Kaj Østergaard, Kenneth Riis Poulsen, Jakob Thomsen og Lennart Børsting
MAT10
Matematik · 10. klasse · Lærervejledning
9788723536716_omslag.indd 1001
Alinea 23.12.2020 08.40
Elementer og struktur
MAT10 Matematik · 10. klasse · Lærervejledning
1
Alinea
001-041_9788723536716_indhold.indd 1
23.12.2020 08.41
MAT 10, Lærervejledning En titel i grundsystemet MAT 10. Tilhørende titler: MAT 10, Web MAT 10, Grundbog © Alinea 2021 Forfattere: Kaj Østergaard, Kenneth Riis Poulsen, Jakob Thomsen og Lennart Børsting Redaktion: Susanne Schulian Fagkonsulent: Kaj Østergaard Design-indhold/omslag: Andreas Schnalke Illustrationer/grafik: Andreas Schnalke Fotos: Andreas Schnalke: Side 12, 16, 18, 20, 22, 26. Michael Jensen: Side 27. Lennart Børsting: Side 19. Shutterstock: Side 14, 23, 29, 30. Trykt hos Livonia Print
1. udgave, 1. oplag 2021 ISBN 978-87-23536716 ISBN overnummer 978-87-23550149
www.alinea.dk
Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med Copydan Tekst & Node. Forlaget har forsøgt at indhente tilladelse hos rettighedshavere til gengivelse af tekst og billeder i denne udgivelse. Rettighedshavere, som mod forventning har krav på honorar, bedes kontakte forlaget. Alinea støtter børn og unge Alinea er en del af Egmont, som er Danmarks største mediekoncern. Egmont har fortalt historier i over 100 år og laver film i Oscarklasse og fortæller historier gennem nyheder, bøger og magasiner. Egmont er en dansk fond, som hvert år giver næsten 100 millioner til børn og unge, der har det svært.
2
001-041_9788723536716_indhold.indd 2
23.12.2020 08.41
Indhold Ideerne bag MAT 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Elementer og struktur i MAT 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MAT 10, Grundbog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MAT 10, Web . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MAT 10, Lærervejledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 5 6 7
Oversigt over kapitlerne og de faglige pointer. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Læring og undervisning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Faglige pointer som styrende for undervisningen og elevernes læring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Kompetencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Undersøgende undervisning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Aktiviteterne beskrevet med 5F-modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Undervisningsdifferentiering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Test dig selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Brug af digitale værktøjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Redegørelser, portfolio og prøveform B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 MAT 10 og prøverne i 10. klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Side-til-side vejledning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapitel 1 Tal og regn med tallene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapitel 2 Flade og rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapitel 3 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapitel 4 Procent og brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31 32 42 52
66 Kapitel 5 Økonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Kapitel 6 Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Kapitel 7 Geometrisk konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Kapitel 8 Ligninger og formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Kapitel 9 Geometri i kunst og kultur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Kapitel 10 Sandsynlighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3
001-041_9788723536716_indhold.indd 3
23.12.2020 08.41
Ideerne bag MAT 10 De grundlæggende ideer bag MAT 10 er, at arbejdet med det faglige stof
• tager udgangspunkt i undersøgende aktiviteter, • er styret af faglige pointer, og • inddrager feedback, både fra elev til elev og fra lærer til elev, ikke blot efter hvert forløb men løbende i hele processen. I Mat 10 er de undersøgende aktiviteter i grundbogen udgangspunktet for arbejdet med det faglige stof, så eleverne tilegner sig ny viden gennem at engagere sig i faglige problemstillinger, undersøge, afprøve og formulere hypoteser samt argumentere for deres løsninger. Aktiviteterne er formuleret sådan, at indgangstærsklen til stoffet er lavt, det vil sige, at også elever med faglige vanskeligheder kan deltage aktivt, samtidig med at der er rig mulighed for at udfordre de elever, der har brug for det. Aktiviteterne i grundbogen er formuleret ud fra en faglig pointe, som er central for det faglige stof. Læreren kan bruge den faglige pointe som styringsredskab i arbejdet, både når arbejdet introduceres, når hun indgår i dialog med eleverne under arbejdet, og når elevernes arbejde fællesgøres i klassesamtalen. Eleverne skal gennem hele processen have feedback af hinanden og af læreren både mere formaliseret, for eksempel når de præsenterer deres produkter for hinanden, men også mere uformelt i samtalerne under arbejdet med de undersøgende aktiviteter. Det er vigtigt, at eleverne lærer at give feedback ud fra nysgerrige spørgsmål til deres kammeraters tankegang og løsninger. Til hvert kapitel er der et samtaleark, som eleverne kan bruge i forbindelse med den løbende formative evaluering og feedback. Samtalearket kan samtidig være udgangspunktet for udfærdigelsen af redegørelsen til prøveform B, når arbejdet med kapitlet afsluttes.
