11txtI.qxp_Layout 1 05/05/17 11:42 Pagina 247
Capitolo 11 La conduzione termica in regime stazionario urante l’analisi della trasmissione del calore, si è spesso interessati a valutare la potenza termica scambiata attraverso un mezzo in condizioni stazionarie riferendosi a temperature superficiali. Questi problemi possono essere facilmente risolti introducendo il concetto di resistenza termica, in maniera del tutto analoga a quanto accade per i circuiti elettrici. In questo caso, la resistenza termica corrisponde alla resistenza elettrica, la differenza di temperatura corrisponde alla differenza di potenziale elettrico e il flusso di calore corrisponde alla corrente elettrica. Il capitolo presenta la conduzione termica in regime stazionario monodimensionale in uno strato pianoe in geometrie piane multistrato. Sono inoltre trattate le relazioni per il calcolo della resistenza termica nei casi in cui sia presente convezione e irraggiamento al contorno del sistema in esame.
D
OBIETTIVI Gli obiettivi di questo capitolo sono: • comprendere il concetto di resistenza termica e le sue limitazioni e saper costruire reti di resistenze termiche per alcuni problemi pratici di conduzione termica; • risolvere problemi di conduzione termica in regime stazionario per geometrie piane multistrato.
11txtI.qxp_Layout 1 05/05/17 11:42 Pagina 248
248
La conduzione termica in regime stazionario
11.1 La conduzione termica stazionaria nelle pareti piane
FIGURA 11.1
Flusso termico monodimensionale attraverso una parete poiché la temperatura della parete varia in una direzione soltanto.
Attraverso le pareti di un edificio in un giorno invernale il calore si disperde continuamente verso l’esterno. Intuitivamente si può pensare che in ogni parete si abbia trasmissione di calore per conduzione nella direzione normale alla superficie della parete stessa e che non si verifichi alcuna significativa trasmissione di calore in altre direzioni (Figura 11.1). Misure di temperatura in più punti sulla superficie interna ed esterna di una parete possono mostrare che la superficie di una parete è pressappoco isoterma, cioè che le temperature della zona superiore e inferiore della superficie della parete così come le zone estreme destra o sinistra sono all’incirca le stesse. Poiché la trasmissione di calore per conduzione in una certa direzione dipende dal gradiente di temperatura in quella direzione, non essendovi differenza di temperatura tra la zona superiore e quella inferiore della parete o da sinistra a destra, non vi sarà trasmissione di calore per conduzione in queste direzioni. Verificandosi una considerevole differenza di temperatura tra le superfici interna ed esterna della parete, si avrà invece una notevole trasmissione di calore per conduzione nella direzione che va dalla superficie interna a quella esterna, poiché lo spessore modesto della parete determina un elevato gradiente di temperatura in quella direzione. Considerando costanti le temperature dell’aria all’interno e all’esterno dell’edificio, la trasmissione di calore per conduzione attraverso le pareti di un edificio può essere considerata stazionaria e monodimensionale, per cui la temperatura della parete dipenderà solo da una dimensione: per esempio, scegliendo la x si avrà T = T(x). Nel caso di trasmissione di calore per conduzione, se non vi è alcuna generazione interna di calore, il bilancio di energia per la parete si può quindi esprimere con la relazione:
ovvero (11.1) Ma in condizioni stazionarie la potenza termica accumulata deve essere nulla, dal momento che in nessun punto della parete la temperatura varia nel tempo.
Il flusso termico entrante nella parete deve quindi uguagliare il flusso termico uscente da essa. In altri termini, il flusso termico attraverso la parete deve essere costante Q· cond, parete = costante. Si consideri una parete piana di spessore L e conduttività termica media , con superfici interna ed esterna a temperature costanti, T1 e T2, rispettivamente. Nel caso di trasmissione di calore per conduzione
11txtI.qxp_Layout 1 05/05/17 11:42 Pagina 249
Capitolo 11
249
stazionaria monodimensionale, essendo T = T(x) e applicando la legge di Fourier della conduzione termica si ha: (W)
(11.2)
dove la potenza termica trasmessa per conduzione e l’area A della superficie sono costanti. Poiché anche dT/dx = costante, la temperatura attraverso la parete varia linearmente con x, vale a dire che in condizioni stazionarie la distribuzione di temperatura nel caso di trasmissione di calore per conduzione attraverso una parete piana è rappresentata da una linea retta (Figura 11.2). Separando le variabili nella precedente equazione e integrando da x = 0 dove T (0) = T1 a x = L dove T(L) = T2, si ottiene: L
FIGURA 11.2
Eseguendo l’integrazione e riordinando si ha: (11.3) che risulta identica all’Equazione 12.1. Riepilogando, la potenza termica trasmessa per conduzione attraverso una parete piana è proporzionale alla conduttività termica media, all’area della superficie, alla differenza di temperatura ed è inversamente proporzionale allo spessore della parete. Inoltre, nota la potenza termica trasmessa per conduzione, si può determinare la temperatura T(x) in ogni posizione x sostituendo nell’Equazione 11.3 T al posto di T2 e x al posto di L.
