Per Gregersen, Tomas Højgaard Jensen, Lone Kathrine Petersen og Helle Thorbjørnsen
6
Matematrix 6 ∙ Lærervejledning / Web LÆRERVEJLEDNINGEN indeholder ∙ Grundtankerne bag Matematrix ∙ Kommentarer til de enkelte kapitler
WEBBEN indeholder ∙ Arbejdsark til træning, fordybelse og undersøgelser ∙ Facitlister ∙ Regnearksfiler ∙ GeoGebra-aktiviteter ∙ Faglige film ∙ Lydfiler ∙ Læringsmål og årsplaner
Ved køb af en lærervejledning gives der adgang til indhold og resurser på webben: matematrix.alinea.dk
Lærervejledning / Web Har du bog, har du web!
9
788723
550293
alinea.dk
9788723550293_omslag.indd 1001
Matematik · 6. klasse · Lærervejledning · Web
31/08/2020 10.30
6
TOMAS HØJGAARD JENSEN · PER GREGERSEN · HELLE THORBJØRNSEN · LONE KATHRINE PETERSEN
LÆRERVEJLEDNING/WEB
Matematik · 6. klasse · Lærervejledning · Web
9788723550293_indhold.indd 1
24/08/2020 14.56
Matematrix 6, Lærervejledning/Web En titel i serien Matematrix Forfattere: Tomas Højgaard Jensen, Per Gregersen, Lone Katrine Petersen, Helle Thorbjørnsen Redaktion: Peter Lund og Erik C. Stenbøg Billedredaktør: Anna Nordlund Grafisk tilrettelægning: Lumina Datamatics Illustrationer: mollers.dk ∙ Hans Møller Fotos: Forside: Pixtal RF 6 Hero Images/Getty Images 10 Hans Bjurling/Johner/Ritzau Scanpix 22 Christian Lindgren/Ritzau Scanpix 34 Hans Bjurling/Johner/Ritzau Scanpix 131 Mixetto/iStockPhoto © Alinea 2. udgave, 1. oplag, 2020 ISBN: 9788723-55029-3 ISBN overnummer: 9788723-55034-7 Trykt hos: Livonia Print
Webressourcer: matematrix.alinea.dk Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med Copydan Tekst & Node. Forlaget har forsøgt at indhente tilladelse hos rettighedshavere til gengivelse af tekst og billeder i denne udgivelse. Rettighedshavere, som mod forventning har krav på honorar, bedes kontakte forlaget. Alinea støtter børn og unge Alinea er en del af Egmont, som er Danmarks største mediekoncern. Egmont har fortalt historier i over 100 år og laver film i Oscarklasse og fortæller historier gennem nyheder, bøger og magasiner. Egmont er en dansk fond, som hvert år giver næsten 100 millioner til børn og unge, der har det svært.
alinea.dk
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 2
24/08/2020 14.56
Indhold
Beskrivelse af materialet 4
Grundtankerne
Grundtankerne bag Matematrix 6 Indhold i Matematrix 6 8 Matematiske kompetencer 10 Matematiske begreber 16 Matematiske færdigheder 22 Fokus på læring 23 Fokus på undervisning 27 Værktøjer 31
Kommentarer til de enkelte kapitler 34
Kommentarer til kapitlerne
Godt i gang 36 Algebra 40 Flytninger 48 Brøker 56 Tegning 64 Ligninger 72 Procent 80 Statistik og sandsynlighed 90 Geometriske formler 98 Sammenhænge 110 Virkelighed og matematik 118
TA’ kegler - repetition 128 Kommentarer til undersøgelserne 130
Kommentarer til undersøgelserne
Resurser på alinea.matematrix.dk 140
3
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 3
24/08/2020 14.56
Materialer
Grundbog
Per Gregersen, Tomas Højgaard Jensen, Lone Kathrine Petersen og Helle Thorbjørnsen
6
MATEMATRIX 6 · 6. klasse · Grundbog · Web
Matematrix er et katalog af aktiviteter, der både indeholder problemløsning, undersøgende opgaver, færdighedstræning og understøttende aktiviteter. Med sikker hånd føres eleverne ind i 6. kl. Der er stadig plads til intuitiv matematik, leg og spil, men samtidig lægges der vægt på matematisk præcision og strategisk tankegang. Det matematiske kernestof præsenteres i overskuelige og konkrete gennemgange med mange eksempler. Et varieret udbud af øvelser og opgavetyper, giver mulighed for at give eleverne en differentieret undervisning med fokus på mellemtrinnets matematiske begreber og matematikkens praktiske anvendelse. I Matematrix er der helt grundlæggende tænkt i læringsforløb med klare faglige pointer. Hvert kapitel indeholder opslag, der giver mulighed for faglig fordybelse, forundring og tematiske krumspring. Undersøgelsesafsnittet bagerst i bogen lægger i høj grad op til matematisk modellering og tilgodeser fagets mundtlige dimension og forskellige samarbejdsformer.
• • • •
10 faglige kapitler 1 screeningskapitel 5 repetitionskapitler 8 undersøgelser
MATEMATRIX 6 indeholder et screeningskapitel, ti faglige kapitler og otte undersøgelser. Ved køb af et klassesæt gives der adgang til resurser på matematrix.alinea.dk. Det drejer sig blandt andet om arbejdsark, regnearksfiler, GeoGebrafiler, faglige film og lydfiler.
ISBN 978-87-23-53030-1
Har du bog, har du web!
9 788723
530301
alinea.dk
Matematik · 6. klasse · Grundbog · Web
MATEMATRIX 6 · 6. klasse · Arbejdsbog
9788723530301_omslag.indd 1
Per Gregersen, Tomas Højgaard Jensen, Lone Kathrine Petersen og Helle Thorbjørnsen
13/05/2020 15.08
6
Arbejdsbog • 10 faglige kapitler • 1 screeningskapitel • 10 færdigheds- og begrebsevalueringer
Arbejdsbog ISBN 978-87-23-53031-8
Har du bog, har du web!
9 788723
530318
alinea.dk
Matematik · 6. klasse · Arbejdsbog
9788723530318_omslag.indd 1001
05/05/2020 10.00
Per Gregersen, Tomas Højgaard Jensen, Lone Kathrine Petersen og Helle Thorbjørnsen
6
Lærervejledning • Grundtankerne bag Matematrix • Kommentarer til de enkelte kapitler • Kommentarer til undersøgelserne
Lærervejledning / Web
Matematik · 6. klasse · Lærervejledning
Web • To typer arbejdsark – Nummererede ark der er integreret i forløbene – Ark der afgrænser undersøgelserne • Regnearksfiler • GeoGebrafiler • Faglige film • Lydfiler • Evaluering af matematiske kompetencer
4
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 4
24/08/2020 14.56
Arbejdsark til undersøgelser
Nr.
Til hver af de 8 undersøgelser er der to arbejdsark:
7 Flytninger 8 9 10 11
Spejling, parallelforskydning og drejning Gentagne spejlinger og drejninger Sammensatte flytninger Farvelæg mønster Spejlings- og drejesymmetri
12 Brøker 13 14 15
Addition og subtraktion af brøker Multiplikation af brøker Omskrivning fra brøk til decimaltal Brøk gange brøk
16 Tegning Skitser 17 Isometrisk tegning 18 Arbejdstegning 19 Byg og tegn 20 Udfoldninger og overfladeareal 21-22 Konstruktion med GeoGebra 1 og 2 23-24 Ligninger Omformning af ligninger 1 og 2 25 Ligninger og vægte 26 Find det manglende tal 27 Procent Farv procentdele 28 Brøk, decimaltal og procent 29 Find procentdele 30 Angiv procentdele 31 Vækst i procent 32 Cirkeldiagrammer 33 Klasseundersøgelse Statistik og 34 sandsynlighed Skostørrelser 35 Hyppighedstabeller, frekvens og pindediagrammer 36 Gennemsnit 37 Ram en treer Geometriske 38 formler Cirkelformler 39 Omkreds og areal, forskellige figurer 40-43 Cirklens arealformel 1-4 44 Formler 45 Cylinder 46 Sammenhænge Maskiner 47-48 Koordinatsystem 1 og 2 49-50 Sprog, formel, tabel og koordinatsystem 1 og 2 51 Formler 52-54 Magiske kvadrater 1-3 55 Lige eller ulige? 56-57 Proportionalitet 1 og 2 58 Proportionalitet opgave 38 59 Undersøgelsesark
1.
Tre udfoldninger af undersøgelsen: A, B og C.
2.
Præcisering/afgrænsning af udfoldning A.
Oversigt over regneark Nr. Filnavn 1 Dyrevægt 2 Camping 3 Modsatte tal 4 Overflade 5 Gæt og kontroller 6 Løn 7 Saftblandinger 8 Fra procentdel til det hele 9 Diagrammer 10 Hyppighedstabel 11 Gennemsnit 12 Henning, Herman og Henriette 13 Simulering af kast med mønt 14 Formeløvelser 15 Pedros Pizza 16 Formler og regneark 17 Cylinder 18 Sammenhænge i tabeller 19 Sammenhænge i koordinatsystemer 20 Magiske kvadrater 21 Proportionalitet 22 Modeller
Kommentarer til kapitlerne
1 Algebra Brikker 2 Bogstavspil 3 Reduktion 4-5 Indsæt værdier 1-2 6 Regneregler og reduktion
Oversigt over GeoGebra-filer Nr. Filnavn 1 Reducer 2 Find værdien 3 Korncirkler 4 Spejling 5 Parallelforskydning 6 Drejning 7 Dækkeserviet 8 Isometrisk tegning 9 Huset 10 Udfoldning 11 Prisme 12 Cirkeldiagram 13 Gennemsnit 14 Areal 15 Cylinder 16 Punktplot 17 Proportionalitet
Kommentarer til undersøgelserne
Kapitel Indhold
Grundtankerne
Oversigt over arbejdsark
Virkelighed 60 og matematik Vandrehjemmet 61 Bidstrup skovene 62 Valuta 63 Overslag
5
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 5
24/08/2020 14.56
Grundtankerne bag Matematrix 6. KLASSE Introduktion til systemet Matematrix 6 er en del af et matematiksystem, der spænder fra børnehaveklassen til 9. klassetrin. I udarbejdelsen af systemet har der fra start været fokus på tre centrale forhold og relationen imellem dem.
Fokus på undervisning Hvilke resurser skal læreren bruge for at kunne tilrettelægge en undervisning, der tilgodeser elevernes læring, lever op til samfundets krav, og som samtidig giver en række forskellige handlemuligheder?
Matematisk faglighed og indhold Hvilke kompetencer, begrebsforståelser og færdigheder skal eleverne udvikle, og i hvilken rækkefølge? På hvilket klassetrin og i hvilke kapitler skal det matematiske kernestof placeres?