Elementer og struktur i MAT 10 MAT 10 består af tre dele - grundbog, website og lærervejledning. Strukturen i grundbogen er enkel og overskuelig at orientere sig i. Grundbogen er styrende for strukturen på websitet og i lærervejledningen. Materialet er opdelt i 10 kapitler med hvert sit matematiske emne. Facitliste til MAT 10, Grundbog og MAT 10, Web kan findes under Til læreren på MAT 10, Web.
4
001-041_9788723536716_indhold.indd 4
23.12.2020 08.41
Elementer og struktur
MAT 10, Grundbog De enkelte kapitler i grundbogen har samme opbygning: Intro sætter scenen for kapitlets matematiske emne. Introen har en fast struktur:
• Undersøgelse (farvet felt) • Præsentation • Opfølgning på præsentationerne • Brug din viden • Klassesamtale • I dette kapitel skal du … med visuel beskrivelse at kapitlets indhold Eleverne arbejder undersøgende ud fra deres egen forforståelse og præsenterer deres ofte ufuldstændige løsninger for hinanden. Eleverne sammenligner andres løsninger med deres egne løsninger. Erfaringerne anvendes i de efterfølgende opgaver i afsnittet ’Brug din viden’. Det hele samles op i ’Klassesamtale’ og i afsnittet ’I dette kapitel skal du …’ Aktiviteterne har hver en faglig pointe og følger den samme opbygning:
• En undersøgelse/eksperiment (farvet felt) • Produkt • Klassesamtalen • Udfordringen
Eleverne arbejder parvis eller i grupper med en problemstilling, der skal undersøges og munde ud i et produkt, som fremlægges for klassen i ’Klassesamtalen’. Det er ikke meningen, at alle elever skal arbejde med udfordringen. Se mere om den didaktiske begrundelse for netop denne struktur side 16. De fleste klasser vil ikke kunne nå at arbejde med alle aktiviteterne i grundbogen. Læreren skal derfor udvælge de aktiviteter, der er mest hensigtsmæssige ud fra elevgruppen. Viden om er skrevet i et mere formelt matematisk sprog og formaliserer kort og overskueligt den matematik, der er arbejdet med i kapitlet. Siderne kan bruges til at få overblik over stoffet og kan senere bruges som opslagsværk. På websitet findes en udvidet version, hvor teksten læses op og suppleres med eksempler og uddybende forklaringer. Redegørelsen guider eleverne til at foretage en opsamling af det stof, der er arbejdet med. Se mere side 26 om redegørelsen og dens funktion i forhold til feedback, formativ evaluering og den afsluttende prøve.
5
001-041_9788723536716_indhold.indd 5
23.12.2020 08.41
MAT 10, Web Websitet er organiseret efter kapitlerne i bogen. Til hvert kapitel i bogen:
• Intro – her findes ressourcer til Intro i bogen. •A ktivitet – her findes ressourcer til aktiviteten i bogen.
• T est, vejledning og supplerende opgaver, opgaver i tekstforståelse, skriftlighed og mundtlighed. Dette indhold findes kun på MAT10, Web. Se side 22.
