Razonamiento Matemático_secundaria_2 by karin Villanueva

Alfonso Rojas PuĂŠmape

© Derechos de autor reservados. Alfonso Rojas Puémape © Derechos de edición y artes gráficas reservados. 2012, Editorial Tercer Milenio S.A. 7300 North Kendall Drive, Suite 521 Miami, Florida 33156-7840. USA etm@grupo-etm.com Director Editorial: Antonio Sabogal Editora General: Marifé Vargas-Corbacho Editor de Matemática: Alfonso Rojas Puémape Especialistas del Área: Giovanna Rojas Jorge Chávez Johnny Leguía Eddy Chirinos Edson Tacanga Diseño de portada: Delfín Blanco Comunicaciones Composición de interiores: Jorge Huamaní, Iván Tejada, María Isabel Flores Ilustraciones: Jorge Huamaní, Giulianno Delgado Preprensa e impresión: QuadGraphics www.QG.com Impreso en Colombia - Printed in Colombia Impreso con papel bond con certificación FSC con cadena de custodia "Bosques Controlados". Reservados todos los derechos. No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra didáctica, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo por escrito de los titulares del copyright.

n ó i c a t n Prese Desarrollar la inteligencia y aprender a pensar, para resolver dificultades decidiendo por las mejores alternativas de resolución y con alta velocidad de procesamiento mental son tareas pendientes en todos las instituciones escolares. Nuestra colección para la Educación Secundaria presenta una propuesta de razonamiento lógico - matemático por medio de la cual se pone al alcance de estudiantes y docentes, cientos de ejercicios, problemas, juegos, matemática recreativa y todo tipo de materiales relacionados con situaciones lógicas, búsqueda de regularidades y habilidad operativa, que permiten desarrollar las capacidades de observación, abstracción, generalización, comprensión, análisis y síntesis. Se aprende a pensar, pensando; se aprende a razonar, razonando, es decir afrontando muchas situaciones que permitan pasar del nivel literal a los niveles inferencial y/o crítico. En esta edición se ha diseñado en la parte final de cada unidad una sección denominada AUTOEVALUACIÓN, que ha sido dividida en cuatro niveles. De los cuales los tres primeros son acumulativos parciales, cuya temática cubre aleatoriamente los tres temas de la unidad correspondiente, mientras que el nivel IV es acumulativo total, cuya temática es todo el contenido desarrollado en el texto hasta esa posición. La colección de RAZONAMIENTO MATEMÁTICO de ETM ofrece diversos personajes y muñecos. Entre los primeros aparecen Skanito y sus amigos Maite, Dalma y Luchín, quienes realizan el papel de mediadores del aprendizaje. Entre los muñecos hemos dado vida a elementos tecnológicos como una laptop, un USB, un celular y una tableta, así como a materiales que los estudiantes emplean a diario en sus quehaceres escolares como una regla, un block, un clip; además, los acompaña una ilustración del planeta Tierra que promueve transversalmente su cuidado y conservación. De estas ilustraciones, algunas hacen el papel de direccionadores y otros de sintetizadores. Los primeros aparecen en tamaño pequeño e indican que alguna idea del contenido se aclarará en un cuadradito de margen. Esa aclaración se ve precedida por un sintetizador en tamaño más grande. Esperamos que este cuaderno de trabajo sea de mucha utilidad para la práctica del razonamiento lógico-matemático ya que lo consideramos un excelente material que permite un intenso entrenamiento para exámenes de admisión a cualquier centro superior de estudios.

Alfonso Rojas Puémape

E ST RU C TU RA DE U N I DA D

U NIDA D

109

ALFONSO ROJAS PUÉMAPE

RAZONAMIENTO ANALÍTICO

INICIO DE UNIDAD

¿Quién es la única nieta de la abuela de mi madre?

• Nombre de unidad • Problema motivador

• Contenido (temas)

Pie

PLANTEAMOS ECUACIONES

CONTENIDO

nso m

ientras

O J U E G jas Formemos pare cuatro parejas de

, forma os en el recuadro es números contenid Con los siguient cuatro parejas. sea igual para las los dos números

RES ► RELACIONES FAMILIA ACIÓN ► ORDEN DE INFORM ENTRADA ► CUADROS DE DOBLE

Escribe dentro de las figuras el par de números.

Ahora forma cinco

¡Sigue jugando!

parejas.

123

109

67 25 62 33

manera que la suma

183

152

145

Conjunto de situaciones lúdicas que permiten el desarrollo del pensamiento matemático.

Estrategia TEMAS

Conjunto de técnicas que nos guían en la resolución de problemas diversos.

Nombre deL tema

NúMERO DEL TEMA

53 52

ALFONSO ROJAS PUÉMAPE

TEMA

PROGRESIONES

24;

Estrategia

+5 +5 +5 = 29 t 2 = 24 + 5 = 34 t 3 = 24 + 5 + 5 t = 24 + 5 + 5 + 5 = 39

y Analizamos cómo varían los números forma a partir de esto descubrimos la la sude calcular cualquier término de

¡OBSERVACIÓN!

PROGRESIÓN ARITMÉTICA (PA) ...; t 4; t 3; t 2; PA → t 1; +r

tn : último término o enésimo término r : razón (aritmética) n : número de términos

tn +r

primer día Un jardinero siembra durante el segundo, de trabajo 18 árboles; durante el y así su25 árboles; durante el tercero, 32 sembrará cesivamente, ¿cuántos árboles el vigésimo segundo día?

25;

39;

32;

+7 +7 • Calculamos t 22:

•

día?

Interpretamos la información y reconoprogrecemos los elementos de una la sión geométrica. Luego aplicamos enéexpresión para calcular el término simo de una PG.

• Formamos la PG: 1h 1h 1h

Estrategia Debemos interpolar medios geométricos entre 200 y 437 400.

t 22

...;

64;

;

...;

;

216

39 − 2 = 37 medios aritméticos • Calculamos la razón: 216 = 64 + (39 − 1)r ⇒ r=4 señaliza• Luego, los kilómetros que están dos con los letreros son:

t 22 = t 1 + (22 − 1)r t 22 = 18 + 21 × 7 t 22 = 165 sembrará Luego, el vigésimo segundo día

;

200;

; 437 400

; ...;

8 437 400 = 200.r

−1

⇒ 37 = r7 ⇒ r = 3 para el • Ahora, calculamos la inversión sexto día: 6−1 t 6 = 200.3 t 6 = 48 600 48 600 . • Luego, el sexto día invirtió $

10 − 1 t 10 = t 1.r 9 t 10 = 4.3 t 10 = 78 732

• Luego, al cabo de 9 horas habrán 78 732 bacterias .

Conjunto de ejercicios y problemas resueltos diseñados para mostrar formas de resolución de una gran diversidad de situaciones que exigen razonamiento.

OSOS STST UEUE OP OP S SPRPR MÁ MÁ

PUÉMAP E ALFONSO ROJAS

TOSS ELTO SU EL MÁ S RE 1

gulos. Fila 3: hay 3 triángulos.

n Si a m = a ⇒ m = n a ≠ 0 ∧ a ≠ 1.

Ideas que resumen, subrayan o recuerdan conceptos que nos ayudan a resolver un problema.

¿Cuántos círculos

tiene la figura N.º

2 Fig. N.º 3 Fig. N.º 1 Fig. N.º

10?

Rpta.: 207 de palitos que emDetermina la cantidad filas de la figura. plearon en las 5 últimas

de helado se utilizaron ¿Cuántos palitos figura? para formar la siguiente

se total de palitos que Calcula el número siguiente para formar la han empleado figura:

Rpta.: 570 de palitos que se Determina la cantidad filas de la figura. usaron en las 2 últimas

Rpta.: 8550 n de fósforo se emplearo ¿Cuántos palitos la siguiente figura? en total para construir

Resolvemos: palitos en cada fila: • Contamos los 3(1) 1.° fila: 3 3(2) 2.° fila: 6 3(3) 3.° fila: 9 3(4) 4.° fila: 12

Rpta.: 545

a con palitos de Si la figura está construid se emplearon palitos helados, ¿cuántos filas? de las 5 últimas en la construcción

en la sombreadas hay ¿Cuántas bolitas siguiente figura?

30.° fila:

3(30)

• Sumamos: 30 × 31 30) = 3 2 3(1 + 2 + 3 + ... + . n 1395 palitos • Luego, se emplearo

100

Rpta.: 1475

19 40

Rpta.: 1680 de puntos que se Determina la cantidad siguiente figura: colocaron en la

PISTA 6 Cuenta la cantidad de palitos que hay en cada fila y luego aplica:

1 + 2 + 3 +... n n(n + 1) = 2 1

(10 + 1) × 12 = 66 10.°: 2 66 círculos . • Luego, tiene

PISTA

Fila 1: Fila 2: Fila 3:

Fig. N.º 4

Resolvemos: fila de la figura: • Analizamos cada 2×3 1.°: 3 = 2 3×4 2.°: 6 = 2 ×5 4 3.°: 10 = 2 5×6 4.°: 15 = 2

¡RECUERDA! Una fila es cada arreglo horizontal. Ejemplo:

Conjunto de ejercicios o problemas para desarrollar en clase.

2(28) − 1

55.° fila: 55

45 × (3)= 135

• Sumamos: 3 + ...+ 28) Total = 2(1 + 2 + 1) − (1 + 1 + 1 + ...+ 28 veces 28 × 29 − 28 = 784 Total = 2 2 das . bolitas sombrea • Luego, hay 784

palitos . • Luego, hay 135

Podemos expresar los números impares de una manera que podamos sumar fácilmente, así: 1 = 2(1) − 1 3 = 2(2) − 1 5 = 2(3) − 1

, de todos los términos Calcula la suma hasta la fila N.° 10. 1 1.° fila: 5 3 2.° fila: 11 9 7 3.° fila: 19 17 15 13 4.° fila:

Rpta.: 3025

Resolvemos: das en bolitas sombrea • Contamos las cada fila: 2(1) − 1 1.° fila: 1 2(2) − 1 3.° fila: 3 2(3) − 1 5.° fila: 5

Resolvemos: fila de la figura: • Analizamos cada 1 × (3) 1.° fila: 3 2 × (3) 2.° fila: 6 3 × (3) 3.° fila: 9 45.° fila:

¡ATENCIÓN!

dos

52 53 54 55

1 2 3 4

Fila 1: hay un triángulo. Fila 2: hay 2 trián-

las se colocaron en ¿Cuántos palitos figura? últimas filas de la

de palitos que se Determina la cantidad fila de la figura. última han usado en la

¡IMPORTANTE! En cada fila hay el mismo número de triángulos que el número de la fila:

¡interesante!

M á S pr o pu es to s

M á S RE SUE LTO S 46

¡RECUERDA!

8 − 2 = 6 medios geométricos • Calculamos la razón:

• Calculamos t 10:

64; 68; 72; 76; 80; 84; ...; 216.

165 árboles .

• Formamos la PG:

t 10 ...; 108; 36; 12; 4; ×3 ×3 ×3 ×3 de 1h, • Observamos que por cada intervalo calla bacteria se triplica. Luego, debemos cular el décimo término.

• Formamos la PA:

• Formamos la progresión: 18;

duranUn empresario invirtió su dinero te 8 días consecutivos, multiplicándolo Si el pricada día de manera constante. día inmer día invirtió $ 200 y el último el sexto virtió $ 437 400, ¿cuánto invirtió

Estrategia

Luego de formar la PA; interpolamos medios aritméticos entre los extremos de dicha progresión.

¡ATENCIÓN

m medios aritméticos

cada En un cultivo, una bacteria se triplica se colocan hora. Si para una investigación habrán 4 bacterias en un cultivo, ¿cuántas

leA lo largo de una carretera se colocaron El primer treros para indicar los kilómetros. 64 y el últiletrero se colocó en el kilómetro 39 mo en el kilómetro 216. Si se colocaron ¿cuáles letreros equidistantes uno de otro, son los kilómetros que están señalizados

t n = t1.r

Interpolación de m medios geométricos entre los números a y b: a; ; ; ; ...; ; b

n−1

m medios geométricos

al cabo de 9 horas?

Estrategia

Con los datos del problema formamos una progresión aritmética. Calculamos la razón y mediante la fórmula hallamos el vigésimo segundo término.

Interpolación de m medios aritméticos entre los números a y b: a; ; ; ; ...; ; b

En general:

con los letreros?

Estrategia

t n = t 1 + (n − 1)r

En general:

t 1 : primer término

×r

t 1 : primer término

Donde:

Imágenes que relacionan el contenido en un tema con un sintetizador.

×r

NOTITA Una progresión es una sucesión cuya razón es constante.

t n : último término o enésimo término r : razón (geométrica) n : número de términos

(PG) PROGRESIÓN GEOMÉTRICA tn t 4; ...; t 3; t 2; PG → t ;

19 veces • De lo anterior: t 20 = t 1 + 5 + 5 + 5 + ... + 5 ⇒ t = 24 + 5 × 19 = 119 20

Direccionadores

8 veces • De lo anterior: t 9 = t 1 × 3 × 3 × 3 × ... × 3 8 ⇒ t = 2 × 3 = 13 122 9

cesión.

Sintetizador

...

54;

×3 ×3 ×3 =6 t2 = 2 × 3 = 18 t3 = 2 × 3 × 3 t 4 = 2 × 3 × 3 × 3 = 54

Analicemos nuevamente cómo varían los números para poder descubrir una expresión que nos permita calcular cualquier término de la sucesión.

39; ...

34;

29;

18;

Estrategia

la sucesión: • Analizamos cada término de t4 t3 t2 t1

..., halla el Sea la sucesión: 24; 29; 34; 39; vigésimo término.

sucesión: • Analizando cada término de la t4 t3 t2 t1

calcula el Sea la sucesión: 2; 6; 18; 54; ..., noveno término.

39 40

Rpta.: 1640

Una guía o ayuda que permite desarrollar el problema.

ontrol

CONTRO

8 Identifica el número

35 (24) 12 14 (25) 23 53 ( x ) 31

PISTA 8 Suma las cifras del primer número y luego extrae la raíz cuadrada de un

¡Resuelve aquí!

de x, en:

Calcula el valor

que falta, en:

45 (6) 4 22 (8) 16 31 (x) 36

10 (5) 6 40 (4) 3 10 (x) 2

81 (16) 7 100 (16) 6 256 ( ) 4

Determin

que Determina el número

falta.

52 (144) 14 13 ( 64 ) 40 ) 12 42 (

5 (196) 9 6 (100) 4 ) 4 7 (

36 (3) 9 11 (2) 3 69 ( ) 5

38 (34) 37 64 (29) 23 82 ( x ) 34

producto.

1) 9

7) 6

2) 12

8) 42

3) 10

9) 3

4) 40

10) 2

5) 40

11) 7

6) 0

12) 6

COMPRUEBA

PISTA 6

que falta, en:

que falta?

¿Cuál es el número

Halla el número

a el valor de x, en:

x, en:

12 ( 6 ) 22 23 (10) 41 31 ( x ) 12

12) 81

Determina el número

Hallar el valor de

x, en:

Calcula el valor de

10) 32 11) 5

En una fila calcula la suma de las cifras de un número y la diferencia de las cifras del otro. ¿Cuánto suman ? ambos resultados

7) 28 8) 12 9) 121

PISTA 4

COMPRUEBA

de x, en: Determina el valor

que falta, en:

9 (28) 4 7 (19) 3 6 ( ) 1

68 (4) 97 34 (3) 64 78 (x) 21

95 (17) 12 78 (24) 81 54 ( x ) 31

Conjunto de 12 ejercicios o problemas elaborados para evaluar parcialmente en aula los niveles de razonamiento del tema tratado.

x, en:

6) 4

Halla el valor de

de x, en:

Calcula el valor

4) 4 5) 3

PUÉMAP E ALFONS O ROJAS

1) 13 2) 20 3) 23

Claves de respuestas

r, no decaer Insistir, persevera características en el intento son res. de los triunfado

Extrae la raíz cúbica de una diferencia.

ALFONSO ROJAS PUÉMAPE

CÁLCULO RÁPIDO Hacer deporte mental activa las neuronas del cerebro. El cálculo rápido es un deporte mental.

CONMUTATIVIDAD SUMANDO

Propiedad conmutativ

c á l c u l o r á p id o

a a+b+c=a+c+b=b +c+a Ejemplo: 24 + 31 + 16 = 24 + 16 + 31 = 31 + 16 + 24 = 71 1. Meche tiene 23 pulseras, Luisa tiene Resolvemos: 35 pulseras y Cecilia tiene 17 pulseras. ¿Cuántas pulseras tienen • Efectuando la suma en total? de las cantidades de pulseras que tiene cada una de ellas:

¡IMPORTANTE! Para sumar es más simple considerar: Ejemplo:

TOTAL = 23 + 17 + 35

= 40 + 35 = 75 Respondemos: Luego, en total tienen 75 pulseras.

1 + 9 = 10 2 + 8 = 10 3 + 7 = 10 4 + 6 = 10 5 + 5 = 10

=9×6×2 = 54 × 2 =

¡ATENCIÓN!

23 + 35 + 17 Se puede reordenar así:

23 + 17 + 35 o 35 + 23 + 17

Flor va al mercado con S/. 120. Si realiza tres compras, por S/. 33, S/. 48 y S/. 27, ¿cuánto dinero le queda al final de las compras?

Para comprar una cámara de video cuyo costo es de $ 250, tres amigos aportan respectivamente $ 82, $ 75 y $ 88. ¿Cuánto les falta para comprar dicha cámara?

Debemos ordenar los números según nos convenga:

108

Antonio recibe el sábado S/. 44, el domingo S/. 51 y el lunes S/. 46. ¿Cuánto debe ganar el día martes para llegar a tener en total S/. 150?

Un comerciante vendió en febrero 91 mochilas, en marzo 45 mochilas, en abril 39 mochilas y en mayo 25 mochilas. ¿Cuántas mochilas ha vendido, en total, dicho comerciante?

Un alumno desarrolla el miércoles 35 ejercicios, el jueves 44 ejercicios, el viernes 65 ejercicios, el sábado 43 ejercicios y el domingo 56 ejercicios. ¿Cuántos ejercicios en total ha resuelto dicho alumno durante los cinco días?

= 54 × 2 = 108 9

Miguel en diciembre vende 24 sombrillas, en enero sextuplica sus ventas y en febrero quintuplica lo que vende en enero. ¿Cuántas sombrillas vende en febrero?

11 Pedro tiene ahorrados S/. 25. En julio, su papá le

triplica sus ahorros y en su mamá se los cuadruplica octubre, . Si en un obsequio gastó S/. 120 de sus ahorros, ¿cuánto dinero le queda?

13 Un comerciante vende en la 1.° hora 16 polos; en la 2.° hora duplica sus ventas; en la 3.° hora triplica las ventas hora y en la 4.° hora quintuplica de la 2.° las ventas respecto a la 3.° hora. ¿Cuántos polos vendió en la 4.° hora?

10 Un avión vuela inicialmente a 150 metros de

altura, luego cuadruplica dicha altura para después duplicar la altura y así hasta llegar a su destino. ¿A qué altura volaba cuando llegó a su destino?

12 Un boxeador recorre el primer día de entrenamiento

1,2 km, el segundo día cuadruplica la distancia que recorrió el día anterior y el tercer día quintuplica la distancia que recorrió el día anterior. ¿Cuántos kilómetros recorrió el tercer día?

14 Elsa realiza operaciones a partir del número

8. Primero lo duplica y luego, el resultado, lo multiplica por 9. Si obtiene 132 como resultado, por error ¿por cuántas unidades de más se equivocó?

¡IMPORTANTE! Multiplicar por 10 es lo mismo que agregar un cero a la derecha del número que se multiplica. Ejemplo: 6 × 10 = 60 18 × 10 = 180 245 × 10 = 2450

PUÉMAP E ALFONS O ROJAS

REC REA TI VA

MA TEM ÁTI CA

LA CADENA 3. CORTANDO la que se cadena como Manuel tiene una una cadena quiere obtener a un muestra, pero es. Para ello acude cerrada de 9 eslabon por corte y S/. 10 por S/. 5 cobra que herrero Manuel . ¿Cuánto pagará soldar cada eslabón

Y DUPLICA 1. TRASLADA para duplicar debes trasladar ¿Cuántos palitos el número?

como mínimo?

mate má tica recreati va lám

QUE PARECE 4. NO ES LO que debes cantidad de palitos ¿Cuál es la menor ocho? quitar para obtener

OCULTO 2. MENSAJE hermano. r un terno para su Rolando desea compra un mensaje tienda observa Al pasar por una ¿Podrá comprar que se muestra. extraño como el tienda? el terno en dicha

Ejercicios de Matemática lúdica concebidos para desarrollar pensamiento creativo.

