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Richiami di calcolo numerico
1.1 Unità di misura e fattori di conversione; potenze del 10; notazioni scientifiche La misura di una grandezza va sempre riferita ad una data unità di misura, assunta convenzionalmente come grandezza “campione”. I “campioni” adottati per la misura delle lunghezze, delle masse e dei tempi sono rispettivamente il metro (m), il grammo (g) e il secondo (s). A partire da queste unità di misura fondamentali, è possibile costruire poi numerosissime altre unità “derivate”; per esempio, il metro quadrato (m2) per le aree, il metro cubo (m3) per i volumi, il metro al secondo (m/s) per le velocità ecc. L’uso del metro, comodo per la maggior parte delle esigenze della vita quotidiana (quell’individuo è alto 1,74 m; quell’automobile è lunga 3,86 m ecc.) risulta invece poco adatto per misurare lunghezze enormi (distanze geografiche o astronomiche) come pure per misurare lunghezze piccolissime (dimensioni di un microrganismo o di un atomo). Inconvenienti dello stesso tipo si presentano anche per l’uso di tutte le altre unità di misura. Vengono quindi introdotti opportuni multipli e sottomultipli decimali delle unità di misura fondamentali, e a questi multipli e sottomultipli vengono attribuiti nomi e simboli convenzionali, come riportato nella Tabella 1.1.
Fattore di conversione
Prefisso al nome
Prefisso al simbolo
1 000 000 000 000 = 1012
tera
T
giga
G
mega
M
kilo
k
etto
h
1 000 000 000 = 109 1 000 000 = 10
6
1 000 = 103 100 =
102
10 = 10
deca
da
0,1 = 101
deci
d
0,01 = 102
centi
c
0,001 =
103
milli
m
0,000 001 =
106
micro
m
9
nano
n
12
pico
p
1
0,000 000 001 = 10 0,000 000 000 001 = 10
Tabella 1.1 Denominazioni dei principali multipli e sottomultipli decimali delle grandezze fisiche
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Capitolo 1
Esempio 1.1
0,001 m = 1 mm = 1000 mm 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 1000 g = 1 kg Si noti, per inciso, che nelle convenzioni internazionali più recenti il chilogrammo ha sostituito il grammo come “unità di misura fondamentale” per le masse. Si noti inoltre che nel linguaggio corrente si usano spesso i termini tonnellata (in simboli: t) e litro (in simboli: l) per indicare rispettivamente una massa di 1000 kg e un volume di 1 dm3. Sempre nel linguaggio corrente si usano impropriamente le unità di massa (grammo, chilogrammo ecc.) per designare i corrispondenti pesi, sottintendendo che si tratta di masse sulle quali agisce la forza di gravità terrestre. Esulano dallo schema decimale della Tabella 1.1 le unità di misura dei tempi e delle ampiezze angolari, in quanto – per ragioni storiche – alcuni multipli e sottomultipli di tali grandezze si ottengono mediante fattori di conversione in base sessagesimale (Tabelle 1.2 e 1.3). Una diversa unità di misura per le ampiezze angolari è il radiante, in simboli: rad. Per definizione: 1 rad =
1 di angolo giro 2p
