Trabajando con Fracciones y Relaciones
Unidad
Contenido
Calcular y Aproximar
Fracciones Equivalentes
Operaciones con Fracciones
Triángulos, Paralelogramos y sus Relaciones.
D.B.A.
DBA # 4 Puede estimar el resultado de un cálculo sin necesidad de calcularlo con exactitud. Por ejemplo: El colegio tiene 8 salones y en cada salón hay 32 estudiantes. ¿Aproximadamente cuántos estudiantes hay en el colegio? Para obtener la cifra exacta calcula 32×8. Sin embargo, para estimar el valor, calcula mentalmente 30×8 = 240 y 35×8 = 70×4 = 280 y concluye que el número de estudiantes está entre 240 y 280.
Utilizo y justifico el uso de la estimación para resolver problemas relativos a la vida social, económica y de las ciencias, utilizando rangos de variación.
Resuelvo y formulo problemas cuya estrategia de solución requiera de las relaciones y propiedades de los números naturales y sus operaciones.
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VALORES Amor. Constancia Honestidad Respeto Responsabilidad
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD TRABAJANDO CON FRACCIONES Y RELACIONES. Trabajando con fracciones y relaciones es una unidad matemática que pretende llevar al estudiante a formarse una idea práctica y concisa de la utilidad de los números y sus relaciones con otras áreas del conocimiento principalmente la matemática.
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La unidad busca que el estudiante mediante un modelo constructivista sea partícipe de la adquisición de su conocimiento de acuerdo al análisis de textos que buscan llevarlo por el reconocimiento de cada concepto con prácticas que pretenden que él elabore y descubra la importancia de los números y sus relaciones. Todo el trabajo está mediado por valores que buscan que el estudiante construya su conocimiento sin olvidar su verdadera aplicación en un mundo tanto espiritual como material.
PROPÓSITOS DE LA UNIDAD. La unidad “Fracciones y relaciones” tiene como propósito fundamental que el estudiante conozca algunas de las diferentes presentaciones de los números asumiendo que los números naturales no son la única forma existente, que las fracciones también son parte de ese gran conjunto y que a la vez dentro de la unidad conocerá diferentes relaciones de los números y su aplicabilidad mediante un componente fuerte de valores éticos. También se espera que el estudiante mediado por una correcta guía del docente sea capaz de llegar a apropiarse directamente de su conocimiento, que sea él el descubridor de conceptos mediante la creatividad y disciplina. Que al culminar la presente unidad el estudiante esté en capacidad de realizar operaciones que contengan fracciones y sus relaciones en la solución de problemas que impliquen tales soluciones.
PROYECTOS. Los proyectos que propendan por una comprensión de calidad de los conceptos presentes en la presente unidad se diseñarán de acuerdo a las necesidades y requerimientos tanto del docente como del estudiante con una visión constructivista mediante el aprendizaje significativo.
(Construir un rompecabezas, ver anexo proyecto).
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NOMBRE DEL TEMA: Calcular y aproximar.
PREGUNTA ORIENTADORA: ¿Qué conceptos matemáticos podemos utilizar para realizar cálculos mentales?
SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN (PREGUNTA ORIENTADORA): Para acercarnos cada vez más a la respuesta correcta en la solución de un cálculo matemático debemos recurrir a los conceptos de calcular y aproximar. SABERES PREVIOS: Para iniciar los conceptos de cálculo y aproximación debemos tener presente los siguientes conocimientos. Número. Valor posicional. Múltiplos. Numeración con millones. RELACIÓN CON EL PROYECTO DE LA UNIDAD: La relación que presentan los conceptos de calcular y aproximar dentro del proyecto de “Sorpresas Matemáticas” se centra en el hecho de que son dos conceptos que se relacionan directamente con el pensamiento numérico dentro de los pensamientos matemáticos en la educación colombiana y por tal motivo son de vital importancia a la hora de generar empatía y relación con los demás temas matemáticos tanto en la teoría como en la práctica.
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1. CONCEPTUALIZACIÓN Y EJEMPLOS: ¿Qué es redondear un número? Para llegar al concepto de redondeo vamos a desarrollar la siguiente actividad: Con la ayuda de un ábaco vamos a descomponer en unidades, decenas y centenas los siguientes números: 136 245 374 548 726 Ahora, los mismos números tratemos de llevarlos al múltiplo de cien más cercano. Ejemplo: el número 136 se puede aproximar a 140. Actividad Tic: observa el siguiente video sobre redondeo y estimación guiado por tu docente. https://www.youtube.com/watch?v=GWenwlqBgJY
Con tus propias palabras, en los siguientes renglones vamos a elaborar el concepto de redondeo. ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………... Aquí te presentamos un ejemplo para que acabes de construir tu propio concepto de redondeo: 73 redondeado a la decena más cercana es 70, porque 73 está más cerca de 70 que de 80. Al redondear, lo hacemos aproximando a los múltiplos de 10, 100, 1.000, 1.000.000, etc. que estén más cercanos, dependiendo de la exactitud que necesitamos que tengan nuestros datos.
MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO Para obtener múltiplos de un número. Multiplicamos este mismo por los números Enteros. Ejemplo: 2x1=2 2x2=4 2x3=6 2x4=8 2x5=10 Múltiplos de 2= 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, etc.
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2. Redondear a la centena más próxima. Para redondear números a la centena más próxima, convierte los números que terminan de 1 a 49 al número inferior más próximo que termina en 00. Por ejemplo 424 redondeado a la centena más próxima sería 400. Los números que tienen los dos últimos dígitos iguales o mayores a 50 deberán ser redondeados a la centena mayor más próxima. El número 988 redondeado a la centena más próxima será 1000.
