John Frentz | Jonna Høegh | Mikael Skånstrøm
MATEMAT IK TA K
LÆRERVEJLEDNING 8. KLASSE
9788723032232_omslag.indd 1
| ALINEA |
04/11/13 14.53
John Frentz • Jonna Høegh • Mikael Skånstrøm
MATEMAT IK TA K FOR 8. KLASSE
VEJLEDNING
ALINEA
9788723032232_indhold_001_084.indd 1
06/11/13 13.22
Matematik tak 8. klasse. Vejledning 2009 Alinea, København Kopiering fra denne bog kun tilladt ifølge aftale med COPY DAN. Det gælder dog ikke sider til fri kopiering. Grafisk tilrettelægning: Roll Company Omslagslayout: Maria Lundén Fotograf: Hans Juhl Forlagsredaktion (ekstern): Esben Lildholdt Esbensen Tryk: Sangill Grafisk 2. udgave, 1. oplag 2009 ISBN 978-87-23-03223-2
9788723032232_indhold_001_084.indd 2
04/11/13 15.01
9788723032232_indhold_001_084.indd 3
04/11/13 15.01
9788723032232_indhold_001_084.indd 4
04/11/13 15.01
Indhold Materialer til 8. klasse 9
MEXICOS INDIANERE 79
Generelt 13
Mexicos pyramider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Mayaernes tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Indianernes kunst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Fælles mål II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Undervisningsvejledningen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matematik-tak og IT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matematik-tak og evaluering . . . . . . . . . . . . . . . . . Tik-tak-tjek facitliste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faglige færdigheder facitliste . . . . . . . . . . . . . . . . Månedens opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vejledning til Matematik-tak 8. kl.
13 15 17 18 19 20 24
29
UD I NATUREN 31
Opgavesider
kopiside
1-6
Tik-tak tjek
kopiside 7-30
Månedens opgave
kopiside 31-39
Vejledning til edb 7-10. kl.
kopiside 40-53
Fugle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Spiraler i naturen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Blomsterfarver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 IND I MUSIKKEN 40
Noder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Plader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Pladeproduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 STOREBÆLTSBROEN 44
Flydekran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Bropenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 I bil over bæltet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 SPORT 51
På banen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 På vandet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 På græsset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 OP MOD JUL 56
Julekaleder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 UNGDOMSSKOLEN 58
Ungdomsskoleelever . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 En aften i ungdomsskoleklubben . . . . . . . . . . . . . . 61 På tur med ungdomsskolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 STORE VIDENSKABSMÆND 65
Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Leonardo da Vinci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Niels Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 MODE ER FORBRUG 72
En anorak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Levis – et par jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Tøj til hele familien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5 9788723032232_indhold_001_084.indd 5
04/11/13 15.01
9788723032232_indhold_001_084.indd 6
04/11/13 15.01
9788723032232_indhold_001_084.indd 7
04/11/13 15.01
9788723032232_indhold_001_084.indd 8
04/11/13 15.01
MATERIALER
Materialer til 8. klasse Matematik-tak Grundbog
MATEMAT IK TA K
BOG 8. KLASSE
BOG 8. KLASSE
MATEMAT IK TA K
John Frentz | Jonna Høegh | Mikael Skånstrøm
| ALINEA |
029898
| ALINEA |
www.alinea.dk
9 788723
g Tiktak 8. klasse.indd 1
02/03/09 12:02:50
Matematik-tak for 8. klasse Temaer:
Ud i naturen
side 31
Ind i musikken
side 40
Storebæltsbroen
side 44
Sport
side 51
Op mod jul
side 56
Ungdomsskolen
side 58
Store videnskabsmænd
side 65
Mode er forbrug
side 72
Mexicos indianere
side 79
9 9788723032232_indhold_001_084.indd 9
04/11/13 15.01
MATERIALER
Matematik-tak edb 7.-10. klasse
Matematik-tak, TIK-TAK 1 og 2 for ottende klasse
CD-ROM med 6 INFA-programmer. BOGSTAVREGN GRAFER MODEL MØNSTER-2 RUMGEOMETRI SANDSYNLIGHED
er supplerende engangshæfter til yderligere træning og differentiering.
Notater
Matematik-tak, TIK-TAK X 8. BRØK – DECIMALTAL – PROCENT Matematik-tak, TIK-TAK X 8. POTENS - KVADRATROD Matematik-tak, TIK-TAK X 8. LIGNINGER Matematik-tak, TIK-TAK X 8. REGNEREGLER er supplerende engangshæfter for elever der har behov for træning og fordybelse i de faglige områder.
Regneark-tak for 8.-10. klasse Hæftet indeholder supplerende regnearksopgaver tilpasset grundbøgernes emner.
10 9788723032232_indhold_001_084.indd 10
04/11/13 15.01
9788723032232_indhold_001_084.indd 11
04/11/13 15.01
9788723032232_indhold_001_084.indd 12
04/11/13 15.01
Fælles mål II
• opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede matematiske problemer og vurde løsningerne bl.a. med henblik på at generalisere resultater (problembehandlingskompetence) • opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af tal, tegning, diagrammer, ligninger, grafer og formler (modelleringskompetence) • udtænke, gennemføre, forstå og vurdere matematiske ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (ræsonnementskompetence) • afkode, bruge og vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationsformer og kunne se deres indbyrdes forbindelser (repræsentationskompetence) • forstå og benytte variable og symboler, bl.a. når regler og sammenhænge skal vises samt oversætte mellem dagligsprog og symbolsprog (symbolbehandlingskompetence) • udtrykke sig og indgå i dialog om matematikholdige anliggender på forskellige måder og med en vis faglig præcision, samt fortolke andres matematiske kommunikation (kommunikationskompetence) • kende til forskellige hjælpemidler herunder it og deres muligheder og begrænsninger samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (hjælpemiddelkompetence).
Fælles Mål II adskiller sig på væsentlige punkter fra Fælles Mål (I). For det første er der kommet et nyt formål og så er der konstrueret en ny 4-punkts oversigt i relation til faget: • Matematiske emner • Arbejde med tal og algebra • Arbejde med geometri • Arbejde med statistik og sandsynlighedsregning • Matematik i anvendelse • Matematiske arbejdsmåder • Matematiske kompetencer
Formålet for matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer vedrørende dagligliv, samfundsliv og naturforhold. Stk. 2 Undervisningen tilrettelægges, så eleverne selvstændigt og gennem dialog og samarbejde med andre kan erfare, at arbejdet med matematik fordrer og fremmer kreativ virksomhed, og at matematik rummer redskaber til problemløsning, argumentation og kommunikation.
