INTERMEDIAÇÃO Páginas e seções pensadas para o aluno ler, refletir, questionar, elaborar, investigar, usar tecnologias da informação, aprender e compartilhar. Oferecem oportunidades variadas de interações e de incentivo às criações propositivas do aluno. Sólidos geométricos no cotidiano 5. Responda no caderno: a) No cubo e na pirâmide de base quadrada. ARTE/ M10 ARTE/ M10 FRESHPAINT/SHUTTERSTOCK a) Em quais daqueles sólidos geométricos as bordas são formadas só por linhas retas? ARTE/ M10 ATIVIDADES Agora, ampliaremos essa figura de modo que cada lado tenha o triplo do comprimento dos lados da figura original. Para isso, podemos selecionar um dos pontos da lista. Ao abrir o teclado virtual, digitaremos “× 3”. Em seguida, marcaremos no plano cartesiano os pontos A, B, C e D. Note que, ao marcarmos os pontos no plano, aparece uma lista com as coordenadas dos pontos. BLUE PLANET STUDIO/SHUTTERSTOCK Elas contornaram as bordas planas e, depois, preencheram colorindo a parte interna. Ao iniciar o aplicativo, será exibido um plano cartesiano e uma barra de ferramentas com diversas opções. Aqui, utilizaremos a função “novo ponto”. JAKA SURYANTA/SHUTTERSTOCK JAMESTEOHART/SHUTTERSTOCK Esfera FRESHPAINT/SHUTTERSTOCK Cone SABINE HORTEBUSCH/SHUTTERSTOCK JAVIER G./ M10 Pirâmide de base quadrada Ampliar e reduzir figuras utilizando aplicativos de geometria dinâmica Você costuma observar a forma de objetos volumétricos em seu cotidiano? Veja os registros feitos pelas crianças: Cubo NUVENS NUVEN S Os sólidos geométricos também são conhecidos como formas volumétricas, pois ocupam um volume ou uma porção do espaço. LUPAS E LUNETAS Todos estão contornando as bordas de suas peças, exceto Gustavo. Por que ele está em dúvida? Comente com os colegas. Resposta pessoal. ARTE/ M10 Bordas retas e bordas curvas Faremos isso para cada um dos pontos A, B, C e D. Veja como ficou a figura final, ampliada com o triplo do tamanho da original: b) Em qual houve borda curva? No cone. c) As bordas mais o preenchimento de cada uma representam figuras planas. Quantas figuras planas com somente bordas retas foram obtidas por essas crianças na aula da professora Cleide? 11 figuras planas com bordas retas. 6. Observe a representação de alguns copos. Classifique a borda do perfil lateral de cada um deles em reta ou curva. Volumes na natureza e nas construções humanas. Agora, vamos observar com mais detalhes o formato dos diversos sólidos geométricos e também das suas superfícies. ATIVIDADES ALEXANDRE R./M10 LUPAS E LUNETAS Respostas pessoais. Em seguida, utilizaremos a função “Reta (Dois Pontos)” para criarmos os lados do polígono que terá seus vértices nos pontos A, B, C e D. Para fazer isso, é necessário clicar nos pontos até que todos os lados tenham sido desenhados. Formem pequenos grupos e conversem sobre estes assuntos: Respostas pessoais. a) As formas geométricas que identificamos em nosso cotidiano, na arquitetura, nas construções e até na natureza, em sua maioria, não são com exatidão tal como as figuras geométricas estudadas na Matemática. Você acredita que essa afirmação é verdadeira? Por quê? b) Qual é a sua hipótese: a humanidade escolheu usar essas formas porque eram matematicamente interessantes ou a Matemática as estudou porque eram muito utilizadas no cotidiano? Reta Reta Reta Curva Reta Reta Curva Curva 74 | TRAJETÓRIA 1 Curva • Compartilhem com os demais colegas da turma. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. 75 | NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. Em expressões numéricas envolvendo as quatro operações fundamentais, deve-se respeitar a seguinte ordem para as operações: • 1o multiplicação e divisão, na ordem em que aparecem; • 2o adição e subtração, na ordem em que aparecem. As diversas “facetas” do ângulo TRAJETÓRIA 1 Sistemas de numeração ROMI49/SHUTTERSTOCK DELCARMAT/SHUTTERSTOCK INSTITUTO DE ARTE DE CHICAGO, CHICAGO, EUA São diversos os pintores cubistas. Caso tenha interesse, pesquise na internet as obras de alguns deles, como Pablo Picasso (1881-1973), Juan Gris (1887-1927), Georges Braque (1882-1963) e a