解析2005上海理

2005 年全国普通高等学校招生统一考试 上海

数学试卷（理工农医类）

一．填空题 1．函数 f ( x )  log 4 ( x  1) 的反函数 f ( x )1 

．

解答： 设 y  f ( x)  log 4 ( x  1) ，则 x  4 y  1

f ( x ) 1  4 x  1 ， x  R ． 考查点： 反函数求解． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆

2．方程 4 x  2 x  2  0 的解是

．

解答：

(2 x  1)(2 x  2)  0 2 x  1  0, 2 x  2  0 （舍去），所以 x  0 ． 考查点： 换元法、指数函数值域． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆

 

3．直角坐标平面 xOy 中，若定点 A(1, 2) 与动点 P( x, y ) 满足 OP  OA  4 ．则点 P 的轨迹方程是 解答：

  OP  OA  x  2 y  4 ，则点 P 的轨迹方程是 x  2 y  4  0 ． 考查点： 平面向量积的坐标表示． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆

．

4．在 ( x  a )10 的展开式中， x 7 的系数是 15，则实数 a 

．

解答：

10  9  8 3 7 a x  120a 3 x 7 3 2 1 则 120a3  15 ， a   ． 2 C103 x 7 ( a)3  

考查点： 二项展开式公式． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆

5．若双曲线的渐近线方程为 y  3 x ，它的一个焦点是 ( 10, 0) ， 则双曲线的方程是

．

解答： 设双曲线的渐近线方程为

x2 y2  1 a2 b2

b a  3 a  1   y2  1．  b  3 ，双曲线的方程为 x 2  则 c  10 9 a 2  b 2  c 2  c  10   考查点： 双曲线标准方程和相关几何量的关系． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆

 x  1  2 cos （  为参数）化为普通方程，所得方程是  y  2sin 

6．将参数方程  解答：

x 1 y ， sin   2 2 x 1 2 y )  ( )2  1 ，即 ( x  1)2  y 2  4 ． 则( 2 2 cos 

考查点：

．

参数方程及其应用． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆

3n 1  2 n  x  3n  2 n 1

7．计算 lim

．

解答：

3n 1  2 n 2 3  ( )n n 3 2 3 lim n  lim n 3 n 1  lim  3． x  3  2 n 1 x  3  2 x  2 n 1 1 2  ( ) 3 3n n 1

n

考查点： 极限运算． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆

8．某班有 50 名学生，其中 15 人选修 A 课程，另外 35 人选修 B 课程．从班级中任选两名学生，他们是选修不 同课程的学生的概率是 ．(结果用分数表示) 解答： 1 C151  C35 15  35 3   ． 2 50  49 7 C50 2

考查点： 排列、概率． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆

9．在 ABC 中，若 A  120 ， AB  5 ， BC  7 ，则 ABC 的面积 S  解答：

AB 2  AC 2  BC 2  cos A  AC  3 2 AB  AC

．

S ABC 

1 15 3 ． AB  AC sin C  2 4

考查点： 余弦定理、正弦定理． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆

10．函数 f ( x )  sin x  2 sin x ， x  [0, 2 ] 的图象与直线 y  k 有且仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围 是

．

解答：

3sin x (0  x   ) f ( x )  sin x  2 sin x   ，其图像为右图  sin x (  x  2 ) 显然直线 y  k 应在 y  3 与 y  1 之间，此时函数 f ( x )  sin x  2 sin x ，

x  [0, 2 ] 的图象与直线 y  k 有且仅有两个不同的交点． 故 k 的取值范围是1  k  3 ． 考查点： 正弦函数值域、分段函数、数形结合． 思路与技巧： 对于此类题型，首先得画出函数图形．具体到此题先去掉绝对值，然后写出函数表达式，再画出函数图象． 难度： ★★☆☆

2 ，底面三角形的三边长分别为 3a 、 4a 、 5a ， (a  0) ．用它们拼成一个 a 三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则 a 的取值范围是 ．

