Razonamiento Matemático_ secundaria_1 by karin Villanueva

Alfonso Rojas PuĂŠmape

© Derechos de autor reservados. Alfonso Rojas Puémape © Derechos de edición y artes gráficas reservados. 2012, Editorial Tercer Milenio S.A. 7300 North Kendall Drive, Suite 521 Miami, Florida 33156-7840. USA etm@grupo-etm.com Director Editorial: Antonio Sabogal Editora General: Marifé Vargas-Corbacho Editor de Matemática: Alfonso Rojas Puémape Especialistas del Área: Giovanna Rojas Jorge Chávez Johnny Leguía Eddy Chirinos Edson Tacanga Diseño de portada: Delfín Blanco Comunicaciones Composición de interiores: Jorge Huamaní, Iván Tejada, María Isabel Flores Ilustraciones: Jorge Huamaní, Giulianno Delgado Preprensa e impresión: QuadGraphics www.QG.com Impreso en Colombia - Printed in Colombia Impreso en papel bond con certificación FSC con cadena de custodia "Bosques Controlados". Reservados todos los derechos. No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra didáctica, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo por escrito de los titulares del copyright.

Desarrollar la inteligencia y aprender a pensar, para resolver dificultades decidiendo por las mejores alternativas de resolución y con alta velocidad de procesamiento mental son tareas pendientes en todos las instituciones escolares. Nuestra colección para la Educación Secundaria presenta una propuesta de razonamiento lógico - matemático por medio de la cual se pone al alcance de estudiantes y docentes, cientos de ejercicios, problemas, juegos, matemática recreativa y todo tipo de materiales relacionados con situaciones lógicas, búsqueda de regularidades y habilidad operativa, que permiten desarrollar las capacidades de observación, abstracción, generalización, comprensión, análisis y síntesis. Se aprende a pensar, pensando; se aprende a razonar, razonando, es decir afrontando muchas situaciones que permitan pasar del nivel literal a los niveles inferencial y/o crítico. En esta edición se ha diseñado en la parte final de cada unidad una sección denominada AUTOEVALUACIÓN, que ha sido dividida en cuatro niveles. De los cuales los tres primeros son acumulativos parciales, cuya temática cubre aleatoriamente los tres temas de la unidad correspondiente, mientras que el nivel IV es acumulativo total, cuya temática es todo el contenido desarrollado en el texto hasta esa posición. La colección de RAZONAMIENTO MATEMÁTICO de ETM ofrece diversos personajes y muñecos. Entre los primeros aparecen Skanito y sus amigos Maite, Dalma y Luchín, quienes realizan el papel de mediadores del aprendizaje. Entre los muñecos hemos dado vida a elementos tecnológicos como una laptop, un USB, un celular y una tableta, así como a materiales que los estudiantes emplean a diario en sus quehaceres escolares como una regla, un block, un clip; además, los acompaña una ilustración del planeta Tierra que promueve transversalmente su cuidado y conservación. De estas ilustraciones, algunas hacen el papel de direccionadores y otros de sintetizadores. Los primeros aparecen en tamaño pequeño e indican que alguna idea del contenido se aclarará en un cuadradito de margen. Esa aclaración se ve precedida por un sintetizador en tamaño más grande. Esperamos que este cuaderno de trabajo sea de mucha utilidad para la práctica del razonamiento lógico-matemático ya que lo consideramos un excelente material que permite un intenso entrenamiento para exámenes de admisión a cualquier centro superior de estudios.

Alfonso Rojas Puémape

E ST RU C TU RA DE U N I DA D

ALFONSO ROJAS PUÉMAPE

CONTEO ABREVIADO

U NIDA D

109

INICIO DE UNIDAD

¿Cuántas figuras de 6 lados hay?

• Nombre de unidad • Problema motivador

177

• Contenido (temas)

Pie

NES COMPARACIO CUANTITATIVAS

CONTENIDO

ntras so mie

O J U E G usadas de verano más Las prendas

especial tuvieron un precio Las siguientes prendas de cada prenda. unitario termina el precio

S POR ENUMERACIÓN

► CONTEO DE FIGURA ► CONTEO DE CUBOS

a los espacios vacíos

este verano, complet

y de-

S/. 160

► CORTES Y PARTES

Conjunto de situaciones lúdicas que permiten el desarrollo del pensamiento matemático.

S/. 200

S/. 130

S/. 150

S/. 175

S/.

Estrategia TEMAS

Conjunto de técnicas que nos guían en la resolución de problemas diversos.

Nombre deL tema

NúMERO DEL TEMA

ALFONSO ROJAS PUÉMAPE

TEMA

1 1

CONTEO DE FIGURAS POR

ENUMERACIÓN

Estrategia 2

1 ¡IMPORTANTE!

de una figura:

2 5

Imágenes que relacionan el contenido en un tema con un sintetizador.

básicos y si unimos • Tenemos tres triángulos otros triángulos. algunos de ellos resultarán conteo: Entonces tendremos el siguiente

Parece que se puede contar solo tres... pero ya veo... hay más.

3 4 6

de dos figuras: 12; 24; 34; 13

parece. No nos guiemos por lo que (o Mejor asignamos un número cada en otros casos, una letra) a una de las figuras básicas. iremos Al juntar números y/o letras que estamos descubriendo más figuras buscando.

de tres figuras:

Gran total:

de una figura

de seis figuras 1

123

Gran total:

→ Total: 2

a) 9 d) 17

15 triángulos

b) 14 e) 18

Observar con mucha atención nos ayudará a ubicar las figuras que nos piden contar.

Resuelve aquí:

¡DESAFÍO! en la siguiente ¿Cuántos cuadriláteros hay figura? → Total: 1

¡ATENCIÓN!

de cuadriláteros • Luego, en total el número es: 6 + 7 + 2 + 2 + 1 = 18 cuadriláteros

→ Total: 2

123456

ya que al Ahora todo está más claro, cuadriinterior de la figura solo hay a cada láteros; entonces, asignamos cuadrilátero un número.

→ Total: 6

de cuatro figuras 1265; 2345 de cinco figuras No hay

básicas: • Enumeramos las figuras

3 2

Estrategia → Total: 4

de acuerdo a • Contamos los cuadriláteros la cantidad de figuras: ...... 6 (1): 1; 2; 3; 4; 5; 6..................... 34......... 7 (2): 12; 23; 45; 56; 16; 25; 2 (3): 123; 456.................................... 2 (4): 1256; 2345................................ (5): no hay cuadriláteros .... 1 (6): 123456..................................

3 + 4 + 1 = 8 triángulos

1; 2 ; 3; 6

Cuadrilátero: figura geométrica de cuatro lados. Ejemplos:

M á S pr o pu es to s 55

Conjunto de ejercicios y problemas resueltos diseñados para mostrar formas de resolución de una gran diversidad de situaciones que exigen razonamiento.

OSOS STST UEUE OPOP S SPRPR MÁMÁ

PUÉMAP E ALFONSO ROJAS

S S TOTO ELEL SU SU S RE S RE MÁMÁ 4

, determina la En la figura mostrada el número de puntos diferencia entre pares e impares.

Rpta.: 19

P P P P

• Cantidad de puntos impares: 6 = 4 • Luego: 10 − 6 2

•

Resolvemos: • Cantidad de puntos pares: 10

P P I

I P

2 P

P P

I I

del número de punDetermina el exceso imnúmero de puntos tos pares sobre el pares, en:

a mostrada, determin A partir de la figura y pares e impares el número de puntos en dichas cantidades, calcula la razón de ado. el orden mencion

E D

Rpta.: D E

ANTE! ¡IMPORT

Si un gráfico presenta solo puntos pares, se empieza a graficar por cualquier punto par y se termina en el mismo punto par. En caso de presentar 2 puntos impares, se empieza a graficar por un punto impar y se termina en el otro punto impar.

• Cantidad de puntos impares: 8 9 • Luego: 17 − 8 = 3

P P I P P

I P

P P I

P P P P I I P P P P P I

mostradas, indica Del conjunto de figuras de un solo trazo cuál se puede realizar sin repetirlo.

E Resolvemos: I P I un • El punto C es D C P P punto impar, enP P B tonces se terminaP P rá en otro punto P P A impar. en el punto E . • Luego, se terminará puede realizar de siguiente figura se la Si 6 a graficar por el punun trazo y se empieza se terminará? to B, ¿en qué punto

Resolvemos: • P

I Sí

I P

II Sí

P IP I P I P I P P P

III No

que puede Encuentra la figura da de un solo trazo.

ser realiza-

• Luego, se terminará en el punto C .

Rpta.: D C

A E

se empieza a dibuSi la figura mostrada qué punto se ter¿en jar por el punto B, minará? A D

Resolvemos: en C • Se terminará I un punto impar.

10 5

solo ser dibujada de un Si la figura puede por el punto E, ¿en trazo y se empieza ? qué punto se terminará

Rpta.: 6

III

punde la cantidad de Calcula el exceso imcantidad de puntos tos pares sobre la mostrada. pares de la figura

Rpta.: 5

C A D P P P P P P E P

III Rpta.: Solo I

PISTA

Rpta.: Solo I

de puede ser realizada La figura mostrada por empieza a dibujar un solo trazo. Si se ? punto se terminará el punto A, ¿en qué D A

Resolvemos: • Cantidad de puntos pares: 17

PISTA 1 Usa P para indicar un punto par eI para un punto impar.

III

Rpta.: 17

III II I Sí No No de un se puede realizar La figura mostrada por el empieza a graficar solo trazo. Si se gráfipunto terminará el punto C, ¿en qué co?

Rpta.: I y II

s figuras puede ¿Cuál de las siguiente trazo? realizarse de un solo

, ¿cuántos puntos En la figura mostrada hay? pares más que impares

Conjunto de ejercicios o problemas para desarrollar en clase.

III

¡RECUERDA!

mostradas, indica Del conjunto de figuras un solo trazo. de cuál se puede realizar

a entre el número Determina la diferenci figura e impares en la de puntos pares mostrada.

que se puede realizar Determina la figura repetirlo. de un solo trazo sin

Resolvemos:

Realizar un gráfico de un solo trazo implica no repetir ningún segmento, tampoco levantar el lápiz o lapicero, solo está permitida la intersección.

Ideas que resumen, subrayan o recuerdan conceptos que nos ayudan a resolver un problema.

c) 15

M á S RE SUE LTO S 54

¡interesante!

1 6

• Ahora contamos:

contar en ¿Cuántos triángulos se pueden la siguiente figura?

¡IMPORTANTE!

cuadriláteros: • Asignamos números a los

pueden contar ¿Cuántos cuadriláteros se en la siguiente figura?

→ Total: 1

de dos figuras 12; 23; 34; 25; 16; 65 de tres figuras 123; 456

→ Total: 4

Sintetizador

de cuadriláteros • Luego, en total el número es: 2 + 3 + 1 + 3 + 1 = 10 cuadriláteros

No hay

de cuatro figuras: 1234

¡OBSERVACIÓN!

3 4

→ Total: 3

1; 2; 3

Estrategia

Triángulos formados por dos o más figuras: 3 2

En la figura que se nos presenta tenemos ahora triángulos y cuadriláteros. Esta vez asignamos números a los cuadriláteros y letras a los triángulos.

Triángulos básicos son aquellos triángulos que se presentan de forma individual. Veamos este ejemplo:

¿Cuántos triángulos siguiente figura?

1 a

a la figura:

de acuerdo a • Contamos los cuadriláteros conforman: la cantidad de figuras que los 2 (1): 1; 2........................................... .............. 3 (2): 1a; 1d; 2c................... ... 1 (3): a1d........................................ ...... 3 (4): 1abc; 12cd; bc2d............... (5): no hay cuadriláteros ....1 (6): 12abcd..................................

se distinguen a • Así es; los triángulos que básicas". “simple vista”, se llaman "figuras

podemos contar en la

En este caso:

Direccionadores

• Asignamos números y letras

pueden contar ¿Cuántos cuadriláteros se en la siguiente figura?

Rpta.: C

PISTA 5 Una figura se puede realizar, si: tiene solo dos puntos impares o no tiene puntos impares.

Una guía o ayuda que permite desarrollar el problema.

ontrol

PUÉMAPE ALFONSO ROJAS

CONTRO

c =

calcula:

encuentra el valor

z+1 =

de:

a = 2ba − 3; para a < b, b 4 − 2 3 1

encuentra el valor de:

COMPRUEBA

a = 3ab + 5; para a ≥ b b

3(x + z) + 1, y

de: determina el valor

− 2

PISTA 9

Efectúa el operador considerando las condiciones de los

¡Resuelve aquí!

PISTA 1

números.

a−3 calcula:

Si:

Efectúa de adentro hacia afuera, así: 1

= 63

2 3 = 2a + 3b + c,

x, en: averigua el valor de 25

−

x =

7) 6

2) 12

8) 42

3) 10

9) 3

4) 40

10) 2

5) 40

11) 7

6) 0

12) 6

1 determina el valor de:

x 2

Se define la operación

= 2x + 5y; si x < y,

5 4 3 2 − 5 3

calcula el valor de:

calcula:

= 5x − 3y; si x ≥ y

de x, en:

12 x

z (x + y) . z , x y = x−y

xy + z , 5

= z

1.° 2.°

Sabemos que:

−

Si sabemos que:

PISTA 4

encuentra el valor

4 3 × 2 3 1 2

= ab

1) 9

COMPRUEBA

3a + 2b + c , c = 2 a b

determina: 4

3 2

de:

3ab + 2, = 4

11) 7 12) 6

2ab , a−b

a b =

determina el valor

b+4

9) 3 10) 2

Si:

Si se sabe que:

Si sabemos que: a

Si:

7) 6 8) 42

Reemplaza los valores indicados en cada operación.

6) 0

Conjunto de 12 ejercicios o problemas elaborados para evaluar parcialmente en aula los niveles de razonamiento del tema tratado.

y x−3

2 x = 3x + 2x − 1,

a + 2bc + 2, 4

Si se cumple que:

Si:

: Se define la operación

Si se cumple que:

4) 40 5) 40

1) 9 2) 12 3) 10

Claves de respuestas

un Leeamos con cuidado información enunciado, busquemos se nos pide. y averiguemos lo que

ALFONSO ROJAS PUÉMAPE

CÁLCULO RÁPIDO Operar en la mente todo lo que podamos, permitirá aprovechar mejor el uso del tiempo en un examen, entre otras cosas.

DECENAS PRIMERO

1. Manuel compró tres artículos a diferentes precios; uno a S/. 224, otro a S/. 83 y otro a S/. 159. ¿Cuánto gastó?

c á l c u l o r á p id o

Resolvemos: Nos piden sumar:

8. Una tienda para damas, recauda el lunes S/. 2147, el martes S/. 935 y el miércoles S/. 3283. Si lo recaudado en esos tres días es donado a una institución benéfica, ¿cuánto se donó?

224 + 159 + 83 • Sumamos mentalment e las cifras de las decenas: o 150 unidades • Le agregamos las cifras de unidades: 150 + 4 + 9 + 3 = 166 • A este número le agregamos uno a uno las centenas: 166 + 200 + 100 = 466 ¡Es sencillo!

¡IMPORTANTE!

Procedimientos o artificios de cálculo basados en propiedades matemáticas elementales que nos permiten desarrollar cálculos mentalmente.

Manuel gastó en total

Eduardo logró ahorrar durante tres meses las cantidades de S/.148, S/.327 y S/.433, respectivamente. Si hoy gasta todos sus ahorros, ¿cuánto es el gasto total?

10 = 19

La familia Tello comprará artefactos de la línea blanca. Un refrigerador a S/.762; una cocina a S/.680 y una lavadora a S/.864. ¿Cuánto deberá pagar por la compra de dichos artefactos?

Revisando los vales de compra en un hipermercado, observamos 4 de ellos con las siguientes cantidades: S/.194, S/.73, S/.152 y S/.88, ¿cuánto suman dichas cantidades?

Un camión transporta durante 4 días mercadería a un mercado. Si los pesos por día fueron: 278 kg, 425 kg, 357 kg y 296 kg, ¿cuál fue el peso total transportad o?

Ada vende sandalias al por mayor. Si en 5 tiendas tiene ventas por S/.568, S/.672, S/.743, S/.820 y S/.854, ¿cuánto recaudará en total en las 5 tiendas?

1200 Y, por último, agregamos los millares: 1365 + (2000 + 3000) = 6365

5000 Respondemos: Se donó S/. 6365 .

S/. 466 .

Las deudas se deben pagar a tiempo. Si mis deudas son S/.345, S/.437 y S/.268 y las pagaré hoy, ¿cuánto es lo que debo pagar en total?

En tres chacras se ha cosechado respectivamente 656kg, 1457kg y 2915kg de papa. Si un comerciante compra toda la producción de estas chacras, kilogramos de papa compra? ¿cuántos

11 Una empresa de taxis compra cuatro de estos vehículos

a $8461, $9278, $9577 y $10 495. ¿Cuál fue su inversión total?