G E N E R E LT
Generelt
Kommentar: Kompetencer var nævnt i Fælles Mål I, men på en langt mindre fremtrædende plads end i de nye Fælles Mål II. Måden, som Matematik-tak for ottende er bygget op på, gør det muligt for læreren at medtænke kompetencebegreberne: • I arbejdet med de sorte sider, som er indledningen til alle afsnittene vil de tre første kompetencer – tankegangskompetencen, problembehandlingskompetencen og modelleringskompetencen – nemt kunne sættes i spil i samtalerne og arbejdet med de mere åbne problemstillinger og spørgsmål. • I arbejdet med de faglige opgaver kommer andre tre kompetencer i fokus: repræsentationskompetencen, symbolbehandlingskompetencen og hjælpemiddelkompetencen. • De to sidste kompetencer – ræsonnementskompetencen og kommunikationskompetencen – må fortrinsvis søges arbejdet med i det nødvendige supplerende arbejde, som det fx er beskrevet med forslagene til andre aktiviteter her i lærervejledningen. • Et særligt problem udgør kommunikationskompetencen – i forhold til at den mundtlige prøve i matematik i 9. klasse blev afskaffet fra og med som-
Stk. 3 Undervisningen skal medvirke til, at eleverne oplever og erkender matematikkens rolle i en kulturel og samfundsmæssig sammenhæng, og at eleverne kan forholde sig vurderende til matematikkens anvendelse med henblik på at tage ansvar og øve indflydelse i et demokratisk fællesskab.
Matematiske kompetencer – trinmål 9. klasse Med udgangspunkt i den matematikopfattelse, der er beskrevet i Uddannelsestyrelsens temahæfteserie nr. 18–2002: Kompetencer og matematiklæring, indledes Fælles Mål II med en konkretisering af kompetencerne. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at • skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske forskellige matematiske begrebers rækkevidde og begrænsning (tankegangskompetence)
13 9788723032232_indhold_001_084.indd 13
04/11/13 15.01
meren 2007. Det var jo netop i denne kommunikative situation at kompetencen kom i spil. Danmarks Matematiklærerforening og andre har i øvrigt gjort opmærksom på det forhold, at det ikke er muligt at opfylde Fælles Mål II, når den mundtlige prøve ikke er til stede.
• gengive algebraiske sammenhænge i geometrisk repræsentation i arbejdet med statistik og sandsynligheder • anvende statistiske begreber til beskrivelse, analyse og fortolkning af data • tilrettelægge og gennemføre enkle statistiske undersøgelser • læse, forstå og vurdere anvendelsen af statistik og sandsynlighed i forskellige medier • udføre og tolke eksperimenter, hvori tilfældighed og chance indgår • forbinde sandsynligheder med tal vha. det statistiske og det kombinatoriske sandsynlighedsbegreb.
G E N E R E LT
Matematiske emner – trinmål 9. klasse Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med tal og algebra • kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge • arbejde med talfølger og ”forandringer” med henblik på at undersøge, systematisere og generalisere • regne med brøker, bl.a. i forbindelse med løsning af ligninger og algebraiske problemer • forstå og anvende procentbegrebet • kende regningsarternes hierarki samt begrunde og anvende regneregler • forstå og anvende formler og matematiske udtryk, hvori der indgår variable • anvende funktioner til at beskrive sammenhænge og forandringer • arbejde med funktioner i forskellige repræsentationer • løse ligninger og enkle ligningssystemer og ved inspektion løse enkle uligheder • bestemme løsninger til ligninger og ligningssystemer grafisk
Kommentar: I afsnittet med de matematiske emner har ’Statistik og sandsynligheder’ fået sin tidligere position tilbage som et selvstændigt matematisk område. Der skal lægges vægt på dels at anvende de statiske begreber og dels at forstå og anvende statistik og sandsynligheder i anvendelsesøjemed, som det fx er beskrevet i formålet, stk. 3. Det er værd at bemærke, der er sket en faglig skærpelse i formuleringerne. Hvor eleverne på flere punkter i Fælles Mål I, som her skulle ”benytte formler, bl.a. i forbindelse med beregning af rente og rumfang” er den tilsvarende formulering i Fælles Mål II: ”forstå og anvende formler og matematiske udtryk, hvori der indgår variable”. ”Benytte” er altså blevet til ”forstå og anvende”. I geometriområdet er der foretaget et par justeringer. Tilbage i midten af 1990’erne blev forskellige tegneformer introduceret og både perspektivtegning og isometritegning kom i læseplanen. Det er her tonet ned til ’sammenhænge mellem model og tegning’. Til gengæld er der trigonometrien så genopstået: ”arbejde undersøgende med enkel trigonometri i forbindelse med retvinklede trekanter og anvende det til beregning af sider og vinkler”. Matematik-tak for ottende lever op til kravene om de matematiske emner. På www. alinea.dk kan man finde eksempler på andre opgaver, der lægger op til undersøgende arbejde med enkel geometri.
i arbejdet med geometri • kende og anvende forskellige geometriske figurers egenskaber • fremstille skitser og tegninger efter givne forudsætninger • benytte grundlæggende geometriske begreber, herunder størrelsesforhold og linjers indbyrdes beliggenhed • undersøge, beskrive og vurdere sammenhænge mellem tegning (model) og tegnet objekt • kende og anvende målestoksforhold, ligedannethed og kongruens • kende og anvende målingsbegrebet, herunder måling og beregning i forbindelse med omkreds, flade og rum • udføre enkle geometriske beregninger, bl.a. ved hjælp af Pythagoras’ sætning • arbejde undersøgende med enkel trigonometri i forbindelse med retvinklede trekanter og anvende det til beregning af sider og vinkler • arbejde med enkle geometriske argumenter og beviser • bruge it til tegning, undersøgelser, beregninger og ræsonnementer vedrørende geometriske figurer • arbejde med koordinatsystemet og forstå sammenhængen mellem tal og geometri
Matematik i anvendelse – trinmål 9. klasse Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at • arbejde med problemstillinger vedrørende dagligdagen, bl.a. i forbindelse med privatøkonomi, bolig og transport • behandle eksempler på problemstillinger knyttet til den samfundsmæssige udvikling, hvori bl.a. økonomi, teknologi og miljø indgår • anvende faglige redskaber og begreber, bl.a. procentberegninger, formler og funktioner som værktøj
14 9788723032232_indhold_001_084.indd 14
04/11/13 15.01
Undervisningsvejledningen
til løsning af praktiske problemer • udføre simuleringer, bl.a. ved hjælp af it • erkende matematikkens muligheder og begrænsninger som beskrivelsesmiddel og beslutningsgrundlag.
I undervisningsvejledningen, som den så ud i Fælles Mål I, var der beskrevet fem undervisningsforløb:
Kommentar: I Fælles Mål I, som jo var skabt med Folkeskoleloven fra 1993 som grund, var anvendelsesaspektet det fremherskende i matematikundervisningen. Det er vel i nogen grad nedtonet, men er dog stadig en af fire overskrifter. I Fælles Mål II er der sket en del redaktionel arbejde, men vigtigheden af at kunne anvende matematikken er fortsat et af fagets bedst motiverede begrundelser. Det tilgodeses i høj grad af Matematik-tak for ottende klasse, der som indledning til alle afsnit har anvendelsen af fagligheden som udgangspunkt.
Den problemstilling eller det emne som man ønsker at undersøge og belyse er af almen karakter, dvs. ikke bestemt af faget matematik. Matematik vil i sådant tilfælde blive inddraget når den kan bidrage til at give indsigt i emnet. Eleverne kan vælge at inddrage eller undlade matematik, men det er som i al anden undervisning lærerens opgave at vurdere kvaliteten af arbejdet. Denne undervisning har ofte karakter af projektarbejde. Kvaliteten ligger i om matematikken har været vel anvendt, og om den er anvendt hvor den burde være det.
