© Derechos de autor reservados. Alfonso Rojas Puémape © Derechos de edición y artes gráficas reservados. 2012, Editorial Tercer Milenio S.A. 7300 North Kendall Drive, Suite 521 Miami, Florida 33156-7840. USA etm@grupo-etm.com Director Editorial: Antonio Sabogal Editora General: Marifé Vargas-Corbacho Editor de Matemática: Alfonso Rojas Puémape Especialistas del Área: Giovanna Rojas Jorge Chávez Johnny Leguía Eddy Chirinos Edson Tacanga Diseño de portada: Delfín Blanco Comunicaciones Composición de interiores: Jorge Huamaní Ilustraciones: Jorge Huamaní, Giulianno Delgado Preprensa e impresión: QuadGraphics www.QG.com Impreso en Colombia - Printed in Colombia Impreso en papel bond con certificación FSC con cadena de custodia "Bosques Controlados". Reservados todos los derechos. No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra didáctica, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo por escrito de los titulares del copyright.
Presentación Los alumnos deben formar parte de un proceso educativo al participar en él, por medio de los actos de escuchar, hablar, leer, escribir, pensar y aplicar la información.
Maureen Priestley
Desarrollamos el pensamiento cuando enseñamos y aprendemos a pensar. La colección de RAZONAMIENTO MATEMÁTICO para la Educación Primaria, ha sido diseñada con el propósito de ayudar a la niñez peruana a desarrollar habilidades del pensamiento. Más que aumentar el conocimiento, se trata de ejercitar el proceso de pensamiento lógico y pasar del nivel literal a los niveles inferencial y/o crítico, así como a desarrollar aptitudes por medio del refuerzo de los elementos que intervienen en el proceso. Los ejercicios relacionados con situaciones lógicas, búsqueda de regularidades, habilidad operativa, conteo de figuras planas y espaciales, así como el cálculo rápido, permite aumentar las capacidades de observación, abstracción, generalización, comprensión, análisis y síntesis. Los juegos, al inicio de cada unidad, tienen el objetivo de despertar el interés hacia el desarrollo de la APTITUD MATEMÁTICA. El CÁLCULO RÁPIDO, tiene una importancia primordial en nuestra colección porque constituye una herramienta de uso diario para todas las personas que tendrán que incrementar cada vez más el pensamiento matemático. Dejamos a consideración de docentes y padres de familia el presente material didáctico diseñado para un mejor futuro de la niñez peruana.
ALFONSO ROJAS PUÉMAPE
DE U R T R U C A S T E UN A UNIDAD UN
IDAD
2
INICIO DE UNIDAD
NOMBRE DE LA UNIDAD
E CONTEOS D FIGURAS CONT
ENIDO
ÁN TO S Y GM EN DE SE Y UL OS IÁ NG DE TR NT EO S ► CO RA S LÁ TE RO CA RI Y CU AD BO S DE CU NT EO ► CO
► CO
¿Cuántos puedes cuadriláteros figura? contar en esta
GU LO
PROBLEMA MOTIVADOR
S
SUBTEMAS DE LA UNIDAD
NT EO
áti co Cuen to mat e m o
áti c Cuen to mat e m
Hace volar las alas de la imaginación a través de personajes fantásticos que plantean interesantes situaciones matemáticas en la que los lectores encuentran soluciones a la trama.
no Nuevo día, nuevo pedaleo, pero la pudo evitar que se le rompiera inevicadena de su bicicleta y fue table visitar a un viejo amigo mecánico que nació en Bersetta. Tocó la puerta y ante su insistencia detrás esta se abrió, apareciendo seun alto, serio, pero muy amable al ñor, quien muy pronto reconoció adeilustre visitante que se identificó de más como el sabio de la ciudad mecáviejo el Bersetta, ante lo cual nico lo retó diciéndole:
joven que decía ser el sabio
de la ciudad de Bersetta. Todo lo sabía, según él, ganándose colela antipatía de los amigos del gio y del barrio.
una donde hacía alarde de tener nomgran cantidad de amigos. El bre de esta ciudad era Politomi. el Y una tarde de mucha lluvia inició largo recorrido, cargado de mochilas,
botellas de agua y con la esperanza mi de −como él decía−“Ilustrar con no sabiduría a esa pobre gente que
Y es que resulta que a otro pueblo circercano había llegado un buen verse", co, "espectáculo digno de decía el mecánico.
sabe lo que yo sé”.
biClipo disponía de una poderosa detacicleta equipada con muchos cierto lles con la cual hacía gala de poder. haHasta que un buen día decidió cer un largo viaje a una gran ciudad
Eran varios días de intenso pedaleo duren medio de climas diversos, miendo en casas que daban modeslas to hospedaje y de familias con cierta que en ocasiones entablaba qué por imaginamos nos Ya charla... la esta gente tan hospitalaria movía como cabeza de un lado para otro Ojalá diciendo: "¡qué barbaridad!... de la que alguna vez se dé cuenta modestia de la que adolece".
de−Si invito a un amigo tres veces pero bería comprar seis entradas, vez si invito a tres amigos una sola
compraría solo cuatro entradas... más ¡Esta última posibilidad es la económica! esEl sabio no salía de su asombro, taba perdido, ya no le quedaba nada que reclamar según su apuessiemta, pero la lección quedó para pre con él. genEn tiempos como este no hay seguir te que lo sepa todo, hay que aprendiendo cada día. El sabio regresó a pie.
¿Qué Entonces el viejo le preguntó: amies más económico, invitar a un a tres go al circo tres veces o invitar amigos una sola vez?
PR A C T I C AM O S
DESARROLLA 3 TEMAS EN CADA UNIDAD. Puémape Rojas Puémape Alfonso Alfonso Rojas
TOS YY SEGMENTOS DE SEGMEN CONTEO CONTEO DE ÁNGULO ÁNGULOSS
01
el número de ángulos 11. Determina es posible contar en la figura.
que
Resolvemos: •
Contamos: a
iguales, La figura está formada por 6 lados como este: Colocamos letras a cada csegmento: a b Contamos: • de una letra: a, b y c • de dos letras: ab y bc • de tres letras: abc
pue-
el número de ángulos que se 11. Indica de la bandera.
•
Notamos que se pueden contar segmentos en:
•
Contamos : a - En 1 :
b c
- En 2 :
se puede contar en:
Además, al contar segmentos debemos considerar:
que
• Contamos por lados: (empleando letras)
el número de ángulos que 33. Encuentra se pueden contar en la parte superior de la carpa del circo.
• En 1 :
1
3
2
a b
segmento compuesto
- de 4: • En 3 : hay 6 segmentos • En total hay: 3 + 10 + 6 =
1
segmentos. segmentos. segmento.
Resolvemos: •
Ubicamos la parte superior de la carpa:
•
Contamos:
e
a b c d
- de dos letras: - de tres letras:
,
,
, bc ,
y y de
y cde
abc ,
- de cuatro letras:
,
y
- de cinco letras: abcde •
Luego, se puede contar:
b donde: h: altura b: base
segmentos.
- de una letra:
segmentos - de una letra: a y b hay - de dos letras: ab a b c d • En 2 : - de 1: a, b, c, y d y , - de 2: segmentos hay y - de 3:
segmento simple
2
c
- En 3 : un segmento. Luego, se puede contar: = 10 segmentos + +
•
Resolvemos:
Tú y yo: el número de segmentos 22. Determina
h 3
b
· de una letra hay: · de dos letras hay: · de tres letras hay:
3 ángulos 2 ángulos 1 ángulo
En un triángulo:
Resolvemos:
se puede • Luego, el total de ángulos que contar es: 6
¡IMPORTANTE! Segmento es una porción de línea recta limitada por dos puntos:
puedes contar 22. ¿Cuántos segmentos en las bases de los triángulos?
• Colocamos letras a cada ángulo: a
¡RECUERDA!
Luego, el total de ángulos es:
•
1 segmento compuesto
• Contamos: - de una letra: a , b y c - de dos letras: ab , bc - de tres letras: abc
y y
- de cinco letras:
2 segmentos compuestos
den contar en la imagen
y
, ,
- de cuatro letras:
Resolvemos:
Otro ejemplo:
y
,
, ,
- de tres letras:
3 segmentos simples
e
,
- de dos letras:
contar En cada uno de los 6 lados se puede 6 segmentos. 6 × 6 = 36 Luego, el total de segmentos es:
puedes ¡Observa! ¿Cuántos segmentos contar en el símbolo del escudo?
bc d
- de una letra:
Skanito, personaje central de la colección que junto a sus amigos Dalma, Maite y Luchín permiten ilustrar mejor la propuesta.
ángulos
segmentos
Direccionador de observaciones en sintetizadores (cuadritos de notas).