brasileira Tarsila do Amaral (1886-1973). O sistema de numeração que utilizamos – o indo-arábico – tem como características ter base 10 e ser posicional, além da existência do zero. Ao longo da história, outros sistemas de numeração foram substituídos pelo indo-arábico (como os sistemas chinês e egípcio antigos); outros ainda têm alguns usos no cotidiano, A 1a obra é de Juan Gris, intitulada Retrato de Pablo Picasso, 1912. Óleo sobre tela, 93 cm × 74 cm. School of the Art Institute of Chicago. As duas outras imagens são criações artísticas contemporâneas no estilo cubista, utilizando softwares especializados. como o sistema de numeração romano. Números naturais Assim como as obras cubistas, que chamam a atenção por possibilitar diferentes facetas de um mesmo retrato, o ângulo, essa figura geométrica, também é multifacetado. Ao longo da história da Matemática e, em particular, entre os diferentes livros didáticos, é possível encontrar algumas distintas definições de ângulo. O mais comum atualmente, por um lado, é que um mesmo material didático de Matemática assuma uma das definições possíveis. Por outro, constatar que há distintas definições contribui para ampliar o campo de significados associado ao conceito de ângulo. Pensar nas consequências que cada definição traz também é uma boa reflexão. Veja cinco possíveis definições de ângulo, vindas de materiais escolares brasileiros ao longo dos tempos. O conjunto dos números naturais é representado pela letra |N: |N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...} Na reta numérica: Adicionando 1 a um número natural qualquer, obtemos o seu sucessor. A adição e a subtração são operações inversas. Por exemplo, se 3 + 5 = 8, então 8 – 5 = 3 e 8 – 3 = 5. A operação de multiplicação está relacionada a significados como contagem, adição de parcelas iguais, proporcionalidade, configuração retangular etc. • Propriedades da multiplicação I. Pela propriedade comutativa, a ordem dos fatores não altera o produto da multiplicação. II. A propriedade associativa possibilita associar os fatores de uma multiplicação para realizar os cálculos em uma ordem conveniente. Subtraindo 1 de um número natural, dife- III. Pela propriedade do elemento neutro, o produto da multiplicação de um número natural por um 1 é sempre ele mesmo. Operações com números naturais totalizar etc. • Propriedades da adição I. Pela propriedade comutativa, é possível alterar a ordem das parcelas sem ATIVIDADES que isso altere o resultado. possível associar parcelas para decidir Dividendo Divisor Resto Quociente E a relação fundamental da divisão é: Dividendo = Quociente × Divisor + Resto a ordem em que serão realizadas as adições. 133 | Os prismas apresentam duas bases que são polígonos idênticos. Face • Qualquer número a elevado a 1 é ele mesmo: a 1 = a. Sólidos geométricos Sólidos geométricos podem ser classificados em corpos redondos e poliedros. Os corpos redondos são sólidos geométricos com superfícies curvas, mas podem ter superfícies planas. Os poliedros são sólidos geométricos formados somente por superfícies planas. A superfície dos poliedros é composta de porções de planos. Cada uma dessas porções de superfícies planas é chamada de face do poliedro. Vértice Aresta As pirâmides têm somente uma base e, externo ao polígono da base, há um único vértice, que é comum a todas as faces laterais triangulares. Um metro cúbico (1 m3) corresponde ao volume ocupado por um cubo de arestas com medida 1 m. Veja exemplos: Podemos escrever a divisão como: adição com três ou mais parcelas, é delas aquela definição corresponde? Explique. b) Represente cada uma das cinco definições por meio de um desenho. Você pode utilizar lápis de cor para os casos em que for necessário colorir. • Compartilhe com os demais colegas as descobertas que vocês fizeram. A intersecção de duas ou mais arestas de um poliedro é denominada vértice. A operação de divisão está relacionada a significados como repartir, agrupar, separar, partilhar etc. II. Pela propriedade associativa, em uma a) Compare as cinco definições com a definição apresentada na página