درس المعلم في المستوى

‫‪3 coll‬‬

‫مقدمة ‪:‬‬ ‫يتم تعين أماكن المدن والشوارع على الخريـطة ويتم تحديد مواقع‬ ‫السفن والطائرات بآستعمال الـرادار واألقمار اإلصطناعية ‪.‬‬ ‫في الرياضيات نستعمل المستوى اإلحداثي وهو عبارة عن معلم‬ ‫يحتوي على خطي أعداد متعامدين من أجل تحديد إحداثيات النقط ‪.‬‬

‫‪.I‬‬

‫إحداثيات نقطة ‪:‬‬

‫ليكن )𝐽 ‪ (𝑂, 𝐼,‬معلما ً متعامداً ممنظما ً للمستوى )𝑚𝑐‪ 𝑂𝐼 = 𝑂𝐽 = 1‬و )𝐽𝑂(‪((𝑂𝐼 )‬‬

‫مالحظة ‪:‬‬ ‫‪ ‬إذا كانت نقطة 𝑀 تنتمي إلى محور األفاصيل‬ ‫فإن ‪ 𝑦𝑀 = 0‬ونكتب )‪𝑀(𝑥𝑀 ; 0‬‬ ‫‪ ‬إذا كانت نقطة 𝑀 تنتمي إلى محور األراتيب‬ ‫فإن ‪ 𝑥𝑀 = 0‬ونكتب ) 𝑀𝑦 ;‪𝑀(0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪B‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪J‬‬

‫𝐴𝑥 أفصول 𝐴‬ ‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪I‬‬

‫‪O‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪ 𝑦𝐴 -4‬أرتوب 𝐴‬

‫‪A‬‬

‫حدد إحداثيات النقط 𝑂 و 𝐼 و 𝐽 و 𝐴 و 𝐵 ‪:‬‬ ‫)‪𝐽(0; 1‬‬ ‫)‪ 𝐼 (1; 0‬و‬ ‫)‪ 𝑂(0; 0‬و‬

‫‪-5‬‬

‫و‬

‫)‪𝐴(5; −4‬‬

‫و‬

‫)‪𝐵(−3; 4‬‬

‫إحداثيتا متجهة ‪:‬‬

‫تعريف‬ ‫في معلم )𝐽 ‪ (𝑂, 𝐼,‬نعتبر نقطتين ) 𝐴𝑦 ; 𝐴𝑥(𝐴 و ) 𝐵𝑦 ; 𝐵𝑥(𝐵 ‪.‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ هما ‪:‬‬ ‫إحداثيتا المتجهة 𝐵𝐴‬ ‫األفصول 𝐴𝑥 ‪𝑥𝐵 −‬‬ ‫ونكتب ) 𝐴𝑦 ‪⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐵 −‬‬ ‫𝐵𝐴‬ ‫األرتوب 𝐴𝑦 ‪𝑦𝐵 −‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ الممثلثة في المعلم أعاله ‪.‬حيث )‪ 𝐴(5; −4‬و )‪𝐵(−3; 4‬‬ ‫مثال ‪ :‬حدد إحداثيتي المتجهة 𝐵𝐴‬ ‫لدينا‬

‫‪-5‬‬

‫‪-2‬‬

‫مثال ‪:‬‬

‫‪.II‬‬

‫‪5‬‬

‫محور األفاصيل‬

‫تعريف‬ ‫إحداثيات النقطة 𝐴 في المعلم )𝐽 ‪ (𝑂, 𝐼,‬هما ‪:‬‬ ‫𝐴𝑥 و 𝐴𝑦 ونكتب 𝐴𝑦 ; 𝐴𝑥 𝐴 ويسميان زوج‬ ‫إحداثيتي النقطة 𝐴 ‪.‬‬

‫محور األراتيب‬

‫‪y‬‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫) 𝐴𝑦 ‪𝐴𝐵 (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐵 −‬‬

‫ومنه‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫يعني أن ) )‪𝐴𝐵(−3 − 5; 4 − (−4‬‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫)‪𝐴𝐵 (−8; 4 + 4‬‬