¡Resuelve aquí!

a u to e v a l u a ci ó n ALFONSO ROJAS PUÉMAPE

a) 701 b) 778 c) 859 d) 944 e) 1033

e) 0

Fila 1 Fila 2 Fila 3

día El 02 de marzo fue lunes. ¿Qué fue el 03 de julio, del mismo año? a) Martes b) Miércoles c) Jueves d) Viernes e) Sábado

c) S/. 12 e 9

b 10

b 11

b) S/. 10 e) S/. 9

d) 4

c) 3

palitos Calcula el número total de si se que hay en la siguiente figura, tiene 20 filas:

c 12

a 13

d 14

a) S/. 8 d) S/. 11 d 15

a 16

e) 49

b) 1

a) 2

En el mercado “Baratillo”, tres melocodos tones equivalen a cinco naranjas; manchirimoyas a siete peras y seis gos a catorce peras. Si ocho granadillas equivalen a 2 mangos y la docena de granadillas cuesta S/. 2, ¿cuántos soles cuestan 6 melocotones?

en:

e) Z

calcula:

25 e) O

d 17

b 18

d 19

d) 55

d) P

e 20

a 21

c) 60

c) K

en:

e 22

b) 36

b) N

a 23

b 24

a) 64

Encuentra la letra que continúa,

a) L

tiene 36 billetes, entre los que 8 Carlos del número que adeDetermina la suma de cifras hay solo de S/. 20 y de S/. 50, continúa, en: más hay S/. 1290, en total. ¿Cuántos billetes de S/. 50 tiene Carlos? 3; 4; 7; 17; 44; 105; ... c) 21 d) 20 e) 19 a) 17 b)e)18 12 d) 10 c) 8 b) 6 a) 9 el valor de x, en: 9 Identifica x 45; 3; 4; 4; 6; 12; 15;

d) 12

c) 10 b) 8 a) 9 d) 16 e) 54

d) W

2 x − 2 = x + 3;

x−1 +2 =x

además:

e) 678 a) 685 b) 549 c) 565 d) 675 17

e) 7

Se sabe que:

c 25

d 26

c) 198

c 10

b) 279 e) 272

c) 48

e) 7

d) 11

como

e) 14

c) B

b) Y

a) X c) 10

¿Cuál es el número que continúa? 3; 4; 10; 33; 136; ...

b) 9

a) 8

d) 13

Encuentra la letra que continúa,

Identifica el valor de x, en: x 13; 20; 22; 29; 50; 93; 165;

c 11

b 12

b 13

a) 290 d) 330

b) 64

a) 32

e) 16

calcula:

c) 12

b) 11

a) 10

2x − 3 = x + 1

d) 25

Determina el valor de x y da respuesta la suma de cifras. 8; 9; 19; 58; 233; x

e) A

d) T

c) N

Si: x + 2 − 1 = x y

e) X

d) V

b) Q

d) 30 e) 27 c) U a) W b) Y

e) 595 a) 585 b) 327 c) 495 d) 565

c) 600

b) 525 e) 650

en: Encuentra la letra que continúa, U; W; B; E; I; M; O; ... a) R

juntó Durante el mes de abril, Luchito el 5 chapitas el primer día, 6 chapitas segundo, 7 el tercero y así sucesivamente, hasta el último día. ¿Cuántas chapitas acumuló en total?

e) 17

d) 16

c) 11

Calcula el valor de x, en: 1; 5; 10; 60; 66; 462; x a) 469 d) 625

Calcula el número que falta, en: repartir cierto número de 7 Se pensaba golosinas entre 12 niños, tocándole 107 de216 estas−4golosinas a cada uno. Sin −2 49 9 al número ya existente se embargo, 3 y se 2 le aumentó 36 golosinas más invitar a más niños, entregándecidió 9 x −5 dole 6 golosinas a cada niño. ¿Cuán3 tos niños más, se beneficiaron?

25 25

c) 9

b) 15

a) 20

c 14

b 15

e) 6

a) 10

64 8

b) 13

6 4 5 x la letra que continúa. 34 Encuentra 4 3 S Ñ J E B V P K

c) 32

b) 28

e) 7

d) 6

c) 5

b) 4

¿Cuántos cuadrados, en total, pueden obtener de la figura? b) 16 a) 36 d) 32 c) 25 e) 30

20 6

¿Cuál es el número que continúa? ... − 7; −14; −20; −23; −14; 55; e) 484 a) 448 b) 456 c) 468 d) 472

e) 7

d) 9

c) 18

¿Cuál es el valor de x?

d) 10

c) 9

x 6 5 5 8 9

13 b) 6

a) 8 e) 35

a) 34

4 10

24 10 12

1 14

a) 3

e) 54

d) 24

¿Cuál es el valor de x?

e 16

e 17

b 18

d 19

c 20

d 21

d 22

b 23

5 7 8 3 8 9

... 10 1; 4; 10; 20; 42; 98; 231; 512; 3 2 c)1048 b) 1012 a) 1024 8 6 7 e) 1047 d) 1035 b) 8 a) 7

d 24

e) 10

e) P

d) Q

c) 36

b) 48

a) 44 12

2; 8; 9; 36; 38; 152; x; y

c) S

x, en: y − x. Determina el valor decalcula: 460 a) 465 b) 620 c) 155 d) 310 e)

e) F

d) E

c) D

b) C

a) B

Determina el valor de x, en: 5 ( x ) 9

4 ( 28 ) 8 2 ( x) 4 7 ( 27 ) 3 d) 10 e) 11 c) 9 b) 8 a) 33 la b) 45 c) 20 d) 32 en Indica el número que continúa el valor de x, en: sucesión: 8 Encuentra

7 d) 11

b) T

D ; F ; I ; M ; Q ; W ;

c) U; 73 b) W; 37 sucesión: e) V;537 En la

a) V; 74 d) W; 74

c) 9

c) 125

¿Cuál es la letra que continúa?

e) 32 a) 25 b) 24 c) 28 d) 30 e) 7 d) 6 el valor de x, en: 4 Indica que Encuentra la letra y el número x 160 120 continúan: 6 7 1 8 2 5 5 3 4 C; − 4; D; − 3; F; 0; I; 6; Q; 37; ... ; ... 189 M; 17; a) 81 b) 80 c) 84 d) 190 e)

e) 8

d) 4

c) 7

b) 120 e) 140

a) 130 d) 135

c) 5

b) 15

a) 7

en la Halla el número que continúa sucesión: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 63; ...

6 9

Con un número y con los resultados obtenidos, se realizan, sucesivamenSe te, las siguientes operaciones: divide multiplica por 3, se suma 3, se entre 3, se extrae la raíz cuadrada, se luego se resta 3, se eleva al cubo, raíz suma 1, y finalmente se extrae cuadrada, obteniéndose 3. ¿Cuánto suman las cifras del número original?

Determina el valor de x, en: 48 ( x ) 72 24 ( 24 ) 36 16 ( 14 ) 18

Indica el valor de x, en: el valor de x. 3 Calcula 12 1 1 2 9 19 8 17 4

20 1 9 x 4 5 2

en: Identifica la letra que continúa, X; D; F; L; Ñ; T; X; D; ... c) V d) Ñ e) T b) I a) M

c) 120

b) 116 e) 110

8 ( 19 ) 5 la letra que continúa, en: 2 Encuentra 7 ( x ) 6 A; T; E; P; J; L; O; ... e) F b) 14 c) 13 a)d)G15 b)e)K17 c) H d) I

a) 16 e) 27

d) 10

2 5 4 6 3 4

b) 5

a) 6

a) 7

x 8

c) 24

Acumulativo total

Nivel IV

en:

valor de m − n. Determinae)el E d) B n; m 5; 6; 8; 10; 14; 22; 26; 58;

b) 7

e) 1

a) R

Z c)1D

Halla el valor de x, en:a) 115 5 ( 12 )d)3112

a) 12

e) 5

d) 25

c) 9

b) 4

6 8 10 7 2 3

d) 144 e) 120

U b) C

a) A

d) 4

a 15

c) 3

b 16

b) 2

c 17

a) 1

Encuentra la letra que continúa,

e) O

Halla el valor de x, en:

15 (17) 8 de x, en: 5 ( x ) 12 4 Determina el valor 4 b) 11 c) 15 d) 12 e) 106

Calcula el valor de x, en: 6 (20) 2 7 8 (29) 5

6 8

a) 100 b) 121 c) 81

en la

d) Q

b) 12

a) 18

102 (49) 103 201 (81) 402 301 ( x ) 601

c) P

7 e) A

d) V

Halla el valor de x, en: e) 34

Calcula el valor de x, en:

6 3 3 7 1 ... e) 6 d) 8 3; 10; 19; 35; 65; 118; 205; c) 5 b) 7 a) 9 c) 341 b) 339 el número que continúa, en: e) 317 5 Indica −1; 2; 6; 14; 31; 64; ... Determina el valor de x, en: e) 112 a) 122 b) 132 c) 118 d) 96 21 (16) 25 27 (25) 32 la letra que continúa, en: 6 Encuentra 16 ( x ) 19

a) 16

e) K

d) I

c) B

c) Y

b) W

a) X 3 d) 32

Identifica el número que continúa la siguiente sucesión: 3

Halla x, en:

d 18

6 e

e 8

c 9

c 10

b 11

e 12

e) 18

e) A

9; 9; 14; 23; 35; 49; ... 60 64 b) 63 c) 62 d) 61 e)

en la

F; M; Q; X; C; ... b) J

a) H

e 13

a 14

d 15

d) 45

d) B

en ¿Cuál es el número que continúa la sucesión?

c) 19

Determina la letra que continúa sucesión siguiente:

b 16

a 17

c 18

a) 26

c) 32

c) C

b) Z

a) X 14

3 (34) 5 2 (x) 6

C; F; J; Ñ; T; ...

c) 131

Halla el valor de x, en: 1 (17) 4

b) 40

e) 5

d) 4

la su¿Cuál es la letra que sigue en cesión?

4 c) 36

b) Ñ

a) N

a) 335 d) 327

14 b) 21 e) 15

a) 23 d) 17

b) 118 e) 127

a) 135 d) 128 7

6 c) 3

b) 2

a) 1

d) B e) A D c) C a) E b) b) c) 8 7 a) 6 e) 10 d) 9 en: 5 Halla x, que continúa en la 9 es la letra 3 19 ¿Cuál siguiente sucesión? 5 33 18 8 Y; T; Q; 6M; J; E; ... 12 d) C e) B c) Z 15 a) Y b) A 6 x el valor de x, en: 20 Determina 7 6 4 3 7 23 4b) 21 4 c) 7a) 19 8 6 e) 28 d) 27 x 28 39 x, en: 6 Determinar c) 33 b) 38 a) 17 961 (7) 243 e) 25 d) 22 729 (9) 216 144 (x) 125

e) E

a) 13

d) D

en la Calcula el número que continúa siguiente sucesión: 2; 4; 8; 16; 30; 52; 84; ...

c) C

b) B

a) A

Halla el valor de x, en:

Halla x, en:

e) 35

b) 119 e) 133

a) 113 d) 130

b) 28

Halla el valor de x, en: 3 (5) 4

c) 126

d) 28

a) 30 15

c) 24

b) 21

en la ¿Cuál es la letra que continúa sucesión? U; S; P; M; H; ...

e) 9

d) 7

c) 5

200; 150; 107; 72; 446; 230;5 ... 3 c) 27 b) 26 c) 37 a) 13e) 23 b) 22 e) 71 d) 31 Halla x, en: letra5 que continúa en la 24 la(3) 4 Indica sucesión: 18 (4) 2 Z; Y;4V; Q; K; ... 36 (x)

a) 25 d) 24

24 (9) 9 12 (x) 15 b) 8

a) 6

e) 14

Calcula el valor de x, en: 16 (8) 12

d) 11

a) 18

6 x

5 c) 10

en la Indica el número que continúa siguiente sucesión: 5; 6; 12; 25; 47; 80; ...

x 8 b) 7

a) 5

26 19 c) 12 b) 18 e) 21 2 3 3 2 7 4 3 5 en Identifica el número que continúa x la sucesión:

Determina la letra que continúa sucesión:

0 9 es la letra que sigue? 28 ¿Cuál

11 9

x 14

14 c) 17

Indica el valor de x, en: x

a) 16 d) 15

d) 27 e) 32 el número que continúa. 1 Determina 25; 27; 26; 21; 11; ... d) − 5 e) 6 6 c) 7 3 a) 5 4 b) −

7 26 8

b) 16 e) 19 6

c) 23

Indica el valor de x, en:

6 3

3 12

b) 17

a) 15 14

7 15

Acumulativo parcial

Nivel III

e) 21

d) 18

Hallar el valor de x, en:

12a) 15 d) 18 2

3; 4; 8; 23; 59; 128; 244; ... c) 423 b) 379 e) 437

9 (17) 8 8 (15) 7 9 (x) 7

Determina el valor de x, en: 6

Halla x, en:

e) X

d) W

c) A

b) B

a) V 8

43 (16) 18 7 7 4 42 ( x ) 28

Indica las dos letras que continúan, en: B; C; E; G; H; K; ...; ... c) K; Ñ b) K; N a) L; Ñ e) M; Ñ d) Ñ; Ñ

c) 23

b) 20

a) 19

a) 396 d) 415

Determina el valor de x, en: 25 (13) 14 19 ( 9 ) 8 34 ( x )

en la ¿Cuál es la letra que continúa sucesión? C; H; K; O; R; ...

ALFONSO ROJAS PUÉMAPE

a) 888 d) 887 3

e) 23

Determina el número que continúa, en:

c) 877

b) 878 e) 879

1 d) 22

c) 21

b) 20

a) 19

Determina el número que continúa, en: 5; 6; 8; 14; 38; 158; ...

e) O

d) N

c) M

b) L

a) K 2

el número que continúa en la 1 el Halla valor de x, en: Halla sucesión: 9 (19) 4 58; 109; 181; ... 1; 7; 25; 49 (11) 2 c) 263 b) 259 a) 251 4 (x) 3 e) 277 d) 265 c) 10 d) 11 e) 12 b) 9 a) 8 x, en: 2 Halla Determina x, en: 32 (12) 25

Calcula x, en:

en la

Acumulativo parcial

Nivel II

Acumulativo parcial

Nivel I Determina la letra que continúa sucesión: P; U; Y; D; H; ...

Páginas con problemas variados de los tres temas que conforman la unidad, de los cuales los tres primeros son acumulativos parciales (nivel I, II y III) y el último es acumulativo total (nivel IV).

CIÓ N

AU TOE VA LUA

e 19

d 20

= 10 × 18 = 180 Respondemos: Luego, Juanito tiene ahorrado S/. 180.

¡CUIDADO! En un producto de varios factores, es recomendable efectuar primero los factores que hagan más simple el producto final. Ejemplo:

=6×9×2

Tres hermanos tienen 32, 43 y 28 los respectivamente. ¿Cuántos caramecaramelos les faltan para que tengan 110?

ANDO

TOTAL = 23 + 35 + 17 • Para efectuar la suma con más aplico la propiedad conmutativa rapidez :

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Procedimientos o artificios de cálculo basados en propiedades matemáticas elementales que nos permiten desarrollar cálculos mentalmente.

CONMUTATIVIDAD MULTIPLIC

Propiedad conmutativ

a×b×c=a×c×b=b ×c×a Ejemplo: 9 × 6 × 2 = 9 ×2×6=6×2×9= 108 8. Juanito tenía ahorrados S/. 18. El día de su Resolvemos: cumpleaños un tío le duplica sus ahorros y en Navidad su abuelito • Efectuando la multiplicació quintuplica lo que n: tiene ahorrado hasta ese Monto obtenido = 18 × momento. ¿Cuán2×5 to tiene ahorrado Juanito, hasta ahora? • Para efectuar la multiplicació n con rapidez aplico la propiedad conmutativa: Monto obtenido = 2 × 5 × 18

Í ndice panor á m ic o UNIDAD

JUEGO

TEMA 1

TEMA 2

Operadores especiales

Un camino que divide

Cuatro operaciones PR Y PP* Control 1

Operadores compuestos PR Y PP* Control 2

• Distributiva sumando • Distributiva restando

Sumando para llegar a casa

Números consecutivos PR Y PP* Control 4

Conteo por inducción PR Y PP* Control 5

• Todo por cinco

Ayudando a Pepín

Sucesiones numéricas y alfabéticas PR Y PP* Control 7

Analogías numéricas PR Y PP* Control 8

Formemos parejas

Planteo de ecuaciones de primer grado PR Y PP* Control 10

Planteo de ecuaciones de segundo grado PR Y PP* Control 11

• Dividimos por cinco

Razonamiento analítico

Palabras escondidas

Relaciones familiares PR Y PP* Control 13

Orden de información PR Y PP* Control 14

• Todo por veinticinco

Razonamiento geométrico

Figuras de igual forma y tamaño

Operaciones con segmentos PR Y PP* Control 16

Rayos y ángulos PR Y PP* Control 17

Pág. 8

2 Pág. 36

3 Pág. 64

Sumas y progresiones

Encontramos patrones

Planteamos ecuaciones

Pág. 92

5 Pág. 120

6 Pág. 148

Comparaciones cuantitativas

Un trabajo complicado

Comparaciones cuantitativas Control 19

Suficiencia de datos

¿Este, o este?

Suficiencia de datos Control 20

Pág. 176

Pág. 190

Anexo Pág. 204

CáLCULO RáPIDO

TíTULO

o Problemas propuestos en concursos interescolares o Pruebas de evaluación

• Conmutatividad sumando • Conmutatividad multiplicando

• Todo entre 25 • Todo entre 250

• Dividimos por 0,5 (cinco décimos) • Dividimos por 0,25 (veinticinco centésimos)

• Multiplicamos por complementos

TEMA 3

MATEMáTICA RECREATIVA

AUTOEVALUACIóN Acumulativo parcial

Acumulativo total

• Un día para celebrar • ¡Quiero mi queso! • ¡Triángulo mágico! • Mis canicas en fila

Nivel I (18 problemas) Nivel II (19 problemas) Nivel III (17 problemas)

Nivel IV (19 problemas de unidad 1)

• Tratando de ver lo oculto • Juntos pero no revueltos • Simple razonamiento • La unión de los "dos"

Nivel I (18 problemas) Nivel II (18 problemas) Nivel III (19 problemas)

Nivel IV (20 problemas de unidad 1 y 2)

• Traslada y duplica • Mensaje oculto • Cortando la cadena • No es lo que parece

Nivel I (20 problemas) Nivel II (19 problemas) Nivel III (24 problemas)

Nivel IV (26 problemas de unidad 1, 2 y 3)

Planteo de sistemas de ecuaciones PR Y PP* Control 12

• ¿Cuál es el orden? • ¡Números, a sus lugares! • Una construcción poco común • Una cena familiar

Nivel I (19 problemas) Nivel II (19 problemas) Nivel III (21 problemas)

Nivel IV (20 problemas de unidad 1, 2, 3 y 4)

Cuadros de doble entrada PR Y PP* Control 15

• Palabra doblada • Olvidé mi número telefónico • Un día difícil • Los palitos de fósforo te ayudarán a pensar...

Nivel I (13 problemas) Nivel II (14 problemas) Nivel III (14 problemas)

Nivel IV (15 problemas de unidad 1, 2, 3, 4 y 5)

Ángulos entre paralelas PR Y PP* Control 18

• Ver más allá de lo evidente • Pentágonos singulares • Un agricultor ingenioso • Un reparto justo

Nivel I (16 problemas) Nivel II (17 problemas) Nivel III (18 problemas)

Nivel IV (17 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5 y 6)

• Tríos parejos • Formando los equiláteros • Un día especial • Monedas...

Nivel I (23 problemas) Nivel II (24 problemas) Nivel III (19 problemas)

Nivel IV (20 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7)

• Ordenando números • Suma desconocida • Dulces frutas • El mini zoológico

Nivel I (18 problemas) Nivel II (18 problemas) Nivel III (18 problemas)

Nivel IV (17 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8)

Operadores gráficos PR Y PP* Control 3 Progresiones PR Y PP* Control 6

Analogías gráficas PR Y PP* Control 9

*PR: Problemas resueltos PP: Problemas propuestos

Alfonso Rojas Puémape

u nidad

109

OPERADORES ESPECIALES

Si:

= x(x + 1)

= 30,

y además calcula:

CONTENIDO ► Cuatro operaciones ► operadores compuestos ► operadores gráficos

Esto sí que está interesante.

so Pien

mientras

J U E G O Un camino que divide

Colorea el camino que debe seguir Maite para llegar a la escuela. Solo puede desplazarse por aquellos números que al ser divididos por 2 o 3 no deje residuo alguno.

76 124

64 100

809 51 3005 72

2011

1403

304 94

20000 2323

1159

1992

Un número puede ser dividido por 3, si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

2016 607

793

Un número puede ser dividido por 2, si la última cifra es múltiplo de 2.