Matematiske arbejdsmåder – trinmål 9. klasse
G E N E R E LT
Undervisningsforløb nummer 1
Det er vel ikke muligt at lave et undervisningsmateriale til matematik, der alene lader sig gennemføre som projektarbejde. Det vil i sig selv være i strid med selve arbejdsformens natur. Men både ”I kan også…”, der afslutter fællessiderne og forslagene her i Vejledningen, lægger op til at foretage aktiviteter, undersøgelser og vurderinger som ikke i sig selv behøver at have noget direkte med faget at gøre. I forbindelse med den obligatoriske projektopgave i 9. og 10. klasse kan eleverne tænkes at bruge faget som beskrivelsesmiddel.
Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at • deltage i udvikling af strategier og metoder med støtte – i bl.a. it • undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere • veksle mellem praktiske og teoretiske overvejelser ved løsningen af matematiske problemstillinger • læse faglige tekster samt forstå og forholde sig til informationer, som indeholder matematikfaglige udtryk • forberede og gennemføre præsentationer af eget arbejde med matematik, bl.a. med inddragelse af it • samarbejde med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb • arbejde individuelt med problemløsning, bl.a. i skriftligt arbejde • give respons til andre i arbejdet med matematik, bl.a. ved at spørge aktivt.
Her vil det være afgørende at foretage en kvalitetsundersøgelse af udbyttet på to måder: Er matematikken anvendt, hvor den burde være det? Det kræver et indgående kendskab til matematik for at eleverne også skal have øje for faget i et projektarbejde som projektopgaven. Det kræver også et godt kendskab til matematikkens forskellige områder. ”Man kan vel altid lave noget statistik”, er et almindeligt udsagn. Men det er vel ikke nok til at sikre en succes i den forbindelse? Øvelser undervejs i hele skoleforløbet med arbejde med matematik i anvendelse bliver en betingelse for at eleverne husker og anvender faget, når de laver projektopgave. Og i den sidste ende er det elevens eget valg og opgavens karakter der afgør, hvor vidt der tages matematik i anvendelse i den sammenhæng. Anvendes der så matematik i den forbindelse, er det op til læreren at vurdere om matematikken er vel anvendt. Har det overhovedet haft nogen mening at inddrage faget som beskrivelsesmiddel, eller er der bare foretaget ligegyldige beregninger og sammenligninger? Hvilke begrundelser ligger der til grund for valget, og er det brugt både fagligt korrekt og korrekt i forhold til elevernes emne?
Kommentar: Matematiske arbejdsmåder er en ny overskrift, der introduceres i Fælles Mål II. Afsnittet erstatter i nogen grad ’Kommunikation og problemløsning’. Brug af it pointeres nu flere steder og der beskrives andre arbejdsmåder end den traditionelle, der alene tager udgangspunkt i opgaveparadigmet. Det er i dette afsnit, at både kravet om faglig læsning og ’samarbejde med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb’, slås fast.
15 9788723032232_indhold_001_084.indd 15
04/11/13 15.01
G E N E R E LT
Undervisningsforløb nummer 2
opnåede matematiske indsigt, men samtidig har eleverne gode muligheder for også at lære noget om de forhold som matematikken beskriver. Afsnittene ”Store Videnskabsmænd” og ”Mexicos indianere” er eksempler som bør give en ekstra emnemæssig viden som sidegevinst til det matematiske arbejde.
Et udvalgt område ønskes belyst, bl.a. ved hjælp af matematik. Det kan være et særligt samfundsforhold, et økonomisk forhold eller et kulturforhold. Området kan være valgt af læreren fordi sider af matematikken er særligt oplagte at inddrage i behandlingen af netop dette emne. Arbejdet med emnet og med matematikken har ligeværdige hensigter. Kvaliteten i arbejdet er derfor til stede hvis eleven forøger sin viden og kunnen inden for både fag og emne. I denne beskrivelse af en undervisningssituation er fag og emne ligestillet. Kvaliteten er altså afhængig af om eleverne både bliver bedre til matematik og klogere i forhold til det emne, matematikken er blevet brugt til at belyse. Langt de fleste matematiklærere har deltaget i tværfaglige forløb. Med meget forskelligt udbytte. Et almindeligt udsagn har været at matematiklæreren ikke syntes, der var givet valuta for den tid der var investeret. At man kunne have lavet mere matematik, hvis der bare havde stået matematik på skemaet og ikke tværfaglige forløb som for eksempel Cirkus, Ung i Danmark, Rejsen til… eller en form for produktionsvirksomhed. Der er ofte to årsager til frustrationen: Det er ikke matematiklærerens ønske og behov, der har været udgangspunkt for samarbejdet, og indholdet og udbyttet sammenlignes direkte med den matematik der er i en matematikbog, og som jo ofte har en hel anden karakter end den eleverne skal arbejde med i de tværfaglige forløb. Temaerne i Matematik-tak for ottende giver mulighed for at tage initiativ til tværfagligt samarbejde. Lærervejledningen og fællessiderne indeholder ideer og forslag til tværfagligt samarbejde og aktiviteter både i og udenfor klassen.
Undervisningsforløb nummer 4 Udgangspunktet er at behandle rene matematiske emner som eksempelvis subtraktion, vinkler eller sandsynlighedsbegrebet. Anvendelsessiden benyttes, f.eks. i form af tekstopgaver, udelukkende til illustration af det faglige emne. Dette kan være en støtte for elevernes tankegang. Men ofte vil eleverne glemme anvendelserne og søge at trække oplysningerne – ofte tallene – ud af sammenhængen og udføre de forventede regneoperationer eller tegne de krævede diagrammer. Kvaliteten vil blive bedømt på rigtigheden af resultatet eller tegningen. Refleksioner i forhold til anvendelsessiden vil sjældent være meningsfulde. ”Hvad skal jeg bruge det til”, er et ofte hørt elevudsagn. Måske ikke sagt med så stor styrke i matematik som i så mange andre fag. Dertil har faget indtil nu haft en stor autoritet og høj prestige hos både elever og forældre – og alle andre, for den sags skyld: ”Det er vigtigt at kunne matematik”. Og den med at man skal kunne regne ellers bliver man snydt hos købmanden, er vist ved at være lidt slidt. Den matematik som før var tydelig i hverdagen, er nu gemt væk på harddiske og bag stregkoder. Men matematik bliver stadig mere brugt som argument for mange af de beslutninger, der bliver taget i samfundet. Problemet er bare at den matematik der her bliver anvendt oftest er for svær gennemskuelig for almindelige mennesker – herunder også lærere og elever. Hvordan kontrollerer man for eksempel at Storebæltsforbindelsen er en matematisk nulløsning? Men grundlaget for de matematiske modeller er kendskab til de rent matematikfaglige emner. Man kan altså ikke isoleret svare på hvad eleverne skal bruge det til, når de for eksempel arbejder med perspektivtegning i afsnittet om Storebæltsbroen.
