Alfonso Rojas PuĂŠmape
© Derechos de autor reservados. Alfonso Rojas Puémape © Derechos de edición y artes gráficas reservados. 2012, Editorial Tercer Milenio S.A. 7300 North Kendall Drive, Suite 521 Miami, Florida 33156-7840. USA etm@grupo-etm.com Director Editorial: Antonio Sabogal Editora General: Marifé Vargas-Corbacho Editor de Matemática: Alfonso Rojas Puémape Especialistas del Área: Giovanna Rojas Jorge Chávez Johnny Leguía Eddy Chirinos Edson Tacanga Diseño de portada: Delfín Blanco Comunicaciones Composición de interiores: Jorge Huamaní, Iván Tejada, María Isabel Flores Ilustraciones: Jorge Huamaní, Giulianno Delgado Preprensa e impresión: QuadGraphics www.QG.com Impreso en Colombia - Printed in Colombia Impreso en papel bond con certificación FSC con cadena de custodia "Bosques Controlados". Reservados todos los derechos. No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra didáctica, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo por escrito de los titulares del copyright.
Desarrollar la inteligencia y aprender a pensar, para resolver dificultades decidiendo por las mejores alternativas de resolución y con alta velocidad de procesamiento mental son tareas pendientes en todos las instituciones escolares. Nuestra colección para la Educación Secundaria presenta una propuesta de razonamiento lógico - matemático por medio de la cual se pone al alcance de estudiantes y docentes, cientos de ejercicios, problemas, juegos, matemática recreativa y todo tipo de materiales relacionados con situaciones lógicas, búsqueda de regularidades y habilidad operativa, que permiten desarrollar las capacidades de observación, abstracción, generalización, comprensión, análisis y síntesis. Se aprende a pensar, pensando; se aprende a razonar, razonando, es decir afrontando muchas situaciones que permitan pasar del nivel literal a los niveles inferencial y/o crítico. En esta edición se ha diseñado en la parte final de cada unidad una sección denominada AUTOEVALUACIÓN, que ha sido dividida en cuatro niveles. De los cuales los tres primeros son acumulativos parciales, cuya temática cubre aleatoriamente los tres temas de la unidad correspondiente, mientras que el nivel IV es acumulativo total, cuya temática es todo el contenido desarrollado en el texto hasta esa posición. La colección de RAZONAMIENTO MATEMÁTICO de ETM ofrece diversos personajes y muñecos. Entre los primeros aparecen Skanito y sus amigos Maite, Dalma y Luchín, quienes realizan el papel de mediadores del aprendizaje. Entre los muñecos hemos dado vida a elementos tecnológicos como una laptop, un USB, un celular y una tableta, así como a materiales que los estudiantes emplean a diario en sus quehaceres escolares como una regla, un block, un clip; además, los acompaña una ilustración del planeta Tierra que promueve transversalmente su cuidado y conservación. De estas ilustraciones, algunas hacen el papel de direccionadores y otros de sintetizadores. Los primeros aparecen en tamaño pequeño e indican que alguna idea del contenido se aclarará en un cuadradito de margen. Esa aclaración se ve precedida por un sintetizador en tamaño más grande. Esperamos que este cuaderno de trabajo sea de mucha utilidad para la práctica del razonamiento lógico-matemático ya que lo consideramos un excelente material que permite un intenso entrenamiento para exámenes de admisión a cualquier centro superior de estudios.
Alfonso Rojas Puémape
E ST RU C TU RA DE U N I DA D
1
INICIO DE UNIDAD
U NIDA D
APLICAMOS FRACCIONES
Oye Skanito, este recorrido siempre lo hago en hora y media.
• Nombre de unidad
lento! ¿Ah sí? ¡Pues eres muy que tú. Yo soy el doble de rápido ¿Cuánto crees que tardaré?
• Problema motivador • Contenido (temas) 37
CONTENIDO
ns
Pie
IGUALDADES ESPECIALES
- PORCENTAJE ► REGLA DE TRES IENTO ► EFICIENCIA Y RENDIM CIALES ► PROBLEMAS COMER
ras o mient
O J U E G ciones Rueda de opera
Conjunto de situaciones lúdicas que permiten el desarrollo del pensamiento matemático.
: ) de nes ( + ; − ; × ; de las operacio coloca los signos ial, por ejemplo: manera secuenc de las circunferencias dichos signos de una a contiEn las intersecciones . Debes colocar do las operaciones cumpla la igualdad × ; + ; : , etc., efectuan tal manera que se ; ×; +; :; −; ; −; ×; : o − + ; −; ×; :; + flecha. la según otra, nuación de la
7
= 4
2
2
1
¡No es difícil! ¡Tú puedes!
10
5 6
1
Estrategia TEMAS
Conjunto de técnicas que nos guían en la resolución de problemas diversos.
Nombre deL tema
NúMERO DEL TEMA
123 B
122
ALFONSO ROJAS PUÉMAPE
PERÍMETROS Y ÁREAS
TEMA
1 PERÍMETROS
e d
Direccionadores Imágenes que relacionan el contenido en un tema con un sintetizador.
R α
A
R
R
2p = a + b + c + d + e + f
¡ATENCIÓN!
D
3 R BM = R + 2 = 2 R
•
Incógnita:
•
a
A = l2 También:
l
A=
h
h
2
AOB, es equilátero:
• F C
60°
L BOD = L BCD ,
A
A = πR
h D
D. d A= 2
A=
πD 4
2
α R D
A = πR
2
B
P
¡IMPORTANTE! B
Si el área de la región cuadrada ABCD es S, calcula el área de la región som-
C
P
• Tenemos:
P
A
Q
x+y=
D
•
S A sombreada = 2
S ⇒ 2
y
•
B
A
C
O 4u
Estrategia
¡RECUERDA!
corresponExtraemos la mitad de la figura, de círculo diente a un círculo y un cuarto calculamos interior a dicho círculo. Luego aquí. el área de la región sombreada
En el
•
Luego: r =
•
Aquí:
2 2 = 2 2
a
C
O r = 2u
2 A sombreada = π( 2 ) −
•
a 2
a
r
−
A sombreada =
1 = 2 : 2x + 2z = x + y + 2z x ⇒ x=y ⇒ y =1
B
BOC: BC = 2 2
•
π(2)2 = π 4 2
Entonces: A total = 2π u
OSOS STST UEUE OPOP S SPRPR MÁMÁ
PUÉMAP E ALFONSO ROJAS
TOS S ELTO SUEL RESU MÁ MÁSSRE de la B Calcula el área si región sombreada, no el área de la región 2 . sombreada es 6cm ; ABCD, es un cuadrado . A diámetros son AB y AD
1
Resolvemos: regio• Trasladando las nes indicadas:
¡IMPORTANTE!
2
d a+b
D
4
C
Resolvemos:
C
k r= • Dato: 4r = k ⇒ 4 AED: equilátero 30° = πr • L BE = 2πr 360° 6
D
E
•
60° = πr • L ED = 2πr 360° 3
C
E
•
C
3
r A
B AB + BC = AC + 2r
D
5
C
r A
B
Resolvemos: da, el perímetro es: • Para la región sombrea de lados AC + de lados + suma verticales 2p = suma horizontales BC + AC ... 1 + AB
x Calcula la relación y entre las áreas mosAD tradas, si AB y diáson radios y CD metro. Resolvemos: • Observamos: x=
−
=
son En la figura, A y B a puntos de tangenci y r = 6 cm. Calcula reel perímetro de la gión sombreada.
4 D
C
B F
E y
A
O
x
r
D
2 2 π (2r)2 − (2r) = π r 2 − r 2 4 8
1 π 2 2 1 − ) = 2r − r y= ( 2 2 x= 2 1 ⇒ • Luego: y = 2 (x) y
6
7
30°
Rpta.: 8π cm
A
C
B
D
A
π cm 2 2
PISTA
F
C
T
r D
Rpta.: P/2
circular que el área de la corona 12 Calcula encias inscrita y determinan las circunfer equilátero de triángulo circunscrita a un L2 lado L. Rpta: π 4 13
Calcula el perímetro si R = 3 cm.
R
Rpta.: 1 14
PISTA 8
Rpta: 6 cm
de un cuadrado insCalcula el perímetro R. de círculo de radio crito en un cuarto un vértice en el centro El cuadrado tiene del sector.
O a
T P y T puntos de tangencia.
O O
X
PISTA 5 Recuerda: P a
del OO1O2,
O
Y
, C Si ABCD es un cuadrado B AC, CD D es centro del = 6 cm, es diámetro y AD la reD A calcula el área de 2 gión sombreada. Rpta.: 9 cm
C
A
2
B
Rpta.: 3(4 + π) cm
2
B
Rpta: 6π cm circunferencia inscrita La longitud de la L. Calcula la longitud en un cuadrado es circunscrita al mismo de la circunferencia cuadrado. Rpta: L 2
11
r
D
Rpta.: 21 cm
breada.
K (4 + π) 16
A
E
o El ABC es equiláter el y AC = 6cm. Calcula somárea de la región
10
Del gráfico, calcula la relación X / Y entre relas áreas de las giones sombreadas.
Ten en cuenta la expresión para calcular la longitud de la circunferencia.
A
Rpta.:
D
A
B es En la figura, ABCD períun cuadrado de metro P y T es punto E es de tangencia. Si D perícentro, calcula el A metro del EBF.
5
PISTA 1
Q
M F P
centro del arco π En la figura, D es = 6 cm y AE = 3 (CD). CE, BC = 8 cm, CD da. la región sombrea Calcula el área de C B
9
C
Rpta.:
C E
πr = π k = πk = 12 3 3 4
el observamos que Luego, de la figura perímetro es: cm + EB = 5(6) = 30 AC + BD + CE + DA r = 5cm, Si AC = 61cm y de la calcula el perímetro a. región sombread
r
B
r r r 30° 60° r A
• Se pide: πr − r + 2 πr +2 6 2pAED − 2pBEC = r 3
B
A
Calcula el perímetro de la región sombreada, si el cuadrado ABCD tiene perímetro K.
3
D
A
B
Resolvemos: regular en el pentágono • Sabemos que ABCDE, se cumple: = EB = 6 AC = BD = CE = DA
Teorema de Poncelet:
E
A: centro de BED
D
A
Rpta.: 12π cm
B
G
AG En la figura, AF y A es son diámetros y centro de los arcos el FG y PMQ. Calcula somárea de la región cm. breada, si AF = 2
8
C
B
A
En la figura, ABCD A es un cuadrado, BC y D son centros, s y AD son diámetro y CD = 4 cm. Calcula la el perímetro de región sombreada.
2
es cuadrado ABCD Si el perímetro del a de perímetros de k, calcula la diferenci das. las regiones sombrea C
D: centro de AEC
En la figura, ABCDE rees un pentágono A gular y AC = 6 cm. Calcula el perímetro de la región sombreada.
¡RECUERDA!
BC En la figura, AB, s y AC son diámetro y AC = 12 cm. Calcula la el perímetro de región sombreada.
B
2
A sombreada = 6 cm c+d
1
: el teorema de Poncelet • En el ABC, por ... 2 AB + BC = AC + 2r • 2 en 1 : = 2(AC) + 2r 2p = AC + 2r + AC = 132 cm 2p = 2(61) + 2(5)
C
B
A sombreada = A no sombreada
b c
a
Ideas que resumen, subrayan o recuerdan conceptos que nos ayudan a resolver un problema.
Conjunto de ejercicios o problemas para desarrollar en clase.
125
Conjunto de ejercicios y problemas resueltos diseñados para mostrar formas de resolución de una gran diversidad de situaciones que exigen razonamiento.
!
M á S pr o pu es to s
M á S RE SUE LTO S 124
¡recuerda
= 2πR
B
cada región Representamos el área de calculano sombreada como Z. Luego círculo y del mos las áreas del cuarto de radio. semicírculo, en función del
2x + 2y = S 2(x + y) = S
• Dividimos la región sombreada Caltrazando la altura del triángulo. culamos el área de cada parte.
O
= 12 πcm
A Tenemos: πr 2 z y Área : x + z = 2 2 x 1 z • Es decir: 2x + 2z = πr ... B r π(2r)2 O 2r • Área : x + y + 2z = 4 2 x + y + 2z = πr ... 2
y
x
• Siendo:
D
A
Estrategia
R R
AOB es equilátero, ya que AO = OB y m ∠ AOB = 60°
E
F
Calcula el área de la región sombreada, si AC es diámetro y AO = OC.
•
y
A
= 2π(6)
5
áreas x e y, están determinadas por dos semicircunferencias x y un cuarto de circunferencia. x O Calcula el valor de y . Estrategia
α 360°
x
A sombreada = x + y
breada.
4
C
B 60° D
O
sombreada Luego, el perímetro de la figura : equivale a la longitud de la circunferencia
•
A Las regiones sombreadas, de
R
R
También:
b
b.h A= 2
d
2
¡OBSERVACIÓN !
36 2 en 1 : L EMF = 2 = 18 cm
VIII. Sector circular:
VII. Círculo:
VI. Triángulo:
Sintetizador
E
C
60° R
... 1
120° 24 cm L AC = 24cm ⇒ 2πR 360° =
•
a+b h 2
O
B
L BOF = L FAB ,
y L FOD = L FED
Dato:
b
A = b.h
A = b.h
A=
h
b
b
d 2
V. Rombo:
Z
60°
R/2
M
πR = 36cm ... 2
l
En todo rectángulo: A total W=Z= 2
O
D
= 60°
R
R
C
regular: Como ABCDEF es un exágono = 360° mAB = mBC = mCD ... = mAF 6
•
30°
πR 60° 3 L EMF = 2π 2 R 360° = 2
figuras determinadas por las siguientes calcular áreas de regiones Veamos las expresiones para básicas: IV. Trapecio: III. Romboide: II. Rectángulo: I. Cuadrado:
1
B 30°
E A
ÁREAS
d
W
El radio del EMF mide:
•
60° L EMF = 2π(BM) 360°
L = πD
se llama semiperímetro.
•
α 360°
L AB = 2πR
Además: a+b+c+d+e+f p= 2
relacionar las En estos casos debemos llamando R longitudes de los radios. Así, obtendremos al radio de la circunferencia, el radio del EMF .
B
o en términos del diámetro D:
b c
C
M
EMF
L = 2πR
a
f
Calcula el perímetro de B la figura sombreada, si ABCDEF es un exágono regular de 6 cm de A lado y A, C, E son cenF tros de los otros arcos, te: respectivamen
3 F
Estrategia
AB, III. La longitud de un arco cuyo ángulo central mide α y el radio R, es:
II. La longitud L de una circunferencia de radio R es:
I. El perímetro de una figura plana (2p) es la suma de longitudes de todos los lados.
Es común expresar el perímetro de una figura como 2p, ya que en muchas aplicaciones se usa el semiperímetro p.
En la figura, el ABC es equilátero y B es centro del E arco EMF. Si L AC = 24cm, A calcula L .
2
Rpta: 2R 2
¡Puedes restar las áreas de dos regiones conocidas!
Una guía o ayuda que permite desarrollar el problema.
ontrol
CONTRO
10
que completa el reDetermina la figura cuadro.
4
completa la secuenIndica la figura que cia. ...
1
18
L
b)
d)
e)
PISTA 3
e)
d)
Observa la posición de la primera figura en la segunda figura.
Identifica la figura las demás.
2
con
que no concuerda
en la la figura que continúa
Identifica cuencia.
5
completa el recuaIndica la imagen que dro.
8
se-
e)
d)
e)
d)
como
es a
11
b)
a)
c)
e)
d)
PISTA 6
es a ...
como
es
3 Observa cómo se desplazan las figuras en el exágono, luego determina una secuencia lógica.
e)
c)
que completa la seDetermina la figura cuencia. ...
a)
b)
d)
e)
c)
7) 6
2) 12
8) 42
3) 10
9) 3
4) 40
10) 2
5) 40
11) 7
6) 0
12) 6
e)
d)
50
c)
b)
a)
e)
d)
que falta en el recuaIdentifica la figura dro.
12
1) 9
⇒
∪
e)
d)
c)
b)
a)
e)
d)
b)
d)
9
no guarda relación Indica la figura que con las demás.
c)
b)
a)
a)
En estos problemas, si una línea se superpone a otra, esta se elimina.
e)
d)
6
c)
b)
a)
c)
10) c 11) b 12) e
b)
es a ...
¡IMPORTANTE!
...
a)
COMPRUEBA
PISTA 9 Determina de qué manera ocurre la trasformación de las figuras. ¿Cómo aparece el exágono sombreado?
c)
b)
c)
a)
c)
b)
a)
c)
b)
a)
que no guarda relaDetermina la figura ción con las demás.
es a:
a)
Conjunto de 12 ejercicios o problemas elaborados para evaluar parcialmente en aula los niveles de razonamiento del tema tratado.
como
es a
7
7) b 8) c 9) c
PUÉMAPE ALFONSO ROJAS
COMPRUEBA
168
1) d 2) c 3) d 4) e 5) a 6) a
c
Claves de respuestas
169
ente la solución Repasa periódicam te ayudará de problemas, esto a resolver nuevos problemas.
ALFONSO ROJAS PUÉMAPE
CÁLCULO RÁPIDO
51 Al hacer cálculo rápido lo hacemos mentalmente empleando técnicas basadas en propiedades matemáticas.
MULTIPLICANDO POR NUEVE
1. Para preparar una torta se requieren 640 gramos de harina. Si se prepararán 9 tortas, ¿cuántos gramos de harina se necesitarán?
c á l c u l o r á p id o
Resolvemos: • Multiplicamos la cantidad de harina que se requiere para preparar una torta por el número de tortas; ... ¡hazlo mentalmente! Multiplicando 64 por 10:
MULTIPLICANDO POR
8. Una costurera puede confeccionar un vestido en 42 minutos. ¿Cuánto tiempo demorará en confecciona r 56 vestidos?
•
LA DISTRIBUTIVA
Resolvemos: • Multiplicamos el número de vestidos por el tiempo de confección de cada uno ... ¡mentalmente!
64 × 10 = 640
¡IMPORTANTE!
•
A esta cantidad le restamos el número multiplicado: 640 − 64 = 576 Respondemos:
El artificio proviene de efectuar la operación:
•
= 2352 Respondemos: Demorará 2352 minutos o 39 horas 12 minutos.
Procedimientos o artificios de cálculo basados en propiedades matemáticas elementales que nos permiten desarrollar cálculos mentalmente.
2
4 ¡CUIDADO!
Un autobús recorre 85 kilómetros en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 9 horas?
Nueve amigos van a realizar un viaje y acuerdan aportar S/. 320 cada uno. ¿A cuánto asciende el monto aportado?
5
El cero de 640 lo escribimos al lado del resultado de multiplicar 64 × 9. 6
En una empresa, cada una de las nueve recepcionistas recibe un sueldo de S/. 840. ¿Cuánto dinero se emplea en el pago de las recepcionis tas?
3
Sabemos que para preparar una hamburguesa se emplean 144 gramos Para preparar 9 hamburgues de carne. as, gramos de carne se necesitarán?¿cuántos
7
Un sobre de mermelada pesa 125 gramos. ¿Cuánto pesarán 9 de estos sobres?
Una carretilla puede llevar en un solo viaje un máximo de 9 cajas de medicina. Si cada caja pesa 4,50 kg, ¿cuál es el peso que transporta como máximo por viaje?
¡IMPORTANTE!
(40 + 2)56
Se necesitarán 5760 gramos .
64 × 9 = 64 (10 − 1) = 576
42 × 56 Descomponemos 42 y efectuamos: = 40 × 56 + 2 × 56 = 2240 + 112
9
El jefe de compras de una empresa requiere 72 sillas giratorias. Si cada una cuesta S/. 120, ¿cuánto dinero necesita para realizar la compra?
11 Un atleta recorrió diariamente 32 kilómetros.
Si tal atleta corrió durante 27 días, ¿cuántos kilómetros recorrió?
13 Sabiendo que un estante pesa 24 kilogra-
mos y un camión transporta 32 de estos, ¿cuántos kilogramos de carga transporta el camión?
10 El costo para ver una película, en el cine,
El factor a descomponer como una suma o diferencia, debe ser el más simple, sin importar su valor. Ejemplo:
•
51 × 36
(50 + 1) × 36 • 33 × 25 (30 + 3) × 25 • 35 × 27 35 (30 − 3)
es S/. 25. Si hoy asisten 240 personas, ¿cuánto se ha recaudado?
DESAFÍO 12 Se han envasado 35 bidones con disolvente,
cuyo contenido es de 52 litros cada uno. ¿Cuántos litros de disolvente se han envasado?
14 Una cañería averiada desperdicia 180 litros de
Efectúa: • 45 × 12 • 21 × 38 • 42 × 34 • 55 × 45 • 64 × 25
agua mensualmente. ¿Cuántos litros de agua se desperdicia n en 2 años?
199
198
PUÉMAPE ALFONSO ROJAS
REC REA TI VA
MAT EMÁ TICA BLOQUES 1. BLOQUES Y MÁS
2
4 4
en bloques Divide la cuadrícula de rectangula res o cuadrados, de estos modo que cada uno contenga un solo número.
6
4
9
mate má tica recreati va
GOLOSA 3. UNA MOSCA de 10 cm de altura Un vaso de forma cilíndrica cm y un diámetro de 10 tiene un diámetro exterior del mosca está a 6 cm interior de 8 cm. Una y en parte exterior del vaso borde superior en la de el borde, hay una gota en vertical, misma la mosca y misma altura de la miel. Además, a la hay vaso del en el interior diametralmente opuesta es la distancia mínima otra gota de miel. ¿Cuál de para llegar a las 2 gotas que recorre la mosca
2
3
2
Ejercicios de Matemática lúdica concebidos para desarrollar pensamiento creativo.
miel?
debe Además cada bloque s tener tantos cuadradito como indique el número encerrado.
DEL RÍO 4. LA AVENTURA el río. adultos deben cruzar Dos niños y cuatro soporta de una balsa que Para ello disponen 40 kg y Si cada niño pesa como máximo 80 kg. cruzar la ¿cuántas veces debe kg, cada adulto 80 todas las otro para que crucen balsa, de un lado a personas?
BRIMIENTO 2. GRAN DESCU formaba de que cada vez que Skanito se dio cuenta , podía hallar el área polígonos en su geoplano en función a la cantidad de cualquiera de ellos an en el y los que se encuentr internos de clavos borde.
¿Podrías establecer una expresión que determine el área de un polígono en un geoplano?