• V iden om – en uddybende oplæsning af bogens Viden om.
• Redegørelse – samtaleark og skriveskabeloner. Under Til læreren findes:
• L ærervejledning til ressourcer og webopgaverne samt hints, vejledende svar og facitliste til bogen og web.
• E levbesvarelser – oversigt over klassens selvrettende opgaver til lærer og den enkelte elev. Ressourcer er film, screencasts, GeoGebra-filer, forskellige regneark, PDF og andre dokumenter, til spil, dokumenter til at skrive videre i osv.
6
001-041_9788723536716_indhold.indd 6
23.12.2020 08.41
Elementer og struktur
MAT 10, Lærervejledning I Lærervejledningen beskrives ideen bag MAT 10 og materialets elementer, opbygning og de tanker om læring og undervisning, som ligger bag systemet. Herefter følger en side-til-side vejledning til hver intro og aktivitet i grundbogen, som læreren kan bruge ved forberedelsen af undervisningen. Formålet er, at læreren hurtigt kan danne sig et overblik over det væsentligste faglige indhold, en hensigtsmæssig arbejdsform og struktur på lektionen samt gøres opmærksom på mulige faldgruber og praktiske foranstaltninger.
Vejledningen er naturligvis kun tænkt som vejledende. De fleste aktiviteter kan man vælge at arbejde med både i kortere og i længere tid, afhængig af elevernes kunnen og motivation, om der opstår nye, afledte spørgsmål i undervisningen og de generelle tidsressourcer. På samme måde kan organisering naturligvis også varieres ud fra den konkrete elevgruppe, men generelt er det hensigtsmæssigt, at eleverne arbejder flere sammen om problemstillingerne, idet samtalen ved arbejdet med aktiviteterne er central for elevernes læring.
Vejledning er delt i følgende punkter:
• F aglig pointe • K onkrete materialer • P roblemstilling • K ompetencer • P lan for lektionen – 5F modellen • V ær opmærksom på at…
7
001-041_9788723536716_indhold.indd 7
23.12.2020 08.41
Elementer og struktur
r e l p
m e s k
E
Side-til-side vejledning
31
001-041_9788723536716_indhold.indd 31
23.12.2020 08.42
1. Tal og regn med tallene Faglig pointe Intro – Tal på en tallinje
Tal kan skrives på flere forskellige ’former’. Når man skal afgøre, hvilket af to tal der er det største, skal man sammenligne cifrene på ’den plads længst til venstre, hvor cifrene ikke er ens’.
1. Udfordringer med tal
I regnestykker, hvor der indgår flere beregninger, bestemmer regningsarternes hierarki rækkefølgen for disse beregninger. Parenteser bruges til at ’bryde’ regningsarternes hierarki.
2. Regn med tal
Arealet af et kvadrat er sidelængden i anden. Sidelængden i et kvadrat er kvadratroden af arealet.
3. Femtalssystemet
I et positionssystem har hvert ciffers placering i et tal betydning for, hvor meget det ’tæller’. I 10-talssystemet ’tæller’ hvert ciffer 10 gange mere for hvert trin mod venstre.
4. Regnestrategier
Gode regnestrategier afhænger af de tal, der indgår i regnestykket.
Om kapitlet Tal og det at regne med tal er noget alle eleverne kan forholde sig til. Kapitlet kan bruges til, at læreren kan få en fornemmelse af, hvor eleverne er fagligt, og hvordan de har det med matematik. Det er også egnet til en intro i en klasse, hvor eleverne møder hinanden for første gang. Der lægges op til pararbejde og gruppearbejde, hvor eleverne i arbejdet får lært hinanden at kende. Kapitlet kan opdeles, så der først arbejdes med introen og de første to aktiviteter. De sidste to aktiviteter, kan gemmes til senere på året eller til udvalgte elever.
Intro – tal på linje Faglig pointe Tal kan skrives på flere forskellige ’former’. Når man skal afgøre, hvilket af to tal der er det største, kan man for eksempel skrive dem på samme form (decimaltal) og sammenligne cifrene på ’den plads længst til venstre, hvor cifrene ikke er ens’.