LA CENTENA 1 centena = 10 decenas = 100 unidades
1C = 10 D = 100U
Una centena se representa de varias formas:
3. Cómo redondear números. Los números que terminan en un dígito de 5 o más deberán ser redondeados a la próxima decena. El número 88 redondeado a la próxima decena sería 90.
3.1 Estimación de una suma por redondeo. 32+66 ~? Paso 1: Redondeamos los sumandos ↓ 32~30
↑ 66~70
Paso 2: Sumamos los números redondeados 30+60=100 Paso 3: Nos fijamos en la cantidad total de redondeo Hemos redondeado uno hacia abajo y otro hacia arriba: La estimación es correcta.
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Una forma rápida de estimar la suma de dos números es redondeando cada número y luego sumando los números redondeados. Probablemente este no sea el resultado exacto pero puede ser, para algunos propósitos, lo suficientemente cercano. Cómo estimar una suma por redondeo. -Redondea cada término que vas a sumar. -Suma los números redondeados. - Algunas veces una estimación se puede mejorar. Si estimamos la suma de 345 + 440, redondearíamos 345 en 300 y 440 en 400. La estimación sería 300 + 400 o 700. Ambos números fueron redondeados para abajo. El número 345 fue redondeado hacia abajo en 45 y 440 fue redondeado hacia abajo en 40. La suma de 45 + 40 da 85, que se redondea en 100. Entonces una mejor estimación sería 800. La suma real es 785. Cómo mejorar la estimación -Redondea cada término que vas a sumar. -Suma los números redondeados. - Si ambos son redondeados hacia arriba o hacia abajo, fíjate si la cantidad de redondeo es más que 50. De ser así, suma o resta 100 a la estimación. - Si un número es redondeado hacia abajo y el otro es redondeado hacia arriba, no encontrarás una estimación más cercana utilizando este método.
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Los números redondeados son más fáciles para cuando tienes que hacer cálculos mentales. Los números redondeados son solo aproximados. No puedes tener una respuesta exacta con números redondeados. Algunas veces no se necesita una respuesta exacta.
Corroborar si se tiene dinero suficiente para comprar lo que uno quiere.
Tener una idea aproximada de la respuesta correcta a un problema.
Ejemplo: Si redondeamos los datos de la suma a la unidad de millón más cercana, tenemos: 12.315.960 + 4.000.000 = 16.000.000 Luego el resultado exacto es: 16.315.960
SÍNTESIS Redondeamos a las decenas, centenas o millares
El número 427 está comprendido entre 420 y 430.
La decena más próxima a 427 es 430. El número 685 está comprendido entre 600 y 700.
La centena más próxima a 685 es 700. El número 2190 está comprendido entre 2.000 y 3.000.
El millar más próximo a 2.190 es 2.000.
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ESTIMACIÓN DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN. En el pinar había 489 pinos y han plantado 112 pinos más. ¿Cuántos pinos hay ahora aproximadamente? Estimemos la adición 489 + 112 Primero, aproximemos a las centenas los dos sumandos y después, sumemos las aproximaciones. 489 + 112 ↓
↓
500 + 100 = 600 Hay 600 pinos aproximadamente. En el abetal había 823 abetos, por estar dañados, talaron 298. Cuántos abetos quedan aproximadamente? Estimemos la resta 823-298 Primero, aproximamos a las centenas el minuendo y el sustraendo y después, resta las aproximaciones. 823 - 298 ↓
↓
800 – 300 = 500 Quedan 500 abetos aproximadamente. Para estimar adiciones aproximamos los sumandos y luego sumamos. Para estimar sustracciones aproximamos el minuendo y el sustraendo y luego restamos.
Redondear números. Debemos saber entre que D, C 0 UM se encuentra el número. Luego identificar entre cuál de los dos números está más cerca. Ejemplo: Redondear a la centena 4.278.
4.238 se encuentra entre las centenas: 4.200 y 4.300 Está más cerca de 4.300.
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En la siguiente dirección podrás encontrar un documento interesante sobre redondeo. Analízalo y discútelo con tu docente. http://www.ccea.org.uy/ccea_nws04/ docs/ctecne.fernandez.11.kpmg.pdf
ACTIVIDADES DE TRABAJO EN GRUPO. EJERCICIOS.
1.
Claudia tiene 32 entradas para el basquetbol y 29 entradas para el fútbol. Usa el cálculo mental para calcular cuantas entradas tiene en total.
2.
3.
4.
6.
En 2.015, 8.521 visitantes asistieron al rodeo. En 2.016 hubo 578 más visitantes que en 2.012. Estima el número total de visitantes que asistieron al rodeo en 2.015 y 2.016.
María lanza 78 veces durante el primer juego de bolos y 52 veces durante el segundo juego. Usa el cálculo mental para encontrar la diferencia entre los lanzamientos del primer y el segundo juego.
7.
Manuela estima la diferencia entre 4.625 y 2.484. Su respuesta es: _____________ Da una estimación cercana al resultado.
Un oso pardo tiene una altura de 480 centímetros. Un oso negro americano tiene una altura de 330 centímetros. ¿Cuál es la diferencia entre las alturas de los osos?
8.
Un oso polar adulto tiene una altura de 150 centímetros. Un cachorro de oso polar tiene una altura de 85 centímetros. ¿Cuál es la diferencia entre las alturas de los osos?
