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Capitolo 18 Le modalità di trasmissione del calore a termodinamica permette di determinare la quantità di calore scambiata da un sistema durante un processo che evolve da uno stato di equilibrio a un altro, ma non fornisce alcuna informazione sulla durata del processo stesso. Nei problemi pratici dell’ingegneria, però, spesso quello che interessa maggiormente è conoscere la rapidità con cui avviene lo scambio termico, che costituisce l’oggetto della scienza della trasmissione del calore. Questo capitolo descrive le tre modalità fondamentali che stanno alla base del fenomeno fisico della trasmissione del calore: la conduzione, la convezione e l’irraggiamento. La conduzione termica è il trasferimento di energia che si verifica per effetto dell’interazione delle particelle di una sostanza dotate di maggiore energia con quelle adiacenti dotate di minore energia. La convezione è il trasferimento di energia tra una superficie solida e il liquido o gas adiacente in movimento e implica gli effetti combinati di conduzione e trasporto di massa. L’irraggiamento è l’emissione di energia da parte di una sostanza sotto forma di onde elettromagnetiche (o fotoni) come risultato delle modificazioni nelle configurazioni elettroniche degli atomi o delle molecole. Il capitolo si chiude con l’analisi dei meccanismi combinati di trasferimento del calore.
L
OBIETTIVI Gli obiettivi di questo capitolo sono: • comprendere i meccanismi su cui si basa la trasmissione del calore e cioè la conduzione, la convezione e l’irraggiamento, oltre all’equazione di Fourier per la trasmissione del calore, la legge di Newton per il raffreddamento di un corpo e la legge di Stefan-Boltzmann per l’irraggiamento; • identificare le modalità di trasmissione del calore che nella realtà intervengono simultaneamente; • sviluppare la consapevolezza sui costi associati alle perdite di calore; • risolvere vari problemi di trasferimento del calore che si possono incontrare comunemente nella pratica.
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Le modalità di trasmissione del calore
18.1
Introduzione
Nel Capitolo 3 è stato definito il calore come la forma di energia che può essere trasferita da un sistema a un altro per effetto di una differenza di temperatura. La termodinamica si occupa della quantità di calore scambiato da un sistema nel passaggio da uno stato di equilibrio a un altro, mentre la scienza che analizza e permette di determinare la rapidità con cui questa energia viene scambiata è la trasmissione del calore. Lo scambio di energia sotto forma di calore avviene sempre dal corpo a temperatura superiore verso il corpo a temperatura inferiore e si interrompe quando i due corpi hanno raggiunto la stessa temperatura. Si è inoltre accennato al fatto che il calore si trasmette secondo tre modalità differenti: per conduzione, per convezione e per irraggiamento. Tutte le modalità di trasmissione del calore richiedono l’esistenza di una differenza di temperatura e si manifestano da una regione a temperatura superiore a un’altra a temperatura inferiore. Nei prossimi paragrafi verrà fornita una breve descrizione di ciascuno di questi meccanismi di trasmissione del calore, mentre per un’analisi dettagliata si rimanda ai successivi capitoli di questo testo.
18.2
T1 T2 Q A
A
Δx 0
x
FIGURA 18.1
Trasmissione di calore per conduzione attraverso un’ampia parete piana di spessore Dx e area A.
La conduzione
La conduzione termica è il trasferimento di energia che si verifica per effetto dell’interazione delle particelle di una sostanza dotate di maggiore energia con quelle adiacenti dotate di minore energia. La conduzione può avvenire nei solidi, nei liquidi o nei gas: nei gas e nei liquidi è dovuta alle collisioni tra le molecole e alla loro diffusione durante il loro moto casuale; nei solidi è dovuta alle vibrazioni delle molecole all’interno del reticolo e al trasporto di energia da parte degli elettroni liberi. Una bibita fredda, per esempio, alla fine si riscalda fino alla temperatura ambiente come risultato della trasmissione di calore per conduzione attraverso le pareti del contenitore. La potenza termica che si propaga per conduzione in un mezzo dipende dalla geometria e dalle caratteristiche del mezzo, così come dalla differenza di temperatura attraverso di esso: per esempio, rivestendo un serbatoio di acqua bollente con lana di vetro (materiale isolante) si riduce l’entità della perdita di calore dal serbatoio tanto più quanto maggiore è lo spessore dell’isolante. Si osservi, inoltre, che un serbatoio di acqua bollente perderà calore tanto più rapidamente quanto più bassa è la temperatura dell’ambiente circostante e quanto più grande è l’area della sua superficie. Si consideri la conduzione termica stazionaria, vale a dire in un regime nel quale le grandezze caratteristiche del fenomeno non variano nel tempo, attraverso una grande parete piana di spessore Dx = L e area della superficie A, soggetta alla differenza di temperatura tra le due facce che la delimitano DT = T2 T1, come mostrato nella Figura 18.1. Dall’esperienza è noto che la potenza termica attraverso la parete raddoppia quando la differenza di temperatura DT o quando l’area A della superficie normale alla direzione del trasferimento di calore raddoppia, mentre si dimezza quando lo spessore L della parete viene raddoppiato. Si può pertanto affermare che la potenza termica trasmessa
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Capitolo 18
per conduzione attraverso uno strato di spessore Dx è proporzionale alla differenza di temperatura DT attraverso lo strato e all’area A della superficie normale alla direzione della trasmissione di calore ed è inversamente proporzionale allo spessore dello strato: potenza termica trasmessa per conduzione
∝
30 °C 20 °C Q = 4010 W/m2
(area della superficie)(diff. di temperatura)
1m
spessore (a) Rame (λ = 401 W/(m ⋅ °K))
T − T2 ∆T Q& cond = λ A 1 = −λ A ∆x ∆x
(W)
(18.1)
30 °C 20 °C
dove la costante di proporzionalità è la conduttività termica del materiale, che misura la capacità del materiale di condurre calore (Figura 18.2). Nel caso limite di Dx 0, la precedente equazione si riduce all’espressione differenziale:
Q = 1480 W/m2 1m
(b) Silicio (λ = 148 W/(m ⋅ °K))
dT Q& cond = −λ A dx
( W)
(18.2)
nota come postulato di Fourier per la conduzione dal nome di Joseph Fourier, che la formulò per la prima volta nel 1822 nel suo testo sulla trasmissione del calore. Si noti che nell’Equazione 18.2 dT/dx è il gradiente di temperatura, vale a dire la pendenza della curva di temperatura su un diagramma T-x (l’entità della variazione di T con x), in corrispondenza di un’ascissa x. Si noti quindi che la potenza termica per conduzione è proporzionale al gradiente di temperatura. Poiché il calore si trasmette spontaneamente nel verso delle temperature decrescenti e il gradiente di temperatura diventa negativo quando la temperatura diminuisce all’aumentare di x, nell’Equazione 18.2 il segno negativo garantisce che la potenza termica concorde con l’asse delle x sia positiva. L’area A della superficie di scambio termico è sempre valutata normalmente rispetto alla direzione secondo cui avviene la trasmissione del calore: per esempio, se si considera la dispersione termica attraverso una parete lunga 5 m, alta 3 m e dello spessore pari a 0,25 m, l’area della superficie di scambio termico è A = 15 m2. Si noti che lo spessore della parete non ha alcuna influenza su A come mostrato nella Figura 18.3.
