Coques et structures plissées en bois

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Calculs Metres

Coques et structures plissäes en bois

2/1996

Hans-Heini Gasser Bureau d'ingenieur Gasser & Partenaires SA, Lungern

LIGAILIM

Lignatec 2/96

Table de

rnatiöres

Page

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1

lntroduction

3

2 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 2.4 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4

Structures plissäes Definition Geometries des structures plissäes La toiture ä deux pans La toiture pyramidale La toiture en sheds Exigences constructives Modelisation pour le calcul statique Exemples de realisations Eglise du couvent de St-Andreas, Sarnen Eglise catholique, Uitikon Refectoire de l'ecole d'agriculture, Giswil Halle d'exposition nautique, Lesa, Lac Majeur/Italie Salle paroissiale, Alpnach

2.5.5 16

3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.2.1 3.2.2.2 3.3 3.3.1 3.3.2 3.4 3.4.1 3.4.2 3.5 3.5.1 3.5.2

30

31

4.1 4.1.1 4.1.2 4.2 4.2.1 4.2.2

Autres realisations de structures tridimensionnelles ä parois minces Exemples suisses Structures plissees Coques Exemples ä Vetranger Structures plissees Coques

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Bibliographie

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1 Introduction

Structures 3D ä parois minces

Structures plissees

Coques

Surfaces developpables, ä simple courbure

Figure 1 Structure tridimensionnelles ä parois minces

Coques Definition Geometries des coques Surfaces developpables Surfaces non developpables Le paraboloide elliptique Le paraboloide hyperbolique Exigences constructives Exigences pour la composition de la coque Exigences pour les bords et les appuis de la coque Modelisation pour le calcul statique Coque cylindrique Coque paraboloide elliptique Exemples de realisations Eglise Bethanienheim, St-Niklausen (OW) Salle polyvalente Kinderdorf Loche

Surfaces non developpables, ä double courbure

Les structures tridimensionnelles ä parois minces sont particuliärement efficaces et esthätiques pour couvrir de grandes surfaces sans piliers intärieurs. Les structures plissäes sont obtenues par une juxtaposition de surfaces planes. C'est le cas notamment de couvertures de forme pyramidale, en sheds ou avec une croupe. II n'y a pratiquement pas de lim ites gäometriques. Les structures formäes ä partir de surfaces ä simple ou ä double courbure sont appeläes coques (figure 1).

Les structures tridimensionnelles ä parois minces se diffärencient nettement du point de vue statique des structures conventionnelles en bois, formäes de barres, comme dans le cas des poutres flächies, de cadres, de structures trianguläes planes ou spatiales.

Pour de telles structures ii existe actuellement des programmes informatiques träs performants räsolvant les systämes statiques formäs de barres. La situation est diffärente pour les structures tridimensionnelles ä pa-

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rois minces. Dans ce cas nous avons affaire ä des milieux continus pour lesquels le degrä d'hyperstaticite est thäoriquement infini. Une part importante du präsent travail est consacräe au traitement de cette difficulte et ä la presentation de modeles statiques de remplacement calculables avec des programmes de barres.

Les structures tridimensionnelles ä parois minces sont frequemment realisees en beton arme qui presente des caracteristiques particulierement favorables ä ce type de realisations. II s'agit notamment d'une resistance et d'une rigidite elevees ainsi que d'une grande facilite ä realiser des liaisons monolithiques entre les differentes surfaces. A ces avantages s'opposent neanmoins des inconvenients rencherissant ce type de realisations.

En premier lieu on retiendra la complexite des coffrages, pour la mise en ceuvre de coques. Sachant qu'un coffrage est necessaire, on arrive rapidement ä la conclusion qu'il peut faire office de structure porteuse. Un autre inconvenient majeur du beton arme est son poids propre eleve.

On oublie souvent que le bois se prete ä merveille pour realiser des structures tridimensionnelles ä parois minces. La resistance et la rigidite peuvent aisement etre obtenues en liant deux, voire plus, couches de planches superposees avec des orientations differentes. On forme ainsi des sandwiches ä l'image des panneaux contre-plaques. Le coüt, la resistance et les dimensions limitäes de ces panneaux ne permettent malheureusement pas leur mise en ceuvre pour la realisation de couvertures plissäes de grandes dimensions.

Les parois de la structure formant la couverture peuvent etre realisees, comme les contre-plaques, en superposant plusieurs couches et en les liant rigidement de fa9on ä obtenir les caracteristiques mecaniques requises. Les composants de base tels que planches, lattes ou poutres peuvent sans autre ötre courbes vrilles pour realiser des coques.

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La mecanique fait la distinction entre les plaques, les voiles et les coques.

Les plaques sont des4lements plans resistant ä la flexion dont les bords sont libres, articutes ou encasträs. Elles peuvent donc reprendre des charges perpendiculaires ä leur surface. Ces actions engendrent des contraintes de flexion et de cisaillement dans la plaque. II en resulte des deformations hors du plan de la plaque.

Les volles sont des elements plans sur lesquels n'agissent que des forces situees dans leur plan. II en resulte des contraintes normales et des cisaillements qui sont constants sur l'epaisseur du volle. On perle d'un «etat de contrainte plan». Les deformations sont egalement planes, ce qui signifie qu'il n'y a pas de deformations hors du plan du volle.

I P

Les coques sont des elements avec une simple ou une double courbure qui ont les caracteristiques cumulees des plaques et des voiles. Les derniäres ont neanmoins une forte predominance, ce qui signifie que les sollicitations s'apparentent ä celles de voiles. Les contraintes sont donc constantes sur l'epaisseur de la coque et situees dans le plan tangentiel au point considere. On perle d'un «etat de contrainte membranaire».

P

Structures plissöes 2.1

Döfinition

Les structures plissees sont composees d'elements plans assembles pour former un systeme spatial. Les elements plans doivent en premier lieu etre en mesure de reprendre des forces agissant dans leur plan, ce qui signifie qu'ils doivent avoir les caracteristiques des

voiles en reprenant des efforts normaux et de cisaillement. L'intersection entre deux voiles situes dans des plans differents forme une arte au droit de laquelle i1 faut assurer la transmission d'efforts normaux et tranchants.

Si Von exigeait que les elements d'une structure plissee ne travaillent qu'en volle, ces ele-

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ments ne seraient en mesure de reprendre que des forces agissant dans les plans correspondants. Les arötes sont toutefois en mesure de reprendre des charges ponctuelles ou linäaires agissant selon une direction quelconque. Les elements plans de structures plissäes ainsi chargäes ne seraient pas sollicites ä la flexion et de ce fait il n'y aurait pas de transfert de moment entre les elements au droit des arötes. Les assemblages entre elements pourraient donc etre realises comme des charniäres. Cette caractäristique permet d'obtenir des solutions äconomiques avec les structures plissees. Le modäle le plus simple montrant clairement ces caractäristiques est certainement la bojte en carton. Alors que le carton n'a pratiquement pas de resistance ä la flexion, la !pofte forme une structure spatiale ätonnamment rigide.

Dans la pratique, la neige, le vent, le poids propre et la charge utile genärent des forces avec des composantes orientäes perpendiculairement aux elements plans. Les elements plans de la structure plissäe doivent donc non seulement travailler en voiles, mais egalement en plaques pour reprendre ces composantes perpendiculaires ä la surface.

Si Von veut näanmoins conserver l'effet de chamiäre au droit des arötes, on doit admettre que les bords des plaques sont appuyäs de facon articulee. Avec les constructions en bois cette hypothäse doit, en regle genärale, etre respectee pour des questions constructives.

La composition des elements varie selon la geometrie de la construction. La presentation qui suit sera donc basee sur une classification par type de geometrie avec pour chaque type la composition la mieux adaptee.

Ces differentes geornetries permettront de mettre en ävidence le fonctionnement des structures plissäes.

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prendre les charges uniformäment reparties dues au poids propre, ä la neige et au vent, pour les transmettre sur leurs bords oü elles sont appuyees de maniäre articulee. Constructivement on obtient cet effet par des chevrons, des pannes ou par une grille de poutre combinant les deux.

II manque encore aux surfaces de toiture l'effet de voile. Möme dans le cas de la grille de poutre avec une liaison efficace des chevrons et des pannes les äläments de toitures seraient deformes par le poids propre et les charges de neige. Le falte s'affaisserait alors que les larmiers se cintreraient vers l'exterieur. Les pans de toitures subiraient donc des deformations dans leur plan. Cela peut etre ävitä par la mise en place d'un lambrissage diagonal. La composition peut alors etre la suivante: la premiäre couche (inferieure) est formäe de chevrons qui sont fixäs de maniäre articuläe avec les montants des parois ä l'arete inferieure et au falte avec les chevrons du pan de toiture opposä. Pour la deuxiäme couche, un lambrissage diagonal est clouä sur les chevrons. La troisiäme couche est formee par les pannes qui doivent etre liees, avec le lambrissage diagonal au moins aux droits des croisements avec les chevrons, de maniäre ä reprendre l'effort tranchant. Les pannes s'appuient de maniäre articulee sur les murs pignons.

L'effet de grille de poutre dü ä l'interaction des pannes et des chevrons diminue si la gäometrie des pans de toiture s'äloigne du carre. A ('extreme, la räsistance ä la flexion n'est assuree plus que dans un sens, par les chevrons ou par les pannes, les elements disposes dans l'autre sens devenant le lattage ou le contre lattage. En revanche on ne peut se passer d'assurer une liaison transmettant les efforts tranchants avec les deux autres couches ou avec les voiles adjacents.

2.2 Geometries des structures plissees 2.2.1 La toiture ä deux pans Une construction avec un toit ä deux pans est reprösentde ä la figure 2a. Pour cet exemple, on part de l'hypothese qu'il n'y a pas de murs porteurs Interieurs. Les parois verticales doivent reprendre des charges du type de Gelles agissant sur les voiles, dues au poids propre, ainsi qu'aux reactions d'appuis de la toiture.

Pour etre en mesure de reprendre des charges dues au vent, il faut que les parois resistent ä la flexion. Les deux pans de toitures sont des plaques qui sont en mesure de re-

Figure 2

a) Toiture ä deux pans

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peut se demander quels avantages on trouve en appliquant les thdories änoncees jusqu'ici. Cela permet de se passer des pannes faitiäres qui reprennent, pour une exdcution conventionnelle, les charges verticales des chevrons. Pour des bätiments d'une certaine longueur cela repräsente une poutre de section importante avec un coüt correspondant. L'exäcution en structure plissee n'augmente pas la quantitä de bois mise en ceuvre car il faut de toute fagon que l'on ait des pannes, des chevrons et un Iambrissage. Les seuls dIöments supplämentaires ä mettre en ceuvre sont les moyens de liaisons assurant la reprise des efforts de cisaillement entre pannes, chevrons et lambrissage. A cet effet, il suffit gänäralement d'un simple clouage comme nous le,dernontrerons au chapitre 2.3.

On

L'öglise du couvent de St-Andrdas ä Sarnen, prösentde sous 2.5.1 est un exemple typique de structure plissäe ä deux pans.

2.2.2 La toiture pyramidale Une construction avec une toiture de forme pyramidale est representde ä la figure 2b. Les pans de toitures, de forme triangulaire peuvent ätre appuyös directement sur la fondation ou reposer sur des fagades verticales.

Les principes önoncds sous 2.2.1 restent valables pour la composition et la liaison entre les elements de toitures.

La rdsistance ä la flexion des voiles composant la toiture doit egalement ätre obtenue gräce aux chevrons et aux pannes. On note ici un effet favorable de grille de poutre, particuliärement marquä en raison de la forme triangulaire des dldments de toitures. Dans ce cas le bdridfice de l'effet de structure plissde est la suppression des arätiers et des tirants traversant le volume bäti. La salle paroissiale de Alpnach (OW), präsentee sous 2.5.5 illustre une teile rdalisation. La pyramide peut ögalement avoir pour base un polygone irrägulier et/ou ätre tronquäe (figure 2c). Les pans de toiture sont alors des triangles ou

b) Toiture pyramidale

c) Toiture polyödrique

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des quadrilatäres quelconques. Läglise catholique de Uitikon (ZH), prdsentde sous 2.5.2 montre une teile gdomötrie.

