2005 年全国普通高等学校招生统一考试 上海
数学试卷（理工农医类）
一．填空题 1．函数 f ( x ) log 4 ( x 1) 的反函数 f ( x )1
．
解答： 设 y f ( x) log 4 ( x 1) ，则 x 4 y 1
f ( x ) 1 4 x 1 ， x R ． 考查点： 反函数求解． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
2．方程 4 x 2 x 2 0 的解是
．
解答：
(2 x 1)(2 x 2) 0 2 x 1 0, 2 x 2 0 （舍去），所以 x 0 ． 考查点： 换元法、指数函数值域． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
3．直角坐标平面 xOy 中，若定点 A(1, 2) 与动点 P( x, y ) 满足 OP OA 4 ．则点 P 的轨迹方程是 解答：
OP OA x 2 y 4 ，则点 P 的轨迹方程是 x 2 y 4 0 ． 考查点： 平面向量积的坐标表示． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
．
4．在 ( x a )10 的展开式中， x 7 的系数是 15，则实数 a
．
解答：
10 9 8 3 7 a x 120a 3 x 7 3 2 1 则 120a3 15 ， a ． 2 C103 x 7 ( a)3
考查点： 二项展开式公式． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
5．若双曲线的渐近线方程为 y 3 x ，它的一个焦点是 ( 10, 0) ， 则双曲线的方程是
．
解答： 设双曲线的渐近线方程为
x2 y2 1 a2 b2
b a 3 a 1 y2 1． b 3 ，双曲线的方程为 x 2 则 c 10 9 a 2 b 2 c 2 c 10 考查点： 双曲线标准方程和相关几何量的关系． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
x 1 2 cos （ 为参数）化为普通方程，所得方程是 y 2sin
6．将参数方程 解答：
x 1 y ， sin 2 2 x 1 2 y ) ( )2 1 ，即 ( x 1)2 y 2 4 ． 则( 2 2 cos
考查点：
．
参数方程及其应用． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
3n 1 2 n x 3n 2 n 1
7．计算 lim
．
解答：
3n 1 2 n 2 3 ( )n n 3 2 3 lim n lim n 3 n 1 lim 3． x 3 2 n 1 x 3 2 x 2 n 1 1 2 ( ) 3 3n n 1
n
考查点： 极限运算． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
8．某班有 50 名学生，其中 15 人选修 A 课程，另外 35 人选修 B 课程．从班级中任选两名学生，他们是选修不 同课程的学生的概率是 ．(结果用分数表示) 解答： 1 C151 C35 15 35 3 ． 2 50 49 7 C50 2
考查点： 排列、概率． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
9．在 ABC 中，若 A 120 ， AB 5 ， BC 7 ，则 ABC 的面积 S 解答：
AB 2 AC 2 BC 2 cos A AC 3 2 AB AC
．
S ABC
1 15 3 ． AB AC sin C 2 4
考查点： 余弦定理、正弦定理． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
10．函数 f ( x ) sin x 2 sin x ， x [0, 2 ] 的图象与直线 y k 有且仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围 是
．
解答：
3sin x (0 x ) f ( x ) sin x 2 sin x ，其图像为右图 sin x ( x 2 ) 显然直线 y k 应在 y 3 与 y 1 之间，此时函数 f ( x ) sin x 2 sin x ，
x [0, 2 ] 的图象与直线 y k 有且仅有两个不同的交点． 故 k 的取值范围是1 k 3 ． 考查点： 正弦函数值域、分段函数、数形结合． 思路与技巧： 对于此类题型，首先得画出函数图形．具体到此题先去掉绝对值，然后写出函数表达式，再画出函数图象． 难度： ★★☆☆
2 ，底面三角形的三边长分别为 3a 、 4a 、 5a ， (a 0) ．用它们拼成一个 a 三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则 a 的取值范围是 ．