11．有两个相同的直三棱柱，高为

解答： 三棱柱拼成三棱柱有三种情况，分别是：

2  3a 面重合 a

2  4a 面重合 a

3a  4a 面重合

三棱柱拼成四棱柱有三种情况，分别是：

2  3a 面重合 a

2  4a 面重合 a

2  5a 面重合 a

在拼接之后，表面积为原表面积减去重合面的面积 四棱柱中面积最小的是“

2  5a 面重合”（原面积的和减少的面积最大） a

S三棱柱  S四棱柱 ，即

2 2 2 2  1 2  2  8a  3a  2  a  5a  a  8a  2  (3a  4a  a  3a  a  4a )  2 2 2 2 15  1 a 2   6a  4a  2   5a   6a  2  (3a  4a   3a   4a) 3 a a a a  2 4 4 4 2 2  1 2  2  3a  4a  a  3a  a  4a  a  5a  2  (3a  4a  a  3a  a  4a )  故 a 的取值范围是 0  a 

15 3

考查点： 空间想象能力． 思路与技巧： “全面积最小的是一个四棱柱”提示要在得到的三棱柱和三棱柱中进行选择和比较，而拼接的过程是一个面的面 积减少，以此为突破口． 难度： ★★☆☆

12．用 n 个不同的实数 a1 , a2 , an ，可得 n ! 个不同的排列，每个排列为一行写成一个 n ! 行的数阵．对第 i 行 123

ai1 , ai 2 , , ain ，记 bi   ai1  2ai 2  3ai 3    (1)n nain ， i  1, 2, 3, n ! ．例如：用 1，2，3 可得数 1 3 2 213 阵如右，由于此数阵中每一列各数之和都是 12，所以， b1  b2    b6  12  2  12  3  12  24 ． 2 3 1 那么，在用1, 2, 3, 4, 5 形成的数阵中， b1  b2    b120 

．

解答：

1, 2, 3, 4, 5 形成的数阵有 5!  120 行，5 列，每一列的和为 m 

120  (1  2  3  4  5)  360 5

b1  b2    b120  360  2  360  3  360  4  360  5  120  360  1080 考查点： 新数学模型的学习、排列组合．

312 321

思路与技巧： 题目中有提示“ b1  b2    b6  12  2  12  3  12  24 ”，详细计算如下

b1  b2    b6   a11  2a12  3a13  4a14  5a15  a21  2a22  3a23  4a24  5a25  a31  2a32  3a33  4a34  5a35  a41  2a42  3a43  4a44  5a45  a51  2a52  3a53  4a54  5a55  (a11  a21  a31  a41  a51 )  2  (a12  a22  a32  a42  a52 )  3(a13  a23  a33  a43  a53 ) 4(a14  a24  a34  a44  a54 )  5(a15  a25  a35  a45  a55 ) 由此推广可得，对于用 n 个不同的实数 a1 , a2 , an 组成的 n ! 行的数阵

b1  b2    bn!  

n! n! n! n!   ai  2   ai    (1) n n   ai（数阵有 n ! 行，n 列，每列的和是   ai ） n n i n n i n n i n n i

难度： ★★★☆

二．选择题 13．若函数 f ( x) 

1 ， 则该函数在 (, ) 上是（ 2 1

（A）单调递减无最小值 （C）单调递增无最大值 解答： 设 f ( x) 

（B）单调递减有最小值 （D）单调递增有最大值

1 ， g ( x)  2x  1 g ( x)

g ( x )  2 x  1 在在 (, ) 上单调递增，无最大值， f ( x )  则 f ( x) 

)．

x

1 在 (1, ) 上单调递减无最小值， x

1 在 (, ) 单调递减无最小值，选 A． 2 1 x

考查点： 指数函数值域、复合函数单调性． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆



14．已知集合 M  x

x  1  2, x  R ， P  {x

5  1, x  Z } ，则 M  P 等于（ x 1

）．

（A） {x 0  x  3, x  Z }

（B） {x 0  x  3, x  Z }

（C） {x

（D） {x

 1  x  0, x  Z }

 1  x  0, x  Z }

解答：

M   x  1  x  3 ， P  {0,1, 2, 3, 4}

M  P  {0,1, 2, 3} ，选 B． 考查点： 解含绝对值不等式、解证书不等式、集合相交关系． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆

15．过抛物线 y 2  4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线 （ ） ． （A）有且仅有一条 （B）有且仅有两条 （C）有无穷多条 （D）不存在 解答： 焦点坐标为 （1， 0）， ①直线垂直于 x 轴时，方程为 x  1 ， BC  2 ，不符合题意； ②直线不垂直于 x 轴时，设方程为 y  k ( x  1)

 y  k ( x  1)  k 2 x 2  (2k 2  4) x  k 2  0 ，  2  y  4x A、B 两点的横坐标之和 x1  x2  

将k  

 (2k 2  4) 2 3 5k   ， 2 k 3

2 3 代入 k 2 x 2  (2k 2  4) x  k 2  0 ，   0 ，即 x 有解 3

满足题意的直线仅有两条，选 B． 考查点： 抛物线相关概念、直线与曲线的位置关系． 思路与技巧： 第①种情不能忽略，第②种情需要检验  ． 难度： ★★☆☆

 lg x  1 , x  1

16．设定义域为 R 的函数 f ( x )  

0

, x 1

，则关于 x 的方程 f 2 ( x )  bf ( x)  c  0 有 7 个不同实数解的

充要条件是（ ） ． （A） b  0 且 c  0 解答： 解法一：

（B） b  0 且 c  0

（C） b  0 且 c  0

（D） b  0 且 c  0

对于 x 2  bx  c  0 的解的个数可能为 0，1，2， ①解的个数为 0 时，显然不符合题意；

 lg x  1 , x  1 0 ，对于 f ( x)  m   ②解的个数为 1 时（设解为 x  m ） , x 1 0 若 m  0 ， f 2 ( x )  bf ( x)  c  0 实数解为 x  0,1, 2 ，共 3 个实数解，不符合题意， 若 m  0 ， f 2 ( x )  bf ( x)  c  0 实数解为 x  1  10  m ，共 4 个实数解，不符合题意；

 lg x  1 , x  1

，对于 f ( x)  m   ②解的个数为 2 时（设解为 x  m, n ）

0

, x 1

 lg x  1 , x  1

和 f ( x)  n  

0

, x 1

若 m  0, n  0 ， f 2 ( x )  bf ( x)  c  0 实数解为 x  1  10 m , 0,1, 2 ，共 7 个实数解，符合题意， 若 m  0, n  0 ， f 2 ( x )  bf ( x)  c  0 实数解为 x  1  10 m ,1  10  n ，共 8 个实数解，不符合题意； 故 x 2  bx  c  0 的解为一个正数一个零，即 b  0 且 c  0 ，选择 C． 解法一： 令 lg x  1  0 ，解得 x  0, 2

lg( x  1)   lg( x  1)  f ( x )  0   lg(1  x )  lg(1  x)

x2 1 x  2 x 1

得到其图像

0  x 1 x0

令 f ( x)  m

m  0 时， f ( x )  0 有三个解 x  0,1, 2 ； m  0 时， f ( x)  m 有 4 个解； m  0 时， f ( x)  m 无解． 所以关于 x 的方程 f 2 ( x )  bf ( x)  c  0 有 7 个不同实数解的充要条件是 x 2  bx  c  0 的解为一个正数一个零 即 b  0 且 c  0 ，选 C． 考查点： 含绝对值的函数、对数函数求解、复合函数求解、数形结合． 思路与技巧： 对于含绝对值得不等式或者函数，要研究其性质时，往往需要去掉绝对值，而去掉绝对值时要找临界点，即令绝 对值为零．此题利用数形结合显然更直观简洁． 难度： ★★☆☆