13 En un colegio hoy asistieron 932 alumnos,

ayer 1025 y anteayer 1096. Si trasanteayer asistieron 1128 alumnos, ¿cuánto suman las cantidades de alumnos en estos cuatro días?

¡ATENCIÓN! Si compro un lapicero en S/. 3 y deseo ganar S/.1 al venderlo, entonces, debo ofrecerlo a S/.4.

10 Tres amigos aportan $2358, $4236 y $3574,

para la compra de una camioneta que cuesta $10 200. ¿Les alcanza el dinero aportado? ¿Les falta? ¿Les sobra? ¿Cuánto?

12 Tres estatuas de diferentes imágenes

cuestan S/.232, S/.345 y S/.267. Si se desea ganar S/.200 al vender las tres juntas, ¿cuál será la recaudación que debemos obtener?

14 Cinco envases de alcohol contienen 364,

437, 529, 683 y 712 litros de alcohol, respectivamente. Si se requiere 2700 litros, ¿cuántos litros debemos agregar para satisfacer esa demanda?

PUÉMAPE ALFONSO ROJAS

REC REAT I VA

MAT EMÁ TICA

ICADA 1. UNA VENTA COMPL de mercado cierta cantidad Una señora lleva al de cliente le vende la mitad lechones. Al primer la lechón, al segundo los que tiene más medio lechón y quedan más medio mitad de los que le que aún le quedan los de mitad la al tercer cliente ventas Si luego de las tres más medio lechón. y en ningún momento se quedó sin lechones tenía al ¿cuántos , lechones partió alguno de los

SA 3. DIVISIÓN CURIO que tengan igual forma Divide la figura en 3 partes las líneas del dibujo). (se deben usar solo

mate má tica recreati va

inicio?

2. EL ESPEJO MÁGICO idad que tiene la particular En una feria hay un espejo con una estatura 1/13 de reflejar a las personas espejo a. Elisa quiere que el menor que la verdader para real que es 1,56 m, la refleje con su estatura alta. ¿Cuál con plataforma muy lo cual usa zapatos as? es la altura de las plataform

Ejercicios de Matemática lúdica concebidos para desarrollar pensamiento creativo.

Y TIJERA 4. CON PAPEL recorten a sus alumnos que Una profesora pidió ron las una frase. Le entrega letras para formar . una letra estaba doblada letras y observó que trataba? se ¿De qué letra observó ra profeso la letra, la Nota: Al desdoblar L. que no era la letra

¡Resuelve aquí!

a u to e v a l u a ci ó n ALFONSO ROJAS PUÉMAPE

e) 7

c) 9 d) 8

d 12

c 13

a 14

d 15

c 16

a 17

e) 2 o 3

3x = 30. c) 3

d) 2

e) 1

se rieEn cierto distrito, un parque ga cada 5 días, se corta el césped cada 18 días y se poda los arbustos 80, el cada 30 días. El riego cuesta S/. Si hoy corte S/. 150 y la poda S/. 120. la vez, se hicieron los tres trabajos a estos ¿cuánto se deberá pagar por a trabajos en total hasta que vuelvan coincidir? 2850 S/. a) S/. 2680 b) S/. 2700 c) d) S/. 2900 e) S/. 3100

d) 4

b) 4

c) 3

a) 5

e) 33

d) 32

c) 31

se le ¿Cuántos cortes como mínimo leños deben hacer para obtener 24 iguales? e) 12 d) 8 c) 6 b) 4 a) 7

2 a = a − a,

halla x, en:

b) 2

Si:

b) 30

Se tiene el siguiente tronco de madera para hacer leña:

c) 26 b) 22 e) Más de 30

a) 20 d) 30 11

b = 4a

n = 5m

2 2 c d = c − d + 1, 4 (x + 1) = 1901. halla5 x, en: x e) 7 d) 6 c) 5 b) 4 a) 3 e) 4 d) 3 c) 2 b) 1 a) 0 de las líneas rojas indicadas 6 ¿Cuántas míen la figura se deben eliminar como A partir de: se pueda realifigura la que para nimo aΔb = a − b + 2(bΔa), zar de un solo trazo y sin repetirlo? halla: 4Δ1. e) 5 4 c) 3 a)d)Todas b) 2 a) 1 b) Ninguna

a 2

a) 1

Si: m

Determina el número de trapecios . la figura si AB // EC y BF // CD

b) 45

a) 50

a) 29 16

E = 1 ψ {2 ψ [3 ψ (4 ψ...)]}. b = 2b − 3a, cuando a < b, Falta información b) a) 0 3 e) R d) 4 c) 1

calcula:

¿Cuántos pentágonos se pueden contar en la siguiente figura?

e) 6

a y 2

d) 5

e) 5

c) 4

1 2 (ab + b) .b , Si: a ψ b = b b = 3a −42b, cuando a ≥ b 3 calcula el valor de E, en:

d) 4

b) 3

a) 2

a 2

e) 7

d) 8

c) 9

2m) − n,

b) 10

Si:

a) 11

e) 5 16

c) 3

(V)

(IV) 64).

d) 4

repetirlo?

e) Ninguno

d) 42

c) 40 b

d) 3

c) 20

b 15

a 16

c) 2

e) 5

d) 3

están Indica cuántos cubos simples completamente ocultos en el siguiente bloque:

e) 48 b,

(81

se ¿Cuál de los círculos indicados se debe eliminar para que la figura y sin pueda realizar de un solo trazo

pueIdentifica el punto de donde se sin lede iniciar el trazo de la figura, vantar el lápiz y sin repetirlo. 3 e) 4 2 a) 1 b) 2 c) 3 1 d) Cualquiera

3 .

− c) 2

b) 1

a) 0

d) 36

e) 30

a 17

b) 1

b) 2

calcula:

b) 36

a) 0

a) 1 12

e) 54

d) 42

e) 24

−

e) 6

c) 48

a) 30

= 8m − 7,

5 6

d) 1

calcula el valor de:

c) 2

Se sabe que: n 3m ⊗ 2n = 4m − 3n + 5, si m > 2n = m + n + 1, si m ≤ n, − 2b,y 3m ⊗ calcula: (12 ⊗ 6) ⊗ (9 ⊗ 8). e) 10 d) 9 c) 8 b) 7 a) 6

b) 51

Si se cumple que:

Indica el número de cubos simples caras que presentan solo una de sus visibles.

(III)

(II)

(I)

a) 45 9

c) 1

b) 4 e) 5

a) 2 d) 3

Un paciente debe tomar 3 pastillas a las cada 8 horas. Si empieza hoy habrá 8:00 a.m., ¿cuántas pastillas tomado al cabo de 120 horas?

n = n + 3n, x, calcula el valor que puede tomar en: = 868 5x − 4

Si:

a) 144 b) 150 c) 188 d) 200 e) 400

m+n a +

Si se cumple: 3m 2n = m (3n calcula: 3 6.

c) 3

a) A b) B c) C o D d) E o F e) G o H

b a

Sabiendo que:

n= b2 = b) 2

B 16

b) 3

a) 4

e) 23

d) 16

c) 13

a) 1

b) 10

de un Si la figura se puede dibujar emsolo trazo y sin repetirlo, se debe pezar a dibujarla por el punto:

y a2

calcula: (16

a) 4

e) 14

p = 23.

calcula p, en: 9

Si: m

d) 18

2x + 3y − 1 , (4y − 3) = x − y − 1

3x 2

Si:

c) 3

b) 2 e) 1 o 2

a) 1 d) 4

e) 5

d) 4

c) 6

b) 8

3 4

2 en el Una hormiga se encuentra 3 Si en punto A de la siguiente figura. un 4 cada esquina e intersección hay de terroncito de azúcar, ¿cuántos 1llevar, estos como máximo se podrá dos sin pasar por un mismo camino e) 5 d) 4 c) 3 b) 2 veces, hasta llegar al punto B?a) 1 A cumple que: 4 Si se 2 2 12 a) a b = a − b ; cuando a > b b) 15 3 3 b, y a b = b − a ; cuando a ≤ c) 18 8. calcula: [(5 4) (1 2)] : d) 16

e) 12 2y +1 que: 2 Sabiendo calcula el valor de a, en: a a+ b a , b = a 9 b = 15 9 1 . 1 + 3 calcula: 2 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15 a) 8 c) 10 d) 11 e) 13 b) 7 a) 5 de las líneas indicadas con maneras diferentes 15 ¿Cuántas cuántas de Indica mínimo, como 3 rojo se deben eliminar, se pueden unir dos de estas figuras, para que la figura se pueda dibujar una mediante un segmento ( ) que de un solo trazo y sin repetirlo? indicados, para elaborar los puntos sin reuna figura de un solo trazo y petirlo.

a) 10

en Indica el número de cuadriláteros la siguiente figura:

halla x, en: 6 Δ x = 6. = 4x − 3y + 5, d) 9 c) 6 b) 4 a) 3

c) 12

b) 20

a) 6

2 x 3 + 3x + 3x + 1 , Se define: x + 2 = x 2 + 2x + 1

d) 4

c) 3

b) 2

Si:

e) 6

Acumulativo total

Nivel IV

f g(a) + 1 . 6 3a Δ 4b = 5a 2b 1 Si: 2a +1 c)2m b) a − 2 3n = 3m 4n e) a − 1 y (2p + 1) 2q = 3p − 4q + 1,

c 15

e 16

b 6

c 7

e 8

c 9

d 10

b) B e) No se

c) A o E puede dibujar.

halla el valor de:

calcula: 8 θ 27. c) 27 d) 2624e) 24 a) 10 b) 9 6 =4 x e

(4) c) 1 y 3

(3)

(2)

de La diferencia entre el número de un figuras que se pueden hacer figuras solo trazo (sin repetirlo) y las que no se pueden hacer, es:

e) C o B

(1)

b) 3 y 4 a) 1 y 2 d) Ninguna e) 4

b) D d) E

a) C c) B

solo La figura se puede dibujar de un en trazo y sin repetirlo, empezando A. ¿En qué punto se terminará? A

e) 1

d) 2

de La(s) figura(s) que se puede dibujar un solo trazo y sin repetirlo es (son):

a) A d) C o D 10

c) 3

6 8

III II que: I 4 Si seb)sabe c) III pq + p − q , II a) I + 4) (3q − 5) = (2p 2 e) I y II d) II y III calcula: (12 19) 13. 29 15 Siendo: 31 2 x > yd) 17 e) b) + y) ;c)si 15 a) 14 (x 2 2 2 y = x −(x − y) ; si x ≤ y 5 Se define: 2 5 + 6 3 calcula: e) 30 a) 60 b) 40 1c)a49 d)2c58 a + b − c , = 2 5 cumple que: b 16 Si se 2 m θ 3 n =m + n, 3 x, en: 2 de 4 el valor 7determina

b) 4

a) 0

−

c) II

III

II b) I e) I y II

calcula:

a) III d) I y III

puede Indica el punto por el cual se lápiz y iniciar el trazo sin levantar el sin repetirlo. e) 5 5

a ) − 1, d) 5

c) 4

b) 3

Indica la línea que se debe eliminar para que la figura se pueda realizar de un solo trazo y sin repetirlo.

c) −2 b) −1 e) Falta información

= 16 a) 1 d) 2

a) a + 2 d) 2a − 1

1 ).

calcula: 9( 7 a) 2

x+3

a) 1 C

e) 24

= q p − pq,

d) 33

I 3q 2p

e) 16

d) 15

c) 12

calcula:

Se cumple: b = 2a ( b a

b = 3b − 2,

x+2

dibuAverigua si la figura puede ser jada de un solo trazo y sin repetirlo. se Si es así, ¿a partir de qué punto debe empezar a dibujarla?

b) 21 c) 18

Si:

3 2b) 44

a) 20

= ab + bc + ac,

4 2 y calcula el cuadrala figura Observa 3 5 1 3 do de la diferencia entre la cantidad 1952 b) 1967pares ec)impares. a) 2000 de puntos e) 2025 d) 1988 a) 121 b) 100se puede(n) dibujar de figura(s) 14 ¿Qué c) 289 y sin repetirlo? un solo trazo d) 81 e) 64

2 a =a −3

halla el valor de x, en:

Si: f(2x + 1) = 6x − 1 y g(3x − 2) = 6x + 1,

e) 24

d) 21

c) 18

b) 15

a) 12

a) 8 3

halla: 12 15.

halla: e) 50

d) 60

2 5

c) 30

5 n = 2n + 3m , 2 3

3m 2

4 3 b) 40

se ¿Cuál(es) de las siguientes figuras y sin puede dibujar de un solo trazo repetirlo?

Si:

a) 20

C B A

d) B

e) Todos los anteriores

13 5b = 5a Ω 4b 3a 3 2 2 2 4m Ω 6n = m − n − 100, 25 = 25.

halla x, en: x

e) 9

d) 7

calcula:

p 17 e) 71 8 8

b) D

c) C

n m) − m ,

c) 12

a) A

59 b) 64 8

b a

y sin repetirlo?

calcula: (2

c) 5

b) 3

a) 1

mn + 2np −Si: 2, = 3

Si se sabe que: n = 3(n m

= 512

calcula: 7 θ 13.

e) 76

Si:

e) −15

4 c) 17 d) 1

b) 3

a) 2 13

halla:

d) 72

c) 48

b) 24

= a + b − 1, cuando a ≥ b,

a b

¿Cuál(es) es(son) el(los) puntos(s) dibupor donde se podrá empezar a trazo jar la figura mostrada, de un solo

a) 16

a b

e) 20

d) 28

c) 5

b) 15

= 3a + 2b, cuando a < b

Si:

que: 1 Sabiendo c) 81(m + 2) θ (n − 1) = 3m Δ 2n 5a Δ 4b = 3a − b + 1,

Si se cumple que:

Acumulativo parcial

Nivel III

64 b) 64 e) 108

a) 72 d) 98

m n = mn + n , (3 1).

Sabiendo que: m halla el valor de: 2

a) 30

Si se sabe que:

8 6 4 + 12 10

c) Todas b) 2 e) Ninguna

a) 1 d) 3

Sabiendo e) 1 c) 4que:d) 0 a) 3 2 b) 2 m que: = 2n 2 + 4n + 2, 12 Sabiendo m n n m n=m −n el valor de x (x > 0), en: − (a + b), determina a b = ab 6). (2 5) (2 calcula:

= x 2 + y + 1,

2 y

x3 calcula:

72. determina el valor de: (2 9) e) 81 a) 49 b) 50 c) 64 d) 72

4) c) 7996

b) 7986 e) 3

a) 4 d) 0

determina el valor de:

2 m 3 − n ; si m ≥ n , 2 n 3 − m ; si m < n

determina el valor de: (6

e) 20

d) 19

x+y = x−y,

x−3 y+4

Si:

(b + 3) = ab + 1, 4) c) 1

b) 18

a) 2

ALFONSO ROJAS PUÉMAPE

(a − 5) calcula: (7

y 3 = 4x + 5y − 5, 3

x2 2

fiSeñala cuántas de las siguientes solo guras pueden dibujarse de un trazo y sin repetirlo.

Si se cumple que:

Se define:

Acumulativo parcial

Nivel II

Acumulativo parcial

Nivel I Sabiendo que:

Páginas con problemas variados de los tres temas que conforman la unidad, de los cuales los tres primeros son acumulativos parciales (nivel I, II y III) y el último es acumulativo total (nivel IV).