Undervisningsforløb nummer 3 Et matematikfagligt emne søges belyst. Arbejdet med faget er den centrale hensigt, og kun de sider af praksis som belyser den matematikfaglige hensigt, inddrages. Emnet kan for eksempel være vækstfunktion. Biologiske sammenhænge kan være valgt til eksemplificering, men de biologiske forhold berøres kun i det omfang de støtter matematikken. Kvaliteten bedømmes i overvejende grad ud fra den opnåede matematikfaglige indsigt. Mange af afsnittene i hvert kapitel i Matematiktak for ottende klasse lægger op til en undervisningssituation, der befinder sig et sted mellem de to sidst beskrevne. De kombinerer et matematikfagligt emne med et område der har sit indhold udenfor faget. Hvert afsnit tager udgangspunkt i et forhold der har relation til kapitlets titel, og vi har forsøgt, i så stor udstrækning som det er rimeligt, også at lade de enkelte opgaver i afsnittet relatere til emnet. Kvaliteten af elevernes arbejde med opgaverne i afsnittene bedømmes i overvejende grad ud fra den
Matematik-tak for ottende forsøger dog at knytte mange af de matematikfaglige emner til en situation fra elevernes hverdag. Og refleksionerne i forhold til anvendelsessiden kan jo diskuteres på fællessiden – samtalesiden. Man behøver vel ikke have en fremtid som bygningskonstruktør for at kunne se en idé i at undersøge perspektivtegning i forbindelse med modeller.
Undervisningsforløb nummer 5 Fagets anvendelse er helt udeladt. Hensigten er alene at udvikle forhold som vedrører matematikken. Også ren træning af matematiske færdigheder kan indgå.
16 9788723032232_indhold_001_084.indd 16
04/11/13 15.01
G E N E R E LT
MATEMATIK-TAK at særlige programmer er til rådighed. Arbejdet med edb kan gøres lettere med adgang til en interaktiv tavle, fx når det handler om introduktion af programmer og begreber, men også i det daglige arbejde med fx visualiseringer kan en interaktiv tavle være en fordel. I side-til-side vejledningen er der ideer til anvendelse af en interaktiv tavle ud over deciderede regne- og matematik-programmer. På grundbogens fællessider har vi som det sidste punkt i ’I kan også …’ foreslået et eller flere ord til brug ved søgning på internettet efter yderligere materiale om det pågældende emne. I de fleste tilfælde vil relevante sider dukke op som nogle af de første i en ofte lang liste. Det kan anbefales at checke de pågældende søgeord i forvejen og evt. vælge de mest brugbare hits ud, så eleverne ikke bruger tid på irrelevant eller alt for svært stof.
Indirekte kan eleverne dog gennem den samlede undervisning have opnået forståelse for at man må arbejde med at lære at beherske nye faglige områder for at blive bedre til at benytte matematik til løsning af praktiske problemer. Kvaliteten kan vedrøre alle faglige aspekter: kundskaber, færdigheder, arbejdsmetoder og udtryksformer. Resultatet af regnestykket 2 + 3 · 4 vil i en typisk dansk 7. klasse give anledning til diskussion om to forskellige forslag til facit mellem de elever der regner i den rækkefølge der står, og de elever der bruger reglerne om tallenes hierarki. I kapitlet om sport tages problemet op i afsnittet om pointstillinger. Fællessiderne indeholder eksempler fra fodbold hvor eleverne faktisk ikke har problemer med at forstå, hvordan det samlede pointtal udregnes. Hvis den intuitive opfattelse af hierarkiet så kan føres med over på de to træningssider bagefter er meget vundet. Andre eksempler på sider af denne type findes i ”Læskedrikke” og ”Film over nettet”. I de to supplerende hæfter TIK-TAK 1 og 2 for ottende klasse findes også opgaver af træningsmæssig karakter. De fem situationer kan ikke eksistere uden hinanden, og det gælder om at finde en passende fordeling imellem dem. Elevgruppens sammensætning, lærerens person og lærebogsmaterialet er meget afgørende faktorer der er meget afhængige af hinanden. De forskellige eksisterende lærebogssystemer har hovedvægten placeret omkring en af de fem situationer. Den undervisningsform som brugen af Matematik-tak for ottende oftest lægger op til er placeret et sted mellem den anden og tredje beskrivelse.
Matematik-tak edb 7.-10. KLASSE Kopiside 40-53 er vejledning til programmerne som du kan kopiere til brug for eleverne. BOGSTAVREGN
Et program til at løse reduktionsopgaver og ligninger som man selv skriver ind og reducerer. Man kan skrive reduktionsopgaver i form af heltals-, decimaltals-, brøk- og bogstavregning. Ligninger skrives i sædvanlig notation under brug af regnetegn, parenteser, brøk- og potensnotation. Hver gang man foretager en reduktion som et skridt på vejen til løsningen svarer programmet om reduktionen er korrekt. En registreringsfunktion kan slås til, så man bagefter kan se hvad der er arbejdet med. Lærerne kan på forhånd indlægge opgaver som skrives i almindelig tekstbehandling.
Matematik-tak og IT
GRAFER
Da brug af computere efterhånden er almindelig udbredt i folkeskolens ældre klasser har vi de steder hvor det forekommer hensigtsmæssigt vist udsnit af et regneark, hvordan det er indrettet og en af formlerne bag. I side-til-side vejledningen er der derudover forslag til yderligere anvendelse af regneark. Regneark kan bruges både til opstilling, til udregning og til grafisk fremstilling på et niveau som de fleste elever kan være med på. Der findes desuden andre mere målrettede programmer til brug i folkeskolen som fx MathCad, MatematiKan, SmartSketch og GeoMeter. MATEMATIKTAK edb for 7.-10. klasse omfatter værktøjsprogrammer, simuleringsprogrammer og træningsprogrammer, som omtales nedenfor. Vi kan anbefale at I bruger edb-programmer sideløbende med bogens andre aktiviteter. Det kan i mange tilfælde være en fordel også at belyse et fagligt område med edb, ligesom det er tilladt at benytte computer til de skriftlige matematikprøver, men det er ikke en forudsætning for at kunne arbejde med
Programmet tegner grafer i et koordinatsystem for de funktioner der indskrives. Funktionerne skrives på formen f(x)=…. Man kan få udskrevet en tabel for funktionen. Skæringspunkter, nulpunkter, største- og mindsteværdier kan aflæses. Man kan zoome ind på udsnit af grafen. MODEL
Et program der kan opstille tabeller og tegne grafer for modeller som beskriver, hvordan et fænomen ændres med tiden som uafhængig variabel. Fx opsparing med renters rente. I et felt skrives modellens parametre, dvs. konstanter. Fx at rentefoden (rf) er 5% og at man årligt indsætter (ydelse) 1000 kr. I et andet felt, Fremskrivningsfeltet, skrives formlen for modellen under brug af konstanterne. Fx at Rente er saldo · rf. De indskrevne modeller kan vises både grafisk og i tabelform.
17 9788723032232_indhold_001_084.indd 17
04/11/13 15.01
MØNSTER-2
perimentere og kontrollere sammenhængen mellem 2 eller 3 variable. Vælger man sværhedsgraden med 2 variable og ”observer” udskriver programmet 3 tal. To variable og resultatet af de to variable indsat i forskriften. Fx vises 2, 3 og 5 eller 7, 3 og 10 hvis forskriften er x + y. Vælges ”kontroller” kan man løse 5 opgaver efter forskriften, og vælges ”eksperimenter” kan man indskrive den ene værdi hvorefter programmet vælger den anden og skriver resultatet. 3 variable har en passende sværhedsgrad for 7. klassetrin.