32
001-041_9788723536716_indhold.indd 32
23.12.2020 08.42
Side-til-side vejledning
Materialer Talkort hentes på MAT 10, Web, en saks og en snor eller en kridtstreg markerer tallinjen.
Problemstilling Hvordan afgør man, hvilket af to tal, der er størst?
Vejledende undervisningsplan Fang: Fælles introduktion i klassen. 3-5 tal placeres på en tallinje (snor). Man kan starte med et eller to naturlige tal, derefter et negativt tal, en brøk og et irrationalt tal. Eleverne skal give eksempler på anvendelse af tallene. De kan få hints ved at se på den fotoserie, der er på MAT 10, Web. Forsk: Man kan eventuelt lægge kortene, så eleverne kan se tallene og dermed vælge de nemmeste først. Eleverne kan bruge lommeregner til brøker og rødder. Stilladserende spørgsmål:
•H vordan kan du vide, at det tal er større end det tal? • E r det det samme tal, ligegyldigt hvilken form, man skriver det på? •H vilken ’type’ tal er det? •H vad kendetegner den ’type’ af tal? Forklar: Klassesamtale, hvor eleverne præsenterer deres løsninger. Fokus på, hvad der kendetegn forskellige typer af tal, og hvordan man sammenligner størrelsen af to tal. Det er ikke sikkert, at eleverne kender til alle talmængder og at de kan placere alle tallene. Efter præsentationerne diskuteres i gruppen, om præsentationerne i klassen har givet svar på, hvor de sidste tal skal placeres. Konklusion: Vi kender fire forskellige typer af tal: Naturlige tal, negative tal, brøker (rationale tal) og irrationale tal. Når man skal afgøre, hvilket af to tal der er det største, skal man skrive dem på samme form (decimaltal) og sammenligne cifrene på ’den plads længst til venstre, hvor cifrene ikke er ens’. Der kan være andre konklusioner for fx sammenligning af to brøker. Forlæng: ’Brug din viden’ giver eleverne mulighed for at diskutere, i hvilke sammenhænge i deres hverdag de bruger tal fra udvalgte talmængder. Eleverne vil måske mene, at der er talmængder, som de irrationale tal, der kun bruges i matematiktimerne. Man kan lade eleverne prøve at beskrive forskellige ting med og uden tal, fx et skolebord, deres morgen, skostørrelser, ændringer af en bageopskrift eller deres skolevej.
Organisering Forsk foregår parvis eller i grupper på 3. Eleverne kan bruge lommeregner eller CAS-værktøj.
Vær opmærksom på at … Nogle af kortene er svære at omsætte til decimaltal – også med brug af lommeregner.
33
001-041_9788723536716_indhold.indd 33
23.12.2020 08.42
34
001-041_9788723536716_indhold.indd 34
23.12.2020 08.42
Side-til-side vejledning
Faglig pointe I regnestykker, hvor der indgår flere beregninger, bestemmer regningsarternes hierarki rækkefølgen for disse beregninger. Parenteser bruges til at ’bryde’ regningsarternes hierarki.
Materialer Eventuelt kopiark og ’brikker’ med regnetegn. Man kan eventuelt lave parenteser på gennemsigtige overheads.
Problemstilling Hvornår skal man bruge parenteser og hvornår kan man undvære parenteser?
Kompetencer Symbolhandling. Fokus på brugen af parenteser for at ’bryde’ regningsarternes hierarki.
