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CIELOS EN OTROS PLANETAS
Sergio Checa Barrionuevo SERGIO CHECA BARRIONUEVO
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Cielos en otros planetas Este programa ha sido realizado en el programa “Bachillerato de Investigación del I.E.S. Juan Gris” Móstoles (Madrid), Febrero de 2017
Cielos en otros planetas por Sergio Checa Barrionuevo se distribuye bajo una licencia Creative Commons Atribución-SinDerivar 4.0 internacional Para ver una copia de esta licencia, visitar “https://creativecommons.org/licenses/by-nd/4.0/”
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Índice Introducción ................................................................................................................................................................................ 5 Prefacio .................................................................................................................................................................................... 5 Descripción del trabajo ........................................................................................................................................................ 6 Objetivos ................................................................................................................................................................................. 6
Desarrollos teóricos ................................................................................................................................................................. 7 Datos astronómicos ............................................................................................................................................................. 9 Mercurio ............................................................................................................................................................................. 9 Sol ....................................................................................................................................................................................... 11
Conceptos físicos ................................................................................................................................................................ 13 Ley de Gravitación Universal ....................................................................................................................................... 13 Segunda ley de Newton ................................................................................................................................................ 13 Leyes de Kepler............................................................................................................................................................... 14 Movimiento Planetario .................................................................................................................................................. 14
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Conceptos matemáticos .................................................................................................................................................... 15 Cálculo diferencial .......................................................................................................................................................... 15
Aplicaciones usadas en el proyecto y tecnología VR .................................................................................................. 17 Aplicaciones ..................................................................................................................................................................... 17 Tecnología VR y Google Cardboard .......................................................................................................................... 19
Metodología .............................................................................................................................................................................. 21
Desarrollo.................................................................................................................................................................................. 25 Programación de una hoja de cálculo ............................................................................................................................. 27 Explicación del margen de error ................................................................................................................................. 36
Simulación tridimensional ...................................................................................................................................................... 41 Órbita de Mercurio ............................................................................................................................................................ 43 Crear las esferas de Mercurio y el Sol ....................................................................................................................... 45 Generar la órbita de Mercurio .................................................................................................................................... 49 Vista de la órbita de mercurio desde la superficie ...................................................................................................... 57 Doble amanecer desde la superficie de Mercurio ....................................................................................................... 61
Conclusiones ............................................................................................................................................................................. 65 Sobre la hoja de cálculo ..................................................................................................................................................... 67 Sobre la simulación tridimensional .................................................................................................................................. 67
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Introducción Prefacio Este proyecto es fruto de una afición que he llevado conmigo desde que obtuve mi primer libro de astronomía al poco tiempo de aprender a leer. Por aquel entonces me centraba más en lo estético, pero al poco tiempo empecé a centrarme en el contenido. Recuerdo cómo me pasaba tardes enteras viendo documentales grabados sobre el sistema solar, exoplanetas y todo tipo de cuerpos celestes para luego compartir (fútilmente) mis conocimientos que con tanto orgullo había obtenido con mis compañeros de primaria. No tardé en conseguir un telescopio y también asistí a un par de jornadas astronómicas por el año 2010 en el Octavio Paz, ahora conocido como Juan Gris.
Fue allí donde conocí a Gregorio, quien organizaba esas jornadas y me enseñó a unos alumnos que por aquel entonces estaban trabajando en un proyecto de investigación. Seis años más tarde, comencé mi propio proyecto de investigación con el mismo tutor que conocí en esas jornadas astronómicas. Un proyecto donde mi vieja pasión ahora se une con otras nuevas grandes aficiones mías que son la informática y el diseño y desarrollo de productos interactivos.
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Descripción del trabajo Es una simulación tridimensional de la vista del espacio desde la superficie del planeta Mercurio, centrándose en el fenómeno astronómico del doble amanecer, el cual se produce en ciertos puntos del planeta. Para ello se ha de utilizar los datos astronómicos de Mercurio, así como del Sol. Posteriormente se aplicará el uso de cálculo diferencial para la creación de gráficas sobre la órbita y la obtención de los datos necesarios que posteriormente serán utilizados en la simulación. Más tarde, para la presentación del trabajo, será aplicada la tecnología de realidad virtual para su uso en las Google Cardboard.
Objetivos •! Calcular con la mayor precisión posible la órbita de mercurio alrededor del sol mediante el uso del cálculo diferencial y las expresiones básicas de la dinámica (Gravitación y Leyes de Newton). •! Valorar el cálculo diferencial como método del cálculo de órbitas. Estimar la influencia del incremento utilizado como diferencial en los resultados obtenidos.
•! Generar una simulación tridimensional en la que, situados en la superficie del planeta, pueda contemplarse el fenómeno conocido como doble amanecer.
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Desarrollos teรณricos
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Datos astronómicos Estos datos son la base sobre la que trabajaremos la mayor parte del proyecto. Contienen la información necesaria para la realización de cálculos posteriores. Mientras, otros recursos son esenciales para la representación, siendo estos los datos sobre el diámetro, composición de la atmósfera, albedo etc. Los dos principales cuerpos a estudiar son:
Mercurio El planeta más cercano al Sol y el más pequeño del Sistema Solar. Es uno de los cuatro planetas interiores o terrestres y carece de lunas o satélites. Debido a su proximidad al sol ha habido siempre dificultades a la hora de investigar acerca de él. Tiene un periodo de rotación mayor al de traslación (en 1965 se probó que equivalía a 2/3 del periodo de traslación). Esto junto con otros factores peculiares (como su alta excentricidad orbital) crea fenómenos como el amanecer doble 1 , motivo por el cual este planeta ha sido elegido para el proyecto.
