Conquistando el mundo de las matemáticas
Unidad
4
Contenido 1. Conceptos básicos de probabilidad 2. Razones y proporciones 3. Análisis de gráficos estadísticos 4. Poliedros
D.B.A.
1. Comprende la probabilidad de obtener ciertos resultados en situaciones sencillas. 2.
Construye objetos sencillos a partir de moldes.
3. Lee e interpreta gráficas de línea
Comparo y clasifico objetos tridimensionales de acuerdo con componentes (caras, lados) y propiedades.
Construyo objetos tridimensionales a partir de representaciones bidimensionales y puedo realizar el proceso contrario en contextos
Construyo y descompongo figuras y sรณlidos a partir de condiciones dadas.
Conjeturo y pongo a prueba predicciones acerca de la posibilidad de ocurrencia de eventos.
Presentación Conquistando el mundo de las matemáticas En esta unidad nos divertiremos aprendiendo mucho sobre matemáticas, exploraremos y trabajaremos conceptos básicos de probabilidad para obtener ciertos resultados en algunas situaciones, como la posibilidad de sacar cara cuando lanzo una moneda dos veces. También el concepto de razón y proporción, el cual te permitirá averiguar información cuando tenemos una ya dada. Vamos a analizar gráficos estadísticos que nos ayudara comprender mejor la información que hay en las facturas como la de la luz y el agua. Por último conoceremos el mundo de los poliedros, construyendo y analizando figuras como la pirámide y el cubo. Recuerda que todo se es más divertido si actuamos con responsabilidad, pues hay que cumplir con las tareas y el trabajo de la unidad, también debe prevalecer el respeto con los trabajos de los demás y cuando estemos en actividades, pues la práctica del mismo permitirá que las actividades se hagan bien en un ambiente de armonía. Recordemos trabar con amor para que entreguemos al profesor o profesora las actividades con estética o bien presentadas. Mucha suerte en esta unidad.
3
Concepto Básico de Probabilidad Pregunta orientadora del tema Un dado de seis caras, tiene dos caras de color amarillo, dos caras de color azul y dos caras de color rojo. María gana si cae amarillo, Andrés pide la cara azul, y Santiago gana si cae la cara roja ¿Cuál es la probabilidad que de ganar cada uno al tirar el dado? Solución de la situación pregunta orientadora Todos tienen la misma probabilidad, debido a que cada color (amarillo, azul y rojo) tiene dos caras de las seis del dado. Por lo tanto cada color representa del dado es decir la probabilidad que al tirar el dado caiga un color amarillo es igual a la probabilidad de que sea azul y rojo
Curiosidades En matemáticas existe una paradoja muy curiosa llamada “la paradoja del regalo de cumpleaños”. Esta dice que en una fiesta de cumpleaños con 23 invitados, hay un 50% de probabilidades de que al menos 2 personas lleguen con el mismo regalo.
Saberes previos Es hora de trabajar con tus compañeros para dar respuesta a las siguientes preguntas ¿Qué es el azar? ¿Qué es un evento? ¿Qué es aleatorio? ¿Qué es no aleatorio? ¿Qué es un evento aleatorio? Vamos a socializar en la clase las respuestas dadas.
4
Evento Los eventos son situaciones que pueden suceder o que no pueden suceder, pueden ser aleatorios o no aleatorios.
Eventos aleatorios Este tipo de eventos se caracterizan por no conocer con seguridad el resultado que obtendremos, pero si los posibles resultados, es decir, dependen del azar.
Miremos los siguientes ejemplos
Todos hemos jugado algunas vez parques y vemos que al final cuando vamos a sacar la última ficha debemos lanzar un dado de seis caras, sabemos que al lanzar un dado pueden caer como resultado los números
Pero no sabemos que numero cae hasta hacer el lanzamiento.
Cuando jugamos a tirar una moneda sabemos que pude caer cara o sello, pero no sabemos el resultado final hasta que tiremos la moneda.
5
Eventos no aleatorios Este tipo de eventos es cuando conocemos con seguridad el resultado que obtendremos.
Por ejemplo si tenemos una bolsa con 10 galletas de chocolate y si saco una de ellas es seguro que la galleta que vas a sacar es de chocolate ya que es la Ăşnica opciĂłn e imposibles que sean de fresa ya que en la bolsa no contiene galletas de ese sabor.
SĂntesis Eventos
Aleatorios
No conocemos con seguridad el resultado que obtendremos.
6
No aleatorios
Si conocemos con seguridad el Resultado que obtendremos.
AHORA A PRACTICAR: Trabajo individual. Debes completar la siguiente tabla con base a lo que has aprendido Socializa tu respuesta con tus compañeros. Y ponte de acuerdo con ellos para dar solo una respuesta por el grupo y socializarla con la clase. Evento Ir a la escuela de lunes a viernes
Aleatorio / No aleatorio No aleatorio
El primero de enero es festivo Extraer una canica verde de una caja que conoctubre tiene 31 días Lanzar un dado y obtener el 2 Lanzar una moneda y que caiga cara Que mañana sea jueves Lanzar un dado y obtener 8 Extraer una canica verde de una caja que conObservar si en las próximas 24 horas sale el sol. Tirar un dado y observar si es un número par.
Juegos Realicemos los siguientes juegos y luego clasifiquemos si son Aleatorio / No aleatorio.
Si la suma es un número par (0-24-6-8 ó 10), gana el jugador que eligió PARES y si la suma es un número impar (1-3-5-7 ó 9), gana el jugador que eligió NONES.
7
Manzana podrida Todos se colocan en círculo y el líder va señalando a los jugadores siguiendo el ritmo de la canción. El jugador señalado cuando ésta finaliza queda libre. El juego se repite hasta que sólo queda un jugador, que es el que se la queda y es el ganador. Manzana, manzana podrida, una, dos y tres, salida.
Cara o Cruz
Materiales: una moneda o una cosa que tenga dos
caras
Los jugadores que juegan escogen: uno elige cara (que es la parte que tiene la imagen del rey o algo importante)
El otro elige cruz (se llama así porque antiguamente aparecía una cruz en esa cara).
Luego se lanza al aire, generalmente hacia arriba, la moneda o la cosa que se utiliza y bien se deja caer al suelo o bien se recoge en el aire y se muestra con la palma de la mano hacia arriba.
El jugador que haya elegido el lado de la moneda que aparece es el ganador.
Posibilidad de un evento Para analizar la posibilidad de un evento vamos estudiar la escala de probabilidad Imposible
Escala de probabilidad
8
Poco Probable
Igualmente Proba-
Muy Probable
Como podemos apreciar esta escala tiene cinco opciones, con el ejemplo de la sección anterior ya sabemos que si un evento es no aleatorio puede ser seguro o imposible.
Seguro
Ahora miremos analizaremos la escala de probabilidad mediante el siguientes ejemplo. Una bolsa contiene 24 galletas de la siguiente manera: 4 de chocolate, 8 de fresa y 12 de naranja, ahora miremos que puede ocurrir si sacamos una galleta de nuestro sabor favorito.
Si nuestro sabor preferido es la vainilla es imposibles que saquemos la de este sabor, ya que en la bolsa las galletas no hay ninguna de fresa. Si nuestro sabor preferido es el chocolate es poco posible que saquemos la galleta de este sabor, ya que en la bolsa, las galletas de chocolate son las de menor cantidad. Si nuestro sabor preferido es el de naranja es igualmente probable que saquemos una galleta de este sabor o una de un sabor diferente ya que es las galletas de naranja es la mitad del contenido de la bolsa. Si nuestro sabor favorito esta entre la galletas de naranja y fresa es muy probables que saquemos una galleta de alguno de los dos sabores ya que esos sabores son la mayorĂa en la bolsa. Si lo que me interesa es sacar una galleta no importando el sabor es seguro que lo logre ya que en la bolsa solo hay galletas.
SĂntesis Escala de probabilidad
Galletas de vainilla
Galletas de chocolate
Galletas de naranja
Galletas de naranja y fresa
Imposible
Poco Probable
Igualmente Probable
Muy Probable
Galletas
Seguro
9
AHORA A PRACTICAR: Trabajo individual. 1.