Pour une construction döfinie on peut ätre dans le cas limite oü l'on doit se demander si l'effet de structure plissäe est effectivement avantageux. La solution la plus economique est naturellement toujours la reprise des charges verticales par des piliers et de leurs composantes horizontales par des tirants.

Les 'structures, plissäes trouvent ainsi 1eur justifiCation lorsqu'il s'agit de couvrir des espaces pour lesquels l'esthetique joue un röle important ou pour lesquels on ne veut ni piliers intärieurs ni tirants.

Pour les georndtries prösentäes ci-dessus, le degrö d'efficacite de la structure plissöe est gönäralement bon. II diminue lorsque l'angle entre les surfaces adjacentes se rapproche de 180°. Pour une pyramide träs plate, il peut arriver dans le cas limite, qu'une inversion de la toiture soit ä craindre, si l'on ne cldfinit pas des exigences tres älevöes pour la rigiditö des voiles et de leurs liaisons. Par ailleurs, en augmentant les portöes les coüts peuvent s'averer excessifs. Dans de tels cas les pannes et les chevrons deviennent des poutres lameilees colläes pour lesquelles un assemblage en cadres rigides ä la flexion peut s'averer plus economique que la liaison articulöe.

L'analyse compläte pour difförents exernples montre que les structures plissäes sont dconomiquement interessantes pour des portöes jusqu'aux environs de 25 metres.

Cette limite peut aller jusqu'ä 30 mätres pour une base s'approchant du carrä ou d'un polygone regulier.

2.2.3 La toiture en sheds La gdornötrie de la toiture reprösentäe ä la figure 2d peut ätre assimilde ä une juxtaposition de poutres inclindes. Pour des charges uniformöment räparties et une disposition

d) Toiture en sheds

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symätrique des elements de toitures juxteposes, il n'y a plus d'efforts tranchants au droit des raccords entre les voiles. On perd ainsi une particularite importante des structures plissees. Des efforts tranchants apparaissent en revanche, si les pentes des elements de toitures sont differentes, pour autant qu'ils travaillent en voiles. Les parties moins inclindes des sheds ont une hauteur statique plus importante que les parties vitrees, plus pentues. Le rapport des charges agissant dans les plans des elements de surface est inverse: une part preiponderante des charges est reprise par le voile le plus incline. Cela a pour consequence que les variations de longueur des bords de voiles se touchant sont differentes. En consequence, an a une transmission d'efforts tranchants, pour autant qu'une liaison constructive adäquate ait ete prevue. Cela revient ä dire que l'on cröe des poutres avec une section en Z pour lesquelles les parties les plus raides jouent le röle d'äme, alors que les elements adjacents forment les alles (figure 3). Toutefois dans le cas präsent, le degrö d'efficacite de la structure plissee reste generelement faible.

L'importance des mesures constructives necessaires pour passer d'elements de toiture inclines simplement contreventös ä des voiles, et pour assurer une liaison suffisamment rigide ont generelement pour consequence de räduire significativement les economies que l'on pouvait esperer atteindre en faisant une structure plissee.

Figure 3 Coupe sur une toiture en sheds

II apparatt donc que les toitures en sheds ont une geometrie repondant parfaitement aux exigences requises pour les structures plissees. Pour les constructions en bois, l'im por tance des mesures constructives pour leur assurer effet de structure plissäe est nean moins teile, que cela n'en vaut generalement pas la peine.

2.3

Exigences constructives

Ce chapitre donne des indications generales quant aux solutions constructives que Von peut envisager. Ces considörations sont il-

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lustrees par la presentation au chapitre 2.5 d'exemples concrets. L'analyse effectuee jusqu'ici met en exergue trois proprietes indispensables: 1.Les elements de toitures doivent etre des plaques avec une rigiditä suffisante ä la flexion, pour etre en mesure de reporter des charges surfaciques (poids propre, vent, neige, etc.) aux appuis de bords (are tes) , tout en assurant la securitä structurale et l'aptitude au service.

2. Les elements de toitures doivent presenter une rigiditä ä l'effort tranchant suffisante, pour etre en mesure de reprendre les composantes des efforts agissant dans leur plan. Ces sollicitations sont dues aux actions exterieures et ä l'interaction aux arötes entre elements adjacents. II s'agit encore d'assurer la securite structurale et l'aptitude au service.

3. Les arötes des elements de toitures adjacents ont en regle generale des variations dimensionnelles differentes lorsque la structure est soumise aux actions exterieures. Pour eviter un deplacement relatif entre les bords de deux elements voisins il faut prävoir les mesures constructives, adäquates et dimensionner les moyens d'assemblage de fa9on ä ce qu'ils soient en mesure de transmettre les efforts tranchants avec la säcuritä requise.

Les conditions exprimees en termes de mecanique des milieux continus mäneraient ä un systäme complexe d'equations differentielles partielles du quatriäme ordre, que l'on pourrait resoudre gräce aux moyens informatiques actuels. Une teile demarche n'est cependant guäre judicieuse car pour obtenir des rösultats fiables il faut respecter scrupuleusement les conditions imposees par la mecanique des milieux continus. C'est une exigence que la construction en bois ne permet pas de satisfaire. D'une part le jeu des moyens d'assemblage mecanique mis en oäuvre ne permet pas de formuler exactement les caracteristiques de ces voiles, et d'autre part les perturbations dues ä la dispersion des caracteristiques mecaniques (modules d'elasticite) sont trop importantes.

Le probleme dost etre abordä de faQon prag matique en choisissant pour le materiau bois et ses moyens d'assemblage une composition de toitures et des liaisons s'approchant au mieux du comportement thäorique ideal.

On arrive sans probläme ä satisfaire la propriete 1. La rigiditä ä la flexion est assuree par

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Figure 4 Composition d'un volle travaillant ägalement en plaque

b) inadäquat

a) correct

I T

TI 1- 1- 14TTITIT{NITT(

les poutres, pannes et/ou chevrons comme decrit sous 2.2.1. Pour atteindre la propriete 2, c'est-ä-dire des volles avec une rigidite ä l'effort tranchant suffisante, il faut disposer des planches, des lattes ou des poutres selon trois directions.

Pour ce faire, il faut choisir une composition correspondant ä la figure 4a, sachant qu'une disposition teile que celle de la figure 4b n'est pas assez rigide en raison de la deforrnabilite par torsion de la piece comprise entre les deux couches de lambrissage. Des clous sont suffisants pour lier les couches. Le clouage du lambrissage diagonal sur les poutres sous-jacentes ne pose pas de probleme. En revanche, si I'on desire egalement un clouage du lambrissage diagonal avec les poutres situees au-dessus, il faut prevoir un echafaudage interieur. En regle generale, des clous ou des vis traversantes aux croisements des poutres sont suffisants. Les verifications correspondantes seront presentees sous 2.4.

Le collage des differentes couches est particulierement efficace. II faut utiliser une tolle, remplissant d'eventuels vides interstitiels, pour laquelle la pression de serrage peut etre atteinte simplement par clouage ou vissage.

Par collage on obtient une liaison pratiquement sans jeu, ce qui permet de satisfaire au mieux ä la propriete 2. Le collage präsente toutefois deux inconvenients: son prix, qui s'ajoute ä celui des fixations mecaniques et le risque important de salissure de la face inferieure par des coulures au travers du lambrissage. Le deuxieme inconvenient tombe si l'on prevoit la mise en place d'un lambrissage supplementaire ou d'un revetement sur

la face interieure. Si un collage est possible, on peut generalement le limiter aux zones voisines des aretes. II est evident que le collage doit etre en mesure de reprendre tous les efforts, les clous ne venant pas ä etre sollicites en raison de la compatibilite des deformations.

Le type d'arete — par exemple au falte, ä l'aretier, ä la sabliere ou ä la liaison avec les murs pignons — est decisif pour definir constructivement comment executer la liaison entre les elements consideres. Pour le falte d'un toit ä deux pans on peut laisser tomber la panne faitiere et se passer d'une liaison transmettant les efforts tranchants entre les deux pans de toiture.

Pour l'execution des aretiers il faut definir si la couche inferieure est realisee par les pannes ou les chevrons. Dans les deux cas, il faut realiser soigneusement les joints entre

Figure 5 Joint de pannes sur un arötier

Compression panne

Compression bois intercalaire Bois intercalaire

Joint de penne Coupe A-A voir figure 6a et 6b

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Figure 6b)

Figure 6a) Arötier continu disposa en face suparieure

Lambrissage .41100

7 VP'.

Panne

ie

Lambrissage

Arötier continu disposa en face infarieure

Bois intercalaire

pannes de facon ä ce qu'il n'y ait pratiquement pas de jeu. La force räsultante due aux deux pannes doit ötre reprise par une piäce intercalaire disposäe entre joints de pannes voisins (figure 5) pour ötre transmise au travers du lambrissage ä l'arätier continu, situä au-dessus ou en dessous (figure 6). Comme dämonträ en 2.4 les arötiers ne sont pas soumis ä des moments de flexion, ce qui permet de räduire leurs sections en consäquence.

Dans les arötiers n'apparaissent que des efforts normaux, croissant du haut vers le bas, provenant des pannes par l'intermödiaire des bois intercalaires. II faut s'imaginer que la charge extärieure agit, par l'intermädiaire des pannes et des chevrons, sur un noeud repräsentä ä la figure 5. La räsultante est une force orientäe de nnaniäre quelconque dans I'espace, qui doit ötre däconnposäe selon les trois directions repräsentäes par les deux pannes et l'arätier. La däcomposition est possible pour autant que les trois directions ne soient pas coplanaires (ou proche d'une gäomätrie coplanaire), ce qui est le cas si la pente de toiture n'est pas trop faible et que ('angle d'intersection entre deux surfaces voisines est nettement infärieur ä 180°.

L'exträmitä infärieure de l'arätier doit ötre disposäe sans jeu dans un sabot mätallique.

Ce sabot doit ötre en mesure de reprendre la force que lui transmet l'arätier. La composante verticale est gönäralennent reprise directement par le pilier d'angle, alors que les composantes horizontales doivent ötre transFigure 7 Toiture ä 4 pans avec pilier d'angle manquant

Bois intercalaire

Pann

mises aux parois par l'intermädiaire d'une liaison adäquate sollicitäe au cisaillement.

Pour des toitures de gäomätrie symätrique et des charges essentiellement verticales, il est souvent plus äconomique d'introduire ces forces dans les pannes sabliäres du fait que ces tractions, agissant aux extrännitäs, sont en equilibre. Les chevrons de la couche supärieure arrivent sans transmission d'efforts contre l'arätier continu.

Si la couche infärieure est formäe par les chevrons, alors l'arätier reprenant les efforts normaux doit ägalement ötre disposä sous le lambrissage diagonal (figure 6b). Les chevrons arrivent sans effort contre l'arätier.

Pour les pannes les considärations faites pour le premier cas restent valables. Les piäces intercalaires transmettent les charges räsultant des joints des pannes, par une liaison traversant le lambrissage, jusqu'ä l'arätier situä audessous.

Dans les deux cas, au droit des rives, les charges verticales sont transmises des chevrons directement ä la panne sabliäre. Cette derniäre doit ötre dälardäe de fa9on ä permettre sa liaison, par clouage, avec le lambrissage diagonal. II en räsulte des efforts de traction dans la sabliäre qui s'additionnent aux forces reprises par les sabots d'angles. Le lambrissage diagonal doit ägalement ötre clouäe sur panne faitiäre. II est donc recommandä, dans le premier cas oü les chevrons sont disposäs en couche infärieure, de mettre en place une faitiäre continue placäe sous le lambrissage.

La suppression du pilier d'angle, au droit de l'intersection des sabliäres et de l'arätier est problämatique (figure 7). Une teile disposition, occasionnellement requise par I'architecte, est mauvaise du point de vue statique, puisque c'est präcisäment ä ('angle que l'on a une concentration d'efforts. Un tel choix a donc tendance ä renchärir la construction.