Nel seguito, riparleremo diffusamente di questa unità di misura (vedi in particolare il Paragrafo 6.4). Com’è ben noto, p = 3,141582...; pertanto l’ampiezza di un angolo di 1 rad, espressa in gradi, risulta essere di circa 57°1744. Attenzione. Per le unità di misura è necessario attenersi scrupolosamente alle convenzioni internazionali di scrittura or ora richiamate, onde evitare possibili fraintendimenti. Per esempio l’apice e il doppio apice vanno usati per i minuti e per i secondi delle ampiezze angolari, non per i minuti e per i secondi delle misure dei tempi. Particolarmente pericoloso è l’uso del simbolo gr al posto di g, per gli equivoci che ne possono derivare (per esempio in ambito medico nei dosaggi di un farmaco). Infatti nella letteratura anglosassone “gr” sta per grain, che è una unità di peso diversa dal grammo, e molto più piccola! Precisamente 1 gr = 0,0648 g. Quanto ai numeri che denotano le misure delle grandezze fisiche considerate, ricordiamo che ogni numero (positivo) può essere scritto come prodotto di un numero compreso fra 1 e 10, per un’opportuna potenza di 10: basta “spostare opportunamente la virgola”. Per esempio: 310749 = 3,10749 ⋅105 0,00018 = 1, 8 ⋅ 10-4
Tabella 1.2 Unità di misura per i tempi
Tabella 1.3 Unità di misura per le ampiezze angolari
Nome
Simbolo
Valore
secondo minuto
s min
1 min = 60 s
ora
h
1 h = 60 min = 3600 s
giorno
d
1 d = 24 h = 86 400 s
Nome
Simbolo
Valore
grado
°
1° = 1/360 di angolo giro
minuto (di angolo)
1 = (1/60)°
secondo (di angolo)
1 = (1/60) = (1/3600)°
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Richiami di calcolo numerico
Quando si riscrivono i numeri in questa forma, si dice che si usano notazioni scientifiche. Le principali regole di calcolo con le potenze del 10 (regole valide più in generale per potenze con base qualsiasi, vedi Paragrafo 6.2) sono: 10m ⋅10n = 10m+n
10m : 10n = 10m-n 1 10-m = m 10 (10m )n = 10m⋅n
Esercizio C1.1
per esempio: 105 ⋅107 = 1012
105 : 107 = 10-2 1 10-2 = 2 = 0,01 10 (105 )-3 = 10-15
100 = 1
E 3
3
Una vasca contiene 2,75 m di acqua. Esprimete la capienza V della vasca in dm e in cm3.
E
Esercizio C1.2
Calcolate il valore numerico dell’espressione W=
2,75( a - b ) r 2 m-n
sapendo che: a = 0,012; b = 0,009; m = 8,1; n = 0,35; r = 0,02. Esprimete il risultato in notazioni scientifiche.
E
Esercizio C1.3
Vedi anche Esercizi 1.1-1.10
Esprimete l’ampiezza angolare corrispondente a 0,1 rad in termini di gradi e relativi sottomultipli (sessagesimali).
1.2 Calcoli numerici approssimati; propagazione degli errori Una scrittura del tipo 7,2 a 7,6 sta a indicare che il numero a non è conosciuto con esattezza; si sa solo che il suo valore “vero” è compreso tra 7,2 e 7,6. Nella rappresentazione dei numeri su una retta graduata, ciò significa che a appartiene all’intervallo di estremi 7,2 e 7,6 (Figura 1.1). Per la precisione, gli estremi si intendono inclusi, in quanto abbiamo usato il segno ; qualora avessimo scritto 7,2 < a < 7,6, gli estremi sarebbero stati invece esclusi dall’intervallo. Analogamente, qualora avessimo scritto 7,2 a < 7,6, l’estremo sinistro sarebbe stato incluso mentre l’estremo destro sarebbe stato escluso; infine, qualora avessimo scritto 7,2 < a 7,6, l’estremo sinistro sarebbe stato escluso mentre l’estremo destro sarebbe stato incluso.
6
7
8 7,2
7,6
9
Figura 1.1
3
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Capitolo 1
Per denotare un intervallo di estremi a1,a2 si usa anche scrivere: • • • •
[a1, a2], se entrambi gli estremi sono inclusi, (a1, a2), se entrambi gli estremi sono esclusi, [a1, a2), se a1 è incluso e a2 è escluso, (a1, a2], se a1 è escluso e a2 è incluso (vedi anche Figura 1.1).