10000

1200

102

5000

RECUERDA

4003

4000

4117

6000

2010

391

1147

201

473

74 22

863

402

307

222

348

907

501

306

1005

127

303

48 6

221 17

801

406

5003

119

512

103

21 29

907

506

81 99

ESCUELA

Tema

Alfonso Rojas Puémape

cuatro operaciones

MÉTODO DE FALSA SUPOSICIÓN Se aplica a problemas que presentan como característica cuatro datos diferenciados.

• Número total de elementos: TE • Valor mayor de un elemento: VM • Valor total: VT • Valor menor de un elemento: Vm Donde cualquier valor de los elementos se puede considerar como la incógnita del problema.

¡ATENCIóN! Identificar los datos es discriminar los datos del enunciado: TE, VT, VM y Vm.

1 La entrada para ingresar al teatro de Lima cuesta S/. 80 para adulto y S/. 40 para niño. Si se vendieron 370 entradas y se recaudaron S/. 24 800, ¿cuántas entradas para adulto se vendieron?

• Del enunciado: TE = 370 entradas

VT = S/. 24 800

VM = S/. 80 (adulto)

Estrategia

Vm = S/. 40 (niño)

Debemos seguir el siguiente procedimiento: 1. Identificamos los datos. 2. Suposición: VM × TE = V supuesto 3. Comparación: V supuesto - VT = Exceso 4. Vm = Exceso: (VM - Vm) 5. VM = TE - Vm

• Aplicando falsa suposición: 80 × 370 = 29 600

29 600 - 24 800 = 4800

4800 : (80 – 40) = 120

• Entonces: N.° entradas para niño = 120 N.° entradas para adulto: 370 - 120 = 250

MÉTODO DE LA DIFERENCIA TOTAL (DT) Y DIFERENCIA UNITARIA (DU) Utilizamos un gráfico para entender mejor la solución: ¡IMPORTANTE! REGLA DEL ROMBO (Regla práctica de la falsa suposición) (×) te

vm (-)

(-) vt

vm N.° de (TE)(VM) - VT elementos = VM - Vm del Vm

Vm A

sobra M

falta B

DU = VM - Vm D T = Sobra + Falta

donde: A B: representa el monto o cantidad total que se tiene o requiere. AM: representa la cantidad obtenida al emplear el menor valor de los elementos. A N: representa la cantidad obtenida al emplear el mayor valor de elementos. 2 Juanita compró 15 pulseras y le sobraron S/. 25. Si hubiera comprado 18 pulseras, le hubiesen faltado S/. 20, ¿cuánto dinero tenía antes de la compra?

15p • Graficamos:

sobra

falta

S/. 25

S/. 20

18p sobra S/. 25 falta S/. 20

Estrategia

15p • Relacionando: DU 18p

• Graficamos según los datos del problema. • Relacionamos los valores obtenidos para cada situación y calculamos la DT y DU. • Luego, costo de un elemento = DT : DU.

• Calculando el costo de una pulsera:

45 Costo = 25 + 20 = = S/. 15 3 18 15 pulsera • Calculando el dinero (D): D = 15 (15) + 25 = S/. 250

11 RETROALGORITMO O MÉTODO DEL CANGREJO 3 Evelyn divide un número por 4, luego al cociente le resta 10, a esta diferencia la multiplica por 7 para después sumar 15 al producto y al resultado extraerle la raíz cuadrada, obteniendo 6 como respuesta. Halla dicho número.

Estrategia Identificamos el algoritmo inicial y luego desarrollamos otro conformado por operaciones inversas, efectuando “de atrás para adelante”.

• Determinamos el algoritmo según las operaciones indicadas: :4 -10 ×7 +15 6 • Ahora procedemos a efectuar las operaciones inversas en sentido contrario: :4 -10 ×7 +15 52

13 ×4

3 +10

21 :7

36 ( )2

-15

• Luego, el número es 52 .

En cada columna de las equivalencias no se deben repetir elementos. Así se podrá simplificar.

REGLA DE CONJUNTA 4 En una joyería se observa que 3 anillos cuestan lo mismo que 2 pulseras y 4 pulseras igual que 3 collares. Si el precio de 5 collares es $ 424, ¿cuánto costarán 10 anillos?

Estrategia Del enunciado, se establece adecuadamente las equivalencias una debajo de otra y luego se procede a multiplicarlas de tal manera que se obtiene una nueva equivalencia solo entre dos valores.

¡IMPORTANT

• Establecemos las equivalencias: 3 anillos 4 pulseras 5 collares

<> <> <>

2 pulseras 3 collares 424 dólares

x dólares

10 anillos

• Multiplicando las equivalencias por columnas: 3.4.5.x = 2.3.424.10 x = 424

• Luego, 10 anillos costarán $ 424 . OPERACIONES COMBINADAS 5 Ana tiene el cuádruple de libros que Carmen. Si las dos tienen un total de 65 libros, ¿cuántos libros tiene Carmen?

Estrategia

Estrategia Si: A + B = S A = Q, (A > B) y B

• Del enunciado: A A = 4C ⇒ =4 C A + C = 65

6 Martha gana diariamente el triple de lo que gana Lucy. Si Martha gana S/. 42 más que Lucy, ¿cuánto gana Martha?

S Q+1

A=S-B

65 4+1 C = 13 C=

• Luego, Carmen tiene 13 libros .

Si: A - B = D A = Q, (A > B) y B

¡recuerda! Si: A + B = S y A-B=D Entonces:

D Q-1

A= S+D 2

A=D+B

B= S-D 2

• Del enunciado: M M = 3L ⇒ =3 42 L L= = 21 3 -1 M - L = 42 M = 21 + 42 = 63 • Luego, Martha gana S/. 63 .

Alfonso Rojas Puémape

MáS RESUELTOS 1 En un salón de clases hay 42 alumnos,

Resolvemos: • Distribuimos las equivalencias convenientemente:

entre estudiantes de 15 y 16 años de edad. Si la suma de todas las edades es 649 años, ¿cuántos alumnos de 15 años hay?

3 especiales 5 fresa 8 piña 6 maracuyá S/. x

Resolvemos: • Ubicamos los datos en los vértices del rombo: 16 años

Para aplicar el método de la falsa suposición son necesarios cuatro datos.

(-)

(×)

¡IMPORTANT

649 años

(-)

4 fresa 6 piña 9 maracuyá S/. 32 10 especiales

Diez jugos especiales cuestan S/. 96 .

4 Se observa que una vela encendida se

N.° alumnos 42 × 16 - 649 = = 23 de 15 años 16 -15

Hay 23 alumnos de 15 años de edad.

15 años

consume la mitad de su longitud más 4cm, cada 5 minutos. Si la vela se consumió totalmente en 20 minutos, ¿cuál era la longitud original?

Resolvemos: • Si cada 5 minutos se consume la mitad de su longitud, más 4cm, entonces quedará la mitad menos 4cm.

2 Un abuelo se dio cuenta de que si le

daba S/.9 de propina a cada uno de sus nietos, le sobrarían S/.12, pero si hubiese querido darle a cada uno S/.12, le hubieran faltado S/.6. ¿Cuántos nietos tiene dicho abuelo?

<> <> <> <> <>

×2

Resolvemos: • Representamos gráficamente la situación del problema: S/.12

Tiempo

Mitad -4

Mitad

Mitad +4

5 minutos

120

La vela medía originalmente 120 cm .

S/.6

5 La suma de dos números es 340. Si al ¡CUIDADO! Debemos identificar la longitud de la vela que no se consume en cada intervalo de 5 minutos.

S/.9

N.° nietos =

menor lo multiplicamos por 5 y luego le sumamos 40, obtenemos el mayor. ¿Cuál es la diferencia de dichos números?

S/.12

12 + 6 = 6 12 - 9

El abuelo tiene 6 nietos.

3 En una juguería, 3 jugos especiales

cuestan lo mismo que 4 jugos de fresa, 5 jugos de fresa lo mismo que 6 jugos de piña y 8 jugos de piña lo mismo que 9 jugos de maracuyá. Si 6 jugos de maracuyá cuestan S/. 32, ¿cuánto cuestan 10 jugos especiales?

Resolvemos: • Reconocemos los datos del problema:

Suma (S) = 340 Cociente (Q) = 5 Residuo (R) = 40

(340 - 40)5 + 40 = 290 5+1 N.° menor = 340 - 290 = 50

N.° mayor =

⇒ 290 - 50 = 240

M á S p ro p uestos 1 En una granja hay 91 animales entre aves

8 Una vendedora de frutas ofrece 7 kg de

y conejos. Si en total se ha contado 256 patas, ¿cuántas aves hay? Rpta.: 54 aves

manzana por el mismo precio que 3 kg de uva, 2 kg de uva por el mismo precio que 5 kg de pera y 8 kg de pera por el mismo precio que 14 kg de sandía. ¿Cuántos kilogramos de manzana puedo comprar por el precio de 30 kg de sandía?

2 A un concierto asistieron 1874 personas

entre adultos y niños. La entrada para adultos costó S/. 52 y para niños, S/. 29. Si en total se recaudaron S/. 60 694, ¿cuántas entradas para adulto se vendieron?

9 Comprar 8 vasos de gelatina equivale a

comprar 5 vasos de flan, 9 vasos de flan equivale a 6 vasos de arroz con leche y 15 vasos de arroz con leche equivale a 12 vasos de mazamorra. Si 4 vasos de mazamorra cuestan S/. 30, ¿cuántos vasos de gelatina puedo comprar con S/. 15?

Rpta.: 276 entradas 3 Bruno canceló una deuda de S/. 3270 con

75 billetes, entre billetes de S/. 20 y billetes de S/. 50. ¿Cuántos billetes de S/. 20 menos que de S/. 50 utilizó para cancelar su deuda? Rpta.: 43 billetes

4 Laura sabe que si cada pulsera costara S/. 15, le sobrarían S/. 12, pero si cada pulsera costara S/.18, le faltarían S/. 9. ¿De cuánto dinero dispone Laura? Rpta.: S/. 117 5 Paolo es comerciante y se dio cuenta de

que si vendiese cada polo a S/. 32, ganaría en total S/. 120, pero si los vendiese a S/. 26, perdería S/. 60. En el primer caso, ¿cuánto ganaría por polo vendido? Rpta.: S/. 4 6 Una profesora asignará a cada alum-

no cierto número de ejercicios para que los resuelva. Si a cada uno le asignara 4 ejercicios, sobrarían 15 ejercicios, pero si quisiera asignar 9 ejercicios a cada uno, faltarían 20 ejercicios. ¿Cuántos ejercicios asignará en total la profesora? Rpta.: 43 ejercicios

7 Una empresa de transportes cobra por 5

pasajes a la ciudad A lo mismo que por 8 pasajes a la ciudad B; por 6 pasajes a la ciudad B lo mismo que por 9 pasajes a la ciudad C y por 3 pasajes a la ciudad C lo mismo que por 2 pasajes a la ciudad D. ¿Cuántos pasajes a la ciudad D se pueden comprar por el precio de 10 pasajes a la ciudad A? Rpta.: 16 pasajes

Rpta.: 16 kg

Rpta.: 6 vasos de gelatina

PISTA 4 Solamente divide la diferencia total por la diferencia unitaria.

10 Un señor empieza un juego con cierta

cantidad de dinero, pero cada vez que juega pierde las dos terceras partes de lo que tiene en ese instante, más S/. 10. Si luego de 4 juegos consecutivos se queda sin dinero, ¿con cuánto empezó a jugar dicho señor? Rpta.: S/. 1200

11 Un tanque industrial cuyo volumen

es 3410 l contiene agua, pero no está totalmente lleno. Al encender el mecanismo de desagüe, se observa que cada 2 horas, el tanque se vacía en sus tres cuartas partes, más 2 l. Si luego de 10 horas se ha vaciado totalmente, ¿cuántos litros faltaba al inicio para que el tanque estuviese totalmente lleno? Rpta.: 682 l 12 Pablito compra semanalmente la mitad

de las figuritas que le faltan para llenar un álbum, más 10 figuritas. Si luego de 5 semanas logró llenar el álbum, ¿cuántos sobres, de 5 figuritas cada uno, compró en total? Rpta.: 124 sobres

13 Una señora gasta cada día la tercera par-

te del dinero que tiene, más S/. 40. Si luego de 3 días se queda sin dinero, ¿cuánto tenía inicialmente?

Rpta.: S/. 285

PISTA 10 Si pierde las dos terceras partes de lo que tiene, más S/. 10, entonces le queda la tercera parte menos S/. 10.

Alfonso Rojas Puémape

control 1 En el almacén de una tienda hay 120 ve-

hículos, entre motocicletas y automóviles. Si en total se cuentan 336 llantas, ¿cuántas motocicletas hay en el almacén?

4 Para la rifa de una canasta, se vendieron

cierta cantidad de boletos. Si cada boleto se hubiese vendido a S/. 7, se hubiera ganado S/. 120, pero si cada uno se hubiese vendido a S/. 4, se hubiera perdido S/. 60. Determina la cantidad de dinero que se recaudó.

PISTA 2 ¡Resuelve aquí!

En este caso: Dif. unitaria: 6 - (-2) = 8

2 En una prueba de tiro, cada participan-

5 Un comerciante sabe que, si vende cada

3 Un zapatero confeccionó 64 pares de

6 Pedro viajó a Cuzco con cierta cantidad

te tiene 20 intentos. Por cada acierto se otorgan 6 puntos y por cada intento fallido se descuentan 2 puntos. Si uno de los participantes obtuvo en total 56 puntos, ¿cuántos intentos fueron fallidos?

prenda a S/. 89, ganará S/. 210, pero si las vende a S/. 78, perderá S/. 120. ¿Cuántas prendas pondrá a la venta dicho comerciante?

PISTA 6 Si: Gasta la mitad más S/. 20. ⇒ Queda la mitad menos S/. 20. Gasta la tercera parte más S/. 30. ⇒ Queda las dos terceras partes menos S/. 30.

calzado, entre zapatos y sandalias. Al venderlos todos, por cada par de zapatos cobró S/. 95 y por cada par de sandalias S/. 68. Si en total obtuvo S/. 5108, ¿cuántos pares de sandalias vendió?

de dinero para su estadía. El primer día gastó la mitad de su dinero más S/. 20, el segundo día gastó la tercera parte de lo que le quedaba más S/. 30 y el tercer día gastó la quinta parte de lo que le quedaba más S/. 50. Si finalmente se quedó con S/. 70, ¿cuánto dinero llevó al Cuzco?

15 Buscar información en el enunciado de un problema, ayudará mucho en su resolución.

7 Un desagüe vacía, cada 10 minutos, las

dos terceras partes del contenido de un tanque lleno, más 20 l. Si al cabo de una hora está totalmente vacío, ¿cuál es la capacidad del tanque?

10 La suma de las edades de Lolo y de su

abuela es 71 años. Al dividir la edad de la abuela por la de Lolo se obtiene 9 de cociente y 1 de residuo. ¿Cuántos años tenía la abuela, cuando nació Lolo?

PISTA 10 Conociendo la suma, el cociente y el residuo de dos números se cumple que:

N.º menor = S - R q+1 N.º mayor = (S - R)q +R q+1 8 En un restaurante, 4 platos de lomo salta-

11 Paolo tiene 120 figuritas más que Alan y al

9 Juan resuelve 20 problemas en el mismo

12 Diego y David tienen ciertas cantidades

do cuestan lo mismo que 3 platos de ceviche; 2 platos de ceviche lo mismo que 5 platos de ají de gallina; 5 platos de carapulcra lo mismo que 9 platos de ají de gallina y 1 plato de carapulcra lo mismo que 3 platos de estofado. Si 3 platos de lomo cuestan S/. 40, ¿cuántos platos de estofado se pueden comprar con S/. 64?

dividir la cantidad de figuritas del primero por la del segundo, se obtiene como cociente a 2 y 50 como residuo. ¿Cuántas figuritas tienen entre los dos?

12) 110 pares 11) 260 10) 57 años 8) 15 7) 21 840 l 6) S/. 580 5) 30 4) S/. 300 3) 36 2) 8 1) 72

COMPRUEBA

de pares de zapatillas, que cada uno vende en su puesto. Estas cantidades se diferencian en 60 y además se sabe que, si cada uno vende 30 pares, la cantidad de pares de zapatillas que le quedarán a Diego será el cuádruple de la que le quedará a David. ¿Cuántos pares de zapatillas ha puesto a la venta Diego?

9) 288 minutos

tiempo en el que Pablo resuelve 25; Pablo resuelve 15, en el mismo tiempo en el que Oscar resuelve 30 y Manuel resuelve 40, en el mismo tiempo en el que Oscar resuelve 50. Si Manuel resuelve 5 problemas en 12 minutos, ¿cuánto tardará Juan en resolver un examen de 60 preguntas?

Alfonso Rojas Puémape

Tema

OPERADORES COMPUESTOS

OPERADORES MATEMáTICOS COMPUESTOS Son operadores matemáticos definidos al menos por otro operador matemático. Ejemplos: a b = 2(a ∆ b) + 1 m ψ n = 3(n θ m) - n 1 Si se definen las siguientes operaciones: ¡ATENCIóN! Llamaremos operación principal a la que tiene por equivalente a otras operaciones desconocidas (o secundarias) y/o conocidas.

m∫n = m + n + (m ∇ n) a ∇ b = 2a + 3b,

determina el valor de:

(1∫2) - (2∫1)

Estrategia 1.° Se efectúa la operación principal en términos de la secundaria. 2.° Se efectúa la operación secundaria para los valores indicados, según su equivalencia.

2 Sabiendo que:

¡IMPORTANTE! Efectuar una operación significa expresarla en términos de su equivalente. Por ejemplo: Si a b = 2a + b, calcular: 3 5 Resolvemos: 3 5 = 2(3) + 5

n@m =

• Efectuamos la operación (∫): 1∫2 = 1 + 2 + (1 ∇ 2) = 3 + (1 ∇ 2)

2∫1 = 2 + 1 + (2 ∇ 1) = 3 + (2 ∇ 1)

• Ahora efectuamos la operación (∇) en los paréntesis: 1 ∇ 2 = 2(1) + 3(2) = 8

2 ∇ 1 = 2(2) + 3(1) = 7

• Entonces: (1∫2) - (2∫1) = 3 + 8 - (3 + 7) =8-7= 1

• Efectuamos la operación @: n ∆ m, si n > m n % m, si n ≤ m

i) 3@1 (3 > 1) ⇒ 3@1 = 3 ∆ 1 ii) 2@3 (2 ≤ 3) ⇒ 2@3 = 2 % 3

además: y

a ∆ b = 5a - 2b x%y = 3x + 2y,

• Ahora efectuamos las operaciones ∆ y % según sus equivalencias:

calcula:

(3@1)@(2@3)

3 ∆ 1 = 5(3) - 2(1) = 13

2 % 3 = 3(2) + 2(3) = 12

Estrategia 1.° Se efectúa la operación principal a partir de la relación de orden que presentan sus términos. 2.° Se efectúan las operaciones secundarias para los valores indicados, según sus equivalencias.

• Reemplazando en los paréntesis, tenemos: 13@12 • Efectuando: 13 @ 12 (13 > 12) ⇒ 13 @ 12 = 13 ∆ 12 13 @ 12 = 5(13) - 2(12) 13 @ 12 = 41

• De acuerdo al operador “damos forma” al dato y efectuamos:

3 Si se cumple que:

(a + 1)b = (a - 1)b + 3 9 b = 12,

determina el valor de 3 b.

b b b 1.° 9 ⇒ (8 + 1) = (8 - 1) + 3 = 12

7b = 9

b b b 2.° 7 ⇒ (6 + 1) = (6 - 1) + 3 = 9

5b = 6

Estrategia

b b b 3.° 5 ⇒ (4 + 1) = (4 - 1) + 3 = 6

3b = 3

Partiendo del dato numérico de la operación se debe buscar equivalencias hasta llegar a una que relacione la pregunta.