Figura 1. Imagen de mercurio tomada por la sonda espacial MESSENGER. Imagen: NASA
El amanecer doble es un fenómeno en el que en ciertos puntos de la superficie de Mercurio se puede observar como el sol aparece, se detiene y retrocede para ocultarse casi por donde salió para volver a aparecer y continuar con su recorrido por el cielo. En otros puntos de la superficie se puede ver simplemente como se ralentiza, para, retrocede un poco y vuelve a avanzar. Esto sucede porque al pasar por el perihelio la velocidad angular orbital de Mercurio supera la de rotación, creando un movimiento retrógrado aparente del sol.
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Esteban E. Recursos para visualizar algunas paradojas que se producen en el planeta Mercurio; Revista Eureka sobre enseñanza y divulgación de las Ciencias nº8, pág. 506.
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Tabla 1. Datos astronómicos de Mercurio
Características Físicas Masa Volumen Densidad Área de Superficie Diámetro Gravedad (en la superficie) Inclinación axial Albedo
3,302×1023 kg 0,055 Tierras 6,083×1010 km³ 0,056 Tierras 5,43 g/cm³ 7,5 × 107 km² 4879,4 Km 2,78 m/s² 0° 0,10-0,12
Tabla 2. Datos orbitales de Mercurio
Elementos orbitales Longitud del nodo ascendente Inclinación Argumento del periastro Semieje mayor Excentricidad Anomalía media
48,331° 7,004 ° 29,124° 0,387 098 UA 0,20563069 174,796°
Tabla 3. Elementos orbitales derivados
Elementos orbitales derivados Periastro o perihelio Apoastro o afelio Período orbital sideral Período orbital sinódico Velocidad orbital media Radio orbital medio
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0,307 499 UA 0,466 697 UA 87d 23,23h 115,88 días 47,8725 km/s 0,387 UA
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Sol El sol es una Estrella de tipo G que ocupa el centro del Sistema solar. Tiene una forma esférica formada por plasma. Buena parte de este astro está formado por hidrógeno y helio. Se formó aproximadamente hace 4600 millones de años y ahora mismo es una estrella de edad intermedia. La tierra y otros cuerpos (como Mercurio) orbitan alrededor del Sol. La energía del sol sustenta a casi todas las formas de vida en la tierra, además de determinar el clima y la meteorología. Desde la Tierra (en el caso del proyecto, de Mercurio) es el astro con mayor brillo aparente.
Figura 2. Imagen del Sol. Fuente: NASA (SD0)
En la simulación, el Sol es considerado un punto de referencia y permanecerá inmóvil.
Tabla 4. Características físicas del Sol
Características Físicas Masa Volumen Densidad Diámetro Gravedad (en la superficie)
1,9891×1030 kg 332 946 Tierras 1,4123×1018 km³ 1411 kg/m³ 1 392 000 km 274 m/s2
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Conceptos físicos Para la realización del proyecto, los conceptos físicos usados serán las leyes clásicas de la física.
Ley de Gravitación Universal Esta ley formulada por Isaac Newton2 describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Esta fórmula aplicada a grandes distancias de separación proporciona resultados muy aproximados. Dicha fórmula es la fuerza F ejercida entre dos cuerpos de masas m1 y m2 separados por una distancia r es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:
!" = $
%& · ( %) +, *)
[1]
Segunda ley de Newton También conocida como ley fundamental de la dinámica3. Tal y como dicta el propio Newton, el cambio de movimiento es directamente proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime. Por lo tanto, si la masa (m) del cuerpo es constante se puede aplicar la siguiente fórmula:
! =%∙.
[2]
Siendo F la fuerza provocada por el producto entre la masa m y la aceleración del objeto o partícula.
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Publicada en 1687 en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Su formulación matemática fue publicada por Isaac Newton al igual que la de la ley de gravitación universal en 1687 en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. 3
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Leyes de Kepler Estas leyes, según Johannes Kepler, son enunciadas para describir matemáticamente el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol4. •! Primera Ley: Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas. El Sol se encuentra en uno de sus focos. •! Segunda Ley: El radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. •! Tercera Ley: Para cualquier planeta, el cuadrado de su periodo orbital es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica.
Movimiento Planetario Hay una serie de conceptos sobre el movimiento planetario que por la frecuencia con la que van a ser usados es preciso hacer una breve explicación de ellos.
•! Afelio: Es el punto de la órbita de un cuerpo celeste en la que la distancia al foco (el Sol en nuestro caso) es máxima. Debido a la segunda ley de Kepler, la velocidad del cuerpo en este punto es la menor en toda la órbita. •! Perihelio: Al contrario que el anterior concepto, el perihelio es el punto de la órbita de un cuerpo celeste en la que la distancia al foco es mínima. Debido a la segunda ley de Kepler, la velocidad del cuerpo en este punto es la mayor respecto al resto de la órbita.
Ilustración 1. Orbita
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Las primeras dos leyes fueron publicadas en su libro Astronomia Nova en 1609.
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Conceptos matemáticos Cálculo diferencial Con la derivada como principal objeto de estudio, el cálculo diferencial se centra en el estudio de funciones en las cuales el incremento del valor de las variables tiende a cero. El estudio de estos cambios está apoyada en el concepto de límite. Los métodos sistemáticos de resolución de estos cálculos fueron posibles gracias a los trabajos de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz5.
Recta secante a la función
Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente a una función ya que sólo es conocido un punto de ésta (el punto donde la recta es tangente a la función). Por ello, se aproxima la recta tangente mediante el cálculo de la pendiente de rectas secantes en dos puntos [3].
(
/ 0 + ℎ − /(0) ℎ
[3]
Dichos puntos se sitúan cada vez más próximos hasta que su pendiente sea lo más cercana a la de una recta tangente a la función. Esto es el concepto de límite, por tanto la pendiente será igual a la expresión [4].
/ 0 + ℎ − (0) :→< ℎ
/ 6 0 = lim
[4]
Ilustración 2. Concepto de diferencial.
Newton creó esta expresión y la llamó cociente diferencial. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se aproximan más a la tangente.