IÓN

AUT OE VAL UAC

b 11

c 12

e 13

e 14

b 15

d 16

•

Respondemos:

El orden más conveniente en que efectuamos una simple suma, nos facilita muchas veces un cálculo rápido, por ejemplo: 8+9+2 o 8+2+9 El resultado es el mismo, pero es más rápida la segunda forma: 8+2+9

Resolvemos: Solo tenemos que sumar: 2147 + 935 + 3283 • Empezamos por las decenas: 4 + 3 + 8 = 15 decenas o 150 unidades Le agregamos la columna de unidades: 150 + 7 + 5 + 3 157 162 165 • Le agregamos las centenas: 165 + (100 + 900 + 200) = 1365

•

2 + 5 + 8 = 15 decenas

Í ndice panor á m ic o UNIDAD

1 Pág. 8

TíTULO

Conteo abreviado

Operadores y trazos

Pág. 36

3 Pág. 64

Uno tras otro

Cuatro operaciones

Pág. 92

Planteamos ecuaciones

JUEGO

TEMA 1

TEMA 2

Palitos de más

Conteo de figuras por enumeración PR Y PP* Control 1

Conteo de cubos PR Y PP* Control 2

Una operación sencilla

Operadores simples PR Y PP* Control 4

Operadores gráficos PR Y PP* Control 5

De pared a pared

Sucesiones numéricas PR Y PP* Control 7

Sucesiones alfabéticas PR Y PP* Control 8

Jugando con las operaciones

Falsa suposición Dif. unitaria y total PR Y PP* Control 10

Retroalgoritmo y conjunta PR Y PP* Control 11

Tour por el Perú

Planteo de ecuaciones PR Y PP* Control 13

Edades PR Y PP* Control 14

De a tres

Orden de información PR Y PP* Control 16

Cuadros de doble entrada PR Y PP* Control 17

Pág. 120

6 Pág. 148

Razonamiento analítico

CáLCULO RáPIDO

• Pon y quita

• Decenas primero

• Minuendo partido

• Pon y quita • De 10 en 10

• Decenas primero

• Punto de referencia • Cero sustraendo

Comparaciones cuantitativas

Las prendas de verano más usadas

Comparaciones cuantitativas Control 19

• Suma sin llevar • Céntrico sin llevar

Suficiencia de datos

Números en desorden

Suficiencia de datos Control 20

• Cero sustraendo • División por cinco

Pág. 176

Pág. 190

Anexo Pág. 204

o Problemas propuestos en concursos interescolares o Pruebas de evaluación

TEMA 3

MATEMáTICA RECREATIVA

AUTOEVALUACIóN Acumulativo parcial

Acumulativo total

• Los enamorados celosos • Juntos pero separados • Una cuestión de orden • Un pececito desorientado

Nivel I (20 problemas) Nivel II (19 problemas) Nivel III (17 problemas)

Nivel IV (18 problemas de unidad 1)

• Una venta complicada • El espejo mágico • División curiosa • Con papel y tijera

Nivel I (16 problemas) Nivel II (16 problemas) Nivel III (17 problemas)

Nivel IV (17 problemas de unidad 1 y 2)

Sucesiones gráficas PR Y PP* Control 9

• ¿Quién soy? • Una gran aventura • Reparto extraño • Besos de amistad

Nivel I (22 problemas) Nivel II (23 problemas) Nivel III (20 problemas)

Nivel IV (20 problemas de unidad 1, 2 y 3)

Miscelánea PR Y PP* Control 12

• La pirámide invertida • Distribución numérica • Una polilla glotona • Sudoku fácil

Nivel I (16 problemas) Nivel II (20 problemas) Nivel III (17 problemas)

Nivel IV (16 problemas de unidad 1, 2, 3 y 4)

• Una distribución especial • Jugando con las cifras significativas • Mirando al espejo • La posición cambia todo

Nivel I (22 problemas) Nivel II (20 problemas) Nivel III (19 problemas)

Nivel IV (18 problemas de unidad 1, 2, 3, 4 y 5)

• Por el camino correcto • Un movimiento singular • Parentesco • ¡Una pierna de más!

Nivel I (14 problemas) Nivel II (13 problemas) Nivel III (17 problemas)

Nivel IV (14 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5 y 6)

• Buscando un patrón • Cubitos y más cubitos • Sí se puede • Girando, girando sin parar

Nivel I (21 problemas) Nivel II (19 problemas) Nivel III (17 problemas)

• Dividiendo el retazo • Una partida complicada • Una medición exacta • ¡A colorear se ha dicho!

Nivel I (17 problemas) Nivel II (17 problemas) Nivel III (14 problemas)

Cortes y partes PR Y PP* Control 3 Figuras de un solo trazo PR Y PP* Control 6

Ecuaciones con fracciones PR Y PP* Control 15 Relaciones de tiempo PR Y PP* Control 18

*PR: Problemas resueltos PP: Problemas propuestos

Nivel IV (17 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7)

Nivel IV (12 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8)

Alfonso Rojas Puémape

u nidad

109

conteo abreviado

¿Cuántas figuras de 6 lados hay?

CONTENIDO ► Conteo de figuras por enumeración ► CONTEO DE CUBOS ► CORTES Y PARTES

so Pien

mientras

J U E G O Palitos de más

En el siguiente conjunto de palitos de fósforo, ¿cuántos debes retirar como mínimo para obtener 12 cuadrados iguales?

Busca 3 figuras semejantes y en cada una de ellas quita el mismo número de palitos.

Tema

Alfonso Rojas Puémape

CONTEO DE FIGURAS por enumeración

1 ¿Cuántos triángulos podemos contar en la

siguiente figura?

• Así es; los triángulos que se distinguen a “simple vista”, se llaman "figuras básicas". En este caso:

¡IMPORTANTE!

1 3

Triángulos básicos son aquellos triángulos que se presentan de forma individual. Veamos este ejemplo: 3 4 1

Parece que se puede contar solo tres... pero ya veo... hay más.

Estrategia

2 5 6

No nos guiemos por lo que parece. Mejor asignamos un número (o en otros casos, una letra) a cada una de las figuras básicas. Al juntar números y/o letras iremos descubriendo más figuras que estamos buscando.

2 ¿Cuántos triángulos se pueden contar en

la siguiente figura?

¡OBservación! Triángulos formados por dos o más figuras: 3 2

3 4

3 2

• Enumeramos las figuras básicas:

123

1 6

2 3 5

• Tenemos tres triángulos básicos y si unimos algunos de ellos resultarán otros triángulos. Entonces tendremos el siguiente conteo: de una figura: 1; 2; 3 de dos figuras: 12; 24; 34; 13 de tres figuras: No hay de cuatro figuras: 1234 Gran total:

→ Total: 3 → Total: 4

→ Total: 1

3 + 4 + 1 = 8 triángulos

• Ahora contamos: de una figura 1; 2 ; 3; 6 → Total: de dos figuras 12; 23; 34; 25; 16; 65 → Total: de tres figuras 123; 456 → Total: de cuatro figuras 1265; 2345 → Total: de cinco figuras No hay de seis figuras 123456 → Total: Gran total: 15 triángulos

4 6 2 2

3 ¿Cuántos cuadriláteros se pueden contar

en la siguiente figura?

• Asignamos números y letras a la figura:

1 a

• Contamos los cuadriláteros de acuerdo a la cantidad de figuras que los conforman:

Estrategia En la figura que se nos presenta tenemos ahora triángulos y cuadriláteros. Esta vez asignamos números a los cuadriláteros y letras a los triángulos.

4 ¿Cuántos cuadriláteros se pueden contar

en la siguiente figura?

(1): (2): (3): (4): (5): (6):

1; 2........................................... 2 1a; 1d; 2c................................. 3 a1d........................................... 1 1abc; 12cd; bc2d..................... 3 no hay cuadriláteros 12abcd......................................1

• Luego, en total el número de cuadriláteros es: 2 + 3 + 1 + 3 + 1 = 10 cuadriláteros

¡Importante! Cuadrilátero: figura geométrica de cuatro lados. Ejemplos:

• Asignamos números a los cuadriláteros: 1 6

• Contamos los cuadriláteros de acuerdo a la cantidad de figuras:

Estrategia Ahora todo está más claro, ya que al interior de la figura solo hay cuadriláteros; entonces, asignamos a cada cuadrilátero un número.

¡DESAFÍO! ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura? a) 9 d) 17

b) 14 e) 18

c) 15

(1): (2): (3): (4): (5): (6):

1; 2; 3; 4; 5; 6........................... 6 12; 23; 45; 56; 16; 25; 34......... 7 123; 456.................................... 2 1256; 2345................................ 2 no hay cuadriláteros 123456...................................... 1

• Luego, en total el número de cuadriláteros es: 6 + 7 + 2 + 2 + 1 = 18 cuadriláteros

Resuelve aquí:

¡Atención!

Observar con mucha atención nos ayudará a ubicar las figuras que nos piden contar.

Alfonso Rojas Puémape

MáS RESUELTOS 1 ¿Cuántos triángulos se pueden contar en

la figura?

Resolvemos: • Asignamos números a los triángulos que se observan a simple vista:

¡IMPORTANT

• Contamos: (1) 1; 2; 3; 4; 5; 6..........................6∆ (2) 12; 2a; 45; 34..........................4∆ (3) 2a3; 456..................................2∆ (4) 1456........................................1∆

4 Identifica la cantidad de triángulos que se

• Contando: (1) 1; 2; 3; 4................................4∆ (2) 12; 23; 34..............................3∆ (3) 123; 234................................2∆ (4) 1234......................................1∆

pueden contar en la siguiente figura:

Resolvemos: • Asignamos números y letras a las figuras interiores:

• En total: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 triángulos 2 Determina la cantidad de triángulos que

se pueden observar en la siguiente figura:

Resolvemos: • Asignamos números a los triángulos:

¡IMPORTANTE! Cuando las figuras al interior de otra figura no son las que debemos contar, se les asignan letras, así: Si deseo contar triángulos en la figura:

3 1

• Contando: (1): 1; 2; 3; 4; 5; 6...........................6∆ (2): 12; 34; 56.................................3∆ (3): 123; 456; 234; 156; 126; 345...6∆ (4): no hay triángulos (5): no hay triángulos (6): 123456......................................1∆ • En total: 6 + 3 + 6 + 1 = 16 triángulos

• Asignamos números a los triángulos y letras a los que no lo son:

• Contamos: (1) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.......................7∆ (2) 12; 23; 34; 45; 56; 67; 3a; 5a...8∆ (3) 1a5; 1a7; 234; 456; 3a7...........5∆ (4) 345a..........................................1∆ (5) 1a567; 123a7........................... 2∆

en la siguiente figura?

Resolvemos: • Asignamos números a los cuadriláteros:

servan en la siguiente figura:

Resolvemos:

5 ¿Cuántos cuadriláteros se pueden contar

3 Indica el número de triángulos que se ob-

• En total: 7 + 8 + 5 + 1 + 2 = 23 triángulos

1 2 a

• En total: 6 + 4 + 2 + 1 = 13 triángulos

Primero contamos los triángulos que se observan a simple vista y luego los que se forman uniendo dos o más figuras.

2 5

• Contando: (1): 1; 2; 3; 4; 5 .............................5 (2): 23; 34; 15; 54..........................4 (3): 125; 154..................................2 (5): 12345......................................1 • En total: 5 + 4 + 2 + 1 = 12 cuadriláteros

M á S p ro p uestos 1 Indica la cantidad de triángulos que se

7 ¿Cuántos cuadriláteros hay en total en la

pueden observar en la siguiente figura:

siguiente figura?

PISTA 4

Rpta.: 11

que se pueden identificar en la siguiente figura:

total en la siguiente figura?

Rpta.: 12

pueden contar en la figura.

figura?

Rpta.: 13

4 Indica el número de triángulos que se

pueden contar en la figura.

se observan en la figura.

Rpta.: 36

10 ¿Cuántos cuadriláteros se pueden contar

en la siguiente figura?

Rpta.: 17

5 Determina el número de triángulos que

Rpta.: 30

9 Indica el número de cuadriláteros que se

3 ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente

Cuadrilátero: figura geométrica de cuatro lados.

8 Determina la cantidad total de cuadriláteros

2 ¿Cuántos triángulos se pueden contar en

Rpta.: 9

Rpta.: 13

11 Indica el número total de cuadriláteros

que se pueden contar en la figura.

DESAFÍO

Rpta.: 26

6 ¿Cuántos triángulos se pueden contar en

la siguiente figura?

Rpta.: 12

¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?

12 ¿Cuántos cuadriláteros se pueden contar

en la siguiente figura?

Rpta.: 26

Rpta.: 28

Rpta.: 60

Alfonso Rojas Puémape

control 1 ¿Cuántos triángulos se pueden contar en

la siguiente figura?

4 ¿Cuál es el número de triángulos que se

pueden contar en la figura?

¡Resuelve aquí!

PISTA 1 Asignamos números a los triángulos básicos y letras a las figuras que no son triángulos.

2 Determina el número de triángulos que

5 ¿Cuántos cuadriláteros se pueden contar

3 Indica el número de triángulos que se

6 Indica la cantidad de cuadriláteros que se

se pueden contar en la figura adjunta.

en la siguiente figura?

PISTA 5 Recordemos que un cuadrilátero puede tener estas formas:

pueden observar en la siguiente figura:

pueden contar en la figura.

15 Toma la iniciativa para plantear preguntas y discutirlas con tus compañeros.

7 Indica el número de cuadriláteros que se

pueden contar en la siguiente figura:

10 Halla el número de triángulos que se pue-

den contar en la figura.

PISTA 8

Observa con cuidado: figuras como estas ... ¡son cuadriláteros!

8 Determina la cantidad de cuadriláteros

que se pueden contar en la figura.

11 ¿Cuántos triángulos se pueden contar en

la siguiente figura?

PISTA 10 Se puede formar triángulos uniendo triángulos pequeños, así:

12 Halla el número de triángulos que se

pueden contar en la figura.

12) 24 11) 14

5) 21

10) 26

4) 10

9) 10

3) 21

8) 10

2) 8

7) 25

1) 15

COMPRUEBA

var en la figura adjunta?

6) 12

9 ¿Cuántos cuadriláteros se pueden obser-

Tema

Alfonso Rojas Puémape

CONTEO DE cubos

1 ¿Cuántos cubos simples hay en el siguien-

te conjunto de cubos?

• Busquemos la respuesta contando por columnas: 5

4 3

Atrás 2

4 3

2 1

Adelante

izquierda

¡CUIDADO!

Estrategia El conteo desarrolla la habilidad visual de observación.

Es posible contar cubos simples por niveles o pisos; pero también podemos contar por columnas. Esto último es más recomendable. En el gráfico, sobre cada columna escribimos la cantidad de cubos simples que tiene esta.

derecha • Procedemos a contar los cubos por columnas de adelante hacia atrás y de izquierda a derecha, así: N.° cubos simples = N N=2+2+3+5+1+3+4+4+ 1+2+3+4+1+1+2+1 N = 39 cubos simples

2 Calcula el número de cubos simples en la

siguiente figura:

5 5 5 5 5 5 5 55 4 4 4 4 4 4

¡IMPORTANTE!

Columna de cubos: 6

6 5 4 3 2 1

• Escribimos la cantidad de cubos en cada columna:

1 1

Estrategia Escribe sobre cada columna la cantidad de cubos simples que tiene. Luego multiplica tal cantidad por el número de columnas similares. La suma de todos los productos es el total de cubos simples.

• Observa que el conteo es más fácil cuando muchas de las columnas tienen igual cantidad de cubos. • Entonces: N.° cubos simples = N N=9×5+6×4+2×2+4×1 N = 77 cubos simples

3 ¿Cuántos cubos simples no se pueden

apreciar a simple vista en la siguiente figura?

• Veamos: 5 4

4 3

2 1

N.° total de cubos = N

Estrategia Ya hemos aprendido a contar el total de cubos simples. Si a este total le restamos los cubos que se pueden ver a simple vista, la diferencia será el número de cubos que no se ven.

4 Determina el número de cubos que no se

pueden ver a simple vista en el siguiente conjunto de cubos:

N=4×1+4×2+2×3+3×4+1×5 N = 35

En la práctica, indicamos con un punto los cubos que se aprecian a simple vista.

N.° de cubos que se ven a simple vista = P

P = 6 + 6 + 3 + 3 + 1 = 19

N.° de cubos que no se ven a simple vista = E

E=N-P

E = 35 - 19 = 16 cubos simples

• Observamos la figura y colocamos puntos a los cubos visibles: 5

4 4

4 2

En los niveles o pisos de cubos:

• Contamos el total de cubos: = 4 × 1 + 1 × 2 + 1 × 3 + 8 × 4 + 10 × 5 = 4 + 2 + 3 + 32 + 50 = 91 cubos

Estrategia Que el conjunto de cubos tenga más elementos, no hace al ejercicio más complicado. Se debe contar con orden, siguiendo el procedimiento indicado.

• N.° total de cubos visibles por niveles: = 9 + 8 + 8 + 11 + 10 = 46 cubos • Luego, el número de cubos que no se ven es: 91- 46 = 45 cubos simples

Observe que el punto se coloca en algún lugar del cubo que sea visible. 1.° 2.° 3.° 4.°

→ → → →

5 cubos 4 cubos 4 cubos 1 cubo

Alfonso Rojas Puémape

MáS RESUELTOS 1 Indica la cantidad de cubos simples que

hay en el siguiente conjunto de cubos:

Resolvemos:

• Contamos por columnas:

6 × 5 + 2 ×4 + 8 × 1 = 68 cubos

¡IMPORTANTE!

5 5 5 4 3

3 3

2 1

1 1 1 1

4 En el siguiente conjunto de cubos, ¿cuán-

Resolvemos:

Podemos contar de forma ordenada por columnas, así:

tos cubos simples no se ven?

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

5 4

6 ×3 + 2 ×2 +

En muchos casos basta con multiplicar el número de columnas por el número de cubos simples que contiene cada una. 2 2

10 × 4 = 40 cubos

2 Determina el número de cubos simples que hay en el conjunto de cubos.

=8×2 = 16 cubos

¡atención!

Resolvemos: • Contamos por columnas: 12 × 3 + 3 × 2 + 2 × 1

= 36 + 6 + 2

= 44 cubos

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Los puntos indican los cubos que se puede ver a simple vista. (El punto se puede colocar en cualquier cara visible del cubo).