• Ahora, como hemos encontrado una expresión equivalente a la pregunta, esta será la solución:

• Efectuamos la operación para m y n:

4 Si se cumple que:

n m = 5(m n) - mn, calcula:

(2 4)

3b = 3

NOTITA Dar forma significa transformar una expresión en otra similar a la que nos indican.

m n = 5 (n m) - nm

(4 2) • Reemplazando la equivalencia obtenida en la definición de la operación principal:

Estrategia 1.° Se efectúa la operación para los mismos términos cambiando su orden. 2.° La equivalencia que se obtiene se reemplaza en la equivalencia inicial. 3.° Se reducen los términos de la igualdad obtenida y se despeja la operación para encontrar su equivalencia simple.

n m = 5 5 (n m) - nm - mn

• Reducimos los términos y obtenemos:

n m = n.m 4

• Calculamos las operaciones indicadas en paréntesis:

2 4=

4 2=

2 ×4 =2 4 4 ×2 =2 4

• Reemplazamos en la expresión pedida: (2 4) (4 2) = 2 2 =

2 ×2 = 1 4

¡atención! Cambia el orden de los términos: a

Alfonso Rojas Puémape

MáS RESUELTOS 1 Si:

¡IMPORTANTE! Un mismo símbolo puede representar diferentes operaciones, ya que el operador depende de la regla de correspondencia. Así: m n = m+ 2n+3 m n = (m+n)2-mn

m n = 3(m n) - 2

p q = 2(p q) - 4

a b = 2a + 3b - 1,

4 Si se define:

3(n m) - mn , 2

calcula: 7 2.

m n=

Resolvemos: 7 2 = 3(7 2) - 2 ... 1

calcula el valor de: 4 6.

7 2 = 2(7 2) - 4 ... 2

7 2 = 2 × 7 + 3 × 2 - 1 = 19 ... 3

Resolvemos: Calculamos n m:

n m=

• Reemplazando: 3 en 2 :

7 2 = 2(19) - 4 = 34 ... 4 • Reemplazando 4 en 1 :

y x ψ + 12 2 3 p ψ q = 6p - 3q - 3, y =

determina el valor de: 8

Resolvemos:

12 = (4 ψ 4) + 12 ... 1

En la operación (ψ):

4 ψ 4 = 6 × 4 - 3 × 4 - 3 = 9 ... 2 • Reemplazando 2 en 1 : 8

12 = 9 +12 = 21

x y = x + y + 13, determinar el valor de: (5 4) (1 3).

Resolvemos: • 5 4 = 5 4 = 2(5) + 3(4) - 5 = 17 (5 ≥ 4)

• 1 3 = 1 3 = 1 + 3 + 13 = 17 (1 < 3)

b = 3(b - 1) - 2(b - 2)

⇒ 17 17 = 17 17 = 2(17) + 3(17) - 5

3 Si se sabe que:

x y; x ≥ y x y; x < y

además: x y = 2x + 3y - 5

x y =

12.

4 6 = 4 × 6 = 24

5 Sea:

2 Si se cumple que:

m n = mn

7 2 = 3(34) - 2 = 100

3(m n) - nm ... 1 2

• Reemplazando 1 en la condición:

• Reemplazamos los valores en la operación ( ):

A partir de la pregunta calculamos equivalentes, según el operador, hasta llegar a determinar los valores requeridos.

5 = 3(22) - 2(12) = 42

¡ATENCIóN!

• Reemplazando 2 en 1 :

= 80

6 Si: a b = 2(b a) + ab

y además: a b = 2a + 3b + 4,

además: 2 = 7 y 3 = 12,

calcula el valor de: 7 10.

halla el valor de: 5 .

Resolvemos:

Resolvemos: Partimos de la pregunta:

Debemos encontrar la forma del operador ( ):

5 = 3 × 4 - 2 × 3 ... 1

a b = 2(2b + 3a + 4) + ab

Calculamos 4 :

a b = 4b + 6a + ab + 8

4 = 3 × 3 - 2 × 2 = 3(12) - 2(7) = 22 ... 2

7 10 = 4(10) + 6(7) + (7)(10) + 8 = 160

M á S p ro p uestos

1 Si:

x Ω y = 2(x y) + 3 a b = 3(a b) + 5 p q = 5(q - p) + 2,

calcula: 8 Ω 12. 2 Si se sabe que:

8 Se definen los operadores:

1 m n = (m λ n) + 3 2 r λ s = 3r + 2s , 5 calcula el valor de: 5 # 10. Rpta.: 3 5 Sabiendo que:

q = 3(q p) - 2

q = (3p)

r s = (s - 1)

(q - 2) + 2p (3r) - s

3a + b , a b = 3 halla el valor de: 3 5. n = m+1 3 b = (a + 4)

10 Si:

p q = pq + 1,

4 Se define: x # y = 4 (x y) - 1

calcula el valor de: 8

Rpta.: 14 n-2 2 (b - 1)

11 Sabiendo que:

p = (p - 2) + (p - 1) 2 = 6 y 1 = 3,

calcula: 4 . α

Rpta.: 15 α

12 Si: (3m) = m + 4 y 9 = 7,

x y = 6x + 2y -10,

determina el valor de: 81α.

6. Rpta.: 112

6 Si sabemos que: m n = (5m) (4n) - 10

y a b = 4a + 5b , 10 calcula el valor de: 2 3. Rpta.: 0 7 Si:

a b = (2a)

b + 10 3 (2q) - 10

p q = (3p)

m n = 5m + 2n,

halla el valor de: 4 9.

Rpta.: 15

13 Se definen: (p + 1) = 1 + (p - 1)

PISTA 15

y 10 = 20. Calcula 4 .

Rpta.: 17

14 Sabiendo que:

= 5(m - 1) - 3(m - 2)

= 2 y 7 = 3,

determina el valor de: 9 . calcula: 5 # 6.

Calcula la operación para y # x, luego reemplaza dicha expresión para hallar un equivalente a

x # y. Rpta.: 36

15 Si: x # y = xy - (y # x),

Rpta.: 132

Puedes partir de la pregunta y reemplazar los valores, según la operación, teniendo cuidado con el orden de los números.

Rpta.: 22

a b = 2(b a) - 2 determina el valor de: 3

PISTA 5

10.

Rpta.: 95

9 Si se sabe que:

Rpta.: 95

m&n +4 3 Se tiene que: m n = 3 2 a b a&b = 5 -2 3 p q = p+q + 3, 2 halla el valor de: 9 9. Rpta.: 31

calcula el valor de: 7

determina el valor de: 7 % 5.

Rpta.: 145 m % n = 3(m n) - 4 a b = 2(a ψ b) - 3 x ψ y = 2x + y - 1,

y = (x + 3) ψ (y - 4) + xy a a ψ b = (a - 1) (b + 2) + b m n = 3m + 4n + 5,

Rpta.: 10

Alfonso Rojas Puémape

control 1 Si:

x ∆ y = x 3 - y 3,

PISTA 1

n = mn + 3( m ∆ n) 2

halla: 5

4 Se define:

ma =

(m - 2) a + (m - 1)a, 2

3a = 9 halla: 5 a.

2 a = 7,

¡Resuelve aquí!

Primero efectúa la operación que está contenida en la operación inicial. 2 Sabiendo que:

PISTA 5

Para obtener una relación donde aparezcan los datos, debes partir de la pregunta y aplicar dos veces la operación.

y = (y ⊗ x)

m ⊗ n = m n + 2,

x y calcula: (3

1) + (1

(x ⊗ y)

4).

3 Determina el valor de: 2 Ψ 3,

sabiendo que: p Ψ q = (p + q)2 + 3(p y

n = n m + 1.

5 Si:

p = (p - 2) - (p - 1) + 9, 5 = 10

4 = 9,

calcula el valor de: 7 .

6 Si se cumple que: (x - 1)θ , xθ = (x - 2)θ

halla: 8 θ.

6 θ = 20

5 θ = 10,

21 Al leer un problema debemos identificar con claridad la pregunta que se nos hace.

7 Si:

m.n; si m > n m∫n = m ; si m ≤ n n

halla: (3

y =

2x + y; si x ≤ y x - y; si x > y

2 ) ∫ (5

10 Sabiendo que:

cd - 3(d c), 4

(c d) =

encuentra el valor de: 21 3.

6). PISTA 7

Debes tener cuidado con la relación de orden de los números para poder aplicar el operador correctamente. 8 Si se sabe que:

a b=

1).

determina el valor de: (-7) ∇ 8.

COMPRUEBA

12.

(r ∇ s) = rs + 4 (s ∇ r) + 2 ,

7) 1/ 16

determina el valor de: 8

8) 28

r s = (s ∇ r) + (r ∆ s), x ∆ y = 2x + 3y a ∇ b = 2b + a,

12 Si se cumple que:

1) 193

9 Se tiene que:

2) 459

9) 80

3) 106

halla: (16 16).

x + 2y; si x = y x y = y + 2x; si x ≠ y

calcula: (6

10) 9

(m n)3

4) 17 / 2

11) 2

ab; si a ≤ b a - b; si a > b

(n m) =

5) 11

12) 16

11 Si:

6) 1/ 10

p q; si p + q > 5 q = p q; si p + q ≤ 5 ,

Alfonso Rojas Puémape

c á l c ulo r á p id o distributiva sumando

Propiedad distributiva respecto a la suma a(m + n) = am + an Ejemplo: 45 × 32 = 45(30 + 2) = 45 × 30 + 45 × 2 = 1350 + 90 ⇒ 45 × 32 = 1440 ¡recuerda!

1. Luis ha invertido en su negocio de golosinas S/. 54 diarios durante 21 días. ¿Cuánto dinero invirtió?

Para estos cálculos es recomendable descomponer aquellos números que terminan en 1; 2; 3; 4 y 5. Ejemplo: 41 = 40 + 1 52 = 50 + 2 33 = 30 + 3 84 = 80 + 4 15 = 10 + 5

• Inversión = 54 × 21

= 30 + 1050 + 50 + 4 = 1100 + 34 = 1134

= 54 (20 + 1)

= 54 × 20 + 54 × 1 =

1134

Respondemos: Luis invirtió S/. 1134.

2 Para ir de viaje, 45 estudiantes aportan

3 Un comerciante dispone de S/. 1000 para

4 Un

deportista corre diariamente 25 kilómetros. Si para llegar a la meta debe recorrer 600 kilómetros y ya ha corrido durante 22 días, ¿cuántos kilómetros le falta para llegar a la meta?

5 Un señor gasta diariamente, de su pre-

6 Un tanque contiene 900 litros de agua.

7 Un vendedor de golosinas gana diaria-

¡ATENCIóN!

1080 + 54

= 1080 + 54

S/. 36 cada uno. Si el autobús para el viaje lo alquilan por S/. 1600, ¿cuánto les sobra?

Cálculo mental

Resolvemos: • Efectuamos la multiplicación aplicando la propiedad distributiva respecto a la suma:

Si una persona consume 15 litros diarios durante 34 días, ¿cuántos litros de agua quedan aún en el tanque?

realizar compras. Si compra 35 calculadoras a S/. 24 cada una, ¿cuánto le queda del dinero que disponía?

supuesto, S/. 16 en movilidad y refrigerio. Si luego de 31 días, todavía le quedan S/. 154 de su presupuesto, ¿cuál era el presupuesto del señor antes de los 31 días?

mente S/. 27. Si con la ganancia de 23 días compró un TV que costó S/. 550, ¿cuánto dinero le queda aún de tal ganancia?

23 Practica técnicas de cálculo rápido apenas puedas: en tus compras diarias , en conversaciones, en exámenes ... es decir, en la vida diaria.

distributiva restando

Propiedad distributiva respecto a la diferencia a(m - n) = am - an Ejemplo: 32 × 29 = 32(30 - 1) = 32 × 30 - 32 × 1 = 960 - 32 ⇒ 32 × 29 = 928 8. La señora Olga va de compras llevando cierta suma de dinero. Si compra 35 blusas a S/.18 cada una, ¿cuánto dinero gastó?

¡Atención!

Resolvemos:

• Multiplicamos, aplicando la propiedad distributiva, el número de blusas por el costo de cada una y así determinar el gasto: Gasto = 35 × 18 = 35(20 - 2) = 35 × 20 - 35 × 2

= =

700

630

Respondemos:

Luego, la señora Olga gastó S/. 630.

9 Para comprar una puerta metálica los

10 A una sala cinematográfica acuden 58

11 Un obrero cobra S/. 10 por cada metro

12 En el aula ganadora de un concurso es-

45 vecinos de una calle aportaron S/. 23 cada uno. Si todavía faltan S/. 130, ¿cuánto cuesta dicha puerta?

cuadrado de piso que coloca en un local comercial. Si el piso del local tiene una superficie de 23 metros cuadrados y por dicho trabajo le adelantan S/. 300, ¿cuánto le deben aún?

13 Al realizar la multiplicación: 42 × 58, un

alumno, por equivocación, indica por respuesta 2518. Halla la cantidad de unidades de más que tenía su respuesta.

Para estos cálculos es recomendable descomponer aquellos números que terminen en 9; 8; 7 y 6. Ejemplos: 49 = 50 - 1 38 = 40 - 2 57 = 60 - 3 16 = 20 - 4

personas. Si cada una paga S/. 25, ¿cuánto se recaudó?

tudian 37 alumnos. Si a cada alumno le regalaron un reloj que costó S/. 42 cada uno y al profesor tutor, un mp3 que costó S/. 145, ¿a cuánto asciende el dinero invertido en todos los regalos?

14 Una camioneta puede transportar un total

de 700 kg. Si dicha camioneta lleva 39 sillas, cuyo peso es de 17 kilogramos cada una, ¿cuántos kilogramos más puede llevar?

cálculo mental 960 - 32 = 960 - 30 - 2 = 930 - 2 = 928

Alfonso Rojas Puémape

Tema

operadores gráficos

Los operadores gráficos son figuras que representan operadores matemáticos, en los cuales los términos o cantidades a relacionar se encuentran en su interior, formando parte de él.

Estrategia

1 Si se cumple que:

¡IMPORTANTE!

calcula: 18

Si en un operador gráfico hay operadores dentro del operador, se debe empezar a efectuar desde el interior.

3° 2° 1°

Se procede de manera similar a los operadores simples, solo se reemplazan las cantidades del operador en la expresión equivalente.

a = - c, b

• Reemplazando y efectuando, 18 tenemos:

3 5

2 Si:

a b

calcula:

4 2

3 4

= 2(3) + 3(4) + 1 = 19

4 2

= 2(4) + 3(2) + 1 = 15

• Reemplazando y efectuando: 19 - 15 = 4

4 Si:

halla:

2 + 3

calcula:

= (1)3 + 2 = 3

= (3)3 + 2 = 29

• Efectuamos la operación según la condición:

2 2 =2 +1=5 ⇒

ii)

2 5 = 5 - 1 = 24

impar

par

Efectuamos la operación considerando la condición (en otros casos es la relación de orden).

Condiciones: • Si a es par • Si m es 3 • Si x ∈ N

• Ahora desarrollamos la operación a partir del valor hallado.

Estrategia

¡ATENCIÓN!

• Efectuamos la operación interior:

2 = a + 1, si a es par a2 - 1, si a es impar

18 -5= 1 3

a = a3 + 2,

3 Sabiendo que:

• Efectuamos cada operación según el equivalente:

= 5

= 2a + 3b + 1, 3 4

2 3 =3 -1=8

impar

• Reemplazando y efectuando: 24 + 8 = 32

Relación de orden: • Si a ≥ b • Si m ≤ 0 • Si 5 < x < 9

5 Si:

halla:

m n

3m - 2n, cuando m ≥ n n - m, cuando m < n

• Efectuamos según la condición (5 < 7):

• Reemplazando 2 = 3(2) - 2(1) = 4 y efectuando 1 según la condición:

5 7 1

5 7

=7-5=2

6 Si:

calcula:

• Damos forma a los números:

4c = a + b + c , 3

1. Damos forma a los números en el operador. 2. Reemplazamos los valores de las letras en la expresión equivalente y efectuamos.

3(6)

• Luego: 12

ii) 24

8 Se define el operador ( ) mediante la si-

b a c b

[(c

9 Si:

% 1 2 3 4

1 4 1 2 3

2 1 2 3 4

c)]

3 2 3 4 1

4 3 4 1 2

determina el valor de:

¡IMPORTANTE!

12 = 5

4(4)

= 2(6) + 3(4) = 24 20 = 3(8)

[(1 % 2) % 3] % (4 % 1)

θ a b c

a a b c

b b c a

c c a b

⇒ bθc = a

4(5)

= 2(8) + 3(5) = 31

Considerando la tabla (cuadro de doble entrada) se determina los valores o equivalencias para cada par de letras.

c c b a

Ahora calcula el equivalente de:

6+6+3 = 5 3

Estrategia

guiente tabla:

a a b b a c c

= 3(6)

3(6)

Los operadores en tablas se efectúan así:

4(3)

2(6)

calcula:

4(3)

2(6)

12 ⇒

• Efectuamos según las estrategias.

4b = 2a + 3b,

• Reemplazamos y efectuamos:

Estrategia

7 Si:

• Efectuando según la tabla: [(c b) (a c)] b c b ⇒b b= c

[(1 % 2) % 3] % ( 4 % 1) 3

• Ahora efectuamos con los valores que tenemos:

Si: m n = 2m - n, completa la siguiente tabla:

1 2 3 1 0 2 1 3 5

• Efectuando según la tabla:

1%3 2

¡DESAFÍO!

⇒ 2%3= 3

Alfonso Rojas Puémape

MáS RESUELTOS 1 Sabiendo que: a

calcula:

¡importante! Debes tener en cuenta lo siguiente:

35 20

3 5

8 =2

81 = 3, etc.

1 + 9

m+n , m-n 7

3+1 = 1 3-1

3 Si:

9+7 = 2 9-7

7 = b

1+2= 3

3b + 1, para b impar 2

b - 1, para b par

halla el valor de:

1.°

= 2 2 - 1 = 3 ; para b par

2.°

= 3(3) + 1 = 10 ; para b impar

3.°

10 = 10 - 1 = 99 ; para b par

4 Si:

3m 5n

= 99

= (m - n) 2,

3.5 5.2

3.10 5.7

= (5 - 2) 2 = 9

= (10 - 7) 2 = 9

5 A partir de:

2 4 6 8

2 2 4 6 8

4 4 6 8 2

8 8 2 4 6

Resolvemos: • Empleando la tabla, tenemos: (6

6 6 8 2 4

calcula:

Resolvemos: • Efectuamos desde la operación interior hacia la exterior.

• Luego:

Resolvemos: • Dando forma a cada número:

• Luego: 9 - 9 = 0

Resolvemos: • Reemplazando los números en la operación, tenemos:

3.º 2.º 1.º

n =

• Luego: 4 - 2 = 2

3 1 =

Es decir en este orden:

¡atención!

= 20 + 12 = 2

determina el valor de:

a+b ,

= 35 + 29 = 4

2 A partir de: m

25 = 5 3

Resolvemos: • Empleando la definición, tenemos:

16 = 4

determina el valor de:

4) 8

8=6

8= 4 .

6 Si se cumple que:

calcula el valor de:

= 9x + 4,

x 3

Resolvemos: • El operador es de la forma:

x = ax + b

x = a(ax + b) + b = a 2 x + ab + b = 9x + 4 donde: a = 3 y b = 1 ⇒ x = 3x + 1 Luego: 3 = 3(3) + 1 = 10

10 = 3(10) + 1 = 31

31 = 3(31) + 1 = 94 ⇒

= 94

M á S p ro p uestos

1 Sabiendo que:

calcula el valor de:

4 -

2 Si:

a b c =

Rpta.: 4

a + c + b,

3 2 64

20 1 25

m + 2; para m impar

halla:

6 Si:

a b

halla:

Rpta.: 625

10 Sabiendo que:

Rpta.: 1

a 2 + b 2; cuando a < b

z x y z

Rpta.: z

11 A partir de:

Ω 2 4 6 8

Rpta.: 19

y z x y

determina: [(z ψ x) ψ x] ψ [ y ψ (z ψ y)]

a 2 - b 2; cuando a ≥ b

5 4

x y z x

ψ x y z

1 3

halla el valor de:

Rpta.: 123

= (a - b) c,

c 4

2b + 3 = 25 2b = 22 b = 11 ⇒ 25 = 2(11) + 3

Rpta.: 1

4a + b; cuando a < b = 2b - a ; cuando a ≥ b 3 2

Para dar forma a los números, puedes igualar:

5 525

3 5

2b + 3

m - 1; para m par

5 Si:

PISTA 9

9 Sea la operación:

calcula: 16

4 Sabiendo que:

= a - b,

halla el valor de:

Rpta.: 10

2 10

determina el valor de:

= ab + c ,

a c

determina el valor de:

Rpta.: 2

3 Si:

= 3a + b , 2 2b + 1

8 A partir de:

7 5 9 - 17 2 8

9 Rpta.: 8

determina el valor de:

7 Si:

m = m.n + m + n ,

2 4 6 8 2

4 6 8 2 4

6 8 2 4 6

8 2 4 6 8

calcula: {[(6 Ω 2) Ω 6] Ω [ (8 Ω 4) Ω 2]} Ω 8

Rpta.: 4

PISTA 10 Debes relacionar así: γ x y z x y

y z

z x

Alfonso Rojas Puémape

control 1 Sabiendo que:

4c 3b

calcula:

= a + b + c, 2

2 Si:

m + 3 , para m impar 2 m =

determina el valor de:

halla el valor de: 25 ×

determina:

=a , b b

6 A partir de:

halla:

289 13

a b 8 3 4

4 15

m - 1, para m par

3 Se define el operador:

Debes dar forma a los números contenidos en el operador.

