Finanza aziendale di Giovanni Palomba e Alessandro Gennaro

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1 Fondamenti di teoria finanziaria di Giovanni Palomba

Abstract Nel capitolo si introducono le prime definizioni, si presentano teorie, teoremi e modelli che appartengono ai fondamentali nella Teoria della Finanza e si pongono le basi della concezione finanziaria dell’impresa. Lo spunto è fornito dall’analisi del comportamento di un individuo razionale che, potendo scegliere come utilizzare il capitale di cui dispone, si pone non già di fronte all’interrogativo cosa conviene consumare, ma quando consumare. Ponendo l’attenzione sulle scelte intertemporali si dischiudono le porte della finanza e si entra nel mondo delle valutazioni di convenienza legate a quel che ci si attende possa accadere. Alla forma di utilizzo più immediato del capitale, il consumo, si affianca l’alternativa del risparmio e dell’investimento in attività produttive complicando il problema della scelta più conveniente. Inizialmente si ragiona in un contesto assai semplificato, dove c’è certezza di quanto accadrà in futuro, tuttavia già popolato da figure chiave – consumatori, investitori e imprese – che interagiscono in considerazione tanto dei mercati reali quanto dei mercati finanziari. Il modello decisionale di allocazione del capitale che si configura, pur nella linearità del contesto nel quale è disegnato, pone le premesse per gli approfondimenti e gli sviluppi che seguiranno. Non sono rinviabili alcune precisazioni per distinguere la condizione di incertezza da quella di rischiosità: occorrerà chiarire se, e eventualmente in che misura, qualità finanziarie e percezioni psicologiche siano collegate tra loro. È bene impossessarsi subito di alcuni semplici strumenti statistici e regole matematico-finanziarie; si è detto che tempo e rischio connotano il mondo della finanza e qualificano l’appetibilità degli investimenti: in chiusura del primo capitolo, affrontando l’argomento, si inizia a prendere confidenza con il peso che l’uno e l’altro hanno nelle stime del valore finanziario.

Obiettivi di apprendimento

L’attenta lettura del capitolo dovrebbe consentire al lettore di:

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Capitolo 1

 conoscere termini e concetti di base della disciplina, e iniziare a considerare i vantaggi che possono derivare da opportunità e decisioni intertemporali;  acquisire un primo modello per le decisioni finanziarie di base che - in un contesto di certezza - può orientare un individuo razionale nelle scelte di risparmioinvestimento, mentre si evidenziano le interazioni tra mercati reali e mercati finanziari;  distinguere, seguendo la letteratura finanziaria, la condizione di incertezza da quella di rischio, presunti gradi di maggiore e minore ponderabilità dell’alea che grava sulla manifestazione, o meno, di un evento nel futuro;  riconoscere le operazioni finanziarie di base, di investimento e finanziamento, e saperne considerare la redditività/onerosità intrinseca;  distinguere le componenti tempo e rischio nell’ambito delle stime di valore.

Key words

Utilità dei consumi attuali e differiti; risparmio e investimento produttivo; tasso marginale di sostituzione; tasso marginale di trasformazione; mercato finanziario; tasso di interesse; teorema della separazione; teoria dell’agenzia; incertezza; rischio; costoopportunità; valore attuale; operazione finanziaria; investimento; finanziamento; avversione e propensione al rischio; valore attuale netto; valore del tempo; valore del rischio.

1.1 Capitale, consumo e risparmio I problemi di allocazione delle risorse disponibili in un sistema economico (cioè l’impiego delle risorse reali a disposizione, per definizione scarse) e di distribuzione dei risultati derivati dalla produzione (cioè la ripartizione dei redditi tra gli individui che partecipano alla produzione) sono stati oggetto di studio da parte di molti economisti che nel tempo hanno proposto teorie e modelli razionali tenendo conto di fondamentali aspetti sociali quali occupazione e sviluppo (Dasgupta, 1999). In vario modo teorie dell’utilità e della produzione hanno analizzato il problema e i processi di scelta che gli operatori economici (consumatori, imprese, …), in un sistema capitalistico, devono affrontare per risolvere tipiche esigenze di impiego delle risorse disponibili. TIPICI CONTESTI DECISIONALI - La teoria dell’utilità attesa (Von Neumann e Morgenstern, 1947), ha contribuito a definire il comportamento razionale che gli operatori economici dovrebbero adottare nell’ambito di tre diversi contesti decisionali che rispettivamente richiedono:

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scelte istantanee: tra beni di consumo differenti, la cui analisi rinvia alla teoria dei prezzi relativi; scelte intertemporali: tra consumo immediato e consumo futuro, in condizioni di certezza, la cui analisi configura il risparmio e corre parallelamente alla teoria dell’interesse; scelte intertemporali tra alternative rischiose di investimento – e di finanziamento – la cui trattazione è oggetto specifico della teoria delle scelte finanziarie.

TEORIA DELLA FINANZA - La Teoria della Finanza, che amplia i contributi forniti dalla teoria dell’interesse, riguarda essenzialmente le decisioni intertemporali di allocazione del capitale effettuate - da individui, imprese - con finalità economiche: per trarne, cioè, un vantaggio netto, una convenienza. Nel corso della seconda metà del 1900, gli studi e i modelli teorici proposti dagli studiosi evolvono rapidamente e si complicano in relazione: al maggior grado di incertezza preso in considerazione, al grado di razionalità degli operatori assunto nel quadro delle ipotesi, al grado di funzionalità dei mercati finanziari. In questo capitolo si inquadra il problema dell’allocazione ottimale del capitale; lo si sviluppa nei capitoli successivi, sempre in contesti assai semplificati, ma estremamente significativi. Pur trascurando tanti fattori che nella realtà condizionano le decisioni finanziarie si perviene ad un primo importante schema concettuale muovendo, volutamente, non già dalle opportunità di impiego del capitale, ma dalle ragioni dell’impiego. Si vedrà come gli investimenti in attività produttive originano da valutazioni e decisioni finanziarie, e che la sorte dell’iniziativa produttiva condiziona la possibilità di soddisfare effettivamente le esigenze di consumi intertemporali delle persone, massimizzando al tempo stesso i livelli di benessere di un sistema economico. Nel modello, quindi, emergono chiaramente logiche e relazioni finanziarie fondamentali che collegano funzionalmente, consumatori, imprese e mercati. Inizialmente si considera un mondo le cui prospettive economiche sono prima del tutto prevedibili, poi solo congetturabili; popolato da investitori assolutamente razionali; prima privo di mercati finanziari, poi avvantaggiato dalla presenta di un mercato finan1 ziario pienamente funzionale . UTILITÀ NELLA TEORIA DELLA FINANZA - La teoria economica ha fatto ricorso al concetto di utilità e alle funzioni di utilità, rappresentazioni matematiche in grado di esprimere il beneficio, misurato in termini di livello di utilità (o di benessere), che un individuo può trarre dal consumo di una determinata quantità di un bene, dalla fruizione di determinato servizio, o da un paniere di beni.

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Il concetto di funzionalità dei mercati finanziari è sviluppato nel secondo capitolo.

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UTILITĂ€ - L’utilitĂ consente quindi di misurare il vantaggio traibile dai consumi da 2 parte del beneficiario, anche se i beni sono di tipologia o alternativi . UTILITĂ€ CRESCENTI IN RELAZIONE A MAGGIORI CONSUMI - Normalmente gli operatori razionali associano a livelli piĂš alti di consumo, livelli maggiori di piacere, di soddisfazione: si dirĂ di utilitĂ . FORMALIZZAZIONE DELLE FUNZIONI DI UTILITĂ€ - Con riferimento a un determinato bene (o paniere) una funzione di utilitĂ mostra un andamento concavo verso il basso; l’utilitĂ marginale del consumo è positiva e ciò significa che il consumo di un’unitĂ addizionale del bene aumenta il livello complessivo di utilitĂ ; ma le utilitĂ marginali sono decrescenti, ovvero il consumo di un’unitĂ addizionale fa aumentare il livello 3 complessivo di benessere meno di quanto non lo faccia la precedente . Figura 1.1 – Generica curva di utilitĂ dei consumi di un bene

U(C)

U

C Fonte: Adattamento da Copeland e Weston, 1994

Formalmente, poichĂŠ l’utilitĂ marginale del consumo è positiva, la derivata della funzione di utilitĂ prima è sempre positiva đ?œ• ′ đ?‘ˆ(đ??ś) >0 đ?œ•đ??ś e poichĂŠ l’utilitĂ marginale del consumo è decrescete (per l’ipotesi di sazietĂ ), la derivata seconda è sempre negativa. đ?œ• ′′ đ?‘ˆ(đ??ś) <0 đ?œ•đ??ś

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Si vedrĂ come le preferenze dell’individuo possono essere riferite non solo ad alternative certe, ma anche incerte, agli esiti delle quali è associata un’appropriata distribuzione di probabilitĂ di verificazione (Impicciatore, 1994). 3

Le funzioni di utilitĂ piĂš utilizzate nelle applicazioni sono: utilitĂ logaritmica, utilitĂ esponenziale, utilitĂ quadratica, utilitĂ di tipo potenza, utilitĂ di tipo HARA (Castellani e altri, 2005).

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UTILITÀ CHE DERIVA DAL DIFFERIMENTO DEI CONSUMI NEL TEMPO – Si è detto che le funzioni di utilità possono essere impiegate per ottimizzare, nei limiti del capitale disponibile a un individuo che voglia utilizzarlo per soddisfare le proprie necessità di consumo, il vantaggio che deriva: dal consumo di beni (o panieri) diversi o, ed è questo il caso che qui interessa, per considerare l’utilità complessiva che può derivare da consumi effettuati in un’epoca o in in epoca diversa (Copeland e Weston, 1994). FUNZIONI DI UTILITÀ IN t0 E IN t1 – A tal fine, si proceda considerando una prima funzione di utilità riferita a consumi effettuati in t0 e una seconda che indica il livello di utilità di pari dosi di consumi effettuati, alternativamente, in t1: cioè facendo uso del capitale eventualmente con consumato. Figura 1.2 – Curve di utilità di consumi riferiti all’inizio e alla fine di un periodo

Il confronto tra le utilità attribuite dal tale individuo a dosi di consumi riferiti alternativamente ad epoche diverse indica l’esistenza di un interesse da parte dell’operatore a rinunciare a consumi attuali in cambio di consumi futuri: è possibile che ciò avvenga perché il livello dei consumi attuali è sufficientemente alto per innescare tale interesse. Dal confronto emerge anche il grado di preferenza che peraltro varia in relazione alle per dosi marginali di consumo attuale alle quali rinuncia. Ciò che conta è che esista un interesse alla sostituzione di consumi attuali con consumi futuri; e normalmente, le dosi attuali sono preferibili alle corrispondenti dosi future. Ponendo in relazione le indicazioni derivanti dalle funzioni di utilità poc’anzi configurate associate a consumi effettuati in epoche diverse si possono individuare – come indicato in Figura 1.3 – le proiezioni sul piano cartesiano C0, C1 di un set di curve che esprimono combinazioni di consumi attuali e differiti caratterizzate dalla stessa utilità. Figura 1.3 – Ricerca del trade-of tra consumi attuali e differiti

Fonte: Nostro adattamento da Copeland e Weston, 1994

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Capitolo 1

Muovendosi sulla singola curva si può leggere a quanti consumi attuali il singolo operatore debba rinunciare in sostituzione di consumi differiti, senza modificare il livello di utilità totali (livello associato alla curva di iso-utilità). Figura 1.4 – Famiglie di curve di iso-utilità

