© Derechos de autor reservados. Alfonso Rojas Puémape © Derechos de edición y artes gráficas reservados. 2012, Editorial Tercer Milenio S.A. 7300 North Kendall Drive, Suite 521 Miami, Florida 33156-7840. USA etm@grupo-etm.com Director Editorial: Antonio Sabogal Editora General: Marifé Vargas-Corbacho Editor de Matemática: Alfonso Rojas Puémape Especialistas del Área: Giovanna Rojas Jorge Chávez Johnny Leguía Eddy Chirinos Edson Tacanga Diseño de portada: Delfín Blanco Comunicaciones Composición de interiores: Jorge Huamaní Ilustraciones: Jorge Huamaní, Giulianno Delgado Preprensa e impresión: QuadGraphics www.QG.com Impreso en Colombia - Printed in Colombia Impreso en papel bond con certificación FSC con cadena de custodia "Bosques Controlados". Reservados todos los derechos. No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra didáctica, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo por escrito de los titulares del copyright.
Presentación Los alumnos deben formar parte de un proceso educativo al participar en él, por medio de los actos de escuchar, hablar, leer, escribir, pensar y aplicar la información.
Maureen Priestley
Desarrollamos el pensamiento cuando enseñamos y aprendemos a pensar. La colección de RAZONAMIENTO MATEMÁTICO para la Educación Primaria, ha sido diseñada con el propósito de ayudar a la niñez peruana a desarrollar habilidades del pensamiento. Más que aumentar el conocimiento, se trata de ejercitar el proceso de pensamiento lógico y pasar del nivel literal a los niveles inferencial y/o crítico, así como a desarrollar aptitudes por medio del refuerzo de los elementos que intervienen en el proceso. Los ejercicios relacionados con situaciones lógicas, búsqueda de regularidades, habilidad operativa, conteo de figuras planas y espaciales, así como el cálculo rápido, permite aumentar las capacidades de observación, abstracción, generalización, comprensión, análisis y síntesis. Los juegos, al inicio de cada unidad, tienen el objetivo de despertar el interés hacia el desarrollo de la APTITUD MATEMÁTICA. El CÁLCULO RÁPIDO, tiene una importancia primordial en nuestra colección porque constituye una herramienta de uso diario para todas las personas que tendrán que incrementar cada vez más el pensamiento matemático. Dejamos a consideración de docentes y padres de familia el presente material didáctico diseñado para un mejor futuro de la niñez peruana.
ALFONSO ROJAS PUÉMAPE
DE U R T R U C A S T E UN A UNIDAD UN
IDAD
1
INICIO DE UNIDAD
¡QUE PASE TE! EL SIGUIE N
NOMBRE DE LA UNIDAD
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CORTINA.t
RMP-3-1-FOTO-
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S GRÁF NCIA DIFERE NES Y CESIO RICAS ► SU S NUMÉ AS SIONE TIC CE BÉ FA ► SU NES AL CESIO ► SU
PROBLEMA MOTIVADOR
ICAS
SUBTEMAS DE LA UNIDAD
cada escritos en Los números una sucesión, an cha globo form o de la dere pero el últim ito, ¿cuál es el está mal escr ero? núm verdadero
áti co Cuen to mat e m o
áti c Cuen to mat e m
Guerra: “Los peces de todo tipo casi siempre andan juntos”, afirma-
Hace volar las alas de la imaginación a través de personajes fantásticos que plantean interesantes situaciones matemáticas en la que los lectores encuentran soluciones a la trama.
ba. Mientras esto contaba Skanito, Luchín se quedó profundamente dormido. en el Soñaba Luchín que los peces hufondo del mar eran como seres cada manos, pensaban diferente quien, pero cuando se juntaban, ¡vecomunes… iban tras objetivos el alinían en gran grupo, hacia Lumento deseado! y en su sueño de chín veía que una gran cantidad peces se dirigía hacia él, mientras las alhábilmente se escondía entre todo gas, las plantas submarinas y encontrar. podía escondite que
Un sueño de suma y resta
E
ra una vez una mañana soleada y el día aparecía con un
resplandor que contagiaba entusiasmo. plaSkanito corría por la orilla de la amiya, atrás quedaban Luchín, su go de siempre y junto a él corrían en Dalma y Maite, quien de vez arecuando preparaba bolitas de na mojada para lanzarlas al aire.
−¡Qué bueno es el aire de la mañana! −dice Dalma.
alta ¡Skanito, espera! −dice en voz había Luchín− y es que Skanito los o adelantado una distancia más
sueño Pero lo más interesante de su era que los peces… ¡hablaban! peEra notorio para Luchín que los y reaces decían lo que pensaban lizaban lo que planeaban, se llamay nombres sus por ellos ban entre de hasta se gastaban unas bromas uno a otro.
menos larga. cayó Claro que Skanito se cansó… y rendido de sueño en un pequeño
pozo de arena hasta que ¡crashhh!... el grupo de sus amigos lo despertó porque le cayeron encima.
Luchín seguía soñando: “Si así fueran los seres humanos, qué cosas grandes me haríamos, aunque a mí los peces hayan pescado”.
Todos tirados sobre la arena jugando con el agua que se empozaba, en el imaginaban cómo sería vivir fondo del mar.
¡Luchín, despierta! ¡Ya nos vamos! No lo habían pescado los peces, echamás bien sus amigos le habían desdo un balde de agua para que tanto pierte y cuando lo hizo, un en el molesto, se quedó pensando sueño que había tenido. conCuando había terminado de tar su sueño todos estaban sorprendidos: −Peces unidos y en grandes grupos −decía Dalma. suma −Como cuando hacemos una −añade Maite. lo −Peces que piensan y expresan que piensan −comenta Skanito. quien −Y que cuando discuten y cada como poco, va por su lado consiguen cuando se hace una resta −comenta Luchín. leYa tenían hambre y tuvieron que había vantarse, era ya el mediodía y que regresar… no valía ya dormir.
visto Skanito contaba lo que había de su tío, que era buzo de la Marina
PR A C T I C AM O S
DESARROLLA 3 TEMAS EN CADA UNIDAD. Puémape RojasPuémape AlfonsoRojas Alfonso
TEMA TEMA
1010
11.
Observamos: posi• Se trata de una taza en diferentes ciones. horario • Si la primera taza gira en sentido de o antihorario, se obtiene cualquiera las otras tazas menos la tercera.
Me parece, que una figura no es similar a las demás.
PISTA 1 Girando en sentido antihorario:
d)
del exágono ( ) en que la bolita exterior ( ) gira alrededor • De las figuras podemos afirmar , de un vértice al otro. sentido la parte inferior derecha un última figura, se gira la bolita de c • Siguiendo la secuencia de la . lugar, en sentido
22.
Determina
VÉRTICE
⇓
Skanito, personaje central de la colección que junto a sus amigos Dalma, Maite y Luchín permiten ilustrar mejor la propuesta.
las demás: la figura que no se relaciona con
Resolvemos:
side las figuras continúa en la 11. ¿Cuál sucesión gráfica? guiente
b)
... c)
Resolvemos:
Tienes razón, yo también veo una figura que no es similar a las demás.
Otros ejemplos:
a)
la sucesión:
b)
a)
serie de • La tercera no cumple con esta gráficos (llamada SUCESIÓN GRÁFICA) izquierporque el asa de la taza está a la demás. da y no a la derecha como las
Skanito: ¿Cuál es la figura diferente?
Establece la figura que sigue en
Conjunto de 18 ejercicios diseñados para desarrollar en clase empleando la zona sombreada.
1111
1
AMOOSS I CAM PRAACCTTI C PR
CIAS DIFERENCIAS NESYYDIFEREN SUCESIONES SUCESIO GRÁFICASS GRÁFICA
01 01
c)
misma que • Observa que la figura es la la diferenaparece en todos los recuadros, ubicada cia está en la forma como está en el recuadro.
a)
Resolvemos: no se mueven, en que el círculo con el , • Notamos en la secuencia de figuras, en sentido y ) se desplazan sobre el círculo cambio las figuritas exteriores ( figura un lugar. un lugar, y después en la siguiente primero debería ir a la derecha la primera figura, en la última figura a • Siguiendo la secuencia desde relación con las demás. , entonces dicha figura no guarda del
en sentido • Nota también que la figura gira de una de las agujas del reloj, es decir gira de la miesquina a la mitad de un lado o tad de un lado a una esquina.
d)
d)
c)
b)
• Luego, tenemos:
!
¡ATENCIÓN
La figura diferente es:
d
la figura que no guarda 22. Determina demás.
rela-
gráfica, determina 33. En la siguiente sucesión
la figura que continúa: PISTA 2
...
Resolvemos:
ción con las
Ya que al ser de la misma forma se presenta al revés de las otras.
a)
b)
c)
d)
. solo • Observa que el punto ( ) se intercala en la región I o II. gira en senti• Además la región sombreada comiendo contrario a las agujas del reloj, a la región za en la región IV, luego sigue teIII, II, I y así sucesivamente, entonces nemos:
Girando en sentido horario:
⇓ d)
c)
b)
a)
relación • Luego, la última figura no guarda b con las demás.