FIGURA 18.2
La potenza termica trasmessa per conduzione attraverso un solido è direttamente proporzionale alla sua conduttività termica.
H A=W×H
Q
W L
FIGURA 18.3
Nello studio della trasmissione di calore per conduzione, A rappresenta la superficie normale alla direzione di propagazione del calore.
tetto di calcestruzzo
ESEMPIO 18.1
La stima del costo della dispersione di calore attraverso il tetto di una casa
Il tetto di una casa riscaldata elettricamente è lungo 6 m e largo 8 m, ha uno spessore di 0,25 m ed è costituito da uno strato piano di calcestruzzo avente conduttività termica = 0,8 W/(m K) (Figura 18.4). Le temperature delle superfici interna ed esterna del tetto durante una particolare notte sono rispettivamente 15 °C e 4 °C, e si possono considerare ragionevolmente costanti nel periodo notturno di 10 ore. Si determini (a) la quantità di calore disperso attraverso il tetto durante la notte considerata e (b) il costo di questa dispersione di calore per il proprietario della casa, sapendo che il prezzo dell’elettricità fornita è di 0,08 €/kWh.
6m
0,25 m
8m 4 °C 15 °C
FIGURA 18.4
Schema per l’Esempio 18.1.
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Le modalità di trasmissione del calore
SOLUZIONE Innanzitutto si noti che le superfici interna ed esterna del tetto piano di calcestruzzo della casa riscaldata elettricamente si mantengono a temperatura costante durante tutta la notte considerata e che è necessario determinare la dispersione di calore attraverso il tetto e il relativo costo in questo intervallo di tempo. Ipotesi
1.
2.
Si suppone che durante l’intera notte lo scambio termico avvenga in condizioni stazionarie poiché le temperature delle superfici interna ed esterna del tetto restano costanti. Le proprietà termiche del tetto possono essere considerate costanti.
Proprietà La
conduttività termica del tetto è data e pari a = 0,8 W/(m K). Analisi
(a) Si noti che la dispersione di calore attraverso il tetto avviene per conduzione e che l’area di scambio termico è A = 6 m 8 m = 48 m2, per cui il flusso di calore in condizioni stazionarie attraverso il tetto risulta: (15 − 4 ) °C T − T2 Q& = λ A 1 = (0, 8 W (m ⋅ K ))(48 m 2 ) = 1690 W = 1, 69 kW L 0, 25 m
(b) La quantità di calore dispersa attraverso il tetto nel periodo considerato di 10 ore e il relativo costo sono: Q& = Q& ∆t = (1, 69 kW )(10 h) = 16, 9 kWh Costo = (quantità di calore)(costo unitario dell'energia ) = 1, 35 = 16, 9 kWh × 0,08 € kWh = 1, 35 €
Considerazioni Per il proprietario della casa il costo della dispersione di
calore attraverso il tetto nella notte considerata è di € 1,35, ma la bolletta totale sarà senz’altro molto più elevata poiché nel calcolo non sono state prese in considerazione le perdite di calore attraverso i muri.
18.2.1
La conduttività termica
Materiali differenti immagazzinano il calore in quantità diversa, per cui è stata definita una proprietà quale il calore specifico cp che misura la capacità del materiale di immagazzinare calore. Per esempio, cp = 4,18 kJ/(kg K) per l’acqua e cp = 0,45 kJ/(kg K) per il ferro a temperatura ambiente. Questi valori indicano che l’acqua per unità di massa può immagazzinare circa 10 volte il calore che potrebbe immagazzinare il ferro. Allo stesso modo la conduttività termica è una misura della capacità di un materiale di condurre calore: per esempio, poiché a temperatura ambiente = 0,613 W/(m K) per l’acqua e = 80,2 W/(m K) per il
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Capitolo 18
TABELLA 18.1 La conduttività termica di alcuni materiali a temperatura ambiente
, W/(m K)
Materiale Diamante Argento Rame Oro Alluminio Ferro Mercurio (liquido) Vetro Mattone pieno Acqua (liquida) Pelle umana Legno (quercia) Elio (gas) Gomma soffice Fibra di vetro Aria (gas) Schiuma uretanica rigida
2300 429 401 317 237 80,2 8,52 1,40 0,72 0,608 0,37 0,17 0,150 0,13 0,046 0,026 0,026
resistenza elettrica isolante T1
campione del materiale λ T2
isolante
ferro, quest’ultimo conduce calore all’incirca 100 volte più dell’acqua. Per questo motivo si dice che l’acqua è un cattivo conduttore di calore rispetto al ferro, pur essendo un mezzo eccellente per accumulare calore. L’Equazione 18.1 per calcolare la potenza termica che si trasmette per conduzione in condizioni stazionarie può servire anche per definire la conduttività termica. Si può pertanto definire la conduttività termica di un materiale come la potenza termica per unità di superficie che si trasmette attraverso uno spessore unitario del materiale sottoposto ad una differenza di temperatura unitaria. Segue dalla definizione che l’unità di misura della conduttività termica nel SI è W/(m K). Poiché tuttavia una differenza di temperatura assume lo stesso valore se espressa in K oppure in °C, si potrà talvolta trovare utilizzata anche l’unità di misura W/(m K). Un valore elevato di conduttività termica indica che il materiale è un buon conduttore di calore, mentre un basso valore indica che il materiale è un cattivo conduttore di calore ovvero è un isolante. Le conduttività termiche di alcuni materiali di comune impiego sono riportate nella Tabella 18.1: per esempio, la conduttività termica del rame puro a temperatura ambiente è = 401 W/(m K), il che sta a indicare che uno strato di rame dello spessore di 1 m soggetto ad una differenza di temperatura di 1 grado è in grado di trasmettere per conduzione 401 W per m2 di superficie. Si noti che materiali come il rame e l’argento, che sono buoni conduttori elettrici, sono anche buoni conduttori termici e hanno quindi valori elevati di conduttività termica, mentre materiali come la gomma, il legno e il polistirolo sono cattivi conduttori elettrici e hanno anche bassi valori di conduttività termica. L’Equazione 18.1 può essere anche usata per valutare la conduttività termica di un materiale. Uno strato di materiale di spessore e area noti può essere riscaldato da una parte da una resistenza elettrica di potenza nota. Se la superficie esterna del riscaldatore è ben isolata termicamente, tutto il calore generato dal riscaldatore a resistenza si trasmetterà attraverso il materiale di cui si vuole determinare la