Fonte: Nostro adattamento da Copeland e Weston, 1994

Le curve poste più in alto a destra del piano indicano il trade-off individuale dichiarato in corrispondenza di livelli di consumi maggiori: ad esse corrispondono quindi utilità complessive maggiori. Nella Figura 1.4 le curve di utilità sono perciò numerate con un criterio ordinale e le combinazioni considerate con la U3 forniscono più utilità complessiva di quanto ne fornisca la U2. SCELTA – Come scegliere tra combinazioni di consumi intertemporali diversamente apprezzabili come quelle scaturite dalla situazione appena rappresentata? Si ponga in relazione il set di possibilità con il capitale (R0) a disposizione per i consumi: la Figura 1.5 introduce un vincolo nelle considerazioni in corso. Infatti, in assenza di altre possibilità – e a prescindere da altri condizionamenti – il consumatore può utilizzare tutto il capitale a sua disposizione in t0 (in tal caso i consumi avrebbero pari valore, C0 = R0) o in t1 (anche in questo caso C1 = R0); o scegliere combinazioni nel vincolo di spesa (punto A che combina CA0 con CA1; punto C che combina Cc0 con Cc1). Figura 1.5 – Vincolo di spesa e combinazioni tra consumi attuali e futuri

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Per considerare simultaneamente le possibilità di consumo con il vincolo, nella Figura 1.6 si sovrappone la retta al set di curve: orientarsi sarà più agevole. Figura 1.6 – Livelli di utilità preferibile

Si supponga di voler consumare tutto il capitale disponibile all’inizio del periodo: questa intenzione corrisponde al punto C0 = R0 posto sull’incrocio tra curva di iso-utilità con la retta delle ascisse (Figura 1.6): graficamente è ben evidente che a questa combinazione di consumi (t0 = C0 ; t1 = 0 ) è preferibile quella indicata dal punto D perché comporta maggiore utilità ed è compatibile col il vincolo di bilancio; la combinazione ideale corrisponde al punto E, di tangenza della retta rappresentativa il vincolo di massima spesa con la curva di massima utilità. In buona sostanza, il consumatore che ha interesse a combinare nel migliore dei modi consumi attuali con consumi differiti, nei limiti del capitale a disposizione, ricerca la massima utilità totale (curva iso-utilità più a destra in alto) che risiede in questo trade-off nei limiti dei mezzi disponibili: la tangenza tra la curva e la retta disegnate devono quindi avere un significato particolare. SAGGIO MARGINALE DI SOSTITUZIONE – Invero la tangente ad ogni punto di ogni curva di iso-rendimento segnala un tasso marginale di sostituzione (in simboli MRS), cioè, come anticipato, la ragione di scambio tra consumo attuale e futuro; ed anche, potremo dire, un tasso soggettivo, s, di preferenza temporale (Copeland e Weston, 1994). Figura 1.7 – Preferenze intertemporali individuali e saggi marginali di sostituzione

Fonte: Nostro adattamento da Copeland e Weston, 1994

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Infatti tale ragione di scambio, che fissa quanti consumi differiti assicurano la stessa utilitĂ pur rinunciando a consumi attuali, consente all’operatore economico s-esimo, di mantenere lo stesso livello di benessere personale: đ?‘€đ?‘…đ?‘†(đ??´) =

đ?œ•đ??ś1đ??´ | = −(1 + đ?œ‹đ?‘ đ??´ ) đ?œ•đ??ś0đ??´ đ?‘ˆ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’

đ?‘€đ?‘…đ?‘†(đ??ľ) =

đ?œ•đ??ś1đ??ľ | = −(1 + đ?œ‹đ?‘ đ??ľ ) đ?œ•đ??ś0đ??ľ đ?‘ˆ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’

Il punto E di tangenza della Figura 1.6 configura una soluzione ideale in quanto: -

-

se, muovendosi sulla stessa curva di iso-utilità , ci si fermasse prima di raggiungere il punto E o si andasse oltre, si configurerebbero possibili combinazioni di consumi incompatibili col capitale (Ro) finora considerato a disposizione dell’operatore ; se, muovendosi sulla retta che traccia il limite di spesa, ci si fermasse prima di raggiungere il punto E o si andasse oltre, ci si troverebbe su una curva di isoutilità con minore utilità complessiva.

Considerata l’inclinazione della retta, nel punto E - tangenza tra curva e retta - si è raggiunto il livello di massima utilitĂ possibile. In conclusione: -

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il semplice apprezzamento espresso dai consumatori rispetto a consumi differiti amplia la gamma delle possibilità di scelta e richiede ad ogni individuo interessato di optare tra consumo e risparmio (funzionale, questo, ai consumi differiti); seguendo lo schema fin qui proposto, in relazione al grado di interesse per consumi futuri, il singolo individuo può ottenere benefici in termini di qualità delle utilità complessive, ma non ancora di valore di quanto può consumare (diremo poi, di ricchezza); può quindi ripartire nel tempo risparmio e consumo fino a conseguire il massimo delle utilità possibili col capitale a sua disposizione (Umax); il capitale non consumato fino a t1 configura la nozione di risparmio che si adotterà nel proseguo.

1.2 Investimento e impresa OPPORTUNITĂ€ PRODUTTIVE – Ăˆ interessante considerare come la presenza di opportunitĂ di investimento in attivitĂ produttive possa interferire con le scelte di consumo attuale; al momento, si considerano produttive quelle opportunitĂ di impiego di capitale che consentono di trasformare un’unitĂ di capitale corrente (capitale disponibile, non

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consumato oggi) in un capitale maggiore; e che quindi darà accesso a maggiori consumi. PIÙ CAPITALE, PIÙ CONSUMI, PIÙ UTILITÀ COMPLESSIVA – L’incentivo a destinare il capitale risparmiato verso investimenti produttivi risiede nella possibilità che questo consentirà di consumare più – si vedrà in che termini – di quanto sarebbe possibile con il solo capitale iniziale. Seguendo il modello orientato alla ricerca del massimo benessere traibile dal capitale disponibile, si vedrà che un soggetto razionale è particolarmente interessato a investire il proprio risparmio in investimenti produttivi in quanto: -

i consumi futuri saranno superiori a quelli possibili col solo capitale risparmiato (beneficiano dei ritorni dell’impiego del risparmio); l’utilità complessiva dei consumi futuri sarà maggiore.

SET DELLE OPPORTUNITÀ DI INVESTIMENTO – In un mondo in cui i risultati delle attività economiche siano prevedibili, si supponga che gli individui possano conoscere e ordinare il set delle opportunità di investimento in attività produttive (reali) in base al rendimento mono-periodale atteso. RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL SET DI OPPORTUNITÀ DI INVESTIMENTO – Le opportunità di investimento si considerano limitate: dosi aggiuntive di capitale via via destinato agli investimenti avranno rendimenti marginali decrescenti. Tali opportunità possono essere rappresentate su un piano cartesiano: in ordinata l’ammontare (I) di capitale investito (da zero a X), in ordinata i rendimenti marginali (m) decrescenti. La relazione può anche essere ipotizzata come mostra la seguente. Figura 1.8 – Set di opportunità di investimento ordinate per livelli di rendimento

Fonte: Adattamento da Copeland e Weston, 1994

ALTRE IPOTESI ADOTTATE - Tale rappresentazione, sconta anche le seguenti ipotesi: -

tutte le opportunità di investimento sono indipendenti l’una dall’altra e perfettamente divisibili;

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gli operatori, razionali, preferiranno le opportunità più vantaggiose e poi quelle via via meno vantaggiose rimaste disponibili.

Pertanto, al crescere del capitale risparmiato/investito in attività produttive il cui tasso marginale di rendimento tende a ridursi, il tasso di rendimento medio del capitale complessivamente investito diminuisce. COMBINAZIONE OTTIMALE DI CONSUMI NEL NUOVO CONTESTO – Ci si chiede quale comportamento dovrebbero adottare gli operatori in un orizzonte temporale definito che dispongono di un capitale iniziale (R0); il problema decisionale riguarda quanto consumare ad inizio periodo (C0) e quanto a fine periodo (C1), sapendo che: -

il capitale non consumato, risparmio dell’operatore, può essere investito in opportunità di investimento i cui rendimenti sono conosciuti a priori con certezza; non vi sono costi di transazione, asimmetrie informative, oneri fiscali.

TRASFORMAZIONE DEL CAPITALE ATTRAVERSO INVESTIMENTI PRODUTTIVI – In che modo le opportunità di investimento possono migliorare il grado di benessere individuale derivabile dai consumi? Per facilità espositiva si rappresenta il set di opportunità di investimento appena considerato sul piano C0; C1 (Figura 1.9). Figura 1.9 – Risparmio, investimento e capitale futuro destinabile a consumi differiti

Fonte: Nostro adattamento da Copeland e Weston, 1994

La curva di trasformazione del capitale passante per i punti R0, C e R1, indica in ordinata il montante cumulato disponibile in t1 a fronte di investimenti limitati, pari alla quota di capitale oggi disponibile (R0) e non consumato (nella figura R0 meno C0). SAGGIO MARGINALE DI TRASFORMAZIONE – L’inclinazione di ogni retta tangente alla curva di trasformazione individua un tasso marginale di trasformazione (MRT): il tasso misura la ragione di scambio puntuale tra unità di capitale risparmiato (non consumato in t0 e destinato alle attività produttive) e capitale complessivamente trasformato dalle

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imprese; tale montante, rientrato nella disponibilitĂ dell’investitore, in t1, può essere utilizzato per consumi individuali a livello C1. Il tasso marginale risente della pendenza negativa della curva delle opportunitĂ di investimento, pendenza a sua volta legata alla limitazione delle opportunitĂ di investimento e ai rendimenti degli investimenti marginali decrescenti. VERIFICHE ATTRAVERSO LA CURVA DI TRASFORMAZIONE – Osservando la Figura 1.7, si può notare che la trasformazione del capitale operata dalle imprese consente di raggiungere un livello di consumi in t1 maggiore di quanto fosse possibile semplicemente risparmiando il capitale: a tal fine si provi a confrontare cosa accade se ci si muove lungo la curva di trasformazione e non piĂš sulla retta rappresentativa il vincolo di spesa. Per esempio, in assenza di opportunitĂ di investimento, pur risparmiando đ?‘…0 − đ??ś0 il consumo possibile in t1 sarebbe stato: đ??ś1đ??´ = đ?‘…0 − đ??ś0 Introducendo le opportunitĂ di impieghi produttivi del risparmio, le possibilitĂ di consumo future aumentano (se il rendimento degli investimenti è positivo): đ??ś1đ??ś > đ??ś1đ??´ Il consumo futuro sarĂ maggiore per il rendimento complessivo del risparmio investito, in ragione del tasso marginale di trasformazione (qui misurato sul punto C): đ??ś1đ??ś = −(đ?‘…0 − đ??ś0đ??´ ) ∙ đ?‘€đ?‘…đ?‘‡ đ??ś PoichĂŠ il MRT, in valore assoluto, è pari al tasso di rendimento derivante dall’impiego del risparmio, ď ˛0C, incrementato dell’unitĂ , si avrĂ : đ??ś1đ??ś = (đ?‘…0 − đ??ś0đ??´ ) ∙ (1 + đ?œŒ0đ??ś ) BENEFICIO DERIVANTE DAGLI INVESTIMENTI PRODUTTIVI – Quali opportunitĂ produttive saranno davvero utili al consumatore? E quanto beneficio potrĂ trarne? Si ponga in relazione il set di curve di iso-utilitĂ con la curva di trasformazione operata dalle opportunitĂ di investimento produttivi: la retta che segna il vincolo di spesa costituisce un riferimento ancora utile.