Alors que pour une ex6cution traditionnelle, avec des arötiers sollicitäs ä la flexion, ce probläme ne peut ötre räsolu que par la mise en place d'un sommier reportant les charges sur les deux piliers voisins, une exäcution en

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structure plissäe permet une solution elegante par la reprise des efforts dans les plans des elements de toitures. Toutefois le recours ä une structure metallique est generalement inevitable pour reprendre les efforts tranchants importants aux angles des elements de toitures ainsi que les moments de flexion dans la panne en porte-ä-faux (voir 2.5.3).

Pour un toit ä deux pans la transmission des efforts tranchants entre les elements de toiture et la fa9ade pignon se fait par clouage du lambrissage sur la filiere superieure la fa9ade pignon. La transmission des charges de toiture ä la fa9ade pignon ne pose aucun probleme, qu'il s'agisse d'une toiture chevron ou d'une grille de poutre composee de chevrons et de pannes. Les deformations des chevrons au voisinage des elements rigides des pignons engendrent de grands moments de flexion dans le lattage dans le cas d'une toiture chevron pour laquelle la couche superieure a degeriere en lattage. La repartition des charges doit se faire en tenant compte d'un calcul de grille de poutre limite au voisinage des pignons. Si necessaire le lattage sera renfonce dans les bords.

Des problennes apparaissent egalement lorsque les pans de toitures sont coupes par des cloisons intärieures, ou lorsque de grandes ouvertures perturbent le flux de cisaillement des voiles de toiture. II s'agit alors de trouver une solution constructive adaptee au cas particulier, sachant que l'on recherche toujours ä atteindre un comportement s'approchant au mieux de la mecanique des milieux continus (voir 2.5.4).

2.4

Modelisation pour le calcul statique

Le systäme compose des pannes, des chevrons, de la faitiere et des aretiers forme une structure de barres spatiale. Ces barres sont rigides ä la flexion et fixees aux nceuds de fa9on articulee ou encastree, selon les caracteristiques constructives. Generelement les charges sont introduites dans ce systänne de Figure 8 Disposition des lames en fonction des nceuds

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fa9on lineaire au droit des differentes barres (chevrons ou pannes). Le lambrissage diagonal peut etre assimilä, en termes de statique de barres, ä une juxtaposition de barres (planches). En modelisant chaque planche pour une barre, le systäme serait träs complexe sans gain notable pour la precision de calcul. II suffit de remplacer un groupe de planches par une seule barre. Pour ce faire il faut admettre que la direction du lambrissage corresponde au maillage forme par les chevrons et les pannes (figure 8).

Les pannes et les chevrons sont des harres continues rigides d la flexion, Irees entre elles de maniere pratiquement articulee par les moyens crassernhlage (clous, eventuellement vis). Les programmes statiques de barres ne permettent gdneraiement pas de nnocläliserce cas, si ce n'est en clecomposant chaque croisement en deux nceuds et en introduisant une harre de Parson.

Grdce ä l'effet de voile obtenu par le lambrissage diagonal ii est ndanmoins possible, sann perte significative de la precision de caicul, d'introduire un systeme ofr toutes les harres, c'est-ä-dire les pannes, les chevrons et les diagonales fictive, sont lirees de maniere rigide.

Pour l'appui des pannes et des chevrons on admet au moins que Von a une articulation autour de l'axe de leur section situe dans le plan de la toiture. Les pannes faitieres et les eretiers sont consideres comme une succession ou «chaine» de barres articulees, quand bien merne ils sont continus. L'effet rigidificateur auquel on renonce ainsi est negligeable car la tres faible deformation de la «chaine» de barres et les petites sections de ces elements continus ont pour effet de ne donner que des moments insignifiants. Les diagonales fictives figurant le lambrissage sont toutes liees de maniere rigide.

En genärant le systeme il faut naturellement veiller ä choisir correctement les coordonnees locales des barres. Ce point est particuliärement important pour les elements figurant le lambrissage. Le moment d'inertie agissant autour de l'axe des coordonnees locales des barres, situe dans le plan de la toiture doit etre calcule en considerant une section rectangulaire de largeur b et d'epaisseur t. La largeur b est celle de la bande fictive de lambrissage (figure 8). Le calcul du moment d'inertie agissant autour de l'axe perpendiculaire au plan de toiture doit etre fait en prenant la somme de n sections de largeur t et de hauteur b0. Dans ce cas bo est la

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largeur d'une lame et n=b/19, repräsente le nombre de lames formant la bande fictive.

Les propos enonces jusqu'ici pour les assemblages des barres partent de l'hypothäse que les efforts normaux peuvent ötre transmis. C'est le cas pour les pannes et les chevrons s'il s'agit de transmettre de la compression. En revanche, on ne prend gen& ralement pas les mesures complexes necessaires ä la reprise d'eventuelles tractions.

Lorsque la premiäre lteration de calcul fait apparaitre dans certains chevrons et/ou pannes des tractions il faut libärer les deplacements selon leur axe. Dans une deuxiäme iteration il se peut que de nouvelles exträmites de barres soient sollicitäes en traction qu'il faut ä nouveau libärer. On continue ainsi jusqu'ä ce que toutes les extremites des barres actives soient sollicitees en compression.

Les barres representant les lambrissages diagonaux ne doivent naturellement pas repondre ä cette condition, du feit que leurs liaisons, reellsees par clouage, sont en mesure de reprendre de la traction et de la compression. Ce processus d'itäration est la concession au comportement non linäaire des assemblages des barres.

Figure 9 Disposition des clous de lambrissage diagonal au droit des points d'intersection

En premier lieu, il faut verifier les deplacements des nceuds resultant du calcul (fläche des chevrons, etc). Par la suite on verifie les contraintes dans les barres puls la reprise des efforts au droit des nceuds. Les efforts de liaisons aux nceuds pour les barres continues sont obtenus en considerant la difference des efforts normaux avant et apräs le noeud considere. Chaque assemblage doit ötre verifie avec I'effort ainsi calculä. De cette maniäre on obtient par exemple le clouage näcessaire pour le lambrissage diagonal au droit des intersections, que l'on peut ävidemment repartir sur la largeur de la bande fictive (figure 9).

E_

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Les problämes se situent en premier lieu dans les angles inferieurs des elements de toiture. Lorsque les sections ne peuvent etre adaptees aux conditions requises ou lorsque la surface d'assemblage n'est pas suffisante pour le clouage il faut disposer des piäces mätalliques soudees de renforcement des angles (voir description detaillee sous 2.5.3).

Dans les zones oü le lambrissage diagonal est sollicitä ä la compression il est possible de faire des assemblages par contact. II est possible de reduire significativement les calculs en tenant compte des symetries. Pour cela il faut toutefois que le lambrissage diagonal change d'orientation et donc que I'on ait un joint au droit du chevron central qui doit ainsi, dans certains cas, ötre elargi.

2.5

Exemples de realisations

La description des quelques exemples realises qui suivent illustre quelques solutions constructives.

2.5.1 Eglise du couvent de St-Andreas, Samen Armee de construction: 1966 Architecte: Max Mennel, arch. FSAI, Samen Le corps principal de reglise a une portee de 19,40 m et une longueur de 21,0 m. II est couvert par un toit ä deux pans (figure 10).

La facade longitudinale vitree, d'une hauteur de seulement 2,4 m, comprend des piliers träs elances en profiles creux RHS. Les chevrons ont ete realises en poutres formees de planches clouäes disposäes avec un ecartement de un metre. Un lambrissage diagonal est clouä sur ce chevronnage. Ses efforts sont reportes transversalement sur des piäces d'appuis fixees sur le haut des murs pignons qui sont betonnes avec une arasee suivant

IJ

/

4.o

-74e4101,"

"Kr

1

Longueur de röpartition des clous qui doivent — reprendre l'effort K =

Figure 10 Coupe transversate de l'äglise St-Andreas ä Samen

11

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l'inclinaison des pans de toiture. Sur le lambrissage diagonal, un lattage clouö reporte les efforts de compression d'un mur pignon ä l'autre. Ce lattage posö en assurant des joints sans jeu (joint de contact) sert egalement ä la pose de la couverture relativement lourde en tuiles. Le döplacement horizontal en täte des piliers, sous charge de service, n'est que de quelques mm. Le degrö d'efficacitö de cette structure plissäe est trös ölevö (photo 1).

2.5.2 Eglise catholique, Uitikon Anne de construction : 1970 Architecte: Dezsö Ercsi, Architecte EPF, Uitikon

Photo 1 Eglise St-Andreas, Sarnen : Toiture ä deux pans avec des chevrons realises en poutres formees de planches cloudes

Photo 2 Eglise catholique, Uitikon: Structure plissde avec chevrons disposes en nappe supdrieure

La complexitö en plan et en coupe de cette construction met en övidence la grande flexibilitö offerte par les structures plissöes (figure 11 et photo 2). Les parois röalisöes en maconnerie ne peuvent pratiquement pas reprendre de charges horizontales. La composante horizontale des efforts de compression dans les arötiers a donc dü ötre reprise par un chainage continu courant sur le pourtour du bätiment. Les composantes des forces agissant perpendiculairement aux plans des ölöments de toiture sont reportöes transversalement par des grilles de poutres comprenant des pannes surmontöes de chevrons. Les pannes se rejoignent au droit des arötiers en formant un joint plat. Les forces rösultantes au droit de ces joints sont reprises par des

12

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-1- piäces intercalaires en bois massif, disposdes entre les pannes et fixes au travers du lambrissage dans les ardtiers continus situös au-dessus. La structure a ötö integralement rdalisee en bois massif rabotö. Tous les assemblages ont dtd collös ä la resorcine. La pression de collage a ätö obtenue par le clouage qui a dtd dimensionnö de facon ä permettre la reprise des charges en cas de döfection des joints de collage. Le collage assure une rigiditd exceptionnelle ä cette structure. Lors du retrait de rdtayage provisoire de montage, le triangle du lanterneau central ne s'est abaissd que de quelques millimätres.

Cet exemple prdsente ögalement un degre d'efficacitä elevd de la structure plissöe. La structure en bois röalisöe ötait par ailleurs plus öconomique qu'une offre faite pour une construction mötallique dont les ölöments porteurs occupaient le volume intörieur de reg lise.

26.10

2.5.3 Refectoire de l'ecole d'agriculture, Giswil Annöe de construction : 1972 Architecte: Willi E. Christen, Architecte BSA, SIA, Zurich

Figure 11 Plan et coupe de räglise d'Uitikon

Photo 3 Ecole d'agriculture, Giswil: Structure plissäe avec angles de toiture en porte-ä-faux

Figure 12 I> Situation en plan des porteurs verticaux, 6cole d'agriculture Giswil

Cet exemple illustre les propos relatifs aux renforcements ndcessaires en cas de suppression de piliers d'angles övoquös sous 2.3. La figure 12 montre la disposition des piliers au voisinage des angles. La photo 3 donne une vue d'ensemble permettant de situer les renforcements mötalliques des angles qui sont illuströs de facon dötaillde par la photo 4. Les chevrons situds en nappe inferieure reprennent, toutes les charges de

8

8

13

Photo 4 Ecole d'agriculture, Giswil: Renforcements metalliques des angles en porte-ä-faux

toitures, du fait que le rapport des portäes ne permet pas d'obtenir l'effet de grille de poutres. Un lattage horizontal posä sur le lambrissage diagonal transmet des efforts de compression aux arötiers. Ce lattage est clouä sur le lambrissage. La face infärieure de la toiture est revätue. Les renforcements d'angles sont compris dans l'äpaisseur des chevrons, de ce fait le revätement ne präsente pas de däcrochements.