11.1.1
Il concetto di resistenza termica1
L’Equazione 11.3 per la conduzione termica attraverso una parete piana può essere riscritta come: (11.4)
1
La resistenza termica, così come definita nell’Equazione 11.5, fa riferimento all’unità di superficie e, pertanto, può essere definita resistenza termica specifica. Il suo utilizzo è utile, nella trattazione dell’autore, per esprimere i fenomeni di trasmissione del calore utilizzando l’analogia con le reti elettriche. Questo approccio consente di calcolare la trasmittanza di pareti piane costituite anche da blocchi di materiali omogenei differenti oltre che di strati. In particolare nell’ambito dell’edilizia, nelle trattazioni più recenti (per esempio, la norma europea UNI EN ISO 6946 – Componenti ed elementi per l’edilizia – Resistenza termica e trasmittanza termica – Metodo di calcolo) la resistenza termica di uno strato di materiale omogeneo viene espressa più semplicemente dalla relazione Rstrato = L/ ossia dal rapporto tra lo spessore dello strato e la conducibilità del materiale assumendo conseguentemente come unità di misura m2 K/W. Negli esercizi spesso è più comodo utilizzare questa definizione di resistenza in alternativa a quella proposta dall’autore. Naturalmente entrambe le impostazioni sono formalmente corrette, la verifica delle unità di misura allontana ogni possibile equivoco.
In condizioni stazionarie la distribuzione di temperatura in una parete piana è una linea retta.
11txtI.qxp_Layout 1 05/05/17 11:42 Pagina 250
250
La conduzione termica in regime stazionario
dove (11.5) è la resistenza termica della parete nella conduzione di calore o semplicemente la resistenza conduttiva della parete. Si osservi che la resistenza termica di un mezzo dipende dalla geometria e dalle caratteristiche termiche del mezzo. L’equazione precedente per il flusso termico è analoga alla relazione per il flusso di corrente elettrica I espresso dalla relazione:
– n
V
V – nV V
V
FIGURA 11.3
Analogia tra resistenza termica ed elettrica.
V
(11.6)
dove Rel = L/elA è la resistenza elettrica e V1 V2 è la differenza di tensione da un capo all’altro della resistenza (el è la conduttività elettrica). Per analogia, la potenza termica trasmessa attraverso uno strato corrisponde alla corrente elettrica, la resistenza termica corrisponde alla resistenza elettrica e la differenza di temperatura corrisponde alla differenza di tensione (Figura 11.3). Si consideri la trasmissione di calore per convezione da una superficie solida di area A e temperatura Tspf a un fluido di temperatura T a sufficiente distanza dalla superficie, con un coefficiente di scambio termico convettivo h. La legge di Newton per la potenza termica trasmessa per convezione può essere riscritta: spf
spf
spf
(11.7)
dove (11.8) spf
FIGURA 11.4
Schema di resistenza convettiva in corrispondenza di una superficie.