11．有两个相同的直三棱柱，高为
解答： 三棱柱拼成三棱柱有三种情况，分别是：
2 3a 面重合 a
2 4a 面重合 a
3a 4a 面重合
三棱柱拼成四棱柱有三种情况，分别是：
2 3a 面重合 a
2 4a 面重合 a
2 5a 面重合 a
在拼接之后，表面积为原表面积减去重合面的面积 四棱柱中面积最小的是“
2 5a 面重合”（原面积的和减少的面积最大） a
S三棱柱 S四棱柱 ，即
2 2 2 2 1 2 2 8a 3a 2 a 5a a 8a 2 (3a 4a a 3a a 4a ) 2 2 2 2 15 1 a 2 6a 4a 2 5a 6a 2 (3a 4a 3a 4a) 3 a a a a 2 4 4 4 2 2 1 2 2 3a 4a a 3a a 4a a 5a 2 (3a 4a a 3a a 4a ) 故 a 的取值范围是 0 a
15 3
考查点： 空间想象能力． 思路与技巧： “全面积最小的是一个四棱柱”提示要在得到的三棱柱和三棱柱中进行选择和比较，而拼接的过程是一个面的面 积减少，以此为突破口． 难度： ★★☆☆
12．用 n 个不同的实数 a1 , a2 , an ，可得 n ! 个不同的排列，每个排列为一行写成一个 n ! 行的数阵．对第 i 行 123
ai1 , ai 2 , , ain ，记 bi ai1 2ai 2 3ai 3 (1)n nain ， i 1, 2, 3, n ! ．例如：用 1，2，3 可得数 1 3 2 213 阵如右，由于此数阵中每一列各数之和都是 12，所以， b1 b2 b6 12 2 12 3 12 24 ． 2 3 1 那么，在用1, 2, 3, 4, 5 形成的数阵中， b1 b2 b120
．
解答：
1, 2, 3, 4, 5 形成的数阵有 5! 120 行，5 列，每一列的和为 m
120 (1 2 3 4 5) 360 5
b1 b2 b120 360 2 360 3 360 4 360 5 120 360 1080 考查点： 新数学模型的学习、排列组合．
312 321
思路与技巧： 题目中有提示“ b1 b2 b6 12 2 12 3 12 24 ”，详细计算如下
b1 b2 b6 a11 2a12 3a13 4a14 5a15 a21 2a22 3a23 4a24 5a25 a31 2a32 3a33 4a34 5a35 a41 2a42 3a43 4a44 5a45 a51 2a52 3a53 4a54 5a55 (a11 a21 a31 a41 a51 ) 2 (a12 a22 a32 a42 a52 ) 3(a13 a23 a33 a43 a53 ) 4(a14 a24 a34 a44 a54 ) 5(a15 a25 a35 a45 a55 ) 由此推广可得，对于用 n 个不同的实数 a1 , a2 , an 组成的 n ! 行的数阵
b1 b2 bn!
n! n! n! n! ai 2 ai (1) n n ai（数阵有 n ! 行，n 列，每列的和是 ai ） n n i n n i n n i n n i
难度： ★★★☆
二．选择题 13．若函数 f ( x)
1 ， 则该函数在 (, ) 上是（ 2 1
（A）单调递减无最小值 （C）单调递增无最大值 解答： 设 f ( x)
（B）单调递减有最小值 （D）单调递增有最大值
1 ， g ( x) 2x 1 g ( x)
g ( x ) 2 x 1 在在 (, ) 上单调递增，无最大值， f ( x ) 则 f ( x)
)．
x
1 在 (1, ) 上单调递减无最小值， x
1 在 (, ) 单调递减无最小值，选 A． 2 1 x
考查点： 指数函数值域、复合函数单调性． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
14．已知集合 M x
x 1 2, x R ， P {x
5 1, x Z } ，则 M P 等于（ x 1
）．
（A） {x 0 x 3, x Z }
（B） {x 0 x 3, x Z }
（C） {x
（D） {x
1 x 0, x Z }
1 x 0, x Z }
解答：
M x 1 x 3 ， P {0,1, 2, 3, 4}
M P {0,1, 2, 3} ，选 B． 考查点： 解含绝对值不等式、解证书不等式、集合相交关系． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
15．过抛物线 y 2 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线 （ ） ． （A）有且仅有一条 （B）有且仅有两条 （C）有无穷多条 （D）不存在 解答： 焦点坐标为 （1， 0）， ①直线垂直于 x 轴时，方程为 x 1 ， BC 2 ，不符合题意； ②直线不垂直于 x 轴时，设方程为 y k ( x 1)