conduttività. Misurando le due temperature superficiali del materiale quando si raggiungono condizioni stazionarie e sostituendole nell’Equazione 18.1 insieme ad altre quantità note si otterrà la conduttività termica (Figura 18.5). La conduttività termica dei materiali varia in un campo vasto, come mostrato nella Figura 18.6: per esempio, la conduttività termica dei metalli puri come il rame è 104 volte maggiore di quella dei gas come l’aria. Si noti che i metalli hanno le conduttività termiche più elevate e i gas e i materiali isolanti le più basse. La temperatura è una misura dell’energia cinetica delle particelle, quali molecole o atomi di una sostanza. In un liquido o un gas, l’energia cinetica delle molecole è dovuta al moto traslazionale casuale delle molecole, nonché ai moti vibrazionali e rotazionali. Quando due molecole che possiedono energie cinetiche differenti collidono, una parte dell’energia cinetica della molecola più energetica (a temperatura più elevata) si trasferisce alla molecola meno energetica (a temperatura inferiore), pressappoco allo stesso modo in cui, quando due palle elastiche della stessa massa a velocità differenti collidono, una parte dell’energia cinetica della palla più veloce si trasferisce a quella più lenta. Maggiore è la temperatura,
563
Q = Lel A L
Lel isolante λ=
L Q A(T1 − T2)
FIGURA 18.5
Una semplice apparecchiatura sperimentale per misurare la conduttività termica di un materiale.
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Le modalità di trasmissione del calore
FIGURA 18.6
Campo di variazione della conduttività termica di alcuni materiali a temperatura ambiente.
CRISTALLI NON METALLICI diamante grafite METALLI PURI carburo di silicio argento
1000 λ W/(m ⋅ K)
LEGHE METALLICHE rame lega di SOLIDI NON alluminio ferro METALLICI
100
ossidi 10
bronzo acciaio nicromo
ossido di berillio
manganese quarzo
LIQUIDI mercurio roccia acqua
1
ISOLANTI
cibo
fibre
0,1
GAS idrogeno elio
gomma legno
oli
schiume aria biossido di carbonio 0,01
più velocemente le molecole si muovono, più elevato è il numero di tali collisioni e migliore è la trasmissione di calore. La teoria cinetica dei gas prevede e gli esperimenti confermano che la conduttività termica dei gas è proporzionale alla radice della temperatura assoluta T ed è inversamente proporzionale alla radice quadrata della massa molare M. Pertanto, la conduttività termica di un gas aumenta all’aumentare della temperatura e al diminuire della massa molare: per esempio, la conduttività termica dell’elio (M = 4 g/mole) è molto più elevata di quelle di aria (M = 29 g/mole) e argon (M = 40 g/mole). I valori di conduttività termica dei gas alla pressione di 101 325 Pa sono riportati nella Tabella A.26. Essi, comunque, possono essere usati anche a pressioni diverse da 101 325 Pa, dal momento che la conduttività termica dei gas per un’ampia gamma di valori di pressione che si incontrano nella pratica può essere ritenuta indipendente dalla pressione. Il meccanismo della conduzione di calore in un liquido è complicato dal fatto che le molecole, essendo generalmente più vicine tra loro, sono soggette ad un campo di forze intermolecolari più intenso. Le conduttività termiche dei liquidi hanno in generale valori compresi tra quelle dei solidi e quelle dei gas. La conduttività termica di una sostanza è normalmente più elevata nella fase solida e più bassa nella fase gassosa. A differenza dei gas, le conduttività termiche della maggior parte dei liquidi diminuiscono al crescere della temperatura, tranne che per l’acqua che costituisce un’importante eccezione. Analogamente ai gas, la conduttività dei liquidi diminuisce all’aumentare della massa molare. Metalli liquidi come mercurio e sodio hanno conduttività termiche elevate e il loro impiego risulta molto conveniente in quelle applicazioni dove si vuole trasferire una elevata potenza termica a un liquido, come negli impianti di potenza nucleari. La conduzione nei solidi è dovuta a
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Capitolo 18
due effetti: il moto di vibrazione delle molecole che oscillano attorno alla propria posizione di equilibrio nel reticolo (componente di reticolo) ed il moto degli elettroni liberi (componente elettronica), come mostrato nella Figura 18.7. La componente di reticolo della conduttività termica dipende fortemente dalla disposizione delle molecole nel reticolo: per esempio, il diamante, solido cristallino altamente ordinato, ha la più elevata conduttività termica, a temperatura ambiente. Le conduttività termiche relativamente elevate dei solidi metallici puri si devono alla componente elettronica. Diversamente dai metalli, buoni conduttori di elettricità e di calore, i solidi cristallini quali il diamante e i semiconduttori come il silicio sono buoni conduttori di calore ma cattivi conduttori elettrici e per questo trovano largo impiego nell’industria elettronica: per l’eccellente conduttività termica del diamante, nonostante il prezzo elevato, i dissipatori di diamante vengono usati nel raffreddamento di componenti elettronici particolarmente delicati; oli e guarnizioni di silicio si usano comunemente nell’assemblaggio di componenti elettronici, perché assicurano buona conduzione di calore e buon isolamento elettrico. Poiché i metalli puri hanno elevate conduttività termiche, ci si aspetterebbe che anche le leghe metalliche abbiano conduttività elevate e comprese tra le conduttività dei metalli costituenti. Al contrario esaminando i valori riportati nella Tabella 18.2, si può osservare che la conduttività termica di una lega di due metalli è solitamente molto più bassa di quella di ciascun metallo, poiché in un metallo puro anche piccole quantità di molecole “estranee”, anche se di materiali buoni conduttori, perturbano gravemente il flusso di calore: per esempio, la conduttività termica dell’acciaio contenente appena l’1% di cromo è 62 W/(m K), mentre le conduttività termiche di ferro e cromo sono, rispettivamente, 83 e 95 W/(m K). Le conduttività termiche dei materiali variano con la temperatura come riportato nella Tabella 18.3; tale variazione in determinati intervalli di temperatura è