Vejledende plan Fang: Fælles introduktion i klassen. Brug eksemplet, hvor resultatet er 1. Lad eleverne besvare parvis: Hvor mange forskellige løsninger kan I finde? Mulige løsninger (der er mange flere): 1·2+3–4=1 1 · (2 + 3) – 4 = 1 1 · (2 + 3 – 4) = 1 1(2 + 3 + 4) = 1 Samtale om regningsarternes hierarki og brugen af parenteser. Introduktion af problemstillingen. Forsk: Eleverne starter med eksemplerne som giver 0 og 2, som begge kan løses udelukkende med brug af plus og minus. Det giver en lav indgangstærskel. 5, 7 og 8 er de sværeste. Stilladserende spørgsmål:
• Hvilken regneoperation skal udføres først – gange og dividere eller plus og minus? • Har I prøvet at bruge potenstegnet? (Skal I have hjælp til det?) • Hvorfor har I parenteser her? Ud over at hjælpe eleverne kan læreren også indsamle ’gode eksempler’ til den efterfølgende lassesamtale. ”Det er smart – vil du ikke vise det til de andre ved fællesgørelsen?” Forklar: Klassesamtale, hvor eleverne præsenterer deres løsninger. Fokus på forskellige løsninger og problemstillingen. Konklusion: Regningsarternes hierarki (se Viden om side 12) – når det skal brydes, bruges parenteser. Forlæng: Der er mange muligheder for at udfordre eleverne – i forskellige sværhedsgrader:
• Kan I få de negative hele tal fra –10 til –1 som resultat? (spg. b). 1 • Kan I få stambrøkerne fra 12 til 10 som resultat? (Udfordringen). • Hvad er det højeste tal, I kan få som resultat? (Klassesamtalen) • Hvor mange eksempler kan I finde, der giver 1?
Vær opmærksom på at … Elevernes ’forkerte’ svar kan bruges til at løse andre opgaver, som ikke var hensigten. Det er ikke noget problem. Pointen er, hvorfor svaret er fx 4. Det er en god ide, fx ved klassesamtalen, at se på forskellen mellem to løsninger med samme regnetegn, hvor den ene har parenteser og den anden ikke har. Fx: (1 – 2 + 3) · 4 = 8 og 1 – 2 + 3 · 4 = 11.
35
001-041_9788723536716_indhold.indd 35
23.12.2020 08.42
Kapitel 2 Flade og rum
1. Trekanter
18
Gå sammen i grupper af tre. I skal bruge en mobiltelefon og et tov. Bind en knude på tovet og stil jer alle tre, så I danner en trekant med tovet. Tovet skal holdes stramt. Dan forskellige trekanter og tag billeder af dem. a. Hvor mange forskellige typer af trekanter kan I danne? b. Er det muligt at danne andre figurer, når I stadig kun hver især må holde et sted på tovet? c. I skal inddele trekanterne i forskellige kategorier efter deres form. Lav en kort beskrivelse af hver type af trekanter. Beskrivelsen skal være så præcis som muligt.
Produkt Trekanter kan kategoriseres efter størrelsen på deres sider og vinkler. Hent skema på MAT10 Web. Vis og forklar, hvordan I vil tegne trekanterne i felterne i skemaet.
Klassesamtale I skal sammenligne jeres beskrivelser og overveje: Hvad er en god beskrivelse/definition?
Udfordringen Undersøg, om det er muligt at opsætte betingelser, der gør det umuligt at tegne trekanten?
9788723530455_indhold.indd 18
19/05/2020 14.38
44
042-133_9788723536716_indhold.indd 44
23.12.2020 08.44
Side-til-side vejledning
Faglig pointe Trekanter kan kategoriseres efter størrelsen på vinklerne og længden af siderne. Vinklerne kan være spidse, rette og stumpe. To eller tre sidelængder kan være lige lange, eller alle tre sider kan have forskellige længder.
Materialer Tov, mobiltelefon, evt. et målebånd, Word, Skema til kategorisering af trekanter på MAT 10, Web.
Problemstilling Hvilke forskellige typer kan man inddele trekanter i?
Kompetencer Tankegang og ræsonnement. Fokus på formulering af præcise definitioner af de forskellige typer af trekanter.
