3 coll
مقدمة : يتم تعين أماكن المدن والشوارع على الخريـطة ويتم تحديد مواقع السفن والطائرات بآستعمال الـرادار واألقمار اإلصطناعية . في الرياضيات نستعمل المستوى اإلحداثي وهو عبارة عن معلم يحتوي على خطي أعداد متعامدين من أجل تحديد إحداثيات النقط .
.I
إحداثيات نقطة :
ليكن )𝐽 (𝑂, 𝐼,معلما ً متعامداً ممنظما ً للمستوى )𝑚𝑐 𝑂𝐼 = 𝑂𝐽 = 1و )𝐽𝑂(((𝑂𝐼 )
مالحظة : إذا كانت نقطة 𝑀 تنتمي إلى محور األفاصيل فإن 𝑦𝑀 = 0ونكتب )𝑀(𝑥𝑀 ; 0 إذا كانت نقطة 𝑀 تنتمي إلى محور األراتيب فإن 𝑥𝑀 = 0ونكتب ) 𝑀𝑦 ;𝑀(0
x
B
4 3 2
J
𝐴𝑥 أفصول 𝐴 4
5
2
3
I
O
-1
-2
-3
-4
-1
-3
𝑦𝐴 -4أرتوب 𝐴
A
حدد إحداثيات النقط 𝑂 و 𝐼 و 𝐽 و 𝐴 و 𝐵 : )𝐽(0; 1 ) 𝐼 (1; 0و ) 𝑂(0; 0و
-5
و
)𝐴(5; −4
و
)𝐵(−3; 4
إحداثيتا متجهة :
تعريف في معلم )𝐽 (𝑂, 𝐼,نعتبر نقطتين ) 𝐴𝑦 ; 𝐴𝑥(𝐴 و ) 𝐵𝑦 ; 𝐵𝑥(𝐵 . ⃗⃗⃗⃗⃗ هما : إحداثيتا المتجهة 𝐵𝐴 األفصول 𝐴𝑥 𝑥𝐵 − ونكتب ) 𝐴𝑦 ⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐵 − 𝐵𝐴 األرتوب 𝐴𝑦 𝑦𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗ الممثلثة في المعلم أعاله .حيث ) 𝐴(5; −4و )𝐵(−3; 4 مثال :حدد إحداثيتي المتجهة 𝐵𝐴 لدينا
-5
-2
مثال :
.II
5
محور األفاصيل
تعريف إحداثيات النقطة 𝐴 في المعلم )𝐽 (𝑂, 𝐼,هما : 𝐴𝑥 و 𝐴𝑦 ونكتب 𝐴𝑦 ; 𝐴𝑥 𝐴 ويسميان زوج إحداثيتي النقطة 𝐴 .
محور األراتيب
y
⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝐴𝑦 𝐴𝐵 (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐵 −
ومنه
⃗⃗⃗⃗⃗ يعني أن ) )𝐴𝐵(−3 − 5; 4 − (−4
⃗⃗⃗⃗⃗ )𝐴𝐵 (−8; 4 + 4
وبالتالي 1
⃗⃗⃗⃗⃗ )𝐴𝐵(−8; 8
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ و )𝐶𝐷 (𝑥′; 𝑦′ خــاصيـــات :في معلم )𝐽 (𝑂, 𝐼,نعتبر )𝑦 ;𝑥( 𝐵𝐴
خاصية 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ يعني أن 𝑥 = 𝑥′ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴 إذا كان 𝐷𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ و )𝐴𝐵 (3; −1
مثال :نعتبر المتجهتين
الحل :بما أن ومنه
𝑥𝐷 = 8 𝑦𝐷 = 1
{
و
⃗⃗⃗⃗⃗ )𝐶𝐷 (𝑥𝐷 − 5; 𝑦𝐷 − 2
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴 𝐷𝐶
حدد إحداثيات النقطة 𝐷 علما ً أن : ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴 𝐷𝐶
𝑦 = 𝑦′
𝑥𝐷 − 5 = 3 𝑦𝐷 − 2 = −1
فإن
{ إذن
𝑥𝐷 = 3 + 5 𝑦𝐷 = −1 + 2
{
وبالتالي )𝐷(8; 1
خاصية 2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑘 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐸 إذا كان 𝐵𝐴
فإن
)𝑦 𝑘 ; 𝑥 𝑘( ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝐹 = −2 ⃗⃗⃗⃗⃗ علما ً أن 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ .حدد إحداثيات المتجهة 𝐹𝐸 مثال :نعتبر المتجهة )𝐴𝐵 (3; −1 ⃗⃗⃗⃗⃗ فإن ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝐹 = −2 الحل :بما أن 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ وبالتالي )𝐸𝐹 (−6; 2 )𝐸𝐹 −2 × 3; −2 × (−1