trascurabile per alcuni materiali, ma significativa per altri, come mostrato nella Figura 18.8. Le conduttività termiche di alcuni solidi mostrano un notevole incremento a temperature prossime allo zero assoluto, dove questi solidi diventano superconduttori: per esempio, la conduttività del rame raggiunge un valore massimo di 20 000 W/(m K) a 20 K, corrispondente a circa 50 volte la conduttività a temperatura ambiente. Le conduttività termiche di vari materiali sono riportate nelle Tabelle da A.18 fino ad A.23. Poiché la dipendenza dalla temperatura della conduttività termica complica in modo considerevole l’analisi della conduzione, in pratica si adopera un valore di conduttività termica costante, corrispondente ad una temperatura media. Nello studio della trasmissione del calore normalmente si assume il materiale come isotropo, cioè con proprietà uniformi in tutte le direzioni. Tale assunzione è realistica per la maggior parte dei materiali tranne che per quelli che dimostrano caratteristiche strutturali diverse nelle diverse direzioni, come i materiali compositi laminati e il legno: per esempio, la conduttività termica del legno perpendicolarmente a una venatura è diversa rispetto a quella parallela alla venatura.
GAS *collisioni molecolari *diffusione molecolare
LIQUIDO *collisioni molecolari *diffusione molecolare
elettroni
SOLIDO *vibrazioni del reticolo *flusso libero di elettroni
FIGURA 18.7
Modalità di trasmissione del calore in fasi differenti di una sostanza.
TABELLA 18.2 La conduttività termica di una lega è in generale minore delle conduttività termiche di entrambi i materiali che la compongono
, W/m C a 300 K
Metallo puro o lega Rame Nickel Costantana (55% Cu, 45% Ni) Rame Alluminio Bronzo commerciale (90% Cu, 10% Al)
401 91 23 401 237 52
TABELLA 18.3 La conduttività termica dei materiali in funzione della temperatura
, W/(m K) T, K
Rame
Alluminio
100 200 300 400 600 800
482 413 401 393 379 366
302 237 237 240 231 218
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Le modalità di trasmissione del calore
FIGURA 18.8
10 000
La variazione della conduttività termica di alcuni solidi, liquidi e gas con la temperatura.
λ W/(m ⋅ K) 1000
100
solidi liquidi gas
diamanti tipo IIa tipo IIb tipo I
argento alluminio
tungsteno
rame
oro
platino ferro 10
ossido di alluminio vetro piroceramico quarzo fuso limpido
1
acqua
0,1
elio
tetracloruro di carbonio
aria
vapore
argon 0,01 200
400
600
800
1000
1200
1400
T, K
18.2.2
TABELLA 18.4 La diffusività termica di alcuni materiali a temperatura ambiente Materiale Argento Oro Rame Alluminio Ferro Mercurio (liquido) Marmo Ghiaccio Calcestruzzo Mattone pieno Terreno pesante (secco) Vetro Lana di vetro Acqua (liquido) Carne di manzo Legno (quercia)
a, m2/s 174 106 127 106 113 106 97,5 106 22,8 106 4,7 106 1,2 106 1,2 106 0,75 106 0,52 106 0,52 106 0,34 0,23 0,14 0,14 0,13
106 106 106 106 106
La diffusività termica
Il prodotto cp, che si incontra di frequente nello studio della trasmissione di calore, è chiamato capacità termica di un materiale e, come il calore specifico cp, esprime la capacità di accumulo termico di un materiale: cp J/(kg K) la esprime per unità di massa, cp J/(m3 C) la esprime per unità di volume. Un’altra proprietà di un materiale che interviene nello studio della conduzione termica in regime variabile è la diffusività termica, definita dalla relazione: α=
λ ρc
(m 2 s)
(18.3)
dove è la densità, è la conduttività termica e cp è il calore specifico del materiale. Un materiale con una elevata conduttività termica oppure con una bassa capacità termica ovviamente avrà una grande diffusività termica. Un alto valore di diffusività termica indica una veloce propagazione del calore mentre un valore basso di diffusività termica indica che il calore è prevalentemente accumulato nel materiale. I valori di diffusività termica di alcuni materiali comuni a 20 °C sono riportati nella Tabella 18.4. Si noti che la diffusività termica varia da a = 0,14 106 m2/s per l’acqua a un valore circa 1000 volte maggiore per l’argento a = 174 106 m2/s. Si noti pure che le diffusività termiche della carne di manzo e dell’acqua sono uguali, il che non sorprende dal momento che la carne così come la verdura e la frutta fresca sono costituite soprattutto da acqua.
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Capitolo 18
ESEMPIO 18.2
fluido di raffreddamento
La misura della conduttività termica di un materiale
campione termocoppia
isolante
Un modo comune di misurare la conduttività termica di un materiale è quello di inserire un riscaldatore elettrico a termolamina tra due campioni identici del materiale, come mostrato nella Figura 18.9. Lo spessore del riscaldatore a resistenza, compresa la sua copertura, fatta di una sottile gomma siliconica, è di solito inferiore a 0,5 mm. Un fluido circolante tipo acqua di rubinetto mantiene le estremità esposte dei campioni a temperatura costante. Le superfici laterali dei campioni sono ben isolate per assicurare che la trasmissione di calore attraverso i campioni sia monodimensionale. Due termocoppie sono inserite in ogni campione a una certa distanza L una dall’altra. Un termometro differenziale fornisce la caduta di temperatura DT lungo questa distanza per ogni campione. Quando si raggiungono condizioni stazionarie, la potenza termica trasmessa complessivamente attraverso entrambi i campioni uguaglia la potenza elettrica emessa dal riscaldatore, che si determina moltiplicando la corrente elettrica per la tensione. In un certo esperimento, vengono usati campioni cilindrici di 5 cm di diametro e 10 cm di lunghezza. Le due termocoppie in ogni campione sono posizionate a 3 cm di distanza. Dopo un periodo transitorio iniziale, il riscaldatore elettrico assorbe 0,4 A a 110 V ed entrambi i termometri differenziali forniscono una differenza di temperatura di 15 °C. Si determini la conduttività termica del campione. SOLUZIONE La conduttività termica di un materiale può essere determinata assicurando che la conduzione del calore sia monodimensionale e misurando le temperature solo una volta che si siano raggiunte le condizioni di flusso termico stazionario. Ipotesi
1. 2.