è la resistenza termica della superficie nella convezione di calore o semplicemente la resistenza convettiva della superficie (Figura 11.4). Si noti che, quando il coefficiente di scambio termico convettivo è molto grande ( ), la resistenza convettiva diventa zero e Tspf T. In questo caso, la superficie non offre alcuna resistenza alla convezione e perciò non modifica il processo di trasmissione di calore. Questo caso in pratica si verifica in corrispondenza di superfici dove ha luogo evaporazione e condensazione. Si noti che la superficie non deve essere necessariamente piana, poiché l’Equazione 11.8 per la resistenza convettiva è valida per superfici di qualunque forma, ammesso che l’assunzione di h = costante e uniforme sia ragionevole. Quando la parete è circondata da un gas, gli effetti della radiazione, finora ignorati, possono essere significativi e può essere necessario prenderli in considerazione. La potenza termica trasmessa per irraggiamento tra una superficie di emissività e area A a temperatura Tspf e le superfici circostanti a una certa temperatura Tamb si può esprimere con la relazione: ε
spf spf
spf
(11.9)
11txtI.qxp_Layout 1 05/05/17 11:42 Pagina 251
Capitolo 11
251
dove (11.10) è la resistenza termica di una superficie nella trasmissione di calore per radiazione o la resistenza radiativa della superficie e: ε
spf
(11.11)
spf
spf
è il coefficiente di scambio termico per irraggiamento. La definizione del coefficiente di scambio termico radiativo consente di esprimere la potenza termica trasmessa per radiazione in funzione di una differenza di temperatura in maniera analoga alla convezione. Si noti che hirr dipende fortemente dalla temperatura, mentre h di solito no. Poiché una superficie esposta all’aria ambiente è soggetta simultaneamente a convezione e irraggiamento, la trasmissione di calore globale in corrispondenza di questa superficie si determina sommando (o sottraendo se in direzioni opposte) le componenti della radiazione e della convezione. Le resistenze convettiva e radiativa sono quindi in parallelo tra loro, come mostrato nella Figura 11.5, e possono dare luogo a qualche complicazione nel circuito di resistenze termiche. Quando però Tamb T, l’effetto radiativo può essere valutato sostituendo hcomb nella relazione della resistenza convettiva con hcomb = h + hirr. In questo modo si evitano tutte le complicazioni associate alla radiazione.
11.2
spf
FIGURA 11.5
Schema di resistenze convettiva e radiativa in corrispondenza di una superficie.
La rete di resistenze termiche
Si consideri ora un flusso termico stazionario monodimensionale attraverso una parete piana di spessore L, area A e conduttività termica , esposta a convezione su entrambi i lati con fluidi a temperature T1 e T2 con coefficienti di scambio termico h1 e h2, rispettivamente, come mostrato nella Figura 11.6. Assumendo T2 < T1, si avrà una variazione
FIGURA 11.6
cond
V
el,1
V V
el,1
el,2
el,3
el,2
el,3
V
La rete di resistenze termiche per la trasmissione del calore attraverso una parete piana soggetta a convezione su entrambi i lati e l’analogia elettrica.
11txtI.qxp_Layout 1 05/05/17 11:42 Pagina 252
252
La conduzione termica in regime stazionario
di temperatura come quella mostrata nella figura. Si osservi che la temperatura varia linearmente nella parete, tendendo asintoticamente a T1 e T2 nei fluidi quando ci si allontana dalla parete. In condizioni stazionarie, si ha:
(11.12) che si può riscrivere come
(11.13) FIGURA 11.7
Sommando tra loro i numeratori e i denominatori si ottiene (Figura 11.7):
Un’utile identità matematica.
(11.14) dove (11.15)
FIGURA 11.8
La caduta di temperatura attraverso uno strato è proporzionale alla sua resistenza termica.
Si noti che nel caso di parete piana l’area della superficie A è costante e la potenza termica trasmessa tra i due fluidi è uguale alla differenza di temperatura divisa per la resistenza termica globale. Si noti anche che, poiché le resistenze termiche sono in serie, la resistenza termica equivalente si determina semplicemente sommando le resistenze, proprio come nell’analogo caso elettrico. Riepilogando, si può affermare che la potenza termica trasmessa in regime stazionario tra due superfici è uguale alla differenza di temperatura divisa per la resistenza termica totale tra quelle due superfici. Si noti che, poiché nell’Equazione 11.14 il rapporto tra diminuzione di temperatura e resistenza termica attraverso ciascuno strato è costante, la diminuzione di temperatura attraverso ciascuno strato è proporzionale alla resistenza termica dello strato, vale a dire che più grande è la resistenza, maggiore è la diminuzione di temperatura (Figura 11.8). Infatti l’equazione
può essere riscritta come (°C)
(11.16)
ottenendo che la diminuzione di temperatura attraverso ogni strato è uguale alla potenza termica trasmessa in condizioni stazionarie moltiplicata per la resistenza termica dello strato considerato. Si ricordi che
11txtI.qxp_Layout 1 05/05/17 11:42 Pagina 253
Capitolo 11
