BİR ÇARPIMIN DETERMINANTI Biz bu kesimde A ve B aynı mertebeden iki kare matris olmak üzere det ( AB ) = ( det A )( det B)
olduğunu göreceğiz. Bunu gösterirken elemanter matrislerden faydalanacağız. Bu yüzden ilk olarak elemanter matrislerin determinantları ile ilgili teoremleri ifade edelim. Teorem7. Eğer E, bir elemanter matris ise, o zaman (i)
det E ≠ 0
(ii) (iii)
det E T = det E
E−1
İspat:
elemanter matristir.
∝≠ 0
Pi ( ∝
olmak üzere
Pij ( ∝
)
ri → ∝ ri
ile
elemanter satır işlemine karşılık gelen
ri ↔ r j
Pij elemanter matrisi,
)
ile
elemanter satır işlemlerine karşılık gelen elemanter matrisi ve
ri → ri + ∝ ri
ile
satır işlemine karşılık gelen elemanter matrisi gösterelim. Buna göre bu
üç farklı tipten elemanter matrislerin determinantlarını alacak olursa, o takdirde
det Pi ( ∝ ) = det Pi ( ∝
)T
=∝
( i, j = 1,2,..., n )
det Pij = det PijT = − 1
det Pij ( ∝ ) = det Pij ( ∝
( i = 1,2,..., n )
)T = 1
( i, j = 1,2,..., n )
elde ederiz ki; bu da (i) ve (ii) yi ispatlar. (iii) ü ispatlamak için sırasıyla
Pi ( ∝
)−1 =
( )
Pi ∝
−1
Pij− 1 = Pij
Pij ( ∝
)−1 =
Pij ( − ∝
)
olduğunu göz önüne almak yeterlidir. Teorem 8. Eğer E nxn bir elemanter matris ise, o zaman her nxn A matrisi için det ( EA ) = ( det E )( det A )
dır.
Pi ( ∝ ) , Pij İspat: Burada da ispatımızı her üç elemanter matris Pi ( ∝
yapacağız. Buna göre
Pij ( ∝ ve
) ile bir A matrisinin soldan çarpımı,
∝
) için ayrı ayrı
ile A nın i-yinci satırının
çarpılmasına denktir. Böylece Teorem 4.7 den ve determinant özelliğinden det ( Pi ( ∝ ) A ) = ∝ det A
= ( det Pi ( ∝
) )( det A ) Pij ( ∝
yazarız. Şimdi de ikinci elemanter matris için yani
) için teoremin iddiasının doğru
olduğunu gösterelim. Hemen belirtelim ki Pij ile bir A matrisinin soldan çarpımı, A matrisinin iyinci satırı ile j-yinci satırının yer değiştirilmesine denktir. Böylece Teorem 4.7 den ve determinant özelliğinden
det ( Pij A ) = − det A = ( det Pij ) ( det A )
Pij ( ∝ ifadesini elde ederiz. Nihayet üçüncü elemanter matris
Pij ( ∝ gösterelim.
) için iddianın doğruluğunu
) elemanter matrisi ile bir A matrisinin soldan çarpımı, A’nın i-yinci satırına, j-
yinci satırının
∝
katının eklenmesine denktir. Yine Teorem 4.7 den ve determinant özelliğinden
det ( Pij ( ∝ ) A ) = det A = ( det Pij ( ∝
) )( det A )
yazarız. Böylece teorem tamamen ispatlanmış olur. Teorem: 9. Bir A kare matrisinin ters çevrilebilir olması için gerek ve yeter şart det A ≠ 0
olmasıdır.
İspat: Eğer A ters çevrilebilir bir matris ise, o zaman teorem 3.5 den E1 E 2 ...E k A = I E 1 , E 2 ,..., E k
olacak şekilde
elemanter matrisleri vardır. Böylece Teorem 4.8’den
( det E1 )( det E 2 )...( det E 2 )( det A ) = yazarız. Bundan dolayı
det A ≠ 0
det I = 1
sonucunu elde ederiz.