Alfonso RojasRojas Alfonso Puémape Puémape
44. ¿Cuál de las figuras continúa en la siguiente sucesión?
Respuesta de los ejercicios del 4 al 13 con la finalidad de verificar resultados.
13
c)
b)
c)
c d c b d a d
a)
b)
13
88. Determina la figura que no presenta alguna semejanza con las demás:
? a)
d)
d)
COMPRUEBA
PISTA
99. ¿Cuál de las figuras completa la secuencia?
55. ¿Cuál de las siguientes figuras no guarda relación con las demás?
? PISTA 4
Ideas o sugerencias que se pueden aplicar en la solución de algunos problemas.
COMPRUEBA
12 12
3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
Direccionador de observaciones en sintetizadores (cuadritos de notas).
22
a)
a)
b)
b)
c)
PISTA 9
d) 1.°
c)
d) 2.°
66. Determina la figura que continúa en la siguiente sucesión:
?
La línea que parte del centro gira 1/ 3 de vuelta, en sentido horario.
Cálculo Rápido Cálculo rápido PON Y QUITA ... solo mentalmen-
te Sumemos 5 + 9 a)
b)
c)
d)
3.°
1 mos uno (PON), tendríamos ahora 10 y el resultado aumentaría en una unidad, es decir 15. Para recuperar el resultado inicial le quitamos la unidad (QUITA) que le pusimos a ese sumando y el resultado será 14.
+
77. Establece la figura que no guarda relación con las demás:
PRACTICAMOS CÁLCULO RÁPIDO
OTRO EJEMPLO: Suma 17 + 9
a)
5
c)
b)
d)
+
El triángulo exterior al rectángulo está girando en sentido antihorario.
9
=
14
Para operar mentalmente, esta operación se facilita si uno de los sumandos es múltiplo de 10. Si al grupo de 9 lapiceros le agrega-
Resolvemos: • Pon 1 más a 9 • Opera 17 + 10 = 27 • Quita el 1 que pusiste:
Respuesta: 27 − 1 = 26
1) ¡Qué fácil!
2) 3) 4)
7+9 9+4 8+7 7+7
5)
19 + 8
6)
18 + 9
7) 8)
19 + 7 28 + 9
9)
27 + 7
10)
18 + 8
Cálculo rápido Rápido Cálculo Conjunto de artificios sobre la base de propiedades matemáticas que permite desarrollar habilidades para efectuar operaciones con rapidez.
1919
Puémape Puémape Rojas Rojas Alfonso Alfonso
1818
¡NUEVE SON SUFICIENTES!
2
dispuesA continuación verás 9 círculos tos de forma vertical y horizontal. números El juego consiste en disponer los de tal del 1 hasta el 9 sin repetir alguno, en forma que la suma de los números que posición vertical sumen 26, igual en la suma de los números dispuestos horizontal.
1
TORTA Luchín quiere compartir esta suculenta
torta con sus siete amigos que lo
han visitado.
mismo tamaño.
Ejercicios organizados para desarrollar la aptitud matemática exigiendo el pensamiento de niñas y niños. 24
24
PRO PUE STO S 01 Escribe el número que falta en la figura sombreada:
c) 39
02 Determina el número que falta guiente conjunt
o de círculos :
O
d) 37 en el si-
Q
a) V
R
T
b) W
10 X 12 15 19 c) 25
manzana.
... c)
d) Z
P
figura.
d) Q
15
10 ¿Cuál de las lunas no guarda relación con las demás?
a)
d) 10 ta la siguiente
sucesión?
b)
c)
11 Escribe el número que va en tágono.
20
...
M
19
d)
16
37
47
c) 58
a) 58
d) 60
4
a) 94
45 d) 57
c
c) 55
a
33
20
21 b) 50
c
a) 49
19
d)
22
32
b) 60
Escribe la letra
20
Q
a) b) c) d) ¿Cuál es el número que completa maceta? la última 4
9 c)
a) b) c) d) ¿Cuál es el número que escribirías figura? en la última
12
28
b) 51
último pez. Ñ
c) V
42
52
c) 62
d) 72
que falta en la
N
J
paleta.
F
a) B b) C c) D d) E Marca la alternat iva que comple ta la sucesión gráfica.
21
el último pen-
... b)
J
K
b) Q
d)Z ¿Cuál es la figura que completa gráfica? la sucesión
18
17
c) 11
06 ¿Cuál es la figura que comple
a)
d)
¿Cuál de las alternat ivas no guarda con las demás? relación
8
b) 96
b
22
c) P
18
27 b) 12
la última
14
T
a
32
d) Y
b) R
G
13
V
a) 48
a) O
c) U
05 Escribe el número que falta en
a) 13
D
17
b) Z
T
X
c)
a) P b) Q c) Ñ d) O Determina el número que falta en el no sombreado. exágo-
d) 144
en el polo para e sucesión:
24
c) 98
b
a) F
c) 120
b)
Establece la letra que falta en la corona sombre siguiente ada:
?
completar la siguient
sombreada.
N
b) 96
24
09 Escribe la letra que continúa
04 Completa la sucesión escribie ndo la letra que falta en la estrella L
6
16
b)
a) 48
2
c
a)
Dos páginas con problemas de aplicación, que recorren los tres temas de cada unidad de modo aleatorio, bajo el formato de pruebas objetivas (empleando cuatro distractores), incluyendo sus claves de respuesta al final de los problemas en forma de lectura invertida.
1
que falta en el
G
a) R
a)
en la última
13 1
C
... d) Z
08 Determina el número que falta d) 27
Escribe la letra
17
U
c) Y
15
b) 26
03 Establece la figura que continú a en la sucesión.
¿Cuál es la figura que continúa en sión gráfica? la suce-
12
9
a) 24
Alfons o Rojas AlfonPuém so Rojas apePuém ape25
as para com-
e sucesión:
33
d) 100
c
PROPUESTOS MIX
b) 38
MIX
07 Determina la letra que escribirí pletar la siguient
29
14
a) 36
25
d
21
13
¡Resuelve aquí!
d
¿cómo lo hizo?
2
3
1
12
4
a)
d
Si se sabe que resolvió el problema,... 2)
11
veces. • Solo puede usar el cuchillo 3
c
del • Todas las porciones deben ser
10
3
9
2
4
b
3
b)
8
¡Ahora te toca a ti!:
de números
c
Al final del libro encontrarás fichas
1)
SI TU ACIO NE S R ATI VAS RE C E
26
aprender haciendo. recortables que puedes usar para
7
2
b
3
4
c)
d)
6
2
1
d
4
3
5
2
1
26
b
4
1
4
4
3
d
1
3
3
2
4
c
1
3
2
2
Por ejemplo:
a
colocado los cuadrícula de 4 × 4 en la cual hemos A continuación te presentamos una de tal forma cuadrícula utilizando solo estos números números 1; 2; 3 y 4. Completa la en la misma fila se repitan los números. que ni en la misma columna ni
1
NÚMEROS INQUIETOS
1
d
O NE SI TU ACI R ESCR EATI VAS
21
PROBL EMAS PARA CONCURSOS DE RM PROBL EMAS PARA CONCU RSOS DE RM ¿Cuál es la letra que escribirías en
el último
en la gorra ¿Cuál es la letra que escribirías
d) O
c) Q
bloque susDetermina el número del último
12 pendido.
guante.
d) 55 c) 50 b) 45 relación ¿Cuál de las manzanas no guarda
a) 40
una de las Establece la letra que falta en
53
d) 19
c) 17
b) 15
a) 13
40
29
20
8 d)
c) c
d 14
c 15
d 16
a 17
c 18
b 19
a 20
d) E
b)
a)
O
13
d)
M
a
c)
J c) D
12
b)
b) C
d
G
A
a)
bolso.
10 peras.
a) F
d)
c)
b)
a)
con las
que falta en el 20 Determina el valor numérico
15 con las demás?
11
...
d)
c)
b)
a)
c
gráfica?
10
completa la sucesión 05 ¿Cuál de los relojes
c
b) 21
a)
d) 19
d) T
c) Q
b) V
L
N
S
W
Y
a) M
figura que no guarda relación 19 Elige la demás.
9
a) 22
c) 20
rela¿Cuál es la sombrilla que no guarda
09 ción con las demás?
27
32
d)
c)
b)
a
drilátero.
37
cuarta tuerca?
d) c) b) a) la sucesión ¿Cuál es el número que falta en 14 numérica? 49 41 48 42 56
8
que va en el último cua04 Escribe el número 42
escribirse en la 18 ¿Cuál es la letra que debe
c
d) M
c) L
b) K
Z
d) L
c) F
b) J
a) Ñ
... ...
O
R
Elige la figura que completa la sucesión:
V
R
K
7
a) H
U
barco para completar
b
carro: X
13
Indica la figura que continúa, en:
d)
segundo
letra que debe ir en el 17 Encuentra la la sucesión.
d) 2
6
d) 8
c) 13
b) 15
6
c
08
8 c) 9
5
a) 20
d)
c)
b)
a)
que falta en el siguiente 03 Determina la letra
4
6 b) 10
a) 12
a
3
10
16
13
19
4
16
c)
b)
a)
...
d
Determina el número del último
b) Y
a) V d) Y
c) Q
b) P
a) O
07
3
A d) 18
c) 16
b
b)14
sión?