4 3

11 × 4 + 3 × 3 + 1 × 2 2 = 55 cubos • Contamos los cubos que se ven a simple vista: 11 + 6 + 6 + 6 = 29 cubos • N.° de cubos que no se ve = 55 - 29 = 26 cubos 3

5 ¿Cuántos cubos simples no se pueden ver

en el siguiente bloque de cubos?

1 1

• Contamos el total de cubos:

2 2 2

3 ¿Cuántos cubos simples hay en el blo-

que de cubos?

Resolvemos:

Resolvemos: • Contamos el total de cubos: 5×4+4×3+3×2+2×1 4 4 4 4 = 40 cubos 3 3 3 3 • Contando los cubos que 2 2 2 se ven a simple vista: 5+5+5+5 1 1 = 20 cubos

• N.° de cubos que no se ve = 40 - 20 = 20 cubos

M á S p ro p uestos II En los siguientes bloques de cubos, ¿cuán-

I ¿Cuántos cubos simples se pueden contar

en cada conjunto de cubos?

tos cubos no se pueden ver a simple vista?

Rpta.: 18

8. PISTA 2

Rpta.: 45

Rpta.: 44

Rpta.: 20

Puedes identificar con una marca (un punto) todos los cubos simples visibles.

Rpta.: 45

Rpta.: 29

10.

Rpta.: 82

Rpta.: 40

11.

5. PISTA 4

Rpta.: 57 12.

Rpta.: 50

Rpta.: 100

Rpta.: 111

No olvides contar los cubos que están ocultos por las columnas más grandes.

Alfonso Rojas Puémape

control 1 Determina la cantidad de cubos simples

4 ¿Cuántos cubos simples no se pueden

que hay en el siguiente conjunto de cubos:

ver en el siguiente conjunto de cubos?

PISTA 1 Observa que, en el conjunto de cubos, algunos cubos se ven a medias y otros no se ven, pero se entiende que están ahí.

¡Resuelve aquí!

5 ¿Cuántos cubos

2 Del siguiente conjunto de cubos, ¿cuán-

tos cubos simples no podemos ver a simple vista?

3 Indica el número de cubos simples que

hay en total en el siguiente grupo de cubos:

PISTA 2 Cuenta los cubos por columnas y luego los que se ven a simple vista.

simples hay en el siguiente bloque de cubos?

6 En el siguiente conjunto de cubos, ¿cuán-

tos cubos simples no se pueden ver a simple vista?

21 Practica mucho y pronto serás un experto o experta.

7 ¿Cuántos cubos simples hay en total en

el siguiente bloque de cubos?

8 Del siguiente conjunto de cubos, ¿cuántos

cubos simples no se pueden ver a simple vista?

10 Determina el nú-

mero de cubos simples que no se pueden ver a simple vista en el siguiente bloque de cubos:

PISTA 8 Identifica el número de cubos que se pueden ver a simple vista.

11 Halla el número de

cubos simples que hay en total en el conjunto de cubos adjunto.

PISTA 9 Identifica las columnas según el número de cubos que contiene.

12 Del siguiente bloque de

cubos, ¿cuántos cubos simples no se pueden ver a simple vista?

12) 53 11) 95

5) 60

10) 41

4) 13

9) 62

3) 33

8) 21

2) 20

7) 54

1) 43

COMPRUEBA

cubos simples que presenta el siguiente bloque:

6) 28

9 Indica la cantidad de

Alfonso Rojas Puémape

c á l c ulo r á p id o PON Y QUITA

1. A una reunión de delegados estudiantiles de colegios de toda la gran Lima asistieron dos comités, uno de la zona norte y otro de la zona sur. En uno de ellos había 97 delegados y en el otro, 189. ¿Cuántos delegados había en total?

Resolvemos: • Solo tenemos que sumar: 97 + 189 • Es más sencillo sumar: 100 + 200 = 300 • Observa que hemos aumentado a ambos sumandos 3 y 11, es decir: 14. • El principio a emplear es simple:

“Si en un grupo de sumandos aumentamos un total de n unidades, la suma quedará aumentada en n unidades”.

• En nuestro ejemplo: 97 + 189 = 300 − 14 = 300 − 3 − 11 = 286 Respondemos: Había un total de 286 delegados.

¡ATENCIóN! Estas técnicas sencillas de cálculo rápido pueden requerir de pequeños apuntes que, de todas maneras, abreviarán los cálculos, agilizarán aún más nuestra mente y nos permitirá ahorrar, sobre todo, tiempo.

2 Un auto recorrió el domingo 196 km, el lu-

3 María lee un libro en 4 días. El primer día

4 Tres amigos emplean sus ahorros en la

5 Cuatro aulas de un centro educativo tie-

6 Tres miembros de una familia deciden

7 En un centro de idiomas, 877 alumnos

nes 245 km y el martes 188 km. ¿Cuántos kilómetros recorrió en los tres días?

compra de víveres para sus hogares. Si disponen de S/.237, S/.348 y S/.153, respectivamente, ¿cuánto suma el gasto total?

aportar cada uno S/. 489, S/. 396 y S/. 507 para comprar una computadora que será para su uso común. ¿Cuál es el costo de dicha computadora?

lee 48 páginas; el segundo, 37 páginas; el tercero, 29 páginas y el último día, 16 páginas. ¿Cuántas páginas tenía dicho libro?

nen, respectivamente; 29, 34, 39 y 26 alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en total en estas 4 aulas?

estudian inglés; 329 alumnos francés y 218 alumnos chino. ¿Cuántos alumnos estudian en total en dicho centro de idiomas?

El cálculo rápido ayuda a desarrollar habilidades mentales como la velocidad de procesamiento.

8. Para fiestas patrias, tres hijos piensan regalarle a su mamá un TV plasma. Uno aporta S/.419; el otro, S/.596 y el último, S/.316. ¿Cuánto cuesta el TV plasma?

Resolvemos: • Sumemos los aportes de los hijos:

419 + 596 + 316

• Es más simple sumar:

420 + 600 + 320 = 1340

• Observamos que hemos aumentado a los sumandos: 1; 4 y 4, es decir, en total 9. • Entonces, restando el aumento: 1340 − 9 = S/.1331 Respondemos: El TV plasma cuesta S/.1331.

9 Un bus, en su primer recorrido, transpor-

10 Un edificio consume en tres días conse-

11 Dos hermanos se unen para comprar un

12 En una colecta para ayudar a los damni-

ta 678 pasajeros; en el segundo transporta 517 pasajeros y en el tercer recorrido transporta 496 pasajeros. ¿Cuántos pasajeros transporta en total?

lote de terreno. Uno aporta S/. 3098 y el otro aporta S/. 2896. Si el lote cuesta S/. 5990, ¿les falta o les sobra dinero, y cuánto?

¡ATENCIÓN! Para determinar cuánto cuesta el TV plasma, debemos sumar lo que aporta cada hijo.

cutivos 888, 978 y 1219 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua consume en total durante estos tres días?

ficados de un sismo, se recaudó 349 kg de arroz, 246 kg de avena, 427 kg de azúcar y 568 kg de leche en polvo. Si cobran S/. 1 por transportar cada kg, ¿cuánto se paga por el transporte?

DESAFÍO Suma: 1296; 897; 598; 1999 y 300. Rpta.: 5090

13 En un teatro se presenta una obra en

tres funciones. A la primera asisten 496 personas; a la segunda, 595 personas y a la tercera, 487 personas. Del total de asistentes, 788 no pagaron. ¿Quiénes son los que están en mayoría: los que pagaron o los que no lo hicieron?

14 Las cuatro secciones de 1.° de secundaria

han recaudado dinero para realizar un viaje de estudio. Los de 1.° A recaudaron S/. 348, los de 1.° B recaudaron S/. 359, los de 1.° C recaudaron S/. 349 y los de 1.° D, cierta suma de dinero, logrando juntar en total S/. 1393. ¿Cuánto recaudó el 1.° D?

Tema

Alfonso Rojas Puémape

CORTES Y PARTES

1 Si tenemos una varilla de metal de 120cm

de longitud y queremos dividirla en 6 partes iguales, ¿cuántos cortes se deben realizar?

120cm 30cm 30cm 30cm 30cm corte corte corte

• Grafiquemos:

4 partes ; 3 cortes

120cm

Estrategia

corte 2 partes ; 1 corte ¡ATENCIóN! Calculamos el número de partes, así: Np =

En casos como estos, la cantidad de cortes es uno menos que la cantidad de partes. N.° de cortes = N.° partes - 1

120cm 40cm

40cm 40cm corte corte 3 partes ; 2 cortes

Longitud total Longitud unitaria

Luego: L N.° de cortes = T - 1 LU

2 Una costurera tiene 50 metros de tela y de-

sea dividir todo en partes iguales de 5m de largo cada una. ¿Cuántos cortes deberá realizar la costurera?

• Veamos los datos: = 50m

L total

L unitaria = 5m

50m = 10 • N.° de partes = Np = 5m • N.° de cortes = Np - 1 = 10 - 1 = 9 cortes ¡IMPORTANTE! El lapso es el tiempo que hay entre campanada y campanada. En la figura observarás que el número de estos es 6.

3 Si el campanario de una catedral tarda 24

segundos en dar 7 campanadas, ¿cuánto tiempo tardará en dar 15 campanadas?

• Graficamos: 1

Estrategia Mucho cuidado. Mientras no nos digan otra cosa asumimos que el tiempo entre campanada y campanada es el mismo. Las campanadas se cuentan a partir de la primera.

4 24s

• Dividimos el tiempo en 24 segundos por 7 - 1 = 6 intervalos: lapso =

24s = 4s 6

• Calculamos el tiempo que se tardará en dar 15 campanadas: 4 × (15 - 1) = 4 × 14 = 56s

4 La municipalidad de cierto distrito decidió

colocar árboles a lo largo de una avenida de 600m de largo. Si entre árbol y árbol debe haber una distancia de 50m y además se debe colocar un árbol al inicio y otro al final de la avenida, ¿cuántos árboles necesitará dicha municipalidad?

¡IMPORTANT

Estrategia n es la cantidad de partes, m es la cantidad de cortes; la relación entre m y n es: m=n-1 si en lugar de cortes hay postes o árboles y debe haber uno de estos en cada extremo, entonces debemos agregar dos árboles (como si fueran dos cortes más), es decir: m=n-1+2 m=n+1 N.° postes =

Lt +1 Lu

Un espacio queda determinado por 2 postes, dos espacios son determinados por 3 postes, tres espacios son determinados por 4 postes, etc.

• Entonces:

Longitud total + 1 N.° árboles = Longitud unitaria 600m + 1 N.° árboles = 50m N.° árboles = 13 árboles

¿Cómo debemos proceder cuando se trata de figuras cerradas? Por ejemplo, para dividir un aro de metal en 4 partes iguales, el número de cortes debe ser también 4. Veamos los siguientes gráficos:

Estrategia El cálculo de la cantidad de partes al hacer cortes en figuras cerradas es distinto, ya que en figuras abiertas aparecen dos extremos que al cerrar se juntan en un punto por donde haremos un corte más. Entonces en figuras abiertas: Lt Np = Lu Nc = Np - 1 En figuras cerradas: Nc = Np - 1 + 1 Nc = Np

¡CUIDADO!

Dividir en 4 partes: 1

Cálculo del número de espacios: N.° de espacios = Longitud total Longitud unitaria

Otros ejemplos:

2 3

3 partes 3 cortes

3 4

5 partes 5 cortes

Alfonso Rojas Puémape

MáS RESUELTOS 1 Para obtener arcos de 4cm de longitud,

¿cuántos cortes deben realizarse a 18 aros de 16cm de longitud?

vvvv• Por cada aro (línea cerrada) hay: 16cm = 4 arcos 4cm

• Interpretando la información, tenemos:

Resolvemos:

Donde: cantidad de arcos = cantidad de cortes

2 Se tiene un terreno en forma de exágono

En una línea cerrada se cumple que la cantidad de arcos es igual a la cantidad de cortes.

regular el cual se va a cercar. Si las estacas se colocan cada 3 metros y una en cada esquina, ¿cuántas se necesitarán para cercar todo el terreno cuyo lado mide 12 metros?

Resolvemos: • Calculamos el perímetro del terreno (figura cerrada):

5 Un herrero dispone de un tubo metáli-

co lineal de 3,2m. Si necesita tubos de 40cm, ¿cuántos cortes deberá hacer a dicho tubo?

Perímetro = 6(12m) = 72m

N.° estacas =

3,2m -1 N.º cortes = 40cm 320cm -1= 7 = 40cm 6 Un sastre tiene una tela de 98m de longi-

Lapso: tiempo entre campanada y campanada.

Resolvemos: 98m - 1 = 48 2m

• N.° de cortes =

Resolvemos:

• Tiempo total empleado es:

4 campanadas < > 3 lapsos

longitud se van a colocar árboles, distanciados uniformemente entre sí 3,5m. Si se coloca uno al inicio y otro al final, ¿cuántos árboles serán necesarios?

9s = 3s 3

• Luego, en dar 6 campanadas tardará: 5(3s) = 15s 4 Un carpintero golpea uniformemente un clavo dando 7 martilleos en 12 segundos. ¿Al cabo de cuánto tiempo el carpintero dará 10 martilleos?

48(4s) = 192s = 3,2 minutos 7 A lo largo de una avenida de 280m de

tiempo: 9s

• Lapso:

gundos en dar 4 campanadas, ¿cuánto tardará en dar 6 campanadas?

• Gráficamente tenemos: ¡RECUERDA!

tud que cortará en pedazos de 2m cada uno. Si demora 4 segundos en realizar cada corte, ¿cuánto demorará (en minutos) en realizar todos los cortes?

72m = 24 3m

3 Si la campana de un convento tarda 9 se-

Resolvemos: • Trabajando con las mismas unidades, para determinar el número de cortes:

12m

9 lapsos

• Dará 10 martilleos en 18s .

18 × 4 = 72 cortes

6 lapsos

7 martilleos

12s = 2s 6 Luego, 10 martilleos 9(2s) = 18s

• Entonces, en 18 aros se realizará: ¡ATENCIóN!

Resolvemos:

Resolvemos: • El número de árboles será igual al número de espacios entre árbol y árbol más 1 (el árbol de uno de los extremos):

N.° árboles =

280m + 1 = 81 3,5m

M á S p ro p uestos 1 Un corral de aves tiene la forma de un

pentágono regular. Si se cerca colocando estacas cada 2m y en las esquinas, ¿cuántas se necesitarán para cercar dicho corral cuyo lado mide 8m?

Rpta.: 20

2 Si un patrullero tarda 20 segundos en ha-

cer sonar 6 veces su sirena, ¿cuánto tardará en hacer sonar su sirena 9 veces?

Rpta.: 32s

3 Un reloj tarda 24 segundos, en marcar

las 9:00 p.m. Si este reloj marca las horas con igual número de campanadas, ¿cuánto tiempo tardará (en segundos) en dar las 7:00 a.m.?

Rpta.: 18

4 Un reloj de péndulo marca las 11:00 a.m.

con 11 campanadas. Si el lapso entre campanada y campanada es de dos segundos, ¿cuánto tiempo tardará en dar estas campanadas?

Rpta.: 20s

5 Un jardín de forma circular de 4m de

perímetro se debe cercar con estacas. Si un jardinero tarda tres minutos en colocar cada estaca, las que deben estar separadas 25cm una de la otra, ¿cuánto tiempo empleará en total?

Rpta.: 48 min

6 Un tubo lineal de acero mide 5,4m. Para

fabricar sillas se emplean pedazos de 45cm. ¿Cuántos cortes se deben realizar al tubo para obtener dichos pedazos?

Rpta.: 11

7 Un leñador corta el tronco de un árbol

que mide 8m en pequeños troncos de 20cm. ¿Cuántos cortes realiza?

Rpta.: 39

8 Un sastre tiene un corte de tela de 20m

de largo y 4m ancho. Si desea obtener pedazos de tela de 4m de largo y 2m de ancho, ¿cuántos cortes realizará para tal objetivo? Rpta.: 9

9 A lo largo de un pasaje de 200m se van

a colocar postes equidistantes 4m. Si se debe colocar uno al inicio y otro al final del pasaje, ¿cuántos serán necesarios? Rpta.: 51 10 La chacra de un agricultor tiene 8 surcos

y cada surco mide 25 metros. Si siembra las semillas cada 50cm y además coloca una al inicio y otra al final, ¿cuántas sembrará? Rpta.: 408

pista 4

11 Se colocan postes equidistantes 4,5m al-

Un minuto equivale a 60 segundos.

rededor de un terreno de forma exagonal regular. Si el lado del terreno mide 15m y se coloca un poste en cada esquina, ¿cuál fue la cantidad de postes que se emplearon? Rpta.: 20 12 En una fiesta infantil se observó que los

vasos de chicha estaban ubicados en línea recta, separados 15cm uno del otro. Si la distancia que separaba al primer y último vaso era 3m, ¿cuántos vasos de chicha habían? Rpta.: 21 13 En una competencia automovilística los

participantes parten, uno por uno, cada 18 minutos. El primer automóvil partió a las 8:36 a.m. y el último a las 11:00 a.m. ¿Cuántos participaron en dicha competencia? Rpta.: 9 14 Un médico atiende a cada paciente

en 15 minutos. El primer paciente fue atendido a las 7:45 a.m. y el último a las 3:30 p.m. Si el horario de trabajo del médico es constante y siempre atiende el mismo número de pacientes, ¿a cuántos atendió en 3 días? Rpta.: 96 15 A una varilla de fierro que mide 600cm

se le hacen tantos cortes como longitud tiene cada pedazo. ¿Cuántos cortes se realizaron?

