5 + y → x = : 2 –5 + y ⎞ –10 ⋅ ⎛⎜ + 4y = 20 ⎝ 2 ⎟⎠

• Vistorias, 276

Retornos, 280 Quadro de habilidades do 9o ano, 290 Suplemente sua aprendizagem, 293 Leituras para o aluno, 302 Referências bibliográficas, 302

–5 + y : 2

10 y 50 – + 4y = 20 2 2 –5y + 4y = 20 – 25

y =5 –5 + 5 • Atmosfera: Grafia de nomes, símbolos Logo, x = = 0. 2 das unidades e expressão dos valores das 10.Resolvendo as equações ingrandezas, 230 completas de 2o grau: a) 7x 2 = 28 ⇒ x = ± 4 x = ± 2. 2 7x = 28 ⇒ x = ± 4 x = ± 2. b) –3x 2 = –432 x = ± 144 ⇒ x ± 2 –3x = –432 x = ± 144 ⇒ x ± 12. b) 7. Calculamos o produto dos polinômios e os vac) 10x 2 = 9 000 x = ± 900 ⇒ x = lores numéricos: 2 4 3 5 10x 9 000 900 ⇒ x = ± 30. P ⋅ Q = (3x 2 y – 4y 2 ) ⋅ (–2x 2 + y 3 x) = –6x y +=3x y + 8xx2 y=2 ± – 4xy multiplique a1 = 10 11. As transformações geomépor 3 P ⋅ Q = (3x 2 y – 4y 2 ) ⋅ (–2x 2 + y 3 x) = –6x 4 y + 3x 3 y + 8x 2 y 2 – 4xy5 tricas que podem ter origi• x = –5, y = 10: nado a figura são reflexão e subtraia 5 –6 ⋅ (–5)4 ⋅ 10 + 3 ⋅ (–5)3 ⋅ 104 + 8 ⋅ (–5)2 ⋅ 102 – 4rotação. ⋅ (–5) ⋅ 105 = –1 767 500 • Arredores e Bússola, 229

–6 ⋅ (–5)4 ⋅ 10 + 3 ⋅ (–5)3 ⋅ 104 + 8 ⋅ (–5)2 ⋅ 102 – 4 ⋅ (–5) ⋅ 105 = –1 767 500 o resultado 3 –6 ⋅ (–5)4 ⋅ 10 + 3 ⋅ (–5) ⋅ 104 + 8 ⋅ (–5)2 ⋅ 102 – 4 ⋅ (–5) ⋅ 105 = –1 767 500 é o próximo termo da • x = 3, y = 3: sequência

13 |

12. a) Os triângulos são con-

#PRONTOSPARACOMEÇAR!

gruentes por ALA. Então, x = 5 cm e y = 8 cm. b) Sim, pois os triângulos são isósceles e congruentes. Portanto, os ângulos da base são congruentes. c) O quadrilátero formado é um losango, pois tem os 4 lados de mesma medida, porém não pode ser considerado um quadrado, pois seus ângulos não são necessariamente retos. 13.Como AD é bissetriz do ângulo CA!E, o ângulo CA!E

Como BE é bissetriz de CE! A, sendo X o vértice do ângulo de medida x, temos que AE! X = 25o e EA! X = 20o .

Assim,

x = m(E X!A) = 180 – 25 – 20 = 135 .

= m(E X!A) = 180 – 25o – 20o = 135o . 14.A afirmação no item b é falsa, pois é preciso construir um ângulo de 120o.

15. a) A quantidade de e-mails res-

Calcule:

6. b) Fluxograma.

(0,444... – 0,191919...) ⎛ 4 19 ⎞ 5 ÷ – =5 a) ⎝9 99 ⎠ 99 0,050505... –1 –2 ⎡ ⎞⎤ 1 ⎛⎛ 1⎞ 1 ÷ (–5)0 ⎟ ⎥ b) ⎢(47 – 12) + ⎜ ⎝ ⎠ 2 ⎠ ⎦ 40 ⎝ ⎣ No momento em que estão mais próximos, por conta das órbitas, a distância entre a Terra e Plutão é de 4,28 ⋅ 109 km. Já a distância da Terra

mede 40 o e, consequent e m e n t e , c o m o AC!E é ângulo reto, temos que CE! A = 180o – 40o – 90o = 50o .

4,28 ⋅ 109 ≅ 28,53, ou seja, 29 viagens. 1,5 ⋅ 108

Considere os polinômios e os casos:

P: 3x 2 y

– 4y 2

Q: –2x

+ y 3x

x = –5, y = 10

II. x = 3, y = 3

III. x = 0, y = 20

Em qual desses casos o produto P ⋅ Q tem o maior valor? I. –1 767 500. II. 2 835. 8.

III. 0. II tem o maior valor.

Em uma partida de videogame, um participante deve acertar alvos azuis e evitar os vermelhos. Acertar um alvo azul dá 5 pontos, e acertar um vermelho subtrai 2 pontos do jogador (a pontuação final pode ser negativa).

até o Sol é de 1,5 ⋅ 108 km. Quantas viagens só de ida da Terra até o Sol precisamos fazer para percorrer a mesma quantidade que uma viagem para Plutão? Para medir a capacidade de resfriaa) Escreva uma equação que repremento de um ar-condicionado, mesente a situação usando uma inde-se o volume da sala. Se uma sala cógnita para a quantidade de alvos azuis, uma para os alvos vermelhos tem formato cúbico e sua área de piso e uma para o total do jogador. é de 3,24 m2, quantos m3 ela tem de b) Quais valores as incógnitas do item volume? 1,83 = 5,832 m3 . 4. 240 possibilidades. anterior podem assumir? Para montar um sanduíche, um cliente de uma rede de fast food pode es9. Resolva estes sistemas lineares: colher entre 3 tipos de pães diferen⎧3x – y = 4 tes, 10 tipos de recheios, 4 opções de a) ⎨ x + 2y = 6 x = 2, y = 2 ⎩ queijo e 2 opções de molhos. Quantas ⎧–10x + 4y = 20 ⎨ x = 0, y = 5 possibilidades de sanduíches existem? b) ⎩2x – y = –5 Um sorteio consiste em duas etapas. 10. Resolva as equações: 5. 1 ⋅ 2 = 2 = 1 Primeiro, sorteia-se uma das seis fi6 8 48 24 a) 7x 2 = 28 x = ± 2 leiras de cadeiras ao acaso e, depois, b) –3x 2 = –432 x = ± 12 uma das 8 cadeiras da fileira para de2 c) 10x = 9 000 x = ± 30 cidir o ganhador. José está sentado 11. Considerando as transformações de em uma das cadeiras, e Maria está reflexão, translação e rotação, quais em outra, na mesma fileira. Qual é a podem ter originado esta imagem? probabilidade de um deles ganhar? Reflexão e 2,–32y ...,= z, Dada a sequência an = 3an–1 – 5, a1 = 10 e8.na)=5x rotação. ALEXANDRE R. / M10

pondidos e os dias para respondê-los são diretamente proporcionais (quociente constante): 432 r = 18 30 6. 18r = 432 ⋅ 30 sendo x a quana = 3a – 5, a = 10 e n = 2, 3 ..., determine: n n–1 1 12 960 tidade de alvos = 720 r = a) Os quatro primeiros termos da se- azuis acertados, y 18 a quantidade de quência. 10, 25, 70 e 205. Serão respondidos alvos vermelhos 720 e-mails. b) Construa um fluxograma que per- acertados e z o total de pontos. b) As grandezas velocidade mita determinar seus termos. 8. b) x e y podem ser números naturais apenas, por serem a quantidade de alvos. e tempo são inversamenNÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. 14 | z pode ser um número inteiro, pois a pontuação final do jogador pode ser negatite proporcionais (produto va também. constante): 250 ⋅ 80 = 100 ⋅ t 20 000 = 100 ⋅ t 17. Um exemplo de resposta é: 18. t = 200 a) y = 50 000 + 3 000x Verificar o Qual é a 78 000 A mesma distância será perb) 128 000 = 50 000 + 3 000x → 3 000x = 78 000 → x = = valor de n paridade? corrida em 200 minutos. 3 000 78 000 128 000 = 50 000 + 3 000x → 3 000x = 78 000 → x = = 26 16.Não irão receber o bônus, 3 000 78 000 pois embora tenham aten128 000 = 50 000 + 3 000x 3 000x = 78 000 → x = = 26 n é par n é→ ímpar 3 000 dido os critérios de mediana Precisam ser produzidos 26 lotes. e moda, 4 e 5, respectivamente, a média foi de, apro3n + 1 2n – 2 ximadamente, 3,78, abaixo da média necessária para o bônus (4). 14 | MANUAL DO PROFESSOR

16. Não, pois, embora a mediana seja 4 e a moda seja 5, a média aritmética é 3,78, aproximadamente.

12. b) Sim, pois os triângulos são isósceles e congruentes, portanto, os ângulos da base são congruentes.

12. Observe a imagem:

16. Estes são os resultados de uma pes-

5 cm

y–3

5 cm

12. a) Os triângulos são congruentes por ALA. x = 5 cm e y = 8 cm.

a) Com congruência de triângulos, en-

contre os valores de x e y.

b) Os quatro ângulos marcados

na imagem são congruentes? Justifique. c) O quadrilátero formado pelos dois triângulos é um losango? E um quadrado? Justifique. 13. Sabendo que BE e AD são bissetrizes,

encontre o valor de x. 12. c) Losango sim,

quisa de satisfação de atendimento.

{1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5} Um bônus é dado aos funcionários se: a mediana for maior que 3; a moda das notas for 5; e • a média for maior que 4. Os funcionários receberão o bônus? Justifique. • •

17. Elabore um fluxograma que descreva o

processo para encontrar o valor de an, com n sendo um número natural não nulo, na sequência: Fluxograma.

pois tem os 4 lados de mesma medida. Não ⎧2n – 2, se n é par é possível afirmar se an = ⎨ é um quadrado, pois ⎩3n + 1, se n é ímpar seus ângulos não são necessariamente retos. 18. Leia o texto de um engenheiro sobre x = 135°

15. a) Diretamente proporcional; 720 e-mails.

14. Decida entre verdadeiro ou falso.

a) Saber apenas a medida do lado é

suficiente para a construção de um hexágono regular. V b) No processo de construção do hexágono regular, é necessário construir um ângulo de 45o. F

o custo de produção de uma fábrica e responda à questões: “Atualmente, o custo total de produção é assim distribuído: custo fixo de 50 mil reais, que envolve a manutenção do espaço e os salários dos funcionários. Além disso, cada lote de produtos custa um adicional de 3 mil reais.”

y = 50 000 + 3 000x

a) Escreva uma equação que relacione

o custo total y de produção com a quantidade de lotes produzidos x. b) Quantos lotes geram um custo total 15. Classifique as grandezas em direPrecisam ser produzidos de 128 mil reais? ta ou inversamente proporcionais e 26 lotes. c) Em um plano cartesiano, localize os resolva-os. pontos com abscissas x = 0, x = 1, x = 2 e x = 3. a) Após 18 dias de trabalho, Luana resx = 0, x = 1, x = 2 e x = 3. Gráfico. pondeu a 432 e-mails. No mesmo 19. Um fazendeiro precisa vender no míniritmo, quantos serão respondidos mo o equivalente a 15 000 m2 de proem 30 dias? dução agrícola para não ter prejuízo. b) A distância entre as cidades de São Seu terreno tem um formato retanguPaulo e de Jaboticabal pode ser lar de comprimento 200 m e largura percorrida em 250 minutos a uma 80 m, mas, por conta de fortes chuvas velocidade constante de 80 km/h. e temperaturas mais altas, somente Em quanto tempo a mesma distân38% do terreno pode ser aproveitado. cia seria percorrida a uma velocidaEle terá prejuízo? de constante de 100 km/h? Inversamente proporcional; 200 minutos.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Sim, pois 0,38 × 200 × 80 = 6 080 m2 , menos que os 15 | 15 000 m2 necessários.

19.Calculando a área do terreno:

A = 200 m ⋅ 80 m = 16 000 m2 38% ⋅ 16 000 m2 = 6 080 m2 Como eram necessários, no mínimo, 15000 m2, o fazendeiro terá prejuízo.

Este quadro apresenta o código alfanumérico das habilidades do 8o ano exploradas nesta proposta de Avaliação Diagnóstica.

Questão

Habilidade

EF08MA02, EF08MA05

EF08MA01

EF08MA19, EF08MA21

Exemplo 4 de resposta:

EF08MA03

Verificar o valor de n.

EF08MA03, n é par Qual é a EF08MA22 paridade?

n é impar

EF08MA11

EF08MA06

EF08MA07

EF08MA08

EF08MA09

EF08MA18

EF08MA14, EF08MA18

EF08MA17

EF08MA15, EF08MA16

EF08MA12, EF08MA13

EF08MA25

EF08MA10

EF08MA07

EF08MA04, EF08MA19

y 60000 59000 56000 53000

50000 40000 30000 20000 10000 x 0

15 |

2n –

3n +

TRAJETÓRIA 1 PANORAMA DA TRAJETÓRIA

TRAJETÓRIA 1

EF09MA08

Habilidades de outras disciplinas:

SEVENNINE_79/SHUTTERSTOCK

Habilidades de Matemática: EF09MA01, EF09MA02, EF09MA03, EF09MA04, EF09MA05, EF09MA06,

CHAYANUPHOL/SHUTTERSTOCK

Competências específicas: 1, 2, 4

PETERI/SHUTTERSTOCK

Competências gerais: 1, 6, 7

Geografia: EF09GE02, EF09GE12, EF09GE13 Temas Contemporâneos Transversais: Educação Ambiental Vida Familiar e Social Educação Financeira Sugestão de atividades

Inicia-se uma nova Trajetória, assim como uma etapa importante na vida escolar e pessoal dos estudantes. O 9o ano demarca tanto o encerramento da etapa do Ensino Fundamental quanto apresenta aos estudantes a possibilidade de olhar para um futuro próximo, às “portas” do Ensino Médio. Isso significa que é um momento de olhar para todo o percurso percorrido, conferindo novos significados aos conhecimentos e habilidades já adquiridos, ao mesmo tempo em que se aprendem novas coisas e se desenvolvem outras habilidades. É também momento de pensar a frente e imaginar como toda esta bagagem será utilizada nos anos que virão. Em parte, este processo significa o amadurecimento do olhar do estudante sobre uma série de temas que, de uma maneira ou de outra, já foram discutidos ao longo dos anos anteriores. É com esse olhar que se propõe a pergunta motivadora da Trajetória: Quais os tipos de sustentabilidade? Uma possibilidade para desenvolver esta conversa inicial é organizar os estudantes em grupos, de modo que cada um possa mobilizar seus conhecimentos prévios e formular possíveis definições ou ideias sobres os significados atribuídos 16 | MANUAL DO PROFESSOR

QUAIS SÃO OS TIPOS DE SUSTENTABILIDADE? • O que é sustentabilidade ambiental? • O que é sustentabilidade social? • O que é sustentabilidade financeira?

16 | Trajetória 1

à sustentabilidade. Após uma rodada na qual cada grupo apresenta e argumenta sobre suas ideias, pode-se apresentar uma definição obtida de alguma referência confiável, por exemplo:

Sustentabilidade é um conceito relacionado ao desenvolvimento sustentável, ou seja, formado por um conjunto de ideias, estratégias e demais atitudes ecologicamente corretas, economicamente viáveis, socialmente justas e culturalmente diversas.

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A sustentabilidade serve como alternativa para garantir a sobrevivência dos recursos naturais do planeta, ao mesmo tempo que permite aos seres humanos e sociedades soluções ecológicas de desenvolvimento. FONTE: HTTPS://WWW.SIGNIFICADOS.COM.BR/SUSTENTABILIDADE/; ACESSO EM: 5 AGO. 2022.

A partir da leitura coletiva da definição de sustentabilidade é interessante retomar as ideias apresentadas previamente pelos estudantes, de modo a contrapor ou complementar a definição

VACLAV VOLRAB/SHUTTERSTOCK

CONTEÚDOS DA TRAJETÓRIA Passeio 1 – Conjuntos numéricos

• Conjuntos numéricos • Números irracionais • O conjunto dos números reais

Passeio 2 – Operações com potências e raízes

• • • •

Potenciação Notação científica Radiciação Operações com raízes

Passeio 3 – Sequências e porcentagens

• Porcentagens • Acréscimos e decréscimos • Sequências LUPAS E LUNETAS

Desde o início de sua história, o ser humano busca soluções para atender às suas necessidades e resolver seus problemas, tornando a vida mais confortável. Para isso, ao longo do tempo, a humanidade criou muitos objetos, ferramentas e equipamentos, utilizando-se de diferentes recursos e materiais. Tanto em uma colher como em um aparelho de televisão há tecnologia. A tecnologia está presente até nas primitivas armas feitas de pedra. Onde houver um produto humano, em que um recurso natural foi utilizado buscando solucionar um problema ou aperfeiçoar uma solução, há tecnologia.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Reflita sobre as questões apresentadas anteriormente e considere-as para elaborar outras perguntas de sua própria autoria. Publique suas perguntas no mural da sala de aula e aprecie as perguntas dos colegas.

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anterior e, coletivamente, obter uma definição “da turma” para a noção de sustentabilidade. É interessante que esta definição “da turma” possa estar sempre visível ou escrita em algum lugar de fácil acesso aos estudantes, uma vez que ao longo da Trajetória serão apresentadas situações-problema e convites à reflexão que abordarão diferentes aspectos da sustentabilidade. Nesse sentido, é importante que os estudantes retomem a definição elaborada tanto como ponto de partida, tanto de modo a complementar e revisá-la. Ao final da Trajetória, é interessante retomar a definição de

Incentive os estudantes a pesquisar ações sustentáveis que já foram aplicadas em diversas escolas do Brasil e propor novas ideias. Alguns resultados possíveis para a pesquisa são: eliminar o desperdício de água, economizar energia elétrica, criar um sistema de reciclagem do lixo, reutilizar materiais recicláveis, programas de plantio de árvores na comunidade, reduzir o uso do papel etc. Ouça a proposta dos estudantes e, se possível, leve as ideias à direção escolar para aplicações futuras. Após ouvir os grupos e refletirem sobre os impactos das ações, oriente-os na produção do mural.

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modo a relembrar como a própria turma amadureceu na compreensão da ideia. Nesse momento, é interessante acrescentar outra camada de reflexão, buscando identificar de que maneira as habilidades e conhecimentos matemáticos explorados ao longo da Trajetória podem ser utilizados no cotidiano com vistas a promover preceitos ligados à ideia de sustentabilidade.

17 |

PASSEIO 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS O QUE É SUSTENTABILIDADE AMBIENTAL? PETERI/SHUTTERSTOCK

tivas dos estudantes e procurem chegar a uma estimativa consensual. Compare as estimativas dos estudantes com medidas de “grandes” reservatórios que eles possam visualizar como a caixa-d’água da escola, por exemplo, para refutar valores muito pequenos que tenham surgido como possibilidades. Também é possível utilizar objetos da própria figura como referência (por exemplo: a largura das vias ou o tamanho do prédio ao centro). b) Espera-se que os estudantes encontrem um valor próximo a 3 para estimar a razão entre os perímetros e os diâmetros das circunferências consideradas. No entanto, esse valor pode não ser atingido se as estimativas anteriores forem inadequadas. Neste caso, aproveite para discutir sobre os conceitos de precisão e de aproximação.

18 | MANUAL DO PROFESSOR

Essa imagem é de uma estação de tratamento de esgoto. Algumas indústrias também tratam o esgoto produzido antes de dispensar a água utilizada em seus processos. Assim, a água retorna à natureza mais livre de substâncias que possam prejudicar os componentes dos ambientes.

CHECK-IN Observe os grandes reservatórios da estação de tratamento de água da imagem. Nas questões, considere a vista aérea das bordas dos reservatórios como circunferências: a) Sem realizar cálculos, estime a medida, em metros, do diâmetro e do perímetro

(ou comprimento) de uma dessas circunferências.

b) Lembrando que a relação entre perímetro (P) e diâmetro (D) de uma circunferência

pode ser dada por P = πD, obtenha uma aproximação para o número P = πD(pi) utilizando as medidas que você estimou anteriormente. Compartilhe sua resposta com os colegas. c) O número P = πDpossui infinitas ordens decimais e não apresenta período: 3,1415926535897... A aproximação que obteve no item anterior ficou próxima a esse valor? Qual colega obteve a melhor aproximação? Respostas pessoais. 18 | TRAJETÓRIA 1

c) Compare as diversas aproximações obtidas para o número π, mas ressalte que o número π não pode ser expresso como uma razão de inteiros (é um número irracional).

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ARREDORES

Números racionais

NÚMEROS REAIS

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Números irracionais

História da escrita numérica

Reta numérica

EF09MA01, EF09MA02 EF09GE02

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: • • • • •

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ATMOSFERA Converse com eles sobre como os conhecimentos matemáticos podem auxiliar no desenvolvimento de uma educação sustentável. É possível trabalhar essas atividades em parceria com o professor das áreas de Geografia. Atividade 1

Discuta a definição de Educação para o Desenvolvimento Sustentável (EDS) apresentada no texto. A principal mudança apresentada no texto e incluir questões-chave sobre o desenvolvimento sustentável no ensino e na aprendizagem.

ATMOSFERA Educação para o desenvolvimento sustentável METAMORWORKS/ SHUTTERSTOCK

Encontro com outras disciplinas (EF09GE02) Analisar a atuação das corporações internacionais e das organizações econômicas mundiais na vida da população em relação ao consumo, à cultura e à mobilidade.

Com uma população mundial de mais de 7 bilhões de pessoas e recursos naturais limitados, nós, como indivíduos e sociedades, precisamos aprender a viver juntos de forma sustentável. Precisamos agir de forma responsável com base no entendimento de que o que fazemos hoje pode ter implicações futuras para a vida das pessoas e para o planeta. A educação para o desenvolvimento sustentável (EDS) contribui para mudar a forma como as pessoas pensam e agem para alcançarmos um futuro sustentável. A EDS significa incluir questões-chave sobre o desenvolvimento sustentável no ensino e na aprendizagem. Isso requer mudanças profundas no modo que

EDUCAÇÃO para o desenvolvimento sustentável. UNESCO. Disponível em: https://pt.unesco.org/fieldoffice/brasilia/ expertise/education-sustainable-development. Acesso em: 8 set. 2022.

ODS 11: “Tornar as cidades e os assentamentos humanos inclusivos, seguros, resilientes e sustentáveis” [...] Os avanços da mundialização econômica (com impactos nos padrões de produção, consumo e trabalho), a revisão dos modelos de modernização e desenvolvimento (altamente dependentes dos combustíveis fósseis e concentradores de riqueza),

Atividade 3

Reciclar embalagens, andar de bicicleta e utilizar energia de fontes renováveis são exemplos de novos padrões no comportamento dos habitantes das cidades.

dentre outros fatores, deve induzir a busca de novos padrões tecnológicos eficientes e a participação coletiva (dos habitantes das cidades) na proteção ao meio em que vivemos.

GALVÃO, Thiago Gehre. ODS 11: Tornar as cidades e os assentamentos humanos inclusivos, seguros, resilientes e sustentáveis. In: MENEZES, Henrique Zeferino de (org.). Os objetivos de desenvolvimento sustentável e as relações internacionais. João Pessoa: UFPB, 2019. Disponível em: www.editora.ufpb.br/sistema/press5/index.php/ UFPB/catalog/download/581/582/3044-1?inline=1. Acesso em: 8 set. 2022.

Atividade 2

Incluir questões de desenvolvimento sustentável, como os riscos de desastres naturais, a mudança climática e a biodiversidade, no ensino e na aprendizagem.

a educação é frequentemente praticada hoje. Esse esforço educacional irá incentivar mudanças de comportamento que virão a gerar um futuro mais sustentável em termos da integridade ambiental, da viabilidade econômica e de uma sociedade justa para as gerações presentes e futuras. Isso representa uma nova visão da educação capaz de ajudar pessoas de todas as idades a entender melhor o mundo em que vivem, tratando da complexidade e do interrelacionamento de problemas tais como pobreza, consumo predatório, degradação ambiental, deterioração urbana, saúde, conflitos e violação dos direitos humanos, que hoje ameaçam nosso futuro. [...]

ATIVIDADES

2. 3.

Respostas pessoais.

Segundo o primeiro texto, para vivermos o futuro de forma sustentável, devemos realizar mudanças no “modo que a educação é frequentemente praticada hoje”. Converse sobre essa afirmação com os colegas. O primeiro texto apresenta algumas possibilidades sobre como mudar a educação para promover o desenvolvimento sustentável. Cite algumas delas. A busca por novos padrões de consumo, de mobilidade e de comportamentos culturais e tecnológicos tem impactado o cotidiano dos habitantes das cidades. Que comportamentos você tem observado nas pessoas da sua cidade quanto a esses padrões?

20 | TRAJETÓRIA 1

Sugestão de atividade

Alinhe com os professores de Geografia e proponha aos estudantes que respondam à questão: Vocês conseguem relacionar os padrões de consumo e de mobilidade com a sustentabilidade? Exemplos dessas relações são o desperdício de alimentos e os meios de transporte que poluem o ambiente.

20 | MANUAL DO PROFESSOR

Após essa primeira aproximação ao tema, os estudantes deverão um relato comentado Reciclarescrever embalagens, andar de bicicleta e utilizar energia de fontes renováveis são sobre os problemas que no seu dia a dia exemplos depercebem novos padrões no comportamento dos habitantes das cidades. com relação a sua cidade. Esse texto poderá ser um ponto de partida para estudar as organizações internacionais e entender qual é a diferença entre o compromisso individual dos cidadãos, a competência dos governos e instituições, e o campo de atuação da sociedade civil, no que diz respeito à sustentabilidade.

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Habilidade

#Números: evolução da escrita, contagem e ábacos

(EF09MA02) Reconhecer

um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

O desenvolvimento da ideia de número ocorreu na história da Matemática muito relacionado à contagem e à organização de objetos, pessoas e outros elementos da vida cotidiana. A princípio, utilizavam-se pedras, sementes ou até ossos para registrar quantidades. Com o tempo, as comunidades ficaram mais complexas e as quantidades ficaram maiores, sendo necessário desenvolver outras maneiras de contar e registrar.

BABICH ALEXANDER /SHUTTERSTOCK

ARTE / M10

Atualmente utilizamos o sistema de numeração indo-arábico. Veja como a escrita dos números nesse sistema se desenvolveu ao longo da história:

com a invenção da roda. Sua criação não foi voltada para a contagem, apesar de ser classificado como um número natural. Surgiu devido à necessidade de marcar a existência de um elemento neutro/nulo, contribuindo para o aperfeiçoamento do sistema posicional. Um fato histórico é que os hindus faziam operações na areia, traçando colunas para separar as ordens e, quando um número passava de determinada ordem, deixavam a coluna vazia. Por exemplo, o número 502 era representado conforme a imagem.

Evolução na escrita dos símbolos que representam os números. Ilustração dos ábacos: 1. yupana, inca; 2. soroban, japonês; 3. romano; 4. schoty, russo; 5. suanpan, chinês.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Em duplas ou trios, conversem sobre as questões a seguir. a) Quais são as semelhanças e as diferenças entre as maneiras de registrar esses números? b) De que maneira a representação dos números 1, 2 e 3 nos anos 300 a.C. pode ter relação com as primeiras estratégias de contagem relatadas no texto? c) Segundo a imagem, a escrita do número 0 só surge por volta de 500 d.C. Vocês conseguem imaginar o porquê? Pesquisem esse fato em livros ou na internet e compartilhem com os demais colegas.

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LUPAS E LUNETAS a) Algumas representações sofreram poucas mo-

dificações ao longo dos séculos – por exemplo, a do algarismo 9. Enquanto outras sofreram grandes alterações, como a do algarismo 5, que se assemelhava ao atual algarismo 4. b) Espera-se que os estudantes relacionem a representação dos números com as estratégias primárias de contagem, como por exemplo a utilização de ossos para registrar quantidades, visto que para representar uma unidade era

21 |

utilizado apenas um osso, para duas unidades, dois ossos, e assim por diante. c) Faça uma roda de conversa e ouça o resultado da pesquisa dos estudantes. Complemente o debate mencionando que não existe uma datação exata para o surgimento do zero e que para sua criação surgiram muitos obstáculos, visto que os matemáticos e pensadores da época não aceitaram bem a ideia. Porém, o surgimento do zero foi de tal importância que é comparado com o domínio sobre o fogo, ou, ainda, 21 |

(EF09MA02) Reconhecer

um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

LUPAS E LUNETAS As questões desse boxe são oportunas para retomar os conhecimentos sobre conjuntos numéricos, em especial a definição de número racional: todo número que pode ser escrito na a forma b, com a, b ∈ ! e b ≠ 0. Enfatize que os números naturais e os inteiros podem ser escritos dessa maneira. Portanto, o conjunto dos racionais os engloba. • Todo número natural é um número racional, mas nem todo número racional é um número natural. Se julgar adequado, amplie a abordagem explorando a densidade do conjunto dos números racionais. Sugestão de leitura

STEWART, Ian. Os números da natureza: a realidade irreal da imaginação matemática. Rio de Janeiro: Rocco, 1996. O livro apresenta diversas situações a respeito da matemática como ferramenta para entender processos da natureza. Pode ser utilizado para instigar a curiosidade dos alunos apresentando análises do mundo físico. Dentre as diversas situações apresentadas no livro, está a geometria na gota d’agua, que pelo espalhamento da luz forma o arco-íris. Assim, focado principalmente na biologia, Ian Stewart desenvolve sua obra considerando a matemática como a ciência que abstrai padrões da realidade, por meio de postulados, axiomas, relações de dependência etc. Dessa forma, contextualize a importância da matemática ao longo da história da humanidade 22 | MANUAL DO PROFESSOR

#Conjuntos numéricos Conforme a Matemática e a Ciência se desenvolviam, novos conjuntos numéricos foram se mostrando necessários. Além dos números naturais:

|N = {0, 1, 2, 3...},

relacionados justamente à noção de contagem, foram incorporados os números inteiros: ! = {...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3...}, associados à ideia de orientação ou referencial, e os números racionais, ou seja, qualquer número em forma de fração, incluindo aqueles representados na forma decimal com uma quantidade finita de ordens decimais ou infinitas ordens decimais periódicas (dízimas periódicas), envolvidos em questões de medidas: 5 1 1 ! = ...– , –2, –1,0, , , 1, 2, 3, 8,7... 2 3 2 Podemos representar esses conjuntos numéricos em um diagrama de acordo com as relações de inclusão existentes entre eles:

{

}

ALEXANDRE R./ M10

Habilidade

|N ⊂ ! ⊂ ! (lemos: |N está contido em !, que está contido em !).

O conjunto dos números racionais engloba o conjunto dos números inteiros e dos naturais. Da mesma maneira, o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais.

LUPAS E LUNETAS Em duplas ou trios, analisem o diagrama e avaliem se estas afirmações são verdadeiras: a) Todo número natural também é um número inteiro, mas nem todo número inteiro é um número natural. b) Todo número inteiro também é um número racional, mas nem todo número racional é um número inteiro. Ambas as afirmações são verdadeiras. • Elaborem uma afirmação verdadeira, análoga às anteriores, relacionando números naturais e números racionais.

Será que esses são os únicos números ou conjuntos numéricos que existem? Vamos investigar algumas situações que nos ajudarão a ampliar nosso conhecimento sobre os números e os conjuntos numéricos. 22 | TRAJETÓRIA 1

e explicite que os conjuntos numéricos, tal como estudamos hoje, são resultados de muitos anos de estudo e pesquisa.

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#Números irracionais A humanidade utiliza o meio ambiente a seu favor de modo a se desenvolver. Onde hoje existem grandes centros urbanos, ou até mesmo pastos e plantações, um dia já foi mata nativa. Um dos objetivos da sustentabilidade ambiental é encontrar maneiras de promover condições para a produção do que a humanidade necessita, ao mesmo tempo que o próprio meio possa se recuperar ou se manter. Na agricultura, por exemplo, uma das maneiras para fazer isso é evitar o plantio de uma única espécie. Considere uma situação em que um grande terreno de forma quadrada será utilizado para o plantio de quatro diferentes tipos de vegetais e hortaliças. Vamos representar a superfície desse

FOTOKOSTIC/SHUTTERSTOCK

terreno pelo quadrado ABCD, cujas diagonais AD e BC se cruzam no ponto E.

Plantação de soja.

Considerando que a medida do lado desse quadrado é ℓ, podemos calcular a área de sua superfície como: Áreaquadrado = ℓ 2 Note que o quadrado ABCD também é composto de 4 triângulos retângulos congruentes, todos com o ângulo de 90o no ponto E. Assim, podemos também calcular a área da superfície desse quadrado adicionando a área das superfícies dos quatro triângulos: Áreaquadrado = 4 ⋅ Área triangulo ^

Para calcular a área desses triângulos, precisamos considerar que as diagonais AD e BC do quadrado têm a mesma medida, a qual chamaremos de d. No caso do quadrado, o ponto E dd AE, BE, BE, CE CE ee DE DE por divide as diagonais ao meio. Assim, podemos expressar as medidas de AE, por . 22 Por serem triângulos retângulos, a área de cada triângulo pode ser calculada por: d d ⋅ 2 2 = d Área triangulo = 2 2 8 Assim, Áreaquadrado = 4 ⋅ Área triangulo , ou seja: ^

Áreaquadrado = 4 ⋅ Sabendo que Áreaquadrado = ℓ 2, temos:

d2 d2 = 8 2

d2 ⇒ d 2 = 2 ⋅ ℓ2 2 Dito de outra maneira, o quadrado da medida do comprimento da diagonal do quadrado é igual ao dobro do quadrado da medida do comprimento do lado desse quadrado. ℓ2 =

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Habilidades (EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade). (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica. TRAVESSIAS Oriente os estudantes em uma pesquisa sobre o fato de a diagonal (d) e o lado do quadrado (l) serem segmentos incomensuráveis. Esta é uma oportunidade para debater os avanços gerados por crises nos fundamentos das ciências. Ressalte que, embora escred vamos l = 2, isso não significa que o número 2 possa ser escrito como razão de inteiros, como, de fato, não pode e, por isso, é um número irracional.

TRAVESSIAS O número 2 Vamos investigar algebricamente a equação d 2 = 2 ⋅ ℓ2 . Organize-se em duplas ou trios para esta atividade. •

Como o contexto que originou a equação era geométrico, podemos afirmar que ℓ ≠ 0. É possível afirmar então que ℓ2 ≠ 0. Verifiquem, a partir de exemplos, essa afirmação. Respostas pessoais. Podemos dividir ambos os membros daquela equação por ℓ2: d2 2 ⋅ ℓ2 d2 = ⇒ 2 =2 2 2 ℓ ℓ ℓ Pelas propriedades da potenciação, escrevemos: 2

d2 ⎛d⎞ =2 ⇒ ⎜ ⎟ =2 ⎝ ℓ⎠ ℓ2

d Podemos dizer que a razão ℓ quando elevada ao quadrado resulta em 2. Converse com seus colegas sobre se é possível obter um número racional que, quando elevado ao quadrado, resulte em 2. Não há solução racional para o problema. Não existe um número racional cujo quadrado seja 2. Vamos escrever uma equação equivalente, lembrando que potenciação e radiciação, sob certas condições, são operações inversas e que, pela origem geométrica da equação, d e ℓ são números positivos: •

d = 2 ℓ • Utilizando uma calculadora, obtenha um valor aproximado para a raiz quadrada de 2. Note que há uma limitação do visor da calculadora e só é possível obter algumas

1,4142135623730950488016887242097....

⎛d⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ = 2 ⇒ ℓ

⎛d⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ = ℓ

2 ⇒

ordens decimais. Na verdade, a representação decimal do número 2 possui infinitas casas decimais, sem que se forme um período. Números como esse são denominados números irracionais. Desse modo, dizemos que a razão entre a diagonal e o lado do quadrado corresponde a um número irracional, ou seja, 2. Ou, ainda, que não é possível medir a diagonal do quadrado utilizando a medida do lado como unidade. O número equivalente à raiz quadrada de 2 é um número irracional. Ele não pode ser escrito como uma fração com os dois termos inteiros. Assim como a raiz quadrada de 2, existem muitos outros números que não podem ser escritos na forma decimal finita nem infinita periódica. Um número irracional é um número que possui estas características: • infinitas ordens decimais; • as ordens decimais são não periódicas, isto é, não há uma repetição de

algarismos.

24 | TRAJETÓRIA 1

24 | MANUAL DO PROFESSOR

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Outros números irracionais P = πD O número O número pi – representado pela letra grega P = πD– é, talvez, o número mais “famoso” do conjunto dos irracionais. Ele está associado à razão entre o perímetro de uma circunferência e seu

ARTE/ M10

diâmetro:

Como podemos verificar na imagem, o comprimento do diâmetro “cabe pouco mais de três vezes no perímetro da circunferência, chegando aproximadamente a 3,14 vezes”. Se, na prática,

IGORDABARI/SHUTTERSTOCKION

fosse possível medir precisamente quantas vezes ele cabe, chegaríamos ao número . P = πD

O número pi é uma constante matemática cujo valor é a razão entre a circunferência de qualquer círculo e o seu diâmetro. Composição digital da escrita do seu valor “sumindo” ao infinito, sobre a imagem da Via Láctea. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

25 |

LUPAS E LUNETAS A letra grega π foi adotada como notação para este número usando-se a palavra grega para perímetro: “ περιµετρς ”. [...] O homem persegue a precisão do número π desde a antiguidade, começando pelos egípcios, tendo no Papiro de Ahmes uma aproximação 4 ⎛ 4⎞ 1 para π como ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ou ainda, 3 . [...] No que diz 6 respeito à obtenção do número, estima-se que em 250 A.E.C. Arquimedes obteve uma aproximação de Pi calculando o perímetro de dois hexágonos,

um inscrito e outro circunscrito numa circunferência. Ao aumentar o número de lados do polígono, até chegar aos 96 lados, conseguiu uma aproximação igual a 3,142. [...] E daí em diante, a precisão de π foi só aumentando, principalmente com o surgimento dos computadores, passando de 3 casas decimais a 8 quadrilhões de casas decimais em 2013 pela The Santa Clara University. Atualmente, o número de casas decimais obtidas é de 22.459.157.718.361.

Disponível em: www.ime.unicamp.br/~apmat/numero-pi. Acesso em: 25 ago. 2022.

a) Utilize os dois números presentes no Papiro de Ahmes para aproximar π por números racionais na forma decimal. 4 ⎛ 4 ⎞ ≅ 3,16; 3 1 ≅ 3,17. • Compare-os com os outros valores de π sugeridos no texto. ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 6 b) Utilizando um barbante e uma régua, meça o diâmetro e o comprimento do perímetro de algum objeto de base circular. Divida o perímetro pelo diâmetro e anote o resultado. Compare o resultado com o que você leu sobre o número π no texto. O que observou? Respostas pessoais.

LUPAS E LUNETAS Chame a atenção dos estudantes para a natureza do número π e como é possível classificá-lo como um número irracional. a) Observe a resposta dos estudantes. Comparando as aproximações de π apresentadas no papiro de Ahmes com os resultados de Arquimedes, temos as diferenças: 4 ⎛ 4 ⎞ – 3,142 ≅ 3,161– 3,142 = 0,019 ⎜⎝ ⎟⎠ 3 1 3 – 3,142 ≅ 3,167 – 3,142 = 0,025 6 b) Espera-se que os estudantes encontrem um valor entre 3,1 e 3,2. Pode ser utilizado um software de geometria dinâmica para exemplificar o valor aproximado de π variando o comprimento e o diâmetro da circunferência.

26 | MANUAL DO PROFESSOR

Raízes não exatas de naturais É possível provar que, por exemplo, raízes quadradas de números primos são números irracionais: 2, 3,

5, 7 e

11 são irracionais.

Aliás, raízes de outros índices também são números irracionais, como: 3 2 , 3 3 , 5 11. A razão áurea – O número de ouro A razão áurea é um número irracional cuja origem também possui uma motivação geométrica. Considere dois segmentos cujas medidas sejam a e b:

Dizemos que a e b estão em razão áurea se: a a + b = b a

1+ 5 = 1,6180339887 Quando isso ocorre, essas razões são representadas pelo número irracional ϕ = (phi): 2 ϕ=

1+ 5 = 1,61803398874989484820458... 2

26 | TRAJETÓRIA 1

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Sugestão de leitura

LUPAS E LUNETAS

FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Números irracionais e transcendentes. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1985.

Peça aos grupos que apresentem à turma o resultado de suas pesquisas. É muito conhecida a aplicação da razão áurea nas produções artísticas – por exemplo, nas produções arquitetônicas da Grécia antiga. Pesquise também sobre mitos envolvendo a utilização da razão áurea. Sugira aos estudantes o filme Donald no país da Matemágica, disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=wbftu093Yqk&t=1227s (acesso em: 31 ago. 2022).

VICTORIA KURYLO/SHUTTERSTOCK

Muitas obras arquitetônicas ou artísticas utilizam o número áureo em suas composições, uma vez que se considera que ela cria padrões e proporções mais “agradáveis ao cérebro”, em termos visuais.

Habilidade (EF09MA02) Reconhecer

um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

Atividade 7

Para resolverem essa atividade é esperado que verifiquem, pela representação decimal dos números, que para os itens a, d, e e não há um período de repetição, sendo assim, não podem ser considerados números racionais. Para os itens b e c é possível realizar investigações a respeito dos valores das raízes de 0 e 1, ainda que alterando os índices das raízes.

O Parthenon, localizado na Grécia, é um templo construído por volta de 447 a 433 a.C. Em seu frontispício é possível verificar que a razão entre a largura e a altura se aproxima do número w.

Sugestão de atividade

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Existem muitas outras aplicações ou referências à razão áurea. Em pequenos grupos, pesquisem esse tema e compartilhem com os demais colegas. 5.

0,1428576

ATIVIDADES 0

4. Indique qual dos números é racional e qual é irracional: Irracionais: b, d, f; racionais: a, c, e. a) 0,45454545...

d) 7,07007000700007... e) 4,404140414041... f) 1,45245345445545...

7,07007000700007...

6. O número 3 é racional? Pesquise e anote suas conclusões. A raiz quadrada de 3 é irracional.

terior nela. 3

7 1

numérica: a) w Pb)= πD

ximadamente, os números da atividade an-

8. Represente estes números em uma reta

5. Desenhe uma reta numérica e situe, apro-

qual é irracional. Se necessário, utilize uma calculadora. Irracionais: a, d, e; racionais: b, c.

c) 0,1428576

4,404140414041...

7. Indique qual destes números é racional e

b) 2,1234567891011...

0,45454545... 1,45245345445545... 2,1234567891011...

Sugira aos alunos que façam uso do software “Conjuntos numéricos” do portal da OBMEP, disponível em: https://portaldaobmep.impa.br/index.php/ modulo/ver?modulo=87&tipo=5 (acesso em: 31 ago. 2022).

c) d)

3 4



4 27 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 4

Atividades 5 e 8

Ao propor a atividade, ou na resolução dela, observe que os padrões identificados nos itens são para efeitos didáticos da construção da noção de irracional, uma vez que apenas colocar reticências não garante que o padrão irá continuar, nem que, em algum momento, ele não se revelará uma dízima periódica. Assim, para o exercício, podemos supor a continuidade dos padrões – por exemplo, no item b, o número continuaria com 12131415… e assim por diante.

Nas atividades 5 e 8, pode ser utilizado um software de geometria dinâmica na resolução para uma melhor visualização. Atividade 6

Sugira aos estudantes que utilizem uma calculadora para verificar as primeiras ordens decimais. Pode ser utilizada estratégia algébrica semelhante à da seção Travessias, chegando a conclusão de que não existe um número racional cujo quadrado seja 3. 27 |

#O conjunto dos números reais A união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais forma um novo conjunto numérico: o dos números reais. Chamamos de números reais (!) o conjunto dos números que reúne os números racionais e os números irracionais. 5 5 π π Exemplos de números reais: 3π; e; 39; 39; ϕ. ϕ. 3π; 0; 0; –10; –10; 5 5+ + 3; 3; 2; 2; 14,5; 14,5; 2,3 ;; e; 2,3 O conjunto dos números reais (!) inclui o conjunto dos números naturais (|N), dos inteiros (!), dos racionais (!) e dos irracionais: ALEXANDRE R./ M10

|N ⊂ ! ⊂ ! ⊂ ! e irracionais ⊂ !.

LUPAS E LUNETAS Estudantes podem encontrar a fórmula da determinação 3 da altura, h = l ⋅ . Discuta 2 que a razão entre a altura do triângulo e seu lado será sempre um número irracional. Peça que os estudantes pesquisem o significado de “incomensurável” e pergunte-lhes se o lado de medida l do triângulo equilátero ABC e a altura de medida h são segmentos incomensuráveis. A demonstração necessita do Teorema de Pitágoras, o qual será trabalhado posteriormente. Atividade 9

Solicite que os estudantes escrevam também em ordem decrescente, utilizando o sinal de maior: 5 8 5>π > > 6 > 3 > > – 0,2. 2 5

LUPAS E LUNETAS Pesquise se é possível determinar a medida h da altura de um triângulo equilátero utilizando a medida do lado ℓ do triângulo. O que é possível afirmar sobre a razão entre a medida h e a medida ℓ? Não é possível medir a altura h utilizando ℓ como unidade de h 3 medida, ou seja, ℓ = 2 é um número irracional.

–0,2; ATIVIDADES

8 ; 5

3; 6;

5 π; 5. 2 11. b) A explicação deve considerar o intervalo real entre 7 e 8.

9. Coloque em ordem crescente os números

11. Leia e responda:

5 8 reais: 6; 2 ; 5; 3; 5 ; –0,2; π. 10. Considerando os conjuntos||N, !, " e #, escreva a quais deles pertencem os números: |N, !, " e #. a) –5 !, " e #. c) 10 e) w !. b) 3,45 ! e ". d) 5 !. f) –7,064

a) Em uma reta numérica, entre quais dois

! e ".

11. a) Entre 7 e 8, já que 55 está entre 49 = 7 2 e 64 = 82 . É um número irracional, pois é uma raiz não exata.

números inteiros estaria o número 55? Trata-se de um número racional? b) Explique seu raciocínio para um colega. c) Dê exemplos de outros dois números irracionais explicitando entre quais dois números cada um se encontra. 7 está entre e 3. Exemplo de 2resposta: 19 está entre 4 e 5.

28 | TRAJETÓRIA 1

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 10

Se julgar necessário, retome as relações de inclusão entre os conjuntos numéricos expressas pelo diagrama de Euler-Venn. Atividade 11

55 está entre 7 e 8, pois 55 está entre 49 = 7 2 e 64 = 82 . 55 é um número irracional, é uma raiz não exata. Incentive o uso da calculadora nessa atividade, para determinar outras aproximações de 55. 28 | MANUAL DO PROFESSOR

11. c) Exemplo de resposta: 7 está entre 2 e 3.

19 está entre 4 e 5.

LEVO NA BAGAGEM

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Consulte todas as suas produções até agora neste passeio e avalie seu aprendizado sobre: ▶ Matemática • Consegue reconhecer que há segmentos de reta cuja medida não pode ser escrita como um número racional? • Sabe identificar diferentes conjuntos numéricos e suas características? • Consegue reconhecer um número racional e suas diferentes representações? • Consegue reconhecer um número irracional e suas diferentes representações? • Sabe ordenar e localizar números reais diversos em uma reta numérica? ▶ Outras disciplinas Geografia • Consegue refletir sobre as condições ambientais e os impactos na vida da população em relação ao consumo, à cultura e à mobilidade? Anote seu parecer para essas questões no caderno e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre seu próprio aprendizado enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, classificarão seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

29 |

BARCOS E PORTOS

Organize

▶ Organize Respostas pessoais. Agora que você percorreu todo este passeio, faça uma lista de conceitos que aprendeu nele, junto com uma frase ou pequeno parágrafo explicando cada um deles. Comece consultando o mapa mental que está na seção Arredores. Depois, reveja as anotações e atividades que fez ao longo do passeio. Para cada conceito novo, faça uma nova entrada na lista.

Elabore

a) Após terminar, explique cada um dos conceitos para outro colega e peça que ele

explique os conceitos que ele compreendeu para você, assim, um completa a lista do outro com aquilo que ainda falta e explica o significado completado. b) Depois de preenchidas, destroquem as listas e, caso algum conceito ou ideia não tenha ficado claro, peçam auxílio ao professor ou pesquisem juntos para corrigir isso. ▶ Elabore Olívia começou a pensar em situações nas quais cada um dos conjuntos numéricos da Matemática seria útil. Ela analisou as situações e, em seguida, explicou suas conclusões. Para medidas de andares em que um elevador pode parar, Olívia pensou no conjunto dos números inteiros. • Para a quantidade de alunos no colégio, ela decidiu que o conjunto dos números naturais é o mais indicado. • Para expressar a temperatura em um termômetro digital, ela escolheu o conjunto dos números racionais. • Para o comprimento da diagonal de um cubo, achou melhor escolher o conjunto dos números reais. a) Explique para um colega o que você entendeu das conclusões de Olívia. b) Poderíamos ter colocado como resposta o conjunto dos números reais em todas as situações? Explique. c) Poderíamos ter colocado como resposta o conjunto dos números inteiros em todas as situações? Explique. d) Pense e escreva outras situações em que a seleção do conjunto numérico pode ser importante e compartilhe com os colegas. •

NEW AFRICA/SHUTTERSTOCK

ANGELLODECO/SHUTTERSTOCK

Solicite que os estudantes elaborem exemplos de usos dos números no cotidiano similares aos de Olívia. A adequação dos números aos contextos apresentados fornecerá valiosas informações sobre a compreensão dos estudantes a respeito dos conjuntos numéricos. Note que, como o conjunto dos números reais inclui os demais conjuntos estudados, ele pode ser resposta em todas as situações.

PROSTOCK-STUDIO/SHUTTERSTOCK

Auxilie os estudantes nessa retomada dos conceitos estudados no passeio de modo que avancem ao próximo passeio com segurança.

Diversas situações envolvendo medidas representadas por números de diferentes conjuntos numéricos. 30 | BARCOS E PORTOS

30 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

▶ Proponha A pergunta inicial deste passeio é: O que é sustentabilidade ambiental? Vamos relembrar o conceito de sustentabilidade ambiental? Veja uma possível definição: Sustentabilidade ambiental é o uso responsável de recursos naturais de modo a suprir as demandas das gerações atuais e garantir que estes continuem existindo para que as futuras gerações também possam usufruir deles.

ARMANDINHO, DE ALEXANDRE BECK/ACERVO DO CARTUNISTA

Agora, leia a tirinha:

BECK, Alexandre. Armandinho. Tiras Armandinho.

a) Em pequenos grupos, conversem sobre as relações entre a definição de sustenta-

bilidade ambiental e a tirinha. b) De que maneira as crianças e os jovens das gerações atuais podem agir para garantir

a existência dos recursos naturais quando forem adultos? Estas são algumas ações que podem ser adotadas no ambiente escolar de modo a promover a sustentabilidade ambiental: •

Reduzir o desperdício de água.

•

Cultivar uma horta coletiva.

•

Instalar recipientes para separação dos resíduos úmidos e secos (material reciclável).

•

Reduzir o consumo de papel.

Proponha

Retome a questão norteadora do passeio, O que é sustentabilidade ambiental?, e as conversas sobre o papel do jovem na conscientização dos mais próximos – família, amigos, comunidade local – e dos mais distantes – governantes, congressistas etc. – sobre a questão da preservação do meio ambiente e a promoção de práticas de sustentabilidade. Para abordar a atuação de grandes organizações, você pode sugerir uma pesquisa sobre a Agenda 2030 e os Objetivos do Desenvolvimento Sustentável, ou ainda sobre ESG, sigla em inglês para governança ambiental, social e corporativa.

Pesquise mais sobre essas ações: como elas ajudam a promover sustentabilidade ambiental? Algumas delas já ocorrem em sua escola? De que maneira você e os colegas podem implementar essas ou outras ações de promoção da sustentabilidade ambiental? Como essas ações se conectam com iniciativas mundiais? c) A integração mundial pela busca de uma consciência ecológica e por estraté-

gias de sustentabilidade pode trazer que consequências ao espaço do seu convívio local? Como você se sente participando dessa mundialização das práticas de sustentabilidade?

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

31 |

PASSEIO 2 – OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS E RAÍZES O QUE É SUSTENTABILIDADE SOCIAL? CHAYANUPHOL/SHUTTERSTOCK

Habilidades (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários. (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações. CHECK-IN a) A operação de potenciação

é uma multiplicação de fatores iguais e a potência é o produto resultante. O fator e a quantidade de vezes que ele será multiplicado reiteradamente são definidos pela base e pelo expoente. b) Esse item trata de operações inversas, isto é, se elevarmos qualquer número real não negativo (positivo ou nulo) ao quadrado e, em seguida, extrairmos a raiz quadrada, o resultado será o número inicial. Seja a ∈ !+,

a2 = a. Note que

para a ∈ !, a2 = |a|. c) 10 000 000 = 107 .

A sigla ESG vem do inglês Environmental (Ambiental, E), Social (Social, S) e Governance (Governança, G). No Brasil, usamos a sigla ASG.

CHECK-IN As operações numéricas são relacionadas e organizadas segundo alguns princípios. Responda: Respostas pessoais. a) Você sabe o que é uma potência? E uma raiz?

b) O que acontece se elevarmos um número real positivo ao quadrado e, em seguida,

extrairmos sua raiz quadrada? E qualquer número real?

c) Sabe escrever 10 000 000 como uma potência de dez?

32 | TRAJETÓRIA 1

32 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ARREDORES

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

POTÊNCIAS E RAÍZES

Operações

Números reais

Problemas

EF09MA02, EF09MA03, EF09MA04 EF09GE02, EF09GE13

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: • • • • • •

Calcular o valor de uma potência com expoente racional. Efetuar operações com potências e raízes de diferentes expoentes e índices, fazendo as adaptações necessárias para a efetuação do cálculo. Conhecer e aplicar as propriedades da potenciação no conjunto dos números reais. Escrever e analisar números escritos em notação científica, fazendo arredondamentos quando necessário. Refletir sobre as condições ambientais e os seus impactos na vida da população em relação ao consumo, à cultura e à mobilidade. Refletir sobre o problema da desigualdade mundial em relação ao acesso aos recursos alimentares e à matéria-prima.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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ATMOSFERA O que é sustentabilidade social? MONGTA STUDIO/SHUTTERSTOCK

Encontro com outras disciplinas (EF09GE13) Analisar a importância da produção agropecuária na sociedade urbano-industrial ante o problema da desigualdade mundial de acesso aos recursos alimentares e à matéria-prima. ATMOSFERA Atividade 1

Trata-se, segundo o texto, da distribuição de renda com redução das diferenças sociais, principalmente para a população de baixa renda, e da melhoria da qualidade de vida. Atividade 2

A expressão refere-se à união de três conceitos fundamentais (no caso, social, ambiental e financeiro) que, em harmonia, alavancam os resultados para uma organização/sociedade mais sustentável. Atividade 3

Segundo o texto, alguns exemplos de tensões são: escassez sazonal, crescimentos populacionais e decréscimos de recursos naturais. As situações de choque são: incêndios, inundações e epidemias. Sugestão de atividade

Convide o professor de Geografia para juntos desenvolverem uma aula sobre a produção agropecuária do Brasil. Identifique os conhecimentos prévios dos estudantes e, em seguida, proponha uma investigação sobre os dados reais. Peça que pesquisem sobre os principais produtos, formas de produção e questões socioambientais associadas, expondo os resultados da investigação com o auxílio de tabelas e gráficos. Dos principais produtos agropecuários do Brasil, cabe destaque para: a cana-de-açúcar, o café e a laranja, dos quais somos os 34 | MANUAL DO PROFESSOR

As ideias de sustentabilidade aplicadas aos conceitos de governança ambiental, social e corporativa do meio ambiente. Mão sobrepondo cubos de madeira com símbolos de sustentabilidade.

A sustentabilidade social é definida, basicamente, como a distribuição de renda com redução das diferenças sociais, principalmente para a população de baixa renda, e melhoria da qualidade de vida. Ela faz parte do tripé da sustentabilidade, que também é constituído pela sustentabilidade econômica e ambiental. Esse conceito se refere ao tratamento do capital humano dentro de uma empresa ou uma sociedade. [...] A sustentabilidade social está vinculada ao padrão estável de crescimento e à melhor distribuição de renda, com redução das diferenças sociais. [...] A sustentabilidade social se refere não somente ao que o ser humano pode ganhar, mas como pode ser mantida sua qualidade de vida de acordo com as necessidades humanas.

A sustentabilidade de indivíduos, grupos e comunidades está sujeita a tensões e choques. [...] As tensões são tipicamente contínuas e cumulativas, previsíveis e dolorosas, como escassez sazonal, crescimentos populacionais e decréscimos de recursos naturais, enquanto choques são eventos tipicamente súbitos, imprevisíveis e traumáticos, como incêndios, inundações e epidemias. Qualquer definição de sustentabilidade tem de incluir a habilidade para evitar, ou mais comumente resistir, a essas tensões e choques, ou seja, a resiliência do grupo. Logo, é preciso ter responsabilidade social, noção sobre a necessidade de preservação do meio ambiente e manutenção do bem-estar das comunidades. [...]

O QUE É sustentabilidade social? Ecycle. Disponível em: www.ecycle.com.br/sustentabilidade-social. Acesso em: 25 ago. 2022.

ATIVIDADES

1. 2. 3.

Respostas pessoais.

Com suas palavras, escreva o que significa sustentabilidade social. O texto cita o “tripé da sustentabilidade”. O que isso significa? Segundo o texto, a ideia de sustentabilidade tem de incluir a habilidade para evitar ou resistir a certas tensões e choques. Explique quais seriam essas tensões e choques.

34 | TRAJETÓRIA 1

maiores produtores mundiais; a soja, o fumo e a carne bovina – encontramo-nos na 2a posição internacional; e o milho, produto em que o Brasil é o 3a país em volume de produção anual (disponível em: https://mundoeducacao.uol.com.br/geografia/ agropecuaria-no-brasil-principais-produtos.htm/. Acesso em: 31 ago. 2022).

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Plano de ação:

#Potenciação com expoente natural

Ações propostas ATSTOCK PRODUCTIONS/SHUTTERSTOCK

Um dos desafios da sustentabilidade se relaciona à produção e à distribuição de alimentos.

Como encaminhar Pessoas envolvidas Materiais necessários Prazo para a realização Resultados esperados

Garantir alimentos de qualidade e também sua distribuição equitativa são desafios da sustentabilidade social.

Uma vez que a questão social é um dos pilares da sustentabilidade, é fundamental não só que a produção de alimentos se baseie na sustentabilidade ambiental como também encontre estratégias para que toda a população mundial tenha acesso a essa produção de alimentos. Ou seja, não é necessário só produzir alimentos, mas também garantir sua distribuição equitativa.

Feito o plano de ação, os participantes engajam-se em sua realização.

ALEXANDRE R./ M10

A sustentabilidade social também se relaciona à noção de coletividade. Considere uma situação hipotética na qual, em uma comunidade de agricultores, uma pessoa distribui sua produção entre outras duas pessoas. Cada uma dessas pessoas distribui para outras duas pessoas e assim por diante:

Assim, partindo de uma pessoa, na primeira distribuição, duas pessoas foram beneficiadas. Na segunda distribuição, 4 pessoas foram beneficiadas. Seguindo esse mesmo raciocínio, na próxima distribuição, 4 ⋅ 2 = 8 pessoas serão beneficiadas. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

35 |

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

instituições presentes no entorno da escola e comerciantes locais. Após a realização do estudo do Convide toda a comunidade escolar para se meio na escola e em seu entorno, no intuito de organizar em grupos de trabalho e proponha que identificar aspectos que possam ser configurados identifiquem problemas relacionados à sustentabicomo problemas, promova a troca entre os grupos. lidade social que afetam quem vive, quem convive, Com a lista dos problemas identificados, promova quem estuda e quem trabalha na escola ou em um encontro com toda a comunidade escolar e de seu entorno. É importante que toda a equipe esseu entorno. Apresente os problemas identificados colar esteja envolvida nesta proposta (estudantes, por meio de depoimentos dos estudantes, vídeos funcionários da escola, familiares de estudantes e gravados, fotos ou cartazes. Em seguida, trabalhe outras pessoas que a equipe de gestão considere a ideia de um plano de ação. Por exemplo: relevantes). Além disso, poderá envolver outras 35 |

Habilidade (EF09MA03) Efetuar

Note que podemos escrever as quantidades, nessa situação, utilizando a noção de potenciação:

cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

DISTRIBUIÇÃO BENEFICIADOS

...

(20 = 1)

(21 = 2)

(22 = 4)

(23 = 8)

...

Assim, se considerarmos a enésima distribuição, teremos um número de beneficiados igual

LUPAS E LUNETAS Aproveite o momento para sistematizar e generalizar as propriedades da potenciação. Se julgar conveniente, selecione alguns dos exemplos produzidos pelos estudantes para utilizar nas atividades avaliativas. Alguns exemplos numéricos possíveis: • 34 ⋅ 32 = 36 • 57 ⋅ 53 = 54 • (7 ⋅ 2)4 = 74 ⋅ 24 8 38 ⎛ 3⎞ • ⎜⎝ ⎟⎠ = 8 5 5 • (62 )5 = 610 Atividade 4

As alternativas falsas contêm erros comuns dos estudantes ao aplicarem as propriedades das potências. Retome a precedência das operações (uma potenciação deve ser realizada antes de uma multiplicação, a menos do uso de sinais de associação como os parênteses) e realize os cálculos para comparar resultados. Ressalte que uma operação não pode ter dois resultados diferentes, portanto, um deles não é correto, como acontece no item a: 23 ⋅ 22 = 45 ou 23 ⋅ 22 = 25? Resolvendo: 23 ⋅ 22 = 8 ⋅ 4 = 32 = 25 e 45 = 1 024 ≠ 32 ⋅ 4 = 32 = 2 e 4 = 1 024 ≠ 32 Avalie o desempenho dos estudantes e, se for necessário, faça uma retomada das propriedades em um quadro de síntese com exemplos sugeridos por eles. 5

36 | MANUAL DO PROFESSOR

a 2n, sendo que, nesse contexto, n representa um número natural. Podemos entender a potenciação como uma operação matemática que corresponde a uma multiplicação de fatores iguais. Veja uma definição mais abrangente: Sejam a um número real e n um número natural, então an = a ⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ !##### n vezes

em que a é a base e n, o expoente dessa potenciação.

A potenciação de números reais tem algumas propriedades. Considere a e b números reais e n e m números naturais: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ i am ⋅ an = ⎜ a ⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ ⎟ ⋅ ⎜ a ⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ ⎟ = a ⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ = am+n !##### ⎝ !##### ⎠ ⎝ !##### ⎠ m vezes n vezes m + n vezes i a

÷ a = n

⎛ ⎞ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a ⎝⎜ !######"######$ ⎠⎟ m vezes

⎛ ⎞ ⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ ⎟ ⎜⎝ a !##### ⎠ n vezes

= a ⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ = am–n , sendo a ≠ 0. !##### m – n vezes

i (a ⋅ b)m = (a ⋅ b) ⋅ (a ⋅#" b)############## ⋅ ... ⋅ (a ⋅ b)$ = a ⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ ⋅ b ⋅ b#"⋅ ##### ... ⋅ #b$ = a m ⋅ bm !##### !##### !############# m vezes

m vezes

m vezes %##### #&######' m a a a am a⎞ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a ⎛ i = ⋅ ⋅ ... ⋅ = m , sendo b ≠ 0. = ⎝ b⎠ b ⋅ b#"⋅ ##### ... ⋅ #b$ b b#"#######b$ !b###### !#####

(

m vezes

) (

m vezes

)

(

)

n ⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ ⋅ a ⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ ⋅ ... ⋅ a ⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ = am⋅n !##### !##### !##### i (am ) = a m vezes m vezes m vezes !########################### "########################### $

n vezes

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Elabore um exemplo numérico para cada uma das propriedades da potenciação apresentadas. Em seguida, compartilhe com os colegas.

ATIVIDADES

4. Classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa: a) 23 ⋅ 22 = 45 F

c) 54 ÷ 52 = 52 V

e) (23 )2 = 29 F

( 2 ⋅ 3)2 = 62 V

d) 56 ÷ 52 = 53 F

f) ⎝ 3 ⎠

⎛ 2⎞ = 4 3 F 2

36 | TRAJETÓRIA 1

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

#Potências com expoentes inteiros Podemos definir potenciação para casos em que o expoente é um número inteiro, ou seja, pertencente ao conjunto: ! = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 ...}

(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

Sejam a um número real e n um número natural, então:

Atividade 5

i an = a ⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ !##### n vezes

i a–n =

Associe a potência de expoente –1 (base não nula) ao inverso de um número.

1 1 1 1 ⋅ ⋅ ... ⋅ = n a#"####### a$ a !a###### n vezes

Atividade 6

i a0 = 1, quando a ≠ 0

Observe se os estudantes notam o padrão da sequência, associando a redução de uma unidade no expoente com a redução dos valores à metade nos resultados e com o inverso das respectivas potências com expoentes positivos (por exemplo, 1 2–5 = (25 )–1 = 5 ): 2 22 , 21 , 20 , 2–1 , 2–2 , 2–3 , 2–4 , 2–5 , 2–6 , 2–7

Observe alguns exemplos em que o expoente é um número negativo: 1 1 i 3–1 = 1 = 3 3 3 1 1 1 1 1 i 5–3 = (5–1 )3 = ⎛ ⎞ = ⋅ ⋅ = 3 ⎝ 5⎠ 5 5 5 5 4

1 1 1 1 1 4 ⎛ 1 ⎞ i (–2)–4 = ((–2)–1 ) = ⎜ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⎝ (–2) ⎟⎠ (–2) (–2) (–2) (–2) (–2)4 3 i ⎛ ⎞ ⎝ 7⎠

–2

2 ⎛ 3 –1 ⎞ 1 ⎞ 1 1 1 = ⎜⎛ ⎞ ⎟ = ⎛ = ⋅ = 2 ⎜ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎝⎝ 7⎠ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎜⎝ ⎝ ⎠ ⎟⎠ ⎝ 7⎠ ⎝ 7⎠ ⎝ 7⎠ 7

22 , 21 , 20 , 2–1 , 2–2 , 2–3 , 2–4 , 2–5 , 2–6 , 2–7 , 2–8 , 2–9 ...

1 1 1 1 1 1 1 1 4, 2, 1, , , , , , , , Note que, nesse último exemplo, podemos utilizar operações entre frações e escrever ⎛ 3 ⎞ 2 4 8 16 32 64 128 2 ⎝ 7⎠ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 7 4, 2, 1, , , , , , , , , ... = . Assim: como 1 ⋅ 2 4 8 16 32 64 128 256 512 3 3 –2 2 ⎛ 3⎞ = 1 ⋅ 1 = 7 ⋅ 7 = ⎛ 7⎞ Atividade 7 ⎝ 7⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ 3 3 ⎝ 7⎠ ⎝ 7⎠ Retome a precedência das 1 1 1 1 1 , 6. a) 4, 2, 1, , , , operações (uma potenciação 2 4 8 16 32 ATIVIDADES

5. Analise cada sentença como verdadeira ou falsa. 1 10–1–1 ! ! 1 1 Verdadeira. 10 101 10 1 10–1–1 !! 1 –1 Falsa. II. 10 10–1 10 1 1011 !! 1–1–1 Verdadeira. III. 10 10 10 1 –1 IV. 10–1 ! Verdadeira. 10

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

6. Observe a sequência: 22 , 21 , 20 , 2–1 , 2–2 , 2–3 , 2–4 , 2–5... a) Determine o valor de cada termo. b) Determine o valor do 12º termo. 2–9 =

1 512

c) Qual termo tem valor de 128 ? O décimo termo.

7. Calcule: 10–1 + 100 × 10–2 – 10–2

deve ser realizada antes das demais operações, a menos do uso de sinais de associação, como os parênteses, ou da aplicação das propriedades; e as multiplicações devem ser realizadas antes das adições e subtrações).

1 10

37 |

b) Seja m = 0. a m : a n = a m–m = a0–n = a–n

TRAVESSIAS

am : an =

1 . an Utilizando as propriedades da potenciação para expoentes naturais, vamos verificar algumas afirmações. Para isso, organize-se em duplas ou trios. Expoente zero e expoente inteiro qualquer

•

Dessas duas afirmac,ões vem: a–n !

Afirmação 1: a0 = 1, quando a ≠ 0. Considere a um número real diferente de zero e m um número inteiro. Pelas propriedades das potências, a m ÷ a m = a m–m . Porém, estamos dividindo um número diferente de zero por ele mesmo.

a) Utilizando essas informações, explique a afirmação a = 1, quando a ≠ 0. 0

b) Verifique, a partir de exemplos, se essa afirmação é válida caso:

a) a

m>0

TRAVESSIAS

b) Sim, é válida.

a) Pela propriedade de di-

Atividades 8 a 12

É comum, nesta etapa, os estudantes multiplicarem a base pelo expoente. Retome com eles as noções de potenciação para que não cometam esse erro.

38 | MANUAL DO PROFESSOR

: a m = a m–m = a0

am : am =

am a = ⎛ ⎞ = 1m = 1 ⎝ a⎠ am m

am m n m–n e a0 = 1. Pelas propriedades das potências, a n = a ÷ a = a 1 –n Utilizando essas informações, explique a afirmação a = a n quando a ≠ 0. 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , 11. b) 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000

ATIVIDADES

Calcule:

27 Sequência I: 101 , 102 , 103 , 104 , 105 , 106 , 107 ⎛ 2⎞ 8 c) ⎝ 3 ⎠ Sequência II: 10–1 , 10–2 , 10–3 , 10–4 , 10–5 , 10–6 , 10–7 1 1 b) 10–4 d)–1(–4)–2–5 – –3 –4 –5 –6 10000 10 , 10 , 101024 , 10 , 10 , 10 , 10–7 Utilize as propriedades da potenciação a) Determine o valor de cada termo

11. Observe estas sequências.

a) (0,5) 0,25 2

Afirmação 2

Basta aplicar as propriedades da potenciação para associar o expoente negativo ao inverso do número, utilizando as propriedades da divisão de potências com m = 0: a0 1 a − n = a0–n = a0 ÷ a n = n = n a a ou 1 a–n = (a n )–1 = n a

m<0 m=0

1 –n ou seja: a0 = 1 • Afirmação 2: a = n , quando a ≠ 0. a Considere a um número real diferente de zero e m e n números inteiros.

Afirmação 1

visão de potências com mesma base, temos que a m ÷ a m = a m–m = a0 . Com a ≠ 0, temos que a m ≠ 0 e, portanto, a m ÷ a m = 1. Por conseguinte, 1 = a0 . b) Em todos os casos, a afirmação do item a é verdadeira.

am a0 1 = n = n n a a a

e calcule:

5 = 25 1 3–3 = b) 3–4 ⋅ 32 ⋅ 3–1 27 1 –5 c) 82 ÷ 87 8 = 32768 1 d) 2–4 ÷ 2–5 2 = 2 1 e) (3 ⋅ 7)–1 21–1 = 21 1 f) (4–2 )3 4–6 = 4096 –5 –2 a) 5

⋅ 5

–2

–3

11. c) Resposta possível: os pares de termos correspondentes são inversos entre si.

g) (10 )

1010 = 10 000 000 000

10. Calcule cada potência: a) (1039 ⋅ 754)0 1 b) (3–1 )–1 3 c) (479–1 )0 1 d) (150 )–1 1 11. a) 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, 1 000 000, 10 000 000. 38 | TRAJETÓRIA 1

da sequência I. b) Determine o valor de cada termo da

sequência II. c) Ao comparar os pares de termos

correspondentes das duas sequências, que relação você percebe entre cada par? d) Qual será o décimo termo em cada

1 10000000000 . 12. Determine o valor de cada expressão. 1 3 a) 10 × 0,1 = 100 b) 10 b) 10–3 × 100 = uma das sequências?

I: 1010 = 10 000 000 000 II: 10–10 =

c) (10

–3

÷ 10–8 ) ÷ 10–6 ÷ 109 ÷ 105 =10–3 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

#Notação científica

MARK GUSEV/SHUTTERSTOCK

Outro grande desafio para a sustentabilidade social é a redução das desigualdades sociais. Utilizando o dólar estadunidense como padrão, a Organização das Nações Unidas (ONU) verificou que cerca de um terço das pessoas do planeta (ou seja, aproximadamente 2,6 bilhões de pessoas) vive com menos de 1 dólar por dia. Por outro lado, o número de pessoas bilionárias representa apenas 0,00003335% da população mundial. Por si só, isso já é um indicador da desigualdade social no planeta, mas vamos entender melhor o “tamanho” dessa desigualdade.

Desigualdade habitacional: um ponto de vista.

Imagine que uma pessoa receba exatamente 1 dólar por dia e não gaste nada. Quantos anos ela levaria para acumular 1 bilhão de dólares? Se ela acumula 1 dólar por dia, então levaria 1 bilhão de dias. Considerando 1 ano como 365 dias, para saber quantos anos correspondem a 1 bilhão de dias, podemos realizar a operação: 1000 000 000 ÷ 365 ≅ 2739726

Se possível, desenvolva o tema em parceria com o professor da área de Geografia. Você pode ampliar a proposta e criar um projeto na escola chamado “ONU Estudantil”. A ideia é simular uma seção da ONU para debater e levantar propostas de intervenção a fim de extinguir a desigualdade social no mundo, pensando, em especial, no Brasil e na comunidade de sua unidade escolar. Cada turma ou grupo representa um paíse deve haver os interventores e o responsável por conduzir a sessão. Sugira que leiam sobre os Objetivos do Desenvolvimento Sustentável da ONU e sobre a reunião da Agenda 2030.

Ou seja, essa pessoa levaria cerca de 2 739 726 anos para acumular 1 bilhão de dólares. Se voltarmos esse número de anos ao passado, chegaríamos a um tempo em que os seres humanos nem existiam!

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Converse com os colegas sobre essas informações: a) O que vocês acharam dos números apresentados? b) Conseguem imaginar maneiras de reduzir desigualdades desse tipo? • Compartilhe com os colegas.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

39 |

Escrevendo números em notação científica No texto anterior, apresentamos números muito grandes, tais como:

• 1 bilhão ou 1 000 000 000;

• 2,6 bilhões ou 2 600 000 000; • 2 739 726; e também números muito pequenos, como: • 0,00003335% ou 0,0000003335. Uma maneira de representar esses números ressaltando sua ordem de grandeza é utilizando a notação científica.

Notação científica é uma forma de escrever números racionais positivos muito grandes ou muito pequenos como a ⋅ 10b , em que a é um número real maior ou igual a 1 e menor do que 10 e b é um número inteiro.

LUPAS E LUNETAS

Por exemplo:

a) Para 150 000 000, por exem-

• 1000 000 000 = 1 ⋅ 10

9 9 –7 • 2 600 000 000 = 2,6 ⋅ 10 • 0,0000003335 = 3,335 ⋅ 10 plo, observamos que a vírgula está depois do último LUPAS E LUNETAS zero e queremos que ela Observe uma estratégia para representar o número 150 000 000 em notação científica. fique entre o 1 e o 5, pois o Como o número que multiplica a potência de 10 deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10, nesse caso número à frente da notação utilizaremos 1,5. Em seguida, precisamos identificar uma potência de 10 que, quando multiplicada por 1,5, científica é sempre um valor resulte em 150 000 000. Assim: entre 0 e 10. A vírgula deve 150 000 000 = 1,5 ⋅ 108 se deslocar 8 ordens para a a) Converse com os colegas sobre essa estratégia e elabore outro exemplo para utilizá-la. Compartilhe esquerda: com os colegas. Resposta pessoal. 8 8 150 000 000 = 150000000,0 = 1,50000000 × 10 = 1,5 ×b)10No caso de um número entre 0 e 1, é possível pensar em uma estratégia similar? Represente

00000,0 = 1,50000000 × 108 = 1,5 × 108 Um método prático é contar a quantidade de algarismos entre a posição inicial da vírgula e a final que desejamos. Essa quantidade é exatamente o expoente da potência de base 10. Um exemplo possível: 5 2 70 000 !##" ##$ ,0 = 2,7 ⋅ 10 . 5 algarismos

0,000 000 0027 em notação científica. 2,7 × 10–9

Há situações nas quais a escrita em notação científica pode não favorecer a interpretação dos contextos em que esses números estão apresentados. Por exemplo, vamos considerar o número obtido anteriormente: “2 739 726 anos”. Escrevendo em notação científica, teremos “2,739 726 ⋅ 106 anos”. Note que essa representação pode prejudicar, por exemplo, a sua leitura em um texto. Nesse caso, gostaríamos de transmitir a “ideia” de uma quantidade muito grande, sem a necessidade de representá-la com precisão. Podemos então arredondar o número para facilitar sua leitura e interpretação. Por exemplo: 2 739 726 ≅ 2 700 000 = 2,7 ⋅ 106

b) O procedimento é análogo, a

diferença é que o expoente ATIVIDADES deve ser negativo. Façamos o exemplo do 13. Represente em notação científica a quantos 0,0000000027: dias,× aproximadamente, correspondem: 0,0000000027 = 0,0000000027 = 0000000002,7 10–9 = 2,7 × 10–9 a) um milhão de segundos 1,16 ⋅ 101 dias 00027 = 0000000002,7 × 10–9 = 2,7 × 10–9 b) um bilhão de segundos 1,16 ⋅ 104 dias c) um trilhão de segundos 1,16 ⋅ 107 dias Atividade 13

Inicialmente, os estudantes devem transformar a unidade de medida de tempo para dias. Em seguida, devem arredondar o número que representa a medida, para, enfim, escrever como notação científica.

14. Efetue as operações: a) 2,53 ⋅ 10 25,3

d) 2,53 ÷ 10 0,0253

b) 2,53 ÷ 10 0,253

e) 2,53 ⋅ 103 2 530

c) 2,53 ⋅ 10 253 2

40 | TRAJETÓRIA 1

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Como exemplo, observe o item a: 1 000 000 1 000 000 1 000 000 1 000 000 s = min = h= dias 60 60 ⋅ 60 60 ⋅ 60 ⋅ 24 1 ⋅ 106 1 000 000 dias = dias ≅ 0,116 ⋅ 102 dias = 8,64 ⋅ 104 86 400 ≅ 1,16 ⋅ 101 dias Atividade 14

Antes de automatizar o procedimento, garanta que os estudantes compreenderam a multiplicação e a divisão de um número por uma potência de 10. Devem também ser capazes de estimar o resultado: Ele é maior ou menor que o número que está sendo multiplicado ou dividido por 10? 40 | MANUAL DO PROFESSOR

15. Resposta possível: a vírgula se desloca de acordo com a operação (multiplicação ou divisão) e os expoentes da base 10.

15. Observando os resultados do exercício an-

terior, o que se nota com relação à posição da vírgula e ao expoente da potência de 10?

16. Escreva os números em notação científica.

17. Quantos zeros tem o número 1,542 ⋅ 108 se escrito até a ordem das unidades? Cinco zeros.

18. Os números não estão escritos em notação científica. Corrija-os, explicando seu raciocínio

Ao final, arredonde o número: a) 189 000 000 000 1,89 ⋅ 101 1 –1 0 b) 0,000 000 000 13 1,3 ⋅ 10 c) 2 514 378 100 2,5 ⋅ 109 –8 d) 0,000 000 024 789 1 2,5 ⋅ 10 –1 0 e) 0,000 000 000 1 1 ⋅ 10 f) 79 994 000 000 000 000 8 ⋅ 101 6

em cada item: a) 52,3 ⋅ 10–7 5,23 ⋅ 10–6 b) 0,03 ⋅ 1010 3 ⋅ 108 c) 10,2 ⋅ 1012 1,02 ⋅ 1013

Em todos os itens, o coeficiente não era um número entre 1 e 9 (inclusive).

d) 0,0054 ⋅ 10–18 5,4 ⋅ 10–21

#Potências com expoentes racionais: radiciação Vamos relembrar a noção de raiz de um número? Sejam a um número real maior ou igual a zero e n um número natural não nulo, então podemos afirmar que existe um número real b maior ou igual a zero tal que bn = a. Chamamos b de raiz de ordem n de a e podemos representar por: b = na

Perceba que se bn = a e b = n a, então: a ⋅ n a"⋅######## bn = b ⋅ b#"⋅ ##### ... ⋅ #b$ = !n######## ... ⋅ n a$ = !##### n vezes

n vezes

( a) n

Portanto, ( n a ) = a. Ou seja, podemos dizer que, sob certas condições, radiciação e potenn

ciação são operações inversas. Veja alguns exemplos: 25 = 5, pois 52 = 25.

i i

1000 = 10, pois 103 = 1000.

i 10 1024 = 2, pois 210 = 1024.

Habilidades (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica. (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários. (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações. Encontro com outras disciplinas (EF09GE13) Analisar a importância da produção agropecuária na sociedade urbano-industrial ante o problema da desigualdade mundial de acesso aos recursos alimentares e à matéria-prima.

LUPAS E LUNETAS

1,542 ⋅ 108 = 1,542 ⋅ 103 ⋅ 105 = 1 542 ⋅ 105 . Fica claro que serão acrescentados cinco zeros ao O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida que mostra o quanto determinado país ou final do número: 1 542 ⋅ 105 = 154 200 região é desenvolvido em relação a fatores como distribuição de renda e acesso à saúde e à educação. Cada 5 um desses fatores é obtido a partir de pesquisas estatísticas. No ano de 2017, no Brasil, o valor relacionado 1 542 ⋅ 10 = 154 200 000. ao acesso à saúde foi 0,85; o relacionado à renda foi 0,75; e o relacionado à educação foi 0,74. O cálculo do IDH do Brasil nesse ano pode ser realizado da seguinte maneira: IDH = 3 0,85 ⋅ 0,75 ⋅ 0,74 ≅ 0,778

Atividade 18

Em todos os itens, o coeficiente não era um número entre 1 e 9 (inclusive). b) Pesquise pelo IDH dos outros países no ano de 2017. Compare com os valores do Brasil e converse a) 52,3 ⋅ 10–7 = (5,23 ⋅ 101 ) ⋅ 10–7 = 5,23 ⋅ 10– sobre isso com os colegas. Respostas pessoais. –7 1 52,3 ⋅ 10 = (5,23 ⋅ 10 ) ⋅ 10–7 = 5,23 ⋅ 10–6 b) 0,03 ⋅ 1010 = (3 ⋅ 10–2 ) ⋅ 1010 = 3 ⋅ 10 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. 41 | 0,03 ⋅ 1010 = (3 ⋅ 10–2 ) ⋅ 1010 = 3 ⋅ 108 c) 10,2 ⋅ 1012 = (1,02 ⋅ 101 ) ⋅ 1012 = 1,02 ⋅ 1013 12 1 10,2 ⋅ 10 = (1,02 ⋅ 10 ) ⋅ 1012 = 1,02 ⋅ 1013 d) 0,0054 ⋅ 10–18 = (5,4 ⋅ 10–3 ) ⋅ 10–18 = 5,4 ⋅ Atividade 15 em notação científica: analisar a quantidade 0,0054 de ⋅ 10–18 = (5,4 ⋅ 10–3 ) ⋅ 10–18 = 5,4 ⋅ 10–21 Ao multiplicar um fator por uma potência de 10, algarismos entre a posição inicial da vírgula e a o número de ordens decimais alteradas é indicado final que desejamos. Essa quantidade é o expoente pelo expoente da potência. O mesmo ocorre na da potência de base 10, observando apenas se o expoente deve ser positivo ou negativo. Retome a divisão, porém no sentido contrário. ideia de arredondamento para representar a informação de maneira sintética. Atividade 16 a) Cada um dos fatores utilizados no cálculo são números que possuem valor máximo igual a 1. Pensando nisso, qual é o maior valor de IDH possível? Compartilhe com os colegas. 1

Chame a atenção dos estudantes para quando a Atividade 17 vírgula não está escrita no número: ela se encontra Para facilitar, podemos realizar a multiplicação no final, à direita do último algarismo. Em seguida, 8 3 5 5 recorde o método prático para escrever um número da seguinte maneira: 1,542 ⋅ 10 = 1,542 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1 542 ⋅ 10 . 41 |

Radiciação como potência Podemos definir a operação de radiciação como uma potência cujo expoente é um número racional. Sejam a um número real positivo, m e n números inteiros, com n > 0, então: m

a n = n am

Veja alguns exemplos: 1

i 4 2 = 2 41 =

4 =2

4 5

i 10 = 5 104 3

i 3,2 7 = 7 3,23 2

2 2 – 1 5 15 1 1 i 2 5 = (2–1 ) 5 = ⎛ ⎞ = 2 = 2 = 5 2 ⎝ 2⎠ 2 5 5 2 2

ATIVIDADES

19. Calcule as potências:

24. Em uma horta há 13 canteiros. Cada canteiro ⎛ 11⎞

a) 8 2

1 3

b) 9 3 –

c) 4

a) 8 = 8 = 8 = 2 3

2 1 1 – 12 11 1 1 1 2 4 2 = (4–1 ) 2 = ⎛⎜ ⎞⎟ = 1 = 2 1 = 2 = ⎝ ⎠ c) 2 4 4 4 2 4 1 1 2 1 2 12 1 1 1 1⎞2 ⎟ = 1 = 2 1 = 2 = 4 2 4⎠ 4 42 1

3 1 ⎛ 64 ⎞ 3 = 64 3 = 64 = 64 = 4 ⎜ ⎟ 1 3 3 1 d) ⎝ 27 ⎠ 3 27 27 27 3 1 3 3 1 3 64 64 4 = 3 = 1 = 3 3 27 27 1 3 3

e) 2 4

–

h) 2

1 3

–3

4 3

5 2

1 π3

1 32

(8) 3 –32 7

j) π 4

tem 13 tomateiros. Em cada tomateiro há 13 tomates. Quantos tomates existem nessa horta? 133 = 2 197

11 2

π7

20. Qual é o valor da expressão 1

16 2 + 492 – 1692 + 16 4 ? 0

21. Como você efetuaria a operação 91,5 ? Compartilhe sua resolução com os colegas.

22. Calcule: 2

(5 )

3 4 2

1 –6 2

8 0 11

25. Ao meio-dia, 10 jovens receberam um post

inédito enviado por alguém. Às 13h, cada um deles compartilhou esse mesmo post para outros 10, que, às 14h, também compartilharam, cada um, para 10 amigos. Sabendo que cada pessoa compartilhou esse post para exatamente 10 amigos, todos distintos entre si, responda: a) Quantas novas pessoas receberam esse post inédito às 14h? 103 = 1 000 pessoas. b) Prosseguindo dessa maneira, às 17h, quantas pessoas receberão esse post?

(2 ) 8 d) ( 5 ) 1

a) 4 3 ⋅ 4 3 64 b)

2 1 ⎛ 11 ⎞ 2 = 112 = 11 = 11 = 11 1 2 2 1 f) ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 2 4 4 42 1 2 2 1 112 11 11 11 = 2 = 1 = 2 4 2 41 3 42 13 1 ⎛ 1⎞ –3 –1 3 g) π = (π ) = ⎜⎝ π ⎟⎠ = π 3 = π 3 3 13 1 1 )3 = ⎛⎜ ⎞⎟ = 3 = 3 ⎝ π⎠ π π

g) π

1 2

d) ⎝ 27 ⎠

4 4 e) 2 4 = 21 = 2 1

1 2

⎛ 64 ⎞

b) 92 = 2 91 = 2 9 = 3

f) ⎝ 4 ⎠

1 2

Atividade 19

1 2

DIGIHELION/SHUTTERSTOCK

1 3

54 23. Reduza a uma só potência: a) 43 ⋅ 82 46 ou 212 35 –1 b) 272 32 1 73 c) 25 ⋅ 4 5 ⋅ 8 2 2 10

São 6h após o primeiro compartilhamento. Portanto, temos 106 = 1 000 000 pessoas.

21. Basta transformar em 92 = 93 = 3 ⋅ 9 = 27. 42 | TRAJETÓRIA 1

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

12 15 1 1 2 2 = (2 ) = ⎛⎜ ⎞⎟ = 5 = 2 5 = ⎝ 2⎠ h) 32 2 2 2 5 5 2 5 12 1 1 1⎞2 ⎟ = 5 = 2 5 = 12 3 4 Atividade 21 32 2⎠ 6 2 22 5 2 5 2 = 5 = 5 = 56–4 = 52 = 25 5 3 3 3 i) 8 = (8) = 32 768 = 32 Devemos escrever o número racional 1,5 na b) 4 4 5 5 54 7 3 3 3 6 4 7 –6 4 – 1 j) π = π ⎛ 1⎞ = 1 = 1 –3 representação fracionária. Como 1,5 = , temos 2 = 2 = 2 = 2 ⎜ ⎟ 2 c) 2 ⎝ 2⎠ 3 23 8 1,5 3 2 9 = 9 = 9 = 27. que d) Deduzimos que qualquer número não nulo com Atividade 20 8 0 1 1 1 1 expoente zero é igual a 1. Portanto, 5 11 = 1. 4 2 2 2 4 16 + 49 – 169 + 16 = 16 + 49Atividade – 169 + 22 16 = 4 + 7 – 13 + 2 = 0 –

5 –1 2

( )

1 2

1 4

9 + 16 =

–

5 2

169 +

169 + 4 16 = 4 + 7 – 13 +Retome 2 = 0 as propriedades da multiplicação e da Atividade 23 divisão de potências de mesma base. 16 = 4 + 7 – 13 + 2 = 0 Deve-se primeiro fatorar os números, para obter 2 7 2 7 9 3 + uma base comum. a) 4 3 ⋅ 4 3 = 4 3 3 = 4 3 = 4 1 = 43 = 64 16 +

49 –

42 | MANUAL DO PROFESSOR

NUVENS Potências e raízes com uso de software

ALEXANDRE R./M10

Vamos experimentar potências e raízes na computação? Para isso, utilizaremos uma planilha como a mostrada a seguir.

NUVENS Certifique-se de que existem aparelhos eletrônicos (computadores, tablets ou celulare) suficientes para todos os estudantes (se for necessário, trabalhe em grupos). Enfatize com os estudantes que o conhecimento digital é fruto das necessidades humanas e da construção histórica e todos os jovens têm potencial para colaborar na construção de uma sociedade melhor. No item e, compare os resultados e observe que os expoentes e os valores na sequência estão diminuindo:

As potências e raízes rapidamente geram números muito grandes ou muito pequenos. E muitas operações com eles geram números irracionais que têm infinitas ordens decimais não periódicas! Como podemos fazer cálculos tão elaborados? Antigamente, dispúnhamos de algumas técnicas bastante trabalhosas para aproximar tais valores e, muitas vezes, os profissionais precisavam ter esses números tabelados para usar no dia a dia. Atualmente, isso deixou de ser necessário com a invenção da calculadora e, mais especialmente, do computador.

2 = 2 2 ≅ 1,4142

a) Abra uma planilha nova e digite “=2^3” em uma célula, sem as aspas. O que você

obteve como resultado? 8

b) Digite “9^ ( 1 / 2)”, sem as aspas, em outra célula. Qual foi o resultado encontrado?

c) Sabendo que usar ^ equivale a elevar a um expoente, o que você calculou nas cé-

2 = 2 3 ≅ 1,2599

2 = 2 4 ≅ 1,1892

2 = 25 ≅ 1,1487

lulas que criou nas questões anteriores? Uma potência (2 ) e uma raiz quadrada ( 9). 3

d) Agora, escolha dois cálculos de exercícios anteriores e calcule as potências utilizando

Atividade 25

uma planilha. Depois, calcule o valor da potência que encontrou como resultado. Compare os dois. O resultado foi igual? Foi próximo? Explique. Resposta pessoal.

a) 103 = 1 000 pessoas. b) Sendo:

2, 3 2 , 4 2 e 5 2 . O que você observou? Por que acredita que isso ocorre?

e) Calcule

2 ≅ 1,4142; 3 2 ≅ 1,2599; 4 2 ≅ 1,1892; e 5 2 ≅ 1,1487. 43 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 24

a) Como 4 = 22 e 8 = 23 , então temos que: 3 2 43 ⋅ 82 = ( 22 ) ⋅ ( 23 ) = 26 ⋅ 26 = 212

tomateiros tomates 13 canteiros ⋅ 13 ⋅ 13 = canteiro tomateiro Ou, 4 ⋅ 8 = 4 ⋅ (2 ⋅ 4) = 4 ⋅ 2 ⋅ 4 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 46 = 133 tomates = 2 197 tomates 82 = 43 ⋅ (2 ⋅ 4)2 = 43 ⋅ 22 ⋅ 42 = 43 ⋅ 41 ⋅ 42 = 46 3 b) Como 27 = 3 , temos que: 35 35 35 = 3 2 = 6 = 33–6 = 3–1 2 27 (3 ) 3 3

4 3 5+ +

50 8 15 + +

Meio-dia ou 12 h

Hora 1

101

13 h

Hora 2

102

14 h

Hora 3

103

15 h

Hora 4

104

16 h

Hora 5

105

17h

Hora 6

106

1 000 000 de pessoas.

c) Como 4 = 22 e 8 = 23 , então: 25 ⋅ 4 5 ⋅ 82 = 25 ⋅ (22 ) 5 ⋅ (23 ) 2 = 25 ⋅ 2 5 ⋅ 2 2 = 2 5 2 = 2 10 10 10 = 2 10 2

4 3 5+ +

50 8 15 + +

25 ⋅ 4 5 ⋅ 82 = 25 ⋅ (22 ) 5 ⋅ (23 ) 2 = 25 ⋅ 2 5 ⋅ 2 2 = 2 5 2 = 2 10 10 10 = 2 10 4

4 3 5+ +

50 8 15 + +

⋅ 2 5 ⋅ 2 2 = 2 5 2 = 2 10 10 10 = 2 10

43 |

#Operações com raízes Multiplicação e divisão Para realizar operações de multiplicação e divisão entre raízes, utilizaremos as propriedades da potenciação, lembrando que se a é um número real positivo, m e n são números inteiros, m

com n > 0, então a n = n a m . Vejamos alguns exemplos:

1 2

) = 4 ⋅ 10 =

4 ⋅

120 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 =

5 ⋅ i 3 24 ⋅

1 3

3 ⋅

= 52 ⋅ 5

1 2

= 52

3 2

= 5 2 = 52 = 25

125 = 5 ⋅ 125 = 5 ⋅ 53 = 54 = 52 = 25

125 = 5 ⋅ 1 2

5 ⋅ 52 = 5 ⋅

6 = 24 ⋅ 6 = (6 ⋅ 4)

1 3

= 6

1 2

1 3

5 ⋅ 1 3

52 = ( 5)2 ⋅ 1 2

= 6 ⋅ 4 ⋅ 6 =6

1 1 + 3 2

1 3

52 = 5 ⋅ 5 = 25 5

⋅ 4 = 6 6 ⋅ 4 3 = 6 65 ⋅ 3 4

Nesse caso, não é possível representar 6 65 ⋅ 3 4 com um único radical, pois os índices das 6 5 raízes 6 e 3 4 são diferentes. 7

i 7 3 ÷ 7 11 = 7

1 2

i 1 2

4 ⋅

1024 ÷

3 37 3 7 3 = 1 = ⎛ ⎞ = 7 . ⎝ ⎠ 11 11 11 7 11

10 ⋅

10 3 – 1024 1024 4 (210 ) 4 2 4 24 = = = 3 ⋅ 1 = 3 = 24 2 = 2 1 1 3 8 82 (2 ) 2 2 2 22

10 = 2 10. Simplificação de radicais

Números como 2 e 3, por exemplo, representam números irracionais (pois são quadradas de números primos) e, dessa maneira, não é possível obter uma representação decimal exata para eles. Dizemos que essas raízes estão em uma forma simplificada. Em vários casos, particularmente para facilitar os cálculos, utilizamos representações simplificadas das raízes. Por exemplo, vamos simplificar 40. Sabendo que 40 = 4 ⋅ 10, então 40 = 4 ⋅ 10. Pelas propriedades das potências, podemos escrever: 4 ⋅ 10 = 4 ⋅ 10. Portanto, 4 ⋅ 10 = 2 10. Deixaremos a operação 10 apenas indicada, pois resulta em um número irracional (10 é o produto de dois primos distintos, ou seja, 2 ⋅ 5). Assim, 2 10 é a forma simplificada de 40. No exemplo anterior, notamos facilmente que 40 = 4 ⋅ 10. Mas e em casos em que essa decomposição não é tão evidente? Por exemplo, como simplificar 108? Podemos decompor 108 em fatores primos:

22 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 30.