De todos los temas de la unidad, elaborados sobre la base de modelos de exámenes aplicados en concursos inter escolares de RAZONAMIENTO MATEMÁTICO.
en la suceElige la figura correcta que sigue sión:
G
J
M
R
2
22
25
28 a) 12
que completa la suce02 ¿Cuál es la estrella
M
K
G
E
16
11 de color rojo? U
19
c
06 candado?
de la última figura. 01 Determina el número
1
26
27
27
Puémape Puémape Rojas Rojas Alfonso Alfonso
26
28
nos e valuamos
NOS E VALUAM OS 01
¿Cuál de las figuras completa la
04
¿Cuál es la llave que no guarda relación con la demás?
...
a)
02
b)
c)
K
a)
d)
Si entre dos letras consecutivas hay otras dos, ¿cuáles son las que faltan? E
Problemas que permiten evaluar la real comprensión y desarrollo de lo tratado en cada unidad.
sucesión?
N
05
A
S
a) F y Ñ
b) H y P
c) F y M
d) G y Ñ
a) Q
03 Identifica el número que completa la sucesión en la siguiente estrella:
b)
c)
d)
Determina la letra que continúa en la siguiente sucesión: ;
D ;
H ;
b) P
c) R
d) S
06 ¿Cuál es el número que completa la sucesión? (Sigue el sentido de la flecha).
8 6
11
X
15
X 47
b) 24
5 11
20 a) 22
2
23
c) 26
d) 28
a) 85
b) 90
c) 94
d) 95
APREND Í A... Marca con un ¸
MB
1. ... determinar patrones en sucesiones
gráficas.
2. ... establecer patrones en sucesiones
numéricas.
3. ... restar rápidamente empleando
“minuendo partido".
4. ... determinar patrones en sucesiones
alfabéticas.
B
APRENDÍ A...
K ; Ñ . ..
R
Herramienta metacognitiva que permite al estudiante el control de sus avances en el desarrollo de las diferentes habilidades mentales.
25
Í NDI C E
U NI DAD
1 2 3
UNIDAD 1_
UNIDAD 2_
PÁGINA
¡ QUE PAS E E L S I GUIE N T E! • Sucesiones y diferencias gráficas • Sucesiones numéricas • Sucesiones alfabéticas
07
CO NTE OS E SPE C IAL E S • Intervalos iguales • Conteo de segmentos y semicírculos • Conteo de triángulos y cuadriláteros
29
COMPL E T AMOS JUGANDO • Pirámides numéricas • Cuadrados mágicos • Máximos y mínimos
51
RAZO N AMIE N TO L Ó GI C O
4
• Orden de información • Diferencias gráficas • Sucesiones gráficas y figuras complementarias
UNIDAD 4_
5
P OR FUE R A Y P OR DE N T R O • Figuras análogas • Perímetros • Áreas de regiones sombreadas
UNIDAD 5_
6
73 95
I NVE NT AMOS O PE R AC I O N E S • Situaciones cotidianas • Operaciones combinadas • Operaciones arbitrarias
117
UNIDAD 6_ F RACC I O N E S Y FI GUR AS
7
• Medios, cuartos y octavos • Tercios, sextos y novenos • Aplicaciones sobre fracciones
UNIDAD 7_
8
VISUA L I Z AMOS • Identificación de figuras • Conteo de cubos • Giros y contragiros
UNIDAD 8_
139 161
UNIDAD
1
¡QUE PASE EL SIGUIENTE!
RMP-3-1-FOTO-CORTINA.tif
O
CONTENID
RÁFICAS
NCIAS G S Y DIFERE
NE ► SUCESIO AS S NUMÉRIC E N IO S E C ► SU ABÉTICAS F L A S E N ► SUCESIO
Los números escritos en cada globo forman una sucesión, pero el último de la derecha está mal escrito, ¿cuál es el verdadero número?
Cuen to mat e máti co
E
Un sueño de suma y resta
ra una vez una mañana soleada y el día aparecía con un
resplandor que contagiaba entusiasmo. Skanito corría por la orilla de la playa, atrás quedaban Luchín, su amigo de siempre y junto a él corrían Dalma y Maite, quien de vez en cuando preparaba bolitas de arena mojada para lanzarlas al aire. -¡Qué bueno es el aire de la mañana! -dice Dalma.
¡Skanito, espera! −dice en voz alta Luchín− y es que Skanito los había adelantado una distancia más o menos larga. Claro que Skanito se cansó… y cayó rendido de sueño en un pequeño pozo de arena hasta que ¡crashhh!... el grupo de sus amigos lo despertó porque le cayeron encima. Todos tirados sobre la arena jugando con el agua que se empozaba, imaginaban cómo sería vivir en el fondo del mar. Skanito contaba lo que había visto su tío, que era buzo de la Marina de
Guerra: “Los peces de todo tipo casi siempre andan juntos”, afirmaba. Mientras esto contaba Skanito, Luchín se quedó profundamente dormido. Soñaba Luchín que los peces en el
¡Luchín, despierta! ¡Ya nos vamos!
fondo del mar eran como seres hu-
No lo habían pescado los peces,
manos, pensaban diferente cada
más bien sus amigos le habían echa-
quien, pero cuando se juntaban,
do un balde de agua para que des-
iban tras objetivos comunes… ¡ve-
pierte y cuando lo hizo, un tanto
nían en gran grupo, hacia el ali-
molesto, se quedó pensando en el
mento deseado! y en su sueño Lu-
sueño que había tenido.
chín veía que una gran cantidad de peces se dirigía hacia él, mientras
Cuando había terminado de con-
hábilmente se escondía entre las al-
tar su sueño todos estaban sorpren-
gas, las plantas submarinas y todo
didos:
escondite que podía encontrar. Pero lo más interesante de su sueño era que los peces… ¡hablaban! Era notorio para Luchín que los peces decían lo que pensaban y realizaban lo que planeaban, se llamaban entre ellos por sus nombres y hasta se gastaban unas bromas de uno a otro. Luchín seguía soñando: “Si así fueran los seres humanos, qué cosas grandes haríamos, aunque a mí los peces me hayan pescado”.
-Peces unidos y en grandes grupos -decía Dalma. -Como cuando hacemos una suma -añade Maite. -Peces que piensan y expresan lo que piensan −comenta Skanito. -Y que cuando discuten y cada quien va por su lado consiguen poco, como cuando se hace una resta −comenta Luchín. Ya tenían hambre y tuvieron que levantarse, era ya el mediodía y había que regresar… no valía ya dormir.
TEMA
10
01
SUCESIONES Y DIFERENCIAS GRÁFICAS Observamos: • Se trata de una taza en diferentes posiciones. • Si la primera taza gira en sentido horario o antihorario, se obtiene cualquiera de las otras tazas menos la tercera.
Me parece, que una figura no es similar a las demás.
• La tercera no cumple con esta serie de gráficos (llamada SUCESIÓN GRÁFICA) porque el asa de la taza está a la izquierda y no a la derecha como las demás.
Skanito: ¿Cuál es la figura diferente?
Tienes razón, yo también veo una figura que no es similar a las demás.
Otros ejemplos:
Resolvemos:
11. ¿Cuál de las figuras continúa en la si-
• Observa que la figura es la misma que aparece en todos los recuadros, la diferencia está en la forma como está ubicada en el recuadro.
guiente sucesión gráfica?
a)
b)
c)
d)
• Nota también que la figura gira en sentido de las agujas del reloj, es decir gira de una esquina a la mitad de un lado o de la mitad de un lado a una esquina. • Luego, tenemos:
¡ATENCIÓN!
d
La figura diferente es:
22. Determina la figura que no guarda relación con las demás.
Ya que al ser de la misma forma se presenta al revés de las otras.
a)
b)
c)
d)
Resolvemos:
• Observa que el punto ( . ) se intercala solo en la región I o II. • Además la región sombreada gira en sentido contrario a las agujas del reloj, comienza en la región IV, luego sigue a la región III, II, I y así sucesivamente, entonces tenemos: • Luego, la última figura no guarda relación con las demás.
b
11
Alfonso Rojas Puémape
PR A C T I C AM O S
1
11. Establece la figura que sigue en la sucesión:
...
a)
b)
c)
PISTA 1 Girando en sentido antihorario:
d)
Resolvemos: • De las figuras podemos afirmar que la bolita exterior ( ) gira alrededor del exágono ( ) en sentido , de un vértice al otro. • Siguiendo la secuencia de la última figura, se gira la bolita de la parte inferior derecha un lugar, en sentido . c
VÉRTICE
⇓
22. Determina la figura que no se relaciona con las demás:
a)
b)
c)
d)
Resolvemos: • Notamos en la secuencia de figuras, que el círculo con el no se mueven, en cambio las figuritas exteriores ( y ) se desplazan sobre el círculo en sentido , primero un lugar, y después en la siguiente figura un lugar. • Siguiendo la secuencia desde la primera figura, en la última figura debería ir a la derecha del , entonces dicha figura no guarda relación con las demás. a
33. En la siguiente sucesión gráfica, determina la figura que continúa:
...
PISTA 2 Girando en sentido horario:
⇓ a)
b)
c)
d)
12 44. ¿Cuál de las figuras continúa en la siguiente sucesión?