三．解答题 17．已知直四棱柱 ABCD  A1 B1C1 D1 中，AA1  2 ，地面 ABCD 是直角梯形，A 为直角，AB∥CD ，AB  4 ，

AD  2 ， CD  1 ，求异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小． 解答： 解法一：

AB∥CD ，故 C1 BA 即 BC1 与 DC 所成的角， 连接 AD1 、 AC1 、 BC1 ，作 CE  AB 于 E

RT AD1 A 中， AD1  AA12  A1D12  22  22  2 2 RT AD1C1 中， AC1  AD12  C1 D12  (2 2)2  12  3 RT BCE 中， BC  CE 2  BE 2  2 2  32  13

RT BCC1 中， BC1  BC 2  CC12  ( 13)2  22  17 对 ABC1

cos C1 BA 

AB 2  BC12  AC12 42  ( 17 )2  32 3 17   2 AB  BC1 17 2  4  17

则故 BC1 与 DC 所成的为 arc cos

3 17 ． 17

解法二： 以 A 为原点，分别以 DA 、 AB 、 AA1 所在直线为 x 、 y 、 z 轴建立 直角坐标系，则

B(0, 4, 0) ， C1 (2,1, 2) ， D (2, 0, 0) ， C (2,1, 0)   BC1  (2, 3, 2) ， CD  (0, 1, 0) 设异面直线 BC1 与 DC 所成角的为  ，

  3 3 17 BC1  DC 则 cos     17 BC  DC 17 故 BC1 与 DC 所成的为 arc cos

3 17 ． 17

考查点： 异面直线夹角定义及求解、反三角函数求值．

思路与技巧： 异面直线夹角问题中，至少需要移动异面直线中一条，已达到异面直线“同面”的目的，然后在移动后得到的三 角形中求解． 难度： ★☆☆☆

2

18．证明：在复数范围内，方程 z  (1  i) z  (1  i ) z 

5  5i （ i 为虚数单位）无解． 2i

解答： 设 z  a  bi ， a, b  R ，则原方程为

a 2  b 2  (1  i )(a  bi)  (1  i )(a  bi)  5 

(1  i)(2  i) (2  i)(2  i )

a 2  b 2  2ai  2bi  1  3i a 2  b 2  1 即  8a 2  12a  5  0 ，此方程无实数解  2a  2b  3 故原方程在复数范围内无解． 考查点： 复数模定义、共轭复数定义、复数运算、复数定义． 思路与技巧： 常考题型．需要利用复数定义（ z  a  bi ， a, b  R ）来证明或求解． 难度： ★☆☆☆

19．如图，点 A, B 分别是椭圆

x2 y 2   1 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点．点 P 在椭圆上，且位于 x 36 20

轴上方， PA  PF ． （1）求点 P 的坐标； （2）设 M 是椭圆长轴 AB 上一点， M 到直线 AP 的距离等于 MB ，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值． 解答： （1） 由题意知 A(6, 0) ， F (4, 0) ，设点 P 坐标为 ( x, y ) ，显然 PA 、 AP 不可能垂直于 x 轴， 则

y  y  x  6  x  4  1 3   2 x 2  y x  2 1    36 20  y  5 3  y  0 2  

3 5 3) 2 2

则 P 坐标为 ( , （2）

5 3 y 直线 AP ：  2  x  3 y  6  0 ，设 M 坐标为 (m, 0) x6 3 6 2 m6 m6 ，又 M 到直线 AP 的距离等于 MB  6  m 则 M 到 AP 的距离为  2 2 1  ( 3) m  6  6m  所以  2  m  2 ， M 坐标为 (2, 0) 6  m  6 椭圆上的点到点 M 的距离 d 

5 4 2 ( x  2)2  y 2  x 2  4 x  4  20  x 2  x  4 x  24 9 9

4 2 b 4 9 x  4 x  24, (6  x  6) ，其对称轴 x     6 4 2 9 2a 2 9 4 2 9 则 f ( x )  x  4 x  24, ( 6  x  6) 其最小值为 f ( )  15 9 2 对于 f ( x ) 