y k ( x 1) k 2 x 2 (2k 2 4) x k 2 0 ， 2 y 4x A、B 两点的横坐标之和 x1 x2
将k
(2k 2 4) 2 3 5k ， 2 k 3
2 3 代入 k 2 x 2 (2k 2 4) x k 2 0 ， 0 ，即 x 有解 3
满足题意的直线仅有两条，选 B． 考查点： 抛物线相关概念、直线与曲线的位置关系． 思路与技巧： 第①种情不能忽略，第②种情需要检验 ． 难度： ★★☆☆
lg x 1 , x 1
16．设定义域为 R 的函数 f ( x )
0
, x 1
，则关于 x 的方程 f 2 ( x ) bf ( x) c 0 有 7 个不同实数解的
充要条件是（ ） ． （A） b 0 且 c 0 解答： 解法一：
（B） b 0 且 c 0
（C） b 0 且 c 0
（D） b 0 且 c 0
对于 x 2 bx c 0 的解的个数可能为 0，1，2， ①解的个数为 0 时，显然不符合题意；
lg x 1 , x 1 0 ，对于 f ( x) m ②解的个数为 1 时（设解为 x m ） , x 1 0 若 m 0 ， f 2 ( x ) bf ( x) c 0 实数解为 x 0,1, 2 ，共 3 个实数解，不符合题意， 若 m 0 ， f 2 ( x ) bf ( x) c 0 实数解为 x 1 10 m ，共 4 个实数解，不符合题意；
lg x 1 , x 1
，对于 f ( x) m ②解的个数为 2 时（设解为 x m, n ）
0
, x 1
lg x 1 , x 1
和 f ( x) n
0
, x 1
若 m 0, n 0 ， f 2 ( x ) bf ( x) c 0 实数解为 x 1 10 m , 0,1, 2 ，共 7 个实数解，符合题意， 若 m 0, n 0 ， f 2 ( x ) bf ( x) c 0 实数解为 x 1 10 m ,1 10 n ，共 8 个实数解，不符合题意； 故 x 2 bx c 0 的解为一个正数一个零，即 b 0 且 c 0 ，选择 C． 解法一： 令 lg x 1 0 ，解得 x 0, 2
lg( x 1) lg( x 1) f ( x ) 0 lg(1 x ) lg(1 x)
x2 1 x 2 x 1
得到其图像
0 x 1 x0
令 f ( x) m
m 0 时， f ( x ) 0 有三个解 x 0,1, 2 ； m 0 时， f ( x) m 有 4 个解； m 0 时， f ( x) m 无解． 所以关于 x 的方程 f 2 ( x ) bf ( x) c 0 有 7 个不同实数解的充要条件是 x 2 bx c 0 的解为一个正数一个零 即 b 0 且 c 0 ，选 C． 考查点： 含绝对值的函数、对数函数求解、复合函数求解、数形结合． 思路与技巧： 对于含绝对值得不等式或者函数，要研究其性质时，往往需要去掉绝对值，而去掉绝对值时要找临界点，即令绝 对值为零．此题利用数形结合显然更直观简洁． 难度： ★★☆☆
三．解答题 17．已知直四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 中，AA1 2 ，地面 ABCD 是直角梯形，A 为直角，AB∥CD ，AB 4 ，
AD 2 ， CD 1 ，求异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小． 解答： 解法一：
AB∥CD ，故 C1 BA 即 BC1 与 DC 所成的角， 连接 AD1 、 AC1 、 BC1 ，作 CE AB 于 E
RT AD1 A 中， AD1 AA12 A1D12 22 22 2 2 RT AD1C1 中， AC1 AD12 C1 D12 (2 2)2 12 3 RT BCE 中， BC CE 2 BE 2 2 2 32 13
RT BCC1 中， BC1 BC 2 CC12 ( 13)2 22 17 对 ABC1
cos C1 BA
AB 2 BC12 AC12 42 ( 17 )2 32 3 17 2 AB BC1 17 2 4 17
则故 BC1 与 DC 所成的为 arc cos
3 17 ． 17
解法二： 以 A 为原点，分别以 DA 、 AB 、 AA1 所在直线为 x 、 y 、 z 轴建立 直角坐标系，则
B(0, 4, 0) ， C1 (2,1, 2) ， D (2, 0, 0) ， C (2,1, 0) BC1 (2, 3, 2) ， CD (0, 1, 0) 设异面直线 BC1 与 DC 所成角的为 ，
3 3 17 BC1 DC 则 cos 17 BC DC 17 故 BC1 与 DC 所成的为 arc cos
3 17 ． 17
考查点： 异面直线夹角定义及求解、反三角函数求值．
思路与技巧： 异面直线夹角问题中，至少需要移动异面直线中一条，已达到异面直线“同面”的目的，然后在移动后得到的三 角形中求解． 难度： ★☆☆☆
