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数 学通 讯— — ２０Ｏ９年 第 ｌ１、ｌｚ期 （上 半 月 ）
・专 论 荟 萃 ・
双 曲 线 的 补 充 性 质 及 应 用 张彩霞 （ 甘 肃 省高 台县 第 一 中 学 ，７３４３００）
双 曲线 的几 何性 质是 高考要求 掌握 的内 容， 有一 些教科 书上没 有 明确提 出的性质 ， 在
注 由对称性 可知 ： 双 曲线 的左焦点 、 左 准线也 有类 似的性 质．
近几年 的高考 题 中也频 频 出现 ，现举 两 例 来 说 明．
ｙ Ｊ ｌ
、 ＼、 ＼ ， 彩一
东省 高 考 题 ）设 双 曲线
性质 １ 已知 双 曲 ２
例 １ （２００５年 山
． ｙ Ｊ ｌ
２
个
一
ａ
＼、 ＼ ／ 一
２
线 Ｘ 一 Ｙ 一 １（ｎ＞ ０， ６＞ Ｏ）的 右 焦 点 为 Ｆ，右 准
。 ２
一 １（口＞ ０，６＞ Ｏ）
＼
ｏ
的 右 焦 点 为 Ｆ， 右准线 Ｚ
＼
与 渐 近 线 交 于 Ｐ、Ｑ 两 图 ２ 例 １图
线 与 渐 近 线 交 于 Ａ、Ｂ
点， 若 △ＰＱＦ 为 直 角 三
两点， 则 △０ｌ ＡＦ、△ＯＢＦ
角形， 则 双曲线 的离 心率是
均 为 直 角 三 角 形 且 图 １ 性质 １图
Ｉ ＯＡ Ｉ —Ｉ ＯＢ ｌ － － ａ，Ｉ ＡＦｌ ＝Ｉ ＢＦ ｌ 一６ ． 证 明 双 曲线 的右 准线 为 ｚ一 ａ２
， 一
条
．
解 由上性质 １知 ：ｌ ＯＰ Ｉ —Ｉ ＯＱＩ —ｎ， ｌ ＰＦｌ —ｌ ＱＦｌ —ｂ， 故 ＡＰＱＦ只能是等腰直 角 三 角 形 ，． ’ ． ＰＦＯ＝ ４５。 ．
又由性 质 １知 ： ＯＰ上 ＰＦ，Ｉ ． ． Ｐ０Ｆ一 渐 近线为 ３ ， ｂ
４５。 ． ａ＝ｂ， — Ｃ 厄
，
两式联立得点Ａ（ 譬， 警） ， 右焦点为Ｆ
（ ２００５年 湖 南省 高考题）设双 曲线
一 一１（ ｎ＞ｏ， ６＞０）的右焦 点为 Ｆ， 右准线
（ｃ，０）， （ 一 一 ａ２
・ ．
例 ２
， 一
一
．
．
一
ａｂ） ，
一（ ， ），
（ 一 ）． ＋（一生 ）．ａ ＿ｂ
ｚ与渐近线交于点 Ａ， ￣ｉ ／ ｋＯＡＦ的面积为 （０ 为原点）， 则两条渐近线 的夹 角为 （Ａ）３０。．
（Ｂ）４５。 ．
（Ｃ）６Ｏ。．
（Ｄ）９０。．
（
）
一 ０．
故 ＯＡ 上 ＡＦ，即 ＡＯＡＦ 为 直 角 三 角 形， 且
Ｉ Ｏ Ａ ［ ＝ √（ 譬） 。 ＋ （ 譬 ）
解 由性 质 １知 ：△ＯＡＦ 为直角 三角形
且ｌ ＯＡ ｌ ：＆，Ｉ ＡＦ Ｉ —ｂ，． ’ ．Ｓ△ ０ Ａ ，一÷ａ ｂ一 ＿， “ 故得 口一６， 双曲线为等轴双曲线 ， 则两条
一√—
一
又。 ． ‘ｌ ＯＦｌ —ｃ， ． ．Ｉ ＡＦｌ 一６ ．
渐近 线的夹角 为 ９Ｏ。， 选（ Ｄ）． 性质 ２ 已知双 曲线 一 ｙＺ一１（ ｎ＞ ｏ ，
由于 Ａ、Ｂ 两 点 关 于 ｚ 轴 对 称 ，故 得
ＡＯＢＦ 也 为 直 角 三 角 形 且 Ｉ ＯＢ ｌ— ｎ，
６＞０）的左 、右 焦 点 为 Ｆ 、 Ｆ。，双 曲线上 一 点
ｌ ＢＦＩ ＝ ＝ ＝ ６ ．
Ｐ到左 、 右准 线 的距 离为 ｄ 、 ｄ。， 则