¡Resuelve aquí!
a u to e v a l u a ci ó n ALFONSO ROJAS PUÉMAPE
173
b) Rosa e) Vilma
a) Pilar d) Tania
a) Luis d) Roy 12
a)
b)
c)
d)
e)
c) Sonia
c
1
b 10
2
a 11
3
b 12
4
5
c)
9
6
7
8
9
e) d
b)
d)
d
a)
c
d 10
d) vez a Seis personas van al cine una va al la semana. Sabiendo que Luis antes cine lunes o viernes, Martín va o vierque Ernesto, Jorge va martes que nes, Carlos va un día después que Jorge y Raúl va un día antes
c
c 11
d 12
c 13
b 14
d 15
e 16
6
c
...
y Si Marco es el enamorado de María de está sentado frente al enamorado Lucy Karen, ¿quién está sentado entre
como
es a:
8
Indica la figura que continúa, en:
es a
preTres amigas comentand)sobre sus e) como ferencias deportivas y de idiomas y Beavóley el francés. La que practica amigas fueron de compras y 4 Cinco chino; a Ceciun solo artículo. triz no gustan del idioma cada una adquirió que a la al igual lia no le gusta el inglésRosa, Pilar y la que compró el reloj no gusta Angelalejos de la que compró la blupracticante de vóley; viven practica atlela que del idioma inglés y la que sa; la que compró zapatos y idioma el Indica tismo gusta del inglés.compró el collar trabajan con Tania; tenis. que le gusta a la que practica Sonia estuvo indecisa entre comprar el reloj y Vilma por los zael collarc)o Chino b) Francés a) Inglés gusta patos o el collar. Si a Pilar no le e) Ninguno d) a o b ¿quién las carteras ni los collares, compró la cartera?
e
17
− Karen se sienta frente a Lucy. de − María se sienta al lado derecho Luis. quien − Sonia es enamorada de Edu está sentado frente a Roy.
y María?
e)
d)
c)
7
e)
c) S/.470
b) S/.780 e) S/.840
7
c) 15
se Cuatro parejas de enamorados circusientan alrededor de una mesa los lar de tal manera que las mujeres, hombres y las parejas de enamorados no se sientan juntos, además:
11
la Determina la figura que completa analogía.
e
b)
d)
a) S/.810 d) S/.750 8
c)
b)
6
a)
c)
a)
d
c)
b)
a)
es a: que no guarda relaSeñala la figura 3 como ción con las demás. b)
a)
c
c)
5
e)
tiene Identifica la figura que no relación con las demás.
e)
e)
d)
b)
d)
es a
11
12
e)
c 17
d)
a)
c)
c)
b)
a)
c)
b)
¿Cuál es la figura que no presenta relación con las demás?
b) Administración d) Piso vacío
al Katy, Mía, Susan y Paola fueron cuatro supermercado y entre las tenían S/.3000. Katy y Mía gastaron 5 de S/.450 cada una, Susan gastó 4 / de lo que gastó Mía y Paola la mitad a lo que gastó Susan. Si finalmente de todas les sobró la misma cantidad dinero, ¿cuánto tenía Mía al inicio?
c) Edu b) Marco e) Faltan datos
pesa En una canasta vacía que papas, 100g, una señora deposita 12 un 6 camotes y 5 yucas. Además, una camote pesa 330g más que una papa; una yuca, 480g más que de lo papa y un camote pesa los 3 / 4 consideramos Si yuca. una que pesa tipo que los alimentos del mismo total, peso el halla pesan igual, y su en kilogramos, de la canasta contenido. c) 8,24 b) 7,24 a) 6,67 e) 10 d) 9,36 b
10
a) Contabilidad c) Informes e) Gerencia 7
2
2
asisA un campamento de verano m0p tieron mnp personas. De ellas, estueran estudiantes varones; mn diantes mujeres; p eran profesores de y m padres de familia. Si el total mepersonas era más de 180, pero nos de 290, ¿cuántos estudiantes al más que profesores asistieron campamento? 197 c) 223 b) a) 203 e) 201 d) 198
10
4
e)
es: de una sección utilizan La figura que continúa 2 Los alumnos los programas Word, Excel o Access. . . alumnos que utilizan El número . de utiAccess son el doble de los que de lizan Excel y estos son el doble el 4% los que utilizan Word. Además, c) y b) a) utiliza Word y Excel; el 3%, Word y AcAccess; y el 5% utiliza Excel los 3 cess. Si ningún alumno utiliza e) d) programas, ¿cuál es el porcentaje que utiliza solo Excel? completab)la23% c) 32% la figura que a) 16% 16 Determina 64% e) analogía. d) 56%
15
4 10 b) 14 e) 18
b
d)
c)
4
3
b)
es a:
como
es a
a)
2
3
7
a) 12 d) 17
una En el edificio de siete pisos de alguempresa, la gerencia distribuye que nos departamentos. Sabemos administración está entre el almacén e informes; contabilidad se encueny tra entre dos pisos deshabitados que abajo más está administración está contabilidad. Si el sexto piso el en encuentra se vacío e informes se primer piso, ¿qué departamento encuentra en el último piso?
6
2
2
c) 20
b) 12 e) 25
a) 8 d) 22
b
1; 3; 6; 13; 38; ... e) 192 a) 149 b) 189 c) 165 d) 159 9
b
la Determina la figura que completa relación:
en ¿Cuál es el número que continúa la sucesión?
8
c)
b)
a)e)
d)
c)
b)
14
e) 144
Descubre el número que falta.
9
2
d)
e)
la mis− Carlos es el más alto y vive en es ma cuadra que el modelo, quien Seis amigas están sentadas alrededor rubio. al lado de una mesa circular. Ana está bajo de Luisa; de Juana y a la izquierda − Leo, quien es pelirrojo, es más y al a Juana empresario. Diana está sentada frente que el a la derecha la es lado de Betty, quien está ¿cuál actor, es no Si Piero Si Carmen de Luisa y frente a Ana. relación correcta? está está al lado de Betty, ¿quién Diana? - empresario b) Piero - modelo Alex sentada a la izquierdaa)de d) Carlos - actor actor b) Luisa c) Leoc)- Juana a) Betty d) Carmen e) a o c e) Alex - doctor
d
b)
63
(x)
43
bol con Alex.
c
e)
cuales Julia tiene 40 lapiceros de los 8 son 16 son azules, 4 son verdes, que el negros y el resto son rojos. Para número de lapiceros rojos represente azules solo el 20%, ¿cuántos lapiceros se debe aumentar?
5
1
72
d)
Acumulativo total
Nivel IV
es a: como amigos comentaban: 1 Cuatro de Leo, − El doctor, quien es hermano c) fútes el más bajo y los jueves juega
d
d 2
d
a
e)
b)
d
c)
b)
16
3
b 17
a 4
c 18
d
d)
a)
es a
a)
102 (149)
e) d) en Determina la figura que continúa la sucesión gráfica: la figura que no guarda 5 Encuentra relación con las demás.
19
d
a)
a)
en: Identifica el número que sigue, 1; 1; 1; 2; 12; ... e) 260 a) 144 b) 48 c) 288 d) 96
¿Cuál es la figura que no presenta relación con las demás?
la Determina la figura que completa analogía.
13
Encuentra el valor de x. 34 (106) 52
a) 126 b) 153 c) 280 d) 64
es la figura que completa la 4 ¿Cuál gráCompleta la siguiente analogía analogía? fica: es a ... como es a es a: como es a
a)
1
e
5
6
e 19
e) 15 b 7
c 8
d) 14
e)
e
b 9
b 10
c) 13
d)
13
Luis. Si ninguno va los domingos, ¿cuándo va Ernesto? a) Miércoles b) Lunes c) Sábado e) Viernes d) Jueves 7
...
c)
15
b 11
b) 12
b)
d
d 12
a) 11
a)
14
Halla el valor de x, en: 8 14 13 16 21 16 x 10 11
18
e)
d) 12
la e) 13 d) 12 c) 11 en 10 continúa b)que la figura 9 ¿Cuál es a) siguiente secuencia? es la figura que continúa? 6 ¿Cuál
c
21
13
c)
c
e)
d)
e)
12
d 13
a 14
a 15
b 16
d)
b)
d
c 17
c)
a)
11
c 18
b) a 19
a)
14
e)
¿Cuál es la figura que no presenta relación con las demás?
a
a Identifica la figura que corresponde la analogía: es a: como es a
d)
Señala la figura que no se relaciona con las demás. c) b) a)
10
e) 71
11
3 c)
e)
d)
e)
d)
b)
a)
c)
b)
a)
c
d) 69
no ¿Cuál de las siguientes figuras presenta relación con las demás?
9
13
57 x 66
10
a
42 56 51 c) 67
c)
e)
d)
c)
8
7
18 32 27
b) 65
c)
b
a) 63
b)
7
Halla x, en:
b)
b)
19
la figura que continúa, en:
a)
a)
e) e) d) analoIndica la figura que sigue en la gía gráfica: x, en: 4 Halla es a: como es aa) 4 34 24 b) 78 16 c) 46 b) a) c) 3 10 60 e) d) d) 80 x 6 e) 2 de x, en: el valor 20 Halla 27 18 15 Halla x, en: 5 19 29 12 6 9 11 24 21 x 8 10 14 e) 18 a) 13 b) 15 c) 14 xd) 16 7 9 d)
e) 60
... en la1; 1; 6; 26; 111; Señale la figura que continúa e) 583 sucesión: a) 328 b) 401 c) 430 d) 541
d
e)
d) 6
c)
b)
a)
Determina
d) 44
17
6
12
c) 80
b) 40
c)
b)
a)
apelliDe 3 amigos, cuyos nombres, se dos y ocupaciones son diferentes, Heresabe que: Joel no se apellida el india; Vargas trabaja de profesor; el geniero electrónico se llama Luis; Si uno científico no se apellida Pérez. es de los amigos se llama Paul, ¿cuál la ocupación y el apellido de Joel?
a) 36 16
¿Cuál es la figura que continúa?
9
c) 1
9 4 x
15 17 32
Acumulativo parcial
Nivel III
13 Electrónico, Vargas b) 33 c) 25 d) 21 a)e)Ing. b) Profesor, Pérez Indica la figura que no tiene relación c) Profesor, Heredia con las demás: d) Profesor, Vargas c) e) Científico, Heredia b) a) en ¿Cuál es el número que continúa 2 e) d) la sucesión?
c)
d
a) 28
¿Cuál es la figura que no corresponde con las demás?
5
a)
en la ¿Cuál es el número que sigue sucesión? 0; 0; 2; 8; 20; ...
c)
e)
5
e)
b)
d)
e)
a
d)
e)
a)
b)
d)
4
b)
es a:
como
es a
a)
Halla x, en: 13 18 31
15
c
b)
d)
c)
a)
11 a)
e) 24
d) 16
e)
d)
c)
la Determina la figura que completa analogía.
8
3
Indica la figura que continúa, en:
4
c) 27
en Determina la figura que continúa la siguiente secuencia:
10
junSi A y E están juntos, ¿quién está to y a la derecha de C? d) E e) D c) F a) B b) A
3
18 25 20
23 21 19
22 x 24
b) 17
a) 26
d)
b)
a)
a)
175
en Determina la figura que continúa la secuencia gráfica:
14
es a:
como
es a
sienta − A la izquierda de Antonio se c) Damián. b) Ela− A la derecha de Benito se sienta dio.e) Antonio. − Claudio está entre Benito y izquierda de quién se y a laanalogía: ¿Junto la siguiente 16 Completaencuentra Eladio? es a:c) Benito a Damiáncomo esa) b) Claudio información Falta e) Antonio d) e) d) c) b) a) x, en: 2 Halla 7 12 rela13 guarda la figura que no 17 Indique 9 11 ción con las demás. x 9d) 6 e)15 c) b) a) e) 14 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 es la figura que continúa? ¿Cuál 18 es la figura que no presenta 3 ¿Cuál demás? las con relación
c)
la siIndica la figura que completa guiente analogía.
7
ALFONSO ROJAS PUÉMAPE
b
e)
Halla x, en:
mesa circular y en de una corresponde la figura que Determina 1 Alrededor cinforma simétrica están sentadas a la relación: Clauco personas: Antonio, Benito, además: es a: comoy Eladio, es adio, Damián
174
2
b)
d) 9
ordeSi F está frente a C, ¿cuántos namientos son posibles? e) 5 d) 2 c) 3 b) 1 a) 4
2
a)
15
es a:
como
es a
está Si A y C están juntos, ¿quién junto y a la izquierda de B? c) D d) E e) F a) C b) A
1
Completa la siguiente analogía:
8
Acumulativo parcial
Nivel II
Acumulativo parcial
Nivel I Enunciado: sienSeis amigos: A, B, C, D, E y F se de tan en forma simétrica alrededor una mesa circular. Se sabe que: – A se sienta frente a B. F. – C no se sienta junto a D ni a – F se sienta a la derecha de B.
Páginas con problemas variados de los tres temas que conforman la unidad, de los cuales los tres primeros son acumulativos parciales (nivel I, II y III) y el último es acumulativo total (nivel IV).
IÓN
a
AUT OE VAL UAC
1
172
b 20
a 21
Í ndice panor á m ic o JUEGO
TEMA 1
TEMA 2
CáLCULO RáPIDO
La granja de Beto
Regla de tres - porcentaje PR y PP* Control 1
Eficiencia y rendimiento PR y PP* Control 2
• Multiplicando números de dos cifras por 11 • Dividiendo números múltiplos de 3 por 15
Cardinal de un conjunto PR y PP* Control 4
Numeración PR y PP* Control 5
• Multiplicando por nueve • Multiplicando por la distributiva
Ordenando las cajas
Operaciones combinadas PR y PP* Control 7
Falsa suposición y método de las diferencias PR y PP* Control 8
Razonamiento geométrico I
Descubre la figura
Triángulos y circunferencias PR y PP* Control 10
Semejanza de triángulos PR y PP* Control 11
Razonamiento geométrico II
Completando cuadrados
Perímetros y áreas PR y PP* Control 13
Volúmenes PR y PP* Control 14
• Pon y quita • Dividiendo por 0,5 (cinco décimos)
Razonamiento analítico
Cumple los deseos
Orden de información PR y PP* Control 16
Sucesiones y analogías alfanuméricas y gráficas PR y PP* Control 17
• Cuadrado de un número de dos cifras que termina en nueve • Multiplicando números pares por 25
7
Comparaciones cuantitativas
Rompecabezas de operaciones
Comparaciones cuantitativas Control 19
8
Suficiencia de datos
Encontrando el camino
Suficiencia de datos Control 20
UNIDAD
1 Pág. 8
2
TíTULO
Aplicamos fracciones
Igualdades especiales
Rueda de operaciones
Pág. 36
3 Pág. 64
4
Cuatro operaciones
Pág. 92
5 Pág. 120
6 Pág. 148
Pág. 176
Pág. 190
Anexo Pág. 204
o Problemas propuestos en concursos interescolares o Pruebas de evaluación
• Suma instantánea I • Suma instantánea II
• Cuadrados mentales I • Cuadrados mentales II
• Sumando de 10 en 10 • Grupos convenientes
• Multiplicando por cinco • Multiplicando por veinticinco
TEMA 3
MATEMáTICA RECREATIVA
AUTOEVALUACIóN Acumulativo parcial
Acumulativo total
Problemas comerciales PR y PP* Control 3
• Los primeros años • Tomando decisiones • Un descuido costoso • Se nos va el tiempo
Nivel I (18 problemas) Nivel II (18 problemas) Nivel III (17 problemas)
Nivel IV (17 problemas de unidad 1)
Planteo de ecuaciones PR y PP* Control 6
• Los chicos de mi cuadra • Haciendo malabares • Operadores matemáticos • Usemos las operaciones elementales
Nivel I (20 problemas) Nivel II (19 problemas) Nivel III (18 problemas)
Nivel IV (19 problemas de unidad 1 y 2)
• Reparto justo • Problemas y más problemas • A formar filas • Una tarea difícil
Nivel I (18 problemas) Nivel II (18 problemas) Nivel III (18 problemas)
Nivel IV (19 problemas de unidad 1, 2 y 3)
• Un reparto extraño • Super ofertas • Una reunión familiar • Rumbo a lo desconocido
Nivel I (19 problemas) Nivel II (19 problemas) Nivel III (15 problemas)
Nivel IV (15 problemas de unidad 1, 2, 3 y 4)
• Una tarea en mi correo • Construyendo puentes • Pesos y pesas • Un vecino muy extraño
Nivel I (17 problemas) Nivel II (16 problemas) Nivel III (17 problemas)
Nivel IV (18 problemas de unidad 1, 2, 3, 4 y 5)
• La geometría de la hora • De regreso a casa • ¡A completar se ha dicho! • ¡Cuestión de tamaño!
Nivel I (21problemas) Nivel II (19 problemas) Nivel III (17 problemas)
Nivel IV (12 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5 y 6)
• ¡Y se hizo la luz! • Kakuro primo • Más y más conejos • Cuadro numérico
Nivel I (25 problemas) Nivel II (22 problemas) Nivel III (17 problemas)
Nivel IV (13 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7)
• Bloques y más bloques • Gran descubrimiento • Una mosca golosa • La aventura del río
Nivel I (16 problemas) Nivel II (18 problemas) Nivel III (16 problemas)
Nivel IV (16 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8)
Retroalgoritmo y conjunta PR y PP* Control 9 Relaciones métricas PR y PP* Control 12 Coordenadas cartesianas PR y PP* Control 15
Análisis de figuras PR y PP* Control 18
*PR: Problemas resueltos PP: Problemas propuestos
u nidad
1
aplicamos fracciones
Oye, Skanito este recorrido siempre lo hago en hora y media.
¿Ah, sí? ¡Pues eres muy lento! Yo soy el doble de rápido que tú. ¿Cuánto crees que tardaré?
CONTENIDO ► REGLA DE TRES - PORCENTAJE ► EFICIENCIA Y RENDIMIENTO ► PROBLEMAS COMERCIALES
9
so Pien
mientras
J U E G O La granja de Beto Beto tiene ovejas y patos en su granja. Cada día, él forma un grupo mixto y diferente con estos animales para sacarlos a pasear. Coloca en los recuadros, según la condición, el número de ovejas y patos que tendrá cada grupo, si siempre procura sacar a pasear el máximo número de animales. Tengo 10 ovejas y 8 patos.
En cada grupo debe haber:
N.° ovejas
• 50 patas en total.
• 9 cabezas y 24 patas en total.
• 26 patas en total.
• 16 cabezas y 48 patas en total.
• 28 patas en total.
N.° patos
Recuerda que siempre debes agrupar el máximo número de animales.
10
Tema
Alfonso Rojas Puémape
1
Regla de tres - porcentaje
REGLA DE TRES Es el procedimiento práctico que permite calcular una cantidad, conociendo tres cantidades correspondientes a dos magnitudes proporcionales. La regla de tres simple puede ser directa o inversa. r REGLA DE TRES COMPUESTA
r REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA ¡IMPORTANTE! Al comparar dos magnitudes, estas serán DP cuando una aumente y la otra también o cuando una disminuya y la otra también. Ejemplo: •N.°Obreros DP Obra •Costo DPN.°Artículos
Se aplica cuando las magnitudes que se comparan son directamente proporcionales (DP). Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente de sus cantidades correspondientes permanece constante. magnitud A a1
magnitud B b1
a2
x
x=
a2 . b1 a1
Se aplica cuando las magnitudes que se comparan son inversamente proporcionales (IP). Dos magnitudes son inversamente proporcionales, cuando el producto de sus cantidades correspondientes permanece constante. magnitud A a1
magnitud B b1
a2
x
x=
a1 . b1 a2
1 Rodrigo fue de compras y por 3 camisas
pagó S/.150. Si él hubiera comprado 7 camisas, ¿cuánto hubiera pagado?
Estrategia
Al comparar dos magnitudes estas serán IP cuando una aumente y la otra disminuya o viceversa. Ejemplo: • Velocidad IP Tiempo • N.° obreros IP Rendimiento
Es aquella en la cual intervienen más de dos magnitudes proporcionales. Esquema general:
magnitud A a1
magnitud B b1
magnitud C c1
a2
x
c2
Luego de comparar la magnitud B con las otras dos, se puede obtener los siguientes casos:
1) Si: A DP B y C DP B
x = b1 .
a2 c2 . a1 c1
2) Si: A IP B y C IP B
x = b1 .
a1 c1 . a2 c2
3) Si: A DP B y C IP B
x = b1 .
a2 c1 . a1 c2
r REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
¡ATENCIÓN!
Identifica las magnitudes y luego establece si son DP o IP.
2 Seis amigos se fueron de campamento y
llevaron alimentos para 12 días. Si al campamento asistieran 8 personas, ¿cuántos días menos duraría dicho campamento?
• Las magnitudes son N.° de artículos y costo. • Ahora: “Si compra más camisas, pagará más”. ⇒ Las magnitudes son DP, luego:
3 camisas 7 camisas
S/. 150 (7) . (150) ⇒x= x 3
• Hubiera pagado S/. 350 .
• Las magnitudes son N.° de personas y tiempo de duración de los alimentos. • “Si hay mayor cantidad de personas, los alimentos durarán menos tiempo”. ⇒ Las magnitudes son IP: 12 días 6 personas (6) . (12) ⇒ x= =9 8 personas x 8 • Luego, duraría: 12 - 9 = 3 días menos .
11
3 Un grupo de 8 cocineros demoran 5 horas
en preparar un banquete para 20 personas. ¿Cuánto tiempo tardarán 10 cocineros, igualmente hábiles, para preparar el mismo banquete, pero para 50 personas?
• Las magnitudes son N.° de cocineros, tiempo de preparación y N.° de porciones. N.° Cocineros
Estrategia Identifica la cantidad de magnitudes, si hay 3 o más se trata de un problema de regla de tres compuesta. Compara las magnitudes y establece si son DP o IP.
r TANTO POR CIENTO
El tanto por ciento de una cantidad es una o varias de las cien partes iguales en que se divide dicha cantidad. Regla práctica:
a % de N = a × N 100
r DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS
Descuentos sucesivos, esquema general:
Descuentos:
Queda:
b%
(100 - a)% × ( 100 - b)%
N.° Porciones
5 x
8 10 IP
20 50 DP
• Ahora: x = 5 . 8 . 50 ⇒ x = 10 10 20 • Luego, tardarán 10 horas . ¡IMPORTANTE!
Aumentos sucesivos, esquema general:
Aumentos:
Resulta:
b%
(100 + a)% × ( 100 + b)% =
a%
(100 + a)(100 + b) % 100
Pv = Pc - p
(100 - a)(100 - b) Dcto. único = 100% % (Du) 100
Donde: Pc: precio de costo Pv: precio de venta
g: ganancia p: pérdida
Estrategia Observa que si se ofrece un primer descuento y luego otro, estamos frente a un problema de descuentos sucesivos.
• Si es DP, la razón se invierte.
En un negocio de compra - venta se cumplen las siguientes relaciones: Pv = Pc + g
con un 10% de descuento; pero antes de pagar le ofrecieron un segundo descuento del 20% por pagar con una tarjeta de crédito. Si canceló con una tarjeta de crédito, ¿cuánto fue el descuento que le efectuaron?
• Si es IP, la razón se mantiene.
r PROBLEMAS DE COMPRA Y VENTA
4 Juan compró un pantalón, el cual ofrecían
Podemos tomar como regla práctica lo siguiente:
Aumento (100 + a)(100 + b) % - 100% = único(Au) 100
(100 - a)(100 - b) % 100
=
a%
Tiempo
• Aplicamos la relación de descuento único: ( )( ) Dcto. único = 100% - 100 - 10 100 - 20 % 100
= 100% - 90 × 80 % 100
Dcto. único = 100% - 72% = 28%
¡ATENCIÓN! A menos que se indique otra cosa, la ganancia y la pérdida son respecto al precio de costo.
12
Alfonso Rojas Puémape
MáS RESUELTOS 1 Una vaca atada a una cuerda de 6 m
puede comer todo el pasto a su alcance en 4 horas. Si la cuerda fuera de 3 m, ¿cuánto tiempo tardaría en comer todo el pasto a su alcance?
Resolvemos: • El pasto a su alcance es: Tiempo
¡OBservación!
4h x
Área
R3SD
2
π .6 2 ⇒ x = 4.3 .π ⇒ x = 1h 6 2 .π π .3 2
Resolvemos: • Las magnitudes son N.° de campesinos y área del terreno. N.° campesinos Área
10 (50).(30) (60).(40) x
⇒
R3SD
¡RECUERDA!
10 15
N.° plátanos
20 x
DP DP 10 15 . ⇒ x = 60 plátanos x = 20 . 10 5
4 Un rebaño de 12 ovejas pueden comer
todo el pasto de un terreno cuadrado de 10 m de lado en 5 horas. ¿Cuánto tiempo
20 2 x = 5 . 12 . 2 ⇒ x = 24 horas 10 10
Resolvemos: • Calculamos cuanto más recibirá: 30%(2400) = 720 • Luego, este mes recibirá: 2400 + 720 = S/. 3120 solo recibió S/. 6800 ya que le hicieron los descuentos correspondientes. Si le descontaron el 15% del premio, ¿a cuánto ascendía el premio?
Resolvemos: • Sea P el premio, si le descontaron el 15%, entonces recibirá el 85% del premio. 85% P = 6800 ⇒ P = 8000 • Luego, el premio ascendía a S/. 8000 . 7 Sonia compró una blusa, que por estar
en oferta, se la dieron con un 15% de descuento. Si por pagar con la tarjeta de crédito de la tienda le hicieron un 2.° descuento del 10%, ¿cuál es el descuento único al que equivalen ambos descuentos?