2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 30. 2

⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 30.

Assim, 108 = 44 | TRAJETÓRIA 1

44 | MANUAL DO PROFESSOR

3 2 (5 ) !

Ou ainda:

10 = 2 10.

23 ⋅ 3 ⋅ 5 =

5 ⋅

Note que, em 108, agrupamos os fatores iguais de dois em dois para calcular a raiz quadrada. Se a raiz fosse cúbica, agruparíamos três fatores iguais; se fosse quarta, quatro fatores iguais; e assim por diante. Caso sobrasse mais de um fator sem agrupar, poderíamos multiplicá-los. Exemplo: 3

125 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5

40 = (40) = (4 ⋅ 10) = 4 ⋅ 10 = 1 2

125 = 5 2 ⋅ 125 2 = 5 2 ⋅

Podemos também escrever essa expressão do seguinte modo:

Relembre as propriedades das potências: 1 2

5 ⋅

22 ⋅ 33 =

108

108 = 22 · 33

22 ⋅ 32 ⋅ 3 =

22 ⋅

32 ⋅

3 = 6 3. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Adição e subtração Existem situações nas quais precisamos resolver operações de adição e subtração envolvendo raízes. Por exemplo: 3 • 2 + 3 8 + 25 No primeiro caso, podemos calcular os valores das raízes (que são números inteiros) e, depois, realizar a adição:

•

25 = 2 + 5 = 7

Já no segundo caso, tanto 2 quanto 3 representam números irracionais e é possível deixar indicada a adição 2 +

3. Caso se deseje obter um valor aproximado para essa soma, podemos

calcular uma aproximação para as parcelas 2 e 2 +

3 e, então, realizar a operação:

3 ≅ 1,41421 + 1,73205 = 3,14626

3 Vimos que raízes como 2, 5, 4 e 10 representam números irracionais e que, a não ser que se deseje obter um valor aproximado, não é necessário (nem possível) representá-los em sua forma decimal. Assim, ao realizar operações de adição e subtração, utilizaremos a sua

representação como radical. Como visto anteriormente, situações como 2 + 3 podem ser indicadas dessa maneira porque não é possível reduzir essa expressão a um único radical. Já em 7 + 2 7, podemos realizar a adição: 7 + 2 7 = 3 7. Há casos em que devemos simplificar as raízes para poder realizar as operações. Por exemplo: 216 – 6 Nessa subtração, vamos inicialmente decompor 216 em fatores primos: 216 = 23 ⋅ 33 . Então: 216 – 6 =

23 ⋅ 33 – 6 =

22 ⋅ 2 ⋅ 32 ⋅ 3 – 6

Pelas propriedades das potências e da radiciação: 22 ⋅

2 ⋅

32 ⋅

=2 ⋅ 3 ⋅

3 – 6 =2 ⋅

2 ⋅ 3 ⋅

3 – 6 =

Habilidades (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica. (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários. (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações. Caso haja dúvidas, é possível verificar soluções erradas como: 2 + 3 = 2 + 3 = 5 com auxílio de uma calculadora ou computador.

LUPAS E LUNETAS

2 ⋅ 3 – 6 =6 6 – 6 =5 6

a) c + d + e = 4 + 9 = 25 b) Temos que a = 4 e b = 5.

LUPAS E LUNETAS

Logo, o perímetro é dado por: Observe as figuras: (4 + 4 + 4) + (5 + 5 + 5) + (5 – 4) = 2 Figura 1 Figura 2 (4 + 4 + 4) + (5 + 5 + 5) + (5 – 4) = 28 c) Temos que 25 25 16 9 c = 2, d = 3 e e = 5. Logo, o 4 perímetro é dado por: a b c d e (2 + 2 + 2) + [3 + 3 (3 – 2)] + [5 + 5 + Da figura 1, observamos que o lado do quadrado de área 16 mede a; e o lado do quadrado de área 25 mede b, ou seja: (2 + 2 + 2) + [3 + 3 (3 – 2)] + [5 + 5 + 5 + (5 – 3)] = 30 a ! b " 16 ! 25 a) Considere a figura 2 e represente c + d + e como uma soma de radicais. b) Calcule o perímetro da figura laranja. 28 c ! d ! e " c) Calcule o perímetro da figura azul. 30 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

4 !

9 !

45 |

28. a) O aluno simplificou erroneamente 18 = 3 2 e 24 = 2 6; depois, adicionou os radicandos 3, resultando na raiz de 6. b) Resultado correto: 3 2 + 2 6.

Habilidades (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica. (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

ATIVIDADES

b) c)

256

128

360 6 10

e) 3 32 12 2

250 5 3 2

possível:

27 + 5 3 8 3

a) b)

4 + 3 32 3 3 4

c) 5 200 – 8 8 34 2 d) 4 5 –

45 – 2 605 –21 5

28. Observe como um aluno efetuou o cálculo 18 +

24:

18 + 24 = 2 3 + 2 3 = 4 6 O aluno cometeu diversos erros nessa resolução. a) Quais foram os erros?

Primeiro, os estudantes devem decompor o radicando em fatores primos, como no item 3 2 +2 6 a, para, em seguida, aplicar as propriedades de simplificação na representação com radicais. 512

d) 4 50 000 10 5

27. Efetue os cálculos, simplificando quando

Atividade 26

512 16 2

b) Qual é o resultado correto de

18 +

24?

29. Reduza a uma única potência com expoente diferente de 0 ou 1. a) 52 ⋅ 253 58 1

c) 3–5 ⋅ 27 2 31 7

d) 10 2 ÷ 1000 e) 16

–2

3 :9 4

30. Reduza a uma única raiz: 3 ⋅ 3 2 6 108

1 512 = 29

2 ⋅

10 ⋅ 6 20 ⋅

80 ÷ 10 4 5 40

11 12

1 4

25 36 49 64 81 100 121 144

33. Para esta atividade, use uma calculadora.

2 ÷ 4 23 ⋅ 6 22 12 2

29 =

Elabore uma ou duas contas envolvendo 2 e π com até 10 ordens decimais. Troque com um amigo e comparem os resultados, escrevendo-os na ordem crescente. Resposta pessoal

31. a) 10100 ÷ 1080 = 10(100 – 80) = 1020 vezes vezes.

⋅ 32 ⋅ 51 = 2 ⋅ 3 21 ⋅ 51 = 6 10

46 | TRAJETÓRIA 1

c) 250 = 21 ⋅ 53 250 = 21 ⋅ 53 = 5 3 2 d) 50 000 = 24 ⋅ 55 3

os números 1, 2 e 3 foram escritos na forma de raiz quadrada. No seu caderno, complete os demais números também representados em raiz quadrada. 16

54 000 000

22 ⋅ 22 ⋅ 22 ⋅ 22 ⋅ 21 = 2 31. ⋅ 2 Leia ⋅ 2 ⋅o 2texto: ⋅ 21 = 16 2 Isto é um gugol [googol, em inglês]: 512 = 29 = 22 ⋅ 22 ⋅ 22 ⋅ 22 ⋅ 21 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 21 = 16 210 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0 ⋅ 22 ⋅ 21 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 21 = 16 2 00 000 000 000 000 000 000 000 000 00 3 2 1 2 1 2 1 b) 360 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 ⋅ 3 21 ⋅ 51 = 6 10 0 000 000 000 000 000 000. 23 ⋅ 32 ⋅ 51 = 22 ⋅ 21 ⋅ 32 ⋅ 51 = 2 ⋅ 3 21 ⋅ 51 = 6 10 512 =

Resposta pessoal.

32. Desenhe este relógio no caderno. Observe que

5000

Responda às questões: a) Quantas vezes a quantidade de átomos do universo cabe dentro do gugol? b) Existe um outro número maior ainda chamado de gugolplex (googleplex, em inglês). Pesquise sobre esse número e anote o que encontrar. Compartilhe com os colegas.

10 2

÷ 3 6426 ou 43 ou 82

f) 81 ⋅

PAIS, Ana. O que é o número gugol, que inspirou o Google. BBC News Brasil, 26 jun. 2020. Disponível em: www.bbc.com/portuguese/geral-53158513. Acesso em: 31 ago. 2022.

b) 82 ⋅ 2 3 2 6 –

Não precisa contar: trata-se de um número 1 seguido de 100 zeros – ou, como preferem os matemáticos, 10 elevado a 100 (10100). O gugol é tão grande que supera a quantidade de átomos que existem no Universo (estima-se hoje que eles seriam em torno de 10 elevado a 80 – ou 1080).

BESJUNIOR/SHUTTERSTOCK

ARTE M10/SHUTTERSTOCK

26. Simplifique as raízes.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

d) 4 5 – 45 – 2 605 = 4 5 – 32 ⋅ 5 – 2 5 ⋅ 112 = 4 5 – 3 50 000 = 4 24 ⋅ 55 = 4 24 ⋅ 54 ⋅ 51 = 2 ⋅ 5 Atividade 51 = 10 4 5 27 Os estudantes devem decompor o radicando 4 4 5 – 45 – 2 605 = 4 5 – 32 ⋅ 5 – 2 5 ⋅ 112 = 4 5 – 3 5 – 2 ⋅ 11 5 = 4 5 – 5 = 4 24 ⋅ 54 ⋅ 51 = 2 ⋅ 5 51 = 10 4 5 em fatores primos. Em seguida, aplicar2 as proprie- 2 4 5 – 45 – 2 605 = 4 5 – 3 ⋅ 5 – 2 5 ⋅ 11 = 4 5 – 3 5 – 2 ⋅ 11 5 = 4 5 – 3 5 – 22 5 = –21 5 e) 32 = 25 dades de simplificação de números irracionais na 2 5 2 5 – 2 1 14 5 – 4 45 – 2 605 = 5 – 2 5 ⋅ 112 = 4 5 – 3 5 – 2 ⋅ 11 5 = 4 5 – 3 5 – 22 5 = –21 5 3 32 = 3 2 = 3 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2representação 2 = 12 2 3 ⋅com radicais, para, então, realizar os cálculos. Atividade 29 3 22 ⋅ 22 ⋅ 21 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 21 = 12 2 a) 27 + 5 3 = 33 + 5 3 = 3 3 + 5 3 = 8 3 Primeiro os alunos devem decompor a base b) 3 4 + 3 32 = 3 22 + 3 25 = 3 4 + 2 3 4 = 3 3 4 em fatores primos para, em seguida, aplicar as c) 5 200 – 8 8 = 5 23 ⋅ 52 – 8 23 = 5 ⋅ 2 ⋅ 5 2 – 8propriedades ⋅ 2 2 = 50 2de – potenciação. 16 2 = 34 2 2 3 2 3 2 3 a) 5 ⋅ 25 = 5 ⋅ (52 )3 = 52 ⋅ 56 = 58 5 200 – 8 8 = 5 2 ⋅ 5 – 8 2 = 5 ⋅ 2 ⋅ 5 2 – 8 ⋅ 2 2 = 50 2 – 16 2 = 34 2 2 3 2 2 3 2 6 8 5 ⋅ 25 = 5 ⋅ (5 ) = 5 ⋅ 5 = 5 4

46 | MANUAL DO PROFESSOR

b) 2 2 ⋅ 3 5 = 2 4 ⋅ 5 3 = 2 12 ⋅ 5 12 = 12 23 ⋅ 12 54

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Consulte todas as suas produções até agora neste passeio e avalie seu aprendizado sobre: ▶ Matemática • Você sabe calcular o valor de uma potência com expoente racional?

• Escreve e analisa números em notação científica, arredondando quando necessário?

c) 3 10 ⋅ 6 20 ⋅ 30 = 103 ⋅ 206 ⋅ 302 = 10

• Sabe efetuar operações com potências e raízes de diferentes expoentes e índices, fazendo as adaptações eventualmente necessárias para a efetuação do cálculo? • Conhece e sabe aplicar as propriedades das potências em diferentes situações?

2 ⋅ 3 5 = 2 4 ⋅ 5 3 = 2 12 ⋅ 5 12 = 12 23 ⋅ 12 54 = 12 8 ⋅ 12 625 = 12 5 000

10 ⋅ 6 20 ⋅ 30 = 10 3 ⋅ 206 ⋅ 30 2 = 106 ⋅ 206 ⋅ 306 = 6 1 1

2 6

1 6

3 6

10 ⋅ 6 20 ⋅ 30 = 10 3 ⋅ 206 ⋅ 30 2 = 106 ⋅ 206 ⋅ 306 = 6 102 ⋅ 6 20 ⋅ 6 303 = 1 3

1 6

1 2

10 ⋅ 20 ⋅ 30 = 10 ⋅ 20 ⋅ 30 = 10 ⋅ 20 ⋅ 30 = 10 ⋅ 20 ⋅ 30 = 100 ⋅ 20 ⋅ 6 ▶ Outras disciplinas 1 1 1 2 1 3 Geografia 3 10 ⋅ 6 20 ⋅ 30 = 10 3 ⋅ 206 ⋅ 30 2 = 106 ⋅ 206 ⋅ 306 = 6 102 ⋅ 6 20 ⋅ 6 303 = 6 100 ⋅ 6 20 ⋅ 6 27 000 = 6 54 000 00 • Sabe refletir sobre as condições ambientais 1e os seus impactos da 3população em relação 1 1 2 na vida 1 3 e à mobilidade? ao consumo, à cultura 10 ⋅ 6 20 ⋅ 30 = 10 3 ⋅ 206 ⋅ 30 2 = 106 ⋅ 206 ⋅ 306 = 6 102 ⋅ 6 20 ⋅ 6 303 = 6 100 ⋅ 6 20 ⋅ 6 27 000 = 6 54 000 000 3

• Reflete sobre o problema da desigualdade mundial de acesso aos recursos alimentares e à matéria-prima?

Anote seu parecer para essas questões no caderno e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem5 80 ÷ 10 4 = 5 80 ÷ 10 22 = 805 ÷ 2 10 = 805 ÷ 25 = 5 80 ÷ 5 2 = 1 2 1 1 em Matemática. Copie e complete este quadro no caderno. 5

80 ÷ 10 4 = 5 80 ÷ 10 22 = 805 ÷ 2 10 = 805 ÷ 25 = 5 80 ÷ 5 2 = 5 40

QUADRO DE AVALIAÇÃO Parcialmente suficiente

Insuficiente

Satisfatório

1 2

2÷

2 ⋅

3 4

2 6

2 ÷ 4 23 ⋅ 6 22 = 2 ÷ 2 ⋅ 2 = 2

Plenamente satisfatório 3 2 4 6

1 2

3 4

2 6

2 =2 ÷ 2 ⋅ 2 =2

1 3 2 – + 2 4 6

2 ÷ 4 23 ⋅ 6 22 = 2 2 ÷ 2 4 ⋅ 26 = 2 2 1 3 2 – + 2 4 6

–

1 12

= 2 = 12 2

1 12

= 2 = 12 2

Atividade 31 MATEMÁTICA

100

a) 10100 ÷ 1080 = 10100–80 = 1020 vezes ÷ 10 = 10 = 1020 vezes b) Trata-se do número 10 ele80

100–80

100

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

vado a 1 gugol, ou seja, 1010 . Ouça o resultado da pesquisa dos estudantes e compartilhe com os demais alunos.

Atividade 32

16; 5 =

49; 8 = 64; 9 = 81;

10 =

25; 6 =

100; 11 =

121; 12 =

36; 144;

Atividade 33

47 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Acompanhe a criação dos estudantes, reforçando que os resultados das operações com irracionais podem ser expressos de forma exata ou na forma aproximada como neste exemplo: • 2 3 + 3π (o resultado exato fica indicado);

• 2 3 + 3π ≅ 2 ⋅ 1,73 + 3 ⋅ 3,14 = 12,

34 ÷ 9 = 34 ⋅ 34 ÷ 32 = 34 ⋅ 32 = 34 ⋅ 3 = 325 3 + 3π ≅ 2 ⋅ 1,73 + 3 ⋅ 3,14 = 12,88 (o resultado aproximado é 81 ⋅ 3 ÷ 9 = 3 ⋅ 3 ÷ 3 = 3 ⋅ 32 = 34 ⋅ 3 = 35 ⋅ 2 = (2 ) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 2 calculado pela aproximação c) 3–5 ⋅ 272 = 3–5 ⋅ (33 )2 = 3–5 ⋅ 36 = 31 = 3 dos números irracionais por Atividade 30 ⋅ 27 2 = 3–5 ⋅ (33 )2 = 3–5 ⋅ 36 = 31 = 3 números racionais, conforme Deve-se utilizar a representação de expoente 5 7 7 7 – – – a precisão desejada). 2 d) 10 2 ÷ 1 000–2 = 10 2 ÷ (103 )–2 = 10 2 ÷ 10–6 = 10fracionário para as raízes, empregando equivalência

d) 5 80 ÷ 10 4 = 5 80 ÷ 10 22 = 805 ÷ 2 10 =

1 3

1 3 2

1 3

3 2

–

f) 81 ⋅

b) 82 ⋅ 2 3 = (23 ) 2 ⋅ 2 3 = 2 2 ⋅ 2 3 = 2 6 1 3

–

11 6

–

10 2 ÷ 1 000–2 = 10 2 ÷ (103 )–2 = 10 2 ÷ 10–6 = 10 2 7 – 2

= 10

7 – 2

÷ (103 )–2 = 10

÷ 10–6 = 10

5 2 1 3 3

1 3 3

2 2

64 = (4 ) ÷ (4 ) = 44 ÷ 41 = 43 = 26 = 82 2 2

e) 16 ÷ 3 64 = (4 ) ÷ (4 ) = 4 ÷3 4 = 4 =31 2 =63 8 6 2

de frações para encontrar o expoente fracionário em comum para os termos da multiplicação:

1 3 2

3 ⋅ 3 2 = 3 2 ⋅ 2 3 = 3 6 ⋅ 26 = 6 33 ⋅ 6 22 = 6 27 ⋅ 6 4 = 6 108

3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6 33 ⋅ 6 22 = 6 27 ⋅ 6 4 = 6 108 47 |

BARCOS E PORTOS

Organize

Acompanhe as produções dos estudantes, orientando-os e avaliando a qualidade da compreensão atingida até o momento, esclarecendo dúvidas e propondo novos desafios. Elabore

▶ Organize Respostas pessoais. Agora que percorreu todo este passeio, faça um resumo simples com todas as operações matemáticas que aprendeu, tanto com potências quanto com raízes. Depois, dê exemplos de cada uma delas para verificar se entendeu realmente. Consulte o mapa mental que está na seção Arredores e as atividades feitas ao longo do passeio

para verificar se esqueceu de algo. Espera-se que os estudantes a) Após terminar, escreva os exemplos que criou como se fossem exercícios a serem compreendam que, ao escrever resolvidos, entregue para seu colega e peça que ele faça o mesmo. Tente resolver os números em notação cientíos exemplos que ele lhe passou e, se tiver dúvidas, retome o conteúdo ou tire dúfica, temos uma melhor avalizavidas com seu professor. ção da sua ordem de grandeza: milhares, milhões, bilhões etc. b) Depois, receba de volta o que seu colega fez e verifique se ele acertou e se algum Em notação científica, de vocês ainda tem dúvidas em alguma operação. Caso algum conceito ou ideia não . t e m o s : 8,1 ⋅ 107 ; 5,7 ⋅ 107 ; 3 ⋅ 107 ; 7,8 ⋅ 106 ; 5,5 ⋅ 105tenha ficado claro, peçam auxílio ao professor ou pesquisem juntos para corrigir isso. 7 ⋅ 107 ; 3 ⋅ 107 ; 7,8 ⋅ 106 ; 5,5 ⋅ 105 . E , para ordenar, basta observar, ini▶ Elabore cialmente o expoente da potênLígia estava estudando as populações de um determinado ano de países africanos. cia de 10 e, quando forem iguais, Observe a tabela com alguns dados que ela coletou: comparar os números que multiplicam essas potências. Em Continente africano ordem crescente, temos: 5,5 ⋅ 105 ; 7,8 ⋅ 106 ; 3 ⋅ 107 ; 5,7 ⋅ 107 ; 8,1 ⋅ 107

⋅ 106 ; 3 ⋅ 107 ; 5,7 ⋅ 107 ; 8,1 ⋅ 107

PAÍS

POPULAÇÃO

Congo-Kinshasa

81 ⋅ 106

Tanzânia

57 ⋅ 106

Angola

3 ⋅ 107

Togo

78 ⋅ 105

Guiné Equatorial

55 ⋅ 104

b) 8,1 ⋅ 107 ; 5,7 ⋅ 107 ; 3 ⋅ 107 ; 7,8 ⋅ 106 ; 5,5 ⋅ 105 .

a) A lista de Lígia está em ordem decrescente? Por que é difícil fazer uma análise no

formato em que os dados foram apresentados? Sim. Resposta pessoal. b) Escreva os números da tabela em notação científica. c) Elabore uma carta explicando para Lígia por que ela não deve usar aquele formato,

a partir do item a e de seus conhecimentos sobre notação científica.

Resposta pessoal.

48 | BARCOS E PORTOS

48 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

▶ Proponha A pergunta inicial deste passeio é: O que é sustentabilidade social? A organização de dados é fundamental para que sua análise seja potente e eficaz. Escolha se deseja fazer a pesquisa sobre seu município, estado ou país. A pesquisa será sobre a situação atual de desemprego no local escolhido. Em especial, encontrem:

a quantidade de pessoas desempregadas atualmente; a quantidade de empregos criados ou perdidos no ano passado; • a população total da área pesquisada; Depois, escrevam os números determinados em notação científica. •

ALPHASPIRIT.IT/SHUTTERSTOCK

ROMOLO TAVANI/SHUTTERSTOCK

•

Imagem representando solicitações de novas oportunidades de empregos. Ferramentas simbólicas de diversas profissões.

Reúna-se com um colega que tenha pesquisado o mesmo local que você. Juntos, analisem os dados encontrados e respondam: a) Os dois encontraram os mesmos valores na questão 1?

b) Vocês acreditam que o desemprego está alto ou baixo no local pesquisado?

Proponha

Retome a questão motivadora deste passeio: O que é sustentabilidade social? O objetivo dessa atividade está relacionado à representação e avaliação crítica. Os estudantes percebem, aos poucos, como os números são importantes para uma análise detalhada de um assunto e como é complexo entender uma situação de grande escala.

Justifiquem observando os números pesquisados.

c) Olhando para a quantidade de empregos gerados ou perdidos, diriam que a pers-

pectiva futura para os empregos parece boa?

Pesquisamos apenas alguns números relacionados ao desemprego, mas certamente eles não são os únicos que deveríamos olhar para avaliar o problema. Quais outros números vocês acreditam que são importantes para pensar a respeito do desemprego no local pesquisado? Façam as pesquisas que julgarem necessárias para obter um cenário mais completo da situação do desemprego nessa localidade. PICTRIDER/SHUTTERSTOCK

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

49 |

PASSEIO 3 – SEQUÊNCIAS E PORCENTAGENS O QUE É SUSTENTABILIDADE FINANCEIRA? SEVENNINE_79/SHUTTERSTOCK

Habilidades (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações. (EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira. CHECK-IN Por meio das questões desta seção, componha um diagnóstico dos conhecimentos prévios dos estudantes a respeito de educação financeira e os conceitos matemáticos que amparam esse saber (porcentagem, juros, variação, proporcionalidade direta ou inversa etc.)

O mundo das finanças é altamente dependente da Matemática, que nos ajuda a todo momento.

CHECK-IN Saber lidar com o dinheiro e organizar nossa vida financeira significa compreender a Matemática envolvida nesse “mundo das finanças”. Pensando sobre esse assunto, responda: Respostas pessoais. a) Você sabe calcular porcentagens?

b) Sabe reconhecer os números reais e suas relações? c) O que são juros?

50 | TRAJETÓRIA 1

50 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ARREDORES

Proporcionalidade

Matemática financeira

SEQUÊNCIAS

PORCENTAGEM

Acréscimos e descontos

Acréscimos e descontos sucessivos

EF09MA04, EF09MA05, EF09MA06, EF09MA08 EF09GE12

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: Resolver problemas envolvendo porcentagens nos mais variados contextos. Explorar situações financeiras para tomar as melhores decisões diante de várias possibilidades. • Analisar sequências numéricas, reconhecendo padrões e determinando os próximos termos. • Calcular e resolver situações envolvendo juros simples e juros compostos. • Compreender o mundo financeiro em que vivemos, refletindo sobre os impactos do capital financeiro na sociedade. • •

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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Utilize o texto para abordar a evolução do dinheiro e suas relações na sociedade, bem como na vida dos estudantes. Questione o modo pelo qual eles se relacionam com o dinheiro e seus planos de curto, médio e longo prazo para sua vida financeira. Se possível, trabalhe em parceria com o professor da área de Geografia ou História.

ATMOSFERA Origem do dinheiro A história da civilização nos conta que o homem

raros ou suas ligas, preservou-se, com o passar dos

primitivo procurava defender-se do frio e da fome,

séculos, a associação dos atributos de beleza e ex-

abrigando-se em cavernas e alimentando-se de

pressão cultural ao valor monetário das moedas,

frutos silvestres, ou do que conseguia obter da caça

que quase sempre, na atualidade, apresentam fi-

e da pesca. Ao longo dos séculos, com o desenvolvi-

guras representativas da história, da cultura, das

mento da inteligência, passou a espécie humana a

riquezas e do poder das sociedades.

sentir a necessidade de maior conforto e a reparar

A necessidade de guardar as moedas em segu-

no seu semelhante. Assim, como decorrência das

rança deu surgimento aos bancos. Os negociantes

necessidades individuais, surgiram as trocas.

de ouro e prata, por terem cofres e guardas a seu

Esse sistema de troca direta, que durou por vá-

serviço, passaram a aceitar a responsabilidade de

rios séculos, deu origem ao surgimento de vocábulos

cuidar do dinheiro de seus clientes e a dar recibos

como “salário”, o pagamento feito através de certa

escritos das quantias guardadas. Esses recibos (en-

quantidade de sal; “pecúnia”, do latim “pecus”, que

tão conhecidos como “goldsmith´s notes”) passaram,

significa rebanho (gado) ou “peculium”, relativo ao

com o tempo, a servir como meio de pagamento

gado miúdo (ovelha ou cabrito).

por seus possuidores, por serem mais seguros de

As primeiras moedas, tal como conhecemos

portar do que o dinheiro vivo. Assim surgiram as

hoje, peças representando valores, geralmente em

primeiras cédulas de “papel moeda”, ou cédulas de

metal, surgiram na Lídia (atual Turquia), no século

banco, ao mesmo tempo em que a guarda dos valores

VII A. C. As características que se desejava ressaltar

em espécie dava origem a instituições bancárias.

eram transportadas para as peças através da pan-

Os primeiros bancos reconhecidos oficialmente

cada de um objeto pesado (martelo), em primitivos

surgiram, respectivamente, na Suécia, em 1656;

cunhos. Foi o surgimento da cunhagem a martelo,

na Inglaterra, em 1694; na França, em 1700 e no

onde os signos monetários eram valorizados tam-

Brasil, em 1808 e a palavra “bank” veio da italia-

bém pela nobreza dos metais empregados, como

na “banco”, peça de madeira que os comerciantes

o ouro e a prata.

de valores oriundos da Itália e estabelecidos em

Embora a evolução dos tempos tenha levado à substituição do ouro e da prata por metais menos

Londres usavam para operar seus negócios no mercado público londrino.

BRASIL. Casa da Moeda do Brasil. Casa da Moeda do Brasil: 290 anos de História, 1694/1984. Disponível em: www.casadamoeda.gov.br/portal/socioambiental/cultural/origem-do-dinheiro.html. Acesso em: 25 ago. 2022.

ATIVIDADES

1. 2.

Segundo o texto, quando surgiram as primeiras moedas? Por volta do século VII a.C. Por volta de que época surgiram os primeiros bancos reconhecidos oficialmente?

Por volta do século XVII.

52 | TRAJETÓRIA 1

Sugestão de atividade

Proponha aos estudantes que construam um infográfico contando a história do dinheiro no Brasil, desde as primeiras cédulas e moedas que circularam no país até os dias de hoje. Para discutir o papel crescente do capital financeiro no Brasil, convide os professores de Geografia e de História. Explique aos estudantes o que é um infográfico e quais elementos ele deve conter. Eles podem construir um infográfico online e colaborativo, por meio de aplicativos gratuitos disponíveis na rede. 52 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

O infográfico sobre a história do dinheiro brasileiro deve conter o nome das moedas, seu período de circulação e uma imagem dessas cédulas ou moedas. Organize uma exposição para a apresentação dos infográficos. Sugestão de leitura

Para mais informações, consulte o site da Casa da Moeda. Disponível em: https://www.casadamoeda. gov.br/portal/. Acesso em: 2 set. 2022.

#Matemática e sustentabilidade financeira A ideia de sustentabilidade financeira, como não poderia deixar de ser, compartilha muitos dos significados da noção mais geral de sustentabilidade. Podemos defini-la como uma maneira de utilizar seus recursos financeiros de forma a atender às necessidades pessoais de hoje, mas levando em consideração as possíveis necessidades ou os projetos que surgirão no futuro. Uma maneira de organizar a sua vida financeira de modo racional é a denominada regra 50 30 20. Apesar de essa regra precisar de uma adequação ao contexto e às necessidades de cada pessoa ou família, ela não deixa de ser uma maneira racional de organizar suas finanças pessoais. Ela consiste em fazer a divisão da renda em 3 partes proporcionais:

Regra 50 30 20

Os gastos essenciais são aqueles necessários para sua sobrevivência no dia a dia, por exemplo, alimentação, aluguel etc. Já os gastos não essenciais são aqueles que podem ser “cortados”, como assinatura de canais de TV, itens supérfluos etc. Por fim, é importante guardar uma parte do dinheiro ou investi-lo, pensando sempre no futuro. Na prática, supondo que uma pessoa possua R$ 100,00, pela regra 50 30 20, ela deveria destinar R$ 50,00 para gastos essenciais, R$ 30,00 para gastos não essenciais e R$ 20,00 para poupança e investimentos.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Leia o texto e responda às questões.

A Confederação Nacional do Comércio de Bens, Serviços e Turismo (CNC) informou nesta quinta-feira (5) que o número de brasileiros endividados bateu recorde histórico no levantamento feito pela entidade desde 2010. [...] Segundo a entidade, os números elevados são reflexo direto de uma junção de fatores ruins da economia.

A equação inclui o momento de inflação elevada, a redução dos estímulos sociais criados durante a pandemia do coronavírus e os níveis ainda altos de desemprego. São itens que diminuem o poder de compra e deterioram os orçamentos domésticos.

ENDIVIDAMENTO chega a recorde de 71,4% dos brasileiros, segundo a CNC. G1, 5 ago. 2021. Disponível em: https://g1.globo.com/economia/noticia/2021/08/05/endividamento-chega-a-recorde-de-714percent-dos-brasileiros-segundo-a-cnc.ghtml. Acesso em: 31 ago. 2022.

a) Que fatores levam uma pessoa ou família a se endividar? b) De que maneira o método 50 30 20 pode auxiliar as pessoas a se organizar melhor financeiramente?

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Habilidade

#Porcentagem

(EF09MA05) Resolver e

Essas atividades objetivam relembrar aos estudantes conceitos básicos envolvendo porcentagem e prepará-los para as seções seguintes. Caso julgue necessário, sugerimos retomar com calma esse assunto, pois estudantes que não acompanharem tal processo, potencialmente, terão muita dificuldade no decorrer do passeio.

A porcentagem envolve um cálculo proporcional relacionado a uma divisão em partes de cem ao todo. Usamos o símbolo % para indicar essa divisão. Há algumas estratégias para se calcular porcentagens. Apresentaremos três delas. Uma família está comprando uma casa nova pelo valor de 120 mil reais. Como eles não têm o valor total, vão financiar uma parte, isto é, pagar parcelado. Mas precisam dar 57% de entrada. Esse percentual equivale a qual valor, em reais? IAM_ANUPHONE/SHUTTERSTOCK

O sonho da casa própria exige que se pense nas sustentabilidades ambiental, social e financeira. • Método 1: divisão

O método mais tradicional para calcular uma porcentagem é dividir o total por 100 e multiplicar o resultado pelo valor do percentual. Nesse caso, faríamos o seguinte cálculo: 120 000 ÷ 100 = 1 200, ou seja, 1 200 corresponde a 1% do total 1 200 ⋅ 57 = 68 400 A família deverá pagar 68 400 reais de entrada. • Método 2: fração

57 57% equivale a 100. Assim, podemos multiplicar: 57 6 840 000 120 000 ⋅ = = 68 400 100 100 • Método 3: decimal 57 57% equivale a 100, que, na forma decimal, é igual a 0,57. Em vez de multiplicar pela fração, como no método 2, podemos multiplicar direto pelo decimal: 0,57 ⋅ 120 000 = 68 400 Observe que nos três métodos fazemos essencialmente as mesmas operações: dividir o total por 100 e multiplicar pelo valor do percentual. 54 | TRAJETÓRIA 1

54 | MANUAL DO PROFESSOR

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Habilidade

Índice percentual

(EF09MA05) Resolver e

E quando a porcentagem já é conhecida, como fazemos para determinar o índice percentual? Considere a situação a seguir.

BELISH/SHUTTERSTOCK

A pandemia de covid-19 foi um evento que piorou muito a situação do desemprego no mundo todo: inúmeras empresas tiveram que fechar suas portas e os funcionários que lá trabalhavam acabaram nas ruas.

Fila de desempregados em busca de novas oportunidades para se sustentar.

Imagine que, de uma população de 12,1 milhões de desempregados, 3,6 milhões estão buscando emprego há mais de 2 anos (dados de 2022, do Brasil). Esse valor corresponde a qual percentual dos desempregados? Para efetuar esse cálculo, apresentamos dois métodos. • Método 1: proporção A porcentagem envolve um raciocínio proporcional. Podemos dizer que: 12,1 milhões

100

3,6 milhões

Escrevendo uma proporção (igualdade entre razões), temos: ~es 12,1 milho 100 = ⇒ 12,1x = 360 ⇒ x ≅ 29,75 ~ 3,6 milhoes x Ou seja, cerca de 29,75% dos desempregados estão procurando emprego há mais de 2 anos. • Método 2: divisão

Nesse método, sempre dividimos o valor percentual pelo valor que corresponde a 100% e multiplicamos o resultado por 100. Nesse caso, 100% corresponde a 12,1 milhões: ~es 3,6 milho ~es 12,1 milho NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

≅ 0,2975 ⇒

0,2975 ⋅ 100 29,75 = = 29,75% 100 100 55 |

55 |

Habilidade

ATIVIDADES

(EF09MA05) Resolver e

3. Calcule:

Atividade 3

#Matemática financeira

b) 1,5% de 450 6,75

5. Responda: 5. a, b e c: os resultados são iguais.

c) 81,45% de 2 000 1 629

4. A fazenda de Raíssa produz milho em 45%

a) Qual é maior: 49% de 50 ou 50% de 49?

de suas terras. Já a fazenda de Kelly produz milho em 62% de suas terras. Sabendo que a fazenda de Raíssa tem um total de 75 000 m2 e a área da fazenda de Kelly é de 50 000 m2,

b) Qual é maior: 80% de 25 ou 25% de 80?

c) Qual é maior: 63,5% de 10 ou 10% de 63,5? d) Conforme os resultados observados, ela-

bore uma regra que auxilie no cálculo de porcentagens.

5. d) Trocar o valor do percentual com o do total não altera o resultado.

JIRSAK/SHUTTERSTOCK

Deixe livre para os estudantes escolherem o método de resolução que lhes passar maior segurança. 12 960 = = 9,6 a) 80 ⋅ 100 100

qual das duas tem uma área maior produzindo milho? Raíssa.

a) 12% de 80 9,6

b) 0,015 ⋅ 450 = 6,75 c) 2 000 : 100 = 20

20 corresponde a 1% do total. Logo, 20 ⋅ 81,45 = 1 629.

Atividade 4

• Produção de Raíssa: 45% de

75 000 m2: 0,45 ⋅ 75 000 = 33 750 m2 , que correspondem à área com plantação de milho. Produção de Kelly: 62% de 50 000 m2: 0,62 ⋅ 50 000 = 31 000 m2 , que correspondem à área com plantação de milho. Portanto, Raíssa tem uma área maior destinada à plantação de milho.

Fazer uma análise detalhada das “entradas” e das “saídas” é uma forma de cuidar da finanças.

O dinheiro está presente em muitos aspectos de nossas vidas e a porcentagem tem um papel importante na sua utilização. Veremos algumas aplicações de porcentagem na Matemática financeira.

Acréscimos e descontos Um dos usos mais básicos da porcentagem no cotidiano e na Matemática financeira são os descontos e os acréscimos em preços de mercadorias e serviços. Acréscimo significa um aumento em certo valor financeiro. Desconto é uma diminuição de um valor financeiro. Podem ser expressos em valores absolutos ou relativos (percentuais). 56 | TRAJETÓRIA 1

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Atividade 5

Todos os resultados são iguais. Trocar o valor do percentual com o do total não altera o resultado, porque, por exemplo: 49 49 ⋅ 50 50 49% ⋅ 50 = ⋅ 50 = = 49 ⋅ = 49 ⋅ 50% = 50% ⋅ 49 100 100 100

56 | MANUAL DO PROFESSOR

Habilidade

Para calcular um valor final com acréscimo, basta encontrar o quanto um preço irá aumentar – o acréscimo – e, depois, adicionar esse acréscimo ao preço original. Analogamente, um desconto deve ser calculado e, depois, subtraído do valor original.

(EF09MA05) Resolver e

ATIVIDADES

6. Um vestido é vendido pelo valor de R$ 180,00.

Se houver um acréscimo de 20% no valor do vestido, qual será o novo valor? R$ 216,00.

7. O preço de uma mercadoria é R$ 315,00. Se um cliente obteve um desconto de 15% sobre tal valor, quanto ele pagou? R$ 267,75.

8. Por causa da inflação, um comerciante pre-

cisou reajustar o preço do rodízio de seu restaurante para R$ 150,00 por pessoa. Se o preço original era de R$ 120,00, de quanto foi o acréscimo percentual? 25%.

9. Olívia é uma cliente costumeira de uma loja

de joias. Após muitos meses indo fielmente à loja, a dona da loja resolveu dar um desconto a ela em uma das pulseiras que custava R$ 850,00. a) Se Olívia pagou apenas R$ 700,00, qual foi o percentual de desconto aproximado que ela obteve? 17,65%. b) Se Olívia recebeu o mesmo desconto percentual em um anel pelo qual pagou R$ 140,00, qual era o preço original aproximado do anel? R$ 170,00.

Atividade 9

a) Inicialmente, é preciso calcu-

Acréscimos e descontos sucessivos

FIZKES/ SHUTTERSTOCK

Vamos analisar a próxima situação. Valério começou o ano com um salário de R$ 8.000,00. No meio do ano, seu chefe elogiou sua produtividade, recompensando-o com um aumento de 15%. No final do ano, ele foi promovido e o salário teve um novo aumento, dessa vez de 20%. Qual é o novo salário dele?

lar o valor do desconto: 850 – 700 = 150. Portanto, a loja ofereceu um desconto de R$ 150,00 para Olívia. Logo, o percentual de des17,65 150 ≅ 0,1765 = = conto foi 100 850 150 17,65 = 17,65%. ≅ 0,1765 = 850 100 b) Se ela recebeu 17,65% de desconto, quer dizer que pagou 82,35% do valor do anel (x). Assim, 0,8235 ⋅ x = 140 → 140 0,8235 ⋅ x = 140 → x = ≅ 170. 0,8235 O preço original do anel era de, aproximadamente, R$ 170,00.

Valério no dia de sua promoção. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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Atividade 6

Portanto, o preço da mercadoria com o desconto Vamos determinar quanto é 20% de R$ 180,00. é R$ 315,00 – R$ 47,25 = R$ 267,75. 20 ⋅ 80 = 0,20 ⋅ 180 = 36 Atividade 8 100 Portanto, o valor do vestido com o acréscimo Inicialmente, devemos calcular o valor do reaé R$ 180,00 + R$ 36,00 = R$ 216,00. juste: basta determinar a diferença 150 – 120 = 30. Portanto, o comerciante aumentou R$ 30,00 no Atividade 7 preço do rodízio. O acréscimo percentual foi Primeiro, precisamos determinar quanto é 15% 30 1 25 = = 0,25 = = 25%. de R$ 315,00. 120 4 100 15 ⋅ 315 = 0,15 ⋅ 315 = 47,25 100 57 |

Habilidade (EF09MA05) Resolver e

elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira. LUPAS E LUNETAS Não, acréscimos sucessivos de 15% e 20% não equivalem a um acréscimo de 35%. Aplicando um acréscimo de 35% a R$ 8.000,00, obtém-se R$ 10.800,00. É comum os estudantes acreditarem que, ao adicionar os percentuais, o valor final será o mesmo. Porém, enfatize que se trata de acréscimos sucessivos, isto é, um após o outro, calculados sobre valores diferentes. Atividade 10

Primeiro ,devemos calcular a medida da área vendida ao familiar. Para isso, basta determinar quanto é 30% de 12 000: 0,30 ⋅ 12 000 = 3 600 Portanto, o familiar comprou um terreno com medida de área igual a 3 600 m2. Logo, sobra um total de 8 400 m2, do qual será utilizado 40% para a construção da casa. Portanto, 0,40 ⋅ 8 400 = 3 360, que será a medida do terreno destinada à construção da casa. E o restante, isto é, 8 400 – 3 360 = 5 040 m2 , será a medida do terreno destinada à área de lazer.

Uma maneira de responder a essa questão é primeiramente calcular o acréscimo de 15% sobre os 8 mil reais de salário de Valério: • 15% de R$ 8.000,00 corresponde a: 15 ⋅ 8 000 = 15 ⋅ 80 = 1 200 100 Como ocorreu um acréscimo, então o novo salário pode ser calculado por: R$ 8.000,00 + R$ 1.200,00 = R$ 9.200,00 Também poderíamos multiplicar o valor do salário por 1,15 porque: 8 000 +

15 15 ⎞ ⋅ 8 000 = 1,15 ⋅ 8 000 = 9 200 ⋅ 8 000 = ⎛ 1 + ⎝ 100 100 ⎠

Em seguida, precisamos calcular o acréscimo de 20% sobre o salário obtido anteriormente:

• 20% de R$ 9.200,00 corresponde a:

20 ⋅ 9 200 = 20 ⋅ 92 = 1840 100 Como ocorreu um acréscimo, então o novo salário pode ser calculado por: R$ 9.200,00 + R$ 1.840,00 = R$ 11.040,00 Também poderíamos multiplicar o valor do salário após o primeiro aumento por 1,20 porque: 9 200 +

20 20 ⎞ ⋅ 9 200 = 1,20 ⋅ 9 200 = 11040 ⋅ 9 200 = ⎛ 1 + ⎝ 100 100 ⎠

LUPAS E LUNETAS Nesse exemplo, foram realizados dois acréscimos sucessivos de 15% e 20%. Em duplas ou trios, conversem sobre esta questão: realizar esses acréscimos sucessivos é equivalente a realizar um acréscimo de 35% sobre R$ 8.000,00? Não, acréscimos sucessivos de 15% e 20% não equivalem a um acréscimo de 35%. Aplicando um acréscimo de 35% a R$ 8.000,00 obtêm-se R$ 10.800,00.

ATIVIDADES

10. Um terreno tem tamanho total de 12 mil m2.

O dono do terreno resolveu vender 30% para um parente e, depois, separou 40% do terreno restante para construir sua casa. Com o que sobrou, ele montou uma área de lazer. Qual é o tamanho da área de lazer? 5 040 m2.

11. Do meu salário, gasto 30% para pagar o aluguel.

Do que sobra, gasto 20% com alimentação. Por último, pego o que ainda resta e gasto 40% com o carro. Que percentual sobra do meu salário? 33,6%.

58 | TRAJETÓRIA 1

12. Acréscimos sucessivos de 20%, 30% e 10%

equivalem a um único acréscimo de qual percentual? 71,6%.

13. Um pequeno produtor de hortaliças, por

causa da instabilidade econômica do setor, realizou quatro acréscimos sucessivos de 5%, 6%, 3% e 9%, respectivamente, sobre seus produtos. Se ele fosse realizar um único acréscimo aos produtos, equivalente a esses quatro acréscimos, qual seria o índice percentual aproximado?

O acréscimo é igual a 0,2495, ou seja, aproximadamente 25%.

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Atividade 11

• Gastos com aluguel: 30%.

Portanto, sobra 70% do salário. • Gastos com alimentação: 20% de 70% do salário, isto é 0,20 ⋅ 0,7 = 0,14 = 14%. Portanto, sobra 70% – 14% = 56%. • Gastos com o carro: 40% de 56% do salário, isto é, 0,4 ⋅ 0,56 = 0,224 = 22,4%. Portanto, sobra 56% – 22,4% = 33,6%. 58 | MANUAL DO PROFESSOR

Assim, o percentual que sobra do salário é de 33,6%.

sivos equivalem a um único acréscimo percentual de 71,6%. 71,6 . Ou ainda: 1,2 ⋅ 1,3 ⋅ 1,1 = 1,716 = 1 + 0,716 = 1 + 100 71,6 Atividade 12 1,2 ⋅ 1,3 ⋅ 1,1 = 1,716 = 1 + 0,716 = 1 + . 100 Um acréscimo de 20% equivale a aplicar

o percentual de 120%. Acrescentar 30% signifi- Atividade 13 ca calcular 0,30 ⋅ 1,20 = 0,36 = 36%, e somar Os acréscimos sucessivos correspon120% + 36% = 156%. d e m a : 1,05 ⋅ 1,06 ⋅ 1,03 ⋅ 1,09 = 1,2495651 = 1 + 0,2495651 ≅ Por fim, para acrescentar 10% devemos 1,05 ⋅ 1,06 ⋅ 1,03 ⋅ 1,09 = 1,2495651 = 1 + 0,2495651 ≅ 100% + 25%. c a lc u l a r 0,10 ⋅ 1,56 = 0,156 = 15,6%, e s o m a r O acréscimo é igual a 0,2495651, ou seja, apro156% + 15,6% = 171,6%. Logo, os acréscimos sucesximadamente 25%.

#Matemática financeira no dia a dia Uma operação financeira que faz parte do dia a dia de muitas pessoas é o financiamento. Financiar algo é uma operação em que se paga por um bem ou serviço em várias parcelas. O objetivo é que todos ganhem: o cliente que não tem o dinheiro para comprar o produto à vista consegue o produto na hora, e o comerciante ganha porque vende para alguém que só compraria no futuro. Assim funciona a operação de financiamento ou parcelamento. Antes de continuar, vamos fazer um miniglossário para que não nos percamos nos termos: Entrada: valor inicial que se dá no ato da compra, diminuindo a dívida. Parcela: valor a ser pago todo mês pelo produto.

ALEXANDRE R./M10

Prazo: tempo necessário para pagar ou quitar o financiamento.

Acompanhe o exemplo: Júlia comprou um carro cujo valor é de 80 mil reais nas seguintes condições:

• entrada de R$ 35.000,00;

• saldo restante em 36 parcelas iguais mensais.

Qual será o valor da parcela mensal de Júlia?

Para calcular, subtraímos a entrada e dividimos o resto pelas parcelas: 80 000 – 35 000 = 45 000 45 000 ÷ 36 = 1 250 A parcela mensal de Júlia será de R$ 1.250,00.

Juros No exemplo, o valor do carro era R$ 80.000,00 e Júlia pagou apenas R$ 35.000,00 no momento da compra.

Vamos considerar dois lados dessa situação: o do vendedor e o do comprador. Do lado do comprador há uma vantagem pois, no momento da compra, ele não possuía toda a quantia necessária e ainda assim pôde comprar o carro. Podemos interpretar que essa pessoa tomou emprestado o valor restante, pagando-o em parcelas ao longo dos meses seguintes. Pensando no lado do vendedor, assim que ele efetuasse a venda, ele poderia ter disponível R$ 80.000,00 para usufruir, quando, na verdade, obteve apenas R$ 35.000,00. Para ser compensado por esse tempo no qual ele não pode usufruir do dinheiro total, ele recebe uma quantia denominada juros. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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Os juros geralmente são calculados percentualmente em relação ao total emprestado e de acordo com o período de tempo pelo qual o dinheiro fica emprestado. Por exemplo, vamos supor que uma pessoa tomou emprestado uma quantia de R$ 1.000,00 e deverá devolver o dinheiro após um mês acrescido de uma taxa de juros mensal de 2%. Calculando 2% de R$ 1.000,00: 2 ⋅ 1000 = 2 ⋅ 10 = 20 ! 100 juros Ao final do mês, a pessoa deverá devolver a quantia emprestada mais os juros: R$ 1.000,00 !#### #"#####$ + R$ !###20,00 "###$ = R$ 1.020,00 quantia emprestada

juros

O cálculo dos juros pode ser realizado segundo duas modalidades: simples ou compostos. Juros simples Os juros simples incidem sempre sobre o mesmo valor inicial, isto é, sempre calculamos um percentual sobre o valor inicial da dívida. Adilson realizou um empréstimo de R$ 2.000,00 que deverá ser pago após três meses com juros simples de 10% ao mês (a.m.). Vamos calcular os juros devidos a cada mês: 10 ! • 1o mês: 100 ⋅ 2 000 = 20 ⋅ 10 = 200 juros 10 ⋅ 2 000 = 20 ⋅ 10 = 200 ! • 2o mês: 100 juros 10 o • 3 mês: ⋅ 2 000 = 20 ⋅ 10 = 200 ! 100 juros Ao final do período ele deverá pagar: R$ 2.000,00 200,00 200,00 200,00 !##### "#####$ + R$ !#### "####$ + R$ !#### "####$ + R$ !#### "####$ = R$ 2.600,00

Atividade 14

Subtraindo o valor de entrada temos: 2 500 – 800 = 1 700; esse valor restante será dividido em 10 parcelas sem juros de 1 700 ÷ 10 = 170. Portanto, o valor de cada parcela será de R$ 170,00.

juros

quantia emprestada

juros

^ do 1 o mes

^ do 2o mes

juros

^ do 3 o mes

Juros compostos Diferentemente dos juros simples, os juros compostos não são calculados em relação à quantia inicialmente emprestada, mas em relação ao total acrescido dos juros do período anterior. Por esse motivo, é comum interpretar os juros compostos como “juros sobre juros”. Utilizando o mesmo exemplo anterior, mas calculando na modalidade de juros compostos: 10 • 1o mês: ⋅ 2000 ! ! = 20 ⋅ 10 = 200 100

Atividade 15

O preço final pago pela bicicleta foi: R$ 350,00 + 15 ⋅ R$ 120,00 = R$ 2.150,00.

• 2o mês:

+ 15 ⋅ R$ 120,00 = R$ 2.150,00. Sabe-se que o valor total pago foi de 120% do valor original da bicicleta, representado a seguir por x: 2150 1,2 ⋅ x = 2 150 → x ≅ 1 791,67. 1,2 2150 x = 2 150 → x ≅ 1 791,67. 1,2 Então, o valor original da bicicleta era de R$ 1.791,67.

• 3o mês:

10 ⋅ 100 10 ⋅ 100

juros

quantia emprestada

2 200 !

= 22 ⋅ 10 = 220 !

2 420 !

= 242 !

juros

quantia emprestada acrescida dos juros ^ do me s anterior

quantia emprestada acrescida dos juros do me^ s anterior

juros

Assim, Adilson deverá devolver, ao final dos 3 meses, uma quantia de: R$ 2.000,00 200,00 220,00 242,00 !##### "#####$ + R$ !#### "####$ + R$ !#### "####$ + R$ !#### "####$ = R$ 2.662,00 quantia emprestada

juros

^ do 1o mes

juros

^ do 2o mes

juros

^ do 3 o mes

60 | TRAJETÓRIA 1

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 16

Vamos calcular inicialmente Ou seja, quem escolher a opção a prazo pagará Carlos terá um total de R$ 20.812,08. o valor pago pelo cliente caso a mais R$ 122.000 – R$ 114.000 = R$ 8.000,00. Atividade 18 ele escolha a opção à vista: Atividade 17 0,95 ⋅ 120 000 = 114 000 Determinando os valores mês a mês: Portanto, o valor a ser pago Determinando os valores mês a mês: Mês Juros (R$) Valor (R$) à vista é de R$ 114.000,00. Mês Juros (R$) Valor (R$) Quem escolher a opção de 0 0,00 400,00 0 0,00 20.000,00 pagamento a prazo no final terá 1 60,00 460,00 1 200,00 20.200,00 pago um total de: 2 69,00 529,00 2 202,00 20.402,00 R$ 50.000,00 + 24 ⋅ R$ 3.000,00 = R$ 122.000,00 ⋅ R$ 3.000,00 = R$ 122.000,00 60 | MANUAL DO PROFESSOR

3 4

204,02 206,06

20.606,02 20.812,08

79,35

608,35

Isabela pagará R$ 608,35 pelo vestido.

ATIVIDADES

16. R$ 114.000,00 à vista. R$ 122.000,00 a prazo. R$ 8.000,00 a mais.

14. Marcos está parcelando a compra de sua

geladeira em 10 vezes sem juros. Se o valor da geladeira é de R$ 2.500,00 e a entrada foi de R$ 800,00, qual deve ser o valor de cada parcela? R$ 170,00.

Quem escolher a opção a prazo pagará quanto a mais do que quem pagar à vista?

17. Carlos colocou R$ 20.000,00 na poupança, que rende 1% ao mês. Após 4 meses, quanto ele terá se não fizer movimentações nesse

15. Carolina comprou uma bicicleta dando uma entrada de R$ 350,00 e pagando 15 parcelas mensais de R$ 120,00 cada uma. Se o preço final que ela pagou equivale ao preço original da bicicleta com 20% de acréscimo, qual era o preço original da bicicleta? R$ 1.791,67.

período? R$ 20.812,08.

18. Isabela vai comprar um vestido cujo preço original é R$ 400,00. Para poder parcelar a compra em 3 vezes sem entrada, ela pagará juros de 15% ao mês. Qual valor ela pagará

16. Um barco cujo valor é de R$ 120.000,00 está em promoção e o cliente pode escolher entre dois modos de pagamento: • à vista, com um desconto de 5% sobre o valor do barco; • a prazo, com entrada de R$ 50.000,00 e 24 parcelas mensais fixas de R$ 3.000,00.

pelo vestido? R$ 608,35.

19. Um colar custa R$ 500,00 e pode ser comprado parceladamente com entrada de R$ 150,00 e 5 parcelas mensais de R$ 80,00. Nesse caso, qual é o percentual de juros sendo cobrado na compra parcelada? 14,28% a.m.

#Sequências Como já apontado anteriormente, uma das preocupações da sustentabilidade financeira é a organização financeira no presente de modo a garantir que se possam realizar projetos no futuro ou se proteger no caso de eventualidades. De certo modo, essa é uma preocupação da área da economia como um todo. Apesar da impossibilidade de prever o futuro, economistas e profissionais da área sempre buscam se antecipar a eventos que estão por ocorrer. Olhar para o futuro é uma preocupação constante da Economia, e a Matemática auxilia de muitas maneiras, especialmente com ferramentas estatísticas. Vimos como a porcentagem e os cálculos de Matemática financeira impactam a vida econômica. A partir de agora, estudaremos uma outra ferramenta igualmente importante: as sequências. Vamos trabalhar com as sequências numéricas que, ao apresentarem um padrão, permitem encontrar os próximos termos a partir dos anteriores ou da posição do termo na sequência.

Escrevendo sequências na Matemática Para registrar uma sequência em Matemática, utilizamos uma notação específica. Vamos analisar o exemplo da sequência dos números pares positivos. Escrevemos a1 = 2; a2 = 4; a3 = 6; e assim por diante. O número subscrito que acompanha a letra a nos dá a posição do termo na sequência e é chamado de índice. Logo, saberemos facilmente nos referir ao valor do 17o termo dessa sequência, por exemplo: a17, e ao termo enésimo da sequência: an. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 19

O valor pendente parcelado foi de 500 – 150 = 350. Porém, ao final das parcelas o cliente paga um total de 5 ⋅ 80 = 400, ou seja, paga R$ 50,00 de juros. Para determinar o percentual de juros embutido na compra parcelada precisamos calcular quantos 50 ≅ 0,1428; isto por cento 50 representa de 350: 350 14,28 = 14,28% a.m. é, 0,1428 = 100

61 |

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL Pergunte aos estudantes se um desconto ou uma promoção pode prejudicar o consumo consciente. A ideia com esta proposta é relacionar o apelo do consumismo feito por promoções e propagandas, e abordar como essa prática pode ser prejudicial para pessoas em situação de vulnerabilidade social Antecipadamente, peça aos estudantes que pesquisem em folhetos de supermercado ou na internet produtos que ofereçam promoções, como por exemplo: Pague 3 e leve 4 ou na compra

Habilidades (EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira. (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis. de 3 produtos ganhe outro ou o oferecimento de combos, entre outros. Após essa etapa, reúna os estudantes em grupos e proponha uma discussão sobre o consumo consciente dos produtos, ou seja, que não considerem apenas o desconto ou a promoção, mas sim, a real necessidade daquela compra. Aproveite para falar de práticas abusivas e vendas casadas, que podem ser contra a lei do consumidor. Se desejar, oriente-os que pesquisem sobre o código de defesa do consumidor. Cada grupo deverá apresentar como avaliaram as compras em promoções. Para orientar essa apresentação escreva no quatro alguns pontos que poderão ser considerados. • Como fazer uma compra consciente? • Devemos comprar produtos em promoção, mesmo que não precisemos desse produto no momento? • Quais consequências podem ser observadas caso sejam comprados produtos considerando apenas as promoções? Finalize a atividade com a produção de um texto coletivo.

61 |

Habilidades (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis. (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

Note que, nesse caso, há uma relação entre o índice de um termo e seu valor na sequência dos números pares positivos: o número sempre será o dobro do índice. Assim, podemos escrever o chamado termo geral da sequência, isto é: an = 2n, n ∈ |N* Podemos dizer então que a sequência é (an ) = (2, 4, 6, 8, 10 ...). As reticências indicam que a an = 2n, sequência é infinita, e n ∈ |N* significa que n é um número natural não nulo. Se necessário, interrompemos a sequência onde quisermos. Poderíamos, por exemplo, escrever (an ) = (2, 4, 6, 8, 10 ... 328), indicando que a sequência é finita e seu último termo é o número 328.

Lei que determina a sequência Uma sequência pode ser definida por um termo geral, uma sentença matemática que nos auxilia a encontrar qualquer termo. Assim, por exemplo, se a sequência (an ) é definida pela expressão: an = n2 – 1, n ∈ |N*, podemos encontrar qualquer termo da sequência que quisermos, realizando o cálculo. Sabemos, por exemplo, que a30 = 302 – 1 = 899. Nesse exemplo, o cálculo do valor do 30o termo está relacionado à posição 30 do termo na sequência. Há uma outra maneira, no entanto, de escrever um termo geral, que é por uma lei de recorrência. A lei de recorrência gera os próximos termos de uma sequência por meio de termos anteriores. Por exemplo, veja a sequência (an ) definida por: ⎧a1 = 5 ⎨ ⎩an = 3an–1 , n > 1, n ∈ |N Nesse caso, observe que a1 foi dado e vale 5. A partir de a2 (é importante dizer que n > 1 para garantir que só utilizemos a lei de recorrência a partir de n = 2), no entanto, precisamos obter o valor de cada termo com base no anterior. Para calcular a2, trocamos n por 2 na lei da sequência: a2 = 3a2–1 ⇒ a2 = 3a1 ⇒ a2 = 3 ⋅ 5 = 15 Portanto, a2 = 15. Encontramos a3 multiplicando a2 por 3, o que nos leva a 45 e assim por diante. Podemos encontrar a sequência (an ) = (5, 15, 45, 135 ... ). No entanto, definir uma sequência por uma lei de recorrência impede que se encontre facilmente um termo longínquo. Se quisermos encontrar a10, teremos um certo trabalho, porque ele depende do valor a9, que depende do valor de a8 e assim por diante; recorremos sempre ao termo anterior. 62 | TRAJETÓRIA 1

LUPAS E LUNETAS

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 21

Ajude-os a perceber o padrão de formação a) a10 = 5 ⋅ 10 + 12 = 50 + 12 = 62 da sequência. Para facilitar, você pode utilizar a b) a197 = 5 ⋅ 197 + 12 = 985 + 12 = 997 5n + 12 < 1 000 sequência dentro de outro contexto, como a re5n < 988 produção de coelhos. n < 197,6 a1 = 1 ⎧ ⎪ 1 196 – 12 = 1 184, e 1 184 não é múlc) Não, porque a2 = 1 ⎨ ⎪a = a + a , n > 2 , n ∈ N tiplo de 5. n–1 n–2 ⎩ n

62 | MANUAL DO PROFESSOR

b 8

2 1 1

3 21 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021

a+b a + b está para a assim como a está para b A sequência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... pode ser expressa por uma lei de recorrência.

a1 = 1 a2 = 1 an = an–1 + an–2 , n  2, n ∈ N

LUPAS E LUNETAS

Com um colega, determine uma lei de recorrência que gere os termos da sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

ATIVIDADES

21. c) Não, porque 1 196 – 12 = 1 184 não é múltiplo de 5.

20. Escreva os três primeiros termos e o termo geral da sequência proposta. a) A sequência dos múltiplos naturais não nulos de 3. (3, 6, 9 ...); an = 3n, n ∈ |N* b) A sequência dos quadrados dos números naturais não nulos. (1, 4, 9 ...); an = n , n ∈ |N 2

21. Uma sequência tem como termo geral

an = 5(n – 1), n ∈ |N*

b) Qual é o termo geral dessa sequência?

c) Como você encontrou o resultado do item

anterior? Explique. Resposta pessoal.

23. Seja a1 = 7 e an = 4an–1 – 2, para n > 1. Encontre os cinco primeiros termos de (an). 7, 26, 102,

406, 1 622 24. Seja (bn ) = (7, 11, 15, 19 ...). a10 = 62 an = 5n + 12, n ∈ |N* . o a) Encontre o 10 termo dessa sequência. a) Escreva uma lei de recorrência para bn. b1 = 7 e bn = bn–1 + 4, para n natural, n > 1. b) Qual é o índice do maior termo dessa b) Encontre o termo geral de bn. sequência que ainda é menor que 1 000? bn = 4n + 3, para n natural, n ≥ 1. E qual é o valor do termo? n = 197; a197 = 997. 25. Obtenha os 5 primeiros termos das sequênc) Há algum termo dessa sequência que seja cias dadas pelas leis de formação: igual a 1 196? Justifique. 2 * a) an = n , n ∈ |N 1, 4, 9, 16, 25 22. Observe a sequência (an ) = (0, 5, 10, 15, 20 ...). b) bn = bn–1 + 2n – 1, com b1 = 1 e a) Qual é o próximo termo da sequência, n ∈ |N, n > 1 1, 4, 9, 16, 25 isto é, a ? a6 = 25 6

a) a1 = 12 = 1

a2 = 22 = 4

a3 = 32 = 9 a4 = 42 = 16 a5 = 52 = 25

b) b1 = 1 b2 = 1 + 2 ⋅ 2 – 1 = 1 + 4 – 1 = 4 b3 = 4 + 2 ⋅ 3 – 1 = 4 + 6 – 1 = 9 b4 = 9 + 2 ⋅ 4 – 1 = 9 + 8 – 1 = 16

63 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 22

Trata-se dos múltiplos naturais de 5, iniciando pelo zero. Assim, cada termo da sequência é dado por 5 vezes a posição anterior. an = 5(n – 1), n ∈ N*

b5 = 16 + 2 ⋅ 5 – 1 = 16 + 10 – 1 = 25

Atividade 23

a1 = 7 a2 = 4 ⋅ 7 – 2 = 28 – 2 = 26 a3 = 4 ⋅ 26 – 2 = 104 – 2 = 102 a4 = 4 ⋅ 102 – 2 = 408 – 2 = 406 a5 = 4 ⋅ 406 – 2 = 1 624 – 2 = 1 622 Atividade 24

Um modo de pensar é que a sequência já inicia com o valor 7 e, a cada novo termo, acrescenta-se 63 |

Habilidades (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações. 1 (EF09MA06) Compreender a = ⎛⎜ 1 + ⎞⎟ = 2; ⎝ relações 1⎠ as funções como 1 ⎛ de dependência unívoca a = ⎜ 1 + ⎞⎟ = 2,25; ⎝ 2 ⎠e entre duas variáveis 1 suas representações a = ⎛⎜ 1 + ⎞⎟ = 2,3704; ⎝ 3⎠ numérica, algébrica e 1 gráfica e utilizar 1 + ⎞⎟ ≅ 2,4414. a = ⎛⎜ esse ⎝ 4⎠ conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis. (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

TRAVESSIAS TRAVESSIA S O número de Euler

1 an = ⎛ 1 + ⎞ ⎝ n⎠

Calcule os termos a1, a2, a3 e a4 da sequência de Euler, considerando n um número natural não nulo. Utilize Leonhard Euler (1707-1783). uma calculadora. Um dos motivos que torna essa sequência interessante é que sua origem é um raciocínio relacionado a juros compostos. Para compreender melhor essa ideia, considere esta situação: uma pessoa tomou um empréstimo no valor de R$ 100,00 com juros compostos de 100% ao ano (a.a.). Calcule quanto essa pessoa deverá devolver ao fim do ano. R$ 200,00. Se essa pessoa tivesse que pagar juros compostos de 50% ao semestre (a.s.), quanto ela teria que devolver ao fim do ano? R$ 225,00. • E se essa pessoa tivesse que pagar juros compostos de 25% ao trimestre (a.t.), quanto ela teria que devolver ao fim do ano? Aproximadamente R$ 244,14. No primeiro caso, foi considerado 1 período com 100% de juros. No segundo caso, dividiu-se o ano em 2 períodos (semestres) com 50% de juros por período. No terceiro caso, dividiu-se o ano em 4 períodos (trimestres) com 25% de juros por período. • •

Aumenta, • aproximando-se, mas não ultra-• passando R$ 271,83.

Aumentando a quantidade de períodos e dividindo os juros por período dessa maneira, o que ocorre com a quantia a ser devolvida ao final do ano? Compare as quantias que devem ser devolvidas ao fim de um ano em cada caso com os termos da sequência de Euler calculados anteriormente. Você identifica similaridades ou padrões? Resposta pessoal. A princípio, imaginou-se que, seguindo o mesmo raciocínio dos três casos anteriores, seria possível obter quantias cada vez maiores, infinitamente. No entanto, percebeu-se que isso não ocorria, pois o valor nunca ultrapassava determinado patamar.

TRAVESSIAS • Os quatro primeiros termos da sequência de Euler são: 1 1 a1 = ⎛⎜ 1 + ⎞⎟ = 2; ⎝ 1⎠

Utilize a fórmula do termo geral da sequência de Euler e calcule an para n cada vez maior (utilize uma planilha eletrônica). Compartilhe com os colegas. A que conclusões vocês podem chegar? Resposta pessoal. Parece que o retorno financeiro só aumenta conforme a sequência aumenta? Sim e não. Como assim? Bem, a sequência continua aumentando infinitamente, porém, o quanto se ganha de um termo para o seguinte começa a ficar cada vez menor, fazendo com que, embora o crescimento ocorra, fique limitado por um certo valor. Não importa se você calcular o termo a3 000 ou a1 000 000, há um limite do qual os valores se aproximam cada vez mais, mas nunca conseguem ultrapassar. Esse limite é o número irracional e = 2,718281828459045235360287... •

1 a2 = ⎛⎜ 1 + ⎞⎟ = 2,25; ⎝ 2⎠ 2

1 a3 = ⎛⎜ 1 + ⎞⎟ ≅ 2,3704; ⎝ 3⎠ 1 a4 = ⎛⎜ 1 + ⎞⎟ ≅ 2,4414. ⎝ 4⎠ • Com 100% de juros ao ano: R$ 100,00 + 100% ⋅ R$ 100,00 = R$ 200,00

00% ⋅ R$ 100,00 = R$ 200,00

64 | TRAJETÓRIA 1

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

• Com 50% de juros ao semestre:

• Aumenta, aproximando-se, mas não ultrapas-

R$ 150,00 + 50% ⋅ R$ 150,00 = R$ 225,00 • Com 25% de juros ao trimestre: R$ 100,00 + 25% ⋅ R$ 100,00 = R$ 125,00

• Os termos correspondentes da sequência de

R$ 100,00 + 50% ⋅ R$ 100,00 = R$ 150,00

R$ 125,00 + 25% ⋅ R$ 125,00 = R$ 156,00 R$ 156,25 + 25% ⋅ R$ 156,25 = R$ 195,31 R$ 195,31 + 25% ⋅ R$ 195,31 = R$ 244,14 Aproximadamente R$ 244,14.

64 | MANUAL DO PROFESSOR

•

ROSEED ABBAS/ SHUTTERSTOCK

Um dos números mais importantes para a Matemática aplicada à Economia é o número de Euler, simbolizado pela letra e em homenagem ao matemático que o descobriu, Leonhard Euler (1707-1783). O número de Euler é obtido a partir de uma sequência bastante interessante, cujo termo geral é:

sando R$ 271,83. Euler são:

1 a1 = ⎛⎜ 1 + ⎞⎟ = 2; ⎝ 1⎠ 1

1 a2 = ⎛⎜ 1 + ⎞⎟ = 2,25; ⎝ 2⎠ 2

1 a4 = ⎛⎜ 1 + ⎞⎟ ⎝ 4⎠

≅ 2,4414.

LEVO NA BAGAGEM

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Consulte todas as suas produções até agora neste passeio e avalie seu aprendizado sobre: ▶ Matemática • Você sabe resolver problemas envolvendo porcentagens nos mais variados contextos? • Explora situações financeiras para tomar as melhores decisões diante de várias possibilidades? • Analisa sequências numéricas, percebendo – quando há – um padrão e encontrando o termo seguinte? • Calcula e resolve situações envolvendo juros simples ou juros compostos? ▶ Outras disciplinas Geografia • Compreende o mundo financeiro em que vivemos, incluindo os impactos do capital financeiro na sociedade? Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

65 |

• Oriente os estudantes no uso das planilhas ele-

trônicas para o cálculo dos termos da sequência de Euler e nas conclusões sobre o limite da sequência.

65 |

BARCOS E PORTOS

Organize

Acompanhe e oriente os estudantes na retomada dos conceitos centrais abordados no passeio, esclarecendo dúvidas remanescentes e incentivando a pesquisa sobre temas da educação financeira que possam ter despertado a curiosidade e a vontade de saber mais a respeito. Elabore

Avalie se os estudantes conseguem determinar com facilidade, com alguma dificuldade ou não conseguem determinar os primeiros termos e a lei do termo geral da sequência apresentada: 1 a1 = , a 2 = 1 e a 3 3 3 a n = 3n–2 , n ∈ IN* Se necessário, providencie atividades para aprimorar a compreensão dos temas do passeio.

▶ Organize Respostas pessoais. Este passeio chegou ao fim. Agora, você pode recuperar os temas essenciais ou resgatar detalhes que ainda lhe parecem pouco claros. Para isso, faça um texto simples, com dois ou três parágrafos, resumindo o que aprendeu, considerando os temas porcentagem, Matemática financeira e sequências. Dê exemplos de cada um deles, para que possa verificar se realmente os entendeu, e crie uma sequência numérica de sua autoria relacionada a um contexto de finanças. Consulte o mapa de vínculos e ênfase que está na seção Arredores e as atividades feitas ao longo deste passeio para ver se esqueceu algo. a) Após terminar, crie três questões sobre assuntos do passeio, entregue para seu

colega resolver e peça que ele faça o mesmo. Tente resolver os exercícios que ele lhe passou e, se tiver dúvidas, retome o conteúdo ou tire dúvidas com seu professor. b) Depois, receba de volta o que seu colega fez e verifique se ele acertou e se algum

de vocês ainda tem dúvidas em alguma operação. Caso algum conceito ou ideia não tenha ficado claro, peçam auxílio ao professor ou pesquisem juntos para corrigir isso. ▶ Elabore Esther encontrou alguns registros antigos de uma sequência numérica e está tentando descobrir se há alguma regra que permita criar um termo geral para essa sequência. O problema é que ela não consegue encontrar os três primeiros termos da sequência; ela tem apenas cinco termos, conforme mostrado:

a) a1 =

1 , a2 = 1 e a3 = 3. 3

TERMO

VALOR

243

729

a) Observando as relações entre os números do quadro, encontre os termos a1, a2 e a3. b) Encontre um termo geral para a sequência de Esther. an = 3n–2 , n ∈ |N* c) Elabore uma sequência parecida com a que Esther encontrou, escreva seu termo

geral e os cinco primeiros termos. Respostas pessoais. 66 | BARCOS E PORTOS

66 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Proponha

▶ Proponha

O objetivo dessa atividade está relacionado a aplicações da Matemática e autoconhecimento. Os estudantes percebem que a Matemática Financeira está presente em sua vida e que, fazendo uma reflexão amparada pelos conhecimentos matemáticos, podem melhorar sua condição financeira, ainda que jovens, o que cria uma consciência que pode ser potencializada no futuro.

A pergunta inicial deste passeio é: O que é sustentabilidade financeira? Registrar gastos é o primeiro passo para nos tornarmos conscientes de nossa vida financeira. Junte-se com dois ou três colegas e respondam:

a) Quanto vocês gastaram na última semana? Tentem lembrar o máximo que

conseguirem.

b) Quanto você custa mensalmente para sua família? Pesquise os valores e faça uma

estimativa.

c) Após ter feito os itens anteriores, opine: você acha que gasta mais dinheiro do que

deveria?

SMALL SMILES/SHUTTERSTOCK

Pense em quanto dinheiro poderia economizar se tomasse algumas atitudes em sua vida e anote essas possíveis atitudes. Se tomasse as atitudes propostas, quanto dinheiro economizaria em um ano?

Cuidados com os recursos financeiros beneficiam a todos.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

67 |

VISTORIAS

5 8 5. 3,84 × 10 e 5,88 × 10 . A distância da Terra a Júpiter é cerca de 1 500 vezes a distância da Terra à Lua.

VISTORIAS

Habilidades de Matemática: EF09MA01, EF09MA02, EF09MA03, EF09MA04, EF09MA05, EF09MA06,

Você chegou ao final da Trajetória. Reflita sobre tudo o que aprendeu e verifique a qualidade da sua aprendizagem. Resolva todos os exercícios no caderno.

EF09MA08

CHECK-OUT 1. Número com infinitas ordens decimais não periódicas e que não é resultado da divisão de inteiros quaisquer que sejam (não é uma razão de inteiros).

Atividade 1

3 39 . 2. 9 é irracional; 9 =é racional. 4 4

irracional?

Número com infinitas ordens decimais não periódicas e que não é resultado da divisão de inteiros quaisquer que sejam (não é uma razão de inteiros).

aprendendo potenciação na escola e viu que, em determinado momento, aparece esta imagem no filme:

CHRISDORNEY/SHUTTERSTOCK

94 é um número irracional, pois a raiz quarta de nove ao cubo não é exata. 3 9 4 é um número racional: 3 36 3 39 9 = + = . 4 4 4 4

40 maçãs.

8. Um comerciante precisou subir seus preços

Ela se confundiu e achou que se tratava de 3

94. Esse número é racional ou irracional? E

Escrevemos

45 como

o número 94 ? Justifique.

3 ⋅ 5 = 3 5 pela simplificação e adicionamos a 5, obtendo 4 5. 2

3. Explique, com suas palavras, como devemos efetuar a operação 5 + 2

⎛ 54 ⋅ 58 ⎞ 30 ⎝⎜ 5–3 ⎠⎟ . 5

⎛ 54 ⋅ 58 ⎞ ⎛ 512 ⎞ 15 2 30 ⎜⎝ ⎟⎠ = ⎜⎝ –3 ⎟⎠ = (5 ) = 5 –3 5 5

384 000 km. Já a distância entre a Terra e Júpiter é de 588 000 000 km. Escreva esses dois números em notação científica (arre384 000 = 3,84 × 105 e 588 000 000 = 5,88 × 108 . donde, se necessário) e compare-os. 8

Atividade 5

6. A engenheira Allana está com um problema:

foram enviados canos no tamanho errado para sua obra! Os canos de que ela precisa deveriam ter comprimento 3 m e os que foram enviados têm 4 729 m. Para tentar reaproveitar o material, ela precisa ver quantos canos de 3 m podem ser cortados de um 4 cano de 729 m. Encontre essa quantidade.

Atividade 6

Podemos cortar 3 canos menores porque: 3 729 = 1 =3 3 32

6–2 4

= 31 = 3

Podem ser cortados 3 canos menores. 68 | VISTORIAS

taxa de 20% ao ano, que valor teremos após 3 anos de investimento no regime de juros compostos? R$ 77.760,00.

10. Um arqueólogo, estudando ruínas, encontrou

5. A distância entre a Terra e a Lua é de

84 × 105 e 588 000 000 = 5,88 × 10 . A distância da Terra a Júpiter é cerca de 1 500 vezes a distância da Terra à Lua.

9. Ao investir um capital de R$ 45.000,00 a uma

45. Resposta pessoal. 4 5.

4. Reduza a uma única potência a expressão

Atividade 4

6 4

em 15% para atualizar os valores por conta da inflação. A média do preço de seus produtos era de R$ 150,00 antes do aumento. Passado um certo tempo, ele precisou fazer um novo aumento, dessa vez de 18%. Nesse caso, qual é o novo valor da média do preço de seus produtos? R$ 203,55.

Número que aparece no filme.

Atividade 3

cesta cheia de maçãs. Deixou 25% das maçãs na casa de sua tia. Depois, foi para a casa de sua avó e deixou lá mais 20% da quantidade original de maçãs da cesta. Em seguida, deixou mais 14 maçãs com seus amigos. Se, ao final, sobrou 20% da quantidade original de maçãs, quantas maçãs havia na cesta quando Pedrinho saiu de casa?

3 4

2. Maíra é fã de filmes de fantasia. Ela está

Atividade 2

7. Pedrinho saiu de casa pela manhã com uma

1. Quais são as características de um número

uma tábua curiosa em que estavam escritas três sequências numéricas e um código: • 8, 13, 18, 23, 28 ... • 11, 13, 15, 17, 19 ... • 3, 6, 9, 12, 15 ... Na placa, dizia que o código era igual ao primeiro número comum às três sequências. Qual era o código? 33. n

11. Uma sequência é tal que an = 2 + 3, n ∈ |N .

a) Calcule a1, a2 e a10. a1 = 3,5; a2 = 4; a10 = 8. b) Encontre dois termos dessa sequência

cuja diferença seja 5.

11. b) Quaisquer dois termos cuja diferença de índices seja de 10 uniNÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. dades terão a diferença de valores 5.

Atividade 7

Sendo x o número de maçãs, temos: x – 0,25x – 0,20x – 14 = 0,20x 0,35x = 14 x = 40 40 maçãs. Atividade 8

150 + 15% ⋅ 150 = 172,50 172,50 + 18% ⋅ 172,50 = 203,55 R$ 203,55. 68 | MANUAL DO PROFESSOR

Atividade 9

• 1o ano: 45 000 + 20% ⋅ 45 000 = 54 000; • 2o ano: 54 000 + 20% ⋅ 54 000 = 64 800; • 3o ano: 64 800 + 20% ⋅ 64 800 = 77 760.

Após 3 anos de investimento: R$ 77.760,00.

Atividade 10

• 8, 13, 18, 23, 28, 33 ... (de 5 em 5); • 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33 ... (de 2 em 2);

• 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33 ... (múltiplos não nulos de 3). O código era 33.

Atividade 11

a) Considerando an = a1 =

n + 3, n ∈ N*: 2

1 2 10 + 3 = 3,5; a2 = + 3 = 4 e a10 = + 3 = 8. 2 2 2

Dicas de estudo

DE OLHO NA BÚSSOLA Após resolver os exercícios da seção Check-out, verifique se você aprendeu a: OBJETIVOS

EXERCÍCIOS

Reconhecer que existem segmentos de reta cuja medida do comprimento corresponde a um número não racional.

1, 6

Diferenciar os conjuntos numéricos, reconhecendo as características dos elementos de cada um.

1, 2

Reconhecer um número irracional – inclusive em sua representação decimal infinita e não periódica – como um número real.

1, 2, 6

Calcular o valor de uma potência com expoente racional.

2, 3, 4, 6

Efetuar operações com potências e raízes de diferentes expoentes e índices, fazendo as adaptações necessárias para a efetuação do cálculo.

2, 3, 4, 5, 6

Conhecer e aplicar as propriedades da potenciação no contexto dos números reais.

4, 5

Escrever e analisar números em notação científica, fazendo arredondamentos quando necessário. Resolver problemas envolvendo porcentagens nos mais variados contextos.

Leia com os estudantes as dicas de estudo e converse sobre as maiores dificuldades enfrentadas por eles. Muitas vezes, as dificuldades não estão relacionadas aos conceitos específicos trabalhados, mas à organização de metas, de horários de estudo, de materiais, do grupo de colegas que compartilham o estudo, dentre outras situações de âmbito individual, familiar ou coletivo.

5 7, 8, 9

Explorar situações financeiras para tomar as melhores decisões diante de várias possibilidades.

8, 9

Analisar sequências numéricas, reconhecendo padrões e determinando os próximos termos.

10, 11

Calcular e resolver situações envolvendo juros compostos.

Considerando os exercícios que resolveu, como você julga seu desempenho: insuficiente, parcialmente suficiente, satisfatório, plenamente satisfatório? Respostas pessoais.

Prossiga ▶ Continue estudando! Retome esta Trajetória buscando, com professores e colegas, alternativas para superar os obstáculos de sua aprendizagem. Estude a seção Retornos e resolva novos exercícios referentes à Trajetória 1 que estão na seção Suplemente sua aprendizagem, ao final do livro.

DICAS DE ESTUDO Melhore seu foco nos estudos! Para que sua aprendizagem seja cada vez mais satisfatória, é preciso que você se mantenha focado. Leia as atitudes a seguir e observe quais delas já aplica e quais pode inserir na sua rotina de estudos imediatamente!

1. Organize um programa de estudos. 2. Defina pequenas metas diárias. 3. Utilize algum método de gerenciamento de tempo (se você não conhece nenhum, pesquise). 4. Conheça e respeite os seus limites. 5. Desenhe mapas mentais. 6. Elimine todas as distrações. 7. Não deixe de descansar e se divertir. Reflita a respeito de cada uma e tire o melhor proveito em seus estudos. 69 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

b) Quaisquer dois termos cuja diferença de índices

seja de 10 unidades terão a diferença de valores igual a 5: a a !####" ####$ !###" ###$ m n ⎛ ⎞ ⎛ + 3⎟ – ⎜ + 3⎞⎟ = 5 ⎜⎝ ⎠ ⎝2 ⎠ 2 m

Por exemplo: a20 – a10 = 13 – 8 = 5

⎛ m⎞ – ⎛ n⎞ = 5 ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ 2 2 ⎛ m – n⎞ = 5 ⎜⎝ ⎟ 2 ⎠ m – n = 10

69 |

TRAJETÓRIA 2 PANORAMA DA TRAJETÓRIA

TRAJETÓRIA 2

Habilidades de outras disciplinas: Geografia: EF09GE13 Língua Portuguesa:

ANTON VIERIETIN/SHUTTERSTOCK

Habilidades de Matemática: EF09MA06, EF09MA07, EF09MA08, EF09MA09.

ALPHASPIRIT.IT/SHUTTERSTOCK

Competências específicas: 6, 7, 8.

3RDTIMELUCKYSTUDIO/SHUTTERSTOCK

Competências gerais: 4, 8, 9.

EF69LP03

História: EF09HI36 Temas Contemporâneos Transversais: Educação Alimentar e Nutricional Vida Familiar e Social Ciência e Tecnologia Sugestão de atividades

Seguindo um caminho de reflexões “mais maduras” para os estudantes, é apresentada a seguinte pergunta norteadora: Como as diversas relações interferem em nossas vidas? Nesse sentido, espera-se reflexões por parte dos estudantes não somente sobre como as diferentes relações que permeiam a vida cotidiana impactam suas vidas, como mas também sobre as responsabilidades de cada um na criação e nas maneiras de lidar com tais relações. Tratase de olhar coletivamente, de saber-se como parte de uma complexa rede de relações e, dessa forma, olhar também para a própria individualidade e reconhecer as maneiras de se posicionar e construir relações que impactam o outro. Tal processo proporciona ao estudante refletir sobre como diferentes pessoas, de diversas matrizes culturais e crenças, de diferentes grupos sociais, com variadas identificações étnico-raciais, de gênero etc., estabelecem suas relações com o mundo. Nesse sentido, não basta apenas reconhecer a “existência do outro” em suas particularidades e diferenças, mas, também, valorizar suas contribuições ao mundo. Ao longo da Trajetória, são apresentadas situações em 70 | MANUAL DO PROFESSOR

COMO AS DIVERSAS RELAÇÕES INTERFEREM EM NOSSAS VIDAS? • Em que situações nos envolvemos com ideias de

proporcionalidade?

• Como relacionamos valores, ideias e números? • Como as relações podem impactar nossa vida?

70 | Trajetória 2

diferentes contextos que podem tanto evocar explicitamente reflexões sobre como o estudante se posiciona e estabelece diferentes relações com o mundo e com as pessoas, quanto criar aberturas para a reflexão a partir da própria matemática. Por exemplo, questões sobre justiça podem ser trazidas à tona ao discutir a ideia de proporcionalidade e/ ou divisões não equitativas. Assim, dada a complexidade da pergunta norteadora e as muitas possibilidades para discussão, é importante manter um espaço nas aulas pensado

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

para se discutir o tema. Note que é fundamental que este espaço se estabeleça com base no respeito às ideias de todos, de modo que possam ouvir e também se sentir ouvidos. Tais temas, em certos casos, podem gerar polêmicas. Nesse sentido, estabelecer regras de convívio, exercitar o respeito aos turnos de fala dos demais, construir argumentações bem fundamentadas etc. são necessárias para o bom funcionamento desse espaço. Dependendo dos temas e ou discussões realizadas, é possível pensar desdobramentos como

ANDRII YALANSKYI/SHUTTERSTOCK

CONTEÚDOS DA TRAJETÓRIA Passeio 1 – Razão e proporção

• Razão entre duas grandezas • Proporcionalidade direta e inversa

• Regra de três • Taxa de variação média Passeio 2 – Produtos notáveis e equações polinomiais do 2o grau

• • • • RAWPIXEL.COM/SHUTTERSTOCK

Blocos de madeira sextavados representando uma rede de inter-relações entre diferentes pessoas.

Incógnita e variável Produtos notáveis Fatoração Equações polinomiais do 2o grau

Passeio 3 – A ideia de função

• Funções • Função afim • Representação gráfica LUPAS E LUNETAS

Jovens interagindo em redes sociais.

“Estamos todos interligados.” Essa é uma expressão que nos remete à ideia de interdependência, reconhecida como uma das características fundamentais para a existência e o funcionamento dos grupos. Dentro dos grupos assumimos padrões de interação, desde os mais estáveis e duradouros até os rápidos e efêmeros. Dentro dos grupos partilhamos (de modo igual, proporcional ou não proporcional) tarefas, opiniões, bens etc. Essas relações valem para ações locais ou globais.

As perguntas de abertura desta Trajetória têm por objetivo proporcionar aos estudantes um momento de reflexão, pessoal e interpessoal, sobre o modo como se relacionam com as pessoas de seu convívio social, o que aprendem com elas e como contribuem, mas utilizando palavras-chave que estão associadas a conceitos matemáticos, como proporcionalidade, valor e número.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Reflita sobre as questões expostas anteriormente e considere-as para elaborar outras perguntas de sua própria autoria. Publique suas perguntas no mural da sala de aula e aprecie as perguntas dos colegas.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

o desenvolvimento de situações de debates regrados ou ainda de entrevistas com convidados. Independentemente da situação, sempre que possível, é interessante contar com a colaboração de outros professores ou pessoas que participam do cotidiano escolar, de modo a promover uma maior diversidade de ideias e pontos de vistas. Especialmente no caso dos debates regrados, é fundamental o estabelecimento não só de suas regras e objetivos, como também do tempo planejado para a atividade. Dessa maneira, atua-se

71 |

pedagogicamente no sentido de transformar a própria oralidade em aprendizado e, ao desenvolver boas argumentações (utilizando ou não elementos oriundos da Matemática), trabalhar também aspectos do letramento e do letramento matemático.

71 |

Habilidade

PASSEIO 1 – RAZÃO E PROPORÇÃO

(EF09MA07) Resolver

CHECK-IN a) e b) Há 8 pessoas, e, portanto, 8 ideias expostas.

EM QUE SITUAÇÕES NOS ENVOLVEMOS COM IDEIAS DE PROPORCIONALIDADE? ALPHASPIRIT.IT/SHUTTERSTOCK

problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

c) Devemos dividir cada tem-

po de experiência por 3, a fim de determinar quantos agrupamentos de 3 anos a pessoa tem na empresa; em seguida, multiplicar por 2, visto que a cada agrupamento de 3 anos a pessoa propõe 2 ideias. • Pessoa A: 9 ÷ 3 = 3; 3 ⋅ 2 = 6 ideias. 9 ÷ 3 = 3; 3 ⋅ 2 = 6 ideias. • Pessoa B: 6 ÷ 3 = 2; 2 ⋅ 2 = 4 ideias. 6 ÷ 3 = 2; 2 ⋅ 2 = 4 ideias. • Pessoa C: 7,5 ÷ 3 = 2,5; 2,5 ⋅ 2 = 5 ideias. ÷ 3 = 2,5; 2,5 ⋅ 2 = 5 ideias. Assim, as três pessoas apresentariam juntas 15 ideias.

Imagem alegórica de profissionais com lâmpadas em suas mãos simbolizando o compartilhamento de ideias.

CHECK-IN Pensar proporcionalmente é fundamental para o raciocínio humano. Apoiada no pensamento algébrico, a ideia de proporcionalidade tem também significado de partilha desigual, porém sujeita a uma regularidade algébrica. Observe a imagem e responda: a) Cada pessoa levou ao centro da mesa uma mão com uma lâmpada. Quantas pes-

soas há? 8 pessoas.

b) Se cada lâmpada for uma ideia, quantas ideias foram expostas? 8 ideias.

c) Suponha que cada pessoa apresentasse uma quantidade de ideias conforme seu

tempo de experiência: para cada 3 anos de experiência, trouxesse duas ideias. Veja o tempo de experiência das pessoas A, B e C: A: 9 anos; B: 6 anos; C: 7,5 anos. Quantas ideias essas três pessoas apresentariam juntas? 15 ideias.

72 | TRAJETÓRIA 2

72 | MANUAL DO PROFESSOR

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ARREDORES

PROPORÇÃO

RAZÃO Grandezas

Taxa de variação média

Regra de três Escala

Plano cartesiano

Velocidade média

Densidade demográfica

Divisão em partes proporcionais

Gráfico

EF09MA07, EF09MA08 EF09GE13

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: • • • • •

Reconhecer a proporcionalidade entre grandezas, seja direta ou inversa (ou não proporcionais), elaborando e resolvendo problemas envolvendo tais grandezas. Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade média ou densidade demográfica. Reconhecer e calcular a taxa de variação média de uma grandeza em relação a outra a partir de uma razão ou gráfico, nos mais variados contextos. Resolver e elaborar problemas que envolvam a divisão em partes proporcionais. Refletir sobre o problema da distribuição proporcional dos alimentos no mundo, apesar de a produção ter aumentado.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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ATMOSFERA Aproveite a oportunidade oferecida pelo texto e pelas questões para trabalhar o Tema Contemporâneo Transversal (TCT) Vida Familiar e Social. Explore com os alunos noções a respeito da empatia, cooperação e cidadania, conforme indicado na competência geral 9. Proponha uma conversa que destaque o respeito ao outro e as atitudes necessárias aos alunos para se fazer respeitar – por exemplo, ao se envolver com tarefas domésticas, buscar atitudes de afinco e dedicação ao realizar aquilo que de melhor podem oferecer dentro do grupo familiar ao qual pertencem. Atividade 2

Muitos estudantes auxiliam a família nas tarefas domésticas, como no cuidado de familiares. Procure abordar o tema com cuidado, escutando atentamente as colocações dos alunos, sem julgamentos, mas questionando sobre preconceitos de gênero ou etários. Atividade 3

Aproveite o momento para dar dicas de estudo e organizar um planejamento semanal com os alunos.

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL Peça que verbalizem como participam da organização de seus objetos pessoais e da limpeza e organização da casa. Organize-os em duplas ou trios para conversarem sobre 74 | MANUAL DO PROFESSOR

ATMOSFERA Os benefícios das tarefas domésticas para crianças [...] Não são apenas a longo prazo que surgem os benefícios para as crianças que ajudam nos afazeres domésticos. Isso porque, desde cedo, elas desenvolvem características como a autonomia. E um estudo realizado na Universidade de Montreal, no Canadá, mostrou, por exemplo, que quando os pais dão autonomia há um impacto positivo na função executiva, um dos pilares do desenvolvimento cognitivo. Ou seja, promove uma melhora na memória de trabalho, no raciocínio, na capacidade de resolução de problemas e flexibilidade de tarefas, além da capacidade de planejamento e execução de atividades. Sendo assim, tudo isso deve ser trabalhado desde muito cedo com a criança. [...]

TRZYKROPY/SHUTTERSTOCK

(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

Pai e filho dividindo a tarefa de separar e dobrar as roupas.

MAGIONI, Danielly. Os benefícios das tarefas domésticas para crianças. Mundo em cores.com. Disponível em: https://mundoemcores.com/os-beneficios-das-tarefas-domesticas-para-criancas. Acesso em: 29 ago. 2022.

A diferença entre trabalho infantil e afazeres domésticos [...] Ensinar a criança a ajudar em casa é muito diferente de utilizar o seu trabalho como fonte de renda. É importante a criança ter tempo para cada coisa, inclusive para ajudar nas tarefas domésticas, ou seja, é importante que ela possa ajudar a lavar a louça, arrumar a própria cama, aprender a cuidar da plantação e outras atividades que fazem parte da rotina caseira e que não são considerados trabalho infantil. [...]

VH-STUDIO/SHUTTERSTOCK

Habilidade

Mãe e filha adolescente limpando juntas o banheiro.

ENTREVISTA com Ida Regina Moro: luta contra o trabalho infantil. Programa de rádio Viva a Vida da Pastoral da Criança. Curitiba, 10 jun. 2019. Disponível em: www.pastoraldacrianca.org.br/trabalho-infantil. Acesso em: 30 ago. 2022. ATIVIDADES

1. a) Promove melhora na memória, no raciocínio e na capacidade de resolução de problemas, além da capacidade de planejamento e execução de atividades.

Considere os dois textos e responda: 1. b) O trabalho infantil é utilizado como fonte de renda; os afazeres domésticos são parte da rotina da casa.

a) A participação das crianças nas tarefas domésticas produz quais benefícios para

elas?

b) Qual é a diferença entre trabalho infantil e afazeres domésticos?

2. 3.

Qual é sua participação nas tarefas domésticas dentro de sua família? Como você acolhe essa ideia? Respostas pessoais. Pense em quais tarefas domésticas você tem aptidão para realizar. Organize sua rotina, dividindo suas horas disponíveis no dia proporcionalmente à quantidade de tarefas escolares e domésticas que você tem.

74 | TRAJETÓRIA 2

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

as tarefas que fazem e as que pretendem realizar cartazes com relatos e modelos de planilhas sobre em breve, considerando o bem-estar familiar. a organização das tarefas da casa para que colegas Adicionalmente ao planejamento de estudos, de outras turmas possam usa-las como exemplo. proponha que criem uma planilha de acompanhamento das tarefas domésticas que realizaram. Depois de um mês, solicite que conversem com seus responsáveis sobre pequenos relatos de como essas mudanças na rotina da casa contribuíram para aliviar sua demanda de trabalho. Sugira que reflitam sobre como essas mudanças impactaram sua rotina e o convívio familiar. Confeccionem

Habilidade

#Proporcionalidade

HAGAR, O HORRÍVEL, DIK BROWNE

Leia as tirinhas.