Nella matematica, sia pura che applicata, si ha spesso a che fare con situazioni di questo genere. Per esempio, quando si scrive p = 3,141592... i puntini indicano che dopo le cifre decimali scritte esplicitamente seguono ulteriori cifre decimali imprecisate; quindi, in base alle informazioni fornite, si può affermare solo che p è compreso fra 3,141592 e 3,141593; in simboli: 3,141592 p 3,141593 Analogamente, quando la misura di una grandezza fisica (per es., di una lunghezza) viene espressa nella forma a = (12,35 ± 0,01) m ciò indica che, in base alle misure effettuate, è ragionevole affermare che quella lunghezza, espressa in metri, è compresa fra 12,34 m e 12,36 m; in simboli: 12,34 m a 12,36 m La quantità Da = 0,01 m viene detta errore (più esattamente: errore assoluto) o incertezza della misura di a. Accanto alla nozione di “errore assoluto” di una misura, si introduce poi quella di errore relativo (o incertezza relativa) della stessa misura ponendo, per definizione: Errore relativo =
Errore assoluto ∆a = Valore della misura a
Le seguenti quattro formule precisano come una conoscenza solo approssimata di due valori numerici a, b si ripercuote sull’approssimazione della loro somma, della loro differenza, del loro prodotto e del loro quoziente. Queste formule sono dette regole di propagazione degli errori. Se
allora
a1 Ç a Ç a 2
b1 Ç b Ç b2
a1 + b1 Ç a + b Ç a2 + b2 (1.1)
a1 - b2 Ç a - b Ç a2 - b1 (1.2)
Se, inoltre, a1 > 0 e b1 > 0, e se quindi gli intervalli considerati sono formati esclusivamente da numeri positivi, allora
a1b1 Ç ab Ç a2b2 (1.3)
a1 a a2 (1.4) Ç Ç b 2 b b1
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Richiami di calcolo numerico
Ponendo a1 = a = a2 = 1, da b1 b b2 segue, come caso particolare della regola (1.4): 1 1 1 Ç Ç (1.4) b 2 b b1
Lasciamo al lettore il compito di scrivere le analoghe delle Formule (1.3), (1.4) e (1.4) nel caso che l’uno o l’altro o entrambi gli intervalli considerati siano formati (esclusivamente) da numeri negativi. Naturalmente tutte queste formule continuano a sussistere anche se si sostituiscono le relazioni di disuguaglianza debole “” con quelle di disuguaglianza forte “<”. Spesso, nelle applicazioni, si evita il ricorso alle Formule (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) e si preferisce fare uso del seguente metodo, più semplice, anche se non del tutto preciso, per stabilire come si propagano gli errori. Regola pratica Supponiamo che le misure a, b di due grandezze (positive) siano note con errori assoluti Da, Db; vale a dire la misura della prima grandezza sia compresa nell’intervallo [aDa, a+Da] e la misura della seconda grandezza sia compresa nell’intervallo [bDb, b+Db]. Se Da e Db sono abbastanza piccoli rispetto ad a e a b, allora gli errori assoluti: • •
Ds della grandezza somma s = a + b Dd della grandezza differenza d = a b
e gli errori relativi: • •
Dp/p della grandezza prodotto p = a b Dq/q della grandezza quoziente q = a/b
possono essere calcolati mediante le formule: ∆s = ∆a + ∆b
∆d = ∆a + ∆b
∆p ∆a ∆b = + p a b
∆q ∆a ∆b = + q a b
Sul significato di errore e sulle regole di propagazione degli errori per le misure delle grandezze fisiche ritorneremo con ulteriori precisazioni alla fine del Paragrafo 10.3.
E
Esercizio C1.4
Tre grandezze a, b e c sono legate tra loro dalla relazione 1 1 1 + = a b c
Sapendo che 0,20 a 0,25 e che 0,50 b 0,80, cosa si può dire del valore di c?
1.3 Cifre significative; arrotondamenti Poiché la misura sperimentale di una grandezza è inevitabilmente approssimata a causa della limitata sensibilità degli strumenti e degli errori di osservazione, sarebbe opportuno usare sempre notazioni come quelle introdotte nel paragrafo precedente, ossia, per esempio, a = (12,35 ± 0,01) m, dove la scrittura ± 0,01 m sta a indicare che quella misura è stata effettuata con una incertezza di 0,01 m in più o in meno, rispetto al suo presunto valore “vero” di 12,35 m.