Grundtankerne i denne vejledning er disponeret ud fra disse tre helt centrale forhold, som uddybes på de følgende sider.
Fokus på læring Hvordan skal stoffet præsenteres, så det understøtter elevernes læring bedst muligt? Hvordan kan eleverne tage medansvar for egen læring?
6
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 6
24/08/2020 14.56
I forbindelse med revisionen af Matematrix har vi udviklet en række digitale resurser, som skal understøtte elevernes læring. Der er lagt stor vægt på at gøre det enkelt at integrere it i den daglige undervisning. Samtidigt er elevernes adgang til filer og film blevet betydelig lettere, idet de selv kan hente relevante resurser på matematrix.alinea.dk. Der er flere grunde til, at Matematrix er blevet mere digital i forbindelse med revisionen: • Undervisningsministeriet har generelt fokus på øget digitalisering af grundskolen. Vi vil naturligvis gerne medvirke til denne udvikling, som kommer til udtryk i Fælles Mål. • It giver mulighed for og lægger op til en række aktiviteter, som både kan motivere, støtte og
, Lone Jensen jgaard mas Hø en, To egers Per Gr
udfordre eleverne. På matematrix.alinea.dk drejer det sig blandt andet om filer og film, som eleverne kan bruge til undersøgende læringsprocesser, præsentationer, og når de har brug for tydelige instruktioner og en alternativ og mere direkte tilgang til matematiske forklaringer. Læs mere om indholdet på webben. • Vi vil udnytte, at skolerne generelt har fået bedre it-faciliteter, flere digitale resurser og en forbedret digital infrastruktur.
Grundtankerne
Ny udgave af Matematrix
I det reviderede koncept er bog og web knyttet helt tæt sammen i en løsning, vi kalder, ”Har du bog, har du web”. Ved køb af et klassesæt af grundbøgerne, får eleverne automatisk adgang til sitet.
rnsen orbjø lle Th og He tersen ine Pe Kathr
6
M AT EM AT RI X
older indeh både ing og , der stræn iteter ghed aktiv færdi og af gaver, katal nde op er et rsøge atrix til unde g, Matem plads . mløsnin aktiviteter stadig proble Der er de r kl. en de es i 6. rstøtt lægg unde rne ind . tidig eleve n sam kegang føres k tan il, me r hånd og sp e ategis ke str leg sik nkret k, og Med og ko temati cision elige iv ma elser sk præ ersku intuit temati d af øv es i ov ret udbu på ma entie senter rieret vægt differ f præ r. Et va rne en rnesto ber og semple eleve begre ske ke e ek e ati giv ske ng at tem d ma temati d for Det ma nge me er mulighe nets ma emga mtrin genn er, giv melle d us på e. gavetyp me els fok op løb og med anvend gsfor lærin rvisning ktiske er nkt i unde ens pra der giv . de tæ atikk slag, pring ggen er op matem krums ndlæ ehold lt gru atiske el ind der he op til og tem kapit d ng ix er ert gra dri atr sion i høj er. Hv , forun I Matem gger dimen e point belse tlige gen læ fordy faglig mund klare rst i bo faglig bage r fagets et hed for ese itt lig od sn mu tilg lsesaf g og ler og rsøge llerin er. Unde e kapit mode sform faglig atisk arbejd el, ti matem e sam kapit nings skellig scree og for er et ehold 6 ind på TRIX er MA urs r. sark, res MATE gelse arbejd ng til dersø r adga det om otte un es de ndt an sæt giv jer sig bla filer. klasse og lyd t dre e film b af et k. De , faglig Ved kø ler alinea.d ix. rafi atr oGeb matem ler, Ge arksfi regne
Web bo g ·
Kommentarer til kapitlerne
· G ru nd kl as se 6 · 6. 1
030-
3-53
87-2
ISBN
978-
723 9 788
530301
atik ·
Matem
eb og · W
undb
se · Gr
6. klas
/2020
13/05
15.08
k alinea.d
bog, Har du web! har du
Grundbog
Web
1
Komplette læringsforløb – baseret på timeglasmodellen – se side 24-25.
→ henviser til
Arbejdsark, GeoGebra- og Excelfiler, GeoGebrafilm, lydfiler og faglige film.
Kommentarer til undersøgelserne
slag.indd
30301_om
97887235
Den nyreviderede lærervejledning er også blevet en del af ”Har du bog, har du web-løsningen”.
Har du bog, har du web!
Ved køb af en vejledning gives der adgang til en række lærerresurser. Det drejer sig blandt andet om evalueringsværktøjer, understøttende arbejdsark til undersøgelser og facitlister (jf. side 4).
7
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 7
24/08/2020 14.56
Indhold i Matematrix 6
Kapitel
Grundbog side
Arbejdsbog
Godt i gang
7-13
SIDE 1-3
Algebra Intro/Introaktiviteter
14-27 14-15
SIDE 4-11 SIDE 4
Gennemgang Øvelser
16-17 18
SIDE 5-6
Opgaver
19-23
SIDE 7-8
Faglige og tematiske opslag
24-27
SIDE 9
Evaluering Flytninger Intro/Introaktiviteter Gennemgang Øvelser
28-39 28-29 30-31 32-33
SIDE 12-14
SIDE 15-16 SIDE 17
42-53 42-43 44-45 46-47
SIDE 18-19 SIDE 20-27 SIDE 20 SIDE 21 SIDE 22-23
Opgaver Faglige og tematiske opslag Evaluering Tegning Intro/Introaktiviteter Gennemgang Øvelser
48-51 52-53
SIDE 24 SIDE 25
Opgaver
59-61
Faglige og tematiske opslag
62-65
68-79 68-69 70-71 72-73
Opgaver
74-75
Faglige og tematiske opslag Evaluering Procent Intro/Introaktiviteter Gennemgang Øvelser
76-79
Opgaver
86-89
8
80-91 80-81 82-83 84-85
Film og lyd Lyd - Godt i gang
1. Brikker 2. Bogstavspil
Lyd - Algebra
3. Reduktion 4-5. Indsæt værdier 1-2 Regneark 1. Dyrevægt Regneark 2. Camping 6. Regneregler og reduktion
Regneark 3. Modsatte tal GG 1. Reducer GG 2. Find værdien
Faglige film (1 stk.)
GG 3. Korncirkler
Lyd - Flytninger
SIDE 10-11 SIDE 12-19
34-37 38-39
Evaluering Ligninger Intro/Introaktiviteter Gennemgang Øvelser
Regnearksfiler GeoGebrafiler (GG)
Faglige film (2 stk.)
Opgaver Faglige og tematiske opslag Evaluering Brøker Intro/Introaktiviteter Gennemgang Øvelser
54-65 54-55 56-57 58
Arbejdsark
7. Spejling, parallelforskydning og drejning 8. Gentagen spejling og drejning 9. Sammensatte flytninger 10. Farvelæg mønster 11. Spejlings- og drejesymmetri
GG 4. Spejling GG 5. Parallelforskydning GG 6. Drejning
GG 7. Dækkeserviet Faglige film (1 stk.)
Lyd - Brøker Faglige film (2 stk.) 12. Addition og subtraktion af brøker 13. Multiplikation af brøker 14. Omskrivning fra brøk til decimaltal 15. Brøk gange brøk
Faglige film (2 stk.)
SIDE 26-27 SIDE 28-35 Lyd - Tegning SIDE 28-30
SIDE 31-33
16. Skitser 17. Isometrisk tegning 18. Arbejdstegning 19. Byg og tegn 20. Udfoldninger og overfladeareal 21-22. Konstruktion med GeoGebra 1-2
GG 8. Isometrisk tegning GG 9. Huset Regneark 4.Overflade GG 10. Udfoldning GG 11. Prisme
SIDE 34-35 SIDE 36-43 SIDE 36 SIDE 37-39
Lyd - Ligninger Faglige film (2 stk.) 23-24. Omformning af ligninger 1-2 25. Ligninger og vægte 26. Find det manglende tal
Regneark 5. Gæt og kontroller
SIDE 40-41 SIDE 42-43 SIDE 44-51 SIDE 44 SIDE 45
SIDE 46-47
Faglige film (3 stk.)
Faglig film
27. Farv procentdele
Lyd - Procent Faglige film (2 stk.)
28. Brøk, decimalttal og procent 29. Find procentdele 30. Angiv procentdele 31. Vækst i procent Regneark 6. Løn Regneark 7. Saftblandinger
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 8
24/08/2020 14.56
Grundbog side
Arbejdsbog
Arbejdsark
Faglige og tematiske opslag
90-91
SIDE 48-49
32. Cirkeldiagrammer Regneark 8. Fra procentdele til det 33. Klasseundersøhele gelse Regneark 9. Diagrammer GG 12. Cirkeldiagram
Faglige film (2 stk.)
94-105
SIDE 50-51 SIDE 52-59
94-95
SIDE 52
34. Skostørresler
Gennemgang Øvelser
96-97 98-99
Lyd - Statistik og sandsynlighed Faglige film (2 stk.)
SIDE 53-54
35. Hyppighedstabeller, frekvens og pindediagrammer 36. Gennemsnit 37. Ram en treer
Opgaver
100-103
SIDE 55-57
Faglige og tematiske opslag Evaluering Geometriske formler Intro/Introaktiviteter
104-105
Gennemgang Øvelser
108-109 110
SIDE 61
Opgaver
111-115
SIDE 62-65
Faglige og tematiske opslag
116-119
Regneark 12. Henning, Herman, og Henriette Regneark 13. Simulering af kast med mønt
SIDE 58-59 SIDE 60-67 SIDE 60
Lyd - Geometriske formler Faglige film (3 stk.) 38. Cirkelformler
Evaluering Sammenhænge Intro/Introaktiviteter
122-129 122-123
Gennemgang Øvelser
124 125-126
SIDE 68-69
Opgaver
127-128
SIDE 70
Faglige og tematiske opslag
129
SIDE 71
130-141
SIDE 72-73 SIDE 74-80
130-131
SIDE 74
Gennemgang Opgaver
132-133 134-35
SIDE 75
Faglige og tematiske opslag Evaluering Undersøgelser Din krop En liter Tesselationer Affald Danmarks natur Sudoku Prisforskelle Tallenes historie
136-141
SIDE 76-78
Evaluering Virkelighed og matematik Intro/Introaktiviteter
Regneark 10. Hyppighedstabel Regneark 11. Gennemsnit GG 13. Gennemsnit
Regneark 14. Formeløvelser 39. Omkreds og areal, Regneark 15. Pedros Pizza forskellige figurer GG 14. Areal 40-43. Cirklens arealformel 1-4 44. Formler Regneark 16. Formler og regneark 45. Cylinder Regneark 17. Cylinder GG 15. Cylinder
Faglig film
SIDE 66-67 SIDE 68-73 46. Maskiner 47-48. Koordinatsystem 1-2 49-50. Sprog, formel, tabel og koordinatsystem 1-2 51. Formler 52-54. Magiske kvadrater 1-3 55. Lige eller ulige? 56-57. Proportionalitet 1-2 58. Proportionalitet opgave 38 59. Undersøgelsesark
Kommentarer til kapitlerne
106-119 106-107
Film og lyd
Lyd - Sammenhænge Faglig film Regneark 18. Sammenhænge i tabeller Regneark 19. Sammenhænge i koordinatsystemer GG 16. Punktplot Regneark 20. Magiske kvadrater
Regneark 21. Proportionalitet GG 17. Proportionalitet
Faglig film
Lyd - Virkelighed og matematik Faglig film 60. Vandrehjemmet 61. Bidstrup skovene 62. Valuta 63. Overslag
Regneark 22. Modeller Faglig film Kommentarer til undersøgelserne
Evaluering Statistik og sandsynlighed Intro/Introaktiviteter
Regnearksfiler GeoGebrafiler (GG)
Grundtankerne
Kapitel
SIDE 79-80 144-159 144-145 146-147 148-149 150-151 152-153 154-155 156-157 158-159
9
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 9
24/08/2020 14.56
10
Matematrix 6 ¡ LÌrervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 10
24/08/2020 14.56
Matematiske kompetencer
I komprimeret form kan man sige, at kompetence er en persons indsigtsfulde parathed til at handle på en måde, der lever op til udfordringerne i en given situation. Denne forståelse betyder, at kompetence kan og bør udvikle sig på flere forskellige måder. I Matematrix har vi valgt at arbejde med de tre dimensioner, som er beskrevet i KOM-rapporten.