PEANUTS, CHARLES SCHULZ/ PEANUTS WORLDWIDE

BROWNE, Chris. Hagar, o horrível. Disponível em: http://hagardunor.net/comicsByDate.php?date=20030812. Acesso em: 29 ago. 2022.

Charles M. Schulz. Tirinha do Charlie Brown.

LUPAS E LUNETAS a) Por que uma das pessoas quer separar a conta do jantar na 1a tirinha? Resposta pessoal. b) Que tipo de operação matemática a menina está fazendo na 2a tirinha? Se cada livro tiver 120 páginas, quantos dias ela demoraria para ler todos os quatro? Divisão. 32 dias. c) Você acha que nas duas tirinhas há um pensamento de proporcionalidade? Explique. Respostas pessoais.

O pensamento proporcional é utilizado em contextos diversos (científicos, socioculturais, ambientais etc.) quando se busca analisar situações que envolvem, por exemplo, relações de proporcionalidade entre duas grandezas, taxa de variação média e divisão em partes proporcionais, temas que serão estudados neste passeio. ATIVIDADES

4. Quais destas situações envolvem um pen-

samento proporcional? a) O valor total a pagar por uma quantidade de pão conforme aumenta sua quantidade. b) A relação entre a velocidade que sofre variações ao longo de um trajeto e o tempo ao dirigir.

c) Dividir uma conta entre amigos, de acordo

com o que cada um consumiu. d) Partilhar as tarefas de casa, aceitando

em que cada um está disposto a ajudar. e) A variação de temperatura ao longo das

horas do dia.

Apenas os itens a e c envolvem o pensamento proporcional.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LUPAS E LUNETAS a) Espera-se que os estudantes identifiquem e

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finalizar a leitura de um livro. Considerando que os quatro livros têm a mesma quantidade de páginas, temos 8 × 4 = 32, isto é, serão necessários 32 dias para ler todos os livros. c) Espera-se que concluam que ambas as tirinhas apresentam um pensamento de proporcionalidade direta, seja em uma divisão equitativa ou não.

compreendam a sátira da tirinha, na qual um dos personagens pediu uma quantidade muito grande de comida, enquanto o outro pediu uma quantidade pequena. Assim, para não pagar além do que irá consumir, o personagem propôs que a conta fosse paga proporcionalmente ao Atividade 4 consumo de cada um. Apenas os itens a e c envolvem o pensamento b) Divisão. Como a menina pretende ler 15 págiproporcional. nas por dia, precisará de 120 ÷ 15 = 8 dias para

75 |

LUPAS E LUNETAS Para realizar o mesmo trajeto em maior tempo, Carlos deverá diminuir sua velocidade média: para levar o dobro do tempo, ele deveria manter a <Arte usa a imagem metade da velocidade média.

como referência, mas não precisa ser exatamente esta; atenção: o personagem daqui se repete na imagem seguinte>

Grandezas proporcionais Em anos anteriores você estudou que grandeza é tudo que pode ser medido. As grandezas podem ser classificadas em grandezas de base e grandezas derivadas. Veja a definição do INMETRO (Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade e Tecnologia): [...] As grandezas de base utilizadas no SI são: comprimento, massa, tempo, corrente elétrica, temperatura termodinâmica, quantidade de substância e intensidade luminosa. As grandezas de base são,

por convenção, consideradas como independentes. As unidades de base correspondentes do SI, escolhidas pela CGPM, são: metro, kilograma [sic], segundo, ampere, kelvin [sic], mol e candela. [...]

INMETRO. Sistema Internacional de Unidades (SI). Duque de Caxias, 2012. p. 16.

A velocidade média, por exemplo, é uma grandeza derivada, que pode ser calculada pela razão entre a distância percorrida (comprimento, medido em km, por exemplo) e o tempo gasto no percurso para chegar até o local de destino (tempo, medido em horas, por exemplo).

vm =

dista^ ncia total percorrida d ou v m = tempo gasto no percurso t

Observação: conforme o Sistema Internacional de Unidades (SI), a velocidade média é dada em m/s. Situação 1 Carlos está planejando uma viagem de sua cidade até a praia. Ele sabe que a distância a ser percorrida é de 200 km e não quer demorar mais do que duas horas e meia para chegar até lá. Qual será a velocidade média que permitirá a Carlos cumprir o horário que deseja? GOODSTUDIO/SHUTTERSTOCK

A solução desse problema pode ser encaminhada analisando as grandezas. A distância que Carlos precisa percorrer é fixa, todavia, se ele desejasse, poderia variar a velocidade média, o que alteraria o tempo da viagem, e vice-versa. Assim, temos: a distância (d) está fixa e o tempo (t) e a velocidade média (vm), variáveis: d 200 km t vm = d vm = = 80 km/h t substituindo 2,5 h t por 2,5 h e d por 200 km

LUPAS E LUNETAS Imagine que Carlos tivesse mais tempo disponível para chegar à praia. Ele poderia diminuir a velocidade média? Sim, poderia diminuir a velocidade média. 76 | TRAJETÓRIA 2

76 | MANUAL DO PROFESSOR

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ATIVIDADES

5. Encontre a velocidade média da viagem de

quando o tempo decorrido aumenta, dobrando? E quando o tempo diminui, caindo pela metade? A partir dessa situação, determine a relação de proporcionalidade entre as grandezas velocidade média e tempo.

Carlos para chegar em: a) 2 horas 100 km/h. b) 4 horas 50 km/h.

6. Considere que Carlos está dirigindo a 50 km/h.

6. Quando o tempo decorrido aumenta (dobrando),

O que acontece com a velocidade média a velocidade média diminui proporcionalmente, ou

seja, cai pela metade, e quando o tempo diminui (sendo reduzido pela metade), a velocidade média aumenta proporcionalmente (dobrando). Assim, a velocidade média e o tempo são grandezas inverconstante. a distância d constante. samente proporcionais e v m ⋅ t = d, dsendo

Situação 2

GOODSTUDIO/SHUTTERSTOCK/ ARTE M10

Em outra situação, Carlos decidiu dirigir sem um destino definido e manter uma velocidade média de 90 km/h em uma rodovia federal. Ele fez isso por 3 horas contínuas e então decidiu parar. Qual foi a distância percorrida por ele durante essas três horas?

a) d = v m ⋅ t = 95

km ⋅ 3 h = 285 km h

b) d = v m ⋅ t = 95

km ⋅ 4,5 h = 427,5 h

285 km.

Agora, a velocidade média foi fixada por Carlos e ele poderia variar, conforme desejasse, a distância ou o tempo, e vice-versa. d km = vm d = vm t 90 3 h = 270 km substituindo t h km v m por 90

h d por 3 h

8. Quando o tempo decorrido aumenta, a distância também aumenta proporcionalmente;

ATIVIDADES quando o tempo diminui, a distância também diminui proporcionalmente. Assim, o tempo e a

distância são grandezas diretamente proporcionais e

d = v m , vcom constante. vm constante. m t

7. Calcule quantos quilômetros Carlos percorrerá

9. Classifique as grandezas em cada item como

8. O que acontece com a distância quando o

diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais: a) Quantidade de cadernos (todos com o mesmo preço) comprada e valor total pago por esses cadernos. b) Vazão de uma torneira e tempo para encher uma caixa d’água. c) A medida do comprimento de um terreno quadrado e seu perímetro.

na rodovia federal, a uma velocidade média de 95 km/h, se sua viagem demorar: a) 3 horas 285 km. b) 4,5 horas 427,5 km. tempo decorrido aumenta? E quando o tempo diminui? A partir dessa situação, determine a relação de proporcionalidade entre as grandezas tempo e distância (comprimento).

9. Diretamente proporcionais: a, c. Inversamente proporcionais: b. 77 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 5

Atividade 6

Em cada item, basta aplicar a expressão que determina a velocidade média como razão entre a medida da distância e a medida do tempo: d 200 km = = 100 km/h. a) v m = t 2h

Quando o tempo decorrido aumenta, dobrando, a velocidade média diminui proporcionalmente, ou seja, cai pela metade, e quando o tempo diminui pela metade, a velocidade média aumenta proporcionalmente (dobrando). Assim, a velocidade média e o tempo são grandezas inversamente proporcionais e v m ⋅ t = d, sendo a distância d constante.

b) v m =

d 200 km = = 50 km/h. t 4h

427,5 km.

Atividade 8

Quando o tempo decorrido aumenta, a distância aumenta proporcionalmente, e quando o tempo diminui, a distância diminui proporcionalmente. Assim, o tempo e a distância são grandezas diretamente d = vm , vm. proporcionais e t constante. Atividade 9

Diretamente proporcionais: a, c. Aumentando-se a quantidade de cadernos, aumenta-se proporcionalmente o valor da compra. Aumentado-se a medida do lado do terreno, aumenta-se proporcionalmente seu perímetro. Inversamente proporcionais: b. Aumentando-se a vazão de uma torneira, diminui-se o tempo de maneira inversamente proporcional.

77 |

#Regra de três A regra de três é um método usado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas proporcionais: três valores são conhecidos e um deverá ser determinado. Para isso, escrevemos as razões entre as grandezas da situação-problema e uma proporção para resolvê-la. Situação 1

60 5 30 = ⇒ 5x = 2 ⋅ 30 x = = 12, ou 5 2 x 60 = 12, ou 2 ⋅ 30 x = ou seja, a massa 5 do bebê era de 12 kg. Atividade 11

Antes de escrever a proporção inversa, devemos converter a medida de minutos para 4 horas: 40 min = h. Assim, 6 4 temos: 90 ⋅ = < 75 ⋅ x 6 75x = 60 ⇒ x = 0,8 h, ou seja, faria o mesmo trajeto em, aproximadamente, 48 min.

Situação 2 Lucas é dono de um canil e está organizando sua planilha de custos. Ele sabe que, quando tinha 30 cães, eles consumiam 15 sacos de ração em 3 semanas. Considerando que o consumo de ração por cão, por semana, seja constante, ele deseja saber quantos cães consegue alimentar com 25 sacos de ração em 6 semanas.

KLYAKSUN/SHUTTERSTOCK

Atividade 10

Em uma feira, comprando 12 maçãs, pagam-se 9 reais. Quanto se deve pagar ao comprar 5 maçãs? Ao observar que as grandezas são diretamente proporcionais (admitindo que, quanto mais maçãs comprarmos, mais iremos pagar, proporcionalmente), escrevemos: 9 x = 12 5 9 9 = 0,75 reais por maçã, sendo x o valor (por ora desconhecido) que iremos pagar por 5 maçãs e 12 = 0,75 12 a constante de proporcionalidade. Note que, em cada membro da equação, dividimos o valor a pagar pela quantidade de maçãs, o que nos deu o preço unitário de cada maçã. Daí a igualdade das razões – a proporção. Resolvendo a equação: 9 x ⋅ 5= ⋅ 5 12 5 9 ⋅ 5 =x 12 obtemos x = 3,75, ou seja, R$ 3,75.

Ao observar que as grandezas cães e sacos de ração são diretamente proporcionais (pois, quanto mais ração, mais cães ele consegue alimentar, proporcionalmente) e as grandezas cães e semanas são inversamente proporcionais (pois, quanto mais cães, por menos semanas ele conseguirá alimentá-los, proporcionalmente), escrevemos a proporção: 30 ⋅ 3 x ⋅ 6 = 15 25 em que x é o número de cães que Lucas conseguirá alimentar. Note que multiplicamos os valores das grandezas inversamente proporcionais e dividimos pelos das grandezas diretamente proporcionais. Resolvendo a equação, encontramos x = 25 cães. 78 | TRAJETÓRIA 2

78 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 12

Atividade 13

Vamos relacionar a área da superfície do tecido com a quantidade de fio (massa): • na primeira situação, temos a área igual a 2 880 m2 e 320 kg de fio; • na segunda situação, a área é igual a 3 150 m2. 320 x = ⋅ Logo, temos: 2 880 3 150 1 008 000 2 880x = 320 ⋅ 3 150 ⇒ x = ≅ 350, 2 880 ou seja, a quantidade de fio necessária é de 350 quilogramas.

60 ⋅ 15 x ⋅ 30 = . 90 150 10 x Equacionando: = ⇒ x = 10 ⋅ 5 ⇒ x = 50. 1 5 Ou seja, será possível alimentar 50 coelhos. Temos:

Atividade 14

35 x 700 = ⇒ 14x = 35 ⋅ 20 ⇒ x = = 50, 14 20 14 ou seja, encherá 50 L.

17. b) Embora o 1o gráfico mostre o crescimento da produção de alimentos e o 2o gráfico mostre

ATIVIDADES a diminuição da quantidade de pessoas passando fome, não se pode afirmar que há uma rela-

ção de proporcionalidade entre as duas grandezas.

17. Observe os gráficos e responda:

dosagem de um remédio que precisava dar

Grãos: índices de expansão da demanda mundial – 1990

a seu filho. Na bula, recomendava-se esta dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho

280 260

a cada 8 horas, qual era a massa do bebê?

240

11. Um veículo percorre um determinado trajeto

200

12 kg.

207%

320 300

108%

220

74%

180 160

em 40 min, desenvolvendo uma velocidade

140

média de 90 km/h. Se o automóvel desen-

100

46% 36% 1989/90 1990/91 1991/92 1992/93 1993/94 1994/95 1995/96 1996/97 1997/98 1998/99 1999/00 2000/01 2001/02 2002/03 2003/04 2004/05 2005/06 2006/07 2007/08 2008/09 2009/10 2010/11 2011/12 2012/13 2013/14 2014/15 2015/16 2016/17

120

volvesse uma velocidade média de 75 km/h, em aproximadamente quanto tempo faria o

Soja

mesmo trajeto? 48 minutos.

12. Para confeccionar 1 600 m de tecido com largura 1,80 m, uma tecelagem consome 320 quilogramas de fio. Qual é a quantidade de fio necessária para produzir 2 100 metros do

13. Para alimentar 60 coelhos durante 15 dias, são necessários 90 quilogramas de ração. por 30 dias com 150 quilogramas de ração? 50 coelhos.

14. Uma torneira enche 35 litros em 14 horas. Quantos litros ela encherá em 20 horas? •

Elabore um problema parecido com esse. Dê para um colega resolver. 50 litros. Resposta pessoal.

15. Três homens conseguem construir quatro portões de garagem em cinco dias. Supondo que o ritmo de trabalho de todos os homens se mantenha e que os portões sejam idênticos, quantos portões seis homens conseguem construir em quinze dias? Vinte e quatro portões.

16. Um grupo de três amigas participa de uma campanha para atender pessoas que necessitam de atendimento de saúde. Em média, as três atendem 54 pessoas por dia. Outras duas amigas se juntaram ao grupo. Se a média for mantida, quantos atendimentos a nova composição desse grupo conseguirá realizar?

90 atendimentos, em média. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 15

Total

Milho

Trigo

Número e percentagem de pessoas passando fome no mundo e regiões, 1990-2012

mesmo tecido com largura 1,50 m? 350 kg.

Quantos coelhos podem ser alimentados

Arroz

Fonte: www.agrolink.com.br/colunistas/alimentos-concentracao-da-producao-e-fome_402256. html. Acesso em: 29 ago. 2022.

1 000

800

600

15 400

200

5 0

1990/92

1999/01

2004/06 2007/09 2010/12

N. absoluto mundo % África % ALC % Em desenvolvimento

Número absoluto (em milhão)

10. Uma mãe recorreu à bula para verificar a

% mundo % Ásia % Desenvolvidos

Fonte: FAO. The State of Food Insecurity in the World 2012. Disponível em: https://www.ufjf.br/ ladem/2012/10/18/cai-o-numero-de-famelicos-da-terra-e-o-fim-da-fome-artigo-de-jose-eustaquio-diniz-alves/. Acesso em: 7 set. 2022.

a) O que você observa nos dois gráficos?

A produção de alimentos aumentou ou diminuiu ao longo dos anos? E a fome no mundo, aumentou ou diminuiu ao longo desses mesmos anos? b) Você diria que o aumento da produção de alimentos diminuiu a quantidade de pessoas passando fome no mundo? É possível estabelecer uma relação de proporcionalidade entre a produção de alimentos e a fome no mundo?

17. a) A produção de alimentos aumentou ao longo dos 79 | anos e a fome diminuiu ao longo desses mesmos anos.

Atividade 16

54 Considerando que mais homens fazem o mes= 18 atenEm média, as três amigas fazem 3 mo trabalho em menos dias (grandezas inversamente proporcionais) e que mais homens, no dimentos por dia. Logo, cinco amigas farão juntas: mesmo tempo, fazem mais portões (grandezas 5 ⋅ 18 = 90 atendimentos por dia. diretamente proporcionais): 360 3 ⋅ 5 6 ⋅ 15 15 90 17 = ⇒ = 15 ⋅ x = 4 ⋅ 90 ⇒ Atividade x = = 24 15 4 x 4 x Essa atividade é uma oportunidade de trabalhar ⋅ 15 15 90 360 em parceria com o professor de Geografia, pois 15 ⋅ x = 4 ⋅ 90 ⇒ x = = 24 ⇒ = x 4 x 15 toca em pontos da habilidade EF09GE13. Assim, será possível construir 24 portões.

Habilidades (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica. (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas. Encontro com outras disciplinas (EF09GE13) Analisar a importância da produção agropecuária na sociedade urbano-industrial ante o problema da desigualdade mundial de acesso aos recursos alimentares e à matéria-prima. O objetivo é incentivar o aluno a pensar no problema da distribuição proporcional dos alimentos no mundo, apesar de a produção ter aumentado. Se possível, proponha que pesquisem a respeito do problema da desigualdade mundial quanto à segurança alimentar e nutricional. Essa é uma oportunidade para trabalhar o TCT Educação Alimentar e Nutricional, abordando questões de urgência social, principalmente após a pandemia da covid-19. Essa atividade favorecerá a exploração da competência específica 7. Note que os gráficos apresentam dados sobre períodos que não coincidem totalmente. Assim, apesar de ser possível identificar uma tendência, é interessante considerar o período entre 1990 e 2010 do primeiro gráfico.

79 |

d 42 195 = ≅ 15 069,64 s. v m 2,8 m/s Porém, como desejamos saber o tempo em horas, basta realizar a conversão: 15 069,64 s 251,16 min 4,19 h. 251,16 min 4,19 h. d 42195 m t= = = 8 439 s. b) vm 5 m/s Porém, como desejamos saber o tempo em horas, basta realizar a conversão: 8 439 s = 140,65 min ≅ 2,34 h.

A história da maratona Assim como toda lenda, a história da maratona é recheada de curiosidades e fatos extravagantes que, com o tempo, ganharam ainda mais misticismo quanto a sua origem. Uma das versões mais aceitas em relação ao surgimento da corrida de 42.195 metros remete ao ano de 490 a.C., quando soldados atenienses marcharam até a Planície de Marathónas para combaterem os persas, na batalha que fazia parte das Guerras Médicas. Como estavam em um número muito menor, os gregos precisavam de reforços para conseguirem a vitória. Desta forma, o comandante Milcíades resolveu escalar um de seus melhores corredores para cobrir a distância de 40 km, que separava a cidade que estavam de Atenas, e pedir ajuda. Pheidippides foi o escolhido para a tarefa de percorrer o percurso acidentado até a atual capital

grega. Lá chegando, conseguiu reunir cerca de 10 mil soldados, com os quais voltou para o local da batalha. Após a vitória sobre o poderoso exército persa, Milcíades decidiu mandar novamente seu experiente corredor até Atenas, para passar a boa notícia. Mesmo exausto, Pheidippides correu novamente os cerca de 40 km que separavam as cidade, e, lá chegando, conseguiu apenas dizer uma única palavra antes de cair morto. “"Νενικη′κaµεν" ” (Vencemos). [...]

Maratonistas.

A história da maratona. Assessocor. Disponível em: www.assessocor.com.br/noticias.aspx?__idNot=290. Acesso em: 30 ago. 2022.

A distância de uma maratona é 42 195 m. Pensando nisso, responda: Aproximadamente 4,19 horas. a) Um maratonista que corre a 2,8 m/s, em média, completa uma maratona em quantas horas? b) Um maratonista que corre a 5 m/s, em média, completa a prova em quantas horas? Aproximadamente 2,34 horas.

Densidade demográfica O estudo das populações é muito importante para o planejamento de políticas públicas. Quando os governos pensam em programas para atender à população, por exemplo, precisam saber a quantidade de pessoas a serem atendidas para definir o orçamento, o tempo gasto etc. A densidade demográfica também é fundamental para entender como a população se organiza, em especial nos centros urbanos.

NELSON ANTOINE/SHUTTERSTOCK

Atividade 18

18. Leia o texto:

MIKAEL DAMKIER/SHUTTERSTOCK

Ladeira Porto Geral, rua que termina na Rua 25 de Março, em São Paulo (SP).

A densidade demográfica é calculada pela razão: P D= A sendo P a população, A a área territorial ocupada por tal população e D a densidade demográfica. As unidades de medida são: • população: hab (habitantes); • área da superfície: km2 (quilômetros quadrados); • densidade demográfica: hab/km2. 80 | TRAJETÓRIA 2

LUPAS E LUNETAS

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 19

P 213 milhões de habitantes P Peça aos estudantes que compartilhem com a D= = ≅ 25 habitantes/k A 8,5 milhões km2 A turma o resultado de suas pesquisas: o que cada P 213 do milhões P um traz que complementa aDinformação outro.de habitantes = = ≅ 25 habitantes/km2 2 A 8,5 milhões km A Aproveite para comentar sobre o desafio de construir modelos que, de fato, representem o Atividade 20 problema, selecionando as variáveis e dados reInversamente proporcional, visto que quanto levantes para o recorte da realidade. maior a área na qual a população é distribuída, menor será a densidade demográfica, considerando a mesma população. 80 | MANUAL DO PROFESSOR

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. A relação entre o tamanho da população e a distribuição de alimentos é estudada há muito tempo pelos cientistas. Um dos estudos considerados mais famosos foi feito por Thomas Malthus (1766-1834), no início do século XIX, em que ele afirma que a população cresceria a uma velocidade muito superior à velocidade da produção de alimentos, o que levaria a uma crise alimentícia humana. a) Pesquise sobre a teoria Malthusiana. Por que ela não se concretizou? b) Pesquise sobre o problema da produção e distribuição de alimentos no mundo e a fome. • Compartilhe suas descobertas com os colegas.

ATIVIDADES

19. O Brasil tem 213 milhões (IBGE, 2021) de

22. Leia as informações e, com os dados numéricos, elabore um problema.

habitantes que ocupam uma área de aproximadamente 8,5 milhões de quilômetros quadrados. Qual é a densidade demográfica do Brasil, considerando esses dados?

Resposta pessoal.

Manaus – Amazonas – Brasil

samente proporcional à área da superfície de uma localidade, supondo que a população fique constante? Inversamente proporcional.

21. Singapura tem uma das maiores densidades

ALEXANDRE R./ M10

populacionais do mundo, com 7 874 hab/km2 (dados de 2010).

População estimada [2021]

2 255 903 pessoas

População no último censo [2010]

1 802 014 pessoas

Área da unidade territorial [2021]

11 401,092 km2

Densidade demográfica [2010]

158,06 hab/km2

Fonte: IBGE. Disponível em: https://cidades.ibge.gov.br/brasil/ am/manaus/panorama. Acesso em: 29 ago. 2022.

Dica: utilize uma calculadora. PARALAXIS/SHUTTERSTOCK

25 habitantes por km2.

20. A densidade demográfica é direta ou inver-

Singapura N O ra

apu

ESCALA

d ito

Est

ing eS

Vista aérea, captada por drone, de Manaus (AM), com o Rio Negro ao fundo.

13 km

2 cm

Mapa de Singapura e suas ilhas vizinhas.

Se a área territorial de Singapura é de 716 km2, qual é a população de Singapura?

5 637 784 habitantes.

23. No mapa de Singapura vemos a indicação

de uma razão: a escala. Pesquise sobre o que essa razão indica, elabore um problema com ela e compartilhe com a turma.

A escala indica a proporção entre as medidas no desenho do mapa e na região real representada. Resposta pessoal.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 21

81 |

Sugestão de atividade

O boxe Lupas e lunetas solicita uma pesquiP = D ⋅ A = 7 874 ⋅ 716 = 5 637 784. Portanto, Singapura tem uma população de sa sobre a teoria malthusiana e o problema da 5 637 784 habitantes. produção e distribuição de alimentos. Peça que os estudantes organizem um resumo das princiAtividade 22 pais informações e compartilhem com os colegas. Depois desse momento, apresente um texto ou Sugestão de elaboração de problema: Qual era a densidade demográfica estimada vídeo disponível na internet sobre um tema relacionado – por exemplo, aumento da produção de de Manaus em 2021? 2 alimentos e da fome dos brasileiros ou insegurança Solução: 197,87 hab/km . alimentar. Discutam sobre as principais causas e 81 |

e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

#Taxa de variação média Ana é voluntária em uma Organização Não Governamental (ONG) que tem como propósito plantar mudas de árvores no espaço urbano. A cada semana, ela precisa plantar uma determinada quantidade de mudas para cumprir sua meta na ONG. Ela registra seu trabalho em uma planilha. Veja um trecho dela: PRESSMASTER/SHUTTERSTOC

(EF09MA08) Resolver

ALEXANDRE R./ M10

Habilidade

LUPAS E LUNETAS a) Como a taxa de variação é

constante, basta calcular o quociente entre a quantidade de mudas plantadas e o número da semana, por exemplo, na semana 40 Ana já havia plantado 200 mu200 das; = 5. Portanto, na 40 1 a s e m a n a e l a p l a nt o u 5 mudas. b) A cada semana há um acréscimo de 5 mudas novas, isto é, 50 ⋅ 5 = 250. Logo, deverão ser plantadas 250 mudas.

Ana quer prever a quantidade de mudas plantadas na semana 50. Ela vai analisar a variação da quantidade de mudas entre as semanas. A taxa de variação média, que é um quociente, indica a variação média de uma grandeza por unidade de variação da outra. Entre as semanas 35 e 36, por exemplo, a quantidade de mudas plantadas cresceu de 175 para 180, ou seja, houve uma variação média de 5 mudas em uma semana. Ao analisarmos os dados da tabela, concluímos que, nessa situação, essa taxa de variação média permanece a mesma, ou seja, a taxa se mantém inalterada, ainda que os intervalos entre as semanas sejam maiores, por exemplo, a variação entre as semanas 36 e 42: 210 – 180 30 = = 5 mudas por semana 42 – 36 6 A taxa de variação média de uma variável y em relação a uma variável x pode ser interpretada como uma maneira de medir o “quão rápido”, em média, a variável y está mudando conforme a variável x muda:

Δy y – y1 = 2 x2 – x 1 Δx

em que Dy é a variação de y e Dx é a variação de x.

LUPAS E LUNETAS a) Sabendo que a taxa de variação média permanece a mesma, quantas mudas Ana havia plantado na semana 1? 5 mudas. b) Quantas mudas deverão ser plantadas na semana 50? 250 mudas. 82 | TRAJETÓRIA 2

82 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

ATIVIDADES

24. Calcule a taxa de variação média do fatura-

WOODHOUSE/ SHUTTERSTOCK

mento anual de uma empresa que aumentou seu faturamento em 5 milhões de reais nos últimos 8 anos. 625 mil reais por ano.

25. Adilson está treinando para uma maratona.

Este mês, ele conseguiu correr 25 km. A cada mês, ele percebe que consegue correr 1,8 km a mais do que no mês anterior. Daqui a quantos meses de treino ele poderá correr a maratona, que tem 42 km? Daqui a 10 meses.

Encontrando a taxa de variação média em um gráfico no plano cartesiano Uma amostra de uma substância está sendo submetida a uma variação de temperatura

MARCELLO S./ M10

T (em oC) no decorrer do tempo t (em h). Este gráfico registra a relação entre essas grandezas.

T (oC) 4 3 2 1

6 t(h)

–1 –2 –3

LUPAS E LUNETAS Observando o gráfico, responda:

d) Não. Quando o tempo aumenta, a temperatura também aumenta, mas não há T o o proporcionalidade: não é constante. b) Qual era a temperatura às 2 h? E às 3 h? 1 C; 3 C. t c) Qual é a taxa de variação média da temperatura por hora no período monitorado? +2 oC/hora. a) Qual era a temperatura da substância a 0 h? –3 oC.

d) Podemos afirmar que as grandezas temperatura e tempo são diretamente proporcionais?

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

83 |

Atividade 24

c) Pode-se calcular a taxa de

variação média, por exemplo, considerando o intervalo de tempo t de 0 h até 2 h. Para esse intervalo de tempo, temos a variação de temperatura T correspondente: –3 oC a 1 oC. Comente sobre a importância de manter a ordem entre final e inicial. A variação de temperatura é Tfinal – Tinicial , ou seja, 1 – (–3) = 4 oC. A variação do tempo é dada p o r : tfinal – tinicial , o u s e j a , 2 – 0 = 2 h. Portanto, a taxa de variação é o quociente: △T Tfinal –Tinicial 4 = = = 2 oC/h. △t tfinal – tinicial 2 Ou seja, um aumento médio de 2 oC a cada hora. d) Não. Quando o tempo aumenta, a temperatura também aumenta, mas não há T proporcionalidade: não é t constante. Ao dobrar o tempo, por exemplo, a temperatura não dobra. O que é constante é a taxa de variação média da temperatura em relação ao tempo, △T = 2 oC/h. A variac,a~ o de tem△t peratura (△T ) é diretamente proporcional à variação do tempo (△t).

alcançará esse avanço, devemos realizar a operaDevemos calcular o quociente entre a variação ção: 17 ÷ 1,8 ≅ 9,4. Então, para alcançar a marca de 42 km, ele do faturamento e a variação na quantidade de anos: precisará de, aproximadamente, 10 meses. 5 000 000 ÷ 8 = 625 000 Portanto, o faturamento da empresa aumentou LUPAS E LUNETAS 625 mil reais, em média, a cada ano. Atividade 25

a) Observando o gráfico é possível verificar que

no momento inicial (0 h) a temperatura era de Adilson precisa conseguir percorrer mais –3 oC. 17 km. Como a taxa de crescimento é de 1,8 km b) Às 2 h a temperatura era de 1 oC, e às 3 h, de por mês, para calcular daqui a quanto tempo ele 3 oC. 83 |

Habilidade (EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

O_Professor

@matemúltiplo

Embora nos exemplos e atividades apresentados até aqui a taxa de variação média tenha sido sempre positiva, não significa que, necessariamente, ela deva ser sempre positiva. Observe o cálculo da taxa de variação média da grandeza y em relação à grandeza x, no intervalo de 0 a 2 (incluindo 0 e 2). Note que, na variável x, 0 é o valor inicial e 2 é o valor final. Sendo assim, seus correspondentes em y são, nessa ordem: 1 e 0. y 2

x = 0 corresponde a y = 1 x = 2 corresponde a y = 0

Atividade 26

Nesses itens, iremos calcular △y y – y inicial o quociente = final . △x xfinal – x inicial Reforce a importância de considerar a ordem das coordenadas, isto é, o valor final menos o inicial tanto no numerador, quanto no denominador. Aponte também que a escolha dos pares de coordenada é arbitrária. Peça que compartilhem com colegas as resoluções e verifiquem que mesmo com escolhas diferentes, a taxa de variação média encontrada deverá ser igual. a) A x = –3 corresponde y = 0 e para x = 0 temos y = 1. △y 1–0 1 = = . Então, △x 0 – (–3) 3 b) Para x = 0, y = 2 e a x = 8 corresponde y = 0. Então △y 0–2 –2 1 = = =– . △x 8–0 8 4 Atividade 27

a) Para o tempo t = 0, cor-

responde a receita tot a l RT = 6 000, e p a r a RT = 10 000. t = 40, △RT 10 000 – 6 000 4 000 ~ Entao, = = = 100. 40 △t 40 – 0 00 – 6 000 4 000 = = 100. Ou seja, a taxa 40 – 0 40 de variação média da receita total em relação ao tempo da loja de Marcela é de R$ 100,00 por dia. b) Como inicialmente ela teve uma receita de R$ 6.000,00, então, para alcançar uma receita de R$ 20.000,00, precisará de um aumento de R$ 14.000,00. Esse valor será alcançado em △RT 20 000 – 6 000 = = 100 ⇒ △t = 140, △t △t 0 – 6 000 = 100 ⇒ △t = 140, isto é, △t após 140 dias. 84 | MANUAL DO PROFESSOR

variação de y 0 – 1 = –1 0

–1

taxa de variação média:

1 2

∆y = ∆x

3 x

1 2 variação de x 2–0=2

⎛ Δy ⎞ A taxa de variação média ⎜⎝ Δx ⎟⎠ deu negativa. Isso significa que, nesse intervalo, a 1 cada unidade de x, o valor de y diminui, em média, 2. 101

ATIVIDADES

26. Calcule a taxa de variação média de y em relação a x em cada um dos gráficos.

14 000 12 000

Δy 1 = Δx 3 –4

–3

–2

–1

10 000

8 000 6 000

2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1

27. Marcela criou uma marca de sorvetes e está analisando os lucros e oportunidades do seu negócio. Ela colocou alguns dados neste gráfico:

84 | TRAJETÓRIA 2

4 000 2 000

–1

Δy 1 =– Δx 4

Receita (R$)

Tempo (dias)

No eixo Ox, ela colocou a quantidade de dias que se passaram desde que abriu o negócio e no eixo Oy, a receita total em reais (R$) ΔRT = 100 reais/dia obtida pela loja. Δt a) Qual é a taxa média de crescimento da receita da loja de Marcela por dia? b) Mantendo esse ritmo de crescimento, após quantos dias a loja terá uma receita de 20 mil reais? Após 140 dias.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

#Divisão em partes proporcionais Nem toda divisão é equitativa, ou seja, em partes iguais. Há também a divisão proporcional. Ela é muito usada em situações que envolvem finanças, contabilidade, heranças, administração, sociedade na divisão de lucros e prejuízos proporcionais aos valores investidos pelos sócios ou por grupos de investidores em bancos de ações e contas bancárias ou, ainda, por herdeiros de bens diversos. Vamos acompanhar algumas situações. Situação 1

MARCELLO S./ M10

Thais e Isadora estão começando um negócio de loja de roupas infantis.

Thais investiu 40 mil reais e Isadora, 60 mil. Por causa dessa diferença, decidiram que não seria justo que as duas dividissem igualmente o lucro. Como elas podem fazer essa divisão? Uma das formas mais fáceis de resolver esse tipo de problema é considerando uma razão. No caso, Thais entrou com 40 mil e Isadora com 60 mil. Escrevemos a razão entre as quantias iniciais investidas e simplificamos a fração: 40 000 40 2 = = 60 000 60 3 Isso significa que, para cada 2 reais de investimento de Thais, Isadora investiu 3 reais. Então, para cada 2 reais de lucro que Thais receber, Isadora deve receber 3 reais. Nesse caso, o melhor a fazer é separar o lucro total em 5 partes iguais (pois 2 + 3 = 5) e dar 2 partes para Thais e 3 para Isadora. Assim como no exemplo anterior, há muitas situações em que precisamos dividir uma quantia, de forma proporcional, em duas ou mais partes. Nesse caso, uma estratégia é: • simplificar as razões, para facilitar as contas (no entanto, essa etapa é opcional); • adicionar todas as partes envolvidas para se obter o total de partes; • dividir a quantia pelo total de partes, encontrando depois cada parte, conforme exemplificado. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

85 |

Habilidade

Situação 2

(EF09MA08) Resolver

Ariel, César e Augusta vão receber uma herança de seu pai. O testamento diz que o valor que cada filho receberá deve ser proporcional à idade de cada um. A herança consiste em um terreno de 165 000 m2. Se Ariel tem 45 anos, César tem 35 e Augusta tem 30, que parte do terreno cada um deve receber? BEARFOTOS/SHUTTERSTOCK

Adicionando o total de partes (idades), temos: 45 + 35 + 30 = 110. Isso significa que Ariel tem 45 direito a 110 do terreno; César, 30 35 a 110 ; e Augusta, a 110 . Uma parte do terre⎛ 1 ⎞ n o ⎜⎝ 110 ⎟⎠ c o r r e s p o n d e a 165 000 ÷ 110 = 1 500. • 1 500 × 45 = 67 500. Ariel terá direito a 67 500 m2. • 1 500 × 35 = 52 500. César terá direito a 52 500 m2. • 1 500 × 30 = 45 000. Augusta terá direito a 45 000 m2. Ou seja, chega-se ao mesmo resultado. Atividade 29

Podemos resolver o problema considerando a proporção entre o número de meninos e o de meninas na sala: 3 39 = 5 x 3x = 5 39 195 = 65 x = 3 Portanto, temos um total de 65 meninas na turma.

86 | MANUAL DO PROFESSOR

Jovens agricultores cuidando de hortaliças.

Para resolver essa questão, podemos primeiro simplificar a trinca de números por 5, o que deixaria Ariel com 9 partes, César com 7 e Augusta com 6. A seguir, adicionamos o total de partes 9 + 7 + 6 = 22. 9 7 6 Isso significa que Ariel tem direito a do terreno, César a e Augusta a . 22 22 22 Dividindo a área do terreno de 165 000 m2 em 22 partes iguais: 165 000 ÷ 22 = 7 500 m2 • 7 500 ⋅ 9 = 67 500 , → ou seja, Ariel terá direito a 67 500 m2; • 7 500 ⋅ 7 = 52 500 , → ou seja, César terá direito a 52 500 m2; • 7 500 ⋅ 6 = 45 000 , → ou seja, Augusta terá direito a 45 000 m2. ATIVIDADES

28. Refaça o exemplo de Ariel, César e Augusta, mas dessa vez com os números originais, isto é, 45, 35 e 30. Verifique o que ocorre. Chega-se ao mesmo resultado.

29. Uma sala de aula tem 3 meninos para cada 5 meninas. Se o total de meninos da sala é 39, quantas alunas há ao todo? 65 meninas.

30. Para fazer uma receita de bolo, Adriana sabe que, para cada 8 gramas de farinha, deve colocar 5 gramas de açúcar. Se a soma das

quantidades de farinha e açúcar deve ser 910 gramas, quantos gramas de cada ingrediente devem ser colocados? 560 g de farinha e 350 g de açúcar.

31. Elabore um problema de divisão em partes proporcionais com estes dados: • Três irmãos. • Faturaram R$ 2.100,00 em 7 dias. • O 1o irmão trabalhou 2 dias. • O 2o irmão, 4 dias. • O 3o irmão, 1 dia. Resposta pessoal.

86 | TRAJETÓRIA 2

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Atividade 30

Atividade 31

Ao adicionar as medidas conhecidas, temos: 8 g + 5 g = 13 g. Então, para a quantidade de farinha 5 8 vale a razão , e para o açúcar, . Como: 13 13 910 ÷ 13 = 70 • quantidade de farinha: 70 × 8 = 560 g; • quantidade de açúcar: 70 × 5 = 350 g.

Elaboração possível: Três irmãos, trabalhando em 7 dias, faturaram juntos R$ 2.100,00. O 1o irmão trabalhou 2 dias; o 2o irmão, 4 dias; o 3o irmão, somente 1 dia. Eles devem receber uma quantia diretamente proporcional aos dias trabalhados. Quanto irá receber cada um? Solução: O 1o irmão receberá R$ 600,00; o 2o irmão, R$ 1.200,00; o 3o irmão, R$ 300,00.

LEVO NA BAGAGEM

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Consulte todas as suas produções até agora neste passeio. Avalie seu aprendizado sobre: ▶ Matemática • Sabe reconhecer a proporcionalidade entre grandezas, seja direta ou inversa (ou não proporcionais), elaborando e resolvendo problemas? • Resolve problemas que envolvam a razão entre duas grandezas diferentes, como velocidade média ou densidade demográfica? • Reconhece e calcula a taxa de variação média de uma grandeza em relação a outra a partir de uma razão ou gráfico, nos mais diversos contextos? • Resolve e elabora problemas que envolvam a divisão em partes proporcionais? ▶ Outras disciplinas Geografia • Sabe refletir sobre o problema da distribuição proporcional dos alimentos no mundo, apesar de a produção ter aumentado? Anote seu parecer para essas questões no caderno e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

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BARCOS E PORTOS

Organize

Oriente os estudantes na retomada das relações estudadas neste passeio. É importante que saibam distinguir grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais e quando as razões envolvem grandezas de mesma natureza, quando de naturezas distintas, além de quando envolvem as grandezas ou a variação delas.

▶ Organize Respostas pessoais. Agora que você percorreu todo este passeio, faça uma seleção de alguns problemas que representem os tópicos mais importantes do que aprendeu nele, junto com suas resoluções. Se necessário, consulte o mapa mental que está na seção Arredores para checar cada tópico. • •

▶ Elabore Juliana tem dificuldade com situações em que as grandezas são inversamente proporcionais e resolveu fazer uma lista de situações em que acredita que elas ocorram. NICOLETA IONESCU/SHUTTERSTOCK

Elabore

A quantidade de tijolos usados para construir um muro e seu comprimento são grandezas diretamente proporcionais. A quantidade de fios de cabelo em um ser humano e sua idade são grandezas não proporcionais. Oriente os estudantes na criação de seus problemas, desde a escolha das grandezas relacionadas, as unidades de medida envolvidas, a escrita e a resolução até o compartilhamento com os colegas.

Compare sua seleção com a de, pelo menos, dois colegas. Converse com esses colegas. Ouça o que eles compreenderam dos problemas selecionados por eles.

a) A quantidade de tijolos usados para construir um muro e seu comprimento (diretamente Juliana e suas dúvidas sobre as grandezas inversamente proporcionais. proporcionais). A quantidade de fios de cabelo em um ser humano e sua idaVeja a lista que ela fez: de (não proporcionais).

O tempo necessário para se chegar a um local e a velocidade média do carro utilizado. • A quantidade de tijolos usados para construir um muro e o seu comprimento. • A quantidade de fios de cabelo em um ser humano e sua idade. • O preço de um produto e a quantidade que podemos comprar com uma quantidade fixa de dinheiro. • O tempo que demora para encher uma piscina e a quantidade de torneiras utilizadas (considere as torneiras todas com a mesma vazão). a) Há duas situações das que Juliana pensou que não têm grandezas inversamente proporcionais. Quais são e por quê? Resposta pessoal. b) Elabore mais duas situações em que as grandezas sejam inversamente proporcionais. c) Coloque números em uma das situações que criou no item b, transformando-a em um problema, e peça que um colega tente resolvê-lo. Resposta pessoal. •

88 | BARCOS E PORTOS

88 | MANUAL DO PROFESSOR

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Proponha

▶ Proponha

Retome a pergunta inicial deste passeio: Em que situações nos envolvemos com ideias de proporcionalidade? O objetivo dessa atividade está relacionado à empatia, cooperação e cidadania. Ao olhar para problemas coletivos e tentar encontrar uma solução consensual, satisfatória para todos, os estudantes acabam aprendendo como é ser um cidadão que contribui positivamente.

A pergunta inicial deste passeio é: Em que situações nos envolvemos com ideias de proporcionalidade?

Respostas pessoais.

Pense em como você organiza seu tempo. Como passa cada parte de seu dia?

a) Em uma folha, escreva o tempo que você gasta com cada atividade de sua vida.

Pode ser algo diário ou semanal.

b) Observando o que fez no item a, o que gostaria de melhorar em sua organização

de tempo?

c) O tempo em que você ajuda nas tarefas familiares está partilhado de modo ade-

quado em relação ao seu tempo livre disponível? Como você avalia o tempo que dedica ao bem-estar de seus familiares? d) Converse com um colega e pergunte o que ele descobriu nas atividades anteriores. 2.

Junte-se com os colegas em grupos com 4 a 6 alunos. Respostas pessoais. a) Pesquisem algum problema que envolva uma proporção em seu colégio. Pode ser a

AFRICA STUDIO/SHUTTERSTOCK JOA SOUZA/SHUTTERSTOCK

JOA SOUZA/SHUTTERSTOCK

DANIEL M ERNST/SHUTTERSTOCK

divisão de tempo do uso da quadra de esportes, a organização da fila do refeitório ou até a distribuição de material escolar. b) Proponham ao menos duas ideias que possam organizar ou alterar a proporcionalidade da situação, buscando que tudo fique mais justo para todos.

O tempo de utilização da biblioteca ou da sala de informática, a disposição de uma refeição na bandeja, o tempo de uso da quadra de esportes ou a distribuição da merenda escolar podem envolver ideias de proporcionalidade. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

89 |

Habilidade

PASSEIO 2 – PRODUTOS NOTÁVEIS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 O GRAU

(EF09MA09) Compreender

retomada de ideias matemáticas já estudadas desde o Ensino Fundamental I. Se julgar adequado, na medida em que eles forem se lembrando dos temas, componha um mapa de vínculos na lousa. b) Na primeira equação, temos x = 2. Na segunda equação, temos x = –3 ou x = 3. c) Promova uma discussão sobre as características das equações escritas pelos estudantes, pedindo que observem: as letras utilizadas para representar as incógnitas; o maior expoente da incógnita (grau); o número de soluções etc.

3RDTIMELUCKYSTUDIO/SHUTTERSTOCK/ ARTE M10

a) Auxilie os estudantes nessa

3RDTIMELUCKYSTUDIO/SHUTTERSTOCK

CHECK-IN

COMO RELACIONAMOS VALORES, IDEIAS E NÚMEROS?

3RDTIMELUCKYSTUDIO/SHUTTERSTOCK

Sequência de imagens representando significados de valores, ideias e números.

São muitas as situações do cotidiano que, ao serem analisadas atentamente, ficam mais bem compreendidas se forem modeladas matematicamente, por exemplo, atribuindo-se letras às grandezas que têm seus valores desconhecidos ou variando. Nesse caso, podemos identificar diferentes relações entre elas utilizando operações, para generalizar ou criar uma fórmula.

CHECK-IN Observe as imagens e responda. a) Há alguma ideia matemática que você mais admira? Qual? Compartilhe.

Resposta pessoal.

b) A 3a imagem mostra duas equações. Qual é o valor de x na primeira equação? Quais

são os valores de x na segunda equação? x = 2; x = 3 ou x = –3. c) Crie duas equações diferentes dessas. Compartilhe suas criações com os colegas.

Resposta pessoal.

90 | TRAJETÓRIA 2

90 | MANUAL DO PROFESSOR

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ARREDORES Produto da soma pela diferença Quadrado da diferença

Completar quadrado

PRODUTOS NOTÁVEIS

Fatoração

Fator comum

Fatoração por agrupamento

Quadrado da soma

Incógnita Linguagem algébrica Variável

ax² = c

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2º GRAU

ac² + bx = 0

Fórmula do discriminante

Equação biquadrada

ax² + bx + c = 0

EF09MA09 EF69LP03

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: Utilizar processos de fatoração de expressões algébricas, considerando suas relações com os produtos notáveis. • Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2o grau. • Identificar, em notícias, o fato central, suas principais circunstâncias e eventuais decorrências; em reportagens, identificar o fato ou a temática retratada e a perspectiva de abordagem. •

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91 |

Habilidade

ATMOSFERA

(EF09MA09) Compreender

Atividade 1

[...] Abstração Somente os objetos singulares são reais. Como o número de palavras é limitado e o de objetos, infinito, uma mesma palavra acaba tendo de designar um grande número de objetos. Quanto maior o grupo de objetos que a palavra designa, mais abstrata ela se torna e mais vaga também. Por exemplo, eu posso ter uma ideia muito clara de quem seja André ou Maria, mas a ideia de “humanidade” já não é tão viva em nossa mente. Disso se conclui que as palavras se prestam melhor para se referir às coisas concretas e não para representar a essência (se é que ela existe), como pensava Platão. Os termos abstratos seriam apenas construções de nosso intelecto, não estando de forma alguma nas coisas. Ou seja, as coisas não têm uma essência a ser simbolizada através do termo, nós

é que atribuímos uma essência para elas através do processo de abstração. Convenção versus essência Percebemos determinadas características nas coisas e estabelecemos uma relação de semelhança entre elas. Por exemplo, que determinados animais têm penas, bicos e são bípedes e os chamamos de aves. Essas características comuns estão presentes nos indivíduos singulares e nós as abstraímos formando uma ideia geral que se aplica a um grupo de indivíduos. A “ave” em si, porém, não existe. O que existem são patos, galinhas e canários concretos dos quais chegamos à ideia geral de ave. O único modo de saber se essa abstração é uma ideia verdadeira ou não é confrontá-la com o objeto real que ela pretende representar. [...]

SILVA, Josué Cândido da. Filosofia da linguagem 2: as palavras e as coisas. UOL Educação. Disponível em: https:// educacao.uol.com.br/disciplinas/filosofia/filosofia-da-linguagem-2-as-palavras-e-as-coisas.htm?cmpid=copiaecola. Acesso em: 29 ago. 2022.

0 ax + bx + c=0 2

3. Os objetos de conhecimento da Matemática são, eles próprios, abstratos; entretanto, é possível reconhecer características comuns aos elementos de um mesmo grupo e atribuir uma relação que os generalize. Essa atribuição é papel do intelecto humano no seu processo de abstração. Exemplo: todas as adições podem ser generalizadas por essa fórmula: a + b = c, sendo a, b e c números reais.

MARIO M./M10

ATMOSFERA

As palavras e as coisas

2. Fato central do trecho Abstração: a essência das coisas não está nas coisas em si mesmas, mas no intelecto humano, que atribui a elas essa essência por meio do processo de abstração. Fato central do trecho Convenção versus essência: as características comuns aos elementos de um mesmo grupo generalizam esses elementos, e generalizar a essência das coisas é uma ideia abstrata.

A linguagem matemática é poderosa em propor relações e ideias generalizantes.

A ideia generalizadora é de “ave”. Atividade 2

Você pode pedir que estudantes destaquem uma ou duas expressões que contenham a ideia central dos trechos. Por exemplo, “os termos abstratos seriam apenas construções do nosso intelecto, não estando de forma alguma nas coisas”, ou “percebemos determinadas características nas coisas e estabelecemos uma relação de semelhança entre elas”. Fato central do trecho Abstração: a essência das coisas não está nas coisas em si mesmas, mas no intelecto humano, que atribui a elas essa essência por meio do processo de abstração.

92 | MANUAL DO PROFESSOR

ATIVIDADES

1. 2. 3.

A ideia de “ave”.

Qual é a ideia generalizadora para patos, galinhas e canários, segundo o texto? Resposta Identifique nesses dois trechos de textos o fato central de cada um deles. pessoal. Quais são as possíveis decorrências desses fatos que você pode levar para a Matemática? Dê um exemplo. Resposta pessoal.

92 | TRAJETÓRIA 2

Fato central do trecho Convenção versus essência: as características comuns aos elementos de um mesmo grupo generalizam esses elementos e generalizar a essência das coisas é uma ideia abstrata. Atividade 3

Os objetos de conhecimento da Matemática são, eles próprios, abstratos, entretanto, é possível reconhecer características comuns aos elementos de um mesmo grupo e atribuir uma relação que

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

os generalize. Essa atribuição é papel do intelecto humano no seu processo de abstração. Exemplo: todas as adições podem ser generalizadas por esta fórmula: a + b = c, sendo a, b e c números reais.

Habilidade

FRAN_KIE/SHUTTERSTOCK

#A linguagem matemática

(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2o grau.

LUPAS E LUNETAS Auxilie os estudantes na seleção e no uso dos símbolos matemáticos para compor sentenças com significado. Comente que as sentenças podem ser trabalhadas de maneira abstrata ou contextualizada, como no caso do item d.

“Matemática é a linguagem do universo. Quanto mais equações você sabe, mais consegue conversar com ele.” Neil deGrasse Tyson.

Sugestão de leitura

Embora você e um finlandês de sua idade falem línguas totalmente diferentes, os dois certamente compreendem o que está escrito na linha a seguir: 3x + 5 = 14 ⇔ 3x = 14 – 5 ⇔ 3x = 9 ⇔ x = 3 O que permite essa comunicação é a linguagem matemática e, nesse caso em especial, a álgebra. A origem da palavra vem do termo al-jabr, que foi utilizado com conotação matemática pela primeira vez no século IX por um matemático árabe chamado Al-Khwarizmi (reconhece o som? O nome dele também é a origem da palavra “algarismo”). A álgebra contém o estudo de funções, equações e muitos outros elementos da Matemática, mas, em geral, é marcada pela utilização de letras para representar incógnitas ou variáveis por meio das quais acaba fazendo uso de uma linguagem própria que permite a escrita de sentenças matemáticas motivadas por diversas necessidades humanas.

Para se aprofundar na linguagem matemática, leia: BIANCONI, Ricardo. Como ler e estudar matemática? Disponível em: http://mat.ufpb. br/~lenimar/mat.pdf. Acesso em: 4 set. 2022.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. a) Faça uma lista de todos os símbolos matemáticos que conhece. Quantos você listou? b) Agora, usando somente os símbolos que você conhece e os números, escreva uma sentença matemática. c) Troque a sentença que escreveu com a de outro colega e vejam se um entende o que o outro escreveu. d) Reescreva a frase usando a linguagem matemática e determine o número: “um número multiplicado por 4, em seguida adicionado a 10, resulta no dobro desse número adicionado a 20.” 4x + 10 = 2x + 20 ⇒ 4x – 2x = 20 – 10 ⇒ 2x = 10 ⇒ x = 5 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

93 |

Habilidade (EF09MA09) Compreender

• O número desconhecido (in•

• • • •

cógnita) pode ser representado por uma letra. A quantidade de quilômetros rodados e o preço da passagem podem ser representados por letras (variáveis). O preço de cada camisa pode ser representado por uma letra (incógnita). A velocidade e o tempo para a chegada podem ser representados por letras (variáveis). A temperatura da água pode ser representada por uma letra (variável). O número que resulta da razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência é representado pela letra grega π (constante).

Atividade 4

As situações que podem ser representadas por letras são os itens a, b e d. Atividade 5

Problema possível: Antônio foi ao mercado com uma quantia. Quando chegou em casa 3 percebeu que gastou 5 do valor que havia levado. Sabendo que ele voltou para casa com R$ 20,00, quanto ele gastou no mercado? Solução: Antônio gastou 3 x, sendo x a quantia que 5 ele levou ao mercado. Então ele voltou para casa com 2 x = 20 ⇒ x = 50. Ele gastou 5 3 deste valor, isto é, R$ 30,00. 5

94 | MANUAL DO PROFESSOR

#A álgebra e as fórmulas Vamos relembrar e aprofundar algumas noções algébricas pensando a respeito do uso das letras para representar números, incógnitas e variáveis.

Incógnita ou variável? Observe os exemplos: • O dobro de um número vale 14. • A quantidade de quilômetros rodados determina o preço da passagem. • Ao comprar três camisas de mesmo valor, paguei R$ 45,42. Qual era o preço de cada camisa? • O tempo que vou demorar para chegar depende da minha velocidade. • A temperatura da água varia entre 20 oC e 28 oC na piscina. • O número que resulta da razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Para cada uma das situações anteriores, escreva quais elementos poderiam ser representados por uma letra.

Podemos compreender a álgebra como um dos grandes campos, sem linhas divisórias rigorosamente fixadas, da Matemática que busca, por meio da álgebra elementar, generalizar a aritmética. Para que isso ocorra, é preciso identificar as variáveis e as incógnitas que representam os números, no intuito de simplificar e resolver diversas situações por meio de fórmulas e relações nas quais as grandezas são representadas por símbolos. Exemplo A velocidade com que uma pessoa decide pedalar, indo de uma para outra cidade, é uma variável, pois, nesse percurso, a velocidade assume diversos valores, conforme o ciclista pedala mais rápido ou mais devagar. No entanto, a distância que ele vai pedalar indo de uma cidade a outra – por um percurso inicialmente desconhecido – é uma incógnita; já a distância (em linha reta) entre as duas cidades é fixa, constante, não poderá mudar. ATIVIDADES 4. Podem ser representados os itens a, b e d, pois referem-se de

sentenças envolvendo variáveis quantitativas.

4. Indique quais das situações podem ser re-

presentadas por uma letra que substitua um número desconhecido, justificando sua decisão: a) O número de pessoas que estarão presentes no festival do próximo final de semana. b) O triplo de um número subtraído de 4 é igual a 20.

94 | TRAJETÓRIA 2

c) A felicidade de uma criança ao ver seu

aniversário chegando. d) A quantidade de entregas que um motoboy

pode fazer em uma noite. e) A sensação de arrepio ao sentir frio.

5. Agora, elabore uma situação-problema em que uma letra represente uma incógnita. Resposta pessoal.

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Habilidade

#Fórmulas Uma fórmula matemática é uma equação que relaciona duas ou mais grandezas de forma generalizada e universal e pode ser aplicada em diversas situações, facilitando a resolução de problemas.

ALEXANDERTROU/SHUTTERSTOCK

Um exemplo de fórmula clássica usada no dia a dia de quem precisa viajar para países que usam o Sistema Imperial de Medidas é a conversão entre as duas diferentes unidades de medida de temperatura: Fahrenheit e Celsius.

Uma temperatura que numericamente é quente na escala Celsius pode representar um baita frio na escala Fahrenheit.

Para transformar uma temperatura de graus Fahrenheit (oF) para graus Celsius (oC), usamos a fórmula: 5(F – 32) C= 9

Considerando que na escala Celsius a temperatura de congelamento (fusão) corresponde a 0 e na escala Fahrenheit corresponde a 32, e que na escala Celsius a temperatura de fervura (ebulição) corresponde a 100 e na escala Fahrenheit corresponde a 212, deduza, por meio de uma proporção, a fórmula que converte Fahrenheit em Celsius.

100

F 212

ALEXANDRE R./M10

LUPAS E LUNETAS

C–0 F – 32 C F – 32 C F – 32 5(F – 32) = ⇒ = ⇒ = ⇒ C= 100 – 0 212 – 32 100 180 5 9 9 95 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LUPAS E LUNETAS Ao deduzir a fórmula, estabeleça as razões e a proporção (conceitos estudados no passeio 1) e explique não só a diferença entre os extremos como a diferença nas amplitudes das escalas: C–0 F – 32 C F – 32 = ⇒ = 100 – 0 312 – 32 100 180 F – 32 5(F – 32) C = ⇒ C= 5 9 9

100

F 212

95 |

Habilidade (EF09MA09) Compreender

ATIVIDADES

6. Encontre a temperatura em Celsius equivalente a: a) 41 oF 5 oC. b) 100 oF 37,8 oC.

c) 0 oF –17,8 oC.

d) 212 oF 100 oC.

7. Manipule a fórmula de modo a isolar a variável F em vez da variável C. F = 9 C + 32 5

8. Encontre a temperatura em Fahrenheit equivalente a: a) 0 oC 32 oF. b) 100 oC 212 oF.

c) –40 oC –40 oF. d) 10 oC 50 oF.

9. Um outro exemplo de fórmula bastante utilizada

Atividade 6

5(F – 32) Sendo C = : 9 5(41– 32) 5 ⋅ 9 = = 5, ou 9 9 o seja, 5 C. 5(100 – 32) 5 ⋅ 68 b) C = = 9 9 340 C= ≅ 37,8, ou seja, 9 aproximadamento 37,8 oC. 5(0 – 32) 5 ⋅(–32) c) C = = 9 9 –160 C= ≅ –17,8, ou seja, 9 aproximadamente –17,8 oC. 5(212 – 32) d) C = 9 5 ⋅ 180 C= = 100, ou seja, 9 100 oC.

a) C =

n (n – 3) que pode ser calculada por dd = = , 2 em que d é o número de diagonais e n é a quantidade de lados do polígono.

é a da quantidade de diagonais de um polígono,

90 diagonais.

Utilizando essa fórmula, calcule a quantidade de diagonais de um polígono de 15 lados.

#Produtos notáveis Algumas das fórmulas que nos interessam neste momento são os produtos notáveis. Produtos notáveis são fórmulas matemáticas genéricas que nos ajudam a recordar rapidamente de resultados de um cálculo envolvendo a propriedade distributiva. Todos os resultados aqui apresentados são facilmente verificáveis utilizando essa propriedade.

Quadrado da soma O primeiro produto notável que apresentamos é o quadrado da soma de dois elementos:

Atividade 7

5(F

32)

9C = 5(F 32) 9 9C = F 32 F = C + 32 5 5 Atividade 8

Sendo F =

9 C + 32: 5

Algebricamente, utilizando a propriedade distributiva, temos: ab (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

9 ⋅ 0 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. 96 | TRAJETÓRIA 2 + 32 = 32, ou seja, 5 32 F. 9 ⋅ 100 + 32 = 180 + 32 = 212, ou seja, b) F + 5 100 Atividade 9 + 32 = 180 + 32 = 212, ou seja, n(n 3) 15 (15 3) 15 12 180 d = = = = = 90 diagonais. 5 2 2 2 2 212 oF. Proponha que interpretem o significado da n(n 3) 15 (15 3) 15 12 180 9 ⋅ (–40) fórmula: um polígono de d =n lados tem = n vértices; = = = 90 diagonais. + 32 = –72 + 32 = –40, ou seja, 2 2 2 2 c) F + de cada vértice parte uma diagonal a menos dos 5 –40) segmentos que ligam vértices adjacentes (formam + 32 = –72 + 32 = –40, ou seja, 5 lados e não diagonais) e do vértice ligado a si próo -40 F. prio. Por isso n(n – 3) seria o número de diagonais, 9 10 seja,estivessem 50oF sendo contadas em duplicidade; d) F + 5 + 32 = 18 + 32 = 50, ou não n(n – 3) o d = . daí: 18 + 32 = 50, ou seja, 50 F 2

a) F +

96 | MANUAL DO PROFESSOR

Habilidade O_Professor

@matemúltiplo

O quadrilátero de lados medindo (x + y ) é um quadrado, com a medida dos lados composta de dois termos, x e y. A área da superfície desse quadrado (x + y )2 (essa é sua forma fatorada) é equivalente ao polinômio x 2 + 2xy + y 2, que chamamos de trinômio quadrado perfeito.

Observe atentamente os três monômios desse trinômio: cada um deles representa a área de um quadrilátero e, juntos, compõem um quadrado perfeito. 53

Ao trabalhar com produtos notáveis, podemos realizar a substituição de variáveis, isto é, substituir as letras a e b por outros elementos algébricos ou numéricos e efetuar o mesmo procedimento de cálculo. Por exemplo, a substituição a = 2x e b = 3y. Desenvolvendo o quadrado da soma:

(2x)(3y)

(2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y) = (2x)2 + (2x)(3y) + (3y)(2x) + (3y)2 = = (2x)2 + 2(2x)(3y) + (3y)2 Note que os parênteses garantem que não haverá a confusão de achar que 2x2 é igual a (2x)2. No caso de 2x2, apenas o x carrega o expoente e o 2 multiplica o resultado. 2x2 é o dobro do quadrado de um número. 2 Já em (2x)2, é o dobro de x que está elevado ao quadrado, o que resulta em2x 2x ⋅ 2x = 4x 2 , ⋅ (2x)2 que é o quadrado do dobro de um número.

Assim, nosso produto notável desenvolvido é igual ao trinômio: (2x + 3 y )2 = (2x)2 + 2(2x)(3y ) + (3y )2 = 4x 2 + 12xy + 9 y 2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

97 |

Habilidade

ATIVIDADES

(EF09MA09) Compreender

10. Desenvolva os produtos notáveis:

11. Se x + y = 15 e xy = 30 , qual é o valor de

a) (3 + x)2 9 + 6x + x 2

x 2 + y 2? (Sugestão: não é necessário descobrir o valor de x nem o de y para resolver este exercício.)

b) (a + 2)(a + 2) a2 + 4a + 4

c) (3a + m)2 9a2 + 6am + m2 d) (5x + 7y )

⎛ 1 + w⎞ ⎠

e) ⎝ 2

f) (c 2 + d)2

25x 2 + 70xy + 49y 2 1 + w + w2 4 c 4 + 2c 2d + d 2

11. (x + y )2 – 2xy = x 2 + 2xy + y 2 – 2xy = x 2 + y 2 ⇒ 152 – 2 ⋅ 30 = 165

Quadrado da diferença Atividade 10

Geometricamente, esse produto notável equivale a calcular a medida da área da superfície de um quadrado medindo (a – b) de lado.

a) (3 + x) = 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ x + x = 9 + 6x + x 3 ⋅ x + x 2 = 9 + 6x + x 2 b) (a + 2)(a + 2) = (a + 2)2 = a2 + 2 ⋅ a ⋅ 2 + 22 = a2 + 4a + 4 = (a + 2)2 = a2 + 2 ⋅ a ⋅ 2 + 22 = a2 + 4a + 4 a ⋅ 2 + 22 = a2 + 4a + 4 c) (3a + m)2 = (3a)2 + 2 3a m + m2 = 9a2 + 6am + m2 (3a + m)2 = (3a)2 + 2 3a m + m2 = 9a2 + 6am + m2 m + m2 = 9a2 + 6am + m2 d) (5x + 7y )2 = (5x)2 + 2 ⋅ 5x ⋅ 7y + (7y )2 = 25x 2 + 70xy + 49y 2 (5x + 7y )2 = (5x)2 + 2 ⋅ 5x ⋅ 7y + (7y )2 = 25x 2 + 70xy + 49y 2 Algebricamente, utilizando a propriedade distributiva, temos: ⋅ 7y + (7y )2 = 25x 2 + 70xy + 49y 2 ab 2 2 1 1 1 1 2 2 e) 2 + w = 2 + 2 2 w + w = 4 + w + w 2 2 (a – b) = (a – b)(a – b) = a – ab – ba + (–b)2 = a2 – 2ab + b2 2 2 1 1 1 2 2 +2 w +w = +w +w w = 2 4 2 f) (c2 + d)2 = (c 2 )2 + 2 ⋅ c 2 ⋅ d + d 2 = c4 + 2c 2d + d 2 (c 2 + d)2 = (c 2 )2 + 2 ⋅ c 2 ⋅ d + d 2 = c 4 + 2c 2d + d 2 O_Professor 2 ⋅ d + d 2 = c 4 + 2c 2d + d 2 @matemúltiplo 2

Atividade 11

Observe que o quadrado de lados medindo (a – b) tem área equivalente a (a – b)2 = a2 – 2ab + b2, ou seja, é um trinômio quadrado perfeito, cujo termo central tem um sinal negativo:

(x + y )2 – 2xy = x 2 + 2xy + y 2 – 2xy = x 2 + y 2 . 2 + y ) – 2xy = x 2 + 2xy + y 2 – 2xy = x 2 + y 2 . + y 2 – 2xy = x 2 + y 2 . 152 – 2 ⋅ 30 = 165.

a2 – 2ab + b2 71

LUPAS E LUNETAS Porque b2 foi subtraído duas vezes ao subtrairmos 2ab (áreas das superfícies dos retângulos de lados a e b). Então, deve ser acrescentado uma vez.

LUPAS E LUNETAS Por que, na imagem correspondente ao desenvolvimento de (a – b)2, adicionamos b2 (a área da superfície do quadrado menor) em vez de subtrairmos b2? Porque b2 foi subtraído duas vezes ao subtrairmos 2ab (áreas das superfícies dos retângulos de lados a e b). Então, deve ser acrescentado uma vez.

98 | TRAJETÓRIA 2

Atividade 12

a) (5x – 3y )2 = (5x)2 – 2 ⋅ 5x ⋅ 3y + (3y )2 = 25x 2 – 30xy + 9y 2 b) (ab + c)(ab – c) = (ab)2 – c 2 = a2b2 – c 2 c) (xy – x)2 = (xy )2 – 2 ⋅ xy ⋅ x + x 2 = x 2 y 2 – 2x 2 y + x 2 d) (5x + 2)(5x – 2) = (5x)2 – ( 2)2 = 25x 2 – 2 Atividade 13

Sabemos que x 2 – y 2 = (x + y )(x – y ) = 210 e que x + y = 70. Substituindo, temos: 210 70 ⋅ (x – y ) = 210 ⇒ x – y = = 3. 70 98 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

Produto da soma pela diferença Geometricamente, esse produto notável equivale a calcular a área de um retângulo com lados medindo (a + b) e (a – b) .

Algebricamente, utilizando a propriedade distributiva, temos: ab (a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2

O_Professor

@matemúltiplo

Note que, diferentemente dos anteriores, nesse caso os dois fatores não são iguais. Observe ainda que (a – b) pode ser o primeiro fator e (a + b), o segundo; e vice-versa. 87

ATIVIDADES

12. Desenvolva estes produtos notáveis: a) (5x – 3y )

25x 2 – 30xy + 9y 2

b) (ab + c)(ab – c) a2 b2 – c 2 c) (xy – x) d) (5x +

x 2 y 2 – 2x 2 y + x 2

2)(5x –

2) 25x 2 – 2

13. Se x + y = 70 e x 2 – y 2 = 210, qual é o valor de x – y?

14. Desenvolva os produtos notáveis e simplifique, somando os monômios semelhantes: 2 2 a) (x + y ) + (x – y ) 2x 2 + 2y 2 2 2 b) (x + y ) – (x – y ) 4xy

15. Calcule: a) ( 2 +

3)2 5 + 2 6 b) ( 5 – 5)2 30 – 10 5

x 2 – y 2 = (x + y )(x – y ) = 210; 70(x – y ) = 210 ⇒ x – y = 3 c) ( 2 + 1)( 2 – 1) 1 99 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 14

a) (x + y )2 + (x – y )2 = (x 2 + 2xy + y 2 ) + (x 2 – 2xy + y 2 ) = 2x 2 + 2y 2 b) (x + y )2 (x y )2 = (x 2 + 2xy + y 2 ) (x 2 2xy + y 2 ) = 2x 2 + 2xy + y 2

x 2 + 2xy

y 2 = 4xy

Atividade 15

a) ( 2 + 3)2 = ( 2)2 + 2 2 3 + ( 3)2 = 2 + 2 6 + 3 = 5 + 2 6 b) ( 5 – 5)2 = ( 5)2 – 2 ⋅ 5 ⋅ 5 + 52 = 5 – 10 5 + 25 = 30 – 10 5 c) ( 2 + 1)( 2 – 1) = ( 2)2 – 12 = 2 – 1 = 1

99 |

Habilidade

TRAVESSIAS Uma das utilidades do produto notável Um dos usos interessantes do produto notável (a + b)(a – b) = a2 – b2 é no cálculo mental. Vamos experimentar algumas situações em que esse uso como estratégia de cálculo pode ser interessante. NICOELNINO/SHUTTERSTOCK

99 ⋅ 101 = 9 999 Atividade 17

Os números são 100 e 1, pois a soma resulta em 101 e a diferença em 99. Portanto, x = 100 e y = 1.

Mobilizando estratégias para o cálculo mental.

Junte-se a um colega e, juntos, realizem a sequência de atividades.

Atividade 18

101 = (100

00 + 1) = 100

1)(100 + 1) = 1002

1 = 10 000 2

1 = 9 999

Atividade 19

Elevar 40 ao quadrado e 2 ao quadrado mentalmente é mais fácil que efetuar 38 ⋅ 42.

12 = 10 000

1 =ATIVIDADES 9 999 16. Calcule 99 ⋅ 101 e anote o resultado. 9 999 17. Encontre x e y tal que x + y = 101 e x – y = 99. Dica: pense em números naturais. Você

pode fazer por tentativa e erro. x = 100 e y = 1.

18. Agora, utilize o produto notável (x + y )(x – y ) = x 2 – y 2 como estratégia para calcular

mentalmente 99 ⋅ 101. (100 + 1)(100 – 1) = 100 – 1 = 10 000 – 1 = 9 999 2

•

Resposta pessoal.

O que você percebeu? A conta ficou mais fácil de fazer?

19. Vamos calcular agora 38 ⋅ 42. Como a distância, tanto de 38 quanto de 42, ao número

40 é de duas unidades, vamos escrever aquela multiplicação como (40 – 2)(40 + 2), que, por meio do produto notável, resulta em: 402 – 22 = 1600 – 4 = 1596 Copie e complete a frase: Elevar ao quadrado e ao quadrado mentalmente é mais fácil que efetuar

⋅ . 40; 2;

38; 42.

20. Utilizando a estratégia anterior, calcule mentalmente: a) 58 ⋅ 62 3 596 b) 43 ⋅ 37 1 591

c) 46 ⋅ 54 2 484 d) 81 ⋅ 79 6 399

21. Elabore uma operação que possa ser realizada mentalmente por essa estratégia. Resposta pessoal.

100 | TRAJETÓRIA 2

Atividade 20

a) 58 ⋅ 62 = (60 – 2)(60 + 2) = 602 – 22 = 3 600 – 4 = 3 596 b) 43 ⋅ 37 = (40 + 3)(40 – 3) = 402 – 32 = 1 600 – 9 = 1 591 c) 46 ⋅ 54 = (50 – 4)(50 + 4) = 502 – 42 = 2 500 – 16 = 2 484 d) 81 ⋅ 79 = (80 + 1)(80 – 1) = 802 – 12 = 6 400 – 1 = 6 399 Atividade 21

Operação possível:

100 | MANUAL DO PROFESSOR

63 ⋅ 57 = (60 + 3)(60 – 3) = 602 – 32 = 3 600 – 9 = 3 591

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

#Fatoração de polinômios Os produtos notáveis são utilizados para desenvolver expressões envolvendo produtos e quadrados de somas ou diferenças. No entanto, os produtos notáveis também podem ser utilizados para o caminho inverso: fazer um polinômio voltar a ser um produto notável. Transformar um polinômio ou outra expressão matemática em um produto recebe o nome de fatoração. Fazer isso exige que conheçamos bem os produtos notáveis para aplicá-los. Vejamos um exemplo: fatorar 9x 2 – 24xy + 16y 2 como produto notável. Estudamos três tipos de produtos notáveis: um bom começo é procurar por características que possam dar dicas de qual é o melhor produto para tentarmos transformar aquele polinômio em um produto.

Como o primeiro termo é o quadrado de 3x, o último termo é o quadrado de 4y e o termo central está sendo subtraído, o quadrado da diferença parece a melhor opção. Agora, vamos comparar os dois trinômios: 9x 2 – 24xy + 16y 2 a2 – 2ab + b2 Observe que podemos fazer uma correspondência de tal modo que: 9x 2 = a2 , 24xy = 2ab e 16y 2 = b2 Determinando a e b e comparando, podemos finalmente fatorar o polinômio: 9x 2 – 24xy + 16y 2 = 32 x 2 + 2(3x)(–4y ) + (–4y )2 = (3x – 4y )2 .

Completar quadrados para fatorar Pode ocorrer de o polinômio ter uma “aparência que lembra” a de um trinômio quadrado perfeito. Nesse caso, podemos utilizar a técnica denominada completamento de quadrado ou, simplesmente, completar o quadrado. O procedimento algébrico de completar o quadrado é utilizado quando (para algum a real não nulo) tivermos x 2 + axy + k. Podemos manipular k de modo que esse trinômio venha a se tornar um quadrado perfeito. Exemplo: x 2 – 8x + 3. Quando olhamos para x 2 – 8x + 3, pensamos no produto notável: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 . x2 – 8x + 3 Quadrado de x (o quadrado do primeiro termo)

(o quadrado do segundo termo?)

2·x·4 (o produto do primeiro pelo segundo termo)

Podemos perguntar: quanto falta para 3 completar um quadrado perfeito como 2o termo? Observando o termo do meio do polinômio, vemos que x e 4 são os termos da forma fatorada. Logo, o quadrado do 2o termo da forma fatorada é 42 = 16 e teríamos o quadrado perfeito: x 2 – 8x + 16. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

101 |

Habilidade

Portanto, para 3 completar um quadrado perfeito, faltam 13. Então, podemos escrever: x 2 – 8x + 3 = x2 – 8x + 3 + 13 – 13 x 2###### – 8x + 16 – 13 = (x – 4)"2 – 13 !### " = ! " !###

(EF09MA09) Compreender

Adicionamos zero

a) 4x 2

O_Professor

Observe que utilizamos a propriedade do elemento oposto que nos diz que qualquer elemento adicionado ao seu oposto resulta no elemento neutro (zero). 101

Fator comum

9y 2 = 22 x 2 32 y 2 = (2x + 3y )(2x 3 y = (2x + 3y )(2x 3y ) 25b22 – – 20 20 bm bm + + 4m 4m22 = = b) 25b 2 2 2 2 2 b2 – 2 ⋅ 5 ⋅ 2bm + 22 m2 = = 5 = 5 b – 2 ⋅ 5 ⋅ 2bm + 2 m = 2

Forma fatorada

@matemúltiplo

Atividade 22 2

Agora é um quadrado perfeito

Quando há um fator comum aos termos do polinômio, podemos destacá-lo, ou seja, colocá-lo em evidência. 3y ) Neste exemplo: 5x + ax = x ⋅ (5 + a) como x era fator comum a 5x e ax, foi possível colocá-lo em evidência.

(5b – – 3m) 3m)22 = (5b Fatoração por agrupamento = 2 c) 64x + 80x + 25 = 82 x 2 + 2 8 5 x + 52 = (8x + Outro 5)2 método é chamado de fatoração por agrupamento. O agrupamento é necessário 2 2 2 2 80x + 25 = 8 x + 2 8 5 x + 5 = (8x + 5) quando há fatores comuns a alguns termos. 5 x + 52 = (8x + 5)2 Se temos a expressão 3x + 9 – yx – 3y, podemos agrupar os termos em duas etapas: d) x 2 – 64 = x 2 – 82 = (x + 8)(x – 8) Observe que tanto 3x quanto 9 são múltiplos de 3, o que nos permite fatorar essa = x 2 – 82 = (x + 8)(x – 8) (3x + 3 ⋅ 3) – ( yx + 3y ) ← parte da expressão colocando 3 como o fator comum em evidência. Da mesma forma, yx e 3y são múltiplos de y e podem ser fatorados de tal modo. e) 81 – 16x 2 = 92 – 42 x 2 = (9 + 4x)(9 – 4x) 92 – 42 x 2 = (9 + 4x)(9 – 4x) Agora, ainda temos uma subtração, ou seja, a expressão não está fatorada, mas os 3(x + 3) – y ( x + 3) ← dois termos estão multiplicados por (x + 3) e podemos colocar esse fator comum f) 100 – 40x + 4x 2 = (10 – 2x)2 em evidência, chegando à forma fatorada.

Atividade 23

(x + 3)(3 – y )

a) x 2 + 6x + 7 = x 2 + 2 ⋅ 3x + + 7+2–2= = x 2 + 2 ⋅ 3x + + 9–2=

ATIVIDADES

22. Fatore os polinômios usando produtos notáveis: a) 4x – 9y 2

e) 81 – 16x 2 (9 – 4x)(9 + 4x)

f) 100 – 40x + 4x 2 (10 – 2x)2

23. Complete os quadrados:

a) x 2 + 6x + 7 (x + 3)2 – 2

= (x + 5) – 35 c) 4x 2 – 8x + 6 = 2

b) x 2 + 10x – 10 (x + 5)2 – 35 c) 4x 2 – 8x + 6 (2x – 2)2 + 2

= 4x 2 – 8x + 6 – 2 + 2 = = (2x – 2)2 2 35

fatorando o resultado: 2x(2m + 3)

d) x 2 – 64 (x + 8)(x – 8)

= 22 x 2 – 2 ⋅ 2 ⋅ 2x + 22 + 2 =

24. Determine o perímetro do pentágono,

c) 64x 2 + 80x + 25 (8x + 5)2

b) x 2 + 10x – 10 =

= x 2 + 2 ⋅ 5x + 25 – 35 =

(2x + 3y )(2x – 3y )

b) 25b2 – 20bm + 4m2 (5b – 2m)2

= (x + 3)2 – 2 = x + 2 ⋅ 5x – 10 + 35 – 35 =

102 | TRAJETÓRIA 2

Atividade 24

O perímetro é a soma das medidas dos lados do polígono. Nesse caso: 2x + mx + 2mx + 4x + mx = 6x + 4mx = 2x(2m + 3).

102 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

#Problemas envolvendo equações polinomiais do 2o grau Uma empresa de transportes tem um ônibus com capacidade máxima de 20 passageiros. Para uma viagem entre duas cidades, o valor da passagem é R$ 45,00, porém, se a capacidade máxima do ônibus não for atingida, cada passageiro paga um acréscimo de R$ 5,00 por lugar vago. Como podemos expressar o valor total que essa empresa recebe por viagem, dependendo dos lugares vagos? Organizando matematicamente as informações: • a variável que está sendo considerada no problema é a quantidade de lugares vagos, que podemos denotar por x; • a quantidade de passageiros presentes, dependendo dos lugares vagos, pode ser escrita como 20 – x, que é a diferença entre a capacidade máxima do ônibus e os lugares que estão vagos; • o valor de cada passagem é a soma de 45 reais fixos mais 5 reais vezes a quantidade de lugares vagos: 45 + 5x. Para saber o valor total que a empresa recebe por viagem, basta desenvolver o produto entre a quantidade de passageiros presentes (20 – x) e o preço de cada passagem (45 + 5x): (20 – x)(45 + 5x) = 900 + 100x – 45x – 5x2 = 900 + 55x – 5x2

Aí está o polinômio que expressa matematicamente a situação (tanto em uma forma fatorada, quanto desenvolvido) e ele pode ser utilizado por essa empresa como uma fórmula para determinar seu faturamento por viagem.

LUPAS E LUNETAS a) Qual será o valor que essa empresa vai receber em uma viagem com o ônibus lotado? R$ 900,00. b) Em grupos, elaborem algumas situações parecidas buscando regularidades e a compreensão de como modelar matematicamente uma situação. Respostas pessoais. • Coletivamente, pesquisem e conversem sobre a importância da linguagem matemática para a sociedade.

cada descrição: x 2 + 3x = 26 a) O quadrado de um número adicionado ao triplo dele mesmo é igual a vinte e seis. b) De cento e quatro foi subtraído o dobro do quadrado de um número. 104 – 2x 2

26. Um fabricante de janelas está reformulando dois de seus modelos oferecidos, o modelo quadrado e o modelo retangular. Para otimizar custos, é necessário que as janelas tenham

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LUPAS E LUNETAS a) Se todos os 20 bancos es-

tiverem ocupados, teremos 20 ⋅ 45 = 900. Então, a empresa receberá R$ 900,00. b) Oriente os grupos na criação de situações que recaiam em equações de 2o grau. Se observar muitas dificuldades de elaboração, sugira que realizem a seção Atividades e voltem depois aos próprios problemas. Atividade 25

a) x 2 + 3x = 26 b) 104 – 2x 2

ATIVIDADES

25. Escreva uma expressão que corresponda a

Habilidade

sempre a mesma largura (em centímetros). Já a altura da janela retangular é variável. Para cada uma das situações, escreva a expressão fatorada que representa a soma das áreas das superfícies das janelas. a) Um arquiteto encomenda uma janela quadrada e uma retangular com altura 2 medindo 45 centímetros. x + 45x = x(x + 45) b) Um dono de restaurante pede duas janelas quadradas e três retangulares idênticas, todas com alturas iguais a 120 centímetros. 2x 2 + 360x = 2x(x + 180)

103 |

Observe que o dobro do quadrado de um número (2x2) é diferente do quadrado do dobro do número ((2x)2 = 4x 2 ). Atividade 26

a) Seja x a medida da largura,

em centímetros. Área total da janela quadrada: x2. Área total da janela retangular: 45x. A soma das áreas é: x 2 + 45x = x(x + 45) b) Seja x a medida da largura, em centímetros. Área total das janelas quadradas: 2x2. Área total das janelas retangulares: 360x. 2x 2 + 360x = 2x(x + 180)

103 |

(EF09MA09) Compreender

os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2o grau. Encontro com outras disciplinas (EF69LP03) Identificar, em notícias, o fato central, suas principais b) O fato de que os povos antigos circunstâncias e conheciam equações polinomiais decorrências; registros doeventuais 2o grau, conforme históricos, e seus modosepróprios em reportagens de resolver os problemas envolfotorreportagens o vendo essas equações por meio fato ou a temática de uma receita matemática. a perspectiva c)retratada Ao substituirex por 30, obtém-se 870. A em solução deexatamente abordagem, encontrada pelos os mesopotâmicos entrevistas principais é excelente, considerando que natemas/subtemas época eles provavelmente abordados, explicações possuíam recursos matemáticos limitados, dadas se oucomparados teses aos disponíveis nos dias de hoje. defendidas em relação so a passo a é:esses subtemas; em = 0,25 ⇒ 0,25 + 20 = 20,25. Esse é o tirinhas, charge, o, cujo lado mede 4,5memes, (deve-se calcular crítica, ou humor À medidaado lado do ironia quadrado deve-se metade presente. de 1, ou seja: 4,5 + 05 = 5. Logo,

ução da equação.

LUPAS E LUNETAS a) Há 3 700 anos, aproximada-

mente. b) O fato de que alguns povos antigos já tinham conhecimento da existência de problemas envolvendo a equação do 2o grau. E possuíam, inclusive, alguma técnica para solucionar tais problemas. Aproveite essa atividade para explorar com os alunos a habilidade de Língua Portuguesa EF69LP03. Sempre que houver possibilidade, solicite aos alunos que identifiquem, em notícias ou textos científicos, o fato central, suas principais circunstâncias e eventuais decorrências. c) Substituindo x por 30, obtemos: x 2 – x = 302 – 30 = 900 – 30 = 870. A solução encontrada pelos mesopotâmicos é excelente, considerando que na época 104 | MANUAL DO PROFESSOR

Modelando situações com equações polinomiais do 2o grau Os problemas envolvendo equações polinomiais do 2o grau são conhecidos da humanidade há bastante tempo. Vamos saber um pouco mais dessa parte da história da Matemática. Leia o texto: [...] São conhecidos poucos registros do tratamento da equação do 2o grau pelos egípcios e mesopotâmicos, mas os historiadores suspeitam que eles dominavam alguma técnica de resolução dessas equações. [...] O primeiro registro conhecido da resolução de problemas envolvendo a equação do 2o grau data de 1.700 a.C. aproximadamente, feito numa tábua de argila através de palavras. A solução era apresentada como uma “receita matemática” e fornecia somente uma raiz positiva. Os mesopotâmios enunciavam

a equação e sua resolução em palavras, mais ou menos do seguinte modo: Exemplo: Qual é o lado de um quadrado em que a área menos o lado dá 870? (O que hoje se escreve: x 2 – x = 870). E a “receita” era: Tome a metade de 1 (coeficiente de x) e multiplique por ela mesma, (0,5 × 0,5 = 0,25). Some o resultado a 870 (termo independente). Obtém-se 2 um quadrado (870,25 = (29,5) ) cujo lado somado à metade de 1 vai dar 30, o lado do quadrado procurado. [...]

PEDROSO, Hermes Antônio. Uma breve história da equação do 2o grau. Rev. Eletr. Mat., n. 2, jan./dez. 2010. p. 1-13. Disponível em: https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/122614/ISSN2177-5095-2010-02-01-13.pdf. Acesso em: 29 ago. 2022.

LUPAS E LUNETAS a) Há quantos anos ocorreu o primeiro registro da resolução de problemas envolvendo uma equação polinomial do 2o grau? Há 3 700 anos, aproximadamente. b) Qual é o fato central exposto nesse texto? c) Substitua x por 30 na equação sugerida. Conforme o resultado que você encontrar, avalie a solução encontrada pelos mesopotâmicos. d) Agora, aplique a mesma estratégia de solução na equação x 2 – x = 20 . Que resultado você encontrou? x = 5

Agora que já sabemos modelar situações-problema por expressões polinomiais do 2o grau, vamos para a evolução natural desses problemas: e se desejarmos resolver um problema no qual uma dessas expressões tem um valor definido como os do texto anterior? Ou seja, desejamos modelar uma situação por meio de uma equação. Até agora, não descobrimos qual é o valor de x. Mas veremos como isso ocorre.

Equações do tipo ax 2 = c , com a ≠ 0 Joana elaborou um logo para a empresa em que trabalha. O logo é uma composição entre um quadrado e um pássaro que escapa de seu interior. Ao imprimir o logo sobre papel, a área ocupada pelo pássaro foi de 18 cm2, que é a metade da área do quadrado. Qual é a medida do perímetro do quadrado que faz parte desse logo?

104 | TRAJETÓRIA 2

eles provavelmente tinham recursos matemáticos limitados, se comparados aos disponíveis nos dias de hoje. d) O passo a passo é: 0,5 × 0,5 = 0,25 ⇒ 0,25 + 20 = 20,25. Esse é o quadrado, cujo lado mede 4,5 (deve-se calcular 20,25 ). À medida do lado do quadrado deve-se adicionar metade de 1, ou seja: 4,5 + 0,5 = 5. Logo, 5 é a solução da equação.

ALEXANDRE R./M10

Habilidade

Logo criado por Joana com o pássaro escapando do quadrado.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

Vamos escrever a equação que modela a situação do logo de Joana. Seja ℓ a medida do lado do quadrado. Então, a área ocupada pelo pássaro, que é metade ℓ

da área do quadrado (ℓ2), pode ser expressa por 2 e é igual a 18 cm2. Podemos então utilizar as propriedades das operações para isolar a incógnita ℓ e determinar a medida do lado do quadrado: ℓ2 = 18 ⇒ ℓ 2 = 36 ⇒ ℓ = 6 ou ℓ = –6 2 Como não fazem sentido medidas de comprimento negativas, o lado do quadrado mede 6 cm. Portanto, seu perímetro é 4 ⋅ 6 = 24 cm.

LUPAS E LUNETAS a) O que aconteceria com a medida do lado do quadrado se a medida da área ocupada pelo desenho do pássaro fosse 32 centímetros quadrados? ℓ = 8 cm b) E o que aconteceria com a medida do lado se a área ocupada pelo pássaro fosse um oitavo da área ocupada pelo quadrado? ℓ = 12 cm

• Espera-se que os alunos

• Junte-se a um colega e busquem generalizar as conclusões que vocês obtiveram nos itens anteriores (podem usar um software de geometria dinâmica para realizar essa análise) e expressem essa generalização matematicamente. Respostas pessoais.

Fórmula geral para a solução da equação ax 2 = c, a ≠ 0 Como vimos, situações nas quais a incógnita aparece apenas uma vez e elevada ao quadrado podem ser resolvidas usando as propriedades das operações para isolar a incógnita e extrair a raiz. Formalizando a generalização da solução dessa equação polinomial do 2o grau incompleta, temos:

consigam estabelecer relação entre a fração da área ocupada pelo desenho do pássaro e o denominador de l2, bem como a conclusão de que valores negativos podem ser soluções das equações, mas não satisfazem o problema. Faça a mediação das conclusões dos estudantes, ponderando e corrigindo possíveis erros conceituais.

Atividade 27

a) x 2 – 16 = 0 ⇒ x 2 = 16

c c ax 2 = c ⇒ x 2 = ⇒ x = ± ,a≠0 a a

x = ± 16 = ± 4

b) a2 + 5 = 30 ⇒ a2 = 25 A fórmula da generalização da solução permite verificar se os procedimentos de cálculo realizados foram feitos corretamente. Mas, na prática, é recomendado resolver o problema passo a passo, compreendendo os processos envolvidos na elaboração do modelo matemático.

incompletas. a) x 2 – 16 = 0 x = –4 ou x = 4 b) a2 + 5 = 30 a = –5 ou a = 5 2 c) 4y – 4 = 0 y = –1 ou y = 1 2 d) 5x + 135 = 455 x = –8 ou x = 8 e) 80 – x 2 = –20 x = –10 ou x = 10 f) (m – 4)(m + 4) – 2 = 31 m = –7 ou m = 7

y2 = 1 → y = ± 1

d) 5x 2 + 135 = 455

ATIVIDADES

27. Resolva as equações polinomiais do 2o grau

a = ± 25 = ± 5

c) 4 y 2 – 4 = 0 ⇒ 4y 2 = 4

5x 2 = 320

28. Um terreno é composto por duas partes:

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

uma com formato quadrado e outra com forma irregular. A área da superfície da parte irregular é 136 m2. Sabendo que a área total

x 2 = 64 ⇒ x = ± 8 e) 80 – x 2 = –20 –x 2 = –20 – 80 x 2 = 100 ⇒ x = ± 10 f) (m – 4)(m + 4) – 2 = 31

do terreno é 392 m2, qual é a medida do

m2 – 42 – 2 = 31

perímetro da parte quadrada do terreno?

m2 – 16 – 2 = 31

64 metros.

105 |

m2 = 49 ⇒ m = ± 7 Atividade 28

LUPAS E LUNETAS a) Como sabemos que a área ocupada pelo pás-

saro é metade da área do quadrado, que pode l2 ser expressa por 2 e é igual a 32 cm2, podemos utilizar as propriedades das operações para isolar a incógnita l e determinar a medida do lado do quadrado:

l2 = 32 ⇒ l 2 = 64 ⇒ l 2 = 64 ⇒ l = 8 ou l = –8 2 Porém, o valor –8 não satisfaz o problema, uma vez que l é a medida do lado do quadrado, logo,

positivo. Assim, a medida do lado do quadrado é 8 cm. b) Considerando que a medida da área do pássaro é 18 cm2, para calcular a medida do lado do quadrado devemos seguir um raciocínio análogo: l2 = 18 ⇒ l 2 = 144 ⇒ l 2 = 144 ⇒ l = 12 ou l = –12 8 Porém, o valor –12 não satisfaz o problema, por ser medida negativa. Assim, a medida do lado do quadrado é 12 cm.

Como a área do terreno irregular é de 136 m2, concluímos que a área do terreno quadrado é de 392 m2 – 136 m2 = 256 m2 . Para descobrir a medida do lado desse quadrado devemos extrair a raiz quadrada da área, isto é, 256 = 16 m. Portanto, o perímetro do quadrado é 4 ⋅ 16 m = 64 m.

105 |

31. a) Qualquer número quadrado perfeito. b) Qualquer número real, excluindo os quadrados perfeitos.

Habilidade

29. A temperatura de um determinado forno de

(EF09MA09) Compreender

padaria foi representada matematicamente pela expressão x 2 + 30, em que x é o tempo, em minutos, decorrido a partir do instante em que o forno é ligado. Quando esse forno atingir a temperatura de 255 oC, quanto tempo terá decorrido desde que foi ligado?

Atividade 29

x = ± 225 = ± 15 Após 15 minutos, o forno atingirá 255 oC.

Equações do tipo ax 2 + bx = 0, a ≠ 0 Jovens de uma turma do 8o ano estão organizando um espaço para o grêmio estudantil e produziram uma planta baixa da sala que a escola disponibilizou. Sabe-se que a parte menor da sala tem área igual à metade da parte maior. d)

4x 2 = 6x ⇒ 2x 2 = 6x ⇒ 2x 2 – 6x = 0 ⇒ 2 ⇒ 2x(x – 3) = 0 2x = 0 ⇒ x = 0 ou x –3=0 ⇒ x =3

Atividade 30

Para calcular as medidas desejadas, é necessário determinar o valor de x.

a) x 2 = 3 ⇒ x = ± 3 b) 4a2 – 25 = 0 ⇒ 4a2 = 25 ⇒ a2 =

LUPAS E LUNETAS

25 4

a) Há um grêmio estudantil na sua escola? Pesquise a função do grêmio estudantil; se não houver, elabore um projeto para a fundação de um e, se houver apoio das outras turmas, execute-o. b) Represente por meio de uma equação polinomial do 2o grau a área total dessa planta baixa. 4x 2 + 6x c) Fatore a expressão que você encontrou. 2x(2x + 3) d) Toda vez que um produto é igual a zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Lembrando disso, determine as duas possíveis soluções do problema. e) Analise se as duas soluções que você encontrou resolvem o problema.

25 5 a= = ± 4 2 2 c) 4a – 25 = 7 ⇒ 4a2 = 32 a2 = 8 ⇒ a = ± 2 2 d) x 2 – π = 0 ⇒ x 2 = π x = ± π

a) Para que x seja um número

inteiro, é necessário que m seja um número inteiro positivo ou nulo e que seja um quadrado perfeito. b) Para que x seja um número irracional, é necessário que m seja um número real positivo e que não seja um quadrado perfeito ou quociente de quadrados perfeitos.