Tersine; eğer A ters çevrilebilir bir matris değilse, o zaman Teorem 3.3’den E 1 E 2 ...E 2 A = R
E 1 , E 2 ,..., E k
olacak şekilde kapsayan
nxn
bir
eşolon
elemanter matrisleri vardır. Burada R, bir sıfır satırını matristir.
Böylece
detR=0
det E i ≠ 0( i = 1,2,..., k )
olduğundan detA=0 olduğu görülür.
olur
ve
Teorem
4.7.(i)’den
Şimdi yukarıda ifade edip ispatladığımız teoremlerin ışığı altında daha önce bahsettiğimiz bir çarpımın determinantını ifade eden teoremi verelim.
Determinantın Özellikleri II Teorem 10. A ve B, nxn iki matris olsun. O takdirde det ( AB ) = ( det A)( det B )( 4.1)
dir. İspat: Hemen belirtelim ki; eğer A bir elemanter matris ise, o zaman Teorem 4.8 den iddianın doğru olduğunu söyleriz. A matrisi elemanter matrislerin bir çarpımı olduğunda (4.1) eşitliği yine doğrudur. Gerçekten E1 ve E2 elemanter matrisler olmak üzere A=E1E2 ise, o zaman Teorem 4.8 in iki kez ard arda uygulanması ile det ( AB ) = det ( E 1E 2 B ) = det ( E 1 ) det ( E 2 B )
= det ( E 1 ) det ( E 2 ) det ( B) = det ( E 1 E 2 ) det ( B)
= det ( A ) det ( B)
yazarız. k>2 olmak üzere A=E1E2…Ek Olduğu zaman da ispat benzer olarak yapılabilir. Diğer taraftan her ters çevrilebilir matris elemanter matrislerin bir çarpımı olarak yazılabildiğinden A matrisinin ters çevrilebilir olduğu her zaman det(A)=det(A)det(B)
eşitliği geçerlidir. Eğer A matrisi ters çevrilebilir değilse, o takdirde detA=0 ve det (AB)=0 dır. Böylece bu durumda da (4.1) ifadesi geçerlidir.
ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER 1. Aşağıdaki her matrisin determinantının değerinin bulunuz: 3 − 2 4 5
6 5 2 3
4 − 5 − 2 − 3
6 5 3 − 2 = ( 6)( 3) − ( 5)( 2) = 18 − 10 = 8, = 15 + 8 = 23, 2 3 4 5 4 −5 = − 8 − 5 = − 13, −1 − 2
2.
t− 5 −1
t− 5 −1 k 4
7 t + 3
ın determinantını bulunuz.
7 = ( t − 5)( t + 3) + 7 = t 2 − 2t − 15 + 7 = t 2 − 2t − 8 t+ 3 k = 0 2k
3.
sağlanacak şekilde k değerini bulunuz. k
k
4
2k
= 2k 2 − 4k = 0,
2k ( k − 2 ) = 0
veya eğer
k= 0
veya
k= 2
ise determinant sıfırdır.
k = 0; olur. Bu nedenle
ve
k = 2.
Yani,
BİR ÇARPIMIN DETERMINANTI Biz bu kesimde A ve B aynı mertebeden iki kare matris olmak üzere det ( AB ) = ( det A )( det B)
olduğunu göreceğiz. Bunu gösterirken elemanter matrislerden faydalanacağız. Bu yüzden ilk olarak elemanter matrislerin determinantları ile ilgili teoremleri ifade edelim. Teorem7. Eğer E, bir elemanter matris ise, o zaman (i)
det E ≠ 0
(ii) (iii)
det E T = det E
E−1
İspat:
elemanter matristir.