?
a)
c)
b)
d)
55. ¿Cuál de las siguientes figuras no guarda relación con las demás?
PISTA 4
a)
b)
c)
d)
66. Determina la figura que continúa en la siguiente sucesión:
?
La línea que parte del centro gira 1/ 3 de vuelta, en sentido horario.
a)
b)
c)
d)
77. Establece la figura que no guarda relación con las demás:
a)
c)
b)
d)
13
Alfonso Rojas Puémape 88. Determina la figura que no presenta alguna semejanza con las demás:
c)
b)
a)
3) c 4) d 5) c 6) b 7) d 8) a 9) d
d)
COMPRUEBA
99. ¿Cuál de las figuras completa la secuencia?
?
a)
c)
b)
d)
PISTA 9
1.° 2.° 3.°
Cálculo Rápido Cálculo rápido
1
El triángulo exterior al rectángulo está girando en sentido antihorario.
PON Y QUITA ... solo mentalmente
mos uno (PON), tendríamos ahora 10 y el resultado aumentaría en una unidad, es decir 15.
Sumemos 5 + 9
Para recuperar el resultado inicial le quitamos la unidad (QUITA) que le pusimos a ese sumando y el resultado será 14.
+
Practicamos Cálculo RÁPIDO
Otro ejemplo: Suma 17 + 9 5
+
9
=
14
Para operar mentalmente, esta operación se facilita si uno de los sumandos es múltiplo de 10. Si al grupo de 9 lapiceros le agrega-
Resolvemos: • Pon 1 más a 9 • Opera 17 + 10 = 27 • Quita el 1 que pusiste:
Respuesta: 27 − 1 = 26
¡Qué fácil!
1)
7+9
2)
9+4
3)
8+7
4)
7+7
5)
19 + 8
6)
18 + 9
7)
19 + 7
8)
28 + 9
9)
27 + 7
10) 18 + 8
TEMA
14
02
SUCESIONES NUMÉRICAS • Observa que los números que figuran en cada canasta corresponden a la cantidad de naranjas. • Además dichos números forman una sucesión numérica, en la cual se desea conocer la cantidad de naranjas que va en la canasta del tío de Skanito. • Determinemos la cantidad que falta:
36 ; 40 ; 46 ; 54 ; 64 +4
Otro ejemplo: gura:
12
+8
+10
Resolvemos:
11. Halla el número que falta en la última fi10
+6
24
26
• Observa que hay relación llamada también “patrón” entre dichos números; la cual es:
52
10 ; 12 ; 24 ; 26 ; 52 ; 54 +2
+2
×2
+2
• Luego, el número que completa la sucesión numérica es 54.
¡RECUERDA! Los números en una sucesión, aumentan por adición o multiplicación y disminuyen por sustracción o división.
×2
Tú y yo:
Resolvemos:
22. Determina el número que falta en la si-
• Determina la secuencia:
guiente figura:
18 ; 20 ; 10 ; 12 ; 6 ; 18
20
10
12
6
+
:
+
:
+
• Luego, el número que continúa será: 6+
=
Alfonso Rojas Puémape
15
2
PR A C T I C AM O S 11. Halla el número que continúa en la siguiente sucesión:
7
10
14
19
25
x
Resolvemos: • Observa las diferencias entre dos números, te darás cuenta que aumentan de uno en uno.
7 ; 10 ; 14 ; 19 ; 25 ; x +3
+4
+5
+ 6
PISTA 2
+7
• Completamos la sucesión sumándole 7 a 25; luego x = 25 + 7 = 32
Observa que las diferencias de los números dados aumentan de uno en uno.
22. Calcula el número que continúa en la siguiente sucesión:
18
17
15
12
8
x
Resolvemos: • Observamos ahora que los números disminuyen.
18 ;
17 ;
-1
-2
15 ;
12 ;
-3
8;
x
-4
• Restamos a 8 el valor 5. Luego x =
33. Calcula el número que continúa en la siguiente sucesión:
4
16
8
x
32
Resolvemos: • Cada número es el doble del anterior. 4 ;
8 ;
16 ;
32 ;
x PISTA 4
×2
• Finalmente el número buscado es: x =
×
2=
4. 4 Halla el número que completa la siguiente sucesión:
3
6
10
20
24
X
Resolvemos: • Observa que hay dos operaciones que aplicar: Multiplicar por dos y sumar 4. 3 ; 6 ; 10 ; 2 0 ; 24 ; x ×2
• Escribe el número que completa la sucesión: x =
+4
Podemos encontrar sucesiones en las cuales pueden combinarse dos operaciones, en este caso multiplicación y adición.
16 55. Establece el número que continúa en la sucesión:
7
15
11 9
?
13
PISTA 6 Observa que los números de la sucesión aumentan y se están utilizando los números naturales impares.
66. Halla el número que sigue en la sucesión:
1
13 6
33 22
?
77. Determina el número que sigue en la sucesión:
31
37 34
25 28
?
¡ATENCIÓN! Los números de una sucesión pueden ir de mayor a menor.
88. Calcula el valor de X en la sucesión:
50
22
32 40
26
X
17
Alfonso Rojas Puémape 99. ¿Cuál es el número que debe escribirse en la última naranja?
3
27
15 9
?
21
10. Determina el número del último avión. 10 10) 35
44 ?
5) 17
51
6) 46
59
7) 2 2 8) 2 0
56
9) 33
60
COMPRUEBA
Cálculo Rápido Cálculo rápido PON Y QUITA ... solo mentalmente Efectuemos la operación: 35 + 7 Pensemos:
2 • Entonces: 35 + 7 = 42 Otro ejemplo: Practicamos Cálculo RÁPIDO
Efectúa: 26 + 8 Resolvemos:
1)
19 + 9
2)
21 + 8
3)
• Agregamos 2 unidades a 8, entonces tendremos:
26 + 7
4)
39 + 7
5)
27 + 28
6)
26 + 18
7)
18 + 13
8)
22 + 17
9)
38 + 8
Operamos en la mente:
• Si aumentamos 3 a 7 la suma original se aumenta en 3. • Pero la suma en nuestra mente es más sencilla: 35 + 10 = 45 • Quitemos lo que pusimos: 45 − 3 = 42
26 + 10 = 36
• Quitamos a 36 las 2 unidades que agregamos, luego el resultado final queda así:
36 − 2 = 34
10) 35 + 18 11) 48 + 25 12) 36 + 19
18
1
N O ES C I U I A T S R E CR EATI VAS
Números inquietos
A continuación te presentamos una cuadrícula de 4 × 4 en la cual hemos colocado los números 1; 2; 3 y 4. Completa la cuadrícula utilizando solo estos números de tal forma que ni en la misma columna ni en la misma fila se repitan los números.
Por ejemplo:
2
3
1
4
¡Ahora te toca a ti!: 1) 3
4
2
1
4
1
3
2
2)
2
3
1
4
4
2
3
1
1
4
2
3
3
1
4
2
Alfonso Rojas Puémape
2
19
¡Nueve son suficientes! A continuación verás 9 círculos dispuestos de forma vertical y horizontal. El juego consiste en disponer los números del 1 hasta el 9 sin repetir alguno, de tal forma que la suma de los números en posición vertical sumen 26, igual que la suma de los números dispuestos en horizontal.
26
26
Al final del libro encontrarás fichas de números recortables que puedes usar para aprender haciendo.
3
Torta Luchín quiere compartir esta suculenta torta con sus siete amigos que lo han visitado. • Todas las porciones deben ser del mismo tamaño. • Solo puede usar el cuchillo 3 veces. Si se sabe que resolvió el problema,... ¿cómo lo hizo?
¡Resuelve aquí!
TEMA
20
03
SUCESIONES ALFABÉTICAS
• Veamos la letra que va en el polo de color azul. • Para ello escribimos la sucesión y observamos las letras que hay entre letras.
Las letras de esos polos creo que forman una sucesión.
A ; D ; G ; J ; M B E H K C F I L ¿Qué letra debería ir en el polo de color azul?
Sí. . . forman una sucesión alfabética.
Otro ejemplo:
Resolvemos:
11. Establece la letra que continúa en la siguiente sucesión:
• Escribe la sucesión nuevamente y observa las letras que hay entre letras.
A
E
A ; C ; E ; G ; I
C
¡ATENCIÓN! Puedes notar que entre letra y letra de la sucesión hay dos letras del abecedario en orden estricto.
• Luego, la letra que sigue es M.
G
B D F H • Luego, la letra que continúa es I.
Tú y yo:
Resolvemos:
22. Determina la letra que continúa en la sucesión:
• Escribimos la sucesión en forma horizontal y observamos las letras entre letras.
M ; Ñ ; P ; R ;
M
P Ñ
R • Luego, la letra que sigue será:
Alfonso Rojas Puémape
PR A C T I C AM O S
21
3
11. Determina la letra que debe ir en el triángulo sombreado.
E
J
Ñ
G
L
Resolvemos: • Observa las letras que hay entre dos letras consecutivas. E ; G ; J ; L ; Ñ ; F
NOTITA
M N
Escribe todo el abecedario en un papelito para este tipo de ejercicios.