G E N E R E LT
Et værktøjsprogram til tegning af plane figurer og mønstre ved hjælp af et enkelt programmeringssprog. Programmet er en videreudbygning af MØNSTER i edb for 4.-6. klasse. Ved hjælp af ordrer som ”frem(50)” (der tegnes en ret linje på 50 enheder og ”hdrej (45)” (der drejes 45 grader til højre), kan der tegnes figurer og mønstre. Ordrerne kan skrives så man ser den udført efter hvert trin, eller man kan skrive et program bestående af flere ordrer som først udføres når hele programmet er skrevet.
STATISTIK
RUMGEOMETRI
Et baseprogram til opsamling af enkeltobservationer eller grupperede talobservationer. Det kan være resultater af undersøgelser, fx elevernes højder, vægt og præstationer eller resultater af spil. Når observationerne er indtastet kan programmet vise beskrivelser af datasættet i tabeller med deskriptorer og som grafer eller diagrammer.
Et værktøjsprogram til tegning af rumlige figurer ved hjælp af enkel programmering. I et tredimensionalt koordinatsystem kan man definere punkter, linjer og flader, og ved hjælp heraf ”bygge” en rumlig figur. Figurerne kan navngives, farves og belægges med skygger. Man kan dreje figurerne så de kan betragtes fra alle vinkler.
Matematik-tak og evaluering
SANDSYNLIGHED
Et program til simulering af sandsynligheder. Man kan vælge mellem faste eksperimenter, Mønt, Terning, Binomial, Vente, Udtag et nummer og To terninger. Eller man kan selv definere sit eksperiment fx ved at sammensætte to faste eksperimenter. Udfaldet af en simulering kan vises grafisk som pinde og trappediagram.
I Matematik-tak præsenteres to forskellige typer opgavesæt – TIK-TAK-TJEK og Faglige færdigheder – som kan bruges til evaluering af den daglige undervisning. De to forskellige typer af opgavesæt supplerer hinanden, den ene træner problemløsningsopgaver og den anden faglige færdigheder. Begge opgavetyper kan desuden bruges til evaluering af elevernes faglige kompetencer. Efter hvert kapitel i grundbogen findes et sæt TIKTAK-TJEK som repeterer kapitlets faglige begreber. Eleverne får tjekket deres færdigheder i nogle af de matematiske områder, der er arbejdet med i kapitlet. TIK-TAK-TJEK kan også bruges som øvelser i at arbejde med tematiske opgavesæt som de ser ud til den skriftlige prøve i matematik. Eleverne kan individuelt løse opgaverne eventuelt på klassen eller som hjemmeopgaver til aflevering. Facit til TIK-TAK-TJEK findes i lærervejledningen. Faglige færdighedssæt med hver 50 opgaver af typer som kendes fra Folkeskolens Afgangsprøve findes i lærervejledningen på kopiside 7-30. Foruden opgaver af generel karakter indeholder hvert sæt opgaver som refererer til et kapitel i Matematik-tak for ottende. Facit findes i lærervejledningen. Ideen er at eleverne kan holde færdighedstræningen ved lige i sammenhæng med arbejdet i bogen. Men sættene kan også bruges til evaluering af elevernes matematikfaglige færdigheder. Opgaverne løses individuelt uden brug af lommeregner eller computer. Du får som lærer et overblik over den enkelte elevs formåen samt faglige huller. Du kan efter endt tjek af opgaverne henvise eleverne til ekstra træning af særlige faglige delemner som fx brøk, decimaltal, procent, potens, kvadratrod, ligninger og regneregler i X-serien for 8. klasse.
Matematik-tak edb 4.-6. Klasse Fra cd-rommen til 4.-6 klasse kan følgende programmer også anvendes i 8. klasse. GEOMETRI
Et værktøjsprogram med mange muligheder til supplement af aktiviteterne med konkrete materialer og på papir. Figurer kan tegnes frit eller konstrueres ved hjælp af fastlagte punkter, linjer og vinkler. Rette linjer og andre grafer kan tegnes udfra forskrifter, og programmet kan foretage beregninger af længder mv. Et koordinatsystem kan slås til eller fra. På 8. klassetrin er der brug for et udsnit af de mange muligheder. REGNINGSARTERNE
Et program til arbejde med talfærdighed og talforståelse. Opgaven går ud på at ”ramme” et givet tal ved hjælp af 6 andre tal som kun må bruges en gang. Udregningerne stilles op i en tabel hvor der regnes med to tal ad gangen. Ud over de ledige af de 6 givne kan man operere med tidligere facit. Der opereres med de fire regningsarter. Det er ikke altid muligt at ramme plet. Tre sværhedsgrader hvoraf det andet og tredje er velegnet til de fleste på 8. klassetrin. SAMMENHÆNG
Et program der giver mulighed for at observere, eks-
18 9788723032232_indhold_001_084.indd 18
04/11/13 15.01
Anvendelse af de to typer opgavesæt kan sammen med den daglige løbende evaluering være med til at give dig et fingerpeg om elevens faglige formåen og således inddrages når elevplanerne skal beskrives.
e 3,7 cm2 4 a 1025 kr. b 4 · 3 · 2 · 1 24 c 6 5 a b
TIK-TAK-TJEK EN TUR I SKOVEN
side 23-24
TIK-TAK-TJEK DER BYGGES BRO
1 a 24 måder b 13
side 69-70 1 a 8200 kr. b 84,50 kr.