En una bolsa hay 3 bolas amarillas, 4 azules y 1 verde. Indica con una X en la tabla siguiente el tipo de suceso en la experiencia de sacar una bola de la bolsa y anotar su color:
Eventos
Imposible
Poco probable
Igualmente probable
Muy probable
Seguro
Sacar una bola azul Sacar una bola roja Sacar una bola que no sea azul Sacar una bola que no sea roja Sacar una bola verde Sacar una bola que no se amarilla 2. En cada caso dibuja una ruleta que cumpla con las condiciones dadas.
3.
a)
Que tenga dos colores, azul y rojo, que el rojo sea muy poco probable.
b)
Tres colores negro, amarillo y verde, que el verde sea igualmente probable, y el negro poco probable.
c)
Una ruleta donde el rojo se imposible.
d)
Una ruleta donde el azul sea seguro.
Saca una moneda. Tírala 12 veces y completa la siguiente tabla. • Repite la operación.
Cara Sello
10
Cuantas veces calló sello y cuantas veces calló cara.
Compara el resultado con tus compañeros.
Saca las conclusiones con respecto a los resultados de esta actividad.
4.
Forma grupos de cuatro con tus compañeros, cada uno debe dibujar y recortar 12 cuadrados del mismo tamaño Luego debes colorear algunas fichas de color azul; con tu grupo de trabajo deciden cuantas fichas van a colorear cada uno, teniendo en cuenta que debes pintar diferente número de fichas que tus compañeros. (ejemplo si Juan pintó 2, Luis 3 y Pedro 8, tu debes pintar una cantidad diferente que las de ellos)
En una bolsa ingresa las fichas de un integrante del grupo. Construyamos una recta de probabilidades y marquen en ella el resultado posible en sacar una ficha de color azul.
Sacude la bolsa y saca una ficha. Si es del color azul coloca una x y si no deja el cuadro en vacío Introduce la ficha de nuevo en la bolsa y repita 12 veces. Ficha
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Azul ¿Cuantas veces salió una la ficha azul? ¿Los resultados coinciden con esperado en la reta de probabilidad? Realiza el ejercicio con las fichas de todos tus compañeros y analizan los resultados. Saca las conclusiones con respecto a los resultados de esta actividad.
Posibilidad de un evento Ahora podemos analizar cuando un evento es: imposible, poco probable, igualmente probable, muy probable y seguro. En esta sesión vamos a profundizar más sobre el cálculo de la probabilidad y su representación numérica. La probabilidad de un evento indica la posibilidad de que ocurra dicho evento y esta se puede representar mediante una fracción.
Para que comprendamos más este concepto analizaremos los siguientes ejemplos.
11
Tú escoges el número 4, y te preguntas ¿cuál es la probabilidad de obtener este número? Antes de obtener la respuesta a esta pregunta debemos analizar los posibles resultados que podemos obtener al lanzar un dado de seis caras. Cuando tiramos un dado sabemos que puede caer tanto el 1 como el 2, 3, 4 ,5 y 6, que es imposible que caiga un número diferentes de estos ya que el dado solo cuenta con seis caras numeradas o con puntos del 1 al 6, por lo tanto, hay seis posibles resultados. Ahora miremos de cuantas formas podemos conseguir un el 4 al lanzar un dado, como podemos mirar solo hay una forma ya que solo tenemos un 4 en el dado y como es solo un lanzamiento, lo que quiere decir que solo puedo obtener tu número (el 4) de seis
Lo que quiere decir que la probabilidad de que caiga un 4 al lanzar es (un sexto).
Si tu compañero pide otro número, que ¿probabilidad tendrá el de ganar? Para dar respuesta a esta pregunta observemos la siguiente tabla. Tabla de la probabilidad de obtener un número al lanzar un dado Número
Número de resultado posibles
Número de opciones de acertar
1
6
1
2
6
2
3
6
3
4
6
4
5
6
5
6
6
6
12
Probabilidad
Podemos mirar en la tabla que no importa el número que escoja de 1 al 6, al lanzar un dado tiene la misma probabilidad Ahora analicemos la posibilidad en la siguiente ruleta
Analizaremos las diferentes probabilidades que tenemos en esta ruleta, debido a que la ruleta está dividida en 8 partes iguales, podemos mirar que si giráramos la ruleta se pueden obtener 8 resultados posibles los cuales son: Azul, amarillo, naranja, amarillo, azul naranja amarillo, aunque la ruleta esta divida en 8 partes solo tenemos 3 colores para escoger azul, naranja y amarillo. Para obtener el color azul en nuestra ruleta tenemos 2 opciones de las ocho posibles, lo que quiere decir que la probabilidad de que al girar la ruleta es Para obtener el color naranja en nuestra ruleta tenemos 2 opciones de las ocho posibles, lo que quiere decir que la probabilidad de que al girar la ruleta es Para obtener el color amarillo en nuestra ruleta tenemos 4 opciones de las ocho posibles, lo que quiere decir que la probabilidad de que al girar la ruleta es Si queremos jugar con esta ruleta ¿Cual color escogeríamos para ganar? ¿Y por qué?
Síntesis Podemos expresar la probabilidad de que suceda un evento por medio de una fracción, donde el denominador me representa el número resultados posibles y el numerador el número de resultados de obtener el evento.
13
AHORA A PRACTICAR: 1. a)
Encuentre la probabilidad de que al lanzar un dado de seis caras salga un número impar.
b)
Encuentre la probabilidad de que al lanzar un dado de seis caras salga un número par.
Compara el resultado con tus compañeros.
Saca las conclusiones con respecto a los resultados de esta actividad.
2.
En cada caso dibuja una ruleta que cumpla con las condiciones dadas.
Que tenga dos colores, azul y rojo y que la probabilidad de que caiga el color rojo sea
Tres colores negro, amarillo y verde, que la probabilidad de que caiga el color verde sea y el color negro Una ruleta donde la probabilidad de que caiga el color rojo sea
Una ruleta donde el azul sea .
4.
Se tiene un dado de 20 caras como muestra la figura Encuentre la probabilidad de: De que caiga el número 16.
a)
Que caiga un número par.
b)
Que caiga un número impar.
c)
Que caiga un múltiplo de 3.
d)
Que caiga un múltiplo de 4.
e)
Que caiga un múltiplo de 5.
f)
Que caiga un múltiplo de 6.
g)
Que caiga un múltiplo de 8.
i)
Que caiga un número terminado en 7.
Compara tu respuesta con tus compañeros. 14
Posibilidad de un evento tercera parte Cuando hablamos de probabilidad ya sabemos que es la probabilidad de que algo suceda, un evento; pero muchas veces hemos escuchado que la probabilidad de un evento es 20%, 40%, etc. Analizaremos como podemos relacionar lo aprendido hasta hora con el porcentaje a través de los siguientes ejemplos. Miremos el ejemplo de la sesión anterior cuando se probabilidad de que caiga uno de los 6 número es de con porcentaje?
lanzamos un dado la ¿cómo relaciona este valor
Para esto debemos recordar que una fracción se puede representar como número decimal, dividiendo el 1 entre 6 así:
1
0 4
0 4
6 0,1666 0 4
0 4
El 1 es la sexta parte del posible resultado de lanzar un dado de seis caras que equivale a 0,1666, esto es:
Para convertir este valor en porcentajes debemos multiplicar por 100%, para encontrar a que porcentaje equivale 1 de 6, así:
El símbolo % representa a
por lo tanto al multiplicar por 100%
estás multiplicando por , por eso la igualdad se conserva
15
Observemos las siguientes tablas donde podemos ver el resumen de las diferentes representaciones de la probabilidad de lanzar un dado.
NĂşmero
NĂşmero de resultado posibles
1
6
2
NĂşmero de opciones de acertar
Probabilidad FracciĂłn
decimal
Porcentaje
1
0,1666
16,66%
6
2
0,1666
16,66%
3
6
3
0,1666
16,66%
4
6
4
0,1666
16,66%
5
6
5
0,1666
16,66%
6
6
6
0,1666
16,66%
Continuemos analizando la posibilidad de la ruleta estudiada anteriormente Recordemos que para la probabilidad obtener
de
en color azul es , ahora encontramos a que
2
16
0 4
0 0
8 0,25
Porcentaje corresponde.