ciò si verifica anche per la variazione di voltaggio attraverso una resistenza elettrica nel caso di corrente elettrica costante. Può essere talvolta conveniente esprimere la potenza termica trasmessa in condizioni stazionarie attraverso un mezzo con un’espressione analoga a quella della legge di Newton per il raffreddamento in questo modo (11.17) dove U è la trasmittanza termica o coefficiente globale di scambio termico. Confrontando con l’Equazione 11.14, si ha (11.18) Pertanto, la trasmittanza è uguale all’inverso della resistenza totale per unità di area. Si noti che per valutare la potenza termica attraverso una parete non è necessario conoscere le sue temperature superficiali, ma i coefficienti di scambio termico convettivo e le temperature del fluido da ambo le parti della parete. La temperatura superficiale della parete può essere determinata poi come descritto sopra attraverso la resistenza termica, assumendo la superficie di cui determinare la temperatura come una superficie limite. Per esempio, dopo aver valutato Q· , la temperatura superficiale T1 può essere determinata con la relazione: (11.19)
11.3
Le pareti piane multistrato
Le pareti piane che nella pratica si incontrano abitualmente sono costituite da numerosi strati di materiali diversi. Per determinare la potenza termica trasmessa in condizioni stazionarie attraverso tali pareti composte si può ancora fare uso del concetto di resistenza termica, notando semplicemente che la resistenza conduttiva di ogni strato L/ A è connessa in serie e, facendo uso dell’analogia elettrica, che la potenza termica trasmessa si ottiene dividendo la differenza di temperatura tra due superfici di nota temperatura per la resistenza termica globale tra esse. Si consideri una parete piana costituita da due strati: per esempio, una parete in mattoni con uno strato isolante. In condizioni stazionarie la potenza termica trasmessa attraverso questa parete composta bistrato (Figura 11.9) si può esprimere con la relazione: (11.20) dove Rtot è la resistenza termica totale, che si esprime come: L
L
(11.21)
253
11txtI.qxp_Layout 1 05/05/17 11:42 Pagina 254
254
La conduzione termica in regime stazionario
FIGURA 11.9
Rete di resistenze termiche per la trasmissione di calore attraverso una parete piana a due strati soggetta a convezione su entrambi i lati.
l
l
L
L
L l
L l
Nelle precedenti relazioni i pedici 1 e 2 di Rparete indicano il primo e il secondo strato, rispettivamente. Questo risultato si potrebbe anche ottenere seguendo l’approccio usato prima per il caso dello strato singolo notando che la potenza termica in condizioni stazionarie Q· trasmessa attraverso un mezzo multistrato è costante e che, quindi, deve essere la stessa attraverso ciascuno strato. Si noti, inoltre, che le singole resistenze termiche sono in serie e che la resistenza termica globale è semplicemente la somma aritmetica delle resistenze termiche. Dalla parete monostrato si passa a quella a doppio strato aggiungendo una resistenza addizionale che tiene conto dello strato addizionale. Estendendo questo risultato alle pareti piane multistrato si può affermare che la resistenza termica globale è quella della parete monostrato con l’aggiunta di una resistenza addizionale per ciascuno strato addizionale. Una volta nota la potenza termica trasmessa Q· si può determinare la temperatura Tj in corrispondenza della generica superficie j con la relazione: (11.22) dove Ti è la temperatura nota della superficie i e Rtot, ij è la resistenza termica totale tra le superfici i e j. Nel caso della parete a due strati di Figura 11.9, quando le temperature del fluido T1 e T2 sono disponibili, calcolata Q· con l’Equazione 11.20, la temperatura T2 dell’interfaccia tra i due strati si può determinare (Figura 11.10) con la relazione: (11.23) L
FIGURA 11.10
Determinazione delle temperature superficiali e all’interfaccia.
La variazione di temperatura da una parte all’altra di uno strato si deter· mina poi facilmente con l’Equazione 11.16, moltiplicando Q per la resistenza termica dello strato. Il concetto di resistenza termica è largamente usato nella pratica perché facile da comprendersi e utile per risolvere un gran numero di problemi di trasmissione del calore. Tuttavia il suo uso
11txtI.qxp_Layout 1 05/05/17 11:42 Pagina 255
Capitolo 11
è limitato ai sistemi in cui la potenza termica trasmessa Q· rimane costante, vale a dire ai sistemi in condizioni stazionarie per quanto riguarda lo scambio termico senza generazione di calore all’interno del mezzo (quali riscaldamento per effetto della resistenza o reazioni chimiche).
ESEMPIO 11.1
La trasmissione di calore attraverso una parete
Si consideri una parete alta 3 m, larga 5 m e spessa 0.3 m, di conduttività termica = 0.9 W/m °C (Figura 11.11). Le temperature delle superfici interna ed esterna della parete misurate risultano essere 16 °C e 2 °C, rispettivamente. Si determini la potenza termica trasmessa attraverso la parete. SOLUZIONE Le due superfici della parete si mantengono a ben determinate temperature costanti. Si deve calcolare la quantità di calore trasmessa attraverso la parete. L
Ipotesi
FIGURA 11.11
1.
Schema per l’Esempio 11.1.
2.
3.