• Luego, la letra que sigue es:
22. ¿Cuál es la letra que debe escribirse en la última figura?
S
P
Ñ
L
J
Resolvemos: • Observemos las letras que existen entre las letras dadas. S ; P ; Ñ ; L ; J ; O
M N
• Entonces, la letra que continúa es:
33. ¿Cuál es la letra que falta en la siguiente sucesión?
Resolvemos: • Escribimos la sucesión y observamos las letras que hay entre letras. F ; J ; N ; Q ; G Ñ H O I P • Luego, la letra que continúa es:
IMPORTANTE
En sucesiones alfabéticas no se consideran las letras dígrafas; es decir, las letras: CH y LL
22 44. Determina la letra que completa el siguiente conjunto de círculos.
77. Escribe la letra que falta en el círculo sombreado.
F K
M
O
N
U
S
J
Q
¡ATENCIÓN! ¡Resuelve aquí! La cantidad de letras entre una y otra puede variar según un patrón que tienes que descubrir.
55. ¿Cuál es la letra que completa el conjunto de copas? K
I
E
88. Establece la letra que debe escribirse en el último escalón, para completar la sucesión.
Ñ
I
F
P
B
C
E
A
¡IMPORTANTE!
En algunos casos las letras en la sucesión son contiguas o consecutivas.
66. ¿Cuál es la letra que debe escribirse en la última figura?
99. Escribe la letra que corresponde en el cuadrado sombreado.
D B
J Ñ
U R
F
G
K
L
23
Alfonso Rojas Puémape
E
M
Q
J
11. ¿Cuál es la letra que completa la 11 sucesión?
Z
W
T
O R
L Ñ
S
13 Determina la letra que no se puede visualizar en la última lupa. D
Q
E
I
J
N
X T W Y J O T Ñ V Ñ
B
12. Establece la letra que se debe escri12 bir en el último pantalón, para completar la sucesión:
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)
10. ¿Cuál es la letra que escribiremos en 10 la base de la última gallina?
COMPRUEBA
Cálculo Rápido Cálculo rápido
3
PON Y QUITA ... solo mentalmente
OTROS EJEMPLOS:
Efectúa: 28 + 37 Resolvemos: • Si aumentamos “2” a “28” la suma también aumentará en “2”, entonces tendremos: 30 + 37 = 67 • Ahora quitamos lo aumentado: 67 − 2 = 65 • Luego: 28 + 37 = 65
Resolvemos: • Aumentando “3” unidades a “27”, tenemos: 46 + 30 = 76
1)
24 + 19
2)
37 + 26
3)
48 + 35
4)
35 + 61
• Quitando lo aumentado:
5)
59 + 13
6)
24 + 38
7)
67 + 32
8)
24 + 78
9)
52 + 66
Se recomienda aumentar unidades al menor de los números.
1) Efectúa: 46 + 27
76 − 3 = 73
2) Efectúa: 54 + 32 Resolvemos: • Ahora mentalmente: 60 + 32 = 92 • Luego: 92 − 6 = 86
Practicamos Cálculo RÁPIDO
10) 75 + 31 11) 82 + 67 12) 99 + 84
24
PRO PUESTOS M IX 01
Escribe el número que falta en la figura sombreada: 21 a) 36
02
25
29
33
9 12 15 a) 24
03
19
a) V
08
X
c ) 25
b) 26
d) 27
...
b)
c)
N
P
09
27
06
b) 12
c ) 11
b)
d) 144
X
V
T
10
¿Cuál de las lunas no guarda relación con las demás?
c)
c)
b)
d)
d) 10
...
c ) 120
b) 96
?
17
¿Cuál es la figura que completa la siguiente sucesión?
a)
24
Escribe la letra que continúa en el polo para completar la siguiente sucesión:
a) a) 13
6
a) O b) R c ) P d) Q
T
22
c ) Y d) Z
2
1
Z
Escribe el número que falta en la última figura. 32
U
d)
a) F b) Z c ) U d) Y
05
T
Determina el número que falta en la última manzana.
a) 48
Completa la sucesión escribiendo la letra 04 que falta en la estrella sombreada. L
R
b) W
1
Establece la figura que continúa en la sucesión.
a)
Q
d) 37
Determina el número que falta en el siguiente conjunto de círculos:
10
Determina la letra que escribirías para completar la siguiente sucesión: O
c ) 39
b) 38
07
d)
11
Escribe el número que va en el último pentágono.
9 a) 49
21 b) 50
33 c ) 55
45 d) 57
25
Alfonso Rojas Puémape
12
¿Cuál es la figura que continúa en la sucesión gráfica?
17
Escribe la letra que falta en el último pez. C
...
K
G
Ñ
a) R b) Q c ) V d ) Z a)
18
d)
Establece la letra que falta en la siguiente corona sombreada:
D
G
J
...
M
a)
a) P b) Q c ) Ñ d) O
19
20
28
37
12
22
c ) 58
b) 51
d) 60
20
Q
d)
21
N
J
F
c ) D d) E
b) C
Marca la alternativa que completa la sucesión gráfica.
¿Cuál es el número que completa la última maceta?
24 c)
d)
2
3
4
5
b)
1
6
7
a)
8
b 9
d) 100
c
c ) 98
c 10
d 11
d 12
d 13
c 14
c 15
b) 96
b
b 16
a 17
a) 94
8
d
4
b
4
d
16
c)
d) 72
Escribe la letra que falta en la paleta.
a) B b)
52
c ) 62
b) 60
¿Cuál de las alternativas no guarda relación con las demás?
a)
42
c
15
32
47 a) 58
a) 48
d)
¿Cuál es el número que escribirías en la última figura?
Determina el número que falta en el exágono sombreado. 13
c)
b)
a
14
¿Cuál es la figura que completa la sucesión gráfica?
d
13
c)
b)
b 18
c 19
a 20
c 21
26
PR OBL EMAS PARA CO NCURSOS D E RM 01 Determina el número de la última figura. 28
25
a) 12
22
A d) 18
sión?
07
... c)
b)
d)
R
19
a) 20
carro:
U
G
K
M
Determina el número del último guante.
16
03 Determina la letra que falta en el siguiente
X
E
a) O b) P c ) Q d) Y
02 ¿Cuál es la estrella que completa la suce-
a)
¿Cuál es la letra que escribirías en el último candado?
19 c ) 16
b)14
06
08
13
16
10
c ) 13
b) 15
d) 8
Indica la figura que continúa, en:
...
O
a) H b) K c ) L d) M a)
04 Escribe el número que va en el último cuadrilátero. 42 a) 22
37 b) 21
32
09
27 c ) 20
gráfica?
...
¿Cuál es la sombrilla que no guarda relación con las demás?
a)
10
b)
c)
d)
c)
d)
Establece la letra que falta en una de las peras. A
b)
d)
d) 19
05 ¿Cuál de los relojes completa la sucesión
a)
c)
b)
G
J
M
O
a) F b) C c ) D d) E
27
Alfonso Rojas Puémape
11
¿Cuál es la letra que escribirías en la gorra de color rojo? U
R
a) V
12
M
J
16 Elige la figura correcta que sigue en la sucesión:
G
c ) Q d) O
b) Y
Determina el número del último bloque suspendido.
a)
3 a) 12
13
6
4
8
6
d)
17 Encuentra la letra que debe ir en el segundo
c ) 9
b) 10
c)
b)
barco para completar la sucesión.
d) 2
K
Elige la figura que completa la sucesión:
V
R
Z
a) Ñ b) J c) F d) L
...
18 ¿Cuál es la letra que debe escribirse en la cuarta tuerca?
a)
14
Y
c)
b)
¿Cuál es el número que falta en la sucesión numérica?
S
N
L
a) M
c ) Q d) T
b) V
19 Elige la figura que no guarda relación con las
49
41
W
d)
demás.
48 42 a) 40
15
56 c ) 50
b) 45
d) 55
¿Cuál de las manzanas no guarda relación con las demás?
a)
c)
b)
d)
20 Determina el valor numérico que falta en el bolso.
c ) 17
53
d) 19
2
1
3
4
5
b) 15
c
b 6
c 7
a) 13
a
d)
40
d
a 8
c 9
c)
c 10
d 11
a 12
c 13
d 14
b)
29
b
c 15
d 16
a)
20
c
8
a 17
c 18
b 19
a 20
28
nos evaluamos 01
¿Cuál de las figuras completa la sucesión?
a)
b)
c)
K
N
¿Cuál es la llave que no guarda relación con la demás?
...
a)
d)
Si entre dos letras consecutivas hay 02 otras dos, ¿cuáles son las que faltan? E
04
05
b)
c)
d)
Determina la letra que continúa en la siguiente sucesión: A ; D ; H ; K ; Ñ . . .
S
a) F y Ñ b) H y P
a) Q
c) R
b) P
d) S
c ) F y M d) G y Ñ
03
Identifica el número que completa la sucesión en la siguiente estrella:
06
¿Cuál es el número que completa la sucesión? (Sigue el sentido de la flecha).