LUPAS E LUNETAS a) Leve a proposta dos estu-

dantes à gestão escolar para análise. Incentive a criação de um grêmio participativo e, caso não haja essa cultura escolar, supervisione a instalação e auxilie na organização inicial do grêmio,

106 | MANUAL DO PROFESSOR

ONEINCHPUNCH/SHUTTERSTOCK

Atividade 31

Como estamos tratando de medidas, a solução que resolve o problema é x = 3.

106 | TRAJETÓRIA 2

GROUND PICTURE/SHUTTERSTOCK

x 2 = 255

2o grau incompleta: x2 – m = 0 Obtenha um possível valor para m, de modo que: a) x seja um número inteiro. b) x seja um número irracional.

15 minutos.

Sabemos que a expressão x 2 + 30 fornece a temperatura do forno x minutos após ter sido ligado. Portanto, podemos igualar a 255 oC, para determinar x: x 2 + 30 = 255

ção de uma equação seja um número inteiro. Sabendo disso, resolva estas equações: a) x 2 = 3 x = – 3 ou x = 3 5 5 b) 4a2 – 25 = 0 a = – ou a = 2 2 c) 4a2 – 25 = 7 a = –2 2 ou a = 2 2 2 d) x – π = 0 x = – π ou x = π

31. Considere a seguinte equação polinomial do

SALOV EVGENIY/SHUTTERSTOCK

30. Nem sempre os contextos exigem que a solu-

A juventude é marcada pela pluralidade de ideias e culturas. Buscar a integração de todos exige organização, cooperação e estratégias de intervenção social, e o grêmio estudantil é um espaço para exercitar essas competências.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

favorecendo o exercício do protagonismo dos d) Sabendo que a parte menor da sala tem área alunos. igual à metade da parte maior, temos: b) Podemos dividir a figura em duas partes: um 4x 2 = 6x ⇒ 2x 2 = 6x ⇒ 2x 2 – 6x = 0 quadrado com lado medindo 2x e um retângulo 2 com medidas dos lados 6 e x. A expressão que 2x(x + 3) = 0 representa a área do quadrado é 2x ⋅ 2x = 4x 2 2x 0 ⇒ x = 0 ou x – 3 = 0 ⇒ x = 3. e a que representa a área do retângulo é e) Ambas as soluções obedecem a relação esta6 ⋅ x = 6x. belecida, porém como x representa uma medida A área da sala é 4x 2 + 6x. x = 0 não satisfaz o problema proposto. c) Fatorando 4x 2 + 6x = 2x(2x + 3). Logo, x = 3, isto é, a medida do lado da parte menor da sala é 3 m.

Habilidade

Algoritmo para resolver equações do tipo ax 2 + bx = 0, a ≠ 0

Este algoritmo mostra como proceder para resolver uma equação polinomial do 2o grau incompleta na forma ax 2 + bx = 0. I. Caso a equação não esteja na forma indicada (ax 2 + bx = 0), utilizamos as propriedades das operações para que o 2o membro seja igual a zero. II. Fatoramos colocando a variável em evidência: x(ax + b) = 0 . III. Como o produto é zero, se qualquer dos fatores for zero, as soluções vêm das equações b x = 0 ou ax + b = 0 ⇒ x = – , a ≠ 0. a ATIVIDADES

32. a) x = 0 ou x = 3. b) x = –

3 8 37 ou x = 0. c) m = 0 ou m = . d) y = – ou y ==00. 2 7 7

32. Resolva as equações utilizando os proce-

No início da rodada atual, elas estavam em-

dimentos descritos no algoritmo anterior: a) x 2 – 3x = 0 b) 4x 2 + 6x = 0 c) 7m2 = 8m 2 d) y – 5y = 8y( y + 4)

patadas. A mãe de Luana retirou uma carta que dizia “multiplique o número de pontos que possui por ele mesmo”. Já Luana retirou a carta “multiplique o número de pontos que têm por 7”. Depois disso, elas se deram

33. Luana e sua mãe estão brincando de um

conta de que continuavam empatadas. Se

MIRIAM CORREIA/SHUTTERSTOCK

jogo de cartas. Em cada rodada, elas retiram uma carta que muda a pontuação delas de acordo com o que estiver escrito na carta.

nenhuma delas tinha zero ponto, quantos pontos elas tinham ao final da rodada? 49 pontos.

34. Ao tentar resolver a equação x 2 = 5x , um aluno perguntou ao professor: por que não podemos simplesmente dividir os dois membros da equação por x e concluir que x = 5? Explique por que não é possível fazer isso.

34. Porque, ao dividirmos os dois membros da equação por x, devemos supor que x não é igual a zero (para que a divisão seja possível). E, então, “perdemos” a solução nula, porque x = 0 também satisfaz a igualdade.

Equação polinomial do 2o grau completa ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0

OLGA KUEVDA/SHUTTERSTOCK

Antigamente, os problemas matemáticos eram enunciados com palavras. Vejamos um exemplo. Qual é o lado do quadrado tal que sua área menos o dobro do lado resulta em oito?

107 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 32

a) x – 3x = 0 ⇒ x(x – 3) = 0. 2

Logo, x = 0 ou x – 3 = 0 ⇒ x = 3.

b) 4x 2 + 6x = 0 ⇒ 2x(2x + 3) = 0.

3 Logo, 2x = 0 ⇒ x = 0 ou 2x + 3 = 0 ⇒ x = – . 2 c) 7m2 = 8m ⇒ 7m2 – 8m = 0 ⇒ m(7m – 8) = 0. 8 Logo, m = 0 ou 7m – 8 = 0 ⇒ m = . 7 d) y 2 – 5y = 8y(y + 4) ⇒ y 2 – 5y – 8y – 32y = = – 7y 2 – 37y = 0 ⇒ –y(7y + 37) = 0.

Logo, y = 0 ou 7y + 37 = 0 ⇒ y = –

37 . 7

Atividade 33

Se chamarmos de x a pontuação, então podemos representar essa situação pela equação: x 2 = 7x x 2 7x = 0 x(x 7) = 0. Logo, x = 0 ou x 7 = 0 x = 7. Como nenhuma delas tinha zero pontos, então a única solução possível é x = 7. Então, ao final da rodada elas tinham 49 pontos.

107 |

Habilidade

Reescrevendo esse problema algebricamente, temos a equação polinomial do 2o grau completa:

(EF09MA09) Compreender

x 2 – 2x = 8 Podemos completar quadrados para desenvolver melhor a equação: x 2 + 2 ⋅ x ⋅ (–1) + (–1)2 = 8 + (–1)2 o Assim, obtemos no 1 membro da equação o produto notável “quadrado da diferença”: (x – 1)2 = 9 Considerando que (–3)2 = 9 e 32 = 9, temos:

x – 1 = 3 ou x – 1 = –3 Então, x = 4 ou x = –2. Novamente, no contexto de área de uma superfície, medidas negativas não fazem sentido. Assim, embora essa equação polinomial do 2o grau tenha duas soluções, a solução do problema proposto é apenas x = 4.

Atividade 35

ATIVIDADES

35. Resolva estas equações polinomiais do 2o grau usando o método de completar quadrados:

a) x – 6x = –8 2

a) x 2 – 6x = –8 x = 2 ou x = 4.

x 2 – 6x + 32 = –8 + 32

b) x + 10x = 39 x = –13 ou x = 3. 2

(x – 3)2 = 1 (x – 3)2 =

c) –9 – 5x = 3x – x 2 x = –1 ou x = 9. d) 4x 2 + 24x = 108 x = –9 ou x = 3.

x – 3 = ± 1. Logo, x – 3 = 1 ⇒ x = 4 ou

Fórmula do discriminante Há registros de resoluções para problemas envolvendo equações polinomiais do 2o grau que datam de mais de 3 mil anos atrás e de regiões diferentes do globo, como Egito, Grécia, Mesopotâmia, Índia e China.

x – 3 = –1 ⇒ x = 2. x 2 + 10x + 52 = 39 + 52 (x + 5)2 = 64 x + 5)2 = 64

)

x + 5 = ± 8. Logo, x + 5 = 8

ALEXANDRE R./ M10

b) x 2 + 10x = 39

x = 3 ou x + 5 = 8 x = 13. c) –9 – 5x = 3x – x 2 x 2 – 3x – 5x = 9 x 2 – 8x + 42 = 9 + 42 (x – 4)2 = 25 (x – 4)2 =

x – 4 = ± 5. Logo, x – 4 = 5 x = 9 ou x – 4 = –5 x = –1. d) 4x 2 + 24x = 108 4x 2 + 24x + 36 = 108 + 36 (2x + 6)2 = 144 (2x + 6)2 =

144

2x + 6 = ± 12. Logo, 2x + 6 = 12 ⇒ x = 3 ou 2x + 6 = –12 ⇒ x = –9.

108 | MANUAL DO PROFESSOR

O Papiro de Rhind tem a solução de 85 problemas de Matemática e data de 1700 a.C.

Atualmente, há um consenso em utilizar a chamada fórmula do discriminante ou fórmula de Bhaskara, em homenagem a um dos matemáticos hindus de uma série de matemáticos considerados fundamentais para a formalização da resolução das equações polinomiais do 2o grau no passado. 108 | TRAJETÓRIA 2

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Pesquise com seus colegas e responda: a) Quem foi Bhaskara? b) Quais outros hindus foram muito importantes para a Matemática no passado? Que contribuições eles deram? c) Como eram as fórmulas antigamente?

Vamos deduzir a fórmula geral para determinar as soluções de uma equação polinomial do 2o grau conhecida como fórmula do discriminante ou fórmula de Bhaskara. Aplicaremos o método de completar quadrados em uma equação polinomial do 2o grau genérica: ax 2 + bx + c = 0, sendo a, b e c números reais, a ≠ 0 Adicionamos –c a ambos os membros da equação ax 2 + bx + c = 0: ax 2 + bx + c – c = 0 – c ax 2 + bx = –c Multiplicamos ambos os membros da igualdade por 4a: 4a(ax 2 + bx) = 4a(–c) ⇒ 4a2 x 2 + 4axb = –4ac Adicionamos b2 a ambos os membros: 4a2 x 2 + 4axb + b2 = –4ac + b2 Feito o método de completar quadrados, é possível fatorar o 1o membro e obter um produto notável: (2ax + b)2 = b2 – 4ac Lembrando que há dois valores que, quando elevados ao quadrado, resultam em b2 – 4ac, temos:

LUPAS E LUNETAS Retome com os alunos o conhecimento que eles já têm – por exemplo, de que os hindus contribuíram para a criação do nosso sistema de numeração decimal e a criação do zero. É esperado que tragam como resultado da pesquisa a fórmula resolutiva da equação do 2o grau. Comente que essa fórmula ficou conhecida como “fórmula de Bhaskara”, porém alguns historiadores afirmam que não existem evidências de que Bhaskara a tenha criado.

2ax + b = + b2 – 4ac ou 2ax + b = – b2 – 4ac Resta isolar x: 2ax = –b + b2 – 4ac ou 2ax = –b – Ou, de modo abreviado, utilizamos o símbolo ! :

b2 – 4ac

2ax = –b ± b2 – 4ac

x =

–b ± b2 – 4ac 2a

A parte da fórmula que se encontra dentro da raiz – o radicando (b2 – 4ac) – é chamada de discriminante e representada pela letra grega delta (D): x = NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

–b ± Δ 2a 109 |

109 |

Habilidade

Discriminante e número de soluções

(EF09MA09) Compreender

O valor do discriminante (D) faz com que possamos classificar as equações polinomiais do 2o grau em três tipos.

Lembrando que Δ = b2 – 4ac, temos que: • Se Δ > 0, então, a equação terá duas soluções reais. • Se Δ = 0, então, a equação terá apenas uma solução real, pois a raiz sendo zero não haverá

distinção entre as duas soluções.

• Se Δ < 0, então, a equação não tem solução real.

No caso em que o discriminante é negativo, não há solução real porque no conjunto dos números reais não há nenhum número que, elevado ao quadrado, resulte em um número negativo.

Aplicando a fórmula de Bhaskara

LUPAS E LUNETAS

Exemplo 1

O correto, nesse caso, é completar quadrados ou utilizar a fórmula de Bhaskara: x 2 – 10x = 100 ⇒ x 2 – 10x – 100 = 0

Aplicaremos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação 4x 2 + 6 = 10x. A equação deve estar escrita no formato ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0. Por isso, reescrevemos a equação como 4x 2 – 10x + 6 = 0 . Podemos agora estabelecer que a = 4, b = –10 e c = 6 e aplicar a fórmula de Bhaskara:

–(–10) ± (–10)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ (–100) x= = 2 ⋅ 1 10 ±

500

x =

–(–10) ±

10 ± 10 5 2

x =

100 – 96 8

10 ± 8

Aqui é possível separar as duas soluções, x1 e x2: x1 =

0 e 110 ⋅ (110 – 10) ≠ 100

10 + 2 3 10 – 2 3 = ou x 2 = = 1, ou seja: x 1 = e x 2 = 1. 8 2 8 2

Exemplo 2

Atividade 36

Vamos resolver x 2 + 4x – 7 = 0.

a) x 2 – 5x + 6 = 0

Como a equação já está na forma ax 2 + bx + c = 0, identificamos a = 1, b = 4 e c = –7.

a = 1, b = –5 e c = 6

5 ± (–5)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 6 2 ⋅ 1 5 ± 1 x = 2 x1 = 3 e x2 = 2 b) y 2 + 10y + 24 = 0 a = 1, b = 10 e c = 24

x =

–4 ± x =

42 – 4 ⋅ 1 ⋅ (–7) 2 ⋅ 1

–4 ±

x =

16 + 28 2

–4 ± 44 2

Note que 44 é uma raiz não exata. Ela pode ser fatorada como 2 11, o que nos permite simplificar a fração toda por 2.

–10 ± 4 y = 2 y 1 = –4 e y 2 = –6 c) 2a2 5a = 3

Sendo assim, encontramos as duas soluções: x 1 = –2 –

2a2 5a + 3 = 0 a = 2, b = –5 e c = 3 5 ± 1 3 ⇒ a1 = e a2 = 1 4 2 d) 3m2 – 15m + 12 = 0 a = 3, b = –15 e c = 12 15 ± 81 m= ⇒ m1 = 4 e m2 = 1 6 2 e) –p – p + 12 = 0 a = –1, b = –1 e c = 12 1 ± 49 p= p1 = 4 e p2 = 3 2

10 ±

x =

x1 = 5 + 5 5 e x2 = 5 – 5 5 Note que se substituirmos os valores de x encontrados por Matheus em x(x – 10), o resultado do produto não é 100: 100 ⋅ (100 – 10) ≠ 100 e 110 ⋅ (110 – 10) ≠ 100

(–10)2 – 4 ⋅ 4 ⋅ 6 2 ⋅ 4

11 e x 2 = –2 +

110 | TRAJETÓRIA 2

11. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

110 | MANUAL DO PROFESSOR

f) 15 – 2x 2 = –7x ⇒ – 2x 2 + 7x + 15 = 0 a = –2, b = 7 e c = 15 x =

3 –7 ± 169 ⇒ x 1 = – e x2 = 5 –4 2

O resultado –25 não satisfaz o problema, visto que se trata de medida de tempo. Portanto, Poliana tem 18 anos e Pâmela, 25. Atividade 38

Denotando por x o número ímpar, seu consecutivo ímpar é x + 2. Logo, podemos modelar esse 7 ± 49 + 4 1 450 x = problema por meio da expressão x ⋅ (x + 2) = 195 ⇒ x 2 + 2x = 1 2 1 x ⋅ (x + 2) = 195 ⇒ x 2 + 2x = 195 ⇒ x 2 + 2x – 195 = 0. –7 ± 43 x = ⇒ x = 18 e x = –25 2

Atividade 37

Habilidade

LUPAS E LUNETAS Observe como Matheus resolveu esta equação polinomial do 2 grau: o

x 2 – 10x = 100 x(x – 10) = 100

x = 100 ou x – 10 = 100 ⇒ x = 110 Com um colega, avalie se a resolução de Matheus apresenta algum erro. Se sim, corrijam e apresentem suposições sobre o motivo pelo qual Matheus se enganou. 40. Como b2 é positivo (qualquer que seja o valor real de b), se –4ac também for positivo (o que ocorre se a e c tiverem sinais opostos), o resultado de b2 – 4ac será positivo.

ATIVIDADES

36. Aplique a fórmula de Bhaskara para resolver estas equações polinomiais do 2o grau: a) x 2 – 5x + 6 = 0 x = 2 ou x = 3. 2 b) y + 10y + 24 = 0 y = –6 ou y = –4. 3 c) 2a2 – 5a = –3 a = 1 ou a = . 2 2 m = 1 ou m = 4. d) 3m – 15m + 12 = 0 2 p = –4 ou p = 3. e) –p – p + 12 = 0 2 3 f) 15 – 2x = –7x x = – ou x = 5. 2

37. A idade de Pâmela, quando multiplicada pela idade de Poliana, resulta em 450. Se Pâmela é sete anos mais velha que Poliana, qual é a idade de cada uma das meninas? 18 e 25 anos.

38. Determine dois números naturais ímpares consecutivos cujo produto seja 195. 13 e 15.

39. Calcule o discriminante de cada equação,

40. Na equação ax 2 + bx + c = 0, podemos

dizer que, se a e c têm sinais opostos, então a equação sempre terá duas soluções reais? Explique.

41. Raul disse que é três anos mais velho que seu irmão. Além disso, disse que o produto da idade dos dois é igual a 18. Qual é a idade de Raul e a de seu irmão? 6 e 3 anos.

42. Leia as afirmações considerando a equação

kx + 8x + 4 = 0 (k ≠ 0): I. Se k = 2, a equação tem duas soluções reais. II. Se k > 4, a equação não tem soluções reais. III. Se k = 3, a equação tem apenas uma solução real. Agora, indique se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando matematicamente. 2

dizendo quantas soluções reais serão: a) x 2 – 7x + 15 = 0 Δ = –11, nenhuma solução real. 43. Encontre o valor de m (m ≠ 0) de modo que b) 3x 2 – 6x + 3 = 0 Δ = 0, uma solução real. a equação mx 2 – (2m + 3) x + m = 0 tenha c) –x 2 – 5x – 8 = 0 Δ = –7, nenhuma solução real. 2 apenas uma solução real. m = – 3 d) 2x + 5x – 10 = 0 Δ = 105, duas soluções reais.

42. I. Verdadeira, Δ > 0. II. Verdadeira, pois se k > 4, Δ < 0. III. Falsa; é necessário k = 4.

Exemplo É comum no ramo da engenharia civil encontrarmos uma variável elevada a potências bem maiores que 2. 111 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 41

Se denotarmos x a idade do irmão, teremos que a idade de Raul é dada pela expressão: x + 3. Então, x 1 = 13 e x 2 = –15 podemos representar esse problema pala expressão Porém, x deve ser um número natural, por x(x + 3) = 18 ⇒ x 2 + 3x = 18 ⇒ x 2 + 3x – 18 = 0. conseguinte –15 deve ser desconsiderado. Sendo Resolvendo essa equação do 2o grau, teremos: assim, o primeiro número ímpar é 13 e seu cona = 1, b = 3 e c = –18 secutivo 15. –3 ± 32 – 4 ⋅ 1 ⋅ (–18) x = 2 ⋅ 1 x =

Porém, o resultado –6 não satisfaz o problema, visto que se trata de medida de tempo. Portanto, o irmão de Raul tem 3 anos e Raul, 6. Atividade 42

I. Se k = 2, então

2x 2 + 8x + 4 = 0. Calculando o discriminante temos: △ = 82 – 4 ⋅ 2 ⋅ 4 = 64 – 32 = 32 Logo, existem duas raízes reais. A 1a afirmação é verdadeira. II. Para a equação não possuir solução o discriminante deve ser negativo, isto é, △ < 0. 82 – 4 ⋅ k ⋅ 4 < 0 64 – 16k < 0 16k > 64

Há outras situações em que podemos usar a equação polinomial do 2o grau para resolver problemas que não aparentam necessariamente ser de 2o grau. A equação biquadrada é uma equação polinomial do 4o grau muito particular, de modo que há estratégias que nos auxiliam a resolvê-la usando as formas de resolução das equações polinomiais do 2o grau.

a = 1, b = 2 e c = –195

–16k < – 64

Equação biquadrada

–2 ±

(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões A resolução está errada desde o início. O correto algébricas, com base completar quadrados ou utilizar a fórmula de Bh em suasx relações – 10x = 100 com ⇒ x – 10x – 100 = os produtos – 4 ⋅ 1 ⋅ (–100) 10 ± 5 –(–10) ± (–10) notáveis, x = para resolver e elaborar = 2 ⋅ 1 2 problemas xque possam =5+ 5 5 ex =5–5 5 ser representados por equações polinomiais do 2o grau.

784

–3 ± 81 2 x 1 = 3 e x 2 = –6 x =

k >4 Ou seja, se k > 4 não existe solução real. A 2a afirmação é verdadeira. III. Se k = 3, então 3x 2 + 8x + 4 = 0. △ = 82 – 4 ⋅ 3 ⋅ 4 = 64 – 48 = 16 Então, existem duas raízes reais. Portanto, a 3a afirmação é falsa. Atividade 43

Para que a equação possua apenas uma raiz real o discriminante △ = (2m + 3)2 – 4 ⋅ m ⋅ m deve ser igual a zero, ou seja: 4m2 + 12m + 9 4m2 = 0 12m + 9 = 0 12m = 9 9 3 = 12 4 Para △ = 0, m deve ser igual 3 a– . 4 m=

111 |

Habilidade

MR.CHEANGCHAI NOOJUNTUK/SHUTTERSTOCK

a) x 4 – 10x 2 + 9 = 0

Engenheiro trabalhando na construção de uma ponte.

Sendo t = x 2 , então: t 2 – 10t + 9 = 0

(–10) – 4 ⋅ 1 ⋅ 9 2 ⋅ 1 10 ± 64 t = 2 t 1 = 9 e t2 = 1 S e t = 9, e n t ã o x 2 = 9. Portanto, x = 3 ou x = –3. S e t = 1, e n t ã o x 2 = 1. Portanto, x = 1 ou x = –1. b) x 4 – 7x 2 + 12 = 0 Sendo t = x 2 , então: t 2 – 7t + 12 = 0 t =

t =

10 ±

Ao representar essa condição, encontramos a equação: x 4 – 3x 2 = 2x 2 – 4 Manipulando-a para obtermos zero em um dos membros da equação, encontramos: x 4 – 5x 2 + 4 = 0 o Essa é uma equação polinomial do 4 grau – mas sem os termos em x3 e x – e, então, podemos utilizar o método da substituição de variáveis.

7 ±

Nesse caso, vamos criar uma nova variável t tal que t = x 2. Isso implica que t 2 = (x 2 )2 = x 4 . Sabendo disso, vamos reescrever nossa equação do problema: (x 2 )2 – 5x 2 + 4 = 0 Substituindo x2 por t: t 2 – 5t + 4 = 0 E agora temos uma equação polinomial do 2o grau em t que já sabemos resolver. ⎛ –b ± b2 – 4ac ⎞ ⎟⎠ , Resolvendo a equação t 2 – 5t + 4 = 0 pela fórmula de Bhaskara ⎜⎝ t = 2a

(–7)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 12 2 ⋅ 1

encontramos t = 1 ou t = 4. Agora retornamos para nossa variável x de origem: • se t = 1, então x 2 = 1 e, portanto, x = 1 ou x = –1; • se t = 4, então x 2 = 4 e, portanto, x = –2 ou x = 2. Temos todas as soluções possíveis da nossa equação biquadrada original. Note que, se algum dos valores de t fosse negativo, teríamos de desprezá-lo, pois não haveria valor real para x que, elevado ao quadrado, resultasse em um número negativo.

7 ± 1 t = 2 t 1 = 4 e t2 = 3 S e t = 4, e n t ã o x 2 = 4. Portanto, x = 2 ou x = –2. S e t = 3, e n t ã o x 2 = 3. Portanto, x = 3 ou x = – 3. c) x 4 – 5x 2 + 6 = 0 Sendo t = x 2 , então: t 2 – 5t + 6 = 0 (–5) – 4 ⋅ 1 ⋅ 6 2 ⋅ 1 5 ± 1 t = 2 t 1 = 3 e t2 = 2 S e t = 3, e n t ã o x 2 = 3. Portanto, x = 3 ou x = – 3.

t =

5 ±

ATIVIDADES

S e t = 2, e n t ã o x 2 = 2. Portanto, x = 2 ou x = – 2.

c) x = – 3, x = – 2, x =

44. Utilizando a substituição de variáveis, resolva as equações biquadradas: a) x 4 – 10x 2 + 9 = 0 x = –3, x = –1, x = 1, x = 3.

x = 3 ou x = – 3.

x =

Imagine que um engenheiro precisa calcular os pontos mais frágeis de uma ponte que está construindo. Pelos modelos computacionais, ele percebe que os pontos são encontrados sempre que a expressão x 4 – 3x 2 se iguala à expressão 2x 2 – 4.

(EF09MA09) Compreender

b) x – 7x + 12 = 0 x = – 3, x = –2, x = 2, x = 4

112 | TRAJETÓRIA 2

d) x 4 – x 2 – 12 = 0

Sendo t = x , então: t 2 – t – 12 = 0 2

2 ou x = – 2.

t = t =

1 ±

(–1)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ (–12) 2 ⋅ 1

t1 = 4 e t2 = –3 Se t = 4, então x 2 = 4. Portanto, x = 2 ou x = – 2.

112 | MANUAL DO PROFESSOR

2, x =

c) x 4 – 5x 2 + 6 = 0

4 2 3 . d) x – x – 12 = 0 x = –2, x = 2.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Se t = –3, então x 2 = –3. Porém, não existe número real que ao quadrado seja negativo, então desconsideramos t = –3.

LEVO NA BAGAGEM

Observe o cubo da soma. Pesquise o cubo da diferença. a

a 2b

ab2

a b

ab2

a 2b

a a2b

ab2

Cubo da soma: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Consulte todas as suas produções até agora neste passeio. Avalie seu aprendizado sobre: ▶ Matemática • Sabe utilizar processos de fatoração de expressões algébricas, considerando suas relações com os produtos notáveis? • Resolve e elabora problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2o grau? ▶ Outras disciplinas Língua Portuguesa • Identifica, em notícias, o fato central, suas principais circunstâncias e eventuais decorrências ou, em reportagens, o fato ou a temática retratada e a perspectiva de abordagem? Anote seu parecer para essas questões no caderno e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

113 |

BARCOS E PORTOS

Organize

Espera-se que o estudante possa destacar nessa pergunta (e, consequentemente, revisitar cada objeto recuperando suas principais circunstâncias conceituais para avaliar o quanto, para si mesmo, estão claras para prosseguir seus estudos no próximo passeio), ao menos estes objetos matemáticos: fatoração, expressão algébrica, produtos notáveis, equações polinomiais do 2o grau, resolução e elaboração de problemas envolvendo equações polinomiais do 2o grau.

▶ Organize Respostas pessoais. Você sabe o que são objetos matemáticos? Leia o que o professor postou para os seus alunos: O_Professor

@matemúltiplo

Um objeto matemático é aquilo que existe no campo da Matemática e que foi formalmente definido, utilizando a própria linguagem da Matemática. Fazem parte disso os conjuntos numéricos, as equações, as operações, os procedimentos de cálculo, as figuras geométricas, entre outros. São noções abstratas com as quais o pensamento matemático pode operar. 101

Leia também esta pergunta avaliativa: você se julga apto a compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2o grau? Dar uma resposta para essa pergunta não é simples. Antes de respondê-la, é necessário estar seguro de que de fato está apto. Observe que, para defendê-la, o mais adequado é organizar uma estratégia que lhe dê segurança para afirmar sim, julgo-me apto. Proceda conforme o fluxograma. 1 Início

2 Dê pelo menos um exemplo do objeto matemático destacado.

Destaque todos os objetos matemáticos envolvidos na pergunta avaliativa. 3 Prossiga para o próximo objeto matemático.

6 Explique para um colega todas as suas anotações.

5 Retorne ao passo 2 até que se esgotem os objetos matemáticos da pergunta avaliativa.

7 Certifique-se de que todos os objetos matemáticos da pergunta avaliativa estão muito claros para você. 114 | BARCOS E PORTOS

114 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO

O objeto matemático é um processo? SIM

Por exemplo, a resolução de uma equação.

4 Realize todas as etapas do processo resolutivo do objeto matemático.

Fim

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Você pode utilizar esse modo de organizar seus conhecimentos em outras situa-

2 ções. Experimente! a) Primeiro, escrevemos a equação no2 formato ax + bx + c = 0.

▶ Elabore

Depois, calculamos o discriminante b – 4ac. Se o resultado for negativo, a equação não tem soluções. Se for positivo, há duas soluções. Se for igual a zero, tem apenas uma solução.

Giovanna está com bastante dificuldade para resolver equações polinomiais do

2o grau e verificar o número de soluções reais de cada uma. Ela tentou escrever um roteiro de como se verifica a quantidade de soluções de uma equação polinomial do 2o grau: •

Primeiro, escrevemos a equação no formato ax 2 + bx = c.

•

Depois, calculamos o discriminante a2 – 4bc = 0.

•

Se o resultado for negativo, a equação não tem soluções. Se for positivo, tem apenas uma solução. Se for igual a zero, há duas soluções.

a) Ao mostrar o roteiro para o professor dela, ele disse que estava incorreto. Encontre

os erros e reescreva-os de forma correta. b) Elabore três equações polinomiais do 2o grau de modo que uma não tenha solução,

uma tenha somente uma solução e a outra tenha duas soluções. Resposta pessoal. ▶ Proponha A pergunta inicial deste passeio é: Como relacionamos valores, ideias e números? 1.

a) Resolva esta equação x 3 – x = 0. x = –1, x = 0, x = 1.

Giovanna:

• Primeiro, escrevemos a

equação no formato para aplicarmos o algoritmo do cálculo do discriminante ax 2 + bx + c = 0. • Depois, calculamos o discriminante b2 – 4ac. • Se o resultado for negativo, a equação não tem soluções. Se for positivo, há duas soluções. Se for igual a zero, tem apenas uma solução. b) Acompanhe a construção das equações de 2o grau e os raciocínios dos estudantes na escolha dos coeficientes de modo a satisfazer o número de soluções.

1. Fatorando as equações: a) x(x 2 1) = 0 x = 1, x = 0, x = 1.

b) Resolva a equação 4x 3 – 16x = 0. x = –2, x = 0, x = 2. c) Agora, crie uma fórmula para resolver a equação polinomial do 3o grau incompleta

ax 3 + bx = 0, a ≠ 0. Resposta pessoal.

b) 4x(x 2 – 4) = 0 x = –2, x = 0, x = 2.

c) ax 3 + bx = 0

Junte-se com os colegas em grupos que tenham um número par de alunos (se a quantidade de alunos na turma for ímpar, algum grupo pode ter um aluno a mais). Dentro do grupo, subdividam-se em dois grupos de mesma quantidade de alunos. O objetivo é debater a questão: usar fórmulas é bom para a aprendizagem matemática? Um dos grupos deve ser a favor e o outro, contra. a) Primeiro, separem-se do outro grupo por 15 minutos e elaborem argumentos a

favor de sua causa. Pensem em exemplos, tanto de pessoas quanto de situações matemáticas. b) Passados os 15 minutos, retornem e façam um debate (de preferência, com regras

definidas anteriormente pela turma toda ou pelo professor). Não há uma resposta fácil nem correta, o objetivo é argumentar bem a favor de sua causa e também escutar os argumentos do outro lado para provocar uma reflexão em todos. Lembrem-se de respeitar o turno de fala e ouvir o que os adversários têm a dizer. Em um bom debate, todos saem ganhando por abrirem seus pontos de vista!

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

a) Corrigindo o roteiro de

Proponha

Utilizando a fatoração e outras técnicas, você já é capaz de resolver um tipo de equação polinomial do 3o grau: ax 3 + bx = 0, a ≠ 0.

Elabore

115 |

x(ax 2 + b) = 0 x = 0 ou ax 2 + b = 0 x2 = –

b a

b b ou x = + – , a a com a e b de sinais opostos. 2. O objetivo dessa atividade está relacionado à argumentação. Ao precisar argumentar em favor de uma causa, os estudantes são obrigados a formular ideias e argumentos para defendê-la, ao mesmo tempo que se atentam para diversos pontos de vista e aprendem a respeitar e compreender outros modos de se posicionar. x =– –

115 |

PASSEIO 3 – A IDEIA DE FUNÇÃO

ANTON VIERIETIN/SHUTTERSTOCK

WILLIAM POTTER/SHUTTERSTOCK

COMO AS RELAÇÕES PODEM IMPACTAR NOSSA VIDA?

LI CHAOSHU/SHUTTERSTOCK

Habilidades (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis. Encontro com outras disciplinas (EF09HI36) Identificar e discutir as diversidades identitárias e seus significados históricos no início do século XXI, combatendo qualquer forma de preconceito e violência. CHECK-IN a) A primeira imagem retrata

um homem, uma mulher e uma criança se abraçando, o que transmite a ideia de união e calma. A segunda imagem retrata duas pessoas em uma mesa de jantar utilizando o celular, sem diálogo nem trocas, e isoladas no mundo virtual. Na última imagem, o personagem representado com cabeça de cacto transmite a ideia de violência verbal, agressividade, autoritarismo, enquanto a imagem representada com cabeça de girassol transmite a ideia de opressão, medo, insegurança etc. b) Ouça os alunos e seus argumentos e converse sobre a ideia de prever o resultado de um fenômeno tendo algumas informações iniciais e se isso é sempre possível. Lembre-os de que, quando se trata de relações sociais, muitas variáveis estão envolvidas e a maioria delas está fora de nosso controle e alcance de análise – por exemplo, as de natureza emocional, social, ambiental etc. c) Permita que exponham suas opiniões, para que esse 116 | MANUAL DO PROFESSOR

As relações fazem parte de nossa vida: elas podem ser pacíficas ou conflituosas.

CHECK-IN Respostas pessoais.

As relações entre duas ou mais pessoas impactam a forma de lidar com o mundo. a) Compare essas três imagens e descreva o que você interpreta sobre as relações

entre as personagens de cada uma delas. Destaque os aspectos que chamam sua atenção. Inclua observações a respeito de relações pacíficas ou relação de bullying. b) É possível prever, com certeza, o desfecho de uma relação social? O que você pensa sobre isso? c) Como você pensa as diversidades identitárias e seus significados culturais? d) Na Matemática também existe a ideia de relação. Reconheça-a ao resolver o problema: • Se em um restaurante há um cardápio, dois pratos e quatro flores em um arranjo sobre todas as mesas redondas, e sabendo que todas as mesas redondas estão identicamente organizadas, quantos cardápios, quantos pratos e quantas flores haverá em 12 mesas como essas? E em n mesas? 12 cardápios, 24 pratos e 48 flores; n cardápios, 2n pratos e 4n flores.

116 | TRAJETÓRIA 2

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

momento seja um espaço de aprendizado mú- d) Como em cada mesa há um cardápio, a quantuo, mantendo os valores de respeito e empatia. tidade de cardápios é dada por 1 ⋅ 12 = 12, isto Essa questão favorece o desenvolvimento da é, ao todo há 12 cardápios. E para n mesas, tec ompetência geral 9: “Exercitar a empatia, o remos 1 ⋅ n = n cardápios. diálogo, a resolução de conflitos e a coopeComo em cada mesa há 2 pratos, a quantidade ração, fazendo-se respeitar e promovendo o de pratos é dada por 2 ⋅ 12 = 24, isto é, ao respeito ao outro e aos direitos humanos, com todo há 24 pratos. E para n mesas, teremos: acolhimento e valorização da diversidade de 2 ⋅ n = 2n pratos. indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, Como em cada mesa há 4 flores em um arranjo, identidades, culturas e potencialidades, sem a quantidade de flores é dada por 4 ⋅ 12 = 48, preconceitos de qualquer natureza.”

apenas respeitar a diferença que constitui sua identidade. Esta atividade contempla a habilidade de História EF09HI36. Espera-se que os estudantes não cultivem atitudes preconceituosas ou violentas diante das diferenças sociais ou culturais presentes na sociedade.

ARREDORES

Ideia de função

RELAÇÕES

Variável dependente

Variáveis

FUNÇÕES

Variável independente

Função afim

Representação gráfica

Gráfico da função afim

EF09MA06 EF09HI36

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: Reconhecer a relação entre duas variáveis, incluindo relações de dependência. Reconhecer e escrever funções, analisando qual é a variável dependente e qual é a independente, determinando o domínio e a imagem. • Analisar e resolver situações-problema envolvendo funções polinomiais de 1o grau e de 2o grau. • Construir e analisar gráficos de funções polinomiais de 1o e 2o graus de uma variável. • Debater a respeito das diversidades identitárias e seus significados culturais, combatendo qualquer forma de preconceito e violência. • •

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

117 |

por determinado time, nacionalidade, etnia. Caso considere adequado, converse com o professor de História para que essa atividade seja realizada em Sugestão de atividade conjunto. Conduza a conversa para perceberem Converse com os estudantes sobre “identida- que há características que se repetem entre eles de” para analisar o conhecimento prévio. Indague e, ao mesmo tempo, cada um tem uma identidade sobre características pessoais que formam sua única. A luta identitária é para que todos respeitem identidade. Eles podem citar: gênero, sexo, estatura. as diferenças culturais e sociais. O objetivo dessa Questione também quais características sociais discussão é o estudante perceber que, quando compõem sua identidade. É possível citar: partici- diante de alguém diferente de nós mesmos, não par de prática esportiva ou clube de leitura, torcer devemos classificar a pessoa como melhor ou pior, isto é, ao todo há 48 flores. E para n mesas, teremos: 4 ⋅ n = 4n flores.

117 |

as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis. Encontro com outras disciplinas (EF09HI36) Identificar e discutir as diversidades identitárias e seus significados históricos no início do século XXI, combatendo qualquer forma de preconceito e violência. ATMOSFERA Organize a leitura coletiva do texto e peça que anotem as palavras que não conhecem o significado. Retome a leitura da frase: “A necessidade de estar conectado tornou-se tão forte que as pessoas acordam, caminham, alimentam-se e muitas vezes não dormem, fazendo uso das redes sociais”. Indague sobre o que pensam sobre esse comportamento e como se comportam diante do uso das redes sociais. Depois dessa conversa inicial, questione qual é o fato central da notícia – as causas e consequências sobre o uso excessivo das redes sociais ou da internet. Essa atividade está relacionada com a habilidade de Língua Portuguesa EF69LP03. Espera-se que os estudantes identifiquem o fato central da notícia e possam concluir que o uso das redes sociais e internet proporciona uma comunicação rápida e eficaz facilitando muito a realização de diversas atividades da vida cotidiana, mas as relações humanas realizadas presencialmente também são importantes para o bem-estar social. Atividade 1

Discuta as possibilidades de 118 | MANUAL DO PROFESSOR

ATMOSFERA ATMOSFER A As redes sociais e seus impactos nas relações pessoais RAWPIXEL.COM/SHUTTERSTOCK

(EF09MA06) Compreender

RAWPIXEL.COM/SHUTTERSTOCK

Habilidade

Pessoas se relacionando virtualmente e pessoalmente.

O mundo virtual tomou conta da vida das pessoas. As redes sociais mais do que nunca fazem parte da rotina de muita gente, chegando mesmo a trazer problemas de relacionamento, comunicação e administração do tempo. [...] A necessidade de se estar conectado tornou-se tão forte que as pessoas acordam, caminham, alimentam e muitas vezes, não dormem, fazendo uso das redes sociais [...]. O acesso em nível mundial é tão intenso, que a cidade chinesa de Chongqing implantou uma faixa exclusiva para usuários de smartphones. A medida tem como objetivo evitar acidentes entre pedestres distraídos que usam o celular enquanto caminham. Da mesma forma que há um faixa para quem usa o celular, há uma faixa exclusiva na calçada para quem não está utilizando o dispositivo. [...] Uma pesquisa realizada recentemente pela Digital Clarity, uma agência de marketing digital norte-americana, com 1 300 jovens com idades

entre 18 e 25 anos apontou o seguinte resultado: “o vício dos jovens em internet já atinge 16% das pessoas, sendo que as mesmas apresentaram sintomas do problema, como gastar longas horas em atividades na internet”. Além disso, de acordo com a pesquisa, “a desordem também faz com que os afetados sintam euforia nos momentos em que estão on-line e depressão e pânico quando estão longe dos aparelhos que proporcionam o acesso”. [...] O ideal é manter o equilíbrio ao utilizar essa maravilhosa e fascinante ferramenta de comunicação, tirando proveito de todas as coisas boas que o acesso às redes sociais proporciona. O que não se deve esquecer, portanto, é que existe vida além dos smartphones, tablets, computadores e outros aparatos tecnológicos, como a família, os amigos e todas as atividades que podem estar sendo prejudicadas por causa do uso das redes sociais. [...] Lembre-se: navegar é preciso, viver também é preciso!

SILVA, Maria do Rosario M. As redes sociais e seus impactos nas relações pessoais. Portal Administradores, 19 dez. 2015. Disponível em: https://administradores.com.br/artigos/as-redes-sociais-e-seus-impactos-nas-relacoes-pessoais. Acesso em: 19 jul. 2022.

ATIVIDADES

1. 2. 3.

Respostas pessoais.

Na 1a imagem, as pessoas estão interagindo entre si? E na 2a imagem? É possível viver sem estar conectado virtualmente? Escreva um texto apresentando os benefícios e as desvantagens de viver uma vida de abstenção virtual. Faça uma pesquisa e elabore um manual de princípios de convivência pessoal na sua escola. Destaque o convívio pacífico e o combate ao bullying.

118 | TRAJETÓRIA 2

interação nas redes sociais e em outros ambientes virtuais. Quais as principais semelhanças e diferenças entre a interação física presencial e a virtual? É possível ocorrer uma interação híbrida, isto é, alguns momentos virtuais e outros presenciais? Atividade 2

É possível trabalhar em parceria com o professor da área de Língua Portuguesa na redação do texto argumentativo.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 3

Peça aos alunos que leiam o manual produzido para a turma, a fim de que cada um analise as diferenças e semelhanças e possa completar ao ver e ouvir as diferentes ideias. Divulgue os manuais produzidos para a comunidade escolar e nas redes sociais da escola.

Habilidade

#Relações na vida e na Matemática

(EF09MA06) Compreender

JACOB LUND/SHUTTERSTOCK

MATKUB2499/SHUTTERSTOCK

Tudo no universo se relaciona e as relações ficam explícitas em diversas situações da nossa realidade.

Crescimento de uma muda.

Amizade entre duas ou mais pessoas.

Como exemplos, temos o crescimento de uma muda e o tipo de solo em que ela foi plantada, passando pela amizade, que é uma relação entre duas ou mais pessoas, até uma correspondência entre dois termos linguísticos na gramática, como em “Pietro comprou um carro zero.”

ALEXANDRE R./M10

Na frase há uma relação entre o sujeito (Pietro) e o predicado (comprou um carro zero). No entanto, há algo em comum a todas as relações: a conexão entre dois ou mais elementos. A natureza da conexão pode variar, mas uma coisa é certa: um influencia o outro e vice-versa. Na Matemática, as relações aparecem também em diversas situações, com a especificidade de que as variáveis envolvidas nas situações são quantitativas. • Sequências recursivas relacionam termo a termo por meio de uma regra.

Sequência geométrica recursiva no triângulo de Sierpinski. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

119 |

Habilidade

• O comprimento de um segmento e a unidade de medida centímetros.

TRZYKROPY/SHUTTERSTOCK

(EF09MA06) Compreender

Grandeza e unidade de medida.

ARTE/ M10

• A razão entre o comprimento de uma circunferência e o diâmetro.

O número irracional π . • A proporcionalidade entre o valor a pagar por uma compra e a quantidade de produtos do

mesmo tipo comprada. Por exemplo, se um iogurte custa R$ 4,50 e construímos a tabela:

Iogurte QUANTIDADE

VALOR A PAGAR (R$)

4,50

9,00

13,50

18,00 Fonte: Mercado da esquina.

Estamos, na prática, criando uma relação matemática entre dois conjuntos de números: o conjunto dos números 1, 2, 3 e 4 e dos números 4,5; 9; 13,5; e 18, de modo que cada número do primeiro conjunto (das quantidades) tem um único correspondente no segundo conjunto (dos valores a pagar). 120 | TRAJETÓRIA 2

120 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

LUPAS E LUNETAS

(EF09MA06) Compreender

a) Pesquise as diversas definições da palavra relação. Procure explicitar quais campos do conhecimento desenvolvem estudos sobre esse termo e seus significados específicos. Resposta pessoal. b) No campo social, há as relações estabelecidas entre os diversos atores sociais, por exemplo, no espaço escolar. O bullying é um tipo de relação que deve ser combatido. Observe este gráfico e responda:

Gráfico 6 – Percentual de escolares de 13 a 17 anos, com indicação de intervalo de confiança de 95%, por posição assumida na efetivação da prática de bullying, segundo o sexo e a dependência administrativa da escola – Brasil – 2019 %

100,0 90,0 80,0 70,0 60,0 50,0 40,0 30,0 20,0 10,0 0,0

23,0

12,0

26,5

19,5 14,6

23,0

9,5

Total

Mulher Vítima

22,9

11,8

Pública

13,5

Privada

Causador

Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisas, Coordenação de População e Indicadores Sociais, Pesquisa Nacional de Saúde do Escolar, 2019.

Mulheres. Ambas. • Quanto às vítimas, quais são os maiores índices: homens ou mulheres? De escola pública ou privada? • E quanto aos causadores, quais são os maiores índices: homens ou mulheres? De escola pública ou privada? Homens. Índice um pouco maior na escola privada.

LUPAS E LUNETAS

• Considerando esse gráfico, elabore uma pergunta para seu colega responder. Resposta pessoal.

A fim de favorecer a reflexão, faça algumas perguntas aos estudantes, como: • O que é bullying? • Em quais ambientes ocorre bullying? • O que leva o autor do bullying a praticá-lo? • Existem diferentes tipos de bullying? • Quais as consequências do bullying?

c) O bullying é uma relação de violência física e psicológica. Organize um debate para discutir como melhorar as relações escolares, a fim de mitigar o bullying em todos os ambientes. Respostas pessoais.

Variáveis e relações de dependência Considere a situação a seguir. Uma florista produz vasos de cerâmica e vende cada unidade por R$ 45,00. Assim, se ela vender 1 vaso, receberá R$ 45,00, se vender 2 vasos, receberá R$ 45,00 ⋅ 2 = R$ 90,00, se vender 3 vasos, receberá R$ 45,00 ⋅ 3 = R$ 135,00 e assim por diante, como representado na tabela:

Receita com vasos UNIDADES VENDIDAS

...

QUANTIA RECEBIDA (R$)

135

180

225

... Fonte: florista.

Dessa maneira, podemos descrever a quantia recebida, em reais, de acordo com o número de unidades vendidas: quantia recebida = unidades vendidas × 45 ! prec,o, em R$, de cada unidade

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

121 |

Habilidade

Utilizando as letras x e y para representar “unidades vendidas” e “quantia recebida”, respectivamente, podemos escrever esta expressão: y = 45x

(EF09MA06) Compreender

Nesse contexto, x e y são variáveis, sendo que x pode assumir somente valores naturais (já que não é possível vender partes de uma unidade de vaso!). Note que os valores de y dependem dos valores de x. Assim, dizemos que x é a variável independente, enquanto y é a variável dependente.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. a) Elabore uma situação em que haja relação entre duas variáveis quantitativas. b) Determine qual é a variável independente e qual é a variável dependente na situação. c) Expresse matematicamente a relação entre as duas variáveis. d) Construa um esquema que indique os passos para construir uma expressão matemática que represente situações do cotidiano.

LUPAS E LUNETAS a) Exemplo possível: Um posto

ATIVIDADES

de combustível comercializa o litro da gasolina a R$ 6,00. É possível organizar em uma tabela a relação entre o preço e a quantidade de litros.

4. Expresse matematicamente a relação entre

5. Considerando o quadro, determine a expres-

as variáveis em cada situação, isolando a variável dependente em um dos membros da igualdade. a) A quantidade de laranjas vendidas e o

Valor total a pagar

valor arrecadado nas vendas, sabendo que cada laranja custa R$ 1,25. V = 1,25l

são matemática que representa a relação entre as variáveis x e y, calculando os valores desconhecidos. Valores de x

Valores de y

90 135

180

t uma pista e o tempo decorrido, sabendo 8 que, em cada volta, João gasta 8 minutos.

c) A altura de uma planta e os dias decorridos,

270

sabendo que ela cresce 3 centímetros

por dia. h = 3d

...

Litros de gasolina (L)

Valor a ser pago (R$)

0 1

b) O número de voltas que João deu em

v =

450

y = 45x x = 5 ⇒ y = 45 ⋅ 5 = 225; y = 270 ⇒ 45x = 270 ⇒ x = 6;

#A ideia de função

x = 8 ⇒ y = 45 ⋅ 8 = 360; y = 450 ⇒ 45x = 450 ⇒ x = 10

Considere dois conjuntos A = {1, 2, 5, 11} e B = {3, 4, 7, 13}. Representamos cada conjunto e uma relação entre seus elementos por meio de um diagrama:

b) O valor a ser pago é a va-

riável dependente e a quantidade de litros é a variável independente. c) Podemos descrever o valor a ser pago, em reais, de acordo com a quantidade de litros: valor a ser pago = litros ×

or a ser pago = litros ×

6 !

prec,o unitário em R$

122 | TRAJETÓRIA 2

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

prec,o unitário em R$

Utilizando as letras l e p para representar “quantidade de litros” e “valor a ser pago”, respectivamente, podemos descrever a relação pela expressão: p = 6 l. d) Considere os esquemas elaborados e faça as intervenções necessárias. Comente com os alunos que não existe uma estratégia definitiva que resolva todos os 122 | MANUAL DO PROFESSOR

problemas matemáticos. Porém, é possível estabelecer uma análise gradual que auxilia no encaminhamento da resolução do problema:

Situação-problema

Levantamento de hipóteses

Modelagem

Tomada de decisão

Análise dos resultados para a situação

Resolução do modelo

Nesse caso, note que existe uma expressão matemática que relaciona cada elemento de A (domínio) a um único elemento de B (contradomínio): ao adicionar 2 a cada elemento do conjunto A, obtemos um elemento do conjunto B. Genericamente, podemos representar os possíveis elementos do conjunto A pela variável x e os possíveis elementos do conjunto B pela variável y. Dessa maneira, a regra que relaciona os elementos dos dois conjuntos pode ser representada pela expressão: y =x +2 Ou seja: x

Habilidade (EF09MA06) Compreender

LUPAS E LUNETAS a) D(R) = {1, 2, 3, 4); e

Chamamos a relação entre os conjuntos não vazios A e B de função de A em B, se para todo x pertencente a A (domínio) existe um único y pertencente a B (contradomínio) que satisfaz essa relação.

Im(R) = {45, 90, 135, 180}. 1 2

Podemos denotar como f: A → B. O conjunto de valores de y = f (x) denominamos imagem da função f.

3 4

Nesse exemplo, podemos escrever f(x) = x + 2: f(1) = 1 + 2 = 3

f(2) = 2 + 2 = 4

45 90 135 180 B

b) Sim, a relação é uma função

f (5) = 5 + 2 = 7

porque a cada quantidade vendida corresponde uma única quantia total recebida diariamente.

f(11) = 11 + 2 = 13 D(f ) = A = {1, 2, 5, 11}; CD(f ) = B = {3, 4, 7, 13}; e Im(f ) = B = {3, 4, 7, 13}.

LUPAS E LUNETAS Retome a situação da venda dos vasos de cerâmica, supondo que a florista leve diariamente para o seu quiosque 4 vasos, ou seja, que a venda diária não passe de 4 vasos. a) Identifique os conjuntos domínio e imagem da relação e represente-a em um diagrama. D(R) = {1, 2, 3, 4}; e

Receita diária com vasos UNIDADES VENDIDAS QUANTIA DIÁRIA RECEBIDA (R$)

Im(R) = {45, 90, 135, 180}.

135

180

Fonte: florista.

b) Essa relação é uma função? Sim, a relação é uma função porque a cada quantidade vendida corresponde uma única quantia total recebida diariamente. 123 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 4

Atividade 5

A expressão matemática que representa a relae l, a quantidade de laranjas vendidas, temos: ção entre as variáveis x e y é y = 45x. Assim, quando: • x = 5 ⇒ y = 45 ⋅ 5 = 225; V = 1,25l. 270 b) Chamando de v número de voltas e t o tempo • y = 270 ⇒ 45x = 270 → x = 45 = 6; 270 t decorrido, temos: v = . y = 270 ⇒ 45x = 270 → x = 45 = 6; 8 c) Utilizando h para representar a altura da planta, • x = 8 ⇒ y = 45 ⋅ 8 = 360; 450 = 10. • y = 450 ⇒ 45x = 450 → x = e d, a quantidade de dias, temos: h = 3d. 45 450 y = 450 ⇒ 45x = 450 → x = = 10. 45

a) Utilizando V para representar o valor arrecadado,

123 |

9. c) 1 150. É a quantia, em reais, a ser paga pelo aluguel do micro-ônibus com máxima lotação. 9. a) f (x) = 400 + 50x, sendo x um número

Habilidade

ATIVIDADES

(EF09MA06) Compreender

6. A partir das tabelas, descreva matematicamente uma expressão que relacione cada elemento da coluna da esquerda com um único elemento da coluna da direita. a) t(z) = z + 1

Atividade 6

p 2

Atividade 7

a) f (3) = 32 + 2 ⋅ 3 = 9 + 6 = 15 b) f (–1) = (–1)2 + 2 ⋅ (–1) = 1 – 2 = –1 e

+ 2 ⋅ (–1) = 1 – 2 = –1 e f (6) = 62 + 2 ⋅ 6 = 36 + 12 = 48. Logo, f (–1) + f (6) = –1 + 48 = 47. (–1) + f(6) = –1 + 48 = 47.

n2 + n 132 = 0. Para solucionar essa equação, podemos recorrer à fórmula resolutiva da equação do 2o grau: a = 1, b = 1 e c = –132 12 – 4 ⋅ 1 ⋅ (–132) 2 ⋅ 1 –1 ± 529 n= 2 n1 = 11 e n2 = –12 Porém, n deve ser um número natural. Portanto, o resultado –12 não satisfaz o problema. Assim, a quantidade de números naturais adicionados é 11. n=

–1 ±

...

g(p) = p

a) S(5) =

n2 + n = 132

...

Atividade 8

30 5(5 + 1) 5 ⋅ 6 = = = 15 2 2 2 ) 5 ⋅ 6 30 = = = 15 2 2 n(n + 1) b) S(n) = 66 = 2 n(n + 1) = 66 2

b) r(x) = x 2

a) t(z) = z + 1 b) r(x) = x 2 c) g(p) =

para uma viagem à praia. O preço para alugar o veículo é 400 reais fixos mais 50 reais por pessoa. O número máximo de ocupantes do micro-ônibus é 15 e o número mínimo de pessoas para que a viagem ocorra é 8. ART KONOVALOV/SHUTTERSTOCK

z 0

natural, 8 ≤ x ≤ 15.

9. Vários amigos desejam alugar um micro-ônibus

p 2

...

Veículo estacionado em empresa de fretamento de micro-ônibus.

0,5

1,5

2,5

...

Sabendo disso, responda:

a) Como podemos escrever uma função para 9. b) O valor mínimo é 8. Representa a calcular o valor recebido pela empresa quantidade mínima de que aluga o micro-ônibus conforme o pessoas para alugar o número de passageiros? micro-ônibus. b) Qual é o valor mínimo para a variável in-

dependente? O que ele representa?

c) E qual é o valor máximo da variável de-

pendente? O que ele representa?

7. Seja a função f (x) = x 2 + 2x.

d) Qual é o domínio dessa função? E o con-

a) Calcule f(3). 15

D(f ) = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15};

b) Calcule f (–1) + f (6). 47

8. Sabendo que a soma S dos n primeiros números naturais pode ser calculada pela função n(n + 1) S(n) = 2 : a) Calcule a soma dos 5 primeiros números naturais. S(5) = 15 b) Quantos números naturais foram adicionados se o valor de S(n) foi 66? 11 números.

124 | TRAJETÓRIA 2

tradomínio? CD(f ) = ! e) Qual é a imagem dessa função?

Im(f ) = {800, 850, 900, 950, 1000, 1050, 1 100, 1 150}

10. Encontre x para o qual f(x) = 0 – ou seja,

as raízes das funções – e calcule também y = f (0) para cada uma delas. 5 raiz: x = ; f (0) = –5 a) f (x) = 4x – 5 4 b) f (x) = x 2 – 5x + 6 4x + 8 raiz: x = –2; f (0) = 2 2 7 7 3x + 5 – 1 raiz: x = ; f (0) = – d) f (x) = 3 12 12 c) f (x) =

10. b) raízes: x = 2 e x = 3; f (0) = 6

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

b) O valor mínimo é 8. Representa a quantidade Atividade 10 mínima de pessoas para alugar o micro-ônibus.

A raiz da equação é o valor de x tal que f (x) = 0.

c) 1 150. É a quantia, em reais, a ser paga pelo a) Raiz da equação: f(x) = 4x – 5 = 0 ⇒ 4x = 5 → x = 5 ;

5 aluguel do micro-ônibus com máxima lotação f(x) = 4x – 5 = 0 ⇒ 4x = 5 → x = ; 4 (f(15) = 400 + 50 ⋅ 15 = 1 150). a) Denotando por x a quanf(0) = 4 ⋅ 0 – 5 = 0 – 5 = –5. d) D(f ) = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}; tidade de pessoas e f(x) o b) Raiz da equação: f(x) = x 2 – 5x + 6 = 0. Para Como não foi imposta uma restrição sobre o preço do aluguel, temos: solucionar essa equação, podemos recorrer à contradomínio, podemos considerar CD(f ) = !. o f (x) = 400 + 50x, sendo x um e) Im(f ) = {800, 850, 900, 950, 1 000, 1 050, 1 100, 1 150}. fórmula resolutiva da equação do 2 grau: número natural 8 ≤ x ≤ 15. a = 1, b = –5 e c = 6 Im(f ) = {800, 850, 900, 950, 1 000, 1 050, 1 100, 1 150}. Atividade 9

124 | MANUAL DO PROFESSOR

Habilidade

#Representação gráfica de uma função

(EF09MA06) Compreender

Considere uma função que relacione qualquer número real a seu dobro, isto é, sejam x e y números reais tais que y = 2x ou f(x) = 2x. Veja alguns possíveis valores para x e y: x

–4

1 3

–8

2 3

Podemos representar essa relação entre os valores por pares ordenados (x, y): 1 2 (–4, –8); (0, 0); ⎛ , ⎞ ; (5, 10) ⎝ 3 3⎠ e dispô-los no plano cartesiano: y

(5, 10)

10 8 6 4 2

(0 , 0) –4

–2

( 31 , 23 ) 2

–2

–4

–6

(–4, –8)

–8

Porém, esses não são os únicos pares ordenados que representam a função y = f (x) = 2x. Como x pode ser qualquer valor real (D(f ) = !), todos os pontos do eixo Ox podem ser relacionados a pontos no eixo Oy. 125 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

=8 –5=e0c ⇒ = 6( 4x + 8 )2 = 02 → 4x + 8 = 0 ⇒ 4x = –8 ⇒ x = – 8 = –2; f(x)a== 1,4xb + 4 5 ± (–5)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 6 f(0) = 4 ⋅ 0 + 8 = 0 + 8 = 8 = 2 2. x = 2 ⋅ 1 d) Raiz da equação:

5 ± 1 7 3x + 5 3x + 5 f(x) = –1=0 ⇒ = 1 → 3x + 5 = 1 ⋅ 12 ⇒ 3x = 12 – 5 ⇒ x = ; 2 3 12 12 x1 = 3x3 +e 5x 2 = 2 3x + 5 7 = são 2 e – 3. 1=0 ⇒ = 1 → 3x + 5 = 1 ⋅ 12 ⇒ 3x = 12 – 5 ⇒ x = ; Portanto, asf(x) raízes 12 12 3 2 f(0) = 0 – 5 ⋅ 0 + 6 = 0 – 0 + 6 = 6. 3 ⋅ 0+5 0+5 5 12 7 f(0) = – 1= – 1= – =– . c) Raiz da equação: 12 12 12 12 12 8 2 f(x) = 4x + 8 = 0 ⇒ ( 4x + 8 ) = 02 → 4x + 8 = 0 ⇒ 4x = –8 ⇒ x = – = –2; 4 x =

125 |

Habilidade (EF09MA06) Compreender

Se representássemos todos os pares ordenados que correspondem a essa função, teríamos esta representação gráfica: y

(5, 10)

10 8 6 4 2

(0 , 0) –4

–2

( 31 , 23 ) 2

–2

–4

–6

–8

(–4, –8)

#Função afim, f (x ) = ax + b , com a ≠ 0 Uma represa no sítio do seu Joaquim está com um volume de 16 000 m3. Durante a estação de chuvas, ela acumula mais 15 m3 por dia. Qual é a função que expressa o volume da represa v em função do número d de dias? Se, para cada dia, chove 15 m3 e começamos de 16 000 m3, a função será dada por v(d) = 16 000 + 15d. Vamos obter alguns valores para v(d):

Volume da represa d

v(d) (m3)

16 000

16 015

16 030

16 045

16 060

16 075 Fonte: Sr. Joaquim.

Essa função pode ser associada a um polinômio do 1o grau. Denotamos funções do tipo f (x) = ax + b, com a ≠ 0, como funções polinomiais do 1o grau ou funções afins. 126 | TRAJETÓRIA 2

126 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

Gráfico da função afim Considere a função f(x) = –2x + 3, sendo x e y números reais. Vamos fazer uma tabela com alguns possíveis valores de x e y. x

–2

–1

a) T(h) = 10 – 2h. b) T(h) = 10 2h

20 = 10

4 3 2 1

–1

–0,5

0,5

1,5

–1

Atividade 14

–2

No entanto, como x e y são números reais, podemos representar graficamente todos os pontos (x, y) por uma reta: y 7 6 5 4 3 2 1

–2

–1,5

–1

–0,5

0 –1

0,5

1,5

–2

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

30 = 2h 30 = 15 h= 2 Ou seja, após 15 horas, a temperatura do freezer será –20 oC, isto é, às 11 h do dia seguinte, que é quarta-feira.

–1,5

Atividade 13

Representando esses pontos em um plano cartesiano:

–2

(EF09MA06) Compreender

127 |

Vamos modelar esse problema com uma função que relaciona a distância percorrida em relação ao tempo de treino (x): • Corredor A: A(x) = 15 + 12x; • Corredor B: B(x) = 27 + 10x. Como desejamos saber o momento em que os corredores se encontram devemos igualar as funções. A(x) = B(x) ⇒ 15 + 12x = 27 + 10x 12x – 10x = 27 – 15 ⇒ 2x = 12 12 =6 x = 2 Por conseguinte, após 6 h os corredores irão se encontrar. Mas desejamos saber a quilometragem da estrada, então: A(6) = 15 + 12 ⋅ 6 = 15 + 72 = 87, isto é, os corredores se encontrarão no km 87.

Estas resoluções comentadas são referentes Atividade 12 às atividades 11 a 14 que estão na página seguinte. a) Denotando por x o número de quilômetros rodados e por f(x) o preço final, temos que Atividade 11 f(x) = 7,2 + 1,2x. Denotando por l a medida do lado do quadrado b) f(23) = 7,2 + 1,2 ⋅ 23 = 7,2 + 27,6 = 34,8. e por P(l) o perímetro, temos que: b) f (23) = 7,2 +b) 1,2f(23) ⋅ 23 = 7,2 + 1,2 27,6⋅ = 2334,8. = 7,2 + 27,6 = 34,8. • P(l) = 4l; Portanto, o preço final da carona será R$ 34,80. • A(l) = l 2 . c) f(x) = 7,2 + 1,2x = 19,2 ⇒ 1,2x = 19,2 – 7,2 O perímetro é uma função polinomial de 1o grau 12 de l. x = = 10. Portanto, foram percorridos 10 km. 1,2 127 |

Habilidade

LUPAS E LUNETAS

(EF09MA06) Compreender

Δy ⎞ ⎛ Δf Calcule a taxa de variação média ⎜⎝ Δx ou Δx ⎠⎟ da função f (x) = –2x + 3 nos intervalos do quadro e responda: x

–1

1 b) Sim, coincide com o número que multiplica x na expressão 2 –1 da função. Δy Δy = –2 em qualquer intervalo da tabela. a) Quais valores você encontrou para em cada intervalo? Δx Δx b) Esse valor (ou valores) coincide com algum número da expressão de f(x)? c) Se essa função mantiver o ritmo dado pela sua taxa de variação média, mesmo para intervalos bem pequenos de variação de x, quanto seria, por exemplo, f(1,5)? E f(2,5)? f (1,5) = 0; f (2,5) = –2.

LUPAS E LUNETAS △y

a) △x = –2 em qualquer intervalo da tabela.

b) Sim, coincide com o número

que multiplica x na expressão da função. c) f (1,5) = 0; f(2,5) = –2. Oriente os estudantes a interpolar os valores na t a b e l a c o n s i d e ra n d o a taxa de variação média △y –2 –1 = –2 = = , △x +1 +0,5 sem calcular diretamente na função por substituição de x. d) Oriente os estudantes de modo a fornecer uma justificativa (por meio da taxa de variação média), ainda que intuitiva e provisória (sem a taxa de variação instantânea ou derivada), do fato de o gráfico de uma função de 1o grau ser uma reta.

–2

d) Converse com um colega sobre o que concluíram no item anterior e o fato de o gráfico ser uma reta. Resposta pessoal. ATIVIDADES 11. P(l) = 4l; A(l) = l . O perímetro é 2

uma função polinomial de 1o grau de l.

11. Escreva as funções que calculam o períme-

tro e a área da superfície de um quadrado em função do comprimento de seu lado (l). • Qual delas é uma função polinomial do 1o grau?

12. Um aplicativo de carona cobra, para cada

viagem feita por um motorista, uma taxa fixa de R$ 7,20, além de R$ 1,20 por quilômetro rodado. a) Escreva a função polinomial do 1o grau que descreve a relação entre o número de quilômetros rodados e o preço final da carona. f (x) = 7,2 + 1,2x b) Quanto custará uma carona que percorra 23 km? R$ 34,80. c) Se uma carona custou R$ 19,20, quantos quilômetros foram percorridos? 10 km.

13. A temperatura de um freezer é, inicialmente,

b) Se ligarmos o motor às 20 h de terça-feira,

a que horas teremos uma temperatura de –20 oC no freezer? 11 h de quarta-feira.

14. Dois corredores saem de pontos diferentes

de uma estrada. O corredor A sai do ponto onde há uma placa indicando que ele está no km 15 da estrada. O corredor B sai do ponto onde há uma placa indicando o km 27. O corredor A corre a 12 km/h, enquanto o corredor B corre a 10 km/h. Supondo que eles estão na mesma direção em que a estrada aumenta sua quilometragem, em qual quilômetro eles se encontrarão? No km 87.

15. Esboce o gráfico das funções polinomiais do 1o grau: Gráficos no Manual. a) f (x) = 5x – 4 b) f (x) = –2x + 5

x –1 3 d) f(x) = 4x c) f (x) =

16. Encontre a lei de formação da função afim 10 oC. Para cada hora que o motor fica ligado, x 5 f (x) = – + que passa pelos pontos: a temperatura cai, em média, 2 oC. 2 2 c) (0, 0) e (6, 18) a) Escreva uma função que relacione a tem- f (x) = 3x a) (–3, 4) e (5, 0) b) (2, 7) e (3, 9) d) (–π, π) e (1, –1) peratura T do freezer em função da quantidade de horas h que o motor passa ligado.

T(h) = 10 – 2h 128 | TRAJETÓRIA 2

Atividade 15

Faça as construções na malha quadriculada e, se possível, em um software de geometria dinâmica, para que os alunos saibam analisar as funções com ferramentas analógicas e digitais.

Veja as resoluções comentadas das atividade de 11 a 14 na página anterior. 128 | MANUAL DO PROFESSOR

f (x) = –x

f (x) = 2x + 3

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

a) 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6

1 2 3 4 5 6

LEVO NA BAGAGEM

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Consulte todas as suas produções até agora neste passeio. Avalie seu aprendizado sobre: ▶ Matemática • Reconhece uma relação entre duas variáveis, incluindo relações de dependência? • Reconhece e escreve funções, analisando qual variável é dependente e qual é independente, determinando o domínio e a imagem da função? • Analisa e resolve situações-problema envolvendo funções polinomiais de 1o grau e de 2o grau? • Constrói e analisa gráficos de funções polinomiais de 1o e 2o graus de uma variável? ▶ Outras disciplinas História • Debate a respeito das diversidades identitárias e seus significados culturais, combatendo qualquer forma de preconceito e violência? Anote seu parecer para essas questões no caderno e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

d) 5 MATEMÁTICA

4 3 2

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

–2

–1 0 –1

–2 –3 –4 –5

Atividade 16

129 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

c) 7

5 4

6 5 4

3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3

2 3 4 5

–2 –3 –4 –5

2 3 4 5

A partir dos pontos é possível escrever um sistema de equações, visto que as coordenadas satisfazem f (x) = ax + b. ⎧–3a + b = 4 a) ⎨ ⎩5a + b = 0 1 5 a=– eb= . 2 2 x 5 Portanto, f (x) = – + . 2 2 ⎧2a + b = 7 b) ⎨ ⎩3a + b = 9 a = 2 e b = 3. Portanto, f (x) = 2x + 3. ⎧0a + b = 0 c) ⎨ ⎩6a + b = 18 a = 3 e b = 0. Portanto, f (x) = 3x. ⎧–πa + b = π d) ⎨ ⎩1a + b = –1 a = –1 e b = 0. Portanto, f (x) = –x. 129 |

BARCOS E PORTOS

Organize

Incentive o trabalho cooperativo e o compartilhamento, tanto dos conhecimentos quanto das dúvidas entre os estudantes, de modo que evoluam em suas relações, melhorando a compreensão dos conceitos e a expressão nas mais diversas linguagens. Elabore

a) A inclinação de cada reta,

gráfico da função de 1o grau, aumenta à medida que o valor que multiplica x aumenta. b) Uma reta mais inclinada do que as já desenhadas nesse plano cartesiano. c) Todas as retas interceptam o eixo Oy no mesmo ponto: (0, 1). d) Acompanhe as conjecturas dos estudantes sobre as relações entre os coeficientes a e b na expressão da função de 1 o grau f (x) = ax + b, a ≠ 0 e o aspecto do gráfico.

▶ Organize Respostas pessoais. Agora que você percorreu todo este passeio, crie quatro situações-problema envolvendo diferentes tipos de funções (deve haver ao menos uma de 1o grau e uma de 2o grau). Depois, percorra suas anotações, consulte o mapa mental que está na seção Arredores e as atividades feitas ao longo do passeio e anote cada elemento correspondente nos exemplos. Explique por que se trata de funções, quais são os domínios e assim por diante. a) Após terminar, troque com um colega sua lista de situações-problema e peça que

ele as resolva, além de anotar se ele percebe todos os elementos das funções de cada exemplo. Faça o mesmo com a lista dele. Se tiverem dúvidas, tentem explicar um ao outro qual foi o raciocínio por trás da criação da situação-problema e vejam se há algum erro na elaboração ou se há apenas um mal entendido. Se não chegarem a um acordo, procurem a ajuda do professor.

▶ Elabore Felipe começou a escrever funções polinomiais do 1o grau com uma variável e resolveu fazer algo diferente: alterar o valor somente do coeficiente que multiplicava a variável livre de uma em uma unidade e analisar o gráfico que era criado. Ele começou com a função g(x) = 2x + 1. Depois, fez a função f (x) = x + 1. Em seguida, h(x) = 3x + 1. E, finalmente, k(x) = 4x + 1. Ele construiu os quatro gráficos no mesmo plano cartesiano. Observando-os, responda: x f(x) = x + 1 5 g(x) = 2x + 1

h(x) = 3x + 1

k(x) = 4x + 1

Entrada...

a) A inclinação de cada reta, gráfico da função, aumenta à medida que o valor que multiplica x aumenta.

1 –5

–4

–3

–2

–1

6 y

–1 –2

a) Que relação você observa entre o valor que multiplica x e o aspecto da reta

correspondente? Uma reta mais inclinada do que as já desenhadas nesse plano cartesiano.

b) Como seria o gráfico de m(x) = 5x + 1?

Todas as retas interceptam o eixo Oy no mesmo

c) O que há em comum entre essas retas? ponto: (0, 1).

d) Elabore uma família de funções parecida com a que Felipe fez, com ao menos

quatro funções, e faça o gráfico delas em um plano cartesiano. Resposta pessoal.

130 | BARCOS E PORTOS

130 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Encontro com outras disciplinas (EF09HI36) Identificar e discutir as diversidades identitárias e seus significados históricos no início do século XXI, combatendo qualquer forma de preconceito e violência.

▶ Proponha A pergunta inicial deste passeio é: Como as relações podem impactar nossa vida? Pensando nisso, vamos refletir e propor uma forma de usarmos as relações e diversidade de comportamentos para beneficiar o convívio social. Junte-se a um grupo com 3 ou 4 colegas e leiam o texto.

O que é cyberbullying? pelas plataformas de mensagens; • se passar por outra pessoa e enviar mensagens maldosas aos outros em seu nome. O bullying presencial e o virtual acontecem lado a lado com frequência. Porém, o cyberbullying deixa um rastro digital – um registro que pode se tornar útil e fornecer indícios para ajudar a dar fim ao abuso. [...]

d) Quais atitudes podem evitar serem vítimas?

e) Como agir depois de sofrer

MYBOYS.ME/SHUTTERSTOCK

ASIANDELIGHT/SHUTTERSTOCK

Cyberbullying é o bullying realizado por meio das tecnologias digitais. Pode ocorrer nas mídias sociais, plataformas de mensagens, plataformas de jogos e celulares. É o comportamento repetido, com intuito de assustar, enfurecer ou envergonhar aqueles que são vítimas. Exemplos incluem: • espalhar mentiras ou compartilhar fotos constrangedoras de alguém nas mídias sociais; • enviar mensagens ou ameaças que humilham

Garoto sendo vítima de cyberbullying. Pessoa cometendo cyberbullying. CYBERBULLYING: o que é e como pará-lo. Unicef Brasil. Disponível em: www.unicef.org/brazil/cyberbullying-o-que-eh-e-como-para-lo. Acesso em: 29 ago. 2022.

A partir da leitura do texto, envolvam-se com as seguintes situações: 1.

Um grupo anônimo publicou ameaças aos alunos de uma escola em aplicativos de mensagens instantâneas. No instante em que a primeira mensagem foi publicada, a direção da escola começou a rastrear sua origem. Após o primeiro minuto da publicação da mensagem, duas pessoas haviam visualizado, mas esse número dobrou a cada minuto que se passou. Se a direção conseguiu identificar a origem após 10 minutos, quantas pessoas já haviam visualizado a mensagem? 1 024 pessoas.

Se vocês fizessem parte da equipe da direção dessa escola, que atitudes vocês tomariam sobre esse grupo anônimo causador de cyberbullying? Agora, pensem em alguma solução possível para reduzir a prática de bullying entre os adolescentes do seu entorno. Pode ser na escola, nas famílias ou em alguma outra comunidade. Anotem as ideias e troquem com os colegas para enriquecerem as possibilidades.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

131 |

Proponha

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

O objetivo desta atividade está relacionado a projetos sociais, interações e soluções de problemas. Os alunos tomam conhecimento das características maléficas do cyberbullying e começam a se questionar se não há algo que possa ser feito a respeito. Tal questionamento torna-se uma semente para, no futuro, gerar uma ação de um cidadão consciente e propagador de atitudes pacíficas. 1. 1 024 pessoas

Depois da leitura do texto sobre “O que é cyberbullying”, organize-os em duplas ou trios para discutirem sobre esse tema. Apresente algumas perguntas como um roteiro que os auxiliem a conversar sobre diversos aspectos do cyberbullying. Alguns exemplos são: a) Quais são os tipos de cyberbullying? b) Quais ações podem ser consideradas cyberbullying? c) Quais as consequências para as vítimas?

cyberbullying? As respostas esperadas para essas questões, respectivamente, podem ser: a) Calúnia, difamação, injúria, ameaça, constrangimento, falsa identidade, molestar ou perturbar a tranquilidade. b) Divulgação de fotos constrangedoras, divulgação de fotos íntimas, críticas à aparência, opinião ou comportamento. c) Baixa autoestima, dificuldade de relacionamento com outras pessoas, desempenho escolar abaixo do esperado, uso de drogas e suicídio. d) Evitar expor sua vida em redes sociais, evitar compartilhamento de fotos íntimas. e) Bloquear as pessoas que ofendem ou atacam de algum modo; procurar ajuda dos pais; fazer boletim de ocorrência quando houver divulgação de foto íntima, calúnia, difamação. Para finalizar esta atividade peça que façam cartazes contra a prática do cyberbullying e divulguem na escola com a intenção de incentivar outros colegas a terem uma prática ética em suas relações nas redes sociais.

131 |

VISTORIAS

Habilidades de Matemática: EF09MA06, EF09MA07, EF09MA08, EF09MA09

Você chegou ao final da Trajetória. Reflita sobre tudo o que aprendeu e verifique a qualidade da sua aprendizagem. Resolva todos os exercícios no caderno.

CHECK-OUT

5 980 = 6,5 horas a) 920

1. Ao alcançar a altitude de 10 mil pés, um avião

Atividade 2

5 a = ⇒ a = 180 adultos. 3 108 108 + 180 = 288 288 passageiros.

SKYCOLORS/SHUTTERSTOCK

15 000 – 10 000 = 100 pés por minuto. b) 50 = 100 pés por minuto. c) f (x) = 10 000 + 100x

comercial alcança a velocidade máxima de 920 km/h. Depois disso, ele demora mais 50 minutos para alcançar a altitude de 15 mil pés. Considerando isso, responda:

Avião comercial sobre as nuvens.

Atividade 3

b) 100 pés por minuto.

a) Quanto tempo o avião demorará para

percorrer uma distância de 5 980 km? a) f (x) = x + 4x + 4 = (x + 2) b) Qual é a taxa de variação média de pés 2 2 b) f (5) + f(4) = 5 + 4 ⋅ 5 + 4 + 4 + 4 ⋅ 4 + 4 = 85 ou 2

por minuto do avião dos 10 aos 15 mil pés? + 4 ⋅ 5 + 4 + 4 + 4 ⋅ 4 + 4 = 85 ou c) Escreva uma função afim que relacione 2 2 2 2 f (5) + f(4) = (5 + 2) + (4 + 2) = 7 + 6 = 49 + 36 = 85. a altitude x do avião com o tempo per= (5 + 2)2 + (4 + 2)2 = 72 + 62 = 49 + 36 = 85. corrido y, em minutos. 2 2 2

= 7 + 6 = 49 + 36 = 85. c) f (x) = 1 x 2 + 4x + 4 = 1

f (x) = 10 000 + 100x

2. Os passageiros do voo da questão anterior foram analisados pela companhia aérea para que ela pudesse distribuir o “peso” corretamente no avião. Se, para cada 5 adultos no avião, havia 3 crianças, quantos passageiros o avião levou, se o número total de crianças era 108? 288 passageiros.

x + 4x + 3 = 0 2

–4 ± 4 2 –4 ± 2 x = 2 x = –1 e x = –3. x =

lação de computador é descrito pela função f(x) = x 2 + 4x + 4, em que x é o número de segundos desde que a simulação iniciou e f(x) é sua altitude com relação ao limite inferior da tela do computador.

5 4

ALEXANDRE R./ M10

3 2 1 –3

–2

–1

0 –1

dobro da área adicionado a três vezes a medida do lado é igual a 65? a) Escreva uma equação que modele o problema. 2l 2 + 3l = 65 b) Resolva o problema. l = 5

5. Uma padaria tem uma máquina que fabri-

ca rosquinhas. Para seu funcionamento, é necessário que o padeiro coloque de 3 a 7 pacotes de farinha. O número de rosquinhas fabricadas com essa quantidade se iguala ao número de pacotes elevado ao quadrado e multiplicado por três.

3. O movimento de um ponto em uma simu-

y 6

–4

usando produtos notáveis. (x + 2)2 b) Calcule f (5) + f (4). 85 c) Quais são os valores de x que tornam a equação f (x) = 1 verdadeira? –1 e –3 d) Esboce o gráfico da função f no plano cartesiano (utilize um software de geometria dinâmica). Gráfico no Manual.

4. Qual é a medida do lado do quadrado cujo

a) 6,5 horas.

a) Fatore a expressão algébrica da função

NEIRFY/SHUTTERSTOCK

Atividade 1

Rosquinhas doces. a) Escreva uma função que descreva a relação

entre o número de pacotes colocados na máquina e o número de rosquinhas fabricadas. f (x) = 3x 2 b) Qual é o domínio e a imagem da função que você escreveu no item a?

D(f ) = {3, 4, 5, 6, 7}; Im(f ) = {27, 48, 75, 108, 147} 132 | VISTORIAS

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 4

Atividade 5

a) 2l 2 + 3l = 65 b) l = 5

a) f(x) = 3x 2 b) D(f ) = {3, 4, 5, 6, 7} e

2l 2 + 3l – 65 = 0

–3 ± l=

3 – 4 ⋅ 2 ⋅ (–65) 2 ⋅ 2 2

–3 ±

l1 = 5 e l2 = –

132 | MANUAL DO PROFESSOR

529

26 ! (nao convém). 4

Im(f ) = {27, 48, 75, 108, 147}.

6. c) Sim, pensando em dois números que multiplicados resultam em 39, porém, isso pode acabar fazendo com que se perca a solução negativa.

6. Considere a equação (x – 5)(x + 5) = 39.

a) Desenvolva o produto notável do 1o mem-

bro da equação. x – 25 = 39 b) Resolva a equação, dando seu conjunto solução. S = {–8, 8} c) Seria possível resolver a equação sem desenvolver o produto notável? Como? 2

7. Um experimento científico analisa o comporta-

mento de algumas partículas magneticamente carregadas em um espaço determinado. O movimento das partículas, em função do tempo, é dado pela função y = f(x) = 2x 2 + 5x + k – 3 O objetivo do experimento é encontrar o valor de k de modo que a partícula toque apenas uma vez em um ponto com y = 0. Qual deve ser o valor de k para que isso aconteça? k = 49 8

8. O diretor de marketing de uma empresa está analisando o gráfico de vendas dos últimos meses.

Vendas por mês - 2022 5 200

epidemia, a Secretaria de Saúde de uma ci-

4 800

Atividade 8

a) –200 unidades por mês. b) Considere o valor no mês

de maio e a taxa de variação média:

dade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado

Mai

4 200

Jun

4 000

primeira infecção) e que a expressão é válida

Jul

3 800

para os 60 primeiros dias da epidemia.

Ago

3 600

A Secretaria de Saúde decidiu que uma se-

Set

3 400

Out

3 200

Nov

3 000

Dez

2 800

pela função f (t) = –2t 2 + 120t (em que t é expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à

gunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas e uma segunda dedetização precisou acontecer. A segunda dedetização começou após quantos dias?

20 dias.

10. (Enem 2020 – adaptada) Por muitos anos, o

c) f(x) = 5 200 – 200x d) f(x) = 5 200 – 200x = 0 → 200x =

f(x) = 5 200 – 200x = 0 → 200x = 5 200 ⇒ x = 26 • 1 – 12: ano de 2022; os maiores produtores e exportadores de soja. • 13 – 24: ano de 2023; • 25 – 26: jan/fev do ano de Entre os anos de 2010 e 2014, houve uma 2024. forte tendência de aumento da produtividade, Em fevereiro de 2024. porém, um aspecto dificultou esse avanço: Brasil tem figurado no cenário mundial entre

o alto custo do imposto ao produtor asso-

5 000

Atividade 9

f(t) = 2t 2 + 120t

ciado ao baixo preço de venda do produto.

4 600

2t 2 + 120t = 1 600

Em média, um produtor gastava R$ 1.200,00

4 400 4 200

por hectare plantado e vendia por R$ 50,00

4 000 3 800

9. (Enem 2016 – adaptada) Para evitar uma

janeiro

fevereiro

b) 2 800 unidades.

março

abril

maio

Observe o gráfico e responda: a) Qual é a taxa de variação média das vendas por mês? –200 unidades por mês. b) Se essa tendência continuar, quantas unidades serão vendidas em dezembro? c) Considerando janeiro como mês 1, fevereiro como 2 e assim por diante, escreva uma função afim que descreva o comportamento das vendas em função do tempo. d) Se a tendência de queda se mantiver, em qual mês as vendas da empresa chegariam a zero? Em fevereiro de 2024. c) f (x) = 5 200 – 200x

cada saca de 60 kg. Ciente desses valores, um produtor pode, em certo ano, determinar uma relação do lucro L que obteve em função das sacas de 60 kg vendidas. Suponha que ele plantou 10 hectares de soja em sua propriedade, na qual colheu x sacas de 60 kg e todas as sacas foram vendidas. Disponível em: www.cnpso.embrapa.br. Acesso em: 27 fev. 2012 (adaptado).

Qual é a expressão que determinou o lucro L em função de x obtido pelo produtor nesse ano? L(x) = 50x – 12 000 133 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 6

a) (x – 5)(x + 5) = 39 ⇒ x 2 – 25 = 39 b) x 2 – 25 = 39 ⇒ x 2 = 64 ⇒ x = ± 8 S = {–8, 8}.

c) Sim, pensando em dois números que multipli-

cados resultam em 39, porém isso pode acabar fazendo com que se perca a solução negativa.

um único ponto de intersecção do gráfico com o eixo Ox): △ = 52 – 4 ⋅ 2 ⋅ (k – 3) = 0

t =

120 ±

120t + 1 600 = 0 ( 120)2 2 2

1600

1 600 4 t1 = 40 e t2 = 20 20 dias. t =

120 ±

Atividade 10

O lucro é a diferença entre a receita e o custo. Como há 10 hectares e o gasto é de 1 200 reais por hectare, então o custo será de 10 ⋅ 1 200 = 12 000. reais. A receita é de 50 reais a cada saca de 60 kg, ou seja, 50x. Então o lucro pode ser calculado por: L(x) = 50x – 12 000

25 – 8k + 24 = 0 8k = 49 49 k = 8

Atividade 7

O discriminante deve ser igual a zero para que f (x) = 2x 2 + 5x + k – 3 tenha uma única raiz (ou 133 |

DE OLHO NA BÚSSOLA Após resolver os exercícios da seção Check-out, verifique se você aprendeu a: OBJETIVOS

EXERCÍCIOS

Reconhecer a proporcionalidade entre grandezas, seja direta ou inversa (ou não proporcionais), elaborando e resolvendo problemas.

1, 2

Resolver problemas que envolvam duas grandezas diferentes, como velocidade média ou densidade demográfica.

1, 2

Reconhecer e calcular a taxa de variação média de uma grandeza em relação a outra a partir de uma razão ou gráfico, nos mais diversos contextos.

1, 8, 10

Dividir proporcionalmente, em duas ou mais partes, uma grandeza.

Reconhecer polinômios sabendo fatorá-los corretamente, assim como desenvolver produtos notáveis.

3, 6

Escrever equações polinomiais de 2o grau dos mais variados tipos de acordo com uma situação-problema dada.

3, 4, 5, 6

Resolver equações polinomiais de 2o grau, completas e incompletas, nos mais variados contextos.

3, 4, 5, 6, 7, 9

Analisar o discriminante de uma equação polinomial de 2o grau, determinando o número de soluções reais e seu conjunto solução.

Reconhecer uma relação entre duas variáveis, incluindo relações de dependência.

1, 3, 5, 8, 9, 10

Reconhecer e escrever funções, analisando qual variável é dependente de qual, determinando o domínio e a imagem.

1, 3, 5, 8, 9, 10

Analisar e resolver situações-problema envolvendo funções polinomiais de 1o e de 2o grau.

1, 3, 5, 7, 8, 9, 10

Construir e analisar gráficos de funções polinomiais de 1o e 2o graus de uma variável.

3, 7, 8

Considerando os exercícios que resolveu, como você julga seu desempenho: insuficiente, parcialmente suficiente, satisfatório, plenamente satisfatório? Respostas pessoais.

Prossiga ▶ Continue estudando! Retome esta Trajetória buscando, com professores e colegas, alternativas para superar os obstáculos à sua aprendizagem. Estude a seção Retornos e resolva novos exercícios referentes à Trajetória 2 que estão na seção Suplemente sua aprendizagem, ao final do livro.

134 | VISTORIAS

134 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Dicas de estudo

DICAS DE ESTUDO

ALEXANDRE R./ M10

Utilize os diferentes modos de pensamento. Você sabia que existem dois modos de pensamento: o pensamento focado e o pensamento difuso?

Leia o texto com os estudantes e promova uma reflexão sobre os diferentes modos de pensar e quando mobilizar um ou outro nos estudos, mas também nas diversas situações da vida e em suas relações na comunidade escolar ou fora dela.

Diferentes modos de pensamento.

O primeiro é aquele voltado para a concentração. É orientado por um modo de pensar eficiente para a solução de problemas familiares ou com algum padrão de repetição. Ao usar esse modo, seu cérebro tenta resolver a questão da maneira mais rápida e eficiente possível. Nesse caso, é comum o cérebro utilizar alternativas conhecidas e semelhantes, como se só existisse um caminho. O segundo é orientado por um modo relaxado, de repouso neural. É envolvido por uma visão panorâmica, rico em conexões inconscientes e conceitos amplos. Propício para problemas novos e exercício da criatividade. O modo difuso busca soluções e saídas utilizando conhecimentos que você desenvolveu ao longo dos anos, pulando de ideia a ideia, variando conceitos e áreas distintas. Para sua mente entrar no modo difuso, relaxe, deixe a mente ficar livre, e depois redirecione-a para o modo focado. Tire proveito desses dois modos de pensar. Se seu pensamento “travar” quando estiver muito focado, talvez seja hora de relaxar e pensar de outro modo. Fonte: OAKLEY, B. Aprendendo a aprender: como ter sucesso em Matemática, Ciências e qualquer outra matéria. São Paulo: Infopress, 2015.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

135 |

TRAJETÓRIA 3 PANORAMA DA TRAJETÓRIA

TRAJETÓRIA 3

Competências gerais: 2, 3.

Habilidades de outras disciplinas:

RESPIRO/SHUTTERSTOCK

Habilidades de Matemática: EF09MA10, EF09MA11, EF09MA12, EF09MA13, EF09MA14, EF09MA15.

OLESIA BILKEI/SHUTTERSTOCK

Competências específicas: 2, 3.

Arte: EF69AR31, EF69AR35. Temas Contemporâneos Transversais: Ciência e Tecnologia Saúde Educação Alimentar e Nutricional Multiculturalismo Sugestão de atividade

Enquanto as Trajetórias anteriores partiram de perguntas norteadoras “externas à matemática”, a pergunta norteadora desta Trajetória se apresenta em uma perspectiva distinta, segundo um caráter mais próximo aos conteúdos matemáticos: Onde podemos reconhecer noções de forma, proporção e padrões? Entretanto, cabe ressaltar que isso não significa que se excluíram temas “externos” à Matemática. Pelo contrário, estes se apresentam ao longo dos Passeios a partir de perguntas como: “Como relacionar elementos semelhantes nos diferentes aspectos da vida e da sociedade?”, “qual a importância da forma na comunicação, arte e tecnologia?”, “onde encontramos criatividade na regularidade?”. Dessa maneira, ao refletir sobre aspectos intrínsecos da Matemática, vislumbra-se a possibilidade de olhar criticamente e reflexivamente para outros aspectos, sejam eles da vida cotidiana, sejam de outras disciplinas escolares. Assim, espera-se que o estudante possa desenvolver um olhar sensível sobre o entorno, compreendendo o mundo a partir da Matemática ao mesmo tempo em que ressignifica seus conhecimentos matemáticos a partir do olhar para o mundo. A 136 | MANUAL DO PROFESSOR

ONDE PODEMOS RECONHECER FORMA, PROPORÇÃO E PADRÕES? • Como reconhecer a ideia de semelhança em situações

do cotidiano?

• Qual é a importância da forma na comunicação, arte e

tecnologia?

• Como reconhecer ideias de regularidade e criatividade

no cotidiano?

136 | Trajetória 3

Geometria, especialmente, tem o potencial para promover esse movimento. A título de exemplo, por um lado, é possível compreender uma série de propriedades e características de círculos e circunferências a partir de seu uso em objetos cotidianos, em máquinas, na arquitetura e na engenharia. Por outro, é possível refletir sobre como a humanidade, antes de conceituar matematicamente círculo e circunferência, notou que peças e utensílios com formatos circulares ou redondos tinham certas características úteis para resolver problemas do dia a dia.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

O desenvolvimento do referido “olhar sensível” sobre o entorno a partir da Matemática passa também pela contemplação da própria natureza e da arte, sendo possível inclusive estabelecer relações sobre como tais aspectos podem se implicar mutuamente. Nesse sentido, desenvolver atividades interdisciplinares, contando com a presença de professores de outras áreas, ajuda a potencializar as discussões e reflexões realizadas. Outro aspecto fundamental a ser considerado se relaciona às maneiras segundo as quais os estudantes terão contato com a “Matemática no

SIMON BRATT/SHUTTERSTOCK

CONTEÚDOS DA TRAJETÓRIA Passeio 1 Feixe de retas paralelas e teorema de Tales

• Posições relativas entre retas • Retas paralelas cortadas por transversais

• Teorema de Tales Passeio 2 Relações métricas em triângulos

JAY-DEE/SHUTTERSTOCK

Vistas de perto, as espirais dos brócolis romanescos representam um padrão fractal natural.

• Semelhança de triângulos • Teorema de Pitágoras • Relações métricas no triângulo retângulo

Passeio 3 Circunferências, arcos e polígonos regulares

• Posições relativas de retas e circunferências

• Arcos e ângulos de uma circunferência

• Relações métricas na circunferência

• Fluxograma para construção de polígonos regulares

Detalhe de um ramo de samambaia no qual observamos, em seu padrão, a ideia de fractal.

Você já ouviu falar em fractal? As formas fractais criadas com recursos computacionais ou as formas fractais naturais, encontradas em diversos elementos da natureza, nos apresentam, ao compararmos o todo com os detalhes, a ideia de semelhança recorrente, ou seja, se fôssemos “dar um zoom” em um detalhe do fractal, observaríamos a semelhança dele com a forma antes do zoom. Se você quiser saber mais, pesquise esse assunto!

Veja comentários da seção Lupas e lunetas na página seguinte.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Reflita sobre as questões apresentadas anteriormente e considere-as para elaborar outras perguntas de sua própria autoria. • Publique suas perguntas no mural da sala de aula e aprecie as perguntas dos colegas.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

mundo”. Levar para a sala de aula imagens, fotos, ilustrações vídeos etc. é fundamental, porém, pode ser considerado o nível mais simples de interação que os estudantes podem estabelecer entre a Matemática e o entorno. É desejável que se explore “de fato” o entorno, que se observe as construções, as opções arquitetônicas, obras de engenharia enquanto circulam pela cidade. O mesmo pode ser dito sobre visitas a museus e exposições. Enquanto esse tipo de situação permite um “olhar para o mundo”, é fundamental que se proponham maneiras de “agir” sobre o mundo a partir do que foi

137 |

observado. Isso implica a ação e o protagonismo do estudante ao pensar soluções para a cidade ou sua própria comunidade, por exemplo, ao elaborar uma produção artística, ao tirar e expor fotografias e vídeos obtidos da exploração do entorno etc. Como sempre, é fundamental que os estudantes possam conversar sobre o que foi descoberto, o que foi visto e ouvido. Que possam expor suas produções e refletir sobre os processos de sua produção. Assim, devem-se manter abertos os espaços de escuta, de fala e de conversa. 137 |

Estes comentários são da seção Lupas e lunetas da página anterior.