Respuesta de los ejercicios del 4 al 13 con la finalidad de verificar resultados.
35 35
Alfonso Alfonso Rojas Rojas Puémape Puémape 44. Calcula el número de segmentos que se pueden contar en la base del siguiente triángulo.
77. Determina el número de ángulos posibles de contar entre las flechas.
10. Determina cuántos segmentos se 10 pueden contar en la ventana de la casa.
12 Encuentra el número de ángulos que se pueden contar en la “punta del barquillo".
¡Resuelve aquí! En estos casos vamos a considerar que la base del triángulo es el lado donde reposa la figura.
55. Identifica el número de ángulos posibles de contar en la parte superior de la sombrilla.
88. Indica el número de segmentos que se pueden contar, en:
11. Calcula el número 11 de ángulos que se pueden formar con las cuerdas del paracaídas.
13. ¿Cuántos segmentos se pueden 13 contar el la figura?
COMPRUEBA
Ideas o sugerencias que se pueden aplicar en la solución de algunos problemas.
COMPRUEBA
34 34
¡RECUERDA!
PISTA
4
Conjunto de 18 ejercicios diseñados para desarrollar en clase empleando la zona sombreada.
33 33
4
PR A C T I C AM O S
10 21 20 10 21 28 25 21 21 26
TEMA TEMA
32 32
Cálculorápido Rápido Cálculo
4
PRACTICAMOS CÁLCULO RÁPIDO 1)
PISTA 6 Al intersectarse dos segmentos se forman nuevos segmentos simples.
66. ¿Cuántos segmentos se pueden contar en la figura?
99. Encuentra el número de ángulos que se pueden contar en la siguiente figura.
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)
C
lipo era el cariñoso apelativo que recibía de sus amigos un
namiento:
la ciu−Ya que usted es el sabio de me dad de Bersetta, lo reto a que Si usconteste una sola pregunta... la reted me la contesta no le cobro paración de su bicicleta y además, le obsequio otra totalmente nueva, me pero si usted no me la contesta todo quedo con su bicicleta y con sus el dinero que lleva usted en de bolsillos −desenfadado el sabio y más la ciudad aceptó el desafío le bien esperaba que el mecánico alcance ya la pregunta.
Clipo el sa bio
-resUmmm... ummmm... ummm pondió el sabio- hasta que ingresó niño, al taller del viejo mecánico, un quien al escuchar de qué se trataba razola pregunta, ensayó un sencillo
PUNTO DE REFERENCIA ... solo mentalmente Skanito recibió S/. 87 para comprar uno de sus libros de matemáticas. Si el libro costó S/. 74, ¿cuánto dinero le quedó? Dime el resultado... Tan rápido como puedas...
Resolvemos: • Para saber cuánto le queda tenemos que restar: 87 − 74 • Para restar rápidamente ubicamos un número de referencia entre los números a restar (PUNTO DE REFERENCIA).
• El punto de referencia debe ser un número que termine en cero. • Así: Punto de referencia
74 80 87 6 7 • Luego, a Skanito le quedaron : 87 − 74 = 6 + 7 = S/.13
2) 3)
25 – 11 28 – 17 35 – 24
4)
38 – 21
5)
49 – 38
6) 7) 8) 9)
45 – 32 53 – 48 58 – 41 68 – 57
OTRO EJEMPLO:
10)
65 – 56
Determina : S/. 39 - S/. 27
11)
73 – 63
Resolvemos:
Punto de referencia
27 30 39 3 9 Luego : 39 − 27 = 3 + 9 = S/.12
12)
76 – 68
13)
84 – 77
14)
99 – 87
Cálculo rápido Rápido Cálculo Conjunto de artificios sobre la base de propiedades matemáticas que permite desarrollar habilidades para efectuar operaciones con rapidez.
41 41
Puémape Rojas Puémape Rojas Alfonso Alfonso
40 40
O NE SI TU ACI R ESCR EATI VAS
AMIGOS...
3
cuatro Hugo, Paco, Luis y Donald son amigos muy unidos. más • Hugo es más alto que Paco, pero bajo que Donald.
NÚMEROS...
1
Aquí tienes un desafío: 7, en los • Distribuye los números del 1 al cuadraditos que no están sombreados. conse• No deben haber dos números cutivos, en casilleros “ vecinos".
• Luis es más alto que Hugo. • Donald es más bajo que Luis. Ordena a los cuatro amigos, de mayor tamaño.
¡ATENCIÓN!
menor a
SI TU ACIO NE S R ATI VAS RE C E
Al final del libro encontrarás los númeque ros del 1 al 7 (recortables), para con puedas desarrollar este ejercicio de facilidad, además de un grupo esejercicios adicionales para reforzar tos procedimientos.
PALITOS...
4 2
Cambia de lugar solo dos palitos
HERMANOS...
de fósforo, para que resulte una
igualdad correcta.
cuatro Marco, José, Andrés y Rafael, son de hermanos muy unidos, pero hinchas hincha diferentes equipos. Marco no es no es de Cristal, ni de Universitario. José tiehincha de Alianza ni de Boys. Rafael blanca. y azul ne una camiseta
Ejercicios organizados para desarrollar la aptitud matemática exigiendo el pensamiento de niñas y niños.
Si Andrés no es hincha de Universitario, men¿quién es hincha de cada equipo cionado?
¡Resuelve aquí!
46 46
17 Determina el número de triángul os que se pueden contar en la siguient
22
e figura.
¿Cuántas caras presenta la siguient e figura?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13
9
a) 8 b) 9 c) 10 d) 12
c
Halla el total de caras que present guiente figura: a la sia) 8 b) 9 c) 10 d) 11
¿Cuántos cuadrilá teros hay en la figura? siguiente a) 10 b) 11 c) 12 d) 13
8
d 10
c
c 11
12
a 13
c 14
b 15
a 16
c 17
b 18
d 19
b 20
a 21
12
21
presenta la
b
e figura?
d) 8
siguiente figura.
a) 10 b) 12 c) 9 d) 11
a) 21 b) 22 c) 23 d) 24
06 ¿Cuántas caras presenta la siguient a) 9 b) 10 c) 11
16 Indica el número de caras que
¿Cuántos cubos simples hay en el conjunto de cubos?
7
11
a) 35 b) 36 c) 37 d) 38
a
en el conjunto
Halla el número de ángulos que se pueden formar en la parte superior de la carpa del circo.
20
en el siguiente
6
de cubos?
a) 9 b) 11 c) 13 d) 15
conjunto de cubos?
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16
b
a) 5 b) 7 c) 8 d) 9
05 ¿Cuántos cubos simples hay
15 ¿Cuántos cubos simples hay
Identifica la cantida hay en el siguient d de cubos simples que e conjunto de cubos. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10
5
10
c
Dos páginas con problemas de aplicación, que recorren los tres temas de cada unidad de modo aleatorio, bajo el formato de pruebas objetivas (empleando cuatro distractores), incluyendo sus claves de respuesta al final de los problemas en forma de lectura invertida.
a) 11 b) 12 c) 13 d) 10
ulos que se
en la figura:
a) 24 b) 25 c) 26 d) 27
4
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8
04 Encuentra el número de rectáng
Encuentra el número de cubos simples hay en el conjunt que o de cubos.
19
a) 25 b) 26 c) 27 d) 28
¿Cuántos cuadrilá teros se pueden en la siguiente contar figura?
d
09
figura?
3
contar, en:
pueden contar
14 ¿Cuántos rectángulos puedes contar en la siguiente figura?
a) 15 b) 20 c) 18 d) 16
03 Determina el número total de cuadrados que se pueden
teros hay en la
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11
a
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
¿Cuántos cuadrilá
18
a) 15 b) 16 c) 17 d) 14
¿Cuántos segmen tos se pueden contar en la figura?
2
08
47 47
c
contar en la fi-
gura?
Alfonso Alfon soRojas RojasPuém Puémape ape
13 Encuentra el número de segmen hay, en: tos que
1
PROPUESTOS MIX
02 ¿Cuántos triángulos puedes
MIX
Determina el número de ángulos se pueden que formar con las manecillas del reloj en la zona sombreada. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
07
a) 28 b) 30 c) 32 d) 40
b
PRO PUE STO S 01 Indica el número de segmen tos que puedes contar, en:
d 22
PROBL EMAS PARA CONCURSOS DE RM 49 49
Puémape Rojas Puémape Alfonso Rojas Alfonso
en la si¿Cuántos ángulos puedes contar guiente figura?
a) 21
contar ¿Cuántos cuadriláteros se pueden 16 en la figura?
b) 16 c) 17
c) 23
d) 18
d) 24 d
b 15
c 16
b 17
c 18
d 19
c 20
d 21
d) 15
que se Determina el número de rectángulos la casa. pueden contar en la ventana de a) 15
b) 22
14
c) 24
21
a) 21
c
c) 16
d) 24
d) 32
13
b) 25
c) 25
c) 30
Halla el número de caras, en: a) 12 b) 14
b) 23
b) 35
d
11
a) 28
en la ¿Cuántos segmentos puedes contar figura?