‫وبالتالي‬ ‫‪1‬‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫)‪𝐴𝐵(−8; 8‬‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ و )‪𝐶𝐷 (𝑥′; 𝑦′‬‬ ‫خــاصيـــات ‪ :‬في معلم )𝐽 ‪ (𝑂, 𝐼,‬نعتبر )𝑦 ;𝑥( 𝐵𝐴‬

‫خاصية ‪1‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ يعني أن ‪𝑥 = 𝑥′‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐵𝐴‬ ‫إذا كان 𝐷𝐶‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ و‬ ‫)‪𝐴𝐵 (3; −1‬‬

‫مثال ‪ :‬نعتبر المتجهتين‬

‫الحل ‪ :‬بما أن‬ ‫ومنه‬

‫‪𝑥𝐷 = 8‬‬ ‫‪𝑦𝐷 = 1‬‬

‫{‬

‫و‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫)‪𝐶𝐷 (𝑥𝐷 − 5; 𝑦𝐷 − 2‬‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐵𝐴‬ ‫𝐷𝐶‬

‫حدد إحداثيات النقطة 𝐷 علما ً أن ‪:‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐵𝐴‬ ‫𝐷𝐶‬

‫‪𝑦 = 𝑦′‬‬

‫‪𝑥𝐷 − 5 = 3‬‬ ‫‪𝑦𝐷 − 2 = −1‬‬

‫فإن‬

‫{ إذن‬

‫‪𝑥𝐷 = 3 + 5‬‬ ‫‪𝑦𝐷 = −1 + 2‬‬

‫{‬

‫وبالتالي )‪𝐷(8; 1‬‬

‫خاصية ‪2‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑘 = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫𝐹𝐸‬ ‫إذا كان 𝐵𝐴‬

‫فإن‬

‫)𝑦 𝑘 ; 𝑥 𝑘( ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫𝐹𝐸‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝐸𝐹 = −2‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ علما ً أن 𝐵𝐴‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪ .‬حدد إحداثيات المتجهة 𝐹𝐸‬ ‫مثال ‪ :‬نعتبر المتجهة )‪𝐴𝐵 (3; −1‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ فإن‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝐸𝐹 = −2‬‬ ‫الحل ‪ :‬بما أن 𝐵𝐴‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ وبالتالي )‪𝐸𝐹 (−6; 2‬‬ ‫)‪𝐸𝐹 −2 × 3; −2 × (−1‬‬

‫خاصية ‪3‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐹𝐸‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝐴𝐵 +‬‬ ‫إذا كان 𝐷𝐶‬ ‫مثال ‪ :‬نعتبر المتجهتين‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫)‪𝐸𝐹 (𝑥 + 𝑥′ ; 𝑦 + 𝑦′‬‬

‫فإن‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ و‬ ‫)‪𝐴𝐵 (3; −1‬‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪.‬‬ ‫)‪𝐶𝐷 (2; −4‬‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫حدد إحداثيات المتجهة ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫𝐹𝐸‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝐴𝐵 +‬‬ ‫𝐹𝐸 علما ً أن 𝐷𝐶‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫𝐹𝐸 فإن‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝐴𝐵 +‬‬ ‫الحل ‪ :‬بما أن 𝐷𝐶‬ ‫ومنه )‪⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (5; −1 − 4‬‬ ‫𝐹𝐸‬

‫وبالتالي‬

‫)‪⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 3 + 2; −1 + (−4‬‬ ‫𝐹𝐸‬ ‫)‪⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (5; −5‬‬ ‫𝐹𝐸‬

‫خاصية ‪4‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫𝐹𝐸‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝐴𝐵 −‬‬ ‫إذا كان 𝐷𝐶‬ ‫مثال ‪ :‬نعتبر المتجهتين‬

‫)‪⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (𝑥 − 𝑥 ′ ; 𝑦 − 𝑦′‬‬ ‫𝐹𝐸‬