9.
Hay 600 lápices en una caja. ¿Cuántos lápices hay en 2 cajas?
10.
Un tren viaja 7.824 kilómetros en el primer mes y 3776 kilómetros en el siguiente mes. Aproximadamente ¿Cuántos kilómetros más viaja el tren en el primer mes que en el segundo?
En 2.014 había 400 conejos en el zoológico. En 2.015 había 1.200 conejos en el zoológico. ¿Cuántos conejos más había en el 2.015 que en el 2.014?
5.
Se imprimen 4.000 periódicos el martes por la mañana. El martes por la tarde, sólo se han vendido 800. ¿Cuántos periódicos no se han vendido todavía?
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Dato Curioso ACTIVIDADES DE TRABAJO INDIVIDUAL Relación del concepto matemático de redondeo (aproximación) con otras ciencias:
EJERCICIOS 1.
Vamos a redondear cada número a la unidad de millón más cercana y calculemos el resultado aproximado. Luego con la ayuda de la calculadora obtengamos el resultado exacto.
a)
5.127.463 + 82.400.002=
b)
77.375.760 + 4.220.500=
c)
193.016.019+1.078.080=
2.
Felipe recorre 878.000 metros el primer día de su viaje y 297.000 metros el segundo día ¿Cuál es la mejor estimación de los kilómetros totales recorridos por Felipe?
a)
1.000 km
b)
1.100 km
c)
1.200 km
d)
1400km
3-
Si redondeamos 8.247.406 a la decena de mil más próxima se obtiene:
a)
8.000.000
b)
8.250.000
c)
8.300.000
d)
8.500.000
El físico italiano Amadeo Avogadro vivió en una época (finales del siglo XVIII y primera mitad en del XIX) en el que se asentaron algunos de los pilares fundamentales de muchas ciencias tal y como las conocemos hoy. Su papel en la química y la física fue fundamental. Él mismo participó en su desarrollo, proponiendo la que pasó a la historia como la ley de Avogadro, que establecía que dos volúmenes iguales de dos gases distintos a la misma temperatura y la misma presión debían tener el mismo número de partículas. Pero su nombre ha pasado a la historia no tanto por esta hipótesis como por el llamado número de Avogadro, que sirve para medir cuánta sustancia tiene un mol y equivale a 6,022x1023, o lo que es lo mismo (redondeando), 602.200.000.000.000.000.000.000. Casi nada.
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4. Marca con una equis (X) el número indicado
Redondea el número 2.769 a las Redondea el número 18.553 a las centenas.
unidades de millar.
3.000
2.800
2.770
3.700
19.000
2.700
18.500
18.400
18.000
20.000
Redondea el número 57.893 a las Redondea el número 34.249 a las decenas de millar. 58.000
centenas.
60.000
57.890
57.000
34.250 34.000 30.000
57.900
35.000
34.200
5. Redondea según la indicación.
Redondea a la unidad de mil más cercana: A. 8.732
B. 6.541
_______
_______
F. 9.562
G. 6.204
_______
_______
K. 1.098
L. 5.500
_______
_______
C. 3.498 ______ H. 3.879 ______ M. 7.656
______
D. 9.261 ______ I. 999 ______ N. 6.890
______
E. 2.674 ________ J. 4.121 ________ O. 2.754
________
Redondea a la unidad de mil, a la centena y a la decena más cercana
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A. 4.192
B. 5.647
C. 7.526
D. 2.796
E. 3.365
_______
_______
______
______
________
_______
_______
______
______
________
_______
_______
______
______
________
A. 5.765
B. 9.343
C. 1.267
D. 4.489
_______
_______
______
______
________
_______
_______
______
______
________
_______
_______
______
______
________
A. 2.763
B. 8.670
_______
_______
______
______
________
_______
_______
______
______
________
_______
_______
______
______
________
C. 2.091
D. 4.372
E. 6.742
E. 1.097
JUEGOS Interactivos: http://www.aaamatematicas.com/
est32_x3.htm#section3 Juego sobre preguntas y respuestas sobre el tema de calcular y aproximar. http://pensar.chulojuegos.com/juegos-de-calcular.html Juego interactivo sobre cรกlculo de operaciones.
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JUEGOS Juego manipulativo: Calculando y aproximando Fases del juego: 1.
Diseño: Elaboremos 40 fichas de 5 centímetros por 5 centímetros y en 20 de ellas vamos a escribir operaciones básicas (adición, sustracción, multiplicación y división) indicadas; y en las otras 20 los resultados aproximados.
2.
Inicio: Vamos a dividirnos en dos equipos, un equipo tendrá las operaciones indicadas y el otro los resultados aproximados.
3.
Desarrollo: El juego consiste en que el equipo con las operaciones indicadas muestra una ficha y el otro grupo en consulta deberá mostrar el resultado aproximado utilizando el tablero para realizar el proceso de estimación. Por cada operación correcta el equipo recibirá un punto, de lo contrario el punto será para el equipo que muestra las operaciones.
4.
Final: El juego se termina cuando se terminan las 20 fichas y se realiza el conteo de puntos, encontrando el equipo ganador.
5.
Variantes: Finalizado el juego se pueden intercambiar roles, cambio de equipo completo o intercambiar integrantes.
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Trabajando con Fracciones y Relaciones
Unidad
Contenido
Calcular y Aproximar
Fracciones Equivalentes
Operaciones con Fracciones
Triángulos, Paralelogramos y sus Relaciones.