Vejledende undervisningsplan Fang: Fælles introduktion i klassen. Lad eleverne beskrive trekanterne på fotoet på side 18 i MAT 10, Grundbog. Lad eleverne danne to forskellige trekanter med tovet. Bed to grupper af elever om at vise to ens trekanter, og spørg i klassen, hvorfor er de ens? Derefter kan de vise to forskellige trekanter og spørg igen i klassen, hvorfor er de forskellige? Forsk: Eleverne arbejder med at danne forskellige trekanter. Eleverne kan bruge skemaet på MAT 10, Web til at danne trekanter med tovet. Hvis eleverne selv har ideer til løsningen af opgaven, kan det være udgangspunkt for en samtale i gruppen, om de har fået alle kategorier med. Eleverne kan tegne eller tage fotos af deres trekanter. Stilladserende spørgsmål:
• Hvad betyder det, at en vinkel er spids, stump eller ret? • Hvad kalder man en trekant der har to lige lange sider? Eller tre lige lange sider? • Kan en trekant med tre lige lange sider være stumpvinklet? Læreren kan indsamle gode eksempler til den efterfølgende fællesgørelse ved klassesamtalen. Forklar: Klassesamtale, hvor eleverne præsenterer deres løsninger. Fokus på præcise definitioner af de forskellige typer af trekanter. Er der trekanter, der hører til i flere kategorier? Er der trekanter, der ikke er i nogen kategori? Konklusion: Trekanter kategoriseres ud fra vinkler og sidelængder. Forlæng: I udfordringen skal eleverne opstille betingelser for, at det bliver umuligt at tegne en trekant. Eleverne kan eventuelt vise det ved hjælp af GeoGebra. Hvilke betingelser, skal som minimum være opfyldt?
Vær opmærksom på at… Eleverne skal undgå, at fotos af trekanterne bliver i perspektiv. Hvis der er plads til det, så lad eleverne bruge fødderne. Øvelsen kan også udføres ved et bord, hvor de tre elever holder en snor på en meter med en finger.
45
042-133_9788723536716_indhold.indd 45
23.12.2020 08.44
Kapitel 10 Sandsynlighed
1. Det bedste væddemål
I kan vælge mellem to forskellige spil. I det ene spil kaster I to terninger og vinder, hvis de to tal ganget med hinanden giver et ulige tal. I det andet spil kaster I en tændstikæske og vinder, hvis tændstikæsken lander med billedsiden opad efter et kast. a. I skal undersøge, hvilket spil I skal vælge, for at få den største chance for gevinst.
Produkt I skal jeres valg af spil med størst chance for gevinst med beregninger og/eller data fra eksperimenter. Hvilke mulige udfald er der i de to spil? Hvad er sandsynligheden for hvert udfald? I skal præsentere jeres svar for klassen.
Klassesamtale Hvilke forskelle og ligheder er der mellem de to spil? Er I helt sikre på, hvilket af de to spil det er nemmest at vinde i?
Udfordringen Simuler spillet med de to terninger i GeoGebra. Hent filen på MAT10 Web. Hvor stor er sandsyligheden for, at produktet er et ulige tal ifølge simuleringen?
106
9788723530455_indhold.indd 106
19/05/2020 14.40
126
042-133_9788723536716_indhold.indd 126
23.12.2020 08.44
Side-til-side vejledning
Faglig pointe Sandsynligheden for en hændelse kan bestemmes ved at gentage et eksperiment mange gange. Jo flere gange man gentager eksperimentet, jo sikrere kan man bestemme sandsynligheden.
Materialer Tændstikæsker og terninger. GeoGebra, Det bedste væddemål - simulering på MAT 10, Web.
Problemstilling Hvor mange gange skal man gentage et eksperiment for at kunne bestemme sandsynligheden?
Kompetencer Modellering. Fokus på sammenhængen mellem eksperimentet og den matematiske model, der beskriver eksperimentet, det vil sige teoretisk og statistisk sandsynlighed.