所以 d min  15 ． 考查点： （1）椭圆标准方程及相关概念、平面直角坐标系两直线垂直性质． （2）点到直线距离公式、两点间距离公式、一元二次函数最值求解、复合函数最值． 思路与技巧： （1）送分题． （2）直接利用公式，将问题转化为函数表达式，然后求此函数最值即可． 难度： （1）★☆☆☆． （2）★★☆☆．

20．假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米，其中有 250 万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市 每年新建住房面积平均比上一年增长 8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方 米．那么，到哪一年底， （1）该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%？ 解答： （1） 设中低价房面积形成数列 {an } ，由题意可知 {an } 是等差数列，其中 a1  250, d  50 则 S n  250n 

n(n  1)  50  25n 2  225n 2

2 令 S n  4750  n  9n  190  0  n  19 或 n  10

而 n 是正整数，故 n  10 到 2013 年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米． （2） 设新建住房面积形成数列 {bn } ，由题意可知 {bn } 是等比数列，其中 b1  400, q  1.08 n 1 则 bn  400  (1.08) ， n 1 n 1 令 an  bn  0.85  250  50( n  1)  400  (1.08)  0.85  4  n  6.8(1.08)

而 n 是正整数，由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数 n  6 所以，到 2009 年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%． 考查点： （1）增长率的概念、数学模型的建立、等差数列通项公式、等差数列求和公式． （2）增长率的概念、数学模型的建立、等比数列通项公式． 思路与技巧： （1）送分题． （2）应用题型关键在于建立数学模型，得到关键的函数方程或不等式． 难度： （1）★☆☆☆ （2）★★☆☆

21．对定义域分别是 D f , Dg 的函数 y  f ( x), y  g ( x) ，

 f ( x)  g ( x ) 当x  D f 且x  Dg  规定：函数 h( x)   f ( x) 当x  D f 且x  Dg ．  g ( x) 当x  D f 且x  Dg 

1 , g ( x)  x 2 ，写出函数 h( x) 的解析式； x 1 （2）求问题（1）中函数 h( x) 的值域； （3）若 g ( x )  f ( x  a ) ，其中 a 是常数，且 a  [0,  ] ，请设计一个定义域为 R 的函数 y  f ( x ) ，及一个 a 的 值，使得 h( x)  cos 4 x ，并予以证明． （1）若函数 f ( x ) 

解答： （1） 由题意知 D f  {x

x  R, 且x  1}, Dg  {x x  R} ，显然 D f  Dg ，

当x  D f 且x  Dg 即 x  R, 且x  1 时， h( x)  f ( x)  g ( x)  当x  D f 且x  Dg 的情况不存在； 当x  D f 且x  Dg 即 x  1 时， h( x)  g ( x)  x 2  1 ；

x2 ； x 1

 x2 ( x  1）  所以 h( x)   x  1 ． 1 （x  1）  （2） 解法一：

y

x2  x 2  yx  y  0 ，因为 x  1    y 2  4 y  0  y  4 或 y  0 x 1

 x2 ( x  1）  所以 h( x)   x  1 的值域为 (, 0]  {1}  [4, ) ． 1 （x  1）  解法二：

x2 x2  1  1 1 1 y   x  1  x 1  2 x 1 x 1 x 1 x 1 ① x  1  0 时， y  x  1 

1 1  2  2 ( x  1）  2  4； x 1 x 1

② x  1  0 时， y  [ ( x  1)  ( 

1 1 )]  2  2 ( x  1)  ( ) 20； x 1 x 1

 x2 ( x  1）  所以 h( x)   x  1 的值域为 (, 0]  {1}  [4, ) ． 1 （x  1）  （3）

h( x)  cos 4 x  (cos 2 x  sin 2 x)(cos 2 x  sin 2 x) ， 设 f ( x )  cos 2 x  sin 2 x ，则 g ( x )  cos 2 x  sin 2 x  f ( x  a )  cos 2( x  a)  sin 2( x  a) 即 cos 2( x  a)  sin 2( x  a)  cos 2 x  sin 2 x ，显然 a  即 f ( x )  cos 2 x  sin 2 x ， a 