Kompetencedimension
Kendetegn
Eksempel
Dækningsgrad
Dækningsgraden afspejler de aspekter, som eleverne kan bringe i spil, når en kompetence udfordres. Kompetence udvikles ikke i et spring, men i en glidende proces, hvor man lægger mere og mere til sin ekspertise. Jo flere aspekter af en kompetence, man er blevet fortrolig med, jo dybere er ens kompetencebesiddelse.
Dækningsgraden af hjælpemiddelkompetencen er øget, hvis man ud over at kunne håndtere lommeregner og regneark enkeltvis også er i stand til kritisk at vurdere disse hjælpemidlers styrker og svagheder.
Aktionsradius
Aktionsradius indikerer antallet af forskellige typer situ ationer, som eleverne er kompetente i forhold til. Kompetence udvikles, når man bliver udfordret i konkrete situationer. Jo flere forskellige typer situationer man har lært at håndtere, jo bredere er ens kompetencebesiddelse.
Aktionsradius af modelleringskompetencen er øget, hvis man ud over at kunne bygge helt simple regnestykker også kan gøre det i mere komplekse sammenhænge. Det kan fx være i forbindelse med at anvende matematik i andre fag.
Teknisk niveau
Teknisk niveau vedrører de matematiske begreber og metoder, som eleverne kan trække op af værktøjskassen, når kompetencen udfordres. Kompetence udvikles blandt andet ved, at man forsøger at bringe nye begreber og metoder i spil, når man handler i en situation. Jo mere avancerede begreber og metoder man kan inddrage, jo højere er det tekniske niveau.
Det tekniske niveau af symbolbehandlings kompetencen er øget, hvis man ud over at kunne bygge simple regneudtryk med naturlige tal også bliver i stand til at gøre det med negative tal og/eller brøker.
Nogle matematiklærere tænker, at der skal nye begreber og/eller metoder i spil, for at man kan tale om progression i elevernes niveau. En af styrkerne ved at arbejde med kompetencemål i undervisningen er at legitimere, at det også giver rigtig god mening at arbejde med progression i dybden og i bredden. Progressionen behøver altså ikke at være bundet op på et nyt matematisk indhold.
Matematiske kompetencemål I Matematrix lægger vi naturligvis op til, at eleverne udvikler alle de matematiske kompetencer, som udgør en central del af Fælles Mål. Lige fra starten har kompetencebegrebet haft en fremtrædende placering i systemet og med en særlig vægt på matematisk modelleringskompetence, som vi anser som den mest centrale kompetence i en almendannende matematikundervisning. Betoningen af modelleringskompetencen viser sig på to måder. For det første er der i alle bøgerne rigtig mange opgaver og undersøgelsesoplæg, der sigter på at udvikle denne kompetence.
Grundtankerne
Progression i kompetenceudvikling
Kommentarer til kapitlerne
Kort formuleret bruger vi ordet kompetence i betydningen ekspertise. At have kompetence betyder både at have viden og færdigheder og at være i stand til at handle på en hensigtsmæssig måde. Desuden skal man have fornemmelse for og kunne vurdere, hvad udfordringerne i en given situation består i med henblik på at kunne træffe den rigtige beslutning. Kompetence indbefatter almindeligvis, at man bevidst kan inddrage sine færdigheder som værktøj i forskellige situationer. Kompetencebegrebet rummer altså mange
aspekter, ligesom når det anvendes i sammenhænge som fx det kompetente barn og den kompetente lærer.
For det andet deler vi modelleringskompetencen op i to kompetencer, som begge bliver beskrevet i denne vejledning. Det drejer sig om produktiv matematisk modelleringskompetence – evnen til selv at kunne anvende matematik ved at bygge og bruge matema tiske modeller – og matematisk anvendelseskritisk kompetence, der handler om at kunne forholde sig kritisk til andres anvendelse af matematik. Problembehandlingskompetencen kan også konsekvent udfordres i alle mellemtrinskapitlerne, fordi opgaverne har stigende progression, så der findes passende udfordringer for alle eleverne. Derudover er der i alle bøgerne ofte fokus på symbolbehand lings- og ræsonnementskompetence, jf. kompetencematricen på side 14. Dette skal ses i sammenhæng med, at de største udfordringer i mellemtrinnets matematikundervisning er forståelsesmæssigt at komme ”bag om” symbolske repræsentationer af regnestykker, ligninger, brøker, decimaltal, procentberegninger m.m.
11
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
Kommentarer til undersøgelserne
Matematikfaglig kompetence
9788723550293_indhold.indd 11
24/08/2020 14.56
Matematiske kompetencer
Matematiske kompetencer Ekspertise i at kunne…
Generelle spørgemåder
Konkrete eksempler fra Matematrix 6
Problembehandling
Generelle formuleringer giver ikke mening, da spørgemåden afhænger af modtagerens oplevelse af spørgsmålet.
• Hvad skal man gange 6 med for at få 32 ? (Brøker, side 51, nr. 54).
• formulere og løse problemer selv. Det gælder både faglige og anvendelsesorienterede problemer.
• Johans far er 7 år ældre end hans mor. Tilsammen er de 83 år. Opstil en ligning, der passer til oplysningerne. (Ligninger, side 76, nr. 24). • Hvad er gennemsnittet af fem på hinanden følgende hele tal? (Statistik og sandsynlighed, side 103, nr. 37). • Kvadratet uden om en cirkel kaldes ”cirklens omskrevne kvadrat”. Er forholdet mellem cirklens og kvadratets areal altid det samme? (Geometriske formler, side 113, nr. 28).
Modellering
− Hvordan kan man bruge matematik til at undersøge...?
• I skal designe en dækkeserviet og en papirserviet. (Flytninger, side 37, nr. 31).
• anvende den matematiske værktøjskasse kritisk og med omtanke. • opstille matematiske udtryk, som bearbejdes og fortolkes.
− Giver det mening at beskrive ... ved hjælp af...?
• Hvor langt er der mellem dine ører? (Geometriske formler, side 115, nr. 42).
− Hvad er det fornuftigt at se bort fra, når man skal undersøge...?
• Hvor meget affald kommer der i løbet af et år fra jeres familie? (Virkelighed og matematik, side 141, nr. 46). • Undersøg forskellige mål på jeres kroppe, eller hvor meget energi der er i det, I spiser og drikker. (Undersøgelse, side 144-145). • Undersøg noget om Danmarks natur. (Undersøgelse, side 152-153).
Anvendelseskritisk
− Er matematik brugt fornuftigt her? − Er ... en god model af...?
• være kritisk i forhold til andres brug af matematik. • vurdere egenskaber ved simple matematiske modeller og resultater stammende herfra.
− Kan ... bruges som model af...? − Er der grund til at ændre på modellen som følge af...? − Er det rimeligt at konkludere ... på baggrund af...? − Hvor stammer resultatet ... fra?
• Otte elever fra 6. klasse har regnet med bogstaver. Hvem har regnet rigtigt? Hvem har regnet forkert? Hvor gik det galt? (Algebra, side 19, nr. 17). • Diskutér svarene på opgaverne med en eller flere fra klassen. Kan I forstå hinandens beregninger? Er I enige om svarene? (Geometriske formler, side 115, nr. 43). • Undersøg forskellige mål på jeres kroppe, eller hvor meget energi der er i det, I spiser og drikker. (Undersøgelse, side 144-145). • Undersøg noget om Danmarks natur. (Undersøgelse, side 152-153).
Ræsonnement • følge, forholde sig til og gennemføre matematiske ræsonnementer.
− Forklar... − Hvordan er du nået frem til...? Begrund svaret. − Er det rigtigt, at...? − Giver det mening at påstå, at...? − Hvad er udgangspunktet (præmisserne), når du påstår, at...?
Tankegang
− Findes der situationer/regler for...? − Kan matematik bruges til at...?
• vurdere matematikkens ”spilleregler” og strukturelle opbygning. • bruge sin viden om, hvad der er karakteristisk for matematik som fag.
12
− Kan begrebet ... bruges til at…? − Hvordan kan man vide, at...? − Hvad er i matematik det modsatte af at...? − Er det en del af matematik at...?
• Hvor mange symmetriakser har et rektangel? (Flytninger, side 38, nr. 35). • Hvilken af de udfoldede figurer kan danne den viste terning? (Tegning, side 63, nr. 30). • Undersøg, hvilke figurer der kan danne en tesselation. (Undersøgelse, side 148-149). • Hvordan laver man en sudokuopgave? (Undersøgelse, side 154-155). • Hvilke fotos indeholder mønstre? (Flytninger, side 36, nr. 30). • Hvad er det største tal, man kan få som løsning til en ligning? (Ligninger, side 77, nr. 32). • Skriv nogle spørgsmål, som du mener, det vil være smart at besvare med procent. (Procent, side 89, nr. 48).
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 12
24/08/2020 14.56
Generelle spørgemåder
Konkrete eksempler fra Matematrix 6
Repræsentation
− Hvad er en god måde at vise det på?
• arbejde med forskellige repræsentationer i forbindelse med problemløsning: hands on, ikonisk og symbolsk. • skifte repræsentationsform og vælge den mest hensigtsmæssige repræsentation i en given situation.