La trasmissione del calore attraverso la parete è stazionaria poiché le temperature superficiali restano costanti. La trasmissione del calore è monodimensionale perché un gradiente di temperatura significativo si presenta solo nella direzione dall’interno verso l’esterno. La conduttività termica è costante
Proprietà La conduttività termica è data e pari a =0.9 W/m K. Analisi Tenendo presente che la trasmissione di calore attraverso la parete
avviene per conduzione e che l’area della superficie della parete è A = 3 m 5 m = 15 m2, la potenza termica stazionaria trasmessa attraverso la parete calcolata con l’Equazione 12.1 è:
Lo stesso valore di potenza termica stazionaria trasmessa si ottiene utilizzando la resistenza termica:
dove
Sostituendo, si ottiene:
Considerazioni Si noti che lo stesso valore della trasmissione tecnica per
conduzione attraverso una parete piana si può ottenere direttamente e facilmente senza far ricorso alla resistenza termica. Tuttavia il concetto di resistenza termica serve come utile strumento nei problemi di trasmissione tecnica più complessi, come si vedrà in seguito.
255
11txtI.qxp_Layout 1 05/05/17 11:42 Pagina 256
256
La conduzione termica in regime stazionario
Si noti che le unità di misura W/m K e W/m °C usate per la conduttività termica sono perfettamente equivalenti e quindi intercambiabili tra loro.
ESEMPIO 11.2 La trasmissione del calore attraverso un vetro singolo Si consideri una finestra vetrata delle dimensioni 0.8 m 1.5 m e dello spessore di 8 mm, caratterizzata da una conduttività termica = 0.78 W/m °C. Si determinino la potenza termica stazionaria trasmessa attraverso la finestra e la temperatura della superficie interna della finestra in un giorno durante il quale l’ambiente interno è mantenuto a 20 °C mentre la temperatura esterna è di 10 °C. Si assumano quali coefficienti di scambio termico sulle superfici interna ed esterna della finestra h1 = 10 W/m2 °C e h2 = 40 W/m2 °C, includendo in essi gli effetti della radiazione.
L
int
est
FIGURA 11.12
SOLUZIONE Si analizza la trasmissione del calore attraverso una finestra di vetro. Si devono calcolare la potenza termica trasmessa in condizioni stazionarie attraverso la finestra e la temperatura della superficie interna del vetro.
Schema per l’Esempio 11.2.
Ipotesi
1.
2.
3.
La trasmissione di calore attraverso il vetro della finestra si può considerare stazionaria poiché si ipotizza che le temperature interna ed esterna rimangano costanti per un tempo sufficientemente lungo. La trasmissione di calore attraverso la finestra è monodimensionale dal momento che solo in direzione normale alla parete si ha un gradiente termico significativo. La conduttività termica è costante.
Proprietà La conduttività termica è data e pari a = 0.78 W/m K. Analisi Questo problema, che comprende la conduzione termica attra-
verso il vetro della finestra e la convezione termica in corrispondenza delle sue superfici esterna e interna, può essere convenientemente trattato facendo uso del concetto di resistenza termica, come mostrato nella Figura 11.12. Tenendo presente che l’area della superficie della finestra è A = 0.8 1.5 = 1.2 m2, le singole resistenze sono: int
est
11txtI.qxp_Layout 1 05/05/17 11:42 Pagina 257
Capitolo 11
Tenendo presente che le tre resistenze sono in serie, la resistenza termica totale risulta essere:
La potenza termica stazionaria trasmessa attraverso la finestra è:
Conoscendo la potenza termica, la temperatura superficiale interna del vetro della finestra è:
Considerazioni Si noti che la temperatura della superficie interna del ve-
tro è 2.2 °C nonostante la temperatura dell’aria della stanza sia 20 °C. Questo valore così basso della temperatura superficiale è da evitare perché può causare la formazione di condensa o brina sulla superficie interna del vetro quando l’umidità all’interno della stanza è elevata.