N.° Tiempo
5 min 10 min
DP
10 2 20 2
6 Ricardo ganó un premio económico, pero
Resolvemos: • Las magnitudes que intervienen son 3, entonces estamos en el caso de regla de tres simple compuesta. N.° monos
IP
5 x
Área
mes él fue elegido como el trabajador del mes y lo premiaron con un incremento en su sueldo del 30%, ¿cuánto recibirá este mes?
(10).(60).(40) x= (50).(30) x = 16
• Luego, se necesitarán: 16 – 10 = 6 más . 3 En un zoológico se observó que 10 monos pueden comer 20 plátanos en 5 minutos. ¿Cuántos plátanos comerán 15 monos en 10 minutos?
12 10
N.° tiempo
5 Mario gana mensualmente S/. 2400. Si este
2 Un grupo de 10 campesinos puede sem-
brar papa en un terreno rectangular de 50m de largo y 30m de ancho en 8 horas. ¿Cuántos campesinos más, igualmente hábiles, se necesitarán para sembrar, en el mismo tiempo, otro terreno de 60m de largo y 40m de ancho?
Resolvemos: • Intervienen tres magnitudes: N.° ovejas
R
• Luego, tardará una hora .
Como el tiempo es el mismo, solo hay dos magnitudes a comparar.
• No olvides que los descuentos o aumentos sucesivos no son acumulativos. • Es decir, el descuento único no es: 10% + 15% = 25%
demorarán 10 ovejas en comer todo el pasto de otro terreno cuadrado cuyo lado es el doble que el del terreno anterior?
Resolvemos: 1.° Descuento 15% Queda: 85%
2.° Descuento 10% 90% × 90 85 % Dcto. único = 100% 100 = 100% - 76,5% = 23,5%
13
M á S p ro p uestos 1 Un grupo de 15 campesinos fueron contra-
tados para sembrar un terreno cuadrado de 20m de lado en 8 días. Si antes de empezar el trabajo 3 campesinos renunciaron, por motivos de salud, ¿con cuántos días de retraso se terminará la obra? Rpta.: 2 días
2 Al vender un producto se hace un
descuento del 30% y luego, por algún motivo, se hace un aumento del 30%. ¿Cuál es el aumento o descuento único equivalente? Rpta.: Descuento 9 %
3 Si el lado de un cuadrado se incrementa
en 20%, ¿en cuánto varía su área?
Rpta.: Aumenta 44 % 4 Saúl vendió su computadora ganando el
10% del costo. Si vendió la computadora a S/. 3300, ¿cuánto le costó?
Rpta.: S/. 3000 5 Veinte sobrevivientes de un naufragio tie-
10 Indica el descuento único al que equivalen
tres descuentos sucesivos de 10%, 12% y 20%. Rpta.: 36,64 %
11 El sueldo de Pedro fue sometido a un au-
mento del 20% y luego a un descuento del 20%. Finalmente, ¿Pedro ganó o perdió en este proceso? Rpta.: Perdió 4 %
12 Si la arista de un cubo se incrementa en
un 20%, ¿en cuánto se incrementa su volumen? Rpta.: 72,8 %
13 Seis albañiles pueden construir una casa
en 50 días. ¿Cuántos albañiles más habrá que contratar para terminar la casa en 30 días? Rpta.: 4
14 Seis obreros pueden realizar una obra en
20 días. Si dos de los obreros duplican su rendimiento, ¿cuánto tiempo antes terminaron la obra? Rpta.: 5 días
nen alimentos para 15 días. Si luego de 3 días se les unen 4 náufragos más, ¿cuántos días menos durarán los alimentos? Rpta.: 2 días
15 Si la altura de un triángulo se reduce en
6 Un grupo de 5 panaderos pueden pre-
16 Sonia vendió su refrigeradora perdien-
parar 500 panes en 8 horas. ¿Cuántos panes podrán preparar 3 panaderos, igualmente hábiles, pero en el doble del tiempo? Rpta.: 600
7 Con seis máquinas de coser se pueden
l l
l
V = l3
do el 10 %. Si vendió la refrigeradora en S/. 3600, ¿cuál fue el precio de costo de la refrigeradora? Rpta.: S/. 4000
17 En una fábrica, 12 calderas tienen com-
bustible para 8 días. Luego de 4 días de trabajo, 4 calderas se descomponen. ¿Cuántos días más de lo planeado durará el combustible? Rpta.: 2 días
18 Inés vendió su automóvil en $ 7000 luego
8 Si el radio de un círculo se reduce a su mitad, ¿en cuánto varía su área?
Rpta.: $ 12 500
9 Tito vendió su auto ganando el 20% del precio de costo y el 10% del precio de venta. Si el auto le costó $ 12 000, ¿a cuánto lo vendió? Rpta.: $ 16 000
Recuerda que el volumen de un cubo está dado por:
un 30 % y la base se incrementa en un 30 %, ¿cómo varía el área de dicho triángulo? Rpta.: Se reduce en 9 %
confeccionar 3000 polos en 18 días, trabajando 12 horas diarias. Para confeccionar 5000 polos en 15 días, trabajando 8 horas diarias, ¿cuántas máquinas de coser serán necesarias? Rpta.: 18
Rpta.: Se reduce en 75 %
PISTA 12
de hacerle dos descuentos sucesivos del 20% y 30%. ¿Cuánto le costó el auto?
19 Una lavadora costó S/. 600. Si para su
venta se le fija un precio de S/. 1000, ¿en cuánto por ciento se debe reducir el precio fijado para ganar el 40% de su costo? Rpta.: 16 %
PISTA 14 Si 2 trabajadores duplican su rendimiento, trabajarán como si fuesen 4 trabajadores.
14
Alfonso Rojas Puémape
control 1 Un grupo de 6 panaderos deben entregar
un pedido de 1000 panes dentro de 5 horas. Si a última hora les indican que el pedido debe entregarse 2 horas antes de lo acordado, ¿cuántos panaderos más se deben contratar para cumplir con el pedido?
PISTA 2 Si cinco albañiles trabajan con el doble del rendimiento, se puede considerar como si fuesen 10 albañiles.
El aumento de Carlos y el descuento del vendedor se aplica a una misma cantidad, es decir, al precio del producto.
4 Un taller de confecciones para cumplir
con un pedido de 10 000 polos cuenta con 8 máquinas que trabajan 14 horas diarias durante 12 días. ¿Cuántas máquinas se necesitarán comprar para cumplir con un pedido de 15 000 polos trabajando 7 horas diarias durante 9 días?
¡Resuelve aquí!
2 Un grupo de 15 albañiles tiene progra-
5 Si R es el 10% del 25% del 70% de
3 Seis obreros pueden pintar toda la facha-
6 Carlos le propuso a un vendedor pagarle
mado construir una casa en 80 días. Si al empezar la obra 5 albañiles acordaron trabajar con el doble del rendimiento normal durante toda la obra, ¿cuánto tiempo antes de lo programado se terminará la obra?
PISTA 6
1
da de un edificio en 10 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos obreros se necesitarán para pintar el mismo edificio, pero en 8 días, trabajando 5 horas diarias?
10 000 y P es el 30 % del 40 % del 80 % de 20 000, calcula el 25 % del cuádruple de R + P.
20% más por un producto, pero con la condición de que, al momento de pagar, el vendedor le haga un descuento del 20%. ¿Quién se beneficia con esta propuesta?
15 Al adquirir un nuevo concepto, procura relacionarlo con lo que ya sabes.
7 El precio de un producto sufre dos des-
cuentos sucesivos del 20 % y 10 %. Luego sufre dos aumentos sucesivos del 30 % y 20 %. ¿Cómo ha variado el precio inicial del producto?
10 Si los lados verticales de un cuadrado
aumentan en 30% y los lados horizontales se reducen en 20%, ¿en cuánto varía el área?
PISTA 9 Volumen (V) de una pirámide: V = B.h 3 Donde: B: Área de la base. h: Altura de la pirámide.
PISTA 12 8 Del problema anterior, si el precio final
(P f) es S/. 22 464, ¿cuál es el precio inicial (P i)?
11 Aldo, por pintar un muro cuadrado de 8 m
de lado, cobra S/. 140. ¿Cuánto cobrará por pintar otro muro cuyo lado mide 50% más que el anterior?
Volumen de un cilindro: r h
v = πr 2 h
12) 6 11) S/. 315 7) 12,32% 6) Carlos 5) 2095 4) 24 máquinas 3) 12 obreros 2) 20 días 1) 4 panaderos COMPRUEBA
líndrico en 100 horas. ¿Cuántos obreros más se tendrán que contratar para hacer otro agujero cilíndrico, en 36 horas, cuyo radio y altura son 20% más y 25% menos, respectivamente?
8) S/. 20 000
12 Tres obreros pueden hacer un agujero ci-
9) Se duplica
¿cuál es la variación porcentual de su volumen?
10) Aumenta 4%
9 Si la altura de una pirámide se duplica,
Alfonso Rojas Puémape
Tema
16
2
Eficiencia y rendimiento
1 Julio demora 2 horas en hacer una tarea de matemáticas. Si María demora 6 h en hacer la misma tarea, ¿cuánto tiempo demorarán si hacen juntos dicha tarea?
Estrategia • Analiza la cantidad de tarea que hace cada uno en una unidad de tiempo.
• Determina cuál es la parte de la tarea ¡IMPORTANTE! Para calcular cuál es la parte de la tarea que realizan juntos en una hora, solo debes sumar lo que cada uno realiza en una hora.
que hacen en esa misma unidad de tiempo, si trabajan juntos.
2 A y B son dos empresas constructoras. Un empresario solicitó informes a dichas empresas para determinar el tiempo que tardarían en construir un edificio. Observó que A tardaría 12 meses y que B es 1/ 3 más eficiente que A. Si contrató a la empresa B, ¿en cuánto tiempo se construirá el edificio?
1 de la tarea 2 1 de la tarea 6 1 + 1 = 2 de la tarea 2 6 3
Julio: 2 h María: 6 h Juntos:
• Ahora: 2 de la tarea 1h 3 ⇒ x = 3 h < > 1h 30 min 2 1(toda la tarea) x • Luego, juntos demorarán 1h 30 min .
• Determinamos la eficiencia de cada uno: A: Eficiencia 1 B: Eficiencia 1 + 1 = 4
3 3 • Ahora usamos una regla de tres para determinar el tiempo que le tomaría a B en hacer el mismo trabajo.
12 meses
1 (eficiencia)
• Determina la eficiencia de una respecto
x
4 (eficiencia) 3
• Usa la regla de tres simple para determinar el tiempo que le tomaría hacer el trabajo a la otra empresa.
Fíjate que aquí se trabajó de una manera directa: - Si juntos hacen el trabajo en x horas, en una hora harán 1 x del trabajo.
En una hora:
Estrategia a la otra.
¡ATENCIÓN!
• Cada uno tarda:
3 Alfredo es chef y puede preparar un banquete para 10 personas en 9 horas. Si Juan también es chef y es 1/ 2 más eficiente que Alfredo, ¿cuánto tiempo tardarán en preparar el mismo banquete trabajando juntos?
IP
x = 12 . 1 ⇒ x = 9
(4/3)
• Luego, B lo construirá en 9 meses .
• Analizamos las eficiencias: 9h Alfredo: 1 Juan:
1+ 1 = 3
2
2
1
x IP
3 ⇒ x = 6h 2
Estrategia
• Juan tardará 6 horas trabajando solo. • Ahora buscamos cuánto hace cada uno en una hora: En una hora
• Determinamos el tiempo que
Alfredo: 9 h
le toma a cada uno hacer el trabajo, teniendo en cuenta las eficiencias.
• Analiza cuánto hace cada uno por unidad de tiempo.
• •
1 9 1 Juan: 6 h 6 1= 1 + 1 Juntos: x h x 9 6 1 5 18 Finalmente: = ⇒ x= h<>3 3 h x 18 5 5 Luego, juntos tardarán: 3h 36 min .
17
4 Un albañil A tarda 8 semanas en construir una piscina; otro albañil B tarda 12 semanas en construir la misma piscina. Si el albañil A comienza la obra y después de 3 semanas se le une B y juntos terminaron la piscina, ¿en cuánto tiempo se construyó dicha piscina?
Estrategia Nota que en este tipo de problemas la obra se ha realizado en 2 partes, por lo tanto analizamos cada parte como en los casos anteriores.
5 Un tanque tiene dos tuberías. Se sabe que una demora 8 horas en llenarlo y la otra 12 horas en vaciarlo. Si las dos tuberías se abren al mismo tiempo cuando el tanque está vacío, ¿en cuánto tiempo se llenará el tanque?
Estrategia En este tipo de problemas, una tubería es de llenado y la otra de vaciado. De modo que lo que quede en el tanque será la diferencia entre lo que agrega y quita cada tubería, por unidad de tiempo.
6 Se usa dos bombas (A y B) para extraer el agua de una piscina. La bomba, A tarda 18 horas en vaciar la piscina, además la bomba B tiene un rendimiento 20% mayor que A. Si trabajan juntas, ¿cuánto tiempo tardarán en vaciar toda la piscina?
• En este tipo de problemas tenemos que aplicar todo lo que hemos aprendido hasta el momento.
• Trabájalo por partes distinguiendo cada etapa.
¡Vamos … tú puedes!
• El albañil A en una semana hace 1/8 de la piscina y en las 3 primeras semanas (donde trabajó solo) hizo: 3 × 1 = 3 ⇒ falta hacer: 5 8 8 8 • A y B trabajando juntos en una semana hacen: 1 + 1 = 5 8 12 24 • Luego, A y B juntos hacen: 1 semana x
5 24
⇒ x = 3 semanas 5 8 • La piscina se construyó en: 3 + 3 = 6 semanas .
• El tanque se llena en 8 horas, entonces en una hora se llena: 1/ 8 • El tanque se vacía en 12 horas, entonces en una hora se vacía: 1/ 12
¡RECUERDA!
Toda la obra se considera como el total (1) y como ya se hizo los 3/ 8, falta hacer: 1- 3 = 5 8 8
• Luego, en una hora se llena: 1 - 1 = 1 tanque 8 12 24 • Ahora: 1 hora 1/ 24 tanque ⇒ x = 24 horas x 1 tanque • Luego, se llenará en 24 horas .
• •
Del enunciado: Rendimiento A: 100% = 1 Rendimiento B: 120% = 6/ 5 Usamos una regla de tres para determinar cuánto tardaría B trabajando solo.
18 horas x
Rendimiento: 1 Rendimiento: 6/ 5 ⇒ x = 15 horas
• La bomba B vaciará la piscina en 15 horas, trabajando sola. • Si A y B trabajan juntas, en una hora vaciarán: 1 + 1 = 11 de la piscina. 18 15 90 • Toda la piscina se vaciará en:
1 hora
x x = 90 ⇒ x =
11
11 90 1 8 2 horas
11
¡IMPORTANTE! En realidad en cada hora no se vacía 1/ 12 del depósito, porque la salida del agua no es constante ya que depende de la altura. Solo por razones prácticas se hace esa consideración.
18
Alfonso Rojas Puémape
MáS RESUELTOS 1 Juan es albañil y puede construir un muro
en 8 días. Si Rodrigo puede construir el mismo muro en 6 días, ¿cuánto tiempo tardarán si construyen el muro juntos?
Resolvemos: • Determinamos cuánto construye cada uno en una unidad de tiempo (un día).
Juan: 8 días; en un día: 1 / 8 Rodrigo: 6 días; en un día: 1 / 6 • Si trabajan juntos harán: 1 + 1 = 7 6 24 8 7 del muro • Ahora: 1 día 24 1 muro. x ⇒ x = 24 < > 3 3 días 7 7 • Luego, si trabajan juntos tardarán:
¡ATENCIóN! Las partes del trabajo que realiza cada uno se relacionan de manera independiente, en la unidad de tiempo que se esté usando.
¡IMPORTANTE! La eficiencia es inversamente proporcional (IP) al tiempo; es decir, si uno es más eficiente demorará menos en hacer un trabajo.
1 / 16
Felipe: x horas
1/x
Juntos: 12 horas
1 / 12
• Entonces: 1 + 1 = 1 x 12 16
trabajar con Felipe terminan el trabajo en 12 horas, ¿cuánto tiempo tardaría Felipe trabajando solo?
Resolvemos: • Felipe hace el trabajo en x horas. • Ahora, determinamos la parte del trabajo que hace cada uno en una hora.
x = 48 horas
48 horas .
4 Lucía tarda 40 minutos en limpiar la sala
de su casa. Si Sara, su hermana, es 60% más eficiente, ¿cuánto tiempo tardarán si limpian la sala juntas?
Resolvemos: • Determinamos el tiempo que tardará Sara, de acuerdo a su eficiencia, si limpia sola:
100% (eficiencia) 40 min 160% (eficiencia) x x = 25 minutos • Si trabajando juntas terminan la limpieza en y minutos, en un minuto limpiarán: 1 + 1 = 1 25 y 40
⇒ y = 15 5 min 13
• Luego, si limpian la sala juntas tardarán:
15 5 minutos .
13
5 Fredy demora 4 horas en hacer un tra-
bajo, pero debido a un resfriado bajó su rendimiento en 1 / 5. ¿Cuánto tiempo tardará Fredy en hacer el trabajo estando enfermo?
• Luego, B lo llena en 20 minutos . 3 Ricardo hace un trabajo en 16 horas. Si al
⇒
• Luego, si Felipe trabajara solo tardaría:
7
Resolvemos: • Analizamos cuánto llenan juntos en una unidad de tiempo (un minuto): 1 / 12 • A llena el cilindro en 30 minutos, en un minuto llena: 1 / 30 • B llena el cilindro en x minutos, en un minuto llena: 1 / x • Juntos: 1 + 1 = 1 ⇒ x = 20 x 12 30
En una hora
Ricardo: 16 horas
3 3 días . 2 Dos grifos A y B pueden llenar un cilindro en 12 minutos, trabajando juntos. Si el grifo A, trabajando solo, puede llenar el cilindro en 30 minutos, ¿en cuánto tiempo el grifo B, trabajando solo, podrá llenar el cilindro?
Resolvemos: • Determinamos el tiempo que tarda Fredy en hacer el trabajo, estando enfermo.
4 horas
x
1 (rendimiento) (1- 1 ) (rendimiento) 5 x = 5 horas
• Luego, tardará 5 horas .
19
M á S p ro p uestos 1 Maribel tarda 4 horas en hacer su tarea de
matemáticas. Si ella se juntara con Juana para hacer dicha tarea, la terminarían en 2 horas. ¿Cuánto tiempo tardará Juana en hacer sola la tarea? Rpta.: 4 horas
2 Jairo es panadero y trabajando 10 horas
puede lograr la producción diaria establecida. Si Darío es 25 % más eficiente que Jairo, ¿cuánto tiempo le tomará a Darío alcanzar dicha producción diaria? Rpta.: 8 horas
3 Una máquina puede podar todo el pasto
de un jardín en 60 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará otra máquina 20% más eficiente que la anterior? Rpta.: 50 minutos
4 Una piscina tiene dos tuberías, una la llena
en 12 horas y la otra la vacía en 18 horas. Si las dos tuberías se abren al mismo tiempo con la piscina vacía, ¿en cuánto tiempo se llenará dicha piscina?
Rpta.: 36 horas 5 Juan puede pintar la fachada de una
casa en 4 días y Mario la puede pintar en 6 días. Si Juan, durante 2 días, trabajó solo y al tercer día se le unió Mario, ¿en cuánto tiempo se pintó la fachada? Rpta.: 3 1 / 5 días
6 Un tractor A puede remover cierta
cantidad de tierra en 8 horas y un tractor B puede remover la misma cantidad de tierra en 4 horas. Si el tractor A, durante 3 horas, trabajó solo y luego se le une el tractor B, ¿cuánto tiempo menos duró el trabajo para A? Rpta.: 3 1 / 3 horas
7 Un tanque tiene 2 tuberías, la primera lo
llena en 5 horas y la segunda lo vacía en 12 horas. Si se abre solo la primera tubería durante 2 horas y luego se abre la segunda tubería, ¿en cuánto tiempo se llenará el tanque? Rpta.: 7 1 / 7 horas
8 Una piscina está llena y en la parte in-
ferior tiene 2 tuberías A y B que la vacían, independientemente, en 6 y 9 horas, respectivamente. Si se abre la tubería A solo por 3 horas y luego se abre la tubería B hasta que la piscina se termine de vaciar, ¿en cuánto tiempo se terminará de vaciar toda la piscina? Rpta.: 7 1 / 2 horas
9 Andrés tarda 4 horas en hacer su tarea
de matemáticas. Si una tarde se enfermó y su rendimiento se redujo en 1/ 3, ¿cuánto tiempo tardó en hacer la tarea esa tarde? Rpta.: 6 horas
10 Se tienen 3 pintores: A, B y C. Sabemos
que A y B juntos pueden hacer un trabajo en 12 días; B y C juntos pueden hacer el trabajo en 8 días, A y C juntos pueden hacer el trabajo en 6 días. ¿Cuánto tiempo tardaría C si hace el trabajo solo? Rpta.: 9 3 / 5 días
¡RECUERDA! La eficiencia se puede operar como tanto por ciento, o expresar como fracción: 120% = 120 = 6 5 100
11 Una piscina puede llenarse con 2 tuberías
A y B en 4 4/5 h. Si la tubería A tarda 4 horas menos que la tubería B en llenar la piscina, ¿en cuánto tiempo la tubería B, sola, llenará la piscina? Rpta.: 12 horas
12 Una cuadrilla de peones puede sembrar
un terreno en 30 días. Si trabajan en el mismo terreno con otra cuadrilla que es 50% más eficiente, ¿en cuántos días sembrarán el terreno? Rpta.: 12 días
13 Un reservorio puede ser llenado por 3 gri-
fos de manera independiente en 3, 6 y 9 horas; también puede ser vaciado completamente por dos conductos de manera independiente en 12 y 36 horas. Si estando el reservorio vacío se abren los 3 grifos y los dos conductos, ¿en cuánto tiempo se llenará? Rpta.: 2 horas
14 Un sastre puede confeccionar un terno
en 12 horas y su ayudante es 40% menos eficiente. Si trabajan juntos, ¿en cuánto tiempo confeccionarán el terno? Rpta.: 7,5 horas
PISTA 10 Averigua cuál es la parte del trabajo que hacen los tres juntos, en una unidad de tiempo.
20
Alfonso Rojas Puémape
control 1 Carla demora 3 horas en hacer su tarea.
2
4 Una piscina es abastecida por 2 tuberías
Sandra demora 2 horas en hacer la misma tarea. Si se juntan para hacer la tarea, ¿en cuánto tiempo terminarán?
A y B. A puede llenar la piscina en 6h y la tubería B la puede llenar en 9 h. Si las dos tuberías se abren al mismo tiempo, ¿en cuánto tiempo se llenará la mitad de la piscina?
¡Resuelve aquí!
PISTA 2 Si es más eficiente, tardará menos tiempo.
2 Una empresa A puede construir un edifi-
5 Un tanque tiene dos tuberías. Una lo lle-
cio de 10 pisos en 12 meses. Si otra empresa B es 20% más eficiente, ¿en cuánto tiempo construirá el edificio?
na en 10 h y la otra lo vacía en 15 h. Si se abren las dos tuberías al mismo tiempo, estando el tanque vacío, ¿cuál es la parte del tanque que llenarán juntas luego de 15 horas?
PISTA 6 3 María es costurera y puede confeccionar
20 polos en 6 h. Si Sandra es 50% más eficiente, ¿en cuánto tiempo podrá confeccionar la misma cantidad de polos?
El tanque:
l
l/
A 2
B
Nota que cuando el nivel del agua baja a la mitad del tanque, solo funcionará la tubería B.
6 Un tanque tiene 2 tuberías de desagüe:
A y B. A está ubicada exactamente a la mitad del tanque y puede vaciar esta parte en 8 horas. Si el desagüe B, que está en el fondo, puede vaciar todo el contenido del tanque en 12 horas, ¿en cuánto tiempo se vaciará todo el tanque con los dos desagües abiertos?