anterior. A qual A intersecção de 2 faces de um poliedro é denominada aresta. A multiplicação de fatores iguais recebe o nome de potenciação. O produto 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2, por exemplo, pode ser representado por 25. • Qualquer número a, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1: a0 = 1, para a ≠ 0. IV. Pela propriedade distributiva, podemos relacionar a operação de multiplicação com as operações de adição e subtração. Por exemplo: 3 ⋅ (2 + 5) = 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 = 6 + 15 = 21 A operação de adição está relacionada a diversas ações: juntar, acrescentar, adicionar, 12. Forme dupla ou trio. Leia as questões para realizar essa investigação. Respostas pessoais. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. III. Pela propriedade do elemento neutro, todo número adicionado a zero resulta nele mesmo. A operação de subtração está relacionada a diversas ações: tirar, subtrair, descontar, perder, completar etc. rente de 0, obtemos o seu antecessor. I. Duas retas distintas que se cortam em um ponto, formando quatro aberturas. Cada abertura recebe o nome de ângulo. II. Ângulo é cada uma das regiões em que o plano fica dividido por duas retas que têm um único ponto comum. III. Um ângulo é a figura geométrica formada por duas semirretas com uma extremidade comum. IV. Ângulo é o nome de cada uma das regiões em que o plano fica dividido por duas de suas retas que tenham um só ponto comum. V. Ângulo é uma rotação que transforma uma semirreta em outra semirreta com a mesma origem. 225 | NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. RETORNOS TRAVESSIAS 10. Elabore outras figuras e experimente ampliá-las com um aplicativo de geometria dinâmica. Compartilhe sua produção com os colegas. 11. Como faríamos para reduzir uma figura geométrica utilizando esse aplicativo? Compartilhe com os colegas a sua estratégia. 302 | RETORNOS NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. A superfície do cubo é composta somente por superfícies planas. A superfície da esfera é composta por uma superfície curva. A superfície do cilindro é composta por duas superfícies planas e uma superfície curva. 303 | NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. REMEDIAÇÃO A tomada de decisão não é uma etapa exclusiva do fim de um processo – uma decisão remediadora pode ser tomada a qualquer momento. Essas seções favorecem a autoavaliação do aluno, incentivam-no a se conhecer como aprendiz e oferecem atividades de revisão e de testes para checagem da aprendizagem. BARCOS E PORTOS LEVO NA BAGAGEM Respostas pessoais. Vamos fazer um mapa visual para ilustrar tudo isso? a) Pesquisem por um mapa de seu bairro ou de sua cidade (pode ser impresso ou digital). Recupere em sua memória fatos relacionados às suas experiências de estudos sobre os assuntos deste passeio. Tente relembrar aquilo que mais aprendeu e o que você julga necessário estudar um pouco mais. Considere os seguintes aspectos: ▶ Matemática • Você sabe resolver e elaborar problemas com números na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos, com e sem uso de calculadora? b) Escolham pontos de interesse: praças, referências etc. TOVOVAN/SHUTTERSTOCK ▶ Organize Respostas pessoais. Neste passeio, você estudou maneiras de localizar, representar e manipular figuras geométricas utilizando malhas quadriculadas, plano cartesiano e aplicativos de geometria dinâmica. Você também aprendeu a calcular o perímetro e a área da superfície de algumas figuras geométricas planas, com ou sem o auxílio de malhas quadriculadas. Os dois principais conceitos abordados neste passeio são: plano cartesiano e ampliação e redução de figuras. Revisite o passeio, em detalhes, e procure palavras-chave que tenham relação direta com um desses dois principais temas. Copie o esquema e complete-o, conectando cada círculo principal com essas palavras-chave. • Sabe escrever números utilizando múltiplos de potências de 10? • Você sabe resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, relacionada à ideia de