2008 年全国普通高等学校招生统一考试 上海
数学试卷（文史类）
一．填空题 1.不等式 x 1 ＜1 的解集是________. 解答：
1 x 1 1 0 x 2 ，解集为 {x x (0, 2)} 考查知识点： 绝对值不等式求解． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
2．若集合 A {x | x 2}、B {x | x a} 满足 A B {2} ，则实数 a
.
解答： 利用数轴不难得出 a 2 ． 若 a 2 ， A B {x | a x 2} ，若 a 2 ， A B 为空集． 显然 a 2 考查知识点： 不等式组求解、数轴应用． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
3．若复数 z 满足 z i (2 z )
( i 是虚数单位)，则 z =
.
解答： 设 z ai b ( a , b R )
a 2 b a 1 z i (2 z ) ai b i (2 ai b) ai b (2 b)i a a b b 1 z 1 i 考查知识点： 复数定义、运算． 思路与技巧： 复数题目通常需要使用“设 z=a+bi， （a,b 为实数）” ，求出复数． 难度：
★☆☆☆
1 4．若函数 f ( x ) 的反函数 f ( x) log 2 x ，则 f ( x)
．
解答： 1 设 f ( x) log 2 x y ，则 x 2 y
原函数 f ( x) 2 x 考查知识点： 反函数定义、求法． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
5．若向量 a、 b 满足 a 1, b 2, 且 a 与 b 的夹角为
，则 a b ＝________. 3
解答：
a b 为 a 与 b 两向量中其中一条平移后所组成的三角形的另一边． ab
2 2 a b 2 a b cos(1 ) 7 3
考查知识点： 平面向量求和、余弦定理． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
6．若直线 ax y 1 0 经过抛物线 y 2 4 x 的焦点，则实数 a 解答： 焦点 F 坐标为（1，0）故直线 ax y 1 0 经过 F（1，0），显然 a 1 考查知识点： 抛物线相关概念、抛物线焦点坐标． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
．
7．若 z 是实系数方程 x 2 2 x p 0 的一个虚根，且 | z | 2 ，则 p
.
解答： 方程解为 x
2 4 4 p 1 1 p （ p 1 ，1 p 0 ） 2
| z | (1)2 ( 1 p ) 2 1 p 1 2 ，故 p 4 考查知识点： 复数的应用，复数模的计算． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
8．在平面直角坐标系中，从五个点： A(0, 0) 、 B(2, 0) 、 C (1,1) 、 D (0, 2) 、 E (2, 2) 中任取三个，这三点能构 （结果用分数表示）.
成三角形的概率是 解答： 3
五个点任取三个点可能性： C5
三点成一直线的可能性：ACE 共线，BCD 共线，两种情况 所以五个点任取的三个点能组成三角形的概率为
C53 2 4 5 C53 考查知识点： 三角形点的位置关系、概率计算． 思路与技巧： 常规概率计算题．突破口：三角形三个顶点不在一条直线上． 难度： ★☆☆☆
9．若函数 f ( x ) ( x a )(bx 2a ) （常数 a, b R ）是偶函数，且它的值域为 (, 4] ，则该函数的解析
f ( x)
．
解答：
f ( x) ( x a )(bx 2a ) bx 2 (2a ab) x 2a 2
① b 0 ， 2a ab 0 时， f ( x) 2a 2 为常数函数，也是偶函数，但不符合值域为 (, 4] ，舍去； ② 2a ab 0 时， f ( x ) bx 2 2a 2 为偶函数，值域为 (, 4] ，显然此时 f ( x ) 为 b 0 ，对应抛物线开口向下 的函数的图象，其顶点为 (0, 4) ，即 2a 2 4
2a ab 0 2 a 2 2a 4 b 2 b 0
， f ( x) 2 x 2 4