2.5.4

Halle d'exposition nautique, Lesa, Lac Majeur/ltalie Anne de construction : 1990 Architecte : Dr architecte, Giuseppe Criscuoli, Arona, Italie

Cette halle d'exposition nautique de 22,6 m x 28,6 m est couverte par une toiture ä quatre pans sans appuis intärieurs. Le choix d'une structure plissäe a permis une räaIisation aussi surprenante qu'älägante. Le cötä surprenant est dü au fait qu'il est difficile de Photo 5 Halle d'exposition nautique, Lesa, Lac Majeur/ Italie: Toiture ä quatre pans, travaillant en structures plissees

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comprendre comment il a ätä possible de se passer des habituelles poutres de grosse section que l'on a gänäralement en guise de panne faitiäre et d'arätiers. L'ölöment de toiture transversale rapport au droit de l'enträe a amen son lot de complications constructives (Photo 5). Les chevrons en bois lamellä collö d'une section de 160 x 500 mm, espacäs de 1,25 m sont disposäs en nappe infärieure (Photo 6). Un lambrissage diagonal en mäläze de 27 mm a ötö clouö par-dessus. Les pannes en bois massif d'une section de 200 x 160 mm forment la nappe supärieure. Les efforts rösultant sont importants en raison des portäes et des charges relativement äleväes (neige: 1,75 kN/m2; poids propre structure + couverture tuile :1,1 kN/m2). A cela vient s'ajouter un espacement important de 12 m entre les piliers des fa9ades longitudinales. II a donc fallu recourir aux astuces däcrites ci-dessous.

Avec une hauteur des chevrons de 500 mm, an ne peut plus nägliger sans autre les excentricitäs relativement importantes entre les axes des barres. Le calcul dötaillä a näanmoins dörnonträ que leurs effets restent dans les limites des autres hypothäses simplificatrices. L'excentricitä au droit des sommiers d'appuis aurait pu ätre däterminante. En raison des grandes portäes ävoquäes präcädemment, ces sommiers ont en effet dü ätre räalisäs en profilä IPE500, peu rigides ä la torsion. Toutefois, gräte ä la rigiditä äleväe des äläments de toiture, le döplacement horizontal reste träs falble. Elle se limite en effet ä 17 mm en milieu de traväe sous I'effet de la neige et du poids propre. De ce fait, il a ägalement ötä possible de nägliger les excentricitäs au droit des appuis de rive. Les sommiers IPE ont ätä soudäs pour reprendre en

14

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rapport ly/lz pour un profil IPE500 est de 22,5). En tenant compte des chevrons BC le point B est ä son tour fixö spatialement. Les arötiers et la panne faitiäre sont considöröes comme une succession de barres sans rigiditö ä la flexion, lies par des articulations.

Sous une charge verticale uniformöment röpartie les döplacements sont alors verticaux. Les chevrons poussent horizontalement les pannes de rive vers l'extörieur.

En projetant les döplacements sur les plans de toiture, par exemple sur la surface trapözoidale A-C-C-A, on observe que les sollicitations de ce voile peuvent ötre assimilöes ä une poutre, de section variable, continue sur trois travöes. En A la hauteur statique, döcoulant de la göomötrie des axes des barres, est nulle. Le voile n'est ainsi pas en mesure de reprendre l'effort tranchant en A. En revanche, on peut trouver la Position du chevron S pour laquelle la hauteur du volle est A

A T

F

A'

A' T

Z A A'

Photo 6 Halle d'exposition nautique, Lesa: Structure plissöe avec chevrons en nappe införieure et tirants mötalliques dans les angles

B

Z B

A' A

traction les 540 kN de compression que l'on a dans les arötiers.

Bien que des piliers reprennent directement les composantes verticales des efforts aux angles, on atteint ici les limites du possible pour le matöriau bois et ses moyens d'assemblage. Le comportement des voiles de toiture dans les angles peut ötre döcrit au moyen de la figure 13. On y fait l'hypothäse que les sommiers de rives T, les arötiers G et la panne faitiäre F sont infiniment rigides s'ils sont soumis ä des efforts de compression et que les quatre angles A forment des appuis spatiaux indöformables. II en döcoule que les extrömitös C de la panne faitiäre sont fixes spatialement. On admet par ailleurs que les pannes de rive soient rigides ä la flexion dans le plan vertical (poutre flöchie continue sur plusieurs travöes) mais ne soient pas en mesure de reprendre les efforts horizontaux. (Le

charges

A

A

volle porteur

/ efforts tranchants Figure 13 Comportement statique des voiles

15

Figure 14 Liaison des pannes avec les arötiers

juste suffisante, pour permettre la reprise de l'effort tranchant. En liant en A' les pannes de rive par un tirant Z on cr6e en A' de nouveaux appuis permettant d'assurer la söcuritä structurale du voile.

Ces röflexions sont faites uniquement dans le but de comprendre le fonctionnement de la structure. En fait c'est le calcul statique du modäle spatial de barres qui fournit les valeurs des efforts et des döplacements. En supprimant successivement les chevrons les plus proches des angles, on trouve la Position du chevron limite S. En röalitö les pannes de rives et les ardtiers ne sont pas seulement les bords, sans dimensions, des voiles, mais reprösentent des barres avec des sections effectives, permettant de reprendre des efforts tranchants. Cela explique pourquoi dans les autres exemples präsentös le tirant n'etait pas ndcessaire. Dans le cas präsent la mise en place d'un tirant, situd ä trois mätres de l'angle, dtait incontournable. L'effort ä reprendre par ce fer rond, d'un diametre de 50 mm, sous charge maximale est de 327 kN. Photo 7 Salle paroissiale, Alpnach: Toiture de forme pyramidale avec chevrons en nappe införieure

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L'importance des charges a dgalement amen' au droit des ardtiers ä recourir ä des solutions s'äcartant de ce qui a ete däcrit jusqu'ici. Les piäces intercalaires au droit des arötiers, reprenant l'effort tranchant des pannes et le transmettant au travers du lambrissage diagonal ä l'ardtier continu, ne peuvent pas dtre coupös. Ils sont ici remplacös par deux poutres BLC continues de 320/120 mm disposäes de part et d'autre de 1'w-öle. Les pannes transmettent par contact leurs efforts par l'intermödiaire d'entailles (figure 14). En revanche les ardtiers disposds sous le lambrissage sont coupös au droit des chevrons, qui se rejoignent pour former un joint plat.

Malgrö une pente de toiture relativement falble de 20° et de grandes portöes, le degrö d'efficacitö de cette structure plissee reste träs bon. Une solution conventionnelle aurait necessitä soit des tirants mätalliques traversant le volume intörieur du bätiment au niveau de la panne de rive, soit au minimum deux cadres ä trois articulations. De telles solutions auraient portö präjudice ä l'architecture °säe de cette halle d'exposition.

2.5.5 Salle paroissiale, Alpnach Annöe de construction : 1993 Architectes: Eugen et Monika Imhof, architectes diplömäs, Samen Cette toiture pyramidale couvre une surface carrde de 13 m de cötö. La pente de toiture est de 20° On a affaire ä une structure plissöe avec les chevrons disposäs en nappe införieure. La gdomötrie permet de profiter pleinement de l'effet de grille de poutre. II en rdsulte des sections relativement ölancdes.

16

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Photo 8 Salle paroissiale, Alpnach: Dötail d'angle avec pilier metallique pour la reprise de la reaction d'appui verticale

Les chevrons rabotös en bois massif ont une arte införieure cintröe leur donnant une section variable passant de 60 x 100 mm sur appuis ä 60 x 270 mm en milieu de travöe. Ils sont espacös de 630 mm (photo 7).

Le lambrissage diagonal visible rabotö de 26 mm d'öpaisseur est toujours orientö parallölement ä l'un des arötiers de la surface couverte. Sa disposition, selon une syrnötrie de rotation, a engendrö un calcul plus complexe que celui requis pour une pose conventionnelle. Les pannes couchöes en bois massif d'une section de 60 x 100 mm ont un entraxe de 670 mm. Elles reportent leur compression par l'intermödiaire de bois intercalaires aux doubles arötiers continus, situes en nappe införieure. Cette derniöre est formöe de deux piöces de 100 x 60 mm. Les

arötiers transmettent aux appuis d'angles leur force de compression qui atteint 140 kN en cumulant le poids propre et la neige. Les pibces d'appuis mötalliques transmettent directement les charges verticales aux murs en ma9onnerie et introduisent la composante horizontale de 85 kN dans les pannes de rive par l'intermödiaire de broches (photo 8).

La panne de rive est appuyöe sur des potelets en bois massif, espacös de 3,10 m subdivisant le bandeau lumineux, dont la hauteur est de 80 cm. Les potelets ne reprennent que les charges verticales. Le döplacement horizontal de la panne de rive atteint au maximum 9 mm ä mi-longueur. La transmission aux murs, des charges de vent, se fait exclusivement par les quatre piliers mötalliques d'angles.

3 Coques 3.1

Deifinition

Les coques sont particuliörement avantageuses pour couvrir de grandes surfaces, en raison du peu de matiäre qu'elles nöcessitent.

Pour röaliser ses structures, la nature suit fröquemment le «principe de minimalisation» qui peut ötre source d'inspiration. On peut prendre l'exemple plan consistant ä minimiser la quantitö de matiöre mise en ceuvre pour cröer une sörie de cellules juxtaposöes de möme surface. Des trois possibi-

litös göomötriques basöes respectivement sur le triangle, le carrö et l'hexagone, la nature a retenu le plan hexagonal comme modöle pour la röalisation par les abeilles des rayons de leurs ruches. La vögötation dömontre par l'exemple des feuilles, qu'il est possible d'obtenir une forme stable avec une matiere souple, en recourant aux surfaces ä double courbure. La coquille d'un oeuf est ägalement un exemple impressionnant. Tant que l'ceuf est intact, il est en mesure de re-

17

3 Figure 15 Rapport des longueurs de parois requises pour former des cellules de surface egale

Figure 16 Coupe sur une Portion de coque

Figure 17 Contraintes agissant sur un alament de coque

prendre des forces de compression impressionnantes, pratiquement sans deformation.

En revanche, si I'on prend une demi-coquille il suffit d'un tout petit effort pour provoquer d'importantes däformations. Pour copier les formes naturelles, l'homme recours gänäralement ä des formes dont la gäomätrie est facile ä definir.

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nulles, ce qui produit gänäralement de grandes däformations. Seul quelques cas de charge träs particuliers font exception ä cette regle. Rappelons ici l'exemple de la coquille d'ceuf. Si le bord d'une coque doit etre libre, alors, les contraintes de compression orientäes perpendiculairement au bord, doivent disparaitre. Les contraintes de cisaillement doivent etre transmises ä un renfort de rive dans lequel elles provoquent des contraintes normales. C'est le cas, par exemple, pour les coques en forme de paraboloides hyperboliques (coques PH) präsentäes au chapitre 3.2.

Dans le cas oü deux coques voisines ont un bord commun (intersection de deux coques), alors, les contraintes membranaires des coques considäräes doivent etre en äquilibre.

L'intersection est gänäralement une courbe spatiale dont les däformations sous des charges ponctuelles peuvent etre nägligäes en premiäre approximation, comme dans le cas des structures plissäes. Des renforcements au droit de ces «coutures» ne sont generalement pas näcessaires.