20
a) 36
12
que se Determina el número de segmentos 05 pueden contar en la siguiente figura.
simples Determina la cantidad de cubos 15 que hay en el siguiente conjunto de cubos.
b
d) 18
d) 14
d) 16
11
a) 21 b) 20 c) 22 d) 23
c) 17
c) 13
c) 15
a
b) 16
que Identifica el número de cubos simples hay, en:
b) 12
b) 14
10
10
a) 15
a) 13
c
contar en ¿Cuántos cuadrados se pueden 04 la siguiente figura?
que Encuentra el número de cubos simples hay en el conjunto de cubos.
19
9
a) 5 b) 6 c) 9 d) 8
d) 15
a) 15
en la fi¿Cuántos triángulos puedes contar
c
c) 14
siguiente fi¿Cuántos triángulos hay en la gura?
d) 18
d) 13
8
09
c) 17
c) 12
14 gura?
a
a) 12
en la
b) 16
b) 11
a) 12 b) 14 c) 15 d) 16
presenEncuentra el número de caras que 03 ta la siguiente figura.
b) 13
que hay Indica el número de rectángulos en la figura.
¿Cuántos triángulos se pueden contar siguiente figura? a) 15
a) 10
7
08
d) 24
18
b
b) 22 c) 23
presenEncuentra el número de caras que
a) 16 b) 14 c) 18 d) 17
a) 21
d) 14
d) 21
6
que
c) 15
c) 20
13 ta la figura.
a
que se Encuentra el número se segmentos pueden contar, en:
07
b) 17
5
d) 13
a) 16
b) 18
d
c) 12
De todos los temas de la unidad, elaborados sobre la base de modelos de exámenes aplicados en concursos inter escolares de RAZONAMIENTO MATEMÁTICO.
se pueden Indica el número de caras que contar en la siguiente figura.
17
a) 17
4
b) 11
d) 32
12
b
a) 10
Determina el número de cubos simples 02 se pueden contar, en:
el conjunto
a) 15 b) 17 c) 19 d) 21
3
¿Cuántos cubos simples hay en de cubos?
06
c
en la
2
¿Cuántos triángulos se pueden contar figura?
d
01
PROBL EMAS PARA CONCU RSOS DE RM
1
48 48
50
nos e valuamos
NOS E VALUAM OS 01 ¿Cuántas caras presenta la siguiente
figura?
04
a) 11 c) 14
d) 14
d) 15
02 Calcula el número de segmentos que se pueden contar en la figura.
05
¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9
a) 30 b) 31 c) 32
Problemas que permiten evaluar la real comprensión y desarrollo de lo tratado en cada unidad.
Indica el número de triángulos que puedes contar en la figura. a) 11 b) 12 c) 13
b) 12
d) 33
03 Encuentra el número de cubos simples que se pueden contar en el conjunto
de cubos:
a) 12
06
Determina el número de ángulos que se pueden contar en la parte superior de la figura. a) 15 b) 16 c) 17 d) 14
b) 13 c) 11 d) 10
APREND Í A... Marca con un ¸
MB
1. ... contar segmentos y ángulos. 2. ... contar figuras similares por
enumeración.
3. ... contar cubos y sus caras. 4. ... identificar los frentes de una 5. ... determinar las caras de un
figura.
sólido.
B
R
APRENDÍ A... Herramienta metacognitiva que permite al estudiante el control de sus avances en el desarrollo de las diferentes habilidades mentales.
Í NDI C E
U NI DAD
1 2 3
UNIDAD 1_
UNIDAD 2_
4 UNIDAD 4_
5
SUCE S I O N E S • Sucesiones gráficas • Sucesiones numéricas • Relacionando figuras
07
CO NTE O DE FI GUR AS • Conteo de segmentos y ángulos • Conteo de triángulos y cuadriláteros • Conteo de cubos y caras
29
PIRÁMI DE S Y CUADR ADOS • Pirámides numéricas • Cuadrados mágicos • Distribuciones numéricas gráficas
51
MATEMÁ T I C A R E C R EAT I VA • Orden de información • Diferencias gráficas • Analogías numéricas - gráficas y jugando con palitos de fósforo
73
CRI P TOAR I T MÉT I C A • Operaciones fundamentales • Sumas y restas • Multiplicación
UNIDAD 5_
6 7
95
RAZO N AMIE N TO G E OMÉT R I C O • Perímetros • Áreas de regiones sombreadas (traslaciones) • Figuras análogas
UNIDAD 6_
PÁGINA
117
F RACC I O N E S Y FI GUR AS • Medios, cuartos, octavos y otros • Tercios, sextos, novenos y otros • Aplicando fracciones
139
UNIDAD 7_ CUAT R O O PE R AC I O N E S
8
• Operaciones simples • Problemas sobre edades • Situaciones diversas
UNIDAD 8_
161
UNIDAD
1
SUCESIONES
RMP-3-1-FOTO-CORTINA.tif
O
CONTENID
GRÁFICAS S E N IO S E ► SUC AS S NUMÉRIC E N IO S E C ► SU FIGURAS O D N A N ► RELACIO En la sucesión: 2; 4; 6; 8; 10; . . . ¿Cuál es el número que continúa?
Cuen to mat e máti co
C
Un gran caminante aminar es un buen ejercicio
bía ganado la confianza de los niños
físico que hoy recomienda
de la ciudad por la forma como les
mucho la ciencia médica.
leía cuentos, y por último estaba Lin-
En cierto lugar del planeta había una gran ciudad llamada Skanilandia donde se concentraban los mejores inventos e inventores del mundo. Sonelo se llamaba otro pueblo muy lejos de Skanilandia en el que vivían tres enanos, cada uno con características especiales: Lancho, era un experto cocinero; Lencho era un gran lector de cuentos, que se ha-
cho conocido como un gran caminante, además de gran preguntón. Pero Lincho era uno de esos preguntones que quería saberlo todo, de paso que aprendía y enseñaba lo que aprendía. Hasta que una mañana llena de sol en la que a la vez una suave brisa de mar acariciaba los rostros de los habitantes de la gran ciudad de Sonelo, Lincho hizo un gran anuncio:
-En unos minutos más iniciaré una larga caminata... Voy a Skanilandia,
Todos quedaron satisfechos por la
la ciudad de los grandes inventos.
solución que había dado Lencho y vendría entonces la gran despedi-
Lincho había averiguado que a lo
da... Todos lloraban y hasta el sol se
largo del camino habían 12 casetas
ocultó de pronto... La tristeza inva-
en las que un caminante solo podía
dió a todo el pueblo de Sonelo.
hacer hasta 5 preguntas en cada una.
Pero sorpresivamente, Lincho tomó fuerzas y a viva voz retó a todo el
En aquella ciudad no se conocía la multiplicación. Así que se acercó Lencho, el gran relator de cuentos, a resolver el pequeño problema que todos tenían en el pueblo y que consistía en saber cuántas preguntas a lo más podría hacer Lincho en el trayecto de su caminata. -Fácil -dijo Lencho- solo tenemos
pueblo del siguiente modo: -¡Voy a hacer una pregunta! -dijo ante la algarabía de todos y hasta el sol... ¡Volvió a salir! -Lancho es mayor que Lencho y yo soy menor que Lancho; solo eso sé... ¿Quién de nosotros es entonces el mayor? ...Y enseguida partió... ¿Puedes, estimado lector o lectora, ayudar a Lincho con esta gran incógnita?
que sumar 12 veces 5 o lo que es lo mismo 5 veces 12 y obtendremos 60
Respuesta: Lancho
que es la cantidad de preguntas que
¿Por qué?
como máximo podrá hacer Lincho.
TEMA
10
01
SUCESIONES GRÁFICAS • En la pizarra de nuestra historieta aparecen tres triángulos, los cuales permanecen fijos.
Ya sé... En la secuencia la bolita cambia de lugar.
• Pero la ubicación de la bolita está alternada: fuera - dentro - fuera del triángulo. • Entonces, la figura que sigue es:
¡Cierto! Además se desplaza en sentido horario.
Resolvemos:
Otro ejemplo:
11. En la siguiente sucesión gráfica, señala la figura que continúa.
?
a)
b)
c)
• Al observar notarás que la figura gira en sentido horario.
• Entonces, la figura que continúa es:
d)
d
¡ATENCIóN! SENTIDO HORARIO es el sentido en el que giran las manecillas de un reloj.