PASSEIO 1 – FEIXE DE RETAS PARALELAS E TEOREMA DE TALES

LUPAS E LUNETAS

OLESIA BILKEI/SHUTTERSTOCK

COMO RECONHECER A IDEIA DE SEMELHANÇA EM SITUAÇÕES DO COTIDIANO? NIKTALENA/SHUTTERSTOCK

As questões de abertura têm o objetivo de explorar algumas palavras-chave de conceitos matemáticos aplicados no contexto da vida cotidiana. Após a leitura das questões, individualmente ou em grupo, proporcione um momento para que os estudantes compartilhem suas reflexões com a turma. As noções intuitivas de semelhança, formas, proporção e regularidade servirão de base para o desenvolvimento de novas habilidades. A apresentação sobre fractais pode ser trabalhada em parceria com o professor da área de Língua Portuguesa, relacionando fractais e a metalinguagem. A metalinguagem é a propriedade da linguagem de autodescrição, por exemplo, uma poesia que aborde poesia. Observe a imagem a seguir.

Ser semelhante não é ser idêntico.

CHECK-IN

FRAN_KIE/SHUTTERSTOCK

a) O que chama a sua atenção nessas duas imagens?

b) Observe os calçados dos pais e dos filhos. Você poderia dizer que o calçado do filho

é uma miniatura do calçado do pai? BUCHANDBEE/SHUTTERSTOCK

c) Observe as imagens destes dois personagens de desenho animado.

Na criação dessa imagem há a ideia de metalinguagem, visto que a imagem apresenta um espelho com cena semelhante, em uma sucessão, tendendo para o infinito. As formas fractais apresentam sua reprodução em si mesmas infinitas vezes. O padrão utilizando o próprio padrão na construção da estrutura – a autossimilaridade ou a “simetria através das escalas”.

138 | MANUAL DO PROFESSOR

•

O que difere o pai do filho? Você poderia dizer o mesmo em relação aos pais e filhos em cada foto? Por quê? Respostas pessoais.

138 | TRAJETÓRIA 3

CHECK-IN a) Espera-se que os estudantes identifiquem um

padrão nas imagens, mas também encontrem diferenças entre as duas imagens e na própria imagem, entre pai e filho. b) Verifique se eles percebem que, à primeira vista, podemos afirmar que sim, mas, após uma análise minuciosa, é possível notar pequenos detalhes que os diferenciam. Isso fica mais claro na imagem da esquerda.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

c) As imagens dos personagens são uma a mi-

niatura da outra. Espera-se introduzir a noção intuitiva de semelhança.

ARREDORES

Coincidentes Concorrentes

Triângulos

TEOREMA DE TALES

Paralelas

Paralelismo de retas

Segmentos proporcionais PARALELAS E TRANSVERSAIS

Ângulos

EF09MA10, EF09MA12, EF09MA14 EF69AR31

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: Reconhecer e demonstrar as relações entre ângulos formados por uma reta transversal a um feixe de retas paralelas. • Calcular e reconhecer ângulos congruentes, ângulos complementares e ângulos suplementares nas mais diversas figuras. • Resolver e elaborar problemas de aplicação das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por transversais. • Observar obras artísticas e buscar relações dessas obras com as dimensões sociais. •

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

139 |

Atividades 1 a 3

Esta seção dialoga com a habilidade de Arte EF69AR31. Não se espera, com essas atividades, cobrir toda a essência dessa habilidade, todavia, é esperado que o aluno possa observar obras artísticas e buscar relações dessas obras com as dimensões sociais. Incentive os alunos a compartilhar as pesquisas que fizeram a respeito dos artistas mencionados e de algumas de suas obras. Oriente o olhar dos alunos quanto às características das obras (São obras figurativas ou abstratas? De observação passiva do espectador ou com possibilidades de interação? Que tipo de materiais foram utilizados? Que outros artistas e obras do cenário estrangeiro estavam sendo produzidas na mesma época dessas? Que fatos históricos ocorriam no mundo e no Brasil naquela época? Como a tecnologia e a Matemática daquela época influenciavam os costumes sociais e culturais do povo brasileiro e de outros povos?). Essas questões podem ser debatidas com os alunos em uma roda de conversa com os professores da disciplina de Arte. Proponha aos alunos que, utilizando alguma noção matemática (geométrica e de proporcionalidade, por exemplo), façam composições artísticas inspirados nas obras desses dois artistas. Ao fim, proponha uma grande exposição no pátio da escola.

140 | MANUAL DO PROFESSOR

As confluências entre arte, ciência e tecnologia A proximidade entre arte e ciência pode ser traçada de muitas formas diferentes no decorrer da história. O escultor, pintor, engenheiro e cientista Leonardo da Vinci (1452-1519) afirmava que ciência e arte completavam-se constituindo a atividade intelectual. A literatura de ficção científica, por sua vez, é compreendida por vários intelectuais como uma antecipação, nas e pelas artes de futuros feitos da ciência. Em ambos os casos, bastante distantes, um ponto comum: a proximidade entre arte e ciência, seja pela complementariedade ou pela influência recíproca. [...] No Brasil, Abraham Palatnik (1928) e Waldemar Cordeiro (1925-1973) são considerados os

pioneiros dessa convergência entre arte, tecnologia e ciência. O primeiro, após suas pesquisas sobre luz e movimento e discussões com o crítico de arte Mário Pedrosa, desenvolveu um aparelho cinecromático, exposto na 1a Bienal Internacional de São Paulo (1951). Os trabalhos de Palatnik fazem parte do que se convencionou chamar arte cinética e apresentam objetos que se movimentam por eletroímãs ou motores de pequenas dimensões, e que mudam de coloração conforme a ação da luz. O trabalho de Waldemar Cordeiro, contemporâneo de Palatnik, introduziu em 1970, o uso do computador nas artes visuais.

KANASHIRO, Marta. As confluências entre arte, ciência e tecnologia. ComCiência. Campinas: 10 jul. 2003. Disponível em: www.comciencia.br/dossies-1-72/reportagens/cultura/cultura02.shtml. Acesso em: 1 set. 2022. CARLA FRANCESCA CASTAGNO/SHUTTERSTOCK

ATMOSFERA

DARIA PUSHKA/SHUTTERSTOCK

Encontro com outras disciplinas (EF69AR31) Relacionar as práticas artísticas às diferentes dimensões da vida social, cultural, política, histórica, econômica, estética e ética.

Esboços de Leonardo da Vinci: design para carrinho automotor, o primeiro carro da história. Esboço de voo com sua famosa assinatura canhota. No Brasil, temos Abraham Palatnik e Waldemar Cordeiro que exploraram arte e tecnologia.

ATIVIDADES

1. 2. 3.

Você conhece algum exemplo de aproximação entre arte e ciência? Você já viu alguma obra de arte envolvendo elementos de matemática ou de ciências? Que sensação você tem quando vê uma obra de arte assim? Você conhecia os artistas Abraham Palatnik e Waldemar Cordeiro? Pesquise algumas obras desses artistas e compartilhe suas percepções em algum meio digital.

Respostas pessoais. 140 | TRAJETÓRIA 3

Sugestão de atividade

Proponha o professor de Arte um projeto interdisciplinar com o objetivo de relacionar o tema com uma criação artística. Selecione um vídeo que mostre as obras de Abraham Palatnik como inspiração. Mostre que algumas de suas obras usam instalações elétricas que criam movimento e jogos de luzes como um recurso artístico. Incentive-os a pesquisar materiais que podem usar para criar suas próprias obras (com movimento ou não). Em

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

outro momento, os estudantes podem realizar a composição da arte. Devem levar seus materiais como tinta, argila, massa de modelar, EVA, papéis coloridos e a “base que se movimenta”, se for o caso. As obras devem estar relacionadas a um tema a ser escolhido coletivamente, mas cada um apresentará um resumo sobre a relação entre sua obra e o tema. Essa atividade também se relaciona com a habilidade de Arte EF69AR31 e espera-se que os estudantes vivenciem a produção artística.

Habilidade

#Postulados

(EF09MA10) Demonstrar

A Matemática baseia-se em diversas proposições que expressam conceitos, fatos e ideias. Por exemplo, “um triângulo é uma figura geométrica constituída por três lados” é uma proposição matemática. Algumas dessas proposições se referem a fatos óbvios ou tão evidentes que dispensam a necessidade de serem provados ou demonstrados. Esses fatos são denominados postulados ou axiomas. Os gregos, na Antiguidade, particularmente Euclides, em sua obra Os elementos, datada de cerca de 300 a.C., descreveu e utilizou alguns postulados. Veja alguns deles, escritos em uma linguagem mais atual: • Pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos. • Pode-se continuar qualquer reta finita continuamente em uma reta. • Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio. • Todos os ângulos retos são iguais.

Pontos e retas, por exemplo, são considerados elementos primitivos. Tal como os postulados, é esperado que esses dois conceitos sejam evidentes: • O ponto é a menor unidade do espaço, ocupa uma área ínfima e determina uma posição no espaço. É nomeado com letras maiúsculas (por exemplo, o ponto A). • A reta é um conjunto infinito de pontos alinhados que se estende infinitamente para os

!#" dois sentidos. Pode ser nomeada por dois pontos que possua (por exemplo, FG) ou por uma letra minúscula (r).

• O segmento de reta é parte de uma reta; ele começa e acaba em pontos B e C distintos

que, em geral, nomeiam também a reta que os contém. Por exemplo, BC.

relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

LUPAS E LUNETAS O objetivo da atividade é conversar com os alunos sobre a dificuldade de explicar conceitos que são considerados “óbvios”. Dê exemplos de axiomas também, como a comutatividade da adição, para que eles percebam que precisou ser criado na Matemática um ponto de partida para ser desenvolvida a partir do pensamento dedutivo, com demonstrações. Isso também auxilia na discussão acerca da comunicação.

!!!"

• A semirreta inicia em um ponto e se estende infinitamente para apenas um sentido ( DE ).

A Ponto A

Reta r (FG)

B Segmento (BC)

Semirreta FG

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Conforme os postulados de Euclides, é possível afirmar que “a menor distância entre dois pontos no plano é uma reta”. a) Explore essa ideia a partir da situação: destaque dois pontos distintos em uma folha de caderno, em qualquer lugar. Depois, imagine que uma formiga está saindo de um dos pontos e indo para o outro. Qual é o caminho mais curto que ela pode fazer? b) Converse com os colegas sobre a sua exploração e as relações com a afirmação do enunciado.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL Converse com o professor de Arte para planejarem um estudo do meio como atividade interdisciplinar. Com a gestão escolar, pesquisem museus ou locais com exposição de Arte com o objetivo de conhecerem práticas artísticas. Ao escolher onde pretendem visitar, façam a divulgação do roteiro, dos custos de transporte, alimentação e do horário previsto de saída e retorno. Pesquisem sobre a exposição, as principais obras e quais características os estudantes devem analisar com mais atenção.

141 |

Peça narrativas, depoimentos ou fotos sobre as obras e suas experiências no decorrer do estudo. Aproveite o momento para explorar a diversidade cultural e as formas de expressão e, diante dessas experiências, desenvolver a criticidade e a sensibilidade dos estudantes.

141 |

Habilidade (EF09MA10) Demonstrar

relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

#Posições relativas entre duas retas no plano Retas paralelas O paralelismo é estudado pela Matemática e pela humanidade há tempos. Na obra Os elementos, de Euclides, essa noção é tratada como algo evidente, na forma de um postulado. Hoje, definimos assim retas paralelas: Duas retas em um mesmo plano são paralelas quando são coincidentes ou quando, mesmo que prolongadas infinitamente, jamais se cruzarem nem tiverem algum ponto em comum.

As retas r e s são paralelas entre si.

Se r é uma reta e s é outra reta em um mesmo plano, para dizer que r e s são paralelas, escrevemos r //s. Retas coincidentes Nesse caso, uma reta é idêntica à outra: todos os pontos de uma são também da outra e elas ocupam exatamente o mesmo lugar no plano. Nessa situação, vemos apenas uma reta.

As retas r e s são paralelas coincidentes (r ≡ s).

Retas concorrentes Quando retas coplanares não são paralelas nem coincidentes, são retas concorrentes, isto é, têm um único ponto em comum.

As retas r e s são concorrentes em P.

Se uma reta cruza duas ou mais retas, podemos dizer que é uma reta transversal. 142 | TRAJETÓRIA 3

142 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

4. Não, pois, se tiverem dois pontos em comum, terão todos os pontos em comum e serão retas coincidentes.

4. É possível que duas retas concorrentes em

(EF09MA10) Demonstrar

percorreu primeiro? Em qual rua o veículo encerra sua trajetória? ALEXANDRE R./M10

um plano tenham exatamente dois pontos em comum? Explique.

5. Um veículo sai do ponto A, andando na rua

horizontal no sentido para a direita desta página e realiza as operações, nesta ordem: • vira à direita; • vira à direita; • vira à esquerda; • vira à esquerda; • vira à direita; • vira à direita. Ao terminar todas essas operações, o veículo estará em uma rua paralela à rua que

relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

Atividade 4

Não. Pela definição de retas concorrentes, a intersecção é apenas um ponto. Supondo que tivessem dois pontos em comum, então todos os pontos seriam comuns e, assim, as retas seriam coincidentes. Atividade 5

Sim. A trajetória termina na segunda rua horizontal, de baixo para cima na imagem.

Seguindo as conversões realizadas pelo veículo a partir do ponto A (oriente-os a não riscar o livro), temos:

#Ângulos Vamos relembrar o que são ângulos.

Você sabe o que é visão periférica? O campo de visão humano é separado, em geral (para

ALEXANDRE R./M10

ATIVIDADES

fins didáticos, principalmente), em dois tipos: visão central e visão periférica. A visão central é aquela em que os olhos focam e temos a linha da visão principal. Neste momento, por exemplo,

15°

0°

ALEXANDRE R. / M10

sua visão central está focada neste texto que você está lendo.

Olho direito

15°

Olho esquerdo 60°

60°

Ponto cego Visão central Visão periférica

95°

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

A trajetória termina na segunda rua horizontal, de baixo para cima na imagem. Pergunte aos estudantes se a resposta mudaria caso a condução do veículo fosse feita à direita, como ocorre em alguns países da Europa.

95°

143 |

Habilidade (EF09MA10) Demonstrar

relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

LUPAS E LUNETAS a) Comente com os estudantes

que existem programas gratuitos para exame de vista, caso algum deles necessite de atendimento médico ocular. b) A visão periférica é uma região limitada pela capacidade do olho humano, comumente chamada de campo de visão. Enquanto o ângulo é uma região delimitada por duas semirretas de mesma origem. c) Trabalhe a noção de ângulo associada a abertura ou região.

Agora, coloque sua mão sobre a mesa, ao lado do livro, mas continue olhando para cá. Você consegue perceber que sua mão está lá, apesar de não conseguir vê-la com detalhes? Pois bem, sua mão está sendo percebida pela visão periférica do seu campo de visão. A visão periférica é muito importante na localização espacial do nosso corpo e para perceber ameaças diretas que possam vir em nossa direção. Pessoas que sofrem com a chamada “visão de túnel”, por exemplo, não possuem a visão periférica completa e por isso têm uma série de limitações, como não poder dirigir veículos, por exemplo.

LUPAS E LUNETAS a) Respostas pessoais. b) Há uma medida de abertura de 35o para cada olho no campo da visão periférica. c) Qual é o ângulo de visão que coincide o campo visual ocular do olho esquerdo com o do olho direito? 60o + 60o = 120o a) Você conhece alguém que tem problemas oculares? Quais?

b) Como a visão periférica se relaciona com a noção de ângulo?

Em anos anteriores, já foram estudadas as ideias de ângulo. Neste momento, vamos relembrar que ângulo é uma figura geométrica que reúne duas semirretas de mesma origem e a região limitada por elas. Vamos utilizar uma medida da abertura do ângulo que é o grau (notação: o), 1 o sendo que 360o correspondem à abertura completa de um círculo e 11o, aa 360 do círculo. Os ângulos são classificados conforme suas medidas em: • ângulo agudo: mede entre 0o e 90o:

• ângulo reto: mede 90o:

• ângulo obtuso: mede entre 90o e 180o:

• ângulo nulo: mede 0o, e ângulo raso, que mede 180o:

Ângulo nulo

Ângulo raso

144 | TRAJETÓRIA 3

LUPAS E LUNETAS

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 6

Para essa atividade, retome os conceitos de ângulos suplementares, soma das medidas dos pelo vértice, os pares de correspondentes e os ângulos internos de um triângulo e o teorema do pares de alternos (internos ou externos). ângulo externo. b) São suplementares os ângulos em cada par de a) É possível observar um triângulo na imagem colaterais (internos ou externos). e, utilizando as relações apresentadas (r e s c) Espera-se que os alunos concluam que as reparalelas e v transversal), concluímos que se lações de congruência ou de suplementaridade trata de um triângulo retângulo. permanecem, apesar das alterações nas medidas dos ângulos.

a) São congruentes cada par de ângulos opostos

144 | MANUAL DO PROFESSOR

Habilidade

#Retas paralelas cortadas por transversais

(EF09MA10) Demonstrar

Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, são determinados 8 ângulos. Considerando os conceitos de ângulos opostos pelo vértice (o. p. v.), correspondentes, alternos e colaterais, podemos investigar as posições relativas entre eles e suas medidas. Na imagem a seguir, temos as retas paralelas distintas r e s e a reta transversal t formando os ângulos destacados.

relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

r 150o

s t

Relembrando:

Utilizando o teorema do ângulo externo, temos que x = 30o + 90o = 120o .

!; ! !; • são pares de ângulos opostos pelo vértice (o. p. v.): ! ae! c; ! bed x e! v; ! z ew ! e! !; ! ae! v; ! bew ce! x; d z; • são pares de ângulos correspondentes: ! ! e! !; d be! v; ! ce! z; ! aew x; • são pares de ângulos colaterais (internos ou externos): !

Atividade 7

! ew !. • são pares de ângulos alternos (internos ou externos): ! be! z; ! ce! v; ! ae! x; d

LUPAS E LUNETAS a) Quais ângulos formados pelas retas paralelas e uma reta transversal são congruentes (possuem a mesma medida)? São congruentes cada par de ângulos opostos pelo vértice; os pares de correspondentes; e os pares de alternos (internos ou externos). b) Quais ângulos formados pelas retas paralelas e uma reta transversal são suplementares (soma das medidas igual a 180o)? São suplementares os ângulos em cada par de colaterais (internos ou externos). c) Utilizando um software de geometria dinâmica, investigue o que acontece com cada ângulo quando se alteram as posições da reta transversal. É esperado que os alunos concluam que as re• Compartilhe suas conclusões com os colegas. lações de congruência ou de suplementaridade permaneçam, apesar das alterações nas medidas dos ângulos.

Podemos traçar um segmento de reta que determina um triângulo, conforme a imagem.

x 130o

65o

ATIVIDADES

6. Obtenha os valores desconhecidos em cada

Em seguida, observamos que é possível determinar a medida dos ângulos da base do triângulo, com as posições apresentadas:

um dos itens, sabendo que as retas r e s são paralelas entre si e as retas t e v são transversais:

x = 120o e y = 30o .

7. Na figura, as semirretas r e s são paralelas. Determine o valor de x. x = 65o

x 65o 50o

65o

x = 120o e y = 60o .

145 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

30o x

130o

Utilizando o resultado da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo, temos x + 50o + 65o = 180o ⇒ x = 65o .

Pelo teorema do ângulo externo, temos que x = 30o + 90o = 120o . Como y é correspondente ao outro ângulo do triângulo e é o suplemento de x, então y = 180o – 120o = 60o . b) O ângulo correspondente ao de medida y é o suplemento de 150o, então y = 180o – 150o = 30o . É possível observar um triângulo na imagem. Por o.p.v. concluímos que se trata de um triângulo retângulo.

145 |

(EF09MA12) Reconhecer

as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

LUPAS E LUNETAS Se o ângulo agudo escolhido for o mesmo em ambos os triângulos, eles serão semelhantes por LAL. Mas, por ora, os alunos devem comparar seus triângulos e ensaiar sobreposições, experienciando e “calibrando seu olhar” para o conceito de semelhança, em particular, de triângulos. Lembre-se de que os critérios de semelhança de triângulos só serão estudados no próximo passeio.

#Figuras geométricas semelhantes Reconhecer similaridades entre imagens ou objetos é uma capacidade do cérebro humano. Observe a imagem. Apesar de constituídos de diferentes materiais e de apresentarem diferentes cores ou tonalidades, é possível identificar certa similaridade entre os objetos da imagem. Nesse caso, utilizamos como critério de similaridade o formato dos objetos. Na Matemática, utiliza-se a noção de semelhança.

JARAMA/SHUTTERSTOCK

Habilidade

Figuras geométricas são semelhantes entre si quando apresentam a mesma forma, diferindo apenas pela sua posição ou tamanho. Estes triângulos são semelhantes, pois apresentam ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais, ou seja, apresentam a mesma forma:

Estes hexágonos são semelhantes, pois apresentam ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais:

Estes triângulos não são semelhantes, pois não apresentam a mesma forma.

LUPAS E LUNETAS Considere os segmentos de reta e suas respectivas medidas: 6 cm A

12 cm B

2 cm D

4 cm F

Podemos calcular a razão entre dois segmentos pelo quociente de suas respectivas medidas. Por AB 6 1 EF 2 1 = = . Note que a razão = = , exemplo, a razão entre AB e CD pode ser descrita por CD 12 2 GH 4 2 AB EF = portanto, podemos afirmar que . Nesse caso, dizemos que os segmentos AB, CD, EF e GH, nessa CD GH ordem, são proporcionais. Desenhe segmentos congruentes a AB e CD de modo que B e C coincidam, formando um ângulo agudo. Trace o segmento AD, fechando um triângulo. Desenhe também segmentos congruentes a EF e GH de modo que F e G coincidam, formando um ângulo agudo. Trace o segmento EH, fechando um triângulo. Os triângulos obtidos são semelhantes? • Compare os seus desenhos e conclusões com os da turma. 146 | TRAJETÓRIA 3

146 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

⎛ 3 ≠ 4⎞ . ⎟ 8. b) Não ⎜⎝ 3 6⎠

ATIVIDADES

⎛ 3 = 6⎞ . 8. b) Sim ⎜⎝ ⎟ 3 6⎠

9. c) Resposta possível: manter a largura de 20 cm da base da moldura e aumentar para 45 cm sua altura.

8. Considere três representações, A, B e C, de ALEXANDRE R. / M10

10. Os dois triângulos que representam as ve-

Copa

las deste barco são semelhantes. Qual é a medida do segmento EF ? 7,5 m. 8. c) Os pares

a) Verifique se os ângulos correspondentes

entre as duplas de figuras têm medidas de abertura iguais. • As abas das cartolas A e B. Não. • As abas das cartolas A e C. Sim. b) Verifique se os lados correspondentes entre as duplas de figuras têm medidas de comprimento proporcionais. • A base e a altura da copa da cartola A com a base e a altura da copa da cartola B. • A base e a altura da copa da cartola A com a base e a altura da copa da cartola C. c) Quais pares de cartolas são semelhantes? Por quê?

9. Estas duas figuras são semelhantes. A figura

C 5m B

4m A D

Sobreponha os triângulos e observe retas paralelas, ângulos e segmentos para investigar a semelhança (os critérios de semelhança para triângulos serão formalmente estudados no passeio 2). Considerando que os lados correspondentes são AB e DE e BC e EF , temos: 4 5 = ⇒ EF = 7,5 m. 6 EF

A e C, pois os ângulos correspondentes são congruentes e os lados corresponE dentes são proporcionais.

ALEXANDRE R. / M10

11. Estas duas figuras são semelhantes; descubra o valor de x e de y. y = 13,5 e x = 24. A

Atividade 11

D 18

x E 12

Os triângulos são semelhantes pois os pares de ângulos correspondentes têm mesma medida, mas conclua pela razão de semelhança entre as medidas dos segmentos (lados), sobrepondo os triângulos, por exemplo (de modo ainda informal e investigativo). Escrevendo as proporções entre as medidas de segmentos correspondentes: 12 x 12 18 = ⇒ y = 13,5 e = ⇒ 9 18 9 y

18 9

12. Estes dois triângulos são semelhantes; determine o valor de x. x = 20 cm

A é uma redução da B, e a figura B é uma ampliação da A.

20 cm

x + 12

cm 40 5 cm 2

30 cm

45 cm

30 cm

13. Estes dois triângulos são semelhantes; de- 12 = 18 ⇒ y = 13,5 e 12 = x ⇒ x = 24 Figura A

termine a altura do prédio.

Figura B

a) Se a altura da figura humana é de 25 cm

ALEXANDRE R. / M10

as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

mento da figura A você faria para obter uma figura C mas não semelhante à figura A?

Aba

(EF09MA12) Reconhecer

c) Que alteração na medida de algum ele-

uma cartola. PARTES DA CARTOLA

Habilidade

6 x = ⇒ x = 15, ou seja, 15 m. 4 10

Atividade 12

Os triângulos são semelhantes pois os pares de ângulos correspondentes têm mesma medida, mas conclua pela razão 6m de semelhança entre as medidas dos segmentos (lados), 10m 4m sobrepondo os triângulos. 20 25 Escrevendo as proporções 9. a) = ⇒ 37,5, ou seja, 37,5 cm. 30 x NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. 147 | entre as medidas de segmentos correspondentes: 40 x + 12 = ⇒ 40x = 25(x + 25 x 40 x + 12 Atividade 8 b) Sendo A e B figuras semelhantes, os ângulos = ⇒ 40x = 25(x + 12) → 15x = 300 25 x 40 congruentes: x + 12 correspondentes são 105o. a) Não. Sim. = ⇒ 40x = 25(x + 12) → 15x = 300 ⇒ x = 20 cm 3 4 3 6 c) Resposta possível: 25 Manter ax largura de 20 cm ≠ . = . b) Não, pois 3 6 Sim, pois 3 6 da base da moldura e aumentar para 45 cm sua Atividade 13 c) Os pares A e C, pois os ângulos correspondentes altura. Escrevendo as proporções são congruentes e os lados correspondentes entre as medidas de segmentos são proporcionais. Atividade 10 correspondentes: Como os triângulos são semelhantes, os lados 6 x Atividade 9 = ⇒ x = 15, ou seja, 15 m correspondentes são proporcionais e os ângulos 4 10 a) Mantendo a razão de semelhança: correspondentes são congruentes. 20 25 = ⇒ 20 ⋅ x = 30 ⋅ 25 ⇒ x = 37,5 cm. 30 x em A, então qual é a altura da figura humana em B? b) Se a medida do ângulo formado entre o tronco e o braço estendido é de 105o na figura A, quanto mede o ângulo correspondente na figura B? 105o.

147 |

(EF09MA12) Reconhecer

as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes. Encontro com outras disciplinas (EF69AR31) Relacionar as práticas artísticas às diferentes dimensões da vida social, cultural, política, histórica, econômica, estética e ética.

NUVENS O formato das imagens e das telas As câmeras fotográficas embutidas em celulares aumentaram muito a resolução das imagens que conseguimos produzir. No entanto, nem todos os equipamentos estão preparados para lidar com isso. Se você tentar reproduzir um vídeo feito em 8 K em uma televisão que só aceita 4 K, ela não será capaz de exibir as imagens com a mesma precisão. No entanto, o software da televisão será capaz de reduzir proporcionalmente o vídeo, criando uma imagem semelhante, para que ele fique na resolução que a TV aceita. KASPARS GRINVALDS/SHUTTERSTOCK

Habilidade

NUVENS Atividade 14

Auxilie os estudantes nessa atividade e em suas pesquisas na internet. Se necessário, leve os alunos à sala de informática da escola, para que trabalhem com algum software, embora possam utilizar o próprio celular e aplicativos de manipulação de imagens. Uma discussão sobre como a comunicação ocorre por meio de imagens e vídeos artísticos nos meios digitais das redes sociais pode ser interessante. Esta seção também dialoga com a habilidade de Arte EF69AR31, abrangendo a manipulação de imagens ou vídeos com fins sociais, culturais ou políticos e as questões estéticas e éticas.

Comparação da resolução em tamanhos proporcionais: 8K vs. 4K vs. Full HD vs. SD (definição padrão).

ATIVIDADES

14. Pesquise na internet a imagem de um pentágono. Utilize algum aplicativo gratuito que

seja capaz de redimensionar essa imagem e faça estes ajustes: •

aumente ou diminua as dimensões da imagem proporcionalmente;

•

edite sua imagem para que ela fique no formato 4 : 5. Esse é o formato que a maioria das redes sociais usa para que uma foto fique

adequada a um feed de perfil social, então é legal saber como se faz isso! Se quiser, deixe a imagem também no formato 9 : 16, que é outro muito utilizado por ser o que é mais bem visualizado em celulares. 148 | TRAJETÓRIA 3

148 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

#Feixe de paralelas e o teorema de Tales

(EF09MA14) Resolver e

Bruna e Ana estão brincando de correr no jardim. As duas partem do início da área da piscina (representado pela reta r), passam por uma borda da piscina (representada pela reta s) e terminam quando chegam à outra borda da piscina (representada pela reta t), conforme a imagem. Considere que as retas r, s e t são paralelas entre si e que o trajeto percorrido por Ana pode ser

ALEXANDRE R./M10

representado pelo segmento AE e o percorrido por Bruna pelo segmento BF.

elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

IMAGEM COM MEDIDAS FORA DE PROPORÇÃO.

Sejam as medidas dos segmentos: AC = 2 m, CE = 6 m, BD = 1 m e DF = 3 m, verificamos que: AC BD 2 1 = ⇒ = CE DF 6 3 Portanto, os segmentos AC, CE, BD e DF são, nessa ordem, proporcionais. No contexto apresentado, podemos afirmar que as distâncias percorridas por Bruna e Ana são proporcionais entre si. Mais ainda, considerando o trajeto total percorrido, temos: AC + CE = 2 m + 6 m = 8 m (trajeto percorrido por Ana) BD + DF = 1 m + 3 m = 4 m (trajeto percorrido por Bruna) Sendo assim, concluímos que Ana percorreu o dobro da distância percorrida por Bruna. Essas relações de proporcionalidade podem ser verificadas em quaisquer segmentos envolvendo feixes de retas paralelas cortadas por transversais (teorema de Tales). Sejam as retas paralelas entre si r, s e t e duas retas transversais a elas u e v. u A

r E

s F

Dizemos que os segmentos AB, BC, DE e EF são, nessa ordem, proporcionais, ou seja: AB DE = BC EF NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

149 |

Habilidade (EF09MA14) Resolver e

elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

TRAVESSIAS TRAVESSIA S O teorema de Tales Essas relações entre segmentos foram muito estudadas pelo matemático Tales de Mileto, que viveu no século VI a.C. Segundo o agora conhecido como teorema de Tales, segmentos proporcionais são criados ao se cruzar um feixe de retas paralelas com duas ou mais retas transversais. Vamos explorar melhor essas ideias e resultados? •

Considere primeiramente um caso no qual o feixe de retas paralelas r, s e t determina na reta transversal u dois segmentos congruentes AB e BC, ou seja, AB = BC:

TRAVESSIAS Atividade 15

a) Se julgar viável, faça a cons-

trução das paralelas com régua e compasso, mostrando o passo a passo, ou utilize um software de Geometria Dinâmica. A

15. Vamos verificar se os segmentos DE e EF determinados por esse feixe na transversal v D

1 E

ATIVIDADES

b) São os triângulos 1 e 2 na

imagem. c) Os triângulos são congruentes pelo caso LAAo (considerando congruentes os lados nas paralelas traçadas que são paralelos a AB e BC em parelogramos e ângulos correspondentes em paralelas cortadas por transversal D e E e E e F, em cada triângulo). d) Como os triângulos são congruentes, podemos afirmar que DE = EF. e) Como AB = BC e DE = EF , AB DE então BC = 1 = EF . Logo, AB DE = . BC EF

também são congruentes. a) Reproduza o feixe de paralelas e as transversais como na figura anterior. Em seguida,

trace duas retas paralelas à reta u, uma passando por D e outra passando por E.

b) Identifique os triângulos cujos vértices são D, E e o ponto em que a reta traçada

cruza a reta s e E, F e o ponto em que a outra reta traçada cruza a reta t.

c) Utilize esta definição para verificar se os dois triângulos identificados anteriormente

são congruentes: “se dois triângulos possuem um de seus lados correspondentes, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado congruentes, então esses triângulos são congruentes (LAAo)”. d) A partir do resultado, podemos afirmar que DE = EF? Sim. AB DE = e) Considerando os resultados anteriores, verifique que a relação BC EF é verdadeira. • Vamos investigar agora um caso no qual o feixe de retas paralelas r, s e t determinam, nas retas transversais u e v, dois segmentos não congruentes entre si:

Considere que os segmentos AB, BC, DE e EF podem ser divididos em um número inteiro de partes. f) Reproduza esse feixe de paralelas e as transversais. 150 | TRAJETÓRIA 3

u A B

r E

150 | MANUAL DO PROFESSOR

s F

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

g) Vamos dividir os segmentos AB e BC em partes iguais, de tamanho representado

(EF09MA14) Resolver e

elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

pela letra x:

i) Não. Apenas podemos afirmar que cada uma das partes tem medidas de mesmo comprimento, entretanto não podemos afirmar que tem medida x.

u A x B x x

r E

C x

Trace retas paralelas às retas r, s e t pelos pontos que dividem os segmentos

AB e BC.

h) 2 e 3 partes, respecti-

h) As retas paralelas traçadas dividem os segmentos DE e EF respectivamente, em

i) Não, apenas que são medi-

vamente.

quantas partes iguais? 2 e 3 partes iguais, respectivamente. i) Podemos dizer que cada uma das partes iguais que dividem os segmentos DE e EF

possuem medidas iguais a x? Por quê? j) Note que podemos escrever a medida dos segmentos AB e BC como:

AB = 2x e BC = 3x. Representando por y a medida de cada parte que divide os segmentos DE e EF, escreva as suas medidas seguindo o exemplo dos segmentos AB e BC apresentados. DE = 2y e EF = 3y.

AB DE BC = 3 e EF = 3 . e . k) A partir dos resultados do item anterior, obtenha as razões BC EF AB DE = l) Conforme os resultados do item anterior, podemos dizer que a relação BC EF é verdadeira? Sim. •

das de mesmo comprimento. Porém, não sabemos se têm a mesma medida x. j) DE = 2y e EF = 3y DE 2y 2 AB 2x 2 = = e = = k) EF 3y 3 BC 3x 3 AB 2x 2 DE 2y 2 = = = = e BC 3x 3 EF 3y 3 l) A relação é verdadeira. • Realize a investigação em parceria com os estudantes dividindo os segmentos em três partes e quatro partes iguais, por exemplo.

No último caso, dividimos inicialmente os segmentos AB e BC em duas e três partes iguais, respectivamente. Realize a mesma investigação, mas, desta vez, dividindo os segmentos em um número diferente de partes iguais. Resposta pessoal. Ao considerarmos que os segmentos AB, BC , DE e EF poderiam ser divididos em

um número inteiro de partes, afirmamos que esses segmentos eram comensuráveis. No entanto, o teorema de Tales também é válido no caso em que os segmentos são incomensuráveis.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

151 |

Habilidade

AS IMAGENS DESTA PÁGINA ESTÃO COM MEDIDAS FORA DE PROPORÇÃO.

ATIVIDADES

(EF09MA14) Resolver e

4 3 9 = ⇔ x = . 6 x 2

elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

16. Observe a imagem:

Atividade 16

17. Em cada uma das situações, sabendo que r / /s / /t , calcule o valor de x:

x 7 = ⇒ 21x = 7 ⋅ 18 18 21 126 =6 x = 21 x +5 20 b) = 24 30 30 ⋅ (x + 5) = 24 ⋅ 20 30x + 150 = 480 30x = 480 – 150 330 = 11 x = 30 1 14 c) x = 49 35 1 ⋅ 49 = 14 ⋅ 35 x 49 = 490 x 1 49 = = 0,1 x = 490 10 6 12 – x d) = 12 3+x 6 ⋅ (3 + x) = (12 – x) ⋅ 12 18 + 6x = 144 – 12x 6x + 12x = 144 – 18 18x = 126 126 =7 x = 18

x =6

x = 11

F 30 m

152 | MANUAL DO PROFESSOR

x =5

x =

1 10

x =6

18. Uma quadra de esportes tem formato trapezoide, conforme a figura, com AB//CD// EF . O comprimento da linha AC da quadra na imagem é de 25 m. O comprimento BD da outra linha da quadra é de 30 m. Se AE mede

Rua A

10 m, qual deve ser a medida de FD?

Rua B

FD = 18 m

Av e

ALEXANDRE R. / M10

x =7

cruzam as ruas A e B, conforme a figura. A distância da Praça Verde até cruzar a Rua A é a mesma da Praça Verde até cruzar a Rua B, ou seja, 100 m. Do cruzamento da rua B com a Avenida 2 até chegar à rua A, são 60 m. Qual é a distância da Praça Verde até chegar à rua B, indo pela Avenida 1?

Praça Verde

62,5 m.

152 | TRAJETÓRIA 3

x = 18

Avenida 1

25 m

BC !!DE .. Calcule o valor de x:

Primeiro, vamos anotar as informações na figura:

20. Nestes triângulos, sempre é verdade que

21. As avenidas 1 e 2 partem da Praça Verde e

Atividade 18

10 m

x =6

Se as retas horizontais são paralelas, obtenha o valor de x.

18 9 4 3 = → 4x = 3 ⋅ 6 → x = = = 4,5 4 2 6 x 18 9 = = 4,5 4x = 3 ⋅ 6 → x = 4 2 Atividade 17

19. Na figura, r //s//t; qual é o valor de x?

Como AE = 10 m, temos: EC = 25 m – 10 m = 15 m. Aplicando a proporção dos segmentos correspondentes, temos: 15 FD 450 = ⇒ 25 ⋅ FD = 15 ⋅ 30 ⇒ FD = = 18. 25 30 25 Logo, FD = 18 m.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 19

x –1 3 = ⇒ x ⋅ (x – 1) = 3 ⋅ (x + 4) x +4 x x 2 – x = 3x + 12 ⇒ x 2 – x – 3x – 12 = 0 x 2 – 4x – 12 = 0 Aplicando a fórmula resolutiva da equação do 2o grau, temos x = –2 ou x = 6. Porém, como se trata de medida de segmento, o valor –2 não satisfaz o problema. Então, x = 6.

SOUSOU07/ SHUTTERSTOCK

22. Observe o processo de construção deste fractal:

Fractal árvore pitagórica: os fractais são padrões geométricos complexos com autossimilaridade em diferentes escalas. a) Escolha uma etapa qualquer do processo de construção desse fractal e verifique se os ele-

mentos que compõem essa etapa cumprem as condições de semelhança.

b) Pesquise outros exemplos de fractais nos quais seja fácil observar características de autos-

similaridade em diferentes escalas.

Respostas pessoais.

Habilidades (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes. (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes. Atividade 21

Esquematizando, temos:

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais.

Rua A

Consulte todas as suas produções até agora neste passeio. Avalie seu aprendizado sobre: ▶ Matemática • Reconhece e utiliza as relações entre ângulos formados por uma reta transversal a um feixe de retas paralelas?

60 m Avenida 2

• Calcula e reconhece ângulos congruentes, complementares ou suplementares nas mais diversas figuras?

Rua B 100 m x

• Resolve e elabora problemas de aplicação das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por transversais?

Praça verde

▶ Outras disciplinas Arte • É capaz de observar obras artísticas e buscar relações dessas obras com as dimensões sociais? Anote o seu parecer para essas questões no caderno e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

AE = EC. Logo, x + 2 = 20 ⇒ x = 18. 2x x +5 2 x +5 b) = ⇒ = 3x 15 3 15 3 ⋅ (x + 5) = 2 ⋅ 15 3x + 15 = 30 15 =5 3x = 15 ⇒ = 3

Oriente os estudantes na pesquisa sobre fractais e escolha, inicialmente, um fractal simples em que se possa observar a sequência de formação do fractal, as medidas lineares ou de superfície e estabelecer razões de semelhança entre as formas em cada etapa da produção do fractal.

153 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

a) Como AB = AC, e ainda AD = DB, temos

Considerando as ruas A e B paralelas e as avenidas transversais, temos a proporção: 100 x = 100 + 60 100 160x = 10 000 ⇒ x = 62,5 m Atividade 22

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

Atividade 20

Avenida 1 100 m

7,5 5 = ⇒ 5 ⋅ (x + 7,5) = x + 7,5 x + 7,5 9 7,5 ⋅ 9 ⇒ 5x + 37,5 = 67,5 5x = 67,5 – 37,5 30 =6 x = 5

153 |

BARCOS E PORTOS

Organize

O mapa da seção Arredores pode organizar a retomada dos conceitos e relações estudados neste passeio. Auxilie os estudantes na elaboração dos exemplos, desde a clareza dos enunciados, as imagens, os contextos, a resolução, o compartilhamento e a correção.

▶ Organize Respostas pessoais. Agora que percorreu todo este passeio, faça um resumo simples com todos os conceitos e relações matemáticas que aprendeu envolvendo retas e ângulos. Depois, dê exemplos, de preferência com imagens, sobre cada um deles, para que possa ver se entendeu realmente. Consulte o mapa de vínculos e ênfases que está na seção Arredores e as atividades feitas ao longo do passeio para ver se esqueceu de algo. a) Após terminar, escreva os exemplos que criou como se fossem exercícios a serem

VECTORMINE/SHUTTERSTOCK

resolvidos, entregue para seu colega e peça que ele faça o mesmo. Tente resolver os exemplos que ele lhe passou e, se tiver dúvidas, retome o conteúdo ou converse com seu professor. b) Depois, receba de volta o que seu colega fez, verifique se ele acertou e se algum de vocês ainda tem dúvidas em alguma operação. Caso algum conceito ou ideia não tenha ficado claro, peçam auxílio ao professor ou pesquisem juntos para superar isso. c) Após esclarecer as suas dúvidas e as do seu colega, organize seu conhecimento a respeito do que aprendeu neste passeio. Analise as anotações feitas por você e avalie se a disposição delas oferece condições para identificar, integrar, recuperar e compartilhar, em diferentes representações (numéricas, algébricas, geométricas, esquemáticas etc.), os conhecimentos aprendidos de modo claro e compreensível para outras pessoas.

Imagem representando estratégias para organizar e gerir informações. 154 | BARCOS E PORTOS

154 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Elabore

▶ Elabore Manuel criou um novo logotipo para a empresa de sua irmã, usando um fractal formado com uma sequência de triângulos, todos semelhantes: ALEJO MIRANDA/SHUTTERSTOCK

Proponha

O lado do triângulo maior mede 20 cm. O lado do triângulo invertido maior no centro da imagem mede 10 cm. a) Qual é a proporção entre os lados desses triângulos?

10 1 = 20 2

b) Explique como podemos encontrar os lados dos triângulos menores da imagem. c) Elabore um problema similar e resolva-o.

▶ Proponha A pergunta inicial deste passeio é: Como reconhecer a ideia de semelhança em situações do cotidiano? Vamos reconhecer os padrões de nossas vidas e buscar novas perspectivas para encarar as mesmas situações do dia a dia? a) Pense em alguma atividade que realize todos os dias (ou quase todos os dias). b) Tente lembrar de como fazia aquela atividade há um ano. Você mudou a maneira

de entregá-la? Ou ainda faz exatamente do mesmo jeito? c) Você mudaria algo nessa atividade? Pensa em resolvê-la do mesmo modo daqui

a um ano? 2.

lados dos triângulos maiores, teremos a sequência de medidas dos lados: 20 cm; 10 cm; 5 cm; 2,5 cm e assim por diante.

Triângulo de Sierpinski.

a) 20 = 2 . b) Pela divisão sucessiva dos

Junte-se com um colega e, em dupla, façam uma lista de atividades que vocês dois realizam diariamente. Depois, respondam: a) Há como fazerem alguma dessas atividades juntos? Se sim, seria interessante

Retomando a questão norteadora do passeio, Como reconhecer a ideia de semelhança em situações do cotidiano?, note que utilizamos o termo “semelhança” de modo ainda informal e aplicado a diversas situações ou figuras, não apenas às geométricas e, em especial, aos triângulos. Figuras semelhantes têm lados correspondentes proporcionais e ângulos correspondentes congruentes. Mas, no próximo passeio, o conceito de semelhança e os critérios necessários e suficientes para triângulos serão formalizados e aplicados. O objetivo desta atividade está relacionado a comunicação e a imaginação. Ao refletir sobre atos que realiza todos os dias, o estudante se dá conta de elementos de sua cultura e, com a comunicação, encontra a ajuda do olhar e da criatividade do outro, acrescentando e modificando tal cultura, gerando novas formas potenciais de realizar uma mesma atividade.

pensar nisso? b) Troquem experiências sobre como realizam alguma atividade similar e anotem o

que podem aprender um com o outro para melhorar a maneira como realizam a atividade. Pensem, juntos, em uma nova maneira de entregá-la unindo o conhecimento dos dois. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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PASSEIO 2 – RELAÇÕES MÉTRICAS EM TRIÂNGULOS QUAL É A IMPORTÂNCIA DA FORMA NA COMUNICAÇÃO, ARTE E TECNOLOGIA? RESPIRO/SHUTTERSTOCK

Habilidades (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes. (EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos. CHECK-IN a) A existência de um ângulo reto (90o).

b) Em qualquer triângulo, a

soma das medidas de dois lados é maior que a medida do terceiro lado. c) O conceito de semelhança para quaisquer figuras exige a proporcionalidade das medidas de lados correspondentes e a congruência dos ângulos. Faça experimentos com diversos triângulos retângulos com variadas medidas, para que os estudantes experienciem e concluam que se dois triângulos retângulos têm uma medida de ângulo agudo em comum, eles são semelhantes (pelo critério ângulo-ângulo).

Mão de uma pessoa segurando uma bússola magnética diante de um caminho que se bifurca.

Qualquer lado tem sua medida menor do que a soma das medidas dos outros CHECK-IN b) dois lados.

Assim como na bifurcação da imagem, um triângulo oferece sempre duas rotas para sair de um dos vértices e chegar a outro. Responda: a) Qual é a característica marcante de um triângulo retângulo?

Possuir um ângulo reto (90o).

b) Qual é a relação entre a soma das medidas dos dois lados menores de um triângulo

com a medida do lado maior?

c) Você sabe reconhecer triângulos retângulos congruentes? Resposta pessoal.

156 | TRAJETÓRIA 3

156 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ARREDORES Teorema de Pitágoras

Triângulo retângulo

RELAÇÕES MÉTRICAS EM TRIÂNGULOS

Projeção ortogonal

Triângulos

Caso AA

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Rigidez

Desigualdade triangular

Caso LLL

Caso LAL

EF09MA12, EF09MA13, EF09MA14 EF69AR35

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: • • • • •

Reconhecer a desigualdade triangular e utilizá-la na análise de medidas de triângulos. Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes. Saber demonstrar e utilizar as relações métricas em um triângulo retângulo pelo teorema de Pitágoras ou por semelhança de triângulos. Compreender e utilizar o teorema de Pitágoras para resolver situações envolvendo triângulos retângulos. Manipular as tecnologias e os recursos digitais para acessar, produzir ou compartilhar práticas artísticas de modo ético e responsável.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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ATMOSFERA

ATMOSFERA A democratização da edição de conteúdo digital Você conhece algum site ou aplicativo de edição de imagens e vídeos? Uma das “revoluções” mais recentes que os smartphones e os aplicativos trouxeram para a humanidade é a facilidade na edição de imagens e vídeos, inclusive sem custo nenhum, em muitos casos. Algumas redes sociais, por exemplo, oferecem aos usuários filtros dos mais variados, que modificam a imagem ou o vídeo, criando situações bonitas, bem-humoradas, dentre outras. R.CLASSEN/SHUTTERSTOCK

Encontro com outras disciplinas (EF69AR35) Identificar e manipular diferentes tecnologias e recursos digitais para acessar, apreciar, produzir, registrar e compartilhar práticas e repertórios artísticos, de modo reflexivo, ético e responsável.

Atividade 1

Iniciamos a discussão sobre cultura digital com os estudantes promovendo uma reflexão e avaliação crítica sobre a arte e a tecnologia como formas de expressão. Aproveite para falar com os alunos sobre como a Ciência e Tecnologia (um dos Temas Contemporâneos Transversais (TCTs) abordados na Trajetória) impactam as vidas deles, para o bem e para o mal, e como a maneira com que nos comunicamos faz toda a diferença. Esta seção também dialoga com a habilidade de Arte EF69AR35. Espera-se que o estudante tenha oportunidades de: manipular as tecnologias e os recursos digitais para acessar ou produzir práticas artísticas de modo ético e responsável.

Edição de fotos por meio de aplicativos instalados em celular. Recursos favorecem a edição, manipulação, melhoria ou aprimoramento de imagens com smartphone.

Com isso, a quantidade de conteúdo artístico a que temos acesso e que podemos criar cresceu exponencialmente e cada vez mais os conteúdos das redes sociais são riquíssimos em criatividade e novas formas de se pensar o cotidiano.

ATIVIDADES

Leia as questões e responda em uma roda de conversa. a) Você já usou algum filtro de rede social em uma imagem? Se sim, como foi a

experiência?

b) Você já utilizou algum aplicativo de edição de fotos ou vídeos? Em caso afirmativo,

como foi? Se não, gostaria de aprender a usar?

c) Em sua opinião, quais são os benefícios das relações entre arte e tecnologia?

Respostas pessoais.

158 | TRAJETÓRIA 3

Sugestão de atividade

Após a leitura do texto sobre a democratização da edição, peça aos estudantes que façam fotos entre eles e usem os filtros que conhecem para editar. O tema para as fotos pode ser “Amizade” e podem colocar frases ou letras de música na edição. Esta atividade contempla a habilidade de Arte EF69AR35. Organize essas imagens ou os vídeos e compartilhe com eles para que tenham uma recordação dos amigos editada por ferramentas digitais. 158 | MANUAL DO PROFESSOR

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Habilidade

#Triângulos e seus lados

(EF09MA12) Reconhecer

as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

Ao longo da história, a humanidade veio utilizando os formatos retangulares na arquitetura por terem os quatro cantos contendo um ângulo reto, o que traz estabilidade e facilidade de organização nas construções. É muito fácil encaixar um quadrado ao lado de outro, e casas de tijolos nada mais são que vários blocos retangulares encaixados com cimento entre eles. Imagine se os tijolos fossem triangulares. A situação seria bem mais complexa, não é? Da mesma forma, imagine como seria um mecanismo para abrir uma janela triangular. Não que não seja possível. Na foto, vemos um exemplo de arquitetura moderna envolvendo o uso de triângulos em uma construção. Mas dá para imaginar como é complexo chegar a tal resultado.

JAMESTEOHART/SHUTTERSTOCK

Se você olhar ao seu redor agora, provavelmente encontrará uma infinidade de formas que lembram um quadrado ou um retângulo. O próprio livro que está lendo tem esse formato. Janelas, portas, cartões, pisos, telas... e a lista continua. Encontrar formas triangulares talvez seja mais difícil, mas possível.

Arquitetura moderna envolvendo o uso de triângulos na construção civil.

A desigualdade e a unicidade triangular

WINWIN ARTLAB/ SHUTTERSTOCK

Além de permitirem designs ousados, os triângulos servem para dar rigidez a uma estrutura na construção civil. Você talvez já tenha se deparado com dois tipos de cerca em um cenário rural:

ALEXANDRE R. / M10

O que talvez você não saiba é que, em geral, a cerca com as vigas em diagonal tende a ser mais rígida e resistente do que a quadriculada. Isso porque os triângulos são formas que não têm flexibilidade. Um quadrado, por exemplo, pode ser inclinado para se tornar um paralelogramo com ângulos diferentes:

Então, uma estrutura de madeira no formato de um quadrado pode ser deformada, mantendo os comprimentos dos lados, mas mudando seus ângulos. Já o triângulo, não! Dois triângulos com lados congruentes dois a dois são idênticos. Trata-se de uma situação de semelhança cuja razão de semelhança é 1 : 1, ou seja, de congruência. Se você construir um triângulo cujos lados medem 6 cm, 7 cm e 8 cm, será impossível criar outro triângulo com os mesmos comprimentos de lados mas diferente do inicial. Assim, os triângulos são formas muito mais rígidas e auxiliam em situações em que é necessária essa rigidez, como nas estruturas da construção civil. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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Habilidade (EF09MA12) Reconhecer

as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

TRAVESSIAS TRAVESSIA S Construção de triângulo conhecidas as medidas dos três lados As atividades desta seção devem ser feitas com o auxílio de uma régua e um compasso. ATIVIDADES

I. Trace um segmento de reta hori-

Você deve obter uma imagem como esta: ALEXANDRE R./ M10

zontal com medida 10 cm.

II. Coloque a ponta-seca do compasso

em uma das extremidades do segmento e a outra ponta com abertura que corresponda à medida 8 cm e trace um quarto de circunferência.

IV. Trace dois segmentos de reta, um

saindo de cada extremidade do segmento de 10 cm, até o encontro dos dois quartos de circunferência. Pronto!

ALEXANDRE R./ M10

Avise antecipadamente aos estudantes que providenciem régua e compasso para essa aula. Deixe reservadas algumas folhas de papel sulfite para realizarem a construção proposta. Observe se algum estudante não sabe manusear os materiais para auxiliá-lo. Chame atenção para a construção do triângulo de lados 10 cm, 6 cm e 3 cm, pois como 6 + 3 < 10, não ocorre a intersecção dos lados menores e, então, não será possível construir o triângulo solicitado.

Vamos construir um triângulo cujos lados medem 10 cm, 8 cm e 6 cm. Para isso, siga as instruções.

ALEXANDRE R./ M10

Atividade 2

ALEXANDRE R./ M10

TRAVESSIAS

III. Agora, faça o mesmo procedimento,

ALEXANDRE R./ M10

mas com a ponta-seca na outra extremidade do segmento de 10 cm e deixando a abertura em 6 cm.

Agora, repita o procedimento, mas com lados de tamanho 10 cm, 6 cm e 3 cm. O que você observou? É impossível construir o triângulo.

160 | TRAJETÓRIA 3

160 | MANUAL DO PROFESSOR

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Habilidade

Desigualdade triangular

(EF09MA12) Reconhecer

as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

Dois amigos, José e Jorge, estão decidindo qual rota tomar em uma viagem de carro. O TETIANA CH/SHUTTERSTOCK

objetivo deles é ir do ponto A ao ponto B ao longo do dia.

LUPAS E LUNETAS

Espera-se que os estudantes compreendam que o menor caminho é, em linha reta, partindo de A e indo direto ao ponto B. Compare o enunciado da desigualdade triangular com a escrita com as medidas e leve o estudante a concluir que, se a soma das medidas de dois lados sempre é maior que a medida do terceiro lado, com: b + c > a,

a + c > b ou

Mas José quer passar no ponto C primeiro. Jorge argumenta que passar no ponto C demoraria

LUPAS E LUNETAS tenda que o caminho direto de A para B é mais curto.

a + b > c, a medida do terceiro lado é menor que a soma das medidas de outros dois lados, ou seja, a < b + c,

a) Você concorda com qual dos dois rapazes: José ou Jorge? Explique o seu raciocínio.

b<a+ce

mais e ele quer chegar logo ao ponto B. José questiona Jorge, perguntando “como você pode ter tanta certeza de que a distância será maior se passarmos no ponto C?”. Respostas pessoais, mas é esperado que o aluno en-

c < a + b.

b) Em uma viagem, você prefere chegar aos lugares mais rapidamente ou fazer o caminho mais longo para aproveitar o percurso?

As atividades anteriores dão uma noção do que chamamos de desigualdade triangular. Em um triângulo qualquer, a soma das medidas de dois lados é maior que a medida do terceiro lado.

a<b+c b<a+c

c<a+b

Se a soma das medidas de dois lados fosse menor que a medida do terceiro lado, isso significaria que, no caso de José e Jorge, passar no ponto C poderia ser uma distância menor do

que ir direto de A a B. Mas você se lembra de que estudamos que a menor distância entre dois pontos é o comprimento do segmento de reta que os conecta? NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

161 |

Habilidade (EF09MA12) Reconhecer

as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

ATIVIDADES

3. Qual dos triângulos não poderia existir?

Atividade 3

É impossível que os triângulos dos itens b e c existam, porque: b) 20 > 10 + 6 c) 222 > 104 + 105 Atividade 4

d) b)

(B) e (C) não poderiam existir.

4. Os lados de um triângulo medem 17 cm,

(x + 2) cm e (3x – 5) cm. Quais são os possíveis valores inteiros de x? 6, 7, 8, 9, 10 e 11.

5. Classifique esta afirmação como verdadeira

ou falsa: “dentre três medidas de comprimento, basta que a maior seja menor do que a soma das outras para que valha a desigualdade triangular e seja possível construir um triângulo”. Verdadeira.

#Semelhança de triângulos

Para determinar os possíveis Para que dois polígonos convexos sejam semelhantes, devem ter ângulos correspondentes valores de x, temos de analisar congruentes e lados correspondentes proporcionais, ou seja, apresentarem a mesma forma. as desigualdades: Mas para os triângulos não é necessário que todas essas condições sejam cumpridas. Há 20 = 5; • (x + 2) + (3x – 5) > 17 → 4x > 20 ⇒ x > três principais casos que determinam condições suficientes para a semelhança de triângulos. 4 20 – 5) > 17 → 4x > 20 ⇒ x > = 5; 4 Caso AA (dois ângulos) • (x + 2) + 17 > (3x – 5) → 24 > 2x ⇒ x < 12; Pelo menos dois pares de ângulos internos precisam ser congruentes (o terceiro par será (3x – 5) → 24 > 2x ⇒ x < 12; • (3x – 5) + 17 > (x + 2) → 2x > –10 ⇒ x > –5. congruente por consequência, pois a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo > (x + 2) → 2x > –10 ⇒ x > –5. é constante e igual a 180o) para que dois triângulos sejam semelhantes. Portanto, 5 < x < 12. Assim, Exemplo os valores inteiros possíveis são: Os triângulos ABC e DEF são semelhantes, pois ambos têm ângulos correspondentes me6, 7, 8, 9, 10 e 11. dindo 60o e 50o. Atividade 5

A afirmação é verdadeira.

!C ≡ DE!F AB ! A ≡ EF!D BC

Caso LLL (três lados proporcionais) Se os três pares de lados correspondentes têm medidas na mesma proporção, os triângulos são semelhantes. Exemplo ABC e DEF são semelhantes, pois a razão entre seus lados correspondentes é 2 : 1.

AB BC AC 2 = = = DE EF DF 1 162 | TRAJETÓRIA 3

162 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

Caso LAL (dois lados proporcionais e o ângulo formado por eles)

(EF09MA12) Reconhecer

Quando dois pares de lados correspondentes têm a mesma proporção e os ângulos formados por eles são congruentes, os triângulos são semelhantes. Exemplo ABC e DEF são semelhantes, pois dois de seus lados têm a razão de 2 : 1 e o ângulo formado

as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

pelos lados correspondentes é congruente (20o). Atividade 6

a) Os triângulos ABC e DEF não são semelhantes (ângulos não congruentes). b) Os triângulos ABC e DEF não são semelhantes (ângulos não congruentes). c) Os triângulos ABC e EDC são semelhantes pelo caso AA. Ambos têm um ângulo ! é comum reto e o ângulo C (o.p.v.). d) Os triângulos DEF e ABC são semelhantes pelo caso LLL. A razão de semelhança é 1,5, nessa ordem. e) Os triângulos ABC e ADE não são semelhantes ⎛ 7 ≠ 8 ⎞. ⎜⎝ ⎟ 10 12 ⎠

AB AC 2 = = DE DF 1 !C ≡ ED !F BA ATIVIDADES

6. Verifique se os triângulos em cada item são semelhantes:

Semelhantes: c e d.

Resolvendo problemas envolvendo triângulos semelhantes Em geral, para resolver problemas envolvendo triângulos semelhantes, precisamos: I. Localizar os triângulos semelhantes e verificar quais são os lados correspondentes (desenhar os triângulos em folhas separadas para alinhar os lados correspondentes e facilitar a visualização é uma estratégia). II. Escrever as proporções necessárias para resolver o problema. III. Efetuar os cálculos. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

163 |

Habilidade

colocadas para o desenvolvimento de uma parreira de uvas. As hastes são dispostas de modo crescente da esquerda para a direita, conforme a figura.

Atividade 7

Anotando as informações do enunciado no esquema, temos:

1,2 m

9. Elabore o enunciado de uma situação-

-problema que possa ser resolvida com os triângulos semelhantes presentes na imagem; depois, peça para um colega resolver. D A

y 0,5 m 0,5 m

A haste mais longa mede 1,2 m. O agricultor percebe que, em determinado horário, essa haste projeta uma sombra de 2 m e que as sombras das outras hastes terminam exatamente no mesmo ponto que a sombra da haste longa. Se a distância entre as hastes é de 0,5 m, qual é o comprimento das outras duas hastes? 0,9 m e 0,6 m.

Pelo caso AA, os triângulos são semelhantes. Então: 1,2 2 = ⇒ 2x = 1,2 ⋅ 1,5 x 1,5 x = 0,9. A haste do centro mede 0,9. 1,2 2 = ⇒ 2y = 1,2 ⇒ y = 0,6. y 1 A primeira haste mede 0,6.

10. Uma lâmpada acima de uma mesa de tampo

circular de 150 cm de diâmetro projeta uma sombra no chão. Considerando as medidas indicadas na figura, qual é o comprimento da sombra? 187,5 cm.

Ilustração fora de escala

8. Ao construir uma rampa decorativa em um

prédio, o engenheiro sabe que a medida da altura da rampa em seu ponto máximo deve ser de 4,4 m. Até agora, foi construída uma superfície da rampa de medida 6,4 m, que alcançou uma altura de 1,6 m. Qual é a distância, em metros, do comprimento da rampa que ainda precisa ser construído? 11,2 m.

Atividade 8

Podemos modelar esse problema com o esquema: x 6,4 m

4m C E

240cm

60cm

Sombra 150 cm

4,4 m 1,6 m

Os triângulos são semelhantes pelo caso AA. Então: 4,4 1,6 = x + 6,4 6,4 1,6 ⋅ (x + 6,4) = 4,4 ⋅ 6,4 1,6x + 10,24 = 28,16 1,6x = 28,16 – 10,24 17,92 = 11,2. x = 1,6 Portanto, a parte da rampa que ainda precisa ser construída tem 11,2 m.

Triângulos retângulos As formas geométricas de retângulos e quadrados são estáveis e confortáveis para trabalhar, razão pela qual são preferidas na utilização no dia a dia. Do mesmo modo, entre os vários tipos de triângulos, o triângulo retângulo é o mais utilizado, por conta do seu ângulo de 90 graus, que permite uma forma mais adaptável a figuras retangulares. 164 | TRAJETÓRIA 3

Atividade 9

Problema possível: Um barco tem duas velas que estão unidas por uma haste vertical e cordas reforçadas que sustentam cada uma das velas desde sua base até a ponta na haste ( AB e DF ). Conhecendo o comprimento das cordas de sustentação e da base da vela menor, conforme a imagem, calcule o comprimento da base da vela maior.

164 | MANUAL DO PROFESSOR

Solução:

4 EF = ⇒ EF = 5,6 m. 5 7

Atividade 10

O comprimento do OVNI é 6 m porque: 16 x = ⇒ 80x = 16 ⋅ 30 ⇒ x = 6 80 30

ALEXANDRE R./M10

12 m

ALEXANDRE R./M10

7. Em um sítio, três hastes de sustentação são

ALEXANDRE R./M10

as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

ATIVIDADES

ALEXANDRE R./M10

(EF09MA12) Reconhecer

Arte criada usando triângulos retângulos e uma circunferência. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

Elementos de um triângulo retângulo

(EF09MA13) Demonstrar

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais:

relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

• catetos: nome dos dois lados menores; • hipotenusa: nome do lado maior, oposto ao ângulo reto.

LUPAS E LUNETAS

a) Acompanhe a construção

Utilize régua, compasso e transferidor ou um software de geometria dinâmica para realizar estas construções geométricas. a) Construa um triângulo retângulo com catetos medindo 6 cm e 8 cm. Após terminar, confira com a régua se a hipotenusa mede 10 cm (não há problema se houver uma variação dessa medida em torno de 1 ou 2 milímetros). b) Construa um quadrado sobre cada lado do triângulo, como na imagem:

do triângulo retângulo com compasso e transferidor e no software de Geometria Dinâmica, orientando os estudantes em seus procedimentos. b) e c)

Área = 100 cm2

c) Calcule a área da superfície dos três quadrados. Depois, adicione as duas áreas menores e compare com a maior. O que você observou? Os valores são iguais.

8 Área = 64 cm2

6 Área = 36 cm2

#Os pitagóricos

LAPADUS DANIEL/SHUTTERSTOCK

Pitágoras de Samos foi um filósofo, matemático e astrônomo (e, dizem alguns, até músico) grego que viveu no século VI a.C.

A soma da medida das áreas menores é igual à medida da área maior: 64 cm2 + 36 cm2 = 100 cm2

Estátua de Pitágoras, em Roma, Itália. “O universo é governado pelos números” é uma das frases famosas atribuídas a Pitágoras. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

165 |

Habilidade (EF09MA13) Demonstrar

relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

Entender como a Matemática e a Filosofia eram aliadas no passado envolve a compreensão do Multiculturalismo (TCT) da humanidade. Aproveite para conversar com os estudantes sobre a interdisciplinaridade da escola de Pitágoras e como a representação das formas da geometria inspiravam as visões do universo dos gregos, incluindo aí a arte.

Durante sua vida, viajou pelo Egito e pela Grécia e ficou famoso por diversos estudos matemáticos, além de ter sido talvez o primeiro a usar a palavra Matemática (Mathematike, em grego), concebendo-a como uma maneira de organizar pensamentos dedutivos lógicos para provar verdades sistemáticas. É também creditada a ele a criação de uma escola de filosofia considerada a primeira universidade como as que conhecemos atualmente. Há muitas lendas e mitos relacionados aos alunos e acontecimentos da escola pitagórica. No entanto, cabe registrar seus feitos, alguns dos quais, inclusive, exploramos em nosso curso: • é creditada à escola pitagórica a primeira discussão séria a respeito da irracionalidade da raiz quadrada do número 2, pois, até então, apenas números racionais eram aceitos como soluções possíveis de um problema; • a classificação dos números em pares, ímpares, primos e fatoráveis; ⎛ 1 + 5⎞ ⎟ • estudos sobre o número áureo ⎜⎝ 2 ⎠ e sua ocorrência na geometria e na arquitetura. O resultado que mostraremos aqui, no entanto, não necessariamente foi criado pelos pitagóricos, embora o teorema receba seu nome. Problemas similares já tinham sido registrados e resolvidos pelos babilônicos e hindus até mil anos antes de Pitágoras nascer e especula-se que, em suas viagens, Pitágoras entrou em contato com tais teorias antigas e foi de lá que estabeleceu a base para os estudos de sua escola.

#Teorema de Pitágoras

ALEXANDRE R./M10

BLUERINGMEDIA/SHUTTERSTOCK

Observe a imagem composta por quadrados.

Você percebe que, ao centro, foi criado um triângulo de 3, 4 e 5 lados de quadradinhos? Agora, observe que: • o quadrado amarelo tem área da superfície de 9 quadradinhos; • o quadrado azul tem 16 quadradinhos de área; • o quadrado vermelho tem 25 quadradinhos em sua superfície; e • 9 + 16 = 25. 166 | TRAJETÓRIA 3

166 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

O exemplo ilustra uma relação que ocorre em todo triângulo retângulo e é o enunciado do teorema de Pitágoras:

ALEXANDRE R./M10

Em um triângulo retângulo qualquer, a soma dos quadrados das medidas dos catetos se iguala ao quadrado da medida da hipotenusa.

Habilidade (EF09MA13) Demonstrar

relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

Exemplo Em um triângulo retângulo, os catetos têm medidas 5 cm e 6 cm. Qual é a medida da hipotenusa?

Pelo teorema de Pitágoras, temos que, sendo x a medida da hipotenusa: 52 + 62 = x 2 ⇔ 25 + 36 = x 2 ⇔ 61 = x 2 Concluímos que a medida da hipotenusa será 61 cm.

Recíproca do teorema de Pitágoras Se um triângulo é retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras. Mas a recíproca do teorema também é verdadeira:

SOUSOU07/SHUTTERSTOCK

Se o quadrado da medida do maior lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, então podemos afirmar que o triângulo é retângulo.

Exemplo Verifique se o triângulo cujos lados medem 6 cm, 12 cm e 13 cm é retângulo. Aplicando o teorema de Pitágoras, teríamos que 62 + 122 = 132 . No entanto, 36 + 144 ≠ 169. Podemos afirmar com certeza que esse triângulo não é retângulo. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

167 |

Habilidade

2 2 2 ATIVIDADES 12. Sim, pois verifica-se a recíproca do teorema de Pitágoras: 25 = 7 + 24 .

(EF09MA14) Resolver e

elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

11. Calcule o valor de x nos triângulos retângulos:

4 2

13 b)

2 26

x = 10 cm.

17. Pedro precisava fazer uma entrega na Rua

Atividade 11

Algurias, representada na imagem pelo seg-

6 c)

mento BC. Ele partiu do ponto A e percorreu x

+ 12 → x = 81 + 144 = 225 → x = ± 225 = ± 15. 12. Um triângulo tem como medidas dos lados = 225 → x = ± 225 = ± 15. 24 cm, 7 cm e 25 cm. Podemos afirmar que Logo, x = 15. retângulo? Justifique. b) x 2 = 52 + 122 → x 2 = 25 + 144 = 169 → x = ± 169é um = ±triângulo 13. 2 + 122 → x 2 = 25 + 144 = 169 → x = ± 169 = ± 13. 13. Na imagem, o triângulo ACD é isósceles, com AC = CD. Nessas condições, calcule o valor = 169 → x = ± 169 = ± 13. Logo, x = 13. de AD. 4 5 c) 102 = 82 + x 2 → 100 = 64 + x 2 → x 2 = 100 – 64 → x 2 = 36 → x = ± 36 = ± 6. 2 2 8 + x → 100 = 64 + x 2 → x 2 = 100 – 64 → x 2 = 36 → x = ± 36 = ± 6.

metros até o ponto B. Ao chegar lá, percebeu que havia errado o número da rua inserido em seu aplicativo e precisava, na verdade, estar na outra ponta da rua, no ponto C. Para chegar lá, andou mais 80 m. Ao voltar de C para A, ele notou que andou (x + 40) m. Ao todo, quantos metros Pedro percorreu? 240 m. ALEXANDRE R./M10

a) x = 9 + 12 → x = 81 + 144 = 225 → x = ± 225 = ± 15. 2

16. Determine o valor de x.

4 + x 2 → x 2 = 100 – 64 → x 2 = 36 → x = ± 36 = ± 6.

0 – 64 → x 2 = 36 → x = ± 36 = ± 6.

= 36 → x = ± 36 = ± 6. Logo, x = 6. 14. Um triângulo retângulo tem catetos medindo d) x 2 = 42 + 42 → x 2 = 16 + 16 = 32 → x = ± 32. (x + 2) cm, (x + 4) cm cme hipotenusa medindo 42 + 42 → x 2 = 16 + 16 = 32 → x = ± 32. (2x + 2) cm. Quais são as medidas dos lados 6 = 32 → x = ± 32. desse triângulo? 6 cm, 8 cm e 10 cm. Logo, x = 32 = 4 2. 15. Um corrimão será construído em uma escada e) x 2 = 102 + 22 → x 2 = 100 + 4 = 104 → x = ± 104.de modo que a parte mais baixa esteja a 02 + 22 → x 2 = 100 + 4 = 104 → x = ± 104. 1,2 m de altura do chão e a mais alta, a 3 m. = 104 → x = ± 104. A largura horizontal da escada é de 3 m e

Logo, x =

104 = 2 26.

a escada começa e termina com duas pe-

2 quenas f) ( 146)2 = 112 + x 2 → 146 = 121 + x 2 → x 2 = 146 – 121 → xpartes = 25horizontais → x = ±cuja 25medida = ± 5. é de

12 + x 2 → 146 = 121 + x 2 → x 2 = 146 – 121 → x 2 = 25 → x =30±cm. 25Quantos = ± 5. centímetros de material serão 2 2 2 necessários para construir o corrimão todo? 21 + x → x = 146 – 121 → x = 25 → x = ± 25 = ± 5. 360 cm. 2 6 – 121 → x = 25 → x = ± 25 = ± 5. 2 = 25 → x = ± 25 = ± 5. Logo, x = 5. Atividade 12

Sim, pois verifica-se a recíproca do teorema de Pitágoras: 252 = 72 + 242 625 = 49 + 576 Atividade 13

Aplicando o teorema de Pitágoras em ABC: AC 2 = 42 + 32 AC 2 = 16 + 9 = 25 AC = ± 25 = ± 5 Logo, AC = 5. Como o triângulo ACD é isósceles de base AD, temos que CD = 5. Portanto, BD = 8.

ma: “a hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2x e um dos catetos mede x. Se o

outro cateto mede 2 3, qual é o valor de x?”. Para resolver esse problema, ele aplicou o teorema de Pitágoras: (2x)2 + (2 3)2 = x 2 Porém, não obteve a resposta correta. Explique o que Cláudio errou em sua resolução e resolva o problema corretamente.

19. Elabore um problema que necessite do teo-

rema de Pitágoras para ser resolvido. Entregue-o a um colega e peça para ele resolvê-lo.

18. Cláudio trocou os valores da hipotenusa e do cateto. A aplicação correta do teorema de Pitágoras 2 2 2 resulta na equação: x + (2 3) = (2x) . O valor de x é 2. 19. Resposta pessoal.

168 | TRAJETÓRIA 3

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Aplicando o teorema de Pitágoras, mas agora Aplicando a fórmula resolutiva da equação do no triângulo ABD, obtemos: 2o grau, obtemos x = 4 ou x = –2. Porém, como se trata de comprimento, o valor –2 não satisfaz. AD2 = 42 + 82 ⇒ AD2 = 16 + 64 = 80 Logo, as medidas dos lados desse triângulo são: AD = ± 80 catetos 6 cm e 8 cm e hipotenusa 10 cm. Logo, AD = 80 = 4 5. Atividade 15

Atividade 14

Pelo teorema de Pitágoras: (2x + 2)2 = (x + 2)2 + (x + 4)2 4x 2 + 8x + 4 = x 2 + 4x + 4 + x 2 + 8x + 16 2x 2 – 4x – 16 = 0

168 | MANUAL DO PROFESSOR

18. Cláudio estava tentando resolver este proble-

É possível construir um triângulo retângulo com a parte diagonal do corrimão como hipotenusa.

Habilidade

Diagonal do quadrado Uma aplicação do teorema de Pitágoras é o cálculo da medida d da diagonal do quadrado.

Observando o quadrado e aplicando o teorema: d 2 = ℓ 2 + ℓ 2 , concluímos que d 2 = 2ℓ 2 e, extraindo a raiz quadrada, encontramos d = ℓ 2.

(EF09MA13) Demonstrar

relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

Aplicando o teorema de Pitágoras, agora no triângulo superior: 132 = ( 69)2 + x 2 x 2 = 169 – 69 = 100

Em um quadrado cujo lado mede ℓ, sua diagonal terá medida ℓ 2.

x = ± 100 = ± 10. Portanto, x = 10 cm. Atividade 17

ATIVIDADES

20. Calcule a diagonal de um quadrado cujo

22. Se a diagonal de um quadrado mede 8 cm,

lado mede 5 cm. 5 2 cm.

qual é a medida de seus lados? 4 2 cm.

21. Determine a medida d da diagonal de um

23. Calcule o perímetro da figura que representa

retângulo em função das medidas a e b dos 2 2 lados. d = a + b

uma seta verde.

Precisamos determinar o valor de x. Como o esquema apresenta um triângulo retângulo, é válido o teorema de Pitágoras: (x + 40)2 = x 2 + 802 x 2 + 80x + 1 600 = x 2 + 6 400 80x = 6 400 – 1 600 4 800 = 60 x = 80 Assim, Pedro percorreu: 60 m + 80 m + 100 m = 240 m

2 cm

12 + 10 2

Atividade 18

LUPAS E LUNETAS Observando a imagem e considerando que a altura do triângulo equilátero divide o lado pela metade, determine a medida h.

h h=

3 2

O erro cometido por Cláudio é também frequentemente cometido pelos estudantes: inverter a medida do cateto com a medida da hipotenusa, principalmente quando o cateto é representado por x. A resolução correta do problema é: (2x)2 = x 2 + (2 3)2 4x 2 = x 2 + 4 3x 2 = 12

169 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

x2 = 4

x = ± 4 = ±2 Portanto, o valor de x é 2. Atividade 19

30 cm 3 – 1,2 = 1,8 m = 180 cm

30 cm 1,2 m

3 – 0,3 – 0,3 = 2,4 m = 240 cm

Assim, temos: x 2 = 2402 + 1802 ⇒ x 2 = 90 000 x = ± 90 000 = ± 300 Logo, x = 300.

Portanto, serão necessários 360 cm de material para a construção do corrimão. Atividade 16

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo inferior, descobriremos a medida da hipotenusa do triângulo retângulo superior. Vamos denotar por y essa medida: y 2 = 52 + 122 ⇒ y 2 = 25 + 144 = 169 y = ± 169 = ± 13 Logo, y = 13 cm.

Acompanhe e oriente a produção dos problemas pelos estudantes, sugerindo contextos, avaliando a clareza dos enunciados, as informações necessárias, as ilustrações, a resolução e o compartilhamento. Veja a resolução comentada das atividades 21 a 23 e da seção Lupas e lunetas na página seguinte. 169 |

Habilidade

#Relações métricas no triângulo retângulo

(EF09MA13) Demonstrar

relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

Os teoremas de Pitágoras e de Tales são dois exemplos do que chamamos de relações métricas, por envolverem medidas de triângulos. A semelhança de triângulos nos dá ainda mais algumas relações métricas, que vamos explorar.

Projeção ortogonal Adilson está erguendo uma barraca para um acampamento. Nas instruções, é dito que o ângulo formado pelas laterais do teto da barraca deve ser de 90 graus e que a altura do suporte é de 2 metros. Além disso, o tecido, cujo comprimento total é de 7 metros, deve ficar dividido em duas partes, uma medindo 3 metros e a outra medindo 4 metros.

Atividade 21

PHKORSART/SHUTTERSTOCK

Observe o triângulo retângulo cuja medida da hipotenusa é d e os catetos são a e b. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: b

d =a +b ⇒ d = 2

a 2 + b2

Atividade 22

l 2 =8 ⇒ l= 8 ⇒ l=

8 8 2 = = 4 2 cm 2 2

A integração do homem com a natureza se fortalece com atitudes de preservação do ambiente.

Modelando matematicamente a vista frontal da barraca, a imagem ficaria assim:

8 8 2 = = 4 2 cm 2 2

Atividade 23

Considerando que a diagonal do menor quadradinho da malha tem medida 2 2 cm, o perímetro da seta é: 6 ⋅ 2 + 5 ⋅ 2 2 = (12 + 10 2) cm

LUPAS E LUNETAS Observe que temos um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é l e os catetos são h l e 2 . Aplicando o teorema de Pitágoras: l l 2 = h2 + ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 2⎠

Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos descobrir, por exemplo, as medidas de BC e CD, que são chamadas de projeções ortogonais dos catetos AB e AD sobre a base BD – hipotenusa do triângulo retângulo ABD. Ao pensar em projeções ortogonais, podemos, em geral, imaginar a sombra feita com o Sol a pino. Se o Sol estivesse iluminando o triângulo ABD de cima, a sombra que os catetos AB e AD fariam sobre a base coincidiria exatamente com os segmentos BC e CD. Para calcular as projeções ortogonais, podemos recorrer, como no exemplo, ao teorema de Pitágoras. Mas há casos em que isso não é possível. Como proceder, então? A vantagem dos triângulos retângulos é que a altura relativa à hipotenusa sempre gera outros dois triângulos retângulos semelhantes. Vamos verificar isso? 170 | TRAJETÓRIA 3

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

l2 3l 2 l h2 = l 2 – ⎛⎜ ⎞⎟ = l 2 – = ⎝ 2⎠ 4 4 2

3l 2 l 3 ⇒ h= 4 2

Atividade 24

Para facilitar a compreensão dos alunos, separe os triângulos deste modo: A

2 C

! em comum, além de um ângulo reto. Logo, são semeOs triângulos ABC e DBA têm o ângulo B lhantes pelo caso AA. 170 | MANUAL DO PROFESSOR

24. Os triângulos ABC e DBA possuem o ângulo B em comum, além de um ângulo reto, logo, são semelhantes (AA). Os triângulos DAC e DBA possuem o ângulo D em comum, ATIVIDADES além de um ângulo reto, logo, são semelhantes (AA). Por consequência, ABC e DAC são semelhantes também.

24. Observe o triângulo do exemplo novamente:

Habilidades (EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema 26. de Pitágoras, utilizando, 600 m 800 m inclusive, ahsemelhança de triângulos. (EF09MA14) Resolver e a elaborar problemas de aplicação do teorema de a = 600 + 800 Pitágoras ou das relações a = 36000 + 640000 de proporcionalidade a = 1000000 envolvendo a = 1000 retas paralelas cortadas por secantes. a ⋅ n = 600 ⋅ 800

b) c = h = n

c) b = a = c Demonstração.

26. A chácara do senhor Afonso tem o formato

Mostre que os triângulos ABC, DAC e DBA são semelhantes entre si.

de um triângulo retângulo, com as medidas indicadas na figura. Ele deseja construir um caminho reto revestido com pedras que vá do portão até o ipê-amarelo, no canto dos fundos do terreno. Qual é a medida desse caminho? 480 m.

para um caso genérico, temos:

1000 ⋅ n = 480000 n = 480

• ΔABC ∼ ΔAHB Logo, h = 480 m AB BC AC c a b = = ⇒ = = AH HB AB n h c x 2 27. • ΔBCH ∼ ΔABH 4,8 BC BH CH a h m = = ⇒ = = 3,1AB AH BH 5,1 c n h

27. Um galpão para guardar sacas de merca-

dorias não perecíveis foi adquirido por uma administradora. Ela fez algumas medições Atividade 26 de modo que, a partir delas, seja possível x 2 = (4,8)2 + 22 Pelo teorema de Pitágoras, a descobrir o comprimento do telhado, já que x 2 = 23,04 + 4 frente do terreno mede: tem planos de trocá-lo. Considere os dados 2 x = 27,04 f 2 = 6002 + 8002 → f 2 = 1 000 indicados na figura e calcule o comprimento x = 5,2 2 f 2 = 6002 + 8002 → f Logo, = 1 000 000 x do telhado. 5,2 m. x = 5,2 m ⇒ f = 1 000 m x

3,1 m

c b = : h a 800 1 000 = ⇒ h = 480 m h 600 O caminho mede 480 m. Como

ALEXANDRE R. / M10

Veja que há muitas medidas de segmentos na imagem: • a: cateto do triângulo ABC, retângulo em B • b: hipotenusa de ABC • c: cateto de ABC • m: projeção ortogonal de a sobre b • n: projeção ortogonal de c sobre b • h: altura relativa à hipotenusa b

ALEXANDRE R. / M10

25. Levando a conclusão da atividade anterior

5,1 m

Atividade 27

4,8 m

28. Será mais2 rápido resolver por (5,1 – 3,1)2 + 4,82 semelhançax de=triângulos: 4 6 x 2 = 27,04 ⇒ x = 5,2 m ! 6 x 4x ! 36 Atividade 28 x =9

28. Descubra o valor de x indicado na figura.

Desenhe os três triângulos separadamente e demonstre, por semelhança de triângulos, que: a m h a) c = h = n

Como

x = 9.

171 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

! em Os triângulos DAC e DBA têm o ângulo D comum, além de um ângulo reto. Logo, são semelhantes pelo caso AA. Por consequência, os triângulos ABC e DAC são semelhantes também. Atividade 25

Como os triângulos são semelhantes, temos as relações:

h m = : n h 62 = 4 ⋅ x ⇒ 36 = 4x ⇒ x = 9

a C

h c

h B

H C

• ΔABC ∼ ΔBHC

AB BC AC c a b = = ⇒ = = BH HC BC h m a 171 |

Habilidades (EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos. (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes. Encontro com outras disciplinas (EF69AR35) Identificar e manipular diferentes tecnologias e recursos digitais para acessar, apreciar, produzir, registrar e compartilhar práticas e repertórios artísticos, de modo reflexivo, ético e responsável.

Aplicando as relações métricas e o teorema de Pitágoras Ao resolver problemas envolvendo as relações métricas do triângulo retângulo, não é necessário memorizar todas as relações. É mais interessante desenvolver a habilidade de identificar as semelhanças entre os triângulos conforme a necessidade do problema. Esse é uma maneira de priorizar as estratégias de raciocínio em vez de decorar fórmulas. ATIVIDADES

29. Nos triângulos, determine o valor das incógnitas:

x =

16 ;y =4 3

x = 2,5 a)

x =8

velejar, mas está tendo dificuldades com a vela. Pelas instruções, ele sabe que são necessárias duas velas: uma grande e outra menor, auxiliar. As duas velas têm formato de triângulos retângulos, unidas por duas hastes: uma vertical, que parte do barco, e outra horizontal, que deve ficar a 1 m de altura em relação ao barco.

h = 8; y = 4 5; x = 8 5

30. Na imagem, encontre o valor de x + y + w + z: x + y + w + z = 51

No entanto, Marcos deixou o manual cair na água antes de terminar a montagem e ficou sem algumas das medidas; ele não sabe qual é a medida do comprimento total da haste horizontal. Você consegue calcular para ele? 3,2 m.

Atividade 29

31. Marcos está montando o seu barco para

a) Pela relação n = h , temos: 5 x = ⇒ 10x = 5 ⋅ 5 10 5 x = 2,5 c b b) Por n = c , temos: x 16 = ⇒ x 2 = 64 4 x

LUPAS E LUNETAS Neste passeio, falamos muito sobre a semelhança de imagens e como usá-la na solução de problemas. Um tipo de “semelhança” também acontece muito nas redes sociais: a “repostagem”. Repostar um conteúdo é postá-lo novamente, mas com o crédito devido e fazendo as alterações que quiser. Em algumas redes, por exemplo, é comum a prática de trends, que nada mais são do que tendências de postagens famosas. Por exemplo, uma trend pode ser uma postagem em que todos dançam a mesma música. Há também as trends de desafio, que podem ser desde virar um balde de água gelada na cabeça até coisas ainda mais curiosas. a) Você já fez repostagens em alguma rede social? Qual? b) Como acha que as repostagens podem ajudar uma causa nobre? c) Qual é a diferença entre repostar e copiar ou plagiar? Respostas pessoais.

x = ± 64 = ± 8 Logo, x = 8. c) Pelo teorema de Pitágoras, temos: 52 = y 2 + 32 → y = ± 16 = ± 4. 2 2 y + 3 → y = ± 16 = ± 4. Logo, y = 4. h m 172 | TRAJETÓRIA 3 , Utilizando a relação = n h temos: 4 3 = ⇒ 3x = 4 ⋅ 4 x 4 c b 16 Pela relação = , temos: x = n c 3 x 20 = ⇒ x 2 = 20 ⋅ 16 h m 16 x d) Como n = h , temos: x = ± 320 = ± 8 5 h 4 = ⇒ h2 = 64 Logo, x = 8 5. 16 h a b = , temos: Pela relação h = ± 64 = ± 8 m a y 20 Logo, h = 8. = ⇒ y 2 = 80 ⇒ y = ± 80 = ± 4 5 4 y Logo, y = 4 5.

172 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 30

Aplicando o teorema de Pitágoras no primeiro triângulo retângulo: x 2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 ⇒ x = ± 169 = ± 13 Logo, x = 13. Observe que as retas são paralelas, sendo possível utilizar o teorema de Tales, e determinam três triângulos retângulos semelhantes entre si, pelo caso AA. Sendo assim, temos as relações: 12 12 156 i = → 12y = 13 ⋅ 12 ⇒ y = = 13 13 y 12

LEVO NA BAGAGEM

Respostas pessoais.

Consulte todas as suas produções até agora neste passeio e avalie seu aprendizado sobre: ▶ Matemática • Reconhece a desigualdade triangular e a utiliza na análise de triângulos? • Estabelece as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes? • Demonstra e utiliza as relações métricas em um triângulo retângulo pelo teorema de Pitágoras ou por semelhança de triângulos? • Compreende e utiliza o teorema de Pitágoras para resolver situações envolvendo triângulos retângulos? ▶ Outras disciplinas Arte • Manipula as tecnologias e os recursos digitais para acessar, produzir ou compartilhar práticas artísticas de modo ético e responsável? Anote seu parecer para essas questões no caderno e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

LUPAS E LUNETAS MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Retomamos a discussão ética acerca da cultura digital e avaliação crítica, pois perceber que algo “semelhante” não pode também ferir o direito do outro é necessário para a cidadania. Este boxe também dialoga com a habilidade de Arte EF69AR35 Identificar e manipular diferentes tecnologias e recursos digitais para acessar, apreciar, produzir, registrar e compartilhar práticas e repertórios artísticos, de modo reflexivo, ético e responsável.

173 |

2 2 2 12 24 22 =⇒1,2w += x120 ⇒= x10 = 4 – 1,44 = 2,56 → x = ± 2,56 = ± 1,6 = ⇒ 12w = 5 ⋅ 24 5 w 12 Logo, a medida é 1,6 m. h m 12 36 180 i = ⇒ 12z = 5 ⋅ 36 ⇒ z = = 15 Como n = h , sendo h a altura do triângulo 5 z 12 Portanto, a soma das medidas desconhecidas retângulo formado pela vela, n a distância da haste horizontal ao barco e m a medida da haste horié 13 + 13 + 10 + 15 = 51. zontal até a ponta da vela maior, temos: Atividade 31 h 1,6 + 2,4 = ⇒ h2 = 4 ⋅ 1 ⇒ h = ± 4 = ± 2. 1 h Aplicando o teorema de Pitágoras, é possível Logo, h = 2. determinar a medida desconhecida x da parte da A medida do comprimento total da haste hohaste vertical da vela menor: rizontal é 2 m + 1,2 m = 3,2 m. 22 = 1,22 + x 2 ⇒ x 2 = 4 – 1,44 = 2,56 → x = ± 2,56 = ± 1,6

173 |

BARCOS E PORTOS

Organize

Elabore

Como o quadrado do maior valor é a soma dos quadrados dos valores menores, um triângulo com essas medidas seria retângulo (recíproca do teorema de Pitágoras): • 52 = 42 + 32 • 102 = 82 + 62 • 152 = 122 + 92 • 252 = 202 + 152 • 132 = 122 + 52 Note que a última trinca não é outra versão da trinca 3, 4 e 5 (por isso o termo “maioria” no enunciado): (3, 4, 5)

▶ Organize Respostas pessoais. Agora que você percorreu todo este passeio, faça uma coletânea de alguns problemas e tópicos mais importantes que aprendeu nele, em especial, que sejam emblemáticos na resolução de situações envolvendo triângulos, junto com suas resoluções. Comece consultando o mapa mental que está na seção Arredores. Depois, reveja as anotações e atividades que fez ao longo do passeio. Para cada conceito novo, selecione um novo problema. a) Após terminar, peça para trocar o que fez com outro colega e analise se ele sele-

cionou problemas parecidos com os seus. Anote as diferenças que considerar mais importantes. b) Depois, devolva as anotações para ele e discutam a respeito das diferenças que

encontraram. Há algum conceito que você não selecionou e agora acha relevante, tendo visto o que o seu colega selecionou? Complete a sua lista de problemas. BENJAMINEC/SHUTTERSTOCK

Sugira como alternativa ou complemento à proposta desta seção que construam um mapa “semelhante” ao mapa mental da seção Arredores, mas utilizando apenas imagens (triângulos etc.) e símbolos (letras) para as medidas. Depois, que reescrevam as relações com frases como: a medida da altura ao quadrado é igual à medida de uma projeção vezes a medida h m . da outra para = n h

(2 ⋅ 3,2 ⋅ 4,2 ⋅ 5) (3 ⋅ 3,3 ⋅ 4,3 ⋅ 5) (5 ⋅ 3,5 ⋅ 4,5 ⋅ 5)

▶ Elabore Lígia percebeu que há algumas trincas de números que formam triângulos pitagóricos. Ela fez um quadro com os números encontrados: 3, 4, 5 6, 8, 10 9, 12, 15 15, 20, 25 5, 12, 13 174 | BARCOS E PORTOS

174 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Sobre isso, responda: a) Verifique, com cálculos, se essas trincas de fato são pitagóricas, isto é, podem ser

os lados de um triângulo retângulo. b) Um professor, ao ver as anotações de Lígia, explicou a ela que a maioria das trincas

que ela encontrou na verdade são apenas outras versões da trinca 3, 4, 5. Por que ele disse isso? c) Elabore mais três novas trincas pitagóricas.

▶ Proponha A pergunta inicial deste passeio é:

Proponha

Qual é a importância da forma na comunicação, arte e tecnologia? Neste passeio, vimos como um trajeto pela hipotenusa do triângulo retângulo pode

ser mais curto do que pelos catetos. Muitas vezes, o caminho mais confortável é mais interessante, mas enfrentar uma possibilidade que nunca vimos antes pode nos agregar mais. Forme um grupo de três pessoas de sua escolha. Escrevam em uma folha: a) Um ponto positivo que consideram da relação de vocês três. b) Um ponto negativo que consideram da relação de vocês três. c) Proponham uma solução para o ponto negativo do item b.

Agora, separe-se do trio de sua escolha e monte um trio com outras duas pessoas da

turma com quem jamais trabalhou antes. Cada integrante do trio deverá: a) Listar um ponto positivo do grupo de alunos da sua turma.

O objetivo dessa atividade está relacionado ao TCT Ciência e Tecnologia, à avaliação crítica e à cultura digital. Ao perceberem outros pontos de vista e problemas que, muitas vezes, nem sabiam que existiam, os estudantes aumentam sua empatia e a criação da rede social faz com que possam expressar e organizar as ideias propostas de modo a todos poderem acompanhá-las, pelas ferramentas digitais, democratizando a discussão.

b) Listar um ponto negativo do grupo de alunos da sua turma. c) Agora, juntos, proponham uma solução para o ponto negativo do item b.

Separem-se novamente e, individualmente, responda: como você aprendeu mais: tra-

balhando com quem está sempre próximo a você ou com pessoas com quem nunca havia trabalhado antes? 4.

Agora, com todos os outros colegas da turma, criem um perfil em uma rede social de sua escolha que seja da turma e a que todos tenham acesso. Postem os problemas que mais apareceram nas listagens da atividade 2, juntamente com as soluções que parecerem mais eficazes para o coletivo. Se necessário, façam votações ou escolham representantes para organizar o perfil da rede social.

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PASSEIO 3 – CIRCUNFERÊNCIAS, ARCOS E POLÍGONOS REGULARES COMO RECONHECER IDEIAS DE REGULARIDADE E CRIATIVIDADE NO COTIDIANO? LUMYAI L SWEET/SHUTTERSTOCK

Habilidades (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica. (EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares. CHECK-IN a) Área da superfície do círculo:

πr 2. Perímetro da circunferência: 2πr. b) Um polígono regular tem todos os seus lados congruentes e todos os seus ângulos congruentes. c) Abra o compasso em uma medida arbitrária; em seguida, coloque a ponta seca sobre o papel e gire para obter uma circunferência.

Padrão decorativo composto por elementos que nos dão a ideia de círculos e quadrados. Composição resultante da criatividade com algumas formas da geometria.