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Estos trabajos fueron escritos entre 1660 y 1680, destacan títulos como Methodus fluxionum et serierum infinitorum (1671) de Newton y la primera publicación sobre estos cálculos de Leibniz en Acta Eruditorum.
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Aplicaciones usadas en el proyecto y tecnología VR Aplicaciones
Unity 5 Unity 6 es un motor de videojuego multiplataforma creado por Unity Technologies. Unity está disponible como plataforma de desarrollo para Microsoft Windows, OS X y Linux, y permite crear juegos para Windows, OS X, Linux, Xbox 360, PlayStation 3, Playstation Vita, Wii, Wii U, iPad, iPhone, Android y Windows Phone. No requiere mucha experiencia ni ser un programador avanzado para desarrollar los proyectos, además, puede trabajar perfectamente con los otros programas necesarios para este trabajo. Tiene dos versiones, una de pago, y otra gratuita, esta última será la utilizada en este trabajo para crear las simulaciones, no tiene ninguna limitación, sólo se verá una pantalla de inicio (como si se tratara de una marca de agua) antes de iniciar el videojuego (o simulación en nuestro caso). La versión de Unity que usaremos será Unity 5.2.3f1(64bit)
Blender Blender7 es el principal software de creación, animación y renderización de modelos 3D. Al igual que Unity, es multiplataforma. Tiene un nivel de complejidad elevado y requiere tiempo para hacerse con la interfaz. Es gratuito, y su código fuente está disponible al público para ser modificado libremente. Este software será utilizado para crear los modelos de los planetas y otros astros y poder utilizarlos posteriormente en Unity.
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Web oficial de Unity, aquí también se encuentra la descarga oficial: http://unity3d.com/es
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La descarga de Blender y su código fuente están disponibles en la página principal de Blender http://www.blender.org/
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Adobe Photoshop Adobe Photoshop 8 es un editor de gráficos rasterizados 9 desarrollado por Adobe Systems Incorporated. Es utilizado principalmente para el retoque fotográfico. Su función en este proyecto será la de crear texturas para los modelos y otros recursos en dos dimensiones. Este programa no es gratuito.
Figuras 3 y 4: Tanto Blender (izq.) como Photoshop (dcha.) cumplirán con la parte estética del trabajo
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Adobe Photoshop está a la venta en la página oficial de Adobe. http://www.adobe.com/es/products/photoshop.html 9
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Los gráficos rasterizados son imágenes en mapa de bits o imagen de píxeles.
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Tecnología VR y Google Cardboard La realidad virtual (RV o VR debido a su definición en inglés “virtual reality”) es un entorno de escenas u objetos de apariencia real. Dicho entorno es generado mediante tecnología informática que crea una sensación al usuario de inmersión. El entorno es contemplado por el usuario a través de gafas o cascos de realidad virtual, acompañados en ocasiones de otros dispositivos como guantes, cascos o trajes especiales para permitir una mayor percepción de estímulos. Figura 5. Las aplicaciones de esta tecnología son muy variadas, desde entretenimiento a simulaciones de vuelo, medicina y creación artística.
Para poder visualizar las simulaciones en realidad virtual en este proyecto serán necesarias unas gafas de realidad virtual, es un producto sencillo y barato que ha sido desarrollado por diferentes empresas y compañías. Son unas gafas de cartón con lentes especiales y un soporte para colocar un Smartphone (teléfono inteligente) en ellas. El modelo más conocido es el de las Google Cardboard10. Figura 6 . Google cardboard
Al ser una tecnología relativamente nueva, los fabricantes están interesados en potenciar el desarrollo de programas de Realidad Virtual. Por ello, han creado una página especial para los desarrolladores11 donde pueden encontrar documentos con la base ya programada para poder empezar rápidamente a crear los proyectos o programas.
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Para saber más acerca de las Google Cardboard o hacer un pedido no hay más que acceder a su página oficial: https://www.google.com/get/cardboard/ 11
https://developers.google.com/cardboard/
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MetodologÃa
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Una vez recogidos los datos astronómicos de Mercurio y el Sol, se procederá a la creación de una hoja de cálculo en Excel12 donde se apuntarán los datos anteriormente mencionados. Mediante el uso de las fórmulas 1, 2 y 4 de este documento se hará un cálculo de la órbita de mercurio (posición relativa al sol y el vector de su velocidad) en el que serán realizados varios procedimientos:
•! Con un diferencial de tiempo de 1 hora, calcularemos por segmentos la órbita de mercurio comenzando desde su afelio, esto requerirá resolver los valores orbitales de Mercurio cada hora, obteniendo su posición y velocidad.
•! Generaremos una gráfica en la que se represente en un plano de coordenadas cartesianas los valores obtenidos para visualizar la órbita de mercurio. Esto se conseguirá representando con un punto la posición de Mercurio en cada segmento, o sea, comenzando con un punto en su afelio, cogemos los valores de las coordenadas del planeta tras transcurrir una hora y lo representaremos en el plano con otro punto. Transcurrida otra hora volvemos a coger los valores para representar el siguiente punto. Repetiremos el proceso hasta haber formado la órbita de Mercurio.
•! Una vez resuelta la gráfica, reduciremos el valor del diferencial de tiempo. Esto hará que los cálculos sean más exactos (la explicación de por qué sucede esto se encuentra más adelante). Generaremos una nueva gráfica con los nuevos valores, ahora más precisos, haciendo que la órbita se parezca más a la real.
•! Seguiremos reduciendo el valor del diferencial de tiempo. El objetivo de esto es conocer hasta qué punto hay que reducir el intervalo hasta que la órbita sea lo más fiel a la realidad.
Cuando se obtengan unos resultados suficientemente exactos se realizará en esa misma hoja de cálculo una relación entre la velocidad de órbita y la distancia al sol, esto será necesario para comprobar que se cumple la tercera ley de Kepler.