Vedi anche Esercizi 1.11-1.15
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Capitolo 1
Nella pratica è però fastidioso portarsi dietro notazioni così farraginose come (12,35 ± 0,01) m. Quindi si preferisce ricorrere alla seguente convenzione: si esprime la misura sperimentale della grandezza in questione mediante un unico numero, del quale si riportano solo le cifre ritenute “sicure” e la prima cifra “incerta”. Quando si opera in questo modo, in luogo del segno “=” si usa (o quanto meno sarebbe più corretto usare) il segno “” che si legge “circa uguale”. Con questa convenzione, per esempio, la scrittura a 12,35 m significa che la lunghezza di a è: 12 metri, più 3 decimetri, più alcuni centimetri (probabilmente 5, ma potrebbero essere anche 4 o 6, o, magari, 3 o 7). Si dice in tal caso che la misura di a è data con 4 cifre significative. In base alla convenzione fatta, le scritture a ; 12, 35 m
a ; 12, 350 m
a ; 12, 3500 m
hanno dunque significati nettamente diversi. La prima indica che il tratto a è stato misurato con un’incertezza dell’ordine del centimetro; la seconda indica che lo stesso tratto è stato misurato con un’incertezza dell’ordine del millimetro; la terza indica infine che lo stesso tratto è stato misurato con un’incertezza dell’ordine del decimo di millimetro. Si noti esplicitamente che questa convenzione è difforme da quella in uso nella matematica “pura”, dove si suppone che i numeri siano individuati con precisione assoluta, per cui, per esempio, 12,35, 12,350 e 12,3500 rappresentano scritture diverse dello stesso numero decimale. Quando si effettuano dei calcoli a partire da misure sperimentali approssimate, è non solo inutile ma addirittura sbagliato e fuorviante scrivere il risultato finale con troppe cifre decimali: si devono riportare solo le cifre significative. Nel corso dei calcoli intermedi è invece opportuno usare qualche cifra decimale in più, per non peggiorare ulteriormente la precisione del risultato. Se per qualche motivo un numero è stato scritto con una quantità eccessiva di cifre decimali, ritenute non significative nel contesto di un determinato problema, si possono seguire due metodi diversi per passare dal numero dato a una sua scrittura approssimata, con un minor numero di cifre decimali. Un primo metodo, detto di troncamento, consiste semplicemente nel trascurare le cifre che non interessano. Un secondo metodo, detto di arrotondamento, consiste invece nello scegliere, tra i numeri con la voluta quantità di cifre decimali, quello che meglio approssima il numero in questione: in pratica, si deve vedere se nell’espressione decimale del numero dato la prima cifra che si intende trascurare è una delle cifre 0, 1, 2, 3, 4, oppure una delle cifre 5, 6, 7, 8, 9: nel primo caso, il valore arrotondato coincide col valore troncato; nel secondo caso, il valore arrotondato si ottiene dal valore troncato, aumentando di un’unità il valore dell’ultima cifra decimale considerata. Un esempio concreto aiuterà a capire il significato dei due procedimenti or ora descritti. Supponiamo, tanto per fissare le idee, di avere a che fare con il cosiddetto “numero di Eulero” e = 2, 7182...
(si tratta – sia detto per inciso – di un numero irrazionale particolarmente importante in matematica; ne riparleremo ampiamente in seguito). Se si tronca il numero e alla seconda cifra dopo la virgola, si ottiene il numero 2,71. Se invece si arrotonda lo stesso numero alla seconda cifra dopo la virgola, si ottiene il numero 2,72 in quanto la prima delle cifre decimali trascurate, vale a dire la terza cifra dopo la virgola, è un 8. Qualora poi si volesse troncare o arrotondare il medesimo numero e alla terza cifra dopo la virgola, si otterrebbe con entrambi i procedimenti il numero 2,718 in quanto ora la prima delle cifre decimali trascurate, vale a dire la quarta cifra dopo la virgola, è un 2. In genere, nelle applicazioni si preferisce operare mediante arrotondamenti piuttosto che mediante troncamenti. Il motivo è duplice: gli errori di approssimazione dei singoli numeri sono più piccoli; inoltre, quando si eseguono dei calcoli a partire da grandi quantità di dati numerici, capita spesso che gli errori di arrotondamento “per difetto” compensino in qualche misura gli errori di arrotondamento “per eccesso” (ciò non si verificherebbe invece nel caso
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Richiami di calcolo numerico
degli errori di troncamento, che sono tutti per difetto, proprio per il modo come la procedura di troncamento è definita).