Les caractäristiques membranaires requises pour une coque peuvent, en respectant certaines conditions, däjä etre atteintes en liant Les coques travaillent principalement en deux couches de planches. Lötet de conmembranes (chapitre 1). Les charges unifor- trainte plan en un point de la coque, peut etre mäment räparties produisent de ce fait, en däfini par les contraintes agissant sur les premiäre approximation, un tat de contrain- quatre cötäs d'un älännent carrä prälevä tes membranaires. La figure 16 represente en cet endroit (figure 17). Pour chaque etat la coupe d'un äläment de coque. La charge de contrainte, on trouve une orientation de uniformäment räpartie engendre localement Völäment pour laquelle les contraintes de dans la coque la force variable N = p• r, et dont cisaillement s'annulent. (Cercle de Mohr). la premiäre däriväe peut merne etre discon- Les contraintes normales restantes r1 et r2, tinue. Les charges linäaires ou ponctuelles ne sont appeläes contraintes principales. L'orienpeuvent etre reprises par des coques sans tation des deux couches de lames paralläprovoquer de flexion. Partant du principe lement aux contraintes principales permet qu'une toiture doit au moins etre accessible d'atteindre parfaitement les caractäristiques pour une inspection ou des travaux, on ne membranaires souhaitäe. Si l'on atteint, en peut renoncer ä une certaine rigiditä ä la tout point de la coque, une corrälation suffisante de ces orientations, on remplit la flexion, si faible soit elle. condition permettant de se limiter ä deux Comme pour les structures plissäes, les couches de planches. En utilisant des planbords des coques reprösentent des singulaches rectilignes de section constante ce qui ritäs. Lorsqu'une coque a des bords libres, est pratiquement imposä par le matäriau, on les contraintes membranaires doivent y etre se fixe des limites supplämentaires. Cela mäne ä de nouvelles conditions, qui sont satisfaites, si la trajectoire des contraintes principales qui couvre la coque par un räseau orthogonal präsente une corrälation suffisante avec les courbures principales. Le calcul des orientations de courbures principales est t däcrit plus präcisäment au chapitre 3.2. Le räseau des trajectoires des contraintes principales varie d'un cas de charge ä l'autre, alors que celui des courbures principales reste in-

variable pour une structure donnöe, puisqu'il est däfini par la geometrie de ia coque.

Cela signifie qu'en se limitant ä deux couches de planches les contraintes de cisaillement dans la coque ne peuvent jamais ätre totalement övitäes. En consäquence, la coque räagit en se deformant, ce qui est gändralement acceptable, autant du point de vue aptitude au service que de l'esthätique. Si l'on prövoit la mise en place d'616ments infärieurs rigides, tels que des murs, il est donc nöcessaire de prendre les mesures constructives adäquates.

Extrait d'un choix infini, nous presentons ici quelques coques simples, dont la geornotrie peut ötre döfinie facilement. Le chapitre 3.4 dämontre que leur calcul statique peut ötre fait sans connaissances approfondies sur la thdorie des membranes. En revanche, an ne peut se passer du calcul de certaines caraCteristiques geometriques, ä savoir: 1. du rayon de courbure «r» d'une ccupe de la coque 2: du gauchissetnent de la coque le long d'une kille definie 3. du probläme d'une couverture jointive de la surface par des lamelles droites avec une clecoupe parallele.

18

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3.2

Geomötries des coques

On fait la distinction entre les coques ä simple et a double courbure. Les coques ä simple courbure sont däveloppables. Elles sont repräsentäes ä la figure 18 par I'exemple d'une coque cylindrique et d'une coque conique.

Pour les coques ä simple courbure il y a en chaque point un seul plan passant par la droite normale ä la surface et dont l'intersection avec la coque est une droite. Cette caractäristique permet la mise en place des lattes ou des poutres longitudinales rigidifiant la coque, sur lesquelles repose le lambrissage träs souple composä de planches disposees transversalement. Toutes les surfaces däveloppables peuvent ötre couvertes par des lames paralleles posees jointivement.

Ces trois points sont importants pour les coques en bois, dans la mesure oü ils limitent ies dimensions des sections des planches que Von peut utiliser.

Les coques ä double courbure sont des surfaces non döveloppables. On a pour exemple, ä la figure 19, des sphäres, des paraboloides elliptiques, des surfaces de rotation, gänördes par un märidien courbe, et finalement les surfaces rägläes. Ces derniäres sont gönöröes en däpla9ant une droite en respectant la condition que deux droites d'espacement infinitösimal ne se coupent pas, car dans le cas contraire, la surface serait däveloppable. Les hyperboloides de rotation, les paraboloides hyperboliques et les conoides repräsentes ä la figure 20 sont des exemples de coques ä double courbure.

a) Coque cylindrique

b) Coque conique

Figure 18

Figure 19

a) Coque spherique

b) Paraboloide elliptique

c) Surface de rotation

19

a) Hyperboloide de rotation

b) Paraboloide hyperbolique (PH)

Les courbes d'intersection generees, en un point quelconque de la coque par un plan qui comprend la droite normale ä la coque que I'on feit tourner ont un rayon de courbure qui varie durant la rotation. La courbure ne reste constante que dans le cas de la sphere ou pour des points singuliers tels qu'au droit de l'axe d'une surface de revolution.

Les orientatons pour !esquelles les rayons de caurbures etteignent !es valeurs extremes, sont !es axes principaux du point Gensig.eire de la coque. !ls Grit toujours une orientation aspective orthogonale. Pour des surfaces ipti~ :es (exerneies c'_;e, la figure 19)-les deux centres de tour hure res-teigt du merne cgte de la coque, alors que pour des surfeees hyperboliques (e,xemples dele figure 20) les centres sont situes de hart et d'autre de la coque.

Pour des surfaces reglees generees par deux reseaux de droites, les axes principaux sont orientes selon les bissectrices des generatrices. Les conoides ne sont generes que par un seul reseau de droites.

Les surfaces non developpables ne peuvent etre couvertes par des lames paralleles posees jointivement sans que ces dernieres soient cintrees dans le plan de la coque. Si

Figure 21 a) Döveloppement de la surface d'une sphere b) Couverture de la sphere par des lames paralleles

Figure 22 I> Courhure des lames sur une coque cylindrique

b)

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c) Conoide

l'on voulait renoncer ä cet ajustement par cintrage, les lames devraient etre confectionnees specialement. Cela peut etre demontre sur une sphere. En decoupant une sphere selon les nneridiens espaces, par exemple, de 10°, on obtient 36 bandes de la forme d'une coupe au travers d'une lentille convexe (figure 21a). En essayant de faire ce merne decoupage avec des bandes paralleles (figure 21b), on observe qu'elles s'ecartent en s'approchant de l'equateur, sauf si I'on cintre ces bandes, de maniere ä obtenir un deplacement, ä la surface de la sphere, jusqu'ä atteindre le contact avec la premiere bande.

Qu'un tel procede ne soit envisageable que sur un secteur limite d'une sphere devient evident, si l'on songe aux consequences au voisinage des pöles.

3.2.1 Surfaces developpables Pour des surfaces developpables, seule la question 1 posee sous 3.1 reste importante.

La courbure maximale est situee dans le plan normal perpendiculaire ä la generatrice (.p = 900; avec donne en figure 22).

Pour la surface cylindrique (figure 22) le rayon de courbure vaut r =

ro

sing)

20

Figure 23 Courbure des lames sur un cöne

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face de la coque, doit avoir pour que l'on ait une couverture jointive de la surface, vaut:

avec K = 1 . r1

1 2

_

4. h2 a 2. b2

qui est la courbure de Gauss au sommet de la coque et dmax le plus grand espacement de la lame au sommet.

Figure 24 C. Paraboloide elliptique

Pour le cöne droit (figure 23) on a r=

s

tgw (o = angle entre l'axe du cöne et

sinLP

3.2.2

une gönöratrice du cöne).

Surfaces non döveloppables

Parmi les surfaces ä double courbure non döveloppables, nous nous intöressons plus particuligrement aux paraboloides elliptiques, aux paraboloides hyperboliques ainsi qu'aux conoides (figures 19 et 20). Les hyperboloides de rotation sont utilisös couramment pour les tours de refroidissement mais ne se prötent guöre ä l'exkution de couvertures.

3.2.2.1 Le paraboloide elliptique (PH) Le paraboloide elliptique dont il est question ici, röpond ä l'äquation suivante: z x2 y2 h a2 b2

—=—+—•

Tous les plans verticaux paralleles entre eux coupent la coque selon une möme parabole.

Les coupes horizontales ä une hauteur z forment des ellipses dont les rayons valent: h-z h Les valeurs extremes des courbures se trouvent au sommet. Elles valent: a2 h2 r1= — et r2 = — • 2h 2h Les directions des courbures principales et de ce fait l'orientation des deux couches de lames correspondent approximativement aux axes des coordonnöes.

az =a1l hhZ

et

bz = b

La surface normale, que l'on doit connaitre pour döterminer ('angle d'intersection dans la zone d'appui, a l'orientation. [_ 2h _ 2h 1 x; y;1 az b2 La torsion est nögligeable et la plus forte courbure qu'une lame, comprise dans la sur-

La figure 24 illustre une possibilitö d'application des coques paraboloides elliptiques. La göomötrie de la coque est döfinie en admettant que la halle est dölimitöe par deux fagades pignons verticales distantes de 80 m et par les fagades latörales d'une hauteur constante de 12 m; que la largeur maximale de la halle est de 50 m alors que la largeur au droit des pignons est de 32 m, et finalement que la hauteur au sommet est de 20 m. Elle est donnöe par: 2 y 2 z=( x , 1 + 8 52.0M 25 avec z = 0 dgfini au niveau de l'aröte supörieure de la paroi longitudinale.

L'application numörique des öquations döfinies pröcödemment ä cet exemple donne les rösultats suivants: 52.0582 252 r1 = = 169 m, r2 = — = 39 m 16 16 1 4.64.40 1 et r 52.0582252 165 m Ces rayons donnent pour les difförentes sections de lames les valeurs limites supörieures, pour l'gpaisseur: t = 39 m/200 = 0,195 m et pour la largeur maximale admissible: b .165 m/200 = 0,825 m. Ces valeurs ne sont donc pas des limites significatives du point de vue constructif.

3.2.2.2 Le paraboloide hyperbolique Les coques de forme paraboloide hyperbolique (coque PH), döcrites ci-dessous dans leur forme gönörale, se prötent particuligrement bien pour l'exöcution de couvertures. La plupart des röalisations comprennent des secteurs dölimitös par des ölöments de droites.

Cela revient a dire que, d'un double röseau de gönöratrices rectilignes se coupant, on en döfini respectivement deux comme ötant les bords de la coque. Les sornmets A, B, C et D

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21

La coque PH est definie par

Figure 25 Coque PH, salle polyvalente «Kinderdorf» ä Loche

-P = (1-u) (1-v) A+u (1-v) B +uvC+ (1-u) vD avec u et v representant des parametres independants compris entre 0 et 1. Les sommets A ä D ont donne dans ('ordre par les paires de valeurs (0;0), (1;0), (1;1) et (0;1).

Pour definir les elements geometriques il faut commencer par calculer, avec les derivees partielles, aP

P = - (1-v) A+ (1-v) B +vC- vD,

au

— = ID„ = -(1-u) A- uB+ uC+ (1-u)D et avec av A

c

Z - = A- B + C - D les valeurs fondamentales (produits scalaires) ' ;G= E = Pu • Pu ; F = Pu • I",

•

et

M = Z • n.

Le produits vectoriel de ce quadrilatere representes ä la figure 20b ne sont pas coplanaires. Ils peuvent avoir une disposition respective quelconque, pourvu qu'ils ne soient pas situes dans ou au voisinage d'un möme plan.

Les paraboloides hyperboliques (PH) sont des surfaces du second ordre. Toute coupe plane geriere une courbe de second ordre.

Par transiation des coordonnees il est possible de ramener toute coque PH ä son equation de base. Les coupes, par des plans verticaux, des coques PH dans leur position de base generent des courbes d'intersections qui sont des paraboles dont les axes sont verticaux. Partant de l'idee que les paraboles sont proches de la geometrie ideale ne donnant pas de flexion pour les charges unifornnement reparties, telles que le poids propre et la neige, an pourrait conclure que l'orientation selon la position de base soit ideale.

La grande rigidite, que l'on a de fagon generale avec des coques, relativise ä ce point cet avantage theorique que l'on peut sans autre y renoncer. La suppression de cette contrainte permet la grande liberte de disposition des sommets evoquee precedemment.

Les sommets A, B, C et D sont definis par les vecteurs A, B, C et D dans un systäme de coordonnees quelconque ayant toutefois imperativement l'axe Z dispose verticalement.

x Pv n— 1Pu x Pv

est le vecteur unitaire normal ä la surface, qui est egalement important pour le calcul de l'orientation des sections lors du calcul statique par ordinateur. Les courbures principales sont . r1 1

M

(F+VEG),

F2— EG

M (F- VEG), =.

