Matema10k Matematik for 10. klasse
af Lene Mardahl
4 Matema10k. Matematik for 10. klasse 1. udgave, 1. oplag, 2012 © Frydenlund og forfatteren ISBN 978-87-7887-950-9 Redaktion: Morten Overgaard Nielsen Grafisk tilrettelæggelse: Claus Nielsen Matematiske illustrationer: Jimmy Staal Grafisk produktion: Balto, Litauen
Kopiering fra denne bog eller dele deraf er kun tilladt i overensstemmelse med overenskomst mellem Undervisningsministeriet og Copy-Dan. Enhver anden form for kopiering er uden forlagets skriftlige samtykke forbudt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. Undtaget herfra er korte uddrag i anmeldelser.
Frydenlund Alhambravej 6 DK-1826 Frederiksberg C Tlf. 3393 2212 • Fax 3393 2412 post@frydenlund.dk www.frydenlund.dk Tilmeld dig forlagets nyhedsmail på www.frydenlund.dk/nyhedsservice
Indhold Introduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Specielt til læreren At læse matematikbøger … og lære matematik 1. Tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2. Regningsarterne og deres hierarki . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3. Brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4. Procentregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5. Ligninger (… og reduktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6. Koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7. Funktioner og grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8. Formler, kendte og ukendte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 9. Figurer (firkant, trekant, cirkel og ellipse) . . . . . . . . . . . 91 Hvordan beskrives de? Navne, karakteristika, højder, diagonaler og … 10. Omkreds og areal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Rektangel, kvadrat, trapez, parallelogram, rombe, trekant, cirkel, polygoner og sammensatte figurer 11. Rumfang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Figurer med ens grundflade fra bund til top, kugle, pyramide, pyramidestub, kegle, keglestub og sammensatte figurer 12. Omregning mellem enheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 13. Trigonometri i retvinklede trekanter, herunder Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 14. Konstruktion, ligedannethed, kongruens og målestoksforhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 15. Tegninger i perspektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 16. Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5
6 17. Sandsynlighed, chance/risiko og stikprøveundersøgelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 18. Statistisk og kombinatorisk sandsynlighed samt sandsynlighedsberegninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 19. Statistik, beregninger, tabeller, grafer og diagrammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Oversigt over de perspektiverende rammer i bogen . . . . . . 183 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Opgavesæt Sæt A Da Vinci mysteriet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sæt B Fodboldbane/fodbold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sæt C ”Mystisk” matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sæt D Forlystelsesparken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sæt E Let – sværere – endnu sværere . . . . . . . . . . . . . . . . Sæt F Penge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sæt G Hjernevridere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sæt H Et helt prøvesæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184 188 189 192 194 199 203 205
Facitliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Ideer til læreren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Stikordsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
7
Introduktion Målene bogen er: Målenemed med bogen
er:
• At føre dig igennem matematik for 10. klasse. • At vise nogle få eksempler fra matematikkens historie. • At illustrere at matematik er spændende. • At vise at matematik anvendes i praksis.
Om denne bog I denne bog gennemgås det, du skal lære i 10. klasse, men der er også stof med fra 9. klasse. Hvert afsnit slutter med en lille opsamling, der hedder: “Hvad har du lært”. Det er en oversigt over de centrale ting fra afsnittet. Det er vigtigt, at du læser det, for hvis du støder på ord, formler eller andet, du ikke har styr på, kan du bruge det som tjekliste for, hvad du skal have arbejdet med igen. Det betyder ikke, at bogen indeholder det eneste, du vil støde på i matematiktimerne. Den supplerende hjemmeside www.matema10k.dk indeholder både forklaringer og opgaver . . . og mon ikke også din lærer har noget i ærmet? Undervejs i bogen står nogle perspektiverende rammer. Disse rammer viser nogle tilbageblik i matematikkens historie eller fremlægger ekstra emner. Rammerne er tilbud og er ikke nødvendige at læse for at forstå den faglige gennemgang. Sidst i afsnittene er der opgaver. Bagerst i bogen er der en samling temaopgaver, der bevæger sig rundt i alle (eller mange af) emnerne. Du finder også en facitliste bagerst i bogen, men nogle få gange er det mere ideer til løsninger eller forklaringer, end det er facitter. Bogen har en stikordsliste. Den kan du bruge til at finde ud af, hvor der står noget om emner, du f.eks. vil læse om igen. Afsnittene i bogen dækker over det stof, som Undervisningsministeriet har fastsat, du skal lære i 9. og 10. klasse. Der er også et afsnit, der hedder “Ideer til læreren”. Det er ikke
8 noget, du skal bruge. Det er “opskrifter” på forskelligt materiale eller aktiviteter, din lærer kan bruge.