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Para más información sobre este programa acceder a https://es.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel
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Terminados los cálculos con la hoja de Excel el siguiente paso a seguir es la creación de un proyecto en Unity, (este está preconfigurado para producir contenido en tres dimensiones). Con los datos astronómicos que hemos recopilado, se generarán dos esferas con el tamaño correspondiente a Mercurio y al Sol. Mediante un sistema de coordenadas, con el centro de la elipse formada por la órbita de Mercurio como origen se situarán las esferas del Sol (en uno de los focos de la órbita) y a Mercurio. Éste último se situará en el origen de coordenadas, ya que, mediante un script (“archivo de órdenes” en castellano), haremos rotar a mercurio alrededor de ese punto (0,0,0) formando una elipse).
El script anteriormente mencionado usa funciones de seno y coseno para generar una órbita elíptica. Para que el planeta aumente su velocidad según se acerque al Sol, aplicaremos en ese script aplicaremos otra función que contenga varios datos de la hoja de cálculo (velocidad máxima y mínima) y una función coseno. Esto hará que varíe en función de la distancia, cumpliendo así las leyes de Kepler. Por último, el periodo de revolución de mercurio se generará también con un script en el que mercurio dará una vuelta sobre sí mismo en un tiempo equivalente a 2/3 del periodo de órbita.
Creando por completo una simulación básica tridimensional de la órbita de Mercurio con la máxima precisión posible, pasaremos a colocar el punto de vista (la cámara en el caso de Unity) en un lugar específico de la superficie de Mercurio para contemplar el fenómeno del doble amanecer.
Aunque no se presente en este documento, para la presentación se aplicará la tecnología VR mediante un script proporcionado por los desarrolladores de Google Cardboard para poder visualizar la simulación con unas gafas de realidad virtual en dispositivos Android.
El último paso es la aplicación del aspecto visual, añadiendo texturas proporcionadas en Internet o creadas en programas de edición de imagen como Photoshop, creando efectos de iluminación, añadiendo un fondo (o skybox en Unity) del cielo visto desde el sistema solar y la creación de una interfaz de usuario para interactuar con la aplicación.
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Desarrollo
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Programación de una hoja de cálculo Tabla 5. Datos, constantes y variable
Abriendo el programa Excel, procedemos a la creación de la hoja de cálculo. Primero se introducirán los datos astronómicos de la órbita de Mercurio, en este caso necesitamos la distancia en metros en el afelio y la velocidad en dicho punto, las masas en kilogramos del Sol y Mercurio, la constante gravitacional o G y un espacio para el diferencial, o sea, el tiempo que ha transcurrido desde un punto a otro de la órbita. Esta variación será el Incremento o valor diferencial que iremos modificando a lo largo de la simulación. Para hacer los cálculos con la variable se pasa el valor de esta (que está expresada en horas) a segundos mediante la expresión:
A continuación, creamos la tabla donde realizaremos todos los cálculos para obtener:
Los datos de las coordenadas x e y (columnas A y B en la tabla 6). Esto es esencial, determina la posición de Mercurio en cada instante. La ubicación se representará con un punto por cada instante en una gráfica. Al unir todos los puntos se formará la órbita de Mercurio o más bien, la trayectoria de dicho planeta.
Para obtener las coordenadas de x transcurrido un tiempo !t y teniendo al valor de la fila anterior como x0 se usará la fórmula: x = x0 + vx· t + 0,5· ax· t2 (Para calcular las coordenadas de y se sigue el mismo procedimiento):
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La distancia de Mercurio al Sol (Mรณdulo) (columna C en la tabla 6). Este dato servirรก entre otras cosas para controlar la precisiรณn de los cรกlculos: Si la รณrbita es exacta, cada vez que se llegue a un punto (por ejemplo, el afelio) por segunda vez (o sea, ya se ha completado la รณrbita y estรก volviendo a recorrerla) la distancia deberรญa ser la misma que en la anterior vuelta. Ademรกs, el mรณdulo de la posiciรณn se utiliza para el cรกlculo del vector unitario.
Para deducir cualquiera de los mรณdulos en la tabla se hace la raรญz cuadrada de la suma de las componentes x e y al cuadrado:
Las componentes x e y del vector unitario (Mu) (columnas de la secciรณn D en la tabla 6). Para obtener el vector unitario simplemente hay que dividir el componente x o y por el mรณdulo del vector posiciรณn. Al ser unitario, el mรณdulo siempre debe ser 1.
La fuerza gravitatoria en x e y y su mรณdulo (Mf) (columnas de la secciรณn E en la tabla 6). Para obtener el mรณdulo de la fuerza gravitatoria hay que aplicar la fรณrmula de la ley de gravitaciรณn universal de Newton (fรณrmula nยบ1):
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La aceleración en x e y y su módulo (Ma) (columnas de la sección F en la tabla 6). Para obtener la aceleración en x o y se divide la fuerza gravitatoria por la masa de Mercurio, lo que estamos haciendo aquí es aplicar la segunda ley de Newton (fórmula nº2):
La velocidad en x (vx) e y (vy) y su módulo (Mv) (columnas de la sección G en la tabla 6). Es uno de los datos más importantes. La velocidad ha de cumplir con las leyes de Kepler: ha de aumentar su módulo o disminuirlo en consecuencia de la distancia que lleva Mercurio con el Sol. Como la órbita de Mercurio es muy excéntrica, la distancia al Sol varía bastante, produciendo un cambio notable en la velocidad de su órbita.
Para obtener la velocidad en x pasado un tiempo t teniendo como vx0 el valor de la velocidad final en el segmento anterior usaremos esta fórmula: vx = vx0 + ax· t
Para obtener el módulo de la velocidad se usa la fórmula anteriormente mencionada para el cálculo de módulos.