2
18．证明：在复数范围内，方程 z (1 i) z (1 i ) z
5 5i （ i 为虚数单位）无解． 2i
解答： 设 z a bi ， a, b R ，则原方程为
a 2 b 2 (1 i )(a bi) (1 i )(a bi) 5
(1 i)(2 i) (2 i)(2 i )
a 2 b 2 2ai 2bi 1 3i a 2 b 2 1 即 8a 2 12a 5 0 ，此方程无实数解 2a 2b 3 故原方程在复数范围内无解． 考查点： 复数模定义、共轭复数定义、复数运算、复数定义． 思路与技巧： 常考题型．需要利用复数定义（ z a bi ， a, b R ）来证明或求解． 难度： ★☆☆☆
19．如图，点 A, B 分别是椭圆
x2 y 2 1 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点．点 P 在椭圆上，且位于 x 36 20
轴上方， PA PF ． （1）求点 P 的坐标； （2）设 M 是椭圆长轴 AB 上一点， M 到直线 AP 的距离等于 MB ，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值． 解答： （1） 由题意知 A(6, 0) ， F (4, 0) ，设点 P 坐标为 ( x, y ) ，显然 PA 、 AP 不可能垂直于 x 轴， 则
y y x 6 x 4 1 3 2 x 2 y x 2 1 36 20 y 5 3 y 0 2
3 5 3) 2 2
则 P 坐标为 ( , （2）
5 3 y 直线 AP ： 2 x 3 y 6 0 ，设 M 坐标为 (m, 0) x6 3 6 2 m6 m6 ，又 M 到直线 AP 的距离等于 MB 6 m 则 M 到 AP 的距离为 2 2 1 ( 3) m 6 6m 所以 2 m 2 ， M 坐标为 (2, 0) 6 m 6 椭圆上的点到点 M 的距离 d
5 4 2 ( x 2)2 y 2 x 2 4 x 4 20 x 2 x 4 x 24 9 9
4 2 b 4 9 x 4 x 24, (6 x 6) ，其对称轴 x 6 4 2 9 2a 2 9 4 2 9 则 f ( x ) x 4 x 24, ( 6 x 6) 其最小值为 f ( ) 15 9 2 对于 f ( x )
所以 d min 15 ． 考查点： （1）椭圆标准方程及相关概念、平面直角坐标系两直线垂直性质． （2）点到直线距离公式、两点间距离公式、一元二次函数最值求解、复合函数最值． 思路与技巧： （1）送分题． （2）直接利用公式，将问题转化为函数表达式，然后求此函数最值即可． 难度： （1）★☆☆☆． （2）★★☆☆．
20．假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米，其中有 250 万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市 每年新建住房面积平均比上一年增长 8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方 米．那么，到哪一年底， （1）该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%？ 解答： （1） 设中低价房面积形成数列 {an } ，由题意可知 {an } 是等差数列，其中 a1 250, d 50 则 S n 250n
n(n 1) 50 25n 2 225n 2
2 令 S n 4750 n 9n 190 0 n 19 或 n 10
而 n 是正整数，故 n 10 到 2013 年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米． （2） 设新建住房面积形成数列 {bn } ，由题意可知 {bn } 是等比数列，其中 b1 400, q 1.08 n 1 则 bn 400 (1.08) ， n 1 n 1 令 an bn 0.85 250 50( n 1) 400 (1.08) 0.85 4 n 6.8(1.08)
而 n 是正整数，由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数 n 6 所以，到 2009 年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%． 考查点： （1）增长率的概念、数学模型的建立、等差数列通项公式、等差数列求和公式． （2）增长率的概念、数学模型的建立、等比数列通项公式． 思路与技巧： （1）送分题． （2）应用题型关键在于建立数学模型，得到关键的函数方程或不等式． 难度： （1）★☆☆☆ （2）★★☆☆