D.B.A.
DBA # 8
Multiplica o divide el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número para hacerla equivalente a otra y comprende la equivalencia en distintos contextos.
Uso diversas estrategias de cรกlculo y de estimaciรณn para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas.
Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situaciones de mediciรณn, relaciones parte todo, cociente, razones y proporciones.
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NOMBRE DEL TEMA: Fracciones equivalentes.
PREGUNTA ORIENTADORA: ¿Qué significa que dos o más fracciones sean equivalentes ?
SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PREGUNTA ORIENTADORA: El término de equivalencia está asociado a igualdad y al conectarse con los conceptos matemáticos de fracción debemos clarificar en situaciones concretas que son LAS FRACCIONES EQUIVALENTES. SABERES PREVIOS: Para iniciar los conceptos de cálculo y aproximación debemos tener presente los siguientes conocimientos.
Número.
Valor posicional.
fracción.
Orden de los números fraccionarios.
Operaciones básicas con fracciones.
Propiedades de fracciones.
RELACIÓN CON EL PROYECTO DE LA UNIDAD: La relación que presentan los conceptos de hallar fracciones equivalentes dentro del proyecto de la unidad 2 “Sorpresas Matemáticas” se centra en el hecho de que son conceptos que se relacionan directamente con el pensamiento numérico, métrico y variacional, dentro de los pensamientos matemáticos en la educación colombiana y por tal motivo son de vital importancia llevándolos a la práctica a través de la construcción de un rompecabezas. CONCEPTUALIZACIÓN Y EJEMPLOS: 1. Analicemos la siguiente situación.
¿Cuál de las siguientes fracciones crees que es mayor?
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¿Lo has averiguado? Vamos a verlo con un ejemplo, partiendo esta pizza en tantos trozos como indique la fracción. Para representar 1/2, partiremos la pizza en 2 trozos y nos quedaremos con 1 trozo:
Para representar 3/6, partiremos la pizza en 6 trozos y nos quedaremos con 3 trozos:
Para representar 4/8, partiremos la pizza en 8 trozos y nos quedaremos con 4 trozos:
¿Hay algún trozo de pizza que sea más grande? ¡No! Fíjate, las tres fracciones representan la misma cantidad de pizza, justo la mitad, por eso son fracciones equivalentes:
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2. ¿Cómo sabemos si dos fracciones son equivalentes? Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número decimal.
Por ejemplo, las tres fracciones anteriores representan el mismo número decimal: 0,5.
1/2 es 1 entre 2, que es 0,5. 3/6 es 3 entre 6, que es 0,5. 4/8 es 4 entre 8, que es 0,5.
3.
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4. ¿Cómo podemos hallar una fracción que sea equivalente a otra? Si queremos hallar una fracción equivalente a otra, podemos:
Multiplicar denominador y numerador por el mismo número. Hallamos una fracción equivalente con numerador y denominador más grandes. Por eso este proceso se llama amplificación.
Dividir denominador y numerador por el mismo número (ambos deben ser divisibles por este número). Así, estamos hallando una fracción equivalente con numerador y denominador más pequeños. Por eso, este proceso se llama simplificación.
Sabías que……….. Laberinto de fracciones Un maestro iba caminando por el pasillo de su escuela pensando cómo explicarle a sus alumnos cuando una fracción está en su expresión más simple, Si en la fracción tanto el numerador como el denominador se pueden dividir entre el mismo número, eso significa que la fracción está en su forma más simple, -decía. Por ejemplo, en la fracción 12/36, el numerador 12 y el denominador 36 se pueden dividir entre dos ambos y nos da 6 y 18 por lo que 12/36 es igual a 6/18, y 6 y 18 se pueden dividir entre dos también y nos da 3 y 9, pero 3 y 9 se pueden dividir entre 3 obteniendo 1 y 3. Finalmente 1 y 3 no se pueden dividir-pensaba. Así que la fracción 12/36 es equivalente a la fracción 1/3 y está en la expresión más simple. Lo anterior se escribe así: 12/36 = 6=18 = 2/9 = 1/3 Todas estas fracciones son equivalentes y 1/3 es la expresión más simple.
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Ayuda al maestro a llegar al salón. Solo se puede pasar por fracciones que estén en su expresión más simple, y encuentra el mensaje que va a darles a sus alumnos.
Escribe aquí el mensaje que les lleva a sus alumnos:
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
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5. Definición Fracciones Equivalentes Definimos como fracciones equivalentes a todas aquellas que representan un mismo valor real, es decir, que al ser resueltas dan como resultado el mismo número. Ejemplo: 3/2 es lo mismo que decir 6/4 ó24/16. Al ser resueltas cada una de estas fracciones da como resultado un número real que no es otro que 1,5. De igual forma, al multiplicar el numerador de la primera fracción equivalente con el denominador de la segunda, se obtiene el mismo resultado que multiplicando el denominador de la primera por el numerador de la segunda. Lo podemos verificar con este mismo ejemplo, en este caso usaremos3/2 y 6/4, así al multiplicar 3 * 4 = 12, de la misma manera, 6 * 2 = 12. Esto constituye una propiedad de las fracciones equivalentes. 6. PROPIEDADES Fracciones equivalentes Dos fracciones algebraicas son equivalentes, si tienen el mismo valor cuando se asignan valores específicos a sus números literales. El valor de una fracción no varía si el numerador y el denominador se multiplican (o dividen) por una misma cantidad no nula.