Lo que quiere decir que la probabilidad de que al girar la ruleta caiga el color azul es del 25%.
Para la probabilidad de obtener en color naranja
es , lo que quiere decir que
tiene un 25% de probabilidad que al girar la ruleta quede seleccionado el color naranja ahora. La probabilidad de obtener en color amarillo porcentaje corresponde.
0 0
4
es , ahora encontramos a que
8 0,5
La probabilidad de que al girar la ruleta quede seleccionado el color amarillo es del 50%. En la tabla siguiente podemos ver las diferentes representaciones de la probabilidad del ejemplo de la ruleta.
Color
Número de resultado posibles
Número de opciones de acertar
Azul
8
Naranja Amarillo
Probabilidad Fracción
decimal
Porcentaje
2
0,25
25%
8
2
0,25
25%
8
4
0,50
50%
Síntesis La probabilidad de que suceda un evento se puede representar de formas diferentes como fracción, decimal y porcentaje.
17
AHORA A PRACTICAR: Trabajo individual.
1.
Complete la siguiente tabla de acuerdo al probabilidad de lanzar un dado de 20 caras. Probabilidad Evento Fracción
decimal
Porcentaje
De que caiga el número 16. Que caiga un número par. Que caiga un número impar. Que caiga un múltiplo de 3.
Que caiga un múltiplo de 4.
Que caiga un múltiplo de 5.
Que caiga un múltiplo de 6.
Que caiga un múltiplo de 8. Que caiga un número terminado en 7.
2. En una clase de 27 estudiantes, has 15 niñas y 12 niños. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona que salga al recreo, tras el profesor, sea una niña?
3.
18
De una bolsa que contenía balotas de diferentes colores, un grupo de niños sacó, sin mirar, varias veces una balota. Los niños concluyeron que de cada tres veces que sacaron una balota de la bolsa, dos resultaron azules. ¿Cuál es la probabilidad de sacar, sin mirar, una balota azul de la bolsa?
Posibilidad de un evento En esta sesión hemos estudiado el concepto de probabilidad en diferentes representaciones, vamos a finalizar con la escala de probabilidad y con unas preguntas para reforzar lo aprendido.
0%
50%
0
0,5
Imposible
Poco Probable
Igualmente Probable
100% 1 Muy Probable
Seguro
Escala de probabilidades es una representación de una recta que permite asignar valores numéricos a los sucesos y los relaciona con el lenguaje natural. Observemos la siguiente figura.
En la escala de probabilidad, se asignan valores numéricos entre 0 (que corresponde a 0%) y 1 (que corresponde al100%); donde 0 será un suceso imposible y 1 un suceso seguro.
19
AHORA A PRACTICAR: Responda las siguientes preguntas, recuerde que tiene cuatro opciones de respuesta de las cuales solo puede seleccionar una. Responda la pregunta 1 y 2 de a acuerdo a la siguiente información Jhony tiene dos fichas. El color de las dos caras de cada ficha se muestra a continuación.
20
1.
Jhony lanzó la Ficha 1 y sin levantarla miró el color de la cara. La probabilidad de que la cara sea roja es:
a)
el doble de que sea verde.
b)
la mitad de que sea azul.
c)
igual a la de ser verde.
d)
la cuarta parte de la de ser azul.
2.
Jhony lanza las dos fichas al suelo y sin levantarlas mira el color de sus caras. Es imposible que Jhony observe
a)
una cara roja y una cara verde.
b)
una cara roja y una cara azul.
c)
dos caras rojas.
d)
dos caras azules.
3.
Una urna contiene 4 bolas rojas, 3 bolas negras y 5 bolas blancas, todas de igual forma y tamaño. Pedro va a sacar una bola de la urna sin mirar. El número de posibilidades de que la bola que saque Pedro sea roja es:
a)
mayor que el número de posibilidades de que tome una bola blanca.
b)
igual que el número de posibilidades de que tome una bola negra.
c)
igual que el número de posibilidades de que tome una bola blanca
d)
mayor que el número de posibilidades de que tome una bola negra.
4. De una bolsa que contenía balotas de diferentes colores, un grupo de niños sacó, sin mirar, varias veces una balota. Los niños concluyeron que de cada tres veces que sacaron una balota de la bolsa, dos resultaron azules. ¿Cuál de las siguientes fracciones representa la probabilidad de sacar, sin mirar, una balota azul de la bolsa?
5.
Juan y María están jugando a sacar fichas, sin mirar, de una bolsa que contiene: 1 ficha roja, 2 verdes, 1 amarilla y 2 negras. María saca una ficha de la bolsa, ve que es roja y la deja fuera de la bolsa. A continuación, Juan saca otra ficha de la bolsa.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a)
La ficha que saca Juan seguramente es blanca.
b)
La ficha que saca Juan seguramente es azul.
c)
La ficha que saca Juan no puede ser amarilla.
d)
La ficha que saca Juan no puede ser roja.
6.
Observa el titular de este periódico.
21
El número que representa la información del titular del periódico es:
7.
A una fiesta infantil asisten 50 invitados. Entre éstos se rifan 5 relojes de juguete, 15 pelotas y 10 rompecabezas. El número de posibilidades de que un invitado gane una pelota es:
a)
el triple del número de posibilidades de ganar un reloj de juguete.
b)
igual al número de posibilidades de ganar un rompecabezas.
c)
la tercera parte del número de posibilidades de ganar un reloj de juguete.
d)
el doble del número de posibilidades de ganar un rompecabezas.
8.
En la función de un circo, un malabarista utiliza pelotas de igual forma y tamaño que guarda en una caja: 2 rojas, 4 verdes y 8 amarillas. El número de posibilidades que tiene el malabarista de sacar una pelota roja de la caja es:
a)
la mitad del número de posibilidades de sacar una pelota amarilla.
b)
la cuarta parte del número de posibilidades de sacar una pelota verde.
c)
la mitad del número de posibilidades de sacar una pelota verde.
d)
la octava parte del número de posibilidades de sacar una pelota amarilla.
9.
Una caja contiene 3 fichas rojas y 1 ficha verde. Una persona debe sacar, sin mirar, una ficha verde de esta caja para ganar una camiseta. Para que las personas tengan la misma probabilidad de ganar o no una camiseta, se deben introducir en la caja
22
a)
3 fichas verdes.
b)
3 fichas rojas.
c)
2 fichas rojas.
d)
2 fichas verdes.
10 Víctor tiene 20 cartas numeradas de 1 a 20. Él le pide a Antonio que escoja una carta sin mirar. Es más probable que el número de la carta que escoja Antonio sea: a)
múltiplo de 2.
b)
múltiplo de 3.
c)
múltiplo de 4.
d)
múltiplo de 5.
23
Razones Para tener en cuenta … ¿De qué forma se puede representar la relación entre dos cantidades como por ejemplo los ingredientes de una receta y el plato terminado? Analicemos la siguiente situación. En un salón de clase de clases hay un total de 12 estudiantes, 7 niños y 5 niñas como se muestra a continuación.
Sabías que……….. Se piensa que el origen de las razones aritméticas está asociado con la preocupación del hombre primitivo por comparar cuando una tribu tenía más guerreros que otra.
A partir de la situación anterior respondamos las siguientes preguntas: ¿De qué manera podríamos expresar la relación entre el número de niños con el número de niñas que estudian en la clase? ¿Cómo sería la relación entre el número de niños y el total de estudiantes de la clase? ¿Cómo sería la relación entre el número de niñas y el total de estudiantes de la clase? Como podemos apreciar en la vida diaria continuamente se usan proporciones numéricas, como por ejemplo en la preparación de una receta, donde existe una proporción exacta entre los ingredientes.
Razones El cociente indicado entre dos números a y b, con b ≠ 0, se llama la razón entre a y b. En una razón, el dividendo a recibe el nombre de antecedente y divisor b, el nombre de consecuente. Una razón se puede representar como “b” o “a es a b “.