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Figura 1.10 – Livello di consumo accessibile in seguito a investimenti produttivi

Fonte: Nostro adattamento da Copeland e Weston, 1994

Esaminando la Figura 1.10 si può verificare che, rispetto ad una ipotetica situazione iniziale di consumi corrispondenti al punto A, situazione associata ad un livello di benessere complessivo U1, prescindendo da investimenti produttivi, all’operatore converrebbe muoversi lungo la retta che segna il limite della spesa, consumare un po’ meno oggi (passaggio dal punto A al punto B) fino a conseguire – a parità di consumi totali – un livello di utilità superiore segnalato dalla curva di iso-utilità U2 raggiunta. Si può fare di più se si sfruttano le opportunità di investimento in attività reali: risparmiando un pò meno (R0 - Cc0) e impiegando questo capitale in attività produttive, si consegue una capitale spendibile in t1 pari a Cc1. Questo livello di consumi consente di raggiungere livelli di benessere corrispondenti al livello U3, ben maggiore dei livelli associati ai livelli di consumi corrispondentei ai punti B e A. RIEPILOGO – Il punto C nel grafico indica la combinazione intertemporale di consumi che garantisce all’operatore la massima utilità possibile; qualunque altra combinazione di consumi: -

se fosse perseguibile nel rispetto al vincolo di capitale disponibile, si collocherebbe su curve di utilità inferiori; se si collocasse su curve di utilità superiori, non sarebbe perseguibile dato il vincolo di capitale disponibile.

L’individuazione del punto C corrisponde quindi alla scelta ottimale di consumo-risparmio-investimento-consumo; scelta guidata dal confronto tra i saggi di preferenza intertemporale (MRS) e i saggi di rendimento degli investimenti (MRT). Infatti, all’operatore converrà spostarsi lungo la curva delle opportunità di investimento reale, rinunciando al consumo corrente, finché il saggio marginale di sostituzione (cioè l’inclina-

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zione delle rette tangenti ai vari punti delle curve di utilitĂ ) è inferiore al saggio marginale di trasformazione (cioè l’inclinazione delle rette tangenti dalla curva degli investimenti). Nel punto A, ad esempio, la rinuncia ad una unitĂ di consumo attuale ha un costo (il maggior consumo futuro richiesto in contropartita) piĂš che remunerato dai ritorni dell’investimento; in tal caso, il risparmio è piĂš conveniente del consumo perchĂŠ investito in opportunitĂ produttive. Ciò significa che all’operatore converrĂ risparmiare e investire parte del capitale disponibile fin tanto che non sia realizzata la condizione che individua il punto di ottimo: MRT = MRS. Questo accade nel punto C, dove l’operatore può godere di un livello di utilitĂ maggiore rispetto alla condizione di partenza. Inoltre, ricordando che: -

il tasso marginale di sostituzione è pari al tasso soggettivo di preferenza temporale dell’individuo s-esimo maggiorato dell’unitĂ e preso con il segno negativo, đ?‘€đ?‘…đ?‘†đ??ś = −(1 + đ?œ‹đ?‘ đ??ś )

-

il tasso marginale di trasformazione è pari al tasso di rendimento dell’investimento maggiorato dell’unitĂ e preso con il segno negativo, đ?‘€đ?‘…đ?‘‡đ??ś = −(1 + đ?œŒđ??ś )

-

la condizione di ottimo si ha quando è verificata la seguente condizione: đ?œ‹đ?‘ đ??ś = đ?œŒđ??ś

Generalizzando, si può affermare che, date le ipotesi prima illustrate: -

-

l’operatore, prima di procedere al consumo di tutto il suo reddito corrente, confronterĂ il proprio MRS con il MRT della curva delle opportunitĂ produttive; poi darĂ corso a tutti gli investimenti in opportunitĂ produttive fin tanto che il tasso marginale di trasformazione è superiore a quello marginale di sostituzione; infine, considererĂ ottimizzate le proprie scelte di consumo intertemporali quando il tasso di rendimento degli investimenti complessivamente realizzati non eguagli il proprio tasso soggettivo di preferenza temporale: đ?‘€đ?‘…đ?‘‡ = đ?‘€đ?‘…đ?‘† → đ?œŒ = đ?œ‹đ?‘

CONCLUSIONE – La decisione ottimale di investimento è quella che massimizza l’utilitĂ attesa dal consumo della ricchezza nell’orizzonte temporale di colui che prende la decisione. Tutte le scelte economiche si riducono alla fine ad una questione di consumo,

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risparmio e investimento, che sono posti in relazione alle necessità e al benessere dell’individuo. Tuttavia, è bene precisare che, in assenza di mercati dei capitali, individui con le stesse opportunità di consumo e produttive e con lo stesso capitale iniziale, ma con tassi marginali di sostituzione differenti, possono adottare soluzioni di consumo – risparmio – investimento differenti. Ciò è evidente nel grafico seguente, dove i soggetti A, B e C, avendo tassi soggettivi di preferenza differenti, adotteranno soluzioni differenti: il soggetto A, avendo un costoopportunità del consumo maggiore dei soggetti B e C, preferirà consumare al presente più di quanto non facciano gli altri. Figura 1.11 – Livello di consumo accessibili mediante investimenti produttivi

Fonte: Nostro adattamento da Copeland e Weston, 1994

1.3 Mercato dei capitali e valore Il mercato finanziario è considerato una struttura fondamentale di ogni sistema economico (Forestieri e Mottura, 2013): si vedrà come e in quali condizioni può effettivamente migliorare il funzionamento di un sistema, favorendo il grado di efficienza delle negoziazioni e orientando la capacità di produrre ricchezza da parte dell’economia reale. Il mercato finanziario non è solo l’ambiente che consente di concludere operazioni finanziarie tra soggetti che dispongono di dosi di capitale in surplus (operatori che hanno risorse finanziarie in eccesso rispetto al livello di consumi attuali) e soggetti in deficit (operatori economici che hanno necessità di risorse finanziarie superiori alle proprie disponibilità): ciò che conta è che il trasferimento di capitali consenta di migliorare

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l’utilità individuale e collettiva connessa alle scelte di consumo e investimento; consenta non solo il trasferimento del risparmio tra soggetti, ma soprattutto la valorizzazione del patrimonio. POSSIBILITÀ DI DARE E PRENDERE A PRESTITO CAPITALE – Integrando il mercato dei 4 capitali nello schema fin qui considerato si introduce a questo punto la possibilità che ciascun operatore possa dare o prendere a prestito capitali - nei limiti della disponibilità - ad un saggio di interesse predefinito (i); tale tasso fissa: -

-

per i soggetti in surplus, il rendimento possibile a fronte della cessione del proprio capitale (non consumato e non investito personalmente in attività produttive); per i soggetti in deficit, il costo per l’acquisizione del capitale.

SAGGIO DI INTERESSE CAPITALE – L’interesse, da un lato costituisce un ristoro per i soggetti che prestando il proprio capitale rinunciano a consumarlo; dall’altro fissa un onere per chi – approvvigionandosene – può già trarre un vantaggio immediato dai maggiori consumi ai quali potrebbe accedere mediante l’utilizzo del capitale acquisito. Sebbene qui si ipotizza un livello di saggio pre-definito senza entrare – almeno per il momento – nel merito di chi lo abbia stabilito e con che criterio lo abbia fatto, ci si renderà presto conto che la misura del tasso di interesse non è questione da poco conto e che condiziona fortemente le decisioni assunte dagli operatori. Si ricorda però che un tasso di interesse è detto di mercato quando deriva dall’incontro tra domanda ed offerta di capitali in prestito, e che quando il mercato è efficiente e funzionale, il tasso di interesse consente di raggiungere una condizione di equilibrio generale che esclude la possibilità che residuino fabbisogni non coperti o risparmi non investiti. CAPITALE DISPONIBILE E TASSO DI INTERESSE – Il mercato dei capitali, in quanto disponibilità limitata di capitali negoziabili al tasso i che regola il prestito, può essere rappresentato graficamente – nella prospettiva aggregata (di sistema) o nella misura in cui rileva per ciascun operatore economico – attraverso una retta con inclinazione negativa, la cui pendenza è determinata proprio in relazione al tasso di interesse i. RICCHEZZA COMPLESSIVA – La retta W1R0 in Figura 1.12 rappresenta la ricchezza complessiva (W) dell’operatore (o del sistema economico, purché si sostituiscano dati individuali con dati aggregati): in t0 è pari a R0 (quando in t0 si consuma tutto il capitale disponibile).

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Nel testo i termini mercato finanziario e mercato dei capitali sono spesso utilizzati come sinonimi, mentre convenzionalmente il primo è un segmento del secondo; per approfondimenti si rinvia alla parte quarta del volume.

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Figura 1.12 – Ricchezza dell’operatore in t0 e in t1

Il valore W1 corrisponde ai consumi che sarebbero possibili in t1 se si rinunciasse a ogni consumo attuale, per prestare al mercato tutto il proprio capitale al tasso i, ovvero đ?‘Š1 = đ?‘…0 ∙ (1 + đ?‘–) Si osservi però che il valore attuale di W1, calcolato al saggio i corrisponde ancora a R0: in buona sostanza, la presenza di un mercato dei capitali consente di trarre un rendimento dall’impego dei capitali, ma ciò – in termini di valori attuali – non genera maggior benessere, ricchezza netta, se il tasso che regola gli impieghi remunera solo il tempo di attesa per il differimento dei consumi. VANTAGGI DERIVANTI DALLA POSSIBILITĂ€ DI PRENDERE A PRESTITO CAPITALE - Il mercato dei capitali, consentendo il trasferimento nel tempo delle risorse finanziarie, e quindi della connessa capacitĂ di spesa, permette agli individui di effettuare scambi di consumi intertemporali. Con quali vantaggi? La Figura 1.13 pone in relazione le curve di iso-utilitĂ con la retta del mercato dei capitali, rappresentativa delle possibilitĂ di effettuare operazioni finanziarie di prestito (attive o passive). Spostarsi lungo la retta del mercato dei capitali fino al punto D significa rinunciare al consumo di una parte del capitale disponibile (R0-C*0) e offrire in prestito il risparmio sul mercato finanziario: come giĂ considerato, la ricchezza complessiva (W0) non cambia, ma ne scaturisce una combinazione di consumi che fornisce un vantaggio in termini di utilitĂ . Infatti l’operatore beneficia di una combinazione di consumi maggiori posizionata sulla curva di iso-utilitĂ U2 preferibile a U1.