Ya que la división entre un número es equivalente a la multiplicación por su recíproco, tenemos que:
Entonces las fracciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo valor, pero distintos numerador y denominador.
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Por ejemplo 2/ 3 , 20 / 30 son fracciones equivalentes porque 2/ 3 es igual a 20 / 30 Para obtener fracciones equivalentes se aplican las siguientes propiedades: Propiedad 1: Se multiplican numerador y denominador de una fracción por un mismo número distinto de cero, la fracción no varía. Ejemplo. Tanto 3 como 4 se han multiplicado por 10
Completa la tabla con Fracciones equivalentes multiplicando numerador y denominador por los valores dados:
2
5
7
4/7
8/28
20/35
3/5
6/10
15/25
10
20
50
100
Propiedad 2: Se dividen numerador y denominador de una fracción por un mismo número, distinto de cero, la fracción no varía. Ejemplo. Tanto 400 como 500 se han divido entre 100
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Completa la tabla con Fracciones equivalentes a las dadas dividiendo numerador y denominador por los valores dados:
2
5
20/80
10/40
4/16
40/60
20/30
8/12
4
10
20
1
7. SINTESIS:
Las Fracciones Equivalentes tienen el mismo valor, aunque parezcan diferentes. Estas fracciones son en realidad lo mismo
8. AHORA A PRACTICAR: Trabaja solo
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25
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Trabaja en equipo
Ejemplo. Un depósito contiene 36 litros de leche y 18 de agua. Si se extraen 15 litro de la mezcla, ¿Cuántos litro de leche salen? a.
7
b. 10
c. 6
d. 9
e. 8
Solución. Identifiquemos la parte de la mezcla:
Establecemos la fracción de cada parte de la mezcla: Leche: 36/54 = 2/3 Agua: 18/54 = 1/3 Si extraemos 15 litros de la mezcla, la tercera parte es agua y las dos terceras partes es leche. Agua: 1/3(15)= 5 litros Leche: 2/3(15)=10 litros Luego, en 15 litro de mezcla, salenen10 litros de leche. La respuesta es la letra b.
9. Reto. ¿Te atreverías a comprobar en forma real la anterior situación (podrías cambiar los litros por vasos y las sustancias por líquidos de colores)?
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10. Juego. situación : jugando y aprendiendo sobre fracciones equivalentes
ACTIVIDAD 1 DOMINÓ DE FRACCIONES Modalidad: juegan de 2 a 4 personas Materiales: dados y 33 fichas de dominó. Instrucciones: a.
Se reparten las fichas según el número de participantes, dejando la última para iniciar el juego.
b.
Se sortea la iniciación del juego.
c.
Se colocan las fichas visibles a todos.
d.
El juego consiste en: confrontar a cada figura sombreada el fraccionario correspondiente y a cada fraccionario, la figura sombreada correspondiente.
e.
Este juego sirve para observar la representación gráfica y numérica de las fracciones; adicionar fraccionarios heterogéneos, complificar y simplificar.
f.
Como se repartieron las fichas no se dispone para robar, por consiguiente el jugador sede el turno las veces que sea necesario.
g.
Si cierra el juego, gana quien tenga el menor número de fichas.
h.
Si quedaron con igual número de fichas gana el que tenga la sumatoria mayor de fraccionarios.
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DATOCURIOSO. Relación del concepto matemático (aproximación) con otras ciencias:
Desde siempre el hombre ha utilizado palabras para indicar particiones de una cosa, pero la forma de expresar por escrito en lenguaje matemático esas fracciones ha cambiado, se ha mejorado. En la antigüedad no se conocían buenos sistemas de numeración, por ello las fracciones recibieron durante mucho tiempo notaciones poco claras e inadecuadas para las aplicaciones prácticas. Los egipcios solamente utilizaban fracciones unitarias, es decir de numerador 1. Los babilonios fueron los primeros en utilizar una notación racional expresando los números de forma algo más parecida a la actual. La expresión de una fracción poniendo el numerador arriba y el denominador abajo se la debemos a los hindúes, pero ellos no ponían entre ambos la raya horizontal que ponemos en la actualidad, esa raya se la debemos a los árabes. Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci (11751240) contribuyó mucho en extender a Europa en el siglo XIII los conocimientos matemáticos de los árabes. Busca información sobre este extraordinario matemático.
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Trabajando con Fracciones y Relaciones
Unidad
Contenido
Calcular y Aproximar
Fracciones Equivalentes
Operaciones con Fracciones
Triángulos, Paralelogramos y sus Relaciones.
D.B.A.
DBA. Número 8 para grado 5°: Identifica los múltiplos comunes de dos números y usa esta información para sumar y restar fracciones.
Número 9 para grado 5°: Divide una fracción por un número natural (usando estrategias que muestran comprensión y no sólo memorización) y lo relaciona con la multiplicación de fracciones.
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NOMBRE DEL TEMA: Operaciones con fracciones. Situación problema.
En muchísimas actividades de nuestra cotidianeidad estamos aplicando las operaciones con fracciones; casi, que nos es imposible desligarnos de ellas, a diario debemos por ejemplo
levantarnos antes de determinada hora (un cuarto para las seis), debemos por ejemplo cargar los cuadernos del día según el horario (cuatro de trece), si nos ponemos a pensar, todas nuestras actividades las podemos expresar en términos de operaciones con fracciones; en nuestros ejemplos, levantarnos faltando un cuarto para las seis, es simplemente porque la hora está compuesta por cuatro cuartos de hora los cuales suman los sesenta minutos; el cargar cuatro cuadernos de trece es porque cada cuaderno nos representa un treceavo y cada día restamos cuatro treceavos.