ESEMPIO 11.3 La trasmissione del calore attraverso un doppio vetro Si consideri una finestra, alta 0.8 m e larga 1.5 m, costituita da due strati di vetro dello spessore di 4 mm ( = 0.78 W/m °C) separati da un’intercapedine di aria ferma spessa 10 mm ( = 0.026 W/m °C). Si determinino la potenza termica stazionaria trasmessa attraverso questa finestra a doppio vetro e la temperatura della sua superficie interna per un giorno durante il quale la temperatura dell’ambiente viene mantenuta a 20 °C mentre la temperatura esterna è di 10 °C. Si assumano quali coefficienti di scambio termico sulle superfici interna ed esterna della finestra h1 = 10 W/m2 °C e h2 = 40 W/m2 °C, includendo in essi gli effetti della radiazione. SOLUZIONE Si considera una finestra con doppio vetro. Bisogna determinare la potenza termica trasmessa in condizioni stazionarie attraverso la finestra e la temperatura superficiale interna del vetro. Analisi Questo problema è identico al precedente, eccetto che il vetro
singolo da 8 mm di spessore è sostituito da due vetri da 4 mm di spessore ciascuno, che racchiudono un’intercapedine di aria ferma, dello spessore di 10 mm. La resistenza termica comprenderà in questo caso due resistenze conduttive addizionali corrispondenti ai due strati addizionali, come mostrato
257
11txtI.qxp_Layout 1 05/05/17 11:42 Pagina 258
258
La conduzione termica in regime stazionario
nella Figura 11.13. Tenendo presente che l’area della superficie della finestra è A = 0.8 1.5 = 1.2 m2, le singole resistenze sono: int
int
est
est
FIGURA 11.13
Schema per l’Esempio 10.2.
Osservando che tutte le resistenze sono in serie, la resistenza totale risulta essere:
La potenza termica stazionaria trasmessa attraverso la finestra è:
che corrisponde a circa un quarto del risultato ottenuto nell’esempio precedente. Questo spiega il largo uso di finestre a doppio e anche a triplo vetro nei climi freddi. La drastica riduzione della potenza termica trasmessa in questo caso è dovuta all’elevata resistenza termica dello strato di aria tra i vetri. In realtà, la resistenza termica dello strato d’aria sarà minore di quella ipotizzata a causa delle correnti convettive naturali che si hanno nell’intercapedine d’aria. La temperatura superficiale interna della finestra sarà in questo caso:
che risulta considerevolmente più alta di 2.2 °C, temperatura ottenuta nell’esempio precedente. Ne consegue che un vetro doppio darà raramente problemi di condensazione superficiale. Un vetro doppio, inoltre, ridurrà il flusso di calore in estate, riducendo i costi legati al raffrescamento.
SOMMARIO La potenza termica trasmessa in condizioni di trasmissione mono-dimensionale attraverso un corpo semplice o composto esposto a convezione da entrambi i lati con fluidi a temperature T1 e T2 è:
dove Rtot è la resistenza termica totale tra i due fluidi. Per una parete piana esposta a convezione su entrambi i lati, la resistenza totale è:
(°C/W)
11txtI.qxp_Layout 1 05/05/17 11:42 Pagina 259
Capitolo 11
Questa relazione può essere estesa a pareti piane costituite da due o più strati sommando una resistenza addizionale per ogni strato addizionale. Le relazioni elementari della resistenza termica sono: •
259
dove hc è la conduttanza termica di contatto, Rc è la resistenza termica di contatto mentre il coefficiente di scambio termico radiativo è dato da: ε
resistenza conduttiva (parete piana):
spf
spf
Nota la potenza termica trasmessa, la differenza di temperatura da una parte all’altra di ogni strato è: •
•
resistenza convettiva: La resistenza termica si può usare anche per risolvere problemi stazionari di scambio termico per strati in parallelo o per configurazioni combinate serie-parallelo.