21 Sentirse bien luego de resolver un problema nos motiva a seguir aprendiendo.
PISTA 8 7 De tres empresas: A, B y C, dedicadas
al mismo rubro, se observó que A puede producir un lote de productos en 20 días, B lo puede hacer en 10 días y C en 16 días. Si las tres empresas deciden trabajar juntas, ¿en cuánto tiempo terminarán la misma producción?
10 Rodrigo tarda 12 horas en pintar la facha-
da de una casa. Si Diego es 50% más eficiente, ¿cuánto tiempo tardarán si pintan dicha fachada juntos?
Determina cuál es la parte del trabajo que hace cada par de amigos en una unidad de tiempo.
PISTA 12
8 Andrés y Beto hacen, juntos, un trabajo
11 Un tractor puede remover cierta cantidad
9 Tres tuberías: A, B y C, abastecen a una
12 Una vaca, sujeta a una estaca mediante
en 15 horas, Beto y Carlos lo hacen en 12 horas, y Andrés y Carlos lo hacen en 20 horas. Si finalmente decidieron trabajar juntos, ¿en cuánto tiempo terminaron el trabajo?
de tierra en 6 horas. ¿Cuánto tiempo tardará otro tractor 40% menos eficiente en hacer 1 / 3 de dicho trabajo?
Por: …“ el doble de voraz …”, se debe entender que demora la mitad del tiempo en comer la misma cantidad.
12) 4 horas 11) 3h 20min 10) 4h 48min 8) 10 horas 7) 4 12 días 17 4) 1h 48 min 5) 1 2 6) 9 3 h 7 3) 4 horas 2) 10 meses 1) 1h 12 min COMPRUEBA
una cuerda, puede comer todo el pasto que está a su alcance en 12 horas. Si a la misma estaca y con la misma longitud de cuerda se sujeta a otra vaca, el doble de voraz que la anterior, ¿en cuánto tiempo terminarán de comer todo el pasto a su disposición?
9) 12 4 h 13
piscina. Además sabemos que A y B la pueden llenar en 8 horas, B y C en 16 horas, y A y C en 10 horas. Si se abre solo la tubería A, ¿cuánto tardará en llenar la piscina?
22
Alfonso Rojas Puémape
c á l c ulo r á p id o MULTIPLICANDO NÚMEROS DE DOS CIFRAS POR 11
1. En un centro comercial se venden cocinas a S/.780 cada una. Si cierto día se vendieron 11, ¿cuánto dinero se obtuvo por la venta?
Resolvemos: • Solamente multiplicamos 780 × 11 mentalmente.
Procedamos: 780 × 11 = 10 × 78 × 11
• Escribimos el factor 78, dejando un espacio entre los dígitos o cifras.
¡ATENCIóN!
10 × (7 _ 8)
Si la suma de las cifras es un número de una cifra, esta se coloca al centro y se acabó la operación.
• Sumamos sus cifras: 7 + 8 = 15 • Colocamos el 5 al centro y el 1 lo sumamos a la cifra de adelante. • Así :
7+1 10 × (8 5 8 ) = 8580
Respondemos: Se obtuvo por la venta S/. 8580 . NOTITA Este artificio es solo para números de 2 cifras; sin embargo, un método alternativo para multiplicar números de 3 cifras por 11 consiste en multiplicar el número por 10 y luego sumarle el mismo número. Ejemplo: 240 × 11 = 240(10) + 240 = 2400 + 240 = 2640
2 Un mecánico debe visitar 11 departamen-
3 Nueve amigos se reúnen en un restauran-
4 A un paseo asisten 89 estudiantes. Si
5 El sueldo de un operario de maquinaria
6 En una florería, por la compra de un pa-
de energía eléctrica consu7 Un generador 3
tos para realizar algunas reparaciones. Si en cada viaje gasta $ 96, ¿cuánto gastará en total?
cada uno debe invertir S/. 110, ¿cuál será la inversión total?
te, pero a mitad de la cena se les unen dos más. Si cada uno paga S/. 54, ¿cuál fue el gasto total?
pesada es de S/. 3400. ¿Cuál es el monto que se debe pagar en total a 11 de estos operarios?
Efectúa: • • • • • • •
36 47 73 11 59 46 11
× × × × × × ×
11 11 11 96 11 11 68
quete de 10 rosas, regalan una. Si un comerciante compra 48 paquetes de rosas, ¿cuántas rosas se llevará en total?
me 110 m de gas al mes, ¿cuánto consumirá en 2 años?
23 El cerebro está conformado por 100 000 millones de neuronas que deben estar en actividad SIEMPRE. El cálculo rápido permite también tal actividad.
DIVIDIENDO NÚMEROS MÚLTIPLOS DE 3 POR 15
8. Se reparten, en partes iguales, 840 bolsas de cemento en 15 distribuidoras. ¿Cuántas bolsas recibe cada distribuidora?
Resolvemos: • Dividimos por el número de distribuidoras: 840:15 • O también: 840 × 2 30 = (81 + 3) × 2 3 = (27 + 1) × 2 = 54 + 2 = 56 Respondemos: Cada una recibe 56 bolsas .
¡ATENCIÓN! N:15 es lo mismo que: N o N×2 15 × 2 15 N×2 o N× 2 30 30 donde N = 3
9 Se distribuyen 7800 galones de combus-
10 En una bolsa se pueden colocar 15 cho-
11 Un envase grande de pintura puede contener, como máximo, 15 litros. Si hoy se han producido 2700 litros de pintura, ¿cuántos de estos envases serán necesarios para envasar la pintura?
12 Una revista de curiosidades matemáticas
13 Un operario puede elaborar una pieza de
14 Para realizar un paseo, 16 personas acuer-
tible en 15 fábricas. Si todas reciben la misma cantidad de combustible, ¿cuántos galones le corresponden a cada una?
metal en 15 minutos. Si él trabaja diariamente 480 minutos, ¿cuántas de estas piezas podrá elaborar en 5 días?
colates. Para embolsar 930 chocolates, ¿cuántas bolsas serán necesarias?
cuesta S/. 15. Si el dueño de una librería recaudó, por la venta de estas revistas S/. 1440, ¿cuántas revistas vendió?
dan pagar en partes iguales el gasto total, que es de S/. 3200. Si al cancelar, uno de ellos da solamente S/. 125, ¿cuánto tendrá que dar cada uno de los restantes?
Efectúa: 660:15 690:15 930:15 810:15 720:15 870:15 570:15 540:15
Alfonso Rojas Puémape
3
Tema
24
PROBLEMAS COMERCIALES
En la práctica comercial diaria hay relaciones entre los elementos que intervienen en una transacción, que se verifican de manera práctica.
Por ejemplo: • Si una calculadora cuesta S/. 50, ¿cuánto se pagará por 4 calculadoras?
! BSERVACIÓN
¡O
Para operar de manera rápida procedemos así: a% × b% = a × b % 100
Es evidente que se pagará:
4 × 50 = S/. 200
Luego, podemos generalizar:
C = N.P donde: C : costo total N: cantidad de unidades P: precio de cada unidad
1 Un comerciante decidió impulsar la venta
de sus productos, para lo cual decidió bajar el precio de cada producto en 20%. De esta manera el número de productos vendidos aumentó en 50%. ¿Cuál es el porcentaje que aumentó de sus ingresos?
Estrategia Consideramos las cantidades iniciales como un 100% y luego observamos las variaciones.
¡IMPORTANTE!
En algunos casos la ganancia puede estar compuesta por un porcentaje del costo y otro del precio de venta.
2 Carlos vendió un auto ganando el 20% del
costo y el 10% del precio de venta. Si Carlos recibe por el auto $ 20 000, ¿cuál es el costo de dicho auto?
Estrategia En problemas donde intervienen precio de venta, ganancia y precio de costo, usamos: P v = Pc + g
• Rodrigo compró una computadora a S/. 3500. Si luego la vendió y ganó S/. 300 en la venta, ¿a cuánto la vendió? Se entiende y es evidente que la vendió a:
3500 + 300 = S/. 3800
En general: P v = Pc + g donde: P v: precio de venta Pc: precio de costo g: ganancia
• Sabemos que el ingreso (costo total) está dado por: C = N.P • Inicialmente:
N = 100%, P = 100% y C = 100%
• Luego de la rebaja:
P = 80% y N = 150%
• Los ingresos: C = 150% × 80% C = 120% • Luego, sus ingresos aumentaron en 20% .
• Del enunciando:
g = 20%Pc + 10%P v
• Además sabemos que: P v = Pc + g ⇒ P v = Pc + (20%Pc + 10%P v) 90%P v = 120%Pc • Pero: Pv = 20 000 ⇒ 90% (20 000) = 120%Pc Pc = $ 15 000
25 • Mario se compró una computadora a S/. 4300. Si Mario tuvo que hacer un viaje urgente y para ello vendió su computadora perdiendo S/. 900, ¿a cuánto la vendió?
Notamos que:
4300 - 900 = 3400 Luego, podemos generalizar: P v = Pc - p
donde:
P v: precio de venta Pc: precio de costo p: pérdida
3 Una tienda ofrece un reproductor MP3,
pero como este es un modelo antiguo, lo venderá con una pérdida del 10% de la venta. Si el precio de costo del MP3 es S/. 1100, ¿a cuánto se venderá?
Estrategia
• Una tienda de electrodomésticos exhibe un televisor 3D con un precio fijado en S/. 9000. Si luego vendió el televisor haciendo un descuento de S/. 550, ¿en cuánto lo vendió? Si hacemos un análisis sencillo notaremos que: 9000 - 550 = 8450 Luego, generalizamos: P v = Pf - d
donde:
P v: precio de venta Pf: precio fijado d: descuento
• Según el enunciado: p = 10%P v • Ahora sabemos que:
¡importante! Al precio fijado (Pf) también se le llama precio de lista (Pl).
P v = Pc - p ⇒ P v = 1100 - 10%P v 110%P v = 1100 ⇒ P v = 1000 • Luego, el MP3 se venderá a: S/. 1000 .
• Identifica los elementos que intervienen en el enunciado. • Usamos la relación correspondiente a tales elementos.
4 Rodrigo observó un auto cero kilómetros con
un precio de lista de $ 24 000. Si luego de una larga conversación con el representante de ventas logró un descuento del 20% de la venta, ¿cuál es el porcentaje del precio de lista que representa el descuento?
• Nos encontramos en el último caso, ya que intervienen: P v, Pf y d. • Del enunciado:
Pf = $ 24 000 d = 10%P v
• Ahora sabemos que:
Estrategia • Identificamos en qué caso nos encontramos. • Luego comparamos el descuento y el precio de lista.
P v = Pf - d ⇒ P v = 24 000 - 20%P v ⇒ 120%P v = 24 000 P v = $ 20 000 ⇒ d = $ 4000 • Finalmente: 24 000 4000
100% x
x = 16,66%
• Luego, el descuento equivale a 16,7% (aprox.) del precio de lista.
¡ObSERVAción! Una vez determinado el descuento, usamos una R3S para compararlo con el Pf.
26
Alfonso Rojas Puémape
MáS RESUELTOS 1 Juana compró una cartera en S/. 320,
pero luego decidió venderla y ganar el 20% del precio de venta. ¿A cuánto vendió la cartera?
Pv = Pc + (20%Pc + 25%Pv) 75%Pv = 120%Pc ⇒ Pv = 128 000 • Luego, debe venderse a $ 128 000 . 5 La gerencia de una cadena de cines de-
Resolvemos:
cidió reducir los precios en un 20% y con esto logró un aumento de 30% en la asistencia de público. ¿Cuál es el porcentaje de aumento de los ingresos?
• Del enunciado, observamos que los elementos que intervienen son: Pc, Pv y g; donde: g = 20%Pv
¡recuerda! Cuando no se especifica respecto a qué es el descuento, se debe entender que es respecto al precio fijado o precio de lista.
• Ahora relacionamos: Pv = 320 + 20%Pv 80%Pv = 320 ⇒
Pv = 400
• Luego, vendió la cartera a S/. 400 . 2 Aldo compró una bicicleta en S/. 750 y la
quiere vender ganando el 20%. ¿A cuánto la venderá?
• Identificamos el caso en el cual nos encontramos: C = N . P • Entonces: C ' = (130%)(80%) C ' = 104%
• Con ello: Pv = 750 + 20%(750) Pv = 750 + 150 Pv = 900
y debido a eso, las ventas disminuyen 20%, ¿en cuánto varían los ingresos?
• Luego, observamos que no varían . 7 Con la finalidad de promover la asistencia
al estadio, los dirigentes bajaron el precio de las entradas en 10%, lo cual originó un aumento en el público del 20%. ¿Cuál es la variación de los ingresos del club?
3 ¿A cuánto se debe ofrecer un producto
que costó S/. 3600, para que al hacer un descuento del 10%, aún se gane el 10%?
¡OBservación!
• Establecemos la relación: Pf = Pv + d Pv = Pc + g ⇒ Pf = 3600 + 10%(3600) + 10%Pf 90%Pf = 3960 ⇒ Pf = 4400
tos adquirió uno a $ 80 000. ¿A cuánto debe venderse dicho auto para obtener una ganancia del 20% del costo más 25% de la venta?
Resolvemos:
• Se quiere ganar: g = 20%Pc + 25%Pv Pc = 80 000 • Usamos la relación: Pv = Pc + g
Resolvemos:
• Veamos el nuevo ingreso: C ' = (120%)(90%) ⇒ C ' = 108% • Luego, aumentaron en 8% . 8 María vendió un producto con un des-
cuento del 50%, por lo cual perdió el 20%. ¿Cuál es la relación entre el precios de costo y el precio fijado?
4 Una empresa dedicada a la venta de au-
100% - 10% = 90%
100% + 20%=120%
• Se debe ofrecer a S/. 4400 .
Como el precio de las entradas bajó en 10%, tenemos: y como el público se incrementó en un 20% tenemos:
Resolvemos:
Resolvemos:
• Analizamos con la relación: C = NP C ' = (80%)(125%) ⇒ C ' = 100%
• Luego, la venderá a S/. 900 .
• Luego, aumentaron en 4% .
6 Si el precio de un artículo aumenta 25%
Resolvemos: • Cuando no se indica respecto a qué cantidad es la ganancia, se debe considerar que es respecto al costo.
Resolvemos:
Resolvemos:
• Sabemos que: Pf = Pv + d Pv = Pc - p • Sabemos que: Pf = Pc - 20%Pc + 50%Pf Pc 50%Pf = 80%Pc ⇒ = 5 8 Pf
27
M á S p ro p uestos 1 Rodrigo vendió su laptop a $1100. Si en
esta transacción ganó el 10% del costo más el 20% de la venta, ¿cuánto le costó la laptop a Rodrigo? Rpta.: $ 800
2 María vendió su lavadora a S/. 1200, ga-
nando con esto el 60%. ¿Cuánto le costó?
9 José compró un producto con un des-
cuento del 20% para luego venderlo a S/. 1200, ganando así el 25% de la venta. Determina el precio fijado del producto.
10 Diego compró un terreno y para vender-
lo fijó un precio de S/. 24 000. Al venderlo hizo un descuento del 20% y aún así ganó el 20% de la venta. ¿Cuánto le costó a Diego dicho terreno?
Rpta.: S/. 750 3 Una empresa importadora vende algu-
nas refrigeradoras, que se golpearon en el viaje, con una pérdida del 10% de la venta. Si las vende a S/. 2500, ¿cuál es el precio de costo de cada refrigeradora?
pero se hicieron dos descuentos sucesivos de 5% y luego de 10%. Si luego de la venta aún ganó el 20% de dicha venta, ¿cuál es el precio de costo del auto?
4 Juan compró una PC hace 5 años, la mis-
Rpta.: S/. 3000
Rpta.: S/. 900
7 Con la finalidad de disminuir el consumo
de cigarros, la municipalidad de un distrito elevó los precios en un 40%. Si los ingresos por la venta de este producto se redujeron en un 16%, ¿cuál es el porcentaje de reducción del consumo? Rpta.: 40 %
8 Una empresa dedicada a la venta de za-
patos bajó los precios en 25%, lo cual trajo un aumento en la cantidad vendida de 40%. ¿En qué porcentaje varía la cantidad recaudada por este producto?
Rpta.: Aumentó 5 %
Cuando no se indica respecto a qué precio es la ganancia, se debe asumir que es respecto al precio de costo.
de los cuales ha ganado 282, decide retirarse cuando tenga el 95% de triunfos en su carrera. ¿Cuántos juegos más, como mínimo, deberá disputar para retirarse?
Rpta.: 60 juegos
13 Una empresa produce al mes 8000 cami-
sas en dos talleres. El taller A produce el 45% de las camisas. Si el 6% de la producción del taller A y el 4% del taller B es defectuosa, ¿cuántas camisas en total resultaron con defectos?
6 Mario compró un auto y está muy conten-
to ya que obtuvo un descuento del 10% de la venta más el 30% del precio fijado. Si el auto estaba fijado en $ 22 000, ¿a cuánto lo compró? Rpta.: $ 14 000
Rpta.: $ 21 888
12 Un tenista que ha disputado 300 juegos
5 Sandra compró una cocina con un des-
cuento del 30% del precio de venta. Si el precio de lista de la cocina era de S/. 3900, ¿cuánto ahorró con el descuento?
PISTA 2
Rpta.: S/. 15 360
11 El precio de un auto se fijó en $ 32 000,
Rpta.: S/. 2750 ma que ayer vendió con una pérdida del 20% de lo que le costó. Si la vendió a S/. 2400, ¿cuánto pagó por ella?
Rpta.: S/. 1125
Rpta.: 392 camisas
14 En una tienda se ofrecen pantalones con
un 20% de descuento, pero si se paga con la tarjeta MASvisa se hace un descuento adicional del 10%. Si por 3 pantalones se pagaron S/.162 con tarjeta, ¿cuál es el precio de lista de cada pantalón?
Rpta.: S/. 75
15 El precio de costo de un TV 3D es de
S/. 6000. Para ganar el 25% del precio de venta, luego de hacerle un descuento del 36%, ¿cuál debe ser el precio de lista? Rpta.: S/. 12 500
PISTA 5
No olvides que: Pv = Pf - d Pv = Pc + g
28
Alfonso Rojas Puémape
control 1 Rómulo vendió su bicicleta perdiendo
S/. 150. Si dicha pérdida equivale al 15% del costo, ¿a cuánto la vendió?
3
4 Sonia vendió su lavadora, ganando el
12% del costo y el 12% de la venta. ¿Cuál es la relación entre el preció de venta y el precio de costo?
PISTA 2 Busca una relación entre el precio de venta y el precio de costo. Recuerda que:
¡Resuelve aquí!
Si: a = 6 b 7 ⇒ a = 6k y b = 7k 2 Saúl vendió su moto ganando el 10% de
5 Ricardo compró un auto con un des-
3 Julio vendió su auto con una pérdida del
6 Una casa comercial tiene en su mostrador
la venta más el 15% del costo. Si la diferencia entre el precio de venta y el precio de costo es S/. 1000, ¿a cuánto vendió la moto?
PISTA 6 Recuerda que el descuento se aplica sobre el precio de lista. Además: Pl = Pv + d P l: precio de lista Pv: precio de venta d: descuento.
5% de la venta más el 10% del costo. Si el precio de venta y el costo suman $ 39 000, ¿a cuánto vendió su auto?
cuento del 20% para luego venderlo a $ 24 000, ganando así el 16% de la venta. ¿Cuál fue el precio fijado del auto inicialmente?
un televisor 3D con un precio de lista de S/. 10 000. Si a Roberto le hicieron dos descuentos sucesivos de 5% y 10%, ¿cuánto pagó Roberto por dicho televisor?
29 Tu memoria se fortalece al utilizar habitualmente lo aprendido.
PISTA 8 7 Karina quiere vender su casa ganando
10 Roció pagó S/. 648 por una refrigeradora
8 Una casa comercial vende dos televisores
11 Para promover el consumo de un pro-
el 20%, pero como no la puede vender, finalmente hace un descuento del 20% y logra venderla. En la venta, ¿Karina ganó o perdió? ¿Cuánto?
luego de ser beneficiada con dos descuentos sucesivos de 10 % cada uno. ¿Cuál fue el precio fijado de la refrigeradora inicialmente?
a S/.3910 cada uno. Si en la venta de uno gana el 15% y en la del otro pierde el 15%, luego de estas ventas, ¿gana o pierde? ¿Cuánto?
ducto, la gerencia decidió hacer dos descuentos sucesivos al precio de este producto: el 1.° del 10% y el 2.° del 20%. Si finalmente esta medida trajo un incremento del 8% en los ingresos de la empresa, ¿cuál es el porcentaje en el que aumentó el consumo?
Determina los precios de costo de cada uno de los artículos y luego compara con sus respectivos precios de venta.
PISTA 12
No olvides que los porcentajes siempre están aplicados a una cantidad.
12) S/. 1400 11) En 50%. 8) Pierde S/. 180. 7) Perdió el 4% 6) S/. 8550 5) $ 25 200 4) 14 11 3) $ 18 000 2) S/. 4600 1) S/. 850 COMPRUEBA
de las entradas en un 30% pensando que con esta medida duplicaría el número de asistentes. Si el público solo aumentó en 50% y con esto solo recaudó S/. 1050, ¿cuánto tenía planeado recaudar inicialmente?
9) S/. 270
12 El dueño de una discoteca redujo el precio
S/. 240 ganando el 10% de la venta. ¿A cuánto debe venderla para ganar el 20% de la venta?
10) S/. 800
9 Luis piensa vender su calculadora a
30
Alfonso Rojas Puémape
matemática recreati va 1. Los primeros años
Alfredo, amigo ¿cómo estás?
Después de mucho tiempo, Rodrigo se encuentra con su amigo Alfredo.
Muy bien, y ¿tú? Es Valeria , mi hija mayor, pero además tengo trillizas. Bien, y ¿esta hermosa niña?
¿Podrías determinar las edades de cada una de las hijas de Alfredo?
¿Y cuáles son las edades de tus hijas?
Justamente en el camino venía pensando en ello y me di cuenta de que el producto de sus edades actuales es 48.
2. Tomando decisiones
Carlos tiene una máquina que procesa números. Al presionar el botón B , se borrará el último dígito y al presionar D , se duplicará el número. Si ingresa el número 254, ¿de cuántas maneras
254
se puede obtener 10, después de realizar cuatro procesos seguidos?
D
B
10
¡Resuelve aquí!
31
3. Un descuido costoso
Maite borró el número de celular de su prima por error y ahora necesita comunicarse urgentemente con ella.
llama
ndo..
99#4
.
3#61
Si solo recuerda los números que aparecen en la pantalla de su celular, ¿cuántas veces tendrá que marcar, como mínimo, para saber con certeza el número de su prima? 1 4 7 *
2 5
8 0
6
3 6
9
#
4. se nos va el tiempo Luis, cuántos años sin vernos ...
Sí Carlos, pero qué bien se te ve, por tí no han pasado los años.
Adivina mi edad, si tengo tantos años como indican las dos últimas cifras del año en que nací.
... Érase un viernes de verano del año 2012, dos buenos amigos se reencuentran.
32
Alfonso Rojas Puémape
a utoe v a lu a c ió n Acumulativo parcial
13 Un tanque cuenta con 2 tuberías: A y B, que pueden llenar independientemente un tanque en 8h y 12h, respectivamente. También cuenta con un desagüe que lo puede vaciar, estando lleno el tanque, en 18 h. Primero se abre la tubería A y luego de una hora
11
12
7 María compra una cocina y luego de haber sido beneficiada con dos descuentos sucesivos del 10% y el 30% paga por ella S/. 252. ¿Cuál es el precio de la cocina sin la aplicación de los descuentos?