Pregunta orientadora. Identifiquemos situaciones cotidianas que se relacionen con las operaciones con fracciones.
Planteemos un ejemplo de cada una de las operaciones (adición, sustracció, multiplicación y división) con fracciones que están involucradas en nuestras actividades diarias. Solución de la situación (pregunta orientadora). En nuestras vidas constantemente nos enfrentamos a este tipo de situaciones,
miremos
nuestras actividades desde que nos levantamos, el baño lo utilizamos todos los integrantes de la familia nosotros representamos una fracción de ella, si somos 4 entonces al entrar al baño queda faltando tres cuartos de mi familia para usar el baño, al cepillarnos, estamos descotando una fracción de la crema dental, al bañarnos estamos sumando una fracción de agua al consumo total, si calculamos el valor de la factura del agua con base al consumo diario seguramente podemos utilizar la multiplicación y división de fracciones.
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En el mercado semanal a mi casa se lleva un panal de huevos (30 huevos) cada día consumo 1 (1/30), en la semana de lunes a viernes consumo 5/30 (suma de fracciones), mi consumo semanal lo debo descontar del panal 30/30 – 5/30 (resta de fracciones), ese consumo tiene un valor que puedo calcular sabiendo el precio del panal de huevos ( (división de fracciones) y puedo calcular el precio de mi consumo semanal (multiplicación de fracciones).
Expongamos la solución de la situación (pregunta orientadora) a nuestro grupo y con su ayuda hagamos el análisis.
Saberes previos. Concepto de fracción. Partes de una fracción.
Fracciones equivalentes. Simplificación de fracciones Operaciones básicas Mínimo común múltiplo (m.c.m.). Potenciación Descomposición de un número en factores primos. Relación con el proyecto de la unidad.
En la unidad 3 nos encaminamos en el maravilloso mundo de trabajar con fracciones y relaciones; en ese propósito, iniciamos con cálculos y aproximaciones, seguimos con fracciones equivalentes, ahora estamos avanzando en las operaciones con fracciones para luego culminar con triángulos y paralelogramos. Cada uno de estos cuatro temas que componen la unidad tiene su relación, es muy importante que los estudiemos con dedicación, practicando los valores que se mencionaron y poder así empoderarnos cada vez más de los aprendizajes de este texto, para que vayamos teniendo cada vez más sorprendentes y maravillosas “SORPRESAS MATEMÁTICAS”.
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ConceptualizaciĂłn y ejemplos.
Suma o resta de fracciones. No es lo mismo tener manzanas que tener peras, como tampoco es lo mismo tener mitades que tener tercios. Cuando sumamos o restamos
lo hacemos con elementos homogĂŠneos,
manzanas con manzanas, peras con peras, mitades con mitades y tercios con tercios; tienen que ser cantidades de la misma cosa. En ese mismo sentido, para sumar o restar fracciones es necesario que tengan todos los mismos denominadores. No obstante se pueden presentar dos situaciones, cuando tienen el mismo denominador y cuando tienen distinto denominador.
Cuando tienen el mismo denominador. Sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador. DespuĂŠs si podemos se simplifica.
Ejemplos
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Cuando tienen distinto denominador. Reducimos a común denominador siguiendo estos pasos: Calculamos
el mínimo
común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Descomponemos en factores los denominadores y cogemos los factores comunes de mayor exponente y los no comunes. Dividimos el m.c.m. obtenido entre cada uno de los denominadores y lo que nos dé lo multiplicamos por el número que haya en el numerador. Ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador. Si podemos simplificamos. Ejemplos
20 2
15 3
10 2
5 5
5
1
5
5 5 1
1
Otro caso usual en suma o resta de fracciones con diferente denominador se presenta cuando se involucran números enteros. Suma o resta de fracciones con números enteros. En este caso tenemos en cuenta que el denominador de cualquier número entero es uno.
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Ejemplos
3.3.2. Multiplicación de fracciones. El producto de dos o más fracciones resulta ser una operación más sencilla; en este caso, multiplicamos los numeradores y este producto es el nuevo numerador, de la misma manera multiplicamos los denominadores y su producto es el nuevo denominador, después simplificamos si se puede. Ejemplos.
Como en el caso de la suma o resta, también se puede presentar que en el producto se involucre números enteros. Producto de un número entero por una fracción. Para multiplicar un número entero por una fracción, colocamos un uno como denominador al entero y procedemos como ya sabemos, multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador. Ejemplos
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3.3.3.División de fracciones. Para realizar la división de fracciones, multiplicamos el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, el producto es el nuevo numerador; seguidamente multiplicamos el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, el producto es el nuevo denominador. Después si podemos se simplifica. Ejemplos.
También podemos dividir fracciones multiplicando la primera fracción por la inversa de la segunda fracción. Ejemplos.
Como en los casos de adición, sustracción y multiplicación, se puede presentar casos donde la división involucre números enteros. División de una fracción entre un número entero o número entero entre una fracción. Para dividir una fracción por un número entero o un número entero por una fracción, colocamos un uno al número entero y procedemos de una de las dos formas ya conocidas y practicadas más arriba. Ejemplos.