24
o como a : b se lee “la razón de “a” a
Retomemos la situación planteada anteriormente de la clase donde estudian 7 niños y 5 niñas.
a)
¿De qué manera podríamos expresar la relación entre el número de niños con el número de niñas que estudian en la clase? Para dar respuesta a esta pregunta planteamos una razón entre el número de niños y numero de niñas:
La razón anterior también la podemos expresar de la siguiente manera: y se lee 7 niños por cada 5 niñas. b)
¿Cómo sería la relación entre el número de niños y el total de estudiantes de la clase?
Planteamos una razón entre el número de niños con el total de estudiantes de la clase.
La razón anterior también la podemos expresar de la siguiente manera:
7 : 12 se lee 7 niños por cada 12 estudiantes.
SINTESIS: Una razón es una comparación entre dos cantidades y se puede expresar a través de una fracción, o por medio de una oración.
25
AHORA A PRACTICAR Trabajo individual. 1.
Escribe cada expresión como una razón a) 4 es a 9
2.
b) 0,5 es a 0,7
c) 0,9 es a 2
d) 125 es a 1000
Expreso cada situación mediante una razón. a)
En una granja hay 7 gallinas por cada dos cerdos.
b)
La selección Colombia ha ganado 4 partidos de los 8 que ha jugado.
c)
5 de cada 9 bebes que nacen son niñas.
d)
De los 9 peces que hay en un acuario 6 son rojos.
e)
28 niños de los 30 que estudian en un grupo les gusta la matemática.
3. Planteo una razón de forma numérica y escrita para cada una de las siguientes imágenes.
a)
b)
c)
Trabajo en equipo.
1.
En una encuesta realizada sobre los colores preferidos de un grupo de 25 niñas, se obtuvieron los siguientes resultados.
Color
Frecuencia
Rosado Azul Amarillo Verde
12 5 4 4
a)
¿Cuál es la razón entre las niñas que prefieren el rosado y las que prefieren el verde?
b)
¿Cuál es la razón entre las que prefieren el amarillo y las que prefieren el azul?
c)
¿Cuál es la razón entre las que prefieren el verde y el total de las encuestadas?
26
Proporciones. Pregunta generadora esencial ¿Existen razones a pesar de expresarse de forma diferente, representen la misma relación entre dos cantidades?
Analicemos la siguiente situación: La figura representa el mapa de un país
Dato curioso Sabías que ……… Teano, (siglo VI A.c ) quien fue una de las pocas mujeres matemáticas que registra la historia, era la esposa del célebre Pitágoras y propuso ocho formas diferentes de representar una proporción.
¿Cómo se podría determinar la distancia real entre las ciudades A y B, si en el mapa la distancia que las separa es de 4 cm? Por ejemplo para el caso anterior, en el cual se pide calcular la distancia real entre dos ciudades, se puede establecer una proporción entre la escala del mapa y la distancia en el mapa, para hallar la distancia real entre las ciudades. Veamos: La escala que plantea el mapa 1 : 250000 significa que cada centímetro en el mapa corresponde a 250.000cm en el mundo real, por lo tanto lo que debemos hacer es averiguar cuantos metros en el mundo real corresponden a una distancia de 4cm en el mapa, lo cual se puede establecer a través de la siguiente proporción, donde d es la distancia entre las ciudades
Seguramente ya muchos habrán establecido que esta situación se puede resolver fácilmente multiplicando 4 x 250.000 = 1 x d de donde obtenemos que 1.000.000 = d Lo que significa que la distancia entre las dos ciudades A y B es de 1.000.000cm, o lo que es lo mismo 10km. Situación tomada del libro Matemáticas SANTILLANA grado 7.
27
Saber previo En un examen la razón entre los que ganaron y los que perdieron es 4 : 3 , si en total aprobaron 16 estudiantes. Cuantos estudiantes perdieron el examen?
Proporciones Una igualdad entre dos razones recibe el nombre de proporción. La proporción entre dos razones escribe como
con b ≠ 0 y d ≠ 0 se
Y se lee “ a es a b como c es a d”
Síntesis Existe una gran cantidad de situaciones en las cuales es necesario representar algo, por ejemplo las distancias, pero tratando de ser lo más fiel posible a la realidad con el fin de facilitar la comprensión de dicha situación, como ocurre en la elaboración de los mapas, para este tipo de situaciones son muy útiles las proporciones.
28
AHORA A PRACTICAR: Trabajo individual. 1.
Expresa cada una de las siguientes igualdades a través de una proporción. a) 2 x 15 = 3 x 10
2.
a)
b) 9 x 2 = 3 x 6
c) 9 x 4 = 12 x 3
d) 12 x 4 = 6 x 8
Escribe frente a cada razón otra razón para formar una proporción.
b)
c)
d)
e)
Trabajo en equipo. 3.
Para cada situación plantea una proporción y verifica que se cumpla.
a)
En una escuela hay 90 niñas por cada 120 niños, y en otra escuela hay 60niñas por cada 80 niños.
b)
En un bus escolar viajan 12 niñas por cada 9 niños, y en otro bus viajan 8 niñas por cada 6 niños.
c)
Dos personas consumen 5 litros agua al día, 6 personas consumen 15 litros.
29
4.
La siguiente tabla muestra la relaciĂłn entre el nĂşmero de quesos producidos y la cantidad de leche necesaria para elaborarlos.
a)
A partir de la tabla plantea cuatro proporciones.
b)
30
Numero de quesos
1
2
4
6
8
10
Litros de leche.
2
4
8
12
16
20
Si se elaboraron 18 quesos, cuantos litros de leche fueron empleados?
Proporcionalidad directa Analicemos la siguiente situación: Javier es un apasionado de la fotografía, sus fotos han estado en muchas exposiciones, lo que lo lleva cada vez a aumentar el número de fotografías en horas de trabajo. Cada día él hace un registro fotográfico de 54 fotografías por cada 2 horas de trabajo. Sin embargo, él no sabe cuántas fotos podrá realizar en una jornada de trabajo de 8 horas. a)
¿Qué pasa cuando aumentan las horas?
b)
¿Cuál es la cantidad de fotos, que aumenta entre hora y hora?
c)
¿Existe relación entre las horas y el número de fotos tomadas?
Solución. De acuerdo con lo propuesto en la situación, si sabemos que en dos horas tomo 54 fotográficas, eso significa que en una hora tomo la mitad, es decir 27 fotografías. A partir de este análisis podemos hacer una proyección del número de fotográficas tomadas en diferentes horas, multiplicando el número de fotos tomadas en una hora por el número de horas que estuvo tomando fotos. Horas
1
2
3
4
5
6
7
8
Numero de fotografías.
27
54
81
108
135
162
189
216
Ahora que ya hemos comprendido la situación podemos empezar a responder las preguntas. a)
Cuando aumentan las horas, aumenta el número de fotografías tomadas.
b)
Entre hora y hora el número de fotografías tomadas aumenta en 27.
c)
Existe una relación directa, según la cual cada hora se toman 27 fotografías.
31
Saberes previos (Razón y Proporción) Daniela tiene $500 pesos, y sabe que le alcanzan para comprar uno de sus paquetes favoritos de papas en la tienda de doña Julia. Observa lo que pasa si ella aumenta su dinero.
a)
¿Qué pasa con los valores en esta gráfica?
b)
Suponiendo que en la tienda de doña Julia hay solo 10 paquetes de papas, ¿Qué pasa con los paquetes de en la tienda de doña Julia a que Daniela los va comprando?
c)
Elabora una gráfica que muestre lo que pasa con los paquetes en la tienda de doña Julia.
Proporcionalidad directa. Cuando nos encontramos ante dos magnitudes y una depende de la otra se dice que son directamente proporcionales. Por ejemplo en el caso del fotógrafo, las horas y el número de fotos son magnitudes directamente proporcionales, ya que a mayor número de horas hay mayor número de fotos, así mismo, a menor número de horas habrá menor número de fotos.
Síntesis.
32
AHORA A PRACTICAR: (las tareas propuestas a continuación, son adaptaciones de situaciones tomadas de http://contenidosparaaprender.mineducacion.gov.co/G_5/M/SM/ SM_M_G05_U04_L04.pdf)
Trabajo individual. 1.