2 a 28 stykker 78 stykker b 10 lag
2 – 3 a b c d
3 a 18 ruter b 72 ruter 4 a
1. år 1 1
2. år 5 6
3. år 9 15
4. år 13 28
5. år 17 45
TIK-TAK-TJEK FLAGFOTTBALL
side 85-86
9 æg 2 æg 243 æg 2 æg (Her er kun medregnet de æg den nyeste generation lægger)
1 a 11 elever b – 2 a – b 150,75 cm2
6 – TIK-TAK-TJEK DÚNÉ ON TOUR
3 a 64 x 27,4 meter b 30 meter c = 2,9 eller cirka 3:1
side 47-48 1 a 1 år 7 måneder og 21 dage b – 2 b c d e
4,1 m – 3,95 m 7200 tons
4 a ja (8027 kg/m2) b nej (22 846 kg/m2) c 8552 tons
b 91 træer c 29 træer 5 a b c d
42 · 42 min. 7,8% G E N E R E LT
Tik-tak-tjek facitliste
4 a f1(x) = 1200 f2(x) = 20 · x f3(x) = 10 · x + 500 b – c Tilbud 1: billigst for flere end 70 Tilbud 2: billigst for mellem 50 og 70 Tilbud 3: billigst for under 50
15 dage (incl. de to ’yderste’ datoer) 1045 km, hvis bussen ikke kører ind imellem Esbjerg og Aalborg – 30,6
3 a 12 liter b 67,9 cm2 c – d –
19 9788723032232_indhold_001_084.indd 19
04/11/13 15.01
TIK-TAK-TJEK TUREN GÅR TIL SKOTLAND
c ( 20)2 + ( 5)2 = 52 d 5 10 5 5
side 109-110
G E N E R E LT
1 a 1124 kr. b 426 kr. 2 a b c d
5 facadens længde = 10 = 1,6 facadens højde 6,2 TIK-TAK-TJEK UDSALG
– 76,2% – 53,8%
3
a
Kurs Nanna Katrine Mads Andreas Lea Yasimin Katja Michael Allan Kirstine I alt Gennemsnit
side 151-152 1 – EUR 745,21 20 0 10 10 0 0 20 10 40 10
GBP 891,61 90 100 150 150 170 100 80 120 150 150
DKK 100 150 200 75 100 100 500 250 175 125 300
2 a b c d
I alt 1101,49 1091,61 1486,94 1511,94 1615,74 1391,61 1112,33 1319,45 1760,50 1711,94 14103,54 1410,35
1000 kr. 750 kr. 40% –
3 a – b c. 210 kr. afhængig af størrelsen c ca.190 kr. afhængig af størrelsen 4 1,43 m TIK-TAK-TJEK MEXICO
side 171-172 b Allan c 1410,35 kr. d 53,9%
1 a 1 980 508 km2 b 109 939 759 indbyggere c 55 indbyggere/km2
4 a – b –
2 a °C = 5/9 (°F -32) b 71 °F = 21,7 °C 85 °F = 29,4 °C c 14 °C = 57,2 °F 21 °C = 69,8 °F
TIK-TAK-TJEK VIDENSKAB GENNEM TIDERNE
side 129-130 1 a b c d e
13 22 75 394 1425
3 a 300 203,1 m3 b 2,5 side 172
2 a 325 m b 147 m 3 a b c d
4 a 76,25 kr. b 116 kr. afhængig af hvad man vælger med ”skæve” mål c –
1000 sekunder 3 · 105 km 1,1 · 109 km 9,5 · 1012 km
5 ingen avocadoer, 14 majs, 3 peberfrugter, 27 tomater
4 a – b 5 20
9788723032232_indhold_001_084.indd 20
20 04/11/13 15.01
Faglige færdigheder facitliste
kopiside 10-12 1 3363 2 285 3 342 4 412 5 150 kr. 6 65 kr. 7 13 8 0,80 9 0,4 10 540 11 400.000 12 357 kr. 13 68,50 kr. 14 4200 m 15 0,560 m 16 165 17 – 34 18 2980 kr. 19 600 20 3 cm 21 (3,1) 22 – 23 5 cm2 24 58 25 3_ 26 – 27 1580 kr. 28 17,50 kr. 29 7 styk 30 6,13 31 8,6 32 24% 33 75% 34 25 º 35 9,42 cm 36 180º– (25 º + 90 º) = 65 º 37 240 cm2 38 600 cm3 39 16 cm2 40 8 cm2 41 2 cm2 42 1 cm2 43 x = 5 44 x = 6 45 27 46 –27 47 5 48 F 49 V 50 Ny Alliance
FAGLIGE FÆRDIGHEDER UD I NATUREN
kopiside 7-9 1 2025 2 175 3 1125 4 590 5 11,8 6 5,7 7 7,85 8 1170 9 0,75 10 0,74 11 48 12 20 13 14 14 – 15 – 6 16 fx 7 4 17 5 5 18 8 12 19 25 20 1 21 (1,3) 22 – 23 (3,2) 24 10 25 32 000 000 26 7,84·104 27 180 28 13 29 17 30 – 31 13,17, … 25 32 17, … 37 33 16, 32, 64 34 7,40 kr. 35 fx 300 euro 36 8 37 12 38 24 39 6 40 0 41 72 000 42 x=15 43 x=16 44 504 45 2700 46 6 47 –150 48 6 49 42 50 3
G E N E R E LT
FAGLIGE FÆRDIGHEDER IND I MUSIKKEN
21 9788723032232_indhold_001_084.indd 21
04/11/13 15.01
FAGLIGE FÆRDIGHEDER STOREBÆLTSBROEN
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
G E N E R E LT
kopiside 13-15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
2265 173 945 712 13 1000 35,5 14,8 21 20 0,83 1,2 (5,3) – 4,5 74 75 3 (0,5) 6,27 8 34 19 – – 6 14 –8 9 16 70,00 419,00 150,50 – – – x=6 x=9 7+5a 2-2b 9 16 25
2 2096,50 100 2,8 70 30 48 –
1 3
– 38,27 kr. 2235 kr. B 7x – 7 5a – b x = 180 x=7 69 kr. 20% 3π 35 101 000 106 27 –1 4 og 6 12 –
FAGLIGE FÆRDIGHEDER UNGDOMSSKOLEN
kopiside 19-21 1 2 3 4 5 6 7
FAGLIGE FÆRDIGHEDER SPORT
kopiside 16-18 1 2
1634 77 12 t 15 min 3,50 kr. 6,03 m 0,635 km 1,1 3,1 0,8 0,3 21,16 8,1 –75 5,50 3,50 8 36 m 5 gange (4,1) 90º 7,5 cm2 2 107 13 56 135 kr. 432 kr. 240 dm3 3 dm 27 cm2
2911 578
t786 554 4249 578 117 kr. 27 kr. 73%
22 9788723032232_indhold_001_084.indd 22
04/11/13 15.01
60% 5300 g 0,562 kg 498,1 4,65 30 9 – B og D 3 6 0,08 0,84 192 kr. 270 kr. 8,30 kr. 200 1000 skr. 2m – 18 4 (6,3) – – – 150 cm 11250 cm2 1:25 12 kr. 15 120 kr. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 – x=4 x=6 22 37 8 t 25 min 5 15 · 0,750
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
1 12 3 4 1 2
31 4
x=4 x=2 13 7 5 2 -12 80 400 – 9:169
FAGLIGE FÆRDIGHEDER MODE ER FORBRUG
kopiside 25-27
–
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
FAGLIGE FÆRDIGHEDER STORE VIDENSKABSMÆND
kopiside 22-24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
fx 140 18 92 52% 1336,40 100 000 (-1,1) 5 – fx (4,1) og (2,1) 6 34 2 38 10 23 2 14 1 4·1020 6·1019 3 9 6,75 – 8 3 342 27 56 63 921
G E N E R E LT
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
9312 2947 1084 122 4 25
– 97,419 0,370 7500 15 16
3023 357 5808 435 6,8 24,3 16,25 6 20 2020 8,634 9025 0,65 0,4 37 22
23 9788723032232_indhold_001_084.indd 23
04/11/13 15.01
G E N E R E LT
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Fx 37% + 38% = 75% = _ 45 10 100 375 x=5 x=5 ca. 63 – 16 496 9 35 – 2005-2006 30 340 000 300 300 17 750 13,33 a + 8b –5 1000 (–1,0) 7 12 117° – –2 12 , –2, –1 12 , 2 3300 1400 1350 900
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
954 70 30 15a – 2b 10a + b – 402 0,368 8 1 6
12 5 26 36 (0,2) – – – 10,2 0,4 9 3400 X = 8 12 X = 2 12 Fx 45 385 20 1–2–3–4–6 hvis h er 216 – 54 – 24 – 13,5 – 6 50 10
Notater
FAGLIGE FÆRDIGHEDER MEXICOS INDIANERE
kopiside 28-30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
1414 673 3096 72 –5 1 20 4 2 6 40 240 160,8 10 15 38 2,8 7 1 7
– – 876
24 9788723032232_indhold_001_084.indd 24
04/11/13 15.01
Månedens opgave
5 minutter Vend det store glas. Når glasset er tomt er der gået 5 minutter.