F2EG r2

et la courbure de Gauss K-

1

1

M2

r2

F2 — EG

•

Le gauchissement de la surface en un point est maximal le long des deux droites generatrices. Sa valeur est egale, au signe pres, dans les deux directions. Elle se calcule avec: aq„

as

x

—

(13>„ x ) • r11

VEG — F2 VE

(Mesure de l'arc / unite de longueur La methode de calcul est presentee pour l'exemple de la coque PH de la salle polyvalente «Kinderdorf» ä Loeche decrite saus 3.5.2. Les dimensions de cette coque sont donnees ä la figure 25.

A= 0 B=[5 C= [0 D = [-5

0 2.887 11.547 2.887

2] 0] 3] 0]

u 0 1 1 0

v 0 1 1

22

sommet

E

G

F

Lignatec 2/96

M

0.5695 0.8220] 7.3980 A 37.33 37.33 -12.67 [ 0 B 37.33 109.00 -6.00 [ 0.4091 -0.0787 0.9091] 4.0909 -0.3273 0.9449] 2.8347 C 109.00 109.00 59.00 [ 0 D 109.00 37.33 -6.00 [-0.4091 -0.0787 0.9091] 4.0909

r2 II xri II yaxe[m] axe[m] 3.33 14.12 59.26 14.12

- 6.75 -17.06 -17.63 -17.06

Kfm

-2

-4.4375 • 10-2 -4.1493 . 10-3 -9.5663 • 10-4 -4.1493 • 10-3

["=[5(u-v).(2.887(u+v)+5.774uv);(2-2(u+v)+5uv)] centre de la surface (u = v = 0.5). En ce point on a K = -5.985 • 10-3. En posant la premiere = [0 ; 5.i74 ; 5] planche sur l'axe median AC et en essayant sommet de disposer jointivement planche apres plan[-5 2.887 -2] A [ 5 2.887 -2] che il faut leur donner une courbure de rayon B [ 5 2.887 -2] [-5 8.660 3] radius r = C [5 8.660 3] [-5 8.660 3] d•K [-5 2.887 -2] D [ 5 8.660 3] dans le plan de la coque. Dans cette equation Le tres petit rayon de courbure parallelennent d represente la distance de la planche consiä l'axe y au point A obligerait une limitation derde ä l'axe median. L'angle B est distant de l'epaisseur des planches ä 16 mm. Pour d'environ 6 m du centre de la coque. II en reu = v = 0,15 avec les coordonndes du point sulte un rayon de courbure de 28 m en B ce correspondantes [0 1.00 1.51] le rayon de qui permet l'utilisation de planches d'une courbure s'est däjä accru pour atteindre epaisseur egale ä 28 m/200 = 0,14 m. Pour 4,76 m. Les consdquences constructives sont l'orientation perpendiculaire ä celle evoquee traitees au chapitre 3.5.2. ci-dessus, on part d'une planche disposee approximativement au milieu de la distance Les considerations interessantes qui suivent AC. Jusqu'aux angles A et C d vaut alors enpermettent de completer l'expose. viron 6 m, ce qui revient ä dire que les planLaxe vertical de la position de base des co- ches doivent respecter les mennes conditions ques PH, dächte au d_ ebu_t A de ce chapitre, est que celles evoquees ci-dessus pour pouvoir parallele au vecteur Z = - B + C - D. Cela re- etre posees jointivement. vient ä dire que la portion de coque ABCD Un cas particulier important pour la pratique provient d'une coque PH dont la forme de se presente lorsque les bords de la coque forbase est orientee selon Z. II peut etre interesment en plan un rectangle. La projection en sant de connaitre l'inclinaison de la coque. plan des deux reseaux de generatrices sont Avec Z = [0 5.7735 5.0000] l'inclinaison de alors paralleles et se coupent perpendiculail'axe vaut rement. Les attitudes des angles peuvent etre 5 variables. Pour pouvoir faire l'approximation arctg - 40.9° 5.7735 presentee ici, les poutres de rives doivent neanmoins avoir une inclinaison falble.

L'origine de la position de base peut etre Selon les relatiou geometriques definies au trouvee en resolvant en u et v deux equations chapitre 3.2.2.2 Z est vertical, ce qui signifie lindaires que l'orientation de la coque correspond ä la p, • Z = 0 et P, Z = 0. forme de base. On trouve dans les deux rePour l'exemple presente la solution vaut seaux une generatrice disposee horizontaleu = v = (0,1143 et le point correspondant a les ment. Ces deux generatrices horizontales se coordonnees [0-0.584 2.522], ce qui revient ä coupent selon un angle droit. Leur intersecdire qu'il est juste hors de la surface consi- tion, qui peut en I'occurrence etre situee hors deree. Le point A est donc proche de l'ori- de la portion de coque consideree, represente gine, ce qui explique pourquoi le rayon de l'origine du PH dans sa position de base. courbure su bit de fortes variations dans son Du fait que les gönöratrices soient identiques bord de la coque voisinage. La torsion on obtient ä aux dörivdes partielles Pu et decrolt de 0,211 ä 0,064 en allant de A ä B l'origine F = 13'u • P, = 0. Des 6quations donnant puis de 0,064 ä 0,031 en passant de B ä C. les courbures principales an peut deduire Le critere permettant une couverture jointive que l'on a, ä l'origine, des courbures egales de la surface est calcule sur la base de la mais de signe oppose. En raison des symecourbure de Gauss. Mais cette derniäre varie tries les plans verticaux contenant les ged'un sommet ä l'autre d'un facteur dix I Pour neratrices coupent les directions des courbuune estimation an peut partir de la valeur au res principales selon un angle de 45° ou in-

23

versement les directions des courbures principales, projetees en plan, sont disposees ä 45° par rapport aux bords de la coque.

(zA -

p a2b

a 2 z

sont equilibrees.

Des equations du chapitre 3.2.2.2 on peut tirer les courbures principales ä l'origine

b 2

a

Du cercle de Mohr on peut deduire que dans les coupes ä 45° les contraintes normales disparaissent pour ne laisser que des efforts tranchants de möme valeur. Ces coupes sont paralleles aux bords. On peut en conclure que les bords de ce type de coque HP ne presentent que des contraintes d'efforts tranchants qui, pour cette approximation sont orientes selon la direction des elements de rive. Cela mene ä l'etonnant resultat montrant qu'aux bords n'apparaissent que des contraintes d'efforts tranchants, de valeur constante 2•t

2

ce qui donne (zA + zo — 2zB) •

Pour cette equation p represente la charge verticale uniformement repartie, t l'epaisseur des planches et r le rayon de courbure principal. Les elements de rives ne necessitent donc pas d'appuis, ce qui permet des constructions architecturalement interessantes.

(z, - z,) p

et

Les deux couches de planches disposees parallelement aux directions des courbures principales doivent präsenter la möme rigidite ä la traction. Du fait que les deux courbures principales soient egales au signe pres, la charge verticale se repartit ä parts egales selon ces deux directions, ce qui revient ä dire que les contraintes normales seront aussi egales au signe pres.

= 0- = p •r.

Figure 26 > Combinaison de huit coques PH de base rectangulaire

Lignatec 2/96

z

Par analogie la composante verticale obtenue pour le second appui vaut (zA + zc - 2zD)•

p ab -— • z

2

La somme des deux vaut p ab = 2(z, + zc — — zD) • — • p • ab, 2

ce qui demontre que les charges verticales

Ces relations permettant de calculer les efforts dans les planches et les poutres de rives ne remplacent, toutefois, pas les calculs statiques präsentes au chapitre 3.4, car pour les cas reels il faut egalement analyser les charges reparties de maniere non uniforme. Ces calculs simplifies donnent neanmoins les limites superieures des efforts dans les poutres de rives, ce qui est important pour le predimensionnement. Pour autant qu'il s'agisse d'estimations, le fait qu'il faille se limiter ä de faibles inclinaisons pour les poutres de rives ne represente pas un critere severe.

En consultant la litterature on constate que les coques PH avec des bords libres rectilignes ont exclusivement des bases carrees. Comme nous l'avons demontre, la base peut egalement etre rectangulaire. De cette maniere on peut s'adapter ä des exigences de l'ouvrage ä construire, comme dans le cas de la couverture de parking, presentee ä la figure 26.

1 1 M — - r2 VEG VEG De plus, on a = a et \[==b,

VE =

oü a et b sont les longueurs d'aretes du rectangle forme par les elements de rives.

Avec 11 = zA — + zc — zD = z (composante en Z des angles) on obtient p•ab 1 z = et T = Cfl • r

ah

2t•z

Les sommes des efforts dans les elements de rive valent Na = -P- • -92- etN,= 2 z

ab2 2 z

qui sont des efforts de compression si la coque est appuyee sur les deux angles in ferieu rs. La resultante est, comme on pouvait l'attendre, situee dans le plan vertical passant par les deux points d'appuis. La composante verticale est la somme des efforts verticaux provenant des poutres de rives AB et BC qui valent

Pour illustrer la theorie presentee ci-dessus nous analyserons l'exemple de la couverture de l'eglise Bethenienheim ä St-Niklausen (OW). La coque HP a une base carree avec une longueur d'arete egale ä 22,5 m. L'altitude des angles, par rapport au sol, est de 7,6m pour les points bas, et de 11,85 m, respectivement 15,85 m, pour les points hauts.

On a = - ä> + - = (0;0;12.5) si ä et üsont les points bas.

La courbure principale vaut z 12.5 1 r

ab

22.5 • 22.5

40.5 m

24

Avec t =

200

3.3 Exigences constructives

= 0.2 m

on constate que la courbure n'est pas un critäre determinant pair le dimensionnement des planches. La courbure de Gauss 1 1 vaut K = — = • r2

1640.25

Les angles sont situäs ä 15,9 m du milieu.

Pour une couverture jointive composee de planches paralläles, il est näcessaire qu'un rayon de courbure des planches dans le plan de la coque de 1640.25 15.9

= 103 m soit admissible.

La limite supärieure de la largeur des planches = 0.5 m bn= - 200 ce qui n'est pas un critere significatif pour la räalisation.

Les efforts de traction et de compression dans les planches, avec p=3kN/m2, valent P

3 22.52 1 = 60.75 mem 2

ab

=- • - = •

2 t-z 2 12.5 t

avec 0- = 8.0 -103kN/m2, on obtient une äpaisseur de lame de t = 7 mm. Cela signifie que pour une Charge verticale uniformäment repartie sur toute la surface, une epaisseur totale de coque de 14 mm serait suffisante.

La compression maximale dans les poutres de rives aux points bas, vaut N 2

a3 = 3

22.53 =

z

12.5

2

1367 kN.

Avec o-adm= 8.0 • 103kN/m2 on doit avoir une section de 0,17 m2. Les piäces mises en ceuvre ont une section de 2.0,4 m • 0,25 m = 0,2 m2.

Les poutres de rives ont etä adaptäes au gauchissement du bord de la coque par un collage effectuä sur un gabarit permettant ce genre de mise en forme. On doit donc däfinir l'epaisseur maximale des lames pouvant subir le gauchissement requis sans qu'elles fissurent sous l'effet du cisaillement. Ce critäre n'etant pas däterminant pour la securitä, on peut aller jusqu'ä T = 2,4N/mm2 = 2400kN/m2.

L'angle de gauchissement maximum est atteint au point haut infärieur et vaut = 0.0230/m. Avec le module de glissement G = 500•103kN/m2 on peut aller jusqu'ä une äpaisseur de lamelle de t_

T

= G

2400

Lignatec 2/96

—

0.21 m.

0.023- 500-103

Le critäre de gauchissement maximum n'est ainsi pas determinant pour le choix de la section des lames.

3.3.1 Exigences pour la composition de la coque Le critäre permettant de definir si la composition de la coque doit comprendre deux ou trois couches d'orientations differentes, a äte präsente sous 3.1. La composition en deux couches se limite principalement aux coques dont les bords font office d'appuis fixes.