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Figura 1.13 – Massimizzazione dell’utilità in presenza di mercati finanziari

Cosa origina tale miglioramento? E di cha natura è? Si osserva, intanto, che il punto C non indica una combinazione molto conveniente per l’operatore razionale: intanto perchĂŠ il trade-off consumi futuri contro consumi attuali (come segnalato dal MRS in C) è inferiore al saggio i đ?‘€đ?‘…đ?‘† < −(1 + đ?‘–) ; l’operatore, in altre parole, scambia consumi futuri contro quelli attuali in misura inferiore rispetto a quanto sarebbe possibile sacrificando meno consumi attuali ed impiegando il risparmio nel mercato finanziario. In effetti, prestando parte del capitale disponibile (R0-C*0) otterrĂ alla fine del periodo capitale e interessi maturati, che gli consentiranno consumi superiori a quelli possibili con il solo reddito R0. đ??ś1∗ = (đ?‘…0 − đ??ś0∗ ) ∙ (1 + đ?‘–) maggiore di đ??ś1 = (đ?‘…0 − đ??ś0 ) Si osservi che la ricchezza complessiva in termini attuali (W0) non cambia e đ??ś1 + đ??ś0 =

(đ?‘…0 − đ??ś0 ) ∙ (1 + đ?‘–) + đ??ś0 = đ?‘Š0 (1 + đ?‘–)

sarĂ pari a đ??ś1∗ + đ??ś0∗ = đ?‘Š0 (1 + đ?‘–) Infatti, in termini di valori attuali, l’individuo beneficia di

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Capitolo 1

đ?‘Š0 = đ??ś0∗ +

(đ?‘…0 − đ??ś0∗ ) ∙ (1 + đ?‘–) đ??ś1∗ = đ??ś0∗ + = đ?‘…0 (1 + đ?‘–) (1 + đ?‘–)

In conclusione, la ricchezza attuale individuale e complessiva non varia a seguito dell’introduzione di operazioni di prestito consentite dal mercato finanziario; ma i benefici che derivano da operazioni di prestito consentono di modificare i consumi totali individuali: a vantaggio di chi presta, a svantaggio di chi richiede fondi per anticipare consumi ai quali altrimenti non avrebbe accesso. Per il sistema nel suo complesso il beneficio netto è nullo: gli operatori, tuttavia trovano modo per soddisfare le preferenze personali. COMPLETAMENTO DEL MODELLO – Premesso ciò, si ipotizzi che un operatore possa scegliere tra opportunitĂ iniziali di consumo e di investimento in relazione a una certa disponibilitĂ (R0) e in presenza di mercato dei capitali. Si verificherĂ come in un mercato dei capitali completo e perfetto, la produzione economica è orientata dal mercato finanziario e dall’obiettivo di massimizzazione della ricchezza dei risparmiatori; al tempo stesso le decisioni di consumo inter-temporale originano dalle preferenze soggettive dei consumatori. In assenza di intermediari finanziari i consumatori-risparmiatori risultano dunque soggetti decisori con responsabilitĂ dirette nel funzionamento del sistema. Per esporre la questione, si consideri la Figura 1.13 nella quale sono state poste in relazione: le curve di iso-utilitĂ (U1, U2 e U3); la curva di trasformazione del capitale impiegato in investimenti produttivi (ABD); la retta R1R0 che segna il vincolo di spesa legata al capitale iniziale (R0); la retta del mercato dei capitali W1R0. Figura 1.14 – Spostamenti verso l’equilibrio

Si vedrà come, superando il punto R0 che comunque fissa il livello di benessere derivante dal consumo di tutto il capitale iniziale in t0, l’operatore potrà aumentare la sua

Fondamenti di teoria finanziaria

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ricchezza unicamente muovendosi lungo la curva delle opportunità produttive, verso il punto B, sfruttando le possibilità di investimento. Si consideri quanto segue: il mero risparmio di una parte del capitale disponibile conduce l’operatore ad adottare una combinazione di consumi (attuali, futuri) corrispondenti al punto A, posizionato sulla curva con iso-utilità U1. Il punto A è posizionato sulla curva con iso-utilità U1 e ciò segnala una condizione di benessere inferiore rispetto a quella raggiungibile posizionando su curve di livello superiore. Il mercato dei capitali (retta W1W0) offre opportunità di impiego del capitale (i) più attrattive del mero risparmio; se l’operatore che avesse impiegato razionalmente il capitale risparmiato nel mercato dei capitale si sarebbe trovato in una condizione migliore, poco sopra il punto A, ove retta dei capitali incrocia la curva di produzione. Ancora più attrattive sono le opportunità di investimento produttive (MRT > MRS): perciò all’operatore conviene ridurre ulteriormente i propri consumi e investire quanto risparmiato, spostandosi dal punto A al punto B guadagnano in termini di livello di consumi e utilità complessivi. La combinazione consumi attuali-futuri indicati dal punto B si posizione infatti su U2, curva di utilità preferibile alla U1, tangente in B alla curva di trasformazione. Tuttavia, pur avendo raggiunto il livello di consumi/investimenti/benessere corrispondenti al punto B, le opportunità di investimento ancora possibili rendono ancora più di quanto costi finanziarsi ( > i); all’operatore razionale conviene: rinunciare ancora a parte dei consumi attuali e investire il capitale così risparmiato in ulteriore attività produttive fino a raggiungere il punto D; non conviene procedere con ulteriori investimenti perché il rendimento marginale degli ulteriori investimenti di capitale sarebbe inferiore al rendimento offerto dal mercato finanziario (al di sotto del quale non ha senso andare); ma non è possibile neanche sostenere una combinazione di consumi corrispondente al punto D la cui utilità complessiva è indefinita e probabilmente anche inferiore a U2. Per mantenere il vantaggio derivante dai maggiori investimenti compiuti con lo spostamento da B a D: l’operatore può comprare capitale sul mercato, pagando un costo (in ragione di i) comunque inferiore al rendimento tratto dagli investimenti ulteriori compiuti ( > i). L’acquisto di capitale gli consente di posizionarsi sul punto E posizionato sulla curva U3: il punto corrisponde a una combinazione di consumi attuali, in t0, pari a C*0 e di consumi in t1, pari a C*1. In realtà, in t1 l’operatore recupererà il capitale e i frutti degli investimenti che gli consentirebbero consumi per C1: deve però rimborsare e pagare l’onere del prestito ricevuto (spostamento da D a E) e che gli ha consentito di godere di un livello di benessere pari a U3 che altrimenti non sarebbe stato alla sua portata. Occorre ancora osservare che lo spostamento da D a E è avvenuto lungo la retta W*1W*0 parallela alla retta del mercato di capitali W1W0, quindi con inclinazione corrispondente al saggio di interesse (i): la retta W1W0 indica la nuova frontiera della ricchezza raggiunta dall’operatore. In E beneficia di un livello e una combinazione di consumi posti sulla curva di isoutilità raggiungibile solo in virtù di investimenti produttivi scelti in quanto i rendimenti erano maggiori del tasso i di mercato; e in virtù della presenza del mercato dei capitali

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Capitolo 1

attraverso il quale ha potuto finanziare parte degli investimenti produttivi ai quali ha potuto avere accesso. Ăˆ facile verificare che nel punto di equilibrio raggiunto la ricchezza complessiva è aumentata; in termini di valori attuali: đ?‘Š0∗ > đ?‘Š0 Ponendo il risparmio di inizio periodo R0 – CC0 pari a S0, e sostituendo tale espressione nella formula del valore attuale della ricchezza, si ottiene: đ?‘Š0∗ = đ?‘…0 − đ?‘†0 +

đ?‘†0 ∙ (1 + đ?œŒ) (1 + đ?‘–)

e, con semplici trasformazioni: đ?‘Š0∗ = đ?‘…0 + đ?‘†0 ∙ [

(1 + đ?œŒ) − 1] (1 + đ?‘–)

L’espressione può essere ulteriormente semplificata nel modo seguente: đ?‘Š0∗ = đ?‘Š0 + đ?‘†0 ∙ [

(1 + đ?œŒ) − 1] (1 + đ?‘–)

forma che esplicita le condizioni che hanno consentito il maggiore benessere: infatti, se il rendimento medio (ď ˛) degli investimenti effettuati non fosse stato maggiore del rendimento delle attivitĂ finanziarie, il miglioramento dello stato di benessere non si sarebbe realizzato. PRINCIPIO DELLA SEPARAZIONE DI FISHER – Su tale costruzione teorica, che sconta un mercato dei capitali efficiente e in equilibrio, si innesta il noto principio della separazione di Fisher (Fisher, 1930; Copeland e Weston, 1994), in base al quale il processo decisionale di un operatore razionale può essere separato in due fasi successive. Nella prima fase si individua la decisione di investimento ottimale, ovvero la quantitĂ ottimale di capitale da destinare agli investimenti reali, selezionando e realizzando tutti i progetti di produzione che presentano un tasso di rendimento superiore al tasso del mercato dei capitali; se l’investimento ottimale richiede un impiego di risorse superiori a quelle disponibili, si possono effettuare operazioni di prestito (di finanziamento) sul mercato finanziario fino a quando non si raggiunge un livello di investimenti produttivi in corrispondenza del quale è verificata la seguente condizione limite di convenienza: đ?‘€đ?‘…đ?‘‡ = −(1 + đ?‘–) In altri termini: si investe finchĂŠ il rendimento marginale degli investimenti eguaglia il rendimento del mercato finanziario.

Fondamenti di teoria finanziaria

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Nella seconda fase si procede a definire la decisione di consumo ottimale, ovvero la combinazione di consumi ottimali che massimizza l’utilitĂ traibile dalla ricchezza complessivamente generata con le decisioni di investimento; in questa fase decisionale, la possibilitĂ di dare o prendere a prestito capitali muovendosi lungo la retta del mercato dei capitali, consente di realizzare la condizione limite di convenienza: đ?‘€đ?‘…đ?‘† = −(1 + đ?‘–) Come dire: non si rinuncia a consumi attuali in vista di consumi futuri se il costo individuale della rinuncia supera il rendimento del risparmio sul mercato finanziario. PRIME RIFLESSIONI SULL’IMPRESA – Il principio della separazione consente, nelle prospettiva finanziaria, alcune prime importanti riflessioni che riguardano la natura, il governo e il valore finanziario dell’impresa. Per quanto considerato se l’impresa da un lato è strumento tecnico-organizzativo necessario alla produzione, da un altro, agli occhi del mercato dei capitali che la finanzia è investimento: è perciò condizionata dal conseguimento di una certa profittabilitĂ finanziaria, pena il disinteresse da parte dei suoi finanziatori e la sua insostenibilitĂ . In altri termini non basta che l’operativitĂ sia compatibile con situazioni e ragioni di natura reale, ma è necessario che sia funzionale alle aspettative e agli obiettivi degli operatori del mercato dei capitali di massimizzazione della loro ricchezza. Per quanto riguarda la conduzione dell’impresa, la teoria finanziaria afferma che in presenza di un mercato dei capitali efficiente, le decisioni di investimento in opportunitĂ produttive – separate da quelle di consumo – possono essere delegate a terzi che agiscono secondo regole precise e assumono decisioni orientate dalle situazioni determinate dal mercato. Di conseguenza, gli operatori economici, per massimizzare la loro ricchezza, non necessariamente devono configurarsi come imprenditori, ma possono mantenere lo status di investitori-principal, che, attraverso il finanziamento dell’attivitĂ imprenditoriale, delegano a dirigenti-agent il processo di selezione e realizzazione delle opportunitĂ produttive. Come si vedrĂ la questione è complicata dalla conflittualitĂ e dall’opportunismo insiti nei processi decisionali aziendali ed è approfondita nell’ambito della teoria dell’agenzia (Eisenhardt, 1989) che considera la rilevanza del mercato dei capitali e le modalitĂ 5 attraverso le quali esso condiziona le imprese . Infine, si consideri che il valore finanziario del capitale investito è determinabile soltanto in funzione delle risorse monetarie spendibili che l’impresa è in grado di generare e distribuire ai propri finanziatori; solo cosĂŹ quest’ultimi potranno effettuare consumi programmati massimizzando realmente il loro livello di benessere. 5

“Il mercato finanziario esprime il tasso di interesse a lungo termine, dunque quello che piĂš di ogni altro dovrebbe influire – per data efficienza del capitale – sulle decisioni di investimento. In questo senso, il mercato finanziario ha una funzione essenziale nell’allocazione delle risorse ed è il perno dell’interazione tra le decisioni di carattere reale e quelle di carattere finanziarioâ€? (Monti e Onado, 1989, pag. 20).