8
X
6
11
X
15
47
2
23
5 11
20 a) 22
b) 24
c ) 26
d) 28
a) 85
c ) 94
b) 90
d) 95
APRENDÍ A... Marca con un 1. ... determinar patrones en sucesiones gráficas. 2. ... establecer patrones en sucesiones numéricas. 3. ... restar rápidamente empleando “minuendo partido". 4. ... determinar patrones en sucesiones alfabéticas.
MB
B
R
2 CONTEOS ESPECIALES O
CONTENID
Ten cuidado, no son 3.
ES O S IG U A L L A V R E T ► IN SY GMENTO E S E D O E ► CONT ULOS S E M IC ÍR C Y ngulos á ri T E D O ► CONTE ÁTEROS C U A D R IL ¿Cuántos triángulos podemos contar en esta figura?
Cuen to mat e máti co
P
Una mascota desafiante uente Viejo era un lugar muy
Y todos se apenaban cuando a Odi
especial, vivía allí mucha
le pasaba algo
gente y sobre todo niños y
−¡Odi está cojeando! −decía a viva
niñas muy alegres que gustaban de
voz Pepe, era la alerta que reunía a
jugar con las mascotas que algunos
toda la manchita de Puente Viejo.
de ellos tenían. Odi era un hermoso perro de raza Casi se podría decir que la mascota
Alaska Malmute de pelaje gris con
de uno de ellos era la mascota de
manto negro y de solemnes orejas
todos y tenían entre el gran grupo
bien erguidas.
de niños y niñas a varias razas de perros, algunos gatos, un par de loros
Pepe y Luchín eran dos niños que
y hasta dos pares de cuyes.
nacieron, el segundo dos años des-
Así pasaban los días de inviernos y primaveras, otoños y veranos; si en el invierno niñas y niños se cuidaban de los bronquios y los achís esto a veces no se podía evitar con las mascotas.
pués del primero, futbolistas como nadie, pero sobre todo habían contagiado por toda la ciudad un gran cariño por las mascotas especialmente a Dalma, Maite y a una niña extraordinaria llamada Anita.
Anita era la de las preguntas,
muy
observadora,
inquieta e inteligente; Luchín era el de las respuestas a preguntas fáciles y difíciles, aunque muchas veces tenía que admitir respuestas
Luchín que estaba tan sorprendido
equivocadas.
como todos… se confundió y no podía elaborar una respuesta a la
Sentados todos en las banquetas de
pregunta de Anita, mas aún prefirió
un parque de Puente Viejo a Anita
ensayar otra pregunta dirigida a
se le ocurrió hacer una pregunta al
exigir el pensamiento del respetable
sabio Luchín:
público:
−Si la diferencia de las edades de Pepe y tú es de dos años, ¿cuál será la diferencia de sus edades dentro de 10 años? Entonces… ante la sorpresa de todos, Odi, el perro de las orejas erguidas, interviene en la conversación, que se llevaba a cabo ahora en el umbral de la puerta de uno de los miembros de la mancha al estallar una torrencial lluvia, diciendo:
−De un extremo a otro de Puente Viejo hay una distancia de 10 kilómetros −dice Luchín−, si Odi sale del primer extremo a 20 metros por minuto y al mismo tiempo del otro extremo sale a su encuentro Pepe en bicicleta a 30 metros por minuto; en el momento en que se cruzan, ¿cuál de ellos estará más cerca del primer extremo de Puente Viejo? Anita y Luchín te dejan a ti amable
−Siempre admiré a Luchín ¡guau!
lectora o lector la respuesta a am-
¡guau! y todos aquí esperamos que
bas preguntas; solo debes tener en
responda a Anita ¡guau!
cuenta que Odi estará atento a las
¡Todos estaban muy sorprendidos con el perro que hablaba de tal modo que más gente se había juntado alrededor de ellos!
respectivas respuestas. ¡Guau!
32
TEMA
01
Intervalos iguales
¿Cuántas líneas debo trazar si necesito dividir la pizarra en partes de 60 cm de ancho?
• Si dividimos la longitud de la pizarra (lt) que es 300 cm por el ancho de cada parte (La), obtendremos la cantidad total de partes. 300 cm : 60 cm = 5 partes • Entonces:
300 cm
300 cm
60 cm 60 cm 60 cm 60 cm 60 cm
Bueno, creo que varias.
Luchín, la pregunta es ¿cuántas?
Otro ejemplo:
• Obser va que para dividir la pizarra en 5 partes hay que trazar 4 líneas, o sea el número de partes menos uno: 5 - 1 = 4
Resolvemos:
11. A lo largo de una calle de 100 m se van a colocar postes, de principio a fin, separados 20 m uno de otro.
• Calculamos el número de espacios entre poste y poste.
• Se colocan postes de principio a fin, entonces:
¿Cuántos postes se utilizarán?
100 m : 20 m = 5 espacios 1.° 2.° 3.° 4.° 5.°
20 m
100 m
• Luego, se utilizarán 6 postes, es decir, el número de espacios más uno: 5 + 1 = 6 !
• También: N.° postes = N.° espacios + 1
¡IMPORTANTE
El número de pedazos, espacios o partes se calcula así:
Tú y yo:
22. Se tiene un pan baguete de 60 cm de largo.
lt La donde: Lt: Longitud total. La: Longitud del ancho.
Resolvemos:
60 cm
¿Cuántos cortes deberíamos hacer para obtener pedazos de 6 cm cada uno?
• Calculamos el número de partes o pedazos: 60 cm : 6 cm = pedazos. • Luego, hay que realizar: 10 - 1= cortes • Resumimos lo anterior en:
N.° cortes = N.° pedazos - 1
Alfonso Rojas Puémape
4
PR A C T I C AM O S 11. En la parte superior de una pared de mi aula de 12 m de ancho se van a colocar clavos, de principio a fin y separados 2 m uno de otro. ¿Cuántos clavos serán necesarios?
Resolvemos:
• Dibujamos:
2m
2m
...
• Calculamos el número de espacios:
¡atención!
12 m : 2 m = Observa en el dibujo que el número de clavos es uno más que el número de espacios.
• Luego, se necesitarán: + 1= clavos
22. Se tienen 320 cm de madera y se necesitan pedazos de 80 cm. Si el carpintero cobra S/. 5 por cada corte, ¿cuánto cobrará el carpintero?
33
Resolvemos:
• Dibujamos:
...
80 cm
• Calculamos el número de pedazos: 320 cm : 80 cm =
pedazos
• Entonces se realizan:
- 1=
cortes
• Luego, el carpintero cobrará:
×
S/.5 = S/. ¡IMPORTANTE!
33. Martha tiene que tomar una pastilla cada 2 horas. Si la primera pastilla la toma a las 8 de la mañana y la última a las 8 de la noche, ¿cuántas de estas pastillas compró Martha?
Resolvemos:
• De las 8 de la mañana a las 8 de la noche transcurren 12 horas:
8 a.m. 10 a.m.
...
8 p.m.
• Calculamos el número de espacios: 12 h : 2 h = • Entonces, Martha toma:
+ 1=
pastillas
• Luego, compró 7 pastillas.
Observa que, en las 12 horas, toma las pastillas de principio a fin.
34 44. Se tiene tela de 20 m de longitud y se va a cortar en pedazos de 2 m cada uno. ¿Cuántos cortes serán necesarios?
77. A lo largo de una calle de 140 m se van a colocar faroles, separados 20 m uno de otro, de principio a fin. ¿Cuántos faroles se usarán?
¡Resuelve aquí! PISTA 4 Primero calcula el número de pedazos.
55. Un sastre posee 12 m de tela y quiere obtener pedazos de 2 m cada uno, realizando un corte cada día. Si empieza un martes y no trabaja sábado ni domingo; establece el día en el cual realizará el último corte.
88. En el lado de 15 m de un jardín se van a colocar estacas, separadas 3 m una de otra, de principio a fin. ¿Cuántas estacas se necesitarán?
66. Para cortar un tablón de madera en pedazos de 40 cm, se han realizado 5 cortes. ¿Cuál era la longitud inicial del tablón?
99. A lo largo de una pista de 120 m se van a plantar árboles, de principio a fin, separados 10 m uno de otro. ¿Cuántos árboles se plantarán?
PISTA 6 Ten presente que el número de cortes es el número de pedazos menos 1.
35
Alfonso Rojas Puémape
11. En una calle hay 17 árboles, separa11 dos 10 m uno de otro, de principio a fin. ¿Cuál es la longitud de la calle?
13. 13 ¿Cuántas pastillas tomará Carlos durante 2 días, si toma una cada 8 horas y además empezó a tomarlas al inicio de su descanso?
Cálculo Rápido Cálculo rápido DECENAS Y UNIDADES... ... solo mentalmente
COMPRUEBA
12. ¿Cuántos cortes son necesarios reali12 zar a una cinta de 18 m de longitud para obtener pedazos de 2 m? 4) 9 5) lunes 6) 240 cm 7) 8 faroles 8) 6 estacas 9) 13 árboles 10) S/.14 11) 160 m 12) 8 cortes 13) 7 pastillas
10. Luchín recibe S/. 2 de propina por 10 cada agujero que realiza a lo largo de una pared de su casa de 12 m; con el objetivo de colocar ganchos de principio a fin, separados 2 m uno del otro. ¿Cuánto recibirá en total?