Toutefois les coques PH peuvent, pour des conditions gäometriques bien definies, etre räalises avec une composition en deux couches, möme dans les cas de bords libres, comme dämonträ sous 3.2.2.2. Les deux orientations des lames doivent, alors, etre paralläles aux courbures principales. Lorsque l'on a affaire ä des portions de coques elliptiques ou de coques PH, ces orientations correspondent, dans la partie haute, aux axes principaux de la surface. L'epaisseur requise pour les planches däcoule des calculs statiques präsentes sous 3.4, tout en respectant la valeur maximale (t r/200) donnäe par les courbures principales. Au cas oü la säcuritä structurale näcessite des sections supärieures dans l'une ou dans les deux directions, les couches doivent etre decomposäes en deux ou trois lames. Ce cas ne se präsente toutefois pratiquement jamais. Si la coque doit etre isoläe, il faut genäralement mettre en place un lattage. Ce dernier produit un effet rigidificateur supplementaire qui peut etre pris en consideration.

Si le bord d'une coque est libre ou s'il est l'eläment de liaison avec une coque voisine, la forte courbure des trajectoires des contraintes principales rend indispensable la mise en place de trois couches de lames.

L'efficacite maximale est atteinte lorsque les trois directions se coupent avec des angles voisins de 60°. Lorsque l'on est en presence de coques developpables (cylindriques ou coniques) la troisiäme couche peut etre realisäe au moyen de lattes ou de poutres orientäes selon la gäneratrice rectiligne (figure 18). La liaison entre les differentes couches de planches ou, le cas ächeant, avec les lattes ou les poutres, est gäneralement faite par des vis ä bois. Par croisement entre deux planches il faut disposer au moins une vis. Un collage camp'& mentaire des couches n'est gänäralement pas necessaire. Au cas oü les deformations calculäes sont plus importantes, ce qui est en particulier possible lorsque Von a des bords libres, le collage permet une rigidification notable.

25

3.3.2 Exigences pour les bords et les appuis de la coque L'execution du bord de la coque varie selon qu'il soit libre, qu'il soit l'element de liaison avec une coque adjacente ou qu'il fasse office d'appui. Dans le premier cas, un renforcement est generalement indispensable pour limiter les deformations et/ou pour transmettre les contraintes d'efforts tranchants de la coque jusqu'aux appuis. Ce renforcement peut se faire par collage de planches sur l'une ou les deux faces de la coque. Les sections doivent etre estimees, si elles ne peuvent pas etre calculäes explicitement, afin d'etre introduites dans le modele statique.

Si le bord est l'element de liaison avec une coque voisine, on procede fondamentalement de maniere analogue que dans le cas d'un bord libre. On peut egalement mettre en ceuvre une poutre fabriquäe specialement ä cet effet. Gäneralement cette poutre est gauche (vrillee) et suit un axe spatial. La production se fait par collage de lames sur des gabarits adequats. La section des lamelles s'oriente donc, d'une part selon la courbe spatiale d'intersection, et d'autre part selon le gauchissement du bord comme cela a ätä dit sous 3.2.2.2.

Le cas le plus simple se präsente lorsque le bord de la coque fait office d'appui fixe. II faut alors monter sur des piliers ou sur un mur, une poutre de rive en bois lame116 collä, sur laquelle les planches peuvent etre clouees.

Cette poutre doit donc avoir une face adaptee ä la geometrie de la coque. Pour ce faire, il est recommande de faire la mise en ceuvre avec une colle permettant le remplissage d'eventuels vides interstitiels. Le montage de la coque se fait, dans le cas de surfaces non däveloppables, sur un chässis compose de poutres cinträes, sauf si l'on a affaire ä des coques PH ou ä un conoide. Dans ce cas, il est en effet possible d'utiliser des poutres rectilignes disposäes selon l'orientation des generatrices droites.

3.4

Modölisation pour le calcul statique

Le milieu continu que represente une coque est transforme en une structure de barres

Figure 27 Structure de barre pour une coque cylindrique

Lignatec 2/96

comme dans le cas des volles präsentes sous 2.4. II s'agit en premier lieu de generer le maillage avec ses nceuds. Pour ce faire, deux ou trois planches, groupes de planches, lattes ou poutres sont idealisees en une barre. Les groupes de planches sont traites de maniere analogue ä ce qui a ete däcrit sous 2.4 pour les voiles. Pour les coques cylindriques les noeuds doivent etre generös avec une trame rectangulaire parallele ä l'axe du cylindre.

Pour obtenir un croisement des barres avec un angle voisin de 60° l'espacement des points le long des generatrices doit etre egal ä environ 60% de la distance transversale.

Pour des portions de cönes, la trame selon laquelle sont positionnes les noeuds doit etre däfinie par les coordonnäes polaires. Un angle de 60° entre les orientations des differentes planches et les generatrices ne peut 'etre obtenu qu'au droit d'une seule generatrice.

On choisit donc de respecter cette condition pour la generatrice mediane. Pour les surfaces non developpables illustrees par les exemples präsentes dans le präsent document, on a choisi une trame parallele, en plan, aux coordonnees x —y et qui de ce fait suit approximativement la disposition des planches. Cette superposition n'est en fait exacte qu'au droit des axes principaux. Pour les surfaces developpables, la dimension des mailles est choisie en fonction de l'espacement du lattage. Pour les surfaces non developpables la dimension des mailles peut etre choisie librement. Le maillage est fondamentalement orientä selon la courbure des planches et du bord de la coque. Plus le maillage est fin, meilleur sera l'approximation. Les axes principaux d'inertie des sections des barres idealisees sont generalement deverses, cela signifie que l'axe y de la section de la barre n'est en genoral pas horizontal. L'angle d'inclinaison doit etre introduit pour chaque barre.

Les barres interieures ainsi que celles disposees sur les bords de la coque doivent etre liees de maniere encastree aux noeuds. On est ainsi plus proche de la realite que si l'on admet des liaisons articulees.

3.4.1 Coque cylindrique La coque cylindrique illuströe ä la figure 18 peut servir de toiture ä un passage couvert.

Dans ce cas on peut admettre que l'on ait une portion de coque de 10 m de longueur avec, en coupe, une largeur de 4 m et une fleche de 0,9 m. II en räsulte un rayon de 2,67 m et une largeur däveloppee de 4,52 m. Constructivement on peut se fixer que la coque est composäe de deux couches de planches montees sur neuf pannes longitudinales. La coque est

26

«articuläe» aux appuis pour autant que les pannes reprennent les charges verticales et uniquement la composante horizontale transversale. Les döplacements horizontaux longitudinaux restent libres (figure 27). L'ecartement entre les pannes est de 4,52/8 = 0,565 m et les points de croisements sur les pannes sont espacäs de 60% x 0,565 = 0,333 m. Les barres fictives repräsentent ainsi une largeur de lame de sin 60° x 0,565 = 0,288 m. Cet äcartement implique que Von a ägalement des croisements entre les pannes. On peut renoncer ä mettre un nceud au droit de ce croisement.

Pour däterminer les sections il faut encore faire quelques simplifications. Le rösultat peut alors ätre värifiäe ä la securite structurale et ä l'aptitude au service. Un premier calcul montre que le bord de la coque subit un tassement vertical important accompagnä d'un deplacement horizontal dirigö vers 'Interieur. L'introduction d'une transversale ä mi-longueur produit une rigidification träs efficace qui s'aväre ötre suffisante. Si l'on retient les sections de lames obtenues par la verification des contraintes admissibles, on a des öpaisseurs trop faibles ne permettant pas de transmettre aux pannes les efforts de traction et de compression par des clous ou des vis. L'epaisseur maximale des lames est fonction du rayon de courbure r = 2,67/sin 60° = 3,0 m, et vaut donc 15 mm. En poursuivant l'optimisation on obtient pour la panne inferieure 120 x 120 mm et 80 x 80 mm pour les pannes restantes. La fläche sous une charge uniformöment räpartie de 2 kN/m2 atteint 20 mm au milieu de la coque, ce qui represente 1/500 de la portee. La contrainte combinäe de flexion et compression de la panne inferieure atteint ä mi-longueur, au droit de la poutre transversale, 8,5 N/mm2. Toutes les autres contraintes restent faibles. Cet exemple dömontre de maniäre impressionnante l'efficacitä des structures porteuses en coques.

3.4.2 Coque paraboloide elliptique La couverture de forme paraboloide elliptique repräsentäe ä la figure 24 sera le deuxiäme exemple construit que nous analyserons. Les caractäristiques geometriques sont donnäes sous 3.2.2.1. Pour le modäle statique on admet une trame carree de 4 x 4 m.

L'appui de bord de la coque est admis fixe et encasträ. Un calcul avec une äpaisseur de coque de 2 x 50 mm donne pour la charge de service maximale (poids propre 0.6, neige 1,4 kN/m2) un däplacement vertical du centre

Lignatec 2/96

de la coque de seulement 25 mm. Les sollicitations restent faibles. L'orientation des contraintes principales est paralläle aux lames qui suivent un trace parabolique. Les lames ne sont donc sollicitäes que par des efforts normaux, ä condition que l'on ait des charges verticales uniformement räparties. Si la coque est chargäe de maniäre non uniforme, les trajectoires des contraintes principales s'äcartent de l'orientation des lames.

II resulte des efforts transversaux sur le maillage conduisant ä des deformations significatives.

Pour discuter le comportement, il faut decouper la coque par les lignes mädianes en quatre quadrants. Sous une demi-charge de neige räpartie uniformement sur un cote de la coque (sur deux quadrants adjacents) il reste toujours une direction de lame pour laquelle il n'y a que des efforts normaux. Dans l'autre direction la parabole est chargöe asymötriquement et donc träs deformable.

La charge doit ainsi ätre reprise essentiellement par une seule couche de lame. Comme Von pouvait s'y attendre les deformations maximales sont differentes. Elles valent, si l'on charge les quadrants I et II (rayon de courbure 39 m) 16 mm et pour la charge agissant sur les quadrants II et III (rayon de courbure 169 m) 46 mm. Les deformations restent cependant träs faibles. II en va de möme pour les contraintes qui restent voisines de 1N/mm2. Si l'on ne charge plus qu'un seul ou pire deux quadrants opposäs, par exemple I et III, il n'y a plus de direction pour laquelle il n'y a que des efforts normaux. Les trajectoires des contraintes principales s'ecartent alors significativement de la direction des coordonnäes, l'extröme ötant atteint au milieu de la coque. Les fläches maximales sont alors de 600 mm ce qui n'est plus tolerable.

Dans ce cas concret, il faut se demander quelle est la probabilite d'occurrence d'une teile distribution de charge, et le cas öcheant, quelles sont alors les deformations admissibles. Pour satisfaire les exigences, on pourrait naturellement changer la structure de la coque en passant ä une composition en trois couches.

Les contraintes sont träs faibles pour tous les cas de charges, meme pour une räpartition en damier. De ce point de vue, avec le choix d'une äpaisseur de 50 mm, les lames sont surdimensionnäes. Pour poursuivre l'optimisation il faudrait considärer une serie de critäres complämentaires. II s'agit notamment du comportement sous une charge concenträe. Mais au-delä, les critäres techniques

27

Lignatec 2/96

de räalisation sont encore plus importants. II faut par exemple, pour faciliter la mise en oeuvre, räduire ä une longueur congrue les lames continues aboutäes par des joints ä entures multiples. Ainsi, une part importante des sections peut 6tre assembläe avec des joints plats. Par ailleurs la coque doit ätre fabriquäe sur un gabarit composä de poutres paraboliques disposäes avec un espacement ä däterminer. Les coüts sont inversement proportionnels ä ('espacement entre ces poutres. A ('inverse röpaisseur des lames croit puisque l'on doit ätre en mesure de travailler sur les lames avant que les deux couches ne soient liäes pour former une coque.

On devrait ögalement analyser de maniäre plus approfondie les räpercutions de rhypothäse simplificatrice faite en admettant des bords fixes et encaströs. L'introduction d'appuis de rives älastiques montre cependant que la coque röagit ötonnamment bien lorsque l'on permet des däplacements horizontaux.