∝≠ 0
Pi ( ∝
olmak üzere
Pij ( ∝
)
ri → ∝ ri
ile
elemanter satır işlemine karşılık gelen
ri ↔ r j
Pij elemanter matrisi,
)
ile
elemanter satır işlemlerine karşılık gelen elemanter matrisi ve
ri → ri + ∝ ri
ile
satır işlemine karşılık gelen elemanter matrisi gösterelim. Buna göre bu
üç farklı tipten elemanter matrislerin determinantlarını alacak olursa, o takdirde
det Pi ( ∝ ) = det Pi ( ∝
)T
=∝
( i, j = 1,2,..., n )
det Pij = det PijT = − 1
det Pij ( ∝ ) = det Pij ( ∝
( i = 1,2,..., n )
)T = 1
( i, j = 1,2,..., n )
elde ederiz ki; bu da (i) ve (ii) yi ispatlar. (iii) ü ispatlamak için sırasıyla
Pi ( ∝
)−1 =
( )
Pi ∝
−1
Pij− 1 = Pij
Pij ( ∝
)−1 =
Pij ( − ∝
)
olduğunu göz önüne almak yeterlidir. Teorem 8. Eğer E nxn bir elemanter matris ise, o zaman her nxn A matrisi için det ( EA ) = ( det E )( det A )
dır.
Pi ( ∝ ) , Pij İspat: Burada da ispatımızı her üç elemanter matris Pi ( ∝
yapacağız. Buna göre
Pij ( ∝ ve
) ile bir A matrisinin soldan çarpımı,
∝
) için ayrı ayrı
ile A nın i-yinci satırının
çarpılmasına denktir. Böylece Teorem 7 den ve determinant özelliğinden det ( Pi ( ∝ ) A ) = ∝ det A
= ( det Pi ( ∝
) )( det A ) Pij ( ∝
yazarız. Şimdi de ikinci elemanter matris için yani
) için teoremin iddiasının doğru
olduğunu gösterelim. Hemen belirtelim ki Pij ile bir A matrisinin soldan çarpımı, A matrisinin iyinci satırı ile j-yinci satırının yer değiştirilmesine denktir. Böylece Teorem 7 den ve determinant özelliğinden
det ( Pij A ) = − det A = ( det Pij ) ( det A ) Pij ( ∝ ifadesini elde ederiz. Nihayet üçüncü elemanter matris
Pij ( ∝ gösterelim. yinci satırının
) için iddianın doğruluğunu
) elemanter matrisi ile bir A matrisinin soldan çarpımı, A’nın i-yinci satırına, j-
∝
katının eklenmesine denktir. Yine Teorem 7 den ve determinant özelliğinden
det ( Pij ( ∝ ) A ) = det A = ( det Pij ( ∝
) )( det A )
yazarız. Böylece teorem tamamen ispatlanmış olur. Teorem: 9. Bir A kare matrisinin ters çevrilebilir olması için gerek ve yeter şart det A ≠ 0
olmasıdır.
İspat: Eğer A ters çevrilebilir bir matris ise, o zaman E 1 E 2 ...E k A = I
E 1 , E 2 ,..., E k
olacak şekilde
elemanter matrisleri vardır. Böylece Teorem 8’den
( det E 1 )( det E 2 )...( det E 2 )( det A ) = yazarız. Bundan dolayı
det A ≠ 0
det I = 1
sonucunu elde ederiz.
Tersine; eğer A ters çevrilebilir bir matris değilse, o zaman E 1 E 2 ...E 2 A = R
E 1 , E 2 ,..., E k
olacak şekilde kapsayan
nxn
bir
elemanter matrisleri vardır. Burada R, bir sıfır satırını eşolon
matristir.
Böylece
detR=0
olur
ve
Teorem
7.(i)’den
det E i ≠ 0( i = 1,2,..., k )
olduğundan detA=0 olduğu görülür. Şimdi yukarıda ifade edip ispatladığımız teoremlerin ışığı altında daha önce bahsettiğimiz bir çarpımın determinantını ifade eden teoremi verelim.