E
Esercizio C1.5
Di un pavimento rettangolare si conoscono le seguenti misure: a (lunghezza) = (3, 62 ê 0,02) m b (larghezza) = (3, 24 ê 0, 02) m
Calcolate l’area S del pavimento, espressa in m2.
1.4 Stime e ordini di grandezza In molte situazioni di interesse pratico, i numeri intervengono in modo assai più grossolano di come illustrato nei paragrafi precedenti. Supponiamo, per esempio, di voler prevedere il fabbisogno di acqua potabile per l’anno 2021 in una determinata area geografica. La previsione dipenderà da numerosi parametri difficilmente valutabili al momento attuale (per es.: numero di individui che risiederanno in quella regione nel 2021, consumo annuo medio pro-capite sempre riferito al 2021, consumo per usi industriali ecc.). Per riuscire a fare una previsione quantitativa, sia pure in una situazione di incertezza come quella or ora descritta, sarà necessario fare delle stime ragionevoli in base alle informazioni di cui si dispone e alle prevedibili tendenze per il futuro; ma tali stime saranno inevitabilmente soggettive e grossolane, per cui non avrebbe senso preoccuparsi di un’eccessiva precisione, destinata comunque a essere illusoria. Supponiamo, per esempio, di sapere che nel 2011 risiedevano nell’area geografica in questione 3 475 000 abitanti, i quali consumavano giornalmente una media di 30 litri di acqua a testa; supponiamo, inoltre, di sapere che per il momento non si prevedono grossi consumi per usi industriali. Le informazioni demografiche di cui disponiamo ci inducono a stimare un incremento della popolazione del 30% circa nel decennio in questione. Occorre inoltre prevedere un raddoppio del consumo individuale giornaliero di acqua. Sulla base di queste informazioni e arrotondando (prudenzialmente per eccesso) i dati disponibili, ipotizziamo per il 2021 una popolazione di 5 106 abitanti con un consumo giornaliero di 0,06 m3 di acqua e consideriamo, per eccesso, 400 giorni in un anno. In definitiva, il fabbisogno annuale di acqua potabile in quella regione per il 2021 può essere stimato in 5 106 4 108 m3 = 1,2 108 m3. Chi avesse basato i suoi calcoli su valutazioni diverse o su arrotondamenti diversi, avrebbe potuto giungere ragionevolmente anche a conclusioni diverse, per esempio a 2 108 m3, ma non certo a quantità irrisorie come 8 106 m3 o enormi come 2 1010 m3. In conclusione, del numero stimato di m3 a cui siamo pervenuti, è significativa a malapena la prima cifra; ma ciò che importa conoscere è soprattutto il suo ordine di grandezza, vale a dire la potenza del 10 che compare nella scrittura scientifica del numero (nel nostro esempio: 108). Nel linguaggio corrente si usa anche dire che si tratta di un numero “con 8 zeri” (restando sottinteso che gli 8 zeri sono preceduti da una sola cifra non nulla, compresa tra 1 e 9).
E
Esercizio C1.6
Stimate la capienza (in • • •
m3) di:
un camion; un treno merci normalmente lungo; una nave.
Vedi anche Esercizi 1.16-1.20
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Capitolo 1
Vedi anche Esercizi 1.21-1.28
Esercizio C1.7
E
Stimate il numero dei battiti cardiaci durante una normale vita umana.
1.5 Percentuali Il rapporto fra due grandezze della stessa specie è un numero “puro” (ossia non dipende dall’unità di misura usata per valutare le due grandezze). Esempio 1.2
Analizzando una soluzione si trova il seguente risultato: su 75 g di soluzione, sono presenti 9 g di un certo sale. Il rapporto 9/75 (detto “concentrazione” del sale nella soluzione) non dipende dal fatto di aver misurato in grammi le quantità di soluzione e di soluto. Se si fossero misurate le medesime sostanze in “chilogrammi” o in “libbre” o altro, e così pure se si fosse considerata una quantità maggiore o minore della stessa soluzione, i due numeri, singolarmente presi, sarebbero stati diversi, ma il loro rapporto sarebbe risultato sempre 0,12. In situazioni di questo tipo, vale a dire quando si ha a che fare col rapporto tra due grandezze omogenee, si usa spesso esprimere questo rapporto in forma percentuale. Per esempio, invece di scrivere 9/75 = 0,12 si scrive 9/75 = 12% (e si legge: 12 percento). Regola pratica Per passare dal rapporto vero e proprio alla sua forma percentuale, si moltiplica per 100. Viceversa, per passare dalla forma percentuale al rapporto vero e proprio, si divide per 100.
