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数 学通 讯— — ２０Ｏ９年 第 ｌ１、ｌｚ期 （上 半 月 ）
・专 论 荟 萃 ・
双 曲 线 的 补 充 性 质 及 应 用 张彩霞 （ 甘 肃 省高 台县 第 一 中 学 ，７３４３００）
双 曲线 的几 何性 质是 高考要求 掌握 的内 容， 有一 些教科 书上没 有 明确提 出的性质 ， 在
注 由对称性 可知 ： 双 曲线 的左焦点 、 左 准线也 有类 似的性 质．
近几年 的高考 题 中也频 频 出现 ，现举 两 例 来 说 明．
ｙ Ｊ ｌ
、 ＼、 ＼ ， 彩一
东省 高 考 题 ）设 双 曲线
性质 １ 已知 双 曲 ２
例 １ （２００５年 山
． ｙ Ｊ ｌ
２
个
一
ａ
＼、 ＼ ／ 一
２
线 Ｘ 一 Ｙ 一 １（ｎ＞ ０， ６＞ Ｏ）的 右 焦 点 为 Ｆ，右 准
。 ２
一 １（口＞ ０，６＞ Ｏ）
＼
ｏ
的 右 焦 点 为 Ｆ， 右准线 Ｚ
＼
与 渐 近 线 交 于 Ｐ、Ｑ 两 图 ２ 例 １图
线 与 渐 近 线 交 于 Ａ、Ｂ
点， 若 △ＰＱＦ 为 直 角 三
两点， 则 △０ｌ ＡＦ、△ＯＢＦ
角形， 则 双曲线 的离 心率是
均 为 直 角 三 角 形 且 图 １ 性质 １图
Ｉ ＯＡ Ｉ —Ｉ ＯＢ ｌ － － ａ，Ｉ ＡＦｌ ＝Ｉ ＢＦ ｌ 一６ ． 证 明 双 曲线 的右 准线 为 ｚ一 ａ２
， 一
条
．
解 由上性质 １知 ：ｌ ＯＰ Ｉ —Ｉ ＯＱＩ —ｎ， ｌ ＰＦｌ —ｌ ＱＦｌ —ｂ， 故 ＡＰＱＦ只能是等腰直 角 三 角 形 ，． ’ ． ＰＦＯ＝ ４５。 ．
又由性 质 １知 ： ＯＰ上 ＰＦ，Ｉ ． ． Ｐ０Ｆ一 渐 近线为 ３ ， ｂ
４５。 ． ａ＝ｂ， — Ｃ 厄
，
两式联立得点Ａ（ 譬， 警） ， 右焦点为Ｆ
（ ２００５年 湖 南省 高考题）设双 曲线
一 一１（ ｎ＞ｏ， ６＞０）的右焦 点为 Ｆ， 右准线
（ｃ，０）， （ 一 一 ａ２
・ ．
例 ２
， 一
一
．
．
一
ａｂ） ，
一（ ， ），
（ 一 ）． ＋（一生 ）．ａ ＿ｂ
ｚ与渐近线交于点 Ａ， ￣ｉ ／ ｋＯＡＦ的面积为 （０ 为原点）， 则两条渐近线 的夹 角为 （Ａ）３０。．
（Ｂ）４５。 ．
（Ｃ）６Ｏ。．
（Ｄ）９０。．
（
）
一 ０．
故 ＯＡ 上 ＡＦ，即 ＡＯＡＦ 为 直 角 三 角 形， 且
Ｉ Ｏ Ａ ［ ＝ √（ 譬） 。 ＋ （ 譬 ）
解 由性 质 １知 ：△ＯＡＦ 为直角 三角形
且ｌ ＯＡ ｌ ：＆，Ｉ ＡＦ Ｉ —ｂ，． ’ ．Ｓ△ ０ Ａ ，一÷ａ ｂ一 ＿， “ 故得 口一６， 双曲线为等轴双曲线 ， 则两条
一√—
一
又。 ． ‘ｌ ＯＦｌ —ｃ， ． ．Ｉ ＡＦｌ 一６ ．
渐近 线的夹角 为 ９Ｏ。， 选（ Ｄ）． 性质 ２ 已知双 曲线 一 ｙＺ一１（ ｎ＞ ｏ ，
由于 Ａ、Ｂ 两 点 关 于 ｚ 轴 对 称 ，故 得
ＡＯＢＦ 也 为 直 角 三 角 形 且 Ｉ ＯＢ ｌ— ｎ，
６＞０）的左 、右 焦 点 为 Ｆ 、 Ｆ。，双 曲线上 一 点
ｌ ＢＦＩ ＝ ＝ ＝ ６ ．
Ｐ到左 、 右准 线 的距 离为 ｄ 、 ｄ。， 则
专 论荟 萃 ，
・
数 学 通讯 — — ２ ＯＯ９年 第 １ １、 １ ２期 （ 上半月）
（ １）当点 Ｐ 在 左 支
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ｙ Ｊ