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Capitolo 1

1.4 Incertezza e rischio La Teoria della Finanza studia le decisioni economiche tipicamente in condizioni di incertezza, mirando ad analizzare e modellizzare il comportamento degli operatori economici di fronte a opportunità di investimento alternative, i cui risultati sono stimabili, ma non sono determinabili a priori. DISTINZIONI TRA INCERTEZZA E RISCHIO – Dal punto di vista concettuale, l'incertezza è associata ad un ambiente stocastico, nel quale una decisione può generare diversi possibili risultati, ciascuno condizionato dal verificarsi di scenari, circostanze, eventi non pre-determinabili. Al concetto di incertezza si collega quello di rischio: nel linguaggio comune, sovente al primo si associa la condizione nella quale tutti gli operatori economici si trovano nel momento in cui devono prendere decisioni senza poter confidare su esiti certi, ma solo possibili; al secondo si associa un pericolo al quale un operatore espone la propria condizione (socio-economica, ricchezza, benessere), che potrebbe scaturire dalla propria decisione. Frank Hyneman Knight, in Risk, Uncertainty and Profit (1921), configura la condizione di rischio soltanto in relazione a probabilità oggettive. Sostanziale si adotta una distinzione tra rischio e incertezza fondata sulla possibilità o meno di configurare possibili futuri stati del mondo (e quindi i ritorni correlati) e, nel primo caso, di assegnare loro una specifica probabilità di verificarsi. L’incertezza rimane una sorta di aleatorietà insuperabile, che subentra nel momento in cui non sia possibile riuscire a stimare una distribuzione di probabilità attraverso la quale qualificare un evento aleatorio (Colombi, 2003, pag. 25). Più pragmaticamente si usa associare rischio e incertezza a presunti gradi di maggiore e minore ponderabilità dell’alea che grava sulla effettiva manifestazione, o meno, di un evento futuro; l’incertezza che connota il maggior grado di imponderabilità di un evento si accompagna alla difficoltà di poterne considerare molti aspetti qualificanti. RISCHIO DEGLI INVESTIMENTI – Muovendo dalla distinzione proposta da Knight, gli economisti finanziari, si sono successivamente concentrati sulla distinzione di tipologie di rischio, sulle modalità della misurazione, nonché sulla ricerca e classificazione dei fattori che generano rischio. Nel campo finanziario si ritiene che il rischio di un investimento può essere espresso attraverso distribuzioni di probabilità della variabile aleatoria rendimento atteso dall’ investimento, la quale può essere stimata indagando sulle possibili manifestazioni future. Seguendo questa impostazione, un investimento è considerato rischioso quando è possibile formulare diverse ipotesi sui possibili risultati alternativi, così da ricavare l’intera distribuzione di probabilità della variabile aleatoria rendimento. I riflessi di tale impostazione sono evidenti nei principali studi sul rischio presenti nella letteratura finanziaria. Basti ricordare: -

il contributo di Markowitz (1952) sulla diversificazione degli investimenti e la riduzione del rischio specifico,

Fondamenti di teoria finanziaria

-

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quelli di Sharpe (1964), Lintner (1965) e Mossin (1966) sul pricing del rischio in condizioni di equilibrio, quelli di Modigliani e Miller (1958 e 1963) sulla distinzione tra rischio operativo e finanziario, quelli piĂš recenti sul Value at Risk (Culp e altri, 1998).

DISTRIBUZIONI PROBABILISTICHE DI RISULTATI FUTURI – In genere, la condizione di rischiosità di un investimento emerge in relazione alla stima dei possibili risultati finanziari alternativi conseguibili in futuro. Associando a scenari e risultati congetturabili una rispettiva probabilità di accadimento fino ad esaurire le eventualità , (non residuano ulteriori eventi/scenari probabili), si ottengono le conseguenti distribuzioni probabilistiche dei risultati considerati. Figura 1.15 – Distribuzione normale delle probabilità attribuite ai risultati attesi

PRIME STATISTICHE – Misure statistiche di dispersione e di posizione sono utili per misurare l’aleatorietĂ dei possibili i risultati alternativi dell’investimento impliciti nelle stime e quindi, in definitiva, dimensionare il rischio che si ritiene caratterizzi l’investimento. Tra le misure di posizione – media, moda e mediana – quella piĂš utilizzata è la media probabilistica, o anche speranza matematica, SM (o expectation, E) dei risultati. Considerando l’investimento rischioso i-esimo, i cui risultati attesi dipendono dal manifestarsi di uno degli S possibili scenari, si avrĂ : đ?‘†

đ??¸đ?‘– = đ?‘†đ?‘€đ?‘– = ∑ đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘ ∙ đ?‘?đ?‘ đ?‘ =1

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Capitolo 1

dove: -

ris indica il risultato atteso nello scenario s-esimo; ps indica la probabilitĂ di accadimento dello scenario s-esimo.

Si noti che: -

-

i risultati alternativi attesi dell’investimento – e le loro statistiche – possono essere misure assolute (ritorni o flussi) o misure relative, adimensionali (rendimenti, in precedenza indicati con ď ˛ se riferiti ad impieghi in attivitĂ reali); perchĂŠ gli scenari considerati consentano una rappresentazione esaustiva dei possibili esiti dell’investimento, occorre che la somma delle probabilitĂ ad essi assegnate sia pari al 100%.

Tra le misure di dispersione, le piÚ utilizzate sono gli indicatori probabilistici di variabilità dei risultati dell’investimento: -

la varianza, VAR, dei rendimenti alternativi attesi in ciascuno dei possibili scenari: �

đ?‘‰đ??´đ?‘…đ?‘– = ∑(đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘ − đ?‘†đ?‘€đ?‘– )2 ∙ đ?‘?đ?‘ đ?‘ =1

-

la standard deviation, SD, dei rendimenti alternativi attesi: đ?‘†đ??ˇđ?‘– = 2√đ?‘‰đ??´đ?‘…đ?‘–

-

l’indice di variabilità , v, dei rendimenti alternativi attesi: �� =

đ?‘†đ??ˇđ?‘– đ?‘†đ?‘€đ?‘–

SITUAZIONI PARAGONABILI – Per introdurre termini, descrivere situazioni e considerare i comportamenti di un operatore razionale di fronte a decisioni rischiose – cioè scelte la cui convenienza dipende da futuri stati del mondo, la situazione che si manifesterà – la teoria economica ricorre al concetto di lotteria. Come noto una lotteria è una scommessa organizzata, caratterizzata da quattro elementi fondamentali: -

un certo numero di possibili risultati alternativi, corrispondenti a premi monetari (anche nulli); gli esiti possibili sono limitati e determinati; ciascun risultato (una estrazione, una combinazione) si può considerare un futuro stato del mondo e il loro insieme esaurisce i possibili stati che si potranno verificare;

Fondamenti di teoria finanziaria

-

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a ciascuno stato del mondo è associata una probabilitĂ , che indica il grado di fiducia che tale stato si verifichi; le probabilitĂ associate a ciascuno stato del mondo – espresse in termini percentuali – devono qualificare tutte le eventualitĂ , e quindi la loro sommatoria deve essere pari a 1.

Nel caso piĂš comune di numero finito di risultati possibili l’esito della lotteria, cioè il valore monetario riconosciuto al vincitore, si configura come una variabile aleatoria 6 discreta ; nel caso meno comune di numero infinito di risultati si configura come una variabile aleatoria continua. Solo assumendo che gli stati del mondo siano mutuamente esclusivi e che il soggetto decisore possa attribuire a ciascuno di essi una probabilitĂ di verificarsi e riesca a pervenire alla stima di un risultato (valore, profitto; o perdita) atteso, si può cercare una soluzione razionale. Il risultato/valore atteso di una lotteria è pari al valore della variabile causale che si realizzerĂ in media: è pari alla media dei possibili valori monetari associati a ciascun esito ponderati per la rispettiva probabilitĂ che si manifesti. Per una lotteria che prevede due soli esiti possibili, e quindi due soli valori monetari per ogni giocatore, si avrĂ : đ??¸(đ?‘Ľ) = đ??¸(đ?‘…) = đ?‘?đ?‘˘ ∙ đ?‘…1đ?‘˘ + đ?‘?đ?‘‘ ∙ đ?‘…1đ?‘‘ dove: -

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x indica la lotteria (gioco o scommessa), R1u indica l’esito positivo della lotteria, scenario up, misurato come capitale disponibile al tempo 1, R1d indica l’esito negativo della lotteria, scenario down, misurato sempre come disponibile al tempo 1, pu la probabilità dell’esito positivo, pd la probabilità dell’esito negativo, dove pd = 1 – pu.

Un esempio di lotteria con esiti discreti è quella associabile al lancio di un dado. La situazione rischiosa “lancio del dadoâ€? è caratterizzata da: sei “stati del mondoâ€? e quindi sei possibili esiti (le facce del dado); sei probabilitĂ associabili a ciascun esito, tutte pari ad 1/6 in quanto teoricamente determinabili in base alla struttura del dado stesso. Associando un premio in euro pari al numero indicato dalla faccia del dado, si ha una lotteria che fa vincere al giocatore un valore monetario differente a seconda dell’esito del lancio del dado. Altro esempio di lotteria con esiti discreti è quella associabile al lancio di una moneta. La situazione rischiosa “lancio della monetaâ€? è caratterizzata da: due “stati del mondoâ€? e quindi due possibili esiti (le facce della moneta); due probabilitĂ associabili a ciascun esito, tutte pari ad 1/2 in quanto teoricamente determinabili in base alla struttura della moneta stessa. Associando un premio in euro pari alle due facce della moneta, si ha una lotteria che fa vincere al giocatore un valore monetario differente a seconda dell’esito del lancio della moneta.

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Capitolo 1

Si definisce equa quella lotteria (fair lottery) il cui risultato medio atteso è pari a zero: cioè non sono architettate per far vincere o per far perdere sistematicamente giocatori o banco. Formalmente: đ??¸(đ?‘Ľ) = đ??¸(đ?‘…) = đ?‘?đ?‘˘ ∙ đ?‘…1đ?‘˘ + đ?‘?đ?‘‘ ∙ đ?‘…1đ?‘‘ = 0 Dalla precedente formula si ricavano le probabilitĂ implicite nella condizione di equitĂ , le quali dovranno essere, per una lotteria con due soli possibili esiti, pari a: đ?‘?đ?‘˘ =

đ?‘…1đ?‘‘ đ?‘…1đ?‘˘ − đ?‘…1đ?‘‘

đ?‘?đ?‘‘ =

đ?‘…1đ?‘˘ đ?‘…1đ?‘˘ − đ?‘…1đ?‘‘

Una lotteria è equa soltanto quando si può sia vincere che perdere somme di denaro, e le probabilitĂ di vincita e di perdita sono determinate secondo le formulazioni indicate. AVVERSIONE, PROPENSIONE, INDIFFERENZA AL RISCHIO – Quando la media probabilistica dei risultati attesi dalla lotteria è diversa da zero, la scommessa non è piĂš per sua natura equa; la lotteria potrĂ comunque essere ricondotta ad un gioco fair prevedendo un costo c per il giocatore, tale per cui: đ??¸(đ?‘Ľ) = đ??¸(đ?‘…) − đ?‘? = 0 Secondo la teoria finanziaria, il comportamento tipico delle persone può essere ricondotto a tre classi: avversione al rischio (risk averters), propensione al rischio (risk lovers) e, infine, indifferenza al rischio (risk neutral). Gli appartenenti ad un gruppo si differenziano dagli altri per il loro comportamento di fronte ad un gioco fair. Infatti, dall’attitudine individuale al rischio (avversitĂ , propensione, indifferenza) dipenderĂ la quantitĂ di denaro che una persona è disposta a pagare per giocare: -

-

se è disposta a pagare una cifra esattamente pari a c, si dirà che la persona è neutrale al rischio; se è disposta a pagare meno del costo del gioco, la persona è avversa al rischio perchÊ confronterà la cifra da scommettere con il risultato peggiore possibile (che sarà necessariamente inferiore a c); se è disposta a pagare piÚ del costo c, la persona è propensa al rischio perchÊ confronterà la cifra da scommettere con il risultato migliore possibile (che sarà necessariamente superiore a c).