Componentes x e y de cualquier módulo Para resolver las componentes de los módulos ha de multiplicarse el módulo por el vector unitario de x o y. Dichos vectores se pueden obtener mediante la división de los valores de x o y por el módulo de la distancia entre Mercurio y el Sol.
Ahora procederemos a arrastrar unas cuantas casillas hacia abajo todos los valores para observar los resultados de los calculos anteriores en cada segmento de la órbita de Mercurio. Teniendo como valor de la variable !t = 1 lo que va a suceder es que se calcularán los valores de la velocidad, aceleracion, posición etc. de Mercurio en su órbita cada hora durante un tiempo determinado.
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CIELOS EN OTROS PLANETAS Tabla 6. Tabla principal
Viendo la tabla con tantos datos puede ser algo abrumador, por lo que procederemos a explicarlo por partes.
A
B
C
D
E
F
G
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Ilustraciรณn 3. Grรกfico de fuerzas
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Tabla 7. Coordenadas y distancia
Coordenadas y distancia al sol Puede apreciarse que, comenzando en el afelio, el valor de x está en su máximo y el de y es 0. Al avanzar el tiempo los valores van cambiando según una función coseno en x y una función seno en y, creando una elipse. El valor del módulo, que es la distancia al Sol, va disminuyendo según avanza en el tiempo comenzando desde el afelio y seguirá bajando el valor hasta llegar al perihelio, donde hallará su valor mínimo y volverá a crecer hasta llegar nuevamente al afelio.
Observaciones Mediante experimentación, se ha comprobado que cuanto menos precisos son los calculos, o sea, cuanto mayor es la variable o !t, el módulo va aumentando con cada vuelta hasta formar una espiral que crece de manera indefinida. Esto se debe a que con un diferencial de tiempo amplio, se produce un pequeño exceso de distancia debido a que de un punto a otro la dirección de la velocidad permanece constante en cada segmento calculado. Estos excesos van acumulándose hasta variar notablemente la órbita, haciendo que el planeta se vaya alejando cada vez más del Sol. Podemos apreciar este suceso en la gráfica 1.
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CIELOS EN OTROS PLANETAS Tabla 8. Distancia y velocidad
Distancia al sol y velocidad La velocidad según va disminuyendo el módulo o distancia al Sol, va aumentando hasta alcanzar su máximo en el perihelio, donde comienza a disminuir para llegar a su mínimo nuevamente en el afelio. Esto se debe a que cumple la segunda ley de Kepler (página 10).
Observaciones De nuevo, se ha podido comprobar mediante la experimentación con la hoja de cálculo que, a mayor diferencial de tiempo, mayor es el margen de error. Esto provoca que el módulo aumente según va pasando el tiempo, creando una especie de espiral en vez de una órbita elíptica. La velocidad se ajusta a las condiciones, es decir, al estar más lejos del sol, cumpliendo la segunda ley de Kepler, la velocidad cada vez es menor.
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Ahora será creada una gráfica que muestre con puntos los valores de x e y en un periodo de tiempo. El sol está situado en el origen de coordenadas (0,0), o sea, en uno de los focos de la órbita elíptica. Para que complete una vuelta al sol, solo será necesario tomar los valores de x e y hasta el valor ( de la casilla Tiempo(horas)) 2112. Pero para obtener más resultados y ver como se desarrollan los valores de x e y tomaremos un mayor valor (el necesario para que dé varias vueltas al sol). Gráfica 1.Órbita de Mercurio (!t=1h)
y (m)
x (m)
Afelio real
Se puede percibir como la órbita se va alejando de los valores originales según avanza en el tiempo. Esto es porque en el cálculo de cada segmento se está cometiendo un pequeño error, producido por el hecho de que durante ese pequeño intervalo de tiempo se considera la velocidad constante. Esto va dejando un pequeño margen de error que, al acumularse, va desviando la órbita. Para reducir este margen de error hay que disminuir el valor del incremento de la variable: el diferencial de tiempo.
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El diferencial de tiempo ha de ser muy pequeño. Para poner en perspectiva este hecho,hagamos una estimación de los datos con los que nos estamos manejando. Mercurio tarda en completar su órbita unas 2112 horas, Si tomamos nuestro incremento de tiempo como 1 hora, necesitaremos calcular todos los parámetros 2112 veces (2112 filas en la hoja de cálculo) para completar una órbita. Si pretendemos utilizar incrementos de 0,01 horas (en segundos la orbita son 7.603.200 segundos y el diferencial de tiempo 36 segundos) lo que necesitaremos son 211.200 filas en la hoja de cálculo para conseguir una órbita completa con ese diferencial. Además, para poder saber si los calculos son exactos hay que completar varias vueltas.
Explicación del margen de error A lo largo de todo el trabajo se ha mencionado y explicado de una manera algo breve el porqué de la desviación de la órbita. Aquí se muestra de manera gráfica el motivo por el cual tenemos este margen de error. Al calcular un segmento, la velocidad permanece inmóvil desde x0 a xf. La dirección al inicio es correcta, ya que es tangente a la órbita. vn
vf
Xf
v0 X0
En este ejemplo, el diferencial de tiempo es enorme para poder ver claramente que la dirección de vf difiere bastante de lo que debería ser: un vector tangente a la órbita en ese punto. Si el área cubierta en ese tiempo tuviese una velocidad tangente a la órbita en todos los puntos formaría el triángulo verde. El triángulo rojo es el formado cuando la dirección permanece constante. Esto es lo que se quiere evitar cuando disminuimos el diferencial. A menor valor, menor diferencia entre
vf y vn . 36
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Para poder ver si los valores se van aproximando a los reales se crea una segunda tabla donde se anotará el valor máximo (en la tabla, Distancia Máxima) del módulo de la distancia entre Mercurio y el Sol tras dar una vuelta para compararlo con el valor del Afelio (que es la distancia máxima real) según se va disminuyendo el valor del incremento de la variable. De nuevo estamos en el concepto de diferencial, haciendo el incremente cada vez más pequeño. Este proceso podría ser infinito, por lo que lo detendremos en el momento en que la órbita calculada se ajuste a la real Tabla 9. Relación diferencial-precisión
Distancia (m) Con el incremento de tiempo de 0,01 horas, la segunda vez que se llega al afelio el valor se mantiene exactamente igual que el afelio.