CHECK-IN Muitos padrões criados em peças decorativas ou de design utilizam formas geométricas diversas. As composições de artes visuais podem adquirir um “ar moderno” quando se envolvem com conhecimentos de geometria. Com os colegas, resgate o que você sabe. A regularidade e a criatividade são elementos presentes na Geometria. Vamos falar e fazer muita geometria envolvendo circunferências e polígonos neste passeio; então, é bom saber: a) Como calcular a área da superfície de um círculo e o perímetro de uma circunferência? b) O que é um polígono regular?

c) Como construir uma circunferência com um compasso? Respostas pessoais. 176 | TRAJETÓRIA 3

176 | MANUAL DO PROFESSOR

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ARREDORES Central

Inscrito

Ângulos

CIRCUNFERÊNCIA Arcos Elementos da circunferência

Relações métricas

Ângulos internos

Posições relativas Construção

Externas

Secantes

POLÍGONOS REGULARES

Tangentes Fluxograma

EF09MA11, EF09MA15 EF69AR35

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: Reconhecer, calcular, medir e relacionar arcos e ângulos. Utilizar relações métricas em uma circunferência para resolver problemas. • Construir polígonos regulares, circunferências e arcos com softwares de geometria dinâmica. • Descrever e executar a construção de polígonos regulares. • Manipular as tecnologias e os recursos digitais para acessar, produzir ou compartilhar práticas artísticas de modo ético e responsável. • •

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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Arte e geometria Observe as imagens mostrando obras de diferentes artistas: MUSEU DE ARTE MODERNA, NOVA IORQUE, EUA.

ATMOSFERA

ATMOSFERA ATMOSFER A

MUSEU SOLOMON R. GUGGENHEIM, NOVA IORQUE, EUA.

Encontro com outras Disciplinas (EF69AR35) Identificar e manipular diferentes tecnologias e recursos digitais para acessar, apreciar, produzir, registrar e compartilhar práticas e repertórios artísticos, de modo reflexivo, ético e responsável.

Atividade 1 Wassily Kandinsky. Composição 8, 1923. Óleo sobre tela, 140 cm x 201 cm.

CENTRO DE PAUL KLEE, BERNA, SUÍÇA.

Nessa atividade, os estudantes são estimulados a pensar sobre a relação entre arte e geometria. Pode ser desenvolvido com a turma um concurso de desenho em que suas composições tenham apenas elementos geométricos. Esta seção dialoga com a habilidade de Arte EF69AR35.

Paul Klee. Veleiros, 1927. Aquarela sobre papel montado em cartolina, 22,8 cm x 30,2 cm.

Theo van Doesburg. Ritmo de uma dança russa, 1918. Óleo sobre tela, 135,9 cm x 61,6 cm.

ATIVIDADES

Com os colegas, responda: a) Que formas geométricas você reconhece nas obras?

b) Que sensação cada uma das obras lhe causa? Descreva.

c) Você já foi ou tem curiosidade de ir a uma exposição artística?

d) Como você compreende a relação entre geometria e arte? Respostas pessoais. 178 | TRAJETÓRIA 3

178 | MANUAL DO PROFESSOR

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Habilidade

#Circunferências As circunferências estão muito presentes em nosso dia a dia. Ao seu redor, você deve encontrar várias formas circulares neste momento: faróis de carro, copos, tampas, lentes de câmeras de celular e assim por diante. Vejamos mais alguns exemplos. Um dos marcos considerados fundamentais na história da humanidade é a invenção da roda,

INNABOR/SHUTTERSTOCK

que permitiu florescerem inúmeras tecnologias de transporte e outras engenharias.

Muitos dos projetos e invenções do italiano Leonardo da Vinci (1452-1519) tinham nas formas circulares sua viabilidade de funcionamento.

Arquimedes de Siracusa, grande matemático que viveu no século III a.C., ficou famoso por usar polias para fazer catapultas, o que deu à Grécia uma grande vantagem militar na época. No século I, a roda hidráulica permitiu que os primeiros moinhos fossem criados, o que

NACH-NOTH/SHUTTERSTOCK

multiplicou a capacidade de produção de alimentos.

(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica. Aproveite a discussão colocada pela relação entre a geometria e – tanto pela arte quanto pela ciência –, a sociedade para explorar com os estudantes a ideia de Multiculturalismo, um TCT e, com isso, aumentar o repertório cultural deles. Mostre como a geometria que estudam na sala de aula se conecta com variados aspectos de sua vida que, por sua vez, se conectam entre si também, como uma teia de conhecimentos e cultura. Os modelos matemáticos auxiliam a resolver problemas da sociedade há muito tempo.

Uma polia permite que um poço seja muito mais facilmente manuseado, inclusive por pessoas com menos força. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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Habilidade (EF09MA11) Resolver

problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

Elementos da circunferência Vamos relembrar os elementos de uma circunferência:

• Centro

O ponto que se situa a igual distância de todos os pontos da circunferência é chamado de centro. No exemplo, o ponto O. • Raio Qualquer segmento de reta que tenha uma extremidade no centro e outra em qualquer ponto da circunferência é chamado de raio. Dois raios quaisquer em uma circunferência têm exatamente a mesma medida. Na imagem, estão traçados os raios OD, OE e OA. • Diâmetro Qualquer segmento de reta que tenha as duas extremidades em pontos da circunferência e contenha o centro é um diâmetro. No exemplo, o diâmetro AD está destacado. O diâmetro tem a medida igual ao dobro da medida do raio. • Corda Qualquer segmento de reta que tenha as extremidades em pontos da circunferência é uma

• Comprimento da circunferência

O comprimento de uma circunferência qualquer é calculado por C = 2πr, em que r é a medida de seu raio. • Área da superfície do círculo A área da superfície do círculo é calculada por A = πr 2 , em que r é a medida de seu raio.

JELENA STANOJKOVIC/SHUTTERSTOCK

corda. No exemplo, temos destacada a corda BC. Note que o diâmetro AD também é uma corda. • Círculo A reunião da circunferência com seu interior é o círculo. A circunferência é uma linha e tem um comprimento, já o círculo é uma superfície que tem uma área.

Medir a circunferência do abdômen é um exame simples, mas importante para a saúde. 180 | TRAJETÓRIA 3

Sugestão de leitura

Para saber mais sobre a relação entre a medida da circunferência abdominal e os TCTs Saúde e Educação Alimentar e Nutricional, consulte https://drauziovarella.uol.com.br/drauzio/artigos/ circunferencia-abdominal-artigo/. Acesso em: 5 set. 2022.

180 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

Posições relativas de retas e circunferências

Quando falamos de retas e circunferências, há três posições relativas possíveis. Externa A reta e a circunferência não se tocam, isto é, não há nenhum ponto da reta cuja distância até o centro da circunferência seja menor ou igual ao raio (R). Observação: dr C lê-se: distância da reta r até o ponto C. dr C > R

Secante Nesse caso, há dois pontos de intersecção que formam uma corda e, no ponto médio da corda, encontramos o ponto mais próximo ao centro da circunferência. Se traçarmos um segmento dele até o centro, temos um ângulo reto.

dr C < R

Tangente A reta e a circunferência se tocam em apenas um ponto. Nesse caso, há um raio que toca a reta no ponto de tangência e o raio é perpendicular à reta. d) As cordas vibram as moléculas de ar, causando o

efeito sonoro. O corpo do violão é a caixa acústica, responsável por amplificar o som das notas. A boca precisa permitir que as ondas ultrapassem seu orifício e, assim, possam ser amplificadas. Projetando as cordas sobre o plano da circunferência e sendo tangente ou externa à circunferência que representa a boca, não haveria espaço suficiente para a onda ultrapassar o tampo frontal da d = R rC caixa do violão e amplificar o som. c) Considerando as cordas como retas e a boca como circunferência, LUPAS E LUNETAS podemos classificar as retas como tangentes à circunferência.

JOEZ/SHUTTERSTOCK

MADY70/SHUTTERSTOCK

Observe as imagens.

Violão e modelo matemático mostrando esquema que relaciona as cordas e a boca do violão.

a) Quantas cordas há nesse violão? 6 Retas e cirb) A boca do violão e as cordas sobre ela nos dão a ideia de que elementos geométricos? cunferência. c) Observando a imagem esquemática à direita, como você classificaria a posição de cada corda em relação à boca do violão? d) Pesquise para saber o porquê de não haver cordas do violão com ideia de tangente à circunferência que representa a boca do violão. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

181 |

TRAVESSIAS Modelagem matemática com circunferência e tangente Theo está montando um novo brinquedo para o seu cachorro. O brinquedo consiste em uma bola amarrada a uma corda, conforme a imagem. Antes de fazer os nós necessários, no entanto, ele está calculando a quantidade de corda necessária e como poderá proceder.

TRAVESSIAS

ALPA PROD/SHUTTERSTOCK

JENOV JENOVALLEN/SHUTTERSTOCK

Habilidade

Atividade 2 A

B O

Sem o nó no topo da bola, as cordas esticadas podem nos dar a ideia de semirretas tangentes à superfície da esfera, no caso, a bola.

Ele fez um modelo matemático de uma circunferência e duas retas tangentes. Observando o modelo, faça as atividades.

3. Os dois triângulos têm um ângulo reto, por conta da tangência, um lado em comum e um lado medindo um raio. Pelo teorema de Pitágoras, podemos dizer que os outros lados correspondentes nos triângulos também têm mesma medida e os triângulos são congruentes.

ATIVIDADES

Atividade 3

Os dois triângulos têm um ângulo reto, no ponto de tangência, um lado em comum e um lado medindo um raio. Pelo teorema de Pitágoras, concluímos que o terceiro lado também é congruente. Pelo caso LLL, os triângulos são congruentes. Atividade 4

Os comprimentos são iguais, isto é, esses segmentos são congruentes.

3. 4.

Reproduza o modelo e trace uma reta do centro da circunferência até o ponto A do modelo. Depois, trace os dois raios que tocam nos pontos de tangência B e C das retas (isso deve gerar dois triângulos). Analise os triângulos gerados na atividade anterior e mostre que eles são semelhantes com razão de semelhança igual a 1, isto é, são triângulos congruentes. Conforme a conclusão da atividade anterior, o que podemos dizer sobre os comprimentos AB e AC? São iguais. Generalizando o resultado obtido nas atividades, podemos dizer que: Segmentos tangentes a uma circunferência que partem de um mesmo ponto são congruentes.

182 | TRAJETÓRIA 3

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL Usando o modelo do brinquedo para cachorro apresentado na seção Travessias, incentive-os a pesquisar brinquedos para animais que possam ser construídos por eles próprios, com materiais atóxicos. Escolha coletivamente quais brinquedos pretendem fazer, liste a relação de materiais necessários, peça que um dos estudantes faça um passo a passo. Combine com os estudantes se os brinquedos serão doados para algum abrigo de animais ou se levarão o brinquedo para seu pet. 182 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Na construção dos brinquedos, organize-os em duplas ou trios e auxilie-os na compreensão das instruções e realização das etapas para a montagem do brinquedo. Faça fotos desse momento e exponha as fotos no mural da escola. Caso decidam doar os brinquedos para uma instituição, selecione o local, agende a entrega e escolha um aluno que represente a turma para entregar os brinquedos.

Habilidade

#Arcos e ângulos de uma circunferência KOZLIK/SHUTTERSTOCK

KOZLIK/SHUTTERSTOCK

Vamos ampliar nossos estudos sobre circunferências observando ângulos e arcos.

Arcos antigos, em arquitetura nas ruas da Catalunha, na Espanha. Elementos de decoração arquitetônica em portas e arcos, em rua de Istambul, na Turquia.

Arcos

SIN314/SHUTTERSTOCK

Juliana vive em uma cidade que tem uma passarela circular como uma das principais atrações. Nesta semana, sua amiga Elizabeth veio de outra cidade para visitá-la e elas marcaram de se encontrar na passarela. Ao chegarem lá, falaram-se por celular e descobriram que uma estava no ponto A e outra no ponto B. Que formato teria o percurso feito por elas para se encontrarem?

Quando percorremos uma distância sobre uma circunferência – um bom modelo matemático para a passarela onde estão Juliana e Elizabeth –, falamos de um arco de circunferência. Dizemos, nesse caso, que os pontos A e B são as extremidades do arco e podemos repreAB (note que o símbolo é diferente do de segmento: AB). sentá-lo matematicamente por ! ! possíveis e, se cada uma delas escolher um percurso diferente, elas não se Há dois arcos AB encontrarão. Mas, acrescentando um outro ponto como referência ou considerando um sentido ! falamos: de percurso (horário ou anti-horário), não haverá dúvidas sobre qual arco AB

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183 |

Habilidade (EF09MA11) Resolver

Ângulo central

problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

Chamamos de ângulo central o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência.

! B mede 100o. Embora um arco de uma circunferência seja Na imagem, o ângulo central AO uma linha e tenha uma medida de comprimento, como ele está sempre associado a um ângulo central, considera-se a medida angular do arco como igual à medida do ângulo central corresAB é 100o também. pondente. Assim, a medida de !

LUPAS E LUNETAS Considerando que um arco é uma parte da circunferência e o ângulo central que corresponde a ele é uma parte do círculo, escreva uma fórmula que determine o comprimento l de um arco que corresponde a um ângulo central de medida α, em graus. o Dica: use razão e proporção. 360 = 2πr ⇒ l = πrα 180° l α ATIVIDADES

5. Nos itens, o ponto O é o centro da circunferência. Determine a medida x:

x = 110o

Ângulo inscrito Ao organizar um evento em um salão circular, Max precisa instalar um holofote que ilumine uma seção específica da parede. Após construir um modelo aéreo do salão circular, ele obteve:

!. Colocando o holofote no ponto A, Max consegue iluminar o arco BC Se esse arco medir 80o, qual deve ser a medida do ângulo BA!C? 184 | TRAJETÓRIA 3

LUPAS E LUNETAS Observe a igualdade de razões (a proporção): 2πr 2πrα πrα 360o = → l= → l= α l 360o 180o Atividade 5

a) x + 70o = 180o → x = 110o b) 140o + 30o + 80o + x = 360o → x = 110o

184 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

NUVENS NUVEN S Ângulo inscrito Em um software de geometria dinâmica, construa a imagem que modela a situa!C. ção do holofote de Max (observe o exemplo, caso necessário). Meça o ângulo BA ! Depois, meça o ângulo BOC, sendo O o centro da circunferência. O que você observa? ! C) m(BO m(BA!C) = 2

NUVENS Temos: ! !C) = m(BOC) m(BA 2

!C é chamado de ângulo inscrito. Na situação descrita, o ângulo BA

Atividade 6

Chamamos de ângulo inscrito todo ângulo cujo vértice se localiza sobre a circunferência e cujos lados são secantes a ela. A medida do ângulo inscrito é a metade da medida do ângulo central que “enxerga” o mesmo arco.

!C ! de Max mede 80o, o ângulo BA O que a definição nos diz é que, se o arco BC deve medir 40o.

Como o ângulo está inscrito em uma semicircunferência, corresponde a um ângulo central de 180o (raso) e, consequentemente, sua medida é 90o. D 90o

E 90o A

C 90o B

180o ATIVIDADES

Mostre que todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto. Demonstração.

#Relações métricas na circunferência Vimos há pouco que se dois segmentos partem do mesmo ponto externo a uma circunferência e a tangenciam em dois pontos diferentes, as medidas dos segmentos tangentes são congruentes. No entanto, essa é apenas uma de várias relações métricas em uma circunferência. Para a próxima seção, faremos uso de um software de geometria dinâmica. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

185 |

Habilidade (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

NUVENS NUVEN S Potência de ponto em relação a uma circunferência Em um software de geometria dinâmica, siga os passos: I. Construa uma circunferência.

à circunferência. Meça as distâncias e multiplique-as novamente. O que você observa? O produto se mantém.

II. Marque um ponto externo à circun-

ferência e crie uma reta ou segmento secante a ela, marcando os dois pontos de intersecção, conforme a figura:

NUVENS Realize essa atividade em um software de Geometria Dinâmica e peça que os estudantes trabalhem em duplas e registrem suas observações. O produto CD ⋅ CE mantém-se em todas as configurações.

III. Meça, com o software, as distâncias

do ponto externo até os pontos de intersecção (no caso da imagem, as medidas CD e CE). IV. Multiplique os dois valores (no caso da imagem, CD ⋅ CE ). Anote o resultado. V. Mova o segmento de modo que haja uma alteração nas medidas. Meça-as novamente (o software já deve atualizá-las automaticamente) e multiplique-as. O que você observa?

O produto CD ⋅ CE se mantém.

VI. Leve os pontos de intersecção até o

limite, de modo que eles coincidam, o que tornaria o segmento tangente

186 | TRAJETÓRIA 3

186 | MANUAL DO PROFESSOR

Toda vez que de um ponto interno ou externo à circunferência partirem segmentos que a interceptem, o produto dos segmentos gerados será constante. Exemplos: a) Na situação da imagem, com o pon-

to C externo à circunferência: CD ⋅ CE = CF ⋅ CB

b) Na situação da imagem, com o pon-

to C interno à circunferência: CD ⋅ CH = CG ⋅ CF.

Caso um dos segmentos seja tangente, elevamos sua medida ao quadrado. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

ATIVIDADES

7. Em cada item, calcule o valor de x: x =

x =5 2

7 3

8. Considere esta circunferência e as cordas

x = 14

PR e QS. Dadas as condições apresentadas na figura, calcule o valor de a. a = 7

x =6

Atividade 7

a) 2 ⋅ (2 + 6) = 3 ⋅ (3 + x) → 16 = 9 +

7 3 70 b) 5 ⋅ x = 10 ⋅ 7 → x = ⇒ x = 14 5 70 5 ⋅ x = 10 ⋅ 7 → x = ⇒ x = 14 5 2 c) x = 3 ⋅ (9 + 3) → x = ± 36 = ± 6

2 ⋅ (2 + 6) = 3 ⋅ (3 + x) → 16 = 9 + 3x ⇒ x =

LUPAS E LUNETAS Para demonstrar a relação CD ⋅ CE = CF ⋅ CB, basta considerar os triângulos semelhantes CDB e ! é comum e CD ! B e CF!E enxergam o mesmo arco EB ! ) e escrever a proporção entre as CFE (por AA, pois C CD CB = . medidas dos lados correspondentes: CF CE

D A

x ⋅ x = 5 ⋅ 10 → x 2 = 50 → x = ± 50 = ± 5 2

x 2 = 3 ⋅ (9 + 3) → x = ± 36 = ± 6 Logo, x = 6. d) x ⋅ x = 5 ⋅ 10 → x 2 = 50 → x = ±

Logo, x = 5 2. Atividade 8

2a ⋅ (a + 3) = a ⋅ (3a – 1) → 2a2 +

2a ⋅ (a + 3) = a ⋅ (3a – 1) → 2a2 + 6a = 3a2 – a → a2 – 7a = 0 →

2a ⋅ (a + 3) = a ⋅ (3a – 1) → 2a2 + 6a = 3a2 – a → a2 – 7a = 0 → a(a – 7) = 0 2a ⋅ (a + 3) = a ⋅ (3a – 1) → 2a2 + 6a = 3a2 – a → a2 – 7a = 0 → a(a – 7) = 0 Portanto, a = 0 ou a – 7 = 0 ⇒ a = 7. Porém, o valor 0 não satisfaz o probleH ma, visto que se trata de uma C medida. A Logo, o valor de a é 7.

Considerando o ponto C interno à circunferência, demonstre a relação CD ⋅ CH = CG ⋅ CF. G D

LUPAS E LUNETAS F

Demonstração.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

187 |

Para demonstrar a relação CD ⋅ CH = CG ⋅ CF , b a s t a considerar os triângulos semelhantes CGD e CHF (por AA, pois os ângulos em C são o.p.v. e !D e CH !F enxergam o mesmo CG ! ) e escrever a proporção arco DF entre as medidas dos lados corCD CG = . respondentes: CF CH

187 |

(EF09MA15) Descrever, por

escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares. Encontro com outras disciplinas (EF69AR35) Identificar e manipular diferentes tecnologias e recursos digitais para acessar, apreciar, produzir, registrar e compartilhar práticas e repertórios artísticos, de modo reflexivo, ético e responsável.

#Construção de polígonos regulares Minerva vai construir um salão de festas para a sua empresa. Como o símbolo da empresa é um hexágono regular, ela deseja que o salão tenha o mesmo formato. Além disso, ela quer que cada parede tenha exatamente 6 metros de comprimento. De que maneira o arquiteto que irá projetar o salão pode criar uma vista aérea na escala 1 : 100 para auxiliá-lo a planejar a construção?

LUPAS E LUNETAS A escala é muito importante na arquitetura, mas também é usada como elemento artístico. CRISTINA CONTI/SHUTTERSTOCK

Habilidade

LUPAS E LUNETAS Conectamos o conteúdo atual com o contexto de semelhança estudado nos passeios anteriores para que o estudante perceba como a Matemática se constrói como uma estrutura complexa: cada novo conhecimento pode acrescentar ao anterior. Esta seção também dialoga com a habilidade de Arte EF69AR35. Aborde com os estudantes obras de arte que utilizam elementos fora de escala para transmitir alguma ideia, um sentimento, uma crítica etc. Comente com os estudantes que, por exemplo, no contexto de estatística, um gráfico fora de escala é prejudicial para a leitura dos dados e pode conduzir o leitor a uma interpretação errônea.

188 | MANUAL DO PROFESSOR

A energia renovável já é uma realidade.

a) Como você descreveria a imagem? b) Pesquise outras imagens que façam esse tipo de utilização da escala fora do real para criar uma imagem artística. c) Crie uma imagem com a mesma temática utilizando recursos digitais variados. Respostas pessoais.

Na situação anterior, precisaríamos construir um polígono regular sabendo apenas seu número de lados (6) e a medida do lado (6 m). Vamos começar construindo um triângulo equilátero (que é o triângulo regular) e, dele, vamos construir o hexágono.

Construindo um triângulo equilátero I. Comece traçando um segmento de reta cujo comprimento seja igual ao desejado. Como a escala definida pelo arquiteto é de 1 : 100 e 6 m = 600 cm, vamos começar traçando um segmento de reta com comprimento 6 cm.

188 | TRAJETÓRIA 3

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

II. Coloque a ponta-seca do compasso em uma das extremidades do segmento e o grafite na outra. Trace um arco de circunferência. Repita o mesmo procedimento invertendo as pontas, de modo que os arcos se cruzem.

Habilidade (EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares. Atividade 9

Trace um segmento de reta com comprimento 8 cm. 8 cm B

III. Trace os segmentos de reta cujas extremidades sejam o ponto de intersecção dos arcos e uma das extremidades do segmento original:

Em seguida, coloque a ponta-seca do compasso em uma das extremidades do segmento e o grafite na outra. Trace um arco de circunferência. Repita o mesmo procedimento invertendo as pontas, de modo que os arcos se cruzem.

C A

Seu triângulo equilátero de lado 6 cm está pronto!

Por fim, trace os segmentos de reta cujas extremidades sejam o ponto de intersecção dos arcos e uma das extremidades do segmento original:

ATIVIDADES

9. Construa um triângulo equilátero cujo lado meça 8 cm. Construção geométrica.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

189 |

Habilidade (EF09MA15) Descrever, por

escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares. Atividade 10

Realize a construção em parceria com os estudantes, na lousa e, em seguida, utilizando um software de Geometria Dinâmica.

Construindo um hexágono regular Você lembra que um hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros? Isso fica bastante evidente se traçarmos todas as diagonais do hexágono que passam no centro do polígono:

Com isso, podemos construir seis triângulos equiláteros repetindo o passo a passo para a construção do triângulo equilátero seis vezes, mas sempre partindo do outro lado do triângulo que construímos. No entanto, isso seria muito trabalhoso. Há uma forma mais rápida de fazermos isso: I. Trace um segmento vertical cujo comprimento seja o dobro do tamanho desejado para o lado do hexágono – no nosso exemplo, 12 cm. II. No ponto médio do segmento, coloque a ponta-seca do compasso e trace uma circunferência com raio 6 cm (basta colocar a outra ponta em uma das extremidades). III. Coloque a ponta-seca do compasso na intersecção do diâmetro com a circunferência e a outra ponta no centro. Trace um arco até intersectar a circunferência duas vezes. Faça o mesmo do outro lado, encontrando a imagem:

IV. Ligue os pontos marcados na circunferência:

O hexágono regular de lado 6 cm está pronto! Este é o modelo matemático na escala 1 : 100 que o arquiteto pode usar para planejar a construção do salão de festas da empresa de Minerva. ATIVIDADES

10. Construa um hexágono regular cujo lado meça 8 cm. Construção geométrica. 190 | TRAJETÓRIA 3

190 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidade

Construindo um quadrado Para construir um quadrado dado o tamanho de seu lado, basta seguir os passos: I. Trace um segmento com o tamanho desejado. Marque as extremidades e, depois, prolongue o segmento até que ele tenha pelo menos o mesmo comprimento sobrando em cada lado: II. Agora, trace duas circunferências com raio AB, uma com centro em A e outra com centro em B.

(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares. Atividade 11

Descrição do passo a passo:

III. Trace dois arcos de circunferência com a ponta do compasso nas intersecções de cada circunferência com a reta e com abertura igual ao diâmetro de cada uma delas:

IV. Trace dois segmentos ligando A e B aos respectivos pontos localizados acima deles. Marque os pontos de intersecção com as circunferências:

V. Trace o segmento de reta EF paralelo ao segmento original ( AB) e pronto!

1o) Trace uma reta r e marque

um ponto A arbitrário. Em seguida, marque um ponto B que diste 8 cm do ponto A. 2o)Trace duas circunferências de raio AB, uma com centro no ponto A e outra no ponto B. 3o)Trace dois arcos de circunferência com a ponta-seca do compasso nas intersecções de cada circunferência com a reta r e com abertura igual ao diâmetro de cada uma delas. 4o)Trace dois segmentos ligando o ponto A e o B aos respectivos pontos localizados acima deles. Chame de E e F os pontos de intersecção entre os segmentos traçados e as circunferências. 5o)Trace o segmento de reta EF paralelo ao segmento original AB e teremos um quadrado de lado medindo 8 cm.

ATIVIDADES

11. Descreva, passo a passo, o processo de construção de um quadrado cujo lado mede 8 cm. Em seguida, construa esse quadrado. Resposta pessoal. Construção geométrica.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

191 |

Habilidade (EF09MA15) Descrever, por

NUVENS NUVEN S

escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.

Investigação sobre polígonos: soma das medidas dos ângulos internos Para construir outros polígonos, as técnicas são um pouco mais complexas e não exploraremos a construção usando apenas régua e compasso e sim usando transferidores com a medida do ângulo interno. Para isso, é necessário que saibamos a medida do ângulo interno de cada polígono. Vamos descobrir essa medida usando um software? •

Em um software de geometria dinâmica, use a ferramenta de polígono regular para criar um pentágono regular:

NUVENS Basta criar dois pontos (A e B) e determinar o número de vértices (no caso, 5):

Atividade 12

No pentágono regular, a medida de cada ângulo interno é 108o.

ATIVIDADES

12. Agora, usando a ferramenta de medida de ângulo, meça um dos ângulos internos do

polígono.

Que resultado você encontrou? 108o •

Agora, construa um quadro como este e complete-o.

POLÍGONO

NÚMERO DE LADOS

MEDIDA DO ÂNGULO

SOMA DAS MEDIDAS

INTERNO DO POLÍGONO

DOS ÂNGULOS

REGULAR

INTERNOS

Triângulo

60o

180o

Quadrado

360o

Pentágono

108o

540o

Hexágono

120o

720o

Heptágono

≅ 128 34'17"

900o

Octógono

135o

1 080o

O que você observou após completar o quadro? Anote as relações numéricas que observou entre o número de lados, a medida do ângulo interno e a soma das medidas dos ângulos internos. Respostas pessoais. 192 | TRAJETÓRIA 3

192 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Polígono

Número de lados

Medida do ângulo interno do polígono regular

Soma das medidas dos ângulos internos

Triângulo

60o

180o

Quadrado

90o

360o

Pentágono

108

540o

Hexágono

120o

720o

Heptágono

≅ 128 34'17"

900o

Octógono

135o

1 080o

Habilidade

#Cálculo da medida do ângulo interno de um polígono regular

ALEXANDRE R. / M10

Lembra de como dividimos o hexágono em triângulos? O mesmo pode ser feito com qualquer polígono regular:

Você percebe que o número de triângulos é igual ao número de lados do polígono? Considerando que a soma das medidas dos ângulos de um triângulo é 180o, a soma das medidas de todos os ângulos em qualquer polígono seria dada por 180 ⋅ n, sendo n o número de lados. O problema é que, ao dividirmos um polígono regular como na imagem, criamos alguns ângulos a mais: os ângulos formados pelo encontro dos triângulos no centro do polígono. Mas esses ângulos sempre formam uma volta completa, isto é, 360o! Assim, podemos dizer que: A soma S das medidas dos ângulos internos, em graus, de qualquer polígono convexo é dada por S = 180n – 360, ou, ainda, se fatorarmos a expressão: S = (n – 2) ⋅ 180

Sabendo a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular, fica fácil calcular a medida do ângulo interno dele: basta dividir a soma por n. Sendo α a medida do ângulo interno de um polígono regular, em graus, podemos afirmar que: α =

(n – 2) ⋅ 180 n

De posse da medida do ângulo interno do polígono regular, é possível construí-lo, pois é só marcar a medida com o transferidor e construir o próximo lado até fechar a forma. 193 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Após os estudantes preencherem o quadro, trabalhe a dedução da soma das medidas dos ângulos internos de um polígono, isto é, Si = (n – 2) ⋅ 180o , na qual n é o número de lados do polígono. Em um polígono de n lados e n vértices, temos (n – 2) triângulos com um vértice comum (como na imagem); cada triângulo tem soma das medidas dos ângulos internos 180o, de onde conclui-se a fórmula.

1 C

2 3

n–2

n–3

Em seguida, faça a dedução para a medida de um ângulo interno de um polígono regular dado o (n – 2) ⋅ 180o . número de lados, isto é, ai = n 193 |

Habilidade

ATIVIDADES

e) Não, pois a equação

(n – 2) ⋅ 180 = 88 não tem solução inteira. n

13. Faça o que é pedido em cada item:

a) Calcule a soma das medidas dos ângulos

internos de um octógono. 1 080o

b) Calcule a medida de um ângulo interno

do octógono regular. 135o

c) Construa um octógono regular cujo lado

meça 8 cm. Construção geométrica.

d) Quantos lados tem o polígono cuja soma

das medidas dos ângulos internos mede 1 980o? 13 lados. e) Existe algum polígono regular cujo ângulo interno mede 88o? Justifique. f) Um ângulo externo é a abertura entre o prolongamento de um dos lados de um polígono e o lado seguinte, conforme a figura:

Atividade 13

a) Um octógono é um polí-

MONSTER ZTUDIO/SHUTTERSTOCK

Utilizando os conhecimentos e as fórmulas gono de 8 lados. Portanto, que possui sobre ângulos internos, mostre Si = (8 – 2) ⋅ 180o = 6 ⋅ 180o = 1080. o o que a soma das medidas dos ângulos exter– 2) ⋅ 180 = 6 ⋅ 180 = 1080. L o g o , a nos de qualquer polígono sempre será 360o. soma das medidas dos ânf) Como a soma da medida de um ângulo interno (α i) com a medida de gulos internos de um octóum ângulo externo (α e) é 180o, podemos afirmar que a soma das medigono é 1 080o. das dos ângulos internos mais a soma das medidas dos ângulos externos deve resultar em 180n. Como a soma das medidas dos ângulos internos é 1080o (8 – 2) ⋅ 180o = = 135o . b) ai = 180n – 360, a soma das medidas dos ângulos externos deve ser 360o. 8 8 #Fluxogramas 2) ⋅ 180o 1080o = 135o . Logo, a me= 8 8 Fluxogramas são esquemas visuais feitos de figuras geométricas e setas, com frases ou dida de um ângulo interno palavras que ajudam a organizar e estruturar um raciocínio para a resolução de problemas ou a de um octógono regular realização de algum processo ou algoritmo. é 135o. c) Oriente os estudantes a seguir o passo a passo apresentado para a construção do quadrado, completando com as mediatrizes para construir o octógono regular ou por meio de seu ângulo interno, com um transferidor. Verifique se alguém não compreendeu a construção e auxilie na execução. d) Como Si = 1 980, temos que 1 980o 1 980o = (n – 2) ⋅ 180o → n – 2 = → n = 11 + 2 = 13. 180o 1 980o o ⋅ 180 → n – 2 = → n = 11 + 2 = 13. 180o 1 980o → n = 11 + 2 = 13. Portanto, o 180o Conectando para organizar e estruturar um raciocínio. polígono tem 13 lados. e) N ã o , p o i s a e q u a ç ã o Idealmente, um fluxograma deve dar conta dos casos que uma pessoa pode enfrentar ao (n – 2) ⋅ 180o = 88o na~ o realizar o procedimento, dando respostas para eventuais obstáculos encontrados. n apresenta solução inteira. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. 194 | TRAJETÓRIA 3 f) Denotando por a e o ângulo externo, temos que ai + a e = 180o , v i s t o q u e são ângulos suplementares. Portanto, a soma Si + Se = 180o ⋅ n. Substituindo Si pela expressão deduzida anteriormente, temos: (n – 2) ⋅ 180o + Se = 180o ⋅ n → Se = 180o ⋅ n – (n – 2) ⋅ 180o = 180o ⋅ (n – n + 2) = 180o ⋅ 2 = 360o

0o ⋅ n → Se = 180o ⋅ n – (n – 2) ⋅ 180o = 180o ⋅ (n – n + 2) = 180o ⋅ 2 = 360o 180o = 180o ⋅ (n – n + 2) = 180o ⋅ 2 = 360o

194 | MANUAL DO PROFESSOR

Habilidade

ATIVIDADES

14. Todos os dias, Mário acorda e olha pela janela:

15. Este fluxograma descreve o processo de

se a temperatura estiver abaixo de 20 oC ou

decisão acerca do discriminante de uma

se estiver chovendo, ele coloca calças. Do contrário, coloca uma bermuda. Em seguida,

equação do 2o grau. Há um erro no fluxo-

escova os dentes, sai de casa e, às segundas

grama. Qual é esse erro?

e quartas, vai ao trabalho de bicicleta. Nos outros dias, vai a pé, se estiver sol, ou de ônibus, se estiver chovendo. Construa um

Atividade 15

fluxograma que descreva a rotina de Mário,

Não é verdade que quando △ < 0 ou △ = 0, isto é, △ ≤ 0, não existem raízes reais. Isso é válido quando △ é estritamente menor que 0, isto é, △ < 0.

com as decisões que ele toma conforme

HALFPOINT/SHUTTERSTOCK

essas circunstâncias. Construção de fluxograma.

Não foi corretamente considerado o caso em que o discriminante é zero e há uma raiz real.

Mário em sua bicicleta: que dia da semana pode ser?

Fluxogramas e polígonos regulares Veja um exemplo de como podemos usar um fluxograma para descrever a construção de um polígono regular:

195 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 14 Acordar Temperatura abaixo de 20 oC? Olhar pela janela

Sim

Colocar calça

Não

Colocar bermuda

Sim

Colocar calça

Não

Colocar bermuda

Está chovendo? Escovar os dentes

Escovar os dentes

Sim É segunda-feira?

Sair de casa

Ir ao trabalho de bicicleta

Não

Está sol?

Sim

Ir ao trabalho de bicicleta

É quarta-feira? Não

Sim

Ir ao trabalho a pé

Não

Ir ao trabalho de ônibus

Sim

Ir ao trabalho a pé

Não

Ir ao trabalho de ônibus

Está sol?

195 |

Habilidades (EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares. Encontro com outras disciplinas (EF69AR35) Identificar e manipular diferentes tecnologias e recursos digitais para acessar, apreciar, produzir, registrar e compartilhar práticas e repertórios artísticos, de modo reflexivo, ético e responsável.

ATIVIDADES

16. O fluxograma pode descrever a criação de

b) Quais ferramentas são necessárias para

17. Observe o fluxograma com as informações

c) Escreva um fluxograma que descreva os

qual polígono regular? Triângulo equilátero.

necessárias para a construção de um polígono regular e responda:

seguir esse fluxograma? Régua e transferidor. processos necessários para a criação de um hexágono regular. Lembre-se de incluir os passos mais importantes e as decisões a serem tomadas, mas não se esqueça também do fato de que as informações devem ser o mais concisas possível (se você cria um fluxograma com informações demais, ele pode ficar poluído e difícil de entender; se colocar informações de menos, ele poderá ficar muito simplificado e também não será eficaz). Ao terminar o fluxograma, mostre-o a um colega e veja se ele consegue entregá-lo. Assim, você

a) Há uma etapa envolvendo ângulos faltando.

Qual é? Calcular a medida do ângulo interno.

Atividade 16

terá como saber se conseguiu transmitir a mensagem de forma clara e concisa.

Construção de fluxograma.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais.

O fluxograma descreve a construção de triângulos equiláteros (estamos pressupondo polígonos regulares e, portanto, considerando abertura do compasso AB).

LOCAL_DOCTOR/SHUTTERSTOCK

a) Pense na sua rotina ao sair de manhã da sua casa. Podemos escrevê-la como um algoritmo? Tente fazer isso pensando nas tarefas que são necessárias para tanto. b) Você sabe o que é arte algoritmo? Pesquise na internet uma definição e, depois, escreva uma definição própria.

Atividade 17

a) Calcular a medida do ângulo interno.

b) Além de um lápis ou caneta, apenas régua e transferidor.

Retrato feito de pontos em arte de operação generativa.

c) A imagem mostra um exemplo de arte algorítmica. Você sabe qual é a ligação entre arte e algoritmos que geram imagens como essa? Pesquise sobre o tema e converse com os colegas.

196 | TRAJETÓRIA 3

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

c) Qual a medida do lado do hexágono que deseja construir?

Trace um segmento cujo comprimento seja o dobro do tamanho desejado para o lado do hexágono.

Ligue os pontos marcados na circunferência.

196 | MANUAL DO PROFESSOR

No ponto médio do segmento, coloque a ponta-seca do compasso e trace uma circunferência com raio da medida do lado.

Coloque a ponta-seca do compasso na intersecção do diâmetro com a circunferência e a outra ponta no centro. Trace um arco até intersectar a circunferência duas vezes. Faça o mesmo do outro lado.

As duas espirais servem de caminhos que percorrem a encosta da colina artificial do parque. Um ponto na circunferência gira, no mesmo plano, e pode retornar para o mesmo lugar de origem; um ponto na espiral gira atravessando infinitos planos, sem retornar ao mesLUPAS E LUNETAS mo lugar de origem. AERIALDRONEPICS/SHUTTERSTOCK

d) Observe esta foto e pesquise sobre este parque.

Vista aérea por drone do parque Parco del Portello em Milão, na Itália, com design abstrato e muitas formas em espiral.

• Descreva a utilidade da forma espiral nesse parque. • Compare a diferença entre uma espiral e uma circunferência.

LEVO NA BAGAGEM

Respostas pessoais.

LEVO NA BAGAGEM Neste momento do passeio, organize a leitura coletiva do texto para que, respondendo às questões propostas, os estudantes reflitam sobre seu próprio aprendizado enquanto escutam ativamente as dificuldades encontradas pelos colegas. Com o preenchimento do quadro, classificarão seu desempenho em Matemática ou nas disciplinas presentes nas atividades interdisciplinares. Diante dessas informações, poderão conversar com professores, familiares ou amigos para compartilhar suas estratégias e repensar em novas atitudes que contribuam para minimizar as dificuldades.

Consulte todas as suas produções até agora neste passeio e avalie seu aprendizado sobre: ▶ Matemática • Reconhece, calcula, mede e relaciona arcos e ângulos? • Utiliza relações métricas em uma circunferência para resolver problemas? • Constrói polígonos regulares, circunferências e arcos com softwares de geometria dinâmica? • Descreve e executa a construção de polígonos regulares? ▶ Outras disciplinas Arte • Manipula as tecnologias e os recursos digitais para acessar, produzir ou compartilhar práticas artísticas, de modo ético e responsável? Anote seu parecer para essas questões no caderno e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou. 197 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LUPAS E LUNETAS

Sugestão de atividade

A arte algoritmo pode ser conectada novamente com a temática da arte e regularidade, pois é na regularidade do algoritmo que a imagem é construída, continuando, assim, nossa discussão acerca da regularidade matemática dialogando com a criatividade artística. Esta seção também desenvolve a habilidade de Arte EF69AR35.

Com a intenção de utilizar recursos digitais para apreciar criações artísticas, organize um momento para que os estudantes, na sala de informática, visitem a página Looksrare (disponível em: https:// looksrare.org/; acesso em: 30 ago. 2022). Com a exploração dessa página, conhecerão algumas criações digitais organizadas por coleções que podem ser visitadas caso tenham interesse. Esta atividade contempla a habilidade de Arte EF69AR35. Esperase que os estudantes explorem as coleções para que conheçam parte desse acervo digital. 197 |

BARCOS E PORTOS

Organize

Após construírem e compartilharem suas questões, sem consultar o mapa mental da seção Arredores, conforme solicitado, peça que retomem aquele mapa e digam se notaram como os raios dos círculos no mapa – iguais, maiores ou menores – pretendem representar relações de subordinação entre os conceitos.

▶ Organize Respostas pessoais. Agora que percorreu todo este passeio, crie um mapa mental com os principais assuntos, sem olhar para a seção Arredores. Tente colocar todos os assuntos aprendidos que julgar mais importantes e relacione-os, de forma a criar um recurso visual que ajude na organização dos seus estudos. Depois: a) Escolha dois dos itens que julgar mais importantes e elabore uma questão teórica

para cada um deles. Tente criar questões que testem se o conhecimento sobre o assunto está sólido, de modo que uma pessoa tenha que explicar ou dominar muito bem o assunto para poder responder. b) Entregue as questões que fez para um colega. Peça a ele que responda da forma mais completa possível e faça o mesmo com as questões dele. c) Depois, receba de volta o que o seu colega fez, verifique se ele acertou e se algum de vocês ainda tem dúvidas. Caso algum conceito ou ideia não tenha ficado claro, peçam auxílio ao professor ou pesquisem juntos para corrigir isso.

Elabore

▶ Elabore Observe a imagem e responda: ZITA/SHUTTERSTOCK

Auxilie os estudantes na pesquisa sobre fractais e ressalte a ocorrência de loops ou loopings – instruções ou tarefas que se repetem (laços de repetição) – em fluxogramas que produzem fractais.

Fractal de hélice pontilhada gerada por computador. a) Quais elementos matemáticos foram criados na elaboração dessa imagem? b) A imagem pode ser considerada um fractal. Pesquise outras imagens artísticas

criadas por fractais. c) Elabore um fluxograma que descreva a criação da imagem ou de alguma outra que

você tenha pesquisado no item b (provavelmente será interessante sugerir que as etapas contem com a ajuda de softwares). 198 | BARCOS E PORTOS

198 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Proponha

▶ Proponha A arte é uma parte muito importante do conhecimento humano. Há quem diga que a ciência faz o homem sobreviver melhor, mas é pela arte que vivemos o máximo

MONKEY BUSINESS IMAGES/SHUTTERSTOCK

potencial da vida. Você concorda com isso?

O objetivo dessa atividade está relacionado ao repertório cultural e ao TCT Multiculturalismo. Os estudantes tomam consciência de um local que sempre frequentam, mas não davam muita atenção, e passam a olhar o espaço com potencial artístico, expandindo, assim, a capacidade de pensar em novos projetos que melhorem sua comunidade.

Adolescentes em aula de Arte.

A pergunta inicial deste passeio é: Como reconhecer ideias de regularidade e criatividade no cotidiano? Pensando nisso, vamos refletir e propor uma forma de melhorar a consciência que temos do nosso ambiente. A escola é um local em que você passa muitas horas durante a vida. Como podemos melhorar esse ambiente usando a criatividade? Junte-se a dois ou três colegas e analisem algum espaço que frequentam diariamente, ou quase diariamente, dentro da escola, que possa ser embelezado pela arte de alguma forma. De preferência, algo que possa ser aproveitado não só por vocês, mas por todos que passarem por lá. Pensem em como isso poderia impactar quem utiliza o espaço e proponham três possíveis intervenções artísticas que trariam uma nova percepção ao local. Não é necessária uma intervenção que traga uma melhoria no espaço do ponto de vista funcional, mas sim algo que possa sensibilizar e trazer um impacto psicológico agradável a quem frequentar o local. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

199 |

VISTORIAS

Habilidades de Matemática: EF09MA10, EF09MA11, EF09MA12, EF09MA13, EF09MA14, EF09MA15.

Você chegou ao final da Trajetória. Reflita sobre tudo o que aprendeu e verifique a qualidade da sua aprendizagem. Resolva todos os exercícios a seguir no caderno.

CHECK-OUT

1. As retas r e s são paralelas. Qual é a medida

Atividade 1

Um dos ângulos externos do triângulo DEC é suplementar a 105o (colaterais internos) e, portanto, mede 180o – 105o = 75o . Um ângulo interno de DEC é o.p.v. a 50o e congruente a ele. Então, no triângulo DEC: y + 50o = 75o ⇒ y = 25o

50° s

50o

2. O departamento de robótica de uma uni-

versidade está programando um robô para participar de uma competição.

ALEX006007/SHUTTERSTOCK

50o

tante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metro de altura em relação ao solo. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. Construção geométrica. b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. 20,5 metros.

105°

x 75o

3. (Unicamp) Uma rampa de inclinação cons-

A D

Qual deve ser o ângulo de chegada x para que a rota do robô seja a mais curta possível? 50o.

do ângulo x, em graus? 65o.

105o C

4. Um terreno será dividido em duas áreas: uma

área triangular, no fundo do terreno, que irá conter a casa construída para a moradia, e outra área quadrangular, onde ficará o jardim e o lazer da casa:

No triângulo retângulo ABC: x + 90o + 25o = 180o Aula de robótica.

Atividade 2

Traçando uma paralela às linhas de chegada e de saída pelo “item” (e considerando ângulos alternos internos congruentes), temos: x + 70o = 120o ⇒ x = 50o Atividade 3

Uma das tarefas envolve sair de um determinado local, passar em um ponto no meio do salão, onde há uma série de itens, pegar o item selecionado e entregá-lo para uma pessoa que está na parede oposta do local de onde o robô saiu originalmente. Para planejar o trajeto do robô, um dos integrantes fez a vista aérea como modelo matemático:

a) Ilustrando a rampa:

Saída 70°

x 12,3 m

1,5 m

b) Escrevemos a proporção:

200 | VISTORIAS 1,5 4 = → 1,5 ⋅ (12,3 + x) = 12,3 ⋅ 4 → x = 20,5 m 12,3 12,3 + x

4 → 1,5 ⋅ (12,3 + x) = 12,3 ⋅ 4 → x = 20,5 m 12,3 + x + x) = 12,3 ⋅ 4 → x = 20,5 m

200 | MANUAL DO PROFESSOR

MARK GUSEV/SHUTTERSTOCK

x = 65o

120°

Item

x Chegada

Área triangular destinada a uma casa construída para moradia. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidades Matemáticas:

Ao montar o projeto, o arquiteto responsável

Coleção de palitos de sorvete

fez um modelo matemático dividindo o terreno nas duas partes e pediu que o responsável técnico realizasse as medições necessárias. No entanto, o responsável teve um imprevisto de saúde e precisou sair no meio das medições, deixando o modelo incompleto:

20 m

25 m

15 m

4. c) Sim, pois a recíproca do teorema de Pitágoras se verifica em ambos.

restantes do terreno, sabendo que os ângulos

MEDIDA

QUANTIDADE

3 cm

4 cm

5 cm

7 cm

8 cm

a) Sim, pois 8 < 5 + 5.

Atividade 5

a) Sim, pois 8 < 5 + 5. b) 3, 4 e 5. Atividade 6 Fonte: Antônio.

Analisando a coleção de Antônio, responda: a) Com as medidas de dois palitos finos e retos de 5 cm e um fino e reto de 8 cm, Antônio conseguiria montar um triângulo? Justifique usando a desigualdade triangular. b) Há uma trinca de medidas de palitos que permitiria a Antônio montar um triângulo retângulo. Qual é? 3, 4 e 5.

42 m É possível, no entanto, descobrir as medidas

EF09MA10, EF09MA11, EF09MA12, EF09MA13, EF09MA14, EF09MA15.

6. Observe o triângulo:

marcados na figura são congruentes. na mesma posição. Construção geométrica.

b) Calcule o perímetro do quadrilátero onde

a) Utilizando a semelhança de triângulos,

ficará a área de lazer da casa. 138 m. imagem são retângulos? Justifique.

mostre que m ⋅ n = h2 . b) Sabendo que m = 3 e n = 9, calcule o perímetro do triângulo maior. 18 + 6 3

5. Antônio coleciona palitos de sorvete.

7. Estes triângulos são semelhantes; determine

c) Podemos afirmar que os triângulos da

ALEXANDRE R. / M10

o valor de x:

x = 9,6 cm.

9,6 cm x

Atividade 9

Ele gosta tanto de sua coleção que tabelou o comprimento dos palitos e a quantidade que possui: NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 4

a) Desenhando os triângulos semelhantes (AA) lado a lado:

ângulo comum ângulo comum 20 m

25 + x

20 + y

a) Porque são cordas que con-

Agora, faça o que é pedido: a) Calcule o valor de x. x = 9 cm.

6. a) Das relações métricas no triângulo retângulo, temos que h n = , de onde tiramos m ⋅ n = h2 . m h

Escrevendo a proporção: 9,6 12 = ⇒ x = 9,6 cm 48 – x 48

construção do hexágono regular de lado 9 cm, tanto com régua e compasso como com o auxílio de um software de Geometria Dinâmica.

15 cm

Parte da coleção de Antônio.

Atividade 7

a) 10 ⋅ x = 6 ⋅ 15 ⇒ x = 9 cm. b) Oriente os estudantes na

8. Observe a imagem: 6 cm

y 2 = (3 3)2 + 92 ⇒ x = 6 3 O perímetro do triângulo maior é: 6 + 6 3 + 3 + 9 = 18 + 6 3

Atividade 8

12 cm

48 cm

m 10 c

triângulo retângulo, temos h n que m = h , de onde tiramos m ⋅ n = h2 . b) S e n d o m = 3 e n = 9 e m m ⋅ n = h2 : 3 ⋅ 9 = h2 ⇒ h = 3 3 Utilizando o teorema de Pitágoras para determinar as medidas dos catetos: x 2 = (3 3)2 + 32 ⇒ x = 6

a) Desenhe os dois triângulos, lado a lado,

a) Das relações métricas no

têm o centro O.

201 |

b) 180o. !C é mec) Como o ângulo AB

tade da medida do arco AC, 180o o ele medirá 2 = 90 . d) Os dois triângulos são isósb) Escrevendo as proporções entre as medidas celes, pois OA = OB = OC = raio; dos lados: !!" OA = OB = OC = raio; BE é mediatriz de AC, 20 25 + x = ⇒ x = 31 então são triângulos retân15 42 gulos; são congruentes pois 20 + y 25 = ⇒ y = 50 têm dois lados congruentes 15 42 e o ângulo reto entre eles. O perímetro do quadrilátero é: !C) = 45o e m(BO ! C) = 90o . (31 + 42 + 50 + 15) = 138 m. e) m(BA !C) = 45o e m(BO ! C) = 90o . c) Sim, pois a recíproca do teorema de Pitágoras m(BA

25 m

se verifica em ambos.

15 m

42 m

201 |

9. d) Os dois são isósceles, pois OA = OB = OC = raio; são congruentes pois têm dois lados congruentes e o ângulo reto entre eles.

Dicas de estudo

b) Construa, usando régua e compasso, um

Converse com os estudantes sobre seus hábitos de estudo e procure orientá-los quanto à frequência, à qualidade do ambiente em que estudam (ruídos, distrações, iluminação, postura etc.), à formação de grupos de estudo, aos métodos de estudo (resumos, mapas mentais, ensinar os colegas etc.).

hexágono cujo lado meça a resposta do item a. Construção geométrica.

11. Calcule o valor de x em cada caso. 9

9. O projeto de iluminação de um salão circu-

lar onde ocorrerão várias apresentações foi esboçado: A

E O

palco

c) Como o ângulo ABC é metade da medida do arco AC, ele medirá 180 = 90o . 2

Sabendo que O é o centro da circunferência: a) Por que podemos afirmar que AC e BE

são diâmetros? ! ? 180o. b) Qual é a medida do arco AC

c) Conforme suas respostas aos itens an-

!C é reto. teriores, mostre que o ângulo AB

d) Mostre que os triângulos AOB e BOC são

retângulos, isósceles e congruentes.

e) Usando as respostas dos itens anteriores,

!C e BO ! C, calcule a medida dos ângulos BA mostrando que um é o dobro do outro.

10. Duas cidades, A e B, são interligadas por uma

ALEXANDRE R./ M10

estrada. Há um vilarejo V que tem interligação direta somente com a cidade A. Entretanto, para que os moradores possam acessar a cidade B, sem obrigatoriamente passar por A, será construída uma estrada ligando diretamente V a B. Qual será o comprimento dessa estrada?

48 k

x=8

x=9

12. As etapas da construção de um quadrado

estão descritas a seguir, porém, elas foram desordenadas e, após isso, numeradas de 1 a 6. Qual deve ser a sequência numérica que dispõe as etapas dessa construção geométrica na ordem correta? 1) Defina um ponto, que será um dos vértices do seu quadrado, nessa reta suporte. 2) Ligue os quatro pontos: esses são os vértices do quadrado. 3) Transporte o lado do quadrado em cada uma das retas perpendiculares criadas na etapa anterior e marque os pontos. 4) Seu quadrado está pronto! 5) Desenhe uma reta suporte com a régua. 6) Observe que os pontos marcados são os outros vértices do quadrado. 7) Utilize o compasso e transporte o lado do quadrado a partir do ponto marcado sobre a reta suporte. Marque esse ponto. 8) Utilize o compasso e construa, em cada um dos pontos marcados sobre a reta suporte, uma reta perpendicular. 5, 1, 7, 8, 3, 6, 2, 7.

9. a) Porque são cordas que contêm o centro O.

! C) = 90o. 9. e) m(BA!C) = 45o e m(BO

50 km

V Comprimento da estrada: 14 km. 202 | VISTORIAS

202 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

DE OLHO NA BÚSSOLA Após resolver os exercícios da seção Check-out, verifique se você aprendeu a: OBJETIVOS

EXERCÍCIOS

Reconhecer e utilizar as relações entre ângulos formados por uma reta transversal a um feixe de retas paralelas.

1, 2

Calcular e compreender a utilização de ângulos congruentes, de ângulos complementares e de ângulos suplementares nas mais diversas figuras.

1, 2

Reconhecer triângulos semelhantes pela análise da razão de segmentos e de ângulos congruentes.

3, 4, 6, 7

Identificar e calcular razões e proporções de segmentos em triângulos semelhantes.

3, 4, 6, 7

Reconhecer a desigualdade triangular e utilizá-la na análise de medidas de triângulos.

Saber demonstrar e utilizar as relações métricas em um triângulo retângulo usando a semelhança de triângulos.

4, 6

Compreender e utilizar o teorema de Pitágoras para resolver situações envolvendo triângulos retângulos.

4, 5, 6, 7, 10

Resolver problemas que envolvam proporcionalidade e o teorema de Tales em retas paralelas cortadas por transversais.

Reconhecer, calcular, medir e relacionar arcos e ângulos.

Utilizar relações métricas em uma circunferência para resolver problemas. Construir polígonos regulares, circunferências e arcos com softwares de geometria dinâmica. Descrever e executar a construção de polígonos regulares.

8, 9, 11 8 8, 12

Considerando os exercícios que você resolveu, como julga seu desempenho: insuficiente, parcialmente suficiente, satisfatório, plenamente satisfatório? Respostas pessoais.

Prossiga ▶

Continue estudando! Retome esta Trajetória buscando, com professores e colegas, alternativas para superar os obstáculos de sua aprendizagem. Estude a seção Retornos e resolva novos exercícios referentes à Trajetória 3 que estão na seção Suplemente sua aprendizagem, ao final do livro.

DICAS DE ESTUDO Nosso cérebro funciona como uma rede! As diversas áreas cerebrais que desempenham variadas atividades são responsáveis, em conjunto, por uma rede de conexões quando estamos sujeitos, por exemplo, à aprendizagem de algo novo. Por isso, ao melhoramos a nossa memória, estamos também desenvolvendo outras habilidades de pensamento, raciocínio, linguagem etc. Essa é, certamente, uma ótima razão para buscar maneiras de melhorar seus processos de memorização, especialmente daquilo que acabou de aprender. Um modo, por exemplo, é fazer resumos. Não deixe de estudar e fazer, no mesmo dia, resumos de tudo o que aprendeu. Desenvolva esse e outros hábitos de estudos e tire bom proveito! NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

203 |

TRAJETÓRIA 4

PANORAMA DA TRAJETÓRIA

GORODENKOFF/SHUTTERSTOCK

Habilidades de Matemática: EF09MA16, EF09MA17, EF09MA18, EF09MA19, EF09MA20, EF09MA21, EF09MA22, EF09MA23.

SUNNY STUDIO/SHUTTERSTOCK

Competências específicas: 1, 4, 5.

WENPEI/SHUTTERSTOCK

Competências gerais: 1, 4, 5, 6.

Habilidades de outras disciplinas: Geografia: EF09GE05 História: EF09HI32 Língua Portuguesa:

EF69LP06

Temas Contemporâneos Transversais: Cidadania e Civismo Ciência e Tecnologia Trabalho Sugestão de atividades

Esta Trajetória fecha não somente o livro e a coleção, também demarca o fim dos anos do Ensino Fundamental. Dessa maneira, sempre que possível, é interessante propor um olhar para “o que passou”. Mas também partir desse olhar para projetar o que se espera do futuro. Este tipo de reflexão pode ser contemplado, em certa instância, pela própria pergunta norteadora da Trajetória: Como refletir sobre as questões locais e globais? Tal pergunta possibilita reflexões abrangentes, uma vez que esse movimento de olhar criticamente para questões locais/ globais, micro/macro, particular/ geral etc. permite também ser extrapolado para “o que já sei/o que quero aprender”, “onde estou/onde quero chegar” etc. Não obstante, as próprias questões e reflexões propostas ao longo dos Passeios, exploram questões de relevância social, ajudando na formação crítica e cidadã dos estudantes. Apesar da diversidade de temas que podem ser explorados, as perguntas que norteiam cada Passeio “Como uma nova perspectiva amplia nosso ponto de vista?”, “Como 204 | MANUAL DO PROFESSOR

COMO REFLETIR SOBRE AS QUESTÕES LOCAIS E GLOBAIS? • Como uma nova perspectiva amplia nosso ponto de vista? • De que modo a ciência auxilia na expressão e na comuni-

cação humanas?

• Como avaliar dados evitando a desinformação?

204 | Trajetória 4

a ciência auxilia a expressão e a comunicação humanas?” e “Como avaliar dados evitando a desinformação?” apontam para a ideia de comunicação e expressão de pontos de vista, informações etc. Assim, é interessante dar vazão aos elementos citados anteriormente a partir de produções escritas ou em outras mídias, como podcasts e vídeos. Coletivamente, é interessante criar espaços de conversa e reflexão sobre diferentes temas e transformar o resultado destas conversas em textos, roteiros de vídeo etc. Este tipo de produção

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

não somente ajuda a consolidar conhecimentos obtidos a partir das discussões realizadas, mas cria uma situação de elaboração de um produto final, algo que pode ser interpretado como finalização da própria etapa de escolarização.

SHINOBI/SHUTTERSTOCK

CONTEÚDOS DA TRAJETÓRIA Passeio 1 Plano cartesiano e vistas ortogonais

• • • • • • • •

Plano cartesiano Segmentos no plano Ponto médio Perímetro Área da superfície Figuras geométricas Vistas ortogonais Perspectiva

Passeio 2 Grandezas e medidas

MYPOKCIK/SHUTTERSTOCK

Uma nova lente pode abrir uma maneira de enxergar algo que você sempre viu do mesmo jeito.

• Grandezas e medidas • Notação cientifica • Sistema Internacional de Unidades

• Volume • Planificação Passeio 3 Probabilidade e estatística

• • • • •

LUPAS E LUNETAS

Perceber os pontos de vista dos outros nos torna mais tolerantes e democráticos.

A nossa percepção, muitas vezes, é enganosa. Para compreender cada vez melhor o mundo local e o global podemos considerar diversos “mundos”: aquilo que achamos que vemos; o que desejam nos fazer ver; aquilo que, de fato, é; e o que pode ser melhor do que é. Para compreender cada vez melhor esse conceito, podemos ampliar nossa perspectiva e buscar novas maneiras de conhecer.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Reflita sobre as questões propostas anteriormente e considere-as para elaborar outras perguntas de sua própria autoria. Publique suas perguntas no mural da sala de aula e aprecie as perguntas elaboradas pelos colegas.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Probabilidade Estatística Medidas de tendência central Pesquisa Gráficos

As questões de abertura desta trajetória contribuem para o desenvolvimento da competência geral 6. Comente com os alunos a importância do diálogo e de se apropriar de novos conhecimentos e experiências a respeito de um tema. Valorizar diferentes opiniões, culturas e costumes colabora para a ampliação de nossa perspectiva de mundo.

205 |

PASSEIO 1 – PLANO CARTESIANO E VISTAS ORTOGONAIS COMO UMA NOVA PERSPECTIVA AMPLIA NOSSO PONTO DE VISTA?

WENPEI/SHUTTERSTOCK

pectiva do crocodilo (ao descobrir que o último “balão” na verdade era um hipopótamo) “ampliou” desastrosamente o ponto de vista do crocodilo. b) 4C c) 2C d) Balões são estourados pelo crocodilo.

WENPEI. Crocodile Cartoon. Cingapura, Malásia.

CHECK-IN

a) A ironia é que a “nova” perspectiva do crocodilo (ao descobrir que o último “balão” na verdade era um hipopótamo) “ampliou” desastrosamente o ponto de vista do crocodilo.

Acompanhe a sequência dos quadrinhos nessa história.

a) Compare o desfecho da história com a pergunta: “como uma nova perspectiva das

coisas amplia nosso ponto de vista?”. Localize a ironia nessa comparação. b) A história inicia no quadrinho 1A. Qual é a localização do último quadrinho? 4C c) Em qual quadrinho surge o hipopótamo? 2C d) Que fato ocorre em comum nos quadrinhos 2B, 4B e 1C? Balões são estourados pelo

crocodilo.

206 | TRAJETÓRIA 4

206 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ARREDORES

Ponto Médio

Figuras geométricas Segmentos no plano

PLANO CARTESIANO

VISTAS ORTOGONAIS Perímetro

Área da superfície

Perspectiva

EF09MA16, EF09MA17 EF09GE05

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: Determinar o ponto médio e calcular o comprimento de um segmento no plano cartesiano. • Calcular o perímetro e a área da superfície de figuras planas no plano cartesiano, conhecendo-se os vértices por suas coordenadas. • Visualizar figuras espaciais e suas projeções ortogonais, sendo capaz de desenhá-las em perspectiva. • Refletir sobre fatos e situações envolvendo a integração mundial, comparando as diferentes interpretações: globalização e mundialização. •

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

207 |

ATMOSFERA

1. b) Os questionamentos levantados neste item lidam com variáveis relativas: depende da extensão das águas, das condições do solo por onde passa o fundo das águas, da velocidade dos barcos etc. Importam, nessa conversa, a percepção dos alunos quanto às diversas variáveis e o modo como identificam diferenças entre elas, suas potencialidades e limitações em cada cenário considerado.

A globalização aproximou as nações e os mercados A globalização é um fenômeno social que ocorre em escala mundial. Esse processo consiste em uma integração em caráter econômico, social, cultural e político entre diferentes países. A globalização é oriunda de evoluções ocorridas, principalmente, nos meios de transportes e nas telecomunicações, fazendo com que o mundo

“encurtasse” as distâncias. No passado, para a realização de uma viagem entre dois continentes eram necessárias cerca de quatro semanas, hoje esse tempo diminuiu drasticamente. Um fato ocorrido na Europa chegava ao conhecimento dos brasileiros 60 dias depois, hoje a notícia é divulgada em tempo real. [...]

FREITAS, Eduardo de. Globalização. Projeto Seeduc – CECIERJ. Disponível em: http://projetoseeduc.cecierj.edu. br/eja/recurso-multimidia-professor/geografia/novaeja/3m1u02/5-%20globalizacao.pdf. Acesso em: 6 set. 2022. CORONA BOREALIS STUDIO/SHUTTERSTOCK

Habilidades (EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva. Encontro com outras disciplinas (EF09GE05) Analisar fatos e situações para compreender a integração mundial (econômica, política e cultural), comparando as diferentes interpretações: globalização e mundialização.

Atividade 1

Um dos objetivos dessa atividade é instigar o pensamento e a percepção visual dos estudantes por meio do texto e da imagem. Neste passeio, o aluno vai se envolver em situações que podem despertar conexão entre aspectos da realidade com representações geométricas (plano cartesiano, projeções), direcionando o foco para a Matemática como ciência. Também é valiosa a discussão sobre diferentes pontos de vista, que podem gerar diversas interpretações, com graus de adequação e correção. Se julgar oportuno, apresente para os estudantes a obra do artista Rob Gonsalves, The Sun Sets Sail (2001). Aproveite a imagem dessa obra para trabalhar com os alunos a respeito de que nem sempre podemos (ou devemos) acreditar naquilo que enxergamos de imediato. O pensamento crítico e criativo vai favorecer captar a realidade em camadas paralelas e distintas, algumas vezes opostas, outras vezes complementares. É possível trabalhar essa atividade em parceria com o professor da área de Geografia.

208 | MANUAL DO PROFESSOR

Imagem representando a globalização, fenômeno de integração e intensificação dos fluxos de capitais, mercadorias, pessoas e informações, proporcionada pelo avanço técnico na comunicação e nos transportes. AMORIM, Luís. 33 pinturas criativas que impulsionarão sua criatividade. Acredite ou não, 31 jan. 2017. Disponível em: https://acrediteounao.com/pinturas-criativas. Acesso em: 6 set. 2022.

ATIVIDADES

Junte-se a alguns colegas e reflitam sobre estas questões. Respostas pessoais. a) O que você compreende sobre a globalização? Exponha seus conhecimentos.

b) Imagine dois territórios separados por uma grande extensão de água. O acesso de

um para o outro é mais rápido por meio de navegação ou por meio de uma ponte? As tecnologias necessárias a esses dois modos de “encurtar” distâncias são parecidas? A curto prazo, qual delas é mais custosa? E a longo prazo? Qual das duas maneiras beneficiaria a integração econômica, política e cultural entre os dois territórios? Explique.

208 | TRAJETÓRIA 4

Sugestão de atividade

Organize-se antecipadamente para exibir o vídeo com a música Disneylândia (1993) de Arnaldo Antunes, da banda brasileira Titãs (disponível na rede). Essa canção aborda as mais diversas e inusitadas conexões globais, por isso será uma excelente dinâmica para trabalhar o tema da globalização. Convide o professor de Geografia para juntos realizarem esta atividade. Poderão ser usados nela aplicativos de mapas ou o mapa-múndi. Os estudantes deverão ouvir a música quantas vezes

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

for necessário para entender o movimento dos locais indicados na letra. A atividade consiste em produzir um mapa com as redes e suas conexões entre as diversas partes do mapa-múndi mencionadas na letra da música (se julgar necessário distribua a letra aos estudantes). Se exibir o vídeo, chame a atenção das imagens relacionadas a letra. Os estudantes deverão ir dispondo linhas coloridas conectando as localidades presentes na música, inserindo cores diferentes para cada parte da música que conecta

#Plano cartesiano O plano cartesiano é composto de duas retas perpendiculares denominadas eixos; associamos a pontos do eixo vertical os valores da variável y e a pontos do eixo horizontal, valores da variável x.

Para localizar pontos no plano cartesiano, utilizamos pares ordenados (x, y). A primeira coordenada – abscissa – sempre se refere ao eixo Ox e a segunda – ordenada –, ao eixo Oy. No exemplo da imagem, podemos identificar os pontos A (3, –2) e B (–4, –3). O plano cartesiano fica dividido pelos eixos em quatro quadrantes. Os sinais das coordenadas dos pontos em cada quadrante são: • no 1o quadrante: x > 0 e y > 0; • no 2o quadrante: x < 0 e y > 0;

Localizando os pontos A(1, 2); B(0, 3); C(–1, –2); D(4, 0): y 5 4 3 2

B A

• no 3o quadrante: x < 0 e y < 0;

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1 C –2

• no 4o quadrante: x > 0 e y < 0.

2 3 4 5

–3 –4 –5

ATIVIDADES

2. Construa com régua um plano cartesiano e, nele, localize os pontos: A (1, 2); B (0, 3); C (–1, –2); D (4, 0). Representação no plano cartesiano.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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os países; no mapa-múndi, poderão conectar os locais usando barbantes coloridos. Em alguns casos poderá haver uma interpretação pessoal, por exemplo, no trecho da música “Gasolina árabe alimenta automóveis americanos...” – os estudantes poderão escolher qual será o país árabe. Ao final, socialize as produções dos estudantes.

209 |

Segmentos no plano Uma pessoa criou um aplicativo que calcula distâncias entre dois locais no mapa. Ela programou um plano cartesiano como referência para auxiliar o computador a calcular as distâncias. ROMAN SAMBORSKYI/SHUTTERSTOCK

Programadora.

Ao realizar o primeiro teste, ela localizou os pontos A (2, 3) e B (10, 9) e pediu para que o computador calculasse a distância entre eles, ou seja, o comprimento do segmento AB.

210 | TRAJETÓRIA 4

210 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Computadores, no entanto, não sabem calcular por si só, a não ser que “lhes ensinemos” como fazer isso! Como calculamos a distância de A até B? Para melhor visualizar e resolver o problema, a programadora construiu um triângulo ABC retângulo em C:

Ficou mais fácil de visualizar o problema? Você percebe que AC = 10 – 2 = 8 e que BC = 9 – 3 = 6? Agora, podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular a medida AB: AB2 = 62 + 82 ⇒ AB = 10. ATIVIDADES

3. Calcule a distância entre os pontos usando o teorema de Pitágoras: a) A (7, 5) e B (3, 2). 5

b) C (–3, –2) e D (9, 3). 13

4. Considerando dois pontos quaisquer A (x1, y1)

e B (x2, y2) no plano cartesiano, como você calcularia a distância d entre eles?

d = ( y 2 – y 1 )2 + (x 2 – x 1 )2

Habilidades (EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano. (EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva. O objetivo dessas atividades é calcular a distância entre dois pontos do plano cartesiano a partir de suas coordenadas, sem o uso de fórmulas (pelo teorema de Pitágoras) para, em seguida, generalizar. Atividade 3

Sugerimos a representação dos pontos em um plano cartesiano (use malha quadriculada) para a resolução. Ponto médio a) AB2 = (7 – 3)2 + (5 – 2)2 → AB2 = 16 Agora, imagine que essa mesma pessoa quer que o software seja capaz de calcular um 2 2 2 AB = (7 – 3) + (5 – 2) → AB2 = 16 + 9 = 25 → AB = ± 25 = 2 2 2 ponto que esteja no meio do caminho, em linha reta, de um pontoAB a outro = (7 (por – 3) exemplo, + (5 – 2)para → AB2 = 16 + 9 = 25 → AB = ± 25 = ± 5. Portanto, AB = 5. servir de pausa em uma viagem mais longa). Como isso pode ser feito? b) CD2 = (9 – (–3))2 + (3 – (–2))2 → CD Imagine que queiramos encontrar o ponto que está exatamente no meio do segmento AB CD2 = (9 – (–3))2 + (3 – (–2))2 → CD2 = 144 + 25 = 169 do exemplo anterior. O ponto médio M do segmento, nesse caso, encontra-se exatamente no 2 CD = (9 – (–3))2 + (3 – (–2))2 → CD2 = 144 + 25 = 169 → CD = ± 16 2 2 meio do caminho percorrido na coordenada x e no meio do caminho percorrido na coordenada y. 2 = 144 + 25 = 169 → CD = ± 169 = ± 13. CD = (9 – (–3)) + (3 – (–2))2 → CD Se contamos 8 unidades em x e 6 unidades em y, basta considerarmos metade dessas distânPortanto, CD = 13. 2 c) EF = (–1 – 8)2 + (1 – 10)2 → EF 2 = 8 cias em cada direção para encontrar a metade do caminho em AB: 2 2 2 2 EF = (–1 – 8) + (1 – 10) → EF = 81 + 81 = 162 → EF = ± 162 c) E (8, 10) e F (–1, 1). 9 2

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

211 |

EF 2 = (–1 – 8)2 + (1 – 10)2 → EF 2 = 81 + 81 = 162 → EF = ± 162 = ± 9 2. Portanto, EF = 9 2. Atividade 4

Espera-se que os estudantes sejam capazes de verbalizar os cálculos realizados nas atividades anteriores e percebam a regularidade ou padrão dos cálculos. A fórmula é uma extensão para a generalização de um raciocínio reiterado.

d 2 = (y 2 – y 1 )2 + (x 2 – x 1 )2 → d = (y d 2 = (y 2 – y 1 )2 + (x 2 – x 1 )2 → d = (y 2 – y 1 )2 + (x 2 – x 1 )2 211 |

8 8 2 6 33 +++ 66 ===6. 6. • coordenada y:3 6. 222 Assim, o ponto médio M será (6, 6). • coordenada x: 2 2+ + 2 = = 6; 6;

Retome o teorema de Tales, razões e proporções para, em um primeiro momento, determinar as coordenadas do ponto médio de um segmento no plano cartesiano sem o uso da fórmula (e para deduzi-la). ATIVIDADES

Atividade 5

5. Uma estudante representou as imediações a) x 2 = (13 – (–11))2 + (9 – 2)2 → 576 + 49 = 625 → x = ± 625 = ± 25

a) Represente os pontos A, B e C em um

de seu bairro sobre uma malha quadriculada

(9 – 2)2 → 576 + 49 = 625 → x = ± 625 = ± 25

associada a eixos cartesianos. Ela representou

9 = 625 → x = ± 625 = ± 25 Logo, a distância, no plano, da casa até a residência da amiga é 25. b) Para a primeira coordenada, –11 + 13 2 = = 1, temos x M = 2 2 e para a segunda, 2+9 11 yM = = . 2 2

por um ponto sua própria casa localizada em (–11, 2) e, por outro, a casa de sua amiga: (13, 9). Responda:

plano cartesiano. Representação no plano cartesiano.

b) Calcule as coordenadas do ponto médio

de AC. M (5, 1) c) Considerando que o ponto médio de AC

a) Qual é a distância, no plano, do ponto

é também ponto médio do segmento BD,

da casa dela até o ponto da casa dessa

sendo D vértice do quadrilátero ABCD,

⎛ 11 ⎞ 5. b) M ⎜ 1, ⎟ ⎝ 2⎠

amiga? 25

obtenha as coordenadas do ponto D.

b) Qual é o ponto médio desse segmento?

7. O ponto médio do segmento com extre-

1 : 5 000 e a medida do lado do menor

midades em A (x + 1,2y – 2) e B (15, 22) é

⎛ 11 ⎞ Portanto, M ⎜⎝ 1, ⎟⎠ . 2

quadradinho no plano está em centímetros, qual é a distância real entre a casa dessa

c) Para determinar a distân-

cia, observe a proporção 1 25 = ⇒ 125 000 cm = 1 250 m. 5 000 d 25 000 cm = 1 250 m.

D (7, –4)

c) Se a escala do plano cartesiano é de

M (6, 10). Encontre os valores de x e y.

x = –4 e y = 0.

jovem e a casa de sua amiga? 1 250 metros.

8. Quais são as coordenadas do ponto médio

6. Os pontos A (1, 1), B (3, 6) e C (9, 1) são vértices

M ( xM, yM) de um segmento AB, com A (x1, y1)

de um retângulo.

e B (x2, y2), no plano cartesiano? xM =

212 | TRAJETÓRIA 4

Atividade 6

x 1 + x2 y + y2 e yM = 1 2 2

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

1+9 10 1+1 2 = = 5 e yM = = = 1. 2 2 2 2 a) Representando os pontos A(1, 1), B(3, 6) e C(9, 1) Portanto, M(5, 1). em um plano cartesiano: 6+y 3+x =5e = 1. c) Considere D(x, y), de forma que 2 2 y 3 + x 6 + y B 6 = 1. =5e 2 2 5 Logo, x = 7 e y = –4, ou seja, D(7, –4).

b) x M =

Atividade 7

3 2 1 0

212 | MANUAL DO PROFESSOR

A 1

C 2

(x + 1) + 15 = 6 ⇒ x + 1 + 15 = 12 ⇒ x = –4 2 (2y – 2) + 22 = 10 ⇒ 2y – 2 + 22 = 20 ⇒ y = 0 2

#Perímetro Para verificar se o novo software criado está funcionando perfeitamente, é preciso fazer um teste com ele. O primeiro teste do software desenvolvido na situação anterior foi realizado com um clube de futebol que, no momento do teste, estava reformando seu novo campo de futebol e desejava calcular o perímetro do campo para saber a quantidade de material que seria comprado. A função do software é conseguir calcular esse perímetro usando somente uma foto aérea feita por drone. Para fazer isso, o software fez os seguintes registros sobre a foto fornecida pelo

ALEXANDRE R./ M10

clube:

Em seguida, o aplicativo mostrou uma tela com os pontos em um plano cartesiano, conforme mostrado a seguir:

Para o cálculo do perímetro do quadrilátero, o aplicativo levou em conta os pontos A (–5, 5), B (1, 6), C (2, –1) e D (–4, –2). NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

213 |

Atividade 8

com as carteiras (correspondendo cada uma, a um ponto com suas coordenadas) ou outro elemento da sala, um modelo real que lembre um plano cartesiano, e marque dois pontos, para que os Espera-se que o aluno seja capaz de descrever alunos tenham de encontrar o ponto médio. Assim, os cálculos realizados nas atividades anteriores, poderão visualizar mais claramente e determinar a sendo a fórmula entendida como a generalização solução cooperativamente, antes da formalização. de um raciocínio reiterado. x 1 + x2 y + y2 e yM = 1 . Temos x M = 2 2

Sugestão de atividade

Com o objetivo de instigar os alunos ao pensamento científico, sugerimos um experimento: crie, 213 |

Para determinar as medidas dos lados do campo, foi preciso obter as distâncias entre os pontos: • A e B: AB2 = 62 + 12 ⇒ AB = 37 • B e C: BC 2 = 12 + 7 2 ⇒ BC =

• C e D: CD2 = 62 + 12 ⇒ CD =

• D e A: DA2 = 12 + 7 2 ⇒ DA =

50 O perímetro desse quadrilátero pode ser obtido pela adição das distâncias obtidas: perímetro =

37 +

37 + 50 + 50 = 2 37 + 2 50 = 2 ! 37 + 50 "

Observamos que a medida encontrada para o perímetro faz uso dos radicais. Porém, o objetivo do software é apresentar uma medida, ainda que aproximada, de tal modo que se possa utilizar essa informação em situações práticas. Uma aproximação para o perímetro é: perímetro = 2

( 37 + 50 ) ≅ 2(6,08 + 7,07) ≅ 26,3

LUPAS E LUNETAS ATIVIDADES

9. O valor obtido para o perímetro 2 ( 37 + 50 ) ≅ 26,3 se refere ao modelo criado no plano cartesiano a partir da imagem aérea do campo de futebol real. Ou seja, isso não significa que o perímetro “na realidade” do campo seja 26,3 metros. Considerando que cada unidade do sistema cartesiano corresponda a 10 metros no campo de futebol real, calcule o perímetro desse campo “na realidade”. 263 metros. SP CREATIVE STUDIO/ SHUTTERSTOCK

LIFESTYLE GRAPHIC/ SHUTTERSTOCK

Espera-se que os alunos meçam os ângulos entre os lados do quadrilátero com a ferramenta para medir ângulos de um software de geometria dinâmica. Note que, embora, em ABCD, os segmentos opostos sejam paralelos e as diagonais se cortem ao meio, os segmentos AB e AD, por exemplo, não são perpendiculares. Temos 1 mAB = mCD = e mAD = mBC = –7, 6 e não se trata de um retângulo. A situação pode gerar uma boa discussão a respeito de modelos matemáticos, realidade, ciência e tecnologia.

10. Calcule o perímetro do pentágono:

12 +

10 + 2 2

Atividade 9

Como a unidade do sistema cartesiano corresponde a 10 m, temos: 1 26,3 = ⇒ x = 263 m 10 x Portanto, o perímetro do campo é de 263 metros. Atividade 10

214 | TRAJETÓRIA 4

Nomeie os vértices do pentágono para auxiliar na resolução do problema:

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

7 6

C D

5 4 3

2 1 –2 –1 0 –1 –2

214 | MANUAL DO PROFESSOR

• • • • •

3 4 5

6 7

CD =

12 + 32 =

1+9 =

10;

BC = 22 + 22 = 4 + 4 = 8 = 2 2. Logo, a expressão do perímetro é 3 + 4 + 5 + 3 + 4 + 5 + 10 + 2 2 = 12 + 10 + 2 2.

A 1

AB = 4 – 1 = 3; DE = 5 – 1 = 4; AE = 7 – 2 = 5;

9 x

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL Aproveite o contexto para trabalhar o futebol como um dos esportes que mais mobilizam pessoas

10 + 2 2 = 1

NUVENS NUVEN S Perímetro e software Existem softwares capazes de calcular o perímetro de figuras localizadas no plano cartesiano, além de outras funcionalidades. Em um software de geometria dinâmica, vamos construir dois polígonos de dez lados e calcular seus perímetros. Para fazer isso, há duas possibilidades: •

utilizar a ferramenta polígono, se ela estiver disponível (em geral, haverá um símbolo como este:

•

O heptágono ABCDEFG é convexo.

);

O heptágono ABCDEFG é convexo,

conectar vários segmentos de reta

pois a medida do ângulo interno EF!G

em sequência, se a ferramenta de polígono não estiver disponível. Ao construir seus polígonos de dez lados (decágono), certifique-se de que todos os lados estão bem identificados e os ângulos estão dispostos

é maior que 180o. Alternativamente, podemos também afirmar que é possível criar um segmento de reta com extremidades dentro do polígono que corta os lados EF e FG.

Caso não se lembre, um polígono convexo tem todos os ângulos internos menores que 180o, ao contrário dos polígonos côncavos. Exemplos:

convexo e um côncavo – use a ferramenta de medir lados para calcular a medida de cada lado e determine os perímetros dos dois polígonos. D

CD = 2,5

DE = 3,4

EF = 2,3 F

C BC = 2,1

FG = 2,2

Perímetro total: 26,4

AB = 1 A

GH = 2,9 1

JA = 3,2

H J

O pentágono ABCDE é convexo.

Se julgar conveniente, trabalhe as propriedades das figuras com o uso do software. Chame atenção dos alunos para os conceitos de polígono côncavo e polígono convexo.

Construídos os decágonos – um

de modo que um deles seja convexo e o outro, côncavo.

NUVENS

IJ = 3,8

HI = 3

Exemplo de decágono convexo.

215 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

que torcem por seus clubes, mas que, no entanto, alguns torcedores apresentam comportamentos violentos, geralmente contra torcidas rivais. Proponha uma pesquisa com toda a comunidade escolar para saber qual o time de futebol de preferência. Em seguida, organize os dados coletados em tabelas e gráficos. Após essa primeira etapa, proponha uma pesquisa de imagens com o tema violência no futebol. Em seguida, organize os dados da pesquisa e as imagens coletadas para conscientizar as pessoas sobre a violência presente nos dias de jogos dentro e fora dos estádios. Organize cartazes com frases

sobre como conviver bem, mesmo torcendo para times diferentes. O QUE É LEGAL... O QUE NÃO É LEGAL...

Finalize o trabalho propondo um dia de jogos escolares. Convide toda a comunidade escolar, pais, familiares e a comunidade local. Exponha os cartazes elaborados. 215 |

LUPAS E LUNETAS Acompanhe e oriente a pesquisa sobre os aplicativos de geolocalização. A pesquisa pode gerar a questão “como as pessoas se localizavam e se locomoviam antes?”, e os estudantes podem levar de casa, se possível, guias antigos de rua e observar como as informações são dispostas em um sistema de coordenadas.

#Área da superfície Em outro teste do software, deseja-se saber a área da superfície total de um terreno. Observe a imagem aérea do terreno e o modelo criado em um plano cartesiano: ALEXANDRE R. / M10

y 7 6 5 4 3 2 1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x -1 -2 -3 -4 D

Para auxiliar no cálculo da área da superfície, o quadrilátero ABCD formado foi inserido em um retângulo. Os triângulos que formam as “sobras” do quadrilátero em relação ao retângulo foram numerados de 1 a 4:

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais.

GORODENKOFF/SHUTTERSTOCK

Os testes realizados na engenharia de software buscam garantir que tanto o processo de desenvolvimento quanto o produto de software atinjam os níveis de qualidade esperados pelo projeto e, além disso, assegurar que o produto final corresponda aos requisitos do usuário. Para isso, é necessário examinar o comportamento do produto por meio de sua execução antes da versão comercial. Designers de aplicativos móveis analisam e validam testes dos novos recursos de um aplicativo.

Pesquisem, em grupo, como funcionam os aplicativos de geolocalização e que conhecimentos de Matemática são utilizados. 216 | TRAJETÓRIA 4

216 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Lembrando que a área da superfície de um retângulo é calculada multiplicando-se a medida da base pela altura e que a área da superfície de um triângulo é calculada como metade do produto da base pela altura (que no caso dos triângulos retângulos são os catetos), calculou-se a área da superfície do retângulo maior, em laranja, e excluiu-se a área da superfície dos quatro triângulos ao redor de ABCD: • área do retângulo laranja de dimensões 13 (horizontal) e 11 (vertical):–13 ⋅ 11 = 143

6 ⋅⋅ 22 6 = 6; 6; = 22 77 ⋅⋅ 6 6 = 21; = 21; • área do triângulo 2: 2 2 10 ⋅ 5 10 ⋅ 5 = 25; = 25; • área do triângulo 3: 2 2 3 ⋅ 9 3 ⋅ 9 = 13,5. = 13,5. • área do triângulo 4: 2 2 Subtraindo as áreas dos triângulos da área do retângulo: 143 – (6 + 21 + 25 + 13,5) = 77,5 • área do triângulo 1:

Assim, a área da superfície do terreno é de 77,5 m2.

LUPAS E LUNETAS Resposta pessoal. Assim como no caso do campo de futebol, é necessário calcular as “dimensões reais” para o modelo representado no plano cartesiano. Em pequenos grupos, observem a imagem aérea do terreno e estimem uma “medida na realidade” para cada unidade do plano cartesiano. Em seguida, calcule a área da superfície do terreno “na realidade”.

Como você viu, o cálculo da área da superfície pode ser feito emoldurando-se o polígono em outro maior e retirando-se o excesso. Uma outra estratégia possível é a de dividir o polígono em partes com formas mais fáceis de calcular as áreas. Vejamos um exemplo:

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Habilidades (EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano. (EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva. LUPAS E LUNETAS Compare a escolha dos grupos para a “medida na realidade”. Comente que, ao fazer escolhas arbitrárias, é necessário ponderar para ter valores condizentes com a realidade.

217 |

Habilidades (EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano. Como apresentamos mais de um método para calcular as áreas das superfícies, sugerimos que os estudantes fiquem livres para trabalhar com o método que quiserem, como parte do pensamento criativo e científico. Recomendamos que a correção das atividades inclua diferentes resoluções que os eles tenham utilizado. Atividade 11

a) A área da superfície do triângulo ABC é y 7 6 5 4 3 2 1 A

–2 –1 0 –1 –2

7 ⋅ 5 35 = = 17,5. 2 2

Para calcular a área da superfície do pentágono ABCDE, podemos dividi-lo em duas partes: o retângulo ABDE e o triângulo BCD:

Vamos calcular a área da superfície de cada um deles: • a área do retângulo ABDE é (5 – 2) ⋅ (7 – 0) = 3 ⋅ 7 = 21;

0) ⋅ ⋅ (8 (8––5)5) 77 ⋅ ⋅ 33 (7(7––0) 10,5(a base do triângulo é a distância == ==10,5 22 22

• a área do triângulo BCD é

vertical de D até B e a altura é a distância horizontal entre C e o segmento BD); • a área da superfície do polígono será 21 + 10,5 = 31,5. ATIVIDADES

11. Desenhe em um plano cartesiano o polígono

com vértices nos pontos dados e calcule a área de sua superfície. a) A (0, 0), B (2, 5), C (7, 0) 17,5 b) A (–1, –1), B (–1, 5), C (3, 2), D (3, –1) 18 c) A (2, 1), B (–2, 5), C (7, 7), D (6, 1) 34

13. Calcule a área da superfície do polígono: 77

12. Para fazer um desenho geométrico para uma C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

b) Dividindo o polígono ABCD: 6 B

218 | TRAJETÓRIA 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

2 1

–3 –2 –1 0 –1 A –2

mentos AB, BC e AC, respectivamente. Faça um esboço dessa situação e calcule a área da superfície do triângulo MNO.

Construção geométrica. Área do triângulo MNO: 3.

5 4

tarefa de sua escola, João marcou no plano cartesiano os pontos A (–2, 0), B (1, 4), C (4, 0), formando um triângulo. Depois, ele marcou os pontos M, N e O, pontos médios dos seg-

• a área do retângulo AFCD é 4 ⋅ 3 = 12; 1

3 D

4 x

4 ⋅ 3

• a área do triângulo BFC é 2 = 2 = 6; • a área da superfície do polígono será: 12 + 6 = 18. c) Vamos inicialmente calcular a área do retân-

8 F

7 6

5 4

gulo GFCH, e em seguida, retirar a área dos triângulos.

3 2 G –3 –2

1 –1 0 –1

–2

218 | MANUAL DO PROFESSOR

A 1

H 7

8 x

Habilidades (EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

#Projeções e sombras Vamos considerar alguns sólidos geométricos para pensar em suas sombras projetadas sobre uma superfície plana. O formato da sombra depende da forma do sólido geométrico e de sua posição em relação ao foco de luz. 3

MANUEL PINEDA/SHUTTERSTOCK

ALEXANDRE R. / M10

A área do triângulo MNO é 3 ⋅ 2 = 3. 2 Atividade 13

Podemos decompor a figura em: y

9 8

III

6 5

Agora, observe esta imagem, que representa a sombra de um desses sólidos projetada sobre uma superfície plana.

3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–2 –3

Qual dos sólidos numerados naquela imagem pode projetar essa sombra? Apenas 3, 5, 8 e 11, certo? E, mesmo assim, 5, 8 e 11 precisam estar em uma posição específica.

A área total é a soma das áreas menores: • área do retângulo I: 3 ⋅ 11 = 33; • área do retângulo II: 3 ⋅ 8 = 24; • área do retângulo III: 3 ⋅ 6 = 18; • área do retângulo IV: 1 ⋅ 2 = 2. Logo, a área total é 33 + 24 + 18 + 2 33 + 24 + 18 + 2 = 77.

ATIVIDADES

14. Considere os sólidos numerados de 1 a 12, acima. Se, ao olharmos para um dos sólidos, enxergarmos apenas um triângulo, quais sólidos poderíamos estar observando? 11 ou 12.

17. Observe a imagem. Depois indique no caderno

quais opções não representam a composição formada pela base do cubo e sua sombra. Figuras A e B. ALEXANDRE R. / M10

15. Ao olharmos para o sólido 1 de diferentes ângulos, veremos qual figura geométrica? Quadrado.

16. Se, ao olharmos para um dos sólidos, enxergarmos uma coroa circular, qual sólido estaremos observando? Sólido 6.

As atividades 14 a 16 favorecem o reconhecimento e a construção de vistas ortogonais de figuras espaciais.

219 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

• a área do retângulo GFCH é 9 ⋅ 6 = 54;

2 ⋅ 9 18 = = 9; • a área do triângulo BFC é 2 2

Atividade 14

Atividade 12

Os sólidos 11 e 12 apresentam vistas triangulares.

Esboço da situação do problema:

• a área do triângulo BGA é

4 ⋅ 4 16 = = 8; 2 2

• a área do triângulo DHC é

1 ⋅ 6 6 = = 3. 2 2

4 M

Portanto, a área do polígono ABCD é 54 – 9 – 8 – 3 = 34. 54 – 9 – 8 – 3 = 34. A –2

–1

As diferentes vistas do cubo têm forma quadrada.

2 1

–1

Atividade 15

Atividade 16

O 1

C 4

Sólido 6.

219 |

Vistas ortogonais As vistas ortogonais são muito úteis para descrever produtos, inclusive em itens que encomendamos no dia a dia e precisamos montar, como prateleiras, armários e outros móveis, por exemplo. Imagine que você está montando um móvel e recebe a peça: ALEXANDRE R. / M10

Habilidades (EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva. Promova um debate com os estudantes a respeito de como a Matemática como ciência auxilia produzindo modelos para a criação de peças.

Você precisa encaixar essa peça em um local do móvel. Pode até ir testando qual face encaixa, mas seria melhor se a instrução lhe mostrasse como fazer isso, certo?

ALEXANDRE R. / M10

Em situações como essa, as vistas ortogonais ajudam. Observe:

Se o manual diz para encaixar a peça na posição 6, isso garante que você conseguirá conectá-la corretamente! Note que todas as 6 vistas possíveis da peça estão representadas, então não há como errar. 220 | TRAJETÓRIA 4

220 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ATIVIDADES

18. A imagem contém 5 das vistas ortogonais da peça, mas há uma representação faltando. Dese-

ALEXANDRE R. / M10

nhe-a no caderno.

19. Qual das figuras à direita não podem ser projeção ortogonal da peça à esquerda? B, D, F. ALEXANDRE R. / M10

Atividade 19

Resposta possível: um triângulo. Os vértices seriam: países desenvolvi-

LUPAS E LUNETAS dos, países em desenvolvimento e mercadorias (a cenoura). Poderia ser

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 18

NUVOLANEVICATA/SHUTTERSTOCK

também um quadrilátero, se o quarto vértice fosse a força de trabalho.

Observe os dois personagens desta imagem. Considere que um representa os países desenvolvidos e o outro, os países em desenvolvimento. Pesquise o que é globalização e o que é mundialização. Conforme as suas descobertas, explique as condições de cada um dos personagens da imagem. Se fosse representar essa relação por meio de um polígono, que polígono seria? Que elementos haveria nos vértices? Comente.

Comente com os alunos que as figuras A e F estão sob o mesmo ângulo de visão, porém F ignorou o “perfil de degrau” do sólido geométrico. Também as figuras B e E têm a mesma vista mas B não representa a vista, desse sólido porque considera que o primeiro e o segundo degrau têm alturas distintas e, finalmente, as figuras C e D, embora estejam sujeitas ao mesmo ângulo de visão, D mostra que ocorre no meio do sólido o desnível de ambos os degraus, o que é falso no caso do sólido geométrico considerado.

LUPAS E LUNETAS

221 |

Resposta possível: um triângulo. Os vértices seriam: países desenvolvidos, países em desenvolvimento e mercadorias (a cenoura). Poderia ser também um quadrilátero, se o quarto vértice fosse a força de trabalho.

Desenho da representação faltante:

Essa atividade desenvolve a visão espacial dos estudantes, representando figuras tridimensionais por meio de figuras planas. Essa é uma habilidade primordial para a representação e leitura da realidade que nos cerca.

221 |

Habilidades (EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

Vistas: superior, frontal, lateral As vistas ortogonais nos permitem fazer o processo de reconstrução da imagem. Por exemplo, imagine que nos são dadas estas vistas de um certo sólido:

Vista superior.

Atividade 20

Observe as vistas superior, lateral e frontal:

Vista frontal.

Vista lateral.

Qual é o sólido representado por essas vistas? Um cilindro é a resposta correta.

ALEXANDRE R./ M10

Vista superior

Vista lateral

Vista frontal Vista superior

20. Desenhe as vistas superior, lateral e frontal de uma pirâmide de base quadrada como a representada a seguir: Superior: quadrado; lateral e frontal: triângulo.

21. Observando as vistas, qual é o sólido representado? Cone.

Atividade 22

• Vista superior:

Vista superior.

sombra de um objeto tem o formato:

Dos sólidos, qual pode ter gerado essa sombra? Sólido 5.

Atividade 21

Trata-se de um cone.

23. Certo dia, com sol forte, observa-se que a

Vista frontal.

Vista lateral.

ALEXANDRE R./ M10

Vista lateral

ALEXANDRE R./ M10

Vista frontal

ATIVIDADES

22. Desenhe as vistas frontal, superior e lateral deste sólido.

Vistas lateral e frontal:

• Vista frontal e vista lateral:

Atividade 23

Observando a vista frontal dos sólidos, o sólido condizente é o 5.

