10. HAFTA
MAT108 LİNEER CEBİR
Öğr. Gör. Bülent ORDU bulentordu@karabuk.edu.tr
KBUZEM Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi
MAT108 Linner Cebir 2
BAZ ve BOYUT S ={u 1 , u 2 , … , un }
Tanım:
vektörleri V uzayının elemanları olsun. Eğer
ui
vektörleri lineer bağımsız ve V nin her elemanı bu elemanların lineer kombinasyonu şeklinde yazılabiliyorsa, S kümesine V nin bazı denir.
4 Örnek: R kümesinde S ={( 1,0,0 ,0 ) , ( 0,1,00 ) , ( 0,0 ,1,0 ) , ( 0,0 ,0 ,1 )} kümesi bir
bazdır. (Standart baz)
Örnek: Derecesi n ye kadar olan polinomlar uzayı
Pn
için
{1, x , x 2 , … , x n }
kümesi bir bazdır.(Doğal baz)
Teorem:
S ={u 1 , u 2 , … , un }
elemanı
u i ( 1≤ i ≤ n )
İspat:
kümesi V kümesinin bir bazı olsun. Her v ∈ V
vektörlerinin lineer kombinasyonu olarak tek türlü yazılır.
V =α 1 u 1+ α 2 u2 +…+ α n un
ve
V = β 1 u1 + β 2 u 2+…+ β n un
iki farklı lineer
kombinasyon olsun. Bu durumda
( α1−β 1 ) u1 + ( α 2−β 2 ) u 2+…+ ( α n−β n ) u n=0 olur. İki lineer kombinasyon birbirinden farklı olduğu için bazı
( α i−β i ) (1 ≤ i ≤ n ) ler sıfırdan farklı olurdu. Bu durumda
u i ( 1≤ i ≤ n )
ler lineer bağımlı olurdu.
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
MAT108 Linner Cebir 3
Tanım: VF bir vektör uzayı ve v∈ V
B= {v 1 , v 2 ,… , v n }
ise o zaman α i ϵ F ( 1 ≤ i ≤ n )
V’ nin bir bazı olsun. Buna göre
olmak üzere,
n
v=∑ α i v i i =1
şeklindeki tek türlü ifade edilen bağıntıdaki
(α1 , … , αn )
’ ye B bazına göre v
vektörünün koordinatları denir ve [v]B ile gösterilir.
B= {v 1 , v 2 ,… , v n }
Teorem: VF bir vektör uzayı ve
(i)
u ,v ∈ V
(ii)
v∈V
V’ nin bir bazı olsun. Buna göre
için, [u+v]B=[u]B+[v]B α∈ F α α ve için [ v]B= [v]B dir.
3 u 1=(7,−1,4 ) , u 2=( 4,0 ,1 ) , u 3=(−3,5 ,0 ) Örnek: R te γ=(−1,3,5 ) üçlüsünün
taban vektörlerine göre yazılışı γ=2 u 1−3 u2 + u3 olur. Buna göre [ γ ]S =(−2,3,1 ) .
2 Örnek: S ={t , t ,1 } kümesi
Buna göre
P2
(ikinci dereceden polinomlar) için bir bazdır.
2 P ( t )=a t +bt+c polinomunun S koordinatları [ P ] S =( a , b , c ) . Eğer
T ={1, t , t 2} sıralı bazını alsaydık [ P ]T =( c , b , a ) olurdu.
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
MAT108 Linner Cebir 4
Örnek: R
3
u 1=(−3,2 ,1 ) , u 2=(7,4 ,3 ) , u 3=( 1,0−2 )
olmak üzere
S ={ u 1 , u 2 , u 3 }
için sıralı bir bazdır.
a) S koordinatları ( 3,−2,4 ) olan bir vektör bulunuz. b) β=(−5,18 ,19 ) vektörünün S koordinatlarını bulunuz. Çözüm: a) [ γ ]S =( 3,−2,4 ) ise γ=3 u1−2 u2 + u3=3 (−3,2 ,1 )−2 ( 7,4 ,3 )+ 4 ( 1,0−2 ) ¿ (−19,−2,−11 ) a 1 u1 +a 2 u 2+ a 3 u 3= β=(−5,18 ,19 )
b)
olacak şekilde
( a 1 , a 2 , a 3)
bulmalıyız.