Månedens opgaver på kopiside 31-39 er tænkt som et supplement til den daglige undervisning. Det er såkaldt åbne opgaver med muligheder for løsninger på mange niveauer. Opgaverne lægger op til en eksperimenterende arbejdsform. Nogle giver anledning til flere løsninger afhængig af hvilke forudsætninger der lægges ind i overvejelserne om opgaverne. Arbejdet med Månedens opgave kan være et led i forberedelsen til den mundtlige prøve. Der er mange måder at arbejde med månedens opgave på. Individuelt eller i små grupper. Elever, der synes det er sjovt og udfordrende at beskæftige sig med opgaven, kan arbejde videre med den derhjemme. Giv dem lejlighed til kort at præsentere hvordan opgaven skal forstås og vise løsningsforslag. Eller I kan, når du ved månedens begyndelse hænger en ny opgave op på opslagstavlen, snakke om den i fællesskab så eleverne har mulighed for at orientere sig og snakke sammen indbyrdes. Eller giv fx eleverne 10 min til at orientere sig i opgaven før den fælles snak om hvilke strategier de vil anlægge. I løbet af måneden kan eleverne hænge resultater af deres undersøgelse op på opslagstavlen rundt om opgaven. Nogle gange er det en god idé at I snakker om de forudsætninger eleverne opstiller. ”Hvad mon der sker hvis vi ændrer på det tal...” ”Hvad nu hvis figuren ser anderledes ud...” Som afslutning kan I opsummere hvad I fandt frem til, om I fandt alle løsninger, om I fandt systemer eller mønstre i besvarelsen, og om nogle af disse systemer omskrives til en regel eller en formel.
6 minutter Vend det lille glas. Når det lille glas er tomt er der gået 3 minutter – vend glasset igen. Når det lille glas er tomt for anden gang er der gået 6 minutter.
9 minutter Vend det lille glas 3 gange. Når glasset er tomt for tredje gang er der gået 9 minutter. 10 minutter Begge glas vendes. Når det lille glas er tomt er der 2 minutter tilbage i det store glas – her starter tidsmålingen. Når det store glas er tomt er der gået 2 minutter – det store glas vendes igen. Når det store glas er tomt igen er der gået 7 minutter – det lille glas vendes. Når det lille glas er tomt er der gået 10 minutter. For nogle elever vil det være en hjælp at konkretisere opgaven ved at eksperimentere med fx 3 og 5 centikuber i to glas. Centikuberne fjernes samtidigt én og én fra glassene som repræsentanter for 1 gået minut. Gør evt. eleverne opmærksomme på at nogle minuttal er nemmere at finde end andre – fx 3, 5, 6 og 8 minutter. Alle minuttal vil også kunne findes på andre måder end de viste. Hvem finder flest alternativer?
Facitliste og kommentarer AUGUST-OPGAVEN
1 minut Vend begge glas. Efter 3 minutter vendes det lille glas igen. Når det store er tomt er der 1 minut tilbage i det lille glas.
SEPTEMBER-OPGAVEN
– med 27 centikuber kan man bygge tre forskellige kasser: 1 · 1 · 27 1·3·9 3·3·3
2 minutter Vend begge glas. Når det lille glas er tomt er der 2 minutter tilbage i det store.
– det største antal kasser, 12, kan bygges med 96 centikuber: 96 · 1 · 1 48 · 2 · 1 32 · 3 · 1 24 · 4 · 1 24 · 2 · 2 16 · 6 · 1 16 · 3 · 2 12 · 8 · 1 12 · 4 · 2 8·6·2 8·4·3 6·4·4
3 minutter Vend det lille glas. Når glasset er tomt er der gået 3 minutter. 4 minutter Vend begge glas. Efter 3 minutter vendes det lille glas igen. Efter 5 minutter er der 1 minut tilbage i det lille – det store vendes igen. Når det lille glas er tomt, er der 4 minutter tilbage i det store.
9788723032232_indhold_001_084.indd 25
G E N E R E LT
8 minutter Vend det store glas. Når det er tomt vendes det lille glas. Når det lille er tomt er der gået i alt 8 minutter.
I forbindelse med denne opgave bør der selvfølgelig være et stort antal centkuber til rådighed. Den praktiske opgave kan føre til overvejelser omkring tallenes opløsning i primfaktorer og sidelængder: 96 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 3 – det giver mulige sidelænder:
25 04/11/13 15.01
1, 2, 4, 6, 8, 16, 24, 32, 48 og 96. Tallet 64 indeholder samme antal primfaktorer som 96, men giver kun mulighed for sidelængderne 1, 2, 4, 8, 16, 32 og 64. Der kan laves seks forskellige kasser med 64 centikuber. Er centicube-antallet et primtal kan der kun laves en enkelt kasse. Er antallet et tal der er et produkt af to primtal, fx. 15, kan der laves to kasser.
Med lodderne 1, 3, 9, 27, 81, 243 og 729 kan man veje alle antal gram mellem 1 og 1000. Eksempler: Antal gram Vægtskål a Vægtskål b
G E N E R E LT
111 – 11 3 · 33 + 3 : 3 44 + 44 + 4 + 4 + 4 5·5·5–5·5 66 + 6 · 6 – 6 : 6 – 6 : 6 7·7+7·7+7:7+7:7 88 + 8 + 8 : 8 + 8 : 8 + 8 : 8 + 8 : 8 99 + 9 : 9
Eleverne kan tegne deres undersøgelser på sømbrætpapir. Bliv enige om at afstanden mellem to søm er én enhed. Pytagoras a2 + b2 = c2 kan repeteres. Nogle elever kan bygge længder og beregne afstande på samme tid. Andre kan undersøge hvor mange forskellige først og bagefter lave beregninger. Nogle vil måske systematisere deres undersøgelse. Hvor mange forskellige fra et søm. Længderne ligger meget tæt på hinanden så ofte skal en beregning til for at kunne se forskel.
(2 · 2 · 2 + 2)2 88 + 8 + (8 · 8) : (8 + 8) Gør eleverne opmærksomme på at det handler om tallene 1-9, og at regnetegnene +, –, x og : må anvendes. Der vil altid være mulighed for at skrive tallet 100 med et større antal af samme tal, fx ved addition 4 + 4 + ..., og ved at tallet 1 kan frembringes som tallet divideret med sig selv.