222 | MANUAL DO PROFESSOR

222 | TRAJETÓRIA 4

ALEXANDRE R./ M10

Vista superior:

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LUPAS E LUNETAS

PLANET OBSERVER/UIG/ALAMY/FOTOARENA

A perspectiva não é só importante ao se falar de geometria. Perspectiva também significa ponto de vista ou forma de olhar para o mundo. Observe estas fotos:

Vista de satélite de Dubai, Emirados Árabes Unidos, em 2000, 2005 e 2010. Esse conjunto de imagens mostra a expansão urbana ao longo dos anos e a construção das World Islands e da Palm Island, chamada Palm Jumeirah.

Você acredita que se trata do mesmo lugar, com uma década de diferença? Essa sequência de imagens mostra os Emirados Árabes Unidos, país que sofreu profundas transformações por conta da globalização, como o aumento do tráfego de pessoas e de recursos para a região, o que causou um boom de expansão urbana. a) Você conhece alguma cidade que mudou muito nos últimos anos? A que fato ou fenômeno você acha que a transformação se deve? Respostas pessoais. b) Outro lugar que mudou drasticamente por conta da globalização foi Singapura. Pesquise imagens de antes e depois desse país e veja a diferença! NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Retome a discussão do início do passeio sobre as diferentes perspectivas possíveis sobre um tema, uma circunstância etc. Os diferentes olhares complementam nossa compreensão sobre o mundo que nos cerca. A respeito do desenvolvimento das cidades observadas durante a pesquisa, questione os alunos sobre a importância da educação nesse processo, tanto físico-estrutural, das cidades, quanto pessoal-social da população. Essa atividade pode ser desenvolvida em parceria com o professor da área de Geografia, considerando o desenvolvimento da habilidade EF09GE05.

223 |

Habilidades (EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar Comente com os alunos que esse conhecimento para existem outros tipos de perspecdesenhar objetos em tivas. E caso tenham interesse perspectiva. peça para que busquem sobre os

outros tipos e quais suas principais diferenças. A perspectiva que trabalharemos Atividades 24 e 25 é a cônica com um ponto de fuga. As principais características são Proponha que os alunos foros objetos estaremgrupos representados mem pequenos e que de maneira semelhante à forma tenham disponíveis, parahumacomcomo são vistos pelo olho partilhar entre integrantes no, formando umos cone visual.

do grupo, materiais necessários, como, papel, lápis, régua e, se preciso, transferidor. Cada grupo pode, ao final das suas produções, apresentar os resultados e compartilhar os processos que tiveram de percorrer para obter esses resultados.

#Desenho em perspectiva, ponto de fuga e linha do horizonte Para a apresentação de figuras geométricas do espaço representadas no plano, utilizamos desenhos em perspectiva. Veja a representação de dois sólidos geométricos:

O desenho em perspectiva nos permite representar objetos do espaço com efeito de profundidade e volume utilizando linhas convergentes a um ponto, denominado ponto de fuga (PF). 24. Resposta possível: PF

25. Resposta possível:

LH PF

Observador

Nessa representação, o ponto de fuga encontra-se sobre uma linha horizontal, denominada linha do horizonte (LH). Um dos sólidos está representado acima da linha do horizonte e, em relação ao observador, à direita do ponto de fuga, enquanto o outro está representado abaixo da linha e, em relação ao observador, à esquerda do ponto de fuga. ATIVIDADES

24. Represente no plano, utilizando desenho em perspectiva, duas figuras geométricas espaciais:

uma acima da linha do horizonte e, em relação ao observador, à esquerda do ponto de fuga; e a outra abaixo da linha do horizonte e, em relação ao observador, à direita do ponto de fuga.

25. Desenhe sólidos geométricos em perspectiva, utilizando um único ponto de fuga para todos, que tenham estas faces voltadas para o observador: a)

LUPAS E LUNETAS Os desenhos em perspectiva também estão presentes no trabalho e nas artes. A engenharia, a arquitetura o design e as artes visuais, por exemplo, fazem uso dessas técnicas. Pesquise: a) Sobre os primeiros artistas que desenvolveram essa técnica e como ela foi aperfeiçoada através dos anos. b) Quais artistas nacionais utilizaram ou utilizam essa técnica na produção de suas obras. Junte-se com dois colegas e produzam um vídeo apresentando os resultados das pesquisas de cada um. Dicas: • Juntos, avaliem quais informações pesquisadas são mais relevantes e merecem mais espaço no vídeo. • Antes de produzir o vídeo, pesquisem técnicas básicas para edição de vídeo e elaboração de roteiro. Respostas pessoais. 224 | TRAJETÓRIA 4

LUPAS E LUNETAS A perspectiva linear é uma das técnicas mais utilizada nas artes visuais. Ela pode ser concebida como um modelo cuja fundamentação se baseia em princípios matemáticos deduzidos a partir dos elementos da percepção visual sobre a natureza. Esse é um exemplo em que um modelo matemático se coloca a favor de representar e apreender a realidade. Incentive os alunos a pesquisar mais sobre o assunto. 224 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Como sugestão de leitura, apresentamos o texto didático digital Desenho em perspectiva, da Escola Estadual de Educação Profissional – EEEP, do Estado do Ceará. Diponível em: https://www. etecitapeva.com.br/arquivos/docentes/Professor%20 Antonio%20Robson/design_de_interiores_desenho_em_perspectiva.pdf. Acesso em: 11 set. 2022

LEVO NA BAGAGEM

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Consulte todas as suas produções até agora neste passeio e avalie seu aprendizado sobre: ▶ Matemática • Determina o ponto médio e calcula o comprimento de um segmento no plano cartesiano? • Calcula o perímetro e a área da superfície de figuras no plano cartesiano, conhecendo-se seus vértices por suas coordenadas? • Visualiza figuras espaciais e suas projeções ortogonais, sendo capaz de desenhá-las em perspectiva? ▶ Outras disciplinas Geografia • É capaz de refletir sobre fatos e situações envolvendo a integração mundial, comparando as diferentes interpretações: globalização e mundialização? Anote seu parecer para essas questões no caderno e, ao final, analise como julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

225 |

Encontro com outras disciplinas (EF09HI32) Analisar mudanças e permanências associadas ao processo de globalização, considerando os argumentos dos movimentos críticos às políticas globais.

BARCOS E PORTOS

▶ Organize Respostas pessoais. Agora que você percorreu todo este passeio, faça dois resumos simples: um para o tópico de plano cartesiano, com todas as situações matemáticas que aprendeu neste passeio e com exemplos; e outro para vistas ortogonais, com desenhos e exemplos gráficos. Consulte o mapa de vínculos e ênfases da seção Arredores e as atividades feitas em seu caderno ao longo do passeio para ver se esqueceu de algo. Troque os seus resumos com os colegas. ▶ Elabore

BARCOS E PORTOS

Imagine que você precisa desenhar um polígono que represente seu time de algum esporte (físico ou digital) à sua escolha. Como faria? Pense a respeito e, depois, desenhe o polígono em um plano cartesiano.

Organize

Sugira que os estudantes reconstruam o mapa de vínculos da seção Arredores utilizando formas tridimensionais, os conhecimentos sobre vistas e o desenho em perspectiva vistos neste passeio.

a) Calcule o perímetro e a área da superfície do polígono que você desenhou.

b) Como complementaria o formato do polígono para que ele ficasse de fato parecido

com um símbolo de time? Pense nas cores adicionais e desenhe seu símbolo de time de seu esporte favorito!

▶ Proponha A pergunta inicial deste passeio é: Como uma nova perspectiva amplia nosso ponto de vista? Observe as imagens e, depois, leia a notícia.

GREAT PICS WORLDWIDE/SHUTTERSTOCK

WILLIAM POTTER/SHUTTERSTOCK MARKO ALIAKSANDR/SHUTTERSTOCK

Auxilie os estudantes na elaboração das imagens, observando a adequação ao contexto, a resolução dos cálculos solicitados, o compartilhamento e a correção.

MADCAT_MADLOVE/SHUTTERSTOCK

Elabore

Cada imagem representa uma diferente situação do mundo, cada uma com seus próprios sentidos e com sentidos que se complementam. 226 | BARCOS E PORTOS

226 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

As comunidades mais pobres não se benefi-

países em desenvolvimento sem litoral e os pe-

ciam da globalização, de acordo com um grupo de

quenos Estados insulares em desenvolvimento,

representantes dos Países Menos Desenvolvidos

Harriet Schmidt.

(LDC, sigla em inglês) e especialistas da ONU em uma conferência inaugurada nesta segunda-feira LDC, do inglês: Least

em Istambul. Developed Countries. “Paradoxalmente, enquanto alguns países se integram e prosperam, outros ficam mais margina-

“Esta é a triste realidade dos Países Menos Desenvolvidos. Enquanto a globalização permitiu, nos últimos 30 anos, ampliar o comércio, aumentar o rendimento econômico e criar uma riqueza global

lizados e isolados”, alertou a diretora do escritório

sem igual, os LDC não conseguiram se beneficiar

da ONU para os países menos desenvolvidos, os

dela”, completou.

PAÍSES menos desenvolvidos não se beneficiam da globalização. G1 Mundo, 9 jul. 2007. Disponível em: https://g1. globo.com/Noticias/Mundo/0,,AA1582953-5602,00-PAISES+MENOS+DESENVOLVIDOS+não+SE+BENEFICIAM+DA+GLOBALIZACAO.html. Acesso em: 16 ago. 2022.

Converse com os estudantes sobre o problema da desigualdade social brasileira apresentando algumas fotos de edifícios de luxo localizados em um dos pontos mais altos do Morumbi (bairro da cidade de São Paulo, SP), ao lado da favela de Paraisópolis, a segunda maior comunidade de São Paulo, SP. Tem-se ali um ambiente de grande contraste urbano que salienta ainda mais o problema da desigualdade social brasileira. A vista panorâmica dos edifícios teve sua paisagem bem alterada desde sua construção até os dias de hoje: Paraisópolis já existia, mas tinha cerca de 20% do tamanho atual. CAIO PEDERNEIRAS/SHUTTERSTOCK

Países menos desenvolvidos não se beneficiam da globalização

Reúna-se com dois colegas e respondam: 1.

O que interpretam de cada uma daquelas imagens? Para vocês, qual delas é mais significativa? Por quê?

Escolham uma das imagens e apresentem ao menos duas diferentes perspectivas de leitura. Considerando o conteúdo do texto, apresentem propostas satisfatórias envolvendo a relação entre os países que prosperam e os países menos desenvolvidos, contemplando essas duas possíveis perspectivas.

Desenhem dois eixos perpendiculares. Chamem um de situações críticas e outro de urgência de decisão. Sobre o primeiro, situem pontos como Distribuição de renda, Analfabetismo, Desnutrição, Mortalidade infantil, Violência e outros que julgarem importantes. No segundo, situem os números de 1 a 5, sendo 1 de “pouca urgência” e 5 de “máxima urgência”. Esse será o “plano cartesiano social”. Situem nele pontos que relacionam essas duas variáveis, segundo a visão dos aspectos socias que tem desenvolvido. Exponham o seu “plano cartesiano social” em um mural.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Proponha

O objetivo dessa atividade está relacionado ao pensamento científico e crítico. Ao longo do passeio, trabalhamos nesse sentido e aqui concluímos a discussão com uma reflexão sobre a globalização e os impactos que ela tem na vida das pessoas, seus pontos positivos e negativos, propiciando

227 |

ao estudante o aprimoramento de sua perspectiva sobre o tema. Pensar em soluções para os problemas dos países também trabalha o Tema Contemporâneo Tranversal (TCT) Cidadania e Civismo, na medida em que os estudantes pensam no coletivo da sociedade.

Um ícone da desigualdade social em São Paulo, a maior cidade do Brasil: a favela Paraisópolis e os edifícios de luxo. Para essas atividades, convide o professor de História e proponha que trabalhem em turmas diferentes para a socialização final ocorrer entre as classes. Caso os estudantes se interessem pelo assunto, sugira uma pesquisa sobre a comunidade de Paraisópolis e sobre os edifícios de luxo no entorno. Proponha a atividade de pesquisa incluindo imagens, fotografias, mapas etc. Organize o resultado das pesquisas em cartazes e agende um dia para a exposição. Pode-se adotar a dinâmica de uma sala pesquisar sobre Paraisópolis e outra pesquisar sobre os edifícios luxuosos, retratando o perfil da desigualdade social e a estrutura segregacionista desse bairro da cidade de São Paulo.

227 |

PASSEIO 2 – GRANDEZAS E MEDIDAS DE QUE MODO A CIÊNCIA AUXILIA NA EXPRESSÃO E COMUNICAÇÃO HUMANAS? SUNNY STUDIO/SHUTTERSTOCK

lizando adição, multiplicação e potenciação (com base 10) na forma a ⋅ 10b , em que a é um número real maior ou igual a 1 e menor do que 10 e b é um número inteiro. b) Alguns exemplos: comprimento (fio, circunferência da lente dos óculos, perímetro etc.), volume (lata), massa (corporal do garoto), luminosidade (lâmpada), superfície (área do escorredor de macarrão). c) Cilindro (lata), espiral (fio), circunferência (lentes dos óculos), esfera (bulbo da lâmpada). Podem ser medidos de alguns desses, por exemplo, o volume, a área da superfície, o perímetro, a massa etc.

228 | MANUAL DO PROFESSOR

A ciência e a tecnologia abrem novas formas de comunicação e expressão para o ser humano por suas investigações e invenções.

a) Decompondo o número, utilizando adição, multiplicação e potenciação (com base 10).

CHECK-IN

b) Alguns exemplos: comprimento (fio, circunferência da lente dos óculos, perímetro etc.), volume (lata), massa (corporal do garoto), luminosidade (lâmpada), superfície (área do escorredor de macarrão).

Para expressar e comunicar ideias e soluções de problemas que envolvem grandezas e medidas variadas, precisaremos de algumas ferramentas. Resgate o que já sabe refletindo com os colegas sobre algumas questões. a) Como você escreve um número em notação científica?

b) Considerando essa imagem, que elementos dela, aos serem observados, podem

trazer à sua mente ideias de grandezas? Cite quais grandezas vieram à sua mente.

c) Que figuras geométricas vêm à sua mente ao observar essa imagem? E quais as-

pectos dessas figuras geométricas podem ser medidos?

c) Cilindro (lata), espiral (fio), circunferência (lentes dos óculos), esfera (bulbo da lâmpada). Podem ser medidos de alguns desses, por exemplo, o volume, a área da superfície, o perímetro, a massa etc.

228 | TRAJETÓRIA 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ARREDORES

Muito pequeno

GRANDEZAS E MEDIDAS

Volumes

Muito grande Cilindro reto

Prisma

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Sistema Internacional de Unidades (SI)

Planificações

EF09MA18, EF09MA19 EF09HI32

BÚSSOLA BÚSSOL A Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: • • • • •

Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas. Escolher a unidade de medida apropriada para representar uma grandeza. Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas. Reconhecer a planificação da superfície de prismas e cilindros, calculando a área da superfície ou o volume, quando as medidas apropriadas forem fornecidas. Refletir sobre as mudanças e permanências associadas ao processo de globalização envolvendo diversos movimentos, desde os críticos até os de políticas globais.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

229 |

Este passeio terá como TCT central Ciência e Tecnologia, bastante conectado com o tema de grandezas e medidas. Trabalhe com os alunos a conexão entre a Ciência e a Matemática, com foco no conhecimento e em como é importante valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo e colaborar para a construção de uma sociedade justa que atenda às necessidades de todos. Debata com os alunos fazendo o questionamento: como seria o mundo sem a noção de tempo e as medidas associadas sendo igual para todos, por exemplo? Se a ciência não tivesse um modelo que todos pudessem usar de forma igualitária, como nos comunicaríamos?

ATMOSFERA Grafia de nomes, símbolos das unidades e das grandezas [...]

3.4 Grafia dos símbolos de unidades a) os símbolos das unidades, qualquer que seja o tipo empregado no texto onde eles aparecem, devem ser impressos em alfabeto latino (na vertical); b) os símbolos são invariáveis, não sendo admitido colocar, após o símbolo, seja ponto de abreviatura, seja “s” de plural, sejam sinais, letras ou índices. Por exemplo, o símbolo do watt é sempre W, qualquer que seja o tipo de potência a que se

3.1 Grafia dos nomes de unidades

refira: mecânica, elétrica, térmica, acústica etc. Nota: O símbolo do litro constitui uma exceção a essa regra. A 16ª CGPM (1979, Resolução nO 6) aprovou a utilização das letras L (maiúscula) ou l (minúscula) como símbolo do litro a fim de evitar confusão entre o algarismo 1 (um) e a letra l (ele); [...]

1. a) Conforme o texto, não se usam letras maiúsculas, nem “s” de plural. Também não é admitido acrescentar letras que não fazem parte do símbolo da unidade de medida.

3.1.1 Quando escritos por extenso, os nomes de unidades começam por letra minúscula, mesmo quando têm o nome de um cientista (por exemplo, ampere, kelvin, newton, etc.). O nome da unidade de temperatura grau Celsius, símbolo oC, não é uma exceção à regra de se escrever o nome das unidades com letra minúscula, visto que a unidade grau começa pela letra “g” minúscula e o adjetivo “Celsius” começa pela letra “C” maiúscula, pois este é um nome próprio. A exceção para que o nome de uma unidade comece com letra maiúscula, ocorre tão somente quando estiver localizado no início da frase ou em sentença com letras maiúsculas, como em um título. 3.1.2 Quando o nome da unidade é justaposto ao nome de um prefixo, não há espaço, nem hífen entre o nome do prefixo e o nome da unidade. O conjunto formado pelo nome do prefixo e o nome

da unidade constitui uma única palavra. Notas: Esta regra contraria o que prevê o Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa em dois casos: a) não se usa o hífen quando o segundo elemento começa por h ou quando o segundo elemento começa pela mesma vogal com que o prefixo ou pseudoprefixo termina. Por exemplo, escreve-se: kilohertz ou quilohertz, microoersted, nanoohm e não kilo-hertz ou quilo-hertz, micro-oersted ou nano-ohm; b) não se dobra a letra s na formação de nome de unidades empregando a regra de dobrar o r ou s quando o prefixo termina em vogal e o nome da unidade inicia com a letra r ou s. Assim, por exemplo, escreve-se: miliradiano, milisegundo, nanosegundo e não milirradiano, milissegundo e nanossegundo. [...]

BRASIL. Ministério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior. Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade e Tecnologia (INMETRO). Portaria nº 590, de 2 de dezembro de 2013. Disponível em: www.inmetro.gov.br/legislacao/rtac/pdf/rtac002050.pdf. Acesso em: 4 set. 2022.

ATIVIDADES

1. b) O item “a” do texto já inicia afirmando que

Junte-se a dois ou três colegas e respondam: são símbolos: “os símbolos das unidades” [...]. a) Vocês já viram em algum lugar a inscrição 3 MTS, por exemplo, para indicar uma

medida de comprimento de três metros? Isso está correto? Comentem. b) As unidades de medida são representadas por símbolos ou por abreviaturas?

Explique. 230 | TRAJETÓRIA 4

230 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

#Sistema Internacional de Unidades (SI) Uma das maiores conquistas globais na ciência é a criação do Sistema Internacional de Unidades (SI). Imagine se cada cientista usasse uma medida diferente para as mesmas grandezas, a confusão que teríamos no mundo! Um cientista nos diria que a distância até o centro da Terra é de tantos palmos, enquanto outro diria que, na verdade, trata-se de uma outra quantidade de dígitos (unidade de medida usada na antiga Roma). Imagine o trabalho e o tempo perdido que seria no meio científico... As sete unidades de base do SI, listadas na tabela 1, fornecem as referências que permitem definir todas as unidades de medida do Sistema Internacional. Com o progresso da ciência e com o aprimoramento dos métodos de medição, torna-se necessário revisar e aprimorar periodicamente as suas definições. Quanto mais exatas forem as medições, maior deve ser o cuidado para a realização das unidades de medida.

Tabela 1 - As sete unidades de base do SI GRANDEZA

UNIDADE, SÍMBOLO: DEFINIÇÃO DA UNIDADE

comprimento

metro, m: O metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um 1 intervalo de tempo de 1 299 792 458 do segundo.

massa

quilograma, kg: O quilograma é a unidade de massa, igual à massa do protótipo internacional do quilograma.

tempo

segundo, s: O segundo é a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.

corrente elétrica

ampere, A: O ampere é a intensidade de uma corrente elétrica constante que, mantida em dois condutores paralelos, retilíneos, de comprimento infinito, de seção circular desprezível e situados à distância de 1 metro entre si, no vácuo, produziria entre estes condutores uma força igual a 2 × 10–7 Newton por metro de comprimento.

temperatura termodinâmica

1 kelvin, K: O kelvin, unidade de temperatura termodinâmica, é a fração 273,16 da temperatura termodinâmica no ponto tríplice da água.

quantidade de substância

mol, mol:

intensidade luminosa

candela, cd: A candela é a intensidade luminosa, numa dada direção, de uma fonte que emite uma radiação monocromática de frequência 540 × 1012 hertz e cuja intensidade 1 watt por esterradiano. energética nessa direção é 683

1. O mol é a quantidade de substância de um sistema contendo tantas entidades elementares quantos átomos existem em 0,012 quilograma de carbono 12. 2. Quando se utiliza o mol, as entidades elementares devem ser especificadas, podendo ser átomos, moléculas, íons, elétrons, assim como outras partículas, ou agrupamentos especificados dessas partículas.

SI. BIPM. Disponível em: www.leb.esalq.usp.br/leb/aulas/ler0140/Resumo_SI.pdf. Acesso em: 6 set. 2022. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. O Sistema Internacional vai muito além dessas unidades, pois há inúmeras outras grandezas que precisam de unidades oficiais. Pesquise para saber mais a esse respeito e encontrar a lista completa em www.leb.esalq.usp.br/leb/aulas/ler0140/Resumo_SI.pdf (acesso em: 6 set. 2022).

As mudanças históricas Nos dias atuais, ainda encontramos instrumentos ou unidades de medidas antigos, preservados como registros históricos e alguns como patrimônio cultural, mantidos em museus ou outros espaços públicos para visitação ou estudos científicos. BLUESNAP/SHUTTERSTOCK

B LIVEK/SHUTTERSTOCK

AAQ/SHUTTERSTOCK

MARC_STOCK/SHUTTERSTOCK

Habilidades (EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros. Encontro com outras disciplinas (EF09HI32) Analisar mudanças e permanências associadas ao processo de globalização, considerando os argumentos dos movimentos críticos às políticas globais. LUPAS E LUNETAS Reforce a importância da existência do Sistema Internacional (SI) com os alunos – em especial no que diz respeito ao TCT Ciência e Tecnologia e as aplicações da Matemática nesses contextos – e o esforço e cooperação humanos, ao longo da história, em encontrar padrões que todos possam seguir, potencializando o avanço científico contra os problemas que enfrentamos.

Foto A. Medidor de velocidade de medição histórica no trem elétrico mais antigo do Império Austro-Húngaro. Foto B. Relógio de sol, do início do século passado, do lado de fora da casa histórica de um ex-estatista sul-africano, em Irene, Gauteng, África do Sul. Foto C. Pequenas balanças de metal para pesagem de mercadorias leves, como especiaria ou ervas. É uma reconstituição histórica de balanças idênticas utilizadas na era medieval. Foto D. O astrolábio era um equipamento de astronomia. Esse na foto é um de origem oriental e está exposto na cidade de Doha, Qatar.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Considere as imagens anteriores e, por meio de uma pesquisa, junte-as com fotos de outros instrumentos ou até mesmo documentos históricos mostrando modos de realizar medições de povos antigos ou povos tradicionais do Brasil ou outras nações. Analise as mudanças e permanências dessas formas de medições considerando os impactos que o processo de globalização impôs sobre povos, culturas ou nações. Exponha suas considerações avaliando como a Matemática (os modos de registrar e de comunicar soluções matemáticas) foi impactada e sofreu transformações no decorrer dos tempos. • Organize-se em rodas de conversa ou exponha no mural da sala virtual. 232 | TRAJETÓRIA 4

LUPAS E LUNETAS Incentive os estudantes a formar grupos e buscar orientações dos professores de História para a análise dos materiais coletados. Se possível, agendem uma aula conjunta para abordar os temas mencionados no contexto da História da Matemática.

232 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

As medidas do “muito pequeno” e do “muito grande” Em estudos anteriores você viu que, por exemplo, em vez de escrever 79 000 000 000 metros, 10 podemos escrever 7,9 ⋅ 10 ; e, em vez de 0,0000000851, escrevemos 8,51 ⋅ 10–8 . Ainda assim, em certas situações, essas notações podem ser pouco práticas. Observe o exemplo.

MURATART/SHUTTERSTOCK

Como medimos distâncias no espaço? No SI, para medidas de comprimento, usamos o metro (m) como unidade básica e temos a notação científica para nos auxiliar com valores grandes. O problema é que, no espaço sideral, as distâncias ficam muito grandes e muito rapidamente. Imagine que você está estudando a distância entre a nossa galáxia e a galáxia mais próxima: a Andrômeda. Eis que encontra um resultado de 2,4 ⋅ 1022 metros. Ótimo! Mas... o que significa ter que “andar” 1022 metros?

Galáxia de Andrômeda.

É difícil para o nosso cérebro compreender a magnitude disso. Se você comparar com a distância de um ponto extremo a outro da nossa galáxia, que é de 1021 m, pode até conseguir perceber que a distância daqui até Andrômeda é cerca de 25 vezes o tamanho de nossa galáxia, mas ainda assim fica difícil visualizar. Ano-luz Criou-se então uma unidade de medida: o ano-luz. Um ano-luz equivale ao espaço percorrido pela luz em um ano.

A distância entre as duas galáxias que citamos acima é de 2,5 milhões de anos-luz! Isso quer dizer que um raio de luz que parta da Terra nesse instante irá demorar 2,5 milhões de anos para chegar até Andrômeda! Como comparação, o Sol está a 8 minutos-luz da Terra, ou seja, a luz do Sol chega aqui em 8 minutos. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

233 |

TRAVESSIAS TRAVESSIA S Ano-luz e metro Vamos calcular quantos metros tem um ano-luz para termos uma forma de conversão? ZONDA/SHUTTERSTOCK

Rastros de luzes coloridas.

A luz viaja a uma velocidade de 300 000 000 m/s, isto é, trezentos mil quilômetros por segundo. • Um ano tem 365 dias, um dia tem 24 horas, uma hora tem 60 minutos e um minuto tem 60 segundos. Considerando isso, calcule quantos quilômetros são equivalentes a um ano-luz e escreva o resultado em notação científica. 9,5 ⋅ 1012 km Agora, faça uma reflexão: quantos quilômetros um raio de luz teria viajado se tivesse saído de um ponto de partida no momento do seu nascimento? •

ATIVIDADES

2. 3.

A distância do Sol até Alpha Centauri é de aproximadamente 4,4 anos-luz. O que isso significa? Que a luz demora 4,4 anos para ir do Sol até Alpha Centauri. Quantos minutos-luz são necessários para se obter um ano-luz? Considere, para facilitar o cálculo, que o ano tem exatos 365 dias. 525 600 minutos-luz.

234 | TRAJETÓRIA 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

TRAVESSIAS

em uma questão interessante, fazendo com que o estudante perceba seu tamanho diante do Universo ⎛ 300 000 000 m ⎞ ⋅ (365 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60) s = 9 460 e das espaciais. 800grandezas 000 000 000 m ≅ 9,5 ⋅ 1015 m = 9,5 ⋅ 1012 km ⎜⎝ ⎟⎠ s

⎛ 300 000 000 m ⎞ ⋅ (365 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60) s = 9 460 800 000 000 000 m ≅ 9,5 ⋅ 1015 m = 9,5Atividade ⋅ 1012 km 2 ⎜⎝ ⎟⎠ s 15 12 60) s = 9 460 800 000 000 000 m ≅ 9,5 ⋅ 10 m = 9,5 ⋅ 10 km ou Que a luz demora 4,4 anos para ir do Sol até Alpha Centauri. ⎛ 300 000 km ⎞ ⋅ (365 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60) s = 9 460 800 000 000 km ≅ 9,5 ⋅ 1012 km. ⎜⎝ ⎟⎠ s ⎛ 300 000 km ⎞ ⋅ (365 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60) s = Atividade 3 9 460 800 000 000 km ≅ 9,5 ⋅ 1012 km. ⎜⎝ ⎟⎠ s 365 ⋅ 24 ⋅ 60 = 525 600 minutos – luz. Com a reflexão proposta, reunimos algumas aplicações da Matemática e o autoconhecimento 234 | MANUAL DO PROFESSOR

Angstrom Como estamos falando de luz, uma medida utilizada para medir as frequências de onda o da luz, além do comprimento de átomos e moléculas, é o Angstrom, cujo símbolo é o A . Sua conversão oficial é: o

1 A = 10–10 m, isto é, um décimo de bilionésimo de metro. O Angstrom é usado em situações em que muitas coisas pequenas estão sendo descritas. Por mais que a notação científica possa ajudar, fica repetitivo e não muito intuitivo ficar trabalhando com expoentes negativos em base 10. ATIVIDADES

4. O tamanho de uma molécula de água é de

5. Um nanômetro equivale a 10–9 m. Uma mo-

2,8 A . Quantas moléculas de água precisaríamos alinhar para percorrer uma distância de 100 metros? Dê o resultado em notação científica, arredondando a primeira ordem 11 decimal. Aproximadamente 3,6 ⋅ 10 .

3,64 nm.

MENTALMIND/ SHUTTERSTOCK

lécula de 36,4 A mede quantos nanômetros? Atividade 4

100 m ÷ (2,8 ⋅ 10–10 ) m ≅ 3,6 ⋅ 10 100 m ÷ (2,8 ⋅ 10 ) m ≅ 3,6 ⋅ 1011 moléculas –10

Atividade 5

(36,4 ⋅ 10–10 ) m = (36,4 ⋅ 10–1 ⋅ 10–9 ) (36,4 ⋅ 10–10 ) m = (36,4 ⋅ 10–1 ⋅ 10–9 ) m = 3,64 nm ⋅ 10–10 ) que m = (36,4 ⋅ 10–1 ⋅ 10–9 ) m = 3,64 nm Tal como o ano-luz e o Angstrom, há outras unidades que se baseiam em(36,4 elementos

Múltiplos ou submúltiplos de unidades

facilitam a leitura para além do SI. No entanto, o próprio SI estabelece a nomenclatura para múltiplos ou submúltiplos de unidades de medida para que possamos usá-las conforme a ordem de grandeza e a necessidade do momento:

Tabela 5 – Prefixos SI FATOR NOME SÍMBOLO FATOR NOME SÍMBOLO 101

deca

10–1

deci

hecto

centi

103

quilo

mili

106

mega

10–6

micro

giga

10–9

nano

1012

tera

10–12

pico

peta

femto

1018

exa

10–18

atto

1021

zetta

10–21

zepto

yotta

10–24

yocto

–2 –3

–15

Fonte: SI. BIPM. Disponível em: www.leb.esalq.usp.br/leb/aulas/ler0140/Resumo_SI.pdf. Acesso em: 6 set. 2022. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

235 |

Você já deve ter visto alguns dos nomes em várias situações. Sempre que, por exemplo, você ler uma unidade com quilo como prefixo, significa que a unidade foi multiplicada por mil. Da mesma maneira, multiplicar uma unidade por um milhão pode ser abreviado colocando-se mega como prefixo, ou seja, na frente do nome da unidade. Observação: admite-se chamar o megagrama, que corresponde a 106 g, também de tonelada. Por exemplo, ao medir o tamanho de células humanas em um laboratório para verificar se um paciente possui alterações preocupantes, é possível reportar os resultados, pelo menos em teoria, como 0,025 mm, ou ainda 2,5 ⋅ 10–5 m., porém essas escritas não são práticas para as necessidades envolvidas nesse contexto. Em vez disso, usa-se 25 micrômetros, ou 25 μm. VJOM/SHUTTERSTOCK

Fluxo de glóbulos vermelhos fluindo através da artéria. Representação estilizada a partir de imagem obtida por Scanned Electron Microscope (SEM, sigla em inglês), cuja tradução é microscópio eletrônico por varredura.

LUPAS E LUNETAS Resposta pessoal.

ANUCHA CHEECHANG/SHUTTERSTOCK

KATERYNA KON/SHUTTERSTOCK

Um microscópio eletrônico por varredura (MEV) é um equipamento que utiliza feixes de elétrons no lugar de fótons, em microscópio óptico convencional, possibilitando ampliações de 300 000 vezes ou até mais.

Cientista analisa nanomateriais com máquina de microscópio eletrônico de varredura em laboratório. Imagem ampliada de nanopartículas de prata.

Forme um grupo com os colegas e pesquisem quais são outras capacidades dos microscópios eletrônicos de varredura. Deem exemplos da capacidade de aumento de elementos, de caráter químico ou biológico, na análise de microestrutura de objetos sólidos. Apresentem imagens que possam comprovar as informações que vocês trouxerem.

236 | TRAJETÓRIA 4

236 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

6. b) Aproximadamente 33 333 333 vezes.

6. Um dos usos mais comuns da tabela de pre-

EVERETT COLLECTION/SHUTTERSTOCK

fixos do SI é na computação, em que o byte (B) é a unidade básica de armazenamento. A partir dele, temos os quilobytes (kB), megabytes (MB), gigabytes (GB) e terabytes (TB).

Os primeiros computadores eram enormes e sua capacidade, pequena, quando comparados aos da atualidade.

Sabendo disso, responda: a) Quantos arquivos de 250 kB cabem em um disco de armazenamento cuja capacidade seja de 2 GB? 8 000 arquivos. b) O IBM 350 foi a primeira unidade de armazenamento de computação, criada em 1956, e sua capacidade era de cerca de 0,6 MB. Atualmente, há discos de armazenamento cuja capacidade chega a 20 TB. Quantas vezes um IBM 350 caberia dentro de um disco de 20 TB?

7. O valerato de estradiol é um remédio usado

para a reposição hormonal feminina, aliviando os sintomas da menopausa. Para medir o sucesso da medicação, exames de sangue podem ser usados para detectar o grau de concentração do hormônio no organismo. Após 4 a 9 horas, o remédio sugere que a concentração máxima de estradiol no sangue é de 15 a 30 pg/mL (picogramas por mililitro). Após 24 horas, os níveis de estradiol tendem a estabilizar em 8 a 15 pg/mL. Responda: a) Embora o litro não seja uma unidade fundamental do SI, usamos bastante essa

medida em nosso dia a dia. Quantos mililitros de sangue possui uma pessoa que tem 5 litros de sangue no corpo (média de um ser humano normal)? 5 000 mL. b) Uma paciente que esteja com os níveis de estradiol em 12 pg/mL e tenha 5 litros de sangue no corpo tem quantos picogramas de estradiol ao todo circulando em seu organismo? 60 000 pg. c) Converta a resposta do item anterior para nanogramas (ng). 60 ng.

8. Uma unidade de medida muito utilizada para medir áreas de superfícies de terrenos é o hectare (ha) que corresponde a um hectômetro quadrado.

88STUDIO/SHUTTERSTOCK

ATIVIDADES

Agrimensor usando equipamento eletrônico para levantamento geodésico.

Responda: 100 m. a) Quantos metros vale um hectômetro? b) Um terreno com tamanho de um hectare terá medidas de um hectômetro de comprimento e um hectômetro de largura. Qual é a área, em metros quadrados, desse terreno? 10 000 m2. c) Quantos hectares tem um terreno cujas medidas são 1650 m × 500 m? 82,5 ha. d) Quantos hectares tem um terreno cuja área seja de um quilômetro quadrado? 100 ha.

9. Quantos nanômetros há em um quilôme-

tro? Escreva o resultado como número “por extenso” e também em notação científica.

1012 nm, um trilhão de nanômetros.

237 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 6

Atividade 8

a) 2 000 000 000 : 250 000 = 8 000 arquivos a) 1 hm = 100 m b) 20 000 000 000 000 : 600 000 ≅ 33 333 333 vezes b) 100 ⋅ 100 = 10 000 m2 0 000 : 600 000 ≅ 33 333 333 vezes c) 1 650 ⋅ 500 = 825 000 m2 ; 825 000 : 10 000 = 82,5 ha.

1 650 ⋅ 500 = 825 000 m2 ; 825 000 : 10 000 = 82,5 ha. d) 1 km2 = 1 km ⋅ 1 km = 1 000 m ⋅ 1 000 m = 1 000 000 m2 ; 1 000 000 : 10 000 = 100 ha 2 a) 5 ⋅ 1 000 =1 5km 000=mL 1 km ⋅ 1 km = 1 000 m ⋅ 1 000 m = 1 000 000 m2 ; 1 000 000 : 10 000 = 100 ha b) 12 ⋅ 5 000 = 60 000 pg Atividade 9 c) 60 000 : 1 000 = 60 ng a) 1 km = 1 000 m = 106 mm = 109 µm = 1 ⋅ 1012 nm. Atividade 7

237 |

#Volume O litro (L) é uma unidade de medida para capacidade associada a um volume. HXDBZXY/SHUTTERSTOCK

Habilidades (EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas. Encontro com outras disciplinas (EF09HI32) Analisar mudanças e permanências associadas ao processo de globalização, considerando os argumentos dos movimentos críticos às políticas globais.

É importante saber o volume de uma piscina para ter noção de quantos litros de água ela comporta para, por exemplo, poder avaliar melhor o custo e a manutenção.

A unidade de medida padrão de volume é o metro cúbico ou m3. No entanto, no dia a dia, usamos o litro, cuja relação de conversão é: 1000 L = 1 m3 ou 1 L = 1 dm3 O volume indica o espaço ocupado por um corpo.

LUPAS E LUNETAS

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. A globalização trouxe muitas mudanças para o planeta e uma delas é o acesso a diversas tecnologias que modificam o estilo de vida em locais onde antes seria impossível ter um conforto básico. Um exemplo é Dubai, localizado nos Emirados Árabes Unidos. RENATA SEDMAKOVA/SHUTTERSTOCK

O avanço do conhecimento e da Ciência e Tecnologia (TCT) aparecem novamente, trabalhando com o estudante a evolução e os problemas que surgem com o crescimento da população. Proporcione aos alunos uma discussão sobre as potencialidades e os problemas que os avanços nas ciências e as novas tecnologias trazem sobre o ambiente. Esta seção dialoga também com a habilidade de História EF09HI32.

Em Dubai está o prédio mais alto do mundo (dados de 2022), o Burj Khalifa.

Em 1985, a população da cidade era de menos de 400 mil pessoas. Atualmente, a população passa de 2,5 milhões de pessoas, um crescimento de mais de 500%! Um dos fatores que facilitaram essa expansão é um eletrodoméstico: o ar-condicionado. Dubai fica no meio de um deserto e as temperaturas no verão chegam a 50 oC. Com o ar-condicionado, torna-se viável permanecer em ambientes fechados. Para calcular a potência de um ar-condicionado necessária para um ambiente, usamos a unidade de medida BTU (sigla para British Termal Unit – “Unidade Térmica Britânica”), que corresponde à capacidade de resfriamento do eletrodoméstico de acordo com o volume de ar no ambiente. a) Pesquise como podemos calcular os BTUs necessários para o ambiente onde você está agora. b) Como a ciência e a tecnologia auxiliam o homem a viver em lugares antes inóspitos? 238 | TRAJETÓRIA 4

238 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

#Prismas Prismas são poliedros com estas características:

• são formados apenas por superfícies planas, sem partes arredondadas, com arestas,

vértices e faces;

• duas bases idênticas poligonais opostas dão nome ao prisma; • as faces que não são bases são chamadas de faces laterais e são retangulares.

8 ⋅ 8 ⋅ 8 = 512 cm3 .

Na imagem, temos um prisma pentagonal, um prisma hexagonal e um prisma heptagonal.

Atividade 11

a) 5 ⋅ 4 ⋅ 6 = 120 m3 . b) 120 ⋅ 1 000 = 120 000 L. c) 80 000 L = 80 m3 . C o m o

O volume de um prisma é calculado por: V = Ab ⋅ h em que V é o volume, Ab é a área da superfície da base e h, a altura.

Um prisma de base retangular é chamado de paralelepípedo ou bloco retangular. Quando todas as faces são quadradas, temos um cubo.

a base do paralelepípedo t e m á r e a 5 ⋅ 4 = 20 m2 , calculamos 80 ⋅ 20 = 4 m de altura.

Atividade 12

Cubo.

Área da base: 6 ⋅ 2 ⋅ 1,73 = 10,38 m2 2 Dividindo o volume pela área da base, obtemos

Bloco retangular ou paralelepípedo.

31,14 : 10,38 = 3 m de altura.

O volume do paralelepípedo é calculado por V = abc, e o volume do cubo é V = a3 . ATIVIDADES

10. Calcule o volume de um cubo cuja aresta mede 8 cm. 512 cm . 3

11. Um reservatório de água tem o formato de um paralelepípedo cuja base é um retângulo com comprimento 5 m e largura 4 m. Se a altura do reservatório é de 6 m, responda: a) Qual é o volume do reservatório? 120 m3. b) Quantos litros de água cabem nesse re-

servatório? 120 000 L.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

c) Se o reservatório estiver com somente

80 000 litros, qual é a altura da água? 4 m de altura.

12. Para um show de luzes, está previsto um espetáculo envolvendo um holograma em formato de prisma hexagonal regular, no qual é possível decompor sua base em seis triângulos equiláteros, cada triângulo medindo 2 m de base e 1,73 m de altura. Qual deve ser a altura do prisma para que o volume do holograma seja de 31,14 m3? 3 m.

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Habilidades (EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

#Cilindro reto

EVGENIA VASILEVA/ SHUTTERSTOCK

O cilindro é um corpo redondo que faz parte dos sólidos geométricos. As figuras a seguir representam cilindros.

Atividade 13

O volume do cilindro, sendo r o raio do círculo da base e h, a altura, pode ser calculado por

V = π ⋅ 32 ⋅ 10 = 90 πm3

V = π ⋅ r2 ⋅ h

Atividade 14 ATIVIDADES

540π = π ⋅ r 2 ⋅ 15 ⇒ r 2 = 36 Portanto, o raio é 6 cm.

13. Calcule o volume de um cilindro cujo raio da 3

14. No cilindro, o volume é de 540π cm . Qual 3

é a medida do raio da base deste cilindro?

da maior?

Aproximadamente 256,43 cm3.

16. Veja as diferentes vistas de uma mesma lata e as medidas de alguns de seus atributos.

2 ⋅ 384,65 ≅ 256,4 cm3 3

Atividade 16

V = π ⋅ 42 ⋅ 5 ⇒V = 80π cm3 . Alternativa c.

O raio mede 6 cm.

15. Observe uma sequência com três latas, em

ordem crescente de seus volumes. Considere π = 3,14.

Atividade 17

Vista oblíqua

Vista lateral

8 cm

Vista de cima

Qual das alternativas indica o volume dessa lata? Anote no seu caderno. Alternativa c. a) 5π cm3. c) 80 π cm3. b) 20π cm3. d) 320 π cm3.

ELLENM/ SHUTTERSTOCK

ELLENM/SHUTTERSTOCK

que sua altura é de 10 cm e o raio da base é de 3,5 cm? Aproximadamente 384,65 cm3. b) Qual é o volume da lata menor, sabendo 1 que ela tem, aproximadamente, 3 do volume da maior? Aproximadamente 128,22 cm3.

5 cm

17. Observe a lata de um produto industrializado.

a) Qual é o volume da lata maior, sabendo

240 | TRAJETÓRIA 4

ELLENM/SHUTTERSTOCK

c) V =

2 tem, aproximadamente, 3 do volume

a) V = π ⋅ 3,5 ⋅ 10 → V ≅ 384,65 cm 52 ⋅ 10 → V ≅ 384,65 cm3 1 ⋅ 384,65 ≅ 128,2 cm3 . b) V = 3 2

c) Qual é o volume da lata do meio, que

base mede 3 m e a altura, 10 m. 90π m .

Atividade 15

Sabe-se que a área da superfície lateral é de 72 cm2 e que o perímetro da circunferência da base é de 18 cm. Aproximadamente 3 cm. a) Quanto mede o raio da base? b) Qual é a medida de comprimento da altura? 4 cm. c) Qual é o volume dessa lata? Aproximadamente 108 cm³.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Como o perímetro da circunferência da base

a) A superfície lateral do cilindro correspondente é 18 cm , considerando π ≅ 3: a um retângulo de área 72 cm2 e comprimento igual ao da circunferência da base, 18 cm.

72 cm2 18 cm

240 | MANUAL DO PROFESSOR

C = 2πr ⇒ C ≅ 2 ⋅ 3 ⋅ r = 18 cm ⇒ r ≅ 3 cm

b) Sendo a superfície lateral do cilindro correspondente a um retângulo de área 72 cm2 e comprimento igual ao da circunferência da base, 18 cm, a altura é: 72 = 4 cm 18 c) O volume da lata é: V = π ⋅ 32 ⋅ 4 ≅ 108 cm3

18. O álcool etanol é um combustível alter-

Responda:

nativo à gasolina, sendo bastante utilizado no Brasil e produzido, em geral, a partir da cana-de-açúcar, embora também possa ser produzido da mandioca, batata, milho ou beterraba. É mais barato que a gasolina, mas seu poder de explosão também é menor, o que resulta em um gasto menor para encher o tanque de combustível, mas um tempo menor que esse tanque dura. O processamento da matéria-prima para que a fermentação (processo necessário para a produção do etanol) ocorra é feito em cilindros gigantes como os da imagem.

Habilidades (EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

h = 2r

a) Qual deve ser a relação entre o raio e a

altura para que um cilindro seja equilátero? b) Crie uma fórmula que calcule o volume

de um cilindro equilátero em função da medida do raio. V( r) = 2πr 3

20. Uma indústria de bebidas gaseificadas vai ATTAPHONG/SHUTTERSTOCK

KEN WOLTER/SHUTTERSTOCK

lançar um novo produto com quatro sabores.

b) Serão gastos

20 000 ⋅ 347,2 = 6 944 000 cm2 = 694 20 000 ⋅ 347,2 = 6 944 000 cm2 = 694,4 m2 Menos do que 700 m2. c) V = π ⋅ r 2 ⋅ h = V = 3,1 ⋅ 3,52 ⋅ 16 = V = π ⋅ r 2 ⋅ h = V = 3,1 ⋅ 3,52 ⋅ 16 = 607,6 cm3

Como 1 L = 1 dm3 = 1 000 cm3 , esse volume equivale a 0,6076 L ou 607,6 mL. As medidas de comprimento que caracterid) (50 + 150 + 300 + 1 200) ⋅ 0,6076 = 1 03 zam essas latas estão indicadas na imagem. (50 + 150 + 300 + 1 200) ⋅ 0,6076 = 1 032,92 L Considere π = 3,1. a) Para o lançamento, haverá um rótulo

promocional de plástico cobrindo toda a parte central da lata, que dá a ideia de

Refinaria de etanol.

Imagine que uma indústria de etanol possua 6 tanques cilíndricos, todos iguais, com raio da base igual a 10 m e altura de 25 m. Sabendo que apenas 12% do volume de um tanque cheio é transformado em etanol e que π = 3, qual é o volume que a indústria consegue produzir, em metros cúbicos, de etanol se estiver com os 6 tanques cheios?

5 400 m .

um cilindro perfeito. Qual é a área desse rótulo? 347,2 cm2. b) Para a produção de 20 000 rótulos promo-

cionais iguais a esse, quanto vai ser gasto de plástico? Essa quantidade é maior ou é menor do que 700 m2? c) Qual é o volume de uma lata dessa em

litros? E em mililitros? 0,6076 L = 607,6 mL

19. Um cilindro é chamado de equilátero quando sua vista lateral é um quadrado.

Menor do que 700 m2.

d) Para distribuir, como degustação, nas

imediações de uma escola com número elevado de jovens, foram produzidas 5 dezenas da bebida amarela; da azul, o triplo da amarela; da verde, o dobro da azul; e da vermelha, o quádruplo da verde. Quantos litros foram produzidos para essa finalidade? 1 032,92 L.

20. b) 6 944 000 cm2. É menor, pois 6 944 000 cm2 equivale a 694,4 m2. 241 |

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 18

Atividade 19

O volume dos 6 tanques cilíndricos é V = 6 ⋅ (π ⋅ 102 ⋅ 25) = 15 000 πm3 , e u s a n d o π ≅ 3, V ≅ 45 000 m3 . Apenas 12% desse volume é transformado em etanol, então são 12% ⋅ 45 000 m3 = 5 400 m3 de etanol.

a) h = 2r b) V(r) = π ⋅ r 2 ⋅ (2r) = 2πr 3 Atividade 20

Considerando π ≅ 3,1, temos:

a) A área da superfície lateral do cilindro de diâ-

metro da base 7 cm que corresponde à área do rótulo é: A = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h ≅ 2 ⋅ 3,1 ⋅ 3,5 ⋅ 16 = 347,2 cm2

241 |

NUVENS Polígono inscrito na circunferência Você percebeu como a fórmula da área da superfície do cilindro é parecida com a do prisma? É a mesma expressão: a área da base, no caso, é a área de um círculo! A aproximação de um polígono regular de muitos lados para um círculo é algo que já foi estudado pelos antigos e você pode repetir esse estudo. MATRIOSHKA/SHUTTERSTOCK

Habilidades (EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas. NUVENS O objetivo é concluir que à medida em que o número de lados do polígono regular aumenta, o perímetro do polígono aproxima-se do comprimento da circunferência e o espaço entre o polígono e o círculo diminui cada vez mais, ou seja, a área da superfície do polígono tende à área do círculo.

A circunferência foi muito estudada pelos gregos, especialmente por Arquimedes, e aparece constantemente em suas produções. a) Em um software de geometria dinâmica, construa um polígono regular de 8 lados. b) Marque o ponto médio (

) entre dois vértices opostos do polígono para encontrar o centro. c) Por último, trace uma circunferência com centro no ponto médio e raio em qualquer um dos pontos do polígono, gerando um polígono inscrito na circunferência:

Repita os passos com um polígono de 20 lados e, depois, com um de 50 lados e anote suas conclusões. Resposta pessoal. 242 | TRAJETÓRIA 4

242 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Planificação das superfícies de cilindros e de prismas

ANDREW KRASOVITCKII/SHUTTERSTOCK

Para uma campanha pelo uso de combustíveis menos poluentes, os alunos vão construir um infográfico 3D com diversos cilindros – representando os tanques em uma refinaria – a partir da planificação da superfície do sólido.

Habilidades (EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

Modelo que inspirou o infográfico dos alunos.

Note as duas bases circulares e que “enrolamos” o retângulo ao redor delas para fechar a superfície de um cilindro.

Na planificação da superfície do cilindro, é preciso que o comprimento do retângulo seja igual a 2πr, sendo r o raio das bases, do contrário o retângulo não completa a volta ao redor das bases. As superfícies de prismas têm uma planificação similar, mas com as faces laterais retangulares. Observe a superfície planificada de um prisma hexagonal:

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

243 |

Habilidades (EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

No caso da planificação da superfície do prisma, as larguras dos retângulos devem ser iguais às medidas dos lados da base e o número de lados deve ser suficiente para “fechar” a superfície da figura. Para a planificação da superfície do cubo, temos diversas possibilidades para a disposição dos seis quadrados das faces. Observe algumas delas:

Atividade 21

Alternativa c, pois há 4 faces laterais e só poderia haver 3. Se possível, construa as planificações e monte com os estudantes os sólidos geométricos. Atividade 22

Sendo o comprimento da circunferência da base o mesmo que o comprimento do retângulo da face lateral do cilindro, temos: C = 2πr ⇒ 15 ≅ 2 ⋅ 3 ⋅ r r ≅ 2,5 cm

ATIVIDADES

21. Das imagens, qual não pode ser uma pla-

nificação da superfície de um prisma ou de um cilindro? Justifique. a)

Como h = 8 cm, temos V = π ⋅ r 2 ⋅ h ⇒V ≅ 3 ⋅ 2,52 ⋅ 8

V ≅ 150 cm3 .

22. Calcule o volume do cilindro cuja planifica-

ção da superfície você pode ver na figura. Utilize π ≅ 3. 150 cm3.

Alternativa c, pois há 4 faces laterais e só poderia haver 3.

244 | TRAJETÓRIA 4

244 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LEVO NA BAGAGEM

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Consulte todas as suas produções até agora neste passeio e avalie seu aprendizado sobre: ▶ Matemática • Reconhece e emprega unidades utilizadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas? • Escolhe a unidade de medida apropriada para representar uma grandeza? • Resolve e elabora problemas que envolvam medidas de volume de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas? • Reconhece a planificação da superfície de prismas e de cilindros, calculando seus volumes quando as medidas apropriadas são fornecidas? ▶ Outras disciplinas História • Sabe refletir sobre as mudanças e permanências associadas ao processo de globalização envolvendo diversos movimentos, desde os críticos até os de políticas globais? Anote seu parecer para essas questões no caderno e, ao final, analise como julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

245 |

BARCOS E PORTOS

Organize

Auxilie os estudantes na elaboração das situações-problema, observando: a adequação do assunto trabalhado e dos números ao contexto; as ilustrações; a resolução dos cálculos solicitados; o compartilhamento; e a correção.

▶ Organize Respostas pessoais. Agora que você percorreu todo este passeio, faça uma lista de conceitos que aprendeu, junto com uma frase ou pequeno parágrafo explicando cada um deles. Comece consultando o mapa de vínculos e ênfases que está na seção Arredores. Depois, reveja as anotações e atividades que fez em seu caderno ao longo do passeio. Para cada conceito novo, faça uma nova entrada na lista. a) Após terminar, explique cada um dos conceitos para outro colega e peça que ele

explique do jeito dele os conceitos para você: assim um completa a lista do outro com aquilo que ainda faltar. b) Depois de preenchida por vocês dois, destroquem as listas e, caso algum conceito

ou ideia não tenha ficado claro, peçam auxílio ao professor ou pesquisem juntos para remediar isso. ▶ Elabore A elaboração de uma situação-problema de Matemática envolve alguns aspectos. •

Primeiro, é necessário pensar no tema a ser trabalhado. Que ferramenta você quer que a pessoa que vai resolver o problema mobilize?

•

Depois, pense no tipo de procedimento que quer que ela faça com a ferramenta selecionada. Por exemplo, se escolheu o assunto triângulos, trata-se de um problema de semelhança de triângulos ou envolvendo o teorema de Pitágoras?

•

Então, cria-se o contexto. Idealmente, ele deve ser o mais razoável e compatível com a realidade possível. Tome cuidado, por exemplo, ao elaborar problemas como: um menino comprou 765 laranjas. Uma dica seria alterar o contexto, por exemplo: o departamento de compras de uma indústria de sucos comprou 765 quilogramas de laranjas orgânicas.

•

Por último, é importante resolver o seu próprio problema e escrever o gabarito, para evitar que haja falhas que não percebeu ao elaborar. Pensando nesses quatro passos, elabore uma situação-problema envolvendo

volumes ou unidades de medida: os temas deste passeio. Quando terminar, troque com um colega e peça que ele resolva a sua situação-problema, enquanto você resolve a dele. 246 | BARCOS E PORTOS

246 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

▶ Proponha A pergunta inicial deste passeio é: De que modo a ciência auxilia na expressão e comunicação humanas? Leia os textos sobre as pandemias de 1918 e 2020.

Texto 1 [...] Quase nada, porém, se compara aos efeitos da pandemia de 1918. “A gripe espanhola foi a pior de todas as epidemias da história de São Paulo, talvez só comparável às epidemias que grassavam no século 16 e dizimaram a população indígena. O cotidiano da cidade se transformou radicalmente” [...]. Antes mesmo de chegar ao Brasil, a doença já havia matado quase uma centena de brasileiros. Em setembro, quando o mundo sofria o ataque da primeira onda da influenza, o governo brasileiro enviou uma missão médico-militar para auxiliar no palco da guerra europeia. A missão fez escala

em Dacar, no Senegal, onde acabou dizimada pela gripe. [...] O H1N1 chegou ao Brasil em 14 de setembro, a bordo do navio a vapor Demerara, vindo de Liverpool, Inglaterra, e que passou por Lisboa, Recife (PE), Salvador (BA) e Rio de Janeiro, espalhando o vírus por todos os portos onde atracou. A devastação da influenza espanhola no Rio, então capital do País, foi enorme, atingindo a marca das 14 348 mortes. Bastou um mês para a gripe subir a serra e chegar a São Paulo.

SALVADORI, Fausto. A gripe que derrubou São Paulo. Portal da Câmara Municipal de São Paulo. Disponível em: www.saopaulo.sp.leg.br/apartes/a-gripe-que-derrubou-sao-paulo. Acesso em: 6 set. 2022.

Texto 2 Para evitar o espalhamento da nova variante do coronavírus no Amazonas e em todo Brasil, é urgente que haja vigilância de casos suspeitos de reinfecção. O alerta é feito em nota produzida pelo Observatório Covid-19 BR, que mapeou a vulnerabilidade dos aeroportos e aponta que São Paulo, Guarulhos, Brasília, Rio de Janeiro (Santos Dumont), Confins, Porto Alegre, Rio de Janeiro (Galeão),

Salvador, Curitiba, Recife, Fortaleza, Campinas, Florianópolis e Vitória têm maiores chances de receber pessoas infectadas com a variante do vírus provenientes de Manaus. O estudo recomenda um maior controle do fluxo de pessoas, tanto em rotas aéreas quanto rodoviárias e fluviais, para contenção da nova variante, que é mais transmissível e com potencial de reinfecção. [...]

CIENTISTAS alertam para espalhamento de variante do coronavírus por meio de aeroportos. Jornal da USP, 20 jan. 2021. Disponível em: https://jornal.usp.br/ciencias/cientistas-alertam-para-espalhamento-de-variante-do-coronavirus-por-meio-de-aeroportos. Acesso em: 6 set. 2022.

Responda:

Respostas pessoais.

Como a gripe espanhola chegou ao Brasil, segundo o texto?

1. 2. 3. 4.

Qual era o risco maior de espalhamento da variante de Manaus da covid-19 pelo Brasil, segundo o texto? Você diria que hoje em dia tudo ocorre mais rapidamente por conta da globalização? Isso é algo bom ou ruim? Quantas pessoas a gripe espanhola matou no Rio, segundo o texto? Pesquise o número de mortes causadas pela covid-19 na mesma cidade nos anos da pandemia e compare os números. Como você acha que a globalização e a comunicação entre os países poderiam ajudar caso surgisse uma nova pandemia? E em sua contenção? Proponha ações e protocolos que poderiam ter um impacto positivo na prevenção de tais acontecimentos.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

247 |

Encontro com outras disciplinas (EF09HI32) Analisar mudanças e permanências associadas ao processo de globalização, considerando os argumentos dos movimentos críticos às políticas globais. Proponha

O objetivo dessa atividade está relacionado ao conhecimento. Ao perceber a quantidade de mortes de uma pandemia e o impacto disso na vida das pessoas e ao entender que a globalização tem um fator tanto na prevenção quanto no espalhamento da doença, o estudante reflete sobre a complexidade do assunto e expande seu ponto de vista para além do bom e do ruim. A atividade também dialoga com a habilidade de História EF09HI32: “Analisar mudanças e permanências associadas ao processo de globalização, considerando os argumentos dos movimentos críticos às políticas globais”.

1. A bordo do navio Demerara. 2. Através dos aeroportos, pelo grande fluxo de pessoas.

3. Resposta pessoal. 4. Mais de 14 mil mortes.

Resposta pessoal dependendo da cidade. 5. Resposta pessoal, com o estudante sendo protagonista na proposição de ações que possam trazer maior cuidado com a higiene e a propagação de doenças.

247 |

PASSEIO 3 – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA COMO AVALIAR DADOS E EVITAR A DESINFORMAÇÃO? GORODENKOFF/SHUTTERSTOCK

Habilidades (EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central. (EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

Engenheira analisando dados apresentados em gráficos diversos, em departamento de Tecnologia da Informação (TI) de uma empresa.

CHECK-IN A informação é abundante nos tempos atuais, mas como verificar se ela é confiável? Desenvolver uma consciência crítica e investigativa atualmente é uma necessidade para os que vivem mergulhados em um fluxo de informações instantâneas. A Estatística e a probabilidade são áreas da Matemática que trabalham com dados, organizando-os, analisando-os e apresentando-os. Cabe aos leitores dessas informações assumirem posturas críticas em busca de informações publicadas com ética. a) Que gráficos você reconhece na imagem? b) Sabe como calcular um percentual a partir de uma fração? Explique. c) Sabe como calcular uma média aritmética? E sabe interpretá-la em uma informa-

ção? Comente. Respostas pessoais. 248 | TRAJETÓRIA 4

CHECK-IN Estabeleça, por meio das questões desta seção, um diagnóstico sobre os conhecimentos prévios dos estudantes a respeito dos temas que serão abordados neste passeio. Escute atentamente os comentários e as dúvidas dos estudantes sobre esses conceitos e retome o que julgar adequado à sua turma nesse momento ou ao longo do passeio quando os temas se fizerem necessários.

248 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ARREDORES

Eventos

Dados

PROBABILIDADE

Média

ESTATÍSTICA

Moda

Mediana

Medidas de tendência central

Pesquisa Porcentagem

Organização

Elementos dos gráficos

Gráficos

EF09MA20, EF09MA21, EF09MA22, EF09MA23 EF69LP06

BÚSSOLA Neste passeio, você buscará atingir os seguintes objetivos: • • • • • •

Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e eventos dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência. Analisar gráficos, atentando-se aos elementos e identificando possíveis erros que podem comprometer a leitura. Construir gráficos, com ou sem um software digital, organizando os dados de maneira adequada. Utilizar medidas de tendência central para auxiliar na leitura de dados. Planejar, executar e analisar uma pesquisa com o objetivo de descrever uma situação por meio de dados. Analisar notícias que apresentem dados ou gráficos como forma de compreender as condições de circulação desses textos.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

249 |

250 | MANUAL DO PROFESSOR

ATMOSFERA ATMOSFER A Pesquisas falsas e estatísticas mentirosas enganam; tome cuidado ao usá-las ANDREI KORZHYTS/SHUTTERSTOCK

DROZD IRINA/SHUTTERSTOCK

Encontro com outras disciplinas (EF69LP06) Produzir e publicar notícias, foto denúncias, fotorreportagens, reportagens, reportagens multimidiáticas, infográficos, podcasts noticiosos, entrevistas, cartas de leitor, comentários, artigos de opinião de interesse local ou global, textos de apresentação e apreciação de produção cultural – resenhas e outros próprios das formas de expressão das culturas juvenis, tais como vlogs e podcasts culturais, gameplay, detonado etc.– e cartazes, anúncios, propagandas, spots, jingles de campanhas sociais, dentre outros em várias mídias, vivenciando de forma significativa o papel de repórter, de comentador, de analista, de crítico, de editor ou articulista, de booktuber, de vlogger (vlogueiro) etc., como forma de compreender as condições de produção que envolvem a circulação desses textos e poder participar e vislumbrar possibilidades de participação nas práticas de linguagem do campo jornalístico e do campo midiático de forma ética e responsável, levandose em consideração o contexto da Web 2.0, que amplia a possibilidade de circulação desses textos e “funde” os papéis de leitor e autor, de consumidor e produtor.

Há na mídia informações estatísticas que são equiparadas às fake news.

[...] A comunicação tem essas armadilhas. Alguns números são apresentados de uma maneira para atender às conveniências de uns, e de outra para atender aos interesses de outros. Cabe a quem os recebe interpretar o que efetivamente está por trás dos dados anunciados. Como a maioria tem dificuldade para fazer essa avaliação, acabamos por aceitar sem resistências e como certos os estudos divulgados. [...] A questão toda se apoia na ética, ou na falta dela, para transmitir informações enganosas. Entre os extremos de ser ou não ético há um campo cinzento que fica mais claro ou mais escuro dependendo da época, da cultura, da circunstância e das necessidades das pessoas envolvidas. [...] Informações propositalmente falsas, todavia, ferem os preceitos éticos, independentemente das circunstâncias. Quantos de nós já ouvimos anúncios de sabonetes ou cremes dentais que, com algumas variações, afirmam que determinadas substâncias neles contidas são apreciadas por nove de cada dez

pessoas pesquisadas. Parece que estamos falando mesmo de excelentes produtos. Por outro lado, quem foram essas pessoas pesquisadas? Será que esses ingredientes também não estão presentes nos produtos concorrentes, que não foram mencionados? Ocultar essas informações para direcionar a compra do produto pode ser considerada uma atitude ética? Os profissionais que participaram da fabricação do produto e os que cuidaram da sua divulgação estavam conscientes de que omitiam informações relevantes para a avaliação do consumidor? [...] A conduta ética e responsável deve pautar todas as nossas ações. Divulgar números, estudos, estatísticas e pesquisas sabendo que os dados escondem informações importantes não nos torna melhores cidadãos. Ficar atentos a informações distorcidas e alertar os que nos cercam sobre essas mentiras e omissões é atitude que demonstra, sim, nossa cidadania.

POLITO, Reinaldo. Pesquisas falsas e estatísticas mentirosas enganam; tome cuidado ao usá-las. UOL Economia, 23 jun. 2015. Disponível em: https://economia.uol.com.br/blogs-e-colunas/coluna/reinaldo-polito/2015/06/23/pesquisas-falsas-e-estatisticas-mentirosas-enganam-tome-cuidado-ao-usa-las.htm. Acesso em: 7 set. 2022.

ATIVIDADES

Forme um grupo para reler e refletir sobre o texto e responder às questões. a) Que exemplos o texto dá de manipulações possíveis feitas em uma informação

estatística?

b) Que cuidados o texto ressalta que devemos ter quanto à confiabilidade do que

lemos e ouvimos?

c) Como você acredita que podemos evitar problemas como os que o texto coloca?

d) Como uma informação incorreta pode induzir a erro alguém que trabalha com to-

mada de decisões? Respostas pessoais.

250 | TRAJETÓRIA 4

ATMOSFERA

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

mostrando a eles que as mais diversas profissões precisam tomar decisões que podem impactar a Esta seção dialoga com a habilidade EF69LP06 vida de muitas pessoas: um porteiro bem informade Língua Portuguesa, auxiliando também o pendo pode evitar um assalto a um condomínio, um samento científico, criativo e crítico dos alunos em cozinheiro que saiba como identificar ingredientes sua busca por novos conhecimentos. estragados pode salvar vidas. O pensamento crítico, que trabalhamos neste passeio, é fundamental Atividade 1 para todos os cidadãos. A última pergunta favorece uma discussão acerca do TCT Economia, especificamente na área de Trabalho. Pergunte aos estudantes quais profissões precisam tomar decisões com base em dados,

Habilidades (EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.

#Probabilidade: qual é a chance? Quantas vezes você já ouviu frases como:

• “Acho que hoje vai chover.”

• “Acho mais provável o time A ganhar do que o time B”. • “Este ano, no amigo secreto, vou ter menos chances de tirar o nome do meu melhor amigo

LORA_AKS/SHUTTERSTOCK

porque há mais pessoas brincando do que o ano passado.” O que significa dizer que algo é mais provável, de fato?

Quando falamos em probabilidade, normalmente pensamos em experimentos com dados, mas não é só disso que ela trata.

Vamos realizar um experimento para verificar do que estamos falando. ATIVIDADES

2. Junte-se a um colega e lancem uma moeda para o alto 100 vezes, anotando a quantidade de caras e de coroas que aparecem. Ao final, respondam: vocês obtiveram exatamente 50 caras e 50 coroas? Respostas pessoais.

3. Agora, converse com outras duplas de sua sala, compare os resultados e responda: a) Quantas duplas tiveram exatamente 50 caras? b) Alguma dupla teve menos de 30 caras ou menos de 30 coroas? Respostas pessoais.

Noção de resultados possíveis É esperado que a resposta do item b da última atividade tenha sido zero dupla (se não foi, não é algo impossível, só bastante raro). Da mesma maneira, é esperado que a resposta do item a também tenha sido bem próxima de zero. Como pode isso se pensamos que a probabilidade de obter cara é 50%? Isso não significa que, a cada 100 lançamentos, 50 devem ser cara? Aí que entra o conceito fundamental da probabilidade: é esperado que os resultados estejam próximos a 50 caras e 50 coroas. Mesmo fazendo a “matematização” do acaso, é impossível garantir com toda a certeza qual será o resultado seguinte no lançamento de uma moeda. Ainda assim, a probabilidade é um norte importante ao analisar fenômenos e é assim que entramos no fato de que o resultado do item b da última atividade deve ter sido zero ou muito próximo disso. É esperada certa flutuação ao redor de 50 caras e 50 coroas, mas, se sua moeda resultou em 20 caras e 80 coroas, podemos começar a desconfiar que talvez ela tenha algum tipo de deformação que favoreça uma das faces. Pode ter sido acidente? Pode! Mas, se o acidente se repete de novo e de novo, a estatística começa a apontar que talvez não seja só um acidente! NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

251 |

Atividades 2 e 3

Acompanhe atentamente estes experimentos: se cada dupla lançar a moeda e anotar a quantidade de caras e de coroas, essa quantidade deve se aproximar muito de 50 caras e 50 coroas. Se após os lançamentos, de todas as duplas, os resultados forem reunidos, as frequências se aproximarão da probabilidade teórica.

251 |

Habilidades (EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.

#Probabilidade Dizer que determinado evento tem uma certa probabilidade, portanto, nos diz o que é esperado dos resultados, com uma certa flutuação. Se dizemos que um evento tem 40% de probabilidade de ocorrer, isso significa que, se realizarmos um teste 100 vezes, o evento deve ocorrer em torno de 40 vezes. A definição de probabilidade vai exatamente nessa linha, calculando o número de eventos esperados dentro do total de eventos calculados. Em termos matemáticos:

Atividade 4

a) 200 : 5 = 40 confetes de

No caso da moeda, é fácil aplicar essa definição. Ao calcularmos a probabilidade de sair cara ao jogar uma moeda, temos um evento favorável (cara) contra dois eventos possíveis (cara, coroa). Logo, a probabilidade é 1 P (cara) = 2 Em casos mais complexos, essa definição pode ajudar a encontrar a probabilidade com facilidade. Considere a situação a seguir. Manuel está em uma festa junina comunitária e resolveu participar do bingo beneficente. PETER EKVALL/SHUTTERSTOCK

cada cor. A probabilidade de que um confete seja amarelo é de 40 1 = . 200 5 a) C o m o f o r a m c o m i d o s 30 confetes de outra cor, a probabilidade de que um seja vermelho é de 40 casos de um total de 200 – 30 = 170 confetes, 40 4 = . 170 17 Atividade 5

a) 25 + 30 + 30 + 15 = 100 unidades. + 30 + 15 = 100 unidades. b) 25 unidades de 100: 25 1 = = 0,25 = 25%. 100 4 c) Vendas em fevereiro: 45 unidades. Sendo o total 100, temos 45 9 = = 0,45 = 45%. 100 20

número de eventos favoráveis esperados número de eventos possíveis

No momento, ele está quase ganhando! Se sair qualquer um dos números 16, 20, 21, 25 ou 26, ele será um dos vencedores. No entanto, só sairá mais uma bola e ainda há 30 bolas que podem ser sorteadas. Qual é a probabilidade de ele ganhar? Vamos usar a definição: há cinco possibilidades que tornam Manuel vencedor (16, 20, 21, 25 5 ou 26) de um total de 30 eventos possíveis. A probabilidade então será dada por 30 ,, que pode 1 ser simplificada para 6.. A probabilidade pode ser apresentada na forma de fração, decimal ou percentual, dependendo 1 da situação. No caso de Manuel, deixar como 6 pode ser a melhor opção, pois é uma fração de fácil leitura e entendimento. Mas poderíamos também apresentar como aproximadamente 16,7% ou a dízima periódica 0,16. 252 | TRAJETÓRIA 4

CONVÍVIO E BEM-ESTAR SOCIAL

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Caso sua escola não tenha aluno imigrante ou refugiado, pergunte aos familiares dos estudantes se Proponha aos estudantes uma reflexão sobre conhecem algum desses alunos. A pesquisa pode o papel da escola ao receber alunos imigrantes ou ser feita a distância ou presencialmente. refugiados. Essa discussão tem ocupado parte do Os principais pontos a destacar nessa pesquisa cenário educacional brasileiro, principalmente nas são se o estudante frequentava uma escola em seu escolas localizadas nas regiões fronteiriças do Norte país de origem e quais as principais semelhanças e do Centro Oeste, porque houve um aumento de e diferenças estre as escolas. Após a entrevista, estudantes estrangeiros nas escolas brasileiras, converse com os estudantes sobre a importância principalmente na rede pública. Pesquise se, em de se estabelecer ações para acolher e integrar sua escola, há estudantes imigrantes ou refugiados os estudantes estrangeiros no sistema de ensino e proponha uma entrevista com esses estudantes. brasileiro. 252 | MANUAL DO PROFESSOR

5. b) ATIVIDADES

4. Allana e Beatriz estão comendo um pacote

25 1 = = 0,25 = 25% 100 4

5. Uma loja de cosméticos anotou as vendas

de confetes de chocolate. Logo que é aberto, o pacote contém 200 confetes, divididos igualmente entre cinco cores: amarelo, azul, verde, vermelho e branco.

realizadas em duas unidades, ao longo de dois meses, e tabulou os dados:

TAI DUNDUA/SHUTTERSTOCK

Vendas no bimestre

Confetes coloridos de chocolate.

Sabendo disso, responda: a) Se Allana pegar, sem olhar, um confete assim que abrir o pacote, qual é a proba1 bilidade de que ele seja amarelo? 5 b) Se Allana comeu 20 confetes amarelos e 10 verdes e Beatriz agora vai pegar um confete, qual é a probabilidade que ele seja vermelho? 4 17

MÊS

JANEIRO

FEVEREIRO

MATRIZ

FILIAL

LOJA

Fonte: Administração – Loja de cosméticos.

Agora, responda: a) Quantas unidades foram vendidas no bimestre? 100 unidades. b) Selecionando uma venda ao acaso, qual é a probabilidade de ela ter ocorrido na matriz em janeiro? Escreva o resultado na forma de fração e de porcentagem. c) Selecionando uma venda ao acaso, qual é a probabilidade de ela ter ocorrido em fevereiro, em qualquer uma das duas lojas? Escreva o resultado na forma de fração e de decimal. 45 = 9 = 0,45 = 45% 100

Eventos independentes e eventos dependentes Até agora, usamos a probabilidade para calcular situações em que todos os eventos são chamados de independentes e equiprováveis. Eventos equiprováveis são eventos cuja probabilidade é igual.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Entender a origem das palavras pode nos ajudar a compreender seu significado e auxilia na compreensão de novas palavras também. O campo de estudos que trata da origem das palavras é a etimologia. A palavra equiprovável tem como prefixo o radical equi, que vem do latim equis, cujo significado é igual. Esse radical aparece em outras palavras da Matemática, como equilátero (lados iguais) e equação (igualdade). a) Pesquise outras palavras da língua portuguesa que também tenham o radical equis. b) Em alguns casos, não é utilizado o radical equis para simbolizar igualdade e sim sua contraparte grega, isos. Você conhece alguma palavra que começa com iso? Encontre palavras assim e anote seus significados. c) Outro radical bastante usado é logia, que significa estudo das coisas, em grego. A própria palavra etimologia vem com esse radical! Que outras palavras você conhece que terminam com logia? • Faça uma postagem em suas redes sociais explicando a origem de alguma palavra curiosa que tenha aprendido, compartilhando o que aprendeu com seus seguidores.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

253 |

Além disso, um grande desafio para as escolas LUPAS E LUNETAS é o idioma, pois muitos deles chegam à sala de aula Você pode trabalhar junto com o professor de sem conhecer o português e acabam frequentando Língua Portuguesa o estudo etimológico de outros as aulas sem conseguir se comunicar com os protermos matemáticos comuns. fessores e com os colegas. Se o estudante escolhido para a entrevista ainda não domina o português, procure na comunidade escolar ou entre familiares se alguém pode mediar a entrevista, traduzindo-a.

Habilidades (EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos. Encontro com outras disciplinas (EF69LP06) Produzir e publicar notícias, fotodenúncias, fotorreportagens, reportagens, reportagens multimidiáticas, infográficos, podcasts noticiosos, entrevistas, cartas de leitor, comentários, artigos de opinião de interesse local ou global, textos de apresentação e apreciação de produção cultural – resenhas e outros próprios das formas de expressão das culturas juvenis, tais como vlogs e podcasts culturais, gameplay, detonado etc. – e cartazes, anúncios, propagandas, spots, jingles de campanhas sociais, dentre outros em várias mídias, vivenciando de forma significativa o papel de repórter, de comentador, de analista, de crítico, de editor ou articulista, de booktuber, de vlogger (vlogueiro) etc., como forma de compreender as condições de produção que envolvem a circulação desses textos e poder participar e vislumbrar possibilidades de participação nas práticas de linguagem do campo jornalístico e do campo midiático de forma ética e responsável, levando-se em consideração o contexto da Web 2.0, que amplia a possibilidade de circulação desses textos e “funde” os papéis de leitor e autor, de consumidor e produtor. 253 |

No exemplo do bingo beneficente, partimos do pressuposto de que todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem sorteadas e que não há nenhum tipo de favorecimento. Da mesma maneira, ao jogar uma moeda, tratamos o evento cara como tendo a mesma probabilidade que o evento coroa. Se a moeda for alterada, isso pode passar a não ser mais verdade e a definição clássica de probabilidade pode não ser mais viável. Nesse caso, seria necessário realizar experimentos com a moeda adulterada para entender qual é a nova distribuição de eventos. Além de equiprováveis, os eventos eram independentes. Isso significa que não eram condicionados a nenhum outro resultado para ocorrerem normalmente. Vejamos um exemplo. Um baralho comum é composto por 52 cartas, divididas em quatro naipes, conforme a imagem: FILIZ BUBER/SHUTTERSTOCK

Habilidades (EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.

Os quatro naipes de um baralho: espadas, copas, paus e ouros.

Exploraremos duas situações diferentes. Situação 1 Vamos retirar duas cartas do baralho, deste modo: retiramos uma carta, anotamos qual é, devolvemos para o monte, embaralhamos e retiramos uma segunda carta e anotamos qual é. Nessa situação, qual é a probabilidade de que a segunda carta seja uma carta de copas? Situação 2 Vamos retirar duas cartas do baralho, assim: retiramos uma carta, anotamos qual é, não devolvemos para o monte, embaralhamos e retiramos uma segunda carta e anotamos qual é. Nessa situação, qual é a probabilidade de que a segunda carta seja uma carta de copas? Na situação 1, ao retirarmos a primeira carta, ela é devolvida ao monte. Com isso, ela não interfere no segundo evento. Tanto faz qual é a carta que tiremos, a probabilidade de a segunda 13 1 13 = 1 = = 25%. 25%. Como o resultado de um evento não interfere no outro, carta ser de copas será de 52 = 4 52 4 dizemos que são eventos independentes. Na situação 2, isso já não acontece. Como não devolvemos a carta para o monte, a carta retirada interfere potencialmente nas duas quantidades: tanto nos eventos favoráveis (se a primeira carta for de copas) quanto nos eventos possíveis (o total de cartas passa a ser 51). Como um evento interfere no resultado do outro, dizemos que são eventos dependentes. 254 | TRAJETÓRIA 4

Atividade 6

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 7

a) Se o rei de copas foi retirado, há uma carta a a) Há apenas 3 azuis restantes de um total de

menos de copas possível e uma carta a menos 3 8 bolas: 8 . no baralho, dando-nos 12 casos favoráveis de b) Há apenas uma vermelha restante de um total 12 4 um total de 51: 51 = 17 . 1 de 8 bolas: 8 . b) Como o cinco de ouros não é de copas, temos 13 Atividade 8 13 casos favoráveis de um total de 51: 51 . a) É dependente, pois a primeira moeda retirada influencia na probabilidade da segunda. 254 | MANUAL DO PROFESSOR

ATIVIDADES

6. Calcule a probabilidade de a segunda carta

a) Retirar em sequência, sem reposição, duas

ser de copas na situação 2, sabendo que a primeira carta retirada foi: 12 4 = a) o rei de copas. 51 17 13 b) o cinco de ouros.

moedas de um conjunto de moedas de 5 e 10 centavos. b) Escolher uma caneca de um conjunto de 10 canecas e escolher uma colher de um conjunto de 5 colheres. c) Atirar uma moeda para o alto duas vezes em sequência e observar a face. d) Escolher duas pessoas de um grupo de cinco pessoas ao todo. Independentes: b, c;

7. Uma urna contém 10 bolas diferentes: 5 azuis,

3 verdes e 2 vermelhas. Ao retirarmos três bolas sem reposição, calcule qual é a probabilidade de a terceira bola ser: 3 a) azul, sendo que as duas primeiras foram 8 azuis; b) vermelha, sendo que a primeira bola foi verde e a segunda, vermelha. 1

dependentes: a, d.

9. Ao sortear duas bolas, sem reposição, de um

8. Analise os eventos e decida se são dependentes ou independentes:

conjunto enumerado de 01 a 10, sabemos que a primeira bola foi um número par. Qual é a probabilidade de a segunda bola sorteada ser o número 05? 1 9

#A linguagem visual A visão é um dos sentidos mais estimulados do ser humano, especialmente na era digital. Os recursos visuais sempre tiveram um papel fundamental na transmissão de conhecimento na história. Aliás, o nascimento da própria história é associado à criação da escrita, que é um recurso visual de comunicação. Desenhos primitivos faziam o papel da comunicação antes da escrita e, mesmo depois dela, os mapas e símbolos continuaram a mostrar como os seres humanos se comunicam por símbolos visuais.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Sabia que apresentar informações para chefes e colaboradores é uma das habilidades mais exigidas atualmente no mundo do trabalho? Um funcionário que tenha um alto conhecimento técnico, mas que não consiga explicar o que sabe, acaba enfrentando problemas, pois a disposição para realizar comunicação clara com os parceiros é uma das formas de cooperação, aptidão fundamental no ambiente de trabalho moderno. Como fazemos boas apresentações de trabalho? Pode não parecer, mas a Matemática e a Estatística que estamos estudando neste passeio são ferramentas de análise e apresentação muito potentes. Ao conseguir transformar dados em um significado real que auxilie na tomada de decisões, minimizamos a probabilidade de tomar uma decisão errada. Reúna-se com dois ou três colegas e pesquise estes tópicos: a) Quais são os principais softwares utilizados para apresentar informações no mundo do trabalho? b) Que tipo de informação pode ser apresentada pelos softwares pesquisados? c) Quais são as principais profissões que trabalham com a organização e a análise de dados? Ao final de sua pesquisa, procure perfis, em redes sociais, de pessoas que trabalhem com as profissões que encontraram.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

255 |

b) Independente, pois as colheres e canecas são LUPAS E LUNETAS conjuntos distintos.

Resgatamos o TCT Economia – Trabalho, mostrando a importância da organização e da novamente, o primeiro resultado não interfere. apresentação das informações para a análise de d) Dependente, pois a escolha da primeira pessoa dados, o pensamento científico, a cooperação e a altera as possibilidades da segunda escolha. tomada de decisões.

c) Independente, pois ao jogar a moeda para o alto

Atividade 9

Se a primeira bola foi par, temos 9 bolas e a bola 1 com o número 05 é uma delas: probabilidade 9 .

255 |

Note como é fácil perceber, por exemplo, que mais da metade da população apoia a tipificação do crime: a cor azul do gráfico ocupa mais da metade da coroa circular. É por conta desse tipo de recurso visual que o gráfico, muitas vezes, explica mais rapidamente as informações do que uma tabela, por exemplo. Ao colocar cores e desenhos, nosso cérebro capta muito mais rapidamente as informações que estão sendo transmitidas, o que facilita a leitura.

#Gráficos Na Matemática, a utilização de ferramentas visuais também tem seu lugar. A área em que isso aparece de modo mais evidente é a geometria, mas os gráficos também ocupam um lugar muito importante. Os primeiros gráficos matemáticos são datados do século XVIII. Com o advento da informática e dos computadores, temos acesso a ferramentas que permitem construir gráficos em um piscar de olhos. A leitura de gráficos é uma habilidade necessária para qualquer cidadão que deseje estar inteirado de tudo que ocorre no mundo. Vamos a um exemplo? Uma das atitudes que se espera de um cidadão é que ele interaja com seus representantes eleitos. O Senado Federal, em sua página oficial (www12.senado.leg.br; acesso em: 7 set. 2022), sempre anuncia os novos projetos de lei que estão sendo apresentados. Muitas vezes, a ideia é levada à consulta popular, para que os representantes tenham uma noção da opinião pública acerca de um projeto específico. Em 2018, uma das consultas era exatamente sobre a questão das fake news, que tem sido um problema em todas as partes do mundo. A consulta rendeu o gráfico que você pode analisar:

Você é a favor ou contra tipificar como crime a divulgação de notícias falsas (fake news)? (%)

PROJETO de lei que transforma em crime a divulgação de notícias falsas (fake news) tem o apoio de internautas. Senado Notícias, 6 abr. 2018. Disponível em: www12.senado.leg.br/institucional/datasenado/materias/enquetes/ divulgacao-de-noticias-falsas-fake-news. Acesso em: 7 set. 2022. ATIVIDADES

Percentual da população que é a favor ou contra a tipificação de fake news como crime.

10. Do que trata o gráfico?

11. Qual é o percentual das pessoas a favor da tipificação da divulgação de notícias falsas como crime? 72%

12. Você é a favor ou contra a tipificação como crime? Resposta pessoal.

13. Considera que foi fácil compreender as informações coletadas do gráfico? Resposta pessoal.

Elementos de um gráfico Vamos destacar alguns elementos que caracterizam os gráficos. Título O título informa rapidamente ao leitor o tema de que trata o gráfico. Sem ele, pode ficar difícil ou quase impossível interpretar do que trata o gráfico. O título deve ficar no topo do gráfico e explicar de modo sucinto o que representa. 256 | TRAJETÓRIA 4

256 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Legenda A legenda informa do que trata partes do gráfico – cada eixo, barra, coluna ou setor, por exemplo –, além de fornecer uma escala numérica para que a leitura seja possível. Fonte A fonte indica de onde foram retirados os dados. Em tempos de fake news, a fonte é talvez o mais importante elemento de um gráfico. É por meio dela que podemos saber se a informação é confiável: gráficos sem fonte tendem a ser enganosos! E, quando houver uma fonte, é interessante checar se a fonte existe mesmo e se é confiável. Há muitos casos de estudos que afirmam ter fontes confiáveis, mas que, quando analisadas a fundo, se revelam faltosas. Vejamos um exemplo de uma questão do Enem. O gráfico apresenta o nível de ocupação dos cinco reservatórios de água que abasteciam uma cidade em 2 de fevereiro de 2015.

Nível dos reservatórios em 2 fev. 2015 Capacidade (bilhão de litros)

Nível de ocupação (%)

100

105

100

III

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Reservatório

Nessa data, o reservatório com o maior volume de água era o a. I.

b. II.

c. III.

d. IV.

e. V.

O título do gráfico nos dá a informação de que o gráfico fala sobre os níveis dos reservatórios. Os eixos nos dão informações sobre o que cada barra representa e, mais importante, o fato de que o nível indicado no eixo vertical foi expresso em porcentagem. Isso pode levar o leitor a acreditar que o maior volume de água estava no reservatório V, mas isso não necessariamente. Essa é uma informação que a questão exige que se considere com atenção. Você observa que o gráfico não possui fonte? Isso ocorre porque se trata de uma questão sobre reservatórios fictícios em uma cidade fictícia, mas, se os reservatórios fossem reais, a fonte das informações precisaria estar indicada. ATIVIDADES

14. Resolva a questão do Enem. Qual é a alternativa correta? Alternativa d.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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Atividade 14

• • • • •

reservatório I: 20% de 105 litros: 21 L; reservatório II: 30% de 100 litros: 30 L; reservatório III: 50% de 20 litros: 10 L; reservatório IV: 40% de 80 litros: 32 L; reservatório V: 60% de 40 litros: 24 L. Alternativa d.

257 |

#Medidas de tendência central As medidas de tendência central são utilizadas para analisar o comportamento de um conjunto de dados observando apenas um número que represente um ponto central. Há quatro medidas que trabalharemos aqui: média aritmética, média aritmética ponderada, mediana e moda. Por vezes, com apenas uma das medidas já é possível fazer análises, contudo, em alguns casos, todas são necessárias para que a verificação seja mais fiel à realidade dos dados.

Média aritmética A média aritmética é a medida de tendência central mais utilizada e é calculada como a soma dos valores disponíveis dividida pela quantidade de valores. Média aritmética ponderada A média aritmética ponderada é uma média aritmética, mas com a utilização de pesos em casos em que há uma variação de importância entre os números. Exemplo Em uma empresa, 50 funcionários ganham R$ 2.000,00, 20 funcionários ganham R$ 5.000,00 e 5 funcionários ganham R$ 10.000,00. Qual é a média salarial da empresa? Você percebe que, se só calcularmos a média aritmética dos valores em reais, não levaremos em conta o fato de que há muito mais gente ganhando 2 mil do que 10 mil? A média ponderada resolve isso multiplicando cada valor pelo peso e dividindo a soma pelo total de pesos: Média ponderada =

50 × 2 000 + 20 × 5 000 + 10 × 10 000 300 000 = = 4 000 reais 50 + 20 + 5 75

Mediana A mediana é o valor central de um conjunto de dados ordenados. Se houver um número par de dados, calculamos a média aritmética dos dois valores centrais e consideramos como mediana. Exemplo No conjunto de dados 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 10, 12, a mediana é 4.

Moda A moda é o valor que mais aparece em um conjunto de dados. Exemplo No conjunto de dados 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 10, 12, 12, a moda é 2. 258 | TRAJETÓRIA 4

258 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ATIVIDADES

15. (Enem) Uma rede de hamburgueria tem três franquias em cidades distintas. Visando incluir um novo tipo de lanche no cardápio, o gerente de marketing da rede sugeriu que fossem colocados à venda cinco novos tipos de lanche, em edições especiais. Os lanches foram oferecidos pelo mesmo período de tempo em todos os franqueados. O tipo que apresentasse a maior média por franquia seria incluído definitivamente no cardápio. Terminado o período de experiência, a gerência recebeu um relatório descrevendo as quantidades vendidas, em unidade, de cada um dos cinco tipos de lanche nas três franquias. LANCHE I

LANCHE II

LANCHE III

LANCHE IV

LANCHE V

Franquia I

415

395

425

430

435

Franquia II

415

445

370

425

Franquia III

415

390

425

433

420

Com base nessas informações, a gerência decidiu incluir no cardápio o lanche de tipo a) I.

d) IV.

b) II.

e) V. Alternativa e.

c) III.

#Escolhendo o gráfico apropriado Imagine que você trabalha no setor de uma empresa que recentemente fez uma pesquisa e precisa apresentar os dados para a mesa diretora. Qual gráfico é o melhor para realizar essa apresentação? Para decidir, precisamos primeiro relembrar os tipos de gráfico que já estudamos.

Gráfico de barras ou gráfico de colunas Os meios de comunicação fazem usos de diversos gráficos como os que vamos mostrar a seguir. Utilizados para comparar diferentes elementos quantitativamente, pois permitem uma rápida visualização das quantidades associadas a uma grandeza. O gráfico de barras e o de

ARTE/ M10

colunas são os mais utilizados nas mais diversas situações.

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NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 15

Determinando a média aritmética para cada lanche: (415 + 415 + 415) = 415; • lanche I: 3 (395 + 445 + 390) = 410; • lanche II: 3 (425 + 370 + 425) ≅ 406,67; • lanche III: 3 (430 + 370 + 433) = 411; • lanche IV: 3

(435 + 425 + 420) ≅ 426,67. 3 Alternativa e.

• lanche V:

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Gráfico de setores Também são bastante utilizados pelos meios de comunicação os gráficos conhecidos como gráficos de pizza (ou gráficos de setores), que se dividem em um total em setores circulares proporcionais ao percentual de cada resultado. Portanto, são ideais para comparar elementos

ARTE/ M10

proporcionalmente. Uma variação desse gráfico é o gráfico de rosca.

Sugestão de atividade

260 | MANUAL DO PROFESSOR

Gráfico de linhas

ARTE/ M10

O gráfico de linhas nos mostra a evolução de uma ou mais grandezas ao longo do tempo.

Gráfico em rede Permite comparar o rendimento ou potencial de um certo elemento comparado a um referencial.

ARTE/ M10

Proponha uma atividade envolvendo fotorreportagem. Antes de iniciar, convide o professor de Língua Portuguesa para falar sobre os aspectos que envolvem uma fotorreportagem, explicando, por exemplo: o que é uma reportagem; quais as semelhanças e diferenças entre uma reportagem e uma fotorreportagem; se eles já leram uma fotorreportagem; quais elementos observaram em uma fotorreportagem, entre outros aspectos que o professor de Língua Portuguesa julgar relevantes. Em seguida, explique aos estudantes que, nesta atividade, a fotorreportagem terá como principal objetivo contar às pessoas acontecimentos reais por meio de fotografias, sempre acompanhadas de uma legenda que irá contextualizar a expressão da foto. Destaque que a linguagem visual é importante, pois é a fotografia que irá retratar o fato, enquanto o texto escrito evidencia o que foi fotografado. Organize os estudantes em grupos e oriente-os a pesquisar uma fotorreportagem sobre o tema, por exemplo, “o adoecimento dos trabalhadores e sua relação com o trabalho”, ou outros temas de interesse do grupo. Reforce que o grupo deve verificar se o texto selecionado apresenta as características de uma fotorreportagem. No dia marcado, os grupos deverão trazer a fotografia escolhida. Essa aula será dedicada à interpretação da fotorreportagem escolhida pelos estudantes. Após a leitura das fotorreportagens, organize um mural de modo que

Podemos resumir assim: • para comparar quantitativamente: gráfico de colunas ou de barras. • para comparar proporcionalmente: gráfico de setores. • para analisar a evolução ao longo do tempo: gráfico de linha. • para comparar com um referencial: gráfico em rede. 260 | TRAJETÓRIA 4

todos possam realizar a leitura coletivamente. Peça que os estudantes leiam em voz alta as legendas que fizeram e que finalizem a apresentação com suas observações sobre o tema proposto.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Exemplo 1 Orlando é um economista e está preparando uma apresentação para um congresso; ele deseja mostrar os dados da evolução da economia de seu país ao longo do tempo. Nesse caso, que tipo de gráfico pode ser interessante ele usar? Como se trata de uma situação na qual Orlando quer analisar a evolução de algo ao longo do tempo, o gráfico de linhas é o mais interessante. O gráfico de barras (ou colunas) pode ser utilizado também, dependendo do contexto. Exemplo 2 Além de apresentar dados da evolução da economia, Orlando quer apresentar outro gráfico em que irá mostrar a divisão da economia de acordo com os segmentos, de forma proporcional, para concluir que a indústria de metais é um componente fundamental do PIB. Qual seria o gráfico mais apropriado? Nesse caso, o gráfico mais interessante seria o de setores, pois o economista quer mostrar

ATIVIDADES

clientes em potencial, número de lojas e seguidores em redes sociais serão todos apresentados para uma comparação, qual é

o tipo ideal de gráfico a ser utilizado?Gráfico em rede.

18. Observe o gráfico a seguir.

IBGE

Barras ou colunas. mais indicado? a) Comparar o desempenho de diferentes empresas em um mesmo período. b) Mostrar a intenção de voto de eleitores ao longo do tempo. Linhas. c) Mostrar as preferências por bebida dos alunos de sua escola, percentualmente. Setores. d) Comparar a média de uma escola em várias disciplinas com outras escolas. Redes.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Atividade 17

Gráfico de redes, para que todos os elementos e características do gráfico possam ser analisados ao mesmo tempo, de forma comparativa. Atividade 18

17. Uma empresa de laticínios tem presença forte

no Nordeste e Norte do Brasil e agora está pensando em expandir seus negócios para a região Centro-Oeste, a começar por Goiás. Pediu, então, ao departamento de marketing que fizesse uma pesquisa de benchmarking, que é um tipo de pesquisa em que se avalia a concorrência. O objetivo da pesquisa era detectar se há espaço no mercado para que a empresa possa competir ou se as chances são pequenas e o investimento não vale o risco. Pensando que os dados com relação a preço,

Atividade 16

a) Barras ou colunas. b) Linhas. c) Setores. d) Redes.

a proporcionalidade dos elementos que o compõem.