− I hvilke typer situationer er det smart at bruge ... til at vise noget med?
• Hvilke af disse spørgsmål vil det være smart at besvare med procent? (Procent, side 89, nr. 47).
− Hvordan kan man vise det ved hjælp af…? − Hvilke andre måder kan man vise det på? − Hvorfor vælger du at bruge ... til at vise…?
• Hvilket diagram viser fordelingen bedst? Hvorfor? (Procent, side 91, nr. 64). • Find selv på sammenligninger mellem de to hoppelande. (Statistik og sandsynlighed, side 105, nr. 49). • Vis både sammenhængene “det dobbelte af” og “det halve af” på forskellige måder. (Sammenhænge, side 127, nr. 20).
Grundtankerne
Matematiske kompetencer Ekspertise i at kunne…
− Er det ikke mindre smart at bruge ... til at vise...?
• afkode og arbejde med symbolog formelsprog.
− Hvad betyder det, når der står...? − Forklar hvad der udtrykkes med formlen...? − Oversæt ... til almindeligt sprog. − Skriv ... ved hjælp af matematiske symboler. − Byg en formel, der viser ... − Hvordan kan man skrive ... kortere? − Omform formlen..., så den er nemmere at bruge til at ...
Kommunikation • udtrykke sig skriftligt og mundtligt om forhold, hvori der indgår matematik. • forstå andres matematikholdige udtryk i såvel skriftlig som mundtlig form.
− Forklar for hinanden, hvordan I har ... − Forbered en god måde at vise jeres arbejde på for de andre. − Skriv en tekst, der er henvendt til ... og forklarer om ... − Forstår du, hvad hun mener? − Prøv at sige det „samme“ på en anden måde. − Er det rigtigt forstået, at du mener, at...?
• Hvilke regneudtryk og sætninger passer sammen? (Algebra, side 23, nr. 40). • Johans far er 7 år ældre end hans mor. Tilsammen er de 83 år. Opstil en ligning, der passer til oplysningerne. (Ligninger, side 76, nr. 24). • Forklar med almindeligt sprog, hvilken sammenhæng formlerne beskriver. (Geometriske formler, side 112, nr. 21). • Hvor meget affald kommer der i løbet af et år fra jeres familie? (Virkelighed og matematik, side 141, nr. 46).
• Hvad skal man egentlig med bogstaver, når man regner? (Algebra, side 23, nr. 41). • Find selv på fire varer. Bestem pris og rabat og lad din sidemand beregne rabatprisen. (Procent, side 88, nr. 46). • Find selv eksempler på nogle ting, der er proportionalitet mellem. (Sammenhænge, side 129, nr. 33). • Hvordan ser en liter ud? (Undersøgelse, side 146-147).
Hjælpemiddel
− Hvad er et godt hjælpemiddel i den her situation?
• Vælg et decimaltal, der ligger mellem de to brøker. (Brøker, side 51, nr. 55).
• betjene sig af hjælpemidler på en hensigtsmæssig måde i forbindelse med matematisk virksomhed.
− I hvilke typer situationer er det smart at bruge ... som hjælpemiddel til at...?
• Tegn rektanglet og prismet i GeoGebra. (Tegning, side 64, nr. 33).
− Hvad kan man ved hjælp af...? − Hvordan bruger man...? − Hvilke andre hjælpemidler kan man bruge?
Kommentarer til kapitlerne
Symbolbehandling
• Skriv regnearksformler til cellerne B10, E10 og H10. (Geometriske formler, side 117, nr. 50). • Undersøg noget om Danmarks natur. (Undersøgelse, side 152-153).
Kommentarer til undersøgelserne
− Hvorfor vælger du at bruge ... til at beregne...? − Er det ikke usmart at bruge ... til at tegne...?
13
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 13
24/08/2020 14.56
14
9788723550293_indhold.indd 14
En brøk forstået både som et forhold og som en selvstændig talrepræsentation.
Bogstaver som pladsholdere for ukendte tal. Forberedelse af variabelbegrebet.
Kommunikation om, hvordan geometriske figurer kan flyttes.
Omskrivning fra brøk til decimal tal.
Symmetri som en geometrisk egenskab.
Modsatte regningsarter som en del af matematikkens kendetegn.
”Kan man regne med alle brøker?”
Brøker
Ukendte tal repræsenteret ved hjælp af bogstaver.
Ræsonnementer vedrørende mønstre og symmetri som geometriske egenskaber.
Ræsonnementer vedrørende gyldigheden af forskellige regneregler.
Mønstre som geometriske modeller.
Flytninger
Forskellige typer tegninger som repræsentationer af det samme objekt.
Ræsonnementer vedrørende forskellige udsagn om rumlige figurers egenskaber.
Tegninger som geometriske modeller, herunder valg mellem tre tegnemodeller.
Tegning
Afkodning, opstilling og løsning af ligninger.
Ukendte tal repræsenteret ved hjælp af bogstaver i ligninger.
At skulle forholde sig til udsagn om ligninger og deres løsning.
Ligninger
Procent som effektivt kommunikationsmiddel, fx ved sammenligning af brøkdele.
Afkodning af og regning med procenttal, brøker og decimaltal.
Procent som repræsentation af størrelsesforhold.
Procent
Valg af hjælpemidler til små statistiske undersøgelser. Blandt andet ved brug af GeoGebra.
Refleksioner over rimeligheden af forskellige argumenter baseret på statistik og sandsynlighed.
”Hvad er gennemsnittet af fem på hinanden følgende hele tal?”
Statistik og sandsynlighed
Afkodning af eksisterende formler. Bygning af egne formler.
Mulighed for at arbejde med beviset for cirklens arealformel.
Ræsonnementer om formler og variables egenskaber og karakteristika.
Bygge formler som modeller af forskellige sammenhænge, og kritik af andres ditto.
Geometriske formler
Kommunikation om sammenhænge mellem forskellige størrelser.
Matematiske sammenhænge repræsenteret med fx sprog, ”maskiner”, ligning og tabel.
Begrundelser for påstande om sammenhænge mellem forskellige forhold.
Sammenhænge
Kommunikation om egne og andres modeller og fortolkningen af resultater.
Regneudtryk, formler og tegninger som modelværktøj, og kritik af andres modelvalg.
Virkelighed og matematik
* Udvikling af modelleringskompetence spiller en central rolle i Matematrix (se side 11f). I hovedparten af undersøgelserne i 6. klasse er der således fokus på denne kompetence. ** Også ræsonnementskompetencen er der et klart fokus på i Matematrix. Flere af undersøgelserne i 6. klasse lægger først og fremmest op til at udvikle denne kompetence. *** Tankegangskompetencen er der ikke så meget fokus på i 4.-6 klasse, da det nemt ender med temmelig abstrakte fag-overvejelser, som eleverne ikke er parate til. De tre udfyldte felter kan opfattes som eksempler på ”nedslag”. **** Hjælpemiddelkompetencen nævnes kun eksplicit et sted, men er et kompetenceområde, der på forskellig vis kommer til udtryk i alle kapitlerne.
Hjælpemiddel****
Kommunikation
Symbolbehandling
Repræsentation
Tankegang***
Ræsonnement**
Modellering*
Problembehandling
Algebra
Kompetencematrix
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
24/08/2020 14.56
Kompetenceudvikling er en proces, som aldrig afsluttes. Kompetencer udvikler sig løbende hos den enkelte elev. Tænk blot på udviklingen af nogle af de mere alment menneskelige kompetencer som fx hensyntagen til andre og indlevelsesevne. Karakteristikken af de enkelte kompetencer (jf. skemaet på side 12-13) kan man tænke på som pejlemærker, som man kan lade sig inspirere af og navigere efter i arbejdet med sin undervisning.
Dækningsgraden er både den vigtigste og den vanskeligste af de tre dimensioner at se tegn på. Her udfordres lærere og elever uundgåeligt på deres forståelse af, hvilke aspekter den enkelte kompetence kan siges at bestå af, så man kommer til at arbejde med det, der udgør kompetencens kerne. For at støtte denne proces har vi udviklet et evalueringsark til hver matematisk kompetence, som findes på matematrix.alinea.dk.
At besidde en matematisk kompetence betyder, at man kan handle på en måde, der er karakteristisk for kompetencen, når en situation ”kalder på det”. Hvis man vil evaluere en elevs kompetencebesiddelse, skal man derfor bringe ham/hende i en situation, hvor den kompetente form for handlen er naturlig og hensigtsmæssig.
Af disse ark fremgår det, hvad vi anser for de væsentligste aspekter af kompetencen. Der er også gjort plads til, at læreren kan gøre notater om synlige tegn på læring. I hvilken udstrækning behersker eleven de enkelte aspekter? Helt tilsvarende er der gjort plads til notater vedrørende det tekniske niveau, som normalt er den nemmeste dimension af en kompetence at forholde sig til. Aktionsradius er i sagens natur vanskelig at evaluere med afsæt i en enkelt aktivitet og læringssituation. Det mest hensigtsmæssige er at udfordre den samme kompetence i mange forskellige situationer.
Konkret støtte og eksempler
Kommentarer til undersøgelserne
Som støtte til gennemførelsen af disse evalueringsprocesser samler vi løbende en række resurser og konkrete eksempler på matematrix.alinea.dk. • Aktivitetsoplæg i form af kompetenceorienterede opgaver og undersøgelsesoplæg fra bøgerne. • Videoklip med elever og en lærer, der arbejder med udvalgte aktivitetsoplæg. • Interviews med den involverede lærer, der mundtligt evaluerer de viste elevers præstationer i forhold til det valgte kompetencemål. • Udfyldte evalueringsark med en tilsvarende skriftlig evaluering.