La recta horizontal representa el valor de la distancia en el afelio
Con el incremento de tiempo de 1 hora, la segunda vez que se llega al afelio el valor ha incrementado notablemente, si la órbita continuase se formaría una espiral en vez de una elipse (como se podía ver en la anterior gráfica).
!t (h)
Gráfica 2. Relación diferencial-precisión
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Con este gráfico se demuestra que a menor el incremento de tiempo (cuando el límite del incremento tiende a cero), la órbita será más exacta y fiel a la realidad. También se deduce en consecuencia la gran fiabilidad del calculo diferencial a la hora de estudiar y representar órbitas. Pongamos a prueba esta teoría utilizando el último valor usado en la variable (0,01) y procedemos a crear una segunda gráfica: Gráfica 3. Órbita de Mercurio (!t=0,01h)
y (m)
x (m)
Afelio
Para generar la gráfica nº3 han sido necesarias unas 450.000 filas ya que al tener un incremento tan pequeño (0,01 horas) se requieren más de 211.000 valores. Es imposible discernir si ha habido variaciones en los valores de x e y tras múltiples vueltas. Para comparar las dos gráficas (1 y 3) la primera ha hecho una órbita con un porcentaje de 1/2112 mientras que la segunda ha sido creada con un porcentaje de 1/211200.
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Teniendo ya unos valores fiables procedemos a crear una última función donde relacionaremos la velocidad y distancia entre el Sol y Mercurio, sacando una fórmula que defina la relación en consecuencia. V(m/s)
! = 7 · 10'() * + − 2 · 10'. * + 121022 Perihelio
0 + = 0,99997
Afelio
r(m)
La ecuación que se encuentra en el recuadro blanco es la fórmula que define la relación, gracias a ella ahora podremos saber la velocidad de Mercurio a cualquier distancia y viceversa. La ecuación que tiene debajo (R2=0,99997) representa el coeficiente de relación o la exactitud de la gráfica, siendo 0 el peor valor posible y 1 el mejor (en nuestro caso roza la perfección).
Conclusiones sobre la hoja de cálculo Gracias a todos los datos y gráficas obtenidas tras múltiples cálculos y relaciones, ahora disponemos de todos los valores necesarios para representar la órbita de Mercurio en cualquier posición transcurrido un tiempo y tomando como valor inicial el afelio (aunque también valdría cualquier otra posición inicial). También se ha demostrado la fiabilidad del cálculo diferencial a la hora de calcular órbitas entre cuerpos celestes como planetas y estrellas. SERGIO CHECA BARRIONUEVO
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Simulaciรณn tridimensional
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Órbita de Mercurio Tras abrir Unity, se crea un nuevo proyecto al que hemos llamado “Orbita de Mercurio”. Será en este proyecto donde representaremos, desde un punto de vista lejano, la órbita completa de Mercurio alrededor del Sol.
Ilustración 4. Iniciando Unity
El proyecto en blanco se presenta de esta manera:
Ilustración 5. Proyecto en blanco
Es fácil perderse durante el proceso, por lo que seguiremos unos pasos bien marcados y mantendremos un riguroso orden de los elementos que componen el proyecto. SERGIO CHECA BARRIONUEVO
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Crear las esferas de Mercurio y el Sol Para la representación de los dos cuerpos serán usadas dos esferas. Las dimensiones de estas son medidas en unidades de Unity. Estas unidades las tomaremos como si fueran metros. Ahora bien, para representar distancias y objetos tan grandes usaremos una escala 1:1.000.000. La primera esfera a colocar es la del sol, la cual estará situada en el eje de coordenadas.
Para ello, hay que abrir la pestaña GameObject, seleccionar 3D object y elegir Sphere. Una esfera de dimensiones 1x1x1 aparecerá en el origen de coordenadas.
Ilustración 6.Esfera
A la izquierda se puede ver una pestaña llamada Inspector. En esta pestaña están todas las características del objeto seleccionado, en este caso la esfera. Dichas características son configurables y pueden ser modificadas. Para nuestro proyecto nos centraremos en dos secciones del inspector, la primera es la sección de Transform, donde podemos definir el tamaño, rotación y posición de los objetos, la segunda es la sección de Script, pero ya se hablará de esta más tarde. Ilustración 7. Inspector
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Lo primero que haremos será cambiar el nombre del objeto “Sphere” a “Sol” y añadir los valores de su diámetro (en escala 1:1.000.000) en la sección de Scale.
Por lo tanto, nuestra esfera tendrá las dimensiones (1392, 1392, 1392) y estará situada en el eje de coordenadas.
Ilustración 8. Esfera del Sol
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El proceso en la creación de la esfera que representa a Mercurio es idéntico, variando únicamente las dimensiones de la esfera: (4,879, 4,879, 4,879)
Ilustración 9. Esfera de Mercurio
Aquí se puede apreciar una comparativa del tamaño de las esferas Mercurio (izquierda, resaltado en naranja) y Sol (derecha):
Ilustración 10. Comparativa de esferas
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Generar la órbita de Mercurio Para generar una órbita es necesario el uso de un script. Este script irá junto a las características del objeto al cual queremos que se apliquen los efectos. En este caso, Mercurio. Primero, hay que seleccionar la esfera llamada Mercurio para acceder a su Inspector. Una vez hecho esto podremos ver un botón al final del Inspector en el que se puede leer Add Component (añadir componente). Lo seleccionamos y elegimos New Script (Nuevo script).