2 h 11
e) 7
2 h 11
c) 5
2 h 11
14 ¿A cuánto debo vender lo que me costó S/. 170 para ganar el 15% del precio de venta?
a) S/. 189 d) S/. 180
b) S/. 195 e) S/. 200
c) S/. 190
15 Nueve2 hombres han pavimentado 160 m de una explanada, en 10 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días necesitarán 15 hombres para pavimentar 120 m2, trabajando 2 horas diarias menos cada día?
a) 6
b) 8
c) 10 d) 1
e) 15
16 Un obrero puede realizar una obra en 9 días, mientras otro obrero puede realizar la misma obra en 18 días. Si trabajan juntos, ¿en cuántos días terminarán la obra?
a) 1
b) 3
c) 4
d) 6
e) 8
17 Una obra puede ser realizada por 8 obreros en 24 días. Si se contrata, antes de empezar la obra, 4 obreros más, ¿en cuántos días terminarán la obra?
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 18 A y B pueden realizar juntos una obra en 12 días; A y C pueden realizar juntos la misma obra en 18 días; B y C pueden hacer la misma obra, trabajando juntos, en 15 días. Si los 3 trabajan juntos, ¿en cuántos días entregarán la obra?
b) 30 días d) 36 días
10
a) 20 b) 22 c) 24 d) 28 e) 30
a) 28 días c) 32 días e) 40 días
b
c) S/. 750
12 Para construir una pared de 24 m de largo y 3 m de alto, 6 obreros tardan 12 días. ¿Cuánto tiempo necesitarán estos obreros para construir otra pared de 30 m de largo y 6 m de ancho?
c) $ 161
6 La construcción de un tramo de carretera demora 54 días. Si se ha avanzado hasta los 5 / 9, ¿cuántos días faltan para concluir la obra?
b) S/. 560 e) S/. 800
9
b) $ 147 e) $ 210
a) S/. 600 d) S/. 720
8
a) $ 140 d) $ 189
7
c) 30 h
d) 6
11 Una olla arrocera se vendió a S/. 600 ganando el 20% del precio de venta, ¿a cúanto se debe vender para ganar el 25% del precio de costo?
c) S/. 690
5 El precio de un cubo compacto de madera de 20 cm de arista cuesta $ 56. ¿Cuánto costará otro cubo de la misma madera pero de 30 cm de arista?
b) 28 h e) 40 h
a) 9
27 37
b) 9
d) 9
33 37
e) 9
6
b) S/. 640 e) S/. 720
a) 24 h d) 36 h
2 h 11
5
a) S/. 600 d) S/. 700
b) 4
4
c) S/. 520
10 Un tanque vacío cuenta con una tubería que lo llena en 9 horas. También cuenta con un desagüe que lo vacía en 12 h. Si estando vacío el tanque se abren la tubería y el desagüe, ¿en cuánto tiempo se llenará el tanque?
b) 18 900 kg d) 28 000 kg
4 ¿Cuál es el precio que se debe fijar a un artículo que costó S/. 450 para que, aún descontando el 10%, se gane el 40%?
b) S/. 435 e) S/. 468
2 h 11
29 37
c) 9
31 37
35 37
3
a) 18 000 kg c) 21 000 kg e) 35 700 kg
a) S/. 455 d) S/. 650
a) 3
2
a
3 En un depósito de forma cúbica de 2 m de arista se almacenan 5600 kg de trigo. Si se cuenta con otro depósito de forma cúbica de 3 m de arista, ¿cuántos kilogramos de trigo se podrán almacenar?
1
e) 10
d
d) 8
9 Un terno de casimir se ha vendido a S/. 500, ganando el 30% del precio de venta. ¿A cuánto se debe vender para ganar el 30% del precio de costo?
a
c) 6
c) 5 / 6
b
b) 5
b) 5 / 8 e) 7 / 12
c
a) 4
a) 3 / 8 d) 5 / 12
c
2 Un grupo de 12 hombres tienen víveres para 40 días. Al cabo del décimo sexto día de trabajo se integran 4 hombres. ¿Cuántos días menos durarán los víveres?
8 Un tanque de 48 litros de capacidad contiene solo 18 litros. La fracción del total que falta para llenar el tanque es:
c) S/. 150
se cierra para abrir la tubería B, también durante una hora. Finalmente se abren las dos tuberías y el desagüe hasta llenar el tanque. Indique el tiempo total en el cual se llenará el tanque.
c) S/. 400
d
b) S/. 148 e) S/. 165
b) S/. 390 e) S/. 450
d
a) S/. 140 d) S/. 160
a) S/. 360 d) S/. 420
b
c
1 ¿A cuánto debo vender lo que me costó S/. 75 para ganar el 30% del precio de costo, más el 25% del precio de venta, más S/. 15?
c
Nivel I
e 13
e 14
a 15
d 16
c 17
a 18
33
Acumulativo parcial d) 9 días
c) S/. 433
a) 12 días b) 14 días
11
b) S/. 24 480 d) S/. 22 460
12
c 13
d 14
c 15
a) S/. 26 400 c) S/. 24 840 e) S/. 27 510
b) 6100 e) 5024
c) 7097
12 Benito demora 6 días más que Anselmo en efectuar un trabajo. ¿Cuánto demora Benito en hacer él solo el trabajo, si cuando lo realiza con Anselmo, demoran 4 días en terminarlo?
6 Un negocio pertenece a 2 socios. La parte de uno equivale a los 5 / 13 y está valorizada en S/. 15 300. Halla el valor de la parte del otro socio.
c 16
b 17
a) 7100 d) 7200
10
c) 2800
9
b) 2000 e) 7200
c) 15 días
c) 11 días
a) Aumenta 10% b) Aumenta 12% c) Disminuye 4% d) Disminuye 8% e) Disminuye 6% 16 Se sabe que 35 obreros pueden terminar una obra en 27 días. Al cabo de 6 días de trabajo, se les une cierto número de obreros de tal manera que en 15 días terminan la obra. ¿Cuántos obreros se incorporaron?
b) S/. 27,10 d) S/. 42,60
8
a) 1800 d) 5400
a) S/. 47,60 c) S/. 52,80 e) S/. 48,40
11 Una fábrica tiene gastos fijos de S/.10 000 y además hace un gasto adicional de S/.4 por cada artículo fabricado, que se vende a S/.5,95 cada uno. ¿Cuántos artículos se deben vender, como mínimo, para obtener una ganancia aproximada del 10% del total de sus gastos?
5 En un depósito esférico de 2 m de radio se almacenan 1600 kg de maíz amarillo. ¿Cuántos kilogramos de maíz amarillo se podrán almacenar en otro depósito esférico, pero de 3 m de radio?
c) 21
7
b) S/. 435 e) S/. 432
b) 24 e) 20
10 Un vigilante gana S/. 11 por hora y recibe 20% más cuando trabaja luego de las 6 p.m. ¿Cuánto recibirá si trabaja desde las 4 p.m hasta las 8:20 p.m?
e) 2,5 h
a) S/. 430 d) S/. 340
a) 9 d) 28
b) 10 días e) 9 días
15 ¿Cuál es el porcentaje en el que se incrementa el área de un rectángulo, si su largo aumenta en 60% y el ancho disminuye en 40%?
a) 10 b) 16 c) 14 d) 20 e) 18 17 ¿Cuál es el precio que debe fijarse a un vestido que costó S/. 400 para que al hacer un descuento del 20%, aún se gane el 20% del costo?
a) S/. 540 d) S/. 420
b) S/. 600 e) S/. 705
c) S/. 650
18 Saúl puede hacer un trabajo en 20 días; Martín puede hacer el mismo trabajo en 60 días. Después de trabajar juntos 5 días, se retira Saúl. ¿En cuánto tiempo termina Martín la parte que falta?
a) 60 días c) 42 días e) 45 días
6
c) 1,5 h
4 Si incremento en 40% el costo de 40% de los artículos que tengo, ganaré S/. 192. ¿Cuánto ganaré si incremento en 60% el costo del 60% de los artículos que tengo?
a) 4 días d) 7 días
5
b) 1 h
4
a) 2 h 2 d) h 3
c) 70%
9 Un tanque de petróleo se llena en 4 horas abriendo la válvula A y se descarga en 5 horas abriendo la válvula B. ¿En cuántas horas se llenará el tanque si se abren las 2 válvulas simultáneamente?
a
b) 60% e) 90%
c) S/. 54
14 Diez jardineros de una municipalidad, demoran 15 días en sembrar 50 m 2 de plantas ornamentales, trabajando 7 horas diarias. ¿Cuánto demorarán 15 jardineros en sembrar 80 m 2 de otro jardín, si los obreros son doblemente hábiles respecto a los primeros y además trabajan 8 horas diarias?
b) 30 días d) 40 días
3
3 Un depósito tiene 2 tuberías de desagüe que lo vacían en 8 y 10 horas, respectivamente. Comienzan las 2 juntas a vaciar el depósito lleno y luego de 4 horas se cierra la primera. ¿En cuánto tiempo termina de vaciar el depósito, la segunda tubería?
a) 50% d) 75%
b) S/. 56 e) S/. 69
2
a) S/. 48 d) S/. 62
1
2 H 3
c
c)
c) S/. 600
8 El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Al dividir el diamante en 4 partes iguales, ¿en cuánto por ciento disminuye el precio de venta?
c
b)
b) S/. 510 e) S/. 700
e
H 5 3 e) H 4
a)
a) S/. 680 d) S/. 720
d
H 3 2 d) H 5
e
2 Un caño llena un recipiente en H horas y un desagüe lo vacía en H / 2 horas. Si el recipiente está lleno hasta su tercera parte y se abren simultáneamente el caño y el desagüe, ¿en cuántas horas se vaciará dicho recipiente?
b
c) 46%
d
b) 42% e) 50%
13 Para pintar una esfera de 10 cm de radio se gastaron S/. 24 . ¿Cuánto se gastará en pintar otra esfera de 15 cm de radio?
e
a) 40% d) 48%
e) 16 días
b
7 Una persona pregunta en una tienda por el descuento que pueden hacerle por un artículo y le responden 20%; en otra tienda le hacen un descuento de 25% y compra ahí el artículo, ahorrándose S/. 35. ¿Cuánto costaba el artículo?
a
1 ¿Cuál es el porcentaje en el que se debe incrementar el costo de un artículo para que, aún descontando el 20%, se gane el 20%?
e
Nivel II
d 18
34
Alfonso Rojas Puémape
Acumulativo parcial
lentes y hombres que usan lentes es 275; además la diferencia entre hombres que no usan lentes y mujeres que usan lentes es 430. ¿Cuántos habitantes tiene dicha población?
d) 21 / 325 e) 23 / 227
c) 18
a) 2 h 30 min d) 3 h 15min
10
6 En una población, el 60% son hombres y el 45% usan lentes. La diferencia entre las mujeres que no usan
b ) 2
c) 3
d) 4
e) 5
a) 2 d) 2,8
b) 2,4 e) 2,9
c) 2,5
a) S/. 1000 b) S/. 1200 d) S/. 2000 e) S/. 2500
c) S/. 1500
17 Un tanque puede ser llenado por un caño en 25 minutos y puede ser vaciado por un desagüe en 50 minutos. Estando vacío el tanque, se abre el caño y 5 minutos más tarde el desagüe. ¿En cuántos minutos se llenará totalmente el tanque?
11 Dos caños A y B llenan juntos un tanque en 60 min. Si B fuese desagüe, se tardarían 2 horas en llenar el tanque. ¿En cuánto tiempo llenará el caño B el tanque, estando este vacío?
e) 5
a) 1
16 Pepa es una comerciante que vendió la mitad de su mercadería ganando el 20%, la cuarta parte ganando el 10% y el resto perdiendo el 20%. Si al final obtuvo una ganancia de S/. 75, ¿cuál fue el costo de su mercadería?
b) 6:44 p.m. d) 7:16 p.m.
b) 4 h c) 3 h e) 4 h 30 min
9
11
d) 4
a) 6:16 p.m. c) 7:10 p.m. e) 8:44 p.m.
8
c) 3
c) 39 / 425
7
b) 2
b) 41 / 327
6
a) 1
a) 51 / 325
c) 200%
15 Dos cirios de igual altura se encienden simultáneamente; el primero se consume en 5 horas y el segundo en 3 horas. ¿Cuántas horas después de haberlos encendido, la altura del primero será el triple de la del segundo?
10 Cada 3 horas, un reloj se atrasa 12 minutos. Si el reloj empezó a atrasarse a las 9 a.m., ¿qué hora marcará a las 8 p.m.?
5 Un atleta da 15 vueltas en 12 minutos alrededor de una pista circular mientras que otro atleta da 13 vueltas en 10 minutos. Si ambos atletas parten juntos del mismo lugar, ¿en cuántas horas el atleta más veloz sacará una ventaja de 9 vueltas?
a) 30 min d) 45 min
5
b) 15 e) 25
a) 14 b) 15 c) 18 d) 20 e) 21
b) 100% e) 300%
14 Un contratista debe terminar una obra en 30 días. La inicia con 10 obreros trabajando 6 horas diarias. Transcurridos 20 días han realizado solo el 50% de la obra, por ello decide aumentar la jornada a 8 horas diarias y contratar más obreros. ¿Cuántos obreros adicionales contrató?
4
c) S/. 65
a) 50% d) 250%
b) 35 min e) 50 min
3
a) 12 d) 20
c) 50%
9 El precio de costo de un artículo es S/. 3000. Para fijar su precio de venta al público se le hacen 2 aumentos sucesivos del 25% y 30%, pero al momento de venderlo, se ofrecen dos descuentos sucesivos del 15% y 20%. ¿Cuál es la fracción del precio fijado que representa la ganancia?
4 Andrés y Beto pueden hacer una zanja en 40 días; Beto y Claudio pueden hacer la misma zanja en 30 días; Andrés y Claudio la pueden hacer en 24 días. ¿En cuántos días harán la zanja los tres juntos?
13 ¿En cuánto por ciento se debe aumentar al precio de costo de un artículo para fijar el precio de lista, de modo que luego de hacer tres descuentos sucesivos del 10%, 20% y 50%, se gane el 44% del costo?
c) 40 min
2
b
b) S/. 60 e) S/. 100
b) 45% e) 55%
a) S/. 1670 b) S/. 1772 c) S/. 1827 d) S/. 1872 e) S/. 1927
1
c) 100 ml
d
a) S/. 50 d) S/. 70
8 Alex y Bruno pueden hacer una obra en 12 días. Después de 9 días de empezada la obra se retira Alex, y continúa Bruno hasta terminar la obra en 9 días más. ¿En cuántos días terminaría Alex toda la obra trabajando solo?
3 Juan vende una cocina al contado. Con los 2 / 5 de la venta se compra una cafetera y con los 4 / 9 del resto, una plancha. Además, el costo total de estos dos artefactos fue S/. 800. Si luego se compra una tostadora que cuesta S/. 350, ¿cuánto dinero le queda al final?
a) 40% d) 52,5%
d
b) 50 ml e) 500 ml
c
a) 25 ml d) 250 ml
c) 6750
7 Dos recipientes contienen alcohol al 80% y 60%, y sus volúmenes están en la relación de 1 a 2, respectivamente. Se agrega igual número de litros de agua y resulta que ahora ambos tienen la misma concentración. ¿Cuál es la nueva concentración?
1
e) 5 7 h
2 Un depósito con agua contiene 1 / 6 de lo que no contiene. Se retira un volumen equivalente a 1 / 10 de lo que falta por llenar y luego se agrega 1 / 4 de lo que queda. Si finalmente hay en el depósito 250 ml, calcula la quinta parte de lo que contenía inicialmente el depósito.
b) 5450 e) 8050
a
2
a) 4000 d) 7050
d
d) 11 7 h
2
c) 11 5 h
c
2
b) 10 7 h
d
a) 5 7 h
a
2
12 Una caja de metal en forma de paralelepípedo cuesta S/. 2000. Si el largo disminuye en 20%, el ancho en 10% y el alto aumenta en 30%, ¿cuánto costará la nueva caja?
c
1 Un pintor demora 12 horas en pintar una fachada, otro pintor que es 1/3 más eficiente que el anterior demora cierto tiempo en pintar la misma fachada. ¿Cuánto demorarán juntos en pintar dos fachadas similares?
b
Nivel III
d 12
e 13
e 14
c 15
a 16
d 17
35
Acumulativo total
6 Para fijar el precio de un artículo se aumentó su costo en 50%, pero al momento de realizar la venta se hizo un descuento del 20%. Si se hubiese aumentado el costo en 60%, se habría ganado S/. 728 más.
c) 5
d) 7
8
9
10
11
c) 48%
c) 45%
a) 480 cm3 b) 600 cm3 c) 320 cm3 d) 480 cm3 e) 520 cm3 16 Clara gasta el 20% del dinero que tiene. Si luego recibiera el 15% de lo que aún le queda, tendría S/. 32 menos de lo que tenía inicialmente. ¿Cuánto tenía al inicio?
e) 9
11 Un recipiente contiene agua. Si saco el 40% de lo que no saco y de lo que saqué devuelvo el 60% de lo que no devuelvo, me queda 460 l. Luego, el agua que no devolví la vacié en un recipiente que contiene 25 l de alcohol al 80%, ¿cuál será el porcentaje de pureza de esta mezcla? c
12
b 13
b) 20% e) 75%
b) 3
7
a) 52% d) 25%
a) 2
b) 54% e) 36%
15 Un frasco contiene un litro de ácido sulfúrico al 80%. Se retiran los 2 /5 de su contenido y se reemplazan por agua. ¿Cuántos centímetros cúbicos de agua hay ahora en el frasco?
a) S/. 500 c) S/. 480 e) S/. 360
b) S/. 450 d) S/. 400
17 Si la medida de los lados de un triángulo equilátero se incrementa en 40 %, ¿en cuánto se incrementará su área?
6
a) 60% d) 40%
a) 16% d) 72%
5
Determina el porcentaje de pérdida.
10 Los buses de Lima a Arequipa y viceversa salen cada hora y tardan 12 horas en hacer tal recorrido. El primer bus, desde Lima, sale a las 7 a.m. y el primer bus, desde Arequipa, sale a las 9 a.m. ¿Con cuántos buses se han cruzado este tras recorrer los 3 / 4 de su camino?
5 Pepe vendió los 3 / 8 de su mercadería con un beneficio del 40%, la quinta parte del resto con un beneficio del 20% y lo que aún le quedaba con un tanto por ciento de pérdida que solo le permitió obtener, en todo el negocio, un beneficio del 5%.
c) 20 h
b) 32% e) 96%
4
d) 12:30 p.m.
e) 1:00 p.m.
14 En una reunión el 60% del número de damas que asistieron equivale al 40% de los varones. ¿Cuál es el porcentaje de los asistentes que son damas?
a) S/. 1280 b) S/. 2000 c) S/. 3600 d) S/. 2400 e) S/. 1920
a
c) 12:00 m.
e
b) 15 h e) 35 h
b
b) 11:30 a.m.
a) 10 h d) 30 h
a) No varía b) Se reduce en 25% c) Aumenta en 25% d) Se reduce en 15% e) Aumenta en 15%
3
4 Estando vacía una cisterna, un grifo demoraría 6 horas en llenarla, mientras que otro grifo demoraría 9 horas. Cierta mañana, estando vacía la cisterna, se abre el primer grifo a las 8:00 a.m. y una hora después se abre el otro grifo. ¿A qué hora se llenó la cisterna? a) 11:00 a.m.
9 Miguel adquirió un artefacto luego de que le hicieron 3 descuentos sucesivos del 20%, 50% y 20%. Si él pagó S/. 640 por el artefacto, ¿a cuánto se ofrecía dicho artefacto?
c) 10 d) 12 e) 16
c) 120%
d
b) 8
c) 3 / 8
c) 40%
2
3 Un grifo llena un reservorio en 8 horas y un desagüe lo vacía en 12 horas. Ambos se abren durante 5 horas, luego se cierra solo el desagüe durante 4 horas y finalmente se vuelve a abrir hasta llenar el reservorio. ¿En cuántas horas se llenó el reservorio? a) 7
b) 90% e) 300%
b) 1 / 12 e) 2 / 9
13 El producto de dos números es mn. Si el valor de m se incrementa en 50% y el de n se reduce en 50%, ¿en cuánto varía dicho producto?
8 Un caño llena un pozo en cierto tiempo y un desagüe lo vacía en la tercera parte de dicho tiempo. Si el pozo estuviera lleno hasta sus 2 / 5 y se abriera simultáneamente el caño y el desagüe, se vaciaría en 6 horas. ¿En cuánto tiempo se llenaría el pozo, si funcionara solo el caño?
a) 18 b) 21 c) 24 d) 27 e) 30
a) 75% d) 200%
a) 8 / 9 d) 5 / 8
1
2 Un grupo de obreros pueden construir una carretera en 60 días. Si trabajan con otro grupo igual de obreros que es un 50% más eficiente, ¿en cuántos días construirán tal carretera?
7 Si a = 150%b, ¿cuál es el porcentaje de b que representa 2a?
e) 8
e
d) 7
b) S/. 10 920 d) S/. 11 648
b
c) 6
a) S/. 13 650 c) S/. 14 560 e) S/. 9100
c) 55%
12 Alex puede cavar una zanja en 9 horas mientras que Renzo puede cavarla en 15 horas. Si empiezan a cavar la misma zanja simultáneamente desde extremos opuestos, al encontrarse, ¿cuál es la fracción de la zanja que habrá cavado Renzo?
d
b) 4
b) 45% e) 80%
c
a) 2
¿Cuál fue el precio de venta del artículo?
a) 16% d) 74%
e
c
1 Un contratista se compromete a realizar una obra que comenzará el 1 de marzo y terminará el 4 de mayo, trabajando todos los días. Empiezan a trabajar 9 obreros, a razón de 8 horas diarias. Al terminar la jornada del día 15 de marzo, el propietario le dice que necesita la obra terminada para el día 8 de abril. Entonces, a partir del 16 de marzo se contratan más obreros y todos trabajan ahora a razón de 10 horas diarias. ¿Cuántos obreros más se contrataron?
c
Nivel IV
d 14
e 15
d 16
e 17
u nidad
2
igualdades especiales ¡Ah, sí! Ahora que nuestras edades suman 34 años, entonces tú ya debes tener...
Hola, ¿te acuerdas de mí? Soy Bety, fuimos de viaje cuando tú tenías 5 años y yo 9 años.
CONTENIDO ► cardinal de un conjunto ► numeración ► planteo de ecuaciones
37
so Pien
mientras
J U E G O Rueda de operaciones
En las intersecciones de las circunferencias coloca los signos de las operaciones ( + ; - ; × ; : ) de tal manera que se cumpla la igualdad. Debes colocar dichos signos de manera secuencial, por ejemplo: + ; - ; × ; : ; + ; - ; × ; : o - ; × ; + ; : ; - ; × ; + ; : , etc., efectuando las operaciones una a continuación de la otra, según la flecha.
7
2
= 4 2
1
10
5 1
6
¡No es difícil! ¡Tú puedes!
38
Tema
Alfonso Rojas Puémape
1
Cardinal de un conjunto
CARDINAL DE UN CONJUNTO (n) La cantidad o número de elementos diferentes que posee un conjunto recibe el nombre de cardinal o numeral de un conjunto.
Ejemplos: Sean los conjuntos: A = {a; e; i; o; u} ⇒ n(A) = 5 B = {0; 1; 2; …; 9} ⇒ n(B) = 10
r Cuando se relacionan dos conjuntos ¡ATENCIÓN!
1 De 40 personas que van al mercado, sabe-
Gráficamente: A
•a •e •i •u •o
n(A) = 5
o también:
mos que 30 compran arroz y 28 compran menestras. Si todos compran al menos uno de estos productos, ¿cuántas compran ambos productos?
Estrategia • Se identifican los conjuntos que intervienen y luego graficamos dichos conjuntos. • Colocamos en el gráfico los datos indicados. • Analizamos el gráfico y determinamos la operación a efectuar.
n(A) =5
• Identificamos dos conjuntos : compran arroz → A compran menestras → M • Graficamos y colocamos datos: n(A) = 30
n(M) = 28 A∩M
n(A∪M) = 40
• Calculamos n(A − M): n(A − M) = n(A ∪ M) - n(M) n(A − M) = 40 − 28 = 12 • Ahora calculamos n(A∩M): n(A ∩ M) = n(A) – n(A − M) n(A ∩ M) = 30 – 12 = 18 • Luego, compran 18 personas .