Grundtankerne
Tegn på kompetencebesiddelse
Kommentarer til kapitlerne
Evaluering af faglige kompetencer
15
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 15
24/08/2020 14.56
Matematiske begreber Matematiske begreber er ordnet hierarkisk. Det enkelte matematiske begreb skal ses i sammenhæng med den overordnede struktur, det indgår i. Eksempelvis vil begrebet koordinatsystem give ringe mening uden kendskab til tal og tallinjer. De matematiske begreber skal imidlertid bruges i tilknytning til virkelige problemstillinger, der ikke er pænt tilrettelagt og struktureret. Tværtimod! Begreber som fx addition, sum og procent dukker pludselig op i forskellige sammenhænge og kræver handling her og nu. For at blive en kompetent matematikbruger skal matematikundervisningen og -læringen altså både have fokus indad på matematikken og udad på anvendelser. ”Hvordan vedligeholder og videreudvikler man forståelsen og anvendelsen af de matematiske begreber, samtidig med at der løbende inddrages nye begrebsområder?” Problemstillingen kan løses gennem en spiralorganisering af undervisningen. Herved foregår repetition og færdighedstræning af begreber fra tidligere klassetrin parallelt med arbejdet med det nye stof. I Matematrix-systemet holder vi styr på det ved at beskrive samtlige kapitler i den såkaldte begrebsma trix, som man kan finde på matematrix.alinea.dk. Den viser, hvordan vi på hvert klassetrin har valgt at arbejde med en række matematikfaglige begreber (27 i alt), som vi har udpeget som de mest centrale i grundskolens matematikundervisning. Matricen kan tilgås på (mindst) to måder: Årgangs-udgangspunkt: Ved at gå lodret ind i matricen kan man danne sig overblik over, hvilken begrebsmæssig progression hvert kapitel i en given Matematrix-bog indgår i. Eksempelvis kan man se, at ligningskapitlet i Matematrix 6 er det første af tre kapitler om ligninger. Fokuspunkter i kapitlerne: • 6. kl. Hvad er en ligning? Betydningen af lighedstegnet. Gæt og prøv som løsningsmetode. • 7. kl. Systematisk ligningsløsning ved hjælp af omformning (algebraisk manipulation). • 8. kl. Opstilling af ligninger som matematisk model (matematisering). Begrebs-udgangspunkt: Ved at gå vandret ind i matricen kan man danne sig overblik over, hvordan begrebsprogressionen er tænkt på tværs af de forskellige Matematrix-bøger. Eksempelvis kan man se, at arbejdet med sandsynlighed indledes med fokus på mere intuitive overvejelser om chancen for, at noget sker. I 5. klasse introduceres en mere systematisk tilgang til tilfældighedsprægede eksperimenter, men begrebet sandsynlighed introduceres først her i 6. klasse.
Da mængden af stof, der skal repeteres, har en tendens til at blive større og større, kan det være hensigtsmæssigt at afsætte tid til at ”samle trådene”. Det er baggrunden for de kapitler, der omtales som kerneområder og i begrebsmatricen er skrevet med blokbogstaver. For 4.-6. klassetrin drejer det sig om: 4. klasse: Hele tal, brøker og division. 5. klasse: Rumfang, procent og størrelsesforhold. 6. klasse: Ligninger, sammenhæng og symmetri/ flytninger.
Sammenhæng mellem faglige begreber Da de fleste matematiske begreber er forbundet med hinanden, og progressionen af faglige begreber er hierarkisk opbygget, er det vigtigt at have kendskab til begrebernes indbyrdes sammenhæng. Eksempelvis er der i Matematrix 6 fokus på regning med brøker. Det giver kun mening, fordi der i hele indskolingen og her på mellemtrinnet er blevet arbejdet med en lang række begreber, som danner grundlag for at forstå, hvorfor brøkregning foregår som det gør. En grundlæggende talforståelse danner udgangspunkt for arbejdet med addition og subtraktion, derefter multiplikation og division, så anvendt brøkregning i form af deling og brøkdele og så endelig brøk forstået som et forhold mellem to tal, der i sig selv danner et tredje tal. Med fokus på kapitlerne i bøgerne til hvert klassetrin ser progressionen således ud: 0. klasse
Tallene 0-20.
1. klasse
Addition og subtraktion.
2. klasse
Multiplikation. Sproglig repræsentation af brøkdele.
3. klasse
Deling og brøkdele.
4. klasse
Division. Brøker som tal-repræsentation.
5. klasse
Brøker. Regning med hele tal og simple brøker.
6. klasse
Brøkregning med alle fire regningsarter.
I introduktionen til hvert grundbogskapitel her i lærervejledningen præsenterer vi den begrebsmæssige progression, som kapitlet indgår i.
Faglige opslag Kapitlernes faglige hovedpointer er placeret på gennemgangssiderne, men til de fleste kapitler findes faglige opslag, som forløber over en eller to sider. Disse opslag indeholder relevante underbegreber eller beslægtede begreber til gennemgangsstoffet, fx: • Flytninger: Symmetri. • Sammenhænge: Proportionalitet. Da de faglige opslag indeholder centralt kernestof, bør alle elever arbejde med dem.
16
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 16
24/08/2020 14.56
Begrebsdannelse
A Grundtankerne
Eleverne i 6. kl. har både hørt om millioner og milliarder. Hvilken opfattelse de har af fx en million er meget individuelt. Elevens viden om en million stammer måske fra udtryk som ”Nej skat, jeg har travlt, jeg skal nå en million ting i dag”. De fleste af os bruger jo ”million” i betydningen ”en masse” eller ”meget” i dagligdagssproget. Også i kontekster som fx huspriser, indbyggertal m.m. kan eleverne have hørt om store tal. Men herfra og til præcist at vide, at en ”million” er heltallet efter 999.999, er der meget langt. I rammen nedenfor er nogle få eksempler på begreber, som voksne forbinder med en million.
Hvert knudepunkt svarer til et begreb, og hver streg til en relation.
17
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
Kommentarer til undersøgelserne
Hvert af disse begreber hænger igen sammen med andre begreber. Illustrationen ville derfor meget hurtigt blive uoverskuelig, hvis alt dette skulle med. Og alligevel ville det blot udgøre en brøkdel af det samlede antal mentale begrebslige forbindelser. Børnenes forskellige udviklingstrin og måde at tilegne sig viden på, skyldes i høj grad, at der er så ufatteligt mange mulige mentale forbindelser. Forståelsesgraden af et forhold handler nemlig om, hvor mange forbindelser der er dannet mellem begrebet og alle de øvrige begreber, man kender. At forstå noget nyt handler altså om at få etableret nogle stærke forbindelser (eller relationer) mellem det nye begreb og de allerede kendte sikre begreber. Eksempelvis har et barn på 10 år måske dannet stærke levedygtige relationer mellem en ”million” og ”meget”. Udfordringen for læreren er at bygge videre på den ”rigtige” relation, således at begrebsforståelsen bliver mere sikkert forankret. I 6. klasse kan man ikke forvente, at eleverne præcist ved, hvad en million er. Ikke desto mindre sidder der faktisk nogle meget velorienterede elever i hver klasse, der har god fornemmelse for ”store tal”.
At lære et nyt begreb er altså at koble det til de eksisterende begreber. Denne kobling sker i forbindelse med elevens faglige aktivitet med det pågældende begreb. I hvilken grad det lykkes, afhænger af en række faktorer: • Begrebet skal være inden for rækkevidde for eleven. Det skal indgå i en naturlig sammenhæng og progression i forhold til barnets øvrige begrebsverden. • Aktiviteterne skal bringe eleven til at tænke i de rette baner. Ideelt set skal de tage udgangspunkt i begreber, som er velkendte for eleverne. Da en del forskning har vist, at også elevens humør og motivation har stor betydning, må vi endvidere stille krav om, at aktiviteterne opleves som vedkommende og spændende. • Der skal være tilstrækkeligt mange aktiviteter, og de skal spredes over tid. Begreber, der ikke arbejdes intensivt med i læringsperioden, kobles ikke med stærke forbindelser og nedbrydes efter kort tid. Som en analogi kan vi tænke på muskeltræning. Trænes der ikke hårdt nok, svarer kroppen ikke igen med at opbygge flere og stærkere muskelfibre.
Kommentarer til kapitlerne
Udfordringen er, at begreberne ikke sådan bare kan sættes ind efter en nærmere tilrettelagt plan. Begreberne opstår som led i elevens ”trial and error” og ”aha-oplevelser”, når de selv er virksomme. Den pædagogiske opgave er derfor at hjælpe hver enkelt elev med selv at bygge/konstruere et arkivsystem (en begrebsstruktur) og få anbragt både de eksisterende og nye hidtil ukendte begreber i det.
9788723550293_indhold.indd 17
24/08/2020 14.56
A Der mangler stærke relationer imellem begrebet A og andre begreber. Meget forsimplet kan matematikundervisningen forstås som aktiviteter, der har til formål at skabe forståelse, fasttømre forståelsen og udvide forståelsen for matematiske begreber. Det er vigtigt at påpege, at der næsten altid findes flere grader af forståelse. Eksempelvis har et 4-årigt barn, en 9. klasseelev og en biolog en forskellig forståelse af begrebet insekt. Spørger vi det 4-årige barn, finder det et insekt og siger ”sådan en”! Eleven i 9. klasse nævner måske et par konkrete arter og forklarer om forskellen på et insekt og et pattedyr, mens biologen forklarer, at et insekt er ”en treleddet struktur med seks ben”.
A
A
De forskellige grader af forståelse er et spørgsmål om, hvor mange og hvor stærke relationer, der er mellem det, der skal forstås, og øvrige relevante begreber. At udvide sin forståelse kræver tid til at opleve, tænke og erfare. Nye sammenhænge erkendes ud fra kendte begreber, og pludselig har man fået baggrund og rum til at forstå det, man ikke tidligere forstod.
gør det meget vanskeligt at bruge begrebet i nye sammenhænge. Hvis læreren spørger på en ny måde, kan der opstå store problemer med overhovedet at opfatte spørgsmålet. Eksempler på instrumentel forståelse: • At kunne den lille tabel uden at forstå multiplikation. • At kunne regne 7 · 21 men ikke 21 · 7. • At kunne bruge algoritmer uden at forstå, hvordan de virker. Instrumentelle forståelser virker på kort sigt. Eleven får jo de rigtige facitter. Men den instrumentelle forståelse viser sig utilstrækkelig til at bygge ny viden ovenpå. Desuden tvinges man til at lære mere udenad, end når begrebsstrukturen forstås. Fx er ideen bag navngivningen af polygoner, at man ikke behøver at huske de enkelte figurers navne. På samme måde er princippet bag titalssystemet, at man ved at forstå selve systemet slipper for at skulle huske alle tallenes forskellige navne. I skolesystemet, hvor læring baseres på tidligere lærte begreber, metoder osv. må instrumentelle forståelser altså ikke være mål i sig selv. I en række af livets øvrige sammenhænge er den instrumentelle forståelse dog ofte tilstrækkelig. Fx har de færreste andet end en instrumentel forståelse af gearkasse og kobling i en bil, eller hvordan der skabes forbindelse til internettet.