proporcionalidade, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos diversos? • Calcula a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a na forma fracionária, decimal e percentual? • Consegue realizar experimentos sucessivos para determinar a probabilidade de um evento? • Resolve problemas que envolvam a grandeza massa inseridos em contextos diversos? ▶ Outras disciplinas Geografia • Sabe analisar interações com a natureza de diferentes povos ou grupos sociais, observando transformações da biodiversidade local ou do mundo? Ampliação e redução de figuras Plano cartesiano Anote no caderno seu parecer para essas questões e, ao final, analise como você julgaria sua aprendizagem em Matemática e em outras disciplinas. Copie e complete este quadro no caderno. QUADRO DE AVALIAÇÃO Parcialmente suficiente Satisfatório ▶ Elabore Plenamente satisfatório Você aprendeu a ampliar e a reduzir figuras utilizando malhas quadriculadas, plano cartesiano e aplicativos de geometria dinâmica. Elabore um desenho simples e escolha um desses recursos para ampliar e reduzir esse desenho. Em seguida, proponha que um colega amplie e reduza o seu desenho utilizando algum desses recursos. ▶ Proponha MATEMÁTICA SUNDRY STUDIO/SHUTTERSTOCK Insuficiente A pergunta inicial deste passeio é: De que modo interagimos com o espaço em casa e na cidade? A cidade é constituída de inúmeros elementos, como parques, prédios, comércio, praças, ruas, avenidas, espaços de lazer etc. Os locais onde moramos, em que convivemos e onde estudamos são parte desse todo. OUTRAS ÁREAS Converse com professores e colegas buscando alternativas para superar as dificuldades que autodiagnosticou. Ilustração de mapa de uma cidade fictícia, com destaque para alguns pontos de referência. c) Em seguida tirem fotos, coletem imagens na internet ou produzam desenhos para representar esses lugares e ilustrar esses pontos de interesse no mapa. d) Depois, tirem fotos ou ilustrem os locais que vocês frequentam, convivem, moram Mapa desenhado à mão, representando a cidade de Pula, na Croácia, com os principais pontos de interesse, incluindo a Arena Pula. 277 | NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. etc. Coloquem-nos também no mapa. e) Ao final, exponham o mapa produzido em murais da escola ou da própria sala de aula. 230 | BARCOS E PORTOS NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. 231 | NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. 12. Corpos redondos: bola de futebol, casquinha de sorvete, lata de óleo. Poliedros: caixa de sapatos, lápis sextavado, barraca de camping. a) Ela gastou R$ 200,00 no supermercado e R$ 150,00 com um conserto elétrico. Determine quanto sobrou após esses gastos. R$ 650,00. b) Do que restou, uma parte ela reservou substituindo o ■ por algum número natural de 1 a 10: Respostas possíveis: 6. Utilize estratégias de decomposição numérica e as propriedades da adição para determinar as somas: Possíveis respostas: (3 + 7) + 15 = 10 + 15 = 25. a) 3 + 15 + 7 (12 + 8) + (25 + 5) = 20 + 30 = 50. b) 12 + 25 + 5 + 8 c) 13 + 1 + 6 + 7 + 4 + 9 d) 56 + 67 e) 123 + 329 a) 6 < ■ 8 b) ■ < 5 0 c) 3 < ■ < 8 5 d) ■ < 4 < ■ 1 e 9 2. Considere os números: KRAKENIMAGES.COM/SHUTTERSTOCK 10 001, 9 998, 10 002, 9 990, 10 010, 10 000, 9 999 a) Escreva-os em ordem crescente utilizando o símbolo < (menor). b) Represente os números na reta numérica. 3. Determine: a) o sucessor de 4. 5 a) 45 1 024 b) 105 100 000 c) 990 1 d) 1731 173 12. Pense nos seguintes objetos: caixa de sapatos, bola de futebol, casquinha de sorvete, lápis sextavado, lata de óleo e barraca de camping. Quais são objetos com formas de corpos redondos e quais na forma de poliedros? com uma bermuda, uma camiseta e um chinelo. Ela tem uma bermuda xadrez, uma laranja e uma listrada. Ela também tem uma camiseta vermelha, uma cor de anil, uma amarela, uma lilás e uma cinza. Chinelos, ela tem um preto, um branco, um marrom e um roxo. Determine de quantas maneiras Duda pode se vestir em casa. Trajetória 1 1. (Enem) Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicional: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares. Na Figura 1, o quipus representa o número decimal 2 453. Para representar o “zero” em qualquer posição, não se coloca nenhum nó. 3 ⋅ 5 ⋅ 4 = 60. 