Tú y yo:
Resolvemos:
22. ¿Cuál es la figura que continúa?
• Observamos que la región sombreada en el círculo, se desplaza en sentido . • Dicha región sombreada se desplaza espacio.
a)
b)
c)
d)
• Luego, la figura será:
11
Alfonso Rojas Puémape
PR A C T I C AM O S 11. Identifica la figura que continúa en la sucesión. ...
a)
b)
c)
d)
1
Resolvemos:
• Observa y notarás que ambas bolitas se . desplazan en sentido • La bolita negra se desplaza línea y la amarilla se desplaza líneas. • Según estas observaciones, la figura que continúa es:
¡RECUERDA! • Sentido horario:
b
22. ¿Cuál es la figura que continúa? .. .
Resolvemos:
• Notarás que el triángulo sombreado se desplaza en sentido y solo un espacio.
• Sentido antihorario:
• También el asterisco se desplaza en sentido y solo un espacio.
a)
b)
c)
d)
• Por lo tanto, la figura es:
d
3. Indica la figura que continúa, en: 3
Resolvemos:
• Observamos que las figuras están girando en sentido . .. .
Notarás también que este giro es de
¡ATENCIÓN! 1 vuelta 4
1 vuelta 4
1 vuelta 4
1 vuelta 4
de vuelta. a)
b)
c)
d) • Entonces, la figura que continúa es:
c
12 Determina la figura que continúa en cada sucesión gráfica: 44.
7. 7
...
...
b)
a)
d)
c)
b)
d)
¡Resuelve aquí!
PISTA 4 Observa si están girando en sentido horario o antihorario.
a)
c)
8. 8
55.
...
...
a)
b)
c)
d)
Las bolitas y las barras se desplazan en el mismo sentido.
b)
c)
d)
9. 9
66. PISTA 8
a)
...
...
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
13
Alfonso Rojas Puémape Determina la figura que continúa en cada sucesión gráfica: T
c)
b)
a)
d)
a)
c)
b)
T
T
T
T
T
...
d)
13. 13
...
a)
c)
b)
d)
...
a)
c)
b)
d)
COMPRUEBA
T
T
11. 11
c b a d c a a b d c
12. 12
...
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)
10. 10
Cálculo Rápido Cálculo rápido MINUENDO PARTIDO ... solo mentalmente Juan tiene 21 años de edad y Pepe 8 años. ¿Cuál es la diferencia de sus edades?
1 Respuesta: La diferencia de edades de Juan y Pepe es 13 años. OTRO EJEMPLO:
39 − 17
“Partimos el minuendo”: 19 + 20 − 17
Resolvemos:
3
Solo tenemos que restar: Respuesta:
21 − 8 Pero queremos hacerlo mentalmente (¡rápido y sencillo!) para lo cual separamos 21 en dos partes: una de ellas debe ser el número que más se aproxime a 8 (de preferencia múltiplo de 10), así: 21 − 8 = 11 + 10 − 8 2 21 − 8 = 13
19 + 3 = 22
Practicamos Cálculo RÁPIDO 1)
17 − 9
2)
23 − 8
3)
27 − 6
4)
35 − 14
5)
39 − 21
6)
43 − 15
7)
46 − 27
8)
51 − 9
9)
68 − 28
10)
65 − 23
11)
62 − 11
12)
83 − 27
TEMA
14
02
SUCESIONES NUMÉRICAS
En la historieta, respecto a los niños que portan banderas, podemos observar que: PRIMERO: una bandera no tiene número. SEGUNDO: hay una relación entre los números de cada bandera.
¿Cuál es el número que le corresponde al último niño?
4
; +2
6
;
9
+3
;
11
+2
;
14
+3
;
16
+2
Al conjunto de números que guardan entre sí una relación se le llama SUCESIÓN NUMÉRICA.
Resolvemos:
Otro ejemplo:
11. Los números impresos en un conjunto de cajas guardan una relación entre sí, tal como se muestra. Halla el número que se borró en la última caja.
9
13
12
16
15
• Observa y te darás cuenta de que entre un número y otro hay cierta relación de sumas y restas. • El número borrado en la caja se reemplaza por x. Veamos: 9 ; 13 ; 12 ; 16 ; 15 ; x +4
+4
-1
+4
• Entonces: x = 15 + 4 = 19
¡ATENCIÓN! Los términos de una sucesión pueden aumentar (incrementándose) mediante sumas y multiplicaciones.
-1
Tú y yo:
Resolvemos:
22. Determina el número que continúa, en:
• Observa que cada número es el doble del anterior. • Veamos la relación entre estos números:
3
6
12
24
48
3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48 ; ... ×
×
• Entonces: 48 ×
×
×
=
×
Alfonso Rojas Puémape
2
PR A C T I C AM O S 11. Halla el número que continúa en la siguiente sucesión:
3
5
12
8
Resolvemos:
• Las diferencias entre dos números forman una secuencia, veamos: 3 ; 5 ; 8 ; 12 ; 17 ; ...
17
+
+
+
+
+
• Luego, el valor es:
22. Determina el valor de x, en la siguiente sucesión:
11
16
17 +
7 ; 12 ; 11 ; 16 ; 15 ; +
30 15 12 6
-
+
-
Algunas sucesiones presentan aumentos y disminuciones simultáneas entre sus términos.
x
+
• Entonces, el valor de x es:
33
=
• Ahora notarás que en esta sucesión hay aumento y disminución de un número a otro, así:
15
33. ¿Cuál es el número que debes escribir en el último peldaño de la escalera?
¡ATENCIÓN!
Resolvemos:
x
7
12
15
x = 15 +
=
Resolvemos:
• Observa que los números están aumentando, veamos: 6 ; 12 ; 15 ; 30 ; 33 ; ×
+
×
+
×
• Luego, el número buscado es: = 33 ×
...
¡ATENCIÓN! En algunas sucesiones los números aumentan de forma mixta, primero por una suma y luego por una multiplicación o viceversa.
16 Determina el número que continúa en cada una de las siguientes sucesiones: 44.
77. 28
14
8 11
5
17
32
20 16
24
PISTA 4 ¡Resuelve aquí! Cada número de la sucesión aumenta en un valor constante.
55.
88. 32
5
15
25 3
18
23
9
11 4 PISTA 7
Los números disminuyen en un valor constante.
66.
99.
1 ¡Qué tales sucesiones!
2
4
7
11
36
17
2 9
26
17
Alfonso Rojas Puémape Determina el valor de x en cada una de las siguientes sucesiones: 10. 10
12. 12
9
10 30
x 31
93
1
3
6
8
x
16
3
360
72
18
6
3
6
x 66
18
x
32
48
20 39 16 12 33 47 94 3 18 86
13. 13
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)
11. 11
COMPRUEBA
Cálculo Rápido Cálculo rápido MINUENDO PARTIDO ... solo mentalmente Al hacer una compra en una gran tienda tenemos que pagar S/. 87, pero nos hacen un descuento de S/.14; entonces finalmente tenemos que pagar: 87 − 14 Resolvemos: ...no tenemos tiempo y hay que operar rápido, pero solo en la mente, entonces hacemos lo siguiente: 87 − 14 70 + 17 − 14 3 Respuesta: Luego del descuento tengo que pagar S/.73.
2 Observamos: Ya has notado que en esta técnica es importante practicar la separación del minuendo en dos partes. . . ¡solo en la mente!
Practicamos Cálculo RÁPIDO 1) 41 − 9 2) 32 − 8
87 = 70 + 17 o también en otros ejemplos: 75 = 60 + 15
3) 38 − 16 4) 42 − 17 5) 45 − 29 6) 39 − 12 7) 44 − 18
49 = 40 + 9 = 30 + 19
8) 57 − 26
57 = 50 + 7 = 20 + 37
9) 59 − 8
¡Uno de estos sumandos debe ser el más próximo posible al sustraendo!
10) 59 − 18 11) 59 − 28 12) 59 − 38
18
1
N O ES C I U I A T S R E CR EATI VAS
¿Cuántos años cumple SKANITO?
Suma los números que encuentras en dos círculos consecutivos y el resultado colócalo en el círculo que se encuentra sobre ellos.
2
2
3
¡Resuelve aquí!
2
Bolitas mágicas Coloca en cada círculo un número del 1 hasta el 5 de tal forma que la suma de los números colocados en línea vertical, al igual que la suma de los números colocados en línea horizontal, sea 10.
10
Existen 4 distribuciones que cumplen la condición.
10
Voy a encontrar las cuatro distribuciones.