A Nye aktiviteter skaber flere relationer mellem begrebet A og andre begreber. Matematikeren og psykologen Richard R. Skemp har beskrevet forskellige måder at forstå begreber på. Han opererer med to typer af forståelse: relationel forståelse og instrumentel forståelse. Førstnævnte er det, som er skitseret ovenfor. Som modpol kan man tale om instrumentel forståelse, hvilket betyder, at man bare ”gør noget”, uden at forstå det og uden at se det som en del af en større sammenhæng. Man kan udføre korrekte regneoperationer, men man har ikke fat i begrebet. Og det er tydeligt, at den usikre forståelse
18
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 18
24/08/2020 14.56
Den russiske psykolog, Lev Semenovich Vygotskij, argumenterede for, at sprog og begreb udvikler sig dialektisk. Det giver eksempelvis ikke mening at lære at lægge brøker sammen uden at få at vide, at det faktisk hedder ”brøk”, ”tæller”, ”nævner”, ”addere/plusse”. Vygotskij har givet udtryk for, at det er en vigtig del af begrebsudviklingen at kunne udtrykke sig sprogligt. Og med sprogligt mente han ikke kun det talte sprog, men alle de sprog, hvormed et menneske kan kommunikere – altså også kropssprog, tegninger osv. Jo mere kommunikation, og jo flere forskellige mennesker, der kommunikeres med, des bedre. Men det er ikke ligegyldigt, hvordan denne kommunikation finder sted. Det handler i høj grad om at være ”på bølgelængde”. Læringsmæssigt er det symbolske sprog (tal-, tegn- og bogstavssymboler) et svært sprog. Årsagen er, at der ikke er nogen intuitiv sammenhæng mellem det, der skal læres (begrebet), og det navn (eller symbol), begrebet har. Det er hverken intuitivt eller logisk, at symmetri netop hedder ”symmetri”, eller at > betyder ”større end”, og + betyder ”lægge sammen”. Vygotskij har skabt nogle begreber, der kan hjælpe med at forstå problemstillingen lidt bedre. Vygotskijs 1. ordens sprog: Man udtrykker sig spontant, hverdagsagtigt og uden at tænke på oversættelse mv. Sproget og begreberne har udviklet sig samtidigt for barnet. Det er uadskilleligt – en del af et hele. Et barn kan fx bede om ”en kvart skummet” uden at tillægge en kvart nogen særlig matematisk betydning. Det drejer sig ganske simpelt om en konkret genstand. Vygotskijs 2. ordens sprog er sprog, som ikke står i direkte kontakt med begrebsindholdet. Derfor er man nødt til at ”oversætte”. Det kan fx være 14 . En fjerdedel refererer ikke nødvendigvis til et bestemt forhold, men betegner måske mere generelt begrebet, 14 . 2. ordens sproget er altså frakoblet de konkrete ting, det omhandler. Når eleverne skal lære det, må man bygge videre på deres eksisterende viden ved at tage
Grundtankerne
2. ordens sprog, ”niveau 2” Ikke nærmeste udviklingszone for de fleste elever i 6. klasse, da der forudsættes mere 1. og 2. ordens sprog (niveau 1) og erfaringer.
a⋅c= a⋅c b d b⋅d
2. ordens sprog, ”niveau 1” Nærmeste udviklingszone for de fleste elever i 6. klasse.
1⋅1=1 2 2 4
1. ordens sprog. ”Ida og jeg skal dele en halv pizza. Så får vi en kvart hver.”
Begrebet, zonen for nærmeste udvikling, handler om over gangen mellem de to sprog.
Zonen for nærmeste udvikling Vygotskij beskriver læring som overgang mellem to zoner. Den aktuelle zone (der hvor man befinder sig inden læringen) beskrives som barnets mentale operationer, som allerede er etableret som resultat af tidligere udviklingsniveau. Den defineres altså ud fra, hvad barnet kan.
Kommentarer til kapitlerne
Evnen til at kommunikere med andre har stor betydning for læringen. Derfor må sproget beherskes. At kunne sætte ord på begreberne gør det let for børnene at præcisere og teste begrebsforståelsen løbende: ”Er det sådan, du mener?”, ”En firkant, kan det også være sådan en her?” Mange forløb i bogen lægger op til samtaler klassevis, gruppevis og to og to.
udgangspunkt i deres naturlige sprog. Udviklingen af 2. ordens sproget forudsætter med andre ord, at man udnytter elevens sprog af 1. orden som en slags oversættelsesled. Derfor må man tage afsæt i dagligdagssproget og elevernes viden og bruge den aktivt som fundament til den nye viden.
Den potentielle eller proximale zone defineres af det, som barnet er på vej mod. Barnet skal strække sig for at forstå det nye begreb, hvilket er muligt med hjælp og støtte fra andre. En god måde at undersøge en elevs aktuelle zone er ved at studere hans/hendes tegninger. I tegningen udtrykker man sig nemlig i sit naturlige 1. ordens sprog. Derved får vi adgang til de mentale forestillinger, som er elevens nuværende forståelse – den aktuelle zone (jf. begrebsevaluering, side 20). Det er så en efterfølgende pædagogisk udfordring at finde de aktiviteter, der kan være oversættelsesled. Altså aktiviteter, som kan få barnet til at ”koble sin eksisterende viden” til den ny viden.
19
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
Kommentarer til undersøgelserne
Sproglige forhold
9788723550293_indhold.indd 19
24/08/2020 14.56
Evaluering af begrebsforståelse
Fokus på en åben tilgang
I arbejdsbogen afsluttes hvert kapitel med to evalu eringssider, som sætter fokus på henholdsvis færdigheder og begrebsforståelse. Evalueringens rolle er ikke at fastlægge elevernes indbyrdes eller absolutte niveau. Siderne tager i stedet et formativt udgangs punkt, hvor eleven og læreren undersøger elevens formåen med henblik på den videre udvikling.
Begrebsevaluering i arbejdsbogen
iv de tre brøker på andre måder. = ____ = ____ = ____
b
1 2
= ____ = ____ = ____
c
2 5
Du kan bruge ordene fra boksen. d
del/helhe
forlænge
forkorte
tal
nævner
brøkdel
gange
tæller
trække fra
brøkstreg
brøk
6
forhold
Et badekar, der kan rumme 400 liter, fyldes 34 op med vand.
men
lægge sam
a Hvor mange liter vand er det?
Hvordan regner du med brøker? __________________________________________________________
b Halvdelen af vandet løber ud. Hvor meget vand er der tilbage?
__________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________
BRØKER · EVALUERING
9788723530318_indhold.indd 27
KOPIERING FORBUDT
Begreberne langs rammen af skrivefeltet er tænkt som en støtte for elevernes refleksioner og associationer. Begreberne kan inspirere dem, men de behøver ikke at gøre brug af dem. Der skal således ikke skrives noget på forhånd fastlagt, og der skal ikke nødvendigvis arbejdes systematisk med de enkelte hjælpebegreber. Aktiviteten kan altså præsenteres og sættes i gang på mange måder, som i forskellig grad gør brug af de angivne hjælpebegreber. • I kan indlede med en fælles brainstorm på tavlen/ boardet med tegninger, forklaringer og eksempler fra kapitlet, som eleverne så kan lade sig inspirere af. • Eleverne kan arbejde selvstændigt med aktiviteten med mulighed for at bladre i grundbog, arbejdsbog og kladdehæfte for at finde relevante eksempler m.m. Det er tanken, at de selv kan vælge, om de vil vise tegn på målopfyldelse ved at tegne, give eksempler, lave filmklip og/eller fortælle om begreberne. • Man kan arbejde meget eksplicit med de angivne hjælpebegreber ved at lade eleverne arbejde med begrebskort (se næste side).
Tegn og skriv hvad du ved om brøker.
= ____ = ____ = ____
Her lægges der op til, at eleverne viser eksempler på, hvilke forestillinger de har om kapitlets centrale begreb. I kraft af dette arbejde kan man få et godt billede af, hvilke mentale forbindelser de har fået skabt.
27
06/05/2020 11.00
Overordnet består begrebsevalueringen af en meget åben tilgang øverst på siden og et spørgsmål, der sætter fokus på et nøglebegreb, nederst på siden.
Fokus på et nøglebegreb Nederst på siden udfordres eleverne med et spørgsmål, hvis besvarelse kræver, at de har forstået kernen i kapitlets centrale begreb. I det konkrete eksempel spørges der ind til, hvordan man regner med brøker. I andre kapitler lægges der op til, at eleverne selv beskriver kapitlets helt centrale begreb. Det gælder fx i begrebsevalueringen af ligninger (Arbejdsbogen, side 43).
20
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 20
24/08/2020 14.56
Et begrebskort er en skematisk fremstilling af en persons forståelse af et antal begreber beskrevet ud fra en række udsagn om disse begrebers indbyrdes relationer (se illustrationen herunder). Hvert udsagn består af to eller flere navne på begreber forbundet med ord til en semantisk enhed. I sin simpleste form er et begrebskort således blot ét udsagn bestående af to begrebsnavne forbundet med ét ord: ”Bladet er grønt”, ”skolen former hjernen”, ”brøker er tal”, osv.
Lykkehjul
kan sjældent vises på
Brøkdele kan vise
kan vises på
Addition/ Subtraktion kræver
Fællesnævner
Forlænge
Brøker
Forkorte
Tegn på begrebsforståelse Nævner
Kan ofte skriv es s om n al tid sk rives som
Ka
kan man
kan skabe
Tæller
består af består af
Tallinje
Procent
0 10 en er
kan være
er altid
Tal
kan være
Decimaltal
Hele tal kan være
Eksempel på begrebskort fra kapitlet ”Brøker”.
Hvordan man vælger at introducere og bruge begrebskort i undervisningen, er i høj grad et spørgsmål om personlig stil. Et helt centralt fokuspunkt er dog, at eleverne skriver udsagn om forskellige begrebspar som et konkret tegn på deres begrebsforståelse. Processen kan naturligvis både foregå analogt og digitalt. I dette eksempel foregår det på papir: 1. Eleven/gruppen udvælger et antal af kapitlets centrale begreber, bl.a. med inspiration fra hjælpebegreberne i rammen, men gerne også med egne input. Hvert begreb skrives på en lap papir. Alle lapperne placeres på et stort stykke papir eller karton. 2. Eleven/gruppen vælger kapitlets centrale begreb til at være det styrende for sit begrebskort og placerer denne lap midt på papiret. De øvrige begreber placeres rundt om det styrende begreb.
Begrebsforståelse handler om at etablere nogle stærke relationer mellem forskellige begreber (jf. omtalen på side 17-18). Evaluering af begrebsforståelse handler derfor om at spejde efter tegn på sådanne relationer. De gode evalueringssituationer er således dem, hvor eleverne bringes til mundtligt og/eller skriftligt at beskrive, hvad de mener forskellige begreber har med hinanden at gøre. En sådan situation har vi som beskrevet tilstræbt at etablere i begrebsevalueringssiderne. Her er der netop fokus på relationer mellem kapitlets centrale begreb og andre beslægtede begreber, som eleverne har arbejdet med. Eksempelvis lægges der på evalueringssiden i kapitlet Brøker op til at beskrive forbindelser mellem begreberne brøk og brøkdel. Hvis en elev fx skriver, ”brøkdele er, når man bruger brøker til deling af fx pizza”, er det tegn på god forståelse af både brøker og brøkdele. Omvendt vil der også være elever, som færdighedsmæssigt kan finde konkrete brøkdele af fx en pizza, men som viser manglende tegn på forståelse af brøkbegrebet, hvis de skal forklare det med udgangspunkt i en tallinje.
