Sistemi lineari
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Il contenuto di questo capitolo è utile per il Capitolo 6 di Geometria, per il Capitolo 6 di Algebra lineare e per il Capitolo 6 di Geometria analitica.
Richiami di teoria Definizione 6.1 Una matrice a scala è una matrice 𝑚 × 𝑛 del tipo seguente: |0 |⋮ | |⋮ |⋮ | |⋮ |⋮ | |⋮ |0
⋯
0 𝑝1 ⋮ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 0
∗ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 𝑝2 ⋮ ⋮ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 0
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∗ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 𝑝3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 ⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∗| ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∗| | ∗ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∗| ⋮| |, 0 𝑝𝑟 ∗ ⋯ ∗ | ⋮ 0 0 ⋯ 0| | ⋮ ⋮ ⋮ ⋮| ⋯ 0 0 0 ⋯ 0|
dove al posto di ∗ può esserci qualunque cosa. I numeri 𝑝1 , … , 𝑝𝑟 ∈ 𝕂∗ , tutti non nulli, sono i pivot della matrice a scala. Un sistema a scala è un sistema lineare la cui matrice dei coefficienti è una matrice a scala. Lemma 6.1 Sia 𝑆 ∈ 𝑀𝑚,𝑛 (𝕂) una matrice a scala con 𝑟 pivot. Poniamo 𝑉𝑟 = Span(𝑒1 , … , 𝑒𝑟 ) ⊂ 𝕂𝑚 e indichiamo con 𝑆 𝑗𝑘 la colonna di 𝑆 in cui compare il 𝑘-esimo pivot 𝑝𝑘 , per 𝑘 = 1, … , 𝑟. Allora Im 𝑆 = 𝑉𝑟 , rg 𝑆 = 𝑟 e {𝑆𝑗1 , … , 𝑆 𝑗𝑟 } è una base di Im 𝑆. La riduzione a scala è un algoritmo (simile all’eliminazione di Gauss) che tramite opportune operazioni elementari trasforma una matrice 𝐴 ∈ 𝑀𝑚,𝑛 (𝕂) in una matrice a scala 𝑆 ∈ 𝑀𝑚,𝑛 (𝕂) in modo da trasformare qualunque sistema 𝐴𝑥 = 𝑏 in un sistema a scala 𝑆𝑥 = 𝑐 a esso equivalente, chiamato riduzione a scala di 𝐴𝑥 = 𝑏. Partiamo da un sistema lineare 𝐴𝑥 = 𝑏 con 𝐴 ∈ 𝑀𝑚,𝑛 (𝕂) e 𝑏 ∈ 𝕂𝑛 . Se 𝐴 è la matrice nulla, abbiamo finito. Altrimenti, sia 𝐴𝑗1 la prima colonna non nulla di 𝐴; scambiando se necessario la prima riga con una sottostante possiamo supporre che il primo elemento 𝑎1𝑗1 della colonna 𝐴𝑗1 sia diverso da zero; poniamo 𝑝1 = 𝑎1𝑗1 . Sommiamo ora alla riga ℎ-esima (con ℎ = 2, … , 𝑛) un adeguato multiplo della prima riga in