Alfonso Rojas Puémape
3
19
El salto del caballo El ajedrez es conocido como el juego ciencia, y el caballo es una pieza muy especial por su curiosa forma de saltar según las reglas de este apasionante juego. El caballo salta formando una L: dos casilleros para cualquier lado y uno hacia la derecha o hacia la izquierda, o un casillero para cualquier lado, no diagonal, y luego dos hacia la derecha o hacia la izquierda. Veamos algunos ejemplos:
En el siguiente tablero coloca una ficha en cualquier casillero, realiza 3 movimientos como si fuera un caballo de ajedrez y suma los valores de los casilleros a los cuales llegas. Trata de conseguir el puntaje más alto posible. Recuerda, para empezar puedes colocar la ficha en cualquier casillero. Los siguientes movimientos dependen de dónde queda la ficha luego del primer movimiento. Tampoco es posible volver al casillero anterior en el siguiente movimiento.
1
2
3
4
2
1
4
3
3
4
1
2
4
3
2
1
Consigue el mayor puntaje posible.
TEMA
20
03
RELACIONANDO FIGURAS • Observa que en la 1° y 2° fila aparecen los tres tipos de figuras (círculo, cuadrado y triángulo).
¡Mira esas figuras! Creo que guardan cierta relación.
• Entonces, en la 3° fila la figura que falta es el triángulo. • Además, las figuras giran en sentido horario. • Luego, la figura que falta es: ...Sí, tienes razón, ¿cuál es la figura que debe ir en el recuadro?
Resolvemos:
Otro ejemplo:
11. ¿Cuál es la figura que falta?
• Observa detenidamente y notarás que la figura que falta en la tercera fila es el exágono. • Por lo tanto, la figura es:
?
¡ATENCIÓN! • Giro en sentido horario: Tú y yo:
Resolvemos:
22. Determina la figura que falta, en : • Giro en sentido antihorario:
• En la 3° fila falta el
.
• Además, la
1 está girando 4 de vuelta y en sentido .
?
• Luego, la figura que falta es:
21
Alfonso Rojas Puémape
PR A C T I C AM O S 11. ¿Cuál es la figura que falta?
3
Resolvemos:
• Observa que en cada fila se repiten las figuras. • Entonces en la 3° fila la figura que falta . es el • La estrella gira en sentido gura de verde gira en sentido y el cuadrado gira en sentido luego la figura que falta es:
?
, la fi, ¡ATENCIÓN!
22. Determina la figura que falta, en:
Observa los giros que da cada figura. Resolvemos:
• Nota que las regiones sombreadas se horizontalmente, están respecto a cada figura. • También observas que en cada fila se las figuras.
?
• Entonces, en la 3° fila falta el • Luego, la figura que falta es:
33. Encuentra la figura que falta, en:
Resolvemos:
• Las tres figuras se fila.
¡IMPORTANTE!
en cada
• También, para una misma figura, se observa zonas sombreadas que tienen forma.
?
• Según ello, la figura que falta en este ordenamiento será:
Observa cómo se trasladan las regiones sombreadas en una misma figura.
22 Determina la figura que falta en cada caso: 44.
7. 7
? PISTA 4 Observa qué diferencia hay en una misma figura.
?
¡Resuelve aquí!
55.
8. 8
?
PISTA 9
66.
?
9. 9
Observa cómo giran las figuras.
?
?
Alfonso Rojas Puémape
23
Determina la figura que falta, en cada caso: 12. 12
12) 11) 10)
?
?
13)
10. 10
9) 8) 7)
13. 13
6)
11. 11
5)
Cálculo Rápido Cálculo rápido MINUENDO PARTIDO ... solo mentalmente Recordamos: Esta técnica para calcular con rapidez consiste en separar convenientemente el minuendo en dos partes, de modo que la resta se haga más simple en la mente. Aquí te muestro OTRO EJEMPLO: Felipe tenía como ahorro de propinas S/.125. Luego tomó la decisión de comprarse un pantalón que le costó S/. 97. ¿Cuánto le queda en ahorros luego de la compra? Resolvemos: Solo tenemos que efectuar la resta:
125 - 97
COMPRUEBA
?
4)
?
3 Entonces decidimos PARTIR EL MINUENDO en dos partes del siguiente modo: 25 + 100 - 97 125 Esto es conveniente porque ahora operamos mentalmente, así: 25 + 100 - 97 3 28 Respuesta: A Felipe le quedan S/. 28 en ahorros. ¡NO LO OLVIDES!
Practicamos Cálculo RÁPIDO 1) 136 − 99 2) 111 − 96 3) 75 − 14 4) 142 − 38 5) 165 − 60 6) 188 − 90
Solo tienes que descomponer el minuendo en dos partes.
7) 120 − 91 8) 215 − 190 9) 208 − 195 10) 218 − 194
24
PRO PUESTOS M IX 01
¿Cuál es la figura que continúa?
a)
06 a)
02
c)
b)
c )
b)
d)
Indica la figura que falta, en:
d)
Señala la figura que completa la sucesión:
? a)
03
c)
b)
a)
d)
Determina la figura que falta, en:
07
5
a) 19
a)
04
c)
b)
a) 15
6
b) 16
9
9
13
17
c ) 21
b) 20
d) 25
Identifica la figura que completa la siguiente sucesión:
d)
Halla el número que falta, en:
3
d)
Halla el número que falta en la maceta:
? 08
c)
b)
a)
09
12 c ) 17
c)
b)
d)
El valor de x que completa la sucesión es:
3
d) 18
12 24
6
¿Cuál es la figura que continúa en la siguiente 05 sucesión? a)
40
b)
X
45
c)
48
d)
22
25
Alfonso Rojas Puémape
10
Determina la figura que completa el siguiente recuadro:
a)
a) 25 b) 26 c ) 27 d) 28
? 11
c)
b)
Completa la siguiente sucesión de números siguiendo el sentido de las agujas del reloj. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
12
16 19 22 13 x 10
¿Cuál es la figura que completa la sucesión?
15
d)
d)
Halla el valor de x, en: (Sigue el sentido de la flecha)
14
a)
c)
b)
16 32
4
c)
b)
a)
8
d)
Indica la figura que falta, en:
16
Indica la figura que continúa, en: ...
?
d) a)
Determina la figura que falta, en:
b)
c)
d)
Calcula el número que falta en el reloj:
d) 81
2
c ) 54
1
3
4
b) 36
a
d 5
b 6
a) 18
c
?
a
17
b
c 7
13
c)
b)
a)
d 8
c 9
b 10
a 11
b 12
c 13
a 14
b 15
a 16
d 17
26
PR OBL EMAS PARA CO NCURSOS D E RM 01
Completa la siguiente sucesión de figuras:
05
Señala la figura que completa la sucesión:
...
c)
b)
a)
Encuentra la figura que completa el siguiente recuadro:
Determina el valor de x, en: (Sigue el sentido de las flechas)
a) 32
03
d)
d)
06 02
c)
b)
a)
16
23
9
30
2
x
b) 35
c ) 37
? d) 40
a)
c)
b)
d)
Indica la figura que falta, en:
07
Indica la figura que continúa, en:
...
? a)
04
b)
c)
d)
08
¿Cuál es el número que continúa en el último sombrero? 16 13 a) 5
b) 4
d) 2
a) 30
22
8 4
7 c) 3
d)
Calcula el número que continúa en la última taza:
1
10
c)
b)
a)
b) 28
11 c ) 25
d) 23
27
Alfonso Rojas Puémape
09
Determina la figura que falta, en:
Indica la figura que falta, en:
13
a) b)
?
?
¿Cuál es sucesión?
14 a)
10
c)
b)
la
figura
que
d) completa
la
d)
¿Cuál es el valor de x? 30
25 22
a) 12
11
c)
20
c) 8
b) 10
a)
x
17
15
d) 4
1
3
a) 52
a)
c)
b)
d)
Calcula el valor de x, en:
Identifica la figura que completa la sucesión:
...
c)
b)
16
7
b) 58
x
31
15
c ) 60
d) 63
Señala la figura que falta, en: a)
d)
b) Determina el número que continúa en la última pantalla.
1
? 17
9
d)
Halla el número que completa la sucesión:
16
c ) 65
d) 68
3
4
b) 63 b 5
c 6
a) 61
2
d) 36
21
18
1
6
b
c ) 25
b) 49
3
a
1
c
4
a) 64
c)
d
12
b 7
c 8
d 9
a 10
b 11
c 12
a 13
c 14
d 15
c 16
b 17
28
nos evaluamos Encuentra la figura que continúa, en:
?
d)
¿Cuál es el valor de x en la sucesión?