Il motivo della preferenza per la scrittura in forma percentuale sta nel fatto che, così facendo, si “standardizza” convenzionalmente la quantità totale a 100, che è un numero particolarmente comodo in quanto potenza di 10 (base del nostro sistema di numerazione). La preferenza per il numero 100, rispetto ad altre possibili potenze di 10, sta poi nel fatto che in molte applicazioni è sufficiente conoscere i valori dei rapporti con una precisione dell’ordine di 1/100 e pertanto il ricorso alla forma percentuale consente di esprimere tali valori usando unicamente numeri interi. Ma occorre fare molta attenzione. Le scritture in forma percentuale hanno solo un significato simbolico: per effettuare correttamente i calcoli in cui intervengono espressioni percentuali, è consigliabile ritrasformare sempre le espressioni percentuali nei corrispondenti rapporti veri e propri. Supponiamo, per esempio, di dover calcolare “il 4% del 15%”. Lo schema di calcolo da usare è chiaramente lo stesso che si adopera correntemente per problemi analoghi, del tipo “calcolare i 3/4 di 86”, si tratta cioè di moltiplicare tra loro i due fattori assegnati. Ma sbaglierebbe chi moltiplicasse 4 per 15 traendone la conclusione che la risposta è: 60% . Si devono infatti moltiplicare tra loro i due rapporti 4/100 e 15/100 (non semplicemente le due percentuali 4 e 15). Si ottiene dunque: 4/100 15/100 = 60/10 000, rapporto che a questo punto può essere scritto nuovamente in forma percentuale: 60/10 000 = 0,6/100 = 0,6%. Vedi anche Esercizi 1.29-1.45
Esercizio C1.8
E
In commercio si possono acquistare due soluzioni, A e B, (del medesimo soluto nel medesimo solvente) a diversa concentrazione. Precisamente la soluzione A è al 7% mentre la soluzione B è al 50%. In quali proporzioni vanno miscelate le due soluzioni, se si vuole ottenere una terza soluzione, che chiameremo C, concentrata al 15%?
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Richiami di calcolo numerico
Avvertenza. Per definizione, la concentrazione di una soluzione è data dal rapporto: Quantità del soluto Quantità della soluzione Per esempio, nel caso della soluzione A ogni grammo di soluzione contiene 7/100 g di soluto (e di conseguenza 93/100 g di solvente). Analogamente per le soluzioni B e C.
Curiosità e approfondimenti
1.6 Unità di misura delle grandezze fisiche Fin dall’antichità classica sono stati escogitati metodi atti a quantificare lunghezze, aree, volumi, pesi, durate temporali ecc. Per esempio, nel caso delle lunghezze ci si riferiva a parti del corpo umano, quali braccia, piedi, passi ecc. Nel caso delle durate temporali ci si basava su fenomeni osservabili nel moto (apparente) dei due corpi celesti più appariscenti ossia il sole e la luna, introducendo scansioni temporali quali giorni, mesi, anni. Meno sistematiche erano le convenzioni per le unità di misura delle aree (jugeri, pertiche ecc.) e per i volumi (barili, litri ecc.), nonché per i pesi (quintali, tonnellate, libbre ecc.). Con l’aumentare delle esigenze furono introdotti multipli e sottomultipli di tali grandezze. Solo a titolo di esempio ricordiamo il miglio terrestre (come multiplo del piede), l’ora (sottomultiplo ben conosciuto del giorno) e il minuto (a sua volta un sottomultiplo ben noto dell’ora). Si fece anche ricorso a talune formule matematiche risalenti ad Archimede per esprimere le lunghezze delle circonferenze e le aree dei cerchi nonché le aree e i volumi delle sfere, in termini delle lunghezze dei rispettivi raggi. Si dovette però arrivare all’epoca della rivoluzione francese per una revisione organica dell’intero sistema delle misure. Dopo lunghi dibatti, finalmente, nel 1795 la Francia adottò come unica unità di misura ufficiale delle lunghezze il metro, definito come la diecimilionesima parte di un quarto del meridiano terrestre. Più precisamente il metro fu definito come la diecimilionesima parte della distanza tra il Polo Nord e l’equatore, misurata sul meridiano di Parigi. Questa scelta, che può sembrare astrusa, era dovuta alla