Vejledende undervisningsplan Fang: Start med at tale om forskellen på de to eksperimenter. Terningeeksperimentet kan behandles med teoretisk sandsynlighed, men det er også muligt at behandle det med statistisk sandsynlighed. Fladerne på en tændstikæske er af forskellig størrelse, og man bliver derfor nødt til at bestemme sandsynligheden for hver hændelse ved hjælp af statistisk sandsynlighed. Forsk: Eleverne afprøver og sammenligner de to spil. De kan eventuelt opstille et symmetrisk udfaldsrum ved at se på, om hver af de to terninger viser lige eller ulige øjental. Kun ulige gange ulige giver ulige. Når eleverne udfører eksperimentet med tændstikæsken, er det oplagt at tale om store tals lov. Stilladserende spørgsmål:
• Hvilke udfald er der i hvert af de to spil? • Hvad skal de to terninger vise, hvis produktet skal være ulige? • Kan I tegne et chancetræ, der beskriver eksperimentet? • Hvilke forskellige metoder til at bestemme sandsynlighed kender I? Kan de bruges i de to spil? • Hvor mange gange vil I kaste tændstikæsken for at bestemme sandsynligheden? Læreren kan indsamle forskellige begrundelser for at bestemme sandsynligheder i de to eksperimenter til den efterfølgende fællesgørelse ved klassesamtalen. Forklar: Klassesamtale, hvor eleverne præsenterer deres løsninger. Fokus på forskellige metoder til at bestemme sandsynlighed, som fx at opstille udfaldsrum og beregne teoretiske sandsynlighed for de enkelte hændelser, gentage eksperimenter og store tals lov. Konklusion: Man kan beregne den teoretiske sandsynlighed for hvert udfald i terningspillet, mens sandsynligheden i spillet med tændstikæsken bestemmes ved hjælp af datasæt. Forlæng: Der er mange muligheder for at udfordre eleverne - i forskellige sværhedsgrader: Hvor stor er sandsynligheden ifølge simuleringen? (Udfordringen) Er der forskel på jeres beregnede sandsynlighed og sandsynligheden ifølge simuleringen? Hvorfor? (Udfordringen) Er der forskel på om tændstikæsken er fyldt med tændstikker eller tom?
Vær opmærksom på at… Det er en god ide at bruge fagsproget bevidst igennem hele aktiviteten, så eleverne bliver fortrolige med begreberne eksperiment, udfald, udfaldsrum og hændelse. Begreberne er beskrevet på Viden om siden.
127
042-133_9788723536716_indhold.indd 127
23.12.2020 08.44
Matematik, der favner alle i 10. klasse MAT 10 er et helt nyt grundsystem til matematik i 10. klasse, der egner sig til elever med stor faglig spredning. Eleverne arbejder undersøgende, samarbejder og giver hinanden feedback – og udarbejder løbende redegørelser til B-prøven.
MAT 10 har: • Lav indgangstærskel • Undersøgende aktiviteter • Samarbejde, diskussion og feedback • Forberedelse til prøveform B
10 kapitler – 10 redegørelser Efter hvert kapitel skal eleverne som forberedelse til prøveform B udarbejde en redegørelse om emnet, mens de har det præsent. Da der er 10 kapitler i bogen, vil de sidst på året stå med 10 redegørelser, som de kan vælge 4 ud fra.
MAT 10 består af: • MAT 10, Grundbog, enkel og overskuelig elevbog • MAT 10, Lærervejledning, der hurtigt klæder dig på til undervisningsformen • MAT 10, Web med en masse digitale ressourcer og Tavlebog. I MAT 10 ligger vægten på det digitale. Det giver stor fleksibilitet og stærke muligheder for differentiering.
MAT 10, Web – på www.mat10.alinea.dk finder du:
• Ressourcer til grundbogen • Tavlebogen • Opgaver til undersøgende matematik, træning i skriftlighed og mundtlighed • Forslag til klassedialoger • Test til hvert emne for at sikre, at basisviden er på plads • Vejledningsfilm til eleverne • Skriveskabeloner til redegørelser • Vejledning og facitliste • Lærervejledning til webopgaverne
9
1002
9788723536716_omslag.indd 1002
788723
536716
alinea.dk
23.12.2020 08.40