60 maneiras. b) o antecessor de 18. 17 c) o sucessor do sucessor de 3. 5 d) o antecessor do antecessor de 101. 99 utilizando adições e multiplicações: a) 472 • Comente com os colegas como você fez para calcular cada uma dessas operações. 7. Ary dispunha de R$ 1.000,00 para suas des- 4 ⋅ 100 + 7 ⋅ 10 + 2 ⋅ 1 pesas. b) 6 754 6 ? 1000 + 7 3 100 + 5 3 10 + 4 3 1 c) 10 982 d) 213 454 2 3 100000 + 1 3 10000 ! 3 3 1000 ! 4 3 100 ! 5 3 10 ! 4 3 1 5. Arredonde os números para a dezena ou a centena exata mais próxima e faça uma estimativa para a soma deles: a) 59 60 Estimativa da soma: b) 101 100 60 + 100 + 30 + 300 + 400 = 890. c) 28 30 d) 299 300 e) 397 400 4. c) 1 3 10000 + 0 3 1000 ! 9 3 100 + 8 3 10 ! 2 3 1 88 | VISTORIAS atendente e anotou o número 13_98207, sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu. De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de a) centena. b) dezena de milhar. c) centena de milhar. d) milhão. e) centena de milhão. 3. (OBMEP) Cinco dados foram lançados e a soma dos pontos obtidos nas faces de cima foi 19. Em cada um desses dados, a soma dos pontos da face de cima com os pontos da face de baixo é sempre 7. Qual foi a soma dos pontos obtidos nas faces de baixo? a) 10 d) 18 b) 12 e) 20 c) 16 4. (Enem) Maria quer inovar sua loja de embala- e) o antecessor do sucessor de 7. 7 f) o sucessor do antecessor de 100. 100 4. Decomponha os números em suas ordens PROSTOCK-STUDIO/SHUTTERSTOCK 9 899 < 9 998 < 9 999 < 10 000 < 10 001 < 10 002 < 10 010 8. Sempre que está em casa, Duda se veste SUPLEMENTE SUA APRENDIZAGEM 11. Calcule os resultados das potenciações: JAVIER G./ M10 CHECK-OUT 1. Complete as desigualdades em seu caderno para comprar um livro. Mas acabou comprando, com esse dinheiro, um caderno de R$ 25,00 e ainda sobraram R$ 275,00. Quanto ela havia reservado para a compra do livro? R$ 300,00. ARTE/ M10 Você chegou ao final desta Trajetória. Reflita sobre tudo o que aprendeu e verifique a qualidade da sua aprendizagem. Resolva todos os exercícios no caderno. JAVIER G./ M10 VISTORIAS NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. gens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas, estão as planificações dessas caixas. 13. Observe o sólido geométrico e responda: Guga: 8 × 7 = 56 ovos; Mário: 6 × 9 = 54 ovos. Logo, Guga comprou mais ovos. Disponível em: www.culturaperuana.com.br. Acesso em: 13 dez. 2012. 9. Guga comprou uma caixa de ovos dispostos O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é a) 364. c) 3 064. e) 4 603. b) 463. d) 3 640. em 8 fileiras de 7 ovos cada e Mário, uma caixa em que os ovos estavam dispostos em 6 fileiras de 9 ovos. Quem comprou mais ovos? 10. Helena tem 4 800 mL de suco para servir aos convidados de sua festa. Calcule quantos copos completamente cheios ela conseguirá servir, sabendo que os copos têm capacidade de: a) 200 mL 24 copos. b) 300 mL 16 copos. c) 400 mL 12 copos. NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. 2. (Enem) João decidiu contratar os serviços de a) Cada uma de suas faces corresponde a qual tipo de figura plana? Quadrados e trapézios. b) Determine quantas faces, vértices e arestas ele tem. 6 faces, 8 vértices e 12 arestas. 89 | uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo NÃO ESCREVA NO SEU LIVRO. Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações? a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. c) Cone, tronco de pirâmide e prisma. d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. e) Cilindro, prisma e tronco de cone. 313 | 6. c) Possível resposta: (13 + 7) + (6 + 4) + (1 + 9) = 20 + 10 + 10 = 40. 6. d) Possível resposta: 50 + 6 + 60 + 7 = (50 + 60) + (6 + 7) = 110 +13 = 100 + 10 + 10 + 3 = 100 + 20 + 3 = 123. 6. e) Possível resposta: 100 + 20 + 3 + 300 + 20 + 9 = (100 + 300) + (20 + 20) + (9 + 3) = 400 + 40 + 12 = 400 + 40 + 10 + 2 = 400 + 50 + 2 = 452. VII |

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