Photo 9a) Eglise Bethanienheim, St-Niklausen (OW): Vue gandrale sur la toiture en forme de paraboloide hyperbolique (PH)

3.5

Exemples de realisations

3.5.1 Eglise Bethanienheim, St-Niklausen (OW) Annöe de construction : 1971 Architecte : Otto Schärli, architecte dipl. EPF/FAS, Lucerne Läglise est couverte par une coque PH de 22,5 x 22,5 m (photo 9). Les deux angles infärieurs transmettent intägralement le poids propre et la charge de neige de 3 kN/m2, d'un cötä sur le bätiment adjacent et de l'autre cötä

b) Travail de pracision pour la pose de la coque au moyen de deux grues mobiles

Rondteger 2.40125 Smocell-Platten P20 und P30,40mm stark '10 4-

1-Dampfsperr, -1416

Scnonee tetOmm

Sen efit

X10

17

L. sehn/er-1' i6 --.

Stütze

ü

11

.1,-"" 015

Schneit-1C

sesnittz-sr Rand-Detail

Bolzen M16

✓ `.• •

c) Vue en plan, composition en coupe, datails constructifs, gabarit de fabrication

/•/ Schalung 2.30mm

Nett 38190

5 SchalenZetoils 6 Grundrißeadioufsichnehrgerint

28

sur un pilier en bdton. Les charges asymätriques de neige et de vent sont reprises par la paroi de forme circulaire de la chapelle. Ces appuis n'dtant pas disposös sur le bord de la coque, il se produit localement des moments.

Leur effet a dtd analys6 en considdrant des charges ponctuelles sur une plaque de dimension infinie. II en est rdsult6 une öpaisseur näcessaire pour la coque de 2 x 30 mm.

Le calcul statique et la röalisation de la poutre de rive sont prösentös sous 3.2.2.2 comme cas particulier pour une coque PH de base rectangulaire. La composition de la toiture comprend deux couches de lames de bois de 2 x 30 mm, une feuille de polyöthyläne servant de barridre vapeur et un double lattage croisö de 40 x 110 mm vissö l'un sur l'autre. Entre les lattes espacdes de 1 m deux couches de styropor de 40 mm assurent l'isolation. Une couche de transition en fibres de verre regoit un film PVC clouö sur le lattage puis recouvert et soudö en plein (photo 9c).

Photo 10 Salle polyvalente Kinderdorf Loeche: Bätiment hexagonal couvert de six elements de coques appuyes aux angles

La rdalisation de la coque s'est fait sur un gabarit, disposö hors du pörimötre de la chapelle. Le gabarit dtait composö de poutres rectilignes. Les poutres de rives vrillöes ont dtd collöes en atelier. La moitid införieure a 6td fixe sur le gabarit dans la position voulue, de maniöre ä recevoir la premiöre couche de lames. L'assennblage par contact se fait par l'internnediaire d'une colle permettant ögalement le remplissage des vides interstitiels. La pression de collage a dtd donnde par un clouage qui serait ä lui seul suffisant pour reprendre les efforts. La seconde couche a dtö collde en plein sur la premidre et fixes par deux vis ä chaque croisement de lames.

Au droit des poutres de rives la liaison est renforc6e par un clouage. La moitid sup6heure de la poutre de rive a dtö collöe sur la seconde couche de lames. Pour la pression

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de collage des boulons M 16 traversants ont ötö disposös tous les 50 cm. Un tirant provisoire reliait les deux points d'appuis de manidre ä permettre la mise en place de la coque par deux grues mobiles. Pour assurer la stabilitö durant le levage, en compläment ä la fixation aux points d'appuis, deux filins de söcuritö reliant le crochet de chaque grue aux points hauts de la coque ont dü dtre mis en place (photo 9b).

3.5.2 Salle polyvalente Kinderdorf Loche Anne de construction : 1985 Architectes: Heidi et Peter Wenger, architectes dipl. EPF/SIA/FAS, Brigue La salle polyvalente, construite sur un plan hexagonal, est couverte par six coques PH semblables se rejoignant en un point haut central (photos 10 et 11). Les points bas d'appuis transmettent les charges verticales et horizontales aux murs en böton arme. La göomötrie de ces PH est donnäe sous 3.2.2.2 comme application de la thöorie. La coque est composde de deux couches de lames d'äpicöa de 24 mm. La couche införieure est ex6cutäe avec un lambris raine crötd. Pour la construction, un gabarit assurait le positionnement exact des lames et de la moitiö införieure des poutres de rives (photo 12).

Pour assurer la g6omdtrie de la coque des planches verticales coupöes selon un tracö parabolique sont intögröes au gabarit. Les petites dimensions de la coque ont permis de se limiter ä trois planches paraboliques.

Les deux longues poutres de rives amdnent les charges de toiture aux appuis. Elles sont forrnäes de doubles lamellös collös de 120 x 140 mm, dont les faces adäquates suivent la surface gauche de la coque. Les deux demi-poutres superposdes sont assemblöes par des vis. Les petites poutres de rives se d6composent en moitids supdrieures et infdrieures de 120 x 81 mm chacune. Les deux

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Photo 11 Vue interieure de la toiture

parties sont assembldes par collage. 126paisseur maximale des lames, pour une torsion cp = 0,211/m (voir page 22), calculde avec la relation de la page 24 vaut t—

2400 0.211 • 500.103

= 0,023/m.

L'exöcution a dtd faite avec une dpaisseur de 27 mm qui ont encore pu ötre mises en ceuvre sans probläme.

Comme dörnonträ sous 3.2.2.2 dans un voisinage de un metre autour du point haut infärieur, le rayon de courbure selon y est

Photo 12 Gabarit pour la production des elements de coques PH

infärieur ä 4,80 m, et donc au-dessous de la valeur limite egale ä 200 fois röpaisseur des lames mises en ceuvre. La couche infärieure orientee selon x n'a pas posd de probläme gräce ä un rayon supörieur egal ä 6,75 m.

Pour la couche supdrieure les petites imperfections dues ä la trop grande rigiditö des planches ont pu ötre acceptdes. Les six coques ont dtd successivement produites sur le möme gabarit (photo 12). Elles ont alors ötd provisoirement empildes pour pouvoir ötre posdes däfinitivement en une seule ötape.

Pour le montage un pilier central provisoire a fait office d'ötayage.

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Autres r6alisations de structures tridimensionnelles ä parois minces La recherche de littärature späcialisäe montre qu'il n'existe que träs peu de document traitant de maniäre exhaustive des structures plissäes et des coques. Une bonne synthöse peut ätre trouvee dans les Construire en bois 1 et 2 de Götz, Hoor, Möhler, Natterer, Herzog et Volz. Länumäration ci-dessus ne donne que I'affectation et le lieu de l'ouvrage, et n'a en aucun cas la prätention d'ätre exhaustive.

4.1 Exemples en Suisse 4.1.1 Structures plissäes Eglises ä Magden (AG), Au (ZH), Hallau (SH), Weinfelden (TG) Couverture d'atelier formant une toiture en shed: Ecole professionnelle ä Samen 4.1.2 Coques Halle d'exposition Polydöme EPF Lausanne, portion de calotte sphörique

Photo 13 Timber Research and Development Association, Tyler Green, Angleterre: Halle d'essai avec une toiture composöe de conoides

4.2 Exemples ä rätranger 4.2.1 Structures plissäes Eglise St-Hildegard, Munich, 25 x 25 m Halle de stockage ä Apeldoorn/ Hollande Couvre une surface de 50 x 83 m, döcomposä en äläments ä deux pans de 4,6 x 8,2 m Centre commercial Würzburg, äläments ä deux pans d'une dimension de 7 x 16,5 m Ecole ä Tacoma/Washington, halle couverte avec des sheds d'une portäe de 12 m.

4.2.2 Coques Eglise St-Paul, Monrovia/Californie älöments de coques cylindriques 4,6 x 15,5 m Eglise Amstelveen/Hollande, coque PH 24 x 24 m Pavillon d'exposition ä Portland/Oregon, coque PH 15 x 15 m Ecole enfantine Stainz/Autriche, quatre coques PH 10 x 10 m Bätiment abritant un institut Delft/Hollande Conoide 6,2 x 6,2 m March6 couvert Yeovel/Angleterre Conoide 6,8 x 12,8 m Gare de Manchester/Angleterre Conoide 10,2 x 29,3 m

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Bibliographie

Schleicher, 1995 Taschenbuch für Bauingenieure: Recueil de formules pour le calcul diffärentiel des surfaces Vormgeving in hout, 1996 J.H. Pestman, Amsterdam : Description träs approfondie des diffärents systämes avec des indications pour le calcul et de nombreux exemples de räalisations.

Holzflächentragwerke, 1969 Gernot Minke: Images et descriptions de realisations des annäes 50 et 60.

Construire en bois 1, 1978 Götz, Hoor, Möhler, Natterer: Exemples d'ouvrages röalisäs avec dätails constructifs et photos.

Construire en bois 2, 1991 Natterer, Herzog, Volz: Collection d'exemples de röalisations en bois novatrices.

Bulletin bois, 1993 Lignum, A propos de formation : Polydöme, EPF Lausanne

STEP 2, 1995 Fachverlag Holz, Düsseldorf et Lignum Zurich : Un chapitre traite des structures spatiales ä parois minces. II comprend un aper9u historique et une präsentation träs compläte de la thäorie gänärale basäe sur la thäorie des membranes.

Photo 14 Ecole polytechnique föderale de Lausanne: Polydöme, portion de calotte sphörique couvrant une halle d'exposition.

Architecte: Dan Badic + Esther Stierli, Morges; Ingenieur: Bois Consult Natterer SA, Etoy/IBOIS-EPFL, Lausanne

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Impressum

Lignatec Les informations techniques bois de Lignum Editeur LIGNUM Union suisse en faveur du bois Peter Hofer, directeur Rödaction Choix des sujets, rädaction technique: Jürg Fischer, Lignum Technique Relecture: Charles von Büren, Lignum Communication Traduction: Markus Mooser, Lignum, Le Mont Conception graphique: Albert Gomm SGD, Graphic Design, Bäle Administration/Abonnements/expädition Andreas Hartmann, Lignum Communication Impression Druckerei e/d Sihl AG, Zurich Imprima sur papier blanchi sans chlore Tirage en frangais: 1200 exemplaires Le copyright de cette documentation est propriätä de Lignum, Union suisse en faveur du bois, Zurich. Toute reproduction n'est autorisäe qu'avec la permission expresse et äcrite de Eäditeur.

Sont exclues toutes prätentions räsultant de l'emploi des donnäes communiquäes.

Röfärences des figures et photos Photo de couverture, photos 10 + 11: Heidi et Peter Wenger, Brigue Photo 1 5 9, 12: Dr Hans-Heini Gasser, Lungern Photo 13: TRADA, Angleterre Photo 14: H. Germond, Lausanne

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Auteur Hans-Heini Gasser, ing. dipl. EPF/SIA/ASIC, Dr sc. techn., du bureau d'ingänieurs Gasser & Partenaires SA, 6078 Lungern Lignatec parait deux 5 trois fois par an; il traite de questions techniques relatives 5 l'utilisation du bois et des matäriaux därivös.

Lignatec s'adresse aux planificateurs, ingänieurs, architectes, ainsi qu'aux transformateurs et utilisateurs du bois.

II est possible de s'abonner ä Lignatec. Un classeur ä Index permet de retrouver facilement les informations recherchäes.

Abonnement annuel : Fr. 40.Les membres de Lignum regoivent gratuitement Lignatec.

Exemplaire isolä ä Fr. 15.Classeur 5 Index, Fr. 12.- l'unitä Sous räserve de modification de prix LIGNUM Union suisse en faveur du bois En Budron H6, 1052 Le Mont-sur-Lausanne 11 021 652 62 23, Fax 021 652 93 41 Lignatec Coques et structures plissees en bois No 2/1996 Parution: Juillet 1997

ISSN 1421-0320