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Síntesis. Para sumar o restar fracciones nos encontramos con 2 posibilidades, que tengan el mismo denominador (fracciones homogéneas) o que tengan diferente denominador (fracciones heterogéneas). En el primer caso se suman los numeradores entre sí, este resultado será el nuevo numerador de la fracción y como denominador colocamos el mismo denominador y en el segundo caso debo proceder a encontrar entre los denominadores el m.c.m. para así identificar el denominador común y proceder a dividir este por el denominador de cada fracción y multiplicarlo por su numerador, dando como resultado nuevas fracciones que tienen todas el mismo denominador y proceder así a tratarlas como fracciones homogéneas. Cuando se trata de la multiplicación, multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí. Para la división de fracciones encontramos 2 posibilidades, la primera es multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, este resultado pasa a ser el numerador de una segunda fracción, luego multiplicamos el denominador de la primer fracción por el numerador de la segunda fracción, este resultado pasa a ser el denominador de la nueva fracción, la segunda posibilidad es multiplicar la primera fracción por la segunda invertida (el denominador pasa a ser numerador y el numerador a ser denominador).
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Dato Curioso
Los chinos conocían muy bien las operaciones con fracciones ordinarias, hasta el punto de hallar el mínimo común denominador de varias fracciones. Como era su costumbre asignaban un rol femenino y otro masculino a los elementos que componen la fracción. Se referían al numerador como “el hijo” y al denominador como “la madre”. Las reglas que utilizamos en la actualidad para trabajar con fracciones, fueron obra de Mahavira-en el siglo IX- y Bháskara-en el sigloXII. En la Antigüedad, cerca del 2.500 a. C., los egipcios utilizaban las fracciones para situaciones de la vida diaria, por ejemplo, para la distribución del pan, el fraccionamiento de parcelas y cultivos y para la construcción de pirámides. Sin embargo, la escritura que conocemos hoy para operar con las fracciones tiene sus orígenes en la India, aproximadamente en el siglo VI d. C.
Actividades de trabajo en grupo. Resolvamos los siguientes cálculos. Cuando sea posible, simplifiquemos el resultado.
= En cada paréntesis, escribamos el signo que corresponda ciertas.
para que las igualdades sean
3)
Reunámonos en grupos de dos o tres estudiantes y resolvamos las situaciones presentadas a continuación. Si necesitamos, utilicemos la calculadora científica instalada en los equipos para comprobar los resultados obtenidos.
a)
El paso de cierta persona equivale a (siete octavos) de metro. ¿Qué distancia recorre con 1.000 pasos? ¿Cuántos pasos debe dar para recorrer una distancia de 1.400 m?
b)
Una empresa embotelladora de gaseosas debe entregar el jueves una cierta cantidad de bote_ llitas de gaseosa. El domingo embotelló 1/3 de esa cantidad, el lunes 1/5, el martes 2/15 y el miércoles 3/10. Con lo embotellado hasta el momento, ¿podrá cumplir con el pedido? De no ser así, ¿qué fracción le faltaría embotellar?
c)
Inventemos y redactemos una situación para cada caso en la cual intervengan las siguientes operaciones.
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Analicemos y realicemos los cálculos necesarios para la siguiente situación: La herencia del jeque. Un jeque árabe tenía tres hijos. Al morir les dejó 17 camellos, con el mandato expreso de que debían repartirlos sin matar ningún camello, y de la siguiente manera: el mayor recibiría la mitad, el segundo la tercera parte y el menor la novena parte. Los hijos del jeque, al querer hacer el reparto, se dieron cuenta de que para poder cumplir la voluntad de su padre no había más remedio que matar algunos camellos. Para no tener que llegar a esta situación acudieron al cadí (juez) y este les pidió un día para pensarlo. Pasado ese día, el cadí apareció con un camello suyo y lo unió al grupo de los 17 camellos. Les propuso que se procediera a cumplir la voluntad del jeque sobre esta herencia aumentada. Por lo tanto, el mayor tomó 9 camellos, el segundo 6 y el menor 2. Al terminar el reparto, el cadí volvió a llevarse su camello y dejó a los tres hermanos contentos. Expliquemos la solución dada por el cadí.
Actividades de trabajo individual.
Calculemos la diferencia.
Relacionemos estas dos columnas. Un diecisieteavo Catorce quinceavos Cinco veintiunavos Un séptimo Diez octavos Ocho quintos Plateemos 2 ejercicios de multiplicación de fracciones y 2 de división de fracciones, realicémoslos y presentémoslos al docente o la docente. 40
Juegos. Entremos al siguiente link de internet y con la orientaciรณn del docente juguemos a las operaciones con fracciones.http:// www.accedetic.es/fracciones/fracciones/
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Trabajando con Fracciones y Relaciones
Unidad
Contenido
Calcular y Aproximar
Fracciones Equivalentes
Operaciones con Fracciones
Triángulos, Paralelogramos y sus Relaciones.
D.B.A.
DBA # 12 Representa de forma gráfica grupos de objetos. DBA # 13 Reconoce y propone patrones simples
Comparo y clasifico figuras bidimensionales de acuerdo con sus componentes (ángulos, vértices) y características.
Identifico, represento y utilizo ángulos en giros, aberturas, figuras, puntas y esquinas en situaciones estáticas y
Conjeturo y verifico los resultados de aplicar transformaciones a figuras en el plano para construir diseños. Construyo y descompongo figuras y sólidos a partir de condiciones dadas.
Justifico relaciones de dependencia del área y volumen, respecto a las dimensiones de fi guras y sólidos.