3.
Le condizioni stazionarie sono verificate poiché le temperature non cambiano nel tempo. Le perdite di calore attraverso le superfici laterali dell’apparecchiatura si possono considerare trascurabili dal momento che queste sono ben isolate termicamente, perciò tutto il calore generato dalla resistenza viene trasmesso per conduzione attraverso il campione. L’apparecchiatura è caratterizzata da simmetria termica.
Analisi La potenza elettrica assorbita dal riscaldatore a resistenza, con-
vertita in calore, è: L& el = VI = (110 V )(0, 4 A) = 44 W
Inoltre, per motivi di simmetria solo metà del calore generato fluirà attraverso ciascun campione e quindi la potenza termica attraverso ciascun campione è: 1 1 Q& = L& el = ×(44 W ) = 22 W 2 2
Leggendo la stessa differenza di temperatura alla stessa distanza in ciascun campione si ha una conferma che il dispositivo sperimentale possiede sim-
L ΔT1 a
riscaldatore a resistenza campione
a L ΔT1
fluido di raffreddamento
FIGURA 18.9
Un dispositivo sperimentale per misurare la conduttività termica di un materiale usando due campioni identici e un sottile riscaldatore a resistenza elettrica. (Esempio 18.2).
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Le modalità di trasmissione del calore
metria termica. La superficie di scambio termico è la superficie normale alla direzione del flusso termico, che costituisce in questo caso la sezione trasversale del cilindro: A=
1 1 2 π D 2 = π (0, 05 m) = 0, 001963 m 2 4 4
Osservando che la temperatura diminuisce di 15 °C in 3 cm nella direzione del flusso termico, la conduttività termica del campione si determina essere: ∆T Q& L (22 W )(0, 03 m) = = 22, 4 W (m ⋅ K ) Q& = λA →λ= L A∆T (0, 001963 m3 )(15 °C)
Si noti la funzione del secondo campione nella configurazione di misura qui presentata: la presenza di un secondo campione dello stesso materiale del primo consente di stabilire una simmetria termica e quindi di ridurre gli errori sperimentali che si avrebbero se, al posto del secondo campione, si utilizzasse uno strato isolante.
18.3
La convezione
La convezione è la modalità di trasferimento di energia termica tra una superficie solida e il liquido o gas adiacente in movimento e implica gli effetti combinati di conduzione e trasporto di massa. Si noti: che il calore trasmesso per convezione aumenta con la velocità del fluido; che, in assenza di trasporto di massa, la trasmissione di calore tra una superficie solida e il fluido adiacente avviene soltanto per conduzione; che la presenza di trasporto di massa aumenta la quantità di calore trasmesso tra la superficie solida e il fluido. La convezione è chiamata convezione forzata se il fluido è forzato a scorrere sulla superficie da forzanti esterne come un ventilatore, una pompa, o il vento. Al contrario, si parla di convezione naturale (o libera) se il movimento del fluido è causato da forze di galleggiamento indotte da differenze di densità legate alle variazioni di temperatura nel fluido. La convezione può anche riguardare un fluido in cambiamento di fase: infatti durante l’ebollizione si verifica l’ascesa delle bolle di vapore, mentre durante la condensazione si ha la caduta delle gocce di liquido. Nonostante la complessità del fenomeno fisico, la potenza termica trasmessa per convezione è direttamente proporzionale alla differenza di temperatura come evidenziato dalla legge di Newton: Q& conv = hAs (Ts − T∞ ) ( W )
(18.4)
dove h è il coefficiente di trasmissione del calore per convezione in W/(m2 K), As è l’area della superficie attraverso cui la trasmissione di calore per convezione ha luogo, Ts è la temperatura della superficie e
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Capitolo 18
T è la temperatura del fluido a distanza sufficientemente grande dalla superficie (si osservi che all’interfaccia le temperature del fluido e della superficie del solido sono eguali). Il coefficiente di trasmissione del calore per convezione h non è una proprietà del fluido, ma è un parametro determinato sperimentalmente, il cui valore dipende da tutte le variabili che influenzano la convezione, quali la geometria della superficie, la natura del moto, le proprietà e la velocità del fluido. Valori tipici di h sono riportati nella Tabella 18.5. Alcuni autori non ritengono la convezione un meccanismo fondamentale di trasmissione del calore in quanto si tratta essenzialmente di conduzione in presenza di un fluido in moto. In ogni caso occorre dare un nome a questo fenomeno combinato di scambio termico, altrimenti sarebbe necessario ogni volta riferirsi ad esso come “conduzione con fluido in movimento”. Risulta perciò più pratico riconoscere la convezione come un meccanismo di trasmissione del calore separato dalla conduzione, ferma restando la validità delle argomentazioni contrarie.
TABELLA 18.5 Tipici valori del coefficiente di scambio termico convettivo Tipo di convezione
h, W/(m2 K)
Convezione naturale dei gas Convezione naturale dei liquidi Convezione forzata dei gas Convezione forzata dei liquidi Ebollizione e condensazione
2-25 10-1000
25-250 50-20 000
2500100 000
T∞ = 15 °C
ESEMPIO 18.3 La misura del coefficiente di scambio termico convettivo Un conduttore elettrico lungo 2 m e avente diametro di 0,3 cm si trova all’interno di un ambiente a 15 °C, come mostrato nella Figura 18.10. Il calore è generato dalla resistenza del conduttore e la temperatura della sua superficie viene misurata pari a 152 °C in condizioni stazionarie, mentre la caduta di tensione e la corrente valgono rispettivamente 60 V e 1,5 A. Trascurando lo scambio termico per irraggiamento, si determini il valore del coefficiente di trasmissione del calore per convezione tra la superficie esterna del conduttore e l’aria presente nell’ambiente. SOLUZIONE Il coefficiente di trasmissione del calore per convezione tra un conduttore alimentato elettricamente e l’aria può essere determinato misurando le temperature quando si siano raggiunte condizioni stazionarie e la potenza elettrica sia stata dissipata. Ipotesi
1. 2.