Determinantın Özellikleri II Teorem 4.10. A ve B, nxn iki matris olsun. O takdirde det ( AB ) = ( det A)( det B )( 4.1)
dir. İspat: Hemen belirtelim ki; eğer A bir elemanter matris ise, o zaman Teorem 8 den iddianın doğru olduğunu söyleriz. A matrisi elemanter matrislerin bir çarpımı olduğunda (4.1) eşitliği yine doğrudur. Gerçekten E1 ve E2 elemanter matrisler olmak üzere A=E1E2 ise, o zaman Teorem 8 in iki kez ard arda uygulanması ile det ( AB ) = det ( E 1E 2 B ) = det ( E 1 ) det ( E 2 B )
= det ( E 1 ) det ( E 2 ) det ( B) = det ( E 1 E 2 ) det ( B)
= det ( A ) det ( B)
yazarız. k>2 olmak üzere A=E1E2…Ek
Olduğu zaman da ispat benzer olarak yapılabilir. Diğer taraftan her ters çevrilebilir matris elemanter matrislerin bir çarpımı olarak yazılabildiğinden A matrisinin ters çevrilebilir olduğu her zaman det(A)=det(A)det(B) eşitliği geçerlidir. Eğer A matrisi ters çevrilebilir değilse, o takdirde detA=0 ve det (AB)=0 dır. Böylece bu durumda da (4.1) ifadesi geçerlidir.
ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER 1. Aşağıdaki her matrisin determinantının değerinin bulunuz: 3 − 2 4 5
6 5 2 3
4 − 5 − 2 − 3
6 5 3 − 2 = ( 6)( 3) − ( 5)( 2) = 18 − 10 = 8, = 15 + 8 = 23, 2 3 4 5 4 −5 = − 8 − 5 = − 13, −1 − 2
2.
t− 5 −1
t− 5 −1 k 4 3.
7 t + 3
ın determinantını bulunuz.
7 = ( t − 5)( t + 3) + 7 = t 2 − 2t − 15 + 7 = t 2 − 2t − 8 t+ 3 k = 0 2k sağlanacak şekilde k değerini bulunuz.
k 4
k = 2k 2 − 4k = 0, 2k
2k ( k − 2 ) = 0
veya eğer
k= 0
veya
k= 2
k = 0; olur. Bu nedenle
ve
k = 2.
Yani,
ise determinant sıfırdır.
EK PROBLEMLER 1. Aşağıdaki her matrisin determinantını hesaplayınız:
( a)
1 1 2 5 − 2 0 1 − 8 4
( c)
− 2 6 4
−1 4 − 3 − 2 1 2
− 2 5 6
( b)
3 2 0
(d)
7 6 2 1 3 − 2
− −
4 1 1
5 1 1
2. Aşağıdaki her matrisin determinantının değerini bulunuz:
( a)
4 3 t− 2 t+1 − 2 1 0 0 t − 4
( c)
( b)
t+ 3 − 1 7 t− 5 6 − 6
3 −3 t− 1 − 3 t+ 5 − 3 − 6 6 y − 4 1 1 t+
2
3. Problem 7.54 deki her matris için determinant sıfır olacak şekilde t nin değerlerini belirleyiniz.
4. Aşağıdaki her matrisin determinantının değerini hesaplayınız:
( a)
2 1 0 1 3 −1 4 − 3
2 3 − 2 0 1 − 2 0 2
( b)
1 3 2 2 0 1 − 2 3 1 − 1 4 3 2 2 − 1 1
5. Aşağıdaki her bir determinantı hesaplayınız:
( a)
1 2 3
2 −1 1
−1 1 0
3 1 − 2 3 2 −1
5 − 2
1 3
2 −1
−3 1
4 − 2
1 5 0
2 4 0
0 0
0 0
( c)
1 2 0
3 4 0
5 2 1
7 4 2
9 2 3
0 0
0 0
5 2
6 3
2 1
3 3 6
4 2 5
5 1 1
0 0
7 2
4 3
( b)