 4

 4

时，等式成立

时， h( x)  cos 4 x ．

考查点： （1）函数定义（函数三要素：定义域、对应法则、值域）． （2）函数最值问题． （3）逆向思维、三角函数变换公式． 思路与技巧： （1）函数基本概念即函数三要素，定义域内自变量取某一值，在规定的对应法则下等于因变量． （2）常考题型，可利用不等式性质或者判别式．

 f ( x)  g ( x ) 当x  D f 且x  Dg  （3）对于 h( x)  cos 4 x ，应结合 h( x)   f ( x) 当x  D f 且x  Dg 与 g ( x )  f ( x  a ) 综合考虑，解题的  g ( x) 当x  D f 且x  Dg  过程和题目的已知条件总会有某种联系．显然 h( x)  f ( x) 、h( x)  g ( x) ，然后 h( x) 应分解为两个式子的乘积，

即得到 h( x)  cos 4 x  (cos 2 x  sin 2 x)(cos 2 x  sin 2 x) ．此时联系 g ( x )  f ( x  a ) 应该可以猜出需要利用三 角函数变换公式． 难度： （1）★☆☆☆ （2）★★☆☆ （3）★★★☆

22 ), , Pn (n, 2n ) ，其中 n 是正整数.对平面上任一点 A0 ，记 A1 为 22．在直角坐标平面中，已知点 P1 (1, 2), P2 (2，

A0 关于点 P1 的对称点， A2 为 A1 关于点 P2 ，  ， An 为 An 1 关于点 Pn 的对称点. 

（1）求向量 A0 A2 的坐标； （2）当点 A0 在曲线 C 上移动时，点 A2 的轨迹是函数 y  f ( x ) 的图象，其中 f ( x ) 是以 3 为周期的周期函数， 且当 x  (0, 3] 时， f ( x)  lg x .求以曲线 C 为图象的函数在 (1, 4] 上的解析式；



（3）对任意偶数 n ，用 n 表示向量 A0 An 的坐标． 解答： （1） 设 A0 坐标 ( x0 , y0 ) ， A1 坐标 ( x1 , y1 ) ，因为 A1 为 A0 关于点 P1 的对称点 则

x0  x1 y y  1 ， 0 1  2 ，所以 A1 坐标 (2  x0 , 4  y0 ) 2 2

同理可知 A2 坐标 (2  x0 , 4  y0 )



故 A0 A2  {2  x0  x0 , 4  y0  y0 }  {2, 4} ． （2） 解法一：

 x2  x0  2  *  y2  y0  4

设 A0 坐标 ( x0 , y0 ) ， A2 坐标 ( x2 , y2 ) ，则 

因为 f ( x ) 是以 3 为周期的周期函数，当 x  (0, 3] 时， f ( x)  lg x 所以 x  (3, 6] 时， f ( x )  f ( x  3)  lg( x  3) ，即 y2  f ( x2 )  f ( x2  3)  lg( x2  3) 将 * 代入得 y0  4  f ( x0  2)  lg( x0  1) ， y0  f ( x0  2)  4  lg( x0  1)  4 因为 x2  (3, 6]  x0  2  (3, 6]  x0  (1, 4] 故曲线 C 为图象的函数在 (1, 4] 上的解析式为 y  lg( x  3)  4 ． 解法二：