Rpta.: 24

pista 11 De manera similar aplicamos la siguiente relación: N.º postes = Longitud total +1 Longitud unitaria

Alfonso Rojas Puémape

control 1 Si un fardo de tela de 120 m de largo se

corta en pedazos de 5 m, ¿cuántos cortes se realizarán para obtener dichos pedazos?

PISTA 1

4 En medio de una avenida de 120 m se

colocan árboles cada 6 m. Si se coloca un árbol al inicio y otro al final, ¿cuántos se requieren?

¡Resuelve aquí!

Ten en cuenta que el número de pedazos excede al número de cortes en 1.

2 Un carpintero cobra S/. 5 por cada corte

5 Si un reloj tarda 9 segundos en dar 4

3 Si un reloj tarda 12 segundos para mar-

6 Se cercó un huerto cuadrado de 10 m de

que realiza a un tronco. Si debe obtener trozos de 1,2 m de un tronco de 24 m, ¿cuánto cobrará?

PISTA 6 En una figura cerrada, el N.º de estacas equidistantes a colocar es igual al N.º de espacios determinados por las estacas.

car las 7 de la noche, ¿en cuánto tiempo marcará la medianoche?

campanadas, ¿en cuánto tiempo dará 8 campanadas?

lado. Si se colocaron estacas cada 2,5 m, ¿cuántas se emplearon?

29 Todo problema tiene solución o... una explicación.

7 El médico le recomendó a Andy tomar

cada 8 horas una pastilla durante 6 días. ¿Cuántas tomó, si lo hizo desde el inicio del primer día hasta el final del último día?

8 Un tronco de madera de 15 m de longitud

se dividió en pedazos de 60 cm, ¿cuántos cortes se realizaron?

10 Un leñador cobrará S/. 1,50 por cada corte

que realice a un tronco de árbol de 22 m de largo. Si debe obtener trozos de 1,1 m cada uno, ¿cuánto cobrará luego de realizar todos los cortes?

PISTA 7

Podemos asumir que: N.° pastillas = N.° de estacas = N.° postes ... Se calculan de igual forma.

11 Fany tomó, cada 12 horas, una cápsula

de vitamina B durante el mes de setiembre. Si lo hizo desde el inicio del 1.° día hasta el final del último día, ¿cuántas cápsulas tomó en dicho mes?

PISTA 12 Colocar durmientes a lo largo de una línea férrea es similar a colocar postes, estacas, etc, a lo largo de una avenida. 12 En una línea férrea se colocan durmien-

tes cada 80 cm. Si debe haber una al inicio y otra al final, ¿cuántas durmientes se colocarán en una línea férrea de 2 km? 12) 2501 11) 61

5) 21s

10)S/.28,5

4) 21

9) S/.525

3) 22s

8) 24

2) S/.95

7) 19

1) 23

COMPRUEBA

y 20 m de ancho se cercó. Si se colocaron estacas cada 60 cm y cada una costó S/. 3,5, ¿cuánto se pagó por las estacas que se emplearon?

6) 16

9 Un terreno rectangular de 25 m de largo

Alfonso Rojas Puémape

matemática 1. LOS ENAMORADOS CELOSOS

Tres jóvenes se encuentran con sus enamoradas en la orilla de un río, el cual piensan atravesar. Solamente disponen de una pequeña canoa que puede transportar a dos personas a la vez. Además, ninguna de las enamoradas puede quedar en compañía de algún joven, si su enamorado no está presente. ¿Cuántos viajes como mínimo deben hacer para que todos atraviesen el río?

2. JUNTOS PERO SEPARADOS

Un grupo de 8 jugadores de fútbol cuyas camisetas están enumeradas con los números del 15 al 22, se deben ubicar en los recuadros indicados en el campo deportivo, de tal manera que dos jugadores con números consecutivos no deben estar contiguos.

¿Cómo se ubicarán los jugadores?

¡Resuelve aquí!

recreati va 3. UNA CUESTIÓN DE ORDEN

Un mozo coloca sobre una mesa 4 posavasos cuadrados iguales: A, B, C y D, uno encima de otro como se muestra en la figura. Indica de arriba hacia abajo, el orden en que están colocados los posavasos.

C B D A

4. UN PECESITO DESORIENTADO

Cambiando de lugar 3 palitos de fósforo, haz que el pecesito nade hacia la izquierda.

Alfonso Rojas Puémape

a utoe v a lu a c ió n Acumulativo parcial

c) S/. 118

17 Se tiene un tubo de metal de 54 metros de longitud. Si cada 3 metros le deben soldar una argolla de seguridad y cada soldada cuesta S/.7, ¿cuánto se gastará al colocar argollas en el tubo de punta a punta?

11 ¿Cuántos postes debo colocar en el perímetro de un campo circular que mide 628 m si los postes estarán separados por arcos de 4 m?

5 ¿Cuántos cubos simples se pueden contar en el conjunto de cubos?

a) 156 d) 159

b) 157 c) 158 e) Falta información

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

a) 4 c) 5 e) 7

b) 8 d) 6

20 En un terrapuerto los buses parten cada 40 minutos, desde las 10:00 a.m. hasta las 8:00 p.m. ¿Cuántos buses parten diariamente?

d 9

c 10

b 11

b 12

a) 78 b) 79 c) 80 d) 81 e) 82 19 ¿Cuántos cuadriláteros se pueden contar en total en la figura?

13 ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la siguiente figura?

6 Indica el número de cuadriláteros que se pueden contar en la figura. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

a) 6

c) S/. 133

18 A lo largo de una avenida se van a colocar postes cada 12 m. Si debe colocarse un poste al inicio y al final de la avenida de 960 m, ¿cuántos se requieren?

12 Hugo, el herrero, golpea uniformemente un yunque a razón de 4 golpes en 9 segundos. ¿Cuántos golpes dará en 18 segundos?

a) 72 b) 75 c) 78 d) 80 e) 81

a) S/. 119 b) S/. 126 d) S/. 140 e) S/. 147

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

b) 30 d) 36

a) 28 c) 32 e) 40

a) 16 b) 18 c) 14 d) 20 e) 24

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

d 13

c 14

d 15

a 16

c 17

d 18

d 19

b) S/. 122 e) S/. 114

10 ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la figura adjunta?

4 ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la figura?

a) S/. 120 d) S/. 116

a) 17 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 16 ¿Cuántos cubos simples no se pueden ver en el siguiente conjunto de cubos?

9 En una carpintería cobran S/. 4 por el corte con sierra eléctrica. ¿Cuánto cobrarán por cortar una pieza de madera de 42 m en pedazos de 1,4 m?

a) 33 b) 35 c) 36 d) 30 e) 32

b) 45 c) 46 e) Falta información

15 Por cortar un tubo de metal en varios pedazos iguales me han cobrado S/. 42. Si por cada corte cobraron S/. 3, ¿cuántos pedazos se han obtenido?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

a) 44 d) 47

3 Para cercar un terreno de forma pentagonal de lados 50, 35, 30, 40 y 25 m, se van a colocar estacas cada 5 m. ¿Cuántas estacas se necesitarán si debe haber necesariamente una en cada vértice del terreno?

c) 20 s

a) 42 b) 43 c) 45 d) 47 e) 48

b) 16 s e) 24 s

8 Indica cuántos cubos simples no se ven en el conjunto de cubos que presentamos a continuación:

2 ¿Cuántos cubos simples se pueden contar en la figura adjunta?

a) 18 s d) 22 s

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

14 Los microbuses salen cada 12 minutos de un paradero. ¿Cuántos salen en 9 horas?

7 Si un reloj tarda 10 s en dar las 6 horas, ¿cuánto tardará en marcar las 12 horas?

1 Determina cuántos cuadriláteros se pueden contar en la figura adjunta:

Nivel I

a 20

Acumulativo parcial

Nivel II

a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 49

17 Un listón de madera de 4,2 metros de longitud se debe cortar en partes iguales de 28 cm. Si cada corte cuesta S/. 0,3, ¿cuánto se pagará en total por los cortes?

11 Indica el número de triángulos que se pueden contar en la figura:

12 ¿Cuántos cubos simples hay en el conjunto de cubos? a) 91 b) 93 c) 95 d) 92 e) 94

b) S/. 4,5 e) S/. 4,0

c) S/. 4,8

a) 16 b) 17 c) 40 d) 41 e) 100 19 Por cortar un tubo en pequeños pedazos de 24 cm cada uno, un gasfitero cobra S/.12. Si por corte cobra S/.0,5, ¿cuánto mide el tubo?

a) S/. 3,5 d) S/. 4,2

18 ¿Cuántos rectángulos hay en la siguiente figura?

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

a) S/. 2080 b) S/. 1950 c) S/. 2145 d) S/. 1885 e) S/. 2015 e 14

c 15

c 16

d 17

e 18

6 En una calle de 240 m de largo, la municipalidad desea colocar cada 16 m, y en ambos lados de la calle, árboles ornamentales. Si se colocan árboles al inicio y al final de la calle y la siembra de cada árbol ornamental cuesta S/. 65, ¿cuál es el costo de toda la obra?

a) 66 b) 68 c) 70 d) 72 e) 74

a) 4,84 m d) 6 m

a) 20 b) 23 c) 21 d) 19 e) 22

16 ¿Cuántos cuadrados hay en total en la figura?

c) $ 1350

a) 38 b) 34 c) 37 d) 35 e) 39

a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 33

b) 5,84 m e) 6,24 m

10 ¿Cuántos cubos no se pueden apreciar a simple vista en el conjunto de cubos?

5 Halla el número de cubos que no se pueden ver a simple vista.

b) $ 1242 e) $ 1134

a) 26 b) 25 c) 24 d) 23 e) 22

a) 59 b) 60 c) 61 d) 62 e) 63

e) 4

c) 5,76 m

pueden

a) $ 1188 d) $ 1296

4 ¿Cuántos triángulos contar en la figura?

c) 25 s

b) 29 s e) 26 s

a) 30 s d) 28 s

d) 5

15 Indica el número de cubos que no se pueden observar a simple vista en el siguiente conjunto de cubos:

9 A lo largo de un túnel de 165 metros de longitud se deben colocar faroles (de inicio a fin), en ambos lados del mismo, con una separación entre farol y farol de 15 metros. Si por la instalación de cada farol cobran $ 54, ¿cuál es el costo de colocar todos los faroles necesarios?

a) 80 b) 77 c) 79 d) 81 e) 78

3 El reloj de la fábrica tarda 42 segundos en dar las campanadas correspondientes a las 7:00 a.m. ¿Cuánto tardará el mismo reloj en dar las campanadas correspondientes a las 5:00 p.m.?

c) 6

8 ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

a) 81 b) 75 c) 69 d) 62 e) 56

b) 7

14 Indica el número de triángulos que se pueden contar en la siguiente figura.

a) 8

2 ¿Cuántos cubos simples hay en el siguiente conjunto de cubos?

a) 33 b) 35 c) 34 d) 37 e) 36

13 El reloj de la catedral tarda 15 segundos en dar 4 campanadas. El mismo reloj, en 35 segundos, ¿cuántas campanadas dará?

7 ¿Cuántos cubos simples hay en el siguiente conjunto de cubos?

1 Determina el número total de triángulos que se pueden contar en la figura.

d 19

Alfonso Rojas Puémape

Acumulativo parcial

Nivel III

9as(100m + c) c

9 Clara va cada cuatro días al gimnasio. Si durante el mes de febrero fue 8 veces, ¿cuántas veces irá al gimnasio en el mes de marzo?

60m(C + 1) + S S

4 Si los puntos son centros de las circunferencias, ¿cuántas semicircunferencias hay en la figura?

a) 16 b) 14 c) 22 d) 18 e) 20

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

10 ¿Cuántos cuadriláteros puedes apreciar en la imagen?

5 Identifica el número de cubos simples que tengan visibles tres de sus caras.

16 En el cuadrado ABCD, ¿cuántos triángulos de diferente forma se pueden distinguir? B C a) 7 b) 5 c) 8 d) 6 e) 12 A D

a) 24 b) 18 c) 16 d) 22 e) 20

11 Indica cuántos de los siguientes cubos simples presentan solamente una de sus caras visibles.

a) 25 b) 28 c) 32 d) 35 e) 37 6 Se tiene 9a tubos de acero de m metros de largo cada uno. Si cada tubo se corta en pedazos de c centímetros y cada corte cuesta s soles, ¿cuánto se paga por todos los cortes?

17 Un molde de queso como el de la figura se desea cortar en 32 partes iguales. ¿Cuántos cortes como mínimo se deberán realizar?

a) 18 b) 23 c) 20 d) 21 e) 22 12 El doctor Gonzalo indicó que debo tomar dos pastillas y ponerme una inyección cada 10 horas, durante 5

a 6

b 7

d 8

c 9

d 10

b 11

a) S/. 8370 b) S/. 8730 c) S/. 8570 d) S/. 8750 e) S/. 8550

a) 16 b) 14 c) 9

15 Para iluminar un pasaje (ambas aceras) de 90m de longitud, se desean colocar, desde los extremos, postes con luminarias separados 15m uno de otro. Si cada poste con luminaria más la mano de obra de su instalación tiene un costo de S/.625, ¿cuál será la inversión total a realizar?

c) 60m(C − 1) + S d) m + 60C + S S S

a) 149 b) 131 c) 143 d) 139 e) 135

a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 7

a) 60m + C S

d) 8

e) 7

b) 60mC − S S

a) 35 b) 39 c) 45 d) 49 e) Más de 50

14 ¿Cuántos cubos simples del siguiente bloque tienen 4 de sus caras visibles?

8 Determina el número de cubos simples que faltan en el bloque de cubos siguiente para formar el menor cubo posible sin desarmar dicho bloque.

3 Sabiendo que un reloj da C campanadas en S segundos, ¿cuántas campanadas dará en m minutos?

c) S/. 465

b) S/. 455 e) S/. 435

13 ¿Cuántos pentágonos puedes observar en la figura?

a) 42 b) 48 c) 50 d) 51 e) 54

a) S/. 445 d) S/. 485

a) 156 b) 163 c) 159 d) 167 e) 165

7 ¿Cuántos cuadriláteros puedes distinguir en la siguiente figura?

2 ¿Cuántos cubos simples adicionales se requieren para formar el menor cubo posible sin desarmar el siguiente bloque de cubos?

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

días. Si cada pastilla cuesta S/.2,5 y cada inyección S/.30, ¿cuánto gastaré en total?

9as(100m + c) 9as(100m − c) b) 100c c 9as(100m − c) 900as c) d) 100c c

1 ¿Cuántos triángulos puedes contar en la siguiente figura?

b 12

e 13

a 14

d 15

c 16

e 17

Acumulativo total

7 En una empresa de transporte, los buses con capacidad para 60 pasajeros salen cada 4 horas y los que tienen capacidad para 48 pasajeros salen cada 3 horas. Si coinciden en la hora de salida, ¿cuántos pasajeros subieron en total hasta el momento en que los buses coinciden en la salida nuevamente?

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

11 Cierto reloj demora 24 segundos en dar 4 campanadas. Si las campanadas están igualmente espaciadas, ¿cuánto demorará dicho reloj en dar 12 campanadas?