Carla va al cine y cancela por la entrada un costo de $12.000, por una película que dura 90 minutos y deduce que por 1,30 minutos cancela $20 pesos.
a) ¿Cuántos pesos paga, por cada minuto que observa en la película? b) ¿Si la película dura 100 minutos, cuanto debería pagar? c) Representa la situación anterior a través de una tabla. d) Construye una gráfica con la información de la tabla.
Trabajo en equipo. 2.
En una fábrica de galletas, se ha empezado a tener mucho éxito, y cada día se presenta una constante de producción mostrando que cada día se fabrican la misma cantidad de galletas y se sacan la misma cantidad de cajas que salen a la venta. El gerente decide hacer una reunión para mostrar el buen resultado que se ha obtenido.
a)
¿Qué pasa con la cantidad de galletas y la cantidad de cajas?
b)
¿Qué relación encuentras en el valor obtenido de la cantidad de galletas y el número de cajas a la venta?
c)
¿Cuántas galletas se empacan en una caja?
d)
Si un día se empacan 750 cajas ¿Cuántas galletas se produjeron ese día?
e)
Si un día se produjeron 32.400 galletas, ¿Cuántas cajas se empacaron?
33
Regla de tres simple Analicemos la siguiente situación: Se encuentran unos biólogos haciendo el estudio sobre la concentración de sal en el mar, ellos se dan cuenta que en 50 litros de agua hay 1300 gramos de sal, y desean saber cuántos litros son necesarios extraer para tener una concentración de 5200 gramos de sal. Uno de los investigadores indica que hay una forma muy fácil de hacerlo.
¿Cómo podrías determinar este resultado ? Situación tomada de: (http://contenidosparaaprender.mineducacion.gov.co/G_5/ M/SM/SM_M_G05_U04_L04.pdf)
Solución. De acuerdo con lo propuesto en la situación, debemos averiguar ¿Cuántos litros de agua se necesitan para extraer 5200 gramos de sal?, para resolver este tipo de tareas, lo mas recomendable es: Identificar los datos. 50 Litros de agua 1.300 gramos de sal 5.200 gramos de sal Establecer las relaciones entre los datos. N° litros de agua
Gramos de sal
50 litro
1300 gramos
x litros
5200 gramos
En el planteamiento anterior, la “x” representa el número de litros de agua necesarios para extraer 5200 gramos de sal.
34
1.
Planteamos una razón entre los datos, a partir de las relaciones establecidas.
Razón planteada
Pasamos los denominadores a multiplicar los numeradores. Realizamos las multiplicaciones a ambos lados de la igualdad. Pasamos el coeficiente de la “x” a dividir el término del otro lado. Este resultado significa que se necesitan 200 litros de agua para extraer 5200 gramos de sal.
Saberes previos Un automóvil gasta 5 litros de gasolina cada 100 km.
¿Cuántos recorre con 28 litros? ¿Cuántos kilómetros recorre con 3 litros? Si necesita recorrer una distancia de 140 km, ¿Cuántos litros de gasolina necesitara?
Regla de tres simple. La regla de tres simple es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados.
35
Síntesis.
AHORA A PRACTICAR: (las tareas propuestas a continuación, son adaptaciones de situaciones tomadas de http://contenidosparaaprender.mineducacion.gov.co/G_5/M/SM/ SM_M_G05_U04_L04.pdf)
Trabajo individual. Resuelve las siguientes situaciones, usando la regla de tres simple. 1. Una rueda da 4590 vueltas en nueve minutos. ¿Cuántas vueltas dará en 81 minutos? 2.
Un obrero gana $350000 a la semana. ¿Cuánto gana en 45 días?
3. Un deportista recorre 4500 m en 10 minutos. ¿cuentos metros recorrerá en 3 minutos? 4.
Un corredor da 5 vueltas a una pista polideportiva en 15 minutos. Si sigue al mismo ritmo, ¿cuánto tardará en dar 25 vueltas?
5. Si 3 libros de lectura cuestan $36000 ¿Cuánto costarán 24 libros?
36
Trabajo en equipo.
Observa los datos que se encuentran, analĂzalos y escribe una situaciĂłn
1.
2.
37
Proporcionalidad inversa Analicemos la siguiente situación: En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen 10 bultos de maíz en 20 días.
Si se compran 100 gallinas más ¿En cuánto tiempo comerán la misma cantidad de maíz?
Solución. En esta situación se cumple que a mayor cantidad de gallinas, menor tiempo gastan para comer la cantidad de maíz, por lo tanto tenemos una relación de proporcionalidad inversa, es decir mientras una magnitud aumenta la otra disminuye. Para este tipo de situaciones lo más recomendable es seguir las siguientes instrucciones. Establecemos la relación entre los datos a partir de las magnitudes conocidas. Planteamos una razón que represente la relación inversa entre las magnitudes. Razón planteada. Pasamos los denominadores a multiplicar los numeradores. Realizamos las multiplicaciones a ambos lados de la igualdad. Pasamos el coeficiente de la “x” a dividir el término del otro lado Este resultado significa que 400 gallinas demorarían 15 días en comerse la misma cantidad de maíz
38
Si planteamos nuevamente la relaciĂłn inicial Numero de gallinas
tiempo
300
20 dĂas
300 . 20 = 6000
400
15
400 . 15 = 6000
Vemos que al multiplicar los valores de una constante por el valor correspondiente de la otra el resultado es el mismo, a este valor se le llama constante de proporcionalidad.
Saberes previos Escribe tres situaciones de la vida cotidiana en las que se relacionen dos magnitudes, pero cuando una magnitud aumenta la otra disminuye .
Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una la otra disminuye y si el producto de cada valor de una magnitud por el respectivo valor de la otra, el resultado es constante.
SĂntesis. 39
AHORA A PRACTICAR: Trabajo individual. 1.
Marca con una x las situaciones en las que se presente una relación inversamente proporcional.
a)
Tres pintores tardan 10 días en pintar una tapia. ¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer el mismo trabajo?
b)
Entrenándose en pista, un corredor ha dado 8 vueltas en 12 minutos. Si mantiene el ritmo, ¿cuánto tardará en dar 5 vueltas? c)
d)
Un granjero tiene pasto para alimentar a sus 12 vacas durante 45 días. Si compra tres vacas más. ¿Cuánto le durara el pasto?
Un camión que carga 3000 kg de mercancía da 15 viajes para transportarla. ¿Cuántos viajes dará otro camión que carga 4500 kg en transportar la misma c carga?
2. Determina el valor desconocido en las siguientes proporciones. a)
b)
c)
d)
Trabajo en equipo.
40
3.
Resuelvan las siguientes situaciones usando el conocimiento que han adquirido sobre relaciones inversamente proporcionales.
a)
4 albañiles tardan en reparar un tejado 18 días. Si quieren acabar el tejado en 12 días. ¿Cuán-tos albañiles se deben contratar?
b)
Un camión que carga 3000 kg de mercancía da 15 viajes para transportarla. ¿Cuántos viajes dará otro camión que carga 4500 kg en transportar la misma carga?
4.
Con dos compañeros, busquen una situación relacionada con el contexto escolar en la que se presente una relación inversamente proporcional entre dos magnitudes y socialícenla con los otros compañeros.
AHORA A PRACTICAR: PRUEBAS SABER. A partir de lo aprendido con el desarrollo de este tema, prepárate para las pruebas SABER, respondiendo las siguientes preguntas. 1.
Carolina leyó en su libro de historia que hace muchos años, en Colombia, nueve de cada diez personas no sabía leer ni escribir. ¿Cuál es el número que representa correctamente la información sobre la cantidad de personas que no sabían leer ni escribir? a)
2.
b)
c) 109
d)
910
La siguiente tabla muestra cuánto cuestan, en una juguetería, 3, 5 y 7 pelotas.
Cantidad de pelotas
Costo
3
$ 3600
5
$ 6000
7
$ 8400
Todas las pelotas cuestan lo mismo
¿Cuánto cuesta una pelota? a)
$1.000
b) $1.200
c) $3.600
d) $8.400
3.
En un grupo de danza, 40 personas van a participar en un baile típico. Se necesita que por cada 3hombres haya 2 mujeres. ¿Cuántos hombres se necesitan en total? a)
5
4.