考查知识点： 偶函数定义、一元二次函数、常数函数奇偶性、一元二次函数值域． 思路与技巧： 根据偶函数的条件进行讨论，再根据值域的条件求解即可． 难度： ★★☆☆
10．已知总体的各个体的值由小到大依次为 2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为 10.5．若 要使该总体的方差最小，则 a 、 b 的取值分别是
．
解答： 中位数为 10.5，个体数为 10，则
a b 2+3+3+7+a +b +12+13.7+18.3+20 10.5 ， x 10 2 10
n
(x x)
2
i
2
i 1
n
=
(2 10)2 (3 10) 2 (a 10) 2 (b 10) 2 (18.3 10) 2 (20 10)2 2
只需讨论 ( a 10)2 (b 10) 2 即可 再进一步化简 ( a 10)2 (b 10) 2 a 2 b 2 20( a b) 200 a 2 b 2 220 ，即只需讨论 a 2 b 2
a b 10.5 代入得到 a 2 b 2 (21 b)2 b 2 2b 2 42b 441 2 42 10.5 时 a 2 b 2 取最小值 当b 2 2 将
考查知识点： 中位数、方差定义、一元二次函数最之问题． 思路与技巧： 按照定义求解． 难度： ★★☆☆
11．在平面直角坐标系中，点 A 、 B 、 C 的坐标分别为 (0,1) 、 (4, 2) 、 (2, 6) ．如果 P( x, y ) 是 ABC 围成的区
域（含边界）上的点，那么当 w xy 取得最大值时，点 P 的坐标是
．
解答： 在 ABC 中画平行于 AC 的直线，不难算出在每条这样的直线中，越往右往上， 对应的点的 w xy 越大． （ xy 理解为一个点横、纵坐标对应的矩形的面积） 所以对于 ABC 内的点，满足题意的点在线段 BC 上． 直线 BC：
y 2 62 ，即 y 2 x 10 x4 24
w xy 2 x 2 10 ， [2 x 4] 对于函数 f ( x) 2 x 2 10 ， [2 x 4]
b 5 时取最大值． a 2 5 所以点 P 的坐标是 ( ,5) 2
当x
考查知识点： 不等式组的图像、一元二次函数最值问题． 思路与技巧： w xy 在坐标系中理解为矩形的面积，然后将三角形内的点进行分类，再对最后的一根线段进行讨论．若熟悉 不等式组的求解，则应很熟练的对点进行分类． 难度： ★★☆☆
二．选择题 12．设 P 椭圆
x2 y2 1 上的点．若 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点，则 | PF1 | | PF2 | 等于（ 25 16
A ．4
B．5
C．8
）
D．10
解答：
| PF1 | | PF2 | 2a 2 25 10 考查知识点： 椭圆定义． 思路与技巧： 送分题，考查概念． 椭圆定义：平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数（大于 F1 F2 ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫 做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．定义中的常数用 2a 表示， F1 F2 用 2c 表示，当 2a 2c 0 时，轨迹 为椭圆；当 2a 2c 0 时，轨迹为线段 F1 F2 ；当 0 2a 2c 时，无轨迹． 另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便． 难度： ★☆☆☆
13．给定空间中的直线 l 及平面 ．条件“直线 l 与平面 内两条相交直线都垂直”是“直线 l 与平面 垂直” 的（
） A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
解答： “直线 l 与平面 内两条相交直线都垂直”可以推导出“直线 l 与平面 垂直”（直线与平面垂直判定定理）． “直线 l 与平面 垂直”可以推导出“直线 l 与平面 内两条相交直线都垂直”（直线垂直平面的性质）． 考查知识点： 直线与平面垂直判定定理、直线垂直平面的性质、充要条件概念． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
14．若数列 {an } 是首项为 1，公比为 a A．1