−3 a 1 +7 a 2 +a 3=−5 2 a 1 +4 a 2=18 a 1+ 3 a 2−2 a3=19
[
] [
−3 7 1 : −5 1 3 −2 : 19 2 4 0 : 18 S 1 ↔ S 3 2 4 0 : 18 → 1 −3 2 : 19 −3 7 1 : −5
]
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
kümesi
MAT108 Linner Cebir 5
[
] [
1 3 −2 : 19 S 1 3 −2 : 19 S 2 → S 3−2 S 1 0 −2 4 : −20 S 2 → 2 0 1 −2 : 10 2 → 0 16 −5 : 52 0 16 −5 : 52 →
[
]
[
]
1 3 −2 : 19 S 1 → S 1−3 S 2 1 0 4 : −21 S 3 → S 3−16 S 2 0 1 −2 : 10 0 1 −2 : 10 1 S3 → S 3 → 0 0 27 : −108 0 0 1 : −4 3
]
→
[
1 0 0 : −5 S 3 → S 3−16 S 2 0 1 0 : 2 → 0 0 1 : −4
ise
]
a 1=−5, a 2=2, a 3=−4
β=−5 u 1+ 2 u 2−4 u3
[ β ] S=(−5,2 ,−4 ) elde edilir.
Tanım: VF bir vektör uzayı olsun. Bazdaki eleman sayısına V’ nin boyutu denir ve BoyV ile gösterilir. V={0} ise BoyV=0 dir.
Teorem: Rn nin altuzayı S olsun. S’ nin üreteç kümesi W ={ w 1 , w 2 , … , w n }
V = {v 1 , v 2 ,… , v k }
ve
S’ nin lineer bağımsız bir altkümesi olsun. O zaman
dir.
Teorem: VF bir vektör uzayı ve BoyV=k olsun.
(a) V’ nin üreteç kümesi en az k tane vektör içerir. Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
k≥m
MAT108 Linner Cebir 6
(b)V’ nin lineer bağımsız kümesi en fazla k tane vektör içerir. (c) V’ nin her bazı k tane eleman içerir.
Sonuç: Boy V=n olsun.
(i)
Eğer G, n vektörü kapsayan V’ nin lineer bağımsız bir altkümesi ise, G, V’ nin üreteç kümesidir dolayısıyla bazıdır.
(ii)
Eğer G, n vektörü içeren V’ nin üreteç kümesi ise, G lineer bağımsızdır dolayısıyla bazıdır.
UZAYI GEREN KÜMEDEN BAZ ELDE ETME Bu bölümde uzayı gerdiğini bildiğimiz bir kümenin baz oluşturan lineer bağımsız bir alt kümesini bulmayı göreceğiz.
S =u1 , u 2 ,… , u n
,
R
m
uzayını geren bir alt küme olsun. Bu vektörlerin lineer
bağımsızlığını test etmek için yazacağımız a 1 u1 +a 2 u 2+ …+ a n u n=(0,0 , … ,0)
denkleminin ilaveli matrisi 1. sütununda un
u1
, 2. sütununda
u2
, n.sütununda
sütun vektörü bulunan bir matris olur. Bu matris satır eşelon biçimine
indirgendiğinde lider 1 lerin bulunduğu sütunlara karşılık gelen vektörler, S kümesinin lineer bağımsız
Rm i
geren bir altkümesidir. Dolayısıyla bu alt küme
Rm için bir baz oluşturur. Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
MAT108 Linner Cebir 7
Örnek:
u 1=(1,0 ,1 ) , u 2=( 0,1,1 ) , u 3=( 1,1,2 ) , u 4=( 1,2 ,1 ) , u5=(−1,1 ,−2)
olmak üzere R
3
S =u1 , u 2 ,u 3 , u 4 , u5
kümesi
R
3
ü geren bir altkümedir. S kümesinin
için baz oluşturan bir alt kümesini bulunuz.
S teki vektörlerin lineer bağımlılığını test etmek için yazacağımız denklem: a 1 u1 +a 2 u 2+ a 3 u 3 +a 4 u 4 +a 5 u5=(0,0 ,0) Bu denklem sistemi bize şu matrisi verir.
[
1 0 1 1 −1 : 0 0 1 1 2 1 : 0 1 1 2 1 −2 : 0
] u1
Dikkat edilirse 1. sütunda
vektörü, 2. sütunda
u2
vektörü … 5. sütunda
vektörü sütun vektörleri olarak yazılmıştır. Baz elde etmek için bu matrisi satır eşelon biçimine indirgeyeceğiz.
[
1 0 1 1 −1 : 0 1 0 1 1 −1 : 0 → → −S 1+ S 3❑ S 3 0 1 1 2 1 : 0 0 1 1 2 1 : 0 −S 2+S 3❑ S 3 → → 1 1 2 1 −2 : 0 0 1 1 0 −1 : 0
]
[
[
1 0 1 1 −1 : 0 0 1 1 2 1 : 0 0 0 0 −2 −2 : 0
](
]
[
1 0 1 1 −1 : 0 → −1 S 3❑ S 3 0 1 1 2 1 : 0 2 0 0 0 1 1 : 0 →
)
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
]
u5
MAT108 Linner Cebir 8 Yukarıdaki en son matris satır eşelon biçimindedir. Burada belirleyeceğimiz, lider 1 lerin bulunduğu sütunlar ve onlara karşılık gelen lider 1 ler 1. 2. ve 4. sütunda çıktı. Bu durumda ve
R
3
uı
vektörleridir. Dikkat edilirse,
u1 , u2 , u4
vektörleri lineer bağımsız
ü geren bir alt kümedir. Dolayısıyla aradığımız bazdır.