خاصية 3 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + إذا كان 𝐷𝐶 مثال :نعتبر المتجهتين
⃗⃗⃗⃗⃗ )𝐸𝐹 (𝑥 + 𝑥′ ; 𝑦 + 𝑦′
فإن
⃗⃗⃗⃗⃗ و )𝐴𝐵 (3; −1
⃗⃗⃗⃗⃗ . )𝐶𝐷 (2; −4
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ حدد إحداثيات المتجهة ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + 𝐹𝐸 علما ً أن 𝐷𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐸 فإن ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + الحل :بما أن 𝐷𝐶 ومنه )⃗⃗⃗⃗⃗ (5; −1 − 4 𝐹𝐸
وبالتالي
)⃗⃗⃗⃗⃗ 3 + 2; −1 + (−4 𝐹𝐸 )⃗⃗⃗⃗⃗ (5; −5 𝐹𝐸
خاصية 4 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 − إذا كان 𝐷𝐶 مثال :نعتبر المتجهتين
)⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥 − 𝑥 ′ ; 𝑦 − 𝑦′ 𝐹𝐸
فإن
⃗⃗⃗⃗⃗ و )𝐴𝐵 (3; −1
⃗⃗⃗⃗⃗ . )𝐶𝐷 (2; −4
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗ علما ً أن 𝐷𝐶 حدد إحداثيات المتجهة 𝐹𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐸 فإن ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 − الحل :بما أن 𝐷𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ومنه )𝐸𝐹 (1; −1 + 4
وبالتالي
)⃗⃗⃗⃗⃗ 3 − 2; −1 − (−4 𝐹𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ )𝐸𝐹 (1; 3 2
.III
إحداثيتا منتصف قطعة :
خاصية لتكن ) 𝐴𝑦 ; 𝐴𝑥(𝐴
و ) 𝐵𝑦 ; 𝐵𝑥(𝐵 نقطتان من المستوى اإلحداثي .
إذا كانت 𝑀 منتصف القطعة ]𝐵𝐴[ فإن :
مثال :
𝐵𝑥𝑥𝐴 + 2
= 𝑀𝑥 و
𝐵𝑦𝑦𝐴 + 2
= 𝑀𝑦
حدد إحداثيتي النقطة 𝐼 منتصف القطعة ]𝐵𝐴[ حيث 𝐴(5; −4) :
و )𝐵(−3; 4
𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 5 + (−3) 2 = = =1 2 2 2 { إذن إحداثيتي النقطة 𝐼 هي )𝐼 (1; 0 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 −4 + 4 0 = 𝐼𝑦 = = =0 (أنظر المعلم أعاله) 2 2 2 = 𝐼𝑥
.IV
المسافة بين نقطتين :
خاصية )𝐽 (𝑂, 𝐼,معلم متعامد ممنظم .نعتبر النقطتين ) 𝐴𝑦 ; 𝐴𝑥(𝐴
و ) 𝐵𝑦 ; 𝐵𝑥(𝐵 .
المسافة بين النقطتين 𝐴 و 𝐵 هي 𝐴𝐵 = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 : مثال :في المستوى المنسوب على معلم متعامد ممنظم )𝐽 . (𝑂, 𝐼, نعتبر النقطتين )𝑀(−2; 3 الطريقة : 1
و ) . 𝑁(−5; 7أحسب المسافة 𝑁𝑀 𝑀𝑁 = √(𝑥𝑁 − 𝑥𝑀 )2 + (𝑦𝑁 − 𝑦𝑀 )2
لدينا
+ (7 − 3)2 = √(−5 + 2)2 + (4)2
2
)= √ −5 − (−2
= √(−3)2 + (4)2 = √9 + 16 = √25 وبالتالي 𝑀𝑁 = 5
الطريقة : 2
نحسب المتجهة ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑁𝑀 أولً :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ إذن )𝑀𝑁(−5 − (−2); 7 − 3 إذن 𝑀𝑁 = √(−3)2 + (4)2
) 𝑀𝑦 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥𝑁 − 𝑥𝑀 ; 𝑦𝑁 − 𝑁𝑀
لدينا
ومنه
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑀𝑁(−3; 4 𝑀𝑁 = √9 + 16 = √25
يعني أن
وبالتالي 𝑀𝑁 = 5 3