15 18 24 20 70 56

5 Si se sabe que:

PISTA 4

calcula:

3b 2c = (a + b - c)2, 7a

¡Resuelve aquí!

PISTA 2 Aplica 4 veces la operación, teniendo en cuenta el número escrito en el interior. Además empieza desde la operación interior.

4 Si:

= 5a + ab

b + c, a 5

169 12

29 Resuelve muchos problemas; todos los que puedas ... ahí está la clave de tu éxito y tu automotivación.

7 Si:

p q r p

p q r

halla: (p

q r p q

10 A partir de la siguiente operación binaria:

r p q r

8 De la operación binaria:

∇ 1 4 9 16

calcula:

a b c d a

a b c d calcula:

b c d a b c)

c d a b c (c

d a b c d d)

PISTA 7 (a

El primer elemento de la operación se ubica en una columna y el segundo en la fila.

11 Dada las operaciones binarias:

1 4 9 1 9 16 9 9 4 16 4 16 4 16 1

16 4 16 1 4

(4 ∇ 9) ∇ (1 ∇ 16) ∇ 9 ∇ 4

⊗ a b c d

a d c b a

b c a d b

c b d b a

d a b a c

Ψ a b c d

a d a b c

b a c d b

c b d b a

d c b a a

determina: (c Ψ a) ⊗ (b ⊗ a) Ψ (d ⊗ c)

NOTITA Complementamos la pista 7. (m

q) 2.º elemento 1.º elemento fila

columna

4) δ (2

COMPRUEBA

7) r

calcula: (6 δ 4)

1) 10

8) 16

6 6 4 2

2) 3

δ 2 4 2 4 2 4 2 6 6 6 4

9) n

6 2 6 2

3) 27

μ 2 4 2 6 4 4 4 4 6 2 6

10) d

q n p m m

4) 7

halla:

p q n n m

11) c

n m q n p

5) 5

m p m q n

12) 2

m n p q

12 De las siguientes operaciones:

6) 1

9 Dada la operación binaria:

Alfonso Rojas Puémape

matemática 1. Un día para celebrar

Completa los recuadros vacíos, con números, según las siguientes indicaciones:

b. Cuarta parte del número en a aumentada en 11. c. Sétima parte del número en a aumentado en 21. d. Suma de los dos números de arriba (b y c). e. Cuatro veces la suma del número en d y 274. f. Cuadrado del número en d. g. Suma de los dos números de arriba (e y f).

¿Qué celebramos en la fecha indicada por los recuadros a, c y g?

a. b.

d. e.

f. g.

2. ¡Quiero mi queso!

Este ratón debe comer todos los quesos caminando por las líneas indicadas; debe recorrer la mínima distancia posible y llegar finalmente al punto por el cual empezó.

¿Cuál es dicho punto?

¿Cuál es dicha distancia?

A 60 cm

60 cm 80 cm

50 cm

50 cm D

60 cm

50 cm E

80 cm

F 60 cm

60 cm G

¡Resuelve aquí!

recreati va 3. ¡Triángulo mágico!

Escribe un número en cada círculo, del 1 al 9 (sin repetir), para que la suma de los números escritos en cada lado del triángulo sea siempre el número mostrado al centro.

4. Mis canicas en fila

Unos niños se encontraban jugando, formando hileras con canicas en el patio del colegio, entre ellos se escuchaban los siguientes comentarios: - Mira, hay cuatro canicas delante de una. - Pero también hay cuatro canicas detrás de una.

Se escuchó como respuesta y a manera de conclusión, el comentario de otro niño, que dijo: - También hay una canica en el medio.

¿Cuál es el menor número de canicas que se pueden contar?

Alfonso Rojas Puémape

a utoe v a lu a c ió n Acumulativo parcial

a) 27 d) 36

b) 32 e) 29 m

12 Si:

a) 0 b) 1 c) 2 13 Sabiendo que:

c) 28 / 11

b) 11 e) 15

c) 13

17 Si se cumple que: a b = 5a - 2(b

halla: 5

a) 2

a),

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

18 Se define una operación: 1 2 1 4 3

2 1 2 3 4

3 4 3 2 1

4 3 4 1 2

El resultado de efectuar la operación: (4 3)

e) 4

b) 14 / 11 e) 7 / 22

a) 14 d) 12

d) 3

d) 10 e) 12

16 La diferencia de dos números es 952. Si al dividir el mayor por el menor se obtiene 13 de cociente y de residuo 16, halla la suma de las cifras del menor de ellos.

1 2 3 4

c) 8

a) 28 / 33 d) 14 / 33

c) 35

b) 6

2 3 + ; a ≠ 0, b ≠ 0, a b (5 3)(4 9) calcula: M = (2 6)(3 12)

15 Si: a

n = 5m - 4n,

calcula:

e) 63

a) 51 b) 54 c) 57 d) 60 b 14

a 15

e 16

d 17

11 Un comerciante pensaba así: “Si vendo mis camisas a S/. 63 cada una, ganaré S/. 648, pero si las vendo a S/. 41 cada una, perderé S/. 144.” ¿Cuántas camisas piensa vender el comerciante?

La suma de dos números es 707. Al dividir el número mayor por el número menor, se obtiene como cociente 12 y como residuo 5. ¿Cuál es el menor de los números?

c) 28

c) S/. 48

b)26 e) 32

b) S/. 50 e) S/. 45

a) 5

a) 1

a) S/. 51 d) S/. 46

5 Un distribuidor gastó S/. 1260 en la compra de 36 juegos de tazas. Vendió cierto número de ellos por S/. 720, ganando S/. 13 en cada uno. Si al final la ganancia total fue de S/. 405, halla el precio que debió fijar a cada uno de los juegos restantes.

c) 48

a) 24 d) 30

b) 54 e) 57

c) 27

14 Se contrata un albañil por 30 días para realizar una obra. Por cada día que asiste se le abona S/. 50, pero por cada día que falta le descuentan S/. 15. Si al final de la obra recibe S/. 1110, ¿cuántos días no trabajó?

c) 172 cm

10 Doce libros de R.V. equivalen en costo a 5 de matemática. Si 10 de matemática equivalen a 27 de R.M., ¿cuántos libros de R.V. equivalen a 36 de R.M.?

a) 51 d) 45

a) 186 cm b)180 cm d) 175 cm e) 174 cm

b) 51 e) 33

(2 1) b) 2

a) 75 d) 39

(1 4)

c) 3

9 Un cilindro con alcohol, pierde cada hora, la mitad de la altura de alcohol que había la hora anterior, más 3 cm. Si al cabo de 5 horas el cilindro está completamente vacío, ¿cuál era la altura inicial de alcohol en el cilindro?

4 Si vendo mis revistas a S/. 25 cada una, ganaré S/. 108 sobre el precio de costo y si las vendo a S/. 18, perderé S/. 270. Calcula el número de revistas que venderé.

e) 4

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

c) S/. 5

d) 3

b) S/. 3 e) S/. 10

c) 2

d) 4

(3 2) e) 0

b) 12 c) 15 d) 18 e) 21

a) S/. 2,5 d) S/. 4

b) 1

8 En un examen de 80 preguntas, se otorgan 5 puntos por respuesta correcta y se disminuyen 3 puntos por respuesta incorrecta. Un alumno contesta todas las preguntas y obtiene 160 puntos. ¿Cuántas respuestas fueron correctas?

3 En una tienda, el costo de 15 caramelos es igual al costo de 2 chocolates y 4 chocolates equivalen a S/. 3. ¿Cuál es el costo de 50 caramelos?

a) 0

4( 2 3 )

3 2

a) 9

halla el valor numérico de:

a θ b = 2(5a - 3b) + 6b, 5 calcula: (2 θ ) & 38 3 6

2 A un número le agregamos 18, al resultado lo dividimos por 3, luego elevamos al cuadrado este cociente, después a la potencia obtenida se le resta 21, se extrae ahora la raíz cuadrada y el resultado se multiplica por 6, entonces sumamos 4 para finalmente extraer la raíz cuadrada y obtener 8. ¿Cuál es el número?

a b = 5a 4b a b = 3a - 2b,

a) 30 b) 50 c) 35 d) 45 e) 40

7 Si: p q = 3p - 2q m & n = 2m - n

1 Las canicas grandes pesan 50 g y las pequeñas pesan 30 g. Si en una bolsa hay 80 canicas que pesan en total 3 kg, ¿cuántas canicas de 30 g hay en la bolsa?

Nivel I

b 18

Acumulativo parcial

d) 16 e) 36

a) 781 d) 985

b) 1057 e) 1021

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

a) S/. 1120 b) S/. 1400 c) S/. 1500 d) S/. 1540 e) S/. 1260 7 Un examen se califica con 5 puntos la respuesta correcta y se descuenta 2 puntos por respuesta incorrecta. Un alumno contesta 100 preguntas y obtiene 304 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió de forma correcta?

a) 48 m d) 60 m

b) 56 m e) 52 m

c) 18

b) 60 m e) 72 m

c) 63 m

18 Un obrero trabajó durante 45 días, recibiendo por dicho trabajo S/. 1536. Si los días que trabajó a tiempo completo recibió S/. 36 y los que trabajó medio tiempo recibió S/. 15, ¿cuántos días trabajó medio tiempo?

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

19 En una rifa se pensó vender 3000 boletos y obtener una ganancia de S/. 4500, pero solamente se vendieron 2000 boletos, originando una pérdida de S/. 500. ¿Cuánto costó el premio de la rifa? a) S/. 9000 c) S/. 10 000 e) S/. 11 000

b = (3a) (4b)

b) 36 e) 30

a) 57 m d) 66 m

c) 64 m

14 Sabiendo que:

a) 84 b) 56 c) 60 d) 64 e) 72

a) 24 d) 27

17 La altura del agua de un pozo se reduce cada hora, un tercio del nivel en el que se encontraba la hora anterior, más 8 metros. Si el agua del pozo se agotó en 3 horas, ¿cuál fue la altura del agua en el pozo, inicialmente?

e) 5

13 En una competencia de velocidad de 200 m, el corredor A le da al corredor B una ventaja de 30 metros y el corredor B le da al corredor C una ventaja de 40 metros. ¿Cuántos metros de ventaja dará A a C para otra carrera de 200 m?

c) 973

12 A un obrero lo emplean por 60 días, de tal forma que le pagan S/. 35 por cada día que asiste y le descuentan S/. 5 por cada día que falta. Si al terminar la obra observa que ha recibido S/. 1980, ¿cuántos días no trabajó?

6 Si un mayorista vendiera todas las cajas de fresas a S/. 24 cada una, ganaría S/. 200, pero si las vendiera a S/. 30 cada una, ganaría S/. 500. ¿Cuánto obtendría si vende a S/. 28 cada una de las cajas?

c 13

d 14

b 15

a 16

a 17

c 18

c) 9

4 3 2

a) 19 b) 26 c) 23 d) 21 e) 18

b) 4

halla:

(2 6)

c) S/. 96

b a c = 2a + 3b - 4c,

halla: (7 Ω 9) ψ (17 Ω 19).

b) S/. 52 e) S/. 57

e) 5

a) 1

d) 4

16 Si:

8 8 6 4 2

11 La suma de dos números es 1111, pero al dividir el mayor por el menor se obtiene 23 de cociente y 31 de residuo. ¿Cuál es la diferencia de los números?

a) - 2a, c) 3

(4 8)

a) S/. 60 d) S/. 48

b) S/. 9500 d) S/. 10 500

6 6 8 2 4

halla:

c) 75 m

4 4 2 8 6

d) 10 e) 11

2 4 6 8

2 2 4 6 8

c) 9

a) 21 b) 24 c) 25 d) 26 e) 28 10 Si:

5 Si: m ψ n = mn - m + n y a Ω b = a + b,

b) 2

halla:

a) 1

e) 4

d) 3

4 Si: a b = 6(b halla: 16 9.

c) 2

b) 80 m e) 85 m

b) 1

b) 8

15 Un negociante visita tres financieras. Sabemos que en cada una de ellas le triplican el dinero que lleva, pero debe depositar S/. 108. Si luego de las visitas se queda sin dinero, ¿cuánto tenía inicialmente?

4 - 3

a) 64 m d) 70 m

a) 0

c) S/. 9

3 En una competencia de 400 m el corredor A le da al corredor B 50 m de ventaja. En otra carrera de 400 m el corredor B le da al corredor C 40 m de ventaja. ¿Cuántos metros de ventaja debe dar A a C para una carrera de 400 m?

a) 7

b) S/. 7 e) S/. 10

halla:

9 Si: n = 4n - 3,

2 Si vendo peras a S/.6 el kilogramo pierdo S/.80, pero si vendo cada kilogramo a S/.4, pierdo S/.240. ¿A cuánto debo vender cada kilogramo de peras para obtener S/.640 en total? a) S/. 5 d) S/. 8

a) 12 b) 36 c) 48 d) 50 e) 42

n + 5 ; si a es impar 2

y además: m n = m + n + 1, 2 halla: 2 3.

n =

n + 6 ; si a es par 2

8 Si:

1 Un examen de 60 preguntas se califica con 6 puntos la respuesta correcta y con 2 puntos la respuesta incorrecta, siempre y cuando se hayan contestado todas las preguntas. Un alumno contestó las 60 preguntas y obtuvo 312 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió de forma correcta?

Nivel II

d 19

Alfonso Rojas Puémape

Acumulativo parcial

a) 14 b) 12 c) 10 d) 15 e) 8

calcula el valor de: (13 θ 84) + (7 θ 24) N= (4 θ 3) a) 18 b) 21

c) 24

d) 20 e) 22

x = x (x + 1)

= 30,

e 14

c 15

y además

x-1

determina:

b) S/. 11 000 d) S/. 15 000

a) S/. 264 d) S/. 400

b) S/. 390 e) S/. 394

¿cuál es el valor de 3x?

a) 12 d) 18

a) 18 b) 20 c) 24 d) 22 e) 16

b) 15 e) 21

17 Si:

= 4x - 3,

e 16

b) S/.12 000 d) S/.20 000

x = 2x + 1 y

a) S/. 14 000 c) S/. 19 000 e) S/. 18 000

c) S/. 396

16 Si tenemos las igualdades: yz = 7m; 3xm = 5n; 10n = 6yz,

11 De las operaciones:

6 Dado la operación:

a) S/.18 000 c) S/.15 000 e) S/.16 000

10 Una constructora contrató a Manuel para supervisar una obra, acordando pagarle por 12 meses de trabajo, S/.12 000 y un auto. Si luego de 9 meses de trabajo, le pagaron S/.4500 y el auto, ¿cuál es el valor del auto?

b) 28 c) 16 d) 84 e) 12

x +y

a) 8

xθy=

c) 54

15 Dispongo diariamente de S/. 30 para movilidad. Además, durante 30 días o voy a la universidad, gastando S/. 18 o voy a casa de mi abuela, gastando S/. 25. Si logré ahorrar en movilidad S/. 304, ¿a cuánto equivale el gasto realizado para ir a la universidad?

c) S/. 24

5 Si:

9 A una función de teatro asistieron 120 personas entre hombres, mujeres y niños. El número de hombres fue el triple del número de mujeres, además los hombres pagaron S/. 15 cada uno, las mujeres S/. 12 y los niños S/. 8. Si se recaudaron en total S/. 1660, determina el número de niños que asistieron al teatro.

b) S/. 15 e) S/. 12

b) 52 e) 48

14 En una empresa, se observó que, el sueldo de 3 gerentes equivale al de 4 administradores, el de un administrador equivale al de 2 contadores y el de 3 contadores equivale al de 9 auxiliares. Si el sueldo de un auxiliar es S/. 1000, ¿cuánto dinero destina esta empresa para pagar a sus trabajadores, si cuenta con un gerente, un administrador, un contador y un auxiliar?

a) 16 b) 18 c) 14 d) 12 e) 20

a) S/. 16 d) S/. 30

c) 40

a) 56 d) 50

calcula:

a) 1 d) 2

c) 27

b = (3a)

(4b)

8 El dueño de un colegio desea implementar el laboratorio de cómputo, comprando computadoras de última generación. Observa que, si compra 20 computadoras, le faltarán S/. 7000, pero si compra 15 computadoras le sobrarán S/. 10 500. ¿Cuántas computadoras podrá comprar, con el presupuesto que tiene?

b) S/. 40 000 d) S/. 50 000

b) 44 e) 41

n = m - 5n,

(2 (4

1) + (3 2) 3) - 27

b) 1,5 e) 2,25

(x + y) operaciones

4 Robert acordó con su sobrino que, cada vez que se encuentren, le duplicará el dinero que lleva y su sobrino, en agradecimiento, le tendrá que dar S/. 16. Si luego del cuarto encuentro, su sobrino se quedó sin dinero, ¿cuánto dinero tenía inicialmente?

a) 45 d) 42

a) S/. 35 000 c) S/. 45 000 e) S/. 55 000

c) 1,75

R = (8 φ (8 φ ... (8 φ 10) ...)))

3 Se realiza una rifa de un auto nuevo. Si los boletos se vendieran a S/. 50, se ganarían S/. 15 000 y si se vendieran a S/. 30 se perderían S/. 9000, ¿cuál es el costo del auto?

calcula el valor de: 5 + 4

c) S/. 30

calcula:

b) S/. 64 e) S/. 35

x = 5x + 3 y x + 1 = 2 x - 2 ,

13 Si: (x ∗ y) = x (y ∗ x), encuentra el valor de: (81 ∗ 16).

a) S/. 32 d) S/. 40

c) 6 d) 7 e) 5

7 A partir de la operación: (2x) φ (5y) = 4x - 3y,

2 En una frutería se observó que el precio de 12 mangos equivale al de 8 manzanas, el precio de 5 manzanas es el mismo que el de 15 plátanos, el de 10 plátanos es el mismo que de 4 naranjas. Si 5 naranjas cuestan S/. 8, ¿cuánto se pagará por 25 mangos?

a) 8 b) 9

a) 22 b) 25 c) 30 d) 32 e) 55

(x + 5) operaciones

12 Se definen las operaciones:

...

calcula:

1 Se compraron 80 pelotas, entre pelotas de vóley, que cuestan S/. 40 y pelotas de fútbol, que cuestan S/. 50. Si en total se gastaron S/. 3450, ¿cuántas pelotas de fútbol se compraron?

Nivel III

a 17

Acumulativo total

7 Se definen las operaciones: xy x $ y = ; a ∗ b = 3b - 8a 4 5 m n = {[(m$m)$m] $m } $... n operadores determina: (5 3) ∗ (10 2).

calcula:

a) 65 b) 64 c) 69 d) 68 e) 63

a) S/. 1555 d) S/. 1650

b) S/. 1560 e) S/. 1550

a) 702 d) 292

= 5x + 1

n -2

= 3 n+4

- 2,

calcula el valor de:

a) 64 b) 57 c) 70 d) 68 e) 72

a) S/. 352 d) S/. 355

+ 3

1 2 3 4

c) 420

b) S/. 346 e) S/. 356

c) S/. 340

3 4 1 2

4 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 1

determina el valor de x, en:

a) 1

b) 3

x) = 3 c) 4

d) 2

19 Sabiendo que: a b =

13 Un vendedor de adornos pensaba: “Si vendo a S/. 5 cada uno, obtendré S/. 40 menos, pero si vendo a S/. 9 la

c) 32

b) 270 e) 282

18 Se define la operación:

x-3

-5

e) 120

a) 42 b) 40 c) 32 d) 35 e) 45

c) S/. 1570

12 Se tienen las operaciones:

d) 81

17 Las monedas de S/. 5 y S/. 2 pesan 6 y 5 gramos respectivamente. Si una bolsa que contiene 88 monedas de ambos tipos, pesa 500 gramos, ¿cuánto dinero hay en dicha bolsa?

11 Mario gastó todo su sueldo en 5 días. Si se sabe que cada día gastó la mitad de lo que tenía más 25, ¿cuánto percibe de sueldo?

c) 96

16 Un comerciante compró dos docenas de polos, pagando S/. 360 por todos ellos y tres decenas de pares de medias, por S/. 60. ¿Cuántos soles ganará en total, si vende cada polo en S/. 23 y cada par de medias en S/. 5?

m n = 3(n + 2m + 6),

c) 2,50

b 14

d 15

b) 31 e) 41

a) 29 b) 28 c) 32 d) 26 e) 30

e 16

a) 30 d) 21

c) 108

6 Anita notó que en su fiesta de cumpleaños, una primera niña bailó con 6 niños, una segunda niña bailó con 7 niños, una tercera niña bailó con 8 niños y así sucesivamente hasta que la última niña bailó con todos los niños. Si asistieron 65 invitados, ¿cuántas niñas habían en la casa de Anita, durante la fiesta?

e 17

d 18

determina la suma de cifras del número que continúa.

b) 84

15 Una empresa planifica ensamblar 80 vehículos, entre autos, motos y bicicletas. Si dicha empresa cuenta con 60 motores y 230 llantas, ¿cuántos autos se podrán ensamblar?