preoccupazione di evitare il collegamento dell’unità di misura in questione a situazioni casuali quali la lunghezza del braccio, o del piede o dei passi del regnante del momento. Per completezza di informazione, ricordiamo anche che uno dei primi metodi per definire il metro, preso in considerazione dall’Accademia delle Scienze francese, era basato sulla proprietà di isocronismo del pendolo, e fu così formulato: “la lunghezza di un metro è pari a quella di un pendolo le cui oscillazioni hanno la frequenza di un secondo”. Per disporre di una definizione operativa del metro, nel 1889 ne fu realizzato un campione fisico sotto forma di una barra di platino-iridio, tuttora conservata nell’ufficio di pesi e misure di Sèvres. Per aumentare la precisione e l’universalità nella determinazione della lunghezza del metro, nel 1960 si fece ricorso alla lunghezza d’onda di opportune radiazioni atomiche. La definizione più recente di metro, adottata dalla Conferenza Generale di Pesi e Misure del 1983, è riferita alla distanza percorsa dalla luce nel vuoto, e suona così: “il metro è definito come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299 792 458 di secondo”. Poiché si ritiene che la velocità della luce nel vuoto sia la stessa in ogni luogo, quest’ultima definizione appare universale. Si noti che l’attuale definizione di metro stabilisce allo stesso tempo che la velocità della luce nel vuoto è pari a 299 792 458 metri al secondo. Un’unità di misura di uso frequente in ambito astronomico è l’anno-luce, definito come la lunghezza percorsa (nel vuoto) da un raggio di luce, in un anno.
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Capitolo 1
Attualmente quasi tutti i Paesi del mondo hanno adottato come unità di misura di lunghezza il metro, con l’eccezione dei Paesi del Regno Unito, di diversi Paesi del cosiddetto Impero Britannico e degli Stati Uniti. In questi ultimi Paesi l’unità di misura di lunghezza ancora usata (per consuetudine, perché non fa parte del Sistema Internazionale di misure) è il pollice (in simboli: in), che corrisponde a 0,0254 m. Il sistema di misura basato sul pollice non è un sistema decimale, e usa il piede (12 pollici), la iarda (3 piedi), il braccio (2 iarde), il miglio inglese o miglio terrestre (1760 iarde = 1609,344 m). È da notare come il pollice sia ancora universalmente usato in due principali ambiti: la misura degli schermi televisivi e per computer (si indica in pollici la misura della loro diagonale) e il diametro dei tubi idraulici. Una interessante unità di misura di lunghezza, legata per la sua definizione alle misure delle ampiezze angolari e ben nota a tutti coloro che navigano per mare, è il miglio marino o più precisamente il miglio nautico internazionale, in simboli: nm (il lettore incuriosito veda il Paragrafo 6.4 per le nozioni relative ad angoli e archi). Chi naviga stabilisce la sua posizione in mare usando la latitudine (distanza angolare dall’equatore) e la longitudine (distanza angolare dal meridiano di Greenwich), ambedue espresse con l’uso dei gradi; dunque un’unità di misura di lunghezza che permetta facilmente di tradurre ampiezze angolari in distanze è molto naturale e utile. Infatti il miglio marino è nato, considerando la terra sferica, per indicare la lunghezza di un arco di cerchio massimo terrestre sotteso da un angolo (con vertice al centro della terra) di 1. Poiché 360° corrispondono a 360 60 = 21 600, approssimando la terra a una sfera, la lunghezza dell’equatore, di qualunque meridiano e cerchio massimo è la stessa e ammonta a 21 600 nm. Tenendo conto invece del fatto che la terra non è ben approssimabile a una sfera, ma meglio a un’ellissoide con un asse di simmetria che è l’asse di rotazione, si trova che il miglio marino sopra definito non ha lunghezza costante su tutto il pianeta, ma varia con la latitudine, e per questo con il tempo la definizione si è raffinata. Per definire il miglio marino si sono dapprima scelti come cerchi massimi i meridiani e, nel 1929, alla “International Extraordinary