16. Em cada um dos casos, qual é o gráfico

Fonte: IBGE, Produção de Pecuária Municipal 2017, p. 4.

a) Quais são as duas regiões que juntas pro-

duzem leite aproximadamente igual à região Sul sozinha? Regiões Sudeste e Norte. b) Considere esse gráfico e elabore uma

pergunta. Resposta pessoal.

Para além de perguntas como “qual região brasileira é a maior/menor produtora de leite?”, é possível que surjam perguntas que relacionem, comparativamente entre si, duas ou mais regiões. Por exemplo: “quanto falta à produtividade da região Sudeste para se igualar à produtividade da região Sul?”. Promova uma roda de conversa em que os alunos possam, além de compartilhar as diversas perguntas elaboradas, também explicar o que cada pergunta enfatiza.

261 |

#Construindo um gráfico Para construir um gráfico, precisamos considerar alguns elementos:

Atividade 19

• Título: o título precisa ser conciso, mas, ao mesmo tempo, claro o suficiente. O título “Gráfico

Apresentamos um gráfico de colunas com os valores absolutos e um de setores com os percentuais:

que explica a quantidade de vendas feitas ao longo do ano de 2022 pelos vendedores da empresa X”, por exemplo, traz mais informações do que o necessário e torna a leitura longa. Ao mesmo tempo, o título ser apenas “Vendas” faz com que os leitores do gráfico não tenham informações suficientes para compreender do que ele trata.

• Legenda: a legenda auxilia na leitura dos gráficos e é interessante, quando possível, usar

cores que ajudem na diferenciação e dispor os itens de modo que fiquem bastante evidentes.

• Fonte: sem fonte, as informações do seu gráfico não têm credibilidade alguma. Mesmo

que você tenha coletado os dados, coloque como fonte o estudo que fez. Muitas pessoas, hoje em dia, usam gráficos com fontes incorretas ou até sem fonte para a divulgação de fake news. Aliás, checar a fonte não vale só para gráficos, mas para qualquer informação que se receba na internet!

ATIVIDADES

19. Uma pesquisa de preferência sobre os restaurantes locais foi encomendada e realizada pela

prefeitura da cidade para o planejamento de novos investimentos em infraestrutura. Ao todo, foram entrevistadas 1 500 pessoas e os resultados foram tabulados:

Preferência sobre os restaurantes locais RESTAURANTE

VOTOS A FAVOR

250

380

750

120 Fonte: Prefeitura Municipal.

Decida qual é o gráfico a ser feito e construa-o. Como fonte, você pode citar a própria prefeitura da cidade. Resposta pessoal.

262 | TRAJETÓRIA 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Preferência sobre os restaurantes locais 800 700 600 500 400 300 200 100 0

50% A

B C Restaurantes

17%

25%

A B C D

Fonte: Prefeitura Municipal. 262 | MANUAL DO PROFESSOR

Preferência sobre os restaurantes locais

Fonte: Prefeitura Municipal.

NUVENS NUVEN S Construir gráfico com software editor de planilhas Construir um gráfico manualmente dá bastante trabalho e hoje em dia temos muitas ferramentas que nos auxiliam a fazer isso sem a necessidade de colocar a caneta no papel. Vamos construir um gráfico em um software editor de planilhas? Observe a tabela de dados:

um de setores. Primeiro, faremos o de barras. Um exemplo de como o gráfico poderá ficar:

Venda nos últimos 12 meses

Vendas nos últimos 12 meses PRODUTO

QUANTIDADE

Tipo A

150

Tipo B

220

Tipo C

Tipo D

130

Tipo E

180

Fonte: Departamento de vendas da empresa X.

Venda nos últimos 12 meses

ALEXANDRE R. / M10

Vamos construir um gráfico a partir dessa tabela. Primeiro, abra o software editor de planilhas digital e insira os dados nas células de modo a ter uma coluna para cada um. Você deve obter algo parecido com isso:

Fonte: Departamento de vendas da empresa X.

As cores, formato das colunas ou barras e outros detalhes estéticos você pode mudar à vontade ou siga a orientação de seu professor. Já o gráfico de setores pode ser ajustado para mostrar as porcentagens (o software deve ter uma opção para fazer isso automaticamente):

Depois, selecione as duas colunas e clique na opção para inserir um gráfico, escolhendo dentre as opções possíveis. Para essa tabela, vamos fazer um gráfico de barras e

Fonte: Departamento de vendas da empresa X.

Como ficaram os gráficos de seus colegas? Troquem as experiências para aprenderem novas ferramentas e ideias estéticas para os gráficos!

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

263 |

NUVENS Auxilie os estudantes no uso de planilhas eletrônicas ou softwares editores de gráficos. Se possível, realize a atividade em uma sala de informática; caso contrário, escolha algumas tabelas apresentadas no passeio para que os estudantes construam os gráficos correspondentes em uma atividade complementar e compartilhem suas dúvidas e descobertas em redes sociais da turma.

263 |

DAVID GYUNG/SHUTTERSTOCK

#Pesquisas DAVID GYUNG/SHUTTERSTOCK

Habilidades (EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

Técnicos em Estatística organizam relatórios para analisar negócios financeiros e tomar decisões quanto ao desempenho da empresa em favor de melhorar lucros e crescimento. Os relatórios podem ser gerados na versão impressa ou digital.

ANTONIO GUILLEM/SHUTTERSTOCK

CARBALLO/SHUTTERSTOCK

Você já foi abordado na rua para participar de uma pesquisa? Respondeu a um questionário ou uma pergunta específica enquanto navegava pela internet? Já recebeu em sua casa um entrevistador do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística)? Alguma vez declarou sua intenção de voto a pesquisadores de uma determinada eleição?

Uma jovem entrevistando outras na rua com formulário impresso. Outra jovem que realiza pesquisa de opinião na rua utilizando dispositivo digital.

Todos esses são exemplos genuínos de pesquisa e, como você pode perceber, fazem parte de nossa vida e do nosso cotidiano. Os motivos pelos quais somos entrevistados são diversos, podendo ser para melhorar condições de uma população ou mesmo oferecer serviços de maneira direcionada a um público. 264 | TRAJETÓRIA 4

264 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Responda às perguntas: a) Qual é o seu nome e idade? b) Qual é o nome da escola em que estuda? c) Que profissão deseja ter após terminar os estudos? d) Qual é seu salário dos sonhos? Tais questões poderiam ser parte do roteiro de uma pesquisa sobre as gerações futuras, por exemplo.

Tipos de pesquisa Nesta Trajetória, falaremos dos dois principais tipos de pesquisa. Uma pesquisa exploratória é uma pesquisa na qual se busca expandir os horizontes e ouvir os pesquisados com mais abrangência. Não se induz o entrevistado a nenhum tipo de resposta predeterminada e os resultados são considerados qualitativos, isto é, devem ser analisados por seu conteúdo e dificilmente podem ser representados em um gráfico. Um exemplo de pergunta desse tipo de pesquisa seria: “O que você acha que está faltando no cardápio do restaurante?” Já as pesquisas descritivas são pesquisas em que se busca, em geral, uma resposta quantitativa, isto é, sobre dados que podem ser tabulados e representados em gráficos a ser analisados numericamente. Muitas vezes, o entrevistado é induzido a escolher uma resposta preestabelecida, para que somente as possibilidades já levantadas anteriormente possam ser analisadas. Exemplo de pergunta: “Das alternativas, qual você gostaria de ver no novo cardápio do restaurante?”

LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Caso seja viável, peça aos alunos que façam uma publicação em algum perfil coletivo da sala (atenção à Lei Geral de Proteção de Dados Pessoais – LGPD) para que possam criar uma notícia utilizando os dados da turma.

Exemplo 1

ASA STUDIO/SHUTTERSTOCK

Uma empresa de sorvetes quer inovar em algumas de suas lojas e criar um novo sabor, mas precisa descobrir o que a população de uma região ou bairro deseja. Qual é a pesquisa que devemos usar, nesse caso?

Fábrica de sorvetes no cascão.

Faz sentido criarmos uma pesquisa exploratória e qualitativa, pois o produto novo ainda não existe e não há nenhuma ideia definida sobre que tipo de sabor será criado; explorar as possibilidades é o caminho. O trabalho dos pesquisadores envolveria tirar conclusões a respeito das opiniões coletadas e estudar a viabilidade. Claro que até se pode dar sugestões iniciais para não deixar a pesquisa em aberto demais, mas também não se quer correr o risco de perder boas oportunidades! NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

265 |

Exemplo 2 Para melhor diagnosticar a situação da saúde de uma região, o governo encomenda uma pesquisa. Após a etapa de definição do problema, decide-se que o objetivo da pesquisa é encontrar o percentual de pessoas que ficaram doentes nos últimos 12 meses na região, além da quantidade de internações nos hospitais locais. CRYPTOGRAPHER/SHUTTERSTOCK

Planeje com alguns dias de antecedência a realização dessas duas atividades. Averigue as etapas necessárias tanto para os alunos na realização dessas atividades quanto para você realizar o monitoramento e a avaliação do processo. Será frutífero para o professor e para os alunos o planejamento detalhado das etapas envolvidas nessas atividades. Fique atento também aos possíveis obstáculos na realização dessas atividades, sejam de falta de recursos até as dificuldades de entendimento dos alunos. E, com base nesses possíveis obstáculos, busque alternativas de soluções prévias.

Médico epidemiologista trabalhando em laptop, analisando gráficos indicadores de um determinado surto. A análise considera, por exemplo, número de mortes, comparação de dados de pesquisa, informações da OMS etc.

O time responsável pelo planejamento opta por uma pesquisa descritiva quantitativa, para encontrar o número de pessoas doentes e o número de internações. As perguntas serão diretas e só poderão ser respondidas com sim/não ou um número (no caso dos hospitais, número de internados). 19. Pesquisa descritiva quantitativa, pois há 5 sabores para se decidir e não há uma exploração a ser feita. ATIVIDADES

20. A fábrica Xoko Doces está planejando suas ações para a Páscoa do ano que vem e quer lançar dois novos sabores de ovo de chocolate. Após algumas reuniões de seu time interno, decidiram por 5 possíveis sabores e desejam ouvir a opinião pública para tomar a decisão. Que tipo de pesquisa é mais apropriada para essa situação? Justifique.

21. Norma tem um salão de beleza e, durante os atendimentos, ouve seus clientes comentando que queriam muito que ela colocasse o serviço de tintura de cabelo, que ainda não oferece. Para ver se é viável oferecer o serviço, ela quer pesquisar o preço de algumas marcas de tinta, mas não tem ideia de quais seriam boas. Ela resolve fazer uma pesquisa com os clientes para obter sugestões. Que tipo de pesquisa ela pode fazer? Justifique.

Uma pesquisa exploratória qualitativa é mais indicada, pois ela quer ouvir as sugestões dos clientes, e não decidir algo de imediato a partir de números somente. 266 | TRAJETÓRIA 4

266 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Etapas da elaboração de uma pesquisa

ONE PHOTO/SHUTTERSTOCK

Para se elaborar uma pesquisa que realmente traga resultados significativos, são necessárias algumas etapas para melhor organizar o processo.

Representação genérica de um checklist verificador de etapas que já foram realizadas.

São elas:

• Definição do problema: o que vamos pesquisar e para quê? Qual é a pergunta que estamos

tentando responder com a pesquisa e qual é o tipo de solução que desejamos receber? Se não soubermos a razão pela qual a pesquisa existe, ela pode ficar sem sentido. • Planejamento: quem é o público-alvo de nossa pesquisa, ou seja, quem deve responder à pesquisa? Como conseguiremos chegar a esse público: por um questionário on-line ou uma pesquisa presencial? Quantas pessoas vamos entrevistar? Quanto tempo irá durar a pesquisa? Quais serão as perguntas a serem feitas? • Execução: é a realização da pesquisa de fato. • Tabulação e análise de resultados: de posse da pesquisa feita, é necessário coletar os dados recebidos, organizá-los de modo compreensível e fazer a análise para que se possa responder aos questionamentos que definiram a pesquisa na primeira etapa do processo. Cuidados ao formular as perguntas O modo como uma pergunta é feita pode influenciar muito o resultado obtido, então tome bastante cuidado ao formular as perguntas que serão feitas em seu questionário. Por exemplo, perguntar “De qual candidato você gosta mais?” é diferente de “Qual candidato você acredita que está mais preparado?”, que também é diferente de “Qual candidato você aceitaria?”. Note que há níveis distintos de percepção ocorrendo em cada um dos questionamentos. Outro cuidado a se tomar é nas respostas que o entrevistado pode dar. Claro que, em uma situação em que as respostas são as opções, não há muitos problemas. Mas, se o objetivo da pergunta for dar uma nota, por exemplo, há que se tomar cuidado com algumas armadilhas. Muitas pessoas acabam dando nota 0 para o que muitas vezes nem acham tão ruim assim. Por outro lado, uma pesquisa que detecta nota média 7 na opinião das pessoas em uma pesquisa cuja nota máxima é 10 pode dar a impressão de que não está agradando, embora 7 seja uma nota alta, mas não o suficiente para garantir a certeza da satisfação. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

267 |

NUVENS Planejar pesquisa com formulário on-line Vamos realizar uma pesquisa on-line? Há muitos sites que permitem que você faça uma pesquisa usando formulário on-line e as redes sociais ajudam muito na divulgação de trabalhos assim. Junte-se em grupos com 4 ou 5 colegas para esta atividade ou de acordo com a orientação de seu professor. Primeiro, vamos definir o problema. Inicialmente, escolham um dos temas: Uma notícia recente que as pessoas têm comentado e você deseja saber mais sobre a opinião delas. • Uma preferência por algum tipo de produto ou serviço pelo qual você se interessa e quer saber como as pessoas ao seu redor se comportam. • Avaliar algum aspecto da vida coletiva: a saúde no bairro, a segurança etc. Escolham um dos temas e definam o problema que querem explorar. Acima de tudo, pensem: qual é a resposta que nossa pesquisa deve nos dar? Feito isso, vamos ao planejamento. Definam nesse ponto: •

Quantas pessoas serão entrevistadas, no mínimo? Como faremos um formulário on-line, não há problemas se tivermos um engajamento maior que o esperado. • Quais perguntas serão feitas para obtermos as melhores conclusões? A pesquisa pode ser respondida no anonimato ou precisamos dos nomes e mais dados das pessoas? Em geral, pesquisas anônimas tendem a ter mais pessoas respondendo, mas as respostas muitas vezes são menos confiáveis. Elaborem o roteiro de perguntas com cuidado. • Quem será o público-alvo? Pode ser qualquer um ou é necessário restringir o público para que a resposta da pesquisa faça sentido? Finalmente, vamos para a execução. Aqui, vamos montar o questionário on-line em algum site que permita a criação de formulários gratuitos. Depois, é necessário divulgar a pesquisa pelas redes sociais ou passando o link para conhecidos, até se obter o número mínimo de respostas pensadas na etapa do planejamento. MARIO M./M10

•

Normalmente, os dados já são apresentados tabulados pelos formulários on-line, então a parte de tabular e analisar os resultados fica mais rápida. No entanto, é recomendável construir um gráfico que seja apropriado para descrever os resultados da pesquisa e escrever um parágrafo contando as conclusões obtidas por ela. 268 | TRAJETÓRIA 4

NUVENS Caso seja viável, peça aos alunos que façam uma publicação em algum perfil coletivo da sala (atenção à Lei Geral de Proteção de Dados Pessoais – LGPD) para que possam criar uma notícia utilizando os dados encontrados em sua pesquisa.

268 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Cuidados na leitura Lembra de como falamos da importância da fonte e de dados bem organizados e transparentes? Se você não tem isso, pode cair em situações bem complicadas. Aliás, como leitores críticos, é nosso papel também nos atentarmos a casos de desinformação. Vamos mostrar algumas técnicas usadas para mudar a apresentação dos dados para um leitor. Manipular a escala Observe os gráficos:

Título do gráfico

Fonte: pesquisador.

Título do gráfico

Habilidades (EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.

Fonte: pesquisador.

Os dois têm a mesma progressão de escala, mas o segundo está com a escala apropriada. Uma queda de 60% para 57%, quando colocada com a escala correta, mostra-se não tão acentuada assim quanto o primeiro gráfico faz parecer. Sempre observe se a escala está proporcional. Recorte de dados Esse é um dos métodos mais utilizados, até porque, infelizmente, é um dos mais difíceis de se perceber e evitar. Imagine que o gráfico da evolução de vendas de uma empresa ao longo dos últimos 3 anos

ARTE/ M10

seja este:

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

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Bem desanimador, não é? Só que, ao apresentar o gráfico para os investidores, a direção da empresa faz um recorte “amigável” para mostrar os dados: resolve mostrar só os últimos 6 meses, e o gráfico fica assim: ARTE/ M10

Esse recorte faz com que a impressão seja de um boom de vendas recentemente e induz a pensar que a empresa está indo muito bem. O problema é que esse tipo de manipulação só pode ser percebido se houver acesso a dados mais completos que os fornecidos pelo gráfico, o que muitas vezes não acontece (também por isso é tão importante a fonte!). Casos como esses reforçam a importância da ética na comunicação dos fatos e dados. Usar o tipo de gráfico inapropriado para a situação Usar o tipo de gráfico errado pode também acabar manipulando as informações de modo que sua leitura fique mais complicada. Ao comparar a performance de três times diferentes, por exemplo, um gráfico de setores pode induzir o leitor a achar que os desempenhos estão mais parecidos do que estão de fato:

Desempenho no campeonato

Time A Time B Time C

Fonte: Diretorias de resultados.

Os dois gráficos estão trazendo exatamente as mesmas informações, mas observe como, no gráfico de setores, fica praticamente impossível ver uma diferença entre os times. No gráfico de colunas, fica bem claro que há uma diferença maior do time B para o time C. Imagine se os valores fossem a quantidade de vendas de cada equipe e um valor abaixo de 200 significasse prejuízo para uma empresa! Usar a estética de modo não intuitivo Imagine um mapa para analisar as regiões com as temperaturas maiores e menores a fim de planejar a agricultura local. Esse mapa irá definir as regiões de plantio de acordo com a adaptação de cada planta e, se plantarmos as espécies no lugar errado, será um desastre. 270 | TRAJETÓRIA 4

270 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ARTE/ M10

O mapa elaborado tem a forma:

A interpretação parece óbvia, não? Só que, ao ler a legenda, você descobre que as regiões vermelhas são as mais frias e as verdes são as mais quentes. Um leitor desatento pode acabar deixando passar essa informação e tomar uma decisão errada. Claro que, nesse caso, parece um acidente ou má decisão de quem fez o gráfico, mas pode haver casos em que isso é feito de maneira proposital.

Manipulações nas respostas Muitas vezes os erros ocorrem durante a pesquisa, intencionalmente ou não.

CKYBE/ SHUTTERSTOCK

Imagine que, ao responder uma pesquisa, você precisa decidir se acha o atendimento de uma loja bom ou não. Então, são mostradas estas opções:

Se achou o serviço regular, provavelmente clicaria no laranja, certo?

CKYBE/ SHUTTERSTOCK

O problema é se, embaixo das opções (ou até ocultamente), as descrições das seleções são:

RUIM

REGULAR

BOM

MUITO BOM

EXCELENTE

Ao tabular os resultados, encontra-se a tabela:

Atendimento da loja AVALIAÇÃO

VOTOS

Excelente

250

Muito bom

150

Bom

180

Regular

120

Ruim

150 Fonte: SAC.

Percebe o problema? Quem apresentar os dados pode afirmar que 580 pessoas, das 850 pesquisadas, afirmaram que o atendimento está “bom ou muito bom ou excelente”, enquanto o correto mesmo seria dizer que apenas 400 pessoas votaram assim. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

271 |

Atividade 22

ATIVIDADES 24. A escala está desproporcional, dando a sensação de que a variação é maior do que

realmente é e não há fonte no gráfico.

22. Vimos no exemplo que, em vez de 400 votos

favoráveis, a manipulação fez com que os resultados indicassem 580 votos favoráveis de um total de 850 votos. Isso representa que aumento percentual na categoria “bom ou melhor”? 45%

272 | MANUAL DO PROFESSOR

2,2%

Ruim; Regular; Bom; Excelente.

24. Que tipo de manipulação pode ser feita usan-

1,8%

do-se o tipo incorreto de gráfico?

1,4%

25. Este gráfico possui dois erros fundamentais. Quais são?

Inflação no período 23. O tipo incorreto de gráfico pode dar uma visualização imprecisa ao fenômeno, induzindo o leitor a erro.

2003

2004

2005

ano

2006

Fonte: fictícia.

a) Qual é o erro desse gráfico?

b) Como o erro poderia ser corrigido?

28. Observe este gráfico de barras simples.

a) A relação de proporção en-

camente a proporção dos comprimentos dessas colunas, gerando discrepâncias visuais. A coluna com altura 122 tem mais que o dobro do comprimento das colunas de alturas 109 e 108, o que é absurdo. Na verdade, a comparação entre as colunas é feita como se elas tivessem de altura 9, 22 e 8.

26. a) A relação de proporção entre a taxa porcentual e a altura das barras.

2,6%

as respostas? Exemplo de resposta: Péssimo;

Atividade 27

posto às colunas, o gráfico terminou afetando drasticamente a proporção dos Atividade 28 colunas, gerando comprimentos dessas discrepâncias visuais. A coluna com altua) A escala no eixo vertical, inira 122 possui mais que o dobro do comno valor 100. 109 e primentociado das colunas de alturas 108, ob) que é absurdo. Na verdade, comComo decorrência doacorte paração entre as colunas é feitaocomo se imposto às colunas, gráfico fossem, nessa ordem: colunas de alturas terminou por afetar drasti9, 22 e oito.

Exportações brasileiras realizadas para o país “Xis” em relação ao total das exportações brasileiras

23. Qual seria uma legenda mais apropriada para

Um aumento de 180 votos de um total de 400 representa um aumento de 45% ⎛ 180 = 0,45⎞ . ⎜⎝ ⎟⎠ 400

tre a taxa percentual e altura das barras. b) Fazendo a coluna laranja ser menor e proporcional à taxa de variação entre a porcen27. b) Como decorrência do corte imtagem e o ano, que é: 0,4.

27. Considere este gráfico.

Volume total de vendas do mês de outubro de três filiais de uma grande loja

26. Para analisar se há risco de seca, é necessário

sempre olhar o histórico de, pelo menos, os últimos 5 anos de um reservatório de água. O órgão de fiscalização pediu um estudo para a companhia responsável pelos reservatórios, que enviou o gráfico:

125

120

em 1 000 reais

27. a) A escala no eixo vertical 122 iniciando no valor 100.

115

110

26. b) Fazendo a coluna laranja ser menor e proporcional à taxa de variação entre a porcentagem e o ano, que é de 0,4.

109

108

105

100

Filial A

Filial B

Filial C

Fonte: Administradores da empresa.

a) Qual é o erro desse gráfico?

Quais são os problemas que podemos apontar nesse gráfico?

b) Que equívoco o erro desse gráfico pode

causar?

25. Não há título, nem fonte, e ele só mostra o último ano, e não os últimos 5 anos, conforme é necessário. 272 | TRAJETÓRIA 4

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

LEVO NA BAGAGEM

LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Consulte todas as suas produções até agora neste passeio e avalie seu aprendizado sobre: ▶ Matemática • Reconhece, em experimentos aleatórios, eventos independentes e eventos dependentes e calcula a probabilidade de sua ocorrência? • Analisa gráficos, atentando-se aos elementos e identificando possíveis erros que podem comprometer a leitura? • Constrói gráficos, com ou sem o uso de um software digital, organizando os dados de maneira adequada? • Utiliza medidas de tendência central para auxiliar na interpretação de dados? • Planeja, executa e analisa uma pesquisa com o objetivo de descrever uma situação por meio de dados? ▶ Outras disciplinas Língua Portuguesa • É capaz de analisar notícias que apresentem dados ou gráficos como forma de compreender as condições de circulação desses textos? Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno.

QUADRO DE AVALIAÇÃO Insuficiente

Parcialmente suficiente

Satisfatório

Plenamente satisfatório

MATEMÁTICA

OUTRAS ÁREAS

Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

273 |

BARCOS E PORTOS

Organize

Incentive o trabalho cooperativo, o compartilhamento, tanto dos conhecimentos quanto das dúvidas entre os estudantes de modo que evoluam em suas relações, melhorando a compreensão dos conceitos e a expressão nas mais diversas linguagens. Elabore

Após alguns lançamentos e com o avançar das jogadas, avalie construir também a tabela das somas dos resultados possíveis nas faces de dois dados para determinarem a probabilidade de cada soma:

▶ Organize Respostas pessoais. Agora que você percorreu todo este passeio, faça uma lista de palavras-chave que representem os tópicos mais importantes do que aprendeu nele, junto com exemplos ligados a cada uma delas. Comece consultando o mapa de vínculos e ênfases que está na seção Arredores. Depois, reveja as anotações e atividades que fez ao longo do passeio. Para cada palavra-chave nova, faça uma reflexão acerca do conceito que a ela está conectado; tente lembrar o máximo de informações; se necessário, releia os problemas ou textos conectados ao assunto e, depois, determine se ela é mesmo uma boa palavra-chave para se colocar em sua lista. Depois, passe à próxima palavra, até sentir que a lista representa bem o que foi abordado neste passeio. a) Após terminar, peça para trocar sua lista com outro colega e leia as palavras-chave

que ele escreveu. Há palavras iguais? E as diferentes, abordam os mesmos assuntos?

b) Sente que faltou alguma palavra-chave na lista de seu colega? Se sim, anote-a ao

c) Depois, destroque a lista e leia as sugestões que seu colega escreveu para você.

Analise se as considera pertinentes. Se discordar, pergunte a ele o porquê dessa

palavra. Ao final, decida quais palavras deseja manter na lista e finalize-a.

Questione-os: as somas são equiprováveis?

final da lista dele a lápis como sugestão.

▶ Elabore Vamos criar um experimento probabilístico? Forme um grupo de quatro colegas e, com a ajuda de seu professor, ou trazendo de casa, consigam dois dados de seis faces. Cada um de vocês pode apostar em um número de 2 a 12. Feito isso, lancem os dois dados simultaneamente 50 vezes, anotem os resultados, calculem a soma deles e respondam: a) Quem foi o vencedor? b) Elaborem uma tabela com os resultados registrados e anotem as conclusões que

tiraram sobre a distribuição deles. Qual seria um bom número para apostar, no futuro? 274 | BARCOS E PORTOS

274 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Proponha

▶ Proponha

Retome a pergunta inicial deste passeio, Como avaliar dados evitando a desinformação?, e oriente os estudantes na elaboração de uma pesquisa simples sobre um tema que desperte o interesse dos estudantes em seu convívio próximo. O objetivo dessa atividade está relacionado ao pensamento científico, criativo e crítico e à investigação matemática.

A pergunta inicial deste passeio é: Como avaliar dados e evitar a desinformação? Neste passeio, trabalhamos muito com pesquisas e apresentação de dados. Junte-se a dois ou três colegas e pensem em um problema que vocês sentem que ocorre na escola neste momento. Vamos fazer uma pesquisa rápida para ver se a sala concorda com o que pensam? a) Elaborem um roteiro de pesquisa rápido, com duas ou três perguntas, que verifique

se os colegas também sentem que há um problema similar. Além disso, deixem ao menos uma pergunta aberta no modelo exploratório quantitativo, isto é, uma pergunta que permita que o entrevistado faça uma sugestão aberta. Pode ser um novo problema ou uma nova solução ao problema já pensado, vocês decidem. b) Façam a pesquisa com os colegas e tabulem os resultados. c) Com as perguntas quantitativas, elaborem um gráfico simples que mostre os re-

sultados e vejam se o problema realmente é algo que todos os alunos sentem ou

FOMICH_OFF/SHUTTERSTOCK

se podem tirar outras conclusões.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

275 |

VISTORIAS

Habilidades de Matemática: EF09MA16, EF09MA17, EF09MA18, EF09MA19, EF09MA20, EF09MA21, EF09MA22, EF09MA23.

Você chegou ao final da Trajetória. Reflita sobre tudo o que aprendeu e verifique a qualidade da sua aprendizagem. 7. a) Resolva todos os exercícios a seguir no caderno.

CHECK-OUT

Atividade 1

4. b) Nanômetros, picômetros ou Angstrom.

1. O projeto de um novo logotipo de uma em-

Um círculo e um quadrado. Atividade 2

⎛ 1 + 3 , 2 + 1 ⎞ → M ⎛ 2, 3 ⎞ ⎟ ⎜⎝ ⎟ 2 ⎠ 2⎠ 2

SPICYTRUFFEL/ SHUTTERSTOCK

a) M ⎜⎝

b) Perímetro: 5 + 2 10 + 5; área da superfície: 10.

Ao colocarmos os dois sólidos apoiados em uma mesa, qual será a projeção ortogonal de cada um sobre a mesa? Um círculo e

Atividade 3

a) Vista frontal. b) P = 18; A = 12.

é disposto no plano cartesiano com vértices nos pontos A (0, 0), B (4, 3) e C (8, 0), calcule a área da superfície e o perímetro. c) Calcule o ponto médio do segmento com extremidades nos pontos B e C. ⎛ 6, 3 ⎞ ⎝

dade de medida apropriada para expressar a grandeza: a) Anos-luz ou quilômetros. a) A distância entre duas estrelas. b) O comprimento de um átomo. Quilograma ou c) A massa de um carro. tonelada. d) O volume de armazenamento de um disco rígido de computador. GB ou TB.

um quadrado.

⎛ 4 + 8 , 3 + 0 ⎞ → M ⎛ 6, 3 ⎞ ⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 2 ⎠ 2

5 4

a) Anos-luz ou quilômetros. b) Nanômetros, picômetros ou

-2 -3

5. Otávio deseja ter um aquário em casa, mas

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1

Angstrom. c) Quilograma ou tonelada. d) GB ou TB.

-4

⎛ 3⎞ 2. a) M ⎝ 2, ⎠ 2

-5

a) Encontre M, o ponto médio entre B e C.

a) 1 m × 0,5 m × 1,2 m = 0,6 m = 600 dm m × 1,2 m = 0,6 m3 = 600 dm3 ou 600 L 3

2 ⋅ 600 ⋅ 0,40 = 160 reais b) 3

b) Calcule o perímetro e a área da superfície

do polígono ABCD. Perímetro:

5 + 2 10 + 5; área: 10.

3. Sérgio ganhou este prisma de presente e

colocou-o na sala para decorar sua estante. YUMMYBUUM/ SHUTTERSTOCK

Atividade 5

está preocupado com o aumento no gasto de água que o aquário traria.

2 3 4 5 x VOJCE/SHUTTERSTOCK

Atividade 4

2⎠

4. Em cada uma das situações, escolha a uni-

2. Observe o plano cartesiano e responda:

c) M ⎝⎜

Agora, responda: 3. b) P = 18; A = 12. a) Se o prisma fica na estante de Sérgio na mesma posição que a da foto, qual das vistas ortogonais do prisma se assemelha a um triângulo? Vista frontal. 276 | VISTORIAS

276 | MANUAL DO PROFESSOR

b) Se o triângulo mencionado anteriormente

presa envolve os sólidos geométricos, conforme a imagem:

Ele sabe que precisa trocar dois terços da água do aquário a cada 30 dias, para manter os peixes saudáveis. O aquário tem o formato de um paralelepípedo cujas medidas são 1 m × 0,5 m × 1,2 m. Responda: a) Quantos litros de água são necessários para encher o aquário? 600 L. b) Se o litro de água custa R$ 0,40, quanto Otávio gastará por mês para manter os peixes saudáveis? 160 reais. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

7. a) Construção geométrica.

6. Observe a planificação:

seis átomos mostrados na tabela?

Atividade 8

b) Escolhendo um átomo da tabela ao acaso,

qual é a probabilidade que seu tamanho

Considerando π ≅ 3, responda: a) Qual é o sólido planificado? Cilindro. b) Calcule o volume do sólido planificado.

primeiro lançamento não influencia o segundo.

8 640 cm3.

7. Um dado de 6 faces tem a forma de um

Desempenho – Matemática

cubo. Faça o que é pedido em cada item: a) Esboce a planificação de um cubo. b) Ao lançarmos o dado duas vezes seguidas e observarmos o que saiu na face voltada para cima, estamos tratando de eventos dependentes ou eventos independentes? c) Ao lançarmos uma vez o dado, qual é a probabilidade de obtermos um número maior que 2? 2

NOTA MÉDIA

NÚMERO DE ALUNOS

0 a 1,9

2 a 3,9

4 a 5,9

6 a 7,9

121

8 a 10

8. A tabela mostra o tamanho dos átomos em Angstroms(Å). Observe-a e responda:

Tamanho dos átomos SÍMBOLO DO ÁTOMO NA TABELA PERIÓDICA H

9. b) Gráfico de setores, pois mostra a proporção Fonte: Secretaria da Escola. dos resultados.

Sobre os dados, responda:

TAMANHO

a) Qual intervalo corresponde à moda dos

(EM ANGSTROMS)

dados? 6 a 7,9. 0,53

0,31

1,67

1,12

0,87

0,67

0,53 + 0,31 + 1,67 + 1,12 + 0,87 + 0,67 5,17 1 = seja menor que 0,6 Å? 6 6 3 0,53 + 0,31 +e1,67 + 1,12 + 0,87 + 0,67 5,17 c) Escolha o tipo de gráfico apropriado ≅ 0,86 = 6 6 construa-o a partir da tabela, com ou sem Aproximadamente 0,86 Å. a ajuda de um software. 2 1 b) = Resposta pessoal. Construção de gráfico. 6 3 9. Uma escola realizou uma pesquisa para coc) Apresentamos um gráfico de nhecer o desempenho de seus 300 alunos em colunas, mas o estudante pode, por exemplo, construir Matemática no último trimestre e encontrou 7. b) Independentes, pois o um gráfico de barras. os resultados:

b) Qual gráfico seria mais apropriado para os

Tamanho (em Angstroms)

72 cm 20 cm

4 2 = 6 3

Aproximadamente 0,86 Å.

a) Qual é o tamanho médio aproximado dos

Tamanho dos átomos

1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

Resposta pessoal. Construção de gráfico.

10. Uma pesquisa é realizada para analisar se as

Fonte: Instituto de Física – Universidade de São Paulo.

no final do verão e é perguntado aos entre-

Atividade 9

a) A moda é o elemento mais

frequente: intervalo de 6 a 7,9 (121 alunos). b) Gráfico de setores, pois mostra a proporção dos resultados.

Desempenho – Matemática 12 45

32 90

pessoas têm interesse em comprar aquecedores em uma cidade. A pesquisa foi feita

Fonte: Instituto de Física – Universidade de São Paulo.

dados: de setores ou de linhas? Justifique. c) Construa o gráfico escolhido no item b.

Símbolo do átomo na tabela periódica

121

0 a 1,9 2 a 3,9 4 a 5,9 6 a 7,9 8 a 10

vistados se eles sentiram frio nos últimos 4 meses. Que tipo de erro podemos dizer que há nessa pesquisa?

10. Perguntar, ao final do verão, sobre os últimos 4 meses é fazer um recorte incorreto de dados e podeNÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. -se concluir que as pessoas nunca sentem frio, ao passo que isso poderá ocorrer 277 | durante o inverno.

Atividade 6

a) Cilindro. b) Como C = 2πr ⇒ 72 ≅ 2 ⋅ 3 ⋅ r ⇒ r ≅ 12 cm.

Então: V = π ⋅ r 2 ⋅ h ⇒ V ≅ 3 ⋅ 122 ⋅ 20 = 8 640 cm3 . ⇒ V ≅ 3 ⋅ 12 ⋅ 20 = 8 640 cm3 .

Fonte: Secretaria da escola. Atividade 10

Perguntar, ao final do verão, sobre os últimos 4 meses é fazer um recorte incorreto de dados, e pode-se concluir que as pessoas nunca sentem frio, ao passo que isso poderá ocorrer durante o inverno.

Atividade 7

a) São 11 possíveis disposições para a planificação da superfície de um cubo:

b) Independentes, pois o primeiro lançamento não influencia o segundo.

277 |

DE OLHO NA BÚSSOLA Após resolver os exercícios da seção Check-out, verifique se aprendeu a: OBJETIVOS

EXERCÍCIOS

Determinar o ponto médio e calcular o comprimento de um segmento localizado no plano cartesiano.

2, 3

Calcular a medida do perímetro e a área da superfície de figuras planas no plano cartesiano, conhecendo-se seus vértices pelas coordenadas.

2, 3

Visualizar figuras espaciais e suas projeções ortogonais, sendo capaz de desenhá-las em perspectiva.

1, 3

Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas.

4, 8

Escolher a unidade de medida apropriada para representar uma grandeza.

4, 5

Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

5, 6

Reconhecer a planificação da superfície de prismas e de cilindros, calculando seus volumes quando as medidas apropriadas forem fornecidas.

6, 7

Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e eventos dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência.

7, 8

Analisar gráficos, atentando-se aos elementos e identificando possíveis erros que possam comprometer a leitura.

8, 9, 10

Construir gráficos, com ou sem software digital, organizando os dados de maneira adequada.

8, 9

Utilizar medidas de tendência central para auxiliar na interpretação de dados.

8, 9

Planejar, executar e analisar uma pesquisa com objetivo de descrever uma situação por meio de dados.

9, 10

Considerando os exercícios que você resolveu, como julga seu desempenho: insuficiente, parcialmente suficiente, satisfatório, plenamente satisfatório? Respostas pessoais.

Prossiga ▶ Continue estudando! Retome esta Trajetória buscando, com professores e colegas, alternativas para superar os obstáculos de sua aprendizagem. Estude a seção Retornos e resolva novos exercícios referentes à Trajetória 4 que estão na seção Suplemente sua aprendizagem, ao final do livro. 278 | VISTORIAS

278 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Dicas de estudo

DICAS DE ESTUDO Crie circuitos de estudos para você melhorar seu desempenho na aprendizagem! Nesta etapa da sua escolaridade você já deve ter desenvolvido o hábito de estudar individualmente todos os dias. Sim: é necessário estudar todos os dias, assim como um profissional que necessita desempenhar sua função diariamente. Utilize circuitos de estudos que devem durar, em média 50 minutos cada um, com 10 minutos para descanso. Você deve realizar ao menos um circuito todos os dias. O circuito é composto destas etapas:

DEDIQUE-SE

Nesta etapa, você precisa entender e aprender. Para estudar, crie seus próprios registros, que pode elaborar sobre o material de base (livro, videoaulas, podcast). Faça resumos, esquemas visuais, mapas mentais, fichamentos (flashcards).

ATIVE

Aqui você deve resolver atividades. É esperado que resolva de 3 a 10 questões. Resolver questões é o modo de você saber se de fato aprendeu ou em quais temas ainda necessita de mais estudo ou novas estratégias de estudos.

REFORCE

Você não vai aprender o suficiente se não revisar! Na revisão utilize seu próprio material, não precisa recorrer ao material de base. Procure revisar em uma ordem diferente daquela que utilizou na primeira etapa. Você precisa ter certeza de que assimilou todo o conteúdo.

AUTOAVALIE-SE

É preciso registrar a qualidade do que aprendeu. Se, de 10 questões, você acertou somente 4, isso mostra que precisa retomar o estudo dos temas envolvidos nas questões que errou. Aqueles assuntos que, na constatação de sua autoavaliação, você não aprendeu necessitam ser retomados com extrema urgência.

Leia com os estudantes o texto e faça uma pesquisa rápida, avaliando se eles têm o estudo diário como hábito. Há várias estratégias de estudo diário: fazer resumos, mapas mentais e esquemas, resolver exercícios, reler os textos etc. Dê sugestões aos estudantes para que transformem o estudo diário em um hábito. Para tanto, a organização e o método são importantes. O circuito DARA é uma sugestão.

Esse circuito pode ser chamado de DARA (Dedique-se – Ative – Reforce

BNP DESIGN STUDIO/SHUTTERSTOCK

– Autoavalie-se).

Antes de desenvolver uma boa prática para administrar o tempo e a sua produtividade dentro do circuito, pode ser que você demore mais do que 50 minutos. Todavia, aos poucos, vai conseguir distribuir o tempo necessário para cada etapa, de modo a totalizar 50 minutos. Bons estudos! NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

279 |

RETORNOS

Suplemente sua aprendizagem

As seções Retornos e Suplemente sua aprendizagem têm o objetivo de contribuir com o aprendizado e a autonomia do estudante. Esta obra foi organizada em quatro trajetórias, mas, nesta etapa, os estudantes são convidados a percorrer outra trilha diante das atividades exploradas nas aulas. A proposta inicial – em Retornos – é revisitar os conteúdos principais discutidos em cada Trajetória com a leitura de um novo texto explicativo, mais enxuto, visto que ocorreu uma abordagem aprofundada anteriormente. Com base nessa leitura, o estudante pode usar diferentes estratégias para retomar os conteúdos em que percebeu a necessidade de aprimoramento ou aprofundamento, como: observar seus registros, elencar possíveis dúvidas, selecionar outros materiais de estudo. Com a expectativa de verificação de seu próprio desempenho, os estudantes podem responder às questões selecionadas – em Suplemente sua aprendizagem – e fazer uma autoavaliação conforme o resultado alcançado. Essa trilha pode ser percorrida ao final de cada Trajetória ou ao final do conjunto das quatro trajetórias. Ambas as propostas enriquecem e contribuem com o processo de ensino e aprendizagem de Matemática.

TRAJETÓRIA 1 Conjuntos numéricos Os números irracionais, em sua repre-

não exatas são números irracionais. Há também

sentação decimal, possuem infinitas ordens

outros números irracionais como o número π

decimais não periódicas. São números como a medida da diagonal do quadrado ou a altu-

e o número áureo ϕ =

ra de um triângulo equilátero com lados de medidas inteiras, e não podem ser expressos como uma fração.

1+ 5 2 .

Para localizar um número irracional em uma reta numérica, podemos fazer aproximações por racionais. Por exemplo: como 95 está entre 81 (cuja raiz é 9) e 100 (cuja raiz é 10), podemos dizer que 95 está entre 9 e 10. O conjunto dos números reais (!) é com-

posto dos números racionais (!) e dos números irracionais.

Potências e raízes Uma potência com um expoente fracionário de numerador 1 equivale a uma raiz de índice igual ao denominador. 1

Exemplo: 5 4 = 4 5 . Se o expoente for uma fração com nu-

merador diferente de 1, elevamos a base à potência igual ao numerador, dentro da raiz: a 2

m ⋅

1 n

= (a m ) n = n a m , n > 0, com a um número

real positivo, m e n números inteiros. 3

Exemplo: 5 4 = 4 53 . 280 | RETORNOS

280 | MANUAL DO PROFESSOR

Todas as raízes (quadradas, cúbicas etc.)

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

A potenciação possui algumas propriedades. Considere a e b números reais e m e n números naturais:

(

) ( ) ⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ (a!##### ) = a!##### i a ÷ a = ⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ = a a ⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ ! ##### ( )

⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ ⋅ a ⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a = am + n !##### !##### i am ⋅ an = a !######"######$ m vezes n vezes m

m vezes

m + n vezes

m –n

m – n vezes

n vezes

, sendo a ≠ 0.

i (a ⋅ b)m = (a ⋅ b) ⋅ (a ⋅#" b)############## ⋅ ... ⋅ (a ⋅ b)$ = a ⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ ⋅ b ⋅ b#"⋅ ##### ... ⋅ #b$ = a m ⋅ bm !##### !##### !############# m vezes

m vezes

a i ⎛ ⎞ ⎝ b⎠

m vezes

%'''''''& a a a am a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a ⋅ ⋅ ... ⋅ = m , sendo b ≠ 0. = b ⋅ b#"⋅ ##### ... ⋅ #b$ b b#"#######b$ !b###### !##### m vezes

m vezes

(

m vezes

) (

)

(

)

⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ ⋅ a ⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ ⋅ ... ⋅ a ⋅ a#"⋅ ###### ... ⋅ a$ = am ⋅ n !##### !##### !##### i (a ) = a m vezes m vezes m vezes !########################### "########################### $ m n

n vezes

Para adicionar ou subtrair duas raízes, podemos aproximá-las por racionais. Mas, no caso das raízes não exatas, deixamos a operação indicada representando o resultado exato. Ou, se forem iguais, podemos adicioná-las como elementos algébricos. Exemplos: •

2 + 5

•

2 +3 2 =1 2 +3 2 =4 2

Para simplificar raízes quadradas (ou de outro índice), podemos decompor o radicando em fatores e verificar se há algum fator elevado ao quadrado (ou ao índice considerado) de que a raiz possa ser calculada. Exemplos: 50 + 52 ⋅ 2 = 52 ⋅

• •

24 =

3 ⋅ 8=

3 ⋅

2 =5 2 8 = 3 3 ⋅ 3 23 = 2 3 3

Para multiplicar ou dividir raízes, observamos se os índices são iguais. Se forem, multiplicamos e dividimos os radicandos. Do contrário, podemos transformá-las em potências e encontrar um índice comum usando o mmc. Exemplos: • •

2 ⋅

5 =

10 1 2

5 ⋅ 4 5 = 5 ⋅ 5 4 = 5 4 ⋅ 5 4 = 4 25 ⋅ 4 5 = 4 125

Para escrever um número em notação científica, precisamos adotar o formato a ⋅ 10b , em que a é um número real, 1 ≤ a < 10, e b é um número inteiro. Números muito grandes terão b positivo, e números muito pequenos terão b negativo. Para arredondar um número, observamos a primeira ordem decimal que desejamos tornar um zero e, se for 4 ou menos, arredondamos para baixo. Do contrário, arredondamos para cima. Exemplo: 2,54689 pode ser arredondado para 2,55 (6 ≥ 5) (ou para 2,5 (4 < 5), dependendo do grau de precisão desejado.

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

281 |

Matemática financeira

pagar tudo de uma vez. Pode ocorrer de ser

Uma porcentagem pode ser calculada usando diversos métodos, mas uma propriedade interessante é que podemos comutar os números e efetuar o cálculo.

necessário dar uma entrada na operação, que

Exemplos:

é, em geral, um valor maior do que as parcelas. Para calcular juros compostos, podemos usar a fórmula:

• 80% de 25 é o mesmo que 25% de 80. • 12,5% de 50 é o mesmo que 50% de 12,5.

Um acréscimo implica um aumento no valor final de uma mercadoria. Para isso, calculamos o acréscimo percentual e, depois, adicionamos ao valor original do produto. Exemplo: um aumento de 20% em um produto que custa 250 reais resulta em 0,20 ⋅ 250 = 50 reais; esse é o valor que o preço aumentou, então adicionamos 250 + 50 = 300 reais, que é o novo valor do produto. Um desconto (decréscimo) é calculado de forma similar, com a diferença que subtraímos do preço original em vez de adicionar. Exemplo: um desconto de 20% em um produto de 250 reais resultaria em um preço final de 250 – 50 = 200 reais. Calcular dois acréscimos seguidos não resulta no mesmo valor que calcular a soma dos acréscimos de uma vez só! Aumentar 20% o preço de um produto e, na sequência, aumentar novamente em 20% resultam em um valor diferente do que se aumentarmos o valor original em 40%.

Em que: • M é o montante, isto é, o valor final após

aplicar os juros; • C é o capital investido, isto é, o valor inicial

investido ou emprestado; • i é a taxa de juros aplicada na unidade de

tempo, na forma decimal (por exemplo, 23% = 0,23); • t é a quantidade de vezes em que a taxa

será aplicada, geralmente uma unidade de tempo (quantidade de meses ou anos). Exemplo: ao aplicarmos um capital de 5 000 a uma taxa de 5% ao mês, após 10 meses teremos: M = 5 000 ⋅ (1 + 0,05)10 ≅ 8 144,47 Sequências Uma sequência pode ser escrita usando-se a notação an, em que n é um número

Dois descontos sucessivos também não resultam na soma dos descontos em separado.

natural não nulo e indica a posição do termo

Um aumento e um desconto de mesmo tamanho resultam em um valor menor que o original. Isso ocorre porque os percentuais são aplicados sobre totais diferentes.

A lei que determina uma sequência, se

Exemplo: se um produto que vale 100 reais sofre um acréscimo de 50% e, depois, um desconto de 50%, seu novo valor será de 75 reais, menos que os 100 reais iniciais. Um parcelamento ou financiamento é uma operação financeira em que se paga uma mercadoria em várias parcelas para não precisar 282 | RETORNOS

282 | MANUAL DO PROFESSOR

M = C(1 + i)t

an na sequência. houver, pode ser: • não recursiva: calculamos qualquer termo

a partir de sua posição. !* Exemplo: an = 3n + 5, n ∈ IN* • recursiva: cada termo é calculado a partir

do termo anterior.

⎧a1 = 7 Exemplo: ⎨ ⎩an = an–1 + 3, n ≥ 2 NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

TRAJETÓRIA 2 Razão e proporção Duas ou mais grandezas podem ser diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais. Para resolver problemas envolvendo grandezas direta ou inversamente proporcionais, podemos usar a regra de três, escrevendo uma proporção entre as medidas. Há algumas razões que aparecem bastante no dia a dia, tais como: • Velocidade: razão entre distância percorrida e tempo gasto; • Densidade demográfica: razão en-

tre a população de um país e sua área territorial. A taxa de variação média de uma grandeza representa sua variação média em relação a outra grandeza. Exemplo: a taxa de variação média do espaço em relação ao tempo é a velocidade, pois, se tivemos uma velocidade de 50 km/h, isso significa que, a cada uma hora que passa, andamos 50 km, em média. Para calcular a taxa de variação média de grandezas representadas em um plano cartesiano, basta considerar dois pontos do gráfico apresentado e determinar a variação da ordenada, dividida pela variação da abscissa, de um ponto a outro. Exemplo:

(0, –3) e (2, 1). Calculamos a taxa de variação Δy 1 – (–3) 4 média como Δx = 2 – 0 = 2 = 2. Há muitas situações em que precisamos dividir uma quantia em duas ou mais partes, mantendo a proporção. Nesse caso, o melhor a fazer é: • simplificar as razões ao máximo, para

facilitar as contas (no entanto, essa etapa é opcional); • adicionar todas as partes envolvidas para

se obter o total; • dividir a quantia pelo total de partes, en-

contrando depois cada parte, conforme desejado. Equações polinomiais de 2o grau Expressões algébricas envolvem diversas variáveis que podem ser substituídas por números determinando seu valor numérico. Produtos notáveis são fórmulas matemáticas genéricas que nos permitem recordar rapidamente resultados de um cálculo envolvendo produtos. Os produtos notáveis estudados foram: • Quadrado da soma:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 • Quadrado da diferença:

(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2 • Produto da soma pela diferença:

(a + b)(a – b) = a2 – b2 Para fatorar polinômios, podemos usar algumas técnicas: • Fator comum: o termo comum é colocado

em evidência. Exemplo: 3x 2 + 6x = 3x(x + 2). • Agrupamento: similar ao fator comum,

mas não há um fator comum a todos No gráfico, podemos identificar os pontos NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

os termos. 283 |

283 |

Exemplo: ax + ay – bx – by = a(x + y ) – b(x + y ) = (a – b)(x + y )

• Produtos notáveis: reconhecemos o resultado de um produto notável e fatoramos de

acordo. Exemplo: 9 y2 " –#### 16t $2 = (3y + 4t)(3y – 4t)$ !#### !######## "######## diferenc,a de dois quadrados

produto da soma pela diferenc,a

Equações de 2 grau podem ser: o

• incompletas do tipo ax + c = 0, a ≠ 0. 2

Exemplo: 4x – 64 = 0 ⇒ 4x 2 = 64 ⇒ x 2 = 16 ⇒ x = ± 4 2 • incompletas do tipo ax + bx = 0, com a ≠ 0. 2

10 2 10 = – 5 5 4x 2 + + 10x 10x = =0 0 ⇒ ⇒ x(4x x(4x + + 10) 10) = =0 0 ⇒ ⇒ xx = =0 0 ou ou 4x 4x + + 10 10 = =0 0 ⇒ ⇒ xx = =– – =– Exemplo: 4x 4 2 4 2 2 • completas do tipo ax + bx + c = 0, a ≠ 0. • Usamos a fórmula de Bhaskara:

x = Lembrando que Δ = b2 – 4ac.

–b ±

b2 – 4ac 2a

Concluímos que:

• Se Δ > 0, a equação terá duas soluções reais.

• Se Δ = 0, a equação terá apenas uma solução real. • Se Δ < 0, a equação não possui solução real.

Em algumas situações, substituir uma expressão por outra variável pode facilitar a resolução de uma equação. Exemplo: (2y – 3)2 + 5(2y – 3) + 6 = 0 Fazendo t = 2y – 3, temos t 2 + 5t + 6 = 0 e podemos determinar t pela fórmula de Bhaskara e, em seguida, o valor de y. Funções Um elemento algébrico representado por uma letra pode receber o nome de incógnita ou de variável. • Incógnita é um elemento cujo valor é desconhecido. Exemplo: o dobro de um número adicionado a 6 resulta em 10. • Variável é um elemento cujo valor pode variar em um intervalo numérico de acordo com o contexto. Exemplo: o preço p a pagar pela viagem depende do número k de quilômetros rodados. Em uma relação de dependência entre duas variáveis, uma variável é livre e a outra é dependente, ou seja, tem seu valor determinado por aquela. Exemplo: o preço p a pagar por uma compra de um mesmo produto depende da quantidade de itens i comprados. Para que uma relação entre duas variáveis seja chamada de função, é necessário que:

• haja uma relação de dependência entre as variáveis (uma das variáveis seja livre e a outra

variável dependa da variável livre);

• cada valor da variável livre tenha apenas um valor correspondente no conjunto de possi-

bilidades da variável dependente;

284 | RETORNOS

284 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

• todo valor que a variável livre assume

Função afim ou do 1o grau é toda função no formato f (x) = ax + b, com a e b sendo números reais, a ≠ 0. O gráfico de uma função afim é uma reta. Para encontrar a lei de formação de uma função afim tendo seu gráfico, basta obter y x Função f dois pontos distintos da reta e escrever um sistema de equações do 1o grau. Exemplo: se (2, 3) e (4, 7) são pontos da reta, gráfico da função do 1o grau, então, sendo Quando trocamos a variável livre (x) por um f(x) = ax + b, temos: número, estamos calculando um valor especí⎧3 = 2a + b ⎨ fico da variável dependente (y) ou função (f(x)). ⎩7 = 4a + b Exemplo: se f(x) = 2x – 3, então y = f(4) = 2 ⋅ 4 – 3E,= então, 5. a = 2 e b = –1, e a função é y = f (4) = 2 ⋅ 4 – 3 = 5. f(x) = 2x – 1. gere um valor correspondente na variável dependente.

TRAJETÓRIA 3 Retas paralelas

Semelhança de triângulos

Duas retas em um plano são paralelas distintas quando, mesmo que prolongadas infinitamente, jamais se cruzam nem têm algum ponto em comum.

Em um triângulo qualquer, a soma das medidas de dois lados sempre é maior que a medida do terceiro lado.

Dois elementos são congruentes quando possuem a mesma medida. Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.) são ae! c, por congruentes. Na imagem, os ângulos ! exemplo, são o.p.v.

a<b+c b<a+c

Há oito ângulos destacados na imagem, mas eles podem ser divididos em dois grupos, com todos os ângulos em cada grupo sena, ! c, ! v, ! x do congruentes entre si: os ângulos !

são todos congruentes entre si, e os ângulos ! !, ! ! são todos congruentes entre si. b, d z, w NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

c<a+b Para que dois triângulos sejam semelhantes, uma destas condições precisa ser satisfeita: • Pelo menos dois pares de ângulos internos (AA) congruentes (o terceiro par será congruente por consequência, pois a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o). Exemplo: os triângulos ABC e DEF são 285 |

285 |

semelhantes, pois ambos têm ângulos medindo 60o e 50o. 50°

60° C

as medidas para resolver o problema;

• efetuar os cálculos.

• escrever as proporções necessárias entre

50°

60°

Triângulo retângulo Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais:

• As medidas de três pares de lados (LLL)

correspondentes estarem na mesma proporção. Exemplo: ABC e DEF são semelhantes, pois a razão entre as medidas de seus lados correspondentes é 2 : 1.

• Cateto: nome dos lados menores, adja-

centes ao ângulo reto;

• Hipotenusa: nome do lado maior, oposto

terem a mesma proporção e os ângulos formados por eles serem congruentes (LAL). Exemplo: ABC e DEF são semelhantes, pois dois de seus lados têm a razão de 2 : 1 e os ângulos formados pelos lados correspondentes são congruentes (20o).

Em geral, para resolver problemas envolvendo triângulos semelhantes, precisamos: • localizar os triângulos semelhantes e verificar quais são os lados correspondentes (desenhar os triângulos em uma folha separada para alinhar os lados correspondentes e facilitar a visualização pode auxiliar na resolução); 286 | RETORNOS

286 | MANUAL DO PROFESSOR

ALEXANDRE R./M10

• Dois pares de lados correspondentes

ao ângulo reto. Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa (teorema de Pitágoras).

A recíproca do teorema de Pitágoras também é verdadeira: se a soma dos quadrados das medidas de dois lados é igual ao quadrado da medida do maior lado, então podemos afirmar que o triângulo é retângulo. Exemplo: o triângulo cujos lados medem 10 cm, 24 cm e 26 cm é retângulo pois 102 + 242 = 262 . Em um quadrado cujo lado mede x, sua diagonal terá medida x 2. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

O teorema de Tales nos diz que segmentos

Exemplo:

gerados por duas retas transversais (u e v) a um feixe de paralelas (r, s e t) são proporcionais. Podemos calcular a razão entre dois segmentos pelo quociente de suas respectivas medidas. Exemplo:

Na imagem, y = 2x.

v r

em comum e ambos cruzam a circunferência

s b

Se dois segmentos de reta têm um ponto

y t

em dois pontos, o produto das medidas dos segmentos é igual. Exemplo:

a x = . Podemos dizer que b y Estabelecemos, por semelhança dos triângulos, estas relações métricas em um triângulo retângulo: Na imagem, PA ⋅ PB = PC ⋅ PD. Se o ponto P for interno à circunferência, a relação se mantém. Polígonos regulares a

• c = h = n

b a c • c = h = n a m h • b = a = c Circunferências

Para calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados, basta usar a expressão: S = 180 ⋅ (n – 2) Se o polígono for regular, dividimos a soma

Segmentos tangentes a uma circunfe-

das medidas dos ângulos internos pelo núme-

rência que partem de um mesmo ponto são

ro de lados para encontrar a medida de um

sempre congruentes. Em uma circunferência, a medida do ângulo inscrito é metade da medida do ângulo central correspondente. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ângulo interno: ai =

(n – 2) ⋅ 180 n 287 |

287 |

TRAJETÓRIA 4 Plano cartesiano

Para determinar a área da superfície do quadrilátero ABCD, podemos calcular a área do retângulo amarelo e subtrair dela as áreas dos triângulos 1, 2, 3 e 4. Vistas ortogonais Vistas ortogonais são representações bidimensionais de objetos tridimensionais.

ALEXANDRE R. / M10

Para calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano, podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo cuja hipotenusa é a distância entre os pontos. Exemplo:

A distância entre A e B pode ser calculada

9 8

1 A

6 5 4 3 2 1

–4 –3 –2 –1 0 –1

8 9 10 11 x

–2

–3 –4 –5 –6

288 | RETORNOS

288 | MANUAL DO PROFESSOR

3 D

Vistas superior, frontal e lateral.

As vistas ortogonais ajudam a desenhar o sólido em perspectiva, pois nos permitem fazer o processo de reconstrução da imagem. ALEXANDRE R. / M10

com AB2 = (9 – 3)2 + (10 – 2)2 . Para calcular o ponto médio entre dois pontos quaisquer do plano cartesiano, basta encontrar a média aritmética das coordenadas. Exemplo: o ponto médio entre (2, 1) e (4, 9) é o ponto (3, 5), pois 3 é a média aritmética entre 2 e 4, e 5 é a média entre 1 e 9. Para calcular o perímetro de um polígono no plano cartesiano, basta adicionar as medidas dos lados que podem ser calculadas como distâncias entre dois pontos. Para calcular a área da superfície de um polígono no plano cartesiano, podemos dividi-lo em figuras menores, para facilitar o processo, ou calcular a área de um polígono maior em que o polígono esteja inserido e subtrair as áreas excedentes. Exemplo:

Grandezas e medidas A maioria das unidades que utilizamos no meio científico foi padronizada com a criação do Sistema Internacional de Medidas (SI). No espaço, para medir distâncias muito grandes, usamos a unidade ano-luz, que é a distância percorrida pela luz, no vácuo, em um ano. As unidades de medida têm múltiplos e submúltiplos para representar quantias maiores ou menores que a unidade padrão. Por exemplo, 1 kg corresponde a 1 000 gramas, enquanto 1 miligrama corresponde a 1 grama dividido em 1 000 partes. Da mesma forma, 1 mililitro também equivale a 1 L dividido em 1 000 partes, e um quilobyte, a mil bytes. Um metro cúbico (m3) equivale a 1 000 litros (L). NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

O volume de um prisma é calculado por: V = Ab ⋅ h em que V é o volume, Ab é a área da superfície da base e h é a altura. O volume de um paralelepípedo de medidas a, b e c é V = a ⋅ b ⋅ c. O volume de um cubo de aresta medindo a é V = a3 . O volume do cilindro, sendo r o raio da circunferência da base, é: V = π ⋅ r2 ⋅ h em que V é o volume, r é o raio e h, a altura. Esta é uma planificação da superfície de um cilindro:

tenha um total par de dados, a mediana é encontrada pela média aritmética dos dois dados centrais. • Moda: valor que mais aparece em um

conjunto de dados. Gráficos de barras ou de colunas são usados para comparar elementos quantitativamente, pois permitem uma rápida visualização das quantidades associadas a uma grandeza. O gráfico de setores é composto de setores circulares proporcionais aos percentuais de cada resultado. Portanto, são adequados quando se quer comparar elementos proporcionalmente. O gráfico de linhas mostra a evolução de uma ou mais grandezas ao longo do tempo. O gráfico em rede permite comparar o rendimento ou potencial de um certo elemento comparado a um referencial. Pesquisas

Probabilidade e Estatística A definição de probabilidade é: número de eventos favoráveis esperados P= número de eventos possíveis Eventos equiprováveis são eventos cuja probabilidade é igual. Eventos independentes não são condicionados a nenhum outro resultado para ocorrerem. Eventos dependentes têm seu resultado alterado por outros eventos. As medidas de tendência central que estudamos e utilizamos são: • Média aritmética: soma dos valores dividida pelo número de valores adicionados. • Média aritmética ponderada: cada valor

é multiplicado por seu peso, e a soma desses produtos é dividida pela soma dos pesos. • Mediana: valor central de um conjunto

de dados ordenados. Caso o conjunto NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Uma pesquisa exploratória busca expandir os horizontes e ouvir os pesquisados com mais abrangência. São pesquisas em que, em geral, não se induz o entrevistado a nenhum tipo de resposta predeterminada, os resultados são considerados qualitativos, isto é, devem ser analisados por seu conteúdo, e dificilmente podem ser transformados em um gráfico. Um exemplo de pergunta desse tipo de pesquisa seria: “O que você acha que está faltando no cardápio do restaurante?” As pesquisas descritivas são pesquisas em que se busca uma resposta quantitativa, isto é, os dados podem ser tabulados e transformados em gráficos a serem analisados numericamente. Em geral, o entrevistado é induzido a escolher uma resposta preestabelecida, para que somente as possibilidades já levantadas anteriormente possam ser analisadas. Exemplo de pergunta: “Das alternativas abaixo, qual você gostaria de ver no novo cardápio do restaurante?” 289 |

289 |

As etapas de elaboração de uma pesquisa são: • Definição do problema • Planejamento • Execução • Tabulação e análise de resultados

O modo como uma pergunta é formulada pode influenciar muito o resultado obtido. Há algumas maneiras de se manipular um gráfico ou pesquisa para que ele pareça dar informações diferentes da realidade. As que estudamos foram:

• manipular a escala, de modo que a dis-

crepância entre os valores pareça maior ou menor do que realmente é; • recortar os dados, focando somente no período em que ocorreu o que queremos mostrar e retirando o contexto maior, que pode mostrar outro resultado; • usar o tipo de gráfico inapropriado para a situação, para confundir a leitura; • usar a estética de forma não intuitiva; • manipular as respostas, colocando mais respostas positivas do que negativas, por exemplo.

QUADRO DE HABILIDADES DO 9O ANO

ÁLGEBRA

290 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

QVASIMODO ART/SHUTTERSTOCK

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

291 |

OUTRAS DISCIPLINAS

292 | QUADRO DE HABILIDADES

292 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Trajetória 1

SUPLEMENTE SUA APRENDIZAGEM

Trajetória 1 1. (PUC-RS – adaptada) Em nossos trabalhos

com matemática, mantemos um contato permanente com o conjunto ! dos números reais, que possui, como subconjuntos, o conjunto IN dos números naturais, o conjunto dos números inteiros, o ! dos números !e irracionais. racionais e o dos números irracionais. O conjunto dos números reais também pode ser identificado reunindo-se os conjuntos: a) IN e !. b) IN e !. c) ! e irracionais. d) IN e irracionais. e) ! e irracionais.

2. (FGV-SP) Identifique a alternativa incorreta: a) Todo número inteiro é racional.

b) O quadrado de um número irracional pode

ser real.

c) A soma de dois números irracionais pode

ser racional.

d) O produto de dois números irracionais é

sempre irracional. e) Todo número primo maior que 2 é ímpar. 3 + 39 ? 3. (PUC-Rio) Quanto vale 3 3 3 a) 3 3

9 c) 1 + 3 3 d) 1 + 3 9 e) 2 3 3 b)

4. (PUC-Rio) Considere x, y e z reais positivos tais 3 2 4 3 6 que x = 2 015 , 3 y = 2 015 e z = 2 015 . 1 A expressão x ⋅ y ⋅ z vale: a) 2 015-7 b) 2 015-13 c) 2 015–17 d) 2 0155 e) 2 0157

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

1. O conjunto dos números

5. (Enem) As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de 2012, e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio de 2012. Acesso em: 2 ago. 2012.

A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de a) 4,129 ⋅ 103 b) 4,129 ⋅ 10

c) 4,129 ⋅ 109 d) 4,129 ⋅ 10 e) 4,129 ⋅ 10

3 9 3 + 3 81 3 + 39 ⋅ 3 = 3 3 9 3 C o m o 81 = 33 ⋅ 3, e n t ã o 3 81 = 3 3 3 , e t e m o s

Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br.

reais é a união dos números racionais (!) com os irracionais. Alternativa c. 2. Há produtos de números irracionais que são números racionais, como: 2 ⋅ 8 = 4 ou 3 ⋅ 3 = 3. Alternativa d. 3. Racionalizando o denominador:

6. (UPE) O Banco Dinheiro Fácil movimentou a quantia de 240 bilhões de reais no ano de 2013. Suponhamos que um conjunto de dez

3 + 33 3 = 1 + 3 3. 3 Alternativa c. 4. Calcula-se o valor de x: x ! 20153

! x " ! !2015 " 2

3 2

x ! 20156 Calcula-se o valor de y: y 2 ! 20154

! y " ! !2015 " 2

4 3

y 2 ! 201512 2

y 2 ! 2015 2

y ! 20156 Calcula-se o valor de z: a um grama. Qual a massa correspondente 1 1 ! ! 2015–7 ao volume de dinheiro movimentado por 20157 201514 Multiplicando x, y e z, obesse banco em 2013, considerando que todo tém-se 201514. Substitui-se na o dinheiro movimentado foi em cédulas de expressão e desenvolve-se a expressão: R$ 50,00? A expressão vale 2015–7. 8 a) 4,8 ⋅ 10 Alternativa a. b) 4,8 ⋅ 107 5. Um milhão correspond e a 1 000 000 = 106 e c) 4,8 ⋅ 106 1 tonelada = 1 000 kg. d) 2,4 ⋅ 108 Portanto, o valor exportado e) 2,4 ⋅ 107 foi (4,129 ⋅ 106 ) toneladas = (4,129 ⋅ 6 ⋅ 10 ) toneladas = (4,129 ⋅ 109 ) kg. 293(4,129 | Alternativa c. 6. Dividindo 240 bilhões por 500 (pois um conjunto de dez cédulas de 50 reais corresponde a 500 reais), temos um total de 480 milhões de conjuntos, ou seja, 4,8 ⋅ 108 conjuntos e, por consequência, gramas. Alternativa a. cédulas de R$ 50,00 tem massa equivalente

293 |

7. C o m o 1 2 , 3 3 é i g u a l a

1 860,867, e 1 860,897 é maior

7. (UFRJ) O professor escreveu no quadro-negro:

do que 1 800, então 3 12,3 > 3 1 800. 3 3 12,3 > 3 1 800. é maior do que Portanto, é possível concluir que 12,34 é maior. 8. A soma 1 + 2 + 3 + ... + 20 + 21 é igual a 231. Alternativa b. 9. Na 5a etapa, a garrafa com capacidade para 800 mL deverá ser esvaziada. Para isso, os 300 mL de azeite que nela se encontram deverão ser despejados na garrafa com capacidade para 500 mL. Assim, na 6a etapa, basta despejar o azeite da lata na garrafa com capacidade para 800 mL, até preenchê-la por completo, fazendo com que na lata restem 100 mL. Alternativa d.

ALEXANDRE R. / M10

Resolva o desafio proposto pelo professor.

8. (UFRGS) Em uma escola, as turmas de ensino médio totalizam 231 estudantes. Para uma atividade festiva na escola, todos esses estudantes foram dispostos em filas, obedecendo à seguinte disposição: 1 estudante na primeira fila, 2 estudantes na segunda fila, 3 estudantes na terceira fila, e assim sucessivamente. O número de filas que foram formadas com todos os estudantes é a) 19. b) 21. c) 22. d) 23. e) 25.

9. (Enem) A diversidade de formas geométricas espaciais criadas pelo homem, ao mesmo tempo em que traz benefícios, causa dificuldades em algumas situações. Suponha, por exemplo, que um cozinheiro precise utilizar exatamente 100 mL de azeite de uma lata que contenha 1 200 mL e queira guardar o restante do azeite em duas garrafas, com capacidade para 500 mL e 800 mL cada, deixando cheia a garrafa maior. Considere que ele não disponha de instrumento de medida e decida resolver o problema utilizando apenas a lata e as duas garrafas. As etapas do procedi-

ALEXANDRE R. / M10

mento utilizado por ele estão ilustradas nas figuras a seguir, tendo sido omitida a 5a etapa.

294 | SUPLEMENTE SUA APRENDIZAGEM

294 | MANUAL DO PROFESSOR

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ALEXANDRE R. / M10

10.João e Pedro realizaram jun-

tos reparos nos andares 1, 7, 13 e assim por diante, de 6 em 6. O 20º andar em que isso ocorre é no 115o andar. Alternativa d.

ALEXANDRE R. / M10

Qual das situações ilustradas a seguir corresponde à 5a etapa do procedimento?

Trajetória 2

10. (Enem) Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro. Qual é o número de andares desse edifício? a) 40 b) 60 c) 100 d) 115 e) 120

Trajetória 2 11. (USP) Um automóvel, modelo flex, consome

34 litros de gasolina para percorrer 374 km. Quando se opta pelo uso do álcool, o automóvel consome 37 litros deste combustível para percorrer 259 km. Suponha que um litro de gasolina custe R$ 2,20. Qual deve ser o preço do litro do álcool para que o custo do quilômetro rodado por esse automóvel, usando somente gasolina ou somente álcool como combustível, seja o mesmo? a) R$ 1,00 d) R$ 1,30 b) R$ 1,10 e) R$ 1,40 c) R$ 1,20

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

11. O

automóvel faz 374 : 34 = 11 km por litro de gasolina e 259 : 37 = 7 km por litro de álcool. Mantendo 11 2,2 a proporção, temos 7 = p e p = 1, 11 2,2 = e p = 1,40. 7 p Alternativa e. 12.O combustível colocado no carro deve ser capaz de percorrer uma distância de 16 voltas, que, nesse circuito, correspondem a 112 km. Como o consumo médio é de 75 litros a cada 100 km: 75 100 = → x = 84 L x 112 O total a ser colocado é de 84 litros. Como a densidade dessa gasolina é de 750 g/L, a massa da gasolina abastecida é de 750 ⋅ 84 = 63 000 g = 63 kg. A massa total é 605 + 63 = 668 kg. Alternativa b.

12. (Enem) Segundo as regras da Fórmula 1, o

peso mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de 605 kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem competições dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps, na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para cada 100 km. Suponha que um piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 g/L, esteja no circuito de 295 |

295 |

13.O número que mais se apro-

xima da população estimada é 1 917 027, porque: 4 406,96 ⋅ 435 = 1 917 027,6. Alternativa c. 14.Resolvendo a equação x 2 + 9x + 14 = 0, encontramos como soluções –7 e –2, cuja soma é –9. Alternativa c. 15.A equação x 2 + 2x – 15 = 0 tem como raízes (soluções): 3 e –5. Como o exercício pede a alternativa correta da maior solução, logo é o valor 3, que é ímpar. Alternativa a. 16.Se b2 – 4ac = 0, temos uma única raiz, x =

–b ± 0 b =– . 2a 2a

Spa-Francorchamps, parado no box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar mais 16 voltas, ao ser liberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo, a) 617 kg b) 668 kg c) 680 kg d) 689 kg e) 717 kg

13. (UFPR) No ano de 2018, a densidade popula-

cional da cidade de Curitiba foi estimada em 4 406,96 habitantes por quilômetro quadrado. Supondo que a área territorial da cidade seja de 435 km2, o número que mais se aproxima da população estimada de Curitiba em 2018 é: a) 1 916 610. b) 1 916 760. c) 1 917 027. d) 1 917 045. e) 1 917 230.

–b ± 0 b =– . 2a 2a Alternativa a. 14. (FAUEL – Prefeitura de Rio Azul – PR – Assisten17. A despesa pode ser escrita te Administrativo) A equação x 2 + 9x + 14 = 0 de duas formas de acordo tem duas raízes reais. Qual é o valor da soma com o valor que será pago dessas duas raízes? por uma das 55 pessoas no a) –5 acerto final. Nesse acerto, a b) 5 despesa (D) pode ser escrita c) –9 por D = 55x. d) 9 No acerto inicial, cada uma 15. (FAUEL – Prefeitura de São José dos Pinhais – das 50 pessoas pagaria PR – Guarda Municipal) Assinale a alternativa (x – 7) reais e faltariam que traga uma afirmação correta da maior 510 reais para completar das soluções da equação: x 2 + 2x – 15 = 0 o valor da despesa. Assim, a) É ímpar. D = 50 ⋅ (x – 7) + 510. b) É negativo. Igualando as duas equações c) É múltiplo de 4. e resolvendo, tem-se que: d) É um quadrado perfeito. 50x – 350 + 510 = 55x 5x = 160 → x = 32 reais. e) É igual a zero. 10 = 55x 5x = 160 → x = 32 reais. 16. (VUNESP) No conjunto dos números reais, a Alternativa d. equação ax 2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, tem: 18.A proporção é: x a) somente uma raiz se b2 – 4ac = 0. y = 2 → x 2 = 2y 2 → x = y 2. b) duas raízes iguais se b2 – 4ac = 0. x y x c) somente uma raiz se b2 – 4ac > 0. 2 → x 2 = 2y 2 → x = y 2. d) duas raízes distintas se b2 – 4ac < 0. y e) somente uma raiz se b2 – 4ac < 0. Alternativa b. 296 | SUPLEMENTE SUA APRENDIZAGEM

296 | MANUAL DO PROFESSOR

17. (Enem) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00. De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas? a) R$ 14,00. b) R$ 17,00. c) R$ 22,00. d) R$ 32,00. e) R$ 57,00.

18. (FATEC) Um formato de papel usado para impressões e fotocópias, no Brasil, é o A4, que faz parte de uma série conhecida como série A, regulamentada internacionalmente pelo padrão ISO 216. Essa série criou um padrão de folha retangular que, quando seu lado maior é dobrado ao meio, gera um retângulo semelhante ao original, conforme ilustrado. Dobra

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Considerando uma folha da série A, com as dimensões indicadas na figura, pode-se afirmar que a) x = 2y d) y = x 2 e) y = 2x

b) x = y 2 c) x = y

19. (VUNESP) Historicamente, a taxa de fertilidade

mundial tem diminuído ao longo dos anos. Inclusive, projeta-se que a taxa de fertilidade fique abaixo da taxa de reposição, que corresponde ao número médio de nascimentos por mulher necessário para manter constante o tamanho da população. O gráfico a seguir ilustra esse cenário. 4,97

Taxa de reposição

2,1 0 1950

2,42 1,94

2020

2090

Fonte: www.pewresearch.org. Adaptado.

A função do 1o grau que descreve a projeção da taxa de fertilidade mundial (T) para o ano n, com 2020 < n < 2090, 6 a) T(n) = 2,42 – 875 ⋅ (n – 2 020) 2 b) T(n) = 2,42 – 375 ⋅ n 6 c) T(n) = 2,42 – 875 ⋅ n 12 d) T(n) = 2,42 – 25 ⋅ n 2 ⋅ (n – 2 020) e) T(n) = 2,42 – 375

20. (UNESP) As medições da elevação do nível dos mares e oceanos feitas por mareógrafos ao longo da costa, no período de 1880 a 2000, mostram que o nível global destes subiu a uma taxa média de 1,7 cm por década. Já as medições realizadas por altímetros-radares a bordo de satélites de sensoriamento remoto, para o período de 1990 a 2000, indicam que o nível subiu a uma taxa média de 3,1 cm por década. Admitindo que as condições climáticas que provocam esta elevação não se alterem nos próximos 50 anos, o nível global dos mares e oceanos deverá subir nesse período, em cm, entre a) 8,5 e 15,5. b) 6,5 e 13,5. c) 7,5 e 10,5. d) 5,5 e 10,5. e) 5,5 e 15,5

21. (AMEOSC) Uma granja identificou que seu

custo com a criação das galinhas obedecia a função C = 3 + 10,50x. Assim, qual deve ser o valor mínimo cobrado por 150 galinhas, para que não haja prejuízo? a) O valor mínimo cobrado deve ser de R$ 2.273,00. b) O valor mínimo cobrado deve ser de R$ 958,00. c) O valor mínimo cobrado deve ser de R$ 1.600,00. d) O valor mínimo cobrado deve ser de R$ 1.578,00.

Trajetória 3 22. (INSTITUTO AOCP – CASAN – Técnico de Ele-

a) 12 metros

d) 15 metros

trônica) Uma pessoa de 1,5 metros de altura

b) 10 metros

e) 20 metros

projeta uma sombra de 1,8 metros. Sabendo que, no mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 12 metros, conclui-se que a altura do prédio é NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

19.Considerando os pontos do

gráfico, podemos dizer que, sendo T(n) = an + b e os pontos (2 020; 2,42) e (2 090; 1,94), testando as alternativas e os pontos conhecidos, encontramos como resposta 6 T(n) = 2,42 – ⋅ (n – 2 020). 875 Alternativa a. 20. De acordo com o problema, o menor valor para a elevação do nível dos mares nas próximas 5 décadas (50 anos) será 5 ⋅ 1,7 cm = 8,5 cm e o maior valor para essa elevação é 5 ⋅ 3,1 cm = 15,5 cm. Alternativa a. 21.Trocando x por 150, temos c(150) = 3 + 1 575 = 1 578. O valor mínimo cobrado para não ter prejuízo deve cobrir, ao menos, os custos. Alternativa d. Trajetória 3

22.Utilizando a semelhança de triângulos, podemos escrever a proporção: 1,5 x = ⇒ x = 10 m 1,8 12 Alternativa b. 23.Utilizando a semelhança de triângulos, podemos escrever a proporção: 3 x = ⇒ x = 7,2 m 2,5 6 Alternativa a.

c) 8 metros

23. (IMPARH – Prefeitura de Fortaleza – CE – Professor de Matemática) Sabe-se que no centro da cidade de Fortaleza tem um bastão 297 |

297 |

tão AB = 3 e, usando o teorema de Tales, encontramos 7 3 = , de onde vem x = 6. 14 x Alternativa a. 25. Utilizando o teorema de Pitágoras, vemos que a parte do poste correspondente ao triângulo tem altura de 8 m. Assim, 8 + 2 = 10 m. Alternativa b. 26. Utilizando o teorema de Pitágoras, 242 + 322 = AC 2 e AC = 40 m. 2 2 2 = AC e AC = 40 m. Alternativa c. 27. Utilizando o teorema de Pitágoras, 42 + 32 = BC 2 e BC = 5 m. 32 = BC 2 e BC = 5 m. Considerando a sequência de jogadas, temos 3 + 5 = 8 m. Alternativa e.

de 3 m de altura e que ele está na vertical. Em certa hora da tarde, sua sombra projetada pelo sol sobre um chão plano mede 2,5 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um poste vertical que fica bem próximo a esse bastão projeta uma sombra sobre um chão plano de 6 m. Podemos afirmar que a altura do poste é de: a) 7,2 m. c) 9,4 m. b) 8,3 m. d) 10,5 m.

26. (Avança SP – Prefeitura de Laranjal Paulista – SP – Professor de Educação Básica – PEB II – História) Deseja-se subir em um muro com 32 metros de altura. Para isso apoia-se uma escada, a 24 metros de distância desse muro, como pode ser observado na figura abaixo. ALEXANDRE R./ M10

24.Como AC = 10 e BC = 7, en-

24. (FUNDATEC – Prefeitura de Vacaria – RS –

Agente de Licitações/Pregoeiro) Na figura abaixo, as retas “r”, “s” e “t” são paralelas, e as retas “u” e “v” são transversais:

Desse modo, a altura dessa escada, em metros, é de: a) 28 m. c) 40 m. e) 56 m. b) 30 m. d) 45 m.

27. (Avança SP – Prefeitura de Laranjal Paulista

25. (IDCAP – Prefeitura de Santa Leopoldina –

ALEXANDRE R./ M10

ES – Professor de Matemática) Um poste de energia começou a inclinar e para não haver um acidente a empresa responsável decidiu colocar um cabo de aço puxando-o para o lado oposto. Com base na ilustração abaixo, marque a alternativa que corresponde à altura do poste.

a) 20 m b) 10 m

Considerando que a trajetória da bola é linear e eles estão parados em seus lugares, qual é o total da distância percorrida pela bola nessa jogada? a) 3 m c) 5 m e) 8 m b) 4 m d) 7 m

28. (AV MOREIRA – Prefeitura de Landri Sales –

c) 16 m d) 8 m

298 | SUPLEMENTE SUA APRENDIZAGEM

298 | MANUAL DO PROFESSOR

ALEXANDRE R./ M10

Se AC = 10, BC = 7 e C'B' = 14, então a medida de A'B' será: a) 6. c) 8. e) 10. b) 7. d) 9.

– SP – Assistente Social) Em uma jogada ensaiada o Jogador A passa a bola para o Jogador B que passa para o Jogador C.

e) 12 m

PI – Farmacêutico) Um terreno circular de raio 10 m deverá ser cercado a partir de uma cerca de arame farpado. Para isso, o dono do terreno decidiu que esta cerca terá 5 fios de arame e será apoiada sobre algumas estacas NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

29. (Itame – Prefeitura de Senador Canedo – GO

– Professor – Matemática) Os raios de duas circunferências C1 e C2 são 8 cm e 3 cm, respectivamente, e a distância entre seus centros é 13 cm. Seja r a reta que passa pelos pontos A e B, onde A é o ponto de tangência entre r e C1, e B o ponto de tangência entre r e C2, como ilustrado na figura.

A distância entre os centros de dois círculos não tangentes entre si é a) 2r. b) r2. c) r 2. d) 2r 2. e) r

31. (Enem) A rosa dos ventos é uma figura que representa oito sentidos, que dividem o círculo em partes iguais.

8 13

direcionada remotamente, através de um

30. (UFRGS) Quatro círculos de raio r foram tra-

çados de forma que sejam tangentes entre si dois a dois, como na figura abaixo. As distâncias entre os centros de dois círculos não tangentes entre si têm a mesma medida.

B 3

teto de um shopping e sua lente pode ser

mento AB é igual a: a) 12 cm b) 13 cm c) 14 cm d) 15 cm

ferência é calculado por 2 ⋅ 3,14 ⋅ 10 = 62,8 m. Como são cinco fios, 62,8 ⋅ 5 = 314 m. Dividindo em rolos de 50 m, temos 6,28 rolos, ou seja, serão necessários, no mínimo, 7 rolos de arame. Alternativa d. 29.Como a diferença dos raios é 5 m, um cateto do triângulo retângulo mede 5 m: A

Uma câmera de vigilância está fixada no

Nessas condições o comprimento do seg-

28. O perímetro da circun-

ALEXANDRE R./ M10

fixadas ao redor do terreno. Considerando π = 3,14 e sabendo que cada rolo de arame contém 50 m de arame, ele precisará no mínimo de: a) 4 rolos de arame. b) 5 rolos de arame. c) 6 rolos de arame. d) 7 rolos de arame. e) 8 rolos de arame.

controlador, para qualquer sentido. A lente da câmera está apontada inicialmente no sentido Oeste e o seu controlador efetua

Pelo teorema de Pitágoras, 132 = 52 + AB2 e encontramos AB = 12 cm. Alternativa a. 30. Pela imagem, podemos usar o teorema de Pitágoras, d 2 = (2r)2 + (2r)2 , e encontrar a distância como 2r 2.

três mudanças consecutivas, a saber: •

1a mudança: 135o no sentido anti-horário;

•

2a mudança: 60o no sentido horário;

•

3a mudança: 45o no sentido anti-horário.

Após a 3a mudança, ele é orientado a reposicionar a câmera, com a menor amplitude possível, no sentido Noroeste (NO) devido

r d r

a um movimento suspeito de um cliente. Qual mudança de sentido o controlador deve efetuar para reposicionar a câmera?

Alternativa d.

a) 75o no sentido horário. c) 120o no sentido anti-horário. d) 135o no sentido anti-horário. e) 165 no sentido horário. o

NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

360

31.Lembrando que 8 = 45 : • A p ó s o 1 o m o v i m e nt o,

b) 105o no sentido anti-horário.

299 |

paramos no sentido SE (180o – 135o = 45o ); a partir do 0o e no sentido horário); • Após o 2o movimento, entre S e SO, sendo 15 o o ângulo formado com S (60o + 45o = 105o ); a partir do 0o no sentido horário); • Após o 3o movimento, entre SE e S, a 30 o de S. (105o – 45o = 60o a partir de 0o no sentido horário). Para NO, é necessário girar 300o – 135o = 165o no sentido horário. Alternativa e.

299 |

Trajetória 4

32. Como 6 ⋅ 3 = 18, observa-

mos que, nos 6 segundos, a coordenada x ganhou 4 unidades, e a coordenada y, 2 unidades. Multiplicando por 3, encontramos a coordenada x como 2 + 12 = 14 e a y como 0 + 6 = 6. Portanto, suas coordenadas serão (14, 6). Alternativa d. 33.Os trajetos c e b correspondem aos mesmos 16 lados do menor quadrado da malha quadriculada, enquanto a corresponde a 20. Logo, b = c < a. Alternativa b. 34.Adicionando 1 + 2 + 3 + 1 = 7, 3 as pedras representam 7 da receita, que, em um total de 0,21 m 3 , equivale a 3 ⋅ 0,09 m3 ou 9 latas. 7 Alternativa e. 35.Como 1 m = 100 cm, o volume da piscina em m 3 será de 5 ⋅ 3,5 ⋅ 1,2 = 21 m3 ou 21 000 L. Dois terços de 21 000 L equivalem a 14 000 L. Dividindo por 100 L, temos 140 minutos, o que corresponde a 2 horas e 20 minutos. Alternativa c. 36.Foram preenchidos 22 números. Então, o sistema preencherá 28 de um total de 50, 28 14 = . ou seja, 50 25 Alternativa b.

Trajetória 4 32. (Enem) O gráfico mostra o início da trajetória de um robô que parte do ponto A (2; 0), movimentando-se para cima ou para a direita, com velocidade de uma unidade de comprimento por segundo, no plano cartesiano. O gráfico exemplifica uma trajetória desse robô, durante 6 segundos.

34. (VUNESP – Prefeitura de Taubaté – SP – Es-

criturário – Edital n. 003) Para produzir concreto, uma pessoa utiliza o seguinte traço: uma medida de cimento, duas medidas de areia, três medidas de pedra, e uma medida de água. Se a medida utilizada for uma lata com 10 L, o que equivale a 0,01 m3, e a quantidade total de concreto a ser produzida é de 0,21 m3, então, a quantidade de latas de pedras que serão necessárias é a) 21. c) 15. e) 9. b) 18. d) 12.

35. (IBADE – ISE-AC – Técnico Administrativo e Supondo que esse robô continue essa mesma trajetória, qual será sua coordenada, após 18 segundos de caminhada, contando o tempo a partir do ponto A? a) (0; 18) c) (18; 0) e) (6; 14) b) (18; 2) d) (14; 6)

33. (USP) A figura ilustra graficamente uma região

de um bairro, com ruas ortogonais entre si. O ponto X indica um condomínio residencial, e o ponto Y indica a entrada de um parque.

Operacional – Auxiliar Administrativo) Considere uma piscina em formato de paralelepípedo com altura de 5 m, comprimento de 350 cm e largura de 120 cm. O tempo necessário aproximado para encher dois terços do volume total da piscina com uma vazão de 100 L por minuto é de: a) 3 horas e 40 minutos. b) 3 horas e 20 minutos. c) 2 horas e 20 minutos. d) 2 horas e 40 minutos. e) 2 horas.

36. (Enem) Na loteria Lotex, cada aposta corres-

Três moradores realizam caminhos diferentes para chegar ao ponto Y, partindo do ponto X, 300 | SUPLEMENTE SUA APRENDIZAGEM

300 | MANUAL DO PROFESSOR

ilustrados com cores diferentes. Se a, b e c representam as distâncias percorridas por esses moradores nesses caminhos, é correto afirmar que a) a = b = c. d) b < c = a. b) b = c < a. e) c < a = b. c) c < b < a.

ponde à marcação de cinquenta números em um cartão. Caso o apostador marque uma quantidade inferior a cinquenta números, o sistema completará aleatoriamente a sua aposta até integralizar os cinquenta números necessários. Por exemplo, o cartão de aposta retratado representa as escolhas de um jogador antes que o sistema integralize o seu preenchimento. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

ALEXANDRE R./ M10

38. (Enem) Dados do Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revelaram que no biênio 2004/2005, nas rodovias federais, os atropelamentos com morte ocuparam o segundo lugar no ranking de mortalidade por acidente. A cada 34 atropelamentos, ocorreram 10 mortes. Cerca de 4 mil atropelamentos/ano, um a cada duas horas, aproximadamente. Disponível em: https://www.ipea.gov.br. Acesso em: 6 jan. 2009. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO.

Média

Mediana

Moda

Para quantificar os sapatos pela cor, os donos representaram a cor branca pelo número 0 e a cor preta pelo número 1. Sabe-se que a média da distribuição desses zeros e uns é igual a 0,45. Os donos da loja decidiram que a numeração dos sapatos com maior número de reclamações e a cor com maior número de reclamações não serão mais vendidas. A loja encaminhou um ofício ao fornecedor dos sapatos, explicando que não serão mais encomendados os sapatos de cor a) branca e os de número 38. b) branca e os de número 37. c) branca e os de número 36. d) preta e os de número 38. e) preta e os de número 37.

GABARITO: 1. C; 2. D; 3. C; 4. A; 5. C; 6. A; 7. DISSERTATIVA: 12,34 > 3 1 800 ; 8. B; 9. D; 10. D; 11. E;

tente Administrativo) Uma família de 15 pessoas fez um amigo secreto para as festas de fim de ano. Para a realização do sorteio do amigo secreto, escreveram os nomes de todos os 15 membros da família em papéis, dobraram-nos e colocaram em um saco opaco para sorteio. Luis, membro da família, foi o primeiro a sortear. Qual a probabilidade de Luis sortear a si mesmo? 1 1 15 14 a) 15 d) b) 14 c) 15 15

Numerações dos sapatos com defeito

1 15 possíveis, ou seja, . 15 Alternativa a. 38.São 24 atropelamentos sem morte de um total de 34, o que gera uma probabilidade 24 12 de 34 = 17 . Alternativa e. 39. Se a média de ocorrências de 0 e 1 é 0,45, então há mais ocorrências de 0 que de 1 no cálculo e, portanto, a cor branca apresenta mais problemas que a preta. Como a moda das reclamações é 38, então esse é o número com mais reclamações. Alternativa a.

28. D; 29. A; 30. D; 31. E; 32. D; 33. B; 34. E; 35. C; 36. B; 37. A; 38. E; 39. A.

37. (FAUEL – Prefeitura de Rio Azul – PR – Assis-

Estatísticas sobre as numerações dos sapatos com defeito

37. Há 1 caso favorável de

12. B; 13. C; 14. C; 15. A; 16. A; 17. D; 18. B; 19. A; 20. A; 21. D; 22. B; 23. A; 24. A; 25. B; 26. C; 27. E;

Com relação ao cartão exibido, o jogador reconhece que o número racional que corresponde ao quociente do número de pontos marcados pelo sistema, em seu jogo, pelo número máximo de pontos para validar a aposta é igual a 11 14 25 a) 25 e) c) 11 11 14 25 b) 25 d) 14

De acordo com os dados, se for escolhido aleatoriamente para investigação mais detalhada um dos atropelamentos ocorridos no biênio 2004/2005, a probabilidade de ter sido um atropelamento SEM morte é 1 1 12 e) c) 3 a) 24 17 3 1 b) 24 d) 4 39. (Enem) Uma loja que vende sapatos recebeu diversas reclamações de seus clientes relacionadas à venda de sapatos de cor branca ou preta. Os donos da loja anotaram as numerações dos sapatos com defeito e fizeram um estudo estatístico com intuito de reclamar com o fabricante. A tabela contém a média, a mediana e a moda desses dados anotados pelos donos.

301 |

Leituras para o aluno Aprendendo inteligência, de Pierluigi Piazzi

Como é que nossa inteligência funciona? Será que é possível “aprender a aprender”, de um jeito que nosso cérebro consiga aprender novas informações mais rapidamente? Com este livro, você vai perceber que isso é possível.

O livro da Matemática, de vários autores, tradução de Maria da Anunciação Rodrigues

Nada melhor que uma boa visualização gráfica para entender melhor a Matemática. Neste livro, o famoso “desenha para eu entender melhor, por favor?” ganha vida e potencializa imensamente a aprendizagem matemática.

Matemática divertida e curiosa, por Malba Tahan

O mesmo autor de O homem que calculava nos leva em uma jornada para aprender Matemática por meio de curiosidades, histórias e jogos, como é marca de suas outras obras. Com esta leitura, muitas travas da Matemática podem se tornar paixões.

Desbravadores da Matemática: da alavanca de Arquimedes aos fractais de Mandelbrot, por Ian Stewart A Matemática não é algo que já existia e foi apenas descoberto pelos seres humanos. Ela foi criada pela mente humana, e sua evolução contém diversas figuras importantes que muito contribuíram para que ela se tornasse o que é hoje. Neste livro, mais de 20 biografias são exploradas em uma jornada para compreender a essência da Matemática e sua construção.

A ciência da sorte, por Adam Kucharski

Sabe quanta Matemática há em jogos de azar? Muita! Aliás, tanta Matemática que, ao longo da história, a descoberta de cálculos sobre probabilidade modificou profundamente o ramo das apostas e jogos, tornando obsoletos jogos cujo resultado pode ser previsto e criando novos jogos com métodos avançados.

O cérebro do matemático, por David Ruelle

Algumas personalidades matemáticas ficam famosas não só por suas contribuições à ciência, mas também por suas excentricidades. Mas será que isso ajudou essas personalidades a serem mais brilhantes ainda na Matemática? Ou será que, apesar da loucura, ainda assim conseguiram ser geniais?

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