resistenza radiativa:
PROBLEMI 11.1 Un microprocessore (chip logico) impiegato in un computer dissipa 3 W di potenza in un ambiente a 60 °C e ha un’area della superficie di scambio termico di 0.34 cm2. Supponendo che la trasmissione di calore dalla superficie sia uniforme, si determinino (a) la quantità di calore che questo chip dissipa durante un giorno lavorativo di 8 h, espressa in kilowattora (kWh), e (b) il flusso termico sulla superficie del chip, espresso in watt al metro quadrato (W/m2). [Soluzioni: (a) 0.024 kWh; (b) 88.2 kW/m2] 11.2 Un misuratore di flusso termico applicato alla superficie interna della porta di un frigorifero, spessa 3 cm, indica un flusso termico di 25 W/m2 attraverso la porta. Inoltre, i valori misurati della temperatura della superficie interna della porta e della temperatura della sua superficie esterna sono 7 °C e 15 °C, rispettivamente. Si determini la conduttività termica media della porta del frigorifero. [Soluzione: 0.0938 W/m °C] 11.3 Si consideri una parete di mattoni alta 4 m, larga 6 m e spessa 0.3 m, la cui conduttività termica è = 0.8 W/m °C. In un certo giorno i valori misurati delle temperature della superficie interna e della superficie esterna della parete sono 14 °C e 6 °C, rispettivamente. Si determini la potenza termica dissipata attraverso la parete in quel giorno. [Soluzione: 512 W]
11.4 Si consideri una finestra di vetro alta 1.2 m e larga 2 m, il cui spessore è 6 mm e la cui conduttività termica è = 0.78 W/m °C. Si determinino (a) la potenza termica trasmessa attraverso questa finestra in regime stazionario e (b) la temperatura della sua superficie interna in un giorno in cui la temperatura della stanza è mantenuta a 24 °C mentre la temperatura esterna è 5 °C. Si supponga che i coefficienti di scambio termico convettivo della superficie interna e della superficie esterna della finestra siano h1 = 10 W/m2 °C e h2 = 25 W/m2 °C, rispettivamente, e si trascuri la trasmissione di calore per irraggiamento. [Soluzioni: (a) 471 W; (b) 4.4 °C] 11.5 Si consideri una casa che ha una base di 10 m 20 m e pareti alte 4 m. Tutte e quattro le pareti della casa hanno una resistenza termica specifica di 2.31 m2 · °C/W. Le due pareti di 10 m · 4 m sono prive di finestre. La terza parete ha cinque finestre fatte di vetro spesso 0.5 cm ( = 0.78 W/m °C), ciascuna delle quali misura 1.2 m · 1.8 m. La quarta parete ha le stesse dimensioni e lo stesso numero di finestre, ma queste sono a doppio vetro con uno spazio di aria stagnante spesso 1.5 cm ( = 0.026 W/m °C) racchiuso fra due lastre di vetro spesso 0.5 cm. Il termostato nella casa è regolato a 22 °C e la temperatura media dell'ambiente esterno in quella località è 5 °C durante la stagione di riscaldamento della durata di 7 mesi. Trascurando ogni scambio termico per irraggia-
11txtI.qxp_Layout 1 05/05/17 11:42 Pagina 260
260
La conduzione termica in regime stazionario
mento attraverso le finestre e supponendo che i coefficienti di scambio termico sulla superficie interna della casa e sulla sua superficie esterna siano 7 W/m2 °C e 15 W/m2 °C, rispettivamente, si determini la potenza termica media trasmessa attraverso ciascuna parete. [Soluzioni: (a) 270 W; (b) 270 W; (c) 5.3 kW; (d) 729 W] 11.6 Si deve trasmettere calore per conduzione lungo una scheda di circuito stampato che reca uno strato di rame su una faccia. La scheda è lunga 15 cm e larga 15 cm e lo spessore dello strato di rame e quello del supporto di resina epossidica sono 0.1 mm e 1.2 mm, rispettivamente. Trascurando la trasmissione di calore dalle superfici laterali, si determinino (a) le percentuali di conduzione termica lungo lo strato di rame ( = 386 W/m °C) e lungo lo strato di resina epossidica. Si determini anche (b) la conduttività termica effettiva della scheda. [Soluzioni: (a) 0.8%, 99.2%; (b) 29.9 W/m °C] 11.7 Un progetto di una casa unifamiliare dovrebbe rispettare i nuovi limiti di legge che fissano la trasmittanza massima ammissibile per componenti verticali opachi pari a 0.33 W/m2 K (zona termica F). Per la stratigrafia della parete vi sono alcuni vincoli da rispettare tra cui: • spessore massimo della parete 35 cm; • necessità di utilizzare un termoblocco da 24 cm di spessore e conduttività pari a 0.35 W/m K; • almeno 1 cm di intonaco interno di calce e gesso: conduttività 0.7 W/m K; • almeno 1 cm di intonaco esterno di malta: conduttività 0.9 W/m K. Si hanno a disposizione dei materiali isolanti con cui si può comporre un pannello per migliorare le prestazioni della parete. Tali materiali sono: • lana di vetro 0.040 W/m K: il costo del pannello al m2 si può calcolare considerando € 1.8 per ogni cm di spessore di questo materiale; • polistirene 0.045 W/m K: il costo del pannello al m2 si può calcolare considerando € 1 per ogni cm di spessore di questo materiale. a) Si determini qual è la configurazione del tamponamento esterno che risulta più conveniente pur rispettando i limiti di legge. b) In tale configurazione si determini il flusso di calore che viene disperso dalla parete al metro qua-