21．对定义域分别是 D f , Dg 的函数 y f ( x), y g ( x) ，
f ( x) g ( x ) 当x D f 且x Dg 规定：函数 h( x) f ( x) 当x D f 且x Dg ． g ( x) 当x D f 且x Dg
1 , g ( x) x 2 ，写出函数 h( x) 的解析式； x 1 （2）求问题（1）中函数 h( x) 的值域； （3）若 g ( x ) f ( x a ) ，其中 a 是常数，且 a [0, ] ，请设计一个定义域为 R 的函数 y f ( x ) ，及一个 a 的 值，使得 h( x) cos 4 x ，并予以证明． （1）若函数 f ( x )
解答： （1） 由题意知 D f {x
x R, 且x 1}, Dg {x x R} ，显然 D f Dg ，
当x D f 且x Dg 即 x R, 且x 1 时， h( x) f ( x) g ( x) 当x D f 且x Dg 的情况不存在； 当x D f 且x Dg 即 x 1 时， h( x) g ( x) x 2 1 ；
x2 ； x 1
x2 ( x 1） 所以 h( x) x 1 ． 1 （x 1） （2） 解法一：
y
x2 x 2 yx y 0 ，因为 x 1 y 2 4 y 0 y 4 或 y 0 x 1
x2 ( x 1） 所以 h( x) x 1 的值域为 (, 0] {1} [4, ) ． 1 （x 1） 解法二：
x2 x2 1 1 1 1 y x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 ① x 1 0 时， y x 1
1 1 2 2 ( x 1） 2 4； x 1 x 1
② x 1 0 时， y [ ( x 1) (
1 1 )] 2 2 ( x 1) ( ) 20； x 1 x 1
x2 ( x 1） 所以 h( x) x 1 的值域为 (, 0] {1} [4, ) ． 1 （x 1） （3）
h( x) cos 4 x (cos 2 x sin 2 x)(cos 2 x sin 2 x) ， 设 f ( x ) cos 2 x sin 2 x ，则 g ( x ) cos 2 x sin 2 x f ( x a ) cos 2( x a) sin 2( x a) 即 cos 2( x a) sin 2( x a) cos 2 x sin 2 x ，显然 a 即 f ( x ) cos 2 x sin 2 x ， a
4
4
时，等式成立
时， h( x) cos 4 x ．
考查点： （1）函数定义（函数三要素：定义域、对应法则、值域）． （2）函数最值问题． （3）逆向思维、三角函数变换公式． 思路与技巧： （1）函数基本概念即函数三要素，定义域内自变量取某一值，在规定的对应法则下等于因变量． （2）常考题型，可利用不等式性质或者判别式．
f ( x) g ( x ) 当x D f 且x Dg （3）对于 h( x) cos 4 x ，应结合 h( x) f ( x) 当x D f 且x Dg 与 g ( x ) f ( x a ) 综合考虑，解题的 g ( x) 当x D f 且x Dg 过程和题目的已知条件总会有某种联系．显然 h( x) f ( x) 、h( x) g ( x) ，然后 h( x) 应分解为两个式子的乘积，
即得到 h( x) cos 4 x (cos 2 x sin 2 x)(cos 2 x sin 2 x) ．此时联系 g ( x ) f ( x a ) 应该可以猜出需要利用三 角函数变换公式． 难度： （1）★☆☆☆ （2）★★☆☆ （3）★★★☆
22 ), , Pn (n, 2n ) ，其中 n 是正整数.对平面上任一点 A0 ，记 A1 为 22．在直角坐标平面中，已知点 P1 (1, 2), P2 (2，
A0 关于点 P1 的对称点， A2 为 A1 关于点 P2 ， ， An 为 An 1 关于点 Pn 的对称点.
（1）求向量 A0 A2 的坐标； （2）当点 A0 在曲线 C 上移动时，点 A2 的轨迹是函数 y f ( x ) 的图象，其中 f ( x ) 是以 3 为周期的周期函数， 且当 x (0, 3] 时， f ( x) lg x .求以曲线 C 为图象的函数在 (1, 4] 上的解析式；
（3）对任意偶数 n ，用 n 表示向量 A0 An 的坐标． 解答： （1） 设 A0 坐标 ( x0 , y0 ) ， A1 坐标 ( x1 , y1 ) ，因为 A1 为 A0 关于点 P1 的对称点 则
x0 x1 y y 1 ， 0 1 2 ，所以 A1 坐标 (2 x0 , 4 y0 ) 2 2
同理可知 A2 坐标 (2 x0 , 4 y0 )
故 A0 A2 {2 x0 x0 , 4 y0 y0 } {2, 4} ． （2） 解法一：
x2 x0 2 * y2 y0 4
设 A0 坐标 ( x0 , y0 ) ， A2 坐标 ( x2 , y2 ) ，则