Imagen 1
1. Triángulos paralelogramos y sus relaciones. Conceptualización. 1.1 Triángulos. Un triángulo es un polígono que tiene tres vértices, tres lados y tres ángulos. Se pueden clasificar por la relación entre la longitud de sus lados o por la amplitud de sus ángulos. Clasificación de los triángulos por la relación entre la longitud de sus lados:
Equilátero: Tiene los tres lados iguales.
Isósceles: Tiene dos lados iguales.
Escaleno: Tiene los tres lados desiguales.
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1.2 Clasificación de los triángulos por la amplitud de sus ángulos.
Rectángulo: Tiene un ángulo recto (90°) y dos agudos (menores de 90°).
Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos.
Obtusángulo:
Tiene un ángulo obtuso (mayor de 90°) y dos agudos.
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1.2 Paralelogramos Son cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos. Hay 4 clases de paralelogramos:
Cuadrado: Es el que tiene los cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.
Rectángulo: Tiene los lados iguales dos a dos y cuatro ángulos rectos.
Rombo: Tiene los lados iguales y los ángulos opuestos iguales.
Romboide: Tiene los lados iguales dos a dos y los ángulos opuestos iguales.
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Síntesis.
Dato Curioso
Los triángulos se clasifican por sus lados y por sus ángulos; por sus lados se pueden llamar equilátero, isósceles y escaleno; por sus ángulos se pueden llamar rectángulo, acutángulo y obtusángulo.
Entre la clase de paralelogramos tenemos: el cuadrado que tiene sus 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos, el rectángulo que tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos, el rombo que tiene los cuatro lados iguales y ángulos iguales dos a dos, el romboide que tiene los lados y ángulos iguales dos a dos.
Galaxia del Triángulo. M33 es un miembro del Grupo Local de galaxias -el tercero en brillo y tamaño- y parece estar vinculada gravitacionalmente con Andrómeda, la cual está a 720000 años luz de ella y a la que orbita en una órbita de alta excentricidad.
Actividades de trabajo en grupo.
Reunámonos en grupos de 3 compañeros y realicemos las siguientes actividades:
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1. Clasifiquemos los siguientes triángulos teniendo en cuenta sus lados y sus ángulos.
2. Indiquemos si son verdaderas (V) o falsas (F) las siguientes afirmaciones, justificando la respuesta. a) Todo triángulo isósceles es equilátero.______ b) Un triángulo escaleno puede ser isósceles. ______ c) Todo triángulo isósceles es un triángulo acutángulo.______ d) Todo triángulo rectángulo es escaleno. ______ e) Todo triángulo acutángulo es isósceles o es equilátero. ______ f) Todo triángulo equilátero es isósceles. ______ g) Un triángulo es un paralelogramo. ______ h) Un cuadrado y un rectángulo son paralelogramos. ______ i) Cuadrado es el paralelogramo con cuatro ángulos iguales. ______ j) Rombo es el paralelogramo que tiene los ángulos opuestos iguales. ______ k) Rectángulo es un paralelogramo que tiene lagos iguales dos a dos. ______ l) Cuadrado es el paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos. ______ m) Rombo es el paralelogramo que tiene los lados iguales y los ángulos opuestos iguales. ______ n) Rectángulo es el paralelogramo que tiene lados iguales dos a dos y cuatro ángulos rectos. ______
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3. Contemos cuántos triángulos hay en este triángulo? 10…12…13…15…?
Actividades de trabajo individual. Realicemos las siguientes actividades sobre triángulos.
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Realicemos las siguientes actividades sobre paralelogramos:
Juegos. Con ayuda de nuestro docente imprimamos la siguiente actividad, recortamos y pegamos segĂşn las instrucciones.
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Ejercicios adicionales sobre operaciones con fracciones.
Problema adicional sobre operaciones con fracciones. Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean combustible, 1/8 se emplea en electricidad, 1/12 en la recogida de basuras, 1/4 en mantenimiento del edificio y el resto se emplea en limpieza. ÂżQuĂŠ fracciĂłn de los ingresos se emplea en limpieza? De acuerdo con la fracciĂłn de ingresos empleada, ordena las partidas enumeradas de menor a mayor.
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Ejercicios adicionales sobre triรกngulos y paralelogramos. Coloquemos el nombre a los siguientes triรกngulos
Colorea de rojo los cuadrados y los rectรกngulos y de color verde los rombos y los romboides.
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Problema adicional sobre triรกngulos y paralelogramos
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PREGUNTAS TIPO PRUEBAS Respondamos las preguntas 1 ala 5 de acuerdo con la siguiente figura
3. Las figuras que se identifican por ser triángulos equiláteros son: a)
Las figuras 2 y 5
b) Las figuras 2 y 3
c)
Las figuras 2 y 4
d) Las figuras 2 y 1
1. La figura que se identifica por ser un triángulo rectángulo es
a)
La figura 1.
b)
La figura 2
c)
La figura 3
d)
La figura 4
4. Sólo una de las siguientes afirmaciones es verdadera a) Las figuras 1 y 2 son triángulos escalenos. b) Las figuras 1 y 2 son triángulos rectángulos. c) Las figuras 1 y 2 son triángulos obtusos. d) Las figuras 1 y 2 son triángulos acutángulos
2. La figura que se identifica por ser un triángulo obtusángulo es a) La figura 1. b) La figura 2 c) La figura 3 d) La figura 4
5.Todas las siguientes afirmaciones son verdaderas, excepto una.
a) La figura 4 es un triángulo escaleno. b) La figura 2 tiene sus tres ángulos internos iguales. c) La figura 1 es un triángulo isósceles d) La figura 5 es un triángulo escaleno.
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