B．2
3 的无穷等比数列，且 {an } 各项的和为 a ，则 a 的值是（ 2 1 5 C． D． 2 4
）
解答：
Sn
n
则
a1 (1 q n ) a ．显然， q 1 1 q
Sn
n
1 a1 (1 q n ) a 1 1 1 a a 2, ， a 时 q 1 不符合题意 2 1 q 1 q 1 a 3 2 2
故a 2． 考查知识点： 等比数列求和公式、极限运算． 思路与技巧： 无穷等比数列求和时，若和为常数，则公差 q 1 ． 难度： ★☆☆☆
15．如图，在平面直角坐标系中， 是一个与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别相切于点 C 、 D 的定圆所围成 的区域（含边界） ， A 、 B 、 C 、 D 是该圆的四等分点．若点 P( x, y ) 、点 P( x, y) 满足 x x 且 y y ，则 称 P 优于 P ．如果 中的点 Q 满足：不存在 中的其它点优于 Q ，那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧
（
）
A． AB
B． BC
C． CD
D． DA
解答： 解法一： 在点 Q 组成的集合中任取一点，过该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的 左上方区域（权且称为“第二象限” ）与点 Q 组成的集合无公共元素，这样点 Q 组成的
符合题意． 集合才为所求． 检验得： DA 解法二： 排除法，如右图三个线段，每根线段的两个端点可以分别排除 ABC 三个选项． 考查知识点： ： 概念考查． 思路与技巧： 在考题给出的命题或条件下按部就班即可． 难度： ★★☆☆
三．解答题 16．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， E 是 BC1 的中点．求直线 DE 与平面 ABCD 所成角的 大小（结果用反三角函数值表示） ． 解答： 过 E 作 EF BC ，交 BC 于 F ，连接 DF ∵ EF 平面 ABCD ∴ EDF 是直线 DE 与平面 ABCD 所成的角 由题意，得 EF ∵ CF
1 CC1 1 2
1 CB 1 ，∴ DF 5 2
∵ EF DF ，∴ tan EDF
EF 5 DF 5
故直线 DE 与平面 ABCD 所成角的大小是 arctan
5 5
考查知识点： 直线与平面的夹角求解、直线与平面垂直判定定理． 思路与技巧： 求夹角的问题往往时放在三角形中来解决．对于此题，首先必须找出过直线 DE 且垂直于平面 ABCD 的直线， 联想到 E 是 BC1 的中点，并且要找垂直于平面 ABCD 的垂线，则过 E 作 EF BC 可得到 EF 平面 ABCD ． 难度： ★☆☆☆
17.如图，某住宅小区的平面图呈扇形 AOC ．小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处．小区里有两条笔直的小 路 AD 、 DC ，且拐弯处的转角为120 ．已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟，从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟．若此人步行的速度为每分钟 50 米，求该扇形的半径 OA 的长（精确到 1 米）． 解答： 解法一： 设该扇形的半径为 r 米．由题意，得
CD 500 （米）， DA 300 （米）， CDO 60 在 CDO 中， CD 2 OD 2 2CD OD cos 60 OC 2 2
2
即 500 ( r 300) 2 500 ( r 300)
1 r2 2
4900 445 （米） 11 该扇形的半径 OA 的长约为 445 米 解得 r
解法二： 连接 AC ，作 OH AC ，交 AC 于 H 由题意，得 CD 500 （米） ， AD 300 （米）， CDA 120 在 ACD 中
AC 2 CD 2 AD 2 2 AD CD cos120 5002 300 2 2 500 300
1 7002 2
∴ AC 700 （米）
cos CAD
AC 2 AD 2 CD 2 11 2 AC CD 14
在直角 HAO 中， AH 350 （米） ， cos HAO