NOVEMBER-OPGAVEN 729 343 294 84 8
512 216 216 72 8
343 125 150 60 8
216 64 96 48 8
125 27 54 36 8
64 8 24 24 8
27 1 6 12 8
8 0 0 0 8
FEBRUAR-OPGAVEN
Eleverne kan starte med at undersøge hvor langt blækket rækker i en kuglepen. Bic oplyste for en del år siden, at en kuglepen kunne tegne en linje på ca. 89 m før den løb tør. Eleverne bliver nødt til at finde ud af hvor mange millimeter de skriver i gennemsnit når de skriver tallene normalt. Klassens gennemsnit kan evt. findes og bruges som udgangspunkt. Eleverne kan evt. beskrive deres overvejelser i løbet af deres undersøgelse og hænge den op på opslagstavlen
Eleverne kan tegne eller bygge de forskellige terninger med centikuber. De kan undersøge hver flade på terningen for sig. DECEMBER-OPGAVEN
Med alle lodderne på den ene vægtskål kan man veje 40 gram. De øvrige antal gram kan vejes på disse måder: Antal gram Vægtskål a Vægtskål b
1 1 *
2 *+1 3
3 3 *
Antal gram vægtskål a vægtskål b
11 3+9 *+1
Antal gram Vægtskål a Vægtskål b
18 27 *+9
19 27+1 *+9
Antal gram Vægtskål a Vægtskål b
25 27+1 *+3
26 27 *+l
Antal gram Vægtskål a Vægtskål b
33 27+9 *+3
34 27+9+1 *+3
12 3+9 *
4 1+3 * 13 1+3+9 *
5 *+1+3 9
15 27 *+3+9
21 27+3 *+9
22 27+1+3 *+9
28 27+1 * 35 27+9 *+1
7 1+9 *+3
14 27 *+1+3+9
20 27+3 *+1+9 27 27 *
6 *+3 9
29 27+3 *+1 36 27+9 *
30 27+3 * 37 27+9+1 *
8 9 *+1
9 9 *
16 27+1 *+3+9
10 1+9 * 17 27 *+1+9
23 27 *+1+3
24 27 *+3
31 27+3+1 *
32 27+9 *+1+3
38 27+9+3 *+1
1000 729+243+1+27 *
JANUAR-OPGAVEN
Facitliste 14 rette linjer med længderne: 1 – 2 – 2 – 5 – 8 – 3 – 20 – 13 – 4 – 17 – 18 – √20 – 5 – 32
1000 512 384 96 8
500 729+27 *+243+1+3+9
Hvis det er muligt at eksperimentere med vægt og lodder (fx centikuber) er det selvfølgelig ideelt.
OKTOBER-OPGAVEN
Terning med 0 farvede sider 1 farvet side 2 farvede sider 3 farvede sider
100 81+27+1 *+9
Notater
39 27+9+3 *
26 9788723032232_indhold_001_084.indd 26
04/11/13 15.01
MARTS-OPGAVEN
sidemål 1
sidemål på retvinklet trekant
2
1, 1
5 8
1, 2 2, 2
10 13
1, 3 2, 3
2 3 4 17 18
√ 5/ 25 26 29 32 34
1, 4 3, 3 2, 4 3, 4 1, 5 2, 5 4, 4 3, 5
G E N E R E LT
areal 1* 2* 4* 5* 8* 9* 10* 13 16* 17 18 20 25 26 29 32 34 36 37 40 41 45 49 50 52 53 58 61 64 65 68 72 73 74 80 81 82 85 89 90 97 98 100
Foreslå evt. systematisk optælling i skemaform som ovenfor, for at man kan være sikker på at få alle muligheder med i det andet spørgsmål.
6 37 40 41 45
1, 6 2, 6 4, 5 3, 6
APRIL-OPGAVEN Snit
7 50 52 53 58 61
1, 7 / 5, 5 4, 6 2, 7 3, 7 5, 6
8 65 68 72 73 74 80
1, 8 / 4, 7 2, 8 6, 6 3, 8 5, 7 4, 8
antal snit 1 2 3 4 5 n
9 82 85 89 90 97 98
10/ 20
1, 9 2, 9 / 6, 7 5, 8 3, 9 4, 9 7, 7 6, 8
antal dele 3 6 10 15 21 (n + 1 ) (n + 2) : 2.
Der er ingen forskel på om snittet ligger helt inde i seglet eller skærer det ad to omgange. Snittene skal lægges så hvert nyt snit skærer så mange områder som muligt. Hjælp evt. eleverne til at opstille resultaterne i et skema og derved finde frem til talfølgen 3 – 6 – 10 – 15 – 21 ... Hvordan vokser denne talfølge? (+3, +4, +5, ...). På dette niveau kan man så finde frem til et bestemt tal ved at tælle sig frem. Hjælp evt. til at finde formlen ved at stille spørgsmål som – hvordan ser den dobbelte talfølge ud? (6-12-20 ...) – hvordan kan disse tal hver for sig skrives som et produkt at to tal? (2 3, 3 4, 4 5 ...) – hvordan kan den oprindelige talfølge så skrives? (2 3 : 2, 3 4 : 2, 4 5 : 2 ...) – hvordan hænger disse faktorer sammen med nummeret i talfølgen?
* kan være på 5x5 sømbrædt Første del af opgaven kan løses på sømbræt og sømbrætpapir. Arealet kan findes ved opdeling, sammenlægning og optælling eller ved brug af Pythagoras.
27 9788723032232_indhold_001_084.indd 27
04/11/13 15.01
MAJ-OPGAVEN
være kvadrattal – undersøg kvadratrodstal som ikke bliver til hele tal. Hvor er de placeret på tallinjen?
Eksempler: 15 elever: 25,29% 20 elever: 41,14% 22 elever: 47,57% 23 elever: 50,73% 25 elever: 56,87%v
Andre elever kan indskrive kvadratrodstallene på tallinjen. Når tallene skrive op i skemaet vil nogle elever opdage den konstante vækst af antal kvadrattal mellem de hele tal. Mellem 1 og 4 er der 2 hele tal – altså kvadratrod 2 og kvadratrod 3 Mellem 4 og 9 er der 4 hele tal Mellem 9 og 16 er der 6 hele tal Mellem 16 og 25 er der 8 hele tal Andre elever kan undersøge hvor mange hele kvadratrodstal der er mellem 0-100. Disse elever kan overveje hvilke to talmængder der er størst de hele tal eller kvadratrodstallene. Illustrer evt. forklaringen – at de er lige store – ved hjælp af tallinjer med en én til én sarnmenparring af tal på de to tallinjer.
G E N E R E LT
Så snart der er 23 eller flere elever i klassen kan man med fordel indgå et væddemål. Fødselsdagsproblemet giver for mange et overraskende og paradoksalt udfald. Et eksempel på at sandsynlighedsberegning og det, man kan kalde »den sunde fornuft«, støder sammen. Formlen der alment beskriver fænomenet ser sådan ud: pn = 1 – 365 · 364 · 363 · ..... · (365 – n + 1) 365° Regnearbejdet med lommeregneren kan hurtigt give problemer, hvis tæller og nævner udregnes hver for sig. En metode kan være:
Notater
365 · 364 · 363 365 · 365 · 365 Det er fristende at bruge lommeregnerens fakultettast (!) og yx-tast og forsøge at udføre regneoperationen for fx 25 elever: 365! : 346! : 36525. Men lommeregneren kan kun klare tier potenser op til 99. Et andet eksempel på en paradoksal sandsynlighedsberegning: I efteråret 1994 kom Dansk Tipstjeneste en ekstra kugle – nummer 36 – i lottobowlen. Det gjorde antallet af kombinationer af syv rigtige næsten 25% større! JUNI-OPGAVEN
mellem 0-1 1-2 2-3 4-5 5-6 6-7 7-8
antal kvadratrødder 0 2 4 8 10 12 14
n-(n+1)
2·n
0-10 10-20 20-30
99 299 499
Gør eleverne opmærksom på at det er hele tal der skal stå under kvadratrodstegnet. Prøv at få elever der har svært ved at komme i gang til at gøre sig nogle overvejelser: – hvad er et kvadratrodstal? – hvilke kvadratrodstal er et helt tal? – omskriv de hele tal til kvadratrodstal – hjælp kan
28 9788723032232_indhold_001_084.indd 28
04/11/13 15.01
9788723032232_indhold_001_084.indd 29
04/11/13 15.01
ISBN 978-87-23-03223-2
www.alinea.dk