3 4

3) e) 1 o 4

a2 + b2

9 12

12 +

a) 20 b) 25 c) 30 d) 32 e) 29

b) 3,50 e) 4,50

a) 72

a) 3 d) 4

5 Por tres papayas me dan 5 piñas y por 3 piñas, 6 melones. Además, 4 melones equivalen a tres manos de plátano. Si cada plátano cuesta S/. 0,20, ¿cuál es el costo de cada papaya, en soles?

calcula: 15

b) 128 e) 72

a) 156 d) 96

a+b+c 2

10 Se tienen las operaciones: x = 3x + 18

c) 68

4 Un caballero gasta cada día la cuarta parte de lo que tenía al inicio. Si empieza el lunes y el miércoles solo le quedan S/. 54, ¿con cuántos soles inició el lunes?

donde: p =

d) 10 e) 8

b) 54 e) 75

a) 10 b) 12 c) 11 d) 14 e) 13

a) 72 d) 82

9 En la sucesión: 30; 300; 1650; 3540; 5610; 7725; ...,

3 Jorge tiene S/. 990 en billetes de S/. 20 y S/. 50. En total tiene 30 billetes, pero no recuerda cuántos de cada denominación.

b) 24

calcula:

a) 16

p(p - a)(p - b)(p - c)

2 c) 32

x - 1 = 2x - 3

además:

calcula:

2 -3

x m n x - 2 = 2 ; m n = 32 × 16 × 8 ,

x + 2 = x2 - 1

d) 28 e) 15

2 Si:

a) 22 b) 20 c) 18 d) 16 e) 24 8 Se sabe que

d) 16 e) 8

c) 14

c) 24

14 Se sabe que:

b) 12

b) 20

a) 10

a) 25

unidad, ganaré S/. 60 más”. ¿Cuántos adornos tiene para vender?

1 En una empresa dedicada a la producción diaria de alimentos para consumo humano, cada vez que un empleado no termina el trabajo a tiempo, se le descuentan S/. 15 y si lo hace en el tiempo establecido se le da un bono de S/. 10. Si un empleado gana S/. 50 diarios y por 25 días de trabajo recibió S/. 1200, ¿cuántos días no entregó el trabajo a tiempo?

Nivel IV

c 19

Alfonso Rojas Puémape

u nidad

109

sumas y progresiones

Podríamos sumar los cubos que hay en cada fila.

Calculemos el N.° de cubos que hay en la fig. 12. fig. 1

fig. 2

fig. 3

fig. 4

fig. 12 ...

CONTENIDO ► números consecutivos ► conteo por inducción ► progresiones

so Pien

mientras

J U E G O Sumando para llegar a casa

En el siguiente juego tendrás que encontrar el camino que debe seguir Luchín para llegar a casa. Luchín solo puede desplazarse hacia arriba, abajo, derecha o izquierda. Debes tener presente que dicho camino debe ser aquel que contenga la menor suma de números.

Sombrea el camino que debe seguir Luchín.

Alfonso Rojas Puémape

Tema

números consecutivos • P = 1 + 2 + 3 + 4 +... + 17 + 18 + 19 + 20

1 Determina el valor de P, en:

P = 1 + 2 + 3 + ... + 20 = 21

Estrategia

¡OBservación! Debemos sumar el primer término con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente.

Encontremos alguna característica particular al sumar los términos extremos y los equidistantes a ellos.

• Existen 10 pares de números que suman 21. Entonces: N.° de términos 20 P = 10 × 21 = 21 2 Suma de términos extremos • Luego, P = 210

Suma de los n primeros números naturales mayores que cero: S = 1 + 2 + 3 + ... + n =

2 Calcula el valor de M, en: M= 2 + 4 + 6 + ... + 60

n (n + 1) 2

• M = 2 + 4 + 6 + ... + 56 + 58 + 60

= 62

• Existen 15 pares de números cuya suma es 62, entonces:

Estrategia ¡ATENCIÓN!

• Forma de un número par: 2n; n ∈ N ∧ n > 0. ⇒ 2n = 60 n = 30 Hay 30 sumandos.

Seguimos el mismo procedimiento que en el problema anterior, teniendo en cuenta que el número de sumandos no es 60.

N.° de términos 30 M = 15 × 62= 62 2 Suma de términos extremos • Luego, M= 930

Suma de los n primeros números pares mayores que cero: n S = 2 + 4 + 6 + ... + (2n) = (2n + 2) = n (n + 1) 2

• A = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 53 + 55 + 57 + 59

3 Halla el valor de A, en:

A = 1+ 3 + 5 + ... + 59

= 60

¡ Es sencillo! Solo debemos aplicar la misma idea.

• Hay 15 parejas de números cuya suma es 60, entonces: N.° de términos 30 60 A = 15 × 60 = 2 Suma de términos extremos • Luego, A = 900

¡ATENCIÓN! Forma de un número impar: 2n − 1; n∈N y n > 0

Suma de los n primeros números impares mayores que cero: n S = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = (2n - 1 + 1) = n 2 2

⇒ 2n − 1 = 59 n = 30 Hay 30 sumandos.

OBSERVACIóN Suma de los cuadrados de los n primeros números naturales mayores que cero: n(n + 1)(2n + 1) S = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = 6

Suma de los cubos de los n primeros números naturales mayores que cero: 2 n (n + 1) S = 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 = 2

• Calculamos el valor de la siguiente suma:

S=1+4 S = 12 + 22

⇒ S=

2(2 + 1) (2 × 2 + 1) 6

⇒ S= 5

S=1+4+9

S=1 +2 +3 =

3(3 + 1) (2 × 3 + 1) 6

2(2 + 1) S=1 +2 = 2 3

= 9

• Ahora calculamos el valor de:

S=1+8

= 14

S = 1 + 8 + 27

3(3 + 1) S=1 +2 +3 = 2 3

= 36

NOTITA Forma de un número cuadrado perfecto: n2 ; n∈N ∧ n > 0 Forma de un número cubo perfecto: n3 ; n∈N ∧ n > 0

Alfonso Rojas Puémape

MáS RESUELTOS 1 Calcula el valor de P, en:

¡ATENCIóN! Los números pares tienen la forma (2n). Los números impares tienen la forma (2n -1). n∈N;n≠0

5 Determina el valor de A, si:

P = 54 + 53 + 52 + ... + 3 + 2 + 1 Resolvemos: • Aplicamos la expresión para el cálculo de la suma de los n primeros números naturales mayores que cero:

54 × 55 2

= 1485

Resolvemos: • Aplicamos la expresión del problema 1 dos veces:

A = 12 + 2 2 + 3 2 ... + 39 2

Resolvemos: • Aplicamos dos veces la expresión del problema 5:

B = 12 + 2 2 + 3 2 ... + 45 2 - (12 + 2 2 + 3 2 ... + 10 2)

A = 2 + 4 + 6 + ... + 102

¡RECUERDA!

Resolvemos: • Aplicamos la expresión para el cálculo de la suma de los n primeros números pares mayores que cero:

La forma de un número cuadrado perfecto es n 2 y la de un número cubo perfecto es n 3.

7 Halla el valor de C, en:

2n = 102 ⇒ n = 51

A = 51 × 52 = 2652

4 Calcula el valor de Q, si:

Q = 63 + 65 + 67 + … + 191

n∈N;n≠0

45 × 46 × 91 10 × 11 × 21 6 6

B = 31 010

3 Halla el valor de A, en:

B = 121 + 144 + 169 + … + 2025

N = 3192

(39)(40)(79) ⇒ A = 20 540 6

6 Calcula el valor de B, en:

N = 1 + 2 + 3 + ... + 84 - (1 + 2 + 3 +...+ 27) 84 × 85 27 × 28 N= 2 2

Resolvemos: • Aplicamos la expresión para la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales mayores que cero:

2 Determina el valor de N, si:

N = 28 + 29 + 30 + 31 +…+ 84

A = 1 + 4 + 9 + … + 1521

• Resolvemos: Aplicamos dos veces la expresión para el cálculo de la suma de los n primeros números impares mayores que cero:

Q = 96 2 - 312 = 8255

2n - 1 = 61 n = 31

Resolvemos: • Aplicamos la expresión para el cálculo de la suma de los cubos de los n primeros números naturales mayores que cero: C = 22 3 + 21 3 + 20 3 + ... + 3 3 + 2 3 + 13 2

22 × 23 C= 2

⇒ C = 64 009

8 Determina el valor de E, si:

Q = 1 + 3 + 5 + … + 191 - (1 + 3 + 5 + ... 61) 2n - 1 = 191 n = 96

C = 10 648 + 9261 + 8000 + … + 27 + 8 + 1

E = 729 + 1000 + 1331 + … + 3375 Resolvemos: • Aplicamos dos veces la expresión del problema 7:

C = 13 + 2 3 + 3 3 + ... + 15 3 - ( 13 + 2 3 + 3 3 + ... + 8 3)

15 × 16 2

8 ×9 2

⇒ C = 13 104

M á S p ro p uestos 1 Calcula el valor de M, en:

12 Si: B = 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 729,

M = 1 + 2 + 3 + …+ 68

Rpta.: 2346 2 Si: N = 77 + 76 + 75 + … + 2 + 1, determina el valor de N + 1 . 2 Rpta.: 1502 3 Halla el valor de P, en:

Rpta.: 5995

2Q 4 Calcula el valor de 3 , sabiendo que: Rpta.: 12 628

5 Si: R = 64 + 63 + 62 + … + 2 + 1,

halla el valor de R + 2 . 3

Rpta.: 694

S = 2 + 4 + 6 + 8 + … + 186

Rpta.: 8742

7 Si: T = 121 + 119 + 117+ … + 3 + 1,

halla el valor de T + 5 . 3

Rpta.: 1242

V = 62 + 64 + 66 + ... + 124, calcula el valor de V + 4 . 5

Rpta.: 596

9 Determina el valor de A, en:

A = 29 + 31 + 33 + … + 97 Rpta.: 2205

10 Calcula el valor de S, en:

S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 159 Rpta.: 6400

11 Si: A = 200 + 198 + 196 + ... + 2,

calcula A : 5.

Rpta.: 56 980

PISTA 3

D = 784 + 874 + 900 + ... + 3721

Rpta.: 70 601

15 Sabiendo que:

E = 64 + 81 + 100 + … + 625, halla el valor de

E+5 . 10

Rpta.: 2020

Determina el valor de P mediante la diferencia de dos sumas conocidas.

Rpta.: 539

16 Determina el valor de F, si:

F = 1156 + 1089 + 1024 + … + 64 + 49

Rpta.: 13 594

17 Calcula el valor de G, en:

G = 1 + 8 + 27 + ... + 1728

Rpta.: 6084

18 Si: H = 3375 + 2744 + 2197 + … + 8 + 1,

H . halla el valor de 100

Rpta.: 144

K = 729 + 1000 + 1331 + … + 8000

C = 3025 + 2916 + 2809 + … + 4 + 1

19 Determina el valor de K, en:

8 Sabiendo que:

Rpta.: 80

13 Determina el valor de C, si:

6 Calcula el valor de S, en:

Q = 197 + 196 + 195 + … + 35 + 34

B - 530 .

14 Halla el valor de D, en:

P = 82 + 83 + 84 + … + 136

calcula el valor de

Rpta.: 42 804 J+2 20 Calcula el valor de 3 , si: J = 4096 + 3375 + 2744 + ... + 1000

Rpta.: 5491

21 Halla el valor de M, en :

M=1+1+2+4+3+9 + 4 + 16 + ... + 15 + 225

Rpta.: 1360

22 Determina el valor de P, si:

P = 121 + 1331 + 100 + 1000 + 81 + 729 + … + 16 + 64

Rpta.: 4812

PISTA 21 Agrupa M de tal manera que aparezca una suma de números naturales y una suma de los cuadrados de los mismos números.

Alfonso Rojas Puémape

control

1 Halla el valor de A, en:

A = 1 + 2 + 3 + ... + 69

4 Determina el valor E, si:

E = 94 + 96 + 98 + ... + 148

PISTA 2 ¡Resuelve aquí!

Suma los 99 primeros naturales mayores que cero y luego de ellos resta los 36 primeros.

PISTA 6 Suma los números impares desde 1 hasta 69 y luego resta los impares desde 1 hasta 31.

2 Determina el valor B, si:

B = 37 + 38 + 39 + ... + 99

3 Calcula el valor de C, en:

C = 2 + 4 + 6 + ... + 82

5 Halla el valor de F, en:

F = 1 + 3 + 5 + ... + 77

6 Calcula el valor de G, si:

G = 33 + 35 + 37 + ... + 69

43 Resolver problemas debería ser un deporte mental más que una tortura escolar.

7 Determina el valor de M, en:

M = 1 + 4 + 9 + ... + 1024

10 Halla el valor de Q, si:

Q = 2744 + 3375 + 4096 + ... + 13824

PISTA 12 Descompón el segundo factor de cada producto como la suma de dos números.

8 Calcula el valor de N, si:

11 Determina el valor de la siguiente suma:

N = 625 + 676 + 729 + ... + 3025

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 64 2 + 3 + 4 + ... + 64 3 + 4 + ... + 64 4 + ... + 64 63 + 64 64

12) 32 318 7) 11 440 6) 969 5) 1521 4) 3388 3) 1722 2) 4284 1) 2415 COMPRUEBA

R = 7 × 8 + 8 × 9 + 9 × 10 + 10 × 11 + ... + 45 × 46

8) 52 080

12 Calcula el valor de R, en:

9) 29 241

P = 1 + 8 + 27 + ... + 5832

10) 81 719

9 Halla el valor de P, en:

11) 89 440

Alfonso Rojas Puémape

Tema

conteo por inducción

1 ¿Cuántos palitos se han empleado para

formar la figura siguiente?

2.°

3 = 2(2) - 1

2.°

3.°

5 = 2(3) - 1

3.°

4.°

7 = 2(4) - 1

4.°

16.°

• Observamos que el número de palitos por fila depende del orden, o posición, que ocupa la fila, entonces en la fila 16 habrán: 2(16) - 1 = 31 palitos.

Podemos contar los palitos por filas o niveles y encontrar una regla de formación para el número de palitos en cada fila.

• Luego: total de palitos = 1 + 3 + 5 + ... + 31 = 16 2 = 256

2 El número de semicircunferencias que se

pueden contar en total en la figura 12, es:

NOTITA Por cada diámetro que se traza en una circunferencia se determinan dos semicircunferencia.

Fig. 1

Fig. 2

...

2(16) - 1 = 31

16.°

Estrategia

... + (2n - 1) = n2

1 = 2(1) - 1

1.°

¡recuerda!

1 + 3 + 5 + ...

1.°

Suma de los primeros números impares:

• Contamos por filas:

Fig. 3

Estrategia Contamos el número de semicircunferencias en cada figura, luego tratamos de encontrar alguna característica común entre ellas para hallar una regla de formación.

• Contamos: 1.° figura

1 = 12

2.° figura

4 = 22

3.° figura

9 = 32

• Notamos que la característica común es que el número de semicircunferencias en cada figura es un cuadrado perfecto. Además, la base de dicha potencia es el número de la figura que indica el orden de posición. • Luego, el número de semicircunferencias en la figura 12, es: 12 2 = 144 ¡Ya ven! ¡Era muy sencillo!

3 Calcula la cantidad de triángulos que hay

en la antepenúltima fila.

• Contamos por filas: 1.° fila:

1.° 2.° 3.°

20.°

2.° fila:

4 Determina el número de cuadriláteros en la

figura 50.

Fig. 2

= 4(2)

= 4(3)

3.° fila:

. . . Fig. 3

b c

antepenúltima fila .

1 letra: b; d :2 2 letras: ab; cd : 2 ⇒ N.° triángulos = 4

• Contamos: Fig. 1

1 = 3(1) - 2

Fig. 2

4 = 3(2) - 2

Fig. 3

7 = 3(3) - 2

• Observamos que el número de cuadriláteros en cada figura tiene una regla de formación que depende del número de orden de la figura. • Luego:

Hay que tener cuidado al contar los cuadriláteros.

¡Atención!

18.° fila: 4(18) = 72

• Luego, en la antepenúltima fila hay 72

Podemos aplicar la misma idea que en el primer problema.

Fig. 1

= 4(1)

Fig. 50

3(50)-2 = 148 cuadriláteros

¡Importante!

a b c

1 letra: a; b 2 letras: ab; bc ⇒

N.º de =4 cuadriláteros

Alfonso Rojas Puémape

MáS RESUELTOS 1 Determina la cantidad de palitos que se

han usado en la última fila de la figura.

¡IMPORTANTE ! En cada fila hay el mismo número de triángulos que el número de la fila: Fila 1: hay un triángulo. Fila 2: hay 2 triángulos. Fila 3: hay 3 triángulos.

Resolvemos: • Analizamos cada fila de la figura:

1.° fila: 3 2.° fila: 6 3.° fila: 9

45.° fila:

1 × (3) 2 × (3) 3 × (3)

Resolvemos: • Contamos las bolitas sombreadas en cada fila:

1.° fila: 1 3.° fila: 3 5.° fila: 5

¡atención!

Podemos expresar los números impares de una manera que podamos sumar fácilmente, así: 1 = 2(1) - 1 3 = 2(2) - 1 5 = 2(3) - 1

Fig. N.º 4

6=3×4 2

3.°: 10 = 4 × 5 2 4.°: 15 = 5 × 6 2

10.°:

Total = 2(1 + 2 + 3 + ...+ 28) - (1 + 1 + 1 + ...+ 1)

28 veces 28 × 29 - 28 = 784 Total = 2 2

4 Calcula el número total de palitos que se

han empleado para formar la siguiente figura:

(10 + 1) × 12 = 66 2

• Luego, tiene 66 círculos . 3 ¿Cuántas bolitas sombreadas hay en la

siguiente figura?

2(28) - 1

• Luego, hay 784 bolitas sombreadas .

Resolvemos: • Analizamos cada fila de la figura: 1.°: 3 = 2 × 3 2 2.°:

55.° fila: 55

2 ¿Cuántos círculos tiene la figura N.º 10?

2(1) - 1 2(2) - 1 2(3) - 1

• Sumamos:

45 × (3)= 135

Fig. N.º 1 Fig. N.º 2 Fig. N.º 3

52 53 54 55

• Luego, hay 135 palitos .

1 2 3 4

Resolvemos: • Contamos los palitos en cada fila: 1.° 2.° 3.° 4.°

fila: 3 fila: 6 fila: 9 fila: 12

30.° fila:

3(1) 3(2) 3(3) 3(4) 3(30)

• Sumamos:

3(1 + 2 + 3 + ... + 30) = 3

30 × 31 2

• Luego, se emplearon 1395 palitos .

M á S p ro p uestos 1 ¿Cuántos palitos se colocaron en las dos

5 Calcula la suma de todos los términos,

últimas filas de la figura?

hasta la fila N.° 10.

1.° fila: 2.° fila: 3.° fila: 4.° fila:

7 13

5 9

11 17

Rpta.: 207

Rpta.: 3025

6 ¿Cuántos palitos de helado se utilizaron

para formar la siguiente figura?

2 Determina la cantidad de palitos que em-

Una fila es cada arreglo horizontal. Ejemplo:

plearon en las 5 últimas filas de la figura.

Fila 1: Fila 2: Fila 3:

1 1

Rpta.: 8550

7 ¿Cuántos palitos de fósforo se emplearon

Rpta.: 570

3 Determina la cantidad de palitos que se usaron en las 2 últimas filas de la figura.

¡recuerda!

en total para construir la siguiente figura?

1 1

19 40

Rpta.: 545

Rpta.: 1680

8 Determina la cantidad de puntos que se

colocaron en la siguiente figura:

4 Si la figura está construida con palitos de

helados, ¿cuántos palitos se emplearon en la construcción de las 5 últimas filas?

100

Rpta.: 1475

Cuenta la cantidad de palitos que hay en cada fila y luego aplica: 1 + 2 + 3 +... n n(n + 1) = 2

PISTA 6

39 40

Rpta.: 1640

Alfonso Rojas Puémape

control 1 Determina la cantidad de palitos que se

emplearon para la construcción de la figura.

1 2

4 ¿Cuántos palitos verticales se utilizaron en

la construcción de la siguiente figura?

79 80

119 120

¡Resuelve aquí!

PISTA 1 En la 2.° fila hay 9 palitos que puedes expresar como: 5(2) - 1

2 Calcula la cantidad de palitos de fósforo

que se usaron en la construcción de la siguiente figura.