2
3
5
8
x
05
a) 9
03
b) 10
a) 10
06
3
5
8
x d) 15
2
1
5
5
?
a)
2
b)
2
d)
c ) 14
b) 13
1
c)
2
Señala la figura que falta, en:
1
b)
1
d) 12
Descubre la figura que completa la sucesión:
a)
d)
¿Cuál es el valor de x? 1
c ) 11
c)
b)
a)
c)
22
02
c)
b)
Indica la figura que falta, en:
2
a)
04
5
01
d)
APRENDÍ A... Marca con un 1. . .. identificar figuras en sucesiones gráficas. 2. ... calcular el número que falta en una sucesión numérica. 3. ... determinar la letra que continúa en una sucesión alfabética. 4. ... sumar, mediante el procedimiento pon y quita.
MB
B
R
UNIDAD
2
CONTEOS DE FIGURAS O
CONTENID
¿Cuántos cuadriláteros puedes contar en esta figura?
OS Y ÁNGUL S O T N E M O DE SEG ► CONTE Y NGULOS IÁ R T E D O ► CONTE ÁTEROS C U A D R IL Y CARAS S O B U C O DE ► CONTE
Cuen to mat e máti co
Clipo el sa bio
C
lipo era el cariñoso apelativo
donde hacía alarde de tener una
que recibía de sus amigos un
gran cantidad de amigos. El nom-
joven que decía ser el sabio
bre de esta ciudad era Politomi.
de la ciudad de Bersetta.
Y una tarde de mucha lluvia inició el largo recorrido, cargado de mochilas,
Todo lo sabía, según él, ganándose
botellas de agua y con la esperanza
la antipatía de los amigos del cole-
de −como él decía−“Ilustrar con mi
gio y del barrio.
sabiduría a esa pobre gente que no sabe lo que yo sé”.
Clipo disponía de una poderosa bicicleta equipada con muchos deta-
Eran varios días de intenso pedaleo
lles con la cual hacía gala de cierto
en medio de climas diversos, dur-
poder.
miendo en casas que daban modesto hospedaje y de familias con las
Hasta que un buen día decidió ha-
que en ocasiones entablaba cierta
cer un largo viaje a una gran ciudad
charla... Ya nos imaginamos por qué esta gente tan hospitalaria movía la cabeza de un lado para otro como diciendo: "¡qué barbaridad!... Ojalá que alguna vez se dé cuenta de la modestia de la que adolece".
Nuevo día, nuevo pedaleo, pero no pudo evitar que se le rompiera la cadena de su bicicleta y fue inevitable visitar a un viejo amigo mecánico que nació en Bersetta. Tocó la puerta y ante su insistencia esta se abrió, apareciendo detrás un alto, serio, pero muy amable señor, quien muy pronto reconoció al
Ummm ... ummmm ... ummm -res-
ilustre visitante que se identificó ade-
pondió el sabio- hasta que ingresó
más como el sabio de la ciudad de
al taller del viejo mecánico, un niño,
Bersetta, ante lo cual el viejo mecá-
quien al escuchar de qué se trataba
nico lo retó diciéndole:
la pregunta, ensayó un sencillo razonamiento:
−Ya que usted es el sabio de la ciudad de Bersetta, lo reto a que me conteste una sola pregunta... Si usted me la contesta no le cobro la reparación de su bicicleta y además, le obsequio otra totalmente nueva, pero si usted no me la contesta me quedo con su bicicleta y con todo el dinero que lleva usted en sus bolsillos −desenfadado el sabio de la ciudad aceptó el desafío y más bien esperaba que el mecánico le alcance ya la pregunta.
−Si invito a un amigo tres veces debería comprar seis entradas, pero si invito a tres amigos una sola vez compraría solo cuatro entradas... ¡Esta última posibilidad es la más económica! El sabio no salía de su asombro, estaba perdido, ya no le quedaba nada que reclamar según su apuesta, pero la lección quedó para siempre con él. En tiempos como este no hay gen-
Y es que resulta que a otro pueblo
te que lo sepa todo, hay que seguir
cercano había llegado un buen cir-
aprendiendo cada día.
co, "espectáculo digno de verse", decía el mecánico. Entonces el viejo le preguntó: ¿Qué es más económico, invitar a un amigo al circo tres veces o invitar a tres amigos una sola vez?
El sabio regresó a pie.
TEMA
32
01
CONTEO DE SEGMENTOS Y ÁNGULOS La figura está formada por 6 lados iguales, como este: Colocamos letras a cada segmento: a b c Contamos: • de una letra: a, b y c 3 segmentos simples • de dos letras: ab y bc 2 segmentos compuestos • de tres letras: abc 1 segmento compuesto
¡Observa! ¿Cuántos segmentos puedes contar en el símbolo del escudo?
En cada uno de los 6 lados se puede contar 6 segmentos. Luego, el total de segmentos es: 6 × 6 = 36
Otro ejemplo:
Resolvemos:
11. Indica el número de ángulos que se pue-
• Colocamos letras a cada ángulo:
den contar en la imagen de la bandera.
a
• Contamos: - de una letra: a , b y c - de dos letras: ab , bc - de tres letras: abc
¡Importante! Segmento es una porción de línea recta limitada por dos puntos:
segmento simple
segmento compuesto
3 ángulos 2 ángulos 1 ángulo
• Luego, el total de ángulos que se puede contar es: 6
Tú y yo:
22. Determina el número de segmentos que se puede contar en:
Además, al contar segmentos debemos considerar:
b c
Resolvemos: • Contamos por lados: (empleando letras)
• En 1 :
3
2
a b
- de una letra: a y b - de dos letras: ab
1
hay
segmentos
• En 2 : a b c d - de 1: a, b, c, y d - de 2: , y - de 3: y hay - de 4: • En 3 : hay 6 segmentos • En total hay: 3 + 10 + 6 =
segmentos
segmentos
Alfonso Rojas Puémape
4
PR A C T I C AM O S 11. Determina el número de ángulos que es posible contar en la figura.
Resolvemos: • Contamos: a
- de una letra:
- de dos letras:
- de tres letras:
- de cuatro letras:
- de cinco letras:
bc d
e
,
, ,
, ,
,
y y
y y ¡RECUERDA!
• Luego, el total de ángulos es:
22. ¿Cuántos segmentos puedes contar en las bases de los triángulos?
En un triángulo:
Resolvemos: h
• Notamos que se pueden contar segmentos en: • Contamos : a - En 1 :
3 2
b
1
c segmentos. segmentos. segmento.
· de una letra hay: · de dos letras hay: · de tres letras hay:
- En 2 :
segmentos.
- En 3 : un segmento.
• Luego, se puede contar: + + = 10 segmentos
33. Encuentra el número de ángulos que se pueden contar en la parte superior de la carpa del circo.
33
Resolvemos: • Ubicamos la parte superior de la carpa: a b c d
e
• Contamos:
- de una letra:
- de dos letras:
- de tres letras:
- de cuatro letras:
- de cinco letras: abcde
,
, , bc ,
y y de
y cde
abc ,
• Luego, se puede contar:
,
y
ángulos
b donde: h: altura b: base
34 44. Calcula el número de segmentos que se pueden contar en la base del siguiente triángulo.
77. Determina el número de ángulos posibles de contar entre las flechas.
¡RECUERDA! ¡Resuelve aquí! En estos casos vamos a considerar que la base del triángulo es el lado donde reposa la figura.
PISTA 6 Al intersectarse dos segmentos se forman nuevos segmentos simples.
55. Identifica el número de ángulos posibles de contar en la parte superior de la sombrilla.
88. Indica el número de segmentos que se pueden contar, en:
66. ¿Cuántos segmentos se pueden contar en la figura?
99. Encuentra el número de ángulos que se pueden contar en la siguiente figura.
35
12 Encuentra el número de ángulos que se pueden contar en la “punta del barquillo".
11. Calcula el número 11 de ángulos que se pueden formar con las cuerdas del paracaídas.
13. ¿Cuántos segmentos se pueden 13 contar el la figura?
COMPRUEBA
Cálculorápido Rápido Cálculo PUNTO DE REFERENCIA ... solo mentalmente Skanito recibió S/. 87 para comprar uno de sus libros de matemáticas. Si el libro costó S/. 74, ¿cuánto dinero le quedó? Dime el resultado. . . Tan rápido como puedas...
Practicamos Cálculo RÁPIDO
4 • El punto de referencia debe ser un número que termine en cero. • Así: Punto de referencia 74 80 87 6 7 • Luego, a Skanito le quedaron :
87 − 74 = 6 + 7 = S/.13
OTRO EJEMPLO: Resolvemos: • Para saber cuánto le queda tenemos que restar: 87 − 74 • Para restar rápidamente ubicamos un número de referencia entre los números a restar (PUNTO DE REFERENCIA).