因为 f ( x ) 是以 3 为周期的周期函数，当 x (0, 3] 时， f ( x) lg x 所以 x (3, 6] 时， f ( x ) f ( x 3) lg( x 3) ，即 y2 f ( x2 ) f ( x2 3) lg( x2 3) 将 * 代入得 y0 4 f ( x0 2) lg( x0 1) ， y0 f ( x0 2) 4 lg( x0 1) 4 因为 x2 (3, 6] x0 2 (3, 6] x0 (1, 4] 故曲线 C 为图象的函数在 (1, 4] 上的解析式为 y lg( x 3) 4 ． 解法二：
因为 A0 A2 {2, 4} 所以 f ( x ) 的图像是由曲线 C 的图象向右平移 2 个单位，同时向上平移 4 个单位得到，设曲线 C 的函数为 g ( x) 则 g ( x ) lg( x 2) 4 ， x 2 (0,3] ， x (2,1]
f ( x ) 是以 3 为周期的周期函数，所以 f ( x ) 也是以 3 为周期的周期函数 即 g ( x ) g ( x 3) lg( x 1) 4 ， x 3 (2,1] ， x (1, 4] 所以以曲线 C 为图象的函数在 (1, 4] 上的解析式为 g ( x) lg( x 1) 4 ． （3） 解法一： 设设 A0 坐标 ( x0 , y0 ) ， An 坐标 ( x2 k , y2 k ) ，偶数 n 2k （ k 为正整数），由题意知
x0 x1 2 1,
(1)
x1 x2 2 2,
(2)
y1 y2 2 22
x2 x3 2 3,
(3)
y2 y3 2 23
x3 x4 2 4,
(4)
y3 y4 2 24
y0 y1 2 2
x2 k 4 x2 k 3 2 (2k 3),
(2k 3)
y2 k 4 y2 k 3 2 22 k 3
x2 k 3 x2 k 2 2 (2k 2),
(2k 2)
y2 k 3 y2 k 2 2 22 k 2
x2 k 2 x2 k 1 2 (2k 1),
(2k 1)
x2 k 1 x2 k 2 2k ,
(2k )
y2 k 2 y2 k 1 2 22 k 1 y2 k 1 y2 k 2 2 2 k
由 (2k ) (2k 1) (2k 2) (2k 3) (4) (3) (2) (1) 得到
x2 k x2 k 1 ( x2 k 1 x2 k 2 ) x2 k 2 x2 k 3 ( x2 k 3 x2 k 4 ) x4 x3 ( x3 x2 ) x2 x1 ( x1 x0 ) 2{[2k (2k 1)] [2k 2 (2k 3)] (4 3) (2 1)} 2k x2 k x0 y2 k y2 k 1 ( y2 k 1 y2 k 2 ) y2 k 2 y2 k 3 ( y2 k 3 y2 k 4 ) y4 y3 ( y3 y2 ) y2 y1 ( y1 y0 ) 2 [(22 k 22 k 1 ) (22 k 2 22 k 3 ) (24 23 ) (22 2)] 2 (22 k 1 22 k 3 23 2) 2 (4k 1) 4 1 2k 4 (2 1) y2 k y0 3
2
故 A0 A2 k {x2 k x0 , y2 k y0 } {2k ,
4 (2 2 k 1) } 3
所以，对任意偶数 n ，向量 A0 An 的坐标为 {n,
4 (2n 1) }． 3
解法二：
A0 An A0 A2 A2 A4 An 2 An 由题意，对称的关系可以得出，如右图
A2 k 1 是 A2 k 2 关于 P2 k 1 的对称点 A2k 是 A2 k 1 关于 P2k 的对称点 则 P2 k 1 P2 k 是 A2 k 2 A2 k 1 A2 k 的中位线
P2 k 1 P2 k 平行且等于 A2 k 2 A2 k 的一半，故 A2 k 2 A2 k 2 P2 k 1 P2 k
A0 An A0 A2 A2 A4 An 2 An 2( P1 P2 P3 P4 Pn 1 An ) 2({1, 2} {1, 23 } {1, 2n 1}) n 2(2n 1) 4(2n 1) 2{ , } {n, }． 2 3 3 考查点： （1）关于点的对称关系、中点坐标公式、向量的坐标表示． （2）周期函数、函数图像的平移． （3）关于点的对称关系、中点坐标公式、向量的坐标表示、等差数列求和公式、等比数列求和公式、向量的四 则运算、中位线性质． 思路与技巧： （1）两点关于某点对称时，此点横纵坐标为两点的和的一半． （2）平时做题遇到求周期函数的表达式，首先要使得其定义域满足要求，然后利用周期函数的性质（周期为 T 时）
f ( x) f ( x T ) 来求解．第二种解法利用了函数图形平移的性质． （3）第一种方法完全利用关于点的对称关系、向量的坐标表示，观察后可以知道，只需对一系列等式进行加减 即可．第二种方法利用了向量的四则运算、中位线性质，更巧妙、简单． 难度： （1）★☆☆☆ （2）★★☆☆ （3）★★★☆