UTILITĂ€ E SITUAZIONI PREFERITE – La teoria dell’utilità è stata sfruttata per costruire un insieme di principi, logiche e strumenti necessari per assumere decisioni che, anche

Fondamenti di teoria finanziaria

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in condizioni di incertezza, siano coerenti con il principio della massimizzazione della ricchezza del decisore. Attraverso lo strumento logico-matematico delle funzioni di utilitĂ , e assimilando un investimento ad una particolare lotteria, è possibile associare un livello di soddisfazione (utilitĂ ) a ciascuno degli n possibili esiti di un investimento. Esprimendo tali esiti in termini di ricchezza attesa (W), l’utilitĂ complessivamente derivante dalla decisione di investimento si può nel seguente modo: đ?‘†

đ??¸[đ?‘ˆ(đ?‘Š)] = ∑ đ?‘?đ?‘ ∙ đ?‘ˆ(đ?‘Šđ?‘ ) đ?‘ =1 đ?‘†

đ?‘?đ?‘œđ?‘› ∑ đ?‘?đ?‘ = 1 đ?‘ =1

In altri termini, in condizioni di incertezza l’utilitĂ attesa equivale alla media probabilistica dei valori attesi dei premi (payoff) che una lotteria può generare. Se è possibile abbinare a ogni scenario e, quindi, ad ogni premio (il ritorno atteso della lotteria) la probabilitĂ (ps) di realizzarlo, la scelta tra diverse possibili combinazioni di consumo-risparmio-investimento (realizzabili con i redditi disponibili) si riduce alla scelta tra diverse lotterie, ordinabili secondo il noto criterio della massimizzazione dell’utilitĂ attesa. Quest’ultima è data, infatti, dalla sommatoria dei valori di utilitĂ raggiungibili sulla base del premio pagato dalla lotteria nei diversi stati del mondo, ciascuno ponderato per la rispettiva probabilitĂ di accadimento. In condizioni di incertezza le operazioni finanziarie possono essere paragonate a combinazioni di lotterie, ovvero come impieghi i cui payoff costituiscono variabili aleatorie, e sono attesi alla fine di un periodo di riferimento. Infatti, in tale accezione, massimizzare l’utilitĂ attesa in condizioni di incertezza equivale a massimizzare il valore attuale atteso dei risultati che ciascuna possibile decisione di consumo-risparmio-investimento. In condizioni di incertezza, le funzioni di utilitĂ vengono modellate in base a due caratteristiche principali degli investitori (Cuthbertson e Nitzche, 2004, pag. 18-19). La prima è detta non sazietĂ , la quale comporta che l’utilitĂ marginale della ricchezza sia sempre positiva in quanto gli individui preferiscono sempre avere una maggiore ricchezza rispetto ad una minore. In termini piĂš analitici, tale assunto impone che qualunque funzione di utilitĂ abbia un andamento crescente al crescere della ricchezza posseduta e, quindi, una derivata prima sempre positiva: đ?‘ˆâ€˛(đ?‘Š) =

đ?›żđ?‘ˆ(đ?‘Š) >0 đ?›żđ?‘Š

La seconda caratteristica è relativa al grado di avversione al rischio degli individui, dal quale dipende la forma (concava, lineare o convessa) delle loro funzione di utilità . Per

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Capitolo 1

definire il grado di avversione al rischio, occorre introdurre un concetto particolarmente rilevante nei processi decisionali in condizioni di incertezza: quello di ricchezza equivalente certa, WEC. Questa è pari alla quantitĂ di ricchezza attesa capace di offrire un livello di utilitĂ pari alla speranza matematica delle utilitĂ attribuibili a ciascuno dei ritorni alternativi attesi di un investimento (Gilli e Kreps, 2005). Considerando i risultati possibili del gioco rischioso e le rispettive probabilitĂ , la WEC è quella misura della ricchezza attesa che soddisfa la seguente condizione di uguaglianza: đ?‘†

đ?‘ˆ(đ?‘Šđ??¸đ??ś ) = đ??¸[đ?‘ˆ(đ?‘Š)] = ∑ đ?‘?đ?‘ ∙ đ?‘ˆ(đ?‘Šđ?‘ ) đ?‘ =1

Le curve di utilitĂ di soggetti avverso al rischio (risk averse) saranno concave, in quanto una ricchezza equivalente certa è sempre preferita alla stessa ricchezza attesa con incertezza; da ciò consegue che la ricchezza equivalente certa sarĂ sempre inferiore alla ricchezza media attesa. Figura 1.16 – UtilitĂ attesa per soggetti avversi al rischio

In termini piĂš analitici, si può affermare che nel caso di investitori avversi al rischio, la derivata seconda della funzione di utilitĂ sarĂ negativa: đ?‘ˆ ′′ (đ?‘Š) =

đ?œ•đ?‘ˆâ€˛(đ?‘Š) <0 đ?œ•đ?‘Š

Soggetti indifferenti al rischio (risk neutral) saranno caratterizzati da curve di utilità lineari, in quanto una ricchezza certa è giudicata pari alla stessa ricchezza attesa con incertezza; da ciò consegue che la ricchezza equivalente certa sarà sempre pari alla ricchezza media attesa.

Fondamenti di teoria finanziaria

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Figura 1.17 – Utilità attesa per soggetti neutrali al rischio

In termini analitici, la derivata seconda della funzione di utilitĂ di investitori neutrali al rischio sarĂ pari a zero: đ?‘ˆ ′′ (đ?‘Š) =

đ?œ•đ?‘ˆâ€˛(đ?‘Š) =0 đ?œ•đ?‘Š

Infine, le curve di utilitĂ di soggetti propensi al rischio (risk lover) saranno convesse, in quanto una ricchezza incerta è giudicata piĂš appetibile rispetto ad una ricchezza certa e pari alla ricchezza media attesa; da ciò consegue che la ricchezza equivalente certa sarĂ sempre superiore alla ricchezza media attesa. Figura 1.18 – UtilitĂ attesa per soggetti propensi al rischio

Analiticamente, per investitori amanti del rischio, la derivata seconda della funzione di utilitĂ sarĂ positiva:

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Capitolo 1

đ?‘ˆ ′′ (đ?‘Š) =

đ?œ•đ?‘ˆâ€˛(đ?‘Š) >0 đ?œ•đ?‘Š

PREMIO PER IL RISCHIO – Dalla caratteristica di avversione al rischio degli investitori, che rende le loro funzioni di utilitĂ strettamente concave, emergere il concetto di premio per il rischio, fondamentale per la costruzione di modelli per le decisioni d’investimento. Esso corrisponde al massimo ammontare di ricchezza che un individuo è disposto a cedere per evitare una situazione rischiosa. Secondo Markowitz (1952) può essere misurato come differenza tra la ricchezza attesa dall’individuo in una condizione di incertezza, ed il livello di ricchezza certa che lo stesso sarebbe disposto ad accettare se la condizione di aleatorietĂ venisse rimossa. Il premio per il rischio, dunque, si lega al concetto di ricchezza equivalente certa: đ?‘ƒđ?‘… = đ??¸(đ?‘Š) − đ?‘Šđ??¸đ??ś I lavori di Pratt (1964) e Arrow (1971) hanno successivamente fornito due ulteriori misure per specificare meglio il grado di avversione al rischio di un individuo: l’avversione assoluta al rischio e l’avversione relativa al rischio. Esprimendo il premio di rischio in funzione sia del livello di ricchezza iniziale che della situazione rischiosa, è possibile definirlo come quell’ammontare di denaro (una sorta di premio assicurativo contro il rischio) che soddisfa la seguente condizione di uguaglianza: đ??¸[đ?‘ˆ(đ?‘Š + đ?‘…1đ?‘–)] = đ?‘ˆ[đ?‘Š + đ??¸(đ?‘…1đ?‘–) − đ?‘ƒđ?‘…] Ipotizzando che la lotteria sia equa, per cui E(R1i) = 0, si giunge ad esplicitare il premio di rischio nel seguente modo, qualunque sia la funzione di utilitĂ considerata: đ?‘ˆâ€˛â€˛(đ?‘Š) 1 2 (− ) đ?‘ƒđ?‘… = đ?œŽđ?‘…1 đ?‘ˆâ€˛(đ?‘Š) 2 Questa è la misura puntuale del premio per il rischio “alla Arrow – Pratâ€?. PoichĂŠ 1/2ď ł2R1 è sempre positivo, il segno del premio per il rischio è determinato dal segno del termine tra parentesi. Quest’ultimo esprime l’avversione assoluta al rischio, AAR, cosĂŹ chiamata in quanto misura il grado di avversione al rischio in corrispondenza di un dato livello di ricchezza iniziale. L’evidenza empirica dimostra infatti che l’AAR diminuisce con l’aumentare della ricchezza. Moltiplicando l’avversione assoluta al rischio per il livello di ricchezza, si ottiene l’avversione relativa al rischio, ARR: đ??´đ?‘…đ?‘… = đ?‘Š (−

đ?‘ˆâ€˛â€˛(đ?‘Š) ) đ?‘ˆâ€˛(đ?‘Š)

Una avversione relativa che si mantiene costante indica un individuo che avverte una avversione costante al rischio per una perdita proporzionale di ricchezza, anche se l’aumento della perdita assoluta cresce al crescere della ricchezza.

Fondamenti di teoria finanziaria

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Esemplificazione 1.1 Avversione al rischio, equivalente certo e premio per il rischio Si consideri il seguente esempio numerico per il calcolo dell’equivalente certo, del premio di rischio e del costo di partecipazione ad un gioco rischioso. Si supponga che i livelli di utilità di un individuo siano descritti da una funzione di tipo logaritmico: U (W) = ln (W). Tale funzione assume, in coerenza con le ipotesi di non sazietà e di avversione al rischio, un andamento strettamente concavo. Si suppone che il soggetto sia dotato di una ricchezza iniziale W0 pari a € 50 e abbia l’opportunità di impiegare tale ricchezza in un investimento rischioso, i cui esiti possibili sono: -

uno favorevole pari a € 60 (R1u), con probabilità di verificarsi (pu) del 30%, che porterebbe la ricchezza attesa del soggetto (W1u) a € 110; uno sfavorevole (R1d) pari a € -10 euro, con probabilità di verificarsi (pd) del 70%, che porterebbe la ricchezza attesa del soggetto (W1d) a € 40.