Si assumono condizioni stazionarie e cioè che i valori delle temperature nelle diverse misurazioni non cambino nel tempo. Lo scambio di calore per irraggiamento è trascurabile.
Analisi Una volta raggiunte le condizioni stazionarie di temperatura, la
potenza termica dissipata dal conduttore è uguale alla potenza termica generata all’interno del conduttore per effetto della resistenza, per cui si ha: Q& = E& generato = VI = (60 V )(1, 5 A) = 90 W
152 °C 1,5 A 60 V
FIGURA 18.10
Schema per l’Esempio 18.3.
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Le modalità di trasmissione del calore
La superficie di scambio termico del conduttore è: As = π DL = π (0, 003 m)(2 m) = 0, 01885 m2
La legge di Newton applicata allo scambio termico convettivo è espressa da: Q& conv = hAs (Ts − T∞ )
Trascurando lo scambio termico per irraggiamento e assumendo perciò che la trasmissione di calore avvenga totalmente per convezione, è possibile determinare il coefficiente di trasmissione del calore per convezione: h=
Q& conv 90 W = 34, 9 W (m 2 ⋅ K ) = As (Ts − T∞ ) (0, 01885 m 2 )(152 − 15)°C
Considerazioni Si noti che il semplice dispositivo sperimentale appena
descritto può effettivamente essere impiegato per misurare il coefficiente di trasmissione del calore per convezione medio per varie superfici a contatto con aria. Si tenga anche presente che è possibile eliminare lo scambio termico per irraggiamento facendo in modo che le superfici dell’ambiente circostante siano alla stessa temperatura del conduttore.
18.4
Qemis, max = σ4s Ts = 400 K
= 1452 W/m2
corpo nero (ε = 1)
FIGURA 18.11
La radiazione del corpo nero rappresenta la massima quantità di radiazione che può essere emessa da una superficie a una certa temperatura.
Irraggiamento
L’irraggiamento è l’energia emessa da una sostanza sotto forma di onde elettromagnetiche (o fotoni) come risultato delle modificazioni nelle configurazioni elettroniche degli atomi o delle molecole. La trasmissione di calore per irraggiamento non richiede la presenza di un mezzo interposto diversamente dalla conduzione e dalla convezione, avviene alla velocità della luce e non subisce attenuazioni nel vuoto. Questo è esattamente il modo in cui l’energia del sole raggiunge la terra. Negli studi sulla trasmissione del calore per irraggiamento interessa la radiazione termica, vale a dire la radiazione emessa dai corpi a causa della propria temperatura. La radiazione termica si colloca in una regione dello spettro elettromagnetico che non comprende i raggi X, i raggi gamma, le microonde, le onde radio, che infatti non sono connesse alla temperatura del corpo. Tutti i corpi a temperatura al di sopra dello zero assoluto emettono una radiazione termica, la cui massima entità, riferita alla superficie di area unitaria, alla temperatura assoluta Ts è data dalla legge di Stefan-Boltzmann: Q emis, max = sAsT4s
(18.5)
dove s = 5,67 108 W/(m2 K4) è la costante di Stefan-Boltzmann. La superficie ideale che emette per irraggiamento tale potenza massima è detta corpo nero (Figura 18.11). La radiazione emessa da qualsiasi su-
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Capitolo 18
perficie reale è minore di quella emessa dal corpo nero a parità di temperatura e può essere calcolata come: (18.6) Q emis = esAsT4s dove e è l’emissività della superficie, il cui valore, compreso nell’intervallo 0-1, è una misura di quanto il comportamento di una superficie si avvicin1 a quello del corpo nero, per cui e = 1. Un’altra proprietà radiativa importante di una superficie è il suo coefficiente di assorbimento a, cioé la frazione di energia raggiante incidente sulla superficie che viene da essa asssorbita. Come l’emissività, anche il coefficiente di assorbimento assume valori compresi fra 0 e 1. Per un corpo nero, che rappresenta l’assorbitore perfetto, si ha a = 1. La differenza tra la potenza termica raggiante emessa e quella assorbita da una superficie è la potenza termica netta trasmessa per irraggiamento. Se la potenza termica raggiante assorbita è maggiore di quella emessa, si dice che la superficie guadagna energia per irraggiamento; in caso contrario, si dice che la superficie perde energia per irraggiamento. In generale, la determinazione della potenza termica netta scambiata per irraggiamento tra due superfici è materia complicata, poiché dipende dalle proprietà delle superfici, dal loro orientamento relativo e dalle caratteristiche del mezzo tra le due superfici che irraggiano. Nel caso di due superfici, separate da un gas (quale l’aria) che non interferisce con la radiazione, di cui una di emissività e e area As, a temperatura assoluta Ts, completamente contenuta nell’altra di area molto più grande (o nera), a temperatura assoluta Tamb, la potenza termica netta scambiata per irraggiamento è data dalla relazione (Figura 18.12): 4 Q& irr = εσ As (Ts4 − Tamb ) ( W)
(18.7)
La trasmissione di calore per irraggiamento verso o da una superficie circondata da un gas come aria avviene in parallelo alla conduzione (o convezione se vi è trasporto di massa) tra la superficie e il gas. La potenza termica complessiva trasmessa, quindi, si determina sommando i contributi di entrambe le modalità di scambio termico. Per semplicità spesso ciò si può ottenere definendo un coefficiente di trasmissione del calore combinato hcomb che include gli effetti della convezione e dell’irraggiamento. Così facendo la potenza termica totale trasmessa Qtot da o verso una superficie As per convezione e per irraggiamento è data dalla relazione: Q& tot = hcomb As (Ts − T∞ ) ( W )
(18.8)
Si noti che il coefficiente di trasmissione del calore combinato hcomb è essenzialmente il coefficiente di trasmissione del calore per convezione modificato per tenere conto degli effetti della radiazione. L’irraggiamento, di solito, è significativo rispetto alla conduzione e alla convezione naturale. Talvolta può risultare trascurabile rispetto alla convezione forzata, in particolare quando le superfici in gioco hanno emissività basse e temperature medio-basse.
superfici circostanti a Tamb
ARIA Qemis Qinc
ε, As ,Ts Qirr = εσA(T4s − T4amb)
FIGURA 18.12
La trasmissione del calore per irraggiamento tra una superficie e quelle circostanti.