上 时，有 ：ｌ ＰＦ１ Ｉ ≥ｌ ｆ－ ７ ａ，Ｉ ＰＦ２ ｆ ≥ ｃ＋口， Ｐ 与
．
Ｄ
双 曲线 的左 顶 点 重 合 时
２
／ 一
擘立得
Ｆ ２ Ｉ —ｌ 蠢 。
＝ ￣ Ｉ Ｐ Ｆ ｆ 一兰， ｌ Ｐ Ｆ １ Ｊ 一 兰．
“一”成 立 ；
（２）当 点 Ｐ 在 右 支
又由性质 ２得 Ｉ ＰＦ２ ｌ ＞ 一。， 即 Ｃ—
上 时，有 ：Ｉ ＰＦ ｆ ≥ ｃ＋ 图。 性质 图
＞ｃ
ａ
口，Ｉ ＰＦｚ ｌ ≥ｃ 一４， Ｐ与双 曲线的右顶点重合
－ａ， ｃ 。一 ２ａｃ一口。＜ Ｏ， 解 得 一√ ＋１＜ ｅ＜
时“一”成 立．
＋ １．
证 明 如 图 ３所 示 ，设 点 Ｐ 的 坐 标 为
又 ｅ∈（１，＋。 。）， 故 该双 曲线 的 离心 率
（ 。， Ｙ。）， 根据 双 曲线 的第 二定 义来 证 明．
∈ （１， ＋ １）．
（１）当 点 Ｐ 在 左 支 上 时 ，有 ｚ。＜ ０，且 —
Ｉ ＰＦ。ｌ —ｃ
一
或者利用： ｆ Ｐ Ｆ Ｉ 。兰 ＞ｃ ＋ｎ ， 以下过
’
一
’
程 同上 ． ・
・
・
ｆ Ｐ Ｆ ｆ 一詈 ， 詈（ －Ｘ Ｏ －等） 一
ｅＸ ｏ一
例 ４ 已 知 双 曲线 一 ｙ２— １（ ａ＞ ｏ ，
口．
ｂ
＞ Ｏ）的左 、 右焦 点为 Ｆ 、 Ｆｚ， Ｐ为 双 曲线左 支
由于 Ｘ０≤ 一ａ，一ｅ ｘｏ≥ ａｅ—ｃ，一ｅ ｘ０一ａ
上 的一 点 ’ 若
≥ｃ ～口， 即ｆ ＰＦｌ Ｉ ≥ｃ ～ｎ．
同理， 由 一
＇ 贝Ｉ Ｊ该双 曲 线 的离
心 率 的取值 范 围是
：詈 ｌ ＰＦ ２ ｌ －￣ 。ｄ 。
． —
解 ‘ ． ‘Ｐ为 双 曲线 左支 上 的 一 点 ，根据 双 曲线 的第一定 义得 ：
÷（ 口 一 。 ＋ ） Ｃ 一一Ｐ 。 ＋口 ≥ｃ ＋口 ．
ｌ ＰＦ２ ｆ 一｝ ＰＦ ｆ ＝２口（ 口＞０） ．
（ ２）的证 明与 （１） 类 似 ，留给 读者完 成．
例３ （２００９年 重 庆 高考 题 ）已 知 双 曲
，
线 一 ２２— １（ ｎ＞ ０， ６＞ ０）的左 、右 焦点 分 别
两式 联立 得 ：
ｆ ＰＦ２ Ｉ －４ ａ，Ｉ ＰＦ ｌ 一２ ａ．
为 Ｆ－（一ｃ， ０）Ｆ２（ ｆ， ０）， 若 双 曲线 上 存在 一 点
由性质 ２得：｝ ＰＦ Ｉ ＝２ ａ≥ｆ 一口
Ｐ使 ｓ ｉ ｎＬ Ｐ Ｆ２一 ａ ｓ ｉ ｎＬ ＰＦ２ Ｆｌ Ｃ ， 则 该 双 曲线 的离 心 率 的取值 范 围是 解
或者利用 ：Ｉ ＰＦｚ Ｉ 一４ ａ≥ｃ ＋ａ＝ ￣３ ａ≥ｃ
在△ＰＦ。 Ｆ２中 ，由正 弦定理 得 ＿
～
通 过 以上性 质 的 总结 和 应 用 ， 再 一 次 证
ｆ ＰＦ２ Ｉ
实了： 夯 实基 础 ，勤 于 总结 ， 提 高 学 生 数 学 思
ｓｉ ｎＬＰＦ２ Ｆ１ Ｉ ＰＦｌ Ｉ ‘ 又 由 已 知 得 ＳＩ１３ ／ｒｒ＇ｒ １ ．
ｆ ｃ￣３ － ， 结果 同上 ・ ．
口
ｓｉ ｎＬ ＰＦｌ Ｆ２ ｓｉ ｎＬ ＰＦｚ Ｆ１
ｓｉ ｎ ＰＦｌ Ｆ２
≤
３， 又‘ ． ‘ ｅ＞ｌ， 故 得 ｅ∈（１， ３３．
．
Ｉ ＰＦ２ ｆ — Ｉ ＰＦ ｌ 一
—
维 起点 和思 维 能力 仍 是 教学 之 本 ， 也 是 学 生 一
，
ｃ
故 得 ’
＝ ＜ １’由此 知 点 Ｐ在 双 曲 线 的 右 支上 ， 且 不能 与右顶 点重 合．
又由 双 曲线 的 第 一 定 义 知 Ｉ ＰＦ。Ｉ一
高效 、 优 质应试 的重 要法 宝．
（ 收稿 日期 ： ２００９—０８—１９）