2 A Lima llegan 90 turistas, de los cuales 50
visitan Puno y 56 Cuzco. Si 8 de los turistas no visitarán estas ciudades, ¿cuántos visitarán ambas ciudades?
A
B
Estrategia
( A ∪B)'
A -B A∩ B B -A
U
donde: n(A∩B) = n(A) +n(B)-n(A∪B)
n(P) = 50
• Graficamos:
n(C) = 56
• Observamos que para graficar el último dato se requiere del conjunto universal (U).
¡IMPORTANTE! En el diagrama observamos:
• Identificamos dos conjuntos: Puno → P Cuzco → C
• Se identifican conjuntos y se grafican. • Observamos si es necesario graficar el conjunto universal (U). • Colocamos convenientemente los datos en el gráfico. • A partir del gráfico, determinamos las operaciones que se deben efectuar.
n(P) = 50 P-C
8
n(C) = 56 P∩C
n(U) = 90 • Calculamos n(P - C): n(P - C) = n(U) - n(P∪C)' - n(C) n(P - C) = 90 − 8 − 56 = 26 • Calculamos n(P∩C): n(P∩C) = n(P) - n(P - C ) n(P∩C) = 50 − 26 = 24 • Luego, 24 turistas visitarán ambas ciudades.
39 r Cuando se relacionan tres conjuntos 3 En un bus que sufrió un accidente, viaja-
ban 70 personas, de las cuales 30 tienen heridas en los brazos, 33 en las piernas, 27 en la cabeza, 11 en los brazos y piernas, 9 en las piernas y cabeza,10 en la cabeza y brazos y 3 resultaron ilesos. ¿Cuántas personas sufrieron heridas en la cabeza, brazos y piernas?
• Identificamos tres conjuntos: brazos → B ; piernas → P y cabeza → C • Graficamos: n(P) = 33
n(B) = 30
3
n(U) = 70
• Como muchos datos no se pueden ubicar directamente, indicamos una letra.
• Identificamos cuántos conjuntos están presentes en el problema y graficamos. • Observamos si los datos se pueden indicar directamente en el gráfico. • Indicamos una letra (incógnita) en un lugar donde se relacionen varios datos. • Formamos una ecuación y resolvemos.
9+x 10 - x
n(U) = 70
En el gráfico: 11 P
B x
n(P) = 33
n(B) = 30
Estrategia
¡ATENCIÓN!
n(C) = 27
11 - x x
13 + x
11 - x
3
9-x
8+x
C
n(C) = 27
9
B
P
• Ahora con los valores indicados a partir de x, formamos una ecuación:
x
9-x
C
30 + (13 + x) + (9 - x) + ( 8 + x) + 3 = 70 ⇒ x=7
• Luego, 7 personas sufrieron heridas.
4 Hoy asistieron 104 socios a un club. De
ellos, los que practican fútbol son el triple de los que practican solo básquet y natación. Los que practican solo natación son el doble de los que practican solo básquet y estos a su vez son el doble de los que no practican estos tres deportes. Si 32 practican solamente natación, ¿cuántos practican fútbol?
• Identificamos tres conjuntos. • Graficamos, indicando la incógnita y su relación con otros datos: n(B)
n(F) = 3x
x
n(N)
n(U) = 104
!
¡RECUERDA
• Ahora relacionamos los datos:
Estrategia
Del gráfico:
n(B)
n(F) = 3x 16
• Identificamos y graficamos los conjuntos que se relacionan. • Analizamos los datos para determinar cuál debe ser la incógnita. • Relacionamos los datos entre ellos y formamos la ecuación.
8
x
n(U) = 104
32
n(N)
• Formamos una ecuación:
3x + 16 + x + 32 + 8 = 104 ⇒ x = 12
• Luego, 36 socios practican fútbol.
A a m
n q
B b p
c
C
x
U
a+b+c+m+n +p+q+x=U
40
Alfonso Rojas Puémape
MáS RESUELTOS estas revistas. Si 18 compraron COSAS y VEA, 15 VEA y SOMOS, y 12 SOMOS y COSAS, ¿cuántos no compraron estas revistas?
1 De 90 estudiantes encuestados, sabemos
que a la mitad les gusta el rock y los que gustan de la salsa son el triple de los que gustan solo del rock. Si 18 no gustan de la salsa y ni del rock, ¿cuántos de los encuestados gustan solamente de la salsa?
¡ATENCIÓN!
El valor desconocido es aquel que se relaciona con otro de manera directa, así: “Los que gustan de la salsa son el triple de los que gustan solo del rock”. Los que gustan solo del rock = x Los que gustan = 3x de la salsa
Resolvemos: • Graficamos y asignamos una letra al valor desconocido: n(R) = 45 x
45 - x
4x - 45
n(U) = 90
• Del gráfico: x + 3x +18 = 90 ⇒ x = 18
18 - x 12 - x
36 - x
E! ¡IMPORTANT
En el siguiente diagrama:
A
B m
n
p
r
U
se cumple que: m + n + p + r = n(U)
n(U) = 120
48 + (6 + x) + (15 − x) + (24 + x) + (x + 15)=120 2x = 12 ⇒ x = 6
• Luego, los que no compraron estas revistas son: x + 15 = 6 + 15 = 21 personas 4 A una reunión asistieron 120 personas,
de las cuales 62 hablan castellano, 60 inglés y 53 francés, además 20 hablan castellano y francés, 28 francés e inglés, y 22 castellano e inglés. Si las que hablan solo francés son el triple de los que no hablan estos idiomas, ¿cuántas hablan los tres idiomas?
Resolvemos: • Graficamos y asignamos una letra al valor desconocido:
4x
n(I) = 60
n(C) = 62
x + 15
15 - x
• Del gráfico:
n(L) = 48 x
6+x
n(S) = 51
de los cuales a 36 les fallan los frenos y a 48 las luces. Si los que no presentan fallas son el cuádruple de los que presentan ambas fallas, ¿a cuántos autos les fallan solo los frenos?
Resolvemos: • Graficamos y asignamos una letra al valor desconocido:
x
24 + x
2 En un depósito vehicular hay 120 autos,
n(F) = 36
n(V) = 39
n(C) = 48
18
• Luego, los que gustan solo de la salsa son: 4x − 45 = 72 − 45 = 27 estudiantes
Resolvemos: • Graficamos, ubicamos datos y asignamos una letra al valor desconocido:
n(S) = 3x
n(U) = 120
22 - x
• Del gráfico: 36 − x + 48 + 4x = 120 ⇒ x = 12
• Luego, a los que les fallan solo los frenos son: 36 − x = 36 − 12 = 24 autos 3 A un puesto de revistas acuden 120
personas, de ellos 48 compraron la revista COSAS, 39 VEA y 51 SOMOS; los que compraron las tres revistas son 15 menos de los que no compraron
20 - x
x
10 + x 28 - x
5+x
n(F) = 53
5+x 3
n(U) = 120
• Del gráfico:
62 + (10 + x) + (28 − x) + (5 + x) + 5 + x = 120 3 4 ⇒ (5 + x) = 20 ⇒ x = 10 3 • Luego, las que hablan los tres idiomas son 10 personas .
41
M á S p ro p uestos 1 Una persona va todas las mañanas del
mes de junio a la panadería. Si compró pan durante 26 mañanas, tostadas durante 16 mañanas y siempre compró algunos de estos productos, ¿cuántas mañanas compró ambos productos? Rpta.: 12
2 En una entrevista de trabajo a 50 jóvenes,
se observó que 36 usaban saco y 33 corbata. Si 2 de los entrevistados no usaban corbata ni saco, ¿cuántos usaban solamente corbata? Rpta.: 12
3 Los alumnos del 4.° grado de secundaria
son 90, de ellos 41 saben jugar ajedrez, 48 saben jugar dominó y 16 ambos juegos, ¿cuántos de los alumnos no saben jugar estos juegos? Rpta.: 17
4 En un avión viajan 130 personas. Sabien-
do que en cierto momento 60 no comen, 50 no beben y 8 duermen plácidamente, ¿cuántas personas comen y beben? Rpta.: 28
5 De las 85 personas que viajan en un bus,
los que tienen solo gorro son el doble de los que tienen solo zapatillas. Si los que no tienen estos artículos son 5 menos de los que tienen ambos artículos y 55 tienen gorro, ¿cuántas tienen solamente zapatillas? Rpta.: 20
6 Entre 75 personas se determinó que a 25 les gustan las películas de terror y a 35 las cómicas. Si los que no gustan de estos tipos de películas son el triple de los que gustan solo las de terror, ¿cuántas personas gustan de ambos tipos de películas?
Rpta.: 15 7 Cuarenta personas visitan una joyería, de
ellas 15 compraron sortijas, 14 cadenas y 18 esclavas, además 5 compraron sortijas y cadenas, 7 cadenas y esclavas, y 4 esclavas y sortijas. Si 6 no compraron algunas de estas joyas, ¿cuántas personas compraron las tres joyas? Rpta.: 3
8 76 personas viajarán a Europa. Sabemos
además que 24 visitarán Francia, 42 Inglaterra, 31 España, 15 Francia e Inglaterra, 17 Inglaterra y España, y 9 España y Francia. Si los que no viajarán a estos tres países son el triple de los que viajarán a los tres países, ¿cuántos viajarán solamente a España? Rpta.: 10
9 A un paseo asisten 150 estudiantes. Sa-
bemos que 60 compraron churros, 80 helados y 50 gaseosas, además los que compraron churros y helados, helados y gaseosas, gaseosas y churros, y los que no compraron estos productos son el cuádruple, triple, doble y cuádruple respectivamente de los que compraron los tres productos. ¿Cuántos de los asistentes no compraron estos productos? Rpta.: 40
PISTA 4 En el gráfico: C U comen no comen
10 A un centro deportivo asisten 180
personas. El número de personas que practican solo vóley, solo natación y solo fútbol es respectivamente el triple, doble y cuádruple del número de personas que practica los tres deportes. Además 72 practican vóley, 54 natación y 90 fútbol. Si 18 practican vóley y natación, y 24 no practican estos deportes, ¿cuántos practican natación y fútbol? Rpta.: 24
11 En una casa de empleos están registradas
66 empleadas, de ellas 32 saben planchar, 16 cocinar y lavar, 14 lavar y planchar, y 18 planchar y cocinar. Si las que saben cocinar y lavar son respectivamente el quíntuple y triple de las que no saben realizar estas tres actividades y además 10 empleadas realizan estas tres actividades, ¿cuántas empleadas solamente saben cocinar? Rpta.: 8
12 De 200 personas que gustan de al me-
nos dos pasatiempos sabemos que a 75 les gustan los paseos y conciertos, a 90 los conciertos y exposiciones, y a 85 las exposiciones y paseos. ¿A cuántas personas les gustan los tres pasatiempos? Rpta.: 25
PISTA 7 Uno de los datos que resulta interesante en problemas de tres conjuntos es la intersección de ellos, ya que se relaciona con los demás datos.
42
Alfonso Rojas Puémape
control 1 Una empleada doméstica trabajó en una casa durante 40 días consecutivos. Si 28 días trabajó por la mañana y 30 días por la tarde, ¿cuántos días trabajó mañana y tarde?
4
4 De 100 estudiantes sabemos que 66 se comunican vía facebook, 62 vía twitter y 4 solamente por hotmail. ¿Cuántos estudiantes emplean las redes sociales facebook y twitter?
PISTA 3 ¡Resuelve aquí!
Si tienen al menos uno de los servicios, esto significa que existen cero departamentos que no tienen estos servicios.
PISTA 6 Relaciona solo dos conjuntos, ya que los que reciben solo diploma forman un conjunto disjunto al de los trofeos y medallas.
2 Clara fue al supermercado todos los días durante el mes de enero. Además durante 16 días compró frutas y 25 días compró pan. Si 4 días no compró ninguno de estos productos, ¿cuántos días compró solamente fruta?
5 A un concierto asisten 130 personas. Se observa que 90 usan lentes y 60 gorros. Si los que usan ambos artículos son el triple de los que no usan ninguno de estos artículos, ¿cuántas personas usan solo lentes?
3 En un edificio hay 40 departamentos, de ellos 28 tienen cable y 30 internet. Si todos tienen al menos uno de estos servicios, ¿cuántos departamentos tienen solo internet?
6 En un concurso se premió a 70 estudiantes, de ellos los que recibieron trofeos y los que recibieron medallas son el triple y cuádruple, respectivamente, de los que recibieron solo diploma. Si 10 recibieron trofeos y medallas, ¿cuántos estudiantes recibieron solo medallas?
43 Relaciona los procesos de solución que presentan dos o más problemas.
7 Los finalistas de una olimpiada fueron 300. Sabiendo que 31 obtuvieron medallas de oro, 45 de plata, 68 de bronce, 12 de oro y plata,14 de plata y bronce, y 11 de bronce y oro. Si 188 de los finalistas no obtuvieron medallas, ¿cuántos obtuvieron los tres tipos de medalla?
10 A una feria acuden 100 personas de las cuales las que comen anticuchos, picarones y churros son el séxtuple, quíntuple y cuádruple respectivamente de las que comen los tres productos. Si 30 personas comen anticuchos y picarones, 20 picarones y churros, 20 churros y anticuchos, y 10 no comen estos productos, ¿cuántos comen solo anticuchos?
PISTA 7
11) 50 10) 20
4) 32
9) 18
3) 12
8) 16
2) 2
7) 5
1) 18
COMPRUEBA
12 De 150 socios de un club sabemos que 45 tienen moto, 39 lancha y 54 auto, 15 moto y auto, 21 lancha y auto, los que tienen solo auto y moto, y los que tienen solo moto y lancha suman 12. Si los que no tienen estos vehículos son el doble de los que tienen solo auto, ¿cuántos de los socios solo tienen moto?
5) 60
9 Una distribuidora de golosinas atiende a 150 clientes, de los cuales 81 compran caramelos, 51 galletas, y 72 mentitas, 27 caramelos y galletas, y 33 galletas y mentitas. Si los que compran solo caramelos y mentitas son el doble de los que compran solo galletas y caramelos, además los que compran los tres productos son la mitad de los que no compran estos productos, ¿cuántos compran solamente galletas y mentitas?
Procura que en el gráfico la incógnita esté ubicada de tal manera que se relacione con el mayor número de datos posible.
12) 24
11 Un pueblo tiene 200 casas, de ellas a 90 les falta el servicio de electricidad, a 120 agua y a 80 teléfono. Sabemos que a los que les faltan solo agua son el quíntuple de los que les faltan solo electricidad y teléfono, y estos a su vez son la mitad de aquellos a los que les faltan solo electricidad y agua. Si a 20 les faltan los tres servicios y 10 casas tienen todos estos servicios, ¿a cuántas casas les falta agua y teléfono?
6) 30
8 Se sortearon juguetes entre 80 niños. Sabiendo que 42 obtuvieron carritos, 38 robots, 30 pelotas, 12 carritos y robots, 18 robots y pelotas, 14 pelotas y carritos, y los que obtuvieron solo carritos son el cuádruple de los que no recibieron juguetes, ¿cuántos recibieron solo robots?
Alfonso Rojas Puémape
2
Tema
44
NUMERACIÓN
r SISTEMA DE NUMERACIÓN Conjunto de principios, reglas y símbolos con los cuales se da nombre y representan todos lo números. Los símbolos que se utilizan para representar los números reciben el nombre de cifras.
r BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN ¡IMPORTANTE! Número: Es la idea de cantidad. Numeral: Es la representación de esa idea.
Es el número que indica la cantidad de unidades necesarias para formar una unidad de orden inmediato superior. En nuestro sistema de numeración (sistema decimal) se tiene que: • 10 unidades forman una decena.
Ejemplo:
• 10 decenas forman una centena.
• 5762 numeral de cuatro cifras diferentes.
• 10 centenas forman un millar y así sucesivamente.
La base de un sistema de numeración es un número entero positivo mayor que uno, que además indica la cantidad de cifras diferentes que se pueden emplear en dicho sistema.
Principales sistemas de numeración BASE
CIFRAS DISPONIBLES
NOMBRE
2
0; 1
BINARIO
3
0; 1; 2
TERNARIO
4
0; 1; 2; 3
CUATERNARIO
5
0; 1; 2; 3; 4
QUINARIO
6
0; 1; 2; 3; 4; 5
SENARIO
7
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
HEPTANARIO
8
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
OCTANARIO U OCTAL
9
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
10
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 DECIMAL
NONARIO
r REPRESENTACIÓN DE UN NÚMERO EN UN SISTEMA DE NUMERACIÓN 3a(n):
número de dos cifras en base n.
Ejemplo:
5m3 (b):
número de tres cifras en base b.
Si los numerales a35 (6) y 42(a) están correcta-
3ab21 (7) : número de 5 cifras en base 7.
¡RECUERDA!
3a8b: Un número se denomina capicúa, cuando al invertir el orden de sus cifras, no varía su valor, así: 595 → 595 3773 → 3773
número de 4 cifras en base 10 ( la base no se indica)
2n2:
número capicúa de 3 cifras en el sistema decimal ( base 10)
m33m:
número capicúa de 4 cifras en base 10.
Debemos tener presente que en todo sistema de numeración, la base es siempre mayor que cualquiera de sus cifras.
mente escritos, halla el valor de a.
Estrategia • Determinamos una relación entre la base y las cifras de cada numeral. • Unimos ambas relaciones y determinamos el valor que buscamos.
De a35 (6) ⇒ a < 6 De 42(a) ⇒ a > 4 Luego, el valor de a es 5 .
4<a<6 a=5
45 r DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO
Consiste en expresar un número en términos de potencias de su base. 4 3 2 1 0
abcde (n) = a.n 4 + b.n 3 + c.n 2 + d.n + e Ejemplo: • 7356(8) = 7 × 83 + 3 × 82 + 5 × 8 + 6 • 342(6) = 3 × 62 + 4 × 6 + 2
• 2131(4) = 2 × 43 + 1 × 42 + 3 × 4 + 1
• 23431(5) = 2 × 54 + 3 × 53 + 4 × 52 + 3 × 5 + 1
r CAMBIO DE BASE • CASO I Convierte un número del sistema de base 10 al sistema de base n (n ≠ 10).
782 9 62 86 8 5
9 9 0
NOTITA
9 1
Ejemplo: Convierte 782 al sistema de base 9 (o simplemente a base 9).
Para tal conversión procedemos a efectuar divisiones sucesivas por 9, considerando a los cocientes como dividendos hasta que sean menores que 9, así:
• El número equivalente se forma con el último cociente seguido de los demás residuos tomados de derecha a izquierda.
• CASO II Convierte un número de una base diferente de 10 al sistema de base 10.
Ejemplo: Convierte 4532(6) a base 10.
Esta conversión se puede realizar de dos formas, veamos: II . 1 Por descomposición polinómica: Se descompone el número y se efectúa:
4532(6) = 4 × 6 3 + 5 × 6 2 + 3 × 6 + 2
4532(6) = 864 + 180 + 18 + 2 = 1064
• CASO III Convierte un número de una base diferente de 10 a otra base también diferente de 10.
Ejemplo: Convierte 356(7) a base 5.
Estrategia Para realizar estas conversiones procedemos en dos partes: 1.° Convertimos el número inicial a base 10 (por descomposición polinómica o por el método de Ruffini). 2.° El número ya expresado en base 10 lo convertimos a la base requerida (por divisiones sucesivas).
1< 9
⇒ 782 = 1058(9)
Se suman los números en una columna, el resultado se multiplica por el número que representa la base y el producto se coloca en la siguiente columna.
II. 2 Por el método de Ruffini: Se procede de la siguiente manera: 4 5 3 2 6 ↓ 24 174 1062
(×)
4 29 177 1064 (×)
⇒ 4532(6) = 1064
• Convierte 356(7) a base 10:
7
3 ↓ 3
5 6 21 182 26 188
• Convirtiendo 188 a base 5: 188 5 38 37 3 2
5 7 2
5 1
⇒ 356(7) = 1223(5)
¡OBservación! Al comparar dos numerales en bases diferentes, a mayor base, menor numeral y a menor base mayor numeral.
46
Alfonso Rojas Puémape
MáS RESUELTOS
¡RECUERDA! En a3(b) se cumple que:
• 3 < b • a < b
1 ¿Cuántos números de la forma a(a + 1)(a - 1)(8) existen?
Resolvemos: • Analizamos y determinamos los posibles valores para a: a(a + 1)(a - 1)(8) ↓ ↓ ↓ 1 2 0 Existen 6 números: 2 3 1 3 4 2 120(8) ; 231(8) ; 4 5 3 342(8) ; 453(8) ; 5 6 4 564(8) y 675(8) 6 7 5 7 8 6 2 Convierte el numeral (4a)(a + 6)(a)(8) al sistema de base 6 y da como respuesta la cifra de mayor orden.
Resolvemos: • No se puede convertir directamente, debido a que no se sabe el valor de a. • Calculamos el valor de a analizando el numeral: (4a)(a + 6)(a)(8) ↓ ↓ ↓ Para a = 1: 4 7 1 Para a = 2: 8 8 2
¡IMPORTANTE! Descomposición polinómica de un numeral de la forma abc(n) : an2 + bn + c
Resolvemos: • Analizando cada numeral:
3b4(a) ⇒ b < a y 4 < a
a52(c) ⇒ a < c y 5 < c
3c5(7) ⇒ c < 7
4<a<c<7 ↓ ↓ 5 6
• Entonces: a + c = 5 + 6 = 11
2(n - 2)2 + 3(n - 2) + 4 = (n + 1)2 + 5 n(n - 7) = 0 ⇒ n= 7 5 Calcula el valor de n, si:
34(n) + 52(n) = 130(n)
Resolvemos: • Descomponemos polinómicamente y resolvemos: (3n + 4) + (5n + 2) = n2 + 3n 0 = n2 - 5n - 6 n -6 n +1 0 = (n - 6)(n + 1)
especiales de 1; 5; 25; 125; … centímetros cada una. Para medir una longitud de 2 metros, ¿cuántas de estas reglas necesitará?
3 Si los numerales: 3b4(a); a52(c) y 3c5(7)
Resolvemos: • Descomponemos polinómicamente ambos miembros de la igualdad y resolvemos:
6 Un obrero dispone de un juego de reglas
orden
están correctamente escritos, halla el valor de a + c.
halla el valor de n.
• Entonces: n - 6 = 0 ⇒ n = 6
• Entonces: (4a)(a + 6)(a)(8) = 471(8) = 313 • Ahora convertimos el número a la base 6 (divisiones sucesivas) 313 6 13 52 6 1 4 8 6 ⇒ 1 241(6) cifra de mayor 2 1
4 Si se cumple que: 234(n - 2) = 105(n + 1) ,
Resolvemos: • Observamos que las longitudes de cada regla están representadas por potencias de 5. • Las potencias de un número se indican siempre en una descomposición polinómica. • Expresamos la longitud a medir en el sistema de base 5 (divisores sucesivas) 2 m < > 200 cm ⇒ 200 5 0 40 5 0 8 5 3 1 • Entonces: 200 = 1300(5)
Descomponiendo: 1300(5) = 1 × 53 + 3 × 52 • Luego, se usó: 1 + 3 = 4 reglas
47
M á S p ro p uestos 1 Indica la cantidad de números de la forma
a (a + 4)(2a)(12) que existen. 2
12 Para pesar joyas se tiene un conjunto de
pesas de 1; 3; 9; 27; 81; ... gramos. Si se pesó una joya de 500 gramos de oro, ¿cuántas de estas pesas se emplearon?
Rpta.: 2
2 Determina la cantidad de números de la
forma a(a + 3)(a - 4)
a 3
(16)
Rpta.: 6 pesas
que existen.
13 Indica la base del sistema de numeración
Rpta.: 3
en el cual el mayor número de tres cifras y el menor número de 3 cifras, convertidos al sistema decimal, suman 1451.