Ilustración 11. Selección de Nuevo Script
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De nombre le pondremos Orbita y estará en lenguaje C# (C sharp). Al crearlo, aparecerá un documento de script en la carpeta de Assets, dicha carpeta se puede ver en la pestaña colocada debajo de la simulación. Esta pestaña muestra los documentos que se están utilizando en el proyecto. Para evitar futuros problemas con la organización, crearemos una nueva carpeta dentro de Assets a la cual nombraremos “Scripts”. Colocamos el documento de script “Orbita” dentro de esta carpeta.
Ilustración 12. Nombrando el nuevo script
Ilustración 13. Organización de archivos
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Para abrir y editar el script usaremos Sublime Text, aunque también puede usarse otro editor de texto como Bloc de Notas. Al abrirlo por primera vez, el script tiene esta apariencia.
Ilustración 14. Nuevo Script
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Para crear una órbita vamos a ir por pasos. Primero generaremos una órbita circular con velocidad constante, o sea, un movimiento circular uniforme de radio 1 (importante recordar que estamos manejando unidades en Unity, donde la escala que usamos es 1/1.000.000, por lo que el radio es de 1.000 km). Como pudimos comprobar en la hoja de cálculo, las coordenadas x e y crecían y disminuían según una función seno o coseno. Por lo que en el script estos valores estarán determinados por dichas funciones: En este script, mediante el timeCounter += Time.delta Time, empezando en el segundo 0, vamos añadiendo tiempo según avanza la simulación.
Ilustración 15. Coordenadas en el script
Por otro lado, el comando float determina la posición x, y, z de Mercurio. En el eje z al no necesitar que varíe, se mantiene constante (0). Las coordenadas x e y varían con el tiempo siguiendo una función coseno y seno respectivamente. Esto implica que cada segundo se abarcará 60 grados. Con este script, hemos conseguido generar una órbita circular de 1000km de radio y que se completa cada 6 segundos.
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Ahora vamos a determinar el ancho y alto de la órbita, para que en vez de ser un círculo describa una elipse. También moveremos el centro de la elipse un poco a la derecha para que el sol, que continua en el origen de coordenadas, sea uno de los focos de la elipse.
Ilustración 16. Velocidad en el script
Mediante width y height (ancho y alto) colocamos los valores que se obtienen de esta manera: •! En el ancho sumamos el afelio y el perihelio, el resultado se divide entre dos, ese es el radio en x máximo: 57950. •! En el alto abrimos la hoja de cálculo y buscamos el valor máximo de y: 56700 •! Hay que recordar que estos valores están a escala 1:1000000 •! Como se puede apreciar, desviamos la órbita 11950 unidades (esto se hace restando el perihelio al afelio) para así tener al sol en uno de los focos. Ahora mercurio describe una trayectoria igual que la de la gráfica, sólo nos queda determinar la velocidad a lo largo de la órbita.
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La velocidad se determina en el mismo script que estamos usando.
Bajo las funciones que representan las coordenadas, colocamos la función de la velocidad. Esta no se puede medir con tiempo real, ya que va en función de los fotogramas por segundo de la simulación, por lo que podemos usar las unidades a la escala que mejor nos convenga. En este caso, en vez de avanzar 38800 metros por segundo en el afelio, avanzaremos 0,388 unidades por fotograma.
La velocidad no es constante, sigue la segunda ley de Kepler, por lo que al acercarse al sol aumenta. Necesitamos saber tres datos. •! La velocidad mínima (en el afelio): buscamos el valor mínimo entre los datos bibliográficos de Mercurio (38800m/s). •! La velocidad máxima (en el perihelio): buscamos el valor máximo en la hoja de cálculo (59100m/s). •! La diferencia entre la velocidad máxima y mínima (10150). La velocidad oscila al igual que las coordenadas mediante una función seno o coseno. En este caso usaremos la función coseno. La diferencia se divide entre dos (2500) y se resta a la velocidad máxima (59100m/s) dando como resultado la velocidad media de órbita (48950 m/s). La otra mitad de la diferencia se multiplica a la función coseno que restará a la velocidad que hemos deducido antes (48950m/s).
Ilustración 17. Velocidad en el script (2)
Cuando el radio forme 0º con el eje x (esto es el afelio en la simulación) la función seno valdrá 1, dándole valor completo al 0,025 que lo multiplica. El 0,025 restará a 0,413, dejando 0,388 (la velocidad mínima o, mejor dicho, la velocidad en el afelio). Cuando el radio forme 180º con el eje x (esto es el perihelio en la simulación) la función seno valdrá -1, haciendo que se sumen 0,025 a 0,413, resultando en 0,438 (la velocidad máxima o, mejor dicho, la velocidad en el perihelio).
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Con el script terminado al fin tenemos la órbita exacta a escala 1:1000000 de Mercurio alrededor del sol.
Ilustración 18. Script completo
Colocando la cámara de la simulación a una distancia lo suficientemente alejada como para ver la órbita completa nos encontramos con un problema: Mercurio es demasiado pequeño como para ser visible en la pantalla de la simulación, por lo que hinchamos sus dimensiones 100 veces su tamaño (487,9, 487,9, 487,9).
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Vista de la órbita de mercurio desde la superficie Antes de cambiar el punto de vista a la superficie de Mercurio es necesario que el planeta presente un movimiento de rotación. En el caso de Mercurio, el periodo de rotación se completa en 2/3 del tiempo de su órbita. Esto implica que hemos de hacer que la velocidad de rotación sea 3/2 mayor que la velocidad media de órbita. Abrimos nuevamente el script donde tenemos calculada la órbita de Mercurio. Cogemos el valor de la velocidad media orbital (0,4895m/s) y lo multiplicamos por 3/2, deduciendo así la velocidad de rotación (0,73425m/s). Introducimos después del comando que determina la posición (línea 27) esta nueva línea de texto (línea 29).
Ilustración 19. Rotación de Mercurio (Script)
Lo que hemos hecho es que Mercurio gire alrededor de su diámetro en el eje z en sentido anti horario (al igual que su órbita).