L’utilità attesa dei possibili esiti dell’investimento può essere misurata, come di seguito mostrato, applicando la funzione prima illustrata: U (W1u) = ln (W1u) = 4,7005 U (W1d) = ln (W1d) = 3,6889 Considerando le rispettive probabilità di ciascun risultato possibile, si procede a calcolare l’utilità media attesa: E[U(W1)] = pu*U(W1u) + pd*U(W1d) = 3,9924 Sulla base dei risultati così ottenuti, si può determinare il risultato equivalente certo; ricordando che la funzione di utilità è di tipo logaritmico, si avrà: REC = e3,9924 = 54,18. A questo punto è possibile calcolare sia il premio per il rischio, PR, che il costo della partecipazione al rischio, CPR: PR = E(W1) – REC = 61,00 – 54,18 = 6,82; CPR = W0 – REC = 50,00 – 54,18 = – 4,18. Si nota che, poiché la situazione è rischiosa, l’investitore sarebbe disposto a cedere € 6,82 per assicurarsi contro il rischio (trasformando cioè un situazione incerta in una certa con pari utilità). Inoltre, l’operatore è disposto a pagare fino a € 4,18 per rinunciare alla ricchezza odierna e assumere una situazione rischiosa (impiego in un investimento con perdite potenziali).

36

Capitolo 1

1.5 Tempo, rischio, finanza La Teoria della Finanza si occupa della massimizzazione della ricchezza degli operatori economici, suggerendo modelli concettuali per l’ottimizzazione delle scelte di investimento. Tale ottimizzazione presuppone l’impiego di capitale (risparmio) in opportunitĂ di investimento reali (attivitĂ produttive) e finanziarie (prestiti sul mercato dei capitali). INCREMENTO DI VALORE NELLA PROSPETTIVA MONO-PERIODALE – Le opportunitĂ di investimento sono profittevoli quando il valore corrente della ricchezza dopo l’impiego dei risparmi è superiore al valore della ricchezza prima dell’impiego (le operazioni di finanziamento sono onerose e, in sĂŠ, provocano sulla ricchezza un effetto di segno opposto). Ciò dipende dal differenziale tra rendimento dell’impiego (ď ˛) e costo della disponibilitĂ del capitale (i); riprendendo le formulazioni prima indicate, si può scrivere infatti: đ?‘Š0∗ = đ?‘Š0 + đ?‘†0 ∙ [

∆đ?‘Š0 = đ?‘†0 ∙ [

(1 + đ?œŒ) − 1] (1 + đ?‘–)

(1 + đ?œŒ) đ?œŒâˆ’đ?‘– − 1] = đ?‘†0 ∙ (1 + đ?‘–) 1+đ?‘–

TASSO INTERNO DI RENDIMENTO – PoichĂŠ il tasso di rendimento è pari al rapporto tra capitale maturato (cioè complessivamente disponibile per il consumo a fine periodo, t = 1) e capitale investito (cioè risparmiato ad inizio periodo, t = 0, perchĂŠ sottratto ai consumi), sottratto di un’unitĂ , esso concettualmente assume il significato di tasso di rendimento finanziario medio del periodo, ovvero di tasso interno di rendimento dell’investimento (TIR); in un contesto mono-periodale, esso si può facilmente determinare: đ?œŒ=

đ??ś1 − 1 = đ?‘‡đ??źđ?‘… (đ?‘…0 − đ??ś0 )

La massimizzazione della ricchezza dell’investitore dipende quindi dalla massimizzazione dello spread tra tasso interno di rendimento dell’investimento e onerositĂ (costo) del capitale impiegato: ∆đ?‘Š0 = đ?‘†0 ∙ [

(1 + đ?œŒ) đ?‘‡đ??źđ?‘… − đ?‘– − 1] = đ?‘†0 ∙ (1 + đ?‘–) 1+đ?‘–

PROSPETTIVA MULTI-PERIODALE – Il differenziale tra rendimento finanziario del capitale e costo del capitale rappresenta l’origine del valore finanziario netto di qualsiasi operazione di impiego di risorse finanziarie. Per verificarlo:

Fondamenti di teoria finanziaria

-

37

si estende la prospettiva mono-periodale a una multi-periodale, facendo emergere gli effetti del fattore tempo nel calcolo finanziario; si introduce la condizione di incertezza facendo emergere gli effetti del fattore rischio nell’analisi delle scelte di investimento per osservare le conseguenti modificazioni della ricchezza dell’investitore.

OPERAZIONE FINANZIARIA DI INVESTIMENTO – Le operazioni configurabili e quelle che avvengono nei mercati dei capitali possono essere viste come combinazioni di schemi di base. Gli investimenti costituiscono combinazioni di operazioni finanziarie elementari, che prevedono che un soggetto dia ad un altro soggetto un certo importo (Px) disponibile ad una data epoca (x) in cambio di un altro importo (Py) disponibile ad un’altra epoca succesiva (y), supponendo - in generale - che l’importo ricevuto successivamente sia maggiore di quello impiegato (x <= y) (Bortot e altri, 1993). Tale scambio intertemporale di capitali configura un’operazione di investimento per l’operatore che rinuncia al capitale attuale in vista di un capitale futuro; mentre costituisce una operazione di finanziamento per l’operatore che riceve un capitale da restituire poi in futuro. Dunque, investimenti e finanziamenti costituiscono sostanzialmente due facce della stessa medaglia. FATTISPECIE DI INVESTIMENTI – Il profilo di un investimento può essere ricondotto a quattro fattispecie tipiche, che si differenziano in relazione alla differente distribuzione temporale dei flussi di cassa da queste assorbiti o generati. La prima fattispecie è detta point input – point output (PIPO), caratterizzata da un solo impiego, ad inizio periodo, di risorse finanziarie, e da un solo ritorno, alla fine del periodo, di risorse finanziarie. Mentre l’impiego iniziale corrisponde all’uscita monetaria sostenuta dall’investitore ed indica il capitale investito, il ritorno finale corrisponde all’entrata monetaria di cui beneficia l’investitore per il fatto che recupera il capitale investito eventualmente incrementato del guadagno dell’operazione. Un esempio tipico di investimento finanziario di questo tipo è costituito dai Buoni Ordinari del Tesoro. Figura 1.19 – Investimento tipo PIPO e flussi di cassa dell’investitore

Gli investimenti di tipo point input – continuous output (PICO) si sviluppano su più periodi e sono caratterizzati da un solo impiego iniziale di risorse finanziarie, e da una serie di ritorni di risorse finanziarie frazionati in periodi successivi. Se l’impiego iniziale rappresenta sempre un uscita monetaria per l’investitore (capitale investito), i ritorni periodali, cioè le entrate monetarie future per l’investitore, possono rappresentare

38

Capitolo 1

sia recuperi di capitale che maturazione di guadagni. Esempi tipici di investimenti di questo tipo sono i Buoni del Tesoro Poliennali e i titoli obbligazionari. Figura 1.20 – Investimento tipo PICO e flussi di cassa dell’investitore

Gli investimenti si dicono di tipo continuous input – point output (CIPO) quando sono multi-periodali e caratterizzati da una pluralità di impieghi di risorse finanziarie, che precedono l’unico ritorno atteso al termine della durata dell’operazione. Sono dunque investimenti caratterizzati da una pluralità di uscite anticipate rispetto alla sola entrata attesa; un esempio alcune polizze assicurative. Figura 1.21 – Investimento tipo CIPO e flussi di cassa dell’investitore

Investimenti del tipo continuous input – continuous output (CICO), sono caratterizzati da una pluralità di uscite e di entrate che si susseguono nel tempo. Figura 1.22 – Investimento tipo CICO e flussi di cassa dell’investitore

SCADENZA FINANZIARIA MEDIA – Mentre nel caso di operazioni PIPO, PICO e CIPO è palese che si tratti di investimenti essendo gli impieghi di capitale (Cash Out Flow, COF) sempre anticipate rispetto alle remunerazioni e ai recuperi del capitale (Cash In

Fondamenti di teoria finanziaria

39

Flow, CIF), nel caso di operazioni di tipo CICO la distribuzione temporale dei flussi non sempre consente di comprendere immediatamente se si tratti di investimenti o finanziamenti (Colombi, 1995, Palomba, 1996). In tal caso è necessario determinare la scadenza finanziaria media delle entrate e delle uscite. Indicando con r il tasso di attualizzazione dei flussi attesi dall’operazione finanziaria, si potrĂ determinare: -

la scadenza finanziaria media delle entrate log ∑đ?‘›đ?‘Ą=1 đ??śđ??źđ??šđ?‘Ą − log ∑đ?‘›đ?‘Ą=1 đ?‘†đ??šđ?‘€đ?‘’ =

-

đ??śđ??źđ??šđ?‘Ą (1 + đ?‘–)đ?‘Ą

log(1 + đ?‘–)

la scadenza finanziaria media delle uscite log ∑đ?‘›đ?‘Ą=1 đ??śđ?‘‚đ??šđ?‘Ą − log ∑đ?‘›đ?‘Ą=1 đ?‘†đ??šđ?‘€đ?‘˘ =

đ??śđ?‘‚đ??šđ?‘Ą (1 + đ?‘–)đ?‘Ą

log(1 + đ?‘–)

Un’operazione che si configura come CICO costituirà : -

-

un finanziamento se, per qualunque i, sarĂ sempre verificata la diseguaglianza SFMe < SFMu (i flussi di cassa in entrata sono mediamente anticipati rispetto a quelli in uscita); un investimento se, per qualunque i, sarĂ sempre verificata la diseguaglianza SFMe > SFMu (i flussi di cassa in uscita sono mediamente anticipati rispetto a quelli in entrata).

E’ evidente che qualunque operazione finanziaria si caratterizza per uno specifico profilo temporale, ovvero per una successione di flussi di cassa in uscita (gli impieghi) e in entrata (i ritorni e i recuperi del capitale) variamente distribuiti nel tempo. Il tempo è infatti il fattore centrale per la teoria finanziaria, da sempre considerato e indagato negli studi economici. Ad esso si legano infatti i concetti di capitale, ricchezza e incertezza. GiĂ Bohm-Bawerk (1889) aveva delineato una Teoria del Capitale secondo la quale il suo valore non va misurato sulla base del lavoro e della terra impiegati, quanto piuttosto della capacitĂ di produrre beni nel tempo. Successivamente, Fisher (1930) definisce una “Teoria dell’Interesseâ€? secondo la quale la ricchezza dipende dalla spendibilitĂ del capitale e dalla sua trasferibilitĂ nel tempo attraverso operazioni finanziarie di prestito. Un decennio prima, Knight (1921) aveva legato la rischiositĂ dei profitti attesi al fatto che essi si manifestano nel tempo, riconoscendo che al crescere dell’estensione temporale delle operazioni di impiego di capitali cresce anche l’incertezza che ne caratterizza i ritorni. Secondo i principi generali di valutazione dettati dalla Teoria della Finanza dipende principalmente da tre condizioni:

40

Capitolo 1

-

-

i flussi monetari che l’impresa sarà in grado di generare (profilo dimensionale) a benficio delle diverse categorie di finanziatori (proprietà ; obbligazionisti e creditori); la distribuzione temporale dei flussi (profilo temporale); per l’appunto, la rischiosità che caratterizza il conseguimento dei risultati dell’iniziativa (profilo di rischio o qualitativo).