4 • A estas 50 unidades le añades mentalmente las unidades de los números. 27 y 36, así : 50 unid. + 7 unid. 57 unid. + 6 unid. 63 unid.
Daniel está bajando cajas de juguetes de un camión y forma dos grupos de 27 y 36 cajas respectivamente. ¿Cómo opera mentalmente para saber la cantidad total de cajas que bajó del camión?
Practicamos Cálculo RÁPIDO 1)
57 + 73
2)
97 + 53
3)
39 + 14
4)
25 + 17
Suma: 42 + 56
5)
78 + 81
Resolvemos:
6)
63 + 62
7)
44 + 22
8)
78 + 14
9)
47 + 32
Daniel bajó 63 cajas. Otro ejemplo:
42 + 56
Resolvemos:
90 + 2 92 + 6
10) 55 + 82
98
11) 68 + 75
Se trata de sumar 27 y 36. ¡Muy simple!
• Suma solo en la mente las decenas: 2 + 3 = 5 decenas o 50 unidades
Luego, la suma es 98.
12) 31 + 19
TEMA
36
02
conteo de segmentos y semicírculos • ¡Skanito tiene razón!, veamos:
¡Observa!, alguien dibujó un segmento en la piedra...
¡NO!... ahí hay tres segmentos...
• Colocamos una letra en cada segmento simple. a
b
• Contamos: de una letra (simples): a y b de 2 letras: ab 1
2
• Luego, hay: 2 + 1 = 3 segmentos.
Otro ejemplo:
Resolvemos:
11. ¿Cuántos semicírculos se puede contar en la figura?
• Recuerda que semicírculo quiere decir mitad de un círculo. • Contaremos los semircírculos que hay en la figura colocando letras a cada región de la figura:
a
• Los semicírculos que hay en la figura, son: c y a , , b b a
¡ATENCIÓN!
c
d
b d
c
d
• Luego, se puede contar 4 semicírculos. Segmento es una línea recta limitada por dos puntos: También: segmento simple segmento compuesto
Tú y yo:
Resolvemos:
2 Determina el número de segmentos que hay, en:
• Colocamos letras a cada segmento simple: a c
• Contamos: de una letra: a, b y
segmentos 2 segmentos
de 2 letras: ab y de 3 letras: abc • Luego, hay: 3 +
segmento + 1=
segmentos.
37
Alfonso Rojas Puémape
5
PR A C T I C AM O S 11. Determina el número de semicírculos, en:
Resolvemos:
¿Cuántos segmentos simples y compuestos hay en cada lado?
b a • Contamos:
- de una letra: a
c
y
2 semicírculos
- de 3 letras: abc • Luego, hay:
22. Encuentra el número de segmentos que hay, en:
semicírculo
semicírculos.
+1 =
Resolvemos:
• Contamos segmentos en cada lado del triángulo: 2 1 3
• Contamos:
¡ATENCIÓN!
En 1 :
hay
segmentos.
En 2 :
segmentos.
En 3 :
segmentos.
• Luego, en el triángulo hay:
33. Calcula el número de semicírculos que hay, en:
PISTA 2
• Colocamos letras a cada región:
a
segmentos.
Resolvemos:
• Colocamos letras: a
b
d
e
c
• Contamos: - de una letra: no hay
- de 2 letras: ab,
• Luego, hay:
, de y
semicírculos.
• También podemos resolver este problema si consideramos el diámetro.
b
El diámetro (AB) es una porción de línea recta que pasa por el centro del círculo y lo divide en dos semicírculos. En el ejemplo: Hay dos círculos y en cada círculo hay dos semicírculos, es decir: 2×2=4
38 44. Determina el número de segmentos, en:
77. Encuentra el número de semicírculos que hay en la figura.
PISTA 5 ¡Resuelve aquí! Segmentos que se intersectan determinan segmentos compuestos.
55. Calcula el número de segmentos que hay en la figura.
88. ¿Cuántos semicírculos puedes contar en la figura?
66. ¿Cuántos segmentos se puede contar en la figura?
99. Determina el número de semicírculos que hay, en :
PISTA 7 Observa que hay un diámetro contenido en otro.
Alfonso Rojas Puémape 10. ¿Cuántos segmentos hay en la figura 10 mostrada?
12. Determina el número de segmentos 12 que hay, en:
11. Encuentra el número de semicírcu11 los, en:
13. 13 El número de semicírculos que puedes contar en la figura es:
39
13) 4 semicírculos 12) 8 segmentos 11) 6 semicírculos 10) 11 segmentos 9) 4 semicírculos 8) 6 semicírculos 7) 4 semicírculos 6) 12 segmentos 5) 9 segmentos 4) 12 segmentos
5 70 + 7
DECENAS Y UNIDADES... ... solo mentalmente Giomar ha vendido 47 rosas rojas y 35 rosas blancas. ¿Cuántas rosas vendió en total? Resolvemos: Efectúa... ¡solo en la mente!
Tienes que sumar: 47 + 35 ¡Muy fácil! Veamos: • En las decenas: 4 + 3 = 7 decenas o 70 unidades • Luego, le agregamos las unidades de dichos números, así:
COMPRUEBA
Cálculo Rápido Cálculo rápido
77
+5
77 + 3 + 2 80 + 2 82 Vendió 82 rosas en total. Otro ejemplo:
Practicamos Cálculo RÁPIDO 1) 28 + 14 2) 26 + 17
Efectúa: 48 + 52 Resolvemos: • En las decenas: 4 + 5 = 9 decenas o 90 unidades
3) 36 + 22
• Luego:
7) 59 + 42
90 + 8 98 + 2 100
Respuesta: La suma es 100.
4) 33 + 28 5) 42 + 34 6) 47 + 39 8) 53 + 46 9) 67 + 55 10) 78 + 61 11) 89 + 70 12) 93 + 86 13) 97 + 75
40
de camino a casa
Efectúo la operación y avanzo por el camino donde está el resultado, del colegio hasta llegar a mi casa.
39 + 56
65
95
85 + 67
152
14 2
91 − 36
73 − 48
75 − 19 76
55
66
25
35
64 + 32
42 + 59
96
1
1
10
11
86
34 + 45
37 + 56
83 + 27
93
79
1
N O ES C I U I A T S R E CR EATI VAS
0
83
10
64 − 35
25 − 18
29
7
12 + 21
33
41
Alfonso Rojas PuĂŠmape
2
El paseo Para ir de la carretera (P) a una laguna (Q) solo podemos pasar por los lados del cuadrado ( → o ↓ ).
P
B
A
D C
E
F
Q
Indica el camino que se debe emplear para llegar a la laguna, pasando por A o C o D o E o F (debes hacerlo por 5 caminos).
42
TEMA
03
Aquí parece que hay solo tres triángulos.
conteo de triángulos y cuadriláteros
Maite, hay más de tres.
• Dalma tiene razón, hay más de tres triángulos. Será más fácil distinguirlos si colocamos letras a los triángulos simples.
a b c • Contamos: - con una letra: a; b y c - con 2 letras: ab y bc - con 3 letras: abc
3 triángulos 2 triángulos 1 triángulo
• Luego, hay 6 triángulos.
Otro ejemplo:
Resolvemos:
11. Un cuadrilátero es una figura de cuatro lados. ¿Cuántos cuadriláteros podemos contar en la siguiente figura?
• Usaremos los colores para contar los cuadriláteros. - de un color: , y 3 - de 2 colores:
y
2
- de 3 colores: ¡IMPORTANTE! • Triángulo simple es aquel que “vemos a simple vista” a
b
• A los triángulos formados por 2 o más triángulos simples, los llamaremos compuestos. ab
1
• Luego, podemos contar: 3 + 2 + 1 = 6 cuadriláteros. Tú y yo:
Resolvemos:
22. ¿Cuántos triángulos puedes contar en la figura?
• Colocamos letras a cada triángulo simple: a • Contamos: - de una letra: - de 2 letras: - de 3 letras: abc
c ,
, 1 1
• Luego, en la figura se puede contar:
3+
+
= 5 triángulos.
43
Alfonso Rojas Puémape
6
PR A C T I C AM O S 11. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?
Resolvemos:
• Colocamos letras en los cuadriláteros simples. a
b
c • Contamos: − con una letra: a,
,
− con 2 letras: ab,
yd
4
, bd ,
− con 4 letras:
1 ¡ATENCIÓN!
• Luego, hay: 4 +
+ 1 = 9 cuadriláteros. Cuadriláteros simples son:
22. El número de triángulos que puedes contar en la figura es:
Resolvemos:
a
• Colocamos letras en los triángulos simples. b c
e
d
,
− de 2 letras: ab, bc,
y y
5
− de 3 letras:
4 1
• Luego, se puede contar: +1= triángulos. 5+ Resolvemos:
• Colocamos letras a cada cuadrado simple: a c
y cuadriláteros formados por dos o más cuadriláteros son: a b
• Contamos: − de una letra: a, b,
33. ¿Cuántos cuadrados puedes contar en la siguiente figura?
d
b
d
• Contamos: − de una letra: a, b,
,
,eyf
6
− de 2 letras: no hay − de 3 letras: no hay
− de 4 letras: abde • Luego, se pueden contar:
1
cuadrados.
b d
44 44. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
PISTA 4 Coloca letras a cada región simple del cuadrilátero.