A un evento deportivo asistieron niños y adultos. Por cada 7 niños había 2 adultos. Si en total había 28 niños, ¿cuántos adultos asistieron?
a)
19
5.
Se necesitan transportar 1200 bultos de papa hacia la plaza de mercado, si un camión que transporta 80 bultos necesita hacer 15 viajes. ¿Cuántos viajes necesitarían 3 camiones para transportar los 1200 bultos? a)
b) 6
b) 9
5
b) 10
c) 17
c) 8
c) 15
d) 24
d) 7
d) 20
41
Análisis de gráficas estadísticas Situación: Pregunta orientadora del tema
Sabías que…… Los primeros datos estadísticos de los que se tiene conocimiento fueron creados por los hombres primitivos cuando representaban en rocas, pieles, palos de madera y
En el salón de grado quinto tu profesor desea realizar una actividad deportiva por lo cual quiere saber el deporte de preferencia de cada estudiante, para esto, les pregunta a cada uno que deporte practica en su tiempo libre, los resultados son:
Saberes previos
(Tipo de imágenes y sus significados) ¿En qué parte has visto este tipo de gráficas? ¿Qué significado tiene cada una de ellas? M: Microfútbol; F: Fútbol; A: Ajedrez; T: Tenis de mesa; V: Voleybol; B: Baloncesto
42
M
F
V
A
M
M
V
T
B
T
M
B
B
F
A
M
M
M
B
B
M
T
V
F
F
A
F
M
B
F
Tabla de frecuencia En esta sección estudiaremos como construir y analizar una tabla de frecuencia a través de una información dada, para esto analizaremos los siguientes ejemplos. En el salón de grado quinto tu profesor desea realizar una actividad deportiva por lo cual quiere saber el deporte de preferencia de cada estudiante, para esto, les pregunta a cada uno que deporte practica en su tiempo libre, los resultados son: M: Microfútbol; F: Fútbol; A: Ajedrez; T: Tenis de mesa; V: Voleybol; B: Baloncesto M
F
V
A
M
M
V
T
B
T
M
B
B
F
A
M
M
M
B
B
M
T
V
F
F
A
F
M
B
F
Podemos mirar que en total son 30 estudiantes que respondieron la pregunta, que entre las diferentes respuestas se aprecian siete repuestas diferentes que son: microfútbol, baloncesto, futbol, ajedrez, voleybol y tenis de mesa. Las diferentes opciones de respuestas las colocamos en una columna con el nombre de la variable a estudiar que en este caso es deporte y se agrega una fila final con la palabra total, la cual se analizará más adelante. Como se muestra a continuación. Deporte Microfútbol Baloncesto Futbol Ajedrez Voleybol Tenis de mesa Total
→
Variable
→
Respuestas
Ahora agregaremos dos columnas, en la primera vamos a realizar el conteo de cada una de las respuestas y en la segunda el total del conteo realizado, a esta columna la llamaremos frecuencia la cual vamos a representar con que en resumen es el total de veces que eligieron la variable, para nuestro caso un deporte (microfútbol, baloncesto, futbol, ajedrez, voleybol y tenis de mesa) y en la fila final la suma de estas frecuencia debe coincidir con el total de datos, en este caso 30. M
F
V
A
M
M
V
T
B
T
M
B
B
F
A
M
M
M
B
B
M
T
V
F
F
A
F
M
B
F
43
Deporte
Conteo
Microfútbol
|||||||||| |||||||
Baloncesto Futbol Ajedrez Voleybol Tenis de mesa
||||||| ||| ||| |||
Total
En el conteo se coloca una raya ( | ) cada vez que se encuentre la variable, por ejemplo Microfútbol tiene 9 rayas porque aparece nueve veces, Baloncesto y Futbol tiene cada uno 6 rayas porque aparecen seis veces y Ajedrez, Voleybol y Tenis de mesa tiene cada uno 3 rayas
9 6 6 3 3 3 30
Ahora debemos de ingresar una columna a la que llamaremos frecuencia relativa la cual se va representar así , la frecuencia relativa es el consiente entre la frecuencia y el total de dato y en la fila final la suma de las frecuencia relativa debe ser igual a 1, observemos como se construye esta columna. Calculamos la frecuencia relativa para cada fila
Y agregamos este resultado a la nueva columna y verificamos que su suma es 1.
Tabla de frecuencia de deporte preferido de los estudiantes de grado quinto
44
Deporte Microfútbol
9
0,3
Baloncesto Futbol Ajedrez Voleybol
6 6 3 3
0,2 0,2 0,1 0,1
Tenis de mesa
3
0,1
total
30
0,8
Finalmente debemos darle un nombre a nuestra tabla, el cual debe estar relacionado con los datos recolectados; omitimos la columna de conteo, que fue una ayuda para encontrar la frecuencia de cada variable, y esta es nuestra tabla final.
Tabla de frecuencia del deporte preferido de los estudiantes de grado quinto
Deporte Microfútbol
9
0,3
Baloncesto
6
0,2
Futbol
6
0,2
Ajedrez
3
0,1
Voleybol
3
0,1
Tenis de mesa
3
0,1
total
30
0,8
De la tabla podemos concluir que el total de estudiantes encuestados es 30, de los cuales 9 prefieren el microfútbol,6 baloncestos, 6 el futbol, 3 tenis de mesa, 3 voleybol y 3 prefieren el ajedrez. Si el profesor con base a los resultados decide incluir en las actividades deportivas, solo tres deportes ¿qué deportes debe elegir?
Síntesis Una tabla de frecuencias es el resumen de los datos obtenidos, en ella podemos ver cuántas veces aparece un valor (frecuencia), como la información se presenta en forma ordenada facilita el análisis de la información.
45
AHORA A PRACTICAR: Trabajo individual. Con base a la siguiente información construye una tabla de frecuencia y responde las preguntas. En tu salón desean ver una película, para escoger el género de la película le preguntas a tus compañeros cual es el género que más les gusta para así poder tomar una decisión de que película deben escoger; los resultados son: T: Terror; C: Comedia; Ac: Acción; An: Animada; Av: Aventuras
T
C
C
Ac
A
Ac
Ac
An
Av
An
C
Ac
C
An
Av
An
Ac
An
Ac
C
T
Av
C
C
Av
Av
Ac
C
An
An
Ac
T
C
Av
Ac
An
¿Cuál sería un título adecuado pata la tabla? ¿Cuantos estudiantes respondieron la encuesta? ¿Cuál es el género de película que menos prefieren tus compañeros? ¿Cuál es el género de película que más prefieren tus compañeros? ¿Cuantos de tus compañeros prefieren las películas acción? ¿Cuál género de películas debe seleccionas para ver con tus compañero? y ¿por qué?
Compara tus respuestas con tus compañeros
46
Diagrama de barras En esta sección vamos aprender cómo se construye un diagrama de barras con base a la tabla de frecuencias construida en la sección anterior. Tabla de frecuencia del deporte preferido de los estudiantes de grado quinto Deporte Microfútbol Baloncesto Futbol Ajedrez Voleybol Tenis de mesa Total
9 6
0,3 0,2
6
0,2
3
0,1
3
0,1
3 30
0,1 0,8
Debemos trazar dos ejes, uno horizontal y otro vertical, sobre el horizontal se ubica las variables en este caso el deporte y en el eje vertical el número de estudiantes que prefiere cada deporte y no debemos olvidar darle un título a nuestro gráfico así:
47
De la grafica podemos obtener información, como que el deporte que más le gusta a los estudiantes de grado quinto es microfútbol seguido de baloncesto y futbol que tiene la misma cantidad de estudiantes que los prefieren. Los deportes que menos prefieren los estudiantes de grado quinto son ajedrez, voleybol y tenéis de mesa, cada uno con tres estudiantes.
Síntesis El diagrama de barra muestra la frecuencia de cada variable por medio de las altura de las barras (rectángulos) teniendo en cuenta que el grosor de las barras son iguales (la base del rectángulo); en otras palabreas representa un resumen de forma gráfica de cómo están distribuidas las frecuencias con respecto a las variables estudiadas.