10 21 20 10 21 28 25 21 21 26
10. Determina cuántos segmentos se 10 pueden contar en la ventana de la casa.
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)
Alfonso Rojas Puémape
25 – 11
2)
28 – 17
3)
35 – 24
4)
38 – 21
5)
49 – 38
6)
45 – 32
7)
53 – 48
8)
58 – 41
9)
68 – 57
10) 65 – 56
Determina : S/. 39 - S/. 27
Resolvemos:
1)
Punto de referencia
27 30 39 3 9 Luego : 39 − 27 = 3 + 9 = S/.12
11) 73 – 63 12) 76 – 68 13) 84 – 77 14) 99 – 87
36
TEMA
0022
CONTEO DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS De la ventana solo observamos la parte de forma triangular.
La ventana que está sobre la puerta tiene una forma especial.
a
Aquí escribimos una letra en cada triángulo pequeño.
b
Ahora observamos lo siguiente: • Triángulos de una letra: a y b • Triángulo de dos letras: ab ¿Cuántos triángulos se pueden observar en esa ventana?
En el mismo ejemplo:
11. Alguien podría seguir preguntando:
2 1
Entonces, en esta figura tenemos: 3 triángulos
Resolvemos: • Dibujamos la parte izquierda de la ventana :
¿Cuántos cuadriláteros hay en el resto de la ventana?
c d • Colocadas las letras c y d notamos que hay tres cuadriláteros : c ; d y cd. • Luego, en toda la ventana tenemos 6 cuadriláteros.
¡ATENCIÓN!
Cuadrilátero es cualquier figura que tiene cuatro lados.
Tú y yo:
22. Determina el número de triángulos que se pueden contar en la siguiente figura:
Resolvemos: • Observa que solo encontramos triángulos en una parte de la figura, aquí : Además colocamos leb c tras a cada parte de la a figura. • Contamos : - de una letra: a, y - de dos letras: ab, , cd y - de tres letras: no hay triángulos. - de cuatro letras: • Luego, se pueden contar
3 4 1
triángulos.
37
Alfonso Rojas Puémape
5
PR A C T I C AM O S 11. ¿Cuántos triángulos existen en la siguiente figura?
Resolvemos: • Asignamos letras e identificamos todos los triángulos posibles:
a e
1Ğ:a b c d e 2 Ğ : ab, , , 3 Ğ : bcd, 5Ğ:
b c d
TOTAL =
triángulos.
¡ATENCIóN! 1Ğ: e
22. Calcula el número de cuadrados, en:
Resolvemos: • Colocamos letras:
2m
2m
2m
a
b
d
f
2m
2Ğ:
33. ¿Cuántos cuadriláteros podemos contar en la siguiente figura?
b
, , y a,b, - cuadrados con 4 letras: abde y
• Total:
+2=
c d
cuadrados.
Resolvemos: • Escribimos letras, así:
c
a b • Ahora afirmamos lo siguiente:
- con una letra:
- con dos letras: ab y
- con tres letras: abd ,
y
¡Claro! Cada una de estas figuras: b, ab, bd, ... abc es un cuadrilátero, es decir, una figura de 4 lados.
• Luego, podemos contar:
e 3Ğ:
• Contamos: - cuadrados con una letra:
2m
a
¡Tenemos cuadrados con 1 y 4 letras!
cuadriláteros
38 44. ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la siguiente figura?
77. Determina el número de triángulos que hay en la figura:
PISTA 4 Asignamos letras a cada figura en el interior del triángulo.
PISTA 5 Cuatro cuadraditos forman otro cuadrado.
¡Resuelve aquí!
55. ¿Cuál es la cantidad de cuadrados que se pueden ver en la siguiente figura?
88. Halla el número de cuadrados que podemos contar en la siguiente figura:
6. Indica el número de rectángulos que 6 se ven en la siguiente figura:
99. Calcula el número de rectángulos que se pueden contar en la siguiente figura:
39
12. ¿Cuál es el número de cuadriláte12 ros que hay en la siguiente figura?
11. ¿Cuántos cuadrados hay en la si11 guiente figura?
13 Determina el número de rectángulos que se pueden contar en la siguiente figura:
13 13 16 10 30 25 9 17 18 19
10. Halla el total de triángulos que hay 10 en la figura:
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)
Alfonso Rojas Puémape
COMPRUEBA
Cálculorápido Rápido Cálculo PUNTO DE REFERENCIA ... solo mentalmente En un almacén teníamos 307 cajas de impresoras; acaban de despacharse 296. ¿Cuántas cajas quedan en el almacén?
5
Practicamos Cálculo RÁPIDO 1) 101 - 97
296
300
307
4 7 Las suma de ambas diferencias será el resultado buscado, es decir: 4 + 7 = 11 COMPROBAMOS:
307 296 1 1 cajas que quedan en el almaResolvemos: ¡Tenemos que operar muy rápido y mentalmente! • Ubicamos un número que termine en cero y se ubique entre 296 y 307 (punto de referencia). • Ese número es 300.
cén.
OTRO EJEMPLO: 511 - 495 • Punto de referencia: 500 • De 511 a 500: 11 Respuesta • De 500 a 495: 5 16
2) 110 - 91 3) 202 - 194 4) 205 - 195 5) 213 - 190 6) 210 - 196 7) 309 - 291 8) 312 - 296 9) 311 - 280 10) 408 - 392 11) 516 - 494 12) 601 - 598
40
1
N O ES C I U I A T S R E CR EATI VAS
Números...
Aquí tienes un desafío: • Distribuye los números del 1 al 7, en los cuadraditos que no están sombreados. • No deben haber dos números consecutivos, en casilleros “ vecinos". ¡ATENCIóN! Al final del libro encontrarás los números del 1 al 7 (recortables), para que puedas desarrollar este ejercicio con facilidad, además de un grupo de ejercicios adicionales para reforzar estos procedimientos.
2
Hermanos... Marco, José, Andrés y Rafael, son cuatro hermanos muy unidos, pero hinchas de diferentes equipos. Marco no es hincha de Cristal, ni de Universitario. José no es hincha de Alianza ni de Boys. Rafael tiene una camiseta azul y blanca. Si Andrés no es hincha de Universitario, ¿quién es hincha de cada equipo mencionado?
¡Resuelve aquí!
Alfonso Rojas Puémape
3
41
Amigos... Hugo, Paco, Luis y Donald son cuatro amigos muy unidos. • Hugo es más alto que Paco, pero más bajo que Donald. • Luis es más alto que Hugo. • Donald es más bajo que Luis. Ordena a los cuatro amigos, de menor a mayor tamaño.
4
Palitos... Cambia de lugar solo dos palitos de fósforo, para que resulte una igualdad correcta.
42
TEMA
03
Luchín, ayúdame a llevar estos cubos al camión.
CONTEO DE CUBOS Y CARAS ¡Pero! ¿cuántos vamos a llevar?
Según Dalma, podemos contar por columnas: 3 3
3 2 1
2
2
2
2 1
1
1
1
1
1
1
1
En la historieta, sumamos las cantidades de las columnas: Total = 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 Luego, hay 12 cubos simples.
Yo sé una forma muy sencilla para contar los cubos simples... por columnas.
Otro ejemplo:
Resolvemos:
11. ¿Cuántas caras presenta la si-
• Un conteo ordenado es el más indicado y este se realiza contando las caras que hay por cada frente de la figura. AR (2)
guiente figura?
AT (1) DER (4) IZQ (1) AD (4)
!
¡IMPORTANTE
• Contamos las caras por cada frente, empleando la siguiente tabla: AR AB IZQ DER AD AT TOTAL
Frentes de la figura:
2
AR IZQ
1
1
4
4
1
13
AT
• Luego, la figura presenta 13 caras.
DER AD
AB (1)
AB
donde: ARRIBA: AR ABAJO: AB
Tú y yo:
Resolvemos:
22. ¿Cuántos cubos simples se pue-
• Contamos por columnas:
den contar en la siguiente figura?
3
3
IZQUIERDA: IZQ
2
DERECHA: DER ADELANTE: AD ATRÁS: AT
• Sumamos las cantidades de cada columna: 3+
+
+3+2+
• Luego, se pueden contar
+
+ 1 = 19
cubos simples.
43
Alfonso Rojas Puémape
6
PR A C T I C AM O S 11. Indica el número de caras que presenta la siguiente figura:
Resolvemos: • Contamos las caras por cada frente: AT( 1 )
)
AR(
IZQ( 1 )
DER( 2 ) AB(
AD( 2 )
• En la tabla: AR AB
IZQ DER
1
AD
AT
2
• Luego, hay
22. Encuentra la cantidad de cubos simples que hay en el siguiente conjunto de cubos:
)
caras.
¡RECUERDA! Columna de cubos:
Resolvemos: • Contamos por columnas:
(4)
3
(3)
2
4
• Sumamos las cantidades de cada columna:
+ 3 +
• Luego, hay
33. Determina el número de caras que puedes contar en la siguiente figura:
+
+ 2 +
= 13
cubos simples.