Yukarıda yazdığımız a 1 u1 +a 2 u 2+ a 3 u 3 +a 4 u 4 +a 5 u5=(0,0 ,0) denkleminin çözümleri matrisin eşelon formundan a 5=s , a 4=−s , a 3=t , a 2=s−t , a1=2 s−t
bulunur. (Eğer vektörler lineer bağımsız
olsaydı tüm katsayılar 0 çıkardı. Lineer denklem sistemlerinin ya tek ya sonsuz çözümleri vardır. Lineer bağımlılıktan dolayı sonsuz çözüm veren parametrik çözümler bulundu.) Şimdı bu çözümlerde s=1 ve t=0 alırsak şu denklemi elde ederiz. a 5=1, a 4=−1, a 3=0, a 2=1, a 1=2
2 u 1−u 2−u4 + u5=0
ve lineer bağımlılık denklemi
. Bu denklemden, bu vektörlerden her birinin diğerlerinin bir
toplamı olarak yazılabileceği görülmektedir. Biz en büyük indeksli
u5
vektörünü
diğerleri cinsinden yazmayı tercih ediyoruz. Bu durumda verilen 5 vektörün lineer kombinasyonları içinde
u5
in toplanmasına gerek kalmaz çünkü bu toplam
aslında geri kalan 4 vektörün toplamıyla elde edilebilmektedir. Bu yüzden vektörünü S kümesinden eleyebiliriz. Şimdi parametrik çözümlerde s=0 ve t=1 koyarsak Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
u5
MAT108 Linner Cebir 9 a 5=0, a 4=0, a3 =1, a2 =−1, a 1=−1
buluruz bu da bize şu vektör bağıntısını
verir −u1 +u 2 +u 3=0
.
Burada da gene en büyük indeksli olan u1
u2
ve
u3
vektörünün kendisinden önceki
vektörlerinin toplamı olarak yazılabileceği, dolayısıyla
vektörü ile oluşturulacak vektör toplamlarının aslında edilebileceği görülür. Sonuç olarak S kümesinden u1
,
u2
ve
u4
Örnekte aldığımız
u3
u1
ve
u2
u3
ile elde
ü de atarsak elimizde
vektörleri kalacağından aradığımız baz bu kümedir deriz.
S =u1 , u 2 ,u 3 , u 4 , u5
kümesindeki elemanların sırası
değiştirilirse başka bir baz bulunabilir. Örnek:
u1 , u2 , u3 , u4 , u5
vektörleri bir önceki örnekte olduğu gibi alınarak,
v 1=u5 , v 2=u 4 , v 3=u3 , v 4=u2 , v 5=u 1
T ={ v1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 }
kümesinin
R3 için baz oluşturan bir alt kümesini bulunuz, T de yapılan
elemeleri gösteriniz. Bu kez verilen sırayla vektörlerin lineer bağımlılığını test etmek için a 1 v 1+ a 2 v 2+ a 3 v 3 + a 4 v 4+ a 5 v5=(0,0 ,0)
denklemini yazarsak karşımıza çıkan
denklem sisteminin ilaveli matrisi aşağıdaki şekilde indirgenebilir
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
MAT108 Linner Cebir 10
[
]
[
]
−1 1 1 0 1 : 0 1 −1 −1 0 −1 : 0 → → −S 1❑ S 1 1 2 1 1 0 : 0 1 2 1 1 0 : 0 −S 1+ S 2❑ S 2 → → −2 1 2 1 1 : 0 −2 1 2 1 1 : 0
[
]
[
1 −1 −1 0 −1 : 0 1 −1 −1 0 −1 : 0 → 2 S 1+ S 3❑ S 3 0 3 2 1 1 : 0 0 3 2 1 1 : 0 → −2 1 2 1 1 : 0 0 −1 0 1 −1 : 0
[
]
]
1 −1 −1 0 −1 : 0 → −S 3❑ S 2, S 2 ❑ S 3 0 1 0 −1 1 : 0 −3 S 2+ S 3❑ S 3 → → 0 3 2 1 1 : 0 →
[
→
1 −1 −1 0 −1 : 0 0 1 0 −1 1 : 0 0 0 2 4 −2 : 0
]( ) [
1 −1 −1 0 −1 : 0 → 1 S 3❑ S 3 0 1 0 −1 1 : 0 2 0 0 1 2 −1 : 0 →
]
Görüldüğü üzere lider birler 1. 2. ve 3. sütunlarda çıkmıştır. Bu durumda aradığımız baz 1. sütuna yazdığımız yazılan
v3
Şimdi