PISTA 5 Observa que cuatro cuadraditos forman un cuadrilátero.
77. Determina el número de triángulos, en:
¡Resuelve aquí!
55. Determina el número de cuadrados que hay, en:
88. Encuentra el número de triángulos, en:
66. ¿Cuántos cuadriláteros puedes contar en la figura?
99. Calcula el número de triángulos, en:
45
Alfonso Rojas Puémape 10. Calcula el número de triángulos, en: 10
12. ¿Cuántos cuadrados puedes contar 12 en la figura?
11. 11 Determina el número de cuadriláteros, en:
13. 13 Establece el número de rectángulos que se puede contar en la siguiente figura:
13) 14 rectángulos 12) 10 cuadrados 11) 7cuadriláteros 10) 9 triángulos 9) 9 triángulos 8) 8 triángulos 7) 8 triángulos 6) 9 cuadriláteros 5) 6 cuadrados 4) 8 triángulos
COMPRUEBA
Cálculo Rápido Cálculo rápido DECENAS Y UNIDADES... ... solo mentalmente
6 30 + 6 + 2 = S/. 38 Respuesta: El total a pagar es S/. 38
1)
28 + 12
Otro ejemplo:
2)
17 + 14
3)
12 + 25
Suma: 57 + 73
4)
14 + 18
5)
36 + 25
6)
47 + 38
7)
57 + 17
8)
58 + 46
9)
73 + 32
Resolvemos: Estamos en la tienda y tenemos que pagar el valor de dos productos. Uno cuesta S/. 26 y el otro cuesta S/.12 ¿Cuánto debo pagar por los dos productos? Resolvemos: ¡Sencillo! ¡Solo en la mente! • Suma las decenas 2 + 1 = 3 o también 30 unidades. • Ahora ve al lugar de las unidades y vas agregando a 30:
Practicamos Cálculo RÁPIDO
• Primero sumamos decenas: 5 + 7 = 12 decenas o 120 unidades • Luego llevamos las 120 unidades al lugar que ocupan las unidades: 120 + 7 + 3 127 + 3
130
• La suma de ambos números es 130.
10) 64 + 15 11) 37 + 12 12) 38 + 39
46
PRO PUESTOS M IX 01
A lo largo de una calle de 180 m se van a colocar postes, separados 20 m uno de otro, de principio a fin. Determina la cantidad de postes que se usarán. a) 8
02
b) 9
c ) 10
06
Se tiene tela de 20 m de longitud y se necesitan 5 pedazos de 4 m cada uno, ¿cuántos cortes se realizarán? a) 6
07
08
03
c ) 8
b) 4
c ) 5
d) 7
Encuentra el número de segmentos que hay, en:
d) 10
Determina el número de segmentos que hay, en: a) 13 a) 10
04
d) 3
Determina el número de semicírculos en la siguiente figura:
a) 6
b) 6
c ) 4
d) 11
¿Cuántos semicírculos se puede contar en la figura?
a) 5
b) 5
b) 8
c ) 12
d) 7
09
b) 12
c ) 14
d) 15
El número de triángulos que puedes observar en la figura es:
Indica la cantidad de triángulos que se observan en la figura:
a) 7
b) 6
c ) 5
a) 5
¿Cuántos rectángulos puedes contar en la 05 figura?
a) 4
b) 5
c ) 6
b) 6
c ) 7
d) 8
d) 4
d) 7
10
Encuentra el número de rectángulos que se puede observar en la figura:
a) 8
b) 9
c ) 10
d) 11
47
Alfonso Rojas Puémape
11
Determina el número de rectángulos que se puede observar en la ventana.
a) 6
12
c ) 7
b) 8
d) 10
Pepe tiene una soga de 24 m y quiere compartirla con sus 5 amigos. Es decir, quiere dividir la soga en 6 partes iguales. ¿Cuántos cortes debe hacer a la soga? a) 3
a) 7
c ) 5
b) 6
d) 9
Indica el número de rectángulos que hay en la figura:
16 a) 9
c ) 8
b) 7
c ) 6
b) 5
d) 8
d) 4 A lo largo de una calle de 100 m se ha
17 colocado parquímetros, de principio a fin,
Calcula el número de semicírculos que se 13 puede contar en la figura:
separados 20 m uno de otro. ¿Cuántos parquímetros se utilizaron? a) 5
d) 8
Determina el número de segmentos que hay, en: a) 5
d) 11
c ) 7
d) 10
2
1
3
4
b) 8
d
b 5
c 6
a) 9
a
Calcula el número de triángulos y el número de cuadriláteros que hay en la figura, y da como respuesta la suma.
b
c 7
d 8
b 9
a 10
a 11
c 12
b 13
c 14
d 15
c 16
b 17
d 18
15
c ) 10
b) 8
d) 8
Señala el número de rectángulos que hay en la figura:
19
a) 9
c ) 7
b) 6
c
14
c ) 7
b) 6
d) 8
¿Cuántos semicírculos puedes contar en la figura?
18
a) 5
c ) 7
b) 6
a 19
48
PR OBL EMAS PARA CO NCURSOS D E RM 01
Un carpintero ha cortado un trozo de madera en pedazos iguales de 20 cm cada uno. Si realizó 5 cortes, ¿cuánto medía el trozo antes de ser cortado?
05
En una calle de 120 m de longitud se van a colocar postes cada 40 m. ¿Cuántos postes se colocarán? a) 5
a) 120 cm c ) 110 cm
02
06
d) 6
Determina el número de semicírculos que hay en la figura:
b) 8
c ) 7
d) 9
Calcula el número de segmentos que se pueden contar en la figura:
a) 5
07
a) 24
b) 26
c ) 28
d) 30
08
b) 4
c ) 3
d) 6
Calcula el número de segmentos que se pueden contar, en:
a) 22
04
c ) 4
Determina el número de semicírculos que hay en la figura:
a) 6
03
b) 115 cm d) 118 cm
b) 3
b) 24
c ) 25
d) 26
¿Cuántos triángulos hay en la ventana de la casa mostrada?
En la vista de la parroquia, ¿cuántos triángulos se observan?
a) 12
09
a) 7
b) 8
c ) 9
d) 10
b) 13
c ) 14
d) 15
Seis soldados se colocan en fila, a lo largo de una calle, de principio a fin, separados 20 m uno de otro. ¿Cuál es la longitud de la calle? a) 120 m
b) 140 m
c ) 130 m
d) 100 m
49
Alfonso Rojas Puémape
Determina el número de semicírculos que hay en la siguiente figura:
a) 15 a) 7
15
d) 10
Determina el número de segmentos, en:
Calcula el número de segmentos en la siguiente figura:
a) 35
a) 14 b) 10 c ) 12 d) 13
Encuentra el número de triángulos en la siguiente figura:
17
b) S/. 16
c ) S/. 14
4
5
6
a) S/. 15
3
Calcula el número de semicírculos que hay en la siguiente figura:
d) S/. 17
2
d) S/. 15
Una barra de fierro de 120 cm se va a cortar en pedazos de 8 cm. Si cobran S/. 1, por cada corte, ¿cuánto costará cortar todo el fierro, como se indica?
1
7
8
c ) S/. 16
d 9
b 10
c 11
b 12
a 13
d 14
b 15
d 16
b 17
14
b) S/. 17
18
a
Aldo cobra S/. 3 por cada clavo que coloca a lo largo de una pared de 15 m, de principio a fin, separados 3 m uno de otro. ¿Cuánto cobrará Aldo luego del trabajo? a) S/. 18
a) 6 b) 7 c ) 8 d) 9
d) 15
d
13
c ) 14
b) 13
b
a) 12
Señala el número de semicírculos que hay en:
c
d) 34
d) 32
Encuentra el número de cuadriláteros que hay en la figura:
c
c ) 33
b) 32
16
c ) 34
b) 36
c
a) 30
12
d) 12
b
11
c ) 9
b) 8
c ) 13
b) 14
a
10
c 18
50
nos e valuamos 01
Para obtener pedazos de 40 cm, se han hecho 5 cortes a una soga. ¿Cuál fue la longitud inicial de la soga?
04
Un cable de 24 m se va a cortar en pedazos de 3m. ¿Cuántos cortes serán necesarios? a) 8
a) 220 cm
b) 7
b) 230 cm
c) 9
c ) 240 cm
d) 6
d) 245 cm
05 02
Determina el número de segmentos que hay, en:
Calcula el número de semicírculos que hay en:
a) 28 b) 30 c ) 32
a) 4
d) 33 Carlos recibe de propina S/. 2 por cada 03 triángulo y S/. 3 por cada rectángulo que encuentra en la figura, ¿cuánto recibirá Carlos en total?
06
c ) 6
b) 5
d) 7
Indica el número de triángulos en la siguiente figura:
a) S/. 22 b) S/. 20 c) S/. 24 d) S/. 28
a) 6
c ) 8
b) 7
d) 9
APRENDÍ A... Marca con un 1. ... identificar intervalos o espacios iguales en un problema. 2. ... determinar el número de segmentos en una figura. 3. ... calcular el número de semicírculos en una figura. 4. ... contar triángulos y cuadriláteros.
MB
B
R