21
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
Kommentarer til kapitlerne
Kan altid resultere i
kan handle om
Hvis man ønsker at arbejde digitalt med begrebskortene, kan mindmaps være et velegnet værktøj. På nettet findes der mange hjemmesider, som indeholder velegnede og frit tilgængelige mindmaps (Søg fx på ”concept maps”).
Kommentarer til undersøgelserne
Division
Saftevand
me dn æ vn
kan handle om
3. Eleven/gruppen tegner pile mellem de begreber, som opfattes som relaterede. Begreber med indbyrdes relationer flyttes, så de er placeret i nær heden af hinanden. 4. Ved hver pil skrives et eller flere ord, som karakteriserer relationen mellem de to begreber i hver ende af pilen. 5. Eleven/gruppen skal nu se på sit begrebskort „lidt fra oven“ og reflektere over resultatet og eventuelt lave dét om, som ikke er tilfredsstillende. Når ændringerne er foretaget, laves en „rentegning“ af begrebskortet.
Grundtankerne
Begrebskort
9788723550293_indhold.indd 21
24/08/2020 14.56
Matematiske færdigheder Begrebet ’færdighed’ kan forstås som evnen til at udføre en given handling, som kan bestemmes helt entydigt. I Fælles Mål lægges der stor vægt på, at eleverne mestrer en række grundlæggende matematikfærdigheder. Det drejer sig ofte om at kunne udføre bestemte regneoperationer som fx at dividere, afrunde til hele tiere og omskrive fra brøk til decimaltal.
Evaluering af matematiske færdigheder
1
Skriv de tre brøker på andre måder.
2
Regn opgaverne. Vis eller tegn, hvordan du regner en af dem.
a
3
= ____ = ____ = ____
1 3
b
1 3
– 15 =
c
3 4
– 16 =
d
1 8
+ 57 =
e
3 7
+ 23 =
= ____ = ____ = ____
c
2 5
= ____ = ____ = ____
Regn opgaverne. Vis eller tegn, hvordan du regner en af dem. 1 2
· 4 =
b 3 · 56 = c
6 7
· 2 =
d
2 5
· 4 =
e 8 · 34 =
4 Find
Som det er pointeret mange steder i Matematrix, kan mestring af færdigheder naturligvis ikke stå alene, men færdighederne udgør en vigtig del af den matematiske værktøjskasse, som man har brug for, når man eksempelvis modellerer eller skal løse et problem. I forbindelse med problemløsning er det en stor fordel at have en vis paratviden og kunne udføre basale beregninger, da det i højere grad gør det muligt at fokusere på selve problemløsningsprocessen. Men selvfølgelig er det vigtigt at gøre sig klart, at kompetence omfatter meget mere en blot summen af en række færdigheder.
1 2
b
+ 14 =
a
a
I Matematrix er der et særligt fokus på færdighedstræning i øvelserne (jf. Timeglasset side 24-25). Når man virkelig behersker en færdighed, kan man sige, at den er blevet automatiseret.
1 3
a b c d e
26
5 Regn 1 af 14 = __________ 2 1 af 20 = __________ 10 1 af 5 = __________ 5 1 af 1 = __________ 5 3 1 af 1 = __________ 2 4
BRØKER · EVALUERING
9788723530318_indhold.indd 26
a b c d e
1 · 3 4 5 = ______ ____ 1 · 2 4 5 = ______ ____ 3 · 1 4 3 = ______ ____ 2 · 1 3 9 = ______ ____ 1 · 2 5 3 = ______ ____
6
Et badekar, der kan rumme 400 liter, fyldes 34 op med vand.
a Hvor mange liter vand er det?
b Halvdelen af vandet løber ud. Hvor meget vand er der tilbage?
KOPIERING FORBUDT
06/05/2020 11.00
Denne side er rettet mod kapitlets centrale faglige færdigheder, som fremgår af de faglige læringsmål til de enkelte kapitler (jf. side 35). Her spørges ind til kernestoffet, så alle øvelseskategorier bliver tilgodeset – ofte suppleret med en lille drejning i retning af opgaverne. Færdighedssiden er altså mere konkret og lukket end begrebsevalueringssiden.
22
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 22
24/08/2020 14.56
Læringsprincipper Læringsprincipper er velegnede at bruge i tilrettelæggelsen af undervisningen. De skal bidrage med at fastholde undervisningen på rette spor. En afgørende forudsætning for læring er, at den lærende skal have mulighed for selv at bygge (konstruere) sin viden,
færdigheder og kompetencer, som jo ikke overføres hurtigt og lige så enkelt, som når man downloader fra nettet. Konstruktionen af viden og færdigheder kræver, at vi er motiverede og fokuserede på at lære, og at vi aktivt prøver os frem. En hovedopgave for læreren er derfor at organisere og tilrettelægge meningsfyldte situationer for eleverne.
Grundtankerne
Fokus på læring
LÆRINGSPRINCIPPER
Man lærer bedst, når man får god feedback. Man lærer bedst, når man får god feedback fra en kompetent person (læreren). Feedbacken giver anledning til reflektion, selvevaluering og metakognition. Man lærer bedst, når man er motiveret. Eleverne vil være mere motiverede, hvis de kan se meningen med aktiviteterne og har haft indflydelse på dele af undervisningen. Adgang til it fremmer også motivationen. Motivationen skal drive læringen og gøre læringsprocessen mere fokuseret. Man lærer bedst, når man møder det nye stof ud fra egne forudsætninger. Begrebsmæssigt og kompetencemæssigt vil eleverne i en klasse normalt befinde sig på flere forskellige faglige niveauer. For at motivere og understøtte elevernes læring er det vigtigt at tilgodese elevernes forforståelse.
Man lærer bedst gennem gentagelser. Gentagelser fortæller hjernen, at noget er vigtigt og skal huskes, og i gentagelsen opdages ofte nye sammenhænge. Kommentarer til kapitlerne
Man lærer bedst, når man er virksom. Eleverne skal selv arbejde med stoffet frem for at få det fortalt. Det er vigtigt, at man generelt forholder sig aktivt til omverdenen og dagligdagen (dialog, tegning, skrivning, regning, udvikling af egne strategier, skuespil, tænkning, mimik osv.)
Man lærer bedst, når man oplever fremgang. Giv eleverne succesoplevelser og anerkendelse for deres indsats. Læg op til, at de selv er med til at bedømme kvaliteten af deres arbejde. Derved oplever de også tilfredsstillelsen ved, at en god indsats giver et godt resultatet.
Man lærer bedst, når man er godt forberedt og undgår at komme bagefter. Det er vigtigt, at alle aktørerne omkring eleven understøtter skolens matematikundervisning, så risikoen for, at der opstår kritiske faglige huller hos eleven, bliver mindre. Man lærer bedst, når kroppen er med. Inddrag mange ikke-boglige aktiviteter, tænk i it, repræsentationsformer og læringsstile. Man lærer bedst, når man har mulighed for at tegne, bygge modeller og foretage udregninger på kladdepapir eller i et digitalt medie. Hvis en opgave er problematisk venter mange elever med at skrive noget, indtil de er sikre på, hvad de skal gøre. Det er en misforståelse. Problemløsning handler netop om at turde afprøve forskellige muligheder og strategier.
Kommentarer til undersøgelserne
Man lærer bedst, når man kender målet med undervisningen. Ved at være fortrolig med den faglige dagsorden øges ejerskabet til læringen, og man kan arbejde mere målrettet og fokuseret. Også af den grund er det vigtigt, at eleverne deltager i planlægningen af arbejdsmåder, samarbejdsformer og valg af materialer.
Man lærer bedst, når man er vedholdende. Det er vigtigt at kunne fastholde arbejdet i længere perioder uden at give op, hvis man vil dygtiggøre sig. Vejen til indsigt og kompetence kan være slidsom. Evnen til problemløsning handler i høj grad om at lære at styre sin frustration og hele tiden forsøge at tænke i muligheder.
23
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 23
24/08/2020 14.56
INTRO • fælles snak • skabe interesse
INTROAKTIVITETER
TIMEGLASMODELLEN De fagligt organiserede kapitler i Matematrix er opbygget efter en læringsmodel, vi har kaldt „timeglasmodellen“. Timeglasset bruges, når eleverne skal tilegne sig nye og centrale begreber og metoder. Et kapitel tager udgangspunkt i elevernes erfaringsgrundlag og forforståelse. Derefter indsnævres det indholdsmæssige fokus til et præcist og velafgrænset matematisk kerneindhold. Læringsforløbet fortsætter med konsolidering og anvendelse af begreberne i virkelige, relevante og forskelligartede sammenhænge og afsluttes med en evaluering. Timeglasset er en meget vigtig del af læringsværktøjet, fordi det består af seks helt centrale forløbsfaser, som tilsammen og hver for sig indeholder Matematrix’ væsentligste læringsmæssige pointer. Timeglasset er også synliggjort i grundbøgerne men i en enklere version med i alt seks faser. For ikke at gøre modellen for kompliceret for eleverne er opgaver og opslag placeret i den samme fase. Når en sådan forenkling umiddelbart er mulig og giver mening, skyldes det, at de fleste aktiviteter under opslagene har opgavepræg. I timeglasset i grundbogen er evalueringsfasen også vist. Da evalueringsaktiviteterne imidlertid er placeret i arbejdsbogen, er denne fase aldrig farvelagt i grundbogen.
24
• spørge tilbage • skabe nye behov • pege frem
GENNEMGANG • ny viden
ØVELSER • ind på rygraden • træne indtil man mestrer
OPGAVER • løse problemer • anvende • udforske • samarbejde • udfordre
FAGLIGE OG TEMATISKE OPSLAG • møde nye, beslægtede begreber • arbejde i virkelighedsnær kontekst
EVALUERING • udtrykke forståelse • vise færdigheder • nye mål? • vise kompetencer
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 24
24/08/2020 14.56
TIMEGLASMODELLENS SYV FASER
Grundtankerne
Introduktion Ideen med introduktionen er at motivere eleverne for det nye emne og synliggøre dagsordenen. Der lægges op til en samtale med eleverne om, hvorfor det er vigtigt at bruge tid på de aktuelle faglige begreber. Introaktiviteter Inden de nye matematiske begreber indføres og forklares, er det vigtigt, at eleverne involveres aktivt, så de kommer til at tænke i de rigtige baner. Der lægges op til, at eleverne enkeltvis eller parvis arbejder med aktiviteter, der genopfrisker tidligere lærte faglige begreber og relevante erfaringer på en måde, så de peger frem mod og skaber behov for en ny gennemgang. Matematisk gennemgang Det er bevidst gjort tydeligt, at der nu foretages et “spring“ ind i matematikkens verden. Der samles op på aktiviteterne, så fælles træk og karakteristika udpeges. Mødet med det abstrakte matematiske begreb tager altså direkte udgangspunkt i de erfaringer (matematiske og dagligdags), som eleverne har fået i introen.