48
AHORA A PRACTICAR: Trabajo individual. 1.
Realiza un diagrama de barras con los datos dados Libros vendidos en la librería Educando con Amor
Mes Libros vendidos
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
400
300
500
200
300
Con base al grafica responde las siguientes preguntas: ¿En qué mes se vendieron más libros? ¿En qué mes se vendieron menos libros? ¿En qué meses se vendieron la misma cantidad de libros? Compara tus respuestas con tus compañeros. 2.
Analiza la información representada en la gráfica y responde. Profesión preferida por los estudiantes
¿Cuántos estudiantes quieren ser abogados? ¿Cuántos estudiantes respondieron la encuesta? ¿Cuál profesión es la que más prefieren? ¿Cuál profesión es la que menos prefieren? Construye una tabla de frecuencia con base a la gráfica.
49
Pictogramas En esta sección estudiaremos que es un pictograma, y como usarlo. Un pictograma es un tipo de grafico estadístico en el cual la información se representa a través de dibujos . Como por ejemplo la siguiente grafica que muestra la cantidad de desempleados en un país desde 1980 hasta el 2000.
Situación: Pregunta orientadora del tema En un salón de grado quinto el profesor desea realizar una actividad deportiva, por lo cual desea saber el deporte de preferencia de cada estudiante, para esto, le pregunta a cada uno que deporte practica en su tiempo libre . Obteniendo los siguientes resultados Microfútbol 9, futbol 6, baloncesto 6, ajedrez 3, voleybol 3, tenis de mesa 3. ¿De qué formas podría representar la información, de manera que sea llamativa y fácil de interpretar? La información anterior se puede representar a través de un pictograma de las siguientes maneras:
Solución: La información anterior podemos representarla de varias formas para que sea llamativa y fácil de comprender, un pictograma nos sería de gran utilidad. Deporte Microfútbol
Baloncesto Futbol Ajedrez voleybol
50
Tenis de mesa
Frecuencia
Forma 2 Otra forma de representar la información de un estudio estadístico a través de un pictograma es utilizando como base un diagrama de barras, y colocar imágenes que representen las variables en lugar de las barras, así:
Síntesis
51
AHORA A PRACTICAR: Trabajo individual. 1.
Representa la información presentada en las siguientes situaciones a través de un pictograma
a)
En un grupo de grado quinto de una escuela estudian 24 niñas y 18 niños.
b)
En una granja hay 16 gallinas, 6 cerdos, 4 vacas y dos caballos.
c)
En un parqueadero a determinada hora se encuentran parqueados 8 automóviles blancos, 7 automóviles azules, 10 automóviles rojos y 7 automóviles negros.
Trabajo en equipo. 2.
Analiza cada uno de los siguientes pictogramas y plantea una situación estadística que le haya dado origen y ponle un título.
Clase de pez Pez telescopio
Pez payaso
Pez bailarina
Pez beta
52
Frecuencia
Diagrama circular En esta sesión aprenderemos como se construye un diagrama circular con base a la tabla de frecuencia construida en la primera sesión. Deportes
Porcentaje
Microfútbol
9
9 ÷ 30 = 0,3
0,3 x 100% = 30%
Baloncesto
6
6 ÷ 30 = 0,2
0,2 x 100% = 20%
Futbol
6
6 ÷ 30 = 0,2
0,2 x 100% = 20%
Ajedrez
3
3 ÷ 30 = 0,1
0,1 x 100% = 10%
Voleybol
3
3 ÷ 30 = 0,1
0,1 x 100% = 10%
Tenis de mesa
3
3 ÷ 30 = 0,1
0,1 x 100% = 10%
Total
30
1
100%
Para sacar la frecuencia relativa se divide cada valor de la frecuencia por el total de datos y para sacar el porcentaje se multiplica cada valor de la frecuencia relativa por 100 como se observa en la tabla
Resumiendo la tabla nos queda así: Deportes
Porcentaje
Microfútbol
9
0,3
30%
Baloncesto
6
0,2
20%
Futbol
6
0,2
20%
Ajedrez
3
0,1
10%
Voleybol
3
0,1
10%
Tenis de me-
3
0,1
10%
Total
30
1
100%
Para realizar el diagrama circular tenemos en cuenta los siguientes pasos
1.
Hacemos un circulo y lo dividimos en 30
53
2.
Para microfĂştbol tomamos 9 partes, para baloncesto tomamos 6 partes, para futbol tomamos 6 partes, para ajedrez tomamos 3, para voleybol tomamos 3 partes y para tenis de mesa tomamos 3 partes Tenis de mesa MicrofĂştbol Voley-
Ajedrez
Futbol
3.
54
Baloncesto
Por Ăşltimo con las divisiones anteriores hacemos otro diagrama circular con los porcentajes
Ahora analizaremos otro diagrama circular de acuerdo con la siguiente información. NOTA: recuerde que la frecuencia relativa se saca dividiendo cada valor de la frecuencia con el total de datos.
Juan Carlos le pregunta a 18 de sus compañeros: ¿de los servicios públicos con consideras que es el más importante? Se obtuvieron los siguientes datos
Agua, energía, agua, luz, gas, luz, energía, luz, energía, luz, agua, energía, gas, energía, energía, agua, luz, energía. Construimos la tabla de frecuencia teniendo en cuenta el siguiente cuadro. Datos
Porcentaje
Agua
4
4 ÷ 18 = 0.2
0.2 x 100% = 20%
Luz
5
5 ÷ 18 = 0.25
0.25 x 100% = 25%
Energía
8
7 ÷ 18 = 0.4
0.4 x 100% = 40%
Gas
3
2 ÷ 18 = 0.15
0.15 x 100% = 15%
18
1
100%
Total
Simplificando la tabla queda así Datos
Porcenta-
Agua
4
0.2
20%
Energía
8
0.4
40%
Luz
5
0.25
25%
Gas
3
0.15
15%
Total
20
1
100%
Con los datos y los porcentajes se hace el diagrama circular. Hacemos un círculo y lo dividimos en 20 partes iguales Como se muestra a continuación.
Para agua tomamos 4 partes, para luz tomamos 5 partes, para energía tomamos 8 partes y para gas tomamos 3 partes
55
Diagramas de líneas Para realizar el diagrama de líneas se realizan los siguientes pasos:
En la línea horizontal se colocan la información de los datos
En la línea vertical se colocan las frecuencias absolutas o relativas.
Se señala cada punto de los datos en el valor de su frecuencia.
Se unen mediante líneas los puntos consecutivos.
En esta sesión aprenderemos como se construye un diagrama de línea con base a la tabla de frecuencia construida en la primera sesión.
Deportes
56
Porcenta-
Microfútbol
9
0,3
30%
Baloncesto
6
0,2
20%
Futbol
6
0,2
20%
Ajedrez
3
0,1
10%
Voleybol
3
0,1
10%
Tenis de mesa
3
0,1
10%
Total
30
1
100%
Ahora analizaremos otro diagrama de línea de acuerdo con la siguiente información. Juan Carlos le pregunta a 18 de sus compañeros: ¿de los servicios públicos con consideras que es el más importante?
Datos
Porcentaje
Agua
4
0.2
20%
Energía
8
0.4
40%
Luz
5
0.25
25%
Gas
3
0.15
15%
Total
20
1
100%
Para este utilizamos las frecuencias absolutas
57
Agua
Gas
Energía
Con el diagrama anterior realizamos un diagrama círculo representando los porcentajes y le colocamos el nombre
Síntesis Gráficos circulares: también llamados gráficos de pastel, se utilizan para trabajar en porcentajes y proporciones. Una manera sencilla de realizar los segmentos o pedazos del grafico es sombrear de diferentes colores, al utilizar los colores facilita la diferenciación de los porcentajes o proporciones.
58
AHORA A PRACTICAR: Trabajo individual. 1.
Realizar diagramas circulares con las siguientes tablas de frecuencias y colocarle un nombre al diagrama.
a)
b) Nombres
Datos
Carlos
3
Un hermano
3
Andrés
5
Dos hermanos
12
Matías
2
Tres hermanos
9
Total
10
Cuatro hermanos
3
Cinco hermanos
3
Total
30
Trabajo en equipo.