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Le modalità di trasmissione del calore
ambiente Tamb
30 °C 1,4 m2
ESEMPIO 18.4
L’effetto dell’irraggiamento sul comfort termico
Il termostato degli impianti di riscaldamento e raffrescamento controlla la temperatura dell’aria degli ambienti interni. Tuttavia il nostro corpo è soggetto, oltre che allo scambio termico convettivo con l’aria, anche allo scambio radiativo con le superfici dell’ambiente circostante e cioè le pareti, il soffitto ed il pavimento. Si voglia valutare nelle condizioni invernali ed in quelle estive l’entità dello scambio radiativo per una persona in piedi in un ambiente (Figura 18.13). Si assuma che l’area della superficie esposta del corpo sia 1,4 m2. Nelle condizioni invernali si consideri:
Qirr
FIGURA 18.13
Schema per l’Esempio 18.4.
• •
la temperatura media delle superfici dell’ambiente pari a 18 °C; la temperatura media della superficie corporea, tenuto conto dell’abbigliamento, pari a 30 °C;
mentre nelle condizioni estive si consideri: • •
la temperatura media delle superfici dell’ambiente pari a 28 °C; la temperatura media della superficie corporea, tenuto conto di un abbigliamento più leggero, pari a 33 °C.
SOLUZIONE La quantità di calore scambiata per irraggiamento tra la persona e l’ambiente circostante va calcolata sia nel caso invernale sia nel caso estivo. Ipotesi TABELLA 18.6 Emissività di alcuni materiali a 300 K
Materiale
Emissività a 300 K
1. 2. 3. 4.
Foglio d’alluminio Alluminio anodizzato Rame lucido Oro lucido Argento lucido Acciaio inossidabile lucido Pittura nera Pittura bianca Carta bianca Pavimentazione in asfalto Mattone rosso Pelle umana Legno Terreno Acqua Vegetazione
0,07 0,82 0,03 0,03 0,02 0,17
Il processo avviene in condizioni stazionarie. La trasmissione di calore per convezione non è considerata nel calcolo. La persona è completamente circondata dalle superfici interne della stanza. Le superfici circostanti si trovano a una temperatura uniforme.
Proprietà L’emissività di una persona è pari a e = 0,95 (Tabella 18.6). Analisi La potenza termica trasmessa per radiazione dal corpo verso pareti,
pavimento e soffitto circostanti in estate e inverno sono rispettivamente: 4 Q& irr,inverno = Apε pσ (Tp4 − Ts,inv )=
= 1, 4 m 2 ⋅ 0, 95 ⋅5,67 ⋅10−8 0,98 0,90 0,92-0,97 0,85-0,93 0,93-0,96 0,95 0,82-0,92 0,93-0,96 0,96 0,92-0,96
W 4 4 ⋅ (30 + 273,15) −(18 + 273,15) K 4 = m2 ⋅ K 4
= 95, 0W 4 Q& irr,estate = Apε pσ (Tp4 − Ts,est )=
= 1, 4 m 2 ⋅ 0, 95 ⋅5,67 ⋅10−8
W ⋅ (33 + 273,15)4 −(28 + 273,15)4 K 4 = m2 ⋅ K 4
= 42, 2W
Considerazioni Si noti che nella formula del flusso termico per irraggiamen-
to è necessario utilizzare la temperatura termodinamica, ovvero quella assoluta. Si noti inoltre che la potenza termica trasmessa per irraggiamento dal corpo della persona in inverno è oltre il doppio di quella scambiata nel caso estivo.
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Capitolo 18
18.5
Modalità simultanee di trasmissione del calore
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ESEMPIO 18.5 La perdita di calore di una persona
ESEMPIO 18.6
Lo scambio termico tra due superfici piane isoterme
ESEMPIO 18.7
Lo scambio termico nei forni tradizionali e a microonde
SOMMARIO La conduzione è il trasferimento di energia per effetto dell’interazione tra le molecole di una sostanza dotate di maggiore energia e quelle adiacenti dotate di minore energia ed è espresso dal postulato di Fourier per la conduzione del calore: dT Q& cond = −λ A dx dove è la conduttività termica del materiale, A è l’area perpendicolare alla direzione del flusso termico e dT/dx è il gradiente di temperatura. La potenza termica trasmessa per conduzione attraverso una parete piana di spessore L è data da: ∆T Q& cond = −λ A ∆x dove DT è la differenza di temperatura tra le due superfici della parete. La convezione è il meccanismo di trasmissione del calore tra un solido e un liquido o gas in movimento che lo lambisce e comporta l’effetto combinato della conduzione e del trasporto di massa. La potenza scambiata per convezione è espressa dalla legge di Newton: Q& conv = hAs (Ts − T∞ ) dove h è il coefficiente di scambio termico convettivo espresso in W/(m2 K), A è l’area della su-
perficie di scambio termico, Ts la temperatura della superficie e T la temperatura del fluido sufficientemente lontano dalla superficie. L’irraggiamento è l’energia emessa dai corpi sotto forma di onde elettromagnetiche (o fotoni) come risultato delle modificazioni nelle configurazioni elettroniche degli atomi o delle molecole. La massima potenza termica radiativa che può essere emessa da una superficie alla temperatura assoluta Ts è data dalla legge di Stefan-Boltzmann e cioè: Q& emis, max = σ AsTs4 dove s = 5,67 108 (W/m2 K4) è la costante di Stefan-Boltzmann. La potenza termica assorbita è invece data da Q assprbita = aQ incidente dove Q incidente è la potenza termica incidente sulla superficie e a è il coefficiente di assorbimento della superficie. Quando una superficie avente emissività e e area A alla temperatura Ts è completamente racchiusa da una superficie molto più grande (o nera) alla temperatura Tamb, separate da un gas (per esempio aria) che non interferisce con la radiazione, la potenza termica scambiata per irraggiamento tra queste due superfici è data da: 4 Q& irr = εσ As (Ts4 − Tamb )
In questo caso l’emissività e l’area della superficie dell’ambiente circostante non hanno alcuna influenza sulla potenza termica netta trasmessa.