5 ¿Cuántos cuadrados simples sombrea-

dos presenta la figura 45?

Fig. 1 1 2

PISTA 5

3 ¿Cuántos palitos de helados se colocaron

• Un cuadrado simple es un cuadrado como el de la figura 1

Fig. 4

6 ¿Cuántos triángulos hay en la figura 55?

Fig. 1 Fig. 2 1 2

Fig. 3

99 100

en las 4 últimas filas de la figura?

• En la figura 2 hay: 22 - 2 = 2 cuadrados simples.

Fig. 2

49 50

Fig. 3

Fig. 4

49 Pregunta, discute, enseña, comparte con los demás, allí hay motivación.

7 Calcula la cantidad total de cuadrados

que hay hasta la figura 25.

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

10 ¿Cuántos triángulos se pueden contar

hasta la figura 20?

Fig. 2

Fig. 4

Fig. 1

Fig. 3

PISTA 9

Fig. 4

pueden contar en la figura 11.

9) 3965

12 Determina la cantidad de bolillas que se

3) 780

ción que se puede contar en la figura 61.

Fig. 3

10) 780

9 Calcula el número de puntos de intersec-

Fig. 1 Fig. 2

4) 7260

Fig. 4

11) 2045

Fig. 3

contar en la figura 10?

5) 1980

Fig. 1 Fig. 2

11 ¿Cuántos cuadrados simples se pueden

12) 2047

simples que hay en la figura 35.

6) 3025

8 Determina la cantidad de cuadraditos

Observa que en la figura 2 hay 12 puntos de intersección y se puede representar como: 4(2) + 22

2) 10 100 8) 1260 Fig. 3

Fig. 4

Fig. 1 Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

COMPRUEBA

Fig. 2

1) 13 040 7) 325

Fig. 1

Alfonso Rojas Puémape

c á l c ulo r á p id o todo por cinco

¡IMPORTANT

Cuando multiplicamos un número por 10, solamente se le debe agregar un cero a la derecha, así: 7 × 10 = 70 24 × 10 = 240 319 × 10 = 3190

Transformando:

n×5=

n × 10 10n = 2 2

500 70 Ejemplos: • 57 × 5 = 57 × 10 = 570 = + = 250 + 35 = 285 2 2 2 2 354 × 10 3540 3000 500 40 • 354 × 5 = = = + + = 1500 + 250 + 20 = 1770 2 2 2 2 2 1. Roberto compró un Televisor LCD a crédito. Si lo pagó en 5 cuotas de S/. 270 cada una, ¿cuánto pagó en total?

Resolvemos: • Multiplicamos el costo de cada cuota y el número de cuotas, aplicando la transformación:

Costo.cuotas = 270 × 5

= 270 × 10 2 2700 = = 1350 2

Respondemos: Roberto pagó en total S/.1350 .

2 Un avión de carga puede transportar

3 En una caja se pueden envasar 2428

4 Cada una de cinco cisternas, transportan

5 Un rollo de tela contiene una longitud de

6 Un cilindro contiene un volumen total de

7 Un envase pequeño tiene una capacidad

como máximo 8460 kg. Si para una emergencia se emplean cinco de estos aviones a su máxima capacidad, ¿cuántos kg pueden transportar en total?

caramelos. Si una persona compra 5 de estas cajas y además le obsequian 180 caramelos, ¿cuántos caramelos recibió dicha persona?

otra forma Dividiendo cada cifra por 2 y si hay residuo, este se coloca delante de la cifra siguiente, y se continúa dividiendo: 570 = 2

residuo

5:2=2 17 : 2 = 8 10 : 2 = 5 = 285

1 1

a una obra, 84 metros cúbicos de agua. Si por el camino se pierden 18 metros cúbicos de agua, ¿cuántos metros cúbicos de agua llegaron a tal obra?

240 litros de agua. Si una casa tiene 5 de estos cilindros completamente llenos y, además, un cilindro conteniendo 120 litros de agua, ¿cuántos litros de agua hay de reserva en dicha casa?

144 metros. Si para una confección se emplean 5 rollos y un adicional de 80 metros de la misma tela, ¿cuántos metros de tela se emplearon en dicha confección?

de 750 centímetros cúbicos. Si para extraer el agua que hay en un bidón, empleo cinco veces dicho envase y aún me quedan en el bidón 500 centímetros cúbicos de agua, ¿cuántos centímetros cúbicos de agua habían inicialmente en el depósito?

Tres secretos para desarrollar habilidad en el cálculo rápido: practicar; practicar más y practicar mucho más.

8. Una planta de energía eléctrica consume diariamente 1528 metros cubicos de gas. ¿Cuál será el requerimiento de gas de lunes a viernes?

Resolvemos:

• Efectuamos la multiplicación, transformando la operación:

N.° de m 3 = 1528 × 5

= 1528 × 10 2

= 15 280 2 = 7640

Respondemos:

• El requerimiento de gas será de 7640 metros cúbicos.

¡ATENCIóN! Cálculo mental Dividiendo cada cifra por 2, así: 15280 = 2 residuo 15 : 2 1 12 : 2 8:2 0:2 = 7640

9 En una embotelladora de gaseosa,

10 Una panadería produce 3696 panes

11 Para imprimir una enciclopedia se emplean

12 Una empresa procesadora de alimentos,

diariamente se embotellan 2545 docenas de botellas. ¿Cuántas docenas se embotellarán en cinco días?

un total de 2863 hojas bond A4. Si se desean obtener 5 copias de dichas enciclopedias y además adicionar un cuadernillo de 180 hojas en blanco para anotaciones, ¿cuántas hojas bond A4 serán necesarias?

13 En una fábrica de hilos se produce, en

una hora, 5460 metros de hilo. Si en 5 horas deben entregar una longitud de 27 500 metros de hilo, ¿cuántos metros de este hilo les falta?

diariamente. De lunes a viernes, ¿cuántos panes producirá en total?

en un día puede procesar 2430 kilogramos de espárragos. ¿Cuántos kilogramos de espárragos había en el frigorífico al inicio, si luego de 5 días quedan todavía 1550 kilogramos?

14 Para construir un muro recto de 4 metros

de altura, se emplean 8420 ladrillos. Se desea cercar un terreno de forma pentagonal (5 lados) con un muro de estos por cada lado. Si luego de la construcción del cerco sobraron 900 ladrillos, ¿cuántos ladrillos en total se compraron?

desafío Efectúa: • 3572 × 5 • 5686 × 5 • 24 957 × 5 • 45 560 × 5 • 124 236 × 5

Alfonso Rojas Puémape

Tema

progresiones

1 Sea la sucesión: 24; 29; 34; 39; ..., halla el

vigésimo término.

Estrategia Analizamos cómo varían los números y a partir de esto descubrimos la forma de calcular cualquier término de la sucesión.

• Analizamos cada término de la sucesión: t1 t2 t3 t4 24; 29; 34; 39; ... +5 +5 +5 t 2 = 24 + 5 = 29 = 34 t 3 = 24 + 5 + 5 t 4 = 24 + 5 + 5 + 5 = 39 • De lo anterior:

NOTITA Una progresión es una sucesión cuya razón es constante.

PROGRESIÓN ARITMÉTICA (PA) PA → t 1;

t 2; +r

Donde:

t 3; +r

t 4;

...;

tn +r

treros para indicar los kilómetros. El primer letrero se colocó en el kilómetro 64 y el último en el kilómetro 216. Si se colocaron 39 letreros equidistantes uno de otro, ¿cuáles son los kilómetros que están señalizados con los letreros?

Estrategia

Con los datos del problema formamos una progresión aritmética. Calculamos la razón y mediante la fórmula hallamos el vigésimo segundo término.

Luego de formar la PA; interpolamos medios aritméticos entre los extremos de dicha progresión.

• Formamos la progresión:

;

; ; ...; ; b m medios aritméticos

18;

25; +7

32; +7

39;

...;

• Calculamos t 22:

• Formamos la PA:

t 22 +7

t 22 = t 1 + (22 - 1)r t 22 = 18 + 21 × 7 t 22 = 165

• Luego, el vigésimo segundo día sembrará 165 árboles .

t n = t 1 + (n - 1)r

3 A lo largo de una carretera se colocaron le-

Estrategia

⇒ t 20 = 24 + 5 × 19 = 119

En general:

t 1 : primer término

de trabajo 18 árboles; durante el segundo, 25 árboles; durante el tercero, 32 y así sucesivamente, ¿cuántos árboles sembrará el vigésimo segundo día?

Interpolación de m medios aritméticos entre los números a y b:

t 20 = t 1 + 5 + 5 + 5 + ... + 5

tn : último término o enésimo término r : razón (aritmética) n : número de términos

2 Un jardinero siembra durante el primer día

¡ATENCIÓN!

19 veces

64;

;

...;

;

216

39 - 2 = 37 medios aritméticos • Calculamos la razón: 216 = 64 + (39 - 1)r ⇒ r=4 • Luego, los kilómetros que están señalizados con los letreros son:

64; 68; 72; 76; 80; 84; ...; 216.

4 Sea la sucesión: 2; 6; 18; 54; ..., calcula el

noveno término.

Estrategia

• Analizando cada término de la sucesión: t1 t2 t3 t4 2; 6; 18; 54; ... ×3 ×3 ×3 =6 t2 = 2 × 3 = 18 t3 = 2 × 3 × 3 t 4 = 2 × 3 × 3 × 3 = 54

Analicemos nuevamente cómo varían los números para poder descubrir una expresión que nos permita calcular cualquier término de la sucesión.

• De lo anterior:

8 veces

t 9 = t 1 × 3 × 3 × 3 × ... × 3 ⇒ t 9 = 2 × 3 8 = 13 122 ¡OBSERVACIÓN!

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (PG) PG → t 1;

t 2;

t 3;

×r

t 4;

...;

×r

tn ×r

En general:

t 1 : primer término

Donde:

t n : último término o enésimo término r : razón (geométrica) n : número de términos

5 En un cultivo, una bacteria se triplica cada

hora. Si para una investigación se colocan 4 bacterias en un cultivo, ¿cuántas habrán al cabo de 9 horas?

Estrategia

12; ×3

36; ×3

×3

...;

t 10

• Observamos que por cada intervalo de 1h, la bacteria se triplica. Luego, debemos calcular el décimo término.

t 10 = t 1.r 10 - 1 t 10 = 4.3 9 t 10 = 78 732

• Luego, al cabo de 9 horas habrán 78 732 bacterias .

; ; ...; ; b m medios geométricos

te 8 días consecutivos, multiplicándolo cada día de manera constante. Si el primer día invirtió $ 200 y el último día invirtió $ 437 400, ¿cuánto invirtió el sexto día?

Estrategia Debemos interpolar medios geométricos entre 200 y 437 400.

200;

;

; ...;

; 437 400

¡RECUERDA!

8 - 2 = 6 medios geométricos

×3

• Calculamos t 10:

;

• Formamos la PG:

108;

6 Un empresario invirtió su dinero duran-

Interpretamos la información y reconocemos los elementos de una progresión geométrica. Luego aplicamos la expresión para calcular el término enésimo de una PG.

• Formamos la PG:

t n = t1.r n - 1

Interpolación de m medios geométricos entre los números a y b:

• Calculamos la razón:

437 400 = 200.r

8-1

⇒ 37 = r7 ⇒ r = 3

• Ahora, calculamos la inversión para el sexto día: t 6 = 200.3 6 - 1 t 6 = 48 600 • Luego, el sexto día invirtió $ 48 600 .

Si a m = a n ⇒ m = n a ≠ 0 ∧ a ≠ 1.

Alfonso Rojas Puémape

MáS RESUELTOS 1 Al empezar a trabajar, la empresa me ofre-

ció un pago de S/. 500 mensuales, el primer año y además un aumento de S/. 50 al año. Si hoy, luego de varios años, mi sueldo es de S/. 950, ¿cuántos años tengo trabajando en dicha empresa?

¡RECUERDA! En una progresión aritmética (PA) t n = t 1 + (n - 1)r

Resolvemos: • Debido a que forman una PA, tenemos:

8000; 8000 + r; 8000 + 2r; 8000 + 3r 12 500 • Ahora: 8000 + 3r = 12 500 ⇒ r = 1500 • Luego, el tercer mes ganó S/. 11 000 .

Resolvemos: • Del enunciado, formamos una PA: 1.°sueldo 2.°sueldo ... último sueldo 500; 550; ... ; 950

5 Un tipo de bacteria muy raro, se reprodu-

ce por bipartición (se parte en dos) cada 20 minutos. Si en un cultivo se coloca tres bacterias, ¿cuántas habrá luego de 4 horas?

+50

• Ahora: 950 = 500 + (n - 1)(50) n = 10 • Luego, tengo trabajando 10 años .

Donde: t n = n-ésimo término t 1 = primer término r = razón aritmética n = N.° de términos

2 Una persona que desea ponerse en for-

ma, acude a un gimnasio diariamente y entrena durante 40 minutos. Si decide incrementar su entrenamiento en 10 minutos cada día, respecto al día anterior, ¿cuánto tiempo entrenará el décimo día?

Resolvemos: • Formando una PA:

1.° 2.°

3.°

t 10 = 40 + (10 - 1)(10)

t 10 = 130 minutos

10.°

¡RECUEDA! En una progresión geométrica (PG) tn = t1 × r

n-1

Donde: t n = n-ésimo término t 1 = primer término r = razón geométrica n = N.° de términos

Resolvemos: • Calculamos el número de semanas: 300 - 20 N.° semanas = + 1 = 36 8 • Calculamos el monto de la deuda: 300 + 20 (36) = 5760 Deuda = 2 • Luego, la deuda asciende a S/. 5760 . 4 La ganancia mensual de un negocio se

incrementa de forma constante. Si el primer mes ganó S/. 8000 y el cuarto mes S/. 12 500, ¿cuál fue la ganancia en el tercer mes?

Ahora: inicio 1.°

2.°

12;

4 × 60 = 12 20 12.°

...;

progresión geométrica

6 Se quiere construir una piscina donde el

largo es al ancho como el ancho es a la profundidad y dichas dimensiones suman 26 metros. Si el volumen de dicha piscina es de 216 metros cúbicos, ¿cuáles son las dimensiones de dicha piscina?

3 Rodrigo paga una deuda de la siguien-

te manera: la primera semana S/. 20, la segunda S/. 28, la tercera S/. 36 y así sucesivamente hasta la última semana que paga S/. 300. ¿A cuánto asciende la deuda de Rodrigo?

N.° lapsos =

• Entonces: x = 6 × 212 - 1 = 12 288 • Luego, de 4 h habrán 12 288 bacterias .

40; 50; 60; ...; t 10

Resolvemos: • Calculamos cuantos lapsos de tiempo de 20 minutos hay en 4 horas:

Resolvemos:

l a • Del enunciado: a = = r p progresión geométrica

⇒ p; a; l ⇒ p; pr; pr 2 pr 2

• Entonces: p + pr + pr 2 = 26 y (p)(pr)(pr 2) = 216 pr = 6 p(1 + r + r 2) = 26 6 • Ahora: (1 + r + r 2) = 26 r 1 10 +r= ⇒ r=3 ;p=2 r 3 • Luego: Profundidad = 2 m

Ancho

= 6m

Largo

= 18 m

M á S p ro p uestos 1 La inversión de una empresa se incremen-

ta anualmente de manera constante. Si en el primer año la inversión fue de $ 36 000 y en el quinto año fue de $ 64 000, ¿cuál será la inversión en el noveno año?

Rpta.: $ 92 000

2 María, que piensa en su futuro, decide

depositar mensualmente su dinero en una cuenta de ahorro. Si en enero deposita S/.200 y cada mes que sigue deposita S/.35 más, respecto al mes anterior, ¿en qué mes depositará S/.550?

viaje, ¿cuántos metros deberá caminar para terminar su trabajo?

8 A una manguera se le hacen 5 cortes, de

modo que cada pedazo de manguera es el doble del pedazo anterior. Si el pedazo de mayor longitud mide 384 centímetros, ¿cuánto mide el pedazo de menor longitud? Rpta.: 12cm 9 Una célula afectada por radiación, triplica

su número cada media hora. Si una muestra de cuatro células se afecta con la misma cantidad de radiación, ¿cuántas de estas células habrán después de 5 horas?

Rpta.: noviembre

3 Tres hermanos nacieron en intervalos

iguales de tiempo y además dentro de 8 años sus edades sumarán 48. Si el mayor actualmente tiene el triple de la edad del menor, ¿cuál es la edad del mayor?

Rpta.: 12 años

4 El alquiler de un auto cuesta $ 35 la pri-

mera hora y $ 9 adicionales por cada nueva hora. ¿Cuánto se pagará por el alquiler de un auto durante 12 horas?

Rpta.: $ 134

5 En un cuadrilátero, dos ángulos adyacen-

tes se diferencian de manera consecutiva, uno de otro, en una misma cantidad de grados. Si la medida del ángulo mayor excede a la medida del ángulo menor en 48°, ¿cuál será la medida del ángulo menor? Rpta.: 66° 6 Un estudiante decide resolver todos los

problemas de un libro de la siguiente manera: el primer día 12, el segundo día 15, el tercer día 18 y así sucesivamente hasta el último día, en el que resuelve 75 problemas. ¿Cuántos problemas tenía dicho libro? Rpta.: 957 problemas. 7 Un obrero debe colocar 32 postes en lí-

nea recta a 4; 8; 12; …. metros de distancia del lugar donde están apilados. Si el obrero se encuentra en la pila de postes y solo puede trasportar un poste en cada

Rpta.: 4096 metros

Rpta.: 236 196 células

PISTA 3 La diferencia de edades entre el mayor y el segundo es igual que la diferencia entre el segundo y el menor.

10 En un panal de abejas se han contado

4096. Si mensualmente dicha cantidad de abejas se incrementa en un 25%, ¿dentro de cuántos meses en el panal habrán 15 625 abejas? Rpta.: 6 meses 11 A una cuerda de 140 metros de longitud

se le hace 2 cortes, de modo que cada uno de los trozos mida r veces la longitud del trazo anterior. Si el trozo de menor longitud mide 20 metros, ¿cuánto mide el trozo de cuerda de mayor longitud?

Rpta.: 80 metros

12 Se desea construir una zanja donde sus

dimensiones guardan cierta relación: la profundidad es al ancho como el ancho es al largo, además la zanja debe tener un volumen de 1728 metros cúbicos. Si las dimensiones suman 63 metros, ¿cuál es la medida del largo de la zanja?

Rpta.: 48m

13 En una sucesión, dos números consecu-

tivos se diferencian en una misma cantidad. Si dos términos cualesquiera se diferencian en 24 unidades y sus lugares correspondientes se diferencian en 6, determina la diferencia común de dichos números. Rpta.: 4

pista 6 En una PA la suma de sus términos es: S = t 1 + t 2 + t 3 + ... + t n Entonces: t +t S= n 1 n 2 donde: n=

t n- t 1 +1 r

Alfonso Rojas Puémape

control 1 En una fábrica de confecciones, una cos-

turera elabora 24 camisas en su primer día de trabajo, en el segundo 30, en el tercero 36 y así sucesivamente hasta que cierto día elaboró 66 camisas, ¿cuántos días lleva trabajando?

4 Una empresa reduce sus inversiones

anualmente de manera constante. Si el primer año invirtió $ 40 000 y el noveno año $ 20 000, ¿cuánto invirtió en el sexto año?

¡Resuelve aquí!

PISTA 1 Calcula el aumento diario de su producción. 2 En una prueba de resistencia, un atleta

5 Cinco hermanos nacieron a intervalos

3 Un montañista está en la cima de un ne-

6 En una oficina, se instaló un sistema de

recorre 19 km, el primer día; 21 km, el segundo; 23 km, el tercero y así sucesivamente hasta el décimo tercer día que finaliza la prueba. ¿Cuántos kilómetros recorrió el último día?

PISTA 3 Calcula primero cuántos días demoró en bajar y luego suma las distancias recorridas.

vado. El primer día desciende 50 metros y los días siguientes 10 metros más que el día anterior. Si el último día desciende 360 metros, ¿cuántos metros mide el nevado?

iguales de tiempo, además la suma de sus edades es 120 años. Si el mayor tiene 12 años más que el menor, ¿cuántos años tiene el mayor?

ventilación, durante el mes de diciembre del 2005. Si a dicho sistema se le da un mantenimiento cada 9 meses y el primero se realizó el mismo día de la instalación, ¿en qué mes y año se realizará el décimo mantenimiento?

57 Alienta a quienes se equivocan; te agradaría que se comportaran así contigo.

7 El día de la inauguración de una repre3

sa, esta recibe 400 m de agua. Cada día que pasa triplica el volumen del día anterior. Luego de ocho días, ¿cuántos m3 almacenará la represa?