11 14
AH 4900 445 （米） cos HAO 11 该扇形的半径 OA 的长约为 445 米．
∴ OA
考查知识点： 余弦定理． 思路与技巧： 送分题． 难度： ★☆☆☆
18．已知函数 f ( x) sin 2 x ，g ( x ) cos(2 x
6
) ，直线 x t（ t R ）与函数 f ( x ) 、g ( x) 的图象分别交于 M 、
N 两点． （1）当 t
4
时，求 | MN | 的值；
（2）求 | MN | 在 t [0,
2
] 时的最大值．
解答： （1）
2 3 | MN || sin(2 ) cos(2 ) | |1 cos | 4 4 6 3 2 （2）
3 3 | MN || sin 2t cos(2t ) || sin 2t cos 2t | 3 | sin(2t ) | 6 2 2 6 ∵ t [0,
2
] ， 2t
[
5
6 1 ∴ sin(2t ) [ ,1] 6 2
6
,
6
]
∴ | MN | 的最大值为 3 ． 考查知识点： （1）两点间距离公式． （2）两角和与差的三角函数公式、辅助角的三角函数的公式、正弦函数及复合函数最值． 思路与技巧： （1）利用公式容易求出． （2）解题思路呈直线型，按照题意做下去就可．需要熟练掌握相关公式和最值问题的求解． 难度： （1）★☆☆☆ （2）★★☆☆
x
19. 已知函数 f ( x ) 2
1 ． 2| x|
（1）若 f ( x ) 2 ，求 x 的值； （2）若 2t f (2t ) mf (t ) 0 对于 t [1, 2] 恒成立，求实数 m 的取值范围．． 解答： （1） ①当 x 0 时， f ( x ) 0 ； x ②当 x 0 时， f ( x) 2
1 2 2x
即 22 x 2 2 x 1 0 ，解得 2 x 1 2 ， （ 2 x 0 ，故 2 x 1 2 舍去） ∴ x log 2 (1 2)
（2） 当 t [1, 2] 时
2t f (2t ) mf (t ) 2t (22 t
1 1 ) m(2t t ) 0 2t 2 2
即 m(22 t 1) (2 4t 1) m(22 t 1) (2 2t 1)( 22t 1) ∴ t [1, 2] ，∴ 22t 1 0 ， 22t 1 [5,17]
m(22 t 1) (22t 1)(22t 1) m (22t 1) 5 故 m 的取值范围是 [5, ) 考查知识点： （1）含绝对值函数的值域、换元法、指数函数求解． （2）一次不等式求解、指数函数值域． 思路与技巧： （1）对含绝对值的函数进行分类讨论的思路，熟练掌握换元法． 2t
（2）在消除 2 1 时需要讨论，否则会扣分，解不等式需要两边同时除以一个数时必须要注意的． 难度： （1）★☆☆☆ （2）★★☆☆
20. 已知双曲线 C ：
x2 y2 1． 2
（1）求双曲线 C 的渐近线方程；
（2）已知点 M 的坐标为 (0,1) ．设 P 是双曲线 C 上的点，Q 是点 P 关于原点的对称点．记 MP MQ ．求 的取值范围； （3）已知点 D 、 E 、 M 的坐标分别为 (2, 1) 、 (2, 1) 、 (0,1) ， P 为双曲线 C 上在第一象限内的点．记 l 为 经过原点与点 P 的直线， s 为 DEM 截直线 l 所得线段的长．试将 s 表示为直线 l 的斜率 k 的函数． 解答： （1） 所求渐近线方程为 y
2 2 x0，y x0 2 2
（2） 设 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ，则 Q 的坐标为 ( x0 , y0 )
3 2
MP MQ ( x0 , y0 1) ( x0 , y0 1) x02 y02 1 x02 2 ∵ | x0 |
2 ∴ 的取值范围是 (, 1]
（3） 显然直线 l 斜率小于渐近线斜率，即 k (0, 则直线 OD ： y
2 ) ，若坐标系原点为 O 2
1 x 2
1 2 ) ，直线 l ： y kx 2 2
①若 k ( ,
与 ME ： y x 1 ， DE ： y 2 的交点分别为 A 和 B
y kx y kx 1 k 1 , ） ， A（ B （ , 1 ） 1 k 1 k k y x 1 y 1 则 s (k ) AB 1 k
2
1 1 2k 1 1 k2 2 k 1 1 k k
1 2