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Le modalità di trasmissione del calore
PROBLEMI 18.1 Le superfici interna ed esterna di una parete in mattoni, avente dimensioni 4 m 7 m, spessore 30 cm e conduttività termica 0,69 W/(m K), sono mantenute rispettivamente alla temperatura di 20 °C e 5 °C. Si determini la potenza termica, in watt, trasmessa attraverso la parete. [Soluzione: 966 W]
Parete di mattoni
20 °C
5 °C 30 cm
Figura 18.E1
18.5 Si consideri una persona in una stanza mantenuta costantemente a 20 °C. Si osserva che le superfici interne delle pareti, del soffitto e del pavimento hanno una temperatura media di 12 °C in inverno e di 23 °C d’estate. Si determini la potenza termica scambiata per irraggiamento dal corpo verso le superfici dell’ambiente circostante sia d’inverno sia d’estate, sapendo che l’area della superficie esposta, l’emissività e la temperatura media della superficie esterna della persona valgono 1.6 m2, 0,95 e 32 °C rispettivamente. [Soluzione: 84,2 W; 177,2 W] 18.6 Un tubo di diametro esterno 5 cm e lungo 10 m che trasporta acqua calda a 80 °C cede calore all’aria circostante a 5 °C per convezione naturale con coefficiente di scambio termico convettivo pari a 25 W/(m2 K). Si determini la potenza termica ceduta dal tubo per convezione naturale. [Soluzione: 2945 W]
Problema 18.1.
18.2 Durante la stagione invernale, le superfici interna ed esterna del vetro di una finestra, avente dimensioni 2 m 2 m e spessore 0,5 cm, si trovano alla temperatura di 10 °C e 3 °C rispettivamente. Sapendo che la conduttività termica del vetro è di 0,78 W/(m K), si determini la potenza termica ceduta attraverso il vetro in un intervallo di tempo di 5 h. Quale sarebbe la risposta se il vetro avesse spessore 1 cm? [Soluzione: 78 620 kJ, 39 300 kJ] 18.3 Durante un particolare esperimento si usano dei campioni cilindrici aventi diametro 4 cm e lunghezza 7 cm. Le due termocoppie sono posizionate in ciascun campione a una distanza di 3 cm. Dopo un transitorio iniziale, si osserva che la resistenza elettrica preleva una corrente di 0,6 A a 110 V ed entrambi i termometri misurano una differenza di temperatura di 10 °C. Si determini la conduttività termica del campione. [Soluzione: 78,8 W/(m K)] 18.4 Un termoflussimetro collegato alla superficie interna dello sportello, avente spessore 3 cm, di un refrigeratore indica un flusso termico pari a 25 W/m2 attraverso di esso. Inoltre, le temperature delle superfici interna ed esterna dello sportello risultano pari a 7 °C e 15 °C rispettivamente. Si determini la conduttività termica media dello sportello del refrigeratore. [Soluzione: 0,0938 W/(m K)]
18.7 Si consideri la piastra piana di un collettore solare posizionato sul tetto di un edificio. Le temperature delle superfici interna ed esterna della copertura di vetro risultano 28 °C e 25 °C rispettivamente. La copertura in vetro ha un’area superficiale di 2,5 m2, uno spessore di 0,6 cm e conduttività termica 0,7 W/(m K). Il calore viene ceduto dalla superficie esterna della copertura di vetro per convezione e irraggiamento con un coefficiente di scambio termico convettivo di 10 W/(m2 K) e una temperatura ambiente di 15 °C. Si determini la frazione di calore ceduta dalla copertura di vetro per irraggiamento. [Soluzione: 0,714] 18.8 Una sottile piastra metallica è isolata da un lato ed esposta alla radiazione solare dall’altro. La superficie esposta della piastra è caratterizzata da un coefficiente d’assorbimento della radiazione solare pari a 0,7. Se la radiazione solare incidente sulla piastra è di 550 W/m2 e la temperatura dell’aria circostante vale 10 °C, si determini la temperatura superficiale della piastra quando il flusso termico ceduto per convezione uguaglia la potenza termica solare assorbita dalla piastra. Si assuma il coefficiente convettivo pari a 25 W/(m2 K) e si trascuri la potenza termica ceduta per irraggiamento. [Soluzione: 25,4 °C] 18.9 Un cavo elettrico di diametro 0,2 cm e lungo 1,4 m attraversa una stanza mantenuta a 20 °C. Il calore
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Capitolo 18
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V e 3 A. Si determini il coefficiente di scambio termico convettivo tra la superficie esterna del cavo e l’aria della stanza, trascurando qualsiasi fenomeno radiativo. [Soluzione: 170,5 W/(m2 K)] 550 W/m2 α = 0,7 10 °C
Figura 18.E8
Problema 18.8.
è generato dal cavo in conseguenza del surriscaldamento della resistenza e la temperatura della superficie del cavo risulta 240 °C in condizioni operative stazionarie. Inoltre, lungo il cavo si misurano una differenza di potenziale elettrico e una corrente rispettivamente di 110
18.10 Un serbatoio sferico di acciaio inossidabile, avente diametro interno 3 m e spessore 1 cm, è utilizzato per immagazzinare acqua ghiacciata a 0 °C. Il serbatoio è situato all’esterno a 25 °C. Assumendo che l’intero serbatoio sia a 0 °C e cioè che la resistenza termica conduttiva dell’acciaio sia trascurabile, si determini (a) la potenza termica ricevuta dall’acqua ghiacciata contenuta nel serbatoio e (b) la quantità di ghiaccio a 0 °C che si scioglie in 24 ore. Il calore latente di fusione del ghiaccio a pressione atmosferica è hfus = 333,7 kJ/kg. L’emissività della superficie esterna del serbatoio vale 0,75 e si può assumere il coefficiente di scambio termico convettivo pari a 30 W/(m2 °C). Si consideri, per valutare lo scambio termico per irraggiamento, che le superfici dell’ambiente circostante siano caratterizzate da una temperatura media di 15 °C. [Soluzioni: (a) 23,1 kW; (b) 5980 kg]
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