drato se la temperatura esterna di progetto risulta pari a 7 °C e quella interna a 20 °C. Si considerino i coefficienti liminari interno ed esterno pari rispettivamente a 8 e 24 W/m2 K. [Soluzioni: (a) 5.5 cm di lana e 3.5 cm di polistirene; (b) 8.9 W/m2] 11.82 Le pareti di un edificio sono costituite dai seguenti strati, dall’interno verso l’esterno: a) intonaco in calce: spessore 1.5 cm e conduttività termica 1.0 W/m K; b) mattoni forati: spessore 12 cm e conduttività termica 0.43 W/m K; c) intercapedine di 5 cm d’aria: resistenza specifica 0.18 m2 K/W; d) mattoni forati: spessore 12 cm e conduttività termica 0.43 W/m K; e) intonaco in gesso: spessore 1.5 cm e conduttività termica 0.7 W/m K. Si calcolino (a) la resistenza specifica della parete e (b) la riduzione percentuale di flusso termico per unità di area che si otterrebbe riempiendo l’intercapedine d’aria con un isolante avente conduttività 0.04 W/m K. [Soluzioni: (a) 0.4965 m2 K/W; (b) 23%] 11.9 Occorre mantenere una temperatura di 20 °C all’interno di un ambiente quando la temperatura esterna vale 0 °C. Le superfici che separano l’ambiente dall’esterno sono di due tipi: pareti in muratura di spessore 30 cm, superficie complessiva 40 m2 e conduttività termica 0.7 W/m K; superfici vetrate di spessore 6 mm, superficie complessiva 7 m2 e conducibilità termica 1.2 W/m K. Sapendo che i coefficienti liminari interno ed esterno sono rispettivamente 8 e 23 W/m2 K si determinino: a) il flusso termico disperso verso l’esterno; b) la temperatura della superficie interna delle pareti in muratura e delle superfici vetrate; c) la portata di acqua calda che è necessario inviare ai corpi scaldanti supponendo che si raffreddi di 10 °C attraversandoli. [Soluzioni: (a) 2147 W; (b) 15.8 °C; (c) 5.6 °C] 2
In alcuni esercizi la la resistenza termica è espressa come R = L/ ossia dal rapporto tra lo spessore dello strato e la conducibilità del materiale assumendo conseguentemente come unità di misura m2 K/W, definizione più comune nel campo dell’edilizia.
11txtI.qxp_Layout 1 05/05/17 11:42 Pagina 261
Capitolo 11
261
11.10 Una parete di tamponamento separa due ambienti. La stratigrafia della parete (dall’interno all’esterno) è la seguente.
• Strato 3 Mattoni pieni, spessore 12 cm, conduttività = 1 W/m K.
• Strato 1 Intonaco interno, spessore 2 cm, conduttività = 0.29 W/mK. • Strato 2 Mattoni pieni, spessore 35 cm, conduttività = 1 W/mK. • Strato 3 Intonaco esterno, spessore 2 cm, conduttività = 0.29W/mK.
I coefficienti liminari interno ed esterno (hint e hest) sono rispettivamente pari a 8.13 e 23.25 W/m2 K. Si determinino (a) il flusso di calore che attraversa la parete, (b) la temperatura superficiale interna della parete e (c) la resistenza termica della parete se nell’intercapedine viene insufflato del materiale isolante con un valore di = 0.05 W/m K. [Soluzioni: (a) 36.9 W/m2, (b) 20.46 °C, (c) 1856 m2 K/W]
I coefficienti liminari interno ed esterno (hint e hest) sono rispettivamente pari a 8.13 e 23.25 W/m2 K. Si determinino (a) la resistenza termica e (b) la trasmittanza complessiva della parete. [Soluzioni: (a) 0.654 m2 K/W, (b) 1.53 W/m2 K] 11.11 Una parete di tamponamento separa due ambienti che si trovano rispettivamente a 25 e a –5 °C. La stratigrafia della parete (dall’interno all’esterno) è la seguente. • Strato 1 Mattoni pieni, spessore 24 cm, conduttanza C = 2.70 W/m2 K. • Strato 2 Camera d’aria, spessore 6 cm, resistenza R = 0156 m2 K/W.
11.12 Una parete, che ha una trasmittanza pari a 1.3 W/m2 K, deve essere isolata termicamente fino a raggiungere un valore di trasmittanza finale pari a 0.30 W/m2 K. Si applica all’interno un pannello isolante costituito da materiale avente la conducibilità l pari a 0.038 W/m K. Si determinino (a) lo spessore L minimo necessario di isolantee (b) lo spessore di isolante che sarebbe richiesto se si utilizzasse un materiale con conducibilità pari a 0.024 W/m K (b). [Soluzioni: (a) 9.74 cm, (b) 6.15 cm]
11txtI.qxp_Layout 1 05/05/17 11:42 Pagina 262