1.
Se pregunta a los estudiantes de grado quinto sobre las frutas favoritas lo cual ellos respondieron: pera, naranja, banano, manzanas, pera, uva, banano, naranja, manzanas, pera, manzanas, naranja, manzanas, pera, manzanas, pera, pera, naranja, banano, uva. Realizar una tabla de frecuencia y un diagrama circular.
2.
Hacer un diagrama circular con la siguiente tabla de frecuencia que representa las materias favoritas Datos Español
4
Matemáticas
7
Ciencias naturales
3
Educación física
6
Total
20
59
AHORA A PRACTICAR: Trabajo individual. 1.
Realizar diagramas de líneas con las siguientes tablas de frecuencias y colocarle un nombre al diagrama.
a)
b) Nombres
Datos
Carlos
3
Un hermano
3
Andrés
5
Dos hermanos
12
Matías
2
Tres hermanos
9
Total
10
Cuatro hermanos
3
Cinco hermanos
3
Total
30
Trabajo en equipo. 2.
Se pregunta a los estudiantes de grado quinto sobre las frutas favoritas lo cual ellos respondieron: pera, naranja, banano, manzanas, pera, uva, banano, naranja, manzanas, pera, manzanas, naranja, manzanas, pera, manzanas, pera, pera, naranja, banano, uva. Realizar una tabla de frecuencia y un diagrama de línea.
3.
Hacer un diagrama de línea con la siguiente tabla de frecuencia que representa las materias favoritas
Datos
60
Español
4
Matemáticas
7
Ciencias naturales
3
Educación física
6
Total
20
POLIEDROS Pregunta orientadora del tema Curiosidades: Platón consideraba que los elementos se les podía asignar uno de los cuatro poliedros regulares: De la siguiente manera: Fuego- Tetraedro Tierra-Cubo Agua-Icosaedro Aire-Octaedro
¿Cuantas caras internas tiene el salón de clase?, ¿El salón de clase forma algunas figuras geométricas? ¿A qué figura geométrica se asemeja?
Solución El salón de clase está formado por 6 caras que son: cuatro paredes, el techo y el piso, sí forma una figura geométrica que se asemeja a un dado,
Saberes previos ¿Qué figuras geométricas conocen? Dentro de esas figuras geométricas las más conocidas son el cuadrado, triangulo, círculo y rectángulo ¿Si unimos cuatro lados se puede hacer una figura geométrica? ¿Con que se asemeja? Si se puede hacer una figura con cuatro lados y se parece a un dado. Pinta las siguientes figuras que estén formadas por líneas rectas.
61
Clasifica las siguientes pintando los cuadriláteros de verde y los triángulos de amarillo
Síntesis Poliedros Son figuras geométricas formadas por la unión de caras planas y en nombre del poliedro depende del número de caras. Al poliedro se le pueden determinar los siguientes elementos que son caras, vértices y aristas.
1.
Las caras son las figuras planas que la limitan.
2.
Las aristas son los lados de cada cara y unen dos caras que estén seguidas.
3.
Los vértices permiten unir tres o más caras
Los poliedros se clasifican en poliedros regulares y poliedros irregulares Poliedros regulares: los poliedros regulares tiene todas sus caras iguales y solo hay cinco. Se conocen como sólidos platónicos
62
Tetraedro: se descubrirĂĄ con el siguiente trabajo. ExplicaciĂłn El profesor lleva un molde de la figura en cartulina, tijeras y pegante
Se recorta la figura dejando la pestaĂąa para poderlas pegar obteniendo el siguiente poliedro llamado tetraedro
Se encuentran:
Caras
63
VĂŠrtices
Aristas
AHORA A PRACTICAR: Trabajo individual. 1.
Se organizan los estudiantes en parejas y se les entrega un molde de un poliedro, pegante y tejidas (bajo la supervisiĂłn del docente). Deben armar cada poliedro y encontrar vĂŠrtices, aristas y caras.
64
Solución:
Nombre
Aristas
Vértices
Caras
12
8
6
Cubo
2.
Se organizan los estudiantes en parejas y se les entrega un molde de un poliedro, pegante y tejidas (bajo la supervisión del docente). Deben armar cada poliedro y encontrar vértices, aristas y caras.
Solución:
Nombre Octaedro
Aristas
12
Vértices
Caras
6
8
65
3.
Se organizan los estudiantes en parejas y se les entrega un molde de un poliedro, pegante y tejidas (bajo la supervisión del docente). Deben armar cada poliedro y encontrar vértices, aristas y caras.
Solución: Nombre Dodecaedro 4.
Aristas
30
Vértices
Caras
20
12
Se organizan los estudiantes en parejas y se les entrega un molde de un poliedro, pegante y tejidas (bajo la supervisión del docente). Deben armar cada poliedro y encontrar vértices, aristas y caras.
Solución: Nombre Icosaedro
66
Aristas
Vértices
Caras
30
12
20
Poliedros irregulares: Son aquellos que tienen caras de diferentes formas en otras palabras son todo lo contrario a los regulares. Entre los ellos tenemos cuboctaedro, icosidodecaedro, tetraedro truncado, rombicuboctaedro, cubo rombo
Cuboctaedro: Estรก formado por 6 caras cuadradas y 8 triangulares
El docente entrega un molde en cartulina para que armen el poliedro.
Icosidodecaedro: Estรก formado por 18 caras triangulares y 12 caras pentagonales
El docente entrega un molde en cartulina para que arme el poliedro.
67
Sabías que…. Los sólidos se puedan clasificar por nombres de personas que lo trabajaron, tales como:
Sólidos platónicos Sólidos arquimedianos Sólidos de Catalan Sólidos de Johnson
68
Cubo rombo: Está formado por 6 caras cuadradas 32 caras triangulares
El docente entrega un molde en cartulina para que armen el poliedro.
AHORA A PRACTICAR: PRUEBAS SABER 1.
Se quiere armar el sólido que aparece en la figura utilizando dos piezas
¿Con cuál par de piezas se puede armar el sólido?
a)
b)
c)
d)
69
PLANEACIÓN DEL PROYECTO Hagamos estadística en la escuela, graficando con amor, respeto y responsabilidad. Nombre del grupo:
Descripción del Proyecto : En pequeños grupos de máximo cinco y mínimo tres estudiantes, se seleccionara una variable cuantitativa o cualitativa, (grado de escolaridad de los padres, tiempo que tarda en llegar a la escuela, programa de televisión favorito, número de integrantes del grupo familiar, entre otros) sobre la cual se realizara un proceso de recolección y análisis de datos, para luego socializarlos empleando los diferentes tipos de gráficos estadísticos. Propósito : Poner en práctica los aprendizajes alcanzados en la unidad relacionado con el análisis de datos, así como la representación de estos atreves de los gráficos estadísticos Competencias : Comunicativas: analiza y socializa por medio de gráficos estadísticos información obtenida de una encuesta. Ciudadanas: trabajo en equipo, reconociendo la importancia de hacer el mejor esfuerzo individual en bien colectivo. Tiempo: 5 horas Materiales:
70
Saberes Previos
SI
NO
1 2 3 …
…..
Se debe crear unos parámetros que le indique al estudiante en que proceso va del proyecto y que escriba el por qué, sea qu
mal
Recomendaciones
Estrategias del proyecto
tiempo
1 2 3 …
Indicadores de seguimiento
Si - no
Observación
1 2 3 …
71
EJECUCIÓN DEL PROYECTO Estrategia:
Tiempo:
¿Cómo se realizó?
Temas
señale
1… 2… 3.. 4.. ¿Qué aprendí?
Temas
señale
1… 2… 3.. 4.. ¿Qué falta por aprender?
Temas
señale
1… 2… 3.. 4..
Estrategia:
Tiempo:
¿Cómo se realizó?
Temas
señale
1… 2… 3.. 4.. ¿Qué aprendí?
Temas
señale
1… 2… 3.. 4.. ¿Qué falta por aprender?
Temas 1… 2… 3.. 4..
72
señale
Evaluación del Proyecto:
Que aprendí
Que aprendimos
Tema 1 Tema 2 Tema 3 Tema 4
73