BİR ÇARPIMIN DETERMINANTI Biz bu kesimde A ve B aynı mertebeden iki kare matris olmak üzere det ( AB ) = ( det A )( det B)
olduğunu göreceğiz. Bunu gösterirken elemanter matrislerden faydalanacağız. Bu yüzden ilk olarak elemanter matrislerin determinantları ile ilgili teoremleri ifade edelim. Teorem7. Eğer E, bir elemanter matris ise, o zaman (i)
det E ≠ 0
(ii) (iii)
det E T = det E
E−1
İspat:
elemanter matristir.
∝≠ 0
Pi ( ∝
olmak üzere
Pij ( ∝
)
ri → ∝ ri
ile
elemanter satır işlemine karşılık gelen
ri ↔ r j
Pij elemanter matrisi,
)
ile
elemanter satır işlemlerine karşılık gelen elemanter matrisi ve
ri → ri + ∝ ri
ile
satır işlemine karşılık gelen elemanter matrisi gösterelim. Buna göre bu
üç farklı tipten elemanter matrislerin determinantlarını alacak olursa, o takdirde
det Pi ( ∝ ) = det Pi ( ∝
)T
=∝
( i, j = 1,2,..., n )
det Pij = det PijT = − 1
det Pij ( ∝ ) = det Pij ( ∝
( i = 1,2,..., n )
)T = 1
( i, j = 1,2,..., n )
elde ederiz ki; bu da (i) ve (ii) yi ispatlar. (iii) ü ispatlamak için sırasıyla