v1
, 2. sütuna yazdığımız
v2
ve 3. sütuna
vektörlerinden oluşan kümedir. v4
ve
v5
vektörlerini
v1 , v2
ve
v3
vektörleri cinsinden nasıl
yazacağımızı görelim. Satır eşelon biçimindeki matristen, a 1 v 1+ a 2 v 2+ a 3 v 3 + a 4 v 4+ a 5 v5=( 0,0 ,0 )
denklem sisteminin çözümleri a 5=s , a 4=t , a3 =s−2 t , a 2=t−s , a 1=s−t
a 5=1, a 4=0, a 3=1, a 2=−1, a 1=1
bulunur. s=1 ve t = 0 yazarak
elde ederiz. (Sırasıyla bir parametreye 1 diğerlerine
0 değeri veriyoruz. Bir sonralki adımda t=1 ve s=0 alınacak.) Katsayılar için elde ettiğimiz değerlerden, vektörler arasında şu ilişkiyi bulmuş oluruz Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
MAT108 Linner Cebir 11 v 1−v 2 +v 3 +v 5=( 0,0 ,0 )
.
Bu denklemde v vektörlerinden en büyük indekslisi verilen T kümesinden
v5
s = 0 ve t = 1 içinse
v5
olduğundan başta
i eleriz. a 5=0, a 4=1, a 3=−2, a 2=1, a 1=−1
ve
−v 1+ v 2−2 v 3+ v 4=( 0,0 ,0 ) bağıntısı elde ederiz. En büyük indeksli terim T den eler ve kalan
{v 1 , v 2 , v 3 ¿
Önceki iki örnekte
R
3
v4
olduğundan bu vektörü de
kümesi aradığımız bazdır deriz. için iki farklı baz bulduk ve ikisinde de 3 vektör
vardı. Şimdi verilecek olan teorem bir vektör uzayının bazlarının aynı sayıda eleman içerdiğini söyler.
Teorem: V1 ve V2, V’nin sonlu boyutlu altuzayları olsun.
Boy V 1 + Boy V 2=Boy ( V 1 ∩V 2 )+ Boy(V 1+V 2)
dir.
Örnek: V 1= {( x , y , z , t ) : x= y } , V 2=( x , y , z , t ) : x + y=z , t=2 y
olsun.
V1 ve V2 ‘ nin bazını bulup Boy V 1 + Boy V 2=Boy ( V 1 ∩V 2 )+ Boy ( V 1 +V 2 )
olduğunu gösteriniz.
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
MAT108 Linner Cebir 12
SATIR ve SUTUN RANKI Tanım: A=[aij]mxn bir reel matris olsun. A’ nın satırları vektörler olarak düşünüldüğünde, A’ nın satırları Rn ‘ in bir altuzayı olan bir vektör uzayı olur. A’ nın satırları tarafından üretilen alt uzaya A matrisinin satır uzayı denir. A’ nın bu satır uzayının boyutuna A matrisinin satır rankı denir.
Örnek:
[
1 −1 0 A= 2 3 0 3 −2 4
]
matrisinin satır uzayını ve rankını bulunuz.
Not: Denk matrislerin satır(sutun) rankları aynıdır.
Bir Kare Matrisin Rankı ve Determinanti Arasındaki Bağıntılar
Teorem: Anxn tipinde bir matris olsun. detA=0 dır ancak ve ancak A’ nın rankı n’ den küçük yani A’ nın satır vektörleri lineer bağımlıdır.
[
1 −4 9 −7 A= −1 2 −4 1 Örnek: 5 −6 10 7
]
matrisinin satır uzayını bulunuz.
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
MAT108 Linner Cebir 13 Çözüm: Üreteç kümesi {(1,-4,9,7), (-1,2,-4,1), (5,-6, 10, 7)} dir. Satır uzayı için baz bulmak için lineer bağımsız olan elemanları seçmemiz gerekir.
[
]
1 −4 9 −7 R 1+ R 2 7 R 2 + R 3 A= −1 2 −4 1 −5 R1 + R3 −1 / 2 R2 5 −6 10 7 → →
[
1 −4 9 −7 0 1 −5/2 3 0 0 0 0
]
Böylece {(1,-4,9,-7), (0,1,-5/2,3)} kümesi lineer bağımsızdır ve satır rankı=2 olur.
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
dir.