6 Indica la cantidad de cubos simples que se deben colocar en el bloque para formar el menor cubo posible.

a) 72 s d) 88 s

b) 80 s e) 90 s

12 Se desea cortar un disco plano de aluminio de 2 metros de diámetro en 16 pedazos iguales. Si cada corte cuesta S/. 7,5, ¿cuánto se gastará como mínimo? a) S/. 120 b) S/. 112,5 c) S/. 75 d) S/. 97,5 e) S/. 60

a) S/. 252 d) S/. 296

b) S/. 288 e) S/. 324

c) S/. 270

16 Determina la cantidad de semicírculos que se pueden observar en la figura:

a) 25 b) 27 c) 29 d) 31 e) 33 17 Sabiendo que un tren para en una estación cada 20 minutos, ¿en cuántas estaciones habrá parado al cabo de 3 horas?

a) 8

b) 9

c) 10 d) 11 e) 12

18 Con los cubos simples del siguiente bloque se formarán dos nuevos cubos, los mayores posibles. ¿Cuántos cubos simples del bloque sobrarán?

c) 84 s

a) 163 b) 158 c) 171 d) 185 e) 149

e 13

d 14

e 15

a 16

c 17

15 Mis abuelitos van a la misma clínica para realizar su rehabilitación. Ella va cada 18 días y él cada 24 días. Si hoy coincidieron en su rehabilitación y cada uno paga S/. 36 por la misma, ¿cuánto gastarán en total hasta el día en el que vuelvan a coincidir?

a) 71 b) 73 c) 74 d) 75 e) 77

e) 18

10 Identifica la cantidad total de cubos simples en contacto con las caras de los cubos indicados.

a) 17

b) 18

c) 19

d) 21

e) 20

5 Determina el número de cuadriláteros que se pueden apreciar en la figura:

d) 17

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

a) 65 b) 60 c) 63 d) 67 e) 61

c) 16

4 Con los cubos simples que hay en el siguiente bloque forma el mayor cubo posible e indica cuántos cubos simples sobran.

b) 15

a) 90 b) 85 c) 83 d) 95 e) 87

9 Indica el número de segmentos que puedes observar en la figura.

a) 22 b) 12 c) 34 d) 26 e) 30

a) 14

3 La sirena de una fábrica se toca por la mañana 6 veces durante 30 segundos. Si por la tarde se toca durante un minuto, ¿cuántas veces se habrá tocado la sirena durante 5 días consecutivos?

8 ¿Cuántos triángulos se pueden observar en la siguiente figura?

e) 20

14 Observa e indica la cantidad de cubos simples que presentan solamente cuatro caras visibles en el bloque:

c) 540

b) 560 e) 480

a) 23 b) 19 c) 21 d) 17

a) 360 d) 450

a) 3 b) 4 c) 24 d) 30 e) Más de 40

2 En la siguiente figura, ¿cuántos cubos simples presentan solamente una cara visible?

a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 31

13 ¿Cuántos exágonos se pueden contar en la siguiente figura?

1 ¿Cuántos cuadriláteros puedes contar en la siguiente figura?

Nivel IV

c 18

u nidad

operadores y trazos Vamos, Dalma ... intenta hacer el dibujo de la pizarra.

¡Qué extraño dibujo! Dicen que se realizó de un solo trazo y sin repetirlo.

CONTENIDO ► Operadores simples ► Operadores gráficos ► Figuras de un solo trazo

so Pien

mientras

J U E G O Una operación sencilla

Los siguientes números:

7; 63;

10; 2;

24; 8;

72; 12;

5; 27;

45; 35;

32; 54;

56 42

pueden ser obtenidos como el producto de dos números. Marca con un aspa los números cuyo producto es uno de los números de arriba, y da como respuesta la suma de los números que sobran.

Realiza este juego en menos de dos minutos.

1 8 3

9 4

2 9 8

1 6

2 7 5

7 9

7 8 4

5 1

4 5 3

8 7

7 3 5

9 5

Importante: compara tu resultado con el de tus compañeros.

¡Vamos! ¡Tú puedes!

Alfonso Rojas Puémape

Tema

operadores simples • En nuestro ejemplo:

operación : adición operador : + resultado : suma total

Definición

¡IMPORTANTE! Existen operaciones que requieren de una expresión equivalente, definida por operaciones convencionales. Los símbolos que representan estas operaciones son variados. Ejemplo:

Juan tiene 13 años y Felipe 14.

¿Cuál será la suma de sus edades dentro de dos años? • Veamos; dentro de dos años tendremos: Juan: 13 + 2 = 15 años Felipe: 14 + 2 = 16 años • Luego, la suma de las edades dentro de dos años será: 15 + 16 = 31 años

Operación matemática es un procedimiento mediante el cual se trasforma una o más cantidades - bajo ciertas condiciones o reglas que definen la operación - con la finalidad de hallar una cantidad denominada RESULTADO DE LA OPERACIÓN.

Definición Un operador matemático es un símbolo o signo que representa una OPERACIóN MATEMáTICA.

*; %; &; ∆; q; Ω; ; etc.

1 Se define la operación:

x ∇ y = 3(10x - 2y) - 8, determina el valor de: (2 ∇ 8) ∇ 3.

Estrategia Tenemos que identificar la “orden” que nos da la operación indicada por el operador ∇ y el valor equivalente de las letras para operar según dicha “orden”.

2 Si se cumple que:

¡OBservación!

Operación matemática convencional. Ejemplos: • 12 + 13 = 25 • 9 × 8 = 72 •

36 = 6

a a % b = 2ab - , b calcula: (8 % 2) % (4 % 2). Aquí vamos por partes: primero el paréntesis de la izquierda, luego el de la derecha y al final el operador principal.

• x ∇ y = 3(10x - 2y) - 8 2 ∇ 8 = 3(10 × 2 - 2 × 8) - 8 2∇8 = 3 × 4 - 8 2∇8 = 4 • De modo similar: 4 ∇ 3 = 3(10 × 4 - 2 × 3) - 8 4 ∇ 3 = 94 ⇒ (2 ∇ 8) ∇ 3 = 94

• 8 % 2; identificando en la operación que se nos ha dado: a = 8; b = 2 8 • Luego: 8 % 2 = 2(8)(2) 2 8 % 2 = 28 • En el paréntesis de la derecha: 4 4 % 2 = 2(4)(2) 2 4 % 2 = 14 • En el operador total: 28 2 8 % 14 = 2(28)(14) 14 = 782

3 Si se sabe que:

(x + 2)

3y = 2x + y +

1 , 3

calcula el valor de: 6 (-1).

Ya sé... supongo que a los elementos de la operación pedida les doy la forma de la operación principal.

• ¡Muy bien!, eso hará más sencillo todo; veamos: 1 (x + 2) 3y = 2x + y + ; se pide 3 6 (-1); o también 1 (4 + 2) 3(- ) 3 1 • Identificando: x = 4; y = 3 • Reemplazando en la operación principal: 1 1 6 (-1) = 2(4) +(- ) + 3 3 • Luego: 6

4 Si se cumple que:

m q n = 6m - 2n; m < n m q n = m + 3n; m ≥ n,

calcula: (2 q 3) q (5 q 2).

Estrategia Al identificar valores en la operación pedida, debemos tener en cuenta las respectivas restricciones. En este caso, m < n y m ≥ n son restricciones a considerar en la operación pedida.

5 Sabiendo que:

m # n = m 2 + 3n + 2, halla el valor de x, si: 5 # x = 36

Estrategia Identificamos la definición del operador, luego reemplazamos los valores a operar y finalmente resolvemos la ecuación que resulta.

(-1) = 8

• Calculamos 2 q 3: como 2 < 3, empleamos la primera operación: 2 q 3 = 6(2) - 2(3) 2q3 = 6 • Calculamos 5 q 2: como 5 ≥ 2, empleamos la segunda operación: 5 q 2 = 5 + 3(2) 5 q 2 = 11

En algunos problemas hay que adaptar lo que se nos pide a la forma de la operación principal para IDENTIFICAR con facilidad.

• Ahora la operación principal: (2 q 3) q (5 q 2) = 6 q 11; m < n ⇒ 6 q 11 = 6(6) - 2(11) = 14

• Efectuamos la operación con los valores indicados: 5 # x = 5 2 + 3x + 2 36 • Resolvemos la ecuación resultante al igualar el dato: 36 = 25 + 3x + 2 ⇒x=3 • Luego, el valor de x es 3. Sí que era sencillo...

NOTITA Al efectuar la operación se obtiene una ecuación, que al resolverla nos permitirá conocer el valor de la incógnita (x).

Alfonso Rojas Puémape

MáS RESUELTOS 1 Si: a

b = 5a + 2b - 3, calcula el valor de: 3 5.

Resolvemos:

• Reemplazamos 3 y 5 en la operación: a b = 5a + 2b - 3 3

5 = 5(3) + 2(5) - 3 = 22

• Luego: 3 ¡RECUERDA!

El operador está definido mediante un conjunto de operaciones combinadas.

5 = 22

2 Si: a $ b = 4a + b - 8,

calcula: 12 $ 18.

Resolvemos:

• Luego: 2 3 = 4 2 5 Sabiendo que:

calcula el valor de: 9

Resolvemos:

• Reemplazamos los valores en la operación: a $ b = 4a + b - 8 12 $ 18 = 4(12) + 18 - 8 12 $ 18 = 48 + 10 3 Sabiendo que: 2

a @ b = 2a + 3b - ab, calcula: (2 @ 1) @ (1 @ 2).

Resolvemos: • Efectuamos las operaciones que están entre paréntesis: (2 @ 1) = 2(4) + 3(1) - 2 = 9 (1 @ 2) = 2(1) + 3(2) - 2 = 6

Considerando el orden de operaciones, siempre los signos de colección o agrupación se efectúan primero.

• Reemplazamos los valores obtenidos: (2 @ 1) @ (1 @ 2) = 9 @ 6

• Efectuamos la operación obtenida: (9 @ 6) = 2(8 1 ) + 3(6) - 5 4 = 1 2 6 • Luego: (2 @ 1) @ (1 @ 2) = 126 4 Si: x

y = 5x + 3y - 3 ∧ x y = 3x - 2y,

calcula: 2 3 . 4 2

Resolvemos: • Efectuamos:

• Dando forma a los números:

7 = 3(3)

(5 + 2)

• Efectuamos la operación:

• Luego: 12 $ 18 = 58

¡IMPORTANT

(n + 2) = 5m + 2n - 6,

3(3) • Luego: 9

2 3 = 5(2) + 3(3) - 3 4 2 3(4) - 2(2)

(5 + 2) = 5(3) + 2(5) - 6 7 = 19

6 Si: m

n = 2m + 3n + 1; para m < n m n = 6m - 2n; para m ≥ n,

determina: (2 3) (3 2).

Resolvemos: • Operamos los paréntesis:

2 < 3 ⇒ 2 3 = 2(2) + 3(3) + 1 = 14 3 ≥ 2 ⇒ 3 2 = 6(3) - 2(2) = 14 • Ahora: 1 4 = 14 ⇒ 1 4 14 = 6(14) - 2(14) = 56 • Luego: (2 3) (3 2) = 56 7 Sabemos que:

y = (x - y)2 + 2; si x ≥ y

y = 3xy - 5; si x < y,

calcula: (3

Resolvemos:

2).

• Efectuamos en los paréntesis: 3>1 ⇒ 3

1 = (3 - 1)2 + 2 =6

1<2 ⇒ 1

2 = 3(1)(2) - 5 =1

6 > 1 ⇒ 6 1 = (6 - 1)2 + 2 = 27 • Luego: (3 1) (1 2) = 27

M á S p ro p uestos 1 Sabiendo que: x @ y = 3x + 5y - 1,

determina: 10 @ 2. 2 Si se cumple que: a

Rpta.: 39 b=

calcula: 3

4a + 3b - 2, 3 Rpta.: 4

n = m 2 + n 2 - mn,

3 Si: m

halla: 5

Rpta.: 21

4 Si: a

b = 5a + 2b - 3, determina: (3 2) (4 1). Rpta.: 115 2 5 Sabiendo que: m n = (m + n)(m - n),

b = 5a - 3b + 2ab y = 3x + 2yx,

determina:

2)(2

1). Rpta.: 77

8 Sabemos que:

n = 5m + n 2 - 1 y = x 2 - y 2 + 3, (2 3) + 1 . calcula: 5 3

Rpta.: 1

Rpta.: 5

10 Se define la operación:

(x + 7) (y - 3) = 2x + 5y + 3,

determina: 9 5.

12 Si se cumple que:

7m (n - 1) = 8m - 3n + 5,

halla: 14 2.

Rpta.: 12

y x xy , = 2x + 3y 3 5 15 halla: 5 2. Rpta.: 58 14 Se sabe que: x y = 2x - y; x ≥ y y x y = 5x - 2y; x < y,

calcula: (3

2) (2

3).

15 Si: m

n = m 2 - n 2; m ≥ n

n = n 2 - 3m; m < n,

determina: (4

PISTA 6 Efectúa primero los paréntesis, aplicando la definición del operador.

Rpta.: 4

3). Rpta.: 40

16 Si sabemos que: a

b = 3ab - 4; a ≥ b

b = 6a - 4b; a < b,

calcula: (4

4).

n = 3m + 2n + 1, determina el valor de x, en: x 4 = 21

9 Si se cumple que:

Rpta.: 12

Rpta.: 44

17 Si: m

m y x

b = 3a + b 2 + 2ab 7x - 2y + 7 , y x y= 3 halla el valor de: 3 2 . 2 3

calcula: 16

Rpta.: 756

5x 4y 6 Si se cumple que: x y = 3 + 5 , halla: (9 5) - (3 10). Rpta.: 6 7 Si: a y x

3n = 3m + 4n - 12,

13 Sabiendo que:

calcula: (3 2) (2 1).

11 Si: 4m

Rpta.: 47

Rpta.: 4

b = a 2 + 3b + 5, determina el valor de x, en: 2 x = 27 Rpta.: 6 18 Sabemos que: a

19 Si se cumple que: m % n = n + 2m + mn, calcula el valor de x, en: 3 % x = 42 Rpta.: 9 2a + 5b + 3 , 20 Si: a b = 4 halla el valor de x, en: 5 x=7 Rpta.: 3

PISTA 11 Reemplaza cada par de valores en su respectivo operador.

Alfonso Rojas Puémape

control 1 Si:

4 Si se cumple que:

m n = mn + 4,

calcula: (4 5) 7.

PISTA 1

p y p

calcula: (5

q = 2(p + q + 1) q = 3(p - q - 1), 2)

1).

¡Resuelve aquí!

Primero debemos calcular la operación en el paréntesis.

2 Si se sabe que: 3

m n = m - 5n - 9, halla: (3 3) 2.

5 Si:

a b = 7a + 4b y a b = 5a - 2b,

determina el valor de: (8 1) (2 3).

PISTA 3 3 Se sabe que: Calculemos las operaciones en los paréntesis de manera independiente.

xθy =

xy + 3, x-y

determina el valor de: (12 θ 3) θ (6 θ 2).

6 Sabiendo que: c d = cd + c c d = (c - d)d y c d = (c - d)c, halla: (3 4) (6 5).

43 Exigir el pensamiento nos hará mas hábiles.

7 Si se sabe que:

(2p - 1) calcula: (1

(q - 4) = q - 2, 21)

1 a ψ 2 b = a 2 + b 2, 4 3

halla:

1ψ 4 ψ 2 . 3 3

8 Sabiendo que:

10 Si se cumple que:

y x

xy y= + 1, cuando x > y 3 x+y y= - 2, cuando x ≤ y; 2

calcula: (6

11 Si:

1 7).

PISTA 9 Primero efectuamos las operaciones en los paréntesis teniendo en cuenta, en cada caso, las restricciones para m y n.

(2a + 3) (b - 5) = 3ab y 21 x = 324,

halla el valor de x. PISTA 11 Efectuamos la operación para los valores de 21 y x; luego resolvemos la ecuación formada.

9) 36

3) 45

8) 6401

2) 8

7) 7

1) 172

COMPRUEBA

además: 32 ∼ x = 145, determina el valor de x.

10) 5

(3 5) (5 2).

4) 26

determina el valor de:

n (3m - 4) ∼ n = mn + , m 2

11) 7

m n = m + n - 1, cuando n < m;

12 Si se sabe que:

5) 138

12) 6

9 Si: m n = 2mn + 1, cuando n ≥ m

6) -18

Alfonso Rojas Puémape

Tema

operadores gráficos

1 Si:

• Reemplazamos en cada caso: 4b 6a b = a + b,

calcula: 3

Estrategia Al igual que los operadores simples, los operadores gráficos se desarrollan reemplazando los valores indicados en la expresión equivalente.

4(6) 6(3) + = 11 3 6

12 =

4(12) 6(4) + = 14 4 12

4 6 +

6 =

Los operadores están ahora bajo la forma de gráficos. Solo tenemos que identificar, en tales gráficos, el valor de cada letra para luego reemplazar y operar.

• Luego: 3

6 +

12 = 11 + 14 = 25

2 Se define la operación:

x = 2x + x 2 + 1, determina: 1

Empezamos por el operador gráfico más interno.

• Empezamos por la operación interior:

1 = 2(1) + (1)2 + 1

1 =4

• Ahora en la siguiente operación: 4 = 2(4) + 4 2 + 1 4 = 25 • Luego:

1 = 25

¡ATENCIóN! Algunos operadores emplean símbolos que pueden contener unos a otros; en estos casos se desarrolla a partir del símbolo más interno.

¡DESAFÍO! Si se tiene: 2 m

= 3m + 4n - 1, calcula el valor de:

6 1

Rpta.: 70

3 Si se sabe que:

2 + 3m 2 = 3m - 1; m > 0, calcula:

+ 2(

Estrategia Debemos encontrar una manera de escribir los números dados, que sea análoga a la expresión del operador principal y así identificar el valor de m.