‫فإن‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ و‬ ‫)‪𝐴𝐵 (3; −1‬‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪.‬‬ ‫)‪𝐶𝐷 (2; −4‬‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐹𝐸‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝐴𝐵 −‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ علما ً أن 𝐷𝐶‬ ‫حدد إحداثيات المتجهة 𝐹𝐸‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫𝐹𝐸 فإن‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝐴𝐵 −‬‬ ‫الحل ‪ :‬بما أن 𝐷𝐶‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫ومنه )‪𝐸𝐹 (1; −1 + 4‬‬

‫وبالتالي‬

‫)‪⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 3 − 2; −1 − (−4‬‬ ‫𝐹𝐸‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫)‪𝐸𝐹 (1; 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.III‬‬

‫إحداثيتا منتصف قطعة ‪:‬‬

‫خاصية‬ ‫لتكن ) 𝐴𝑦 ; 𝐴𝑥(𝐴‬

‫و ) 𝐵𝑦 ; 𝐵𝑥(𝐵 نقطتان من المستوى اإلحداثي ‪.‬‬

‫إذا كانت 𝑀 منتصف القطعة ]𝐵𝐴[ فإن ‪:‬‬

‫مثال ‪:‬‬

‫𝐵𝑥‪𝑥𝐴 +‬‬ ‫‪2‬‬

‫= 𝑀𝑥 و‬

‫𝐵𝑦‪𝑦𝐴 +‬‬ ‫‪2‬‬

‫= 𝑀𝑦‬

‫حدد إحداثيتي النقطة 𝐼 منتصف القطعة ]𝐵𝐴[ حيث ‪𝐴(5; −4) :‬‬

‫و )‪𝐵(−3; 4‬‬

‫‪𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 5 + (−3) 2‬‬ ‫=‬ ‫‪= =1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫{ إذن إحداثيتي النقطة 𝐼 هي )‪𝐼 (1; 0‬‬ ‫‪𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 −4 + 4 0‬‬ ‫= 𝐼𝑦‬ ‫=‬ ‫‪= =0‬‬ ‫(أنظر المعلم أعاله)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝐼𝑥‬

‫‪.IV‬‬

‫المسافة بين نقطتين ‪:‬‬

‫خاصية‬ ‫)𝐽 ‪ (𝑂, 𝐼,‬معلم متعامد ممنظم ‪.‬نعتبر النقطتين ) 𝐴𝑦 ; 𝐴𝑥(𝐴‬

‫و ) 𝐵𝑦 ; 𝐵𝑥(𝐵 ‪.‬‬

‫المسافة بين النقطتين 𝐴 و 𝐵 هي ‪𝐴𝐵 = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 :‬‬ ‫مثال ‪ :‬في المستوى المنسوب على معلم متعامد ممنظم )𝐽 ‪. (𝑂, 𝐼,‬‬ ‫نعتبر النقطتين )‪𝑀(−2; 3‬‬ ‫الطريقة ‪: 1‬‬

‫و )‪ . 𝑁(−5; 7‬أحسب المسافة 𝑁𝑀‬ ‫‪𝑀𝑁 = √(𝑥𝑁 − 𝑥𝑀 )2 + (𝑦𝑁 − 𝑦𝑀 )2‬‬

‫لدينا‬

‫‪+ (7 − 3)2 = √(−5 + 2)2 + (4)2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪= √ −5 − (−2‬‬

‫‪= √(−3)2 + (4)2 = √9 + 16 = √25‬‬ ‫وبالتالي ‪𝑀𝑁 = 5‬‬

‫الطريقة ‪: 2‬‬

‫نحسب المتجهة ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫𝑁𝑀 أولً ‪:‬‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫إذن )‪𝑀𝑁(−5 − (−2); 7 − 3‬‬ ‫إذن ‪𝑀𝑁 = √(−3)2 + (4)2‬‬

‫) 𝑀𝑦 ‪⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (𝑥𝑁 − 𝑥𝑀 ; 𝑦𝑁 −‬‬ ‫𝑁𝑀‬

‫لدينا‬

‫ومنه‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫)‪𝑀𝑁(−3; 4‬‬ ‫‪𝑀𝑁 = √9 + 16 = √25‬‬

‫يعني أن‬

‫وبالتالي ‪𝑀𝑁 = 5‬‬ ‫‪3‬‬