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Para poder percibir la rotación de la esfera, se ha optado por colocar un cilindro que atraviesa a Mercurio por el centro. Las dimensiones no tienen por qué ser exactas (en nuestro caso, el cilindro tiene el doble de alto que el diámetro de la esfera y un ancho 0,24 veces el diámetro de la misma).
Por razones estéticas también se ha añadido una textura a la esfera de Mercurio.
Ilustración 20. Cilindro
Para que el cilindro gire y se mueva junto con la esfera hay que colocarlo como un objeto o elemento “hijo” de la esfera, que actuará de elemento “padre”. Sencillamente, se arrastra el elemento en la pestaña de la izquierda en la ilustración [20] con el nombre de Cilindro (o Cylinder si está en inglés) a donde pone Mercurio, al igual que se hace para introducir elementos en una carpeta del ordenador. Una vez hecho esto, debería aparecer como en la ilustración [21]. Ahora todo cambio que se efectúe en la esfera afectará por igual al cilindro.
Ilustración 21. Cilindro y Mercurio
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Para percibir mejor la rotación, el tamaño de la esfera pasa de ser aumentado 100 a 1000 veces en esta simulación.
A
Ilustración 22. Simulación de la órbita de Mercurio
En la ilustración [22] se han hecho varias capturas para mostrar la animación de Mercurio alrededor del sol comenzando en el afelio (punto A), girando en sentido antihorario.
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Doble amanecer desde la superficie de Mercurio
Con la órbita completa ya generada en Unity, pasamos a cambiar el punto de vista (la posición de la cámara en Unity) a un lugar específico de la superficie de mercurio. Como nuestro objetivo es observar el fenómeno del doble amanecer, debemos situarnos en un punto de su ecuador mirando hacia el horizonte por donde aparece el sol (en nuestro caso, un lugar donde z = 0 y forme 30º con el plano (x z), mirando hacia donde amanece).
Ilustración 23. Posición de la cámara
Para que la cámara siga el movimiento del planeta, hay que repetir el mismo proceso que seguimos con el cilindro. En la pestaña derecha de la ilustración [20], arrastramos el elemento de la cámara dentro de Mercurio dejando como resultado la ilustración [21] (el nombre de la cámara es Main Camera (1)).
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Antes de iniciar la simulación, hay que restaurar los valores de la escala de mercurio, ya que los habíamos hinchado para poder ver su órbita en la anterior animación. Por lo tanto, procedemos a dividir su tamaño por 1000, dejando su escala igual que el resto de elementos (1:1000000). Una vez todo listo y comprobado, iniciamos la simulación. Comenzamos con una escena en la que se muestra la superficie de Mercurio todavía sumido en la oscuridad y, tras varios segundos, el Sol empezará a asomar por el centro del horizonte, iluminando el terreno. La estrella reducirá su velocidad paulatinamente y una vez que la esfera está justo encima de la línea del horizonte permanecerá inmóvil durante medio segundo (tiempo de la simulación). El Sol comenzará a retroceder y se ocultará tras el horizonte lo justo para que ya no pueda ser visible, entonces volverá a reducir su velocidad, parará y cambiará nuevamente de sentido para salir justo después y continuar su recorrido por el cielo de Mercurio.
Ilustración 24. Vista desde la superficie antes de amanecer
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Ilustración 25. Vista desde la superficie después de amanecer.
Ambas animaciones (tanto la simulación de la órbita y el doble amanecer) son una renderización tridimensional realizada en Unity5 y exportada a varios formatos (tanto vídeo como programas ejecutables) y por su carácter multimedia serán mostradas durante la exposición oral del trabajo.
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Conclusiones
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Tras un meticuloso trabajo en la hoja de cálculo y en Unity se han logrado todos los objetivos propuestos al inicio del proyecto, con resultados bastante satisfactorios. Entrando en detalle, se procede a explicar cada una de las conclusiones.
Sobre la hoja de cálculo Se ha desarrollado un método basado en la hoja de cálculo para simular órbitas, partiendo de las bases de las fórmulas de Newton y Kepler. Este método es más preciso cuantas más operaciones se hacen en la hoja de cálculo. Gracias a todos los datos y gráficas obtenidas tras múltiples cálculos y relaciones, ahora disponemos de todos los valores necesarios para representar la órbita de Mercurio en cualquier posición transcurrido un tiempo y tomando como valor inicial el afelio (aunque también valdría cualquier otra posición inicial). Esto nos ha permitido obtener los valores necesarios para la creación posterior de la simulación tridimensional. También se ha demostrado la fiabilidad del cálculo diferencial a la hora de calcular órbitas entre cuerpos celestes como planetas y estrellas, cumpliendo así con los dos primeros objetivos que nos propusimos al inicio de este trabajo. Ha de mencionarse la gran cantidad de valores necesarios para generar una sola órbita y las gráficas relacionadas a ésta, haciendo de este método una labor algo tediosa. Pero es un proceso necesario que asegura la precisión de los cálculos.
Sobre la simulación tridimensional A lo largo de todo el proyecto, el hecho de que las unidades del programa fuesen genéricas y no hubiese una manera directa de relacionar velocidades hizo que el trabajo se ralentizara bastante. Pero se pudieron salvar estas dificultades gracias al uso de escalas y relaciones. Ambas simulaciones, tanto la órbita de Mercurio como el doble amanecer desde la superficie del mismo fueron posibles de calcular gracias a funciones que incluían senos y cosenos en función del tiempo. Dichos cálculos en el script generaron una órbita fiel a la realidad, cumpliendo con éxito el último objetivo. Debido a que la órbita fue simulada con exactitud, el fenómeno del doble amanecer se reveló de manera natural. Por tanto, todo el proceso seguido confirma la existencia de dicho fenómeno en ausencia de pruebas gráficas.
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