• Damos forma a los números: 14 = 2 + 3(2)2 5 = 2 + 3(1)2 • Calculamos el valor de la operación para cada caso: 2 + 3(2)2 = 3(2) - 1 = 5 2 + 3(1)2 = 3(1) - 1 = 2 • Luego:

n m - 5n = + 2, 3

) = 5 + 2(2) = 9

Darle forma a un número significa expresarlo tal y como está indicado en la operación, así: 2 + 3m2 = 14 ↓ 2 + 3(2)2 = 14 ⇒m=2

halla x, en:

x - 5(2) +2 3

• Igualando el dato y resolviendo:

2 =3

5 Calcula el valor de:

+ 2(

• Identificamos y aplicamos el operador principal:

4 Sabiendo que:

NOTITA

3 ,

si se sabe que:

t = 5t + 2; t ≥ 3

t = 3 + 2t; t < 3

Estrategia Efectuamos desde la operación interior hacia la exterior, considerando la definición de la operación de acuerdo al valor que adopte en cada caso.

x - 10 +2 3 9 = x - 10 + 6 ⇒ x = 13

• Calculamos 3 :

¡OBservación!

Como: t = 3 empleamos la operación para la cual t ≥ 3: 3 = 5(3) + 2 = 17 • Ahora calculamos es decir:

3 = 17

• Como 17 > 3, seguimos empleando la misma operación: 3 = 17 = 5(17) + 2 = 87

Al efectuar la operación para los valores identificados se forma una ECUACIóN, así: 3 = x - 10 + 2 3

Alfonso Rojas Puémape

MáS RESUELTOS 1 Si:

a = a 2 + 6a + 9,

calcula:

Resolvemos:

5 Si:

2 + 3

• Reemplazamos en cada caso:

Cuando resuelves un operador matemático, estás determinando el valor numérico de la expresión para los valores indicados del operador.

72 = 8 2 + 8 = 8 2 - 2(8) + 4 = 52

3 = (3)2 + 6(3) + 9 = 36

30 = 5 2 + 5 = 5 2 - 2(5) + 4 = 19

• Luego: 52 + 19 = 71 6 Se define:

halla el valor de:

Resolvemos: 1 = 5(1) - 2 = 3

• Luego:

1 = 3 = 5(3) - 2 = 13

n = n 2 - 18,

determina el valor de:

5 = 5 2 - 18 = 7

• Luego, la operación exterior:

operación exterior

calcula:

69 - 13

Resolvemos: 69 = 4 3 + 5

13 = 2 3 + 5

• Calculamos el valor de cada operación:

4 3 + 5 = 3(4) - 4 = 8

2 3 + 5 = 3(2) - 4 = 2

• Luego:

Resolvemos: • Calculamos: 6

como 6 ≥ 5 ⇒ 6 = 2(6) - 9 = 3

69 - 13 = 8 - 2 = 6

como 3 < 5 ⇒

3 = (3) 2 + 1 = 10

7 Sabiendo que:

m =

3m + 2; para m < 7 2m - 13; para m ≥ 7, 5

calcula:

Resolvemos: • Como 5 < 7 ⇒ 5 = 3(5) + 2 = 17 • Como 1 7 > 7 ⇒ 17 = 2(17) - 13 = 21

m 3 + 5 = 3m - 4,

• Tenemos que darle forma a los números:

halla el valor de:

5 = 7 = 335 4 Si:

operación interior

Resolvemos: • Primero resolvemos la operación interior:

x = x 2 + 1, cuando x < 5,

• Ahora calculamos: 3

x = 2x - 9, cuando x ≥ 5

3 Sabiendo que: a = a 3 - 8

¡ATENCIóN!

Resolvemos:

• Efectuamos la operación interior:

72 + 30

2 = (2)2 + 6(2) + 9 = 25

2 Si se sabe que: p = 5p - 2,

determina el valor de:

• Damos forma a los números:

• Luego: 2 5 + 3 6 = 61 ¡RECUERDA!

x 2 + x = x 2 - 2x + 4,

8 Sabiendo que:

= ab + a, 3 calcula x, en: 6 a

x = 14

Resolvemos: • Efectuamos: x = 6x + 6 6 3 • Igualamos al dato y resolvemos: 14 = 6x + 6 ⇒ x = 4 3

M á S p ro p uestos m

1 Sabiendo que:

calcula:

2 Si:

= m n + n m - mn,

calcula:

Rpta.: -86

y = 4y - 5,

halla:

Rpta.: 22

3 Si se cumple que: a

= (a + b)(a - b),

determina el valor de: p

4 Si se sabe que:

calcula:

6 Si:

9 Si:

Rpta.: 1

6 4

Rpta.: 24

ab + bc , c = a-c

a = 4a - 5, b = 3b - 2 y

a = a 2 - 4,

11 Si:

= 2x + 3y,

n = 4n + 5

y = x 2 + y 2, 3

2 3

x = x - 4,

Rpta.: 194 y = 2y + 3

PISTA 6

m n = 4m + 3n,

determina el valor de: 3

Rpta.: 16

Rpta.: 35

12 Si: p =

Efectúa desde la operación más interna.

q(q - 2) p(p + 1) , q = 2 3

ab + a a = , b 10

calcula el valor de:

13 Si se cumple que:

calcula:

y = x2 - y2 + xy,

mn , m n = m-n

8 Se sabe que:

Rpta.: 27

p = 3p - 2,

determina el valor de:

Rpta.: 37 3p + 4q , = p-q

Rpta.: 25

7 Sabiendo que:

Rpta.: 47

3 4 5

halla el valor de:

8 +

+ 12 8

5 Si se cumple que:

calcula:

10 Si:

halla:

1 + 3

6 8

Rpta.: 35

2a - 4

= 6(a + b) - 12,

3b + 2

6 calcula: 11 Rpta.: 36 14 Sabiendo que:

3x 7y =

halla el valor de:

12 21

15 Si:

2a - 1

3b + 5

x2 y2, 3 2

PISTA 13

Rpta.: 5 a-b = + 4, 2

determina el valor de: 15

Rpta.: 7

16 Si se sabe que: a + 1 b - 3, 2a - 3 = + 4 3 5b + 8 13 calcula: 103

Rpta.: 7

Debes dar forma a cada número de la operación pedida. Ejemplo: 2 = 2.3 - 4 a

Alfonso Rojas Puémape

control 1 Se define la operación: a a + 2bc + 2, c = b 4

calcula:

4 2

4 Si se cumple que:

x = 3x2 + 2x - 1, encuentra el valor de:

6 1

- 2

¡Resuelve aquí!

PISTA 1 Reemplaza los valores indicados en cada operación.

5 Si:

2 Si se sabe que:

determina el valor de:

c 3a + 2b + c , = a b 2

a b = 2ab , a-b 3 2

determina:

3 4 1 2 × 2 3

PISTA 4 Efectúa de adentro hacia afuera, así: 1

1.° 2.°

3 Si:

6 Sabemos que:

y = x

xy + z , 5

calcula:

x y =

(x + y) . z , x-y

9 4

5 5 3 3 2 4

+ 3

calcula el valor de:

49 Leeamos con cuidado un enunciado, busquemos información y averiguemos lo que se nos pide.

7 Si:

10 Si se cumple que:

y x-3

3(x + z) + 1, y

z+1 =

determina el valor de: 6 4

a = 3ab + 5; para a ≥ b b

a = 2ba - 3; para a < b, b

encuentra el valor de: 4 - 2

PISTA 9

= 63

= 2a 3 + 3b 2 + c,

y determina el valor de:

3 -

averigua el valor de x, en: 25

x =

COMPRUEBA

7) 6

1) 9

8) 42

= 2x + 5y; si x < y,

2) 12

9) 3

12 Se define la operación:

3) 10

encuentra el valor de x, en:

10) 2

= 5x - 3y; si x ≥ y

= abc

9 Si sabemos que: x

4) 40

11) 7

calcula:

5) 40

a-3

3ab + 2, 4

12) 6

11 Si sabemos que:

b+4

6) 0

8 Si:

Efectúa el operador considerando las condiciones de los números.

Alfonso Rojas Puémape

c á l c ulo r á p id o DECENAS PRIMERO

1. Manuel compró tres artículos a diferentes precios; uno a S/. 224, otro a S/. 83 y otro a S/. 159. ¿Cuánto gastó?

Resolvemos: Nos piden sumar: 224 + 159 + 83 • Sumamos mentalmente las cifras de las decenas: 2 + 5 + 8 = 15 decenas o 150 unidades • Le agregamos las cifras de unidades: 150 + 4 + 9 + 3 = 166 • A este número le agregamos uno a uno las centenas: 166 + 200 + 100 = 466 ¡Es sencillo! Respondemos:

¡importante!

Manuel gastó en total S/. 466 . El orden más conveniente en que efectuamos una simple suma, nos facilita muchas veces un cálculo rápido, por ejemplo: 8+9+2 o 8+2+9 El resultado es el mismo, pero es más rápida la segunda forma: 8+2+9 10 = 19

2 Eduardo logró ahorrar durante tres meses

3 Las deudas se deben pagar a tiempo. Si

4 La familia Tello comprará artefactos de la

5 Revisando los vales de compra en un hi-

6 Un camión transporta durante 4 días mer-

7 Ada vende sandalias al por mayor. Si en

las cantidades de S/.148, S/.327 y S/.433, respectivamente. Si hoy gasta todos sus ahorros, ¿cuánto es el gasto total?

línea blanca. Un refrigerador a S/.762; una cocina a S/.680 y una lavadora a S/.864. ¿Cuánto deberá pagar por la compra de dichos artefactos?

cadería a un mercado. Si los pesos por día fueron: 278 kg, 425 kg, 357 kg y 296 kg, ¿cuál fue el peso total transportado?

mis deudas son S/.345, S/.437 y S/.268 y las pagaré hoy, ¿cuánto es lo que debo pagar en total?

permercado, observamos 4 de ellos con las siguientes cantidades: S/.194, S/.73, S/.152 y S/.88, ¿cuánto suman dichas cantidades?

5 tiendas tiene ventas por S/.568, S/.672, S/.743, S/.820 y S/.854, ¿cuánto recaudará en total en las 5 tiendas?

51 Operar en la mente todo lo que podamos, permitirá aprovechar mejor el uso del tiempo en un examen, entre otras cosas.

8. Una tienda para damas, recauda el lunes S/. 2147, el martes S/. 935 y el miércoles S/. 3283. Si lo recaudado en esos tres días es donado a una institución benéfica, ¿cuánto se donó?

Resolvemos: Solo tenemos que sumar: 2147 + 935 + 3283 • Empezamos por las decenas: 4 + 3 + 8 = 15 decenas o 150 unidades • Le agregamos la columna de unidades:

150 + 7 + 5 + 3 157 162

165 • Le agregamos las centenas:

165 + (100 + 900 + 200) = 1365 1200 • Y, por último, agregamos los millares: 1365 + (2000 + 3000) = 6365 5000 Respondemos: Se donó S/. 6365 .

9 En tres chacras se ha cosechado respec-

10 Tres amigos aportan $2358, $4236 y

11 Una empresa de taxis compra cuatro de

12 Tres estatuas de diferentes imágenes

13 En un colegio hoy asistieron 932 alum-

14 Cinco envases de alcohol contienen 364,

tivamente 656kg, 1457kg y 2915kg de papa. Si un comerciante compra toda la producción de estas chacras, ¿cuántos kilogramos de papa compra?

estos vehículos a $8461, $9278, $9577 y $10 495. ¿Cuál fue su inversión total?

nos, ayer 1025 y anteayer 1096. Si trasanteayer asistieron 1128 alumnos, ¿cuánto suman las cantidades de alumnos en estos cuatro días?

$3574, para la compra de una camioneta que cuesta $10 200. ¿Les alcanza el dinero aportado? ¿Les falta? ¿Les sobra? ¿Cuánto?

cuestan S/.232, S/.345 y S/.267. Si se desea ganar S/.200 al vender las tres juntas, ¿cuál será la recaudación que debemos obtener?

437, 529, 683 y 712 litros de alcohol, respectivamente. Si se requiere 2700 litros, ¿cuántos litros debemos agregar para satisfacer esa demanda?

¡ATENCIóN! Si compro un lapicero en S/. 3 y deseo ganar S/.1 al venderlo, entonces, debo ofrecerlo a S/.4.

Alfonso Rojas Puémape

Tema

figuras de un solo trazo

Para descubrir cómo determinamos si una figura se puede dibujar de un solo trazo y sin repetirlo, lo primero que haremos será dibujar figuras.

Punto de partida Observa con atención los puntos de quiebre de una línea y los de intersección con otras líneas.

Punto de llegada

¡ATENCIÓN!

Puntos de quiebre Puntos de intersección

Punto de partida Punto de llegada

Punto de partida

Punto de llegada

Punto de partida

¡IMPORTANTE! Observa que en las figuras 3 y 4 los puntos de partida y llegada son diferentes, esto se debe a que en dichos puntos concurre un número de líneas impar.

Veamos algunas figuras aparentemente complejas para dibujar: 5

Punto de partida Punto de llegada

Punto de partida

Punto de llegada

Todas las figuras que hemos dibujado se han realizado de un solo trazo y sin repetirlo, generando puntos de quiebre (2 líneas), puntos de intersección de 4; 6; ... líneas y solamente dos puntos de intersección de 3; 5; ... líneas.

53 OBSERVACIóN Punto de partida

Punto de llegada falta esta línea

Punto de partida

faltan estas líneas

Punto de llegada

¡ATENCIóN!

¿Por qué estas figuras no se pueden dibujar de un solo trazo y sin repetirlo? Porque si observamos los puntos de intersección de 3 o más líneas, notamos que existen más de dos puntos donde el número de líneas que concurren es impar.

Punto par: Es aquel punto donde el número de líneas que concurren es par. Ejemplos: ...

Punto impar: Es aquel punto donde el número de líneas que concurren es impar. Ejemplos: ...

(2 líneas) (4 líneas) (6 líneas)

9 ¿La siguiente figura se puede dibujar

de un solo trazo y sin repetirlo?

P I P

(5 líneas)

P P

P I P

16P

• Como tiene dos puntos impares, sí se puede dibujar de un solo trazo sin repetirlo. 10 Indica, en cada figura, si se puede o no

dibujar de un solo trazo sin repetirlo.

Observa y discrimina los puntos de intersección de líneas en la figura.

• Si todos los puntos son pares, la figura SÍ se puede dibujar. • Si hay solamente dos puntos impares, la figura SÍ se puede dibujar. • Si hay más de dos puntos impares, la figura NO se puede dibujar.

Estrategia

(3 líneas)

• Graficamos:

(una línea)

Si se cumple con alguna de estas condiciones, podemos afirmar si se puede o no dibujar la figura sin necesidad de realizarla.

SÍ

¡IMPORTANTE! Una forma simple de indicar los puntos de intersección es: Punto par: P Punto impar: I

Alfonso Rojas Puémape

MáS RESUELTOS 1 En la figura mostrada, determina la

4 Determina la figura que se puede realizar

diferencia entre el número de puntos pares e impares.

de un solo trazo sin repetirlo.

Realizar un gráfico de un solo trazo implica no repetir ningún segmento, tampoco levantar el lápiz o lapicero, solo está permitida la intersección.

Resolvemos:

•

• Cantidad de puntos pares: 10

• Cantidad de puntos impares: 6

P P

• Luego: 10 - 6 = 4

III

I I

P P P P

Resolvemos:

¡recuerda!

I P

I I No

I I

P P

II No Sí

III

5 La figura mostrada se puede realizar de un

2 Determina el exceso del número de pun-

solo trazo. Si se empieza a graficar por el punto C, ¿en qué punto terminará el gráfico?

tos pares sobre el número de puntos impares, en:

Resolvemos:

I P P P P I P I P P P I I P P P P I P P I P P P I

• Cantidad de puntos pares: 17 • Cantidad de puntos impares: 8

E ¡IMPORTANT

• Luego: 17 - 8 = 9

3 Del conjunto de figuras mostradas, indica

cuál se puede realizar de un solo trazo sin repetirlo.

Resolvemos:

E I • El punto C es un I D punto impar, enC P tonces se termina- P rá en otro punto P P impar. A

P P P

P B

• Luego, se terminará en el punto E . 6 Si la siguiente figura se puede realizar de

un trazo y se empieza a graficar por el punto B, ¿en qué punto se terminará? A C

P P P

I Sí

P P

P PP

I P

II Sí

III

Resolvemos: •

P IP I P I P P P I P

III No

Resolvemos:

• Se terminará en C I un punto impar. • Luego, se terminará en el punto C .

A D P P P P P P E P

M á S p ro p uestos 1 Determina la diferencia entre el número

6 Del conjunto de figuras mostradas, indica

de puntos pares e impares en la figura mostrada.

cuál se puede realizar de un solo trazo.

Rpta.: 19 II

III

Rpta.: I y II

7 ¿Cuál de las siguientes figuras puede

2 En la figura mostrada, ¿cuántos puntos

realizarse de un solo trazo?

pares más que impares hay?