因为 A0 A2  {2, 4} 所以 f ( x ) 的图像是由曲线 C 的图象向右平移 2 个单位，同时向上平移 4 个单位得到，设曲线 C 的函数为 g ( x) 则 g ( x )  lg( x  2)  4 ， x  2  (0,3] ， x  (2,1]

f ( x ) 是以 3 为周期的周期函数，所以 f ( x ) 也是以 3 为周期的周期函数 即 g ( x )  g ( x  3)  lg( x  1)  4 ， x  3  (2,1] ， x  (1, 4] 所以以曲线 C 为图象的函数在 (1, 4] 上的解析式为 g ( x)  lg( x  1)  4 ． （3） 解法一： 设设 A0 坐标 ( x0 , y0 ) ， An 坐标 ( x2 k , y2 k ) ，偶数 n  2k （ k 为正整数），由题意知

x0  x1  2  1,

 (1)

x1  x2  2  2,

 (2)

y1  y2  2  22

x2  x3  2  3,

 (3)

y2  y3  2  23

x3  x4  2  4,

 (4)

y3  y4  2  24

y0  y1  2  2

 x2 k 4  x2 k 3  2  (2k  3),

 (2k  3)

y2 k  4  y2 k 3  2  22 k 3

x2 k 3  x2 k 2  2  (2k  2),

 (2k  2)

y2 k 3  y2 k  2  2  22 k  2

x2 k 2  x2 k 1  2  (2k  1),

 (2k  1)

x2 k 1  x2 k  2  2k ,

 (2k )

y2 k  2  y2 k 1  2  22 k 1 y2 k 1  y2 k  2  2 2 k

由 (2k )  (2k  1)  (2k  2)  (2k  3)    (4)  (3)  (2)  (1) 得到

x2 k  x2 k 1  ( x2 k 1  x2 k 2 )  x2 k  2  x2 k 3  ( x2 k 3  x2 k 4 )    x4  x3  ( x3  x2 )  x2  x1  ( x1  x0 )  2{[2k  (2k  1)]  [2k  2  (2k  3)]    (4  3)  (2  1)}  2k  x2 k  x0 y2 k  y2 k 1  ( y2 k 1  y2 k  2 )  y2 k  2  y2 k 3  ( y2 k 3  y2 k 4 )  y4  y3  ( y3  y2 )  y2  y1  ( y1  y0 )  2  [(22 k  22 k 1 )  (22 k 2  22 k 3 )    (24  23 )  (22  2)]  2  (22 k 1  22 k 3    23  2) 2  (4k  1) 4 1 2k 4  (2  1)   y2 k  y0 3

 2



故 A0 A2 k  {x2 k  x0 , y2 k  y0 }  {2k ,

4  (2 2 k  1) } 3



所以，对任意偶数 n ，向量 A0 An 的坐标为 {n,

4  (2n  1) }． 3

解法二：

    A0 An  A0 A2  A2 A4    An 2 An 由题意，对称的关系可以得出，如右图

A2 k 1 是 A2 k 2 关于 P2 k 1 的对称点 A2k 是 A2 k 1 关于 P2k 的对称点 则 P2 k 1 P2 k 是 A2 k 2 A2 k 1 A2 k 的中位线

  P2 k 1 P2 k 平行且等于 A2 k  2 A2 k 的一半，故 A2 k  2 A2 k  2 P2 k 1 P2 k

       A0 An  A0 A2  A2 A4    An 2 An  2( P1 P2  P3 P4    Pn 1 An )  2({1, 2}  {1, 23 }  {1, 2n 1}) n 2(2n  1) 4(2n  1)  2{ , }  {n, }． 2 3 3 考查点： （1）关于点的对称关系、中点坐标公式、向量的坐标表示． （2）周期函数、函数图像的平移． （3）关于点的对称关系、中点坐标公式、向量的坐标表示、等差数列求和公式、等比数列求和公式、向量的四 则运算、中位线性质． 思路与技巧： （1）两点关于某点对称时，此点横纵坐标为两点的和的一半． （2）平时做题遇到求周期函数的表达式，首先要使得其定义域满足要求，然后利用周期函数的性质（周期为 T 时）

f ( x)  f ( x  T ) 来求解．第二种解法利用了函数图形平移的性质． （3）第一种方法完全利用关于点的对称关系、向量的坐标表示，观察后可以知道，只需对一系列等式进行加减 即可．第二种方法利用了向量的四则运算、中位线性质，更巧妙、简单． 难度： （1）★☆☆☆ （2）★★☆☆ （3）★★★☆