②若 k (0, ] ，直线 l ： y kx 与 ME ： y x 1 ， MD ： y x 1 的交点分别为 A 和 C
y kx y kx 1 k 1 k , , ） ， ） A（ C（ 1 k 1 k k 1 k 1 y x 1 y x 1 则 s (k ) AB 1 k
2
1 1 2 1 k 2 1 k k 1 1 k 2
1 2 2 , 1 k , 0 k 2 1 k 2 ∴ s 表示为直线 l 的斜率 k 的函数是 s ( k ) 2k 1 1 k 2 , 1 k 2 . k k 2 2 2 考查知识点： （1）渐近线概念． （2）向量数量积运算． （3）平面直角坐标系中两点间距离公式、渐近线应用、两直线交点． 思路与技巧： （1）送分题 （2）送分题 （3）三角形三条边直线公式容易求出，容易犯错的是分清楚直线被三角形所截的两种情况．而在分类讨论时， 渐近线也是题目的第一问是突破口． 难度： （1）★☆☆☆ （2）★☆☆☆
（3）★★★☆
21. 已知数列 {an } ：a1 1 ，a2 2 ，a3 r ，an 3 an 2（ n 是正整数），与数列 {bn } ：b1 1 ，b2 0 ，b3 1 ，
b4 0 ， bn 4 bn （ n 是正整数）．记 Tn b1a1 b2 a2 b3 a3 bn an ． （1）若 a1 a2 a3 a12 64 ，求 r 的值； （2）求证：当 n 是正整数时， T12 n 4n ； （3）已知 r 0 ，且存在正整数 m ，使得在 T12 m 1 ， T12 m 2 ，…， T12 m 12 中有 4 项为 100．求 r 的值，并指出哪 4 项为 100． 解答： （1） 由 an 3 an 2 可知 {an } 是由 3 组公差为 2 的等差数列组成的．
a1 a2 a3 a12
1 2 r 3 4 r (r 2) 5 6 (r 4) 7 8 (r 6) 48 4r 64 故r 4 （2） 用数学归纳法证明：当 n Z 时， T12 n 4n ． ① 当 n 1 时，
T12 a1 a3 a5 a7 a9 a11 4 ，等式成立． ②假设 n k 时等式成立，即 T12 k 4k ，那么当 n k 1 时，
T12( k 1) T12 k a12 k 1 a12 k 3 a12 k 5 a12 k 7 a12 k 9 a12 k 11
k 1 1 3 2(k 3m 1) k 2 对于 {an } ， ak 2 2(k 3m 2) k N ， m 为非负整数 3 k 3 r 3 2(k 3m 3) T12( k 1) T12 k a12 k 1 a12 k 3 a12 k 5 a12 k 7 a12 k 9 a12 k 11
4k (8k 1) (8k r ) (8k 4) (8k 5) (8k r 4) (8k 8) 4k 4 4(k 1) ，等式也成立．
综上所述：当 n Z 时， T12 n 4n ． （3） T12 m 4m （ m 1 ） 当 n 12m 1 时， Tn T12 m1 T12 m b12 m 1a12 m1 4m 8m 1 4m 1 当 n 12m 2 时， Tn T12 m 2 T12 m b12 m 1a12 m 1 b12 m 2 a12 m 2 4m 8m 1 4m 1 当 n 12m 3 ，12m 4 时， Tn 4m 1 r 当 n 12m 5 ，12m 6 时， Tn 4m 5 r 当 n 12m 7 ，12m 8 时， Tn 4m r 当 n 12m 9 ，12m 10 时， Tn 4m 4 当 n 12m 11 ，12m 12 时， Tn 4m 4 ∵ 4m 1 是奇数， 4m 1 r ， 4m r ， 4m 4 均为负数 ∴这些项均不可能取得 100 ∴ 4m 5 r 4m 4 100 ，解得 m 24 ， r 1 此时 T293 , T294 , T297 , T298 为 100 考查点： （1）等差数列求和． （2）数学归纳法． （3）等差数列归纳． 思路与技巧： （1） an 3 an 2 为突破口， {an } 可以分解为三个等差数列． （2）数学归纳法为数列证明题常用方法，尤其在遇到证明关于“ S n , an ”之类时均可尝试． （3）不能困扰与题目的条件，不管题目给出什么样的限制条件或者新的定义等等，只需直奔所需要解决的问题， 算出每一项就可以求出．另外，解答题最后一问往往是前一问的引申或互有关联，需要应用前一问的结论． 难度： （1）★☆☆☆ （2）★★★☆ （3）★★★☆