10 Un aficionado a la lectura lee un libro de

la siguiente manera: el primer día lee 12 páginas, el segundo 16, el tercero 20 y así sucesivamente hasta que luego de 10 días termina de leer el libro. ¿Cuántas hojas tiene dicho libro?

PISTA 10

8 Se construye un bloque compacto de

11 Un campesino debe abonar cada una de

9 En una sucesión, el cociente de dos

12 En una carretera se desean colocar cada

concreto. Su largo es a su ancho como su ancho es a su alto, además el volumen de concreto usado es de 64 m3. Si sus dimensiones suman 14 metros, ¿cuánto mide de alto?

Calcula el número de páginas que lee el décimo día.

sus 20 plantas colocadas en línea recta a la entrada de su chacra, las mismas que están separadas 2 m una de la otra. Además el abono está ubicado a 12 m de la primera planta. Si el campesino está al lado del abono y solo puede llevar abono para una planta, ¿cuántos metros caminará hasta culminar con su trabajo?

12) 38 carteles 11) 1190 m 9) 3 8) 2 m 7) 8 748 000 m3 6) SET- 2012 5) 30 años 4) S/. 27 500 3) 6560 m 2) 43 km 1) 8 días COMPRUEBA

5km unos carteles indicando el kilometraje de la misma. Si se empieza en el kilómetro 120 y termina en el kilómetro 305, ¿cuántos carteles se deberán colocar?

10) 150 hojas

números consecutivos es siempre el mismo. Si el cociente de dos números cualesquiera es 81 y sus lugares correspondientes se diferencian en 4, ¿cuál es el cociente común?

Alfonso Rojas Puémape

matemática 1. Tratando de ver lo oculto

En el siguiente bloque de cubitos indica cuántos de ellos están ocultos, es decir no se pueden ver sus caras.

2. Juntos pero no revueltos

S/.5

S/.5 S/.5

¿Cuántas monedas de S/. 5 se pueden colocar en contacto alrededor de las siete monedas que hay sobre la mesa?

S/.5

¡Resuelve aquí!

recreati va 3. Simple razonamiento

Un pintor va a la ferretería para adquirir medio litro de bencina. Al llegar a la ferretería el vendedor le explica que solo dispone de dos depósitos de metal, uno de 1,25l y otro de 0,75l. ¿Cómo procederá el vendedor para cumplir con su cliente?

4. La unión de los "dos"

+ 2

2 2

2 +

Veamos una forma interesante y divertida en la cual apliques tu ingenio. Escribe seis veces la cifra dos (2) y dos veces el signo de adición (+) en una fila, de modo que obtengas como suma un total de 12.

Alfonso Rojas Puémape

a utoe v a lu a c ió n Acumulativo parcial

Nivel I 1 Determina el valor de T, en: T = 169 + 196 + 225 + … + 2025 b) 31 226 e) 30 745

c) 31 539

2 ¿Cuántos cuadraditos no sombreados presenta la siguiente figura?

Fig. N.º 1 Fig. N.º 2

1 2 3

c) 253

3 Una sastrería confecciona cierto día 8 pantalones y cada día que pasa 3 pantalones más que el día anterior. Al noveno día, ¿cuántos pantalones confecciona dicha sastrería? a) 24 b) 27 c) 32 d) 36 e) 40

a) 52 920 d) 53 261

b) 52 577 e) 53 136

c) 52 065

11 ¿Cuántos palitos se han empleado para construir la siguiente figura?

c) 10 184

1 2 3 4

c) 450

13 Calcula el valor de S, en: a) 5992 d) 5886

b) 6042 e) 5940

c) 9660

c 14

b) 10 440 e) 5460

b 15

a) 11 700 d) 9568

b 16

a 17

S = 54 + 56 + 58 + … + 162 c) 5830

P = 40 + 41 + 42 + … + 144

Halla el valor de P, en:

a) 32 años b) 35 años c) 36 años d) 42 años e) 45 años

e) 17 años

d) 18 años

a) 204 d) 225

c) 240

b) 216 e) 197

c) 201

18 Calcula 6S1 - S2, sabiendo que:

S1 = 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 576

S2 = 1 + 8 + 27 + 64 + ... + 5832

a) 97 d) 131

a) 22 años b) 21 años c) 20 años

b) 225 e) 316

17 Un sastre confeccionó cierto día 15 pantalones, al día siguiente 3 pantalones más que el día anterior y así sucesivamente hasta que confeccionó 36 pantalones en un día. ¿Cuántos pantalones confeccionó en total?

c) 2500

12 La suma de las edades de seis personas es 285 años, además nacieron a intervalos iguales de tiempo. Si el mayor tiene 25 años más que el menor, ¿cuál es la edad del menor?

Las edades del mayor y menor de cinco hermanos son 24 y 12 años. Si nacieron a intervalos iguales de tiempo, ¿cuál es la edad del segundo?

a) 1275 b) 2450 d) 2550 e) 5100

b) 496 e) 930

48 49 50

a) 465 d) 900

a) 120 d) 288

Fig. 1

12 13 14 15

b) 103 e) 159

Fig. 4

Fig. 3

c) 45º

16 Indica el número de triángulos que hay en total en la figura:

e) 8

5 Indica el número de cubos que presenta la figura número 30 en la secuencia: Fig. 2

b) 30º e) 24º

b) 10 125 e) 10 330

a) 15º d) 60º

c) 125

a) 10 549 d) 10 241

R = 343 + 512 + 729 + …. + 9261

Q = 61 + 63 + 65 + … + 209

c) 11 d) 7

c) 630

15 En un triángulo rectángulo, sus ángulos interiores de mayor a menor se diferencian consecutivamente en una misma cantidad de grados. ¿Cuánto mide el ángulo menor?

10 Halla el valor de R, en:

4 Calcula el valor de Q, en:

a) 10 b) 9

b) 595 e) 1225

Fig. N.º 4

9 Una persona camina un día 800 metros, al día siguiente 850 metros, al siguiente 900 metros y así sucesivamente hasta que en el último día camina 1200 metros. ¿Cuántos días estuvo caminando dicha persona?

42 43 44 45

b) 231 e) 272

c) 800

a) 207 d) 261

b) 760 e) 780

a) 1260 d) 645

1 2 3 4

a) 820 d) 840

39 40

Fig. N.º 3

a) 31 395 d) 31 105

14 ¿Cuántas bolitas blancas hay en la figura número 35?

8 ¿Cuántos cuadraditos hay en total en la figura?

e 18

Acumulativo parcial

Nivel II 1 Halla el valor de S, en:

S = 289 + 324 + 361 + … + 1089

a) 11 514 d) 10 744

R = 9 + 18 + 27 + … + 225 a) 2812 d) 2925

N = 90 + 110 + 132 + … + 992 c) 10 582

11 Determina la suma de todos los términos de la siguiente matriz:

4 Halla la suma de los términos en: c) 7308

b) 9240 e) 8400

a) 360 cm b) 300 cm d) 270 cm e) 210 cm

c) 12 480

3 2 1

c) 240 cm

P = 72 + 74 + 76 + … + 340 a) 28 152 d) 27 664

b) 27 738 e) 27 810

c) 28 496

a) 4500 d) 9765

b) 3482 e) 5400

c) 4095

18 Una persona camina el día lunes 800 metros, el martes 850 metros, el miércoles 900 metros y así sucesivamente durante dos semana. ¿Cuántos kilómetros recorrió en total?

13 Determina el valor de P, en:

a) S/. 3090 b) S/. 3002 c) S/. 3045 d) S/. 3192 e) S/. 3139 e 13

b 14

a 15

b 16

c 17

c) 11 440

El Sr. Arturo tiene una deuda. Un día cancela S/. 45 y cada siguiente día S/. 4 más que el día anterior. Si en 30 días cancela su deuda, ¿cuál es el monto de la deuda?

b) 11 640 e) 10 540

c) 6460

a) 12 540 d) 10 240

20 21 22

12 A una cinta de 4,5 metros le hacen 3 cortes de modo que uno de los pedazos mida el doble de la longitud del pedazo anterior. ¿Cuánto mide el pedazo mayor?

3 4 5

a) 16 000 d) 8000

2 3 4

5 ¿Cuántos cubos simples hay en total en una figura de 32 pisos, similar a la siguiente?

1 2 3

b) 7288 e) 7300

a) 7306 d) 7268

b) 6604 e) 4876

17 Determina el número total de paralelogramos que se forman al unir dos triángulos simples en la figura:

1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 27 × 28

a) 5984 d) 6734

a) 14 500 d) 17 250

b) 10 672 e) 10 472

a) 10 762 d) 10 744

c) 52

S = 25 + 125 + 36 + 216 + 49 + 343 + ... + 1728

b) 12 900 e) 15 750

b) 50 e) 51

16 Calcula el valor de S, en:

10 Calcula el valor de N, en:

a) 53 d) 54

b) S/. 14 600 d) S/. 14 400

a) S/. 2235 b) S/. 2335 c) S/. 2325 d) S/. 2352 e) S/. 2225

c) 14 300

a) S/. 16 400 c) S/. 16 600 e) S/. 15 460

c) 254

c) 1440

b) 288 e) 144

15 En la carretera Panamericana Sur se van a colocar paneles, cada 3 km, indicando el kilómetro en el que se encuentra. Si el primer panel se coloca en la marca del kilómetro 60 y el último en la marca del kilómetro 216, ¿cuántos paneles se colocarán?

c) 272

9 Un comerciante ahorra durante el mes de enero así: el primer día S/. 15, el segundo día S/. 19, el tercero S/. 23 y así sucesivamente hasta fin de mes. ¿Cuánto ahorró el comerciante en total?

3 El gasto mensual por insumos de una fábrica se incrementa de manera constante durante un año. Si en enero el gasto fue de S/. 8000 y en mayo S/. 10 400, ¿cuál fue el gasto en diciembre?

b) 512 e) 320

a) 312 d) 216

b) 1332 e) 1800

a) 528 d) 256

Fig. N.º 4

a) 1296 d) 1570

34 35

Fig. N.º 2 Fig. N.º 3

1 2 3 4 47

Fig. N.º 1

c) 2700

8 Indica el número total de triángulos de la figura N.°32.

2 Indica el número total de palitos empleados para formar la siguiente figura:

b) 3159 e) 2484

c) 11 289

14 ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la figura siguiente?

b) 10 420 e) 11 033

Calcula el valor de R, en:

e 18

Alfonso Rojas Puémape

Acumulativo parcial

a) 968

b) 1020

c) 1024

a) 270 b) 285 c) 295 d) 280 e) 275

d) 970

11 Si: S = 101 + 103 + 105 + ... + 395 calcula el residuo de dividir S por 6 2.

e) 978

¿Cuántos soles ahorrará Miguel, en diciembre?

a) 169 b) 175 c) 178 d) 182 e) 190

c) 3750

13 Se tienen 15 canicas dispuestas en el suelo separadas 5m una de otra en una línea recta. Si Carlos tiene que juntar todas las canicas en el extremo opuesto al que se encuentra y solo puede llevar una canica a la vez, ¿qué distancia tendrá que recorrer Carlos?

a) 980 m d) 950 m

b) 960 m e) 70 m

16 26

6 4 6

a) 8

b) 12 c) 9

d) 10 e) 11

18 Mario tiene 120 canicas y quiere ordenarlas en forma triangular, de tal manera que en la primera fila haya una canica, 2 en la segunda, 3 en la tercera fila y así sucesivamente. ¿Cuántas filas tendrá que construir Miguel, si ordena todas sus canicas?

a) 950 b) 325 c) 955 d) 350 e) 275

a) 16 b) 15 c) 14 d) 18 e) 20

19 Calcula el valor de la suma: 1,02 + 4,04 + 9,06 + 16,08 + ... + 225,3

c) 975 m

14 Entre las 7:00 a.m. y las 7:30 a.m. el tránsito vehicular en el cruce de las

7 Un salvavidas cuenta que, en el verano del año 2012 ocurrió algo curioso, ya que cada día asistió a la playa que él vigilaba, once personas más que el día anterior. Si esto sucedió en el mes de febrero y el quinto día de dicho mes, asistieron 34 personas, ¿cuántas asistieron el último día?

a) 2650 b) 2430 c) 2460 d) 2320 e) 2660

F50

6 ¿Cuántos cubitos sin pintar hay en una figura de 20 pisos similar a la siguiente?

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7

b) 3770 e) 3775

a) 3760 d) 3780

17 Se calcula que una plaga de insectos que afectaba los sembríos en la sierra, era aproximadamente de 1 048 576. El ministerio de salud las combatió, de modo que al final de cada día había solo la mitad. Si el número de insectos llegaba a menos de 3000, se consideraba eliminada la plaga y entonces una última fumigación, durante un día más, las desaparecía por completo, ¿cuántos días duró la operación?

a) 21 b) 25 c) 19 d) 20 e) 23 12 Calcula el número de bolitas sin pintar en la siguiente figura:

5 Calcula el valor de M: M = 17 + 88 + 19 + 86 + 21 + 84 + ... + 87+ 18

Fig. 3

Fig. 2

4 Miguel pensaba: “El próximo año, ahorraré cada fin de mes, S/. 15 más que el mes anterior, de modo que en junio tenga que ahorrar S/. 85”.

Fig. 1

d) 10 e) 11

c) 1750

c) 9

...

b) 1760 e) 1780

b) 8

16 Determina la suma de todos los números en:

a) 1740 d) 1720

a) 7

16 17

3 Halla el valor de S. S = 4 × 1 + 9 × 2 + 16 × 3 + 25 × 4 + ... + 81 × 8

10 Determina el número total de cuadrados simples que se pueden contar hasta la figura 9.

y da como respuesta la suma de cifras de la parte entera del resultado.

a) 8

a) 96 b) 384 c) 192 d) 768 e) 48

1 2

b) 13 c) 11 d) 9

e) 12

e) 440

15 Una hormiga muy curiosa, durante la mañana sube 20 cm más de lo que subió la mañana anterior y por la noche baja 10 cm. Si la primera mañana sube 20 cm, ¿cuántos días necesitará para subir un muro de 10 m de alto?

d) 420

Si el lunes había sólo 3, ¿qué número alcanzó el domingo?

a) 75 b) 95 c) 83 d) 71 e) 107

c) 425

b) 410

9 De lunes a domingo, el número de insectos en cierto pantano de la selva de Iquitos se duplica.

a) 564 b) 537 c) 527 d) 570 e) 576

a) 430

S = 15 + 17 + 19 + ... + 49 N = 36 + 38 + 40 + ... + 56 + 58

2 Calcula el número de palitos de fósforo en la figura.

c) 2410

b) 2320 e) 2380

a) 2310 d) 2330

avenidas Javier Prado y Arequipa, se incrementa en 12 unidades, cada 5 minutos. Así a las 7:00 a.m. pasan por dicho lugar, un promedio de 35 vehículos. ¿Cuántos vehículos circulan por tal sitio, segundos antes de las 7:30 a.m.

8 Calcula el valor de las siguientes sumas y da como respuesta la menor de ellas.

+ 4 2 × 5 + ... + 9 2 × 10

a) 315 b) 305 c) 322 d) 313 e) 317

1 Determina el valor de N, en: N = 1 × 2 + 22 × 3 + 32 × 4

Nivel III

b 14

d 15

c 16

e 17

b 18

d 19

Acumulativo total

1 Felipe tiene planeado leer un libro de 289 páginas de la siguiente manera: el primer día 1 página, el segundo día 3 páginas, el tercer día 5 páginas y así sucesivamente. ¿Cuántos días le tomará leer todo el libro? a) 18 b) 14 c) 22 d) 17 e) 16

12 Si: a

d) 13 e) 12

e indica la raíz cuadrada de la suma de cifras del resultado.

a) 1

c) 5

d) 3

2 2 1 2 3

3 3 2 1 3

4 4 3 3 1

si: [(1 * 2) * 3] * [(x * 1) * 2] = 1, calcula la suma de valores de x.

a) 3

b) 5

c) 6

d) 4

e) 7

19 Determina la suma total de todos los números en las 2 distribuciones numéricas.

e) 6

1 3 5 3 3 5 5 5 5

1 2 4 6

2 2 4 6

4 4 4 6

6 6 6 6

y da como respuesta la suma de cifras. a) 19 b) 21 c) 23

a) 450

b) 600

c) 630

d) 640

e) 660

20 El profesor Manuel hace participar a sus 27 alumnos debido a que las iniciales de sus apellidos son diferentes, de la siguiente manera: M; P; U; A; H;… ¿Cuál es la letra inicial del apellido del siguiente alumno?

e) 9

d) 8

c) 5

a) N

b) 6

b) Ñ

a) 7

d 12

c) O

14 Se define el operador: x ∫ y = x - 2 (y ∫ x) calcula: -3 ∫ 6

Base: 20 palitos

c) S/. 27

8 Se eleva al cuadrado un número. Al resultado se le divide por 18; al nuevo

1 1 2 3 4

b) 4

1 2 3 4

c) S/. 645

c 13

b) S/. 24 e) S/. 36

18 Se tiene el operador ( ) definido por:

(p - a)(p - b)(p - c) (p - d)

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 25

13 ¿Cuántos palitos son necesarios para realizar la siguiente distribución?

7 En el país POLÍGONO, las monedas tienen formas geométricas. Así, 5 monedas triangulares equivalen a 3 cuadrangulares; 2 cuadrangulares a una pentagonal y 9 pentagonales a 10 hexagonales. Si 3 monedas exagonales valen como S/. 12, ¿a cuánto dinero equivalen 21 monedas triangulares? a) S/. 21 d) S/. 28

d) 24 e) 18

d) P

e) Q

a) 364 b) 546 c) 654 d) 354 e) 346

b) S/. 625 e) S/. 650

donde: a + b + c + d = 2p, halla: 7

6 Se han usado 78 canicas en la base de una pirámide. Si la pirámide tiene base triangular, ¿cuántas canicas hay en toda la pirámide?

a) S/. 615 d) S/. 720

c) 8

30 31

1 2 3 4

a) 10 b) 9

a) 819 b) 400 c) 900 d) 820 e) 818

determina la diferencia entre los rombos sombreados y los no sombreados.

5 Si a la edad de Marco la multiplicamos por 3, al resultado le sumamos 6, luego la suma la dividimos por 5, a este nuevo resultado lo elevamos al cuadrado para luego sumarle 28, ahora extraemos la raíz cuadrada a la suma y finalmente le sumamos 5; se obtiene 13. ¿Cuál es la edad de Marco?

c) 4236

17 En la figura:

11 A un artesano le cuesta S/. 9 realizar un adorno navideño, que luego venderá, ganando S/. 12. Además, por cada docena que produce gasta adicionalmente S/. 15, ya que debe pagar a un ayudante. ¿Cuánto ganará si produce y vende 60 adornos?

d) 66 e) 39

b) 4198 e) 4254

a) S/. 1500 b) S/. 1600 c) S/. 2000 d) S/. 1550 e) S/. 1000

c) 44

a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

a) 4000 d) 4248

16 A Ricardo le ofrecieron un pago de S/. 2500 más una laptop, por realizar un trabajo durante 10 días. Si solo trabajó 6 días y le pagaron S/. 900 más la laptop, ¿cuál es el precio de la laptop?

10 En la base cuadrangular de una pirámide se han usado 169 pelotas de tenis. ¿Cuántas pelotas en total se usaron en toda la pirámide?

4 Tengo 35 monedas entre las que hay de S/. 2 y S/. 5 solamente, que hacen un total de S/. 136. ¿Cuántas monedas más tendría, si las de S/. 2 se cambian por monedas de S/. 0,50? b) 22

e) 7

n 3 Se sabe que n = n + 1 , donde n∈N. calcula el valor de n, si: 1 1 × 2 × 3 ×… n = 33 a) 33 b) 34 c) 32 d) 31 e) 30

a) 34

d) 4

9 El tío Donald pensaba, al llevar a sus sobrinos al cine: “Si compro boletos de S/. 12 me faltarán entradas para 4 de ellos y si compro boletos de S/. 9 podría invitar a 2 niños más”. ¿Cuántos sobrinos están presentes en este instante?

a) 28 b) 19 c) 31 d) 34 e) 37

c) 6

b) 5

2 Se tiene una PA de 11 términos, donde se cumple que la suma de los 5 términos centrales es 110 y además el producto del primero y último término es 259. Encuentra el término de lugar 9.

a) 3

...

15 ¿Cuántos puntos de intersección hay en total, si se tienen 100 circunferencias y 20 rectas paralelas?

resultado se le suma 7; luego se duplica el resultado y a lo obtenido se le suma 19. Enseguida se extrae la raíz cuadrada de lo último, a lo que luego de aumentarle 1, se extrae la raíz cúbica, resultando finalmente 2. Calcula la suma de cifras del número inicial.

...

Nivel IV

c 14

b 15

a 16

c 17

d 18

b 19

c 20