Hydrographic Conference” di Monaco di Baviera si è stabilito di adottare come definizione di miglio marino la lunghezza dell’arco di meridiano terrestre sotteso da un angolo di 1 sul parallelo medio di 44°13. Il calcolo di questa lunghezza (basato sul calcolo del raggio della Terra) fu fatto ufficialmente durante la “International Extraordinary Hydrographic Conference” del 1929, ottenendo 1 nm = 1851,85 m. Si stabilì in quella sede, ed è ormai internazionalmente adottato, di porre la conversione 1 nm = 1852 m. A partire dal metro, sono stati poi introdotti i multipli e i sottomultipli, coerentemente con la nomenclatura e i simboli che appaiono nella Tabella 1.2. Sul metro si sono basate le principali definizioni delle altre unità di misura decimali che richiamiamo qui di seguito. Il metro quadrato (in simboli: m2) come unità di misura per le aree. Per definizione il metro quadrato è l’area di un quadrato i cui lati hanno la lunghezza di 1 metro. Il metro cubo (in simboli: m3) come unità di misura per i volumi. Per definizione il metro cubo è il volume di un cubo i cui spigoli hanno la lunghezza di 1 metro. Si noti che il decimetro quadrato (in simboli: dm2) rappresenta l’area di un centesimo dell’area di un m2, e che il decimetro cubo (in simboli dm3) rappresenta il volume di un millesimo del volume di 1 m3. Nel caso dei liquidi, il dm3 prende il nome di litro. A loro volta il metro cubo e il decimetro cubo intervengono nella definizione delle unità di misura dei pesi: si dice chilogrammo (in simboli: kg) il peso di un decimetro cubo di acqua (distillata). Nel linguaggio corrente si chiama poi tonnellata il peso di un metro cubo di acqua, vale a dire il peso di 1000 kg. Esercizio C1.9
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Si calcoli a quanti chilometri equivale un anno luce. Vedi anche Esercizi 1.46-1.48
Esercizio C1.10
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Calcolare la distanza in miglia marine e in chilometri tra il centro della città di Firenze ed il Polo Nord, sapendo che Palazzo Vecchio ha latitudine 43°47 Nord.
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Richiami di calcolo numerico
Spunti per la riflessione •
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Quando si affrontano problemi matematici basati su dati sperimentali effettivi, non artificiosamente semplificati, i calcoli diventano spesso laboriosi. È opportuno ricorrere allora ad una calcolatrice scientifica o a un computer. L’apparente facilità d’uso di questi strumenti non deve però trarre in inganno. Occorre documentarsi preventivamente sulle modalità del loro funzionamento per evitare di commettere errori anche grossolani: infatti macchine diverse possono usare convenzioni e notazioni diverse, generando fraintendimenti (per es., per quanto concerne l’ordine di priorità delle operazioni aritmetiche, le procedure di arrotondamento numerico, l’espressione delle misure angolari in gradi o in radianti ecc.). Per un approfondimento degli argomenti specifici trattati in questo capitolo, come pure per numerosi argomenti che saranno affrontati nei capitoli successivi, si possono consultare utilmente i testi di E. Batchelet: Introduzione alla matematica per biologi (Piccin, 1979) e M. Abate: Matematica e statistica. Le basi per le scienze della vita (McGraw-Hill, 2017).
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Vedi anche Esercizi 1.49-1.55
Obiettivi di apprendimento •
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Conoscere le principali unità di misura, saperle valutare e usare con proprietà. Prendere dimestichezza con le modalità di conversione tra unità di misura e con i fattori di conversione. Imparare il significato dell’errore di
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misura e saper gestire calcoli approssimati e la propagazione dell’errore. Imparare a fare stime approssimate e a valutare gli ordini di grandezza. Usare propriamente il calcolo delle percentuali.
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