3 Convierte al sistema de base 9 el numeral a(2a)(3a)( a + 2 ) (4) y da como respuesta la cifra de menor orden. Rpta.: 3
Rpta.: 11 14 Determina la base del sistema de numera-
4 Convierte el numeral a(a + 3)( a + 2 ) (5) al sistema de base 7, luego determina la suma de las cifras de mayor y menor orden.
ción en el cual la suma del mayor número de 3 cifras diferentes y el menor número de 3 cifras suman, en el sistema decimal, 798. Rpta.: 9
Rpta.: 12 5 Sabiendo que los siguientes numerales
15 Si: aaa(8) = 100a(6) ;
están escritos de forma correcta:
25c (b) ; a16(8) ; 42b(a); halla el valor de a + b.
halla el valor de
a + 1.
Rpta.: 13 6 Si los numerales: 76b(9); 536a(b) y m65n(a)
están correctamente escritos, halla el valor de a + b. Rpta.: 15
7 Si se cumple que: 48(n + 1) = 62( n - 1) ,
calcula el valor de n.
Rpta.: 8
8 Si: 140(a - 2) = 85(a), determina el valor
de a.
Rpta.: 9
9 Sabiendo que: 215(n) + 327(n) = 544(n) ,
calcula el valor de n.
Rpta.: 8 10 Calcula el valor de a que verifica la siguiente igualdad:
43(a + 1) + 54(a + 1) = 117 (a + 1)
Rpta.: 7
Rpta.: 3 envases
Compara cada cifra del numeral con la base indicada.
Rpta.: 2
16 Si se cumple que: aaa(9) = 1a0a(6);
calcula el valor de 2a + 1.
Rpta.: 3
17 Si: mnn(8) = 18m(9);
determina el valor de m + n.
Rpta.: 5
18 Sabiendo que: aabb (5) = (a + 4)ba (7);
halla el valor de b - a.
Rpta.: 2
19 Halla el valor de n, si:
410(n) - 243(n) = 134(n).
Rpta.: 7
20 Calcula el valor de a, si se cumple:
a(2a)(3a) = (a + 1)( a + 2 )(7).
11 En un laboratorio al vender alcohol se
emplean envases de 1; 2; 4; 8; 16; … litros. Si un comerciante compra 100 litros de alcohol, ¿cuántos envases emplean para envasar tal cantidad de alcohol?
PISTA 1
Rpta.: 3
21 Indica, en el sistema decimal, el número
de la forma:
(a - 1)(2a)
a (a - 1)2(a + 5) . 2
Rpta.: 547
PISTA 7 Debes descomponer polinónicamente cada numeral de la igualdad.
48
Alfonso Rojas Puémape
control 1 Determina la cantidad de números de la
forma (a - 3)(a + 2)( a )(a)(12) que existen. 2
PISTA 2
5
4 Si los numerales:
1mm(n) ; mn(6) y 2123(m)
están escritos de forma correcta, ¿cuánto suman m y n?
¡Resuelve aquí!
Recuerda que en el sistema de base 10 (sistema decimal) la base no se coloca, está sobreentendida. 37 = 37(10)
2 ¿Cuántos números de la forma
(n - 3)(n - 2)n(n - 2)(n - 3) existen?
5 Los numerales:
3 Convierte al sistema de base 7 el numeral
PISTA 4 Ten presente que la mayor de las cifras que conforman un numeral siempre es menor que la base del sistema en el que está escrito.
de la forma: (a + 5)(3a)(a)(a - 2)(9)
y da como respuesta la suma de las cifras de mayor y menor orden.
abba(c); 7cc (9); a142 (b)
y 325(a)
están adecuadamente escritos. Determina el valor de a + b + c.
6 Sabiendo que: 342(n) = 141(n + 3), calcula
el valor de n.
49 Recuerda la teoría apropiada y trata de emplearla en la solución de nuevos problemas.
PISTA 8 10 ¿En qué sistema de numeración el mayor
7 Si: mnm(9) = (2n)(2n)m(8), halla el valor
y menor número de tres cifras suman, en el sistema decimal, 575?
de m - n.
Recuerda que a menor numeral aparente, la base es mayor. Ejemplo: 2318 = 421n Como: 231 < 421 ⇒ 8>n
8 Calcula el mayor valor que puede tomar
n, si:
11 Sabiendo que:
(n)(n + 1)(n + 2) = (n - 1)(n)(9)
(n - 1)(n - 2)n(8) = nnn (7), calcula el valor de n. PISTA 9 Asume una letra para indicar la base y luego efectúa una descomposición polinómica de todos los números.
determina el valor de a2 - b2.
10) base 8 9) 6
3) 2
2) 6 números 8) 5 1) 3 números 7) 2
COMPRUEBA
(2b)(a + b)(a - b)(6) = bbaa (4),
4) 9
11) 5
24 + 34 + 41 = 143
12) 5
12 Si se cumple que:
5) 21
el cual se cumple la siguiente operación:
6) 5
9 Determina el sistema de numeración en
50
Alfonso Rojas Puémape
c á l c ulo r á p id o MULTIPLICANDO POR NUEVE
1. Para preparar una torta se requieren 640 gramos de harina. Si se prepararán 9 tortas, ¿cuántos gramos de harina se necesitarán?
Resolvemos: • Multiplicamos la cantidad de harina que se requiere para preparar una torta por el número de tortas; ... ¡hazlo mentalmente! • Multiplicando 64 por 10: 64 × 10 = 640
• A esta cantidad le restamos el número multiplicado: 640 - 64 = 576
¡IMPORTANTE!
Respondemos:
El artificio proviene de efectuar la operación:
Se necesitarán 5760 gramos .
64 × 9 = 64 (10 - 1) = 576
2 Un autobús recorre 85 kilómetros en una
3 En una empresa, cada una de las nue-
4 Nueve amigos van a realizar un viaje y
5 Un sobre de mermelada pesa 125 gra-
6 Sabemos que para preparar una hambur-
7 Una carretilla puede llevar en un solo viaje
hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 9 horas?
¡CUIDADO!
acuerdan aportar S/. 320 cada uno. ¿A cuánto asciende el monto aportado?
ve recepcionistas recibe un sueldo de S/. 840. ¿Cuánto dinero se emplea en el pago de las recepcionistas?
mos. ¿Cuánto pesarán 9 de estos sobres?
El cero de 640 lo escribimos al lado del resultado de multiplicar 64 × 9.
guesa se emplean 144 gramos de carne. Para preparar 9 hamburguesas, ¿cuántos gramos de carne se necesitarán?
un máximo de 9 cajas de medicina. Si cada caja pesa 4,50 kg, ¿cuál es el peso que transporta como máximo por viaje?
51
Al hacer cálculo rápido lo hacemos mentalmente empleando técnicas basadas en propiedades matemáticas.
MULTIPLICANDO POR LA DISTRIBUTIVA
8. Una costurera puede confeccionar un vestido en 42 minutos. ¿Cuánto tiempo demorará en confeccionar 56 vestidos?
Resolvemos: • Multiplicamos el número de vestidos por el tiempo de confección de cada uno ... ¡mentalmente! 42 × 56 • Descomponemos 42 y efectuamos:
(40 + 2)56
= 40 × 56 + 2 × 56 = 2240 + 112
= 2352
Respondemos: Demorará 2352 minutos o 39 horas 12 minutos.
9 El jefe de compras de una empresa re-
quiere 72 sillas giratorias. Si cada una cuesta S/. 120, ¿cuánto dinero necesita para realizar la compra?
¡IMPORTANTE! El factor a descomponer como una suma o diferencia, debe ser el más simple, sin importar su valor. Ejemplo:
• 51 × 36 (50 + 1) × 36 • 33 × 25 (30 + 3) × 25 • 35 × 27 35 (30 - 3)
10 El costo para ver una película, en el cine,
es S/. 25. Si hoy asisten 240 personas, ¿cuánto se ha recaudado?
DESAFÍO 11 Un atleta recorrió diariamente 32 kilóme-
tros. Si tal atleta corrió durante 27 días, ¿cuántos kilómetros recorrió?
13 Sabiendo que un estante pesa 24 kilogra-
mos y un camión transporta 32 de estos, ¿cuántos kilogramos de carga transporta el camión?
12 Se han envasado 35 bidones con disol-
vente, cuyo contenido es de 52 litros cada uno. ¿Cuántos litros de disolvente se han envasado?
14 Una cañería averiada desperdicia 180 li-
tros de agua mensualmente. ¿Cuántos litros de agua se desperdician en 2 años?
Efectúa: • 45 × 12 • 21 × 38 • 42 × 34 • 55 × 45 • 64 × 25
Alfonso Rojas Puémape
3
Tema
52
Planteo de ecuaciones
Plantear una ecuación significa traducir un enunciado expresado en lenguaje habitual o cotidiano al lenguaje simbólico o matemático. 1. Piensa un número de una cifra:
Luchín , ¿sabes que puedo determinar el número que piensas?
x
2. Súmale 6: ¿Cómo?
x+6
3. Multiplica la suma por 2: 4. Resta al producto el número pensado:
2x + 12
5. Después a la diferencia, réstale 12:
I. PLANTEO DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1 Cada vez que un estudiante presenta su
tarea, el profesor lo bonifica con 5 puntos y cuando no la presenta le resta 3 puntos. Si el profesor propone 18 tareas en el mes y un estudiante obtiene una bonificación de 42 puntos, ¿cuántas tareas presentó?
Estrategia • Lee el enunciado procurando identificar el valor que se desconoce. • Asignamos una letra (x) a dicho valor y planteamos la ecuación. • Resolvemos la ecuación.
¡CUIDADO! 2 Ana tiene ahorrado el doble de dinero que Como la incógnita no coincide con el valor que se pide, asignamos por incógnita al valor que se relaciona con más datos.
x
Ahora dime tu respuesta …, entonces el número que pensaste es ese.
¡RECUERDA!
Para plantear la ecuación debemos establecer cómo se relacionan los datos con el valor asumido(x).
x + 12
Betty y Carmen tiene S/. 100 más que el doble de lo que tiene Ana. Si entre las tres tienen ahorrado S/. 1500, ¿cuánto tiene ahorrado Carmen?
• Ya que nos piden determinar el número de tareas que presentó, entonces
• Como sabemos el total de tareas (18), tenemos: N.° de tareas que no presentó = 18 - x • Relacionando datos:
5(x) − 3(18 - x) = 42
• Efectuando y resolviendo:
8x − 54 = 42 ⇒ x = 12
• Luego, el estudiante presentó 12 tareas .
• Asumimos que la incógnita (x) es lo que tiene Betty: Betty = x • Relacionamos con los demás datos:
Estrategia • Identificamos la incógnita (x). • Relacionamos la incógnita con los datos y formamos la ecuación. • Resolvemos la ecuación.
N.° de tareas que presentó = x
Ana = 2x Carmen = 2(2x) + 100
• Planteando y resolviendo: x + 2x + (4x + 100) = 1500 ⇒ x = 200 • Luego, Carmen tiene:
4(200) + 100 = S/. 900
53
II. PLANTEO DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO 3 María gastó S/. 19 al comprar 2 cuadernos y
3 lapiceros y Luisa gastó S/. 31 al comprar 5 cuadernos y 2 lapiceros. Si Juana compró 3 cuadernos y 4 lapiceros, ¿cuánto pagó?
Estrategia • Identificamos los valores incógnitas. • Relacionamos las incógnitas con los datos para formar ecuaciones. • Resolvemos el sistema de ecuaciones determinado.
4 Si a los dos términos de una fracción le sumamos 4 unidades, resulta la fracción 3 / 4 y si a los dos términos le restamos 2 unidades, resulta la fracción 1/ 2. ¿Cuánto suman los términos de dicha fracción?
• Como los precios de cada artículo no se conocen, entonces: cuaderno = x; lapicero = y • Planteando las ecuaciones: 2x + 3y = 19 ... 1 SISTEMA DE DOS ECUACIONES 5x + 2y = 31 ... 2 • Resolvemos: (-2) 1 : −4x − 6y = −38 (+) (3) 2 : 15x + 6y = 93 11x = 55 ⇒ x = 5 y=3 • Luego: 3(5) + 4 (3) = S/. 27
• Sea la fracción ( a ); del enunciado tenemos: b a + 4 3 = ⇒ 4a − 3b = −4 ... 1 b+4 4
a - 2 = 1 ⇒ 2a – b = 2 ... 2 b-2 2
• Resolvemos: Los términos de una fracción son el numerador y el denominador.
1 + (−3) 2 : 2a = 10 ⇒ a = 5 b=8 • Luego: a + b = 13
¡ATENCIóN! MÉTODO DE REDUCCIÓN Se multiplica cada ecuación por un número tal que los coeficientes de una misma variable se anulen al sumarse la ecuaciones.
III. PLANTEO DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 5 Sabiendo que las medidas de los lados de
un rectángulo están representadas por dos números pares consecutivos y su área es 48 cm2, ¿cuánto mide el largo del rectángulo?
Estrategia Si la ecuación que se forma es de segundo grado, esta se resuelve factorizando por aspa simple.
6 Un desagüe demora tres horas más en
vaciar una cisterna completamente llena que un grifo en llenarla. Si estando la cisterna vacía se abre simultáneamente el grifo y el desagüe, esta se llena en 18 horas. ¿Cuánto tiempo demora el grifo en llenar la cisterna?
• Sean las medidas: ancho = x largo = x + 2 • Planteamos y resolvemos: x(x + 2) = 48 ⇒ x2 + 2x − 48 = 0 x +8 x −6 (x + 8)(x − 6) = 0 ⇒ x = 6 • Luego, el largo mide: x +2 = 8 cm NOTITA
1. Sean los tiempos que emplean: grifo: x h desagüe: (x + 3) h 2. En una hora: 3. Planteamos 1 1 - 1 = 1 grifo: x x + 3 18 x x2 + 3x - 54 = 0 desagüe: - 1 x+3 +9 x juntos: 1 x −6 18 (x + 9)(x - 6) = 0 4. Luego, la cisterna ⇒ x=6 demora 6 horas .
Para verificar la factorización: x2 + 2x - 48 = 0 x +8 = +8x x -6 = -6x +2x
54
Alfonso Rojas Puémape
MáS RESUELTOS 1 Si al cuádruplo de la longitud de un puen-
te le aumentamos 150 metros, se obtiene un equivalente a 7 veces su longitud, disminuida en 210 metros. ¿Cuánto mide dicho puente?
¡IMPORTANTE!
Resolvemos: • Sea x la longitud del puente. • Planteamos: 4x + 150 = 7x - 210 • Resolviendo: 3x = 360 ⇒ x = 120 • Luego, el puente mide 120 metros .
Cuando se aplica el método de reducción para resolver un sistema de ecuaciones, la variable a reducir debe ser la que presenta coeficientes numéricos opuestos.
2 Una persona visita los negocios cercanos
a su casa. Al dueño de la bodega le propone: “Préstame tanto dinero como el que tengo ahora en mi billetera y gastaré en tu negocio S/. 200”; le acepta y después va a la farmacia y luego a la ferretería con la misma propuesta. Si al llegar a casa no tiene dinero, ¿cuánto tenía al llegar a la bodega?
• • • • •
Resolvemos: Sea el dinero que tiene inicialmente x. Planteamos: Bodega: (x + x) - 200 = 2x - 200 Farmacia: 2(2x - 200) - 200 = 4x - 600 Ferretería: 2(4x - 600) - 200 = 8x - 1400 Al llegar a casa: 8x - 1400 = 0 Resolviendo: x = 175 Luego, al llegar a la bodega tenía S/. 175 .
de faldas. Antes de realizar el acuerdo de trabajo hace un descuento de S/. 5 por falda y ahora su ganancia se reduce en S/. 60. ¿Cuánto invirtió en materiales?
Resolvemos: • Sea: números de faldas = n y costo de materiales = m • Planteamos: 25n – m = 270 … 1 20n – m = 210 … 2 • Resolviendo (restando ambas ecuaciones): 25n - m = 270 (-) 20n - m = 210 5n = 60 ⇒ n = 12; m = 30 • Luego, en materiales invirtió S/. 30 . 5 Si al cuadrado de un número positivo se
le disminuye 13 veces el mismo número, el resultado es 30 unidades. ¿Cuál es el valor de la tercera parte del número?
Resolvemos: • Sea x el número. • Planteamos: x2 - 13x = 30 • Resolvemos:
x2 - 13x - 30 = 0 ⇒ (x - 15)(x + 2) = 0 - 15 x = 15 ∨ x = - 2 x x +2 • Luego, la tercera parte del número es 5 . 6 Juan compró cierto número de sacos de
3 Entre Antonio y César tienen S/.288. Si
Antonio le diese S/. 40 a César, este tendría el doble de lo que le quedaría a Antonio. ¿Cuánto dinero tiene Antonio?
¡ATENCIóN! Si: (x - 15)(x + 2) = 0 Entonces: x - 15 = 0 ⇒ x = 15 o x+2=0 ⇒ x=-2
Resolvemos: • Asumimos: Antonio = a y César = c • Planteamos: a + c = 288 … 1 2(a - 40) = c + 40 ⇒ 2a - c = 120 … 2 • Resolviendo (sumando ambas ecuaciones): a + c = 288 (+) 2a - c = 120 3a = 408 ⇒ a = 136 • Luego, Antonio tiene S/. 136 . 4 Una costurera cobra S/. 25 por coser una
falda, incluyendo materiales. Se sabe que piensa ganar S/. 270 por cierto número
arroz por S/.720. Si cada saco hubiese costado S/.12 menos, hubiera comprado 3 sacos más. ¿Cuántos sacos compró?
Resolvemos: • Sea: N.° de sacos inicial = x N.° de sacos final = x + 3 • Planteamos: 720 - 12 = 720 x x+3 • Efectuamos y reducimos: 720 ( 1 – 1 ) = 12 ⇒ 180 = x(x + 3) x x+3 • Resolvemos: x2 + 3x - 180 = 0 ⇒ (x + 15)(x - 12) = 0 + 15 x = - 15 ∨ x = 12 x x - 12 • Luego, compró 12 sacos .
55
M á S p ro p uestos 1 Determina la longitud de un túnel, sabien-
8 Sabemos que una lámpara cuesta S/. 30
Rpta.: 80 m
Rpta.: 9 lámparas
2 Juan tiene cierta cantidad de dinero en su
9 Tres amigos reúnen lo que tienen para
do que el quíntuplo de su longitud disminuido en 180 metros equivale al doble de su longitud aumentado en 60 metros.
billetera. Su jefe le promete dar por cada día de trabajo, tanto como la cantidad de dinero que lleva ese día. Sabiendo que después que le pagan, cancela S/. 30 en gastos y que luego de 3 días consecutivos aún le quedan S/. 110, ¿cuánto tenía inicialmente?
Rpta.: S/. 40 3 María y Ada han logrado coleccionar un total de 156 pulseras. Si María le da a Ada 32 de sus pulseras, ahora Ada tendrá el triple de lo que le queda a María. ¿Cuántas pulseras tenía Ada inicialmente?
Rpta.: 85 pulseras 4 Por soldar los tubos de un andamio, un soldador cobra S/. 8 por punto, incluyendo la soldadura y piensa ganar S/. 100 por todo el trabajo. Al momento de cerrar el trato hace un descuento de S/. 2 por punto, resultando que ahora gana S/. 70. ¿Cuánto invirtió en soldadura?
Rpta.: S/. 20 5 Si al sumar el cuadrado de un número
positivo con 15 veces dicho número se obtiene 216, ¿cuál será el valor del triple de dicho número?
Rpta.: 27 6 Un médico trabaja en una clínica 6 horas diarias. Cierto día decide atender 3 minutos menos a cada paciente y así poder atender a 4 pacientes más. ¿A cuántos pacientes atiende normalmente?
comprar una impresora. Si Beto aporta S/. 40 más que Ángel, Carlos aporta tanto como Ángel y Beto y la impresora costó S/. 440, ¿cuánto aportó Beto? Rpta.: S/. 130
10 Se tiene una fracción propia. Si al numera-
dor le aumentamos 5 unidades y al denominador le disminuimos 2, la fracción que resulta es 5/6; en cambio, si al numerador le disminuimos 2 unidades y al denominador le aumentamos 1, la fracción que resulta es 1/5. ¿Cuál es dicha fracción?
PISTA 2 Darle tanto como lo que lleva equivale a que ahora tenga el doble de lo que tenía.
Rpta.: 5/ 14 11 Si a los dos términos de una fracción
propia le aumentamos 3 unidades, la fracción que ahora resulta es 5/ 6, pero si le disminuimos 5 unidades, la fracción resultante es 1/ 2. ¿Cuál es la fracción? Rpta.: 7/ 9
2 12 El área de un rectángulo es 675 cm . Si el
largo excede al ancho en 2 cm, ¿cuánto mide el ancho del rectángulo? Rpta.: 25 cm
13 La longitud de los lados de un rectán-
gulo está determinada por dos números cuya diferencia es 6. Si su diagonal mide 30 cm, ¿cuánto mide el largo? Rpta.: 24 cm
14 Si la tercera parte del cuadrado de la edad
Rpta.: 20 pacientes
que Lidia tenía hace 10 años es igual a la edad que tendrá dentro de 8 años, ¿cual es la edad de Lidia? Rpta.: 19 años.
7 La señora Lucía compró 8 platos y 5 ta-
15 Un caño tarda 3 horas más que otro en
Rpta.: S/. 8
Rpta.: 3 horas
zas por S/. 49 y la señora Martha compró 5 platos y 2 tazas por S/. 25. Si la señora Ruth compró un plato y una taza, ¿cuánto pagó?
y una linterna S/. 18. Si un minorista compró 30 de estos artículos por un monto de S/. 648, ¿cuántas lámparas compró?
llenar un tanque vacío. Si estando vacío el tanque se abren los dos caños, este se llena en 2 horas, ¿en cuánto tiempo lo llenaría el caño que vierte más agua?
PISTA 10
fracción propia numerador a ; (a < b) b denominador
56
Alfonso Rojas Puémape
control 1 Se tienen tres números pares consecuti-
vos, tales que si el mayor se divide por 5, el intermedio por 7 y el menor por 2, la suma de los cocientes resulta 23. Determina el número mayor.
6
4 Si a cada término de una fracción propia
se le aumentan 5 unidades, se obtiene la fracción 4 / 5, pero si a cada término se le disminuyen 4 unidades, se obtiene la fracción 1 / 2. Determina la diferencia de tales términos.
PISTA 1 ¡Resuelve aquí!
Los números pares consecutivos se diferencian siempre en dos unidades. 10; 12; 14; 16; ... +2
+2
+2
2 Cuatro hermanos acuerdan dar una
5 Las longitudes de los tres lados de un
3 Cuando Karina viaja con su esposo,
6 Una heladería vende solo helados de
colaboración para el regalo de mamá. Antonio da la mitad de lo que da Bruno, Bruno da S/. 20 más de lo que da Carmen y Carmen da el cuádruplo de lo que da Doris. Si entre todos logran juntar S/. 360, ¿cuánto aportó Antonio?
triángulo rectángulo están representadas por tres números pares consecutivos. Halla la medida del lado menor.
PISTA 5 En un triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras. a
b c
⇒ a2 + b2 = c2
mamá y dos de sus menores hijas, gasta en pasajes S/. 520, en cambio cuando viaja con su hermana mayor y sus tres menores hijas gasta S/. 480. Si las menores pagan menos, ¿cuánto se paga por cada una de ellas?
paleta y helados de crema. Una persona pensó comprar 4 helados de paleta y 3 de crema y así pagar S/. 17, pero compró 5 de paleta y 2 de crema, pagando S/. 16. ¿Cuánto cuestan dos helados de paleta?
57 Relaciona tus conocimientos adquiridos, para determinar nuevas estrategias de solución.
7 Hace dos años la edad de Nelly fue el tri-
ple de la edad de Juana y dentro de 2 años la edad de Nelly será el doble de la edad de Juana. Indica la edad actual de Juana.
10 Un arquitecto ofrece realizar un proyecto
en 18 días, pero tarda 6 días más, por trabajar 2 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó diariamente?