Specielt til læreren Bogen er en grundbog i 9.–10. klasse. Den er tænkt som en teoriog opgavebog, der kan bruges sammen med mange pædagogiske metoder, og den lægger sig ikke fast på én, som den “rigtige”. Bogen tager direkte udgangspunkt i fælles mål fra undervisningsvejledningen. Teorien og eksempler er centrale, dvs. at der ikke er lagt et tema ned over det faglige stof. Der er opgaver til stort set alle afsnit, og derudover er der 8 opgavesæt, som evt. kunne benyttes til afleveringsopgaver. Til afsnitsopgaverne er der facitter. Det er der ikke til opgavesættene, fordi en stor del af opgaverne er formuleret så åbne, at der kan tænkes flere forskellige løsninger. Bagerst i bogen er der afsnittet “Ideer til læreren”. Dette er forslag til forskellige praktiske materialer, læreren kan fremstille, eller andre supplerende aktiviteter. Et lille katalog læreren kan lade sig inspirere af. Bogen er opbygget, så eleverne kan bruge den som opslagsbog, når de har brug for at genlæse forskellige emner. Hjemmesiden kan benyttes som et godt supplement både med hensyn til opgaver og forklaringer.
At læse matematikbøger . . . og lære matematik For nogle kan det virke, som om det gennem tiden er lykkedes en lille gruppe at få matematik til at virke meget hemmelig. Måske et kodesprog som kun få er indviet i? Måske nærmest en hemmelig loge med mystiske symboler og ritualer? Det er trist, at nogle ser sådan på matematik – for matematik behøver ikke være svært. Hvordan du kommer til at forstå det, afhænger af, hvordan din hjerne er skruet sammen. Måske skal du have nogen praktiske eksempler, bygge figurer eller lave din egen spørgeskemaundersøgelse? Måske er det at flytte rundt på bogstaver på karton det, der skal til, for at du forstår? Her skal du nok bruge din lærers hjælp til at finde den bedste vej. Nogle er “bare” gode til at regne og tænker ikke så meget over,
Introduktion
hvordan de lærer tingene, mens andre har brug for at få forklaret og forstå de forskellige sammenhænge. Der hjælper det f.eks. med billeder, et visuelt udtryk der støtter forklaringerne. Her i bogen er det forsøgt at gøre tingene så konkrete som muligt og have nogle illustrationer (billeder), som forhåbentlig kan hjælpe dig. Tro på, at du kan lære matematik. Hvis du også gør det, er vi allerede nået langt! Kan du læse en matematikbog? Mærkeligt spørgsmål, tænker du måske. For selvfølgelig kan du læse. Det er bare sådan, at en tekst om matematik er en fagtekst, så det kræver noget andet at læse den end at læse f.eks. romaner eller tegneserier. I en matematiktekst står oplysningerne meget tæt og koncentreret – du får mange oplysninger på få linjer. Desuden vil der ofte være figurer, diagrammer, kurver, tabeller eller lignende, som også skal “læses”. Hvis du læser en roman, begynder du i øverste venstre hjørne og læser siden ned. Sådan er det ikke altid i en matematikbog. I en fagtekst skal du måske først læse lidt, så se på en figur ude i siden og så læse det samme igen. En helt anden teknik. At overveje, hvordan man læser, hedder læsestrategi, og din matematiklærer og/eller dansklærer kan hjælpe dig. Du skal være tålmodig og lad endelig være med at give op. Du kan ikke regne med at forstå alting efter at have set det én gang. Tit skal der mange gennemgange (med forskellige tilgange) til, samtidig med at du arbejder med stoffet på forskellige måder – bl.a. løser opgaver. Man kan blive så irriteret, når man skal lære. Først forstår man det måske ikke, og senere kan man ikke forstå, at man ikke forstod det!
9
10 Så Såaltså: altså:
• Prøv at være tålmodig • Forsøg igen og igen på forskellige måder • Få det forklaret af bogen, din lærer, forskellige klassekammerater, din mor . . .
• Arbejd med stoffet • Brug en læsestrategi, der passer dig • Forklar andre det, du har forstået.