PISTA 1 Usa P para indicar un punto par eI para un punto impar.

Rpta.: 17

III

Rpta.: Solo I 8 La figura mostrada puede ser realizada de

3 A partir de la figura mostrada, determina

un solo trazo. Si se empieza a dibujar por el punto A, ¿en qué punto se terminará? D A

el número de puntos pares e impares y calcula la razón de dichas cantidades, en el orden mencionado.

Rpta.: D

Rpta.: 5

9 Si la figura puede ser dibujada de un solo

trazo y se empieza por el punto E, ¿en qué punto se terminará?

4 Calcula el exceso de la cantidad de pun-

tos pares sobre la cantidad de puntos impares de la figura mostrada.

Rpta.: D

Rpta.: 6

10 Si la figura mostrada se empieza a dibu-

jar por el punto B, ¿en qué punto se terminará?

5 Encuentra la figura que puede ser realiza-

da de un solo trazo.

II I

III Rpta.: Solo I

Rpta.: C

PISTA 5 Una figura se puede realizar, si: tiene solo dos puntos impares o no tiene puntos impares.

Alfonso Rojas Puémape

control 1 ¿Cuántos puntos impares se pueden

contar en la siguiente figura?

4 Si la figura mostrada se puede realizar de

un solo trazo y se empieza por el punto E, ¿en qué punto se terminará? A E C

¡Resuelve aquí!

PISTA 1 Puntos impares.

2 Determina la cantidad de puntos pares

que hay en la siguiente figura:

PISTA 2

3 Calcula la diferencia entre el número de

puntos pares e impares en la figura:

Puntos pares.

5 Indica si la figura ad-

junta se puede realizar de un solo trazo. Si es posible y empezamos a graficar por el punto B, indica en qué punto culminaremos.

6 Indica si la figura ad-

junta se puede realizar de un solo trazo. Si es posible y empezamos a graficar por el punto A, indica en qué punto terminaremos.

A B

C D

57 Aquello que se practica más, se aprende mejor.

7 Del conjunto de figuras mostradas, de-

termina cuál(es) se puede realizar de un solo trazo sin repetirlo.

se puede realizar de un solo trazo sin repetirlo. Si empezamos por el punto D, ¿en cuál de los puntos culminaremos?

C A D E B

Ubica los puntos impares en cada figura.

III

8 Averigua si la siguiente figura se puede

realizar de un solo trazo y sin repetirlo. De ser así, si comenzamos a graficar por el punto A, ¿en cuál de los puntos culminaremos? B E A

11 Coloca (1) si la figura se puede realizar

de un solo trazo y (0) en caso contrario.

Verifica tus respuestas aquí.

10) D 9) 1; 1; 1

3) 8

8) E

2) 21

7) I y II

1) 8

COMPRUEBA

entre la cantidad de puntos pares e impares.

4) B

12 En la figura mostrada, calcula la razón

11) 0; 1; 0

lizar de un solo trazo, y con (0) aquella que no es posible.

5) A

9 Indica con (1) la figura que se puede rea-

12) 17

PISTA 7

6) A

10 La siguiente figura

Alfonso Rojas Puémape

matemática recreati va 1. UNA VENTA COMPLICADA

Una señora lleva al mercado cierta cantidad de lechones. Al primer cliente le vende la mitad de los que tiene más medio lechón, al segundo la mitad de los que le quedan más medio lechón y al tercer cliente la mitad de los que aún le quedan más medio lechón. Si luego de las tres ventas se quedó sin lechones y en ningún momento partió alguno de los lechones, ¿cuántos tenía al inicio?

2. EL ESPEJO MÁGICO

En una feria hay un espejo que tiene la particularidad de reflejar a las personas con una estatura 1/13 menor que la verdadera. Elisa quiere que el espejo la refleje con su estatura real que es 1,56 m, para lo cual usa zapatos con plataforma muy alta. ¿Cuál es la altura de las plataformas?

¡Resuelve aquí!

3. DIVISIÓN CURIOSA

Divide la figura en 3 partes que tengan igual forma (se deben usar solo las líneas del dibujo).

4. Con papel y tijera

Una profesora pidió a sus alumnos que recorten letras para formar una frase. Le entregaron las letras y observó que una letra estaba doblada.

¿De qué letra se trataba?

Nota: Al desdoblar la letra, la profesora observó que no era la letra L.

Alfonso Rojas Puémape

a utoe v a lu a c ió n Acumulativo parcial

Nivel I

7 Se define:

1 Sabiendo que: (a - 5) (b + 3) = ab + 1,

d) 28 e) 20

3 ¿Cuál(es) es(son) el(los) puntos(s) por donde se podrá empezar a dibujar la figura mostrada, de un solo trazo y sin repetirlo?

halla: 12 15.

a) 20 b) 21 c) 18 d) 33 e) 24

calcula:

a) 0

12 4

b) 4

= q p - pq,

c) 3

a) III d) I y III

b) I e) I y II

a) 2

c) 17 d) 4

b) 3

b a

6). e) -15

= ab + bc + ac,

halla:

3 2 4

2 1 3

c) II

a) 2000 d) 1988

4 3 5

b) 1967 e) 2025

c) 1952

a) I d) II y III

(1)

a) 1 y 2

a) C

b) D

d) Ninguna e) 4

c) B

d) E

e) C o B

(2)

c 9

d 10

(x + y) 2; si x > y -(x - y) 2; si x ≤ y 2

calcula:

c) 1 y 3

a) 60 b) 40 c) 49 d) 58 e) 30

11 La diferencia entre el número de figuras que se pueden hacer de un solo trazo (sin repetirlo) y las figuras que no se pueden hacer, es:

III c) III

(4)

(3)

b) 3 y 4

II b) II e) I y II

15 Siendo:

e) 1

6 La figura se puede dibujar de un solo trazo y sin repetirlo, empezando en A. ¿En qué punto se terminará? A

III

10 La(s) figura(s) que se puede dibujar de un solo trazo y sin repetirlo es (son):

8 d) 2

a) 20 b) 40 c) 30 d) 60 e) 50

2 5

calcula: (2

b = ab - (a + b),

14 ¿Qué figura(s) se puede(n) dibujar de un solo trazo y sin repetirlo?

5 Si:

e) 1

13 Si:

9 ¿Cuál(es) de las siguientes figuras se puede dibujar de un solo trazo y sin repetirlo?

5 n = 2n + 3m , 2 3

3m 2

d) 0

16 Si se cumple que: n 2 3 m θ n =m+ , 3 7 4 2 calcula: 8 θ 27.

a) 10 b) 9

e) Todos los anteriores

c) 4

d) B

b) 2

halla:

4 3

4 Si:

= a + b - 1, cuando a ≥ b,

a b

a) 3

12 Sabiendo que: m n = mn - n m

= 3a + 2b, cuando a < b

a b

b) D

c) C

8 Si se sabe que: 6 4 + 12 10

c) 7996

c) 27 d) 26 e) 24

a) 30 b) 15 c) 5

b) 7986 e) 3

determina el valor de:

a) A

a) 4 d) 0

x+y = x-y ,

y+4

determina el valor de: (6

x-3

2 Si:

d) 19 e) 20

b) 18 c) 1

n 3 - m 2; si m < n

a) 2

calcula: (7

m 3 - n 2; si m ≥ n

b 11

c 12

e 13

e 14

b 15

d 16

Acumulativo parcial

Nivel II

6 Señala cuántas de las siguientes figuras pueden dibujarse de un solo trazo y sin repetirlo.

a) 59 b) 64 c) 12 d) 17 e) 71 8 8 8

c) 12 d) 15 e) 16

29 31 c) 15 d) 17 e) a) 14 b) 2 2

a + b - c, 5

3x 2

c) 6

(4y - 3) =

calcula p, en: 9

a) 4

b) 2

c) 3

e) 5

2x + 3y - 1 , x -y-1

p = 23.

a b

- 2b,

calcula el valor de: 2

16 Sabiendo que:

e) 5

a) 12 b) 15 c) 18 d) 16 e) 14

b) 10 c) 13 d) 16 e) 23

a) A b) B c) C o D d) E o F e) G o H

d) 4

b) 20 c) 12 d) 18 e) 24

b 14

a) 6

c 15

a) 10 b) 8

a) 1

15 Una hormiga se encuentra en el punto A de la siguiente figura. Si en cada esquina e intersección hay un terroncito de azúcar, ¿cuántos de estos como máximo se podrá llevar, sin pasar por un mismo camino dos veces, hasta llegar al punto B?

12 Si la figura se puede dibujar de un solo trazo y sin repetirlo, se debe empezar a dibujarla por el punto:

determina el valor de x, en: 24

halla el valor de:

x+3

b) B c) A o E e) No se puede dibujar.

= 16

a) A d) C o D

11 Si:

5 Se define: 1 a 2

x 3 + 3x 2 + 3x + 1 , 10 Se define: x + 2 = x 2 + 2x + 1

4 Si se sabe que: pq + p - q , (2p + 4) (3q - 5) = 2 calcula: (12 19) 13.

a) 121 b) 100 c) 289 d) 81 e) 64

x+2

3 Observa la figura y calcula el cuadrado de la diferencia entre la cantidad de puntos pares e impares.

halla el valor de x, en:

a) 0

b) 4

a) 8

9 Averigua si la figura puede ser dibujada de un solo trazo y sin repetirlo. Si es así, ¿a partir de qué punto se debe empezar a dibujarla?

mn + np - 2, 3

calcula: (2

m) - m ,

c) 81

5 b) 1

b) 64 e) 108

c) 2

= 512

14 Si se cumple que:

1).

a) 72 d) 98

a) 16 b) 24 c) 48 d) 72 e) 76

8 Si se sabe que: n = 3(n m

5 2 d) 3

e) 4

determina el valor de x (x > 0), en:

n = mn + n m ,

7 Sabiendo que: m halla el valor de: 2

= 2n 2 + 4n + 2,

b) 2 c) Todas e) Ninguna

calcula:

a) 1 d) 3

2 Sabiendo que:

a) 49 b) 50 c) 64 d) 72 e) 81

= x 2 + y + 1,

2 y

13 Si:

1 Si se cumple que: y3 x2 = 4x + 5y - 5, 3 2 determina el valor de: (2 9) 72.

e 16

Alfonso Rojas Puémape

Acumulativo parcial

Nivel III 1 Sabiendo que: (m + 2) θ (n - 1) = 3m ∆ 2n

e) 9

b = 3b - 2,

a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24

calcula: 2

calcula: 9( 7

a) 2

b) -1 c) -2 e) Falta información

e) 6

5 Se sabe que: 3m ⊗ 2n = 4m - 3n + 5, si m > n calcula: (12 ⊗ 6) ⊗ (9 ⊗ 8).

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

a) 1

c) 3

calcula: 3

a) 1

b) 2

(81

64).

d) 4

e) 5

b) 10 c) 12 d) 13 e) 15

a) 11 b) 10 c) 9

2m) - n,

a 2

e) 7

b = 3a - 2b, cuando a ≥ b 3

6. c) 3

d) 4

e) 5

a y 2

b = 2b - 3a, cuando a < b, 3

calcula: 3 2

6 Identifica el punto de donde se puede iniciar el trazo de la figura, sin levantar el lápiz y sin repetirlo. 3 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) Cualquiera 1 e) Ninguno

d) 8

16 Si:

e) 10

a) 8

= 15

12 ¿Cuál de los círculos indicados se debe eliminar para que la figura se pueda realizar de un solo trazo y sin repetirlo?

y 3m ⊗ 2n = m + n + 1, si m ≤ n,

calcula: (16

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

17 A partir de: a∆b = a - b + 2(b∆a),

d) 1

c) 2

b) 3

a +

a) 4

2)] : 8.

c) 3

15 ¿Cuántas de las líneas indicadas con rojo se deben eliminar, como mínimo, para que la figura se pueda dibujar de un solo trazo y sin repetirlo?

e) 2 o 3

calcula: [(5

= 4x - 3y + 5,

m+n

b = b) 2

c) 2a +1

calcula el valor de a, en:

halla: 4∆1.

a) 1

11 Si se cumple: 3m 2n = m (3n

b = b - a ; cuando a ≤ b,

y a

e) 5

b) 2 e) 1 o 2

4 Si se cumple que: a b = a2 - b2 ; cuando a > b

c 12

a 13

c 14

b 15

a 16

a 17

a) 1 d) 4

d) 4

e) 6

10 Si: m c) 3

1 b) 2

d) 5

a) 1

c) 4

3 Indica el punto por el cual se puede iniciar el trazo sin levantar el lápiz y sin repetirlo. 5 2 3 4

b) 3

2y +1

b) 2

a) 1 d) 2

1 ).

b) a - 2 e) a - 1 3x

14 Si:

9 Indica la línea que se debe eliminar para que la figura se pueda realizar de un solo trazo y sin repetirlo.

a ) - 1,

a) a + 2 d) 2a - 1

c) 3

8 Se cumple: a b = 2a ( b

d) 4

e) 5

halla x, en: x

a = a2 - 3

2 Si:

25 = 25.

calcula:

d) 7

c) 5

b) 3

a) 1

f g(a) + 1 . 6

calcula: 7 θ 13.

5a ∆ 4b = 3a - b + 1,

13 Si: f(2x + 1) = 6x - 1 y g(3x - 2) = 6x + 1,

7 Si: 5b = 5a Ω 4b 3a 3 2 y 4m Ω 6n = m 2 - n 2 - 100,

Acumulativo total

Nivel IV

7 Indica el número de cuadriláteros en la siguiente figura:

d) 9

e) 12

2 Sabiendo que:

calcula:

a) 5

a+ b b = b

1 + 3

1 .

b) 7

8 Un paciente debe tomar 3 pastillas cada 8 horas. Si empieza hoy a las 8:00 a.m., ¿cuántas pastillas habrá tomado al cabo de 120 horas?

c) 10 d) 11 e) 13

(I)

(II)

(IV)

(V)

(III)

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

b) 36

c) 20

d) 42

e) 48

e) 6

n = 5m

b = 4a

halla x, en: x

a) 3

b) 4

(x + 1) = 1901. c) 5

a) 20 d) 30

11 Si:

d = c2 - d 2 + 1,

a) 0

b) Falta información d) 4 e) R

5 Si: m a

d) 6

e) 7

b) 22 c) 26 e) Más de 30

b) 1

3 .

c) 2

d) 3

e) 5

a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 33

halla x, en:

a) 5

b) 4

3x = 30. c) 3

d) 2

e) 1

a) Todas

b) Ninguna

c) 9

d) 8

e) 7

¿Cuántos cortes como mínimo se le deben hacer para obtener 24 leños iguales? a) 7

b) 4

c) 6

d) 8

e) 12

17 Determina el número de trapecios en la figura si AB // EC y BF // CD . B

c) S/. 2850

b 7

a) S/. 2680 b) S/. 2700 d) S/. 2900 e) S/. 3100

a = a2 - a,

12 En cierto distrito, un parque se riega cada 5 días, se corta el césped cada 18 días y se poda los arbustos cada 30 días. El riego cuesta S/. 80, el corte S/. 150 y la poda S/. 120. Si hoy se hicieron los tres trabajos a la vez, ¿cuánto se deberá pagar por estos trabajos en total hasta que vuelvan a coincidir?

c 8

d 9

d 10

e 11

6 ¿Cuántas de las líneas rojas indicadas en la figura se deben eliminar como mínimo para que la figura se pueda realizar de un solo trazo y sin repetirlo?

16 Se tiene el siguiente tronco de madera para hacer leña:

a) 0 c) 1

calcula:

E = 1 ψ {2 ψ [3 ψ (4 ψ...)]}.

= 8m - 7,

(ab + b) 2.b-1 , 4 Si: a ψ b = b calcula el valor de E, en:

c) 1

15 Indica cuántos cubos simples están completamente ocultos en el siguiente bloque:

10 ¿Cuántos pentágonos se pueden contar en la siguiente figura?

a) 30

b) 4 e) 5

a) 45 b) 51 c) 48 d) 42 e) 54

a) 2 d) 3

14 Si se cumple que:

9 Indica el número de cubos simples que presentan solo una de sus caras visibles.

3 Indica de cuántas maneras diferentes se pueden unir dos de estas figuras, mediante un segmento ( ) que una los puntos indicados, para elaborar una figura de un solo trazo y sin repetirlo.

a) 50 b) 45 c) 40 d) 36 e) 30

c) 6

b) 4

a) 3

= 868

5x - 4

halla x, en: 6 ∆ x = 6.

a) 144 b) 150 c) 188 d) 200 e) 400

2q = 3p - 4q + 1,

y (2p + 1)

2 13 Si: n = n + 3n, calcula el valor que puede tomar x, en:

1 Si: 3a ∆ 4b = 5a 2b 2m 3n = 3m 4n

d 12

c 13

a 14

d 15

c 16

a 17