PISTA 9
8 Dos hermanos ganaron, en cierto nego-
11 La altura de un triángulo mide la tercera
9 Un obrero realiza un trabajo en la cuarta
12 Una cuadrilla de obreros pueden cons-
cio, S/. 79 050. Si los 3 / 4 de lo que ganó el mayor equivale a los 4 / 5 de lo que ganó el menor, ¿cuánto ganó el menor?
parte de lo que mide su base. Si el área de dicho triángulo es 216 cm2, ¿cuánto mide su base?
Para relacionar el trabajo, determinamos cuál es la parte del mismo que realiza cada uno y también en forma conjunta, en un día.
12) 30 días 10) 6 horas 9) 20 días 8) S/. 38 250 7) 6 años 6) S/. 4 5) 6u 4) 3 3) S/. 80 2) S/. 70 1) 30 COMPRUEBA
truir una pared perimétrica de un campo deportivo en cierto número de días, mientras que otra cuadrilla demoraría 30 días menos. Si ambas cuadrillas trabajaran juntas, dicha pared se construiría en 20 días. ¿Cuántos días demora la cuadrilla más eficiente?
11) 36 cm
parte del tiempo que emplea su ayudante. Si trabajando juntos hacen el trabajo en 4 días, ¿en cuántos días hace dicho trabajo el ayudante, si trabaja solo?
58
Alfonso Rojas Puémape
matemática recreati va 1. Los chicos de mi cuadra
En mi cuadra, los Azurra tienen 4 hijos más que los Reyes, los Álvarez 4 menos que los Velarde, los Velarde 3 más que los Reyes y los Nieto 2 menos que los Velarde. Cuando llegaron a vivir a la cuadra los Bautista, notaron que la cantidad de hijos en nuestras familias, incluidos ellos, eran números consecutivos. ¿Cuántos hijos tienen los Bautista en relación a los Álvarez?
2. Haciendo malabares
Dos equilibristas han colocado 5 trozos de madera en posición vertical; además la longitud de cada uno de estos es 7; 10; 8,5; 12 y 9 centímetros, respectivamente. Si en cierto momento durante la función, uno de los trozos de los extremos cae, ¿cuál es el trozo de madera que no tocará a los demás, si la distancia entre trozo y trozo es 8 cm?
¡Resuelve aquí!
59
3. OPERADORES MATEMÁTICOS
Coloca operadores matemáticos entre los números, de tal manera que se cumpla la igualdad.
Ubiquen operadores entre los números para que se cumpla la igualdad.
4. Usemos las operaciones elementales ¡Vamos, tú puedes!
2
2
2
2
2 =0
2
2
2
2
2 =1
2
2
2
2
2 =2
2
2
2
2
2 =3
2
2
2
2
2 =4
=9
=8
=7
=6
=5
En los espacios en blanco, horizontales y verticales, coloca “ + , - , × o : ” de tal manera que obtengas 0, 1, 2, ... y 9, tal como se indica.
60
Alfonso Rojas Puémape
a utoe v a lu a c ió n Acumulativo parcial
Nivel I
7 El triple de un número excede a otro en 10; mientras que el triple del otro excede al primero en 26. Da como respuesta el número menor.
- 25 han leído L 2 - 15 han leído L 1 - 35 han leído L 3 - 10 han leído L 1 y L 2 - 20 han leído L 2 y L 3 - 10 han leído L 1 y L 3 - 9 han leído L 1, L 2 y L 3
c) 1
c) 60
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
a) 6
b) 2
c) 3
d) 5
c) 8
d) 9
9
10
b) 7
¿Cuántos alumnos no aprobaron ningún curso?
a) 24 b) 25 c) 21 d) 20 e) 19 20 Se han escrito la serie de los números naturales desde el 1 hasta el 2001. ¿Cuántas veces ha sido utilizada la cifra 2?
e) 10
8
11
a) 6
a) 40 b) 30 c) 36 d) 64 e) 48
a) 13 b) 14 c) 10 d) 12 e) 15
12
b) 2 c) 3 e) Falta información
19 De un total de 120 estudiantes de ingeniería electrónica, se sabe que 60 aprobaron Matemática I; 35 aprobaron Física I; 45 el curso de QuímicaI; 15 aprobaron Física I y Química I; 20 Física I y Matemática I; 10 Química I y Matemática I, y solo 5 del total aprobaron los tres cursos.
e) 4
13 Al sumar el mayor número de tres cifras, no todas iguales, con el menor número de tres cifras de un mismo sistema de numeración se obtiene 390. Halla el número que representa la base de este sistema de numeración.
c) 4000
a) 1 d) 253
18 La suma y la diferencia de dos cantidades son, respectivamente, el cubo y el cuadrado de 2. Indica la suma de cuadrados de dichos números.
12 A una reunión familiar asistieron 80 personas en total, de las cuales, 30 eran mujeres. Si 60 de los asistentes bailaron y 10 mujeres no bailaron, indica el número de hombres que no bailaron.
13
a 14
c 15
b) 3600 e) 3800
a) 2
6 Se contrata un empleado por un año, acordando pagarle S/. 7000, más un televisor; pero al cumplir 7 meses se le despide pagándole S/. 2500, más el televisor. El precio del televisor es:
e 16
c 17
a) 4200 d) 3500
17 Si se cumple que: xxxx (4) = 2010(5), halla el valor de x.
11 Si al dividir 368 por un número entero positivo, el cociente excede en dos unidades al duplo del divisor y el resto es 4, halla el producto de los dígitos del número.
a) Quinario b) Senario c) Heptanario d) Octanario e) Notario
a 18
d 19
e) 5
aaa(8) = a (2a + 1) a 2 2
5 ¿Cuál es el sistema de numeración en el que el máximo número de tres cifras diferentes se representa, en el sistema decimal, como 501?
d) 4
7
b) 80 e) 50
c) 3
a) 600 d) 603
6
a) 70 d) 90
b) 2
10 Si la siguiente igualdad es correcta, calcula el valor de a.
4 De un grupo de personas, 56 han viajado alguna vez al sur, 43 han viajado al norte y 31 han viajado a ambos lugares. Si además el número de personas que no ha viajado a ningún lugar es igual al número de personas que solo ha viajado al norte, calcula el total de personas.
a) 1
a) 5 b) 6 c) 7 d) Cualquier valor entero y positivo e) Cualquier valor entero mayor que 4
5
b) 3/4 e) - 4/3
b) 601 e) 604
4
a) 4/3 d) - 3/4
¿Cuál fue la cantidad de niños que asistieron sin uniforme?
c) 602
3
e) 10
3 Dos números son tales que su suma es (-4) y su diferencia (-2). Calcula la suma de sus inversas.
b
d) 9
16 Si se cumple la siguiente igualdad: 420(b) = 110(2b), ¿cuál es el valor de b?
c
c) 8
c
b) 7
- 12 eran niñas - 18 asistieron con uniforme - 4 niñas asistieron sin uniforme
b
a) 6
a) 110 y 10 b) 90 y 30 c) 100 y 20 d) 70 y 50 e) 80 y 40
2
(b)
1
15
d) –3 e) 2
c
14
b) –1 c) 3
d) –1 e) 7
9 Al primer día de clases de un colegio de educación primaria asistieron 25 estudiantes (entre niños y niñas). De ellos:
e) 5
2 Halla b, si se cumple la siguiente igualdad: = 22(9) 1213
a) 1
a
d) 4
b) –2 c) 1
15 Entre dos ómnibus tienen 120 pasajeros. Si del ómnibus con más pasajeros se trasladan los 2 / 5 de ellos al otro ómnibus, ambos tendrían igual número de pasajeros. ¿Cuántos pasajeros tiene cada ómnibus?
b
c) 3
8 La suma de los cuadrados de dos números reales es igual a 2, y la suma de los mismos es igual a –2. El producto de ellos es:
a) 2
e
b) 2
d
a) 1
d) 11 e) 13
b
c) 9
e
¿Cuántos alumnos no han leído ninguna de las tres obras?
b) 7
a
a) 5
14 Dos números se diferencian en 4; y la mitad del menor, más el triple del mayor es 5. Da como respuesta el número mayor.
a
1 Un profesor de literatura deja como trabajo domiciliario, a sus 45 alumnos, la lectura de tres obras (L1, L 2 y L 3 ). Al tomar los respectivos exámenes observa que:
c 20
61
Acumulativo parcial
8 Dada la igualdad: abba(7) = 914(12) halla: a . b.
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 12 En una función de teatro se observan 410 parejas; al finalizar la misma, se nota que 210 de ellas se van a cenar y 260 se van a caminar. ¿Cuántas personas salen solo a cenar?
a) 150 d) 300
b) 200 e) 350
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
18 Un motociclista recorre un trayecto de 100 km con velocidad uniforme. Para llegar una hora antes de lo previsto, aumenta en 5 km/h dicha velocidad. ¿En qué tiempo recorrería dicho trayecto, si disminuyese su velocidad en 10 km/h?
base 7, se obtiene otro numeral cuya suma de cifras es:
a) 5h d) 13h
b) 7h e) 16h
c) 10h
19 Si: aaaa (5) = (a + 2)(a - 2)a ,
c) 250
13 Se han contado las cifras que se han utilizado para enumerar las páginas
8
9
10
11
12
a) 60 b) 90 c) 120 d) 150 e) 180
13
d 14
b 15
a 16
a 17
c 18
11 El numeral de la forma: (a - 2)(a + 1)a(5), al representarlo en
d) 30 e) 22
5 ¿Cuántos números existen en el sistema decimal que tienen la siguiente forma: (a - 2)b(8 - a) ?
a) 30 b) 14 c) 12 d) 23 e) 25
a) 20 b) 18 c) 16 d) 22 e) 24
17 Para escribir los 23 últimos números de una serie que empieza en el número 1, se han utilizado 75 cifras. ¿Cuál es la suma de las cifras del último numeral?
7
a) 15 b) 10 c) 5
halla: (a + 2) / (a - 2)
a) 2 d) 1,5
6
b
c) 11 y 9
10 En un conocido instituto de idiomas, se han matriculado 55 personas, de las cuales 25 desean estudiar portugués, 32 español, 33 italiano y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas desean estudiar solo 2 idiomas?
a) 18 b) 15 c) 25 d) 20 e) 30 4 En una encuesta efectuada a 100 estudiantes, se obtuvieron los siguientes resultados: - 60 practicaban fútbol. - 50 practicaban básquet. - 30 practicaban ajedrez. - 20 practicaban fútbol y básquet. - 10 practicaban fútbol y ajedrez. Los que practicaban básquet y ajedrez pero no fútbol son el doble de los que practicaban fútbol y ajedrez pero no básquet. ¿Cuántos practicaban los 3 deportes a la vez?
b) 7 y 5 e) 9 y 17
5
a) 9 y 7 d) 7 y 13
b) 1,5 e) 3
4
3 Se pagó una deuda de S/. 900 con billetes de S/. 50 y de S/. 20. ¿Cuántos billetes de S/. 20 se han utilizado, si se sabe que hay 3 billetes más de S/. 20 que de S/. 50?
c) 2,5
3
e) 4
d
d) 3
c
c) 2
e
b) 1
a
a) 0
c
d
halla: b – a.
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 16 Calcula el jornal que se le paga a un obrero, si el dueño de la fábrica paga por día S/. 1140 correspondientes a 25 jornales de obreros y a 40 jornales de ayudantes, sabiendo que con el mismo gasto podría aumentar a 45 el número de obreros y reducir a 15 el número de ayudantes.
9 Calcula dos números de modo que 5 veces el mayor excede en 44 a 1 / 7 del menor, y el doble del menor excede en 11 a 1 / 3 del mayor.
10a3(7) = abb(9),
e) 18
2
a) 10 b) 12 c) 15 d) 8
a) 18 b) 25 c) 32 d) 30 e) 40
1
c) 1232
15 Se han escrito la serie de los números naturales desde el 1 hasta N y se han utilizado en total 5169 cifras. Halla N y da como respuesta la suma de sus cifras.
a) 15 b) 18 c) 21 d) 27 e) 41
2 Si se cumple la siguiente igualdad:
e
e) 42
7 De un total de 46 personas que acostumbran viajar al interior del país, se observa que 26 conocen Cusco, 31 conocen Trujillo, 28 conocen Ica y 12 conocen los 3 lugares. ¿Cuántas personas conocen al menos 2 de los tres lugares?
a
d) 9
b) 1231 e) 1234
14 En un salón de clase, unos conversan, otros estudian y la quinta parte del total juegan. Si 9 alumnos dejan el estudio por el juego, entonces ahora juegan tantos como conversan y estudian juntos. ¿Cuántos alumnos hay en el salón de clase?
a) 25 b) 15 c) 12 d) 30 e) 32
a) 1230 d) 1233
c
a) 20 b) 12 c) 5
b
de un libro y son 3817. Indica el número de la última página.
6 Carlos le dice a Juan: “Tengo dos veces la edad que tenías, cuando yo tenía la edad que tienes, y cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será 72 años”. ¿Cuál es la edad actual de Carlos?
b
1 Para el aniversario de un colegio, la dirección acuerda realizar 3 concursos: Matemáticas, Física y Química. Al final de las 165 inscripciones se observó que: - 87 se inscribieron en Matemáticas. - 91 se inscribieron en Física. - 75 se inscribieron en Química. - 35 se inscribieron en Matemáticas y Física. - 17 se inscribieron en Química y Matemáticas. Los que se inscribieron en Matemáticas y Química pero no en Física son la tercera parte de los que se inscribieron en Física y Química pero no en Matemáticas. ¿Cuántos se inscribieron en los tres cursos?
c
Nivel II
e 19
62
Alfonso Rojas Puémape
Acumulativo parcial
e0e = 12110(e) , además d > 5
a) 7
b) 9
b) 64 e) 72
c) 36
a) 48 d) 66
b) 55 e) 70
c) 62
b) 2 e) 5
c) 3
15 En una clase de 65 alumnos, 9 aprobaron solo física, 12 solo química, 8 solo trigonometría y 5 aprobaron los 3 cursos; de los que aprobaron física, 23 aprobaron química o trigonometría; de los que aprobaron química, 18 aprobaron física o trigonometría y de los que aprobaron trigonometría, 13 aprobaron física o química. ¿Cuántos no aprobaron estos cursos?
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
16 Si se cumple que: 2
calcula el valor de a + b
a) 3 d) 7
a4(12)
= 2bab(12) ,
b) 4 e) 9
c) 5
17 Empleando solo dos cifras se forman dos números capicúas de 4 cifras, en el sistema de base 8, cuya suma termina en 4.
Indica la máxima suma de dichas cifras.
a) 12 d) 6
b) 10 e) 4
c) 8
18 Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacío. Si el número de subconjuntos propios del conjunto potencia de A es 15 y el número de elementos de B es una unidad más que el número de elementos de A, ¿cuántos subconjuntos propios, diferentes del vacío, tiene B?
12 De una encuesta realizada a 280 ingenieros, se supo que 82 son de sistemas, 91 son de electrónica y 107 son de mecánica. Si 130 ingenieros tienen solo una carrera y 6 tienen las tres carreras, ¿cuántos ingenieros tienen solo dos carreras?
c) 11 d) 15 e) 20
7 A un evento asistieron menos de 10000 personas. En cierto momento se observó que el número de mujeres que bailaban era m3 y el número de las que no lo hacían era m; el número de hombres que bailaban era n2 y el número de los que no lo
a) 12 d) 48
12
11
6 Juan comió una manzana y/o mandarina cada mañana de febrero del año 2008. Si 20 mañanas comió manzanas y 18 mañanas mandarinas, ¿cuántos días comió solo manzanas?
10
a) 21 b) 25 c) 27 d) 29 e) 31
c) 10 067
11 El Metropolitano partió de la estación central hacia Matellini, llegando a esta con 54 pasajeros. Solo viajaron adultos quienes pagaron S/.1,5 cada uno, recaudándose S/.108. Si en cada paradero bajó un pasajero y subieron dos, ¿cuántos pasajeros partieron de la estación central?
9
b) 10 068 e) 10 070
8
calcula el valor de: a + b + c + d + e.
a) 10 066 d) 10 061
7
c) S/.50
a) 1 d) 4
a) 2 d) 8
6
5
a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60 5 Se cumple: aba (c) = d1c (9)
b) S/.46 e) S/.57
10 Calcula la cantidad de cifras que se han utilizado para escribir los números consecutivos desde 85 hasta 2834.
d
a) S/.40 d) S/.54
c
e
4 De un grupo de 95 personas, 40 llevan lentes. La cantidad de varones con lentes es tanto como las damas sin lentes y la cantidad de damas con lentes es la mitad de los varones sin lentes. ¿Cuál es la cantidad de varones de dicho grupo?
336 = mm0(n)
b) 4 e) 10
4
a) 280 b) 128 c) 500 d) 256 e) 502
d
c) 6
3
3 Se forma un conjunto empleando las letras de la palabra RAZONAMIENTO. ¿Cuál es la cantidad de subconjuntos que contienen a lo más 7 elementos?
14 Halla el valor de n - m, si:
b) 11 c) 13 d) 14 e) 15
9 A Luis le cobrarán S/. 29 por el traslado de 5 docenas de frutas y a Juan S/.35 por 8 docenas, pero como c / u lleva una misma cantidad extra de docenas de frutas, ahora les cobrarán a c / u una misma cantidad adicional. Si el número de docenas extras que lleva c / u es igual al cobro adicional que pagará c / u y al final ambos pagarán el mismo precio por docena, ¿cuánto pagará Juan al final?
c) 4
2
c) 11 d) 12 e) 16
a) 9
b) 3 e) 6
1
b
b) 9
a) 2 d) 5
a
a) 8
(p )
c
n = m + 2 y D = 13
c) 9272
e
¿cuántos números de esta forma existen?
b) 8250 e) 9250
8 Un número de tres cifras significativas y diferentes en base 10, al convertirlo a base 7, se escribe también con 3 cifras, pero cada una de ellas es el doble de la cifra que le corresponde en base 10. Halla el número en base 8 y da como respuesta la suma de sus cifras.
2 Sea el número de la forma: a b (b + 1)(a + 1)(a + b - 3)(15) 3 4
a) 8272 d) 9724
d
a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90
e
13 Halla el valor de p, sabiendo que: p 2. mn(p) + nm(p) = 7(D) 2 ,
hacían era n. ¿Cuál fue el número de asistentes, si fue el mayor posible?
d
1 En los 360 primeros números naturales, determina la cantidad de números que son múltiplos de 2 pero no de 4 ni de 9.
d
Nivel III
c 13
a 14
d 15
e 16
a 17
c 18
63
Acumulativo total
a) 1
b) 2
c) 3
b) 6
c) 8
d) 10 e) 12
16 Tengo el 70% de lo que tenía ayer, que era S/. 60 más. Si hoy perdiese S/. 24 más que el 40% de lo que tengo, ¿cuál es el % de lo que tuve ayer representa lo que tendría mañana?
a) 5% d) 30%
b) 10% e) 36%
c) 18%
17 Si el valor de a aumenta en un 10% y el valor de b disminuye en un 20%, ¿en cuánto varía la expresión 3a2 b?
d) 4
e) 5
a) Aumenta en 10% b) Disminuye en 10% c) Aumenta en 3,2% d) Disminuye en 3,2% e) Disminuye en 5% 18 Indica la cantidad de sistemas de numeración donde el número 325 se puede escribir con 3 cifras.
a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) 24 12 Si 30 hombres o 50 mujeres pueden confeccionar 400 casacas de doble dificultad, trabajando 25 días a razón de 8 horas diarias, ¿cuántas mujeres deben reforzar a 30 hombres para poder confeccionar 400 casacas de triple dificultad en 20 días trabajando 10 horas diarias?
7
8
9
10
11
12
4m53(p) = 2n44(8) ,
a) 4
c) 4 días
11 En una urna hay 24 canicas blancas y 36 canicas negras. ¿Cuántas canicas negras se deberán aumentar para que el porcentaje de las blancas disminuya en 8%?
a) 14 b) 10 c) 13 d) 15 e) 12
b 13
a 14
b 15
d 16
d 17
6 Si:
a) 8
b) 10 c) 12 d) 14 e) 16
19 Halla la suma de las cifras del número que en el sistema de base 5 y 7 se escribe con dos cifras iguales, pero en diferente orden.
a) 9
6
b) 11 c) 15 d) 17 e) 18
15 Antonio ha comprado cierta cantidad de metros de tela por S/.144. Si el metro hubiese costado S/.6 menos, con la misma suma de dinero hubiera comprado 2 metros más, ¿cuántos metros de tela compró?
5
calcula el valor de z.
5 De 110 personas que compran frutas, sabemos que 40 compran fresas y manzanas, 55 manzanas y plátanos, y 45 plátanos y fresas. Si tales personas compran al menos dos de estas frutas, ¿cuántas compraron las tres clases de fruta?
a
c) S/. 75
b) 3 días e) 6 días
a) 9
10 Si: 1mnpq (4) = 1030(k) y k = nm(z) ,
b
b) S/. 72 e) S/. 80
a) 2 días d) 5 días
c
a) S/. 65 d) S/. 78
b) 7
4
e) 8
4 Un ingeniero contrata 3 albañiles, 8 ayudantes y 4 aprendices para una obra, invirtiendo semanalmente S/. 5070, además el pago diario de 4 albañiles equivale al de 5 ayudantes y el de 7 ayudantes al de 12 aprendices. Si no trabajan los domingos, ¿cuánto gana diariamente un albañil?
9 Tres cisternas, funcionando juntas, pueden llenar la tercera parte de un reservorio en 6 horas. Si funcionaran solo la 1.° y la 2.° cisterna llenarían todo el reservorio en 24 horas y si funcionaran la 2.° y la 3.°, lo llenarían en 48 horas. ¿En cuánto tiempo llenaría la tercera parte del reservorio solo la 2.° cisterna?
a
d) 6
¿en cuántos sistemas de numeración de base impar se expresará el numeral nmp con tres cifras?
c) S/.924
c
c) 4
a) S/.700 b) S/.756 d) S/.1200 e) S/.1680
e
b) 7
c) 10 d) 6
e) 8
3
c) 32 d) 25 e) 243
3 De 48 niños que gustan de los caramelos, a 24 le gustan los de limón, a 23 los de fresa, a 5 los de limón y fresa, pero no los de naranja, a 4 los de naranja y limón pero no los de fresa, a 13 solo los de naranja y a 8 solo los de fresa. Si solo gustan de estos tres sabores, ¿a cuántos les gustan los tres sabores? a) 5
c) 11 d) 12 e) 13
14 Si: (m - 1)m(m + 1)(n) = ppm(5),
2
calcula el valor de (a + c) b.
b) 9
8 Para vender una lavadora se recargó el precio de costo en 40%. Al momento de venderla, se hizo una rebaja del 45% y se perdió S/.276. ¿Cuál es el precio al que se vendió la lavadora?
a(a + 1)(a + 2)(c) = bab(4) ,
a) 36 b) 7
a) 8
a) 22 b) 26 c) 28 d) 30 e) 33
1
a
c) 70%
13 De 116 jóvenes, se sabe que 62 usan reloj, 57 usan collar y 56 usan lentes. Además, 8 usan los tres artículos y el doble de ellos no usan artículo alguno. Determina la diferencia entre la cantidad de jóvenes que usan solo dos artículos y solo un artículo.
c) 1877
7 Viviana vendió 3 mochilas más que carteras, recaudando lo mismo en ambas ventas. Si cada cartera la vendió a S/.57 más que cada mochila y lo recaudado fue S/.1520 en total, ¿cuántos artículos vendió?
2 Si se cumple que:
b) 1767 e) 2876
a) 25 b) 30 c) 24 d) 18 e) 12
d
b) 60% e) 85%
a) 1776 d) 2767
c
a) 40% d) 75%
halla la suma de los números de 3 cifras que se puede formar con m, n y p.
b
a
1 Javier compró cierta cantidad de CD’s para venderlos. Pero al llegar a su tienda se da cuenta de que el 40% de los CD’s que compró se rompieron. Luego, cuando le faltaba vender la quinta parte de lo que vendió, decide subir el precio. Si en la primera venta ganó el 70%, ¿cuál es el tanto por ciento en que deberá incrementar el costo original de los CD’s restantes para ganar en total el 2%?
c
Nivel IV
c 18
e 19