Il componente rischio incide sulla stima del valore finanziario attribuito al capitale, che è determinato sulla base di un processo di attualizzazione dei flussi di cassa attesi che consente di individuare il Valore Attuale, VA e il Valore Attuale Netto, VAN di un’opportunitĂ di investimento. Per tener conto dell’incertezza, VA e VAN vengono determinati scontando i flussi di cassa attesi ad un tasso che tenga conto del rischio che li caratterizza, usualmente indicato come k nelle formule valutative. Quest’ultimo viene determinato come somma di due rendimenti percentuali: -

un tasso privo di rischio (risk free rate, rfr) che indica la remunerazione richiesta dall’investitore per i tempi di attesa dei ritorni sperati; un premio per il rischio (Risk Premium, RP) che indica la remunerazione richiesta dall’investitore per l’incertezza che grava sui ritorni configurati.

Il k rappresenta concettualmente un costo-opportunitĂ , cioè un rendimento coerente rispetto alle alternative di investimento presenti sui mercati, paragonabili per livello di rischiositĂ . Le formulazioni generali di stima del VA e del VAN, che costituiscono misure utili per determinare la convenienza economica di un impiego, si possono definire considerando investimenti di tipo CIPO o CICO. In tali casi si applicano la seguenti formule, dove CIF indica i flussi di cassa in entrata generati dall’investimento, COF indica i flussi di cassa in uscita (impieghi di capitale), k il costo-opportunitĂ del capitale impiegato: đ?‘›

đ?‘‰đ??´ = ∑ đ??śđ??źđ??šđ?‘Ą ∙ (1 + đ?‘˜)−đ?‘Ą đ?‘Ą=0 đ?‘›

đ?‘› −đ?‘Ą

đ?‘‰đ??´đ?‘ = ∑ đ??śđ??źđ??šđ?‘Ą ∙ (1 + đ?‘˜) đ?‘Ą=0

− ∑ đ??śđ?‘‚đ??šđ?‘Ą ∙ (1 + đ?‘˜)−đ?‘Ą đ?‘Ą=0

Nel caso di investimento di tipo PIPO o PICO, la formula del VAN si semplifica considerando che vi è un unico flusso di cassa iniziale in uscita, ovvero un unico investimento iniziale, I0: đ?‘›

đ?‘‰đ??´đ?‘ = ∑ đ??śđ??źđ??šđ?‘Ą ∙ (1 + đ?‘˜)−đ?‘Ą − đ??ź0 đ?‘Ą=1

Fondamenti di teoria finanziaria

41

Dunque, le operazioni finanziarie consistono in una successione temporale di mutamenti del capitale, che al termine può risultarne accresciuto o ridotto (per la manifestazione degli eventi temuti) definendo i rendimenti effettivi dell’investimento. In tal senso, è possibile intendere la finanza come valutazione di convenienza rispetto al tempo e al rischio (Palomba, 1996). Il net present value esprime una stima della ricchezza netta generata dall’investimento, cioè la maggior ricchezza che residua una volta depurati i flussi di cassa attesi della congrua remunerazione del tempo e del rischio. La differenza tra il valore attribuibile all’investimento se fosse per ipotesi un’operazione di scambio, e il valore attribuibile all’investimento considerando la distribuzione temporale che ne caratterizza i flussi attesi, è ciò che può essere definito valore del tempo. Ipotizzando condizioni di certezza, esso è pari alla differenza tra la sommatoria dei flussi di cassa attesi, e la sommatoria dei flussi di cassa attesi attualizzati con un tasso privo di rischio: đ?‘›

đ?‘›

đ?‘‰đ??´(đ?‘‡đ?‘’đ?‘šđ?‘?đ?‘œ) = ∑(đ??śđ??źđ??šđ?‘Ą − đ??śđ?‘‚đ??šđ?‘Ą ) − ∑(đ??śđ??źđ??šđ?‘Ą − đ??śđ?‘‚đ??šđ?‘Ą ) ∙ (1 + đ?‘&#x;đ?‘“đ?‘&#x;)−đ?‘Ą đ?‘Ą=0

đ?‘Ą=0

Il valore del rischio è invece pari alla differenza tra la sommatoria dei flussi di cassa attesi attualizzati con un tasso privo di rischio, e la sommatoria dei flussi di ritorno attesi attualizzati con un tasso aggiustato per il rischio: đ?‘›

đ?‘›

đ?‘Ą=0

đ?‘Ą=0

(đ??śđ??źđ??šđ?‘Ą − đ??śđ?‘‚đ??šđ?‘Ą ) (đ??śđ??źđ??šđ?‘Ą − đ??śđ?‘‚đ??šđ?‘Ą ) đ?‘‰đ??´(đ?‘…đ?‘–đ?‘ đ?‘?â„Žđ?‘–đ?‘œ) = ∑ −∑ (1 + đ?‘&#x;đ?‘“đ?‘&#x;)đ?‘Ą (1 + đ?‘˜)đ?‘Ą

Esemplificazione 1.2 Valore del tempo e valore del rischio Si consideri la seguente operazione di investimento di tipo PICO, con durata di 5 anni e recupero finale del capitale iniziale. Si ipotizzi che il tasso privo di rischio, RFR, sia pari al 6% e che il premio per il rischio adeguato alla rischiositĂ dell’operazione è commisurata in un premio di rischio pari al 4%. Di conseguenza il costo-opportunitĂ del capitale risulta essere del 10%.

42

Capitolo 1

INVESTIMENTO GRANDEZZE

→ SIMB.

IMPIEGO DI CAPITALE

I

CASH OUT FLOW

COF

FLUSSI ATTESI DI RITORNO

CF

RECUPERO DEL CAPITALE

CR

PICO 0 -

1

2

3

4

S

5

1.000,0

- 1.000,0

-

-

-

100,0

CASH IN FLOW NET CASH FLOW

CIF NCF

- 1.000,0

TASSO PRIVO DI RISCHIO PREMIO DI RISCHIO COSTO OPPORTUNITA'

RFR RP k

6,00% 4,00% 10,00%

100,0 100,0

-

120,0

-

110,0

120,0 120,0

-

90,0

110,0 110,0

90,0 90,0

1.000,0

- 1.000,0

130,0

550,0

1.000,0

1.000,0

1.130,0 1.130,0

1.550,0 550,0

= RFR + RP

E’ economicamente conveniente investire il proprio capitale in una operazione di questo tipo? La risposta non può prescindere dal calcolo del calore attuale netto. La determinazione del VAN richiede l’attualizzazione dei flussi finanziari, in entrata e in uscita, dell’operazione ad un tasso pari al costo opportunità del capitale. Utilizzando un tasso di attualizzazione dell’10%, l’investimento risulta economicamente conveniente in quanto il VAN è maggiore di zero e, conseguentemente, il VA è maggiore del capitale inizialmente investito. VALORE DELL'INVESTIMENTO IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA GRANDEZZE SIMB. 0 1 FATT.ATTUALIZZAZ. USCITE ATTUALIZZATE ENTRATE ATTUALIZZATE VALORE ATTUALE VALORE ATTUALE NETTO

2

3

(1 + k) -t 1,00 0,91 0,83 0,75 VA(COF) - 1.000,00 VA(CIF) 90,91 99,17 82,64 VA 1.035,84 = S VA(CIF) VAN 35,84 = S VA(CIF) - S VA(COF)

4 0,68 61,47

5 0,62 701,64

Per quantificare il valore del tempo e del rischio occorre procedere alla determinazione del valore attuale che l’investimento avrebbe avuto in ipotesi di certezza. Assumendo un premio per il rischio nullo e quindi un costo-opportunità del capitale pari al 6%, si perviene ad un VA e ad un VAN ovviamente superiori rispetto al caso precedente. VALORE DELL'INVESTIMENTO IN CONDIZIONI DI CERTEZZA GRANDEZZE SIMB. 0 1 FATT.ATTUALIZZAZ. USCITE ATTUALIZZATE ENTRATE ATTUALIZZATE VALORE ATTUALE VALORE ATTUALE NETTO

2

3

(1 + rfr) -t 1,00 0,94 0,89 0,84 VA(COF) - 1.000,00 VA(CIF) 94,34 106,80 92,36 VA 1.209,19 = S VA(CIF) VAN 209,19 = S VA(CIF) - S VA(COF)

4 0,79 71,29

5 0,75 844,40

La differenza tra il VAN in ipotesi di certezza e quello in ipotesi di incertezza indica il valore del rischio, ovvero il minor valore netto che caratterizza un investimento per il fatto che parte dei suoi ritorni devono andare a remunerare il rischio corso dall’investitore, i quali di conseguenza non possono rappresentare per quest’ultimo maggiore ricchezza.

VALORE ATTUALE al RFR VALORE ATTUALE al k VALORE DEL RISCHIO

SCIF SCOF 1.209,19 - 1.000,00 1.035,84 - 1.000,00 173,35 -

DELTA 209,19 Valore attuale netto 35,84 Valore attuale netto 173,35 Valore del rischio

Fondamenti di teoria finanziaria

43

Analogamente, la differenza tra il VAN in ipotesi di certezza e la sommatoria dei flussi di cassa prodotti o assorbiti dall’investimento (che prende il nome di eccedenza nominale) indica il valore del tempo, ovvero il minor valore netto che caratterizza un investimento per il fatto che i suoi ritorni non sono immediatamente disponibili per l’investitore.

VALORE NOMINALE VALORE ATTUALE al RFR DIFFERENZA

SCIF SCOF 1.550,00 - 1.000,00 1.209,19 - 1.000,00 340,81 -

DELTA 550,00 Eccedenza nominale 209,19 Valore attuale netto 340,81 Valore del tempo

A questo punto, è possibile verificare come la differenza esistente tra l’eccedenza nominale (risultato complessivo dell’operazione che non tiene conto della dimensione temporale dei flussi attesi e del loro rischio) e il VAN (risultato complessivo che tiene conto della dimensione temporale dei flussi attesi e del rischio) è spiegata esattamente dal valore del tempo e dal valore del rischio. Eccedenza nominale (Valore del tempo) (Valore del rischio) VALORE ATTUALE NETTO

550,00 340,81 VA(rischio) - 173,35 VAN 35,84 EN

VA(tempo) -

Bibliografia citata ARROW K.J. (1971), Essays in Theory of Risk-Bearing, North-Holland, Amsterdam. BOHM-BAWERK E. VON (1889), The Positive Theory of Capital. BORTOT P., MAGNANI U., OLIVIERI G., TORRIGIANI M. (1993), Matematica finanziaria, Monduzzi Editoriale, Milano. CASTELANI G., DE FELICE M., MORICONI F. (2005), Manuale di finanza – Vol. II – Teoria del portafoglio e mercato azionario, Il Mulino, Bologna. COLOMBI F. (1995), Baricentro finanziario, Strategie & Finanza Srl, Roma. COLOMBI F. (2003), Finanza Condizionata e Teoria del Valore – Vol. I – Del merito e del metodo, Aracne, Roma. COPELAND T.E., WESTON J.F., (1994), Teoria della finanza e politiche d’impresa, Egea, Milano. CULP C.L., MILLER M.H., NEVES A.M.P. (1998), “Value at Risk: Uses and Abuses”, Journal of Applied Corporate Finance, Vol. 10, No. 4. CUTHBERTSON K., NITZCHE D. (2004), Quantitative financial economics. Stocks, bonds and foreign exchange, John Wiley & Sons, Chichester. DASGUPTA A. K. (1999), La teoria economica da Smith a Keynes, Il Mulino, Bologna. EISENHARDT K. (1989). “Agency theory: An assessment and review”, Academy of Management Review, Vol. 14, No. 1. FISHER I. (1930), The Theory of Interest, The Macmillan Company, New York. FORESTIERI G., MOTTURA P. (2013), Il Sistema finanziario, Egea, Milano.

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Capitolo 1

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