Resolvemos: • Contamos las caras por cada frente:
AR
AB
IZQ DER
2
AD
AT
1
• Sumando obtenemos el total de caras:
2 + 1 +
+
+ 2 +
• Luego, se pueden contar
= 9 caras.
3
3
2 1 1
2 1
44 44. ¿Cuántos cubos simples hay en el conjunto de cubos?
77. Determina el número de caras que tiene la siguiente figura:
¡Resuelve aquí!
PISTA 6 Contamos el número de caras en forma ordenada, es decir, por cada frente.
55. Identifica el total de cubos simples en el conjunto de cubos.
88. Encuentra el número de cubos simples que puedes contar en el conjunto de cubos.
66. ¿Cuántas caras tiene la siguiente figura?
99. Halla el número de caras que puedes contar en la siguiente figura:
45
12 ¿Cuántas caras presenta la siguiente figura?
11. Determina el total de cubos simples 11 que hay en el conjunto de cubos:
13 Halla el número de caras que tiene la figura siguiente:
9 14 9 10 16 10 22 20 12 12
10. ¿Cuántos cubos hay en el conjunto 10 de cubos?
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)
Alfonso Rojas Puémape
COMPRUEBA
Cálculorápido Rápido Cálculo
6
Practicamos Cálculo RÁPIDO 1) 11,32 − 10,9
PUNTO DE REFERENCIA ... solo mentalmente Una caja de lápices de color cuesta S/. 15,08 y otra caja de otra marca cuesta S/. 14,92. ¿Cuál es la diferencia de precios?
14,92
15 8
céntimos
+
15,08 8 = 16
céntimos
céntimos
Respuesta: La diferencia de precios es de 16 céntimos. ¡ATENCIÓN! Decir céntimo es lo mismo que decir CENTAVO O CENTÉSIMO.
OTRO EJEMPLO: Efectúa: 25,15 - 24,95
Resolvemos: Observamos que la diferencia es por céntimos. El punto de referencia entre ambos precios es 15.
• Punto de referencia: 25 • De 25,15 a 25: 15 céntimos • De 25 a 24,95: 5 céntimos Luego, la diferencia es 20 céntimos o 0,20.
2) 12,01 − 11,94 3) 15,07 − 14,8 4) 16,03 − 15,91 5) 8,12 − 7,08 6) 6,3 − 5,2 7) 9,6 − 8,1 8) 10,2 − 9,7 9) 17,1 − 16,9 10) 18,15 − 17,9 11) 23,12 − 22,9 12) 35,08 − 34,9
46
PRO PUESTOS M IX 01
02
Indica el número de segmentos que puedes contar, en: a) 28 b) 30 c ) 32 d) 40 ¿Cuántos triángulos puedes contar en la figura?
07
a) b) c) d)
08
Determina el número total de cuadrados que se pueden contar, en:
09
04
Encuentra el número de rectángulos que se pueden contar en la figura:
10
05
¿Cuántos cubos simples hay en el conjunto de cubos?
11
a) 9 b) 11 c ) 13 d) 15
06
¿Cuántas caras presenta la siguiente figura? a) 9 b) 10 c ) 11 d) 8
11 12 13 10
Identifica la cantidad de cubos simples que hay en el siguiente conjunto de cubos. a) b) c) d)
a) 5 b) 7 c) 8 d) 9
15 20 18 16
¿Cuántos cuadriláteros se pueden contar en la siguiente figura? a) b) c) d)
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8
3 4 5 6
¿Cuántos segmentos se pueden contar en la figura? a) b) c) d)
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
03
Determina el número de ángulos que se pueden formar con las manecillas del reloj en la zona sombreada.
7 8 9 10
¿Cuántos cubos simples hay en el conjunto de cubos? a) 21 b) 22 c ) 23 d) 24
12
Halla el total de caras que presenta la siguiente figura: a) 8 b) 9 c ) 10 d) 11
47
Alfonso Rojas Puémape
a) b) c) d)
15 16 17 14
Encuentra el número de cubos simples que hay en el conjunto de cubos.
19 ¿Cuántos rectángulos puedes contar en la siguiente figura? 25 26 27 28
Halla el número de ángulos que se pueden formar en la parte superior de la carpa del circo.
20 ¿Cuántos cubos simples hay en el siguiente conjunto de cubos?
a) b) c) d)
10 12 9 11
¿Cuántas caras presenta la siguiente figura? 10 11 12 13
3
4
6
5
7
8
9
8 9 10 12
d 10
c 11
c 12
a 13
c 14
b 15
a 16
c 17
b 18
d 19
b 20
a) b) c) d)
a) b) c) d)
2
Determina el número de triángulos que se pueden contar en la siguiente figura.
1
22 17
10 11 12 13
c
Indica el número de caras que presenta la siguiente figura. a) b) c) d)
¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?
21
b
16
13 14 15 16
35 36 37 38
a
a) b) c) d)
a) b) c) d)
b
15
24 25 26 27
c
a) b) c) d)
a) b) c) d)
d
14
8 9 10 11
a
a) b) c) d)
¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?
18
c
Encuentra el número de segmentos que hay, en:
b
13
a 21
d 22
48
PR OBL EMAS PARA CO NCURSOS D E RM 01 ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la figura?
06
a) 15 b) 17 c ) 19 d) 21
a) 10 b) 11 c ) 12 d) 13
02
07
Determina el número de cubos simples que se pueden contar, en:
b) 22 d) 24
08
a) 12 c ) 14
09
d) 15
04
b) 16
10
d) 18 Determina el número de segmentos que se pueden contar en la siguiente figura.
11 a) 28 b) 25 c ) 24 d) 32
Identifica el número de cubos simples que hay, en: a) 21 b) 20 c ) 22 d) 23
c ) 17
05
¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? a) 5 b) 6 c) 9 d) 8
¿Cuántos cuadrados se pueden contar en la siguiente figura? a) 15
Indica el número de rectángulos que hay en la figura. a) 12 b) 14 c ) 15 d) 16
Encuentra el número de caras que presen03 ta la siguiente figura.
b) 13
Encuentra el número se segmentos que se pueden contar, en: a) 16 b) 14 c ) 18 d) 17
a) 21 c ) 23
¿Cuántos cubos simples hay en el conjunto de cubos?
Halla el número de caras, en: a) 12 b) 14 c ) 16 d) 15
49
Alfonso Rojas Puémape
a) 17
a) 16
b) 18
b) 17
c ) 20
c ) 15
d) 21
d) 14
Encuentra el número de caras que presenta la figura.
18
a) 10
a) 15
b) 11
b) 16
c ) 12
c ) 17
d) 13
d) 18
¿Cuántos triángulos puedes contar en la figura?
19
Encuentra el número de cubos simples que hay en el conjunto de cubos.
a) 13
a) 15
b) 14
b) 12
c ) 15
c ) 13
d) 16
d) 14
Determina la cantidad de cubos simples que hay en el siguiente conjunto de cubos.
20
¿Cuántos segmentos puedes contar en la figura? a) 21
a) 36
b) 23
b) 35
c ) 25
c ) 30
d) 24 Determina el número de rectángulos que se pueden contar en la ventana de la casa.
7
8
d) 18
6
d) 24
5
c ) 17
4
c ) 23
3
b) 16
2
b) 22
1
a) 15
c
a) 21
a
21
b
¿Cuántos cuadriláteros se pueden contar en la figura?
a
d) 32
c 9
a 10
b 11
d 12
c 13
d 14
b 15
c 16
b 17
c 18
d 19
c 20
16
¿Cuántos triángulos se pueden contar en la siguiente figura?
d
15
Indica el número de caras que se pueden contar en la siguiente figura.
b
14
17
c
13
¿Cuántos ángulos puedes contar en la siguiente figura?
d
12
d 21
50
nos e valuamos 01 ¿Cuántas caras presenta la siguiente figura?
04
Indica el número de triángulos que puedes contar en la figura. a) 11 b) 12 c ) 13 d) 14
a) 11 b) 12 c ) 14 d) 15
02 Calcula el número de segmentos que se
05
¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?
pueden contar en la figura.
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9
a) 30 b) 31 c ) 32 d) 33
03 Encuentra el número de cubos simples que se pueden contar en el conjunto de cubos:
a) 12 b) 13 c) 11 d) 10
06
Determina el número de ángulos que se pueden contar en la parte superior de la figura. a) 15 b) 16 c ) 17 d) 14
APRENDÍ A... Marca con un 1. ... contar segmentos y ángulos. 2. ... contar figuras similares por enumeración. 3. ... contar cubos y sus caras. 4. ... identificar los frentes de una figura. 5. ... determinar las caras de un sólido.
MB
B
R