Kommentarer til kapitlerne
Øvelser Her trænes centrale færdigheder i tilknytning til det nye stof. Øvelserne er inddelt i særlige øvelseskategorier, så træningen af fagligt kernestof gøres så synligt og præcist som muligt for eleverne. Der lægges op til mange gentagelser af den samme arbejdsproces. Når en elev behersker en øvelseskategori, er det meningen, at han/hun går videre til næste aktivitet. Opgaver Opgaverne har til formål at forstærke begrebsdannelsen ved at skabe flere relationer mellem de forskellige begreber hos den enkelte. Den simple forståelse, der er etableret gennem arbejdet i øvelsesafsnittet, bliver udfordret i denne fase. I forhold til øvelserne er opgaverne mere varierede og komplekse. Opgavernes forskellige sværhedsgrad gør dem velegnede til differentiering. Det er på ingen måde meningen, at alle elever skal løse samtlige opgaver. De sidste opgaver i hvert kapitel er vanskelige. Faglige og tematiske opslag Efter afslutningen af opgaverne er kapitlets hoveddagsorden færdigbehandlet. Herefter arbejdes med relaterede opslag. I faglige opslag er der fokus på beslægtede begreber eller underbegreber til kernestoffet i gennemgangen. I tematiske opslag lægges der op til, at eleverne anvender den nye viden i virkelighedsnære kontekster.
25
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
Kommentarer til undersøgelserne
Evaluering Siderne har fokus på evaluering af kompetencer, begrebsforståelse og færdigheder. Evalueringens rolle er først og fremmest at gøre eleverne bevidste om, hvordan det går med at arbejde sig hen mod målene.
9788723550293_indhold.indd 25
24/08/2020 14.56
Undersøgelser og projektarbejde Projektarbejdsformen er med sit fokus på arbejde i komplekse situationer velegnet til mange former for kompetenceudvikling. Desuden lægger arbejdsformen op til differentiering, kreativitet, samarbejde, fordybelse, forskellige læringsstile og kan også munde ud i mange forskellige kommunikationsformer i rapporteringsdelen.
Ved længerevarende projekter kan det være en idé at kræve en kort fremlæggelse af timens/dagens arbejde og fremskridt for læreren og eventuelt resten af klassen. Det kan hjælpe med at holde den åbne arbejdsproces på sporet i forhold til de faglige mål. Samtidig kan det tjene som (ydre) motivation til lige at gøre sig umage, og så er det ofte også værdifuldt for resten af klassen at opleve andre gruppers proces, få gode ideer osv.
I Matematrix lægger vi op til en undervisning, hvor eleverne ind i mellem får mulighed for selv at styre læringsprocessen i et projektarbejde. Bagest i grundbøgerne findes således forslag til otte forskellige undersøgelser på hvert klassetrin. Disse undersøgelser er aktivitetsoplæg, som kan benyttes uafhængigt af bogens kapitler, når det vurderes at være relevant i forhold til de valgte læringsmål for undervisningen.
Fokuser på læringsmålet og ikke på metoder eller midler. Det er vigtigt, at eleverne oplever meningen med aktiviteten. Undgå at fortælle dem, hvordan arbejdet skal gøres, fortæl dem i stedet om målet for forløbet. Motiver dem – brug tid på at skabe en god stemning og et inspirerende læringsmiljø. Det er den samlede oplevelse, der bærer eleverne igennem undersøgelsen.
I disse forløb kan det anbefales, at læreren er vejleder og giver eleverne mere ansvar end normalt. Først og fremmest handler det om ikke at blande sig i tide og utide i elevernes undersøgelser. Man skal acceptere elevernes omveje og tillade, at de bliver en kende frustrerede. Går det helt galt, kan man gribe ind og gøre undersøgelsen mere overskuelig ved at stille lettere og mere konkrete spørgsmål.
Det ideelle projektarbejde • er åbent, så eleverne tager ejerskab for projektet og har stor reel indflydelse på det færdige resultat. • sigter mod, udfordrer og udvikler de matematiske kompetencer. • trækker på konkrete handlinger (forsøg) eller oplevelser. • udføres i grupper, hvor processen kræver meget faglig kommunikation. • inddrager flere udtryksformer, fx dialog, fremlæggelse, tegninger, tekst, video, billeder og computerfrembringelser i fx GeoGebra. • indeholder informationssøgning – fx konkrete optællinger og/eller søgninger på nettet. • indeholder problemløsning, dvs. situationer, hvor man ikke ved hjælp af kendte metoder umiddelbart kan komme videre og derfor skal styre sin naturlige frustration over at ”sidde fast”. • er sjovt. • egner sig til tværfagligt arbejde.
I forhold til tempo og fremdrift skal man finde en balance mellem at gribe for tidligt ind og at lade eleverne gå helt kolde i undersøgelsesprocessen. En god måde at fastholde processen på er ved at gøre opmærksom på elevernes fremskridt: ”Nu har I klaret den del af undersøgelsen, der handlede om at …” „Nu har I forstået…” „Nu kan I svare på…“ „Nu har I jo nået det og det delmål“ „Nu kan I gå hjem og fortælle om…“ Lærerens tilbøjelighed til at gribe ind afhænger også af den enkelte elevs situation og fremtoning. Nogle elever er usikre og har et meget stort behov for at føle sig trygge. De vil helt automatisk stille mange opklarende spørgsmål. Og som regel vil læreren da også give dem mere detaljeret hjælp. Andre elever påskønner måske mere udfordringer og kaster sig frivilligt ud i større projekter. De accepterer i højere grad, at arbejdet kan være forbundet med en vis usikkerhed og risiko.
26
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
9788723550293_indhold.indd 26
24/08/2020 14.56
Fokus på undervisning
Når man planlægger undervisningsforløb ud fra timeglasset, er der gode muligheder for at tilgodese forskelligheder i elevernes forudsætninger og interesser. På tilsvarende måde kan læreren betone pædagogiske og didaktiske forhold, som han/hun lægger særlig vægt på, og som ud fra elevgruppens sammensætning giver rigtig god mening. De fleste lærere vælger at følge grundbogens struktur og progression. Det betyder, at der gennemsnitligt afsættes 3 uger (15 timer) til hvert timeglas. Undervisningen inden for de enkelte timeglas kan opbygges på flere forskellige måder, afhængigt af lærerens pædagogiske holdning og elevernes interesser, behov og formåen. Bogen indeholder en mængde opgaver og øvelser. Det er vigtigt at pointere, at der på ingen måde er en forventning om, at den enkelte elev skal arbejde med samtlige aktiviteter (se afsnittet om differentiering på næste side). Læreren kan fx udvælge nogle øvelser, som alle elever skal løse for at opnå den fornødne træning. Dernæst vil der være mulighed for at differentiere undervisningen gennem udvælgelse af individuelle øvelser og/eller opgaver til den enkelte elev. Vi har brugt kapitlet Tegning til at skitsere, hvordan forskellige lærere (lærer 1, 2 og 3) kan tilpasse timeglasset til netop deres undervisning. Lærer 1 Her prioriteres de forskellige faser i timeglasset nogenlunde ligeligt.
Introduktion
Antal lektioner 2
Gennemgang
0,5
Øvelser
2
Opgaver
3
Fagligt opslag: Udfoldning og overfladeareal
2
Fagligt opslag: Tegn prismer med GeoGebra
1,5
Fagligt opslag: Konstruktion
2
Evaluering
2
Antal lektioner Introduktion
3
Gennemgang
0,5
Øvelser
1,5
Opgaver
3
Fagligt opslag: Udfoldning og overfladeareal
2
Fagligt opslag: Tegn prismer med GeoGebra
1
Fagligt opslag: Konstruktion
2
Evaluering
2
Grundtankerne
Som udgangspunkt forestiller vi os denne fordeling af timeforbruget: • 8-10 faglige kapitler a 3 uger (gennemsnit): max 30 uger. • Undersøgelsesforløb: mindst 4 uger.
Her lægges særlig vægt på mundtlighed, sproglighed og samarbejde.
Lærer 3 Her lægges særlig vægt på opgaver og problem løsning. Antal lektioner Introduktion
1,5
Gennemgang
0,5
Øvelser
2
Opgaver
4
Fagligt opslag: Udfoldning og overfladeareal
2
Fagligt opslag: Tegn prismer med GeoGebra
1
Fagligt opslag: Konstruktion
2
Evaluering
2
Andre forhold der indvirker på planlægning og struktur. • Hvis et fagligt område er helt eller delvist nyt for eleverne, er det en god idé at bruge meget tid i starten af processen. Det indledende arbejde – hvor man spørger bagud, men hvor processen peger fremad – har stor betydning for begrebs tilegnelsen. • Hvis eleverne/nogle elever har en rimelig begrebsforståelse, men en dårlig talbehandling, er det hensigtsmæssigt med mange øvelser og opgaver. • Hvis eleverne/nogle elever har problemer med at anvende matematik, kan man lægge større vægt på opgaver, tematiske opslag og undersøgelserne. • Hvis det kniber med mundtligheden og evnen til at samarbejde, kan der hentes støtte og inspiration i de tematiske opslag og undersøgelserne. Desuden kan man fx lade eleverne arbejde sammen to og to med intro-aktiviteterne.
27
Matematrix 6 · Lærervejledning/Web
Kommentarer til kapitlerne
Et skoleår i 4.-6. kl. vil normalt bestå af 40 uger med hver fem matematiklektioner, svarende til 200 lektioner om året. En del af disse timer falder som regel bort på grund af ekskursioner, emneuger m.m. Vi har derfor taget udgangspunkt i, at skoleåret reelt består af ca. 34 hele arbejdsuger.
Lærer 2
Kommentarer til undersøgelserne
Planlægning af forløb ud fra timeglasset
9788723550293_indhold.indd 27
24/08/2020 14.56
Per Gregersen, Tomas Højgaard Jensen, Lone Kathrine Petersen og Helle Thorbjørnsen
6
Matematrix 6 ∙ Lærervejledning / Web LÆRERVEJLEDNINGEN indeholder ∙ Grundtankerne bag Matematrix ∙ Kommentarer til de enkelte kapitler
WEBBEN indeholder ∙ Arbejdsark til træning, fordybelse og undersøgelser ∙ Facitlister ∙ Regnearksfiler ∙ GeoGebra-aktiviteter ∙ Faglige film ∙ Lydfiler ∙ Læringsmål og årsplaner
Ved køb af en lærervejledning gives der adgang til indhold og resurser på webben: matematrix.alinea.dk
Lærervejledning / Web Har du bog, har du web!
9
788723
550293
alinea.dk
9788723550293_omslag.indd 1001
Matematik · 6. klasse · Lærervejledning · Web
31/08/2020 10.30
